MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  ttglemOLD Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem ttglemOLD 27862
Description: Obsolete version of ttglem 27861 as of 29-Oct-2024. Lemma for ttgbas 27863 and ttgvsca 27868. (Contributed by Thierry Arnoux, 15-Apr-2019.) (Proof modification is discouraged.) (New usage is discouraged.)
Hypotheses
Ref Expression
ttgval.n 𝐺 = (toTGβ€˜π»)
ttglemOLD.2 𝐸 = Slot 𝑁
ttglemOLD.3 𝑁 ∈ β„•
ttglemOLD.4 𝑁 < 16
Assertion
Ref Expression
ttglemOLD (πΈβ€˜π») = (πΈβ€˜πΊ)

Proof of Theorem ttglemOLD
Dummy variables π‘˜ π‘₯ 𝑦 𝑧 are mutually distinct and distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 ttglemOLD.2 . . . . . 6 𝐸 = Slot 𝑁
2 ttglemOLD.3 . . . . . 6 𝑁 ∈ β„•
31, 2ndxid 17076 . . . . 5 𝐸 = Slot (πΈβ€˜ndx)
42nnrei 12169 . . . . . . 7 𝑁 ∈ ℝ
5 ttglemOLD.4 . . . . . . 7 𝑁 < 16
64, 5ltneii 11275 . . . . . 6 𝑁 β‰  16
71, 2ndxarg 17075 . . . . . . 7 (πΈβ€˜ndx) = 𝑁
8 itvndx 27421 . . . . . . 7 (Itvβ€˜ndx) = 16
97, 8neeq12i 3011 . . . . . 6 ((πΈβ€˜ndx) β‰  (Itvβ€˜ndx) ↔ 𝑁 β‰  16)
106, 9mpbir 230 . . . . 5 (πΈβ€˜ndx) β‰  (Itvβ€˜ndx)
113, 10setsnid 17088 . . . 4 (πΈβ€˜π») = (πΈβ€˜(𝐻 sSet ⟨(Itvβ€˜ndx), (π‘₯ ∈ (Baseβ€˜π»), 𝑦 ∈ (Baseβ€˜π») ↦ {𝑧 ∈ (Baseβ€˜π») ∣ βˆƒπ‘˜ ∈ (0[,]1)(𝑧(-gβ€˜π»)π‘₯) = (π‘˜( ·𝑠 β€˜π»)(𝑦(-gβ€˜π»)π‘₯))})⟩))
12 1nn0 12436 . . . . . . . . 9 1 ∈ β„•0
13 6nn0 12441 . . . . . . . . 9 6 ∈ β„•0
14 7nn 12252 . . . . . . . . 9 7 ∈ β„•
15 6lt7 12346 . . . . . . . . 9 6 < 7
1612, 13, 14, 15declt 12653 . . . . . . . 8 16 < 17
17 6nn 12249 . . . . . . . . . . 11 6 ∈ β„•
1812, 17decnncl 12645 . . . . . . . . . 10 16 ∈ β„•
1918nnrei 12169 . . . . . . . . 9 16 ∈ ℝ
2012, 14decnncl 12645 . . . . . . . . . 10 17 ∈ β„•
2120nnrei 12169 . . . . . . . . 9 17 ∈ ℝ
224, 19, 21lttri 11288 . . . . . . . 8 ((𝑁 < 16 ∧ 16 < 17) β†’ 𝑁 < 17)
235, 16, 22mp2an 691 . . . . . . 7 𝑁 < 17
244, 23ltneii 11275 . . . . . 6 𝑁 β‰  17
25 lngndx 27422 . . . . . . 7 (LineGβ€˜ndx) = 17
267, 25neeq12i 3011 . . . . . 6 ((πΈβ€˜ndx) β‰  (LineGβ€˜ndx) ↔ 𝑁 β‰  17)
2724, 26mpbir 230 . . . . 5 (πΈβ€˜ndx) β‰  (LineGβ€˜ndx)
283, 27setsnid 17088 . . . 4 (πΈβ€˜(𝐻 sSet ⟨(Itvβ€˜ndx), (π‘₯ ∈ (Baseβ€˜π»), 𝑦 ∈ (Baseβ€˜π») ↦ {𝑧 ∈ (Baseβ€˜π») ∣ βˆƒπ‘˜ ∈ (0[,]1)(𝑧(-gβ€˜π»)π‘₯) = (π‘˜( ·𝑠 β€˜π»)(𝑦(-gβ€˜π»)π‘₯))})⟩)) = (πΈβ€˜((𝐻 sSet ⟨(Itvβ€˜ndx), (π‘₯ ∈ (Baseβ€˜π»), 𝑦 ∈ (Baseβ€˜π») ↦ {𝑧 ∈ (Baseβ€˜π») ∣ βˆƒπ‘˜ ∈ (0[,]1)(𝑧(-gβ€˜π»)π‘₯) = (π‘˜( ·𝑠 β€˜π»)(𝑦(-gβ€˜π»)π‘₯))})⟩) sSet ⟨(LineGβ€˜ndx), (π‘₯ ∈ (Baseβ€˜π»), 𝑦 ∈ (Baseβ€˜π») ↦ {𝑧 ∈ (Baseβ€˜π») ∣ (𝑧 ∈ (π‘₯(Itvβ€˜πΊ)𝑦) ∨ π‘₯ ∈ (𝑧(Itvβ€˜πΊ)𝑦) ∨ 𝑦 ∈ (π‘₯(Itvβ€˜πΊ)𝑧))})⟩))
2911, 28eqtri 2765 . . 3 (πΈβ€˜π») = (πΈβ€˜((𝐻 sSet ⟨(Itvβ€˜ndx), (π‘₯ ∈ (Baseβ€˜π»), 𝑦 ∈ (Baseβ€˜π») ↦ {𝑧 ∈ (Baseβ€˜π») ∣ βˆƒπ‘˜ ∈ (0[,]1)(𝑧(-gβ€˜π»)π‘₯) = (π‘˜( ·𝑠 β€˜π»)(𝑦(-gβ€˜π»)π‘₯))})⟩) sSet ⟨(LineGβ€˜ndx), (π‘₯ ∈ (Baseβ€˜π»), 𝑦 ∈ (Baseβ€˜π») ↦ {𝑧 ∈ (Baseβ€˜π») ∣ (𝑧 ∈ (π‘₯(Itvβ€˜πΊ)𝑦) ∨ π‘₯ ∈ (𝑧(Itvβ€˜πΊ)𝑦) ∨ 𝑦 ∈ (π‘₯(Itvβ€˜πΊ)𝑧))})⟩))
30 ttgval.n . . . . . 6 𝐺 = (toTGβ€˜π»)
31 eqid 2737 . . . . . 6 (Baseβ€˜π») = (Baseβ€˜π»)
32 eqid 2737 . . . . . 6 (-gβ€˜π») = (-gβ€˜π»)
33 eqid 2737 . . . . . 6 ( ·𝑠 β€˜π») = ( ·𝑠 β€˜π»)
34 eqid 2737 . . . . . 6 (Itvβ€˜πΊ) = (Itvβ€˜πΊ)
3530, 31, 32, 33, 34ttgval 27859 . . . . 5 (𝐻 ∈ V β†’ (𝐺 = ((𝐻 sSet ⟨(Itvβ€˜ndx), (π‘₯ ∈ (Baseβ€˜π»), 𝑦 ∈ (Baseβ€˜π») ↦ {𝑧 ∈ (Baseβ€˜π») ∣ βˆƒπ‘˜ ∈ (0[,]1)(𝑧(-gβ€˜π»)π‘₯) = (π‘˜( ·𝑠 β€˜π»)(𝑦(-gβ€˜π»)π‘₯))})⟩) sSet ⟨(LineGβ€˜ndx), (π‘₯ ∈ (Baseβ€˜π»), 𝑦 ∈ (Baseβ€˜π») ↦ {𝑧 ∈ (Baseβ€˜π») ∣ (𝑧 ∈ (π‘₯(Itvβ€˜πΊ)𝑦) ∨ π‘₯ ∈ (𝑧(Itvβ€˜πΊ)𝑦) ∨ 𝑦 ∈ (π‘₯(Itvβ€˜πΊ)𝑧))})⟩) ∧ (Itvβ€˜πΊ) = (π‘₯ ∈ (Baseβ€˜π»), 𝑦 ∈ (Baseβ€˜π») ↦ {𝑧 ∈ (Baseβ€˜π») ∣ βˆƒπ‘˜ ∈ (0[,]1)(𝑧(-gβ€˜π»)π‘₯) = (π‘˜( ·𝑠 β€˜π»)(𝑦(-gβ€˜π»)π‘₯))})))
3635simpld 496 . . . 4 (𝐻 ∈ V β†’ 𝐺 = ((𝐻 sSet ⟨(Itvβ€˜ndx), (π‘₯ ∈ (Baseβ€˜π»), 𝑦 ∈ (Baseβ€˜π») ↦ {𝑧 ∈ (Baseβ€˜π») ∣ βˆƒπ‘˜ ∈ (0[,]1)(𝑧(-gβ€˜π»)π‘₯) = (π‘˜( ·𝑠 β€˜π»)(𝑦(-gβ€˜π»)π‘₯))})⟩) sSet ⟨(LineGβ€˜ndx), (π‘₯ ∈ (Baseβ€˜π»), 𝑦 ∈ (Baseβ€˜π») ↦ {𝑧 ∈ (Baseβ€˜π») ∣ (𝑧 ∈ (π‘₯(Itvβ€˜πΊ)𝑦) ∨ π‘₯ ∈ (𝑧(Itvβ€˜πΊ)𝑦) ∨ 𝑦 ∈ (π‘₯(Itvβ€˜πΊ)𝑧))})⟩))
3736fveq2d 6851 . . 3 (𝐻 ∈ V β†’ (πΈβ€˜πΊ) = (πΈβ€˜((𝐻 sSet ⟨(Itvβ€˜ndx), (π‘₯ ∈ (Baseβ€˜π»), 𝑦 ∈ (Baseβ€˜π») ↦ {𝑧 ∈ (Baseβ€˜π») ∣ βˆƒπ‘˜ ∈ (0[,]1)(𝑧(-gβ€˜π»)π‘₯) = (π‘˜( ·𝑠 β€˜π»)(𝑦(-gβ€˜π»)π‘₯))})⟩) sSet ⟨(LineGβ€˜ndx), (π‘₯ ∈ (Baseβ€˜π»), 𝑦 ∈ (Baseβ€˜π») ↦ {𝑧 ∈ (Baseβ€˜π») ∣ (𝑧 ∈ (π‘₯(Itvβ€˜πΊ)𝑦) ∨ π‘₯ ∈ (𝑧(Itvβ€˜πΊ)𝑦) ∨ 𝑦 ∈ (π‘₯(Itvβ€˜πΊ)𝑧))})⟩)))
3829, 37eqtr4id 2796 . 2 (𝐻 ∈ V β†’ (πΈβ€˜π») = (πΈβ€˜πΊ))
391str0 17068 . . 3 βˆ… = (πΈβ€˜βˆ…)
40 fvprc 6839 . . 3 (Β¬ 𝐻 ∈ V β†’ (πΈβ€˜π») = βˆ…)
41 fvprc 6839 . . . . 5 (Β¬ 𝐻 ∈ V β†’ (toTGβ€˜π») = βˆ…)
4230, 41eqtrid 2789 . . . 4 (Β¬ 𝐻 ∈ V β†’ 𝐺 = βˆ…)
4342fveq2d 6851 . . 3 (Β¬ 𝐻 ∈ V β†’ (πΈβ€˜πΊ) = (πΈβ€˜βˆ…))
4439, 40, 433eqtr4a 2803 . 2 (Β¬ 𝐻 ∈ V β†’ (πΈβ€˜π») = (πΈβ€˜πΊ))
4538, 44pm2.61i 182 1 (πΈβ€˜π») = (πΈβ€˜πΊ)
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  Β¬ wn 3   ∨ w3o 1087   = wceq 1542   ∈ wcel 2107   β‰  wne 2944  βˆƒwrex 3074  {crab 3410  Vcvv 3448  βˆ…c0 4287  βŸ¨cop 4597   class class class wbr 5110  β€˜cfv 6501  (class class class)co 7362   ∈ cmpo 7364  0cc0 11058  1c1 11059   < clt 11196  β„•cn 12160  6c6 12219  7c7 12220  cdc 12625  [,]cicc 13274   sSet csts 17042  Slot cslot 17060  ndxcnx 17072  Basecbs 17090   ·𝑠 cvsca 17144  -gcsg 18757  Itvcitv 27417  LineGclng 27418  toTGcttg 27857
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1798  ax-4 1812  ax-5 1914  ax-6 1972  ax-7 2012  ax-8 2109  ax-9 2117  ax-10 2138  ax-11 2155  ax-12 2172  ax-ext 2708  ax-rep 5247  ax-sep 5261  ax-nul 5268  ax-pow 5325  ax-pr 5389  ax-un 7677  ax-cnex 11114  ax-resscn 11115  ax-1cn 11116  ax-icn 11117  ax-addcl 11118  ax-addrcl 11119  ax-mulcl 11120  ax-mulrcl 11121  ax-mulcom 11122  ax-addass 11123  ax-mulass 11124  ax-distr 11125  ax-i2m1 11126  ax-1ne0 11127  ax-1rid 11128  ax-rnegex 11129  ax-rrecex 11130  ax-cnre 11131  ax-pre-lttri 11132  ax-pre-lttrn 11133  ax-pre-ltadd 11134  ax-pre-mulgt0 11135
This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 398  df-or 847  df-3or 1089  df-3an 1090  df-tru 1545  df-fal 1555  df-ex 1783  df-nf 1787  df-sb 2069  df-mo 2539  df-eu 2568  df-clab 2715  df-cleq 2729  df-clel 2815  df-nfc 2890  df-ne 2945  df-nel 3051  df-ral 3066  df-rex 3075  df-reu 3357  df-rab 3411  df-v 3450  df-sbc 3745  df-csb 3861  df-dif 3918  df-un 3920  df-in 3922  df-ss 3932  df-pss 3934  df-nul 4288  df-if 4492  df-pw 4567  df-sn 4592  df-pr 4594  df-op 4598  df-uni 4871  df-iun 4961  df-br 5111  df-opab 5173  df-mpt 5194  df-tr 5228  df-id 5536  df-eprel 5542  df-po 5550  df-so 5551  df-fr 5593  df-we 5595  df-xp 5644  df-rel 5645  df-cnv 5646  df-co 5647  df-dm 5648  df-rn 5649  df-res 5650  df-ima 5651  df-pred 6258  df-ord 6325  df-on 6326  df-lim 6327  df-suc 6328  df-iota 6453  df-fun 6503  df-fn 6504  df-f 6505  df-f1 6506  df-fo 6507  df-f1o 6508  df-fv 6509  df-riota 7318  df-ov 7365  df-oprab 7366  df-mpo 7367  df-om 7808  df-1st 7926  df-2nd 7927  df-frecs 8217  df-wrecs 8248  df-recs 8322  df-rdg 8361  df-er 8655  df-en 8891  df-dom 8892  df-sdom 8893  df-pnf 11198  df-mnf 11199  df-xr 11200  df-ltxr 11201  df-le 11202  df-sub 11394  df-neg 11395  df-nn 12161  df-2 12223  df-3 12224  df-4 12225  df-5 12226  df-6 12227  df-7 12228  df-8 12229  df-9 12230  df-n0 12421  df-dec 12626  df-sets 17043  df-slot 17061  df-ndx 17073  df-itv 27419  df-lng 27420  df-ttg 27858
This theorem is referenced by:  ttgbasOLD  27864  ttgplusgOLD  27866  ttgvscaOLD  27869  ttgdsOLD  27871
  Copyright terms: Public domain W3C validator