MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  ttglemOLD Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem ttglemOLD 27820
Description: Obsolete version of ttglem 27819 as of 29-Oct-2024. Lemma for ttgbas 27821 and ttgvsca 27826. (Contributed by Thierry Arnoux, 15-Apr-2019.) (Proof modification is discouraged.) (New usage is discouraged.)
Hypotheses
Ref Expression
ttgval.n 𝐺 = (toTG‘𝐻)
ttglemOLD.2 𝐸 = Slot 𝑁
ttglemOLD.3 𝑁 ∈ ℕ
ttglemOLD.4 𝑁 < 16
Assertion
Ref Expression
ttglemOLD (𝐸𝐻) = (𝐸𝐺)

Proof of Theorem ttglemOLD
Dummy variables 𝑘 𝑥 𝑦 𝑧 are mutually distinct and distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 ttglemOLD.2 . . . . . 6 𝐸 = Slot 𝑁
2 ttglemOLD.3 . . . . . 6 𝑁 ∈ ℕ
31, 2ndxid 17069 . . . . 5 𝐸 = Slot (𝐸‘ndx)
42nnrei 12162 . . . . . . 7 𝑁 ∈ ℝ
5 ttglemOLD.4 . . . . . . 7 𝑁 < 16
64, 5ltneii 11268 . . . . . 6 𝑁16
71, 2ndxarg 17068 . . . . . . 7 (𝐸‘ndx) = 𝑁
8 itvndx 27379 . . . . . . 7 (Itv‘ndx) = 16
97, 8neeq12i 3010 . . . . . 6 ((𝐸‘ndx) ≠ (Itv‘ndx) ↔ 𝑁16)
106, 9mpbir 230 . . . . 5 (𝐸‘ndx) ≠ (Itv‘ndx)
113, 10setsnid 17081 . . . 4 (𝐸𝐻) = (𝐸‘(𝐻 sSet ⟨(Itv‘ndx), (𝑥 ∈ (Base‘𝐻), 𝑦 ∈ (Base‘𝐻) ↦ {𝑧 ∈ (Base‘𝐻) ∣ ∃𝑘 ∈ (0[,]1)(𝑧(-g𝐻)𝑥) = (𝑘( ·𝑠𝐻)(𝑦(-g𝐻)𝑥))})⟩))
12 1nn0 12429 . . . . . . . . 9 1 ∈ ℕ0
13 6nn0 12434 . . . . . . . . 9 6 ∈ ℕ0
14 7nn 12245 . . . . . . . . 9 7 ∈ ℕ
15 6lt7 12339 . . . . . . . . 9 6 < 7
1612, 13, 14, 15declt 12646 . . . . . . . 8 16 < 17
17 6nn 12242 . . . . . . . . . . 11 6 ∈ ℕ
1812, 17decnncl 12638 . . . . . . . . . 10 16 ∈ ℕ
1918nnrei 12162 . . . . . . . . 9 16 ∈ ℝ
2012, 14decnncl 12638 . . . . . . . . . 10 17 ∈ ℕ
2120nnrei 12162 . . . . . . . . 9 17 ∈ ℝ
224, 19, 21lttri 11281 . . . . . . . 8 ((𝑁 < 16 ∧ 16 < 17) → 𝑁 < 17)
235, 16, 22mp2an 690 . . . . . . 7 𝑁 < 17
244, 23ltneii 11268 . . . . . 6 𝑁17
25 lngndx 27380 . . . . . . 7 (LineG‘ndx) = 17
267, 25neeq12i 3010 . . . . . 6 ((𝐸‘ndx) ≠ (LineG‘ndx) ↔ 𝑁17)
2724, 26mpbir 230 . . . . 5 (𝐸‘ndx) ≠ (LineG‘ndx)
283, 27setsnid 17081 . . . 4 (𝐸‘(𝐻 sSet ⟨(Itv‘ndx), (𝑥 ∈ (Base‘𝐻), 𝑦 ∈ (Base‘𝐻) ↦ {𝑧 ∈ (Base‘𝐻) ∣ ∃𝑘 ∈ (0[,]1)(𝑧(-g𝐻)𝑥) = (𝑘( ·𝑠𝐻)(𝑦(-g𝐻)𝑥))})⟩)) = (𝐸‘((𝐻 sSet ⟨(Itv‘ndx), (𝑥 ∈ (Base‘𝐻), 𝑦 ∈ (Base‘𝐻) ↦ {𝑧 ∈ (Base‘𝐻) ∣ ∃𝑘 ∈ (0[,]1)(𝑧(-g𝐻)𝑥) = (𝑘( ·𝑠𝐻)(𝑦(-g𝐻)𝑥))})⟩) sSet ⟨(LineG‘ndx), (𝑥 ∈ (Base‘𝐻), 𝑦 ∈ (Base‘𝐻) ↦ {𝑧 ∈ (Base‘𝐻) ∣ (𝑧 ∈ (𝑥(Itv‘𝐺)𝑦) ∨ 𝑥 ∈ (𝑧(Itv‘𝐺)𝑦) ∨ 𝑦 ∈ (𝑥(Itv‘𝐺)𝑧))})⟩))
2911, 28eqtri 2764 . . 3 (𝐸𝐻) = (𝐸‘((𝐻 sSet ⟨(Itv‘ndx), (𝑥 ∈ (Base‘𝐻), 𝑦 ∈ (Base‘𝐻) ↦ {𝑧 ∈ (Base‘𝐻) ∣ ∃𝑘 ∈ (0[,]1)(𝑧(-g𝐻)𝑥) = (𝑘( ·𝑠𝐻)(𝑦(-g𝐻)𝑥))})⟩) sSet ⟨(LineG‘ndx), (𝑥 ∈ (Base‘𝐻), 𝑦 ∈ (Base‘𝐻) ↦ {𝑧 ∈ (Base‘𝐻) ∣ (𝑧 ∈ (𝑥(Itv‘𝐺)𝑦) ∨ 𝑥 ∈ (𝑧(Itv‘𝐺)𝑦) ∨ 𝑦 ∈ (𝑥(Itv‘𝐺)𝑧))})⟩))
30 ttgval.n . . . . . 6 𝐺 = (toTG‘𝐻)
31 eqid 2736 . . . . . 6 (Base‘𝐻) = (Base‘𝐻)
32 eqid 2736 . . . . . 6 (-g𝐻) = (-g𝐻)
33 eqid 2736 . . . . . 6 ( ·𝑠𝐻) = ( ·𝑠𝐻)
34 eqid 2736 . . . . . 6 (Itv‘𝐺) = (Itv‘𝐺)
3530, 31, 32, 33, 34ttgval 27817 . . . . 5 (𝐻 ∈ V → (𝐺 = ((𝐻 sSet ⟨(Itv‘ndx), (𝑥 ∈ (Base‘𝐻), 𝑦 ∈ (Base‘𝐻) ↦ {𝑧 ∈ (Base‘𝐻) ∣ ∃𝑘 ∈ (0[,]1)(𝑧(-g𝐻)𝑥) = (𝑘( ·𝑠𝐻)(𝑦(-g𝐻)𝑥))})⟩) sSet ⟨(LineG‘ndx), (𝑥 ∈ (Base‘𝐻), 𝑦 ∈ (Base‘𝐻) ↦ {𝑧 ∈ (Base‘𝐻) ∣ (𝑧 ∈ (𝑥(Itv‘𝐺)𝑦) ∨ 𝑥 ∈ (𝑧(Itv‘𝐺)𝑦) ∨ 𝑦 ∈ (𝑥(Itv‘𝐺)𝑧))})⟩) ∧ (Itv‘𝐺) = (𝑥 ∈ (Base‘𝐻), 𝑦 ∈ (Base‘𝐻) ↦ {𝑧 ∈ (Base‘𝐻) ∣ ∃𝑘 ∈ (0[,]1)(𝑧(-g𝐻)𝑥) = (𝑘( ·𝑠𝐻)(𝑦(-g𝐻)𝑥))})))
3635simpld 495 . . . 4 (𝐻 ∈ V → 𝐺 = ((𝐻 sSet ⟨(Itv‘ndx), (𝑥 ∈ (Base‘𝐻), 𝑦 ∈ (Base‘𝐻) ↦ {𝑧 ∈ (Base‘𝐻) ∣ ∃𝑘 ∈ (0[,]1)(𝑧(-g𝐻)𝑥) = (𝑘( ·𝑠𝐻)(𝑦(-g𝐻)𝑥))})⟩) sSet ⟨(LineG‘ndx), (𝑥 ∈ (Base‘𝐻), 𝑦 ∈ (Base‘𝐻) ↦ {𝑧 ∈ (Base‘𝐻) ∣ (𝑧 ∈ (𝑥(Itv‘𝐺)𝑦) ∨ 𝑥 ∈ (𝑧(Itv‘𝐺)𝑦) ∨ 𝑦 ∈ (𝑥(Itv‘𝐺)𝑧))})⟩))
3736fveq2d 6846 . . 3 (𝐻 ∈ V → (𝐸𝐺) = (𝐸‘((𝐻 sSet ⟨(Itv‘ndx), (𝑥 ∈ (Base‘𝐻), 𝑦 ∈ (Base‘𝐻) ↦ {𝑧 ∈ (Base‘𝐻) ∣ ∃𝑘 ∈ (0[,]1)(𝑧(-g𝐻)𝑥) = (𝑘( ·𝑠𝐻)(𝑦(-g𝐻)𝑥))})⟩) sSet ⟨(LineG‘ndx), (𝑥 ∈ (Base‘𝐻), 𝑦 ∈ (Base‘𝐻) ↦ {𝑧 ∈ (Base‘𝐻) ∣ (𝑧 ∈ (𝑥(Itv‘𝐺)𝑦) ∨ 𝑥 ∈ (𝑧(Itv‘𝐺)𝑦) ∨ 𝑦 ∈ (𝑥(Itv‘𝐺)𝑧))})⟩)))
3829, 37eqtr4id 2795 . 2 (𝐻 ∈ V → (𝐸𝐻) = (𝐸𝐺))
391str0 17061 . . 3 ∅ = (𝐸‘∅)
40 fvprc 6834 . . 3 𝐻 ∈ V → (𝐸𝐻) = ∅)
41 fvprc 6834 . . . . 5 𝐻 ∈ V → (toTG‘𝐻) = ∅)
4230, 41eqtrid 2788 . . . 4 𝐻 ∈ V → 𝐺 = ∅)
4342fveq2d 6846 . . 3 𝐻 ∈ V → (𝐸𝐺) = (𝐸‘∅))
4439, 40, 433eqtr4a 2802 . 2 𝐻 ∈ V → (𝐸𝐻) = (𝐸𝐺))
4538, 44pm2.61i 182 1 (𝐸𝐻) = (𝐸𝐺)
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  ¬ wn 3  w3o 1086   = wceq 1541  wcel 2106  wne 2943  wrex 3073  {crab 3407  Vcvv 3445  c0 4282  cop 4592   class class class wbr 5105  cfv 6496  (class class class)co 7357  cmpo 7359  0cc0 11051  1c1 11052   < clt 11189  cn 12153  6c6 12212  7c7 12213  cdc 12618  [,]cicc 13267   sSet csts 17035  Slot cslot 17053  ndxcnx 17065  Basecbs 17083   ·𝑠 cvsca 17137  -gcsg 18750  Itvcitv 27375  LineGclng 27376  toTGcttg 27815
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1797  ax-4 1811  ax-5 1913  ax-6 1971  ax-7 2011  ax-8 2108  ax-9 2116  ax-10 2137  ax-11 2154  ax-12 2171  ax-ext 2707  ax-rep 5242  ax-sep 5256  ax-nul 5263  ax-pow 5320  ax-pr 5384  ax-un 7672  ax-cnex 11107  ax-resscn 11108  ax-1cn 11109  ax-icn 11110  ax-addcl 11111  ax-addrcl 11112  ax-mulcl 11113  ax-mulrcl 11114  ax-mulcom 11115  ax-addass 11116  ax-mulass 11117  ax-distr 11118  ax-i2m1 11119  ax-1ne0 11120  ax-1rid 11121  ax-rnegex 11122  ax-rrecex 11123  ax-cnre 11124  ax-pre-lttri 11125  ax-pre-lttrn 11126  ax-pre-ltadd 11127  ax-pre-mulgt0 11128
This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 397  df-or 846  df-3or 1088  df-3an 1089  df-tru 1544  df-fal 1554  df-ex 1782  df-nf 1786  df-sb 2068  df-mo 2538  df-eu 2567  df-clab 2714  df-cleq 2728  df-clel 2814  df-nfc 2889  df-ne 2944  df-nel 3050  df-ral 3065  df-rex 3074  df-reu 3354  df-rab 3408  df-v 3447  df-sbc 3740  df-csb 3856  df-dif 3913  df-un 3915  df-in 3917  df-ss 3927  df-pss 3929  df-nul 4283  df-if 4487  df-pw 4562  df-sn 4587  df-pr 4589  df-op 4593  df-uni 4866  df-iun 4956  df-br 5106  df-opab 5168  df-mpt 5189  df-tr 5223  df-id 5531  df-eprel 5537  df-po 5545  df-so 5546  df-fr 5588  df-we 5590  df-xp 5639  df-rel 5640  df-cnv 5641  df-co 5642  df-dm 5643  df-rn 5644  df-res 5645  df-ima 5646  df-pred 6253  df-ord 6320  df-on 6321  df-lim 6322  df-suc 6323  df-iota 6448  df-fun 6498  df-fn 6499  df-f 6500  df-f1 6501  df-fo 6502  df-f1o 6503  df-fv 6504  df-riota 7313  df-ov 7360  df-oprab 7361  df-mpo 7362  df-om 7803  df-1st 7921  df-2nd 7922  df-frecs 8212  df-wrecs 8243  df-recs 8317  df-rdg 8356  df-er 8648  df-en 8884  df-dom 8885  df-sdom 8886  df-pnf 11191  df-mnf 11192  df-xr 11193  df-ltxr 11194  df-le 11195  df-sub 11387  df-neg 11388  df-nn 12154  df-2 12216  df-3 12217  df-4 12218  df-5 12219  df-6 12220  df-7 12221  df-8 12222  df-9 12223  df-n0 12414  df-dec 12619  df-sets 17036  df-slot 17054  df-ndx 17066  df-itv 27377  df-lng 27378  df-ttg 27816
This theorem is referenced by:  ttgbasOLD  27822  ttgplusgOLD  27824  ttgvscaOLD  27827  ttgdsOLD  27829
  Copyright terms: Public domain W3C validator