Theorem ttglemOLD 27528

Description: Obsolete version of ttglem 27527 as of 29-Oct-2024. Lemma for ttgbas 27529 and ttgvsca 27534. (Contributed by Thierry Arnoux, 15-Apr-2019.) (Proof modification is discouraged.) (New usage is discouraged.)

Hypotheses

Ref	Expression
ttgval.n	⊢ 𝐺 = (toTG‘𝐻)
ttglemOLD.2	⊢ 𝐸 = Slot 𝑁
ttglemOLD.3	⊢ 𝑁 ∈ ℕ
ttglemOLD.4	⊢ 𝑁 < ;16

Assertion

Ref	Expression
ttglemOLD	⊢ (𝐸‘𝐻) = (𝐸‘𝐺)

Proof of Theorem ttglemOLD

Dummy variables 𝑘 𝑥 𝑦 𝑧 are mutually distinct and distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		ttglemOLD.2	. . . . . 6 ⊢ 𝐸 = Slot 𝑁
2		ttglemOLD.3	. . . . . 6 ⊢ 𝑁 ∈ ℕ
3	1, 2	ndxid 16995	. . . . 5 ⊢ 𝐸 = Slot (𝐸‘ndx)
4	2	nnrei 12083	. . . . . . 7 ⊢ 𝑁 ∈ ℝ
5		ttglemOLD.4	. . . . . . 7 ⊢ 𝑁 < ;16
6	4, 5	ltneii 11189	. . . . . 6 ⊢ 𝑁 ≠ ;16
7	1, 2	ndxarg 16994	. . . . . . 7 ⊢ (𝐸‘ndx) = 𝑁
8		itvndx 27087	. . . . . . 7 ⊢ (Itv‘ndx) = ;16
9	7, 8	neeq12i 3007	. . . . . 6 ⊢ ((𝐸‘ndx) ≠ (Itv‘ndx) ↔ 𝑁 ≠ ;16)
10	6, 9	mpbir 230	. . . . 5 ⊢ (𝐸‘ndx) ≠ (Itv‘ndx)
11	3, 10	setsnid 17007	. . . 4 ⊢ (𝐸‘𝐻) = (𝐸‘(𝐻 sSet ⟨(Itv‘ndx), (𝑥 ∈ (Base‘𝐻), 𝑦 ∈ (Base‘𝐻) ↦ {𝑧 ∈ (Base‘𝐻) ∣ ∃𝑘 ∈ (0[,]1)(𝑧(-g‘𝐻)𝑥) = (𝑘( ·𝑠 ‘𝐻)(𝑦(-g‘𝐻)𝑥))})⟩))
12		1nn0 12350	. . . . . . . . 9 ⊢ 1 ∈ ℕ0
13		6nn0 12355	. . . . . . . . 9 ⊢ 6 ∈ ℕ0
14		7nn 12166	. . . . . . . . 9 ⊢ 7 ∈ ℕ
15		6lt7 12260	. . . . . . . . 9 ⊢ 6 < 7
16	12, 13, 14, 15	declt 12566	. . . . . . . 8 ⊢ ;16 < ;17
17		6nn 12163	. . . . . . . . . . 11 ⊢ 6 ∈ ℕ
18	12, 17	decnncl 12558	. . . . . . . . . 10 ⊢ ;16 ∈ ℕ
19	18	nnrei 12083	. . . . . . . . 9 ⊢ ;16 ∈ ℝ
20	12, 14	decnncl 12558	. . . . . . . . . 10 ⊢ ;17 ∈ ℕ
21	20	nnrei 12083	. . . . . . . . 9 ⊢ ;17 ∈ ℝ
22	4, 19, 21	lttri 11202	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝑁 < ;16 ∧ ;16 < ;17) → 𝑁 < ;17)
23	5, 16, 22	mp2an 689	. . . . . . 7 ⊢ 𝑁 < ;17
24	4, 23	ltneii 11189	. . . . . 6 ⊢ 𝑁 ≠ ;17
25		lngndx 27088	. . . . . . 7 ⊢ (LineG‘ndx) = ;17
26	7, 25	neeq12i 3007	. . . . . 6 ⊢ ((𝐸‘ndx) ≠ (LineG‘ndx) ↔ 𝑁 ≠ ;17)
27	24, 26	mpbir 230	. . . . 5 ⊢ (𝐸‘ndx) ≠ (LineG‘ndx)
28	3, 27	setsnid 17007	. . . 4 ⊢ (𝐸‘(𝐻 sSet ⟨(Itv‘ndx), (𝑥 ∈ (Base‘𝐻), 𝑦 ∈ (Base‘𝐻) ↦ {𝑧 ∈ (Base‘𝐻) ∣ ∃𝑘 ∈ (0[,]1)(𝑧(-g‘𝐻)𝑥) = (𝑘( ·𝑠 ‘𝐻)(𝑦(-g‘𝐻)𝑥))})⟩)) = (𝐸‘((𝐻 sSet ⟨(Itv‘ndx), (𝑥 ∈ (Base‘𝐻), 𝑦 ∈ (Base‘𝐻) ↦ {𝑧 ∈ (Base‘𝐻) ∣ ∃𝑘 ∈ (0[,]1)(𝑧(-g‘𝐻)𝑥) = (𝑘( ·𝑠 ‘𝐻)(𝑦(-g‘𝐻)𝑥))})⟩) sSet ⟨(LineG‘ndx), (𝑥 ∈ (Base‘𝐻), 𝑦 ∈ (Base‘𝐻) ↦ {𝑧 ∈ (Base‘𝐻) ∣ (𝑧 ∈ (𝑥(Itv‘𝐺)𝑦) ∨ 𝑥 ∈ (𝑧(Itv‘𝐺)𝑦) ∨ 𝑦 ∈ (𝑥(Itv‘𝐺)𝑧))})⟩))
29	11, 28	eqtri 2764	. . 3 ⊢ (𝐸‘𝐻) = (𝐸‘((𝐻 sSet ⟨(Itv‘ndx), (𝑥 ∈ (Base‘𝐻), 𝑦 ∈ (Base‘𝐻) ↦ {𝑧 ∈ (Base‘𝐻) ∣ ∃𝑘 ∈ (0[,]1)(𝑧(-g‘𝐻)𝑥) = (𝑘( ·𝑠 ‘𝐻)(𝑦(-g‘𝐻)𝑥))})⟩) sSet ⟨(LineG‘ndx), (𝑥 ∈ (Base‘𝐻), 𝑦 ∈ (Base‘𝐻) ↦ {𝑧 ∈ (Base‘𝐻) ∣ (𝑧 ∈ (𝑥(Itv‘𝐺)𝑦) ∨ 𝑥 ∈ (𝑧(Itv‘𝐺)𝑦) ∨ 𝑦 ∈ (𝑥(Itv‘𝐺)𝑧))})⟩))
30		ttgval.n	. . . . . 6 ⊢ 𝐺 = (toTG‘𝐻)
31		eqid 2736	. . . . . 6 ⊢ (Base‘𝐻) = (Base‘𝐻)
32		eqid 2736	. . . . . 6 ⊢ (-g‘𝐻) = (-g‘𝐻)
33		eqid 2736	. . . . . 6 ⊢ ( ·𝑠 ‘𝐻) = ( ·𝑠 ‘𝐻)
34		eqid 2736	. . . . . 6 ⊢ (Itv‘𝐺) = (Itv‘𝐺)
35	30, 31, 32, 33, 34	ttgval 27525	. . . . 5 ⊢ (𝐻 ∈ V → (𝐺 = ((𝐻 sSet ⟨(Itv‘ndx), (𝑥 ∈ (Base‘𝐻), 𝑦 ∈ (Base‘𝐻) ↦ {𝑧 ∈ (Base‘𝐻) ∣ ∃𝑘 ∈ (0[,]1)(𝑧(-g‘𝐻)𝑥) = (𝑘( ·𝑠 ‘𝐻)(𝑦(-g‘𝐻)𝑥))})⟩) sSet ⟨(LineG‘ndx), (𝑥 ∈ (Base‘𝐻), 𝑦 ∈ (Base‘𝐻) ↦ {𝑧 ∈ (Base‘𝐻) ∣ (𝑧 ∈ (𝑥(Itv‘𝐺)𝑦) ∨ 𝑥 ∈ (𝑧(Itv‘𝐺)𝑦) ∨ 𝑦 ∈ (𝑥(Itv‘𝐺)𝑧))})⟩) ∧ (Itv‘𝐺) = (𝑥 ∈ (Base‘𝐻), 𝑦 ∈ (Base‘𝐻) ↦ {𝑧 ∈ (Base‘𝐻) ∣ ∃𝑘 ∈ (0[,]1)(𝑧(-g‘𝐻)𝑥) = (𝑘( ·𝑠 ‘𝐻)(𝑦(-g‘𝐻)𝑥))})))
36	35	simpld 495	. . . 4 ⊢ (𝐻 ∈ V → 𝐺 = ((𝐻 sSet ⟨(Itv‘ndx), (𝑥 ∈ (Base‘𝐻), 𝑦 ∈ (Base‘𝐻) ↦ {𝑧 ∈ (Base‘𝐻) ∣ ∃𝑘 ∈ (0[,]1)(𝑧(-g‘𝐻)𝑥) = (𝑘( ·𝑠 ‘𝐻)(𝑦(-g‘𝐻)𝑥))})⟩) sSet ⟨(LineG‘ndx), (𝑥 ∈ (Base‘𝐻), 𝑦 ∈ (Base‘𝐻) ↦ {𝑧 ∈ (Base‘𝐻) ∣ (𝑧 ∈ (𝑥(Itv‘𝐺)𝑦) ∨ 𝑥 ∈ (𝑧(Itv‘𝐺)𝑦) ∨ 𝑦 ∈ (𝑥(Itv‘𝐺)𝑧))})⟩))
37	36	fveq2d 6829	. . 3 ⊢ (𝐻 ∈ V → (𝐸‘𝐺) = (𝐸‘((𝐻 sSet ⟨(Itv‘ndx), (𝑥 ∈ (Base‘𝐻), 𝑦 ∈ (Base‘𝐻) ↦ {𝑧 ∈ (Base‘𝐻) ∣ ∃𝑘 ∈ (0[,]1)(𝑧(-g‘𝐻)𝑥) = (𝑘( ·𝑠 ‘𝐻)(𝑦(-g‘𝐻)𝑥))})⟩) sSet ⟨(LineG‘ndx), (𝑥 ∈ (Base‘𝐻), 𝑦 ∈ (Base‘𝐻) ↦ {𝑧 ∈ (Base‘𝐻) ∣ (𝑧 ∈ (𝑥(Itv‘𝐺)𝑦) ∨ 𝑥 ∈ (𝑧(Itv‘𝐺)𝑦) ∨ 𝑦 ∈ (𝑥(Itv‘𝐺)𝑧))})⟩)))
38	29, 37	eqtr4id 2795	. 2 ⊢ (𝐻 ∈ V → (𝐸‘𝐻) = (𝐸‘𝐺))
39	1	str0 16987	. . 3 ⊢ ∅ = (𝐸‘∅)
40		fvprc 6817	. . 3 ⊢ (¬ 𝐻 ∈ V → (𝐸‘𝐻) = ∅)
41		fvprc 6817	. . . . 5 ⊢ (¬ 𝐻 ∈ V → (toTG‘𝐻) = ∅)
42	30, 41	eqtrid 2788	. . . 4 ⊢ (¬ 𝐻 ∈ V → 𝐺 = ∅)
43	42	fveq2d 6829	. . 3 ⊢ (¬ 𝐻 ∈ V → (𝐸‘𝐺) = (𝐸‘∅))
44	39, 40, 43	3eqtr4a 2802	. 2 ⊢ (¬ 𝐻 ∈ V → (𝐸‘𝐻) = (𝐸‘𝐺))
45	38, 44	pm2.61i 182	1 ⊢ (𝐸‘𝐻) = (𝐸‘𝐺)

Syntax hints:  ¬ wn 3   ∨ w3o 1085   = wceq 1540   ∈ wcel 2105   ≠ wne 2940  ∃wrex 3070  {crab 3403  Vcvv 3441  ∅c0 4269  ⟨cop 4579   class class class wbr 5092  ‘cfv 6479  (class class class)co 7337   ∈ cmpo 7339  0cc0 10972  1c1 10973   < clt 11110  ℕcn 12074  6c6 12133  7c7 12134  ;cdc 12538  [,]cicc 13183   sSet csts 16961  Slot cslot 16979  ndxcnx 16991  Basecbs 17009   ·_𝑠 cvsca 17063  -_gcsg 18675  Itvcitv 27083  LineGclng 27084  toTGcttg 27523

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1796  ax-4 1810  ax-5 1912  ax-6 1970  ax-7 2010  ax-8 2107  ax-9 2115  ax-10 2136  ax-11 2153  ax-12 2170  ax-ext 2707  ax-rep 5229  ax-sep 5243  ax-nul 5250  ax-pow 5308  ax-pr 5372  ax-un 7650  ax-cnex 11028  ax-resscn 11029  ax-1cn 11030  ax-icn 11031  ax-addcl 11032  ax-addrcl 11033  ax-mulcl 11034  ax-mulrcl 11035  ax-mulcom 11036  ax-addass 11037  ax-mulass 11038  ax-distr 11039  ax-i2m1 11040  ax-1ne0 11041  ax-1rid 11042  ax-rnegex 11043  ax-rrecex 11044  ax-cnre 11045  ax-pre-lttri 11046  ax-pre-lttrn 11047  ax-pre-ltadd 11048  ax-pre-mulgt0 11049

This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 397  df-or 845  df-3or 1087  df-3an 1088  df-tru 1543  df-fal 1553  df-ex 1781  df-nf 1785  df-sb 2067  df-mo 2538  df-eu 2567  df-clab 2714  df-cleq 2728  df-clel 2814  df-nfc 2886  df-ne 2941  df-nel 3047  df-ral 3062  df-rex 3071  df-reu 3350  df-rab 3404  df-v 3443  df-sbc 3728  df-csb 3844  df-dif 3901  df-un 3903  df-in 3905  df-ss 3915  df-pss 3917  df-nul 4270  df-if 4474  df-pw 4549  df-sn 4574  df-pr 4576  df-op 4580  df-uni 4853  df-iun 4943  df-br 5093  df-opab 5155  df-mpt 5176  df-tr 5210  df-id 5518  df-eprel 5524  df-po 5532  df-so 5533  df-fr 5575  df-we 5577  df-xp 5626  df-rel 5627  df-cnv 5628  df-co 5629  df-dm 5630  df-rn 5631  df-res 5632  df-ima 5633  df-pred 6238  df-ord 6305  df-on 6306  df-lim 6307  df-suc 6308  df-iota 6431  df-fun 6481  df-fn 6482  df-f 6483  df-f1 6484  df-fo 6485  df-f1o 6486  df-fv 6487  df-riota 7293  df-ov 7340  df-oprab 7341  df-mpo 7342  df-om 7781  df-1st 7899  df-2nd 7900  df-frecs 8167  df-wrecs 8198  df-recs 8272  df-rdg 8311  df-er 8569  df-en 8805  df-dom 8806  df-sdom 8807  df-pnf 11112  df-mnf 11113  df-xr 11114  df-ltxr 11115  df-le 11116  df-sub 11308  df-neg 11309  df-nn 12075  df-2 12137  df-3 12138  df-4 12139  df-5 12140  df-6 12141  df-7 12142  df-8 12143  df-9 12144  df-n0 12335  df-dec 12539  df-sets 16962  df-slot 16980  df-ndx 16992  df-itv 27085  df-lng 27086  df-ttg 27524

This theorem is referenced by:  ttgbasOLD  27530  ttgplusgOLD  27532  ttgvscaOLD  27535  ttgdsOLD  27537