Theorem ttglemOLD 27820

Description: Obsolete version of ttglem 27819 as of 29-Oct-2024. Lemma for ttgbas 27821 and ttgvsca 27826. (Contributed by Thierry Arnoux, 15-Apr-2019.) (Proof modification is discouraged.) (New usage is discouraged.)

Hypotheses

Ref	Expression
ttgval.n	⊢ 𝐺 = (toTG‘𝐻)
ttglemOLD.2	⊢ 𝐸 = Slot 𝑁
ttglemOLD.3	⊢ 𝑁 ∈ ℕ
ttglemOLD.4	⊢ 𝑁 < ;16

Assertion

Ref	Expression
ttglemOLD	⊢ (𝐸‘𝐻) = (𝐸‘𝐺)

Proof of Theorem ttglemOLD

Dummy variables 𝑘 𝑥 𝑦 𝑧 are mutually distinct and distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		ttglemOLD.2	. . . . . 6 ⊢ 𝐸 = Slot 𝑁
2		ttglemOLD.3	. . . . . 6 ⊢ 𝑁 ∈ ℕ
3	1, 2	ndxid 17069	. . . . 5 ⊢ 𝐸 = Slot (𝐸‘ndx)
4	2	nnrei 12162	. . . . . . 7 ⊢ 𝑁 ∈ ℝ
5		ttglemOLD.4	. . . . . . 7 ⊢ 𝑁 < ;16
6	4, 5	ltneii 11268	. . . . . 6 ⊢ 𝑁 ≠ ;16
7	1, 2	ndxarg 17068	. . . . . . 7 ⊢ (𝐸‘ndx) = 𝑁
8		itvndx 27379	. . . . . . 7 ⊢ (Itv‘ndx) = ;16
9	7, 8	neeq12i 3010	. . . . . 6 ⊢ ((𝐸‘ndx) ≠ (Itv‘ndx) ↔ 𝑁 ≠ ;16)
10	6, 9	mpbir 230	. . . . 5 ⊢ (𝐸‘ndx) ≠ (Itv‘ndx)
11	3, 10	setsnid 17081	. . . 4 ⊢ (𝐸‘𝐻) = (𝐸‘(𝐻 sSet ⟨(Itv‘ndx), (𝑥 ∈ (Base‘𝐻), 𝑦 ∈ (Base‘𝐻) ↦ {𝑧 ∈ (Base‘𝐻) ∣ ∃𝑘 ∈ (0[,]1)(𝑧(-g‘𝐻)𝑥) = (𝑘( ·𝑠 ‘𝐻)(𝑦(-g‘𝐻)𝑥))})⟩))
12		1nn0 12429	. . . . . . . . 9 ⊢ 1 ∈ ℕ0
13		6nn0 12434	. . . . . . . . 9 ⊢ 6 ∈ ℕ0
14		7nn 12245	. . . . . . . . 9 ⊢ 7 ∈ ℕ
15		6lt7 12339	. . . . . . . . 9 ⊢ 6 < 7
16	12, 13, 14, 15	declt 12646	. . . . . . . 8 ⊢ ;16 < ;17
17		6nn 12242	. . . . . . . . . . 11 ⊢ 6 ∈ ℕ
18	12, 17	decnncl 12638	. . . . . . . . . 10 ⊢ ;16 ∈ ℕ
19	18	nnrei 12162	. . . . . . . . 9 ⊢ ;16 ∈ ℝ
20	12, 14	decnncl 12638	. . . . . . . . . 10 ⊢ ;17 ∈ ℕ
21	20	nnrei 12162	. . . . . . . . 9 ⊢ ;17 ∈ ℝ
22	4, 19, 21	lttri 11281	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝑁 < ;16 ∧ ;16 < ;17) → 𝑁 < ;17)
23	5, 16, 22	mp2an 690	. . . . . . 7 ⊢ 𝑁 < ;17
24	4, 23	ltneii 11268	. . . . . 6 ⊢ 𝑁 ≠ ;17
25		lngndx 27380	. . . . . . 7 ⊢ (LineG‘ndx) = ;17
26	7, 25	neeq12i 3010	. . . . . 6 ⊢ ((𝐸‘ndx) ≠ (LineG‘ndx) ↔ 𝑁 ≠ ;17)
27	24, 26	mpbir 230	. . . . 5 ⊢ (𝐸‘ndx) ≠ (LineG‘ndx)
28	3, 27	setsnid 17081	. . . 4 ⊢ (𝐸‘(𝐻 sSet ⟨(Itv‘ndx), (𝑥 ∈ (Base‘𝐻), 𝑦 ∈ (Base‘𝐻) ↦ {𝑧 ∈ (Base‘𝐻) ∣ ∃𝑘 ∈ (0[,]1)(𝑧(-g‘𝐻)𝑥) = (𝑘( ·𝑠 ‘𝐻)(𝑦(-g‘𝐻)𝑥))})⟩)) = (𝐸‘((𝐻 sSet ⟨(Itv‘ndx), (𝑥 ∈ (Base‘𝐻), 𝑦 ∈ (Base‘𝐻) ↦ {𝑧 ∈ (Base‘𝐻) ∣ ∃𝑘 ∈ (0[,]1)(𝑧(-g‘𝐻)𝑥) = (𝑘( ·𝑠 ‘𝐻)(𝑦(-g‘𝐻)𝑥))})⟩) sSet ⟨(LineG‘ndx), (𝑥 ∈ (Base‘𝐻), 𝑦 ∈ (Base‘𝐻) ↦ {𝑧 ∈ (Base‘𝐻) ∣ (𝑧 ∈ (𝑥(Itv‘𝐺)𝑦) ∨ 𝑥 ∈ (𝑧(Itv‘𝐺)𝑦) ∨ 𝑦 ∈ (𝑥(Itv‘𝐺)𝑧))})⟩))
29	11, 28	eqtri 2764	. . 3 ⊢ (𝐸‘𝐻) = (𝐸‘((𝐻 sSet ⟨(Itv‘ndx), (𝑥 ∈ (Base‘𝐻), 𝑦 ∈ (Base‘𝐻) ↦ {𝑧 ∈ (Base‘𝐻) ∣ ∃𝑘 ∈ (0[,]1)(𝑧(-g‘𝐻)𝑥) = (𝑘( ·𝑠 ‘𝐻)(𝑦(-g‘𝐻)𝑥))})⟩) sSet ⟨(LineG‘ndx), (𝑥 ∈ (Base‘𝐻), 𝑦 ∈ (Base‘𝐻) ↦ {𝑧 ∈ (Base‘𝐻) ∣ (𝑧 ∈ (𝑥(Itv‘𝐺)𝑦) ∨ 𝑥 ∈ (𝑧(Itv‘𝐺)𝑦) ∨ 𝑦 ∈ (𝑥(Itv‘𝐺)𝑧))})⟩))
30		ttgval.n	. . . . . 6 ⊢ 𝐺 = (toTG‘𝐻)
31		eqid 2736	. . . . . 6 ⊢ (Base‘𝐻) = (Base‘𝐻)
32		eqid 2736	. . . . . 6 ⊢ (-g‘𝐻) = (-g‘𝐻)
33		eqid 2736	. . . . . 6 ⊢ ( ·𝑠 ‘𝐻) = ( ·𝑠 ‘𝐻)
34		eqid 2736	. . . . . 6 ⊢ (Itv‘𝐺) = (Itv‘𝐺)
35	30, 31, 32, 33, 34	ttgval 27817	. . . . 5 ⊢ (𝐻 ∈ V → (𝐺 = ((𝐻 sSet ⟨(Itv‘ndx), (𝑥 ∈ (Base‘𝐻), 𝑦 ∈ (Base‘𝐻) ↦ {𝑧 ∈ (Base‘𝐻) ∣ ∃𝑘 ∈ (0[,]1)(𝑧(-g‘𝐻)𝑥) = (𝑘( ·𝑠 ‘𝐻)(𝑦(-g‘𝐻)𝑥))})⟩) sSet ⟨(LineG‘ndx), (𝑥 ∈ (Base‘𝐻), 𝑦 ∈ (Base‘𝐻) ↦ {𝑧 ∈ (Base‘𝐻) ∣ (𝑧 ∈ (𝑥(Itv‘𝐺)𝑦) ∨ 𝑥 ∈ (𝑧(Itv‘𝐺)𝑦) ∨ 𝑦 ∈ (𝑥(Itv‘𝐺)𝑧))})⟩) ∧ (Itv‘𝐺) = (𝑥 ∈ (Base‘𝐻), 𝑦 ∈ (Base‘𝐻) ↦ {𝑧 ∈ (Base‘𝐻) ∣ ∃𝑘 ∈ (0[,]1)(𝑧(-g‘𝐻)𝑥) = (𝑘( ·𝑠 ‘𝐻)(𝑦(-g‘𝐻)𝑥))})))
36	35	simpld 495	. . . 4 ⊢ (𝐻 ∈ V → 𝐺 = ((𝐻 sSet ⟨(Itv‘ndx), (𝑥 ∈ (Base‘𝐻), 𝑦 ∈ (Base‘𝐻) ↦ {𝑧 ∈ (Base‘𝐻) ∣ ∃𝑘 ∈ (0[,]1)(𝑧(-g‘𝐻)𝑥) = (𝑘( ·𝑠 ‘𝐻)(𝑦(-g‘𝐻)𝑥))})⟩) sSet ⟨(LineG‘ndx), (𝑥 ∈ (Base‘𝐻), 𝑦 ∈ (Base‘𝐻) ↦ {𝑧 ∈ (Base‘𝐻) ∣ (𝑧 ∈ (𝑥(Itv‘𝐺)𝑦) ∨ 𝑥 ∈ (𝑧(Itv‘𝐺)𝑦) ∨ 𝑦 ∈ (𝑥(Itv‘𝐺)𝑧))})⟩))
37	36	fveq2d 6846	. . 3 ⊢ (𝐻 ∈ V → (𝐸‘𝐺) = (𝐸‘((𝐻 sSet ⟨(Itv‘ndx), (𝑥 ∈ (Base‘𝐻), 𝑦 ∈ (Base‘𝐻) ↦ {𝑧 ∈ (Base‘𝐻) ∣ ∃𝑘 ∈ (0[,]1)(𝑧(-g‘𝐻)𝑥) = (𝑘( ·𝑠 ‘𝐻)(𝑦(-g‘𝐻)𝑥))})⟩) sSet ⟨(LineG‘ndx), (𝑥 ∈ (Base‘𝐻), 𝑦 ∈ (Base‘𝐻) ↦ {𝑧 ∈ (Base‘𝐻) ∣ (𝑧 ∈ (𝑥(Itv‘𝐺)𝑦) ∨ 𝑥 ∈ (𝑧(Itv‘𝐺)𝑦) ∨ 𝑦 ∈ (𝑥(Itv‘𝐺)𝑧))})⟩)))
38	29, 37	eqtr4id 2795	. 2 ⊢ (𝐻 ∈ V → (𝐸‘𝐻) = (𝐸‘𝐺))
39	1	str0 17061	. . 3 ⊢ ∅ = (𝐸‘∅)
40		fvprc 6834	. . 3 ⊢ (¬ 𝐻 ∈ V → (𝐸‘𝐻) = ∅)
41		fvprc 6834	. . . . 5 ⊢ (¬ 𝐻 ∈ V → (toTG‘𝐻) = ∅)
42	30, 41	eqtrid 2788	. . . 4 ⊢ (¬ 𝐻 ∈ V → 𝐺 = ∅)
43	42	fveq2d 6846	. . 3 ⊢ (¬ 𝐻 ∈ V → (𝐸‘𝐺) = (𝐸‘∅))
44	39, 40, 43	3eqtr4a 2802	. 2 ⊢ (¬ 𝐻 ∈ V → (𝐸‘𝐻) = (𝐸‘𝐺))
45	38, 44	pm2.61i 182	1 ⊢ (𝐸‘𝐻) = (𝐸‘𝐺)

Syntax hints:  ¬ wn 3   ∨ w3o 1086   = wceq 1541   ∈ wcel 2106   ≠ wne 2943  ∃wrex 3073  {crab 3407  Vcvv 3445  ∅c0 4282  ⟨cop 4592   class class class wbr 5105  ‘cfv 6496  (class class class)co 7357   ∈ cmpo 7359  0cc0 11051  1c1 11052   < clt 11189  ℕcn 12153  6c6 12212  7c7 12213  ;cdc 12618  [,]cicc 13267   sSet csts 17035  Slot cslot 17053  ndxcnx 17065  Basecbs 17083   ·_𝑠 cvsca 17137  -_gcsg 18750  Itvcitv 27375  LineGclng 27376  toTGcttg 27815

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1797  ax-4 1811  ax-5 1913  ax-6 1971  ax-7 2011  ax-8 2108  ax-9 2116  ax-10 2137  ax-11 2154  ax-12 2171  ax-ext 2707  ax-rep 5242  ax-sep 5256  ax-nul 5263  ax-pow 5320  ax-pr 5384  ax-un 7672  ax-cnex 11107  ax-resscn 11108  ax-1cn 11109  ax-icn 11110  ax-addcl 11111  ax-addrcl 11112  ax-mulcl 11113  ax-mulrcl 11114  ax-mulcom 11115  ax-addass 11116  ax-mulass 11117  ax-distr 11118  ax-i2m1 11119  ax-1ne0 11120  ax-1rid 11121  ax-rnegex 11122  ax-rrecex 11123  ax-cnre 11124  ax-pre-lttri 11125  ax-pre-lttrn 11126  ax-pre-ltadd 11127  ax-pre-mulgt0 11128

This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 397  df-or 846  df-3or 1088  df-3an 1089  df-tru 1544  df-fal 1554  df-ex 1782  df-nf 1786  df-sb 2068  df-mo 2538  df-eu 2567  df-clab 2714  df-cleq 2728  df-clel 2814  df-nfc 2889  df-ne 2944  df-nel 3050  df-ral 3065  df-rex 3074  df-reu 3354  df-rab 3408  df-v 3447  df-sbc 3740  df-csb 3856  df-dif 3913  df-un 3915  df-in 3917  df-ss 3927  df-pss 3929  df-nul 4283  df-if 4487  df-pw 4562  df-sn 4587  df-pr 4589  df-op 4593  df-uni 4866  df-iun 4956  df-br 5106  df-opab 5168  df-mpt 5189  df-tr 5223  df-id 5531  df-eprel 5537  df-po 5545  df-so 5546  df-fr 5588  df-we 5590  df-xp 5639  df-rel 5640  df-cnv 5641  df-co 5642  df-dm 5643  df-rn 5644  df-res 5645  df-ima 5646  df-pred 6253  df-ord 6320  df-on 6321  df-lim 6322  df-suc 6323  df-iota 6448  df-fun 6498  df-fn 6499  df-f 6500  df-f1 6501  df-fo 6502  df-f1o 6503  df-fv 6504  df-riota 7313  df-ov 7360  df-oprab 7361  df-mpo 7362  df-om 7803  df-1st 7921  df-2nd 7922  df-frecs 8212  df-wrecs 8243  df-recs 8317  df-rdg 8356  df-er 8648  df-en 8884  df-dom 8885  df-sdom 8886  df-pnf 11191  df-mnf 11192  df-xr 11193  df-ltxr 11194  df-le 11195  df-sub 11387  df-neg 11388  df-nn 12154  df-2 12216  df-3 12217  df-4 12218  df-5 12219  df-6 12220  df-7 12221  df-8 12222  df-9 12223  df-n0 12414  df-dec 12619  df-sets 17036  df-slot 17054  df-ndx 17066  df-itv 27377  df-lng 27378  df-ttg 27816

This theorem is referenced by:  ttgbasOLD  27822  ttgplusgOLD  27824  ttgvscaOLD  27827  ttgdsOLD  27829