Theorem cchhllemOLD 27133

Description: Obsolete version of cchhllem 27132 as of 29-Oct-2024. Lemma for chlbas and chlvsca . (Contributed by Thierry Arnoux, 15-Apr-2019.) (Proof modification is discouraged.) (New usage is discouraged.)

Hypotheses

Ref	Expression
cchhl.c	⊢ 𝐶 = (((subringAlg ‘ℂfld)‘ℝ) sSet ⟨(·𝑖‘ndx), (𝑥 ∈ ℂ, 𝑦 ∈ ℂ ↦ (𝑥 · (∗‘𝑦)))⟩)
cchhllemOLD.2	⊢ 𝐸 = Slot 𝑁
cchhllemOLD.3	⊢ 𝑁 ∈ ℕ
cchhllemOLD.4	⊢ (𝑁 < 5 ∨ 8 < 𝑁)

Assertion

Ref	Expression
cchhllemOLD	⊢ (𝐸‘ℂfld) = (𝐸‘𝐶)

Distinct variable group:   𝑥,𝑦

Allowed substitution hints:   𝐶(𝑥,𝑦)   𝐸(𝑥,𝑦)   𝑁(𝑥,𝑦)

Proof of Theorem cchhllemOLD

Step	Hyp	Ref	Expression
1		cchhllemOLD.2	. . . 4 ⊢ 𝐸 = Slot 𝑁
2		cchhllemOLD.3	. . . 4 ⊢ 𝑁 ∈ ℕ
3	1, 2	ndxid 16801	. . 3 ⊢ 𝐸 = Slot (𝐸‘ndx)
4		cchhllemOLD.4	. . . . 5 ⊢ (𝑁 < 5 ∨ 8 < 𝑁)
5		5lt8 12072	. . . . . . . . 9 ⊢ 5 < 8
6	2	nnrei 11887	. . . . . . . . . 10 ⊢ 𝑁 ∈ ℝ
7		5re 11965	. . . . . . . . . 10 ⊢ 5 ∈ ℝ
8		8re 11974	. . . . . . . . . 10 ⊢ 8 ∈ ℝ
9	6, 7, 8	lttri 11006	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝑁 < 5 ∧ 5 < 8) → 𝑁 < 8)
10	5, 9	mpan2 691	. . . . . . . 8 ⊢ (𝑁 < 5 → 𝑁 < 8)
11	6, 8	ltnei 11004	. . . . . . . 8 ⊢ (𝑁 < 8 → 8 ≠ 𝑁)
12	10, 11	syl 17	. . . . . . 7 ⊢ (𝑁 < 5 → 8 ≠ 𝑁)
13	12	necomd 2999	. . . . . 6 ⊢ (𝑁 < 5 → 𝑁 ≠ 8)
14	8, 6	ltnei 11004	. . . . . 6 ⊢ (8 < 𝑁 → 𝑁 ≠ 8)
15	13, 14	jaoi 857	. . . . 5 ⊢ ((𝑁 < 5 ∨ 8 < 𝑁) → 𝑁 ≠ 8)
16	4, 15	ax-mp 5	. . . 4 ⊢ 𝑁 ≠ 8
17	1, 2	ndxarg 16800	. . . . 5 ⊢ (𝐸‘ndx) = 𝑁
18		ipndx 16941	. . . . 5 ⊢ (·𝑖‘ndx) = 8
19	17, 18	neeq12i 3010	. . . 4 ⊢ ((𝐸‘ndx) ≠ (·𝑖‘ndx) ↔ 𝑁 ≠ 8)
20	16, 19	mpbir 234	. . 3 ⊢ (𝐸‘ndx) ≠ (·𝑖‘ndx)
21	3, 20	setsnid 16813	. 2 ⊢ (𝐸‘((subringAlg ‘ℂfld)‘ℝ)) = (𝐸‘(((subringAlg ‘ℂfld)‘ℝ) sSet ⟨(·𝑖‘ndx), (𝑥 ∈ ℂ, 𝑦 ∈ ℂ ↦ (𝑥 · (∗‘𝑦)))⟩))
22		eqidd 2740	. . . 4 ⊢ (⊤ → ((subringAlg ‘ℂfld)‘ℝ) = ((subringAlg ‘ℂfld)‘ℝ))
23		ax-resscn 10834	. . . . . 6 ⊢ ℝ ⊆ ℂ
24		cnfldbas 20489	. . . . . 6 ⊢ ℂ = (Base‘ℂfld)
25	23, 24	sseqtri 3954	. . . . 5 ⊢ ℝ ⊆ (Base‘ℂfld)
26	25	a1i 11	. . . 4 ⊢ (⊤ → ℝ ⊆ (Base‘ℂfld))
27	22, 26, 1, 2, 4	sralemOLD 20330	. . 3 ⊢ (⊤ → (𝐸‘ℂfld) = (𝐸‘((subringAlg ‘ℂfld)‘ℝ)))
28	27	mptru 1550	. 2 ⊢ (𝐸‘ℂfld) = (𝐸‘((subringAlg ‘ℂfld)‘ℝ))
29		cchhl.c	. . 3 ⊢ 𝐶 = (((subringAlg ‘ℂfld)‘ℝ) sSet ⟨(·𝑖‘ndx), (𝑥 ∈ ℂ, 𝑦 ∈ ℂ ↦ (𝑥 · (∗‘𝑦)))⟩)
30	29	fveq2i 6756	. 2 ⊢ (𝐸‘𝐶) = (𝐸‘(((subringAlg ‘ℂfld)‘ℝ) sSet ⟨(·𝑖‘ndx), (𝑥 ∈ ℂ, 𝑦 ∈ ℂ ↦ (𝑥 · (∗‘𝑦)))⟩))
31	21, 28, 30	3eqtr4i 2777	1 ⊢ (𝐸‘ℂfld) = (𝐸‘𝐶)

Syntax hints:   ∨ wo 847   = wceq 1543  ⊤wtru 1544   ∈ wcel 2112   ≠ wne 2943   ⊆ wss 3884  ⟨cop 4564   class class class wbr 5070  ‘cfv 6415  (class class class)co 7252   ∈ cmpo 7254  ℂcc 10775  ℝcr 10776   · cmul 10782   < clt 10915  ℕcn 11878  5c5 11936  8c8 11939  ∗ccj 14710   sSet csts 16767  Slot cslot 16785  ndxcnx 16797  Basecbs 16815  ·_𝑖cip 16868  subringAlg csra 20320  ℂ_fldccnfld 20485

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1803  ax-4 1817  ax-5 1918  ax-6 1976  ax-7 2016  ax-8 2114  ax-9 2122  ax-10 2143  ax-11 2160  ax-12 2177  ax-ext 2710  ax-rep 5203  ax-sep 5216  ax-nul 5223  ax-pow 5282  ax-pr 5346  ax-un 7563  ax-cnex 10833  ax-resscn 10834  ax-1cn 10835  ax-icn 10836  ax-addcl 10837  ax-addrcl 10838  ax-mulcl 10839  ax-mulrcl 10840  ax-mulcom 10841  ax-addass 10842  ax-mulass 10843  ax-distr 10844  ax-i2m1 10845  ax-1ne0 10846  ax-1rid 10847  ax-rnegex 10848  ax-rrecex 10849  ax-cnre 10850  ax-pre-lttri 10851  ax-pre-lttrn 10852  ax-pre-ltadd 10853  ax-pre-mulgt0 10854

This theorem depends on definitions:  df-bi 210  df-an 400  df-or 848  df-3or 1090  df-3an 1091  df-tru 1546  df-fal 1556  df-ex 1788  df-nf 1792  df-sb 2073  df-mo 2541  df-eu 2570  df-clab 2717  df-cleq 2731  df-clel 2818  df-nfc 2889  df-ne 2944  df-nel 3050  df-ral 3069  df-rex 3070  df-reu 3071  df-rab 3073  df-v 3425  df-sbc 3713  df-csb 3830  df-dif 3887  df-un 3889  df-in 3891  df-ss 3901  df-pss 3903  df-nul 4255  df-if 4457  df-pw 4532  df-sn 4559  df-pr 4561  df-tp 4563  df-op 4565  df-uni 4837  df-iun 4923  df-br 5071  df-opab 5133  df-mpt 5153  df-tr 5186  df-id 5479  df-eprel 5485  df-po 5493  df-so 5494  df-fr 5534  df-we 5536  df-xp 5585  df-rel 5586  df-cnv 5587  df-co 5588  df-dm 5589  df-rn 5590  df-res 5591  df-ima 5592  df-pred 6189  df-ord 6251  df-on 6252  df-lim 6253  df-suc 6254  df-iota 6373  df-fun 6417  df-fn 6418  df-f 6419  df-f1 6420  df-fo 6421  df-f1o 6422  df-fv 6423  df-riota 7209  df-ov 7255  df-oprab 7256  df-mpo 7257  df-om 7685  df-1st 7801  df-2nd 7802  df-wrecs 8089  df-recs 8150  df-rdg 8188  df-1o 8244  df-er 8433  df-en 8669  df-dom 8670  df-sdom 8671  df-fin 8672  df-pnf 10917  df-mnf 10918  df-xr 10919  df-ltxr 10920  df-le 10921  df-sub 11112  df-neg 11113  df-nn 11879  df-2 11941  df-3 11942  df-4 11943  df-5 11944  df-6 11945  df-7 11946  df-8 11947  df-9 11948  df-n0 12139  df-z 12225  df-dec 12342  df-uz 12487  df-fz 13144  df-struct 16751  df-sets 16768  df-slot 16786  df-ndx 16798  df-base 16816  df-plusg 16876  df-mulr 16877  df-starv 16878  df-sca 16879  df-vsca 16880  df-ip 16881  df-tset 16882  df-ple 16883  df-ds 16885  df-unif 16886  df-sra 20324  df-cnfld 20486

This theorem is referenced by: (None)