Theorem cchhllemOLD 28920

Description: Obsolete version of cchhllem 28919 as of 29-Oct-2024. Lemma for chlbas and chlvsca . (Contributed by Thierry Arnoux, 15-Apr-2019.) (Proof modification is discouraged.) (New usage is discouraged.)

Hypotheses

Ref	Expression
cchhl.c	⊢ 𝐶 = (((subringAlg ‘ℂfld)‘ℝ) sSet ⟨(·𝑖‘ndx), (𝑥 ∈ ℂ, 𝑦 ∈ ℂ ↦ (𝑥 · (∗‘𝑦)))⟩)
cchhllemOLD.2	⊢ 𝐸 = Slot 𝑁
cchhllemOLD.3	⊢ 𝑁 ∈ ℕ
cchhllemOLD.4	⊢ (𝑁 < 5 ∨ 8 < 𝑁)

Assertion

Ref	Expression
cchhllemOLD	⊢ (𝐸‘ℂfld) = (𝐸‘𝐶)

Distinct variable group:   𝑥,𝑦

Allowed substitution hints:   𝐶(𝑥,𝑦)   𝐸(𝑥,𝑦)   𝑁(𝑥,𝑦)

Proof of Theorem cchhllemOLD

Step	Hyp	Ref	Expression
1		cchhllemOLD.2	. . . 4 ⊢ 𝐸 = Slot 𝑁
2		cchhllemOLD.3	. . . 4 ⊢ 𝑁 ∈ ℕ
3	1, 2	ndxid 17244	. . 3 ⊢ 𝐸 = Slot (𝐸‘ndx)
4		cchhllemOLD.4	. . . . 5 ⊢ (𝑁 < 5 ∨ 8 < 𝑁)
5		5lt8 12487	. . . . . . . . 9 ⊢ 5 < 8
6	2	nnrei 12302	. . . . . . . . . 10 ⊢ 𝑁 ∈ ℝ
7		5re 12380	. . . . . . . . . 10 ⊢ 5 ∈ ℝ
8		8re 12389	. . . . . . . . . 10 ⊢ 8 ∈ ℝ
9	6, 7, 8	lttri 11416	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝑁 < 5 ∧ 5 < 8) → 𝑁 < 8)
10	5, 9	mpan2 690	. . . . . . . 8 ⊢ (𝑁 < 5 → 𝑁 < 8)
11	6, 8	ltnei 11414	. . . . . . . 8 ⊢ (𝑁 < 8 → 8 ≠ 𝑁)
12	10, 11	syl 17	. . . . . . 7 ⊢ (𝑁 < 5 → 8 ≠ 𝑁)
13	12	necomd 3002	. . . . . 6 ⊢ (𝑁 < 5 → 𝑁 ≠ 8)
14	8, 6	ltnei 11414	. . . . . 6 ⊢ (8 < 𝑁 → 𝑁 ≠ 8)
15	13, 14	jaoi 856	. . . . 5 ⊢ ((𝑁 < 5 ∨ 8 < 𝑁) → 𝑁 ≠ 8)
16	4, 15	ax-mp 5	. . . 4 ⊢ 𝑁 ≠ 8
17	1, 2	ndxarg 17243	. . . . 5 ⊢ (𝐸‘ndx) = 𝑁
18		ipndx 17389	. . . . 5 ⊢ (·𝑖‘ndx) = 8
19	17, 18	neeq12i 3013	. . . 4 ⊢ ((𝐸‘ndx) ≠ (·𝑖‘ndx) ↔ 𝑁 ≠ 8)
20	16, 19	mpbir 231	. . 3 ⊢ (𝐸‘ndx) ≠ (·𝑖‘ndx)
21	3, 20	setsnid 17256	. 2 ⊢ (𝐸‘((subringAlg ‘ℂfld)‘ℝ)) = (𝐸‘(((subringAlg ‘ℂfld)‘ℝ) sSet ⟨(·𝑖‘ndx), (𝑥 ∈ ℂ, 𝑦 ∈ ℂ ↦ (𝑥 · (∗‘𝑦)))⟩))
22		eqidd 2741	. . . 4 ⊢ (⊤ → ((subringAlg ‘ℂfld)‘ℝ) = ((subringAlg ‘ℂfld)‘ℝ))
23		ax-resscn 11241	. . . . . 6 ⊢ ℝ ⊆ ℂ
24		cnfldbas 21391	. . . . . 6 ⊢ ℂ = (Base‘ℂfld)
25	23, 24	sseqtri 4045	. . . . 5 ⊢ ℝ ⊆ (Base‘ℂfld)
26	25	a1i 11	. . . 4 ⊢ (⊤ → ℝ ⊆ (Base‘ℂfld))
27	22, 26, 1, 2, 4	sralemOLD 21199	. . 3 ⊢ (⊤ → (𝐸‘ℂfld) = (𝐸‘((subringAlg ‘ℂfld)‘ℝ)))
28	27	mptru 1544	. 2 ⊢ (𝐸‘ℂfld) = (𝐸‘((subringAlg ‘ℂfld)‘ℝ))
29		cchhl.c	. . 3 ⊢ 𝐶 = (((subringAlg ‘ℂfld)‘ℝ) sSet ⟨(·𝑖‘ndx), (𝑥 ∈ ℂ, 𝑦 ∈ ℂ ↦ (𝑥 · (∗‘𝑦)))⟩)
30	29	fveq2i 6923	. 2 ⊢ (𝐸‘𝐶) = (𝐸‘(((subringAlg ‘ℂfld)‘ℝ) sSet ⟨(·𝑖‘ndx), (𝑥 ∈ ℂ, 𝑦 ∈ ℂ ↦ (𝑥 · (∗‘𝑦)))⟩))
31	21, 28, 30	3eqtr4i 2778	1 ⊢ (𝐸‘ℂfld) = (𝐸‘𝐶)

Syntax hints:   ∨ wo 846   = wceq 1537  ⊤wtru 1538   ∈ wcel 2108   ≠ wne 2946   ⊆ wss 3976  ⟨cop 4654   class class class wbr 5166  ‘cfv 6573  (class class class)co 7448   ∈ cmpo 7450  ℂcc 11182  ℝcr 11183   · cmul 11189   < clt 11324  ℕcn 12293  5c5 12351  8c8 12354  ∗ccj 15145   sSet csts 17210  Slot cslot 17228  ndxcnx 17240  Basecbs 17258  ·_𝑖cip 17316  subringAlg csra 21193  ℂ_fldccnfld 21387

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1793  ax-4 1807  ax-5 1909  ax-6 1967  ax-7 2007  ax-8 2110  ax-9 2118  ax-10 2141  ax-11 2158  ax-12 2178  ax-ext 2711  ax-rep 5303  ax-sep 5317  ax-nul 5324  ax-pow 5383  ax-pr 5447  ax-un 7770  ax-cnex 11240  ax-resscn 11241  ax-1cn 11242  ax-icn 11243  ax-addcl 11244  ax-addrcl 11245  ax-mulcl 11246  ax-mulrcl 11247  ax-mulcom 11248  ax-addass 11249  ax-mulass 11250  ax-distr 11251  ax-i2m1 11252  ax-1ne0 11253  ax-1rid 11254  ax-rnegex 11255  ax-rrecex 11256  ax-cnre 11257  ax-pre-lttri 11258  ax-pre-lttrn 11259  ax-pre-ltadd 11260  ax-pre-mulgt0 11261

This theorem depends on definitions:  df-bi 207  df-an 396  df-or 847  df-3or 1088  df-3an 1089  df-tru 1540  df-fal 1550  df-ex 1778  df-nf 1782  df-sb 2065  df-mo 2543  df-eu 2572  df-clab 2718  df-cleq 2732  df-clel 2819  df-nfc 2895  df-ne 2947  df-nel 3053  df-ral 3068  df-rex 3077  df-reu 3389  df-rab 3444  df-v 3490  df-sbc 3805  df-csb 3922  df-dif 3979  df-un 3981  df-in 3983  df-ss 3993  df-pss 3996  df-nul 4353  df-if 4549  df-pw 4624  df-sn 4649  df-pr 4651  df-tp 4653  df-op 4655  df-uni 4932  df-iun 5017  df-br 5167  df-opab 5229  df-mpt 5250  df-tr 5284  df-id 5593  df-eprel 5599  df-po 5607  df-so 5608  df-fr 5652  df-we 5654  df-xp 5706  df-rel 5707  df-cnv 5708  df-co 5709  df-dm 5710  df-rn 5711  df-res 5712  df-ima 5713  df-pred 6332  df-ord 6398  df-on 6399  df-lim 6400  df-suc 6401  df-iota 6525  df-fun 6575  df-fn 6576  df-f 6577  df-f1 6578  df-fo 6579  df-f1o 6580  df-fv 6581  df-riota 7404  df-ov 7451  df-oprab 7452  df-mpo 7453  df-om 7904  df-1st 8030  df-2nd 8031  df-frecs 8322  df-wrecs 8353  df-recs 8427  df-rdg 8466  df-1o 8522  df-er 8763  df-en 9004  df-dom 9005  df-sdom 9006  df-fin 9007  df-pnf 11326  df-mnf 11327  df-xr 11328  df-ltxr 11329  df-le 11330  df-sub 11522  df-neg 11523  df-nn 12294  df-2 12356  df-3 12357  df-4 12358  df-5 12359  df-6 12360  df-7 12361  df-8 12362  df-9 12363  df-n0 12554  df-z 12640  df-dec 12759  df-uz 12904  df-fz 13568  df-struct 17194  df-sets 17211  df-slot 17229  df-ndx 17241  df-base 17259  df-plusg 17324  df-mulr 17325  df-starv 17326  df-sca 17327  df-vsca 17328  df-ip 17329  df-tset 17330  df-ple 17331  df-ds 17333  df-unif 17334  df-sra 21195  df-cnfld 21388

This theorem is referenced by: (None)