Theorem cchhllemOLD 28902

Description: Obsolete version of cchhllem 28901 as of 29-Oct-2024. Lemma for chlbas and chlvsca . (Contributed by Thierry Arnoux, 15-Apr-2019.) (Proof modification is discouraged.) (New usage is discouraged.)

Hypotheses

Ref	Expression
cchhl.c	⊢ 𝐶 = (((subringAlg ‘ℂfld)‘ℝ) sSet ⟨(·𝑖‘ndx), (𝑥 ∈ ℂ, 𝑦 ∈ ℂ ↦ (𝑥 · (∗‘𝑦)))⟩)
cchhllemOLD.2	⊢ 𝐸 = Slot 𝑁
cchhllemOLD.3	⊢ 𝑁 ∈ ℕ
cchhllemOLD.4	⊢ (𝑁 < 5 ∨ 8 < 𝑁)

Assertion

Ref	Expression
cchhllemOLD	⊢ (𝐸‘ℂfld) = (𝐸‘𝐶)

Distinct variable group:   𝑥,𝑦

Allowed substitution hints:   𝐶(𝑥,𝑦)   𝐸(𝑥,𝑦)   𝑁(𝑥,𝑦)

Proof of Theorem cchhllemOLD

Step	Hyp	Ref	Expression
1		cchhllemOLD.2	. . . 4 ⊢ 𝐸 = Slot 𝑁
2		cchhllemOLD.3	. . . 4 ⊢ 𝑁 ∈ ℕ
3	1, 2	ndxid 17234	. . 3 ⊢ 𝐸 = Slot (𝐸‘ndx)
4		cchhllemOLD.4	. . . . 5 ⊢ (𝑁 < 5 ∨ 8 < 𝑁)
5		5lt8 12460	. . . . . . . . 9 ⊢ 5 < 8
6	2	nnrei 12275	. . . . . . . . . 10 ⊢ 𝑁 ∈ ℝ
7		5re 12353	. . . . . . . . . 10 ⊢ 5 ∈ ℝ
8		8re 12362	. . . . . . . . . 10 ⊢ 8 ∈ ℝ
9	6, 7, 8	lttri 11387	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝑁 < 5 ∧ 5 < 8) → 𝑁 < 8)
10	5, 9	mpan2 691	. . . . . . . 8 ⊢ (𝑁 < 5 → 𝑁 < 8)
11	6, 8	ltnei 11385	. . . . . . . 8 ⊢ (𝑁 < 8 → 8 ≠ 𝑁)
12	10, 11	syl 17	. . . . . . 7 ⊢ (𝑁 < 5 → 8 ≠ 𝑁)
13	12	necomd 2996	. . . . . 6 ⊢ (𝑁 < 5 → 𝑁 ≠ 8)
14	8, 6	ltnei 11385	. . . . . 6 ⊢ (8 < 𝑁 → 𝑁 ≠ 8)
15	13, 14	jaoi 858	. . . . 5 ⊢ ((𝑁 < 5 ∨ 8 < 𝑁) → 𝑁 ≠ 8)
16	4, 15	ax-mp 5	. . . 4 ⊢ 𝑁 ≠ 8
17	1, 2	ndxarg 17233	. . . . 5 ⊢ (𝐸‘ndx) = 𝑁
18		ipndx 17374	. . . . 5 ⊢ (·𝑖‘ndx) = 8
19	17, 18	neeq12i 3007	. . . 4 ⊢ ((𝐸‘ndx) ≠ (·𝑖‘ndx) ↔ 𝑁 ≠ 8)
20	16, 19	mpbir 231	. . 3 ⊢ (𝐸‘ndx) ≠ (·𝑖‘ndx)
21	3, 20	setsnid 17245	. 2 ⊢ (𝐸‘((subringAlg ‘ℂfld)‘ℝ)) = (𝐸‘(((subringAlg ‘ℂfld)‘ℝ) sSet ⟨(·𝑖‘ndx), (𝑥 ∈ ℂ, 𝑦 ∈ ℂ ↦ (𝑥 · (∗‘𝑦)))⟩))
22		eqidd 2738	. . . 4 ⊢ (⊤ → ((subringAlg ‘ℂfld)‘ℝ) = ((subringAlg ‘ℂfld)‘ℝ))
23		ax-resscn 11212	. . . . . 6 ⊢ ℝ ⊆ ℂ
24		cnfldbas 21368	. . . . . 6 ⊢ ℂ = (Base‘ℂfld)
25	23, 24	sseqtri 4032	. . . . 5 ⊢ ℝ ⊆ (Base‘ℂfld)
26	25	a1i 11	. . . 4 ⊢ (⊤ → ℝ ⊆ (Base‘ℂfld))
27	22, 26, 1, 2, 4	sralemOLD 21176	. . 3 ⊢ (⊤ → (𝐸‘ℂfld) = (𝐸‘((subringAlg ‘ℂfld)‘ℝ)))
28	27	mptru 1547	. 2 ⊢ (𝐸‘ℂfld) = (𝐸‘((subringAlg ‘ℂfld)‘ℝ))
29		cchhl.c	. . 3 ⊢ 𝐶 = (((subringAlg ‘ℂfld)‘ℝ) sSet ⟨(·𝑖‘ndx), (𝑥 ∈ ℂ, 𝑦 ∈ ℂ ↦ (𝑥 · (∗‘𝑦)))⟩)
30	29	fveq2i 6909	. 2 ⊢ (𝐸‘𝐶) = (𝐸‘(((subringAlg ‘ℂfld)‘ℝ) sSet ⟨(·𝑖‘ndx), (𝑥 ∈ ℂ, 𝑦 ∈ ℂ ↦ (𝑥 · (∗‘𝑦)))⟩))
31	21, 28, 30	3eqtr4i 2775	1 ⊢ (𝐸‘ℂfld) = (𝐸‘𝐶)

Syntax hints:   ∨ wo 848   = wceq 1540  ⊤wtru 1541   ∈ wcel 2108   ≠ wne 2940   ⊆ wss 3951  ⟨cop 4632   class class class wbr 5143  ‘cfv 6561  (class class class)co 7431   ∈ cmpo 7433  ℂcc 11153  ℝcr 11154   · cmul 11160   < clt 11295  ℕcn 12266  5c5 12324  8c8 12327  ∗ccj 15135   sSet csts 17200  Slot cslot 17218  ndxcnx 17230  Basecbs 17247  ·_𝑖cip 17302  subringAlg csra 21170  ℂ_fldccnfld 21364

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1795  ax-4 1809  ax-5 1910  ax-6 1967  ax-7 2007  ax-8 2110  ax-9 2118  ax-10 2141  ax-11 2157  ax-12 2177  ax-ext 2708  ax-rep 5279  ax-sep 5296  ax-nul 5306  ax-pow 5365  ax-pr 5432  ax-un 7755  ax-cnex 11211  ax-resscn 11212  ax-1cn 11213  ax-icn 11214  ax-addcl 11215  ax-addrcl 11216  ax-mulcl 11217  ax-mulrcl 11218  ax-mulcom 11219  ax-addass 11220  ax-mulass 11221  ax-distr 11222  ax-i2m1 11223  ax-1ne0 11224  ax-1rid 11225  ax-rnegex 11226  ax-rrecex 11227  ax-cnre 11228  ax-pre-lttri 11229  ax-pre-lttrn 11230  ax-pre-ltadd 11231  ax-pre-mulgt0 11232

This theorem depends on definitions:  df-bi 207  df-an 396  df-or 849  df-3or 1088  df-3an 1089  df-tru 1543  df-fal 1553  df-ex 1780  df-nf 1784  df-sb 2065  df-mo 2540  df-eu 2569  df-clab 2715  df-cleq 2729  df-clel 2816  df-nfc 2892  df-ne 2941  df-nel 3047  df-ral 3062  df-rex 3071  df-reu 3381  df-rab 3437  df-v 3482  df-sbc 3789  df-csb 3900  df-dif 3954  df-un 3956  df-in 3958  df-ss 3968  df-pss 3971  df-nul 4334  df-if 4526  df-pw 4602  df-sn 4627  df-pr 4629  df-tp 4631  df-op 4633  df-uni 4908  df-iun 4993  df-br 5144  df-opab 5206  df-mpt 5226  df-tr 5260  df-id 5578  df-eprel 5584  df-po 5592  df-so 5593  df-fr 5637  df-we 5639  df-xp 5691  df-rel 5692  df-cnv 5693  df-co 5694  df-dm 5695  df-rn 5696  df-res 5697  df-ima 5698  df-pred 6321  df-ord 6387  df-on 6388  df-lim 6389  df-suc 6390  df-iota 6514  df-fun 6563  df-fn 6564  df-f 6565  df-f1 6566  df-fo 6567  df-f1o 6568  df-fv 6569  df-riota 7388  df-ov 7434  df-oprab 7435  df-mpo 7436  df-om 7888  df-1st 8014  df-2nd 8015  df-frecs 8306  df-wrecs 8337  df-recs 8411  df-rdg 8450  df-1o 8506  df-er 8745  df-en 8986  df-dom 8987  df-sdom 8988  df-fin 8989  df-pnf 11297  df-mnf 11298  df-xr 11299  df-ltxr 11300  df-le 11301  df-sub 11494  df-neg 11495  df-nn 12267  df-2 12329  df-3 12330  df-4 12331  df-5 12332  df-6 12333  df-7 12334  df-8 12335  df-9 12336  df-n0 12527  df-z 12614  df-dec 12734  df-uz 12879  df-fz 13548  df-struct 17184  df-sets 17201  df-slot 17219  df-ndx 17231  df-base 17248  df-plusg 17310  df-mulr 17311  df-starv 17312  df-sca 17313  df-vsca 17314  df-ip 17315  df-tset 17316  df-ple 17317  df-ds 17319  df-unif 17320  df-sra 21172  df-cnfld 21365

This theorem is referenced by: (None)