MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  nn0o Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem nn0o 15732
Description: An alternate characterization of an odd nonnegative integer. (Contributed by AV, 28-May-2020.) (Proof shortened by AV, 2-Jun-2020.)
Assertion
Ref Expression
nn0o ((𝑁 ∈ ℕ0 ∧ ((𝑁 + 1) / 2) ∈ ℕ0) → ((𝑁 − 1) / 2) ∈ ℕ0)

Proof of Theorem nn0o
StepHypRef Expression
1 nn0o1gt2 15730 . 2 ((𝑁 ∈ ℕ0 ∧ ((𝑁 + 1) / 2) ∈ ℕ0) → (𝑁 = 1 ∨ 2 < 𝑁))
2 1m1e0 11706 . . . . . . . 8 (1 − 1) = 0
32oveq1i 7159 . . . . . . 7 ((1 − 1) / 2) = (0 / 2)
4 2cn 11709 . . . . . . . 8 2 ∈ ℂ
5 2ne0 11738 . . . . . . . 8 2 ≠ 0
64, 5div0i 11372 . . . . . . 7 (0 / 2) = 0
73, 6eqtri 2847 . . . . . 6 ((1 − 1) / 2) = 0
8 0nn0 11909 . . . . . 6 0 ∈ ℕ0
97, 8eqeltri 2912 . . . . 5 ((1 − 1) / 2) ∈ ℕ0
10 oveq1 7156 . . . . . . . 8 (𝑁 = 1 → (𝑁 − 1) = (1 − 1))
1110oveq1d 7164 . . . . . . 7 (𝑁 = 1 → ((𝑁 − 1) / 2) = ((1 − 1) / 2))
1211eleq1d 2900 . . . . . 6 (𝑁 = 1 → (((𝑁 − 1) / 2) ∈ ℕ0 ↔ ((1 − 1) / 2) ∈ ℕ0))
1312adantr 484 . . . . 5 ((𝑁 = 1 ∧ (𝑁 ∈ ℕ0 ∧ ((𝑁 + 1) / 2) ∈ ℕ0)) → (((𝑁 − 1) / 2) ∈ ℕ0 ↔ ((1 − 1) / 2) ∈ ℕ0))
149, 13mpbiri 261 . . . 4 ((𝑁 = 1 ∧ (𝑁 ∈ ℕ0 ∧ ((𝑁 + 1) / 2) ∈ ℕ0)) → ((𝑁 − 1) / 2) ∈ ℕ0)
1514ex 416 . . 3 (𝑁 = 1 → ((𝑁 ∈ ℕ0 ∧ ((𝑁 + 1) / 2) ∈ ℕ0) → ((𝑁 − 1) / 2) ∈ ℕ0))
16 2z 12011 . . . . . . . 8 2 ∈ ℤ
1716a1i 11 . . . . . . 7 ((2 < 𝑁 ∧ (𝑁 ∈ ℕ0 ∧ ((𝑁 + 1) / 2) ∈ ℕ0)) → 2 ∈ ℤ)
18 nn0z 12002 . . . . . . . 8 (𝑁 ∈ ℕ0𝑁 ∈ ℤ)
1918ad2antrl 727 . . . . . . 7 ((2 < 𝑁 ∧ (𝑁 ∈ ℕ0 ∧ ((𝑁 + 1) / 2) ∈ ℕ0)) → 𝑁 ∈ ℤ)
20 2re 11708 . . . . . . . . . 10 2 ∈ ℝ
21 nn0re 11903 . . . . . . . . . 10 (𝑁 ∈ ℕ0𝑁 ∈ ℝ)
22 ltle 10727 . . . . . . . . . 10 ((2 ∈ ℝ ∧ 𝑁 ∈ ℝ) → (2 < 𝑁 → 2 ≤ 𝑁))
2320, 21, 22sylancr 590 . . . . . . . . 9 (𝑁 ∈ ℕ0 → (2 < 𝑁 → 2 ≤ 𝑁))
2423adantr 484 . . . . . . . 8 ((𝑁 ∈ ℕ0 ∧ ((𝑁 + 1) / 2) ∈ ℕ0) → (2 < 𝑁 → 2 ≤ 𝑁))
2524impcom 411 . . . . . . 7 ((2 < 𝑁 ∧ (𝑁 ∈ ℕ0 ∧ ((𝑁 + 1) / 2) ∈ ℕ0)) → 2 ≤ 𝑁)
26 eluz2 12246 . . . . . . 7 (𝑁 ∈ (ℤ‘2) ↔ (2 ∈ ℤ ∧ 𝑁 ∈ ℤ ∧ 2 ≤ 𝑁))
2717, 19, 25, 26syl3anbrc 1340 . . . . . 6 ((2 < 𝑁 ∧ (𝑁 ∈ ℕ0 ∧ ((𝑁 + 1) / 2) ∈ ℕ0)) → 𝑁 ∈ (ℤ‘2))
28 simprr 772 . . . . . 6 ((2 < 𝑁 ∧ (𝑁 ∈ ℕ0 ∧ ((𝑁 + 1) / 2) ∈ ℕ0)) → ((𝑁 + 1) / 2) ∈ ℕ0)
2927, 28jca 515 . . . . 5 ((2 < 𝑁 ∧ (𝑁 ∈ ℕ0 ∧ ((𝑁 + 1) / 2) ∈ ℕ0)) → (𝑁 ∈ (ℤ‘2) ∧ ((𝑁 + 1) / 2) ∈ ℕ0))
30 nno 15731 . . . . 5 ((𝑁 ∈ (ℤ‘2) ∧ ((𝑁 + 1) / 2) ∈ ℕ0) → ((𝑁 − 1) / 2) ∈ ℕ)
31 nnnn0 11901 . . . . 5 (((𝑁 − 1) / 2) ∈ ℕ → ((𝑁 − 1) / 2) ∈ ℕ0)
3229, 30, 313syl 18 . . . 4 ((2 < 𝑁 ∧ (𝑁 ∈ ℕ0 ∧ ((𝑁 + 1) / 2) ∈ ℕ0)) → ((𝑁 − 1) / 2) ∈ ℕ0)
3332ex 416 . . 3 (2 < 𝑁 → ((𝑁 ∈ ℕ0 ∧ ((𝑁 + 1) / 2) ∈ ℕ0) → ((𝑁 − 1) / 2) ∈ ℕ0))
3415, 33jaoi 854 . 2 ((𝑁 = 1 ∨ 2 < 𝑁) → ((𝑁 ∈ ℕ0 ∧ ((𝑁 + 1) / 2) ∈ ℕ0) → ((𝑁 − 1) / 2) ∈ ℕ0))
351, 34mpcom 38 1 ((𝑁 ∈ ℕ0 ∧ ((𝑁 + 1) / 2) ∈ ℕ0) → ((𝑁 − 1) / 2) ∈ ℕ0)
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  wi 4  wb 209  wa 399  wo 844   = wceq 1538  wcel 2115   class class class wbr 5052  cfv 6343  (class class class)co 7149  cr 10534  0cc0 10535  1c1 10536   + caddc 10538   < clt 10673  cle 10674  cmin 10868   / cdiv 11295  cn 11634  2c2 11689  0cn0 11894  cz 11978  cuz 12240
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1797  ax-4 1811  ax-5 1912  ax-6 1971  ax-7 2016  ax-8 2117  ax-9 2125  ax-10 2146  ax-11 2162  ax-12 2179  ax-ext 2796  ax-sep 5189  ax-nul 5196  ax-pow 5253  ax-pr 5317  ax-un 7455  ax-cnex 10591  ax-resscn 10592  ax-1cn 10593  ax-icn 10594  ax-addcl 10595  ax-addrcl 10596  ax-mulcl 10597  ax-mulrcl 10598  ax-mulcom 10599  ax-addass 10600  ax-mulass 10601  ax-distr 10602  ax-i2m1 10603  ax-1ne0 10604  ax-1rid 10605  ax-rnegex 10606  ax-rrecex 10607  ax-cnre 10608  ax-pre-lttri 10609  ax-pre-lttrn 10610  ax-pre-ltadd 10611  ax-pre-mulgt0 10612
This theorem depends on definitions:  df-bi 210  df-an 400  df-or 845  df-3or 1085  df-3an 1086  df-tru 1541  df-ex 1782  df-nf 1786  df-sb 2071  df-mo 2624  df-eu 2655  df-clab 2803  df-cleq 2817  df-clel 2896  df-nfc 2964  df-ne 3015  df-nel 3119  df-ral 3138  df-rex 3139  df-reu 3140  df-rmo 3141  df-rab 3142  df-v 3482  df-sbc 3759  df-csb 3867  df-dif 3922  df-un 3924  df-in 3926  df-ss 3936  df-pss 3938  df-nul 4277  df-if 4451  df-pw 4524  df-sn 4551  df-pr 4553  df-tp 4555  df-op 4557  df-uni 4825  df-iun 4907  df-br 5053  df-opab 5115  df-mpt 5133  df-tr 5159  df-id 5447  df-eprel 5452  df-po 5461  df-so 5462  df-fr 5501  df-we 5503  df-xp 5548  df-rel 5549  df-cnv 5550  df-co 5551  df-dm 5552  df-rn 5553  df-res 5554  df-ima 5555  df-pred 6135  df-ord 6181  df-on 6182  df-lim 6183  df-suc 6184  df-iota 6302  df-fun 6345  df-fn 6346  df-f 6347  df-f1 6348  df-fo 6349  df-f1o 6350  df-fv 6351  df-riota 7107  df-ov 7152  df-oprab 7153  df-mpo 7154  df-om 7575  df-wrecs 7943  df-recs 8004  df-rdg 8042  df-er 8285  df-en 8506  df-dom 8507  df-sdom 8508  df-pnf 10675  df-mnf 10676  df-xr 10677  df-ltxr 10678  df-le 10679  df-sub 10870  df-neg 10871  df-div 11296  df-nn 11635  df-2 11697  df-3 11698  df-4 11699  df-n0 11895  df-z 11979  df-uz 12241  df-rp 12387
This theorem is referenced by:  nn0ob  15733  nn0onn0ex  44867  nneom  44871  flnn0div2ge  44877  flnn0ohalf  44878
  Copyright terms: Public domain W3C validator