MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  nn0rp0 Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem nn0rp0 12823
Description: A nonnegative integer is a nonnegative real number. (Contributed by AV, 24-May-2020.)
Assertion
Ref Expression
nn0rp0 (𝑁 ∈ ℕ0𝑁 ∈ (0[,)+∞))

Proof of Theorem nn0rp0
StepHypRef Expression
1 nn0re 11884 . 2 (𝑁 ∈ ℕ0𝑁 ∈ ℝ)
2 nn0ge0 11900 . 2 (𝑁 ∈ ℕ0 → 0 ≤ 𝑁)
3 elrege0 12822 . 2 (𝑁 ∈ (0[,)+∞) ↔ (𝑁 ∈ ℝ ∧ 0 ≤ 𝑁))
41, 2, 3sylanbrc 586 1 (𝑁 ∈ ℕ0𝑁 ∈ (0[,)+∞))
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  wi 4  wcel 2115   class class class wbr 5039  (class class class)co 7130  cr 10513  0cc0 10514  +∞cpnf 10649  cle 10653  0cn0 11875  [,)cico 12718
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1797  ax-4 1811  ax-5 1912  ax-6 1971  ax-7 2016  ax-8 2117  ax-9 2125  ax-10 2146  ax-11 2162  ax-12 2178  ax-ext 2793  ax-sep 5176  ax-nul 5183  ax-pow 5239  ax-pr 5303  ax-un 7436  ax-cnex 10570  ax-resscn 10571  ax-1cn 10572  ax-icn 10573  ax-addcl 10574  ax-addrcl 10575  ax-mulcl 10576  ax-mulrcl 10577  ax-mulcom 10578  ax-addass 10579  ax-mulass 10580  ax-distr 10581  ax-i2m1 10582  ax-1ne0 10583  ax-1rid 10584  ax-rnegex 10585  ax-rrecex 10586  ax-cnre 10587  ax-pre-lttri 10588  ax-pre-lttrn 10589  ax-pre-ltadd 10590  ax-pre-mulgt0 10591
This theorem depends on definitions:  df-bi 210  df-an 400  df-or 845  df-3or 1085  df-3an 1086  df-tru 1541  df-ex 1782  df-nf 1786  df-sb 2071  df-mo 2623  df-eu 2654  df-clab 2800  df-cleq 2814  df-clel 2892  df-nfc 2960  df-ne 3008  df-nel 3112  df-ral 3131  df-rex 3132  df-reu 3133  df-rab 3135  df-v 3473  df-sbc 3750  df-csb 3858  df-dif 3913  df-un 3915  df-in 3917  df-ss 3927  df-pss 3929  df-nul 4267  df-if 4441  df-pw 4514  df-sn 4541  df-pr 4543  df-tp 4545  df-op 4547  df-uni 4812  df-iun 4894  df-br 5040  df-opab 5102  df-mpt 5120  df-tr 5146  df-id 5433  df-eprel 5438  df-po 5447  df-so 5448  df-fr 5487  df-we 5489  df-xp 5534  df-rel 5535  df-cnv 5536  df-co 5537  df-dm 5538  df-rn 5539  df-res 5540  df-ima 5541  df-pred 6121  df-ord 6167  df-on 6168  df-lim 6169  df-suc 6170  df-iota 6287  df-fun 6330  df-fn 6331  df-f 6332  df-f1 6333  df-fo 6334  df-f1o 6335  df-fv 6336  df-riota 7088  df-ov 7133  df-oprab 7134  df-mpo 7135  df-om 7556  df-wrecs 7922  df-recs 7983  df-rdg 8021  df-er 8264  df-en 8485  df-dom 8486  df-sdom 8487  df-pnf 10654  df-mnf 10655  df-xr 10656  df-ltxr 10657  df-le 10658  df-sub 10849  df-neg 10850  df-nn 11616  df-n0 11876  df-ico 12722
This theorem is referenced by:  nn0ssge0  42886  dignnld  44839  dig2nn0  44847  0dig2nn0e  44848  0dig2nn0o  44849  dig2bits  44850  dignn0ehalf  44853  dignn0flhalf  44854  nn0sumshdiglemA  44855  nn0sumshdiglemB  44856  nn0sumshdiglem2  44858  nn0mullong  44861
  Copyright terms: Public domain W3C validator