Users' Mathboxes Mathbox for Alexander van der Vekens < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >   Mathboxes  >  dignn0flhalf Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem dignn0flhalf 47388
Description: The digits of the rounded half of a nonnegative integer are the digits of the integer shifted by 1. (Contributed by AV, 7-Jun-2010.)
Assertion
Ref Expression
dignn0flhalf ((𝐴 ∈ (β„€β‰₯β€˜2) ∧ 𝐼 ∈ β„•0) β†’ ((𝐼 + 1)(digitβ€˜2)𝐴) = (𝐼(digitβ€˜2)(βŒŠβ€˜(𝐴 / 2))))

Proof of Theorem dignn0flhalf
StepHypRef Expression
1 eluzge2nn0 12873 . . . 4 (𝐴 ∈ (β„€β‰₯β€˜2) β†’ 𝐴 ∈ β„•0)
2 nn0eo 47298 . . . 4 (𝐴 ∈ β„•0 β†’ ((𝐴 / 2) ∈ β„•0 ∨ ((𝐴 + 1) / 2) ∈ β„•0))
31, 2syl 17 . . 3 (𝐴 ∈ (β„€β‰₯β€˜2) β†’ ((𝐴 / 2) ∈ β„•0 ∨ ((𝐴 + 1) / 2) ∈ β„•0))
4 dignn0ehalf 47387 . . . . . . 7 (((𝐴 / 2) ∈ β„•0 ∧ 𝐴 ∈ β„•0 ∧ 𝐼 ∈ β„•0) β†’ ((𝐼 + 1)(digitβ€˜2)𝐴) = (𝐼(digitβ€˜2)(𝐴 / 2)))
51, 4syl3an2 1164 . . . . . 6 (((𝐴 / 2) ∈ β„•0 ∧ 𝐴 ∈ (β„€β‰₯β€˜2) ∧ 𝐼 ∈ β„•0) β†’ ((𝐼 + 1)(digitβ€˜2)𝐴) = (𝐼(digitβ€˜2)(𝐴 / 2)))
6 eluzelz 12834 . . . . . . . . . 10 (𝐴 ∈ (β„€β‰₯β€˜2) β†’ 𝐴 ∈ β„€)
7 nn0z 12585 . . . . . . . . . 10 ((𝐴 / 2) ∈ β„•0 β†’ (𝐴 / 2) ∈ β„€)
8 zefldiv2 47300 . . . . . . . . . 10 ((𝐴 ∈ β„€ ∧ (𝐴 / 2) ∈ β„€) β†’ (βŒŠβ€˜(𝐴 / 2)) = (𝐴 / 2))
96, 7, 8syl2anr 597 . . . . . . . . 9 (((𝐴 / 2) ∈ β„•0 ∧ 𝐴 ∈ (β„€β‰₯β€˜2)) β†’ (βŒŠβ€˜(𝐴 / 2)) = (𝐴 / 2))
109eqcomd 2738 . . . . . . . 8 (((𝐴 / 2) ∈ β„•0 ∧ 𝐴 ∈ (β„€β‰₯β€˜2)) β†’ (𝐴 / 2) = (βŒŠβ€˜(𝐴 / 2)))
11103adant3 1132 . . . . . . 7 (((𝐴 / 2) ∈ β„•0 ∧ 𝐴 ∈ (β„€β‰₯β€˜2) ∧ 𝐼 ∈ β„•0) β†’ (𝐴 / 2) = (βŒŠβ€˜(𝐴 / 2)))
1211oveq2d 7427 . . . . . 6 (((𝐴 / 2) ∈ β„•0 ∧ 𝐴 ∈ (β„€β‰₯β€˜2) ∧ 𝐼 ∈ β„•0) β†’ (𝐼(digitβ€˜2)(𝐴 / 2)) = (𝐼(digitβ€˜2)(βŒŠβ€˜(𝐴 / 2))))
135, 12eqtrd 2772 . . . . 5 (((𝐴 / 2) ∈ β„•0 ∧ 𝐴 ∈ (β„€β‰₯β€˜2) ∧ 𝐼 ∈ β„•0) β†’ ((𝐼 + 1)(digitβ€˜2)𝐴) = (𝐼(digitβ€˜2)(βŒŠβ€˜(𝐴 / 2))))
14133exp 1119 . . . 4 ((𝐴 / 2) ∈ β„•0 β†’ (𝐴 ∈ (β„€β‰₯β€˜2) β†’ (𝐼 ∈ β„•0 β†’ ((𝐼 + 1)(digitβ€˜2)𝐴) = (𝐼(digitβ€˜2)(βŒŠβ€˜(𝐴 / 2))))))
1563ad2ant2 1134 . . . . . . . 8 ((((𝐴 + 1) / 2) ∈ β„•0 ∧ 𝐴 ∈ (β„€β‰₯β€˜2) ∧ 𝐼 ∈ β„•0) β†’ 𝐴 ∈ β„€)
16 simp2 1137 . . . . . . . . 9 ((((𝐴 + 1) / 2) ∈ β„•0 ∧ 𝐴 ∈ (β„€β‰₯β€˜2) ∧ 𝐼 ∈ β„•0) β†’ 𝐴 ∈ (β„€β‰₯β€˜2))
17 simp1 1136 . . . . . . . . 9 ((((𝐴 + 1) / 2) ∈ β„•0 ∧ 𝐴 ∈ (β„€β‰₯β€˜2) ∧ 𝐼 ∈ β„•0) β†’ ((𝐴 + 1) / 2) ∈ β„•0)
18 nno 16327 . . . . . . . . 9 ((𝐴 ∈ (β„€β‰₯β€˜2) ∧ ((𝐴 + 1) / 2) ∈ β„•0) β†’ ((𝐴 βˆ’ 1) / 2) ∈ β„•)
1916, 17, 18syl2anc 584 . . . . . . . 8 ((((𝐴 + 1) / 2) ∈ β„•0 ∧ 𝐴 ∈ (β„€β‰₯β€˜2) ∧ 𝐼 ∈ β„•0) β†’ ((𝐴 βˆ’ 1) / 2) ∈ β„•)
20 simp3 1138 . . . . . . . 8 ((((𝐴 + 1) / 2) ∈ β„•0 ∧ 𝐴 ∈ (β„€β‰₯β€˜2) ∧ 𝐼 ∈ β„•0) β†’ 𝐼 ∈ β„•0)
21 dignn0flhalflem2 47386 . . . . . . . 8 ((𝐴 ∈ β„€ ∧ ((𝐴 βˆ’ 1) / 2) ∈ β„• ∧ 𝐼 ∈ β„•0) β†’ (βŒŠβ€˜(𝐴 / (2↑(𝐼 + 1)))) = (βŒŠβ€˜((βŒŠβ€˜(𝐴 / 2)) / (2↑𝐼))))
2215, 19, 20, 21syl3anc 1371 . . . . . . 7 ((((𝐴 + 1) / 2) ∈ β„•0 ∧ 𝐴 ∈ (β„€β‰₯β€˜2) ∧ 𝐼 ∈ β„•0) β†’ (βŒŠβ€˜(𝐴 / (2↑(𝐼 + 1)))) = (βŒŠβ€˜((βŒŠβ€˜(𝐴 / 2)) / (2↑𝐼))))
2322oveq1d 7426 . . . . . 6 ((((𝐴 + 1) / 2) ∈ β„•0 ∧ 𝐴 ∈ (β„€β‰₯β€˜2) ∧ 𝐼 ∈ β„•0) β†’ ((βŒŠβ€˜(𝐴 / (2↑(𝐼 + 1)))) mod 2) = ((βŒŠβ€˜((βŒŠβ€˜(𝐴 / 2)) / (2↑𝐼))) mod 2))
24 2nn 12287 . . . . . . . 8 2 ∈ β„•
2524a1i 11 . . . . . . 7 ((((𝐴 + 1) / 2) ∈ β„•0 ∧ 𝐴 ∈ (β„€β‰₯β€˜2) ∧ 𝐼 ∈ β„•0) β†’ 2 ∈ β„•)
26 peano2nn0 12514 . . . . . . . 8 (𝐼 ∈ β„•0 β†’ (𝐼 + 1) ∈ β„•0)
27263ad2ant3 1135 . . . . . . 7 ((((𝐴 + 1) / 2) ∈ β„•0 ∧ 𝐴 ∈ (β„€β‰₯β€˜2) ∧ 𝐼 ∈ β„•0) β†’ (𝐼 + 1) ∈ β„•0)
28 nn0rp0 13434 . . . . . . . . 9 (𝐴 ∈ β„•0 β†’ 𝐴 ∈ (0[,)+∞))
291, 28syl 17 . . . . . . . 8 (𝐴 ∈ (β„€β‰₯β€˜2) β†’ 𝐴 ∈ (0[,)+∞))
30293ad2ant2 1134 . . . . . . 7 ((((𝐴 + 1) / 2) ∈ β„•0 ∧ 𝐴 ∈ (β„€β‰₯β€˜2) ∧ 𝐼 ∈ β„•0) β†’ 𝐴 ∈ (0[,)+∞))
31 nn0digval 47370 . . . . . . 7 ((2 ∈ β„• ∧ (𝐼 + 1) ∈ β„•0 ∧ 𝐴 ∈ (0[,)+∞)) β†’ ((𝐼 + 1)(digitβ€˜2)𝐴) = ((βŒŠβ€˜(𝐴 / (2↑(𝐼 + 1)))) mod 2))
3225, 27, 30, 31syl3anc 1371 . . . . . 6 ((((𝐴 + 1) / 2) ∈ β„•0 ∧ 𝐴 ∈ (β„€β‰₯β€˜2) ∧ 𝐼 ∈ β„•0) β†’ ((𝐼 + 1)(digitβ€˜2)𝐴) = ((βŒŠβ€˜(𝐴 / (2↑(𝐼 + 1)))) mod 2))
33 eluzelre 12835 . . . . . . . . . . 11 (𝐴 ∈ (β„€β‰₯β€˜2) β†’ 𝐴 ∈ ℝ)
3433rehalfcld 12461 . . . . . . . . . 10 (𝐴 ∈ (β„€β‰₯β€˜2) β†’ (𝐴 / 2) ∈ ℝ)
351nn0ge0d 12537 . . . . . . . . . . 11 (𝐴 ∈ (β„€β‰₯β€˜2) β†’ 0 ≀ 𝐴)
36 2re 12288 . . . . . . . . . . . . 13 2 ∈ ℝ
37 2pos 12317 . . . . . . . . . . . . 13 0 < 2
3836, 37pm3.2i 471 . . . . . . . . . . . 12 (2 ∈ ℝ ∧ 0 < 2)
3938a1i 11 . . . . . . . . . . 11 (𝐴 ∈ (β„€β‰₯β€˜2) β†’ (2 ∈ ℝ ∧ 0 < 2))
40 divge0 12085 . . . . . . . . . . 11 (((𝐴 ∈ ℝ ∧ 0 ≀ 𝐴) ∧ (2 ∈ ℝ ∧ 0 < 2)) β†’ 0 ≀ (𝐴 / 2))
4133, 35, 39, 40syl21anc 836 . . . . . . . . . 10 (𝐴 ∈ (β„€β‰₯β€˜2) β†’ 0 ≀ (𝐴 / 2))
42 flge0nn0 13787 . . . . . . . . . 10 (((𝐴 / 2) ∈ ℝ ∧ 0 ≀ (𝐴 / 2)) β†’ (βŒŠβ€˜(𝐴 / 2)) ∈ β„•0)
4334, 41, 42syl2anc 584 . . . . . . . . 9 (𝐴 ∈ (β„€β‰₯β€˜2) β†’ (βŒŠβ€˜(𝐴 / 2)) ∈ β„•0)
44433ad2ant2 1134 . . . . . . . 8 ((((𝐴 + 1) / 2) ∈ β„•0 ∧ 𝐴 ∈ (β„€β‰₯β€˜2) ∧ 𝐼 ∈ β„•0) β†’ (βŒŠβ€˜(𝐴 / 2)) ∈ β„•0)
45 nn0rp0 13434 . . . . . . . 8 ((βŒŠβ€˜(𝐴 / 2)) ∈ β„•0 β†’ (βŒŠβ€˜(𝐴 / 2)) ∈ (0[,)+∞))
4644, 45syl 17 . . . . . . 7 ((((𝐴 + 1) / 2) ∈ β„•0 ∧ 𝐴 ∈ (β„€β‰₯β€˜2) ∧ 𝐼 ∈ β„•0) β†’ (βŒŠβ€˜(𝐴 / 2)) ∈ (0[,)+∞))
47 nn0digval 47370 . . . . . . 7 ((2 ∈ β„• ∧ 𝐼 ∈ β„•0 ∧ (βŒŠβ€˜(𝐴 / 2)) ∈ (0[,)+∞)) β†’ (𝐼(digitβ€˜2)(βŒŠβ€˜(𝐴 / 2))) = ((βŒŠβ€˜((βŒŠβ€˜(𝐴 / 2)) / (2↑𝐼))) mod 2))
4825, 20, 46, 47syl3anc 1371 . . . . . 6 ((((𝐴 + 1) / 2) ∈ β„•0 ∧ 𝐴 ∈ (β„€β‰₯β€˜2) ∧ 𝐼 ∈ β„•0) β†’ (𝐼(digitβ€˜2)(βŒŠβ€˜(𝐴 / 2))) = ((βŒŠβ€˜((βŒŠβ€˜(𝐴 / 2)) / (2↑𝐼))) mod 2))
4923, 32, 483eqtr4d 2782 . . . . 5 ((((𝐴 + 1) / 2) ∈ β„•0 ∧ 𝐴 ∈ (β„€β‰₯β€˜2) ∧ 𝐼 ∈ β„•0) β†’ ((𝐼 + 1)(digitβ€˜2)𝐴) = (𝐼(digitβ€˜2)(βŒŠβ€˜(𝐴 / 2))))
50493exp 1119 . . . 4 (((𝐴 + 1) / 2) ∈ β„•0 β†’ (𝐴 ∈ (β„€β‰₯β€˜2) β†’ (𝐼 ∈ β„•0 β†’ ((𝐼 + 1)(digitβ€˜2)𝐴) = (𝐼(digitβ€˜2)(βŒŠβ€˜(𝐴 / 2))))))
5114, 50jaoi 855 . . 3 (((𝐴 / 2) ∈ β„•0 ∨ ((𝐴 + 1) / 2) ∈ β„•0) β†’ (𝐴 ∈ (β„€β‰₯β€˜2) β†’ (𝐼 ∈ β„•0 β†’ ((𝐼 + 1)(digitβ€˜2)𝐴) = (𝐼(digitβ€˜2)(βŒŠβ€˜(𝐴 / 2))))))
523, 51mpcom 38 . 2 (𝐴 ∈ (β„€β‰₯β€˜2) β†’ (𝐼 ∈ β„•0 β†’ ((𝐼 + 1)(digitβ€˜2)𝐴) = (𝐼(digitβ€˜2)(βŒŠβ€˜(𝐴 / 2)))))
5352imp 407 1 ((𝐴 ∈ (β„€β‰₯β€˜2) ∧ 𝐼 ∈ β„•0) β†’ ((𝐼 + 1)(digitβ€˜2)𝐴) = (𝐼(digitβ€˜2)(βŒŠβ€˜(𝐴 / 2))))
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:   β†’ wi 4   ∧ wa 396   ∨ wo 845   ∧ w3a 1087   = wceq 1541   ∈ wcel 2106   class class class wbr 5148  β€˜cfv 6543  (class class class)co 7411  β„cr 11111  0cc0 11112  1c1 11113   + caddc 11115  +∞cpnf 11247   < clt 11250   ≀ cle 11251   βˆ’ cmin 11446   / cdiv 11873  β„•cn 12214  2c2 12269  β„•0cn0 12474  β„€cz 12560  β„€β‰₯cuz 12824  [,)cico 13328  βŒŠcfl 13757   mod cmo 13836  β†‘cexp 14029  digitcdig 47365
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1797  ax-4 1811  ax-5 1913  ax-6 1971  ax-7 2011  ax-8 2108  ax-9 2116  ax-10 2137  ax-11 2154  ax-12 2171  ax-ext 2703  ax-rep 5285  ax-sep 5299  ax-nul 5306  ax-pow 5363  ax-pr 5427  ax-un 7727  ax-cnex 11168  ax-resscn 11169  ax-1cn 11170  ax-icn 11171  ax-addcl 11172  ax-addrcl 11173  ax-mulcl 11174  ax-mulrcl 11175  ax-mulcom 11176  ax-addass 11177  ax-mulass 11178  ax-distr 11179  ax-i2m1 11180  ax-1ne0 11181  ax-1rid 11182  ax-rnegex 11183  ax-rrecex 11184  ax-cnre 11185  ax-pre-lttri 11186  ax-pre-lttrn 11187  ax-pre-ltadd 11188  ax-pre-mulgt0 11189  ax-pre-sup 11190
This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 397  df-or 846  df-3or 1088  df-3an 1089  df-tru 1544  df-fal 1554  df-ex 1782  df-nf 1786  df-sb 2068  df-mo 2534  df-eu 2563  df-clab 2710  df-cleq 2724  df-clel 2810  df-nfc 2885  df-ne 2941  df-nel 3047  df-ral 3062  df-rex 3071  df-rmo 3376  df-reu 3377  df-rab 3433  df-v 3476  df-sbc 3778  df-csb 3894  df-dif 3951  df-un 3953  df-in 3955  df-ss 3965  df-pss 3967  df-nul 4323  df-if 4529  df-pw 4604  df-sn 4629  df-pr 4631  df-op 4635  df-uni 4909  df-iun 4999  df-br 5149  df-opab 5211  df-mpt 5232  df-tr 5266  df-id 5574  df-eprel 5580  df-po 5588  df-so 5589  df-fr 5631  df-we 5633  df-xp 5682  df-rel 5683  df-cnv 5684  df-co 5685  df-dm 5686  df-rn 5687  df-res 5688  df-ima 5689  df-pred 6300  df-ord 6367  df-on 6368  df-lim 6369  df-suc 6370  df-iota 6495  df-fun 6545  df-fn 6546  df-f 6547  df-f1 6548  df-fo 6549  df-f1o 6550  df-fv 6551  df-riota 7367  df-ov 7414  df-oprab 7415  df-mpo 7416  df-om 7858  df-1st 7977  df-2nd 7978  df-frecs 8268  df-wrecs 8299  df-recs 8373  df-rdg 8412  df-er 8705  df-en 8942  df-dom 8943  df-sdom 8944  df-sup 9439  df-inf 9440  df-pnf 11252  df-mnf 11253  df-xr 11254  df-ltxr 11255  df-le 11256  df-sub 11448  df-neg 11449  df-div 11874  df-nn 12215  df-2 12277  df-3 12278  df-4 12279  df-n0 12475  df-z 12561  df-uz 12825  df-rp 12977  df-ico 13332  df-fz 13487  df-fzo 13630  df-fl 13759  df-mod 13837  df-seq 13969  df-exp 14030  df-dig 47366
This theorem is referenced by:  nn0sumshdiglemB  47390
  Copyright terms: Public domain W3C validator