Theorem dignn0flhalf 49109

Description: The digits of the rounded half of a nonnegative integer are the digits of the integer shifted by 1. (Contributed by AV, 7-Jun-2010.)

Assertion

Ref	Expression
dignn0flhalf	⊢ ((𝐴 ∈ (ℤ≥‘2) ∧ 𝐼 ∈ ℕ0) → ((𝐼 + 1)(digit‘2)𝐴) = (𝐼(digit‘2)(⌊‘(𝐴 / 2))))

Proof of Theorem dignn0flhalf

Step	Hyp	Ref	Expression
1		eluzge2nn0 12833	. . . 4 ⊢ (𝐴 ∈ (ℤ≥‘2) → 𝐴 ∈ ℕ0)
2		nn0eo 49019	. . . 4 ⊢ (𝐴 ∈ ℕ0 → ((𝐴 / 2) ∈ ℕ0 ∨ ((𝐴 + 1) / 2) ∈ ℕ0))
3	1, 2	syl 17	. . 3 ⊢ (𝐴 ∈ (ℤ≥‘2) → ((𝐴 / 2) ∈ ℕ0 ∨ ((𝐴 + 1) / 2) ∈ ℕ0))
4		dignn0ehalf 49108	. . . . . . 7 ⊢ (((𝐴 / 2) ∈ ℕ0 ∧ 𝐴 ∈ ℕ0 ∧ 𝐼 ∈ ℕ0) → ((𝐼 + 1)(digit‘2)𝐴) = (𝐼(digit‘2)(𝐴 / 2)))
5	1, 4	syl3an2 1170	. . . . . 6 ⊢ (((𝐴 / 2) ∈ ℕ0 ∧ 𝐴 ∈ (ℤ≥‘2) ∧ 𝐼 ∈ ℕ0) → ((𝐼 + 1)(digit‘2)𝐴) = (𝐼(digit‘2)(𝐴 / 2)))
6		eluzelz 12789	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝐴 ∈ (ℤ≥‘2) → 𝐴 ∈ ℤ)
7		nn0z 12539	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((𝐴 / 2) ∈ ℕ0 → (𝐴 / 2) ∈ ℤ)
8		zefldiv2 49021	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((𝐴 ∈ ℤ ∧ (𝐴 / 2) ∈ ℤ) → (⌊‘(𝐴 / 2)) = (𝐴 / 2))
9	6, 7, 8	syl2anr 603	. . . . . . . . 9 ⊢ (((𝐴 / 2) ∈ ℕ0 ∧ 𝐴 ∈ (ℤ≥‘2)) → (⌊‘(𝐴 / 2)) = (𝐴 / 2))
10	9	eqcomd 2745	. . . . . . . 8 ⊢ (((𝐴 / 2) ∈ ℕ0 ∧ 𝐴 ∈ (ℤ≥‘2)) → (𝐴 / 2) = (⌊‘(𝐴 / 2)))
11	10	3adant3 1138	. . . . . . 7 ⊢ (((𝐴 / 2) ∈ ℕ0 ∧ 𝐴 ∈ (ℤ≥‘2) ∧ 𝐼 ∈ ℕ0) → (𝐴 / 2) = (⌊‘(𝐴 / 2)))
12	11	oveq2d 7372	. . . . . 6 ⊢ (((𝐴 / 2) ∈ ℕ0 ∧ 𝐴 ∈ (ℤ≥‘2) ∧ 𝐼 ∈ ℕ0) → (𝐼(digit‘2)(𝐴 / 2)) = (𝐼(digit‘2)(⌊‘(𝐴 / 2))))
13	5, 12	eqtrd 2774	. . . . 5 ⊢ (((𝐴 / 2) ∈ ℕ0 ∧ 𝐴 ∈ (ℤ≥‘2) ∧ 𝐼 ∈ ℕ0) → ((𝐼 + 1)(digit‘2)𝐴) = (𝐼(digit‘2)(⌊‘(𝐴 / 2))))
14	13	3exp 1125	. . . 4 ⊢ ((𝐴 / 2) ∈ ℕ0 → (𝐴 ∈ (ℤ≥‘2) → (𝐼 ∈ ℕ0 → ((𝐼 + 1)(digit‘2)𝐴) = (𝐼(digit‘2)(⌊‘(𝐴 / 2))))))
15	6	3ad2ant2 1140	. . . . . . . 8 ⊢ ((((𝐴 + 1) / 2) ∈ ℕ0 ∧ 𝐴 ∈ (ℤ≥‘2) ∧ 𝐼 ∈ ℕ0) → 𝐴 ∈ ℤ)
16		simp2 1143	. . . . . . . . 9 ⊢ ((((𝐴 + 1) / 2) ∈ ℕ0 ∧ 𝐴 ∈ (ℤ≥‘2) ∧ 𝐼 ∈ ℕ0) → 𝐴 ∈ (ℤ≥‘2))
17		simp1 1142	. . . . . . . . 9 ⊢ ((((𝐴 + 1) / 2) ∈ ℕ0 ∧ 𝐴 ∈ (ℤ≥‘2) ∧ 𝐼 ∈ ℕ0) → ((𝐴 + 1) / 2) ∈ ℕ0)
18		nno 16342	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝐴 ∈ (ℤ≥‘2) ∧ ((𝐴 + 1) / 2) ∈ ℕ0) → ((𝐴 − 1) / 2) ∈ ℕ)
19	16, 17, 18	syl2anc 590	. . . . . . . 8 ⊢ ((((𝐴 + 1) / 2) ∈ ℕ0 ∧ 𝐴 ∈ (ℤ≥‘2) ∧ 𝐼 ∈ ℕ0) → ((𝐴 − 1) / 2) ∈ ℕ)
20		simp3 1144	. . . . . . . 8 ⊢ ((((𝐴 + 1) / 2) ∈ ℕ0 ∧ 𝐴 ∈ (ℤ≥‘2) ∧ 𝐼 ∈ ℕ0) → 𝐼 ∈ ℕ0)
21		dignn0flhalflem2 49107	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝐴 ∈ ℤ ∧ ((𝐴 − 1) / 2) ∈ ℕ ∧ 𝐼 ∈ ℕ0) → (⌊‘(𝐴 / (2↑(𝐼 + 1)))) = (⌊‘((⌊‘(𝐴 / 2)) / (2↑𝐼))))
22	15, 19, 20, 21	syl3anc 1379	. . . . . . 7 ⊢ ((((𝐴 + 1) / 2) ∈ ℕ0 ∧ 𝐴 ∈ (ℤ≥‘2) ∧ 𝐼 ∈ ℕ0) → (⌊‘(𝐴 / (2↑(𝐼 + 1)))) = (⌊‘((⌊‘(𝐴 / 2)) / (2↑𝐼))))
23	22	oveq1d 7371	. . . . . 6 ⊢ ((((𝐴 + 1) / 2) ∈ ℕ0 ∧ 𝐴 ∈ (ℤ≥‘2) ∧ 𝐼 ∈ ℕ0) → ((⌊‘(𝐴 / (2↑(𝐼 + 1)))) mod 2) = ((⌊‘((⌊‘(𝐴 / 2)) / (2↑𝐼))) mod 2))
24		2nn 12245	. . . . . . . 8 ⊢ 2 ∈ ℕ
25	24	a1i 11	. . . . . . 7 ⊢ ((((𝐴 + 1) / 2) ∈ ℕ0 ∧ 𝐴 ∈ (ℤ≥‘2) ∧ 𝐼 ∈ ℕ0) → 2 ∈ ℕ)
26		peano2nn0 12468	. . . . . . . 8 ⊢ (𝐼 ∈ ℕ0 → (𝐼 + 1) ∈ ℕ0)
27	26	3ad2ant3 1141	. . . . . . 7 ⊢ ((((𝐴 + 1) / 2) ∈ ℕ0 ∧ 𝐴 ∈ (ℤ≥‘2) ∧ 𝐼 ∈ ℕ0) → (𝐼 + 1) ∈ ℕ0)
28		nn0rp0 13399	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝐴 ∈ ℕ0 → 𝐴 ∈ (0[,)+∞))
29	1, 28	syl 17	. . . . . . . 8 ⊢ (𝐴 ∈ (ℤ≥‘2) → 𝐴 ∈ (0[,)+∞))
30	29	3ad2ant2 1140	. . . . . . 7 ⊢ ((((𝐴 + 1) / 2) ∈ ℕ0 ∧ 𝐴 ∈ (ℤ≥‘2) ∧ 𝐼 ∈ ℕ0) → 𝐴 ∈ (0[,)+∞))
31		nn0digval 49091	. . . . . . 7 ⊢ ((2 ∈ ℕ ∧ (𝐼 + 1) ∈ ℕ0 ∧ 𝐴 ∈ (0[,)+∞)) → ((𝐼 + 1)(digit‘2)𝐴) = ((⌊‘(𝐴 / (2↑(𝐼 + 1)))) mod 2))
32	25, 27, 30, 31	syl3anc 1379	. . . . . 6 ⊢ ((((𝐴 + 1) / 2) ∈ ℕ0 ∧ 𝐴 ∈ (ℤ≥‘2) ∧ 𝐼 ∈ ℕ0) → ((𝐼 + 1)(digit‘2)𝐴) = ((⌊‘(𝐴 / (2↑(𝐼 + 1)))) mod 2))
33		eluzelre 12790	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (𝐴 ∈ (ℤ≥‘2) → 𝐴 ∈ ℝ)
34	33	rehalfcld 12415	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝐴 ∈ (ℤ≥‘2) → (𝐴 / 2) ∈ ℝ)
35	1	nn0ge0d 12492	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (𝐴 ∈ (ℤ≥‘2) → 0 ≤ 𝐴)
36		2re 12246	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ 2 ∈ ℝ
37		2pos 12275	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ 0 < 2
38	36, 37	pm3.2i 471	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (2 ∈ ℝ ∧ 0 < 2)
39	38	a1i 11	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (𝐴 ∈ (ℤ≥‘2) → (2 ∈ ℝ ∧ 0 < 2))
40		divge0 12016	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (((𝐴 ∈ ℝ ∧ 0 ≤ 𝐴) ∧ (2 ∈ ℝ ∧ 0 < 2)) → 0 ≤ (𝐴 / 2))
41	33, 35, 39, 40	syl21anc 843	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝐴 ∈ (ℤ≥‘2) → 0 ≤ (𝐴 / 2))
42		flge0nn0 13770	. . . . . . . . . 10 ⊢ (((𝐴 / 2) ∈ ℝ ∧ 0 ≤ (𝐴 / 2)) → (⌊‘(𝐴 / 2)) ∈ ℕ0)
43	34, 41, 42	syl2anc 590	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝐴 ∈ (ℤ≥‘2) → (⌊‘(𝐴 / 2)) ∈ ℕ0)
44	43	3ad2ant2 1140	. . . . . . . 8 ⊢ ((((𝐴 + 1) / 2) ∈ ℕ0 ∧ 𝐴 ∈ (ℤ≥‘2) ∧ 𝐼 ∈ ℕ0) → (⌊‘(𝐴 / 2)) ∈ ℕ0)
45		nn0rp0 13399	. . . . . . . 8 ⊢ ((⌊‘(𝐴 / 2)) ∈ ℕ0 → (⌊‘(𝐴 / 2)) ∈ (0[,)+∞))
46	44, 45	syl 17	. . . . . . 7 ⊢ ((((𝐴 + 1) / 2) ∈ ℕ0 ∧ 𝐴 ∈ (ℤ≥‘2) ∧ 𝐼 ∈ ℕ0) → (⌊‘(𝐴 / 2)) ∈ (0[,)+∞))
47		nn0digval 49091	. . . . . . 7 ⊢ ((2 ∈ ℕ ∧ 𝐼 ∈ ℕ0 ∧ (⌊‘(𝐴 / 2)) ∈ (0[,)+∞)) → (𝐼(digit‘2)(⌊‘(𝐴 / 2))) = ((⌊‘((⌊‘(𝐴 / 2)) / (2↑𝐼))) mod 2))
48	25, 20, 46, 47	syl3anc 1379	. . . . . 6 ⊢ ((((𝐴 + 1) / 2) ∈ ℕ0 ∧ 𝐴 ∈ (ℤ≥‘2) ∧ 𝐼 ∈ ℕ0) → (𝐼(digit‘2)(⌊‘(𝐴 / 2))) = ((⌊‘((⌊‘(𝐴 / 2)) / (2↑𝐼))) mod 2))
49	23, 32, 48	3eqtr4d 2784	. . . . 5 ⊢ ((((𝐴 + 1) / 2) ∈ ℕ0 ∧ 𝐴 ∈ (ℤ≥‘2) ∧ 𝐼 ∈ ℕ0) → ((𝐼 + 1)(digit‘2)𝐴) = (𝐼(digit‘2)(⌊‘(𝐴 / 2))))
50	49	3exp 1125	. . . 4 ⊢ (((𝐴 + 1) / 2) ∈ ℕ0 → (𝐴 ∈ (ℤ≥‘2) → (𝐼 ∈ ℕ0 → ((𝐼 + 1)(digit‘2)𝐴) = (𝐼(digit‘2)(⌊‘(𝐴 / 2))))))
51	14, 50	jaoi 863	. . 3 ⊢ (((𝐴 / 2) ∈ ℕ0 ∨ ((𝐴 + 1) / 2) ∈ ℕ0) → (𝐴 ∈ (ℤ≥‘2) → (𝐼 ∈ ℕ0 → ((𝐼 + 1)(digit‘2)𝐴) = (𝐼(digit‘2)(⌊‘(𝐴 / 2))))))
52	3, 51	mpcom 38	. 2 ⊢ (𝐴 ∈ (ℤ≥‘2) → (𝐼 ∈ ℕ0 → ((𝐼 + 1)(digit‘2)𝐴) = (𝐼(digit‘2)(⌊‘(𝐴 / 2)))))
53	52	imp 407	1 ⊢ ((𝐴 ∈ (ℤ≥‘2) ∧ 𝐼 ∈ ℕ0) → ((𝐼 + 1)(digit‘2)𝐴) = (𝐼(digit‘2)(⌊‘(𝐴 / 2))))

Syntax hints:   → wi 4   ∧ wa 396   ∨ wo 853   ∧ w3a 1092   = wceq 1547   ∈ wcel 2119   class class class wbr 5072  ‘cfv 6485  (class class class)co 7356  ℝcr 11028  0cc0 11029  1c1 11030   + caddc 11032  +∞cpnf 11167   < clt 11170   ≤ cle 11171   − cmin 11368   / cdiv 11798  ℕcn 12165  2c2 12227  ℕ₀cn0 12428  ℤcz 12515  ℤ_≥cuz 12779  [,)cico 13291  ⌊cfl 13740   mod cmo 13819  ↑cexp 14014  digitcdig 49086

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1802  ax-4 1816  ax-5 1917  ax-6 1974  ax-7 2015  ax-8 2121  ax-9 2129  ax-10 2152  ax-11 2168  ax-12 2189  ax-ext 2711  ax-rep 5199  ax-sep 5218  ax-nul 5228  ax-pow 5294  ax-pr 5362  ax-un 7678  ax-cnex 11085  ax-resscn 11086  ax-1cn 11087  ax-icn 11088  ax-addcl 11089  ax-addrcl 11090  ax-mulcl 11091  ax-mulrcl 11092  ax-mulcom 11093  ax-addass 11094  ax-mulass 11095  ax-distr 11096  ax-i2m1 11097  ax-1ne0 11098  ax-1rid 11099  ax-rnegex 11100  ax-rrecex 11101  ax-cnre 11102  ax-pre-lttri 11103  ax-pre-lttrn 11104  ax-pre-ltadd 11105  ax-pre-mulgt0 11106  ax-pre-sup 11107

This theorem depends on definitions:  df-bi 208  df-an 397  df-or 854  df-3or 1093  df-3an 1094  df-tru 1550  df-fal 1560  df-ex 1787  df-nf 1791  df-sb 2074  df-mo 2543  df-eu 2573  df-clab 2718  df-cleq 2731  df-clel 2814  df-nfc 2888  df-ne 2935  df-nel 3039  df-ral 3054  df-rex 3064  df-rmo 3344  df-reu 3345  df-rab 3392  df-v 3433  df-sbc 3724  df-csb 3832  df-dif 3886  df-un 3888  df-in 3890  df-ss 3900  df-pss 3903  df-nul 4262  df-if 4455  df-pw 4531  df-sn 4556  df-pr 4558  df-op 4562  df-uni 4839  df-iun 4923  df-br 5073  df-opab 5135  df-mpt 5154  df-tr 5180  df-id 5513  df-eprel 5518  df-po 5526  df-so 5527  df-fr 5571  df-we 5573  df-xp 5624  df-rel 5625  df-cnv 5626  df-co 5627  df-dm 5628  df-rn 5629  df-res 5630  df-ima 5631  df-pred 6252  df-ord 6313  df-on 6314  df-lim 6315  df-suc 6316  df-iota 6441  df-fun 6487  df-fn 6488  df-f 6489  df-f1 6490  df-fo 6491  df-f1o 6492  df-fv 6493  df-riota 7313  df-ov 7359  df-oprab 7360  df-mpo 7361  df-om 7807  df-1st 7931  df-2nd 7932  df-frecs 8221  df-wrecs 8252  df-recs 8301  df-rdg 8339  df-er 8633  df-en 8884  df-dom 8885  df-sdom 8886  df-sup 9345  df-inf 9346  df-pnf 11172  df-mnf 11173  df-xr 11174  df-ltxr 11175  df-le 11176  df-sub 11370  df-neg 11371  df-div 11799  df-nn 12166  df-2 12235  df-3 12236  df-4 12237  df-n0 12429  df-z 12516  df-uz 12780  df-rp 12934  df-ico 13295  df-fz 13453  df-fzo 13600  df-fl 13742  df-mod 13820  df-seq 13955  df-exp 14015  df-dig 49087

This theorem is referenced by:  nn0sumshdiglemB  49111