Users' Mathboxes Mathbox for Alexander van der Vekens < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >   Mathboxes  >  dignn0flhalf Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem dignn0flhalf 48006
Description: The digits of the rounded half of a nonnegative integer are the digits of the integer shifted by 1. (Contributed by AV, 7-Jun-2010.)
Assertion
Ref Expression
dignn0flhalf ((𝐴 ∈ (ℤ‘2) ∧ 𝐼 ∈ ℕ0) → ((𝐼 + 1)(digit‘2)𝐴) = (𝐼(digit‘2)(⌊‘(𝐴 / 2))))

Proof of Theorem dignn0flhalf
StepHypRef Expression
1 eluzge2nn0 12923 . . . 4 (𝐴 ∈ (ℤ‘2) → 𝐴 ∈ ℕ0)
2 nn0eo 47916 . . . 4 (𝐴 ∈ ℕ0 → ((𝐴 / 2) ∈ ℕ0 ∨ ((𝐴 + 1) / 2) ∈ ℕ0))
31, 2syl 17 . . 3 (𝐴 ∈ (ℤ‘2) → ((𝐴 / 2) ∈ ℕ0 ∨ ((𝐴 + 1) / 2) ∈ ℕ0))
4 dignn0ehalf 48005 . . . . . . 7 (((𝐴 / 2) ∈ ℕ0𝐴 ∈ ℕ0𝐼 ∈ ℕ0) → ((𝐼 + 1)(digit‘2)𝐴) = (𝐼(digit‘2)(𝐴 / 2)))
51, 4syl3an2 1161 . . . . . 6 (((𝐴 / 2) ∈ ℕ0𝐴 ∈ (ℤ‘2) ∧ 𝐼 ∈ ℕ0) → ((𝐼 + 1)(digit‘2)𝐴) = (𝐼(digit‘2)(𝐴 / 2)))
6 eluzelz 12884 . . . . . . . . . 10 (𝐴 ∈ (ℤ‘2) → 𝐴 ∈ ℤ)
7 nn0z 12635 . . . . . . . . . 10 ((𝐴 / 2) ∈ ℕ0 → (𝐴 / 2) ∈ ℤ)
8 zefldiv2 47918 . . . . . . . . . 10 ((𝐴 ∈ ℤ ∧ (𝐴 / 2) ∈ ℤ) → (⌊‘(𝐴 / 2)) = (𝐴 / 2))
96, 7, 8syl2anr 595 . . . . . . . . 9 (((𝐴 / 2) ∈ ℕ0𝐴 ∈ (ℤ‘2)) → (⌊‘(𝐴 / 2)) = (𝐴 / 2))
109eqcomd 2732 . . . . . . . 8 (((𝐴 / 2) ∈ ℕ0𝐴 ∈ (ℤ‘2)) → (𝐴 / 2) = (⌊‘(𝐴 / 2)))
11103adant3 1129 . . . . . . 7 (((𝐴 / 2) ∈ ℕ0𝐴 ∈ (ℤ‘2) ∧ 𝐼 ∈ ℕ0) → (𝐴 / 2) = (⌊‘(𝐴 / 2)))
1211oveq2d 7440 . . . . . 6 (((𝐴 / 2) ∈ ℕ0𝐴 ∈ (ℤ‘2) ∧ 𝐼 ∈ ℕ0) → (𝐼(digit‘2)(𝐴 / 2)) = (𝐼(digit‘2)(⌊‘(𝐴 / 2))))
135, 12eqtrd 2766 . . . . 5 (((𝐴 / 2) ∈ ℕ0𝐴 ∈ (ℤ‘2) ∧ 𝐼 ∈ ℕ0) → ((𝐼 + 1)(digit‘2)𝐴) = (𝐼(digit‘2)(⌊‘(𝐴 / 2))))
14133exp 1116 . . . 4 ((𝐴 / 2) ∈ ℕ0 → (𝐴 ∈ (ℤ‘2) → (𝐼 ∈ ℕ0 → ((𝐼 + 1)(digit‘2)𝐴) = (𝐼(digit‘2)(⌊‘(𝐴 / 2))))))
1563ad2ant2 1131 . . . . . . . 8 ((((𝐴 + 1) / 2) ∈ ℕ0𝐴 ∈ (ℤ‘2) ∧ 𝐼 ∈ ℕ0) → 𝐴 ∈ ℤ)
16 simp2 1134 . . . . . . . . 9 ((((𝐴 + 1) / 2) ∈ ℕ0𝐴 ∈ (ℤ‘2) ∧ 𝐼 ∈ ℕ0) → 𝐴 ∈ (ℤ‘2))
17 simp1 1133 . . . . . . . . 9 ((((𝐴 + 1) / 2) ∈ ℕ0𝐴 ∈ (ℤ‘2) ∧ 𝐼 ∈ ℕ0) → ((𝐴 + 1) / 2) ∈ ℕ0)
18 nno 16384 . . . . . . . . 9 ((𝐴 ∈ (ℤ‘2) ∧ ((𝐴 + 1) / 2) ∈ ℕ0) → ((𝐴 − 1) / 2) ∈ ℕ)
1916, 17, 18syl2anc 582 . . . . . . . 8 ((((𝐴 + 1) / 2) ∈ ℕ0𝐴 ∈ (ℤ‘2) ∧ 𝐼 ∈ ℕ0) → ((𝐴 − 1) / 2) ∈ ℕ)
20 simp3 1135 . . . . . . . 8 ((((𝐴 + 1) / 2) ∈ ℕ0𝐴 ∈ (ℤ‘2) ∧ 𝐼 ∈ ℕ0) → 𝐼 ∈ ℕ0)
21 dignn0flhalflem2 48004 . . . . . . . 8 ((𝐴 ∈ ℤ ∧ ((𝐴 − 1) / 2) ∈ ℕ ∧ 𝐼 ∈ ℕ0) → (⌊‘(𝐴 / (2↑(𝐼 + 1)))) = (⌊‘((⌊‘(𝐴 / 2)) / (2↑𝐼))))
2215, 19, 20, 21syl3anc 1368 . . . . . . 7 ((((𝐴 + 1) / 2) ∈ ℕ0𝐴 ∈ (ℤ‘2) ∧ 𝐼 ∈ ℕ0) → (⌊‘(𝐴 / (2↑(𝐼 + 1)))) = (⌊‘((⌊‘(𝐴 / 2)) / (2↑𝐼))))
2322oveq1d 7439 . . . . . 6 ((((𝐴 + 1) / 2) ∈ ℕ0𝐴 ∈ (ℤ‘2) ∧ 𝐼 ∈ ℕ0) → ((⌊‘(𝐴 / (2↑(𝐼 + 1)))) mod 2) = ((⌊‘((⌊‘(𝐴 / 2)) / (2↑𝐼))) mod 2))
24 2nn 12337 . . . . . . . 8 2 ∈ ℕ
2524a1i 11 . . . . . . 7 ((((𝐴 + 1) / 2) ∈ ℕ0𝐴 ∈ (ℤ‘2) ∧ 𝐼 ∈ ℕ0) → 2 ∈ ℕ)
26 peano2nn0 12564 . . . . . . . 8 (𝐼 ∈ ℕ0 → (𝐼 + 1) ∈ ℕ0)
27263ad2ant3 1132 . . . . . . 7 ((((𝐴 + 1) / 2) ∈ ℕ0𝐴 ∈ (ℤ‘2) ∧ 𝐼 ∈ ℕ0) → (𝐼 + 1) ∈ ℕ0)
28 nn0rp0 13486 . . . . . . . . 9 (𝐴 ∈ ℕ0𝐴 ∈ (0[,)+∞))
291, 28syl 17 . . . . . . . 8 (𝐴 ∈ (ℤ‘2) → 𝐴 ∈ (0[,)+∞))
30293ad2ant2 1131 . . . . . . 7 ((((𝐴 + 1) / 2) ∈ ℕ0𝐴 ∈ (ℤ‘2) ∧ 𝐼 ∈ ℕ0) → 𝐴 ∈ (0[,)+∞))
31 nn0digval 47988 . . . . . . 7 ((2 ∈ ℕ ∧ (𝐼 + 1) ∈ ℕ0𝐴 ∈ (0[,)+∞)) → ((𝐼 + 1)(digit‘2)𝐴) = ((⌊‘(𝐴 / (2↑(𝐼 + 1)))) mod 2))
3225, 27, 30, 31syl3anc 1368 . . . . . 6 ((((𝐴 + 1) / 2) ∈ ℕ0𝐴 ∈ (ℤ‘2) ∧ 𝐼 ∈ ℕ0) → ((𝐼 + 1)(digit‘2)𝐴) = ((⌊‘(𝐴 / (2↑(𝐼 + 1)))) mod 2))
33 eluzelre 12885 . . . . . . . . . . 11 (𝐴 ∈ (ℤ‘2) → 𝐴 ∈ ℝ)
3433rehalfcld 12511 . . . . . . . . . 10 (𝐴 ∈ (ℤ‘2) → (𝐴 / 2) ∈ ℝ)
351nn0ge0d 12587 . . . . . . . . . . 11 (𝐴 ∈ (ℤ‘2) → 0 ≤ 𝐴)
36 2re 12338 . . . . . . . . . . . . 13 2 ∈ ℝ
37 2pos 12367 . . . . . . . . . . . . 13 0 < 2
3836, 37pm3.2i 469 . . . . . . . . . . . 12 (2 ∈ ℝ ∧ 0 < 2)
3938a1i 11 . . . . . . . . . . 11 (𝐴 ∈ (ℤ‘2) → (2 ∈ ℝ ∧ 0 < 2))
40 divge0 12135 . . . . . . . . . . 11 (((𝐴 ∈ ℝ ∧ 0 ≤ 𝐴) ∧ (2 ∈ ℝ ∧ 0 < 2)) → 0 ≤ (𝐴 / 2))
4133, 35, 39, 40syl21anc 836 . . . . . . . . . 10 (𝐴 ∈ (ℤ‘2) → 0 ≤ (𝐴 / 2))
42 flge0nn0 13840 . . . . . . . . . 10 (((𝐴 / 2) ∈ ℝ ∧ 0 ≤ (𝐴 / 2)) → (⌊‘(𝐴 / 2)) ∈ ℕ0)
4334, 41, 42syl2anc 582 . . . . . . . . 9 (𝐴 ∈ (ℤ‘2) → (⌊‘(𝐴 / 2)) ∈ ℕ0)
44433ad2ant2 1131 . . . . . . . 8 ((((𝐴 + 1) / 2) ∈ ℕ0𝐴 ∈ (ℤ‘2) ∧ 𝐼 ∈ ℕ0) → (⌊‘(𝐴 / 2)) ∈ ℕ0)
45 nn0rp0 13486 . . . . . . . 8 ((⌊‘(𝐴 / 2)) ∈ ℕ0 → (⌊‘(𝐴 / 2)) ∈ (0[,)+∞))
4644, 45syl 17 . . . . . . 7 ((((𝐴 + 1) / 2) ∈ ℕ0𝐴 ∈ (ℤ‘2) ∧ 𝐼 ∈ ℕ0) → (⌊‘(𝐴 / 2)) ∈ (0[,)+∞))
47 nn0digval 47988 . . . . . . 7 ((2 ∈ ℕ ∧ 𝐼 ∈ ℕ0 ∧ (⌊‘(𝐴 / 2)) ∈ (0[,)+∞)) → (𝐼(digit‘2)(⌊‘(𝐴 / 2))) = ((⌊‘((⌊‘(𝐴 / 2)) / (2↑𝐼))) mod 2))
4825, 20, 46, 47syl3anc 1368 . . . . . 6 ((((𝐴 + 1) / 2) ∈ ℕ0𝐴 ∈ (ℤ‘2) ∧ 𝐼 ∈ ℕ0) → (𝐼(digit‘2)(⌊‘(𝐴 / 2))) = ((⌊‘((⌊‘(𝐴 / 2)) / (2↑𝐼))) mod 2))
4923, 32, 483eqtr4d 2776 . . . . 5 ((((𝐴 + 1) / 2) ∈ ℕ0𝐴 ∈ (ℤ‘2) ∧ 𝐼 ∈ ℕ0) → ((𝐼 + 1)(digit‘2)𝐴) = (𝐼(digit‘2)(⌊‘(𝐴 / 2))))
50493exp 1116 . . . 4 (((𝐴 + 1) / 2) ∈ ℕ0 → (𝐴 ∈ (ℤ‘2) → (𝐼 ∈ ℕ0 → ((𝐼 + 1)(digit‘2)𝐴) = (𝐼(digit‘2)(⌊‘(𝐴 / 2))))))
5114, 50jaoi 855 . . 3 (((𝐴 / 2) ∈ ℕ0 ∨ ((𝐴 + 1) / 2) ∈ ℕ0) → (𝐴 ∈ (ℤ‘2) → (𝐼 ∈ ℕ0 → ((𝐼 + 1)(digit‘2)𝐴) = (𝐼(digit‘2)(⌊‘(𝐴 / 2))))))
523, 51mpcom 38 . 2 (𝐴 ∈ (ℤ‘2) → (𝐼 ∈ ℕ0 → ((𝐼 + 1)(digit‘2)𝐴) = (𝐼(digit‘2)(⌊‘(𝐴 / 2)))))
5352imp 405 1 ((𝐴 ∈ (ℤ‘2) ∧ 𝐼 ∈ ℕ0) → ((𝐼 + 1)(digit‘2)𝐴) = (𝐼(digit‘2)(⌊‘(𝐴 / 2))))
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  wi 4  wa 394  wo 845  w3a 1084   = wceq 1534  wcel 2099   class class class wbr 5153  cfv 6554  (class class class)co 7424  cr 11157  0cc0 11158  1c1 11159   + caddc 11161  +∞cpnf 11295   < clt 11298  cle 11299  cmin 11494   / cdiv 11921  cn 12264  2c2 12319  0cn0 12524  cz 12610  cuz 12874  [,)cico 13380  cfl 13810   mod cmo 13889  cexp 14081  digitcdig 47983
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1790  ax-4 1804  ax-5 1906  ax-6 1964  ax-7 2004  ax-8 2101  ax-9 2109  ax-10 2130  ax-11 2147  ax-12 2167  ax-ext 2697  ax-rep 5290  ax-sep 5304  ax-nul 5311  ax-pow 5369  ax-pr 5433  ax-un 7746  ax-cnex 11214  ax-resscn 11215  ax-1cn 11216  ax-icn 11217  ax-addcl 11218  ax-addrcl 11219  ax-mulcl 11220  ax-mulrcl 11221  ax-mulcom 11222  ax-addass 11223  ax-mulass 11224  ax-distr 11225  ax-i2m1 11226  ax-1ne0 11227  ax-1rid 11228  ax-rnegex 11229  ax-rrecex 11230  ax-cnre 11231  ax-pre-lttri 11232  ax-pre-lttrn 11233  ax-pre-ltadd 11234  ax-pre-mulgt0 11235  ax-pre-sup 11236
This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 395  df-or 846  df-3or 1085  df-3an 1086  df-tru 1537  df-fal 1547  df-ex 1775  df-nf 1779  df-sb 2061  df-mo 2529  df-eu 2558  df-clab 2704  df-cleq 2718  df-clel 2803  df-nfc 2878  df-ne 2931  df-nel 3037  df-ral 3052  df-rex 3061  df-rmo 3364  df-reu 3365  df-rab 3420  df-v 3464  df-sbc 3777  df-csb 3893  df-dif 3950  df-un 3952  df-in 3954  df-ss 3964  df-pss 3967  df-nul 4326  df-if 4534  df-pw 4609  df-sn 4634  df-pr 4636  df-op 4640  df-uni 4914  df-iun 5003  df-br 5154  df-opab 5216  df-mpt 5237  df-tr 5271  df-id 5580  df-eprel 5586  df-po 5594  df-so 5595  df-fr 5637  df-we 5639  df-xp 5688  df-rel 5689  df-cnv 5690  df-co 5691  df-dm 5692  df-rn 5693  df-res 5694  df-ima 5695  df-pred 6312  df-ord 6379  df-on 6380  df-lim 6381  df-suc 6382  df-iota 6506  df-fun 6556  df-fn 6557  df-f 6558  df-f1 6559  df-fo 6560  df-f1o 6561  df-fv 6562  df-riota 7380  df-ov 7427  df-oprab 7428  df-mpo 7429  df-om 7877  df-1st 8003  df-2nd 8004  df-frecs 8296  df-wrecs 8327  df-recs 8401  df-rdg 8440  df-er 8734  df-en 8975  df-dom 8976  df-sdom 8977  df-sup 9485  df-inf 9486  df-pnf 11300  df-mnf 11301  df-xr 11302  df-ltxr 11303  df-le 11304  df-sub 11496  df-neg 11497  df-div 11922  df-nn 12265  df-2 12327  df-3 12328  df-4 12329  df-n0 12525  df-z 12611  df-uz 12875  df-rp 13029  df-ico 13384  df-fz 13539  df-fzo 13682  df-fl 13812  df-mod 13890  df-seq 14022  df-exp 14082  df-dig 47984
This theorem is referenced by:  nn0sumshdiglemB  48008
  Copyright terms: Public domain W3C validator