Users' Mathboxes Mathbox for Alexander van der Vekens < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >   Mathboxes  >  dignn0flhalf Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem dignn0flhalf 44181
Description: The digits of the rounded half of a nonnegative integer are the digits of the integer shifted by 1. (Contributed by AV, 7-Jun-2010.)
Assertion
Ref Expression
dignn0flhalf ((𝐴 ∈ (ℤ‘2) ∧ 𝐼 ∈ ℕ0) → ((𝐼 + 1)(digit‘2)𝐴) = (𝐼(digit‘2)(⌊‘(𝐴 / 2))))

Proof of Theorem dignn0flhalf
StepHypRef Expression
1 eluzge2nn0 12140 . . . 4 (𝐴 ∈ (ℤ‘2) → 𝐴 ∈ ℕ0)
2 nn0eo 44091 . . . 4 (𝐴 ∈ ℕ0 → ((𝐴 / 2) ∈ ℕ0 ∨ ((𝐴 + 1) / 2) ∈ ℕ0))
31, 2syl 17 . . 3 (𝐴 ∈ (ℤ‘2) → ((𝐴 / 2) ∈ ℕ0 ∨ ((𝐴 + 1) / 2) ∈ ℕ0))
4 dignn0ehalf 44180 . . . . . . 7 (((𝐴 / 2) ∈ ℕ0𝐴 ∈ ℕ0𝐼 ∈ ℕ0) → ((𝐼 + 1)(digit‘2)𝐴) = (𝐼(digit‘2)(𝐴 / 2)))
51, 4syl3an2 1157 . . . . . 6 (((𝐴 / 2) ∈ ℕ0𝐴 ∈ (ℤ‘2) ∧ 𝐼 ∈ ℕ0) → ((𝐼 + 1)(digit‘2)𝐴) = (𝐼(digit‘2)(𝐴 / 2)))
6 eluzelz 12107 . . . . . . . . . 10 (𝐴 ∈ (ℤ‘2) → 𝐴 ∈ ℤ)
7 nn0z 11859 . . . . . . . . . 10 ((𝐴 / 2) ∈ ℕ0 → (𝐴 / 2) ∈ ℤ)
8 zefldiv2 44093 . . . . . . . . . 10 ((𝐴 ∈ ℤ ∧ (𝐴 / 2) ∈ ℤ) → (⌊‘(𝐴 / 2)) = (𝐴 / 2))
96, 7, 8syl2anr 596 . . . . . . . . 9 (((𝐴 / 2) ∈ ℕ0𝐴 ∈ (ℤ‘2)) → (⌊‘(𝐴 / 2)) = (𝐴 / 2))
109eqcomd 2803 . . . . . . . 8 (((𝐴 / 2) ∈ ℕ0𝐴 ∈ (ℤ‘2)) → (𝐴 / 2) = (⌊‘(𝐴 / 2)))
11103adant3 1125 . . . . . . 7 (((𝐴 / 2) ∈ ℕ0𝐴 ∈ (ℤ‘2) ∧ 𝐼 ∈ ℕ0) → (𝐴 / 2) = (⌊‘(𝐴 / 2)))
1211oveq2d 7039 . . . . . 6 (((𝐴 / 2) ∈ ℕ0𝐴 ∈ (ℤ‘2) ∧ 𝐼 ∈ ℕ0) → (𝐼(digit‘2)(𝐴 / 2)) = (𝐼(digit‘2)(⌊‘(𝐴 / 2))))
135, 12eqtrd 2833 . . . . 5 (((𝐴 / 2) ∈ ℕ0𝐴 ∈ (ℤ‘2) ∧ 𝐼 ∈ ℕ0) → ((𝐼 + 1)(digit‘2)𝐴) = (𝐼(digit‘2)(⌊‘(𝐴 / 2))))
14133exp 1112 . . . 4 ((𝐴 / 2) ∈ ℕ0 → (𝐴 ∈ (ℤ‘2) → (𝐼 ∈ ℕ0 → ((𝐼 + 1)(digit‘2)𝐴) = (𝐼(digit‘2)(⌊‘(𝐴 / 2))))))
1563ad2ant2 1127 . . . . . . . 8 ((((𝐴 + 1) / 2) ∈ ℕ0𝐴 ∈ (ℤ‘2) ∧ 𝐼 ∈ ℕ0) → 𝐴 ∈ ℤ)
16 simp2 1130 . . . . . . . . 9 ((((𝐴 + 1) / 2) ∈ ℕ0𝐴 ∈ (ℤ‘2) ∧ 𝐼 ∈ ℕ0) → 𝐴 ∈ (ℤ‘2))
17 simp1 1129 . . . . . . . . 9 ((((𝐴 + 1) / 2) ∈ ℕ0𝐴 ∈ (ℤ‘2) ∧ 𝐼 ∈ ℕ0) → ((𝐴 + 1) / 2) ∈ ℕ0)
18 nno 15570 . . . . . . . . 9 ((𝐴 ∈ (ℤ‘2) ∧ ((𝐴 + 1) / 2) ∈ ℕ0) → ((𝐴 − 1) / 2) ∈ ℕ)
1916, 17, 18syl2anc 584 . . . . . . . 8 ((((𝐴 + 1) / 2) ∈ ℕ0𝐴 ∈ (ℤ‘2) ∧ 𝐼 ∈ ℕ0) → ((𝐴 − 1) / 2) ∈ ℕ)
20 simp3 1131 . . . . . . . 8 ((((𝐴 + 1) / 2) ∈ ℕ0𝐴 ∈ (ℤ‘2) ∧ 𝐼 ∈ ℕ0) → 𝐼 ∈ ℕ0)
21 dignn0flhalflem2 44179 . . . . . . . 8 ((𝐴 ∈ ℤ ∧ ((𝐴 − 1) / 2) ∈ ℕ ∧ 𝐼 ∈ ℕ0) → (⌊‘(𝐴 / (2↑(𝐼 + 1)))) = (⌊‘((⌊‘(𝐴 / 2)) / (2↑𝐼))))
2215, 19, 20, 21syl3anc 1364 . . . . . . 7 ((((𝐴 + 1) / 2) ∈ ℕ0𝐴 ∈ (ℤ‘2) ∧ 𝐼 ∈ ℕ0) → (⌊‘(𝐴 / (2↑(𝐼 + 1)))) = (⌊‘((⌊‘(𝐴 / 2)) / (2↑𝐼))))
2322oveq1d 7038 . . . . . 6 ((((𝐴 + 1) / 2) ∈ ℕ0𝐴 ∈ (ℤ‘2) ∧ 𝐼 ∈ ℕ0) → ((⌊‘(𝐴 / (2↑(𝐼 + 1)))) mod 2) = ((⌊‘((⌊‘(𝐴 / 2)) / (2↑𝐼))) mod 2))
24 2nn 11564 . . . . . . . 8 2 ∈ ℕ
2524a1i 11 . . . . . . 7 ((((𝐴 + 1) / 2) ∈ ℕ0𝐴 ∈ (ℤ‘2) ∧ 𝐼 ∈ ℕ0) → 2 ∈ ℕ)
26 peano2nn0 11791 . . . . . . . 8 (𝐼 ∈ ℕ0 → (𝐼 + 1) ∈ ℕ0)
27263ad2ant3 1128 . . . . . . 7 ((((𝐴 + 1) / 2) ∈ ℕ0𝐴 ∈ (ℤ‘2) ∧ 𝐼 ∈ ℕ0) → (𝐼 + 1) ∈ ℕ0)
28 nn0rp0 12697 . . . . . . . . 9 (𝐴 ∈ ℕ0𝐴 ∈ (0[,)+∞))
291, 28syl 17 . . . . . . . 8 (𝐴 ∈ (ℤ‘2) → 𝐴 ∈ (0[,)+∞))
30293ad2ant2 1127 . . . . . . 7 ((((𝐴 + 1) / 2) ∈ ℕ0𝐴 ∈ (ℤ‘2) ∧ 𝐼 ∈ ℕ0) → 𝐴 ∈ (0[,)+∞))
31 nn0digval 44163 . . . . . . 7 ((2 ∈ ℕ ∧ (𝐼 + 1) ∈ ℕ0𝐴 ∈ (0[,)+∞)) → ((𝐼 + 1)(digit‘2)𝐴) = ((⌊‘(𝐴 / (2↑(𝐼 + 1)))) mod 2))
3225, 27, 30, 31syl3anc 1364 . . . . . 6 ((((𝐴 + 1) / 2) ∈ ℕ0𝐴 ∈ (ℤ‘2) ∧ 𝐼 ∈ ℕ0) → ((𝐼 + 1)(digit‘2)𝐴) = ((⌊‘(𝐴 / (2↑(𝐼 + 1)))) mod 2))
33 eluzelre 12108 . . . . . . . . . . 11 (𝐴 ∈ (ℤ‘2) → 𝐴 ∈ ℝ)
3433rehalfcld 11738 . . . . . . . . . 10 (𝐴 ∈ (ℤ‘2) → (𝐴 / 2) ∈ ℝ)
351nn0ge0d 11812 . . . . . . . . . . 11 (𝐴 ∈ (ℤ‘2) → 0 ≤ 𝐴)
36 2re 11565 . . . . . . . . . . . . 13 2 ∈ ℝ
37 2pos 11594 . . . . . . . . . . . . 13 0 < 2
3836, 37pm3.2i 471 . . . . . . . . . . . 12 (2 ∈ ℝ ∧ 0 < 2)
3938a1i 11 . . . . . . . . . . 11 (𝐴 ∈ (ℤ‘2) → (2 ∈ ℝ ∧ 0 < 2))
40 divge0 11363 . . . . . . . . . . 11 (((𝐴 ∈ ℝ ∧ 0 ≤ 𝐴) ∧ (2 ∈ ℝ ∧ 0 < 2)) → 0 ≤ (𝐴 / 2))
4133, 35, 39, 40syl21anc 834 . . . . . . . . . 10 (𝐴 ∈ (ℤ‘2) → 0 ≤ (𝐴 / 2))
42 flge0nn0 13044 . . . . . . . . . 10 (((𝐴 / 2) ∈ ℝ ∧ 0 ≤ (𝐴 / 2)) → (⌊‘(𝐴 / 2)) ∈ ℕ0)
4334, 41, 42syl2anc 584 . . . . . . . . 9 (𝐴 ∈ (ℤ‘2) → (⌊‘(𝐴 / 2)) ∈ ℕ0)
44433ad2ant2 1127 . . . . . . . 8 ((((𝐴 + 1) / 2) ∈ ℕ0𝐴 ∈ (ℤ‘2) ∧ 𝐼 ∈ ℕ0) → (⌊‘(𝐴 / 2)) ∈ ℕ0)
45 nn0rp0 12697 . . . . . . . 8 ((⌊‘(𝐴 / 2)) ∈ ℕ0 → (⌊‘(𝐴 / 2)) ∈ (0[,)+∞))
4644, 45syl 17 . . . . . . 7 ((((𝐴 + 1) / 2) ∈ ℕ0𝐴 ∈ (ℤ‘2) ∧ 𝐼 ∈ ℕ0) → (⌊‘(𝐴 / 2)) ∈ (0[,)+∞))
47 nn0digval 44163 . . . . . . 7 ((2 ∈ ℕ ∧ 𝐼 ∈ ℕ0 ∧ (⌊‘(𝐴 / 2)) ∈ (0[,)+∞)) → (𝐼(digit‘2)(⌊‘(𝐴 / 2))) = ((⌊‘((⌊‘(𝐴 / 2)) / (2↑𝐼))) mod 2))
4825, 20, 46, 47syl3anc 1364 . . . . . 6 ((((𝐴 + 1) / 2) ∈ ℕ0𝐴 ∈ (ℤ‘2) ∧ 𝐼 ∈ ℕ0) → (𝐼(digit‘2)(⌊‘(𝐴 / 2))) = ((⌊‘((⌊‘(𝐴 / 2)) / (2↑𝐼))) mod 2))
4923, 32, 483eqtr4d 2843 . . . . 5 ((((𝐴 + 1) / 2) ∈ ℕ0𝐴 ∈ (ℤ‘2) ∧ 𝐼 ∈ ℕ0) → ((𝐼 + 1)(digit‘2)𝐴) = (𝐼(digit‘2)(⌊‘(𝐴 / 2))))
50493exp 1112 . . . 4 (((𝐴 + 1) / 2) ∈ ℕ0 → (𝐴 ∈ (ℤ‘2) → (𝐼 ∈ ℕ0 → ((𝐼 + 1)(digit‘2)𝐴) = (𝐼(digit‘2)(⌊‘(𝐴 / 2))))))
5114, 50jaoi 852 . . 3 (((𝐴 / 2) ∈ ℕ0 ∨ ((𝐴 + 1) / 2) ∈ ℕ0) → (𝐴 ∈ (ℤ‘2) → (𝐼 ∈ ℕ0 → ((𝐼 + 1)(digit‘2)𝐴) = (𝐼(digit‘2)(⌊‘(𝐴 / 2))))))
523, 51mpcom 38 . 2 (𝐴 ∈ (ℤ‘2) → (𝐼 ∈ ℕ0 → ((𝐼 + 1)(digit‘2)𝐴) = (𝐼(digit‘2)(⌊‘(𝐴 / 2)))))
5352imp 407 1 ((𝐴 ∈ (ℤ‘2) ∧ 𝐼 ∈ ℕ0) → ((𝐼 + 1)(digit‘2)𝐴) = (𝐼(digit‘2)(⌊‘(𝐴 / 2))))
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  wi 4  wa 396  wo 842  w3a 1080   = wceq 1525  wcel 2083   class class class wbr 4968  cfv 6232  (class class class)co 7023  cr 10389  0cc0 10390  1c1 10391   + caddc 10393  +∞cpnf 10525   < clt 10528  cle 10529  cmin 10723   / cdiv 11151  cn 11492  2c2 11546  0cn0 11751  cz 11835  cuz 12097  [,)cico 12594  cfl 13014   mod cmo 13091  cexp 13283  digitcdig 44158
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1781  ax-4 1795  ax-5 1892  ax-6 1951  ax-7 1996  ax-8 2085  ax-9 2093  ax-10 2114  ax-11 2128  ax-12 2143  ax-13 2346  ax-ext 2771  ax-rep 5088  ax-sep 5101  ax-nul 5108  ax-pow 5164  ax-pr 5228  ax-un 7326  ax-cnex 10446  ax-resscn 10447  ax-1cn 10448  ax-icn 10449  ax-addcl 10450  ax-addrcl 10451  ax-mulcl 10452  ax-mulrcl 10453  ax-mulcom 10454  ax-addass 10455  ax-mulass 10456  ax-distr 10457  ax-i2m1 10458  ax-1ne0 10459  ax-1rid 10460  ax-rnegex 10461  ax-rrecex 10462  ax-cnre 10463  ax-pre-lttri 10464  ax-pre-lttrn 10465  ax-pre-ltadd 10466  ax-pre-mulgt0 10467  ax-pre-sup 10468
This theorem depends on definitions:  df-bi 208  df-an 397  df-or 843  df-3or 1081  df-3an 1082  df-tru 1528  df-ex 1766  df-nf 1770  df-sb 2045  df-mo 2578  df-eu 2614  df-clab 2778  df-cleq 2790  df-clel 2865  df-nfc 2937  df-ne 2987  df-nel 3093  df-ral 3112  df-rex 3113  df-reu 3114  df-rmo 3115  df-rab 3116  df-v 3442  df-sbc 3712  df-csb 3818  df-dif 3868  df-un 3870  df-in 3872  df-ss 3880  df-pss 3882  df-nul 4218  df-if 4388  df-pw 4461  df-sn 4479  df-pr 4481  df-tp 4483  df-op 4485  df-uni 4752  df-iun 4833  df-br 4969  df-opab 5031  df-mpt 5048  df-tr 5071  df-id 5355  df-eprel 5360  df-po 5369  df-so 5370  df-fr 5409  df-we 5411  df-xp 5456  df-rel 5457  df-cnv 5458  df-co 5459  df-dm 5460  df-rn 5461  df-res 5462  df-ima 5463  df-pred 6030  df-ord 6076  df-on 6077  df-lim 6078  df-suc 6079  df-iota 6196  df-fun 6234  df-fn 6235  df-f 6236  df-f1 6237  df-fo 6238  df-f1o 6239  df-fv 6240  df-riota 6984  df-ov 7026  df-oprab 7027  df-mpo 7028  df-om 7444  df-1st 7552  df-2nd 7553  df-wrecs 7805  df-recs 7867  df-rdg 7905  df-er 8146  df-en 8365  df-dom 8366  df-sdom 8367  df-sup 8759  df-inf 8760  df-pnf 10530  df-mnf 10531  df-xr 10532  df-ltxr 10533  df-le 10534  df-sub 10725  df-neg 10726  df-div 11152  df-nn 11493  df-2 11554  df-3 11555  df-4 11556  df-n0 11752  df-z 11836  df-uz 12098  df-rp 12244  df-ico 12598  df-fz 12747  df-fzo 12888  df-fl 13016  df-mod 13092  df-seq 13224  df-exp 13284  df-dig 44159
This theorem is referenced by:  nn0sumshdiglemB  44183
  Copyright terms: Public domain W3C validator