Theorem dignn0flhalf 49869

Description: The digits of the rounded half of a nonnegative integer are the digits of the integer shifted by 1. (Contributed by AV, 7-Jun-2010.)

Assertion

Ref	Expression
dignn0flhalf	⊢ ((𝐴 ∈ (ℤ≥‘2) ∧ 𝐼 ∈ ℕ0) → ((𝐼 + 1)(digit‘2)𝐴) = (𝐼(digit‘2)(⌊‘(𝐴 / 2))))

Proof of Theorem dignn0flhalf

Step	Hyp	Ref	Expression
1		eluzge2nn0 13029	. . . 4 ⊢ (𝐴 ∈ (ℤ≥‘2) → 𝐴 ∈ ℕ0)
2		nn0eo 49779	. . . 4 ⊢ (𝐴 ∈ ℕ0 → ((𝐴 / 2) ∈ ℕ0 ∨ ((𝐴 + 1) / 2) ∈ ℕ0))
3	1, 2	syl 18	. . 3 ⊢ (𝐴 ∈ (ℤ≥‘2) → ((𝐴 / 2) ∈ ℕ0 ∨ ((𝐴 + 1) / 2) ∈ ℕ0))
4		dignn0ehalf 49868	. . . . . . 7 ⊢ (((𝐴 / 2) ∈ ℕ0 ∧ 𝐴 ∈ ℕ0 ∧ 𝐼 ∈ ℕ0) → ((𝐼 + 1)(digit‘2)𝐴) = (𝐼(digit‘2)(𝐴 / 2)))
5	1, 4	syl3an2 1182	. . . . . 6 ⊢ (((𝐴 / 2) ∈ ℕ0 ∧ 𝐴 ∈ (ℤ≥‘2) ∧ 𝐼 ∈ ℕ0) → ((𝐼 + 1)(digit‘2)𝐴) = (𝐼(digit‘2)(𝐴 / 2)))
6		eluzelz 12985	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝐴 ∈ (ℤ≥‘2) → 𝐴 ∈ ℤ)
7		nn0z 12727	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((𝐴 / 2) ∈ ℕ0 → (𝐴 / 2) ∈ ℤ)
8		zefldiv2 49781	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((𝐴 ∈ ℤ ∧ (𝐴 / 2) ∈ ℤ) → (⌊‘(𝐴 / 2)) = (𝐴 / 2))
9	6, 7, 8	syl2anr 609	. . . . . . . . 9 ⊢ (((𝐴 / 2) ∈ ℕ0 ∧ 𝐴 ∈ (ℤ≥‘2)) → (⌊‘(𝐴 / 2)) = (𝐴 / 2))
10	9	eqcomd 2769	. . . . . . . 8 ⊢ (((𝐴 / 2) ∈ ℕ0 ∧ 𝐴 ∈ (ℤ≥‘2)) → (𝐴 / 2) = (⌊‘(𝐴 / 2)))
11	10	3adant3 1150	. . . . . . 7 ⊢ (((𝐴 / 2) ∈ ℕ0 ∧ 𝐴 ∈ (ℤ≥‘2) ∧ 𝐼 ∈ ℕ0) → (𝐴 / 2) = (⌊‘(𝐴 / 2)))
12	11	oveq2d 7443	. . . . . 6 ⊢ (((𝐴 / 2) ∈ ℕ0 ∧ 𝐴 ∈ (ℤ≥‘2) ∧ 𝐼 ∈ ℕ0) → (𝐼(digit‘2)(𝐴 / 2)) = (𝐼(digit‘2)(⌊‘(𝐴 / 2))))
13	5, 12	eqtrd 2798	. . . . 5 ⊢ (((𝐴 / 2) ∈ ℕ0 ∧ 𝐴 ∈ (ℤ≥‘2) ∧ 𝐼 ∈ ℕ0) → ((𝐼 + 1)(digit‘2)𝐴) = (𝐼(digit‘2)(⌊‘(𝐴 / 2))))
14	13	3exp 1137	. . . 4 ⊢ ((𝐴 / 2) ∈ ℕ0 → (𝐴 ∈ (ℤ≥‘2) → (𝐼 ∈ ℕ0 → ((𝐼 + 1)(digit‘2)𝐴) = (𝐼(digit‘2)(⌊‘(𝐴 / 2))))))
15	6	3ad2ant2 1152	. . . . . . . 8 ⊢ ((((𝐴 + 1) / 2) ∈ ℕ0 ∧ 𝐴 ∈ (ℤ≥‘2) ∧ 𝐼 ∈ ℕ0) → 𝐴 ∈ ℤ)
16		simp2 1155	. . . . . . . . 9 ⊢ ((((𝐴 + 1) / 2) ∈ ℕ0 ∧ 𝐴 ∈ (ℤ≥‘2) ∧ 𝐼 ∈ ℕ0) → 𝐴 ∈ (ℤ≥‘2))
17		simp1 1154	. . . . . . . . 9 ⊢ ((((𝐴 + 1) / 2) ∈ ℕ0 ∧ 𝐴 ∈ (ℤ≥‘2) ∧ 𝐼 ∈ ℕ0) → ((𝐴 + 1) / 2) ∈ ℕ0)
18		nno 16564	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝐴 ∈ (ℤ≥‘2) ∧ ((𝐴 + 1) / 2) ∈ ℕ0) → ((𝐴 − 1) / 2) ∈ ℕ)
19	16, 17, 18	syl2anc 596	. . . . . . . 8 ⊢ ((((𝐴 + 1) / 2) ∈ ℕ0 ∧ 𝐴 ∈ (ℤ≥‘2) ∧ 𝐼 ∈ ℕ0) → ((𝐴 − 1) / 2) ∈ ℕ)
20		simp3 1156	. . . . . . . 8 ⊢ ((((𝐴 + 1) / 2) ∈ ℕ0 ∧ 𝐴 ∈ (ℤ≥‘2) ∧ 𝐼 ∈ ℕ0) → 𝐼 ∈ ℕ0)
21		dignn0flhalflem2 49867	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝐴 ∈ ℤ ∧ ((𝐴 − 1) / 2) ∈ ℕ ∧ 𝐼 ∈ ℕ0) → (⌊‘(𝐴 / (2↑(𝐼 + 1)))) = (⌊‘((⌊‘(𝐴 / 2)) / (2↑𝐼))))
22	15, 19, 20, 21	syl3anc 1398	. . . . . . 7 ⊢ ((((𝐴 + 1) / 2) ∈ ℕ0 ∧ 𝐴 ∈ (ℤ≥‘2) ∧ 𝐼 ∈ ℕ0) → (⌊‘(𝐴 / (2↑(𝐼 + 1)))) = (⌊‘((⌊‘(𝐴 / 2)) / (2↑𝐼))))
23	22	oveq1d 7442	. . . . . 6 ⊢ ((((𝐴 + 1) / 2) ∈ ℕ0 ∧ 𝐴 ∈ (ℤ≥‘2) ∧ 𝐼 ∈ ℕ0) → ((⌊‘(𝐴 / (2↑(𝐼 + 1)))) mod 2) = ((⌊‘((⌊‘(𝐴 / 2)) / (2↑𝐼))) mod 2))
24		2nn 12426	. . . . . . . 8 ⊢ 2 ∈ ℕ
25	24	a1i 11	. . . . . . 7 ⊢ ((((𝐴 + 1) / 2) ∈ ℕ0 ∧ 𝐴 ∈ (ℤ≥‘2) ∧ 𝐼 ∈ ℕ0) → 2 ∈ ℕ)
26		peano2nn0 12656	. . . . . . . 8 ⊢ (𝐼 ∈ ℕ0 → (𝐼 + 1) ∈ ℕ0)
27	26	3ad2ant3 1153	. . . . . . 7 ⊢ ((((𝐴 + 1) / 2) ∈ ℕ0 ∧ 𝐴 ∈ (ℤ≥‘2) ∧ 𝐼 ∈ ℕ0) → (𝐼 + 1) ∈ ℕ0)
28		nn0rp0 13596	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝐴 ∈ ℕ0 → 𝐴 ∈ (0[,)+∞))
29	1, 28	syl 18	. . . . . . . 8 ⊢ (𝐴 ∈ (ℤ≥‘2) → 𝐴 ∈ (0[,)+∞))
30	29	3ad2ant2 1152	. . . . . . 7 ⊢ ((((𝐴 + 1) / 2) ∈ ℕ0 ∧ 𝐴 ∈ (ℤ≥‘2) ∧ 𝐼 ∈ ℕ0) → 𝐴 ∈ (0[,)+∞))
31		nn0digval 49851	. . . . . . 7 ⊢ ((2 ∈ ℕ ∧ (𝐼 + 1) ∈ ℕ0 ∧ 𝐴 ∈ (0[,)+∞)) → ((𝐼 + 1)(digit‘2)𝐴) = ((⌊‘(𝐴 / (2↑(𝐼 + 1)))) mod 2))
32	25, 27, 30, 31	syl3anc 1398	. . . . . 6 ⊢ ((((𝐴 + 1) / 2) ∈ ℕ0 ∧ 𝐴 ∈ (ℤ≥‘2) ∧ 𝐼 ∈ ℕ0) → ((𝐼 + 1)(digit‘2)𝐴) = ((⌊‘(𝐴 / (2↑(𝐼 + 1)))) mod 2))
33		eluzelre 12986	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (𝐴 ∈ (ℤ≥‘2) → 𝐴 ∈ ℝ)
34	33	rehalfcld 12603	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝐴 ∈ (ℤ≥‘2) → (𝐴 / 2) ∈ ℝ)
35	1	nn0ge0d 12680	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (𝐴 ∈ (ℤ≥‘2) → 0 ≤ 𝐴)
36		2re 12427	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ 2 ∈ ℝ
37		2pos 12457	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ 0 < 2
38	36, 37	pm3.2i 476	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (2 ∈ ℝ ∧ 0 < 2)
39	38	a1i 11	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (𝐴 ∈ (ℤ≥‘2) → (2 ∈ ℝ ∧ 0 < 2))
40		divge0 12196	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (((𝐴 ∈ ℝ ∧ 0 ≤ 𝐴) ∧ (2 ∈ ℝ ∧ 0 < 2)) → 0 ≤ (𝐴 / 2))
41	33, 35, 39, 40	syl21anc 851	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝐴 ∈ (ℤ≥‘2) → 0 ≤ (𝐴 / 2))
42		flge0nn0 13970	. . . . . . . . . 10 ⊢ (((𝐴 / 2) ∈ ℝ ∧ 0 ≤ (𝐴 / 2)) → (⌊‘(𝐴 / 2)) ∈ ℕ0)
43	34, 41, 42	syl2anc 596	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝐴 ∈ (ℤ≥‘2) → (⌊‘(𝐴 / 2)) ∈ ℕ0)
44	43	3ad2ant2 1152	. . . . . . . 8 ⊢ ((((𝐴 + 1) / 2) ∈ ℕ0 ∧ 𝐴 ∈ (ℤ≥‘2) ∧ 𝐼 ∈ ℕ0) → (⌊‘(𝐴 / 2)) ∈ ℕ0)
45		nn0rp0 13596	. . . . . . . 8 ⊢ ((⌊‘(𝐴 / 2)) ∈ ℕ0 → (⌊‘(𝐴 / 2)) ∈ (0[,)+∞))
46	44, 45	syl 18	. . . . . . 7 ⊢ ((((𝐴 + 1) / 2) ∈ ℕ0 ∧ 𝐴 ∈ (ℤ≥‘2) ∧ 𝐼 ∈ ℕ0) → (⌊‘(𝐴 / 2)) ∈ (0[,)+∞))
47		nn0digval 49851	. . . . . . 7 ⊢ ((2 ∈ ℕ ∧ 𝐼 ∈ ℕ0 ∧ (⌊‘(𝐴 / 2)) ∈ (0[,)+∞)) → (𝐼(digit‘2)(⌊‘(𝐴 / 2))) = ((⌊‘((⌊‘(𝐴 / 2)) / (2↑𝐼))) mod 2))
48	25, 20, 46, 47	syl3anc 1398	. . . . . 6 ⊢ ((((𝐴 + 1) / 2) ∈ ℕ0 ∧ 𝐴 ∈ (ℤ≥‘2) ∧ 𝐼 ∈ ℕ0) → (𝐼(digit‘2)(⌊‘(𝐴 / 2))) = ((⌊‘((⌊‘(𝐴 / 2)) / (2↑𝐼))) mod 2))
49	23, 32, 48	3eqtr4d 2808	. . . . 5 ⊢ ((((𝐴 + 1) / 2) ∈ ℕ0 ∧ 𝐴 ∈ (ℤ≥‘2) ∧ 𝐼 ∈ ℕ0) → ((𝐼 + 1)(digit‘2)𝐴) = (𝐼(digit‘2)(⌊‘(𝐴 / 2))))
50	49	3exp 1137	. . . 4 ⊢ (((𝐴 + 1) / 2) ∈ ℕ0 → (𝐴 ∈ (ℤ≥‘2) → (𝐼 ∈ ℕ0 → ((𝐼 + 1)(digit‘2)𝐴) = (𝐼(digit‘2)(⌊‘(𝐴 / 2))))))
51	14, 50	jaoi 871	. . 3 ⊢ (((𝐴 / 2) ∈ ℕ0 ∨ ((𝐴 + 1) / 2) ∈ ℕ0) → (𝐴 ∈ (ℤ≥‘2) → (𝐼 ∈ ℕ0 → ((𝐼 + 1)(digit‘2)𝐴) = (𝐼(digit‘2)(⌊‘(𝐴 / 2))))))
52	3, 51	mpcom 39	. 2 ⊢ (𝐴 ∈ (ℤ≥‘2) → (𝐼 ∈ ℕ0 → ((𝐼 + 1)(digit‘2)𝐴) = (𝐼(digit‘2)(⌊‘(𝐴 / 2)))))
53	52	imp 412	1 ⊢ ((𝐴 ∈ (ℤ≥‘2) ∧ 𝐼 ∈ ℕ0) → ((𝐼 + 1)(digit‘2)𝐴) = (𝐼(digit‘2)(⌊‘(𝐴 / 2))))

This proof depends on syntax axioms:   → wi 4   ∧ wa 401   ∨ wo 861   ∧ w3a 1103   = wceq 1569   ∈ wcel 2146   class class class wbr 5105  ‘cfv 6546  (class class class)co 7427  ℝcr 11209  0cc0 11210  1c1 11211   + caddc 11213  +∞cpnf 11350   < clt 11353   ≤ cle 11354   − cmin 11551   / cdiv 11983  ℕcn 12345  2c2 12407  ℕ₀cn0 12616  ℤcz 12703  ℤ_≥cuz 12975  [,)cico 13488  ⌊cfl 13940   mod cmo 14019  ↑cexp 14214  digitcdig 49846

This proof depends on axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1827  ax-4 1841  ax-5 1944  ax-6 2001  ax-7 2042  ax-8 2148  ax-9 2156  ax-10 2179  ax-11 2196  ax-12 2215  ax-ext 2735  ax-rep 5234  ax-sep 5251  ax-nul 5262  ax-pow 5330  ax-pr 5394  ax-un 7758  ax-cnex 11266  ax-resscn 11267  ax-1cn 11268  ax-icn 11269  ax-addcl 11270  ax-addrcl 11271  ax-mulcl 11272  ax-mulrcl 11273  ax-mulcom 11274  ax-addass 11275  ax-mulass 11276  ax-distr 11277  ax-i2m1 11278  ax-1ne0 11279  ax-1rid 11280  ax-rnegex 11281  ax-rrecex 11282  ax-cnre 11283  ax-pre-lttri 11284  ax-pre-lttrn 11285  ax-pre-ltadd 11286  ax-pre-mulgt0 11287  ax-pre-sup 11288

This proof depends on definitions:  df-bi 210  df-an 402  df-or 862  df-3or 1104  df-3an 1105  df-tru 1572  df-fal 1582  df-ex 1812  df-nf 1816  df-sb 2101  df-mo 2567  df-eu 2597  df-clab 2742  df-cleq 2755  df-clel 2838  df-nfc 2912  df-ne 2959  df-nel 3065  df-ral 3080  df-rex 3090  df-rmo 3368  df-reu 3369  df-rab 3416  df-v 3455  df-sbc 3742  df-csb 3851  df-ss 3900  df-pss 4016  df-dif 4049  df-in 4093  df-un 4153  df-nul 4281  df-if 4485  df-pw 4561  df-sn 4588  df-pr 4590  df-op 4838  df-uni 4870  df-iun 4955  df-br 5106  df-opab 5170  df-mpt 5189  df-tr 5215  df-id 5549  df-eprel 5554  df-po 5562  df-so 5563  df-fr 5607  df-we 5609  df-xp 5660  df-rel 5661  df-cnv 5662  df-co 5663  df-dm 5664  df-rn 5665  df-res 5666  df-ima 5667  df-pred 6310  df-ord 6371  df-on 6372  df-lim 6373  df-suc 6374  df-iota 6500  df-fun 6548  df-fn 6549  df-f 6550  df-f1 6551  df-fo 6552  df-f1o 6553  df-fv 6554  df-riota 7384  df-ov 7430  df-oprab 7431  df-mpo 7432  df-om 7885  df-1st 8008  df-2nd 8009  df-frecs 8310  df-wrecs 8341  df-recs 8390  df-rdg 8429  df-er 8728  df-en 8985  df-dom 8986  df-sdom 8987  df-sup 9444  df-inf 9445  df-pnf 11355  df-mnf 11356  df-xr 11357  df-ltxr 11358  df-le 11359  df-sub 11553  df-neg 11554  df-div 11984  df-nn 12346  df-2 12415  df-3 12416  df-4 12417  df-n0 12617  df-z 12704  df-uz 12976  df-rp 13131  df-ico 13492  df-fz 13650  df-fzo 13799  df-fl 13942  df-mod 14020  df-seq 14155  df-exp 14215  df-dig 49847

This theorem is used by:  nn0sumshdiglemB  49871