Theorem dignn0flhalf 48864

Description: The digits of the rounded half of a nonnegative integer are the digits of the integer shifted by 1. (Contributed by AV, 7-Jun-2010.)

Assertion

Ref	Expression
dignn0flhalf	⊢ ((𝐴 ∈ (ℤ≥‘2) ∧ 𝐼 ∈ ℕ0) → ((𝐼 + 1)(digit‘2)𝐴) = (𝐼(digit‘2)(⌊‘(𝐴 / 2))))

Proof of Theorem dignn0flhalf

Step	Hyp	Ref	Expression
1		eluzge2nn0 12805	. . . 4 ⊢ (𝐴 ∈ (ℤ≥‘2) → 𝐴 ∈ ℕ0)
2		nn0eo 48774	. . . 4 ⊢ (𝐴 ∈ ℕ0 → ((𝐴 / 2) ∈ ℕ0 ∨ ((𝐴 + 1) / 2) ∈ ℕ0))
3	1, 2	syl 17	. . 3 ⊢ (𝐴 ∈ (ℤ≥‘2) → ((𝐴 / 2) ∈ ℕ0 ∨ ((𝐴 + 1) / 2) ∈ ℕ0))
4		dignn0ehalf 48863	. . . . . . 7 ⊢ (((𝐴 / 2) ∈ ℕ0 ∧ 𝐴 ∈ ℕ0 ∧ 𝐼 ∈ ℕ0) → ((𝐼 + 1)(digit‘2)𝐴) = (𝐼(digit‘2)(𝐴 / 2)))
5	1, 4	syl3an2 1164	. . . . . 6 ⊢ (((𝐴 / 2) ∈ ℕ0 ∧ 𝐴 ∈ (ℤ≥‘2) ∧ 𝐼 ∈ ℕ0) → ((𝐼 + 1)(digit‘2)𝐴) = (𝐼(digit‘2)(𝐴 / 2)))
6		eluzelz 12761	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝐴 ∈ (ℤ≥‘2) → 𝐴 ∈ ℤ)
7		nn0z 12512	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((𝐴 / 2) ∈ ℕ0 → (𝐴 / 2) ∈ ℤ)
8		zefldiv2 48776	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((𝐴 ∈ ℤ ∧ (𝐴 / 2) ∈ ℤ) → (⌊‘(𝐴 / 2)) = (𝐴 / 2))
9	6, 7, 8	syl2anr 597	. . . . . . . . 9 ⊢ (((𝐴 / 2) ∈ ℕ0 ∧ 𝐴 ∈ (ℤ≥‘2)) → (⌊‘(𝐴 / 2)) = (𝐴 / 2))
10	9	eqcomd 2742	. . . . . . . 8 ⊢ (((𝐴 / 2) ∈ ℕ0 ∧ 𝐴 ∈ (ℤ≥‘2)) → (𝐴 / 2) = (⌊‘(𝐴 / 2)))
11	10	3adant3 1132	. . . . . . 7 ⊢ (((𝐴 / 2) ∈ ℕ0 ∧ 𝐴 ∈ (ℤ≥‘2) ∧ 𝐼 ∈ ℕ0) → (𝐴 / 2) = (⌊‘(𝐴 / 2)))
12	11	oveq2d 7374	. . . . . 6 ⊢ (((𝐴 / 2) ∈ ℕ0 ∧ 𝐴 ∈ (ℤ≥‘2) ∧ 𝐼 ∈ ℕ0) → (𝐼(digit‘2)(𝐴 / 2)) = (𝐼(digit‘2)(⌊‘(𝐴 / 2))))
13	5, 12	eqtrd 2771	. . . . 5 ⊢ (((𝐴 / 2) ∈ ℕ0 ∧ 𝐴 ∈ (ℤ≥‘2) ∧ 𝐼 ∈ ℕ0) → ((𝐼 + 1)(digit‘2)𝐴) = (𝐼(digit‘2)(⌊‘(𝐴 / 2))))
14	13	3exp 1119	. . . 4 ⊢ ((𝐴 / 2) ∈ ℕ0 → (𝐴 ∈ (ℤ≥‘2) → (𝐼 ∈ ℕ0 → ((𝐼 + 1)(digit‘2)𝐴) = (𝐼(digit‘2)(⌊‘(𝐴 / 2))))))
15	6	3ad2ant2 1134	. . . . . . . 8 ⊢ ((((𝐴 + 1) / 2) ∈ ℕ0 ∧ 𝐴 ∈ (ℤ≥‘2) ∧ 𝐼 ∈ ℕ0) → 𝐴 ∈ ℤ)
16		simp2 1137	. . . . . . . . 9 ⊢ ((((𝐴 + 1) / 2) ∈ ℕ0 ∧ 𝐴 ∈ (ℤ≥‘2) ∧ 𝐼 ∈ ℕ0) → 𝐴 ∈ (ℤ≥‘2))
17		simp1 1136	. . . . . . . . 9 ⊢ ((((𝐴 + 1) / 2) ∈ ℕ0 ∧ 𝐴 ∈ (ℤ≥‘2) ∧ 𝐼 ∈ ℕ0) → ((𝐴 + 1) / 2) ∈ ℕ0)
18		nno 16309	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝐴 ∈ (ℤ≥‘2) ∧ ((𝐴 + 1) / 2) ∈ ℕ0) → ((𝐴 − 1) / 2) ∈ ℕ)
19	16, 17, 18	syl2anc 584	. . . . . . . 8 ⊢ ((((𝐴 + 1) / 2) ∈ ℕ0 ∧ 𝐴 ∈ (ℤ≥‘2) ∧ 𝐼 ∈ ℕ0) → ((𝐴 − 1) / 2) ∈ ℕ)
20		simp3 1138	. . . . . . . 8 ⊢ ((((𝐴 + 1) / 2) ∈ ℕ0 ∧ 𝐴 ∈ (ℤ≥‘2) ∧ 𝐼 ∈ ℕ0) → 𝐼 ∈ ℕ0)
21		dignn0flhalflem2 48862	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝐴 ∈ ℤ ∧ ((𝐴 − 1) / 2) ∈ ℕ ∧ 𝐼 ∈ ℕ0) → (⌊‘(𝐴 / (2↑(𝐼 + 1)))) = (⌊‘((⌊‘(𝐴 / 2)) / (2↑𝐼))))
22	15, 19, 20, 21	syl3anc 1373	. . . . . . 7 ⊢ ((((𝐴 + 1) / 2) ∈ ℕ0 ∧ 𝐴 ∈ (ℤ≥‘2) ∧ 𝐼 ∈ ℕ0) → (⌊‘(𝐴 / (2↑(𝐼 + 1)))) = (⌊‘((⌊‘(𝐴 / 2)) / (2↑𝐼))))
23	22	oveq1d 7373	. . . . . 6 ⊢ ((((𝐴 + 1) / 2) ∈ ℕ0 ∧ 𝐴 ∈ (ℤ≥‘2) ∧ 𝐼 ∈ ℕ0) → ((⌊‘(𝐴 / (2↑(𝐼 + 1)))) mod 2) = ((⌊‘((⌊‘(𝐴 / 2)) / (2↑𝐼))) mod 2))
24		2nn 12218	. . . . . . . 8 ⊢ 2 ∈ ℕ
25	24	a1i 11	. . . . . . 7 ⊢ ((((𝐴 + 1) / 2) ∈ ℕ0 ∧ 𝐴 ∈ (ℤ≥‘2) ∧ 𝐼 ∈ ℕ0) → 2 ∈ ℕ)
26		peano2nn0 12441	. . . . . . . 8 ⊢ (𝐼 ∈ ℕ0 → (𝐼 + 1) ∈ ℕ0)
27	26	3ad2ant3 1135	. . . . . . 7 ⊢ ((((𝐴 + 1) / 2) ∈ ℕ0 ∧ 𝐴 ∈ (ℤ≥‘2) ∧ 𝐼 ∈ ℕ0) → (𝐼 + 1) ∈ ℕ0)
28		nn0rp0 13371	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝐴 ∈ ℕ0 → 𝐴 ∈ (0[,)+∞))
29	1, 28	syl 17	. . . . . . . 8 ⊢ (𝐴 ∈ (ℤ≥‘2) → 𝐴 ∈ (0[,)+∞))
30	29	3ad2ant2 1134	. . . . . . 7 ⊢ ((((𝐴 + 1) / 2) ∈ ℕ0 ∧ 𝐴 ∈ (ℤ≥‘2) ∧ 𝐼 ∈ ℕ0) → 𝐴 ∈ (0[,)+∞))
31		nn0digval 48846	. . . . . . 7 ⊢ ((2 ∈ ℕ ∧ (𝐼 + 1) ∈ ℕ0 ∧ 𝐴 ∈ (0[,)+∞)) → ((𝐼 + 1)(digit‘2)𝐴) = ((⌊‘(𝐴 / (2↑(𝐼 + 1)))) mod 2))
32	25, 27, 30, 31	syl3anc 1373	. . . . . 6 ⊢ ((((𝐴 + 1) / 2) ∈ ℕ0 ∧ 𝐴 ∈ (ℤ≥‘2) ∧ 𝐼 ∈ ℕ0) → ((𝐼 + 1)(digit‘2)𝐴) = ((⌊‘(𝐴 / (2↑(𝐼 + 1)))) mod 2))
33		eluzelre 12762	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (𝐴 ∈ (ℤ≥‘2) → 𝐴 ∈ ℝ)
34	33	rehalfcld 12388	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝐴 ∈ (ℤ≥‘2) → (𝐴 / 2) ∈ ℝ)
35	1	nn0ge0d 12465	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (𝐴 ∈ (ℤ≥‘2) → 0 ≤ 𝐴)
36		2re 12219	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ 2 ∈ ℝ
37		2pos 12248	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ 0 < 2
38	36, 37	pm3.2i 470	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (2 ∈ ℝ ∧ 0 < 2)
39	38	a1i 11	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (𝐴 ∈ (ℤ≥‘2) → (2 ∈ ℝ ∧ 0 < 2))
40		divge0 12011	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (((𝐴 ∈ ℝ ∧ 0 ≤ 𝐴) ∧ (2 ∈ ℝ ∧ 0 < 2)) → 0 ≤ (𝐴 / 2))
41	33, 35, 39, 40	syl21anc 837	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝐴 ∈ (ℤ≥‘2) → 0 ≤ (𝐴 / 2))
42		flge0nn0 13740	. . . . . . . . . 10 ⊢ (((𝐴 / 2) ∈ ℝ ∧ 0 ≤ (𝐴 / 2)) → (⌊‘(𝐴 / 2)) ∈ ℕ0)
43	34, 41, 42	syl2anc 584	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝐴 ∈ (ℤ≥‘2) → (⌊‘(𝐴 / 2)) ∈ ℕ0)
44	43	3ad2ant2 1134	. . . . . . . 8 ⊢ ((((𝐴 + 1) / 2) ∈ ℕ0 ∧ 𝐴 ∈ (ℤ≥‘2) ∧ 𝐼 ∈ ℕ0) → (⌊‘(𝐴 / 2)) ∈ ℕ0)
45		nn0rp0 13371	. . . . . . . 8 ⊢ ((⌊‘(𝐴 / 2)) ∈ ℕ0 → (⌊‘(𝐴 / 2)) ∈ (0[,)+∞))
46	44, 45	syl 17	. . . . . . 7 ⊢ ((((𝐴 + 1) / 2) ∈ ℕ0 ∧ 𝐴 ∈ (ℤ≥‘2) ∧ 𝐼 ∈ ℕ0) → (⌊‘(𝐴 / 2)) ∈ (0[,)+∞))
47		nn0digval 48846	. . . . . . 7 ⊢ ((2 ∈ ℕ ∧ 𝐼 ∈ ℕ0 ∧ (⌊‘(𝐴 / 2)) ∈ (0[,)+∞)) → (𝐼(digit‘2)(⌊‘(𝐴 / 2))) = ((⌊‘((⌊‘(𝐴 / 2)) / (2↑𝐼))) mod 2))
48	25, 20, 46, 47	syl3anc 1373	. . . . . 6 ⊢ ((((𝐴 + 1) / 2) ∈ ℕ0 ∧ 𝐴 ∈ (ℤ≥‘2) ∧ 𝐼 ∈ ℕ0) → (𝐼(digit‘2)(⌊‘(𝐴 / 2))) = ((⌊‘((⌊‘(𝐴 / 2)) / (2↑𝐼))) mod 2))
49	23, 32, 48	3eqtr4d 2781	. . . . 5 ⊢ ((((𝐴 + 1) / 2) ∈ ℕ0 ∧ 𝐴 ∈ (ℤ≥‘2) ∧ 𝐼 ∈ ℕ0) → ((𝐼 + 1)(digit‘2)𝐴) = (𝐼(digit‘2)(⌊‘(𝐴 / 2))))
50	49	3exp 1119	. . . 4 ⊢ (((𝐴 + 1) / 2) ∈ ℕ0 → (𝐴 ∈ (ℤ≥‘2) → (𝐼 ∈ ℕ0 → ((𝐼 + 1)(digit‘2)𝐴) = (𝐼(digit‘2)(⌊‘(𝐴 / 2))))))
51	14, 50	jaoi 857	. . 3 ⊢ (((𝐴 / 2) ∈ ℕ0 ∨ ((𝐴 + 1) / 2) ∈ ℕ0) → (𝐴 ∈ (ℤ≥‘2) → (𝐼 ∈ ℕ0 → ((𝐼 + 1)(digit‘2)𝐴) = (𝐼(digit‘2)(⌊‘(𝐴 / 2))))))
52	3, 51	mpcom 38	. 2 ⊢ (𝐴 ∈ (ℤ≥‘2) → (𝐼 ∈ ℕ0 → ((𝐼 + 1)(digit‘2)𝐴) = (𝐼(digit‘2)(⌊‘(𝐴 / 2)))))
53	52	imp 406	1 ⊢ ((𝐴 ∈ (ℤ≥‘2) ∧ 𝐼 ∈ ℕ0) → ((𝐼 + 1)(digit‘2)𝐴) = (𝐼(digit‘2)(⌊‘(𝐴 / 2))))

Syntax hints:   → wi 4   ∧ wa 395   ∨ wo 847   ∧ w3a 1086   = wceq 1541   ∈ wcel 2113   class class class wbr 5098  ‘cfv 6492  (class class class)co 7358  ℝcr 11025  0cc0 11026  1c1 11027   + caddc 11029  +∞cpnf 11163   < clt 11166   ≤ cle 11167   − cmin 11364   / cdiv 11794  ℕcn 12145  2c2 12200  ℕ₀cn0 12401  ℤcz 12488  ℤ_≥cuz 12751  [,)cico 13263  ⌊cfl 13710   mod cmo 13789  ↑cexp 13984  digitcdig 48841

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1796  ax-4 1810  ax-5 1911  ax-6 1968  ax-7 2009  ax-8 2115  ax-9 2123  ax-10 2146  ax-11 2162  ax-12 2184  ax-ext 2708  ax-rep 5224  ax-sep 5241  ax-nul 5251  ax-pow 5310  ax-pr 5377  ax-un 7680  ax-cnex 11082  ax-resscn 11083  ax-1cn 11084  ax-icn 11085  ax-addcl 11086  ax-addrcl 11087  ax-mulcl 11088  ax-mulrcl 11089  ax-mulcom 11090  ax-addass 11091  ax-mulass 11092  ax-distr 11093  ax-i2m1 11094  ax-1ne0 11095  ax-1rid 11096  ax-rnegex 11097  ax-rrecex 11098  ax-cnre 11099  ax-pre-lttri 11100  ax-pre-lttrn 11101  ax-pre-ltadd 11102  ax-pre-mulgt0 11103  ax-pre-sup 11104

This theorem depends on definitions:  df-bi 207  df-an 396  df-or 848  df-3or 1087  df-3an 1088  df-tru 1544  df-fal 1554  df-ex 1781  df-nf 1785  df-sb 2068  df-mo 2539  df-eu 2569  df-clab 2715  df-cleq 2728  df-clel 2811  df-nfc 2885  df-ne 2933  df-nel 3037  df-ral 3052  df-rex 3061  df-rmo 3350  df-reu 3351  df-rab 3400  df-v 3442  df-sbc 3741  df-csb 3850  df-dif 3904  df-un 3906  df-in 3908  df-ss 3918  df-pss 3921  df-nul 4286  df-if 4480  df-pw 4556  df-sn 4581  df-pr 4583  df-op 4587  df-uni 4864  df-iun 4948  df-br 5099  df-opab 5161  df-mpt 5180  df-tr 5206  df-id 5519  df-eprel 5524  df-po 5532  df-so 5533  df-fr 5577  df-we 5579  df-xp 5630  df-rel 5631  df-cnv 5632  df-co 5633  df-dm 5634  df-rn 5635  df-res 5636  df-ima 5637  df-pred 6259  df-ord 6320  df-on 6321  df-lim 6322  df-suc 6323  df-iota 6448  df-fun 6494  df-fn 6495  df-f 6496  df-f1 6497  df-fo 6498  df-f1o 6499  df-fv 6500  df-riota 7315  df-ov 7361  df-oprab 7362  df-mpo 7363  df-om 7809  df-1st 7933  df-2nd 7934  df-frecs 8223  df-wrecs 8254  df-recs 8303  df-rdg 8341  df-er 8635  df-en 8884  df-dom 8885  df-sdom 8886  df-sup 9345  df-inf 9346  df-pnf 11168  df-mnf 11169  df-xr 11170  df-ltxr 11171  df-le 11172  df-sub 11366  df-neg 11367  df-div 11795  df-nn 12146  df-2 12208  df-3 12209  df-4 12210  df-n0 12402  df-z 12489  df-uz 12752  df-rp 12906  df-ico 13267  df-fz 13424  df-fzo 13571  df-fl 13712  df-mod 13790  df-seq 13925  df-exp 13985  df-dig 48842

This theorem is referenced by:  nn0sumshdiglemB  48866