Users' Mathboxes Mathbox for Alexander van der Vekens < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >   Mathboxes  >  dignn0flhalf Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem dignn0flhalf 44606
Description: The digits of the rounded half of a nonnegative integer are the digits of the integer shifted by 1. (Contributed by AV, 7-Jun-2010.)
Assertion
Ref Expression
dignn0flhalf ((𝐴 ∈ (ℤ‘2) ∧ 𝐼 ∈ ℕ0) → ((𝐼 + 1)(digit‘2)𝐴) = (𝐼(digit‘2)(⌊‘(𝐴 / 2))))

Proof of Theorem dignn0flhalf
StepHypRef Expression
1 eluzge2nn0 12275 . . . 4 (𝐴 ∈ (ℤ‘2) → 𝐴 ∈ ℕ0)
2 nn0eo 44516 . . . 4 (𝐴 ∈ ℕ0 → ((𝐴 / 2) ∈ ℕ0 ∨ ((𝐴 + 1) / 2) ∈ ℕ0))
31, 2syl 17 . . 3 (𝐴 ∈ (ℤ‘2) → ((𝐴 / 2) ∈ ℕ0 ∨ ((𝐴 + 1) / 2) ∈ ℕ0))
4 dignn0ehalf 44605 . . . . . . 7 (((𝐴 / 2) ∈ ℕ0𝐴 ∈ ℕ0𝐼 ∈ ℕ0) → ((𝐼 + 1)(digit‘2)𝐴) = (𝐼(digit‘2)(𝐴 / 2)))
51, 4syl3an2 1156 . . . . . 6 (((𝐴 / 2) ∈ ℕ0𝐴 ∈ (ℤ‘2) ∧ 𝐼 ∈ ℕ0) → ((𝐼 + 1)(digit‘2)𝐴) = (𝐼(digit‘2)(𝐴 / 2)))
6 eluzelz 12241 . . . . . . . . . 10 (𝐴 ∈ (ℤ‘2) → 𝐴 ∈ ℤ)
7 nn0z 11993 . . . . . . . . . 10 ((𝐴 / 2) ∈ ℕ0 → (𝐴 / 2) ∈ ℤ)
8 zefldiv2 44518 . . . . . . . . . 10 ((𝐴 ∈ ℤ ∧ (𝐴 / 2) ∈ ℤ) → (⌊‘(𝐴 / 2)) = (𝐴 / 2))
96, 7, 8syl2anr 596 . . . . . . . . 9 (((𝐴 / 2) ∈ ℕ0𝐴 ∈ (ℤ‘2)) → (⌊‘(𝐴 / 2)) = (𝐴 / 2))
109eqcomd 2824 . . . . . . . 8 (((𝐴 / 2) ∈ ℕ0𝐴 ∈ (ℤ‘2)) → (𝐴 / 2) = (⌊‘(𝐴 / 2)))
11103adant3 1124 . . . . . . 7 (((𝐴 / 2) ∈ ℕ0𝐴 ∈ (ℤ‘2) ∧ 𝐼 ∈ ℕ0) → (𝐴 / 2) = (⌊‘(𝐴 / 2)))
1211oveq2d 7161 . . . . . 6 (((𝐴 / 2) ∈ ℕ0𝐴 ∈ (ℤ‘2) ∧ 𝐼 ∈ ℕ0) → (𝐼(digit‘2)(𝐴 / 2)) = (𝐼(digit‘2)(⌊‘(𝐴 / 2))))
135, 12eqtrd 2853 . . . . 5 (((𝐴 / 2) ∈ ℕ0𝐴 ∈ (ℤ‘2) ∧ 𝐼 ∈ ℕ0) → ((𝐼 + 1)(digit‘2)𝐴) = (𝐼(digit‘2)(⌊‘(𝐴 / 2))))
14133exp 1111 . . . 4 ((𝐴 / 2) ∈ ℕ0 → (𝐴 ∈ (ℤ‘2) → (𝐼 ∈ ℕ0 → ((𝐼 + 1)(digit‘2)𝐴) = (𝐼(digit‘2)(⌊‘(𝐴 / 2))))))
1563ad2ant2 1126 . . . . . . . 8 ((((𝐴 + 1) / 2) ∈ ℕ0𝐴 ∈ (ℤ‘2) ∧ 𝐼 ∈ ℕ0) → 𝐴 ∈ ℤ)
16 simp2 1129 . . . . . . . . 9 ((((𝐴 + 1) / 2) ∈ ℕ0𝐴 ∈ (ℤ‘2) ∧ 𝐼 ∈ ℕ0) → 𝐴 ∈ (ℤ‘2))
17 simp1 1128 . . . . . . . . 9 ((((𝐴 + 1) / 2) ∈ ℕ0𝐴 ∈ (ℤ‘2) ∧ 𝐼 ∈ ℕ0) → ((𝐴 + 1) / 2) ∈ ℕ0)
18 nno 15721 . . . . . . . . 9 ((𝐴 ∈ (ℤ‘2) ∧ ((𝐴 + 1) / 2) ∈ ℕ0) → ((𝐴 − 1) / 2) ∈ ℕ)
1916, 17, 18syl2anc 584 . . . . . . . 8 ((((𝐴 + 1) / 2) ∈ ℕ0𝐴 ∈ (ℤ‘2) ∧ 𝐼 ∈ ℕ0) → ((𝐴 − 1) / 2) ∈ ℕ)
20 simp3 1130 . . . . . . . 8 ((((𝐴 + 1) / 2) ∈ ℕ0𝐴 ∈ (ℤ‘2) ∧ 𝐼 ∈ ℕ0) → 𝐼 ∈ ℕ0)
21 dignn0flhalflem2 44604 . . . . . . . 8 ((𝐴 ∈ ℤ ∧ ((𝐴 − 1) / 2) ∈ ℕ ∧ 𝐼 ∈ ℕ0) → (⌊‘(𝐴 / (2↑(𝐼 + 1)))) = (⌊‘((⌊‘(𝐴 / 2)) / (2↑𝐼))))
2215, 19, 20, 21syl3anc 1363 . . . . . . 7 ((((𝐴 + 1) / 2) ∈ ℕ0𝐴 ∈ (ℤ‘2) ∧ 𝐼 ∈ ℕ0) → (⌊‘(𝐴 / (2↑(𝐼 + 1)))) = (⌊‘((⌊‘(𝐴 / 2)) / (2↑𝐼))))
2322oveq1d 7160 . . . . . 6 ((((𝐴 + 1) / 2) ∈ ℕ0𝐴 ∈ (ℤ‘2) ∧ 𝐼 ∈ ℕ0) → ((⌊‘(𝐴 / (2↑(𝐼 + 1)))) mod 2) = ((⌊‘((⌊‘(𝐴 / 2)) / (2↑𝐼))) mod 2))
24 2nn 11698 . . . . . . . 8 2 ∈ ℕ
2524a1i 11 . . . . . . 7 ((((𝐴 + 1) / 2) ∈ ℕ0𝐴 ∈ (ℤ‘2) ∧ 𝐼 ∈ ℕ0) → 2 ∈ ℕ)
26 peano2nn0 11925 . . . . . . . 8 (𝐼 ∈ ℕ0 → (𝐼 + 1) ∈ ℕ0)
27263ad2ant3 1127 . . . . . . 7 ((((𝐴 + 1) / 2) ∈ ℕ0𝐴 ∈ (ℤ‘2) ∧ 𝐼 ∈ ℕ0) → (𝐼 + 1) ∈ ℕ0)
28 nn0rp0 12831 . . . . . . . . 9 (𝐴 ∈ ℕ0𝐴 ∈ (0[,)+∞))
291, 28syl 17 . . . . . . . 8 (𝐴 ∈ (ℤ‘2) → 𝐴 ∈ (0[,)+∞))
30293ad2ant2 1126 . . . . . . 7 ((((𝐴 + 1) / 2) ∈ ℕ0𝐴 ∈ (ℤ‘2) ∧ 𝐼 ∈ ℕ0) → 𝐴 ∈ (0[,)+∞))
31 nn0digval 44588 . . . . . . 7 ((2 ∈ ℕ ∧ (𝐼 + 1) ∈ ℕ0𝐴 ∈ (0[,)+∞)) → ((𝐼 + 1)(digit‘2)𝐴) = ((⌊‘(𝐴 / (2↑(𝐼 + 1)))) mod 2))
3225, 27, 30, 31syl3anc 1363 . . . . . 6 ((((𝐴 + 1) / 2) ∈ ℕ0𝐴 ∈ (ℤ‘2) ∧ 𝐼 ∈ ℕ0) → ((𝐼 + 1)(digit‘2)𝐴) = ((⌊‘(𝐴 / (2↑(𝐼 + 1)))) mod 2))
33 eluzelre 12242 . . . . . . . . . . 11 (𝐴 ∈ (ℤ‘2) → 𝐴 ∈ ℝ)
3433rehalfcld 11872 . . . . . . . . . 10 (𝐴 ∈ (ℤ‘2) → (𝐴 / 2) ∈ ℝ)
351nn0ge0d 11946 . . . . . . . . . . 11 (𝐴 ∈ (ℤ‘2) → 0 ≤ 𝐴)
36 2re 11699 . . . . . . . . . . . . 13 2 ∈ ℝ
37 2pos 11728 . . . . . . . . . . . . 13 0 < 2
3836, 37pm3.2i 471 . . . . . . . . . . . 12 (2 ∈ ℝ ∧ 0 < 2)
3938a1i 11 . . . . . . . . . . 11 (𝐴 ∈ (ℤ‘2) → (2 ∈ ℝ ∧ 0 < 2))
40 divge0 11497 . . . . . . . . . . 11 (((𝐴 ∈ ℝ ∧ 0 ≤ 𝐴) ∧ (2 ∈ ℝ ∧ 0 < 2)) → 0 ≤ (𝐴 / 2))
4133, 35, 39, 40syl21anc 833 . . . . . . . . . 10 (𝐴 ∈ (ℤ‘2) → 0 ≤ (𝐴 / 2))
42 flge0nn0 13178 . . . . . . . . . 10 (((𝐴 / 2) ∈ ℝ ∧ 0 ≤ (𝐴 / 2)) → (⌊‘(𝐴 / 2)) ∈ ℕ0)
4334, 41, 42syl2anc 584 . . . . . . . . 9 (𝐴 ∈ (ℤ‘2) → (⌊‘(𝐴 / 2)) ∈ ℕ0)
44433ad2ant2 1126 . . . . . . . 8 ((((𝐴 + 1) / 2) ∈ ℕ0𝐴 ∈ (ℤ‘2) ∧ 𝐼 ∈ ℕ0) → (⌊‘(𝐴 / 2)) ∈ ℕ0)
45 nn0rp0 12831 . . . . . . . 8 ((⌊‘(𝐴 / 2)) ∈ ℕ0 → (⌊‘(𝐴 / 2)) ∈ (0[,)+∞))
4644, 45syl 17 . . . . . . 7 ((((𝐴 + 1) / 2) ∈ ℕ0𝐴 ∈ (ℤ‘2) ∧ 𝐼 ∈ ℕ0) → (⌊‘(𝐴 / 2)) ∈ (0[,)+∞))
47 nn0digval 44588 . . . . . . 7 ((2 ∈ ℕ ∧ 𝐼 ∈ ℕ0 ∧ (⌊‘(𝐴 / 2)) ∈ (0[,)+∞)) → (𝐼(digit‘2)(⌊‘(𝐴 / 2))) = ((⌊‘((⌊‘(𝐴 / 2)) / (2↑𝐼))) mod 2))
4825, 20, 46, 47syl3anc 1363 . . . . . 6 ((((𝐴 + 1) / 2) ∈ ℕ0𝐴 ∈ (ℤ‘2) ∧ 𝐼 ∈ ℕ0) → (𝐼(digit‘2)(⌊‘(𝐴 / 2))) = ((⌊‘((⌊‘(𝐴 / 2)) / (2↑𝐼))) mod 2))
4923, 32, 483eqtr4d 2863 . . . . 5 ((((𝐴 + 1) / 2) ∈ ℕ0𝐴 ∈ (ℤ‘2) ∧ 𝐼 ∈ ℕ0) → ((𝐼 + 1)(digit‘2)𝐴) = (𝐼(digit‘2)(⌊‘(𝐴 / 2))))
50493exp 1111 . . . 4 (((𝐴 + 1) / 2) ∈ ℕ0 → (𝐴 ∈ (ℤ‘2) → (𝐼 ∈ ℕ0 → ((𝐼 + 1)(digit‘2)𝐴) = (𝐼(digit‘2)(⌊‘(𝐴 / 2))))))
5114, 50jaoi 851 . . 3 (((𝐴 / 2) ∈ ℕ0 ∨ ((𝐴 + 1) / 2) ∈ ℕ0) → (𝐴 ∈ (ℤ‘2) → (𝐼 ∈ ℕ0 → ((𝐼 + 1)(digit‘2)𝐴) = (𝐼(digit‘2)(⌊‘(𝐴 / 2))))))
523, 51mpcom 38 . 2 (𝐴 ∈ (ℤ‘2) → (𝐼 ∈ ℕ0 → ((𝐼 + 1)(digit‘2)𝐴) = (𝐼(digit‘2)(⌊‘(𝐴 / 2)))))
5352imp 407 1 ((𝐴 ∈ (ℤ‘2) ∧ 𝐼 ∈ ℕ0) → ((𝐼 + 1)(digit‘2)𝐴) = (𝐼(digit‘2)(⌊‘(𝐴 / 2))))
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  wi 4  wa 396  wo 841  w3a 1079   = wceq 1528  wcel 2105   class class class wbr 5057  cfv 6348  (class class class)co 7145  cr 10524  0cc0 10525  1c1 10526   + caddc 10528  +∞cpnf 10660   < clt 10663  cle 10664  cmin 10858   / cdiv 11285  cn 11626  2c2 11680  0cn0 11885  cz 11969  cuz 12231  [,)cico 12728  cfl 13148   mod cmo 13225  cexp 13417  digitcdig 44583
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1787  ax-4 1801  ax-5 1902  ax-6 1961  ax-7 2006  ax-8 2107  ax-9 2115  ax-10 2136  ax-11 2151  ax-12 2167  ax-ext 2790  ax-rep 5181  ax-sep 5194  ax-nul 5201  ax-pow 5257  ax-pr 5320  ax-un 7450  ax-cnex 10581  ax-resscn 10582  ax-1cn 10583  ax-icn 10584  ax-addcl 10585  ax-addrcl 10586  ax-mulcl 10587  ax-mulrcl 10588  ax-mulcom 10589  ax-addass 10590  ax-mulass 10591  ax-distr 10592  ax-i2m1 10593  ax-1ne0 10594  ax-1rid 10595  ax-rnegex 10596  ax-rrecex 10597  ax-cnre 10598  ax-pre-lttri 10599  ax-pre-lttrn 10600  ax-pre-ltadd 10601  ax-pre-mulgt0 10602  ax-pre-sup 10603
This theorem depends on definitions:  df-bi 208  df-an 397  df-or 842  df-3or 1080  df-3an 1081  df-tru 1531  df-ex 1772  df-nf 1776  df-sb 2061  df-mo 2615  df-eu 2647  df-clab 2797  df-cleq 2811  df-clel 2890  df-nfc 2960  df-ne 3014  df-nel 3121  df-ral 3140  df-rex 3141  df-reu 3142  df-rmo 3143  df-rab 3144  df-v 3494  df-sbc 3770  df-csb 3881  df-dif 3936  df-un 3938  df-in 3940  df-ss 3949  df-pss 3951  df-nul 4289  df-if 4464  df-pw 4537  df-sn 4558  df-pr 4560  df-tp 4562  df-op 4564  df-uni 4831  df-iun 4912  df-br 5058  df-opab 5120  df-mpt 5138  df-tr 5164  df-id 5453  df-eprel 5458  df-po 5467  df-so 5468  df-fr 5507  df-we 5509  df-xp 5554  df-rel 5555  df-cnv 5556  df-co 5557  df-dm 5558  df-rn 5559  df-res 5560  df-ima 5561  df-pred 6141  df-ord 6187  df-on 6188  df-lim 6189  df-suc 6190  df-iota 6307  df-fun 6350  df-fn 6351  df-f 6352  df-f1 6353  df-fo 6354  df-f1o 6355  df-fv 6356  df-riota 7103  df-ov 7148  df-oprab 7149  df-mpo 7150  df-om 7570  df-1st 7678  df-2nd 7679  df-wrecs 7936  df-recs 7997  df-rdg 8035  df-er 8278  df-en 8498  df-dom 8499  df-sdom 8500  df-sup 8894  df-inf 8895  df-pnf 10665  df-mnf 10666  df-xr 10667  df-ltxr 10668  df-le 10669  df-sub 10860  df-neg 10861  df-div 11286  df-nn 11627  df-2 11688  df-3 11689  df-4 11690  df-n0 11886  df-z 11970  df-uz 12232  df-rp 12378  df-ico 12732  df-fz 12881  df-fzo 13022  df-fl 13150  df-mod 13226  df-seq 13358  df-exp 13418  df-dig 44584
This theorem is referenced by:  nn0sumshdiglemB  44608
  Copyright terms: Public domain W3C validator