Users' Mathboxes Mathbox for Alexander van der Vekens < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >   Mathboxes  >  dignn0flhalf Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem dignn0flhalf 47257
Description: The digits of the rounded half of a nonnegative integer are the digits of the integer shifted by 1. (Contributed by AV, 7-Jun-2010.)
Assertion
Ref Expression
dignn0flhalf ((𝐴 ∈ (β„€β‰₯β€˜2) ∧ 𝐼 ∈ β„•0) β†’ ((𝐼 + 1)(digitβ€˜2)𝐴) = (𝐼(digitβ€˜2)(βŒŠβ€˜(𝐴 / 2))))

Proof of Theorem dignn0flhalf
StepHypRef Expression
1 eluzge2nn0 12867 . . . 4 (𝐴 ∈ (β„€β‰₯β€˜2) β†’ 𝐴 ∈ β„•0)
2 nn0eo 47167 . . . 4 (𝐴 ∈ β„•0 β†’ ((𝐴 / 2) ∈ β„•0 ∨ ((𝐴 + 1) / 2) ∈ β„•0))
31, 2syl 17 . . 3 (𝐴 ∈ (β„€β‰₯β€˜2) β†’ ((𝐴 / 2) ∈ β„•0 ∨ ((𝐴 + 1) / 2) ∈ β„•0))
4 dignn0ehalf 47256 . . . . . . 7 (((𝐴 / 2) ∈ β„•0 ∧ 𝐴 ∈ β„•0 ∧ 𝐼 ∈ β„•0) β†’ ((𝐼 + 1)(digitβ€˜2)𝐴) = (𝐼(digitβ€˜2)(𝐴 / 2)))
51, 4syl3an2 1164 . . . . . 6 (((𝐴 / 2) ∈ β„•0 ∧ 𝐴 ∈ (β„€β‰₯β€˜2) ∧ 𝐼 ∈ β„•0) β†’ ((𝐼 + 1)(digitβ€˜2)𝐴) = (𝐼(digitβ€˜2)(𝐴 / 2)))
6 eluzelz 12828 . . . . . . . . . 10 (𝐴 ∈ (β„€β‰₯β€˜2) β†’ 𝐴 ∈ β„€)
7 nn0z 12579 . . . . . . . . . 10 ((𝐴 / 2) ∈ β„•0 β†’ (𝐴 / 2) ∈ β„€)
8 zefldiv2 47169 . . . . . . . . . 10 ((𝐴 ∈ β„€ ∧ (𝐴 / 2) ∈ β„€) β†’ (βŒŠβ€˜(𝐴 / 2)) = (𝐴 / 2))
96, 7, 8syl2anr 597 . . . . . . . . 9 (((𝐴 / 2) ∈ β„•0 ∧ 𝐴 ∈ (β„€β‰₯β€˜2)) β†’ (βŒŠβ€˜(𝐴 / 2)) = (𝐴 / 2))
109eqcomd 2738 . . . . . . . 8 (((𝐴 / 2) ∈ β„•0 ∧ 𝐴 ∈ (β„€β‰₯β€˜2)) β†’ (𝐴 / 2) = (βŒŠβ€˜(𝐴 / 2)))
11103adant3 1132 . . . . . . 7 (((𝐴 / 2) ∈ β„•0 ∧ 𝐴 ∈ (β„€β‰₯β€˜2) ∧ 𝐼 ∈ β„•0) β†’ (𝐴 / 2) = (βŒŠβ€˜(𝐴 / 2)))
1211oveq2d 7421 . . . . . 6 (((𝐴 / 2) ∈ β„•0 ∧ 𝐴 ∈ (β„€β‰₯β€˜2) ∧ 𝐼 ∈ β„•0) β†’ (𝐼(digitβ€˜2)(𝐴 / 2)) = (𝐼(digitβ€˜2)(βŒŠβ€˜(𝐴 / 2))))
135, 12eqtrd 2772 . . . . 5 (((𝐴 / 2) ∈ β„•0 ∧ 𝐴 ∈ (β„€β‰₯β€˜2) ∧ 𝐼 ∈ β„•0) β†’ ((𝐼 + 1)(digitβ€˜2)𝐴) = (𝐼(digitβ€˜2)(βŒŠβ€˜(𝐴 / 2))))
14133exp 1119 . . . 4 ((𝐴 / 2) ∈ β„•0 β†’ (𝐴 ∈ (β„€β‰₯β€˜2) β†’ (𝐼 ∈ β„•0 β†’ ((𝐼 + 1)(digitβ€˜2)𝐴) = (𝐼(digitβ€˜2)(βŒŠβ€˜(𝐴 / 2))))))
1563ad2ant2 1134 . . . . . . . 8 ((((𝐴 + 1) / 2) ∈ β„•0 ∧ 𝐴 ∈ (β„€β‰₯β€˜2) ∧ 𝐼 ∈ β„•0) β†’ 𝐴 ∈ β„€)
16 simp2 1137 . . . . . . . . 9 ((((𝐴 + 1) / 2) ∈ β„•0 ∧ 𝐴 ∈ (β„€β‰₯β€˜2) ∧ 𝐼 ∈ β„•0) β†’ 𝐴 ∈ (β„€β‰₯β€˜2))
17 simp1 1136 . . . . . . . . 9 ((((𝐴 + 1) / 2) ∈ β„•0 ∧ 𝐴 ∈ (β„€β‰₯β€˜2) ∧ 𝐼 ∈ β„•0) β†’ ((𝐴 + 1) / 2) ∈ β„•0)
18 nno 16321 . . . . . . . . 9 ((𝐴 ∈ (β„€β‰₯β€˜2) ∧ ((𝐴 + 1) / 2) ∈ β„•0) β†’ ((𝐴 βˆ’ 1) / 2) ∈ β„•)
1916, 17, 18syl2anc 584 . . . . . . . 8 ((((𝐴 + 1) / 2) ∈ β„•0 ∧ 𝐴 ∈ (β„€β‰₯β€˜2) ∧ 𝐼 ∈ β„•0) β†’ ((𝐴 βˆ’ 1) / 2) ∈ β„•)
20 simp3 1138 . . . . . . . 8 ((((𝐴 + 1) / 2) ∈ β„•0 ∧ 𝐴 ∈ (β„€β‰₯β€˜2) ∧ 𝐼 ∈ β„•0) β†’ 𝐼 ∈ β„•0)
21 dignn0flhalflem2 47255 . . . . . . . 8 ((𝐴 ∈ β„€ ∧ ((𝐴 βˆ’ 1) / 2) ∈ β„• ∧ 𝐼 ∈ β„•0) β†’ (βŒŠβ€˜(𝐴 / (2↑(𝐼 + 1)))) = (βŒŠβ€˜((βŒŠβ€˜(𝐴 / 2)) / (2↑𝐼))))
2215, 19, 20, 21syl3anc 1371 . . . . . . 7 ((((𝐴 + 1) / 2) ∈ β„•0 ∧ 𝐴 ∈ (β„€β‰₯β€˜2) ∧ 𝐼 ∈ β„•0) β†’ (βŒŠβ€˜(𝐴 / (2↑(𝐼 + 1)))) = (βŒŠβ€˜((βŒŠβ€˜(𝐴 / 2)) / (2↑𝐼))))
2322oveq1d 7420 . . . . . 6 ((((𝐴 + 1) / 2) ∈ β„•0 ∧ 𝐴 ∈ (β„€β‰₯β€˜2) ∧ 𝐼 ∈ β„•0) β†’ ((βŒŠβ€˜(𝐴 / (2↑(𝐼 + 1)))) mod 2) = ((βŒŠβ€˜((βŒŠβ€˜(𝐴 / 2)) / (2↑𝐼))) mod 2))
24 2nn 12281 . . . . . . . 8 2 ∈ β„•
2524a1i 11 . . . . . . 7 ((((𝐴 + 1) / 2) ∈ β„•0 ∧ 𝐴 ∈ (β„€β‰₯β€˜2) ∧ 𝐼 ∈ β„•0) β†’ 2 ∈ β„•)
26 peano2nn0 12508 . . . . . . . 8 (𝐼 ∈ β„•0 β†’ (𝐼 + 1) ∈ β„•0)
27263ad2ant3 1135 . . . . . . 7 ((((𝐴 + 1) / 2) ∈ β„•0 ∧ 𝐴 ∈ (β„€β‰₯β€˜2) ∧ 𝐼 ∈ β„•0) β†’ (𝐼 + 1) ∈ β„•0)
28 nn0rp0 13428 . . . . . . . . 9 (𝐴 ∈ β„•0 β†’ 𝐴 ∈ (0[,)+∞))
291, 28syl 17 . . . . . . . 8 (𝐴 ∈ (β„€β‰₯β€˜2) β†’ 𝐴 ∈ (0[,)+∞))
30293ad2ant2 1134 . . . . . . 7 ((((𝐴 + 1) / 2) ∈ β„•0 ∧ 𝐴 ∈ (β„€β‰₯β€˜2) ∧ 𝐼 ∈ β„•0) β†’ 𝐴 ∈ (0[,)+∞))
31 nn0digval 47239 . . . . . . 7 ((2 ∈ β„• ∧ (𝐼 + 1) ∈ β„•0 ∧ 𝐴 ∈ (0[,)+∞)) β†’ ((𝐼 + 1)(digitβ€˜2)𝐴) = ((βŒŠβ€˜(𝐴 / (2↑(𝐼 + 1)))) mod 2))
3225, 27, 30, 31syl3anc 1371 . . . . . 6 ((((𝐴 + 1) / 2) ∈ β„•0 ∧ 𝐴 ∈ (β„€β‰₯β€˜2) ∧ 𝐼 ∈ β„•0) β†’ ((𝐼 + 1)(digitβ€˜2)𝐴) = ((βŒŠβ€˜(𝐴 / (2↑(𝐼 + 1)))) mod 2))
33 eluzelre 12829 . . . . . . . . . . 11 (𝐴 ∈ (β„€β‰₯β€˜2) β†’ 𝐴 ∈ ℝ)
3433rehalfcld 12455 . . . . . . . . . 10 (𝐴 ∈ (β„€β‰₯β€˜2) β†’ (𝐴 / 2) ∈ ℝ)
351nn0ge0d 12531 . . . . . . . . . . 11 (𝐴 ∈ (β„€β‰₯β€˜2) β†’ 0 ≀ 𝐴)
36 2re 12282 . . . . . . . . . . . . 13 2 ∈ ℝ
37 2pos 12311 . . . . . . . . . . . . 13 0 < 2
3836, 37pm3.2i 471 . . . . . . . . . . . 12 (2 ∈ ℝ ∧ 0 < 2)
3938a1i 11 . . . . . . . . . . 11 (𝐴 ∈ (β„€β‰₯β€˜2) β†’ (2 ∈ ℝ ∧ 0 < 2))
40 divge0 12079 . . . . . . . . . . 11 (((𝐴 ∈ ℝ ∧ 0 ≀ 𝐴) ∧ (2 ∈ ℝ ∧ 0 < 2)) β†’ 0 ≀ (𝐴 / 2))
4133, 35, 39, 40syl21anc 836 . . . . . . . . . 10 (𝐴 ∈ (β„€β‰₯β€˜2) β†’ 0 ≀ (𝐴 / 2))
42 flge0nn0 13781 . . . . . . . . . 10 (((𝐴 / 2) ∈ ℝ ∧ 0 ≀ (𝐴 / 2)) β†’ (βŒŠβ€˜(𝐴 / 2)) ∈ β„•0)
4334, 41, 42syl2anc 584 . . . . . . . . 9 (𝐴 ∈ (β„€β‰₯β€˜2) β†’ (βŒŠβ€˜(𝐴 / 2)) ∈ β„•0)
44433ad2ant2 1134 . . . . . . . 8 ((((𝐴 + 1) / 2) ∈ β„•0 ∧ 𝐴 ∈ (β„€β‰₯β€˜2) ∧ 𝐼 ∈ β„•0) β†’ (βŒŠβ€˜(𝐴 / 2)) ∈ β„•0)
45 nn0rp0 13428 . . . . . . . 8 ((βŒŠβ€˜(𝐴 / 2)) ∈ β„•0 β†’ (βŒŠβ€˜(𝐴 / 2)) ∈ (0[,)+∞))
4644, 45syl 17 . . . . . . 7 ((((𝐴 + 1) / 2) ∈ β„•0 ∧ 𝐴 ∈ (β„€β‰₯β€˜2) ∧ 𝐼 ∈ β„•0) β†’ (βŒŠβ€˜(𝐴 / 2)) ∈ (0[,)+∞))
47 nn0digval 47239 . . . . . . 7 ((2 ∈ β„• ∧ 𝐼 ∈ β„•0 ∧ (βŒŠβ€˜(𝐴 / 2)) ∈ (0[,)+∞)) β†’ (𝐼(digitβ€˜2)(βŒŠβ€˜(𝐴 / 2))) = ((βŒŠβ€˜((βŒŠβ€˜(𝐴 / 2)) / (2↑𝐼))) mod 2))
4825, 20, 46, 47syl3anc 1371 . . . . . 6 ((((𝐴 + 1) / 2) ∈ β„•0 ∧ 𝐴 ∈ (β„€β‰₯β€˜2) ∧ 𝐼 ∈ β„•0) β†’ (𝐼(digitβ€˜2)(βŒŠβ€˜(𝐴 / 2))) = ((βŒŠβ€˜((βŒŠβ€˜(𝐴 / 2)) / (2↑𝐼))) mod 2))
4923, 32, 483eqtr4d 2782 . . . . 5 ((((𝐴 + 1) / 2) ∈ β„•0 ∧ 𝐴 ∈ (β„€β‰₯β€˜2) ∧ 𝐼 ∈ β„•0) β†’ ((𝐼 + 1)(digitβ€˜2)𝐴) = (𝐼(digitβ€˜2)(βŒŠβ€˜(𝐴 / 2))))
50493exp 1119 . . . 4 (((𝐴 + 1) / 2) ∈ β„•0 β†’ (𝐴 ∈ (β„€β‰₯β€˜2) β†’ (𝐼 ∈ β„•0 β†’ ((𝐼 + 1)(digitβ€˜2)𝐴) = (𝐼(digitβ€˜2)(βŒŠβ€˜(𝐴 / 2))))))
5114, 50jaoi 855 . . 3 (((𝐴 / 2) ∈ β„•0 ∨ ((𝐴 + 1) / 2) ∈ β„•0) β†’ (𝐴 ∈ (β„€β‰₯β€˜2) β†’ (𝐼 ∈ β„•0 β†’ ((𝐼 + 1)(digitβ€˜2)𝐴) = (𝐼(digitβ€˜2)(βŒŠβ€˜(𝐴 / 2))))))
523, 51mpcom 38 . 2 (𝐴 ∈ (β„€β‰₯β€˜2) β†’ (𝐼 ∈ β„•0 β†’ ((𝐼 + 1)(digitβ€˜2)𝐴) = (𝐼(digitβ€˜2)(βŒŠβ€˜(𝐴 / 2)))))
5352imp 407 1 ((𝐴 ∈ (β„€β‰₯β€˜2) ∧ 𝐼 ∈ β„•0) β†’ ((𝐼 + 1)(digitβ€˜2)𝐴) = (𝐼(digitβ€˜2)(βŒŠβ€˜(𝐴 / 2))))
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:   β†’ wi 4   ∧ wa 396   ∨ wo 845   ∧ w3a 1087   = wceq 1541   ∈ wcel 2106   class class class wbr 5147  β€˜cfv 6540  (class class class)co 7405  β„cr 11105  0cc0 11106  1c1 11107   + caddc 11109  +∞cpnf 11241   < clt 11244   ≀ cle 11245   βˆ’ cmin 11440   / cdiv 11867  β„•cn 12208  2c2 12263  β„•0cn0 12468  β„€cz 12554  β„€β‰₯cuz 12818  [,)cico 13322  βŒŠcfl 13751   mod cmo 13830  β†‘cexp 14023  digitcdig 47234
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1797  ax-4 1811  ax-5 1913  ax-6 1971  ax-7 2011  ax-8 2108  ax-9 2116  ax-10 2137  ax-11 2154  ax-12 2171  ax-ext 2703  ax-rep 5284  ax-sep 5298  ax-nul 5305  ax-pow 5362  ax-pr 5426  ax-un 7721  ax-cnex 11162  ax-resscn 11163  ax-1cn 11164  ax-icn 11165  ax-addcl 11166  ax-addrcl 11167  ax-mulcl 11168  ax-mulrcl 11169  ax-mulcom 11170  ax-addass 11171  ax-mulass 11172  ax-distr 11173  ax-i2m1 11174  ax-1ne0 11175  ax-1rid 11176  ax-rnegex 11177  ax-rrecex 11178  ax-cnre 11179  ax-pre-lttri 11180  ax-pre-lttrn 11181  ax-pre-ltadd 11182  ax-pre-mulgt0 11183  ax-pre-sup 11184
This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 397  df-or 846  df-3or 1088  df-3an 1089  df-tru 1544  df-fal 1554  df-ex 1782  df-nf 1786  df-sb 2068  df-mo 2534  df-eu 2563  df-clab 2710  df-cleq 2724  df-clel 2810  df-nfc 2885  df-ne 2941  df-nel 3047  df-ral 3062  df-rex 3071  df-rmo 3376  df-reu 3377  df-rab 3433  df-v 3476  df-sbc 3777  df-csb 3893  df-dif 3950  df-un 3952  df-in 3954  df-ss 3964  df-pss 3966  df-nul 4322  df-if 4528  df-pw 4603  df-sn 4628  df-pr 4630  df-op 4634  df-uni 4908  df-iun 4998  df-br 5148  df-opab 5210  df-mpt 5231  df-tr 5265  df-id 5573  df-eprel 5579  df-po 5587  df-so 5588  df-fr 5630  df-we 5632  df-xp 5681  df-rel 5682  df-cnv 5683  df-co 5684  df-dm 5685  df-rn 5686  df-res 5687  df-ima 5688  df-pred 6297  df-ord 6364  df-on 6365  df-lim 6366  df-suc 6367  df-iota 6492  df-fun 6542  df-fn 6543  df-f 6544  df-f1 6545  df-fo 6546  df-f1o 6547  df-fv 6548  df-riota 7361  df-ov 7408  df-oprab 7409  df-mpo 7410  df-om 7852  df-1st 7971  df-2nd 7972  df-frecs 8262  df-wrecs 8293  df-recs 8367  df-rdg 8406  df-er 8699  df-en 8936  df-dom 8937  df-sdom 8938  df-sup 9433  df-inf 9434  df-pnf 11246  df-mnf 11247  df-xr 11248  df-ltxr 11249  df-le 11250  df-sub 11442  df-neg 11443  df-div 11868  df-nn 12209  df-2 12271  df-3 12272  df-4 12273  df-n0 12469  df-z 12555  df-uz 12819  df-rp 12971  df-ico 13326  df-fz 13481  df-fzo 13624  df-fl 13753  df-mod 13831  df-seq 13963  df-exp 14024  df-dig 47235
This theorem is referenced by:  nn0sumshdiglemB  47259
  Copyright terms: Public domain W3C validator