Users' Mathboxes Mathbox for Alexander van der Vekens < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >   Mathboxes  >  dig2bits Structured version   Visualization version   GIF version
Theorem dig2bits 47771
Description: The 𝐾 th digit of a nonnegative integer 𝑁 in a binary system is its 𝐾 th bit. (Contributed by AV, 24-May-2020.)
Assertion
Ref Expression
dig2bits ((𝑁 ∈ β„•0 ∧ 𝐾 ∈ β„•0) β†’ ((𝐾(digitβ€˜2)𝑁) = 1 ↔ 𝐾 ∈ (bitsβ€˜π‘)))
Proof of Theorem dig2bits
StepHypRef Expression
1 nn0re 12509 . . . . . 6 (𝑁 ∈ β„•0 β†’ 𝑁 ∈ ℝ)
21adantr 479 . . . . 5 ((𝑁 ∈ β„•0 ∧ 𝐾 ∈ β„•0) β†’ 𝑁 ∈ ℝ)
3 2re 12314 . . . . . . 7 2 ∈ ℝ
43a1i 11 . . . . . 6 (𝑁 ∈ β„•0 β†’ 2 ∈ ℝ)
5 reexpcl 14073 . . . . . 6 ((2 ∈ ℝ ∧ 𝐾 ∈ β„•0) β†’ (2↑𝐾) ∈ ℝ)
64, 5sylan 578 . . . . 5 ((𝑁 ∈ β„•0 ∧ 𝐾 ∈ β„•0) β†’ (2↑𝐾) ∈ ℝ)
7 2cnd 12318 . . . . . 6 ((𝑁 ∈ β„•0 ∧ 𝐾 ∈ β„•0) β†’ 2 ∈ β„‚)
8 2ne0 12344 . . . . . . 7 2 β‰  0
98a1i 11 . . . . . 6 ((𝑁 ∈ β„•0 ∧ 𝐾 ∈ β„•0) β†’ 2 β‰  0)
10 nn0z 12611 . . . . . . 7 (𝐾 ∈ β„•0 β†’ 𝐾 ∈ β„€)
1110adantl 480 . . . . . 6 ((𝑁 ∈ β„•0 ∧ 𝐾 ∈ β„•0) β†’ 𝐾 ∈ β„€)
127, 9, 11expne0d 14146 . . . . 5 ((𝑁 ∈ β„•0 ∧ 𝐾 ∈ β„•0) β†’ (2↑𝐾) β‰  0)
132, 6, 12redivcld 12070 . . . 4 ((𝑁 ∈ β„•0 ∧ 𝐾 ∈ β„•0) β†’ (𝑁 / (2↑𝐾)) ∈ ℝ)
1413flcld 13793 . . 3 ((𝑁 ∈ β„•0 ∧ 𝐾 ∈ β„•0) β†’ (βŒŠβ€˜(𝑁 / (2↑𝐾))) ∈ β„€)
15 mod2eq1n2dvds 16321 . . 3 ((βŒŠβ€˜(𝑁 / (2↑𝐾))) ∈ β„€ β†’ (((βŒŠβ€˜(𝑁 / (2↑𝐾))) mod 2) = 1 ↔ Β¬ 2 βˆ₯ (βŒŠβ€˜(𝑁 / (2↑𝐾)))))
1614, 15syl 17 . 2 ((𝑁 ∈ β„•0 ∧ 𝐾 ∈ β„•0) β†’ (((βŒŠβ€˜(𝑁 / (2↑𝐾))) mod 2) = 1 ↔ Β¬ 2 βˆ₯ (βŒŠβ€˜(𝑁 / (2↑𝐾)))))
17 2nn 12313 . . . . 5 2 ∈ β„•
1817a1i 11 . . . 4 ((𝑁 ∈ β„•0 ∧ 𝐾 ∈ β„•0) β†’ 2 ∈ β„•)
19 simpr 483 . . . 4 ((𝑁 ∈ β„•0 ∧ 𝐾 ∈ β„•0) β†’ 𝐾 ∈ β„•0)
20 nn0rp0 13462 . . . . 5 (𝑁 ∈ β„•0 β†’ 𝑁 ∈ (0[,)+∞))
2120adantr 479 . . . 4 ((𝑁 ∈ β„•0 ∧ 𝐾 ∈ β„•0) β†’ 𝑁 ∈ (0[,)+∞))
22 nn0digval 47757 . . . 4 ((2 ∈ β„• ∧ 𝐾 ∈ β„•0 ∧ 𝑁 ∈ (0[,)+∞)) β†’ (𝐾(digitβ€˜2)𝑁) = ((βŒŠβ€˜(𝑁 / (2↑𝐾))) mod 2))
2318, 19, 21, 22syl3anc 1368 . . 3 ((𝑁 ∈ β„•0 ∧ 𝐾 ∈ β„•0) β†’ (𝐾(digitβ€˜2)𝑁) = ((βŒŠβ€˜(𝑁 / (2↑𝐾))) mod 2))
2423eqeq1d 2727 . 2 ((𝑁 ∈ β„•0 ∧ 𝐾 ∈ β„•0) β†’ ((𝐾(digitβ€˜2)𝑁) = 1 ↔ ((βŒŠβ€˜(𝑁 / (2↑𝐾))) mod 2) = 1))
25 nn0z 12611 . . 3 (𝑁 ∈ β„•0 β†’ 𝑁 ∈ β„€)
26 bitsval2 16397 . . 3 ((𝑁 ∈ β„€ ∧ 𝐾 ∈ β„•0) β†’ (𝐾 ∈ (bitsβ€˜π‘) ↔ Β¬ 2 βˆ₯ (βŒŠβ€˜(𝑁 / (2↑𝐾)))))
2725, 26sylan 578 . 2 ((𝑁 ∈ β„•0 ∧ 𝐾 ∈ β„•0) β†’ (𝐾 ∈ (bitsβ€˜π‘) ↔ Β¬ 2 βˆ₯ (βŒŠβ€˜(𝑁 / (2↑𝐾)))))
2816, 24, 273bitr4d 310 1 ((𝑁 ∈ β„•0 ∧ 𝐾 ∈ β„•0) β†’ ((𝐾(digitβ€˜2)𝑁) = 1 ↔ 𝐾 ∈ (bitsβ€˜π‘)))
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  Β¬ wn 3   β†’ wi 4   ↔ wb 205   ∧ wa 394   = wceq 1533   ∈ wcel 2098   β‰  wne 2930   class class class wbr 5141  β€˜cfv 6541  (class class class)co 7414  β„cr 11135  0cc0 11136  1c1 11137  +∞cpnf 11273   / cdiv 11899  β„•cn 12240  2c2 12295  β„•0cn0 12500  β„€cz 12586  [,)cico 13356  βŒŠcfl 13785   mod cmo 13864  β†‘cexp 14056   βˆ₯ cdvds 16228  bitscbits 16391  digitcdig 47752
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1789  ax-4 1803  ax-5 1905  ax-6 1963  ax-7 2003  ax-8 2100  ax-9 2108  ax-10 2129  ax-11 2146  ax-12 2166  ax-ext 2696  ax-rep 5278  ax-sep 5292  ax-nul 5299  ax-pow 5357  ax-pr 5421  ax-un 7736  ax-cnex 11192  ax-resscn 11193  ax-1cn 11194  ax-icn 11195  ax-addcl 11196  ax-addrcl 11197  ax-mulcl 11198  ax-mulrcl 11199  ax-mulcom 11200  ax-addass 11201  ax-mulass 11202  ax-distr 11203  ax-i2m1 11204  ax-1ne0 11205  ax-1rid 11206  ax-rnegex 11207  ax-rrecex 11208  ax-cnre 11209  ax-pre-lttri 11210  ax-pre-lttrn 11211  ax-pre-ltadd 11212  ax-pre-mulgt0 11213  ax-pre-sup 11214
This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 395  df-or 846  df-3or 1085  df-3an 1086  df-tru 1536  df-fal 1546  df-ex 1774  df-nf 1778  df-sb 2060  df-mo 2528  df-eu 2557  df-clab 2703  df-cleq 2717  df-clel 2802  df-nfc 2877  df-ne 2931  df-nel 3037  df-ral 3052  df-rex 3061  df-rmo 3364  df-reu 3365  df-rab 3420  df-v 3465  df-sbc 3769  df-csb 3885  df-dif 3942  df-un 3944  df-in 3946  df-ss 3956  df-pss 3958  df-nul 4317  df-if 4523  df-pw 4598  df-sn 4623  df-pr 4625  df-op 4629  df-uni 4902  df-iun 4991  df-br 5142  df-opab 5204  df-mpt 5225  df-tr 5259  df-id 5568  df-eprel 5574  df-po 5582  df-so 5583  df-fr 5625  df-we 5627  df-xp 5676  df-rel 5677  df-cnv 5678  df-co 5679  df-dm 5680  df-rn 5681  df-res 5682  df-ima 5683  df-pred 6298  df-ord 6365  df-on 6366  df-lim 6367  df-suc 6368  df-iota 6493  df-fun 6543  df-fn 6544  df-f 6545  df-f1 6546  df-fo 6547  df-f1o 6548  df-fv 6549  df-riota 7370  df-ov 7417  df-oprab 7418  df-mpo 7419  df-om 7867  df-1st 7989  df-2nd 7990  df-frecs 8283  df-wrecs 8314  df-recs 8388  df-rdg 8427  df-er 8721  df-en 8961  df-dom 8962  df-sdom 8963  df-sup 9463  df-inf 9464  df-pnf 11278  df-mnf 11279  df-xr 11280  df-ltxr 11281  df-le 11282  df-sub 11474  df-neg 11475  df-div 11900  df-nn 12241  df-2 12303  df-n0 12501  df-z 12587  df-uz 12851  df-rp 13005  df-ico 13360  df-fl 13787  df-mod 13865  df-seq 13997  df-exp 14057  df-dvds 16229  df-bits 16394  df-dig 47753
This theorem is referenced by: (None)
  Copyright terms: Public domain W3C validator