Users' Mathboxes Mathbox for Alexander van der Vekens < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >   Mathboxes  >  dig2bits Structured version   Visualization version   GIF version
Theorem dig2bits 47575
Description: The 𝐾 th digit of a nonnegative integer 𝑁 in a binary system is its 𝐾 th bit. (Contributed by AV, 24-May-2020.)
Assertion
Ref Expression
dig2bits ((𝑁 ∈ β„•0 ∧ 𝐾 ∈ β„•0) β†’ ((𝐾(digitβ€˜2)𝑁) = 1 ↔ 𝐾 ∈ (bitsβ€˜π‘)))
Proof of Theorem dig2bits
StepHypRef Expression
1 nn0re 12485 . . . . . 6 (𝑁 ∈ β„•0 β†’ 𝑁 ∈ ℝ)
21adantr 480 . . . . 5 ((𝑁 ∈ β„•0 ∧ 𝐾 ∈ β„•0) β†’ 𝑁 ∈ ℝ)
3 2re 12290 . . . . . . 7 2 ∈ ℝ
43a1i 11 . . . . . 6 (𝑁 ∈ β„•0 β†’ 2 ∈ ℝ)
5 reexpcl 14049 . . . . . 6 ((2 ∈ ℝ ∧ 𝐾 ∈ β„•0) β†’ (2↑𝐾) ∈ ℝ)
64, 5sylan 579 . . . . 5 ((𝑁 ∈ β„•0 ∧ 𝐾 ∈ β„•0) β†’ (2↑𝐾) ∈ ℝ)
7 2cnd 12294 . . . . . 6 ((𝑁 ∈ β„•0 ∧ 𝐾 ∈ β„•0) β†’ 2 ∈ β„‚)
8 2ne0 12320 . . . . . . 7 2 β‰  0
98a1i 11 . . . . . 6 ((𝑁 ∈ β„•0 ∧ 𝐾 ∈ β„•0) β†’ 2 β‰  0)
10 nn0z 12587 . . . . . . 7 (𝐾 ∈ β„•0 β†’ 𝐾 ∈ β„€)
1110adantl 481 . . . . . 6 ((𝑁 ∈ β„•0 ∧ 𝐾 ∈ β„•0) β†’ 𝐾 ∈ β„€)
127, 9, 11expne0d 14122 . . . . 5 ((𝑁 ∈ β„•0 ∧ 𝐾 ∈ β„•0) β†’ (2↑𝐾) β‰  0)
132, 6, 12redivcld 12046 . . . 4 ((𝑁 ∈ β„•0 ∧ 𝐾 ∈ β„•0) β†’ (𝑁 / (2↑𝐾)) ∈ ℝ)
1413flcld 13769 . . 3 ((𝑁 ∈ β„•0 ∧ 𝐾 ∈ β„•0) β†’ (βŒŠβ€˜(𝑁 / (2↑𝐾))) ∈ β„€)
15 mod2eq1n2dvds 16297 . . 3 ((βŒŠβ€˜(𝑁 / (2↑𝐾))) ∈ β„€ β†’ (((βŒŠβ€˜(𝑁 / (2↑𝐾))) mod 2) = 1 ↔ Β¬ 2 βˆ₯ (βŒŠβ€˜(𝑁 / (2↑𝐾)))))
1614, 15syl 17 . 2 ((𝑁 ∈ β„•0 ∧ 𝐾 ∈ β„•0) β†’ (((βŒŠβ€˜(𝑁 / (2↑𝐾))) mod 2) = 1 ↔ Β¬ 2 βˆ₯ (βŒŠβ€˜(𝑁 / (2↑𝐾)))))
17 2nn 12289 . . . . 5 2 ∈ β„•
1817a1i 11 . . . 4 ((𝑁 ∈ β„•0 ∧ 𝐾 ∈ β„•0) β†’ 2 ∈ β„•)
19 simpr 484 . . . 4 ((𝑁 ∈ β„•0 ∧ 𝐾 ∈ β„•0) β†’ 𝐾 ∈ β„•0)
20 nn0rp0 13438 . . . . 5 (𝑁 ∈ β„•0 β†’ 𝑁 ∈ (0[,)+∞))
2120adantr 480 . . . 4 ((𝑁 ∈ β„•0 ∧ 𝐾 ∈ β„•0) β†’ 𝑁 ∈ (0[,)+∞))
22 nn0digval 47561 . . . 4 ((2 ∈ β„• ∧ 𝐾 ∈ β„•0 ∧ 𝑁 ∈ (0[,)+∞)) β†’ (𝐾(digitβ€˜2)𝑁) = ((βŒŠβ€˜(𝑁 / (2↑𝐾))) mod 2))
2318, 19, 21, 22syl3anc 1368 . . 3 ((𝑁 ∈ β„•0 ∧ 𝐾 ∈ β„•0) β†’ (𝐾(digitβ€˜2)𝑁) = ((βŒŠβ€˜(𝑁 / (2↑𝐾))) mod 2))
2423eqeq1d 2728 . 2 ((𝑁 ∈ β„•0 ∧ 𝐾 ∈ β„•0) β†’ ((𝐾(digitβ€˜2)𝑁) = 1 ↔ ((βŒŠβ€˜(𝑁 / (2↑𝐾))) mod 2) = 1))
25 nn0z 12587 . . 3 (𝑁 ∈ β„•0 β†’ 𝑁 ∈ β„€)
26 bitsval2 16373 . . 3 ((𝑁 ∈ β„€ ∧ 𝐾 ∈ β„•0) β†’ (𝐾 ∈ (bitsβ€˜π‘) ↔ Β¬ 2 βˆ₯ (βŒŠβ€˜(𝑁 / (2↑𝐾)))))
2725, 26sylan 579 . 2 ((𝑁 ∈ β„•0 ∧ 𝐾 ∈ β„•0) β†’ (𝐾 ∈ (bitsβ€˜π‘) ↔ Β¬ 2 βˆ₯ (βŒŠβ€˜(𝑁 / (2↑𝐾)))))
2816, 24, 273bitr4d 311 1 ((𝑁 ∈ β„•0 ∧ 𝐾 ∈ β„•0) β†’ ((𝐾(digitβ€˜2)𝑁) = 1 ↔ 𝐾 ∈ (bitsβ€˜π‘)))
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  Β¬ wn 3   β†’ wi 4   ↔ wb 205   ∧ wa 395   = wceq 1533   ∈ wcel 2098   β‰  wne 2934   class class class wbr 5141  β€˜cfv 6537  (class class class)co 7405  β„cr 11111  0cc0 11112  1c1 11113  +∞cpnf 11249   / cdiv 11875  β„•cn 12216  2c2 12271  β„•0cn0 12476  β„€cz 12562  [,)cico 13332  βŒŠcfl 13761   mod cmo 13840  β†‘cexp 14032   βˆ₯ cdvds 16204  bitscbits 16367  digitcdig 47556
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1789  ax-4 1803  ax-5 1905  ax-6 1963  ax-7 2003  ax-8 2100  ax-9 2108  ax-10 2129  ax-11 2146  ax-12 2163  ax-ext 2697  ax-rep 5278  ax-sep 5292  ax-nul 5299  ax-pow 5356  ax-pr 5420  ax-un 7722  ax-cnex 11168  ax-resscn 11169  ax-1cn 11170  ax-icn 11171  ax-addcl 11172  ax-addrcl 11173  ax-mulcl 11174  ax-mulrcl 11175  ax-mulcom 11176  ax-addass 11177  ax-mulass 11178  ax-distr 11179  ax-i2m1 11180  ax-1ne0 11181  ax-1rid 11182  ax-rnegex 11183  ax-rrecex 11184  ax-cnre 11185  ax-pre-lttri 11186  ax-pre-lttrn 11187  ax-pre-ltadd 11188  ax-pre-mulgt0 11189  ax-pre-sup 11190
This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 396  df-or 845  df-3or 1085  df-3an 1086  df-tru 1536  df-fal 1546  df-ex 1774  df-nf 1778  df-sb 2060  df-mo 2528  df-eu 2557  df-clab 2704  df-cleq 2718  df-clel 2804  df-nfc 2879  df-ne 2935  df-nel 3041  df-ral 3056  df-rex 3065  df-rmo 3370  df-reu 3371  df-rab 3427  df-v 3470  df-sbc 3773  df-csb 3889  df-dif 3946  df-un 3948  df-in 3950  df-ss 3960  df-pss 3962  df-nul 4318  df-if 4524  df-pw 4599  df-sn 4624  df-pr 4626  df-op 4630  df-uni 4903  df-iun 4992  df-br 5142  df-opab 5204  df-mpt 5225  df-tr 5259  df-id 5567  df-eprel 5573  df-po 5581  df-so 5582  df-fr 5624  df-we 5626  df-xp 5675  df-rel 5676  df-cnv 5677  df-co 5678  df-dm 5679  df-rn 5680  df-res 5681  df-ima 5682  df-pred 6294  df-ord 6361  df-on 6362  df-lim 6363  df-suc 6364  df-iota 6489  df-fun 6539  df-fn 6540  df-f 6541  df-f1 6542  df-fo 6543  df-f1o 6544  df-fv 6545  df-riota 7361  df-ov 7408  df-oprab 7409  df-mpo 7410  df-om 7853  df-1st 7974  df-2nd 7975  df-frecs 8267  df-wrecs 8298  df-recs 8372  df-rdg 8411  df-er 8705  df-en 8942  df-dom 8943  df-sdom 8944  df-sup 9439  df-inf 9440  df-pnf 11254  df-mnf 11255  df-xr 11256  df-ltxr 11257  df-le 11258  df-sub 11450  df-neg 11451  df-div 11876  df-nn 12217  df-2 12279  df-n0 12477  df-z 12563  df-uz 12827  df-rp 12981  df-ico 13336  df-fl 13763  df-mod 13841  df-seq 13973  df-exp 14033  df-dvds 16205  df-bits 16370  df-dig 47557
This theorem is referenced by: (None)
  Copyright terms: Public domain W3C validator