Theorem dig2bits 48593

Description: The 𝐾 th digit of a nonnegative integer 𝑁 in a binary system is its 𝐾 th bit. (Contributed by AV, 24-May-2020.)

Assertion

Ref	Expression
dig2bits	⊢ ((𝑁 ∈ ℕ0 ∧ 𝐾 ∈ ℕ0) → ((𝐾(digit‘2)𝑁) = 1 ↔ 𝐾 ∈ (bits‘𝑁)))

Proof of Theorem dig2bits

Step	Hyp	Ref	Expression
1		nn0re 12457	. . . . . 6 ⊢ (𝑁 ∈ ℕ0 → 𝑁 ∈ ℝ)
2	1	adantr 480	. . . . 5 ⊢ ((𝑁 ∈ ℕ0 ∧ 𝐾 ∈ ℕ0) → 𝑁 ∈ ℝ)
3		2re 12261	. . . . . . 7 ⊢ 2 ∈ ℝ
4	3	a1i 11	. . . . . 6 ⊢ (𝑁 ∈ ℕ0 → 2 ∈ ℝ)
5		reexpcl 14049	. . . . . 6 ⊢ ((2 ∈ ℝ ∧ 𝐾 ∈ ℕ0) → (2↑𝐾) ∈ ℝ)
6	4, 5	sylan 580	. . . . 5 ⊢ ((𝑁 ∈ ℕ0 ∧ 𝐾 ∈ ℕ0) → (2↑𝐾) ∈ ℝ)
7		2cnd 12265	. . . . . 6 ⊢ ((𝑁 ∈ ℕ0 ∧ 𝐾 ∈ ℕ0) → 2 ∈ ℂ)
8		2ne0 12291	. . . . . . 7 ⊢ 2 ≠ 0
9	8	a1i 11	. . . . . 6 ⊢ ((𝑁 ∈ ℕ0 ∧ 𝐾 ∈ ℕ0) → 2 ≠ 0)
10		nn0z 12560	. . . . . . 7 ⊢ (𝐾 ∈ ℕ0 → 𝐾 ∈ ℤ)
11	10	adantl 481	. . . . . 6 ⊢ ((𝑁 ∈ ℕ0 ∧ 𝐾 ∈ ℕ0) → 𝐾 ∈ ℤ)
12	7, 9, 11	expne0d 14123	. . . . 5 ⊢ ((𝑁 ∈ ℕ0 ∧ 𝐾 ∈ ℕ0) → (2↑𝐾) ≠ 0)
13	2, 6, 12	redivcld 12016	. . . 4 ⊢ ((𝑁 ∈ ℕ0 ∧ 𝐾 ∈ ℕ0) → (𝑁 / (2↑𝐾)) ∈ ℝ)
14	13	flcld 13766	. . 3 ⊢ ((𝑁 ∈ ℕ0 ∧ 𝐾 ∈ ℕ0) → (⌊‘(𝑁 / (2↑𝐾))) ∈ ℤ)
15		mod2eq1n2dvds 16323	. . 3 ⊢ ((⌊‘(𝑁 / (2↑𝐾))) ∈ ℤ → (((⌊‘(𝑁 / (2↑𝐾))) mod 2) = 1 ↔ ¬ 2 ∥ (⌊‘(𝑁 / (2↑𝐾)))))
16	14, 15	syl 17	. 2 ⊢ ((𝑁 ∈ ℕ0 ∧ 𝐾 ∈ ℕ0) → (((⌊‘(𝑁 / (2↑𝐾))) mod 2) = 1 ↔ ¬ 2 ∥ (⌊‘(𝑁 / (2↑𝐾)))))
17		2nn 12260	. . . . 5 ⊢ 2 ∈ ℕ
18	17	a1i 11	. . . 4 ⊢ ((𝑁 ∈ ℕ0 ∧ 𝐾 ∈ ℕ0) → 2 ∈ ℕ)
19		simpr 484	. . . 4 ⊢ ((𝑁 ∈ ℕ0 ∧ 𝐾 ∈ ℕ0) → 𝐾 ∈ ℕ0)
20		nn0rp0 13422	. . . . 5 ⊢ (𝑁 ∈ ℕ0 → 𝑁 ∈ (0[,)+∞))
21	20	adantr 480	. . . 4 ⊢ ((𝑁 ∈ ℕ0 ∧ 𝐾 ∈ ℕ0) → 𝑁 ∈ (0[,)+∞))
22		nn0digval 48579	. . . 4 ⊢ ((2 ∈ ℕ ∧ 𝐾 ∈ ℕ0 ∧ 𝑁 ∈ (0[,)+∞)) → (𝐾(digit‘2)𝑁) = ((⌊‘(𝑁 / (2↑𝐾))) mod 2))
23	18, 19, 21, 22	syl3anc 1373	. . 3 ⊢ ((𝑁 ∈ ℕ0 ∧ 𝐾 ∈ ℕ0) → (𝐾(digit‘2)𝑁) = ((⌊‘(𝑁 / (2↑𝐾))) mod 2))
24	23	eqeq1d 2732	. 2 ⊢ ((𝑁 ∈ ℕ0 ∧ 𝐾 ∈ ℕ0) → ((𝐾(digit‘2)𝑁) = 1 ↔ ((⌊‘(𝑁 / (2↑𝐾))) mod 2) = 1))
25		nn0z 12560	. . 3 ⊢ (𝑁 ∈ ℕ0 → 𝑁 ∈ ℤ)
26		bitsval2 16401	. . 3 ⊢ ((𝑁 ∈ ℤ ∧ 𝐾 ∈ ℕ0) → (𝐾 ∈ (bits‘𝑁) ↔ ¬ 2 ∥ (⌊‘(𝑁 / (2↑𝐾)))))
27	25, 26	sylan 580	. 2 ⊢ ((𝑁 ∈ ℕ0 ∧ 𝐾 ∈ ℕ0) → (𝐾 ∈ (bits‘𝑁) ↔ ¬ 2 ∥ (⌊‘(𝑁 / (2↑𝐾)))))
28	16, 24, 27	3bitr4d 311	1 ⊢ ((𝑁 ∈ ℕ0 ∧ 𝐾 ∈ ℕ0) → ((𝐾(digit‘2)𝑁) = 1 ↔ 𝐾 ∈ (bits‘𝑁)))

Syntax hints:  ¬ wn 3   → wi 4   ↔ wb 206   ∧ wa 395   = wceq 1540   ∈ wcel 2109   ≠ wne 2926   class class class wbr 5109  ‘cfv 6513  (class class class)co 7389  ℝcr 11073  0cc0 11074  1c1 11075  +∞cpnf 11211   / cdiv 11841  ℕcn 12187  2c2 12242  ℕ₀cn0 12448  ℤcz 12535  [,)cico 13314  ⌊cfl 13758   mod cmo 13837  ↑cexp 14032   ∥ cdvds 16228  bitscbits 16395  digitcdig 48574

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1795  ax-4 1809  ax-5 1910  ax-6 1967  ax-7 2008  ax-8 2111  ax-9 2119  ax-10 2142  ax-11 2158  ax-12 2178  ax-ext 2702  ax-rep 5236  ax-sep 5253  ax-nul 5263  ax-pow 5322  ax-pr 5389  ax-un 7713  ax-cnex 11130  ax-resscn 11131  ax-1cn 11132  ax-icn 11133  ax-addcl 11134  ax-addrcl 11135  ax-mulcl 11136  ax-mulrcl 11137  ax-mulcom 11138  ax-addass 11139  ax-mulass 11140  ax-distr 11141  ax-i2m1 11142  ax-1ne0 11143  ax-1rid 11144  ax-rnegex 11145  ax-rrecex 11146  ax-cnre 11147  ax-pre-lttri 11148  ax-pre-lttrn 11149  ax-pre-ltadd 11150  ax-pre-mulgt0 11151  ax-pre-sup 11152

This theorem depends on definitions:  df-bi 207  df-an 396  df-or 848  df-3or 1087  df-3an 1088  df-tru 1543  df-fal 1553  df-ex 1780  df-nf 1784  df-sb 2066  df-mo 2534  df-eu 2563  df-clab 2709  df-cleq 2722  df-clel 2804  df-nfc 2879  df-ne 2927  df-nel 3031  df-ral 3046  df-rex 3055  df-rmo 3356  df-reu 3357  df-rab 3409  df-v 3452  df-sbc 3756  df-csb 3865  df-dif 3919  df-un 3921  df-in 3923  df-ss 3933  df-pss 3936  df-nul 4299  df-if 4491  df-pw 4567  df-sn 4592  df-pr 4594  df-op 4598  df-uni 4874  df-iun 4959  df-br 5110  df-opab 5172  df-mpt 5191  df-tr 5217  df-id 5535  df-eprel 5540  df-po 5548  df-so 5549  df-fr 5593  df-we 5595  df-xp 5646  df-rel 5647  df-cnv 5648  df-co 5649  df-dm 5650  df-rn 5651  df-res 5652  df-ima 5653  df-pred 6276  df-ord 6337  df-on 6338  df-lim 6339  df-suc 6340  df-iota 6466  df-fun 6515  df-fn 6516  df-f 6517  df-f1 6518  df-fo 6519  df-f1o 6520  df-fv 6521  df-riota 7346  df-ov 7392  df-oprab 7393  df-mpo 7394  df-om 7845  df-1st 7970  df-2nd 7971  df-frecs 8262  df-wrecs 8293  df-recs 8342  df-rdg 8380  df-er 8673  df-en 8921  df-dom 8922  df-sdom 8923  df-sup 9399  df-inf 9400  df-pnf 11216  df-mnf 11217  df-xr 11218  df-ltxr 11219  df-le 11220  df-sub 11413  df-neg 11414  df-div 11842  df-nn 12188  df-2 12250  df-n0 12449  df-z 12536  df-uz 12800  df-rp 12958  df-ico 13318  df-fl 13760  df-mod 13838  df-seq 13973  df-exp 14033  df-dvds 16229  df-bits 16398  df-dig 48575

This theorem is referenced by: (None)