Users' Mathboxes Mathbox for Alexander van der Vekens < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >   Mathboxes  >  dig2bits Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem dig2bits 48266
Description: The 𝐾 th digit of a nonnegative integer 𝑁 in a binary system is its 𝐾 th bit. (Contributed by AV, 24-May-2020.)
Assertion
Ref Expression
dig2bits ((𝑁 ∈ ℕ0𝐾 ∈ ℕ0) → ((𝐾(digit‘2)𝑁) = 1 ↔ 𝐾 ∈ (bits‘𝑁)))

Proof of Theorem dig2bits
StepHypRef Expression
1 nn0re 12558 . . . . . 6 (𝑁 ∈ ℕ0𝑁 ∈ ℝ)
21adantr 480 . . . . 5 ((𝑁 ∈ ℕ0𝐾 ∈ ℕ0) → 𝑁 ∈ ℝ)
3 2re 12363 . . . . . . 7 2 ∈ ℝ
43a1i 11 . . . . . 6 (𝑁 ∈ ℕ0 → 2 ∈ ℝ)
5 reexpcl 14125 . . . . . 6 ((2 ∈ ℝ ∧ 𝐾 ∈ ℕ0) → (2↑𝐾) ∈ ℝ)
64, 5sylan 579 . . . . 5 ((𝑁 ∈ ℕ0𝐾 ∈ ℕ0) → (2↑𝐾) ∈ ℝ)
7 2cnd 12367 . . . . . 6 ((𝑁 ∈ ℕ0𝐾 ∈ ℕ0) → 2 ∈ ℂ)
8 2ne0 12393 . . . . . . 7 2 ≠ 0
98a1i 11 . . . . . 6 ((𝑁 ∈ ℕ0𝐾 ∈ ℕ0) → 2 ≠ 0)
10 nn0z 12660 . . . . . . 7 (𝐾 ∈ ℕ0𝐾 ∈ ℤ)
1110adantl 481 . . . . . 6 ((𝑁 ∈ ℕ0𝐾 ∈ ℕ0) → 𝐾 ∈ ℤ)
127, 9, 11expne0d 14198 . . . . 5 ((𝑁 ∈ ℕ0𝐾 ∈ ℕ0) → (2↑𝐾) ≠ 0)
132, 6, 12redivcld 12118 . . . 4 ((𝑁 ∈ ℕ0𝐾 ∈ ℕ0) → (𝑁 / (2↑𝐾)) ∈ ℝ)
1413flcld 13845 . . 3 ((𝑁 ∈ ℕ0𝐾 ∈ ℕ0) → (⌊‘(𝑁 / (2↑𝐾))) ∈ ℤ)
15 mod2eq1n2dvds 16389 . . 3 ((⌊‘(𝑁 / (2↑𝐾))) ∈ ℤ → (((⌊‘(𝑁 / (2↑𝐾))) mod 2) = 1 ↔ ¬ 2 ∥ (⌊‘(𝑁 / (2↑𝐾)))))
1614, 15syl 17 . 2 ((𝑁 ∈ ℕ0𝐾 ∈ ℕ0) → (((⌊‘(𝑁 / (2↑𝐾))) mod 2) = 1 ↔ ¬ 2 ∥ (⌊‘(𝑁 / (2↑𝐾)))))
17 2nn 12362 . . . . 5 2 ∈ ℕ
1817a1i 11 . . . 4 ((𝑁 ∈ ℕ0𝐾 ∈ ℕ0) → 2 ∈ ℕ)
19 simpr 484 . . . 4 ((𝑁 ∈ ℕ0𝐾 ∈ ℕ0) → 𝐾 ∈ ℕ0)
20 nn0rp0 13511 . . . . 5 (𝑁 ∈ ℕ0𝑁 ∈ (0[,)+∞))
2120adantr 480 . . . 4 ((𝑁 ∈ ℕ0𝐾 ∈ ℕ0) → 𝑁 ∈ (0[,)+∞))
22 nn0digval 48252 . . . 4 ((2 ∈ ℕ ∧ 𝐾 ∈ ℕ0𝑁 ∈ (0[,)+∞)) → (𝐾(digit‘2)𝑁) = ((⌊‘(𝑁 / (2↑𝐾))) mod 2))
2318, 19, 21, 22syl3anc 1371 . . 3 ((𝑁 ∈ ℕ0𝐾 ∈ ℕ0) → (𝐾(digit‘2)𝑁) = ((⌊‘(𝑁 / (2↑𝐾))) mod 2))
2423eqeq1d 2736 . 2 ((𝑁 ∈ ℕ0𝐾 ∈ ℕ0) → ((𝐾(digit‘2)𝑁) = 1 ↔ ((⌊‘(𝑁 / (2↑𝐾))) mod 2) = 1))
25 nn0z 12660 . . 3 (𝑁 ∈ ℕ0𝑁 ∈ ℤ)
26 bitsval2 16465 . . 3 ((𝑁 ∈ ℤ ∧ 𝐾 ∈ ℕ0) → (𝐾 ∈ (bits‘𝑁) ↔ ¬ 2 ∥ (⌊‘(𝑁 / (2↑𝐾)))))
2725, 26sylan 579 . 2 ((𝑁 ∈ ℕ0𝐾 ∈ ℕ0) → (𝐾 ∈ (bits‘𝑁) ↔ ¬ 2 ∥ (⌊‘(𝑁 / (2↑𝐾)))))
2816, 24, 273bitr4d 311 1 ((𝑁 ∈ ℕ0𝐾 ∈ ℕ0) → ((𝐾(digit‘2)𝑁) = 1 ↔ 𝐾 ∈ (bits‘𝑁)))
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  ¬ wn 3  wi 4  wb 206  wa 395   = wceq 1537  wcel 2103  wne 2942   class class class wbr 5169  cfv 6572  (class class class)co 7445  cr 11179  0cc0 11180  1c1 11181  +∞cpnf 11317   / cdiv 11943  cn 12289  2c2 12344  0cn0 12549  cz 12635  [,)cico 13405  cfl 13837   mod cmo 13916  cexp 14108  cdvds 16296  bitscbits 16459  digitcdig 48247
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1793  ax-4 1807  ax-5 1909  ax-6 1967  ax-7 2007  ax-8 2105  ax-9 2113  ax-10 2136  ax-11 2153  ax-12 2173  ax-ext 2705  ax-rep 5306  ax-sep 5320  ax-nul 5327  ax-pow 5386  ax-pr 5450  ax-un 7766  ax-cnex 11236  ax-resscn 11237  ax-1cn 11238  ax-icn 11239  ax-addcl 11240  ax-addrcl 11241  ax-mulcl 11242  ax-mulrcl 11243  ax-mulcom 11244  ax-addass 11245  ax-mulass 11246  ax-distr 11247  ax-i2m1 11248  ax-1ne0 11249  ax-1rid 11250  ax-rnegex 11251  ax-rrecex 11252  ax-cnre 11253  ax-pre-lttri 11254  ax-pre-lttrn 11255  ax-pre-ltadd 11256  ax-pre-mulgt0 11257  ax-pre-sup 11258
This theorem depends on definitions:  df-bi 207  df-an 396  df-or 847  df-3or 1088  df-3an 1089  df-tru 1540  df-fal 1550  df-ex 1778  df-nf 1782  df-sb 2065  df-mo 2537  df-eu 2566  df-clab 2712  df-cleq 2726  df-clel 2813  df-nfc 2890  df-ne 2943  df-nel 3049  df-ral 3064  df-rex 3073  df-rmo 3383  df-reu 3384  df-rab 3439  df-v 3484  df-sbc 3799  df-csb 3916  df-dif 3973  df-un 3975  df-in 3977  df-ss 3987  df-pss 3990  df-nul 4348  df-if 4549  df-pw 4624  df-sn 4649  df-pr 4651  df-op 4655  df-uni 4932  df-iun 5021  df-br 5170  df-opab 5232  df-mpt 5253  df-tr 5287  df-id 5597  df-eprel 5603  df-po 5611  df-so 5612  df-fr 5654  df-we 5656  df-xp 5705  df-rel 5706  df-cnv 5707  df-co 5708  df-dm 5709  df-rn 5710  df-res 5711  df-ima 5712  df-pred 6331  df-ord 6397  df-on 6398  df-lim 6399  df-suc 6400  df-iota 6524  df-fun 6574  df-fn 6575  df-f 6576  df-f1 6577  df-fo 6578  df-f1o 6579  df-fv 6580  df-riota 7401  df-ov 7448  df-oprab 7449  df-mpo 7450  df-om 7900  df-1st 8026  df-2nd 8027  df-frecs 8318  df-wrecs 8349  df-recs 8423  df-rdg 8462  df-er 8759  df-en 9000  df-dom 9001  df-sdom 9002  df-sup 9507  df-inf 9508  df-pnf 11322  df-mnf 11323  df-xr 11324  df-ltxr 11325  df-le 11326  df-sub 11518  df-neg 11519  df-div 11944  df-nn 12290  df-2 12352  df-n0 12550  df-z 12636  df-uz 12900  df-rp 13054  df-ico 13409  df-fl 13839  df-mod 13917  df-seq 14049  df-exp 14109  df-dvds 16297  df-bits 16462  df-dig 48248
This theorem is referenced by: (None)
  Copyright terms: Public domain W3C validator