Theorem dig2bits 49314

Description: The 𝐾 th digit of a nonnegative integer 𝑁 in a binary system is its 𝐾 th bit. (Contributed by AV, 24-May-2020.)

Assertion

Ref	Expression
dig2bits	⊢ ((𝑁 ∈ ℕ0 ∧ 𝐾 ∈ ℕ0) → ((𝐾(digit‘2)𝑁) = 1 ↔ 𝐾 ∈ (bits‘𝑁)))

Proof of Theorem dig2bits

Step	Hyp	Ref	Expression
1		nn0re 12513	. . . . . 6 ⊢ (𝑁 ∈ ℕ0 → 𝑁 ∈ ℝ)
2	1	adantr 485	. . . . 5 ⊢ ((𝑁 ∈ ℕ0 ∧ 𝐾 ∈ ℕ0) → 𝑁 ∈ ℝ)
3		2re 12315	. . . . . . 7 ⊢ 2 ∈ ℝ
4	3	a1i 11	. . . . . 6 ⊢ (𝑁 ∈ ℕ0 → 2 ∈ ℝ)
5		reexpcl 14114	. . . . . 6 ⊢ ((2 ∈ ℝ ∧ 𝐾 ∈ ℕ0) → (2↑𝐾) ∈ ℝ)
6	4, 5	sylan 591	. . . . 5 ⊢ ((𝑁 ∈ ℕ0 ∧ 𝐾 ∈ ℕ0) → (2↑𝐾) ∈ ℝ)
7		2cnd 12319	. . . . . 6 ⊢ ((𝑁 ∈ ℕ0 ∧ 𝐾 ∈ ℕ0) → 2 ∈ ℂ)
8		2ne0 12347	. . . . . . 7 ⊢ 2 ≠ 0
9	8	a1i 11	. . . . . 6 ⊢ ((𝑁 ∈ ℕ0 ∧ 𝐾 ∈ ℕ0) → 2 ≠ 0)
10		nn0z 12615	. . . . . . 7 ⊢ (𝐾 ∈ ℕ0 → 𝐾 ∈ ℤ)
11	10	adantl 486	. . . . . 6 ⊢ ((𝑁 ∈ ℕ0 ∧ 𝐾 ∈ ℕ0) → 𝐾 ∈ ℤ)
12	7, 9, 11	expne0d 14188	. . . . 5 ⊢ ((𝑁 ∈ ℕ0 ∧ 𝐾 ∈ ℕ0) → (2↑𝐾) ≠ 0)
13	2, 6, 12	redivcld 12043	. . . 4 ⊢ ((𝑁 ∈ ℕ0 ∧ 𝐾 ∈ ℕ0) → (𝑁 / (2↑𝐾)) ∈ ℝ)
14	13	flcld 13831	. . 3 ⊢ ((𝑁 ∈ ℕ0 ∧ 𝐾 ∈ ℕ0) → (⌊‘(𝑁 / (2↑𝐾))) ∈ ℤ)
15		mod2eq1n2dvds 16405	. . 3 ⊢ ((⌊‘(𝑁 / (2↑𝐾))) ∈ ℤ → (((⌊‘(𝑁 / (2↑𝐾))) mod 2) = 1 ↔ ¬ 2 ∥ (⌊‘(𝑁 / (2↑𝐾)))))
16	14, 15	syl 18	. 2 ⊢ ((𝑁 ∈ ℕ0 ∧ 𝐾 ∈ ℕ0) → (((⌊‘(𝑁 / (2↑𝐾))) mod 2) = 1 ↔ ¬ 2 ∥ (⌊‘(𝑁 / (2↑𝐾)))))
17		2nn 12314	. . . . 5 ⊢ 2 ∈ ℕ
18	17	a1i 11	. . . 4 ⊢ ((𝑁 ∈ ℕ0 ∧ 𝐾 ∈ ℕ0) → 2 ∈ ℕ)
19		simpr 489	. . . 4 ⊢ ((𝑁 ∈ ℕ0 ∧ 𝐾 ∈ ℕ0) → 𝐾 ∈ ℕ0)
20		nn0rp0 13482	. . . . 5 ⊢ (𝑁 ∈ ℕ0 → 𝑁 ∈ (0[,)+∞))
21	20	adantr 485	. . . 4 ⊢ ((𝑁 ∈ ℕ0 ∧ 𝐾 ∈ ℕ0) → 𝑁 ∈ (0[,)+∞))
22		nn0digval 49300	. . . 4 ⊢ ((2 ∈ ℕ ∧ 𝐾 ∈ ℕ0 ∧ 𝑁 ∈ (0[,)+∞)) → (𝐾(digit‘2)𝑁) = ((⌊‘(𝑁 / (2↑𝐾))) mod 2))
23	18, 19, 21, 22	syl3anc 1396	. . 3 ⊢ ((𝑁 ∈ ℕ0 ∧ 𝐾 ∈ ℕ0) → (𝐾(digit‘2)𝑁) = ((⌊‘(𝑁 / (2↑𝐾))) mod 2))
24	23	eqeq1d 2771	. 2 ⊢ ((𝑁 ∈ ℕ0 ∧ 𝐾 ∈ ℕ0) → ((𝐾(digit‘2)𝑁) = 1 ↔ ((⌊‘(𝑁 / (2↑𝐾))) mod 2) = 1))
25		nn0z 12615	. . 3 ⊢ (𝑁 ∈ ℕ0 → 𝑁 ∈ ℤ)
26		bitsval2 16483	. . 3 ⊢ ((𝑁 ∈ ℤ ∧ 𝐾 ∈ ℕ0) → (𝐾 ∈ (bits‘𝑁) ↔ ¬ 2 ∥ (⌊‘(𝑁 / (2↑𝐾)))))
27	25, 26	sylan 591	. 2 ⊢ ((𝑁 ∈ ℕ0 ∧ 𝐾 ∈ ℕ0) → (𝐾 ∈ (bits‘𝑁) ↔ ¬ 2 ∥ (⌊‘(𝑁 / (2↑𝐾)))))
28	16, 24, 27	3bitr4d 314	1 ⊢ ((𝑁 ∈ ℕ0 ∧ 𝐾 ∈ ℕ0) → ((𝐾(digit‘2)𝑁) = 1 ↔ 𝐾 ∈ (bits‘𝑁)))

Syntax hints:  ¬ wn 3   → wi 4   ↔ wb 209   ∧ wa 400   = wceq 1567   ∈ wcel 2149   ≠ wne 2964   class class class wbr 5111  ‘cfv 6537  (class class class)co 7411  ℝcr 11099  0cc0 11100  1c1 11101  +∞cpnf 11240   / cdiv 11871  ℕcn 12233  2c2 12295  ℕ₀cn0 12504  ℤcz 12591  [,)cico 13374  ⌊cfl 13823   mod cmo 13902  ↑cexp 14097   ∥ cdvds 16310  bitscbits 16477  digitcdig 49295

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1822  ax-4 1836  ax-5 1937  ax-6 1994  ax-7 2035  ax-8 2151  ax-9 2159  ax-10 2182  ax-11 2198  ax-12 2219  ax-ext 2741  ax-rep 5240  ax-sep 5259  ax-nul 5271  ax-pow 5337  ax-pr 5405  ax-un 7733  ax-cnex 11156  ax-resscn 11157  ax-1cn 11158  ax-icn 11159  ax-addcl 11160  ax-addrcl 11161  ax-mulcl 11162  ax-mulrcl 11163  ax-mulcom 11164  ax-addass 11165  ax-mulass 11166  ax-distr 11167  ax-i2m1 11168  ax-1ne0 11169  ax-1rid 11170  ax-rnegex 11171  ax-rrecex 11172  ax-cnre 11173  ax-pre-lttri 11174  ax-pre-lttrn 11175  ax-pre-ltadd 11176  ax-pre-mulgt0 11177  ax-pre-sup 11178

This theorem depends on definitions:  df-bi 210  df-an 401  df-or 861  df-3or 1102  df-3an 1103  df-tru 1570  df-fal 1580  df-ex 1807  df-nf 1811  df-sb 2098  df-mo 2573  df-eu 2603  df-clab 2748  df-cleq 2761  df-clel 2844  df-nfc 2918  df-ne 2965  df-nel 3071  df-ral 3086  df-rex 3096  df-rmo 3375  df-reu 3376  df-rab 3423  df-v 3463  df-sbc 3752  df-csb 3860  df-dif 3914  df-un 3916  df-in 3918  df-ss 3928  df-pss 3931  df-nul 4293  df-if 4491  df-pw 4567  df-sn 4593  df-pr 4595  df-op 4599  df-uni 4875  df-iun 4960  df-br 5112  df-opab 5176  df-mpt 5195  df-tr 5221  df-id 5557  df-eprel 5562  df-po 5570  df-so 5571  df-fr 5615  df-we 5617  df-xp 5668  df-rel 5669  df-cnv 5670  df-co 5671  df-dm 5672  df-rn 5673  df-res 5674  df-ima 5675  df-pred 6303  df-ord 6364  df-on 6365  df-lim 6366  df-suc 6367  df-iota 6493  df-fun 6539  df-fn 6540  df-f 6541  df-f1 6542  df-fo 6543  df-f1o 6544  df-fv 6545  df-riota 7368  df-ov 7414  df-oprab 7415  df-mpo 7416  df-om 7863  df-1st 7986  df-2nd 7987  df-frecs 8278  df-wrecs 8309  df-recs 8358  df-rdg 8397  df-er 8694  df-en 8944  df-dom 8945  df-sdom 8946  df-sup 9402  df-inf 9403  df-pnf 11245  df-mnf 11246  df-xr 11247  df-ltxr 11248  df-le 11249  df-sub 11443  df-neg 11444  df-div 11872  df-nn 12234  df-2 12303  df-n0 12505  df-z 12592  df-uz 12863  df-rp 13017  df-ico 13378  df-fl 13825  df-mod 13903  df-seq 14038  df-exp 14098  df-dvds 16311  df-bits 16480  df-dig 49296

This theorem is referenced by: (None)