Theorem 0dig2nn0e 49449

Description: The last bit of an even integer is 0. (Contributed by AV, 3-Jun-2010.)

Assertion

Ref	Expression
0dig2nn0e	⊢ ((𝑁 ∈ ℕ0 ∧ (𝑁 / 2) ∈ ℕ0) → (0(digit‘2)𝑁) = 0)

Proof of Theorem 0dig2nn0e

Step	Hyp	Ref	Expression
1		2nn 12329	. . . 4 ⊢ 2 ∈ ℕ
2	1	a1i 11	. . 3 ⊢ ((𝑁 ∈ ℕ0 ∧ (𝑁 / 2) ∈ ℕ0) → 2 ∈ ℕ)
3		0nn0 12534	. . . 4 ⊢ 0 ∈ ℕ0
4	3	a1i 11	. . 3 ⊢ ((𝑁 ∈ ℕ0 ∧ (𝑁 / 2) ∈ ℕ0) → 0 ∈ ℕ0)
5		nn0rp0 13498	. . . 4 ⊢ (𝑁 ∈ ℕ0 → 𝑁 ∈ (0[,)+∞))
6	5	adantr 486	. . 3 ⊢ ((𝑁 ∈ ℕ0 ∧ (𝑁 / 2) ∈ ℕ0) → 𝑁 ∈ (0[,)+∞))
7		nn0digval 49437	. . 3 ⊢ ((2 ∈ ℕ ∧ 0 ∈ ℕ0 ∧ 𝑁 ∈ (0[,)+∞)) → (0(digit‘2)𝑁) = ((⌊‘(𝑁 / (2↑0))) mod 2))
8	2, 4, 6, 7	syl3anc 1398	. 2 ⊢ ((𝑁 ∈ ℕ0 ∧ (𝑁 / 2) ∈ ℕ0) → (0(digit‘2)𝑁) = ((⌊‘(𝑁 / (2↑0))) mod 2))
9		2cn 12331	. . . . . . . 8 ⊢ 2 ∈ ℂ
10		exp0 14119	. . . . . . . 8 ⊢ (2 ∈ ℂ → (2↑0) = 1)
11	9, 10	mp1i 14	. . . . . . 7 ⊢ ((𝑁 ∈ ℕ0 ∧ (𝑁 / 2) ∈ ℕ0) → (2↑0) = 1)
12	11	oveq2d 7435	. . . . . 6 ⊢ ((𝑁 ∈ ℕ0 ∧ (𝑁 / 2) ∈ ℕ0) → (𝑁 / (2↑0)) = (𝑁 / 1))
13		nn0cn 12529	. . . . . . . 8 ⊢ (𝑁 ∈ ℕ0 → 𝑁 ∈ ℂ)
14	13	div1d 11998	. . . . . . 7 ⊢ (𝑁 ∈ ℕ0 → (𝑁 / 1) = 𝑁)
15	14	adantr 486	. . . . . 6 ⊢ ((𝑁 ∈ ℕ0 ∧ (𝑁 / 2) ∈ ℕ0) → (𝑁 / 1) = 𝑁)
16	12, 15	eqtrd 2800	. . . . 5 ⊢ ((𝑁 ∈ ℕ0 ∧ (𝑁 / 2) ∈ ℕ0) → (𝑁 / (2↑0)) = 𝑁)
17	16	fveq2d 6889	. . . 4 ⊢ ((𝑁 ∈ ℕ0 ∧ (𝑁 / 2) ∈ ℕ0) → (⌊‘(𝑁 / (2↑0))) = (⌊‘𝑁))
18	17	oveq1d 7434	. . 3 ⊢ ((𝑁 ∈ ℕ0 ∧ (𝑁 / 2) ∈ ℕ0) → ((⌊‘(𝑁 / (2↑0))) mod 2) = ((⌊‘𝑁) mod 2))
19		nn0z 12630	. . . . . . 7 ⊢ (𝑁 ∈ ℕ0 → 𝑁 ∈ ℤ)
20		flid 13859	. . . . . . 7 ⊢ (𝑁 ∈ ℤ → (⌊‘𝑁) = 𝑁)
21	19, 20	syl 18	. . . . . 6 ⊢ (𝑁 ∈ ℕ0 → (⌊‘𝑁) = 𝑁)
22	21	adantr 486	. . . . 5 ⊢ ((𝑁 ∈ ℕ0 ∧ (𝑁 / 2) ∈ ℕ0) → (⌊‘𝑁) = 𝑁)
23	22	oveq1d 7434	. . . 4 ⊢ ((𝑁 ∈ ℕ0 ∧ (𝑁 / 2) ∈ ℕ0) → ((⌊‘𝑁) mod 2) = (𝑁 mod 2))
24		nn0z 12630	. . . . . 6 ⊢ ((𝑁 / 2) ∈ ℕ0 → (𝑁 / 2) ∈ ℤ)
25	24	adantl 487	. . . . 5 ⊢ ((𝑁 ∈ ℕ0 ∧ (𝑁 / 2) ∈ ℕ0) → (𝑁 / 2) ∈ ℤ)
26		nn0re 12528	. . . . . . 7 ⊢ (𝑁 ∈ ℕ0 → 𝑁 ∈ ℝ)
27	26	adantr 486	. . . . . 6 ⊢ ((𝑁 ∈ ℕ0 ∧ (𝑁 / 2) ∈ ℕ0) → 𝑁 ∈ ℝ)
28		2rp 13037	. . . . . 6 ⊢ 2 ∈ ℝ+
29		mod0 13927	. . . . . 6 ⊢ ((𝑁 ∈ ℝ ∧ 2 ∈ ℝ+) → ((𝑁 mod 2) = 0 ↔ (𝑁 / 2) ∈ ℤ))
30	27, 28, 29	sylancl 598	. . . . 5 ⊢ ((𝑁 ∈ ℕ0 ∧ (𝑁 / 2) ∈ ℕ0) → ((𝑁 mod 2) = 0 ↔ (𝑁 / 2) ∈ ℤ))
31	25, 30	mpbird 260	. . . 4 ⊢ ((𝑁 ∈ ℕ0 ∧ (𝑁 / 2) ∈ ℕ0) → (𝑁 mod 2) = 0)
32	23, 31	eqtrd 2800	. . 3 ⊢ ((𝑁 ∈ ℕ0 ∧ (𝑁 / 2) ∈ ℕ0) → ((⌊‘𝑁) mod 2) = 0)
33	18, 32	eqtrd 2800	. 2 ⊢ ((𝑁 ∈ ℕ0 ∧ (𝑁 / 2) ∈ ℕ0) → ((⌊‘(𝑁 / (2↑0))) mod 2) = 0)
34	8, 33	eqtrd 2800	1 ⊢ ((𝑁 ∈ ℕ0 ∧ (𝑁 / 2) ∈ ℕ0) → (0(digit‘2)𝑁) = 0)

This proof depends on syntax axioms:   → wi 4   ↔ wb 209   ∧ wa 401   = wceq 1570   ∈ wcel 2146  ‘cfv 6540  (class class class)co 7419  ℂcc 11113  ℝcr 11114  0cc0 11115  1c1 11116  +∞cpnf 11255   / cdiv 11886  ℕcn 12248  2c2 12310  ℕ₀cn0 12519  ℤcz 12606  ℝ⁺crp 13032  [,)cico 13390  ⌊cfl 13841   mod cmo 13920  ↑cexp 14115  digitcdig 49432

This proof depends on axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1828  ax-4 1842  ax-5 1943  ax-6 2000  ax-7 2041  ax-8 2148  ax-9 2156  ax-10 2179  ax-11 2195  ax-12 2216  ax-ext 2737  ax-rep 5240  ax-sep 5259  ax-nul 5271  ax-pow 5338  ax-pr 5406  ax-un 7742  ax-cnex 11171  ax-resscn 11172  ax-1cn 11173  ax-icn 11174  ax-addcl 11175  ax-addrcl 11176  ax-mulcl 11177  ax-mulrcl 11178  ax-mulcom 11179  ax-addass 11180  ax-mulass 11181  ax-distr 11182  ax-i2m1 11183  ax-1ne0 11184  ax-1rid 11185  ax-rnegex 11186  ax-rrecex 11187  ax-cnre 11188  ax-pre-lttri 11189  ax-pre-lttrn 11190  ax-pre-ltadd 11191  ax-pre-mulgt0 11192  ax-pre-sup 11193

This proof depends on definitions:  df-bi 210  df-an 402  df-or 862  df-3or 1104  df-3an 1105  df-tru 1573  df-fal 1583  df-ex 1813  df-nf 1817  df-sb 2100  df-mo 2569  df-eu 2599  df-clab 2744  df-cleq 2757  df-clel 2840  df-nfc 2914  df-ne 2961  df-nel 3067  df-ral 3082  df-rex 3092  df-rmo 3371  df-reu 3372  df-rab 3419  df-v 3459  df-sbc 3747  df-csb 3855  df-dif 3909  df-un 3911  df-in 3913  df-ss 3923  df-pss 3926  df-nul 4287  df-if 4490  df-pw 4566  df-sn 4592  df-pr 4594  df-op 4598  df-uni 4875  df-iun 4960  df-br 5112  df-opab 5176  df-mpt 5195  df-tr 5221  df-id 5558  df-eprel 5563  df-po 5571  df-so 5572  df-fr 5616  df-we 5618  df-xp 5669  df-rel 5670  df-cnv 5671  df-co 5672  df-dm 5673  df-rn 5674  df-res 5675  df-ima 5676  df-pred 6306  df-ord 6367  df-on 6368  df-lim 6369  df-suc 6370  df-iota 6496  df-fun 6542  df-fn 6543  df-f 6544  df-f1 6545  df-fo 6546  df-f1o 6547  df-fv 6548  df-riota 7376  df-ov 7422  df-oprab 7423  df-mpo 7424  df-om 7869  df-1st 7992  df-2nd 7993  df-frecs 8284  df-wrecs 8315  df-recs 8364  df-rdg 8403  df-er 8700  df-en 8950  df-dom 8951  df-sdom 8952  df-sup 9409  df-inf 9410  df-pnf 11260  df-mnf 11261  df-xr 11262  df-ltxr 11263  df-le 11264  df-sub 11458  df-neg 11459  df-div 11887  df-nn 12249  df-2 12318  df-n0 12520  df-z 12607  df-uz 12879  df-rp 13033  df-ico 13394  df-fl 13843  df-mod 13921  df-seq 14056  df-exp 14116  df-dig 49433

This theorem is used by:  nn0sumshdiglemA  49456