Theorem 0dig2nn0e 48644

Description: The last bit of an even integer is 0. (Contributed by AV, 3-Jun-2010.)

Assertion

Ref	Expression
0dig2nn0e	⊢ ((𝑁 ∈ ℕ0 ∧ (𝑁 / 2) ∈ ℕ0) → (0(digit‘2)𝑁) = 0)

Proof of Theorem 0dig2nn0e

Step	Hyp	Ref	Expression
1		2nn 12193	. . . 4 ⊢ 2 ∈ ℕ
2	1	a1i 11	. . 3 ⊢ ((𝑁 ∈ ℕ0 ∧ (𝑁 / 2) ∈ ℕ0) → 2 ∈ ℕ)
3		0nn0 12391	. . . 4 ⊢ 0 ∈ ℕ0
4	3	a1i 11	. . 3 ⊢ ((𝑁 ∈ ℕ0 ∧ (𝑁 / 2) ∈ ℕ0) → 0 ∈ ℕ0)
5		nn0rp0 13350	. . . 4 ⊢ (𝑁 ∈ ℕ0 → 𝑁 ∈ (0[,)+∞))
6	5	adantr 480	. . 3 ⊢ ((𝑁 ∈ ℕ0 ∧ (𝑁 / 2) ∈ ℕ0) → 𝑁 ∈ (0[,)+∞))
7		nn0digval 48632	. . 3 ⊢ ((2 ∈ ℕ ∧ 0 ∈ ℕ0 ∧ 𝑁 ∈ (0[,)+∞)) → (0(digit‘2)𝑁) = ((⌊‘(𝑁 / (2↑0))) mod 2))
8	2, 4, 6, 7	syl3anc 1373	. 2 ⊢ ((𝑁 ∈ ℕ0 ∧ (𝑁 / 2) ∈ ℕ0) → (0(digit‘2)𝑁) = ((⌊‘(𝑁 / (2↑0))) mod 2))
9		2cn 12195	. . . . . . . 8 ⊢ 2 ∈ ℂ
10		exp0 13967	. . . . . . . 8 ⊢ (2 ∈ ℂ → (2↑0) = 1)
11	9, 10	mp1i 13	. . . . . . 7 ⊢ ((𝑁 ∈ ℕ0 ∧ (𝑁 / 2) ∈ ℕ0) → (2↑0) = 1)
12	11	oveq2d 7357	. . . . . 6 ⊢ ((𝑁 ∈ ℕ0 ∧ (𝑁 / 2) ∈ ℕ0) → (𝑁 / (2↑0)) = (𝑁 / 1))
13		nn0cn 12386	. . . . . . . 8 ⊢ (𝑁 ∈ ℕ0 → 𝑁 ∈ ℂ)
14	13	div1d 11884	. . . . . . 7 ⊢ (𝑁 ∈ ℕ0 → (𝑁 / 1) = 𝑁)
15	14	adantr 480	. . . . . 6 ⊢ ((𝑁 ∈ ℕ0 ∧ (𝑁 / 2) ∈ ℕ0) → (𝑁 / 1) = 𝑁)
16	12, 15	eqtrd 2766	. . . . 5 ⊢ ((𝑁 ∈ ℕ0 ∧ (𝑁 / 2) ∈ ℕ0) → (𝑁 / (2↑0)) = 𝑁)
17	16	fveq2d 6821	. . . 4 ⊢ ((𝑁 ∈ ℕ0 ∧ (𝑁 / 2) ∈ ℕ0) → (⌊‘(𝑁 / (2↑0))) = (⌊‘𝑁))
18	17	oveq1d 7356	. . 3 ⊢ ((𝑁 ∈ ℕ0 ∧ (𝑁 / 2) ∈ ℕ0) → ((⌊‘(𝑁 / (2↑0))) mod 2) = ((⌊‘𝑁) mod 2))
19		nn0z 12488	. . . . . . 7 ⊢ (𝑁 ∈ ℕ0 → 𝑁 ∈ ℤ)
20		flid 13707	. . . . . . 7 ⊢ (𝑁 ∈ ℤ → (⌊‘𝑁) = 𝑁)
21	19, 20	syl 17	. . . . . 6 ⊢ (𝑁 ∈ ℕ0 → (⌊‘𝑁) = 𝑁)
22	21	adantr 480	. . . . 5 ⊢ ((𝑁 ∈ ℕ0 ∧ (𝑁 / 2) ∈ ℕ0) → (⌊‘𝑁) = 𝑁)
23	22	oveq1d 7356	. . . 4 ⊢ ((𝑁 ∈ ℕ0 ∧ (𝑁 / 2) ∈ ℕ0) → ((⌊‘𝑁) mod 2) = (𝑁 mod 2))
24		nn0z 12488	. . . . . 6 ⊢ ((𝑁 / 2) ∈ ℕ0 → (𝑁 / 2) ∈ ℤ)
25	24	adantl 481	. . . . 5 ⊢ ((𝑁 ∈ ℕ0 ∧ (𝑁 / 2) ∈ ℕ0) → (𝑁 / 2) ∈ ℤ)
26		nn0re 12385	. . . . . . 7 ⊢ (𝑁 ∈ ℕ0 → 𝑁 ∈ ℝ)
27	26	adantr 480	. . . . . 6 ⊢ ((𝑁 ∈ ℕ0 ∧ (𝑁 / 2) ∈ ℕ0) → 𝑁 ∈ ℝ)
28		2rp 12890	. . . . . 6 ⊢ 2 ∈ ℝ+
29		mod0 13775	. . . . . 6 ⊢ ((𝑁 ∈ ℝ ∧ 2 ∈ ℝ+) → ((𝑁 mod 2) = 0 ↔ (𝑁 / 2) ∈ ℤ))
30	27, 28, 29	sylancl 586	. . . . 5 ⊢ ((𝑁 ∈ ℕ0 ∧ (𝑁 / 2) ∈ ℕ0) → ((𝑁 mod 2) = 0 ↔ (𝑁 / 2) ∈ ℤ))
31	25, 30	mpbird 257	. . . 4 ⊢ ((𝑁 ∈ ℕ0 ∧ (𝑁 / 2) ∈ ℕ0) → (𝑁 mod 2) = 0)
32	23, 31	eqtrd 2766	. . 3 ⊢ ((𝑁 ∈ ℕ0 ∧ (𝑁 / 2) ∈ ℕ0) → ((⌊‘𝑁) mod 2) = 0)
33	18, 32	eqtrd 2766	. 2 ⊢ ((𝑁 ∈ ℕ0 ∧ (𝑁 / 2) ∈ ℕ0) → ((⌊‘(𝑁 / (2↑0))) mod 2) = 0)
34	8, 33	eqtrd 2766	1 ⊢ ((𝑁 ∈ ℕ0 ∧ (𝑁 / 2) ∈ ℕ0) → (0(digit‘2)𝑁) = 0)

Syntax hints:   → wi 4   ↔ wb 206   ∧ wa 395   = wceq 1541   ∈ wcel 2111  ‘cfv 6476  (class class class)co 7341  ℂcc 10999  ℝcr 11000  0cc0 11001  1c1 11002  +∞cpnf 11138   / cdiv 11769  ℕcn 12120  2c2 12175  ℕ₀cn0 12376  ℤcz 12463  ℝ⁺crp 12885  [,)cico 13242  ⌊cfl 13689   mod cmo 13768  ↑cexp 13963  digitcdig 48627

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1796  ax-4 1810  ax-5 1911  ax-6 1968  ax-7 2009  ax-8 2113  ax-9 2121  ax-10 2144  ax-11 2160  ax-12 2180  ax-ext 2703  ax-rep 5212  ax-sep 5229  ax-nul 5239  ax-pow 5298  ax-pr 5365  ax-un 7663  ax-cnex 11057  ax-resscn 11058  ax-1cn 11059  ax-icn 11060  ax-addcl 11061  ax-addrcl 11062  ax-mulcl 11063  ax-mulrcl 11064  ax-mulcom 11065  ax-addass 11066  ax-mulass 11067  ax-distr 11068  ax-i2m1 11069  ax-1ne0 11070  ax-1rid 11071  ax-rnegex 11072  ax-rrecex 11073  ax-cnre 11074  ax-pre-lttri 11075  ax-pre-lttrn 11076  ax-pre-ltadd 11077  ax-pre-mulgt0 11078  ax-pre-sup 11079

This theorem depends on definitions:  df-bi 207  df-an 396  df-or 848  df-3or 1087  df-3an 1088  df-tru 1544  df-fal 1554  df-ex 1781  df-nf 1785  df-sb 2068  df-mo 2535  df-eu 2564  df-clab 2710  df-cleq 2723  df-clel 2806  df-nfc 2881  df-ne 2929  df-nel 3033  df-ral 3048  df-rex 3057  df-rmo 3346  df-reu 3347  df-rab 3396  df-v 3438  df-sbc 3737  df-csb 3846  df-dif 3900  df-un 3902  df-in 3904  df-ss 3914  df-pss 3917  df-nul 4279  df-if 4471  df-pw 4547  df-sn 4572  df-pr 4574  df-op 4578  df-uni 4855  df-iun 4938  df-br 5087  df-opab 5149  df-mpt 5168  df-tr 5194  df-id 5506  df-eprel 5511  df-po 5519  df-so 5520  df-fr 5564  df-we 5566  df-xp 5617  df-rel 5618  df-cnv 5619  df-co 5620  df-dm 5621  df-rn 5622  df-res 5623  df-ima 5624  df-pred 6243  df-ord 6304  df-on 6305  df-lim 6306  df-suc 6307  df-iota 6432  df-fun 6478  df-fn 6479  df-f 6480  df-f1 6481  df-fo 6482  df-f1o 6483  df-fv 6484  df-riota 7298  df-ov 7344  df-oprab 7345  df-mpo 7346  df-om 7792  df-1st 7916  df-2nd 7917  df-frecs 8206  df-wrecs 8237  df-recs 8286  df-rdg 8324  df-er 8617  df-en 8865  df-dom 8866  df-sdom 8867  df-sup 9321  df-inf 9322  df-pnf 11143  df-mnf 11144  df-xr 11145  df-ltxr 11146  df-le 11147  df-sub 11341  df-neg 11342  df-div 11770  df-nn 12121  df-2 12183  df-n0 12377  df-z 12464  df-uz 12728  df-rp 12886  df-ico 13246  df-fl 13691  df-mod 13769  df-seq 13904  df-exp 13964  df-dig 48628

This theorem is referenced by:  nn0sumshdiglemA  48651