Users' Mathboxes Mathbox for Alexander van der Vekens < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >   Mathboxes  >  0dig2nn0e Structured version   Visualization version   GIF version
Theorem 0dig2nn0e 47385
Description: The last bit of an even integer is 0. (Contributed by AV, 3-Jun-2010.)
Assertion
Ref Expression
0dig2nn0e ((𝑁 ∈ β„•0 ∧ (𝑁 / 2) ∈ β„•0) β†’ (0(digitβ€˜2)𝑁) = 0)
Proof of Theorem 0dig2nn0e
StepHypRef Expression
1 2nn 12289 . . . 4 2 ∈ β„•
21a1i 11 . . 3 ((𝑁 ∈ β„•0 ∧ (𝑁 / 2) ∈ β„•0) β†’ 2 ∈ β„•)
3 0nn0 12491 . . . 4 0 ∈ β„•0
43a1i 11 . . 3 ((𝑁 ∈ β„•0 ∧ (𝑁 / 2) ∈ β„•0) β†’ 0 ∈ β„•0)
5 nn0rp0 13436 . . . 4 (𝑁 ∈ β„•0 β†’ 𝑁 ∈ (0[,)+∞))
65adantr 479 . . 3 ((𝑁 ∈ β„•0 ∧ (𝑁 / 2) ∈ β„•0) β†’ 𝑁 ∈ (0[,)+∞))
7 nn0digval 47373 . . 3 ((2 ∈ β„• ∧ 0 ∈ β„•0 ∧ 𝑁 ∈ (0[,)+∞)) β†’ (0(digitβ€˜2)𝑁) = ((βŒŠβ€˜(𝑁 / (2↑0))) mod 2))
82, 4, 6, 7syl3anc 1369 . 2 ((𝑁 ∈ β„•0 ∧ (𝑁 / 2) ∈ β„•0) β†’ (0(digitβ€˜2)𝑁) = ((βŒŠβ€˜(𝑁 / (2↑0))) mod 2))
9 2cn 12291 . . . . . . . 8 2 ∈ β„‚
10 exp0 14035 . . . . . . . 8 (2 ∈ β„‚ β†’ (2↑0) = 1)
119, 10mp1i 13 . . . . . . 7 ((𝑁 ∈ β„•0 ∧ (𝑁 / 2) ∈ β„•0) β†’ (2↑0) = 1)
1211oveq2d 7427 . . . . . 6 ((𝑁 ∈ β„•0 ∧ (𝑁 / 2) ∈ β„•0) β†’ (𝑁 / (2↑0)) = (𝑁 / 1))
13 nn0cn 12486 . . . . . . . 8 (𝑁 ∈ β„•0 β†’ 𝑁 ∈ β„‚)
1413div1d 11986 . . . . . . 7 (𝑁 ∈ β„•0 β†’ (𝑁 / 1) = 𝑁)
1514adantr 479 . . . . . 6 ((𝑁 ∈ β„•0 ∧ (𝑁 / 2) ∈ β„•0) β†’ (𝑁 / 1) = 𝑁)
1612, 15eqtrd 2770 . . . . 5 ((𝑁 ∈ β„•0 ∧ (𝑁 / 2) ∈ β„•0) β†’ (𝑁 / (2↑0)) = 𝑁)
1716fveq2d 6894 . . . 4 ((𝑁 ∈ β„•0 ∧ (𝑁 / 2) ∈ β„•0) β†’ (βŒŠβ€˜(𝑁 / (2↑0))) = (βŒŠβ€˜π‘))
1817oveq1d 7426 . . 3 ((𝑁 ∈ β„•0 ∧ (𝑁 / 2) ∈ β„•0) β†’ ((βŒŠβ€˜(𝑁 / (2↑0))) mod 2) = ((βŒŠβ€˜π‘) mod 2))
19 nn0z 12587 . . . . . . 7 (𝑁 ∈ β„•0 β†’ 𝑁 ∈ β„€)
20 flid 13777 . . . . . . 7 (𝑁 ∈ β„€ β†’ (βŒŠβ€˜π‘) = 𝑁)
2119, 20syl 17 . . . . . 6 (𝑁 ∈ β„•0 β†’ (βŒŠβ€˜π‘) = 𝑁)
2221adantr 479 . . . . 5 ((𝑁 ∈ β„•0 ∧ (𝑁 / 2) ∈ β„•0) β†’ (βŒŠβ€˜π‘) = 𝑁)
2322oveq1d 7426 . . . 4 ((𝑁 ∈ β„•0 ∧ (𝑁 / 2) ∈ β„•0) β†’ ((βŒŠβ€˜π‘) mod 2) = (𝑁 mod 2))
24 nn0z 12587 . . . . . 6 ((𝑁 / 2) ∈ β„•0 β†’ (𝑁 / 2) ∈ β„€)
2524adantl 480 . . . . 5 ((𝑁 ∈ β„•0 ∧ (𝑁 / 2) ∈ β„•0) β†’ (𝑁 / 2) ∈ β„€)
26 nn0re 12485 . . . . . . 7 (𝑁 ∈ β„•0 β†’ 𝑁 ∈ ℝ)
2726adantr 479 . . . . . 6 ((𝑁 ∈ β„•0 ∧ (𝑁 / 2) ∈ β„•0) β†’ 𝑁 ∈ ℝ)
28 2rp 12983 . . . . . 6 2 ∈ ℝ+
29 mod0 13845 . . . . . 6 ((𝑁 ∈ ℝ ∧ 2 ∈ ℝ+) β†’ ((𝑁 mod 2) = 0 ↔ (𝑁 / 2) ∈ β„€))
3027, 28, 29sylancl 584 . . . . 5 ((𝑁 ∈ β„•0 ∧ (𝑁 / 2) ∈ β„•0) β†’ ((𝑁 mod 2) = 0 ↔ (𝑁 / 2) ∈ β„€))
3125, 30mpbird 256 . . . 4 ((𝑁 ∈ β„•0 ∧ (𝑁 / 2) ∈ β„•0) β†’ (𝑁 mod 2) = 0)
3223, 31eqtrd 2770 . . 3 ((𝑁 ∈ β„•0 ∧ (𝑁 / 2) ∈ β„•0) β†’ ((βŒŠβ€˜π‘) mod 2) = 0)
3318, 32eqtrd 2770 . 2 ((𝑁 ∈ β„•0 ∧ (𝑁 / 2) ∈ β„•0) β†’ ((βŒŠβ€˜(𝑁 / (2↑0))) mod 2) = 0)
348, 33eqtrd 2770 1 ((𝑁 ∈ β„•0 ∧ (𝑁 / 2) ∈ β„•0) β†’ (0(digitβ€˜2)𝑁) = 0)
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:   β†’ wi 4   ↔ wb 205   ∧ wa 394   = wceq 1539   ∈ wcel 2104  β€˜cfv 6542  (class class class)co 7411  β„‚cc 11110  β„cr 11111  0cc0 11112  1c1 11113  +∞cpnf 11249   / cdiv 11875  β„•cn 12216  2c2 12271  β„•0cn0 12476  β„€cz 12562  β„+crp 12978  [,)cico 13330  βŒŠcfl 13759   mod cmo 13838  β†‘cexp 14031  digitcdig 47368
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1795  ax-4 1809  ax-5 1911  ax-6 1969  ax-7 2009  ax-8 2106  ax-9 2114  ax-10 2135  ax-11 2152  ax-12 2169  ax-ext 2701  ax-rep 5284  ax-sep 5298  ax-nul 5305  ax-pow 5362  ax-pr 5426  ax-un 7727  ax-cnex 11168  ax-resscn 11169  ax-1cn 11170  ax-icn 11171  ax-addcl 11172  ax-addrcl 11173  ax-mulcl 11174  ax-mulrcl 11175  ax-mulcom 11176  ax-addass 11177  ax-mulass 11178  ax-distr 11179  ax-i2m1 11180  ax-1ne0 11181  ax-1rid 11182  ax-rnegex 11183  ax-rrecex 11184  ax-cnre 11185  ax-pre-lttri 11186  ax-pre-lttrn 11187  ax-pre-ltadd 11188  ax-pre-mulgt0 11189  ax-pre-sup 11190
This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 395  df-or 844  df-3or 1086  df-3an 1087  df-tru 1542  df-fal 1552  df-ex 1780  df-nf 1784  df-sb 2066  df-mo 2532  df-eu 2561  df-clab 2708  df-cleq 2722  df-clel 2808  df-nfc 2883  df-ne 2939  df-nel 3045  df-ral 3060  df-rex 3069  df-rmo 3374  df-reu 3375  df-rab 3431  df-v 3474  df-sbc 3777  df-csb 3893  df-dif 3950  df-un 3952  df-in 3954  df-ss 3964  df-pss 3966  df-nul 4322  df-if 4528  df-pw 4603  df-sn 4628  df-pr 4630  df-op 4634  df-uni 4908  df-iun 4998  df-br 5148  df-opab 5210  df-mpt 5231  df-tr 5265  df-id 5573  df-eprel 5579  df-po 5587  df-so 5588  df-fr 5630  df-we 5632  df-xp 5681  df-rel 5682  df-cnv 5683  df-co 5684  df-dm 5685  df-rn 5686  df-res 5687  df-ima 5688  df-pred 6299  df-ord 6366  df-on 6367  df-lim 6368  df-suc 6369  df-iota 6494  df-fun 6544  df-fn 6545  df-f 6546  df-f1 6547  df-fo 6548  df-f1o 6549  df-fv 6550  df-riota 7367  df-ov 7414  df-oprab 7415  df-mpo 7416  df-om 7858  df-1st 7977  df-2nd 7978  df-frecs 8268  df-wrecs 8299  df-recs 8373  df-rdg 8412  df-er 8705  df-en 8942  df-dom 8943  df-sdom 8944  df-sup 9439  df-inf 9440  df-pnf 11254  df-mnf 11255  df-xr 11256  df-ltxr 11257  df-le 11258  df-sub 11450  df-neg 11451  df-div 11876  df-nn 12217  df-2 12279  df-n0 12477  df-z 12563  df-uz 12827  df-rp 12979  df-ico 13334  df-fl 13761  df-mod 13839  df-seq 13971  df-exp 14032  df-dig 47369
This theorem is referenced by:  nn0sumshdiglemA  47392
  Copyright terms: Public domain W3C validator