Theorem 0dig2nn0e 48533

Description: The last bit of an even integer is 0. (Contributed by AV, 3-Jun-2010.)

Assertion

Ref	Expression
0dig2nn0e	⊢ ((𝑁 ∈ ℕ0 ∧ (𝑁 / 2) ∈ ℕ0) → (0(digit‘2)𝑁) = 0)

Proof of Theorem 0dig2nn0e

Step	Hyp	Ref	Expression
1		2nn 12339	. . . 4 ⊢ 2 ∈ ℕ
2	1	a1i 11	. . 3 ⊢ ((𝑁 ∈ ℕ0 ∧ (𝑁 / 2) ∈ ℕ0) → 2 ∈ ℕ)
3		0nn0 12541	. . . 4 ⊢ 0 ∈ ℕ0
4	3	a1i 11	. . 3 ⊢ ((𝑁 ∈ ℕ0 ∧ (𝑁 / 2) ∈ ℕ0) → 0 ∈ ℕ0)
5		nn0rp0 13495	. . . 4 ⊢ (𝑁 ∈ ℕ0 → 𝑁 ∈ (0[,)+∞))
6	5	adantr 480	. . 3 ⊢ ((𝑁 ∈ ℕ0 ∧ (𝑁 / 2) ∈ ℕ0) → 𝑁 ∈ (0[,)+∞))
7		nn0digval 48521	. . 3 ⊢ ((2 ∈ ℕ ∧ 0 ∈ ℕ0 ∧ 𝑁 ∈ (0[,)+∞)) → (0(digit‘2)𝑁) = ((⌊‘(𝑁 / (2↑0))) mod 2))
8	2, 4, 6, 7	syl3anc 1373	. 2 ⊢ ((𝑁 ∈ ℕ0 ∧ (𝑁 / 2) ∈ ℕ0) → (0(digit‘2)𝑁) = ((⌊‘(𝑁 / (2↑0))) mod 2))
9		2cn 12341	. . . . . . . 8 ⊢ 2 ∈ ℂ
10		exp0 14106	. . . . . . . 8 ⊢ (2 ∈ ℂ → (2↑0) = 1)
11	9, 10	mp1i 13	. . . . . . 7 ⊢ ((𝑁 ∈ ℕ0 ∧ (𝑁 / 2) ∈ ℕ0) → (2↑0) = 1)
12	11	oveq2d 7447	. . . . . 6 ⊢ ((𝑁 ∈ ℕ0 ∧ (𝑁 / 2) ∈ ℕ0) → (𝑁 / (2↑0)) = (𝑁 / 1))
13		nn0cn 12536	. . . . . . . 8 ⊢ (𝑁 ∈ ℕ0 → 𝑁 ∈ ℂ)
14	13	div1d 12035	. . . . . . 7 ⊢ (𝑁 ∈ ℕ0 → (𝑁 / 1) = 𝑁)
15	14	adantr 480	. . . . . 6 ⊢ ((𝑁 ∈ ℕ0 ∧ (𝑁 / 2) ∈ ℕ0) → (𝑁 / 1) = 𝑁)
16	12, 15	eqtrd 2777	. . . . 5 ⊢ ((𝑁 ∈ ℕ0 ∧ (𝑁 / 2) ∈ ℕ0) → (𝑁 / (2↑0)) = 𝑁)
17	16	fveq2d 6910	. . . 4 ⊢ ((𝑁 ∈ ℕ0 ∧ (𝑁 / 2) ∈ ℕ0) → (⌊‘(𝑁 / (2↑0))) = (⌊‘𝑁))
18	17	oveq1d 7446	. . 3 ⊢ ((𝑁 ∈ ℕ0 ∧ (𝑁 / 2) ∈ ℕ0) → ((⌊‘(𝑁 / (2↑0))) mod 2) = ((⌊‘𝑁) mod 2))
19		nn0z 12638	. . . . . . 7 ⊢ (𝑁 ∈ ℕ0 → 𝑁 ∈ ℤ)
20		flid 13848	. . . . . . 7 ⊢ (𝑁 ∈ ℤ → (⌊‘𝑁) = 𝑁)
21	19, 20	syl 17	. . . . . 6 ⊢ (𝑁 ∈ ℕ0 → (⌊‘𝑁) = 𝑁)
22	21	adantr 480	. . . . 5 ⊢ ((𝑁 ∈ ℕ0 ∧ (𝑁 / 2) ∈ ℕ0) → (⌊‘𝑁) = 𝑁)
23	22	oveq1d 7446	. . . 4 ⊢ ((𝑁 ∈ ℕ0 ∧ (𝑁 / 2) ∈ ℕ0) → ((⌊‘𝑁) mod 2) = (𝑁 mod 2))
24		nn0z 12638	. . . . . 6 ⊢ ((𝑁 / 2) ∈ ℕ0 → (𝑁 / 2) ∈ ℤ)
25	24	adantl 481	. . . . 5 ⊢ ((𝑁 ∈ ℕ0 ∧ (𝑁 / 2) ∈ ℕ0) → (𝑁 / 2) ∈ ℤ)
26		nn0re 12535	. . . . . . 7 ⊢ (𝑁 ∈ ℕ0 → 𝑁 ∈ ℝ)
27	26	adantr 480	. . . . . 6 ⊢ ((𝑁 ∈ ℕ0 ∧ (𝑁 / 2) ∈ ℕ0) → 𝑁 ∈ ℝ)
28		2rp 13039	. . . . . 6 ⊢ 2 ∈ ℝ+
29		mod0 13916	. . . . . 6 ⊢ ((𝑁 ∈ ℝ ∧ 2 ∈ ℝ+) → ((𝑁 mod 2) = 0 ↔ (𝑁 / 2) ∈ ℤ))
30	27, 28, 29	sylancl 586	. . . . 5 ⊢ ((𝑁 ∈ ℕ0 ∧ (𝑁 / 2) ∈ ℕ0) → ((𝑁 mod 2) = 0 ↔ (𝑁 / 2) ∈ ℤ))
31	25, 30	mpbird 257	. . . 4 ⊢ ((𝑁 ∈ ℕ0 ∧ (𝑁 / 2) ∈ ℕ0) → (𝑁 mod 2) = 0)
32	23, 31	eqtrd 2777	. . 3 ⊢ ((𝑁 ∈ ℕ0 ∧ (𝑁 / 2) ∈ ℕ0) → ((⌊‘𝑁) mod 2) = 0)
33	18, 32	eqtrd 2777	. 2 ⊢ ((𝑁 ∈ ℕ0 ∧ (𝑁 / 2) ∈ ℕ0) → ((⌊‘(𝑁 / (2↑0))) mod 2) = 0)
34	8, 33	eqtrd 2777	1 ⊢ ((𝑁 ∈ ℕ0 ∧ (𝑁 / 2) ∈ ℕ0) → (0(digit‘2)𝑁) = 0)

Syntax hints:   → wi 4   ↔ wb 206   ∧ wa 395   = wceq 1540   ∈ wcel 2108  ‘cfv 6561  (class class class)co 7431  ℂcc 11153  ℝcr 11154  0cc0 11155  1c1 11156  +∞cpnf 11292   / cdiv 11920  ℕcn 12266  2c2 12321  ℕ₀cn0 12526  ℤcz 12613  ℝ⁺crp 13034  [,)cico 13389  ⌊cfl 13830   mod cmo 13909  ↑cexp 14102  digitcdig 48516

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1795  ax-4 1809  ax-5 1910  ax-6 1967  ax-7 2007  ax-8 2110  ax-9 2118  ax-10 2141  ax-11 2157  ax-12 2177  ax-ext 2708  ax-rep 5279  ax-sep 5296  ax-nul 5306  ax-pow 5365  ax-pr 5432  ax-un 7755  ax-cnex 11211  ax-resscn 11212  ax-1cn 11213  ax-icn 11214  ax-addcl 11215  ax-addrcl 11216  ax-mulcl 11217  ax-mulrcl 11218  ax-mulcom 11219  ax-addass 11220  ax-mulass 11221  ax-distr 11222  ax-i2m1 11223  ax-1ne0 11224  ax-1rid 11225  ax-rnegex 11226  ax-rrecex 11227  ax-cnre 11228  ax-pre-lttri 11229  ax-pre-lttrn 11230  ax-pre-ltadd 11231  ax-pre-mulgt0 11232  ax-pre-sup 11233

This theorem depends on definitions:  df-bi 207  df-an 396  df-or 849  df-3or 1088  df-3an 1089  df-tru 1543  df-fal 1553  df-ex 1780  df-nf 1784  df-sb 2065  df-mo 2540  df-eu 2569  df-clab 2715  df-cleq 2729  df-clel 2816  df-nfc 2892  df-ne 2941  df-nel 3047  df-ral 3062  df-rex 3071  df-rmo 3380  df-reu 3381  df-rab 3437  df-v 3482  df-sbc 3789  df-csb 3900  df-dif 3954  df-un 3956  df-in 3958  df-ss 3968  df-pss 3971  df-nul 4334  df-if 4526  df-pw 4602  df-sn 4627  df-pr 4629  df-op 4633  df-uni 4908  df-iun 4993  df-br 5144  df-opab 5206  df-mpt 5226  df-tr 5260  df-id 5578  df-eprel 5584  df-po 5592  df-so 5593  df-fr 5637  df-we 5639  df-xp 5691  df-rel 5692  df-cnv 5693  df-co 5694  df-dm 5695  df-rn 5696  df-res 5697  df-ima 5698  df-pred 6321  df-ord 6387  df-on 6388  df-lim 6389  df-suc 6390  df-iota 6514  df-fun 6563  df-fn 6564  df-f 6565  df-f1 6566  df-fo 6567  df-f1o 6568  df-fv 6569  df-riota 7388  df-ov 7434  df-oprab 7435  df-mpo 7436  df-om 7888  df-1st 8014  df-2nd 8015  df-frecs 8306  df-wrecs 8337  df-recs 8411  df-rdg 8450  df-er 8745  df-en 8986  df-dom 8987  df-sdom 8988  df-sup 9482  df-inf 9483  df-pnf 11297  df-mnf 11298  df-xr 11299  df-ltxr 11300  df-le 11301  df-sub 11494  df-neg 11495  df-div 11921  df-nn 12267  df-2 12329  df-n0 12527  df-z 12614  df-uz 12879  df-rp 13035  df-ico 13393  df-fl 13832  df-mod 13910  df-seq 14043  df-exp 14103  df-dig 48517

This theorem is referenced by:  nn0sumshdiglemA  48540