Users' Mathboxes Mathbox for Alexander van der Vekens < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >   Mathboxes  >  0dig2nn0e Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem 0dig2nn0e 44882
Description: The last bit of an even integer is 0. (Contributed by AV, 3-Jun-2010.)
Assertion
Ref Expression
0dig2nn0e ((𝑁 ∈ ℕ0 ∧ (𝑁 / 2) ∈ ℕ0) → (0(digit‘2)𝑁) = 0)

Proof of Theorem 0dig2nn0e
StepHypRef Expression
1 2nn 11698 . . . 4 2 ∈ ℕ
21a1i 11 . . 3 ((𝑁 ∈ ℕ0 ∧ (𝑁 / 2) ∈ ℕ0) → 2 ∈ ℕ)
3 0nn0 11900 . . . 4 0 ∈ ℕ0
43a1i 11 . . 3 ((𝑁 ∈ ℕ0 ∧ (𝑁 / 2) ∈ ℕ0) → 0 ∈ ℕ0)
5 nn0rp0 12833 . . . 4 (𝑁 ∈ ℕ0𝑁 ∈ (0[,)+∞))
65adantr 484 . . 3 ((𝑁 ∈ ℕ0 ∧ (𝑁 / 2) ∈ ℕ0) → 𝑁 ∈ (0[,)+∞))
7 nn0digval 44870 . . 3 ((2 ∈ ℕ ∧ 0 ∈ ℕ0𝑁 ∈ (0[,)+∞)) → (0(digit‘2)𝑁) = ((⌊‘(𝑁 / (2↑0))) mod 2))
82, 4, 6, 7syl3anc 1368 . 2 ((𝑁 ∈ ℕ0 ∧ (𝑁 / 2) ∈ ℕ0) → (0(digit‘2)𝑁) = ((⌊‘(𝑁 / (2↑0))) mod 2))
9 2cn 11700 . . . . . . . 8 2 ∈ ℂ
10 exp0 13429 . . . . . . . 8 (2 ∈ ℂ → (2↑0) = 1)
119, 10mp1i 13 . . . . . . 7 ((𝑁 ∈ ℕ0 ∧ (𝑁 / 2) ∈ ℕ0) → (2↑0) = 1)
1211oveq2d 7156 . . . . . 6 ((𝑁 ∈ ℕ0 ∧ (𝑁 / 2) ∈ ℕ0) → (𝑁 / (2↑0)) = (𝑁 / 1))
13 nn0cn 11895 . . . . . . . 8 (𝑁 ∈ ℕ0𝑁 ∈ ℂ)
1413div1d 11395 . . . . . . 7 (𝑁 ∈ ℕ0 → (𝑁 / 1) = 𝑁)
1514adantr 484 . . . . . 6 ((𝑁 ∈ ℕ0 ∧ (𝑁 / 2) ∈ ℕ0) → (𝑁 / 1) = 𝑁)
1612, 15eqtrd 2859 . . . . 5 ((𝑁 ∈ ℕ0 ∧ (𝑁 / 2) ∈ ℕ0) → (𝑁 / (2↑0)) = 𝑁)
1716fveq2d 6657 . . . 4 ((𝑁 ∈ ℕ0 ∧ (𝑁 / 2) ∈ ℕ0) → (⌊‘(𝑁 / (2↑0))) = (⌊‘𝑁))
1817oveq1d 7155 . . 3 ((𝑁 ∈ ℕ0 ∧ (𝑁 / 2) ∈ ℕ0) → ((⌊‘(𝑁 / (2↑0))) mod 2) = ((⌊‘𝑁) mod 2))
19 nn0z 11993 . . . . . . 7 (𝑁 ∈ ℕ0𝑁 ∈ ℤ)
20 flid 13173 . . . . . . 7 (𝑁 ∈ ℤ → (⌊‘𝑁) = 𝑁)
2119, 20syl 17 . . . . . 6 (𝑁 ∈ ℕ0 → (⌊‘𝑁) = 𝑁)
2221adantr 484 . . . . 5 ((𝑁 ∈ ℕ0 ∧ (𝑁 / 2) ∈ ℕ0) → (⌊‘𝑁) = 𝑁)
2322oveq1d 7155 . . . 4 ((𝑁 ∈ ℕ0 ∧ (𝑁 / 2) ∈ ℕ0) → ((⌊‘𝑁) mod 2) = (𝑁 mod 2))
24 nn0z 11993 . . . . . 6 ((𝑁 / 2) ∈ ℕ0 → (𝑁 / 2) ∈ ℤ)
2524adantl 485 . . . . 5 ((𝑁 ∈ ℕ0 ∧ (𝑁 / 2) ∈ ℕ0) → (𝑁 / 2) ∈ ℤ)
26 nn0re 11894 . . . . . . 7 (𝑁 ∈ ℕ0𝑁 ∈ ℝ)
2726adantr 484 . . . . . 6 ((𝑁 ∈ ℕ0 ∧ (𝑁 / 2) ∈ ℕ0) → 𝑁 ∈ ℝ)
28 2rp 12382 . . . . . 6 2 ∈ ℝ+
29 mod0 13239 . . . . . 6 ((𝑁 ∈ ℝ ∧ 2 ∈ ℝ+) → ((𝑁 mod 2) = 0 ↔ (𝑁 / 2) ∈ ℤ))
3027, 28, 29sylancl 589 . . . . 5 ((𝑁 ∈ ℕ0 ∧ (𝑁 / 2) ∈ ℕ0) → ((𝑁 mod 2) = 0 ↔ (𝑁 / 2) ∈ ℤ))
3125, 30mpbird 260 . . . 4 ((𝑁 ∈ ℕ0 ∧ (𝑁 / 2) ∈ ℕ0) → (𝑁 mod 2) = 0)
3223, 31eqtrd 2859 . . 3 ((𝑁 ∈ ℕ0 ∧ (𝑁 / 2) ∈ ℕ0) → ((⌊‘𝑁) mod 2) = 0)
3318, 32eqtrd 2859 . 2 ((𝑁 ∈ ℕ0 ∧ (𝑁 / 2) ∈ ℕ0) → ((⌊‘(𝑁 / (2↑0))) mod 2) = 0)
348, 33eqtrd 2859 1 ((𝑁 ∈ ℕ0 ∧ (𝑁 / 2) ∈ ℕ0) → (0(digit‘2)𝑁) = 0)
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  wi 4  wb 209  wa 399   = wceq 1538  wcel 2115  cfv 6338  (class class class)co 7140  cc 10522  cr 10523  0cc0 10524  1c1 10525  +∞cpnf 10659   / cdiv 11284  cn 11625  2c2 11680  0cn0 11885  cz 11969  +crp 12377  [,)cico 12728  cfl 13155   mod cmo 13232  cexp 13425  digitcdig 44865
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1797  ax-4 1811  ax-5 1912  ax-6 1971  ax-7 2016  ax-8 2117  ax-9 2125  ax-10 2146  ax-11 2162  ax-12 2179  ax-ext 2796  ax-rep 5173  ax-sep 5186  ax-nul 5193  ax-pow 5249  ax-pr 5313  ax-un 7446  ax-cnex 10580  ax-resscn 10581  ax-1cn 10582  ax-icn 10583  ax-addcl 10584  ax-addrcl 10585  ax-mulcl 10586  ax-mulrcl 10587  ax-mulcom 10588  ax-addass 10589  ax-mulass 10590  ax-distr 10591  ax-i2m1 10592  ax-1ne0 10593  ax-1rid 10594  ax-rnegex 10595  ax-rrecex 10596  ax-cnre 10597  ax-pre-lttri 10598  ax-pre-lttrn 10599  ax-pre-ltadd 10600  ax-pre-mulgt0 10601  ax-pre-sup 10602
This theorem depends on definitions:  df-bi 210  df-an 400  df-or 845  df-3or 1085  df-3an 1086  df-tru 1541  df-ex 1782  df-nf 1786  df-sb 2071  df-mo 2624  df-eu 2655  df-clab 2803  df-cleq 2817  df-clel 2896  df-nfc 2964  df-ne 3014  df-nel 3118  df-ral 3137  df-rex 3138  df-reu 3139  df-rmo 3140  df-rab 3141  df-v 3481  df-sbc 3758  df-csb 3866  df-dif 3921  df-un 3923  df-in 3925  df-ss 3935  df-pss 3937  df-nul 4275  df-if 4449  df-pw 4522  df-sn 4549  df-pr 4551  df-tp 4553  df-op 4555  df-uni 4822  df-iun 4904  df-br 5050  df-opab 5112  df-mpt 5130  df-tr 5156  df-id 5443  df-eprel 5448  df-po 5457  df-so 5458  df-fr 5497  df-we 5499  df-xp 5544  df-rel 5545  df-cnv 5546  df-co 5547  df-dm 5548  df-rn 5549  df-res 5550  df-ima 5551  df-pred 6131  df-ord 6177  df-on 6178  df-lim 6179  df-suc 6180  df-iota 6297  df-fun 6340  df-fn 6341  df-f 6342  df-f1 6343  df-fo 6344  df-f1o 6345  df-fv 6346  df-riota 7098  df-ov 7143  df-oprab 7144  df-mpo 7145  df-om 7566  df-1st 7674  df-2nd 7675  df-wrecs 7932  df-recs 7993  df-rdg 8031  df-er 8274  df-en 8495  df-dom 8496  df-sdom 8497  df-sup 8892  df-inf 8893  df-pnf 10664  df-mnf 10665  df-xr 10666  df-ltxr 10667  df-le 10668  df-sub 10859  df-neg 10860  df-div 11285  df-nn 11626  df-2 11688  df-n0 11886  df-z 11970  df-uz 12232  df-rp 12378  df-ico 12732  df-fl 13157  df-mod 13233  df-seq 13365  df-exp 13426  df-dig 44866
This theorem is referenced by:  nn0sumshdiglemA  44889
  Copyright terms: Public domain W3C validator