Theorem dignn0ehalf 45590

Description: The digits of the half of an even nonnegative integer are the digits of the integer shifted by 1. (Contributed by AV, 3-Jun-2010.)

Assertion

Ref	Expression
dignn0ehalf	⊢ (((𝐴 / 2) ∈ ℕ0 ∧ 𝐴 ∈ ℕ0 ∧ 𝐼 ∈ ℕ0) → ((𝐼 + 1)(digit‘2)𝐴) = (𝐼(digit‘2)(𝐴 / 2)))

Proof of Theorem dignn0ehalf

Step	Hyp	Ref	Expression
1		nn0cn 12083	. . . . . . 7 ⊢ (𝐴 ∈ ℕ0 → 𝐴 ∈ ℂ)
2	1	3ad2ant2 1136	. . . . . 6 ⊢ (((𝐴 / 2) ∈ ℕ0 ∧ 𝐴 ∈ ℕ0 ∧ 𝐼 ∈ ℕ0) → 𝐴 ∈ ℂ)
3		2cnne0 12023	. . . . . . 7 ⊢ (2 ∈ ℂ ∧ 2 ≠ 0)
4	3	a1i 11	. . . . . 6 ⊢ (((𝐴 / 2) ∈ ℕ0 ∧ 𝐴 ∈ ℕ0 ∧ 𝐼 ∈ ℕ0) → (2 ∈ ℂ ∧ 2 ≠ 0))
5		2nn0 12090	. . . . . . . . . . 11 ⊢ 2 ∈ ℕ0
6	5	a1i 11	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝐼 ∈ ℕ0 → 2 ∈ ℕ0)
7		id 22	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝐼 ∈ ℕ0 → 𝐼 ∈ ℕ0)
8	6, 7	nn0expcld 13796	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝐼 ∈ ℕ0 → (2↑𝐼) ∈ ℕ0)
9	8	nn0cnd 12135	. . . . . . . 8 ⊢ (𝐼 ∈ ℕ0 → (2↑𝐼) ∈ ℂ)
10		2cnd 11891	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝐼 ∈ ℕ0 → 2 ∈ ℂ)
11		2ne0 11917	. . . . . . . . . 10 ⊢ 2 ≠ 0
12	11	a1i 11	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝐼 ∈ ℕ0 → 2 ≠ 0)
13		nn0z 12183	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝐼 ∈ ℕ0 → 𝐼 ∈ ℤ)
14	10, 12, 13	expne0d 13705	. . . . . . . 8 ⊢ (𝐼 ∈ ℕ0 → (2↑𝐼) ≠ 0)
15	9, 14	jca 515	. . . . . . 7 ⊢ (𝐼 ∈ ℕ0 → ((2↑𝐼) ∈ ℂ ∧ (2↑𝐼) ≠ 0))
16	15	3ad2ant3 1137	. . . . . 6 ⊢ (((𝐴 / 2) ∈ ℕ0 ∧ 𝐴 ∈ ℕ0 ∧ 𝐼 ∈ ℕ0) → ((2↑𝐼) ∈ ℂ ∧ (2↑𝐼) ≠ 0))
17		divdiv1 11526	. . . . . 6 ⊢ ((𝐴 ∈ ℂ ∧ (2 ∈ ℂ ∧ 2 ≠ 0) ∧ ((2↑𝐼) ∈ ℂ ∧ (2↑𝐼) ≠ 0)) → ((𝐴 / 2) / (2↑𝐼)) = (𝐴 / (2 · (2↑𝐼))))
18	2, 4, 16, 17	syl3anc 1373	. . . . 5 ⊢ (((𝐴 / 2) ∈ ℕ0 ∧ 𝐴 ∈ ℕ0 ∧ 𝐼 ∈ ℕ0) → ((𝐴 / 2) / (2↑𝐼)) = (𝐴 / (2 · (2↑𝐼))))
19	10, 9	mulcomd 10837	. . . . . . . 8 ⊢ (𝐼 ∈ ℕ0 → (2 · (2↑𝐼)) = ((2↑𝐼) · 2))
20	19	3ad2ant3 1137	. . . . . . 7 ⊢ (((𝐴 / 2) ∈ ℕ0 ∧ 𝐴 ∈ ℕ0 ∧ 𝐼 ∈ ℕ0) → (2 · (2↑𝐼)) = ((2↑𝐼) · 2))
21		2cnd 11891	. . . . . . . 8 ⊢ (((𝐴 / 2) ∈ ℕ0 ∧ 𝐴 ∈ ℕ0 ∧ 𝐼 ∈ ℕ0) → 2 ∈ ℂ)
22		simp3 1140	. . . . . . . 8 ⊢ (((𝐴 / 2) ∈ ℕ0 ∧ 𝐴 ∈ ℕ0 ∧ 𝐼 ∈ ℕ0) → 𝐼 ∈ ℕ0)
23	21, 22	expp1d 13700	. . . . . . 7 ⊢ (((𝐴 / 2) ∈ ℕ0 ∧ 𝐴 ∈ ℕ0 ∧ 𝐼 ∈ ℕ0) → (2↑(𝐼 + 1)) = ((2↑𝐼) · 2))
24	20, 23	eqtr4d 2777	. . . . . 6 ⊢ (((𝐴 / 2) ∈ ℕ0 ∧ 𝐴 ∈ ℕ0 ∧ 𝐼 ∈ ℕ0) → (2 · (2↑𝐼)) = (2↑(𝐼 + 1)))
25	24	oveq2d 7218	. . . . 5 ⊢ (((𝐴 / 2) ∈ ℕ0 ∧ 𝐴 ∈ ℕ0 ∧ 𝐼 ∈ ℕ0) → (𝐴 / (2 · (2↑𝐼))) = (𝐴 / (2↑(𝐼 + 1))))
26	18, 25	eqtr2d 2775	. . . 4 ⊢ (((𝐴 / 2) ∈ ℕ0 ∧ 𝐴 ∈ ℕ0 ∧ 𝐼 ∈ ℕ0) → (𝐴 / (2↑(𝐼 + 1))) = ((𝐴 / 2) / (2↑𝐼)))
27	26	fveq2d 6710	. . 3 ⊢ (((𝐴 / 2) ∈ ℕ0 ∧ 𝐴 ∈ ℕ0 ∧ 𝐼 ∈ ℕ0) → (⌊‘(𝐴 / (2↑(𝐼 + 1)))) = (⌊‘((𝐴 / 2) / (2↑𝐼))))
28	27	oveq1d 7217	. 2 ⊢ (((𝐴 / 2) ∈ ℕ0 ∧ 𝐴 ∈ ℕ0 ∧ 𝐼 ∈ ℕ0) → ((⌊‘(𝐴 / (2↑(𝐼 + 1)))) mod 2) = ((⌊‘((𝐴 / 2) / (2↑𝐼))) mod 2))
29		2nn 11886	. . . 4 ⊢ 2 ∈ ℕ
30	29	a1i 11	. . 3 ⊢ (((𝐴 / 2) ∈ ℕ0 ∧ 𝐴 ∈ ℕ0 ∧ 𝐼 ∈ ℕ0) → 2 ∈ ℕ)
31		peano2nn0 12113	. . . 4 ⊢ (𝐼 ∈ ℕ0 → (𝐼 + 1) ∈ ℕ0)
32	31	3ad2ant3 1137	. . 3 ⊢ (((𝐴 / 2) ∈ ℕ0 ∧ 𝐴 ∈ ℕ0 ∧ 𝐼 ∈ ℕ0) → (𝐼 + 1) ∈ ℕ0)
33		nn0rp0 13026	. . . 4 ⊢ (𝐴 ∈ ℕ0 → 𝐴 ∈ (0[,)+∞))
34	33	3ad2ant2 1136	. . 3 ⊢ (((𝐴 / 2) ∈ ℕ0 ∧ 𝐴 ∈ ℕ0 ∧ 𝐼 ∈ ℕ0) → 𝐴 ∈ (0[,)+∞))
35		nn0digval 45573	. . 3 ⊢ ((2 ∈ ℕ ∧ (𝐼 + 1) ∈ ℕ0 ∧ 𝐴 ∈ (0[,)+∞)) → ((𝐼 + 1)(digit‘2)𝐴) = ((⌊‘(𝐴 / (2↑(𝐼 + 1)))) mod 2))
36	30, 32, 34, 35	syl3anc 1373	. 2 ⊢ (((𝐴 / 2) ∈ ℕ0 ∧ 𝐴 ∈ ℕ0 ∧ 𝐼 ∈ ℕ0) → ((𝐼 + 1)(digit‘2)𝐴) = ((⌊‘(𝐴 / (2↑(𝐼 + 1)))) mod 2))
37		nn0rp0 13026	. . . 4 ⊢ ((𝐴 / 2) ∈ ℕ0 → (𝐴 / 2) ∈ (0[,)+∞))
38	37	3ad2ant1 1135	. . 3 ⊢ (((𝐴 / 2) ∈ ℕ0 ∧ 𝐴 ∈ ℕ0 ∧ 𝐼 ∈ ℕ0) → (𝐴 / 2) ∈ (0[,)+∞))
39		nn0digval 45573	. . 3 ⊢ ((2 ∈ ℕ ∧ 𝐼 ∈ ℕ0 ∧ (𝐴 / 2) ∈ (0[,)+∞)) → (𝐼(digit‘2)(𝐴 / 2)) = ((⌊‘((𝐴 / 2) / (2↑𝐼))) mod 2))
40	30, 22, 38, 39	syl3anc 1373	. 2 ⊢ (((𝐴 / 2) ∈ ℕ0 ∧ 𝐴 ∈ ℕ0 ∧ 𝐼 ∈ ℕ0) → (𝐼(digit‘2)(𝐴 / 2)) = ((⌊‘((𝐴 / 2) / (2↑𝐼))) mod 2))
41	28, 36, 40	3eqtr4d 2784	1 ⊢ (((𝐴 / 2) ∈ ℕ0 ∧ 𝐴 ∈ ℕ0 ∧ 𝐼 ∈ ℕ0) → ((𝐼 + 1)(digit‘2)𝐴) = (𝐼(digit‘2)(𝐴 / 2)))

Syntax hints:   → wi 4   ∧ wa 399   ∧ w3a 1089   = wceq 1543   ∈ wcel 2110   ≠ wne 2935  ‘cfv 6369  (class class class)co 7202  ℂcc 10710  0cc0 10712  1c1 10713   + caddc 10715   · cmul 10717  +∞cpnf 10847   / cdiv 11472  ℕcn 11813  2c2 11868  ℕ₀cn0 12073  [,)cico 12920  ⌊cfl 13348   mod cmo 13425  ↑cexp 13618  digitcdig 45568

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1803  ax-4 1817  ax-5 1918  ax-6 1976  ax-7 2016  ax-8 2112  ax-9 2120  ax-10 2141  ax-11 2158  ax-12 2175  ax-ext 2706  ax-rep 5168  ax-sep 5181  ax-nul 5188  ax-pow 5247  ax-pr 5311  ax-un 7512  ax-cnex 10768  ax-resscn 10769  ax-1cn 10770  ax-icn 10771  ax-addcl 10772  ax-addrcl 10773  ax-mulcl 10774  ax-mulrcl 10775  ax-mulcom 10776  ax-addass 10777  ax-mulass 10778  ax-distr 10779  ax-i2m1 10780  ax-1ne0 10781  ax-1rid 10782  ax-rnegex 10783  ax-rrecex 10784  ax-cnre 10785  ax-pre-lttri 10786  ax-pre-lttrn 10787  ax-pre-ltadd 10788  ax-pre-mulgt0 10789

This theorem depends on definitions:  df-bi 210  df-an 400  df-or 848  df-3or 1090  df-3an 1091  df-tru 1546  df-fal 1556  df-ex 1788  df-nf 1792  df-sb 2071  df-mo 2537  df-eu 2566  df-clab 2713  df-cleq 2726  df-clel 2812  df-nfc 2882  df-ne 2936  df-nel 3040  df-ral 3059  df-rex 3060  df-reu 3061  df-rmo 3062  df-rab 3063  df-v 3403  df-sbc 3688  df-csb 3803  df-dif 3860  df-un 3862  df-in 3864  df-ss 3874  df-pss 3876  df-nul 4228  df-if 4430  df-pw 4505  df-sn 4532  df-pr 4534  df-tp 4536  df-op 4538  df-uni 4810  df-iun 4896  df-br 5044  df-opab 5106  df-mpt 5125  df-tr 5151  df-id 5444  df-eprel 5449  df-po 5457  df-so 5458  df-fr 5498  df-we 5500  df-xp 5546  df-rel 5547  df-cnv 5548  df-co 5549  df-dm 5550  df-rn 5551  df-res 5552  df-ima 5553  df-pred 6149  df-ord 6205  df-on 6206  df-lim 6207  df-suc 6208  df-iota 6327  df-fun 6371  df-fn 6372  df-f 6373  df-f1 6374  df-fo 6375  df-f1o 6376  df-fv 6377  df-riota 7159  df-ov 7205  df-oprab 7206  df-mpo 7207  df-om 7634  df-1st 7750  df-2nd 7751  df-wrecs 8036  df-recs 8097  df-rdg 8135  df-er 8380  df-en 8616  df-dom 8617  df-sdom 8618  df-pnf 10852  df-mnf 10853  df-xr 10854  df-ltxr 10855  df-le 10856  df-sub 11047  df-neg 11048  df-div 11473  df-nn 11814  df-2 11876  df-n0 12074  df-z 12160  df-uz 12422  df-ico 12924  df-seq 13558  df-exp 13619  df-dig 45569

This theorem is referenced by:  dignn0flhalf  45591  nn0sumshdiglemA  45592