Users' Mathboxes Mathbox for Alexander van der Vekens < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >   Mathboxes  >  dignn0ehalf Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem dignn0ehalf 47293
Description: The digits of the half of an even nonnegative integer are the digits of the integer shifted by 1. (Contributed by AV, 3-Jun-2010.)
Assertion
Ref Expression
dignn0ehalf (((𝐴 / 2) ∈ β„•0 ∧ 𝐴 ∈ β„•0 ∧ 𝐼 ∈ β„•0) β†’ ((𝐼 + 1)(digitβ€˜2)𝐴) = (𝐼(digitβ€˜2)(𝐴 / 2)))

Proof of Theorem dignn0ehalf
StepHypRef Expression
1 nn0cn 12481 . . . . . . 7 (𝐴 ∈ β„•0 β†’ 𝐴 ∈ β„‚)
213ad2ant2 1134 . . . . . 6 (((𝐴 / 2) ∈ β„•0 ∧ 𝐴 ∈ β„•0 ∧ 𝐼 ∈ β„•0) β†’ 𝐴 ∈ β„‚)
3 2cnne0 12421 . . . . . . 7 (2 ∈ β„‚ ∧ 2 β‰  0)
43a1i 11 . . . . . 6 (((𝐴 / 2) ∈ β„•0 ∧ 𝐴 ∈ β„•0 ∧ 𝐼 ∈ β„•0) β†’ (2 ∈ β„‚ ∧ 2 β‰  0))
5 2nn0 12488 . . . . . . . . . . 11 2 ∈ β„•0
65a1i 11 . . . . . . . . . 10 (𝐼 ∈ β„•0 β†’ 2 ∈ β„•0)
7 id 22 . . . . . . . . . 10 (𝐼 ∈ β„•0 β†’ 𝐼 ∈ β„•0)
86, 7nn0expcld 14208 . . . . . . . . 9 (𝐼 ∈ β„•0 β†’ (2↑𝐼) ∈ β„•0)
98nn0cnd 12533 . . . . . . . 8 (𝐼 ∈ β„•0 β†’ (2↑𝐼) ∈ β„‚)
10 2cnd 12289 . . . . . . . . 9 (𝐼 ∈ β„•0 β†’ 2 ∈ β„‚)
11 2ne0 12315 . . . . . . . . . 10 2 β‰  0
1211a1i 11 . . . . . . . . 9 (𝐼 ∈ β„•0 β†’ 2 β‰  0)
13 nn0z 12582 . . . . . . . . 9 (𝐼 ∈ β„•0 β†’ 𝐼 ∈ β„€)
1410, 12, 13expne0d 14116 . . . . . . . 8 (𝐼 ∈ β„•0 β†’ (2↑𝐼) β‰  0)
159, 14jca 512 . . . . . . 7 (𝐼 ∈ β„•0 β†’ ((2↑𝐼) ∈ β„‚ ∧ (2↑𝐼) β‰  0))
16153ad2ant3 1135 . . . . . 6 (((𝐴 / 2) ∈ β„•0 ∧ 𝐴 ∈ β„•0 ∧ 𝐼 ∈ β„•0) β†’ ((2↑𝐼) ∈ β„‚ ∧ (2↑𝐼) β‰  0))
17 divdiv1 11924 . . . . . 6 ((𝐴 ∈ β„‚ ∧ (2 ∈ β„‚ ∧ 2 β‰  0) ∧ ((2↑𝐼) ∈ β„‚ ∧ (2↑𝐼) β‰  0)) β†’ ((𝐴 / 2) / (2↑𝐼)) = (𝐴 / (2 Β· (2↑𝐼))))
182, 4, 16, 17syl3anc 1371 . . . . 5 (((𝐴 / 2) ∈ β„•0 ∧ 𝐴 ∈ β„•0 ∧ 𝐼 ∈ β„•0) β†’ ((𝐴 / 2) / (2↑𝐼)) = (𝐴 / (2 Β· (2↑𝐼))))
1910, 9mulcomd 11234 . . . . . . . 8 (𝐼 ∈ β„•0 β†’ (2 Β· (2↑𝐼)) = ((2↑𝐼) Β· 2))
20193ad2ant3 1135 . . . . . . 7 (((𝐴 / 2) ∈ β„•0 ∧ 𝐴 ∈ β„•0 ∧ 𝐼 ∈ β„•0) β†’ (2 Β· (2↑𝐼)) = ((2↑𝐼) Β· 2))
21 2cnd 12289 . . . . . . . 8 (((𝐴 / 2) ∈ β„•0 ∧ 𝐴 ∈ β„•0 ∧ 𝐼 ∈ β„•0) β†’ 2 ∈ β„‚)
22 simp3 1138 . . . . . . . 8 (((𝐴 / 2) ∈ β„•0 ∧ 𝐴 ∈ β„•0 ∧ 𝐼 ∈ β„•0) β†’ 𝐼 ∈ β„•0)
2321, 22expp1d 14111 . . . . . . 7 (((𝐴 / 2) ∈ β„•0 ∧ 𝐴 ∈ β„•0 ∧ 𝐼 ∈ β„•0) β†’ (2↑(𝐼 + 1)) = ((2↑𝐼) Β· 2))
2420, 23eqtr4d 2775 . . . . . 6 (((𝐴 / 2) ∈ β„•0 ∧ 𝐴 ∈ β„•0 ∧ 𝐼 ∈ β„•0) β†’ (2 Β· (2↑𝐼)) = (2↑(𝐼 + 1)))
2524oveq2d 7424 . . . . 5 (((𝐴 / 2) ∈ β„•0 ∧ 𝐴 ∈ β„•0 ∧ 𝐼 ∈ β„•0) β†’ (𝐴 / (2 Β· (2↑𝐼))) = (𝐴 / (2↑(𝐼 + 1))))
2618, 25eqtr2d 2773 . . . 4 (((𝐴 / 2) ∈ β„•0 ∧ 𝐴 ∈ β„•0 ∧ 𝐼 ∈ β„•0) β†’ (𝐴 / (2↑(𝐼 + 1))) = ((𝐴 / 2) / (2↑𝐼)))
2726fveq2d 6895 . . 3 (((𝐴 / 2) ∈ β„•0 ∧ 𝐴 ∈ β„•0 ∧ 𝐼 ∈ β„•0) β†’ (βŒŠβ€˜(𝐴 / (2↑(𝐼 + 1)))) = (βŒŠβ€˜((𝐴 / 2) / (2↑𝐼))))
2827oveq1d 7423 . 2 (((𝐴 / 2) ∈ β„•0 ∧ 𝐴 ∈ β„•0 ∧ 𝐼 ∈ β„•0) β†’ ((βŒŠβ€˜(𝐴 / (2↑(𝐼 + 1)))) mod 2) = ((βŒŠβ€˜((𝐴 / 2) / (2↑𝐼))) mod 2))
29 2nn 12284 . . . 4 2 ∈ β„•
3029a1i 11 . . 3 (((𝐴 / 2) ∈ β„•0 ∧ 𝐴 ∈ β„•0 ∧ 𝐼 ∈ β„•0) β†’ 2 ∈ β„•)
31 peano2nn0 12511 . . . 4 (𝐼 ∈ β„•0 β†’ (𝐼 + 1) ∈ β„•0)
32313ad2ant3 1135 . . 3 (((𝐴 / 2) ∈ β„•0 ∧ 𝐴 ∈ β„•0 ∧ 𝐼 ∈ β„•0) β†’ (𝐼 + 1) ∈ β„•0)
33 nn0rp0 13431 . . . 4 (𝐴 ∈ β„•0 β†’ 𝐴 ∈ (0[,)+∞))
34333ad2ant2 1134 . . 3 (((𝐴 / 2) ∈ β„•0 ∧ 𝐴 ∈ β„•0 ∧ 𝐼 ∈ β„•0) β†’ 𝐴 ∈ (0[,)+∞))
35 nn0digval 47276 . . 3 ((2 ∈ β„• ∧ (𝐼 + 1) ∈ β„•0 ∧ 𝐴 ∈ (0[,)+∞)) β†’ ((𝐼 + 1)(digitβ€˜2)𝐴) = ((βŒŠβ€˜(𝐴 / (2↑(𝐼 + 1)))) mod 2))
3630, 32, 34, 35syl3anc 1371 . 2 (((𝐴 / 2) ∈ β„•0 ∧ 𝐴 ∈ β„•0 ∧ 𝐼 ∈ β„•0) β†’ ((𝐼 + 1)(digitβ€˜2)𝐴) = ((βŒŠβ€˜(𝐴 / (2↑(𝐼 + 1)))) mod 2))
37 nn0rp0 13431 . . . 4 ((𝐴 / 2) ∈ β„•0 β†’ (𝐴 / 2) ∈ (0[,)+∞))
38373ad2ant1 1133 . . 3 (((𝐴 / 2) ∈ β„•0 ∧ 𝐴 ∈ β„•0 ∧ 𝐼 ∈ β„•0) β†’ (𝐴 / 2) ∈ (0[,)+∞))
39 nn0digval 47276 . . 3 ((2 ∈ β„• ∧ 𝐼 ∈ β„•0 ∧ (𝐴 / 2) ∈ (0[,)+∞)) β†’ (𝐼(digitβ€˜2)(𝐴 / 2)) = ((βŒŠβ€˜((𝐴 / 2) / (2↑𝐼))) mod 2))
4030, 22, 38, 39syl3anc 1371 . 2 (((𝐴 / 2) ∈ β„•0 ∧ 𝐴 ∈ β„•0 ∧ 𝐼 ∈ β„•0) β†’ (𝐼(digitβ€˜2)(𝐴 / 2)) = ((βŒŠβ€˜((𝐴 / 2) / (2↑𝐼))) mod 2))
4128, 36, 403eqtr4d 2782 1 (((𝐴 / 2) ∈ β„•0 ∧ 𝐴 ∈ β„•0 ∧ 𝐼 ∈ β„•0) β†’ ((𝐼 + 1)(digitβ€˜2)𝐴) = (𝐼(digitβ€˜2)(𝐴 / 2)))
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:   β†’ wi 4   ∧ wa 396   ∧ w3a 1087   = wceq 1541   ∈ wcel 2106   β‰  wne 2940  β€˜cfv 6543  (class class class)co 7408  β„‚cc 11107  0cc0 11109  1c1 11110   + caddc 11112   Β· cmul 11114  +∞cpnf 11244   / cdiv 11870  β„•cn 12211  2c2 12266  β„•0cn0 12471  [,)cico 13325  βŒŠcfl 13754   mod cmo 13833  β†‘cexp 14026  digitcdig 47271
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1797  ax-4 1811  ax-5 1913  ax-6 1971  ax-7 2011  ax-8 2108  ax-9 2116  ax-10 2137  ax-11 2154  ax-12 2171  ax-ext 2703  ax-rep 5285  ax-sep 5299  ax-nul 5306  ax-pow 5363  ax-pr 5427  ax-un 7724  ax-cnex 11165  ax-resscn 11166  ax-1cn 11167  ax-icn 11168  ax-addcl 11169  ax-addrcl 11170  ax-mulcl 11171  ax-mulrcl 11172  ax-mulcom 11173  ax-addass 11174  ax-mulass 11175  ax-distr 11176  ax-i2m1 11177  ax-1ne0 11178  ax-1rid 11179  ax-rnegex 11180  ax-rrecex 11181  ax-cnre 11182  ax-pre-lttri 11183  ax-pre-lttrn 11184  ax-pre-ltadd 11185  ax-pre-mulgt0 11186
This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 397  df-or 846  df-3or 1088  df-3an 1089  df-tru 1544  df-fal 1554  df-ex 1782  df-nf 1786  df-sb 2068  df-mo 2534  df-eu 2563  df-clab 2710  df-cleq 2724  df-clel 2810  df-nfc 2885  df-ne 2941  df-nel 3047  df-ral 3062  df-rex 3071  df-rmo 3376  df-reu 3377  df-rab 3433  df-v 3476  df-sbc 3778  df-csb 3894  df-dif 3951  df-un 3953  df-in 3955  df-ss 3965  df-pss 3967  df-nul 4323  df-if 4529  df-pw 4604  df-sn 4629  df-pr 4631  df-op 4635  df-uni 4909  df-iun 4999  df-br 5149  df-opab 5211  df-mpt 5232  df-tr 5266  df-id 5574  df-eprel 5580  df-po 5588  df-so 5589  df-fr 5631  df-we 5633  df-xp 5682  df-rel 5683  df-cnv 5684  df-co 5685  df-dm 5686  df-rn 5687  df-res 5688  df-ima 5689  df-pred 6300  df-ord 6367  df-on 6368  df-lim 6369  df-suc 6370  df-iota 6495  df-fun 6545  df-fn 6546  df-f 6547  df-f1 6548  df-fo 6549  df-f1o 6550  df-fv 6551  df-riota 7364  df-ov 7411  df-oprab 7412  df-mpo 7413  df-om 7855  df-1st 7974  df-2nd 7975  df-frecs 8265  df-wrecs 8296  df-recs 8370  df-rdg 8409  df-er 8702  df-en 8939  df-dom 8940  df-sdom 8941  df-pnf 11249  df-mnf 11250  df-xr 11251  df-ltxr 11252  df-le 11253  df-sub 11445  df-neg 11446  df-div 11871  df-nn 12212  df-2 12274  df-n0 12472  df-z 12558  df-uz 12822  df-ico 13329  df-seq 13966  df-exp 14027  df-dig 47272
This theorem is referenced by:  dignn0flhalf  47294  nn0sumshdiglemA  47295
  Copyright terms: Public domain W3C validator