Users' Mathboxes Mathbox for Alexander van der Vekens < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >   Mathboxes  >  dignn0ehalf Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem dignn0ehalf 45018
Description: The digits of the half of an even nonnegative integer are the digits of the integer shifted by 1. (Contributed by AV, 3-Jun-2010.)
Assertion
Ref Expression
dignn0ehalf (((𝐴 / 2) ∈ ℕ0𝐴 ∈ ℕ0𝐼 ∈ ℕ0) → ((𝐼 + 1)(digit‘2)𝐴) = (𝐼(digit‘2)(𝐴 / 2)))

Proof of Theorem dignn0ehalf
StepHypRef Expression
1 nn0cn 11899 . . . . . . 7 (𝐴 ∈ ℕ0𝐴 ∈ ℂ)
213ad2ant2 1131 . . . . . 6 (((𝐴 / 2) ∈ ℕ0𝐴 ∈ ℕ0𝐼 ∈ ℕ0) → 𝐴 ∈ ℂ)
3 2cnne0 11839 . . . . . . 7 (2 ∈ ℂ ∧ 2 ≠ 0)
43a1i 11 . . . . . 6 (((𝐴 / 2) ∈ ℕ0𝐴 ∈ ℕ0𝐼 ∈ ℕ0) → (2 ∈ ℂ ∧ 2 ≠ 0))
5 2nn0 11906 . . . . . . . . . . 11 2 ∈ ℕ0
65a1i 11 . . . . . . . . . 10 (𝐼 ∈ ℕ0 → 2 ∈ ℕ0)
7 id 22 . . . . . . . . . 10 (𝐼 ∈ ℕ0𝐼 ∈ ℕ0)
86, 7nn0expcld 13607 . . . . . . . . 9 (𝐼 ∈ ℕ0 → (2↑𝐼) ∈ ℕ0)
98nn0cnd 11949 . . . . . . . 8 (𝐼 ∈ ℕ0 → (2↑𝐼) ∈ ℂ)
10 2cnd 11707 . . . . . . . . 9 (𝐼 ∈ ℕ0 → 2 ∈ ℂ)
11 2ne0 11733 . . . . . . . . . 10 2 ≠ 0
1211a1i 11 . . . . . . . . 9 (𝐼 ∈ ℕ0 → 2 ≠ 0)
13 nn0z 11997 . . . . . . . . 9 (𝐼 ∈ ℕ0𝐼 ∈ ℤ)
1410, 12, 13expne0d 13516 . . . . . . . 8 (𝐼 ∈ ℕ0 → (2↑𝐼) ≠ 0)
159, 14jca 515 . . . . . . 7 (𝐼 ∈ ℕ0 → ((2↑𝐼) ∈ ℂ ∧ (2↑𝐼) ≠ 0))
16153ad2ant3 1132 . . . . . 6 (((𝐴 / 2) ∈ ℕ0𝐴 ∈ ℕ0𝐼 ∈ ℕ0) → ((2↑𝐼) ∈ ℂ ∧ (2↑𝐼) ≠ 0))
17 divdiv1 11344 . . . . . 6 ((𝐴 ∈ ℂ ∧ (2 ∈ ℂ ∧ 2 ≠ 0) ∧ ((2↑𝐼) ∈ ℂ ∧ (2↑𝐼) ≠ 0)) → ((𝐴 / 2) / (2↑𝐼)) = (𝐴 / (2 · (2↑𝐼))))
182, 4, 16, 17syl3anc 1368 . . . . 5 (((𝐴 / 2) ∈ ℕ0𝐴 ∈ ℕ0𝐼 ∈ ℕ0) → ((𝐴 / 2) / (2↑𝐼)) = (𝐴 / (2 · (2↑𝐼))))
1910, 9mulcomd 10655 . . . . . . . 8 (𝐼 ∈ ℕ0 → (2 · (2↑𝐼)) = ((2↑𝐼) · 2))
20193ad2ant3 1132 . . . . . . 7 (((𝐴 / 2) ∈ ℕ0𝐴 ∈ ℕ0𝐼 ∈ ℕ0) → (2 · (2↑𝐼)) = ((2↑𝐼) · 2))
21 2cnd 11707 . . . . . . . 8 (((𝐴 / 2) ∈ ℕ0𝐴 ∈ ℕ0𝐼 ∈ ℕ0) → 2 ∈ ℂ)
22 simp3 1135 . . . . . . . 8 (((𝐴 / 2) ∈ ℕ0𝐴 ∈ ℕ0𝐼 ∈ ℕ0) → 𝐼 ∈ ℕ0)
2321, 22expp1d 13511 . . . . . . 7 (((𝐴 / 2) ∈ ℕ0𝐴 ∈ ℕ0𝐼 ∈ ℕ0) → (2↑(𝐼 + 1)) = ((2↑𝐼) · 2))
2420, 23eqtr4d 2839 . . . . . 6 (((𝐴 / 2) ∈ ℕ0𝐴 ∈ ℕ0𝐼 ∈ ℕ0) → (2 · (2↑𝐼)) = (2↑(𝐼 + 1)))
2524oveq2d 7155 . . . . 5 (((𝐴 / 2) ∈ ℕ0𝐴 ∈ ℕ0𝐼 ∈ ℕ0) → (𝐴 / (2 · (2↑𝐼))) = (𝐴 / (2↑(𝐼 + 1))))
2618, 25eqtr2d 2837 . . . 4 (((𝐴 / 2) ∈ ℕ0𝐴 ∈ ℕ0𝐼 ∈ ℕ0) → (𝐴 / (2↑(𝐼 + 1))) = ((𝐴 / 2) / (2↑𝐼)))
2726fveq2d 6653 . . 3 (((𝐴 / 2) ∈ ℕ0𝐴 ∈ ℕ0𝐼 ∈ ℕ0) → (⌊‘(𝐴 / (2↑(𝐼 + 1)))) = (⌊‘((𝐴 / 2) / (2↑𝐼))))
2827oveq1d 7154 . 2 (((𝐴 / 2) ∈ ℕ0𝐴 ∈ ℕ0𝐼 ∈ ℕ0) → ((⌊‘(𝐴 / (2↑(𝐼 + 1)))) mod 2) = ((⌊‘((𝐴 / 2) / (2↑𝐼))) mod 2))
29 2nn 11702 . . . 4 2 ∈ ℕ
3029a1i 11 . . 3 (((𝐴 / 2) ∈ ℕ0𝐴 ∈ ℕ0𝐼 ∈ ℕ0) → 2 ∈ ℕ)
31 peano2nn0 11929 . . . 4 (𝐼 ∈ ℕ0 → (𝐼 + 1) ∈ ℕ0)
32313ad2ant3 1132 . . 3 (((𝐴 / 2) ∈ ℕ0𝐴 ∈ ℕ0𝐼 ∈ ℕ0) → (𝐼 + 1) ∈ ℕ0)
33 nn0rp0 12837 . . . 4 (𝐴 ∈ ℕ0𝐴 ∈ (0[,)+∞))
34333ad2ant2 1131 . . 3 (((𝐴 / 2) ∈ ℕ0𝐴 ∈ ℕ0𝐼 ∈ ℕ0) → 𝐴 ∈ (0[,)+∞))
35 nn0digval 45001 . . 3 ((2 ∈ ℕ ∧ (𝐼 + 1) ∈ ℕ0𝐴 ∈ (0[,)+∞)) → ((𝐼 + 1)(digit‘2)𝐴) = ((⌊‘(𝐴 / (2↑(𝐼 + 1)))) mod 2))
3630, 32, 34, 35syl3anc 1368 . 2 (((𝐴 / 2) ∈ ℕ0𝐴 ∈ ℕ0𝐼 ∈ ℕ0) → ((𝐼 + 1)(digit‘2)𝐴) = ((⌊‘(𝐴 / (2↑(𝐼 + 1)))) mod 2))
37 nn0rp0 12837 . . . 4 ((𝐴 / 2) ∈ ℕ0 → (𝐴 / 2) ∈ (0[,)+∞))
38373ad2ant1 1130 . . 3 (((𝐴 / 2) ∈ ℕ0𝐴 ∈ ℕ0𝐼 ∈ ℕ0) → (𝐴 / 2) ∈ (0[,)+∞))
39 nn0digval 45001 . . 3 ((2 ∈ ℕ ∧ 𝐼 ∈ ℕ0 ∧ (𝐴 / 2) ∈ (0[,)+∞)) → (𝐼(digit‘2)(𝐴 / 2)) = ((⌊‘((𝐴 / 2) / (2↑𝐼))) mod 2))
4030, 22, 38, 39syl3anc 1368 . 2 (((𝐴 / 2) ∈ ℕ0𝐴 ∈ ℕ0𝐼 ∈ ℕ0) → (𝐼(digit‘2)(𝐴 / 2)) = ((⌊‘((𝐴 / 2) / (2↑𝐼))) mod 2))
4128, 36, 403eqtr4d 2846 1 (((𝐴 / 2) ∈ ℕ0𝐴 ∈ ℕ0𝐼 ∈ ℕ0) → ((𝐼 + 1)(digit‘2)𝐴) = (𝐼(digit‘2)(𝐴 / 2)))
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  wi 4  wa 399  w3a 1084   = wceq 1538  wcel 2112  wne 2990  cfv 6328  (class class class)co 7139  cc 10528  0cc0 10530  1c1 10531   + caddc 10533   · cmul 10535  +∞cpnf 10665   / cdiv 11290  cn 11629  2c2 11684  0cn0 11889  [,)cico 12732  cfl 13159   mod cmo 13236  cexp 13429  digitcdig 44996
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1797  ax-4 1811  ax-5 1911  ax-6 1970  ax-7 2015  ax-8 2114  ax-9 2122  ax-10 2143  ax-11 2159  ax-12 2176  ax-ext 2773  ax-rep 5157  ax-sep 5170  ax-nul 5177  ax-pow 5234  ax-pr 5298  ax-un 7445  ax-cnex 10586  ax-resscn 10587  ax-1cn 10588  ax-icn 10589  ax-addcl 10590  ax-addrcl 10591  ax-mulcl 10592  ax-mulrcl 10593  ax-mulcom 10594  ax-addass 10595  ax-mulass 10596  ax-distr 10597  ax-i2m1 10598  ax-1ne0 10599  ax-1rid 10600  ax-rnegex 10601  ax-rrecex 10602  ax-cnre 10603  ax-pre-lttri 10604  ax-pre-lttrn 10605  ax-pre-ltadd 10606  ax-pre-mulgt0 10607
This theorem depends on definitions:  df-bi 210  df-an 400  df-or 845  df-3or 1085  df-3an 1086  df-tru 1541  df-ex 1782  df-nf 1786  df-sb 2070  df-mo 2601  df-eu 2632  df-clab 2780  df-cleq 2794  df-clel 2873  df-nfc 2941  df-ne 2991  df-nel 3095  df-ral 3114  df-rex 3115  df-reu 3116  df-rmo 3117  df-rab 3118  df-v 3446  df-sbc 3724  df-csb 3832  df-dif 3887  df-un 3889  df-in 3891  df-ss 3901  df-pss 3903  df-nul 4247  df-if 4429  df-pw 4502  df-sn 4529  df-pr 4531  df-tp 4533  df-op 4535  df-uni 4804  df-iun 4886  df-br 5034  df-opab 5096  df-mpt 5114  df-tr 5140  df-id 5428  df-eprel 5433  df-po 5442  df-so 5443  df-fr 5482  df-we 5484  df-xp 5529  df-rel 5530  df-cnv 5531  df-co 5532  df-dm 5533  df-rn 5534  df-res 5535  df-ima 5536  df-pred 6120  df-ord 6166  df-on 6167  df-lim 6168  df-suc 6169  df-iota 6287  df-fun 6330  df-fn 6331  df-f 6332  df-f1 6333  df-fo 6334  df-f1o 6335  df-fv 6336  df-riota 7097  df-ov 7142  df-oprab 7143  df-mpo 7144  df-om 7565  df-1st 7675  df-2nd 7676  df-wrecs 7934  df-recs 7995  df-rdg 8033  df-er 8276  df-en 8497  df-dom 8498  df-sdom 8499  df-pnf 10670  df-mnf 10671  df-xr 10672  df-ltxr 10673  df-le 10674  df-sub 10865  df-neg 10866  df-div 11291  df-nn 11630  df-2 11692  df-n0 11890  df-z 11974  df-uz 12236  df-ico 12736  df-seq 13369  df-exp 13430  df-dig 44997
This theorem is referenced by:  dignn0flhalf  45019  nn0sumshdiglemA  45020
  Copyright terms: Public domain W3C validator