Theorem dignn0ehalf 45851

Description: The digits of the half of an even nonnegative integer are the digits of the integer shifted by 1. (Contributed by AV, 3-Jun-2010.)

Assertion

Ref	Expression
dignn0ehalf	⊢ (((𝐴 / 2) ∈ ℕ0 ∧ 𝐴 ∈ ℕ0 ∧ 𝐼 ∈ ℕ0) → ((𝐼 + 1)(digit‘2)𝐴) = (𝐼(digit‘2)(𝐴 / 2)))

Proof of Theorem dignn0ehalf

Step	Hyp	Ref	Expression
1		nn0cn 12173	. . . . . . 7 ⊢ (𝐴 ∈ ℕ0 → 𝐴 ∈ ℂ)
2	1	3ad2ant2 1132	. . . . . 6 ⊢ (((𝐴 / 2) ∈ ℕ0 ∧ 𝐴 ∈ ℕ0 ∧ 𝐼 ∈ ℕ0) → 𝐴 ∈ ℂ)
3		2cnne0 12113	. . . . . . 7 ⊢ (2 ∈ ℂ ∧ 2 ≠ 0)
4	3	a1i 11	. . . . . 6 ⊢ (((𝐴 / 2) ∈ ℕ0 ∧ 𝐴 ∈ ℕ0 ∧ 𝐼 ∈ ℕ0) → (2 ∈ ℂ ∧ 2 ≠ 0))
5		2nn0 12180	. . . . . . . . . . 11 ⊢ 2 ∈ ℕ0
6	5	a1i 11	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝐼 ∈ ℕ0 → 2 ∈ ℕ0)
7		id 22	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝐼 ∈ ℕ0 → 𝐼 ∈ ℕ0)
8	6, 7	nn0expcld 13889	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝐼 ∈ ℕ0 → (2↑𝐼) ∈ ℕ0)
9	8	nn0cnd 12225	. . . . . . . 8 ⊢ (𝐼 ∈ ℕ0 → (2↑𝐼) ∈ ℂ)
10		2cnd 11981	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝐼 ∈ ℕ0 → 2 ∈ ℂ)
11		2ne0 12007	. . . . . . . . . 10 ⊢ 2 ≠ 0
12	11	a1i 11	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝐼 ∈ ℕ0 → 2 ≠ 0)
13		nn0z 12273	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝐼 ∈ ℕ0 → 𝐼 ∈ ℤ)
14	10, 12, 13	expne0d 13798	. . . . . . . 8 ⊢ (𝐼 ∈ ℕ0 → (2↑𝐼) ≠ 0)
15	9, 14	jca 511	. . . . . . 7 ⊢ (𝐼 ∈ ℕ0 → ((2↑𝐼) ∈ ℂ ∧ (2↑𝐼) ≠ 0))
16	15	3ad2ant3 1133	. . . . . 6 ⊢ (((𝐴 / 2) ∈ ℕ0 ∧ 𝐴 ∈ ℕ0 ∧ 𝐼 ∈ ℕ0) → ((2↑𝐼) ∈ ℂ ∧ (2↑𝐼) ≠ 0))
17		divdiv1 11616	. . . . . 6 ⊢ ((𝐴 ∈ ℂ ∧ (2 ∈ ℂ ∧ 2 ≠ 0) ∧ ((2↑𝐼) ∈ ℂ ∧ (2↑𝐼) ≠ 0)) → ((𝐴 / 2) / (2↑𝐼)) = (𝐴 / (2 · (2↑𝐼))))
18	2, 4, 16, 17	syl3anc 1369	. . . . 5 ⊢ (((𝐴 / 2) ∈ ℕ0 ∧ 𝐴 ∈ ℕ0 ∧ 𝐼 ∈ ℕ0) → ((𝐴 / 2) / (2↑𝐼)) = (𝐴 / (2 · (2↑𝐼))))
19	10, 9	mulcomd 10927	. . . . . . . 8 ⊢ (𝐼 ∈ ℕ0 → (2 · (2↑𝐼)) = ((2↑𝐼) · 2))
20	19	3ad2ant3 1133	. . . . . . 7 ⊢ (((𝐴 / 2) ∈ ℕ0 ∧ 𝐴 ∈ ℕ0 ∧ 𝐼 ∈ ℕ0) → (2 · (2↑𝐼)) = ((2↑𝐼) · 2))
21		2cnd 11981	. . . . . . . 8 ⊢ (((𝐴 / 2) ∈ ℕ0 ∧ 𝐴 ∈ ℕ0 ∧ 𝐼 ∈ ℕ0) → 2 ∈ ℂ)
22		simp3 1136	. . . . . . . 8 ⊢ (((𝐴 / 2) ∈ ℕ0 ∧ 𝐴 ∈ ℕ0 ∧ 𝐼 ∈ ℕ0) → 𝐼 ∈ ℕ0)
23	21, 22	expp1d 13793	. . . . . . 7 ⊢ (((𝐴 / 2) ∈ ℕ0 ∧ 𝐴 ∈ ℕ0 ∧ 𝐼 ∈ ℕ0) → (2↑(𝐼 + 1)) = ((2↑𝐼) · 2))
24	20, 23	eqtr4d 2781	. . . . . 6 ⊢ (((𝐴 / 2) ∈ ℕ0 ∧ 𝐴 ∈ ℕ0 ∧ 𝐼 ∈ ℕ0) → (2 · (2↑𝐼)) = (2↑(𝐼 + 1)))
25	24	oveq2d 7271	. . . . 5 ⊢ (((𝐴 / 2) ∈ ℕ0 ∧ 𝐴 ∈ ℕ0 ∧ 𝐼 ∈ ℕ0) → (𝐴 / (2 · (2↑𝐼))) = (𝐴 / (2↑(𝐼 + 1))))
26	18, 25	eqtr2d 2779	. . . 4 ⊢ (((𝐴 / 2) ∈ ℕ0 ∧ 𝐴 ∈ ℕ0 ∧ 𝐼 ∈ ℕ0) → (𝐴 / (2↑(𝐼 + 1))) = ((𝐴 / 2) / (2↑𝐼)))
27	26	fveq2d 6760	. . 3 ⊢ (((𝐴 / 2) ∈ ℕ0 ∧ 𝐴 ∈ ℕ0 ∧ 𝐼 ∈ ℕ0) → (⌊‘(𝐴 / (2↑(𝐼 + 1)))) = (⌊‘((𝐴 / 2) / (2↑𝐼))))
28	27	oveq1d 7270	. 2 ⊢ (((𝐴 / 2) ∈ ℕ0 ∧ 𝐴 ∈ ℕ0 ∧ 𝐼 ∈ ℕ0) → ((⌊‘(𝐴 / (2↑(𝐼 + 1)))) mod 2) = ((⌊‘((𝐴 / 2) / (2↑𝐼))) mod 2))
29		2nn 11976	. . . 4 ⊢ 2 ∈ ℕ
30	29	a1i 11	. . 3 ⊢ (((𝐴 / 2) ∈ ℕ0 ∧ 𝐴 ∈ ℕ0 ∧ 𝐼 ∈ ℕ0) → 2 ∈ ℕ)
31		peano2nn0 12203	. . . 4 ⊢ (𝐼 ∈ ℕ0 → (𝐼 + 1) ∈ ℕ0)
32	31	3ad2ant3 1133	. . 3 ⊢ (((𝐴 / 2) ∈ ℕ0 ∧ 𝐴 ∈ ℕ0 ∧ 𝐼 ∈ ℕ0) → (𝐼 + 1) ∈ ℕ0)
33		nn0rp0 13116	. . . 4 ⊢ (𝐴 ∈ ℕ0 → 𝐴 ∈ (0[,)+∞))
34	33	3ad2ant2 1132	. . 3 ⊢ (((𝐴 / 2) ∈ ℕ0 ∧ 𝐴 ∈ ℕ0 ∧ 𝐼 ∈ ℕ0) → 𝐴 ∈ (0[,)+∞))
35		nn0digval 45834	. . 3 ⊢ ((2 ∈ ℕ ∧ (𝐼 + 1) ∈ ℕ0 ∧ 𝐴 ∈ (0[,)+∞)) → ((𝐼 + 1)(digit‘2)𝐴) = ((⌊‘(𝐴 / (2↑(𝐼 + 1)))) mod 2))
36	30, 32, 34, 35	syl3anc 1369	. 2 ⊢ (((𝐴 / 2) ∈ ℕ0 ∧ 𝐴 ∈ ℕ0 ∧ 𝐼 ∈ ℕ0) → ((𝐼 + 1)(digit‘2)𝐴) = ((⌊‘(𝐴 / (2↑(𝐼 + 1)))) mod 2))
37		nn0rp0 13116	. . . 4 ⊢ ((𝐴 / 2) ∈ ℕ0 → (𝐴 / 2) ∈ (0[,)+∞))
38	37	3ad2ant1 1131	. . 3 ⊢ (((𝐴 / 2) ∈ ℕ0 ∧ 𝐴 ∈ ℕ0 ∧ 𝐼 ∈ ℕ0) → (𝐴 / 2) ∈ (0[,)+∞))
39		nn0digval 45834	. . 3 ⊢ ((2 ∈ ℕ ∧ 𝐼 ∈ ℕ0 ∧ (𝐴 / 2) ∈ (0[,)+∞)) → (𝐼(digit‘2)(𝐴 / 2)) = ((⌊‘((𝐴 / 2) / (2↑𝐼))) mod 2))
40	30, 22, 38, 39	syl3anc 1369	. 2 ⊢ (((𝐴 / 2) ∈ ℕ0 ∧ 𝐴 ∈ ℕ0 ∧ 𝐼 ∈ ℕ0) → (𝐼(digit‘2)(𝐴 / 2)) = ((⌊‘((𝐴 / 2) / (2↑𝐼))) mod 2))
41	28, 36, 40	3eqtr4d 2788	1 ⊢ (((𝐴 / 2) ∈ ℕ0 ∧ 𝐴 ∈ ℕ0 ∧ 𝐼 ∈ ℕ0) → ((𝐼 + 1)(digit‘2)𝐴) = (𝐼(digit‘2)(𝐴 / 2)))

Syntax hints:   → wi 4   ∧ wa 395   ∧ w3a 1085   = wceq 1539   ∈ wcel 2108   ≠ wne 2942  ‘cfv 6418  (class class class)co 7255  ℂcc 10800  0cc0 10802  1c1 10803   + caddc 10805   · cmul 10807  +∞cpnf 10937   / cdiv 11562  ℕcn 11903  2c2 11958  ℕ₀cn0 12163  [,)cico 13010  ⌊cfl 13438   mod cmo 13517  ↑cexp 13710  digitcdig 45829

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1799  ax-4 1813  ax-5 1914  ax-6 1972  ax-7 2012  ax-8 2110  ax-9 2118  ax-10 2139  ax-11 2156  ax-12 2173  ax-ext 2709  ax-rep 5205  ax-sep 5218  ax-nul 5225  ax-pow 5283  ax-pr 5347  ax-un 7566  ax-cnex 10858  ax-resscn 10859  ax-1cn 10860  ax-icn 10861  ax-addcl 10862  ax-addrcl 10863  ax-mulcl 10864  ax-mulrcl 10865  ax-mulcom 10866  ax-addass 10867  ax-mulass 10868  ax-distr 10869  ax-i2m1 10870  ax-1ne0 10871  ax-1rid 10872  ax-rnegex 10873  ax-rrecex 10874  ax-cnre 10875  ax-pre-lttri 10876  ax-pre-lttrn 10877  ax-pre-ltadd 10878  ax-pre-mulgt0 10879

This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 396  df-or 844  df-3or 1086  df-3an 1087  df-tru 1542  df-fal 1552  df-ex 1784  df-nf 1788  df-sb 2069  df-mo 2540  df-eu 2569  df-clab 2716  df-cleq 2730  df-clel 2817  df-nfc 2888  df-ne 2943  df-nel 3049  df-ral 3068  df-rex 3069  df-reu 3070  df-rmo 3071  df-rab 3072  df-v 3424  df-sbc 3712  df-csb 3829  df-dif 3886  df-un 3888  df-in 3890  df-ss 3900  df-pss 3902  df-nul 4254  df-if 4457  df-pw 4532  df-sn 4559  df-pr 4561  df-tp 4563  df-op 4565  df-uni 4837  df-iun 4923  df-br 5071  df-opab 5133  df-mpt 5154  df-tr 5188  df-id 5480  df-eprel 5486  df-po 5494  df-so 5495  df-fr 5535  df-we 5537  df-xp 5586  df-rel 5587  df-cnv 5588  df-co 5589  df-dm 5590  df-rn 5591  df-res 5592  df-ima 5593  df-pred 6191  df-ord 6254  df-on 6255  df-lim 6256  df-suc 6257  df-iota 6376  df-fun 6420  df-fn 6421  df-f 6422  df-f1 6423  df-fo 6424  df-f1o 6425  df-fv 6426  df-riota 7212  df-ov 7258  df-oprab 7259  df-mpo 7260  df-om 7688  df-1st 7804  df-2nd 7805  df-frecs 8068  df-wrecs 8099  df-recs 8173  df-rdg 8212  df-er 8456  df-en 8692  df-dom 8693  df-sdom 8694  df-pnf 10942  df-mnf 10943  df-xr 10944  df-ltxr 10945  df-le 10946  df-sub 11137  df-neg 11138  df-div 11563  df-nn 11904  df-2 11966  df-n0 12164  df-z 12250  df-uz 12512  df-ico 13014  df-seq 13650  df-exp 13711  df-dig 45830

This theorem is referenced by:  dignn0flhalf  45852  nn0sumshdiglemA  45853