Theorem dignn0ehalf 48745

Description: The digits of the half of an even nonnegative integer are the digits of the integer shifted by 1. (Contributed by AV, 3-Jun-2010.)

Assertion

Ref	Expression
dignn0ehalf	⊢ (((𝐴 / 2) ∈ ℕ0 ∧ 𝐴 ∈ ℕ0 ∧ 𝐼 ∈ ℕ0) → ((𝐼 + 1)(digit‘2)𝐴) = (𝐼(digit‘2)(𝐴 / 2)))

Proof of Theorem dignn0ehalf

Step	Hyp	Ref	Expression
1		nn0cn 12400	. . . . . . 7 ⊢ (𝐴 ∈ ℕ0 → 𝐴 ∈ ℂ)
2	1	3ad2ant2 1134	. . . . . 6 ⊢ (((𝐴 / 2) ∈ ℕ0 ∧ 𝐴 ∈ ℕ0 ∧ 𝐼 ∈ ℕ0) → 𝐴 ∈ ℂ)
3		2cnne0 12339	. . . . . . 7 ⊢ (2 ∈ ℂ ∧ 2 ≠ 0)
4	3	a1i 11	. . . . . 6 ⊢ (((𝐴 / 2) ∈ ℕ0 ∧ 𝐴 ∈ ℕ0 ∧ 𝐼 ∈ ℕ0) → (2 ∈ ℂ ∧ 2 ≠ 0))
5		2nn0 12407	. . . . . . . . . . 11 ⊢ 2 ∈ ℕ0
6	5	a1i 11	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝐼 ∈ ℕ0 → 2 ∈ ℕ0)
7		id 22	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝐼 ∈ ℕ0 → 𝐼 ∈ ℕ0)
8	6, 7	nn0expcld 14157	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝐼 ∈ ℕ0 → (2↑𝐼) ∈ ℕ0)
9	8	nn0cnd 12453	. . . . . . . 8 ⊢ (𝐼 ∈ ℕ0 → (2↑𝐼) ∈ ℂ)
10		2cnd 12212	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝐼 ∈ ℕ0 → 2 ∈ ℂ)
11		2ne0 12238	. . . . . . . . . 10 ⊢ 2 ≠ 0
12	11	a1i 11	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝐼 ∈ ℕ0 → 2 ≠ 0)
13		nn0z 12501	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝐼 ∈ ℕ0 → 𝐼 ∈ ℤ)
14	10, 12, 13	expne0d 14063	. . . . . . . 8 ⊢ (𝐼 ∈ ℕ0 → (2↑𝐼) ≠ 0)
15	9, 14	jca 511	. . . . . . 7 ⊢ (𝐼 ∈ ℕ0 → ((2↑𝐼) ∈ ℂ ∧ (2↑𝐼) ≠ 0))
16	15	3ad2ant3 1135	. . . . . 6 ⊢ (((𝐴 / 2) ∈ ℕ0 ∧ 𝐴 ∈ ℕ0 ∧ 𝐼 ∈ ℕ0) → ((2↑𝐼) ∈ ℂ ∧ (2↑𝐼) ≠ 0))
17		divdiv1 11841	. . . . . 6 ⊢ ((𝐴 ∈ ℂ ∧ (2 ∈ ℂ ∧ 2 ≠ 0) ∧ ((2↑𝐼) ∈ ℂ ∧ (2↑𝐼) ≠ 0)) → ((𝐴 / 2) / (2↑𝐼)) = (𝐴 / (2 · (2↑𝐼))))
18	2, 4, 16, 17	syl3anc 1373	. . . . 5 ⊢ (((𝐴 / 2) ∈ ℕ0 ∧ 𝐴 ∈ ℕ0 ∧ 𝐼 ∈ ℕ0) → ((𝐴 / 2) / (2↑𝐼)) = (𝐴 / (2 · (2↑𝐼))))
19	10, 9	mulcomd 11142	. . . . . . . 8 ⊢ (𝐼 ∈ ℕ0 → (2 · (2↑𝐼)) = ((2↑𝐼) · 2))
20	19	3ad2ant3 1135	. . . . . . 7 ⊢ (((𝐴 / 2) ∈ ℕ0 ∧ 𝐴 ∈ ℕ0 ∧ 𝐼 ∈ ℕ0) → (2 · (2↑𝐼)) = ((2↑𝐼) · 2))
21		2cnd 12212	. . . . . . . 8 ⊢ (((𝐴 / 2) ∈ ℕ0 ∧ 𝐴 ∈ ℕ0 ∧ 𝐼 ∈ ℕ0) → 2 ∈ ℂ)
22		simp3 1138	. . . . . . . 8 ⊢ (((𝐴 / 2) ∈ ℕ0 ∧ 𝐴 ∈ ℕ0 ∧ 𝐼 ∈ ℕ0) → 𝐼 ∈ ℕ0)
23	21, 22	expp1d 14058	. . . . . . 7 ⊢ (((𝐴 / 2) ∈ ℕ0 ∧ 𝐴 ∈ ℕ0 ∧ 𝐼 ∈ ℕ0) → (2↑(𝐼 + 1)) = ((2↑𝐼) · 2))
24	20, 23	eqtr4d 2771	. . . . . 6 ⊢ (((𝐴 / 2) ∈ ℕ0 ∧ 𝐴 ∈ ℕ0 ∧ 𝐼 ∈ ℕ0) → (2 · (2↑𝐼)) = (2↑(𝐼 + 1)))
25	24	oveq2d 7370	. . . . 5 ⊢ (((𝐴 / 2) ∈ ℕ0 ∧ 𝐴 ∈ ℕ0 ∧ 𝐼 ∈ ℕ0) → (𝐴 / (2 · (2↑𝐼))) = (𝐴 / (2↑(𝐼 + 1))))
26	18, 25	eqtr2d 2769	. . . 4 ⊢ (((𝐴 / 2) ∈ ℕ0 ∧ 𝐴 ∈ ℕ0 ∧ 𝐼 ∈ ℕ0) → (𝐴 / (2↑(𝐼 + 1))) = ((𝐴 / 2) / (2↑𝐼)))
27	26	fveq2d 6834	. . 3 ⊢ (((𝐴 / 2) ∈ ℕ0 ∧ 𝐴 ∈ ℕ0 ∧ 𝐼 ∈ ℕ0) → (⌊‘(𝐴 / (2↑(𝐼 + 1)))) = (⌊‘((𝐴 / 2) / (2↑𝐼))))
28	27	oveq1d 7369	. 2 ⊢ (((𝐴 / 2) ∈ ℕ0 ∧ 𝐴 ∈ ℕ0 ∧ 𝐼 ∈ ℕ0) → ((⌊‘(𝐴 / (2↑(𝐼 + 1)))) mod 2) = ((⌊‘((𝐴 / 2) / (2↑𝐼))) mod 2))
29		2nn 12207	. . . 4 ⊢ 2 ∈ ℕ
30	29	a1i 11	. . 3 ⊢ (((𝐴 / 2) ∈ ℕ0 ∧ 𝐴 ∈ ℕ0 ∧ 𝐼 ∈ ℕ0) → 2 ∈ ℕ)
31		peano2nn0 12430	. . . 4 ⊢ (𝐼 ∈ ℕ0 → (𝐼 + 1) ∈ ℕ0)
32	31	3ad2ant3 1135	. . 3 ⊢ (((𝐴 / 2) ∈ ℕ0 ∧ 𝐴 ∈ ℕ0 ∧ 𝐼 ∈ ℕ0) → (𝐼 + 1) ∈ ℕ0)
33		nn0rp0 13359	. . . 4 ⊢ (𝐴 ∈ ℕ0 → 𝐴 ∈ (0[,)+∞))
34	33	3ad2ant2 1134	. . 3 ⊢ (((𝐴 / 2) ∈ ℕ0 ∧ 𝐴 ∈ ℕ0 ∧ 𝐼 ∈ ℕ0) → 𝐴 ∈ (0[,)+∞))
35		nn0digval 48728	. . 3 ⊢ ((2 ∈ ℕ ∧ (𝐼 + 1) ∈ ℕ0 ∧ 𝐴 ∈ (0[,)+∞)) → ((𝐼 + 1)(digit‘2)𝐴) = ((⌊‘(𝐴 / (2↑(𝐼 + 1)))) mod 2))
36	30, 32, 34, 35	syl3anc 1373	. 2 ⊢ (((𝐴 / 2) ∈ ℕ0 ∧ 𝐴 ∈ ℕ0 ∧ 𝐼 ∈ ℕ0) → ((𝐼 + 1)(digit‘2)𝐴) = ((⌊‘(𝐴 / (2↑(𝐼 + 1)))) mod 2))
37		nn0rp0 13359	. . . 4 ⊢ ((𝐴 / 2) ∈ ℕ0 → (𝐴 / 2) ∈ (0[,)+∞))
38	37	3ad2ant1 1133	. . 3 ⊢ (((𝐴 / 2) ∈ ℕ0 ∧ 𝐴 ∈ ℕ0 ∧ 𝐼 ∈ ℕ0) → (𝐴 / 2) ∈ (0[,)+∞))
39		nn0digval 48728	. . 3 ⊢ ((2 ∈ ℕ ∧ 𝐼 ∈ ℕ0 ∧ (𝐴 / 2) ∈ (0[,)+∞)) → (𝐼(digit‘2)(𝐴 / 2)) = ((⌊‘((𝐴 / 2) / (2↑𝐼))) mod 2))
40	30, 22, 38, 39	syl3anc 1373	. 2 ⊢ (((𝐴 / 2) ∈ ℕ0 ∧ 𝐴 ∈ ℕ0 ∧ 𝐼 ∈ ℕ0) → (𝐼(digit‘2)(𝐴 / 2)) = ((⌊‘((𝐴 / 2) / (2↑𝐼))) mod 2))
41	28, 36, 40	3eqtr4d 2778	1 ⊢ (((𝐴 / 2) ∈ ℕ0 ∧ 𝐴 ∈ ℕ0 ∧ 𝐼 ∈ ℕ0) → ((𝐼 + 1)(digit‘2)𝐴) = (𝐼(digit‘2)(𝐴 / 2)))

Syntax hints:   → wi 4   ∧ wa 395   ∧ w3a 1086   = wceq 1541   ∈ wcel 2113   ≠ wne 2929  ‘cfv 6488  (class class class)co 7354  ℂcc 11013  0cc0 11015  1c1 11016   + caddc 11018   · cmul 11020  +∞cpnf 11152   / cdiv 11783  ℕcn 12134  2c2 12189  ℕ₀cn0 12390  [,)cico 13251  ⌊cfl 13698   mod cmo 13777  ↑cexp 13972  digitcdig 48723

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1796  ax-4 1810  ax-5 1911  ax-6 1968  ax-7 2009  ax-8 2115  ax-9 2123  ax-10 2146  ax-11 2162  ax-12 2182  ax-ext 2705  ax-rep 5221  ax-sep 5238  ax-nul 5248  ax-pow 5307  ax-pr 5374  ax-un 7676  ax-cnex 11071  ax-resscn 11072  ax-1cn 11073  ax-icn 11074  ax-addcl 11075  ax-addrcl 11076  ax-mulcl 11077  ax-mulrcl 11078  ax-mulcom 11079  ax-addass 11080  ax-mulass 11081  ax-distr 11082  ax-i2m1 11083  ax-1ne0 11084  ax-1rid 11085  ax-rnegex 11086  ax-rrecex 11087  ax-cnre 11088  ax-pre-lttri 11089  ax-pre-lttrn 11090  ax-pre-ltadd 11091  ax-pre-mulgt0 11092

This theorem depends on definitions:  df-bi 207  df-an 396  df-or 848  df-3or 1087  df-3an 1088  df-tru 1544  df-fal 1554  df-ex 1781  df-nf 1785  df-sb 2068  df-mo 2537  df-eu 2566  df-clab 2712  df-cleq 2725  df-clel 2808  df-nfc 2882  df-ne 2930  df-nel 3034  df-ral 3049  df-rex 3058  df-rmo 3347  df-reu 3348  df-rab 3397  df-v 3439  df-sbc 3738  df-csb 3847  df-dif 3901  df-un 3903  df-in 3905  df-ss 3915  df-pss 3918  df-nul 4283  df-if 4477  df-pw 4553  df-sn 4578  df-pr 4580  df-op 4584  df-uni 4861  df-iun 4945  df-br 5096  df-opab 5158  df-mpt 5177  df-tr 5203  df-id 5516  df-eprel 5521  df-po 5529  df-so 5530  df-fr 5574  df-we 5576  df-xp 5627  df-rel 5628  df-cnv 5629  df-co 5630  df-dm 5631  df-rn 5632  df-res 5633  df-ima 5634  df-pred 6255  df-ord 6316  df-on 6317  df-lim 6318  df-suc 6319  df-iota 6444  df-fun 6490  df-fn 6491  df-f 6492  df-f1 6493  df-fo 6494  df-f1o 6495  df-fv 6496  df-riota 7311  df-ov 7357  df-oprab 7358  df-mpo 7359  df-om 7805  df-1st 7929  df-2nd 7930  df-frecs 8219  df-wrecs 8250  df-recs 8299  df-rdg 8337  df-er 8630  df-en 8878  df-dom 8879  df-sdom 8880  df-pnf 11157  df-mnf 11158  df-xr 11159  df-ltxr 11160  df-le 11161  df-sub 11355  df-neg 11356  df-div 11784  df-nn 12135  df-2 12197  df-n0 12391  df-z 12478  df-uz 12741  df-ico 13255  df-seq 13913  df-exp 13973  df-dig 48724

This theorem is referenced by:  dignn0flhalf  48746  nn0sumshdiglemA  48747