Theorem nn0sumshdiglem2 48982

Description: Lemma 2 for nn0sumshdig 48983. (Contributed by AV, 7-Jun-2020.)

Assertion

Ref	Expression
nn0sumshdiglem2	⊢ (𝐿 ∈ ℕ → ∀𝑎 ∈ ℕ0 ((#b‘𝑎) = 𝐿 → 𝑎 = Σ𝑘 ∈ (0..^𝐿)((𝑘(digit‘2)𝑎) · (2↑𝑘))))

Distinct variable group:   𝑘,𝑎,𝐿

Proof of Theorem nn0sumshdiglem2

Dummy variables 𝑥 𝑦 are mutually distinct and distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		eqeq2 2749	. . . 4 ⊢ (𝑥 = 1 → ((#b‘𝑎) = 𝑥 ↔ (#b‘𝑎) = 1))
2		oveq2 7376	. . . . . . 7 ⊢ (𝑥 = 1 → (0..^𝑥) = (0..^1))
3		fzo01 13675	. . . . . . 7 ⊢ (0..^1) = {0}
4	2, 3	eqtrdi 2788	. . . . . 6 ⊢ (𝑥 = 1 → (0..^𝑥) = {0})
5	4	sumeq1d 15635	. . . . 5 ⊢ (𝑥 = 1 → Σ𝑘 ∈ (0..^𝑥)((𝑘(digit‘2)𝑎) · (2↑𝑘)) = Σ𝑘 ∈ {0} ((𝑘(digit‘2)𝑎) · (2↑𝑘)))
6	5	eqeq2d 2748	. . . 4 ⊢ (𝑥 = 1 → (𝑎 = Σ𝑘 ∈ (0..^𝑥)((𝑘(digit‘2)𝑎) · (2↑𝑘)) ↔ 𝑎 = Σ𝑘 ∈ {0} ((𝑘(digit‘2)𝑎) · (2↑𝑘))))
7	1, 6	imbi12d 344	. . 3 ⊢ (𝑥 = 1 → (((#b‘𝑎) = 𝑥 → 𝑎 = Σ𝑘 ∈ (0..^𝑥)((𝑘(digit‘2)𝑎) · (2↑𝑘))) ↔ ((#b‘𝑎) = 1 → 𝑎 = Σ𝑘 ∈ {0} ((𝑘(digit‘2)𝑎) · (2↑𝑘)))))
8	7	ralbidv 3161	. 2 ⊢ (𝑥 = 1 → (∀𝑎 ∈ ℕ0 ((#b‘𝑎) = 𝑥 → 𝑎 = Σ𝑘 ∈ (0..^𝑥)((𝑘(digit‘2)𝑎) · (2↑𝑘))) ↔ ∀𝑎 ∈ ℕ0 ((#b‘𝑎) = 1 → 𝑎 = Σ𝑘 ∈ {0} ((𝑘(digit‘2)𝑎) · (2↑𝑘)))))
9		eqeq2 2749	. . . 4 ⊢ (𝑥 = 𝑦 → ((#b‘𝑎) = 𝑥 ↔ (#b‘𝑎) = 𝑦))
10		oveq2 7376	. . . . . 6 ⊢ (𝑥 = 𝑦 → (0..^𝑥) = (0..^𝑦))
11	10	sumeq1d 15635	. . . . 5 ⊢ (𝑥 = 𝑦 → Σ𝑘 ∈ (0..^𝑥)((𝑘(digit‘2)𝑎) · (2↑𝑘)) = Σ𝑘 ∈ (0..^𝑦)((𝑘(digit‘2)𝑎) · (2↑𝑘)))
12	11	eqeq2d 2748	. . . 4 ⊢ (𝑥 = 𝑦 → (𝑎 = Σ𝑘 ∈ (0..^𝑥)((𝑘(digit‘2)𝑎) · (2↑𝑘)) ↔ 𝑎 = Σ𝑘 ∈ (0..^𝑦)((𝑘(digit‘2)𝑎) · (2↑𝑘))))
13	9, 12	imbi12d 344	. . 3 ⊢ (𝑥 = 𝑦 → (((#b‘𝑎) = 𝑥 → 𝑎 = Σ𝑘 ∈ (0..^𝑥)((𝑘(digit‘2)𝑎) · (2↑𝑘))) ↔ ((#b‘𝑎) = 𝑦 → 𝑎 = Σ𝑘 ∈ (0..^𝑦)((𝑘(digit‘2)𝑎) · (2↑𝑘)))))
14	13	ralbidv 3161	. 2 ⊢ (𝑥 = 𝑦 → (∀𝑎 ∈ ℕ0 ((#b‘𝑎) = 𝑥 → 𝑎 = Σ𝑘 ∈ (0..^𝑥)((𝑘(digit‘2)𝑎) · (2↑𝑘))) ↔ ∀𝑎 ∈ ℕ0 ((#b‘𝑎) = 𝑦 → 𝑎 = Σ𝑘 ∈ (0..^𝑦)((𝑘(digit‘2)𝑎) · (2↑𝑘)))))
15		eqeq2 2749	. . . 4 ⊢ (𝑥 = (𝑦 + 1) → ((#b‘𝑎) = 𝑥 ↔ (#b‘𝑎) = (𝑦 + 1)))
16		oveq2 7376	. . . . . 6 ⊢ (𝑥 = (𝑦 + 1) → (0..^𝑥) = (0..^(𝑦 + 1)))
17	16	sumeq1d 15635	. . . . 5 ⊢ (𝑥 = (𝑦 + 1) → Σ𝑘 ∈ (0..^𝑥)((𝑘(digit‘2)𝑎) · (2↑𝑘)) = Σ𝑘 ∈ (0..^(𝑦 + 1))((𝑘(digit‘2)𝑎) · (2↑𝑘)))
18	17	eqeq2d 2748	. . . 4 ⊢ (𝑥 = (𝑦 + 1) → (𝑎 = Σ𝑘 ∈ (0..^𝑥)((𝑘(digit‘2)𝑎) · (2↑𝑘)) ↔ 𝑎 = Σ𝑘 ∈ (0..^(𝑦 + 1))((𝑘(digit‘2)𝑎) · (2↑𝑘))))
19	15, 18	imbi12d 344	. . 3 ⊢ (𝑥 = (𝑦 + 1) → (((#b‘𝑎) = 𝑥 → 𝑎 = Σ𝑘 ∈ (0..^𝑥)((𝑘(digit‘2)𝑎) · (2↑𝑘))) ↔ ((#b‘𝑎) = (𝑦 + 1) → 𝑎 = Σ𝑘 ∈ (0..^(𝑦 + 1))((𝑘(digit‘2)𝑎) · (2↑𝑘)))))
20	19	ralbidv 3161	. 2 ⊢ (𝑥 = (𝑦 + 1) → (∀𝑎 ∈ ℕ0 ((#b‘𝑎) = 𝑥 → 𝑎 = Σ𝑘 ∈ (0..^𝑥)((𝑘(digit‘2)𝑎) · (2↑𝑘))) ↔ ∀𝑎 ∈ ℕ0 ((#b‘𝑎) = (𝑦 + 1) → 𝑎 = Σ𝑘 ∈ (0..^(𝑦 + 1))((𝑘(digit‘2)𝑎) · (2↑𝑘)))))
21		eqeq2 2749	. . . 4 ⊢ (𝑥 = 𝐿 → ((#b‘𝑎) = 𝑥 ↔ (#b‘𝑎) = 𝐿))
22		oveq2 7376	. . . . . 6 ⊢ (𝑥 = 𝐿 → (0..^𝑥) = (0..^𝐿))
23	22	sumeq1d 15635	. . . . 5 ⊢ (𝑥 = 𝐿 → Σ𝑘 ∈ (0..^𝑥)((𝑘(digit‘2)𝑎) · (2↑𝑘)) = Σ𝑘 ∈ (0..^𝐿)((𝑘(digit‘2)𝑎) · (2↑𝑘)))
24	23	eqeq2d 2748	. . . 4 ⊢ (𝑥 = 𝐿 → (𝑎 = Σ𝑘 ∈ (0..^𝑥)((𝑘(digit‘2)𝑎) · (2↑𝑘)) ↔ 𝑎 = Σ𝑘 ∈ (0..^𝐿)((𝑘(digit‘2)𝑎) · (2↑𝑘))))
25	21, 24	imbi12d 344	. . 3 ⊢ (𝑥 = 𝐿 → (((#b‘𝑎) = 𝑥 → 𝑎 = Σ𝑘 ∈ (0..^𝑥)((𝑘(digit‘2)𝑎) · (2↑𝑘))) ↔ ((#b‘𝑎) = 𝐿 → 𝑎 = Σ𝑘 ∈ (0..^𝐿)((𝑘(digit‘2)𝑎) · (2↑𝑘)))))
26	25	ralbidv 3161	. 2 ⊢ (𝑥 = 𝐿 → (∀𝑎 ∈ ℕ0 ((#b‘𝑎) = 𝑥 → 𝑎 = Σ𝑘 ∈ (0..^𝑥)((𝑘(digit‘2)𝑎) · (2↑𝑘))) ↔ ∀𝑎 ∈ ℕ0 ((#b‘𝑎) = 𝐿 → 𝑎 = Σ𝑘 ∈ (0..^𝐿)((𝑘(digit‘2)𝑎) · (2↑𝑘)))))
27		0cnd 11137	. . . . . . . 8 ⊢ (𝑎 ∈ ℕ0 → 0 ∈ ℂ)
28		2nn 12230	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ 2 ∈ ℕ
29	28	a1i 11	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (𝑎 ∈ ℕ0 → 2 ∈ ℕ)
30		0zd 12512	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (𝑎 ∈ ℕ0 → 0 ∈ ℤ)
31		nn0rp0 13383	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (𝑎 ∈ ℕ0 → 𝑎 ∈ (0[,)+∞))
32		digvalnn0 48959	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ((2 ∈ ℕ ∧ 0 ∈ ℤ ∧ 𝑎 ∈ (0[,)+∞)) → (0(digit‘2)𝑎) ∈ ℕ0)
33	29, 30, 31, 32	syl3anc 1374	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝑎 ∈ ℕ0 → (0(digit‘2)𝑎) ∈ ℕ0)
34	33	nn0cnd 12476	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝑎 ∈ ℕ0 → (0(digit‘2)𝑎) ∈ ℂ)
35		1cnd 11139	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝑎 ∈ ℕ0 → 1 ∈ ℂ)
36	34, 35	mulcld 11164	. . . . . . . 8 ⊢ (𝑎 ∈ ℕ0 → ((0(digit‘2)𝑎) · 1) ∈ ℂ)
37	27, 36	jca 511	. . . . . . 7 ⊢ (𝑎 ∈ ℕ0 → (0 ∈ ℂ ∧ ((0(digit‘2)𝑎) · 1) ∈ ℂ))
38	37	adantr 480	. . . . . 6 ⊢ ((𝑎 ∈ ℕ0 ∧ (#b‘𝑎) = 1) → (0 ∈ ℂ ∧ ((0(digit‘2)𝑎) · 1) ∈ ℂ))
39		oveq1 7375	. . . . . . . 8 ⊢ (𝑘 = 0 → (𝑘(digit‘2)𝑎) = (0(digit‘2)𝑎))
40		oveq2 7376	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝑘 = 0 → (2↑𝑘) = (2↑0))
41		2cn 12232	. . . . . . . . . 10 ⊢ 2 ∈ ℂ
42		exp0 14000	. . . . . . . . . 10 ⊢ (2 ∈ ℂ → (2↑0) = 1)
43	41, 42	ax-mp 5	. . . . . . . . 9 ⊢ (2↑0) = 1
44	40, 43	eqtrdi 2788	. . . . . . . 8 ⊢ (𝑘 = 0 → (2↑𝑘) = 1)
45	39, 44	oveq12d 7386	. . . . . . 7 ⊢ (𝑘 = 0 → ((𝑘(digit‘2)𝑎) · (2↑𝑘)) = ((0(digit‘2)𝑎) · 1))
46	45	sumsn 15681	. . . . . 6 ⊢ ((0 ∈ ℂ ∧ ((0(digit‘2)𝑎) · 1) ∈ ℂ) → Σ𝑘 ∈ {0} ((𝑘(digit‘2)𝑎) · (2↑𝑘)) = ((0(digit‘2)𝑎) · 1))
47	38, 46	syl 17	. . . . 5 ⊢ ((𝑎 ∈ ℕ0 ∧ (#b‘𝑎) = 1) → Σ𝑘 ∈ {0} ((𝑘(digit‘2)𝑎) · (2↑𝑘)) = ((0(digit‘2)𝑎) · 1))
48	34	adantr 480	. . . . . 6 ⊢ ((𝑎 ∈ ℕ0 ∧ (#b‘𝑎) = 1) → (0(digit‘2)𝑎) ∈ ℂ)
49	48	mulridd 11161	. . . . 5 ⊢ ((𝑎 ∈ ℕ0 ∧ (#b‘𝑎) = 1) → ((0(digit‘2)𝑎) · 1) = (0(digit‘2)𝑎))
50		blen1b 48948	. . . . . . . 8 ⊢ (𝑎 ∈ ℕ0 → ((#b‘𝑎) = 1 ↔ (𝑎 = 0 ∨ 𝑎 = 1)))
51	50	biimpa 476	. . . . . . 7 ⊢ ((𝑎 ∈ ℕ0 ∧ (#b‘𝑎) = 1) → (𝑎 = 0 ∨ 𝑎 = 1))
52		vex 3446	. . . . . . . 8 ⊢ 𝑎 ∈ V
53	52	elpr 4607	. . . . . . 7 ⊢ (𝑎 ∈ {0, 1} ↔ (𝑎 = 0 ∨ 𝑎 = 1))
54	51, 53	sylibr 234	. . . . . 6 ⊢ ((𝑎 ∈ ℕ0 ∧ (#b‘𝑎) = 1) → 𝑎 ∈ {0, 1})
55		0dig2pr01 48970	. . . . . 6 ⊢ (𝑎 ∈ {0, 1} → (0(digit‘2)𝑎) = 𝑎)
56	54, 55	syl 17	. . . . 5 ⊢ ((𝑎 ∈ ℕ0 ∧ (#b‘𝑎) = 1) → (0(digit‘2)𝑎) = 𝑎)
57	47, 49, 56	3eqtrrd 2777	. . . 4 ⊢ ((𝑎 ∈ ℕ0 ∧ (#b‘𝑎) = 1) → 𝑎 = Σ𝑘 ∈ {0} ((𝑘(digit‘2)𝑎) · (2↑𝑘)))
58	57	ex 412	. . 3 ⊢ (𝑎 ∈ ℕ0 → ((#b‘𝑎) = 1 → 𝑎 = Σ𝑘 ∈ {0} ((𝑘(digit‘2)𝑎) · (2↑𝑘))))
59	58	rgen 3054	. 2 ⊢ ∀𝑎 ∈ ℕ0 ((#b‘𝑎) = 1 → 𝑎 = Σ𝑘 ∈ {0} ((𝑘(digit‘2)𝑎) · (2↑𝑘)))
60		nn0sumshdiglem1 48981	. 2 ⊢ (𝑦 ∈ ℕ → (∀𝑎 ∈ ℕ0 ((#b‘𝑎) = 𝑦 → 𝑎 = Σ𝑘 ∈ (0..^𝑦)((𝑘(digit‘2)𝑎) · (2↑𝑘))) → ∀𝑎 ∈ ℕ0 ((#b‘𝑎) = (𝑦 + 1) → 𝑎 = Σ𝑘 ∈ (0..^(𝑦 + 1))((𝑘(digit‘2)𝑎) · (2↑𝑘)))))
61	8, 14, 20, 26, 59, 60	nnind 12175	1 ⊢ (𝐿 ∈ ℕ → ∀𝑎 ∈ ℕ0 ((#b‘𝑎) = 𝐿 → 𝑎 = Σ𝑘 ∈ (0..^𝐿)((𝑘(digit‘2)𝑎) · (2↑𝑘))))

Syntax hints:   → wi 4   ∧ wa 395   ∨ wo 848   = wceq 1542   ∈ wcel 2114  ∀wral 3052  {csn 4582  {cpr 4584  ‘cfv 6500  (class class class)co 7368  ℂcc 11036  0cc0 11038  1c1 11039   + caddc 11041   · cmul 11043  +∞cpnf 11175  ℕcn 12157  2c2 12212  ℕ₀cn0 12413  ℤcz 12500  [,)cico 13275  ..^cfzo 13582  ↑cexp 13996  Σcsu 15621  #_bcblen 48929  digitcdig 48955

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1797  ax-4 1811  ax-5 1912  ax-6 1969  ax-7 2010  ax-8 2116  ax-9 2124  ax-10 2147  ax-11 2163  ax-12 2185  ax-ext 2709  ax-rep 5226  ax-sep 5243  ax-nul 5253  ax-pow 5312  ax-pr 5379  ax-un 7690  ax-inf2 9562  ax-cnex 11094  ax-resscn 11095  ax-1cn 11096  ax-icn 11097  ax-addcl 11098  ax-addrcl 11099  ax-mulcl 11100  ax-mulrcl 11101  ax-mulcom 11102  ax-addass 11103  ax-mulass 11104  ax-distr 11105  ax-i2m1 11106  ax-1ne0 11107  ax-1rid 11108  ax-rnegex 11109  ax-rrecex 11110  ax-cnre 11111  ax-pre-lttri 11112  ax-pre-lttrn 11113  ax-pre-ltadd 11114  ax-pre-mulgt0 11115  ax-pre-sup 11116  ax-addf 11117

This theorem depends on definitions:  df-bi 207  df-an 396  df-or 849  df-3or 1088  df-3an 1089  df-tru 1545  df-fal 1555  df-ex 1782  df-nf 1786  df-sb 2069  df-mo 2540  df-eu 2570  df-clab 2716  df-cleq 2729  df-clel 2812  df-nfc 2886  df-ne 2934  df-nel 3038  df-ral 3053  df-rex 3063  df-rmo 3352  df-reu 3353  df-rab 3402  df-v 3444  df-sbc 3743  df-csb 3852  df-dif 3906  df-un 3908  df-in 3910  df-ss 3920  df-pss 3923  df-nul 4288  df-if 4482  df-pw 4558  df-sn 4583  df-pr 4585  df-tp 4587  df-op 4589  df-uni 4866  df-int 4905  df-iun 4950  df-iin 4951  df-br 5101  df-opab 5163  df-mpt 5182  df-tr 5208  df-id 5527  df-eprel 5532  df-po 5540  df-so 5541  df-fr 5585  df-se 5586  df-we 5587  df-xp 5638  df-rel 5639  df-cnv 5640  df-co 5641  df-dm 5642  df-rn 5643  df-res 5644  df-ima 5645  df-pred 6267  df-ord 6328  df-on 6329  df-lim 6330  df-suc 6331  df-iota 6456  df-fun 6502  df-fn 6503  df-f 6504  df-f1 6505  df-fo 6506  df-f1o 6507  df-fv 6508  df-isom 6509  df-riota 7325  df-ov 7371  df-oprab 7372  df-mpo 7373  df-of 7632  df-om 7819  df-1st 7943  df-2nd 7944  df-supp 8113  df-frecs 8233  df-wrecs 8264  df-recs 8313  df-rdg 8351  df-1o 8407  df-2o 8408  df-er 8645  df-map 8777  df-pm 8778  df-ixp 8848  df-en 8896  df-dom 8897  df-sdom 8898  df-fin 8899  df-fsupp 9277  df-fi 9326  df-sup 9357  df-inf 9358  df-oi 9427  df-card 9863  df-pnf 11180  df-mnf 11181  df-xr 11182  df-ltxr 11183  df-le 11184  df-sub 11378  df-neg 11379  df-div 11807  df-nn 12158  df-2 12220  df-3 12221  df-4 12222  df-5 12223  df-6 12224  df-7 12225  df-8 12226  df-9 12227  df-n0 12414  df-z 12501  df-dec 12620  df-uz 12764  df-q 12874  df-rp 12918  df-xneg 13038  df-xadd 13039  df-xmul 13040  df-ioo 13277  df-ioc 13278  df-ico 13279  df-icc 13280  df-fz 13436  df-fzo 13583  df-fl 13724  df-mod 13802  df-seq 13937  df-exp 13997  df-fac 14209  df-bc 14238  df-hash 14266  df-shft 15002  df-cj 15034  df-re 15035  df-im 15036  df-sqrt 15170  df-abs 15171  df-limsup 15406  df-clim 15423  df-rlim 15424  df-sum 15622  df-ef 16002  df-sin 16004  df-cos 16005  df-pi 16007  df-dvds 16192  df-struct 17086  df-sets 17103  df-slot 17121  df-ndx 17133  df-base 17149  df-ress 17170  df-plusg 17202  df-mulr 17203  df-starv 17204  df-sca 17205  df-vsca 17206  df-ip 17207  df-tset 17208  df-ple 17209  df-ds 17211  df-unif 17212  df-hom 17213  df-cco 17214  df-rest 17354  df-topn 17355  df-0g 17373  df-gsum 17374  df-topgen 17375  df-pt 17376  df-prds 17379  df-xrs 17435  df-qtop 17440  df-imas 17441  df-xps 17443  df-mre 17517  df-mrc 17518  df-acs 17520  df-mgm 18577  df-sgrp 18656  df-mnd 18672  df-submnd 18721  df-mulg 19010  df-cntz 19258  df-cmn 19723  df-psmet 21313  df-xmet 21314  df-met 21315  df-bl 21316  df-mopn 21317  df-fbas 21318  df-fg 21319  df-cnfld 21322  df-top 22850  df-topon 22867  df-topsp 22889  df-bases 22902  df-cld 22975  df-ntr 22976  df-cls 22977  df-nei 23054  df-lp 23092  df-perf 23093  df-cn 23183  df-cnp 23184  df-haus 23271  df-tx 23518  df-hmeo 23711  df-fil 23802  df-fm 23894  df-flim 23895  df-flf 23896  df-xms 24276  df-ms 24277  df-tms 24278  df-cncf 24839  df-limc 25835  df-dv 25836  df-log 26533  df-cxp 26534  df-logb 26743  df-blen 48930  df-dig 48956

This theorem is referenced by:  nn0sumshdig  48983