Users' Mathboxes Mathbox for Alexander van der Vekens < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >   Mathboxes  >  nn0sumshdiglem2 Structured version   Visualization version   GIF version
Theorem nn0sumshdiglem2 47496
Description: Lemma 2 for nn0sumshdig 47497. (Contributed by AV, 7-Jun-2020.)
Assertion
Ref Expression
nn0sumshdiglem2 (𝐿 ∈ β„• β†’ βˆ€π‘Ž ∈ β„•0 ((#bβ€˜π‘Ž) = 𝐿 β†’ π‘Ž = Ξ£π‘˜ ∈ (0..^𝐿)((π‘˜(digitβ€˜2)π‘Ž) Β· (2β†‘π‘˜))))
Distinct variable group:   π‘˜,π‘Ž,𝐿
Proof of Theorem nn0sumshdiglem2
Dummy variables π‘₯ 𝑦 are mutually distinct and distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 eqeq2 2736 . . . 4 (π‘₯ = 1 β†’ ((#bβ€˜π‘Ž) = π‘₯ ↔ (#bβ€˜π‘Ž) = 1))
2 oveq2 7409 . . . . . . 7 (π‘₯ = 1 β†’ (0..^π‘₯) = (0..^1))
3 fzo01 13711 . . . . . . 7 (0..^1) = {0}
42, 3eqtrdi 2780 . . . . . 6 (π‘₯ = 1 β†’ (0..^π‘₯) = {0})
54sumeq1d 15644 . . . . 5 (π‘₯ = 1 β†’ Ξ£π‘˜ ∈ (0..^π‘₯)((π‘˜(digitβ€˜2)π‘Ž) Β· (2β†‘π‘˜)) = Ξ£π‘˜ ∈ {0} ((π‘˜(digitβ€˜2)π‘Ž) Β· (2β†‘π‘˜)))
65eqeq2d 2735 . . . 4 (π‘₯ = 1 β†’ (π‘Ž = Ξ£π‘˜ ∈ (0..^π‘₯)((π‘˜(digitβ€˜2)π‘Ž) Β· (2β†‘π‘˜)) ↔ π‘Ž = Ξ£π‘˜ ∈ {0} ((π‘˜(digitβ€˜2)π‘Ž) Β· (2β†‘π‘˜))))
71, 6imbi12d 344 . . 3 (π‘₯ = 1 β†’ (((#bβ€˜π‘Ž) = π‘₯ β†’ π‘Ž = Ξ£π‘˜ ∈ (0..^π‘₯)((π‘˜(digitβ€˜2)π‘Ž) Β· (2β†‘π‘˜))) ↔ ((#bβ€˜π‘Ž) = 1 β†’ π‘Ž = Ξ£π‘˜ ∈ {0} ((π‘˜(digitβ€˜2)π‘Ž) Β· (2β†‘π‘˜)))))
87ralbidv 3169 . 2 (π‘₯ = 1 β†’ (βˆ€π‘Ž ∈ β„•0 ((#bβ€˜π‘Ž) = π‘₯ β†’ π‘Ž = Ξ£π‘˜ ∈ (0..^π‘₯)((π‘˜(digitβ€˜2)π‘Ž) Β· (2β†‘π‘˜))) ↔ βˆ€π‘Ž ∈ β„•0 ((#bβ€˜π‘Ž) = 1 β†’ π‘Ž = Ξ£π‘˜ ∈ {0} ((π‘˜(digitβ€˜2)π‘Ž) Β· (2β†‘π‘˜)))))
9 eqeq2 2736 . . . 4 (π‘₯ = 𝑦 β†’ ((#bβ€˜π‘Ž) = π‘₯ ↔ (#bβ€˜π‘Ž) = 𝑦))
10 oveq2 7409 . . . . . 6 (π‘₯ = 𝑦 β†’ (0..^π‘₯) = (0..^𝑦))
1110sumeq1d 15644 . . . . 5 (π‘₯ = 𝑦 β†’ Ξ£π‘˜ ∈ (0..^π‘₯)((π‘˜(digitβ€˜2)π‘Ž) Β· (2β†‘π‘˜)) = Ξ£π‘˜ ∈ (0..^𝑦)((π‘˜(digitβ€˜2)π‘Ž) Β· (2β†‘π‘˜)))
1211eqeq2d 2735 . . . 4 (π‘₯ = 𝑦 β†’ (π‘Ž = Ξ£π‘˜ ∈ (0..^π‘₯)((π‘˜(digitβ€˜2)π‘Ž) Β· (2β†‘π‘˜)) ↔ π‘Ž = Ξ£π‘˜ ∈ (0..^𝑦)((π‘˜(digitβ€˜2)π‘Ž) Β· (2β†‘π‘˜))))
139, 12imbi12d 344 . . 3 (π‘₯ = 𝑦 β†’ (((#bβ€˜π‘Ž) = π‘₯ β†’ π‘Ž = Ξ£π‘˜ ∈ (0..^π‘₯)((π‘˜(digitβ€˜2)π‘Ž) Β· (2β†‘π‘˜))) ↔ ((#bβ€˜π‘Ž) = 𝑦 β†’ π‘Ž = Ξ£π‘˜ ∈ (0..^𝑦)((π‘˜(digitβ€˜2)π‘Ž) Β· (2β†‘π‘˜)))))
1413ralbidv 3169 . 2 (π‘₯ = 𝑦 β†’ (βˆ€π‘Ž ∈ β„•0 ((#bβ€˜π‘Ž) = π‘₯ β†’ π‘Ž = Ξ£π‘˜ ∈ (0..^π‘₯)((π‘˜(digitβ€˜2)π‘Ž) Β· (2β†‘π‘˜))) ↔ βˆ€π‘Ž ∈ β„•0 ((#bβ€˜π‘Ž) = 𝑦 β†’ π‘Ž = Ξ£π‘˜ ∈ (0..^𝑦)((π‘˜(digitβ€˜2)π‘Ž) Β· (2β†‘π‘˜)))))
15 eqeq2 2736 . . . 4 (π‘₯ = (𝑦 + 1) β†’ ((#bβ€˜π‘Ž) = π‘₯ ↔ (#bβ€˜π‘Ž) = (𝑦 + 1)))
16 oveq2 7409 . . . . . 6 (π‘₯ = (𝑦 + 1) β†’ (0..^π‘₯) = (0..^(𝑦 + 1)))
1716sumeq1d 15644 . . . . 5 (π‘₯ = (𝑦 + 1) β†’ Ξ£π‘˜ ∈ (0..^π‘₯)((π‘˜(digitβ€˜2)π‘Ž) Β· (2β†‘π‘˜)) = Ξ£π‘˜ ∈ (0..^(𝑦 + 1))((π‘˜(digitβ€˜2)π‘Ž) Β· (2β†‘π‘˜)))
1817eqeq2d 2735 . . . 4 (π‘₯ = (𝑦 + 1) β†’ (π‘Ž = Ξ£π‘˜ ∈ (0..^π‘₯)((π‘˜(digitβ€˜2)π‘Ž) Β· (2β†‘π‘˜)) ↔ π‘Ž = Ξ£π‘˜ ∈ (0..^(𝑦 + 1))((π‘˜(digitβ€˜2)π‘Ž) Β· (2β†‘π‘˜))))
1915, 18imbi12d 344 . . 3 (π‘₯ = (𝑦 + 1) β†’ (((#bβ€˜π‘Ž) = π‘₯ β†’ π‘Ž = Ξ£π‘˜ ∈ (0..^π‘₯)((π‘˜(digitβ€˜2)π‘Ž) Β· (2β†‘π‘˜))) ↔ ((#bβ€˜π‘Ž) = (𝑦 + 1) β†’ π‘Ž = Ξ£π‘˜ ∈ (0..^(𝑦 + 1))((π‘˜(digitβ€˜2)π‘Ž) Β· (2β†‘π‘˜)))))
2019ralbidv 3169 . 2 (π‘₯ = (𝑦 + 1) β†’ (βˆ€π‘Ž ∈ β„•0 ((#bβ€˜π‘Ž) = π‘₯ β†’ π‘Ž = Ξ£π‘˜ ∈ (0..^π‘₯)((π‘˜(digitβ€˜2)π‘Ž) Β· (2β†‘π‘˜))) ↔ βˆ€π‘Ž ∈ β„•0 ((#bβ€˜π‘Ž) = (𝑦 + 1) β†’ π‘Ž = Ξ£π‘˜ ∈ (0..^(𝑦 + 1))((π‘˜(digitβ€˜2)π‘Ž) Β· (2β†‘π‘˜)))))
21 eqeq2 2736 . . . 4 (π‘₯ = 𝐿 β†’ ((#bβ€˜π‘Ž) = π‘₯ ↔ (#bβ€˜π‘Ž) = 𝐿))
22 oveq2 7409 . . . . . 6 (π‘₯ = 𝐿 β†’ (0..^π‘₯) = (0..^𝐿))
2322sumeq1d 15644 . . . . 5 (π‘₯ = 𝐿 β†’ Ξ£π‘˜ ∈ (0..^π‘₯)((π‘˜(digitβ€˜2)π‘Ž) Β· (2β†‘π‘˜)) = Ξ£π‘˜ ∈ (0..^𝐿)((π‘˜(digitβ€˜2)π‘Ž) Β· (2β†‘π‘˜)))
2423eqeq2d 2735 . . . 4 (π‘₯ = 𝐿 β†’ (π‘Ž = Ξ£π‘˜ ∈ (0..^π‘₯)((π‘˜(digitβ€˜2)π‘Ž) Β· (2β†‘π‘˜)) ↔ π‘Ž = Ξ£π‘˜ ∈ (0..^𝐿)((π‘˜(digitβ€˜2)π‘Ž) Β· (2β†‘π‘˜))))
2521, 24imbi12d 344 . . 3 (π‘₯ = 𝐿 β†’ (((#bβ€˜π‘Ž) = π‘₯ β†’ π‘Ž = Ξ£π‘˜ ∈ (0..^π‘₯)((π‘˜(digitβ€˜2)π‘Ž) Β· (2β†‘π‘˜))) ↔ ((#bβ€˜π‘Ž) = 𝐿 β†’ π‘Ž = Ξ£π‘˜ ∈ (0..^𝐿)((π‘˜(digitβ€˜2)π‘Ž) Β· (2β†‘π‘˜)))))
2625ralbidv 3169 . 2 (π‘₯ = 𝐿 β†’ (βˆ€π‘Ž ∈ β„•0 ((#bβ€˜π‘Ž) = π‘₯ β†’ π‘Ž = Ξ£π‘˜ ∈ (0..^π‘₯)((π‘˜(digitβ€˜2)π‘Ž) Β· (2β†‘π‘˜))) ↔ βˆ€π‘Ž ∈ β„•0 ((#bβ€˜π‘Ž) = 𝐿 β†’ π‘Ž = Ξ£π‘˜ ∈ (0..^𝐿)((π‘˜(digitβ€˜2)π‘Ž) Β· (2β†‘π‘˜)))))
27 0cnd 11204 . . . . . . . 8 (π‘Ž ∈ β„•0 β†’ 0 ∈ β„‚)
28 2nn 12282 . . . . . . . . . . . 12 2 ∈ β„•
2928a1i 11 . . . . . . . . . . 11 (π‘Ž ∈ β„•0 β†’ 2 ∈ β„•)
30 0zd 12567 . . . . . . . . . . 11 (π‘Ž ∈ β„•0 β†’ 0 ∈ β„€)
31 nn0rp0 13429 . . . . . . . . . . 11 (π‘Ž ∈ β„•0 β†’ π‘Ž ∈ (0[,)+∞))
32 digvalnn0 47473 . . . . . . . . . . 11 ((2 ∈ β„• ∧ 0 ∈ β„€ ∧ π‘Ž ∈ (0[,)+∞)) β†’ (0(digitβ€˜2)π‘Ž) ∈ β„•0)
3329, 30, 31, 32syl3anc 1368 . . . . . . . . . 10 (π‘Ž ∈ β„•0 β†’ (0(digitβ€˜2)π‘Ž) ∈ β„•0)
3433nn0cnd 12531 . . . . . . . . 9 (π‘Ž ∈ β„•0 β†’ (0(digitβ€˜2)π‘Ž) ∈ β„‚)
35 1cnd 11206 . . . . . . . . 9 (π‘Ž ∈ β„•0 β†’ 1 ∈ β„‚)
3634, 35mulcld 11231 . . . . . . . 8 (π‘Ž ∈ β„•0 β†’ ((0(digitβ€˜2)π‘Ž) Β· 1) ∈ β„‚)
3727, 36jca 511 . . . . . . 7 (π‘Ž ∈ β„•0 β†’ (0 ∈ β„‚ ∧ ((0(digitβ€˜2)π‘Ž) Β· 1) ∈ β„‚))
3837adantr 480 . . . . . 6 ((π‘Ž ∈ β„•0 ∧ (#bβ€˜π‘Ž) = 1) β†’ (0 ∈ β„‚ ∧ ((0(digitβ€˜2)π‘Ž) Β· 1) ∈ β„‚))
39 oveq1 7408 . . . . . . . 8 (π‘˜ = 0 β†’ (π‘˜(digitβ€˜2)π‘Ž) = (0(digitβ€˜2)π‘Ž))
40 oveq2 7409 . . . . . . . . 9 (π‘˜ = 0 β†’ (2β†‘π‘˜) = (2↑0))
41 2cn 12284 . . . . . . . . . 10 2 ∈ β„‚
42 exp0 14028 . . . . . . . . . 10 (2 ∈ β„‚ β†’ (2↑0) = 1)
4341, 42ax-mp 5 . . . . . . . . 9 (2↑0) = 1
4440, 43eqtrdi 2780 . . . . . . . 8 (π‘˜ = 0 β†’ (2β†‘π‘˜) = 1)
4539, 44oveq12d 7419 . . . . . . 7 (π‘˜ = 0 β†’ ((π‘˜(digitβ€˜2)π‘Ž) Β· (2β†‘π‘˜)) = ((0(digitβ€˜2)π‘Ž) Β· 1))
4645sumsn 15689 . . . . . 6 ((0 ∈ β„‚ ∧ ((0(digitβ€˜2)π‘Ž) Β· 1) ∈ β„‚) β†’ Ξ£π‘˜ ∈ {0} ((π‘˜(digitβ€˜2)π‘Ž) Β· (2β†‘π‘˜)) = ((0(digitβ€˜2)π‘Ž) Β· 1))
4738, 46syl 17 . . . . 5 ((π‘Ž ∈ β„•0 ∧ (#bβ€˜π‘Ž) = 1) β†’ Ξ£π‘˜ ∈ {0} ((π‘˜(digitβ€˜2)π‘Ž) Β· (2β†‘π‘˜)) = ((0(digitβ€˜2)π‘Ž) Β· 1))
4834adantr 480 . . . . . 6 ((π‘Ž ∈ β„•0 ∧ (#bβ€˜π‘Ž) = 1) β†’ (0(digitβ€˜2)π‘Ž) ∈ β„‚)
4948mulridd 11228 . . . . 5 ((π‘Ž ∈ β„•0 ∧ (#bβ€˜π‘Ž) = 1) β†’ ((0(digitβ€˜2)π‘Ž) Β· 1) = (0(digitβ€˜2)π‘Ž))
50 blen1b 47462 . . . . . . . 8 (π‘Ž ∈ β„•0 β†’ ((#bβ€˜π‘Ž) = 1 ↔ (π‘Ž = 0 ∨ π‘Ž = 1)))
5150biimpa 476 . . . . . . 7 ((π‘Ž ∈ β„•0 ∧ (#bβ€˜π‘Ž) = 1) β†’ (π‘Ž = 0 ∨ π‘Ž = 1))
52 vex 3470 . . . . . . . 8 π‘Ž ∈ V
5352elpr 4643 . . . . . . 7 (π‘Ž ∈ {0, 1} ↔ (π‘Ž = 0 ∨ π‘Ž = 1))
5451, 53sylibr 233 . . . . . 6 ((π‘Ž ∈ β„•0 ∧ (#bβ€˜π‘Ž) = 1) β†’ π‘Ž ∈ {0, 1})
55 0dig2pr01 47484 . . . . . 6 (π‘Ž ∈ {0, 1} β†’ (0(digitβ€˜2)π‘Ž) = π‘Ž)
5654, 55syl 17 . . . . 5 ((π‘Ž ∈ β„•0 ∧ (#bβ€˜π‘Ž) = 1) β†’ (0(digitβ€˜2)π‘Ž) = π‘Ž)
5747, 49, 563eqtrrd 2769 . . . 4 ((π‘Ž ∈ β„•0 ∧ (#bβ€˜π‘Ž) = 1) β†’ π‘Ž = Ξ£π‘˜ ∈ {0} ((π‘˜(digitβ€˜2)π‘Ž) Β· (2β†‘π‘˜)))
5857ex 412 . . 3 (π‘Ž ∈ β„•0 β†’ ((#bβ€˜π‘Ž) = 1 β†’ π‘Ž = Ξ£π‘˜ ∈ {0} ((π‘˜(digitβ€˜2)π‘Ž) Β· (2β†‘π‘˜))))
5958rgen 3055 . 2 βˆ€π‘Ž ∈ β„•0 ((#bβ€˜π‘Ž) = 1 β†’ π‘Ž = Ξ£π‘˜ ∈ {0} ((π‘˜(digitβ€˜2)π‘Ž) Β· (2β†‘π‘˜)))
60 nn0sumshdiglem1 47495 . 2 (𝑦 ∈ β„• β†’ (βˆ€π‘Ž ∈ β„•0 ((#bβ€˜π‘Ž) = 𝑦 β†’ π‘Ž = Ξ£π‘˜ ∈ (0..^𝑦)((π‘˜(digitβ€˜2)π‘Ž) Β· (2β†‘π‘˜))) β†’ βˆ€π‘Ž ∈ β„•0 ((#bβ€˜π‘Ž) = (𝑦 + 1) β†’ π‘Ž = Ξ£π‘˜ ∈ (0..^(𝑦 + 1))((π‘˜(digitβ€˜2)π‘Ž) Β· (2β†‘π‘˜)))))
618, 14, 20, 26, 59, 60nnind 12227 1 (𝐿 ∈ β„• β†’ βˆ€π‘Ž ∈ β„•0 ((#bβ€˜π‘Ž) = 𝐿 β†’ π‘Ž = Ξ£π‘˜ ∈ (0..^𝐿)((π‘˜(digitβ€˜2)π‘Ž) Β· (2β†‘π‘˜))))
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:   β†’ wi 4   ∧ wa 395   ∨ wo 844   = wceq 1533   ∈ wcel 2098  βˆ€wral 3053  {csn 4620  {cpr 4622  β€˜cfv 6533  (class class class)co 7401  β„‚cc 11104  0cc0 11106  1c1 11107   + caddc 11109   Β· cmul 11111  +∞cpnf 11242  β„•cn 12209  2c2 12264  β„•0cn0 12469  β„€cz 12555  [,)cico 13323  ..^cfzo 13624  β†‘cexp 14024  Ξ£csu 15629  #bcblen 47443  digitcdig 47469
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1789  ax-4 1803  ax-5 1905  ax-6 1963  ax-7 2003  ax-8 2100  ax-9 2108  ax-10 2129  ax-11 2146  ax-12 2163  ax-ext 2695  ax-rep 5275  ax-sep 5289  ax-nul 5296  ax-pow 5353  ax-pr 5417  ax-un 7718  ax-inf2 9632  ax-cnex 11162  ax-resscn 11163  ax-1cn 11164  ax-icn 11165  ax-addcl 11166  ax-addrcl 11167  ax-mulcl 11168  ax-mulrcl 11169  ax-mulcom 11170  ax-addass 11171  ax-mulass 11172  ax-distr 11173  ax-i2m1 11174  ax-1ne0 11175  ax-1rid 11176  ax-rnegex 11177  ax-rrecex 11178  ax-cnre 11179  ax-pre-lttri 11180  ax-pre-lttrn 11181  ax-pre-ltadd 11182  ax-pre-mulgt0 11183  ax-pre-sup 11184  ax-addf 11185
This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 396  df-or 845  df-3or 1085  df-3an 1086  df-tru 1536  df-fal 1546  df-ex 1774  df-nf 1778  df-sb 2060  df-mo 2526  df-eu 2555  df-clab 2702  df-cleq 2716  df-clel 2802  df-nfc 2877  df-ne 2933  df-nel 3039  df-ral 3054  df-rex 3063  df-rmo 3368  df-reu 3369  df-rab 3425  df-v 3468  df-sbc 3770  df-csb 3886  df-dif 3943  df-un 3945  df-in 3947  df-ss 3957  df-pss 3959  df-nul 4315  df-if 4521  df-pw 4596  df-sn 4621  df-pr 4623  df-tp 4625  df-op 4627  df-uni 4900  df-int 4941  df-iun 4989  df-iin 4990  df-br 5139  df-opab 5201  df-mpt 5222  df-tr 5256  df-id 5564  df-eprel 5570  df-po 5578  df-so 5579  df-fr 5621  df-se 5622  df-we 5623  df-xp 5672  df-rel 5673  df-cnv 5674  df-co 5675  df-dm 5676  df-rn 5677  df-res 5678  df-ima 5679  df-pred 6290  df-ord 6357  df-on 6358  df-lim 6359  df-suc 6360  df-iota 6485  df-fun 6535  df-fn 6536  df-f 6537  df-f1 6538  df-fo 6539  df-f1o 6540  df-fv 6541  df-isom 6542  df-riota 7357  df-ov 7404  df-oprab 7405  df-mpo 7406  df-of 7663  df-om 7849  df-1st 7968  df-2nd 7969  df-supp 8141  df-frecs 8261  df-wrecs 8292  df-recs 8366  df-rdg 8405  df-1o 8461  df-2o 8462  df-er 8699  df-map 8818  df-pm 8819  df-ixp 8888  df-en 8936  df-dom 8937  df-sdom 8938  df-fin 8939  df-fsupp 9358  df-fi 9402  df-sup 9433  df-inf 9434  df-oi 9501  df-card 9930  df-pnf 11247  df-mnf 11248  df-xr 11249  df-ltxr 11250  df-le 11251  df-sub 11443  df-neg 11444  df-div 11869  df-nn 12210  df-2 12272  df-3 12273  df-4 12274  df-5 12275  df-6 12276  df-7 12277  df-8 12278  df-9 12279  df-n0 12470  df-z 12556  df-dec 12675  df-uz 12820  df-q 12930  df-rp 12972  df-xneg 13089  df-xadd 13090  df-xmul 13091  df-ioo 13325  df-ioc 13326  df-ico 13327  df-icc 13328  df-fz 13482  df-fzo 13625  df-fl 13754  df-mod 13832  df-seq 13964  df-exp 14025  df-fac 14231  df-bc 14260  df-hash 14288  df-shft 15011  df-cj 15043  df-re 15044  df-im 15045  df-sqrt 15179  df-abs 15180  df-limsup 15412  df-clim 15429  df-rlim 15430  df-sum 15630  df-ef 16008  df-sin 16010  df-cos 16011  df-pi 16013  df-dvds 16195  df-struct 17079  df-sets 17096  df-slot 17114  df-ndx 17126  df-base 17144  df-ress 17173  df-plusg 17209  df-mulr 17210  df-starv 17211  df-sca 17212  df-vsca 17213  df-ip 17214  df-tset 17215  df-ple 17216  df-ds 17218  df-unif 17219  df-hom 17220  df-cco 17221  df-rest 17367  df-topn 17368  df-0g 17386  df-gsum 17387  df-topgen 17388  df-pt 17389  df-prds 17392  df-xrs 17447  df-qtop 17452  df-imas 17453  df-xps 17455  df-mre 17529  df-mrc 17530  df-acs 17532  df-mgm 18563  df-sgrp 18642  df-mnd 18658  df-submnd 18704  df-mulg 18986  df-cntz 19223  df-cmn 19692  df-psmet 21220  df-xmet 21221  df-met 21222  df-bl 21223  df-mopn 21224  df-fbas 21225  df-fg 21226  df-cnfld 21229  df-top 22718  df-topon 22735  df-topsp 22757  df-bases 22771  df-cld 22845  df-ntr 22846  df-cls 22847  df-nei 22924  df-lp 22962  df-perf 22963  df-cn 23053  df-cnp 23054  df-haus 23141  df-tx 23388  df-hmeo 23581  df-fil 23672  df-fm 23764  df-flim 23765  df-flf 23766  df-xms 24148  df-ms 24149  df-tms 24150  df-cncf 24720  df-limc 25717  df-dv 25718  df-log 26407  df-cxp 26408  df-logb 26613  df-blen 47444  df-dig 47470
This theorem is referenced by:  nn0sumshdig  47497
  Copyright terms: Public domain W3C validator