Theorem nn0sumshdiglem2 49282

Description: Lemma 2 for nn0sumshdig 49283. (Contributed by AV, 7-Jun-2020.)

Assertion

Ref	Expression
nn0sumshdiglem2	⊢ (𝐿 ∈ ℕ → ∀𝑎 ∈ ℕ0 ((#b‘𝑎) = 𝐿 → 𝑎 = Σ𝑘 ∈ (0..^𝐿)((𝑘(digit‘2)𝑎) · (2↑𝑘))))

Distinct variable group:   𝑘,𝑎,𝐿

Proof of Theorem nn0sumshdiglem2

Dummy variables 𝑥 𝑦 are mutually distinct and distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		eqeq2 2781	. . . 4 ⊢ (𝑥 = 1 → ((#b‘𝑎) = 𝑥 ↔ (#b‘𝑎) = 1))
2		oveq2 7416	. . . . . . 7 ⊢ (𝑥 = 1 → (0..^𝑥) = (0..^1))
3		fzo01 13772	. . . . . . 7 ⊢ (0..^1) = {0}
4	2, 3	eqtrdi 2820	. . . . . 6 ⊢ (𝑥 = 1 → (0..^𝑥) = {0})
5	4	sumeq1d 15747	. . . . 5 ⊢ (𝑥 = 1 → Σ𝑘 ∈ (0..^𝑥)((𝑘(digit‘2)𝑎) · (2↑𝑘)) = Σ𝑘 ∈ {0} ((𝑘(digit‘2)𝑎) · (2↑𝑘)))
6	5	eqeq2d 2780	. . . 4 ⊢ (𝑥 = 1 → (𝑎 = Σ𝑘 ∈ (0..^𝑥)((𝑘(digit‘2)𝑎) · (2↑𝑘)) ↔ 𝑎 = Σ𝑘 ∈ {0} ((𝑘(digit‘2)𝑎) · (2↑𝑘))))
7	1, 6	imbi12d 347	. . 3 ⊢ (𝑥 = 1 → (((#b‘𝑎) = 𝑥 → 𝑎 = Σ𝑘 ∈ (0..^𝑥)((𝑘(digit‘2)𝑎) · (2↑𝑘))) ↔ ((#b‘𝑎) = 1 → 𝑎 = Σ𝑘 ∈ {0} ((𝑘(digit‘2)𝑎) · (2↑𝑘)))))
8	7	ralbidv 3194	. 2 ⊢ (𝑥 = 1 → (∀𝑎 ∈ ℕ0 ((#b‘𝑎) = 𝑥 → 𝑎 = Σ𝑘 ∈ (0..^𝑥)((𝑘(digit‘2)𝑎) · (2↑𝑘))) ↔ ∀𝑎 ∈ ℕ0 ((#b‘𝑎) = 1 → 𝑎 = Σ𝑘 ∈ {0} ((𝑘(digit‘2)𝑎) · (2↑𝑘)))))
9		eqeq2 2781	. . . 4 ⊢ (𝑥 = 𝑦 → ((#b‘𝑎) = 𝑥 ↔ (#b‘𝑎) = 𝑦))
10		oveq2 7416	. . . . . 6 ⊢ (𝑥 = 𝑦 → (0..^𝑥) = (0..^𝑦))
11	10	sumeq1d 15747	. . . . 5 ⊢ (𝑥 = 𝑦 → Σ𝑘 ∈ (0..^𝑥)((𝑘(digit‘2)𝑎) · (2↑𝑘)) = Σ𝑘 ∈ (0..^𝑦)((𝑘(digit‘2)𝑎) · (2↑𝑘)))
12	11	eqeq2d 2780	. . . 4 ⊢ (𝑥 = 𝑦 → (𝑎 = Σ𝑘 ∈ (0..^𝑥)((𝑘(digit‘2)𝑎) · (2↑𝑘)) ↔ 𝑎 = Σ𝑘 ∈ (0..^𝑦)((𝑘(digit‘2)𝑎) · (2↑𝑘))))
13	9, 12	imbi12d 347	. . 3 ⊢ (𝑥 = 𝑦 → (((#b‘𝑎) = 𝑥 → 𝑎 = Σ𝑘 ∈ (0..^𝑥)((𝑘(digit‘2)𝑎) · (2↑𝑘))) ↔ ((#b‘𝑎) = 𝑦 → 𝑎 = Σ𝑘 ∈ (0..^𝑦)((𝑘(digit‘2)𝑎) · (2↑𝑘)))))
14	13	ralbidv 3194	. 2 ⊢ (𝑥 = 𝑦 → (∀𝑎 ∈ ℕ0 ((#b‘𝑎) = 𝑥 → 𝑎 = Σ𝑘 ∈ (0..^𝑥)((𝑘(digit‘2)𝑎) · (2↑𝑘))) ↔ ∀𝑎 ∈ ℕ0 ((#b‘𝑎) = 𝑦 → 𝑎 = Σ𝑘 ∈ (0..^𝑦)((𝑘(digit‘2)𝑎) · (2↑𝑘)))))
15		eqeq2 2781	. . . 4 ⊢ (𝑥 = (𝑦 + 1) → ((#b‘𝑎) = 𝑥 ↔ (#b‘𝑎) = (𝑦 + 1)))
16		oveq2 7416	. . . . . 6 ⊢ (𝑥 = (𝑦 + 1) → (0..^𝑥) = (0..^(𝑦 + 1)))
17	16	sumeq1d 15747	. . . . 5 ⊢ (𝑥 = (𝑦 + 1) → Σ𝑘 ∈ (0..^𝑥)((𝑘(digit‘2)𝑎) · (2↑𝑘)) = Σ𝑘 ∈ (0..^(𝑦 + 1))((𝑘(digit‘2)𝑎) · (2↑𝑘)))
18	17	eqeq2d 2780	. . . 4 ⊢ (𝑥 = (𝑦 + 1) → (𝑎 = Σ𝑘 ∈ (0..^𝑥)((𝑘(digit‘2)𝑎) · (2↑𝑘)) ↔ 𝑎 = Σ𝑘 ∈ (0..^(𝑦 + 1))((𝑘(digit‘2)𝑎) · (2↑𝑘))))
19	15, 18	imbi12d 347	. . 3 ⊢ (𝑥 = (𝑦 + 1) → (((#b‘𝑎) = 𝑥 → 𝑎 = Σ𝑘 ∈ (0..^𝑥)((𝑘(digit‘2)𝑎) · (2↑𝑘))) ↔ ((#b‘𝑎) = (𝑦 + 1) → 𝑎 = Σ𝑘 ∈ (0..^(𝑦 + 1))((𝑘(digit‘2)𝑎) · (2↑𝑘)))))
20	19	ralbidv 3194	. 2 ⊢ (𝑥 = (𝑦 + 1) → (∀𝑎 ∈ ℕ0 ((#b‘𝑎) = 𝑥 → 𝑎 = Σ𝑘 ∈ (0..^𝑥)((𝑘(digit‘2)𝑎) · (2↑𝑘))) ↔ ∀𝑎 ∈ ℕ0 ((#b‘𝑎) = (𝑦 + 1) → 𝑎 = Σ𝑘 ∈ (0..^(𝑦 + 1))((𝑘(digit‘2)𝑎) · (2↑𝑘)))))
21		eqeq2 2781	. . . 4 ⊢ (𝑥 = 𝐿 → ((#b‘𝑎) = 𝑥 ↔ (#b‘𝑎) = 𝐿))
22		oveq2 7416	. . . . . 6 ⊢ (𝑥 = 𝐿 → (0..^𝑥) = (0..^𝐿))
23	22	sumeq1d 15747	. . . . 5 ⊢ (𝑥 = 𝐿 → Σ𝑘 ∈ (0..^𝑥)((𝑘(digit‘2)𝑎) · (2↑𝑘)) = Σ𝑘 ∈ (0..^𝐿)((𝑘(digit‘2)𝑎) · (2↑𝑘)))
24	23	eqeq2d 2780	. . . 4 ⊢ (𝑥 = 𝐿 → (𝑎 = Σ𝑘 ∈ (0..^𝑥)((𝑘(digit‘2)𝑎) · (2↑𝑘)) ↔ 𝑎 = Σ𝑘 ∈ (0..^𝐿)((𝑘(digit‘2)𝑎) · (2↑𝑘))))
25	21, 24	imbi12d 347	. . 3 ⊢ (𝑥 = 𝐿 → (((#b‘𝑎) = 𝑥 → 𝑎 = Σ𝑘 ∈ (0..^𝑥)((𝑘(digit‘2)𝑎) · (2↑𝑘))) ↔ ((#b‘𝑎) = 𝐿 → 𝑎 = Σ𝑘 ∈ (0..^𝐿)((𝑘(digit‘2)𝑎) · (2↑𝑘)))))
26	25	ralbidv 3194	. 2 ⊢ (𝑥 = 𝐿 → (∀𝑎 ∈ ℕ0 ((#b‘𝑎) = 𝑥 → 𝑎 = Σ𝑘 ∈ (0..^𝑥)((𝑘(digit‘2)𝑎) · (2↑𝑘))) ↔ ∀𝑎 ∈ ℕ0 ((#b‘𝑎) = 𝐿 → 𝑎 = Σ𝑘 ∈ (0..^𝐿)((𝑘(digit‘2)𝑎) · (2↑𝑘)))))
27		0cnd 11195	. . . . . . . 8 ⊢ (𝑎 ∈ ℕ0 → 0 ∈ ℂ)
28		2nn 12310	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ 2 ∈ ℕ
29	28	a1i 11	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (𝑎 ∈ ℕ0 → 2 ∈ ℕ)
30		0zd 12599	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (𝑎 ∈ ℕ0 → 0 ∈ ℤ)
31		nn0rp0 13478	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (𝑎 ∈ ℕ0 → 𝑎 ∈ (0[,)+∞))
32		digvalnn0 49259	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ((2 ∈ ℕ ∧ 0 ∈ ℤ ∧ 𝑎 ∈ (0[,)+∞)) → (0(digit‘2)𝑎) ∈ ℕ0)
33	29, 30, 31, 32	syl3anc 1396	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝑎 ∈ ℕ0 → (0(digit‘2)𝑎) ∈ ℕ0)
34	33	nn0cnd 12563	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝑎 ∈ ℕ0 → (0(digit‘2)𝑎) ∈ ℂ)
35		1cnd 11198	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝑎 ∈ ℕ0 → 1 ∈ ℂ)
36	34, 35	mulcld 11225	. . . . . . . 8 ⊢ (𝑎 ∈ ℕ0 → ((0(digit‘2)𝑎) · 1) ∈ ℂ)
37	27, 36	jca 520	. . . . . . 7 ⊢ (𝑎 ∈ ℕ0 → (0 ∈ ℂ ∧ ((0(digit‘2)𝑎) · 1) ∈ ℂ))
38	37	adantr 485	. . . . . 6 ⊢ ((𝑎 ∈ ℕ0 ∧ (#b‘𝑎) = 1) → (0 ∈ ℂ ∧ ((0(digit‘2)𝑎) · 1) ∈ ℂ))
39		oveq1 7415	. . . . . . . 8 ⊢ (𝑘 = 0 → (𝑘(digit‘2)𝑎) = (0(digit‘2)𝑎))
40		oveq2 7416	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝑘 = 0 → (2↑𝑘) = (2↑0))
41		2cn 12312	. . . . . . . . . 10 ⊢ 2 ∈ ℂ
42		exp0 14097	. . . . . . . . . 10 ⊢ (2 ∈ ℂ → (2↑0) = 1)
43	41, 42	ax-mp 5	. . . . . . . . 9 ⊢ (2↑0) = 1
44	40, 43	eqtrdi 2820	. . . . . . . 8 ⊢ (𝑘 = 0 → (2↑𝑘) = 1)
45	39, 44	oveq12d 7426	. . . . . . 7 ⊢ (𝑘 = 0 → ((𝑘(digit‘2)𝑎) · (2↑𝑘)) = ((0(digit‘2)𝑎) · 1))
46	45	sumsn 15793	. . . . . 6 ⊢ ((0 ∈ ℂ ∧ ((0(digit‘2)𝑎) · 1) ∈ ℂ) → Σ𝑘 ∈ {0} ((𝑘(digit‘2)𝑎) · (2↑𝑘)) = ((0(digit‘2)𝑎) · 1))
47	38, 46	syl 18	. . . . 5 ⊢ ((𝑎 ∈ ℕ0 ∧ (#b‘𝑎) = 1) → Σ𝑘 ∈ {0} ((𝑘(digit‘2)𝑎) · (2↑𝑘)) = ((0(digit‘2)𝑎) · 1))
48	34	adantr 485	. . . . . 6 ⊢ ((𝑎 ∈ ℕ0 ∧ (#b‘𝑎) = 1) → (0(digit‘2)𝑎) ∈ ℂ)
49	48	mulridd 11222	. . . . 5 ⊢ ((𝑎 ∈ ℕ0 ∧ (#b‘𝑎) = 1) → ((0(digit‘2)𝑎) · 1) = (0(digit‘2)𝑎))
50		blen1b 49248	. . . . . . . 8 ⊢ (𝑎 ∈ ℕ0 → ((#b‘𝑎) = 1 ↔ (𝑎 = 0 ∨ 𝑎 = 1)))
51	50	biimpa 481	. . . . . . 7 ⊢ ((𝑎 ∈ ℕ0 ∧ (#b‘𝑎) = 1) → (𝑎 = 0 ∨ 𝑎 = 1))
52		vex 3467	. . . . . . . 8 ⊢ 𝑎 ∈ V
53	52	elpr 4616	. . . . . . 7 ⊢ (𝑎 ∈ {0, 1} ↔ (𝑎 = 0 ∨ 𝑎 = 1))
54	51, 53	sylibr 237	. . . . . 6 ⊢ ((𝑎 ∈ ℕ0 ∧ (#b‘𝑎) = 1) → 𝑎 ∈ {0, 1})
55		0dig2pr01 49270	. . . . . 6 ⊢ (𝑎 ∈ {0, 1} → (0(digit‘2)𝑎) = 𝑎)
56	54, 55	syl 18	. . . . 5 ⊢ ((𝑎 ∈ ℕ0 ∧ (#b‘𝑎) = 1) → (0(digit‘2)𝑎) = 𝑎)
57	47, 49, 56	3eqtrrd 2809	. . . 4 ⊢ ((𝑎 ∈ ℕ0 ∧ (#b‘𝑎) = 1) → 𝑎 = Σ𝑘 ∈ {0} ((𝑘(digit‘2)𝑎) · (2↑𝑘)))
58	57	ex 417	. . 3 ⊢ (𝑎 ∈ ℕ0 → ((#b‘𝑎) = 1 → 𝑎 = Σ𝑘 ∈ {0} ((𝑘(digit‘2)𝑎) · (2↑𝑘))))
59	58	rgen 3087	. 2 ⊢ ∀𝑎 ∈ ℕ0 ((#b‘𝑎) = 1 → 𝑎 = Σ𝑘 ∈ {0} ((𝑘(digit‘2)𝑎) · (2↑𝑘)))
60		nn0sumshdiglem1 49281	. 2 ⊢ (𝑦 ∈ ℕ → (∀𝑎 ∈ ℕ0 ((#b‘𝑎) = 𝑦 → 𝑎 = Σ𝑘 ∈ (0..^𝑦)((𝑘(digit‘2)𝑎) · (2↑𝑘))) → ∀𝑎 ∈ ℕ0 ((#b‘𝑎) = (𝑦 + 1) → 𝑎 = Σ𝑘 ∈ (0..^(𝑦 + 1))((𝑘(digit‘2)𝑎) · (2↑𝑘)))))
61	8, 14, 20, 26, 59, 60	nnind 12247	1 ⊢ (𝐿 ∈ ℕ → ∀𝑎 ∈ ℕ0 ((#b‘𝑎) = 𝐿 → 𝑎 = Σ𝑘 ∈ (0..^𝐿)((𝑘(digit‘2)𝑎) · (2↑𝑘))))

Syntax hints:   → wi 4   ∧ wa 400   ∨ wo 860   = wceq 1567   ∈ wcel 2149  ∀wral 3085  {csn 4591  {cpr 4593  ‘cfv 6534  (class class class)co 7408  ℂcc 11094  0cc0 11096  1c1 11097   + caddc 11099   · cmul 11101  +∞cpnf 11236  ℕcn 12229  2c2 12291  ℕ₀cn0 12500  ℤcz 12587  [,)cico 13370  ..^cfzo 13678  ↑cexp 14093  Σcsu 15733  #_bcblen 49229  digitcdig 49255

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1822  ax-4 1836  ax-5 1937  ax-6 1994  ax-7 2035  ax-8 2151  ax-9 2159  ax-10 2182  ax-11 2198  ax-12 2219  ax-ext 2741  ax-rep 5239  ax-sep 5258  ax-nul 5268  ax-pow 5334  ax-pr 5402  ax-un 7730  ax-inf2 9606  ax-cnex 11152  ax-resscn 11153  ax-1cn 11154  ax-icn 11155  ax-addcl 11156  ax-addrcl 11157  ax-mulcl 11158  ax-mulrcl 11159  ax-mulcom 11160  ax-addass 11161  ax-mulass 11162  ax-distr 11163  ax-i2m1 11164  ax-1ne0 11165  ax-1rid 11166  ax-rnegex 11167  ax-rrecex 11168  ax-cnre 11169  ax-pre-lttri 11170  ax-pre-lttrn 11171  ax-pre-ltadd 11172  ax-pre-mulgt0 11173  ax-pre-sup 11174  ax-addf 11175

This theorem depends on definitions:  df-bi 210  df-an 401  df-or 861  df-3or 1102  df-3an 1103  df-tru 1570  df-fal 1580  df-ex 1807  df-nf 1811  df-sb 2098  df-mo 2573  df-eu 2603  df-clab 2748  df-cleq 2761  df-clel 2844  df-nfc 2918  df-ne 2965  df-nel 3071  df-ral 3086  df-rex 3096  df-rmo 3376  df-reu 3377  df-rab 3424  df-v 3465  df-sbc 3754  df-csb 3862  df-dif 3916  df-un 3918  df-in 3920  df-ss 3930  df-pss 3933  df-nul 4295  df-if 4490  df-pw 4566  df-sn 4592  df-pr 4594  df-tp 4596  df-op 4598  df-uni 4874  df-int 4914  df-iun 4959  df-iin 4960  df-br 5111  df-opab 5175  df-mpt 5194  df-tr 5220  df-id 5554  df-eprel 5559  df-po 5567  df-so 5568  df-fr 5612  df-se 5613  df-we 5614  df-xp 5665  df-rel 5666  df-cnv 5667  df-co 5668  df-dm 5669  df-rn 5670  df-res 5671  df-ima 5672  df-pred 6300  df-ord 6361  df-on 6362  df-lim 6363  df-suc 6364  df-iota 6490  df-fun 6536  df-fn 6537  df-f 6538  df-f1 6539  df-fo 6540  df-f1o 6541  df-fv 6542  df-isom 6543  df-riota 7365  df-ov 7411  df-oprab 7412  df-mpo 7413  df-of 7672  df-om 7859  df-1st 7982  df-2nd 7983  df-supp 8153  df-frecs 8274  df-wrecs 8305  df-recs 8354  df-rdg 8393  df-1o 8449  df-2o 8450  df-er 8690  df-map 8822  df-pm 8823  df-ixp 8892  df-en 8940  df-dom 8941  df-sdom 8942  df-fin 8943  df-fsupp 9318  df-fi 9367  df-sup 9398  df-inf 9399  df-oi 9468  df-card 9921  df-pnf 11241  df-mnf 11242  df-xr 11243  df-ltxr 11244  df-le 11245  df-sub 11439  df-neg 11440  df-div 11868  df-nn 12230  df-2 12299  df-3 12300  df-4 12301  df-5 12302  df-6 12303  df-7 12304  df-8 12305  df-9 12306  df-n0 12501  df-z 12588  df-dec 12708  df-uz 12859  df-q 12969  df-rp 13013  df-xneg 13133  df-xadd 13134  df-xmul 13135  df-ioo 13372  df-ioc 13373  df-ico 13374  df-icc 13375  df-fz 13532  df-fzo 13679  df-fl 13821  df-mod 13899  df-seq 14034  df-exp 14094  df-fac 14306  df-bc 14335  df-hash 14363  df-shft 15100  df-cj 15146  df-re 15147  df-im 15148  df-sqrt 15282  df-abs 15283  df-limsup 15518  df-clim 15535  df-rlim 15536  df-sum 15734  df-ef 16117  df-sin 16119  df-cos 16120  df-pi 16122  df-dvds 16307  df-struct 17203  df-sets 17220  df-slot 17238  df-ndx 17250  df-base 17266  df-ress 17287  df-plusg 17319  df-mulr 17320  df-starv 17321  df-sca 17322  df-vsca 17323  df-ip 17324  df-tset 17325  df-ple 17326  df-ds 17328  df-unif 17329  df-hom 17330  df-cco 17331  df-rest 17471  df-topn 17472  df-0g 17490  df-gsum 17491  df-topgen 17492  df-pt 17493  df-prds 17496  df-xrs 17552  df-qtop 17557  df-imas 17558  df-xps 17560  df-mre 17634  df-mrc 17635  df-acs 17637  df-mgm 18694  df-sgrp 18773  df-mnd 18789  df-submnd 18838  df-mulg 19130  df-cntz 19383  df-cmn 19848  df-psmet 21479  df-xmet 21480  df-met 21481  df-bl 21482  df-mopn 21483  df-fbas 21484  df-fg 21485  df-cnfld 21488  df-top 23016  df-topon 23033  df-topsp 23055  df-bases 23068  df-cld 23141  df-ntr 23142  df-cls 23143  df-nei 23220  df-lp 23258  df-perf 23259  df-cn 23349  df-cnp 23350  df-haus 23437  df-tx 23684  df-hmeo 23877  df-fil 23968  df-fm 24060  df-flim 24061  df-flf 24062  df-xms 24442  df-ms 24443  df-tms 24444  df-cncf 25002  df-limc 25990  df-dv 25991  df-log 26683  df-cxp 26684  df-logb 26892  df-blen 49230  df-dig 49256

This theorem is referenced by:  nn0sumshdig  49283