Theorem nn0sumshdiglem2 47689

Description: Lemma 2 for nn0sumshdig 47690. (Contributed by AV, 7-Jun-2020.)

Assertion

Ref	Expression
nn0sumshdiglem2	⊢ (𝐿 ∈ ℕ → ∀𝑎 ∈ ℕ0 ((#b‘𝑎) = 𝐿 → 𝑎 = Σ𝑘 ∈ (0..^𝐿)((𝑘(digit‘2)𝑎) · (2↑𝑘))))

Distinct variable group:   𝑘,𝑎,𝐿

Proof of Theorem nn0sumshdiglem2

Dummy variables 𝑥 𝑦 are mutually distinct and distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		eqeq2 2740	. . . 4 ⊢ (𝑥 = 1 → ((#b‘𝑎) = 𝑥 ↔ (#b‘𝑎) = 1))
2		oveq2 7422	. . . . . . 7 ⊢ (𝑥 = 1 → (0..^𝑥) = (0..^1))
3		fzo01 13740	. . . . . . 7 ⊢ (0..^1) = {0}
4	2, 3	eqtrdi 2784	. . . . . 6 ⊢ (𝑥 = 1 → (0..^𝑥) = {0})
5	4	sumeq1d 15673	. . . . 5 ⊢ (𝑥 = 1 → Σ𝑘 ∈ (0..^𝑥)((𝑘(digit‘2)𝑎) · (2↑𝑘)) = Σ𝑘 ∈ {0} ((𝑘(digit‘2)𝑎) · (2↑𝑘)))
6	5	eqeq2d 2739	. . . 4 ⊢ (𝑥 = 1 → (𝑎 = Σ𝑘 ∈ (0..^𝑥)((𝑘(digit‘2)𝑎) · (2↑𝑘)) ↔ 𝑎 = Σ𝑘 ∈ {0} ((𝑘(digit‘2)𝑎) · (2↑𝑘))))
7	1, 6	imbi12d 344	. . 3 ⊢ (𝑥 = 1 → (((#b‘𝑎) = 𝑥 → 𝑎 = Σ𝑘 ∈ (0..^𝑥)((𝑘(digit‘2)𝑎) · (2↑𝑘))) ↔ ((#b‘𝑎) = 1 → 𝑎 = Σ𝑘 ∈ {0} ((𝑘(digit‘2)𝑎) · (2↑𝑘)))))
8	7	ralbidv 3173	. 2 ⊢ (𝑥 = 1 → (∀𝑎 ∈ ℕ0 ((#b‘𝑎) = 𝑥 → 𝑎 = Σ𝑘 ∈ (0..^𝑥)((𝑘(digit‘2)𝑎) · (2↑𝑘))) ↔ ∀𝑎 ∈ ℕ0 ((#b‘𝑎) = 1 → 𝑎 = Σ𝑘 ∈ {0} ((𝑘(digit‘2)𝑎) · (2↑𝑘)))))
9		eqeq2 2740	. . . 4 ⊢ (𝑥 = 𝑦 → ((#b‘𝑎) = 𝑥 ↔ (#b‘𝑎) = 𝑦))
10		oveq2 7422	. . . . . 6 ⊢ (𝑥 = 𝑦 → (0..^𝑥) = (0..^𝑦))
11	10	sumeq1d 15673	. . . . 5 ⊢ (𝑥 = 𝑦 → Σ𝑘 ∈ (0..^𝑥)((𝑘(digit‘2)𝑎) · (2↑𝑘)) = Σ𝑘 ∈ (0..^𝑦)((𝑘(digit‘2)𝑎) · (2↑𝑘)))
12	11	eqeq2d 2739	. . . 4 ⊢ (𝑥 = 𝑦 → (𝑎 = Σ𝑘 ∈ (0..^𝑥)((𝑘(digit‘2)𝑎) · (2↑𝑘)) ↔ 𝑎 = Σ𝑘 ∈ (0..^𝑦)((𝑘(digit‘2)𝑎) · (2↑𝑘))))
13	9, 12	imbi12d 344	. . 3 ⊢ (𝑥 = 𝑦 → (((#b‘𝑎) = 𝑥 → 𝑎 = Σ𝑘 ∈ (0..^𝑥)((𝑘(digit‘2)𝑎) · (2↑𝑘))) ↔ ((#b‘𝑎) = 𝑦 → 𝑎 = Σ𝑘 ∈ (0..^𝑦)((𝑘(digit‘2)𝑎) · (2↑𝑘)))))
14	13	ralbidv 3173	. 2 ⊢ (𝑥 = 𝑦 → (∀𝑎 ∈ ℕ0 ((#b‘𝑎) = 𝑥 → 𝑎 = Σ𝑘 ∈ (0..^𝑥)((𝑘(digit‘2)𝑎) · (2↑𝑘))) ↔ ∀𝑎 ∈ ℕ0 ((#b‘𝑎) = 𝑦 → 𝑎 = Σ𝑘 ∈ (0..^𝑦)((𝑘(digit‘2)𝑎) · (2↑𝑘)))))
15		eqeq2 2740	. . . 4 ⊢ (𝑥 = (𝑦 + 1) → ((#b‘𝑎) = 𝑥 ↔ (#b‘𝑎) = (𝑦 + 1)))
16		oveq2 7422	. . . . . 6 ⊢ (𝑥 = (𝑦 + 1) → (0..^𝑥) = (0..^(𝑦 + 1)))
17	16	sumeq1d 15673	. . . . 5 ⊢ (𝑥 = (𝑦 + 1) → Σ𝑘 ∈ (0..^𝑥)((𝑘(digit‘2)𝑎) · (2↑𝑘)) = Σ𝑘 ∈ (0..^(𝑦 + 1))((𝑘(digit‘2)𝑎) · (2↑𝑘)))
18	17	eqeq2d 2739	. . . 4 ⊢ (𝑥 = (𝑦 + 1) → (𝑎 = Σ𝑘 ∈ (0..^𝑥)((𝑘(digit‘2)𝑎) · (2↑𝑘)) ↔ 𝑎 = Σ𝑘 ∈ (0..^(𝑦 + 1))((𝑘(digit‘2)𝑎) · (2↑𝑘))))
19	15, 18	imbi12d 344	. . 3 ⊢ (𝑥 = (𝑦 + 1) → (((#b‘𝑎) = 𝑥 → 𝑎 = Σ𝑘 ∈ (0..^𝑥)((𝑘(digit‘2)𝑎) · (2↑𝑘))) ↔ ((#b‘𝑎) = (𝑦 + 1) → 𝑎 = Σ𝑘 ∈ (0..^(𝑦 + 1))((𝑘(digit‘2)𝑎) · (2↑𝑘)))))
20	19	ralbidv 3173	. 2 ⊢ (𝑥 = (𝑦 + 1) → (∀𝑎 ∈ ℕ0 ((#b‘𝑎) = 𝑥 → 𝑎 = Σ𝑘 ∈ (0..^𝑥)((𝑘(digit‘2)𝑎) · (2↑𝑘))) ↔ ∀𝑎 ∈ ℕ0 ((#b‘𝑎) = (𝑦 + 1) → 𝑎 = Σ𝑘 ∈ (0..^(𝑦 + 1))((𝑘(digit‘2)𝑎) · (2↑𝑘)))))
21		eqeq2 2740	. . . 4 ⊢ (𝑥 = 𝐿 → ((#b‘𝑎) = 𝑥 ↔ (#b‘𝑎) = 𝐿))
22		oveq2 7422	. . . . . 6 ⊢ (𝑥 = 𝐿 → (0..^𝑥) = (0..^𝐿))
23	22	sumeq1d 15673	. . . . 5 ⊢ (𝑥 = 𝐿 → Σ𝑘 ∈ (0..^𝑥)((𝑘(digit‘2)𝑎) · (2↑𝑘)) = Σ𝑘 ∈ (0..^𝐿)((𝑘(digit‘2)𝑎) · (2↑𝑘)))
24	23	eqeq2d 2739	. . . 4 ⊢ (𝑥 = 𝐿 → (𝑎 = Σ𝑘 ∈ (0..^𝑥)((𝑘(digit‘2)𝑎) · (2↑𝑘)) ↔ 𝑎 = Σ𝑘 ∈ (0..^𝐿)((𝑘(digit‘2)𝑎) · (2↑𝑘))))
25	21, 24	imbi12d 344	. . 3 ⊢ (𝑥 = 𝐿 → (((#b‘𝑎) = 𝑥 → 𝑎 = Σ𝑘 ∈ (0..^𝑥)((𝑘(digit‘2)𝑎) · (2↑𝑘))) ↔ ((#b‘𝑎) = 𝐿 → 𝑎 = Σ𝑘 ∈ (0..^𝐿)((𝑘(digit‘2)𝑎) · (2↑𝑘)))))
26	25	ralbidv 3173	. 2 ⊢ (𝑥 = 𝐿 → (∀𝑎 ∈ ℕ0 ((#b‘𝑎) = 𝑥 → 𝑎 = Σ𝑘 ∈ (0..^𝑥)((𝑘(digit‘2)𝑎) · (2↑𝑘))) ↔ ∀𝑎 ∈ ℕ0 ((#b‘𝑎) = 𝐿 → 𝑎 = Σ𝑘 ∈ (0..^𝐿)((𝑘(digit‘2)𝑎) · (2↑𝑘)))))
27		0cnd 11231	. . . . . . . 8 ⊢ (𝑎 ∈ ℕ0 → 0 ∈ ℂ)
28		2nn 12309	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ 2 ∈ ℕ
29	28	a1i 11	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (𝑎 ∈ ℕ0 → 2 ∈ ℕ)
30		0zd 12594	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (𝑎 ∈ ℕ0 → 0 ∈ ℤ)
31		nn0rp0 13458	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (𝑎 ∈ ℕ0 → 𝑎 ∈ (0[,)+∞))
32		digvalnn0 47666	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ((2 ∈ ℕ ∧ 0 ∈ ℤ ∧ 𝑎 ∈ (0[,)+∞)) → (0(digit‘2)𝑎) ∈ ℕ0)
33	29, 30, 31, 32	syl3anc 1369	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝑎 ∈ ℕ0 → (0(digit‘2)𝑎) ∈ ℕ0)
34	33	nn0cnd 12558	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝑎 ∈ ℕ0 → (0(digit‘2)𝑎) ∈ ℂ)
35		1cnd 11233	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝑎 ∈ ℕ0 → 1 ∈ ℂ)
36	34, 35	mulcld 11258	. . . . . . . 8 ⊢ (𝑎 ∈ ℕ0 → ((0(digit‘2)𝑎) · 1) ∈ ℂ)
37	27, 36	jca 511	. . . . . . 7 ⊢ (𝑎 ∈ ℕ0 → (0 ∈ ℂ ∧ ((0(digit‘2)𝑎) · 1) ∈ ℂ))
38	37	adantr 480	. . . . . 6 ⊢ ((𝑎 ∈ ℕ0 ∧ (#b‘𝑎) = 1) → (0 ∈ ℂ ∧ ((0(digit‘2)𝑎) · 1) ∈ ℂ))
39		oveq1 7421	. . . . . . . 8 ⊢ (𝑘 = 0 → (𝑘(digit‘2)𝑎) = (0(digit‘2)𝑎))
40		oveq2 7422	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝑘 = 0 → (2↑𝑘) = (2↑0))
41		2cn 12311	. . . . . . . . . 10 ⊢ 2 ∈ ℂ
42		exp0 14056	. . . . . . . . . 10 ⊢ (2 ∈ ℂ → (2↑0) = 1)
43	41, 42	ax-mp 5	. . . . . . . . 9 ⊢ (2↑0) = 1
44	40, 43	eqtrdi 2784	. . . . . . . 8 ⊢ (𝑘 = 0 → (2↑𝑘) = 1)
45	39, 44	oveq12d 7432	. . . . . . 7 ⊢ (𝑘 = 0 → ((𝑘(digit‘2)𝑎) · (2↑𝑘)) = ((0(digit‘2)𝑎) · 1))
46	45	sumsn 15718	. . . . . 6 ⊢ ((0 ∈ ℂ ∧ ((0(digit‘2)𝑎) · 1) ∈ ℂ) → Σ𝑘 ∈ {0} ((𝑘(digit‘2)𝑎) · (2↑𝑘)) = ((0(digit‘2)𝑎) · 1))
47	38, 46	syl 17	. . . . 5 ⊢ ((𝑎 ∈ ℕ0 ∧ (#b‘𝑎) = 1) → Σ𝑘 ∈ {0} ((𝑘(digit‘2)𝑎) · (2↑𝑘)) = ((0(digit‘2)𝑎) · 1))
48	34	adantr 480	. . . . . 6 ⊢ ((𝑎 ∈ ℕ0 ∧ (#b‘𝑎) = 1) → (0(digit‘2)𝑎) ∈ ℂ)
49	48	mulridd 11255	. . . . 5 ⊢ ((𝑎 ∈ ℕ0 ∧ (#b‘𝑎) = 1) → ((0(digit‘2)𝑎) · 1) = (0(digit‘2)𝑎))
50		blen1b 47655	. . . . . . . 8 ⊢ (𝑎 ∈ ℕ0 → ((#b‘𝑎) = 1 ↔ (𝑎 = 0 ∨ 𝑎 = 1)))
51	50	biimpa 476	. . . . . . 7 ⊢ ((𝑎 ∈ ℕ0 ∧ (#b‘𝑎) = 1) → (𝑎 = 0 ∨ 𝑎 = 1))
52		vex 3474	. . . . . . . 8 ⊢ 𝑎 ∈ V
53	52	elpr 4647	. . . . . . 7 ⊢ (𝑎 ∈ {0, 1} ↔ (𝑎 = 0 ∨ 𝑎 = 1))
54	51, 53	sylibr 233	. . . . . 6 ⊢ ((𝑎 ∈ ℕ0 ∧ (#b‘𝑎) = 1) → 𝑎 ∈ {0, 1})
55		0dig2pr01 47677	. . . . . 6 ⊢ (𝑎 ∈ {0, 1} → (0(digit‘2)𝑎) = 𝑎)
56	54, 55	syl 17	. . . . 5 ⊢ ((𝑎 ∈ ℕ0 ∧ (#b‘𝑎) = 1) → (0(digit‘2)𝑎) = 𝑎)
57	47, 49, 56	3eqtrrd 2773	. . . 4 ⊢ ((𝑎 ∈ ℕ0 ∧ (#b‘𝑎) = 1) → 𝑎 = Σ𝑘 ∈ {0} ((𝑘(digit‘2)𝑎) · (2↑𝑘)))
58	57	ex 412	. . 3 ⊢ (𝑎 ∈ ℕ0 → ((#b‘𝑎) = 1 → 𝑎 = Σ𝑘 ∈ {0} ((𝑘(digit‘2)𝑎) · (2↑𝑘))))
59	58	rgen 3059	. 2 ⊢ ∀𝑎 ∈ ℕ0 ((#b‘𝑎) = 1 → 𝑎 = Σ𝑘 ∈ {0} ((𝑘(digit‘2)𝑎) · (2↑𝑘)))
60		nn0sumshdiglem1 47688	. 2 ⊢ (𝑦 ∈ ℕ → (∀𝑎 ∈ ℕ0 ((#b‘𝑎) = 𝑦 → 𝑎 = Σ𝑘 ∈ (0..^𝑦)((𝑘(digit‘2)𝑎) · (2↑𝑘))) → ∀𝑎 ∈ ℕ0 ((#b‘𝑎) = (𝑦 + 1) → 𝑎 = Σ𝑘 ∈ (0..^(𝑦 + 1))((𝑘(digit‘2)𝑎) · (2↑𝑘)))))
61	8, 14, 20, 26, 59, 60	nnind 12254	1 ⊢ (𝐿 ∈ ℕ → ∀𝑎 ∈ ℕ0 ((#b‘𝑎) = 𝐿 → 𝑎 = Σ𝑘 ∈ (0..^𝐿)((𝑘(digit‘2)𝑎) · (2↑𝑘))))

Syntax hints:   → wi 4   ∧ wa 395   ∨ wo 846   = wceq 1534   ∈ wcel 2099  ∀wral 3057  {csn 4624  {cpr 4626  ‘cfv 6542  (class class class)co 7414  ℂcc 11130  0cc0 11132  1c1 11133   + caddc 11135   · cmul 11137  +∞cpnf 11269  ℕcn 12236  2c2 12291  ℕ₀cn0 12496  ℤcz 12582  [,)cico 13352  ..^cfzo 13653  ↑cexp 14052  Σcsu 15658  #_bcblen 47636  digitcdig 47662

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1790  ax-4 1804  ax-5 1906  ax-6 1964  ax-7 2004  ax-8 2101  ax-9 2109  ax-10 2130  ax-11 2147  ax-12 2167  ax-ext 2699  ax-rep 5279  ax-sep 5293  ax-nul 5300  ax-pow 5359  ax-pr 5423  ax-un 7734  ax-inf2 9658  ax-cnex 11188  ax-resscn 11189  ax-1cn 11190  ax-icn 11191  ax-addcl 11192  ax-addrcl 11193  ax-mulcl 11194  ax-mulrcl 11195  ax-mulcom 11196  ax-addass 11197  ax-mulass 11198  ax-distr 11199  ax-i2m1 11200  ax-1ne0 11201  ax-1rid 11202  ax-rnegex 11203  ax-rrecex 11204  ax-cnre 11205  ax-pre-lttri 11206  ax-pre-lttrn 11207  ax-pre-ltadd 11208  ax-pre-mulgt0 11209  ax-pre-sup 11210  ax-addf 11211

This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 396  df-or 847  df-3or 1086  df-3an 1087  df-tru 1537  df-fal 1547  df-ex 1775  df-nf 1779  df-sb 2061  df-mo 2530  df-eu 2559  df-clab 2706  df-cleq 2720  df-clel 2806  df-nfc 2881  df-ne 2937  df-nel 3043  df-ral 3058  df-rex 3067  df-rmo 3372  df-reu 3373  df-rab 3429  df-v 3472  df-sbc 3776  df-csb 3891  df-dif 3948  df-un 3950  df-in 3952  df-ss 3962  df-pss 3964  df-nul 4319  df-if 4525  df-pw 4600  df-sn 4625  df-pr 4627  df-tp 4629  df-op 4631  df-uni 4904  df-int 4945  df-iun 4993  df-iin 4994  df-br 5143  df-opab 5205  df-mpt 5226  df-tr 5260  df-id 5570  df-eprel 5576  df-po 5584  df-so 5585  df-fr 5627  df-se 5628  df-we 5629  df-xp 5678  df-rel 5679  df-cnv 5680  df-co 5681  df-dm 5682  df-rn 5683  df-res 5684  df-ima 5685  df-pred 6299  df-ord 6366  df-on 6367  df-lim 6368  df-suc 6369  df-iota 6494  df-fun 6544  df-fn 6545  df-f 6546  df-f1 6547  df-fo 6548  df-f1o 6549  df-fv 6550  df-isom 6551  df-riota 7370  df-ov 7417  df-oprab 7418  df-mpo 7419  df-of 7679  df-om 7865  df-1st 7987  df-2nd 7988  df-supp 8160  df-frecs 8280  df-wrecs 8311  df-recs 8385  df-rdg 8424  df-1o 8480  df-2o 8481  df-er 8718  df-map 8840  df-pm 8841  df-ixp 8910  df-en 8958  df-dom 8959  df-sdom 8960  df-fin 8961  df-fsupp 9380  df-fi 9428  df-sup 9459  df-inf 9460  df-oi 9527  df-card 9956  df-pnf 11274  df-mnf 11275  df-xr 11276  df-ltxr 11277  df-le 11278  df-sub 11470  df-neg 11471  df-div 11896  df-nn 12237  df-2 12299  df-3 12300  df-4 12301  df-5 12302  df-6 12303  df-7 12304  df-8 12305  df-9 12306  df-n0 12497  df-z 12583  df-dec 12702  df-uz 12847  df-q 12957  df-rp 13001  df-xneg 13118  df-xadd 13119  df-xmul 13120  df-ioo 13354  df-ioc 13355  df-ico 13356  df-icc 13357  df-fz 13511  df-fzo 13654  df-fl 13783  df-mod 13861  df-seq 13993  df-exp 14053  df-fac 14259  df-bc 14288  df-hash 14316  df-shft 15040  df-cj 15072  df-re 15073  df-im 15074  df-sqrt 15208  df-abs 15209  df-limsup 15441  df-clim 15458  df-rlim 15459  df-sum 15659  df-ef 16037  df-sin 16039  df-cos 16040  df-pi 16042  df-dvds 16225  df-struct 17109  df-sets 17126  df-slot 17144  df-ndx 17156  df-base 17174  df-ress 17203  df-plusg 17239  df-mulr 17240  df-starv 17241  df-sca 17242  df-vsca 17243  df-ip 17244  df-tset 17245  df-ple 17246  df-ds 17248  df-unif 17249  df-hom 17250  df-cco 17251  df-rest 17397  df-topn 17398  df-0g 17416  df-gsum 17417  df-topgen 17418  df-pt 17419  df-prds 17422  df-xrs 17477  df-qtop 17482  df-imas 17483  df-xps 17485  df-mre 17559  df-mrc 17560  df-acs 17562  df-mgm 18593  df-sgrp 18672  df-mnd 18688  df-submnd 18734  df-mulg 19017  df-cntz 19261  df-cmn 19730  df-psmet 21264  df-xmet 21265  df-met 21266  df-bl 21267  df-mopn 21268  df-fbas 21269  df-fg 21270  df-cnfld 21273  df-top 22789  df-topon 22806  df-topsp 22828  df-bases 22842  df-cld 22916  df-ntr 22917  df-cls 22918  df-nei 22995  df-lp 23033  df-perf 23034  df-cn 23124  df-cnp 23125  df-haus 23212  df-tx 23459  df-hmeo 23652  df-fil 23743  df-fm 23835  df-flim 23836  df-flf 23837  df-xms 24219  df-ms 24220  df-tms 24221  df-cncf 24791  df-limc 25788  df-dv 25789  df-log 26483  df-cxp 26484  df-logb 26690  df-blen 47637  df-dig 47663

This theorem is referenced by:  nn0sumshdig  47690