Users' Mathboxes Mathbox for Alexander van der Vekens < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >   Mathboxes  >  nn0sumshdiglem2 Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem nn0sumshdiglem2 44901
Description: Lemma 2 for nn0sumshdig 44902. (Contributed by AV, 7-Jun-2020.)
Assertion
Ref Expression
nn0sumshdiglem2 (𝐿 ∈ ℕ → ∀𝑎 ∈ ℕ0 ((#b𝑎) = 𝐿𝑎 = Σ𝑘 ∈ (0..^𝐿)((𝑘(digit‘2)𝑎) · (2↑𝑘))))
Distinct variable group:   𝑘,𝑎,𝐿

Proof of Theorem nn0sumshdiglem2
Dummy variables 𝑥 𝑦 are mutually distinct and distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 eqeq2 2836 . . . 4 (𝑥 = 1 → ((#b𝑎) = 𝑥 ↔ (#b𝑎) = 1))
2 oveq2 7154 . . . . . . 7 (𝑥 = 1 → (0..^𝑥) = (0..^1))
3 fzo01 13121 . . . . . . 7 (0..^1) = {0}
42, 3syl6eq 2875 . . . . . 6 (𝑥 = 1 → (0..^𝑥) = {0})
54sumeq1d 15056 . . . . 5 (𝑥 = 1 → Σ𝑘 ∈ (0..^𝑥)((𝑘(digit‘2)𝑎) · (2↑𝑘)) = Σ𝑘 ∈ {0} ((𝑘(digit‘2)𝑎) · (2↑𝑘)))
65eqeq2d 2835 . . . 4 (𝑥 = 1 → (𝑎 = Σ𝑘 ∈ (0..^𝑥)((𝑘(digit‘2)𝑎) · (2↑𝑘)) ↔ 𝑎 = Σ𝑘 ∈ {0} ((𝑘(digit‘2)𝑎) · (2↑𝑘))))
71, 6imbi12d 348 . . 3 (𝑥 = 1 → (((#b𝑎) = 𝑥𝑎 = Σ𝑘 ∈ (0..^𝑥)((𝑘(digit‘2)𝑎) · (2↑𝑘))) ↔ ((#b𝑎) = 1 → 𝑎 = Σ𝑘 ∈ {0} ((𝑘(digit‘2)𝑎) · (2↑𝑘)))))
87ralbidv 3192 . 2 (𝑥 = 1 → (∀𝑎 ∈ ℕ0 ((#b𝑎) = 𝑥𝑎 = Σ𝑘 ∈ (0..^𝑥)((𝑘(digit‘2)𝑎) · (2↑𝑘))) ↔ ∀𝑎 ∈ ℕ0 ((#b𝑎) = 1 → 𝑎 = Σ𝑘 ∈ {0} ((𝑘(digit‘2)𝑎) · (2↑𝑘)))))
9 eqeq2 2836 . . . 4 (𝑥 = 𝑦 → ((#b𝑎) = 𝑥 ↔ (#b𝑎) = 𝑦))
10 oveq2 7154 . . . . . 6 (𝑥 = 𝑦 → (0..^𝑥) = (0..^𝑦))
1110sumeq1d 15056 . . . . 5 (𝑥 = 𝑦 → Σ𝑘 ∈ (0..^𝑥)((𝑘(digit‘2)𝑎) · (2↑𝑘)) = Σ𝑘 ∈ (0..^𝑦)((𝑘(digit‘2)𝑎) · (2↑𝑘)))
1211eqeq2d 2835 . . . 4 (𝑥 = 𝑦 → (𝑎 = Σ𝑘 ∈ (0..^𝑥)((𝑘(digit‘2)𝑎) · (2↑𝑘)) ↔ 𝑎 = Σ𝑘 ∈ (0..^𝑦)((𝑘(digit‘2)𝑎) · (2↑𝑘))))
139, 12imbi12d 348 . . 3 (𝑥 = 𝑦 → (((#b𝑎) = 𝑥𝑎 = Σ𝑘 ∈ (0..^𝑥)((𝑘(digit‘2)𝑎) · (2↑𝑘))) ↔ ((#b𝑎) = 𝑦𝑎 = Σ𝑘 ∈ (0..^𝑦)((𝑘(digit‘2)𝑎) · (2↑𝑘)))))
1413ralbidv 3192 . 2 (𝑥 = 𝑦 → (∀𝑎 ∈ ℕ0 ((#b𝑎) = 𝑥𝑎 = Σ𝑘 ∈ (0..^𝑥)((𝑘(digit‘2)𝑎) · (2↑𝑘))) ↔ ∀𝑎 ∈ ℕ0 ((#b𝑎) = 𝑦𝑎 = Σ𝑘 ∈ (0..^𝑦)((𝑘(digit‘2)𝑎) · (2↑𝑘)))))
15 eqeq2 2836 . . . 4 (𝑥 = (𝑦 + 1) → ((#b𝑎) = 𝑥 ↔ (#b𝑎) = (𝑦 + 1)))
16 oveq2 7154 . . . . . 6 (𝑥 = (𝑦 + 1) → (0..^𝑥) = (0..^(𝑦 + 1)))
1716sumeq1d 15056 . . . . 5 (𝑥 = (𝑦 + 1) → Σ𝑘 ∈ (0..^𝑥)((𝑘(digit‘2)𝑎) · (2↑𝑘)) = Σ𝑘 ∈ (0..^(𝑦 + 1))((𝑘(digit‘2)𝑎) · (2↑𝑘)))
1817eqeq2d 2835 . . . 4 (𝑥 = (𝑦 + 1) → (𝑎 = Σ𝑘 ∈ (0..^𝑥)((𝑘(digit‘2)𝑎) · (2↑𝑘)) ↔ 𝑎 = Σ𝑘 ∈ (0..^(𝑦 + 1))((𝑘(digit‘2)𝑎) · (2↑𝑘))))
1915, 18imbi12d 348 . . 3 (𝑥 = (𝑦 + 1) → (((#b𝑎) = 𝑥𝑎 = Σ𝑘 ∈ (0..^𝑥)((𝑘(digit‘2)𝑎) · (2↑𝑘))) ↔ ((#b𝑎) = (𝑦 + 1) → 𝑎 = Σ𝑘 ∈ (0..^(𝑦 + 1))((𝑘(digit‘2)𝑎) · (2↑𝑘)))))
2019ralbidv 3192 . 2 (𝑥 = (𝑦 + 1) → (∀𝑎 ∈ ℕ0 ((#b𝑎) = 𝑥𝑎 = Σ𝑘 ∈ (0..^𝑥)((𝑘(digit‘2)𝑎) · (2↑𝑘))) ↔ ∀𝑎 ∈ ℕ0 ((#b𝑎) = (𝑦 + 1) → 𝑎 = Σ𝑘 ∈ (0..^(𝑦 + 1))((𝑘(digit‘2)𝑎) · (2↑𝑘)))))
21 eqeq2 2836 . . . 4 (𝑥 = 𝐿 → ((#b𝑎) = 𝑥 ↔ (#b𝑎) = 𝐿))
22 oveq2 7154 . . . . . 6 (𝑥 = 𝐿 → (0..^𝑥) = (0..^𝐿))
2322sumeq1d 15056 . . . . 5 (𝑥 = 𝐿 → Σ𝑘 ∈ (0..^𝑥)((𝑘(digit‘2)𝑎) · (2↑𝑘)) = Σ𝑘 ∈ (0..^𝐿)((𝑘(digit‘2)𝑎) · (2↑𝑘)))
2423eqeq2d 2835 . . . 4 (𝑥 = 𝐿 → (𝑎 = Σ𝑘 ∈ (0..^𝑥)((𝑘(digit‘2)𝑎) · (2↑𝑘)) ↔ 𝑎 = Σ𝑘 ∈ (0..^𝐿)((𝑘(digit‘2)𝑎) · (2↑𝑘))))
2521, 24imbi12d 348 . . 3 (𝑥 = 𝐿 → (((#b𝑎) = 𝑥𝑎 = Σ𝑘 ∈ (0..^𝑥)((𝑘(digit‘2)𝑎) · (2↑𝑘))) ↔ ((#b𝑎) = 𝐿𝑎 = Σ𝑘 ∈ (0..^𝐿)((𝑘(digit‘2)𝑎) · (2↑𝑘)))))
2625ralbidv 3192 . 2 (𝑥 = 𝐿 → (∀𝑎 ∈ ℕ0 ((#b𝑎) = 𝑥𝑎 = Σ𝑘 ∈ (0..^𝑥)((𝑘(digit‘2)𝑎) · (2↑𝑘))) ↔ ∀𝑎 ∈ ℕ0 ((#b𝑎) = 𝐿𝑎 = Σ𝑘 ∈ (0..^𝐿)((𝑘(digit‘2)𝑎) · (2↑𝑘)))))
27 0cnd 10628 . . . . . . . 8 (𝑎 ∈ ℕ0 → 0 ∈ ℂ)
28 2nn 11705 . . . . . . . . . . . 12 2 ∈ ℕ
2928a1i 11 . . . . . . . . . . 11 (𝑎 ∈ ℕ0 → 2 ∈ ℕ)
30 0zd 11988 . . . . . . . . . . 11 (𝑎 ∈ ℕ0 → 0 ∈ ℤ)
31 nn0rp0 12840 . . . . . . . . . . 11 (𝑎 ∈ ℕ0𝑎 ∈ (0[,)+∞))
32 digvalnn0 44878 . . . . . . . . . . 11 ((2 ∈ ℕ ∧ 0 ∈ ℤ ∧ 𝑎 ∈ (0[,)+∞)) → (0(digit‘2)𝑎) ∈ ℕ0)
3329, 30, 31, 32syl3anc 1368 . . . . . . . . . 10 (𝑎 ∈ ℕ0 → (0(digit‘2)𝑎) ∈ ℕ0)
3433nn0cnd 11952 . . . . . . . . 9 (𝑎 ∈ ℕ0 → (0(digit‘2)𝑎) ∈ ℂ)
35 1cnd 10630 . . . . . . . . 9 (𝑎 ∈ ℕ0 → 1 ∈ ℂ)
3634, 35mulcld 10655 . . . . . . . 8 (𝑎 ∈ ℕ0 → ((0(digit‘2)𝑎) · 1) ∈ ℂ)
3727, 36jca 515 . . . . . . 7 (𝑎 ∈ ℕ0 → (0 ∈ ℂ ∧ ((0(digit‘2)𝑎) · 1) ∈ ℂ))
3837adantr 484 . . . . . 6 ((𝑎 ∈ ℕ0 ∧ (#b𝑎) = 1) → (0 ∈ ℂ ∧ ((0(digit‘2)𝑎) · 1) ∈ ℂ))
39 oveq1 7153 . . . . . . . 8 (𝑘 = 0 → (𝑘(digit‘2)𝑎) = (0(digit‘2)𝑎))
40 oveq2 7154 . . . . . . . . 9 (𝑘 = 0 → (2↑𝑘) = (2↑0))
41 2cn 11707 . . . . . . . . . 10 2 ∈ ℂ
42 exp0 13436 . . . . . . . . . 10 (2 ∈ ℂ → (2↑0) = 1)
4341, 42ax-mp 5 . . . . . . . . 9 (2↑0) = 1
4440, 43syl6eq 2875 . . . . . . . 8 (𝑘 = 0 → (2↑𝑘) = 1)
4539, 44oveq12d 7164 . . . . . . 7 (𝑘 = 0 → ((𝑘(digit‘2)𝑎) · (2↑𝑘)) = ((0(digit‘2)𝑎) · 1))
4645sumsn 15099 . . . . . 6 ((0 ∈ ℂ ∧ ((0(digit‘2)𝑎) · 1) ∈ ℂ) → Σ𝑘 ∈ {0} ((𝑘(digit‘2)𝑎) · (2↑𝑘)) = ((0(digit‘2)𝑎) · 1))
4738, 46syl 17 . . . . 5 ((𝑎 ∈ ℕ0 ∧ (#b𝑎) = 1) → Σ𝑘 ∈ {0} ((𝑘(digit‘2)𝑎) · (2↑𝑘)) = ((0(digit‘2)𝑎) · 1))
4834adantr 484 . . . . . 6 ((𝑎 ∈ ℕ0 ∧ (#b𝑎) = 1) → (0(digit‘2)𝑎) ∈ ℂ)
4948mulid1d 10652 . . . . 5 ((𝑎 ∈ ℕ0 ∧ (#b𝑎) = 1) → ((0(digit‘2)𝑎) · 1) = (0(digit‘2)𝑎))
50 blen1b 44867 . . . . . . . 8 (𝑎 ∈ ℕ0 → ((#b𝑎) = 1 ↔ (𝑎 = 0 ∨ 𝑎 = 1)))
5150biimpa 480 . . . . . . 7 ((𝑎 ∈ ℕ0 ∧ (#b𝑎) = 1) → (𝑎 = 0 ∨ 𝑎 = 1))
52 vex 3483 . . . . . . . 8 𝑎 ∈ V
5352elpr 4573 . . . . . . 7 (𝑎 ∈ {0, 1} ↔ (𝑎 = 0 ∨ 𝑎 = 1))
5451, 53sylibr 237 . . . . . 6 ((𝑎 ∈ ℕ0 ∧ (#b𝑎) = 1) → 𝑎 ∈ {0, 1})
55 0dig2pr01 44889 . . . . . 6 (𝑎 ∈ {0, 1} → (0(digit‘2)𝑎) = 𝑎)
5654, 55syl 17 . . . . 5 ((𝑎 ∈ ℕ0 ∧ (#b𝑎) = 1) → (0(digit‘2)𝑎) = 𝑎)
5747, 49, 563eqtrrd 2864 . . . 4 ((𝑎 ∈ ℕ0 ∧ (#b𝑎) = 1) → 𝑎 = Σ𝑘 ∈ {0} ((𝑘(digit‘2)𝑎) · (2↑𝑘)))
5857ex 416 . . 3 (𝑎 ∈ ℕ0 → ((#b𝑎) = 1 → 𝑎 = Σ𝑘 ∈ {0} ((𝑘(digit‘2)𝑎) · (2↑𝑘))))
5958rgen 3143 . 2 𝑎 ∈ ℕ0 ((#b𝑎) = 1 → 𝑎 = Σ𝑘 ∈ {0} ((𝑘(digit‘2)𝑎) · (2↑𝑘)))
60 nn0sumshdiglem1 44900 . 2 (𝑦 ∈ ℕ → (∀𝑎 ∈ ℕ0 ((#b𝑎) = 𝑦𝑎 = Σ𝑘 ∈ (0..^𝑦)((𝑘(digit‘2)𝑎) · (2↑𝑘))) → ∀𝑎 ∈ ℕ0 ((#b𝑎) = (𝑦 + 1) → 𝑎 = Σ𝑘 ∈ (0..^(𝑦 + 1))((𝑘(digit‘2)𝑎) · (2↑𝑘)))))
618, 14, 20, 26, 59, 60nnind 11650 1 (𝐿 ∈ ℕ → ∀𝑎 ∈ ℕ0 ((#b𝑎) = 𝐿𝑎 = Σ𝑘 ∈ (0..^𝐿)((𝑘(digit‘2)𝑎) · (2↑𝑘))))
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  wi 4  wa 399  wo 844   = wceq 1538  wcel 2115  wral 3133  {csn 4550  {cpr 4552  cfv 6344  (class class class)co 7146  cc 10529  0cc0 10531  1c1 10532   + caddc 10534   · cmul 10536  +∞cpnf 10666  cn 11632  2c2 11687  0cn0 11892  cz 11976  [,)cico 12735  ..^cfzo 13035  cexp 13432  Σcsu 15040  #bcblen 44848  digitcdig 44874
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1797  ax-4 1811  ax-5 1912  ax-6 1971  ax-7 2016  ax-8 2117  ax-9 2125  ax-10 2146  ax-11 2162  ax-12 2179  ax-ext 2796  ax-rep 5177  ax-sep 5190  ax-nul 5197  ax-pow 5254  ax-pr 5318  ax-un 7452  ax-inf2 9097  ax-cnex 10587  ax-resscn 10588  ax-1cn 10589  ax-icn 10590  ax-addcl 10591  ax-addrcl 10592  ax-mulcl 10593  ax-mulrcl 10594  ax-mulcom 10595  ax-addass 10596  ax-mulass 10597  ax-distr 10598  ax-i2m1 10599  ax-1ne0 10600  ax-1rid 10601  ax-rnegex 10602  ax-rrecex 10603  ax-cnre 10604  ax-pre-lttri 10605  ax-pre-lttrn 10606  ax-pre-ltadd 10607  ax-pre-mulgt0 10608  ax-pre-sup 10609  ax-addf 10610  ax-mulf 10611
This theorem depends on definitions:  df-bi 210  df-an 400  df-or 845  df-3or 1085  df-3an 1086  df-tru 1541  df-fal 1551  df-ex 1782  df-nf 1786  df-sb 2071  df-mo 2624  df-eu 2655  df-clab 2803  df-cleq 2817  df-clel 2896  df-nfc 2964  df-ne 3015  df-nel 3119  df-ral 3138  df-rex 3139  df-reu 3140  df-rmo 3141  df-rab 3142  df-v 3482  df-sbc 3759  df-csb 3867  df-dif 3922  df-un 3924  df-in 3926  df-ss 3936  df-pss 3938  df-nul 4277  df-if 4451  df-pw 4524  df-sn 4551  df-pr 4553  df-tp 4555  df-op 4557  df-uni 4826  df-int 4864  df-iun 4908  df-iin 4909  df-br 5054  df-opab 5116  df-mpt 5134  df-tr 5160  df-id 5448  df-eprel 5453  df-po 5462  df-so 5463  df-fr 5502  df-se 5503  df-we 5504  df-xp 5549  df-rel 5550  df-cnv 5551  df-co 5552  df-dm 5553  df-rn 5554  df-res 5555  df-ima 5556  df-pred 6136  df-ord 6182  df-on 6183  df-lim 6184  df-suc 6185  df-iota 6303  df-fun 6346  df-fn 6347  df-f 6348  df-f1 6349  df-fo 6350  df-f1o 6351  df-fv 6352  df-isom 6353  df-riota 7104  df-ov 7149  df-oprab 7150  df-mpo 7151  df-of 7400  df-om 7572  df-1st 7681  df-2nd 7682  df-supp 7823  df-wrecs 7939  df-recs 8000  df-rdg 8038  df-1o 8094  df-2o 8095  df-oadd 8098  df-er 8281  df-map 8400  df-pm 8401  df-ixp 8454  df-en 8502  df-dom 8503  df-sdom 8504  df-fin 8505  df-fsupp 8827  df-fi 8868  df-sup 8899  df-inf 8900  df-oi 8967  df-card 9361  df-pnf 10671  df-mnf 10672  df-xr 10673  df-ltxr 10674  df-le 10675  df-sub 10866  df-neg 10867  df-div 11292  df-nn 11633  df-2 11695  df-3 11696  df-4 11697  df-5 11698  df-6 11699  df-7 11700  df-8 11701  df-9 11702  df-n0 11893  df-z 11977  df-dec 12094  df-uz 12239  df-q 12344  df-rp 12385  df-xneg 12502  df-xadd 12503  df-xmul 12504  df-ioo 12737  df-ioc 12738  df-ico 12739  df-icc 12740  df-fz 12893  df-fzo 13036  df-fl 13164  df-mod 13240  df-seq 13372  df-exp 13433  df-fac 13637  df-bc 13666  df-hash 13694  df-shft 14424  df-cj 14456  df-re 14457  df-im 14458  df-sqrt 14592  df-abs 14593  df-limsup 14826  df-clim 14843  df-rlim 14844  df-sum 15041  df-ef 15419  df-sin 15421  df-cos 15422  df-pi 15424  df-dvds 15606  df-struct 16483  df-ndx 16484  df-slot 16485  df-base 16487  df-sets 16488  df-ress 16489  df-plusg 16576  df-mulr 16577  df-starv 16578  df-sca 16579  df-vsca 16580  df-ip 16581  df-tset 16582  df-ple 16583  df-ds 16585  df-unif 16586  df-hom 16587  df-cco 16588  df-rest 16694  df-topn 16695  df-0g 16713  df-gsum 16714  df-topgen 16715  df-pt 16716  df-prds 16719  df-xrs 16773  df-qtop 16778  df-imas 16779  df-xps 16781  df-mre 16855  df-mrc 16856  df-acs 16858  df-mgm 17850  df-sgrp 17899  df-mnd 17910  df-submnd 17955  df-mulg 18223  df-cntz 18445  df-cmn 18906  df-psmet 20532  df-xmet 20533  df-met 20534  df-bl 20535  df-mopn 20536  df-fbas 20537  df-fg 20538  df-cnfld 20541  df-top 21497  df-topon 21514  df-topsp 21536  df-bases 21549  df-cld 21622  df-ntr 21623  df-cls 21624  df-nei 21701  df-lp 21739  df-perf 21740  df-cn 21830  df-cnp 21831  df-haus 21918  df-tx 22165  df-hmeo 22358  df-fil 22449  df-fm 22541  df-flim 22542  df-flf 22543  df-xms 22925  df-ms 22926  df-tms 22927  df-cncf 23481  df-limc 24467  df-dv 24468  df-log 25146  df-cxp 25147  df-logb 25349  df-blen 44849  df-dig 44875
This theorem is referenced by:  nn0sumshdig  44902
  Copyright terms: Public domain W3C validator