Theorem nn0sumshdiglem2 45979

Description: Lemma 2 for nn0sumshdig 45980. (Contributed by AV, 7-Jun-2020.)

Assertion

Ref	Expression
nn0sumshdiglem2	⊢ (𝐿 ∈ ℕ → ∀𝑎 ∈ ℕ0 ((#b‘𝑎) = 𝐿 → 𝑎 = Σ𝑘 ∈ (0..^𝐿)((𝑘(digit‘2)𝑎) · (2↑𝑘))))

Distinct variable group:   𝑘,𝑎,𝐿

Proof of Theorem nn0sumshdiglem2

Dummy variables 𝑥 𝑦 are mutually distinct and distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		eqeq2 2751	. . . 4 ⊢ (𝑥 = 1 → ((#b‘𝑎) = 𝑥 ↔ (#b‘𝑎) = 1))
2		oveq2 7292	. . . . . . 7 ⊢ (𝑥 = 1 → (0..^𝑥) = (0..^1))
3		fzo01 13478	. . . . . . 7 ⊢ (0..^1) = {0}
4	2, 3	eqtrdi 2795	. . . . . 6 ⊢ (𝑥 = 1 → (0..^𝑥) = {0})
5	4	sumeq1d 15422	. . . . 5 ⊢ (𝑥 = 1 → Σ𝑘 ∈ (0..^𝑥)((𝑘(digit‘2)𝑎) · (2↑𝑘)) = Σ𝑘 ∈ {0} ((𝑘(digit‘2)𝑎) · (2↑𝑘)))
6	5	eqeq2d 2750	. . . 4 ⊢ (𝑥 = 1 → (𝑎 = Σ𝑘 ∈ (0..^𝑥)((𝑘(digit‘2)𝑎) · (2↑𝑘)) ↔ 𝑎 = Σ𝑘 ∈ {0} ((𝑘(digit‘2)𝑎) · (2↑𝑘))))
7	1, 6	imbi12d 345	. . 3 ⊢ (𝑥 = 1 → (((#b‘𝑎) = 𝑥 → 𝑎 = Σ𝑘 ∈ (0..^𝑥)((𝑘(digit‘2)𝑎) · (2↑𝑘))) ↔ ((#b‘𝑎) = 1 → 𝑎 = Σ𝑘 ∈ {0} ((𝑘(digit‘2)𝑎) · (2↑𝑘)))))
8	7	ralbidv 3113	. 2 ⊢ (𝑥 = 1 → (∀𝑎 ∈ ℕ0 ((#b‘𝑎) = 𝑥 → 𝑎 = Σ𝑘 ∈ (0..^𝑥)((𝑘(digit‘2)𝑎) · (2↑𝑘))) ↔ ∀𝑎 ∈ ℕ0 ((#b‘𝑎) = 1 → 𝑎 = Σ𝑘 ∈ {0} ((𝑘(digit‘2)𝑎) · (2↑𝑘)))))
9		eqeq2 2751	. . . 4 ⊢ (𝑥 = 𝑦 → ((#b‘𝑎) = 𝑥 ↔ (#b‘𝑎) = 𝑦))
10		oveq2 7292	. . . . . 6 ⊢ (𝑥 = 𝑦 → (0..^𝑥) = (0..^𝑦))
11	10	sumeq1d 15422	. . . . 5 ⊢ (𝑥 = 𝑦 → Σ𝑘 ∈ (0..^𝑥)((𝑘(digit‘2)𝑎) · (2↑𝑘)) = Σ𝑘 ∈ (0..^𝑦)((𝑘(digit‘2)𝑎) · (2↑𝑘)))
12	11	eqeq2d 2750	. . . 4 ⊢ (𝑥 = 𝑦 → (𝑎 = Σ𝑘 ∈ (0..^𝑥)((𝑘(digit‘2)𝑎) · (2↑𝑘)) ↔ 𝑎 = Σ𝑘 ∈ (0..^𝑦)((𝑘(digit‘2)𝑎) · (2↑𝑘))))
13	9, 12	imbi12d 345	. . 3 ⊢ (𝑥 = 𝑦 → (((#b‘𝑎) = 𝑥 → 𝑎 = Σ𝑘 ∈ (0..^𝑥)((𝑘(digit‘2)𝑎) · (2↑𝑘))) ↔ ((#b‘𝑎) = 𝑦 → 𝑎 = Σ𝑘 ∈ (0..^𝑦)((𝑘(digit‘2)𝑎) · (2↑𝑘)))))
14	13	ralbidv 3113	. 2 ⊢ (𝑥 = 𝑦 → (∀𝑎 ∈ ℕ0 ((#b‘𝑎) = 𝑥 → 𝑎 = Σ𝑘 ∈ (0..^𝑥)((𝑘(digit‘2)𝑎) · (2↑𝑘))) ↔ ∀𝑎 ∈ ℕ0 ((#b‘𝑎) = 𝑦 → 𝑎 = Σ𝑘 ∈ (0..^𝑦)((𝑘(digit‘2)𝑎) · (2↑𝑘)))))
15		eqeq2 2751	. . . 4 ⊢ (𝑥 = (𝑦 + 1) → ((#b‘𝑎) = 𝑥 ↔ (#b‘𝑎) = (𝑦 + 1)))
16		oveq2 7292	. . . . . 6 ⊢ (𝑥 = (𝑦 + 1) → (0..^𝑥) = (0..^(𝑦 + 1)))
17	16	sumeq1d 15422	. . . . 5 ⊢ (𝑥 = (𝑦 + 1) → Σ𝑘 ∈ (0..^𝑥)((𝑘(digit‘2)𝑎) · (2↑𝑘)) = Σ𝑘 ∈ (0..^(𝑦 + 1))((𝑘(digit‘2)𝑎) · (2↑𝑘)))
18	17	eqeq2d 2750	. . . 4 ⊢ (𝑥 = (𝑦 + 1) → (𝑎 = Σ𝑘 ∈ (0..^𝑥)((𝑘(digit‘2)𝑎) · (2↑𝑘)) ↔ 𝑎 = Σ𝑘 ∈ (0..^(𝑦 + 1))((𝑘(digit‘2)𝑎) · (2↑𝑘))))
19	15, 18	imbi12d 345	. . 3 ⊢ (𝑥 = (𝑦 + 1) → (((#b‘𝑎) = 𝑥 → 𝑎 = Σ𝑘 ∈ (0..^𝑥)((𝑘(digit‘2)𝑎) · (2↑𝑘))) ↔ ((#b‘𝑎) = (𝑦 + 1) → 𝑎 = Σ𝑘 ∈ (0..^(𝑦 + 1))((𝑘(digit‘2)𝑎) · (2↑𝑘)))))
20	19	ralbidv 3113	. 2 ⊢ (𝑥 = (𝑦 + 1) → (∀𝑎 ∈ ℕ0 ((#b‘𝑎) = 𝑥 → 𝑎 = Σ𝑘 ∈ (0..^𝑥)((𝑘(digit‘2)𝑎) · (2↑𝑘))) ↔ ∀𝑎 ∈ ℕ0 ((#b‘𝑎) = (𝑦 + 1) → 𝑎 = Σ𝑘 ∈ (0..^(𝑦 + 1))((𝑘(digit‘2)𝑎) · (2↑𝑘)))))
21		eqeq2 2751	. . . 4 ⊢ (𝑥 = 𝐿 → ((#b‘𝑎) = 𝑥 ↔ (#b‘𝑎) = 𝐿))
22		oveq2 7292	. . . . . 6 ⊢ (𝑥 = 𝐿 → (0..^𝑥) = (0..^𝐿))
23	22	sumeq1d 15422	. . . . 5 ⊢ (𝑥 = 𝐿 → Σ𝑘 ∈ (0..^𝑥)((𝑘(digit‘2)𝑎) · (2↑𝑘)) = Σ𝑘 ∈ (0..^𝐿)((𝑘(digit‘2)𝑎) · (2↑𝑘)))
24	23	eqeq2d 2750	. . . 4 ⊢ (𝑥 = 𝐿 → (𝑎 = Σ𝑘 ∈ (0..^𝑥)((𝑘(digit‘2)𝑎) · (2↑𝑘)) ↔ 𝑎 = Σ𝑘 ∈ (0..^𝐿)((𝑘(digit‘2)𝑎) · (2↑𝑘))))
25	21, 24	imbi12d 345	. . 3 ⊢ (𝑥 = 𝐿 → (((#b‘𝑎) = 𝑥 → 𝑎 = Σ𝑘 ∈ (0..^𝑥)((𝑘(digit‘2)𝑎) · (2↑𝑘))) ↔ ((#b‘𝑎) = 𝐿 → 𝑎 = Σ𝑘 ∈ (0..^𝐿)((𝑘(digit‘2)𝑎) · (2↑𝑘)))))
26	25	ralbidv 3113	. 2 ⊢ (𝑥 = 𝐿 → (∀𝑎 ∈ ℕ0 ((#b‘𝑎) = 𝑥 → 𝑎 = Σ𝑘 ∈ (0..^𝑥)((𝑘(digit‘2)𝑎) · (2↑𝑘))) ↔ ∀𝑎 ∈ ℕ0 ((#b‘𝑎) = 𝐿 → 𝑎 = Σ𝑘 ∈ (0..^𝐿)((𝑘(digit‘2)𝑎) · (2↑𝑘)))))
27		0cnd 10977	. . . . . . . 8 ⊢ (𝑎 ∈ ℕ0 → 0 ∈ ℂ)
28		2nn 12055	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ 2 ∈ ℕ
29	28	a1i 11	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (𝑎 ∈ ℕ0 → 2 ∈ ℕ)
30		0zd 12340	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (𝑎 ∈ ℕ0 → 0 ∈ ℤ)
31		nn0rp0 13196	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (𝑎 ∈ ℕ0 → 𝑎 ∈ (0[,)+∞))
32		digvalnn0 45956	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ((2 ∈ ℕ ∧ 0 ∈ ℤ ∧ 𝑎 ∈ (0[,)+∞)) → (0(digit‘2)𝑎) ∈ ℕ0)
33	29, 30, 31, 32	syl3anc 1370	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝑎 ∈ ℕ0 → (0(digit‘2)𝑎) ∈ ℕ0)
34	33	nn0cnd 12304	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝑎 ∈ ℕ0 → (0(digit‘2)𝑎) ∈ ℂ)
35		1cnd 10979	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝑎 ∈ ℕ0 → 1 ∈ ℂ)
36	34, 35	mulcld 11004	. . . . . . . 8 ⊢ (𝑎 ∈ ℕ0 → ((0(digit‘2)𝑎) · 1) ∈ ℂ)
37	27, 36	jca 512	. . . . . . 7 ⊢ (𝑎 ∈ ℕ0 → (0 ∈ ℂ ∧ ((0(digit‘2)𝑎) · 1) ∈ ℂ))
38	37	adantr 481	. . . . . 6 ⊢ ((𝑎 ∈ ℕ0 ∧ (#b‘𝑎) = 1) → (0 ∈ ℂ ∧ ((0(digit‘2)𝑎) · 1) ∈ ℂ))
39		oveq1 7291	. . . . . . . 8 ⊢ (𝑘 = 0 → (𝑘(digit‘2)𝑎) = (0(digit‘2)𝑎))
40		oveq2 7292	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝑘 = 0 → (2↑𝑘) = (2↑0))
41		2cn 12057	. . . . . . . . . 10 ⊢ 2 ∈ ℂ
42		exp0 13795	. . . . . . . . . 10 ⊢ (2 ∈ ℂ → (2↑0) = 1)
43	41, 42	ax-mp 5	. . . . . . . . 9 ⊢ (2↑0) = 1
44	40, 43	eqtrdi 2795	. . . . . . . 8 ⊢ (𝑘 = 0 → (2↑𝑘) = 1)
45	39, 44	oveq12d 7302	. . . . . . 7 ⊢ (𝑘 = 0 → ((𝑘(digit‘2)𝑎) · (2↑𝑘)) = ((0(digit‘2)𝑎) · 1))
46	45	sumsn 15467	. . . . . 6 ⊢ ((0 ∈ ℂ ∧ ((0(digit‘2)𝑎) · 1) ∈ ℂ) → Σ𝑘 ∈ {0} ((𝑘(digit‘2)𝑎) · (2↑𝑘)) = ((0(digit‘2)𝑎) · 1))
47	38, 46	syl 17	. . . . 5 ⊢ ((𝑎 ∈ ℕ0 ∧ (#b‘𝑎) = 1) → Σ𝑘 ∈ {0} ((𝑘(digit‘2)𝑎) · (2↑𝑘)) = ((0(digit‘2)𝑎) · 1))
48	34	adantr 481	. . . . . 6 ⊢ ((𝑎 ∈ ℕ0 ∧ (#b‘𝑎) = 1) → (0(digit‘2)𝑎) ∈ ℂ)
49	48	mulid1d 11001	. . . . 5 ⊢ ((𝑎 ∈ ℕ0 ∧ (#b‘𝑎) = 1) → ((0(digit‘2)𝑎) · 1) = (0(digit‘2)𝑎))
50		blen1b 45945	. . . . . . . 8 ⊢ (𝑎 ∈ ℕ0 → ((#b‘𝑎) = 1 ↔ (𝑎 = 0 ∨ 𝑎 = 1)))
51	50	biimpa 477	. . . . . . 7 ⊢ ((𝑎 ∈ ℕ0 ∧ (#b‘𝑎) = 1) → (𝑎 = 0 ∨ 𝑎 = 1))
52		vex 3437	. . . . . . . 8 ⊢ 𝑎 ∈ V
53	52	elpr 4585	. . . . . . 7 ⊢ (𝑎 ∈ {0, 1} ↔ (𝑎 = 0 ∨ 𝑎 = 1))
54	51, 53	sylibr 233	. . . . . 6 ⊢ ((𝑎 ∈ ℕ0 ∧ (#b‘𝑎) = 1) → 𝑎 ∈ {0, 1})
55		0dig2pr01 45967	. . . . . 6 ⊢ (𝑎 ∈ {0, 1} → (0(digit‘2)𝑎) = 𝑎)
56	54, 55	syl 17	. . . . 5 ⊢ ((𝑎 ∈ ℕ0 ∧ (#b‘𝑎) = 1) → (0(digit‘2)𝑎) = 𝑎)
57	47, 49, 56	3eqtrrd 2784	. . . 4 ⊢ ((𝑎 ∈ ℕ0 ∧ (#b‘𝑎) = 1) → 𝑎 = Σ𝑘 ∈ {0} ((𝑘(digit‘2)𝑎) · (2↑𝑘)))
58	57	ex 413	. . 3 ⊢ (𝑎 ∈ ℕ0 → ((#b‘𝑎) = 1 → 𝑎 = Σ𝑘 ∈ {0} ((𝑘(digit‘2)𝑎) · (2↑𝑘))))
59	58	rgen 3075	. 2 ⊢ ∀𝑎 ∈ ℕ0 ((#b‘𝑎) = 1 → 𝑎 = Σ𝑘 ∈ {0} ((𝑘(digit‘2)𝑎) · (2↑𝑘)))
60		nn0sumshdiglem1 45978	. 2 ⊢ (𝑦 ∈ ℕ → (∀𝑎 ∈ ℕ0 ((#b‘𝑎) = 𝑦 → 𝑎 = Σ𝑘 ∈ (0..^𝑦)((𝑘(digit‘2)𝑎) · (2↑𝑘))) → ∀𝑎 ∈ ℕ0 ((#b‘𝑎) = (𝑦 + 1) → 𝑎 = Σ𝑘 ∈ (0..^(𝑦 + 1))((𝑘(digit‘2)𝑎) · (2↑𝑘)))))
61	8, 14, 20, 26, 59, 60	nnind 12000	1 ⊢ (𝐿 ∈ ℕ → ∀𝑎 ∈ ℕ0 ((#b‘𝑎) = 𝐿 → 𝑎 = Σ𝑘 ∈ (0..^𝐿)((𝑘(digit‘2)𝑎) · (2↑𝑘))))

Syntax hints:   → wi 4   ∧ wa 396   ∨ wo 844   = wceq 1539   ∈ wcel 2107  ∀wral 3065  {csn 4562  {cpr 4564  ‘cfv 6437  (class class class)co 7284  ℂcc 10878  0cc0 10880  1c1 10881   + caddc 10883   · cmul 10885  +∞cpnf 11015  ℕcn 11982  2c2 12037  ℕ₀cn0 12242  ℤcz 12328  [,)cico 13090  ..^cfzo 13391  ↑cexp 13791  Σcsu 15406  #_bcblen 45926  digitcdig 45952

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1798  ax-4 1812  ax-5 1914  ax-6 1972  ax-7 2012  ax-8 2109  ax-9 2117  ax-10 2138  ax-11 2155  ax-12 2172  ax-ext 2710  ax-rep 5210  ax-sep 5224  ax-nul 5231  ax-pow 5289  ax-pr 5353  ax-un 7597  ax-inf2 9408  ax-cnex 10936  ax-resscn 10937  ax-1cn 10938  ax-icn 10939  ax-addcl 10940  ax-addrcl 10941  ax-mulcl 10942  ax-mulrcl 10943  ax-mulcom 10944  ax-addass 10945  ax-mulass 10946  ax-distr 10947  ax-i2m1 10948  ax-1ne0 10949  ax-1rid 10950  ax-rnegex 10951  ax-rrecex 10952  ax-cnre 10953  ax-pre-lttri 10954  ax-pre-lttrn 10955  ax-pre-ltadd 10956  ax-pre-mulgt0 10957  ax-pre-sup 10958  ax-addf 10959  ax-mulf 10960

This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 397  df-or 845  df-3or 1087  df-3an 1088  df-tru 1542  df-fal 1552  df-ex 1783  df-nf 1787  df-sb 2069  df-mo 2541  df-eu 2570  df-clab 2717  df-cleq 2731  df-clel 2817  df-nfc 2890  df-ne 2945  df-nel 3051  df-ral 3070  df-rex 3071  df-rmo 3072  df-reu 3073  df-rab 3074  df-v 3435  df-sbc 3718  df-csb 3834  df-dif 3891  df-un 3893  df-in 3895  df-ss 3905  df-pss 3907  df-nul 4258  df-if 4461  df-pw 4536  df-sn 4563  df-pr 4565  df-tp 4567  df-op 4569  df-uni 4841  df-int 4881  df-iun 4927  df-iin 4928  df-br 5076  df-opab 5138  df-mpt 5159  df-tr 5193  df-id 5490  df-eprel 5496  df-po 5504  df-so 5505  df-fr 5545  df-se 5546  df-we 5547  df-xp 5596  df-rel 5597  df-cnv 5598  df-co 5599  df-dm 5600  df-rn 5601  df-res 5602  df-ima 5603  df-pred 6206  df-ord 6273  df-on 6274  df-lim 6275  df-suc 6276  df-iota 6395  df-fun 6439  df-fn 6440  df-f 6441  df-f1 6442  df-fo 6443  df-f1o 6444  df-fv 6445  df-isom 6446  df-riota 7241  df-ov 7287  df-oprab 7288  df-mpo 7289  df-of 7542  df-om 7722  df-1st 7840  df-2nd 7841  df-supp 7987  df-frecs 8106  df-wrecs 8137  df-recs 8211  df-rdg 8250  df-1o 8306  df-2o 8307  df-er 8507  df-map 8626  df-pm 8627  df-ixp 8695  df-en 8743  df-dom 8744  df-sdom 8745  df-fin 8746  df-fsupp 9138  df-fi 9179  df-sup 9210  df-inf 9211  df-oi 9278  df-card 9706  df-pnf 11020  df-mnf 11021  df-xr 11022  df-ltxr 11023  df-le 11024  df-sub 11216  df-neg 11217  df-div 11642  df-nn 11983  df-2 12045  df-3 12046  df-4 12047  df-5 12048  df-6 12049  df-7 12050  df-8 12051  df-9 12052  df-n0 12243  df-z 12329  df-dec 12447  df-uz 12592  df-q 12698  df-rp 12740  df-xneg 12857  df-xadd 12858  df-xmul 12859  df-ioo 13092  df-ioc 13093  df-ico 13094  df-icc 13095  df-fz 13249  df-fzo 13392  df-fl 13521  df-mod 13599  df-seq 13731  df-exp 13792  df-fac 13997  df-bc 14026  df-hash 14054  df-shft 14787  df-cj 14819  df-re 14820  df-im 14821  df-sqrt 14955  df-abs 14956  df-limsup 15189  df-clim 15206  df-rlim 15207  df-sum 15407  df-ef 15786  df-sin 15788  df-cos 15789  df-pi 15791  df-dvds 15973  df-struct 16857  df-sets 16874  df-slot 16892  df-ndx 16904  df-base 16922  df-ress 16951  df-plusg 16984  df-mulr 16985  df-starv 16986  df-sca 16987  df-vsca 16988  df-ip 16989  df-tset 16990  df-ple 16991  df-ds 16993  df-unif 16994  df-hom 16995  df-cco 16996  df-rest 17142  df-topn 17143  df-0g 17161  df-gsum 17162  df-topgen 17163  df-pt 17164  df-prds 17167  df-xrs 17222  df-qtop 17227  df-imas 17228  df-xps 17230  df-mre 17304  df-mrc 17305  df-acs 17307  df-mgm 18335  df-sgrp 18384  df-mnd 18395  df-submnd 18440  df-mulg 18710  df-cntz 18932  df-cmn 19397  df-psmet 20598  df-xmet 20599  df-met 20600  df-bl 20601  df-mopn 20602  df-fbas 20603  df-fg 20604  df-cnfld 20607  df-top 22052  df-topon 22069  df-topsp 22091  df-bases 22105  df-cld 22179  df-ntr 22180  df-cls 22181  df-nei 22258  df-lp 22296  df-perf 22297  df-cn 22387  df-cnp 22388  df-haus 22475  df-tx 22722  df-hmeo 22915  df-fil 23006  df-fm 23098  df-flim 23099  df-flf 23100  df-xms 23482  df-ms 23483  df-tms 23484  df-cncf 24050  df-limc 25039  df-dv 25040  df-log 25721  df-cxp 25722  df-logb 25924  df-blen 45927  df-dig 45953

This theorem is referenced by:  nn0sumshdig  45980