Mathbox for Alexander van der Vekens < Previous   Next > Nearby theorems Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >   Mathboxes  >  nn0mullong Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem nn0mullong 44965
 Description: Standard algorithm (also known as "long multiplication" or "grade-school multiplication") to calculate the product of two nonnegative integers 𝑎 and 𝑏 by multiplying the multiplicand 𝑏 by each digit of the multiplier 𝑎 and then add up all the properly shifted results. Here, the binary representation of the multiplier 𝑎 is used, i.e. the above mentioned "digits" are 0 or 1. This is a similar result as provided by smumul 15840. (Contributed by AV, 7-Jun-2020.)
Assertion
Ref Expression
nn0mullong ((𝐴 ∈ ℕ0𝐵 ∈ ℕ0) → (𝐴 · 𝐵) = Σ𝑘 ∈ (0..^(#b𝐴))(((𝑘(digit‘2)𝐴) · (2↑𝑘)) · 𝐵))
Distinct variable groups:   𝐴,𝑘   𝐵,𝑘

Proof of Theorem nn0mullong
StepHypRef Expression
1 nn0sumshdig 44963 . . . 4 (𝐴 ∈ ℕ0𝐴 = Σ𝑘 ∈ (0..^(#b𝐴))((𝑘(digit‘2)𝐴) · (2↑𝑘)))
21adantr 484 . . 3 ((𝐴 ∈ ℕ0𝐵 ∈ ℕ0) → 𝐴 = Σ𝑘 ∈ (0..^(#b𝐴))((𝑘(digit‘2)𝐴) · (2↑𝑘)))
32oveq1d 7164 . 2 ((𝐴 ∈ ℕ0𝐵 ∈ ℕ0) → (𝐴 · 𝐵) = (Σ𝑘 ∈ (0..^(#b𝐴))((𝑘(digit‘2)𝐴) · (2↑𝑘)) · 𝐵))
4 fzofi 13346 . . . 4 (0..^(#b𝐴)) ∈ Fin
54a1i 11 . . 3 ((𝐴 ∈ ℕ0𝐵 ∈ ℕ0) → (0..^(#b𝐴)) ∈ Fin)
6 nn0cn 11904 . . . 4 (𝐵 ∈ ℕ0𝐵 ∈ ℂ)
76adantl 485 . . 3 ((𝐴 ∈ ℕ0𝐵 ∈ ℕ0) → 𝐵 ∈ ℂ)
8 2nn 11707 . . . . . . 7 2 ∈ ℕ
98a1i 11 . . . . . 6 (((𝐴 ∈ ℕ0𝐵 ∈ ℕ0) ∧ 𝑘 ∈ (0..^(#b𝐴))) → 2 ∈ ℕ)
10 elfzoelz 13042 . . . . . . 7 (𝑘 ∈ (0..^(#b𝐴)) → 𝑘 ∈ ℤ)
1110adantl 485 . . . . . 6 (((𝐴 ∈ ℕ0𝐵 ∈ ℕ0) ∧ 𝑘 ∈ (0..^(#b𝐴))) → 𝑘 ∈ ℤ)
12 nn0rp0 12842 . . . . . . . 8 (𝐴 ∈ ℕ0𝐴 ∈ (0[,)+∞))
1312adantr 484 . . . . . . 7 ((𝐴 ∈ ℕ0𝐵 ∈ ℕ0) → 𝐴 ∈ (0[,)+∞))
1413adantr 484 . . . . . 6 (((𝐴 ∈ ℕ0𝐵 ∈ ℕ0) ∧ 𝑘 ∈ (0..^(#b𝐴))) → 𝐴 ∈ (0[,)+∞))
15 digvalnn0 44939 . . . . . 6 ((2 ∈ ℕ ∧ 𝑘 ∈ ℤ ∧ 𝐴 ∈ (0[,)+∞)) → (𝑘(digit‘2)𝐴) ∈ ℕ0)
169, 11, 14, 15syl3anc 1368 . . . . 5 (((𝐴 ∈ ℕ0𝐵 ∈ ℕ0) ∧ 𝑘 ∈ (0..^(#b𝐴))) → (𝑘(digit‘2)𝐴) ∈ ℕ0)
1716nn0cnd 11954 . . . 4 (((𝐴 ∈ ℕ0𝐵 ∈ ℕ0) ∧ 𝑘 ∈ (0..^(#b𝐴))) → (𝑘(digit‘2)𝐴) ∈ ℂ)
18 2nn0 11911 . . . . . . . 8 2 ∈ ℕ0
1918a1i 11 . . . . . . 7 (𝑘 ∈ (0..^(#b𝐴)) → 2 ∈ ℕ0)
20 elfzonn0 13086 . . . . . . 7 (𝑘 ∈ (0..^(#b𝐴)) → 𝑘 ∈ ℕ0)
2119, 20nn0expcld 13612 . . . . . 6 (𝑘 ∈ (0..^(#b𝐴)) → (2↑𝑘) ∈ ℕ0)
2221nn0cnd 11954 . . . . 5 (𝑘 ∈ (0..^(#b𝐴)) → (2↑𝑘) ∈ ℂ)
2322adantl 485 . . . 4 (((𝐴 ∈ ℕ0𝐵 ∈ ℕ0) ∧ 𝑘 ∈ (0..^(#b𝐴))) → (2↑𝑘) ∈ ℂ)
2417, 23mulcld 10659 . . 3 (((𝐴 ∈ ℕ0𝐵 ∈ ℕ0) ∧ 𝑘 ∈ (0..^(#b𝐴))) → ((𝑘(digit‘2)𝐴) · (2↑𝑘)) ∈ ℂ)
255, 7, 24fsummulc1 15140 . 2 ((𝐴 ∈ ℕ0𝐵 ∈ ℕ0) → (Σ𝑘 ∈ (0..^(#b𝐴))((𝑘(digit‘2)𝐴) · (2↑𝑘)) · 𝐵) = Σ𝑘 ∈ (0..^(#b𝐴))(((𝑘(digit‘2)𝐴) · (2↑𝑘)) · 𝐵))
263, 25eqtrd 2859 1 ((𝐴 ∈ ℕ0𝐵 ∈ ℕ0) → (𝐴 · 𝐵) = Σ𝑘 ∈ (0..^(#b𝐴))(((𝑘(digit‘2)𝐴) · (2↑𝑘)) · 𝐵))
 Colors of variables: wff setvar class Syntax hints:   → wi 4   ∧ wa 399   = wceq 1538   ∈ wcel 2115  ‘cfv 6343  (class class class)co 7149  Fincfn 8505  ℂcc 10533  0cc0 10535   · cmul 10540  +∞cpnf 10670  ℕcn 11634  2c2 11689  ℕ0cn0 11894  ℤcz 11978  [,)cico 12737  ..^cfzo 13037  ↑cexp 13434  Σcsu 15042  #bcblen 44909  digitcdig 44935 This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1797  ax-4 1811  ax-5 1912  ax-6 1971  ax-7 2016  ax-8 2117  ax-9 2125  ax-10 2146  ax-11 2162  ax-12 2179  ax-ext 2796  ax-rep 5176  ax-sep 5189  ax-nul 5196  ax-pow 5253  ax-pr 5317  ax-un 7455  ax-inf2 9101  ax-cnex 10591  ax-resscn 10592  ax-1cn 10593  ax-icn 10594  ax-addcl 10595  ax-addrcl 10596  ax-mulcl 10597  ax-mulrcl 10598  ax-mulcom 10599  ax-addass 10600  ax-mulass 10601  ax-distr 10602  ax-i2m1 10603  ax-1ne0 10604  ax-1rid 10605  ax-rnegex 10606  ax-rrecex 10607  ax-cnre 10608  ax-pre-lttri 10609  ax-pre-lttrn 10610  ax-pre-ltadd 10611  ax-pre-mulgt0 10612  ax-pre-sup 10613  ax-addf 10614  ax-mulf 10615 This theorem depends on definitions:  df-bi 210  df-an 400  df-or 845  df-3or 1085  df-3an 1086  df-tru 1541  df-fal 1551  df-ex 1782  df-nf 1786  df-sb 2071  df-mo 2624  df-eu 2655  df-clab 2803  df-cleq 2817  df-clel 2896  df-nfc 2964  df-ne 3015  df-nel 3119  df-ral 3138  df-rex 3139  df-reu 3140  df-rmo 3141  df-rab 3142  df-v 3482  df-sbc 3759  df-csb 3867  df-dif 3922  df-un 3924  df-in 3926  df-ss 3936  df-pss 3938  df-nul 4277  df-if 4451  df-pw 4524  df-sn 4551  df-pr 4553  df-tp 4555  df-op 4557  df-uni 4825  df-int 4863  df-iun 4907  df-iin 4908  df-br 5053  df-opab 5115  df-mpt 5133  df-tr 5159  df-id 5447  df-eprel 5452  df-po 5461  df-so 5462  df-fr 5501  df-se 5502  df-we 5503  df-xp 5548  df-rel 5549  df-cnv 5550  df-co 5551  df-dm 5552  df-rn 5553  df-res 5554  df-ima 5555  df-pred 6135  df-ord 6181  df-on 6182  df-lim 6183  df-suc 6184  df-iota 6302  df-fun 6345  df-fn 6346  df-f 6347  df-f1 6348  df-fo 6349  df-f1o 6350  df-fv 6351  df-isom 6352  df-riota 7107  df-ov 7152  df-oprab 7153  df-mpo 7154  df-of 7403  df-om 7575  df-1st 7684  df-2nd 7685  df-supp 7827  df-wrecs 7943  df-recs 8004  df-rdg 8042  df-1o 8098  df-2o 8099  df-oadd 8102  df-er 8285  df-map 8404  df-pm 8405  df-ixp 8458  df-en 8506  df-dom 8507  df-sdom 8508  df-fin 8509  df-fsupp 8831  df-fi 8872  df-sup 8903  df-inf 8904  df-oi 8971  df-card 9365  df-pnf 10675  df-mnf 10676  df-xr 10677  df-ltxr 10678  df-le 10679  df-sub 10870  df-neg 10871  df-div 11296  df-nn 11635  df-2 11697  df-3 11698  df-4 11699  df-5 11700  df-6 11701  df-7 11702  df-8 11703  df-9 11704  df-n0 11895  df-z 11979  df-dec 12096  df-uz 12241  df-q 12346  df-rp 12387  df-xneg 12504  df-xadd 12505  df-xmul 12506  df-ioo 12739  df-ioc 12740  df-ico 12741  df-icc 12742  df-fz 12895  df-fzo 13038  df-fl 13166  df-mod 13242  df-seq 13374  df-exp 13435  df-fac 13639  df-bc 13668  df-hash 13696  df-shft 14426  df-cj 14458  df-re 14459  df-im 14460  df-sqrt 14594  df-abs 14595  df-limsup 14828  df-clim 14845  df-rlim 14846  df-sum 15043  df-ef 15421  df-sin 15423  df-cos 15424  df-pi 15426  df-dvds 15608  df-struct 16485  df-ndx 16486  df-slot 16487  df-base 16489  df-sets 16490  df-ress 16491  df-plusg 16578  df-mulr 16579  df-starv 16580  df-sca 16581  df-vsca 16582  df-ip 16583  df-tset 16584  df-ple 16585  df-ds 16587  df-unif 16588  df-hom 16589  df-cco 16590  df-rest 16696  df-topn 16697  df-0g 16715  df-gsum 16716  df-topgen 16717  df-pt 16718  df-prds 16721  df-xrs 16775  df-qtop 16780  df-imas 16781  df-xps 16783  df-mre 16857  df-mrc 16858  df-acs 16860  df-mgm 17852  df-sgrp 17901  df-mnd 17912  df-submnd 17957  df-mulg 18225  df-cntz 18447  df-cmn 18908  df-psmet 20537  df-xmet 20538  df-met 20539  df-bl 20540  df-mopn 20541  df-fbas 20542  df-fg 20543  df-cnfld 20546  df-top 21502  df-topon 21519  df-topsp 21541  df-bases 21554  df-cld 21627  df-ntr 21628  df-cls 21629  df-nei 21706  df-lp 21744  df-perf 21745  df-cn 21835  df-cnp 21836  df-haus 21923  df-tx 22170  df-hmeo 22363  df-fil 22454  df-fm 22546  df-flim 22547  df-flf 22548  df-xms 22930  df-ms 22931  df-tms 22932  df-cncf 23486  df-limc 24472  df-dv 24473  df-log 25151  df-cxp 25152  df-logb 25354  df-blen 44910  df-dig 44936 This theorem is referenced by: (None)
 Copyright terms: Public domain W3C validator