Theorem nn0mullong 47692

Description: Standard algorithm (also known as "long multiplication" or "grade-school multiplication") to calculate the product of two nonnegative integers 𝑎 and 𝑏 by multiplying the multiplicand 𝑏 by each digit of the multiplier 𝑎 and then add up all the properly shifted results. Here, the binary representation of the multiplier 𝑎 is used, i.e., the above mentioned "digits" are 0 or 1. This is a similar result as provided by smumul 16461. (Contributed by AV, 7-Jun-2020.)

Assertion

Ref	Expression
nn0mullong	⊢ ((𝐴 ∈ ℕ0 ∧ 𝐵 ∈ ℕ0) → (𝐴 · 𝐵) = Σ𝑘 ∈ (0..^(#b‘𝐴))(((𝑘(digit‘2)𝐴) · (2↑𝑘)) · 𝐵))

Distinct variable groups:   𝐴,𝑘   𝐵,𝑘

Proof of Theorem nn0mullong

Step	Hyp	Ref	Expression
1		nn0sumshdig 47690	. . . 4 ⊢ (𝐴 ∈ ℕ0 → 𝐴 = Σ𝑘 ∈ (0..^(#b‘𝐴))((𝑘(digit‘2)𝐴) · (2↑𝑘)))
2	1	adantr 480	. . 3 ⊢ ((𝐴 ∈ ℕ0 ∧ 𝐵 ∈ ℕ0) → 𝐴 = Σ𝑘 ∈ (0..^(#b‘𝐴))((𝑘(digit‘2)𝐴) · (2↑𝑘)))
3	2	oveq1d 7429	. 2 ⊢ ((𝐴 ∈ ℕ0 ∧ 𝐵 ∈ ℕ0) → (𝐴 · 𝐵) = (Σ𝑘 ∈ (0..^(#b‘𝐴))((𝑘(digit‘2)𝐴) · (2↑𝑘)) · 𝐵))
4		fzofi 13965	. . . 4 ⊢ (0..^(#b‘𝐴)) ∈ Fin
5	4	a1i 11	. . 3 ⊢ ((𝐴 ∈ ℕ0 ∧ 𝐵 ∈ ℕ0) → (0..^(#b‘𝐴)) ∈ Fin)
6		nn0cn 12506	. . . 4 ⊢ (𝐵 ∈ ℕ0 → 𝐵 ∈ ℂ)
7	6	adantl 481	. . 3 ⊢ ((𝐴 ∈ ℕ0 ∧ 𝐵 ∈ ℕ0) → 𝐵 ∈ ℂ)
8		2nn 12309	. . . . . . 7 ⊢ 2 ∈ ℕ
9	8	a1i 11	. . . . . 6 ⊢ (((𝐴 ∈ ℕ0 ∧ 𝐵 ∈ ℕ0) ∧ 𝑘 ∈ (0..^(#b‘𝐴))) → 2 ∈ ℕ)
10		elfzoelz 13658	. . . . . . 7 ⊢ (𝑘 ∈ (0..^(#b‘𝐴)) → 𝑘 ∈ ℤ)
11	10	adantl 481	. . . . . 6 ⊢ (((𝐴 ∈ ℕ0 ∧ 𝐵 ∈ ℕ0) ∧ 𝑘 ∈ (0..^(#b‘𝐴))) → 𝑘 ∈ ℤ)
12		nn0rp0 13458	. . . . . . . 8 ⊢ (𝐴 ∈ ℕ0 → 𝐴 ∈ (0[,)+∞))
13	12	adantr 480	. . . . . . 7 ⊢ ((𝐴 ∈ ℕ0 ∧ 𝐵 ∈ ℕ0) → 𝐴 ∈ (0[,)+∞))
14	13	adantr 480	. . . . . 6 ⊢ (((𝐴 ∈ ℕ0 ∧ 𝐵 ∈ ℕ0) ∧ 𝑘 ∈ (0..^(#b‘𝐴))) → 𝐴 ∈ (0[,)+∞))
15		digvalnn0 47666	. . . . . 6 ⊢ ((2 ∈ ℕ ∧ 𝑘 ∈ ℤ ∧ 𝐴 ∈ (0[,)+∞)) → (𝑘(digit‘2)𝐴) ∈ ℕ0)
16	9, 11, 14, 15	syl3anc 1369	. . . . 5 ⊢ (((𝐴 ∈ ℕ0 ∧ 𝐵 ∈ ℕ0) ∧ 𝑘 ∈ (0..^(#b‘𝐴))) → (𝑘(digit‘2)𝐴) ∈ ℕ0)
17	16	nn0cnd 12558	. . . 4 ⊢ (((𝐴 ∈ ℕ0 ∧ 𝐵 ∈ ℕ0) ∧ 𝑘 ∈ (0..^(#b‘𝐴))) → (𝑘(digit‘2)𝐴) ∈ ℂ)
18		2nn0 12513	. . . . . . . 8 ⊢ 2 ∈ ℕ0
19	18	a1i 11	. . . . . . 7 ⊢ (𝑘 ∈ (0..^(#b‘𝐴)) → 2 ∈ ℕ0)
20		elfzonn0 13703	. . . . . . 7 ⊢ (𝑘 ∈ (0..^(#b‘𝐴)) → 𝑘 ∈ ℕ0)
21	19, 20	nn0expcld 14234	. . . . . 6 ⊢ (𝑘 ∈ (0..^(#b‘𝐴)) → (2↑𝑘) ∈ ℕ0)
22	21	nn0cnd 12558	. . . . 5 ⊢ (𝑘 ∈ (0..^(#b‘𝐴)) → (2↑𝑘) ∈ ℂ)
23	22	adantl 481	. . . 4 ⊢ (((𝐴 ∈ ℕ0 ∧ 𝐵 ∈ ℕ0) ∧ 𝑘 ∈ (0..^(#b‘𝐴))) → (2↑𝑘) ∈ ℂ)
24	17, 23	mulcld 11258	. . 3 ⊢ (((𝐴 ∈ ℕ0 ∧ 𝐵 ∈ ℕ0) ∧ 𝑘 ∈ (0..^(#b‘𝐴))) → ((𝑘(digit‘2)𝐴) · (2↑𝑘)) ∈ ℂ)
25	5, 7, 24	fsummulc1 15757	. 2 ⊢ ((𝐴 ∈ ℕ0 ∧ 𝐵 ∈ ℕ0) → (Σ𝑘 ∈ (0..^(#b‘𝐴))((𝑘(digit‘2)𝐴) · (2↑𝑘)) · 𝐵) = Σ𝑘 ∈ (0..^(#b‘𝐴))(((𝑘(digit‘2)𝐴) · (2↑𝑘)) · 𝐵))
26	3, 25	eqtrd 2768	1 ⊢ ((𝐴 ∈ ℕ0 ∧ 𝐵 ∈ ℕ0) → (𝐴 · 𝐵) = Σ𝑘 ∈ (0..^(#b‘𝐴))(((𝑘(digit‘2)𝐴) · (2↑𝑘)) · 𝐵))

Syntax hints:   → wi 4   ∧ wa 395   = wceq 1534   ∈ wcel 2099  ‘cfv 6542  (class class class)co 7414  Fincfn 8957  ℂcc 11130  0cc0 11132   · cmul 11137  +∞cpnf 11269  ℕcn 12236  2c2 12291  ℕ₀cn0 12496  ℤcz 12582  [,)cico 13352  ..^cfzo 13653  ↑cexp 14052  Σcsu 15658  #_bcblen 47636  digitcdig 47662

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1790  ax-4 1804  ax-5 1906  ax-6 1964  ax-7 2004  ax-8 2101  ax-9 2109  ax-10 2130  ax-11 2147  ax-12 2167  ax-ext 2699  ax-rep 5279  ax-sep 5293  ax-nul 5300  ax-pow 5359  ax-pr 5423  ax-un 7734  ax-inf2 9658  ax-cnex 11188  ax-resscn 11189  ax-1cn 11190  ax-icn 11191  ax-addcl 11192  ax-addrcl 11193  ax-mulcl 11194  ax-mulrcl 11195  ax-mulcom 11196  ax-addass 11197  ax-mulass 11198  ax-distr 11199  ax-i2m1 11200  ax-1ne0 11201  ax-1rid 11202  ax-rnegex 11203  ax-rrecex 11204  ax-cnre 11205  ax-pre-lttri 11206  ax-pre-lttrn 11207  ax-pre-ltadd 11208  ax-pre-mulgt0 11209  ax-pre-sup 11210  ax-addf 11211

This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 396  df-or 847  df-3or 1086  df-3an 1087  df-tru 1537  df-fal 1547  df-ex 1775  df-nf 1779  df-sb 2061  df-mo 2530  df-eu 2559  df-clab 2706  df-cleq 2720  df-clel 2806  df-nfc 2881  df-ne 2937  df-nel 3043  df-ral 3058  df-rex 3067  df-rmo 3372  df-reu 3373  df-rab 3429  df-v 3472  df-sbc 3776  df-csb 3891  df-dif 3948  df-un 3950  df-in 3952  df-ss 3962  df-pss 3964  df-nul 4319  df-if 4525  df-pw 4600  df-sn 4625  df-pr 4627  df-tp 4629  df-op 4631  df-uni 4904  df-int 4945  df-iun 4993  df-iin 4994  df-br 5143  df-opab 5205  df-mpt 5226  df-tr 5260  df-id 5570  df-eprel 5576  df-po 5584  df-so 5585  df-fr 5627  df-se 5628  df-we 5629  df-xp 5678  df-rel 5679  df-cnv 5680  df-co 5681  df-dm 5682  df-rn 5683  df-res 5684  df-ima 5685  df-pred 6299  df-ord 6366  df-on 6367  df-lim 6368  df-suc 6369  df-iota 6494  df-fun 6544  df-fn 6545  df-f 6546  df-f1 6547  df-fo 6548  df-f1o 6549  df-fv 6550  df-isom 6551  df-riota 7370  df-ov 7417  df-oprab 7418  df-mpo 7419  df-of 7679  df-om 7865  df-1st 7987  df-2nd 7988  df-supp 8160  df-frecs 8280  df-wrecs 8311  df-recs 8385  df-rdg 8424  df-1o 8480  df-2o 8481  df-er 8718  df-map 8840  df-pm 8841  df-ixp 8910  df-en 8958  df-dom 8959  df-sdom 8960  df-fin 8961  df-fsupp 9380  df-fi 9428  df-sup 9459  df-inf 9460  df-oi 9527  df-card 9956  df-pnf 11274  df-mnf 11275  df-xr 11276  df-ltxr 11277  df-le 11278  df-sub 11470  df-neg 11471  df-div 11896  df-nn 12237  df-2 12299  df-3 12300  df-4 12301  df-5 12302  df-6 12303  df-7 12304  df-8 12305  df-9 12306  df-n0 12497  df-z 12583  df-dec 12702  df-uz 12847  df-q 12957  df-rp 13001  df-xneg 13118  df-xadd 13119  df-xmul 13120  df-ioo 13354  df-ioc 13355  df-ico 13356  df-icc 13357  df-fz 13511  df-fzo 13654  df-fl 13783  df-mod 13861  df-seq 13993  df-exp 14053  df-fac 14259  df-bc 14288  df-hash 14316  df-shft 15040  df-cj 15072  df-re 15073  df-im 15074  df-sqrt 15208  df-abs 15209  df-limsup 15441  df-clim 15458  df-rlim 15459  df-sum 15659  df-ef 16037  df-sin 16039  df-cos 16040  df-pi 16042  df-dvds 16225  df-struct 17109  df-sets 17126  df-slot 17144  df-ndx 17156  df-base 17174  df-ress 17203  df-plusg 17239  df-mulr 17240  df-starv 17241  df-sca 17242  df-vsca 17243  df-ip 17244  df-tset 17245  df-ple 17246  df-ds 17248  df-unif 17249  df-hom 17250  df-cco 17251  df-rest 17397  df-topn 17398  df-0g 17416  df-gsum 17417  df-topgen 17418  df-pt 17419  df-prds 17422  df-xrs 17477  df-qtop 17482  df-imas 17483  df-xps 17485  df-mre 17559  df-mrc 17560  df-acs 17562  df-mgm 18593  df-sgrp 18672  df-mnd 18688  df-submnd 18734  df-mulg 19017  df-cntz 19261  df-cmn 19730  df-psmet 21264  df-xmet 21265  df-met 21266  df-bl 21267  df-mopn 21268  df-fbas 21269  df-fg 21270  df-cnfld 21273  df-top 22789  df-topon 22806  df-topsp 22828  df-bases 22842  df-cld 22916  df-ntr 22917  df-cls 22918  df-nei 22995  df-lp 23033  df-perf 23034  df-cn 23124  df-cnp 23125  df-haus 23212  df-tx 23459  df-hmeo 23652  df-fil 23743  df-fm 23835  df-flim 23836  df-flf 23837  df-xms 24219  df-ms 24220  df-tms 24221  df-cncf 24791  df-limc 25788  df-dv 25789  df-log 26483  df-cxp 26484  df-logb 26690  df-blen 47637  df-dig 47663

This theorem is referenced by: (None)