Theorem nn0mullong 49059

Description: Standard algorithm (also known as "long multiplication" or "grade-school multiplication") to calculate the product of two nonnegative integers 𝑎 and 𝑏 by multiplying the multiplicand 𝑏 by each digit of the multiplier 𝑎 and then add up all the properly shifted results. Here, the binary representation of the multiplier 𝑎 is used, i.e., the above mentioned "digits" are 0 or 1. This is a similar result as provided by smumul 16421. (Contributed by AV, 7-Jun-2020.)

Assertion

Ref	Expression
nn0mullong	⊢ ((𝐴 ∈ ℕ0 ∧ 𝐵 ∈ ℕ0) → (𝐴 · 𝐵) = Σ𝑘 ∈ (0..^(#b‘𝐴))(((𝑘(digit‘2)𝐴) · (2↑𝑘)) · 𝐵))

Distinct variable groups:   𝐴,𝑘   𝐵,𝑘

Proof of Theorem nn0mullong

Step	Hyp	Ref	Expression
1		nn0sumshdig 49057	. . . 4 ⊢ (𝐴 ∈ ℕ0 → 𝐴 = Σ𝑘 ∈ (0..^(#b‘𝐴))((𝑘(digit‘2)𝐴) · (2↑𝑘)))
2	1	adantr 480	. . 3 ⊢ ((𝐴 ∈ ℕ0 ∧ 𝐵 ∈ ℕ0) → 𝐴 = Σ𝑘 ∈ (0..^(#b‘𝐴))((𝑘(digit‘2)𝐴) · (2↑𝑘)))
3	2	oveq1d 7373	. 2 ⊢ ((𝐴 ∈ ℕ0 ∧ 𝐵 ∈ ℕ0) → (𝐴 · 𝐵) = (Σ𝑘 ∈ (0..^(#b‘𝐴))((𝑘(digit‘2)𝐴) · (2↑𝑘)) · 𝐵))
4		fzofi 13898	. . . 4 ⊢ (0..^(#b‘𝐴)) ∈ Fin
5	4	a1i 11	. . 3 ⊢ ((𝐴 ∈ ℕ0 ∧ 𝐵 ∈ ℕ0) → (0..^(#b‘𝐴)) ∈ Fin)
6		nn0cn 12412	. . . 4 ⊢ (𝐵 ∈ ℕ0 → 𝐵 ∈ ℂ)
7	6	adantl 481	. . 3 ⊢ ((𝐴 ∈ ℕ0 ∧ 𝐵 ∈ ℕ0) → 𝐵 ∈ ℂ)
8		2nn 12219	. . . . . . 7 ⊢ 2 ∈ ℕ
9	8	a1i 11	. . . . . 6 ⊢ (((𝐴 ∈ ℕ0 ∧ 𝐵 ∈ ℕ0) ∧ 𝑘 ∈ (0..^(#b‘𝐴))) → 2 ∈ ℕ)
10		elfzoelz 13576	. . . . . . 7 ⊢ (𝑘 ∈ (0..^(#b‘𝐴)) → 𝑘 ∈ ℤ)
11	10	adantl 481	. . . . . 6 ⊢ (((𝐴 ∈ ℕ0 ∧ 𝐵 ∈ ℕ0) ∧ 𝑘 ∈ (0..^(#b‘𝐴))) → 𝑘 ∈ ℤ)
12		nn0rp0 13372	. . . . . . . 8 ⊢ (𝐴 ∈ ℕ0 → 𝐴 ∈ (0[,)+∞))
13	12	adantr 480	. . . . . . 7 ⊢ ((𝐴 ∈ ℕ0 ∧ 𝐵 ∈ ℕ0) → 𝐴 ∈ (0[,)+∞))
14	13	adantr 480	. . . . . 6 ⊢ (((𝐴 ∈ ℕ0 ∧ 𝐵 ∈ ℕ0) ∧ 𝑘 ∈ (0..^(#b‘𝐴))) → 𝐴 ∈ (0[,)+∞))
15		digvalnn0 49033	. . . . . 6 ⊢ ((2 ∈ ℕ ∧ 𝑘 ∈ ℤ ∧ 𝐴 ∈ (0[,)+∞)) → (𝑘(digit‘2)𝐴) ∈ ℕ0)
16	9, 11, 14, 15	syl3anc 1374	. . . . 5 ⊢ (((𝐴 ∈ ℕ0 ∧ 𝐵 ∈ ℕ0) ∧ 𝑘 ∈ (0..^(#b‘𝐴))) → (𝑘(digit‘2)𝐴) ∈ ℕ0)
17	16	nn0cnd 12465	. . . 4 ⊢ (((𝐴 ∈ ℕ0 ∧ 𝐵 ∈ ℕ0) ∧ 𝑘 ∈ (0..^(#b‘𝐴))) → (𝑘(digit‘2)𝐴) ∈ ℂ)
18		2nn0 12419	. . . . . . . 8 ⊢ 2 ∈ ℕ0
19	18	a1i 11	. . . . . . 7 ⊢ (𝑘 ∈ (0..^(#b‘𝐴)) → 2 ∈ ℕ0)
20		elfzonn0 13624	. . . . . . 7 ⊢ (𝑘 ∈ (0..^(#b‘𝐴)) → 𝑘 ∈ ℕ0)
21	19, 20	nn0expcld 14170	. . . . . 6 ⊢ (𝑘 ∈ (0..^(#b‘𝐴)) → (2↑𝑘) ∈ ℕ0)
22	21	nn0cnd 12465	. . . . 5 ⊢ (𝑘 ∈ (0..^(#b‘𝐴)) → (2↑𝑘) ∈ ℂ)
23	22	adantl 481	. . . 4 ⊢ (((𝐴 ∈ ℕ0 ∧ 𝐵 ∈ ℕ0) ∧ 𝑘 ∈ (0..^(#b‘𝐴))) → (2↑𝑘) ∈ ℂ)
24	17, 23	mulcld 11153	. . 3 ⊢ (((𝐴 ∈ ℕ0 ∧ 𝐵 ∈ ℕ0) ∧ 𝑘 ∈ (0..^(#b‘𝐴))) → ((𝑘(digit‘2)𝐴) · (2↑𝑘)) ∈ ℂ)
25	5, 7, 24	fsummulc1 15709	. 2 ⊢ ((𝐴 ∈ ℕ0 ∧ 𝐵 ∈ ℕ0) → (Σ𝑘 ∈ (0..^(#b‘𝐴))((𝑘(digit‘2)𝐴) · (2↑𝑘)) · 𝐵) = Σ𝑘 ∈ (0..^(#b‘𝐴))(((𝑘(digit‘2)𝐴) · (2↑𝑘)) · 𝐵))
26	3, 25	eqtrd 2772	1 ⊢ ((𝐴 ∈ ℕ0 ∧ 𝐵 ∈ ℕ0) → (𝐴 · 𝐵) = Σ𝑘 ∈ (0..^(#b‘𝐴))(((𝑘(digit‘2)𝐴) · (2↑𝑘)) · 𝐵))

Syntax hints:   → wi 4   ∧ wa 395   = wceq 1542   ∈ wcel 2114  ‘cfv 6490  (class class class)co 7358  Fincfn 8884  ℂcc 11025  0cc0 11027   · cmul 11032  +∞cpnf 11164  ℕcn 12146  2c2 12201  ℕ₀cn0 12402  ℤcz 12489  [,)cico 13264  ..^cfzo 13571  ↑cexp 13985  Σcsu 15610  #_bcblen 49003  digitcdig 49029

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1797  ax-4 1811  ax-5 1912  ax-6 1969  ax-7 2010  ax-8 2116  ax-9 2124  ax-10 2147  ax-11 2163  ax-12 2185  ax-ext 2709  ax-rep 5212  ax-sep 5231  ax-nul 5241  ax-pow 5300  ax-pr 5368  ax-un 7680  ax-inf2 9551  ax-cnex 11083  ax-resscn 11084  ax-1cn 11085  ax-icn 11086  ax-addcl 11087  ax-addrcl 11088  ax-mulcl 11089  ax-mulrcl 11090  ax-mulcom 11091  ax-addass 11092  ax-mulass 11093  ax-distr 11094  ax-i2m1 11095  ax-1ne0 11096  ax-1rid 11097  ax-rnegex 11098  ax-rrecex 11099  ax-cnre 11100  ax-pre-lttri 11101  ax-pre-lttrn 11102  ax-pre-ltadd 11103  ax-pre-mulgt0 11104  ax-pre-sup 11105  ax-addf 11106

This theorem depends on definitions:  df-bi 207  df-an 396  df-or 849  df-3or 1088  df-3an 1089  df-tru 1545  df-fal 1555  df-ex 1782  df-nf 1786  df-sb 2069  df-mo 2540  df-eu 2570  df-clab 2716  df-cleq 2729  df-clel 2812  df-nfc 2886  df-ne 2934  df-nel 3038  df-ral 3053  df-rex 3063  df-rmo 3343  df-reu 3344  df-rab 3391  df-v 3432  df-sbc 3730  df-csb 3839  df-dif 3893  df-un 3895  df-in 3897  df-ss 3907  df-pss 3910  df-nul 4275  df-if 4468  df-pw 4544  df-sn 4569  df-pr 4571  df-tp 4573  df-op 4575  df-uni 4852  df-int 4891  df-iun 4936  df-iin 4937  df-br 5087  df-opab 5149  df-mpt 5168  df-tr 5194  df-id 5517  df-eprel 5522  df-po 5530  df-so 5531  df-fr 5575  df-se 5576  df-we 5577  df-xp 5628  df-rel 5629  df-cnv 5630  df-co 5631  df-dm 5632  df-rn 5633  df-res 5634  df-ima 5635  df-pred 6257  df-ord 6318  df-on 6319  df-lim 6320  df-suc 6321  df-iota 6446  df-fun 6492  df-fn 6493  df-f 6494  df-f1 6495  df-fo 6496  df-f1o 6497  df-fv 6498  df-isom 6499  df-riota 7315  df-ov 7361  df-oprab 7362  df-mpo 7363  df-of 7622  df-om 7809  df-1st 7933  df-2nd 7934  df-supp 8102  df-frecs 8222  df-wrecs 8253  df-recs 8302  df-rdg 8340  df-1o 8396  df-2o 8397  df-er 8634  df-map 8766  df-pm 8767  df-ixp 8837  df-en 8885  df-dom 8886  df-sdom 8887  df-fin 8888  df-fsupp 9266  df-fi 9315  df-sup 9346  df-inf 9347  df-oi 9416  df-card 9852  df-pnf 11169  df-mnf 11170  df-xr 11171  df-ltxr 11172  df-le 11173  df-sub 11367  df-neg 11368  df-div 11796  df-nn 12147  df-2 12209  df-3 12210  df-4 12211  df-5 12212  df-6 12213  df-7 12214  df-8 12215  df-9 12216  df-n0 12403  df-z 12490  df-dec 12609  df-uz 12753  df-q 12863  df-rp 12907  df-xneg 13027  df-xadd 13028  df-xmul 13029  df-ioo 13266  df-ioc 13267  df-ico 13268  df-icc 13269  df-fz 13425  df-fzo 13572  df-fl 13713  df-mod 13791  df-seq 13926  df-exp 13986  df-fac 14198  df-bc 14227  df-hash 14255  df-shft 14991  df-cj 15023  df-re 15024  df-im 15025  df-sqrt 15159  df-abs 15160  df-limsup 15395  df-clim 15412  df-rlim 15413  df-sum 15611  df-ef 15991  df-sin 15993  df-cos 15994  df-pi 15996  df-dvds 16181  df-struct 17075  df-sets 17092  df-slot 17110  df-ndx 17122  df-base 17138  df-ress 17159  df-plusg 17191  df-mulr 17192  df-starv 17193  df-sca 17194  df-vsca 17195  df-ip 17196  df-tset 17197  df-ple 17198  df-ds 17200  df-unif 17201  df-hom 17202  df-cco 17203  df-rest 17343  df-topn 17344  df-0g 17362  df-gsum 17363  df-topgen 17364  df-pt 17365  df-prds 17368  df-xrs 17424  df-qtop 17429  df-imas 17430  df-xps 17432  df-mre 17506  df-mrc 17507  df-acs 17509  df-mgm 18566  df-sgrp 18645  df-mnd 18661  df-submnd 18710  df-mulg 19002  df-cntz 19250  df-cmn 19715  df-psmet 21303  df-xmet 21304  df-met 21305  df-bl 21306  df-mopn 21307  df-fbas 21308  df-fg 21309  df-cnfld 21312  df-top 22837  df-topon 22854  df-topsp 22876  df-bases 22889  df-cld 22962  df-ntr 22963  df-cls 22964  df-nei 23041  df-lp 23079  df-perf 23080  df-cn 23170  df-cnp 23171  df-haus 23258  df-tx 23505  df-hmeo 23698  df-fil 23789  df-fm 23881  df-flim 23882  df-flf 23883  df-xms 24263  df-ms 24264  df-tms 24265  df-cncf 24823  df-limc 25811  df-dv 25812  df-log 26505  df-cxp 26506  df-logb 26715  df-blen 49004  df-dig 49030

This theorem is referenced by: (None)