Theorem nnfoctbdj 47228

Description: There exists a mapping from ℕ onto any (nonempty) countable set of disjoint sets, such that elements in the range of the map are disjoint. (Contributed by Glauco Siliprandi, 17-Aug-2020.)

Hypotheses

Ref	Expression
nnfoctbdj.ctb	⊢ (𝜑 → 𝑋 ≼ ω)
nnfoctbdj.n0	⊢ (𝜑 → 𝑋 ≠ ∅)
nnfoctbdj.dj	⊢ (𝜑 → Disj 𝑦 ∈ 𝑋 𝑦)

Assertion

Ref	Expression
nnfoctbdj	⊢ (𝜑 → ∃𝑓(𝑓:ℕ–onto→(𝑋 ∪ {∅}) ∧ Disj 𝑛 ∈ ℕ (𝑓‘𝑛)))

Distinct variable groups:   𝑓,𝑋,𝑛   𝑦,𝑋,𝑛   𝜑,𝑛,𝑦

Allowed substitution hint:   𝜑(𝑓)

Proof of Theorem nnfoctbdj

Dummy variables 𝑔 𝑥 𝑚 are mutually distinct and distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		nnfoctbdj.ctb	. . 3 ⊢ (𝜑 → 𝑋 ≼ ω)
2		nnfoctbdj.n0	. . 3 ⊢ (𝜑 → 𝑋 ≠ ∅)
3		nnfoctb 45826	. . 3 ⊢ ((𝑋 ≼ ω ∧ 𝑋 ≠ ∅) → ∃𝑔 𝑔:ℕ–onto→𝑋)
4	1, 2, 3	syl2anc 596	. 2 ⊢ (𝜑 → ∃𝑔 𝑔:ℕ–onto→𝑋)
5		fofn 6798	. . . . . . 7 ⊢ (𝑔:ℕ–onto→𝑋 → 𝑔 Fn ℕ)
6	5	adantl 487	. . . . . 6 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑔:ℕ–onto→𝑋) → 𝑔 Fn ℕ)
7		nnex 12254	. . . . . . 7 ⊢ ℕ ∈ V
8	7	a1i 11	. . . . . 6 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑔:ℕ–onto→𝑋) → ℕ ∈ V)
9		ltwenn 14016	. . . . . . 7 ⊢ < We ℕ
10	9	a1i 11	. . . . . 6 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑔:ℕ–onto→𝑋) → < We ℕ)
11	6, 8, 10	wessf1orn 45962	. . . . 5 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑔:ℕ–onto→𝑋) → ∃𝑥 ∈ 𝒫 ℕ(𝑔 ↾ 𝑥):𝑥–1-1-onto→ran 𝑔)
12		elpwi 4571	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝑥 ∈ 𝒫 ℕ → 𝑥 ⊆ ℕ)
13	12	3ad2ant2 1152	. . . . . . . 8 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑔:ℕ–onto→𝑋) ∧ 𝑥 ∈ 𝒫 ℕ ∧ (𝑔 ↾ 𝑥):𝑥–1-1-onto→ran 𝑔) → 𝑥 ⊆ ℕ)
14		simpr 490	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ((𝑔:ℕ–onto→𝑋 ∧ (𝑔 ↾ 𝑥):𝑥–1-1-onto→ran 𝑔) → (𝑔 ↾ 𝑥):𝑥–1-1-onto→ran 𝑔)
15		forn 6799	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (𝑔:ℕ–onto→𝑋 → ran 𝑔 = 𝑋)
16	15	adantr 486	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ ((𝑔:ℕ–onto→𝑋 ∧ (𝑔 ↾ 𝑥):𝑥–1-1-onto→ran 𝑔) → ran 𝑔 = 𝑋)
17	16	f1oeq3d 6821	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ((𝑔:ℕ–onto→𝑋 ∧ (𝑔 ↾ 𝑥):𝑥–1-1-onto→ran 𝑔) → ((𝑔 ↾ 𝑥):𝑥–1-1-onto→ran 𝑔 ↔ (𝑔 ↾ 𝑥):𝑥–1-1-onto→𝑋))
18	14, 17	mpbid 235	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((𝑔:ℕ–onto→𝑋 ∧ (𝑔 ↾ 𝑥):𝑥–1-1-onto→ran 𝑔) → (𝑔 ↾ 𝑥):𝑥–1-1-onto→𝑋)
19	18	adantll 727	. . . . . . . . 9 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑔:ℕ–onto→𝑋) ∧ (𝑔 ↾ 𝑥):𝑥–1-1-onto→ran 𝑔) → (𝑔 ↾ 𝑥):𝑥–1-1-onto→𝑋)
20	19	3adant2 1149	. . . . . . . 8 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑔:ℕ–onto→𝑋) ∧ 𝑥 ∈ 𝒫 ℕ ∧ (𝑔 ↾ 𝑥):𝑥–1-1-onto→ran 𝑔) → (𝑔 ↾ 𝑥):𝑥–1-1-onto→𝑋)
21		nnfoctbdj.dj	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝜑 → Disj 𝑦 ∈ 𝑋 𝑦)
22	21	adantr 486	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑔:ℕ–onto→𝑋) → Disj 𝑦 ∈ 𝑋 𝑦)
23	22	3ad2ant1 1151	. . . . . . . 8 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑔:ℕ–onto→𝑋) ∧ 𝑥 ∈ 𝒫 ℕ ∧ (𝑔 ↾ 𝑥):𝑥–1-1-onto→ran 𝑔) → Disj 𝑦 ∈ 𝑋 𝑦)
24		eqeq1 2769	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (𝑚 = 𝑛 → (𝑚 = 1 ↔ 𝑛 = 1))
25		oveq1 7426	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (𝑚 = 𝑛 → (𝑚 − 1) = (𝑛 − 1))
26	25	eleq1d 2850	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (𝑚 = 𝑛 → ((𝑚 − 1) ∈ 𝑥 ↔ (𝑛 − 1) ∈ 𝑥))
27	26	notbid 321	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (𝑚 = 𝑛 → (¬ (𝑚 − 1) ∈ 𝑥 ↔ ¬ (𝑛 − 1) ∈ 𝑥))
28	24, 27	orbi12d 932	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝑚 = 𝑛 → ((𝑚 = 1 ∨ ¬ (𝑚 − 1) ∈ 𝑥) ↔ (𝑛 = 1 ∨ ¬ (𝑛 − 1) ∈ 𝑥)))
29		fvoveq1 7442	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝑚 = 𝑛 → ((𝑔 ↾ 𝑥)‘(𝑚 − 1)) = ((𝑔 ↾ 𝑥)‘(𝑛 − 1)))
30	28, 29	ifbieq2d 4516	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝑚 = 𝑛 → if((𝑚 = 1 ∨ ¬ (𝑚 − 1) ∈ 𝑥), ∅, ((𝑔 ↾ 𝑥)‘(𝑚 − 1))) = if((𝑛 = 1 ∨ ¬ (𝑛 − 1) ∈ 𝑥), ∅, ((𝑔 ↾ 𝑥)‘(𝑛 − 1))))
31	30	cbvmptv 5217	. . . . . . . 8 ⊢ (𝑚 ∈ ℕ ↦ if((𝑚 = 1 ∨ ¬ (𝑚 − 1) ∈ 𝑥), ∅, ((𝑔 ↾ 𝑥)‘(𝑚 − 1)))) = (𝑛 ∈ ℕ ↦ if((𝑛 = 1 ∨ ¬ (𝑛 − 1) ∈ 𝑥), ∅, ((𝑔 ↾ 𝑥)‘(𝑛 − 1))))
32	13, 20, 23, 31	nnfoctbdjlem 47227	. . . . . . 7 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑔:ℕ–onto→𝑋) ∧ 𝑥 ∈ 𝒫 ℕ ∧ (𝑔 ↾ 𝑥):𝑥–1-1-onto→ran 𝑔) → ∃𝑓(𝑓:ℕ–onto→(𝑋 ∪ {∅}) ∧ Disj 𝑛 ∈ ℕ (𝑓‘𝑛)))
33	32	3exp 1137	. . . . . 6 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑔:ℕ–onto→𝑋) → (𝑥 ∈ 𝒫 ℕ → ((𝑔 ↾ 𝑥):𝑥–1-1-onto→ran 𝑔 → ∃𝑓(𝑓:ℕ–onto→(𝑋 ∪ {∅}) ∧ Disj 𝑛 ∈ ℕ (𝑓‘𝑛)))))
34	33	rexlimdv 3166	. . . . 5 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑔:ℕ–onto→𝑋) → (∃𝑥 ∈ 𝒫 ℕ(𝑔 ↾ 𝑥):𝑥–1-1-onto→ran 𝑔 → ∃𝑓(𝑓:ℕ–onto→(𝑋 ∪ {∅}) ∧ Disj 𝑛 ∈ ℕ (𝑓‘𝑛))))
35	11, 34	mpd 16	. . . 4 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑔:ℕ–onto→𝑋) → ∃𝑓(𝑓:ℕ–onto→(𝑋 ∪ {∅}) ∧ Disj 𝑛 ∈ ℕ (𝑓‘𝑛)))
36	35	ex 418	. . 3 ⊢ (𝜑 → (𝑔:ℕ–onto→𝑋 → ∃𝑓(𝑓:ℕ–onto→(𝑋 ∪ {∅}) ∧ Disj 𝑛 ∈ ℕ (𝑓‘𝑛))))
37	36	exlimdv 1966	. 2 ⊢ (𝜑 → (∃𝑔 𝑔:ℕ–onto→𝑋 → ∃𝑓(𝑓:ℕ–onto→(𝑋 ∪ {∅}) ∧ Disj 𝑛 ∈ ℕ (𝑓‘𝑛))))
38	4, 37	mpd 16	1 ⊢ (𝜑 → ∃𝑓(𝑓:ℕ–onto→(𝑋 ∪ {∅}) ∧ Disj 𝑛 ∈ ℕ (𝑓‘𝑛)))

This proof depends on syntax axioms:  ¬ wn 3   → wi 4   ∧ wa 401   ∨ wo 861   ∧ w3a 1103   = wceq 1570  ∃wex 1812   ∈ wcel 2146   ≠ wne 2960  ∃wrex 3091  Vcvv 3457   ∪ cun 3904   ⊆ wss 3906  ∅c0 4286  ifcif 4489  𝒫 cpw 4564  {csn 4591  Disj wdisj 5078   class class class wbr 5111   ↦ cmpt 5194   We wwe 5615  ran crn 5664   ↾ cres 5665   Fn wfn 6535  –onto→wfo 6538  –1-1-onto→wf1o 6539  ‘cfv 6540  (class class class)co 7419  ωcom 7868   ≼ cdom 8947  1c1 11116   < clt 11258   − cmin 11456  ℕcn 12248

This proof depends on axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1828  ax-4 1842  ax-5 1943  ax-6 2000  ax-7 2041  ax-8 2148  ax-9 2156  ax-10 2179  ax-11 2195  ax-12 2216  ax-ext 2737  ax-rep 5240  ax-sep 5259  ax-nul 5271  ax-pow 5338  ax-pr 5406  ax-un 7742  ax-inf2 9617  ax-cnex 11171  ax-resscn 11172  ax-1cn 11173  ax-icn 11174  ax-addcl 11175  ax-addrcl 11176  ax-mulcl 11177  ax-mulrcl 11178  ax-mulcom 11179  ax-addass 11180  ax-mulass 11181  ax-distr 11182  ax-i2m1 11183  ax-1ne0 11184  ax-1rid 11185  ax-rnegex 11186  ax-rrecex 11187  ax-cnre 11188  ax-pre-lttri 11189  ax-pre-lttrn 11190  ax-pre-ltadd 11191  ax-pre-mulgt0 11192

This proof depends on definitions:  df-bi 210  df-an 402  df-or 862  df-3or 1104  df-3an 1105  df-tru 1573  df-fal 1583  df-ex 1813  df-nf 1817  df-sb 2100  df-mo 2569  df-eu 2599  df-clab 2744  df-cleq 2757  df-clel 2840  df-nfc 2914  df-ne 2961  df-nel 3067  df-ral 3082  df-rex 3092  df-rmo 3371  df-reu 3372  df-rab 3419  df-v 3459  df-sbc 3747  df-csb 3855  df-dif 3909  df-un 3911  df-in 3913  df-ss 3923  df-pss 3926  df-nul 4287  df-if 4490  df-pw 4566  df-sn 4592  df-pr 4594  df-op 4598  df-uni 4875  df-iun 4960  df-disj 5079  df-br 5112  df-opab 5176  df-mpt 5195  df-tr 5221  df-id 5558  df-eprel 5563  df-po 5571  df-so 5572  df-fr 5616  df-we 5618  df-xp 5669  df-rel 5670  df-cnv 5671  df-co 5672  df-dm 5673  df-rn 5674  df-res 5675  df-ima 5676  df-pred 6306  df-ord 6367  df-on 6368  df-lim 6369  df-suc 6370  df-iota 6496  df-fun 6542  df-fn 6543  df-f 6544  df-f1 6545  df-fo 6546  df-f1o 6547  df-fv 6548  df-isom 6549  df-riota 7376  df-ov 7422  df-oprab 7423  df-mpo 7424  df-om 7869  df-2nd 7993  df-frecs 8284  df-wrecs 8315  df-recs 8364  df-rdg 8403  df-er 8700  df-en 8950  df-dom 8951  df-sdom 8952  df-pnf 11260  df-mnf 11261  df-xr 11262  df-ltxr 11263  df-le 11264  df-sub 11458  df-neg 11459  df-nn 12249  df-n0 12520  df-z 12607  df-uz 12879  df-rp 13033

This theorem is used by:  ismeannd  47239