Theorem nnfoctbdj 46377

Description: There exists a mapping from ℕ onto any (nonempty) countable set of disjoint sets, such that elements in the range of the map are disjoint. (Contributed by Glauco Siliprandi, 17-Aug-2020.)

Hypotheses

Ref	Expression
nnfoctbdj.ctb	⊢ (𝜑 → 𝑋 ≼ ω)
nnfoctbdj.n0	⊢ (𝜑 → 𝑋 ≠ ∅)
nnfoctbdj.dj	⊢ (𝜑 → Disj 𝑦 ∈ 𝑋 𝑦)

Assertion

Ref	Expression
nnfoctbdj	⊢ (𝜑 → ∃𝑓(𝑓:ℕ–onto→(𝑋 ∪ {∅}) ∧ Disj 𝑛 ∈ ℕ (𝑓‘𝑛)))

Distinct variable groups:   𝑓,𝑋,𝑛   𝑦,𝑋,𝑛   𝜑,𝑛,𝑦

Allowed substitution hint:   𝜑(𝑓)

Proof of Theorem nnfoctbdj

Dummy variables 𝑔 𝑥 𝑚 are mutually distinct and distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		nnfoctbdj.ctb	. . 3 ⊢ (𝜑 → 𝑋 ≼ ω)
2		nnfoctbdj.n0	. . 3 ⊢ (𝜑 → 𝑋 ≠ ∅)
3		nnfoctb 44949	. . 3 ⊢ ((𝑋 ≼ ω ∧ 𝑋 ≠ ∅) → ∃𝑔 𝑔:ℕ–onto→𝑋)
4	1, 2, 3	syl2anc 583	. 2 ⊢ (𝜑 → ∃𝑔 𝑔:ℕ–onto→𝑋)
5		fofn 6836	. . . . . . 7 ⊢ (𝑔:ℕ–onto→𝑋 → 𝑔 Fn ℕ)
6	5	adantl 481	. . . . . 6 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑔:ℕ–onto→𝑋) → 𝑔 Fn ℕ)
7		nnex 12299	. . . . . . 7 ⊢ ℕ ∈ V
8	7	a1i 11	. . . . . 6 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑔:ℕ–onto→𝑋) → ℕ ∈ V)
9		ltwenn 14013	. . . . . . 7 ⊢ < We ℕ
10	9	a1i 11	. . . . . 6 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑔:ℕ–onto→𝑋) → < We ℕ)
11	6, 8, 10	wessf1orn 45093	. . . . 5 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑔:ℕ–onto→𝑋) → ∃𝑥 ∈ 𝒫 ℕ(𝑔 ↾ 𝑥):𝑥–1-1-onto→ran 𝑔)
12		elpwi 4629	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝑥 ∈ 𝒫 ℕ → 𝑥 ⊆ ℕ)
13	12	3ad2ant2 1134	. . . . . . . 8 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑔:ℕ–onto→𝑋) ∧ 𝑥 ∈ 𝒫 ℕ ∧ (𝑔 ↾ 𝑥):𝑥–1-1-onto→ran 𝑔) → 𝑥 ⊆ ℕ)
14		simpr 484	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ((𝑔:ℕ–onto→𝑋 ∧ (𝑔 ↾ 𝑥):𝑥–1-1-onto→ran 𝑔) → (𝑔 ↾ 𝑥):𝑥–1-1-onto→ran 𝑔)
15		forn 6837	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (𝑔:ℕ–onto→𝑋 → ran 𝑔 = 𝑋)
16	15	adantr 480	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ ((𝑔:ℕ–onto→𝑋 ∧ (𝑔 ↾ 𝑥):𝑥–1-1-onto→ran 𝑔) → ran 𝑔 = 𝑋)
17	16	f1oeq3d 6859	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ((𝑔:ℕ–onto→𝑋 ∧ (𝑔 ↾ 𝑥):𝑥–1-1-onto→ran 𝑔) → ((𝑔 ↾ 𝑥):𝑥–1-1-onto→ran 𝑔 ↔ (𝑔 ↾ 𝑥):𝑥–1-1-onto→𝑋))
18	14, 17	mpbid 232	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((𝑔:ℕ–onto→𝑋 ∧ (𝑔 ↾ 𝑥):𝑥–1-1-onto→ran 𝑔) → (𝑔 ↾ 𝑥):𝑥–1-1-onto→𝑋)
19	18	adantll 713	. . . . . . . . 9 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑔:ℕ–onto→𝑋) ∧ (𝑔 ↾ 𝑥):𝑥–1-1-onto→ran 𝑔) → (𝑔 ↾ 𝑥):𝑥–1-1-onto→𝑋)
20	19	3adant2 1131	. . . . . . . 8 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑔:ℕ–onto→𝑋) ∧ 𝑥 ∈ 𝒫 ℕ ∧ (𝑔 ↾ 𝑥):𝑥–1-1-onto→ran 𝑔) → (𝑔 ↾ 𝑥):𝑥–1-1-onto→𝑋)
21		nnfoctbdj.dj	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝜑 → Disj 𝑦 ∈ 𝑋 𝑦)
22	21	adantr 480	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑔:ℕ–onto→𝑋) → Disj 𝑦 ∈ 𝑋 𝑦)
23	22	3ad2ant1 1133	. . . . . . . 8 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑔:ℕ–onto→𝑋) ∧ 𝑥 ∈ 𝒫 ℕ ∧ (𝑔 ↾ 𝑥):𝑥–1-1-onto→ran 𝑔) → Disj 𝑦 ∈ 𝑋 𝑦)
24		eqeq1 2744	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (𝑚 = 𝑛 → (𝑚 = 1 ↔ 𝑛 = 1))
25		oveq1 7455	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (𝑚 = 𝑛 → (𝑚 − 1) = (𝑛 − 1))
26	25	eleq1d 2829	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (𝑚 = 𝑛 → ((𝑚 − 1) ∈ 𝑥 ↔ (𝑛 − 1) ∈ 𝑥))
27	26	notbid 318	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (𝑚 = 𝑛 → (¬ (𝑚 − 1) ∈ 𝑥 ↔ ¬ (𝑛 − 1) ∈ 𝑥))
28	24, 27	orbi12d 917	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝑚 = 𝑛 → ((𝑚 = 1 ∨ ¬ (𝑚 − 1) ∈ 𝑥) ↔ (𝑛 = 1 ∨ ¬ (𝑛 − 1) ∈ 𝑥)))
29		fvoveq1 7471	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝑚 = 𝑛 → ((𝑔 ↾ 𝑥)‘(𝑚 − 1)) = ((𝑔 ↾ 𝑥)‘(𝑛 − 1)))
30	28, 29	ifbieq2d 4574	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝑚 = 𝑛 → if((𝑚 = 1 ∨ ¬ (𝑚 − 1) ∈ 𝑥), ∅, ((𝑔 ↾ 𝑥)‘(𝑚 − 1))) = if((𝑛 = 1 ∨ ¬ (𝑛 − 1) ∈ 𝑥), ∅, ((𝑔 ↾ 𝑥)‘(𝑛 − 1))))
31	30	cbvmptv 5279	. . . . . . . 8 ⊢ (𝑚 ∈ ℕ ↦ if((𝑚 = 1 ∨ ¬ (𝑚 − 1) ∈ 𝑥), ∅, ((𝑔 ↾ 𝑥)‘(𝑚 − 1)))) = (𝑛 ∈ ℕ ↦ if((𝑛 = 1 ∨ ¬ (𝑛 − 1) ∈ 𝑥), ∅, ((𝑔 ↾ 𝑥)‘(𝑛 − 1))))
32	13, 20, 23, 31	nnfoctbdjlem 46376	. . . . . . 7 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑔:ℕ–onto→𝑋) ∧ 𝑥 ∈ 𝒫 ℕ ∧ (𝑔 ↾ 𝑥):𝑥–1-1-onto→ran 𝑔) → ∃𝑓(𝑓:ℕ–onto→(𝑋 ∪ {∅}) ∧ Disj 𝑛 ∈ ℕ (𝑓‘𝑛)))
33	32	3exp 1119	. . . . . 6 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑔:ℕ–onto→𝑋) → (𝑥 ∈ 𝒫 ℕ → ((𝑔 ↾ 𝑥):𝑥–1-1-onto→ran 𝑔 → ∃𝑓(𝑓:ℕ–onto→(𝑋 ∪ {∅}) ∧ Disj 𝑛 ∈ ℕ (𝑓‘𝑛)))))
34	33	rexlimdv 3159	. . . . 5 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑔:ℕ–onto→𝑋) → (∃𝑥 ∈ 𝒫 ℕ(𝑔 ↾ 𝑥):𝑥–1-1-onto→ran 𝑔 → ∃𝑓(𝑓:ℕ–onto→(𝑋 ∪ {∅}) ∧ Disj 𝑛 ∈ ℕ (𝑓‘𝑛))))
35	11, 34	mpd 15	. . . 4 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑔:ℕ–onto→𝑋) → ∃𝑓(𝑓:ℕ–onto→(𝑋 ∪ {∅}) ∧ Disj 𝑛 ∈ ℕ (𝑓‘𝑛)))
36	35	ex 412	. . 3 ⊢ (𝜑 → (𝑔:ℕ–onto→𝑋 → ∃𝑓(𝑓:ℕ–onto→(𝑋 ∪ {∅}) ∧ Disj 𝑛 ∈ ℕ (𝑓‘𝑛))))
37	36	exlimdv 1932	. 2 ⊢ (𝜑 → (∃𝑔 𝑔:ℕ–onto→𝑋 → ∃𝑓(𝑓:ℕ–onto→(𝑋 ∪ {∅}) ∧ Disj 𝑛 ∈ ℕ (𝑓‘𝑛))))
38	4, 37	mpd 15	1 ⊢ (𝜑 → ∃𝑓(𝑓:ℕ–onto→(𝑋 ∪ {∅}) ∧ Disj 𝑛 ∈ ℕ (𝑓‘𝑛)))

Syntax hints:  ¬ wn 3   → wi 4   ∧ wa 395   ∨ wo 846   ∧ w3a 1087   = wceq 1537  ∃wex 1777   ∈ wcel 2108   ≠ wne 2946  ∃wrex 3076  Vcvv 3488   ∪ cun 3974   ⊆ wss 3976  ∅c0 4352  ifcif 4548  𝒫 cpw 4622  {csn 4648  Disj wdisj 5133   class class class wbr 5166   ↦ cmpt 5249   We wwe 5651  ran crn 5701   ↾ cres 5702   Fn wfn 6568  –onto→wfo 6571  –1-1-onto→wf1o 6572  ‘cfv 6573  (class class class)co 7448  ωcom 7903   ≼ cdom 9001  1c1 11185   < clt 11324   − cmin 11520  ℕcn 12293

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1793  ax-4 1807  ax-5 1909  ax-6 1967  ax-7 2007  ax-8 2110  ax-9 2118  ax-10 2141  ax-11 2158  ax-12 2178  ax-ext 2711  ax-rep 5303  ax-sep 5317  ax-nul 5324  ax-pow 5383  ax-pr 5447  ax-un 7770  ax-inf2 9710  ax-cnex 11240  ax-resscn 11241  ax-1cn 11242  ax-icn 11243  ax-addcl 11244  ax-addrcl 11245  ax-mulcl 11246  ax-mulrcl 11247  ax-mulcom 11248  ax-addass 11249  ax-mulass 11250  ax-distr 11251  ax-i2m1 11252  ax-1ne0 11253  ax-1rid 11254  ax-rnegex 11255  ax-rrecex 11256  ax-cnre 11257  ax-pre-lttri 11258  ax-pre-lttrn 11259  ax-pre-ltadd 11260  ax-pre-mulgt0 11261

This theorem depends on definitions:  df-bi 207  df-an 396  df-or 847  df-3or 1088  df-3an 1089  df-tru 1540  df-fal 1550  df-ex 1778  df-nf 1782  df-sb 2065  df-mo 2543  df-eu 2572  df-clab 2718  df-cleq 2732  df-clel 2819  df-nfc 2895  df-ne 2947  df-nel 3053  df-ral 3068  df-rex 3077  df-rmo 3388  df-reu 3389  df-rab 3444  df-v 3490  df-sbc 3805  df-csb 3922  df-dif 3979  df-un 3981  df-in 3983  df-ss 3993  df-pss 3996  df-nul 4353  df-if 4549  df-pw 4624  df-sn 4649  df-pr 4651  df-op 4655  df-uni 4932  df-iun 5017  df-disj 5134  df-br 5167  df-opab 5229  df-mpt 5250  df-tr 5284  df-id 5593  df-eprel 5599  df-po 5607  df-so 5608  df-fr 5652  df-we 5654  df-xp 5706  df-rel 5707  df-cnv 5708  df-co 5709  df-dm 5710  df-rn 5711  df-res 5712  df-ima 5713  df-pred 6332  df-ord 6398  df-on 6399  df-lim 6400  df-suc 6401  df-iota 6525  df-fun 6575  df-fn 6576  df-f 6577  df-f1 6578  df-fo 6579  df-f1o 6580  df-fv 6581  df-isom 6582  df-riota 7404  df-ov 7451  df-oprab 7452  df-mpo 7453  df-om 7904  df-2nd 8031  df-frecs 8322  df-wrecs 8353  df-recs 8427  df-rdg 8466  df-er 8763  df-en 9004  df-dom 9005  df-sdom 9006  df-pnf 11326  df-mnf 11327  df-xr 11328  df-ltxr 11329  df-le 11330  df-sub 11522  df-neg 11523  df-nn 12294  df-n0 12554  df-z 12640  df-uz 12904  df-rp 13058

This theorem is referenced by:  ismeannd  46388