Theorem nnfoctbdj 47285

Description: There exists a mapping from ℕ onto any (nonempty) countable set of disjoint sets, such that elements in the range of the map are disjoint. (Contributed by Glauco Siliprandi, 17-Aug-2020.)

Hypotheses

Ref	Expression
nnfoctbdj.ctb	⊢ (𝜑 → 𝑋 ≼ ω)
nnfoctbdj.n0	⊢ (𝜑 → 𝑋 ≠ ∅)
nnfoctbdj.dj	⊢ (𝜑 → Disj 𝑦 ∈ 𝑋 𝑦)

Assertion

Ref	Expression
nnfoctbdj	⊢ (𝜑 → ∃𝑓(𝑓:ℕ–onto→(𝑋 ∪ {∅}) ∧ Disj 𝑛 ∈ ℕ (𝑓‘𝑛)))

Distinct variable groups:   𝑓,𝑋,𝑛   𝑦,𝑋,𝑛   𝜑,𝑛,𝑦

Allowed substitution hint:   𝜑(𝑓)

Proof of Theorem nnfoctbdj

Dummy variables 𝑔 𝑥 𝑚 are mutually distinct and distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		nnfoctbdj.ctb	. . 3 ⊢ (𝜑 → 𝑋 ≼ ω)
2		nnfoctbdj.n0	. . 3 ⊢ (𝜑 → 𝑋 ≠ ∅)
3		nnfoctb 45883	. . 3 ⊢ ((𝑋 ≼ ω ∧ 𝑋 ≠ ∅) → ∃𝑔 𝑔:ℕ–onto→𝑋)
4	1, 2, 3	syl2anc 596	. 2 ⊢ (𝜑 → ∃𝑔 𝑔:ℕ–onto→𝑋)
5		fofn 6792	. . . . . . 7 ⊢ (𝑔:ℕ–onto→𝑋 → 𝑔 Fn ℕ)
6	5	adantl 487	. . . . . 6 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑔:ℕ–onto→𝑋) → 𝑔 Fn ℕ)
7		nnex 12264	. . . . . . 7 ⊢ ℕ ∈ V
8	7	a1i 11	. . . . . 6 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑔:ℕ–onto→𝑋) → ℕ ∈ V)
9		ltwenn 14027	. . . . . . 7 ⊢ < We ℕ
10	9	a1i 11	. . . . . 6 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑔:ℕ–onto→𝑋) → < We ℕ)
11	6, 8, 10	wessf1orn 46019	. . . . 5 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑔:ℕ–onto→𝑋) → ∃𝑥 ∈ 𝒫 ℕ(𝑔 ↾ 𝑥):𝑥–1-1-onto→ran 𝑔)
12		elpwi 4564	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝑥 ∈ 𝒫 ℕ → 𝑥 ⊆ ℕ)
13	12	3ad2ant2 1152	. . . . . . . 8 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑔:ℕ–onto→𝑋) ∧ 𝑥 ∈ 𝒫 ℕ ∧ (𝑔 ↾ 𝑥):𝑥–1-1-onto→ran 𝑔) → 𝑥 ⊆ ℕ)
14		simpr 490	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ((𝑔:ℕ–onto→𝑋 ∧ (𝑔 ↾ 𝑥):𝑥–1-1-onto→ran 𝑔) → (𝑔 ↾ 𝑥):𝑥–1-1-onto→ran 𝑔)
15		forn 6793	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (𝑔:ℕ–onto→𝑋 → ran 𝑔 = 𝑋)
16	15	adantr 486	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ ((𝑔:ℕ–onto→𝑋 ∧ (𝑔 ↾ 𝑥):𝑥–1-1-onto→ran 𝑔) → ran 𝑔 = 𝑋)
17	16	f1oeq3d 6815	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ((𝑔:ℕ–onto→𝑋 ∧ (𝑔 ↾ 𝑥):𝑥–1-1-onto→ran 𝑔) → ((𝑔 ↾ 𝑥):𝑥–1-1-onto→ran 𝑔 ↔ (𝑔 ↾ 𝑥):𝑥–1-1-onto→𝑋))
18	14, 17	mpbid 235	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((𝑔:ℕ–onto→𝑋 ∧ (𝑔 ↾ 𝑥):𝑥–1-1-onto→ran 𝑔) → (𝑔 ↾ 𝑥):𝑥–1-1-onto→𝑋)
19	18	adantll 727	. . . . . . . . 9 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑔:ℕ–onto→𝑋) ∧ (𝑔 ↾ 𝑥):𝑥–1-1-onto→ran 𝑔) → (𝑔 ↾ 𝑥):𝑥–1-1-onto→𝑋)
20	19	3adant2 1149	. . . . . . . 8 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑔:ℕ–onto→𝑋) ∧ 𝑥 ∈ 𝒫 ℕ ∧ (𝑔 ↾ 𝑥):𝑥–1-1-onto→ran 𝑔) → (𝑔 ↾ 𝑥):𝑥–1-1-onto→𝑋)
21		nnfoctbdj.dj	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝜑 → Disj 𝑦 ∈ 𝑋 𝑦)
22	21	adantr 486	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑔:ℕ–onto→𝑋) → Disj 𝑦 ∈ 𝑋 𝑦)
23	22	3ad2ant1 1151	. . . . . . . 8 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑔:ℕ–onto→𝑋) ∧ 𝑥 ∈ 𝒫 ℕ ∧ (𝑔 ↾ 𝑥):𝑥–1-1-onto→ran 𝑔) → Disj 𝑦 ∈ 𝑋 𝑦)
24		eqeq1 2764	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (𝑚 = 𝑛 → (𝑚 = 1 ↔ 𝑛 = 1))
25		oveq1 7421	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (𝑚 = 𝑛 → (𝑚 − 1) = (𝑛 − 1))
26	25	eleq1d 2845	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (𝑚 = 𝑛 → ((𝑚 − 1) ∈ 𝑥 ↔ (𝑛 − 1) ∈ 𝑥))
27	26	notbid 321	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (𝑚 = 𝑛 → (¬ (𝑚 − 1) ∈ 𝑥 ↔ ¬ (𝑛 − 1) ∈ 𝑥))
28	24, 27	orbi12d 932	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝑚 = 𝑛 → ((𝑚 = 1 ∨ ¬ (𝑚 − 1) ∈ 𝑥) ↔ (𝑛 = 1 ∨ ¬ (𝑛 − 1) ∈ 𝑥)))
29		fvoveq1 7437	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝑚 = 𝑛 → ((𝑔 ↾ 𝑥)‘(𝑚 − 1)) = ((𝑔 ↾ 𝑥)‘(𝑛 − 1)))
30	28, 29	ifbieq2d 4509	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝑚 = 𝑛 → if((𝑚 = 1 ∨ ¬ (𝑚 − 1) ∈ 𝑥), ∅, ((𝑔 ↾ 𝑥)‘(𝑚 − 1))) = if((𝑛 = 1 ∨ ¬ (𝑛 − 1) ∈ 𝑥), ∅, ((𝑔 ↾ 𝑥)‘(𝑛 − 1))))
31	30	cbvmptv 5209	. . . . . . . 8 ⊢ (𝑚 ∈ ℕ ↦ if((𝑚 = 1 ∨ ¬ (𝑚 − 1) ∈ 𝑥), ∅, ((𝑔 ↾ 𝑥)‘(𝑚 − 1)))) = (𝑛 ∈ ℕ ↦ if((𝑛 = 1 ∨ ¬ (𝑛 − 1) ∈ 𝑥), ∅, ((𝑔 ↾ 𝑥)‘(𝑛 − 1))))
32	13, 20, 23, 31	nnfoctbdjlem 47284	. . . . . . 7 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑔:ℕ–onto→𝑋) ∧ 𝑥 ∈ 𝒫 ℕ ∧ (𝑔 ↾ 𝑥):𝑥–1-1-onto→ran 𝑔) → ∃𝑓(𝑓:ℕ–onto→(𝑋 ∪ {∅}) ∧ Disj 𝑛 ∈ ℕ (𝑓‘𝑛)))
33	32	3exp 1137	. . . . . 6 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑔:ℕ–onto→𝑋) → (𝑥 ∈ 𝒫 ℕ → ((𝑔 ↾ 𝑥):𝑥–1-1-onto→ran 𝑔 → ∃𝑓(𝑓:ℕ–onto→(𝑋 ∪ {∅}) ∧ Disj 𝑛 ∈ ℕ (𝑓‘𝑛)))))
34	33	rexlimdv 3161	. . . . 5 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑔:ℕ–onto→𝑋) → (∃𝑥 ∈ 𝒫 ℕ(𝑔 ↾ 𝑥):𝑥–1-1-onto→ran 𝑔 → ∃𝑓(𝑓:ℕ–onto→(𝑋 ∪ {∅}) ∧ Disj 𝑛 ∈ ℕ (𝑓‘𝑛))))
35	11, 34	mpd 16	. . . 4 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑔:ℕ–onto→𝑋) → ∃𝑓(𝑓:ℕ–onto→(𝑋 ∪ {∅}) ∧ Disj 𝑛 ∈ ℕ (𝑓‘𝑛)))
36	35	ex 418	. . 3 ⊢ (𝜑 → (𝑔:ℕ–onto→𝑋 → ∃𝑓(𝑓:ℕ–onto→(𝑋 ∪ {∅}) ∧ Disj 𝑛 ∈ ℕ (𝑓‘𝑛))))
37	36	exlimdv 1966	. 2 ⊢ (𝜑 → (∃𝑔 𝑔:ℕ–onto→𝑋 → ∃𝑓(𝑓:ℕ–onto→(𝑋 ∪ {∅}) ∧ Disj 𝑛 ∈ ℕ (𝑓‘𝑛))))
38	4, 37	mpd 16	1 ⊢ (𝜑 → ∃𝑓(𝑓:ℕ–onto→(𝑋 ∪ {∅}) ∧ Disj 𝑛 ∈ ℕ (𝑓‘𝑛)))

This proof depends on syntax axioms:  ¬ wn 3   → wi 4   ∧ wa 401   ∨ wo 861   ∧ w3a 1103   = wceq 1570  ∃wex 1812   ∈ wcel 2145   ≠ wne 2955  ∃wrex 3086  Vcvv 3450   ∪ cun 3897   ⊆ wss 3899  ∅c0 4279  ifcif 4482  𝒫 cpw 4557  {csn 4584  Disj wdisj 5070   class class class wbr 5103   ↦ cmpt 5186   We wwe 5607  ran crn 5656   ↾ cres 5657   Fn wfn 6528  –onto→wfo 6531  –1-1-onto→wf1o 6532  ‘cfv 6533  (class class class)co 7414  ωcom 7863   ≼ cdom 8951  1c1 11126   < clt 11268   − cmin 11466  ℕcn 12258

This proof depends on axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1828  ax-4 1842  ax-5 1943  ax-6 2000  ax-7 2041  ax-8 2147  ax-9 2155  ax-10 2178  ax-11 2194  ax-12 2213  ax-ext 2732  ax-rep 5232  ax-sep 5251  ax-nul 5263  ax-pow 5330  ax-pr 5398  ax-un 7737  ax-inf2 9621  ax-cnex 11181  ax-resscn 11182  ax-1cn 11183  ax-icn 11184  ax-addcl 11185  ax-addrcl 11186  ax-mulcl 11187  ax-mulrcl 11188  ax-mulcom 11189  ax-addass 11190  ax-mulass 11191  ax-distr 11192  ax-i2m1 11193  ax-1ne0 11194  ax-1rid 11195  ax-rnegex 11196  ax-rrecex 11197  ax-cnre 11198  ax-pre-lttri 11199  ax-pre-lttrn 11200  ax-pre-ltadd 11201  ax-pre-mulgt0 11202

This proof depends on definitions:  df-bi 210  df-an 402  df-or 862  df-3or 1104  df-3an 1105  df-tru 1573  df-fal 1583  df-ex 1813  df-nf 1817  df-sb 2100  df-mo 2564  df-eu 2594  df-clab 2739  df-cleq 2752  df-clel 2835  df-nfc 2909  df-ne 2956  df-nel 3062  df-ral 3077  df-rex 3087  df-rmo 3365  df-reu 3366  df-rab 3413  df-v 3452  df-sbc 3740  df-csb 3848  df-dif 3902  df-un 3904  df-in 3906  df-ss 3916  df-pss 3919  df-nul 4280  df-if 4483  df-pw 4559  df-sn 4585  df-pr 4587  df-op 4591  df-uni 4868  df-iun 4953  df-disj 5071  df-br 5104  df-opab 5168  df-mpt 5187  df-tr 5213  df-id 5550  df-eprel 5555  df-po 5563  df-so 5564  df-fr 5608  df-we 5610  df-xp 5661  df-rel 5662  df-cnv 5663  df-co 5664  df-dm 5665  df-rn 5666  df-res 5667  df-ima 5668  df-pred 6299  df-ord 6360  df-on 6361  df-lim 6362  df-suc 6363  df-iota 6489  df-fun 6535  df-fn 6536  df-f 6537  df-f1 6538  df-fo 6539  df-f1o 6540  df-fv 6541  df-isom 6542  df-riota 7371  df-ov 7417  df-oprab 7418  df-mpo 7419  df-om 7864  df-2nd 7988  df-frecs 8281  df-wrecs 8312  df-recs 8361  df-rdg 8400  df-er 8697  df-en 8954  df-dom 8955  df-sdom 8956  df-pnf 11270  df-mnf 11271  df-xr 11272  df-ltxr 11273  df-le 11274  df-sub 11468  df-neg 11469  df-nn 12259  df-n0 12530  df-z 12617  df-uz 12889  df-rp 13044

This theorem is used by:  ismeannd  47296