Theorem nnfoctbdj 47739

Description: There exists a mapping from ℕ onto any (nonempty) countable set of disjoint sets, such that elements in the range of the map are disjoint. (Contributed by Glauco Siliprandi, 17-Aug-2020.)

Hypotheses

Ref	Expression
nnfoctbdj.ctb	⊢ (𝜑 → 𝑋 ≼ ω)
nnfoctbdj.n0	⊢ (𝜑 → 𝑋 ≠ ∅)
nnfoctbdj.dj	⊢ (𝜑 → Disj 𝑦 ∈ 𝑋 𝑦)

Assertion

Ref	Expression
nnfoctbdj	⊢ (𝜑 → ∃𝑓(𝑓:ℕ⟶onto(𝑋 ∪ {∅}) ∧ Disj 𝑛 ∈ ℕ (𝑓‘𝑛)))

Distinct variable groups:   𝑓,𝑋,𝑛   𝑦,𝑋,𝑛   𝜑,𝑛,𝑦

Allowed substitution hint:   𝜑(𝑓)

Proof of Theorem nnfoctbdj

Dummy variables 𝑔 𝑥 𝑚 are mutually distinct and distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		nnfoctbdj.ctb	. . 3 ⊢ (𝜑 → 𝑋 ≼ ω)
2		nnfoctbdj.n0	. . 3 ⊢ (𝜑 → 𝑋 ≠ ∅)
3		nnfoctb 46339	. . 3 ⊢ ((𝑋 ≼ ω ∧ 𝑋 ≠ ∅) → ∃𝑔 𝑔:ℕ⟶onto𝑋)
4	1, 2, 3	syl2anc 596	. 2 ⊢ (𝜑 → ∃𝑔 𝑔:ℕ⟶onto𝑋)
5		fofn 6828	. . . . . . 7 ⊢ (𝑔:ℕ⟶onto𝑋 → 𝑔 Fn ℕ)
6	5	adantl 487	. . . . . 6 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑔:ℕ⟶onto𝑋) → 𝑔 Fn ℕ)
7		nnex 12381	. . . . . . 7 ⊢ ℕ ∈ V
8	7	a1i 11	. . . . . 6 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑔:ℕ⟶onto𝑋) → ℕ ∈ V)
9		ltwenn 14145	. . . . . . 7 ⊢ < We ℕ
10	9	a1i 11	. . . . . 6 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑔:ℕ⟶onto𝑋) → < We ℕ)
11	6, 8, 10	wessf1orn 46474	. . . . 5 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑔:ℕ⟶onto𝑋) → ∃𝑥 ∈ 𝒫 ℕ(𝑔 ↾ 𝑥):𝑥⟶1-1ontoran 𝑔)
12		elpwi 4567	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝑥 ∈ 𝒫 ℕ → 𝑥 ⊆ ℕ)
13	12	3ad2ant2 1152	. . . . . . . 8 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑔:ℕ⟶onto𝑋) ∧ 𝑥 ∈ 𝒫 ℕ ∧ (𝑔 ↾ 𝑥):𝑥⟶1-1ontoran 𝑔) → 𝑥 ⊆ ℕ)
14		simpr 490	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ((𝑔:ℕ⟶onto𝑋 ∧ (𝑔 ↾ 𝑥):𝑥⟶1-1ontoran 𝑔) → (𝑔 ↾ 𝑥):𝑥⟶1-1ontoran 𝑔)
15		forn 6829	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (𝑔:ℕ⟶onto𝑋 → ran 𝑔 = 𝑋)
16	15	adantr 486	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ ((𝑔:ℕ⟶onto𝑋 ∧ (𝑔 ↾ 𝑥):𝑥⟶1-1ontoran 𝑔) → ran 𝑔 = 𝑋)
17	16	f1oeq3d 6851	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ((𝑔:ℕ⟶onto𝑋 ∧ (𝑔 ↾ 𝑥):𝑥⟶1-1ontoran 𝑔) → ((𝑔 ↾ 𝑥):𝑥⟶1-1ontoran 𝑔 ↔ (𝑔 ↾ 𝑥):𝑥⟶1-1onto𝑋))
18	14, 17	mpbid 235	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((𝑔:ℕ⟶onto𝑋 ∧ (𝑔 ↾ 𝑥):𝑥⟶1-1ontoran 𝑔) → (𝑔 ↾ 𝑥):𝑥⟶1-1onto𝑋)
19	18	adantll 727	. . . . . . . . 9 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑔:ℕ⟶onto𝑋) ∧ (𝑔 ↾ 𝑥):𝑥⟶1-1ontoran 𝑔) → (𝑔 ↾ 𝑥):𝑥⟶1-1onto𝑋)
20	19	3adant2 1149	. . . . . . . 8 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑔:ℕ⟶onto𝑋) ∧ 𝑥 ∈ 𝒫 ℕ ∧ (𝑔 ↾ 𝑥):𝑥⟶1-1ontoran 𝑔) → (𝑔 ↾ 𝑥):𝑥⟶1-1onto𝑋)
21		nnfoctbdj.dj	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝜑 → Disj 𝑦 ∈ 𝑋 𝑦)
22	21	adantr 486	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑔:ℕ⟶onto𝑋) → Disj 𝑦 ∈ 𝑋 𝑦)
23	22	3ad2ant1 1151	. . . . . . . 8 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑔:ℕ⟶onto𝑋) ∧ 𝑥 ∈ 𝒫 ℕ ∧ (𝑔 ↾ 𝑥):𝑥⟶1-1ontoran 𝑔) → Disj 𝑦 ∈ 𝑋 𝑦)
24		eqeq1 2767	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (𝑚 = 𝑛 → (𝑚 = 1 ↔ 𝑛 = 1))
25		oveq1 7458	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (𝑚 = 𝑛 → (𝑚 − 1) = (𝑛 − 1))
26	25	eleq1d 2849	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (𝑚 = 𝑛 → ((𝑚 − 1) ∈ 𝑥 ↔ (𝑛 − 1) ∈ 𝑥))
27	26	notbid 321	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (𝑚 = 𝑛 → (¬ (𝑚 − 1) ∈ 𝑥 ↔ ¬ (𝑛 − 1) ∈ 𝑥))
28	24, 27	orbi12d 932	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝑚 = 𝑛 → ((𝑚 = 1 ∨ ¬ (𝑚 − 1) ∈ 𝑥) ↔ (𝑛 = 1 ∨ ¬ (𝑛 − 1) ∈ 𝑥)))
29		fvoveq1 7474	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝑚 = 𝑛 → ((𝑔 ↾ 𝑥)‘(𝑚 − 1)) = ((𝑔 ↾ 𝑥)‘(𝑛 − 1)))
30	28, 29	ifbieq2d 4512	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝑚 = 𝑛 → if((𝑚 = 1 ∨ ¬ (𝑚 − 1) ∈ 𝑥), ∅, ((𝑔 ↾ 𝑥)‘(𝑚 − 1))) = if((𝑛 = 1 ∨ ¬ (𝑛 − 1) ∈ 𝑥), ∅, ((𝑔 ↾ 𝑥)‘(𝑛 − 1))))
31	30	cbvmptv 5215	. . . . . . . 8 ⊢ (𝑚 ∈ ℕ ↦ if((𝑚 = 1 ∨ ¬ (𝑚 − 1) ∈ 𝑥), ∅, ((𝑔 ↾ 𝑥)‘(𝑚 − 1)))) = (𝑛 ∈ ℕ ↦ if((𝑛 = 1 ∨ ¬ (𝑛 − 1) ∈ 𝑥), ∅, ((𝑔 ↾ 𝑥)‘(𝑛 − 1))))
32	13, 20, 23, 31	nnfoctbdjlem 47738	. . . . . . 7 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑔:ℕ⟶onto𝑋) ∧ 𝑥 ∈ 𝒫 ℕ ∧ (𝑔 ↾ 𝑥):𝑥⟶1-1ontoran 𝑔) → ∃𝑓(𝑓:ℕ⟶onto(𝑋 ∪ {∅}) ∧ Disj 𝑛 ∈ ℕ (𝑓‘𝑛)))
33	32	3exp 1137	. . . . . 6 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑔:ℕ⟶onto𝑋) → (𝑥 ∈ 𝒫 ℕ → ((𝑔 ↾ 𝑥):𝑥⟶1-1ontoran 𝑔 → ∃𝑓(𝑓:ℕ⟶onto(𝑋 ∪ {∅}) ∧ Disj 𝑛 ∈ ℕ (𝑓‘𝑛)))))
34	33	rexlimdv 3165	. . . . 5 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑔:ℕ⟶onto𝑋) → (∃𝑥 ∈ 𝒫 ℕ(𝑔 ↾ 𝑥):𝑥⟶1-1ontoran 𝑔 → ∃𝑓(𝑓:ℕ⟶onto(𝑋 ∪ {∅}) ∧ Disj 𝑛 ∈ ℕ (𝑓‘𝑛))))
35	11, 34	mpd 16	. . . 4 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑔:ℕ⟶onto𝑋) → ∃𝑓(𝑓:ℕ⟶onto(𝑋 ∪ {∅}) ∧ Disj 𝑛 ∈ ℕ (𝑓‘𝑛)))
36	35	ex 418	. . 3 ⊢ (𝜑 → (𝑔:ℕ⟶onto𝑋 → ∃𝑓(𝑓:ℕ⟶onto(𝑋 ∪ {∅}) ∧ Disj 𝑛 ∈ ℕ (𝑓‘𝑛))))
37	36	exlimdv 1968	. 2 ⊢ (𝜑 → (∃𝑔 𝑔:ℕ⟶onto𝑋 → ∃𝑓(𝑓:ℕ⟶onto(𝑋 ∪ {∅}) ∧ Disj 𝑛 ∈ ℕ (𝑓‘𝑛))))
38	4, 37	mpd 16	1 ⊢ (𝜑 → ∃𝑓(𝑓:ℕ⟶onto(𝑋 ∪ {∅}) ∧ Disj 𝑛 ∈ ℕ (𝑓‘𝑛)))

This proof depends on syntax axioms:  ¬ wn 3   → wi 4   ∧ wa 401   ∨ wo 861   ∧ w3a 1103   = wceq 1570  ∃wex 1812   ∈ wcel 2147   ≠ wne 2959  ∃wrex 3090  Vcvv 3454   ⊆ wss 3900   ∪ cun 4152  ∅c0 4281  ifcif 4485  𝒫 cpw 4560  {csn 4588  Disj wdisj 5075   class class class wbr 5108   ↦ cmpt 5192   We wwe 5610  ran crn 5659   ↾ cres 5660   Fn wfn 6561  ⟶ontowfo 6564  ⟶1-1ontowf1o 6565  ‘cfv 6566  (class class class)co 7451  ωcom 7911   ≼ cdom 9009  1c1 11240   < clt 11382   − cmin 11580  ℕcn 12375

This proof depends on axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1828  ax-4 1842  ax-5 1945  ax-6 2002  ax-7 2043  ax-8 2149  ax-9 2157  ax-10 2180  ax-11 2197  ax-12 2216  ax-ext 2735  ax-rep 5238  ax-sep 5255  ax-nul 5266  ax-pow 5334  ax-pr 5398  ax-un 7783  ax-inf2 9679  ax-cnex 11295  ax-resscn 11296  ax-1cn 11297  ax-icn 11298  ax-addcl 11299  ax-addrcl 11300  ax-mulcl 11301  ax-mulrcl 11302  ax-mulcom 11303  ax-addass 11304  ax-mulass 11305  ax-distr 11306  ax-i2m1 11307  ax-1ne0 11308  ax-1rid 11309  ax-rnegex 11310  ax-rrecex 11311  ax-cnre 11312  ax-pre-lttri 11313  ax-pre-lttrn 11314  ax-pre-ltadd 11315  ax-pre-mulgt0 11316

This proof depends on definitions:  df-bi 210  df-an 402  df-or 862  df-3or 1104  df-3an 1105  df-tru 1573  df-fal 1583  df-ex 1813  df-nf 1817  df-sb 2102  df-mo 2567  df-eu 2597  df-clab 2742  df-cleq 2755  df-clel 2839  df-nfc 2913  df-ne 2960  df-nel 3066  df-ral 3081  df-rex 3091  df-rmo 3369  df-reu 3370  df-rab 3417  df-v 3456  df-sbc 3743  df-csb 3852  df-ss 3901  df-pss 4017  df-dif 4050  df-in 4094  df-un 4154  df-nul 4282  df-if 4486  df-pw 4562  df-sn 4589  df-pr 4591  df-op 4841  df-uni 4873  df-iun 4958  df-disj 5076  df-br 5109  df-opab 5174  df-mpt 5193  df-tr 5219  df-id 5553  df-eprel 5558  df-po 5566  df-so 5567  df-fr 5611  df-we 5613  df-xp 5664  df-rel 5665  df-cnv 5666  df-co 5667  df-dm 5668  df-rn 5669  df-res 5670  df-ima 5671  df-pred 6330  df-ord 6391  df-on 6392  df-lim 6393  df-suc 6394  df-iota 6520  df-fun 6568  df-fn 6569  df-f 6570  df-f1 6571  df-fo 6572  df-f1o 6573  df-fv 6574  df-isom 6575  df-riota 7408  df-ov 7454  df-oprab 7455  df-mpo 7456  df-om 7912  df-2nd 8036  df-frecs 8337  df-wrecs 8368  df-recs 8417  df-rdg 8456  df-er 8755  df-en 9012  df-dom 9013  df-sdom 9014  df-pnf 11384  df-mnf 11385  df-xr 11386  df-ltxr 11387  df-le 11388  df-sub 11582  df-neg 11583  df-nn 12376  df-n0 12647  df-z 12734  df-uz 13006  df-rp 13161

This theorem is used by:  ismeannd  47750