Mathbox for Glauco Siliprandi < Previous   Next > Nearby theorems Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >   Mathboxes  >  nnfoctbdj Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem nnfoctbdj 43446
 Description: There exists a mapping from ℕ onto any (nonempty) countable set of disjoint sets, such that elements in the range of the map are disjoint. (Contributed by Glauco Siliprandi, 17-Aug-2020.)
Hypotheses
Ref Expression
nnfoctbdj.ctb (𝜑𝑋 ≼ ω)
nnfoctbdj.n0 (𝜑𝑋 ≠ ∅)
nnfoctbdj.dj (𝜑Disj 𝑦𝑋 𝑦)
Assertion
Ref Expression
nnfoctbdj (𝜑 → ∃𝑓(𝑓:ℕ–onto→(𝑋 ∪ {∅}) ∧ Disj 𝑛 ∈ ℕ (𝑓𝑛)))
Distinct variable groups:   𝑓,𝑋,𝑛   𝑦,𝑋,𝑛   𝜑,𝑛,𝑦
Allowed substitution hint:   𝜑(𝑓)

Proof of Theorem nnfoctbdj
Dummy variables 𝑔 𝑥 𝑚 are mutually distinct and distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 nnfoctbdj.ctb . . 3 (𝜑𝑋 ≼ ω)
2 nnfoctbdj.n0 . . 3 (𝜑𝑋 ≠ ∅)
3 nnfoctb 42039 . . 3 ((𝑋 ≼ ω ∧ 𝑋 ≠ ∅) → ∃𝑔 𝑔:ℕ–onto𝑋)
41, 2, 3syl2anc 588 . 2 (𝜑 → ∃𝑔 𝑔:ℕ–onto𝑋)
5 fofn 6571 . . . . . . 7 (𝑔:ℕ–onto𝑋𝑔 Fn ℕ)
65adantl 486 . . . . . 6 ((𝜑𝑔:ℕ–onto𝑋) → 𝑔 Fn ℕ)
7 nnex 11665 . . . . . . 7 ℕ ∈ V
87a1i 11 . . . . . 6 ((𝜑𝑔:ℕ–onto𝑋) → ℕ ∈ V)
9 ltwenn 13364 . . . . . . 7 < We ℕ
109a1i 11 . . . . . 6 ((𝜑𝑔:ℕ–onto𝑋) → < We ℕ)
116, 8, 10wessf1orn 42167 . . . . 5 ((𝜑𝑔:ℕ–onto𝑋) → ∃𝑥 ∈ 𝒫 ℕ(𝑔𝑥):𝑥1-1-onto→ran 𝑔)
12 elpwi 4496 . . . . . . . . 9 (𝑥 ∈ 𝒫 ℕ → 𝑥 ⊆ ℕ)
13123ad2ant2 1132 . . . . . . . 8 (((𝜑𝑔:ℕ–onto𝑋) ∧ 𝑥 ∈ 𝒫 ℕ ∧ (𝑔𝑥):𝑥1-1-onto→ran 𝑔) → 𝑥 ⊆ ℕ)
14 simpr 489 . . . . . . . . . . 11 ((𝑔:ℕ–onto𝑋 ∧ (𝑔𝑥):𝑥1-1-onto→ran 𝑔) → (𝑔𝑥):𝑥1-1-onto→ran 𝑔)
15 forn 6572 . . . . . . . . . . . . 13 (𝑔:ℕ–onto𝑋 → ran 𝑔 = 𝑋)
1615adantr 485 . . . . . . . . . . . 12 ((𝑔:ℕ–onto𝑋 ∧ (𝑔𝑥):𝑥1-1-onto→ran 𝑔) → ran 𝑔 = 𝑋)
1716f1oeq3d 6592 . . . . . . . . . . 11 ((𝑔:ℕ–onto𝑋 ∧ (𝑔𝑥):𝑥1-1-onto→ran 𝑔) → ((𝑔𝑥):𝑥1-1-onto→ran 𝑔 ↔ (𝑔𝑥):𝑥1-1-onto𝑋))
1814, 17mpbid 235 . . . . . . . . . 10 ((𝑔:ℕ–onto𝑋 ∧ (𝑔𝑥):𝑥1-1-onto→ran 𝑔) → (𝑔𝑥):𝑥1-1-onto𝑋)
1918adantll 714 . . . . . . . . 9 (((𝜑𝑔:ℕ–onto𝑋) ∧ (𝑔𝑥):𝑥1-1-onto→ran 𝑔) → (𝑔𝑥):𝑥1-1-onto𝑋)
20193adant2 1129 . . . . . . . 8 (((𝜑𝑔:ℕ–onto𝑋) ∧ 𝑥 ∈ 𝒫 ℕ ∧ (𝑔𝑥):𝑥1-1-onto→ran 𝑔) → (𝑔𝑥):𝑥1-1-onto𝑋)
21 nnfoctbdj.dj . . . . . . . . . 10 (𝜑Disj 𝑦𝑋 𝑦)
2221adantr 485 . . . . . . . . 9 ((𝜑𝑔:ℕ–onto𝑋) → Disj 𝑦𝑋 𝑦)
23223ad2ant1 1131 . . . . . . . 8 (((𝜑𝑔:ℕ–onto𝑋) ∧ 𝑥 ∈ 𝒫 ℕ ∧ (𝑔𝑥):𝑥1-1-onto→ran 𝑔) → Disj 𝑦𝑋 𝑦)
24 eqeq1 2763 . . . . . . . . . . 11 (𝑚 = 𝑛 → (𝑚 = 1 ↔ 𝑛 = 1))
25 oveq1 7150 . . . . . . . . . . . . 13 (𝑚 = 𝑛 → (𝑚 − 1) = (𝑛 − 1))
2625eleq1d 2835 . . . . . . . . . . . 12 (𝑚 = 𝑛 → ((𝑚 − 1) ∈ 𝑥 ↔ (𝑛 − 1) ∈ 𝑥))
2726notbid 322 . . . . . . . . . . 11 (𝑚 = 𝑛 → (¬ (𝑚 − 1) ∈ 𝑥 ↔ ¬ (𝑛 − 1) ∈ 𝑥))
2824, 27orbi12d 917 . . . . . . . . . 10 (𝑚 = 𝑛 → ((𝑚 = 1 ∨ ¬ (𝑚 − 1) ∈ 𝑥) ↔ (𝑛 = 1 ∨ ¬ (𝑛 − 1) ∈ 𝑥)))
29 fvoveq1 7166 . . . . . . . . . 10 (𝑚 = 𝑛 → ((𝑔𝑥)‘(𝑚 − 1)) = ((𝑔𝑥)‘(𝑛 − 1)))
3028, 29ifbieq2d 4439 . . . . . . . . 9 (𝑚 = 𝑛 → if((𝑚 = 1 ∨ ¬ (𝑚 − 1) ∈ 𝑥), ∅, ((𝑔𝑥)‘(𝑚 − 1))) = if((𝑛 = 1 ∨ ¬ (𝑛 − 1) ∈ 𝑥), ∅, ((𝑔𝑥)‘(𝑛 − 1))))
3130cbvmptv 5128 . . . . . . . 8 (𝑚 ∈ ℕ ↦ if((𝑚 = 1 ∨ ¬ (𝑚 − 1) ∈ 𝑥), ∅, ((𝑔𝑥)‘(𝑚 − 1)))) = (𝑛 ∈ ℕ ↦ if((𝑛 = 1 ∨ ¬ (𝑛 − 1) ∈ 𝑥), ∅, ((𝑔𝑥)‘(𝑛 − 1))))
3213, 20, 23, 31nnfoctbdjlem 43445 . . . . . . 7 (((𝜑𝑔:ℕ–onto𝑋) ∧ 𝑥 ∈ 𝒫 ℕ ∧ (𝑔𝑥):𝑥1-1-onto→ran 𝑔) → ∃𝑓(𝑓:ℕ–onto→(𝑋 ∪ {∅}) ∧ Disj 𝑛 ∈ ℕ (𝑓𝑛)))
33323exp 1117 . . . . . 6 ((𝜑𝑔:ℕ–onto𝑋) → (𝑥 ∈ 𝒫 ℕ → ((𝑔𝑥):𝑥1-1-onto→ran 𝑔 → ∃𝑓(𝑓:ℕ–onto→(𝑋 ∪ {∅}) ∧ Disj 𝑛 ∈ ℕ (𝑓𝑛)))))
3433rexlimdv 3205 . . . . 5 ((𝜑𝑔:ℕ–onto𝑋) → (∃𝑥 ∈ 𝒫 ℕ(𝑔𝑥):𝑥1-1-onto→ran 𝑔 → ∃𝑓(𝑓:ℕ–onto→(𝑋 ∪ {∅}) ∧ Disj 𝑛 ∈ ℕ (𝑓𝑛))))
3511, 34mpd 15 . . . 4 ((𝜑𝑔:ℕ–onto𝑋) → ∃𝑓(𝑓:ℕ–onto→(𝑋 ∪ {∅}) ∧ Disj 𝑛 ∈ ℕ (𝑓𝑛)))
3635ex 417 . . 3 (𝜑 → (𝑔:ℕ–onto𝑋 → ∃𝑓(𝑓:ℕ–onto→(𝑋 ∪ {∅}) ∧ Disj 𝑛 ∈ ℕ (𝑓𝑛))))
3736exlimdv 1935 . 2 (𝜑 → (∃𝑔 𝑔:ℕ–onto𝑋 → ∃𝑓(𝑓:ℕ–onto→(𝑋 ∪ {∅}) ∧ Disj 𝑛 ∈ ℕ (𝑓𝑛))))
384, 37mpd 15 1 (𝜑 → ∃𝑓(𝑓:ℕ–onto→(𝑋 ∪ {∅}) ∧ Disj 𝑛 ∈ ℕ (𝑓𝑛)))
 Colors of variables: wff setvar class Syntax hints:  ¬ wn 3   → wi 4   ∧ wa 400   ∨ wo 845   ∧ w3a 1085   = wceq 1539  ∃wex 1782   ∈ wcel 2112   ≠ wne 2949  ∃wrex 3069  Vcvv 3407   ∪ cun 3852   ⊆ wss 3854  ∅c0 4221  ifcif 4413  𝒫 cpw 4487  {csn 4515  Disj wdisj 4990   class class class wbr 5025   ↦ cmpt 5105   We wwe 5475  ran crn 5518   ↾ cres 5519   Fn wfn 6323  –onto→wfo 6326  –1-1-onto→wf1o 6327  ‘cfv 6328  (class class class)co 7143  ωcom 7572   ≼ cdom 8518  1c1 10561   < clt 10698   − cmin 10893  ℕcn 11659 This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1798  ax-4 1812  ax-5 1912  ax-6 1971  ax-7 2016  ax-8 2114  ax-9 2122  ax-10 2143  ax-11 2159  ax-12 2176  ax-ext 2730  ax-rep 5149  ax-sep 5162  ax-nul 5169  ax-pow 5227  ax-pr 5291  ax-un 7452  ax-inf2 9122  ax-cnex 10616  ax-resscn 10617  ax-1cn 10618  ax-icn 10619  ax-addcl 10620  ax-addrcl 10621  ax-mulcl 10622  ax-mulrcl 10623  ax-mulcom 10624  ax-addass 10625  ax-mulass 10626  ax-distr 10627  ax-i2m1 10628  ax-1ne0 10629  ax-1rid 10630  ax-rnegex 10631  ax-rrecex 10632  ax-cnre 10633  ax-pre-lttri 10634  ax-pre-lttrn 10635  ax-pre-ltadd 10636  ax-pre-mulgt0 10637 This theorem depends on definitions:  df-bi 210  df-an 401  df-or 846  df-3or 1086  df-3an 1087  df-tru 1542  df-fal 1552  df-ex 1783  df-nf 1787  df-sb 2071  df-mo 2558  df-eu 2589  df-clab 2737  df-cleq 2751  df-clel 2831  df-nfc 2899  df-ne 2950  df-nel 3054  df-ral 3073  df-rex 3074  df-reu 3075  df-rmo 3076  df-rab 3077  df-v 3409  df-sbc 3694  df-csb 3802  df-dif 3857  df-un 3859  df-in 3861  df-ss 3871  df-pss 3873  df-nul 4222  df-if 4414  df-pw 4489  df-sn 4516  df-pr 4518  df-tp 4520  df-op 4522  df-uni 4792  df-iun 4878  df-disj 4991  df-br 5026  df-opab 5088  df-mpt 5106  df-tr 5132  df-id 5423  df-eprel 5428  df-po 5436  df-so 5437  df-fr 5476  df-we 5478  df-xp 5523  df-rel 5524  df-cnv 5525  df-co 5526  df-dm 5527  df-rn 5528  df-res 5529  df-ima 5530  df-pred 6119  df-ord 6165  df-on 6166  df-lim 6167  df-suc 6168  df-iota 6287  df-fun 6330  df-fn 6331  df-f 6332  df-f1 6333  df-fo 6334  df-f1o 6335  df-fv 6336  df-isom 6337  df-riota 7101  df-ov 7146  df-oprab 7147  df-mpo 7148  df-om 7573  df-wrecs 7950  df-recs 8011  df-rdg 8049  df-er 8292  df-en 8521  df-dom 8522  df-sdom 8523  df-pnf 10700  df-mnf 10701  df-xr 10702  df-ltxr 10703  df-le 10704  df-sub 10895  df-neg 10896  df-nn 11660  df-n0 11920  df-z 12006  df-uz 12268  df-rp 12416 This theorem is referenced by:  ismeannd  43457
 Copyright terms: Public domain W3C validator