Users' Mathboxes Mathbox for Glauco Siliprandi < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >   Mathboxes  >  nnfoctbdj Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem nnfoctbdj 46471
Description: There exists a mapping from onto any (nonempty) countable set of disjoint sets, such that elements in the range of the map are disjoint. (Contributed by Glauco Siliprandi, 17-Aug-2020.)
Hypotheses
Ref Expression
nnfoctbdj.ctb (𝜑𝑋 ≼ ω)
nnfoctbdj.n0 (𝜑𝑋 ≠ ∅)
nnfoctbdj.dj (𝜑Disj 𝑦𝑋 𝑦)
Assertion
Ref Expression
nnfoctbdj (𝜑 → ∃𝑓(𝑓:ℕ–onto→(𝑋 ∪ {∅}) ∧ Disj 𝑛 ∈ ℕ (𝑓𝑛)))
Distinct variable groups:   𝑓,𝑋,𝑛   𝑦,𝑋,𝑛   𝜑,𝑛,𝑦
Allowed substitution hint:   𝜑(𝑓)

Proof of Theorem nnfoctbdj
Dummy variables 𝑔 𝑥 𝑚 are mutually distinct and distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 nnfoctbdj.ctb . . 3 (𝜑𝑋 ≼ ω)
2 nnfoctbdj.n0 . . 3 (𝜑𝑋 ≠ ∅)
3 nnfoctb 45053 . . 3 ((𝑋 ≼ ω ∧ 𝑋 ≠ ∅) → ∃𝑔 𝑔:ℕ–onto𝑋)
41, 2, 3syl2anc 584 . 2 (𝜑 → ∃𝑔 𝑔:ℕ–onto𝑋)
5 fofn 6822 . . . . . . 7 (𝑔:ℕ–onto𝑋𝑔 Fn ℕ)
65adantl 481 . . . . . 6 ((𝜑𝑔:ℕ–onto𝑋) → 𝑔 Fn ℕ)
7 nnex 12272 . . . . . . 7 ℕ ∈ V
87a1i 11 . . . . . 6 ((𝜑𝑔:ℕ–onto𝑋) → ℕ ∈ V)
9 ltwenn 14003 . . . . . . 7 < We ℕ
109a1i 11 . . . . . 6 ((𝜑𝑔:ℕ–onto𝑋) → < We ℕ)
116, 8, 10wessf1orn 45191 . . . . 5 ((𝜑𝑔:ℕ–onto𝑋) → ∃𝑥 ∈ 𝒫 ℕ(𝑔𝑥):𝑥1-1-onto→ran 𝑔)
12 elpwi 4607 . . . . . . . . 9 (𝑥 ∈ 𝒫 ℕ → 𝑥 ⊆ ℕ)
13123ad2ant2 1135 . . . . . . . 8 (((𝜑𝑔:ℕ–onto𝑋) ∧ 𝑥 ∈ 𝒫 ℕ ∧ (𝑔𝑥):𝑥1-1-onto→ran 𝑔) → 𝑥 ⊆ ℕ)
14 simpr 484 . . . . . . . . . . 11 ((𝑔:ℕ–onto𝑋 ∧ (𝑔𝑥):𝑥1-1-onto→ran 𝑔) → (𝑔𝑥):𝑥1-1-onto→ran 𝑔)
15 forn 6823 . . . . . . . . . . . . 13 (𝑔:ℕ–onto𝑋 → ran 𝑔 = 𝑋)
1615adantr 480 . . . . . . . . . . . 12 ((𝑔:ℕ–onto𝑋 ∧ (𝑔𝑥):𝑥1-1-onto→ran 𝑔) → ran 𝑔 = 𝑋)
1716f1oeq3d 6845 . . . . . . . . . . 11 ((𝑔:ℕ–onto𝑋 ∧ (𝑔𝑥):𝑥1-1-onto→ran 𝑔) → ((𝑔𝑥):𝑥1-1-onto→ran 𝑔 ↔ (𝑔𝑥):𝑥1-1-onto𝑋))
1814, 17mpbid 232 . . . . . . . . . 10 ((𝑔:ℕ–onto𝑋 ∧ (𝑔𝑥):𝑥1-1-onto→ran 𝑔) → (𝑔𝑥):𝑥1-1-onto𝑋)
1918adantll 714 . . . . . . . . 9 (((𝜑𝑔:ℕ–onto𝑋) ∧ (𝑔𝑥):𝑥1-1-onto→ran 𝑔) → (𝑔𝑥):𝑥1-1-onto𝑋)
20193adant2 1132 . . . . . . . 8 (((𝜑𝑔:ℕ–onto𝑋) ∧ 𝑥 ∈ 𝒫 ℕ ∧ (𝑔𝑥):𝑥1-1-onto→ran 𝑔) → (𝑔𝑥):𝑥1-1-onto𝑋)
21 nnfoctbdj.dj . . . . . . . . . 10 (𝜑Disj 𝑦𝑋 𝑦)
2221adantr 480 . . . . . . . . 9 ((𝜑𝑔:ℕ–onto𝑋) → Disj 𝑦𝑋 𝑦)
23223ad2ant1 1134 . . . . . . . 8 (((𝜑𝑔:ℕ–onto𝑋) ∧ 𝑥 ∈ 𝒫 ℕ ∧ (𝑔𝑥):𝑥1-1-onto→ran 𝑔) → Disj 𝑦𝑋 𝑦)
24 eqeq1 2741 . . . . . . . . . . 11 (𝑚 = 𝑛 → (𝑚 = 1 ↔ 𝑛 = 1))
25 oveq1 7438 . . . . . . . . . . . . 13 (𝑚 = 𝑛 → (𝑚 − 1) = (𝑛 − 1))
2625eleq1d 2826 . . . . . . . . . . . 12 (𝑚 = 𝑛 → ((𝑚 − 1) ∈ 𝑥 ↔ (𝑛 − 1) ∈ 𝑥))
2726notbid 318 . . . . . . . . . . 11 (𝑚 = 𝑛 → (¬ (𝑚 − 1) ∈ 𝑥 ↔ ¬ (𝑛 − 1) ∈ 𝑥))
2824, 27orbi12d 919 . . . . . . . . . 10 (𝑚 = 𝑛 → ((𝑚 = 1 ∨ ¬ (𝑚 − 1) ∈ 𝑥) ↔ (𝑛 = 1 ∨ ¬ (𝑛 − 1) ∈ 𝑥)))
29 fvoveq1 7454 . . . . . . . . . 10 (𝑚 = 𝑛 → ((𝑔𝑥)‘(𝑚 − 1)) = ((𝑔𝑥)‘(𝑛 − 1)))
3028, 29ifbieq2d 4552 . . . . . . . . 9 (𝑚 = 𝑛 → if((𝑚 = 1 ∨ ¬ (𝑚 − 1) ∈ 𝑥), ∅, ((𝑔𝑥)‘(𝑚 − 1))) = if((𝑛 = 1 ∨ ¬ (𝑛 − 1) ∈ 𝑥), ∅, ((𝑔𝑥)‘(𝑛 − 1))))
3130cbvmptv 5255 . . . . . . . 8 (𝑚 ∈ ℕ ↦ if((𝑚 = 1 ∨ ¬ (𝑚 − 1) ∈ 𝑥), ∅, ((𝑔𝑥)‘(𝑚 − 1)))) = (𝑛 ∈ ℕ ↦ if((𝑛 = 1 ∨ ¬ (𝑛 − 1) ∈ 𝑥), ∅, ((𝑔𝑥)‘(𝑛 − 1))))
3213, 20, 23, 31nnfoctbdjlem 46470 . . . . . . 7 (((𝜑𝑔:ℕ–onto𝑋) ∧ 𝑥 ∈ 𝒫 ℕ ∧ (𝑔𝑥):𝑥1-1-onto→ran 𝑔) → ∃𝑓(𝑓:ℕ–onto→(𝑋 ∪ {∅}) ∧ Disj 𝑛 ∈ ℕ (𝑓𝑛)))
33323exp 1120 . . . . . 6 ((𝜑𝑔:ℕ–onto𝑋) → (𝑥 ∈ 𝒫 ℕ → ((𝑔𝑥):𝑥1-1-onto→ran 𝑔 → ∃𝑓(𝑓:ℕ–onto→(𝑋 ∪ {∅}) ∧ Disj 𝑛 ∈ ℕ (𝑓𝑛)))))
3433rexlimdv 3153 . . . . 5 ((𝜑𝑔:ℕ–onto𝑋) → (∃𝑥 ∈ 𝒫 ℕ(𝑔𝑥):𝑥1-1-onto→ran 𝑔 → ∃𝑓(𝑓:ℕ–onto→(𝑋 ∪ {∅}) ∧ Disj 𝑛 ∈ ℕ (𝑓𝑛))))
3511, 34mpd 15 . . . 4 ((𝜑𝑔:ℕ–onto𝑋) → ∃𝑓(𝑓:ℕ–onto→(𝑋 ∪ {∅}) ∧ Disj 𝑛 ∈ ℕ (𝑓𝑛)))
3635ex 412 . . 3 (𝜑 → (𝑔:ℕ–onto𝑋 → ∃𝑓(𝑓:ℕ–onto→(𝑋 ∪ {∅}) ∧ Disj 𝑛 ∈ ℕ (𝑓𝑛))))
3736exlimdv 1933 . 2 (𝜑 → (∃𝑔 𝑔:ℕ–onto𝑋 → ∃𝑓(𝑓:ℕ–onto→(𝑋 ∪ {∅}) ∧ Disj 𝑛 ∈ ℕ (𝑓𝑛))))
384, 37mpd 15 1 (𝜑 → ∃𝑓(𝑓:ℕ–onto→(𝑋 ∪ {∅}) ∧ Disj 𝑛 ∈ ℕ (𝑓𝑛)))
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  ¬ wn 3  wi 4  wa 395  wo 848  w3a 1087   = wceq 1540  wex 1779  wcel 2108  wne 2940  wrex 3070  Vcvv 3480  cun 3949  wss 3951  c0 4333  ifcif 4525  𝒫 cpw 4600  {csn 4626  Disj wdisj 5110   class class class wbr 5143  cmpt 5225   We wwe 5636  ran crn 5686  cres 5687   Fn wfn 6556  ontowfo 6559  1-1-ontowf1o 6560  cfv 6561  (class class class)co 7431  ωcom 7887  cdom 8983  1c1 11156   < clt 11295  cmin 11492  cn 12266
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1795  ax-4 1809  ax-5 1910  ax-6 1967  ax-7 2007  ax-8 2110  ax-9 2118  ax-10 2141  ax-11 2157  ax-12 2177  ax-ext 2708  ax-rep 5279  ax-sep 5296  ax-nul 5306  ax-pow 5365  ax-pr 5432  ax-un 7755  ax-inf2 9681  ax-cnex 11211  ax-resscn 11212  ax-1cn 11213  ax-icn 11214  ax-addcl 11215  ax-addrcl 11216  ax-mulcl 11217  ax-mulrcl 11218  ax-mulcom 11219  ax-addass 11220  ax-mulass 11221  ax-distr 11222  ax-i2m1 11223  ax-1ne0 11224  ax-1rid 11225  ax-rnegex 11226  ax-rrecex 11227  ax-cnre 11228  ax-pre-lttri 11229  ax-pre-lttrn 11230  ax-pre-ltadd 11231  ax-pre-mulgt0 11232
This theorem depends on definitions:  df-bi 207  df-an 396  df-or 849  df-3or 1088  df-3an 1089  df-tru 1543  df-fal 1553  df-ex 1780  df-nf 1784  df-sb 2065  df-mo 2540  df-eu 2569  df-clab 2715  df-cleq 2729  df-clel 2816  df-nfc 2892  df-ne 2941  df-nel 3047  df-ral 3062  df-rex 3071  df-rmo 3380  df-reu 3381  df-rab 3437  df-v 3482  df-sbc 3789  df-csb 3900  df-dif 3954  df-un 3956  df-in 3958  df-ss 3968  df-pss 3971  df-nul 4334  df-if 4526  df-pw 4602  df-sn 4627  df-pr 4629  df-op 4633  df-uni 4908  df-iun 4993  df-disj 5111  df-br 5144  df-opab 5206  df-mpt 5226  df-tr 5260  df-id 5578  df-eprel 5584  df-po 5592  df-so 5593  df-fr 5637  df-we 5639  df-xp 5691  df-rel 5692  df-cnv 5693  df-co 5694  df-dm 5695  df-rn 5696  df-res 5697  df-ima 5698  df-pred 6321  df-ord 6387  df-on 6388  df-lim 6389  df-suc 6390  df-iota 6514  df-fun 6563  df-fn 6564  df-f 6565  df-f1 6566  df-fo 6567  df-f1o 6568  df-fv 6569  df-isom 6570  df-riota 7388  df-ov 7434  df-oprab 7435  df-mpo 7436  df-om 7888  df-2nd 8015  df-frecs 8306  df-wrecs 8337  df-recs 8411  df-rdg 8450  df-er 8745  df-en 8986  df-dom 8987  df-sdom 8988  df-pnf 11297  df-mnf 11298  df-xr 11299  df-ltxr 11300  df-le 11301  df-sub 11494  df-neg 11495  df-nn 12267  df-n0 12527  df-z 12614  df-uz 12879  df-rp 13035
This theorem is referenced by:  ismeannd  46482
  Copyright terms: Public domain W3C validator