Users' Mathboxes Mathbox for Glauco Siliprandi < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >   Mathboxes  >  nnfoctbdj Structured version   Visualization version   GIF version
Theorem nnfoctbdj 45172
Description: There exists a mapping from β„• onto any (nonempty) countable set of disjoint sets, such that elements in the range of the map are disjoint. (Contributed by Glauco Siliprandi, 17-Aug-2020.)
Hypotheses
Ref Expression
nnfoctbdj.ctb (πœ‘ β†’ 𝑋 β‰Ό Ο‰)
nnfoctbdj.n0 (πœ‘ β†’ 𝑋 β‰  βˆ…)
nnfoctbdj.dj (πœ‘ β†’ Disj 𝑦 ∈ 𝑋 𝑦)
Assertion
Ref Expression
nnfoctbdj (πœ‘ β†’ βˆƒπ‘“(𝑓:ℕ–ontoβ†’(𝑋 βˆͺ {βˆ…}) ∧ Disj 𝑛 ∈ β„• (π‘“β€˜π‘›)))
Distinct variable groups:   𝑓,𝑋,𝑛   𝑦,𝑋,𝑛   πœ‘,𝑛,𝑦
Allowed substitution hint:   πœ‘(𝑓)
Proof of Theorem nnfoctbdj
Dummy variables 𝑔 π‘₯ π‘š are mutually distinct and distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 nnfoctbdj.ctb . . 3 (πœ‘ β†’ 𝑋 β‰Ό Ο‰)
2 nnfoctbdj.n0 . . 3 (πœ‘ β†’ 𝑋 β‰  βˆ…)
3 nnfoctb 43734 . . 3 ((𝑋 β‰Ό Ο‰ ∧ 𝑋 β‰  βˆ…) β†’ βˆƒπ‘” 𝑔:ℕ–onto→𝑋)
41, 2, 3syl2anc 585 . 2 (πœ‘ β†’ βˆƒπ‘” 𝑔:ℕ–onto→𝑋)
5 fofn 6808 . . . . . . 7 (𝑔:ℕ–onto→𝑋 β†’ 𝑔 Fn β„•)
65adantl 483 . . . . . 6 ((πœ‘ ∧ 𝑔:ℕ–onto→𝑋) β†’ 𝑔 Fn β„•)
7 nnex 12218 . . . . . . 7 β„• ∈ V
87a1i 11 . . . . . 6 ((πœ‘ ∧ 𝑔:ℕ–onto→𝑋) β†’ β„• ∈ V)
9 ltwenn 13927 . . . . . . 7 < We β„•
109a1i 11 . . . . . 6 ((πœ‘ ∧ 𝑔:ℕ–onto→𝑋) β†’ < We β„•)
116, 8, 10wessf1orn 43883 . . . . 5 ((πœ‘ ∧ 𝑔:ℕ–onto→𝑋) β†’ βˆƒπ‘₯ ∈ 𝒫 β„•(𝑔 β†Ύ π‘₯):π‘₯–1-1-ontoβ†’ran 𝑔)
12 elpwi 4610 . . . . . . . . 9 (π‘₯ ∈ 𝒫 β„• β†’ π‘₯ βŠ† β„•)
13123ad2ant2 1135 . . . . . . . 8 (((πœ‘ ∧ 𝑔:ℕ–onto→𝑋) ∧ π‘₯ ∈ 𝒫 β„• ∧ (𝑔 β†Ύ π‘₯):π‘₯–1-1-ontoβ†’ran 𝑔) β†’ π‘₯ βŠ† β„•)
14 simpr 486 . . . . . . . . . . 11 ((𝑔:ℕ–onto→𝑋 ∧ (𝑔 β†Ύ π‘₯):π‘₯–1-1-ontoβ†’ran 𝑔) β†’ (𝑔 β†Ύ π‘₯):π‘₯–1-1-ontoβ†’ran 𝑔)
15 forn 6809 . . . . . . . . . . . . 13 (𝑔:ℕ–onto→𝑋 β†’ ran 𝑔 = 𝑋)
1615adantr 482 . . . . . . . . . . . 12 ((𝑔:ℕ–onto→𝑋 ∧ (𝑔 β†Ύ π‘₯):π‘₯–1-1-ontoβ†’ran 𝑔) β†’ ran 𝑔 = 𝑋)
1716f1oeq3d 6831 . . . . . . . . . . 11 ((𝑔:ℕ–onto→𝑋 ∧ (𝑔 β†Ύ π‘₯):π‘₯–1-1-ontoβ†’ran 𝑔) β†’ ((𝑔 β†Ύ π‘₯):π‘₯–1-1-ontoβ†’ran 𝑔 ↔ (𝑔 β†Ύ π‘₯):π‘₯–1-1-onto→𝑋))
1814, 17mpbid 231 . . . . . . . . . 10 ((𝑔:ℕ–onto→𝑋 ∧ (𝑔 β†Ύ π‘₯):π‘₯–1-1-ontoβ†’ran 𝑔) β†’ (𝑔 β†Ύ π‘₯):π‘₯–1-1-onto→𝑋)
1918adantll 713 . . . . . . . . 9 (((πœ‘ ∧ 𝑔:ℕ–onto→𝑋) ∧ (𝑔 β†Ύ π‘₯):π‘₯–1-1-ontoβ†’ran 𝑔) β†’ (𝑔 β†Ύ π‘₯):π‘₯–1-1-onto→𝑋)
20193adant2 1132 . . . . . . . 8 (((πœ‘ ∧ 𝑔:ℕ–onto→𝑋) ∧ π‘₯ ∈ 𝒫 β„• ∧ (𝑔 β†Ύ π‘₯):π‘₯–1-1-ontoβ†’ran 𝑔) β†’ (𝑔 β†Ύ π‘₯):π‘₯–1-1-onto→𝑋)
21 nnfoctbdj.dj . . . . . . . . . 10 (πœ‘ β†’ Disj 𝑦 ∈ 𝑋 𝑦)
2221adantr 482 . . . . . . . . 9 ((πœ‘ ∧ 𝑔:ℕ–onto→𝑋) β†’ Disj 𝑦 ∈ 𝑋 𝑦)
23223ad2ant1 1134 . . . . . . . 8 (((πœ‘ ∧ 𝑔:ℕ–onto→𝑋) ∧ π‘₯ ∈ 𝒫 β„• ∧ (𝑔 β†Ύ π‘₯):π‘₯–1-1-ontoβ†’ran 𝑔) β†’ Disj 𝑦 ∈ 𝑋 𝑦)
24 eqeq1 2737 . . . . . . . . . . 11 (π‘š = 𝑛 β†’ (π‘š = 1 ↔ 𝑛 = 1))
25 oveq1 7416 . . . . . . . . . . . . 13 (π‘š = 𝑛 β†’ (π‘š βˆ’ 1) = (𝑛 βˆ’ 1))
2625eleq1d 2819 . . . . . . . . . . . 12 (π‘š = 𝑛 β†’ ((π‘š βˆ’ 1) ∈ π‘₯ ↔ (𝑛 βˆ’ 1) ∈ π‘₯))
2726notbid 318 . . . . . . . . . . 11 (π‘š = 𝑛 β†’ (Β¬ (π‘š βˆ’ 1) ∈ π‘₯ ↔ Β¬ (𝑛 βˆ’ 1) ∈ π‘₯))
2824, 27orbi12d 918 . . . . . . . . . 10 (π‘š = 𝑛 β†’ ((π‘š = 1 ∨ Β¬ (π‘š βˆ’ 1) ∈ π‘₯) ↔ (𝑛 = 1 ∨ Β¬ (𝑛 βˆ’ 1) ∈ π‘₯)))
29 fvoveq1 7432 . . . . . . . . . 10 (π‘š = 𝑛 β†’ ((𝑔 β†Ύ π‘₯)β€˜(π‘š βˆ’ 1)) = ((𝑔 β†Ύ π‘₯)β€˜(𝑛 βˆ’ 1)))
3028, 29ifbieq2d 4555 . . . . . . . . 9 (π‘š = 𝑛 β†’ if((π‘š = 1 ∨ Β¬ (π‘š βˆ’ 1) ∈ π‘₯), βˆ…, ((𝑔 β†Ύ π‘₯)β€˜(π‘š βˆ’ 1))) = if((𝑛 = 1 ∨ Β¬ (𝑛 βˆ’ 1) ∈ π‘₯), βˆ…, ((𝑔 β†Ύ π‘₯)β€˜(𝑛 βˆ’ 1))))
3130cbvmptv 5262 . . . . . . . 8 (π‘š ∈ β„• ↦ if((π‘š = 1 ∨ Β¬ (π‘š βˆ’ 1) ∈ π‘₯), βˆ…, ((𝑔 β†Ύ π‘₯)β€˜(π‘š βˆ’ 1)))) = (𝑛 ∈ β„• ↦ if((𝑛 = 1 ∨ Β¬ (𝑛 βˆ’ 1) ∈ π‘₯), βˆ…, ((𝑔 β†Ύ π‘₯)β€˜(𝑛 βˆ’ 1))))
3213, 20, 23, 31nnfoctbdjlem 45171 . . . . . . 7 (((πœ‘ ∧ 𝑔:ℕ–onto→𝑋) ∧ π‘₯ ∈ 𝒫 β„• ∧ (𝑔 β†Ύ π‘₯):π‘₯–1-1-ontoβ†’ran 𝑔) β†’ βˆƒπ‘“(𝑓:ℕ–ontoβ†’(𝑋 βˆͺ {βˆ…}) ∧ Disj 𝑛 ∈ β„• (π‘“β€˜π‘›)))
33323exp 1120 . . . . . 6 ((πœ‘ ∧ 𝑔:ℕ–onto→𝑋) β†’ (π‘₯ ∈ 𝒫 β„• β†’ ((𝑔 β†Ύ π‘₯):π‘₯–1-1-ontoβ†’ran 𝑔 β†’ βˆƒπ‘“(𝑓:ℕ–ontoβ†’(𝑋 βˆͺ {βˆ…}) ∧ Disj 𝑛 ∈ β„• (π‘“β€˜π‘›)))))
3433rexlimdv 3154 . . . . 5 ((πœ‘ ∧ 𝑔:ℕ–onto→𝑋) β†’ (βˆƒπ‘₯ ∈ 𝒫 β„•(𝑔 β†Ύ π‘₯):π‘₯–1-1-ontoβ†’ran 𝑔 β†’ βˆƒπ‘“(𝑓:ℕ–ontoβ†’(𝑋 βˆͺ {βˆ…}) ∧ Disj 𝑛 ∈ β„• (π‘“β€˜π‘›))))
3511, 34mpd 15 . . . 4 ((πœ‘ ∧ 𝑔:ℕ–onto→𝑋) β†’ βˆƒπ‘“(𝑓:ℕ–ontoβ†’(𝑋 βˆͺ {βˆ…}) ∧ Disj 𝑛 ∈ β„• (π‘“β€˜π‘›)))
3635ex 414 . . 3 (πœ‘ β†’ (𝑔:ℕ–onto→𝑋 β†’ βˆƒπ‘“(𝑓:ℕ–ontoβ†’(𝑋 βˆͺ {βˆ…}) ∧ Disj 𝑛 ∈ β„• (π‘“β€˜π‘›))))
3736exlimdv 1937 . 2 (πœ‘ β†’ (βˆƒπ‘” 𝑔:ℕ–onto→𝑋 β†’ βˆƒπ‘“(𝑓:ℕ–ontoβ†’(𝑋 βˆͺ {βˆ…}) ∧ Disj 𝑛 ∈ β„• (π‘“β€˜π‘›))))
384, 37mpd 15 1 (πœ‘ β†’ βˆƒπ‘“(𝑓:ℕ–ontoβ†’(𝑋 βˆͺ {βˆ…}) ∧ Disj 𝑛 ∈ β„• (π‘“β€˜π‘›)))
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  Β¬ wn 3   β†’ wi 4   ∧ wa 397   ∨ wo 846   ∧ w3a 1088   = wceq 1542  βˆƒwex 1782   ∈ wcel 2107   β‰  wne 2941  βˆƒwrex 3071  Vcvv 3475   βˆͺ cun 3947   βŠ† wss 3949  βˆ…c0 4323  ifcif 4529  π’« cpw 4603  {csn 4629  Disj wdisj 5114   class class class wbr 5149   ↦ cmpt 5232   We wwe 5631  ran crn 5678   β†Ύ cres 5679   Fn wfn 6539  β€“ontoβ†’wfo 6542  β€“1-1-ontoβ†’wf1o 6543  β€˜cfv 6544  (class class class)co 7409  Ο‰com 7855   β‰Ό cdom 8937  1c1 11111   < clt 11248   βˆ’ cmin 11444  β„•cn 12212
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1798  ax-4 1812  ax-5 1914  ax-6 1972  ax-7 2012  ax-8 2109  ax-9 2117  ax-10 2138  ax-11 2155  ax-12 2172  ax-ext 2704  ax-rep 5286  ax-sep 5300  ax-nul 5307  ax-pow 5364  ax-pr 5428  ax-un 7725  ax-inf2 9636  ax-cnex 11166  ax-resscn 11167  ax-1cn 11168  ax-icn 11169  ax-addcl 11170  ax-addrcl 11171  ax-mulcl 11172  ax-mulrcl 11173  ax-mulcom 11174  ax-addass 11175  ax-mulass 11176  ax-distr 11177  ax-i2m1 11178  ax-1ne0 11179  ax-1rid 11180  ax-rnegex 11181  ax-rrecex 11182  ax-cnre 11183  ax-pre-lttri 11184  ax-pre-lttrn 11185  ax-pre-ltadd 11186  ax-pre-mulgt0 11187
This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 398  df-or 847  df-3or 1089  df-3an 1090  df-tru 1545  df-fal 1555  df-ex 1783  df-nf 1787  df-sb 2069  df-mo 2535  df-eu 2564  df-clab 2711  df-cleq 2725  df-clel 2811  df-nfc 2886  df-ne 2942  df-nel 3048  df-ral 3063  df-rex 3072  df-rmo 3377  df-reu 3378  df-rab 3434  df-v 3477  df-sbc 3779  df-csb 3895  df-dif 3952  df-un 3954  df-in 3956  df-ss 3966  df-pss 3968  df-nul 4324  df-if 4530  df-pw 4605  df-sn 4630  df-pr 4632  df-op 4636  df-uni 4910  df-iun 5000  df-disj 5115  df-br 5150  df-opab 5212  df-mpt 5233  df-tr 5267  df-id 5575  df-eprel 5581  df-po 5589  df-so 5590  df-fr 5632  df-we 5634  df-xp 5683  df-rel 5684  df-cnv 5685  df-co 5686  df-dm 5687  df-rn 5688  df-res 5689  df-ima 5690  df-pred 6301  df-ord 6368  df-on 6369  df-lim 6370  df-suc 6371  df-iota 6496  df-fun 6546  df-fn 6547  df-f 6548  df-f1 6549  df-fo 6550  df-f1o 6551  df-fv 6552  df-isom 6553  df-riota 7365  df-ov 7412  df-oprab 7413  df-mpo 7414  df-om 7856  df-2nd 7976  df-frecs 8266  df-wrecs 8297  df-recs 8371  df-rdg 8410  df-er 8703  df-en 8940  df-dom 8941  df-sdom 8942  df-pnf 11250  df-mnf 11251  df-xr 11252  df-ltxr 11253  df-le 11254  df-sub 11446  df-neg 11447  df-nn 12213  df-n0 12473  df-z 12559  df-uz 12823  df-rp 12975
This theorem is referenced by:  ismeannd  45183
  Copyright terms: Public domain W3C validator