Users' Mathboxes Mathbox for Glauco Siliprandi < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >   Mathboxes  >  nnfoctbdj Structured version   Visualization version   GIF version
Theorem nnfoctbdj 45470
Description: There exists a mapping from β„• onto any (nonempty) countable set of disjoint sets, such that elements in the range of the map are disjoint. (Contributed by Glauco Siliprandi, 17-Aug-2020.)
Hypotheses
Ref Expression
nnfoctbdj.ctb (πœ‘ β†’ 𝑋 β‰Ό Ο‰)
nnfoctbdj.n0 (πœ‘ β†’ 𝑋 β‰  βˆ…)
nnfoctbdj.dj (πœ‘ β†’ Disj 𝑦 ∈ 𝑋 𝑦)
Assertion
Ref Expression
nnfoctbdj (πœ‘ β†’ βˆƒπ‘“(𝑓:ℕ–ontoβ†’(𝑋 βˆͺ {βˆ…}) ∧ Disj 𝑛 ∈ β„• (π‘“β€˜π‘›)))
Distinct variable groups:   𝑓,𝑋,𝑛   𝑦,𝑋,𝑛   πœ‘,𝑛,𝑦
Allowed substitution hint:   πœ‘(𝑓)
Proof of Theorem nnfoctbdj
Dummy variables 𝑔 π‘₯ π‘š are mutually distinct and distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 nnfoctbdj.ctb . . 3 (πœ‘ β†’ 𝑋 β‰Ό Ο‰)
2 nnfoctbdj.n0 . . 3 (πœ‘ β†’ 𝑋 β‰  βˆ…)
3 nnfoctb 44035 . . 3 ((𝑋 β‰Ό Ο‰ ∧ 𝑋 β‰  βˆ…) β†’ βˆƒπ‘” 𝑔:ℕ–onto→𝑋)
41, 2, 3syl2anc 582 . 2 (πœ‘ β†’ βˆƒπ‘” 𝑔:ℕ–onto→𝑋)
5 fofn 6806 . . . . . . 7 (𝑔:ℕ–onto→𝑋 β†’ 𝑔 Fn β„•)
65adantl 480 . . . . . 6 ((πœ‘ ∧ 𝑔:ℕ–onto→𝑋) β†’ 𝑔 Fn β„•)
7 nnex 12222 . . . . . . 7 β„• ∈ V
87a1i 11 . . . . . 6 ((πœ‘ ∧ 𝑔:ℕ–onto→𝑋) β†’ β„• ∈ V)
9 ltwenn 13931 . . . . . . 7 < We β„•
109a1i 11 . . . . . 6 ((πœ‘ ∧ 𝑔:ℕ–onto→𝑋) β†’ < We β„•)
116, 8, 10wessf1orn 44183 . . . . 5 ((πœ‘ ∧ 𝑔:ℕ–onto→𝑋) β†’ βˆƒπ‘₯ ∈ 𝒫 β„•(𝑔 β†Ύ π‘₯):π‘₯–1-1-ontoβ†’ran 𝑔)
12 elpwi 4608 . . . . . . . . 9 (π‘₯ ∈ 𝒫 β„• β†’ π‘₯ βŠ† β„•)
13123ad2ant2 1132 . . . . . . . 8 (((πœ‘ ∧ 𝑔:ℕ–onto→𝑋) ∧ π‘₯ ∈ 𝒫 β„• ∧ (𝑔 β†Ύ π‘₯):π‘₯–1-1-ontoβ†’ran 𝑔) β†’ π‘₯ βŠ† β„•)
14 simpr 483 . . . . . . . . . . 11 ((𝑔:ℕ–onto→𝑋 ∧ (𝑔 β†Ύ π‘₯):π‘₯–1-1-ontoβ†’ran 𝑔) β†’ (𝑔 β†Ύ π‘₯):π‘₯–1-1-ontoβ†’ran 𝑔)
15 forn 6807 . . . . . . . . . . . . 13 (𝑔:ℕ–onto→𝑋 β†’ ran 𝑔 = 𝑋)
1615adantr 479 . . . . . . . . . . . 12 ((𝑔:ℕ–onto→𝑋 ∧ (𝑔 β†Ύ π‘₯):π‘₯–1-1-ontoβ†’ran 𝑔) β†’ ran 𝑔 = 𝑋)
1716f1oeq3d 6829 . . . . . . . . . . 11 ((𝑔:ℕ–onto→𝑋 ∧ (𝑔 β†Ύ π‘₯):π‘₯–1-1-ontoβ†’ran 𝑔) β†’ ((𝑔 β†Ύ π‘₯):π‘₯–1-1-ontoβ†’ran 𝑔 ↔ (𝑔 β†Ύ π‘₯):π‘₯–1-1-onto→𝑋))
1814, 17mpbid 231 . . . . . . . . . 10 ((𝑔:ℕ–onto→𝑋 ∧ (𝑔 β†Ύ π‘₯):π‘₯–1-1-ontoβ†’ran 𝑔) β†’ (𝑔 β†Ύ π‘₯):π‘₯–1-1-onto→𝑋)
1918adantll 710 . . . . . . . . 9 (((πœ‘ ∧ 𝑔:ℕ–onto→𝑋) ∧ (𝑔 β†Ύ π‘₯):π‘₯–1-1-ontoβ†’ran 𝑔) β†’ (𝑔 β†Ύ π‘₯):π‘₯–1-1-onto→𝑋)
20193adant2 1129 . . . . . . . 8 (((πœ‘ ∧ 𝑔:ℕ–onto→𝑋) ∧ π‘₯ ∈ 𝒫 β„• ∧ (𝑔 β†Ύ π‘₯):π‘₯–1-1-ontoβ†’ran 𝑔) β†’ (𝑔 β†Ύ π‘₯):π‘₯–1-1-onto→𝑋)
21 nnfoctbdj.dj . . . . . . . . . 10 (πœ‘ β†’ Disj 𝑦 ∈ 𝑋 𝑦)
2221adantr 479 . . . . . . . . 9 ((πœ‘ ∧ 𝑔:ℕ–onto→𝑋) β†’ Disj 𝑦 ∈ 𝑋 𝑦)
23223ad2ant1 1131 . . . . . . . 8 (((πœ‘ ∧ 𝑔:ℕ–onto→𝑋) ∧ π‘₯ ∈ 𝒫 β„• ∧ (𝑔 β†Ύ π‘₯):π‘₯–1-1-ontoβ†’ran 𝑔) β†’ Disj 𝑦 ∈ 𝑋 𝑦)
24 eqeq1 2734 . . . . . . . . . . 11 (π‘š = 𝑛 β†’ (π‘š = 1 ↔ 𝑛 = 1))
25 oveq1 7418 . . . . . . . . . . . . 13 (π‘š = 𝑛 β†’ (π‘š βˆ’ 1) = (𝑛 βˆ’ 1))
2625eleq1d 2816 . . . . . . . . . . . 12 (π‘š = 𝑛 β†’ ((π‘š βˆ’ 1) ∈ π‘₯ ↔ (𝑛 βˆ’ 1) ∈ π‘₯))
2726notbid 317 . . . . . . . . . . 11 (π‘š = 𝑛 β†’ (Β¬ (π‘š βˆ’ 1) ∈ π‘₯ ↔ Β¬ (𝑛 βˆ’ 1) ∈ π‘₯))
2824, 27orbi12d 915 . . . . . . . . . 10 (π‘š = 𝑛 β†’ ((π‘š = 1 ∨ Β¬ (π‘š βˆ’ 1) ∈ π‘₯) ↔ (𝑛 = 1 ∨ Β¬ (𝑛 βˆ’ 1) ∈ π‘₯)))
29 fvoveq1 7434 . . . . . . . . . 10 (π‘š = 𝑛 β†’ ((𝑔 β†Ύ π‘₯)β€˜(π‘š βˆ’ 1)) = ((𝑔 β†Ύ π‘₯)β€˜(𝑛 βˆ’ 1)))
3028, 29ifbieq2d 4553 . . . . . . . . 9 (π‘š = 𝑛 β†’ if((π‘š = 1 ∨ Β¬ (π‘š βˆ’ 1) ∈ π‘₯), βˆ…, ((𝑔 β†Ύ π‘₯)β€˜(π‘š βˆ’ 1))) = if((𝑛 = 1 ∨ Β¬ (𝑛 βˆ’ 1) ∈ π‘₯), βˆ…, ((𝑔 β†Ύ π‘₯)β€˜(𝑛 βˆ’ 1))))
3130cbvmptv 5260 . . . . . . . 8 (π‘š ∈ β„• ↦ if((π‘š = 1 ∨ Β¬ (π‘š βˆ’ 1) ∈ π‘₯), βˆ…, ((𝑔 β†Ύ π‘₯)β€˜(π‘š βˆ’ 1)))) = (𝑛 ∈ β„• ↦ if((𝑛 = 1 ∨ Β¬ (𝑛 βˆ’ 1) ∈ π‘₯), βˆ…, ((𝑔 β†Ύ π‘₯)β€˜(𝑛 βˆ’ 1))))
3213, 20, 23, 31nnfoctbdjlem 45469 . . . . . . 7 (((πœ‘ ∧ 𝑔:ℕ–onto→𝑋) ∧ π‘₯ ∈ 𝒫 β„• ∧ (𝑔 β†Ύ π‘₯):π‘₯–1-1-ontoβ†’ran 𝑔) β†’ βˆƒπ‘“(𝑓:ℕ–ontoβ†’(𝑋 βˆͺ {βˆ…}) ∧ Disj 𝑛 ∈ β„• (π‘“β€˜π‘›)))
33323exp 1117 . . . . . 6 ((πœ‘ ∧ 𝑔:ℕ–onto→𝑋) β†’ (π‘₯ ∈ 𝒫 β„• β†’ ((𝑔 β†Ύ π‘₯):π‘₯–1-1-ontoβ†’ran 𝑔 β†’ βˆƒπ‘“(𝑓:ℕ–ontoβ†’(𝑋 βˆͺ {βˆ…}) ∧ Disj 𝑛 ∈ β„• (π‘“β€˜π‘›)))))
3433rexlimdv 3151 . . . . 5 ((πœ‘ ∧ 𝑔:ℕ–onto→𝑋) β†’ (βˆƒπ‘₯ ∈ 𝒫 β„•(𝑔 β†Ύ π‘₯):π‘₯–1-1-ontoβ†’ran 𝑔 β†’ βˆƒπ‘“(𝑓:ℕ–ontoβ†’(𝑋 βˆͺ {βˆ…}) ∧ Disj 𝑛 ∈ β„• (π‘“β€˜π‘›))))
3511, 34mpd 15 . . . 4 ((πœ‘ ∧ 𝑔:ℕ–onto→𝑋) β†’ βˆƒπ‘“(𝑓:ℕ–ontoβ†’(𝑋 βˆͺ {βˆ…}) ∧ Disj 𝑛 ∈ β„• (π‘“β€˜π‘›)))
3635ex 411 . . 3 (πœ‘ β†’ (𝑔:ℕ–onto→𝑋 β†’ βˆƒπ‘“(𝑓:ℕ–ontoβ†’(𝑋 βˆͺ {βˆ…}) ∧ Disj 𝑛 ∈ β„• (π‘“β€˜π‘›))))
3736exlimdv 1934 . 2 (πœ‘ β†’ (βˆƒπ‘” 𝑔:ℕ–onto→𝑋 β†’ βˆƒπ‘“(𝑓:ℕ–ontoβ†’(𝑋 βˆͺ {βˆ…}) ∧ Disj 𝑛 ∈ β„• (π‘“β€˜π‘›))))
384, 37mpd 15 1 (πœ‘ β†’ βˆƒπ‘“(𝑓:ℕ–ontoβ†’(𝑋 βˆͺ {βˆ…}) ∧ Disj 𝑛 ∈ β„• (π‘“β€˜π‘›)))
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  Β¬ wn 3   β†’ wi 4   ∧ wa 394   ∨ wo 843   ∧ w3a 1085   = wceq 1539  βˆƒwex 1779   ∈ wcel 2104   β‰  wne 2938  βˆƒwrex 3068  Vcvv 3472   βˆͺ cun 3945   βŠ† wss 3947  βˆ…c0 4321  ifcif 4527  π’« cpw 4601  {csn 4627  Disj wdisj 5112   class class class wbr 5147   ↦ cmpt 5230   We wwe 5629  ran crn 5676   β†Ύ cres 5677   Fn wfn 6537  β€“ontoβ†’wfo 6540  β€“1-1-ontoβ†’wf1o 6541  β€˜cfv 6542  (class class class)co 7411  Ο‰com 7857   β‰Ό cdom 8939  1c1 11113   < clt 11252   βˆ’ cmin 11448  β„•cn 12216
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1795  ax-4 1809  ax-5 1911  ax-6 1969  ax-7 2009  ax-8 2106  ax-9 2114  ax-10 2135  ax-11 2152  ax-12 2169  ax-ext 2701  ax-rep 5284  ax-sep 5298  ax-nul 5305  ax-pow 5362  ax-pr 5426  ax-un 7727  ax-inf2 9638  ax-cnex 11168  ax-resscn 11169  ax-1cn 11170  ax-icn 11171  ax-addcl 11172  ax-addrcl 11173  ax-mulcl 11174  ax-mulrcl 11175  ax-mulcom 11176  ax-addass 11177  ax-mulass 11178  ax-distr 11179  ax-i2m1 11180  ax-1ne0 11181  ax-1rid 11182  ax-rnegex 11183  ax-rrecex 11184  ax-cnre 11185  ax-pre-lttri 11186  ax-pre-lttrn 11187  ax-pre-ltadd 11188  ax-pre-mulgt0 11189
This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 395  df-or 844  df-3or 1086  df-3an 1087  df-tru 1542  df-fal 1552  df-ex 1780  df-nf 1784  df-sb 2066  df-mo 2532  df-eu 2561  df-clab 2708  df-cleq 2722  df-clel 2808  df-nfc 2883  df-ne 2939  df-nel 3045  df-ral 3060  df-rex 3069  df-rmo 3374  df-reu 3375  df-rab 3431  df-v 3474  df-sbc 3777  df-csb 3893  df-dif 3950  df-un 3952  df-in 3954  df-ss 3964  df-pss 3966  df-nul 4322  df-if 4528  df-pw 4603  df-sn 4628  df-pr 4630  df-op 4634  df-uni 4908  df-iun 4998  df-disj 5113  df-br 5148  df-opab 5210  df-mpt 5231  df-tr 5265  df-id 5573  df-eprel 5579  df-po 5587  df-so 5588  df-fr 5630  df-we 5632  df-xp 5681  df-rel 5682  df-cnv 5683  df-co 5684  df-dm 5685  df-rn 5686  df-res 5687  df-ima 5688  df-pred 6299  df-ord 6366  df-on 6367  df-lim 6368  df-suc 6369  df-iota 6494  df-fun 6544  df-fn 6545  df-f 6546  df-f1 6547  df-fo 6548  df-f1o 6549  df-fv 6550  df-isom 6551  df-riota 7367  df-ov 7414  df-oprab 7415  df-mpo 7416  df-om 7858  df-2nd 7978  df-frecs 8268  df-wrecs 8299  df-recs 8373  df-rdg 8412  df-er 8705  df-en 8942  df-dom 8943  df-sdom 8944  df-pnf 11254  df-mnf 11255  df-xr 11256  df-ltxr 11257  df-le 11258  df-sub 11450  df-neg 11451  df-nn 12217  df-n0 12477  df-z 12563  df-uz 12827  df-rp 12979
This theorem is referenced by:  ismeannd  45481
  Copyright terms: Public domain W3C validator