Users' Mathboxes Mathbox for Glauco Siliprandi < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >   Mathboxes  >  nnfoctbdj Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem nnfoctbdj 44771
Description: There exists a mapping from β„• onto any (nonempty) countable set of disjoint sets, such that elements in the range of the map are disjoint. (Contributed by Glauco Siliprandi, 17-Aug-2020.)
Hypotheses
Ref Expression
nnfoctbdj.ctb (πœ‘ β†’ 𝑋 β‰Ό Ο‰)
nnfoctbdj.n0 (πœ‘ β†’ 𝑋 β‰  βˆ…)
nnfoctbdj.dj (πœ‘ β†’ Disj 𝑦 ∈ 𝑋 𝑦)
Assertion
Ref Expression
nnfoctbdj (πœ‘ β†’ βˆƒπ‘“(𝑓:ℕ–ontoβ†’(𝑋 βˆͺ {βˆ…}) ∧ Disj 𝑛 ∈ β„• (π‘“β€˜π‘›)))
Distinct variable groups:   𝑓,𝑋,𝑛   𝑦,𝑋,𝑛   πœ‘,𝑛,𝑦
Allowed substitution hint:   πœ‘(𝑓)

Proof of Theorem nnfoctbdj
Dummy variables 𝑔 π‘₯ π‘š are mutually distinct and distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 nnfoctbdj.ctb . . 3 (πœ‘ β†’ 𝑋 β‰Ό Ο‰)
2 nnfoctbdj.n0 . . 3 (πœ‘ β†’ 𝑋 β‰  βˆ…)
3 nnfoctb 43329 . . 3 ((𝑋 β‰Ό Ο‰ ∧ 𝑋 β‰  βˆ…) β†’ βˆƒπ‘” 𝑔:ℕ–onto→𝑋)
41, 2, 3syl2anc 585 . 2 (πœ‘ β†’ βˆƒπ‘” 𝑔:ℕ–onto→𝑋)
5 fofn 6763 . . . . . . 7 (𝑔:ℕ–onto→𝑋 β†’ 𝑔 Fn β„•)
65adantl 483 . . . . . 6 ((πœ‘ ∧ 𝑔:ℕ–onto→𝑋) β†’ 𝑔 Fn β„•)
7 nnex 12166 . . . . . . 7 β„• ∈ V
87a1i 11 . . . . . 6 ((πœ‘ ∧ 𝑔:ℕ–onto→𝑋) β†’ β„• ∈ V)
9 ltwenn 13874 . . . . . . 7 < We β„•
109a1i 11 . . . . . 6 ((πœ‘ ∧ 𝑔:ℕ–onto→𝑋) β†’ < We β„•)
116, 8, 10wessf1orn 43478 . . . . 5 ((πœ‘ ∧ 𝑔:ℕ–onto→𝑋) β†’ βˆƒπ‘₯ ∈ 𝒫 β„•(𝑔 β†Ύ π‘₯):π‘₯–1-1-ontoβ†’ran 𝑔)
12 elpwi 4572 . . . . . . . . 9 (π‘₯ ∈ 𝒫 β„• β†’ π‘₯ βŠ† β„•)
13123ad2ant2 1135 . . . . . . . 8 (((πœ‘ ∧ 𝑔:ℕ–onto→𝑋) ∧ π‘₯ ∈ 𝒫 β„• ∧ (𝑔 β†Ύ π‘₯):π‘₯–1-1-ontoβ†’ran 𝑔) β†’ π‘₯ βŠ† β„•)
14 simpr 486 . . . . . . . . . . 11 ((𝑔:ℕ–onto→𝑋 ∧ (𝑔 β†Ύ π‘₯):π‘₯–1-1-ontoβ†’ran 𝑔) β†’ (𝑔 β†Ύ π‘₯):π‘₯–1-1-ontoβ†’ran 𝑔)
15 forn 6764 . . . . . . . . . . . . 13 (𝑔:ℕ–onto→𝑋 β†’ ran 𝑔 = 𝑋)
1615adantr 482 . . . . . . . . . . . 12 ((𝑔:ℕ–onto→𝑋 ∧ (𝑔 β†Ύ π‘₯):π‘₯–1-1-ontoβ†’ran 𝑔) β†’ ran 𝑔 = 𝑋)
1716f1oeq3d 6786 . . . . . . . . . . 11 ((𝑔:ℕ–onto→𝑋 ∧ (𝑔 β†Ύ π‘₯):π‘₯–1-1-ontoβ†’ran 𝑔) β†’ ((𝑔 β†Ύ π‘₯):π‘₯–1-1-ontoβ†’ran 𝑔 ↔ (𝑔 β†Ύ π‘₯):π‘₯–1-1-onto→𝑋))
1814, 17mpbid 231 . . . . . . . . . 10 ((𝑔:ℕ–onto→𝑋 ∧ (𝑔 β†Ύ π‘₯):π‘₯–1-1-ontoβ†’ran 𝑔) β†’ (𝑔 β†Ύ π‘₯):π‘₯–1-1-onto→𝑋)
1918adantll 713 . . . . . . . . 9 (((πœ‘ ∧ 𝑔:ℕ–onto→𝑋) ∧ (𝑔 β†Ύ π‘₯):π‘₯–1-1-ontoβ†’ran 𝑔) β†’ (𝑔 β†Ύ π‘₯):π‘₯–1-1-onto→𝑋)
20193adant2 1132 . . . . . . . 8 (((πœ‘ ∧ 𝑔:ℕ–onto→𝑋) ∧ π‘₯ ∈ 𝒫 β„• ∧ (𝑔 β†Ύ π‘₯):π‘₯–1-1-ontoβ†’ran 𝑔) β†’ (𝑔 β†Ύ π‘₯):π‘₯–1-1-onto→𝑋)
21 nnfoctbdj.dj . . . . . . . . . 10 (πœ‘ β†’ Disj 𝑦 ∈ 𝑋 𝑦)
2221adantr 482 . . . . . . . . 9 ((πœ‘ ∧ 𝑔:ℕ–onto→𝑋) β†’ Disj 𝑦 ∈ 𝑋 𝑦)
23223ad2ant1 1134 . . . . . . . 8 (((πœ‘ ∧ 𝑔:ℕ–onto→𝑋) ∧ π‘₯ ∈ 𝒫 β„• ∧ (𝑔 β†Ύ π‘₯):π‘₯–1-1-ontoβ†’ran 𝑔) β†’ Disj 𝑦 ∈ 𝑋 𝑦)
24 eqeq1 2741 . . . . . . . . . . 11 (π‘š = 𝑛 β†’ (π‘š = 1 ↔ 𝑛 = 1))
25 oveq1 7369 . . . . . . . . . . . . 13 (π‘š = 𝑛 β†’ (π‘š βˆ’ 1) = (𝑛 βˆ’ 1))
2625eleq1d 2823 . . . . . . . . . . . 12 (π‘š = 𝑛 β†’ ((π‘š βˆ’ 1) ∈ π‘₯ ↔ (𝑛 βˆ’ 1) ∈ π‘₯))
2726notbid 318 . . . . . . . . . . 11 (π‘š = 𝑛 β†’ (Β¬ (π‘š βˆ’ 1) ∈ π‘₯ ↔ Β¬ (𝑛 βˆ’ 1) ∈ π‘₯))
2824, 27orbi12d 918 . . . . . . . . . 10 (π‘š = 𝑛 β†’ ((π‘š = 1 ∨ Β¬ (π‘š βˆ’ 1) ∈ π‘₯) ↔ (𝑛 = 1 ∨ Β¬ (𝑛 βˆ’ 1) ∈ π‘₯)))
29 fvoveq1 7385 . . . . . . . . . 10 (π‘š = 𝑛 β†’ ((𝑔 β†Ύ π‘₯)β€˜(π‘š βˆ’ 1)) = ((𝑔 β†Ύ π‘₯)β€˜(𝑛 βˆ’ 1)))
3028, 29ifbieq2d 4517 . . . . . . . . 9 (π‘š = 𝑛 β†’ if((π‘š = 1 ∨ Β¬ (π‘š βˆ’ 1) ∈ π‘₯), βˆ…, ((𝑔 β†Ύ π‘₯)β€˜(π‘š βˆ’ 1))) = if((𝑛 = 1 ∨ Β¬ (𝑛 βˆ’ 1) ∈ π‘₯), βˆ…, ((𝑔 β†Ύ π‘₯)β€˜(𝑛 βˆ’ 1))))
3130cbvmptv 5223 . . . . . . . 8 (π‘š ∈ β„• ↦ if((π‘š = 1 ∨ Β¬ (π‘š βˆ’ 1) ∈ π‘₯), βˆ…, ((𝑔 β†Ύ π‘₯)β€˜(π‘š βˆ’ 1)))) = (𝑛 ∈ β„• ↦ if((𝑛 = 1 ∨ Β¬ (𝑛 βˆ’ 1) ∈ π‘₯), βˆ…, ((𝑔 β†Ύ π‘₯)β€˜(𝑛 βˆ’ 1))))
3213, 20, 23, 31nnfoctbdjlem 44770 . . . . . . 7 (((πœ‘ ∧ 𝑔:ℕ–onto→𝑋) ∧ π‘₯ ∈ 𝒫 β„• ∧ (𝑔 β†Ύ π‘₯):π‘₯–1-1-ontoβ†’ran 𝑔) β†’ βˆƒπ‘“(𝑓:ℕ–ontoβ†’(𝑋 βˆͺ {βˆ…}) ∧ Disj 𝑛 ∈ β„• (π‘“β€˜π‘›)))
33323exp 1120 . . . . . 6 ((πœ‘ ∧ 𝑔:ℕ–onto→𝑋) β†’ (π‘₯ ∈ 𝒫 β„• β†’ ((𝑔 β†Ύ π‘₯):π‘₯–1-1-ontoβ†’ran 𝑔 β†’ βˆƒπ‘“(𝑓:ℕ–ontoβ†’(𝑋 βˆͺ {βˆ…}) ∧ Disj 𝑛 ∈ β„• (π‘“β€˜π‘›)))))
3433rexlimdv 3151 . . . . 5 ((πœ‘ ∧ 𝑔:ℕ–onto→𝑋) β†’ (βˆƒπ‘₯ ∈ 𝒫 β„•(𝑔 β†Ύ π‘₯):π‘₯–1-1-ontoβ†’ran 𝑔 β†’ βˆƒπ‘“(𝑓:ℕ–ontoβ†’(𝑋 βˆͺ {βˆ…}) ∧ Disj 𝑛 ∈ β„• (π‘“β€˜π‘›))))
3511, 34mpd 15 . . . 4 ((πœ‘ ∧ 𝑔:ℕ–onto→𝑋) β†’ βˆƒπ‘“(𝑓:ℕ–ontoβ†’(𝑋 βˆͺ {βˆ…}) ∧ Disj 𝑛 ∈ β„• (π‘“β€˜π‘›)))
3635ex 414 . . 3 (πœ‘ β†’ (𝑔:ℕ–onto→𝑋 β†’ βˆƒπ‘“(𝑓:ℕ–ontoβ†’(𝑋 βˆͺ {βˆ…}) ∧ Disj 𝑛 ∈ β„• (π‘“β€˜π‘›))))
3736exlimdv 1937 . 2 (πœ‘ β†’ (βˆƒπ‘” 𝑔:ℕ–onto→𝑋 β†’ βˆƒπ‘“(𝑓:ℕ–ontoβ†’(𝑋 βˆͺ {βˆ…}) ∧ Disj 𝑛 ∈ β„• (π‘“β€˜π‘›))))
384, 37mpd 15 1 (πœ‘ β†’ βˆƒπ‘“(𝑓:ℕ–ontoβ†’(𝑋 βˆͺ {βˆ…}) ∧ Disj 𝑛 ∈ β„• (π‘“β€˜π‘›)))
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  Β¬ wn 3   β†’ wi 4   ∧ wa 397   ∨ wo 846   ∧ w3a 1088   = wceq 1542  βˆƒwex 1782   ∈ wcel 2107   β‰  wne 2944  βˆƒwrex 3074  Vcvv 3448   βˆͺ cun 3913   βŠ† wss 3915  βˆ…c0 4287  ifcif 4491  π’« cpw 4565  {csn 4591  Disj wdisj 5075   class class class wbr 5110   ↦ cmpt 5193   We wwe 5592  ran crn 5639   β†Ύ cres 5640   Fn wfn 6496  β€“ontoβ†’wfo 6499  β€“1-1-ontoβ†’wf1o 6500  β€˜cfv 6501  (class class class)co 7362  Ο‰com 7807   β‰Ό cdom 8888  1c1 11059   < clt 11196   βˆ’ cmin 11392  β„•cn 12160
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1798  ax-4 1812  ax-5 1914  ax-6 1972  ax-7 2012  ax-8 2109  ax-9 2117  ax-10 2138  ax-11 2155  ax-12 2172  ax-ext 2708  ax-rep 5247  ax-sep 5261  ax-nul 5268  ax-pow 5325  ax-pr 5389  ax-un 7677  ax-inf2 9584  ax-cnex 11114  ax-resscn 11115  ax-1cn 11116  ax-icn 11117  ax-addcl 11118  ax-addrcl 11119  ax-mulcl 11120  ax-mulrcl 11121  ax-mulcom 11122  ax-addass 11123  ax-mulass 11124  ax-distr 11125  ax-i2m1 11126  ax-1ne0 11127  ax-1rid 11128  ax-rnegex 11129  ax-rrecex 11130  ax-cnre 11131  ax-pre-lttri 11132  ax-pre-lttrn 11133  ax-pre-ltadd 11134  ax-pre-mulgt0 11135
This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 398  df-or 847  df-3or 1089  df-3an 1090  df-tru 1545  df-fal 1555  df-ex 1783  df-nf 1787  df-sb 2069  df-mo 2539  df-eu 2568  df-clab 2715  df-cleq 2729  df-clel 2815  df-nfc 2890  df-ne 2945  df-nel 3051  df-ral 3066  df-rex 3075  df-rmo 3356  df-reu 3357  df-rab 3411  df-v 3450  df-sbc 3745  df-csb 3861  df-dif 3918  df-un 3920  df-in 3922  df-ss 3932  df-pss 3934  df-nul 4288  df-if 4492  df-pw 4567  df-sn 4592  df-pr 4594  df-op 4598  df-uni 4871  df-iun 4961  df-disj 5076  df-br 5111  df-opab 5173  df-mpt 5194  df-tr 5228  df-id 5536  df-eprel 5542  df-po 5550  df-so 5551  df-fr 5593  df-we 5595  df-xp 5644  df-rel 5645  df-cnv 5646  df-co 5647  df-dm 5648  df-rn 5649  df-res 5650  df-ima 5651  df-pred 6258  df-ord 6325  df-on 6326  df-lim 6327  df-suc 6328  df-iota 6453  df-fun 6503  df-fn 6504  df-f 6505  df-f1 6506  df-fo 6507  df-f1o 6508  df-fv 6509  df-isom 6510  df-riota 7318  df-ov 7365  df-oprab 7366  df-mpo 7367  df-om 7808  df-2nd 7927  df-frecs 8217  df-wrecs 8248  df-recs 8322  df-rdg 8361  df-er 8655  df-en 8891  df-dom 8892  df-sdom 8893  df-pnf 11198  df-mnf 11199  df-xr 11200  df-ltxr 11201  df-le 11202  df-sub 11394  df-neg 11395  df-nn 12161  df-n0 12421  df-z 12507  df-uz 12771  df-rp 12923
This theorem is referenced by:  ismeannd  44782
  Copyright terms: Public domain W3C validator