Theorem nnenom 13681

Description: The set of positive integers (as a subset of complex numbers) is equinumerous to omega (the set of finite ordinal numbers). (Contributed by NM, 31-Jul-2004.) (Revised by Mario Carneiro, 15-Sep-2013.)

Assertion

Ref	Expression
nnenom	⊢ ℕ ≈ ω

Proof of Theorem nnenom

Dummy variable 𝑥 is distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		omex 9362	. . 3 ⊢ ω ∈ V
2		nn0ex 12222	. . 3 ⊢ ℕ0 ∈ V
3		eqid 2739	. . . 4 ⊢ (rec((𝑥 ∈ V ↦ (𝑥 + 1)), 0) ↾ ω) = (rec((𝑥 ∈ V ↦ (𝑥 + 1)), 0) ↾ ω)
4	3	hashgf1o 13672	. . 3 ⊢ (rec((𝑥 ∈ V ↦ (𝑥 + 1)), 0) ↾ ω):ω–1-1-onto→ℕ0
5		f1oen2g 8727	. . 3 ⊢ ((ω ∈ V ∧ ℕ0 ∈ V ∧ (rec((𝑥 ∈ V ↦ (𝑥 + 1)), 0) ↾ ω):ω–1-1-onto→ℕ0) → ω ≈ ℕ0)
6	1, 2, 4, 5	mp3an 1459	. 2 ⊢ ω ≈ ℕ0
7		nn0ennn 13680	. 2 ⊢ ℕ0 ≈ ℕ
8	6, 7	entr2i 8766	1 ⊢ ℕ ≈ ω

Syntax hints:   ∈ wcel 2109  Vcvv 3430   class class class wbr 5078   ↦ cmpt 5161   ↾ cres 5590  –1-1-onto→wf1o 6429  (class class class)co 7268  ωcom 7700  reccrdg 8224   ≈ cen 8704  0cc0 10855  1c1 10856   + caddc 10858  ℕcn 11956  ℕ₀cn0 12216

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1801  ax-4 1815  ax-5 1916  ax-6 1974  ax-7 2014  ax-8 2111  ax-9 2119  ax-10 2140  ax-11 2157  ax-12 2174  ax-ext 2710  ax-sep 5226  ax-nul 5233  ax-pow 5291  ax-pr 5355  ax-un 7579  ax-inf2 9360  ax-cnex 10911  ax-resscn 10912  ax-1cn 10913  ax-icn 10914  ax-addcl 10915  ax-addrcl 10916  ax-mulcl 10917  ax-mulrcl 10918  ax-mulcom 10919  ax-addass 10920  ax-mulass 10921  ax-distr 10922  ax-i2m1 10923  ax-1ne0 10924  ax-1rid 10925  ax-rnegex 10926  ax-rrecex 10927  ax-cnre 10928  ax-pre-lttri 10929  ax-pre-lttrn 10930  ax-pre-ltadd 10931  ax-pre-mulgt0 10932

This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 396  df-or 844  df-3or 1086  df-3an 1087  df-tru 1544  df-fal 1554  df-ex 1786  df-nf 1790  df-sb 2071  df-mo 2541  df-eu 2570  df-clab 2717  df-cleq 2731  df-clel 2817  df-nfc 2890  df-ne 2945  df-nel 3051  df-ral 3070  df-rex 3071  df-reu 3072  df-rab 3074  df-v 3432  df-sbc 3720  df-csb 3837  df-dif 3894  df-un 3896  df-in 3898  df-ss 3908  df-pss 3910  df-nul 4262  df-if 4465  df-pw 4540  df-sn 4567  df-pr 4569  df-tp 4571  df-op 4573  df-uni 4845  df-iun 4931  df-br 5079  df-opab 5141  df-mpt 5162  df-tr 5196  df-id 5488  df-eprel 5494  df-po 5502  df-so 5503  df-fr 5543  df-we 5545  df-xp 5594  df-rel 5595  df-cnv 5596  df-co 5597  df-dm 5598  df-rn 5599  df-res 5600  df-ima 5601  df-pred 6199  df-ord 6266  df-on 6267  df-lim 6268  df-suc 6269  df-iota 6388  df-fun 6432  df-fn 6433  df-f 6434  df-f1 6435  df-fo 6436  df-f1o 6437  df-fv 6438  df-riota 7225  df-ov 7271  df-oprab 7272  df-mpo 7273  df-om 7701  df-2nd 7818  df-frecs 8081  df-wrecs 8112  df-recs 8186  df-rdg 8225  df-er 8472  df-en 8708  df-dom 8709  df-sdom 8710  df-pnf 10995  df-mnf 10996  df-xr 10997  df-ltxr 10998  df-le 10999  df-sub 11190  df-neg 11191  df-nn 11957  df-n0 12217  df-z 12303  df-uz 12565

This theorem is referenced by:  nnct  13682  supcvg  15549  xpnnen  15901  znnen  15902  qnnen  15903  rexpen  15918  aleph1re  15935  aleph1irr  15936  bitsf1  16134  unben  16591  odinf  19151  odhash  19160  cygctb  19474  1stcfb  22577  2ndcredom  22582  1stcelcls  22593  hauspwdom  22633  met1stc  23658  met2ndci  23659  re2ndc  23945  iscmet3  24438  ovolctb2  24637  ovolfi  24639  ovoliunlem3  24649  iunmbl2  24702  uniiccdif  24723  dyadmbl  24745  opnmblALT  24748  mbfimaopnlem  24800  itg2seq  24888  aannenlem3  25471  dirith2  26657  nmounbseqi  29118  nmobndseqi  29120  minvecolem5  29222  padct  31033  f1ocnt  31102  dmvlsiga  32076  sigapildsys  32109  volmeas  32178  omssubadd  32246  carsgclctunlem3  32266  poimirlem30  35786  poimirlem32  35788  mblfinlem1  35793  ovoliunnfl  35798  heiborlem3  35950  heibor  35958  lzenom  40572  fiphp3d  40621  irrapx1  40630  pellex  40637  nnfoctb  42548  zenom  42553  qenom  42854  ioonct  43029  subsaliuncl  43851  caragenunicl  44016  caratheodory  44020  ovnsubaddlem2  44063