MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  nnenom Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem nnenom 12987
Description: The set of positive integers (as a subset of complex numbers) is equinumerous to omega (the set of finite ordinal numbers). (Contributed by NM, 31-Jul-2004.) (Revised by Mario Carneiro, 15-Sep-2013.)
Assertion
Ref Expression
nnenom ℕ ≈ ω

Proof of Theorem nnenom
Dummy variable 𝑥 is distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 omex 8704 . . 3 ω ∈ V
2 nn0ex 11500 . . 3 0 ∈ V
3 eqid 2771 . . . 4 (rec((𝑥 ∈ V ↦ (𝑥 + 1)), 0) ↾ ω) = (rec((𝑥 ∈ V ↦ (𝑥 + 1)), 0) ↾ ω)
43hashgf1o 12978 . . 3 (rec((𝑥 ∈ V ↦ (𝑥 + 1)), 0) ↾ ω):ω–1-1-onto→ℕ0
5 f1oen2g 8126 . . 3 ((ω ∈ V ∧ ℕ0 ∈ V ∧ (rec((𝑥 ∈ V ↦ (𝑥 + 1)), 0) ↾ ω):ω–1-1-onto→ℕ0) → ω ≈ ℕ0)
61, 2, 4, 5mp3an 1572 . 2 ω ≈ ℕ0
7 nn0ennn 12986 . 2 0 ≈ ℕ
86, 7entr2i 8164 1 ℕ ≈ ω
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  wcel 2145  Vcvv 3351   class class class wbr 4786  cmpt 4863  cres 5251  1-1-ontowf1o 6030  (class class class)co 6793  ωcom 7212  reccrdg 7658  cen 8106  0cc0 10138  1c1 10139   + caddc 10141  cn 11222  0cn0 11494
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1870  ax-4 1885  ax-5 1991  ax-6 2057  ax-7 2093  ax-8 2147  ax-9 2154  ax-10 2174  ax-11 2190  ax-12 2203  ax-13 2408  ax-ext 2751  ax-sep 4915  ax-nul 4923  ax-pow 4974  ax-pr 5034  ax-un 7096  ax-inf2 8702  ax-cnex 10194  ax-resscn 10195  ax-1cn 10196  ax-icn 10197  ax-addcl 10198  ax-addrcl 10199  ax-mulcl 10200  ax-mulrcl 10201  ax-mulcom 10202  ax-addass 10203  ax-mulass 10204  ax-distr 10205  ax-i2m1 10206  ax-1ne0 10207  ax-1rid 10208  ax-rnegex 10209  ax-rrecex 10210  ax-cnre 10211  ax-pre-lttri 10212  ax-pre-lttrn 10213  ax-pre-ltadd 10214  ax-pre-mulgt0 10215
This theorem depends on definitions:  df-bi 197  df-an 383  df-or 835  df-3or 1072  df-3an 1073  df-tru 1634  df-ex 1853  df-nf 1858  df-sb 2050  df-eu 2622  df-mo 2623  df-clab 2758  df-cleq 2764  df-clel 2767  df-nfc 2902  df-ne 2944  df-nel 3047  df-ral 3066  df-rex 3067  df-reu 3068  df-rab 3070  df-v 3353  df-sbc 3588  df-csb 3683  df-dif 3726  df-un 3728  df-in 3730  df-ss 3737  df-pss 3739  df-nul 4064  df-if 4226  df-pw 4299  df-sn 4317  df-pr 4319  df-tp 4321  df-op 4323  df-uni 4575  df-iun 4656  df-br 4787  df-opab 4847  df-mpt 4864  df-tr 4887  df-id 5157  df-eprel 5162  df-po 5170  df-so 5171  df-fr 5208  df-we 5210  df-xp 5255  df-rel 5256  df-cnv 5257  df-co 5258  df-dm 5259  df-rn 5260  df-res 5261  df-ima 5262  df-pred 5823  df-ord 5869  df-on 5870  df-lim 5871  df-suc 5872  df-iota 5994  df-fun 6033  df-fn 6034  df-f 6035  df-f1 6036  df-fo 6037  df-f1o 6038  df-fv 6039  df-riota 6754  df-ov 6796  df-oprab 6797  df-mpt2 6798  df-om 7213  df-wrecs 7559  df-recs 7621  df-rdg 7659  df-er 7896  df-en 8110  df-dom 8111  df-sdom 8112  df-pnf 10278  df-mnf 10279  df-xr 10280  df-ltxr 10281  df-le 10282  df-sub 10470  df-neg 10471  df-nn 11223  df-n0 11495  df-z 11580  df-uz 11889
This theorem is referenced by:  nnct  12988  supcvg  14795  xpnnen  15145  znnen  15147  qnnen  15148  rexpen  15163  aleph1re  15180  aleph1irr  15181  bitsf1  15376  unben  15820  odinf  18187  odhash  18196  cygctb  18500  1stcfb  21469  2ndcredom  21474  1stcelcls  21485  hauspwdom  21525  met1stc  22546  met2ndci  22547  re2ndc  22824  iscmet3  23310  ovolctb2  23480  ovolfi  23482  ovoliunlem3  23492  iunmbl2  23545  uniiccdif  23566  dyadmbl  23588  opnmblALT  23591  mbfimaopnlem  23642  itg2seq  23729  aannenlem3  24305  dirith2  25438  nmounbseqi  27972  nmobndseqi  27974  minvecolem5  28077  padct  29837  f1ocnt  29899  dmvlsiga  30532  sigapildsys  30565  volmeas  30634  omssubadd  30702  carsgclctunlem3  30722  poimirlem30  33772  poimirlem32  33774  mblfinlem1  33779  ovoliunnfl  33784  heiborlem3  33944  heibor  33952  lzenom  37859  fiphp3d  37909  irrapx1  37918  pellex  37925  nnfoctb  39734  zenom  39740  qenom  40093  ioonct  40282  subsaliuncl  41093  caragenunicl  41258  caratheodory  41262  ovnsubaddlem2  41305
  Copyright terms: Public domain W3C validator