Theorem nnenom 13952

Description: The set of positive integers (as a subset of complex numbers) is equinumerous to omega (the set of finite ordinal numbers). (Contributed by NM, 31-Jul-2004.) (Revised by Mario Carneiro, 15-Sep-2013.)

Assertion

Ref	Expression
nnenom	⊢ ℕ ≈ ω

Proof of Theorem nnenom

Dummy variable 𝑥 is distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		omex 9603	. . 3 ⊢ ω ∈ V
2		nn0ex 12455	. . 3 ⊢ ℕ0 ∈ V
3		eqid 2730	. . . 4 ⊢ (rec((𝑥 ∈ V ↦ (𝑥 + 1)), 0) ↾ ω) = (rec((𝑥 ∈ V ↦ (𝑥 + 1)), 0) ↾ ω)
4	3	hashgf1o 13943	. . 3 ⊢ (rec((𝑥 ∈ V ↦ (𝑥 + 1)), 0) ↾ ω):ω–1-1-onto→ℕ0
5		f1oen2g 8943	. . 3 ⊢ ((ω ∈ V ∧ ℕ0 ∈ V ∧ (rec((𝑥 ∈ V ↦ (𝑥 + 1)), 0) ↾ ω):ω–1-1-onto→ℕ0) → ω ≈ ℕ0)
6	1, 2, 4, 5	mp3an 1463	. 2 ⊢ ω ≈ ℕ0
7		nn0ennn 13951	. 2 ⊢ ℕ0 ≈ ℕ
8	6, 7	entr2i 8983	1 ⊢ ℕ ≈ ω

Syntax hints:   ∈ wcel 2109  Vcvv 3450   class class class wbr 5110   ↦ cmpt 5191   ↾ cres 5643  –1-1-onto→wf1o 6513  (class class class)co 7390  ωcom 7845  reccrdg 8380   ≈ cen 8918  0cc0 11075  1c1 11076   + caddc 11078  ℕcn 12193  ℕ₀cn0 12449

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1795  ax-4 1809  ax-5 1910  ax-6 1967  ax-7 2008  ax-8 2111  ax-9 2119  ax-10 2142  ax-11 2158  ax-12 2178  ax-ext 2702  ax-sep 5254  ax-nul 5264  ax-pow 5323  ax-pr 5390  ax-un 7714  ax-inf2 9601  ax-cnex 11131  ax-resscn 11132  ax-1cn 11133  ax-icn 11134  ax-addcl 11135  ax-addrcl 11136  ax-mulcl 11137  ax-mulrcl 11138  ax-mulcom 11139  ax-addass 11140  ax-mulass 11141  ax-distr 11142  ax-i2m1 11143  ax-1ne0 11144  ax-1rid 11145  ax-rnegex 11146  ax-rrecex 11147  ax-cnre 11148  ax-pre-lttri 11149  ax-pre-lttrn 11150  ax-pre-ltadd 11151  ax-pre-mulgt0 11152

This theorem depends on definitions:  df-bi 207  df-an 396  df-or 848  df-3or 1087  df-3an 1088  df-tru 1543  df-fal 1553  df-ex 1780  df-nf 1784  df-sb 2066  df-mo 2534  df-eu 2563  df-clab 2709  df-cleq 2722  df-clel 2804  df-nfc 2879  df-ne 2927  df-nel 3031  df-ral 3046  df-rex 3055  df-reu 3357  df-rab 3409  df-v 3452  df-sbc 3757  df-csb 3866  df-dif 3920  df-un 3922  df-in 3924  df-ss 3934  df-pss 3937  df-nul 4300  df-if 4492  df-pw 4568  df-sn 4593  df-pr 4595  df-op 4599  df-uni 4875  df-iun 4960  df-br 5111  df-opab 5173  df-mpt 5192  df-tr 5218  df-id 5536  df-eprel 5541  df-po 5549  df-so 5550  df-fr 5594  df-we 5596  df-xp 5647  df-rel 5648  df-cnv 5649  df-co 5650  df-dm 5651  df-rn 5652  df-res 5653  df-ima 5654  df-pred 6277  df-ord 6338  df-on 6339  df-lim 6340  df-suc 6341  df-iota 6467  df-fun 6516  df-fn 6517  df-f 6518  df-f1 6519  df-fo 6520  df-f1o 6521  df-fv 6522  df-riota 7347  df-ov 7393  df-oprab 7394  df-mpo 7395  df-om 7846  df-2nd 7972  df-frecs 8263  df-wrecs 8294  df-recs 8343  df-rdg 8381  df-er 8674  df-en 8922  df-dom 8923  df-sdom 8924  df-pnf 11217  df-mnf 11218  df-xr 11219  df-ltxr 11220  df-le 11221  df-sub 11414  df-neg 11415  df-nn 12194  df-n0 12450  df-z 12537  df-uz 12801

This theorem is referenced by:  nnct  13953  supcvg  15829  xpnnen  16186  znnen  16187  qnnen  16188  rexpen  16203  aleph1re  16220  aleph1irr  16221  bitsf1  16423  unben  16887  odinf  19500  odhash  19511  cygctb  19829  1stcfb  23339  2ndcredom  23344  1stcelcls  23355  hauspwdom  23395  met1stc  24416  met2ndci  24417  re2ndc  24696  iscmet3  25200  ovolctb2  25400  ovolfi  25402  ovoliunlem3  25412  iunmbl2  25465  uniiccdif  25486  dyadmbl  25508  opnmblALT  25511  mbfimaopnlem  25563  itg2seq  25650  aannenlem3  26245  dirith2  27446  nmounbseqi  30713  nmobndseqi  30715  minvecolem5  30817  padct  32650  f1ocnt  32732  dmvlsiga  34126  sigapildsys  34159  volmeas  34228  omssubadd  34298  carsgclctunlem3  34318  poimirlem30  37651  poimirlem32  37653  mblfinlem1  37658  ovoliunnfl  37663  heiborlem3  37814  heibor  37822  lzenom  42765  fiphp3d  42814  irrapx1  42823  pellex  42830  nnfoctb  45049  zenom  45053  qenom  45364  ioonct  45542  subsaliuncl  46363  caragenunicl  46529  caratheodory  46533  ovnsubaddlem2  46576