Theorem nnenom 13351

Description: The set of positive integers (as a subset of complex numbers) is equinumerous to omega (the set of finite ordinal numbers). (Contributed by NM, 31-Jul-2004.) (Revised by Mario Carneiro, 15-Sep-2013.)

Assertion

Ref	Expression
nnenom	⊢ ℕ ≈ ω

Proof of Theorem nnenom

Dummy variable 𝑥 is distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		omex 9108	. . 3 ⊢ ω ∈ V
2		nn0ex 11906	. . 3 ⊢ ℕ0 ∈ V
3		eqid 2823	. . . 4 ⊢ (rec((𝑥 ∈ V ↦ (𝑥 + 1)), 0) ↾ ω) = (rec((𝑥 ∈ V ↦ (𝑥 + 1)), 0) ↾ ω)
4	3	hashgf1o 13342	. . 3 ⊢ (rec((𝑥 ∈ V ↦ (𝑥 + 1)), 0) ↾ ω):ω–1-1-onto→ℕ0
5		f1oen2g 8528	. . 3 ⊢ ((ω ∈ V ∧ ℕ0 ∈ V ∧ (rec((𝑥 ∈ V ↦ (𝑥 + 1)), 0) ↾ ω):ω–1-1-onto→ℕ0) → ω ≈ ℕ0)
6	1, 2, 4, 5	mp3an 1457	. 2 ⊢ ω ≈ ℕ0
7		nn0ennn 13350	. 2 ⊢ ℕ0 ≈ ℕ
8	6, 7	entr2i 8566	1 ⊢ ℕ ≈ ω

Syntax hints:   ∈ wcel 2114  Vcvv 3496   class class class wbr 5068   ↦ cmpt 5148   ↾ cres 5559  –1-1-onto→wf1o 6356  (class class class)co 7158  ωcom 7582  reccrdg 8047   ≈ cen 8508  0cc0 10539  1c1 10540   + caddc 10542  ℕcn 11640  ℕ₀cn0 11900

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1796  ax-4 1810  ax-5 1911  ax-6 1970  ax-7 2015  ax-8 2116  ax-9 2124  ax-10 2145  ax-11 2161  ax-12 2177  ax-ext 2795  ax-sep 5205  ax-nul 5212  ax-pow 5268  ax-pr 5332  ax-un 7463  ax-inf2 9106  ax-cnex 10595  ax-resscn 10596  ax-1cn 10597  ax-icn 10598  ax-addcl 10599  ax-addrcl 10600  ax-mulcl 10601  ax-mulrcl 10602  ax-mulcom 10603  ax-addass 10604  ax-mulass 10605  ax-distr 10606  ax-i2m1 10607  ax-1ne0 10608  ax-1rid 10609  ax-rnegex 10610  ax-rrecex 10611  ax-cnre 10612  ax-pre-lttri 10613  ax-pre-lttrn 10614  ax-pre-ltadd 10615  ax-pre-mulgt0 10616

This theorem depends on definitions:  df-bi 209  df-an 399  df-or 844  df-3or 1084  df-3an 1085  df-tru 1540  df-ex 1781  df-nf 1785  df-sb 2070  df-mo 2622  df-eu 2654  df-clab 2802  df-cleq 2816  df-clel 2895  df-nfc 2965  df-ne 3019  df-nel 3126  df-ral 3145  df-rex 3146  df-reu 3147  df-rab 3149  df-v 3498  df-sbc 3775  df-csb 3886  df-dif 3941  df-un 3943  df-in 3945  df-ss 3954  df-pss 3956  df-nul 4294  df-if 4470  df-pw 4543  df-sn 4570  df-pr 4572  df-tp 4574  df-op 4576  df-uni 4841  df-iun 4923  df-br 5069  df-opab 5131  df-mpt 5149  df-tr 5175  df-id 5462  df-eprel 5467  df-po 5476  df-so 5477  df-fr 5516  df-we 5518  df-xp 5563  df-rel 5564  df-cnv 5565  df-co 5566  df-dm 5567  df-rn 5568  df-res 5569  df-ima 5570  df-pred 6150  df-ord 6196  df-on 6197  df-lim 6198  df-suc 6199  df-iota 6316  df-fun 6359  df-fn 6360  df-f 6361  df-f1 6362  df-fo 6363  df-f1o 6364  df-fv 6365  df-riota 7116  df-ov 7161  df-oprab 7162  df-mpo 7163  df-om 7583  df-wrecs 7949  df-recs 8010  df-rdg 8048  df-er 8291  df-en 8512  df-dom 8513  df-sdom 8514  df-pnf 10679  df-mnf 10680  df-xr 10681  df-ltxr 10682  df-le 10683  df-sub 10874  df-neg 10875  df-nn 11641  df-n0 11901  df-z 11985  df-uz 12247

This theorem is referenced by:  nnct  13352  supcvg  15213  xpnnen  15566  znnen  15567  qnnen  15568  rexpen  15583  aleph1re  15600  aleph1irr  15601  bitsf1  15797  unben  16247  odinf  18692  odhash  18701  cygctb  19014  1stcfb  22055  2ndcredom  22060  1stcelcls  22071  hauspwdom  22111  met1stc  23133  met2ndci  23134  re2ndc  23411  iscmet3  23898  ovolctb2  24095  ovolfi  24097  ovoliunlem3  24107  iunmbl2  24160  uniiccdif  24181  dyadmbl  24203  opnmblALT  24206  mbfimaopnlem  24258  itg2seq  24345  aannenlem3  24921  dirith2  26106  nmounbseqi  28556  nmobndseqi  28558  minvecolem5  28660  padct  30457  f1ocnt  30527  dmvlsiga  31390  sigapildsys  31423  volmeas  31492  omssubadd  31560  carsgclctunlem3  31580  poimirlem30  34924  poimirlem32  34926  mblfinlem1  34931  ovoliunnfl  34936  heiborlem3  35093  heibor  35101  lzenom  39374  fiphp3d  39423  irrapx1  39432  pellex  39439  nnfoctb  41316  zenom  41321  qenom  41636  ioonct  41820  subsaliuncl  42648  caragenunicl  42813  caratheodory  42817  ovnsubaddlem2  42860