Theorem nnenom 13901

Description: The set of positive integers (as a subset of complex numbers) is equinumerous to omega (the set of finite ordinal numbers). (Contributed by NM, 31-Jul-2004.) (Revised by Mario Carneiro, 15-Sep-2013.)

Assertion

Ref	Expression
nnenom	⊢ ℕ ≈ ω

Proof of Theorem nnenom

Dummy variable 𝑥 is distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		omex 9550	. . 3 ⊢ ω ∈ V
2		nn0ex 12405	. . 3 ⊢ ℕ0 ∈ V
3		eqid 2734	. . . 4 ⊢ (rec((𝑥 ∈ V ↦ (𝑥 + 1)), 0) ↾ ω) = (rec((𝑥 ∈ V ↦ (𝑥 + 1)), 0) ↾ ω)
4	3	hashgf1o 13892	. . 3 ⊢ (rec((𝑥 ∈ V ↦ (𝑥 + 1)), 0) ↾ ω):ω–1-1-onto→ℕ0
5		f1oen2g 8903	. . 3 ⊢ ((ω ∈ V ∧ ℕ0 ∈ V ∧ (rec((𝑥 ∈ V ↦ (𝑥 + 1)), 0) ↾ ω):ω–1-1-onto→ℕ0) → ω ≈ ℕ0)
6	1, 2, 4, 5	mp3an 1463	. 2 ⊢ ω ≈ ℕ0
7		nn0ennn 13900	. 2 ⊢ ℕ0 ≈ ℕ
8	6, 7	entr2i 8944	1 ⊢ ℕ ≈ ω

Syntax hints:   ∈ wcel 2113  Vcvv 3438   class class class wbr 5096   ↦ cmpt 5177   ↾ cres 5624  –1-1-onto→wf1o 6489  (class class class)co 7356  ωcom 7806  reccrdg 8338   ≈ cen 8878  0cc0 11024  1c1 11025   + caddc 11027  ℕcn 12143  ℕ₀cn0 12399

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1796  ax-4 1810  ax-5 1911  ax-6 1968  ax-7 2009  ax-8 2115  ax-9 2123  ax-10 2146  ax-11 2162  ax-12 2182  ax-ext 2706  ax-sep 5239  ax-nul 5249  ax-pow 5308  ax-pr 5375  ax-un 7678  ax-inf2 9548  ax-cnex 11080  ax-resscn 11081  ax-1cn 11082  ax-icn 11083  ax-addcl 11084  ax-addrcl 11085  ax-mulcl 11086  ax-mulrcl 11087  ax-mulcom 11088  ax-addass 11089  ax-mulass 11090  ax-distr 11091  ax-i2m1 11092  ax-1ne0 11093  ax-1rid 11094  ax-rnegex 11095  ax-rrecex 11096  ax-cnre 11097  ax-pre-lttri 11098  ax-pre-lttrn 11099  ax-pre-ltadd 11100  ax-pre-mulgt0 11101

This theorem depends on definitions:  df-bi 207  df-an 396  df-or 848  df-3or 1087  df-3an 1088  df-tru 1544  df-fal 1554  df-ex 1781  df-nf 1785  df-sb 2068  df-mo 2537  df-eu 2567  df-clab 2713  df-cleq 2726  df-clel 2809  df-nfc 2883  df-ne 2931  df-nel 3035  df-ral 3050  df-rex 3059  df-reu 3349  df-rab 3398  df-v 3440  df-sbc 3739  df-csb 3848  df-dif 3902  df-un 3904  df-in 3906  df-ss 3916  df-pss 3919  df-nul 4284  df-if 4478  df-pw 4554  df-sn 4579  df-pr 4581  df-op 4585  df-uni 4862  df-iun 4946  df-br 5097  df-opab 5159  df-mpt 5178  df-tr 5204  df-id 5517  df-eprel 5522  df-po 5530  df-so 5531  df-fr 5575  df-we 5577  df-xp 5628  df-rel 5629  df-cnv 5630  df-co 5631  df-dm 5632  df-rn 5633  df-res 5634  df-ima 5635  df-pred 6257  df-ord 6318  df-on 6319  df-lim 6320  df-suc 6321  df-iota 6446  df-fun 6492  df-fn 6493  df-f 6494  df-f1 6495  df-fo 6496  df-f1o 6497  df-fv 6498  df-riota 7313  df-ov 7359  df-oprab 7360  df-mpo 7361  df-om 7807  df-2nd 7932  df-frecs 8221  df-wrecs 8252  df-recs 8301  df-rdg 8339  df-er 8633  df-en 8882  df-dom 8883  df-sdom 8884  df-pnf 11166  df-mnf 11167  df-xr 11168  df-ltxr 11169  df-le 11170  df-sub 11364  df-neg 11365  df-nn 12144  df-n0 12400  df-z 12487  df-uz 12750

This theorem is referenced by:  nnct  13902  supcvg  15777  xpnnen  16134  znnen  16135  qnnen  16136  rexpen  16151  aleph1re  16168  aleph1irr  16169  bitsf1  16371  unben  16835  odinf  19490  odhash  19501  cygctb  19819  1stcfb  23387  2ndcredom  23392  1stcelcls  23403  hauspwdom  23443  met1stc  24463  met2ndci  24464  re2ndc  24743  iscmet3  25247  ovolctb2  25447  ovolfi  25449  ovoliunlem3  25459  iunmbl2  25512  uniiccdif  25533  dyadmbl  25555  opnmblALT  25558  mbfimaopnlem  25610  itg2seq  25697  aannenlem3  26292  dirith2  27493  nmounbseqi  30801  nmobndseqi  30803  minvecolem5  30905  padct  32746  f1ocnt  32829  dmvlsiga  34235  sigapildsys  34268  volmeas  34337  omssubadd  34406  carsgclctunlem3  34426  poimirlem30  37790  poimirlem32  37792  mblfinlem1  37797  ovoliunnfl  37802  heiborlem3  37953  heibor  37961  lzenom  42954  fiphp3d  43003  irrapx1  43012  pellex  43019  nnfoctb  45235  zenom  45239  qenom  45548  ioonct  45725  subsaliuncl  46544  caragenunicl  46710  caratheodory  46714  ovnsubaddlem2  46757