Theorem nnenom 14147

Description: The set of positive integers (as a subset of complex numbers) is equinumerous to omega (the set of finite ordinal numbers). (Contributed by NM, 31-Jul-2004.) (Revised by Mario Carneiro, 15-Sep-2013.)

Assertion

Ref	Expression
nnenom	⊢ ℕ ≈ ω

Proof of Theorem nnenom

Dummy variable 𝑥 is distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		omex 9668	. . 3 ⊢ ω ∈ V
2		nn0ex 12636	. . 3 ⊢ ℕ0 ∈ V
3		eqid 2763	. . . 4 ⊢ (rec((𝑥 ∈ V ↦ (𝑥 + 1)), 0) ↾ ω) = (rec((𝑥 ∈ V ↦ (𝑥 + 1)), 0) ↾ ω)
4	3	hashgf1o 14138	. . 3 ⊢ (rec((𝑥 ∈ V ↦ (𝑥 + 1)), 0) ↾ ω):ω⟶1-1ontoℕ0
5		f1oen2g 9020	. . 3 ⊢ ((ω ∈ V ∧ ℕ0 ∈ V ∧ (rec((𝑥 ∈ V ↦ (𝑥 + 1)), 0) ↾ ω):ω⟶1-1ontoℕ0) → ω ≈ ℕ0)
6	1, 2, 4, 5	mp3an 1491	. 2 ⊢ ω ≈ ℕ0
7		nn0ennn 14146	. 2 ⊢ ℕ0 ≈ ℕ
8	6, 7	entr2i 9061	1 ⊢ ℕ ≈ ω

This proof depends on syntax axioms:   ∈ wcel 2147  Vcvv 3454   class class class wbr 5106   ↦ cmpt 5189   ↾ cres 5657  ⟶1-1ontowf1o 6554  (class class class)co 7440  ωcom 7898  reccrdg 8442   ≈ cen 8995  0cc0 11224  1c1 11225   + caddc 11227  ℕcn 12359  ℕ₀cn0 12630

This proof depends on axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1828  ax-4 1842  ax-5 1945  ax-6 2002  ax-7 2043  ax-8 2149  ax-9 2157  ax-10 2180  ax-11 2197  ax-12 2216  ax-ext 2735  ax-sep 5252  ax-nul 5263  ax-pow 5331  ax-pr 5395  ax-un 7772  ax-inf2 9666  ax-cnex 11280  ax-resscn 11281  ax-1cn 11282  ax-icn 11283  ax-addcl 11284  ax-addrcl 11285  ax-mulcl 11286  ax-mulrcl 11287  ax-mulcom 11288  ax-addass 11289  ax-mulass 11290  ax-distr 11291  ax-i2m1 11292  ax-1ne0 11293  ax-1rid 11294  ax-rnegex 11295  ax-rrecex 11296  ax-cnre 11297  ax-pre-lttri 11298  ax-pre-lttrn 11299  ax-pre-ltadd 11300  ax-pre-mulgt0 11301

This proof depends on definitions:  df-bi 210  df-an 402  df-or 862  df-3or 1104  df-3an 1105  df-tru 1573  df-fal 1583  df-ex 1813  df-nf 1817  df-sb 2102  df-mo 2567  df-eu 2597  df-clab 2742  df-cleq 2755  df-clel 2839  df-nfc 2913  df-ne 2960  df-nel 3066  df-ral 3081  df-rex 3091  df-reu 3370  df-rab 3417  df-v 3456  df-sbc 3743  df-csb 3852  df-ss 3901  df-pss 4017  df-dif 4050  df-in 4094  df-un 4154  df-nul 4282  df-if 4486  df-pw 4562  df-sn 4589  df-pr 4591  df-op 4839  df-uni 4871  df-iun 4956  df-br 5107  df-opab 5171  df-mpt 5190  df-tr 5216  df-id 5550  df-eprel 5555  df-po 5563  df-so 5564  df-fr 5608  df-we 5610  df-xp 5661  df-rel 5662  df-cnv 5663  df-co 5664  df-dm 5665  df-rn 5666  df-res 5667  df-ima 5668  df-pred 6319  df-ord 6380  df-on 6381  df-lim 6382  df-suc 6383  df-iota 6509  df-fun 6557  df-fn 6558  df-f 6559  df-f1 6560  df-fo 6561  df-f1o 6562  df-fv 6563  df-riota 7397  df-ov 7443  df-oprab 7444  df-mpo 7445  df-om 7899  df-2nd 8023  df-frecs 8324  df-wrecs 8355  df-recs 8404  df-rdg 8443  df-er 8742  df-en 8999  df-dom 9000  df-sdom 9001  df-pnf 11369  df-mnf 11370  df-xr 11371  df-ltxr 11372  df-le 11373  df-sub 11567  df-neg 11568  df-nn 12360  df-n0 12631  df-z 12718  df-uz 12990

This theorem is used by:  nnct  14148  supcvg  16051  xpnnen  16405  znnen  16406  qnnen  16407  rexpen  16422  aleph1re  16439  aleph1irr  16440  bitsf1  16642  unben  17113  odinf  19804  odhash  19815  cygctb  20133  1stcfb  23790  2ndcredom  23795  1stcelcls  23807  hauspwdom  23847  met1stc  24867  met2ndci  24868  re2ndc  25147  iscmet3  25641  ovolctb2  25840  ovolfi  25842  ovoliunlem3  25852  iunmbl2  25905  uniiccdif  25926  dyadmbl  25948  opnmblALT  25951  mbfimaopnlem  26003  itg2seq  26090  aannenlem3  26684  dirith2  27882  nmounbseqi  31406  nmobndseqi  31408  minvecolem5  31510  padct  33378  f1ocnt  33459  dmvlsiga  34828  sigapildsys  34862  volmeas  34931  omssubadd  34999  carsgclctunlem3  35019  poimirlem30  38759  poimirlem32  38761  mblfinlem1  38766  ovoliunnfl  38771  heiborlem3  38938  heibor  38946  lzenom  43972  fiphp3d  44017  irrapx1  44026  pellex  44033  nnfoctb  46268  zenom  46272  qenom  46576  ioonct  46752  caragenunicl  47737  caratheodory  47741  ovnsubaddlem2  47784