Theorem nnenom 13996

Description: The set of positive integers (as a subset of complex numbers) is equinumerous to omega (the set of finite ordinal numbers). (Contributed by NM, 31-Jul-2004.) (Revised by Mario Carneiro, 15-Sep-2013.)

Assertion

Ref	Expression
nnenom	⊢ ℕ ≈ ω

Proof of Theorem nnenom

Dummy variable 𝑥 is distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		omex 9655	. . 3 ⊢ ω ∈ V
2		nn0ex 12505	. . 3 ⊢ ℕ0 ∈ V
3		eqid 2735	. . . 4 ⊢ (rec((𝑥 ∈ V ↦ (𝑥 + 1)), 0) ↾ ω) = (rec((𝑥 ∈ V ↦ (𝑥 + 1)), 0) ↾ ω)
4	3	hashgf1o 13987	. . 3 ⊢ (rec((𝑥 ∈ V ↦ (𝑥 + 1)), 0) ↾ ω):ω–1-1-onto→ℕ0
5		f1oen2g 8981	. . 3 ⊢ ((ω ∈ V ∧ ℕ0 ∈ V ∧ (rec((𝑥 ∈ V ↦ (𝑥 + 1)), 0) ↾ ω):ω–1-1-onto→ℕ0) → ω ≈ ℕ0)
6	1, 2, 4, 5	mp3an 1463	. 2 ⊢ ω ≈ ℕ0
7		nn0ennn 13995	. 2 ⊢ ℕ0 ≈ ℕ
8	6, 7	entr2i 9021	1 ⊢ ℕ ≈ ω

Syntax hints:   ∈ wcel 2108  Vcvv 3459   class class class wbr 5119   ↦ cmpt 5201   ↾ cres 5656  –1-1-onto→wf1o 6529  (class class class)co 7403  ωcom 7859  reccrdg 8421   ≈ cen 8954  0cc0 11127  1c1 11128   + caddc 11130  ℕcn 12238  ℕ₀cn0 12499

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1795  ax-4 1809  ax-5 1910  ax-6 1967  ax-7 2007  ax-8 2110  ax-9 2118  ax-10 2141  ax-11 2157  ax-12 2177  ax-ext 2707  ax-sep 5266  ax-nul 5276  ax-pow 5335  ax-pr 5402  ax-un 7727  ax-inf2 9653  ax-cnex 11183  ax-resscn 11184  ax-1cn 11185  ax-icn 11186  ax-addcl 11187  ax-addrcl 11188  ax-mulcl 11189  ax-mulrcl 11190  ax-mulcom 11191  ax-addass 11192  ax-mulass 11193  ax-distr 11194  ax-i2m1 11195  ax-1ne0 11196  ax-1rid 11197  ax-rnegex 11198  ax-rrecex 11199  ax-cnre 11200  ax-pre-lttri 11201  ax-pre-lttrn 11202  ax-pre-ltadd 11203  ax-pre-mulgt0 11204

This theorem depends on definitions:  df-bi 207  df-an 396  df-or 848  df-3or 1087  df-3an 1088  df-tru 1543  df-fal 1553  df-ex 1780  df-nf 1784  df-sb 2065  df-mo 2539  df-eu 2568  df-clab 2714  df-cleq 2727  df-clel 2809  df-nfc 2885  df-ne 2933  df-nel 3037  df-ral 3052  df-rex 3061  df-reu 3360  df-rab 3416  df-v 3461  df-sbc 3766  df-csb 3875  df-dif 3929  df-un 3931  df-in 3933  df-ss 3943  df-pss 3946  df-nul 4309  df-if 4501  df-pw 4577  df-sn 4602  df-pr 4604  df-op 4608  df-uni 4884  df-iun 4969  df-br 5120  df-opab 5182  df-mpt 5202  df-tr 5230  df-id 5548  df-eprel 5553  df-po 5561  df-so 5562  df-fr 5606  df-we 5608  df-xp 5660  df-rel 5661  df-cnv 5662  df-co 5663  df-dm 5664  df-rn 5665  df-res 5666  df-ima 5667  df-pred 6290  df-ord 6355  df-on 6356  df-lim 6357  df-suc 6358  df-iota 6483  df-fun 6532  df-fn 6533  df-f 6534  df-f1 6535  df-fo 6536  df-f1o 6537  df-fv 6538  df-riota 7360  df-ov 7406  df-oprab 7407  df-mpo 7408  df-om 7860  df-2nd 7987  df-frecs 8278  df-wrecs 8309  df-recs 8383  df-rdg 8422  df-er 8717  df-en 8958  df-dom 8959  df-sdom 8960  df-pnf 11269  df-mnf 11270  df-xr 11271  df-ltxr 11272  df-le 11273  df-sub 11466  df-neg 11467  df-nn 12239  df-n0 12500  df-z 12587  df-uz 12851

This theorem is referenced by:  nnct  13997  supcvg  15870  xpnnen  16227  znnen  16228  qnnen  16229  rexpen  16244  aleph1re  16261  aleph1irr  16262  bitsf1  16463  unben  16927  odinf  19542  odhash  19553  cygctb  19871  1stcfb  23381  2ndcredom  23386  1stcelcls  23397  hauspwdom  23437  met1stc  24458  met2ndci  24459  re2ndc  24738  iscmet3  25243  ovolctb2  25443  ovolfi  25445  ovoliunlem3  25455  iunmbl2  25508  uniiccdif  25529  dyadmbl  25551  opnmblALT  25554  mbfimaopnlem  25606  itg2seq  25693  aannenlem3  26288  dirith2  27489  nmounbseqi  30704  nmobndseqi  30706  minvecolem5  30808  padct  32643  f1ocnt  32725  dmvlsiga  34106  sigapildsys  34139  volmeas  34208  omssubadd  34278  carsgclctunlem3  34298  poimirlem30  37620  poimirlem32  37622  mblfinlem1  37627  ovoliunnfl  37632  heiborlem3  37783  heibor  37791  lzenom  42740  fiphp3d  42789  irrapx1  42798  pellex  42805  nnfoctb  45020  zenom  45024  qenom  45336  ioonct  45514  subsaliuncl  46335  caragenunicl  46501  caratheodory  46505  ovnsubaddlem2  46548