Theorem nnenom 13937

Description: The set of positive integers (as a subset of complex numbers) is equinumerous to omega (the set of finite ordinal numbers). (Contributed by NM, 31-Jul-2004.) (Revised by Mario Carneiro, 15-Sep-2013.)

Assertion

Ref	Expression
nnenom	⊢ ℕ ≈ ω

Proof of Theorem nnenom

Dummy variable 𝑥 is distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		omex 9559	. . 3 ⊢ ω ∈ V
2		nn0ex 12438	. . 3 ⊢ ℕ0 ∈ V
3		eqid 2737	. . . 4 ⊢ (rec((𝑥 ∈ V ↦ (𝑥 + 1)), 0) ↾ ω) = (rec((𝑥 ∈ V ↦ (𝑥 + 1)), 0) ↾ ω)
4	3	hashgf1o 13928	. . 3 ⊢ (rec((𝑥 ∈ V ↦ (𝑥 + 1)), 0) ↾ ω):ω–1-1-onto→ℕ0
5		f1oen2g 8910	. . 3 ⊢ ((ω ∈ V ∧ ℕ0 ∈ V ∧ (rec((𝑥 ∈ V ↦ (𝑥 + 1)), 0) ↾ ω):ω–1-1-onto→ℕ0) → ω ≈ ℕ0)
6	1, 2, 4, 5	mp3an 1464	. 2 ⊢ ω ≈ ℕ0
7		nn0ennn 13936	. 2 ⊢ ℕ0 ≈ ℕ
8	6, 7	entr2i 8951	1 ⊢ ℕ ≈ ω

Syntax hints:   ∈ wcel 2114  Vcvv 3430   class class class wbr 5086   ↦ cmpt 5167   ↾ cres 5628  –1-1-onto→wf1o 6493  (class class class)co 7362  ωcom 7812  reccrdg 8343   ≈ cen 8885  0cc0 11033  1c1 11034   + caddc 11036  ℕcn 12169  ℕ₀cn0 12432

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1797  ax-4 1811  ax-5 1912  ax-6 1969  ax-7 2010  ax-8 2116  ax-9 2124  ax-10 2147  ax-11 2163  ax-12 2185  ax-ext 2709  ax-sep 5232  ax-nul 5242  ax-pow 5304  ax-pr 5372  ax-un 7684  ax-inf2 9557  ax-cnex 11089  ax-resscn 11090  ax-1cn 11091  ax-icn 11092  ax-addcl 11093  ax-addrcl 11094  ax-mulcl 11095  ax-mulrcl 11096  ax-mulcom 11097  ax-addass 11098  ax-mulass 11099  ax-distr 11100  ax-i2m1 11101  ax-1ne0 11102  ax-1rid 11103  ax-rnegex 11104  ax-rrecex 11105  ax-cnre 11106  ax-pre-lttri 11107  ax-pre-lttrn 11108  ax-pre-ltadd 11109  ax-pre-mulgt0 11110

This theorem depends on definitions:  df-bi 207  df-an 396  df-or 849  df-3or 1088  df-3an 1089  df-tru 1545  df-fal 1555  df-ex 1782  df-nf 1786  df-sb 2069  df-mo 2540  df-eu 2570  df-clab 2716  df-cleq 2729  df-clel 2812  df-nfc 2886  df-ne 2934  df-nel 3038  df-ral 3053  df-rex 3063  df-reu 3344  df-rab 3391  df-v 3432  df-sbc 3730  df-csb 3839  df-dif 3893  df-un 3895  df-in 3897  df-ss 3907  df-pss 3910  df-nul 4275  df-if 4468  df-pw 4544  df-sn 4569  df-pr 4571  df-op 4575  df-uni 4852  df-iun 4936  df-br 5087  df-opab 5149  df-mpt 5168  df-tr 5194  df-id 5521  df-eprel 5526  df-po 5534  df-so 5535  df-fr 5579  df-we 5581  df-xp 5632  df-rel 5633  df-cnv 5634  df-co 5635  df-dm 5636  df-rn 5637  df-res 5638  df-ima 5639  df-pred 6261  df-ord 6322  df-on 6323  df-lim 6324  df-suc 6325  df-iota 6450  df-fun 6496  df-fn 6497  df-f 6498  df-f1 6499  df-fo 6500  df-f1o 6501  df-fv 6502  df-riota 7319  df-ov 7365  df-oprab 7366  df-mpo 7367  df-om 7813  df-2nd 7938  df-frecs 8226  df-wrecs 8257  df-recs 8306  df-rdg 8344  df-er 8638  df-en 8889  df-dom 8890  df-sdom 8891  df-pnf 11176  df-mnf 11177  df-xr 11178  df-ltxr 11179  df-le 11180  df-sub 11374  df-neg 11375  df-nn 12170  df-n0 12433  df-z 12520  df-uz 12784

This theorem is referenced by:  nnct  13938  supcvg  15816  xpnnen  16173  znnen  16174  qnnen  16175  rexpen  16190  aleph1re  16207  aleph1irr  16208  bitsf1  16410  unben  16875  odinf  19533  odhash  19544  cygctb  19862  1stcfb  23424  2ndcredom  23429  1stcelcls  23440  hauspwdom  23480  met1stc  24500  met2ndci  24501  re2ndc  24780  iscmet3  25274  ovolctb2  25473  ovolfi  25475  ovoliunlem3  25485  iunmbl2  25538  uniiccdif  25559  dyadmbl  25581  opnmblALT  25584  mbfimaopnlem  25636  itg2seq  25723  aannenlem3  26311  dirith2  27509  nmounbseqi  30867  nmobndseqi  30869  minvecolem5  30971  padct  32810  f1ocnt  32892  dmvlsiga  34293  sigapildsys  34326  volmeas  34395  omssubadd  34464  carsgclctunlem3  34484  poimirlem30  37989  poimirlem32  37991  mblfinlem1  37996  ovoliunnfl  38001  heiborlem3  38152  heibor  38160  lzenom  43220  fiphp3d  43269  irrapx1  43278  pellex  43285  nnfoctb  45501  zenom  45505  qenom  45813  ioonct  45989  subsaliuncl  46808  caragenunicl  46974  caratheodory  46978  ovnsubaddlem2  47021