Theorem nnenom 13921

Description: The set of positive integers (as a subset of complex numbers) is equinumerous to omega (the set of finite ordinal numbers). (Contributed by NM, 31-Jul-2004.) (Revised by Mario Carneiro, 15-Sep-2013.)

Assertion

Ref	Expression
nnenom	⊢ ℕ ≈ ω

Proof of Theorem nnenom

Dummy variable 𝑥 is distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		omex 9572	. . 3 ⊢ ω ∈ V
2		nn0ex 12424	. . 3 ⊢ ℕ0 ∈ V
3		eqid 2729	. . . 4 ⊢ (rec((𝑥 ∈ V ↦ (𝑥 + 1)), 0) ↾ ω) = (rec((𝑥 ∈ V ↦ (𝑥 + 1)), 0) ↾ ω)
4	3	hashgf1o 13912	. . 3 ⊢ (rec((𝑥 ∈ V ↦ (𝑥 + 1)), 0) ↾ ω):ω–1-1-onto→ℕ0
5		f1oen2g 8917	. . 3 ⊢ ((ω ∈ V ∧ ℕ0 ∈ V ∧ (rec((𝑥 ∈ V ↦ (𝑥 + 1)), 0) ↾ ω):ω–1-1-onto→ℕ0) → ω ≈ ℕ0)
6	1, 2, 4, 5	mp3an 1463	. 2 ⊢ ω ≈ ℕ0
7		nn0ennn 13920	. 2 ⊢ ℕ0 ≈ ℕ
8	6, 7	entr2i 8957	1 ⊢ ℕ ≈ ω

Syntax hints:   ∈ wcel 2109  Vcvv 3444   class class class wbr 5102   ↦ cmpt 5183   ↾ cres 5633  –1-1-onto→wf1o 6498  (class class class)co 7369  ωcom 7822  reccrdg 8354   ≈ cen 8892  0cc0 11044  1c1 11045   + caddc 11047  ℕcn 12162  ℕ₀cn0 12418

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1795  ax-4 1809  ax-5 1910  ax-6 1967  ax-7 2008  ax-8 2111  ax-9 2119  ax-10 2142  ax-11 2158  ax-12 2178  ax-ext 2701  ax-sep 5246  ax-nul 5256  ax-pow 5315  ax-pr 5382  ax-un 7691  ax-inf2 9570  ax-cnex 11100  ax-resscn 11101  ax-1cn 11102  ax-icn 11103  ax-addcl 11104  ax-addrcl 11105  ax-mulcl 11106  ax-mulrcl 11107  ax-mulcom 11108  ax-addass 11109  ax-mulass 11110  ax-distr 11111  ax-i2m1 11112  ax-1ne0 11113  ax-1rid 11114  ax-rnegex 11115  ax-rrecex 11116  ax-cnre 11117  ax-pre-lttri 11118  ax-pre-lttrn 11119  ax-pre-ltadd 11120  ax-pre-mulgt0 11121

This theorem depends on definitions:  df-bi 207  df-an 396  df-or 848  df-3or 1087  df-3an 1088  df-tru 1543  df-fal 1553  df-ex 1780  df-nf 1784  df-sb 2066  df-mo 2533  df-eu 2562  df-clab 2708  df-cleq 2721  df-clel 2803  df-nfc 2878  df-ne 2926  df-nel 3030  df-ral 3045  df-rex 3054  df-reu 3352  df-rab 3403  df-v 3446  df-sbc 3751  df-csb 3860  df-dif 3914  df-un 3916  df-in 3918  df-ss 3928  df-pss 3931  df-nul 4293  df-if 4485  df-pw 4561  df-sn 4586  df-pr 4588  df-op 4592  df-uni 4868  df-iun 4953  df-br 5103  df-opab 5165  df-mpt 5184  df-tr 5210  df-id 5526  df-eprel 5531  df-po 5539  df-so 5540  df-fr 5584  df-we 5586  df-xp 5637  df-rel 5638  df-cnv 5639  df-co 5640  df-dm 5641  df-rn 5642  df-res 5643  df-ima 5644  df-pred 6262  df-ord 6323  df-on 6324  df-lim 6325  df-suc 6326  df-iota 6452  df-fun 6501  df-fn 6502  df-f 6503  df-f1 6504  df-fo 6505  df-f1o 6506  df-fv 6507  df-riota 7326  df-ov 7372  df-oprab 7373  df-mpo 7374  df-om 7823  df-2nd 7948  df-frecs 8237  df-wrecs 8268  df-recs 8317  df-rdg 8355  df-er 8648  df-en 8896  df-dom 8897  df-sdom 8898  df-pnf 11186  df-mnf 11187  df-xr 11188  df-ltxr 11189  df-le 11190  df-sub 11383  df-neg 11384  df-nn 12163  df-n0 12419  df-z 12506  df-uz 12770

This theorem is referenced by:  nnct  13922  supcvg  15798  xpnnen  16155  znnen  16156  qnnen  16157  rexpen  16172  aleph1re  16189  aleph1irr  16190  bitsf1  16392  unben  16856  odinf  19477  odhash  19488  cygctb  19806  1stcfb  23365  2ndcredom  23370  1stcelcls  23381  hauspwdom  23421  met1stc  24442  met2ndci  24443  re2ndc  24722  iscmet3  25226  ovolctb2  25426  ovolfi  25428  ovoliunlem3  25438  iunmbl2  25491  uniiccdif  25512  dyadmbl  25534  opnmblALT  25537  mbfimaopnlem  25589  itg2seq  25676  aannenlem3  26271  dirith2  27472  nmounbseqi  30756  nmobndseqi  30758  minvecolem5  30860  padct  32693  f1ocnt  32775  dmvlsiga  34112  sigapildsys  34145  volmeas  34214  omssubadd  34284  carsgclctunlem3  34304  poimirlem30  37637  poimirlem32  37639  mblfinlem1  37644  ovoliunnfl  37649  heiborlem3  37800  heibor  37808  lzenom  42751  fiphp3d  42800  irrapx1  42809  pellex  42816  nnfoctb  45035  zenom  45039  qenom  45350  ioonct  45528  subsaliuncl  46349  caragenunicl  46515  caratheodory  46519  ovnsubaddlem2  46562