MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  nnenom Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem nnenom 13340
Description: The set of positive integers (as a subset of complex numbers) is equinumerous to omega (the set of finite ordinal numbers). (Contributed by NM, 31-Jul-2004.) (Revised by Mario Carneiro, 15-Sep-2013.)
Assertion
Ref Expression
nnenom ℕ ≈ ω

Proof of Theorem nnenom
Dummy variable 𝑥 is distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 omex 9098 . . 3 ω ∈ V
2 nn0ex 11895 . . 3 0 ∈ V
3 eqid 2819 . . . 4 (rec((𝑥 ∈ V ↦ (𝑥 + 1)), 0) ↾ ω) = (rec((𝑥 ∈ V ↦ (𝑥 + 1)), 0) ↾ ω)
43hashgf1o 13331 . . 3 (rec((𝑥 ∈ V ↦ (𝑥 + 1)), 0) ↾ ω):ω–1-1-onto→ℕ0
5 f1oen2g 8518 . . 3 ((ω ∈ V ∧ ℕ0 ∈ V ∧ (rec((𝑥 ∈ V ↦ (𝑥 + 1)), 0) ↾ ω):ω–1-1-onto→ℕ0) → ω ≈ ℕ0)
61, 2, 4, 5mp3an 1454 . 2 ω ≈ ℕ0
7 nn0ennn 13339 . 2 0 ≈ ℕ
86, 7entr2i 8556 1 ℕ ≈ ω
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  wcel 2107  Vcvv 3493   class class class wbr 5057  cmpt 5137  cres 5550  1-1-ontowf1o 6347  (class class class)co 7148  ωcom 7572  reccrdg 8037  cen 8498  0cc0 10529  1c1 10530   + caddc 10532  cn 11630  0cn0 11889
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1789  ax-4 1803  ax-5 1904  ax-6 1963  ax-7 2008  ax-8 2109  ax-9 2117  ax-10 2138  ax-11 2153  ax-12 2169  ax-ext 2791  ax-sep 5194  ax-nul 5201  ax-pow 5257  ax-pr 5320  ax-un 7453  ax-inf2 9096  ax-cnex 10585  ax-resscn 10586  ax-1cn 10587  ax-icn 10588  ax-addcl 10589  ax-addrcl 10590  ax-mulcl 10591  ax-mulrcl 10592  ax-mulcom 10593  ax-addass 10594  ax-mulass 10595  ax-distr 10596  ax-i2m1 10597  ax-1ne0 10598  ax-1rid 10599  ax-rnegex 10600  ax-rrecex 10601  ax-cnre 10602  ax-pre-lttri 10603  ax-pre-lttrn 10604  ax-pre-ltadd 10605  ax-pre-mulgt0 10606
This theorem depends on definitions:  df-bi 209  df-an 399  df-or 844  df-3or 1082  df-3an 1083  df-tru 1533  df-ex 1774  df-nf 1778  df-sb 2063  df-mo 2616  df-eu 2648  df-clab 2798  df-cleq 2812  df-clel 2891  df-nfc 2961  df-ne 3015  df-nel 3122  df-ral 3141  df-rex 3142  df-reu 3143  df-rab 3145  df-v 3495  df-sbc 3771  df-csb 3882  df-dif 3937  df-un 3939  df-in 3941  df-ss 3950  df-pss 3952  df-nul 4290  df-if 4466  df-pw 4539  df-sn 4560  df-pr 4562  df-tp 4564  df-op 4566  df-uni 4831  df-iun 4912  df-br 5058  df-opab 5120  df-mpt 5138  df-tr 5164  df-id 5453  df-eprel 5458  df-po 5467  df-so 5468  df-fr 5507  df-we 5509  df-xp 5554  df-rel 5555  df-cnv 5556  df-co 5557  df-dm 5558  df-rn 5559  df-res 5560  df-ima 5561  df-pred 6141  df-ord 6187  df-on 6188  df-lim 6189  df-suc 6190  df-iota 6307  df-fun 6350  df-fn 6351  df-f 6352  df-f1 6353  df-fo 6354  df-f1o 6355  df-fv 6356  df-riota 7106  df-ov 7151  df-oprab 7152  df-mpo 7153  df-om 7573  df-wrecs 7939  df-recs 8000  df-rdg 8038  df-er 8281  df-en 8502  df-dom 8503  df-sdom 8504  df-pnf 10669  df-mnf 10670  df-xr 10671  df-ltxr 10672  df-le 10673  df-sub 10864  df-neg 10865  df-nn 11631  df-n0 11890  df-z 11974  df-uz 12236
This theorem is referenced by:  nnct  13341  supcvg  15203  xpnnen  15556  znnen  15557  qnnen  15558  rexpen  15573  aleph1re  15590  aleph1irr  15591  bitsf1  15787  unben  16237  odinf  18682  odhash  18691  cygctb  19004  1stcfb  22045  2ndcredom  22050  1stcelcls  22061  hauspwdom  22101  met1stc  23123  met2ndci  23124  re2ndc  23401  iscmet3  23888  ovolctb2  24085  ovolfi  24087  ovoliunlem3  24097  iunmbl2  24150  uniiccdif  24171  dyadmbl  24193  opnmblALT  24196  mbfimaopnlem  24248  itg2seq  24335  aannenlem3  24911  dirith2  26096  nmounbseqi  28546  nmobndseqi  28548  minvecolem5  28650  padct  30447  f1ocnt  30517  dmvlsiga  31376  sigapildsys  31409  volmeas  31478  omssubadd  31546  carsgclctunlem3  31566  poimirlem30  34904  poimirlem32  34906  mblfinlem1  34911  ovoliunnfl  34916  heiborlem3  35073  heibor  35081  lzenom  39347  fiphp3d  39396  irrapx1  39405  pellex  39412  nnfoctb  41289  zenom  41294  qenom  41608  ioonct  41792  subsaliuncl  42621  caragenunicl  42786  caratheodory  42790  ovnsubaddlem2  42833
  Copyright terms: Public domain W3C validator