Theorem nnenom 13945

Description: The set of positive integers (as a subset of complex numbers) is equinumerous to omega (the set of finite ordinal numbers). (Contributed by NM, 31-Jul-2004.) (Revised by Mario Carneiro, 15-Sep-2013.)

Assertion

Ref	Expression
nnenom	⊢ ℕ ≈ ω

Proof of Theorem nnenom

Dummy variable 𝑥 is distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		omex 9638	. . 3 ⊢ ω ∈ V
2		nn0ex 12478	. . 3 ⊢ ℕ0 ∈ V
3		eqid 2733	. . . 4 ⊢ (rec((𝑥 ∈ V ↦ (𝑥 + 1)), 0) ↾ ω) = (rec((𝑥 ∈ V ↦ (𝑥 + 1)), 0) ↾ ω)
4	3	hashgf1o 13936	. . 3 ⊢ (rec((𝑥 ∈ V ↦ (𝑥 + 1)), 0) ↾ ω):ω–1-1-onto→ℕ0
5		f1oen2g 8964	. . 3 ⊢ ((ω ∈ V ∧ ℕ0 ∈ V ∧ (rec((𝑥 ∈ V ↦ (𝑥 + 1)), 0) ↾ ω):ω–1-1-onto→ℕ0) → ω ≈ ℕ0)
6	1, 2, 4, 5	mp3an 1462	. 2 ⊢ ω ≈ ℕ0
7		nn0ennn 13944	. 2 ⊢ ℕ0 ≈ ℕ
8	6, 7	entr2i 9005	1 ⊢ ℕ ≈ ω

Syntax hints:   ∈ wcel 2107  Vcvv 3475   class class class wbr 5149   ↦ cmpt 5232   ↾ cres 5679  –1-1-onto→wf1o 6543  (class class class)co 7409  ωcom 7855  reccrdg 8409   ≈ cen 8936  0cc0 11110  1c1 11111   + caddc 11113  ℕcn 12212  ℕ₀cn0 12472

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1798  ax-4 1812  ax-5 1914  ax-6 1972  ax-7 2012  ax-8 2109  ax-9 2117  ax-10 2138  ax-11 2155  ax-12 2172  ax-ext 2704  ax-sep 5300  ax-nul 5307  ax-pow 5364  ax-pr 5428  ax-un 7725  ax-inf2 9636  ax-cnex 11166  ax-resscn 11167  ax-1cn 11168  ax-icn 11169  ax-addcl 11170  ax-addrcl 11171  ax-mulcl 11172  ax-mulrcl 11173  ax-mulcom 11174  ax-addass 11175  ax-mulass 11176  ax-distr 11177  ax-i2m1 11178  ax-1ne0 11179  ax-1rid 11180  ax-rnegex 11181  ax-rrecex 11182  ax-cnre 11183  ax-pre-lttri 11184  ax-pre-lttrn 11185  ax-pre-ltadd 11186  ax-pre-mulgt0 11187

This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 398  df-or 847  df-3or 1089  df-3an 1090  df-tru 1545  df-fal 1555  df-ex 1783  df-nf 1787  df-sb 2069  df-mo 2535  df-eu 2564  df-clab 2711  df-cleq 2725  df-clel 2811  df-nfc 2886  df-ne 2942  df-nel 3048  df-ral 3063  df-rex 3072  df-reu 3378  df-rab 3434  df-v 3477  df-sbc 3779  df-csb 3895  df-dif 3952  df-un 3954  df-in 3956  df-ss 3966  df-pss 3968  df-nul 4324  df-if 4530  df-pw 4605  df-sn 4630  df-pr 4632  df-op 4636  df-uni 4910  df-iun 5000  df-br 5150  df-opab 5212  df-mpt 5233  df-tr 5267  df-id 5575  df-eprel 5581  df-po 5589  df-so 5590  df-fr 5632  df-we 5634  df-xp 5683  df-rel 5684  df-cnv 5685  df-co 5686  df-dm 5687  df-rn 5688  df-res 5689  df-ima 5690  df-pred 6301  df-ord 6368  df-on 6369  df-lim 6370  df-suc 6371  df-iota 6496  df-fun 6546  df-fn 6547  df-f 6548  df-f1 6549  df-fo 6550  df-f1o 6551  df-fv 6552  df-riota 7365  df-ov 7412  df-oprab 7413  df-mpo 7414  df-om 7856  df-2nd 7976  df-frecs 8266  df-wrecs 8297  df-recs 8371  df-rdg 8410  df-er 8703  df-en 8940  df-dom 8941  df-sdom 8942  df-pnf 11250  df-mnf 11251  df-xr 11252  df-ltxr 11253  df-le 11254  df-sub 11446  df-neg 11447  df-nn 12213  df-n0 12473  df-z 12559  df-uz 12823

This theorem is referenced by:  nnct  13946  supcvg  15802  xpnnen  16154  znnen  16155  qnnen  16156  rexpen  16171  aleph1re  16188  aleph1irr  16189  bitsf1  16387  unben  16842  odinf  19431  odhash  19442  cygctb  19760  1stcfb  22949  2ndcredom  22954  1stcelcls  22965  hauspwdom  23005  met1stc  24030  met2ndci  24031  re2ndc  24317  iscmet3  24810  ovolctb2  25009  ovolfi  25011  ovoliunlem3  25021  iunmbl2  25074  uniiccdif  25095  dyadmbl  25117  opnmblALT  25120  mbfimaopnlem  25172  itg2seq  25260  aannenlem3  25843  dirith2  27031  nmounbseqi  30030  nmobndseqi  30032  minvecolem5  30134  padct  31944  f1ocnt  32013  dmvlsiga  33127  sigapildsys  33160  volmeas  33229  omssubadd  33299  carsgclctunlem3  33319  poimirlem30  36518  poimirlem32  36520  mblfinlem1  36525  ovoliunnfl  36530  heiborlem3  36681  heibor  36689  lzenom  41508  fiphp3d  41557  irrapx1  41566  pellex  41573  nnfoctb  43734  zenom  43739  qenom  44071  ioonct  44250  subsaliuncl  45074  caragenunicl  45240  caratheodory  45244  ovnsubaddlem2  45287