Theorem nnenom 13907

Description: The set of positive integers (as a subset of complex numbers) is equinumerous to omega (the set of finite ordinal numbers). (Contributed by NM, 31-Jul-2004.) (Revised by Mario Carneiro, 15-Sep-2013.)

Assertion

Ref	Expression
nnenom	⊢ ℕ ≈ ω

Proof of Theorem nnenom

Dummy variable 𝑥 is distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		omex 9556	. . 3 ⊢ ω ∈ V
2		nn0ex 12411	. . 3 ⊢ ℕ0 ∈ V
3		eqid 2737	. . . 4 ⊢ (rec((𝑥 ∈ V ↦ (𝑥 + 1)), 0) ↾ ω) = (rec((𝑥 ∈ V ↦ (𝑥 + 1)), 0) ↾ ω)
4	3	hashgf1o 13898	. . 3 ⊢ (rec((𝑥 ∈ V ↦ (𝑥 + 1)), 0) ↾ ω):ω–1-1-onto→ℕ0
5		f1oen2g 8909	. . 3 ⊢ ((ω ∈ V ∧ ℕ0 ∈ V ∧ (rec((𝑥 ∈ V ↦ (𝑥 + 1)), 0) ↾ ω):ω–1-1-onto→ℕ0) → ω ≈ ℕ0)
6	1, 2, 4, 5	mp3an 1464	. 2 ⊢ ω ≈ ℕ0
7		nn0ennn 13906	. 2 ⊢ ℕ0 ≈ ℕ
8	6, 7	entr2i 8950	1 ⊢ ℕ ≈ ω

Syntax hints:   ∈ wcel 2114  Vcvv 3441   class class class wbr 5099   ↦ cmpt 5180   ↾ cres 5627  –1-1-onto→wf1o 6492  (class class class)co 7360  ωcom 7810  reccrdg 8342   ≈ cen 8884  0cc0 11030  1c1 11031   + caddc 11033  ℕcn 12149  ℕ₀cn0 12405

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1797  ax-4 1811  ax-5 1912  ax-6 1969  ax-7 2010  ax-8 2116  ax-9 2124  ax-10 2147  ax-11 2163  ax-12 2185  ax-ext 2709  ax-sep 5242  ax-nul 5252  ax-pow 5311  ax-pr 5378  ax-un 7682  ax-inf2 9554  ax-cnex 11086  ax-resscn 11087  ax-1cn 11088  ax-icn 11089  ax-addcl 11090  ax-addrcl 11091  ax-mulcl 11092  ax-mulrcl 11093  ax-mulcom 11094  ax-addass 11095  ax-mulass 11096  ax-distr 11097  ax-i2m1 11098  ax-1ne0 11099  ax-1rid 11100  ax-rnegex 11101  ax-rrecex 11102  ax-cnre 11103  ax-pre-lttri 11104  ax-pre-lttrn 11105  ax-pre-ltadd 11106  ax-pre-mulgt0 11107

This theorem depends on definitions:  df-bi 207  df-an 396  df-or 849  df-3or 1088  df-3an 1089  df-tru 1545  df-fal 1555  df-ex 1782  df-nf 1786  df-sb 2069  df-mo 2540  df-eu 2570  df-clab 2716  df-cleq 2729  df-clel 2812  df-nfc 2886  df-ne 2934  df-nel 3038  df-ral 3053  df-rex 3062  df-reu 3352  df-rab 3401  df-v 3443  df-sbc 3742  df-csb 3851  df-dif 3905  df-un 3907  df-in 3909  df-ss 3919  df-pss 3922  df-nul 4287  df-if 4481  df-pw 4557  df-sn 4582  df-pr 4584  df-op 4588  df-uni 4865  df-iun 4949  df-br 5100  df-opab 5162  df-mpt 5181  df-tr 5207  df-id 5520  df-eprel 5525  df-po 5533  df-so 5534  df-fr 5578  df-we 5580  df-xp 5631  df-rel 5632  df-cnv 5633  df-co 5634  df-dm 5635  df-rn 5636  df-res 5637  df-ima 5638  df-pred 6260  df-ord 6321  df-on 6322  df-lim 6323  df-suc 6324  df-iota 6449  df-fun 6495  df-fn 6496  df-f 6497  df-f1 6498  df-fo 6499  df-f1o 6500  df-fv 6501  df-riota 7317  df-ov 7363  df-oprab 7364  df-mpo 7365  df-om 7811  df-2nd 7936  df-frecs 8225  df-wrecs 8256  df-recs 8305  df-rdg 8343  df-er 8637  df-en 8888  df-dom 8889  df-sdom 8890  df-pnf 11172  df-mnf 11173  df-xr 11174  df-ltxr 11175  df-le 11176  df-sub 11370  df-neg 11371  df-nn 12150  df-n0 12406  df-z 12493  df-uz 12756

This theorem is referenced by:  nnct  13908  supcvg  15783  xpnnen  16140  znnen  16141  qnnen  16142  rexpen  16157  aleph1re  16174  aleph1irr  16175  bitsf1  16377  unben  16841  odinf  19496  odhash  19507  cygctb  19825  1stcfb  23393  2ndcredom  23398  1stcelcls  23409  hauspwdom  23449  met1stc  24469  met2ndci  24470  re2ndc  24749  iscmet3  25253  ovolctb2  25453  ovolfi  25455  ovoliunlem3  25465  iunmbl2  25518  uniiccdif  25539  dyadmbl  25561  opnmblALT  25564  mbfimaopnlem  25616  itg2seq  25703  aannenlem3  26298  dirith2  27499  nmounbseqi  30856  nmobndseqi  30858  minvecolem5  30960  padct  32799  f1ocnt  32882  dmvlsiga  34288  sigapildsys  34321  volmeas  34390  omssubadd  34459  carsgclctunlem3  34479  poimirlem30  37853  poimirlem32  37855  mblfinlem1  37860  ovoliunnfl  37865  heiborlem3  38016  heibor  38024  lzenom  43079  fiphp3d  43128  irrapx1  43137  pellex  43144  nnfoctb  45360  zenom  45364  qenom  45673  ioonct  45850  subsaliuncl  46669  caragenunicl  46835  caratheodory  46839  ovnsubaddlem2  46882