Theorem nnenom 13945

Description: The set of positive integers (as a subset of complex numbers) is equinumerous to omega (the set of finite ordinal numbers). (Contributed by NM, 31-Jul-2004.) (Revised by Mario Carneiro, 15-Sep-2013.)

Assertion

Ref	Expression
nnenom	⊢ ℕ ≈ ω

Proof of Theorem nnenom

Dummy variable 𝑥 is distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		omex 9596	. . 3 ⊢ ω ∈ V
2		nn0ex 12448	. . 3 ⊢ ℕ0 ∈ V
3		eqid 2729	. . . 4 ⊢ (rec((𝑥 ∈ V ↦ (𝑥 + 1)), 0) ↾ ω) = (rec((𝑥 ∈ V ↦ (𝑥 + 1)), 0) ↾ ω)
4	3	hashgf1o 13936	. . 3 ⊢ (rec((𝑥 ∈ V ↦ (𝑥 + 1)), 0) ↾ ω):ω–1-1-onto→ℕ0
5		f1oen2g 8940	. . 3 ⊢ ((ω ∈ V ∧ ℕ0 ∈ V ∧ (rec((𝑥 ∈ V ↦ (𝑥 + 1)), 0) ↾ ω):ω–1-1-onto→ℕ0) → ω ≈ ℕ0)
6	1, 2, 4, 5	mp3an 1463	. 2 ⊢ ω ≈ ℕ0
7		nn0ennn 13944	. 2 ⊢ ℕ0 ≈ ℕ
8	6, 7	entr2i 8980	1 ⊢ ℕ ≈ ω

Syntax hints:   ∈ wcel 2109  Vcvv 3447   class class class wbr 5107   ↦ cmpt 5188   ↾ cres 5640  –1-1-onto→wf1o 6510  (class class class)co 7387  ωcom 7842  reccrdg 8377   ≈ cen 8915  0cc0 11068  1c1 11069   + caddc 11071  ℕcn 12186  ℕ₀cn0 12442

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1795  ax-4 1809  ax-5 1910  ax-6 1967  ax-7 2008  ax-8 2111  ax-9 2119  ax-10 2142  ax-11 2158  ax-12 2178  ax-ext 2701  ax-sep 5251  ax-nul 5261  ax-pow 5320  ax-pr 5387  ax-un 7711  ax-inf2 9594  ax-cnex 11124  ax-resscn 11125  ax-1cn 11126  ax-icn 11127  ax-addcl 11128  ax-addrcl 11129  ax-mulcl 11130  ax-mulrcl 11131  ax-mulcom 11132  ax-addass 11133  ax-mulass 11134  ax-distr 11135  ax-i2m1 11136  ax-1ne0 11137  ax-1rid 11138  ax-rnegex 11139  ax-rrecex 11140  ax-cnre 11141  ax-pre-lttri 11142  ax-pre-lttrn 11143  ax-pre-ltadd 11144  ax-pre-mulgt0 11145

This theorem depends on definitions:  df-bi 207  df-an 396  df-or 848  df-3or 1087  df-3an 1088  df-tru 1543  df-fal 1553  df-ex 1780  df-nf 1784  df-sb 2066  df-mo 2533  df-eu 2562  df-clab 2708  df-cleq 2721  df-clel 2803  df-nfc 2878  df-ne 2926  df-nel 3030  df-ral 3045  df-rex 3054  df-reu 3355  df-rab 3406  df-v 3449  df-sbc 3754  df-csb 3863  df-dif 3917  df-un 3919  df-in 3921  df-ss 3931  df-pss 3934  df-nul 4297  df-if 4489  df-pw 4565  df-sn 4590  df-pr 4592  df-op 4596  df-uni 4872  df-iun 4957  df-br 5108  df-opab 5170  df-mpt 5189  df-tr 5215  df-id 5533  df-eprel 5538  df-po 5546  df-so 5547  df-fr 5591  df-we 5593  df-xp 5644  df-rel 5645  df-cnv 5646  df-co 5647  df-dm 5648  df-rn 5649  df-res 5650  df-ima 5651  df-pred 6274  df-ord 6335  df-on 6336  df-lim 6337  df-suc 6338  df-iota 6464  df-fun 6513  df-fn 6514  df-f 6515  df-f1 6516  df-fo 6517  df-f1o 6518  df-fv 6519  df-riota 7344  df-ov 7390  df-oprab 7391  df-mpo 7392  df-om 7843  df-2nd 7969  df-frecs 8260  df-wrecs 8291  df-recs 8340  df-rdg 8378  df-er 8671  df-en 8919  df-dom 8920  df-sdom 8921  df-pnf 11210  df-mnf 11211  df-xr 11212  df-ltxr 11213  df-le 11214  df-sub 11407  df-neg 11408  df-nn 12187  df-n0 12443  df-z 12530  df-uz 12794

This theorem is referenced by:  nnct  13946  supcvg  15822  xpnnen  16179  znnen  16180  qnnen  16181  rexpen  16196  aleph1re  16213  aleph1irr  16214  bitsf1  16416  unben  16880  odinf  19493  odhash  19504  cygctb  19822  1stcfb  23332  2ndcredom  23337  1stcelcls  23348  hauspwdom  23388  met1stc  24409  met2ndci  24410  re2ndc  24689  iscmet3  25193  ovolctb2  25393  ovolfi  25395  ovoliunlem3  25405  iunmbl2  25458  uniiccdif  25479  dyadmbl  25501  opnmblALT  25504  mbfimaopnlem  25556  itg2seq  25643  aannenlem3  26238  dirith2  27439  nmounbseqi  30706  nmobndseqi  30708  minvecolem5  30810  padct  32643  f1ocnt  32725  dmvlsiga  34119  sigapildsys  34152  volmeas  34221  omssubadd  34291  carsgclctunlem3  34311  poimirlem30  37644  poimirlem32  37646  mblfinlem1  37651  ovoliunnfl  37656  heiborlem3  37807  heibor  37815  lzenom  42758  fiphp3d  42807  irrapx1  42816  pellex  42823  nnfoctb  45042  zenom  45046  qenom  45357  ioonct  45535  subsaliuncl  46356  caragenunicl  46522  caratheodory  46526  ovnsubaddlem2  46569