Theorem nnenom 14031

Description: The set of positive integers (as a subset of complex numbers) is equinumerous to omega (the set of finite ordinal numbers). (Contributed by NM, 31-Jul-2004.) (Revised by Mario Carneiro, 15-Sep-2013.)

Assertion

Ref	Expression
nnenom	⊢ ℕ ≈ ω

Proof of Theorem nnenom

Dummy variable 𝑥 is distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		omex 9712	. . 3 ⊢ ω ∈ V
2		nn0ex 12559	. . 3 ⊢ ℕ0 ∈ V
3		eqid 2740	. . . 4 ⊢ (rec((𝑥 ∈ V ↦ (𝑥 + 1)), 0) ↾ ω) = (rec((𝑥 ∈ V ↦ (𝑥 + 1)), 0) ↾ ω)
4	3	hashgf1o 14022	. . 3 ⊢ (rec((𝑥 ∈ V ↦ (𝑥 + 1)), 0) ↾ ω):ω–1-1-onto→ℕ0
5		f1oen2g 9028	. . 3 ⊢ ((ω ∈ V ∧ ℕ0 ∈ V ∧ (rec((𝑥 ∈ V ↦ (𝑥 + 1)), 0) ↾ ω):ω–1-1-onto→ℕ0) → ω ≈ ℕ0)
6	1, 2, 4, 5	mp3an 1461	. 2 ⊢ ω ≈ ℕ0
7		nn0ennn 14030	. 2 ⊢ ℕ0 ≈ ℕ
8	6, 7	entr2i 9069	1 ⊢ ℕ ≈ ω

Syntax hints:   ∈ wcel 2108  Vcvv 3488   class class class wbr 5166   ↦ cmpt 5249   ↾ cres 5702  –1-1-onto→wf1o 6572  (class class class)co 7448  ωcom 7903  reccrdg 8465   ≈ cen 9000  0cc0 11184  1c1 11185   + caddc 11187  ℕcn 12293  ℕ₀cn0 12553

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1793  ax-4 1807  ax-5 1909  ax-6 1967  ax-7 2007  ax-8 2110  ax-9 2118  ax-10 2141  ax-11 2158  ax-12 2178  ax-ext 2711  ax-sep 5317  ax-nul 5324  ax-pow 5383  ax-pr 5447  ax-un 7770  ax-inf2 9710  ax-cnex 11240  ax-resscn 11241  ax-1cn 11242  ax-icn 11243  ax-addcl 11244  ax-addrcl 11245  ax-mulcl 11246  ax-mulrcl 11247  ax-mulcom 11248  ax-addass 11249  ax-mulass 11250  ax-distr 11251  ax-i2m1 11252  ax-1ne0 11253  ax-1rid 11254  ax-rnegex 11255  ax-rrecex 11256  ax-cnre 11257  ax-pre-lttri 11258  ax-pre-lttrn 11259  ax-pre-ltadd 11260  ax-pre-mulgt0 11261

This theorem depends on definitions:  df-bi 207  df-an 396  df-or 847  df-3or 1088  df-3an 1089  df-tru 1540  df-fal 1550  df-ex 1778  df-nf 1782  df-sb 2065  df-mo 2543  df-eu 2572  df-clab 2718  df-cleq 2732  df-clel 2819  df-nfc 2895  df-ne 2947  df-nel 3053  df-ral 3068  df-rex 3077  df-reu 3389  df-rab 3444  df-v 3490  df-sbc 3805  df-csb 3922  df-dif 3979  df-un 3981  df-in 3983  df-ss 3993  df-pss 3996  df-nul 4353  df-if 4549  df-pw 4624  df-sn 4649  df-pr 4651  df-op 4655  df-uni 4932  df-iun 5017  df-br 5167  df-opab 5229  df-mpt 5250  df-tr 5284  df-id 5593  df-eprel 5599  df-po 5607  df-so 5608  df-fr 5652  df-we 5654  df-xp 5706  df-rel 5707  df-cnv 5708  df-co 5709  df-dm 5710  df-rn 5711  df-res 5712  df-ima 5713  df-pred 6332  df-ord 6398  df-on 6399  df-lim 6400  df-suc 6401  df-iota 6525  df-fun 6575  df-fn 6576  df-f 6577  df-f1 6578  df-fo 6579  df-f1o 6580  df-fv 6581  df-riota 7404  df-ov 7451  df-oprab 7452  df-mpo 7453  df-om 7904  df-2nd 8031  df-frecs 8322  df-wrecs 8353  df-recs 8427  df-rdg 8466  df-er 8763  df-en 9004  df-dom 9005  df-sdom 9006  df-pnf 11326  df-mnf 11327  df-xr 11328  df-ltxr 11329  df-le 11330  df-sub 11522  df-neg 11523  df-nn 12294  df-n0 12554  df-z 12640  df-uz 12904

This theorem is referenced by:  nnct  14032  supcvg  15904  xpnnen  16259  znnen  16260  qnnen  16261  rexpen  16276  aleph1re  16293  aleph1irr  16294  bitsf1  16492  unben  16956  odinf  19605  odhash  19616  cygctb  19934  1stcfb  23474  2ndcredom  23479  1stcelcls  23490  hauspwdom  23530  met1stc  24555  met2ndci  24556  re2ndc  24842  iscmet3  25346  ovolctb2  25546  ovolfi  25548  ovoliunlem3  25558  iunmbl2  25611  uniiccdif  25632  dyadmbl  25654  opnmblALT  25657  mbfimaopnlem  25709  itg2seq  25797  aannenlem3  26390  dirith2  27590  nmounbseqi  30809  nmobndseqi  30811  minvecolem5  30913  padct  32733  f1ocnt  32807  dmvlsiga  34093  sigapildsys  34126  volmeas  34195  omssubadd  34265  carsgclctunlem3  34285  poimirlem30  37610  poimirlem32  37612  mblfinlem1  37617  ovoliunnfl  37622  heiborlem3  37773  heibor  37781  lzenom  42726  fiphp3d  42775  irrapx1  42784  pellex  42791  nnfoctb  44949  zenom  44954  qenom  45276  ioonct  45455  subsaliuncl  46279  caragenunicl  46445  caratheodory  46449  ovnsubaddlem2  46492