Theorem nnenom 14039

Description: The set of positive integers (as a subset of complex numbers) is equinumerous to omega (the set of finite ordinal numbers). (Contributed by NM, 31-Jul-2004.) (Revised by Mario Carneiro, 15-Sep-2013.)

Assertion

Ref	Expression
nnenom	⊢ ℕ ≈ ω

Proof of Theorem nnenom

Dummy variable 𝑥 is distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		omex 9620	. . 3 ⊢ ω ∈ V
2		nn0ex 12530	. . 3 ⊢ ℕ0 ∈ V
3		eqid 2765	. . . 4 ⊢ (rec((𝑥 ∈ V ↦ (𝑥 + 1)), 0) ↾ ω) = (rec((𝑥 ∈ V ↦ (𝑥 + 1)), 0) ↾ ω)
4	3	hashgf1o 14030	. . 3 ⊢ (rec((𝑥 ∈ V ↦ (𝑥 + 1)), 0) ↾ ω):ω–1-1-onto→ℕ0
5		f1oen2g 8972	. . 3 ⊢ ((ω ∈ V ∧ ℕ0 ∈ V ∧ (rec((𝑥 ∈ V ↦ (𝑥 + 1)), 0) ↾ ω):ω–1-1-onto→ℕ0) → ω ≈ ℕ0)
6	1, 2, 4, 5	mp3an 1490	. 2 ⊢ ω ≈ ℕ0
7		nn0ennn 14038	. 2 ⊢ ℕ0 ≈ ℕ
8	6, 7	entr2i 9013	1 ⊢ ℕ ≈ ω

This proof depends on syntax axioms:   ∈ wcel 2146  Vcvv 3457   class class class wbr 5111   ↦ cmpt 5194   ↾ cres 5665  –1-1-onto→wf1o 6540  (class class class)co 7420  ωcom 7869  reccrdg 8403   ≈ cen 8947  0cc0 11120  1c1 11121   + caddc 11123  ℕcn 12253  ℕ₀cn0 12524

This proof depends on axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1828  ax-4 1842  ax-5 1943  ax-6 2000  ax-7 2041  ax-8 2148  ax-9 2156  ax-10 2179  ax-11 2195  ax-12 2216  ax-ext 2737  ax-sep 5259  ax-nul 5271  ax-pow 5338  ax-pr 5406  ax-un 7743  ax-inf2 9618  ax-cnex 11176  ax-resscn 11177  ax-1cn 11178  ax-icn 11179  ax-addcl 11180  ax-addrcl 11181  ax-mulcl 11182  ax-mulrcl 11183  ax-mulcom 11184  ax-addass 11185  ax-mulass 11186  ax-distr 11187  ax-i2m1 11188  ax-1ne0 11189  ax-1rid 11190  ax-rnegex 11191  ax-rrecex 11192  ax-cnre 11193  ax-pre-lttri 11194  ax-pre-lttrn 11195  ax-pre-ltadd 11196  ax-pre-mulgt0 11197

This proof depends on definitions:  df-bi 210  df-an 402  df-or 862  df-3or 1104  df-3an 1105  df-tru 1573  df-fal 1583  df-ex 1813  df-nf 1817  df-sb 2100  df-mo 2569  df-eu 2599  df-clab 2744  df-cleq 2757  df-clel 2840  df-nfc 2914  df-ne 2961  df-nel 3067  df-ral 3082  df-rex 3092  df-reu 3372  df-rab 3419  df-v 3459  df-sbc 3747  df-csb 3855  df-dif 3909  df-un 3911  df-in 3913  df-ss 3923  df-pss 3926  df-nul 4287  df-if 4490  df-pw 4566  df-sn 4592  df-pr 4594  df-op 4598  df-uni 4875  df-iun 4960  df-br 5112  df-opab 5176  df-mpt 5195  df-tr 5221  df-id 5558  df-eprel 5563  df-po 5571  df-so 5572  df-fr 5616  df-we 5618  df-xp 5669  df-rel 5670  df-cnv 5671  df-co 5672  df-dm 5673  df-rn 5674  df-res 5675  df-ima 5676  df-pred 6307  df-ord 6368  df-on 6369  df-lim 6370  df-suc 6371  df-iota 6497  df-fun 6543  df-fn 6544  df-f 6545  df-f1 6546  df-fo 6547  df-f1o 6548  df-fv 6549  df-riota 7377  df-ov 7423  df-oprab 7424  df-mpo 7425  df-om 7870  df-2nd 7994  df-frecs 8285  df-wrecs 8316  df-recs 8365  df-rdg 8404  df-er 8701  df-en 8951  df-dom 8952  df-sdom 8953  df-pnf 11265  df-mnf 11266  df-xr 11267  df-ltxr 11268  df-le 11269  df-sub 11463  df-neg 11464  df-nn 12254  df-n0 12525  df-z 12612  df-uz 12884

This theorem is used by:  nnct  14040  supcvg  15938  xpnnen  16294  znnen  16295  qnnen  16296  rexpen  16311  aleph1re  16328  aleph1irr  16329  bitsf1  16531  unben  16996  odinf  19682  odhash  19693  cygctb  20011  1stcfb  23657  2ndcredom  23662  1stcelcls  23674  hauspwdom  23714  met1stc  24734  met2ndci  24735  re2ndc  25014  iscmet3  25508  ovolctb2  25707  ovolfi  25709  ovoliunlem3  25719  iunmbl2  25772  uniiccdif  25793  dyadmbl  25815  opnmblALT  25818  mbfimaopnlem  25870  itg2seq  25957  aannenlem3  26549  dirith2  27748  nmounbseqi  31205  nmobndseqi  31207  minvecolem5  31309  padct  33138  f1ocnt  33220  dmvlsiga  34588  sigapildsys  34622  volmeas  34691  omssubadd  34760  carsgclctunlem3  34780  poimirlem30  38363  poimirlem32  38365  mblfinlem1  38370  ovoliunnfl  38375  heiborlem3  38527  heibor  38535  lzenom  43579  fiphp3d  43624  irrapx1  43633  pellex  43640  nnfoctb  45846  zenom  45850  qenom  46155  ioonct  46331  subsaliuncl  47150  caragenunicl  47316  caratheodory  47320  ovnsubaddlem2  47363