Theorem nnenom 13977

Description: The set of positive integers (as a subset of complex numbers) is equinumerous to omega (the set of finite ordinal numbers). (Contributed by NM, 31-Jul-2004.) (Revised by Mario Carneiro, 15-Sep-2013.)

Assertion

Ref	Expression
nnenom	⊢ ℕ ≈ ω

Proof of Theorem nnenom

Dummy variable 𝑥 is distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		omex 9666	. . 3 ⊢ ω ∈ V
2		nn0ex 12508	. . 3 ⊢ ℕ0 ∈ V
3		eqid 2728	. . . 4 ⊢ (rec((𝑥 ∈ V ↦ (𝑥 + 1)), 0) ↾ ω) = (rec((𝑥 ∈ V ↦ (𝑥 + 1)), 0) ↾ ω)
4	3	hashgf1o 13968	. . 3 ⊢ (rec((𝑥 ∈ V ↦ (𝑥 + 1)), 0) ↾ ω):ω–1-1-onto→ℕ0
5		f1oen2g 8988	. . 3 ⊢ ((ω ∈ V ∧ ℕ0 ∈ V ∧ (rec((𝑥 ∈ V ↦ (𝑥 + 1)), 0) ↾ ω):ω–1-1-onto→ℕ0) → ω ≈ ℕ0)
6	1, 2, 4, 5	mp3an 1458	. 2 ⊢ ω ≈ ℕ0
7		nn0ennn 13976	. 2 ⊢ ℕ0 ≈ ℕ
8	6, 7	entr2i 9029	1 ⊢ ℕ ≈ ω

Syntax hints:   ∈ wcel 2099  Vcvv 3471   class class class wbr 5148   ↦ cmpt 5231   ↾ cres 5680  –1-1-onto→wf1o 6547  (class class class)co 7420  ωcom 7870  reccrdg 8429   ≈ cen 8960  0cc0 11138  1c1 11139   + caddc 11141  ℕcn 12242  ℕ₀cn0 12502

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1790  ax-4 1804  ax-5 1906  ax-6 1964  ax-7 2004  ax-8 2101  ax-9 2109  ax-10 2130  ax-11 2147  ax-12 2167  ax-ext 2699  ax-sep 5299  ax-nul 5306  ax-pow 5365  ax-pr 5429  ax-un 7740  ax-inf2 9664  ax-cnex 11194  ax-resscn 11195  ax-1cn 11196  ax-icn 11197  ax-addcl 11198  ax-addrcl 11199  ax-mulcl 11200  ax-mulrcl 11201  ax-mulcom 11202  ax-addass 11203  ax-mulass 11204  ax-distr 11205  ax-i2m1 11206  ax-1ne0 11207  ax-1rid 11208  ax-rnegex 11209  ax-rrecex 11210  ax-cnre 11211  ax-pre-lttri 11212  ax-pre-lttrn 11213  ax-pre-ltadd 11214  ax-pre-mulgt0 11215

This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 396  df-or 847  df-3or 1086  df-3an 1087  df-tru 1537  df-fal 1547  df-ex 1775  df-nf 1779  df-sb 2061  df-mo 2530  df-eu 2559  df-clab 2706  df-cleq 2720  df-clel 2806  df-nfc 2881  df-ne 2938  df-nel 3044  df-ral 3059  df-rex 3068  df-reu 3374  df-rab 3430  df-v 3473  df-sbc 3777  df-csb 3893  df-dif 3950  df-un 3952  df-in 3954  df-ss 3964  df-pss 3966  df-nul 4324  df-if 4530  df-pw 4605  df-sn 4630  df-pr 4632  df-op 4636  df-uni 4909  df-iun 4998  df-br 5149  df-opab 5211  df-mpt 5232  df-tr 5266  df-id 5576  df-eprel 5582  df-po 5590  df-so 5591  df-fr 5633  df-we 5635  df-xp 5684  df-rel 5685  df-cnv 5686  df-co 5687  df-dm 5688  df-rn 5689  df-res 5690  df-ima 5691  df-pred 6305  df-ord 6372  df-on 6373  df-lim 6374  df-suc 6375  df-iota 6500  df-fun 6550  df-fn 6551  df-f 6552  df-f1 6553  df-fo 6554  df-f1o 6555  df-fv 6556  df-riota 7376  df-ov 7423  df-oprab 7424  df-mpo 7425  df-om 7871  df-2nd 7994  df-frecs 8286  df-wrecs 8317  df-recs 8391  df-rdg 8430  df-er 8724  df-en 8964  df-dom 8965  df-sdom 8966  df-pnf 11280  df-mnf 11281  df-xr 11282  df-ltxr 11283  df-le 11284  df-sub 11476  df-neg 11477  df-nn 12243  df-n0 12503  df-z 12589  df-uz 12853

This theorem is referenced by:  nnct  13978  supcvg  15834  xpnnen  16187  znnen  16188  qnnen  16189  rexpen  16204  aleph1re  16221  aleph1irr  16222  bitsf1  16420  unben  16877  odinf  19517  odhash  19528  cygctb  19846  1stcfb  23348  2ndcredom  23353  1stcelcls  23364  hauspwdom  23404  met1stc  24429  met2ndci  24430  re2ndc  24716  iscmet3  25220  ovolctb2  25420  ovolfi  25422  ovoliunlem3  25432  iunmbl2  25485  uniiccdif  25506  dyadmbl  25528  opnmblALT  25531  mbfimaopnlem  25583  itg2seq  25671  aannenlem3  26264  dirith2  27460  nmounbseqi  30586  nmobndseqi  30588  minvecolem5  30690  padct  32501  f1ocnt  32570  dmvlsiga  33748  sigapildsys  33781  volmeas  33850  omssubadd  33920  carsgclctunlem3  33940  poimirlem30  37123  poimirlem32  37125  mblfinlem1  37130  ovoliunnfl  37135  heiborlem3  37286  heibor  37294  lzenom  42190  fiphp3d  42239  irrapx1  42248  pellex  42255  nnfoctb  44411  zenom  44416  qenom  44743  ioonct  44922  subsaliuncl  45746  caragenunicl  45912  caratheodory  45916  ovnsubaddlem2  45959