Theorem nnenom 13942

Description: The set of positive integers (as a subset of complex numbers) is equinumerous to omega (the set of finite ordinal numbers). (Contributed by NM, 31-Jul-2004.) (Revised by Mario Carneiro, 15-Sep-2013.)

Assertion

Ref	Expression
nnenom	⊢ ℕ ≈ ω

Proof of Theorem nnenom

Dummy variable 𝑥 is distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		omex 9564	. . 3 ⊢ ω ∈ V
2		nn0ex 12443	. . 3 ⊢ ℕ0 ∈ V
3		eqid 2736	. . . 4 ⊢ (rec((𝑥 ∈ V ↦ (𝑥 + 1)), 0) ↾ ω) = (rec((𝑥 ∈ V ↦ (𝑥 + 1)), 0) ↾ ω)
4	3	hashgf1o 13933	. . 3 ⊢ (rec((𝑥 ∈ V ↦ (𝑥 + 1)), 0) ↾ ω):ω–1-1-onto→ℕ0
5		f1oen2g 8915	. . 3 ⊢ ((ω ∈ V ∧ ℕ0 ∈ V ∧ (rec((𝑥 ∈ V ↦ (𝑥 + 1)), 0) ↾ ω):ω–1-1-onto→ℕ0) → ω ≈ ℕ0)
6	1, 2, 4, 5	mp3an 1464	. 2 ⊢ ω ≈ ℕ0
7		nn0ennn 13941	. 2 ⊢ ℕ0 ≈ ℕ
8	6, 7	entr2i 8956	1 ⊢ ℕ ≈ ω

Syntax hints:   ∈ wcel 2114  Vcvv 3429   class class class wbr 5085   ↦ cmpt 5166   ↾ cres 5633  –1-1-onto→wf1o 6497  (class class class)co 7367  ωcom 7817  reccrdg 8348   ≈ cen 8890  0cc0 11038  1c1 11039   + caddc 11041  ℕcn 12174  ℕ₀cn0 12437

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1797  ax-4 1811  ax-5 1912  ax-6 1969  ax-7 2010  ax-8 2116  ax-9 2124  ax-10 2147  ax-11 2163  ax-12 2185  ax-ext 2708  ax-sep 5231  ax-nul 5241  ax-pow 5307  ax-pr 5375  ax-un 7689  ax-inf2 9562  ax-cnex 11094  ax-resscn 11095  ax-1cn 11096  ax-icn 11097  ax-addcl 11098  ax-addrcl 11099  ax-mulcl 11100  ax-mulrcl 11101  ax-mulcom 11102  ax-addass 11103  ax-mulass 11104  ax-distr 11105  ax-i2m1 11106  ax-1ne0 11107  ax-1rid 11108  ax-rnegex 11109  ax-rrecex 11110  ax-cnre 11111  ax-pre-lttri 11112  ax-pre-lttrn 11113  ax-pre-ltadd 11114  ax-pre-mulgt0 11115

This theorem depends on definitions:  df-bi 207  df-an 396  df-or 849  df-3or 1088  df-3an 1089  df-tru 1545  df-fal 1555  df-ex 1782  df-nf 1786  df-sb 2069  df-mo 2539  df-eu 2569  df-clab 2715  df-cleq 2728  df-clel 2811  df-nfc 2885  df-ne 2933  df-nel 3037  df-ral 3052  df-rex 3062  df-reu 3343  df-rab 3390  df-v 3431  df-sbc 3729  df-csb 3838  df-dif 3892  df-un 3894  df-in 3896  df-ss 3906  df-pss 3909  df-nul 4274  df-if 4467  df-pw 4543  df-sn 4568  df-pr 4570  df-op 4574  df-uni 4851  df-iun 4935  df-br 5086  df-opab 5148  df-mpt 5167  df-tr 5193  df-id 5526  df-eprel 5531  df-po 5539  df-so 5540  df-fr 5584  df-we 5586  df-xp 5637  df-rel 5638  df-cnv 5639  df-co 5640  df-dm 5641  df-rn 5642  df-res 5643  df-ima 5644  df-pred 6265  df-ord 6326  df-on 6327  df-lim 6328  df-suc 6329  df-iota 6454  df-fun 6500  df-fn 6501  df-f 6502  df-f1 6503  df-fo 6504  df-f1o 6505  df-fv 6506  df-riota 7324  df-ov 7370  df-oprab 7371  df-mpo 7372  df-om 7818  df-2nd 7943  df-frecs 8231  df-wrecs 8262  df-recs 8311  df-rdg 8349  df-er 8643  df-en 8894  df-dom 8895  df-sdom 8896  df-pnf 11181  df-mnf 11182  df-xr 11183  df-ltxr 11184  df-le 11185  df-sub 11379  df-neg 11380  df-nn 12175  df-n0 12438  df-z 12525  df-uz 12789

This theorem is referenced by:  nnct  13943  supcvg  15821  xpnnen  16178  znnen  16179  qnnen  16180  rexpen  16195  aleph1re  16212  aleph1irr  16213  bitsf1  16415  unben  16880  odinf  19538  odhash  19549  cygctb  19867  1stcfb  23410  2ndcredom  23415  1stcelcls  23426  hauspwdom  23466  met1stc  24486  met2ndci  24487  re2ndc  24766  iscmet3  25260  ovolctb2  25459  ovolfi  25461  ovoliunlem3  25471  iunmbl2  25524  uniiccdif  25545  dyadmbl  25567  opnmblALT  25570  mbfimaopnlem  25622  itg2seq  25709  aannenlem3  26296  dirith2  27491  nmounbseqi  30848  nmobndseqi  30850  minvecolem5  30952  padct  32791  f1ocnt  32873  dmvlsiga  34273  sigapildsys  34306  volmeas  34375  omssubadd  34444  carsgclctunlem3  34464  poimirlem30  37971  poimirlem32  37973  mblfinlem1  37978  ovoliunnfl  37983  heiborlem3  38134  heibor  38142  lzenom  43202  fiphp3d  43247  irrapx1  43256  pellex  43263  nnfoctb  45479  zenom  45483  qenom  45791  ioonct  45967  subsaliuncl  46786  caragenunicl  46952  caratheodory  46956  ovnsubaddlem2  46999