Theorem nnenom 13937

Description: The set of positive integers (as a subset of complex numbers) is equinumerous to omega (the set of finite ordinal numbers). (Contributed by NM, 31-Jul-2004.) (Revised by Mario Carneiro, 15-Sep-2013.)

Assertion

Ref	Expression
nnenom	⊢ ℕ ≈ ω

Proof of Theorem nnenom

Dummy variable 𝑥 is distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		omex 9559	. . 3 ⊢ ω ∈ V
2		nn0ex 12438	. . 3 ⊢ ℕ0 ∈ V
3		eqid 2741	. . . 4 ⊢ (rec((𝑥 ∈ V ↦ (𝑥 + 1)), 0) ↾ ω) = (rec((𝑥 ∈ V ↦ (𝑥 + 1)), 0) ↾ ω)
4	3	hashgf1o 13928	. . 3 ⊢ (rec((𝑥 ∈ V ↦ (𝑥 + 1)), 0) ↾ ω):ω–1-1-onto→ℕ0
5		f1oen2g 8909	. . 3 ⊢ ((ω ∈ V ∧ ℕ0 ∈ V ∧ (rec((𝑥 ∈ V ↦ (𝑥 + 1)), 0) ↾ ω):ω–1-1-onto→ℕ0) → ω ≈ ℕ0)
6	1, 2, 4, 5	mp3an 1470	. 2 ⊢ ω ≈ ℕ0
7		nn0ennn 13936	. 2 ⊢ ℕ0 ≈ ℕ
8	6, 7	entr2i 8950	1 ⊢ ℕ ≈ ω

Syntax hints:   ∈ wcel 2121  Vcvv 3433   class class class wbr 5075   ↦ cmpt 5156   ↾ cres 5623  –1-1-onto→wf1o 6488  (class class class)co 7360  ωcom 7810  reccrdg 8342   ≈ cen 8884  0cc0 11033  1c1 11034   + caddc 11036  ℕcn 12169  ℕ₀cn0 12432

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1803  ax-4 1817  ax-5 1918  ax-6 1975  ax-7 2016  ax-8 2123  ax-9 2131  ax-10 2154  ax-11 2170  ax-12 2191  ax-ext 2713  ax-sep 5221  ax-nul 5231  ax-pow 5297  ax-pr 5365  ax-un 7682  ax-inf2 9557  ax-cnex 11089  ax-resscn 11090  ax-1cn 11091  ax-icn 11092  ax-addcl 11093  ax-addrcl 11094  ax-mulcl 11095  ax-mulrcl 11096  ax-mulcom 11097  ax-addass 11098  ax-mulass 11099  ax-distr 11100  ax-i2m1 11101  ax-1ne0 11102  ax-1rid 11103  ax-rnegex 11104  ax-rrecex 11105  ax-cnre 11106  ax-pre-lttri 11107  ax-pre-lttrn 11108  ax-pre-ltadd 11109  ax-pre-mulgt0 11110

This theorem depends on definitions:  df-bi 209  df-an 398  df-or 855  df-3or 1094  df-3an 1095  df-tru 1551  df-fal 1561  df-ex 1788  df-nf 1792  df-sb 2075  df-mo 2545  df-eu 2575  df-clab 2720  df-cleq 2733  df-clel 2816  df-nfc 2890  df-ne 2937  df-nel 3041  df-ral 3056  df-rex 3066  df-reu 3347  df-rab 3394  df-v 3435  df-sbc 3726  df-csb 3834  df-dif 3888  df-un 3890  df-in 3892  df-ss 3902  df-pss 3905  df-nul 4265  df-if 4458  df-pw 4534  df-sn 4559  df-pr 4561  df-op 4565  df-uni 4842  df-iun 4926  df-br 5076  df-opab 5138  df-mpt 5157  df-tr 5183  df-id 5516  df-eprel 5521  df-po 5529  df-so 5530  df-fr 5574  df-we 5576  df-xp 5627  df-rel 5628  df-cnv 5629  df-co 5630  df-dm 5631  df-rn 5632  df-res 5633  df-ima 5634  df-pred 6256  df-ord 6317  df-on 6318  df-lim 6319  df-suc 6320  df-iota 6445  df-fun 6491  df-fn 6492  df-f 6493  df-f1 6494  df-fo 6495  df-f1o 6496  df-fv 6497  df-riota 7317  df-ov 7363  df-oprab 7364  df-mpo 7365  df-om 7811  df-2nd 7936  df-frecs 8225  df-wrecs 8256  df-recs 8305  df-rdg 8343  df-er 8637  df-en 8888  df-dom 8889  df-sdom 8890  df-pnf 11176  df-mnf 11177  df-xr 11178  df-ltxr 11179  df-le 11180  df-sub 11374  df-neg 11375  df-nn 12170  df-n0 12433  df-z 12520  df-uz 12784

This theorem is referenced by:  nnct  13938  supcvg  15816  xpnnen  16173  znnen  16174  qnnen  16175  rexpen  16190  aleph1re  16207  aleph1irr  16208  bitsf1  16410  unben  16875  odinf  19533  odhash  19544  cygctb  19862  1stcfb  23432  2ndcredom  23437  1stcelcls  23448  hauspwdom  23488  met1stc  24508  met2ndci  24509  re2ndc  24788  iscmet3  25282  ovolctb2  25481  ovolfi  25483  ovoliunlem3  25493  iunmbl2  25546  uniiccdif  25567  dyadmbl  25589  opnmblALT  25592  mbfimaopnlem  25644  itg2seq  25731  aannenlem3  26318  dirith2  27513  nmounbseqi  30870  nmobndseqi  30872  minvecolem5  30974  padct  32814  f1ocnt  32896  dmvlsiga  34325  sigapildsys  34358  volmeas  34427  omssubadd  34496  carsgclctunlem3  34516  poimirlem30  38032  poimirlem32  38034  mblfinlem1  38039  ovoliunnfl  38044  heiborlem3  38195  heibor  38203  lzenom  43234  fiphp3d  43279  irrapx1  43288  pellex  43295  nnfoctb  45511  zenom  45515  qenom  45820  ioonct  45996  subsaliuncl  46815  caragenunicl  46981  caratheodory  46985  ovnsubaddlem2  47028