Theorem nnenom 14021

Description: The set of positive integers (as a subset of complex numbers) is equinumerous to omega (the set of finite ordinal numbers). (Contributed by NM, 31-Jul-2004.) (Revised by Mario Carneiro, 15-Sep-2013.)

Assertion

Ref	Expression
nnenom	⊢ ℕ ≈ ω

Proof of Theorem nnenom

Dummy variable 𝑥 is distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		omex 9608	. . 3 ⊢ ω ∈ V
2		nn0ex 12514	. . 3 ⊢ ℕ0 ∈ V
3		eqid 2763	. . . 4 ⊢ (rec((𝑥 ∈ V ↦ (𝑥 + 1)), 0) ↾ ω) = (rec((𝑥 ∈ V ↦ (𝑥 + 1)), 0) ↾ ω)
4	3	hashgf1o 14012	. . 3 ⊢ (rec((𝑥 ∈ V ↦ (𝑥 + 1)), 0) ↾ ω):ω–1-1-onto→ℕ0
5		f1oen2g 8961	. . 3 ⊢ ((ω ∈ V ∧ ℕ0 ∈ V ∧ (rec((𝑥 ∈ V ↦ (𝑥 + 1)), 0) ↾ ω):ω–1-1-onto→ℕ0) → ω ≈ ℕ0)
6	1, 2, 4, 5	mp3an 1490	. 2 ⊢ ω ≈ ℕ0
7		nn0ennn 14020	. 2 ⊢ ℕ0 ≈ ℕ
8	6, 7	entr2i 9002	1 ⊢ ℕ ≈ ω

This proof depends on syntax axioms:   ∈ wcel 2143  Vcvv 3455   class class class wbr 5109   ↦ cmpt 5192   ↾ cres 5663  –1-1-onto→wf1o 6535  (class class class)co 7410  ωcom 7858  reccrdg 8392   ≈ cen 8936  0cc0 11104  1c1 11105   + caddc 11107  ℕcn 12237  ℕ₀cn0 12508

This proof depends on axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1825  ax-4 1839  ax-5 1940  ax-6 1997  ax-7 2038  ax-8 2145  ax-9 2153  ax-10 2176  ax-11 2192  ax-12 2213  ax-ext 2735  ax-sep 5257  ax-nul 5269  ax-pow 5336  ax-pr 5404  ax-un 7732  ax-inf2 9606  ax-cnex 11160  ax-resscn 11161  ax-1cn 11162  ax-icn 11163  ax-addcl 11164  ax-addrcl 11165  ax-mulcl 11166  ax-mulrcl 11167  ax-mulcom 11168  ax-addass 11169  ax-mulass 11170  ax-distr 11171  ax-i2m1 11172  ax-1ne0 11173  ax-1rid 11174  ax-rnegex 11175  ax-rrecex 11176  ax-cnre 11177  ax-pre-lttri 11178  ax-pre-lttrn 11179  ax-pre-ltadd 11180  ax-pre-mulgt0 11181

This proof depends on definitions:  df-bi 210  df-an 401  df-or 861  df-3or 1104  df-3an 1105  df-tru 1573  df-fal 1583  df-ex 1810  df-nf 1814  df-sb 2097  df-mo 2567  df-eu 2597  df-clab 2742  df-cleq 2755  df-clel 2838  df-nfc 2912  df-ne 2959  df-nel 3065  df-ral 3080  df-rex 3090  df-reu 3370  df-rab 3417  df-v 3457  df-sbc 3745  df-csb 3854  df-dif 3908  df-un 3910  df-in 3912  df-ss 3922  df-pss 3925  df-nul 4287  df-if 4488  df-pw 4564  df-sn 4590  df-pr 4592  df-op 4596  df-uni 4873  df-iun 4958  df-br 5110  df-opab 5174  df-mpt 5193  df-tr 5219  df-id 5556  df-eprel 5561  df-po 5569  df-so 5570  df-fr 5614  df-we 5616  df-xp 5667  df-rel 5668  df-cnv 5669  df-co 5670  df-dm 5671  df-rn 5672  df-res 5673  df-ima 5674  df-pred 6302  df-ord 6363  df-on 6364  df-lim 6365  df-suc 6366  df-iota 6492  df-fun 6538  df-fn 6539  df-f 6540  df-f1 6541  df-fo 6542  df-f1o 6543  df-fv 6544  df-riota 7367  df-ov 7413  df-oprab 7414  df-mpo 7415  df-om 7859  df-2nd 7983  df-frecs 8274  df-wrecs 8305  df-recs 8354  df-rdg 8393  df-er 8690  df-en 8940  df-dom 8941  df-sdom 8942  df-pnf 11249  df-mnf 11250  df-xr 11251  df-ltxr 11252  df-le 11253  df-sub 11447  df-neg 11448  df-nn 12238  df-n0 12509  df-z 12596  df-uz 12867

This theorem is used by:  nnct  14022  supcvg  15915  xpnnen  16271  znnen  16272  qnnen  16273  rexpen  16288  aleph1re  16305  aleph1irr  16306  bitsf1  16508  unben  16973  odinf  19637  odhash  19648  cygctb  19966  1stcfb  23611  2ndcredom  23616  1stcelcls  23627  hauspwdom  23667  met1stc  24687  met2ndci  24688  re2ndc  24967  iscmet3  25461  ovolctb2  25660  ovolfi  25662  ovoliunlem3  25672  iunmbl2  25725  uniiccdif  25746  dyadmbl  25768  opnmblALT  25771  mbfimaopnlem  25823  itg2seq  25910  aannenlem3  26502  dirith2  27701  nmounbseqi  31138  nmobndseqi  31140  minvecolem5  31242  padct  33072  f1ocnt  33154  dmvlsiga  34528  sigapildsys  34561  volmeas  34630  omssubadd  34699  carsgclctunlem3  34719  poimirlem30  38329  poimirlem32  38331  mblfinlem1  38336  ovoliunnfl  38341  heiborlem3  38492  heibor  38500  lzenom  43529  fiphp3d  43574  irrapx1  43583  pellex  43590  nnfoctb  45796  zenom  45800  qenom  46105  ioonct  46281  subsaliuncl  47100  caragenunicl  47266  caratheodory  47270  ovnsubaddlem2  47313