Theorem nnenom 14021

Description: The set of positive integers (as a subset of complex numbers) is equinumerous to omega (the set of finite ordinal numbers). (Contributed by NM, 31-Jul-2004.) (Revised by Mario Carneiro, 15-Sep-2013.)

Assertion

Ref	Expression
nnenom	⊢ ℕ ≈ ω

Proof of Theorem nnenom

Dummy variable 𝑥 is distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		omex 9683	. . 3 ⊢ ω ∈ V
2		nn0ex 12532	. . 3 ⊢ ℕ0 ∈ V
3		eqid 2737	. . . 4 ⊢ (rec((𝑥 ∈ V ↦ (𝑥 + 1)), 0) ↾ ω) = (rec((𝑥 ∈ V ↦ (𝑥 + 1)), 0) ↾ ω)
4	3	hashgf1o 14012	. . 3 ⊢ (rec((𝑥 ∈ V ↦ (𝑥 + 1)), 0) ↾ ω):ω–1-1-onto→ℕ0
5		f1oen2g 9009	. . 3 ⊢ ((ω ∈ V ∧ ℕ0 ∈ V ∧ (rec((𝑥 ∈ V ↦ (𝑥 + 1)), 0) ↾ ω):ω–1-1-onto→ℕ0) → ω ≈ ℕ0)
6	1, 2, 4, 5	mp3an 1463	. 2 ⊢ ω ≈ ℕ0
7		nn0ennn 14020	. 2 ⊢ ℕ0 ≈ ℕ
8	6, 7	entr2i 9049	1 ⊢ ℕ ≈ ω

Syntax hints:   ∈ wcel 2108  Vcvv 3480   class class class wbr 5143   ↦ cmpt 5225   ↾ cres 5687  –1-1-onto→wf1o 6560  (class class class)co 7431  ωcom 7887  reccrdg 8449   ≈ cen 8982  0cc0 11155  1c1 11156   + caddc 11158  ℕcn 12266  ℕ₀cn0 12526

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1795  ax-4 1809  ax-5 1910  ax-6 1967  ax-7 2007  ax-8 2110  ax-9 2118  ax-10 2141  ax-11 2157  ax-12 2177  ax-ext 2708  ax-sep 5296  ax-nul 5306  ax-pow 5365  ax-pr 5432  ax-un 7755  ax-inf2 9681  ax-cnex 11211  ax-resscn 11212  ax-1cn 11213  ax-icn 11214  ax-addcl 11215  ax-addrcl 11216  ax-mulcl 11217  ax-mulrcl 11218  ax-mulcom 11219  ax-addass 11220  ax-mulass 11221  ax-distr 11222  ax-i2m1 11223  ax-1ne0 11224  ax-1rid 11225  ax-rnegex 11226  ax-rrecex 11227  ax-cnre 11228  ax-pre-lttri 11229  ax-pre-lttrn 11230  ax-pre-ltadd 11231  ax-pre-mulgt0 11232

This theorem depends on definitions:  df-bi 207  df-an 396  df-or 849  df-3or 1088  df-3an 1089  df-tru 1543  df-fal 1553  df-ex 1780  df-nf 1784  df-sb 2065  df-mo 2540  df-eu 2569  df-clab 2715  df-cleq 2729  df-clel 2816  df-nfc 2892  df-ne 2941  df-nel 3047  df-ral 3062  df-rex 3071  df-reu 3381  df-rab 3437  df-v 3482  df-sbc 3789  df-csb 3900  df-dif 3954  df-un 3956  df-in 3958  df-ss 3968  df-pss 3971  df-nul 4334  df-if 4526  df-pw 4602  df-sn 4627  df-pr 4629  df-op 4633  df-uni 4908  df-iun 4993  df-br 5144  df-opab 5206  df-mpt 5226  df-tr 5260  df-id 5578  df-eprel 5584  df-po 5592  df-so 5593  df-fr 5637  df-we 5639  df-xp 5691  df-rel 5692  df-cnv 5693  df-co 5694  df-dm 5695  df-rn 5696  df-res 5697  df-ima 5698  df-pred 6321  df-ord 6387  df-on 6388  df-lim 6389  df-suc 6390  df-iota 6514  df-fun 6563  df-fn 6564  df-f 6565  df-f1 6566  df-fo 6567  df-f1o 6568  df-fv 6569  df-riota 7388  df-ov 7434  df-oprab 7435  df-mpo 7436  df-om 7888  df-2nd 8015  df-frecs 8306  df-wrecs 8337  df-recs 8411  df-rdg 8450  df-er 8745  df-en 8986  df-dom 8987  df-sdom 8988  df-pnf 11297  df-mnf 11298  df-xr 11299  df-ltxr 11300  df-le 11301  df-sub 11494  df-neg 11495  df-nn 12267  df-n0 12527  df-z 12614  df-uz 12879

This theorem is referenced by:  nnct  14022  supcvg  15892  xpnnen  16247  znnen  16248  qnnen  16249  rexpen  16264  aleph1re  16281  aleph1irr  16282  bitsf1  16483  unben  16947  odinf  19581  odhash  19592  cygctb  19910  1stcfb  23453  2ndcredom  23458  1stcelcls  23469  hauspwdom  23509  met1stc  24534  met2ndci  24535  re2ndc  24822  iscmet3  25327  ovolctb2  25527  ovolfi  25529  ovoliunlem3  25539  iunmbl2  25592  uniiccdif  25613  dyadmbl  25635  opnmblALT  25638  mbfimaopnlem  25690  itg2seq  25777  aannenlem3  26372  dirith2  27572  nmounbseqi  30796  nmobndseqi  30798  minvecolem5  30900  padct  32731  f1ocnt  32804  dmvlsiga  34130  sigapildsys  34163  volmeas  34232  omssubadd  34302  carsgclctunlem3  34322  poimirlem30  37657  poimirlem32  37659  mblfinlem1  37664  ovoliunnfl  37669  heiborlem3  37820  heibor  37828  lzenom  42781  fiphp3d  42830  irrapx1  42839  pellex  42846  nnfoctb  45053  zenom  45057  qenom  45372  ioonct  45550  subsaliuncl  46373  caragenunicl  46539  caratheodory  46543  ovnsubaddlem2  46586