Theorem nnenom 13098

Description: The set of positive integers (as a subset of complex numbers) is equinumerous to omega (the set of finite ordinal numbers). (Contributed by NM, 31-Jul-2004.) (Revised by Mario Carneiro, 15-Sep-2013.)

Assertion

Ref	Expression
nnenom	⊢ ℕ ≈ ω

Proof of Theorem nnenom

Dummy variable 𝑥 is distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		omex 8837	. . 3 ⊢ ω ∈ V
2		nn0ex 11649	. . 3 ⊢ ℕ0 ∈ V
3		eqid 2778	. . . 4 ⊢ (rec((𝑥 ∈ V ↦ (𝑥 + 1)), 0) ↾ ω) = (rec((𝑥 ∈ V ↦ (𝑥 + 1)), 0) ↾ ω)
4	3	hashgf1o 13089	. . 3 ⊢ (rec((𝑥 ∈ V ↦ (𝑥 + 1)), 0) ↾ ω):ω–1-1-onto→ℕ0
5		f1oen2g 8258	. . 3 ⊢ ((ω ∈ V ∧ ℕ0 ∈ V ∧ (rec((𝑥 ∈ V ↦ (𝑥 + 1)), 0) ↾ ω):ω–1-1-onto→ℕ0) → ω ≈ ℕ0)
6	1, 2, 4, 5	mp3an 1534	. 2 ⊢ ω ≈ ℕ0
7		nn0ennn 13097	. 2 ⊢ ℕ0 ≈ ℕ
8	6, 7	entr2i 8296	1 ⊢ ℕ ≈ ω

Syntax hints:   ∈ wcel 2107  Vcvv 3398   class class class wbr 4886   ↦ cmpt 4965   ↾ cres 5357  –1-1-onto→wf1o 6134  (class class class)co 6922  ωcom 7343  reccrdg 7788   ≈ cen 8238  0cc0 10272  1c1 10273   + caddc 10275  ℕcn 11374  ℕ₀cn0 11642

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1839  ax-4 1853  ax-5 1953  ax-6 2021  ax-7 2055  ax-8 2109  ax-9 2116  ax-10 2135  ax-11 2150  ax-12 2163  ax-13 2334  ax-ext 2754  ax-sep 5017  ax-nul 5025  ax-pow 5077  ax-pr 5138  ax-un 7226  ax-inf2 8835  ax-cnex 10328  ax-resscn 10329  ax-1cn 10330  ax-icn 10331  ax-addcl 10332  ax-addrcl 10333  ax-mulcl 10334  ax-mulrcl 10335  ax-mulcom 10336  ax-addass 10337  ax-mulass 10338  ax-distr 10339  ax-i2m1 10340  ax-1ne0 10341  ax-1rid 10342  ax-rnegex 10343  ax-rrecex 10344  ax-cnre 10345  ax-pre-lttri 10346  ax-pre-lttrn 10347  ax-pre-ltadd 10348  ax-pre-mulgt0 10349

This theorem depends on definitions:  df-bi 199  df-an 387  df-or 837  df-3or 1072  df-3an 1073  df-tru 1605  df-ex 1824  df-nf 1828  df-sb 2012  df-mo 2551  df-eu 2587  df-clab 2764  df-cleq 2770  df-clel 2774  df-nfc 2921  df-ne 2970  df-nel 3076  df-ral 3095  df-rex 3096  df-reu 3097  df-rab 3099  df-v 3400  df-sbc 3653  df-csb 3752  df-dif 3795  df-un 3797  df-in 3799  df-ss 3806  df-pss 3808  df-nul 4142  df-if 4308  df-pw 4381  df-sn 4399  df-pr 4401  df-tp 4403  df-op 4405  df-uni 4672  df-iun 4755  df-br 4887  df-opab 4949  df-mpt 4966  df-tr 4988  df-id 5261  df-eprel 5266  df-po 5274  df-so 5275  df-fr 5314  df-we 5316  df-xp 5361  df-rel 5362  df-cnv 5363  df-co 5364  df-dm 5365  df-rn 5366  df-res 5367  df-ima 5368  df-pred 5933  df-ord 5979  df-on 5980  df-lim 5981  df-suc 5982  df-iota 6099  df-fun 6137  df-fn 6138  df-f 6139  df-f1 6140  df-fo 6141  df-f1o 6142  df-fv 6143  df-riota 6883  df-ov 6925  df-oprab 6926  df-mpt2 6927  df-om 7344  df-wrecs 7689  df-recs 7751  df-rdg 7789  df-er 8026  df-en 8242  df-dom 8243  df-sdom 8244  df-pnf 10413  df-mnf 10414  df-xr 10415  df-ltxr 10416  df-le 10417  df-sub 10608  df-neg 10609  df-nn 11375  df-n0 11643  df-z 11729  df-uz 11993

This theorem is referenced by:  nnct  13099  supcvg  14992  xpnnen  15343  znnen  15345  qnnen  15346  rexpen  15361  aleph1re  15378  aleph1irr  15379  bitsf1  15574  unben  16017  odinf  18364  odhash  18373  cygctb  18679  1stcfb  21657  2ndcredom  21662  1stcelcls  21673  hauspwdom  21713  met1stc  22734  met2ndci  22735  re2ndc  23012  iscmet3  23499  ovolctb2  23696  ovolfi  23698  ovoliunlem3  23708  iunmbl2  23761  uniiccdif  23782  dyadmbl  23804  opnmblALT  23807  mbfimaopnlem  23859  itg2seq  23946  aannenlem3  24522  dirith2  25669  nmounbseqi  28204  nmobndseqi  28206  minvecolem5  28309  padct  30063  f1ocnt  30123  dmvlsiga  30790  sigapildsys  30823  volmeas  30892  omssubadd  30960  carsgclctunlem3  30980  poimirlem30  34065  poimirlem32  34067  mblfinlem1  34072  ovoliunnfl  34077  heiborlem3  34236  heibor  34244  lzenom  38293  fiphp3d  38343  irrapx1  38352  pellex  38359  nnfoctb  40145  zenom  40151  qenom  40485  ioonct  40672  subsaliuncl  41500  caragenunicl  41665  caratheodory  41669  ovnsubaddlem2  41712