Theorem nnenom 13343

Description: The set of positive integers (as a subset of complex numbers) is equinumerous to omega (the set of finite ordinal numbers). (Contributed by NM, 31-Jul-2004.) (Revised by Mario Carneiro, 15-Sep-2013.)

Assertion

Ref	Expression
nnenom	⊢ ℕ ≈ ω

Proof of Theorem nnenom

Dummy variable 𝑥 is distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		omex 9090	. . 3 ⊢ ω ∈ V
2		nn0ex 11891	. . 3 ⊢ ℕ0 ∈ V
3		eqid 2798	. . . 4 ⊢ (rec((𝑥 ∈ V ↦ (𝑥 + 1)), 0) ↾ ω) = (rec((𝑥 ∈ V ↦ (𝑥 + 1)), 0) ↾ ω)
4	3	hashgf1o 13334	. . 3 ⊢ (rec((𝑥 ∈ V ↦ (𝑥 + 1)), 0) ↾ ω):ω–1-1-onto→ℕ0
5		f1oen2g 8509	. . 3 ⊢ ((ω ∈ V ∧ ℕ0 ∈ V ∧ (rec((𝑥 ∈ V ↦ (𝑥 + 1)), 0) ↾ ω):ω–1-1-onto→ℕ0) → ω ≈ ℕ0)
6	1, 2, 4, 5	mp3an 1458	. 2 ⊢ ω ≈ ℕ0
7		nn0ennn 13342	. 2 ⊢ ℕ0 ≈ ℕ
8	6, 7	entr2i 8547	1 ⊢ ℕ ≈ ω

Syntax hints:   ∈ wcel 2111  Vcvv 3441   class class class wbr 5030   ↦ cmpt 5110   ↾ cres 5521  –1-1-onto→wf1o 6323  (class class class)co 7135  ωcom 7560  reccrdg 8028   ≈ cen 8489  0cc0 10526  1c1 10527   + caddc 10529  ℕcn 11625  ℕ₀cn0 11885

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1797  ax-4 1811  ax-5 1911  ax-6 1970  ax-7 2015  ax-8 2113  ax-9 2121  ax-10 2142  ax-11 2158  ax-12 2175  ax-ext 2770  ax-sep 5167  ax-nul 5174  ax-pow 5231  ax-pr 5295  ax-un 7441  ax-inf2 9088  ax-cnex 10582  ax-resscn 10583  ax-1cn 10584  ax-icn 10585  ax-addcl 10586  ax-addrcl 10587  ax-mulcl 10588  ax-mulrcl 10589  ax-mulcom 10590  ax-addass 10591  ax-mulass 10592  ax-distr 10593  ax-i2m1 10594  ax-1ne0 10595  ax-1rid 10596  ax-rnegex 10597  ax-rrecex 10598  ax-cnre 10599  ax-pre-lttri 10600  ax-pre-lttrn 10601  ax-pre-ltadd 10602  ax-pre-mulgt0 10603

This theorem depends on definitions:  df-bi 210  df-an 400  df-or 845  df-3or 1085  df-3an 1086  df-tru 1541  df-ex 1782  df-nf 1786  df-sb 2070  df-mo 2598  df-eu 2629  df-clab 2777  df-cleq 2791  df-clel 2870  df-nfc 2938  df-ne 2988  df-nel 3092  df-ral 3111  df-rex 3112  df-reu 3113  df-rab 3115  df-v 3443  df-sbc 3721  df-csb 3829  df-dif 3884  df-un 3886  df-in 3888  df-ss 3898  df-pss 3900  df-nul 4244  df-if 4426  df-pw 4499  df-sn 4526  df-pr 4528  df-tp 4530  df-op 4532  df-uni 4801  df-iun 4883  df-br 5031  df-opab 5093  df-mpt 5111  df-tr 5137  df-id 5425  df-eprel 5430  df-po 5438  df-so 5439  df-fr 5478  df-we 5480  df-xp 5525  df-rel 5526  df-cnv 5527  df-co 5528  df-dm 5529  df-rn 5530  df-res 5531  df-ima 5532  df-pred 6116  df-ord 6162  df-on 6163  df-lim 6164  df-suc 6165  df-iota 6283  df-fun 6326  df-fn 6327  df-f 6328  df-f1 6329  df-fo 6330  df-f1o 6331  df-fv 6332  df-riota 7093  df-ov 7138  df-oprab 7139  df-mpo 7140  df-om 7561  df-wrecs 7930  df-recs 7991  df-rdg 8029  df-er 8272  df-en 8493  df-dom 8494  df-sdom 8495  df-pnf 10666  df-mnf 10667  df-xr 10668  df-ltxr 10669  df-le 10670  df-sub 10861  df-neg 10862  df-nn 11626  df-n0 11886  df-z 11970  df-uz 12232

This theorem is referenced by:  nnct  13344  supcvg  15203  xpnnen  15556  znnen  15557  qnnen  15558  rexpen  15573  aleph1re  15590  aleph1irr  15591  bitsf1  15785  unben  16235  odinf  18682  odhash  18691  cygctb  19005  1stcfb  22050  2ndcredom  22055  1stcelcls  22066  hauspwdom  22106  met1stc  23128  met2ndci  23129  re2ndc  23406  iscmet3  23897  ovolctb2  24096  ovolfi  24098  ovoliunlem3  24108  iunmbl2  24161  uniiccdif  24182  dyadmbl  24204  opnmblALT  24207  mbfimaopnlem  24259  itg2seq  24346  aannenlem3  24926  dirith2  26112  nmounbseqi  28560  nmobndseqi  28562  minvecolem5  28664  padct  30481  f1ocnt  30551  dmvlsiga  31498  sigapildsys  31531  volmeas  31600  omssubadd  31668  carsgclctunlem3  31688  poimirlem30  35087  poimirlem32  35089  mblfinlem1  35094  ovoliunnfl  35099  heiborlem3  35251  heibor  35259  lzenom  39711  fiphp3d  39760  irrapx1  39769  pellex  39776  nnfoctb  41681  zenom  41686  qenom  41993  ioonct  42174  subsaliuncl  42998  caragenunicl  43163  caratheodory  43167  ovnsubaddlem2  43210