Theorem nnenom 13998

Description: The set of positive integers (as a subset of complex numbers) is equinumerous to omega (the set of finite ordinal numbers). (Contributed by NM, 31-Jul-2004.) (Revised by Mario Carneiro, 15-Sep-2013.)

Assertion

Ref	Expression
nnenom	⊢ ℕ ≈ ω

Proof of Theorem nnenom

Dummy variable 𝑥 is distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		omex 9657	. . 3 ⊢ ω ∈ V
2		nn0ex 12507	. . 3 ⊢ ℕ0 ∈ V
3		eqid 2735	. . . 4 ⊢ (rec((𝑥 ∈ V ↦ (𝑥 + 1)), 0) ↾ ω) = (rec((𝑥 ∈ V ↦ (𝑥 + 1)), 0) ↾ ω)
4	3	hashgf1o 13989	. . 3 ⊢ (rec((𝑥 ∈ V ↦ (𝑥 + 1)), 0) ↾ ω):ω–1-1-onto→ℕ0
5		f1oen2g 8983	. . 3 ⊢ ((ω ∈ V ∧ ℕ0 ∈ V ∧ (rec((𝑥 ∈ V ↦ (𝑥 + 1)), 0) ↾ ω):ω–1-1-onto→ℕ0) → ω ≈ ℕ0)
6	1, 2, 4, 5	mp3an 1463	. 2 ⊢ ω ≈ ℕ0
7		nn0ennn 13997	. 2 ⊢ ℕ0 ≈ ℕ
8	6, 7	entr2i 9023	1 ⊢ ℕ ≈ ω

Syntax hints:   ∈ wcel 2108  Vcvv 3459   class class class wbr 5119   ↦ cmpt 5201   ↾ cres 5656  –1-1-onto→wf1o 6530  (class class class)co 7405  ωcom 7861  reccrdg 8423   ≈ cen 8956  0cc0 11129  1c1 11130   + caddc 11132  ℕcn 12240  ℕ₀cn0 12501

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1795  ax-4 1809  ax-5 1910  ax-6 1967  ax-7 2007  ax-8 2110  ax-9 2118  ax-10 2141  ax-11 2157  ax-12 2177  ax-ext 2707  ax-sep 5266  ax-nul 5276  ax-pow 5335  ax-pr 5402  ax-un 7729  ax-inf2 9655  ax-cnex 11185  ax-resscn 11186  ax-1cn 11187  ax-icn 11188  ax-addcl 11189  ax-addrcl 11190  ax-mulcl 11191  ax-mulrcl 11192  ax-mulcom 11193  ax-addass 11194  ax-mulass 11195  ax-distr 11196  ax-i2m1 11197  ax-1ne0 11198  ax-1rid 11199  ax-rnegex 11200  ax-rrecex 11201  ax-cnre 11202  ax-pre-lttri 11203  ax-pre-lttrn 11204  ax-pre-ltadd 11205  ax-pre-mulgt0 11206

This theorem depends on definitions:  df-bi 207  df-an 396  df-or 848  df-3or 1087  df-3an 1088  df-tru 1543  df-fal 1553  df-ex 1780  df-nf 1784  df-sb 2065  df-mo 2539  df-eu 2568  df-clab 2714  df-cleq 2727  df-clel 2809  df-nfc 2885  df-ne 2933  df-nel 3037  df-ral 3052  df-rex 3061  df-reu 3360  df-rab 3416  df-v 3461  df-sbc 3766  df-csb 3875  df-dif 3929  df-un 3931  df-in 3933  df-ss 3943  df-pss 3946  df-nul 4309  df-if 4501  df-pw 4577  df-sn 4602  df-pr 4604  df-op 4608  df-uni 4884  df-iun 4969  df-br 5120  df-opab 5182  df-mpt 5202  df-tr 5230  df-id 5548  df-eprel 5553  df-po 5561  df-so 5562  df-fr 5606  df-we 5608  df-xp 5660  df-rel 5661  df-cnv 5662  df-co 5663  df-dm 5664  df-rn 5665  df-res 5666  df-ima 5667  df-pred 6290  df-ord 6355  df-on 6356  df-lim 6357  df-suc 6358  df-iota 6484  df-fun 6533  df-fn 6534  df-f 6535  df-f1 6536  df-fo 6537  df-f1o 6538  df-fv 6539  df-riota 7362  df-ov 7408  df-oprab 7409  df-mpo 7410  df-om 7862  df-2nd 7989  df-frecs 8280  df-wrecs 8311  df-recs 8385  df-rdg 8424  df-er 8719  df-en 8960  df-dom 8961  df-sdom 8962  df-pnf 11271  df-mnf 11272  df-xr 11273  df-ltxr 11274  df-le 11275  df-sub 11468  df-neg 11469  df-nn 12241  df-n0 12502  df-z 12589  df-uz 12853

This theorem is referenced by:  nnct  13999  supcvg  15872  xpnnen  16229  znnen  16230  qnnen  16231  rexpen  16246  aleph1re  16263  aleph1irr  16264  bitsf1  16465  unben  16929  odinf  19544  odhash  19555  cygctb  19873  1stcfb  23383  2ndcredom  23388  1stcelcls  23399  hauspwdom  23439  met1stc  24460  met2ndci  24461  re2ndc  24740  iscmet3  25245  ovolctb2  25445  ovolfi  25447  ovoliunlem3  25457  iunmbl2  25510  uniiccdif  25531  dyadmbl  25553  opnmblALT  25556  mbfimaopnlem  25608  itg2seq  25695  aannenlem3  26290  dirith2  27491  nmounbseqi  30758  nmobndseqi  30760  minvecolem5  30862  padct  32697  f1ocnt  32779  dmvlsiga  34160  sigapildsys  34193  volmeas  34262  omssubadd  34332  carsgclctunlem3  34352  poimirlem30  37674  poimirlem32  37676  mblfinlem1  37681  ovoliunnfl  37686  heiborlem3  37837  heibor  37845  lzenom  42793  fiphp3d  42842  irrapx1  42851  pellex  42858  nnfoctb  45072  zenom  45076  qenom  45388  ioonct  45566  subsaliuncl  46387  caragenunicl  46553  caratheodory  46557  ovnsubaddlem2  46600