Theorem nnenom 13995

Description: The set of positive integers (as a subset of complex numbers) is equinumerous to omega (the set of finite ordinal numbers). (Contributed by NM, 31-Jul-2004.) (Revised by Mario Carneiro, 15-Sep-2013.)

Assertion

Ref	Expression
nnenom	⊢ ℕ ≈ ω

Proof of Theorem nnenom

Dummy variable 𝑥 is distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		omex 9600	. . 3 ⊢ ω ∈ V
2		nn0ex 12489	. . 3 ⊢ ℕ0 ∈ V
3		eqid 2764	. . . 4 ⊢ (rec((𝑥 ∈ V ↦ (𝑥 + 1)), 0) ↾ ω) = (rec((𝑥 ∈ V ↦ (𝑥 + 1)), 0) ↾ ω)
4	3	hashgf1o 13986	. . 3 ⊢ (rec((𝑥 ∈ V ↦ (𝑥 + 1)), 0) ↾ ω):ω–1-1-onto→ℕ0
5		f1oen2g 8951	. . 3 ⊢ ((ω ∈ V ∧ ℕ0 ∈ V ∧ (rec((𝑥 ∈ V ↦ (𝑥 + 1)), 0) ↾ ω):ω–1-1-onto→ℕ0) → ω ≈ ℕ0)
6	1, 2, 4, 5	mp3an 1484	. 2 ⊢ ω ≈ ℕ0
7		nn0ennn 13994	. 2 ⊢ ℕ0 ≈ ℕ
8	6, 7	entr2i 8992	1 ⊢ ℕ ≈ ω

Syntax hints:   ∈ wcel 2144  Vcvv 3456   class class class wbr 5102   ↦ cmpt 5183   ↾ cres 5651  –1-1-onto→wf1o 6522  (class class class)co 7398  ωcom 7848  reccrdg 8382   ≈ cen 8926  0cc0 11075  1c1 11076   + caddc 11078  ℕcn 12212  ℕ₀cn0 12483

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1817  ax-4 1831  ax-5 1932  ax-6 1989  ax-7 2030  ax-8 2146  ax-9 2154  ax-10 2177  ax-11 2193  ax-12 2214  ax-ext 2736  ax-sep 5248  ax-nul 5258  ax-pow 5324  ax-pr 5392  ax-un 7720  ax-inf2 9598  ax-cnex 11131  ax-resscn 11132  ax-1cn 11133  ax-icn 11134  ax-addcl 11135  ax-addrcl 11136  ax-mulcl 11137  ax-mulrcl 11138  ax-mulcom 11139  ax-addass 11140  ax-mulass 11141  ax-distr 11142  ax-i2m1 11143  ax-1ne0 11144  ax-1rid 11145  ax-rnegex 11146  ax-rrecex 11147  ax-cnre 11148  ax-pre-lttri 11149  ax-pre-lttrn 11150  ax-pre-ltadd 11151  ax-pre-mulgt0 11152

This theorem depends on definitions:  df-bi 209  df-an 400  df-or 859  df-3or 1100  df-3an 1101  df-tru 1565  df-fal 1575  df-ex 1802  df-nf 1806  df-sb 2093  df-mo 2568  df-eu 2598  df-clab 2743  df-cleq 2756  df-clel 2839  df-nfc 2913  df-ne 2960  df-nel 3064  df-ral 3079  df-rex 3089  df-reu 3370  df-rab 3417  df-v 3458  df-sbc 3747  df-csb 3855  df-dif 3909  df-un 3911  df-in 3913  df-ss 3923  df-pss 3926  df-nul 4288  df-if 4483  df-pw 4559  df-sn 4585  df-pr 4587  df-op 4591  df-uni 4868  df-iun 4953  df-br 5103  df-opab 5165  df-mpt 5184  df-tr 5210  df-id 5544  df-eprel 5549  df-po 5557  df-so 5558  df-fr 5602  df-we 5604  df-xp 5655  df-rel 5656  df-cnv 5657  df-co 5658  df-dm 5659  df-rn 5660  df-res 5661  df-ima 5662  df-pred 6290  df-ord 6351  df-on 6352  df-lim 6353  df-suc 6354  df-iota 6479  df-fun 6525  df-fn 6526  df-f 6527  df-f1 6528  df-fo 6529  df-f1o 6530  df-fv 6531  df-riota 7355  df-ov 7401  df-oprab 7402  df-mpo 7403  df-om 7849  df-2nd 7973  df-frecs 8264  df-wrecs 8295  df-recs 8344  df-rdg 8383  df-er 8680  df-en 8930  df-dom 8931  df-sdom 8932  df-pnf 11220  df-mnf 11221  df-xr 11222  df-ltxr 11223  df-le 11224  df-sub 11418  df-neg 11419  df-nn 12213  df-n0 12484  df-z 12571  df-uz 12842

This theorem is referenced by:  nnct  13996  supcvg  15888  xpnnen  16245  znnen  16246  qnnen  16247  rexpen  16262  aleph1re  16279  aleph1irr  16280  bitsf1  16482  unben  16947  odinf  19605  odhash  19616  cygctb  19934  1stcfb  23507  2ndcredom  23512  1stcelcls  23523  hauspwdom  23563  met1stc  24583  met2ndci  24584  re2ndc  24863  iscmet3  25357  ovolctb2  25556  ovolfi  25558  ovoliunlem3  25568  iunmbl2  25621  uniiccdif  25642  dyadmbl  25664  opnmblALT  25667  mbfimaopnlem  25719  itg2seq  25806  aannenlem3  26396  dirith2  27594  nmounbseqi  30982  nmobndseqi  30984  minvecolem5  31086  padct  32922  f1ocnt  33004  dmvlsiga  34428  sigapildsys  34461  volmeas  34530  omssubadd  34599  carsgclctunlem3  34619  poimirlem30  38154  poimirlem32  38156  mblfinlem1  38161  ovoliunnfl  38166  heiborlem3  38317  heibor  38325  lzenom  43356  fiphp3d  43401  irrapx1  43410  pellex  43417  nnfoctb  45633  zenom  45637  qenom  45942  ioonct  46118  subsaliuncl  46937  caragenunicl  47103  caratheodory  47107  ovnsubaddlem2  47150