Theorem nnenom 14123

Description: The set of positive integers (as a subset of complex numbers) is equinumerous to omega (the set of finite ordinal numbers). (Contributed by NM, 31-Jul-2004.) (Revised by Mario Carneiro, 15-Sep-2013.)

Assertion

Ref	Expression
nnenom	⊢ ℕ ≈ ω

Proof of Theorem nnenom

Dummy variable 𝑥 is distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		omex 9644	. . 3 ⊢ ω ∈ V
2		nn0ex 12612	. . 3 ⊢ ℕ0 ∈ V
3		eqid 2760	. . . 4 ⊢ (rec((𝑥 ∈ V ↦ (𝑥 + 1)), 0) ↾ ω) = (rec((𝑥 ∈ V ↦ (𝑥 + 1)), 0) ↾ ω)
4	3	hashgf1o 14114	. . 3 ⊢ (rec((𝑥 ∈ V ↦ (𝑥 + 1)), 0) ↾ ω):ω–1-1-onto→ℕ0
5		f1oen2g 8995	. . 3 ⊢ ((ω ∈ V ∧ ℕ0 ∈ V ∧ (rec((𝑥 ∈ V ↦ (𝑥 + 1)), 0) ↾ ω):ω–1-1-onto→ℕ0) → ω ≈ ℕ0)
6	1, 2, 4, 5	mp3an 1490	. 2 ⊢ ω ≈ ℕ0
7		nn0ennn 14122	. 2 ⊢ ℕ0 ≈ ℕ
8	6, 7	entr2i 9036	1 ⊢ ℕ ≈ ω

This proof depends on syntax axioms:   ∈ wcel 2144  Vcvv 3450   class class class wbr 5102   ↦ cmpt 5185   ↾ cres 5652  –1-1-onto→wf1o 6537  (class class class)co 7420  ωcom 7877  reccrdg 8417   ≈ cen 8970  0cc0 11200  1c1 11201   + caddc 11203  ℕcn 12335  ℕ₀cn0 12606

This proof depends on axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1827  ax-4 1841  ax-5 1942  ax-6 1999  ax-7 2040  ax-8 2146  ax-9 2154  ax-10 2177  ax-11 2193  ax-12 2212  ax-ext 2732  ax-sep 5248  ax-nul 5259  ax-pow 5326  ax-pr 5390  ax-un 7751  ax-inf2 9642  ax-cnex 11256  ax-resscn 11257  ax-1cn 11258  ax-icn 11259  ax-addcl 11260  ax-addrcl 11261  ax-mulcl 11262  ax-mulrcl 11263  ax-mulcom 11264  ax-addass 11265  ax-mulass 11266  ax-distr 11267  ax-i2m1 11268  ax-1ne0 11269  ax-1rid 11270  ax-rnegex 11271  ax-rrecex 11272  ax-cnre 11273  ax-pre-lttri 11274  ax-pre-lttrn 11275  ax-pre-ltadd 11276  ax-pre-mulgt0 11277

This proof depends on definitions:  df-bi 210  df-an 402  df-or 862  df-3or 1104  df-3an 1105  df-tru 1572  df-fal 1582  df-ex 1812  df-nf 1816  df-sb 2099  df-mo 2564  df-eu 2594  df-clab 2739  df-cleq 2752  df-clel 2835  df-nfc 2909  df-ne 2956  df-nel 3062  df-ral 3077  df-rex 3087  df-reu 3366  df-rab 3413  df-v 3452  df-sbc 3739  df-csb 3847  df-ss 3896  df-pss 4014  df-dif 4047  df-in 4091  df-un 4151  df-nul 4279  df-if 4482  df-pw 4558  df-sn 4584  df-pr 4586  df-op 4590  df-uni 4867  df-iun 4952  df-br 5103  df-opab 5167  df-mpt 5186  df-tr 5212  df-id 5545  df-eprel 5550  df-po 5558  df-so 5559  df-fr 5603  df-we 5605  df-xp 5656  df-rel 5657  df-cnv 5658  df-co 5659  df-dm 5660  df-rn 5661  df-res 5662  df-ima 5663  df-pred 6304  df-ord 6365  df-on 6366  df-lim 6367  df-suc 6368  df-iota 6494  df-fun 6540  df-fn 6541  df-f 6542  df-f1 6543  df-fo 6544  df-f1o 6545  df-fv 6546  df-riota 7377  df-ov 7423  df-oprab 7424  df-mpo 7425  df-om 7878  df-2nd 8002  df-frecs 8299  df-wrecs 8330  df-recs 8379  df-rdg 8418  df-er 8717  df-en 8974  df-dom 8975  df-sdom 8976  df-pnf 11345  df-mnf 11346  df-xr 11347  df-ltxr 11348  df-le 11349  df-sub 11543  df-neg 11544  df-nn 12336  df-n0 12607  df-z 12694  df-uz 12966

This theorem is used by:  nnct  14124  supcvg  16025  xpnnen  16379  znnen  16380  qnnen  16381  rexpen  16396  aleph1re  16413  aleph1irr  16414  bitsf1  16616  unben  17087  odinf  19777  odhash  19788  cygctb  20106  1stcfb  23763  2ndcredom  23768  1stcelcls  23780  hauspwdom  23820  met1stc  24840  met2ndci  24841  re2ndc  25120  iscmet3  25614  ovolctb2  25813  ovolfi  25815  ovoliunlem3  25825  iunmbl2  25878  uniiccdif  25899  dyadmbl  25921  opnmblALT  25924  mbfimaopnlem  25976  itg2seq  26063  aannenlem3  26657  dirith2  27855  nmounbseqi  31379  nmobndseqi  31381  minvecolem5  31483  padct  33310  f1ocnt  33392  dmvlsiga  34761  sigapildsys  34795  volmeas  34864  omssubadd  34932  carsgclctunlem3  34952  poimirlem30  38569  poimirlem32  38571  mblfinlem1  38576  ovoliunnfl  38581  heiborlem3  38748  heibor  38756  lzenom  43781  fiphp3d  43826  irrapx1  43835  pellex  43842  nnfoctb  46065  zenom  46069  qenom  46373  ioonct  46549  caragenunicl  47534  caratheodory  47538  ovnsubaddlem2  47581