Theorem nnenom 13746

Description: The set of positive integers (as a subset of complex numbers) is equinumerous to omega (the set of finite ordinal numbers). (Contributed by NM, 31-Jul-2004.) (Revised by Mario Carneiro, 15-Sep-2013.)

Assertion

Ref	Expression
nnenom	⊢ ℕ ≈ ω

Proof of Theorem nnenom

Dummy variable 𝑥 is distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		omex 9445	. . 3 ⊢ ω ∈ V
2		nn0ex 12285	. . 3 ⊢ ℕ0 ∈ V
3		eqid 2736	. . . 4 ⊢ (rec((𝑥 ∈ V ↦ (𝑥 + 1)), 0) ↾ ω) = (rec((𝑥 ∈ V ↦ (𝑥 + 1)), 0) ↾ ω)
4	3	hashgf1o 13737	. . 3 ⊢ (rec((𝑥 ∈ V ↦ (𝑥 + 1)), 0) ↾ ω):ω–1-1-onto→ℕ0
5		f1oen2g 8789	. . 3 ⊢ ((ω ∈ V ∧ ℕ0 ∈ V ∧ (rec((𝑥 ∈ V ↦ (𝑥 + 1)), 0) ↾ ω):ω–1-1-onto→ℕ0) → ω ≈ ℕ0)
6	1, 2, 4, 5	mp3an 1461	. 2 ⊢ ω ≈ ℕ0
7		nn0ennn 13745	. 2 ⊢ ℕ0 ≈ ℕ
8	6, 7	entr2i 8830	1 ⊢ ℕ ≈ ω

Syntax hints:   ∈ wcel 2104  Vcvv 3437   class class class wbr 5081   ↦ cmpt 5164   ↾ cres 5602  –1-1-onto→wf1o 6457  (class class class)co 7307  ωcom 7744  reccrdg 8271   ≈ cen 8761  0cc0 10917  1c1 10918   + caddc 10920  ℕcn 12019  ℕ₀cn0 12279

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1795  ax-4 1809  ax-5 1911  ax-6 1969  ax-7 2009  ax-8 2106  ax-9 2114  ax-10 2135  ax-11 2152  ax-12 2169  ax-ext 2707  ax-sep 5232  ax-nul 5239  ax-pow 5297  ax-pr 5361  ax-un 7620  ax-inf2 9443  ax-cnex 10973  ax-resscn 10974  ax-1cn 10975  ax-icn 10976  ax-addcl 10977  ax-addrcl 10978  ax-mulcl 10979  ax-mulrcl 10980  ax-mulcom 10981  ax-addass 10982  ax-mulass 10983  ax-distr 10984  ax-i2m1 10985  ax-1ne0 10986  ax-1rid 10987  ax-rnegex 10988  ax-rrecex 10989  ax-cnre 10990  ax-pre-lttri 10991  ax-pre-lttrn 10992  ax-pre-ltadd 10993  ax-pre-mulgt0 10994

This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 398  df-or 846  df-3or 1088  df-3an 1089  df-tru 1542  df-fal 1552  df-ex 1780  df-nf 1784  df-sb 2066  df-mo 2538  df-eu 2567  df-clab 2714  df-cleq 2728  df-clel 2814  df-nfc 2887  df-ne 2942  df-nel 3048  df-ral 3063  df-rex 3072  df-reu 3286  df-rab 3287  df-v 3439  df-sbc 3722  df-csb 3838  df-dif 3895  df-un 3897  df-in 3899  df-ss 3909  df-pss 3911  df-nul 4263  df-if 4466  df-pw 4541  df-sn 4566  df-pr 4568  df-op 4572  df-uni 4845  df-iun 4933  df-br 5082  df-opab 5144  df-mpt 5165  df-tr 5199  df-id 5500  df-eprel 5506  df-po 5514  df-so 5515  df-fr 5555  df-we 5557  df-xp 5606  df-rel 5607  df-cnv 5608  df-co 5609  df-dm 5610  df-rn 5611  df-res 5612  df-ima 5613  df-pred 6217  df-ord 6284  df-on 6285  df-lim 6286  df-suc 6287  df-iota 6410  df-fun 6460  df-fn 6461  df-f 6462  df-f1 6463  df-fo 6464  df-f1o 6465  df-fv 6466  df-riota 7264  df-ov 7310  df-oprab 7311  df-mpo 7312  df-om 7745  df-2nd 7864  df-frecs 8128  df-wrecs 8159  df-recs 8233  df-rdg 8272  df-er 8529  df-en 8765  df-dom 8766  df-sdom 8767  df-pnf 11057  df-mnf 11058  df-xr 11059  df-ltxr 11060  df-le 11061  df-sub 11253  df-neg 11254  df-nn 12020  df-n0 12280  df-z 12366  df-uz 12629

This theorem is referenced by:  nnct  13747  supcvg  15613  xpnnen  15965  znnen  15966  qnnen  15967  rexpen  15982  aleph1re  15999  aleph1irr  16000  bitsf1  16198  unben  16655  odinf  19215  odhash  19224  cygctb  19538  1stcfb  22641  2ndcredom  22646  1stcelcls  22657  hauspwdom  22697  met1stc  23722  met2ndci  23723  re2ndc  24009  iscmet3  24502  ovolctb2  24701  ovolfi  24703  ovoliunlem3  24713  iunmbl2  24766  uniiccdif  24787  dyadmbl  24809  opnmblALT  24812  mbfimaopnlem  24864  itg2seq  24952  aannenlem3  25535  dirith2  26721  nmounbseqi  29184  nmobndseqi  29186  minvecolem5  29288  padct  31099  f1ocnt  31168  dmvlsiga  32142  sigapildsys  32175  volmeas  32244  omssubadd  32312  carsgclctunlem3  32332  poimirlem30  35851  poimirlem32  35853  mblfinlem1  35858  ovoliunnfl  35863  heiborlem3  36015  heibor  36023  lzenom  40629  fiphp3d  40678  irrapx1  40687  pellex  40694  nnfoctb  42633  zenom  42638  qenom  42948  ioonct  43124  subsaliuncl  43946  caragenunicl  44112  caratheodory  44116  ovnsubaddlem2  44159