Theorem nnenom 14016

Description: The set of positive integers (as a subset of complex numbers) is equinumerous to omega (the set of finite ordinal numbers). (Contributed by NM, 31-Jul-2004.) (Revised by Mario Carneiro, 15-Sep-2013.)

Assertion

Ref	Expression
nnenom	⊢ ℕ ≈ ω

Proof of Theorem nnenom

Dummy variable 𝑥 is distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		omex 9612	. . 3 ⊢ ω ∈ V
2		nn0ex 12510	. . 3 ⊢ ℕ0 ∈ V
3		eqid 2769	. . . 4 ⊢ (rec((𝑥 ∈ V ↦ (𝑥 + 1)), 0) ↾ ω) = (rec((𝑥 ∈ V ↦ (𝑥 + 1)), 0) ↾ ω)
4	3	hashgf1o 14007	. . 3 ⊢ (rec((𝑥 ∈ V ↦ (𝑥 + 1)), 0) ↾ ω):ω–1-1-onto→ℕ0
5		f1oen2g 8965	. . 3 ⊢ ((ω ∈ V ∧ ℕ0 ∈ V ∧ (rec((𝑥 ∈ V ↦ (𝑥 + 1)), 0) ↾ ω):ω–1-1-onto→ℕ0) → ω ≈ ℕ0)
6	1, 2, 4, 5	mp3an 1487	. 2 ⊢ ω ≈ ℕ0
7		nn0ennn 14015	. 2 ⊢ ℕ0 ≈ ℕ
8	6, 7	entr2i 9006	1 ⊢ ℕ ≈ ω

Syntax hints:   ∈ wcel 2149  Vcvv 3463   class class class wbr 5113   ↦ cmpt 5196   ↾ cres 5664  –1-1-onto→wf1o 6536  (class class class)co 7411  ωcom 7862  reccrdg 8396   ≈ cen 8940  0cc0 11100  1c1 11101   + caddc 11103  ℕcn 12233  ℕ₀cn0 12504

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1822  ax-4 1836  ax-5 1937  ax-6 1994  ax-7 2035  ax-8 2151  ax-9 2159  ax-10 2182  ax-11 2198  ax-12 2219  ax-ext 2741  ax-sep 5261  ax-nul 5271  ax-pow 5337  ax-pr 5405  ax-un 7733  ax-inf2 9610  ax-cnex 11156  ax-resscn 11157  ax-1cn 11158  ax-icn 11159  ax-addcl 11160  ax-addrcl 11161  ax-mulcl 11162  ax-mulrcl 11163  ax-mulcom 11164  ax-addass 11165  ax-mulass 11166  ax-distr 11167  ax-i2m1 11168  ax-1ne0 11169  ax-1rid 11170  ax-rnegex 11171  ax-rrecex 11172  ax-cnre 11173  ax-pre-lttri 11174  ax-pre-lttrn 11175  ax-pre-ltadd 11176  ax-pre-mulgt0 11177

This theorem depends on definitions:  df-bi 210  df-an 401  df-or 861  df-3or 1102  df-3an 1103  df-tru 1570  df-fal 1580  df-ex 1807  df-nf 1811  df-sb 2098  df-mo 2573  df-eu 2603  df-clab 2748  df-cleq 2761  df-clel 2844  df-nfc 2918  df-ne 2965  df-nel 3071  df-ral 3086  df-rex 3096  df-reu 3377  df-rab 3424  df-v 3465  df-sbc 3754  df-csb 3862  df-dif 3916  df-un 3918  df-in 3920  df-ss 3930  df-pss 3933  df-nul 4295  df-if 4493  df-pw 4569  df-sn 4595  df-pr 4597  df-op 4601  df-uni 4877  df-iun 4962  df-br 5114  df-opab 5178  df-mpt 5197  df-tr 5223  df-id 5557  df-eprel 5562  df-po 5570  df-so 5571  df-fr 5615  df-we 5617  df-xp 5668  df-rel 5669  df-cnv 5670  df-co 5671  df-dm 5672  df-rn 5673  df-res 5674  df-ima 5675  df-pred 6303  df-ord 6364  df-on 6365  df-lim 6366  df-suc 6367  df-iota 6493  df-fun 6539  df-fn 6540  df-f 6541  df-f1 6542  df-fo 6543  df-f1o 6544  df-fv 6545  df-riota 7368  df-ov 7414  df-oprab 7415  df-mpo 7416  df-om 7863  df-2nd 7987  df-frecs 8278  df-wrecs 8309  df-recs 8358  df-rdg 8397  df-er 8694  df-en 8944  df-dom 8945  df-sdom 8946  df-pnf 11245  df-mnf 11246  df-xr 11247  df-ltxr 11248  df-le 11249  df-sub 11443  df-neg 11444  df-nn 12234  df-n0 12505  df-z 12592  df-uz 12863

This theorem is referenced by:  nnct  14017  supcvg  15910  xpnnen  16267  znnen  16268  qnnen  16269  rexpen  16284  aleph1re  16301  aleph1irr  16302  bitsf1  16504  unben  16969  odinf  19633  odhash  19644  cygctb  19962  1stcfb  23571  2ndcredom  23576  1stcelcls  23587  hauspwdom  23627  met1stc  24647  met2ndci  24648  re2ndc  24927  iscmet3  25421  ovolctb2  25620  ovolfi  25622  ovoliunlem3  25632  iunmbl2  25685  uniiccdif  25706  dyadmbl  25728  opnmblALT  25731  mbfimaopnlem  25783  itg2seq  25870  aannenlem3  26460  dirith2  27658  nmounbseqi  31070  nmobndseqi  31072  minvecolem5  31174  padct  33004  f1ocnt  33086  dmvlsiga  34464  sigapildsys  34497  volmeas  34566  omssubadd  34635  carsgclctunlem3  34655  poimirlem30  38223  poimirlem32  38225  mblfinlem1  38230  ovoliunnfl  38235  heiborlem3  38386  heibor  38394  lzenom  43427  fiphp3d  43472  irrapx1  43481  pellex  43488  nnfoctb  45694  zenom  45698  qenom  46003  ioonct  46179  subsaliuncl  46998  caragenunicl  47164  caratheodory  47168  ovnsubaddlem2  47211