Theorem nnenom 14018

Description: The set of positive integers (as a subset of complex numbers) is equinumerous to omega (the set of finite ordinal numbers). (Contributed by NM, 31-Jul-2004.) (Revised by Mario Carneiro, 15-Sep-2013.)

Assertion

Ref	Expression
nnenom	⊢ ℕ ≈ ω

Proof of Theorem nnenom

Dummy variable 𝑥 is distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		omex 9681	. . 3 ⊢ ω ∈ V
2		nn0ex 12530	. . 3 ⊢ ℕ0 ∈ V
3		eqid 2735	. . . 4 ⊢ (rec((𝑥 ∈ V ↦ (𝑥 + 1)), 0) ↾ ω) = (rec((𝑥 ∈ V ↦ (𝑥 + 1)), 0) ↾ ω)
4	3	hashgf1o 14009	. . 3 ⊢ (rec((𝑥 ∈ V ↦ (𝑥 + 1)), 0) ↾ ω):ω–1-1-onto→ℕ0
5		f1oen2g 9008	. . 3 ⊢ ((ω ∈ V ∧ ℕ0 ∈ V ∧ (rec((𝑥 ∈ V ↦ (𝑥 + 1)), 0) ↾ ω):ω–1-1-onto→ℕ0) → ω ≈ ℕ0)
6	1, 2, 4, 5	mp3an 1460	. 2 ⊢ ω ≈ ℕ0
7		nn0ennn 14017	. 2 ⊢ ℕ0 ≈ ℕ
8	6, 7	entr2i 9048	1 ⊢ ℕ ≈ ω

Syntax hints:   ∈ wcel 2106  Vcvv 3478   class class class wbr 5148   ↦ cmpt 5231   ↾ cres 5691  –1-1-onto→wf1o 6562  (class class class)co 7431  ωcom 7887  reccrdg 8448   ≈ cen 8981  0cc0 11153  1c1 11154   + caddc 11156  ℕcn 12264  ℕ₀cn0 12524

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1792  ax-4 1806  ax-5 1908  ax-6 1965  ax-7 2005  ax-8 2108  ax-9 2116  ax-10 2139  ax-11 2155  ax-12 2175  ax-ext 2706  ax-sep 5302  ax-nul 5312  ax-pow 5371  ax-pr 5438  ax-un 7754  ax-inf2 9679  ax-cnex 11209  ax-resscn 11210  ax-1cn 11211  ax-icn 11212  ax-addcl 11213  ax-addrcl 11214  ax-mulcl 11215  ax-mulrcl 11216  ax-mulcom 11217  ax-addass 11218  ax-mulass 11219  ax-distr 11220  ax-i2m1 11221  ax-1ne0 11222  ax-1rid 11223  ax-rnegex 11224  ax-rrecex 11225  ax-cnre 11226  ax-pre-lttri 11227  ax-pre-lttrn 11228  ax-pre-ltadd 11229  ax-pre-mulgt0 11230

This theorem depends on definitions:  df-bi 207  df-an 396  df-or 848  df-3or 1087  df-3an 1088  df-tru 1540  df-fal 1550  df-ex 1777  df-nf 1781  df-sb 2063  df-mo 2538  df-eu 2567  df-clab 2713  df-cleq 2727  df-clel 2814  df-nfc 2890  df-ne 2939  df-nel 3045  df-ral 3060  df-rex 3069  df-reu 3379  df-rab 3434  df-v 3480  df-sbc 3792  df-csb 3909  df-dif 3966  df-un 3968  df-in 3970  df-ss 3980  df-pss 3983  df-nul 4340  df-if 4532  df-pw 4607  df-sn 4632  df-pr 4634  df-op 4638  df-uni 4913  df-iun 4998  df-br 5149  df-opab 5211  df-mpt 5232  df-tr 5266  df-id 5583  df-eprel 5589  df-po 5597  df-so 5598  df-fr 5641  df-we 5643  df-xp 5695  df-rel 5696  df-cnv 5697  df-co 5698  df-dm 5699  df-rn 5700  df-res 5701  df-ima 5702  df-pred 6323  df-ord 6389  df-on 6390  df-lim 6391  df-suc 6392  df-iota 6516  df-fun 6565  df-fn 6566  df-f 6567  df-f1 6568  df-fo 6569  df-f1o 6570  df-fv 6571  df-riota 7388  df-ov 7434  df-oprab 7435  df-mpo 7436  df-om 7888  df-2nd 8014  df-frecs 8305  df-wrecs 8336  df-recs 8410  df-rdg 8449  df-er 8744  df-en 8985  df-dom 8986  df-sdom 8987  df-pnf 11295  df-mnf 11296  df-xr 11297  df-ltxr 11298  df-le 11299  df-sub 11492  df-neg 11493  df-nn 12265  df-n0 12525  df-z 12612  df-uz 12877

This theorem is referenced by:  nnct  14019  supcvg  15889  xpnnen  16244  znnen  16245  qnnen  16246  rexpen  16261  aleph1re  16278  aleph1irr  16279  bitsf1  16480  unben  16943  odinf  19596  odhash  19607  cygctb  19925  1stcfb  23469  2ndcredom  23474  1stcelcls  23485  hauspwdom  23525  met1stc  24550  met2ndci  24551  re2ndc  24837  iscmet3  25341  ovolctb2  25541  ovolfi  25543  ovoliunlem3  25553  iunmbl2  25606  uniiccdif  25627  dyadmbl  25649  opnmblALT  25652  mbfimaopnlem  25704  itg2seq  25792  aannenlem3  26387  dirith2  27587  nmounbseqi  30806  nmobndseqi  30808  minvecolem5  30910  padct  32737  f1ocnt  32810  dmvlsiga  34110  sigapildsys  34143  volmeas  34212  omssubadd  34282  carsgclctunlem3  34302  poimirlem30  37637  poimirlem32  37639  mblfinlem1  37644  ovoliunnfl  37649  heiborlem3  37800  heibor  37808  lzenom  42758  fiphp3d  42807  irrapx1  42816  pellex  42823  nnfoctb  44987  zenom  44992  qenom  45311  ioonct  45490  subsaliuncl  46314  caragenunicl  46480  caratheodory  46484  ovnsubaddlem2  46527