Theorem nnenom 13917

Description: The set of positive integers (as a subset of complex numbers) is equinumerous to omega (the set of finite ordinal numbers). (Contributed by NM, 31-Jul-2004.) (Revised by Mario Carneiro, 15-Sep-2013.)

Assertion

Ref	Expression
nnenom	⊢ ℕ ≈ ω

Proof of Theorem nnenom

Dummy variable 𝑥 is distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		omex 9566	. . 3 ⊢ ω ∈ V
2		nn0ex 12421	. . 3 ⊢ ℕ0 ∈ V
3		eqid 2737	. . . 4 ⊢ (rec((𝑥 ∈ V ↦ (𝑥 + 1)), 0) ↾ ω) = (rec((𝑥 ∈ V ↦ (𝑥 + 1)), 0) ↾ ω)
4	3	hashgf1o 13908	. . 3 ⊢ (rec((𝑥 ∈ V ↦ (𝑥 + 1)), 0) ↾ ω):ω–1-1-onto→ℕ0
5		f1oen2g 8919	. . 3 ⊢ ((ω ∈ V ∧ ℕ0 ∈ V ∧ (rec((𝑥 ∈ V ↦ (𝑥 + 1)), 0) ↾ ω):ω–1-1-onto→ℕ0) → ω ≈ ℕ0)
6	1, 2, 4, 5	mp3an 1464	. 2 ⊢ ω ≈ ℕ0
7		nn0ennn 13916	. 2 ⊢ ℕ0 ≈ ℕ
8	6, 7	entr2i 8960	1 ⊢ ℕ ≈ ω

Syntax hints:   ∈ wcel 2114  Vcvv 3442   class class class wbr 5100   ↦ cmpt 5181   ↾ cres 5636  –1-1-onto→wf1o 6501  (class class class)co 7370  ωcom 7820  reccrdg 8352   ≈ cen 8894  0cc0 11040  1c1 11041   + caddc 11043  ℕcn 12159  ℕ₀cn0 12415

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1797  ax-4 1811  ax-5 1912  ax-6 1969  ax-7 2010  ax-8 2116  ax-9 2124  ax-10 2147  ax-11 2163  ax-12 2185  ax-ext 2709  ax-sep 5245  ax-nul 5255  ax-pow 5314  ax-pr 5381  ax-un 7692  ax-inf2 9564  ax-cnex 11096  ax-resscn 11097  ax-1cn 11098  ax-icn 11099  ax-addcl 11100  ax-addrcl 11101  ax-mulcl 11102  ax-mulrcl 11103  ax-mulcom 11104  ax-addass 11105  ax-mulass 11106  ax-distr 11107  ax-i2m1 11108  ax-1ne0 11109  ax-1rid 11110  ax-rnegex 11111  ax-rrecex 11112  ax-cnre 11113  ax-pre-lttri 11114  ax-pre-lttrn 11115  ax-pre-ltadd 11116  ax-pre-mulgt0 11117

This theorem depends on definitions:  df-bi 207  df-an 396  df-or 849  df-3or 1088  df-3an 1089  df-tru 1545  df-fal 1555  df-ex 1782  df-nf 1786  df-sb 2069  df-mo 2540  df-eu 2570  df-clab 2716  df-cleq 2729  df-clel 2812  df-nfc 2886  df-ne 2934  df-nel 3038  df-ral 3053  df-rex 3063  df-reu 3353  df-rab 3402  df-v 3444  df-sbc 3743  df-csb 3852  df-dif 3906  df-un 3908  df-in 3910  df-ss 3920  df-pss 3923  df-nul 4288  df-if 4482  df-pw 4558  df-sn 4583  df-pr 4585  df-op 4589  df-uni 4866  df-iun 4950  df-br 5101  df-opab 5163  df-mpt 5182  df-tr 5208  df-id 5529  df-eprel 5534  df-po 5542  df-so 5543  df-fr 5587  df-we 5589  df-xp 5640  df-rel 5641  df-cnv 5642  df-co 5643  df-dm 5644  df-rn 5645  df-res 5646  df-ima 5647  df-pred 6269  df-ord 6330  df-on 6331  df-lim 6332  df-suc 6333  df-iota 6458  df-fun 6504  df-fn 6505  df-f 6506  df-f1 6507  df-fo 6508  df-f1o 6509  df-fv 6510  df-riota 7327  df-ov 7373  df-oprab 7374  df-mpo 7375  df-om 7821  df-2nd 7946  df-frecs 8235  df-wrecs 8266  df-recs 8315  df-rdg 8353  df-er 8647  df-en 8898  df-dom 8899  df-sdom 8900  df-pnf 11182  df-mnf 11183  df-xr 11184  df-ltxr 11185  df-le 11186  df-sub 11380  df-neg 11381  df-nn 12160  df-n0 12416  df-z 12503  df-uz 12766

This theorem is referenced by:  nnct  13918  supcvg  15793  xpnnen  16150  znnen  16151  qnnen  16152  rexpen  16167  aleph1re  16184  aleph1irr  16185  bitsf1  16387  unben  16851  odinf  19509  odhash  19520  cygctb  19838  1stcfb  23406  2ndcredom  23411  1stcelcls  23422  hauspwdom  23462  met1stc  24482  met2ndci  24483  re2ndc  24762  iscmet3  25266  ovolctb2  25466  ovolfi  25468  ovoliunlem3  25478  iunmbl2  25531  uniiccdif  25552  dyadmbl  25574  opnmblALT  25577  mbfimaopnlem  25629  itg2seq  25716  aannenlem3  26311  dirith2  27512  nmounbseqi  30871  nmobndseqi  30873  minvecolem5  30975  padct  32814  f1ocnt  32897  dmvlsiga  34313  sigapildsys  34346  volmeas  34415  omssubadd  34484  carsgclctunlem3  34504  poimirlem30  37930  poimirlem32  37932  mblfinlem1  37937  ovoliunnfl  37942  heiborlem3  38093  heibor  38101  lzenom  43156  fiphp3d  43205  irrapx1  43214  pellex  43221  nnfoctb  45437  zenom  45441  qenom  45749  ioonct  45926  subsaliuncl  46745  caragenunicl  46911  caratheodory  46915  ovnsubaddlem2  46958