Theorem nnenom 13949

Description: The set of positive integers (as a subset of complex numbers) is equinumerous to omega (the set of finite ordinal numbers). (Contributed by NM, 31-Jul-2004.) (Revised by Mario Carneiro, 15-Sep-2013.)

Assertion

Ref	Expression
nnenom	⊢ ℕ ≈ ω

Proof of Theorem nnenom

Dummy variable 𝑥 is distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		omex 9640	. . 3 ⊢ ω ∈ V
2		nn0ex 12482	. . 3 ⊢ ℕ0 ∈ V
3		eqid 2732	. . . 4 ⊢ (rec((𝑥 ∈ V ↦ (𝑥 + 1)), 0) ↾ ω) = (rec((𝑥 ∈ V ↦ (𝑥 + 1)), 0) ↾ ω)
4	3	hashgf1o 13940	. . 3 ⊢ (rec((𝑥 ∈ V ↦ (𝑥 + 1)), 0) ↾ ω):ω–1-1-onto→ℕ0
5		f1oen2g 8966	. . 3 ⊢ ((ω ∈ V ∧ ℕ0 ∈ V ∧ (rec((𝑥 ∈ V ↦ (𝑥 + 1)), 0) ↾ ω):ω–1-1-onto→ℕ0) → ω ≈ ℕ0)
6	1, 2, 4, 5	mp3an 1461	. 2 ⊢ ω ≈ ℕ0
7		nn0ennn 13948	. 2 ⊢ ℕ0 ≈ ℕ
8	6, 7	entr2i 9007	1 ⊢ ℕ ≈ ω

Syntax hints:   ∈ wcel 2106  Vcvv 3474   class class class wbr 5148   ↦ cmpt 5231   ↾ cres 5678  –1-1-onto→wf1o 6542  (class class class)co 7411  ωcom 7857  reccrdg 8411   ≈ cen 8938  0cc0 11112  1c1 11113   + caddc 11115  ℕcn 12216  ℕ₀cn0 12476

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1797  ax-4 1811  ax-5 1913  ax-6 1971  ax-7 2011  ax-8 2108  ax-9 2116  ax-10 2137  ax-11 2154  ax-12 2171  ax-ext 2703  ax-sep 5299  ax-nul 5306  ax-pow 5363  ax-pr 5427  ax-un 7727  ax-inf2 9638  ax-cnex 11168  ax-resscn 11169  ax-1cn 11170  ax-icn 11171  ax-addcl 11172  ax-addrcl 11173  ax-mulcl 11174  ax-mulrcl 11175  ax-mulcom 11176  ax-addass 11177  ax-mulass 11178  ax-distr 11179  ax-i2m1 11180  ax-1ne0 11181  ax-1rid 11182  ax-rnegex 11183  ax-rrecex 11184  ax-cnre 11185  ax-pre-lttri 11186  ax-pre-lttrn 11187  ax-pre-ltadd 11188  ax-pre-mulgt0 11189

This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 397  df-or 846  df-3or 1088  df-3an 1089  df-tru 1544  df-fal 1554  df-ex 1782  df-nf 1786  df-sb 2068  df-mo 2534  df-eu 2563  df-clab 2710  df-cleq 2724  df-clel 2810  df-nfc 2885  df-ne 2941  df-nel 3047  df-ral 3062  df-rex 3071  df-reu 3377  df-rab 3433  df-v 3476  df-sbc 3778  df-csb 3894  df-dif 3951  df-un 3953  df-in 3955  df-ss 3965  df-pss 3967  df-nul 4323  df-if 4529  df-pw 4604  df-sn 4629  df-pr 4631  df-op 4635  df-uni 4909  df-iun 4999  df-br 5149  df-opab 5211  df-mpt 5232  df-tr 5266  df-id 5574  df-eprel 5580  df-po 5588  df-so 5589  df-fr 5631  df-we 5633  df-xp 5682  df-rel 5683  df-cnv 5684  df-co 5685  df-dm 5686  df-rn 5687  df-res 5688  df-ima 5689  df-pred 6300  df-ord 6367  df-on 6368  df-lim 6369  df-suc 6370  df-iota 6495  df-fun 6545  df-fn 6546  df-f 6547  df-f1 6548  df-fo 6549  df-f1o 6550  df-fv 6551  df-riota 7367  df-ov 7414  df-oprab 7415  df-mpo 7416  df-om 7858  df-2nd 7978  df-frecs 8268  df-wrecs 8299  df-recs 8373  df-rdg 8412  df-er 8705  df-en 8942  df-dom 8943  df-sdom 8944  df-pnf 11254  df-mnf 11255  df-xr 11256  df-ltxr 11257  df-le 11258  df-sub 11450  df-neg 11451  df-nn 12217  df-n0 12477  df-z 12563  df-uz 12827

This theorem is referenced by:  nnct  13950  supcvg  15806  xpnnen  16158  znnen  16159  qnnen  16160  rexpen  16175  aleph1re  16192  aleph1irr  16193  bitsf1  16391  unben  16846  odinf  19472  odhash  19483  cygctb  19801  1stcfb  23169  2ndcredom  23174  1stcelcls  23185  hauspwdom  23225  met1stc  24250  met2ndci  24251  re2ndc  24537  iscmet3  25034  ovolctb2  25233  ovolfi  25235  ovoliunlem3  25245  iunmbl2  25298  uniiccdif  25319  dyadmbl  25341  opnmblALT  25344  mbfimaopnlem  25396  itg2seq  25484  aannenlem3  26067  dirith2  27255  nmounbseqi  30285  nmobndseqi  30287  minvecolem5  30389  padct  32199  f1ocnt  32268  dmvlsiga  33413  sigapildsys  33446  volmeas  33515  omssubadd  33585  carsgclctunlem3  33605  poimirlem30  36821  poimirlem32  36823  mblfinlem1  36828  ovoliunnfl  36833  heiborlem3  36984  heibor  36992  lzenom  41810  fiphp3d  41859  irrapx1  41868  pellex  41875  nnfoctb  44036  zenom  44041  qenom  44370  ioonct  44549  subsaliuncl  45373  caragenunicl  45539  caratheodory  45543  ovnsubaddlem2  45586