Theorem nnenom 13895

Description: The set of positive integers (as a subset of complex numbers) is equinumerous to omega (the set of finite ordinal numbers). (Contributed by NM, 31-Jul-2004.) (Revised by Mario Carneiro, 15-Sep-2013.)

Assertion

Ref	Expression
nnenom	⊢ ℕ ≈ ω

Proof of Theorem nnenom

Dummy variable 𝑥 is distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		omex 9588	. . 3 ⊢ ω ∈ V
2		nn0ex 12428	. . 3 ⊢ ℕ0 ∈ V
3		eqid 2731	. . . 4 ⊢ (rec((𝑥 ∈ V ↦ (𝑥 + 1)), 0) ↾ ω) = (rec((𝑥 ∈ V ↦ (𝑥 + 1)), 0) ↾ ω)
4	3	hashgf1o 13886	. . 3 ⊢ (rec((𝑥 ∈ V ↦ (𝑥 + 1)), 0) ↾ ω):ω–1-1-onto→ℕ0
5		f1oen2g 8915	. . 3 ⊢ ((ω ∈ V ∧ ℕ0 ∈ V ∧ (rec((𝑥 ∈ V ↦ (𝑥 + 1)), 0) ↾ ω):ω–1-1-onto→ℕ0) → ω ≈ ℕ0)
6	1, 2, 4, 5	mp3an 1461	. 2 ⊢ ω ≈ ℕ0
7		nn0ennn 13894	. 2 ⊢ ℕ0 ≈ ℕ
8	6, 7	entr2i 8956	1 ⊢ ℕ ≈ ω

Syntax hints:   ∈ wcel 2106  Vcvv 3446   class class class wbr 5110   ↦ cmpt 5193   ↾ cres 5640  –1-1-onto→wf1o 6500  (class class class)co 7362  ωcom 7807  reccrdg 8360   ≈ cen 8887  0cc0 11060  1c1 11061   + caddc 11063  ℕcn 12162  ℕ₀cn0 12422

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1797  ax-4 1811  ax-5 1913  ax-6 1971  ax-7 2011  ax-8 2108  ax-9 2116  ax-10 2137  ax-11 2154  ax-12 2171  ax-ext 2702  ax-sep 5261  ax-nul 5268  ax-pow 5325  ax-pr 5389  ax-un 7677  ax-inf2 9586  ax-cnex 11116  ax-resscn 11117  ax-1cn 11118  ax-icn 11119  ax-addcl 11120  ax-addrcl 11121  ax-mulcl 11122  ax-mulrcl 11123  ax-mulcom 11124  ax-addass 11125  ax-mulass 11126  ax-distr 11127  ax-i2m1 11128  ax-1ne0 11129  ax-1rid 11130  ax-rnegex 11131  ax-rrecex 11132  ax-cnre 11133  ax-pre-lttri 11134  ax-pre-lttrn 11135  ax-pre-ltadd 11136  ax-pre-mulgt0 11137

This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 397  df-or 846  df-3or 1088  df-3an 1089  df-tru 1544  df-fal 1554  df-ex 1782  df-nf 1786  df-sb 2068  df-mo 2533  df-eu 2562  df-clab 2709  df-cleq 2723  df-clel 2809  df-nfc 2884  df-ne 2940  df-nel 3046  df-ral 3061  df-rex 3070  df-reu 3352  df-rab 3406  df-v 3448  df-sbc 3743  df-csb 3859  df-dif 3916  df-un 3918  df-in 3920  df-ss 3930  df-pss 3932  df-nul 4288  df-if 4492  df-pw 4567  df-sn 4592  df-pr 4594  df-op 4598  df-uni 4871  df-iun 4961  df-br 5111  df-opab 5173  df-mpt 5194  df-tr 5228  df-id 5536  df-eprel 5542  df-po 5550  df-so 5551  df-fr 5593  df-we 5595  df-xp 5644  df-rel 5645  df-cnv 5646  df-co 5647  df-dm 5648  df-rn 5649  df-res 5650  df-ima 5651  df-pred 6258  df-ord 6325  df-on 6326  df-lim 6327  df-suc 6328  df-iota 6453  df-fun 6503  df-fn 6504  df-f 6505  df-f1 6506  df-fo 6507  df-f1o 6508  df-fv 6509  df-riota 7318  df-ov 7365  df-oprab 7366  df-mpo 7367  df-om 7808  df-2nd 7927  df-frecs 8217  df-wrecs 8248  df-recs 8322  df-rdg 8361  df-er 8655  df-en 8891  df-dom 8892  df-sdom 8893  df-pnf 11200  df-mnf 11201  df-xr 11202  df-ltxr 11203  df-le 11204  df-sub 11396  df-neg 11397  df-nn 12163  df-n0 12423  df-z 12509  df-uz 12773

This theorem is referenced by:  nnct  13896  supcvg  15752  xpnnen  16104  znnen  16105  qnnen  16106  rexpen  16121  aleph1re  16138  aleph1irr  16139  bitsf1  16337  unben  16792  odinf  19359  odhash  19370  cygctb  19683  1stcfb  22833  2ndcredom  22838  1stcelcls  22849  hauspwdom  22889  met1stc  23914  met2ndci  23915  re2ndc  24201  iscmet3  24694  ovolctb2  24893  ovolfi  24895  ovoliunlem3  24905  iunmbl2  24958  uniiccdif  24979  dyadmbl  25001  opnmblALT  25004  mbfimaopnlem  25056  itg2seq  25144  aannenlem3  25727  dirith2  26913  nmounbseqi  29782  nmobndseqi  29784  minvecolem5  29886  padct  31704  f1ocnt  31773  dmvlsiga  32817  sigapildsys  32850  volmeas  32919  omssubadd  32989  carsgclctunlem3  33009  poimirlem30  36181  poimirlem32  36183  mblfinlem1  36188  ovoliunnfl  36193  heiborlem3  36345  heibor  36353  lzenom  41151  fiphp3d  41200  irrapx1  41209  pellex  41216  nnfoctb  43377  zenom  43382  qenom  43716  ioonct  43895  subsaliuncl  44719  caragenunicl  44885  caratheodory  44889  ovnsubaddlem2  44932