Theorem nnenom 13887

Description: The set of positive integers (as a subset of complex numbers) is equinumerous to omega (the set of finite ordinal numbers). (Contributed by NM, 31-Jul-2004.) (Revised by Mario Carneiro, 15-Sep-2013.)

Assertion

Ref	Expression
nnenom	⊢ ℕ ≈ ω

Proof of Theorem nnenom

Dummy variable 𝑥 is distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		omex 9533	. . 3 ⊢ ω ∈ V
2		nn0ex 12387	. . 3 ⊢ ℕ0 ∈ V
3		eqid 2731	. . . 4 ⊢ (rec((𝑥 ∈ V ↦ (𝑥 + 1)), 0) ↾ ω) = (rec((𝑥 ∈ V ↦ (𝑥 + 1)), 0) ↾ ω)
4	3	hashgf1o 13878	. . 3 ⊢ (rec((𝑥 ∈ V ↦ (𝑥 + 1)), 0) ↾ ω):ω–1-1-onto→ℕ0
5		f1oen2g 8891	. . 3 ⊢ ((ω ∈ V ∧ ℕ0 ∈ V ∧ (rec((𝑥 ∈ V ↦ (𝑥 + 1)), 0) ↾ ω):ω–1-1-onto→ℕ0) → ω ≈ ℕ0)
6	1, 2, 4, 5	mp3an 1463	. 2 ⊢ ω ≈ ℕ0
7		nn0ennn 13886	. 2 ⊢ ℕ0 ≈ ℕ
8	6, 7	entr2i 8931	1 ⊢ ℕ ≈ ω

Syntax hints:   ∈ wcel 2111  Vcvv 3436   class class class wbr 5089   ↦ cmpt 5170   ↾ cres 5616  –1-1-onto→wf1o 6480  (class class class)co 7346  ωcom 7796  reccrdg 8328   ≈ cen 8866  0cc0 11006  1c1 11007   + caddc 11009  ℕcn 12125  ℕ₀cn0 12381

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1796  ax-4 1810  ax-5 1911  ax-6 1968  ax-7 2009  ax-8 2113  ax-9 2121  ax-10 2144  ax-11 2160  ax-12 2180  ax-ext 2703  ax-sep 5232  ax-nul 5242  ax-pow 5301  ax-pr 5368  ax-un 7668  ax-inf2 9531  ax-cnex 11062  ax-resscn 11063  ax-1cn 11064  ax-icn 11065  ax-addcl 11066  ax-addrcl 11067  ax-mulcl 11068  ax-mulrcl 11069  ax-mulcom 11070  ax-addass 11071  ax-mulass 11072  ax-distr 11073  ax-i2m1 11074  ax-1ne0 11075  ax-1rid 11076  ax-rnegex 11077  ax-rrecex 11078  ax-cnre 11079  ax-pre-lttri 11080  ax-pre-lttrn 11081  ax-pre-ltadd 11082  ax-pre-mulgt0 11083

This theorem depends on definitions:  df-bi 207  df-an 396  df-or 848  df-3or 1087  df-3an 1088  df-tru 1544  df-fal 1554  df-ex 1781  df-nf 1785  df-sb 2068  df-mo 2535  df-eu 2564  df-clab 2710  df-cleq 2723  df-clel 2806  df-nfc 2881  df-ne 2929  df-nel 3033  df-ral 3048  df-rex 3057  df-reu 3347  df-rab 3396  df-v 3438  df-sbc 3737  df-csb 3846  df-dif 3900  df-un 3902  df-in 3904  df-ss 3914  df-pss 3917  df-nul 4281  df-if 4473  df-pw 4549  df-sn 4574  df-pr 4576  df-op 4580  df-uni 4857  df-iun 4941  df-br 5090  df-opab 5152  df-mpt 5171  df-tr 5197  df-id 5509  df-eprel 5514  df-po 5522  df-so 5523  df-fr 5567  df-we 5569  df-xp 5620  df-rel 5621  df-cnv 5622  df-co 5623  df-dm 5624  df-rn 5625  df-res 5626  df-ima 5627  df-pred 6248  df-ord 6309  df-on 6310  df-lim 6311  df-suc 6312  df-iota 6437  df-fun 6483  df-fn 6484  df-f 6485  df-f1 6486  df-fo 6487  df-f1o 6488  df-fv 6489  df-riota 7303  df-ov 7349  df-oprab 7350  df-mpo 7351  df-om 7797  df-2nd 7922  df-frecs 8211  df-wrecs 8242  df-recs 8291  df-rdg 8329  df-er 8622  df-en 8870  df-dom 8871  df-sdom 8872  df-pnf 11148  df-mnf 11149  df-xr 11150  df-ltxr 11151  df-le 11152  df-sub 11346  df-neg 11347  df-nn 12126  df-n0 12382  df-z 12469  df-uz 12733

This theorem is referenced by:  nnct  13888  supcvg  15763  xpnnen  16120  znnen  16121  qnnen  16122  rexpen  16137  aleph1re  16154  aleph1irr  16155  bitsf1  16357  unben  16821  odinf  19475  odhash  19486  cygctb  19804  1stcfb  23360  2ndcredom  23365  1stcelcls  23376  hauspwdom  23416  met1stc  24436  met2ndci  24437  re2ndc  24716  iscmet3  25220  ovolctb2  25420  ovolfi  25422  ovoliunlem3  25432  iunmbl2  25485  uniiccdif  25506  dyadmbl  25528  opnmblALT  25531  mbfimaopnlem  25583  itg2seq  25670  aannenlem3  26265  dirith2  27466  nmounbseqi  30757  nmobndseqi  30759  minvecolem5  30861  padct  32701  f1ocnt  32782  dmvlsiga  34142  sigapildsys  34175  volmeas  34244  omssubadd  34313  carsgclctunlem3  34333  poimirlem30  37700  poimirlem32  37702  mblfinlem1  37707  ovoliunnfl  37712  heiborlem3  37863  heibor  37871  lzenom  42873  fiphp3d  42922  irrapx1  42931  pellex  42938  nnfoctb  45155  zenom  45159  qenom  45470  ioonct  45647  subsaliuncl  46466  caragenunicl  46632  caratheodory  46636  ovnsubaddlem2  46679