MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  2exp16 Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem 2exp16 17128
Description: Two to the sixteenth power is 65536. (Contributed by Mario Carneiro, 20-Apr-2015.)
Assertion
Ref Expression
2exp16 (2↑16) = 65536

Proof of Theorem 2exp16
StepHypRef Expression
1 2nn0 12543 . 2 2 ∈ ℕ0
2 8nn0 12549 . 2 8 ∈ ℕ0
3 8cn 12363 . . 3 8 ∈ ℂ
4 2cn 12341 . . 3 2 ∈ ℂ
5 8t2e16 12848 . . 3 (8 · 2) = 16
63, 4, 5mulcomli 11270 . 2 (2 · 8) = 16
7 2exp8 17126 . 2 (2↑8) = 256
8 5nn0 12546 . . . . 5 5 ∈ ℕ0
91, 8deccl 12748 . . . 4 25 ∈ ℕ0
10 6nn0 12547 . . . 4 6 ∈ ℕ0
119, 10deccl 12748 . . 3 256 ∈ ℕ0
12 eqid 2737 . . 3 256 = 256
13 1nn0 12542 . . . . 5 1 ∈ ℕ0
1413, 8deccl 12748 . . . 4 15 ∈ ℕ0
15 3nn0 12544 . . . 4 3 ∈ ℕ0
1614, 15deccl 12748 . . 3 153 ∈ ℕ0
17 eqid 2737 . . . 4 25 = 25
18 eqid 2737 . . . 4 153 = 153
1913, 1deccl 12748 . . . . 5 12 ∈ ℕ0
2019, 2deccl 12748 . . . 4 128 ∈ ℕ0
21 4nn0 12545 . . . . . 6 4 ∈ ℕ0
2213, 21deccl 12748 . . . . 5 14 ∈ ℕ0
23 eqid 2737 . . . . . 6 15 = 15
24 eqid 2737 . . . . . 6 128 = 128
25 0nn0 12541 . . . . . . . 8 0 ∈ ℕ0
2613dec0h 12755 . . . . . . . 8 1 = 01
27 eqid 2737 . . . . . . . 8 12 = 12
28 0p1e1 12388 . . . . . . . 8 (0 + 1) = 1
29 1p2e3 12409 . . . . . . . 8 (1 + 2) = 3
3025, 13, 13, 1, 26, 27, 28, 29decadd 12787 . . . . . . 7 (1 + 12) = 13
31 3p1e4 12411 . . . . . . 7 (3 + 1) = 4
3213, 15, 13, 30, 31decaddi 12793 . . . . . 6 ((1 + 12) + 1) = 14
33 5cn 12354 . . . . . . 7 5 ∈ ℂ
34 8p5e13 12816 . . . . . . 7 (8 + 5) = 13
353, 33, 34addcomli 11453 . . . . . 6 (5 + 8) = 13
3613, 8, 19, 2, 23, 24, 32, 15, 35decaddc 12788 . . . . 5 (15 + 128) = 143
37 eqid 2737 . . . . . . 7 14 = 14
38 4p1e5 12412 . . . . . . 7 (4 + 1) = 5
3913, 21, 13, 37, 38decaddi 12793 . . . . . 6 (14 + 1) = 15
40 2t2e4 12430 . . . . . . . 8 (2 · 2) = 4
41 1p1e2 12391 . . . . . . . 8 (1 + 1) = 2
4240, 41oveq12i 7443 . . . . . . 7 ((2 · 2) + (1 + 1)) = (4 + 2)
43 4p2e6 12419 . . . . . . 7 (4 + 2) = 6
4442, 43eqtri 2765 . . . . . 6 ((2 · 2) + (1 + 1)) = 6
45 5t2e10 12833 . . . . . . 7 (5 · 2) = 10
4633addlidi 11449 . . . . . . 7 (0 + 5) = 5
4713, 25, 8, 45, 46decaddi 12793 . . . . . 6 ((5 · 2) + 5) = 15
481, 8, 13, 8, 17, 39, 1, 8, 13, 44, 47decmac 12785 . . . . 5 ((25 · 2) + (14 + 1)) = 65
49 6t2e12 12837 . . . . . 6 (6 · 2) = 12
50 3cn 12347 . . . . . . 7 3 ∈ ℂ
51 3p2e5 12417 . . . . . . 7 (3 + 2) = 5
5250, 4, 51addcomli 11453 . . . . . 6 (2 + 3) = 5
5313, 1, 15, 49, 52decaddi 12793 . . . . 5 ((6 · 2) + 3) = 15
549, 10, 22, 15, 12, 36, 1, 8, 13, 48, 53decmac 12785 . . . 4 ((256 · 2) + (15 + 128)) = 655
5515dec0h 12755 . . . . 5 3 = 03
5650addlidi 11449 . . . . . . 7 (0 + 3) = 3
5756, 55eqtri 2765 . . . . . 6 (0 + 3) = 03
584addlidi 11449 . . . . . . . 8 (0 + 2) = 2
5958oveq2i 7442 . . . . . . 7 ((2 · 5) + (0 + 2)) = ((2 · 5) + 2)
6033, 4, 45mulcomli 11270 . . . . . . . 8 (2 · 5) = 10
6113, 25, 1, 60, 58decaddi 12793 . . . . . . 7 ((2 · 5) + 2) = 12
6259, 61eqtri 2765 . . . . . 6 ((2 · 5) + (0 + 2)) = 12
63 5t5e25 12836 . . . . . . 7 (5 · 5) = 25
64 5p3e8 12423 . . . . . . 7 (5 + 3) = 8
651, 8, 15, 63, 64decaddi 12793 . . . . . 6 ((5 · 5) + 3) = 28
661, 8, 25, 15, 17, 57, 8, 2, 1, 62, 65decmac 12785 . . . . 5 ((25 · 5) + (0 + 3)) = 128
67 6t5e30 12840 . . . . . 6 (6 · 5) = 30
6815, 25, 15, 67, 56decaddi 12793 . . . . 5 ((6 · 5) + 3) = 33
699, 10, 25, 15, 12, 55, 8, 15, 15, 66, 68decmac 12785 . . . 4 ((256 · 5) + 3) = 1283
701, 8, 14, 15, 17, 18, 11, 15, 20, 54, 69decma2c 12786 . . 3 ((256 · 25) + 153) = 6553
71 6cn 12357 . . . . . . 7 6 ∈ ℂ
7271, 4, 49mulcomli 11270 . . . . . 6 (2 · 6) = 12
7313, 1, 15, 72, 52decaddi 12793 . . . . 5 ((2 · 6) + 3) = 15
7471, 33, 67mulcomli 11270 . . . . . 6 (5 · 6) = 30
7515, 25, 15, 74, 56decaddi 12793 . . . . 5 ((5 · 6) + 3) = 33
761, 8, 15, 17, 10, 15, 15, 73, 75decrmac 12791 . . . 4 ((25 · 6) + 3) = 153
77 6t6e36 12841 . . . 4 (6 · 6) = 36
7810, 9, 10, 12, 10, 15, 76, 77decmul1c 12798 . . 3 (256 · 6) = 1536
7911, 9, 10, 12, 10, 16, 70, 78decmul2c 12799 . 2 (256 · 256) = 65536
801, 2, 6, 7, 79numexp2x 17116 1 (2↑16) = 65536
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:   = wceq 1540  (class class class)co 7431  0cc0 11155  1c1 11156   + caddc 11158   · cmul 11160  2c2 12321  3c3 12322  4c4 12323  5c5 12324  6c6 12325  8c8 12327  cdc 12733  cexp 14102
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1795  ax-4 1809  ax-5 1910  ax-6 1967  ax-7 2007  ax-8 2110  ax-9 2118  ax-10 2141  ax-11 2157  ax-12 2177  ax-ext 2708  ax-sep 5296  ax-nul 5306  ax-pow 5365  ax-pr 5432  ax-un 7755  ax-cnex 11211  ax-resscn 11212  ax-1cn 11213  ax-icn 11214  ax-addcl 11215  ax-addrcl 11216  ax-mulcl 11217  ax-mulrcl 11218  ax-mulcom 11219  ax-addass 11220  ax-mulass 11221  ax-distr 11222  ax-i2m1 11223  ax-1ne0 11224  ax-1rid 11225  ax-rnegex 11226  ax-rrecex 11227  ax-cnre 11228  ax-pre-lttri 11229  ax-pre-lttrn 11230  ax-pre-ltadd 11231  ax-pre-mulgt0 11232
This theorem depends on definitions:  df-bi 207  df-an 396  df-or 849  df-3or 1088  df-3an 1089  df-tru 1543  df-fal 1553  df-ex 1780  df-nf 1784  df-sb 2065  df-mo 2540  df-eu 2569  df-clab 2715  df-cleq 2729  df-clel 2816  df-nfc 2892  df-ne 2941  df-nel 3047  df-ral 3062  df-rex 3071  df-reu 3381  df-rab 3437  df-v 3482  df-sbc 3789  df-csb 3900  df-dif 3954  df-un 3956  df-in 3958  df-ss 3968  df-pss 3971  df-nul 4334  df-if 4526  df-pw 4602  df-sn 4627  df-pr 4629  df-op 4633  df-uni 4908  df-iun 4993  df-br 5144  df-opab 5206  df-mpt 5226  df-tr 5260  df-id 5578  df-eprel 5584  df-po 5592  df-so 5593  df-fr 5637  df-we 5639  df-xp 5691  df-rel 5692  df-cnv 5693  df-co 5694  df-dm 5695  df-rn 5696  df-res 5697  df-ima 5698  df-pred 6321  df-ord 6387  df-on 6388  df-lim 6389  df-suc 6390  df-iota 6514  df-fun 6563  df-fn 6564  df-f 6565  df-f1 6566  df-fo 6567  df-f1o 6568  df-fv 6569  df-riota 7388  df-ov 7434  df-oprab 7435  df-mpo 7436  df-om 7888  df-2nd 8015  df-frecs 8306  df-wrecs 8337  df-recs 8411  df-rdg 8450  df-er 8745  df-en 8986  df-dom 8987  df-sdom 8988  df-pnf 11297  df-mnf 11298  df-xr 11299  df-ltxr 11300  df-le 11301  df-sub 11494  df-neg 11495  df-nn 12267  df-2 12329  df-3 12330  df-4 12331  df-5 12332  df-6 12333  df-7 12334  df-8 12335  df-9 12336  df-n0 12527  df-z 12614  df-dec 12734  df-uz 12879  df-seq 14043  df-exp 14103
This theorem is referenced by:  1259lem1  17168  fmtno4  47539  ackval41  48616  ackval42  48617  ackval42a  48618
  Copyright terms: Public domain W3C validator