Theorem 2exp16 17125

Description: Two to the sixteenth power is 65536. (Contributed by Mario Carneiro, 20-Apr-2015.)

Assertion

Ref	Expression
2exp16	⊢ (2↑;16) = ;;;;65536

Proof of Theorem 2exp16

Step	Hyp	Ref	Expression
1		2nn0 12541	. 2 ⊢ 2 ∈ ℕ0
2		8nn0 12547	. 2 ⊢ 8 ∈ ℕ0
3		8cn 12361	. . 3 ⊢ 8 ∈ ℂ
4		2cn 12339	. . 3 ⊢ 2 ∈ ℂ
5		8t2e16 12846	. . 3 ⊢ (8 · 2) = ;16
6	3, 4, 5	mulcomli 11268	. 2 ⊢ (2 · 8) = ;16
7		2exp8 17123	. 2 ⊢ (2↑8) = ;;256
8		5nn0 12544	. . . . 5 ⊢ 5 ∈ ℕ0
9	1, 8	deccl 12746	. . . 4 ⊢ ;25 ∈ ℕ0
10		6nn0 12545	. . . 4 ⊢ 6 ∈ ℕ0
11	9, 10	deccl 12746	. . 3 ⊢ ;;256 ∈ ℕ0
12		eqid 2735	. . 3 ⊢ ;;256 = ;;256
13		1nn0 12540	. . . . 5 ⊢ 1 ∈ ℕ0
14	13, 8	deccl 12746	. . . 4 ⊢ ;15 ∈ ℕ0
15		3nn0 12542	. . . 4 ⊢ 3 ∈ ℕ0
16	14, 15	deccl 12746	. . 3 ⊢ ;;153 ∈ ℕ0
17		eqid 2735	. . . 4 ⊢ ;25 = ;25
18		eqid 2735	. . . 4 ⊢ ;;153 = ;;153
19	13, 1	deccl 12746	. . . . 5 ⊢ ;12 ∈ ℕ0
20	19, 2	deccl 12746	. . . 4 ⊢ ;;128 ∈ ℕ0
21		4nn0 12543	. . . . . 6 ⊢ 4 ∈ ℕ0
22	13, 21	deccl 12746	. . . . 5 ⊢ ;14 ∈ ℕ0
23		eqid 2735	. . . . . 6 ⊢ ;15 = ;15
24		eqid 2735	. . . . . 6 ⊢ ;;128 = ;;128
25		0nn0 12539	. . . . . . . 8 ⊢ 0 ∈ ℕ0
26	13	dec0h 12753	. . . . . . . 8 ⊢ 1 = ;01
27		eqid 2735	. . . . . . . 8 ⊢ ;12 = ;12
28		0p1e1 12386	. . . . . . . 8 ⊢ (0 + 1) = 1
29		1p2e3 12407	. . . . . . . 8 ⊢ (1 + 2) = 3
30	25, 13, 13, 1, 26, 27, 28, 29	decadd 12785	. . . . . . 7 ⊢ (1 + ;12) = ;13
31		3p1e4 12409	. . . . . . 7 ⊢ (3 + 1) = 4
32	13, 15, 13, 30, 31	decaddi 12791	. . . . . 6 ⊢ ((1 + ;12) + 1) = ;14
33		5cn 12352	. . . . . . 7 ⊢ 5 ∈ ℂ
34		8p5e13 12814	. . . . . . 7 ⊢ (8 + 5) = ;13
35	3, 33, 34	addcomli 11451	. . . . . 6 ⊢ (5 + 8) = ;13
36	13, 8, 19, 2, 23, 24, 32, 15, 35	decaddc 12786	. . . . 5 ⊢ (;15 + ;;128) = ;;143
37		eqid 2735	. . . . . . 7 ⊢ ;14 = ;14
38		4p1e5 12410	. . . . . . 7 ⊢ (4 + 1) = 5
39	13, 21, 13, 37, 38	decaddi 12791	. . . . . 6 ⊢ (;14 + 1) = ;15
40		2t2e4 12428	. . . . . . . 8 ⊢ (2 · 2) = 4
41		1p1e2 12389	. . . . . . . 8 ⊢ (1 + 1) = 2
42	40, 41	oveq12i 7443	. . . . . . 7 ⊢ ((2 · 2) + (1 + 1)) = (4 + 2)
43		4p2e6 12417	. . . . . . 7 ⊢ (4 + 2) = 6
44	42, 43	eqtri 2763	. . . . . 6 ⊢ ((2 · 2) + (1 + 1)) = 6
45		5t2e10 12831	. . . . . . 7 ⊢ (5 · 2) = ;10
46	33	addlidi 11447	. . . . . . 7 ⊢ (0 + 5) = 5
47	13, 25, 8, 45, 46	decaddi 12791	. . . . . 6 ⊢ ((5 · 2) + 5) = ;15
48	1, 8, 13, 8, 17, 39, 1, 8, 13, 44, 47	decmac 12783	. . . . 5 ⊢ ((;25 · 2) + (;14 + 1)) = ;65
49		6t2e12 12835	. . . . . 6 ⊢ (6 · 2) = ;12
50		3cn 12345	. . . . . . 7 ⊢ 3 ∈ ℂ
51		3p2e5 12415	. . . . . . 7 ⊢ (3 + 2) = 5
52	50, 4, 51	addcomli 11451	. . . . . 6 ⊢ (2 + 3) = 5
53	13, 1, 15, 49, 52	decaddi 12791	. . . . 5 ⊢ ((6 · 2) + 3) = ;15
54	9, 10, 22, 15, 12, 36, 1, 8, 13, 48, 53	decmac 12783	. . . 4 ⊢ ((;;256 · 2) + (;15 + ;;128)) = ;;655
55	15	dec0h 12753	. . . . 5 ⊢ 3 = ;03
56	50	addlidi 11447	. . . . . . 7 ⊢ (0 + 3) = 3
57	56, 55	eqtri 2763	. . . . . 6 ⊢ (0 + 3) = ;03
58	4	addlidi 11447	. . . . . . . 8 ⊢ (0 + 2) = 2
59	58	oveq2i 7442	. . . . . . 7 ⊢ ((2 · 5) + (0 + 2)) = ((2 · 5) + 2)
60	33, 4, 45	mulcomli 11268	. . . . . . . 8 ⊢ (2 · 5) = ;10
61	13, 25, 1, 60, 58	decaddi 12791	. . . . . . 7 ⊢ ((2 · 5) + 2) = ;12
62	59, 61	eqtri 2763	. . . . . 6 ⊢ ((2 · 5) + (0 + 2)) = ;12
63		5t5e25 12834	. . . . . . 7 ⊢ (5 · 5) = ;25
64		5p3e8 12421	. . . . . . 7 ⊢ (5 + 3) = 8
65	1, 8, 15, 63, 64	decaddi 12791	. . . . . 6 ⊢ ((5 · 5) + 3) = ;28
66	1, 8, 25, 15, 17, 57, 8, 2, 1, 62, 65	decmac 12783	. . . . 5 ⊢ ((;25 · 5) + (0 + 3)) = ;;128
67		6t5e30 12838	. . . . . 6 ⊢ (6 · 5) = ;30
68	15, 25, 15, 67, 56	decaddi 12791	. . . . 5 ⊢ ((6 · 5) + 3) = ;33
69	9, 10, 25, 15, 12, 55, 8, 15, 15, 66, 68	decmac 12783	. . . 4 ⊢ ((;;256 · 5) + 3) = ;;;1283
70	1, 8, 14, 15, 17, 18, 11, 15, 20, 54, 69	decma2c 12784	. . 3 ⊢ ((;;256 · ;25) + ;;153) = ;;;6553
71		6cn 12355	. . . . . . 7 ⊢ 6 ∈ ℂ
72	71, 4, 49	mulcomli 11268	. . . . . 6 ⊢ (2 · 6) = ;12
73	13, 1, 15, 72, 52	decaddi 12791	. . . . 5 ⊢ ((2 · 6) + 3) = ;15
74	71, 33, 67	mulcomli 11268	. . . . . 6 ⊢ (5 · 6) = ;30
75	15, 25, 15, 74, 56	decaddi 12791	. . . . 5 ⊢ ((5 · 6) + 3) = ;33
76	1, 8, 15, 17, 10, 15, 15, 73, 75	decrmac 12789	. . . 4 ⊢ ((;25 · 6) + 3) = ;;153
77		6t6e36 12839	. . . 4 ⊢ (6 · 6) = ;36
78	10, 9, 10, 12, 10, 15, 76, 77	decmul1c 12796	. . 3 ⊢ (;;256 · 6) = ;;;1536
79	11, 9, 10, 12, 10, 16, 70, 78	decmul2c 12797	. 2 ⊢ (;;256 · ;;256) = ;;;;65536
80	1, 2, 6, 7, 79	numexp2x 17113	1 ⊢ (2↑;16) = ;;;;65536

Syntax hints:   = wceq 1537  (class class class)co 7431  0cc0 11153  1c1 11154   + caddc 11156   · cmul 11158  2c2 12319  3c3 12320  4c4 12321  5c5 12322  6c6 12323  8c8 12325  ;cdc 12731  ↑cexp 14099

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1792  ax-4 1806  ax-5 1908  ax-6 1965  ax-7 2005  ax-8 2108  ax-9 2116  ax-10 2139  ax-11 2155  ax-12 2175  ax-ext 2706  ax-sep 5302  ax-nul 5312  ax-pow 5371  ax-pr 5438  ax-un 7754  ax-cnex 11209  ax-resscn 11210  ax-1cn 11211  ax-icn 11212  ax-addcl 11213  ax-addrcl 11214  ax-mulcl 11215  ax-mulrcl 11216  ax-mulcom 11217  ax-addass 11218  ax-mulass 11219  ax-distr 11220  ax-i2m1 11221  ax-1ne0 11222  ax-1rid 11223  ax-rnegex 11224  ax-rrecex 11225  ax-cnre 11226  ax-pre-lttri 11227  ax-pre-lttrn 11228  ax-pre-ltadd 11229  ax-pre-mulgt0 11230

This theorem depends on definitions:  df-bi 207  df-an 396  df-or 848  df-3or 1087  df-3an 1088  df-tru 1540  df-fal 1550  df-ex 1777  df-nf 1781  df-sb 2063  df-mo 2538  df-eu 2567  df-clab 2713  df-cleq 2727  df-clel 2814  df-nfc 2890  df-ne 2939  df-nel 3045  df-ral 3060  df-rex 3069  df-reu 3379  df-rab 3434  df-v 3480  df-sbc 3792  df-csb 3909  df-dif 3966  df-un 3968  df-in 3970  df-ss 3980  df-pss 3983  df-nul 4340  df-if 4532  df-pw 4607  df-sn 4632  df-pr 4634  df-op 4638  df-uni 4913  df-iun 4998  df-br 5149  df-opab 5211  df-mpt 5232  df-tr 5266  df-id 5583  df-eprel 5589  df-po 5597  df-so 5598  df-fr 5641  df-we 5643  df-xp 5695  df-rel 5696  df-cnv 5697  df-co 5698  df-dm 5699  df-rn 5700  df-res 5701  df-ima 5702  df-pred 6323  df-ord 6389  df-on 6390  df-lim 6391  df-suc 6392  df-iota 6516  df-fun 6565  df-fn 6566  df-f 6567  df-f1 6568  df-fo 6569  df-f1o 6570  df-fv 6571  df-riota 7388  df-ov 7434  df-oprab 7435  df-mpo 7436  df-om 7888  df-2nd 8014  df-frecs 8305  df-wrecs 8336  df-recs 8410  df-rdg 8449  df-er 8744  df-en 8985  df-dom 8986  df-sdom 8987  df-pnf 11295  df-mnf 11296  df-xr 11297  df-ltxr 11298  df-le 11299  df-sub 11492  df-neg 11493  df-nn 12265  df-2 12327  df-3 12328  df-4 12329  df-5 12330  df-6 12331  df-7 12332  df-8 12333  df-9 12334  df-n0 12525  df-z 12612  df-dec 12732  df-uz 12877  df-seq 14040  df-exp 14100

This theorem is referenced by:  1259lem1  17165  fmtno4  47477  ackval41  48545  ackval42  48546  ackval42a  48547