MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  2exp16 Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem 2exp16 16029
Description: Two to the sixteenth power is 65536. (Contributed by Mario Carneiro, 20-Apr-2015.)
Assertion
Ref Expression
2exp16 (2↑16) = 65536

Proof of Theorem 2exp16
StepHypRef Expression
1 2nn0 11596 . 2 2 ∈ ℕ0
2 8nn0 11602 . 2 8 ∈ ℕ0
3 8cn 11415 . . 3 8 ∈ ℂ
4 2cn 11388 . . 3 2 ∈ ℂ
5 8t2e16 11894 . . 3 (8 · 2) = 16
63, 4, 5mulcomli 10344 . 2 (2 · 8) = 16
7 2exp8 16028 . 2 (2↑8) = 256
8 5nn0 11599 . . . . 5 5 ∈ ℕ0
91, 8deccl 11794 . . . 4 25 ∈ ℕ0
10 6nn0 11600 . . . 4 6 ∈ ℕ0
119, 10deccl 11794 . . 3 256 ∈ ℕ0
12 eqid 2817 . . 3 256 = 256
13 1nn0 11595 . . . . 5 1 ∈ ℕ0
1413, 8deccl 11794 . . . 4 15 ∈ ℕ0
15 3nn0 11597 . . . 4 3 ∈ ℕ0
1614, 15deccl 11794 . . 3 153 ∈ ℕ0
17 eqid 2817 . . . 4 25 = 25
18 eqid 2817 . . . 4 153 = 153
1913, 1deccl 11794 . . . . 5 12 ∈ ℕ0
2019, 2deccl 11794 . . . 4 128 ∈ ℕ0
21 4nn0 11598 . . . . . 6 4 ∈ ℕ0
2213, 21deccl 11794 . . . . 5 14 ∈ ℕ0
23 eqid 2817 . . . . . 6 15 = 15
24 eqid 2817 . . . . . 6 128 = 128
25 0nn0 11594 . . . . . . . 8 0 ∈ ℕ0
2613dec0h 11801 . . . . . . . 8 1 = 01
27 eqid 2817 . . . . . . . 8 12 = 12
28 0p1e1 11442 . . . . . . . 8 (0 + 1) = 1
29 1p2e3 11463 . . . . . . . 8 (1 + 2) = 3
3025, 13, 13, 1, 26, 27, 28, 29decadd 11833 . . . . . . 7 (1 + 12) = 13
31 3p1e4 11464 . . . . . . 7 (3 + 1) = 4
3213, 15, 13, 30, 31decaddi 11839 . . . . . 6 ((1 + 12) + 1) = 14
33 5cn 11403 . . . . . . 7 5 ∈ ℂ
34 8p5e13 11862 . . . . . . 7 (8 + 5) = 13
353, 33, 34addcomli 10523 . . . . . 6 (5 + 8) = 13
3613, 8, 19, 2, 23, 24, 32, 15, 35decaddc 11834 . . . . 5 (15 + 128) = 143
37 eqid 2817 . . . . . . 7 14 = 14
38 4p1e5 11465 . . . . . . 7 (4 + 1) = 5
3913, 21, 13, 37, 38decaddi 11839 . . . . . 6 (14 + 1) = 15
40 2t2e4 11483 . . . . . . . 8 (2 · 2) = 4
41 1p1e2 11445 . . . . . . . 8 (1 + 1) = 2
4240, 41oveq12i 6896 . . . . . . 7 ((2 · 2) + (1 + 1)) = (4 + 2)
43 4p2e6 11472 . . . . . . 7 (4 + 2) = 6
4442, 43eqtri 2839 . . . . . 6 ((2 · 2) + (1 + 1)) = 6
45 5t2e10 11879 . . . . . . 7 (5 · 2) = 10
4633addid2i 10519 . . . . . . 7 (0 + 5) = 5
4713, 25, 8, 45, 46decaddi 11839 . . . . . 6 ((5 · 2) + 5) = 15
481, 8, 13, 8, 17, 39, 1, 8, 13, 44, 47decmac 11831 . . . . 5 ((25 · 2) + (14 + 1)) = 65
49 6t2e12 11883 . . . . . 6 (6 · 2) = 12
50 3cn 11394 . . . . . . 7 3 ∈ ℂ
51 3p2e5 11470 . . . . . . 7 (3 + 2) = 5
5250, 4, 51addcomli 10523 . . . . . 6 (2 + 3) = 5
5313, 1, 15, 49, 52decaddi 11839 . . . . 5 ((6 · 2) + 3) = 15
549, 10, 22, 15, 12, 36, 1, 8, 13, 48, 53decmac 11831 . . . 4 ((256 · 2) + (15 + 128)) = 655
5515dec0h 11801 . . . . 5 3 = 03
5650addid2i 10519 . . . . . . 7 (0 + 3) = 3
5756, 55eqtri 2839 . . . . . 6 (0 + 3) = 03
584addid2i 10519 . . . . . . . 8 (0 + 2) = 2
5958oveq2i 6895 . . . . . . 7 ((2 · 5) + (0 + 2)) = ((2 · 5) + 2)
6033, 4, 45mulcomli 10344 . . . . . . . 8 (2 · 5) = 10
6113, 25, 1, 60, 58decaddi 11839 . . . . . . 7 ((2 · 5) + 2) = 12
6259, 61eqtri 2839 . . . . . 6 ((2 · 5) + (0 + 2)) = 12
63 5t5e25 11882 . . . . . . 7 (5 · 5) = 25
64 5p3e8 11476 . . . . . . 7 (5 + 3) = 8
651, 8, 15, 63, 64decaddi 11839 . . . . . 6 ((5 · 5) + 3) = 28
661, 8, 25, 15, 17, 57, 8, 2, 1, 62, 65decmac 11831 . . . . 5 ((25 · 5) + (0 + 3)) = 128
67 6t5e30 11886 . . . . . 6 (6 · 5) = 30
6815, 25, 15, 67, 56decaddi 11839 . . . . 5 ((6 · 5) + 3) = 33
699, 10, 25, 15, 12, 55, 8, 15, 15, 66, 68decmac 11831 . . . 4 ((256 · 5) + 3) = 1283
701, 8, 14, 15, 17, 18, 11, 15, 20, 54, 69decma2c 11832 . . 3 ((256 · 25) + 153) = 6553
71 6cn 11407 . . . . . . 7 6 ∈ ℂ
7271, 4, 49mulcomli 10344 . . . . . 6 (2 · 6) = 12
7313, 1, 15, 72, 52decaddi 11839 . . . . 5 ((2 · 6) + 3) = 15
7471, 33, 67mulcomli 10344 . . . . . 6 (5 · 6) = 30
7515, 25, 15, 74, 56decaddi 11839 . . . . 5 ((5 · 6) + 3) = 33
761, 8, 15, 17, 10, 15, 15, 73, 75decrmac 11837 . . . 4 ((25 · 6) + 3) = 153
77 6t6e36 11887 . . . 4 (6 · 6) = 36
7810, 9, 10, 12, 10, 15, 76, 77decmul1c 11844 . . 3 (256 · 6) = 1536
7911, 9, 10, 12, 10, 16, 70, 78decmul2c 11845 . 2 (256 · 256) = 65536
801, 2, 6, 7, 79numexp2x 16020 1 (2↑16) = 65536
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:   = wceq 1637  (class class class)co 6884  0cc0 10231  1c1 10232   + caddc 10234   · cmul 10236  2c2 11368  3c3 11369  4c4 11370  5c5 11371  6c6 11372  8c8 11374  cdc 11779  cexp 13103
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1877  ax-4 1894  ax-5 2001  ax-6 2069  ax-7 2105  ax-8 2159  ax-9 2166  ax-10 2186  ax-11 2202  ax-12 2215  ax-13 2422  ax-ext 2795  ax-sep 4988  ax-nul 4996  ax-pow 5048  ax-pr 5109  ax-un 7189  ax-cnex 10287  ax-resscn 10288  ax-1cn 10289  ax-icn 10290  ax-addcl 10291  ax-addrcl 10292  ax-mulcl 10293  ax-mulrcl 10294  ax-mulcom 10295  ax-addass 10296  ax-mulass 10297  ax-distr 10298  ax-i2m1 10299  ax-1ne0 10300  ax-1rid 10301  ax-rnegex 10302  ax-rrecex 10303  ax-cnre 10304  ax-pre-lttri 10305  ax-pre-lttrn 10306  ax-pre-ltadd 10307  ax-pre-mulgt0 10308
This theorem depends on definitions:  df-bi 198  df-an 385  df-or 866  df-3or 1101  df-3an 1102  df-tru 1641  df-ex 1860  df-nf 1864  df-sb 2062  df-mo 2635  df-eu 2642  df-clab 2804  df-cleq 2810  df-clel 2813  df-nfc 2948  df-ne 2990  df-nel 3093  df-ral 3112  df-rex 3113  df-reu 3114  df-rab 3116  df-v 3404  df-sbc 3645  df-csb 3740  df-dif 3783  df-un 3785  df-in 3787  df-ss 3794  df-pss 3796  df-nul 4128  df-if 4291  df-pw 4364  df-sn 4382  df-pr 4384  df-tp 4386  df-op 4388  df-uni 4642  df-iun 4725  df-br 4856  df-opab 4918  df-mpt 4935  df-tr 4958  df-id 5232  df-eprel 5237  df-po 5245  df-so 5246  df-fr 5283  df-we 5285  df-xp 5330  df-rel 5331  df-cnv 5332  df-co 5333  df-dm 5334  df-rn 5335  df-res 5336  df-ima 5337  df-pred 5907  df-ord 5953  df-on 5954  df-lim 5955  df-suc 5956  df-iota 6074  df-fun 6113  df-fn 6114  df-f 6115  df-f1 6116  df-fo 6117  df-f1o 6118  df-fv 6119  df-riota 6845  df-ov 6887  df-oprab 6888  df-mpt2 6889  df-om 7306  df-2nd 7409  df-wrecs 7652  df-recs 7714  df-rdg 7752  df-er 7989  df-en 8203  df-dom 8204  df-sdom 8205  df-pnf 10371  df-mnf 10372  df-xr 10373  df-ltxr 10374  df-le 10375  df-sub 10563  df-neg 10564  df-nn 11316  df-2 11376  df-3 11377  df-4 11378  df-5 11379  df-6 11380  df-7 11381  df-8 11382  df-9 11383  df-n0 11580  df-z 11664  df-dec 11780  df-uz 11925  df-seq 13045  df-exp 13104
This theorem is referenced by:  1259lem1  16069  fmtno4  42057
  Copyright terms: Public domain W3C validator