MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  2exp16 Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem 2exp16 17024
Description: Two to the sixteenth power is 65536. (Contributed by Mario Carneiro, 20-Apr-2015.)
Assertion
Ref Expression
2exp16 (2↑16) = 65536

Proof of Theorem 2exp16
StepHypRef Expression
1 2nn0 12489 . 2 2 ∈ ℕ0
2 8nn0 12495 . 2 8 ∈ ℕ0
3 8cn 12309 . . 3 8 ∈ ℂ
4 2cn 12287 . . 3 2 ∈ ℂ
5 8t2e16 12792 . . 3 (8 · 2) = 16
63, 4, 5mulcomli 11223 . 2 (2 · 8) = 16
7 2exp8 17022 . 2 (2↑8) = 256
8 5nn0 12492 . . . . 5 5 ∈ ℕ0
91, 8deccl 12692 . . . 4 25 ∈ ℕ0
10 6nn0 12493 . . . 4 6 ∈ ℕ0
119, 10deccl 12692 . . 3 256 ∈ ℕ0
12 eqid 2733 . . 3 256 = 256
13 1nn0 12488 . . . . 5 1 ∈ ℕ0
1413, 8deccl 12692 . . . 4 15 ∈ ℕ0
15 3nn0 12490 . . . 4 3 ∈ ℕ0
1614, 15deccl 12692 . . 3 153 ∈ ℕ0
17 eqid 2733 . . . 4 25 = 25
18 eqid 2733 . . . 4 153 = 153
1913, 1deccl 12692 . . . . 5 12 ∈ ℕ0
2019, 2deccl 12692 . . . 4 128 ∈ ℕ0
21 4nn0 12491 . . . . . 6 4 ∈ ℕ0
2213, 21deccl 12692 . . . . 5 14 ∈ ℕ0
23 eqid 2733 . . . . . 6 15 = 15
24 eqid 2733 . . . . . 6 128 = 128
25 0nn0 12487 . . . . . . . 8 0 ∈ ℕ0
2613dec0h 12699 . . . . . . . 8 1 = 01
27 eqid 2733 . . . . . . . 8 12 = 12
28 0p1e1 12334 . . . . . . . 8 (0 + 1) = 1
29 1p2e3 12355 . . . . . . . 8 (1 + 2) = 3
3025, 13, 13, 1, 26, 27, 28, 29decadd 12731 . . . . . . 7 (1 + 12) = 13
31 3p1e4 12357 . . . . . . 7 (3 + 1) = 4
3213, 15, 13, 30, 31decaddi 12737 . . . . . 6 ((1 + 12) + 1) = 14
33 5cn 12300 . . . . . . 7 5 ∈ ℂ
34 8p5e13 12760 . . . . . . 7 (8 + 5) = 13
353, 33, 34addcomli 11406 . . . . . 6 (5 + 8) = 13
3613, 8, 19, 2, 23, 24, 32, 15, 35decaddc 12732 . . . . 5 (15 + 128) = 143
37 eqid 2733 . . . . . . 7 14 = 14
38 4p1e5 12358 . . . . . . 7 (4 + 1) = 5
3913, 21, 13, 37, 38decaddi 12737 . . . . . 6 (14 + 1) = 15
40 2t2e4 12376 . . . . . . . 8 (2 · 2) = 4
41 1p1e2 12337 . . . . . . . 8 (1 + 1) = 2
4240, 41oveq12i 7421 . . . . . . 7 ((2 · 2) + (1 + 1)) = (4 + 2)
43 4p2e6 12365 . . . . . . 7 (4 + 2) = 6
4442, 43eqtri 2761 . . . . . 6 ((2 · 2) + (1 + 1)) = 6
45 5t2e10 12777 . . . . . . 7 (5 · 2) = 10
4633addlidi 11402 . . . . . . 7 (0 + 5) = 5
4713, 25, 8, 45, 46decaddi 12737 . . . . . 6 ((5 · 2) + 5) = 15
481, 8, 13, 8, 17, 39, 1, 8, 13, 44, 47decmac 12729 . . . . 5 ((25 · 2) + (14 + 1)) = 65
49 6t2e12 12781 . . . . . 6 (6 · 2) = 12
50 3cn 12293 . . . . . . 7 3 ∈ ℂ
51 3p2e5 12363 . . . . . . 7 (3 + 2) = 5
5250, 4, 51addcomli 11406 . . . . . 6 (2 + 3) = 5
5313, 1, 15, 49, 52decaddi 12737 . . . . 5 ((6 · 2) + 3) = 15
549, 10, 22, 15, 12, 36, 1, 8, 13, 48, 53decmac 12729 . . . 4 ((256 · 2) + (15 + 128)) = 655
5515dec0h 12699 . . . . 5 3 = 03
5650addlidi 11402 . . . . . . 7 (0 + 3) = 3
5756, 55eqtri 2761 . . . . . 6 (0 + 3) = 03
584addlidi 11402 . . . . . . . 8 (0 + 2) = 2
5958oveq2i 7420 . . . . . . 7 ((2 · 5) + (0 + 2)) = ((2 · 5) + 2)
6033, 4, 45mulcomli 11223 . . . . . . . 8 (2 · 5) = 10
6113, 25, 1, 60, 58decaddi 12737 . . . . . . 7 ((2 · 5) + 2) = 12
6259, 61eqtri 2761 . . . . . 6 ((2 · 5) + (0 + 2)) = 12
63 5t5e25 12780 . . . . . . 7 (5 · 5) = 25
64 5p3e8 12369 . . . . . . 7 (5 + 3) = 8
651, 8, 15, 63, 64decaddi 12737 . . . . . 6 ((5 · 5) + 3) = 28
661, 8, 25, 15, 17, 57, 8, 2, 1, 62, 65decmac 12729 . . . . 5 ((25 · 5) + (0 + 3)) = 128
67 6t5e30 12784 . . . . . 6 (6 · 5) = 30
6815, 25, 15, 67, 56decaddi 12737 . . . . 5 ((6 · 5) + 3) = 33
699, 10, 25, 15, 12, 55, 8, 15, 15, 66, 68decmac 12729 . . . 4 ((256 · 5) + 3) = 1283
701, 8, 14, 15, 17, 18, 11, 15, 20, 54, 69decma2c 12730 . . 3 ((256 · 25) + 153) = 6553
71 6cn 12303 . . . . . . 7 6 ∈ ℂ
7271, 4, 49mulcomli 11223 . . . . . 6 (2 · 6) = 12
7313, 1, 15, 72, 52decaddi 12737 . . . . 5 ((2 · 6) + 3) = 15
7471, 33, 67mulcomli 11223 . . . . . 6 (5 · 6) = 30
7515, 25, 15, 74, 56decaddi 12737 . . . . 5 ((5 · 6) + 3) = 33
761, 8, 15, 17, 10, 15, 15, 73, 75decrmac 12735 . . . 4 ((25 · 6) + 3) = 153
77 6t6e36 12785 . . . 4 (6 · 6) = 36
7810, 9, 10, 12, 10, 15, 76, 77decmul1c 12742 . . 3 (256 · 6) = 1536
7911, 9, 10, 12, 10, 16, 70, 78decmul2c 12743 . 2 (256 · 256) = 65536
801, 2, 6, 7, 79numexp2x 17012 1 (2↑16) = 65536
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:   = wceq 1542  (class class class)co 7409  0cc0 11110  1c1 11111   + caddc 11113   · cmul 11115  2c2 12267  3c3 12268  4c4 12269  5c5 12270  6c6 12271  8c8 12273  cdc 12677  cexp 14027
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1798  ax-4 1812  ax-5 1914  ax-6 1972  ax-7 2012  ax-8 2109  ax-9 2117  ax-10 2138  ax-11 2155  ax-12 2172  ax-ext 2704  ax-sep 5300  ax-nul 5307  ax-pow 5364  ax-pr 5428  ax-un 7725  ax-cnex 11166  ax-resscn 11167  ax-1cn 11168  ax-icn 11169  ax-addcl 11170  ax-addrcl 11171  ax-mulcl 11172  ax-mulrcl 11173  ax-mulcom 11174  ax-addass 11175  ax-mulass 11176  ax-distr 11177  ax-i2m1 11178  ax-1ne0 11179  ax-1rid 11180  ax-rnegex 11181  ax-rrecex 11182  ax-cnre 11183  ax-pre-lttri 11184  ax-pre-lttrn 11185  ax-pre-ltadd 11186  ax-pre-mulgt0 11187
This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 398  df-or 847  df-3or 1089  df-3an 1090  df-tru 1545  df-fal 1555  df-ex 1783  df-nf 1787  df-sb 2069  df-mo 2535  df-eu 2564  df-clab 2711  df-cleq 2725  df-clel 2811  df-nfc 2886  df-ne 2942  df-nel 3048  df-ral 3063  df-rex 3072  df-reu 3378  df-rab 3434  df-v 3477  df-sbc 3779  df-csb 3895  df-dif 3952  df-un 3954  df-in 3956  df-ss 3966  df-pss 3968  df-nul 4324  df-if 4530  df-pw 4605  df-sn 4630  df-pr 4632  df-op 4636  df-uni 4910  df-iun 5000  df-br 5150  df-opab 5212  df-mpt 5233  df-tr 5267  df-id 5575  df-eprel 5581  df-po 5589  df-so 5590  df-fr 5632  df-we 5634  df-xp 5683  df-rel 5684  df-cnv 5685  df-co 5686  df-dm 5687  df-rn 5688  df-res 5689  df-ima 5690  df-pred 6301  df-ord 6368  df-on 6369  df-lim 6370  df-suc 6371  df-iota 6496  df-fun 6546  df-fn 6547  df-f 6548  df-f1 6549  df-fo 6550  df-f1o 6551  df-fv 6552  df-riota 7365  df-ov 7412  df-oprab 7413  df-mpo 7414  df-om 7856  df-2nd 7976  df-frecs 8266  df-wrecs 8297  df-recs 8371  df-rdg 8410  df-er 8703  df-en 8940  df-dom 8941  df-sdom 8942  df-pnf 11250  df-mnf 11251  df-xr 11252  df-ltxr 11253  df-le 11254  df-sub 11446  df-neg 11447  df-nn 12213  df-2 12275  df-3 12276  df-4 12277  df-5 12278  df-6 12279  df-7 12280  df-8 12281  df-9 12282  df-n0 12473  df-z 12559  df-dec 12678  df-uz 12823  df-seq 13967  df-exp 14028
This theorem is referenced by:  1259lem1  17064  fmtno4  46220  ackval41  47381  ackval42  47382  ackval42a  47383
  Copyright terms: Public domain W3C validator