MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  2exp16 Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem 2exp16 16416
Description: Two to the sixteenth power is 65536. (Contributed by Mario Carneiro, 20-Apr-2015.)
Assertion
Ref Expression
2exp16 (2↑16) = 65536

Proof of Theorem 2exp16
StepHypRef Expression
1 2nn0 11906 . 2 2 ∈ ℕ0
2 8nn0 11912 . 2 8 ∈ ℕ0
3 8cn 11726 . . 3 8 ∈ ℂ
4 2cn 11704 . . 3 2 ∈ ℂ
5 8t2e16 12205 . . 3 (8 · 2) = 16
63, 4, 5mulcomli 10642 . 2 (2 · 8) = 16
7 2exp8 16415 . 2 (2↑8) = 256
8 5nn0 11909 . . . . 5 5 ∈ ℕ0
91, 8deccl 12105 . . . 4 25 ∈ ℕ0
10 6nn0 11910 . . . 4 6 ∈ ℕ0
119, 10deccl 12105 . . 3 256 ∈ ℕ0
12 eqid 2825 . . 3 256 = 256
13 1nn0 11905 . . . . 5 1 ∈ ℕ0
1413, 8deccl 12105 . . . 4 15 ∈ ℕ0
15 3nn0 11907 . . . 4 3 ∈ ℕ0
1614, 15deccl 12105 . . 3 153 ∈ ℕ0
17 eqid 2825 . . . 4 25 = 25
18 eqid 2825 . . . 4 153 = 153
1913, 1deccl 12105 . . . . 5 12 ∈ ℕ0
2019, 2deccl 12105 . . . 4 128 ∈ ℕ0
21 4nn0 11908 . . . . . 6 4 ∈ ℕ0
2213, 21deccl 12105 . . . . 5 14 ∈ ℕ0
23 eqid 2825 . . . . . 6 15 = 15
24 eqid 2825 . . . . . 6 128 = 128
25 0nn0 11904 . . . . . . . 8 0 ∈ ℕ0
2613dec0h 12112 . . . . . . . 8 1 = 01
27 eqid 2825 . . . . . . . 8 12 = 12
28 0p1e1 11751 . . . . . . . 8 (0 + 1) = 1
29 1p2e3 11772 . . . . . . . 8 (1 + 2) = 3
3025, 13, 13, 1, 26, 27, 28, 29decadd 12144 . . . . . . 7 (1 + 12) = 13
31 3p1e4 11774 . . . . . . 7 (3 + 1) = 4
3213, 15, 13, 30, 31decaddi 12150 . . . . . 6 ((1 + 12) + 1) = 14
33 5cn 11717 . . . . . . 7 5 ∈ ℂ
34 8p5e13 12173 . . . . . . 7 (8 + 5) = 13
353, 33, 34addcomli 10824 . . . . . 6 (5 + 8) = 13
3613, 8, 19, 2, 23, 24, 32, 15, 35decaddc 12145 . . . . 5 (15 + 128) = 143
37 eqid 2825 . . . . . . 7 14 = 14
38 4p1e5 11775 . . . . . . 7 (4 + 1) = 5
3913, 21, 13, 37, 38decaddi 12150 . . . . . 6 (14 + 1) = 15
40 2t2e4 11793 . . . . . . . 8 (2 · 2) = 4
41 1p1e2 11754 . . . . . . . 8 (1 + 1) = 2
4240, 41oveq12i 7163 . . . . . . 7 ((2 · 2) + (1 + 1)) = (4 + 2)
43 4p2e6 11782 . . . . . . 7 (4 + 2) = 6
4442, 43eqtri 2848 . . . . . 6 ((2 · 2) + (1 + 1)) = 6
45 5t2e10 12190 . . . . . . 7 (5 · 2) = 10
4633addid2i 10820 . . . . . . 7 (0 + 5) = 5
4713, 25, 8, 45, 46decaddi 12150 . . . . . 6 ((5 · 2) + 5) = 15
481, 8, 13, 8, 17, 39, 1, 8, 13, 44, 47decmac 12142 . . . . 5 ((25 · 2) + (14 + 1)) = 65
49 6t2e12 12194 . . . . . 6 (6 · 2) = 12
50 3cn 11710 . . . . . . 7 3 ∈ ℂ
51 3p2e5 11780 . . . . . . 7 (3 + 2) = 5
5250, 4, 51addcomli 10824 . . . . . 6 (2 + 3) = 5
5313, 1, 15, 49, 52decaddi 12150 . . . . 5 ((6 · 2) + 3) = 15
549, 10, 22, 15, 12, 36, 1, 8, 13, 48, 53decmac 12142 . . . 4 ((256 · 2) + (15 + 128)) = 655
5515dec0h 12112 . . . . 5 3 = 03
5650addid2i 10820 . . . . . . 7 (0 + 3) = 3
5756, 55eqtri 2848 . . . . . 6 (0 + 3) = 03
584addid2i 10820 . . . . . . . 8 (0 + 2) = 2
5958oveq2i 7162 . . . . . . 7 ((2 · 5) + (0 + 2)) = ((2 · 5) + 2)
6033, 4, 45mulcomli 10642 . . . . . . . 8 (2 · 5) = 10
6113, 25, 1, 60, 58decaddi 12150 . . . . . . 7 ((2 · 5) + 2) = 12
6259, 61eqtri 2848 . . . . . 6 ((2 · 5) + (0 + 2)) = 12
63 5t5e25 12193 . . . . . . 7 (5 · 5) = 25
64 5p3e8 11786 . . . . . . 7 (5 + 3) = 8
651, 8, 15, 63, 64decaddi 12150 . . . . . 6 ((5 · 5) + 3) = 28
661, 8, 25, 15, 17, 57, 8, 2, 1, 62, 65decmac 12142 . . . . 5 ((25 · 5) + (0 + 3)) = 128
67 6t5e30 12197 . . . . . 6 (6 · 5) = 30
6815, 25, 15, 67, 56decaddi 12150 . . . . 5 ((6 · 5) + 3) = 33
699, 10, 25, 15, 12, 55, 8, 15, 15, 66, 68decmac 12142 . . . 4 ((256 · 5) + 3) = 1283
701, 8, 14, 15, 17, 18, 11, 15, 20, 54, 69decma2c 12143 . . 3 ((256 · 25) + 153) = 6553
71 6cn 11720 . . . . . . 7 6 ∈ ℂ
7271, 4, 49mulcomli 10642 . . . . . 6 (2 · 6) = 12
7313, 1, 15, 72, 52decaddi 12150 . . . . 5 ((2 · 6) + 3) = 15
7471, 33, 67mulcomli 10642 . . . . . 6 (5 · 6) = 30
7515, 25, 15, 74, 56decaddi 12150 . . . . 5 ((5 · 6) + 3) = 33
761, 8, 15, 17, 10, 15, 15, 73, 75decrmac 12148 . . . 4 ((25 · 6) + 3) = 153
77 6t6e36 12198 . . . 4 (6 · 6) = 36
7810, 9, 10, 12, 10, 15, 76, 77decmul1c 12155 . . 3 (256 · 6) = 1536
7911, 9, 10, 12, 10, 16, 70, 78decmul2c 12156 . 2 (256 · 256) = 65536
801, 2, 6, 7, 79numexp2x 16407 1 (2↑16) = 65536
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:   = wceq 1530  (class class class)co 7151  0cc0 10529  1c1 10530   + caddc 10532   · cmul 10534  2c2 11684  3c3 11685  4c4 11686  5c5 11687  6c6 11688  8c8 11690  cdc 12090  cexp 13422
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1789  ax-4 1803  ax-5 1904  ax-6 1963  ax-7 2008  ax-8 2109  ax-9 2117  ax-10 2138  ax-11 2153  ax-12 2169  ax-ext 2797  ax-sep 5199  ax-nul 5206  ax-pow 5262  ax-pr 5325  ax-un 7454  ax-cnex 10585  ax-resscn 10586  ax-1cn 10587  ax-icn 10588  ax-addcl 10589  ax-addrcl 10590  ax-mulcl 10591  ax-mulrcl 10592  ax-mulcom 10593  ax-addass 10594  ax-mulass 10595  ax-distr 10596  ax-i2m1 10597  ax-1ne0 10598  ax-1rid 10599  ax-rnegex 10600  ax-rrecex 10601  ax-cnre 10602  ax-pre-lttri 10603  ax-pre-lttrn 10604  ax-pre-ltadd 10605  ax-pre-mulgt0 10606
This theorem depends on definitions:  df-bi 208  df-an 397  df-or 844  df-3or 1082  df-3an 1083  df-tru 1533  df-ex 1774  df-nf 1778  df-sb 2063  df-mo 2619  df-eu 2651  df-clab 2804  df-cleq 2818  df-clel 2897  df-nfc 2967  df-ne 3021  df-nel 3128  df-ral 3147  df-rex 3148  df-reu 3149  df-rab 3151  df-v 3501  df-sbc 3776  df-csb 3887  df-dif 3942  df-un 3944  df-in 3946  df-ss 3955  df-pss 3957  df-nul 4295  df-if 4470  df-pw 4543  df-sn 4564  df-pr 4566  df-tp 4568  df-op 4570  df-uni 4837  df-iun 4918  df-br 5063  df-opab 5125  df-mpt 5143  df-tr 5169  df-id 5458  df-eprel 5463  df-po 5472  df-so 5473  df-fr 5512  df-we 5514  df-xp 5559  df-rel 5560  df-cnv 5561  df-co 5562  df-dm 5563  df-rn 5564  df-res 5565  df-ima 5566  df-pred 6145  df-ord 6191  df-on 6192  df-lim 6193  df-suc 6194  df-iota 6311  df-fun 6353  df-fn 6354  df-f 6355  df-f1 6356  df-fo 6357  df-f1o 6358  df-fv 6359  df-riota 7109  df-ov 7154  df-oprab 7155  df-mpo 7156  df-om 7572  df-2nd 7684  df-wrecs 7941  df-recs 8002  df-rdg 8040  df-er 8282  df-en 8502  df-dom 8503  df-sdom 8504  df-pnf 10669  df-mnf 10670  df-xr 10671  df-ltxr 10672  df-le 10673  df-sub 10864  df-neg 10865  df-nn 11631  df-2 11692  df-3 11693  df-4 11694  df-5 11695  df-6 11696  df-7 11697  df-8 11698  df-9 11699  df-n0 11890  df-z 11974  df-dec 12091  df-uz 12236  df-seq 13363  df-exp 13423
This theorem is referenced by:  1259lem1  16456  fmtno4  43548
  Copyright terms: Public domain W3C validator