Theorem 2exp16 17117

Description: Two to the sixteenth power is 65536. (Contributed by Mario Carneiro, 20-Apr-2015.)

Assertion

Ref	Expression
2exp16	⊢ (2↑;16) = ;;;;65536

Proof of Theorem 2exp16

Step	Hyp	Ref	Expression
1		2nn0 12492	. 2 ⊢ 2 ∈ ℕ0
2		8nn0 12498	. 2 ⊢ 8 ∈ ℕ0
3		8cn 12309	. . 3 ⊢ 8 ∈ ℂ
4		2cn 12287	. . 3 ⊢ 2 ∈ ℂ
5		8t2e16 12802	. . 3 ⊢ (8 · 2) = ;16
6	3, 4, 5	mulcomli 11185	. 2 ⊢ (2 · 8) = ;16
7		2exp8 17115	. 2 ⊢ (2↑8) = ;;256
8		5nn0 12495	. . . . 5 ⊢ 5 ∈ ℕ0
9	1, 8	deccl 12697	. . . 4 ⊢ ;25 ∈ ℕ0
10		6nn0 12496	. . . 4 ⊢ 6 ∈ ℕ0
11	9, 10	deccl 12697	. . 3 ⊢ ;;256 ∈ ℕ0
12		eqid 2761	. . 3 ⊢ ;;256 = ;;256
13		1nn0 12491	. . . . 5 ⊢ 1 ∈ ℕ0
14	13, 8	deccl 12697	. . . 4 ⊢ ;15 ∈ ℕ0
15		3nn0 12493	. . . 4 ⊢ 3 ∈ ℕ0
16	14, 15	deccl 12697	. . 3 ⊢ ;;153 ∈ ℕ0
17		eqid 2761	. . . 4 ⊢ ;25 = ;25
18		eqid 2761	. . . 4 ⊢ ;;153 = ;;153
19	13, 1	deccl 12697	. . . . 5 ⊢ ;12 ∈ ℕ0
20	19, 2	deccl 12697	. . . 4 ⊢ ;;128 ∈ ℕ0
21		4nn0 12494	. . . . . 6 ⊢ 4 ∈ ℕ0
22	13, 21	deccl 12697	. . . . 5 ⊢ ;14 ∈ ℕ0
23		eqid 2761	. . . . . 6 ⊢ ;15 = ;15
24		eqid 2761	. . . . . 6 ⊢ ;;128 = ;;128
25		0nn0 12490	. . . . . . . 8 ⊢ 0 ∈ ℕ0
26	13	dec0h 12709	. . . . . . . 8 ⊢ 1 = ;01
27		eqid 2761	. . . . . . . 8 ⊢ ;12 = ;12
28		0p1e1 12332	. . . . . . . 8 ⊢ (0 + 1) = 1
29		1p2e3 12354	. . . . . . . 8 ⊢ (1 + 2) = 3
30	25, 13, 13, 1, 26, 27, 28, 29	decadd 12741	. . . . . . 7 ⊢ (1 + ;12) = ;13
31		3p1e4 12356	. . . . . . 7 ⊢ (3 + 1) = 4
32	13, 15, 13, 30, 31	decaddi 12747	. . . . . 6 ⊢ ((1 + ;12) + 1) = ;14
33		5cn 12300	. . . . . . 7 ⊢ 5 ∈ ℂ
34		8p5e13 12770	. . . . . . 7 ⊢ (8 + 5) = ;13
35	3, 33, 34	addcomli 11369	. . . . . 6 ⊢ (5 + 8) = ;13
36	13, 8, 19, 2, 23, 24, 32, 15, 35	decaddc 12742	. . . . 5 ⊢ (;15 + ;;128) = ;;143
37		eqid 2761	. . . . . . 7 ⊢ ;14 = ;14
38		4p1e5 12357	. . . . . . 7 ⊢ (4 + 1) = 5
39	13, 21, 13, 37, 38	decaddi 12747	. . . . . 6 ⊢ (;14 + 1) = ;15
40		2t2e4 12375	. . . . . . . 8 ⊢ (2 · 2) = 4
41		1p1e2 12335	. . . . . . . 8 ⊢ (1 + 1) = 2
42	40, 41	oveq12i 7403	. . . . . . 7 ⊢ ((2 · 2) + (1 + 1)) = (4 + 2)
43		4p2e6 12364	. . . . . . 7 ⊢ (4 + 2) = 6
44	42, 43	eqtri 2784	. . . . . 6 ⊢ ((2 · 2) + (1 + 1)) = 6
45		5t2e10 12787	. . . . . . 7 ⊢ (5 · 2) = ;10
46	33	addlidi 11365	. . . . . . 7 ⊢ (0 + 5) = 5
47	13, 25, 8, 45, 46	decaddi 12747	. . . . . 6 ⊢ ((5 · 2) + 5) = ;15
48	1, 8, 13, 8, 17, 39, 1, 8, 13, 44, 47	decmac 12739	. . . . 5 ⊢ ((;25 · 2) + (;14 + 1)) = ;65
49		6t2e12 12791	. . . . . 6 ⊢ (6 · 2) = ;12
50		3cn 12293	. . . . . . 7 ⊢ 3 ∈ ℂ
51		3p2e5 12362	. . . . . . 7 ⊢ (3 + 2) = 5
52	50, 4, 51	addcomli 11369	. . . . . 6 ⊢ (2 + 3) = 5
53	13, 1, 15, 49, 52	decaddi 12747	. . . . 5 ⊢ ((6 · 2) + 3) = ;15
54	9, 10, 22, 15, 12, 36, 1, 8, 13, 48, 53	decmac 12739	. . . 4 ⊢ ((;;256 · 2) + (;15 + ;;128)) = ;;655
55	15	dec0h 12709	. . . . 5 ⊢ 3 = ;03
56	50	addlidi 11365	. . . . . . 7 ⊢ (0 + 3) = 3
57	56, 55	eqtri 2784	. . . . . 6 ⊢ (0 + 3) = ;03
58	4	addlidi 11365	. . . . . . . 8 ⊢ (0 + 2) = 2
59	58	oveq2i 7402	. . . . . . 7 ⊢ ((2 · 5) + (0 + 2)) = ((2 · 5) + 2)
60	33, 4, 45	mulcomli 11185	. . . . . . . 8 ⊢ (2 · 5) = ;10
61	13, 25, 1, 60, 58	decaddi 12747	. . . . . . 7 ⊢ ((2 · 5) + 2) = ;12
62	59, 61	eqtri 2784	. . . . . 6 ⊢ ((2 · 5) + (0 + 2)) = ;12
63		5t5e25 12790	. . . . . . 7 ⊢ (5 · 5) = ;25
64		5p3e8 12368	. . . . . . 7 ⊢ (5 + 3) = 8
65	1, 8, 15, 63, 64	decaddi 12747	. . . . . 6 ⊢ ((5 · 5) + 3) = ;28
66	1, 8, 25, 15, 17, 57, 8, 2, 1, 62, 65	decmac 12739	. . . . 5 ⊢ ((;25 · 5) + (0 + 3)) = ;;128
67		6t5e30 12794	. . . . . 6 ⊢ (6 · 5) = ;30
68	15, 25, 15, 67, 56	decaddi 12747	. . . . 5 ⊢ ((6 · 5) + 3) = ;33
69	9, 10, 25, 15, 12, 55, 8, 15, 15, 66, 68	decmac 12739	. . . 4 ⊢ ((;;256 · 5) + 3) = ;;;1283
70	1, 8, 14, 15, 17, 18, 11, 15, 20, 54, 69	decma2c 12740	. . 3 ⊢ ((;;256 · ;25) + ;;153) = ;;;6553
71		6cn 12303	. . . . . . 7 ⊢ 6 ∈ ℂ
72	71, 4, 49	mulcomli 11185	. . . . . 6 ⊢ (2 · 6) = ;12
73	13, 1, 15, 72, 52	decaddi 12747	. . . . 5 ⊢ ((2 · 6) + 3) = ;15
74	71, 33, 67	mulcomli 11185	. . . . . 6 ⊢ (5 · 6) = ;30
75	15, 25, 15, 74, 56	decaddi 12747	. . . . 5 ⊢ ((5 · 6) + 3) = ;33
76	1, 8, 15, 17, 10, 15, 15, 73, 75	decrmac 12745	. . . 4 ⊢ ((;25 · 6) + 3) = ;;153
77		6t6e36 12795	. . . 4 ⊢ (6 · 6) = ;36
78	10, 9, 10, 12, 10, 15, 76, 77	decmul1c 12752	. . 3 ⊢ (;;256 · 6) = ;;;1536
79	11, 9, 10, 12, 10, 16, 70, 78	decmul2c 12753	. 2 ⊢ (;;256 · ;;256) = ;;;;65536
80	1, 2, 6, 7, 79	numexp2x 17105	1 ⊢ (2↑;16) = ;;;;65536

Syntax hints:   = wceq 1559  (class class class)co 7391  0cc0 11067  1c1 11068   + caddc 11070   · cmul 11072  2c2 12266  3c3 12267  4c4 12268  5c5 12269  6c6 12270  8c8 12272  ;cdc 12682  ↑cexp 14068

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1814  ax-4 1828  ax-5 1929  ax-6 1986  ax-7 2027  ax-8 2143  ax-9 2151  ax-10 2174  ax-11 2190  ax-12 2211  ax-ext 2733  ax-sep 5243  ax-nul 5253  ax-pow 5319  ax-pr 5387  ax-un 7713  ax-cnex 11123  ax-resscn 11124  ax-1cn 11125  ax-icn 11126  ax-addcl 11127  ax-addrcl 11128  ax-mulcl 11129  ax-mulrcl 11130  ax-mulcom 11131  ax-addass 11132  ax-mulass 11133  ax-distr 11134  ax-i2m1 11135  ax-1ne0 11136  ax-1rid 11137  ax-rnegex 11138  ax-rrecex 11139  ax-cnre 11140  ax-pre-lttri 11141  ax-pre-lttrn 11142  ax-pre-ltadd 11143  ax-pre-mulgt0 11144

This theorem depends on definitions:  df-bi 209  df-an 400  df-or 859  df-3or 1098  df-3an 1099  df-tru 1562  df-fal 1572  df-ex 1799  df-nf 1803  df-sb 2090  df-mo 2565  df-eu 2595  df-clab 2740  df-cleq 2753  df-clel 2836  df-nfc 2910  df-ne 2957  df-nel 3061  df-ral 3076  df-rex 3086  df-reu 3367  df-rab 3414  df-v 3455  df-sbc 3743  df-csb 3851  df-dif 3905  df-un 3907  df-in 3909  df-ss 3919  df-pss 3922  df-nul 4284  df-if 4478  df-pw 4554  df-sn 4580  df-pr 4582  df-op 4586  df-uni 4863  df-iun 4948  df-br 5098  df-opab 5160  df-mpt 5179  df-tr 5205  df-id 5538  df-eprel 5543  df-po 5551  df-so 5552  df-fr 5596  df-we 5598  df-xp 5649  df-rel 5650  df-cnv 5651  df-co 5652  df-dm 5653  df-rn 5654  df-res 5655  df-ima 5656  df-pred 6283  df-ord 6344  df-on 6345  df-lim 6346  df-suc 6347  df-iota 6472  df-fun 6518  df-fn 6519  df-f 6520  df-f1 6521  df-fo 6522  df-f1o 6523  df-fv 6524  df-riota 7348  df-ov 7394  df-oprab 7395  df-mpo 7396  df-om 7842  df-2nd 7966  df-frecs 8256  df-wrecs 8287  df-recs 8336  df-rdg 8375  df-er 8672  df-en 8922  df-dom 8923  df-sdom 8924  df-pnf 11212  df-mnf 11213  df-xr 11214  df-ltxr 11215  df-le 11216  df-sub 11410  df-neg 11411  df-nn 12205  df-2 12274  df-3 12275  df-4 12276  df-5 12277  df-6 12278  df-7 12279  df-8 12280  df-9 12281  df-n0 12476  df-z 12563  df-dec 12683  df-uz 12834  df-seq 14009  df-exp 14069

This theorem is referenced by:  1259lem1  17158  fmtno4  48122  ackval41  49278  ackval42  49279  ackval42a  49280