MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  2exp16 Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem 2exp16 17063
Description: Two to the sixteenth power is 65536. (Contributed by Mario Carneiro, 20-Apr-2015.)
Assertion
Ref Expression
2exp16 (2↑16) = 65536

Proof of Theorem 2exp16
StepHypRef Expression
1 2nn0 12522 . 2 2 ∈ ℕ0
2 8nn0 12528 . 2 8 ∈ ℕ0
3 8cn 12342 . . 3 8 ∈ ℂ
4 2cn 12320 . . 3 2 ∈ ℂ
5 8t2e16 12825 . . 3 (8 · 2) = 16
63, 4, 5mulcomli 11255 . 2 (2 · 8) = 16
7 2exp8 17061 . 2 (2↑8) = 256
8 5nn0 12525 . . . . 5 5 ∈ ℕ0
91, 8deccl 12725 . . . 4 25 ∈ ℕ0
10 6nn0 12526 . . . 4 6 ∈ ℕ0
119, 10deccl 12725 . . 3 256 ∈ ℕ0
12 eqid 2725 . . 3 256 = 256
13 1nn0 12521 . . . . 5 1 ∈ ℕ0
1413, 8deccl 12725 . . . 4 15 ∈ ℕ0
15 3nn0 12523 . . . 4 3 ∈ ℕ0
1614, 15deccl 12725 . . 3 153 ∈ ℕ0
17 eqid 2725 . . . 4 25 = 25
18 eqid 2725 . . . 4 153 = 153
1913, 1deccl 12725 . . . . 5 12 ∈ ℕ0
2019, 2deccl 12725 . . . 4 128 ∈ ℕ0
21 4nn0 12524 . . . . . 6 4 ∈ ℕ0
2213, 21deccl 12725 . . . . 5 14 ∈ ℕ0
23 eqid 2725 . . . . . 6 15 = 15
24 eqid 2725 . . . . . 6 128 = 128
25 0nn0 12520 . . . . . . . 8 0 ∈ ℕ0
2613dec0h 12732 . . . . . . . 8 1 = 01
27 eqid 2725 . . . . . . . 8 12 = 12
28 0p1e1 12367 . . . . . . . 8 (0 + 1) = 1
29 1p2e3 12388 . . . . . . . 8 (1 + 2) = 3
3025, 13, 13, 1, 26, 27, 28, 29decadd 12764 . . . . . . 7 (1 + 12) = 13
31 3p1e4 12390 . . . . . . 7 (3 + 1) = 4
3213, 15, 13, 30, 31decaddi 12770 . . . . . 6 ((1 + 12) + 1) = 14
33 5cn 12333 . . . . . . 7 5 ∈ ℂ
34 8p5e13 12793 . . . . . . 7 (8 + 5) = 13
353, 33, 34addcomli 11438 . . . . . 6 (5 + 8) = 13
3613, 8, 19, 2, 23, 24, 32, 15, 35decaddc 12765 . . . . 5 (15 + 128) = 143
37 eqid 2725 . . . . . . 7 14 = 14
38 4p1e5 12391 . . . . . . 7 (4 + 1) = 5
3913, 21, 13, 37, 38decaddi 12770 . . . . . 6 (14 + 1) = 15
40 2t2e4 12409 . . . . . . . 8 (2 · 2) = 4
41 1p1e2 12370 . . . . . . . 8 (1 + 1) = 2
4240, 41oveq12i 7431 . . . . . . 7 ((2 · 2) + (1 + 1)) = (4 + 2)
43 4p2e6 12398 . . . . . . 7 (4 + 2) = 6
4442, 43eqtri 2753 . . . . . 6 ((2 · 2) + (1 + 1)) = 6
45 5t2e10 12810 . . . . . . 7 (5 · 2) = 10
4633addlidi 11434 . . . . . . 7 (0 + 5) = 5
4713, 25, 8, 45, 46decaddi 12770 . . . . . 6 ((5 · 2) + 5) = 15
481, 8, 13, 8, 17, 39, 1, 8, 13, 44, 47decmac 12762 . . . . 5 ((25 · 2) + (14 + 1)) = 65
49 6t2e12 12814 . . . . . 6 (6 · 2) = 12
50 3cn 12326 . . . . . . 7 3 ∈ ℂ
51 3p2e5 12396 . . . . . . 7 (3 + 2) = 5
5250, 4, 51addcomli 11438 . . . . . 6 (2 + 3) = 5
5313, 1, 15, 49, 52decaddi 12770 . . . . 5 ((6 · 2) + 3) = 15
549, 10, 22, 15, 12, 36, 1, 8, 13, 48, 53decmac 12762 . . . 4 ((256 · 2) + (15 + 128)) = 655
5515dec0h 12732 . . . . 5 3 = 03
5650addlidi 11434 . . . . . . 7 (0 + 3) = 3
5756, 55eqtri 2753 . . . . . 6 (0 + 3) = 03
584addlidi 11434 . . . . . . . 8 (0 + 2) = 2
5958oveq2i 7430 . . . . . . 7 ((2 · 5) + (0 + 2)) = ((2 · 5) + 2)
6033, 4, 45mulcomli 11255 . . . . . . . 8 (2 · 5) = 10
6113, 25, 1, 60, 58decaddi 12770 . . . . . . 7 ((2 · 5) + 2) = 12
6259, 61eqtri 2753 . . . . . 6 ((2 · 5) + (0 + 2)) = 12
63 5t5e25 12813 . . . . . . 7 (5 · 5) = 25
64 5p3e8 12402 . . . . . . 7 (5 + 3) = 8
651, 8, 15, 63, 64decaddi 12770 . . . . . 6 ((5 · 5) + 3) = 28
661, 8, 25, 15, 17, 57, 8, 2, 1, 62, 65decmac 12762 . . . . 5 ((25 · 5) + (0 + 3)) = 128
67 6t5e30 12817 . . . . . 6 (6 · 5) = 30
6815, 25, 15, 67, 56decaddi 12770 . . . . 5 ((6 · 5) + 3) = 33
699, 10, 25, 15, 12, 55, 8, 15, 15, 66, 68decmac 12762 . . . 4 ((256 · 5) + 3) = 1283
701, 8, 14, 15, 17, 18, 11, 15, 20, 54, 69decma2c 12763 . . 3 ((256 · 25) + 153) = 6553
71 6cn 12336 . . . . . . 7 6 ∈ ℂ
7271, 4, 49mulcomli 11255 . . . . . 6 (2 · 6) = 12
7313, 1, 15, 72, 52decaddi 12770 . . . . 5 ((2 · 6) + 3) = 15
7471, 33, 67mulcomli 11255 . . . . . 6 (5 · 6) = 30
7515, 25, 15, 74, 56decaddi 12770 . . . . 5 ((5 · 6) + 3) = 33
761, 8, 15, 17, 10, 15, 15, 73, 75decrmac 12768 . . . 4 ((25 · 6) + 3) = 153
77 6t6e36 12818 . . . 4 (6 · 6) = 36
7810, 9, 10, 12, 10, 15, 76, 77decmul1c 12775 . . 3 (256 · 6) = 1536
7911, 9, 10, 12, 10, 16, 70, 78decmul2c 12776 . 2 (256 · 256) = 65536
801, 2, 6, 7, 79numexp2x 17051 1 (2↑16) = 65536
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:   = wceq 1533  (class class class)co 7419  0cc0 11140  1c1 11141   + caddc 11143   · cmul 11145  2c2 12300  3c3 12301  4c4 12302  5c5 12303  6c6 12304  8c8 12306  cdc 12710  cexp 14062
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1789  ax-4 1803  ax-5 1905  ax-6 1963  ax-7 2003  ax-8 2100  ax-9 2108  ax-10 2129  ax-11 2146  ax-12 2166  ax-ext 2696  ax-sep 5300  ax-nul 5307  ax-pow 5365  ax-pr 5429  ax-un 7741  ax-cnex 11196  ax-resscn 11197  ax-1cn 11198  ax-icn 11199  ax-addcl 11200  ax-addrcl 11201  ax-mulcl 11202  ax-mulrcl 11203  ax-mulcom 11204  ax-addass 11205  ax-mulass 11206  ax-distr 11207  ax-i2m1 11208  ax-1ne0 11209  ax-1rid 11210  ax-rnegex 11211  ax-rrecex 11212  ax-cnre 11213  ax-pre-lttri 11214  ax-pre-lttrn 11215  ax-pre-ltadd 11216  ax-pre-mulgt0 11217
This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 395  df-or 846  df-3or 1085  df-3an 1086  df-tru 1536  df-fal 1546  df-ex 1774  df-nf 1778  df-sb 2060  df-mo 2528  df-eu 2557  df-clab 2703  df-cleq 2717  df-clel 2802  df-nfc 2877  df-ne 2930  df-nel 3036  df-ral 3051  df-rex 3060  df-reu 3364  df-rab 3419  df-v 3463  df-sbc 3774  df-csb 3890  df-dif 3947  df-un 3949  df-in 3951  df-ss 3961  df-pss 3964  df-nul 4323  df-if 4531  df-pw 4606  df-sn 4631  df-pr 4633  df-op 4637  df-uni 4910  df-iun 4999  df-br 5150  df-opab 5212  df-mpt 5233  df-tr 5267  df-id 5576  df-eprel 5582  df-po 5590  df-so 5591  df-fr 5633  df-we 5635  df-xp 5684  df-rel 5685  df-cnv 5686  df-co 5687  df-dm 5688  df-rn 5689  df-res 5690  df-ima 5691  df-pred 6307  df-ord 6374  df-on 6375  df-lim 6376  df-suc 6377  df-iota 6501  df-fun 6551  df-fn 6552  df-f 6553  df-f1 6554  df-fo 6555  df-f1o 6556  df-fv 6557  df-riota 7375  df-ov 7422  df-oprab 7423  df-mpo 7424  df-om 7872  df-2nd 7995  df-frecs 8287  df-wrecs 8318  df-recs 8392  df-rdg 8431  df-er 8725  df-en 8965  df-dom 8966  df-sdom 8967  df-pnf 11282  df-mnf 11283  df-xr 11284  df-ltxr 11285  df-le 11286  df-sub 11478  df-neg 11479  df-nn 12246  df-2 12308  df-3 12309  df-4 12310  df-5 12311  df-6 12312  df-7 12313  df-8 12314  df-9 12315  df-n0 12506  df-z 12592  df-dec 12711  df-uz 12856  df-seq 14003  df-exp 14063
This theorem is referenced by:  1259lem1  17103  fmtno4  47026  ackval41  47951  ackval42  47952  ackval42a  47953
  Copyright terms: Public domain W3C validator