Theorem 2exp16 17052

Description: Two to the sixteenth power is 65536. (Contributed by Mario Carneiro, 20-Apr-2015.)

Assertion

Ref	Expression
2exp16	⊢ (2↑;16) = ;;;;65536

Proof of Theorem 2exp16

Step	Hyp	Ref	Expression
1		2nn0 12445	. 2 ⊢ 2 ∈ ℕ0
2		8nn0 12451	. 2 ⊢ 8 ∈ ℕ0
3		8cn 12269	. . 3 ⊢ 8 ∈ ℂ
4		2cn 12247	. . 3 ⊢ 2 ∈ ℂ
5		8t2e16 12750	. . 3 ⊢ (8 · 2) = ;16
6	3, 4, 5	mulcomli 11145	. 2 ⊢ (2 · 8) = ;16
7		2exp8 17050	. 2 ⊢ (2↑8) = ;;256
8		5nn0 12448	. . . . 5 ⊢ 5 ∈ ℕ0
9	1, 8	deccl 12650	. . . 4 ⊢ ;25 ∈ ℕ0
10		6nn0 12449	. . . 4 ⊢ 6 ∈ ℕ0
11	9, 10	deccl 12650	. . 3 ⊢ ;;256 ∈ ℕ0
12		eqid 2737	. . 3 ⊢ ;;256 = ;;256
13		1nn0 12444	. . . . 5 ⊢ 1 ∈ ℕ0
14	13, 8	deccl 12650	. . . 4 ⊢ ;15 ∈ ℕ0
15		3nn0 12446	. . . 4 ⊢ 3 ∈ ℕ0
16	14, 15	deccl 12650	. . 3 ⊢ ;;153 ∈ ℕ0
17		eqid 2737	. . . 4 ⊢ ;25 = ;25
18		eqid 2737	. . . 4 ⊢ ;;153 = ;;153
19	13, 1	deccl 12650	. . . . 5 ⊢ ;12 ∈ ℕ0
20	19, 2	deccl 12650	. . . 4 ⊢ ;;128 ∈ ℕ0
21		4nn0 12447	. . . . . 6 ⊢ 4 ∈ ℕ0
22	13, 21	deccl 12650	. . . . 5 ⊢ ;14 ∈ ℕ0
23		eqid 2737	. . . . . 6 ⊢ ;15 = ;15
24		eqid 2737	. . . . . 6 ⊢ ;;128 = ;;128
25		0nn0 12443	. . . . . . . 8 ⊢ 0 ∈ ℕ0
26	13	dec0h 12657	. . . . . . . 8 ⊢ 1 = ;01
27		eqid 2737	. . . . . . . 8 ⊢ ;12 = ;12
28		0p1e1 12289	. . . . . . . 8 ⊢ (0 + 1) = 1
29		1p2e3 12310	. . . . . . . 8 ⊢ (1 + 2) = 3
30	25, 13, 13, 1, 26, 27, 28, 29	decadd 12689	. . . . . . 7 ⊢ (1 + ;12) = ;13
31		3p1e4 12312	. . . . . . 7 ⊢ (3 + 1) = 4
32	13, 15, 13, 30, 31	decaddi 12695	. . . . . 6 ⊢ ((1 + ;12) + 1) = ;14
33		5cn 12260	. . . . . . 7 ⊢ 5 ∈ ℂ
34		8p5e13 12718	. . . . . . 7 ⊢ (8 + 5) = ;13
35	3, 33, 34	addcomli 11329	. . . . . 6 ⊢ (5 + 8) = ;13
36	13, 8, 19, 2, 23, 24, 32, 15, 35	decaddc 12690	. . . . 5 ⊢ (;15 + ;;128) = ;;143
37		eqid 2737	. . . . . . 7 ⊢ ;14 = ;14
38		4p1e5 12313	. . . . . . 7 ⊢ (4 + 1) = 5
39	13, 21, 13, 37, 38	decaddi 12695	. . . . . 6 ⊢ (;14 + 1) = ;15
40		2t2e4 12331	. . . . . . . 8 ⊢ (2 · 2) = 4
41		1p1e2 12292	. . . . . . . 8 ⊢ (1 + 1) = 2
42	40, 41	oveq12i 7372	. . . . . . 7 ⊢ ((2 · 2) + (1 + 1)) = (4 + 2)
43		4p2e6 12320	. . . . . . 7 ⊢ (4 + 2) = 6
44	42, 43	eqtri 2760	. . . . . 6 ⊢ ((2 · 2) + (1 + 1)) = 6
45		5t2e10 12735	. . . . . . 7 ⊢ (5 · 2) = ;10
46	33	addlidi 11325	. . . . . . 7 ⊢ (0 + 5) = 5
47	13, 25, 8, 45, 46	decaddi 12695	. . . . . 6 ⊢ ((5 · 2) + 5) = ;15
48	1, 8, 13, 8, 17, 39, 1, 8, 13, 44, 47	decmac 12687	. . . . 5 ⊢ ((;25 · 2) + (;14 + 1)) = ;65
49		6t2e12 12739	. . . . . 6 ⊢ (6 · 2) = ;12
50		3cn 12253	. . . . . . 7 ⊢ 3 ∈ ℂ
51		3p2e5 12318	. . . . . . 7 ⊢ (3 + 2) = 5
52	50, 4, 51	addcomli 11329	. . . . . 6 ⊢ (2 + 3) = 5
53	13, 1, 15, 49, 52	decaddi 12695	. . . . 5 ⊢ ((6 · 2) + 3) = ;15
54	9, 10, 22, 15, 12, 36, 1, 8, 13, 48, 53	decmac 12687	. . . 4 ⊢ ((;;256 · 2) + (;15 + ;;128)) = ;;655
55	15	dec0h 12657	. . . . 5 ⊢ 3 = ;03
56	50	addlidi 11325	. . . . . . 7 ⊢ (0 + 3) = 3
57	56, 55	eqtri 2760	. . . . . 6 ⊢ (0 + 3) = ;03
58	4	addlidi 11325	. . . . . . . 8 ⊢ (0 + 2) = 2
59	58	oveq2i 7371	. . . . . . 7 ⊢ ((2 · 5) + (0 + 2)) = ((2 · 5) + 2)
60	33, 4, 45	mulcomli 11145	. . . . . . . 8 ⊢ (2 · 5) = ;10
61	13, 25, 1, 60, 58	decaddi 12695	. . . . . . 7 ⊢ ((2 · 5) + 2) = ;12
62	59, 61	eqtri 2760	. . . . . 6 ⊢ ((2 · 5) + (0 + 2)) = ;12
63		5t5e25 12738	. . . . . . 7 ⊢ (5 · 5) = ;25
64		5p3e8 12324	. . . . . . 7 ⊢ (5 + 3) = 8
65	1, 8, 15, 63, 64	decaddi 12695	. . . . . 6 ⊢ ((5 · 5) + 3) = ;28
66	1, 8, 25, 15, 17, 57, 8, 2, 1, 62, 65	decmac 12687	. . . . 5 ⊢ ((;25 · 5) + (0 + 3)) = ;;128
67		6t5e30 12742	. . . . . 6 ⊢ (6 · 5) = ;30
68	15, 25, 15, 67, 56	decaddi 12695	. . . . 5 ⊢ ((6 · 5) + 3) = ;33
69	9, 10, 25, 15, 12, 55, 8, 15, 15, 66, 68	decmac 12687	. . . 4 ⊢ ((;;256 · 5) + 3) = ;;;1283
70	1, 8, 14, 15, 17, 18, 11, 15, 20, 54, 69	decma2c 12688	. . 3 ⊢ ((;;256 · ;25) + ;;153) = ;;;6553
71		6cn 12263	. . . . . . 7 ⊢ 6 ∈ ℂ
72	71, 4, 49	mulcomli 11145	. . . . . 6 ⊢ (2 · 6) = ;12
73	13, 1, 15, 72, 52	decaddi 12695	. . . . 5 ⊢ ((2 · 6) + 3) = ;15
74	71, 33, 67	mulcomli 11145	. . . . . 6 ⊢ (5 · 6) = ;30
75	15, 25, 15, 74, 56	decaddi 12695	. . . . 5 ⊢ ((5 · 6) + 3) = ;33
76	1, 8, 15, 17, 10, 15, 15, 73, 75	decrmac 12693	. . . 4 ⊢ ((;25 · 6) + 3) = ;;153
77		6t6e36 12743	. . . 4 ⊢ (6 · 6) = ;36
78	10, 9, 10, 12, 10, 15, 76, 77	decmul1c 12700	. . 3 ⊢ (;;256 · 6) = ;;;1536
79	11, 9, 10, 12, 10, 16, 70, 78	decmul2c 12701	. 2 ⊢ (;;256 · ;;256) = ;;;;65536
80	1, 2, 6, 7, 79	numexp2x 17040	1 ⊢ (2↑;16) = ;;;;65536

Syntax hints:   = wceq 1542  (class class class)co 7360  0cc0 11029  1c1 11030   + caddc 11032   · cmul 11034  2c2 12227  3c3 12228  4c4 12229  5c5 12230  6c6 12231  8c8 12233  ;cdc 12635  ↑cexp 14014

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1797  ax-4 1811  ax-5 1912  ax-6 1969  ax-7 2010  ax-8 2116  ax-9 2124  ax-10 2147  ax-11 2163  ax-12 2185  ax-ext 2709  ax-sep 5231  ax-nul 5241  ax-pow 5302  ax-pr 5370  ax-un 7682  ax-cnex 11085  ax-resscn 11086  ax-1cn 11087  ax-icn 11088  ax-addcl 11089  ax-addrcl 11090  ax-mulcl 11091  ax-mulrcl 11092  ax-mulcom 11093  ax-addass 11094  ax-mulass 11095  ax-distr 11096  ax-i2m1 11097  ax-1ne0 11098  ax-1rid 11099  ax-rnegex 11100  ax-rrecex 11101  ax-cnre 11102  ax-pre-lttri 11103  ax-pre-lttrn 11104  ax-pre-ltadd 11105  ax-pre-mulgt0 11106

This theorem depends on definitions:  df-bi 207  df-an 396  df-or 849  df-3or 1088  df-3an 1089  df-tru 1545  df-fal 1555  df-ex 1782  df-nf 1786  df-sb 2069  df-mo 2540  df-eu 2570  df-clab 2716  df-cleq 2729  df-clel 2812  df-nfc 2886  df-ne 2934  df-nel 3038  df-ral 3053  df-rex 3063  df-reu 3344  df-rab 3391  df-v 3432  df-sbc 3730  df-csb 3839  df-dif 3893  df-un 3895  df-in 3897  df-ss 3907  df-pss 3910  df-nul 4275  df-if 4468  df-pw 4544  df-sn 4569  df-pr 4571  df-op 4575  df-uni 4852  df-iun 4936  df-br 5087  df-opab 5149  df-mpt 5168  df-tr 5194  df-id 5519  df-eprel 5524  df-po 5532  df-so 5533  df-fr 5577  df-we 5579  df-xp 5630  df-rel 5631  df-cnv 5632  df-co 5633  df-dm 5634  df-rn 5635  df-res 5636  df-ima 5637  df-pred 6259  df-ord 6320  df-on 6321  df-lim 6322  df-suc 6323  df-iota 6448  df-fun 6494  df-fn 6495  df-f 6496  df-f1 6497  df-fo 6498  df-f1o 6499  df-fv 6500  df-riota 7317  df-ov 7363  df-oprab 7364  df-mpo 7365  df-om 7811  df-2nd 7936  df-frecs 8224  df-wrecs 8255  df-recs 8304  df-rdg 8342  df-er 8636  df-en 8887  df-dom 8888  df-sdom 8889  df-pnf 11172  df-mnf 11173  df-xr 11174  df-ltxr 11175  df-le 11176  df-sub 11370  df-neg 11371  df-nn 12166  df-2 12235  df-3 12236  df-4 12237  df-5 12238  df-6 12239  df-7 12240  df-8 12241  df-9 12242  df-n0 12429  df-z 12516  df-dec 12636  df-uz 12780  df-seq 13955  df-exp 14015

This theorem is referenced by:  1259lem1  17092  fmtno4  48027  ackval41  49183  ackval42  49184  ackval42a  49185