Metamath Proof Explorer < Previous   Next > Nearby theorems Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  2exp16 Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem 2exp16 16482
 Description: Two to the sixteenth power is 65536. (Contributed by Mario Carneiro, 20-Apr-2015.)
Assertion
Ref Expression
2exp16 (2↑16) = 65536

Proof of Theorem 2exp16
StepHypRef Expression
1 2nn0 11951 . 2 2 ∈ ℕ0
2 8nn0 11957 . 2 8 ∈ ℕ0
3 8cn 11771 . . 3 8 ∈ ℂ
4 2cn 11749 . . 3 2 ∈ ℂ
5 8t2e16 12252 . . 3 (8 · 2) = 16
63, 4, 5mulcomli 10688 . 2 (2 · 8) = 16
7 2exp8 16480 . 2 (2↑8) = 256
8 5nn0 11954 . . . . 5 5 ∈ ℕ0
91, 8deccl 12152 . . . 4 25 ∈ ℕ0
10 6nn0 11955 . . . 4 6 ∈ ℕ0
119, 10deccl 12152 . . 3 256 ∈ ℕ0
12 eqid 2758 . . 3 256 = 256
13 1nn0 11950 . . . . 5 1 ∈ ℕ0
1413, 8deccl 12152 . . . 4 15 ∈ ℕ0
15 3nn0 11952 . . . 4 3 ∈ ℕ0
1614, 15deccl 12152 . . 3 153 ∈ ℕ0
17 eqid 2758 . . . 4 25 = 25
18 eqid 2758 . . . 4 153 = 153
1913, 1deccl 12152 . . . . 5 12 ∈ ℕ0
2019, 2deccl 12152 . . . 4 128 ∈ ℕ0
21 4nn0 11953 . . . . . 6 4 ∈ ℕ0
2213, 21deccl 12152 . . . . 5 14 ∈ ℕ0
23 eqid 2758 . . . . . 6 15 = 15
24 eqid 2758 . . . . . 6 128 = 128
25 0nn0 11949 . . . . . . . 8 0 ∈ ℕ0
2613dec0h 12159 . . . . . . . 8 1 = 01
27 eqid 2758 . . . . . . . 8 12 = 12
28 0p1e1 11796 . . . . . . . 8 (0 + 1) = 1
29 1p2e3 11817 . . . . . . . 8 (1 + 2) = 3
3025, 13, 13, 1, 26, 27, 28, 29decadd 12191 . . . . . . 7 (1 + 12) = 13
31 3p1e4 11819 . . . . . . 7 (3 + 1) = 4
3213, 15, 13, 30, 31decaddi 12197 . . . . . 6 ((1 + 12) + 1) = 14
33 5cn 11762 . . . . . . 7 5 ∈ ℂ
34 8p5e13 12220 . . . . . . 7 (8 + 5) = 13
353, 33, 34addcomli 10870 . . . . . 6 (5 + 8) = 13
3613, 8, 19, 2, 23, 24, 32, 15, 35decaddc 12192 . . . . 5 (15 + 128) = 143
37 eqid 2758 . . . . . . 7 14 = 14
38 4p1e5 11820 . . . . . . 7 (4 + 1) = 5
3913, 21, 13, 37, 38decaddi 12197 . . . . . 6 (14 + 1) = 15
40 2t2e4 11838 . . . . . . . 8 (2 · 2) = 4
41 1p1e2 11799 . . . . . . . 8 (1 + 1) = 2
4240, 41oveq12i 7162 . . . . . . 7 ((2 · 2) + (1 + 1)) = (4 + 2)
43 4p2e6 11827 . . . . . . 7 (4 + 2) = 6
4442, 43eqtri 2781 . . . . . 6 ((2 · 2) + (1 + 1)) = 6
45 5t2e10 12237 . . . . . . 7 (5 · 2) = 10
4633addid2i 10866 . . . . . . 7 (0 + 5) = 5
4713, 25, 8, 45, 46decaddi 12197 . . . . . 6 ((5 · 2) + 5) = 15
481, 8, 13, 8, 17, 39, 1, 8, 13, 44, 47decmac 12189 . . . . 5 ((25 · 2) + (14 + 1)) = 65
49 6t2e12 12241 . . . . . 6 (6 · 2) = 12
50 3cn 11755 . . . . . . 7 3 ∈ ℂ
51 3p2e5 11825 . . . . . . 7 (3 + 2) = 5
5250, 4, 51addcomli 10870 . . . . . 6 (2 + 3) = 5
5313, 1, 15, 49, 52decaddi 12197 . . . . 5 ((6 · 2) + 3) = 15
549, 10, 22, 15, 12, 36, 1, 8, 13, 48, 53decmac 12189 . . . 4 ((256 · 2) + (15 + 128)) = 655
5515dec0h 12159 . . . . 5 3 = 03
5650addid2i 10866 . . . . . . 7 (0 + 3) = 3
5756, 55eqtri 2781 . . . . . 6 (0 + 3) = 03
584addid2i 10866 . . . . . . . 8 (0 + 2) = 2
5958oveq2i 7161 . . . . . . 7 ((2 · 5) + (0 + 2)) = ((2 · 5) + 2)
6033, 4, 45mulcomli 10688 . . . . . . . 8 (2 · 5) = 10
6113, 25, 1, 60, 58decaddi 12197 . . . . . . 7 ((2 · 5) + 2) = 12
6259, 61eqtri 2781 . . . . . 6 ((2 · 5) + (0 + 2)) = 12
63 5t5e25 12240 . . . . . . 7 (5 · 5) = 25
64 5p3e8 11831 . . . . . . 7 (5 + 3) = 8
651, 8, 15, 63, 64decaddi 12197 . . . . . 6 ((5 · 5) + 3) = 28
661, 8, 25, 15, 17, 57, 8, 2, 1, 62, 65decmac 12189 . . . . 5 ((25 · 5) + (0 + 3)) = 128
67 6t5e30 12244 . . . . . 6 (6 · 5) = 30
6815, 25, 15, 67, 56decaddi 12197 . . . . 5 ((6 · 5) + 3) = 33
699, 10, 25, 15, 12, 55, 8, 15, 15, 66, 68decmac 12189 . . . 4 ((256 · 5) + 3) = 1283
701, 8, 14, 15, 17, 18, 11, 15, 20, 54, 69decma2c 12190 . . 3 ((256 · 25) + 153) = 6553
71 6cn 11765 . . . . . . 7 6 ∈ ℂ
7271, 4, 49mulcomli 10688 . . . . . 6 (2 · 6) = 12
7313, 1, 15, 72, 52decaddi 12197 . . . . 5 ((2 · 6) + 3) = 15
7471, 33, 67mulcomli 10688 . . . . . 6 (5 · 6) = 30
7515, 25, 15, 74, 56decaddi 12197 . . . . 5 ((5 · 6) + 3) = 33
761, 8, 15, 17, 10, 15, 15, 73, 75decrmac 12195 . . . 4 ((25 · 6) + 3) = 153
77 6t6e36 12245 . . . 4 (6 · 6) = 36
7810, 9, 10, 12, 10, 15, 76, 77decmul1c 12202 . . 3 (256 · 6) = 1536
7911, 9, 10, 12, 10, 16, 70, 78decmul2c 12203 . 2 (256 · 256) = 65536
801, 2, 6, 7, 79numexp2x 16470 1 (2↑16) = 65536
 Colors of variables: wff setvar class Syntax hints:   = wceq 1538  (class class class)co 7150  0cc0 10575  1c1 10576   + caddc 10578   · cmul 10580  2c2 11729  3c3 11730  4c4 11731  5c5 11732  6c6 11733  8c8 11735  ;cdc 12137  ↑cexp 13479 This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1797  ax-4 1811  ax-5 1911  ax-6 1970  ax-7 2015  ax-8 2113  ax-9 2121  ax-10 2142  ax-11 2158  ax-12 2175  ax-ext 2729  ax-sep 5169  ax-nul 5176  ax-pow 5234  ax-pr 5298  ax-un 7459  ax-cnex 10631  ax-resscn 10632  ax-1cn 10633  ax-icn 10634  ax-addcl 10635  ax-addrcl 10636  ax-mulcl 10637  ax-mulrcl 10638  ax-mulcom 10639  ax-addass 10640  ax-mulass 10641  ax-distr 10642  ax-i2m1 10643  ax-1ne0 10644  ax-1rid 10645  ax-rnegex 10646  ax-rrecex 10647  ax-cnre 10648  ax-pre-lttri 10649  ax-pre-lttrn 10650  ax-pre-ltadd 10651  ax-pre-mulgt0 10652 This theorem depends on definitions:  df-bi 210  df-an 400  df-or 845  df-3or 1085  df-3an 1086  df-tru 1541  df-fal 1551  df-ex 1782  df-nf 1786  df-sb 2070  df-mo 2557  df-eu 2588  df-clab 2736  df-cleq 2750  df-clel 2830  df-nfc 2901  df-ne 2952  df-nel 3056  df-ral 3075  df-rex 3076  df-reu 3077  df-rab 3079  df-v 3411  df-sbc 3697  df-csb 3806  df-dif 3861  df-un 3863  df-in 3865  df-ss 3875  df-pss 3877  df-nul 4226  df-if 4421  df-pw 4496  df-sn 4523  df-pr 4525  df-tp 4527  df-op 4529  df-uni 4799  df-iun 4885  df-br 5033  df-opab 5095  df-mpt 5113  df-tr 5139  df-id 5430  df-eprel 5435  df-po 5443  df-so 5444  df-fr 5483  df-we 5485  df-xp 5530  df-rel 5531  df-cnv 5532  df-co 5533  df-dm 5534  df-rn 5535  df-res 5536  df-ima 5537  df-pred 6126  df-ord 6172  df-on 6173  df-lim 6174  df-suc 6175  df-iota 6294  df-fun 6337  df-fn 6338  df-f 6339  df-f1 6340  df-fo 6341  df-f1o 6342  df-fv 6343  df-riota 7108  df-ov 7153  df-oprab 7154  df-mpo 7155  df-om 7580  df-2nd 7694  df-wrecs 7957  df-recs 8018  df-rdg 8056  df-er 8299  df-en 8528  df-dom 8529  df-sdom 8530  df-pnf 10715  df-mnf 10716  df-xr 10717  df-ltxr 10718  df-le 10719  df-sub 10910  df-neg 10911  df-nn 11675  df-2 11737  df-3 11738  df-4 11739  df-5 11740  df-6 11741  df-7 11742  df-8 11743  df-9 11744  df-n0 11935  df-z 12021  df-dec 12138  df-uz 12283  df-seq 13419  df-exp 13480 This theorem is referenced by:  1259lem1  16522  fmtno4  44437  ackval41  45474  ackval42  45475  ackval42a  45476
 Copyright terms: Public domain W3C validator