MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  2exp16 Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem 2exp16 15997
Description: Two to the sixteenth power is 65536. (Contributed by Mario Carneiro, 20-Apr-2015.)
Assertion
Ref Expression
2exp16 (2↑16) = 65536

Proof of Theorem 2exp16
StepHypRef Expression
1 2nn0 11509 . 2 2 ∈ ℕ0
2 8nn0 11515 . 2 8 ∈ ℕ0
3 8cn 11306 . . 3 8 ∈ ℂ
4 2cn 11291 . . 3 2 ∈ ℂ
5 8t2e16 11853 . . 3 (8 · 2) = 16
63, 4, 5mulcomli 10247 . 2 (2 · 8) = 16
7 2exp8 15996 . 2 (2↑8) = 256
8 5nn0 11512 . . . . 5 5 ∈ ℕ0
91, 8deccl 11712 . . . 4 25 ∈ ℕ0
10 6nn0 11513 . . . 4 6 ∈ ℕ0
119, 10deccl 11712 . . 3 256 ∈ ℕ0
12 eqid 2771 . . 3 256 = 256
13 1nn0 11508 . . . . 5 1 ∈ ℕ0
1413, 8deccl 11712 . . . 4 15 ∈ ℕ0
15 3nn0 11510 . . . 4 3 ∈ ℕ0
1614, 15deccl 11712 . . 3 153 ∈ ℕ0
17 eqid 2771 . . . 4 25 = 25
18 eqid 2771 . . . 4 153 = 153
1913, 1deccl 11712 . . . . 5 12 ∈ ℕ0
2019, 2deccl 11712 . . . 4 128 ∈ ℕ0
21 4nn0 11511 . . . . . 6 4 ∈ ℕ0
2213, 21deccl 11712 . . . . 5 14 ∈ ℕ0
23 eqid 2771 . . . . . 6 15 = 15
24 eqid 2771 . . . . . 6 128 = 128
25 0nn0 11507 . . . . . . . 8 0 ∈ ℕ0
2613dec0h 11722 . . . . . . . 8 1 = 01
27 eqid 2771 . . . . . . . 8 12 = 12
28 0p1e1 11332 . . . . . . . 8 (0 + 1) = 1
29 1p2e3 11352 . . . . . . . 8 (1 + 2) = 3
3025, 13, 13, 1, 26, 27, 28, 29decadd 11769 . . . . . . 7 (1 + 12) = 13
31 3p1e4 11353 . . . . . . 7 (3 + 1) = 4
3213, 15, 13, 30, 31decaddi 11778 . . . . . 6 ((1 + 12) + 1) = 14
33 5cn 11300 . . . . . . 7 5 ∈ ℂ
34 8p5e13 11814 . . . . . . 7 (8 + 5) = 13
353, 33, 34addcomli 10428 . . . . . 6 (5 + 8) = 13
3613, 8, 19, 2, 23, 24, 32, 15, 35decaddc 11771 . . . . 5 (15 + 128) = 143
37 eqid 2771 . . . . . . 7 14 = 14
38 4p1e5 11354 . . . . . . 7 (4 + 1) = 5
3913, 21, 13, 37, 38decaddi 11778 . . . . . 6 (14 + 1) = 15
40 2t2e4 11377 . . . . . . . 8 (2 · 2) = 4
41 1p1e2 11334 . . . . . . . 8 (1 + 1) = 2
4240, 41oveq12i 6803 . . . . . . 7 ((2 · 2) + (1 + 1)) = (4 + 2)
43 4p2e6 11362 . . . . . . 7 (4 + 2) = 6
4442, 43eqtri 2793 . . . . . 6 ((2 · 2) + (1 + 1)) = 6
45 5t2e10 11833 . . . . . . 7 (5 · 2) = 10
4633addid2i 10424 . . . . . . 7 (0 + 5) = 5
4713, 25, 8, 45, 46decaddi 11778 . . . . . 6 ((5 · 2) + 5) = 15
481, 8, 13, 8, 17, 39, 1, 8, 13, 44, 47decmac 11765 . . . . 5 ((25 · 2) + (14 + 1)) = 65
49 6t2e12 11840 . . . . . 6 (6 · 2) = 12
50 3cn 11295 . . . . . . 7 3 ∈ ℂ
51 3p2e5 11360 . . . . . . 7 (3 + 2) = 5
5250, 4, 51addcomli 10428 . . . . . 6 (2 + 3) = 5
5313, 1, 15, 49, 52decaddi 11778 . . . . 5 ((6 · 2) + 3) = 15
549, 10, 22, 15, 12, 36, 1, 8, 13, 48, 53decmac 11765 . . . 4 ((256 · 2) + (15 + 128)) = 655
5515dec0h 11722 . . . . 5 3 = 03
5650addid2i 10424 . . . . . . 7 (0 + 3) = 3
5756, 55eqtri 2793 . . . . . 6 (0 + 3) = 03
584addid2i 10424 . . . . . . . 8 (0 + 2) = 2
5958oveq2i 6802 . . . . . . 7 ((2 · 5) + (0 + 2)) = ((2 · 5) + 2)
6033, 4, 45mulcomli 10247 . . . . . . . 8 (2 · 5) = 10
6113, 25, 1, 60, 58decaddi 11778 . . . . . . 7 ((2 · 5) + 2) = 12
6259, 61eqtri 2793 . . . . . 6 ((2 · 5) + (0 + 2)) = 12
63 5t5e25 11838 . . . . . . 7 (5 · 5) = 25
64 5p3e8 11366 . . . . . . 7 (5 + 3) = 8
651, 8, 15, 63, 64decaddi 11778 . . . . . 6 ((5 · 5) + 3) = 28
661, 8, 25, 15, 17, 57, 8, 2, 1, 62, 65decmac 11765 . . . . 5 ((25 · 5) + (0 + 3)) = 128
67 6t5e30 11843 . . . . . 6 (6 · 5) = 30
6815, 25, 15, 67, 56decaddi 11778 . . . . 5 ((6 · 5) + 3) = 33
699, 10, 25, 15, 12, 55, 8, 15, 15, 66, 68decmac 11765 . . . 4 ((256 · 5) + 3) = 1283
701, 8, 14, 15, 17, 18, 11, 15, 20, 54, 69decma2c 11767 . . 3 ((256 · 25) + 153) = 6553
71 6cn 11302 . . . . . . 7 6 ∈ ℂ
7271, 4, 49mulcomli 10247 . . . . . 6 (2 · 6) = 12
7313, 1, 15, 72, 52decaddi 11778 . . . . 5 ((2 · 6) + 3) = 15
7471, 33, 67mulcomli 10247 . . . . . 6 (5 · 6) = 30
7515, 25, 15, 74, 56decaddi 11778 . . . . 5 ((5 · 6) + 3) = 33
761, 8, 15, 17, 10, 15, 15, 73, 75decrmac 11776 . . . 4 ((25 · 6) + 3) = 153
77 6t6e36 11845 . . . 4 (6 · 6) = 36
7810, 9, 10, 12, 10, 15, 76, 77decmul1c 11786 . . 3 (256 · 6) = 1536
7911, 9, 10, 12, 10, 16, 70, 78decmul2c 11788 . 2 (256 · 256) = 65536
801, 2, 6, 7, 79numexp2x 15983 1 (2↑16) = 65536
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:   = wceq 1631  (class class class)co 6791  0cc0 10136  1c1 10137   + caddc 10139   · cmul 10141  2c2 11270  3c3 11271  4c4 11272  5c5 11273  6c6 11274  8c8 11276  cdc 11693  cexp 13060
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1870  ax-4 1885  ax-5 1991  ax-6 2057  ax-7 2093  ax-8 2147  ax-9 2154  ax-10 2174  ax-11 2190  ax-12 2203  ax-13 2408  ax-ext 2751  ax-sep 4915  ax-nul 4923  ax-pow 4974  ax-pr 5034  ax-un 7094  ax-cnex 10192  ax-resscn 10193  ax-1cn 10194  ax-icn 10195  ax-addcl 10196  ax-addrcl 10197  ax-mulcl 10198  ax-mulrcl 10199  ax-mulcom 10200  ax-addass 10201  ax-mulass 10202  ax-distr 10203  ax-i2m1 10204  ax-1ne0 10205  ax-1rid 10206  ax-rnegex 10207  ax-rrecex 10208  ax-cnre 10209  ax-pre-lttri 10210  ax-pre-lttrn 10211  ax-pre-ltadd 10212  ax-pre-mulgt0 10213
This theorem depends on definitions:  df-bi 197  df-an 383  df-or 837  df-3or 1072  df-3an 1073  df-tru 1634  df-ex 1853  df-nf 1858  df-sb 2050  df-eu 2622  df-mo 2623  df-clab 2758  df-cleq 2764  df-clel 2767  df-nfc 2902  df-ne 2944  df-nel 3047  df-ral 3066  df-rex 3067  df-reu 3068  df-rab 3070  df-v 3353  df-sbc 3588  df-csb 3683  df-dif 3726  df-un 3728  df-in 3730  df-ss 3737  df-pss 3739  df-nul 4064  df-if 4226  df-pw 4299  df-sn 4317  df-pr 4319  df-tp 4321  df-op 4323  df-uni 4575  df-iun 4656  df-br 4787  df-opab 4847  df-mpt 4864  df-tr 4887  df-id 5157  df-eprel 5162  df-po 5170  df-so 5171  df-fr 5208  df-we 5210  df-xp 5255  df-rel 5256  df-cnv 5257  df-co 5258  df-dm 5259  df-rn 5260  df-res 5261  df-ima 5262  df-pred 5821  df-ord 5867  df-on 5868  df-lim 5869  df-suc 5870  df-iota 5992  df-fun 6031  df-fn 6032  df-f 6033  df-f1 6034  df-fo 6035  df-f1o 6036  df-fv 6037  df-riota 6752  df-ov 6794  df-oprab 6795  df-mpt2 6796  df-om 7211  df-2nd 7314  df-wrecs 7557  df-recs 7619  df-rdg 7657  df-er 7894  df-en 8108  df-dom 8109  df-sdom 8110  df-pnf 10276  df-mnf 10277  df-xr 10278  df-ltxr 10279  df-le 10280  df-sub 10468  df-neg 10469  df-nn 11221  df-2 11279  df-3 11280  df-4 11281  df-5 11282  df-6 11283  df-7 11284  df-8 11285  df-9 11286  df-n0 11493  df-z 11578  df-dec 11694  df-uz 11887  df-seq 13002  df-exp 13061
This theorem is referenced by:  1259lem1  16038  fmtno4  41985
  Copyright terms: Public domain W3C validator