Theorem 2exp8 17027

Description: Two to the eighth power is 256. (Contributed by Mario Carneiro, 20-Apr-2015.)

Assertion

Ref	Expression
2exp8	⊢ (2↑8) = ;;256

Proof of Theorem 2exp8

Step	Hyp	Ref	Expression
1		2nn0 12488	. 2 ⊢ 2 ∈ ℕ0
2		4nn0 12490	. 2 ⊢ 4 ∈ ℕ0
3	2	nn0cni 12483	. . 3 ⊢ 4 ∈ ℂ
4		2cn 12286	. . 3 ⊢ 2 ∈ ℂ
5		4t2e8 12379	. . 3 ⊢ (4 · 2) = 8
6	3, 4, 5	mulcomli 11222	. 2 ⊢ (2 · 4) = 8
7		2exp4 17023	. 2 ⊢ (2↑4) = ;16
8		1nn0 12487	. . . 4 ⊢ 1 ∈ ℕ0
9		6nn0 12492	. . . 4 ⊢ 6 ∈ ℕ0
10	8, 9	deccl 12691	. . 3 ⊢ ;16 ∈ ℕ0
11		eqid 2724	. . 3 ⊢ ;16 = ;16
12		9nn0 12495	. . 3 ⊢ 9 ∈ ℕ0
13	10	nn0cni 12483	. . . . 5 ⊢ ;16 ∈ ℂ
14	13	mulridi 11217	. . . 4 ⊢ (;16 · 1) = ;16
15		1p1e2 12336	. . . 4 ⊢ (1 + 1) = 2
16		5nn0 12491	. . . 4 ⊢ 5 ∈ ℕ0
17		9cn 12311	. . . . 5 ⊢ 9 ∈ ℂ
18		6cn 12302	. . . . 5 ⊢ 6 ∈ ℂ
19		9p6e15 12767	. . . . 5 ⊢ (9 + 6) = ;15
20	17, 18, 19	addcomli 11405	. . . 4 ⊢ (6 + 9) = ;15
21	8, 9, 12, 14, 15, 16, 20	decaddci 12737	. . 3 ⊢ ((;16 · 1) + 9) = ;25
22		3nn0 12489	. . . 4 ⊢ 3 ∈ ℕ0
23	18	mullidi 11218	. . . . . 6 ⊢ (1 · 6) = 6
24	23	oveq1i 7412	. . . . 5 ⊢ ((1 · 6) + 3) = (6 + 3)
25		6p3e9 12371	. . . . 5 ⊢ (6 + 3) = 9
26	24, 25	eqtri 2752	. . . 4 ⊢ ((1 · 6) + 3) = 9
27		6t6e36 12784	. . . 4 ⊢ (6 · 6) = ;36
28	9, 8, 9, 11, 9, 22, 26, 27	decmul1c 12741	. . 3 ⊢ (;16 · 6) = ;96
29	10, 8, 9, 11, 9, 12, 21, 28	decmul2c 12742	. 2 ⊢ (;16 · ;16) = ;;256
30	1, 2, 6, 7, 29	numexp2x 17017	1 ⊢ (2↑8) = ;;256

Syntax hints:   = wceq 1533  (class class class)co 7402  1c1 11108   + caddc 11110   · cmul 11112  2c2 12266  3c3 12267  4c4 12268  5c5 12269  6c6 12270  8c8 12272  9c9 12273  ;cdc 12676  ↑cexp 14028

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1789  ax-4 1803  ax-5 1905  ax-6 1963  ax-7 2003  ax-8 2100  ax-9 2108  ax-10 2129  ax-11 2146  ax-12 2163  ax-ext 2695  ax-sep 5290  ax-nul 5297  ax-pow 5354  ax-pr 5418  ax-un 7719  ax-cnex 11163  ax-resscn 11164  ax-1cn 11165  ax-icn 11166  ax-addcl 11167  ax-addrcl 11168  ax-mulcl 11169  ax-mulrcl 11170  ax-mulcom 11171  ax-addass 11172  ax-mulass 11173  ax-distr 11174  ax-i2m1 11175  ax-1ne0 11176  ax-1rid 11177  ax-rnegex 11178  ax-rrecex 11179  ax-cnre 11180  ax-pre-lttri 11181  ax-pre-lttrn 11182  ax-pre-ltadd 11183  ax-pre-mulgt0 11184

This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 396  df-or 845  df-3or 1085  df-3an 1086  df-tru 1536  df-fal 1546  df-ex 1774  df-nf 1778  df-sb 2060  df-mo 2526  df-eu 2555  df-clab 2702  df-cleq 2716  df-clel 2802  df-nfc 2877  df-ne 2933  df-nel 3039  df-ral 3054  df-rex 3063  df-reu 3369  df-rab 3425  df-v 3468  df-sbc 3771  df-csb 3887  df-dif 3944  df-un 3946  df-in 3948  df-ss 3958  df-pss 3960  df-nul 4316  df-if 4522  df-pw 4597  df-sn 4622  df-pr 4624  df-op 4628  df-uni 4901  df-iun 4990  df-br 5140  df-opab 5202  df-mpt 5223  df-tr 5257  df-id 5565  df-eprel 5571  df-po 5579  df-so 5580  df-fr 5622  df-we 5624  df-xp 5673  df-rel 5674  df-cnv 5675  df-co 5676  df-dm 5677  df-rn 5678  df-res 5679  df-ima 5680  df-pred 6291  df-ord 6358  df-on 6359  df-lim 6360  df-suc 6361  df-iota 6486  df-fun 6536  df-fn 6537  df-f 6538  df-f1 6539  df-fo 6540  df-f1o 6541  df-fv 6542  df-riota 7358  df-ov 7405  df-oprab 7406  df-mpo 7407  df-om 7850  df-2nd 7970  df-frecs 8262  df-wrecs 8293  df-recs 8367  df-rdg 8406  df-er 8700  df-en 8937  df-dom 8938  df-sdom 8939  df-pnf 11249  df-mnf 11250  df-xr 11251  df-ltxr 11252  df-le 11253  df-sub 11445  df-neg 11446  df-nn 12212  df-2 12274  df-3 12275  df-4 12276  df-5 12277  df-6 12278  df-7 12279  df-8 12280  df-9 12281  df-n0 12472  df-z 12558  df-dec 12677  df-uz 12822  df-seq 13968  df-exp 14029

This theorem is referenced by:  2exp11  17028  2exp16  17029  2503lem1  17075  quart1lem  26727  quart1  26728  lcmineqlem  41423  aks4d1p1  41447  fmtno3  46764  fmtno4sqrt  46784