Theorem 2exp8 17123

Description: Two to the eighth power is 256. (Contributed by Mario Carneiro, 20-Apr-2015.)

Assertion

Ref	Expression
2exp8	⊢ (2↑8) = ;;256

Proof of Theorem 2exp8

Step	Hyp	Ref	Expression
1		2nn0 12541	. 2 ⊢ 2 ∈ ℕ0
2		4nn0 12543	. 2 ⊢ 4 ∈ ℕ0
3	2	nn0cni 12536	. . 3 ⊢ 4 ∈ ℂ
4		2cn 12339	. . 3 ⊢ 2 ∈ ℂ
5		4t2e8 12432	. . 3 ⊢ (4 · 2) = 8
6	3, 4, 5	mulcomli 11268	. 2 ⊢ (2 · 4) = 8
7		2exp4 17119	. 2 ⊢ (2↑4) = ;16
8		1nn0 12540	. . . 4 ⊢ 1 ∈ ℕ0
9		6nn0 12545	. . . 4 ⊢ 6 ∈ ℕ0
10	8, 9	deccl 12746	. . 3 ⊢ ;16 ∈ ℕ0
11		eqid 2735	. . 3 ⊢ ;16 = ;16
12		9nn0 12548	. . 3 ⊢ 9 ∈ ℕ0
13	10	nn0cni 12536	. . . . 5 ⊢ ;16 ∈ ℂ
14	13	mulridi 11263	. . . 4 ⊢ (;16 · 1) = ;16
15		1p1e2 12389	. . . 4 ⊢ (1 + 1) = 2
16		5nn0 12544	. . . 4 ⊢ 5 ∈ ℕ0
17		9cn 12364	. . . . 5 ⊢ 9 ∈ ℂ
18		6cn 12355	. . . . 5 ⊢ 6 ∈ ℂ
19		9p6e15 12822	. . . . 5 ⊢ (9 + 6) = ;15
20	17, 18, 19	addcomli 11451	. . . 4 ⊢ (6 + 9) = ;15
21	8, 9, 12, 14, 15, 16, 20	decaddci 12792	. . 3 ⊢ ((;16 · 1) + 9) = ;25
22		3nn0 12542	. . . 4 ⊢ 3 ∈ ℕ0
23	18	mullidi 11264	. . . . . 6 ⊢ (1 · 6) = 6
24	23	oveq1i 7441	. . . . 5 ⊢ ((1 · 6) + 3) = (6 + 3)
25		6p3e9 12424	. . . . 5 ⊢ (6 + 3) = 9
26	24, 25	eqtri 2763	. . . 4 ⊢ ((1 · 6) + 3) = 9
27		6t6e36 12839	. . . 4 ⊢ (6 · 6) = ;36
28	9, 8, 9, 11, 9, 22, 26, 27	decmul1c 12796	. . 3 ⊢ (;16 · 6) = ;96
29	10, 8, 9, 11, 9, 12, 21, 28	decmul2c 12797	. 2 ⊢ (;16 · ;16) = ;;256
30	1, 2, 6, 7, 29	numexp2x 17113	1 ⊢ (2↑8) = ;;256

Syntax hints:   = wceq 1537  (class class class)co 7431  1c1 11154   + caddc 11156   · cmul 11158  2c2 12319  3c3 12320  4c4 12321  5c5 12322  6c6 12323  8c8 12325  9c9 12326  ;cdc 12731  ↑cexp 14099

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1792  ax-4 1806  ax-5 1908  ax-6 1965  ax-7 2005  ax-8 2108  ax-9 2116  ax-10 2139  ax-11 2155  ax-12 2175  ax-ext 2706  ax-sep 5302  ax-nul 5312  ax-pow 5371  ax-pr 5438  ax-un 7754  ax-cnex 11209  ax-resscn 11210  ax-1cn 11211  ax-icn 11212  ax-addcl 11213  ax-addrcl 11214  ax-mulcl 11215  ax-mulrcl 11216  ax-mulcom 11217  ax-addass 11218  ax-mulass 11219  ax-distr 11220  ax-i2m1 11221  ax-1ne0 11222  ax-1rid 11223  ax-rnegex 11224  ax-rrecex 11225  ax-cnre 11226  ax-pre-lttri 11227  ax-pre-lttrn 11228  ax-pre-ltadd 11229  ax-pre-mulgt0 11230

This theorem depends on definitions:  df-bi 207  df-an 396  df-or 848  df-3or 1087  df-3an 1088  df-tru 1540  df-fal 1550  df-ex 1777  df-nf 1781  df-sb 2063  df-mo 2538  df-eu 2567  df-clab 2713  df-cleq 2727  df-clel 2814  df-nfc 2890  df-ne 2939  df-nel 3045  df-ral 3060  df-rex 3069  df-reu 3379  df-rab 3434  df-v 3480  df-sbc 3792  df-csb 3909  df-dif 3966  df-un 3968  df-in 3970  df-ss 3980  df-pss 3983  df-nul 4340  df-if 4532  df-pw 4607  df-sn 4632  df-pr 4634  df-op 4638  df-uni 4913  df-iun 4998  df-br 5149  df-opab 5211  df-mpt 5232  df-tr 5266  df-id 5583  df-eprel 5589  df-po 5597  df-so 5598  df-fr 5641  df-we 5643  df-xp 5695  df-rel 5696  df-cnv 5697  df-co 5698  df-dm 5699  df-rn 5700  df-res 5701  df-ima 5702  df-pred 6323  df-ord 6389  df-on 6390  df-lim 6391  df-suc 6392  df-iota 6516  df-fun 6565  df-fn 6566  df-f 6567  df-f1 6568  df-fo 6569  df-f1o 6570  df-fv 6571  df-riota 7388  df-ov 7434  df-oprab 7435  df-mpo 7436  df-om 7888  df-2nd 8014  df-frecs 8305  df-wrecs 8336  df-recs 8410  df-rdg 8449  df-er 8744  df-en 8985  df-dom 8986  df-sdom 8987  df-pnf 11295  df-mnf 11296  df-xr 11297  df-ltxr 11298  df-le 11299  df-sub 11492  df-neg 11493  df-nn 12265  df-2 12327  df-3 12328  df-4 12329  df-5 12330  df-6 12331  df-7 12332  df-8 12333  df-9 12334  df-n0 12525  df-z 12612  df-dec 12732  df-uz 12877  df-seq 14040  df-exp 14100

This theorem is referenced by:  2exp11  17124  2exp16  17125  2503lem1  17171  quart1lem  26913  quart1  26914  lcmineqlem  42034  aks4d1p1  42058  fmtno3  47476  fmtno4sqrt  47496