Theorem 2exp8 17021

Description: Two to the eighth power is 256. (Contributed by Mario Carneiro, 20-Apr-2015.)

Assertion

Ref	Expression
2exp8	⊢ (2↑8) = ;;256

Proof of Theorem 2exp8

Step	Hyp	Ref	Expression
1		2nn0 12488	. 2 ⊢ 2 ∈ ℕ0
2		4nn0 12490	. 2 ⊢ 4 ∈ ℕ0
3	2	nn0cni 12483	. . 3 ⊢ 4 ∈ ℂ
4		2cn 12286	. . 3 ⊢ 2 ∈ ℂ
5		4t2e8 12379	. . 3 ⊢ (4 · 2) = 8
6	3, 4, 5	mulcomli 11222	. 2 ⊢ (2 · 4) = 8
7		2exp4 17017	. 2 ⊢ (2↑4) = ;16
8		1nn0 12487	. . . 4 ⊢ 1 ∈ ℕ0
9		6nn0 12492	. . . 4 ⊢ 6 ∈ ℕ0
10	8, 9	deccl 12691	. . 3 ⊢ ;16 ∈ ℕ0
11		eqid 2732	. . 3 ⊢ ;16 = ;16
12		9nn0 12495	. . 3 ⊢ 9 ∈ ℕ0
13	10	nn0cni 12483	. . . . 5 ⊢ ;16 ∈ ℂ
14	13	mulridi 11217	. . . 4 ⊢ (;16 · 1) = ;16
15		1p1e2 12336	. . . 4 ⊢ (1 + 1) = 2
16		5nn0 12491	. . . 4 ⊢ 5 ∈ ℕ0
17		9cn 12311	. . . . 5 ⊢ 9 ∈ ℂ
18		6cn 12302	. . . . 5 ⊢ 6 ∈ ℂ
19		9p6e15 12767	. . . . 5 ⊢ (9 + 6) = ;15
20	17, 18, 19	addcomli 11405	. . . 4 ⊢ (6 + 9) = ;15
21	8, 9, 12, 14, 15, 16, 20	decaddci 12737	. . 3 ⊢ ((;16 · 1) + 9) = ;25
22		3nn0 12489	. . . 4 ⊢ 3 ∈ ℕ0
23	18	mullidi 11218	. . . . . 6 ⊢ (1 · 6) = 6
24	23	oveq1i 7418	. . . . 5 ⊢ ((1 · 6) + 3) = (6 + 3)
25		6p3e9 12371	. . . . 5 ⊢ (6 + 3) = 9
26	24, 25	eqtri 2760	. . . 4 ⊢ ((1 · 6) + 3) = 9
27		6t6e36 12784	. . . 4 ⊢ (6 · 6) = ;36
28	9, 8, 9, 11, 9, 22, 26, 27	decmul1c 12741	. . 3 ⊢ (;16 · 6) = ;96
29	10, 8, 9, 11, 9, 12, 21, 28	decmul2c 12742	. 2 ⊢ (;16 · ;16) = ;;256
30	1, 2, 6, 7, 29	numexp2x 17011	1 ⊢ (2↑8) = ;;256

Syntax hints:   = wceq 1541  (class class class)co 7408  1c1 11110   + caddc 11112   · cmul 11114  2c2 12266  3c3 12267  4c4 12268  5c5 12269  6c6 12270  8c8 12272  9c9 12273  ;cdc 12676  ↑cexp 14026

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1797  ax-4 1811  ax-5 1913  ax-6 1971  ax-7 2011  ax-8 2108  ax-9 2116  ax-10 2137  ax-11 2154  ax-12 2171  ax-ext 2703  ax-sep 5299  ax-nul 5306  ax-pow 5363  ax-pr 5427  ax-un 7724  ax-cnex 11165  ax-resscn 11166  ax-1cn 11167  ax-icn 11168  ax-addcl 11169  ax-addrcl 11170  ax-mulcl 11171  ax-mulrcl 11172  ax-mulcom 11173  ax-addass 11174  ax-mulass 11175  ax-distr 11176  ax-i2m1 11177  ax-1ne0 11178  ax-1rid 11179  ax-rnegex 11180  ax-rrecex 11181  ax-cnre 11182  ax-pre-lttri 11183  ax-pre-lttrn 11184  ax-pre-ltadd 11185  ax-pre-mulgt0 11186

This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 397  df-or 846  df-3or 1088  df-3an 1089  df-tru 1544  df-fal 1554  df-ex 1782  df-nf 1786  df-sb 2068  df-mo 2534  df-eu 2563  df-clab 2710  df-cleq 2724  df-clel 2810  df-nfc 2885  df-ne 2941  df-nel 3047  df-ral 3062  df-rex 3071  df-reu 3377  df-rab 3433  df-v 3476  df-sbc 3778  df-csb 3894  df-dif 3951  df-un 3953  df-in 3955  df-ss 3965  df-pss 3967  df-nul 4323  df-if 4529  df-pw 4604  df-sn 4629  df-pr 4631  df-op 4635  df-uni 4909  df-iun 4999  df-br 5149  df-opab 5211  df-mpt 5232  df-tr 5266  df-id 5574  df-eprel 5580  df-po 5588  df-so 5589  df-fr 5631  df-we 5633  df-xp 5682  df-rel 5683  df-cnv 5684  df-co 5685  df-dm 5686  df-rn 5687  df-res 5688  df-ima 5689  df-pred 6300  df-ord 6367  df-on 6368  df-lim 6369  df-suc 6370  df-iota 6495  df-fun 6545  df-fn 6546  df-f 6547  df-f1 6548  df-fo 6549  df-f1o 6550  df-fv 6551  df-riota 7364  df-ov 7411  df-oprab 7412  df-mpo 7413  df-om 7855  df-2nd 7975  df-frecs 8265  df-wrecs 8296  df-recs 8370  df-rdg 8409  df-er 8702  df-en 8939  df-dom 8940  df-sdom 8941  df-pnf 11249  df-mnf 11250  df-xr 11251  df-ltxr 11252  df-le 11253  df-sub 11445  df-neg 11446  df-nn 12212  df-2 12274  df-3 12275  df-4 12276  df-5 12277  df-6 12278  df-7 12279  df-8 12280  df-9 12281  df-n0 12472  df-z 12558  df-dec 12677  df-uz 12822  df-seq 13966  df-exp 14027

This theorem is referenced by:  2exp11  17022  2exp16  17023  2503lem1  17069  quart1lem  26357  quart1  26358  lcmineqlem  40912  aks4d1p1  40936  fmtno3  46209  fmtno4sqrt  46229