Theorem 2exp8 17180

Description: Two to the eighth power is 256. (Contributed by Mario Carneiro, 20-Apr-2015.)

Assertion

Ref	Expression
2exp8	⊢ (2↑8) = ;;256

Proof of Theorem 2exp8

Step	Hyp	Ref	Expression
1		2nn0 12545	. 2 ⊢ 2 ∈ ℕ0
2		4nn0 12547	. 2 ⊢ 4 ∈ ℕ0
3		2t4e8 12434	. 2 ⊢ (2 · 4) = 8
4		2exp4 17176	. 2 ⊢ (2↑4) = ;16
5		1nn0 12544	. . . 4 ⊢ 1 ∈ ℕ0
6		6nn0 12549	. . . 4 ⊢ 6 ∈ ℕ0
7	5, 6	deccl 12751	. . 3 ⊢ ;16 ∈ ℕ0
8		eqid 2760	. . 3 ⊢ ;16 = ;16
9		9nn0 12552	. . 3 ⊢ 9 ∈ ℕ0
10	7	nn0cni 12540	. . . . 5 ⊢ ;16 ∈ ℂ
11	10	mulridi 11237	. . . 4 ⊢ (;16 · 1) = ;16
12		1p1e2 12388	. . . 4 ⊢ (1 + 1) = 2
13		5nn0 12548	. . . 4 ⊢ 5 ∈ ℕ0
14		9cn 12365	. . . . 5 ⊢ 9 ∈ ℂ
15		6cn 12356	. . . . 5 ⊢ 6 ∈ ℂ
16		9p6e15 12832	. . . . 5 ⊢ (9 + 6) = ;15
17	14, 15, 16	addcomli 11426	. . . 4 ⊢ (6 + 9) = ;15
18	5, 6, 9, 11, 12, 13, 17	decaddci 12802	. . 3 ⊢ ((;16 · 1) + 9) = ;25
19		3nn0 12546	. . . 4 ⊢ 3 ∈ ℕ0
20	15	mullidi 11238	. . . . . 6 ⊢ (1 · 6) = 6
21	20	oveq1i 7423	. . . . 5 ⊢ ((1 · 6) + 3) = (6 + 3)
22		6p3e9 12424	. . . . 5 ⊢ (6 + 3) = 9
23	21, 22	eqtri 2783	. . . 4 ⊢ ((1 · 6) + 3) = 9
24		6t6e36 12849	. . . 4 ⊢ (6 · 6) = ;36
25	6, 5, 6, 8, 6, 19, 23, 24	decmul1c 12806	. . 3 ⊢ (;16 · 6) = ;96
26	7, 5, 6, 8, 6, 9, 18, 25	decmul2c 12807	. 2 ⊢ (;16 · ;16) = ;;256
27	1, 2, 3, 4, 26	numexp2x 17170	1 ⊢ (2↑8) = ;;256

This proof depends on syntax axioms:   = wceq 1570  (class class class)co 7413  1c1 11125   + caddc 11127   · cmul 11129  2c2 12319  3c3 12320  4c4 12321  5c5 12322  6c6 12323  8c8 12325  9c9 12326  ;cdc 12736  ↑cexp 14125

This proof depends on axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1828  ax-4 1842  ax-5 1943  ax-6 2000  ax-7 2041  ax-8 2147  ax-9 2155  ax-10 2178  ax-11 2194  ax-12 2213  ax-ext 2732  ax-sep 5251  ax-nul 5263  ax-pow 5330  ax-pr 5398  ax-un 7736  ax-cnex 11180  ax-resscn 11181  ax-1cn 11182  ax-icn 11183  ax-addcl 11184  ax-addrcl 11185  ax-mulcl 11186  ax-mulrcl 11187  ax-mulcom 11188  ax-addass 11189  ax-mulass 11190  ax-distr 11191  ax-i2m1 11192  ax-1ne0 11193  ax-1rid 11194  ax-rnegex 11195  ax-rrecex 11196  ax-cnre 11197  ax-pre-lttri 11198  ax-pre-lttrn 11199  ax-pre-ltadd 11200  ax-pre-mulgt0 11201

This proof depends on definitions:  df-bi 210  df-an 402  df-or 862  df-3or 1104  df-3an 1105  df-tru 1573  df-fal 1583  df-ex 1813  df-nf 1817  df-sb 2100  df-mo 2564  df-eu 2594  df-clab 2739  df-cleq 2752  df-clel 2835  df-nfc 2909  df-ne 2956  df-nel 3062  df-ral 3077  df-rex 3087  df-reu 3366  df-rab 3413  df-v 3452  df-sbc 3740  df-csb 3848  df-dif 3902  df-un 3904  df-in 3906  df-ss 3916  df-pss 3919  df-nul 4280  df-if 4483  df-pw 4559  df-sn 4585  df-pr 4587  df-op 4591  df-uni 4868  df-iun 4953  df-br 5104  df-opab 5168  df-mpt 5187  df-tr 5213  df-id 5550  df-eprel 5555  df-po 5563  df-so 5564  df-fr 5608  df-we 5610  df-xp 5661  df-rel 5662  df-cnv 5663  df-co 5664  df-dm 5665  df-rn 5666  df-res 5667  df-ima 5668  df-pred 6299  df-ord 6360  df-on 6361  df-lim 6362  df-suc 6363  df-iota 6489  df-fun 6535  df-fn 6536  df-f 6537  df-f1 6538  df-fo 6539  df-f1o 6540  df-fv 6541  df-riota 7370  df-ov 7416  df-oprab 7417  df-mpo 7418  df-om 7863  df-2nd 7987  df-frecs 8280  df-wrecs 8311  df-recs 8360  df-rdg 8399  df-er 8696  df-en 8953  df-dom 8954  df-sdom 8955  df-pnf 11269  df-mnf 11270  df-xr 11271  df-ltxr 11272  df-le 11273  df-sub 11467  df-neg 11468  df-nn 12258  df-2 12327  df-3 12328  df-4 12329  df-5 12330  df-6 12331  df-7 12332  df-8 12333  df-9 12334  df-n0 12529  df-z 12616  df-dec 12737  df-uz 12888  df-seq 14066  df-exp 14126

This theorem is used by:  2exp11  17181  2exp16  17182  2503lem1  17229  quart1lem  27092  quart1  27093  lcmineqlem  42918  aks4d1p1  42942  fmtno3  48454  fmtno4sqrt  48474