Theorem 2exp8 17028

Description: Two to the eighth power is 256. (Contributed by Mario Carneiro, 20-Apr-2015.)

Assertion

Ref	Expression
2exp8	⊢ (2↑8) = ;;256

Proof of Theorem 2exp8

Step	Hyp	Ref	Expression
1		2nn0 12430	. 2 ⊢ 2 ∈ ℕ0
2		4nn0 12432	. 2 ⊢ 4 ∈ ℕ0
3	2	nn0cni 12425	. . 3 ⊢ 4 ∈ ℂ
4		2cn 12232	. . 3 ⊢ 2 ∈ ℂ
5		4t2e8 12320	. . 3 ⊢ (4 · 2) = 8
6	3, 4, 5	mulcomli 11153	. 2 ⊢ (2 · 4) = 8
7		2exp4 17024	. 2 ⊢ (2↑4) = ;16
8		1nn0 12429	. . . 4 ⊢ 1 ∈ ℕ0
9		6nn0 12434	. . . 4 ⊢ 6 ∈ ℕ0
10	8, 9	deccl 12634	. . 3 ⊢ ;16 ∈ ℕ0
11		eqid 2737	. . 3 ⊢ ;16 = ;16
12		9nn0 12437	. . 3 ⊢ 9 ∈ ℕ0
13	10	nn0cni 12425	. . . . 5 ⊢ ;16 ∈ ℂ
14	13	mulridi 11148	. . . 4 ⊢ (;16 · 1) = ;16
15		1p1e2 12277	. . . 4 ⊢ (1 + 1) = 2
16		5nn0 12433	. . . 4 ⊢ 5 ∈ ℕ0
17		9cn 12257	. . . . 5 ⊢ 9 ∈ ℂ
18		6cn 12248	. . . . 5 ⊢ 6 ∈ ℂ
19		9p6e15 12710	. . . . 5 ⊢ (9 + 6) = ;15
20	17, 18, 19	addcomli 11337	. . . 4 ⊢ (6 + 9) = ;15
21	8, 9, 12, 14, 15, 16, 20	decaddci 12680	. . 3 ⊢ ((;16 · 1) + 9) = ;25
22		3nn0 12431	. . . 4 ⊢ 3 ∈ ℕ0
23	18	mullidi 11149	. . . . . 6 ⊢ (1 · 6) = 6
24	23	oveq1i 7378	. . . . 5 ⊢ ((1 · 6) + 3) = (6 + 3)
25		6p3e9 12312	. . . . 5 ⊢ (6 + 3) = 9
26	24, 25	eqtri 2760	. . . 4 ⊢ ((1 · 6) + 3) = 9
27		6t6e36 12727	. . . 4 ⊢ (6 · 6) = ;36
28	9, 8, 9, 11, 9, 22, 26, 27	decmul1c 12684	. . 3 ⊢ (;16 · 6) = ;96
29	10, 8, 9, 11, 9, 12, 21, 28	decmul2c 12685	. 2 ⊢ (;16 · ;16) = ;;256
30	1, 2, 6, 7, 29	numexp2x 17018	1 ⊢ (2↑8) = ;;256

Syntax hints:   = wceq 1542  (class class class)co 7368  1c1 11039   + caddc 11041   · cmul 11043  2c2 12212  3c3 12213  4c4 12214  5c5 12215  6c6 12216  8c8 12218  9c9 12219  ;cdc 12619  ↑cexp 13996

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1797  ax-4 1811  ax-5 1912  ax-6 1969  ax-7 2010  ax-8 2116  ax-9 2124  ax-10 2147  ax-11 2163  ax-12 2185  ax-ext 2709  ax-sep 5243  ax-nul 5253  ax-pow 5312  ax-pr 5379  ax-un 7690  ax-cnex 11094  ax-resscn 11095  ax-1cn 11096  ax-icn 11097  ax-addcl 11098  ax-addrcl 11099  ax-mulcl 11100  ax-mulrcl 11101  ax-mulcom 11102  ax-addass 11103  ax-mulass 11104  ax-distr 11105  ax-i2m1 11106  ax-1ne0 11107  ax-1rid 11108  ax-rnegex 11109  ax-rrecex 11110  ax-cnre 11111  ax-pre-lttri 11112  ax-pre-lttrn 11113  ax-pre-ltadd 11114  ax-pre-mulgt0 11115

This theorem depends on definitions:  df-bi 207  df-an 396  df-or 849  df-3or 1088  df-3an 1089  df-tru 1545  df-fal 1555  df-ex 1782  df-nf 1786  df-sb 2069  df-mo 2540  df-eu 2570  df-clab 2716  df-cleq 2729  df-clel 2812  df-nfc 2886  df-ne 2934  df-nel 3038  df-ral 3053  df-rex 3063  df-reu 3353  df-rab 3402  df-v 3444  df-sbc 3743  df-csb 3852  df-dif 3906  df-un 3908  df-in 3910  df-ss 3920  df-pss 3923  df-nul 4288  df-if 4482  df-pw 4558  df-sn 4583  df-pr 4585  df-op 4589  df-uni 4866  df-iun 4950  df-br 5101  df-opab 5163  df-mpt 5182  df-tr 5208  df-id 5527  df-eprel 5532  df-po 5540  df-so 5541  df-fr 5585  df-we 5587  df-xp 5638  df-rel 5639  df-cnv 5640  df-co 5641  df-dm 5642  df-rn 5643  df-res 5644  df-ima 5645  df-pred 6267  df-ord 6328  df-on 6329  df-lim 6330  df-suc 6331  df-iota 6456  df-fun 6502  df-fn 6503  df-f 6504  df-f1 6505  df-fo 6506  df-f1o 6507  df-fv 6508  df-riota 7325  df-ov 7371  df-oprab 7372  df-mpo 7373  df-om 7819  df-2nd 7944  df-frecs 8233  df-wrecs 8264  df-recs 8313  df-rdg 8351  df-er 8645  df-en 8896  df-dom 8897  df-sdom 8898  df-pnf 11180  df-mnf 11181  df-xr 11182  df-ltxr 11183  df-le 11184  df-sub 11378  df-neg 11379  df-nn 12158  df-2 12220  df-3 12221  df-4 12222  df-5 12223  df-6 12224  df-7 12225  df-8 12226  df-9 12227  df-n0 12414  df-z 12501  df-dec 12620  df-uz 12764  df-seq 13937  df-exp 13997

This theorem is referenced by:  2exp11  17029  2exp16  17030  2503lem1  17076  quart1lem  26833  quart1  26834  lcmineqlem  42422  aks4d1p1  42446  fmtno3  47911  fmtno4sqrt  47931