MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  2exp8 Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem 2exp8 16953
Description: Two to the eighth power is 256. (Contributed by Mario Carneiro, 20-Apr-2015.)
Assertion
Ref Expression
2exp8 (2↑8) = 256

Proof of Theorem 2exp8
StepHypRef Expression
1 2nn0 12426 . 2 2 ∈ ℕ0
2 4nn0 12428 . 2 4 ∈ ℕ0
32nn0cni 12421 . . 3 4 ∈ ℂ
4 2cn 12224 . . 3 2 ∈ ℂ
5 4t2e8 12317 . . 3 (4 · 2) = 8
63, 4, 5mulcomli 11160 . 2 (2 · 4) = 8
7 2exp4 16949 . 2 (2↑4) = 16
8 1nn0 12425 . . . 4 1 ∈ ℕ0
9 6nn0 12430 . . . 4 6 ∈ ℕ0
108, 9deccl 12629 . . 3 16 ∈ ℕ0
11 eqid 2736 . . 3 16 = 16
12 9nn0 12433 . . 3 9 ∈ ℕ0
1310nn0cni 12421 . . . . 5 16 ∈ ℂ
1413mulid1i 11155 . . . 4 (16 · 1) = 16
15 1p1e2 12274 . . . 4 (1 + 1) = 2
16 5nn0 12429 . . . 4 5 ∈ ℕ0
17 9cn 12249 . . . . 5 9 ∈ ℂ
18 6cn 12240 . . . . 5 6 ∈ ℂ
19 9p6e15 12705 . . . . 5 (9 + 6) = 15
2017, 18, 19addcomli 11343 . . . 4 (6 + 9) = 15
218, 9, 12, 14, 15, 16, 20decaddci 12675 . . 3 ((16 · 1) + 9) = 25
22 3nn0 12427 . . . 4 3 ∈ ℕ0
2318mulid2i 11156 . . . . . 6 (1 · 6) = 6
2423oveq1i 7363 . . . . 5 ((1 · 6) + 3) = (6 + 3)
25 6p3e9 12309 . . . . 5 (6 + 3) = 9
2624, 25eqtri 2764 . . . 4 ((1 · 6) + 3) = 9
27 6t6e36 12722 . . . 4 (6 · 6) = 36
289, 8, 9, 11, 9, 22, 26, 27decmul1c 12679 . . 3 (16 · 6) = 96
2910, 8, 9, 11, 9, 12, 21, 28decmul2c 12680 . 2 (16 · 16) = 256
301, 2, 6, 7, 29numexp2x 16943 1 (2↑8) = 256
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:   = wceq 1541  (class class class)co 7353  1c1 11048   + caddc 11050   · cmul 11052  2c2 12204  3c3 12205  4c4 12206  5c5 12207  6c6 12208  8c8 12210  9c9 12211  cdc 12614  cexp 13959
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1797  ax-4 1811  ax-5 1913  ax-6 1971  ax-7 2011  ax-8 2108  ax-9 2116  ax-10 2137  ax-11 2154  ax-12 2171  ax-ext 2707  ax-sep 5254  ax-nul 5261  ax-pow 5318  ax-pr 5382  ax-un 7668  ax-cnex 11103  ax-resscn 11104  ax-1cn 11105  ax-icn 11106  ax-addcl 11107  ax-addrcl 11108  ax-mulcl 11109  ax-mulrcl 11110  ax-mulcom 11111  ax-addass 11112  ax-mulass 11113  ax-distr 11114  ax-i2m1 11115  ax-1ne0 11116  ax-1rid 11117  ax-rnegex 11118  ax-rrecex 11119  ax-cnre 11120  ax-pre-lttri 11121  ax-pre-lttrn 11122  ax-pre-ltadd 11123  ax-pre-mulgt0 11124
This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 397  df-or 846  df-3or 1088  df-3an 1089  df-tru 1544  df-fal 1554  df-ex 1782  df-nf 1786  df-sb 2068  df-mo 2538  df-eu 2567  df-clab 2714  df-cleq 2728  df-clel 2814  df-nfc 2887  df-ne 2942  df-nel 3048  df-ral 3063  df-rex 3072  df-reu 3352  df-rab 3406  df-v 3445  df-sbc 3738  df-csb 3854  df-dif 3911  df-un 3913  df-in 3915  df-ss 3925  df-pss 3927  df-nul 4281  df-if 4485  df-pw 4560  df-sn 4585  df-pr 4587  df-op 4591  df-uni 4864  df-iun 4954  df-br 5104  df-opab 5166  df-mpt 5187  df-tr 5221  df-id 5529  df-eprel 5535  df-po 5543  df-so 5544  df-fr 5586  df-we 5588  df-xp 5637  df-rel 5638  df-cnv 5639  df-co 5640  df-dm 5641  df-rn 5642  df-res 5643  df-ima 5644  df-pred 6251  df-ord 6318  df-on 6319  df-lim 6320  df-suc 6321  df-iota 6445  df-fun 6495  df-fn 6496  df-f 6497  df-f1 6498  df-fo 6499  df-f1o 6500  df-fv 6501  df-riota 7309  df-ov 7356  df-oprab 7357  df-mpo 7358  df-om 7799  df-2nd 7918  df-frecs 8208  df-wrecs 8239  df-recs 8313  df-rdg 8352  df-er 8644  df-en 8880  df-dom 8881  df-sdom 8882  df-pnf 11187  df-mnf 11188  df-xr 11189  df-ltxr 11190  df-le 11191  df-sub 11383  df-neg 11384  df-nn 12150  df-2 12212  df-3 12213  df-4 12214  df-5 12215  df-6 12216  df-7 12217  df-8 12218  df-9 12219  df-n0 12410  df-z 12496  df-dec 12615  df-uz 12760  df-seq 13899  df-exp 13960
This theorem is referenced by:  2exp11  16954  2exp16  16955  2503lem1  17001  quart1lem  26189  quart1  26190  lcmineqlem  40476  aks4d1p1  40500  fmtno3  45675  fmtno4sqrt  45695
  Copyright terms: Public domain W3C validator