Theorem 2exp8 17057

Description: Two to the eighth power is 256. (Contributed by Mario Carneiro, 20-Apr-2015.)

Assertion

Ref	Expression
2exp8	⊢ (2↑8) = ;;256

Proof of Theorem 2exp8

Step	Hyp	Ref	Expression
1		2nn0 12519	. 2 ⊢ 2 ∈ ℕ0
2		4nn0 12521	. 2 ⊢ 4 ∈ ℕ0
3	2	nn0cni 12514	. . 3 ⊢ 4 ∈ ℂ
4		2cn 12317	. . 3 ⊢ 2 ∈ ℂ
5		4t2e8 12410	. . 3 ⊢ (4 · 2) = 8
6	3, 4, 5	mulcomli 11253	. 2 ⊢ (2 · 4) = 8
7		2exp4 17053	. 2 ⊢ (2↑4) = ;16
8		1nn0 12518	. . . 4 ⊢ 1 ∈ ℕ0
9		6nn0 12523	. . . 4 ⊢ 6 ∈ ℕ0
10	8, 9	deccl 12722	. . 3 ⊢ ;16 ∈ ℕ0
11		eqid 2728	. . 3 ⊢ ;16 = ;16
12		9nn0 12526	. . 3 ⊢ 9 ∈ ℕ0
13	10	nn0cni 12514	. . . . 5 ⊢ ;16 ∈ ℂ
14	13	mulridi 11248	. . . 4 ⊢ (;16 · 1) = ;16
15		1p1e2 12367	. . . 4 ⊢ (1 + 1) = 2
16		5nn0 12522	. . . 4 ⊢ 5 ∈ ℕ0
17		9cn 12342	. . . . 5 ⊢ 9 ∈ ℂ
18		6cn 12333	. . . . 5 ⊢ 6 ∈ ℂ
19		9p6e15 12798	. . . . 5 ⊢ (9 + 6) = ;15
20	17, 18, 19	addcomli 11436	. . . 4 ⊢ (6 + 9) = ;15
21	8, 9, 12, 14, 15, 16, 20	decaddci 12768	. . 3 ⊢ ((;16 · 1) + 9) = ;25
22		3nn0 12520	. . . 4 ⊢ 3 ∈ ℕ0
23	18	mullidi 11249	. . . . . 6 ⊢ (1 · 6) = 6
24	23	oveq1i 7430	. . . . 5 ⊢ ((1 · 6) + 3) = (6 + 3)
25		6p3e9 12402	. . . . 5 ⊢ (6 + 3) = 9
26	24, 25	eqtri 2756	. . . 4 ⊢ ((1 · 6) + 3) = 9
27		6t6e36 12815	. . . 4 ⊢ (6 · 6) = ;36
28	9, 8, 9, 11, 9, 22, 26, 27	decmul1c 12772	. . 3 ⊢ (;16 · 6) = ;96
29	10, 8, 9, 11, 9, 12, 21, 28	decmul2c 12773	. 2 ⊢ (;16 · ;16) = ;;256
30	1, 2, 6, 7, 29	numexp2x 17047	1 ⊢ (2↑8) = ;;256

Syntax hints:   = wceq 1534  (class class class)co 7420  1c1 11139   + caddc 11141   · cmul 11143  2c2 12297  3c3 12298  4c4 12299  5c5 12300  6c6 12301  8c8 12303  9c9 12304  ;cdc 12707  ↑cexp 14058

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1790  ax-4 1804  ax-5 1906  ax-6 1964  ax-7 2004  ax-8 2101  ax-9 2109  ax-10 2130  ax-11 2147  ax-12 2167  ax-ext 2699  ax-sep 5299  ax-nul 5306  ax-pow 5365  ax-pr 5429  ax-un 7740  ax-cnex 11194  ax-resscn 11195  ax-1cn 11196  ax-icn 11197  ax-addcl 11198  ax-addrcl 11199  ax-mulcl 11200  ax-mulrcl 11201  ax-mulcom 11202  ax-addass 11203  ax-mulass 11204  ax-distr 11205  ax-i2m1 11206  ax-1ne0 11207  ax-1rid 11208  ax-rnegex 11209  ax-rrecex 11210  ax-cnre 11211  ax-pre-lttri 11212  ax-pre-lttrn 11213  ax-pre-ltadd 11214  ax-pre-mulgt0 11215

This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 396  df-or 847  df-3or 1086  df-3an 1087  df-tru 1537  df-fal 1547  df-ex 1775  df-nf 1779  df-sb 2061  df-mo 2530  df-eu 2559  df-clab 2706  df-cleq 2720  df-clel 2806  df-nfc 2881  df-ne 2938  df-nel 3044  df-ral 3059  df-rex 3068  df-reu 3374  df-rab 3430  df-v 3473  df-sbc 3777  df-csb 3893  df-dif 3950  df-un 3952  df-in 3954  df-ss 3964  df-pss 3966  df-nul 4324  df-if 4530  df-pw 4605  df-sn 4630  df-pr 4632  df-op 4636  df-uni 4909  df-iun 4998  df-br 5149  df-opab 5211  df-mpt 5232  df-tr 5266  df-id 5576  df-eprel 5582  df-po 5590  df-so 5591  df-fr 5633  df-we 5635  df-xp 5684  df-rel 5685  df-cnv 5686  df-co 5687  df-dm 5688  df-rn 5689  df-res 5690  df-ima 5691  df-pred 6305  df-ord 6372  df-on 6373  df-lim 6374  df-suc 6375  df-iota 6500  df-fun 6550  df-fn 6551  df-f 6552  df-f1 6553  df-fo 6554  df-f1o 6555  df-fv 6556  df-riota 7376  df-ov 7423  df-oprab 7424  df-mpo 7425  df-om 7871  df-2nd 7994  df-frecs 8286  df-wrecs 8317  df-recs 8391  df-rdg 8430  df-er 8724  df-en 8964  df-dom 8965  df-sdom 8966  df-pnf 11280  df-mnf 11281  df-xr 11282  df-ltxr 11283  df-le 11284  df-sub 11476  df-neg 11477  df-nn 12243  df-2 12305  df-3 12306  df-4 12307  df-5 12308  df-6 12309  df-7 12310  df-8 12311  df-9 12312  df-n0 12503  df-z 12589  df-dec 12708  df-uz 12853  df-seq 13999  df-exp 14059

This theorem is referenced by:  2exp11  17058  2exp16  17059  2503lem1  17105  quart1lem  26786  quart1  26787  lcmineqlem  41523  aks4d1p1  41547  fmtno3  46891  fmtno4sqrt  46911