Theorem 2exp8 16269

Description: Two to the eighth power is 256. (Contributed by Mario Carneiro, 20-Apr-2015.)

Assertion

Ref	Expression
2exp8	⊢ (2↑8) = ;;256

Proof of Theorem 2exp8

Step	Hyp	Ref	Expression
1		2nn0 11719	. 2 ⊢ 2 ∈ ℕ0
2		4nn0 11721	. 2 ⊢ 4 ∈ ℕ0
3	2	nn0cni 11713	. . 3 ⊢ 4 ∈ ℂ
4		2cn 11508	. . 3 ⊢ 2 ∈ ℂ
5		4t2e8 11608	. . 3 ⊢ (4 · 2) = 8
6	3, 4, 5	mulcomli 10441	. 2 ⊢ (2 · 4) = 8
7		2exp4 16267	. 2 ⊢ (2↑4) = ;16
8		1nn0 11718	. . . 4 ⊢ 1 ∈ ℕ0
9		6nn0 11723	. . . 4 ⊢ 6 ∈ ℕ0
10	8, 9	deccl 11919	. . 3 ⊢ ;16 ∈ ℕ0
11		eqid 2772	. . 3 ⊢ ;16 = ;16
12		9nn0 11726	. . 3 ⊢ 9 ∈ ℕ0
13	10	nn0cni 11713	. . . . 5 ⊢ ;16 ∈ ℂ
14	13	mulid1i 10436	. . . 4 ⊢ (;16 · 1) = ;16
15		1p1e2 11565	. . . 4 ⊢ (1 + 1) = 2
16		5nn0 11722	. . . 4 ⊢ 5 ∈ ℕ0
17		9cn 11539	. . . . 5 ⊢ 9 ∈ ℂ
18		6cn 11527	. . . . 5 ⊢ 6 ∈ ℂ
19		9p6e15 11997	. . . . 5 ⊢ (9 + 6) = ;15
20	17, 18, 19	addcomli 10624	. . . 4 ⊢ (6 + 9) = ;15
21	8, 9, 12, 14, 15, 16, 20	decaddci 11966	. . 3 ⊢ ((;16 · 1) + 9) = ;25
22		3nn0 11720	. . . 4 ⊢ 3 ∈ ℕ0
23	18	mulid2i 10437	. . . . . 6 ⊢ (1 · 6) = 6
24	23	oveq1i 6980	. . . . 5 ⊢ ((1 · 6) + 3) = (6 + 3)
25		6p3e9 11600	. . . . 5 ⊢ (6 + 3) = 9
26	24, 25	eqtri 2796	. . . 4 ⊢ ((1 · 6) + 3) = 9
27		6t6e36 12014	. . . 4 ⊢ (6 · 6) = ;36
28	9, 8, 9, 11, 9, 22, 26, 27	decmul1c 11971	. . 3 ⊢ (;16 · 6) = ;96
29	10, 8, 9, 11, 9, 12, 21, 28	decmul2c 11972	. 2 ⊢ (;16 · ;16) = ;;256
30	1, 2, 6, 7, 29	numexp2x 16261	1 ⊢ (2↑8) = ;;256

Syntax hints:   = wceq 1507  (class class class)co 6970  1c1 10328   + caddc 10330   · cmul 10332  2c2 11488  3c3 11489  4c4 11490  5c5 11491  6c6 11492  8c8 11494  9c9 11495  ;cdc 11904  ↑cexp 13237

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1758  ax-4 1772  ax-5 1869  ax-6 1928  ax-7 1964  ax-8 2050  ax-9 2057  ax-10 2077  ax-11 2091  ax-12 2104  ax-13 2299  ax-ext 2745  ax-sep 5054  ax-nul 5061  ax-pow 5113  ax-pr 5180  ax-un 7273  ax-cnex 10383  ax-resscn 10384  ax-1cn 10385  ax-icn 10386  ax-addcl 10387  ax-addrcl 10388  ax-mulcl 10389  ax-mulrcl 10390  ax-mulcom 10391  ax-addass 10392  ax-mulass 10393  ax-distr 10394  ax-i2m1 10395  ax-1ne0 10396  ax-1rid 10397  ax-rnegex 10398  ax-rrecex 10399  ax-cnre 10400  ax-pre-lttri 10401  ax-pre-lttrn 10402  ax-pre-ltadd 10403  ax-pre-mulgt0 10404

This theorem depends on definitions:  df-bi 199  df-an 388  df-or 834  df-3or 1069  df-3an 1070  df-tru 1510  df-ex 1743  df-nf 1747  df-sb 2014  df-mo 2544  df-eu 2580  df-clab 2754  df-cleq 2765  df-clel 2840  df-nfc 2912  df-ne 2962  df-nel 3068  df-ral 3087  df-rex 3088  df-reu 3089  df-rab 3091  df-v 3411  df-sbc 3678  df-csb 3783  df-dif 3828  df-un 3830  df-in 3832  df-ss 3839  df-pss 3841  df-nul 4174  df-if 4345  df-pw 4418  df-sn 4436  df-pr 4438  df-tp 4440  df-op 4442  df-uni 4707  df-iun 4788  df-br 4924  df-opab 4986  df-mpt 5003  df-tr 5025  df-id 5305  df-eprel 5310  df-po 5319  df-so 5320  df-fr 5359  df-we 5361  df-xp 5406  df-rel 5407  df-cnv 5408  df-co 5409  df-dm 5410  df-rn 5411  df-res 5412  df-ima 5413  df-pred 5980  df-ord 6026  df-on 6027  df-lim 6028  df-suc 6029  df-iota 6146  df-fun 6184  df-fn 6185  df-f 6186  df-f1 6187  df-fo 6188  df-f1o 6189  df-fv 6190  df-riota 6931  df-ov 6973  df-oprab 6974  df-mpo 6975  df-om 7391  df-2nd 7495  df-wrecs 7743  df-recs 7805  df-rdg 7843  df-er 8081  df-en 8299  df-dom 8300  df-sdom 8301  df-pnf 10468  df-mnf 10469  df-xr 10470  df-ltxr 10471  df-le 10472  df-sub 10664  df-neg 10665  df-nn 11432  df-2 11496  df-3 11497  df-4 11498  df-5 11499  df-6 11500  df-7 11501  df-8 11502  df-9 11503  df-n0 11701  df-z 11787  df-dec 11905  df-uz 12052  df-seq 13178  df-exp 13238

This theorem is referenced by:  2exp16  16270  2503lem1  16316  quart1lem  25124  quart1  25125  fmtno3  43021  fmtno4sqrt  43041  2exp11  43073