Theorem 2exp8 17096

Description: Two to the eighth power is 256. (Contributed by Mario Carneiro, 20-Apr-2015.)

Assertion

Ref	Expression
2exp8	⊢ (2↑8) = ;;256

Proof of Theorem 2exp8

Step	Hyp	Ref	Expression
1		2nn0 12484	. 2 ⊢ 2 ∈ ℕ0
2		4nn0 12486	. 2 ⊢ 4 ∈ ℕ0
3	2	nn0cni 12479	. . 3 ⊢ 4 ∈ ℂ
4		2cn 12279	. . 3 ⊢ 2 ∈ ℂ
5		4t2e8 12372	. . 3 ⊢ (4 · 2) = 8
6	3, 4, 5	mulcomli 11177	. 2 ⊢ (2 · 4) = 8
7		2exp4 17092	. 2 ⊢ (2↑4) = ;16
8		1nn0 12483	. . . 4 ⊢ 1 ∈ ℕ0
9		6nn0 12488	. . . 4 ⊢ 6 ∈ ℕ0
10	8, 9	deccl 12689	. . 3 ⊢ ;16 ∈ ℕ0
11		eqid 2752	. . 3 ⊢ ;16 = ;16
12		9nn0 12491	. . 3 ⊢ 9 ∈ ℕ0
13	10	nn0cni 12479	. . . . 5 ⊢ ;16 ∈ ℂ
14	13	mulridi 11172	. . . 4 ⊢ (;16 · 1) = ;16
15		1p1e2 12327	. . . 4 ⊢ (1 + 1) = 2
16		5nn0 12487	. . . 4 ⊢ 5 ∈ ℕ0
17		9cn 12304	. . . . 5 ⊢ 9 ∈ ℂ
18		6cn 12295	. . . . 5 ⊢ 6 ∈ ℂ
19		9p6e15 12770	. . . . 5 ⊢ (9 + 6) = ;15
20	17, 18, 19	addcomli 11361	. . . 4 ⊢ (6 + 9) = ;15
21	8, 9, 12, 14, 15, 16, 20	decaddci 12740	. . 3 ⊢ ((;16 · 1) + 9) = ;25
22		3nn0 12485	. . . 4 ⊢ 3 ∈ ℕ0
23	18	mullidi 11173	. . . . . 6 ⊢ (1 · 6) = 6
24	23	oveq1i 7391	. . . . 5 ⊢ ((1 · 6) + 3) = (6 + 3)
25		6p3e9 12363	. . . . 5 ⊢ (6 + 3) = 9
26	24, 25	eqtri 2775	. . . 4 ⊢ ((1 · 6) + 3) = 9
27		6t6e36 12787	. . . 4 ⊢ (6 · 6) = ;36
28	9, 8, 9, 11, 9, 22, 26, 27	decmul1c 12744	. . 3 ⊢ (;16 · 6) = ;96
29	10, 8, 9, 11, 9, 12, 21, 28	decmul2c 12745	. 2 ⊢ (;16 · ;16) = ;;256
30	1, 2, 6, 7, 29	numexp2x 17086	1 ⊢ (2↑8) = ;;256

Syntax hints:   = wceq 1550  (class class class)co 7381  1c1 11060   + caddc 11062   · cmul 11064  2c2 12258  3c3 12259  4c4 12260  5c5 12261  6c6 12262  8c8 12264  9c9 12265  ;cdc 12674  ↑cexp 14060

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1805  ax-4 1819  ax-5 1920  ax-6 1977  ax-7 2018  ax-8 2134  ax-9 2142  ax-10 2165  ax-11 2181  ax-12 2202  ax-ext 2724  ax-sep 5236  ax-nul 5246  ax-pow 5312  ax-pr 5380  ax-un 7703  ax-cnex 11115  ax-resscn 11116  ax-1cn 11117  ax-icn 11118  ax-addcl 11119  ax-addrcl 11120  ax-mulcl 11121  ax-mulrcl 11122  ax-mulcom 11123  ax-addass 11124  ax-mulass 11125  ax-distr 11126  ax-i2m1 11127  ax-1ne0 11128  ax-1rid 11129  ax-rnegex 11130  ax-rrecex 11131  ax-cnre 11132  ax-pre-lttri 11133  ax-pre-lttrn 11134  ax-pre-ltadd 11135  ax-pre-mulgt0 11136

This theorem depends on definitions:  df-bi 209  df-an 399  df-or 857  df-3or 1096  df-3an 1097  df-tru 1553  df-fal 1563  df-ex 1790  df-nf 1794  df-sb 2081  df-mo 2556  df-eu 2586  df-clab 2731  df-cleq 2744  df-clel 2827  df-nfc 2901  df-ne 2948  df-nel 3052  df-ral 3067  df-rex 3077  df-reu 3358  df-rab 3405  df-v 3446  df-sbc 3736  df-csb 3844  df-dif 3898  df-un 3900  df-in 3902  df-ss 3912  df-pss 3915  df-nul 4277  df-if 4471  df-pw 4547  df-sn 4573  df-pr 4575  df-op 4579  df-uni 4856  df-iun 4941  df-br 5091  df-opab 5153  df-mpt 5172  df-tr 5198  df-id 5531  df-eprel 5536  df-po 5544  df-so 5545  df-fr 5589  df-we 5591  df-xp 5642  df-rel 5643  df-cnv 5644  df-co 5645  df-dm 5646  df-rn 5647  df-res 5648  df-ima 5649  df-pred 6273  df-ord 6334  df-on 6335  df-lim 6336  df-suc 6337  df-iota 6462  df-fun 6508  df-fn 6509  df-f 6510  df-f1 6511  df-fo 6512  df-f1o 6513  df-fv 6514  df-riota 7338  df-ov 7384  df-oprab 7385  df-mpo 7386  df-om 7832  df-2nd 7956  df-frecs 8246  df-wrecs 8277  df-recs 8326  df-rdg 8365  df-er 8662  df-en 8913  df-dom 8914  df-sdom 8915  df-pnf 11204  df-mnf 11205  df-xr 11206  df-ltxr 11207  df-le 11208  df-sub 11402  df-neg 11403  df-nn 12197  df-2 12266  df-3 12267  df-4 12268  df-5 12269  df-6 12270  df-7 12271  df-8 12272  df-9 12273  df-n0 12468  df-z 12555  df-dec 12675  df-uz 12826  df-seq 14001  df-exp 14061

This theorem is referenced by:  2exp11  17097  2exp16  17098  2503lem1  17145  quart1lem  26886  quart1  26887  lcmineqlem  42607  aks4d1p1  42631  fmtno3  48098  fmtno4sqrt  48118