Theorem 2exp8 17113

Description: Two to the eighth power is 256. (Contributed by Mario Carneiro, 20-Apr-2015.)

Assertion

Ref	Expression
2exp8	⊢ (2↑8) = ;;256

Proof of Theorem 2exp8

Step	Hyp	Ref	Expression
1		2nn0 12523	. 2 ⊢ 2 ∈ ℕ0
2		4nn0 12525	. 2 ⊢ 4 ∈ ℕ0
3	2	nn0cni 12518	. . 3 ⊢ 4 ∈ ℂ
4		2cn 12320	. . 3 ⊢ 2 ∈ ℂ
5		4t2e8 12413	. . 3 ⊢ (4 · 2) = 8
6	3, 4, 5	mulcomli 11249	. 2 ⊢ (2 · 4) = 8
7		2exp4 17109	. 2 ⊢ (2↑4) = ;16
8		1nn0 12522	. . . 4 ⊢ 1 ∈ ℕ0
9		6nn0 12527	. . . 4 ⊢ 6 ∈ ℕ0
10	8, 9	deccl 12728	. . 3 ⊢ ;16 ∈ ℕ0
11		eqid 2736	. . 3 ⊢ ;16 = ;16
12		9nn0 12530	. . 3 ⊢ 9 ∈ ℕ0
13	10	nn0cni 12518	. . . . 5 ⊢ ;16 ∈ ℂ
14	13	mulridi 11244	. . . 4 ⊢ (;16 · 1) = ;16
15		1p1e2 12370	. . . 4 ⊢ (1 + 1) = 2
16		5nn0 12526	. . . 4 ⊢ 5 ∈ ℕ0
17		9cn 12345	. . . . 5 ⊢ 9 ∈ ℂ
18		6cn 12336	. . . . 5 ⊢ 6 ∈ ℂ
19		9p6e15 12804	. . . . 5 ⊢ (9 + 6) = ;15
20	17, 18, 19	addcomli 11432	. . . 4 ⊢ (6 + 9) = ;15
21	8, 9, 12, 14, 15, 16, 20	decaddci 12774	. . 3 ⊢ ((;16 · 1) + 9) = ;25
22		3nn0 12524	. . . 4 ⊢ 3 ∈ ℕ0
23	18	mullidi 11245	. . . . . 6 ⊢ (1 · 6) = 6
24	23	oveq1i 7420	. . . . 5 ⊢ ((1 · 6) + 3) = (6 + 3)
25		6p3e9 12405	. . . . 5 ⊢ (6 + 3) = 9
26	24, 25	eqtri 2759	. . . 4 ⊢ ((1 · 6) + 3) = 9
27		6t6e36 12821	. . . 4 ⊢ (6 · 6) = ;36
28	9, 8, 9, 11, 9, 22, 26, 27	decmul1c 12778	. . 3 ⊢ (;16 · 6) = ;96
29	10, 8, 9, 11, 9, 12, 21, 28	decmul2c 12779	. 2 ⊢ (;16 · ;16) = ;;256
30	1, 2, 6, 7, 29	numexp2x 17103	1 ⊢ (2↑8) = ;;256

Syntax hints:   = wceq 1540  (class class class)co 7410  1c1 11135   + caddc 11137   · cmul 11139  2c2 12300  3c3 12301  4c4 12302  5c5 12303  6c6 12304  8c8 12306  9c9 12307  ;cdc 12713  ↑cexp 14084

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1795  ax-4 1809  ax-5 1910  ax-6 1967  ax-7 2008  ax-8 2111  ax-9 2119  ax-10 2142  ax-11 2158  ax-12 2178  ax-ext 2708  ax-sep 5271  ax-nul 5281  ax-pow 5340  ax-pr 5407  ax-un 7734  ax-cnex 11190  ax-resscn 11191  ax-1cn 11192  ax-icn 11193  ax-addcl 11194  ax-addrcl 11195  ax-mulcl 11196  ax-mulrcl 11197  ax-mulcom 11198  ax-addass 11199  ax-mulass 11200  ax-distr 11201  ax-i2m1 11202  ax-1ne0 11203  ax-1rid 11204  ax-rnegex 11205  ax-rrecex 11206  ax-cnre 11207  ax-pre-lttri 11208  ax-pre-lttrn 11209  ax-pre-ltadd 11210  ax-pre-mulgt0 11211

This theorem depends on definitions:  df-bi 207  df-an 396  df-or 848  df-3or 1087  df-3an 1088  df-tru 1543  df-fal 1553  df-ex 1780  df-nf 1784  df-sb 2066  df-mo 2540  df-eu 2569  df-clab 2715  df-cleq 2728  df-clel 2810  df-nfc 2886  df-ne 2934  df-nel 3038  df-ral 3053  df-rex 3062  df-reu 3365  df-rab 3421  df-v 3466  df-sbc 3771  df-csb 3880  df-dif 3934  df-un 3936  df-in 3938  df-ss 3948  df-pss 3951  df-nul 4314  df-if 4506  df-pw 4582  df-sn 4607  df-pr 4609  df-op 4613  df-uni 4889  df-iun 4974  df-br 5125  df-opab 5187  df-mpt 5207  df-tr 5235  df-id 5553  df-eprel 5558  df-po 5566  df-so 5567  df-fr 5611  df-we 5613  df-xp 5665  df-rel 5666  df-cnv 5667  df-co 5668  df-dm 5669  df-rn 5670  df-res 5671  df-ima 5672  df-pred 6295  df-ord 6360  df-on 6361  df-lim 6362  df-suc 6363  df-iota 6489  df-fun 6538  df-fn 6539  df-f 6540  df-f1 6541  df-fo 6542  df-f1o 6543  df-fv 6544  df-riota 7367  df-ov 7413  df-oprab 7414  df-mpo 7415  df-om 7867  df-2nd 7994  df-frecs 8285  df-wrecs 8316  df-recs 8390  df-rdg 8429  df-er 8724  df-en 8965  df-dom 8966  df-sdom 8967  df-pnf 11276  df-mnf 11277  df-xr 11278  df-ltxr 11279  df-le 11280  df-sub 11473  df-neg 11474  df-nn 12246  df-2 12308  df-3 12309  df-4 12310  df-5 12311  df-6 12312  df-7 12313  df-8 12314  df-9 12315  df-n0 12507  df-z 12594  df-dec 12714  df-uz 12858  df-seq 14025  df-exp 14085

This theorem is referenced by:  2exp11  17114  2exp16  17115  2503lem1  17161  quart1lem  26822  quart1  26823  lcmineqlem  42070  aks4d1p1  42094  fmtno3  47532  fmtno4sqrt  47552