Theorem 2exp8 17018

Description: Two to the eighth power is 256. (Contributed by Mario Carneiro, 20-Apr-2015.)

Assertion

Ref	Expression
2exp8	⊢ (2↑8) = ;;256

Proof of Theorem 2exp8

Step	Hyp	Ref	Expression
1		2nn0 12419	. 2 ⊢ 2 ∈ ℕ0
2		4nn0 12421	. 2 ⊢ 4 ∈ ℕ0
3	2	nn0cni 12414	. . 3 ⊢ 4 ∈ ℂ
4		2cn 12221	. . 3 ⊢ 2 ∈ ℂ
5		4t2e8 12309	. . 3 ⊢ (4 · 2) = 8
6	3, 4, 5	mulcomli 11143	. 2 ⊢ (2 · 4) = 8
7		2exp4 17014	. 2 ⊢ (2↑4) = ;16
8		1nn0 12418	. . . 4 ⊢ 1 ∈ ℕ0
9		6nn0 12423	. . . 4 ⊢ 6 ∈ ℕ0
10	8, 9	deccl 12624	. . 3 ⊢ ;16 ∈ ℕ0
11		eqid 2729	. . 3 ⊢ ;16 = ;16
12		9nn0 12426	. . 3 ⊢ 9 ∈ ℕ0
13	10	nn0cni 12414	. . . . 5 ⊢ ;16 ∈ ℂ
14	13	mulridi 11138	. . . 4 ⊢ (;16 · 1) = ;16
15		1p1e2 12266	. . . 4 ⊢ (1 + 1) = 2
16		5nn0 12422	. . . 4 ⊢ 5 ∈ ℕ0
17		9cn 12246	. . . . 5 ⊢ 9 ∈ ℂ
18		6cn 12237	. . . . 5 ⊢ 6 ∈ ℂ
19		9p6e15 12700	. . . . 5 ⊢ (9 + 6) = ;15
20	17, 18, 19	addcomli 11326	. . . 4 ⊢ (6 + 9) = ;15
21	8, 9, 12, 14, 15, 16, 20	decaddci 12670	. . 3 ⊢ ((;16 · 1) + 9) = ;25
22		3nn0 12420	. . . 4 ⊢ 3 ∈ ℕ0
23	18	mullidi 11139	. . . . . 6 ⊢ (1 · 6) = 6
24	23	oveq1i 7363	. . . . 5 ⊢ ((1 · 6) + 3) = (6 + 3)
25		6p3e9 12301	. . . . 5 ⊢ (6 + 3) = 9
26	24, 25	eqtri 2752	. . . 4 ⊢ ((1 · 6) + 3) = 9
27		6t6e36 12717	. . . 4 ⊢ (6 · 6) = ;36
28	9, 8, 9, 11, 9, 22, 26, 27	decmul1c 12674	. . 3 ⊢ (;16 · 6) = ;96
29	10, 8, 9, 11, 9, 12, 21, 28	decmul2c 12675	. 2 ⊢ (;16 · ;16) = ;;256
30	1, 2, 6, 7, 29	numexp2x 17008	1 ⊢ (2↑8) = ;;256

Syntax hints:   = wceq 1540  (class class class)co 7353  1c1 11029   + caddc 11031   · cmul 11033  2c2 12201  3c3 12202  4c4 12203  5c5 12204  6c6 12205  8c8 12207  9c9 12208  ;cdc 12609  ↑cexp 13986

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1795  ax-4 1809  ax-5 1910  ax-6 1967  ax-7 2008  ax-8 2111  ax-9 2119  ax-10 2142  ax-11 2158  ax-12 2178  ax-ext 2701  ax-sep 5238  ax-nul 5248  ax-pow 5307  ax-pr 5374  ax-un 7675  ax-cnex 11084  ax-resscn 11085  ax-1cn 11086  ax-icn 11087  ax-addcl 11088  ax-addrcl 11089  ax-mulcl 11090  ax-mulrcl 11091  ax-mulcom 11092  ax-addass 11093  ax-mulass 11094  ax-distr 11095  ax-i2m1 11096  ax-1ne0 11097  ax-1rid 11098  ax-rnegex 11099  ax-rrecex 11100  ax-cnre 11101  ax-pre-lttri 11102  ax-pre-lttrn 11103  ax-pre-ltadd 11104  ax-pre-mulgt0 11105

This theorem depends on definitions:  df-bi 207  df-an 396  df-or 848  df-3or 1087  df-3an 1088  df-tru 1543  df-fal 1553  df-ex 1780  df-nf 1784  df-sb 2066  df-mo 2533  df-eu 2562  df-clab 2708  df-cleq 2721  df-clel 2803  df-nfc 2878  df-ne 2926  df-nel 3030  df-ral 3045  df-rex 3054  df-reu 3346  df-rab 3397  df-v 3440  df-sbc 3745  df-csb 3854  df-dif 3908  df-un 3910  df-in 3912  df-ss 3922  df-pss 3925  df-nul 4287  df-if 4479  df-pw 4555  df-sn 4580  df-pr 4582  df-op 4586  df-uni 4862  df-iun 4946  df-br 5096  df-opab 5158  df-mpt 5177  df-tr 5203  df-id 5518  df-eprel 5523  df-po 5531  df-so 5532  df-fr 5576  df-we 5578  df-xp 5629  df-rel 5630  df-cnv 5631  df-co 5632  df-dm 5633  df-rn 5634  df-res 5635  df-ima 5636  df-pred 6253  df-ord 6314  df-on 6315  df-lim 6316  df-suc 6317  df-iota 6442  df-fun 6488  df-fn 6489  df-f 6490  df-f1 6491  df-fo 6492  df-f1o 6493  df-fv 6494  df-riota 7310  df-ov 7356  df-oprab 7357  df-mpo 7358  df-om 7807  df-2nd 7932  df-frecs 8221  df-wrecs 8252  df-recs 8301  df-rdg 8339  df-er 8632  df-en 8880  df-dom 8881  df-sdom 8882  df-pnf 11170  df-mnf 11171  df-xr 11172  df-ltxr 11173  df-le 11174  df-sub 11367  df-neg 11368  df-nn 12147  df-2 12209  df-3 12210  df-4 12211  df-5 12212  df-6 12213  df-7 12214  df-8 12215  df-9 12216  df-n0 12403  df-z 12490  df-dec 12610  df-uz 12754  df-seq 13927  df-exp 13987

This theorem is referenced by:  2exp11  17019  2exp16  17020  2503lem1  17066  quart1lem  26781  quart1  26782  lcmineqlem  42028  aks4d1p1  42052  fmtno3  47539  fmtno4sqrt  47559