Theorem 2exp8 16839

Description: Two to the eighth power is 256. (Contributed by Mario Carneiro, 20-Apr-2015.)

Assertion

Ref	Expression
2exp8	⊢ (2↑8) = ;;256

Proof of Theorem 2exp8

Step	Hyp	Ref	Expression
1		2nn0 12300	. 2 ⊢ 2 ∈ ℕ0
2		4nn0 12302	. 2 ⊢ 4 ∈ ℕ0
3	2	nn0cni 12295	. . 3 ⊢ 4 ∈ ℂ
4		2cn 12098	. . 3 ⊢ 2 ∈ ℂ
5		4t2e8 12191	. . 3 ⊢ (4 · 2) = 8
6	3, 4, 5	mulcomli 11034	. 2 ⊢ (2 · 4) = 8
7		2exp4 16835	. 2 ⊢ (2↑4) = ;16
8		1nn0 12299	. . . 4 ⊢ 1 ∈ ℕ0
9		6nn0 12304	. . . 4 ⊢ 6 ∈ ℕ0
10	8, 9	deccl 12502	. . 3 ⊢ ;16 ∈ ℕ0
11		eqid 2736	. . 3 ⊢ ;16 = ;16
12		9nn0 12307	. . 3 ⊢ 9 ∈ ℕ0
13	10	nn0cni 12295	. . . . 5 ⊢ ;16 ∈ ℂ
14	13	mulid1i 11029	. . . 4 ⊢ (;16 · 1) = ;16
15		1p1e2 12148	. . . 4 ⊢ (1 + 1) = 2
16		5nn0 12303	. . . 4 ⊢ 5 ∈ ℕ0
17		9cn 12123	. . . . 5 ⊢ 9 ∈ ℂ
18		6cn 12114	. . . . 5 ⊢ 6 ∈ ℂ
19		9p6e15 12578	. . . . 5 ⊢ (9 + 6) = ;15
20	17, 18, 19	addcomli 11217	. . . 4 ⊢ (6 + 9) = ;15
21	8, 9, 12, 14, 15, 16, 20	decaddci 12548	. . 3 ⊢ ((;16 · 1) + 9) = ;25
22		3nn0 12301	. . . 4 ⊢ 3 ∈ ℕ0
23	18	mulid2i 11030	. . . . . 6 ⊢ (1 · 6) = 6
24	23	oveq1i 7317	. . . . 5 ⊢ ((1 · 6) + 3) = (6 + 3)
25		6p3e9 12183	. . . . 5 ⊢ (6 + 3) = 9
26	24, 25	eqtri 2764	. . . 4 ⊢ ((1 · 6) + 3) = 9
27		6t6e36 12595	. . . 4 ⊢ (6 · 6) = ;36
28	9, 8, 9, 11, 9, 22, 26, 27	decmul1c 12552	. . 3 ⊢ (;16 · 6) = ;96
29	10, 8, 9, 11, 9, 12, 21, 28	decmul2c 12553	. 2 ⊢ (;16 · ;16) = ;;256
30	1, 2, 6, 7, 29	numexp2x 16829	1 ⊢ (2↑8) = ;;256

Syntax hints:   = wceq 1539  (class class class)co 7307  1c1 10922   + caddc 10924   · cmul 10926  2c2 12078  3c3 12079  4c4 12080  5c5 12081  6c6 12082  8c8 12084  9c9 12085  ;cdc 12487  ↑cexp 13832

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1795  ax-4 1809  ax-5 1911  ax-6 1969  ax-7 2009  ax-8 2106  ax-9 2114  ax-10 2135  ax-11 2152  ax-12 2169  ax-ext 2707  ax-sep 5232  ax-nul 5239  ax-pow 5297  ax-pr 5361  ax-un 7620  ax-cnex 10977  ax-resscn 10978  ax-1cn 10979  ax-icn 10980  ax-addcl 10981  ax-addrcl 10982  ax-mulcl 10983  ax-mulrcl 10984  ax-mulcom 10985  ax-addass 10986  ax-mulass 10987  ax-distr 10988  ax-i2m1 10989  ax-1ne0 10990  ax-1rid 10991  ax-rnegex 10992  ax-rrecex 10993  ax-cnre 10994  ax-pre-lttri 10995  ax-pre-lttrn 10996  ax-pre-ltadd 10997  ax-pre-mulgt0 10998

This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 398  df-or 846  df-3or 1088  df-3an 1089  df-tru 1542  df-fal 1552  df-ex 1780  df-nf 1784  df-sb 2066  df-mo 2538  df-eu 2567  df-clab 2714  df-cleq 2728  df-clel 2814  df-nfc 2887  df-ne 2942  df-nel 3048  df-ral 3063  df-rex 3072  df-reu 3305  df-rab 3306  df-v 3439  df-sbc 3722  df-csb 3838  df-dif 3895  df-un 3897  df-in 3899  df-ss 3909  df-pss 3911  df-nul 4263  df-if 4466  df-pw 4541  df-sn 4566  df-pr 4568  df-op 4572  df-uni 4845  df-iun 4933  df-br 5082  df-opab 5144  df-mpt 5165  df-tr 5199  df-id 5500  df-eprel 5506  df-po 5514  df-so 5515  df-fr 5555  df-we 5557  df-xp 5606  df-rel 5607  df-cnv 5608  df-co 5609  df-dm 5610  df-rn 5611  df-res 5612  df-ima 5613  df-pred 6217  df-ord 6284  df-on 6285  df-lim 6286  df-suc 6287  df-iota 6410  df-fun 6460  df-fn 6461  df-f 6462  df-f1 6463  df-fo 6464  df-f1o 6465  df-fv 6466  df-riota 7264  df-ov 7310  df-oprab 7311  df-mpo 7312  df-om 7745  df-2nd 7864  df-frecs 8128  df-wrecs 8159  df-recs 8233  df-rdg 8272  df-er 8529  df-en 8765  df-dom 8766  df-sdom 8767  df-pnf 11061  df-mnf 11062  df-xr 11063  df-ltxr 11064  df-le 11065  df-sub 11257  df-neg 11258  df-nn 12024  df-2 12086  df-3 12087  df-4 12088  df-5 12089  df-6 12090  df-7 12091  df-8 12092  df-9 12093  df-n0 12284  df-z 12370  df-dec 12488  df-uz 12633  df-seq 13772  df-exp 13833

This theorem is referenced by:  2exp11  16840  2exp16  16841  2503lem1  16887  quart1lem  26054  quart1  26055  lcmineqlem  40260  aks4d1p1  40284  fmtno3  45247  fmtno4sqrt  45267