Theorem 2exp8 17059

Description: Two to the eighth power is 256. (Contributed by Mario Carneiro, 20-Apr-2015.)

Assertion

Ref	Expression
2exp8	⊢ (2↑8) = ;;256

Proof of Theorem 2exp8

Step	Hyp	Ref	Expression
1		2nn0 12459	. 2 ⊢ 2 ∈ ℕ0
2		4nn0 12461	. 2 ⊢ 4 ∈ ℕ0
3	2	nn0cni 12454	. . 3 ⊢ 4 ∈ ℂ
4		2cn 12261	. . 3 ⊢ 2 ∈ ℂ
5		4t2e8 12349	. . 3 ⊢ (4 · 2) = 8
6	3, 4, 5	mulcomli 11183	. 2 ⊢ (2 · 4) = 8
7		2exp4 17055	. 2 ⊢ (2↑4) = ;16
8		1nn0 12458	. . . 4 ⊢ 1 ∈ ℕ0
9		6nn0 12463	. . . 4 ⊢ 6 ∈ ℕ0
10	8, 9	deccl 12664	. . 3 ⊢ ;16 ∈ ℕ0
11		eqid 2729	. . 3 ⊢ ;16 = ;16
12		9nn0 12466	. . 3 ⊢ 9 ∈ ℕ0
13	10	nn0cni 12454	. . . . 5 ⊢ ;16 ∈ ℂ
14	13	mulridi 11178	. . . 4 ⊢ (;16 · 1) = ;16
15		1p1e2 12306	. . . 4 ⊢ (1 + 1) = 2
16		5nn0 12462	. . . 4 ⊢ 5 ∈ ℕ0
17		9cn 12286	. . . . 5 ⊢ 9 ∈ ℂ
18		6cn 12277	. . . . 5 ⊢ 6 ∈ ℂ
19		9p6e15 12740	. . . . 5 ⊢ (9 + 6) = ;15
20	17, 18, 19	addcomli 11366	. . . 4 ⊢ (6 + 9) = ;15
21	8, 9, 12, 14, 15, 16, 20	decaddci 12710	. . 3 ⊢ ((;16 · 1) + 9) = ;25
22		3nn0 12460	. . . 4 ⊢ 3 ∈ ℕ0
23	18	mullidi 11179	. . . . . 6 ⊢ (1 · 6) = 6
24	23	oveq1i 7397	. . . . 5 ⊢ ((1 · 6) + 3) = (6 + 3)
25		6p3e9 12341	. . . . 5 ⊢ (6 + 3) = 9
26	24, 25	eqtri 2752	. . . 4 ⊢ ((1 · 6) + 3) = 9
27		6t6e36 12757	. . . 4 ⊢ (6 · 6) = ;36
28	9, 8, 9, 11, 9, 22, 26, 27	decmul1c 12714	. . 3 ⊢ (;16 · 6) = ;96
29	10, 8, 9, 11, 9, 12, 21, 28	decmul2c 12715	. 2 ⊢ (;16 · ;16) = ;;256
30	1, 2, 6, 7, 29	numexp2x 17049	1 ⊢ (2↑8) = ;;256

Syntax hints:   = wceq 1540  (class class class)co 7387  1c1 11069   + caddc 11071   · cmul 11073  2c2 12241  3c3 12242  4c4 12243  5c5 12244  6c6 12245  8c8 12247  9c9 12248  ;cdc 12649  ↑cexp 14026

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1795  ax-4 1809  ax-5 1910  ax-6 1967  ax-7 2008  ax-8 2111  ax-9 2119  ax-10 2142  ax-11 2158  ax-12 2178  ax-ext 2701  ax-sep 5251  ax-nul 5261  ax-pow 5320  ax-pr 5387  ax-un 7711  ax-cnex 11124  ax-resscn 11125  ax-1cn 11126  ax-icn 11127  ax-addcl 11128  ax-addrcl 11129  ax-mulcl 11130  ax-mulrcl 11131  ax-mulcom 11132  ax-addass 11133  ax-mulass 11134  ax-distr 11135  ax-i2m1 11136  ax-1ne0 11137  ax-1rid 11138  ax-rnegex 11139  ax-rrecex 11140  ax-cnre 11141  ax-pre-lttri 11142  ax-pre-lttrn 11143  ax-pre-ltadd 11144  ax-pre-mulgt0 11145

This theorem depends on definitions:  df-bi 207  df-an 396  df-or 848  df-3or 1087  df-3an 1088  df-tru 1543  df-fal 1553  df-ex 1780  df-nf 1784  df-sb 2066  df-mo 2533  df-eu 2562  df-clab 2708  df-cleq 2721  df-clel 2803  df-nfc 2878  df-ne 2926  df-nel 3030  df-ral 3045  df-rex 3054  df-reu 3355  df-rab 3406  df-v 3449  df-sbc 3754  df-csb 3863  df-dif 3917  df-un 3919  df-in 3921  df-ss 3931  df-pss 3934  df-nul 4297  df-if 4489  df-pw 4565  df-sn 4590  df-pr 4592  df-op 4596  df-uni 4872  df-iun 4957  df-br 5108  df-opab 5170  df-mpt 5189  df-tr 5215  df-id 5533  df-eprel 5538  df-po 5546  df-so 5547  df-fr 5591  df-we 5593  df-xp 5644  df-rel 5645  df-cnv 5646  df-co 5647  df-dm 5648  df-rn 5649  df-res 5650  df-ima 5651  df-pred 6274  df-ord 6335  df-on 6336  df-lim 6337  df-suc 6338  df-iota 6464  df-fun 6513  df-fn 6514  df-f 6515  df-f1 6516  df-fo 6517  df-f1o 6518  df-fv 6519  df-riota 7344  df-ov 7390  df-oprab 7391  df-mpo 7392  df-om 7843  df-2nd 7969  df-frecs 8260  df-wrecs 8291  df-recs 8340  df-rdg 8378  df-er 8671  df-en 8919  df-dom 8920  df-sdom 8921  df-pnf 11210  df-mnf 11211  df-xr 11212  df-ltxr 11213  df-le 11214  df-sub 11407  df-neg 11408  df-nn 12187  df-2 12249  df-3 12250  df-4 12251  df-5 12252  df-6 12253  df-7 12254  df-8 12255  df-9 12256  df-n0 12443  df-z 12530  df-dec 12650  df-uz 12794  df-seq 13967  df-exp 14027

This theorem is referenced by:  2exp11  17060  2exp16  17061  2503lem1  17107  quart1lem  26765  quart1  26766  lcmineqlem  42040  aks4d1p1  42064  fmtno3  47549  fmtno4sqrt  47569