Theorem 2exp8 16423

Description: Two to the eighth power is 256. (Contributed by Mario Carneiro, 20-Apr-2015.)

Assertion

Ref	Expression
2exp8	⊢ (2↑8) = ;;256

Proof of Theorem 2exp8

Step	Hyp	Ref	Expression
1		2nn0 11915	. 2 ⊢ 2 ∈ ℕ0
2		4nn0 11917	. 2 ⊢ 4 ∈ ℕ0
3	2	nn0cni 11910	. . 3 ⊢ 4 ∈ ℂ
4		2cn 11713	. . 3 ⊢ 2 ∈ ℂ
5		4t2e8 11806	. . 3 ⊢ (4 · 2) = 8
6	3, 4, 5	mulcomli 10650	. 2 ⊢ (2 · 4) = 8
7		2exp4 16421	. 2 ⊢ (2↑4) = ;16
8		1nn0 11914	. . . 4 ⊢ 1 ∈ ℕ0
9		6nn0 11919	. . . 4 ⊢ 6 ∈ ℕ0
10	8, 9	deccl 12114	. . 3 ⊢ ;16 ∈ ℕ0
11		eqid 2821	. . 3 ⊢ ;16 = ;16
12		9nn0 11922	. . 3 ⊢ 9 ∈ ℕ0
13	10	nn0cni 11910	. . . . 5 ⊢ ;16 ∈ ℂ
14	13	mulid1i 10645	. . . 4 ⊢ (;16 · 1) = ;16
15		1p1e2 11763	. . . 4 ⊢ (1 + 1) = 2
16		5nn0 11918	. . . 4 ⊢ 5 ∈ ℕ0
17		9cn 11738	. . . . 5 ⊢ 9 ∈ ℂ
18		6cn 11729	. . . . 5 ⊢ 6 ∈ ℂ
19		9p6e15 12190	. . . . 5 ⊢ (9 + 6) = ;15
20	17, 18, 19	addcomli 10832	. . . 4 ⊢ (6 + 9) = ;15
21	8, 9, 12, 14, 15, 16, 20	decaddci 12160	. . 3 ⊢ ((;16 · 1) + 9) = ;25
22		3nn0 11916	. . . 4 ⊢ 3 ∈ ℕ0
23	18	mulid2i 10646	. . . . . 6 ⊢ (1 · 6) = 6
24	23	oveq1i 7166	. . . . 5 ⊢ ((1 · 6) + 3) = (6 + 3)
25		6p3e9 11798	. . . . 5 ⊢ (6 + 3) = 9
26	24, 25	eqtri 2844	. . . 4 ⊢ ((1 · 6) + 3) = 9
27		6t6e36 12207	. . . 4 ⊢ (6 · 6) = ;36
28	9, 8, 9, 11, 9, 22, 26, 27	decmul1c 12164	. . 3 ⊢ (;16 · 6) = ;96
29	10, 8, 9, 11, 9, 12, 21, 28	decmul2c 12165	. 2 ⊢ (;16 · ;16) = ;;256
30	1, 2, 6, 7, 29	numexp2x 16415	1 ⊢ (2↑8) = ;;256

Syntax hints:   = wceq 1537  (class class class)co 7156  1c1 10538   + caddc 10540   · cmul 10542  2c2 11693  3c3 11694  4c4 11695  5c5 11696  6c6 11697  8c8 11699  9c9 11700  ;cdc 12099  ↑cexp 13430

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1796  ax-4 1810  ax-5 1911  ax-6 1970  ax-7 2015  ax-8 2116  ax-9 2124  ax-10 2145  ax-11 2161  ax-12 2177  ax-ext 2793  ax-sep 5203  ax-nul 5210  ax-pow 5266  ax-pr 5330  ax-un 7461  ax-cnex 10593  ax-resscn 10594  ax-1cn 10595  ax-icn 10596  ax-addcl 10597  ax-addrcl 10598  ax-mulcl 10599  ax-mulrcl 10600  ax-mulcom 10601  ax-addass 10602  ax-mulass 10603  ax-distr 10604  ax-i2m1 10605  ax-1ne0 10606  ax-1rid 10607  ax-rnegex 10608  ax-rrecex 10609  ax-cnre 10610  ax-pre-lttri 10611  ax-pre-lttrn 10612  ax-pre-ltadd 10613  ax-pre-mulgt0 10614

This theorem depends on definitions:  df-bi 209  df-an 399  df-or 844  df-3or 1084  df-3an 1085  df-tru 1540  df-ex 1781  df-nf 1785  df-sb 2070  df-mo 2622  df-eu 2654  df-clab 2800  df-cleq 2814  df-clel 2893  df-nfc 2963  df-ne 3017  df-nel 3124  df-ral 3143  df-rex 3144  df-reu 3145  df-rab 3147  df-v 3496  df-sbc 3773  df-csb 3884  df-dif 3939  df-un 3941  df-in 3943  df-ss 3952  df-pss 3954  df-nul 4292  df-if 4468  df-pw 4541  df-sn 4568  df-pr 4570  df-tp 4572  df-op 4574  df-uni 4839  df-iun 4921  df-br 5067  df-opab 5129  df-mpt 5147  df-tr 5173  df-id 5460  df-eprel 5465  df-po 5474  df-so 5475  df-fr 5514  df-we 5516  df-xp 5561  df-rel 5562  df-cnv 5563  df-co 5564  df-dm 5565  df-rn 5566  df-res 5567  df-ima 5568  df-pred 6148  df-ord 6194  df-on 6195  df-lim 6196  df-suc 6197  df-iota 6314  df-fun 6357  df-fn 6358  df-f 6359  df-f1 6360  df-fo 6361  df-f1o 6362  df-fv 6363  df-riota 7114  df-ov 7159  df-oprab 7160  df-mpo 7161  df-om 7581  df-2nd 7690  df-wrecs 7947  df-recs 8008  df-rdg 8046  df-er 8289  df-en 8510  df-dom 8511  df-sdom 8512  df-pnf 10677  df-mnf 10678  df-xr 10679  df-ltxr 10680  df-le 10681  df-sub 10872  df-neg 10873  df-nn 11639  df-2 11701  df-3 11702  df-4 11703  df-5 11704  df-6 11705  df-7 11706  df-8 11707  df-9 11708  df-n0 11899  df-z 11983  df-dec 12100  df-uz 12245  df-seq 13371  df-exp 13431

This theorem is referenced by:  2exp16  16424  2503lem1  16470  quart1lem  25433  quart1  25434  fmtno3  43733  fmtno4sqrt  43753  2exp11  43785