Theorem 2exp8 17007

Description: Two to the eighth power is 256. (Contributed by Mario Carneiro, 20-Apr-2015.)

Assertion

Ref	Expression
2exp8	⊢ (2↑8) = ;;256

Proof of Theorem 2exp8

Step	Hyp	Ref	Expression
1		2nn0 12409	. 2 ⊢ 2 ∈ ℕ0
2		4nn0 12411	. 2 ⊢ 4 ∈ ℕ0
3	2	nn0cni 12404	. . 3 ⊢ 4 ∈ ℂ
4		2cn 12211	. . 3 ⊢ 2 ∈ ℂ
5		4t2e8 12299	. . 3 ⊢ (4 · 2) = 8
6	3, 4, 5	mulcomli 11132	. 2 ⊢ (2 · 4) = 8
7		2exp4 17003	. 2 ⊢ (2↑4) = ;16
8		1nn0 12408	. . . 4 ⊢ 1 ∈ ℕ0
9		6nn0 12413	. . . 4 ⊢ 6 ∈ ℕ0
10	8, 9	deccl 12613	. . 3 ⊢ ;16 ∈ ℕ0
11		eqid 2733	. . 3 ⊢ ;16 = ;16
12		9nn0 12416	. . 3 ⊢ 9 ∈ ℕ0
13	10	nn0cni 12404	. . . . 5 ⊢ ;16 ∈ ℂ
14	13	mulridi 11127	. . . 4 ⊢ (;16 · 1) = ;16
15		1p1e2 12256	. . . 4 ⊢ (1 + 1) = 2
16		5nn0 12412	. . . 4 ⊢ 5 ∈ ℕ0
17		9cn 12236	. . . . 5 ⊢ 9 ∈ ℂ
18		6cn 12227	. . . . 5 ⊢ 6 ∈ ℂ
19		9p6e15 12689	. . . . 5 ⊢ (9 + 6) = ;15
20	17, 18, 19	addcomli 11316	. . . 4 ⊢ (6 + 9) = ;15
21	8, 9, 12, 14, 15, 16, 20	decaddci 12659	. . 3 ⊢ ((;16 · 1) + 9) = ;25
22		3nn0 12410	. . . 4 ⊢ 3 ∈ ℕ0
23	18	mullidi 11128	. . . . . 6 ⊢ (1 · 6) = 6
24	23	oveq1i 7365	. . . . 5 ⊢ ((1 · 6) + 3) = (6 + 3)
25		6p3e9 12291	. . . . 5 ⊢ (6 + 3) = 9
26	24, 25	eqtri 2756	. . . 4 ⊢ ((1 · 6) + 3) = 9
27		6t6e36 12706	. . . 4 ⊢ (6 · 6) = ;36
28	9, 8, 9, 11, 9, 22, 26, 27	decmul1c 12663	. . 3 ⊢ (;16 · 6) = ;96
29	10, 8, 9, 11, 9, 12, 21, 28	decmul2c 12664	. 2 ⊢ (;16 · ;16) = ;;256
30	1, 2, 6, 7, 29	numexp2x 16997	1 ⊢ (2↑8) = ;;256

Syntax hints:   = wceq 1541  (class class class)co 7355  1c1 11018   + caddc 11020   · cmul 11022  2c2 12191  3c3 12192  4c4 12193  5c5 12194  6c6 12195  8c8 12197  9c9 12198  ;cdc 12598  ↑cexp 13975

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1796  ax-4 1810  ax-5 1911  ax-6 1968  ax-7 2009  ax-8 2115  ax-9 2123  ax-10 2146  ax-11 2162  ax-12 2182  ax-ext 2705  ax-sep 5238  ax-nul 5248  ax-pow 5307  ax-pr 5374  ax-un 7677  ax-cnex 11073  ax-resscn 11074  ax-1cn 11075  ax-icn 11076  ax-addcl 11077  ax-addrcl 11078  ax-mulcl 11079  ax-mulrcl 11080  ax-mulcom 11081  ax-addass 11082  ax-mulass 11083  ax-distr 11084  ax-i2m1 11085  ax-1ne0 11086  ax-1rid 11087  ax-rnegex 11088  ax-rrecex 11089  ax-cnre 11090  ax-pre-lttri 11091  ax-pre-lttrn 11092  ax-pre-ltadd 11093  ax-pre-mulgt0 11094

This theorem depends on definitions:  df-bi 207  df-an 396  df-or 848  df-3or 1087  df-3an 1088  df-tru 1544  df-fal 1554  df-ex 1781  df-nf 1785  df-sb 2068  df-mo 2537  df-eu 2566  df-clab 2712  df-cleq 2725  df-clel 2808  df-nfc 2882  df-ne 2930  df-nel 3034  df-ral 3049  df-rex 3058  df-reu 3348  df-rab 3397  df-v 3439  df-sbc 3738  df-csb 3847  df-dif 3901  df-un 3903  df-in 3905  df-ss 3915  df-pss 3918  df-nul 4283  df-if 4477  df-pw 4553  df-sn 4578  df-pr 4580  df-op 4584  df-uni 4861  df-iun 4945  df-br 5096  df-opab 5158  df-mpt 5177  df-tr 5203  df-id 5516  df-eprel 5521  df-po 5529  df-so 5530  df-fr 5574  df-we 5576  df-xp 5627  df-rel 5628  df-cnv 5629  df-co 5630  df-dm 5631  df-rn 5632  df-res 5633  df-ima 5634  df-pred 6256  df-ord 6317  df-on 6318  df-lim 6319  df-suc 6320  df-iota 6445  df-fun 6491  df-fn 6492  df-f 6493  df-f1 6494  df-fo 6495  df-f1o 6496  df-fv 6497  df-riota 7312  df-ov 7358  df-oprab 7359  df-mpo 7360  df-om 7806  df-2nd 7931  df-frecs 8220  df-wrecs 8251  df-recs 8300  df-rdg 8338  df-er 8631  df-en 8880  df-dom 8881  df-sdom 8882  df-pnf 11159  df-mnf 11160  df-xr 11161  df-ltxr 11162  df-le 11163  df-sub 11357  df-neg 11358  df-nn 12137  df-2 12199  df-3 12200  df-4 12201  df-5 12202  df-6 12203  df-7 12204  df-8 12205  df-9 12206  df-n0 12393  df-z 12480  df-dec 12599  df-uz 12743  df-seq 13916  df-exp 13976

This theorem is referenced by:  2exp11  17008  2exp16  17009  2503lem1  17055  quart1lem  26812  quart1  26813  lcmineqlem  42218  aks4d1p1  42242  fmtno3  47713  fmtno4sqrt  47733