Theorem 2exp8 17035

Description: Two to the eighth power is 256. (Contributed by Mario Carneiro, 20-Apr-2015.)

Assertion

Ref	Expression
2exp8	⊢ (2↑8) = ;;256

Proof of Theorem 2exp8

Step	Hyp	Ref	Expression
1		2nn0 12435	. 2 ⊢ 2 ∈ ℕ0
2		4nn0 12437	. 2 ⊢ 4 ∈ ℕ0
3	2	nn0cni 12430	. . 3 ⊢ 4 ∈ ℂ
4		2cn 12237	. . 3 ⊢ 2 ∈ ℂ
5		4t2e8 12325	. . 3 ⊢ (4 · 2) = 8
6	3, 4, 5	mulcomli 11159	. 2 ⊢ (2 · 4) = 8
7		2exp4 17031	. 2 ⊢ (2↑4) = ;16
8		1nn0 12434	. . . 4 ⊢ 1 ∈ ℕ0
9		6nn0 12439	. . . 4 ⊢ 6 ∈ ℕ0
10	8, 9	deccl 12640	. . 3 ⊢ ;16 ∈ ℕ0
11		eqid 2729	. . 3 ⊢ ;16 = ;16
12		9nn0 12442	. . 3 ⊢ 9 ∈ ℕ0
13	10	nn0cni 12430	. . . . 5 ⊢ ;16 ∈ ℂ
14	13	mulridi 11154	. . . 4 ⊢ (;16 · 1) = ;16
15		1p1e2 12282	. . . 4 ⊢ (1 + 1) = 2
16		5nn0 12438	. . . 4 ⊢ 5 ∈ ℕ0
17		9cn 12262	. . . . 5 ⊢ 9 ∈ ℂ
18		6cn 12253	. . . . 5 ⊢ 6 ∈ ℂ
19		9p6e15 12716	. . . . 5 ⊢ (9 + 6) = ;15
20	17, 18, 19	addcomli 11342	. . . 4 ⊢ (6 + 9) = ;15
21	8, 9, 12, 14, 15, 16, 20	decaddci 12686	. . 3 ⊢ ((;16 · 1) + 9) = ;25
22		3nn0 12436	. . . 4 ⊢ 3 ∈ ℕ0
23	18	mullidi 11155	. . . . . 6 ⊢ (1 · 6) = 6
24	23	oveq1i 7379	. . . . 5 ⊢ ((1 · 6) + 3) = (6 + 3)
25		6p3e9 12317	. . . . 5 ⊢ (6 + 3) = 9
26	24, 25	eqtri 2752	. . . 4 ⊢ ((1 · 6) + 3) = 9
27		6t6e36 12733	. . . 4 ⊢ (6 · 6) = ;36
28	9, 8, 9, 11, 9, 22, 26, 27	decmul1c 12690	. . 3 ⊢ (;16 · 6) = ;96
29	10, 8, 9, 11, 9, 12, 21, 28	decmul2c 12691	. 2 ⊢ (;16 · ;16) = ;;256
30	1, 2, 6, 7, 29	numexp2x 17025	1 ⊢ (2↑8) = ;;256

Syntax hints:   = wceq 1540  (class class class)co 7369  1c1 11045   + caddc 11047   · cmul 11049  2c2 12217  3c3 12218  4c4 12219  5c5 12220  6c6 12221  8c8 12223  9c9 12224  ;cdc 12625  ↑cexp 14002

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1795  ax-4 1809  ax-5 1910  ax-6 1967  ax-7 2008  ax-8 2111  ax-9 2119  ax-10 2142  ax-11 2158  ax-12 2178  ax-ext 2701  ax-sep 5246  ax-nul 5256  ax-pow 5315  ax-pr 5382  ax-un 7691  ax-cnex 11100  ax-resscn 11101  ax-1cn 11102  ax-icn 11103  ax-addcl 11104  ax-addrcl 11105  ax-mulcl 11106  ax-mulrcl 11107  ax-mulcom 11108  ax-addass 11109  ax-mulass 11110  ax-distr 11111  ax-i2m1 11112  ax-1ne0 11113  ax-1rid 11114  ax-rnegex 11115  ax-rrecex 11116  ax-cnre 11117  ax-pre-lttri 11118  ax-pre-lttrn 11119  ax-pre-ltadd 11120  ax-pre-mulgt0 11121

This theorem depends on definitions:  df-bi 207  df-an 396  df-or 848  df-3or 1087  df-3an 1088  df-tru 1543  df-fal 1553  df-ex 1780  df-nf 1784  df-sb 2066  df-mo 2533  df-eu 2562  df-clab 2708  df-cleq 2721  df-clel 2803  df-nfc 2878  df-ne 2926  df-nel 3030  df-ral 3045  df-rex 3054  df-reu 3352  df-rab 3403  df-v 3446  df-sbc 3751  df-csb 3860  df-dif 3914  df-un 3916  df-in 3918  df-ss 3928  df-pss 3931  df-nul 4293  df-if 4485  df-pw 4561  df-sn 4586  df-pr 4588  df-op 4592  df-uni 4868  df-iun 4953  df-br 5103  df-opab 5165  df-mpt 5184  df-tr 5210  df-id 5526  df-eprel 5531  df-po 5539  df-so 5540  df-fr 5584  df-we 5586  df-xp 5637  df-rel 5638  df-cnv 5639  df-co 5640  df-dm 5641  df-rn 5642  df-res 5643  df-ima 5644  df-pred 6262  df-ord 6323  df-on 6324  df-lim 6325  df-suc 6326  df-iota 6452  df-fun 6501  df-fn 6502  df-f 6503  df-f1 6504  df-fo 6505  df-f1o 6506  df-fv 6507  df-riota 7326  df-ov 7372  df-oprab 7373  df-mpo 7374  df-om 7823  df-2nd 7948  df-frecs 8237  df-wrecs 8268  df-recs 8317  df-rdg 8355  df-er 8648  df-en 8896  df-dom 8897  df-sdom 8898  df-pnf 11186  df-mnf 11187  df-xr 11188  df-ltxr 11189  df-le 11190  df-sub 11383  df-neg 11384  df-nn 12163  df-2 12225  df-3 12226  df-4 12227  df-5 12228  df-6 12229  df-7 12230  df-8 12231  df-9 12232  df-n0 12419  df-z 12506  df-dec 12626  df-uz 12770  df-seq 13943  df-exp 14003

This theorem is referenced by:  2exp11  17036  2exp16  17037  2503lem1  17083  quart1lem  26741  quart1  26742  lcmineqlem  42013  aks4d1p1  42037  fmtno3  47525  fmtno4sqrt  47545