Theorem 2exp8 16008

Description: Two to the eighth power is 256. (Contributed by Mario Carneiro, 20-Apr-2015.)

Assertion

Ref	Expression
2exp8	⊢ (2↑8) = ;;256

Proof of Theorem 2exp8

Step	Hyp	Ref	Expression
1		2nn0 11576	. 2 ⊢ 2 ∈ ℕ0
2		4nn0 11578	. 2 ⊢ 4 ∈ ℕ0
3	2	nn0cni 11571	. . 3 ⊢ 4 ∈ ℂ
4		2cn 11375	. . 3 ⊢ 2 ∈ ℂ
5		4t2e8 11459	. . 3 ⊢ (4 · 2) = 8
6	3, 4, 5	mulcomli 10334	. 2 ⊢ (2 · 4) = 8
7		2exp4 16006	. 2 ⊢ (2↑4) = ;16
8		1nn0 11575	. . . 4 ⊢ 1 ∈ ℕ0
9		6nn0 11580	. . . 4 ⊢ 6 ∈ ℕ0
10	8, 9	deccl 11774	. . 3 ⊢ ;16 ∈ ℕ0
11		eqid 2806	. . 3 ⊢ ;16 = ;16
12		9nn0 11583	. . 3 ⊢ 9 ∈ ℕ0
13	10	nn0cni 11571	. . . . 5 ⊢ ;16 ∈ ℂ
14	13	mulid1i 10329	. . . 4 ⊢ (;16 · 1) = ;16
15		1p1e2 11417	. . . 4 ⊢ (1 + 1) = 2
16		5nn0 11579	. . . 4 ⊢ 5 ∈ ℕ0
17		9cn 11392	. . . . 5 ⊢ 9 ∈ ℂ
18		6cn 11386	. . . . 5 ⊢ 6 ∈ ℂ
19		9p6e15 11850	. . . . 5 ⊢ (9 + 6) = ;15
20	17, 18, 19	addcomli 10513	. . . 4 ⊢ (6 + 9) = ;15
21	8, 9, 12, 14, 15, 16, 20	decaddci 11820	. . 3 ⊢ ((;16 · 1) + 9) = ;25
22		3nn0 11577	. . . 4 ⊢ 3 ∈ ℕ0
23	18	mulid2i 10330	. . . . . 6 ⊢ (1 · 6) = 6
24	23	oveq1i 6884	. . . . 5 ⊢ ((1 · 6) + 3) = (6 + 3)
25		6p3e9 11451	. . . . 5 ⊢ (6 + 3) = 9
26	24, 25	eqtri 2828	. . . 4 ⊢ ((1 · 6) + 3) = 9
27		6t6e36 11867	. . . 4 ⊢ (6 · 6) = ;36
28	9, 8, 9, 11, 9, 22, 26, 27	decmul1c 11824	. . 3 ⊢ (;16 · 6) = ;96
29	10, 8, 9, 11, 9, 12, 21, 28	decmul2c 11825	. 2 ⊢ (;16 · ;16) = ;;256
30	1, 2, 6, 7, 29	numexp2x 16000	1 ⊢ (2↑8) = ;;256

Syntax hints:   = wceq 1637  (class class class)co 6874  1c1 10222   + caddc 10224   · cmul 10226  2c2 11356  3c3 11357  4c4 11358  5c5 11359  6c6 11360  8c8 11362  9c9 11363  ;cdc 11759  ↑cexp 13083

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1877  ax-4 1894  ax-5 2001  ax-6 2068  ax-7 2104  ax-8 2158  ax-9 2165  ax-10 2185  ax-11 2201  ax-12 2214  ax-13 2420  ax-ext 2784  ax-sep 4975  ax-nul 4983  ax-pow 5035  ax-pr 5096  ax-un 7179  ax-cnex 10277  ax-resscn 10278  ax-1cn 10279  ax-icn 10280  ax-addcl 10281  ax-addrcl 10282  ax-mulcl 10283  ax-mulrcl 10284  ax-mulcom 10285  ax-addass 10286  ax-mulass 10287  ax-distr 10288  ax-i2m1 10289  ax-1ne0 10290  ax-1rid 10291  ax-rnegex 10292  ax-rrecex 10293  ax-cnre 10294  ax-pre-lttri 10295  ax-pre-lttrn 10296  ax-pre-ltadd 10297  ax-pre-mulgt0 10298

This theorem depends on definitions:  df-bi 198  df-an 385  df-or 866  df-3or 1101  df-3an 1102  df-tru 1641  df-ex 1860  df-nf 1864  df-sb 2061  df-eu 2634  df-mo 2635  df-clab 2793  df-cleq 2799  df-clel 2802  df-nfc 2937  df-ne 2979  df-nel 3082  df-ral 3101  df-rex 3102  df-reu 3103  df-rab 3105  df-v 3393  df-sbc 3634  df-csb 3729  df-dif 3772  df-un 3774  df-in 3776  df-ss 3783  df-pss 3785  df-nul 4117  df-if 4280  df-pw 4353  df-sn 4371  df-pr 4373  df-tp 4375  df-op 4377  df-uni 4631  df-iun 4714  df-br 4845  df-opab 4907  df-mpt 4924  df-tr 4947  df-id 5219  df-eprel 5224  df-po 5232  df-so 5233  df-fr 5270  df-we 5272  df-xp 5317  df-rel 5318  df-cnv 5319  df-co 5320  df-dm 5321  df-rn 5322  df-res 5323  df-ima 5324  df-pred 5893  df-ord 5939  df-on 5940  df-lim 5941  df-suc 5942  df-iota 6064  df-fun 6103  df-fn 6104  df-f 6105  df-f1 6106  df-fo 6107  df-f1o 6108  df-fv 6109  df-riota 6835  df-ov 6877  df-oprab 6878  df-mpt2 6879  df-om 7296  df-2nd 7399  df-wrecs 7642  df-recs 7704  df-rdg 7742  df-er 7979  df-en 8193  df-dom 8194  df-sdom 8195  df-pnf 10361  df-mnf 10362  df-xr 10363  df-ltxr 10364  df-le 10365  df-sub 10553  df-neg 10554  df-nn 11306  df-2 11364  df-3 11365  df-4 11366  df-5 11367  df-6 11368  df-7 11369  df-8 11370  df-9 11371  df-n0 11560  df-z 11644  df-dec 11760  df-uz 11905  df-seq 13025  df-exp 13084

This theorem is referenced by:  2exp16  16009  2503lem1  16055  quart1lem  24796  quart1  24797  fmtno3  42038  fmtno4sqrt  42058  2exp11  42092