Theorem 2exp8 17115

Description: Two to the eighth power is 256. (Contributed by Mario Carneiro, 20-Apr-2015.)

Assertion

Ref	Expression
2exp8	⊢ (2↑8) = ;;256

Proof of Theorem 2exp8

Step	Hyp	Ref	Expression
1		2nn0 12492	. 2 ⊢ 2 ∈ ℕ0
2		4nn0 12494	. 2 ⊢ 4 ∈ ℕ0
3	2	nn0cni 12487	. . 3 ⊢ 4 ∈ ℂ
4		2cn 12287	. . 3 ⊢ 2 ∈ ℂ
5		4t2e8 12380	. . 3 ⊢ (4 · 2) = 8
6	3, 4, 5	mulcomli 11185	. 2 ⊢ (2 · 4) = 8
7		2exp4 17111	. 2 ⊢ (2↑4) = ;16
8		1nn0 12491	. . . 4 ⊢ 1 ∈ ℕ0
9		6nn0 12496	. . . 4 ⊢ 6 ∈ ℕ0
10	8, 9	deccl 12697	. . 3 ⊢ ;16 ∈ ℕ0
11		eqid 2761	. . 3 ⊢ ;16 = ;16
12		9nn0 12499	. . 3 ⊢ 9 ∈ ℕ0
13	10	nn0cni 12487	. . . . 5 ⊢ ;16 ∈ ℂ
14	13	mulridi 11180	. . . 4 ⊢ (;16 · 1) = ;16
15		1p1e2 12335	. . . 4 ⊢ (1 + 1) = 2
16		5nn0 12495	. . . 4 ⊢ 5 ∈ ℕ0
17		9cn 12312	. . . . 5 ⊢ 9 ∈ ℂ
18		6cn 12303	. . . . 5 ⊢ 6 ∈ ℂ
19		9p6e15 12778	. . . . 5 ⊢ (9 + 6) = ;15
20	17, 18, 19	addcomli 11369	. . . 4 ⊢ (6 + 9) = ;15
21	8, 9, 12, 14, 15, 16, 20	decaddci 12748	. . 3 ⊢ ((;16 · 1) + 9) = ;25
22		3nn0 12493	. . . 4 ⊢ 3 ∈ ℕ0
23	18	mullidi 11181	. . . . . 6 ⊢ (1 · 6) = 6
24	23	oveq1i 7401	. . . . 5 ⊢ ((1 · 6) + 3) = (6 + 3)
25		6p3e9 12371	. . . . 5 ⊢ (6 + 3) = 9
26	24, 25	eqtri 2784	. . . 4 ⊢ ((1 · 6) + 3) = 9
27		6t6e36 12795	. . . 4 ⊢ (6 · 6) = ;36
28	9, 8, 9, 11, 9, 22, 26, 27	decmul1c 12752	. . 3 ⊢ (;16 · 6) = ;96
29	10, 8, 9, 11, 9, 12, 21, 28	decmul2c 12753	. 2 ⊢ (;16 · ;16) = ;;256
30	1, 2, 6, 7, 29	numexp2x 17105	1 ⊢ (2↑8) = ;;256

Syntax hints:   = wceq 1559  (class class class)co 7391  1c1 11068   + caddc 11070   · cmul 11072  2c2 12266  3c3 12267  4c4 12268  5c5 12269  6c6 12270  8c8 12272  9c9 12273  ;cdc 12682  ↑cexp 14068

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1814  ax-4 1828  ax-5 1929  ax-6 1986  ax-7 2027  ax-8 2143  ax-9 2151  ax-10 2174  ax-11 2190  ax-12 2211  ax-ext 2733  ax-sep 5243  ax-nul 5253  ax-pow 5319  ax-pr 5387  ax-un 7713  ax-cnex 11123  ax-resscn 11124  ax-1cn 11125  ax-icn 11126  ax-addcl 11127  ax-addrcl 11128  ax-mulcl 11129  ax-mulrcl 11130  ax-mulcom 11131  ax-addass 11132  ax-mulass 11133  ax-distr 11134  ax-i2m1 11135  ax-1ne0 11136  ax-1rid 11137  ax-rnegex 11138  ax-rrecex 11139  ax-cnre 11140  ax-pre-lttri 11141  ax-pre-lttrn 11142  ax-pre-ltadd 11143  ax-pre-mulgt0 11144

This theorem depends on definitions:  df-bi 209  df-an 400  df-or 859  df-3or 1098  df-3an 1099  df-tru 1562  df-fal 1572  df-ex 1799  df-nf 1803  df-sb 2090  df-mo 2565  df-eu 2595  df-clab 2740  df-cleq 2753  df-clel 2836  df-nfc 2910  df-ne 2957  df-nel 3061  df-ral 3076  df-rex 3086  df-reu 3367  df-rab 3414  df-v 3455  df-sbc 3743  df-csb 3851  df-dif 3905  df-un 3907  df-in 3909  df-ss 3919  df-pss 3922  df-nul 4284  df-if 4478  df-pw 4554  df-sn 4580  df-pr 4582  df-op 4586  df-uni 4863  df-iun 4948  df-br 5098  df-opab 5160  df-mpt 5179  df-tr 5205  df-id 5538  df-eprel 5543  df-po 5551  df-so 5552  df-fr 5596  df-we 5598  df-xp 5649  df-rel 5650  df-cnv 5651  df-co 5652  df-dm 5653  df-rn 5654  df-res 5655  df-ima 5656  df-pred 6283  df-ord 6344  df-on 6345  df-lim 6346  df-suc 6347  df-iota 6472  df-fun 6518  df-fn 6519  df-f 6520  df-f1 6521  df-fo 6522  df-f1o 6523  df-fv 6524  df-riota 7348  df-ov 7394  df-oprab 7395  df-mpo 7396  df-om 7842  df-2nd 7966  df-frecs 8256  df-wrecs 8287  df-recs 8336  df-rdg 8375  df-er 8672  df-en 8922  df-dom 8923  df-sdom 8924  df-pnf 11212  df-mnf 11213  df-xr 11214  df-ltxr 11215  df-le 11216  df-sub 11410  df-neg 11411  df-nn 12205  df-2 12274  df-3 12275  df-4 12276  df-5 12277  df-6 12278  df-7 12279  df-8 12280  df-9 12281  df-n0 12476  df-z 12563  df-dec 12683  df-uz 12834  df-seq 14009  df-exp 14069

This theorem is referenced by:  2exp11  17116  2exp16  17117  2503lem1  17164  quart1lem  26908  quart1  26909  lcmineqlem  42630  aks4d1p1  42654  fmtno3  48121  fmtno4sqrt  48141