Theorem 2exp8 17050

Description: Two to the eighth power is 256. (Contributed by Mario Carneiro, 20-Apr-2015.)

Assertion

Ref	Expression
2exp8	⊢ (2↑8) = ;;256

Proof of Theorem 2exp8

Step	Hyp	Ref	Expression
1		2nn0 12445	. 2 ⊢ 2 ∈ ℕ0
2		4nn0 12447	. 2 ⊢ 4 ∈ ℕ0
3	2	nn0cni 12440	. . 3 ⊢ 4 ∈ ℂ
4		2cn 12247	. . 3 ⊢ 2 ∈ ℂ
5		4t2e8 12335	. . 3 ⊢ (4 · 2) = 8
6	3, 4, 5	mulcomli 11145	. 2 ⊢ (2 · 4) = 8
7		2exp4 17046	. 2 ⊢ (2↑4) = ;16
8		1nn0 12444	. . . 4 ⊢ 1 ∈ ℕ0
9		6nn0 12449	. . . 4 ⊢ 6 ∈ ℕ0
10	8, 9	deccl 12650	. . 3 ⊢ ;16 ∈ ℕ0
11		eqid 2737	. . 3 ⊢ ;16 = ;16
12		9nn0 12452	. . 3 ⊢ 9 ∈ ℕ0
13	10	nn0cni 12440	. . . . 5 ⊢ ;16 ∈ ℂ
14	13	mulridi 11140	. . . 4 ⊢ (;16 · 1) = ;16
15		1p1e2 12292	. . . 4 ⊢ (1 + 1) = 2
16		5nn0 12448	. . . 4 ⊢ 5 ∈ ℕ0
17		9cn 12272	. . . . 5 ⊢ 9 ∈ ℂ
18		6cn 12263	. . . . 5 ⊢ 6 ∈ ℂ
19		9p6e15 12726	. . . . 5 ⊢ (9 + 6) = ;15
20	17, 18, 19	addcomli 11329	. . . 4 ⊢ (6 + 9) = ;15
21	8, 9, 12, 14, 15, 16, 20	decaddci 12696	. . 3 ⊢ ((;16 · 1) + 9) = ;25
22		3nn0 12446	. . . 4 ⊢ 3 ∈ ℕ0
23	18	mullidi 11141	. . . . . 6 ⊢ (1 · 6) = 6
24	23	oveq1i 7370	. . . . 5 ⊢ ((1 · 6) + 3) = (6 + 3)
25		6p3e9 12327	. . . . 5 ⊢ (6 + 3) = 9
26	24, 25	eqtri 2760	. . . 4 ⊢ ((1 · 6) + 3) = 9
27		6t6e36 12743	. . . 4 ⊢ (6 · 6) = ;36
28	9, 8, 9, 11, 9, 22, 26, 27	decmul1c 12700	. . 3 ⊢ (;16 · 6) = ;96
29	10, 8, 9, 11, 9, 12, 21, 28	decmul2c 12701	. 2 ⊢ (;16 · ;16) = ;;256
30	1, 2, 6, 7, 29	numexp2x 17040	1 ⊢ (2↑8) = ;;256

Syntax hints:   = wceq 1542  (class class class)co 7360  1c1 11030   + caddc 11032   · cmul 11034  2c2 12227  3c3 12228  4c4 12229  5c5 12230  6c6 12231  8c8 12233  9c9 12234  ;cdc 12635  ↑cexp 14014

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1797  ax-4 1811  ax-5 1912  ax-6 1969  ax-7 2010  ax-8 2116  ax-9 2124  ax-10 2147  ax-11 2163  ax-12 2185  ax-ext 2709  ax-sep 5231  ax-nul 5241  ax-pow 5302  ax-pr 5370  ax-un 7682  ax-cnex 11085  ax-resscn 11086  ax-1cn 11087  ax-icn 11088  ax-addcl 11089  ax-addrcl 11090  ax-mulcl 11091  ax-mulrcl 11092  ax-mulcom 11093  ax-addass 11094  ax-mulass 11095  ax-distr 11096  ax-i2m1 11097  ax-1ne0 11098  ax-1rid 11099  ax-rnegex 11100  ax-rrecex 11101  ax-cnre 11102  ax-pre-lttri 11103  ax-pre-lttrn 11104  ax-pre-ltadd 11105  ax-pre-mulgt0 11106

This theorem depends on definitions:  df-bi 207  df-an 396  df-or 849  df-3or 1088  df-3an 1089  df-tru 1545  df-fal 1555  df-ex 1782  df-nf 1786  df-sb 2069  df-mo 2540  df-eu 2570  df-clab 2716  df-cleq 2729  df-clel 2812  df-nfc 2886  df-ne 2934  df-nel 3038  df-ral 3053  df-rex 3063  df-reu 3344  df-rab 3391  df-v 3432  df-sbc 3730  df-csb 3839  df-dif 3893  df-un 3895  df-in 3897  df-ss 3907  df-pss 3910  df-nul 4275  df-if 4468  df-pw 4544  df-sn 4569  df-pr 4571  df-op 4575  df-uni 4852  df-iun 4936  df-br 5087  df-opab 5149  df-mpt 5168  df-tr 5194  df-id 5519  df-eprel 5524  df-po 5532  df-so 5533  df-fr 5577  df-we 5579  df-xp 5630  df-rel 5631  df-cnv 5632  df-co 5633  df-dm 5634  df-rn 5635  df-res 5636  df-ima 5637  df-pred 6259  df-ord 6320  df-on 6321  df-lim 6322  df-suc 6323  df-iota 6448  df-fun 6494  df-fn 6495  df-f 6496  df-f1 6497  df-fo 6498  df-f1o 6499  df-fv 6500  df-riota 7317  df-ov 7363  df-oprab 7364  df-mpo 7365  df-om 7811  df-2nd 7936  df-frecs 8224  df-wrecs 8255  df-recs 8304  df-rdg 8342  df-er 8636  df-en 8887  df-dom 8888  df-sdom 8889  df-pnf 11172  df-mnf 11173  df-xr 11174  df-ltxr 11175  df-le 11176  df-sub 11370  df-neg 11371  df-nn 12166  df-2 12235  df-3 12236  df-4 12237  df-5 12238  df-6 12239  df-7 12240  df-8 12241  df-9 12242  df-n0 12429  df-z 12516  df-dec 12636  df-uz 12780  df-seq 13955  df-exp 14015

This theorem is referenced by:  2exp11  17051  2exp16  17052  2503lem1  17098  quart1lem  26832  quart1  26833  lcmineqlem  42505  aks4d1p1  42529  fmtno3  48026  fmtno4sqrt  48046