Theorem 2exp8 17144

Description: Two to the eighth power is 256. (Contributed by Mario Carneiro, 20-Apr-2015.)

Assertion

Ref	Expression
2exp8	⊢ (2↑8) = ;;256

Proof of Theorem 2exp8

Step	Hyp	Ref	Expression
1		2nn0 12517	. 2 ⊢ 2 ∈ ℕ0
2		4nn0 12519	. 2 ⊢ 4 ∈ ℕ0
3	2	nn0cni 12512	. . 3 ⊢ 4 ∈ ℂ
4		2cn 12312	. . 3 ⊢ 2 ∈ ℂ
5		4t2e8 12405	. . 3 ⊢ (4 · 2) = 8
6	3, 4, 5	mulcomli 11214	. 2 ⊢ (2 · 4) = 8
7		2exp4 17140	. 2 ⊢ (2↑4) = ;16
8		1nn0 12516	. . . 4 ⊢ 1 ∈ ℕ0
9		6nn0 12521	. . . 4 ⊢ 6 ∈ ℕ0
10	8, 9	deccl 12722	. . 3 ⊢ ;16 ∈ ℕ0
11		eqid 2769	. . 3 ⊢ ;16 = ;16
12		9nn0 12524	. . 3 ⊢ 9 ∈ ℕ0
13	10	nn0cni 12512	. . . . 5 ⊢ ;16 ∈ ℂ
14	13	mulridi 11209	. . . 4 ⊢ (;16 · 1) = ;16
15		1p1e2 12360	. . . 4 ⊢ (1 + 1) = 2
16		5nn0 12520	. . . 4 ⊢ 5 ∈ ℕ0
17		9cn 12337	. . . . 5 ⊢ 9 ∈ ℂ
18		6cn 12328	. . . . 5 ⊢ 6 ∈ ℂ
19		9p6e15 12803	. . . . 5 ⊢ (9 + 6) = ;15
20	17, 18, 19	addcomli 11398	. . . 4 ⊢ (6 + 9) = ;15
21	8, 9, 12, 14, 15, 16, 20	decaddci 12773	. . 3 ⊢ ((;16 · 1) + 9) = ;25
22		3nn0 12518	. . . 4 ⊢ 3 ∈ ℕ0
23	18	mullidi 11210	. . . . . 6 ⊢ (1 · 6) = 6
24	23	oveq1i 7418	. . . . 5 ⊢ ((1 · 6) + 3) = (6 + 3)
25		6p3e9 12396	. . . . 5 ⊢ (6 + 3) = 9
26	24, 25	eqtri 2792	. . . 4 ⊢ ((1 · 6) + 3) = 9
27		6t6e36 12820	. . . 4 ⊢ (6 · 6) = ;36
28	9, 8, 9, 11, 9, 22, 26, 27	decmul1c 12777	. . 3 ⊢ (;16 · 6) = ;96
29	10, 8, 9, 11, 9, 12, 21, 28	decmul2c 12778	. 2 ⊢ (;16 · ;16) = ;;256
30	1, 2, 6, 7, 29	numexp2x 17134	1 ⊢ (2↑8) = ;;256

Syntax hints:   = wceq 1567  (class class class)co 7408  1c1 11097   + caddc 11099   · cmul 11101  2c2 12291  3c3 12292  4c4 12293  5c5 12294  6c6 12295  8c8 12297  9c9 12298  ;cdc 12707  ↑cexp 14093

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1822  ax-4 1836  ax-5 1937  ax-6 1994  ax-7 2035  ax-8 2151  ax-9 2159  ax-10 2182  ax-11 2198  ax-12 2219  ax-ext 2741  ax-sep 5258  ax-nul 5268  ax-pow 5334  ax-pr 5402  ax-un 7730  ax-cnex 11152  ax-resscn 11153  ax-1cn 11154  ax-icn 11155  ax-addcl 11156  ax-addrcl 11157  ax-mulcl 11158  ax-mulrcl 11159  ax-mulcom 11160  ax-addass 11161  ax-mulass 11162  ax-distr 11163  ax-i2m1 11164  ax-1ne0 11165  ax-1rid 11166  ax-rnegex 11167  ax-rrecex 11168  ax-cnre 11169  ax-pre-lttri 11170  ax-pre-lttrn 11171  ax-pre-ltadd 11172  ax-pre-mulgt0 11173

This theorem depends on definitions:  df-bi 210  df-an 401  df-or 861  df-3or 1102  df-3an 1103  df-tru 1570  df-fal 1580  df-ex 1807  df-nf 1811  df-sb 2098  df-mo 2573  df-eu 2603  df-clab 2748  df-cleq 2761  df-clel 2844  df-nfc 2918  df-ne 2965  df-nel 3071  df-ral 3086  df-rex 3096  df-reu 3377  df-rab 3424  df-v 3465  df-sbc 3754  df-csb 3862  df-dif 3916  df-un 3918  df-in 3920  df-ss 3930  df-pss 3933  df-nul 4295  df-if 4490  df-pw 4566  df-sn 4592  df-pr 4594  df-op 4598  df-uni 4874  df-iun 4959  df-br 5111  df-opab 5175  df-mpt 5194  df-tr 5220  df-id 5554  df-eprel 5559  df-po 5567  df-so 5568  df-fr 5612  df-we 5614  df-xp 5665  df-rel 5666  df-cnv 5667  df-co 5668  df-dm 5669  df-rn 5670  df-res 5671  df-ima 5672  df-pred 6299  df-ord 6360  df-on 6361  df-lim 6362  df-suc 6363  df-iota 6489  df-fun 6535  df-fn 6536  df-f 6537  df-f1 6538  df-fo 6539  df-f1o 6540  df-fv 6541  df-riota 7365  df-ov 7411  df-oprab 7412  df-mpo 7413  df-om 7859  df-2nd 7983  df-frecs 8274  df-wrecs 8305  df-recs 8354  df-rdg 8393  df-er 8690  df-en 8940  df-dom 8941  df-sdom 8942  df-pnf 11241  df-mnf 11242  df-xr 11243  df-ltxr 11244  df-le 11245  df-sub 11439  df-neg 11440  df-nn 12230  df-2 12299  df-3 12300  df-4 12301  df-5 12302  df-6 12303  df-7 12304  df-8 12305  df-9 12306  df-n0 12501  df-z 12588  df-dec 12708  df-uz 12859  df-seq 14034  df-exp 14094

This theorem is referenced by:  2exp11  17145  2exp16  17146  2503lem1  17193  quart1lem  26982  quart1  26983  lcmineqlem  42704  aks4d1p1  42728  fmtno3  48185  fmtno4sqrt  48205