Theorem 2exp8 16771

Description: Two to the eighth power is 256. (Contributed by Mario Carneiro, 20-Apr-2015.)

Assertion

Ref	Expression
2exp8	⊢ (2↑8) = ;;256

Proof of Theorem 2exp8

Step	Hyp	Ref	Expression
1		2nn0 12233	. 2 ⊢ 2 ∈ ℕ0
2		4nn0 12235	. 2 ⊢ 4 ∈ ℕ0
3	2	nn0cni 12228	. . 3 ⊢ 4 ∈ ℂ
4		2cn 12031	. . 3 ⊢ 2 ∈ ℂ
5		4t2e8 12124	. . 3 ⊢ (4 · 2) = 8
6	3, 4, 5	mulcomli 10968	. 2 ⊢ (2 · 4) = 8
7		2exp4 16767	. 2 ⊢ (2↑4) = ;16
8		1nn0 12232	. . . 4 ⊢ 1 ∈ ℕ0
9		6nn0 12237	. . . 4 ⊢ 6 ∈ ℕ0
10	8, 9	deccl 12434	. . 3 ⊢ ;16 ∈ ℕ0
11		eqid 2739	. . 3 ⊢ ;16 = ;16
12		9nn0 12240	. . 3 ⊢ 9 ∈ ℕ0
13	10	nn0cni 12228	. . . . 5 ⊢ ;16 ∈ ℂ
14	13	mulid1i 10963	. . . 4 ⊢ (;16 · 1) = ;16
15		1p1e2 12081	. . . 4 ⊢ (1 + 1) = 2
16		5nn0 12236	. . . 4 ⊢ 5 ∈ ℕ0
17		9cn 12056	. . . . 5 ⊢ 9 ∈ ℂ
18		6cn 12047	. . . . 5 ⊢ 6 ∈ ℂ
19		9p6e15 12510	. . . . 5 ⊢ (9 + 6) = ;15
20	17, 18, 19	addcomli 11150	. . . 4 ⊢ (6 + 9) = ;15
21	8, 9, 12, 14, 15, 16, 20	decaddci 12480	. . 3 ⊢ ((;16 · 1) + 9) = ;25
22		3nn0 12234	. . . 4 ⊢ 3 ∈ ℕ0
23	18	mulid2i 10964	. . . . . 6 ⊢ (1 · 6) = 6
24	23	oveq1i 7278	. . . . 5 ⊢ ((1 · 6) + 3) = (6 + 3)
25		6p3e9 12116	. . . . 5 ⊢ (6 + 3) = 9
26	24, 25	eqtri 2767	. . . 4 ⊢ ((1 · 6) + 3) = 9
27		6t6e36 12527	. . . 4 ⊢ (6 · 6) = ;36
28	9, 8, 9, 11, 9, 22, 26, 27	decmul1c 12484	. . 3 ⊢ (;16 · 6) = ;96
29	10, 8, 9, 11, 9, 12, 21, 28	decmul2c 12485	. 2 ⊢ (;16 · ;16) = ;;256
30	1, 2, 6, 7, 29	numexp2x 16761	1 ⊢ (2↑8) = ;;256

Syntax hints:   = wceq 1541  (class class class)co 7268  1c1 10856   + caddc 10858   · cmul 10860  2c2 12011  3c3 12012  4c4 12013  5c5 12014  6c6 12015  8c8 12017  9c9 12018  ;cdc 12419  ↑cexp 13763

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1801  ax-4 1815  ax-5 1916  ax-6 1974  ax-7 2014  ax-8 2111  ax-9 2119  ax-10 2140  ax-11 2157  ax-12 2174  ax-ext 2710  ax-sep 5226  ax-nul 5233  ax-pow 5291  ax-pr 5355  ax-un 7579  ax-cnex 10911  ax-resscn 10912  ax-1cn 10913  ax-icn 10914  ax-addcl 10915  ax-addrcl 10916  ax-mulcl 10917  ax-mulrcl 10918  ax-mulcom 10919  ax-addass 10920  ax-mulass 10921  ax-distr 10922  ax-i2m1 10923  ax-1ne0 10924  ax-1rid 10925  ax-rnegex 10926  ax-rrecex 10927  ax-cnre 10928  ax-pre-lttri 10929  ax-pre-lttrn 10930  ax-pre-ltadd 10931  ax-pre-mulgt0 10932

This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 396  df-or 844  df-3or 1086  df-3an 1087  df-tru 1544  df-fal 1554  df-ex 1786  df-nf 1790  df-sb 2071  df-mo 2541  df-eu 2570  df-clab 2717  df-cleq 2731  df-clel 2817  df-nfc 2890  df-ne 2945  df-nel 3051  df-ral 3070  df-rex 3071  df-reu 3072  df-rab 3074  df-v 3432  df-sbc 3720  df-csb 3837  df-dif 3894  df-un 3896  df-in 3898  df-ss 3908  df-pss 3910  df-nul 4262  df-if 4465  df-pw 4540  df-sn 4567  df-pr 4569  df-tp 4571  df-op 4573  df-uni 4845  df-iun 4931  df-br 5079  df-opab 5141  df-mpt 5162  df-tr 5196  df-id 5488  df-eprel 5494  df-po 5502  df-so 5503  df-fr 5543  df-we 5545  df-xp 5594  df-rel 5595  df-cnv 5596  df-co 5597  df-dm 5598  df-rn 5599  df-res 5600  df-ima 5601  df-pred 6199  df-ord 6266  df-on 6267  df-lim 6268  df-suc 6269  df-iota 6388  df-fun 6432  df-fn 6433  df-f 6434  df-f1 6435  df-fo 6436  df-f1o 6437  df-fv 6438  df-riota 7225  df-ov 7271  df-oprab 7272  df-mpo 7273  df-om 7701  df-2nd 7818  df-frecs 8081  df-wrecs 8112  df-recs 8186  df-rdg 8225  df-er 8472  df-en 8708  df-dom 8709  df-sdom 8710  df-pnf 10995  df-mnf 10996  df-xr 10997  df-ltxr 10998  df-le 10999  df-sub 11190  df-neg 11191  df-nn 11957  df-2 12019  df-3 12020  df-4 12021  df-5 12022  df-6 12023  df-7 12024  df-8 12025  df-9 12026  df-n0 12217  df-z 12303  df-dec 12420  df-uz 12565  df-seq 13703  df-exp 13764

This theorem is referenced by:  2exp11  16772  2exp16  16773  2503lem1  16819  quart1lem  25986  quart1  25987  lcmineqlem  40040  aks4d1p1  40064  fmtno3  44955  fmtno4sqrt  44975