Theorem 2exp8 17310

Description: Two to the eighth power is 256. (Contributed by Mario Carneiro, 20-Apr-2015.)

Assertion

Ref	Expression
2exp8	⊢ (2↑8) = ;;256

Proof of Theorem 2exp8

Step	Hyp	Ref	Expression
1		2nn0 12663	. 2 ⊢ 2 ∈ ℕ0
2		4nn0 12665	. 2 ⊢ 4 ∈ ℕ0
3		2t4e8 12552	. 2 ⊢ (2 · 4) = 8
4		2exp4 17306	. 2 ⊢ (2↑4) = ;16
5		1nn0 12662	. . . 4 ⊢ 1 ∈ ℕ0
6		6nn0 12667	. . . 4 ⊢ 6 ∈ ℕ0
7	5, 6	deccl 12869	. . 3 ⊢ ;16 ∈ ℕ0
8		eqid 2763	. . 3 ⊢ ;16 = ;16
9		9nn0 12670	. . 3 ⊢ 9 ∈ ℕ0
10	7	nn0cni 12658	. . . . 5 ⊢ ;16 ∈ ℂ
11	10	mulridi 11352	. . . 4 ⊢ (;16 · 1) = ;16
12		1p1e2 12506	. . . 4 ⊢ (1 + 1) = 2
13		5nn0 12666	. . . 4 ⊢ 5 ∈ ℕ0
14		9cn 12483	. . . . 5 ⊢ 9 ∈ ℂ
15		6cn 12474	. . . . 5 ⊢ 6 ∈ ℂ
16		9p6e15 12950	. . . . 5 ⊢ (9 + 6) = ;15
17	14, 15, 16	addcomli 11541	. . . 4 ⊢ (6 + 9) = ;15
18	5, 6, 9, 11, 12, 13, 17	decaddci 12920	. . 3 ⊢ ((;16 · 1) + 9) = ;25
19		3nn0 12664	. . . 4 ⊢ 3 ∈ ℕ0
20	15	mullidi 11353	. . . . . 6 ⊢ (1 · 6) = 6
21	20	oveq1i 7461	. . . . 5 ⊢ ((1 · 6) + 3) = (6 + 3)
22		6p3e9 12542	. . . . 5 ⊢ (6 + 3) = 9
23	21, 22	eqtri 2786	. . . 4 ⊢ ((1 · 6) + 3) = 9
24		6t6e36 12967	. . . 4 ⊢ (6 · 6) = ;36
25	6, 5, 6, 8, 6, 19, 23, 24	decmul1c 12924	. . 3 ⊢ (;16 · 6) = ;96
26	7, 5, 6, 8, 6, 9, 18, 25	decmul2c 12925	. 2 ⊢ (;16 · ;16) = ;;256
27	1, 2, 3, 4, 26	numexp2x 17300	1 ⊢ (2↑8) = ;;256

This proof depends on syntax axioms:   = wceq 1570  (class class class)co 7451  1c1 11240   + caddc 11242   · cmul 11244  2c2 12437  3c3 12438  4c4 12439  5c5 12440  6c6 12441  8c8 12443  9c9 12444  ;cdc 12854  ↑cexp 14244

This proof depends on axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1828  ax-4 1842  ax-5 1945  ax-6 2002  ax-7 2043  ax-8 2149  ax-9 2157  ax-10 2180  ax-11 2197  ax-12 2216  ax-ext 2735  ax-sep 5255  ax-nul 5266  ax-pow 5334  ax-pr 5398  ax-un 7783  ax-cnex 11295  ax-resscn 11296  ax-1cn 11297  ax-icn 11298  ax-addcl 11299  ax-addrcl 11300  ax-mulcl 11301  ax-mulrcl 11302  ax-mulcom 11303  ax-addass 11304  ax-mulass 11305  ax-distr 11306  ax-i2m1 11307  ax-1ne0 11308  ax-1rid 11309  ax-rnegex 11310  ax-rrecex 11311  ax-cnre 11312  ax-pre-lttri 11313  ax-pre-lttrn 11314  ax-pre-ltadd 11315  ax-pre-mulgt0 11316

This proof depends on definitions:  df-bi 210  df-an 402  df-or 862  df-3or 1104  df-3an 1105  df-tru 1573  df-fal 1583  df-ex 1813  df-nf 1817  df-sb 2102  df-mo 2567  df-eu 2597  df-clab 2742  df-cleq 2755  df-clel 2839  df-nfc 2913  df-ne 2960  df-nel 3066  df-ral 3081  df-rex 3091  df-reu 3370  df-rab 3417  df-v 3456  df-sbc 3743  df-csb 3852  df-ss 3901  df-pss 4017  df-dif 4050  df-in 4094  df-un 4154  df-nul 4282  df-if 4486  df-pw 4562  df-sn 4589  df-pr 4591  df-op 4841  df-uni 4873  df-iun 4958  df-br 5109  df-opab 5174  df-mpt 5193  df-tr 5219  df-id 5553  df-eprel 5558  df-po 5566  df-so 5567  df-fr 5611  df-we 5613  df-xp 5664  df-rel 5665  df-cnv 5666  df-co 5667  df-dm 5668  df-rn 5669  df-res 5670  df-ima 5671  df-pred 6330  df-ord 6391  df-on 6392  df-lim 6393  df-suc 6394  df-iota 6520  df-fun 6568  df-fn 6569  df-f 6570  df-f1 6571  df-fo 6572  df-f1o 6573  df-fv 6574  df-riota 7408  df-ov 7454  df-oprab 7455  df-mpo 7456  df-om 7912  df-2nd 8036  df-frecs 8337  df-wrecs 8368  df-recs 8417  df-rdg 8456  df-er 8755  df-en 9012  df-dom 9013  df-sdom 9014  df-pnf 11384  df-mnf 11385  df-xr 11386  df-ltxr 11387  df-le 11388  df-sub 11582  df-neg 11583  df-nn 12376  df-2 12445  df-3 12446  df-4 12447  df-5 12448  df-6 12449  df-7 12450  df-8 12451  df-9 12452  df-n0 12647  df-z 12734  df-dec 12855  df-uz 13006  df-seq 14185  df-exp 14245

This theorem is used by:  2exp11  17311  2exp16  17312  2503lem1  17359  quart1lem  27240  quart1  27241  lcmineqlem  43368  aks4d1p1  43392  fmtno3  48909  fmtno4sqrt  48929