Theorem 2exp8 16995

Description: Two to the eighth power is 256. (Contributed by Mario Carneiro, 20-Apr-2015.)

Assertion

Ref	Expression
2exp8	⊢ (2↑8) = ;;256

Proof of Theorem 2exp8

Step	Hyp	Ref	Expression
1		2nn0 12393	. 2 ⊢ 2 ∈ ℕ0
2		4nn0 12395	. 2 ⊢ 4 ∈ ℕ0
3	2	nn0cni 12388	. . 3 ⊢ 4 ∈ ℂ
4		2cn 12195	. . 3 ⊢ 2 ∈ ℂ
5		4t2e8 12283	. . 3 ⊢ (4 · 2) = 8
6	3, 4, 5	mulcomli 11116	. 2 ⊢ (2 · 4) = 8
7		2exp4 16991	. 2 ⊢ (2↑4) = ;16
8		1nn0 12392	. . . 4 ⊢ 1 ∈ ℕ0
9		6nn0 12397	. . . 4 ⊢ 6 ∈ ℕ0
10	8, 9	deccl 12598	. . 3 ⊢ ;16 ∈ ℕ0
11		eqid 2731	. . 3 ⊢ ;16 = ;16
12		9nn0 12400	. . 3 ⊢ 9 ∈ ℕ0
13	10	nn0cni 12388	. . . . 5 ⊢ ;16 ∈ ℂ
14	13	mulridi 11111	. . . 4 ⊢ (;16 · 1) = ;16
15		1p1e2 12240	. . . 4 ⊢ (1 + 1) = 2
16		5nn0 12396	. . . 4 ⊢ 5 ∈ ℕ0
17		9cn 12220	. . . . 5 ⊢ 9 ∈ ℂ
18		6cn 12211	. . . . 5 ⊢ 6 ∈ ℂ
19		9p6e15 12674	. . . . 5 ⊢ (9 + 6) = ;15
20	17, 18, 19	addcomli 11300	. . . 4 ⊢ (6 + 9) = ;15
21	8, 9, 12, 14, 15, 16, 20	decaddci 12644	. . 3 ⊢ ((;16 · 1) + 9) = ;25
22		3nn0 12394	. . . 4 ⊢ 3 ∈ ℕ0
23	18	mullidi 11112	. . . . . 6 ⊢ (1 · 6) = 6
24	23	oveq1i 7351	. . . . 5 ⊢ ((1 · 6) + 3) = (6 + 3)
25		6p3e9 12275	. . . . 5 ⊢ (6 + 3) = 9
26	24, 25	eqtri 2754	. . . 4 ⊢ ((1 · 6) + 3) = 9
27		6t6e36 12691	. . . 4 ⊢ (6 · 6) = ;36
28	9, 8, 9, 11, 9, 22, 26, 27	decmul1c 12648	. . 3 ⊢ (;16 · 6) = ;96
29	10, 8, 9, 11, 9, 12, 21, 28	decmul2c 12649	. 2 ⊢ (;16 · ;16) = ;;256
30	1, 2, 6, 7, 29	numexp2x 16985	1 ⊢ (2↑8) = ;;256

Syntax hints:   = wceq 1541  (class class class)co 7341  1c1 11002   + caddc 11004   · cmul 11006  2c2 12175  3c3 12176  4c4 12177  5c5 12178  6c6 12179  8c8 12181  9c9 12182  ;cdc 12583  ↑cexp 13963

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1796  ax-4 1810  ax-5 1911  ax-6 1968  ax-7 2009  ax-8 2113  ax-9 2121  ax-10 2144  ax-11 2160  ax-12 2180  ax-ext 2703  ax-sep 5229  ax-nul 5239  ax-pow 5298  ax-pr 5365  ax-un 7663  ax-cnex 11057  ax-resscn 11058  ax-1cn 11059  ax-icn 11060  ax-addcl 11061  ax-addrcl 11062  ax-mulcl 11063  ax-mulrcl 11064  ax-mulcom 11065  ax-addass 11066  ax-mulass 11067  ax-distr 11068  ax-i2m1 11069  ax-1ne0 11070  ax-1rid 11071  ax-rnegex 11072  ax-rrecex 11073  ax-cnre 11074  ax-pre-lttri 11075  ax-pre-lttrn 11076  ax-pre-ltadd 11077  ax-pre-mulgt0 11078

This theorem depends on definitions:  df-bi 207  df-an 396  df-or 848  df-3or 1087  df-3an 1088  df-tru 1544  df-fal 1554  df-ex 1781  df-nf 1785  df-sb 2068  df-mo 2535  df-eu 2564  df-clab 2710  df-cleq 2723  df-clel 2806  df-nfc 2881  df-ne 2929  df-nel 3033  df-ral 3048  df-rex 3057  df-reu 3347  df-rab 3396  df-v 3438  df-sbc 3737  df-csb 3846  df-dif 3900  df-un 3902  df-in 3904  df-ss 3914  df-pss 3917  df-nul 4279  df-if 4471  df-pw 4547  df-sn 4572  df-pr 4574  df-op 4578  df-uni 4855  df-iun 4938  df-br 5087  df-opab 5149  df-mpt 5168  df-tr 5194  df-id 5506  df-eprel 5511  df-po 5519  df-so 5520  df-fr 5564  df-we 5566  df-xp 5617  df-rel 5618  df-cnv 5619  df-co 5620  df-dm 5621  df-rn 5622  df-res 5623  df-ima 5624  df-pred 6243  df-ord 6304  df-on 6305  df-lim 6306  df-suc 6307  df-iota 6432  df-fun 6478  df-fn 6479  df-f 6480  df-f1 6481  df-fo 6482  df-f1o 6483  df-fv 6484  df-riota 7298  df-ov 7344  df-oprab 7345  df-mpo 7346  df-om 7792  df-2nd 7917  df-frecs 8206  df-wrecs 8237  df-recs 8286  df-rdg 8324  df-er 8617  df-en 8865  df-dom 8866  df-sdom 8867  df-pnf 11143  df-mnf 11144  df-xr 11145  df-ltxr 11146  df-le 11147  df-sub 11341  df-neg 11342  df-nn 12121  df-2 12183  df-3 12184  df-4 12185  df-5 12186  df-6 12187  df-7 12188  df-8 12189  df-9 12190  df-n0 12377  df-z 12464  df-dec 12584  df-uz 12728  df-seq 13904  df-exp 13964

This theorem is referenced by:  2exp11  16996  2exp16  16997  2503lem1  17043  quart1lem  26787  quart1  26788  lcmineqlem  42085  aks4d1p1  42109  fmtno3  47582  fmtno4sqrt  47602