Theorem 2exp8 17166

Description: Two to the eighth power is 256. (Contributed by Mario Carneiro, 20-Apr-2015.)

Assertion

Ref	Expression
2exp8	⊢ (2↑8) = ;;256

Proof of Theorem 2exp8

Step	Hyp	Ref	Expression
1		2nn0 12532	. 2 ⊢ 2 ∈ ℕ0
2		4nn0 12534	. 2 ⊢ 4 ∈ ℕ0
3		2t4e8 12421	. 2 ⊢ (2 · 4) = 8
4		2exp4 17162	. 2 ⊢ (2↑4) = ;16
5		1nn0 12531	. . . 4 ⊢ 1 ∈ ℕ0
6		6nn0 12536	. . . 4 ⊢ 6 ∈ ℕ0
7	5, 6	deccl 12738	. . 3 ⊢ ;16 ∈ ℕ0
8		eqid 2765	. . 3 ⊢ ;16 = ;16
9		9nn0 12539	. . 3 ⊢ 9 ∈ ℕ0
10	7	nn0cni 12527	. . . . 5 ⊢ ;16 ∈ ℂ
11	10	mulridi 11224	. . . 4 ⊢ (;16 · 1) = ;16
12		1p1e2 12375	. . . 4 ⊢ (1 + 1) = 2
13		5nn0 12535	. . . 4 ⊢ 5 ∈ ℕ0
14		9cn 12352	. . . . 5 ⊢ 9 ∈ ℂ
15		6cn 12343	. . . . 5 ⊢ 6 ∈ ℂ
16		9p6e15 12819	. . . . 5 ⊢ (9 + 6) = ;15
17	14, 15, 16	addcomli 11413	. . . 4 ⊢ (6 + 9) = ;15
18	5, 6, 9, 11, 12, 13, 17	decaddci 12789	. . 3 ⊢ ((;16 · 1) + 9) = ;25
19		3nn0 12533	. . . 4 ⊢ 3 ∈ ℕ0
20	15	mullidi 11225	. . . . . 6 ⊢ (1 · 6) = 6
21	20	oveq1i 7426	. . . . 5 ⊢ ((1 · 6) + 3) = (6 + 3)
22		6p3e9 12411	. . . . 5 ⊢ (6 + 3) = 9
23	21, 22	eqtri 2788	. . . 4 ⊢ ((1 · 6) + 3) = 9
24		6t6e36 12836	. . . 4 ⊢ (6 · 6) = ;36
25	6, 5, 6, 8, 6, 19, 23, 24	decmul1c 12793	. . 3 ⊢ (;16 · 6) = ;96
26	7, 5, 6, 8, 6, 9, 18, 25	decmul2c 12794	. 2 ⊢ (;16 · ;16) = ;;256
27	1, 2, 3, 4, 26	numexp2x 17156	1 ⊢ (2↑8) = ;;256

This proof depends on syntax axioms:   = wceq 1570  (class class class)co 7416  1c1 11112   + caddc 11114   · cmul 11116  2c2 12306  3c3 12307  4c4 12308  5c5 12309  6c6 12310  8c8 12312  9c9 12313  ;cdc 12723  ↑cexp 14111

This proof depends on axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1828  ax-4 1842  ax-5 1943  ax-6 2000  ax-7 2041  ax-8 2148  ax-9 2156  ax-10 2179  ax-11 2195  ax-12 2216  ax-ext 2737  ax-sep 5259  ax-nul 5271  ax-pow 5338  ax-pr 5406  ax-un 7738  ax-cnex 11167  ax-resscn 11168  ax-1cn 11169  ax-icn 11170  ax-addcl 11171  ax-addrcl 11172  ax-mulcl 11173  ax-mulrcl 11174  ax-mulcom 11175  ax-addass 11176  ax-mulass 11177  ax-distr 11178  ax-i2m1 11179  ax-1ne0 11180  ax-1rid 11181  ax-rnegex 11182  ax-rrecex 11183  ax-cnre 11184  ax-pre-lttri 11185  ax-pre-lttrn 11186  ax-pre-ltadd 11187  ax-pre-mulgt0 11188

This proof depends on definitions:  df-bi 210  df-an 402  df-or 862  df-3or 1104  df-3an 1105  df-tru 1573  df-fal 1583  df-ex 1813  df-nf 1817  df-sb 2100  df-mo 2569  df-eu 2599  df-clab 2744  df-cleq 2757  df-clel 2840  df-nfc 2914  df-ne 2961  df-nel 3067  df-ral 3082  df-rex 3092  df-reu 3372  df-rab 3419  df-v 3459  df-sbc 3747  df-csb 3855  df-dif 3909  df-un 3911  df-in 3913  df-ss 3923  df-pss 3926  df-nul 4287  df-if 4490  df-pw 4566  df-sn 4592  df-pr 4594  df-op 4598  df-uni 4875  df-iun 4960  df-br 5112  df-opab 5176  df-mpt 5195  df-tr 5221  df-id 5558  df-eprel 5563  df-po 5571  df-so 5572  df-fr 5616  df-we 5618  df-xp 5669  df-rel 5670  df-cnv 5671  df-co 5672  df-dm 5673  df-rn 5674  df-res 5675  df-ima 5676  df-pred 6306  df-ord 6367  df-on 6368  df-lim 6369  df-suc 6370  df-iota 6496  df-fun 6542  df-fn 6543  df-f 6544  df-f1 6545  df-fo 6546  df-f1o 6547  df-fv 6548  df-riota 7373  df-ov 7419  df-oprab 7420  df-mpo 7421  df-om 7865  df-2nd 7989  df-frecs 8280  df-wrecs 8311  df-recs 8360  df-rdg 8399  df-er 8696  df-en 8946  df-dom 8947  df-sdom 8948  df-pnf 11256  df-mnf 11257  df-xr 11258  df-ltxr 11259  df-le 11260  df-sub 11454  df-neg 11455  df-nn 12245  df-2 12314  df-3 12315  df-4 12316  df-5 12317  df-6 12318  df-7 12319  df-8 12320  df-9 12321  df-n0 12516  df-z 12603  df-dec 12724  df-uz 12875  df-seq 14052  df-exp 14112

This theorem is used by:  2exp11  17167  2exp16  17168  2503lem1  17215  quart1lem  27051  quart1  27052  lcmineqlem  42852  aks4d1p1  42876  fmtno3  48336  fmtno4sqrt  48356