Theorem 2exp8 17016

Description: Two to the eighth power is 256. (Contributed by Mario Carneiro, 20-Apr-2015.)

Assertion

Ref	Expression
2exp8	⊢ (2↑8) = ;;256

Proof of Theorem 2exp8

Step	Hyp	Ref	Expression
1		2nn0 12418	. 2 ⊢ 2 ∈ ℕ0
2		4nn0 12420	. 2 ⊢ 4 ∈ ℕ0
3	2	nn0cni 12413	. . 3 ⊢ 4 ∈ ℂ
4		2cn 12220	. . 3 ⊢ 2 ∈ ℂ
5		4t2e8 12308	. . 3 ⊢ (4 · 2) = 8
6	3, 4, 5	mulcomli 11141	. 2 ⊢ (2 · 4) = 8
7		2exp4 17012	. 2 ⊢ (2↑4) = ;16
8		1nn0 12417	. . . 4 ⊢ 1 ∈ ℕ0
9		6nn0 12422	. . . 4 ⊢ 6 ∈ ℕ0
10	8, 9	deccl 12622	. . 3 ⊢ ;16 ∈ ℕ0
11		eqid 2736	. . 3 ⊢ ;16 = ;16
12		9nn0 12425	. . 3 ⊢ 9 ∈ ℕ0
13	10	nn0cni 12413	. . . . 5 ⊢ ;16 ∈ ℂ
14	13	mulridi 11136	. . . 4 ⊢ (;16 · 1) = ;16
15		1p1e2 12265	. . . 4 ⊢ (1 + 1) = 2
16		5nn0 12421	. . . 4 ⊢ 5 ∈ ℕ0
17		9cn 12245	. . . . 5 ⊢ 9 ∈ ℂ
18		6cn 12236	. . . . 5 ⊢ 6 ∈ ℂ
19		9p6e15 12698	. . . . 5 ⊢ (9 + 6) = ;15
20	17, 18, 19	addcomli 11325	. . . 4 ⊢ (6 + 9) = ;15
21	8, 9, 12, 14, 15, 16, 20	decaddci 12668	. . 3 ⊢ ((;16 · 1) + 9) = ;25
22		3nn0 12419	. . . 4 ⊢ 3 ∈ ℕ0
23	18	mullidi 11137	. . . . . 6 ⊢ (1 · 6) = 6
24	23	oveq1i 7368	. . . . 5 ⊢ ((1 · 6) + 3) = (6 + 3)
25		6p3e9 12300	. . . . 5 ⊢ (6 + 3) = 9
26	24, 25	eqtri 2759	. . . 4 ⊢ ((1 · 6) + 3) = 9
27		6t6e36 12715	. . . 4 ⊢ (6 · 6) = ;36
28	9, 8, 9, 11, 9, 22, 26, 27	decmul1c 12672	. . 3 ⊢ (;16 · 6) = ;96
29	10, 8, 9, 11, 9, 12, 21, 28	decmul2c 12673	. 2 ⊢ (;16 · ;16) = ;;256
30	1, 2, 6, 7, 29	numexp2x 17006	1 ⊢ (2↑8) = ;;256

Syntax hints:   = wceq 1541  (class class class)co 7358  1c1 11027   + caddc 11029   · cmul 11031  2c2 12200  3c3 12201  4c4 12202  5c5 12203  6c6 12204  8c8 12206  9c9 12207  ;cdc 12607  ↑cexp 13984

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1796  ax-4 1810  ax-5 1911  ax-6 1968  ax-7 2009  ax-8 2115  ax-9 2123  ax-10 2146  ax-11 2162  ax-12 2184  ax-ext 2708  ax-sep 5241  ax-nul 5251  ax-pow 5310  ax-pr 5377  ax-un 7680  ax-cnex 11082  ax-resscn 11083  ax-1cn 11084  ax-icn 11085  ax-addcl 11086  ax-addrcl 11087  ax-mulcl 11088  ax-mulrcl 11089  ax-mulcom 11090  ax-addass 11091  ax-mulass 11092  ax-distr 11093  ax-i2m1 11094  ax-1ne0 11095  ax-1rid 11096  ax-rnegex 11097  ax-rrecex 11098  ax-cnre 11099  ax-pre-lttri 11100  ax-pre-lttrn 11101  ax-pre-ltadd 11102  ax-pre-mulgt0 11103

This theorem depends on definitions:  df-bi 207  df-an 396  df-or 848  df-3or 1087  df-3an 1088  df-tru 1544  df-fal 1554  df-ex 1781  df-nf 1785  df-sb 2068  df-mo 2539  df-eu 2569  df-clab 2715  df-cleq 2728  df-clel 2811  df-nfc 2885  df-ne 2933  df-nel 3037  df-ral 3052  df-rex 3061  df-reu 3351  df-rab 3400  df-v 3442  df-sbc 3741  df-csb 3850  df-dif 3904  df-un 3906  df-in 3908  df-ss 3918  df-pss 3921  df-nul 4286  df-if 4480  df-pw 4556  df-sn 4581  df-pr 4583  df-op 4587  df-uni 4864  df-iun 4948  df-br 5099  df-opab 5161  df-mpt 5180  df-tr 5206  df-id 5519  df-eprel 5524  df-po 5532  df-so 5533  df-fr 5577  df-we 5579  df-xp 5630  df-rel 5631  df-cnv 5632  df-co 5633  df-dm 5634  df-rn 5635  df-res 5636  df-ima 5637  df-pred 6259  df-ord 6320  df-on 6321  df-lim 6322  df-suc 6323  df-iota 6448  df-fun 6494  df-fn 6495  df-f 6496  df-f1 6497  df-fo 6498  df-f1o 6499  df-fv 6500  df-riota 7315  df-ov 7361  df-oprab 7362  df-mpo 7363  df-om 7809  df-2nd 7934  df-frecs 8223  df-wrecs 8254  df-recs 8303  df-rdg 8341  df-er 8635  df-en 8884  df-dom 8885  df-sdom 8886  df-pnf 11168  df-mnf 11169  df-xr 11170  df-ltxr 11171  df-le 11172  df-sub 11366  df-neg 11367  df-nn 12146  df-2 12208  df-3 12209  df-4 12210  df-5 12211  df-6 12212  df-7 12213  df-8 12214  df-9 12215  df-n0 12402  df-z 12489  df-dec 12608  df-uz 12752  df-seq 13925  df-exp 13985

This theorem is referenced by:  2exp11  17017  2exp16  17018  2503lem1  17064  quart1lem  26821  quart1  26822  lcmineqlem  42306  aks4d1p1  42330  fmtno3  47797  fmtno4sqrt  47817