MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  1259lem1 Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem 1259lem1 16452
Description: Lemma for 1259prm 16457. Calculate a power mod. In decimal, we calculate 2↑16 = 52𝑁 + 68≡68 and 2↑17≡68 · 2 = 136 in this lemma. (Contributed by Mario Carneiro, 22-Feb-2014.) (Revised by Mario Carneiro, 20-Apr-2015.) (Proof shortened by AV, 16-Sep-2021.)
Hypothesis
Ref Expression
1259prm.1 𝑁 = 1259
Assertion
Ref Expression
1259lem1 ((2↑17) mod 𝑁) = (136 mod 𝑁)

Proof of Theorem 1259lem1
StepHypRef Expression
1 1259prm.1 . . 3 𝑁 = 1259
2 1nn0 11901 . . . . . 6 1 ∈ ℕ0
3 2nn0 11902 . . . . . 6 2 ∈ ℕ0
42, 3deccl 12101 . . . . 5 12 ∈ ℕ0
5 5nn0 11905 . . . . 5 5 ∈ ℕ0
64, 5deccl 12101 . . . 4 125 ∈ ℕ0
7 9nn 11723 . . . 4 9 ∈ ℕ
86, 7decnncl 12106 . . 3 1259 ∈ ℕ
91, 8eqeltri 2906 . 2 𝑁 ∈ ℕ
10 2nn 11698 . 2 2 ∈ ℕ
11 6nn0 11906 . . 3 6 ∈ ℕ0
122, 11deccl 12101 . 2 16 ∈ ℕ0
13 0z 11980 . 2 0 ∈ ℤ
14 8nn0 11908 . . 3 8 ∈ ℕ0
1511, 14deccl 12101 . 2 68 ∈ ℕ0
16 3nn0 11903 . . . 4 3 ∈ ℕ0
172, 16deccl 12101 . . 3 13 ∈ ℕ0
1817, 11deccl 12101 . 2 136 ∈ ℕ0
195, 3deccl 12101 . . . 4 52 ∈ ℕ0
2019nn0zi 11995 . . 3 52 ∈ ℤ
213, 14nn0expcli 13443 . . 3 (2↑8) ∈ ℕ0
22 eqid 2818 . . 3 ((2↑8) mod 𝑁) = ((2↑8) mod 𝑁)
2314nn0cni 11897 . . . 4 8 ∈ ℂ
24 2cn 11700 . . . 4 2 ∈ ℂ
25 8t2e16 12201 . . . 4 (8 · 2) = 16
2623, 24, 25mulcomli 10638 . . 3 (2 · 8) = 16
27 9nn0 11909 . . . . 5 9 ∈ ℕ0
28 eqid 2818 . . . . 5 68 = 68
29 4nn0 11904 . . . . . 6 4 ∈ ℕ0
30 7nn0 11907 . . . . . 6 7 ∈ ℕ0
3129, 30deccl 12101 . . . . 5 47 ∈ ℕ0
32 eqid 2818 . . . . . 6 125 = 125
33 0nn0 11900 . . . . . . 7 0 ∈ ℕ0
3411dec0h 12108 . . . . . . 7 6 = 06
35 eqid 2818 . . . . . . 7 47 = 47
36 4cn 11710 . . . . . . . . . 10 4 ∈ ℂ
3736addid2i 10816 . . . . . . . . 9 (0 + 4) = 4
3837oveq1i 7155 . . . . . . . 8 ((0 + 4) + 1) = (4 + 1)
39 4p1e5 11771 . . . . . . . 8 (4 + 1) = 5
4038, 39eqtri 2841 . . . . . . 7 ((0 + 4) + 1) = 5
41 7cn 11719 . . . . . . . 8 7 ∈ ℂ
42 6cn 11716 . . . . . . . 8 6 ∈ ℂ
43 7p6e13 12164 . . . . . . . 8 (7 + 6) = 13
4441, 42, 43addcomli 10820 . . . . . . 7 (6 + 7) = 13
4533, 11, 29, 30, 34, 35, 40, 16, 44decaddc 12141 . . . . . 6 (6 + 47) = 53
463, 11deccl 12101 . . . . . 6 26 ∈ ℕ0
47 eqid 2818 . . . . . . 7 12 = 12
485dec0h 12108 . . . . . . . 8 5 = 05
49 eqid 2818 . . . . . . . 8 26 = 26
5024addid2i 10816 . . . . . . . . . 10 (0 + 2) = 2
5150oveq1i 7155 . . . . . . . . 9 ((0 + 2) + 1) = (2 + 1)
52 2p1e3 11767 . . . . . . . . 9 (2 + 1) = 3
5351, 52eqtri 2841 . . . . . . . 8 ((0 + 2) + 1) = 3
54 5cn 11713 . . . . . . . . 9 5 ∈ ℂ
55 6p5e11 12159 . . . . . . . . 9 (6 + 5) = 11
5642, 54, 55addcomli 10820 . . . . . . . 8 (5 + 6) = 11
5733, 5, 3, 11, 48, 49, 53, 2, 56decaddc 12141 . . . . . . 7 (5 + 26) = 31
58 10nn0 12104 . . . . . . 7 10 ∈ ℕ0
59 eqid 2818 . . . . . . . 8 52 = 52
6058nn0cni 11897 . . . . . . . . 9 10 ∈ ℂ
61 3cn 11706 . . . . . . . . 9 3 ∈ ℂ
62 dec10p 12129 . . . . . . . . 9 (10 + 3) = 13
6360, 61, 62addcomli 10820 . . . . . . . 8 (3 + 10) = 13
6454mulid1i 10633 . . . . . . . . . 10 (5 · 1) = 5
65 1p0e1 11749 . . . . . . . . . 10 (1 + 0) = 1
6664, 65oveq12i 7157 . . . . . . . . 9 ((5 · 1) + (1 + 0)) = (5 + 1)
67 5p1e6 11772 . . . . . . . . 9 (5 + 1) = 6
6866, 67eqtri 2841 . . . . . . . 8 ((5 · 1) + (1 + 0)) = 6
6924mulid1i 10633 . . . . . . . . . 10 (2 · 1) = 2
7069oveq1i 7155 . . . . . . . . 9 ((2 · 1) + 3) = (2 + 3)
71 3p2e5 11776 . . . . . . . . . 10 (3 + 2) = 5
7261, 24, 71addcomli 10820 . . . . . . . . 9 (2 + 3) = 5
7370, 72, 483eqtri 2845 . . . . . . . 8 ((2 · 1) + 3) = 05
745, 3, 2, 16, 59, 63, 2, 5, 33, 68, 73decmac 12138 . . . . . . 7 ((52 · 1) + (3 + 10)) = 65
752dec0h 12108 . . . . . . . 8 1 = 01
76 5t2e10 12186 . . . . . . . . . 10 (5 · 2) = 10
77 00id 10803 . . . . . . . . . 10 (0 + 0) = 0
7876, 77oveq12i 7157 . . . . . . . . 9 ((5 · 2) + (0 + 0)) = (10 + 0)
79 dec10p 12129 . . . . . . . . 9 (10 + 0) = 10
8078, 79eqtri 2841 . . . . . . . 8 ((5 · 2) + (0 + 0)) = 10
81 2t2e4 11789 . . . . . . . . . 10 (2 · 2) = 4
8281oveq1i 7155 . . . . . . . . 9 ((2 · 2) + 1) = (4 + 1)
8382, 39, 483eqtri 2845 . . . . . . . 8 ((2 · 2) + 1) = 05
845, 3, 33, 2, 59, 75, 3, 5, 33, 80, 83decmac 12138 . . . . . . 7 ((52 · 2) + 1) = 105
852, 3, 16, 2, 47, 57, 19, 5, 58, 74, 84decma2c 12139 . . . . . 6 ((52 · 12) + (5 + 26)) = 655
86 5t5e25 12189 . . . . . . . 8 (5 · 5) = 25
873, 5, 67, 86decsuc 12117 . . . . . . 7 ((5 · 5) + 1) = 26
8854, 24, 76mulcomli 10638 . . . . . . . 8 (2 · 5) = 10
8961addid2i 10816 . . . . . . . 8 (0 + 3) = 3
902, 33, 16, 88, 89decaddi 12146 . . . . . . 7 ((2 · 5) + 3) = 13
915, 3, 16, 59, 5, 16, 2, 87, 90decrmac 12144 . . . . . 6 ((52 · 5) + 3) = 263
924, 5, 5, 16, 32, 45, 19, 16, 46, 85, 91decma2c 12139 . . . . 5 ((52 · 125) + (6 + 47)) = 6553
93 9cn 11725 . . . . . . . 8 9 ∈ ℂ
94 9t5e45 12211 . . . . . . . 8 (9 · 5) = 45
9593, 54, 94mulcomli 10638 . . . . . . 7 (5 · 9) = 45
96 5p2e7 11781 . . . . . . 7 (5 + 2) = 7
9729, 5, 3, 95, 96decaddi 12146 . . . . . 6 ((5 · 9) + 2) = 47
98 9t2e18 12208 . . . . . . . 8 (9 · 2) = 18
9993, 24, 98mulcomli 10638 . . . . . . 7 (2 · 9) = 18
100 1p1e2 11750 . . . . . . 7 (1 + 1) = 2
101 8p8e16 12172 . . . . . . 7 (8 + 8) = 16
1022, 14, 14, 99, 100, 11, 101decaddci 12147 . . . . . 6 ((2 · 9) + 8) = 26
1035, 3, 14, 59, 27, 11, 3, 97, 102decrmac 12144 . . . . 5 ((52 · 9) + 8) = 476
1046, 27, 11, 14, 1, 28, 19, 11, 31, 92, 103decma2c 12139 . . . 4 ((52 · 𝑁) + 68) = 65536
105 2exp16 16412 . . . 4 (2↑16) = 65536
106 eqid 2818 . . . . 5 (2↑8) = (2↑8)
107 eqid 2818 . . . . 5 ((2↑8) · (2↑8)) = ((2↑8) · (2↑8))
1083, 14, 26, 106, 107numexp2x 16403 . . . 4 (2↑16) = ((2↑8) · (2↑8))
109104, 105, 1083eqtr2i 2847 . . 3 ((52 · 𝑁) + 68) = ((2↑8) · (2↑8))
1109, 10, 14, 20, 21, 15, 22, 26, 109mod2xi 16393 . 2 ((2↑16) mod 𝑁) = (68 mod 𝑁)
111 6p1e7 11773 . . 3 (6 + 1) = 7
112 eqid 2818 . . 3 16 = 16
1132, 11, 111, 112decsuc 12117 . 2 (16 + 1) = 17
11418nn0cni 11897 . . . 4 136 ∈ ℂ
115114addid2i 10816 . . 3 (0 + 136) = 136
1169nncni 11636 . . . . 5 𝑁 ∈ ℂ
117116mul02i 10817 . . . 4 (0 · 𝑁) = 0
118117oveq1i 7155 . . 3 ((0 · 𝑁) + 136) = (0 + 136)
119 6t2e12 12190 . . . . 5 (6 · 2) = 12
1202, 3, 52, 119decsuc 12117 . . . 4 ((6 · 2) + 1) = 13
1213, 11, 14, 28, 11, 2, 120, 25decmul1c 12151 . . 3 (68 · 2) = 136
122115, 118, 1213eqtr4i 2851 . 2 ((0 · 𝑁) + 136) = (68 · 2)
1239, 10, 12, 13, 15, 18, 110, 113, 122modxp1i 16394 1 ((2↑17) mod 𝑁) = (136 mod 𝑁)
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:   = wceq 1528  (class class class)co 7145  0cc0 10525  1c1 10526   + caddc 10528   · cmul 10530  cn 11626  2c2 11680  3c3 11681  4c4 11682  5c5 11683  6c6 11684  7c7 11685  8c8 11686  9c9 11687  cdc 12086   mod cmo 13225  cexp 13417
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1787  ax-4 1801  ax-5 1902  ax-6 1961  ax-7 2006  ax-8 2107  ax-9 2115  ax-10 2136  ax-11 2151  ax-12 2167  ax-ext 2790  ax-sep 5194  ax-nul 5201  ax-pow 5257  ax-pr 5320  ax-un 7450  ax-cnex 10581  ax-resscn 10582  ax-1cn 10583  ax-icn 10584  ax-addcl 10585  ax-addrcl 10586  ax-mulcl 10587  ax-mulrcl 10588  ax-mulcom 10589  ax-addass 10590  ax-mulass 10591  ax-distr 10592  ax-i2m1 10593  ax-1ne0 10594  ax-1rid 10595  ax-rnegex 10596  ax-rrecex 10597  ax-cnre 10598  ax-pre-lttri 10599  ax-pre-lttrn 10600  ax-pre-ltadd 10601  ax-pre-mulgt0 10602  ax-pre-sup 10603
This theorem depends on definitions:  df-bi 208  df-an 397  df-or 842  df-3or 1080  df-3an 1081  df-tru 1531  df-ex 1772  df-nf 1776  df-sb 2061  df-mo 2615  df-eu 2647  df-clab 2797  df-cleq 2811  df-clel 2890  df-nfc 2960  df-ne 3014  df-nel 3121  df-ral 3140  df-rex 3141  df-reu 3142  df-rmo 3143  df-rab 3144  df-v 3494  df-sbc 3770  df-csb 3881  df-dif 3936  df-un 3938  df-in 3940  df-ss 3949  df-pss 3951  df-nul 4289  df-if 4464  df-pw 4537  df-sn 4558  df-pr 4560  df-tp 4562  df-op 4564  df-uni 4831  df-iun 4912  df-br 5058  df-opab 5120  df-mpt 5138  df-tr 5164  df-id 5453  df-eprel 5458  df-po 5467  df-so 5468  df-fr 5507  df-we 5509  df-xp 5554  df-rel 5555  df-cnv 5556  df-co 5557  df-dm 5558  df-rn 5559  df-res 5560  df-ima 5561  df-pred 6141  df-ord 6187  df-on 6188  df-lim 6189  df-suc 6190  df-iota 6307  df-fun 6350  df-fn 6351  df-f 6352  df-f1 6353  df-fo 6354  df-f1o 6355  df-fv 6356  df-riota 7103  df-ov 7148  df-oprab 7149  df-mpo 7150  df-om 7570  df-2nd 7679  df-wrecs 7936  df-recs 7997  df-rdg 8035  df-er 8278  df-en 8498  df-dom 8499  df-sdom 8500  df-sup 8894  df-inf 8895  df-pnf 10665  df-mnf 10666  df-xr 10667  df-ltxr 10668  df-le 10669  df-sub 10860  df-neg 10861  df-div 11286  df-nn 11627  df-2 11688  df-3 11689  df-4 11690  df-5 11691  df-6 11692  df-7 11693  df-8 11694  df-9 11695  df-n0 11886  df-z 11970  df-dec 12087  df-uz 12232  df-rp 12378  df-fl 13150  df-mod 13226  df-seq 13358  df-exp 13418
This theorem is referenced by:  1259lem2  16453  1259lem4  16455
  Copyright terms: Public domain W3C validator