Theorem 1259lem1 17167

Description: Lemma for 1259prm 17172. Calculate a power mod. In decimal, we calculate 2↑16 = 52𝑁 + 68≡68 and 2↑17≡68 · 2 = 136 in this lemma. (Contributed by Mario Carneiro, 22-Feb-2014.) (Revised by Mario Carneiro, 20-Apr-2015.) (Proof shortened by AV, 16-Sep-2021.)

Hypothesis

Ref	Expression
1259prm.1	⊢ 𝑁 = ;;;1259

Assertion

Ref	Expression
1259lem1	⊢ ((2↑;17) mod 𝑁) = (;;136 mod 𝑁)

Proof of Theorem 1259lem1

Step	Hyp	Ref	Expression
1		1259prm.1	. . 3 ⊢ 𝑁 = ;;;1259
2		1nn0 12497	. . . . . 6 ⊢ 1 ∈ ℕ0
3		2nn0 12498	. . . . . 6 ⊢ 2 ∈ ℕ0
4	2, 3	deccl 12703	. . . . 5 ⊢ ;12 ∈ ℕ0
5		5nn0 12501	. . . . 5 ⊢ 5 ∈ ℕ0
6	4, 5	deccl 12703	. . . 4 ⊢ ;;125 ∈ ℕ0
7		9nn 12316	. . . 4 ⊢ 9 ∈ ℕ
8	6, 7	decnncl 12712	. . 3 ⊢ ;;;1259 ∈ ℕ
9	1, 8	eqeltri 2858	. 2 ⊢ 𝑁 ∈ ℕ
10		2nn 12291	. 2 ⊢ 2 ∈ ℕ
11		6nn0 12502	. . 3 ⊢ 6 ∈ ℕ0
12	2, 11	deccl 12703	. 2 ⊢ ;16 ∈ ℕ0
13		0z 12579	. 2 ⊢ 0 ∈ ℤ
14		8nn0 12504	. . 3 ⊢ 8 ∈ ℕ0
15	11, 14	deccl 12703	. 2 ⊢ ;68 ∈ ℕ0
16		3nn0 12499	. . . 4 ⊢ 3 ∈ ℕ0
17	2, 16	deccl 12703	. . 3 ⊢ ;13 ∈ ℕ0
18	17, 11	deccl 12703	. 2 ⊢ ;;136 ∈ ℕ0
19	5, 3	deccl 12703	. . . 4 ⊢ ;52 ∈ ℕ0
20	19	nn0zi 12596	. . 3 ⊢ ;52 ∈ ℤ
21	3, 14	nn0expcli 14101	. . 3 ⊢ (2↑8) ∈ ℕ0
22		eqid 2762	. . 3 ⊢ ((2↑8) mod 𝑁) = ((2↑8) mod 𝑁)
23	14	nn0cni 12493	. . . 4 ⊢ 8 ∈ ℂ
24		2cn 12293	. . . 4 ⊢ 2 ∈ ℂ
25		8t2e16 12808	. . . 4 ⊢ (8 · 2) = ;16
26	23, 24, 25	mulcomli 11191	. . 3 ⊢ (2 · 8) = ;16
27		9nn0 12505	. . . . 5 ⊢ 9 ∈ ℕ0
28		eqid 2762	. . . . 5 ⊢ ;68 = ;68
29		4nn0 12500	. . . . . 6 ⊢ 4 ∈ ℕ0
30		7nn0 12503	. . . . . 6 ⊢ 7 ∈ ℕ0
31	29, 30	deccl 12703	. . . . 5 ⊢ ;47 ∈ ℕ0
32		eqid 2762	. . . . . 6 ⊢ ;;125 = ;;125
33		0nn0 12496	. . . . . . 7 ⊢ 0 ∈ ℕ0
34	11	dec0h 12715	. . . . . . 7 ⊢ 6 = ;06
35		eqid 2762	. . . . . . 7 ⊢ ;47 = ;47
36		4cn 12303	. . . . . . . . . 10 ⊢ 4 ∈ ℂ
37	36	addlidi 11371	. . . . . . . . 9 ⊢ (0 + 4) = 4
38	37	oveq1i 7406	. . . . . . . 8 ⊢ ((0 + 4) + 1) = (4 + 1)
39		4p1e5 12363	. . . . . . . 8 ⊢ (4 + 1) = 5
40	38, 39	eqtri 2785	. . . . . . 7 ⊢ ((0 + 4) + 1) = 5
41		7cn 12312	. . . . . . . 8 ⊢ 7 ∈ ℂ
42		6cn 12309	. . . . . . . 8 ⊢ 6 ∈ ℂ
43		7p6e13 12771	. . . . . . . 8 ⊢ (7 + 6) = ;13
44	41, 42, 43	addcomli 11375	. . . . . . 7 ⊢ (6 + 7) = ;13
45	33, 11, 29, 30, 34, 35, 40, 16, 44	decaddc 12748	. . . . . 6 ⊢ (6 + ;47) = ;53
46	3, 11	deccl 12703	. . . . . 6 ⊢ ;26 ∈ ℕ0
47		eqid 2762	. . . . . . 7 ⊢ ;12 = ;12
48	5	dec0h 12715	. . . . . . . 8 ⊢ 5 = ;05
49		eqid 2762	. . . . . . . 8 ⊢ ;26 = ;26
50	24	addlidi 11371	. . . . . . . . . 10 ⊢ (0 + 2) = 2
51	50	oveq1i 7406	. . . . . . . . 9 ⊢ ((0 + 2) + 1) = (2 + 1)
52		2p1e3 12359	. . . . . . . . 9 ⊢ (2 + 1) = 3
53	51, 52	eqtri 2785	. . . . . . . 8 ⊢ ((0 + 2) + 1) = 3
54		5cn 12306	. . . . . . . . 9 ⊢ 5 ∈ ℂ
55		6p5e11 12766	. . . . . . . . 9 ⊢ (6 + 5) = ;11
56	42, 54, 55	addcomli 11375	. . . . . . . 8 ⊢ (5 + 6) = ;11
57	33, 5, 3, 11, 48, 49, 53, 2, 56	decaddc 12748	. . . . . . 7 ⊢ (5 + ;26) = ;31
58		10nn0 12710	. . . . . . 7 ⊢ ;10 ∈ ℕ0
59		eqid 2762	. . . . . . . 8 ⊢ ;52 = ;52
60	58	nn0cni 12493	. . . . . . . . 9 ⊢ ;10 ∈ ℂ
61		3cn 12299	. . . . . . . . 9 ⊢ 3 ∈ ℂ
62		dec10p 12736	. . . . . . . . 9 ⊢ (;10 + 3) = ;13
63	60, 61, 62	addcomli 11375	. . . . . . . 8 ⊢ (3 + ;10) = ;13
64	54	mulridi 11186	. . . . . . . . . 10 ⊢ (5 · 1) = 5
65		1p0e1 12340	. . . . . . . . . 10 ⊢ (1 + 0) = 1
66	64, 65	oveq12i 7408	. . . . . . . . 9 ⊢ ((5 · 1) + (1 + 0)) = (5 + 1)
67		5p1e6 12364	. . . . . . . . 9 ⊢ (5 + 1) = 6
68	66, 67	eqtri 2785	. . . . . . . 8 ⊢ ((5 · 1) + (1 + 0)) = 6
69	24	mulridi 11186	. . . . . . . . . 10 ⊢ (2 · 1) = 2
70	69	oveq1i 7406	. . . . . . . . 9 ⊢ ((2 · 1) + 3) = (2 + 3)
71		3p2e5 12368	. . . . . . . . . 10 ⊢ (3 + 2) = 5
72	61, 24, 71	addcomli 11375	. . . . . . . . 9 ⊢ (2 + 3) = 5
73	70, 72, 48	3eqtri 2789	. . . . . . . 8 ⊢ ((2 · 1) + 3) = ;05
74	5, 3, 2, 16, 59, 63, 2, 5, 33, 68, 73	decmac 12745	. . . . . . 7 ⊢ ((;52 · 1) + (3 + ;10)) = ;65
75	2	dec0h 12715	. . . . . . . 8 ⊢ 1 = ;01
76		5t2e10 12793	. . . . . . . . . 10 ⊢ (5 · 2) = ;10
77		00id 11358	. . . . . . . . . 10 ⊢ (0 + 0) = 0
78	76, 77	oveq12i 7408	. . . . . . . . 9 ⊢ ((5 · 2) + (0 + 0)) = (;10 + 0)
79		dec10p 12736	. . . . . . . . 9 ⊢ (;10 + 0) = ;10
80	78, 79	eqtri 2785	. . . . . . . 8 ⊢ ((5 · 2) + (0 + 0)) = ;10
81		2t2e4 12381	. . . . . . . . . 10 ⊢ (2 · 2) = 4
82	81	oveq1i 7406	. . . . . . . . 9 ⊢ ((2 · 2) + 1) = (4 + 1)
83	82, 39, 48	3eqtri 2789	. . . . . . . 8 ⊢ ((2 · 2) + 1) = ;05
84	5, 3, 33, 2, 59, 75, 3, 5, 33, 80, 83	decmac 12745	. . . . . . 7 ⊢ ((;52 · 2) + 1) = ;;105
85	2, 3, 16, 2, 47, 57, 19, 5, 58, 74, 84	decma2c 12746	. . . . . 6 ⊢ ((;52 · ;12) + (5 + ;26)) = ;;655
86		5t5e25 12796	. . . . . . . 8 ⊢ (5 · 5) = ;25
87	3, 5, 67, 86	decsuc 12724	. . . . . . 7 ⊢ ((5 · 5) + 1) = ;26
88	54, 24, 76	mulcomli 11191	. . . . . . . 8 ⊢ (2 · 5) = ;10
89	61	addlidi 11371	. . . . . . . 8 ⊢ (0 + 3) = 3
90	2, 33, 16, 88, 89	decaddi 12753	. . . . . . 7 ⊢ ((2 · 5) + 3) = ;13
91	5, 3, 16, 59, 5, 16, 2, 87, 90	decrmac 12751	. . . . . 6 ⊢ ((;52 · 5) + 3) = ;;263
92	4, 5, 5, 16, 32, 45, 19, 16, 46, 85, 91	decma2c 12746	. . . . 5 ⊢ ((;52 · ;;125) + (6 + ;47)) = ;;;6553
93		9cn 12318	. . . . . . . 8 ⊢ 9 ∈ ℂ
94		9t5e45 12818	. . . . . . . 8 ⊢ (9 · 5) = ;45
95	93, 54, 94	mulcomli 11191	. . . . . . 7 ⊢ (5 · 9) = ;45
96		5p2e7 12373	. . . . . . 7 ⊢ (5 + 2) = 7
97	29, 5, 3, 95, 96	decaddi 12753	. . . . . 6 ⊢ ((5 · 9) + 2) = ;47
98		9t2e18 12815	. . . . . . . 8 ⊢ (9 · 2) = ;18
99	93, 24, 98	mulcomli 11191	. . . . . . 7 ⊢ (2 · 9) = ;18
100		1p1e2 12341	. . . . . . 7 ⊢ (1 + 1) = 2
101		8p8e16 12779	. . . . . . 7 ⊢ (8 + 8) = ;16
102	2, 14, 14, 99, 100, 11, 101	decaddci 12754	. . . . . 6 ⊢ ((2 · 9) + 8) = ;26
103	5, 3, 14, 59, 27, 11, 3, 97, 102	decrmac 12751	. . . . 5 ⊢ ((;52 · 9) + 8) = ;;476
104	6, 27, 11, 14, 1, 28, 19, 11, 31, 92, 103	decma2c 12746	. . . 4 ⊢ ((;52 · 𝑁) + ;68) = ;;;;65536
105		2exp16 17126	. . . 4 ⊢ (2↑;16) = ;;;;65536
106		eqid 2762	. . . . 5 ⊢ (2↑8) = (2↑8)
107		eqid 2762	. . . . 5 ⊢ ((2↑8) · (2↑8)) = ((2↑8) · (2↑8))
108	3, 14, 26, 106, 107	numexp2x 17114	. . . 4 ⊢ (2↑;16) = ((2↑8) · (2↑8))
109	104, 105, 108	3eqtr2i 2791	. . 3 ⊢ ((;52 · 𝑁) + ;68) = ((2↑8) · (2↑8))
110	9, 10, 14, 20, 21, 15, 22, 26, 109	mod2xi 17105	. 2 ⊢ ((2↑;16) mod 𝑁) = (;68 mod 𝑁)
111		6p1e7 12365	. . 3 ⊢ (6 + 1) = 7
112		eqid 2762	. . 3 ⊢ ;16 = ;16
113	2, 11, 111, 112	decsuc 12724	. 2 ⊢ (;16 + 1) = ;17
114	18	nn0cni 12493	. . . 4 ⊢ ;;136 ∈ ℂ
115	114	addlidi 11371	. . 3 ⊢ (0 + ;;136) = ;;136
116	9	nncni 12220	. . . . 5 ⊢ 𝑁 ∈ ℂ
117	116	mul02i 11372	. . . 4 ⊢ (0 · 𝑁) = 0
118	117	oveq1i 7406	. . 3 ⊢ ((0 · 𝑁) + ;;136) = (0 + ;;136)
119		6t2e12 12797	. . . . 5 ⊢ (6 · 2) = ;12
120	2, 3, 52, 119	decsuc 12724	. . . 4 ⊢ ((6 · 2) + 1) = ;13
121	3, 11, 14, 28, 11, 2, 120, 25	decmul1c 12758	. . 3 ⊢ (;68 · 2) = ;;136
122	115, 118, 121	3eqtr4i 2795	. 2 ⊢ ((0 · 𝑁) + ;;136) = (;68 · 2)
123	9, 10, 12, 13, 15, 18, 110, 113, 122	modxp1i 17106	1 ⊢ ((2↑;17) mod 𝑁) = (;;136 mod 𝑁)

Syntax hints:   = wceq 1560  (class class class)co 7396  0cc0 11073  1c1 11074   + caddc 11076   · cmul 11078  ℕcn 12210  2c2 12272  3c3 12273  4c4 12274  5c5 12275  6c6 12276  7c7 12277  8c8 12278  9c9 12279  ;cdc 12688   mod cmo 13879  ↑cexp 14074

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1815  ax-4 1829  ax-5 1930  ax-6 1987  ax-7 2028  ax-8 2144  ax-9 2152  ax-10 2175  ax-11 2191  ax-12 2212  ax-ext 2734  ax-sep 5246  ax-nul 5256  ax-pow 5322  ax-pr 5390  ax-un 7718  ax-cnex 11129  ax-resscn 11130  ax-1cn 11131  ax-icn 11132  ax-addcl 11133  ax-addrcl 11134  ax-mulcl 11135  ax-mulrcl 11136  ax-mulcom 11137  ax-addass 11138  ax-mulass 11139  ax-distr 11140  ax-i2m1 11141  ax-1ne0 11142  ax-1rid 11143  ax-rnegex 11144  ax-rrecex 11145  ax-cnre 11146  ax-pre-lttri 11147  ax-pre-lttrn 11148  ax-pre-ltadd 11149  ax-pre-mulgt0 11150  ax-pre-sup 11151

This theorem depends on definitions:  df-bi 209  df-an 400  df-or 859  df-3or 1099  df-3an 1100  df-tru 1563  df-fal 1573  df-ex 1800  df-nf 1804  df-sb 2091  df-mo 2566  df-eu 2596  df-clab 2741  df-cleq 2754  df-clel 2837  df-nfc 2911  df-ne 2958  df-nel 3062  df-ral 3077  df-rex 3087  df-rmo 3367  df-reu 3368  df-rab 3415  df-v 3456  df-sbc 3745  df-csb 3853  df-dif 3907  df-un 3909  df-in 3911  df-ss 3921  df-pss 3924  df-nul 4286  df-if 4481  df-pw 4557  df-sn 4583  df-pr 4585  df-op 4589  df-uni 4866  df-iun 4951  df-br 5101  df-opab 5163  df-mpt 5182  df-tr 5208  df-id 5542  df-eprel 5547  df-po 5555  df-so 5556  df-fr 5600  df-we 5602  df-xp 5653  df-rel 5654  df-cnv 5655  df-co 5656  df-dm 5657  df-rn 5658  df-res 5659  df-ima 5660  df-pred 6288  df-ord 6349  df-on 6350  df-lim 6351  df-suc 6352  df-iota 6477  df-fun 6523  df-fn 6524  df-f 6525  df-f1 6526  df-fo 6527  df-f1o 6528  df-fv 6529  df-riota 7353  df-ov 7399  df-oprab 7400  df-mpo 7401  df-om 7847  df-2nd 7971  df-frecs 8262  df-wrecs 8293  df-recs 8342  df-rdg 8381  df-er 8678  df-en 8928  df-dom 8929  df-sdom 8930  df-sup 9388  df-inf 9389  df-pnf 11218  df-mnf 11219  df-xr 11220  df-ltxr 11221  df-le 11222  df-sub 11416  df-neg 11417  df-div 11845  df-nn 12211  df-2 12280  df-3 12281  df-4 12282  df-5 12283  df-6 12284  df-7 12285  df-8 12286  df-9 12287  df-n0 12482  df-z 12569  df-dec 12689  df-uz 12840  df-rp 12994  df-fl 13802  df-mod 13880  df-seq 14015  df-exp 14075

This theorem is referenced by:  1259lem2  17168  1259lem4  17170