Theorem 1259lem1 16456

Description: Lemma for 1259prm 16461. Calculate a power mod. In decimal, we calculate 2↑16 = 52𝑁 + 68≡68 and 2↑17≡68 · 2 = 136 in this lemma. (Contributed by Mario Carneiro, 22-Feb-2014.) (Revised by Mario Carneiro, 20-Apr-2015.) (Proof shortened by AV, 16-Sep-2021.)

Hypothesis

Ref	Expression
1259prm.1	⊢ 𝑁 = ;;;1259

Assertion

Ref	Expression
1259lem1	⊢ ((2↑;17) mod 𝑁) = (;;136 mod 𝑁)

Proof of Theorem 1259lem1

Step	Hyp	Ref	Expression
1		1259prm.1	. . 3 ⊢ 𝑁 = ;;;1259
2		1nn0 11901	. . . . . 6 ⊢ 1 ∈ ℕ0
3		2nn0 11902	. . . . . 6 ⊢ 2 ∈ ℕ0
4	2, 3	deccl 12101	. . . . 5 ⊢ ;12 ∈ ℕ0
5		5nn0 11905	. . . . 5 ⊢ 5 ∈ ℕ0
6	4, 5	deccl 12101	. . . 4 ⊢ ;;125 ∈ ℕ0
7		9nn 11723	. . . 4 ⊢ 9 ∈ ℕ
8	6, 7	decnncl 12106	. . 3 ⊢ ;;;1259 ∈ ℕ
9	1, 8	eqeltri 2886	. 2 ⊢ 𝑁 ∈ ℕ
10		2nn 11698	. 2 ⊢ 2 ∈ ℕ
11		6nn0 11906	. . 3 ⊢ 6 ∈ ℕ0
12	2, 11	deccl 12101	. 2 ⊢ ;16 ∈ ℕ0
13		0z 11980	. 2 ⊢ 0 ∈ ℤ
14		8nn0 11908	. . 3 ⊢ 8 ∈ ℕ0
15	11, 14	deccl 12101	. 2 ⊢ ;68 ∈ ℕ0
16		3nn0 11903	. . . 4 ⊢ 3 ∈ ℕ0
17	2, 16	deccl 12101	. . 3 ⊢ ;13 ∈ ℕ0
18	17, 11	deccl 12101	. 2 ⊢ ;;136 ∈ ℕ0
19	5, 3	deccl 12101	. . . 4 ⊢ ;52 ∈ ℕ0
20	19	nn0zi 11995	. . 3 ⊢ ;52 ∈ ℤ
21	3, 14	nn0expcli 13451	. . 3 ⊢ (2↑8) ∈ ℕ0
22		eqid 2798	. . 3 ⊢ ((2↑8) mod 𝑁) = ((2↑8) mod 𝑁)
23	14	nn0cni 11897	. . . 4 ⊢ 8 ∈ ℂ
24		2cn 11700	. . . 4 ⊢ 2 ∈ ℂ
25		8t2e16 12201	. . . 4 ⊢ (8 · 2) = ;16
26	23, 24, 25	mulcomli 10639	. . 3 ⊢ (2 · 8) = ;16
27		9nn0 11909	. . . . 5 ⊢ 9 ∈ ℕ0
28		eqid 2798	. . . . 5 ⊢ ;68 = ;68
29		4nn0 11904	. . . . . 6 ⊢ 4 ∈ ℕ0
30		7nn0 11907	. . . . . 6 ⊢ 7 ∈ ℕ0
31	29, 30	deccl 12101	. . . . 5 ⊢ ;47 ∈ ℕ0
32		eqid 2798	. . . . . 6 ⊢ ;;125 = ;;125
33		0nn0 11900	. . . . . . 7 ⊢ 0 ∈ ℕ0
34	11	dec0h 12108	. . . . . . 7 ⊢ 6 = ;06
35		eqid 2798	. . . . . . 7 ⊢ ;47 = ;47
36		4cn 11710	. . . . . . . . . 10 ⊢ 4 ∈ ℂ
37	36	addid2i 10817	. . . . . . . . 9 ⊢ (0 + 4) = 4
38	37	oveq1i 7145	. . . . . . . 8 ⊢ ((0 + 4) + 1) = (4 + 1)
39		4p1e5 11771	. . . . . . . 8 ⊢ (4 + 1) = 5
40	38, 39	eqtri 2821	. . . . . . 7 ⊢ ((0 + 4) + 1) = 5
41		7cn 11719	. . . . . . . 8 ⊢ 7 ∈ ℂ
42		6cn 11716	. . . . . . . 8 ⊢ 6 ∈ ℂ
43		7p6e13 12164	. . . . . . . 8 ⊢ (7 + 6) = ;13
44	41, 42, 43	addcomli 10821	. . . . . . 7 ⊢ (6 + 7) = ;13
45	33, 11, 29, 30, 34, 35, 40, 16, 44	decaddc 12141	. . . . . 6 ⊢ (6 + ;47) = ;53
46	3, 11	deccl 12101	. . . . . 6 ⊢ ;26 ∈ ℕ0
47		eqid 2798	. . . . . . 7 ⊢ ;12 = ;12
48	5	dec0h 12108	. . . . . . . 8 ⊢ 5 = ;05
49		eqid 2798	. . . . . . . 8 ⊢ ;26 = ;26
50	24	addid2i 10817	. . . . . . . . . 10 ⊢ (0 + 2) = 2
51	50	oveq1i 7145	. . . . . . . . 9 ⊢ ((0 + 2) + 1) = (2 + 1)
52		2p1e3 11767	. . . . . . . . 9 ⊢ (2 + 1) = 3
53	51, 52	eqtri 2821	. . . . . . . 8 ⊢ ((0 + 2) + 1) = 3
54		5cn 11713	. . . . . . . . 9 ⊢ 5 ∈ ℂ
55		6p5e11 12159	. . . . . . . . 9 ⊢ (6 + 5) = ;11
56	42, 54, 55	addcomli 10821	. . . . . . . 8 ⊢ (5 + 6) = ;11
57	33, 5, 3, 11, 48, 49, 53, 2, 56	decaddc 12141	. . . . . . 7 ⊢ (5 + ;26) = ;31
58		10nn0 12104	. . . . . . 7 ⊢ ;10 ∈ ℕ0
59		eqid 2798	. . . . . . . 8 ⊢ ;52 = ;52
60	58	nn0cni 11897	. . . . . . . . 9 ⊢ ;10 ∈ ℂ
61		3cn 11706	. . . . . . . . 9 ⊢ 3 ∈ ℂ
62		dec10p 12129	. . . . . . . . 9 ⊢ (;10 + 3) = ;13
63	60, 61, 62	addcomli 10821	. . . . . . . 8 ⊢ (3 + ;10) = ;13
64	54	mulid1i 10634	. . . . . . . . . 10 ⊢ (5 · 1) = 5
65		1p0e1 11749	. . . . . . . . . 10 ⊢ (1 + 0) = 1
66	64, 65	oveq12i 7147	. . . . . . . . 9 ⊢ ((5 · 1) + (1 + 0)) = (5 + 1)
67		5p1e6 11772	. . . . . . . . 9 ⊢ (5 + 1) = 6
68	66, 67	eqtri 2821	. . . . . . . 8 ⊢ ((5 · 1) + (1 + 0)) = 6
69	24	mulid1i 10634	. . . . . . . . . 10 ⊢ (2 · 1) = 2
70	69	oveq1i 7145	. . . . . . . . 9 ⊢ ((2 · 1) + 3) = (2 + 3)
71		3p2e5 11776	. . . . . . . . . 10 ⊢ (3 + 2) = 5
72	61, 24, 71	addcomli 10821	. . . . . . . . 9 ⊢ (2 + 3) = 5
73	70, 72, 48	3eqtri 2825	. . . . . . . 8 ⊢ ((2 · 1) + 3) = ;05
74	5, 3, 2, 16, 59, 63, 2, 5, 33, 68, 73	decmac 12138	. . . . . . 7 ⊢ ((;52 · 1) + (3 + ;10)) = ;65
75	2	dec0h 12108	. . . . . . . 8 ⊢ 1 = ;01
76		5t2e10 12186	. . . . . . . . . 10 ⊢ (5 · 2) = ;10
77		00id 10804	. . . . . . . . . 10 ⊢ (0 + 0) = 0
78	76, 77	oveq12i 7147	. . . . . . . . 9 ⊢ ((5 · 2) + (0 + 0)) = (;10 + 0)
79		dec10p 12129	. . . . . . . . 9 ⊢ (;10 + 0) = ;10
80	78, 79	eqtri 2821	. . . . . . . 8 ⊢ ((5 · 2) + (0 + 0)) = ;10
81		2t2e4 11789	. . . . . . . . . 10 ⊢ (2 · 2) = 4
82	81	oveq1i 7145	. . . . . . . . 9 ⊢ ((2 · 2) + 1) = (4 + 1)
83	82, 39, 48	3eqtri 2825	. . . . . . . 8 ⊢ ((2 · 2) + 1) = ;05
84	5, 3, 33, 2, 59, 75, 3, 5, 33, 80, 83	decmac 12138	. . . . . . 7 ⊢ ((;52 · 2) + 1) = ;;105
85	2, 3, 16, 2, 47, 57, 19, 5, 58, 74, 84	decma2c 12139	. . . . . 6 ⊢ ((;52 · ;12) + (5 + ;26)) = ;;655
86		5t5e25 12189	. . . . . . . 8 ⊢ (5 · 5) = ;25
87	3, 5, 67, 86	decsuc 12117	. . . . . . 7 ⊢ ((5 · 5) + 1) = ;26
88	54, 24, 76	mulcomli 10639	. . . . . . . 8 ⊢ (2 · 5) = ;10
89	61	addid2i 10817	. . . . . . . 8 ⊢ (0 + 3) = 3
90	2, 33, 16, 88, 89	decaddi 12146	. . . . . . 7 ⊢ ((2 · 5) + 3) = ;13
91	5, 3, 16, 59, 5, 16, 2, 87, 90	decrmac 12144	. . . . . 6 ⊢ ((;52 · 5) + 3) = ;;263
92	4, 5, 5, 16, 32, 45, 19, 16, 46, 85, 91	decma2c 12139	. . . . 5 ⊢ ((;52 · ;;125) + (6 + ;47)) = ;;;6553
93		9cn 11725	. . . . . . . 8 ⊢ 9 ∈ ℂ
94		9t5e45 12211	. . . . . . . 8 ⊢ (9 · 5) = ;45
95	93, 54, 94	mulcomli 10639	. . . . . . 7 ⊢ (5 · 9) = ;45
96		5p2e7 11781	. . . . . . 7 ⊢ (5 + 2) = 7
97	29, 5, 3, 95, 96	decaddi 12146	. . . . . 6 ⊢ ((5 · 9) + 2) = ;47
98		9t2e18 12208	. . . . . . . 8 ⊢ (9 · 2) = ;18
99	93, 24, 98	mulcomli 10639	. . . . . . 7 ⊢ (2 · 9) = ;18
100		1p1e2 11750	. . . . . . 7 ⊢ (1 + 1) = 2
101		8p8e16 12172	. . . . . . 7 ⊢ (8 + 8) = ;16
102	2, 14, 14, 99, 100, 11, 101	decaddci 12147	. . . . . 6 ⊢ ((2 · 9) + 8) = ;26
103	5, 3, 14, 59, 27, 11, 3, 97, 102	decrmac 12144	. . . . 5 ⊢ ((;52 · 9) + 8) = ;;476
104	6, 27, 11, 14, 1, 28, 19, 11, 31, 92, 103	decma2c 12139	. . . 4 ⊢ ((;52 · 𝑁) + ;68) = ;;;;65536
105		2exp16 16416	. . . 4 ⊢ (2↑;16) = ;;;;65536
106		eqid 2798	. . . . 5 ⊢ (2↑8) = (2↑8)
107		eqid 2798	. . . . 5 ⊢ ((2↑8) · (2↑8)) = ((2↑8) · (2↑8))
108	3, 14, 26, 106, 107	numexp2x 16405	. . . 4 ⊢ (2↑;16) = ((2↑8) · (2↑8))
109	104, 105, 108	3eqtr2i 2827	. . 3 ⊢ ((;52 · 𝑁) + ;68) = ((2↑8) · (2↑8))
110	9, 10, 14, 20, 21, 15, 22, 26, 109	mod2xi 16395	. 2 ⊢ ((2↑;16) mod 𝑁) = (;68 mod 𝑁)
111		6p1e7 11773	. . 3 ⊢ (6 + 1) = 7
112		eqid 2798	. . 3 ⊢ ;16 = ;16
113	2, 11, 111, 112	decsuc 12117	. 2 ⊢ (;16 + 1) = ;17
114	18	nn0cni 11897	. . . 4 ⊢ ;;136 ∈ ℂ
115	114	addid2i 10817	. . 3 ⊢ (0 + ;;136) = ;;136
116	9	nncni 11635	. . . . 5 ⊢ 𝑁 ∈ ℂ
117	116	mul02i 10818	. . . 4 ⊢ (0 · 𝑁) = 0
118	117	oveq1i 7145	. . 3 ⊢ ((0 · 𝑁) + ;;136) = (0 + ;;136)
119		6t2e12 12190	. . . . 5 ⊢ (6 · 2) = ;12
120	2, 3, 52, 119	decsuc 12117	. . . 4 ⊢ ((6 · 2) + 1) = ;13
121	3, 11, 14, 28, 11, 2, 120, 25	decmul1c 12151	. . 3 ⊢ (;68 · 2) = ;;136
122	115, 118, 121	3eqtr4i 2831	. 2 ⊢ ((0 · 𝑁) + ;;136) = (;68 · 2)
123	9, 10, 12, 13, 15, 18, 110, 113, 122	modxp1i 16396	1 ⊢ ((2↑;17) mod 𝑁) = (;;136 mod 𝑁)

Syntax hints:   = wceq 1538  (class class class)co 7135  0cc0 10526  1c1 10527   + caddc 10529   · cmul 10531  ℕcn 11625  2c2 11680  3c3 11681  4c4 11682  5c5 11683  6c6 11684  7c7 11685  8c8 11686  9c9 11687  ;cdc 12086   mod cmo 13232  ↑cexp 13425

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1797  ax-4 1811  ax-5 1911  ax-6 1970  ax-7 2015  ax-8 2113  ax-9 2121  ax-10 2142  ax-11 2158  ax-12 2175  ax-ext 2770  ax-sep 5167  ax-nul 5174  ax-pow 5231  ax-pr 5295  ax-un 7441  ax-cnex 10582  ax-resscn 10583  ax-1cn 10584  ax-icn 10585  ax-addcl 10586  ax-addrcl 10587  ax-mulcl 10588  ax-mulrcl 10589  ax-mulcom 10590  ax-addass 10591  ax-mulass 10592  ax-distr 10593  ax-i2m1 10594  ax-1ne0 10595  ax-1rid 10596  ax-rnegex 10597  ax-rrecex 10598  ax-cnre 10599  ax-pre-lttri 10600  ax-pre-lttrn 10601  ax-pre-ltadd 10602  ax-pre-mulgt0 10603  ax-pre-sup 10604

This theorem depends on definitions:  df-bi 210  df-an 400  df-or 845  df-3or 1085  df-3an 1086  df-tru 1541  df-ex 1782  df-nf 1786  df-sb 2070  df-mo 2598  df-eu 2629  df-clab 2777  df-cleq 2791  df-clel 2870  df-nfc 2938  df-ne 2988  df-nel 3092  df-ral 3111  df-rex 3112  df-reu 3113  df-rmo 3114  df-rab 3115  df-v 3443  df-sbc 3721  df-csb 3829  df-dif 3884  df-un 3886  df-in 3888  df-ss 3898  df-pss 3900  df-nul 4244  df-if 4426  df-pw 4499  df-sn 4526  df-pr 4528  df-tp 4530  df-op 4532  df-uni 4801  df-iun 4883  df-br 5031  df-opab 5093  df-mpt 5111  df-tr 5137  df-id 5425  df-eprel 5430  df-po 5438  df-so 5439  df-fr 5478  df-we 5480  df-xp 5525  df-rel 5526  df-cnv 5527  df-co 5528  df-dm 5529  df-rn 5530  df-res 5531  df-ima 5532  df-pred 6116  df-ord 6162  df-on 6163  df-lim 6164  df-suc 6165  df-iota 6283  df-fun 6326  df-fn 6327  df-f 6328  df-f1 6329  df-fo 6330  df-f1o 6331  df-fv 6332  df-riota 7093  df-ov 7138  df-oprab 7139  df-mpo 7140  df-om 7561  df-2nd 7672  df-wrecs 7930  df-recs 7991  df-rdg 8029  df-er 8272  df-en 8493  df-dom 8494  df-sdom 8495  df-sup 8890  df-inf 8891  df-pnf 10666  df-mnf 10667  df-xr 10668  df-ltxr 10669  df-le 10670  df-sub 10861  df-neg 10862  df-div 11287  df-nn 11626  df-2 11688  df-3 11689  df-4 11690  df-5 11691  df-6 11692  df-7 11693  df-8 11694  df-9 11695  df-n0 11886  df-z 11970  df-dec 12087  df-uz 12232  df-rp 12378  df-fl 13157  df-mod 13233  df-seq 13365  df-exp 13426

This theorem is referenced by:  1259lem2  16457  1259lem4  16459