MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  1259lem1 Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem 1259lem1 16464
Description: Lemma for 1259prm 16469. Calculate a power mod. In decimal, we calculate 2↑16 = 52𝑁 + 68≡68 and 2↑17≡68 · 2 = 136 in this lemma. (Contributed by Mario Carneiro, 22-Feb-2014.) (Revised by Mario Carneiro, 20-Apr-2015.) (Proof shortened by AV, 16-Sep-2021.)
Hypothesis
Ref Expression
1259prm.1 𝑁 = 1259
Assertion
Ref Expression
1259lem1 ((2↑17) mod 𝑁) = (136 mod 𝑁)

Proof of Theorem 1259lem1
StepHypRef Expression
1 1259prm.1 . . 3 𝑁 = 1259
2 1nn0 11910 . . . . . 6 1 ∈ ℕ0
3 2nn0 11911 . . . . . 6 2 ∈ ℕ0
42, 3deccl 12110 . . . . 5 12 ∈ ℕ0
5 5nn0 11914 . . . . 5 5 ∈ ℕ0
64, 5deccl 12110 . . . 4 125 ∈ ℕ0
7 9nn 11732 . . . 4 9 ∈ ℕ
86, 7decnncl 12115 . . 3 1259 ∈ ℕ
91, 8eqeltri 2912 . 2 𝑁 ∈ ℕ
10 2nn 11707 . 2 2 ∈ ℕ
11 6nn0 11915 . . 3 6 ∈ ℕ0
122, 11deccl 12110 . 2 16 ∈ ℕ0
13 0z 11989 . 2 0 ∈ ℤ
14 8nn0 11917 . . 3 8 ∈ ℕ0
1511, 14deccl 12110 . 2 68 ∈ ℕ0
16 3nn0 11912 . . . 4 3 ∈ ℕ0
172, 16deccl 12110 . . 3 13 ∈ ℕ0
1817, 11deccl 12110 . 2 136 ∈ ℕ0
195, 3deccl 12110 . . . 4 52 ∈ ℕ0
2019nn0zi 12004 . . 3 52 ∈ ℤ
213, 14nn0expcli 13460 . . 3 (2↑8) ∈ ℕ0
22 eqid 2824 . . 3 ((2↑8) mod 𝑁) = ((2↑8) mod 𝑁)
2314nn0cni 11906 . . . 4 8 ∈ ℂ
24 2cn 11709 . . . 4 2 ∈ ℂ
25 8t2e16 12210 . . . 4 (8 · 2) = 16
2623, 24, 25mulcomli 10648 . . 3 (2 · 8) = 16
27 9nn0 11918 . . . . 5 9 ∈ ℕ0
28 eqid 2824 . . . . 5 68 = 68
29 4nn0 11913 . . . . . 6 4 ∈ ℕ0
30 7nn0 11916 . . . . . 6 7 ∈ ℕ0
3129, 30deccl 12110 . . . . 5 47 ∈ ℕ0
32 eqid 2824 . . . . . 6 125 = 125
33 0nn0 11909 . . . . . . 7 0 ∈ ℕ0
3411dec0h 12117 . . . . . . 7 6 = 06
35 eqid 2824 . . . . . . 7 47 = 47
36 4cn 11719 . . . . . . . . . 10 4 ∈ ℂ
3736addid2i 10826 . . . . . . . . 9 (0 + 4) = 4
3837oveq1i 7159 . . . . . . . 8 ((0 + 4) + 1) = (4 + 1)
39 4p1e5 11780 . . . . . . . 8 (4 + 1) = 5
4038, 39eqtri 2847 . . . . . . 7 ((0 + 4) + 1) = 5
41 7cn 11728 . . . . . . . 8 7 ∈ ℂ
42 6cn 11725 . . . . . . . 8 6 ∈ ℂ
43 7p6e13 12173 . . . . . . . 8 (7 + 6) = 13
4441, 42, 43addcomli 10830 . . . . . . 7 (6 + 7) = 13
4533, 11, 29, 30, 34, 35, 40, 16, 44decaddc 12150 . . . . . 6 (6 + 47) = 53
463, 11deccl 12110 . . . . . 6 26 ∈ ℕ0
47 eqid 2824 . . . . . . 7 12 = 12
485dec0h 12117 . . . . . . . 8 5 = 05
49 eqid 2824 . . . . . . . 8 26 = 26
5024addid2i 10826 . . . . . . . . . 10 (0 + 2) = 2
5150oveq1i 7159 . . . . . . . . 9 ((0 + 2) + 1) = (2 + 1)
52 2p1e3 11776 . . . . . . . . 9 (2 + 1) = 3
5351, 52eqtri 2847 . . . . . . . 8 ((0 + 2) + 1) = 3
54 5cn 11722 . . . . . . . . 9 5 ∈ ℂ
55 6p5e11 12168 . . . . . . . . 9 (6 + 5) = 11
5642, 54, 55addcomli 10830 . . . . . . . 8 (5 + 6) = 11
5733, 5, 3, 11, 48, 49, 53, 2, 56decaddc 12150 . . . . . . 7 (5 + 26) = 31
58 10nn0 12113 . . . . . . 7 10 ∈ ℕ0
59 eqid 2824 . . . . . . . 8 52 = 52
6058nn0cni 11906 . . . . . . . . 9 10 ∈ ℂ
61 3cn 11715 . . . . . . . . 9 3 ∈ ℂ
62 dec10p 12138 . . . . . . . . 9 (10 + 3) = 13
6360, 61, 62addcomli 10830 . . . . . . . 8 (3 + 10) = 13
6454mulid1i 10643 . . . . . . . . . 10 (5 · 1) = 5
65 1p0e1 11758 . . . . . . . . . 10 (1 + 0) = 1
6664, 65oveq12i 7161 . . . . . . . . 9 ((5 · 1) + (1 + 0)) = (5 + 1)
67 5p1e6 11781 . . . . . . . . 9 (5 + 1) = 6
6866, 67eqtri 2847 . . . . . . . 8 ((5 · 1) + (1 + 0)) = 6
6924mulid1i 10643 . . . . . . . . . 10 (2 · 1) = 2
7069oveq1i 7159 . . . . . . . . 9 ((2 · 1) + 3) = (2 + 3)
71 3p2e5 11785 . . . . . . . . . 10 (3 + 2) = 5
7261, 24, 71addcomli 10830 . . . . . . . . 9 (2 + 3) = 5
7370, 72, 483eqtri 2851 . . . . . . . 8 ((2 · 1) + 3) = 05
745, 3, 2, 16, 59, 63, 2, 5, 33, 68, 73decmac 12147 . . . . . . 7 ((52 · 1) + (3 + 10)) = 65
752dec0h 12117 . . . . . . . 8 1 = 01
76 5t2e10 12195 . . . . . . . . . 10 (5 · 2) = 10
77 00id 10813 . . . . . . . . . 10 (0 + 0) = 0
7876, 77oveq12i 7161 . . . . . . . . 9 ((5 · 2) + (0 + 0)) = (10 + 0)
79 dec10p 12138 . . . . . . . . 9 (10 + 0) = 10
8078, 79eqtri 2847 . . . . . . . 8 ((5 · 2) + (0 + 0)) = 10
81 2t2e4 11798 . . . . . . . . . 10 (2 · 2) = 4
8281oveq1i 7159 . . . . . . . . 9 ((2 · 2) + 1) = (4 + 1)
8382, 39, 483eqtri 2851 . . . . . . . 8 ((2 · 2) + 1) = 05
845, 3, 33, 2, 59, 75, 3, 5, 33, 80, 83decmac 12147 . . . . . . 7 ((52 · 2) + 1) = 105
852, 3, 16, 2, 47, 57, 19, 5, 58, 74, 84decma2c 12148 . . . . . 6 ((52 · 12) + (5 + 26)) = 655
86 5t5e25 12198 . . . . . . . 8 (5 · 5) = 25
873, 5, 67, 86decsuc 12126 . . . . . . 7 ((5 · 5) + 1) = 26
8854, 24, 76mulcomli 10648 . . . . . . . 8 (2 · 5) = 10
8961addid2i 10826 . . . . . . . 8 (0 + 3) = 3
902, 33, 16, 88, 89decaddi 12155 . . . . . . 7 ((2 · 5) + 3) = 13
915, 3, 16, 59, 5, 16, 2, 87, 90decrmac 12153 . . . . . 6 ((52 · 5) + 3) = 263
924, 5, 5, 16, 32, 45, 19, 16, 46, 85, 91decma2c 12148 . . . . 5 ((52 · 125) + (6 + 47)) = 6553
93 9cn 11734 . . . . . . . 8 9 ∈ ℂ
94 9t5e45 12220 . . . . . . . 8 (9 · 5) = 45
9593, 54, 94mulcomli 10648 . . . . . . 7 (5 · 9) = 45
96 5p2e7 11790 . . . . . . 7 (5 + 2) = 7
9729, 5, 3, 95, 96decaddi 12155 . . . . . 6 ((5 · 9) + 2) = 47
98 9t2e18 12217 . . . . . . . 8 (9 · 2) = 18
9993, 24, 98mulcomli 10648 . . . . . . 7 (2 · 9) = 18
100 1p1e2 11759 . . . . . . 7 (1 + 1) = 2
101 8p8e16 12181 . . . . . . 7 (8 + 8) = 16
1022, 14, 14, 99, 100, 11, 101decaddci 12156 . . . . . 6 ((2 · 9) + 8) = 26
1035, 3, 14, 59, 27, 11, 3, 97, 102decrmac 12153 . . . . 5 ((52 · 9) + 8) = 476
1046, 27, 11, 14, 1, 28, 19, 11, 31, 92, 103decma2c 12148 . . . 4 ((52 · 𝑁) + 68) = 65536
105 2exp16 16424 . . . 4 (2↑16) = 65536
106 eqid 2824 . . . . 5 (2↑8) = (2↑8)
107 eqid 2824 . . . . 5 ((2↑8) · (2↑8)) = ((2↑8) · (2↑8))
1083, 14, 26, 106, 107numexp2x 16413 . . . 4 (2↑16) = ((2↑8) · (2↑8))
109104, 105, 1083eqtr2i 2853 . . 3 ((52 · 𝑁) + 68) = ((2↑8) · (2↑8))
1109, 10, 14, 20, 21, 15, 22, 26, 109mod2xi 16403 . 2 ((2↑16) mod 𝑁) = (68 mod 𝑁)
111 6p1e7 11782 . . 3 (6 + 1) = 7
112 eqid 2824 . . 3 16 = 16
1132, 11, 111, 112decsuc 12126 . 2 (16 + 1) = 17
11418nn0cni 11906 . . . 4 136 ∈ ℂ
115114addid2i 10826 . . 3 (0 + 136) = 136
1169nncni 11644 . . . . 5 𝑁 ∈ ℂ
117116mul02i 10827 . . . 4 (0 · 𝑁) = 0
118117oveq1i 7159 . . 3 ((0 · 𝑁) + 136) = (0 + 136)
119 6t2e12 12199 . . . . 5 (6 · 2) = 12
1202, 3, 52, 119decsuc 12126 . . . 4 ((6 · 2) + 1) = 13
1213, 11, 14, 28, 11, 2, 120, 25decmul1c 12160 . . 3 (68 · 2) = 136
122115, 118, 1213eqtr4i 2857 . 2 ((0 · 𝑁) + 136) = (68 · 2)
1239, 10, 12, 13, 15, 18, 110, 113, 122modxp1i 16404 1 ((2↑17) mod 𝑁) = (136 mod 𝑁)
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:   = wceq 1538  (class class class)co 7149  0cc0 10535  1c1 10536   + caddc 10538   · cmul 10540  cn 11634  2c2 11689  3c3 11690  4c4 11691  5c5 11692  6c6 11693  7c7 11694  8c8 11695  9c9 11696  cdc 12095   mod cmo 13241  cexp 13434
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1797  ax-4 1811  ax-5 1912  ax-6 1971  ax-7 2016  ax-8 2117  ax-9 2125  ax-10 2146  ax-11 2162  ax-12 2179  ax-ext 2796  ax-sep 5189  ax-nul 5196  ax-pow 5253  ax-pr 5317  ax-un 7455  ax-cnex 10591  ax-resscn 10592  ax-1cn 10593  ax-icn 10594  ax-addcl 10595  ax-addrcl 10596  ax-mulcl 10597  ax-mulrcl 10598  ax-mulcom 10599  ax-addass 10600  ax-mulass 10601  ax-distr 10602  ax-i2m1 10603  ax-1ne0 10604  ax-1rid 10605  ax-rnegex 10606  ax-rrecex 10607  ax-cnre 10608  ax-pre-lttri 10609  ax-pre-lttrn 10610  ax-pre-ltadd 10611  ax-pre-mulgt0 10612  ax-pre-sup 10613
This theorem depends on definitions:  df-bi 210  df-an 400  df-or 845  df-3or 1085  df-3an 1086  df-tru 1541  df-ex 1782  df-nf 1786  df-sb 2071  df-mo 2624  df-eu 2655  df-clab 2803  df-cleq 2817  df-clel 2896  df-nfc 2964  df-ne 3015  df-nel 3119  df-ral 3138  df-rex 3139  df-reu 3140  df-rmo 3141  df-rab 3142  df-v 3482  df-sbc 3759  df-csb 3867  df-dif 3922  df-un 3924  df-in 3926  df-ss 3936  df-pss 3938  df-nul 4277  df-if 4451  df-pw 4524  df-sn 4551  df-pr 4553  df-tp 4555  df-op 4557  df-uni 4825  df-iun 4907  df-br 5053  df-opab 5115  df-mpt 5133  df-tr 5159  df-id 5447  df-eprel 5452  df-po 5461  df-so 5462  df-fr 5501  df-we 5503  df-xp 5548  df-rel 5549  df-cnv 5550  df-co 5551  df-dm 5552  df-rn 5553  df-res 5554  df-ima 5555  df-pred 6135  df-ord 6181  df-on 6182  df-lim 6183  df-suc 6184  df-iota 6302  df-fun 6345  df-fn 6346  df-f 6347  df-f1 6348  df-fo 6349  df-f1o 6350  df-fv 6351  df-riota 7107  df-ov 7152  df-oprab 7153  df-mpo 7154  df-om 7575  df-2nd 7685  df-wrecs 7943  df-recs 8004  df-rdg 8042  df-er 8285  df-en 8506  df-dom 8507  df-sdom 8508  df-sup 8903  df-inf 8904  df-pnf 10675  df-mnf 10676  df-xr 10677  df-ltxr 10678  df-le 10679  df-sub 10870  df-neg 10871  df-div 11296  df-nn 11635  df-2 11697  df-3 11698  df-4 11699  df-5 11700  df-6 11701  df-7 11702  df-8 11703  df-9 11704  df-n0 11895  df-z 11979  df-dec 12096  df-uz 12241  df-rp 12387  df-fl 13166  df-mod 13242  df-seq 13374  df-exp 13435
This theorem is referenced by:  1259lem2  16465  1259lem4  16467
  Copyright terms: Public domain W3C validator