Theorem 1259lem1 16760

Description: Lemma for 1259prm 16765. Calculate a power mod. In decimal, we calculate 2↑16 = 52𝑁 + 68≡68 and 2↑17≡68 · 2 = 136 in this lemma. (Contributed by Mario Carneiro, 22-Feb-2014.) (Revised by Mario Carneiro, 20-Apr-2015.) (Proof shortened by AV, 16-Sep-2021.)

Hypothesis

Ref	Expression
1259prm.1	⊢ 𝑁 = ;;;1259

Assertion

Ref	Expression
1259lem1	⊢ ((2↑;17) mod 𝑁) = (;;136 mod 𝑁)

Proof of Theorem 1259lem1

Step	Hyp	Ref	Expression
1		1259prm.1	. . 3 ⊢ 𝑁 = ;;;1259
2		1nn0 12179	. . . . . 6 ⊢ 1 ∈ ℕ0
3		2nn0 12180	. . . . . 6 ⊢ 2 ∈ ℕ0
4	2, 3	deccl 12381	. . . . 5 ⊢ ;12 ∈ ℕ0
5		5nn0 12183	. . . . 5 ⊢ 5 ∈ ℕ0
6	4, 5	deccl 12381	. . . 4 ⊢ ;;125 ∈ ℕ0
7		9nn 12001	. . . 4 ⊢ 9 ∈ ℕ
8	6, 7	decnncl 12386	. . 3 ⊢ ;;;1259 ∈ ℕ
9	1, 8	eqeltri 2835	. 2 ⊢ 𝑁 ∈ ℕ
10		2nn 11976	. 2 ⊢ 2 ∈ ℕ
11		6nn0 12184	. . 3 ⊢ 6 ∈ ℕ0
12	2, 11	deccl 12381	. 2 ⊢ ;16 ∈ ℕ0
13		0z 12260	. 2 ⊢ 0 ∈ ℤ
14		8nn0 12186	. . 3 ⊢ 8 ∈ ℕ0
15	11, 14	deccl 12381	. 2 ⊢ ;68 ∈ ℕ0
16		3nn0 12181	. . . 4 ⊢ 3 ∈ ℕ0
17	2, 16	deccl 12381	. . 3 ⊢ ;13 ∈ ℕ0
18	17, 11	deccl 12381	. 2 ⊢ ;;136 ∈ ℕ0
19	5, 3	deccl 12381	. . . 4 ⊢ ;52 ∈ ℕ0
20	19	nn0zi 12275	. . 3 ⊢ ;52 ∈ ℤ
21	3, 14	nn0expcli 13737	. . 3 ⊢ (2↑8) ∈ ℕ0
22		eqid 2738	. . 3 ⊢ ((2↑8) mod 𝑁) = ((2↑8) mod 𝑁)
23	14	nn0cni 12175	. . . 4 ⊢ 8 ∈ ℂ
24		2cn 11978	. . . 4 ⊢ 2 ∈ ℂ
25		8t2e16 12481	. . . 4 ⊢ (8 · 2) = ;16
26	23, 24, 25	mulcomli 10915	. . 3 ⊢ (2 · 8) = ;16
27		9nn0 12187	. . . . 5 ⊢ 9 ∈ ℕ0
28		eqid 2738	. . . . 5 ⊢ ;68 = ;68
29		4nn0 12182	. . . . . 6 ⊢ 4 ∈ ℕ0
30		7nn0 12185	. . . . . 6 ⊢ 7 ∈ ℕ0
31	29, 30	deccl 12381	. . . . 5 ⊢ ;47 ∈ ℕ0
32		eqid 2738	. . . . . 6 ⊢ ;;125 = ;;125
33		0nn0 12178	. . . . . . 7 ⊢ 0 ∈ ℕ0
34	11	dec0h 12388	. . . . . . 7 ⊢ 6 = ;06
35		eqid 2738	. . . . . . 7 ⊢ ;47 = ;47
36		4cn 11988	. . . . . . . . . 10 ⊢ 4 ∈ ℂ
37	36	addid2i 11093	. . . . . . . . 9 ⊢ (0 + 4) = 4
38	37	oveq1i 7265	. . . . . . . 8 ⊢ ((0 + 4) + 1) = (4 + 1)
39		4p1e5 12049	. . . . . . . 8 ⊢ (4 + 1) = 5
40	38, 39	eqtri 2766	. . . . . . 7 ⊢ ((0 + 4) + 1) = 5
41		7cn 11997	. . . . . . . 8 ⊢ 7 ∈ ℂ
42		6cn 11994	. . . . . . . 8 ⊢ 6 ∈ ℂ
43		7p6e13 12444	. . . . . . . 8 ⊢ (7 + 6) = ;13
44	41, 42, 43	addcomli 11097	. . . . . . 7 ⊢ (6 + 7) = ;13
45	33, 11, 29, 30, 34, 35, 40, 16, 44	decaddc 12421	. . . . . 6 ⊢ (6 + ;47) = ;53
46	3, 11	deccl 12381	. . . . . 6 ⊢ ;26 ∈ ℕ0
47		eqid 2738	. . . . . . 7 ⊢ ;12 = ;12
48	5	dec0h 12388	. . . . . . . 8 ⊢ 5 = ;05
49		eqid 2738	. . . . . . . 8 ⊢ ;26 = ;26
50	24	addid2i 11093	. . . . . . . . . 10 ⊢ (0 + 2) = 2
51	50	oveq1i 7265	. . . . . . . . 9 ⊢ ((0 + 2) + 1) = (2 + 1)
52		2p1e3 12045	. . . . . . . . 9 ⊢ (2 + 1) = 3
53	51, 52	eqtri 2766	. . . . . . . 8 ⊢ ((0 + 2) + 1) = 3
54		5cn 11991	. . . . . . . . 9 ⊢ 5 ∈ ℂ
55		6p5e11 12439	. . . . . . . . 9 ⊢ (6 + 5) = ;11
56	42, 54, 55	addcomli 11097	. . . . . . . 8 ⊢ (5 + 6) = ;11
57	33, 5, 3, 11, 48, 49, 53, 2, 56	decaddc 12421	. . . . . . 7 ⊢ (5 + ;26) = ;31
58		10nn0 12384	. . . . . . 7 ⊢ ;10 ∈ ℕ0
59		eqid 2738	. . . . . . . 8 ⊢ ;52 = ;52
60	58	nn0cni 12175	. . . . . . . . 9 ⊢ ;10 ∈ ℂ
61		3cn 11984	. . . . . . . . 9 ⊢ 3 ∈ ℂ
62		dec10p 12409	. . . . . . . . 9 ⊢ (;10 + 3) = ;13
63	60, 61, 62	addcomli 11097	. . . . . . . 8 ⊢ (3 + ;10) = ;13
64	54	mulid1i 10910	. . . . . . . . . 10 ⊢ (5 · 1) = 5
65		1p0e1 12027	. . . . . . . . . 10 ⊢ (1 + 0) = 1
66	64, 65	oveq12i 7267	. . . . . . . . 9 ⊢ ((5 · 1) + (1 + 0)) = (5 + 1)
67		5p1e6 12050	. . . . . . . . 9 ⊢ (5 + 1) = 6
68	66, 67	eqtri 2766	. . . . . . . 8 ⊢ ((5 · 1) + (1 + 0)) = 6
69	24	mulid1i 10910	. . . . . . . . . 10 ⊢ (2 · 1) = 2
70	69	oveq1i 7265	. . . . . . . . 9 ⊢ ((2 · 1) + 3) = (2 + 3)
71		3p2e5 12054	. . . . . . . . . 10 ⊢ (3 + 2) = 5
72	61, 24, 71	addcomli 11097	. . . . . . . . 9 ⊢ (2 + 3) = 5
73	70, 72, 48	3eqtri 2770	. . . . . . . 8 ⊢ ((2 · 1) + 3) = ;05
74	5, 3, 2, 16, 59, 63, 2, 5, 33, 68, 73	decmac 12418	. . . . . . 7 ⊢ ((;52 · 1) + (3 + ;10)) = ;65
75	2	dec0h 12388	. . . . . . . 8 ⊢ 1 = ;01
76		5t2e10 12466	. . . . . . . . . 10 ⊢ (5 · 2) = ;10
77		00id 11080	. . . . . . . . . 10 ⊢ (0 + 0) = 0
78	76, 77	oveq12i 7267	. . . . . . . . 9 ⊢ ((5 · 2) + (0 + 0)) = (;10 + 0)
79		dec10p 12409	. . . . . . . . 9 ⊢ (;10 + 0) = ;10
80	78, 79	eqtri 2766	. . . . . . . 8 ⊢ ((5 · 2) + (0 + 0)) = ;10
81		2t2e4 12067	. . . . . . . . . 10 ⊢ (2 · 2) = 4
82	81	oveq1i 7265	. . . . . . . . 9 ⊢ ((2 · 2) + 1) = (4 + 1)
83	82, 39, 48	3eqtri 2770	. . . . . . . 8 ⊢ ((2 · 2) + 1) = ;05
84	5, 3, 33, 2, 59, 75, 3, 5, 33, 80, 83	decmac 12418	. . . . . . 7 ⊢ ((;52 · 2) + 1) = ;;105
85	2, 3, 16, 2, 47, 57, 19, 5, 58, 74, 84	decma2c 12419	. . . . . 6 ⊢ ((;52 · ;12) + (5 + ;26)) = ;;655
86		5t5e25 12469	. . . . . . . 8 ⊢ (5 · 5) = ;25
87	3, 5, 67, 86	decsuc 12397	. . . . . . 7 ⊢ ((5 · 5) + 1) = ;26
88	54, 24, 76	mulcomli 10915	. . . . . . . 8 ⊢ (2 · 5) = ;10
89	61	addid2i 11093	. . . . . . . 8 ⊢ (0 + 3) = 3
90	2, 33, 16, 88, 89	decaddi 12426	. . . . . . 7 ⊢ ((2 · 5) + 3) = ;13
91	5, 3, 16, 59, 5, 16, 2, 87, 90	decrmac 12424	. . . . . 6 ⊢ ((;52 · 5) + 3) = ;;263
92	4, 5, 5, 16, 32, 45, 19, 16, 46, 85, 91	decma2c 12419	. . . . 5 ⊢ ((;52 · ;;125) + (6 + ;47)) = ;;;6553
93		9cn 12003	. . . . . . . 8 ⊢ 9 ∈ ℂ
94		9t5e45 12491	. . . . . . . 8 ⊢ (9 · 5) = ;45
95	93, 54, 94	mulcomli 10915	. . . . . . 7 ⊢ (5 · 9) = ;45
96		5p2e7 12059	. . . . . . 7 ⊢ (5 + 2) = 7
97	29, 5, 3, 95, 96	decaddi 12426	. . . . . 6 ⊢ ((5 · 9) + 2) = ;47
98		9t2e18 12488	. . . . . . . 8 ⊢ (9 · 2) = ;18
99	93, 24, 98	mulcomli 10915	. . . . . . 7 ⊢ (2 · 9) = ;18
100		1p1e2 12028	. . . . . . 7 ⊢ (1 + 1) = 2
101		8p8e16 12452	. . . . . . 7 ⊢ (8 + 8) = ;16
102	2, 14, 14, 99, 100, 11, 101	decaddci 12427	. . . . . 6 ⊢ ((2 · 9) + 8) = ;26
103	5, 3, 14, 59, 27, 11, 3, 97, 102	decrmac 12424	. . . . 5 ⊢ ((;52 · 9) + 8) = ;;476
104	6, 27, 11, 14, 1, 28, 19, 11, 31, 92, 103	decma2c 12419	. . . 4 ⊢ ((;52 · 𝑁) + ;68) = ;;;;65536
105		2exp16 16720	. . . 4 ⊢ (2↑;16) = ;;;;65536
106		eqid 2738	. . . . 5 ⊢ (2↑8) = (2↑8)
107		eqid 2738	. . . . 5 ⊢ ((2↑8) · (2↑8)) = ((2↑8) · (2↑8))
108	3, 14, 26, 106, 107	numexp2x 16708	. . . 4 ⊢ (2↑;16) = ((2↑8) · (2↑8))
109	104, 105, 108	3eqtr2i 2772	. . 3 ⊢ ((;52 · 𝑁) + ;68) = ((2↑8) · (2↑8))
110	9, 10, 14, 20, 21, 15, 22, 26, 109	mod2xi 16698	. 2 ⊢ ((2↑;16) mod 𝑁) = (;68 mod 𝑁)
111		6p1e7 12051	. . 3 ⊢ (6 + 1) = 7
112		eqid 2738	. . 3 ⊢ ;16 = ;16
113	2, 11, 111, 112	decsuc 12397	. 2 ⊢ (;16 + 1) = ;17
114	18	nn0cni 12175	. . . 4 ⊢ ;;136 ∈ ℂ
115	114	addid2i 11093	. . 3 ⊢ (0 + ;;136) = ;;136
116	9	nncni 11913	. . . . 5 ⊢ 𝑁 ∈ ℂ
117	116	mul02i 11094	. . . 4 ⊢ (0 · 𝑁) = 0
118	117	oveq1i 7265	. . 3 ⊢ ((0 · 𝑁) + ;;136) = (0 + ;;136)
119		6t2e12 12470	. . . . 5 ⊢ (6 · 2) = ;12
120	2, 3, 52, 119	decsuc 12397	. . . 4 ⊢ ((6 · 2) + 1) = ;13
121	3, 11, 14, 28, 11, 2, 120, 25	decmul1c 12431	. . 3 ⊢ (;68 · 2) = ;;136
122	115, 118, 121	3eqtr4i 2776	. 2 ⊢ ((0 · 𝑁) + ;;136) = (;68 · 2)
123	9, 10, 12, 13, 15, 18, 110, 113, 122	modxp1i 16699	1 ⊢ ((2↑;17) mod 𝑁) = (;;136 mod 𝑁)

Syntax hints:   = wceq 1539  (class class class)co 7255  0cc0 10802  1c1 10803   + caddc 10805   · cmul 10807  ℕcn 11903  2c2 11958  3c3 11959  4c4 11960  5c5 11961  6c6 11962  7c7 11963  8c8 11964  9c9 11965  ;cdc 12366   mod cmo 13517  ↑cexp 13710

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1799  ax-4 1813  ax-5 1914  ax-6 1972  ax-7 2012  ax-8 2110  ax-9 2118  ax-10 2139  ax-11 2156  ax-12 2173  ax-ext 2709  ax-sep 5218  ax-nul 5225  ax-pow 5283  ax-pr 5347  ax-un 7566  ax-cnex 10858  ax-resscn 10859  ax-1cn 10860  ax-icn 10861  ax-addcl 10862  ax-addrcl 10863  ax-mulcl 10864  ax-mulrcl 10865  ax-mulcom 10866  ax-addass 10867  ax-mulass 10868  ax-distr 10869  ax-i2m1 10870  ax-1ne0 10871  ax-1rid 10872  ax-rnegex 10873  ax-rrecex 10874  ax-cnre 10875  ax-pre-lttri 10876  ax-pre-lttrn 10877  ax-pre-ltadd 10878  ax-pre-mulgt0 10879  ax-pre-sup 10880

This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 396  df-or 844  df-3or 1086  df-3an 1087  df-tru 1542  df-fal 1552  df-ex 1784  df-nf 1788  df-sb 2069  df-mo 2540  df-eu 2569  df-clab 2716  df-cleq 2730  df-clel 2817  df-nfc 2888  df-ne 2943  df-nel 3049  df-ral 3068  df-rex 3069  df-reu 3070  df-rmo 3071  df-rab 3072  df-v 3424  df-sbc 3712  df-csb 3829  df-dif 3886  df-un 3888  df-in 3890  df-ss 3900  df-pss 3902  df-nul 4254  df-if 4457  df-pw 4532  df-sn 4559  df-pr 4561  df-tp 4563  df-op 4565  df-uni 4837  df-iun 4923  df-br 5071  df-opab 5133  df-mpt 5154  df-tr 5188  df-id 5480  df-eprel 5486  df-po 5494  df-so 5495  df-fr 5535  df-we 5537  df-xp 5586  df-rel 5587  df-cnv 5588  df-co 5589  df-dm 5590  df-rn 5591  df-res 5592  df-ima 5593  df-pred 6191  df-ord 6254  df-on 6255  df-lim 6256  df-suc 6257  df-iota 6376  df-fun 6420  df-fn 6421  df-f 6422  df-f1 6423  df-fo 6424  df-f1o 6425  df-fv 6426  df-riota 7212  df-ov 7258  df-oprab 7259  df-mpo 7260  df-om 7688  df-2nd 7805  df-frecs 8068  df-wrecs 8099  df-recs 8173  df-rdg 8212  df-er 8456  df-en 8692  df-dom 8693  df-sdom 8694  df-sup 9131  df-inf 9132  df-pnf 10942  df-mnf 10943  df-xr 10944  df-ltxr 10945  df-le 10946  df-sub 11137  df-neg 11138  df-div 11563  df-nn 11904  df-2 11966  df-3 11967  df-4 11968  df-5 11969  df-6 11970  df-7 11971  df-8 11972  df-9 11973  df-n0 12164  df-z 12250  df-dec 12367  df-uz 12512  df-rp 12660  df-fl 13440  df-mod 13518  df-seq 13650  df-exp 13711

This theorem is referenced by:  1259lem2  16761  1259lem4  16763