MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  1259lem1 Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem 1259lem1 17064
Description: Lemma for 1259prm 17069. Calculate a power mod. In decimal, we calculate 2↑16 = 52𝑁 + 68≡68 and 2↑17≡68 · 2 = 136 in this lemma. (Contributed by Mario Carneiro, 22-Feb-2014.) (Revised by Mario Carneiro, 20-Apr-2015.) (Proof shortened by AV, 16-Sep-2021.)
Hypothesis
Ref Expression
1259prm.1 𝑁 = 1259
Assertion
Ref Expression
1259lem1 ((2↑17) mod 𝑁) = (136 mod 𝑁)

Proof of Theorem 1259lem1
StepHypRef Expression
1 1259prm.1 . . 3 𝑁 = 1259
2 1nn0 12488 . . . . . 6 1 ∈ ℕ0
3 2nn0 12489 . . . . . 6 2 ∈ ℕ0
42, 3deccl 12692 . . . . 5 12 ∈ ℕ0
5 5nn0 12492 . . . . 5 5 ∈ ℕ0
64, 5deccl 12692 . . . 4 125 ∈ ℕ0
7 9nn 12310 . . . 4 9 ∈ ℕ
86, 7decnncl 12697 . . 3 1259 ∈ ℕ
91, 8eqeltri 2830 . 2 𝑁 ∈ ℕ
10 2nn 12285 . 2 2 ∈ ℕ
11 6nn0 12493 . . 3 6 ∈ ℕ0
122, 11deccl 12692 . 2 16 ∈ ℕ0
13 0z 12569 . 2 0 ∈ ℤ
14 8nn0 12495 . . 3 8 ∈ ℕ0
1511, 14deccl 12692 . 2 68 ∈ ℕ0
16 3nn0 12490 . . . 4 3 ∈ ℕ0
172, 16deccl 12692 . . 3 13 ∈ ℕ0
1817, 11deccl 12692 . 2 136 ∈ ℕ0
195, 3deccl 12692 . . . 4 52 ∈ ℕ0
2019nn0zi 12587 . . 3 52 ∈ ℤ
213, 14nn0expcli 14054 . . 3 (2↑8) ∈ ℕ0
22 eqid 2733 . . 3 ((2↑8) mod 𝑁) = ((2↑8) mod 𝑁)
2314nn0cni 12484 . . . 4 8 ∈ ℂ
24 2cn 12287 . . . 4 2 ∈ ℂ
25 8t2e16 12792 . . . 4 (8 · 2) = 16
2623, 24, 25mulcomli 11223 . . 3 (2 · 8) = 16
27 9nn0 12496 . . . . 5 9 ∈ ℕ0
28 eqid 2733 . . . . 5 68 = 68
29 4nn0 12491 . . . . . 6 4 ∈ ℕ0
30 7nn0 12494 . . . . . 6 7 ∈ ℕ0
3129, 30deccl 12692 . . . . 5 47 ∈ ℕ0
32 eqid 2733 . . . . . 6 125 = 125
33 0nn0 12487 . . . . . . 7 0 ∈ ℕ0
3411dec0h 12699 . . . . . . 7 6 = 06
35 eqid 2733 . . . . . . 7 47 = 47
36 4cn 12297 . . . . . . . . . 10 4 ∈ ℂ
3736addlidi 11402 . . . . . . . . 9 (0 + 4) = 4
3837oveq1i 7419 . . . . . . . 8 ((0 + 4) + 1) = (4 + 1)
39 4p1e5 12358 . . . . . . . 8 (4 + 1) = 5
4038, 39eqtri 2761 . . . . . . 7 ((0 + 4) + 1) = 5
41 7cn 12306 . . . . . . . 8 7 ∈ ℂ
42 6cn 12303 . . . . . . . 8 6 ∈ ℂ
43 7p6e13 12755 . . . . . . . 8 (7 + 6) = 13
4441, 42, 43addcomli 11406 . . . . . . 7 (6 + 7) = 13
4533, 11, 29, 30, 34, 35, 40, 16, 44decaddc 12732 . . . . . 6 (6 + 47) = 53
463, 11deccl 12692 . . . . . 6 26 ∈ ℕ0
47 eqid 2733 . . . . . . 7 12 = 12
485dec0h 12699 . . . . . . . 8 5 = 05
49 eqid 2733 . . . . . . . 8 26 = 26
5024addlidi 11402 . . . . . . . . . 10 (0 + 2) = 2
5150oveq1i 7419 . . . . . . . . 9 ((0 + 2) + 1) = (2 + 1)
52 2p1e3 12354 . . . . . . . . 9 (2 + 1) = 3
5351, 52eqtri 2761 . . . . . . . 8 ((0 + 2) + 1) = 3
54 5cn 12300 . . . . . . . . 9 5 ∈ ℂ
55 6p5e11 12750 . . . . . . . . 9 (6 + 5) = 11
5642, 54, 55addcomli 11406 . . . . . . . 8 (5 + 6) = 11
5733, 5, 3, 11, 48, 49, 53, 2, 56decaddc 12732 . . . . . . 7 (5 + 26) = 31
58 10nn0 12695 . . . . . . 7 10 ∈ ℕ0
59 eqid 2733 . . . . . . . 8 52 = 52
6058nn0cni 12484 . . . . . . . . 9 10 ∈ ℂ
61 3cn 12293 . . . . . . . . 9 3 ∈ ℂ
62 dec10p 12720 . . . . . . . . 9 (10 + 3) = 13
6360, 61, 62addcomli 11406 . . . . . . . 8 (3 + 10) = 13
6454mulridi 11218 . . . . . . . . . 10 (5 · 1) = 5
65 1p0e1 12336 . . . . . . . . . 10 (1 + 0) = 1
6664, 65oveq12i 7421 . . . . . . . . 9 ((5 · 1) + (1 + 0)) = (5 + 1)
67 5p1e6 12359 . . . . . . . . 9 (5 + 1) = 6
6866, 67eqtri 2761 . . . . . . . 8 ((5 · 1) + (1 + 0)) = 6
6924mulridi 11218 . . . . . . . . . 10 (2 · 1) = 2
7069oveq1i 7419 . . . . . . . . 9 ((2 · 1) + 3) = (2 + 3)
71 3p2e5 12363 . . . . . . . . . 10 (3 + 2) = 5
7261, 24, 71addcomli 11406 . . . . . . . . 9 (2 + 3) = 5
7370, 72, 483eqtri 2765 . . . . . . . 8 ((2 · 1) + 3) = 05
745, 3, 2, 16, 59, 63, 2, 5, 33, 68, 73decmac 12729 . . . . . . 7 ((52 · 1) + (3 + 10)) = 65
752dec0h 12699 . . . . . . . 8 1 = 01
76 5t2e10 12777 . . . . . . . . . 10 (5 · 2) = 10
77 00id 11389 . . . . . . . . . 10 (0 + 0) = 0
7876, 77oveq12i 7421 . . . . . . . . 9 ((5 · 2) + (0 + 0)) = (10 + 0)
79 dec10p 12720 . . . . . . . . 9 (10 + 0) = 10
8078, 79eqtri 2761 . . . . . . . 8 ((5 · 2) + (0 + 0)) = 10
81 2t2e4 12376 . . . . . . . . . 10 (2 · 2) = 4
8281oveq1i 7419 . . . . . . . . 9 ((2 · 2) + 1) = (4 + 1)
8382, 39, 483eqtri 2765 . . . . . . . 8 ((2 · 2) + 1) = 05
845, 3, 33, 2, 59, 75, 3, 5, 33, 80, 83decmac 12729 . . . . . . 7 ((52 · 2) + 1) = 105
852, 3, 16, 2, 47, 57, 19, 5, 58, 74, 84decma2c 12730 . . . . . 6 ((52 · 12) + (5 + 26)) = 655
86 5t5e25 12780 . . . . . . . 8 (5 · 5) = 25
873, 5, 67, 86decsuc 12708 . . . . . . 7 ((5 · 5) + 1) = 26
8854, 24, 76mulcomli 11223 . . . . . . . 8 (2 · 5) = 10
8961addlidi 11402 . . . . . . . 8 (0 + 3) = 3
902, 33, 16, 88, 89decaddi 12737 . . . . . . 7 ((2 · 5) + 3) = 13
915, 3, 16, 59, 5, 16, 2, 87, 90decrmac 12735 . . . . . 6 ((52 · 5) + 3) = 263
924, 5, 5, 16, 32, 45, 19, 16, 46, 85, 91decma2c 12730 . . . . 5 ((52 · 125) + (6 + 47)) = 6553
93 9cn 12312 . . . . . . . 8 9 ∈ ℂ
94 9t5e45 12802 . . . . . . . 8 (9 · 5) = 45
9593, 54, 94mulcomli 11223 . . . . . . 7 (5 · 9) = 45
96 5p2e7 12368 . . . . . . 7 (5 + 2) = 7
9729, 5, 3, 95, 96decaddi 12737 . . . . . 6 ((5 · 9) + 2) = 47
98 9t2e18 12799 . . . . . . . 8 (9 · 2) = 18
9993, 24, 98mulcomli 11223 . . . . . . 7 (2 · 9) = 18
100 1p1e2 12337 . . . . . . 7 (1 + 1) = 2
101 8p8e16 12763 . . . . . . 7 (8 + 8) = 16
1022, 14, 14, 99, 100, 11, 101decaddci 12738 . . . . . 6 ((2 · 9) + 8) = 26
1035, 3, 14, 59, 27, 11, 3, 97, 102decrmac 12735 . . . . 5 ((52 · 9) + 8) = 476
1046, 27, 11, 14, 1, 28, 19, 11, 31, 92, 103decma2c 12730 . . . 4 ((52 · 𝑁) + 68) = 65536
105 2exp16 17024 . . . 4 (2↑16) = 65536
106 eqid 2733 . . . . 5 (2↑8) = (2↑8)
107 eqid 2733 . . . . 5 ((2↑8) · (2↑8)) = ((2↑8) · (2↑8))
1083, 14, 26, 106, 107numexp2x 17012 . . . 4 (2↑16) = ((2↑8) · (2↑8))
109104, 105, 1083eqtr2i 2767 . . 3 ((52 · 𝑁) + 68) = ((2↑8) · (2↑8))
1109, 10, 14, 20, 21, 15, 22, 26, 109mod2xi 17002 . 2 ((2↑16) mod 𝑁) = (68 mod 𝑁)
111 6p1e7 12360 . . 3 (6 + 1) = 7
112 eqid 2733 . . 3 16 = 16
1132, 11, 111, 112decsuc 12708 . 2 (16 + 1) = 17
11418nn0cni 12484 . . . 4 136 ∈ ℂ
115114addlidi 11402 . . 3 (0 + 136) = 136
1169nncni 12222 . . . . 5 𝑁 ∈ ℂ
117116mul02i 11403 . . . 4 (0 · 𝑁) = 0
118117oveq1i 7419 . . 3 ((0 · 𝑁) + 136) = (0 + 136)
119 6t2e12 12781 . . . . 5 (6 · 2) = 12
1202, 3, 52, 119decsuc 12708 . . . 4 ((6 · 2) + 1) = 13
1213, 11, 14, 28, 11, 2, 120, 25decmul1c 12742 . . 3 (68 · 2) = 136
122115, 118, 1213eqtr4i 2771 . 2 ((0 · 𝑁) + 136) = (68 · 2)
1239, 10, 12, 13, 15, 18, 110, 113, 122modxp1i 17003 1 ((2↑17) mod 𝑁) = (136 mod 𝑁)
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:   = wceq 1542  (class class class)co 7409  0cc0 11110  1c1 11111   + caddc 11113   · cmul 11115  cn 12212  2c2 12267  3c3 12268  4c4 12269  5c5 12270  6c6 12271  7c7 12272  8c8 12273  9c9 12274  cdc 12677   mod cmo 13834  cexp 14027
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1798  ax-4 1812  ax-5 1914  ax-6 1972  ax-7 2012  ax-8 2109  ax-9 2117  ax-10 2138  ax-11 2155  ax-12 2172  ax-ext 2704  ax-sep 5300  ax-nul 5307  ax-pow 5364  ax-pr 5428  ax-un 7725  ax-cnex 11166  ax-resscn 11167  ax-1cn 11168  ax-icn 11169  ax-addcl 11170  ax-addrcl 11171  ax-mulcl 11172  ax-mulrcl 11173  ax-mulcom 11174  ax-addass 11175  ax-mulass 11176  ax-distr 11177  ax-i2m1 11178  ax-1ne0 11179  ax-1rid 11180  ax-rnegex 11181  ax-rrecex 11182  ax-cnre 11183  ax-pre-lttri 11184  ax-pre-lttrn 11185  ax-pre-ltadd 11186  ax-pre-mulgt0 11187  ax-pre-sup 11188
This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 398  df-or 847  df-3or 1089  df-3an 1090  df-tru 1545  df-fal 1555  df-ex 1783  df-nf 1787  df-sb 2069  df-mo 2535  df-eu 2564  df-clab 2711  df-cleq 2725  df-clel 2811  df-nfc 2886  df-ne 2942  df-nel 3048  df-ral 3063  df-rex 3072  df-rmo 3377  df-reu 3378  df-rab 3434  df-v 3477  df-sbc 3779  df-csb 3895  df-dif 3952  df-un 3954  df-in 3956  df-ss 3966  df-pss 3968  df-nul 4324  df-if 4530  df-pw 4605  df-sn 4630  df-pr 4632  df-op 4636  df-uni 4910  df-iun 5000  df-br 5150  df-opab 5212  df-mpt 5233  df-tr 5267  df-id 5575  df-eprel 5581  df-po 5589  df-so 5590  df-fr 5632  df-we 5634  df-xp 5683  df-rel 5684  df-cnv 5685  df-co 5686  df-dm 5687  df-rn 5688  df-res 5689  df-ima 5690  df-pred 6301  df-ord 6368  df-on 6369  df-lim 6370  df-suc 6371  df-iota 6496  df-fun 6546  df-fn 6547  df-f 6548  df-f1 6549  df-fo 6550  df-f1o 6551  df-fv 6552  df-riota 7365  df-ov 7412  df-oprab 7413  df-mpo 7414  df-om 7856  df-2nd 7976  df-frecs 8266  df-wrecs 8297  df-recs 8371  df-rdg 8410  df-er 8703  df-en 8940  df-dom 8941  df-sdom 8942  df-sup 9437  df-inf 9438  df-pnf 11250  df-mnf 11251  df-xr 11252  df-ltxr 11253  df-le 11254  df-sub 11446  df-neg 11447  df-div 11872  df-nn 12213  df-2 12275  df-3 12276  df-4 12277  df-5 12278  df-6 12279  df-7 12280  df-8 12281  df-9 12282  df-n0 12473  df-z 12559  df-dec 12678  df-uz 12823  df-rp 12975  df-fl 13757  df-mod 13835  df-seq 13967  df-exp 14028
This theorem is referenced by:  1259lem2  17065  1259lem4  17067
  Copyright terms: Public domain W3C validator