MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  1259lem1 Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem 1259lem1 16236
Description: Lemma for 1259prm 16241. Calculate a power mod. In decimal, we calculate 2↑16 = 52𝑁 + 68≡68 and 2↑17≡68 · 2 = 136 in this lemma. (Contributed by Mario Carneiro, 22-Feb-2014.) (Revised by Mario Carneiro, 20-Apr-2015.) (Proof shortened by AV, 16-Sep-2021.)
Hypothesis
Ref Expression
1259prm.1 𝑁 = 1259
Assertion
Ref Expression
1259lem1 ((2↑17) mod 𝑁) = (136 mod 𝑁)

Proof of Theorem 1259lem1
StepHypRef Expression
1 1259prm.1 . . 3 𝑁 = 1259
2 1nn0 11660 . . . . . 6 1 ∈ ℕ0
3 2nn0 11661 . . . . . 6 2 ∈ ℕ0
42, 3deccl 11860 . . . . 5 12 ∈ ℕ0
5 5nn0 11664 . . . . 5 5 ∈ ℕ0
64, 5deccl 11860 . . . 4 125 ∈ ℕ0
7 9nn 11479 . . . 4 9 ∈ ℕ
86, 7decnncl 11866 . . 3 1259 ∈ ℕ
91, 8eqeltri 2855 . 2 𝑁 ∈ ℕ
10 2nn 11448 . 2 2 ∈ ℕ
11 6nn0 11665 . . 3 6 ∈ ℕ0
122, 11deccl 11860 . 2 16 ∈ ℕ0
13 0z 11739 . 2 0 ∈ ℤ
14 8nn0 11667 . . 3 8 ∈ ℕ0
1511, 14deccl 11860 . 2 68 ∈ ℕ0
16 3nn0 11662 . . . 4 3 ∈ ℕ0
172, 16deccl 11860 . . 3 13 ∈ ℕ0
1817, 11deccl 11860 . 2 136 ∈ ℕ0
195, 3deccl 11860 . . . 4 52 ∈ ℕ0
2019nn0zi 11754 . . 3 52 ∈ ℤ
213, 14nn0expcli 13204 . . 3 (2↑8) ∈ ℕ0
22 eqid 2778 . . 3 ((2↑8) mod 𝑁) = ((2↑8) mod 𝑁)
2314nn0cni 11655 . . . 4 8 ∈ ℂ
24 2cn 11450 . . . 4 2 ∈ ℂ
25 8t2e16 11962 . . . 4 (8 · 2) = 16
2623, 24, 25mulcomli 10386 . . 3 (2 · 8) = 16
27 9nn0 11668 . . . . 5 9 ∈ ℕ0
28 eqid 2778 . . . . 5 68 = 68
29 4nn0 11663 . . . . . 6 4 ∈ ℕ0
30 7nn0 11666 . . . . . 6 7 ∈ ℕ0
3129, 30deccl 11860 . . . . 5 47 ∈ ℕ0
32 eqid 2778 . . . . . 6 125 = 125
33 0nn0 11659 . . . . . . 7 0 ∈ ℕ0
3411dec0h 11868 . . . . . . 7 6 = 06
35 eqid 2778 . . . . . . 7 47 = 47
36 4cn 11461 . . . . . . . . . 10 4 ∈ ℂ
3736addid2i 10564 . . . . . . . . 9 (0 + 4) = 4
3837oveq1i 6932 . . . . . . . 8 ((0 + 4) + 1) = (4 + 1)
39 4p1e5 11528 . . . . . . . 8 (4 + 1) = 5
4038, 39eqtri 2802 . . . . . . 7 ((0 + 4) + 1) = 5
41 7cn 11473 . . . . . . . 8 7 ∈ ℂ
42 6cn 11469 . . . . . . . 8 6 ∈ ℂ
43 7p6e13 11925 . . . . . . . 8 (7 + 6) = 13
4441, 42, 43addcomli 10568 . . . . . . 7 (6 + 7) = 13
4533, 11, 29, 30, 34, 35, 40, 16, 44decaddc 11901 . . . . . 6 (6 + 47) = 53
463, 11deccl 11860 . . . . . 6 26 ∈ ℕ0
47 eqid 2778 . . . . . . 7 12 = 12
485dec0h 11868 . . . . . . . 8 5 = 05
49 eqid 2778 . . . . . . . 8 26 = 26
5024addid2i 10564 . . . . . . . . . 10 (0 + 2) = 2
5150oveq1i 6932 . . . . . . . . 9 ((0 + 2) + 1) = (2 + 1)
52 2p1e3 11524 . . . . . . . . 9 (2 + 1) = 3
5351, 52eqtri 2802 . . . . . . . 8 ((0 + 2) + 1) = 3
54 5cn 11465 . . . . . . . . 9 5 ∈ ℂ
55 6p5e11 11920 . . . . . . . . 9 (6 + 5) = 11
5642, 54, 55addcomli 10568 . . . . . . . 8 (5 + 6) = 11
5733, 5, 3, 11, 48, 49, 53, 2, 56decaddc 11901 . . . . . . 7 (5 + 26) = 31
58 10nn0 11863 . . . . . . 7 10 ∈ ℕ0
59 eqid 2778 . . . . . . . 8 52 = 52
6058nn0cni 11655 . . . . . . . . 9 10 ∈ ℂ
61 3cn 11456 . . . . . . . . 9 3 ∈ ℂ
62 dec10p 11889 . . . . . . . . 9 (10 + 3) = 13
6360, 61, 62addcomli 10568 . . . . . . . 8 (3 + 10) = 13
6454mulid1i 10381 . . . . . . . . . 10 (5 · 1) = 5
65 1p0e1 11506 . . . . . . . . . 10 (1 + 0) = 1
6664, 65oveq12i 6934 . . . . . . . . 9 ((5 · 1) + (1 + 0)) = (5 + 1)
67 5p1e6 11529 . . . . . . . . 9 (5 + 1) = 6
6866, 67eqtri 2802 . . . . . . . 8 ((5 · 1) + (1 + 0)) = 6
6924mulid1i 10381 . . . . . . . . . 10 (2 · 1) = 2
7069oveq1i 6932 . . . . . . . . 9 ((2 · 1) + 3) = (2 + 3)
71 3p2e5 11533 . . . . . . . . . 10 (3 + 2) = 5
7261, 24, 71addcomli 10568 . . . . . . . . 9 (2 + 3) = 5
7370, 72, 483eqtri 2806 . . . . . . . 8 ((2 · 1) + 3) = 05
745, 3, 2, 16, 59, 63, 2, 5, 33, 68, 73decmac 11898 . . . . . . 7 ((52 · 1) + (3 + 10)) = 65
752dec0h 11868 . . . . . . . 8 1 = 01
76 5t2e10 11947 . . . . . . . . . 10 (5 · 2) = 10
77 00id 10551 . . . . . . . . . 10 (0 + 0) = 0
7876, 77oveq12i 6934 . . . . . . . . 9 ((5 · 2) + (0 + 0)) = (10 + 0)
79 dec10p 11889 . . . . . . . . 9 (10 + 0) = 10
8078, 79eqtri 2802 . . . . . . . 8 ((5 · 2) + (0 + 0)) = 10
81 2t2e4 11546 . . . . . . . . . 10 (2 · 2) = 4
8281oveq1i 6932 . . . . . . . . 9 ((2 · 2) + 1) = (4 + 1)
8382, 39, 483eqtri 2806 . . . . . . . 8 ((2 · 2) + 1) = 05
845, 3, 33, 2, 59, 75, 3, 5, 33, 80, 83decmac 11898 . . . . . . 7 ((52 · 2) + 1) = 105
852, 3, 16, 2, 47, 57, 19, 5, 58, 74, 84decma2c 11899 . . . . . 6 ((52 · 12) + (5 + 26)) = 655
86 5t5e25 11950 . . . . . . . 8 (5 · 5) = 25
873, 5, 67, 86decsuc 11877 . . . . . . 7 ((5 · 5) + 1) = 26
8854, 24, 76mulcomli 10386 . . . . . . . 8 (2 · 5) = 10
8961addid2i 10564 . . . . . . . 8 (0 + 3) = 3
902, 33, 16, 88, 89decaddi 11906 . . . . . . 7 ((2 · 5) + 3) = 13
915, 3, 16, 59, 5, 16, 2, 87, 90decrmac 11904 . . . . . 6 ((52 · 5) + 3) = 263
924, 5, 5, 16, 32, 45, 19, 16, 46, 85, 91decma2c 11899 . . . . 5 ((52 · 125) + (6 + 47)) = 6553
93 9cn 11481 . . . . . . . 8 9 ∈ ℂ
94 9t5e45 11972 . . . . . . . 8 (9 · 5) = 45
9593, 54, 94mulcomli 10386 . . . . . . 7 (5 · 9) = 45
96 5p2e7 11538 . . . . . . 7 (5 + 2) = 7
9729, 5, 3, 95, 96decaddi 11906 . . . . . 6 ((5 · 9) + 2) = 47
98 9t2e18 11969 . . . . . . . 8 (9 · 2) = 18
9993, 24, 98mulcomli 10386 . . . . . . 7 (2 · 9) = 18
100 1p1e2 11507 . . . . . . 7 (1 + 1) = 2
101 8p8e16 11933 . . . . . . 7 (8 + 8) = 16
1022, 14, 14, 99, 100, 11, 101decaddci 11907 . . . . . 6 ((2 · 9) + 8) = 26
1035, 3, 14, 59, 27, 11, 3, 97, 102decrmac 11904 . . . . 5 ((52 · 9) + 8) = 476
1046, 27, 11, 14, 1, 28, 19, 11, 31, 92, 103decma2c 11899 . . . 4 ((52 · 𝑁) + 68) = 65536
105 2exp16 16196 . . . 4 (2↑16) = 65536
106 eqid 2778 . . . . 5 (2↑8) = (2↑8)
107 eqid 2778 . . . . 5 ((2↑8) · (2↑8)) = ((2↑8) · (2↑8))
1083, 14, 26, 106, 107numexp2x 16187 . . . 4 (2↑16) = ((2↑8) · (2↑8))
109104, 105, 1083eqtr2i 2808 . . 3 ((52 · 𝑁) + 68) = ((2↑8) · (2↑8))
1109, 10, 14, 20, 21, 15, 22, 26, 109mod2xi 16177 . 2 ((2↑16) mod 𝑁) = (68 mod 𝑁)
111 6p1e7 11530 . . 3 (6 + 1) = 7
112 eqid 2778 . . 3 16 = 16
1132, 11, 111, 112decsuc 11877 . 2 (16 + 1) = 17
11418nn0cni 11655 . . . 4 136 ∈ ℂ
115114addid2i 10564 . . 3 (0 + 136) = 136
1169nncni 11385 . . . . 5 𝑁 ∈ ℂ
117116mul02i 10565 . . . 4 (0 · 𝑁) = 0
118117oveq1i 6932 . . 3 ((0 · 𝑁) + 136) = (0 + 136)
119 6t2e12 11951 . . . . 5 (6 · 2) = 12
1202, 3, 52, 119decsuc 11877 . . . 4 ((6 · 2) + 1) = 13
1213, 11, 14, 28, 11, 2, 120, 25decmul1c 11912 . . 3 (68 · 2) = 136
122115, 118, 1213eqtr4i 2812 . 2 ((0 · 𝑁) + 136) = (68 · 2)
1239, 10, 12, 13, 15, 18, 110, 113, 122modxp1i 16178 1 ((2↑17) mod 𝑁) = (136 mod 𝑁)
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:   = wceq 1601  (class class class)co 6922  0cc0 10272  1c1 10273   + caddc 10275   · cmul 10277  cn 11374  2c2 11430  3c3 11431  4c4 11432  5c5 11433  6c6 11434  7c7 11435  8c8 11436  9c9 11437  cdc 11845   mod cmo 12987  cexp 13178
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1839  ax-4 1853  ax-5 1953  ax-6 2021  ax-7 2055  ax-8 2109  ax-9 2116  ax-10 2135  ax-11 2150  ax-12 2163  ax-13 2334  ax-ext 2754  ax-sep 5017  ax-nul 5025  ax-pow 5077  ax-pr 5138  ax-un 7226  ax-cnex 10328  ax-resscn 10329  ax-1cn 10330  ax-icn 10331  ax-addcl 10332  ax-addrcl 10333  ax-mulcl 10334  ax-mulrcl 10335  ax-mulcom 10336  ax-addass 10337  ax-mulass 10338  ax-distr 10339  ax-i2m1 10340  ax-1ne0 10341  ax-1rid 10342  ax-rnegex 10343  ax-rrecex 10344  ax-cnre 10345  ax-pre-lttri 10346  ax-pre-lttrn 10347  ax-pre-ltadd 10348  ax-pre-mulgt0 10349  ax-pre-sup 10350
This theorem depends on definitions:  df-bi 199  df-an 387  df-or 837  df-3or 1072  df-3an 1073  df-tru 1605  df-ex 1824  df-nf 1828  df-sb 2012  df-mo 2551  df-eu 2587  df-clab 2764  df-cleq 2770  df-clel 2774  df-nfc 2921  df-ne 2970  df-nel 3076  df-ral 3095  df-rex 3096  df-reu 3097  df-rmo 3098  df-rab 3099  df-v 3400  df-sbc 3653  df-csb 3752  df-dif 3795  df-un 3797  df-in 3799  df-ss 3806  df-pss 3808  df-nul 4142  df-if 4308  df-pw 4381  df-sn 4399  df-pr 4401  df-tp 4403  df-op 4405  df-uni 4672  df-iun 4755  df-br 4887  df-opab 4949  df-mpt 4966  df-tr 4988  df-id 5261  df-eprel 5266  df-po 5274  df-so 5275  df-fr 5314  df-we 5316  df-xp 5361  df-rel 5362  df-cnv 5363  df-co 5364  df-dm 5365  df-rn 5366  df-res 5367  df-ima 5368  df-pred 5933  df-ord 5979  df-on 5980  df-lim 5981  df-suc 5982  df-iota 6099  df-fun 6137  df-fn 6138  df-f 6139  df-f1 6140  df-fo 6141  df-f1o 6142  df-fv 6143  df-riota 6883  df-ov 6925  df-oprab 6926  df-mpt2 6927  df-om 7344  df-2nd 7446  df-wrecs 7689  df-recs 7751  df-rdg 7789  df-er 8026  df-en 8242  df-dom 8243  df-sdom 8244  df-sup 8636  df-inf 8637  df-pnf 10413  df-mnf 10414  df-xr 10415  df-ltxr 10416  df-le 10417  df-sub 10608  df-neg 10609  df-div 11033  df-nn 11375  df-2 11438  df-3 11439  df-4 11440  df-5 11441  df-6 11442  df-7 11443  df-8 11444  df-9 11445  df-n0 11643  df-z 11729  df-dec 11846  df-uz 11993  df-rp 12138  df-fl 12912  df-mod 12988  df-seq 13120  df-exp 13179
This theorem is referenced by:  1259lem2  16237  1259lem4  16239
  Copyright terms: Public domain W3C validator