Theorem 1259lem1 16843

Description: Lemma for 1259prm 16848. Calculate a power mod. In decimal, we calculate 2↑16 = 52𝑁 + 68≡68 and 2↑17≡68 · 2 = 136 in this lemma. (Contributed by Mario Carneiro, 22-Feb-2014.) (Revised by Mario Carneiro, 20-Apr-2015.) (Proof shortened by AV, 16-Sep-2021.)

Hypothesis

Ref	Expression
1259prm.1	⊢ 𝑁 = ;;;1259

Assertion

Ref	Expression
1259lem1	⊢ ((2↑;17) mod 𝑁) = (;;136 mod 𝑁)

Proof of Theorem 1259lem1

Step	Hyp	Ref	Expression
1		1259prm.1	. . 3 ⊢ 𝑁 = ;;;1259
2		1nn0 12260	. . . . . 6 ⊢ 1 ∈ ℕ0
3		2nn0 12261	. . . . . 6 ⊢ 2 ∈ ℕ0
4	2, 3	deccl 12463	. . . . 5 ⊢ ;12 ∈ ℕ0
5		5nn0 12264	. . . . 5 ⊢ 5 ∈ ℕ0
6	4, 5	deccl 12463	. . . 4 ⊢ ;;125 ∈ ℕ0
7		9nn 12082	. . . 4 ⊢ 9 ∈ ℕ
8	6, 7	decnncl 12468	. . 3 ⊢ ;;;1259 ∈ ℕ
9	1, 8	eqeltri 2837	. 2 ⊢ 𝑁 ∈ ℕ
10		2nn 12057	. 2 ⊢ 2 ∈ ℕ
11		6nn0 12265	. . 3 ⊢ 6 ∈ ℕ0
12	2, 11	deccl 12463	. 2 ⊢ ;16 ∈ ℕ0
13		0z 12341	. 2 ⊢ 0 ∈ ℤ
14		8nn0 12267	. . 3 ⊢ 8 ∈ ℕ0
15	11, 14	deccl 12463	. 2 ⊢ ;68 ∈ ℕ0
16		3nn0 12262	. . . 4 ⊢ 3 ∈ ℕ0
17	2, 16	deccl 12463	. . 3 ⊢ ;13 ∈ ℕ0
18	17, 11	deccl 12463	. 2 ⊢ ;;136 ∈ ℕ0
19	5, 3	deccl 12463	. . . 4 ⊢ ;52 ∈ ℕ0
20	19	nn0zi 12356	. . 3 ⊢ ;52 ∈ ℤ
21	3, 14	nn0expcli 13820	. . 3 ⊢ (2↑8) ∈ ℕ0
22		eqid 2740	. . 3 ⊢ ((2↑8) mod 𝑁) = ((2↑8) mod 𝑁)
23	14	nn0cni 12256	. . . 4 ⊢ 8 ∈ ℂ
24		2cn 12059	. . . 4 ⊢ 2 ∈ ℂ
25		8t2e16 12563	. . . 4 ⊢ (8 · 2) = ;16
26	23, 24, 25	mulcomli 10995	. . 3 ⊢ (2 · 8) = ;16
27		9nn0 12268	. . . . 5 ⊢ 9 ∈ ℕ0
28		eqid 2740	. . . . 5 ⊢ ;68 = ;68
29		4nn0 12263	. . . . . 6 ⊢ 4 ∈ ℕ0
30		7nn0 12266	. . . . . 6 ⊢ 7 ∈ ℕ0
31	29, 30	deccl 12463	. . . . 5 ⊢ ;47 ∈ ℕ0
32		eqid 2740	. . . . . 6 ⊢ ;;125 = ;;125
33		0nn0 12259	. . . . . . 7 ⊢ 0 ∈ ℕ0
34	11	dec0h 12470	. . . . . . 7 ⊢ 6 = ;06
35		eqid 2740	. . . . . . 7 ⊢ ;47 = ;47
36		4cn 12069	. . . . . . . . . 10 ⊢ 4 ∈ ℂ
37	36	addid2i 11174	. . . . . . . . 9 ⊢ (0 + 4) = 4
38	37	oveq1i 7282	. . . . . . . 8 ⊢ ((0 + 4) + 1) = (4 + 1)
39		4p1e5 12130	. . . . . . . 8 ⊢ (4 + 1) = 5
40	38, 39	eqtri 2768	. . . . . . 7 ⊢ ((0 + 4) + 1) = 5
41		7cn 12078	. . . . . . . 8 ⊢ 7 ∈ ℂ
42		6cn 12075	. . . . . . . 8 ⊢ 6 ∈ ℂ
43		7p6e13 12526	. . . . . . . 8 ⊢ (7 + 6) = ;13
44	41, 42, 43	addcomli 11178	. . . . . . 7 ⊢ (6 + 7) = ;13
45	33, 11, 29, 30, 34, 35, 40, 16, 44	decaddc 12503	. . . . . 6 ⊢ (6 + ;47) = ;53
46	3, 11	deccl 12463	. . . . . 6 ⊢ ;26 ∈ ℕ0
47		eqid 2740	. . . . . . 7 ⊢ ;12 = ;12
48	5	dec0h 12470	. . . . . . . 8 ⊢ 5 = ;05
49		eqid 2740	. . . . . . . 8 ⊢ ;26 = ;26
50	24	addid2i 11174	. . . . . . . . . 10 ⊢ (0 + 2) = 2
51	50	oveq1i 7282	. . . . . . . . 9 ⊢ ((0 + 2) + 1) = (2 + 1)
52		2p1e3 12126	. . . . . . . . 9 ⊢ (2 + 1) = 3
53	51, 52	eqtri 2768	. . . . . . . 8 ⊢ ((0 + 2) + 1) = 3
54		5cn 12072	. . . . . . . . 9 ⊢ 5 ∈ ℂ
55		6p5e11 12521	. . . . . . . . 9 ⊢ (6 + 5) = ;11
56	42, 54, 55	addcomli 11178	. . . . . . . 8 ⊢ (5 + 6) = ;11
57	33, 5, 3, 11, 48, 49, 53, 2, 56	decaddc 12503	. . . . . . 7 ⊢ (5 + ;26) = ;31
58		10nn0 12466	. . . . . . 7 ⊢ ;10 ∈ ℕ0
59		eqid 2740	. . . . . . . 8 ⊢ ;52 = ;52
60	58	nn0cni 12256	. . . . . . . . 9 ⊢ ;10 ∈ ℂ
61		3cn 12065	. . . . . . . . 9 ⊢ 3 ∈ ℂ
62		dec10p 12491	. . . . . . . . 9 ⊢ (;10 + 3) = ;13
63	60, 61, 62	addcomli 11178	. . . . . . . 8 ⊢ (3 + ;10) = ;13
64	54	mulid1i 10990	. . . . . . . . . 10 ⊢ (5 · 1) = 5
65		1p0e1 12108	. . . . . . . . . 10 ⊢ (1 + 0) = 1
66	64, 65	oveq12i 7284	. . . . . . . . 9 ⊢ ((5 · 1) + (1 + 0)) = (5 + 1)
67		5p1e6 12131	. . . . . . . . 9 ⊢ (5 + 1) = 6
68	66, 67	eqtri 2768	. . . . . . . 8 ⊢ ((5 · 1) + (1 + 0)) = 6
69	24	mulid1i 10990	. . . . . . . . . 10 ⊢ (2 · 1) = 2
70	69	oveq1i 7282	. . . . . . . . 9 ⊢ ((2 · 1) + 3) = (2 + 3)
71		3p2e5 12135	. . . . . . . . . 10 ⊢ (3 + 2) = 5
72	61, 24, 71	addcomli 11178	. . . . . . . . 9 ⊢ (2 + 3) = 5
73	70, 72, 48	3eqtri 2772	. . . . . . . 8 ⊢ ((2 · 1) + 3) = ;05
74	5, 3, 2, 16, 59, 63, 2, 5, 33, 68, 73	decmac 12500	. . . . . . 7 ⊢ ((;52 · 1) + (3 + ;10)) = ;65
75	2	dec0h 12470	. . . . . . . 8 ⊢ 1 = ;01
76		5t2e10 12548	. . . . . . . . . 10 ⊢ (5 · 2) = ;10
77		00id 11161	. . . . . . . . . 10 ⊢ (0 + 0) = 0
78	76, 77	oveq12i 7284	. . . . . . . . 9 ⊢ ((5 · 2) + (0 + 0)) = (;10 + 0)
79		dec10p 12491	. . . . . . . . 9 ⊢ (;10 + 0) = ;10
80	78, 79	eqtri 2768	. . . . . . . 8 ⊢ ((5 · 2) + (0 + 0)) = ;10
81		2t2e4 12148	. . . . . . . . . 10 ⊢ (2 · 2) = 4
82	81	oveq1i 7282	. . . . . . . . 9 ⊢ ((2 · 2) + 1) = (4 + 1)
83	82, 39, 48	3eqtri 2772	. . . . . . . 8 ⊢ ((2 · 2) + 1) = ;05
84	5, 3, 33, 2, 59, 75, 3, 5, 33, 80, 83	decmac 12500	. . . . . . 7 ⊢ ((;52 · 2) + 1) = ;;105
85	2, 3, 16, 2, 47, 57, 19, 5, 58, 74, 84	decma2c 12501	. . . . . 6 ⊢ ((;52 · ;12) + (5 + ;26)) = ;;655
86		5t5e25 12551	. . . . . . . 8 ⊢ (5 · 5) = ;25
87	3, 5, 67, 86	decsuc 12479	. . . . . . 7 ⊢ ((5 · 5) + 1) = ;26
88	54, 24, 76	mulcomli 10995	. . . . . . . 8 ⊢ (2 · 5) = ;10
89	61	addid2i 11174	. . . . . . . 8 ⊢ (0 + 3) = 3
90	2, 33, 16, 88, 89	decaddi 12508	. . . . . . 7 ⊢ ((2 · 5) + 3) = ;13
91	5, 3, 16, 59, 5, 16, 2, 87, 90	decrmac 12506	. . . . . 6 ⊢ ((;52 · 5) + 3) = ;;263
92	4, 5, 5, 16, 32, 45, 19, 16, 46, 85, 91	decma2c 12501	. . . . 5 ⊢ ((;52 · ;;125) + (6 + ;47)) = ;;;6553
93		9cn 12084	. . . . . . . 8 ⊢ 9 ∈ ℂ
94		9t5e45 12573	. . . . . . . 8 ⊢ (9 · 5) = ;45
95	93, 54, 94	mulcomli 10995	. . . . . . 7 ⊢ (5 · 9) = ;45
96		5p2e7 12140	. . . . . . 7 ⊢ (5 + 2) = 7
97	29, 5, 3, 95, 96	decaddi 12508	. . . . . 6 ⊢ ((5 · 9) + 2) = ;47
98		9t2e18 12570	. . . . . . . 8 ⊢ (9 · 2) = ;18
99	93, 24, 98	mulcomli 10995	. . . . . . 7 ⊢ (2 · 9) = ;18
100		1p1e2 12109	. . . . . . 7 ⊢ (1 + 1) = 2
101		8p8e16 12534	. . . . . . 7 ⊢ (8 + 8) = ;16
102	2, 14, 14, 99, 100, 11, 101	decaddci 12509	. . . . . 6 ⊢ ((2 · 9) + 8) = ;26
103	5, 3, 14, 59, 27, 11, 3, 97, 102	decrmac 12506	. . . . 5 ⊢ ((;52 · 9) + 8) = ;;476
104	6, 27, 11, 14, 1, 28, 19, 11, 31, 92, 103	decma2c 12501	. . . 4 ⊢ ((;52 · 𝑁) + ;68) = ;;;;65536
105		2exp16 16803	. . . 4 ⊢ (2↑;16) = ;;;;65536
106		eqid 2740	. . . . 5 ⊢ (2↑8) = (2↑8)
107		eqid 2740	. . . . 5 ⊢ ((2↑8) · (2↑8)) = ((2↑8) · (2↑8))
108	3, 14, 26, 106, 107	numexp2x 16791	. . . 4 ⊢ (2↑;16) = ((2↑8) · (2↑8))
109	104, 105, 108	3eqtr2i 2774	. . 3 ⊢ ((;52 · 𝑁) + ;68) = ((2↑8) · (2↑8))
110	9, 10, 14, 20, 21, 15, 22, 26, 109	mod2xi 16781	. 2 ⊢ ((2↑;16) mod 𝑁) = (;68 mod 𝑁)
111		6p1e7 12132	. . 3 ⊢ (6 + 1) = 7
112		eqid 2740	. . 3 ⊢ ;16 = ;16
113	2, 11, 111, 112	decsuc 12479	. 2 ⊢ (;16 + 1) = ;17
114	18	nn0cni 12256	. . . 4 ⊢ ;;136 ∈ ℂ
115	114	addid2i 11174	. . 3 ⊢ (0 + ;;136) = ;;136
116	9	nncni 11994	. . . . 5 ⊢ 𝑁 ∈ ℂ
117	116	mul02i 11175	. . . 4 ⊢ (0 · 𝑁) = 0
118	117	oveq1i 7282	. . 3 ⊢ ((0 · 𝑁) + ;;136) = (0 + ;;136)
119		6t2e12 12552	. . . . 5 ⊢ (6 · 2) = ;12
120	2, 3, 52, 119	decsuc 12479	. . . 4 ⊢ ((6 · 2) + 1) = ;13
121	3, 11, 14, 28, 11, 2, 120, 25	decmul1c 12513	. . 3 ⊢ (;68 · 2) = ;;136
122	115, 118, 121	3eqtr4i 2778	. 2 ⊢ ((0 · 𝑁) + ;;136) = (;68 · 2)
123	9, 10, 12, 13, 15, 18, 110, 113, 122	modxp1i 16782	1 ⊢ ((2↑;17) mod 𝑁) = (;;136 mod 𝑁)

Syntax hints:   = wceq 1542  (class class class)co 7272  0cc0 10882  1c1 10883   + caddc 10885   · cmul 10887  ℕcn 11984  2c2 12039  3c3 12040  4c4 12041  5c5 12042  6c6 12043  7c7 12044  8c8 12045  9c9 12046  ;cdc 12448   mod cmo 13600  ↑cexp 13793

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1802  ax-4 1816  ax-5 1917  ax-6 1975  ax-7 2015  ax-8 2112  ax-9 2120  ax-10 2141  ax-11 2158  ax-12 2175  ax-ext 2711  ax-sep 5227  ax-nul 5234  ax-pow 5292  ax-pr 5356  ax-un 7583  ax-cnex 10938  ax-resscn 10939  ax-1cn 10940  ax-icn 10941  ax-addcl 10942  ax-addrcl 10943  ax-mulcl 10944  ax-mulrcl 10945  ax-mulcom 10946  ax-addass 10947  ax-mulass 10948  ax-distr 10949  ax-i2m1 10950  ax-1ne0 10951  ax-1rid 10952  ax-rnegex 10953  ax-rrecex 10954  ax-cnre 10955  ax-pre-lttri 10956  ax-pre-lttrn 10957  ax-pre-ltadd 10958  ax-pre-mulgt0 10959  ax-pre-sup 10960

This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 397  df-or 845  df-3or 1087  df-3an 1088  df-tru 1545  df-fal 1555  df-ex 1787  df-nf 1791  df-sb 2072  df-mo 2542  df-eu 2571  df-clab 2718  df-cleq 2732  df-clel 2818  df-nfc 2891  df-ne 2946  df-nel 3052  df-ral 3071  df-rex 3072  df-reu 3073  df-rmo 3074  df-rab 3075  df-v 3433  df-sbc 3721  df-csb 3838  df-dif 3895  df-un 3897  df-in 3899  df-ss 3909  df-pss 3911  df-nul 4263  df-if 4466  df-pw 4541  df-sn 4568  df-pr 4570  df-op 4574  df-uni 4846  df-iun 4932  df-br 5080  df-opab 5142  df-mpt 5163  df-tr 5197  df-id 5490  df-eprel 5496  df-po 5504  df-so 5505  df-fr 5545  df-we 5547  df-xp 5596  df-rel 5597  df-cnv 5598  df-co 5599  df-dm 5600  df-rn 5601  df-res 5602  df-ima 5603  df-pred 6201  df-ord 6268  df-on 6269  df-lim 6270  df-suc 6271  df-iota 6390  df-fun 6434  df-fn 6435  df-f 6436  df-f1 6437  df-fo 6438  df-f1o 6439  df-fv 6440  df-riota 7229  df-ov 7275  df-oprab 7276  df-mpo 7277  df-om 7708  df-2nd 7826  df-frecs 8089  df-wrecs 8120  df-recs 8194  df-rdg 8233  df-er 8490  df-en 8726  df-dom 8727  df-sdom 8728  df-sup 9189  df-inf 9190  df-pnf 11022  df-mnf 11023  df-xr 11024  df-ltxr 11025  df-le 11026  df-sub 11218  df-neg 11219  df-div 11644  df-nn 11985  df-2 12047  df-3 12048  df-4 12049  df-5 12050  df-6 12051  df-7 12052  df-8 12053  df-9 12054  df-n0 12245  df-z 12331  df-dec 12449  df-uz 12594  df-rp 12742  df-fl 13523  df-mod 13601  df-seq 13733  df-exp 13794

This theorem is referenced by:  1259lem2  16844  1259lem4  16846