Theorem 1259lem1 17321

Description: Lemma for 1259prm 17326. Calculate a power mod. In decimal, we calculate 2↑16 = 52𝑁 + 68≡68 and 2↑17≡68 · 2 = 136 in this lemma. (Contributed by Mario Carneiro, 22-Feb-2014.) (Revised by Mario Carneiro, 20-Apr-2015.) (Proof shortened by AV, 16-Sep-2021.)

Hypothesis

Ref	Expression
1259prm.1	⊢ 𝑁 = ;;;1259

Assertion

Ref	Expression
1259lem1	⊢ ((2↑;17) mod 𝑁) = (;;136 mod 𝑁)

Proof of Theorem 1259lem1

Step	Hyp	Ref	Expression
1		1259prm.1	. . 3 ⊢ 𝑁 = ;;;1259
2		1nn0 12632	. . . . . 6 ⊢ 1 ∈ ℕ0
3		2nn0 12633	. . . . . 6 ⊢ 2 ∈ ℕ0
4	2, 3	deccl 12839	. . . . 5 ⊢ ;12 ∈ ℕ0
5		5nn0 12636	. . . . 5 ⊢ 5 ∈ ℕ0
6	4, 5	deccl 12839	. . . 4 ⊢ ;;125 ∈ ℕ0
7		9nn 12451	. . . 4 ⊢ 9 ∈ ℕ
8	6, 7	decnncl 12848	. . 3 ⊢ ;;;1259 ∈ ℕ
9	1, 8	eqeltri 2859	. 2 ⊢ 𝑁 ∈ ℕ
10		2nn 12426	. 2 ⊢ 2 ∈ ℕ
11		6nn0 12637	. . 3 ⊢ 6 ∈ ℕ0
12	2, 11	deccl 12839	. 2 ⊢ ;16 ∈ ℕ0
13		0z 12714	. 2 ⊢ 0 ∈ ℤ
14		8nn0 12639	. . 3 ⊢ 8 ∈ ℕ0
15	11, 14	deccl 12839	. 2 ⊢ ;68 ∈ ℕ0
16		3nn0 12634	. . . 4 ⊢ 3 ∈ ℕ0
17	2, 16	deccl 12839	. . 3 ⊢ ;13 ∈ ℕ0
18	17, 11	deccl 12839	. 2 ⊢ ;;136 ∈ ℕ0
19	5, 3	deccl 12839	. . . 4 ⊢ ;52 ∈ ℕ0
20	19	nn0zi 12731	. . 3 ⊢ ;52 ∈ ℤ
21	3, 14	nn0expcli 14241	. . 3 ⊢ (2↑8) ∈ ℕ0
22		eqid 2763	. . 3 ⊢ ((2↑8) mod 𝑁) = ((2↑8) mod 𝑁)
23	14	nn0cni 12628	. . . 4 ⊢ 8 ∈ ℂ
24		2cn 12428	. . . 4 ⊢ 2 ∈ ℂ
25		8t2e16 12944	. . . 4 ⊢ (8 · 2) = ;16
26	23, 24, 25	mulcomli 11328	. . 3 ⊢ (2 · 8) = ;16
27		9nn0 12640	. . . . 5 ⊢ 9 ∈ ℕ0
28		eqid 2763	. . . . 5 ⊢ ;68 = ;68
29		4nn0 12635	. . . . . 6 ⊢ 4 ∈ ℕ0
30		7nn0 12638	. . . . . 6 ⊢ 7 ∈ ℕ0
31	29, 30	deccl 12839	. . . . 5 ⊢ ;47 ∈ ℕ0
32		eqid 2763	. . . . . 6 ⊢ ;;125 = ;;125
33		0nn0 12631	. . . . . . 7 ⊢ 0 ∈ ℕ0
34	11	dec0h 12851	. . . . . . 7 ⊢ 6 = ;06
35		eqid 2763	. . . . . . 7 ⊢ ;47 = ;47
36		4cn 12438	. . . . . . . . . 10 ⊢ 4 ∈ ℂ
37	36	addlidi 11508	. . . . . . . . 9 ⊢ (0 + 4) = 4
38	37	oveq1i 7437	. . . . . . . 8 ⊢ ((0 + 4) + 1) = (4 + 1)
39		4p1e5 12498	. . . . . . . 8 ⊢ (4 + 1) = 5
40	38, 39	eqtri 2786	. . . . . . 7 ⊢ ((0 + 4) + 1) = 5
41		7cn 12447	. . . . . . . 8 ⊢ 7 ∈ ℂ
42		6cn 12444	. . . . . . . 8 ⊢ 6 ∈ ℂ
43		7p6e13 12907	. . . . . . . 8 ⊢ (7 + 6) = ;13
44	41, 42, 43	addcomli 11512	. . . . . . 7 ⊢ (6 + 7) = ;13
45	33, 11, 29, 30, 34, 35, 40, 16, 44	decaddc 12884	. . . . . 6 ⊢ (6 + ;47) = ;53
46	3, 11	deccl 12839	. . . . . 6 ⊢ ;26 ∈ ℕ0
47		eqid 2763	. . . . . . 7 ⊢ ;12 = ;12
48	5	dec0h 12851	. . . . . . . 8 ⊢ 5 = ;05
49		eqid 2763	. . . . . . . 8 ⊢ ;26 = ;26
50	24	addlidi 11508	. . . . . . . . . 10 ⊢ (0 + 2) = 2
51	50	oveq1i 7437	. . . . . . . . 9 ⊢ ((0 + 2) + 1) = (2 + 1)
52		2p1e3 12494	. . . . . . . . 9 ⊢ (2 + 1) = 3
53	51, 52	eqtri 2786	. . . . . . . 8 ⊢ ((0 + 2) + 1) = 3
54		5cn 12441	. . . . . . . . 9 ⊢ 5 ∈ ℂ
55		6p5e11 12902	. . . . . . . . 9 ⊢ (6 + 5) = ;11
56	42, 54, 55	addcomli 11512	. . . . . . . 8 ⊢ (5 + 6) = ;11
57	33, 5, 3, 11, 48, 49, 53, 2, 56	decaddc 12884	. . . . . . 7 ⊢ (5 + ;26) = ;31
58		10nn0 12846	. . . . . . 7 ⊢ ;10 ∈ ℕ0
59		eqid 2763	. . . . . . . 8 ⊢ ;52 = ;52
60	58	nn0cni 12628	. . . . . . . . 9 ⊢ ;10 ∈ ℂ
61		3cn 12434	. . . . . . . . 9 ⊢ 3 ∈ ℂ
62		dec10p 12872	. . . . . . . . 9 ⊢ (;10 + 3) = ;13
63	60, 61, 62	addcomli 11512	. . . . . . . 8 ⊢ (3 + ;10) = ;13
64	54	mulridi 11323	. . . . . . . . . 10 ⊢ (5 · 1) = 5
65		1p0e1 12475	. . . . . . . . . 10 ⊢ (1 + 0) = 1
66	64, 65	oveq12i 7439	. . . . . . . . 9 ⊢ ((5 · 1) + (1 + 0)) = (5 + 1)
67		5p1e6 12499	. . . . . . . . 9 ⊢ (5 + 1) = 6
68	66, 67	eqtri 2786	. . . . . . . 8 ⊢ ((5 · 1) + (1 + 0)) = 6
69	24	mulridi 11323	. . . . . . . . . 10 ⊢ (2 · 1) = 2
70	69	oveq1i 7437	. . . . . . . . 9 ⊢ ((2 · 1) + 3) = (2 + 3)
71		3p2e5 12503	. . . . . . . . . 10 ⊢ (3 + 2) = 5
72	61, 24, 71	addcomli 11512	. . . . . . . . 9 ⊢ (2 + 3) = 5
73	70, 72, 48	3eqtri 2790	. . . . . . . 8 ⊢ ((2 · 1) + 3) = ;05
74	5, 3, 2, 16, 59, 63, 2, 5, 33, 68, 73	decmac 12881	. . . . . . 7 ⊢ ((;52 · 1) + (3 + ;10)) = ;65
75	2	dec0h 12851	. . . . . . . 8 ⊢ 1 = ;01
76		5t2e10 12929	. . . . . . . . . 10 ⊢ (5 · 2) = ;10
77		00id 11495	. . . . . . . . . 10 ⊢ (0 + 0) = 0
78	76, 77	oveq12i 7439	. . . . . . . . 9 ⊢ ((5 · 2) + (0 + 0)) = (;10 + 0)
79		dec10p 12872	. . . . . . . . 9 ⊢ (;10 + 0) = ;10
80	78, 79	eqtri 2786	. . . . . . . 8 ⊢ ((5 · 2) + (0 + 0)) = ;10
81		2t2e4 12516	. . . . . . . . . 10 ⊢ (2 · 2) = 4
82	81	oveq1i 7437	. . . . . . . . 9 ⊢ ((2 · 2) + 1) = (4 + 1)
83	82, 39, 48	3eqtri 2790	. . . . . . . 8 ⊢ ((2 · 2) + 1) = ;05
84	5, 3, 33, 2, 59, 75, 3, 5, 33, 80, 83	decmac 12881	. . . . . . 7 ⊢ ((;52 · 2) + 1) = ;;105
85	2, 3, 16, 2, 47, 57, 19, 5, 58, 74, 84	decma2c 12882	. . . . . 6 ⊢ ((;52 · ;12) + (5 + ;26)) = ;;655
86		5t5e25 12932	. . . . . . . 8 ⊢ (5 · 5) = ;25
87	3, 5, 67, 86	decsuc 12860	. . . . . . 7 ⊢ ((5 · 5) + 1) = ;26
88	54, 24, 76	mulcomli 11328	. . . . . . . 8 ⊢ (2 · 5) = ;10
89	61	addlidi 11508	. . . . . . . 8 ⊢ (0 + 3) = 3
90	2, 33, 16, 88, 89	decaddi 12889	. . . . . . 7 ⊢ ((2 · 5) + 3) = ;13
91	5, 3, 16, 59, 5, 16, 2, 87, 90	decrmac 12887	. . . . . 6 ⊢ ((;52 · 5) + 3) = ;;263
92	4, 5, 5, 16, 32, 45, 19, 16, 46, 85, 91	decma2c 12882	. . . . 5 ⊢ ((;52 · ;;125) + (6 + ;47)) = ;;;6553
93		9cn 12453	. . . . . . . 8 ⊢ 9 ∈ ℂ
94		9t5e45 12954	. . . . . . . 8 ⊢ (9 · 5) = ;45
95	93, 54, 94	mulcomli 11328	. . . . . . 7 ⊢ (5 · 9) = ;45
96		5p2e7 12508	. . . . . . 7 ⊢ (5 + 2) = 7
97	29, 5, 3, 95, 96	decaddi 12889	. . . . . 6 ⊢ ((5 · 9) + 2) = ;47
98		9t2e18 12951	. . . . . . . 8 ⊢ (9 · 2) = ;18
99	93, 24, 98	mulcomli 11328	. . . . . . 7 ⊢ (2 · 9) = ;18
100		1p1e2 12476	. . . . . . 7 ⊢ (1 + 1) = 2
101		8p8e16 12915	. . . . . . 7 ⊢ (8 + 8) = ;16
102	2, 14, 14, 99, 100, 11, 101	decaddci 12890	. . . . . 6 ⊢ ((2 · 9) + 8) = ;26
103	5, 3, 14, 59, 27, 11, 3, 97, 102	decrmac 12887	. . . . 5 ⊢ ((;52 · 9) + 8) = ;;476
104	6, 27, 11, 14, 1, 28, 19, 11, 31, 92, 103	decma2c 12882	. . . 4 ⊢ ((;52 · 𝑁) + ;68) = ;;;;65536
105		2exp16 17280	. . . 4 ⊢ (2↑;16) = ;;;;65536
106		eqid 2763	. . . . 5 ⊢ (2↑8) = (2↑8)
107		eqid 2763	. . . . 5 ⊢ ((2↑8) · (2↑8)) = ((2↑8) · (2↑8))
108	3, 14, 26, 106, 107	numexp2x 17268	. . . 4 ⊢ (2↑;16) = ((2↑8) · (2↑8))
109	104, 105, 108	3eqtr2i 2792	. . 3 ⊢ ((;52 · 𝑁) + ;68) = ((2↑8) · (2↑8))
110	9, 10, 14, 20, 21, 15, 22, 26, 109	mod2xi 17259	. 2 ⊢ ((2↑;16) mod 𝑁) = (;68 mod 𝑁)
111		6p1e7 12500	. . 3 ⊢ (6 + 1) = 7
112		eqid 2763	. . 3 ⊢ ;16 = ;16
113	2, 11, 111, 112	decsuc 12860	. 2 ⊢ (;16 + 1) = ;17
114	18	nn0cni 12628	. . . 4 ⊢ ;;136 ∈ ℂ
115	114	addlidi 11508	. . 3 ⊢ (0 + ;;136) = ;;136
116	9	nncni 12355	. . . . 5 ⊢ 𝑁 ∈ ℂ
117	116	mul02i 11509	. . . 4 ⊢ (0 · 𝑁) = 0
118	117	oveq1i 7437	. . 3 ⊢ ((0 · 𝑁) + ;;136) = (0 + ;;136)
119		6t2e12 12933	. . . . 5 ⊢ (6 · 2) = ;12
120	2, 3, 52, 119	decsuc 12860	. . . 4 ⊢ ((6 · 2) + 1) = ;13
121	3, 11, 14, 28, 11, 2, 120, 25	decmul1c 12894	. . 3 ⊢ (;68 · 2) = ;;136
122	115, 118, 121	3eqtr4i 2796	. 2 ⊢ ((0 · 𝑁) + ;;136) = (;68 · 2)
123	9, 10, 12, 13, 15, 18, 110, 113, 122	modxp1i 17260	1 ⊢ ((2↑;17) mod 𝑁) = (;;136 mod 𝑁)

This proof depends on syntax axioms:   = wceq 1569  (class class class)co 7427  0cc0 11210  1c1 11211   + caddc 11213   · cmul 11215  ℕcn 12345  2c2 12407  3c3 12408  4c4 12409  5c5 12410  6c6 12411  7c7 12412  8c8 12413  9c9 12414  ;cdc 12824   mod cmo 14019  ↑cexp 14214

This proof depends on axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1827  ax-4 1841  ax-5 1944  ax-6 2001  ax-7 2042  ax-8 2148  ax-9 2156  ax-10 2179  ax-11 2196  ax-12 2215  ax-ext 2735  ax-sep 5251  ax-nul 5262  ax-pow 5330  ax-pr 5394  ax-un 7758  ax-cnex 11266  ax-resscn 11267  ax-1cn 11268  ax-icn 11269  ax-addcl 11270  ax-addrcl 11271  ax-mulcl 11272  ax-mulrcl 11273  ax-mulcom 11274  ax-addass 11275  ax-mulass 11276  ax-distr 11277  ax-i2m1 11278  ax-1ne0 11279  ax-1rid 11280  ax-rnegex 11281  ax-rrecex 11282  ax-cnre 11283  ax-pre-lttri 11284  ax-pre-lttrn 11285  ax-pre-ltadd 11286  ax-pre-mulgt0 11287  ax-pre-sup 11288

This proof depends on definitions:  df-bi 210  df-an 402  df-or 862  df-3or 1104  df-3an 1105  df-tru 1572  df-fal 1582  df-ex 1812  df-nf 1816  df-sb 2101  df-mo 2567  df-eu 2597  df-clab 2742  df-cleq 2755  df-clel 2838  df-nfc 2912  df-ne 2959  df-nel 3065  df-ral 3080  df-rex 3090  df-rmo 3368  df-reu 3369  df-rab 3416  df-v 3455  df-sbc 3742  df-csb 3851  df-ss 3900  df-pss 4016  df-dif 4049  df-in 4093  df-un 4153  df-nul 4281  df-if 4485  df-pw 4561  df-sn 4588  df-pr 4590  df-op 4838  df-uni 4870  df-iun 4955  df-br 5106  df-opab 5170  df-mpt 5189  df-tr 5215  df-id 5549  df-eprel 5554  df-po 5562  df-so 5563  df-fr 5607  df-we 5609  df-xp 5660  df-rel 5661  df-cnv 5662  df-co 5663  df-dm 5664  df-rn 5665  df-res 5666  df-ima 5667  df-pred 6310  df-ord 6371  df-on 6372  df-lim 6373  df-suc 6374  df-iota 6500  df-fun 6548  df-fn 6549  df-f 6550  df-f1 6551  df-fo 6552  df-f1o 6553  df-fv 6554  df-riota 7384  df-ov 7430  df-oprab 7431  df-mpo 7432  df-om 7885  df-2nd 8009  df-frecs 8310  df-wrecs 8341  df-recs 8390  df-rdg 8429  df-er 8728  df-en 8985  df-dom 8986  df-sdom 8987  df-sup 9444  df-inf 9445  df-pnf 11355  df-mnf 11356  df-xr 11357  df-ltxr 11358  df-le 11359  df-sub 11553  df-neg 11554  df-div 11984  df-nn 12346  df-2 12415  df-3 12416  df-4 12417  df-5 12418  df-6 12419  df-7 12420  df-8 12421  df-9 12422  df-n0 12617  df-z 12704  df-dec 12825  df-uz 12976  df-rp 13131  df-fl 13942  df-mod 14020  df-seq 14155  df-exp 14215

This theorem is used by:  1259lem2  17322  1259lem4  17324