Theorem 1259lem1 17215

Description: Lemma for 1259prm 17220. Calculate a power mod. In decimal, we calculate 2↑16 = 52𝑁 + 68≡68 and 2↑17≡68 · 2 = 136 in this lemma. (Contributed by Mario Carneiro, 22-Feb-2014.) (Revised by Mario Carneiro, 20-Apr-2015.) (Proof shortened by AV, 16-Sep-2021.)

Hypothesis

Ref	Expression
1259prm.1	⊢ 𝑁 = ;;;1259

Assertion

Ref	Expression
1259lem1	⊢ ((2↑;17) mod 𝑁) = (;;136 mod 𝑁)

Proof of Theorem 1259lem1

Step	Hyp	Ref	Expression
1		1259prm.1	. . 3 ⊢ 𝑁 = ;;;1259
2		1nn0 12537	. . . . . 6 ⊢ 1 ∈ ℕ0
3		2nn0 12538	. . . . . 6 ⊢ 2 ∈ ℕ0
4	2, 3	deccl 12744	. . . . 5 ⊢ ;12 ∈ ℕ0
5		5nn0 12541	. . . . 5 ⊢ 5 ∈ ℕ0
6	4, 5	deccl 12744	. . . 4 ⊢ ;;125 ∈ ℕ0
7		9nn 12356	. . . 4 ⊢ 9 ∈ ℕ
8	6, 7	decnncl 12753	. . 3 ⊢ ;;;1259 ∈ ℕ
9	1, 8	eqeltri 2861	. 2 ⊢ 𝑁 ∈ ℕ
10		2nn 12331	. 2 ⊢ 2 ∈ ℕ
11		6nn0 12542	. . 3 ⊢ 6 ∈ ℕ0
12	2, 11	deccl 12744	. 2 ⊢ ;16 ∈ ℕ0
13		0z 12619	. 2 ⊢ 0 ∈ ℤ
14		8nn0 12544	. . 3 ⊢ 8 ∈ ℕ0
15	11, 14	deccl 12744	. 2 ⊢ ;68 ∈ ℕ0
16		3nn0 12539	. . . 4 ⊢ 3 ∈ ℕ0
17	2, 16	deccl 12744	. . 3 ⊢ ;13 ∈ ℕ0
18	17, 11	deccl 12744	. 2 ⊢ ;;136 ∈ ℕ0
19	5, 3	deccl 12744	. . . 4 ⊢ ;52 ∈ ℕ0
20	19	nn0zi 12636	. . 3 ⊢ ;52 ∈ ℤ
21	3, 14	nn0expcli 14144	. . 3 ⊢ (2↑8) ∈ ℕ0
22		eqid 2765	. . 3 ⊢ ((2↑8) mod 𝑁) = ((2↑8) mod 𝑁)
23	14	nn0cni 12533	. . . 4 ⊢ 8 ∈ ℂ
24		2cn 12333	. . . 4 ⊢ 2 ∈ ℂ
25		8t2e16 12849	. . . 4 ⊢ (8 · 2) = ;16
26	23, 24, 25	mulcomli 11235	. . 3 ⊢ (2 · 8) = ;16
27		9nn0 12545	. . . . 5 ⊢ 9 ∈ ℕ0
28		eqid 2765	. . . . 5 ⊢ ;68 = ;68
29		4nn0 12540	. . . . . 6 ⊢ 4 ∈ ℕ0
30		7nn0 12543	. . . . . 6 ⊢ 7 ∈ ℕ0
31	29, 30	deccl 12744	. . . . 5 ⊢ ;47 ∈ ℕ0
32		eqid 2765	. . . . . 6 ⊢ ;;125 = ;;125
33		0nn0 12536	. . . . . . 7 ⊢ 0 ∈ ℕ0
34	11	dec0h 12756	. . . . . . 7 ⊢ 6 = ;06
35		eqid 2765	. . . . . . 7 ⊢ ;47 = ;47
36		4cn 12343	. . . . . . . . . 10 ⊢ 4 ∈ ℂ
37	36	addlidi 11415	. . . . . . . . 9 ⊢ (0 + 4) = 4
38	37	oveq1i 7429	. . . . . . . 8 ⊢ ((0 + 4) + 1) = (4 + 1)
39		4p1e5 12403	. . . . . . . 8 ⊢ (4 + 1) = 5
40	38, 39	eqtri 2788	. . . . . . 7 ⊢ ((0 + 4) + 1) = 5
41		7cn 12352	. . . . . . . 8 ⊢ 7 ∈ ℂ
42		6cn 12349	. . . . . . . 8 ⊢ 6 ∈ ℂ
43		7p6e13 12812	. . . . . . . 8 ⊢ (7 + 6) = ;13
44	41, 42, 43	addcomli 11419	. . . . . . 7 ⊢ (6 + 7) = ;13
45	33, 11, 29, 30, 34, 35, 40, 16, 44	decaddc 12789	. . . . . 6 ⊢ (6 + ;47) = ;53
46	3, 11	deccl 12744	. . . . . 6 ⊢ ;26 ∈ ℕ0
47		eqid 2765	. . . . . . 7 ⊢ ;12 = ;12
48	5	dec0h 12756	. . . . . . . 8 ⊢ 5 = ;05
49		eqid 2765	. . . . . . . 8 ⊢ ;26 = ;26
50	24	addlidi 11415	. . . . . . . . . 10 ⊢ (0 + 2) = 2
51	50	oveq1i 7429	. . . . . . . . 9 ⊢ ((0 + 2) + 1) = (2 + 1)
52		2p1e3 12399	. . . . . . . . 9 ⊢ (2 + 1) = 3
53	51, 52	eqtri 2788	. . . . . . . 8 ⊢ ((0 + 2) + 1) = 3
54		5cn 12346	. . . . . . . . 9 ⊢ 5 ∈ ℂ
55		6p5e11 12807	. . . . . . . . 9 ⊢ (6 + 5) = ;11
56	42, 54, 55	addcomli 11419	. . . . . . . 8 ⊢ (5 + 6) = ;11
57	33, 5, 3, 11, 48, 49, 53, 2, 56	decaddc 12789	. . . . . . 7 ⊢ (5 + ;26) = ;31
58		10nn0 12751	. . . . . . 7 ⊢ ;10 ∈ ℕ0
59		eqid 2765	. . . . . . . 8 ⊢ ;52 = ;52
60	58	nn0cni 12533	. . . . . . . . 9 ⊢ ;10 ∈ ℂ
61		3cn 12339	. . . . . . . . 9 ⊢ 3 ∈ ℂ
62		dec10p 12777	. . . . . . . . 9 ⊢ (;10 + 3) = ;13
63	60, 61, 62	addcomli 11419	. . . . . . . 8 ⊢ (3 + ;10) = ;13
64	54	mulridi 11230	. . . . . . . . . 10 ⊢ (5 · 1) = 5
65		1p0e1 12380	. . . . . . . . . 10 ⊢ (1 + 0) = 1
66	64, 65	oveq12i 7431	. . . . . . . . 9 ⊢ ((5 · 1) + (1 + 0)) = (5 + 1)
67		5p1e6 12404	. . . . . . . . 9 ⊢ (5 + 1) = 6
68	66, 67	eqtri 2788	. . . . . . . 8 ⊢ ((5 · 1) + (1 + 0)) = 6
69	24	mulridi 11230	. . . . . . . . . 10 ⊢ (2 · 1) = 2
70	69	oveq1i 7429	. . . . . . . . 9 ⊢ ((2 · 1) + 3) = (2 + 3)
71		3p2e5 12408	. . . . . . . . . 10 ⊢ (3 + 2) = 5
72	61, 24, 71	addcomli 11419	. . . . . . . . 9 ⊢ (2 + 3) = 5
73	70, 72, 48	3eqtri 2792	. . . . . . . 8 ⊢ ((2 · 1) + 3) = ;05
74	5, 3, 2, 16, 59, 63, 2, 5, 33, 68, 73	decmac 12786	. . . . . . 7 ⊢ ((;52 · 1) + (3 + ;10)) = ;65
75	2	dec0h 12756	. . . . . . . 8 ⊢ 1 = ;01
76		5t2e10 12834	. . . . . . . . . 10 ⊢ (5 · 2) = ;10
77		00id 11402	. . . . . . . . . 10 ⊢ (0 + 0) = 0
78	76, 77	oveq12i 7431	. . . . . . . . 9 ⊢ ((5 · 2) + (0 + 0)) = (;10 + 0)
79		dec10p 12777	. . . . . . . . 9 ⊢ (;10 + 0) = ;10
80	78, 79	eqtri 2788	. . . . . . . 8 ⊢ ((5 · 2) + (0 + 0)) = ;10
81		2t2e4 12421	. . . . . . . . . 10 ⊢ (2 · 2) = 4
82	81	oveq1i 7429	. . . . . . . . 9 ⊢ ((2 · 2) + 1) = (4 + 1)
83	82, 39, 48	3eqtri 2792	. . . . . . . 8 ⊢ ((2 · 2) + 1) = ;05
84	5, 3, 33, 2, 59, 75, 3, 5, 33, 80, 83	decmac 12786	. . . . . . 7 ⊢ ((;52 · 2) + 1) = ;;105
85	2, 3, 16, 2, 47, 57, 19, 5, 58, 74, 84	decma2c 12787	. . . . . 6 ⊢ ((;52 · ;12) + (5 + ;26)) = ;;655
86		5t5e25 12837	. . . . . . . 8 ⊢ (5 · 5) = ;25
87	3, 5, 67, 86	decsuc 12765	. . . . . . 7 ⊢ ((5 · 5) + 1) = ;26
88	54, 24, 76	mulcomli 11235	. . . . . . . 8 ⊢ (2 · 5) = ;10
89	61	addlidi 11415	. . . . . . . 8 ⊢ (0 + 3) = 3
90	2, 33, 16, 88, 89	decaddi 12794	. . . . . . 7 ⊢ ((2 · 5) + 3) = ;13
91	5, 3, 16, 59, 5, 16, 2, 87, 90	decrmac 12792	. . . . . 6 ⊢ ((;52 · 5) + 3) = ;;263
92	4, 5, 5, 16, 32, 45, 19, 16, 46, 85, 91	decma2c 12787	. . . . 5 ⊢ ((;52 · ;;125) + (6 + ;47)) = ;;;6553
93		9cn 12358	. . . . . . . 8 ⊢ 9 ∈ ℂ
94		9t5e45 12859	. . . . . . . 8 ⊢ (9 · 5) = ;45
95	93, 54, 94	mulcomli 11235	. . . . . . 7 ⊢ (5 · 9) = ;45
96		5p2e7 12413	. . . . . . 7 ⊢ (5 + 2) = 7
97	29, 5, 3, 95, 96	decaddi 12794	. . . . . 6 ⊢ ((5 · 9) + 2) = ;47
98		9t2e18 12856	. . . . . . . 8 ⊢ (9 · 2) = ;18
99	93, 24, 98	mulcomli 11235	. . . . . . 7 ⊢ (2 · 9) = ;18
100		1p1e2 12381	. . . . . . 7 ⊢ (1 + 1) = 2
101		8p8e16 12820	. . . . . . 7 ⊢ (8 + 8) = ;16
102	2, 14, 14, 99, 100, 11, 101	decaddci 12795	. . . . . 6 ⊢ ((2 · 9) + 8) = ;26
103	5, 3, 14, 59, 27, 11, 3, 97, 102	decrmac 12792	. . . . 5 ⊢ ((;52 · 9) + 8) = ;;476
104	6, 27, 11, 14, 1, 28, 19, 11, 31, 92, 103	decma2c 12787	. . . 4 ⊢ ((;52 · 𝑁) + ;68) = ;;;;65536
105		2exp16 17174	. . . 4 ⊢ (2↑;16) = ;;;;65536
106		eqid 2765	. . . . 5 ⊢ (2↑8) = (2↑8)
107		eqid 2765	. . . . 5 ⊢ ((2↑8) · (2↑8)) = ((2↑8) · (2↑8))
108	3, 14, 26, 106, 107	numexp2x 17162	. . . 4 ⊢ (2↑;16) = ((2↑8) · (2↑8))
109	104, 105, 108	3eqtr2i 2794	. . 3 ⊢ ((;52 · 𝑁) + ;68) = ((2↑8) · (2↑8))
110	9, 10, 14, 20, 21, 15, 22, 26, 109	mod2xi 17153	. 2 ⊢ ((2↑;16) mod 𝑁) = (;68 mod 𝑁)
111		6p1e7 12405	. . 3 ⊢ (6 + 1) = 7
112		eqid 2765	. . 3 ⊢ ;16 = ;16
113	2, 11, 111, 112	decsuc 12765	. 2 ⊢ (;16 + 1) = ;17
114	18	nn0cni 12533	. . . 4 ⊢ ;;136 ∈ ℂ
115	114	addlidi 11415	. . 3 ⊢ (0 + ;;136) = ;;136
116	9	nncni 12260	. . . . 5 ⊢ 𝑁 ∈ ℂ
117	116	mul02i 11416	. . . 4 ⊢ (0 · 𝑁) = 0
118	117	oveq1i 7429	. . 3 ⊢ ((0 · 𝑁) + ;;136) = (0 + ;;136)
119		6t2e12 12838	. . . . 5 ⊢ (6 · 2) = ;12
120	2, 3, 52, 119	decsuc 12765	. . . 4 ⊢ ((6 · 2) + 1) = ;13
121	3, 11, 14, 28, 11, 2, 120, 25	decmul1c 12799	. . 3 ⊢ (;68 · 2) = ;;136
122	115, 118, 121	3eqtr4i 2798	. 2 ⊢ ((0 · 𝑁) + ;;136) = (;68 · 2)
123	9, 10, 12, 13, 15, 18, 110, 113, 122	modxp1i 17154	1 ⊢ ((2↑;17) mod 𝑁) = (;;136 mod 𝑁)

This proof depends on syntax axioms:   = wceq 1570  (class class class)co 7419  0cc0 11117  1c1 11118   + caddc 11120   · cmul 11122  ℕcn 12250  2c2 12312  3c3 12313  4c4 12314  5c5 12315  6c6 12316  7c7 12317  8c8 12318  9c9 12319  ;cdc 12729   mod cmo 13922  ↑cexp 14117

This proof depends on axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1828  ax-4 1842  ax-5 1943  ax-6 2000  ax-7 2041  ax-8 2148  ax-9 2156  ax-10 2179  ax-11 2195  ax-12 2216  ax-ext 2737  ax-sep 5259  ax-nul 5271  ax-pow 5338  ax-pr 5406  ax-un 7742  ax-cnex 11173  ax-resscn 11174  ax-1cn 11175  ax-icn 11176  ax-addcl 11177  ax-addrcl 11178  ax-mulcl 11179  ax-mulrcl 11180  ax-mulcom 11181  ax-addass 11182  ax-mulass 11183  ax-distr 11184  ax-i2m1 11185  ax-1ne0 11186  ax-1rid 11187  ax-rnegex 11188  ax-rrecex 11189  ax-cnre 11190  ax-pre-lttri 11191  ax-pre-lttrn 11192  ax-pre-ltadd 11193  ax-pre-mulgt0 11194  ax-pre-sup 11195

This proof depends on definitions:  df-bi 210  df-an 402  df-or 862  df-3or 1104  df-3an 1105  df-tru 1573  df-fal 1583  df-ex 1813  df-nf 1817  df-sb 2100  df-mo 2569  df-eu 2599  df-clab 2744  df-cleq 2757  df-clel 2840  df-nfc 2914  df-ne 2961  df-nel 3067  df-ral 3082  df-rex 3092  df-rmo 3371  df-reu 3372  df-rab 3419  df-v 3459  df-sbc 3747  df-csb 3855  df-dif 3909  df-un 3911  df-in 3913  df-ss 3923  df-pss 3926  df-nul 4287  df-if 4490  df-pw 4566  df-sn 4592  df-pr 4594  df-op 4598  df-uni 4875  df-iun 4960  df-br 5112  df-opab 5176  df-mpt 5195  df-tr 5221  df-id 5558  df-eprel 5563  df-po 5571  df-so 5572  df-fr 5616  df-we 5618  df-xp 5669  df-rel 5670  df-cnv 5671  df-co 5672  df-dm 5673  df-rn 5674  df-res 5675  df-ima 5676  df-pred 6306  df-ord 6367  df-on 6368  df-lim 6369  df-suc 6370  df-iota 6496  df-fun 6542  df-fn 6543  df-f 6544  df-f1 6545  df-fo 6546  df-f1o 6547  df-fv 6548  df-riota 7376  df-ov 7422  df-oprab 7423  df-mpo 7424  df-om 7869  df-2nd 7993  df-frecs 8284  df-wrecs 8315  df-recs 8364  df-rdg 8403  df-er 8700  df-en 8950  df-dom 8951  df-sdom 8952  df-sup 9409  df-inf 9410  df-pnf 11262  df-mnf 11263  df-xr 11264  df-ltxr 11265  df-le 11266  df-sub 11460  df-neg 11461  df-div 11889  df-nn 12251  df-2 12320  df-3 12321  df-4 12322  df-5 12323  df-6 12324  df-7 12325  df-8 12326  df-9 12327  df-n0 12522  df-z 12609  df-dec 12730  df-uz 12881  df-rp 13035  df-fl 13845  df-mod 13923  df-seq 14058  df-exp 14118

This theorem is used by:  1259lem2  17216  1259lem4  17218