MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  1259lem1 Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem 1259lem1 17071
Description: Lemma for 1259prm 17076. Calculate a power mod. In decimal, we calculate 2↑16 = 52𝑁 + 68≡68 and 2↑17≡68 · 2 = 136 in this lemma. (Contributed by Mario Carneiro, 22-Feb-2014.) (Revised by Mario Carneiro, 20-Apr-2015.) (Proof shortened by AV, 16-Sep-2021.)
Hypothesis
Ref Expression
1259prm.1 𝑁 = 1259
Assertion
Ref Expression
1259lem1 ((2↑17) mod 𝑁) = (136 mod 𝑁)

Proof of Theorem 1259lem1
StepHypRef Expression
1 1259prm.1 . . 3 𝑁 = 1259
2 1nn0 12495 . . . . . 6 1 ∈ ℕ0
3 2nn0 12496 . . . . . 6 2 ∈ ℕ0
42, 3deccl 12699 . . . . 5 12 ∈ ℕ0
5 5nn0 12499 . . . . 5 5 ∈ ℕ0
64, 5deccl 12699 . . . 4 125 ∈ ℕ0
7 9nn 12317 . . . 4 9 ∈ ℕ
86, 7decnncl 12704 . . 3 1259 ∈ ℕ
91, 8eqeltri 2828 . 2 𝑁 ∈ ℕ
10 2nn 12292 . 2 2 ∈ ℕ
11 6nn0 12500 . . 3 6 ∈ ℕ0
122, 11deccl 12699 . 2 16 ∈ ℕ0
13 0z 12576 . 2 0 ∈ ℤ
14 8nn0 12502 . . 3 8 ∈ ℕ0
1511, 14deccl 12699 . 2 68 ∈ ℕ0
16 3nn0 12497 . . . 4 3 ∈ ℕ0
172, 16deccl 12699 . . 3 13 ∈ ℕ0
1817, 11deccl 12699 . 2 136 ∈ ℕ0
195, 3deccl 12699 . . . 4 52 ∈ ℕ0
2019nn0zi 12594 . . 3 52 ∈ ℤ
213, 14nn0expcli 14061 . . 3 (2↑8) ∈ ℕ0
22 eqid 2731 . . 3 ((2↑8) mod 𝑁) = ((2↑8) mod 𝑁)
2314nn0cni 12491 . . . 4 8 ∈ ℂ
24 2cn 12294 . . . 4 2 ∈ ℂ
25 8t2e16 12799 . . . 4 (8 · 2) = 16
2623, 24, 25mulcomli 11230 . . 3 (2 · 8) = 16
27 9nn0 12503 . . . . 5 9 ∈ ℕ0
28 eqid 2731 . . . . 5 68 = 68
29 4nn0 12498 . . . . . 6 4 ∈ ℕ0
30 7nn0 12501 . . . . . 6 7 ∈ ℕ0
3129, 30deccl 12699 . . . . 5 47 ∈ ℕ0
32 eqid 2731 . . . . . 6 125 = 125
33 0nn0 12494 . . . . . . 7 0 ∈ ℕ0
3411dec0h 12706 . . . . . . 7 6 = 06
35 eqid 2731 . . . . . . 7 47 = 47
36 4cn 12304 . . . . . . . . . 10 4 ∈ ℂ
3736addlidi 11409 . . . . . . . . 9 (0 + 4) = 4
3837oveq1i 7422 . . . . . . . 8 ((0 + 4) + 1) = (4 + 1)
39 4p1e5 12365 . . . . . . . 8 (4 + 1) = 5
4038, 39eqtri 2759 . . . . . . 7 ((0 + 4) + 1) = 5
41 7cn 12313 . . . . . . . 8 7 ∈ ℂ
42 6cn 12310 . . . . . . . 8 6 ∈ ℂ
43 7p6e13 12762 . . . . . . . 8 (7 + 6) = 13
4441, 42, 43addcomli 11413 . . . . . . 7 (6 + 7) = 13
4533, 11, 29, 30, 34, 35, 40, 16, 44decaddc 12739 . . . . . 6 (6 + 47) = 53
463, 11deccl 12699 . . . . . 6 26 ∈ ℕ0
47 eqid 2731 . . . . . . 7 12 = 12
485dec0h 12706 . . . . . . . 8 5 = 05
49 eqid 2731 . . . . . . . 8 26 = 26
5024addlidi 11409 . . . . . . . . . 10 (0 + 2) = 2
5150oveq1i 7422 . . . . . . . . 9 ((0 + 2) + 1) = (2 + 1)
52 2p1e3 12361 . . . . . . . . 9 (2 + 1) = 3
5351, 52eqtri 2759 . . . . . . . 8 ((0 + 2) + 1) = 3
54 5cn 12307 . . . . . . . . 9 5 ∈ ℂ
55 6p5e11 12757 . . . . . . . . 9 (6 + 5) = 11
5642, 54, 55addcomli 11413 . . . . . . . 8 (5 + 6) = 11
5733, 5, 3, 11, 48, 49, 53, 2, 56decaddc 12739 . . . . . . 7 (5 + 26) = 31
58 10nn0 12702 . . . . . . 7 10 ∈ ℕ0
59 eqid 2731 . . . . . . . 8 52 = 52
6058nn0cni 12491 . . . . . . . . 9 10 ∈ ℂ
61 3cn 12300 . . . . . . . . 9 3 ∈ ℂ
62 dec10p 12727 . . . . . . . . 9 (10 + 3) = 13
6360, 61, 62addcomli 11413 . . . . . . . 8 (3 + 10) = 13
6454mulridi 11225 . . . . . . . . . 10 (5 · 1) = 5
65 1p0e1 12343 . . . . . . . . . 10 (1 + 0) = 1
6664, 65oveq12i 7424 . . . . . . . . 9 ((5 · 1) + (1 + 0)) = (5 + 1)
67 5p1e6 12366 . . . . . . . . 9 (5 + 1) = 6
6866, 67eqtri 2759 . . . . . . . 8 ((5 · 1) + (1 + 0)) = 6
6924mulridi 11225 . . . . . . . . . 10 (2 · 1) = 2
7069oveq1i 7422 . . . . . . . . 9 ((2 · 1) + 3) = (2 + 3)
71 3p2e5 12370 . . . . . . . . . 10 (3 + 2) = 5
7261, 24, 71addcomli 11413 . . . . . . . . 9 (2 + 3) = 5
7370, 72, 483eqtri 2763 . . . . . . . 8 ((2 · 1) + 3) = 05
745, 3, 2, 16, 59, 63, 2, 5, 33, 68, 73decmac 12736 . . . . . . 7 ((52 · 1) + (3 + 10)) = 65
752dec0h 12706 . . . . . . . 8 1 = 01
76 5t2e10 12784 . . . . . . . . . 10 (5 · 2) = 10
77 00id 11396 . . . . . . . . . 10 (0 + 0) = 0
7876, 77oveq12i 7424 . . . . . . . . 9 ((5 · 2) + (0 + 0)) = (10 + 0)
79 dec10p 12727 . . . . . . . . 9 (10 + 0) = 10
8078, 79eqtri 2759 . . . . . . . 8 ((5 · 2) + (0 + 0)) = 10
81 2t2e4 12383 . . . . . . . . . 10 (2 · 2) = 4
8281oveq1i 7422 . . . . . . . . 9 ((2 · 2) + 1) = (4 + 1)
8382, 39, 483eqtri 2763 . . . . . . . 8 ((2 · 2) + 1) = 05
845, 3, 33, 2, 59, 75, 3, 5, 33, 80, 83decmac 12736 . . . . . . 7 ((52 · 2) + 1) = 105
852, 3, 16, 2, 47, 57, 19, 5, 58, 74, 84decma2c 12737 . . . . . 6 ((52 · 12) + (5 + 26)) = 655
86 5t5e25 12787 . . . . . . . 8 (5 · 5) = 25
873, 5, 67, 86decsuc 12715 . . . . . . 7 ((5 · 5) + 1) = 26
8854, 24, 76mulcomli 11230 . . . . . . . 8 (2 · 5) = 10
8961addlidi 11409 . . . . . . . 8 (0 + 3) = 3
902, 33, 16, 88, 89decaddi 12744 . . . . . . 7 ((2 · 5) + 3) = 13
915, 3, 16, 59, 5, 16, 2, 87, 90decrmac 12742 . . . . . 6 ((52 · 5) + 3) = 263
924, 5, 5, 16, 32, 45, 19, 16, 46, 85, 91decma2c 12737 . . . . 5 ((52 · 125) + (6 + 47)) = 6553
93 9cn 12319 . . . . . . . 8 9 ∈ ℂ
94 9t5e45 12809 . . . . . . . 8 (9 · 5) = 45
9593, 54, 94mulcomli 11230 . . . . . . 7 (5 · 9) = 45
96 5p2e7 12375 . . . . . . 7 (5 + 2) = 7
9729, 5, 3, 95, 96decaddi 12744 . . . . . 6 ((5 · 9) + 2) = 47
98 9t2e18 12806 . . . . . . . 8 (9 · 2) = 18
9993, 24, 98mulcomli 11230 . . . . . . 7 (2 · 9) = 18
100 1p1e2 12344 . . . . . . 7 (1 + 1) = 2
101 8p8e16 12770 . . . . . . 7 (8 + 8) = 16
1022, 14, 14, 99, 100, 11, 101decaddci 12745 . . . . . 6 ((2 · 9) + 8) = 26
1035, 3, 14, 59, 27, 11, 3, 97, 102decrmac 12742 . . . . 5 ((52 · 9) + 8) = 476
1046, 27, 11, 14, 1, 28, 19, 11, 31, 92, 103decma2c 12737 . . . 4 ((52 · 𝑁) + 68) = 65536
105 2exp16 17031 . . . 4 (2↑16) = 65536
106 eqid 2731 . . . . 5 (2↑8) = (2↑8)
107 eqid 2731 . . . . 5 ((2↑8) · (2↑8)) = ((2↑8) · (2↑8))
1083, 14, 26, 106, 107numexp2x 17019 . . . 4 (2↑16) = ((2↑8) · (2↑8))
109104, 105, 1083eqtr2i 2765 . . 3 ((52 · 𝑁) + 68) = ((2↑8) · (2↑8))
1109, 10, 14, 20, 21, 15, 22, 26, 109mod2xi 17009 . 2 ((2↑16) mod 𝑁) = (68 mod 𝑁)
111 6p1e7 12367 . . 3 (6 + 1) = 7
112 eqid 2731 . . 3 16 = 16
1132, 11, 111, 112decsuc 12715 . 2 (16 + 1) = 17
11418nn0cni 12491 . . . 4 136 ∈ ℂ
115114addlidi 11409 . . 3 (0 + 136) = 136
1169nncni 12229 . . . . 5 𝑁 ∈ ℂ
117116mul02i 11410 . . . 4 (0 · 𝑁) = 0
118117oveq1i 7422 . . 3 ((0 · 𝑁) + 136) = (0 + 136)
119 6t2e12 12788 . . . . 5 (6 · 2) = 12
1202, 3, 52, 119decsuc 12715 . . . 4 ((6 · 2) + 1) = 13
1213, 11, 14, 28, 11, 2, 120, 25decmul1c 12749 . . 3 (68 · 2) = 136
122115, 118, 1213eqtr4i 2769 . 2 ((0 · 𝑁) + 136) = (68 · 2)
1239, 10, 12, 13, 15, 18, 110, 113, 122modxp1i 17010 1 ((2↑17) mod 𝑁) = (136 mod 𝑁)
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:   = wceq 1540  (class class class)co 7412  0cc0 11116  1c1 11117   + caddc 11119   · cmul 11121  cn 12219  2c2 12274  3c3 12275  4c4 12276  5c5 12277  6c6 12278  7c7 12279  8c8 12280  9c9 12281  cdc 12684   mod cmo 13841  cexp 14034
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1796  ax-4 1810  ax-5 1912  ax-6 1970  ax-7 2010  ax-8 2107  ax-9 2115  ax-10 2136  ax-11 2153  ax-12 2170  ax-ext 2702  ax-sep 5299  ax-nul 5306  ax-pow 5363  ax-pr 5427  ax-un 7729  ax-cnex 11172  ax-resscn 11173  ax-1cn 11174  ax-icn 11175  ax-addcl 11176  ax-addrcl 11177  ax-mulcl 11178  ax-mulrcl 11179  ax-mulcom 11180  ax-addass 11181  ax-mulass 11182  ax-distr 11183  ax-i2m1 11184  ax-1ne0 11185  ax-1rid 11186  ax-rnegex 11187  ax-rrecex 11188  ax-cnre 11189  ax-pre-lttri 11190  ax-pre-lttrn 11191  ax-pre-ltadd 11192  ax-pre-mulgt0 11193  ax-pre-sup 11194
This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 396  df-or 845  df-3or 1087  df-3an 1088  df-tru 1543  df-fal 1553  df-ex 1781  df-nf 1785  df-sb 2067  df-mo 2533  df-eu 2562  df-clab 2709  df-cleq 2723  df-clel 2809  df-nfc 2884  df-ne 2940  df-nel 3046  df-ral 3061  df-rex 3070  df-rmo 3375  df-reu 3376  df-rab 3432  df-v 3475  df-sbc 3778  df-csb 3894  df-dif 3951  df-un 3953  df-in 3955  df-ss 3965  df-pss 3967  df-nul 4323  df-if 4529  df-pw 4604  df-sn 4629  df-pr 4631  df-op 4635  df-uni 4909  df-iun 4999  df-br 5149  df-opab 5211  df-mpt 5232  df-tr 5266  df-id 5574  df-eprel 5580  df-po 5588  df-so 5589  df-fr 5631  df-we 5633  df-xp 5682  df-rel 5683  df-cnv 5684  df-co 5685  df-dm 5686  df-rn 5687  df-res 5688  df-ima 5689  df-pred 6300  df-ord 6367  df-on 6368  df-lim 6369  df-suc 6370  df-iota 6495  df-fun 6545  df-fn 6546  df-f 6547  df-f1 6548  df-fo 6549  df-f1o 6550  df-fv 6551  df-riota 7368  df-ov 7415  df-oprab 7416  df-mpo 7417  df-om 7860  df-2nd 7980  df-frecs 8272  df-wrecs 8303  df-recs 8377  df-rdg 8416  df-er 8709  df-en 8946  df-dom 8947  df-sdom 8948  df-sup 9443  df-inf 9444  df-pnf 11257  df-mnf 11258  df-xr 11259  df-ltxr 11260  df-le 11261  df-sub 11453  df-neg 11454  df-div 11879  df-nn 12220  df-2 12282  df-3 12283  df-4 12284  df-5 12285  df-6 12286  df-7 12287  df-8 12288  df-9 12289  df-n0 12480  df-z 12566  df-dec 12685  df-uz 12830  df-rp 12982  df-fl 13764  df-mod 13842  df-seq 13974  df-exp 14035
This theorem is referenced by:  1259lem2  17072  1259lem4  17074
  Copyright terms: Public domain W3C validator