MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  1259lem1 Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem 1259lem1 17066
Description: Lemma for 1259prm 17071. Calculate a power mod. In decimal, we calculate 2↑16 = 52𝑁 + 68≡68 and 2↑17≡68 · 2 = 136 in this lemma. (Contributed by Mario Carneiro, 22-Feb-2014.) (Revised by Mario Carneiro, 20-Apr-2015.) (Proof shortened by AV, 16-Sep-2021.)
Hypothesis
Ref Expression
1259prm.1 𝑁 = 1259
Assertion
Ref Expression
1259lem1 ((2↑17) mod 𝑁) = (136 mod 𝑁)

Proof of Theorem 1259lem1
StepHypRef Expression
1 1259prm.1 . . 3 𝑁 = 1259
2 1nn0 12490 . . . . . 6 1 ∈ ℕ0
3 2nn0 12491 . . . . . 6 2 ∈ ℕ0
42, 3deccl 12694 . . . . 5 12 ∈ ℕ0
5 5nn0 12494 . . . . 5 5 ∈ ℕ0
64, 5deccl 12694 . . . 4 125 ∈ ℕ0
7 9nn 12312 . . . 4 9 ∈ ℕ
86, 7decnncl 12699 . . 3 1259 ∈ ℕ
91, 8eqeltri 2829 . 2 𝑁 ∈ ℕ
10 2nn 12287 . 2 2 ∈ ℕ
11 6nn0 12495 . . 3 6 ∈ ℕ0
122, 11deccl 12694 . 2 16 ∈ ℕ0
13 0z 12571 . 2 0 ∈ ℤ
14 8nn0 12497 . . 3 8 ∈ ℕ0
1511, 14deccl 12694 . 2 68 ∈ ℕ0
16 3nn0 12492 . . . 4 3 ∈ ℕ0
172, 16deccl 12694 . . 3 13 ∈ ℕ0
1817, 11deccl 12694 . 2 136 ∈ ℕ0
195, 3deccl 12694 . . . 4 52 ∈ ℕ0
2019nn0zi 12589 . . 3 52 ∈ ℤ
213, 14nn0expcli 14056 . . 3 (2↑8) ∈ ℕ0
22 eqid 2732 . . 3 ((2↑8) mod 𝑁) = ((2↑8) mod 𝑁)
2314nn0cni 12486 . . . 4 8 ∈ ℂ
24 2cn 12289 . . . 4 2 ∈ ℂ
25 8t2e16 12794 . . . 4 (8 · 2) = 16
2623, 24, 25mulcomli 11225 . . 3 (2 · 8) = 16
27 9nn0 12498 . . . . 5 9 ∈ ℕ0
28 eqid 2732 . . . . 5 68 = 68
29 4nn0 12493 . . . . . 6 4 ∈ ℕ0
30 7nn0 12496 . . . . . 6 7 ∈ ℕ0
3129, 30deccl 12694 . . . . 5 47 ∈ ℕ0
32 eqid 2732 . . . . . 6 125 = 125
33 0nn0 12489 . . . . . . 7 0 ∈ ℕ0
3411dec0h 12701 . . . . . . 7 6 = 06
35 eqid 2732 . . . . . . 7 47 = 47
36 4cn 12299 . . . . . . . . . 10 4 ∈ ℂ
3736addlidi 11404 . . . . . . . . 9 (0 + 4) = 4
3837oveq1i 7421 . . . . . . . 8 ((0 + 4) + 1) = (4 + 1)
39 4p1e5 12360 . . . . . . . 8 (4 + 1) = 5
4038, 39eqtri 2760 . . . . . . 7 ((0 + 4) + 1) = 5
41 7cn 12308 . . . . . . . 8 7 ∈ ℂ
42 6cn 12305 . . . . . . . 8 6 ∈ ℂ
43 7p6e13 12757 . . . . . . . 8 (7 + 6) = 13
4441, 42, 43addcomli 11408 . . . . . . 7 (6 + 7) = 13
4533, 11, 29, 30, 34, 35, 40, 16, 44decaddc 12734 . . . . . 6 (6 + 47) = 53
463, 11deccl 12694 . . . . . 6 26 ∈ ℕ0
47 eqid 2732 . . . . . . 7 12 = 12
485dec0h 12701 . . . . . . . 8 5 = 05
49 eqid 2732 . . . . . . . 8 26 = 26
5024addlidi 11404 . . . . . . . . . 10 (0 + 2) = 2
5150oveq1i 7421 . . . . . . . . 9 ((0 + 2) + 1) = (2 + 1)
52 2p1e3 12356 . . . . . . . . 9 (2 + 1) = 3
5351, 52eqtri 2760 . . . . . . . 8 ((0 + 2) + 1) = 3
54 5cn 12302 . . . . . . . . 9 5 ∈ ℂ
55 6p5e11 12752 . . . . . . . . 9 (6 + 5) = 11
5642, 54, 55addcomli 11408 . . . . . . . 8 (5 + 6) = 11
5733, 5, 3, 11, 48, 49, 53, 2, 56decaddc 12734 . . . . . . 7 (5 + 26) = 31
58 10nn0 12697 . . . . . . 7 10 ∈ ℕ0
59 eqid 2732 . . . . . . . 8 52 = 52
6058nn0cni 12486 . . . . . . . . 9 10 ∈ ℂ
61 3cn 12295 . . . . . . . . 9 3 ∈ ℂ
62 dec10p 12722 . . . . . . . . 9 (10 + 3) = 13
6360, 61, 62addcomli 11408 . . . . . . . 8 (3 + 10) = 13
6454mulridi 11220 . . . . . . . . . 10 (5 · 1) = 5
65 1p0e1 12338 . . . . . . . . . 10 (1 + 0) = 1
6664, 65oveq12i 7423 . . . . . . . . 9 ((5 · 1) + (1 + 0)) = (5 + 1)
67 5p1e6 12361 . . . . . . . . 9 (5 + 1) = 6
6866, 67eqtri 2760 . . . . . . . 8 ((5 · 1) + (1 + 0)) = 6
6924mulridi 11220 . . . . . . . . . 10 (2 · 1) = 2
7069oveq1i 7421 . . . . . . . . 9 ((2 · 1) + 3) = (2 + 3)
71 3p2e5 12365 . . . . . . . . . 10 (3 + 2) = 5
7261, 24, 71addcomli 11408 . . . . . . . . 9 (2 + 3) = 5
7370, 72, 483eqtri 2764 . . . . . . . 8 ((2 · 1) + 3) = 05
745, 3, 2, 16, 59, 63, 2, 5, 33, 68, 73decmac 12731 . . . . . . 7 ((52 · 1) + (3 + 10)) = 65
752dec0h 12701 . . . . . . . 8 1 = 01
76 5t2e10 12779 . . . . . . . . . 10 (5 · 2) = 10
77 00id 11391 . . . . . . . . . 10 (0 + 0) = 0
7876, 77oveq12i 7423 . . . . . . . . 9 ((5 · 2) + (0 + 0)) = (10 + 0)
79 dec10p 12722 . . . . . . . . 9 (10 + 0) = 10
8078, 79eqtri 2760 . . . . . . . 8 ((5 · 2) + (0 + 0)) = 10
81 2t2e4 12378 . . . . . . . . . 10 (2 · 2) = 4
8281oveq1i 7421 . . . . . . . . 9 ((2 · 2) + 1) = (4 + 1)
8382, 39, 483eqtri 2764 . . . . . . . 8 ((2 · 2) + 1) = 05
845, 3, 33, 2, 59, 75, 3, 5, 33, 80, 83decmac 12731 . . . . . . 7 ((52 · 2) + 1) = 105
852, 3, 16, 2, 47, 57, 19, 5, 58, 74, 84decma2c 12732 . . . . . 6 ((52 · 12) + (5 + 26)) = 655
86 5t5e25 12782 . . . . . . . 8 (5 · 5) = 25
873, 5, 67, 86decsuc 12710 . . . . . . 7 ((5 · 5) + 1) = 26
8854, 24, 76mulcomli 11225 . . . . . . . 8 (2 · 5) = 10
8961addlidi 11404 . . . . . . . 8 (0 + 3) = 3
902, 33, 16, 88, 89decaddi 12739 . . . . . . 7 ((2 · 5) + 3) = 13
915, 3, 16, 59, 5, 16, 2, 87, 90decrmac 12737 . . . . . 6 ((52 · 5) + 3) = 263
924, 5, 5, 16, 32, 45, 19, 16, 46, 85, 91decma2c 12732 . . . . 5 ((52 · 125) + (6 + 47)) = 6553
93 9cn 12314 . . . . . . . 8 9 ∈ ℂ
94 9t5e45 12804 . . . . . . . 8 (9 · 5) = 45
9593, 54, 94mulcomli 11225 . . . . . . 7 (5 · 9) = 45
96 5p2e7 12370 . . . . . . 7 (5 + 2) = 7
9729, 5, 3, 95, 96decaddi 12739 . . . . . 6 ((5 · 9) + 2) = 47
98 9t2e18 12801 . . . . . . . 8 (9 · 2) = 18
9993, 24, 98mulcomli 11225 . . . . . . 7 (2 · 9) = 18
100 1p1e2 12339 . . . . . . 7 (1 + 1) = 2
101 8p8e16 12765 . . . . . . 7 (8 + 8) = 16
1022, 14, 14, 99, 100, 11, 101decaddci 12740 . . . . . 6 ((2 · 9) + 8) = 26
1035, 3, 14, 59, 27, 11, 3, 97, 102decrmac 12737 . . . . 5 ((52 · 9) + 8) = 476
1046, 27, 11, 14, 1, 28, 19, 11, 31, 92, 103decma2c 12732 . . . 4 ((52 · 𝑁) + 68) = 65536
105 2exp16 17026 . . . 4 (2↑16) = 65536
106 eqid 2732 . . . . 5 (2↑8) = (2↑8)
107 eqid 2732 . . . . 5 ((2↑8) · (2↑8)) = ((2↑8) · (2↑8))
1083, 14, 26, 106, 107numexp2x 17014 . . . 4 (2↑16) = ((2↑8) · (2↑8))
109104, 105, 1083eqtr2i 2766 . . 3 ((52 · 𝑁) + 68) = ((2↑8) · (2↑8))
1109, 10, 14, 20, 21, 15, 22, 26, 109mod2xi 17004 . 2 ((2↑16) mod 𝑁) = (68 mod 𝑁)
111 6p1e7 12362 . . 3 (6 + 1) = 7
112 eqid 2732 . . 3 16 = 16
1132, 11, 111, 112decsuc 12710 . 2 (16 + 1) = 17
11418nn0cni 12486 . . . 4 136 ∈ ℂ
115114addlidi 11404 . . 3 (0 + 136) = 136
1169nncni 12224 . . . . 5 𝑁 ∈ ℂ
117116mul02i 11405 . . . 4 (0 · 𝑁) = 0
118117oveq1i 7421 . . 3 ((0 · 𝑁) + 136) = (0 + 136)
119 6t2e12 12783 . . . . 5 (6 · 2) = 12
1202, 3, 52, 119decsuc 12710 . . . 4 ((6 · 2) + 1) = 13
1213, 11, 14, 28, 11, 2, 120, 25decmul1c 12744 . . 3 (68 · 2) = 136
122115, 118, 1213eqtr4i 2770 . 2 ((0 · 𝑁) + 136) = (68 · 2)
1239, 10, 12, 13, 15, 18, 110, 113, 122modxp1i 17005 1 ((2↑17) mod 𝑁) = (136 mod 𝑁)
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:   = wceq 1541  (class class class)co 7411  0cc0 11112  1c1 11113   + caddc 11115   · cmul 11117  cn 12214  2c2 12269  3c3 12270  4c4 12271  5c5 12272  6c6 12273  7c7 12274  8c8 12275  9c9 12276  cdc 12679   mod cmo 13836  cexp 14029
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1797  ax-4 1811  ax-5 1913  ax-6 1971  ax-7 2011  ax-8 2108  ax-9 2116  ax-10 2137  ax-11 2154  ax-12 2171  ax-ext 2703  ax-sep 5299  ax-nul 5306  ax-pow 5363  ax-pr 5427  ax-un 7727  ax-cnex 11168  ax-resscn 11169  ax-1cn 11170  ax-icn 11171  ax-addcl 11172  ax-addrcl 11173  ax-mulcl 11174  ax-mulrcl 11175  ax-mulcom 11176  ax-addass 11177  ax-mulass 11178  ax-distr 11179  ax-i2m1 11180  ax-1ne0 11181  ax-1rid 11182  ax-rnegex 11183  ax-rrecex 11184  ax-cnre 11185  ax-pre-lttri 11186  ax-pre-lttrn 11187  ax-pre-ltadd 11188  ax-pre-mulgt0 11189  ax-pre-sup 11190
This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 397  df-or 846  df-3or 1088  df-3an 1089  df-tru 1544  df-fal 1554  df-ex 1782  df-nf 1786  df-sb 2068  df-mo 2534  df-eu 2563  df-clab 2710  df-cleq 2724  df-clel 2810  df-nfc 2885  df-ne 2941  df-nel 3047  df-ral 3062  df-rex 3071  df-rmo 3376  df-reu 3377  df-rab 3433  df-v 3476  df-sbc 3778  df-csb 3894  df-dif 3951  df-un 3953  df-in 3955  df-ss 3965  df-pss 3967  df-nul 4323  df-if 4529  df-pw 4604  df-sn 4629  df-pr 4631  df-op 4635  df-uni 4909  df-iun 4999  df-br 5149  df-opab 5211  df-mpt 5232  df-tr 5266  df-id 5574  df-eprel 5580  df-po 5588  df-so 5589  df-fr 5631  df-we 5633  df-xp 5682  df-rel 5683  df-cnv 5684  df-co 5685  df-dm 5686  df-rn 5687  df-res 5688  df-ima 5689  df-pred 6300  df-ord 6367  df-on 6368  df-lim 6369  df-suc 6370  df-iota 6495  df-fun 6545  df-fn 6546  df-f 6547  df-f1 6548  df-fo 6549  df-f1o 6550  df-fv 6551  df-riota 7367  df-ov 7414  df-oprab 7415  df-mpo 7416  df-om 7858  df-2nd 7978  df-frecs 8268  df-wrecs 8299  df-recs 8373  df-rdg 8412  df-er 8705  df-en 8942  df-dom 8943  df-sdom 8944  df-sup 9439  df-inf 9440  df-pnf 11252  df-mnf 11253  df-xr 11254  df-ltxr 11255  df-le 11256  df-sub 11448  df-neg 11449  df-div 11874  df-nn 12215  df-2 12277  df-3 12278  df-4 12279  df-5 12280  df-6 12281  df-7 12282  df-8 12283  df-9 12284  df-n0 12475  df-z 12561  df-dec 12680  df-uz 12825  df-rp 12977  df-fl 13759  df-mod 13837  df-seq 13969  df-exp 14030
This theorem is referenced by:  1259lem2  17067  1259lem4  17069
  Copyright terms: Public domain W3C validator