Theorem 1259lem1 17226

Description: Lemma for 1259prm 17231. Calculate a power mod. In decimal, we calculate 2↑16 = 52𝑁 + 68≡68 and 2↑17≡68 · 2 = 136 in this lemma. (Contributed by Mario Carneiro, 22-Feb-2014.) (Revised by Mario Carneiro, 20-Apr-2015.) (Proof shortened by AV, 16-Sep-2021.)

Hypothesis

Ref	Expression
1259prm.1	⊢ 𝑁 = ;;;1259

Assertion

Ref	Expression
1259lem1	⊢ ((2↑;17) mod 𝑁) = (;;136 mod 𝑁)

Proof of Theorem 1259lem1

Step	Hyp	Ref	Expression
1		1259prm.1	. . 3 ⊢ 𝑁 = ;;;1259
2		1nn0 12547	. . . . . 6 ⊢ 1 ∈ ℕ0
3		2nn0 12548	. . . . . 6 ⊢ 2 ∈ ℕ0
4	2, 3	deccl 12754	. . . . 5 ⊢ ;12 ∈ ℕ0
5		5nn0 12551	. . . . 5 ⊢ 5 ∈ ℕ0
6	4, 5	deccl 12754	. . . 4 ⊢ ;;125 ∈ ℕ0
7		9nn 12366	. . . 4 ⊢ 9 ∈ ℕ
8	6, 7	decnncl 12763	. . 3 ⊢ ;;;1259 ∈ ℕ
9	1, 8	eqeltri 2856	. 2 ⊢ 𝑁 ∈ ℕ
10		2nn 12341	. 2 ⊢ 2 ∈ ℕ
11		6nn0 12552	. . 3 ⊢ 6 ∈ ℕ0
12	2, 11	deccl 12754	. 2 ⊢ ;16 ∈ ℕ0
13		0z 12629	. 2 ⊢ 0 ∈ ℤ
14		8nn0 12554	. . 3 ⊢ 8 ∈ ℕ0
15	11, 14	deccl 12754	. 2 ⊢ ;68 ∈ ℕ0
16		3nn0 12549	. . . 4 ⊢ 3 ∈ ℕ0
17	2, 16	deccl 12754	. . 3 ⊢ ;13 ∈ ℕ0
18	17, 11	deccl 12754	. 2 ⊢ ;;136 ∈ ℕ0
19	5, 3	deccl 12754	. . . 4 ⊢ ;52 ∈ ℕ0
20	19	nn0zi 12646	. . 3 ⊢ ;52 ∈ ℤ
21	3, 14	nn0expcli 14155	. . 3 ⊢ (2↑8) ∈ ℕ0
22		eqid 2760	. . 3 ⊢ ((2↑8) mod 𝑁) = ((2↑8) mod 𝑁)
23	14	nn0cni 12543	. . . 4 ⊢ 8 ∈ ℂ
24		2cn 12343	. . . 4 ⊢ 2 ∈ ℂ
25		8t2e16 12859	. . . 4 ⊢ (8 · 2) = ;16
26	23, 24, 25	mulcomli 11245	. . 3 ⊢ (2 · 8) = ;16
27		9nn0 12555	. . . . 5 ⊢ 9 ∈ ℕ0
28		eqid 2760	. . . . 5 ⊢ ;68 = ;68
29		4nn0 12550	. . . . . 6 ⊢ 4 ∈ ℕ0
30		7nn0 12553	. . . . . 6 ⊢ 7 ∈ ℕ0
31	29, 30	deccl 12754	. . . . 5 ⊢ ;47 ∈ ℕ0
32		eqid 2760	. . . . . 6 ⊢ ;;125 = ;;125
33		0nn0 12546	. . . . . . 7 ⊢ 0 ∈ ℕ0
34	11	dec0h 12766	. . . . . . 7 ⊢ 6 = ;06
35		eqid 2760	. . . . . . 7 ⊢ ;47 = ;47
36		4cn 12353	. . . . . . . . . 10 ⊢ 4 ∈ ℂ
37	36	addlidi 11425	. . . . . . . . 9 ⊢ (0 + 4) = 4
38	37	oveq1i 7424	. . . . . . . 8 ⊢ ((0 + 4) + 1) = (4 + 1)
39		4p1e5 12413	. . . . . . . 8 ⊢ (4 + 1) = 5
40	38, 39	eqtri 2783	. . . . . . 7 ⊢ ((0 + 4) + 1) = 5
41		7cn 12362	. . . . . . . 8 ⊢ 7 ∈ ℂ
42		6cn 12359	. . . . . . . 8 ⊢ 6 ∈ ℂ
43		7p6e13 12822	. . . . . . . 8 ⊢ (7 + 6) = ;13
44	41, 42, 43	addcomli 11429	. . . . . . 7 ⊢ (6 + 7) = ;13
45	33, 11, 29, 30, 34, 35, 40, 16, 44	decaddc 12799	. . . . . 6 ⊢ (6 + ;47) = ;53
46	3, 11	deccl 12754	. . . . . 6 ⊢ ;26 ∈ ℕ0
47		eqid 2760	. . . . . . 7 ⊢ ;12 = ;12
48	5	dec0h 12766	. . . . . . . 8 ⊢ 5 = ;05
49		eqid 2760	. . . . . . . 8 ⊢ ;26 = ;26
50	24	addlidi 11425	. . . . . . . . . 10 ⊢ (0 + 2) = 2
51	50	oveq1i 7424	. . . . . . . . 9 ⊢ ((0 + 2) + 1) = (2 + 1)
52		2p1e3 12409	. . . . . . . . 9 ⊢ (2 + 1) = 3
53	51, 52	eqtri 2783	. . . . . . . 8 ⊢ ((0 + 2) + 1) = 3
54		5cn 12356	. . . . . . . . 9 ⊢ 5 ∈ ℂ
55		6p5e11 12817	. . . . . . . . 9 ⊢ (6 + 5) = ;11
56	42, 54, 55	addcomli 11429	. . . . . . . 8 ⊢ (5 + 6) = ;11
57	33, 5, 3, 11, 48, 49, 53, 2, 56	decaddc 12799	. . . . . . 7 ⊢ (5 + ;26) = ;31
58		10nn0 12761	. . . . . . 7 ⊢ ;10 ∈ ℕ0
59		eqid 2760	. . . . . . . 8 ⊢ ;52 = ;52
60	58	nn0cni 12543	. . . . . . . . 9 ⊢ ;10 ∈ ℂ
61		3cn 12349	. . . . . . . . 9 ⊢ 3 ∈ ℂ
62		dec10p 12787	. . . . . . . . 9 ⊢ (;10 + 3) = ;13
63	60, 61, 62	addcomli 11429	. . . . . . . 8 ⊢ (3 + ;10) = ;13
64	54	mulridi 11240	. . . . . . . . . 10 ⊢ (5 · 1) = 5
65		1p0e1 12390	. . . . . . . . . 10 ⊢ (1 + 0) = 1
66	64, 65	oveq12i 7426	. . . . . . . . 9 ⊢ ((5 · 1) + (1 + 0)) = (5 + 1)
67		5p1e6 12414	. . . . . . . . 9 ⊢ (5 + 1) = 6
68	66, 67	eqtri 2783	. . . . . . . 8 ⊢ ((5 · 1) + (1 + 0)) = 6
69	24	mulridi 11240	. . . . . . . . . 10 ⊢ (2 · 1) = 2
70	69	oveq1i 7424	. . . . . . . . 9 ⊢ ((2 · 1) + 3) = (2 + 3)
71		3p2e5 12418	. . . . . . . . . 10 ⊢ (3 + 2) = 5
72	61, 24, 71	addcomli 11429	. . . . . . . . 9 ⊢ (2 + 3) = 5
73	70, 72, 48	3eqtri 2787	. . . . . . . 8 ⊢ ((2 · 1) + 3) = ;05
74	5, 3, 2, 16, 59, 63, 2, 5, 33, 68, 73	decmac 12796	. . . . . . 7 ⊢ ((;52 · 1) + (3 + ;10)) = ;65
75	2	dec0h 12766	. . . . . . . 8 ⊢ 1 = ;01
76		5t2e10 12844	. . . . . . . . . 10 ⊢ (5 · 2) = ;10
77		00id 11412	. . . . . . . . . 10 ⊢ (0 + 0) = 0
78	76, 77	oveq12i 7426	. . . . . . . . 9 ⊢ ((5 · 2) + (0 + 0)) = (;10 + 0)
79		dec10p 12787	. . . . . . . . 9 ⊢ (;10 + 0) = ;10
80	78, 79	eqtri 2783	. . . . . . . 8 ⊢ ((5 · 2) + (0 + 0)) = ;10
81		2t2e4 12431	. . . . . . . . . 10 ⊢ (2 · 2) = 4
82	81	oveq1i 7424	. . . . . . . . 9 ⊢ ((2 · 2) + 1) = (4 + 1)
83	82, 39, 48	3eqtri 2787	. . . . . . . 8 ⊢ ((2 · 2) + 1) = ;05
84	5, 3, 33, 2, 59, 75, 3, 5, 33, 80, 83	decmac 12796	. . . . . . 7 ⊢ ((;52 · 2) + 1) = ;;105
85	2, 3, 16, 2, 47, 57, 19, 5, 58, 74, 84	decma2c 12797	. . . . . 6 ⊢ ((;52 · ;12) + (5 + ;26)) = ;;655
86		5t5e25 12847	. . . . . . . 8 ⊢ (5 · 5) = ;25
87	3, 5, 67, 86	decsuc 12775	. . . . . . 7 ⊢ ((5 · 5) + 1) = ;26
88	54, 24, 76	mulcomli 11245	. . . . . . . 8 ⊢ (2 · 5) = ;10
89	61	addlidi 11425	. . . . . . . 8 ⊢ (0 + 3) = 3
90	2, 33, 16, 88, 89	decaddi 12804	. . . . . . 7 ⊢ ((2 · 5) + 3) = ;13
91	5, 3, 16, 59, 5, 16, 2, 87, 90	decrmac 12802	. . . . . 6 ⊢ ((;52 · 5) + 3) = ;;263
92	4, 5, 5, 16, 32, 45, 19, 16, 46, 85, 91	decma2c 12797	. . . . 5 ⊢ ((;52 · ;;125) + (6 + ;47)) = ;;;6553
93		9cn 12368	. . . . . . . 8 ⊢ 9 ∈ ℂ
94		9t5e45 12869	. . . . . . . 8 ⊢ (9 · 5) = ;45
95	93, 54, 94	mulcomli 11245	. . . . . . 7 ⊢ (5 · 9) = ;45
96		5p2e7 12423	. . . . . . 7 ⊢ (5 + 2) = 7
97	29, 5, 3, 95, 96	decaddi 12804	. . . . . 6 ⊢ ((5 · 9) + 2) = ;47
98		9t2e18 12866	. . . . . . . 8 ⊢ (9 · 2) = ;18
99	93, 24, 98	mulcomli 11245	. . . . . . 7 ⊢ (2 · 9) = ;18
100		1p1e2 12391	. . . . . . 7 ⊢ (1 + 1) = 2
101		8p8e16 12830	. . . . . . 7 ⊢ (8 + 8) = ;16
102	2, 14, 14, 99, 100, 11, 101	decaddci 12805	. . . . . 6 ⊢ ((2 · 9) + 8) = ;26
103	5, 3, 14, 59, 27, 11, 3, 97, 102	decrmac 12802	. . . . 5 ⊢ ((;52 · 9) + 8) = ;;476
104	6, 27, 11, 14, 1, 28, 19, 11, 31, 92, 103	decma2c 12797	. . . 4 ⊢ ((;52 · 𝑁) + ;68) = ;;;;65536
105		2exp16 17185	. . . 4 ⊢ (2↑;16) = ;;;;65536
106		eqid 2760	. . . . 5 ⊢ (2↑8) = (2↑8)
107		eqid 2760	. . . . 5 ⊢ ((2↑8) · (2↑8)) = ((2↑8) · (2↑8))
108	3, 14, 26, 106, 107	numexp2x 17173	. . . 4 ⊢ (2↑;16) = ((2↑8) · (2↑8))
109	104, 105, 108	3eqtr2i 2789	. . 3 ⊢ ((;52 · 𝑁) + ;68) = ((2↑8) · (2↑8))
110	9, 10, 14, 20, 21, 15, 22, 26, 109	mod2xi 17164	. 2 ⊢ ((2↑;16) mod 𝑁) = (;68 mod 𝑁)
111		6p1e7 12415	. . 3 ⊢ (6 + 1) = 7
112		eqid 2760	. . 3 ⊢ ;16 = ;16
113	2, 11, 111, 112	decsuc 12775	. 2 ⊢ (;16 + 1) = ;17
114	18	nn0cni 12543	. . . 4 ⊢ ;;136 ∈ ℂ
115	114	addlidi 11425	. . 3 ⊢ (0 + ;;136) = ;;136
116	9	nncni 12270	. . . . 5 ⊢ 𝑁 ∈ ℂ
117	116	mul02i 11426	. . . 4 ⊢ (0 · 𝑁) = 0
118	117	oveq1i 7424	. . 3 ⊢ ((0 · 𝑁) + ;;136) = (0 + ;;136)
119		6t2e12 12848	. . . . 5 ⊢ (6 · 2) = ;12
120	2, 3, 52, 119	decsuc 12775	. . . 4 ⊢ ((6 · 2) + 1) = ;13
121	3, 11, 14, 28, 11, 2, 120, 25	decmul1c 12809	. . 3 ⊢ (;68 · 2) = ;;136
122	115, 118, 121	3eqtr4i 2793	. 2 ⊢ ((0 · 𝑁) + ;;136) = (;68 · 2)
123	9, 10, 12, 13, 15, 18, 110, 113, 122	modxp1i 17165	1 ⊢ ((2↑;17) mod 𝑁) = (;;136 mod 𝑁)

This proof depends on syntax axioms:   = wceq 1570  (class class class)co 7414  0cc0 11127  1c1 11128   + caddc 11130   · cmul 11132  ℕcn 12260  2c2 12322  3c3 12323  4c4 12324  5c5 12325  6c6 12326  7c7 12327  8c8 12328  9c9 12329  ;cdc 12739   mod cmo 13933  ↑cexp 14128

This proof depends on axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1828  ax-4 1842  ax-5 1943  ax-6 2000  ax-7 2041  ax-8 2147  ax-9 2155  ax-10 2178  ax-11 2194  ax-12 2213  ax-ext 2732  ax-sep 5251  ax-nul 5263  ax-pow 5330  ax-pr 5398  ax-un 7737  ax-cnex 11183  ax-resscn 11184  ax-1cn 11185  ax-icn 11186  ax-addcl 11187  ax-addrcl 11188  ax-mulcl 11189  ax-mulrcl 11190  ax-mulcom 11191  ax-addass 11192  ax-mulass 11193  ax-distr 11194  ax-i2m1 11195  ax-1ne0 11196  ax-1rid 11197  ax-rnegex 11198  ax-rrecex 11199  ax-cnre 11200  ax-pre-lttri 11201  ax-pre-lttrn 11202  ax-pre-ltadd 11203  ax-pre-mulgt0 11204  ax-pre-sup 11205

This proof depends on definitions:  df-bi 210  df-an 402  df-or 862  df-3or 1104  df-3an 1105  df-tru 1573  df-fal 1583  df-ex 1813  df-nf 1817  df-sb 2100  df-mo 2564  df-eu 2594  df-clab 2739  df-cleq 2752  df-clel 2835  df-nfc 2909  df-ne 2956  df-nel 3062  df-ral 3077  df-rex 3087  df-rmo 3365  df-reu 3366  df-rab 3413  df-v 3452  df-sbc 3740  df-csb 3848  df-dif 3902  df-un 3904  df-in 3906  df-ss 3916  df-pss 3919  df-nul 4280  df-if 4483  df-pw 4559  df-sn 4585  df-pr 4587  df-op 4591  df-uni 4868  df-iun 4953  df-br 5104  df-opab 5168  df-mpt 5187  df-tr 5213  df-id 5550  df-eprel 5555  df-po 5563  df-so 5564  df-fr 5608  df-we 5610  df-xp 5661  df-rel 5662  df-cnv 5663  df-co 5664  df-dm 5665  df-rn 5666  df-res 5667  df-ima 5668  df-pred 6299  df-ord 6360  df-on 6361  df-lim 6362  df-suc 6363  df-iota 6489  df-fun 6535  df-fn 6536  df-f 6537  df-f1 6538  df-fo 6539  df-f1o 6540  df-fv 6541  df-riota 7371  df-ov 7417  df-oprab 7418  df-mpo 7419  df-om 7864  df-2nd 7988  df-frecs 8281  df-wrecs 8312  df-recs 8361  df-rdg 8400  df-er 8699  df-en 8956  df-dom 8957  df-sdom 8958  df-sup 9415  df-inf 9416  df-pnf 11272  df-mnf 11273  df-xr 11274  df-ltxr 11275  df-le 11276  df-sub 11470  df-neg 11471  df-div 11899  df-nn 12261  df-2 12330  df-3 12331  df-4 12332  df-5 12333  df-6 12334  df-7 12335  df-8 12336  df-9 12337  df-n0 12532  df-z 12619  df-dec 12740  df-uz 12891  df-rp 13046  df-fl 13856  df-mod 13934  df-seq 14069  df-exp 14129

This theorem is used by:  1259lem2  17227  1259lem4  17229