Theorem 1259lem1 17108

Description: Lemma for 1259prm 17113. Calculate a power mod. In decimal, we calculate 2↑16 = 52𝑁 + 68≡68 and 2↑17≡68 · 2 = 136 in this lemma. (Contributed by Mario Carneiro, 22-Feb-2014.) (Revised by Mario Carneiro, 20-Apr-2015.) (Proof shortened by AV, 16-Sep-2021.)

Hypothesis

Ref	Expression
1259prm.1	⊢ 𝑁 = ;;;1259

Assertion

Ref	Expression
1259lem1	⊢ ((2↑;17) mod 𝑁) = (;;136 mod 𝑁)

Proof of Theorem 1259lem1

Step	Hyp	Ref	Expression
1		1259prm.1	. . 3 ⊢ 𝑁 = ;;;1259
2		1nn0 12465	. . . . . 6 ⊢ 1 ∈ ℕ0
3		2nn0 12466	. . . . . 6 ⊢ 2 ∈ ℕ0
4	2, 3	deccl 12671	. . . . 5 ⊢ ;12 ∈ ℕ0
5		5nn0 12469	. . . . 5 ⊢ 5 ∈ ℕ0
6	4, 5	deccl 12671	. . . 4 ⊢ ;;125 ∈ ℕ0
7		9nn 12291	. . . 4 ⊢ 9 ∈ ℕ
8	6, 7	decnncl 12676	. . 3 ⊢ ;;;1259 ∈ ℕ
9	1, 8	eqeltri 2825	. 2 ⊢ 𝑁 ∈ ℕ
10		2nn 12266	. 2 ⊢ 2 ∈ ℕ
11		6nn0 12470	. . 3 ⊢ 6 ∈ ℕ0
12	2, 11	deccl 12671	. 2 ⊢ ;16 ∈ ℕ0
13		0z 12547	. 2 ⊢ 0 ∈ ℤ
14		8nn0 12472	. . 3 ⊢ 8 ∈ ℕ0
15	11, 14	deccl 12671	. 2 ⊢ ;68 ∈ ℕ0
16		3nn0 12467	. . . 4 ⊢ 3 ∈ ℕ0
17	2, 16	deccl 12671	. . 3 ⊢ ;13 ∈ ℕ0
18	17, 11	deccl 12671	. 2 ⊢ ;;136 ∈ ℕ0
19	5, 3	deccl 12671	. . . 4 ⊢ ;52 ∈ ℕ0
20	19	nn0zi 12565	. . 3 ⊢ ;52 ∈ ℤ
21	3, 14	nn0expcli 14060	. . 3 ⊢ (2↑8) ∈ ℕ0
22		eqid 2730	. . 3 ⊢ ((2↑8) mod 𝑁) = ((2↑8) mod 𝑁)
23	14	nn0cni 12461	. . . 4 ⊢ 8 ∈ ℂ
24		2cn 12268	. . . 4 ⊢ 2 ∈ ℂ
25		8t2e16 12771	. . . 4 ⊢ (8 · 2) = ;16
26	23, 24, 25	mulcomli 11190	. . 3 ⊢ (2 · 8) = ;16
27		9nn0 12473	. . . . 5 ⊢ 9 ∈ ℕ0
28		eqid 2730	. . . . 5 ⊢ ;68 = ;68
29		4nn0 12468	. . . . . 6 ⊢ 4 ∈ ℕ0
30		7nn0 12471	. . . . . 6 ⊢ 7 ∈ ℕ0
31	29, 30	deccl 12671	. . . . 5 ⊢ ;47 ∈ ℕ0
32		eqid 2730	. . . . . 6 ⊢ ;;125 = ;;125
33		0nn0 12464	. . . . . . 7 ⊢ 0 ∈ ℕ0
34	11	dec0h 12678	. . . . . . 7 ⊢ 6 = ;06
35		eqid 2730	. . . . . . 7 ⊢ ;47 = ;47
36		4cn 12278	. . . . . . . . . 10 ⊢ 4 ∈ ℂ
37	36	addlidi 11369	. . . . . . . . 9 ⊢ (0 + 4) = 4
38	37	oveq1i 7400	. . . . . . . 8 ⊢ ((0 + 4) + 1) = (4 + 1)
39		4p1e5 12334	. . . . . . . 8 ⊢ (4 + 1) = 5
40	38, 39	eqtri 2753	. . . . . . 7 ⊢ ((0 + 4) + 1) = 5
41		7cn 12287	. . . . . . . 8 ⊢ 7 ∈ ℂ
42		6cn 12284	. . . . . . . 8 ⊢ 6 ∈ ℂ
43		7p6e13 12734	. . . . . . . 8 ⊢ (7 + 6) = ;13
44	41, 42, 43	addcomli 11373	. . . . . . 7 ⊢ (6 + 7) = ;13
45	33, 11, 29, 30, 34, 35, 40, 16, 44	decaddc 12711	. . . . . 6 ⊢ (6 + ;47) = ;53
46	3, 11	deccl 12671	. . . . . 6 ⊢ ;26 ∈ ℕ0
47		eqid 2730	. . . . . . 7 ⊢ ;12 = ;12
48	5	dec0h 12678	. . . . . . . 8 ⊢ 5 = ;05
49		eqid 2730	. . . . . . . 8 ⊢ ;26 = ;26
50	24	addlidi 11369	. . . . . . . . . 10 ⊢ (0 + 2) = 2
51	50	oveq1i 7400	. . . . . . . . 9 ⊢ ((0 + 2) + 1) = (2 + 1)
52		2p1e3 12330	. . . . . . . . 9 ⊢ (2 + 1) = 3
53	51, 52	eqtri 2753	. . . . . . . 8 ⊢ ((0 + 2) + 1) = 3
54		5cn 12281	. . . . . . . . 9 ⊢ 5 ∈ ℂ
55		6p5e11 12729	. . . . . . . . 9 ⊢ (6 + 5) = ;11
56	42, 54, 55	addcomli 11373	. . . . . . . 8 ⊢ (5 + 6) = ;11
57	33, 5, 3, 11, 48, 49, 53, 2, 56	decaddc 12711	. . . . . . 7 ⊢ (5 + ;26) = ;31
58		10nn0 12674	. . . . . . 7 ⊢ ;10 ∈ ℕ0
59		eqid 2730	. . . . . . . 8 ⊢ ;52 = ;52
60	58	nn0cni 12461	. . . . . . . . 9 ⊢ ;10 ∈ ℂ
61		3cn 12274	. . . . . . . . 9 ⊢ 3 ∈ ℂ
62		dec10p 12699	. . . . . . . . 9 ⊢ (;10 + 3) = ;13
63	60, 61, 62	addcomli 11373	. . . . . . . 8 ⊢ (3 + ;10) = ;13
64	54	mulridi 11185	. . . . . . . . . 10 ⊢ (5 · 1) = 5
65		1p0e1 12312	. . . . . . . . . 10 ⊢ (1 + 0) = 1
66	64, 65	oveq12i 7402	. . . . . . . . 9 ⊢ ((5 · 1) + (1 + 0)) = (5 + 1)
67		5p1e6 12335	. . . . . . . . 9 ⊢ (5 + 1) = 6
68	66, 67	eqtri 2753	. . . . . . . 8 ⊢ ((5 · 1) + (1 + 0)) = 6
69	24	mulridi 11185	. . . . . . . . . 10 ⊢ (2 · 1) = 2
70	69	oveq1i 7400	. . . . . . . . 9 ⊢ ((2 · 1) + 3) = (2 + 3)
71		3p2e5 12339	. . . . . . . . . 10 ⊢ (3 + 2) = 5
72	61, 24, 71	addcomli 11373	. . . . . . . . 9 ⊢ (2 + 3) = 5
73	70, 72, 48	3eqtri 2757	. . . . . . . 8 ⊢ ((2 · 1) + 3) = ;05
74	5, 3, 2, 16, 59, 63, 2, 5, 33, 68, 73	decmac 12708	. . . . . . 7 ⊢ ((;52 · 1) + (3 + ;10)) = ;65
75	2	dec0h 12678	. . . . . . . 8 ⊢ 1 = ;01
76		5t2e10 12756	. . . . . . . . . 10 ⊢ (5 · 2) = ;10
77		00id 11356	. . . . . . . . . 10 ⊢ (0 + 0) = 0
78	76, 77	oveq12i 7402	. . . . . . . . 9 ⊢ ((5 · 2) + (0 + 0)) = (;10 + 0)
79		dec10p 12699	. . . . . . . . 9 ⊢ (;10 + 0) = ;10
80	78, 79	eqtri 2753	. . . . . . . 8 ⊢ ((5 · 2) + (0 + 0)) = ;10
81		2t2e4 12352	. . . . . . . . . 10 ⊢ (2 · 2) = 4
82	81	oveq1i 7400	. . . . . . . . 9 ⊢ ((2 · 2) + 1) = (4 + 1)
83	82, 39, 48	3eqtri 2757	. . . . . . . 8 ⊢ ((2 · 2) + 1) = ;05
84	5, 3, 33, 2, 59, 75, 3, 5, 33, 80, 83	decmac 12708	. . . . . . 7 ⊢ ((;52 · 2) + 1) = ;;105
85	2, 3, 16, 2, 47, 57, 19, 5, 58, 74, 84	decma2c 12709	. . . . . 6 ⊢ ((;52 · ;12) + (5 + ;26)) = ;;655
86		5t5e25 12759	. . . . . . . 8 ⊢ (5 · 5) = ;25
87	3, 5, 67, 86	decsuc 12687	. . . . . . 7 ⊢ ((5 · 5) + 1) = ;26
88	54, 24, 76	mulcomli 11190	. . . . . . . 8 ⊢ (2 · 5) = ;10
89	61	addlidi 11369	. . . . . . . 8 ⊢ (0 + 3) = 3
90	2, 33, 16, 88, 89	decaddi 12716	. . . . . . 7 ⊢ ((2 · 5) + 3) = ;13
91	5, 3, 16, 59, 5, 16, 2, 87, 90	decrmac 12714	. . . . . 6 ⊢ ((;52 · 5) + 3) = ;;263
92	4, 5, 5, 16, 32, 45, 19, 16, 46, 85, 91	decma2c 12709	. . . . 5 ⊢ ((;52 · ;;125) + (6 + ;47)) = ;;;6553
93		9cn 12293	. . . . . . . 8 ⊢ 9 ∈ ℂ
94		9t5e45 12781	. . . . . . . 8 ⊢ (9 · 5) = ;45
95	93, 54, 94	mulcomli 11190	. . . . . . 7 ⊢ (5 · 9) = ;45
96		5p2e7 12344	. . . . . . 7 ⊢ (5 + 2) = 7
97	29, 5, 3, 95, 96	decaddi 12716	. . . . . 6 ⊢ ((5 · 9) + 2) = ;47
98		9t2e18 12778	. . . . . . . 8 ⊢ (9 · 2) = ;18
99	93, 24, 98	mulcomli 11190	. . . . . . 7 ⊢ (2 · 9) = ;18
100		1p1e2 12313	. . . . . . 7 ⊢ (1 + 1) = 2
101		8p8e16 12742	. . . . . . 7 ⊢ (8 + 8) = ;16
102	2, 14, 14, 99, 100, 11, 101	decaddci 12717	. . . . . 6 ⊢ ((2 · 9) + 8) = ;26
103	5, 3, 14, 59, 27, 11, 3, 97, 102	decrmac 12714	. . . . 5 ⊢ ((;52 · 9) + 8) = ;;476
104	6, 27, 11, 14, 1, 28, 19, 11, 31, 92, 103	decma2c 12709	. . . 4 ⊢ ((;52 · 𝑁) + ;68) = ;;;;65536
105		2exp16 17068	. . . 4 ⊢ (2↑;16) = ;;;;65536
106		eqid 2730	. . . . 5 ⊢ (2↑8) = (2↑8)
107		eqid 2730	. . . . 5 ⊢ ((2↑8) · (2↑8)) = ((2↑8) · (2↑8))
108	3, 14, 26, 106, 107	numexp2x 17056	. . . 4 ⊢ (2↑;16) = ((2↑8) · (2↑8))
109	104, 105, 108	3eqtr2i 2759	. . 3 ⊢ ((;52 · 𝑁) + ;68) = ((2↑8) · (2↑8))
110	9, 10, 14, 20, 21, 15, 22, 26, 109	mod2xi 17047	. 2 ⊢ ((2↑;16) mod 𝑁) = (;68 mod 𝑁)
111		6p1e7 12336	. . 3 ⊢ (6 + 1) = 7
112		eqid 2730	. . 3 ⊢ ;16 = ;16
113	2, 11, 111, 112	decsuc 12687	. 2 ⊢ (;16 + 1) = ;17
114	18	nn0cni 12461	. . . 4 ⊢ ;;136 ∈ ℂ
115	114	addlidi 11369	. . 3 ⊢ (0 + ;;136) = ;;136
116	9	nncni 12203	. . . . 5 ⊢ 𝑁 ∈ ℂ
117	116	mul02i 11370	. . . 4 ⊢ (0 · 𝑁) = 0
118	117	oveq1i 7400	. . 3 ⊢ ((0 · 𝑁) + ;;136) = (0 + ;;136)
119		6t2e12 12760	. . . . 5 ⊢ (6 · 2) = ;12
120	2, 3, 52, 119	decsuc 12687	. . . 4 ⊢ ((6 · 2) + 1) = ;13
121	3, 11, 14, 28, 11, 2, 120, 25	decmul1c 12721	. . 3 ⊢ (;68 · 2) = ;;136
122	115, 118, 121	3eqtr4i 2763	. 2 ⊢ ((0 · 𝑁) + ;;136) = (;68 · 2)
123	9, 10, 12, 13, 15, 18, 110, 113, 122	modxp1i 17048	1 ⊢ ((2↑;17) mod 𝑁) = (;;136 mod 𝑁)

Syntax hints:   = wceq 1540  (class class class)co 7390  0cc0 11075  1c1 11076   + caddc 11078   · cmul 11080  ℕcn 12193  2c2 12248  3c3 12249  4c4 12250  5c5 12251  6c6 12252  7c7 12253  8c8 12254  9c9 12255  ;cdc 12656   mod cmo 13838  ↑cexp 14033

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1795  ax-4 1809  ax-5 1910  ax-6 1967  ax-7 2008  ax-8 2111  ax-9 2119  ax-10 2142  ax-11 2158  ax-12 2178  ax-ext 2702  ax-sep 5254  ax-nul 5264  ax-pow 5323  ax-pr 5390  ax-un 7714  ax-cnex 11131  ax-resscn 11132  ax-1cn 11133  ax-icn 11134  ax-addcl 11135  ax-addrcl 11136  ax-mulcl 11137  ax-mulrcl 11138  ax-mulcom 11139  ax-addass 11140  ax-mulass 11141  ax-distr 11142  ax-i2m1 11143  ax-1ne0 11144  ax-1rid 11145  ax-rnegex 11146  ax-rrecex 11147  ax-cnre 11148  ax-pre-lttri 11149  ax-pre-lttrn 11150  ax-pre-ltadd 11151  ax-pre-mulgt0 11152  ax-pre-sup 11153

This theorem depends on definitions:  df-bi 207  df-an 396  df-or 848  df-3or 1087  df-3an 1088  df-tru 1543  df-fal 1553  df-ex 1780  df-nf 1784  df-sb 2066  df-mo 2534  df-eu 2563  df-clab 2709  df-cleq 2722  df-clel 2804  df-nfc 2879  df-ne 2927  df-nel 3031  df-ral 3046  df-rex 3055  df-rmo 3356  df-reu 3357  df-rab 3409  df-v 3452  df-sbc 3757  df-csb 3866  df-dif 3920  df-un 3922  df-in 3924  df-ss 3934  df-pss 3937  df-nul 4300  df-if 4492  df-pw 4568  df-sn 4593  df-pr 4595  df-op 4599  df-uni 4875  df-iun 4960  df-br 5111  df-opab 5173  df-mpt 5192  df-tr 5218  df-id 5536  df-eprel 5541  df-po 5549  df-so 5550  df-fr 5594  df-we 5596  df-xp 5647  df-rel 5648  df-cnv 5649  df-co 5650  df-dm 5651  df-rn 5652  df-res 5653  df-ima 5654  df-pred 6277  df-ord 6338  df-on 6339  df-lim 6340  df-suc 6341  df-iota 6467  df-fun 6516  df-fn 6517  df-f 6518  df-f1 6519  df-fo 6520  df-f1o 6521  df-fv 6522  df-riota 7347  df-ov 7393  df-oprab 7394  df-mpo 7395  df-om 7846  df-2nd 7972  df-frecs 8263  df-wrecs 8294  df-recs 8343  df-rdg 8381  df-er 8674  df-en 8922  df-dom 8923  df-sdom 8924  df-sup 9400  df-inf 9401  df-pnf 11217  df-mnf 11218  df-xr 11219  df-ltxr 11220  df-le 11221  df-sub 11414  df-neg 11415  df-div 11843  df-nn 12194  df-2 12256  df-3 12257  df-4 12258  df-5 12259  df-6 12260  df-7 12261  df-8 12262  df-9 12263  df-n0 12450  df-z 12537  df-dec 12657  df-uz 12801  df-rp 12959  df-fl 13761  df-mod 13839  df-seq 13974  df-exp 14034

This theorem is referenced by:  1259lem2  17109  1259lem4  17111