Theorem 1259lem1 17148

Description: Lemma for 1259prm 17153. Calculate a power mod. In decimal, we calculate 2↑16 = 52𝑁 + 68≡68 and 2↑17≡68 · 2 = 136 in this lemma. (Contributed by Mario Carneiro, 22-Feb-2014.) (Revised by Mario Carneiro, 20-Apr-2015.) (Proof shortened by AV, 16-Sep-2021.)

Hypothesis

Ref	Expression
1259prm.1	⊢ 𝑁 = ;;;1259

Assertion

Ref	Expression
1259lem1	⊢ ((2↑;17) mod 𝑁) = (;;136 mod 𝑁)

Proof of Theorem 1259lem1

Step	Hyp	Ref	Expression
1		1259prm.1	. . 3 ⊢ 𝑁 = ;;;1259
2		1nn0 12492	. . . . . 6 ⊢ 1 ∈ ℕ0
3		2nn0 12493	. . . . . 6 ⊢ 2 ∈ ℕ0
4	2, 3	deccl 12698	. . . . 5 ⊢ ;12 ∈ ℕ0
5		5nn0 12496	. . . . 5 ⊢ 5 ∈ ℕ0
6	4, 5	deccl 12698	. . . 4 ⊢ ;;125 ∈ ℕ0
7		9nn 12311	. . . 4 ⊢ 9 ∈ ℕ
8	6, 7	decnncl 12707	. . 3 ⊢ ;;;1259 ∈ ℕ
9	1, 8	eqeltri 2857	. 2 ⊢ 𝑁 ∈ ℕ
10		2nn 12286	. 2 ⊢ 2 ∈ ℕ
11		6nn0 12497	. . 3 ⊢ 6 ∈ ℕ0
12	2, 11	deccl 12698	. 2 ⊢ ;16 ∈ ℕ0
13		0z 12574	. 2 ⊢ 0 ∈ ℤ
14		8nn0 12499	. . 3 ⊢ 8 ∈ ℕ0
15	11, 14	deccl 12698	. 2 ⊢ ;68 ∈ ℕ0
16		3nn0 12494	. . . 4 ⊢ 3 ∈ ℕ0
17	2, 16	deccl 12698	. . 3 ⊢ ;13 ∈ ℕ0
18	17, 11	deccl 12698	. 2 ⊢ ;;136 ∈ ℕ0
19	5, 3	deccl 12698	. . . 4 ⊢ ;52 ∈ ℕ0
20	19	nn0zi 12591	. . 3 ⊢ ;52 ∈ ℤ
21	3, 14	nn0expcli 14096	. . 3 ⊢ (2↑8) ∈ ℕ0
22		eqid 2761	. . 3 ⊢ ((2↑8) mod 𝑁) = ((2↑8) mod 𝑁)
23	14	nn0cni 12488	. . . 4 ⊢ 8 ∈ ℂ
24		2cn 12288	. . . 4 ⊢ 2 ∈ ℂ
25		8t2e16 12803	. . . 4 ⊢ (8 · 2) = ;16
26	23, 24, 25	mulcomli 11186	. . 3 ⊢ (2 · 8) = ;16
27		9nn0 12500	. . . . 5 ⊢ 9 ∈ ℕ0
28		eqid 2761	. . . . 5 ⊢ ;68 = ;68
29		4nn0 12495	. . . . . 6 ⊢ 4 ∈ ℕ0
30		7nn0 12498	. . . . . 6 ⊢ 7 ∈ ℕ0
31	29, 30	deccl 12698	. . . . 5 ⊢ ;47 ∈ ℕ0
32		eqid 2761	. . . . . 6 ⊢ ;;125 = ;;125
33		0nn0 12491	. . . . . . 7 ⊢ 0 ∈ ℕ0
34	11	dec0h 12710	. . . . . . 7 ⊢ 6 = ;06
35		eqid 2761	. . . . . . 7 ⊢ ;47 = ;47
36		4cn 12298	. . . . . . . . . 10 ⊢ 4 ∈ ℂ
37	36	addlidi 11366	. . . . . . . . 9 ⊢ (0 + 4) = 4
38	37	oveq1i 7400	. . . . . . . 8 ⊢ ((0 + 4) + 1) = (4 + 1)
39		4p1e5 12358	. . . . . . . 8 ⊢ (4 + 1) = 5
40	38, 39	eqtri 2784	. . . . . . 7 ⊢ ((0 + 4) + 1) = 5
41		7cn 12307	. . . . . . . 8 ⊢ 7 ∈ ℂ
42		6cn 12304	. . . . . . . 8 ⊢ 6 ∈ ℂ
43		7p6e13 12766	. . . . . . . 8 ⊢ (7 + 6) = ;13
44	41, 42, 43	addcomli 11370	. . . . . . 7 ⊢ (6 + 7) = ;13
45	33, 11, 29, 30, 34, 35, 40, 16, 44	decaddc 12743	. . . . . 6 ⊢ (6 + ;47) = ;53
46	3, 11	deccl 12698	. . . . . 6 ⊢ ;26 ∈ ℕ0
47		eqid 2761	. . . . . . 7 ⊢ ;12 = ;12
48	5	dec0h 12710	. . . . . . . 8 ⊢ 5 = ;05
49		eqid 2761	. . . . . . . 8 ⊢ ;26 = ;26
50	24	addlidi 11366	. . . . . . . . . 10 ⊢ (0 + 2) = 2
51	50	oveq1i 7400	. . . . . . . . 9 ⊢ ((0 + 2) + 1) = (2 + 1)
52		2p1e3 12354	. . . . . . . . 9 ⊢ (2 + 1) = 3
53	51, 52	eqtri 2784	. . . . . . . 8 ⊢ ((0 + 2) + 1) = 3
54		5cn 12301	. . . . . . . . 9 ⊢ 5 ∈ ℂ
55		6p5e11 12761	. . . . . . . . 9 ⊢ (6 + 5) = ;11
56	42, 54, 55	addcomli 11370	. . . . . . . 8 ⊢ (5 + 6) = ;11
57	33, 5, 3, 11, 48, 49, 53, 2, 56	decaddc 12743	. . . . . . 7 ⊢ (5 + ;26) = ;31
58		10nn0 12705	. . . . . . 7 ⊢ ;10 ∈ ℕ0
59		eqid 2761	. . . . . . . 8 ⊢ ;52 = ;52
60	58	nn0cni 12488	. . . . . . . . 9 ⊢ ;10 ∈ ℂ
61		3cn 12294	. . . . . . . . 9 ⊢ 3 ∈ ℂ
62		dec10p 12731	. . . . . . . . 9 ⊢ (;10 + 3) = ;13
63	60, 61, 62	addcomli 11370	. . . . . . . 8 ⊢ (3 + ;10) = ;13
64	54	mulridi 11181	. . . . . . . . . 10 ⊢ (5 · 1) = 5
65		1p0e1 12335	. . . . . . . . . 10 ⊢ (1 + 0) = 1
66	64, 65	oveq12i 7402	. . . . . . . . 9 ⊢ ((5 · 1) + (1 + 0)) = (5 + 1)
67		5p1e6 12359	. . . . . . . . 9 ⊢ (5 + 1) = 6
68	66, 67	eqtri 2784	. . . . . . . 8 ⊢ ((5 · 1) + (1 + 0)) = 6
69	24	mulridi 11181	. . . . . . . . . 10 ⊢ (2 · 1) = 2
70	69	oveq1i 7400	. . . . . . . . 9 ⊢ ((2 · 1) + 3) = (2 + 3)
71		3p2e5 12363	. . . . . . . . . 10 ⊢ (3 + 2) = 5
72	61, 24, 71	addcomli 11370	. . . . . . . . 9 ⊢ (2 + 3) = 5
73	70, 72, 48	3eqtri 2788	. . . . . . . 8 ⊢ ((2 · 1) + 3) = ;05
74	5, 3, 2, 16, 59, 63, 2, 5, 33, 68, 73	decmac 12740	. . . . . . 7 ⊢ ((;52 · 1) + (3 + ;10)) = ;65
75	2	dec0h 12710	. . . . . . . 8 ⊢ 1 = ;01
76		5t2e10 12788	. . . . . . . . . 10 ⊢ (5 · 2) = ;10
77		00id 11353	. . . . . . . . . 10 ⊢ (0 + 0) = 0
78	76, 77	oveq12i 7402	. . . . . . . . 9 ⊢ ((5 · 2) + (0 + 0)) = (;10 + 0)
79		dec10p 12731	. . . . . . . . 9 ⊢ (;10 + 0) = ;10
80	78, 79	eqtri 2784	. . . . . . . 8 ⊢ ((5 · 2) + (0 + 0)) = ;10
81		2t2e4 12376	. . . . . . . . . 10 ⊢ (2 · 2) = 4
82	81	oveq1i 7400	. . . . . . . . 9 ⊢ ((2 · 2) + 1) = (4 + 1)
83	82, 39, 48	3eqtri 2788	. . . . . . . 8 ⊢ ((2 · 2) + 1) = ;05
84	5, 3, 33, 2, 59, 75, 3, 5, 33, 80, 83	decmac 12740	. . . . . . 7 ⊢ ((;52 · 2) + 1) = ;;105
85	2, 3, 16, 2, 47, 57, 19, 5, 58, 74, 84	decma2c 12741	. . . . . 6 ⊢ ((;52 · ;12) + (5 + ;26)) = ;;655
86		5t5e25 12791	. . . . . . . 8 ⊢ (5 · 5) = ;25
87	3, 5, 67, 86	decsuc 12719	. . . . . . 7 ⊢ ((5 · 5) + 1) = ;26
88	54, 24, 76	mulcomli 11186	. . . . . . . 8 ⊢ (2 · 5) = ;10
89	61	addlidi 11366	. . . . . . . 8 ⊢ (0 + 3) = 3
90	2, 33, 16, 88, 89	decaddi 12748	. . . . . . 7 ⊢ ((2 · 5) + 3) = ;13
91	5, 3, 16, 59, 5, 16, 2, 87, 90	decrmac 12746	. . . . . 6 ⊢ ((;52 · 5) + 3) = ;;263
92	4, 5, 5, 16, 32, 45, 19, 16, 46, 85, 91	decma2c 12741	. . . . 5 ⊢ ((;52 · ;;125) + (6 + ;47)) = ;;;6553
93		9cn 12313	. . . . . . . 8 ⊢ 9 ∈ ℂ
94		9t5e45 12813	. . . . . . . 8 ⊢ (9 · 5) = ;45
95	93, 54, 94	mulcomli 11186	. . . . . . 7 ⊢ (5 · 9) = ;45
96		5p2e7 12368	. . . . . . 7 ⊢ (5 + 2) = 7
97	29, 5, 3, 95, 96	decaddi 12748	. . . . . 6 ⊢ ((5 · 9) + 2) = ;47
98		9t2e18 12810	. . . . . . . 8 ⊢ (9 · 2) = ;18
99	93, 24, 98	mulcomli 11186	. . . . . . 7 ⊢ (2 · 9) = ;18
100		1p1e2 12336	. . . . . . 7 ⊢ (1 + 1) = 2
101		8p8e16 12774	. . . . . . 7 ⊢ (8 + 8) = ;16
102	2, 14, 14, 99, 100, 11, 101	decaddci 12749	. . . . . 6 ⊢ ((2 · 9) + 8) = ;26
103	5, 3, 14, 59, 27, 11, 3, 97, 102	decrmac 12746	. . . . 5 ⊢ ((;52 · 9) + 8) = ;;476
104	6, 27, 11, 14, 1, 28, 19, 11, 31, 92, 103	decma2c 12741	. . . 4 ⊢ ((;52 · 𝑁) + ;68) = ;;;;65536
105		2exp16 17107	. . . 4 ⊢ (2↑;16) = ;;;;65536
106		eqid 2761	. . . . 5 ⊢ (2↑8) = (2↑8)
107		eqid 2761	. . . . 5 ⊢ ((2↑8) · (2↑8)) = ((2↑8) · (2↑8))
108	3, 14, 26, 106, 107	numexp2x 17095	. . . 4 ⊢ (2↑;16) = ((2↑8) · (2↑8))
109	104, 105, 108	3eqtr2i 2790	. . 3 ⊢ ((;52 · 𝑁) + ;68) = ((2↑8) · (2↑8))
110	9, 10, 14, 20, 21, 15, 22, 26, 109	mod2xi 17086	. 2 ⊢ ((2↑;16) mod 𝑁) = (;68 mod 𝑁)
111		6p1e7 12360	. . 3 ⊢ (6 + 1) = 7
112		eqid 2761	. . 3 ⊢ ;16 = ;16
113	2, 11, 111, 112	decsuc 12719	. 2 ⊢ (;16 + 1) = ;17
114	18	nn0cni 12488	. . . 4 ⊢ ;;136 ∈ ℂ
115	114	addlidi 11366	. . 3 ⊢ (0 + ;;136) = ;;136
116	9	nncni 12215	. . . . 5 ⊢ 𝑁 ∈ ℂ
117	116	mul02i 11367	. . . 4 ⊢ (0 · 𝑁) = 0
118	117	oveq1i 7400	. . 3 ⊢ ((0 · 𝑁) + ;;136) = (0 + ;;136)
119		6t2e12 12792	. . . . 5 ⊢ (6 · 2) = ;12
120	2, 3, 52, 119	decsuc 12719	. . . 4 ⊢ ((6 · 2) + 1) = ;13
121	3, 11, 14, 28, 11, 2, 120, 25	decmul1c 12753	. . 3 ⊢ (;68 · 2) = ;;136
122	115, 118, 121	3eqtr4i 2794	. 2 ⊢ ((0 · 𝑁) + ;;136) = (;68 · 2)
123	9, 10, 12, 13, 15, 18, 110, 113, 122	modxp1i 17087	1 ⊢ ((2↑;17) mod 𝑁) = (;;136 mod 𝑁)

Syntax hints:   = wceq 1559  (class class class)co 7390  0cc0 11068  1c1 11069   + caddc 11071   · cmul 11073  ℕcn 12205  2c2 12267  3c3 12268  4c4 12269  5c5 12270  6c6 12271  7c7 12272  8c8 12273  9c9 12274  ;cdc 12683   mod cmo 13874  ↑cexp 14069

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1814  ax-4 1828  ax-5 1929  ax-6 1986  ax-7 2027  ax-8 2143  ax-9 2151  ax-10 2174  ax-11 2190  ax-12 2211  ax-ext 2733  ax-sep 5245  ax-nul 5255  ax-pow 5321  ax-pr 5389  ax-un 7712  ax-cnex 11124  ax-resscn 11125  ax-1cn 11126  ax-icn 11127  ax-addcl 11128  ax-addrcl 11129  ax-mulcl 11130  ax-mulrcl 11131  ax-mulcom 11132  ax-addass 11133  ax-mulass 11134  ax-distr 11135  ax-i2m1 11136  ax-1ne0 11137  ax-1rid 11138  ax-rnegex 11139  ax-rrecex 11140  ax-cnre 11141  ax-pre-lttri 11142  ax-pre-lttrn 11143  ax-pre-ltadd 11144  ax-pre-mulgt0 11145  ax-pre-sup 11146

This theorem depends on definitions:  df-bi 209  df-an 400  df-or 859  df-3or 1098  df-3an 1099  df-tru 1562  df-fal 1572  df-ex 1799  df-nf 1803  df-sb 2090  df-mo 2565  df-eu 2595  df-clab 2740  df-cleq 2753  df-clel 2836  df-nfc 2910  df-ne 2957  df-nel 3061  df-ral 3076  df-rex 3086  df-rmo 3366  df-reu 3367  df-rab 3414  df-v 3455  df-sbc 3745  df-csb 3853  df-dif 3907  df-un 3909  df-in 3911  df-ss 3921  df-pss 3924  df-nul 4286  df-if 4480  df-pw 4556  df-sn 4582  df-pr 4584  df-op 4588  df-uni 4865  df-iun 4950  df-br 5100  df-opab 5162  df-mpt 5181  df-tr 5207  df-id 5540  df-eprel 5545  df-po 5553  df-so 5554  df-fr 5598  df-we 5600  df-xp 5651  df-rel 5652  df-cnv 5653  df-co 5654  df-dm 5655  df-rn 5656  df-res 5657  df-ima 5658  df-pred 6282  df-ord 6343  df-on 6344  df-lim 6345  df-suc 6346  df-iota 6471  df-fun 6517  df-fn 6518  df-f 6519  df-f1 6520  df-fo 6521  df-f1o 6522  df-fv 6523  df-riota 7347  df-ov 7393  df-oprab 7394  df-mpo 7395  df-om 7841  df-2nd 7965  df-frecs 8255  df-wrecs 8286  df-recs 8335  df-rdg 8374  df-er 8671  df-en 8922  df-dom 8923  df-sdom 8924  df-sup 9383  df-inf 9384  df-pnf 11213  df-mnf 11214  df-xr 11215  df-ltxr 11216  df-le 11217  df-sub 11411  df-neg 11412  df-div 11840  df-nn 12206  df-2 12275  df-3 12276  df-4 12277  df-5 12278  df-6 12279  df-7 12280  df-8 12281  df-9 12282  df-n0 12477  df-z 12564  df-dec 12684  df-uz 12835  df-rp 12989  df-fl 13797  df-mod 13875  df-seq 14010  df-exp 14070

This theorem is referenced by:  1259lem2  17149  1259lem4  17151