Theorem odlem1 19575

Description: The group element order is either zero or a nonzero multiplier that annihilates the element. (Contributed by Mario Carneiro, 14-Jan-2015.) (Revised by Stefan O'Rear, 5-Sep-2015.) (Revised by AV, 5-Oct-2020.)

Hypotheses

Ref	Expression
odval.1	⊢ 𝑋 = (Base‘𝐺)
odval.2	⊢ · = (.g‘𝐺)
odval.3	⊢ 0 = (0g‘𝐺)
odval.4	⊢ 𝑂 = (od‘𝐺)
odval.i	⊢ 𝐼 = {𝑦 ∈ ℕ ∣ (𝑦 · 𝐴) = 0 }

Assertion

Ref	Expression
odlem1	⊢ (𝐴 ∈ 𝑋 → (((𝑂‘𝐴) = 0 ∧ 𝐼 = ∅) ∨ (𝑂‘𝐴) ∈ 𝐼))

Distinct variable groups:   𝑦,𝐴   𝑦,𝐺   𝑦, ·   𝑦, 0

Allowed substitution hints:   𝐼(𝑦)   𝑂(𝑦)   𝑋(𝑦)

Proof of Theorem odlem1

Step	Hyp	Ref	Expression
1		odval.1	. . 3 ⊢ 𝑋 = (Base‘𝐺)
2		odval.2	. . 3 ⊢ · = (.g‘𝐺)
3		odval.3	. . 3 ⊢ 0 = (0g‘𝐺)
4		odval.4	. . 3 ⊢ 𝑂 = (od‘𝐺)
5		odval.i	. . 3 ⊢ 𝐼 = {𝑦 ∈ ℕ ∣ (𝑦 · 𝐴) = 0 }
6	1, 2, 3, 4, 5	odval 19574	. 2 ⊢ (𝐴 ∈ 𝑋 → (𝑂‘𝐴) = if(𝐼 = ∅, 0, inf(𝐼, ℝ, < )))
7		eqeq2 2774	. . . 4 ⊢ (0 = if(𝐼 = ∅, 0, inf(𝐼, ℝ, < )) → ((𝑂‘𝐴) = 0 ↔ (𝑂‘𝐴) = if(𝐼 = ∅, 0, inf(𝐼, ℝ, < ))))
8	7	imbi1d 343	. . 3 ⊢ (0 = if(𝐼 = ∅, 0, inf(𝐼, ℝ, < )) → (((𝑂‘𝐴) = 0 → (((𝑂‘𝐴) = 0 ∧ 𝐼 = ∅) ∨ (𝑂‘𝐴) ∈ 𝐼)) ↔ ((𝑂‘𝐴) = if(𝐼 = ∅, 0, inf(𝐼, ℝ, < )) → (((𝑂‘𝐴) = 0 ∧ 𝐼 = ∅) ∨ (𝑂‘𝐴) ∈ 𝐼))))
9		eqeq2 2774	. . . 4 ⊢ (inf(𝐼, ℝ, < ) = if(𝐼 = ∅, 0, inf(𝐼, ℝ, < )) → ((𝑂‘𝐴) = inf(𝐼, ℝ, < ) ↔ (𝑂‘𝐴) = if(𝐼 = ∅, 0, inf(𝐼, ℝ, < ))))
10	9	imbi1d 343	. . 3 ⊢ (inf(𝐼, ℝ, < ) = if(𝐼 = ∅, 0, inf(𝐼, ℝ, < )) → (((𝑂‘𝐴) = inf(𝐼, ℝ, < ) → (((𝑂‘𝐴) = 0 ∧ 𝐼 = ∅) ∨ (𝑂‘𝐴) ∈ 𝐼)) ↔ ((𝑂‘𝐴) = if(𝐼 = ∅, 0, inf(𝐼, ℝ, < )) → (((𝑂‘𝐴) = 0 ∧ 𝐼 = ∅) ∨ (𝑂‘𝐴) ∈ 𝐼))))
11		orc 878	. . . . 5 ⊢ (((𝑂‘𝐴) = 0 ∧ 𝐼 = ∅) → (((𝑂‘𝐴) = 0 ∧ 𝐼 = ∅) ∨ (𝑂‘𝐴) ∈ 𝐼))
12	11	expcom 417	. . . 4 ⊢ (𝐼 = ∅ → ((𝑂‘𝐴) = 0 → (((𝑂‘𝐴) = 0 ∧ 𝐼 = ∅) ∨ (𝑂‘𝐴) ∈ 𝐼)))
13	12	adantl 485	. . 3 ⊢ ((𝐴 ∈ 𝑋 ∧ 𝐼 = ∅) → ((𝑂‘𝐴) = 0 → (((𝑂‘𝐴) = 0 ∧ 𝐼 = ∅) ∨ (𝑂‘𝐴) ∈ 𝐼)))
14		ssrab2 4033	. . . . . . 7 ⊢ {𝑦 ∈ ℕ ∣ (𝑦 · 𝐴) = 0 } ⊆ ℕ
15		nnuz 12878	. . . . . . . 8 ⊢ ℕ = (ℤ≥‘1)
16	15	eqcomi 2771	. . . . . . 7 ⊢ (ℤ≥‘1) = ℕ
17	14, 5, 16	3sstr4i 3987	. . . . . 6 ⊢ 𝐼 ⊆ (ℤ≥‘1)
18		neqne 2965	. . . . . . 7 ⊢ (¬ 𝐼 = ∅ → 𝐼 ≠ ∅)
19	18	adantl 485	. . . . . 6 ⊢ ((𝐴 ∈ 𝑋 ∧ ¬ 𝐼 = ∅) → 𝐼 ≠ ∅)
20		infssuzcl 12933	. . . . . 6 ⊢ ((𝐼 ⊆ (ℤ≥‘1) ∧ 𝐼 ≠ ∅) → inf(𝐼, ℝ, < ) ∈ 𝐼)
21	17, 19, 20	sylancr 596	. . . . 5 ⊢ ((𝐴 ∈ 𝑋 ∧ ¬ 𝐼 = ∅) → inf(𝐼, ℝ, < ) ∈ 𝐼)
22		eleq1a 2857	. . . . 5 ⊢ (inf(𝐼, ℝ, < ) ∈ 𝐼 → ((𝑂‘𝐴) = inf(𝐼, ℝ, < ) → (𝑂‘𝐴) ∈ 𝐼))
23	21, 22	syl 17	. . . 4 ⊢ ((𝐴 ∈ 𝑋 ∧ ¬ 𝐼 = ∅) → ((𝑂‘𝐴) = inf(𝐼, ℝ, < ) → (𝑂‘𝐴) ∈ 𝐼))
24		olc 879	. . . 4 ⊢ ((𝑂‘𝐴) ∈ 𝐼 → (((𝑂‘𝐴) = 0 ∧ 𝐼 = ∅) ∨ (𝑂‘𝐴) ∈ 𝐼))
25	23, 24	syl6 35	. . 3 ⊢ ((𝐴 ∈ 𝑋 ∧ ¬ 𝐼 = ∅) → ((𝑂‘𝐴) = inf(𝐼, ℝ, < ) → (((𝑂‘𝐴) = 0 ∧ 𝐼 = ∅) ∨ (𝑂‘𝐴) ∈ 𝐼)))
26	8, 10, 13, 25	ifbothda 4519	. 2 ⊢ (𝐴 ∈ 𝑋 → ((𝑂‘𝐴) = if(𝐼 = ∅, 0, inf(𝐼, ℝ, < )) → (((𝑂‘𝐴) = 0 ∧ 𝐼 = ∅) ∨ (𝑂‘𝐴) ∈ 𝐼)))
27	6, 26	mpd 15	1 ⊢ (𝐴 ∈ 𝑋 → (((𝑂‘𝐴) = 0 ∧ 𝐼 = ∅) ∨ (𝑂‘𝐴) ∈ 𝐼))

Syntax hints:  ¬ wn 3   → wi 4   ∧ wa 399   ∨ wo 858   = wceq 1560   ∈ wcel 2142   ≠ wne 2957  {crab 3414   ⊆ wss 3904  ∅c0 4285  ifcif 4480  ‘cfv 6521  (class class class)co 7396  infcinf 9387  ℝcr 11072  0cc0 11073  1c1 11074   < clt 11216  ℕcn 12210  ℤ_≥cuz 12839  Basecbs 17245  0_gc0g 17468  ._gcmg 19109  odcod 19564

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1815  ax-4 1829  ax-5 1930  ax-6 1987  ax-7 2028  ax-8 2144  ax-9 2152  ax-10 2175  ax-11 2191  ax-12 2212  ax-ext 2734  ax-sep 5246  ax-nul 5256  ax-pow 5322  ax-pr 5390  ax-un 7718  ax-cnex 11129  ax-resscn 11130  ax-1cn 11131  ax-icn 11132  ax-addcl 11133  ax-addrcl 11134  ax-mulcl 11135  ax-mulrcl 11136  ax-mulcom 11137  ax-addass 11138  ax-mulass 11139  ax-distr 11140  ax-i2m1 11141  ax-1ne0 11142  ax-1rid 11143  ax-rnegex 11144  ax-rrecex 11145  ax-cnre 11146  ax-pre-lttri 11147  ax-pre-lttrn 11148  ax-pre-ltadd 11149  ax-pre-mulgt0 11150

This theorem depends on definitions:  df-bi 209  df-an 400  df-or 859  df-3or 1099  df-3an 1100  df-tru 1563  df-fal 1573  df-ex 1800  df-nf 1804  df-sb 2091  df-mo 2566  df-eu 2596  df-clab 2741  df-cleq 2754  df-clel 2837  df-nfc 2911  df-ne 2958  df-nel 3062  df-ral 3077  df-rex 3087  df-rmo 3367  df-reu 3368  df-rab 3415  df-v 3456  df-sbc 3745  df-csb 3853  df-dif 3907  df-un 3909  df-in 3911  df-ss 3921  df-pss 3924  df-nul 4286  df-if 4481  df-pw 4557  df-sn 4583  df-pr 4585  df-op 4589  df-uni 4866  df-iun 4951  df-br 5101  df-opab 5163  df-mpt 5182  df-tr 5208  df-id 5542  df-eprel 5547  df-po 5555  df-so 5556  df-fr 5600  df-we 5602  df-xp 5653  df-rel 5654  df-cnv 5655  df-co 5656  df-dm 5657  df-rn 5658  df-res 5659  df-ima 5660  df-pred 6288  df-ord 6349  df-on 6350  df-lim 6351  df-suc 6352  df-iota 6477  df-fun 6523  df-fn 6524  df-f 6525  df-f1 6526  df-fo 6527  df-f1o 6528  df-fv 6529  df-riota 7353  df-ov 7399  df-oprab 7400  df-mpo 7401  df-om 7847  df-2nd 7971  df-frecs 8262  df-wrecs 8293  df-recs 8342  df-rdg 8381  df-er 8678  df-en 8928  df-dom 8929  df-sdom 8930  df-sup 9388  df-inf 9389  df-pnf 11218  df-mnf 11219  df-xr 11220  df-ltxr 11221  df-le 11222  df-sub 11416  df-neg 11417  df-nn 12211  df-n0 12482  df-z 12569  df-uz 12840  df-od 19568

This theorem is referenced by:  odcl  19576  odid  19578