Metamath Proof Explorer < Previous   Next > Nearby theorems Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  odlem1 Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem odlem1 18583
 Description: The group element order is either zero or a nonzero multiplier that annihilates the element. (Contributed by Mario Carneiro, 14-Jan-2015.) (Revised by Stefan O'Rear, 5-Sep-2015.) (Revised by AV, 5-Oct-2020.)
Hypotheses
Ref Expression
odval.1 𝑋 = (Base‘𝐺)
odval.2 · = (.g𝐺)
odval.3 0 = (0g𝐺)
odval.4 𝑂 = (od‘𝐺)
odval.i 𝐼 = {𝑦 ∈ ℕ ∣ (𝑦 · 𝐴) = 0 }
Assertion
Ref Expression
odlem1 (𝐴𝑋 → (((𝑂𝐴) = 0 ∧ 𝐼 = ∅) ∨ (𝑂𝐴) ∈ 𝐼))
Distinct variable groups:   𝑦,𝐴   𝑦,𝐺   𝑦, ·   𝑦, 0
Allowed substitution hints:   𝐼(𝑦)   𝑂(𝑦)   𝑋(𝑦)

Proof of Theorem odlem1
StepHypRef Expression
1 odval.1 . . 3 𝑋 = (Base‘𝐺)
2 odval.2 . . 3 · = (.g𝐺)
3 odval.3 . . 3 0 = (0g𝐺)
4 odval.4 . . 3 𝑂 = (od‘𝐺)
5 odval.i . . 3 𝐼 = {𝑦 ∈ ℕ ∣ (𝑦 · 𝐴) = 0 }
61, 2, 3, 4, 5odval 18582 . 2 (𝐴𝑋 → (𝑂𝐴) = if(𝐼 = ∅, 0, inf(𝐼, ℝ, < )))
7 eqeq2 2838 . . . 4 (0 = if(𝐼 = ∅, 0, inf(𝐼, ℝ, < )) → ((𝑂𝐴) = 0 ↔ (𝑂𝐴) = if(𝐼 = ∅, 0, inf(𝐼, ℝ, < ))))
87imbi1d 343 . . 3 (0 = if(𝐼 = ∅, 0, inf(𝐼, ℝ, < )) → (((𝑂𝐴) = 0 → (((𝑂𝐴) = 0 ∧ 𝐼 = ∅) ∨ (𝑂𝐴) ∈ 𝐼)) ↔ ((𝑂𝐴) = if(𝐼 = ∅, 0, inf(𝐼, ℝ, < )) → (((𝑂𝐴) = 0 ∧ 𝐼 = ∅) ∨ (𝑂𝐴) ∈ 𝐼))))
9 eqeq2 2838 . . . 4 (inf(𝐼, ℝ, < ) = if(𝐼 = ∅, 0, inf(𝐼, ℝ, < )) → ((𝑂𝐴) = inf(𝐼, ℝ, < ) ↔ (𝑂𝐴) = if(𝐼 = ∅, 0, inf(𝐼, ℝ, < ))))
109imbi1d 343 . . 3 (inf(𝐼, ℝ, < ) = if(𝐼 = ∅, 0, inf(𝐼, ℝ, < )) → (((𝑂𝐴) = inf(𝐼, ℝ, < ) → (((𝑂𝐴) = 0 ∧ 𝐼 = ∅) ∨ (𝑂𝐴) ∈ 𝐼)) ↔ ((𝑂𝐴) = if(𝐼 = ∅, 0, inf(𝐼, ℝ, < )) → (((𝑂𝐴) = 0 ∧ 𝐼 = ∅) ∨ (𝑂𝐴) ∈ 𝐼))))
11 orc 863 . . . . 5 (((𝑂𝐴) = 0 ∧ 𝐼 = ∅) → (((𝑂𝐴) = 0 ∧ 𝐼 = ∅) ∨ (𝑂𝐴) ∈ 𝐼))
1211expcom 414 . . . 4 (𝐼 = ∅ → ((𝑂𝐴) = 0 → (((𝑂𝐴) = 0 ∧ 𝐼 = ∅) ∨ (𝑂𝐴) ∈ 𝐼)))
1312adantl 482 . . 3 ((𝐴𝑋𝐼 = ∅) → ((𝑂𝐴) = 0 → (((𝑂𝐴) = 0 ∧ 𝐼 = ∅) ∨ (𝑂𝐴) ∈ 𝐼)))
14 ssrab2 4060 . . . . . . 7 {𝑦 ∈ ℕ ∣ (𝑦 · 𝐴) = 0 } ⊆ ℕ
15 nnuz 12270 . . . . . . . 8 ℕ = (ℤ‘1)
1615eqcomi 2835 . . . . . . 7 (ℤ‘1) = ℕ
1714, 5, 163sstr4i 4014 . . . . . 6 𝐼 ⊆ (ℤ‘1)
18 neqne 3029 . . . . . . 7 𝐼 = ∅ → 𝐼 ≠ ∅)
1918adantl 482 . . . . . 6 ((𝐴𝑋 ∧ ¬ 𝐼 = ∅) → 𝐼 ≠ ∅)
20 infssuzcl 12321 . . . . . 6 ((𝐼 ⊆ (ℤ‘1) ∧ 𝐼 ≠ ∅) → inf(𝐼, ℝ, < ) ∈ 𝐼)
2117, 19, 20sylancr 587 . . . . 5 ((𝐴𝑋 ∧ ¬ 𝐼 = ∅) → inf(𝐼, ℝ, < ) ∈ 𝐼)
22 eleq1a 2913 . . . . 5 (inf(𝐼, ℝ, < ) ∈ 𝐼 → ((𝑂𝐴) = inf(𝐼, ℝ, < ) → (𝑂𝐴) ∈ 𝐼))
2321, 22syl 17 . . . 4 ((𝐴𝑋 ∧ ¬ 𝐼 = ∅) → ((𝑂𝐴) = inf(𝐼, ℝ, < ) → (𝑂𝐴) ∈ 𝐼))
24 olc 864 . . . 4 ((𝑂𝐴) ∈ 𝐼 → (((𝑂𝐴) = 0 ∧ 𝐼 = ∅) ∨ (𝑂𝐴) ∈ 𝐼))
2523, 24syl6 35 . . 3 ((𝐴𝑋 ∧ ¬ 𝐼 = ∅) → ((𝑂𝐴) = inf(𝐼, ℝ, < ) → (((𝑂𝐴) = 0 ∧ 𝐼 = ∅) ∨ (𝑂𝐴) ∈ 𝐼)))
268, 10, 13, 25ifbothda 4507 . 2 (𝐴𝑋 → ((𝑂𝐴) = if(𝐼 = ∅, 0, inf(𝐼, ℝ, < )) → (((𝑂𝐴) = 0 ∧ 𝐼 = ∅) ∨ (𝑂𝐴) ∈ 𝐼)))
276, 26mpd 15 1 (𝐴𝑋 → (((𝑂𝐴) = 0 ∧ 𝐼 = ∅) ∨ (𝑂𝐴) ∈ 𝐼))
 Colors of variables: wff setvar class Syntax hints:  ¬ wn 3   → wi 4   ∧ wa 396   ∨ wo 843   = wceq 1530   ∈ wcel 2107   ≠ wne 3021  {crab 3147   ⊆ wss 3940  ∅c0 4295  ifcif 4470  ‘cfv 6352  (class class class)co 7148  infcinf 8894  ℝcr 10525  0cc0 10526  1c1 10527   < clt 10664  ℕcn 11627  ℤ≥cuz 12232  Basecbs 16473  0gc0g 16703  .gcmg 18154  odcod 18572 This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1789  ax-4 1803  ax-5 1904  ax-6 1963  ax-7 2008  ax-8 2109  ax-9 2117  ax-10 2138  ax-11 2153  ax-12 2169  ax-ext 2798  ax-sep 5200  ax-nul 5207  ax-pow 5263  ax-pr 5326  ax-un 7451  ax-cnex 10582  ax-resscn 10583  ax-1cn 10584  ax-icn 10585  ax-addcl 10586  ax-addrcl 10587  ax-mulcl 10588  ax-mulrcl 10589  ax-mulcom 10590  ax-addass 10591  ax-mulass 10592  ax-distr 10593  ax-i2m1 10594  ax-1ne0 10595  ax-1rid 10596  ax-rnegex 10597  ax-rrecex 10598  ax-cnre 10599  ax-pre-lttri 10600  ax-pre-lttrn 10601  ax-pre-ltadd 10602  ax-pre-mulgt0 10603 This theorem depends on definitions:  df-bi 208  df-an 397  df-or 844  df-3or 1082  df-3an 1083  df-tru 1533  df-ex 1774  df-nf 1778  df-sb 2063  df-mo 2620  df-eu 2652  df-clab 2805  df-cleq 2819  df-clel 2898  df-nfc 2968  df-ne 3022  df-nel 3129  df-ral 3148  df-rex 3149  df-reu 3150  df-rmo 3151  df-rab 3152  df-v 3502  df-sbc 3777  df-csb 3888  df-dif 3943  df-un 3945  df-in 3947  df-ss 3956  df-pss 3958  df-nul 4296  df-if 4471  df-pw 4544  df-sn 4565  df-pr 4567  df-tp 4569  df-op 4571  df-uni 4838  df-iun 4919  df-br 5064  df-opab 5126  df-mpt 5144  df-tr 5170  df-id 5459  df-eprel 5464  df-po 5473  df-so 5474  df-fr 5513  df-we 5515  df-xp 5560  df-rel 5561  df-cnv 5562  df-co 5563  df-dm 5564  df-rn 5565  df-res 5566  df-ima 5567  df-pred 6146  df-ord 6192  df-on 6193  df-lim 6194  df-suc 6195  df-iota 6312  df-fun 6354  df-fn 6355  df-f 6356  df-f1 6357  df-fo 6358  df-f1o 6359  df-fv 6360  df-riota 7106  df-ov 7151  df-oprab 7152  df-mpo 7153  df-om 7569  df-wrecs 7938  df-recs 7999  df-rdg 8037  df-er 8279  df-en 8499  df-dom 8500  df-sdom 8501  df-sup 8895  df-inf 8896  df-pnf 10666  df-mnf 10667  df-xr 10668  df-ltxr 10669  df-le 10670  df-sub 10861  df-neg 10862  df-nn 11628  df-n0 11887  df-z 11971  df-uz 12233  df-od 18576 This theorem is referenced by:  odcl  18584  odid  18586
 Copyright terms: Public domain W3C validator