Theorem odlem1 19451

Description: The group element order is either zero or a nonzero multiplier that annihilates the element. (Contributed by Mario Carneiro, 14-Jan-2015.) (Revised by Stefan O'Rear, 5-Sep-2015.) (Revised by AV, 5-Oct-2020.)

Hypotheses

Ref	Expression
odval.1	⊢ 𝑋 = (Base‘𝐺)
odval.2	⊢ · = (.g‘𝐺)
odval.3	⊢ 0 = (0g‘𝐺)
odval.4	⊢ 𝑂 = (od‘𝐺)
odval.i	⊢ 𝐼 = {𝑦 ∈ ℕ ∣ (𝑦 · 𝐴) = 0 }

Assertion

Ref	Expression
odlem1	⊢ (𝐴 ∈ 𝑋 → (((𝑂‘𝐴) = 0 ∧ 𝐼 = ∅) ∨ (𝑂‘𝐴) ∈ 𝐼))

Distinct variable groups:   𝑦,𝐴   𝑦,𝐺   𝑦, ·   𝑦, 0

Allowed substitution hints:   𝐼(𝑦)   𝑂(𝑦)   𝑋(𝑦)

Proof of Theorem odlem1

Step	Hyp	Ref	Expression
1		odval.1	. . 3 ⊢ 𝑋 = (Base‘𝐺)
2		odval.2	. . 3 ⊢ · = (.g‘𝐺)
3		odval.3	. . 3 ⊢ 0 = (0g‘𝐺)
4		odval.4	. . 3 ⊢ 𝑂 = (od‘𝐺)
5		odval.i	. . 3 ⊢ 𝐼 = {𝑦 ∈ ℕ ∣ (𝑦 · 𝐴) = 0 }
6	1, 2, 3, 4, 5	odval 19450	. 2 ⊢ (𝐴 ∈ 𝑋 → (𝑂‘𝐴) = if(𝐼 = ∅, 0, inf(𝐼, ℝ, < )))
7		eqeq2 2736	. . . 4 ⊢ (0 = if(𝐼 = ∅, 0, inf(𝐼, ℝ, < )) → ((𝑂‘𝐴) = 0 ↔ (𝑂‘𝐴) = if(𝐼 = ∅, 0, inf(𝐼, ℝ, < ))))
8	7	imbi1d 341	. . 3 ⊢ (0 = if(𝐼 = ∅, 0, inf(𝐼, ℝ, < )) → (((𝑂‘𝐴) = 0 → (((𝑂‘𝐴) = 0 ∧ 𝐼 = ∅) ∨ (𝑂‘𝐴) ∈ 𝐼)) ↔ ((𝑂‘𝐴) = if(𝐼 = ∅, 0, inf(𝐼, ℝ, < )) → (((𝑂‘𝐴) = 0 ∧ 𝐼 = ∅) ∨ (𝑂‘𝐴) ∈ 𝐼))))
9		eqeq2 2736	. . . 4 ⊢ (inf(𝐼, ℝ, < ) = if(𝐼 = ∅, 0, inf(𝐼, ℝ, < )) → ((𝑂‘𝐴) = inf(𝐼, ℝ, < ) ↔ (𝑂‘𝐴) = if(𝐼 = ∅, 0, inf(𝐼, ℝ, < ))))
10	9	imbi1d 341	. . 3 ⊢ (inf(𝐼, ℝ, < ) = if(𝐼 = ∅, 0, inf(𝐼, ℝ, < )) → (((𝑂‘𝐴) = inf(𝐼, ℝ, < ) → (((𝑂‘𝐴) = 0 ∧ 𝐼 = ∅) ∨ (𝑂‘𝐴) ∈ 𝐼)) ↔ ((𝑂‘𝐴) = if(𝐼 = ∅, 0, inf(𝐼, ℝ, < )) → (((𝑂‘𝐴) = 0 ∧ 𝐼 = ∅) ∨ (𝑂‘𝐴) ∈ 𝐼))))
11		orc 864	. . . . 5 ⊢ (((𝑂‘𝐴) = 0 ∧ 𝐼 = ∅) → (((𝑂‘𝐴) = 0 ∧ 𝐼 = ∅) ∨ (𝑂‘𝐴) ∈ 𝐼))
12	11	expcom 413	. . . 4 ⊢ (𝐼 = ∅ → ((𝑂‘𝐴) = 0 → (((𝑂‘𝐴) = 0 ∧ 𝐼 = ∅) ∨ (𝑂‘𝐴) ∈ 𝐼)))
13	12	adantl 481	. . 3 ⊢ ((𝐴 ∈ 𝑋 ∧ 𝐼 = ∅) → ((𝑂‘𝐴) = 0 → (((𝑂‘𝐴) = 0 ∧ 𝐼 = ∅) ∨ (𝑂‘𝐴) ∈ 𝐼)))
14		ssrab2 4070	. . . . . . 7 ⊢ {𝑦 ∈ ℕ ∣ (𝑦 · 𝐴) = 0 } ⊆ ℕ
15		nnuz 12864	. . . . . . . 8 ⊢ ℕ = (ℤ≥‘1)
16	15	eqcomi 2733	. . . . . . 7 ⊢ (ℤ≥‘1) = ℕ
17	14, 5, 16	3sstr4i 4018	. . . . . 6 ⊢ 𝐼 ⊆ (ℤ≥‘1)
18		neqne 2940	. . . . . . 7 ⊢ (¬ 𝐼 = ∅ → 𝐼 ≠ ∅)
19	18	adantl 481	. . . . . 6 ⊢ ((𝐴 ∈ 𝑋 ∧ ¬ 𝐼 = ∅) → 𝐼 ≠ ∅)
20		infssuzcl 12915	. . . . . 6 ⊢ ((𝐼 ⊆ (ℤ≥‘1) ∧ 𝐼 ≠ ∅) → inf(𝐼, ℝ, < ) ∈ 𝐼)
21	17, 19, 20	sylancr 586	. . . . 5 ⊢ ((𝐴 ∈ 𝑋 ∧ ¬ 𝐼 = ∅) → inf(𝐼, ℝ, < ) ∈ 𝐼)
22		eleq1a 2820	. . . . 5 ⊢ (inf(𝐼, ℝ, < ) ∈ 𝐼 → ((𝑂‘𝐴) = inf(𝐼, ℝ, < ) → (𝑂‘𝐴) ∈ 𝐼))
23	21, 22	syl 17	. . . 4 ⊢ ((𝐴 ∈ 𝑋 ∧ ¬ 𝐼 = ∅) → ((𝑂‘𝐴) = inf(𝐼, ℝ, < ) → (𝑂‘𝐴) ∈ 𝐼))
24		olc 865	. . . 4 ⊢ ((𝑂‘𝐴) ∈ 𝐼 → (((𝑂‘𝐴) = 0 ∧ 𝐼 = ∅) ∨ (𝑂‘𝐴) ∈ 𝐼))
25	23, 24	syl6 35	. . 3 ⊢ ((𝐴 ∈ 𝑋 ∧ ¬ 𝐼 = ∅) → ((𝑂‘𝐴) = inf(𝐼, ℝ, < ) → (((𝑂‘𝐴) = 0 ∧ 𝐼 = ∅) ∨ (𝑂‘𝐴) ∈ 𝐼)))
26	8, 10, 13, 25	ifbothda 4559	. 2 ⊢ (𝐴 ∈ 𝑋 → ((𝑂‘𝐴) = if(𝐼 = ∅, 0, inf(𝐼, ℝ, < )) → (((𝑂‘𝐴) = 0 ∧ 𝐼 = ∅) ∨ (𝑂‘𝐴) ∈ 𝐼)))
27	6, 26	mpd 15	1 ⊢ (𝐴 ∈ 𝑋 → (((𝑂‘𝐴) = 0 ∧ 𝐼 = ∅) ∨ (𝑂‘𝐴) ∈ 𝐼))

Syntax hints:  ¬ wn 3   → wi 4   ∧ wa 395   ∨ wo 844   = wceq 1533   ∈ wcel 2098   ≠ wne 2932  {crab 3424   ⊆ wss 3941  ∅c0 4315  ifcif 4521  ‘cfv 6534  (class class class)co 7402  infcinf 9433  ℝcr 11106  0cc0 11107  1c1 11108   < clt 11247  ℕcn 12211  ℤ_≥cuz 12821  Basecbs 17149  0_gc0g 17390  ._gcmg 18991  odcod 19440

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1789  ax-4 1803  ax-5 1905  ax-6 1963  ax-7 2003  ax-8 2100  ax-9 2108  ax-10 2129  ax-11 2146  ax-12 2163  ax-ext 2695  ax-sep 5290  ax-nul 5297  ax-pow 5354  ax-pr 5418  ax-un 7719  ax-cnex 11163  ax-resscn 11164  ax-1cn 11165  ax-icn 11166  ax-addcl 11167  ax-addrcl 11168  ax-mulcl 11169  ax-mulrcl 11170  ax-mulcom 11171  ax-addass 11172  ax-mulass 11173  ax-distr 11174  ax-i2m1 11175  ax-1ne0 11176  ax-1rid 11177  ax-rnegex 11178  ax-rrecex 11179  ax-cnre 11180  ax-pre-lttri 11181  ax-pre-lttrn 11182  ax-pre-ltadd 11183  ax-pre-mulgt0 11184

This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 396  df-or 845  df-3or 1085  df-3an 1086  df-tru 1536  df-fal 1546  df-ex 1774  df-nf 1778  df-sb 2060  df-mo 2526  df-eu 2555  df-clab 2702  df-cleq 2716  df-clel 2802  df-nfc 2877  df-ne 2933  df-nel 3039  df-ral 3054  df-rex 3063  df-rmo 3368  df-reu 3369  df-rab 3425  df-v 3468  df-sbc 3771  df-csb 3887  df-dif 3944  df-un 3946  df-in 3948  df-ss 3958  df-pss 3960  df-nul 4316  df-if 4522  df-pw 4597  df-sn 4622  df-pr 4624  df-op 4628  df-uni 4901  df-iun 4990  df-br 5140  df-opab 5202  df-mpt 5223  df-tr 5257  df-id 5565  df-eprel 5571  df-po 5579  df-so 5580  df-fr 5622  df-we 5624  df-xp 5673  df-rel 5674  df-cnv 5675  df-co 5676  df-dm 5677  df-rn 5678  df-res 5679  df-ima 5680  df-pred 6291  df-ord 6358  df-on 6359  df-lim 6360  df-suc 6361  df-iota 6486  df-fun 6536  df-fn 6537  df-f 6538  df-f1 6539  df-fo 6540  df-f1o 6541  df-fv 6542  df-riota 7358  df-ov 7405  df-oprab 7406  df-mpo 7407  df-om 7850  df-2nd 7970  df-frecs 8262  df-wrecs 8293  df-recs 8367  df-rdg 8406  df-er 8700  df-en 8937  df-dom 8938  df-sdom 8939  df-sup 9434  df-inf 9435  df-pnf 11249  df-mnf 11250  df-xr 11251  df-ltxr 11252  df-le 11253  df-sub 11445  df-neg 11446  df-nn 12212  df-n0 12472  df-z 12558  df-uz 12822  df-od 19444

This theorem is referenced by:  odcl  19452  odid  19454