MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  odlem1 Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem odlem1 19481
Description: The group element order is either zero or a nonzero multiplier that annihilates the element. (Contributed by Mario Carneiro, 14-Jan-2015.) (Revised by Stefan O'Rear, 5-Sep-2015.) (Revised by AV, 5-Oct-2020.)
Hypotheses
Ref Expression
odval.1 𝑋 = (Base‘𝐺)
odval.2 · = (.g𝐺)
odval.3 0 = (0g𝐺)
odval.4 𝑂 = (od‘𝐺)
odval.i 𝐼 = {𝑦 ∈ ℕ ∣ (𝑦 · 𝐴) = 0 }
Assertion
Ref Expression
odlem1 (𝐴𝑋 → (((𝑂𝐴) = 0 ∧ 𝐼 = ∅) ∨ (𝑂𝐴) ∈ 𝐼))
Distinct variable groups:   𝑦,𝐴   𝑦,𝐺   𝑦, ·   𝑦, 0
Allowed substitution hints:   𝐼(𝑦)   𝑂(𝑦)   𝑋(𝑦)

Proof of Theorem odlem1
StepHypRef Expression
1 odval.1 . . 3 𝑋 = (Base‘𝐺)
2 odval.2 . . 3 · = (.g𝐺)
3 odval.3 . . 3 0 = (0g𝐺)
4 odval.4 . . 3 𝑂 = (od‘𝐺)
5 odval.i . . 3 𝐼 = {𝑦 ∈ ℕ ∣ (𝑦 · 𝐴) = 0 }
61, 2, 3, 4, 5odval 19480 . 2 (𝐴𝑋 → (𝑂𝐴) = if(𝐼 = ∅, 0, inf(𝐼, ℝ, < )))
7 eqeq2 2739 . . . 4 (0 = if(𝐼 = ∅, 0, inf(𝐼, ℝ, < )) → ((𝑂𝐴) = 0 ↔ (𝑂𝐴) = if(𝐼 = ∅, 0, inf(𝐼, ℝ, < ))))
87imbi1d 341 . . 3 (0 = if(𝐼 = ∅, 0, inf(𝐼, ℝ, < )) → (((𝑂𝐴) = 0 → (((𝑂𝐴) = 0 ∧ 𝐼 = ∅) ∨ (𝑂𝐴) ∈ 𝐼)) ↔ ((𝑂𝐴) = if(𝐼 = ∅, 0, inf(𝐼, ℝ, < )) → (((𝑂𝐴) = 0 ∧ 𝐼 = ∅) ∨ (𝑂𝐴) ∈ 𝐼))))
9 eqeq2 2739 . . . 4 (inf(𝐼, ℝ, < ) = if(𝐼 = ∅, 0, inf(𝐼, ℝ, < )) → ((𝑂𝐴) = inf(𝐼, ℝ, < ) ↔ (𝑂𝐴) = if(𝐼 = ∅, 0, inf(𝐼, ℝ, < ))))
109imbi1d 341 . . 3 (inf(𝐼, ℝ, < ) = if(𝐼 = ∅, 0, inf(𝐼, ℝ, < )) → (((𝑂𝐴) = inf(𝐼, ℝ, < ) → (((𝑂𝐴) = 0 ∧ 𝐼 = ∅) ∨ (𝑂𝐴) ∈ 𝐼)) ↔ ((𝑂𝐴) = if(𝐼 = ∅, 0, inf(𝐼, ℝ, < )) → (((𝑂𝐴) = 0 ∧ 𝐼 = ∅) ∨ (𝑂𝐴) ∈ 𝐼))))
11 orc 866 . . . . 5 (((𝑂𝐴) = 0 ∧ 𝐼 = ∅) → (((𝑂𝐴) = 0 ∧ 𝐼 = ∅) ∨ (𝑂𝐴) ∈ 𝐼))
1211expcom 413 . . . 4 (𝐼 = ∅ → ((𝑂𝐴) = 0 → (((𝑂𝐴) = 0 ∧ 𝐼 = ∅) ∨ (𝑂𝐴) ∈ 𝐼)))
1312adantl 481 . . 3 ((𝐴𝑋𝐼 = ∅) → ((𝑂𝐴) = 0 → (((𝑂𝐴) = 0 ∧ 𝐼 = ∅) ∨ (𝑂𝐴) ∈ 𝐼)))
14 ssrab2 4073 . . . . . . 7 {𝑦 ∈ ℕ ∣ (𝑦 · 𝐴) = 0 } ⊆ ℕ
15 nnuz 12887 . . . . . . . 8 ℕ = (ℤ‘1)
1615eqcomi 2736 . . . . . . 7 (ℤ‘1) = ℕ
1714, 5, 163sstr4i 4021 . . . . . 6 𝐼 ⊆ (ℤ‘1)
18 neqne 2943 . . . . . . 7 𝐼 = ∅ → 𝐼 ≠ ∅)
1918adantl 481 . . . . . 6 ((𝐴𝑋 ∧ ¬ 𝐼 = ∅) → 𝐼 ≠ ∅)
20 infssuzcl 12938 . . . . . 6 ((𝐼 ⊆ (ℤ‘1) ∧ 𝐼 ≠ ∅) → inf(𝐼, ℝ, < ) ∈ 𝐼)
2117, 19, 20sylancr 586 . . . . 5 ((𝐴𝑋 ∧ ¬ 𝐼 = ∅) → inf(𝐼, ℝ, < ) ∈ 𝐼)
22 eleq1a 2823 . . . . 5 (inf(𝐼, ℝ, < ) ∈ 𝐼 → ((𝑂𝐴) = inf(𝐼, ℝ, < ) → (𝑂𝐴) ∈ 𝐼))
2321, 22syl 17 . . . 4 ((𝐴𝑋 ∧ ¬ 𝐼 = ∅) → ((𝑂𝐴) = inf(𝐼, ℝ, < ) → (𝑂𝐴) ∈ 𝐼))
24 olc 867 . . . 4 ((𝑂𝐴) ∈ 𝐼 → (((𝑂𝐴) = 0 ∧ 𝐼 = ∅) ∨ (𝑂𝐴) ∈ 𝐼))
2523, 24syl6 35 . . 3 ((𝐴𝑋 ∧ ¬ 𝐼 = ∅) → ((𝑂𝐴) = inf(𝐼, ℝ, < ) → (((𝑂𝐴) = 0 ∧ 𝐼 = ∅) ∨ (𝑂𝐴) ∈ 𝐼)))
268, 10, 13, 25ifbothda 4562 . 2 (𝐴𝑋 → ((𝑂𝐴) = if(𝐼 = ∅, 0, inf(𝐼, ℝ, < )) → (((𝑂𝐴) = 0 ∧ 𝐼 = ∅) ∨ (𝑂𝐴) ∈ 𝐼)))
276, 26mpd 15 1 (𝐴𝑋 → (((𝑂𝐴) = 0 ∧ 𝐼 = ∅) ∨ (𝑂𝐴) ∈ 𝐼))
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  ¬ wn 3  wi 4  wa 395  wo 846   = wceq 1534  wcel 2099  wne 2935  {crab 3427  wss 3944  c0 4318  ifcif 4524  cfv 6542  (class class class)co 7414  infcinf 9456  cr 11129  0cc0 11130  1c1 11131   < clt 11270  cn 12234  cuz 12844  Basecbs 17171  0gc0g 17412  .gcmg 19014  odcod 19470
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1790  ax-4 1804  ax-5 1906  ax-6 1964  ax-7 2004  ax-8 2101  ax-9 2109  ax-10 2130  ax-11 2147  ax-12 2164  ax-ext 2698  ax-sep 5293  ax-nul 5300  ax-pow 5359  ax-pr 5423  ax-un 7734  ax-cnex 11186  ax-resscn 11187  ax-1cn 11188  ax-icn 11189  ax-addcl 11190  ax-addrcl 11191  ax-mulcl 11192  ax-mulrcl 11193  ax-mulcom 11194  ax-addass 11195  ax-mulass 11196  ax-distr 11197  ax-i2m1 11198  ax-1ne0 11199  ax-1rid 11200  ax-rnegex 11201  ax-rrecex 11202  ax-cnre 11203  ax-pre-lttri 11204  ax-pre-lttrn 11205  ax-pre-ltadd 11206  ax-pre-mulgt0 11207
This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 396  df-or 847  df-3or 1086  df-3an 1087  df-tru 1537  df-fal 1547  df-ex 1775  df-nf 1779  df-sb 2061  df-mo 2529  df-eu 2558  df-clab 2705  df-cleq 2719  df-clel 2805  df-nfc 2880  df-ne 2936  df-nel 3042  df-ral 3057  df-rex 3066  df-rmo 3371  df-reu 3372  df-rab 3428  df-v 3471  df-sbc 3775  df-csb 3890  df-dif 3947  df-un 3949  df-in 3951  df-ss 3961  df-pss 3963  df-nul 4319  df-if 4525  df-pw 4600  df-sn 4625  df-pr 4627  df-op 4631  df-uni 4904  df-iun 4993  df-br 5143  df-opab 5205  df-mpt 5226  df-tr 5260  df-id 5570  df-eprel 5576  df-po 5584  df-so 5585  df-fr 5627  df-we 5629  df-xp 5678  df-rel 5679  df-cnv 5680  df-co 5681  df-dm 5682  df-rn 5683  df-res 5684  df-ima 5685  df-pred 6299  df-ord 6366  df-on 6367  df-lim 6368  df-suc 6369  df-iota 6494  df-fun 6544  df-fn 6545  df-f 6546  df-f1 6547  df-fo 6548  df-f1o 6549  df-fv 6550  df-riota 7370  df-ov 7417  df-oprab 7418  df-mpo 7419  df-om 7865  df-2nd 7988  df-frecs 8280  df-wrecs 8311  df-recs 8385  df-rdg 8424  df-er 8718  df-en 8956  df-dom 8957  df-sdom 8958  df-sup 9457  df-inf 9458  df-pnf 11272  df-mnf 11273  df-xr 11274  df-ltxr 11275  df-le 11276  df-sub 11468  df-neg 11469  df-nn 12235  df-n0 12495  df-z 12581  df-uz 12845  df-od 19474
This theorem is referenced by:  odcl  19482  odid  19484
  Copyright terms: Public domain W3C validator