Theorem odlem1 19490

Description: The group element order is either zero or a nonzero multiplier that annihilates the element. (Contributed by Mario Carneiro, 14-Jan-2015.) (Revised by Stefan O'Rear, 5-Sep-2015.) (Revised by AV, 5-Oct-2020.)

Hypotheses

Ref	Expression
odval.1	⊢ 𝑋 = (Base‘𝐺)
odval.2	⊢ · = (.g‘𝐺)
odval.3	⊢ 0 = (0g‘𝐺)
odval.4	⊢ 𝑂 = (od‘𝐺)
odval.i	⊢ 𝐼 = {𝑦 ∈ ℕ ∣ (𝑦 · 𝐴) = 0 }

Assertion

Ref	Expression
odlem1	⊢ (𝐴 ∈ 𝑋 → (((𝑂‘𝐴) = 0 ∧ 𝐼 = ∅) ∨ (𝑂‘𝐴) ∈ 𝐼))

Distinct variable groups:   𝑦,𝐴   𝑦,𝐺   𝑦, ·   𝑦, 0

Allowed substitution hints:   𝐼(𝑦)   𝑂(𝑦)   𝑋(𝑦)

Proof of Theorem odlem1

Step	Hyp	Ref	Expression
1		odval.1	. . 3 ⊢ 𝑋 = (Base‘𝐺)
2		odval.2	. . 3 ⊢ · = (.g‘𝐺)
3		odval.3	. . 3 ⊢ 0 = (0g‘𝐺)
4		odval.4	. . 3 ⊢ 𝑂 = (od‘𝐺)
5		odval.i	. . 3 ⊢ 𝐼 = {𝑦 ∈ ℕ ∣ (𝑦 · 𝐴) = 0 }
6	1, 2, 3, 4, 5	odval 19489	. 2 ⊢ (𝐴 ∈ 𝑋 → (𝑂‘𝐴) = if(𝐼 = ∅, 0, inf(𝐼, ℝ, < )))
7		eqeq2 2740	. . . 4 ⊢ (0 = if(𝐼 = ∅, 0, inf(𝐼, ℝ, < )) → ((𝑂‘𝐴) = 0 ↔ (𝑂‘𝐴) = if(𝐼 = ∅, 0, inf(𝐼, ℝ, < ))))
8	7	imbi1d 341	. . 3 ⊢ (0 = if(𝐼 = ∅, 0, inf(𝐼, ℝ, < )) → (((𝑂‘𝐴) = 0 → (((𝑂‘𝐴) = 0 ∧ 𝐼 = ∅) ∨ (𝑂‘𝐴) ∈ 𝐼)) ↔ ((𝑂‘𝐴) = if(𝐼 = ∅, 0, inf(𝐼, ℝ, < )) → (((𝑂‘𝐴) = 0 ∧ 𝐼 = ∅) ∨ (𝑂‘𝐴) ∈ 𝐼))))
9		eqeq2 2740	. . . 4 ⊢ (inf(𝐼, ℝ, < ) = if(𝐼 = ∅, 0, inf(𝐼, ℝ, < )) → ((𝑂‘𝐴) = inf(𝐼, ℝ, < ) ↔ (𝑂‘𝐴) = if(𝐼 = ∅, 0, inf(𝐼, ℝ, < ))))
10	9	imbi1d 341	. . 3 ⊢ (inf(𝐼, ℝ, < ) = if(𝐼 = ∅, 0, inf(𝐼, ℝ, < )) → (((𝑂‘𝐴) = inf(𝐼, ℝ, < ) → (((𝑂‘𝐴) = 0 ∧ 𝐼 = ∅) ∨ (𝑂‘𝐴) ∈ 𝐼)) ↔ ((𝑂‘𝐴) = if(𝐼 = ∅, 0, inf(𝐼, ℝ, < )) → (((𝑂‘𝐴) = 0 ∧ 𝐼 = ∅) ∨ (𝑂‘𝐴) ∈ 𝐼))))
11		orc 866	. . . . 5 ⊢ (((𝑂‘𝐴) = 0 ∧ 𝐼 = ∅) → (((𝑂‘𝐴) = 0 ∧ 𝐼 = ∅) ∨ (𝑂‘𝐴) ∈ 𝐼))
12	11	expcom 413	. . . 4 ⊢ (𝐼 = ∅ → ((𝑂‘𝐴) = 0 → (((𝑂‘𝐴) = 0 ∧ 𝐼 = ∅) ∨ (𝑂‘𝐴) ∈ 𝐼)))
13	12	adantl 481	. . 3 ⊢ ((𝐴 ∈ 𝑋 ∧ 𝐼 = ∅) → ((𝑂‘𝐴) = 0 → (((𝑂‘𝐴) = 0 ∧ 𝐼 = ∅) ∨ (𝑂‘𝐴) ∈ 𝐼)))
14		ssrab2 4075	. . . . . . 7 ⊢ {𝑦 ∈ ℕ ∣ (𝑦 · 𝐴) = 0 } ⊆ ℕ
15		nnuz 12896	. . . . . . . 8 ⊢ ℕ = (ℤ≥‘1)
16	15	eqcomi 2737	. . . . . . 7 ⊢ (ℤ≥‘1) = ℕ
17	14, 5, 16	3sstr4i 4023	. . . . . 6 ⊢ 𝐼 ⊆ (ℤ≥‘1)
18		neqne 2945	. . . . . . 7 ⊢ (¬ 𝐼 = ∅ → 𝐼 ≠ ∅)
19	18	adantl 481	. . . . . 6 ⊢ ((𝐴 ∈ 𝑋 ∧ ¬ 𝐼 = ∅) → 𝐼 ≠ ∅)
20		infssuzcl 12947	. . . . . 6 ⊢ ((𝐼 ⊆ (ℤ≥‘1) ∧ 𝐼 ≠ ∅) → inf(𝐼, ℝ, < ) ∈ 𝐼)
21	17, 19, 20	sylancr 586	. . . . 5 ⊢ ((𝐴 ∈ 𝑋 ∧ ¬ 𝐼 = ∅) → inf(𝐼, ℝ, < ) ∈ 𝐼)
22		eleq1a 2824	. . . . 5 ⊢ (inf(𝐼, ℝ, < ) ∈ 𝐼 → ((𝑂‘𝐴) = inf(𝐼, ℝ, < ) → (𝑂‘𝐴) ∈ 𝐼))
23	21, 22	syl 17	. . . 4 ⊢ ((𝐴 ∈ 𝑋 ∧ ¬ 𝐼 = ∅) → ((𝑂‘𝐴) = inf(𝐼, ℝ, < ) → (𝑂‘𝐴) ∈ 𝐼))
24		olc 867	. . . 4 ⊢ ((𝑂‘𝐴) ∈ 𝐼 → (((𝑂‘𝐴) = 0 ∧ 𝐼 = ∅) ∨ (𝑂‘𝐴) ∈ 𝐼))
25	23, 24	syl6 35	. . 3 ⊢ ((𝐴 ∈ 𝑋 ∧ ¬ 𝐼 = ∅) → ((𝑂‘𝐴) = inf(𝐼, ℝ, < ) → (((𝑂‘𝐴) = 0 ∧ 𝐼 = ∅) ∨ (𝑂‘𝐴) ∈ 𝐼)))
26	8, 10, 13, 25	ifbothda 4567	. 2 ⊢ (𝐴 ∈ 𝑋 → ((𝑂‘𝐴) = if(𝐼 = ∅, 0, inf(𝐼, ℝ, < )) → (((𝑂‘𝐴) = 0 ∧ 𝐼 = ∅) ∨ (𝑂‘𝐴) ∈ 𝐼)))
27	6, 26	mpd 15	1 ⊢ (𝐴 ∈ 𝑋 → (((𝑂‘𝐴) = 0 ∧ 𝐼 = ∅) ∨ (𝑂‘𝐴) ∈ 𝐼))

Syntax hints:  ¬ wn 3   → wi 4   ∧ wa 395   ∨ wo 846   = wceq 1534   ∈ wcel 2099   ≠ wne 2937  {crab 3429   ⊆ wss 3947  ∅c0 4323  ifcif 4529  ‘cfv 6548  (class class class)co 7420  infcinf 9465  ℝcr 11138  0cc0 11139  1c1 11140   < clt 11279  ℕcn 12243  ℤ_≥cuz 12853  Basecbs 17180  0_gc0g 17421  ._gcmg 19023  odcod 19479

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1790  ax-4 1804  ax-5 1906  ax-6 1964  ax-7 2004  ax-8 2101  ax-9 2109  ax-10 2130  ax-11 2147  ax-12 2167  ax-ext 2699  ax-sep 5299  ax-nul 5306  ax-pow 5365  ax-pr 5429  ax-un 7740  ax-cnex 11195  ax-resscn 11196  ax-1cn 11197  ax-icn 11198  ax-addcl 11199  ax-addrcl 11200  ax-mulcl 11201  ax-mulrcl 11202  ax-mulcom 11203  ax-addass 11204  ax-mulass 11205  ax-distr 11206  ax-i2m1 11207  ax-1ne0 11208  ax-1rid 11209  ax-rnegex 11210  ax-rrecex 11211  ax-cnre 11212  ax-pre-lttri 11213  ax-pre-lttrn 11214  ax-pre-ltadd 11215  ax-pre-mulgt0 11216

This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 396  df-or 847  df-3or 1086  df-3an 1087  df-tru 1537  df-fal 1547  df-ex 1775  df-nf 1779  df-sb 2061  df-mo 2530  df-eu 2559  df-clab 2706  df-cleq 2720  df-clel 2806  df-nfc 2881  df-ne 2938  df-nel 3044  df-ral 3059  df-rex 3068  df-rmo 3373  df-reu 3374  df-rab 3430  df-v 3473  df-sbc 3777  df-csb 3893  df-dif 3950  df-un 3952  df-in 3954  df-ss 3964  df-pss 3966  df-nul 4324  df-if 4530  df-pw 4605  df-sn 4630  df-pr 4632  df-op 4636  df-uni 4909  df-iun 4998  df-br 5149  df-opab 5211  df-mpt 5232  df-tr 5266  df-id 5576  df-eprel 5582  df-po 5590  df-so 5591  df-fr 5633  df-we 5635  df-xp 5684  df-rel 5685  df-cnv 5686  df-co 5687  df-dm 5688  df-rn 5689  df-res 5690  df-ima 5691  df-pred 6305  df-ord 6372  df-on 6373  df-lim 6374  df-suc 6375  df-iota 6500  df-fun 6550  df-fn 6551  df-f 6552  df-f1 6553  df-fo 6554  df-f1o 6555  df-fv 6556  df-riota 7376  df-ov 7423  df-oprab 7424  df-mpo 7425  df-om 7871  df-2nd 7994  df-frecs 8287  df-wrecs 8318  df-recs 8392  df-rdg 8431  df-er 8725  df-en 8965  df-dom 8966  df-sdom 8967  df-sup 9466  df-inf 9467  df-pnf 11281  df-mnf 11282  df-xr 11283  df-ltxr 11284  df-le 11285  df-sub 11477  df-neg 11478  df-nn 12244  df-n0 12504  df-z 12590  df-uz 12854  df-od 19483

This theorem is referenced by:  odcl  19491  odid  19493