Theorem odlem1 19462

Description: The group element order is either zero or a nonzero multiplier that annihilates the element. (Contributed by Mario Carneiro, 14-Jan-2015.) (Revised by Stefan O'Rear, 5-Sep-2015.) (Revised by AV, 5-Oct-2020.)

Hypotheses

Ref	Expression
odval.1	⊢ 𝑋 = (Base‘𝐺)
odval.2	⊢ · = (.g‘𝐺)
odval.3	⊢ 0 = (0g‘𝐺)
odval.4	⊢ 𝑂 = (od‘𝐺)
odval.i	⊢ 𝐼 = {𝑦 ∈ ℕ ∣ (𝑦 · 𝐴) = 0 }

Assertion

Ref	Expression
odlem1	⊢ (𝐴 ∈ 𝑋 → (((𝑂‘𝐴) = 0 ∧ 𝐼 = ∅) ∨ (𝑂‘𝐴) ∈ 𝐼))

Distinct variable groups:   𝑦,𝐴   𝑦,𝐺   𝑦, ·   𝑦, 0

Allowed substitution hints:   𝐼(𝑦)   𝑂(𝑦)   𝑋(𝑦)

Proof of Theorem odlem1

Step	Hyp	Ref	Expression
1		odval.1	. . 3 ⊢ 𝑋 = (Base‘𝐺)
2		odval.2	. . 3 ⊢ · = (.g‘𝐺)
3		odval.3	. . 3 ⊢ 0 = (0g‘𝐺)
4		odval.4	. . 3 ⊢ 𝑂 = (od‘𝐺)
5		odval.i	. . 3 ⊢ 𝐼 = {𝑦 ∈ ℕ ∣ (𝑦 · 𝐴) = 0 }
6	1, 2, 3, 4, 5	odval 19461	. 2 ⊢ (𝐴 ∈ 𝑋 → (𝑂‘𝐴) = if(𝐼 = ∅, 0, inf(𝐼, ℝ, < )))
7		eqeq2 2746	. . . 4 ⊢ (0 = if(𝐼 = ∅, 0, inf(𝐼, ℝ, < )) → ((𝑂‘𝐴) = 0 ↔ (𝑂‘𝐴) = if(𝐼 = ∅, 0, inf(𝐼, ℝ, < ))))
8	7	imbi1d 341	. . 3 ⊢ (0 = if(𝐼 = ∅, 0, inf(𝐼, ℝ, < )) → (((𝑂‘𝐴) = 0 → (((𝑂‘𝐴) = 0 ∧ 𝐼 = ∅) ∨ (𝑂‘𝐴) ∈ 𝐼)) ↔ ((𝑂‘𝐴) = if(𝐼 = ∅, 0, inf(𝐼, ℝ, < )) → (((𝑂‘𝐴) = 0 ∧ 𝐼 = ∅) ∨ (𝑂‘𝐴) ∈ 𝐼))))
9		eqeq2 2746	. . . 4 ⊢ (inf(𝐼, ℝ, < ) = if(𝐼 = ∅, 0, inf(𝐼, ℝ, < )) → ((𝑂‘𝐴) = inf(𝐼, ℝ, < ) ↔ (𝑂‘𝐴) = if(𝐼 = ∅, 0, inf(𝐼, ℝ, < ))))
10	9	imbi1d 341	. . 3 ⊢ (inf(𝐼, ℝ, < ) = if(𝐼 = ∅, 0, inf(𝐼, ℝ, < )) → (((𝑂‘𝐴) = inf(𝐼, ℝ, < ) → (((𝑂‘𝐴) = 0 ∧ 𝐼 = ∅) ∨ (𝑂‘𝐴) ∈ 𝐼)) ↔ ((𝑂‘𝐴) = if(𝐼 = ∅, 0, inf(𝐼, ℝ, < )) → (((𝑂‘𝐴) = 0 ∧ 𝐼 = ∅) ∨ (𝑂‘𝐴) ∈ 𝐼))))
11		orc 867	. . . . 5 ⊢ (((𝑂‘𝐴) = 0 ∧ 𝐼 = ∅) → (((𝑂‘𝐴) = 0 ∧ 𝐼 = ∅) ∨ (𝑂‘𝐴) ∈ 𝐼))
12	11	expcom 413	. . . 4 ⊢ (𝐼 = ∅ → ((𝑂‘𝐴) = 0 → (((𝑂‘𝐴) = 0 ∧ 𝐼 = ∅) ∨ (𝑂‘𝐴) ∈ 𝐼)))
13	12	adantl 481	. . 3 ⊢ ((𝐴 ∈ 𝑋 ∧ 𝐼 = ∅) → ((𝑂‘𝐴) = 0 → (((𝑂‘𝐴) = 0 ∧ 𝐼 = ∅) ∨ (𝑂‘𝐴) ∈ 𝐼)))
14		ssrab2 4030	. . . . . . 7 ⊢ {𝑦 ∈ ℕ ∣ (𝑦 · 𝐴) = 0 } ⊆ ℕ
15		nnuz 12788	. . . . . . . 8 ⊢ ℕ = (ℤ≥‘1)
16	15	eqcomi 2743	. . . . . . 7 ⊢ (ℤ≥‘1) = ℕ
17	14, 5, 16	3sstr4i 3983	. . . . . 6 ⊢ 𝐼 ⊆ (ℤ≥‘1)
18		neqne 2938	. . . . . . 7 ⊢ (¬ 𝐼 = ∅ → 𝐼 ≠ ∅)
19	18	adantl 481	. . . . . 6 ⊢ ((𝐴 ∈ 𝑋 ∧ ¬ 𝐼 = ∅) → 𝐼 ≠ ∅)
20		infssuzcl 12843	. . . . . 6 ⊢ ((𝐼 ⊆ (ℤ≥‘1) ∧ 𝐼 ≠ ∅) → inf(𝐼, ℝ, < ) ∈ 𝐼)
21	17, 19, 20	sylancr 587	. . . . 5 ⊢ ((𝐴 ∈ 𝑋 ∧ ¬ 𝐼 = ∅) → inf(𝐼, ℝ, < ) ∈ 𝐼)
22		eleq1a 2829	. . . . 5 ⊢ (inf(𝐼, ℝ, < ) ∈ 𝐼 → ((𝑂‘𝐴) = inf(𝐼, ℝ, < ) → (𝑂‘𝐴) ∈ 𝐼))
23	21, 22	syl 17	. . . 4 ⊢ ((𝐴 ∈ 𝑋 ∧ ¬ 𝐼 = ∅) → ((𝑂‘𝐴) = inf(𝐼, ℝ, < ) → (𝑂‘𝐴) ∈ 𝐼))
24		olc 868	. . . 4 ⊢ ((𝑂‘𝐴) ∈ 𝐼 → (((𝑂‘𝐴) = 0 ∧ 𝐼 = ∅) ∨ (𝑂‘𝐴) ∈ 𝐼))
25	23, 24	syl6 35	. . 3 ⊢ ((𝐴 ∈ 𝑋 ∧ ¬ 𝐼 = ∅) → ((𝑂‘𝐴) = inf(𝐼, ℝ, < ) → (((𝑂‘𝐴) = 0 ∧ 𝐼 = ∅) ∨ (𝑂‘𝐴) ∈ 𝐼)))
26	8, 10, 13, 25	ifbothda 4516	. 2 ⊢ (𝐴 ∈ 𝑋 → ((𝑂‘𝐴) = if(𝐼 = ∅, 0, inf(𝐼, ℝ, < )) → (((𝑂‘𝐴) = 0 ∧ 𝐼 = ∅) ∨ (𝑂‘𝐴) ∈ 𝐼)))
27	6, 26	mpd 15	1 ⊢ (𝐴 ∈ 𝑋 → (((𝑂‘𝐴) = 0 ∧ 𝐼 = ∅) ∨ (𝑂‘𝐴) ∈ 𝐼))

Syntax hints:  ¬ wn 3   → wi 4   ∧ wa 395   ∨ wo 847   = wceq 1541   ∈ wcel 2113   ≠ wne 2930  {crab 3397   ⊆ wss 3899  ∅c0 4283  ifcif 4477  ‘cfv 6490  (class class class)co 7356  infcinf 9342  ℝcr 11023  0cc0 11024  1c1 11025   < clt 11164  ℕcn 12143  ℤ_≥cuz 12749  Basecbs 17134  0_gc0g 17357  ._gcmg 18995  odcod 19451

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1796  ax-4 1810  ax-5 1911  ax-6 1968  ax-7 2009  ax-8 2115  ax-9 2123  ax-10 2146  ax-11 2162  ax-12 2182  ax-ext 2706  ax-sep 5239  ax-nul 5249  ax-pow 5308  ax-pr 5375  ax-un 7678  ax-cnex 11080  ax-resscn 11081  ax-1cn 11082  ax-icn 11083  ax-addcl 11084  ax-addrcl 11085  ax-mulcl 11086  ax-mulrcl 11087  ax-mulcom 11088  ax-addass 11089  ax-mulass 11090  ax-distr 11091  ax-i2m1 11092  ax-1ne0 11093  ax-1rid 11094  ax-rnegex 11095  ax-rrecex 11096  ax-cnre 11097  ax-pre-lttri 11098  ax-pre-lttrn 11099  ax-pre-ltadd 11100  ax-pre-mulgt0 11101

This theorem depends on definitions:  df-bi 207  df-an 396  df-or 848  df-3or 1087  df-3an 1088  df-tru 1544  df-fal 1554  df-ex 1781  df-nf 1785  df-sb 2068  df-mo 2537  df-eu 2567  df-clab 2713  df-cleq 2726  df-clel 2809  df-nfc 2883  df-ne 2931  df-nel 3035  df-ral 3050  df-rex 3059  df-rmo 3348  df-reu 3349  df-rab 3398  df-v 3440  df-sbc 3739  df-csb 3848  df-dif 3902  df-un 3904  df-in 3906  df-ss 3916  df-pss 3919  df-nul 4284  df-if 4478  df-pw 4554  df-sn 4579  df-pr 4581  df-op 4585  df-uni 4862  df-iun 4946  df-br 5097  df-opab 5159  df-mpt 5178  df-tr 5204  df-id 5517  df-eprel 5522  df-po 5530  df-so 5531  df-fr 5575  df-we 5577  df-xp 5628  df-rel 5629  df-cnv 5630  df-co 5631  df-dm 5632  df-rn 5633  df-res 5634  df-ima 5635  df-pred 6257  df-ord 6318  df-on 6319  df-lim 6320  df-suc 6321  df-iota 6446  df-fun 6492  df-fn 6493  df-f 6494  df-f1 6495  df-fo 6496  df-f1o 6497  df-fv 6498  df-riota 7313  df-ov 7359  df-oprab 7360  df-mpo 7361  df-om 7807  df-2nd 7932  df-frecs 8221  df-wrecs 8252  df-recs 8301  df-rdg 8339  df-er 8633  df-en 8882  df-dom 8883  df-sdom 8884  df-sup 9343  df-inf 9344  df-pnf 11166  df-mnf 11167  df-xr 11168  df-ltxr 11169  df-le 11170  df-sub 11364  df-neg 11365  df-nn 12144  df-n0 12400  df-z 12487  df-uz 12750  df-od 19455

This theorem is referenced by:  odcl  19463  odid  19465