Theorem odlem1 19649

Description: The group element order is either zero or a nonzero multiplier that annihilates the element. (Contributed by Mario Carneiro, 14-Jan-2015.) (Revised by Stefan O'Rear, 5-Sep-2015.) (Revised by AV, 5-Oct-2020.)

Hypotheses

Ref	Expression
odval.1	⊢ 𝑋 = (Base‘𝐺)
odval.2	⊢ · = (.g‘𝐺)
odval.3	⊢ 0 = (0g‘𝐺)
odval.4	⊢ 𝑂 = (od‘𝐺)
odval.i	⊢ 𝐼 = {𝑦 ∈ ℕ ∣ (𝑦 · 𝐴) = 0 }

Assertion

Ref	Expression
odlem1	⊢ (𝐴 ∈ 𝑋 → (((𝑂‘𝐴) = 0 ∧ 𝐼 = ∅) ∨ (𝑂‘𝐴) ∈ 𝐼))

Distinct variable groups:   𝑦,𝐴   𝑦,𝐺   𝑦, ·   𝑦, 0

Allowed substitution hints:   𝐼(𝑦)   𝑂(𝑦)   𝑋(𝑦)

Proof of Theorem odlem1

Step	Hyp	Ref	Expression
1		odval.1	. . 3 ⊢ 𝑋 = (Base‘𝐺)
2		odval.2	. . 3 ⊢ · = (.g‘𝐺)
3		odval.3	. . 3 ⊢ 0 = (0g‘𝐺)
4		odval.4	. . 3 ⊢ 𝑂 = (od‘𝐺)
5		odval.i	. . 3 ⊢ 𝐼 = {𝑦 ∈ ℕ ∣ (𝑦 · 𝐴) = 0 }
6	1, 2, 3, 4, 5	odval 19648	. 2 ⊢ (𝐴 ∈ 𝑋 → (𝑂‘𝐴) = if(𝐼 = ∅, 0, inf(𝐼, ℝ, < )))
7		eqeq2 2777	. . . 4 ⊢ (0 = if(𝐼 = ∅, 0, inf(𝐼, ℝ, < )) → ((𝑂‘𝐴) = 0 ↔ (𝑂‘𝐴) = if(𝐼 = ∅, 0, inf(𝐼, ℝ, < ))))
8	7	imbi1d 344	. . 3 ⊢ (0 = if(𝐼 = ∅, 0, inf(𝐼, ℝ, < )) → (((𝑂‘𝐴) = 0 → (((𝑂‘𝐴) = 0 ∧ 𝐼 = ∅) ∨ (𝑂‘𝐴) ∈ 𝐼)) ↔ ((𝑂‘𝐴) = if(𝐼 = ∅, 0, inf(𝐼, ℝ, < )) → (((𝑂‘𝐴) = 0 ∧ 𝐼 = ∅) ∨ (𝑂‘𝐴) ∈ 𝐼))))
9		eqeq2 2777	. . . 4 ⊢ (inf(𝐼, ℝ, < ) = if(𝐼 = ∅, 0, inf(𝐼, ℝ, < )) → ((𝑂‘𝐴) = inf(𝐼, ℝ, < ) ↔ (𝑂‘𝐴) = if(𝐼 = ∅, 0, inf(𝐼, ℝ, < ))))
10	9	imbi1d 344	. . 3 ⊢ (inf(𝐼, ℝ, < ) = if(𝐼 = ∅, 0, inf(𝐼, ℝ, < )) → (((𝑂‘𝐴) = inf(𝐼, ℝ, < ) → (((𝑂‘𝐴) = 0 ∧ 𝐼 = ∅) ∨ (𝑂‘𝐴) ∈ 𝐼)) ↔ ((𝑂‘𝐴) = if(𝐼 = ∅, 0, inf(𝐼, ℝ, < )) → (((𝑂‘𝐴) = 0 ∧ 𝐼 = ∅) ∨ (𝑂‘𝐴) ∈ 𝐼))))
11		orc 881	. . . . 5 ⊢ (((𝑂‘𝐴) = 0 ∧ 𝐼 = ∅) → (((𝑂‘𝐴) = 0 ∧ 𝐼 = ∅) ∨ (𝑂‘𝐴) ∈ 𝐼))
12	11	expcom 419	. . . 4 ⊢ (𝐼 = ∅ → ((𝑂‘𝐴) = 0 → (((𝑂‘𝐴) = 0 ∧ 𝐼 = ∅) ∨ (𝑂‘𝐴) ∈ 𝐼)))
13	12	adantl 487	. . 3 ⊢ ((𝐴 ∈ 𝑋 ∧ 𝐼 = ∅) → ((𝑂‘𝐴) = 0 → (((𝑂‘𝐴) = 0 ∧ 𝐼 = ∅) ∨ (𝑂‘𝐴) ∈ 𝐼)))
14		ssrab2 4035	. . . . . . 7 ⊢ {𝑦 ∈ ℕ ∣ (𝑦 · 𝐴) = 0 } ⊆ ℕ
15		nnuz 12917	. . . . . . . 8 ⊢ ℕ = (ℤ≥‘1)
16	15	eqcomi 2774	. . . . . . 7 ⊢ (ℤ≥‘1) = ℕ
17	14, 5, 16	3sstr4i 3989	. . . . . 6 ⊢ 𝐼 ⊆ (ℤ≥‘1)
18		neqne 2968	. . . . . . 7 ⊢ (¬ 𝐼 = ∅ → 𝐼 ≠ ∅)
19	18	adantl 487	. . . . . 6 ⊢ ((𝐴 ∈ 𝑋 ∧ ¬ 𝐼 = ∅) → 𝐼 ≠ ∅)
20		infssuzcl 12972	. . . . . 6 ⊢ ((𝐼 ⊆ (ℤ≥‘1) ∧ 𝐼 ≠ ∅) → inf(𝐼, ℝ, < ) ∈ 𝐼)
21	17, 19, 20	sylancr 599	. . . . 5 ⊢ ((𝐴 ∈ 𝑋 ∧ ¬ 𝐼 = ∅) → inf(𝐼, ℝ, < ) ∈ 𝐼)
22		eleq1a 2860	. . . . 5 ⊢ (inf(𝐼, ℝ, < ) ∈ 𝐼 → ((𝑂‘𝐴) = inf(𝐼, ℝ, < ) → (𝑂‘𝐴) ∈ 𝐼))
23	21, 22	syl 18	. . . 4 ⊢ ((𝐴 ∈ 𝑋 ∧ ¬ 𝐼 = ∅) → ((𝑂‘𝐴) = inf(𝐼, ℝ, < ) → (𝑂‘𝐴) ∈ 𝐼))
24		olc 882	. . . 4 ⊢ ((𝑂‘𝐴) ∈ 𝐼 → (((𝑂‘𝐴) = 0 ∧ 𝐼 = ∅) ∨ (𝑂‘𝐴) ∈ 𝐼))
25	23, 24	syl6 36	. . 3 ⊢ ((𝐴 ∈ 𝑋 ∧ ¬ 𝐼 = ∅) → ((𝑂‘𝐴) = inf(𝐼, ℝ, < ) → (((𝑂‘𝐴) = 0 ∧ 𝐼 = ∅) ∨ (𝑂‘𝐴) ∈ 𝐼)))
26	8, 10, 13, 25	ifbothda 4528	. 2 ⊢ (𝐴 ∈ 𝑋 → ((𝑂‘𝐴) = if(𝐼 = ∅, 0, inf(𝐼, ℝ, < )) → (((𝑂‘𝐴) = 0 ∧ 𝐼 = ∅) ∨ (𝑂‘𝐴) ∈ 𝐼)))
27	6, 26	mpd 16	1 ⊢ (𝐴 ∈ 𝑋 → (((𝑂‘𝐴) = 0 ∧ 𝐼 = ∅) ∨ (𝑂‘𝐴) ∈ 𝐼))

This proof depends on syntax axioms:  ¬ wn 3   → wi 4   ∧ wa 401   ∨ wo 861   = wceq 1570   ∈ wcel 2146   ≠ wne 2960  {crab 3418   ⊆ wss 3906  ∅c0 4286  ifcif 4489  ‘cfv 6540  (class class class)co 7419  infcinf 9408  ℝcr 11114  0cc0 11115  1c1 11116   < clt 11258  ℕcn 12248  ℤ_≥cuz 12878  Basecbs 17291  0_gc0g 17514  ._gcmg 19177  odcod 19638

This proof depends on axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1828  ax-4 1842  ax-5 1943  ax-6 2000  ax-7 2041  ax-8 2148  ax-9 2156  ax-10 2179  ax-11 2195  ax-12 2216  ax-ext 2737  ax-sep 5259  ax-nul 5271  ax-pow 5338  ax-pr 5406  ax-un 7742  ax-cnex 11171  ax-resscn 11172  ax-1cn 11173  ax-icn 11174  ax-addcl 11175  ax-addrcl 11176  ax-mulcl 11177  ax-mulrcl 11178  ax-mulcom 11179  ax-addass 11180  ax-mulass 11181  ax-distr 11182  ax-i2m1 11183  ax-1ne0 11184  ax-1rid 11185  ax-rnegex 11186  ax-rrecex 11187  ax-cnre 11188  ax-pre-lttri 11189  ax-pre-lttrn 11190  ax-pre-ltadd 11191  ax-pre-mulgt0 11192

This proof depends on definitions:  df-bi 210  df-an 402  df-or 862  df-3or 1104  df-3an 1105  df-tru 1573  df-fal 1583  df-ex 1813  df-nf 1817  df-sb 2100  df-mo 2569  df-eu 2599  df-clab 2744  df-cleq 2757  df-clel 2840  df-nfc 2914  df-ne 2961  df-nel 3067  df-ral 3082  df-rex 3092  df-rmo 3371  df-reu 3372  df-rab 3419  df-v 3459  df-sbc 3747  df-csb 3855  df-dif 3909  df-un 3911  df-in 3913  df-ss 3923  df-pss 3926  df-nul 4287  df-if 4490  df-pw 4566  df-sn 4592  df-pr 4594  df-op 4598  df-uni 4875  df-iun 4960  df-br 5112  df-opab 5176  df-mpt 5195  df-tr 5221  df-id 5558  df-eprel 5563  df-po 5571  df-so 5572  df-fr 5616  df-we 5618  df-xp 5669  df-rel 5670  df-cnv 5671  df-co 5672  df-dm 5673  df-rn 5674  df-res 5675  df-ima 5676  df-pred 6306  df-ord 6367  df-on 6368  df-lim 6369  df-suc 6370  df-iota 6496  df-fun 6542  df-fn 6543  df-f 6544  df-f1 6545  df-fo 6546  df-f1o 6547  df-fv 6548  df-riota 7376  df-ov 7422  df-oprab 7423  df-mpo 7424  df-om 7869  df-2nd 7993  df-frecs 8284  df-wrecs 8315  df-recs 8364  df-rdg 8403  df-er 8700  df-en 8950  df-dom 8951  df-sdom 8952  df-sup 9409  df-inf 9410  df-pnf 11260  df-mnf 11261  df-xr 11262  df-ltxr 11263  df-le 11264  df-sub 11458  df-neg 11459  df-nn 12249  df-n0 12520  df-z 12607  df-uz 12879  df-od 19642

This theorem is used by:  odcl  19650  odid  19652