Theorem odcl 19664

Description: The order of a group element is always a nonnegative integer. (Contributed by Mario Carneiro, 14-Jan-2015.) (Revised by Stefan O'Rear, 5-Sep-2015.)

Hypotheses

Ref	Expression
odcl.1	⊢ 𝑋 = (Base‘𝐺)
odcl.2	⊢ 𝑂 = (od‘𝐺)

Assertion

Ref	Expression
odcl	⊢ (𝐴 ∈ 𝑋 → (𝑂‘𝐴) ∈ ℕ0)

Proof of Theorem odcl

Dummy variable 𝑦 is distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		odcl.1	. . . . 5 ⊢ 𝑋 = (Base‘𝐺)
2		eqid 2760	. . . . 5 ⊢ (.g‘𝐺) = (.g‘𝐺)
3		eqid 2760	. . . . 5 ⊢ (0g‘𝐺) = (0g‘𝐺)
4		odcl.2	. . . . 5 ⊢ 𝑂 = (od‘𝐺)
5		eqid 2760	. . . . 5 ⊢ {𝑦 ∈ ℕ ∣ (𝑦(.g‘𝐺)𝐴) = (0g‘𝐺)} = {𝑦 ∈ ℕ ∣ (𝑦(.g‘𝐺)𝐴) = (0g‘𝐺)}
6	1, 2, 3, 4, 5	odlem1 19663	. . . 4 ⊢ (𝐴 ∈ 𝑋 → (((𝑂‘𝐴) = 0 ∧ {𝑦 ∈ ℕ ∣ (𝑦(.g‘𝐺)𝐴) = (0g‘𝐺)} = ∅) ∨ (𝑂‘𝐴) ∈ {𝑦 ∈ ℕ ∣ (𝑦(.g‘𝐺)𝐴) = (0g‘𝐺)}))
7		simpl 488	. . . . 5 ⊢ (((𝑂‘𝐴) = 0 ∧ {𝑦 ∈ ℕ ∣ (𝑦(.g‘𝐺)𝐴) = (0g‘𝐺)} = ∅) → (𝑂‘𝐴) = 0)
8		elrabi 3641	. . . . 5 ⊢ ((𝑂‘𝐴) ∈ {𝑦 ∈ ℕ ∣ (𝑦(.g‘𝐺)𝐴) = (0g‘𝐺)} → (𝑂‘𝐴) ∈ ℕ)
9	7, 8	orim12i 922	. . . 4 ⊢ ((((𝑂‘𝐴) = 0 ∧ {𝑦 ∈ ℕ ∣ (𝑦(.g‘𝐺)𝐴) = (0g‘𝐺)} = ∅) ∨ (𝑂‘𝐴) ∈ {𝑦 ∈ ℕ ∣ (𝑦(.g‘𝐺)𝐴) = (0g‘𝐺)}) → ((𝑂‘𝐴) = 0 ∨ (𝑂‘𝐴) ∈ ℕ))
10	6, 9	syl 18	. . 3 ⊢ (𝐴 ∈ 𝑋 → ((𝑂‘𝐴) = 0 ∨ (𝑂‘𝐴) ∈ ℕ))
11	10	orcomd 885	. 2 ⊢ (𝐴 ∈ 𝑋 → ((𝑂‘𝐴) ∈ ℕ ∨ (𝑂‘𝐴) = 0))
12		elnn0 12531	. 2 ⊢ ((𝑂‘𝐴) ∈ ℕ0 ↔ ((𝑂‘𝐴) ∈ ℕ ∨ (𝑂‘𝐴) = 0))
13	11, 12	sylibr 237	1 ⊢ (𝐴 ∈ 𝑋 → (𝑂‘𝐴) ∈ ℕ0)

This proof depends on syntax axioms:   → wi 4   ∧ wa 401   ∨ wo 861   = wceq 1570   ∈ wcel 2145  {crab 3412  ∅c0 4279  ‘cfv 6533  (class class class)co 7414  0cc0 11125  ℕcn 12258  ℕ₀cn0 12529  Basecbs 17302  0_gc0g 17525  ._gcmg 19191  odcod 19652

This proof depends on axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1828  ax-4 1842  ax-5 1943  ax-6 2000  ax-7 2041  ax-8 2147  ax-9 2155  ax-10 2178  ax-11 2194  ax-12 2213  ax-ext 2732  ax-sep 5251  ax-nul 5263  ax-pow 5330  ax-pr 5398  ax-un 7737  ax-cnex 11181  ax-resscn 11182  ax-1cn 11183  ax-icn 11184  ax-addcl 11185  ax-addrcl 11186  ax-mulcl 11187  ax-mulrcl 11188  ax-mulcom 11189  ax-addass 11190  ax-mulass 11191  ax-distr 11192  ax-i2m1 11193  ax-1ne0 11194  ax-1rid 11195  ax-rnegex 11196  ax-rrecex 11197  ax-cnre 11198  ax-pre-lttri 11199  ax-pre-lttrn 11200  ax-pre-ltadd 11201  ax-pre-mulgt0 11202

This proof depends on definitions:  df-bi 210  df-an 402  df-or 862  df-3or 1104  df-3an 1105  df-tru 1573  df-fal 1583  df-ex 1813  df-nf 1817  df-sb 2100  df-mo 2564  df-eu 2594  df-clab 2739  df-cleq 2752  df-clel 2835  df-nfc 2909  df-ne 2956  df-nel 3062  df-ral 3077  df-rex 3087  df-rmo 3365  df-reu 3366  df-rab 3413  df-v 3452  df-sbc 3740  df-csb 3848  df-dif 3902  df-un 3904  df-in 3906  df-ss 3916  df-pss 3919  df-nul 4280  df-if 4483  df-pw 4559  df-sn 4585  df-pr 4587  df-op 4591  df-uni 4868  df-iun 4953  df-br 5104  df-opab 5168  df-mpt 5187  df-tr 5213  df-id 5550  df-eprel 5555  df-po 5563  df-so 5564  df-fr 5608  df-we 5610  df-xp 5661  df-rel 5662  df-cnv 5663  df-co 5664  df-dm 5665  df-rn 5666  df-res 5667  df-ima 5668  df-pred 6299  df-ord 6360  df-on 6361  df-lim 6362  df-suc 6363  df-iota 6489  df-fun 6535  df-fn 6536  df-f 6537  df-f1 6538  df-fo 6539  df-f1o 6540  df-fv 6541  df-riota 7371  df-ov 7417  df-oprab 7418  df-mpo 7419  df-om 7864  df-2nd 7988  df-frecs 8281  df-wrecs 8312  df-recs 8361  df-rdg 8400  df-er 8697  df-en 8954  df-dom 8955  df-sdom 8956  df-sup 9413  df-inf 9414  df-pnf 11270  df-mnf 11271  df-xr 11272  df-ltxr 11273  df-le 11274  df-sub 11468  df-neg 11469  df-nn 12259  df-n0 12530  df-z 12617  df-uz 12889  df-od 19656

This theorem is used by:  odf  19665  mndodcongi  19671  oddvdsnn0  19672  oddvds  19675  odeq  19678  odval2  19679  odcld  19680  odmulg2  19683  odmulg  19684  odmulgeq  19685  odbezout  19686  odinv  19689  odf1  19690  dfod2  19692  odcl2  19693  odhash2  19703  odhash3  19704  gexnnod  19716  odadd1  19976  odadd2  19977  odadd  19978  gexexlem  19980  gexex  19981  torsubg  19982  iscygodd  20016  lt6abl  20023  ablfacrp  20196  ablfac1b  20200  ablfac1eu  20203  pgpfac1lem2  20205  fincygsubgodd  20242  chrcl  21738  grpods  43061