Theorem odcl 19447

Description: The order of a group element is always a nonnegative integer. (Contributed by Mario Carneiro, 14-Jan-2015.) (Revised by Stefan O'Rear, 5-Sep-2015.)

Hypotheses

Ref	Expression
odcl.1	⊢ 𝑋 = (Base‘𝐺)
odcl.2	⊢ 𝑂 = (od‘𝐺)

Assertion

Ref	Expression
odcl	⊢ (𝐴 ∈ 𝑋 → (𝑂‘𝐴) ∈ ℕ0)

Proof of Theorem odcl

Dummy variable 𝑦 is distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		odcl.1	. . . . 5 ⊢ 𝑋 = (Base‘𝐺)
2		eqid 2730	. . . . 5 ⊢ (.g‘𝐺) = (.g‘𝐺)
3		eqid 2730	. . . . 5 ⊢ (0g‘𝐺) = (0g‘𝐺)
4		odcl.2	. . . . 5 ⊢ 𝑂 = (od‘𝐺)
5		eqid 2730	. . . . 5 ⊢ {𝑦 ∈ ℕ ∣ (𝑦(.g‘𝐺)𝐴) = (0g‘𝐺)} = {𝑦 ∈ ℕ ∣ (𝑦(.g‘𝐺)𝐴) = (0g‘𝐺)}
6	1, 2, 3, 4, 5	odlem1 19446	. . . 4 ⊢ (𝐴 ∈ 𝑋 → (((𝑂‘𝐴) = 0 ∧ {𝑦 ∈ ℕ ∣ (𝑦(.g‘𝐺)𝐴) = (0g‘𝐺)} = ∅) ∨ (𝑂‘𝐴) ∈ {𝑦 ∈ ℕ ∣ (𝑦(.g‘𝐺)𝐴) = (0g‘𝐺)}))
7		simpl 481	. . . . 5 ⊢ (((𝑂‘𝐴) = 0 ∧ {𝑦 ∈ ℕ ∣ (𝑦(.g‘𝐺)𝐴) = (0g‘𝐺)} = ∅) → (𝑂‘𝐴) = 0)
8		elrabi 3678	. . . . 5 ⊢ ((𝑂‘𝐴) ∈ {𝑦 ∈ ℕ ∣ (𝑦(.g‘𝐺)𝐴) = (0g‘𝐺)} → (𝑂‘𝐴) ∈ ℕ)
9	7, 8	orim12i 905	. . . 4 ⊢ ((((𝑂‘𝐴) = 0 ∧ {𝑦 ∈ ℕ ∣ (𝑦(.g‘𝐺)𝐴) = (0g‘𝐺)} = ∅) ∨ (𝑂‘𝐴) ∈ {𝑦 ∈ ℕ ∣ (𝑦(.g‘𝐺)𝐴) = (0g‘𝐺)}) → ((𝑂‘𝐴) = 0 ∨ (𝑂‘𝐴) ∈ ℕ))
10	6, 9	syl 17	. . 3 ⊢ (𝐴 ∈ 𝑋 → ((𝑂‘𝐴) = 0 ∨ (𝑂‘𝐴) ∈ ℕ))
11	10	orcomd 867	. 2 ⊢ (𝐴 ∈ 𝑋 → ((𝑂‘𝐴) ∈ ℕ ∨ (𝑂‘𝐴) = 0))
12		elnn0 12480	. 2 ⊢ ((𝑂‘𝐴) ∈ ℕ0 ↔ ((𝑂‘𝐴) ∈ ℕ ∨ (𝑂‘𝐴) = 0))
13	11, 12	sylibr 233	1 ⊢ (𝐴 ∈ 𝑋 → (𝑂‘𝐴) ∈ ℕ0)

Syntax hints:   → wi 4   ∧ wa 394   ∨ wo 843   = wceq 1539   ∈ wcel 2104  {crab 3430  ∅c0 4323  ‘cfv 6544  (class class class)co 7413  0cc0 11114  ℕcn 12218  ℕ₀cn0 12478  Basecbs 17150  0_gc0g 17391  ._gcmg 18988  odcod 19435

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1795  ax-4 1809  ax-5 1911  ax-6 1969  ax-7 2009  ax-8 2106  ax-9 2114  ax-10 2135  ax-11 2152  ax-12 2169  ax-ext 2701  ax-sep 5300  ax-nul 5307  ax-pow 5364  ax-pr 5428  ax-un 7729  ax-cnex 11170  ax-resscn 11171  ax-1cn 11172  ax-icn 11173  ax-addcl 11174  ax-addrcl 11175  ax-mulcl 11176  ax-mulrcl 11177  ax-mulcom 11178  ax-addass 11179  ax-mulass 11180  ax-distr 11181  ax-i2m1 11182  ax-1ne0 11183  ax-1rid 11184  ax-rnegex 11185  ax-rrecex 11186  ax-cnre 11187  ax-pre-lttri 11188  ax-pre-lttrn 11189  ax-pre-ltadd 11190  ax-pre-mulgt0 11191

This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 395  df-or 844  df-3or 1086  df-3an 1087  df-tru 1542  df-fal 1552  df-ex 1780  df-nf 1784  df-sb 2066  df-mo 2532  df-eu 2561  df-clab 2708  df-cleq 2722  df-clel 2808  df-nfc 2883  df-ne 2939  df-nel 3045  df-ral 3060  df-rex 3069  df-rmo 3374  df-reu 3375  df-rab 3431  df-v 3474  df-sbc 3779  df-csb 3895  df-dif 3952  df-un 3954  df-in 3956  df-ss 3966  df-pss 3968  df-nul 4324  df-if 4530  df-pw 4605  df-sn 4630  df-pr 4632  df-op 4636  df-uni 4910  df-iun 5000  df-br 5150  df-opab 5212  df-mpt 5233  df-tr 5267  df-id 5575  df-eprel 5581  df-po 5589  df-so 5590  df-fr 5632  df-we 5634  df-xp 5683  df-rel 5684  df-cnv 5685  df-co 5686  df-dm 5687  df-rn 5688  df-res 5689  df-ima 5690  df-pred 6301  df-ord 6368  df-on 6369  df-lim 6370  df-suc 6371  df-iota 6496  df-fun 6546  df-fn 6547  df-f 6548  df-f1 6549  df-fo 6550  df-f1o 6551  df-fv 6552  df-riota 7369  df-ov 7416  df-oprab 7417  df-mpo 7418  df-om 7860  df-2nd 7980  df-frecs 8270  df-wrecs 8301  df-recs 8375  df-rdg 8414  df-er 8707  df-en 8944  df-dom 8945  df-sdom 8946  df-sup 9441  df-inf 9442  df-pnf 11256  df-mnf 11257  df-xr 11258  df-ltxr 11259  df-le 11260  df-sub 11452  df-neg 11453  df-nn 12219  df-n0 12479  df-z 12565  df-uz 12829  df-od 19439

This theorem is referenced by:  odf  19448  mndodcongi  19454  oddvdsnn0  19455  oddvds  19458  odeq  19461  odval2  19462  odcld  19463  odmulg2  19466  odmulg  19467  odmulgeq  19468  odbezout  19469  odinv  19472  odf1  19473  dfod2  19475  odcl2  19476  odhash2  19486  odhash3  19487  gexnnod  19499  odadd1  19759  odadd2  19760  odadd  19761  gexexlem  19763  gexex  19764  torsubg  19765  iscygodd  19799  lt6abl  19806  ablfacrp  19979  ablfac1b  19983  ablfac1eu  19986  pgpfac1lem2  19988  fincygsubgodd  20025  chrcl  21299