Theorem odid 18668

Description: Any element to the power of its order is the identity. (Contributed by Mario Carneiro, 14-Jan-2015.) (Revised by Stefan O'Rear, 5-Sep-2015.)

Hypotheses

Ref	Expression
odcl.1	⊢ 𝑋 = (Base‘𝐺)
odcl.2	⊢ 𝑂 = (od‘𝐺)
odid.3	⊢ · = (.g‘𝐺)
odid.4	⊢ 0 = (0g‘𝐺)

Assertion

Ref	Expression
odid	⊢ (𝐴 ∈ 𝑋 → ((𝑂‘𝐴) · 𝐴) = 0 )

Proof of Theorem odid

Dummy variable 𝑦 is distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		oveq1 7165	. . . 4 ⊢ ((𝑂‘𝐴) = 0 → ((𝑂‘𝐴) · 𝐴) = (0 · 𝐴))
2		odcl.1	. . . . 5 ⊢ 𝑋 = (Base‘𝐺)
3		odid.4	. . . . 5 ⊢ 0 = (0g‘𝐺)
4		odid.3	. . . . 5 ⊢ · = (.g‘𝐺)
5	2, 3, 4	mulg0 18233	. . . 4 ⊢ (𝐴 ∈ 𝑋 → (0 · 𝐴) = 0 )
6	1, 5	sylan9eqr 2880	. . 3 ⊢ ((𝐴 ∈ 𝑋 ∧ (𝑂‘𝐴) = 0) → ((𝑂‘𝐴) · 𝐴) = 0 )
7	6	adantrr 715	. 2 ⊢ ((𝐴 ∈ 𝑋 ∧ ((𝑂‘𝐴) = 0 ∧ {𝑦 ∈ ℕ ∣ (𝑦 · 𝐴) = 0 } = ∅)) → ((𝑂‘𝐴) · 𝐴) = 0 )
8		oveq1 7165	. . . . . 6 ⊢ (𝑦 = (𝑂‘𝐴) → (𝑦 · 𝐴) = ((𝑂‘𝐴) · 𝐴))
9	8	eqeq1d 2825	. . . . 5 ⊢ (𝑦 = (𝑂‘𝐴) → ((𝑦 · 𝐴) = 0 ↔ ((𝑂‘𝐴) · 𝐴) = 0 ))
10	9	elrab 3682	. . . 4 ⊢ ((𝑂‘𝐴) ∈ {𝑦 ∈ ℕ ∣ (𝑦 · 𝐴) = 0 } ↔ ((𝑂‘𝐴) ∈ ℕ ∧ ((𝑂‘𝐴) · 𝐴) = 0 ))
11	10	simprbi 499	. . 3 ⊢ ((𝑂‘𝐴) ∈ {𝑦 ∈ ℕ ∣ (𝑦 · 𝐴) = 0 } → ((𝑂‘𝐴) · 𝐴) = 0 )
12	11	adantl 484	. 2 ⊢ ((𝐴 ∈ 𝑋 ∧ (𝑂‘𝐴) ∈ {𝑦 ∈ ℕ ∣ (𝑦 · 𝐴) = 0 }) → ((𝑂‘𝐴) · 𝐴) = 0 )
13		odcl.2	. . 3 ⊢ 𝑂 = (od‘𝐺)
14		eqid 2823	. . 3 ⊢ {𝑦 ∈ ℕ ∣ (𝑦 · 𝐴) = 0 } = {𝑦 ∈ ℕ ∣ (𝑦 · 𝐴) = 0 }
15	2, 4, 3, 13, 14	odlem1 18665	. 2 ⊢ (𝐴 ∈ 𝑋 → (((𝑂‘𝐴) = 0 ∧ {𝑦 ∈ ℕ ∣ (𝑦 · 𝐴) = 0 } = ∅) ∨ (𝑂‘𝐴) ∈ {𝑦 ∈ ℕ ∣ (𝑦 · 𝐴) = 0 }))
16	7, 12, 15	mpjaodan 955	1 ⊢ (𝐴 ∈ 𝑋 → ((𝑂‘𝐴) · 𝐴) = 0 )

Syntax hints:   → wi 4   ∧ wa 398   = wceq 1537   ∈ wcel 2114  {crab 3144  ∅c0 4293  ‘cfv 6357  (class class class)co 7158  0cc0 10539  ℕcn 11640  Basecbs 16485  0_gc0g 16715  ._gcmg 18226  odcod 18654

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1796  ax-4 1810  ax-5 1911  ax-6 1970  ax-7 2015  ax-8 2116  ax-9 2124  ax-10 2145  ax-11 2161  ax-12 2177  ax-ext 2795  ax-sep 5205  ax-nul 5212  ax-pow 5268  ax-pr 5332  ax-un 7463  ax-cnex 10595  ax-resscn 10596  ax-1cn 10597  ax-icn 10598  ax-addcl 10599  ax-addrcl 10600  ax-mulcl 10601  ax-mulrcl 10602  ax-mulcom 10603  ax-addass 10604  ax-mulass 10605  ax-distr 10606  ax-i2m1 10607  ax-1ne0 10608  ax-1rid 10609  ax-rnegex 10610  ax-rrecex 10611  ax-cnre 10612  ax-pre-lttri 10613  ax-pre-lttrn 10614  ax-pre-ltadd 10615  ax-pre-mulgt0 10616

This theorem depends on definitions:  df-bi 209  df-an 399  df-or 844  df-3or 1084  df-3an 1085  df-tru 1540  df-ex 1781  df-nf 1785  df-sb 2070  df-mo 2622  df-eu 2654  df-clab 2802  df-cleq 2816  df-clel 2895  df-nfc 2965  df-ne 3019  df-nel 3126  df-ral 3145  df-rex 3146  df-reu 3147  df-rmo 3148  df-rab 3149  df-v 3498  df-sbc 3775  df-csb 3886  df-dif 3941  df-un 3943  df-in 3945  df-ss 3954  df-pss 3956  df-nul 4294  df-if 4470  df-pw 4543  df-sn 4570  df-pr 4572  df-tp 4574  df-op 4576  df-uni 4841  df-iun 4923  df-br 5069  df-opab 5131  df-mpt 5149  df-tr 5175  df-id 5462  df-eprel 5467  df-po 5476  df-so 5477  df-fr 5516  df-we 5518  df-xp 5563  df-rel 5564  df-cnv 5565  df-co 5566  df-dm 5567  df-rn 5568  df-res 5569  df-ima 5570  df-pred 6150  df-ord 6196  df-on 6197  df-lim 6198  df-suc 6199  df-iota 6316  df-fun 6359  df-fn 6360  df-f 6361  df-f1 6362  df-fo 6363  df-f1o 6364  df-fv 6365  df-riota 7116  df-ov 7161  df-oprab 7162  df-mpo 7163  df-om 7583  df-1st 7691  df-2nd 7692  df-wrecs 7949  df-recs 8010  df-rdg 8048  df-er 8291  df-en 8512  df-dom 8513  df-sdom 8514  df-sup 8908  df-inf 8909  df-pnf 10679  df-mnf 10680  df-xr 10681  df-ltxr 10682  df-le 10683  df-sub 10874  df-neg 10875  df-nn 11641  df-n0 11901  df-z 11985  df-uz 12247  df-seq 13373  df-mulg 18227  df-od 18658

This theorem is referenced by:  odmodnn0  18670  mndodconglem  18671  odmod  18676  odeq  18680  odeq1  18689  odf1  18691  chrid  20676