Theorem odid 18738

Description: Any element to the power of its order is the identity. (Contributed by Mario Carneiro, 14-Jan-2015.) (Revised by Stefan O'Rear, 5-Sep-2015.)

Hypotheses

Ref	Expression
odcl.1	⊢ 𝑋 = (Base‘𝐺)
odcl.2	⊢ 𝑂 = (od‘𝐺)
odid.3	⊢ · = (.g‘𝐺)
odid.4	⊢ 0 = (0g‘𝐺)

Assertion

Ref	Expression
odid	⊢ (𝐴 ∈ 𝑋 → ((𝑂‘𝐴) · 𝐴) = 0 )

Proof of Theorem odid

Dummy variable 𝑦 is distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		oveq1 7162	. . . 4 ⊢ ((𝑂‘𝐴) = 0 → ((𝑂‘𝐴) · 𝐴) = (0 · 𝐴))
2		odcl.1	. . . . 5 ⊢ 𝑋 = (Base‘𝐺)
3		odid.4	. . . . 5 ⊢ 0 = (0g‘𝐺)
4		odid.3	. . . . 5 ⊢ · = (.g‘𝐺)
5	2, 3, 4	mulg0 18303	. . . 4 ⊢ (𝐴 ∈ 𝑋 → (0 · 𝐴) = 0 )
6	1, 5	sylan9eqr 2815	. . 3 ⊢ ((𝐴 ∈ 𝑋 ∧ (𝑂‘𝐴) = 0) → ((𝑂‘𝐴) · 𝐴) = 0 )
7	6	adantrr 716	. 2 ⊢ ((𝐴 ∈ 𝑋 ∧ ((𝑂‘𝐴) = 0 ∧ {𝑦 ∈ ℕ ∣ (𝑦 · 𝐴) = 0 } = ∅)) → ((𝑂‘𝐴) · 𝐴) = 0 )
8		oveq1 7162	. . . . . 6 ⊢ (𝑦 = (𝑂‘𝐴) → (𝑦 · 𝐴) = ((𝑂‘𝐴) · 𝐴))
9	8	eqeq1d 2760	. . . . 5 ⊢ (𝑦 = (𝑂‘𝐴) → ((𝑦 · 𝐴) = 0 ↔ ((𝑂‘𝐴) · 𝐴) = 0 ))
10	9	elrab 3604	. . . 4 ⊢ ((𝑂‘𝐴) ∈ {𝑦 ∈ ℕ ∣ (𝑦 · 𝐴) = 0 } ↔ ((𝑂‘𝐴) ∈ ℕ ∧ ((𝑂‘𝐴) · 𝐴) = 0 ))
11	10	simprbi 500	. . 3 ⊢ ((𝑂‘𝐴) ∈ {𝑦 ∈ ℕ ∣ (𝑦 · 𝐴) = 0 } → ((𝑂‘𝐴) · 𝐴) = 0 )
12	11	adantl 485	. 2 ⊢ ((𝐴 ∈ 𝑋 ∧ (𝑂‘𝐴) ∈ {𝑦 ∈ ℕ ∣ (𝑦 · 𝐴) = 0 }) → ((𝑂‘𝐴) · 𝐴) = 0 )
13		odcl.2	. . 3 ⊢ 𝑂 = (od‘𝐺)
14		eqid 2758	. . 3 ⊢ {𝑦 ∈ ℕ ∣ (𝑦 · 𝐴) = 0 } = {𝑦 ∈ ℕ ∣ (𝑦 · 𝐴) = 0 }
15	2, 4, 3, 13, 14	odlem1 18735	. 2 ⊢ (𝐴 ∈ 𝑋 → (((𝑂‘𝐴) = 0 ∧ {𝑦 ∈ ℕ ∣ (𝑦 · 𝐴) = 0 } = ∅) ∨ (𝑂‘𝐴) ∈ {𝑦 ∈ ℕ ∣ (𝑦 · 𝐴) = 0 }))
16	7, 12, 15	mpjaodan 956	1 ⊢ (𝐴 ∈ 𝑋 → ((𝑂‘𝐴) · 𝐴) = 0 )

Syntax hints:   → wi 4   ∧ wa 399   = wceq 1538   ∈ wcel 2111  {crab 3074  ∅c0 4227  ‘cfv 6339  (class class class)co 7155  0cc0 10580  ℕcn 11679  Basecbs 16546  0_gc0g 16776  ._gcmg 18296  odcod 18724

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1797  ax-4 1811  ax-5 1911  ax-6 1970  ax-7 2015  ax-8 2113  ax-9 2121  ax-10 2142  ax-11 2158  ax-12 2175  ax-ext 2729  ax-sep 5172  ax-nul 5179  ax-pow 5237  ax-pr 5301  ax-un 7464  ax-cnex 10636  ax-resscn 10637  ax-1cn 10638  ax-icn 10639  ax-addcl 10640  ax-addrcl 10641  ax-mulcl 10642  ax-mulrcl 10643  ax-mulcom 10644  ax-addass 10645  ax-mulass 10646  ax-distr 10647  ax-i2m1 10648  ax-1ne0 10649  ax-1rid 10650  ax-rnegex 10651  ax-rrecex 10652  ax-cnre 10653  ax-pre-lttri 10654  ax-pre-lttrn 10655  ax-pre-ltadd 10656  ax-pre-mulgt0 10657

This theorem depends on definitions:  df-bi 210  df-an 400  df-or 845  df-3or 1085  df-3an 1086  df-tru 1541  df-fal 1551  df-ex 1782  df-nf 1786  df-sb 2070  df-mo 2557  df-eu 2588  df-clab 2736  df-cleq 2750  df-clel 2830  df-nfc 2901  df-ne 2952  df-nel 3056  df-ral 3075  df-rex 3076  df-reu 3077  df-rmo 3078  df-rab 3079  df-v 3411  df-sbc 3699  df-csb 3808  df-dif 3863  df-un 3865  df-in 3867  df-ss 3877  df-pss 3879  df-nul 4228  df-if 4424  df-pw 4499  df-sn 4526  df-pr 4528  df-tp 4530  df-op 4532  df-uni 4802  df-iun 4888  df-br 5036  df-opab 5098  df-mpt 5116  df-tr 5142  df-id 5433  df-eprel 5438  df-po 5446  df-so 5447  df-fr 5486  df-we 5488  df-xp 5533  df-rel 5534  df-cnv 5535  df-co 5536  df-dm 5537  df-rn 5538  df-res 5539  df-ima 5540  df-pred 6130  df-ord 6176  df-on 6177  df-lim 6178  df-suc 6179  df-iota 6298  df-fun 6341  df-fn 6342  df-f 6343  df-f1 6344  df-fo 6345  df-f1o 6346  df-fv 6347  df-riota 7113  df-ov 7158  df-oprab 7159  df-mpo 7160  df-om 7585  df-1st 7698  df-2nd 7699  df-wrecs 7962  df-recs 8023  df-rdg 8061  df-er 8304  df-en 8533  df-dom 8534  df-sdom 8535  df-sup 8944  df-inf 8945  df-pnf 10720  df-mnf 10721  df-xr 10722  df-ltxr 10723  df-le 10724  df-sub 10915  df-neg 10916  df-nn 11680  df-n0 11940  df-z 12026  df-uz 12288  df-seq 13424  df-mulg 18297  df-od 18728

This theorem is referenced by:  odmodnn0  18740  mndodconglem  18741  odmod  18746  odeq  18750  odeq1  18759  odf1  18761  chrid  20300