MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  odid Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem odid 19320
Description: Any element to the power of its order is the identity. (Contributed by Mario Carneiro, 14-Jan-2015.) (Revised by Stefan O'Rear, 5-Sep-2015.)
Hypotheses
Ref Expression
odcl.1 𝑋 = (Base‘𝐺)
odcl.2 𝑂 = (od‘𝐺)
odid.3 · = (.g𝐺)
odid.4 0 = (0g𝐺)
Assertion
Ref Expression
odid (𝐴𝑋 → ((𝑂𝐴) · 𝐴) = 0 )

Proof of Theorem odid
Dummy variable 𝑦 is distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 oveq1 7364 . . . 4 ((𝑂𝐴) = 0 → ((𝑂𝐴) · 𝐴) = (0 · 𝐴))
2 odcl.1 . . . . 5 𝑋 = (Base‘𝐺)
3 odid.4 . . . . 5 0 = (0g𝐺)
4 odid.3 . . . . 5 · = (.g𝐺)
52, 3, 4mulg0 18879 . . . 4 (𝐴𝑋 → (0 · 𝐴) = 0 )
61, 5sylan9eqr 2798 . . 3 ((𝐴𝑋 ∧ (𝑂𝐴) = 0) → ((𝑂𝐴) · 𝐴) = 0 )
76adantrr 715 . 2 ((𝐴𝑋 ∧ ((𝑂𝐴) = 0 ∧ {𝑦 ∈ ℕ ∣ (𝑦 · 𝐴) = 0 } = ∅)) → ((𝑂𝐴) · 𝐴) = 0 )
8 oveq1 7364 . . . . . 6 (𝑦 = (𝑂𝐴) → (𝑦 · 𝐴) = ((𝑂𝐴) · 𝐴))
98eqeq1d 2738 . . . . 5 (𝑦 = (𝑂𝐴) → ((𝑦 · 𝐴) = 0 ↔ ((𝑂𝐴) · 𝐴) = 0 ))
109elrab 3645 . . . 4 ((𝑂𝐴) ∈ {𝑦 ∈ ℕ ∣ (𝑦 · 𝐴) = 0 } ↔ ((𝑂𝐴) ∈ ℕ ∧ ((𝑂𝐴) · 𝐴) = 0 ))
1110simprbi 497 . . 3 ((𝑂𝐴) ∈ {𝑦 ∈ ℕ ∣ (𝑦 · 𝐴) = 0 } → ((𝑂𝐴) · 𝐴) = 0 )
1211adantl 482 . 2 ((𝐴𝑋 ∧ (𝑂𝐴) ∈ {𝑦 ∈ ℕ ∣ (𝑦 · 𝐴) = 0 }) → ((𝑂𝐴) · 𝐴) = 0 )
13 odcl.2 . . 3 𝑂 = (od‘𝐺)
14 eqid 2736 . . 3 {𝑦 ∈ ℕ ∣ (𝑦 · 𝐴) = 0 } = {𝑦 ∈ ℕ ∣ (𝑦 · 𝐴) = 0 }
152, 4, 3, 13, 14odlem1 19317 . 2 (𝐴𝑋 → (((𝑂𝐴) = 0 ∧ {𝑦 ∈ ℕ ∣ (𝑦 · 𝐴) = 0 } = ∅) ∨ (𝑂𝐴) ∈ {𝑦 ∈ ℕ ∣ (𝑦 · 𝐴) = 0 }))
167, 12, 15mpjaodan 957 1 (𝐴𝑋 → ((𝑂𝐴) · 𝐴) = 0 )
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  wi 4  wa 396   = wceq 1541  wcel 2106  {crab 3407  c0 4282  cfv 6496  (class class class)co 7357  0cc0 11051  cn 12153  Basecbs 17083  0gc0g 17321  .gcmg 18872  odcod 19306
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1797  ax-4 1811  ax-5 1913  ax-6 1971  ax-7 2011  ax-8 2108  ax-9 2116  ax-10 2137  ax-11 2154  ax-12 2171  ax-ext 2707  ax-sep 5256  ax-nul 5263  ax-pow 5320  ax-pr 5384  ax-un 7672  ax-cnex 11107  ax-resscn 11108  ax-1cn 11109  ax-icn 11110  ax-addcl 11111  ax-addrcl 11112  ax-mulcl 11113  ax-mulrcl 11114  ax-mulcom 11115  ax-addass 11116  ax-mulass 11117  ax-distr 11118  ax-i2m1 11119  ax-1ne0 11120  ax-1rid 11121  ax-rnegex 11122  ax-rrecex 11123  ax-cnre 11124  ax-pre-lttri 11125  ax-pre-lttrn 11126  ax-pre-ltadd 11127  ax-pre-mulgt0 11128
This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 397  df-or 846  df-3or 1088  df-3an 1089  df-tru 1544  df-fal 1554  df-ex 1782  df-nf 1786  df-sb 2068  df-mo 2538  df-eu 2567  df-clab 2714  df-cleq 2728  df-clel 2814  df-nfc 2889  df-ne 2944  df-nel 3050  df-ral 3065  df-rex 3074  df-rmo 3353  df-reu 3354  df-rab 3408  df-v 3447  df-sbc 3740  df-csb 3856  df-dif 3913  df-un 3915  df-in 3917  df-ss 3927  df-pss 3929  df-nul 4283  df-if 4487  df-pw 4562  df-sn 4587  df-pr 4589  df-op 4593  df-uni 4866  df-iun 4956  df-br 5106  df-opab 5168  df-mpt 5189  df-tr 5223  df-id 5531  df-eprel 5537  df-po 5545  df-so 5546  df-fr 5588  df-we 5590  df-xp 5639  df-rel 5640  df-cnv 5641  df-co 5642  df-dm 5643  df-rn 5644  df-res 5645  df-ima 5646  df-pred 6253  df-ord 6320  df-on 6321  df-lim 6322  df-suc 6323  df-iota 6448  df-fun 6498  df-fn 6499  df-f 6500  df-f1 6501  df-fo 6502  df-f1o 6503  df-fv 6504  df-riota 7313  df-ov 7360  df-oprab 7361  df-mpo 7362  df-om 7803  df-1st 7921  df-2nd 7922  df-frecs 8212  df-wrecs 8243  df-recs 8317  df-rdg 8356  df-er 8648  df-en 8884  df-dom 8885  df-sdom 8886  df-sup 9378  df-inf 9379  df-pnf 11191  df-mnf 11192  df-xr 11193  df-ltxr 11194  df-le 11195  df-sub 11387  df-neg 11388  df-nn 12154  df-n0 12414  df-z 12500  df-uz 12764  df-seq 13907  df-mulg 18873  df-od 19310
This theorem is referenced by:  odmodnn0  19322  mndodconglem  19323  odmod  19328  odeq  19332  odm1inv  19335  odeq1  19342  odf1  19344  chrid  20930
  Copyright terms: Public domain W3C validator