Theorem odid 19665

Description: Any element to the power of its order is the identity. (Contributed by Mario Carneiro, 14-Jan-2015.) (Revised by Stefan O'Rear, 5-Sep-2015.)

Hypotheses

Ref	Expression
odcl.1	⊢ 𝑋 = (Base‘𝐺)
odcl.2	⊢ 𝑂 = (od‘𝐺)
odid.3	⊢ · = (.g‘𝐺)
odid.4	⊢ 0 = (0g‘𝐺)

Assertion

Ref	Expression
odid	⊢ (𝐴 ∈ 𝑋 → ((𝑂‘𝐴) · 𝐴) = 0 )

Proof of Theorem odid

Dummy variable 𝑦 is distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		oveq1 7420	. . . 4 ⊢ ((𝑂‘𝐴) = 0 → ((𝑂‘𝐴) · 𝐴) = (0 · 𝐴))
2		odcl.1	. . . . 5 ⊢ 𝑋 = (Base‘𝐺)
3		odid.4	. . . . 5 ⊢ 0 = (0g‘𝐺)
4		odid.3	. . . . 5 ⊢ · = (.g‘𝐺)
5	2, 3, 4	mulg0 19197	. . . 4 ⊢ (𝐴 ∈ 𝑋 → (0 · 𝐴) = 0 )
6	1, 5	sylan9eqr 2817	. . 3 ⊢ ((𝐴 ∈ 𝑋 ∧ (𝑂‘𝐴) = 0) → ((𝑂‘𝐴) · 𝐴) = 0 )
7	6	adantrr 730	. 2 ⊢ ((𝐴 ∈ 𝑋 ∧ ((𝑂‘𝐴) = 0 ∧ {𝑦 ∈ ℕ ∣ (𝑦 · 𝐴) = 0 } = ∅)) → ((𝑂‘𝐴) · 𝐴) = 0 )
8		oveq1 7420	. . . . . 6 ⊢ (𝑦 = (𝑂‘𝐴) → (𝑦 · 𝐴) = ((𝑂‘𝐴) · 𝐴))
9	8	eqeq1d 2762	. . . . 5 ⊢ (𝑦 = (𝑂‘𝐴) → ((𝑦 · 𝐴) = 0 ↔ ((𝑂‘𝐴) · 𝐴) = 0 ))
10	9	elrab 3645	. . . 4 ⊢ ((𝑂‘𝐴) ∈ {𝑦 ∈ ℕ ∣ (𝑦 · 𝐴) = 0 } ↔ ((𝑂‘𝐴) ∈ ℕ ∧ ((𝑂‘𝐴) · 𝐴) = 0 ))
11	10	simprbi 503	. . 3 ⊢ ((𝑂‘𝐴) ∈ {𝑦 ∈ ℕ ∣ (𝑦 · 𝐴) = 0 } → ((𝑂‘𝐴) · 𝐴) = 0 )
12	11	adantl 487	. 2 ⊢ ((𝐴 ∈ 𝑋 ∧ (𝑂‘𝐴) ∈ {𝑦 ∈ ℕ ∣ (𝑦 · 𝐴) = 0 }) → ((𝑂‘𝐴) · 𝐴) = 0 )
13		odcl.2	. . 3 ⊢ 𝑂 = (od‘𝐺)
14		eqid 2760	. . 3 ⊢ {𝑦 ∈ ℕ ∣ (𝑦 · 𝐴) = 0 } = {𝑦 ∈ ℕ ∣ (𝑦 · 𝐴) = 0 }
15	2, 4, 3, 13, 14	odlem1 19662	. 2 ⊢ (𝐴 ∈ 𝑋 → (((𝑂‘𝐴) = 0 ∧ {𝑦 ∈ ℕ ∣ (𝑦 · 𝐴) = 0 } = ∅) ∨ (𝑂‘𝐴) ∈ {𝑦 ∈ ℕ ∣ (𝑦 · 𝐴) = 0 }))
16	7, 12, 15	mpjaodan 973	1 ⊢ (𝐴 ∈ 𝑋 → ((𝑂‘𝐴) · 𝐴) = 0 )

This proof depends on syntax axioms:   → wi 4   ∧ wa 401   = wceq 1570   ∈ wcel 2145  {crab 3412  ∅c0 4279  ‘cfv 6533  (class class class)co 7413  0cc0 11124  ℕcn 12257  Basecbs 17301  0_gc0g 17524  ._gcmg 19190  odcod 19651

This proof depends on axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1828  ax-4 1842  ax-5 1943  ax-6 2000  ax-7 2041  ax-8 2147  ax-9 2155  ax-10 2178  ax-11 2194  ax-12 2213  ax-ext 2732  ax-sep 5251  ax-nul 5263  ax-pow 5330  ax-pr 5398  ax-un 7736  ax-cnex 11180  ax-resscn 11181  ax-1cn 11182  ax-icn 11183  ax-addcl 11184  ax-addrcl 11185  ax-mulcl 11186  ax-mulrcl 11187  ax-mulcom 11188  ax-addass 11189  ax-mulass 11190  ax-distr 11191  ax-i2m1 11192  ax-1ne0 11193  ax-1rid 11194  ax-rnegex 11195  ax-rrecex 11196  ax-cnre 11197  ax-pre-lttri 11198  ax-pre-lttrn 11199  ax-pre-ltadd 11200  ax-pre-mulgt0 11201

This proof depends on definitions:  df-bi 210  df-an 402  df-or 862  df-3or 1104  df-3an 1105  df-tru 1573  df-fal 1583  df-ex 1813  df-nf 1817  df-sb 2100  df-mo 2564  df-eu 2594  df-clab 2739  df-cleq 2752  df-clel 2835  df-nfc 2909  df-ne 2956  df-nel 3062  df-ral 3077  df-rex 3087  df-rmo 3365  df-reu 3366  df-rab 3413  df-v 3452  df-sbc 3740  df-csb 3848  df-dif 3902  df-un 3904  df-in 3906  df-ss 3916  df-pss 3919  df-nul 4280  df-if 4483  df-pw 4559  df-sn 4585  df-pr 4587  df-op 4591  df-uni 4868  df-iun 4953  df-br 5104  df-opab 5168  df-mpt 5187  df-tr 5213  df-id 5550  df-eprel 5555  df-po 5563  df-so 5564  df-fr 5608  df-we 5610  df-xp 5661  df-rel 5662  df-cnv 5663  df-co 5664  df-dm 5665  df-rn 5666  df-res 5667  df-ima 5668  df-pred 6299  df-ord 6360  df-on 6361  df-lim 6362  df-suc 6363  df-iota 6489  df-fun 6535  df-fn 6536  df-f 6537  df-f1 6538  df-fo 6539  df-f1o 6540  df-fv 6541  df-riota 7370  df-ov 7416  df-oprab 7417  df-mpo 7418  df-om 7863  df-1st 7986  df-2nd 7987  df-frecs 8280  df-wrecs 8311  df-recs 8360  df-rdg 8399  df-er 8696  df-en 8953  df-dom 8954  df-sdom 8955  df-sup 9412  df-inf 9413  df-pnf 11269  df-mnf 11270  df-xr 11271  df-ltxr 11272  df-le 11273  df-sub 11467  df-neg 11468  df-nn 12258  df-n0 12529  df-z 12616  df-uz 12888  df-seq 14066  df-mulg 19191  df-od 19655

This theorem is used by:  odmodnn0  19667  mndodconglem  19668  odmod  19673  odeq  19677  odm1inv  19680  odeq1  19687  odf1  19689  chrid  21738  isprimroot2  42960  grpods  43060  unitscyglem1  43061  unitscyglem4  43064  unitscyglem5  43065