Theorem odulatb 18337

Description: Being a lattice is self-dual. (Contributed by Stefan O'Rear, 29-Jan-2015.)

Hypothesis

Ref	Expression
odulat.d	⊢ 𝐷 = (ODual‘𝑂)

Assertion

Ref	Expression
odulatb	⊢ (𝑂 ∈ 𝑉 → (𝑂 ∈ Lat ↔ 𝐷 ∈ Lat))

Proof of Theorem odulatb

Step	Hyp	Ref	Expression
1		odulat.d	. . . 4 ⊢ 𝐷 = (ODual‘𝑂)
2	1	oduposb 18230	. . 3 ⊢ (𝑂 ∈ 𝑉 → (𝑂 ∈ Poset ↔ 𝐷 ∈ Poset))
3		ancom 460	. . . 4 ⊢ ((dom (join‘𝑂) = ((Base‘𝑂) × (Base‘𝑂)) ∧ dom (meet‘𝑂) = ((Base‘𝑂) × (Base‘𝑂))) ↔ (dom (meet‘𝑂) = ((Base‘𝑂) × (Base‘𝑂)) ∧ dom (join‘𝑂) = ((Base‘𝑂) × (Base‘𝑂))))
4	3	a1i 11	. . 3 ⊢ (𝑂 ∈ 𝑉 → ((dom (join‘𝑂) = ((Base‘𝑂) × (Base‘𝑂)) ∧ dom (meet‘𝑂) = ((Base‘𝑂) × (Base‘𝑂))) ↔ (dom (meet‘𝑂) = ((Base‘𝑂) × (Base‘𝑂)) ∧ dom (join‘𝑂) = ((Base‘𝑂) × (Base‘𝑂)))))
5	2, 4	anbi12d 632	. 2 ⊢ (𝑂 ∈ 𝑉 → ((𝑂 ∈ Poset ∧ (dom (join‘𝑂) = ((Base‘𝑂) × (Base‘𝑂)) ∧ dom (meet‘𝑂) = ((Base‘𝑂) × (Base‘𝑂)))) ↔ (𝐷 ∈ Poset ∧ (dom (meet‘𝑂) = ((Base‘𝑂) × (Base‘𝑂)) ∧ dom (join‘𝑂) = ((Base‘𝑂) × (Base‘𝑂))))))
6		eqid 2731	. . 3 ⊢ (Base‘𝑂) = (Base‘𝑂)
7		eqid 2731	. . 3 ⊢ (join‘𝑂) = (join‘𝑂)
8		eqid 2731	. . 3 ⊢ (meet‘𝑂) = (meet‘𝑂)
9	6, 7, 8	islat 18336	. 2 ⊢ (𝑂 ∈ Lat ↔ (𝑂 ∈ Poset ∧ (dom (join‘𝑂) = ((Base‘𝑂) × (Base‘𝑂)) ∧ dom (meet‘𝑂) = ((Base‘𝑂) × (Base‘𝑂)))))
10	1, 6	odubas 18194	. . 3 ⊢ (Base‘𝑂) = (Base‘𝐷)
11	1, 8	odujoin 18309	. . 3 ⊢ (meet‘𝑂) = (join‘𝐷)
12	1, 7	odumeet 18311	. . 3 ⊢ (join‘𝑂) = (meet‘𝐷)
13	10, 11, 12	islat 18336	. 2 ⊢ (𝐷 ∈ Lat ↔ (𝐷 ∈ Poset ∧ (dom (meet‘𝑂) = ((Base‘𝑂) × (Base‘𝑂)) ∧ dom (join‘𝑂) = ((Base‘𝑂) × (Base‘𝑂)))))
14	5, 9, 13	3bitr4g 314	1 ⊢ (𝑂 ∈ 𝑉 → (𝑂 ∈ Lat ↔ 𝐷 ∈ Lat))

Syntax hints:   → wi 4   ↔ wb 206   ∧ wa 395   = wceq 1541   ∈ wcel 2111   × cxp 5614  dom cdm 5616  ‘cfv 6481  Basecbs 17117  ODualcodu 18189  Posetcpo 18210  joincjn 18214  meetcmee 18215  Latclat 18334

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1796  ax-4 1810  ax-5 1911  ax-6 1968  ax-7 2009  ax-8 2113  ax-9 2121  ax-10 2144  ax-11 2160  ax-12 2180  ax-ext 2703  ax-rep 5217  ax-sep 5234  ax-nul 5244  ax-pow 5303  ax-pr 5370  ax-un 7668  ax-cnex 11059  ax-resscn 11060  ax-1cn 11061  ax-icn 11062  ax-addcl 11063  ax-addrcl 11064  ax-mulcl 11065  ax-mulrcl 11066  ax-mulcom 11067  ax-addass 11068  ax-mulass 11069  ax-distr 11070  ax-i2m1 11071  ax-1ne0 11072  ax-1rid 11073  ax-rnegex 11074  ax-rrecex 11075  ax-cnre 11076  ax-pre-lttri 11077  ax-pre-lttrn 11078  ax-pre-ltadd 11079  ax-pre-mulgt0 11080

This theorem depends on definitions:  df-bi 207  df-an 396  df-or 848  df-3or 1087  df-3an 1088  df-tru 1544  df-fal 1554  df-ex 1781  df-nf 1785  df-sb 2068  df-mo 2535  df-eu 2564  df-clab 2710  df-cleq 2723  df-clel 2806  df-nfc 2881  df-ne 2929  df-nel 3033  df-ral 3048  df-rex 3057  df-rmo 3346  df-reu 3347  df-rab 3396  df-v 3438  df-sbc 3742  df-csb 3851  df-dif 3905  df-un 3907  df-in 3909  df-ss 3919  df-pss 3922  df-nul 4284  df-if 4476  df-pw 4552  df-sn 4577  df-pr 4579  df-op 4583  df-uni 4860  df-iun 4943  df-br 5092  df-opab 5154  df-mpt 5173  df-tr 5199  df-id 5511  df-eprel 5516  df-po 5524  df-so 5525  df-fr 5569  df-we 5571  df-xp 5622  df-rel 5623  df-cnv 5624  df-co 5625  df-dm 5626  df-rn 5627  df-res 5628  df-ima 5629  df-pred 6248  df-ord 6309  df-on 6310  df-lim 6311  df-suc 6312  df-iota 6437  df-fun 6483  df-fn 6484  df-f 6485  df-f1 6486  df-fo 6487  df-f1o 6488  df-fv 6489  df-riota 7303  df-ov 7349  df-oprab 7350  df-mpo 7351  df-om 7797  df-2nd 7922  df-frecs 8211  df-wrecs 8242  df-recs 8291  df-rdg 8329  df-er 8622  df-en 8870  df-dom 8871  df-sdom 8872  df-pnf 11145  df-mnf 11146  df-xr 11147  df-ltxr 11148  df-le 11149  df-sub 11343  df-neg 11344  df-nn 12123  df-2 12185  df-3 12186  df-4 12187  df-5 12188  df-6 12189  df-7 12190  df-8 12191  df-9 12192  df-dec 12586  df-sets 17072  df-slot 17090  df-ndx 17102  df-base 17118  df-ple 17178  df-odu 18190  df-proset 18197  df-poset 18216  df-lub 18247  df-glb 18248  df-join 18249  df-meet 18250  df-lat 18335

This theorem is referenced by:  odulat  18338  odudlatb  18428