Metamath Proof Explorer < Previous   Next > Nearby theorems Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  odulatb Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem odulatb 17762
 Description: Being a lattice is self-dual. (Contributed by Stefan O'Rear, 29-Jan-2015.)
Hypothesis
Ref Expression
oduglb.d 𝐷 = (ODual‘𝑂)
Assertion
Ref Expression
odulatb (𝑂𝑉 → (𝑂 ∈ Lat ↔ 𝐷 ∈ Lat))

Proof of Theorem odulatb
StepHypRef Expression
1 oduglb.d . . . 4 𝐷 = (ODual‘𝑂)
21oduposb 17755 . . 3 (𝑂𝑉 → (𝑂 ∈ Poset ↔ 𝐷 ∈ Poset))
3 ancom 464 . . . 4 ((dom (join‘𝑂) = ((Base‘𝑂) × (Base‘𝑂)) ∧ dom (meet‘𝑂) = ((Base‘𝑂) × (Base‘𝑂))) ↔ (dom (meet‘𝑂) = ((Base‘𝑂) × (Base‘𝑂)) ∧ dom (join‘𝑂) = ((Base‘𝑂) × (Base‘𝑂))))
43a1i 11 . . 3 (𝑂𝑉 → ((dom (join‘𝑂) = ((Base‘𝑂) × (Base‘𝑂)) ∧ dom (meet‘𝑂) = ((Base‘𝑂) × (Base‘𝑂))) ↔ (dom (meet‘𝑂) = ((Base‘𝑂) × (Base‘𝑂)) ∧ dom (join‘𝑂) = ((Base‘𝑂) × (Base‘𝑂)))))
52, 4anbi12d 633 . 2 (𝑂𝑉 → ((𝑂 ∈ Poset ∧ (dom (join‘𝑂) = ((Base‘𝑂) × (Base‘𝑂)) ∧ dom (meet‘𝑂) = ((Base‘𝑂) × (Base‘𝑂)))) ↔ (𝐷 ∈ Poset ∧ (dom (meet‘𝑂) = ((Base‘𝑂) × (Base‘𝑂)) ∧ dom (join‘𝑂) = ((Base‘𝑂) × (Base‘𝑂))))))
6 eqid 2798 . . 3 (Base‘𝑂) = (Base‘𝑂)
7 eqid 2798 . . 3 (join‘𝑂) = (join‘𝑂)
8 eqid 2798 . . 3 (meet‘𝑂) = (meet‘𝑂)
96, 7, 8islat 17666 . 2 (𝑂 ∈ Lat ↔ (𝑂 ∈ Poset ∧ (dom (join‘𝑂) = ((Base‘𝑂) × (Base‘𝑂)) ∧ dom (meet‘𝑂) = ((Base‘𝑂) × (Base‘𝑂)))))
101, 6odubas 17752 . . 3 (Base‘𝑂) = (Base‘𝐷)
111, 8odujoin 17761 . . 3 (meet‘𝑂) = (join‘𝐷)
121, 7odumeet 17759 . . 3 (join‘𝑂) = (meet‘𝐷)
1310, 11, 12islat 17666 . 2 (𝐷 ∈ Lat ↔ (𝐷 ∈ Poset ∧ (dom (meet‘𝑂) = ((Base‘𝑂) × (Base‘𝑂)) ∧ dom (join‘𝑂) = ((Base‘𝑂) × (Base‘𝑂)))))
145, 9, 133bitr4g 317 1 (𝑂𝑉 → (𝑂 ∈ Lat ↔ 𝐷 ∈ Lat))
 Colors of variables: wff setvar class Syntax hints:   → wi 4   ↔ wb 209   ∧ wa 399   = wceq 1538   ∈ wcel 2111   × cxp 5520  dom cdm 5522  ‘cfv 6329  Basecbs 16492  Posetcpo 17559  joincjn 17563  meetcmee 17564  Latclat 17664  ODualcodu 17747 This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1797  ax-4 1811  ax-5 1911  ax-6 1970  ax-7 2015  ax-8 2113  ax-9 2121  ax-10 2142  ax-11 2158  ax-12 2175  ax-ext 2770  ax-rep 5157  ax-sep 5170  ax-nul 5177  ax-pow 5234  ax-pr 5298  ax-un 7451  ax-cnex 10597  ax-resscn 10598  ax-1cn 10599  ax-icn 10600  ax-addcl 10601  ax-addrcl 10602  ax-mulcl 10603  ax-mulrcl 10604  ax-mulcom 10605  ax-addass 10606  ax-mulass 10607  ax-distr 10608  ax-i2m1 10609  ax-1ne0 10610  ax-1rid 10611  ax-rnegex 10612  ax-rrecex 10613  ax-cnre 10614  ax-pre-lttri 10615  ax-pre-lttrn 10616  ax-pre-ltadd 10617  ax-pre-mulgt0 10618 This theorem depends on definitions:  df-bi 210  df-an 400  df-or 845  df-3or 1085  df-3an 1086  df-tru 1541  df-ex 1782  df-nf 1786  df-sb 2070  df-mo 2598  df-eu 2629  df-clab 2777  df-cleq 2791  df-clel 2870  df-nfc 2938  df-ne 2988  df-nel 3092  df-ral 3111  df-rex 3112  df-reu 3113  df-rmo 3114  df-rab 3115  df-v 3443  df-sbc 3722  df-csb 3830  df-dif 3885  df-un 3887  df-in 3889  df-ss 3899  df-pss 3901  df-nul 4246  df-if 4428  df-pw 4501  df-sn 4528  df-pr 4530  df-tp 4532  df-op 4534  df-uni 4804  df-iun 4886  df-br 5034  df-opab 5096  df-mpt 5114  df-tr 5140  df-id 5428  df-eprel 5433  df-po 5441  df-so 5442  df-fr 5481  df-we 5483  df-xp 5528  df-rel 5529  df-cnv 5530  df-co 5531  df-dm 5532  df-rn 5533  df-res 5534  df-ima 5535  df-pred 6121  df-ord 6167  df-on 6168  df-lim 6169  df-suc 6170  df-iota 6288  df-fun 6331  df-fn 6332  df-f 6333  df-f1 6334  df-fo 6335  df-f1o 6336  df-fv 6337  df-riota 7100  df-ov 7145  df-oprab 7146  df-mpo 7147  df-om 7571  df-wrecs 7945  df-recs 8006  df-rdg 8044  df-er 8287  df-en 8508  df-dom 8509  df-sdom 8510  df-pnf 10681  df-mnf 10682  df-xr 10683  df-ltxr 10684  df-le 10685  df-sub 10876  df-neg 10877  df-nn 11641  df-2 11703  df-3 11704  df-4 11705  df-5 11706  df-6 11707  df-7 11708  df-8 11709  df-9 11710  df-dec 12104  df-ndx 16495  df-slot 16496  df-base 16498  df-sets 16499  df-ple 16594  df-proset 17547  df-poset 17565  df-lub 17593  df-glb 17594  df-join 17595  df-meet 17596  df-lat 17665  df-odu 17748 This theorem is referenced by:  odulat  17764  odudlatb  17815
 Copyright terms: Public domain W3C validator