Theorem odulatb 18456

Description: Being a lattice is self-dual. (Contributed by Stefan O'Rear, 29-Jan-2015.)

Hypothesis

Ref	Expression
odulat.d	⊢ 𝐷 = (ODual‘𝑂)

Assertion

Ref	Expression
odulatb	⊢ (𝑂 ∈ 𝑉 → (𝑂 ∈ Lat ↔ 𝐷 ∈ Lat))

Proof of Theorem odulatb

Step	Hyp	Ref	Expression
1		odulat.d	. . . 4 ⊢ 𝐷 = (ODual‘𝑂)
2	1	oduposb 18349	. . 3 ⊢ (𝑂 ∈ 𝑉 → (𝑂 ∈ Poset ↔ 𝐷 ∈ Poset))
3		ancom 464	. . . 4 ⊢ ((dom (join‘𝑂) = ((Base‘𝑂) × (Base‘𝑂)) ∧ dom (meet‘𝑂) = ((Base‘𝑂) × (Base‘𝑂))) ↔ (dom (meet‘𝑂) = ((Base‘𝑂) × (Base‘𝑂)) ∧ dom (join‘𝑂) = ((Base‘𝑂) × (Base‘𝑂))))
4	3	a1i 11	. . 3 ⊢ (𝑂 ∈ 𝑉 → ((dom (join‘𝑂) = ((Base‘𝑂) × (Base‘𝑂)) ∧ dom (meet‘𝑂) = ((Base‘𝑂) × (Base‘𝑂))) ↔ (dom (meet‘𝑂) = ((Base‘𝑂) × (Base‘𝑂)) ∧ dom (join‘𝑂) = ((Base‘𝑂) × (Base‘𝑂)))))
5	2, 4	anbi12d 641	. 2 ⊢ (𝑂 ∈ 𝑉 → ((𝑂 ∈ Poset ∧ (dom (join‘𝑂) = ((Base‘𝑂) × (Base‘𝑂)) ∧ dom (meet‘𝑂) = ((Base‘𝑂) × (Base‘𝑂)))) ↔ (𝐷 ∈ Poset ∧ (dom (meet‘𝑂) = ((Base‘𝑂) × (Base‘𝑂)) ∧ dom (join‘𝑂) = ((Base‘𝑂) × (Base‘𝑂))))))
6		eqid 2761	. . 3 ⊢ (Base‘𝑂) = (Base‘𝑂)
7		eqid 2761	. . 3 ⊢ (join‘𝑂) = (join‘𝑂)
8		eqid 2761	. . 3 ⊢ (meet‘𝑂) = (meet‘𝑂)
9	6, 7, 8	islat 18455	. 2 ⊢ (𝑂 ∈ Lat ↔ (𝑂 ∈ Poset ∧ (dom (join‘𝑂) = ((Base‘𝑂) × (Base‘𝑂)) ∧ dom (meet‘𝑂) = ((Base‘𝑂) × (Base‘𝑂)))))
10	1, 6	odubas 18313	. . 3 ⊢ (Base‘𝑂) = (Base‘𝐷)
11	1, 8	odujoin 18428	. . 3 ⊢ (meet‘𝑂) = (join‘𝐷)
12	1, 7	odumeet 18430	. . 3 ⊢ (join‘𝑂) = (meet‘𝐷)
13	10, 11, 12	islat 18455	. 2 ⊢ (𝐷 ∈ Lat ↔ (𝐷 ∈ Poset ∧ (dom (meet‘𝑂) = ((Base‘𝑂) × (Base‘𝑂)) ∧ dom (join‘𝑂) = ((Base‘𝑂) × (Base‘𝑂)))))
14	5, 9, 13	3bitr4g 316	1 ⊢ (𝑂 ∈ 𝑉 → (𝑂 ∈ Lat ↔ 𝐷 ∈ Lat))

Syntax hints:   → wi 4   ↔ wb 208   ∧ wa 399   = wceq 1559   ∈ wcel 2141   × cxp 5641  dom cdm 5643  ‘cfv 6515  Basecbs 17235  ODualcodu 18308  Posetcpo 18329  joincjn 18333  meetcmee 18334  Latclat 18453

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1814  ax-4 1828  ax-5 1929  ax-6 1986  ax-7 2027  ax-8 2143  ax-9 2151  ax-10 2174  ax-11 2190  ax-12 2211  ax-ext 2733  ax-rep 5224  ax-sep 5243  ax-nul 5253  ax-pow 5319  ax-pr 5387  ax-un 7712  ax-cnex 11122  ax-resscn 11123  ax-1cn 11124  ax-icn 11125  ax-addcl 11126  ax-addrcl 11127  ax-mulcl 11128  ax-mulrcl 11129  ax-mulcom 11130  ax-addass 11131  ax-mulass 11132  ax-distr 11133  ax-i2m1 11134  ax-1ne0 11135  ax-1rid 11136  ax-rnegex 11137  ax-rrecex 11138  ax-cnre 11139  ax-pre-lttri 11140  ax-pre-lttrn 11141  ax-pre-ltadd 11142  ax-pre-mulgt0 11143

This theorem depends on definitions:  df-bi 209  df-an 400  df-or 859  df-3or 1098  df-3an 1099  df-tru 1562  df-fal 1572  df-ex 1799  df-nf 1803  df-sb 2090  df-mo 2565  df-eu 2595  df-clab 2740  df-cleq 2753  df-clel 2836  df-nfc 2910  df-ne 2957  df-nel 3061  df-ral 3076  df-rex 3086  df-rmo 3366  df-reu 3367  df-rab 3414  df-v 3455  df-sbc 3743  df-csb 3851  df-dif 3905  df-un 3907  df-in 3909  df-ss 3919  df-pss 3922  df-nul 4284  df-if 4478  df-pw 4554  df-sn 4580  df-pr 4582  df-op 4586  df-uni 4863  df-iun 4948  df-br 5098  df-opab 5160  df-mpt 5179  df-tr 5205  df-id 5538  df-eprel 5543  df-po 5551  df-so 5552  df-fr 5596  df-we 5598  df-xp 5649  df-rel 5650  df-cnv 5651  df-co 5652  df-dm 5653  df-rn 5654  df-res 5655  df-ima 5656  df-pred 6282  df-ord 6343  df-on 6344  df-lim 6345  df-suc 6346  df-iota 6471  df-fun 6517  df-fn 6518  df-f 6519  df-f1 6520  df-fo 6521  df-f1o 6522  df-fv 6523  df-riota 7347  df-ov 7393  df-oprab 7394  df-mpo 7395  df-om 7841  df-2nd 7965  df-frecs 8255  df-wrecs 8286  df-recs 8335  df-rdg 8374  df-er 8671  df-en 8921  df-dom 8922  df-sdom 8923  df-pnf 11211  df-mnf 11212  df-xr 11213  df-ltxr 11214  df-le 11215  df-sub 11409  df-neg 11410  df-nn 12204  df-2 12273  df-3 12274  df-4 12275  df-5 12276  df-6 12277  df-7 12278  df-8 12279  df-9 12280  df-n0 12475  df-z 12562  df-dec 12682  df-sets 17190  df-slot 17208  df-ndx 17220  df-base 17236  df-ple 17296  df-odu 18309  df-proset 18316  df-poset 18335  df-lub 18366  df-glb 18367  df-join 18368  df-meet 18369  df-lat 18454

This theorem is referenced by:  odulat  18457  odudlatb  18547