Theorem odulatb 17753

Description: Being a lattice is self-dual. (Contributed by Stefan O'Rear, 29-Jan-2015.)

Hypothesis

Ref	Expression
oduglb.d	⊢ 𝐷 = (ODual‘𝑂)

Assertion

Ref	Expression
odulatb	⊢ (𝑂 ∈ 𝑉 → (𝑂 ∈ Lat ↔ 𝐷 ∈ Lat))

Proof of Theorem odulatb

Step	Hyp	Ref	Expression
1		oduglb.d	. . . 4 ⊢ 𝐷 = (ODual‘𝑂)
2	1	oduposb 17746	. . 3 ⊢ (𝑂 ∈ 𝑉 → (𝑂 ∈ Poset ↔ 𝐷 ∈ Poset))
3		ancom 463	. . . 4 ⊢ ((dom (join‘𝑂) = ((Base‘𝑂) × (Base‘𝑂)) ∧ dom (meet‘𝑂) = ((Base‘𝑂) × (Base‘𝑂))) ↔ (dom (meet‘𝑂) = ((Base‘𝑂) × (Base‘𝑂)) ∧ dom (join‘𝑂) = ((Base‘𝑂) × (Base‘𝑂))))
4	3	a1i 11	. . 3 ⊢ (𝑂 ∈ 𝑉 → ((dom (join‘𝑂) = ((Base‘𝑂) × (Base‘𝑂)) ∧ dom (meet‘𝑂) = ((Base‘𝑂) × (Base‘𝑂))) ↔ (dom (meet‘𝑂) = ((Base‘𝑂) × (Base‘𝑂)) ∧ dom (join‘𝑂) = ((Base‘𝑂) × (Base‘𝑂)))))
5	2, 4	anbi12d 632	. 2 ⊢ (𝑂 ∈ 𝑉 → ((𝑂 ∈ Poset ∧ (dom (join‘𝑂) = ((Base‘𝑂) × (Base‘𝑂)) ∧ dom (meet‘𝑂) = ((Base‘𝑂) × (Base‘𝑂)))) ↔ (𝐷 ∈ Poset ∧ (dom (meet‘𝑂) = ((Base‘𝑂) × (Base‘𝑂)) ∧ dom (join‘𝑂) = ((Base‘𝑂) × (Base‘𝑂))))))
6		eqid 2821	. . 3 ⊢ (Base‘𝑂) = (Base‘𝑂)
7		eqid 2821	. . 3 ⊢ (join‘𝑂) = (join‘𝑂)
8		eqid 2821	. . 3 ⊢ (meet‘𝑂) = (meet‘𝑂)
9	6, 7, 8	islat 17657	. 2 ⊢ (𝑂 ∈ Lat ↔ (𝑂 ∈ Poset ∧ (dom (join‘𝑂) = ((Base‘𝑂) × (Base‘𝑂)) ∧ dom (meet‘𝑂) = ((Base‘𝑂) × (Base‘𝑂)))))
10	1, 6	odubas 17743	. . 3 ⊢ (Base‘𝑂) = (Base‘𝐷)
11	1, 8	odujoin 17752	. . 3 ⊢ (meet‘𝑂) = (join‘𝐷)
12	1, 7	odumeet 17750	. . 3 ⊢ (join‘𝑂) = (meet‘𝐷)
13	10, 11, 12	islat 17657	. 2 ⊢ (𝐷 ∈ Lat ↔ (𝐷 ∈ Poset ∧ (dom (meet‘𝑂) = ((Base‘𝑂) × (Base‘𝑂)) ∧ dom (join‘𝑂) = ((Base‘𝑂) × (Base‘𝑂)))))
14	5, 9, 13	3bitr4g 316	1 ⊢ (𝑂 ∈ 𝑉 → (𝑂 ∈ Lat ↔ 𝐷 ∈ Lat))

Syntax hints:   → wi 4   ↔ wb 208   ∧ wa 398   = wceq 1537   ∈ wcel 2114   × cxp 5553  dom cdm 5555  ‘cfv 6355  Basecbs 16483  Posetcpo 17550  joincjn 17554  meetcmee 17555  Latclat 17655  ODualcodu 17738

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1796  ax-4 1810  ax-5 1911  ax-6 1970  ax-7 2015  ax-8 2116  ax-9 2124  ax-10 2145  ax-11 2161  ax-12 2177  ax-ext 2793  ax-rep 5190  ax-sep 5203  ax-nul 5210  ax-pow 5266  ax-pr 5330  ax-un 7461  ax-cnex 10593  ax-resscn 10594  ax-1cn 10595  ax-icn 10596  ax-addcl 10597  ax-addrcl 10598  ax-mulcl 10599  ax-mulrcl 10600  ax-mulcom 10601  ax-addass 10602  ax-mulass 10603  ax-distr 10604  ax-i2m1 10605  ax-1ne0 10606  ax-1rid 10607  ax-rnegex 10608  ax-rrecex 10609  ax-cnre 10610  ax-pre-lttri 10611  ax-pre-lttrn 10612  ax-pre-ltadd 10613  ax-pre-mulgt0 10614

This theorem depends on definitions:  df-bi 209  df-an 399  df-or 844  df-3or 1084  df-3an 1085  df-tru 1540  df-ex 1781  df-nf 1785  df-sb 2070  df-mo 2622  df-eu 2654  df-clab 2800  df-cleq 2814  df-clel 2893  df-nfc 2963  df-ne 3017  df-nel 3124  df-ral 3143  df-rex 3144  df-reu 3145  df-rmo 3146  df-rab 3147  df-v 3496  df-sbc 3773  df-csb 3884  df-dif 3939  df-un 3941  df-in 3943  df-ss 3952  df-pss 3954  df-nul 4292  df-if 4468  df-pw 4541  df-sn 4568  df-pr 4570  df-tp 4572  df-op 4574  df-uni 4839  df-iun 4921  df-br 5067  df-opab 5129  df-mpt 5147  df-tr 5173  df-id 5460  df-eprel 5465  df-po 5474  df-so 5475  df-fr 5514  df-we 5516  df-xp 5561  df-rel 5562  df-cnv 5563  df-co 5564  df-dm 5565  df-rn 5566  df-res 5567  df-ima 5568  df-pred 6148  df-ord 6194  df-on 6195  df-lim 6196  df-suc 6197  df-iota 6314  df-fun 6357  df-fn 6358  df-f 6359  df-f1 6360  df-fo 6361  df-f1o 6362  df-fv 6363  df-riota 7114  df-ov 7159  df-oprab 7160  df-mpo 7161  df-om 7581  df-wrecs 7947  df-recs 8008  df-rdg 8046  df-er 8289  df-en 8510  df-dom 8511  df-sdom 8512  df-pnf 10677  df-mnf 10678  df-xr 10679  df-ltxr 10680  df-le 10681  df-sub 10872  df-neg 10873  df-nn 11639  df-2 11701  df-3 11702  df-4 11703  df-5 11704  df-6 11705  df-7 11706  df-8 11707  df-9 11708  df-dec 12100  df-ndx 16486  df-slot 16487  df-base 16489  df-sets 16490  df-ple 16585  df-proset 17538  df-poset 17556  df-lub 17584  df-glb 17585  df-join 17586  df-meet 17587  df-lat 17656  df-odu 17739

This theorem is referenced by:  odulat  17755  odudlatb  17806