Theorem odudlatb 18483

Description: The dual of a distributive lattice is a distributive lattice and conversely. (Contributed by Stefan O'Rear, 30-Jan-2015.)

Hypothesis

Ref	Expression
odudlat.d	⊢ 𝐷 = (ODual‘𝐾)

Assertion

Ref	Expression
odudlatb	⊢ (𝐾 ∈ 𝑉 → (𝐾 ∈ DLat ↔ 𝐷 ∈ DLat))

Proof of Theorem odudlatb

Dummy variables 𝑥 𝑦 𝑧 are mutually distinct and distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		eqid 2731	. . . . . 6 ⊢ (Base‘𝐾) = (Base‘𝐾)
2		eqid 2731	. . . . . 6 ⊢ (join‘𝐾) = (join‘𝐾)
3		eqid 2731	. . . . . 6 ⊢ (meet‘𝐾) = (meet‘𝐾)
4	1, 2, 3	latdisd 18455	. . . . 5 ⊢ (𝐾 ∈ Lat → (∀𝑥 ∈ (Base‘𝐾)∀𝑦 ∈ (Base‘𝐾)∀𝑧 ∈ (Base‘𝐾)(𝑥(join‘𝐾)(𝑦(meet‘𝐾)𝑧)) = ((𝑥(join‘𝐾)𝑦)(meet‘𝐾)(𝑥(join‘𝐾)𝑧)) ↔ ∀𝑥 ∈ (Base‘𝐾)∀𝑦 ∈ (Base‘𝐾)∀𝑧 ∈ (Base‘𝐾)(𝑥(meet‘𝐾)(𝑦(join‘𝐾)𝑧)) = ((𝑥(meet‘𝐾)𝑦)(join‘𝐾)(𝑥(meet‘𝐾)𝑧))))
5	4	bicomd 222	. . . 4 ⊢ (𝐾 ∈ Lat → (∀𝑥 ∈ (Base‘𝐾)∀𝑦 ∈ (Base‘𝐾)∀𝑧 ∈ (Base‘𝐾)(𝑥(meet‘𝐾)(𝑦(join‘𝐾)𝑧)) = ((𝑥(meet‘𝐾)𝑦)(join‘𝐾)(𝑥(meet‘𝐾)𝑧)) ↔ ∀𝑥 ∈ (Base‘𝐾)∀𝑦 ∈ (Base‘𝐾)∀𝑧 ∈ (Base‘𝐾)(𝑥(join‘𝐾)(𝑦(meet‘𝐾)𝑧)) = ((𝑥(join‘𝐾)𝑦)(meet‘𝐾)(𝑥(join‘𝐾)𝑧))))
6	5	pm5.32i 574	. . 3 ⊢ ((𝐾 ∈ Lat ∧ ∀𝑥 ∈ (Base‘𝐾)∀𝑦 ∈ (Base‘𝐾)∀𝑧 ∈ (Base‘𝐾)(𝑥(meet‘𝐾)(𝑦(join‘𝐾)𝑧)) = ((𝑥(meet‘𝐾)𝑦)(join‘𝐾)(𝑥(meet‘𝐾)𝑧))) ↔ (𝐾 ∈ Lat ∧ ∀𝑥 ∈ (Base‘𝐾)∀𝑦 ∈ (Base‘𝐾)∀𝑧 ∈ (Base‘𝐾)(𝑥(join‘𝐾)(𝑦(meet‘𝐾)𝑧)) = ((𝑥(join‘𝐾)𝑦)(meet‘𝐾)(𝑥(join‘𝐾)𝑧))))
7		odudlat.d	. . . . 5 ⊢ 𝐷 = (ODual‘𝐾)
8	7	odulatb 18392	. . . 4 ⊢ (𝐾 ∈ 𝑉 → (𝐾 ∈ Lat ↔ 𝐷 ∈ Lat))
9	8	anbi1d 629	. . 3 ⊢ (𝐾 ∈ 𝑉 → ((𝐾 ∈ Lat ∧ ∀𝑥 ∈ (Base‘𝐾)∀𝑦 ∈ (Base‘𝐾)∀𝑧 ∈ (Base‘𝐾)(𝑥(join‘𝐾)(𝑦(meet‘𝐾)𝑧)) = ((𝑥(join‘𝐾)𝑦)(meet‘𝐾)(𝑥(join‘𝐾)𝑧))) ↔ (𝐷 ∈ Lat ∧ ∀𝑥 ∈ (Base‘𝐾)∀𝑦 ∈ (Base‘𝐾)∀𝑧 ∈ (Base‘𝐾)(𝑥(join‘𝐾)(𝑦(meet‘𝐾)𝑧)) = ((𝑥(join‘𝐾)𝑦)(meet‘𝐾)(𝑥(join‘𝐾)𝑧)))))
10	6, 9	bitrid 283	. 2 ⊢ (𝐾 ∈ 𝑉 → ((𝐾 ∈ Lat ∧ ∀𝑥 ∈ (Base‘𝐾)∀𝑦 ∈ (Base‘𝐾)∀𝑧 ∈ (Base‘𝐾)(𝑥(meet‘𝐾)(𝑦(join‘𝐾)𝑧)) = ((𝑥(meet‘𝐾)𝑦)(join‘𝐾)(𝑥(meet‘𝐾)𝑧))) ↔ (𝐷 ∈ Lat ∧ ∀𝑥 ∈ (Base‘𝐾)∀𝑦 ∈ (Base‘𝐾)∀𝑧 ∈ (Base‘𝐾)(𝑥(join‘𝐾)(𝑦(meet‘𝐾)𝑧)) = ((𝑥(join‘𝐾)𝑦)(meet‘𝐾)(𝑥(join‘𝐾)𝑧)))))
11	1, 2, 3	isdlat 18480	. 2 ⊢ (𝐾 ∈ DLat ↔ (𝐾 ∈ Lat ∧ ∀𝑥 ∈ (Base‘𝐾)∀𝑦 ∈ (Base‘𝐾)∀𝑧 ∈ (Base‘𝐾)(𝑥(meet‘𝐾)(𝑦(join‘𝐾)𝑧)) = ((𝑥(meet‘𝐾)𝑦)(join‘𝐾)(𝑥(meet‘𝐾)𝑧))))
12	7, 1	odubas 18249	. . 3 ⊢ (Base‘𝐾) = (Base‘𝐷)
13	7, 3	odujoin 18366	. . 3 ⊢ (meet‘𝐾) = (join‘𝐷)
14	7, 2	odumeet 18368	. . 3 ⊢ (join‘𝐾) = (meet‘𝐷)
15	12, 13, 14	isdlat 18480	. 2 ⊢ (𝐷 ∈ DLat ↔ (𝐷 ∈ Lat ∧ ∀𝑥 ∈ (Base‘𝐾)∀𝑦 ∈ (Base‘𝐾)∀𝑧 ∈ (Base‘𝐾)(𝑥(join‘𝐾)(𝑦(meet‘𝐾)𝑧)) = ((𝑥(join‘𝐾)𝑦)(meet‘𝐾)(𝑥(join‘𝐾)𝑧))))
16	10, 11, 15	3bitr4g 314	1 ⊢ (𝐾 ∈ 𝑉 → (𝐾 ∈ DLat ↔ 𝐷 ∈ DLat))

Syntax hints:   → wi 4   ↔ wb 205   ∧ wa 395   = wceq 1540   ∈ wcel 2105  ∀wral 3060  ‘cfv 6543  (class class class)co 7412  Basecbs 17149  ODualcodu 18244  joincjn 18269  meetcmee 18270  Latclat 18389  DLatcdlat 18478

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1796  ax-4 1810  ax-5 1912  ax-6 1970  ax-7 2010  ax-8 2107  ax-9 2115  ax-10 2136  ax-11 2153  ax-12 2170  ax-ext 2702  ax-rep 5285  ax-sep 5299  ax-nul 5306  ax-pow 5363  ax-pr 5427  ax-un 7729  ax-cnex 11170  ax-resscn 11171  ax-1cn 11172  ax-icn 11173  ax-addcl 11174  ax-addrcl 11175  ax-mulcl 11176  ax-mulrcl 11177  ax-mulcom 11178  ax-addass 11179  ax-mulass 11180  ax-distr 11181  ax-i2m1 11182  ax-1ne0 11183  ax-1rid 11184  ax-rnegex 11185  ax-rrecex 11186  ax-cnre 11187  ax-pre-lttri 11188  ax-pre-lttrn 11189  ax-pre-ltadd 11190  ax-pre-mulgt0 11191

This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 396  df-or 845  df-3or 1087  df-3an 1088  df-tru 1543  df-fal 1553  df-ex 1781  df-nf 1785  df-sb 2067  df-mo 2533  df-eu 2562  df-clab 2709  df-cleq 2723  df-clel 2809  df-nfc 2884  df-ne 2940  df-nel 3046  df-ral 3061  df-rex 3070  df-rmo 3375  df-reu 3376  df-rab 3432  df-v 3475  df-sbc 3778  df-csb 3894  df-dif 3951  df-un 3953  df-in 3955  df-ss 3965  df-pss 3967  df-nul 4323  df-if 4529  df-pw 4604  df-sn 4629  df-pr 4631  df-op 4635  df-uni 4909  df-iun 4999  df-br 5149  df-opab 5211  df-mpt 5232  df-tr 5266  df-id 5574  df-eprel 5580  df-po 5588  df-so 5589  df-fr 5631  df-we 5633  df-xp 5682  df-rel 5683  df-cnv 5684  df-co 5685  df-dm 5686  df-rn 5687  df-res 5688  df-ima 5689  df-pred 6300  df-ord 6367  df-on 6368  df-lim 6369  df-suc 6370  df-iota 6495  df-fun 6545  df-fn 6546  df-f 6547  df-f1 6548  df-fo 6549  df-f1o 6550  df-fv 6551  df-riota 7368  df-ov 7415  df-oprab 7416  df-mpo 7417  df-om 7860  df-2nd 7980  df-frecs 8270  df-wrecs 8301  df-recs 8375  df-rdg 8414  df-er 8707  df-en 8944  df-dom 8945  df-sdom 8946  df-pnf 11255  df-mnf 11256  df-xr 11257  df-ltxr 11258  df-le 11259  df-sub 11451  df-neg 11452  df-nn 12218  df-2 12280  df-3 12281  df-4 12282  df-5 12283  df-6 12284  df-7 12285  df-8 12286  df-9 12287  df-dec 12683  df-sets 17102  df-slot 17120  df-ndx 17132  df-base 17150  df-ple 17222  df-odu 18245  df-proset 18253  df-poset 18271  df-lub 18304  df-glb 18305  df-join 18306  df-meet 18307  df-lat 18390  df-dlat 18479

This theorem is referenced by:  dlatjmdi  18484