Users' Mathboxes Mathbox for Glauco Siliprandi < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >   Mathboxes  >  opnvonmbllem1 Structured version   Visualization version   GIF version
Theorem opnvonmbllem1 45026
Description: The half-open interval expressed using a composition of a function (Contributed by Glauco Siliprandi, 24-Dec-2020.)
Hypotheses
Ref Expression
opnvonmbllem1.i β„²π‘–πœ‘
opnvonmbllem1.x (πœ‘ β†’ 𝑋 ∈ 𝑉)
opnvonmbllem1.c (πœ‘ β†’ 𝐢:π‘‹βŸΆβ„š)
opnvonmbllem1.d (πœ‘ β†’ 𝐷:π‘‹βŸΆβ„š)
opnvonmbllem1.s (πœ‘ β†’ X𝑖 ∈ 𝑋 ((πΆβ€˜π‘–)[,)(π·β€˜π‘–)) βŠ† 𝐡)
opnvonmbllem1.g (πœ‘ β†’ 𝐡 βŠ† 𝐺)
opnvonmbllem1.y (πœ‘ β†’ π‘Œ ∈ X𝑖 ∈ 𝑋 ((πΆβ€˜π‘–)[,)(π·β€˜π‘–)))
opnvonmbllem1.k 𝐾 = {β„Ž ∈ ((β„š Γ— β„š) ↑m 𝑋) ∣ X𝑖 ∈ 𝑋 (([,) ∘ β„Ž)β€˜π‘–) βŠ† 𝐺}
opnvonmbllem1.h 𝐻 = (𝑖 ∈ 𝑋 ↦ ⟨(πΆβ€˜π‘–), (π·β€˜π‘–)⟩)
Assertion
Ref Expression
opnvonmbllem1 (πœ‘ β†’ βˆƒβ„Ž ∈ 𝐾 π‘Œ ∈ X𝑖 ∈ 𝑋 (([,) ∘ β„Ž)β€˜π‘–))
Distinct variable groups:   β„Ž,𝐺   β„Ž,𝐻   β„Ž,𝑋,𝑖   β„Ž,π‘Œ
Allowed substitution hints:   πœ‘(β„Ž,𝑖)   𝐡(β„Ž,𝑖)   𝐢(β„Ž,𝑖)   𝐷(β„Ž,𝑖)   𝐺(𝑖)   𝐻(𝑖)   𝐾(β„Ž,𝑖)   𝑉(β„Ž,𝑖)   π‘Œ(𝑖)
Proof of Theorem opnvonmbllem1
StepHypRef Expression
1 opnvonmbllem1.i . . . . . 6 β„²π‘–πœ‘
2 opnvonmbllem1.c . . . . . . . 8 (πœ‘ β†’ 𝐢:π‘‹βŸΆβ„š)
32ffvelcdmda 7055 . . . . . . 7 ((πœ‘ ∧ 𝑖 ∈ 𝑋) β†’ (πΆβ€˜π‘–) ∈ β„š)
4 opnvonmbllem1.d . . . . . . . 8 (πœ‘ β†’ 𝐷:π‘‹βŸΆβ„š)
54ffvelcdmda 7055 . . . . . . 7 ((πœ‘ ∧ 𝑖 ∈ 𝑋) β†’ (π·β€˜π‘–) ∈ β„š)
6 opelxpi 5690 . . . . . . 7 (((πΆβ€˜π‘–) ∈ β„š ∧ (π·β€˜π‘–) ∈ β„š) β†’ ⟨(πΆβ€˜π‘–), (π·β€˜π‘–)⟩ ∈ (β„š Γ— β„š))
73, 5, 6syl2anc 584 . . . . . 6 ((πœ‘ ∧ 𝑖 ∈ 𝑋) β†’ ⟨(πΆβ€˜π‘–), (π·β€˜π‘–)⟩ ∈ (β„š Γ— β„š))
8 opnvonmbllem1.h . . . . . 6 𝐻 = (𝑖 ∈ 𝑋 ↦ ⟨(πΆβ€˜π‘–), (π·β€˜π‘–)⟩)
91, 7, 8fmptdf 7085 . . . . 5 (πœ‘ β†’ 𝐻:π‘‹βŸΆ(β„š Γ— β„š))
10 qex 12910 . . . . . . . . 9 β„š ∈ V
1110, 10xpex 7707 . . . . . . . 8 (β„š Γ— β„š) ∈ V
1211a1i 11 . . . . . . 7 (πœ‘ β†’ (β„š Γ— β„š) ∈ V)
13 opnvonmbllem1.x . . . . . . 7 (πœ‘ β†’ 𝑋 ∈ 𝑉)
1412, 13jca 512 . . . . . 6 (πœ‘ β†’ ((β„š Γ— β„š) ∈ V ∧ 𝑋 ∈ 𝑉))
15 elmapg 8800 . . . . . 6 (((β„š Γ— β„š) ∈ V ∧ 𝑋 ∈ 𝑉) β†’ (𝐻 ∈ ((β„š Γ— β„š) ↑m 𝑋) ↔ 𝐻:π‘‹βŸΆ(β„š Γ— β„š)))
1614, 15syl 17 . . . . 5 (πœ‘ β†’ (𝐻 ∈ ((β„š Γ— β„š) ↑m 𝑋) ↔ 𝐻:π‘‹βŸΆ(β„š Γ— β„š)))
179, 16mpbird 256 . . . 4 (πœ‘ β†’ 𝐻 ∈ ((β„š Γ— β„š) ↑m 𝑋))
181, 8hoi2toco 45001 . . . . 5 (πœ‘ β†’ X𝑖 ∈ 𝑋 (([,) ∘ 𝐻)β€˜π‘–) = X𝑖 ∈ 𝑋 ((πΆβ€˜π‘–)[,)(π·β€˜π‘–)))
19 opnvonmbllem1.s . . . . . 6 (πœ‘ β†’ X𝑖 ∈ 𝑋 ((πΆβ€˜π‘–)[,)(π·β€˜π‘–)) βŠ† 𝐡)
20 opnvonmbllem1.g . . . . . 6 (πœ‘ β†’ 𝐡 βŠ† 𝐺)
2119, 20sstrd 3972 . . . . 5 (πœ‘ β†’ X𝑖 ∈ 𝑋 ((πΆβ€˜π‘–)[,)(π·β€˜π‘–)) βŠ† 𝐺)
2218, 21eqsstrd 4000 . . . 4 (πœ‘ β†’ X𝑖 ∈ 𝑋 (([,) ∘ 𝐻)β€˜π‘–) βŠ† 𝐺)
2317, 22jca 512 . . 3 (πœ‘ β†’ (𝐻 ∈ ((β„š Γ— β„š) ↑m 𝑋) ∧ X𝑖 ∈ 𝑋 (([,) ∘ 𝐻)β€˜π‘–) βŠ† 𝐺))
24 nfcv 2902 . . . . . . 7 β„²π‘–β„Ž
25 nfmpt1 5233 . . . . . . . 8 Ⅎ𝑖(𝑖 ∈ 𝑋 ↦ ⟨(πΆβ€˜π‘–), (π·β€˜π‘–)⟩)
268, 25nfcxfr 2900 . . . . . . 7 Ⅎ𝑖𝐻
2724, 26nfeq 2915 . . . . . 6 Ⅎ𝑖 β„Ž = 𝐻
28 coeq2 5834 . . . . . . . 8 (β„Ž = 𝐻 β†’ ([,) ∘ β„Ž) = ([,) ∘ 𝐻))
2928fveq1d 6864 . . . . . . 7 (β„Ž = 𝐻 β†’ (([,) ∘ β„Ž)β€˜π‘–) = (([,) ∘ 𝐻)β€˜π‘–))
3029adantr 481 . . . . . 6 ((β„Ž = 𝐻 ∧ 𝑖 ∈ 𝑋) β†’ (([,) ∘ β„Ž)β€˜π‘–) = (([,) ∘ 𝐻)β€˜π‘–))
3127, 30ixpeq2d 43431 . . . . 5 (β„Ž = 𝐻 β†’ X𝑖 ∈ 𝑋 (([,) ∘ β„Ž)β€˜π‘–) = X𝑖 ∈ 𝑋 (([,) ∘ 𝐻)β€˜π‘–))
3231sseq1d 3993 . . . 4 (β„Ž = 𝐻 β†’ (X𝑖 ∈ 𝑋 (([,) ∘ β„Ž)β€˜π‘–) βŠ† 𝐺 ↔ X𝑖 ∈ 𝑋 (([,) ∘ 𝐻)β€˜π‘–) βŠ† 𝐺))
33 opnvonmbllem1.k . . . 4 𝐾 = {β„Ž ∈ ((β„š Γ— β„š) ↑m 𝑋) ∣ X𝑖 ∈ 𝑋 (([,) ∘ β„Ž)β€˜π‘–) βŠ† 𝐺}
3432, 33elrab2 3666 . . 3 (𝐻 ∈ 𝐾 ↔ (𝐻 ∈ ((β„š Γ— β„š) ↑m 𝑋) ∧ X𝑖 ∈ 𝑋 (([,) ∘ 𝐻)β€˜π‘–) βŠ† 𝐺))
3523, 34sylibr 233 . 2 (πœ‘ β†’ 𝐻 ∈ 𝐾)
36 opnvonmbllem1.y . . 3 (πœ‘ β†’ π‘Œ ∈ X𝑖 ∈ 𝑋 ((πΆβ€˜π‘–)[,)(π·β€˜π‘–)))
3736, 18eleqtrrd 2835 . 2 (πœ‘ β†’ π‘Œ ∈ X𝑖 ∈ 𝑋 (([,) ∘ 𝐻)β€˜π‘–))
38 nfv 1917 . . 3 β„²β„Ž π‘Œ ∈ X𝑖 ∈ 𝑋 (([,) ∘ 𝐻)β€˜π‘–)
39 nfcv 2902 . . 3 β„²β„Žπ»
40 nfrab1 3437 . . . 4 β„²β„Ž{β„Ž ∈ ((β„š Γ— β„š) ↑m 𝑋) ∣ X𝑖 ∈ 𝑋 (([,) ∘ β„Ž)β€˜π‘–) βŠ† 𝐺}
4133, 40nfcxfr 2900 . . 3 β„²β„ŽπΎ
4231eleq2d 2818 . . 3 (β„Ž = 𝐻 β†’ (π‘Œ ∈ X𝑖 ∈ 𝑋 (([,) ∘ β„Ž)β€˜π‘–) ↔ π‘Œ ∈ X𝑖 ∈ 𝑋 (([,) ∘ 𝐻)β€˜π‘–)))
4338, 39, 41, 42rspcef 43435 . 2 ((𝐻 ∈ 𝐾 ∧ π‘Œ ∈ X𝑖 ∈ 𝑋 (([,) ∘ 𝐻)β€˜π‘–)) β†’ βˆƒβ„Ž ∈ 𝐾 π‘Œ ∈ X𝑖 ∈ 𝑋 (([,) ∘ β„Ž)β€˜π‘–))
4435, 37, 43syl2anc 584 1 (πœ‘ β†’ βˆƒβ„Ž ∈ 𝐾 π‘Œ ∈ X𝑖 ∈ 𝑋 (([,) ∘ β„Ž)β€˜π‘–))
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:   β†’ wi 4   ↔ wb 205   ∧ wa 396   = wceq 1541  β„²wnf 1785   ∈ wcel 2106  βˆƒwrex 3069  {crab 3418  Vcvv 3459   βŠ† wss 3928  βŸ¨cop 4612   ↦ cmpt 5208   Γ— cxp 5651   ∘ ccom 5657  βŸΆwf 6512  β€˜cfv 6516  (class class class)co 7377   ↑m cmap 8787  Xcixp 8857  β„šcq 12897  [,)cico 13291
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1797  ax-4 1811  ax-5 1913  ax-6 1971  ax-7 2011  ax-8 2108  ax-9 2116  ax-10 2137  ax-11 2154  ax-12 2171  ax-ext 2702  ax-sep 5276  ax-nul 5283  ax-pow 5340  ax-pr 5404  ax-un 7692  ax-cnex 11131  ax-resscn 11132  ax-1cn 11133  ax-icn 11134  ax-addcl 11135  ax-addrcl 11136  ax-mulcl 11137  ax-mulrcl 11138  ax-mulcom 11139  ax-addass 11140  ax-mulass 11141  ax-distr 11142  ax-i2m1 11143  ax-1ne0 11144  ax-1rid 11145  ax-rnegex 11146  ax-rrecex 11147  ax-cnre 11148  ax-pre-lttri 11149  ax-pre-lttrn 11150  ax-pre-ltadd 11151  ax-pre-mulgt0 11152
This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 397  df-or 846  df-3or 1088  df-3an 1089  df-tru 1544  df-fal 1554  df-ex 1782  df-nf 1786  df-sb 2068  df-mo 2533  df-eu 2562  df-clab 2709  df-cleq 2723  df-clel 2809  df-nfc 2884  df-ne 2940  df-nel 3046  df-ral 3061  df-rex 3070  df-rmo 3364  df-reu 3365  df-rab 3419  df-v 3461  df-sbc 3758  df-csb 3874  df-dif 3931  df-un 3933  df-in 3935  df-ss 3945  df-pss 3947  df-nul 4303  df-if 4507  df-pw 4582  df-sn 4607  df-pr 4609  df-op 4613  df-uni 4886  df-iun 4976  df-br 5126  df-opab 5188  df-mpt 5209  df-tr 5243  df-id 5551  df-eprel 5557  df-po 5565  df-so 5566  df-fr 5608  df-we 5610  df-xp 5659  df-rel 5660  df-cnv 5661  df-co 5662  df-dm 5663  df-rn 5664  df-res 5665  df-ima 5666  df-pred 6273  df-ord 6340  df-on 6341  df-lim 6342  df-suc 6343  df-iota 6468  df-fun 6518  df-fn 6519  df-f 6520  df-f1 6521  df-fo 6522  df-f1o 6523  df-fv 6524  df-riota 7333  df-ov 7380  df-oprab 7381  df-mpo 7382  df-om 7823  df-1st 7941  df-2nd 7942  df-frecs 8232  df-wrecs 8263  df-recs 8337  df-rdg 8376  df-er 8670  df-map 8789  df-ixp 8858  df-en 8906  df-dom 8907  df-sdom 8908  df-pnf 11215  df-mnf 11216  df-xr 11217  df-ltxr 11218  df-le 11219  df-sub 11411  df-neg 11412  df-div 11837  df-nn 12178  df-z 12524  df-q 12898
This theorem is referenced by:  opnvonmbllem2  45027
  Copyright terms: Public domain W3C validator