Users' Mathboxes Mathbox for Glauco Siliprandi < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >   Mathboxes  >  opnvonmbllem1 Structured version   Visualization version   GIF version
Theorem opnvonmbllem1 45646
Description: The half-open interval expressed using a composition of a function (Contributed by Glauco Siliprandi, 24-Dec-2020.)
Hypotheses
Ref Expression
opnvonmbllem1.i β„²π‘–πœ‘
opnvonmbllem1.x (πœ‘ β†’ 𝑋 ∈ 𝑉)
opnvonmbllem1.c (πœ‘ β†’ 𝐢:π‘‹βŸΆβ„š)
opnvonmbllem1.d (πœ‘ β†’ 𝐷:π‘‹βŸΆβ„š)
opnvonmbllem1.s (πœ‘ β†’ X𝑖 ∈ 𝑋 ((πΆβ€˜π‘–)[,)(π·β€˜π‘–)) βŠ† 𝐡)
opnvonmbllem1.g (πœ‘ β†’ 𝐡 βŠ† 𝐺)
opnvonmbllem1.y (πœ‘ β†’ π‘Œ ∈ X𝑖 ∈ 𝑋 ((πΆβ€˜π‘–)[,)(π·β€˜π‘–)))
opnvonmbllem1.k 𝐾 = {β„Ž ∈ ((β„š Γ— β„š) ↑m 𝑋) ∣ X𝑖 ∈ 𝑋 (([,) ∘ β„Ž)β€˜π‘–) βŠ† 𝐺}
opnvonmbllem1.h 𝐻 = (𝑖 ∈ 𝑋 ↦ ⟨(πΆβ€˜π‘–), (π·β€˜π‘–)⟩)
Assertion
Ref Expression
opnvonmbllem1 (πœ‘ β†’ βˆƒβ„Ž ∈ 𝐾 π‘Œ ∈ X𝑖 ∈ 𝑋 (([,) ∘ β„Ž)β€˜π‘–))
Distinct variable groups:   β„Ž,𝐺   β„Ž,𝐻   β„Ž,𝑋,𝑖   β„Ž,π‘Œ
Allowed substitution hints:   πœ‘(β„Ž,𝑖)   𝐡(β„Ž,𝑖)   𝐢(β„Ž,𝑖)   𝐷(β„Ž,𝑖)   𝐺(𝑖)   𝐻(𝑖)   𝐾(β„Ž,𝑖)   𝑉(β„Ž,𝑖)   π‘Œ(𝑖)
Proof of Theorem opnvonmbllem1
StepHypRef Expression
1 opnvonmbllem1.i . . . . . 6 β„²π‘–πœ‘
2 opnvonmbllem1.c . . . . . . . 8 (πœ‘ β†’ 𝐢:π‘‹βŸΆβ„š)
32ffvelcdmda 7085 . . . . . . 7 ((πœ‘ ∧ 𝑖 ∈ 𝑋) β†’ (πΆβ€˜π‘–) ∈ β„š)
4 opnvonmbllem1.d . . . . . . . 8 (πœ‘ β†’ 𝐷:π‘‹βŸΆβ„š)
54ffvelcdmda 7085 . . . . . . 7 ((πœ‘ ∧ 𝑖 ∈ 𝑋) β†’ (π·β€˜π‘–) ∈ β„š)
6 opelxpi 5712 . . . . . . 7 (((πΆβ€˜π‘–) ∈ β„š ∧ (π·β€˜π‘–) ∈ β„š) β†’ ⟨(πΆβ€˜π‘–), (π·β€˜π‘–)⟩ ∈ (β„š Γ— β„š))
73, 5, 6syl2anc 582 . . . . . 6 ((πœ‘ ∧ 𝑖 ∈ 𝑋) β†’ ⟨(πΆβ€˜π‘–), (π·β€˜π‘–)⟩ ∈ (β„š Γ— β„š))
8 opnvonmbllem1.h . . . . . 6 𝐻 = (𝑖 ∈ 𝑋 ↦ ⟨(πΆβ€˜π‘–), (π·β€˜π‘–)⟩)
91, 7, 8fmptdf 7117 . . . . 5 (πœ‘ β†’ 𝐻:π‘‹βŸΆ(β„š Γ— β„š))
10 qex 12949 . . . . . . . . 9 β„š ∈ V
1110, 10xpex 7742 . . . . . . . 8 (β„š Γ— β„š) ∈ V
1211a1i 11 . . . . . . 7 (πœ‘ β†’ (β„š Γ— β„š) ∈ V)
13 opnvonmbllem1.x . . . . . . 7 (πœ‘ β†’ 𝑋 ∈ 𝑉)
1412, 13jca 510 . . . . . 6 (πœ‘ β†’ ((β„š Γ— β„š) ∈ V ∧ 𝑋 ∈ 𝑉))
15 elmapg 8835 . . . . . 6 (((β„š Γ— β„š) ∈ V ∧ 𝑋 ∈ 𝑉) β†’ (𝐻 ∈ ((β„š Γ— β„š) ↑m 𝑋) ↔ 𝐻:π‘‹βŸΆ(β„š Γ— β„š)))
1614, 15syl 17 . . . . 5 (πœ‘ β†’ (𝐻 ∈ ((β„š Γ— β„š) ↑m 𝑋) ↔ 𝐻:π‘‹βŸΆ(β„š Γ— β„š)))
179, 16mpbird 256 . . . 4 (πœ‘ β†’ 𝐻 ∈ ((β„š Γ— β„š) ↑m 𝑋))
181, 8hoi2toco 45621 . . . . 5 (πœ‘ β†’ X𝑖 ∈ 𝑋 (([,) ∘ 𝐻)β€˜π‘–) = X𝑖 ∈ 𝑋 ((πΆβ€˜π‘–)[,)(π·β€˜π‘–)))
19 opnvonmbllem1.s . . . . . 6 (πœ‘ β†’ X𝑖 ∈ 𝑋 ((πΆβ€˜π‘–)[,)(π·β€˜π‘–)) βŠ† 𝐡)
20 opnvonmbllem1.g . . . . . 6 (πœ‘ β†’ 𝐡 βŠ† 𝐺)
2119, 20sstrd 3991 . . . . 5 (πœ‘ β†’ X𝑖 ∈ 𝑋 ((πΆβ€˜π‘–)[,)(π·β€˜π‘–)) βŠ† 𝐺)
2218, 21eqsstrd 4019 . . . 4 (πœ‘ β†’ X𝑖 ∈ 𝑋 (([,) ∘ 𝐻)β€˜π‘–) βŠ† 𝐺)
2317, 22jca 510 . . 3 (πœ‘ β†’ (𝐻 ∈ ((β„š Γ— β„š) ↑m 𝑋) ∧ X𝑖 ∈ 𝑋 (([,) ∘ 𝐻)β€˜π‘–) βŠ† 𝐺))
24 nfcv 2901 . . . . . . 7 β„²π‘–β„Ž
25 nfmpt1 5255 . . . . . . . 8 Ⅎ𝑖(𝑖 ∈ 𝑋 ↦ ⟨(πΆβ€˜π‘–), (π·β€˜π‘–)⟩)
268, 25nfcxfr 2899 . . . . . . 7 Ⅎ𝑖𝐻
2724, 26nfeq 2914 . . . . . 6 Ⅎ𝑖 β„Ž = 𝐻
28 coeq2 5857 . . . . . . . 8 (β„Ž = 𝐻 β†’ ([,) ∘ β„Ž) = ([,) ∘ 𝐻))
2928fveq1d 6892 . . . . . . 7 (β„Ž = 𝐻 β†’ (([,) ∘ β„Ž)β€˜π‘–) = (([,) ∘ 𝐻)β€˜π‘–))
3029adantr 479 . . . . . 6 ((β„Ž = 𝐻 ∧ 𝑖 ∈ 𝑋) β†’ (([,) ∘ β„Ž)β€˜π‘–) = (([,) ∘ 𝐻)β€˜π‘–))
3127, 30ixpeq2d 44056 . . . . 5 (β„Ž = 𝐻 β†’ X𝑖 ∈ 𝑋 (([,) ∘ β„Ž)β€˜π‘–) = X𝑖 ∈ 𝑋 (([,) ∘ 𝐻)β€˜π‘–))
3231sseq1d 4012 . . . 4 (β„Ž = 𝐻 β†’ (X𝑖 ∈ 𝑋 (([,) ∘ β„Ž)β€˜π‘–) βŠ† 𝐺 ↔ X𝑖 ∈ 𝑋 (([,) ∘ 𝐻)β€˜π‘–) βŠ† 𝐺))
33 opnvonmbllem1.k . . . 4 𝐾 = {β„Ž ∈ ((β„š Γ— β„š) ↑m 𝑋) ∣ X𝑖 ∈ 𝑋 (([,) ∘ β„Ž)β€˜π‘–) βŠ† 𝐺}
3432, 33elrab2 3685 . . 3 (𝐻 ∈ 𝐾 ↔ (𝐻 ∈ ((β„š Γ— β„š) ↑m 𝑋) ∧ X𝑖 ∈ 𝑋 (([,) ∘ 𝐻)β€˜π‘–) βŠ† 𝐺))
3523, 34sylibr 233 . 2 (πœ‘ β†’ 𝐻 ∈ 𝐾)
36 opnvonmbllem1.y . . 3 (πœ‘ β†’ π‘Œ ∈ X𝑖 ∈ 𝑋 ((πΆβ€˜π‘–)[,)(π·β€˜π‘–)))
3736, 18eleqtrrd 2834 . 2 (πœ‘ β†’ π‘Œ ∈ X𝑖 ∈ 𝑋 (([,) ∘ 𝐻)β€˜π‘–))
38 nfv 1915 . . 3 β„²β„Ž π‘Œ ∈ X𝑖 ∈ 𝑋 (([,) ∘ 𝐻)β€˜π‘–)
39 nfcv 2901 . . 3 β„²β„Žπ»
40 nfrab1 3449 . . . 4 β„²β„Ž{β„Ž ∈ ((β„š Γ— β„š) ↑m 𝑋) ∣ X𝑖 ∈ 𝑋 (([,) ∘ β„Ž)β€˜π‘–) βŠ† 𝐺}
4133, 40nfcxfr 2899 . . 3 β„²β„ŽπΎ
4231eleq2d 2817 . . 3 (β„Ž = 𝐻 β†’ (π‘Œ ∈ X𝑖 ∈ 𝑋 (([,) ∘ β„Ž)β€˜π‘–) ↔ π‘Œ ∈ X𝑖 ∈ 𝑋 (([,) ∘ 𝐻)β€˜π‘–)))
4338, 39, 41, 42rspcef 44060 . 2 ((𝐻 ∈ 𝐾 ∧ π‘Œ ∈ X𝑖 ∈ 𝑋 (([,) ∘ 𝐻)β€˜π‘–)) β†’ βˆƒβ„Ž ∈ 𝐾 π‘Œ ∈ X𝑖 ∈ 𝑋 (([,) ∘ β„Ž)β€˜π‘–))
4435, 37, 43syl2anc 582 1 (πœ‘ β†’ βˆƒβ„Ž ∈ 𝐾 π‘Œ ∈ X𝑖 ∈ 𝑋 (([,) ∘ β„Ž)β€˜π‘–))
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:   β†’ wi 4   ↔ wb 205   ∧ wa 394   = wceq 1539  β„²wnf 1783   ∈ wcel 2104  βˆƒwrex 3068  {crab 3430  Vcvv 3472   βŠ† wss 3947  βŸ¨cop 4633   ↦ cmpt 5230   Γ— cxp 5673   ∘ ccom 5679  βŸΆwf 6538  β€˜cfv 6542  (class class class)co 7411   ↑m cmap 8822  Xcixp 8893  β„šcq 12936  [,)cico 13330
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1795  ax-4 1809  ax-5 1911  ax-6 1969  ax-7 2009  ax-8 2106  ax-9 2114  ax-10 2135  ax-11 2152  ax-12 2169  ax-ext 2701  ax-sep 5298  ax-nul 5305  ax-pow 5362  ax-pr 5426  ax-un 7727  ax-cnex 11168  ax-resscn 11169  ax-1cn 11170  ax-icn 11171  ax-addcl 11172  ax-addrcl 11173  ax-mulcl 11174  ax-mulrcl 11175  ax-mulcom 11176  ax-addass 11177  ax-mulass 11178  ax-distr 11179  ax-i2m1 11180  ax-1ne0 11181  ax-1rid 11182  ax-rnegex 11183  ax-rrecex 11184  ax-cnre 11185  ax-pre-lttri 11186  ax-pre-lttrn 11187  ax-pre-ltadd 11188  ax-pre-mulgt0 11189
This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 395  df-or 844  df-3or 1086  df-3an 1087  df-tru 1542  df-fal 1552  df-ex 1780  df-nf 1784  df-sb 2066  df-mo 2532  df-eu 2561  df-clab 2708  df-cleq 2722  df-clel 2808  df-nfc 2883  df-ne 2939  df-nel 3045  df-ral 3060  df-rex 3069  df-rmo 3374  df-reu 3375  df-rab 3431  df-v 3474  df-sbc 3777  df-csb 3893  df-dif 3950  df-un 3952  df-in 3954  df-ss 3964  df-pss 3966  df-nul 4322  df-if 4528  df-pw 4603  df-sn 4628  df-pr 4630  df-op 4634  df-uni 4908  df-iun 4998  df-br 5148  df-opab 5210  df-mpt 5231  df-tr 5265  df-id 5573  df-eprel 5579  df-po 5587  df-so 5588  df-fr 5630  df-we 5632  df-xp 5681  df-rel 5682  df-cnv 5683  df-co 5684  df-dm 5685  df-rn 5686  df-res 5687  df-ima 5688  df-pred 6299  df-ord 6366  df-on 6367  df-lim 6368  df-suc 6369  df-iota 6494  df-fun 6544  df-fn 6545  df-f 6546  df-f1 6547  df-fo 6548  df-f1o 6549  df-fv 6550  df-riota 7367  df-ov 7414  df-oprab 7415  df-mpo 7416  df-om 7858  df-1st 7977  df-2nd 7978  df-frecs 8268  df-wrecs 8299  df-recs 8373  df-rdg 8412  df-er 8705  df-map 8824  df-ixp 8894  df-en 8942  df-dom 8943  df-sdom 8944  df-pnf 11254  df-mnf 11255  df-xr 11256  df-ltxr 11257  df-le 11258  df-sub 11450  df-neg 11451  df-div 11876  df-nn 12217  df-z 12563  df-q 12937
This theorem is referenced by:  opnvonmbllem2  45647
  Copyright terms: Public domain W3C validator