Users' Mathboxes Mathbox for Glauco Siliprandi < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >   Mathboxes  >  opnvonmbllem1 Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem opnvonmbllem1 46014
Description: The half-open interval expressed using a composition of a function (Contributed by Glauco Siliprandi, 24-Dec-2020.)
Hypotheses
Ref Expression
opnvonmbllem1.i 𝑖𝜑
opnvonmbllem1.x (𝜑𝑋𝑉)
opnvonmbllem1.c (𝜑𝐶:𝑋⟶ℚ)
opnvonmbllem1.d (𝜑𝐷:𝑋⟶ℚ)
opnvonmbllem1.s (𝜑X𝑖𝑋 ((𝐶𝑖)[,)(𝐷𝑖)) ⊆ 𝐵)
opnvonmbllem1.g (𝜑𝐵𝐺)
opnvonmbllem1.y (𝜑𝑌X𝑖𝑋 ((𝐶𝑖)[,)(𝐷𝑖)))
opnvonmbllem1.k 𝐾 = { ∈ ((ℚ × ℚ) ↑m 𝑋) ∣ X𝑖𝑋 (([,) ∘ )‘𝑖) ⊆ 𝐺}
opnvonmbllem1.h 𝐻 = (𝑖𝑋 ↦ ⟨(𝐶𝑖), (𝐷𝑖)⟩)
Assertion
Ref Expression
opnvonmbllem1 (𝜑 → ∃𝐾 𝑌X𝑖𝑋 (([,) ∘ )‘𝑖))
Distinct variable groups:   ,𝐺   ,𝐻   ,𝑋,𝑖   ,𝑌
Allowed substitution hints:   𝜑(,𝑖)   𝐵(,𝑖)   𝐶(,𝑖)   𝐷(,𝑖)   𝐺(𝑖)   𝐻(𝑖)   𝐾(,𝑖)   𝑉(,𝑖)   𝑌(𝑖)

Proof of Theorem opnvonmbllem1
StepHypRef Expression
1 opnvonmbllem1.i . . . . . 6 𝑖𝜑
2 opnvonmbllem1.c . . . . . . . 8 (𝜑𝐶:𝑋⟶ℚ)
32ffvelcdmda 7088 . . . . . . 7 ((𝜑𝑖𝑋) → (𝐶𝑖) ∈ ℚ)
4 opnvonmbllem1.d . . . . . . . 8 (𝜑𝐷:𝑋⟶ℚ)
54ffvelcdmda 7088 . . . . . . 7 ((𝜑𝑖𝑋) → (𝐷𝑖) ∈ ℚ)
6 opelxpi 5709 . . . . . . 7 (((𝐶𝑖) ∈ ℚ ∧ (𝐷𝑖) ∈ ℚ) → ⟨(𝐶𝑖), (𝐷𝑖)⟩ ∈ (ℚ × ℚ))
73, 5, 6syl2anc 583 . . . . . 6 ((𝜑𝑖𝑋) → ⟨(𝐶𝑖), (𝐷𝑖)⟩ ∈ (ℚ × ℚ))
8 opnvonmbllem1.h . . . . . 6 𝐻 = (𝑖𝑋 ↦ ⟨(𝐶𝑖), (𝐷𝑖)⟩)
91, 7, 8fmptdf 7121 . . . . 5 (𝜑𝐻:𝑋⟶(ℚ × ℚ))
10 qex 12969 . . . . . . . . 9 ℚ ∈ V
1110, 10xpex 7749 . . . . . . . 8 (ℚ × ℚ) ∈ V
1211a1i 11 . . . . . . 7 (𝜑 → (ℚ × ℚ) ∈ V)
13 opnvonmbllem1.x . . . . . . 7 (𝜑𝑋𝑉)
1412, 13jca 511 . . . . . 6 (𝜑 → ((ℚ × ℚ) ∈ V ∧ 𝑋𝑉))
15 elmapg 8851 . . . . . 6 (((ℚ × ℚ) ∈ V ∧ 𝑋𝑉) → (𝐻 ∈ ((ℚ × ℚ) ↑m 𝑋) ↔ 𝐻:𝑋⟶(ℚ × ℚ)))
1614, 15syl 17 . . . . 5 (𝜑 → (𝐻 ∈ ((ℚ × ℚ) ↑m 𝑋) ↔ 𝐻:𝑋⟶(ℚ × ℚ)))
179, 16mpbird 257 . . . 4 (𝜑𝐻 ∈ ((ℚ × ℚ) ↑m 𝑋))
181, 8hoi2toco 45989 . . . . 5 (𝜑X𝑖𝑋 (([,) ∘ 𝐻)‘𝑖) = X𝑖𝑋 ((𝐶𝑖)[,)(𝐷𝑖)))
19 opnvonmbllem1.s . . . . . 6 (𝜑X𝑖𝑋 ((𝐶𝑖)[,)(𝐷𝑖)) ⊆ 𝐵)
20 opnvonmbllem1.g . . . . . 6 (𝜑𝐵𝐺)
2119, 20sstrd 3988 . . . . 5 (𝜑X𝑖𝑋 ((𝐶𝑖)[,)(𝐷𝑖)) ⊆ 𝐺)
2218, 21eqsstrd 4016 . . . 4 (𝜑X𝑖𝑋 (([,) ∘ 𝐻)‘𝑖) ⊆ 𝐺)
2317, 22jca 511 . . 3 (𝜑 → (𝐻 ∈ ((ℚ × ℚ) ↑m 𝑋) ∧ X𝑖𝑋 (([,) ∘ 𝐻)‘𝑖) ⊆ 𝐺))
24 nfcv 2899 . . . . . . 7 𝑖
25 nfmpt1 5250 . . . . . . . 8 𝑖(𝑖𝑋 ↦ ⟨(𝐶𝑖), (𝐷𝑖)⟩)
268, 25nfcxfr 2897 . . . . . . 7 𝑖𝐻
2724, 26nfeq 2912 . . . . . 6 𝑖 = 𝐻
28 coeq2 5855 . . . . . . . 8 ( = 𝐻 → ([,) ∘ ) = ([,) ∘ 𝐻))
2928fveq1d 6893 . . . . . . 7 ( = 𝐻 → (([,) ∘ )‘𝑖) = (([,) ∘ 𝐻)‘𝑖))
3029adantr 480 . . . . . 6 (( = 𝐻𝑖𝑋) → (([,) ∘ )‘𝑖) = (([,) ∘ 𝐻)‘𝑖))
3127, 30ixpeq2d 44426 . . . . 5 ( = 𝐻X𝑖𝑋 (([,) ∘ )‘𝑖) = X𝑖𝑋 (([,) ∘ 𝐻)‘𝑖))
3231sseq1d 4009 . . . 4 ( = 𝐻 → (X𝑖𝑋 (([,) ∘ )‘𝑖) ⊆ 𝐺X𝑖𝑋 (([,) ∘ 𝐻)‘𝑖) ⊆ 𝐺))
33 opnvonmbllem1.k . . . 4 𝐾 = { ∈ ((ℚ × ℚ) ↑m 𝑋) ∣ X𝑖𝑋 (([,) ∘ )‘𝑖) ⊆ 𝐺}
3432, 33elrab2 3684 . . 3 (𝐻𝐾 ↔ (𝐻 ∈ ((ℚ × ℚ) ↑m 𝑋) ∧ X𝑖𝑋 (([,) ∘ 𝐻)‘𝑖) ⊆ 𝐺))
3523, 34sylibr 233 . 2 (𝜑𝐻𝐾)
36 opnvonmbllem1.y . . 3 (𝜑𝑌X𝑖𝑋 ((𝐶𝑖)[,)(𝐷𝑖)))
3736, 18eleqtrrd 2832 . 2 (𝜑𝑌X𝑖𝑋 (([,) ∘ 𝐻)‘𝑖))
38 nfv 1910 . . 3 𝑌X𝑖𝑋 (([,) ∘ 𝐻)‘𝑖)
39 nfcv 2899 . . 3 𝐻
40 nfrab1 3447 . . . 4 { ∈ ((ℚ × ℚ) ↑m 𝑋) ∣ X𝑖𝑋 (([,) ∘ )‘𝑖) ⊆ 𝐺}
4133, 40nfcxfr 2897 . . 3 𝐾
4231eleq2d 2815 . . 3 ( = 𝐻 → (𝑌X𝑖𝑋 (([,) ∘ )‘𝑖) ↔ 𝑌X𝑖𝑋 (([,) ∘ 𝐻)‘𝑖)))
4338, 39, 41, 42rspcef 44430 . 2 ((𝐻𝐾𝑌X𝑖𝑋 (([,) ∘ 𝐻)‘𝑖)) → ∃𝐾 𝑌X𝑖𝑋 (([,) ∘ )‘𝑖))
4435, 37, 43syl2anc 583 1 (𝜑 → ∃𝐾 𝑌X𝑖𝑋 (([,) ∘ )‘𝑖))
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  wi 4  wb 205  wa 395   = wceq 1534  wnf 1778  wcel 2099  wrex 3066  {crab 3428  Vcvv 3470  wss 3945  cop 4630  cmpt 5225   × cxp 5670  ccom 5676  wf 6538  cfv 6542  (class class class)co 7414  m cmap 8838  Xcixp 8909  cq 12956  [,)cico 13352
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1790  ax-4 1804  ax-5 1906  ax-6 1964  ax-7 2004  ax-8 2101  ax-9 2109  ax-10 2130  ax-11 2147  ax-12 2167  ax-ext 2699  ax-sep 5293  ax-nul 5300  ax-pow 5359  ax-pr 5423  ax-un 7734  ax-cnex 11188  ax-resscn 11189  ax-1cn 11190  ax-icn 11191  ax-addcl 11192  ax-addrcl 11193  ax-mulcl 11194  ax-mulrcl 11195  ax-mulcom 11196  ax-addass 11197  ax-mulass 11198  ax-distr 11199  ax-i2m1 11200  ax-1ne0 11201  ax-1rid 11202  ax-rnegex 11203  ax-rrecex 11204  ax-cnre 11205  ax-pre-lttri 11206  ax-pre-lttrn 11207  ax-pre-ltadd 11208  ax-pre-mulgt0 11209
This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 396  df-or 847  df-3or 1086  df-3an 1087  df-tru 1537  df-fal 1547  df-ex 1775  df-nf 1779  df-sb 2061  df-mo 2530  df-eu 2559  df-clab 2706  df-cleq 2720  df-clel 2806  df-nfc 2881  df-ne 2937  df-nel 3043  df-ral 3058  df-rex 3067  df-rmo 3372  df-reu 3373  df-rab 3429  df-v 3472  df-sbc 3776  df-csb 3891  df-dif 3948  df-un 3950  df-in 3952  df-ss 3962  df-pss 3964  df-nul 4319  df-if 4525  df-pw 4600  df-sn 4625  df-pr 4627  df-op 4631  df-uni 4904  df-iun 4993  df-br 5143  df-opab 5205  df-mpt 5226  df-tr 5260  df-id 5570  df-eprel 5576  df-po 5584  df-so 5585  df-fr 5627  df-we 5629  df-xp 5678  df-rel 5679  df-cnv 5680  df-co 5681  df-dm 5682  df-rn 5683  df-res 5684  df-ima 5685  df-pred 6299  df-ord 6366  df-on 6367  df-lim 6368  df-suc 6369  df-iota 6494  df-fun 6544  df-fn 6545  df-f 6546  df-f1 6547  df-fo 6548  df-f1o 6549  df-fv 6550  df-riota 7370  df-ov 7417  df-oprab 7418  df-mpo 7419  df-om 7865  df-1st 7987  df-2nd 7988  df-frecs 8280  df-wrecs 8311  df-recs 8385  df-rdg 8424  df-er 8718  df-map 8840  df-ixp 8910  df-en 8958  df-dom 8959  df-sdom 8960  df-pnf 11274  df-mnf 11275  df-xr 11276  df-ltxr 11277  df-le 11278  df-sub 11470  df-neg 11471  df-div 11896  df-nn 12237  df-z 12583  df-q 12957
This theorem is referenced by:  opnvonmbllem2  46015
  Copyright terms: Public domain W3C validator