Theorem opnvonmbllem1 46623

Description: The half-open interval expressed using a composition of a function (Contributed by Glauco Siliprandi, 24-Dec-2020.)

Hypotheses

Ref	Expression
opnvonmbllem1.i	⊢ Ⅎ𝑖𝜑
opnvonmbllem1.x	⊢ (𝜑 → 𝑋 ∈ 𝑉)
opnvonmbllem1.c	⊢ (𝜑 → 𝐶:𝑋⟶ℚ)
opnvonmbllem1.d	⊢ (𝜑 → 𝐷:𝑋⟶ℚ)
opnvonmbllem1.s	⊢ (𝜑 → X𝑖 ∈ 𝑋 ((𝐶‘𝑖)[,)(𝐷‘𝑖)) ⊆ 𝐵)
opnvonmbllem1.g	⊢ (𝜑 → 𝐵 ⊆ 𝐺)
opnvonmbllem1.y	⊢ (𝜑 → 𝑌 ∈ X𝑖 ∈ 𝑋 ((𝐶‘𝑖)[,)(𝐷‘𝑖)))
opnvonmbllem1.k	⊢ 𝐾 = {ℎ ∈ ((ℚ × ℚ) ↑m 𝑋) ∣ X𝑖 ∈ 𝑋 (([,) ∘ ℎ)‘𝑖) ⊆ 𝐺}
opnvonmbllem1.h	⊢ 𝐻 = (𝑖 ∈ 𝑋 ↦ ⟨(𝐶‘𝑖), (𝐷‘𝑖)⟩)

Assertion

Ref	Expression
opnvonmbllem1	⊢ (𝜑 → ∃ℎ ∈ 𝐾 𝑌 ∈ X𝑖 ∈ 𝑋 (([,) ∘ ℎ)‘𝑖))

Distinct variable groups:   ℎ,𝐺   ℎ,𝐻   ℎ,𝑋,𝑖   ℎ,𝑌

Allowed substitution hints:   𝜑(ℎ,𝑖)   𝐵(ℎ,𝑖)   𝐶(ℎ,𝑖)   𝐷(ℎ,𝑖)   𝐺(𝑖)   𝐻(𝑖)   𝐾(ℎ,𝑖)   𝑉(ℎ,𝑖)   𝑌(𝑖)

Proof of Theorem opnvonmbllem1

Step	Hyp	Ref	Expression
1		opnvonmbllem1.i	. . . . . 6 ⊢ Ⅎ𝑖𝜑
2		opnvonmbllem1.c	. . . . . . . 8 ⊢ (𝜑 → 𝐶:𝑋⟶ℚ)
3	2	ffvelcdmda 7038	. . . . . . 7 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑖 ∈ 𝑋) → (𝐶‘𝑖) ∈ ℚ)
4		opnvonmbllem1.d	. . . . . . . 8 ⊢ (𝜑 → 𝐷:𝑋⟶ℚ)
5	4	ffvelcdmda 7038	. . . . . . 7 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑖 ∈ 𝑋) → (𝐷‘𝑖) ∈ ℚ)
6		opelxpi 5668	. . . . . . 7 ⊢ (((𝐶‘𝑖) ∈ ℚ ∧ (𝐷‘𝑖) ∈ ℚ) → ⟨(𝐶‘𝑖), (𝐷‘𝑖)⟩ ∈ (ℚ × ℚ))
7	3, 5, 6	syl2anc 584	. . . . . 6 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑖 ∈ 𝑋) → ⟨(𝐶‘𝑖), (𝐷‘𝑖)⟩ ∈ (ℚ × ℚ))
8		opnvonmbllem1.h	. . . . . 6 ⊢ 𝐻 = (𝑖 ∈ 𝑋 ↦ ⟨(𝐶‘𝑖), (𝐷‘𝑖)⟩)
9	1, 7, 8	fmptdf 7071	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → 𝐻:𝑋⟶(ℚ × ℚ))
10		qex 12896	. . . . . . . . 9 ⊢ ℚ ∈ V
11	10, 10	xpex 7709	. . . . . . . 8 ⊢ (ℚ × ℚ) ∈ V
12	11	a1i 11	. . . . . . 7 ⊢ (𝜑 → (ℚ × ℚ) ∈ V)
13		opnvonmbllem1.x	. . . . . . 7 ⊢ (𝜑 → 𝑋 ∈ 𝑉)
14	12, 13	jca 511	. . . . . 6 ⊢ (𝜑 → ((ℚ × ℚ) ∈ V ∧ 𝑋 ∈ 𝑉))
15		elmapg 8789	. . . . . 6 ⊢ (((ℚ × ℚ) ∈ V ∧ 𝑋 ∈ 𝑉) → (𝐻 ∈ ((ℚ × ℚ) ↑m 𝑋) ↔ 𝐻:𝑋⟶(ℚ × ℚ)))
16	14, 15	syl 17	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → (𝐻 ∈ ((ℚ × ℚ) ↑m 𝑋) ↔ 𝐻:𝑋⟶(ℚ × ℚ)))
17	9, 16	mpbird 257	. . . 4 ⊢ (𝜑 → 𝐻 ∈ ((ℚ × ℚ) ↑m 𝑋))
18	1, 8	hoi2toco 46598	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → X𝑖 ∈ 𝑋 (([,) ∘ 𝐻)‘𝑖) = X𝑖 ∈ 𝑋 ((𝐶‘𝑖)[,)(𝐷‘𝑖)))
19		opnvonmbllem1.s	. . . . . 6 ⊢ (𝜑 → X𝑖 ∈ 𝑋 ((𝐶‘𝑖)[,)(𝐷‘𝑖)) ⊆ 𝐵)
20		opnvonmbllem1.g	. . . . . 6 ⊢ (𝜑 → 𝐵 ⊆ 𝐺)
21	19, 20	sstrd 3954	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → X𝑖 ∈ 𝑋 ((𝐶‘𝑖)[,)(𝐷‘𝑖)) ⊆ 𝐺)
22	18, 21	eqsstrd 3978	. . . 4 ⊢ (𝜑 → X𝑖 ∈ 𝑋 (([,) ∘ 𝐻)‘𝑖) ⊆ 𝐺)
23	17, 22	jca 511	. . 3 ⊢ (𝜑 → (𝐻 ∈ ((ℚ × ℚ) ↑m 𝑋) ∧ X𝑖 ∈ 𝑋 (([,) ∘ 𝐻)‘𝑖) ⊆ 𝐺))
24		nfcv 2891	. . . . . . 7 ⊢ Ⅎ𝑖ℎ
25		nfmpt1 5201	. . . . . . . 8 ⊢ Ⅎ𝑖(𝑖 ∈ 𝑋 ↦ ⟨(𝐶‘𝑖), (𝐷‘𝑖)⟩)
26	8, 25	nfcxfr 2889	. . . . . . 7 ⊢ Ⅎ𝑖𝐻
27	24, 26	nfeq 2905	. . . . . 6 ⊢ Ⅎ𝑖 ℎ = 𝐻
28		coeq2 5812	. . . . . . . 8 ⊢ (ℎ = 𝐻 → ([,) ∘ ℎ) = ([,) ∘ 𝐻))
29	28	fveq1d 6842	. . . . . . 7 ⊢ (ℎ = 𝐻 → (([,) ∘ ℎ)‘𝑖) = (([,) ∘ 𝐻)‘𝑖))
30	29	adantr 480	. . . . . 6 ⊢ ((ℎ = 𝐻 ∧ 𝑖 ∈ 𝑋) → (([,) ∘ ℎ)‘𝑖) = (([,) ∘ 𝐻)‘𝑖))
31	27, 30	ixpeq2d 45055	. . . . 5 ⊢ (ℎ = 𝐻 → X𝑖 ∈ 𝑋 (([,) ∘ ℎ)‘𝑖) = X𝑖 ∈ 𝑋 (([,) ∘ 𝐻)‘𝑖))
32	31	sseq1d 3975	. . . 4 ⊢ (ℎ = 𝐻 → (X𝑖 ∈ 𝑋 (([,) ∘ ℎ)‘𝑖) ⊆ 𝐺 ↔ X𝑖 ∈ 𝑋 (([,) ∘ 𝐻)‘𝑖) ⊆ 𝐺))
33		opnvonmbllem1.k	. . . 4 ⊢ 𝐾 = {ℎ ∈ ((ℚ × ℚ) ↑m 𝑋) ∣ X𝑖 ∈ 𝑋 (([,) ∘ ℎ)‘𝑖) ⊆ 𝐺}
34	32, 33	elrab2 3659	. . 3 ⊢ (𝐻 ∈ 𝐾 ↔ (𝐻 ∈ ((ℚ × ℚ) ↑m 𝑋) ∧ X𝑖 ∈ 𝑋 (([,) ∘ 𝐻)‘𝑖) ⊆ 𝐺))
35	23, 34	sylibr 234	. 2 ⊢ (𝜑 → 𝐻 ∈ 𝐾)
36		opnvonmbllem1.y	. . 3 ⊢ (𝜑 → 𝑌 ∈ X𝑖 ∈ 𝑋 ((𝐶‘𝑖)[,)(𝐷‘𝑖)))
37	36, 18	eleqtrrd 2831	. 2 ⊢ (𝜑 → 𝑌 ∈ X𝑖 ∈ 𝑋 (([,) ∘ 𝐻)‘𝑖))
38		nfv 1914	. . 3 ⊢ Ⅎℎ 𝑌 ∈ X𝑖 ∈ 𝑋 (([,) ∘ 𝐻)‘𝑖)
39		nfcv 2891	. . 3 ⊢ Ⅎℎ𝐻
40		nfrab1 3423	. . . 4 ⊢ Ⅎℎ{ℎ ∈ ((ℚ × ℚ) ↑m 𝑋) ∣ X𝑖 ∈ 𝑋 (([,) ∘ ℎ)‘𝑖) ⊆ 𝐺}
41	33, 40	nfcxfr 2889	. . 3 ⊢ Ⅎℎ𝐾
42	31	eleq2d 2814	. . 3 ⊢ (ℎ = 𝐻 → (𝑌 ∈ X𝑖 ∈ 𝑋 (([,) ∘ ℎ)‘𝑖) ↔ 𝑌 ∈ X𝑖 ∈ 𝑋 (([,) ∘ 𝐻)‘𝑖)))
43	38, 39, 41, 42	rspcef 45059	. 2 ⊢ ((𝐻 ∈ 𝐾 ∧ 𝑌 ∈ X𝑖 ∈ 𝑋 (([,) ∘ 𝐻)‘𝑖)) → ∃ℎ ∈ 𝐾 𝑌 ∈ X𝑖 ∈ 𝑋 (([,) ∘ ℎ)‘𝑖))
44	35, 37, 43	syl2anc 584	1 ⊢ (𝜑 → ∃ℎ ∈ 𝐾 𝑌 ∈ X𝑖 ∈ 𝑋 (([,) ∘ ℎ)‘𝑖))

Syntax hints:   → wi 4   ↔ wb 206   ∧ wa 395   = wceq 1540  Ⅎwnf 1783   ∈ wcel 2109  ∃wrex 3053  {crab 3402  Vcvv 3444   ⊆ wss 3911  ⟨cop 4591   ↦ cmpt 5183   × cxp 5629   ∘ ccom 5635  ⟶wf 6495  ‘cfv 6499  (class class class)co 7369   ↑_m cmap 8776  Xcixp 8847  ℚcq 12883  [,)cico 13284

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1795  ax-4 1809  ax-5 1910  ax-6 1967  ax-7 2008  ax-8 2111  ax-9 2119  ax-10 2142  ax-11 2158  ax-12 2178  ax-ext 2701  ax-sep 5246  ax-nul 5256  ax-pow 5315  ax-pr 5382  ax-un 7691  ax-cnex 11100  ax-resscn 11101  ax-1cn 11102  ax-icn 11103  ax-addcl 11104  ax-addrcl 11105  ax-mulcl 11106  ax-mulrcl 11107  ax-mulcom 11108  ax-addass 11109  ax-mulass 11110  ax-distr 11111  ax-i2m1 11112  ax-1ne0 11113  ax-1rid 11114  ax-rnegex 11115  ax-rrecex 11116  ax-cnre 11117  ax-pre-lttri 11118  ax-pre-lttrn 11119  ax-pre-ltadd 11120  ax-pre-mulgt0 11121

This theorem depends on definitions:  df-bi 207  df-an 396  df-or 848  df-3or 1087  df-3an 1088  df-tru 1543  df-fal 1553  df-ex 1780  df-nf 1784  df-sb 2066  df-mo 2533  df-eu 2562  df-clab 2708  df-cleq 2721  df-clel 2803  df-nfc 2878  df-ne 2926  df-nel 3030  df-ral 3045  df-rex 3054  df-rmo 3351  df-reu 3352  df-rab 3403  df-v 3446  df-sbc 3751  df-csb 3860  df-dif 3914  df-un 3916  df-in 3918  df-ss 3928  df-pss 3931  df-nul 4293  df-if 4485  df-pw 4561  df-sn 4586  df-pr 4588  df-op 4592  df-uni 4868  df-iun 4953  df-br 5103  df-opab 5165  df-mpt 5184  df-tr 5210  df-id 5526  df-eprel 5531  df-po 5539  df-so 5540  df-fr 5584  df-we 5586  df-xp 5637  df-rel 5638  df-cnv 5639  df-co 5640  df-dm 5641  df-rn 5642  df-res 5643  df-ima 5644  df-pred 6262  df-ord 6323  df-on 6324  df-lim 6325  df-suc 6326  df-iota 6452  df-fun 6501  df-fn 6502  df-f 6503  df-f1 6504  df-fo 6505  df-f1o 6506  df-fv 6507  df-riota 7326  df-ov 7372  df-oprab 7373  df-mpo 7374  df-om 7823  df-1st 7947  df-2nd 7948  df-frecs 8237  df-wrecs 8268  df-recs 8317  df-rdg 8355  df-er 8648  df-map 8778  df-ixp 8848  df-en 8896  df-dom 8897  df-sdom 8898  df-pnf 11186  df-mnf 11187  df-xr 11188  df-ltxr 11189  df-le 11190  df-sub 11383  df-neg 11384  df-div 11812  df-nn 12163  df-z 12506  df-q 12884

This theorem is referenced by:  opnvonmbllem2  46624