Theorem opnvonmbllem1 44863

Description: The half-open interval expressed using a composition of a function (Contributed by Glauco Siliprandi, 24-Dec-2020.)

Hypotheses

Ref	Expression
opnvonmbllem1.i	⊢ Ⅎ𝑖𝜑
opnvonmbllem1.x	⊢ (𝜑 → 𝑋 ∈ 𝑉)
opnvonmbllem1.c	⊢ (𝜑 → 𝐶:𝑋⟶ℚ)
opnvonmbllem1.d	⊢ (𝜑 → 𝐷:𝑋⟶ℚ)
opnvonmbllem1.s	⊢ (𝜑 → X𝑖 ∈ 𝑋 ((𝐶‘𝑖)[,)(𝐷‘𝑖)) ⊆ 𝐵)
opnvonmbllem1.g	⊢ (𝜑 → 𝐵 ⊆ 𝐺)
opnvonmbllem1.y	⊢ (𝜑 → 𝑌 ∈ X𝑖 ∈ 𝑋 ((𝐶‘𝑖)[,)(𝐷‘𝑖)))
opnvonmbllem1.k	⊢ 𝐾 = {ℎ ∈ ((ℚ × ℚ) ↑m 𝑋) ∣ X𝑖 ∈ 𝑋 (([,) ∘ ℎ)‘𝑖) ⊆ 𝐺}
opnvonmbllem1.h	⊢ 𝐻 = (𝑖 ∈ 𝑋 ↦ ⟨(𝐶‘𝑖), (𝐷‘𝑖)⟩)

Assertion

Ref	Expression
opnvonmbllem1	⊢ (𝜑 → ∃ℎ ∈ 𝐾 𝑌 ∈ X𝑖 ∈ 𝑋 (([,) ∘ ℎ)‘𝑖))

Distinct variable groups:   ℎ,𝐺   ℎ,𝐻   ℎ,𝑋,𝑖   ℎ,𝑌

Allowed substitution hints:   𝜑(ℎ,𝑖)   𝐵(ℎ,𝑖)   𝐶(ℎ,𝑖)   𝐷(ℎ,𝑖)   𝐺(𝑖)   𝐻(𝑖)   𝐾(ℎ,𝑖)   𝑉(ℎ,𝑖)   𝑌(𝑖)

Proof of Theorem opnvonmbllem1

Step	Hyp	Ref	Expression
1		opnvonmbllem1.i	. . . . . 6 ⊢ Ⅎ𝑖𝜑
2		opnvonmbllem1.c	. . . . . . . 8 ⊢ (𝜑 → 𝐶:𝑋⟶ℚ)
3	2	ffvelcdmda 7035	. . . . . . 7 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑖 ∈ 𝑋) → (𝐶‘𝑖) ∈ ℚ)
4		opnvonmbllem1.d	. . . . . . . 8 ⊢ (𝜑 → 𝐷:𝑋⟶ℚ)
5	4	ffvelcdmda 7035	. . . . . . 7 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑖 ∈ 𝑋) → (𝐷‘𝑖) ∈ ℚ)
6		opelxpi 5670	. . . . . . 7 ⊢ (((𝐶‘𝑖) ∈ ℚ ∧ (𝐷‘𝑖) ∈ ℚ) → ⟨(𝐶‘𝑖), (𝐷‘𝑖)⟩ ∈ (ℚ × ℚ))
7	3, 5, 6	syl2anc 584	. . . . . 6 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑖 ∈ 𝑋) → ⟨(𝐶‘𝑖), (𝐷‘𝑖)⟩ ∈ (ℚ × ℚ))
8		opnvonmbllem1.h	. . . . . 6 ⊢ 𝐻 = (𝑖 ∈ 𝑋 ↦ ⟨(𝐶‘𝑖), (𝐷‘𝑖)⟩)
9	1, 7, 8	fmptdf 7065	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → 𝐻:𝑋⟶(ℚ × ℚ))
10		qex 12886	. . . . . . . . 9 ⊢ ℚ ∈ V
11	10, 10	xpex 7687	. . . . . . . 8 ⊢ (ℚ × ℚ) ∈ V
12	11	a1i 11	. . . . . . 7 ⊢ (𝜑 → (ℚ × ℚ) ∈ V)
13		opnvonmbllem1.x	. . . . . . 7 ⊢ (𝜑 → 𝑋 ∈ 𝑉)
14	12, 13	jca 512	. . . . . 6 ⊢ (𝜑 → ((ℚ × ℚ) ∈ V ∧ 𝑋 ∈ 𝑉))
15		elmapg 8778	. . . . . 6 ⊢ (((ℚ × ℚ) ∈ V ∧ 𝑋 ∈ 𝑉) → (𝐻 ∈ ((ℚ × ℚ) ↑m 𝑋) ↔ 𝐻:𝑋⟶(ℚ × ℚ)))
16	14, 15	syl 17	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → (𝐻 ∈ ((ℚ × ℚ) ↑m 𝑋) ↔ 𝐻:𝑋⟶(ℚ × ℚ)))
17	9, 16	mpbird 256	. . . 4 ⊢ (𝜑 → 𝐻 ∈ ((ℚ × ℚ) ↑m 𝑋))
18	1, 8	hoi2toco 44838	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → X𝑖 ∈ 𝑋 (([,) ∘ 𝐻)‘𝑖) = X𝑖 ∈ 𝑋 ((𝐶‘𝑖)[,)(𝐷‘𝑖)))
19		opnvonmbllem1.s	. . . . . 6 ⊢ (𝜑 → X𝑖 ∈ 𝑋 ((𝐶‘𝑖)[,)(𝐷‘𝑖)) ⊆ 𝐵)
20		opnvonmbllem1.g	. . . . . 6 ⊢ (𝜑 → 𝐵 ⊆ 𝐺)
21	19, 20	sstrd 3954	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → X𝑖 ∈ 𝑋 ((𝐶‘𝑖)[,)(𝐷‘𝑖)) ⊆ 𝐺)
22	18, 21	eqsstrd 3982	. . . 4 ⊢ (𝜑 → X𝑖 ∈ 𝑋 (([,) ∘ 𝐻)‘𝑖) ⊆ 𝐺)
23	17, 22	jca 512	. . 3 ⊢ (𝜑 → (𝐻 ∈ ((ℚ × ℚ) ↑m 𝑋) ∧ X𝑖 ∈ 𝑋 (([,) ∘ 𝐻)‘𝑖) ⊆ 𝐺))
24		nfcv 2907	. . . . . . 7 ⊢ Ⅎ𝑖ℎ
25		nfmpt1 5213	. . . . . . . 8 ⊢ Ⅎ𝑖(𝑖 ∈ 𝑋 ↦ ⟨(𝐶‘𝑖), (𝐷‘𝑖)⟩)
26	8, 25	nfcxfr 2905	. . . . . . 7 ⊢ Ⅎ𝑖𝐻
27	24, 26	nfeq 2920	. . . . . 6 ⊢ Ⅎ𝑖 ℎ = 𝐻
28		coeq2 5814	. . . . . . . 8 ⊢ (ℎ = 𝐻 → ([,) ∘ ℎ) = ([,) ∘ 𝐻))
29	28	fveq1d 6844	. . . . . . 7 ⊢ (ℎ = 𝐻 → (([,) ∘ ℎ)‘𝑖) = (([,) ∘ 𝐻)‘𝑖))
30	29	adantr 481	. . . . . 6 ⊢ ((ℎ = 𝐻 ∧ 𝑖 ∈ 𝑋) → (([,) ∘ ℎ)‘𝑖) = (([,) ∘ 𝐻)‘𝑖))
31	27, 30	ixpeq2d 43266	. . . . 5 ⊢ (ℎ = 𝐻 → X𝑖 ∈ 𝑋 (([,) ∘ ℎ)‘𝑖) = X𝑖 ∈ 𝑋 (([,) ∘ 𝐻)‘𝑖))
32	31	sseq1d 3975	. . . 4 ⊢ (ℎ = 𝐻 → (X𝑖 ∈ 𝑋 (([,) ∘ ℎ)‘𝑖) ⊆ 𝐺 ↔ X𝑖 ∈ 𝑋 (([,) ∘ 𝐻)‘𝑖) ⊆ 𝐺))
33		opnvonmbllem1.k	. . . 4 ⊢ 𝐾 = {ℎ ∈ ((ℚ × ℚ) ↑m 𝑋) ∣ X𝑖 ∈ 𝑋 (([,) ∘ ℎ)‘𝑖) ⊆ 𝐺}
34	32, 33	elrab2 3648	. . 3 ⊢ (𝐻 ∈ 𝐾 ↔ (𝐻 ∈ ((ℚ × ℚ) ↑m 𝑋) ∧ X𝑖 ∈ 𝑋 (([,) ∘ 𝐻)‘𝑖) ⊆ 𝐺))
35	23, 34	sylibr 233	. 2 ⊢ (𝜑 → 𝐻 ∈ 𝐾)
36		opnvonmbllem1.y	. . 3 ⊢ (𝜑 → 𝑌 ∈ X𝑖 ∈ 𝑋 ((𝐶‘𝑖)[,)(𝐷‘𝑖)))
37	36, 18	eleqtrrd 2841	. 2 ⊢ (𝜑 → 𝑌 ∈ X𝑖 ∈ 𝑋 (([,) ∘ 𝐻)‘𝑖))
38		nfv 1917	. . 3 ⊢ Ⅎℎ 𝑌 ∈ X𝑖 ∈ 𝑋 (([,) ∘ 𝐻)‘𝑖)
39		nfcv 2907	. . 3 ⊢ Ⅎℎ𝐻
40		nfrab1 3426	. . . 4 ⊢ Ⅎℎ{ℎ ∈ ((ℚ × ℚ) ↑m 𝑋) ∣ X𝑖 ∈ 𝑋 (([,) ∘ ℎ)‘𝑖) ⊆ 𝐺}
41	33, 40	nfcxfr 2905	. . 3 ⊢ Ⅎℎ𝐾
42	31	eleq2d 2823	. . 3 ⊢ (ℎ = 𝐻 → (𝑌 ∈ X𝑖 ∈ 𝑋 (([,) ∘ ℎ)‘𝑖) ↔ 𝑌 ∈ X𝑖 ∈ 𝑋 (([,) ∘ 𝐻)‘𝑖)))
43	38, 39, 41, 42	rspcef 43270	. 2 ⊢ ((𝐻 ∈ 𝐾 ∧ 𝑌 ∈ X𝑖 ∈ 𝑋 (([,) ∘ 𝐻)‘𝑖)) → ∃ℎ ∈ 𝐾 𝑌 ∈ X𝑖 ∈ 𝑋 (([,) ∘ ℎ)‘𝑖))
44	35, 37, 43	syl2anc 584	1 ⊢ (𝜑 → ∃ℎ ∈ 𝐾 𝑌 ∈ X𝑖 ∈ 𝑋 (([,) ∘ ℎ)‘𝑖))

Syntax hints:   → wi 4   ↔ wb 205   ∧ wa 396   = wceq 1541  Ⅎwnf 1785   ∈ wcel 2106  ∃wrex 3073  {crab 3407  Vcvv 3445   ⊆ wss 3910  ⟨cop 4592   ↦ cmpt 5188   × cxp 5631   ∘ ccom 5637  ⟶wf 6492  ‘cfv 6496  (class class class)co 7357   ↑_m cmap 8765  Xcixp 8835  ℚcq 12873  [,)cico 13266

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1797  ax-4 1811  ax-5 1913  ax-6 1971  ax-7 2011  ax-8 2108  ax-9 2116  ax-10 2137  ax-11 2154  ax-12 2171  ax-ext 2707  ax-sep 5256  ax-nul 5263  ax-pow 5320  ax-pr 5384  ax-un 7672  ax-cnex 11107  ax-resscn 11108  ax-1cn 11109  ax-icn 11110  ax-addcl 11111  ax-addrcl 11112  ax-mulcl 11113  ax-mulrcl 11114  ax-mulcom 11115  ax-addass 11116  ax-mulass 11117  ax-distr 11118  ax-i2m1 11119  ax-1ne0 11120  ax-1rid 11121  ax-rnegex 11122  ax-rrecex 11123  ax-cnre 11124  ax-pre-lttri 11125  ax-pre-lttrn 11126  ax-pre-ltadd 11127  ax-pre-mulgt0 11128

This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 397  df-or 846  df-3or 1088  df-3an 1089  df-tru 1544  df-fal 1554  df-ex 1782  df-nf 1786  df-sb 2068  df-mo 2538  df-eu 2567  df-clab 2714  df-cleq 2728  df-clel 2814  df-nfc 2889  df-ne 2944  df-nel 3050  df-ral 3065  df-rex 3074  df-rmo 3353  df-reu 3354  df-rab 3408  df-v 3447  df-sbc 3740  df-csb 3856  df-dif 3913  df-un 3915  df-in 3917  df-ss 3927  df-pss 3929  df-nul 4283  df-if 4487  df-pw 4562  df-sn 4587  df-pr 4589  df-op 4593  df-uni 4866  df-iun 4956  df-br 5106  df-opab 5168  df-mpt 5189  df-tr 5223  df-id 5531  df-eprel 5537  df-po 5545  df-so 5546  df-fr 5588  df-we 5590  df-xp 5639  df-rel 5640  df-cnv 5641  df-co 5642  df-dm 5643  df-rn 5644  df-res 5645  df-ima 5646  df-pred 6253  df-ord 6320  df-on 6321  df-lim 6322  df-suc 6323  df-iota 6448  df-fun 6498  df-fn 6499  df-f 6500  df-f1 6501  df-fo 6502  df-f1o 6503  df-fv 6504  df-riota 7313  df-ov 7360  df-oprab 7361  df-mpo 7362  df-om 7803  df-1st 7921  df-2nd 7922  df-frecs 8212  df-wrecs 8243  df-recs 8317  df-rdg 8356  df-er 8648  df-map 8767  df-ixp 8836  df-en 8884  df-dom 8885  df-sdom 8886  df-pnf 11191  df-mnf 11192  df-xr 11193  df-ltxr 11194  df-le 11195  df-sub 11387  df-neg 11388  df-div 11813  df-nn 12154  df-z 12500  df-q 12874

This theorem is referenced by:  opnvonmbllem2  44864