Theorem opnvonmbllem1 47211

Description: The half-open interval expressed using a composition of a function (Contributed by Glauco Siliprandi, 24-Dec-2020.)

Hypotheses

Ref	Expression
opnvonmbllem1.i	⊢ Ⅎ𝑖𝜑
opnvonmbllem1.x	⊢ (𝜑 → 𝑋 ∈ 𝑉)
opnvonmbllem1.c	⊢ (𝜑 → 𝐶:𝑋⟶ℚ)
opnvonmbllem1.d	⊢ (𝜑 → 𝐷:𝑋⟶ℚ)
opnvonmbllem1.s	⊢ (𝜑 → X𝑖 ∈ 𝑋 ((𝐶‘𝑖)[,)(𝐷‘𝑖)) ⊆ 𝐵)
opnvonmbllem1.g	⊢ (𝜑 → 𝐵 ⊆ 𝐺)
opnvonmbllem1.y	⊢ (𝜑 → 𝑌 ∈ X𝑖 ∈ 𝑋 ((𝐶‘𝑖)[,)(𝐷‘𝑖)))
opnvonmbllem1.k	⊢ 𝐾 = {ℎ ∈ ((ℚ × ℚ) ↑m 𝑋) ∣ X𝑖 ∈ 𝑋 (([,) ∘ ℎ)‘𝑖) ⊆ 𝐺}
opnvonmbllem1.h	⊢ 𝐻 = (𝑖 ∈ 𝑋 ↦ ⟨(𝐶‘𝑖), (𝐷‘𝑖)⟩)

Assertion

Ref	Expression
opnvonmbllem1	⊢ (𝜑 → ∃ℎ ∈ 𝐾 𝑌 ∈ X𝑖 ∈ 𝑋 (([,) ∘ ℎ)‘𝑖))

Distinct variable groups:   ℎ,𝐺   ℎ,𝐻   ℎ,𝑋,𝑖   ℎ,𝑌

Allowed substitution hints:   𝜑(ℎ,𝑖)   𝐵(ℎ,𝑖)   𝐶(ℎ,𝑖)   𝐷(ℎ,𝑖)   𝐺(𝑖)   𝐻(𝑖)   𝐾(ℎ,𝑖)   𝑉(ℎ,𝑖)   𝑌(𝑖)

Proof of Theorem opnvonmbllem1

Step	Hyp	Ref	Expression
1		opnvonmbllem1.i	. . . . . 6 ⊢ Ⅎ𝑖𝜑
2		opnvonmbllem1.c	. . . . . . . 8 ⊢ (𝜑 → 𝐶:𝑋⟶ℚ)
3	2	ffvelcdmda 7067	. . . . . . 7 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑖 ∈ 𝑋) → (𝐶‘𝑖) ∈ ℚ)
4		opnvonmbllem1.d	. . . . . . . 8 ⊢ (𝜑 → 𝐷:𝑋⟶ℚ)
5	4	ffvelcdmda 7067	. . . . . . 7 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑖 ∈ 𝑋) → (𝐷‘𝑖) ∈ ℚ)
6		opelxpi 5686	. . . . . . 7 ⊢ (((𝐶‘𝑖) ∈ ℚ ∧ (𝐷‘𝑖) ∈ ℚ) → ⟨(𝐶‘𝑖), (𝐷‘𝑖)⟩ ∈ (ℚ × ℚ))
7	3, 5, 6	syl2anc 593	. . . . . 6 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑖 ∈ 𝑋) → ⟨(𝐶‘𝑖), (𝐷‘𝑖)⟩ ∈ (ℚ × ℚ))
8		opnvonmbllem1.h	. . . . . 6 ⊢ 𝐻 = (𝑖 ∈ 𝑋 ↦ ⟨(𝐶‘𝑖), (𝐷‘𝑖)⟩)
9	1, 7, 8	fmptdf 7100	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → 𝐻:𝑋⟶(ℚ × ℚ))
10		qex 12964	. . . . . . . . 9 ⊢ ℚ ∈ V
11	10, 10	xpex 7738	. . . . . . . 8 ⊢ (ℚ × ℚ) ∈ V
12	11	a1i 11	. . . . . . 7 ⊢ (𝜑 → (ℚ × ℚ) ∈ V)
13		opnvonmbllem1.x	. . . . . . 7 ⊢ (𝜑 → 𝑋 ∈ 𝑉)
14	12, 13	jca 519	. . . . . 6 ⊢ (𝜑 → ((ℚ × ℚ) ∈ V ∧ 𝑋 ∈ 𝑉))
15		elmapg 8822	. . . . . 6 ⊢ (((ℚ × ℚ) ∈ V ∧ 𝑋 ∈ 𝑉) → (𝐻 ∈ ((ℚ × ℚ) ↑m 𝑋) ↔ 𝐻:𝑋⟶(ℚ × ℚ)))
16	14, 15	syl 17	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → (𝐻 ∈ ((ℚ × ℚ) ↑m 𝑋) ↔ 𝐻:𝑋⟶(ℚ × ℚ)))
17	9, 16	mpbird 259	. . . 4 ⊢ (𝜑 → 𝐻 ∈ ((ℚ × ℚ) ↑m 𝑋))
18	1, 8	hoi2toco 47186	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → X𝑖 ∈ 𝑋 (([,) ∘ 𝐻)‘𝑖) = X𝑖 ∈ 𝑋 ((𝐶‘𝑖)[,)(𝐷‘𝑖)))
19		opnvonmbllem1.s	. . . . . 6 ⊢ (𝜑 → X𝑖 ∈ 𝑋 ((𝐶‘𝑖)[,)(𝐷‘𝑖)) ⊆ 𝐵)
20		opnvonmbllem1.g	. . . . . 6 ⊢ (𝜑 → 𝐵 ⊆ 𝐺)
21	19, 20	sstrd 3948	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → X𝑖 ∈ 𝑋 ((𝐶‘𝑖)[,)(𝐷‘𝑖)) ⊆ 𝐺)
22	18, 21	eqsstrd 3972	. . . 4 ⊢ (𝜑 → X𝑖 ∈ 𝑋 (([,) ∘ 𝐻)‘𝑖) ⊆ 𝐺)
23	17, 22	jca 519	. . 3 ⊢ (𝜑 → (𝐻 ∈ ((ℚ × ℚ) ↑m 𝑋) ∧ X𝑖 ∈ 𝑋 (([,) ∘ 𝐻)‘𝑖) ⊆ 𝐺))
24		nfcv 2926	. . . . . . 7 ⊢ Ⅎ𝑖ℎ
25		nfmpt1 5201	. . . . . . . 8 ⊢ Ⅎ𝑖(𝑖 ∈ 𝑋 ↦ ⟨(𝐶‘𝑖), (𝐷‘𝑖)⟩)
26	8, 25	nfcxfr 2924	. . . . . . 7 ⊢ Ⅎ𝑖𝐻
27	24, 26	nfeq 2939	. . . . . 6 ⊢ Ⅎ𝑖 ℎ = 𝐻
28		coeq2 5832	. . . . . . . 8 ⊢ (ℎ = 𝐻 → ([,) ∘ ℎ) = ([,) ∘ 𝐻))
29	28	fveq1d 6871	. . . . . . 7 ⊢ (ℎ = 𝐻 → (([,) ∘ ℎ)‘𝑖) = (([,) ∘ 𝐻)‘𝑖))
30	29	adantr 484	. . . . . 6 ⊢ ((ℎ = 𝐻 ∧ 𝑖 ∈ 𝑋) → (([,) ∘ ℎ)‘𝑖) = (([,) ∘ 𝐻)‘𝑖))
31	27, 30	ixpeq2d 45653	. . . . 5 ⊢ (ℎ = 𝐻 → X𝑖 ∈ 𝑋 (([,) ∘ ℎ)‘𝑖) = X𝑖 ∈ 𝑋 (([,) ∘ 𝐻)‘𝑖))
32	31	sseq1d 3969	. . . 4 ⊢ (ℎ = 𝐻 → (X𝑖 ∈ 𝑋 (([,) ∘ ℎ)‘𝑖) ⊆ 𝐺 ↔ X𝑖 ∈ 𝑋 (([,) ∘ 𝐻)‘𝑖) ⊆ 𝐺))
33		opnvonmbllem1.k	. . . 4 ⊢ 𝐾 = {ℎ ∈ ((ℚ × ℚ) ↑m 𝑋) ∣ X𝑖 ∈ 𝑋 (([,) ∘ ℎ)‘𝑖) ⊆ 𝐺}
34	32, 33	elrab2 3656	. . 3 ⊢ (𝐻 ∈ 𝐾 ↔ (𝐻 ∈ ((ℚ × ℚ) ↑m 𝑋) ∧ X𝑖 ∈ 𝑋 (([,) ∘ 𝐻)‘𝑖) ⊆ 𝐺))
35	23, 34	sylibr 236	. 2 ⊢ (𝜑 → 𝐻 ∈ 𝐾)
36		opnvonmbllem1.y	. . 3 ⊢ (𝜑 → 𝑌 ∈ X𝑖 ∈ 𝑋 ((𝐶‘𝑖)[,)(𝐷‘𝑖)))
37	36, 18	eleqtrrd 2867	. 2 ⊢ (𝜑 → 𝑌 ∈ X𝑖 ∈ 𝑋 (([,) ∘ 𝐻)‘𝑖))
38		nfv 1936	. . 3 ⊢ Ⅎℎ 𝑌 ∈ X𝑖 ∈ 𝑋 (([,) ∘ 𝐻)‘𝑖)
39		nfcv 2926	. . 3 ⊢ Ⅎℎ𝐻
40		nfrab1 3436	. . . 4 ⊢ Ⅎℎ{ℎ ∈ ((ℚ × ℚ) ↑m 𝑋) ∣ X𝑖 ∈ 𝑋 (([,) ∘ ℎ)‘𝑖) ⊆ 𝐺}
41	33, 40	nfcxfr 2924	. . 3 ⊢ Ⅎℎ𝐾
42	31	eleq2d 2850	. . 3 ⊢ (ℎ = 𝐻 → (𝑌 ∈ X𝑖 ∈ 𝑋 (([,) ∘ ℎ)‘𝑖) ↔ 𝑌 ∈ X𝑖 ∈ 𝑋 (([,) ∘ 𝐻)‘𝑖)))
43	38, 39, 41, 42	rspcef 45657	. 2 ⊢ ((𝐻 ∈ 𝐾 ∧ 𝑌 ∈ X𝑖 ∈ 𝑋 (([,) ∘ 𝐻)‘𝑖)) → ∃ℎ ∈ 𝐾 𝑌 ∈ X𝑖 ∈ 𝑋 (([,) ∘ ℎ)‘𝑖))
44	35, 37, 43	syl2anc 593	1 ⊢ (𝜑 → ∃ℎ ∈ 𝐾 𝑌 ∈ X𝑖 ∈ 𝑋 (([,) ∘ ℎ)‘𝑖))

Syntax hints:   → wi 4   ↔ wb 208   ∧ wa 399   = wceq 1562  Ⅎwnf 1805   ∈ wcel 2144  ∃wrex 3088  {crab 3416  Vcvv 3456   ⊆ wss 3906  ⟨cop 4590   ↦ cmpt 5183   × cxp 5647   ∘ ccom 5653  ⟶wf 6519  ‘cfv 6523  (class class class)co 7398   ↑_m cmap 8810  Xcixp 8881  ℚcq 12951  [,)cico 13353

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1817  ax-4 1831  ax-5 1932  ax-6 1989  ax-7 2030  ax-8 2146  ax-9 2154  ax-10 2177  ax-11 2193  ax-12 2214  ax-ext 2736  ax-sep 5248  ax-nul 5258  ax-pow 5324  ax-pr 5392  ax-un 7720  ax-cnex 11131  ax-resscn 11132  ax-1cn 11133  ax-icn 11134  ax-addcl 11135  ax-addrcl 11136  ax-mulcl 11137  ax-mulrcl 11138  ax-mulcom 11139  ax-addass 11140  ax-mulass 11141  ax-distr 11142  ax-i2m1 11143  ax-1ne0 11144  ax-1rid 11145  ax-rnegex 11146  ax-rrecex 11147  ax-cnre 11148  ax-pre-lttri 11149  ax-pre-lttrn 11150  ax-pre-ltadd 11151  ax-pre-mulgt0 11152

This theorem depends on definitions:  df-bi 209  df-an 400  df-or 859  df-3or 1100  df-3an 1101  df-tru 1565  df-fal 1575  df-ex 1802  df-nf 1806  df-sb 2093  df-mo 2568  df-eu 2598  df-clab 2743  df-cleq 2756  df-clel 2839  df-nfc 2913  df-ne 2960  df-nel 3064  df-ral 3079  df-rex 3089  df-rmo 3369  df-reu 3370  df-rab 3417  df-v 3458  df-sbc 3747  df-csb 3855  df-dif 3909  df-un 3911  df-in 3913  df-ss 3923  df-pss 3926  df-nul 4288  df-if 4483  df-pw 4559  df-sn 4585  df-pr 4587  df-op 4591  df-uni 4868  df-iun 4953  df-br 5103  df-opab 5165  df-mpt 5184  df-tr 5210  df-id 5544  df-eprel 5549  df-po 5557  df-so 5558  df-fr 5602  df-we 5604  df-xp 5655  df-rel 5656  df-cnv 5657  df-co 5658  df-dm 5659  df-rn 5660  df-res 5661  df-ima 5662  df-pred 6290  df-ord 6351  df-on 6352  df-lim 6353  df-suc 6354  df-iota 6479  df-fun 6525  df-fn 6526  df-f 6527  df-f1 6528  df-fo 6529  df-f1o 6530  df-fv 6531  df-riota 7355  df-ov 7401  df-oprab 7402  df-mpo 7403  df-om 7849  df-1st 7972  df-2nd 7973  df-frecs 8264  df-wrecs 8295  df-recs 8344  df-rdg 8383  df-er 8680  df-map 8812  df-ixp 8882  df-en 8930  df-dom 8931  df-sdom 8932  df-pnf 11220  df-mnf 11221  df-xr 11222  df-ltxr 11223  df-le 11224  df-sub 11418  df-neg 11419  df-div 11847  df-nn 12213  df-z 12571  df-q 12952

This theorem is referenced by:  opnvonmbllem2  47212