Users' Mathboxes Mathbox for Glauco Siliprandi < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >   Mathboxes  >  opnvonmbllem1 Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem opnvonmbllem1 44141
Description: The half-open interval expressed using a composition of a function (Contributed by Glauco Siliprandi, 24-Dec-2020.)
Hypotheses
Ref Expression
opnvonmbllem1.i 𝑖𝜑
opnvonmbllem1.x (𝜑𝑋𝑉)
opnvonmbllem1.c (𝜑𝐶:𝑋⟶ℚ)
opnvonmbllem1.d (𝜑𝐷:𝑋⟶ℚ)
opnvonmbllem1.s (𝜑X𝑖𝑋 ((𝐶𝑖)[,)(𝐷𝑖)) ⊆ 𝐵)
opnvonmbllem1.g (𝜑𝐵𝐺)
opnvonmbllem1.y (𝜑𝑌X𝑖𝑋 ((𝐶𝑖)[,)(𝐷𝑖)))
opnvonmbllem1.k 𝐾 = { ∈ ((ℚ × ℚ) ↑m 𝑋) ∣ X𝑖𝑋 (([,) ∘ )‘𝑖) ⊆ 𝐺}
opnvonmbllem1.h 𝐻 = (𝑖𝑋 ↦ ⟨(𝐶𝑖), (𝐷𝑖)⟩)
Assertion
Ref Expression
opnvonmbllem1 (𝜑 → ∃𝐾 𝑌X𝑖𝑋 (([,) ∘ )‘𝑖))
Distinct variable groups:   ,𝐺   ,𝐻   ,𝑋,𝑖   ,𝑌
Allowed substitution hints:   𝜑(,𝑖)   𝐵(,𝑖)   𝐶(,𝑖)   𝐷(,𝑖)   𝐺(𝑖)   𝐻(𝑖)   𝐾(,𝑖)   𝑉(,𝑖)   𝑌(𝑖)

Proof of Theorem opnvonmbllem1
StepHypRef Expression
1 opnvonmbllem1.i . . . . . 6 𝑖𝜑
2 opnvonmbllem1.c . . . . . . . 8 (𝜑𝐶:𝑋⟶ℚ)
32ffvelrnda 6958 . . . . . . 7 ((𝜑𝑖𝑋) → (𝐶𝑖) ∈ ℚ)
4 opnvonmbllem1.d . . . . . . . 8 (𝜑𝐷:𝑋⟶ℚ)
54ffvelrnda 6958 . . . . . . 7 ((𝜑𝑖𝑋) → (𝐷𝑖) ∈ ℚ)
6 opelxpi 5627 . . . . . . 7 (((𝐶𝑖) ∈ ℚ ∧ (𝐷𝑖) ∈ ℚ) → ⟨(𝐶𝑖), (𝐷𝑖)⟩ ∈ (ℚ × ℚ))
73, 5, 6syl2anc 584 . . . . . 6 ((𝜑𝑖𝑋) → ⟨(𝐶𝑖), (𝐷𝑖)⟩ ∈ (ℚ × ℚ))
8 opnvonmbllem1.h . . . . . 6 𝐻 = (𝑖𝑋 ↦ ⟨(𝐶𝑖), (𝐷𝑖)⟩)
91, 7, 8fmptdf 6988 . . . . 5 (𝜑𝐻:𝑋⟶(ℚ × ℚ))
10 qex 12700 . . . . . . . . 9 ℚ ∈ V
1110, 10xpex 7597 . . . . . . . 8 (ℚ × ℚ) ∈ V
1211a1i 11 . . . . . . 7 (𝜑 → (ℚ × ℚ) ∈ V)
13 opnvonmbllem1.x . . . . . . 7 (𝜑𝑋𝑉)
1412, 13jca 512 . . . . . 6 (𝜑 → ((ℚ × ℚ) ∈ V ∧ 𝑋𝑉))
15 elmapg 8611 . . . . . 6 (((ℚ × ℚ) ∈ V ∧ 𝑋𝑉) → (𝐻 ∈ ((ℚ × ℚ) ↑m 𝑋) ↔ 𝐻:𝑋⟶(ℚ × ℚ)))
1614, 15syl 17 . . . . 5 (𝜑 → (𝐻 ∈ ((ℚ × ℚ) ↑m 𝑋) ↔ 𝐻:𝑋⟶(ℚ × ℚ)))
179, 16mpbird 256 . . . 4 (𝜑𝐻 ∈ ((ℚ × ℚ) ↑m 𝑋))
181, 8hoi2toco 44116 . . . . 5 (𝜑X𝑖𝑋 (([,) ∘ 𝐻)‘𝑖) = X𝑖𝑋 ((𝐶𝑖)[,)(𝐷𝑖)))
19 opnvonmbllem1.s . . . . . 6 (𝜑X𝑖𝑋 ((𝐶𝑖)[,)(𝐷𝑖)) ⊆ 𝐵)
20 opnvonmbllem1.g . . . . . 6 (𝜑𝐵𝐺)
2119, 20sstrd 3936 . . . . 5 (𝜑X𝑖𝑋 ((𝐶𝑖)[,)(𝐷𝑖)) ⊆ 𝐺)
2218, 21eqsstrd 3964 . . . 4 (𝜑X𝑖𝑋 (([,) ∘ 𝐻)‘𝑖) ⊆ 𝐺)
2317, 22jca 512 . . 3 (𝜑 → (𝐻 ∈ ((ℚ × ℚ) ↑m 𝑋) ∧ X𝑖𝑋 (([,) ∘ 𝐻)‘𝑖) ⊆ 𝐺))
24 nfcv 2909 . . . . . . 7 𝑖
25 nfmpt1 5187 . . . . . . . 8 𝑖(𝑖𝑋 ↦ ⟨(𝐶𝑖), (𝐷𝑖)⟩)
268, 25nfcxfr 2907 . . . . . . 7 𝑖𝐻
2724, 26nfeq 2922 . . . . . 6 𝑖 = 𝐻
28 coeq2 5766 . . . . . . . 8 ( = 𝐻 → ([,) ∘ ) = ([,) ∘ 𝐻))
2928fveq1d 6773 . . . . . . 7 ( = 𝐻 → (([,) ∘ )‘𝑖) = (([,) ∘ 𝐻)‘𝑖))
3029adantr 481 . . . . . 6 (( = 𝐻𝑖𝑋) → (([,) ∘ )‘𝑖) = (([,) ∘ 𝐻)‘𝑖))
3127, 30ixpeq2d 42586 . . . . 5 ( = 𝐻X𝑖𝑋 (([,) ∘ )‘𝑖) = X𝑖𝑋 (([,) ∘ 𝐻)‘𝑖))
3231sseq1d 3957 . . . 4 ( = 𝐻 → (X𝑖𝑋 (([,) ∘ )‘𝑖) ⊆ 𝐺X𝑖𝑋 (([,) ∘ 𝐻)‘𝑖) ⊆ 𝐺))
33 opnvonmbllem1.k . . . 4 𝐾 = { ∈ ((ℚ × ℚ) ↑m 𝑋) ∣ X𝑖𝑋 (([,) ∘ )‘𝑖) ⊆ 𝐺}
3432, 33elrab2 3629 . . 3 (𝐻𝐾 ↔ (𝐻 ∈ ((ℚ × ℚ) ↑m 𝑋) ∧ X𝑖𝑋 (([,) ∘ 𝐻)‘𝑖) ⊆ 𝐺))
3523, 34sylibr 233 . 2 (𝜑𝐻𝐾)
36 opnvonmbllem1.y . . 3 (𝜑𝑌X𝑖𝑋 ((𝐶𝑖)[,)(𝐷𝑖)))
3736, 18eleqtrrd 2844 . 2 (𝜑𝑌X𝑖𝑋 (([,) ∘ 𝐻)‘𝑖))
38 nfv 1921 . . 3 𝑌X𝑖𝑋 (([,) ∘ 𝐻)‘𝑖)
39 nfcv 2909 . . 3 𝐻
40 nfrab1 3316 . . . 4 { ∈ ((ℚ × ℚ) ↑m 𝑋) ∣ X𝑖𝑋 (([,) ∘ )‘𝑖) ⊆ 𝐺}
4133, 40nfcxfr 2907 . . 3 𝐾
4231eleq2d 2826 . . 3 ( = 𝐻 → (𝑌X𝑖𝑋 (([,) ∘ )‘𝑖) ↔ 𝑌X𝑖𝑋 (([,) ∘ 𝐻)‘𝑖)))
4338, 39, 41, 42rspcef 42590 . 2 ((𝐻𝐾𝑌X𝑖𝑋 (([,) ∘ 𝐻)‘𝑖)) → ∃𝐾 𝑌X𝑖𝑋 (([,) ∘ )‘𝑖))
4435, 37, 43syl2anc 584 1 (𝜑 → ∃𝐾 𝑌X𝑖𝑋 (([,) ∘ )‘𝑖))
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  wi 4  wb 205  wa 396   = wceq 1542  wnf 1790  wcel 2110  wrex 3067  {crab 3070  Vcvv 3431  wss 3892  cop 4573  cmpt 5162   × cxp 5588  ccom 5594  wf 6428  cfv 6432  (class class class)co 7271  m cmap 8598  Xcixp 8668  cq 12687  [,)cico 13080
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1802  ax-4 1816  ax-5 1917  ax-6 1975  ax-7 2015  ax-8 2112  ax-9 2120  ax-10 2141  ax-11 2158  ax-12 2175  ax-ext 2711  ax-sep 5227  ax-nul 5234  ax-pow 5292  ax-pr 5356  ax-un 7582  ax-cnex 10928  ax-resscn 10929  ax-1cn 10930  ax-icn 10931  ax-addcl 10932  ax-addrcl 10933  ax-mulcl 10934  ax-mulrcl 10935  ax-mulcom 10936  ax-addass 10937  ax-mulass 10938  ax-distr 10939  ax-i2m1 10940  ax-1ne0 10941  ax-1rid 10942  ax-rnegex 10943  ax-rrecex 10944  ax-cnre 10945  ax-pre-lttri 10946  ax-pre-lttrn 10947  ax-pre-ltadd 10948  ax-pre-mulgt0 10949
This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 397  df-or 845  df-3or 1087  df-3an 1088  df-tru 1545  df-fal 1555  df-ex 1787  df-nf 1791  df-sb 2072  df-mo 2542  df-eu 2571  df-clab 2718  df-cleq 2732  df-clel 2818  df-nfc 2891  df-ne 2946  df-nel 3052  df-ral 3071  df-rex 3072  df-reu 3073  df-rmo 3074  df-rab 3075  df-v 3433  df-sbc 3721  df-csb 3838  df-dif 3895  df-un 3897  df-in 3899  df-ss 3909  df-pss 3911  df-nul 4263  df-if 4466  df-pw 4541  df-sn 4568  df-pr 4570  df-op 4574  df-uni 4846  df-iun 4932  df-br 5080  df-opab 5142  df-mpt 5163  df-tr 5197  df-id 5490  df-eprel 5496  df-po 5504  df-so 5505  df-fr 5545  df-we 5547  df-xp 5596  df-rel 5597  df-cnv 5598  df-co 5599  df-dm 5600  df-rn 5601  df-res 5602  df-ima 5603  df-pred 6201  df-ord 6268  df-on 6269  df-lim 6270  df-suc 6271  df-iota 6390  df-fun 6434  df-fn 6435  df-f 6436  df-f1 6437  df-fo 6438  df-f1o 6439  df-fv 6440  df-riota 7228  df-ov 7274  df-oprab 7275  df-mpo 7276  df-om 7707  df-1st 7824  df-2nd 7825  df-frecs 8088  df-wrecs 8119  df-recs 8193  df-rdg 8232  df-er 8481  df-map 8600  df-ixp 8669  df-en 8717  df-dom 8718  df-sdom 8719  df-pnf 11012  df-mnf 11013  df-xr 11014  df-ltxr 11015  df-le 11016  df-sub 11207  df-neg 11208  df-div 11633  df-nn 11974  df-z 12320  df-q 12688
This theorem is referenced by:  opnvonmbllem2  44142
  Copyright terms: Public domain W3C validator