Users' Mathboxes Mathbox for Glauco Siliprandi < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >   Mathboxes  >  opnvonmbllem1 Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem opnvonmbllem1 46652
Description: The half-open interval expressed using a composition of a function (Contributed by Glauco Siliprandi, 24-Dec-2020.)
Hypotheses
Ref Expression
opnvonmbllem1.i 𝑖𝜑
opnvonmbllem1.x (𝜑𝑋𝑉)
opnvonmbllem1.c (𝜑𝐶:𝑋⟶ℚ)
opnvonmbllem1.d (𝜑𝐷:𝑋⟶ℚ)
opnvonmbllem1.s (𝜑X𝑖𝑋 ((𝐶𝑖)[,)(𝐷𝑖)) ⊆ 𝐵)
opnvonmbllem1.g (𝜑𝐵𝐺)
opnvonmbllem1.y (𝜑𝑌X𝑖𝑋 ((𝐶𝑖)[,)(𝐷𝑖)))
opnvonmbllem1.k 𝐾 = { ∈ ((ℚ × ℚ) ↑m 𝑋) ∣ X𝑖𝑋 (([,) ∘ )‘𝑖) ⊆ 𝐺}
opnvonmbllem1.h 𝐻 = (𝑖𝑋 ↦ ⟨(𝐶𝑖), (𝐷𝑖)⟩)
Assertion
Ref Expression
opnvonmbllem1 (𝜑 → ∃𝐾 𝑌X𝑖𝑋 (([,) ∘ )‘𝑖))
Distinct variable groups:   ,𝐺   ,𝐻   ,𝑋,𝑖   ,𝑌
Allowed substitution hints:   𝜑(,𝑖)   𝐵(,𝑖)   𝐶(,𝑖)   𝐷(,𝑖)   𝐺(𝑖)   𝐻(𝑖)   𝐾(,𝑖)   𝑉(,𝑖)   𝑌(𝑖)

Proof of Theorem opnvonmbllem1
StepHypRef Expression
1 opnvonmbllem1.i . . . . . 6 𝑖𝜑
2 opnvonmbllem1.c . . . . . . . 8 (𝜑𝐶:𝑋⟶ℚ)
32ffvelcdmda 7103 . . . . . . 7 ((𝜑𝑖𝑋) → (𝐶𝑖) ∈ ℚ)
4 opnvonmbllem1.d . . . . . . . 8 (𝜑𝐷:𝑋⟶ℚ)
54ffvelcdmda 7103 . . . . . . 7 ((𝜑𝑖𝑋) → (𝐷𝑖) ∈ ℚ)
6 opelxpi 5721 . . . . . . 7 (((𝐶𝑖) ∈ ℚ ∧ (𝐷𝑖) ∈ ℚ) → ⟨(𝐶𝑖), (𝐷𝑖)⟩ ∈ (ℚ × ℚ))
73, 5, 6syl2anc 584 . . . . . 6 ((𝜑𝑖𝑋) → ⟨(𝐶𝑖), (𝐷𝑖)⟩ ∈ (ℚ × ℚ))
8 opnvonmbllem1.h . . . . . 6 𝐻 = (𝑖𝑋 ↦ ⟨(𝐶𝑖), (𝐷𝑖)⟩)
91, 7, 8fmptdf 7136 . . . . 5 (𝜑𝐻:𝑋⟶(ℚ × ℚ))
10 qex 13004 . . . . . . . . 9 ℚ ∈ V
1110, 10xpex 7774 . . . . . . . 8 (ℚ × ℚ) ∈ V
1211a1i 11 . . . . . . 7 (𝜑 → (ℚ × ℚ) ∈ V)
13 opnvonmbllem1.x . . . . . . 7 (𝜑𝑋𝑉)
1412, 13jca 511 . . . . . 6 (𝜑 → ((ℚ × ℚ) ∈ V ∧ 𝑋𝑉))
15 elmapg 8880 . . . . . 6 (((ℚ × ℚ) ∈ V ∧ 𝑋𝑉) → (𝐻 ∈ ((ℚ × ℚ) ↑m 𝑋) ↔ 𝐻:𝑋⟶(ℚ × ℚ)))
1614, 15syl 17 . . . . 5 (𝜑 → (𝐻 ∈ ((ℚ × ℚ) ↑m 𝑋) ↔ 𝐻:𝑋⟶(ℚ × ℚ)))
179, 16mpbird 257 . . . 4 (𝜑𝐻 ∈ ((ℚ × ℚ) ↑m 𝑋))
181, 8hoi2toco 46627 . . . . 5 (𝜑X𝑖𝑋 (([,) ∘ 𝐻)‘𝑖) = X𝑖𝑋 ((𝐶𝑖)[,)(𝐷𝑖)))
19 opnvonmbllem1.s . . . . . 6 (𝜑X𝑖𝑋 ((𝐶𝑖)[,)(𝐷𝑖)) ⊆ 𝐵)
20 opnvonmbllem1.g . . . . . 6 (𝜑𝐵𝐺)
2119, 20sstrd 3993 . . . . 5 (𝜑X𝑖𝑋 ((𝐶𝑖)[,)(𝐷𝑖)) ⊆ 𝐺)
2218, 21eqsstrd 4017 . . . 4 (𝜑X𝑖𝑋 (([,) ∘ 𝐻)‘𝑖) ⊆ 𝐺)
2317, 22jca 511 . . 3 (𝜑 → (𝐻 ∈ ((ℚ × ℚ) ↑m 𝑋) ∧ X𝑖𝑋 (([,) ∘ 𝐻)‘𝑖) ⊆ 𝐺))
24 nfcv 2904 . . . . . . 7 𝑖
25 nfmpt1 5249 . . . . . . . 8 𝑖(𝑖𝑋 ↦ ⟨(𝐶𝑖), (𝐷𝑖)⟩)
268, 25nfcxfr 2902 . . . . . . 7 𝑖𝐻
2724, 26nfeq 2918 . . . . . 6 𝑖 = 𝐻
28 coeq2 5868 . . . . . . . 8 ( = 𝐻 → ([,) ∘ ) = ([,) ∘ 𝐻))
2928fveq1d 6907 . . . . . . 7 ( = 𝐻 → (([,) ∘ )‘𝑖) = (([,) ∘ 𝐻)‘𝑖))
3029adantr 480 . . . . . 6 (( = 𝐻𝑖𝑋) → (([,) ∘ )‘𝑖) = (([,) ∘ 𝐻)‘𝑖))
3127, 30ixpeq2d 45078 . . . . 5 ( = 𝐻X𝑖𝑋 (([,) ∘ )‘𝑖) = X𝑖𝑋 (([,) ∘ 𝐻)‘𝑖))
3231sseq1d 4014 . . . 4 ( = 𝐻 → (X𝑖𝑋 (([,) ∘ )‘𝑖) ⊆ 𝐺X𝑖𝑋 (([,) ∘ 𝐻)‘𝑖) ⊆ 𝐺))
33 opnvonmbllem1.k . . . 4 𝐾 = { ∈ ((ℚ × ℚ) ↑m 𝑋) ∣ X𝑖𝑋 (([,) ∘ )‘𝑖) ⊆ 𝐺}
3432, 33elrab2 3694 . . 3 (𝐻𝐾 ↔ (𝐻 ∈ ((ℚ × ℚ) ↑m 𝑋) ∧ X𝑖𝑋 (([,) ∘ 𝐻)‘𝑖) ⊆ 𝐺))
3523, 34sylibr 234 . 2 (𝜑𝐻𝐾)
36 opnvonmbllem1.y . . 3 (𝜑𝑌X𝑖𝑋 ((𝐶𝑖)[,)(𝐷𝑖)))
3736, 18eleqtrrd 2843 . 2 (𝜑𝑌X𝑖𝑋 (([,) ∘ 𝐻)‘𝑖))
38 nfv 1913 . . 3 𝑌X𝑖𝑋 (([,) ∘ 𝐻)‘𝑖)
39 nfcv 2904 . . 3 𝐻
40 nfrab1 3456 . . . 4 { ∈ ((ℚ × ℚ) ↑m 𝑋) ∣ X𝑖𝑋 (([,) ∘ )‘𝑖) ⊆ 𝐺}
4133, 40nfcxfr 2902 . . 3 𝐾
4231eleq2d 2826 . . 3 ( = 𝐻 → (𝑌X𝑖𝑋 (([,) ∘ )‘𝑖) ↔ 𝑌X𝑖𝑋 (([,) ∘ 𝐻)‘𝑖)))
4338, 39, 41, 42rspcef 45082 . 2 ((𝐻𝐾𝑌X𝑖𝑋 (([,) ∘ 𝐻)‘𝑖)) → ∃𝐾 𝑌X𝑖𝑋 (([,) ∘ )‘𝑖))
4435, 37, 43syl2anc 584 1 (𝜑 → ∃𝐾 𝑌X𝑖𝑋 (([,) ∘ )‘𝑖))
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  wi 4  wb 206  wa 395   = wceq 1539  wnf 1782  wcel 2107  wrex 3069  {crab 3435  Vcvv 3479  wss 3950  cop 4631  cmpt 5224   × cxp 5682  ccom 5688  wf 6556  cfv 6560  (class class class)co 7432  m cmap 8867  Xcixp 8938  cq 12991  [,)cico 13390
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1794  ax-4 1808  ax-5 1909  ax-6 1966  ax-7 2006  ax-8 2109  ax-9 2117  ax-10 2140  ax-11 2156  ax-12 2176  ax-ext 2707  ax-sep 5295  ax-nul 5305  ax-pow 5364  ax-pr 5431  ax-un 7756  ax-cnex 11212  ax-resscn 11213  ax-1cn 11214  ax-icn 11215  ax-addcl 11216  ax-addrcl 11217  ax-mulcl 11218  ax-mulrcl 11219  ax-mulcom 11220  ax-addass 11221  ax-mulass 11222  ax-distr 11223  ax-i2m1 11224  ax-1ne0 11225  ax-1rid 11226  ax-rnegex 11227  ax-rrecex 11228  ax-cnre 11229  ax-pre-lttri 11230  ax-pre-lttrn 11231  ax-pre-ltadd 11232  ax-pre-mulgt0 11233
This theorem depends on definitions:  df-bi 207  df-an 396  df-or 848  df-3or 1087  df-3an 1088  df-tru 1542  df-fal 1552  df-ex 1779  df-nf 1783  df-sb 2064  df-mo 2539  df-eu 2568  df-clab 2714  df-cleq 2728  df-clel 2815  df-nfc 2891  df-ne 2940  df-nel 3046  df-ral 3061  df-rex 3070  df-rmo 3379  df-reu 3380  df-rab 3436  df-v 3481  df-sbc 3788  df-csb 3899  df-dif 3953  df-un 3955  df-in 3957  df-ss 3967  df-pss 3970  df-nul 4333  df-if 4525  df-pw 4601  df-sn 4626  df-pr 4628  df-op 4632  df-uni 4907  df-iun 4992  df-br 5143  df-opab 5205  df-mpt 5225  df-tr 5259  df-id 5577  df-eprel 5583  df-po 5591  df-so 5592  df-fr 5636  df-we 5638  df-xp 5690  df-rel 5691  df-cnv 5692  df-co 5693  df-dm 5694  df-rn 5695  df-res 5696  df-ima 5697  df-pred 6320  df-ord 6386  df-on 6387  df-lim 6388  df-suc 6389  df-iota 6513  df-fun 6562  df-fn 6563  df-f 6564  df-f1 6565  df-fo 6566  df-f1o 6567  df-fv 6568  df-riota 7389  df-ov 7435  df-oprab 7436  df-mpo 7437  df-om 7889  df-1st 8015  df-2nd 8016  df-frecs 8307  df-wrecs 8338  df-recs 8412  df-rdg 8451  df-er 8746  df-map 8869  df-ixp 8939  df-en 8987  df-dom 8988  df-sdom 8989  df-pnf 11298  df-mnf 11299  df-xr 11300  df-ltxr 11301  df-le 11302  df-sub 11495  df-neg 11496  df-div 11922  df-nn 12268  df-z 12616  df-q 12992
This theorem is referenced by:  opnvonmbllem2  46653
  Copyright terms: Public domain W3C validator