Theorem opnvonmbllem1 47374

Description: The half-open interval expressed using a composition of a function (Contributed by Glauco Siliprandi, 24-Dec-2020.)

Hypotheses

Ref	Expression
opnvonmbllem1.i	⊢ Ⅎ𝑖𝜑
opnvonmbllem1.x	⊢ (𝜑 → 𝑋 ∈ 𝑉)
opnvonmbllem1.c	⊢ (𝜑 → 𝐶:𝑋⟶ℚ)
opnvonmbllem1.d	⊢ (𝜑 → 𝐷:𝑋⟶ℚ)
opnvonmbllem1.s	⊢ (𝜑 → X𝑖 ∈ 𝑋 ((𝐶‘𝑖)[,)(𝐷‘𝑖)) ⊆ 𝐵)
opnvonmbllem1.g	⊢ (𝜑 → 𝐵 ⊆ 𝐺)
opnvonmbllem1.y	⊢ (𝜑 → 𝑌 ∈ X𝑖 ∈ 𝑋 ((𝐶‘𝑖)[,)(𝐷‘𝑖)))
opnvonmbllem1.k	⊢ 𝐾 = {ℎ ∈ ((ℚ × ℚ) ↑m 𝑋) ∣ X𝑖 ∈ 𝑋 (([,) ∘ ℎ)‘𝑖) ⊆ 𝐺}
opnvonmbllem1.h	⊢ 𝐻 = (𝑖 ∈ 𝑋 ↦ ⟨(𝐶‘𝑖), (𝐷‘𝑖)⟩)

Assertion

Ref	Expression
opnvonmbllem1	⊢ (𝜑 → ∃ℎ ∈ 𝐾 𝑌 ∈ X𝑖 ∈ 𝑋 (([,) ∘ ℎ)‘𝑖))

Distinct variable groups:   ℎ,𝐺   ℎ,𝐻   ℎ,𝑋,𝑖   ℎ,𝑌

Allowed substitution hints:   𝜑(ℎ, 𝑖)   𝐵(ℎ, 𝑖)   𝐶(ℎ, 𝑖)   𝐷(ℎ, 𝑖)   𝐺(𝑖)   𝐻(𝑖)   𝐾(ℎ, 𝑖)   𝑉(ℎ, 𝑖)   𝑌(𝑖)

Proof of Theorem opnvonmbllem1

Step	Hyp	Ref	Expression
1		opnvonmbllem1.i	. . . . . 6 ⊢ Ⅎ𝑖𝜑
2		opnvonmbllem1.c	. . . . . . . 8 ⊢ (𝜑 → 𝐶:𝑋⟶ℚ)
3	2	ffvelcdmda 7079	. . . . . . 7 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑖 ∈ 𝑋) → (𝐶‘𝑖) ∈ ℚ)
4		opnvonmbllem1.d	. . . . . . . 8 ⊢ (𝜑 → 𝐷:𝑋⟶ℚ)
5	4	ffvelcdmda 7079	. . . . . . 7 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑖 ∈ 𝑋) → (𝐷‘𝑖) ∈ ℚ)
6		opelxpi 5697	. . . . . . 7 ⊢ (((𝐶‘𝑖) ∈ ℚ ∧ (𝐷‘𝑖) ∈ ℚ) → ⟨(𝐶‘𝑖), (𝐷‘𝑖)⟩ ∈ (ℚ × ℚ))
7	3, 5, 6	syl2anc 595	. . . . . 6 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑖 ∈ 𝑋) → ⟨(𝐶‘𝑖), (𝐷‘𝑖)⟩ ∈ (ℚ × ℚ))
8		opnvonmbllem1.h	. . . . . 6 ⊢ 𝐻 = (𝑖 ∈ 𝑋 ↦ ⟨(𝐶‘𝑖), (𝐷‘𝑖)⟩)
9	1, 7, 8	fmptdf 7112	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → 𝐻:𝑋⟶(ℚ × ℚ))
10		qex 12991	. . . . . . . . 9 ⊢ ℚ ∈ V
11	10, 10	xpex 7750	. . . . . . . 8 ⊢ (ℚ × ℚ) ∈ V
12	11	a1i 11	. . . . . . 7 ⊢ (𝜑 → (ℚ × ℚ) ∈ V)
13		opnvonmbllem1.x	. . . . . . 7 ⊢ (𝜑 → 𝑋 ∈ 𝑉)
14	12, 13	jca 520	. . . . . 6 ⊢ (𝜑 → ((ℚ × ℚ) ∈ V ∧ 𝑋 ∈ 𝑉))
15		elmapg 8834	. . . . . 6 ⊢ (((ℚ × ℚ) ∈ V ∧ 𝑋 ∈ 𝑉) → (𝐻 ∈ ((ℚ × ℚ) ↑m 𝑋) ↔ 𝐻:𝑋⟶(ℚ × ℚ)))
16	14, 15	syl 18	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → (𝐻 ∈ ((ℚ × ℚ) ↑m 𝑋) ↔ 𝐻:𝑋⟶(ℚ × ℚ)))
17	9, 16	mpbird 260	. . . 4 ⊢ (𝜑 → 𝐻 ∈ ((ℚ × ℚ) ↑m 𝑋))
18	1, 8	hoi2toco 47349	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → X𝑖 ∈ 𝑋 (([,) ∘ 𝐻)‘𝑖) = X𝑖 ∈ 𝑋 ((𝐶‘𝑖)[,)(𝐷‘𝑖)))
19		opnvonmbllem1.s	. . . . . 6 ⊢ (𝜑 → X𝑖 ∈ 𝑋 ((𝐶‘𝑖)[,)(𝐷‘𝑖)) ⊆ 𝐵)
20		opnvonmbllem1.g	. . . . . 6 ⊢ (𝜑 → 𝐵 ⊆ 𝐺)
21	19, 20	sstrd 3946	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → X𝑖 ∈ 𝑋 ((𝐶‘𝑖)[,)(𝐷‘𝑖)) ⊆ 𝐺)
22	18, 21	eqsstrd 3970	. . . 4 ⊢ (𝜑 → X𝑖 ∈ 𝑋 (([,) ∘ 𝐻)‘𝑖) ⊆ 𝐺)
23	17, 22	jca 520	. . 3 ⊢ (𝜑 → (𝐻 ∈ ((ℚ × ℚ) ↑m 𝑋) ∧ X𝑖 ∈ 𝑋 (([,) ∘ 𝐻)‘𝑖) ⊆ 𝐺))
24		nfcv 2924	. . . . . . 7 ⊢ Ⅎ𝑖ℎ
25		nfmpt1 5209	. . . . . . . 8 ⊢ Ⅎ𝑖(𝑖 ∈ 𝑋 ↦ ⟨(𝐶‘𝑖), (𝐷‘𝑖)⟩)
26	8, 25	nfcxfr 2922	. . . . . . 7 ⊢ Ⅎ𝑖𝐻
27	24, 26	nfeq 2937	. . . . . 6 ⊢ Ⅎ𝑖 ℎ = 𝐻
28		coeq2 5843	. . . . . . . 8 ⊢ (ℎ = 𝐻 → ([,) ∘ ℎ) = ([,) ∘ 𝐻))
29	28	fveq1d 6883	. . . . . . 7 ⊢ (ℎ = 𝐻 → (([,) ∘ ℎ)‘𝑖) = (([,) ∘ 𝐻)‘𝑖))
30	29	adantr 485	. . . . . 6 ⊢ ((ℎ = 𝐻 ∧ 𝑖 ∈ 𝑋) → (([,) ∘ ℎ)‘𝑖) = (([,) ∘ 𝐻)‘𝑖))
31	27, 30	ixpeq2d 45816	. . . . 5 ⊢ (ℎ = 𝐻 → X𝑖 ∈ 𝑋 (([,) ∘ ℎ)‘𝑖) = X𝑖 ∈ 𝑋 (([,) ∘ 𝐻)‘𝑖))
32	31	sseq1d 3967	. . . 4 ⊢ (ℎ = 𝐻 → (X𝑖 ∈ 𝑋 (([,) ∘ ℎ)‘𝑖) ⊆ 𝐺 ↔ X𝑖 ∈ 𝑋 (([,) ∘ 𝐻)‘𝑖) ⊆ 𝐺))
33		opnvonmbllem1.k	. . . 4 ⊢ 𝐾 = {ℎ ∈ ((ℚ × ℚ) ↑m 𝑋) ∣ X𝑖 ∈ 𝑋 (([,) ∘ ℎ)‘𝑖) ⊆ 𝐺}
34	32, 33	elrab2 3653	. . 3 ⊢ (𝐻 ∈ 𝐾 ↔ (𝐻 ∈ ((ℚ × ℚ) ↑m 𝑋) ∧ X𝑖 ∈ 𝑋 (([,) ∘ 𝐻)‘𝑖) ⊆ 𝐺))
35	23, 34	sylibr 237	. 2 ⊢ (𝜑 → 𝐻 ∈ 𝐾)
36		opnvonmbllem1.y	. . 3 ⊢ (𝜑 → 𝑌 ∈ X𝑖 ∈ 𝑋 ((𝐶‘𝑖)[,)(𝐷‘𝑖)))
37	36, 18	eleqtrrd 2865	. 2 ⊢ (𝜑 → 𝑌 ∈ X𝑖 ∈ 𝑋 (([,) ∘ 𝐻)‘𝑖))
38		nfv 1943	. . 3 ⊢ Ⅎℎ 𝑌 ∈ X𝑖 ∈ 𝑋 (([,) ∘ 𝐻)‘𝑖)
39		nfcv 2924	. . 3 ⊢ Ⅎℎ𝐻
40		nfrab1 3435	. . . 4 ⊢ Ⅎℎ{ℎ ∈ ((ℚ × ℚ) ↑m 𝑋) ∣ X𝑖 ∈ 𝑋 (([,) ∘ ℎ)‘𝑖) ⊆ 𝐺}
41	33, 40	nfcxfr 2922	. . 3 ⊢ Ⅎℎ𝐾
42	31	eleq2d 2848	. . 3 ⊢ (ℎ = 𝐻 → (𝑌 ∈ X𝑖 ∈ 𝑋 (([,) ∘ ℎ)‘𝑖) ↔ 𝑌 ∈ X𝑖 ∈ 𝑋 (([,) ∘ 𝐻)‘𝑖)))
43	38, 39, 41, 42	rspcef 45820	. 2 ⊢ ((𝐻 ∈ 𝐾 ∧ 𝑌 ∈ X𝑖 ∈ 𝑋 (([,) ∘ 𝐻)‘𝑖)) → ∃ℎ ∈ 𝐾 𝑌 ∈ X𝑖 ∈ 𝑋 (([,) ∘ ℎ)‘𝑖))
44	35, 37, 43	syl2anc 595	1 ⊢ (𝜑 → ∃ℎ ∈ 𝐾 𝑌 ∈ X𝑖 ∈ 𝑋 (([,) ∘ ℎ)‘𝑖))

This proof depends on syntax axioms:   → wi 4   ↔ wb 209   ∧ wa 400   = wceq 1569  Ⅎwnf 1812   ∈ wcel 2142  ∃wrex 3088  {crab 3415  Vcvv 3454   ⊆ wss 3904  ⟨cop 4594   ↦ cmpt 5191   × cxp 5658   ∘ ccom 5664  ⟶wf 6532  ‘cfv 6536  (class class class)co 7412   ↑_m cmap 8822  Xcixp 8893  ℚcq 12978  [,)cico 13380

This proof depends on axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1824  ax-4 1838  ax-5 1939  ax-6 1996  ax-7 2037  ax-8 2144  ax-9 2152  ax-10 2175  ax-11 2191  ax-12 2212  ax-ext 2734  ax-sep 5256  ax-nul 5268  ax-pow 5335  ax-pr 5403  ax-un 7734  ax-cnex 11162  ax-resscn 11163  ax-1cn 11164  ax-icn 11165  ax-addcl 11166  ax-addrcl 11167  ax-mulcl 11168  ax-mulrcl 11169  ax-mulcom 11170  ax-addass 11171  ax-mulass 11172  ax-distr 11173  ax-i2m1 11174  ax-1ne0 11175  ax-1rid 11176  ax-rnegex 11177  ax-rrecex 11178  ax-cnre 11179  ax-pre-lttri 11180  ax-pre-lttrn 11181  ax-pre-ltadd 11182  ax-pre-mulgt0 11183

This proof depends on definitions:  df-bi 210  df-an 401  df-or 861  df-3or 1103  df-3an 1104  df-tru 1572  df-fal 1582  df-ex 1809  df-nf 1813  df-sb 2096  df-mo 2566  df-eu 2596  df-clab 2741  df-cleq 2754  df-clel 2837  df-nfc 2911  df-ne 2958  df-nel 3064  df-ral 3079  df-rex 3089  df-rmo 3368  df-reu 3369  df-rab 3416  df-v 3456  df-sbc 3744  df-csb 3853  df-dif 3907  df-un 3909  df-in 3911  df-ss 3921  df-pss 3924  df-nul 4286  df-if 4487  df-pw 4563  df-sn 4589  df-pr 4591  df-op 4595  df-uni 4872  df-iun 4957  df-br 5109  df-opab 5173  df-mpt 5192  df-tr 5218  df-id 5555  df-eprel 5560  df-po 5568  df-so 5569  df-fr 5613  df-we 5615  df-xp 5666  df-rel 5667  df-cnv 5668  df-co 5669  df-dm 5670  df-rn 5671  df-res 5672  df-ima 5673  df-pred 6302  df-ord 6363  df-on 6364  df-lim 6365  df-suc 6366  df-iota 6492  df-fun 6538  df-fn 6539  df-f 6540  df-f1 6541  df-fo 6542  df-f1o 6543  df-fv 6544  df-riota 7369  df-ov 7415  df-oprab 7416  df-mpo 7417  df-om 7861  df-1st 7984  df-2nd 7985  df-frecs 8276  df-wrecs 8307  df-recs 8356  df-rdg 8395  df-er 8692  df-map 8824  df-ixp 8894  df-en 8942  df-dom 8943  df-sdom 8944  df-pnf 11251  df-mnf 11252  df-xr 11253  df-ltxr 11254  df-le 11255  df-sub 11449  df-neg 11450  df-div 11878  df-nn 12240  df-z 12598  df-q 12979

This theorem is used by:  opnvonmbllem2  47375