Mathbox for Glauco Siliprandi < Previous   Next > Nearby theorems Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >   Mathboxes  >  opnvonmbllem1 Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem opnvonmbllem1 43197
 Description: The half-open interval expressed using a composition of a function (Contributed by Glauco Siliprandi, 24-Dec-2020.)
Hypotheses
Ref Expression
opnvonmbllem1.i 𝑖𝜑
opnvonmbllem1.x (𝜑𝑋𝑉)
opnvonmbllem1.c (𝜑𝐶:𝑋⟶ℚ)
opnvonmbllem1.d (𝜑𝐷:𝑋⟶ℚ)
opnvonmbllem1.s (𝜑X𝑖𝑋 ((𝐶𝑖)[,)(𝐷𝑖)) ⊆ 𝐵)
opnvonmbllem1.g (𝜑𝐵𝐺)
opnvonmbllem1.y (𝜑𝑌X𝑖𝑋 ((𝐶𝑖)[,)(𝐷𝑖)))
opnvonmbllem1.k 𝐾 = { ∈ ((ℚ × ℚ) ↑m 𝑋) ∣ X𝑖𝑋 (([,) ∘ )‘𝑖) ⊆ 𝐺}
opnvonmbllem1.h 𝐻 = (𝑖𝑋 ↦ ⟨(𝐶𝑖), (𝐷𝑖)⟩)
Assertion
Ref Expression
opnvonmbllem1 (𝜑 → ∃𝐾 𝑌X𝑖𝑋 (([,) ∘ )‘𝑖))
Distinct variable groups:   ,𝐺   ,𝐻   ,𝑋,𝑖   ,𝑌
Allowed substitution hints:   𝜑(,𝑖)   𝐵(,𝑖)   𝐶(,𝑖)   𝐷(,𝑖)   𝐺(𝑖)   𝐻(𝑖)   𝐾(,𝑖)   𝑉(,𝑖)   𝑌(𝑖)

Proof of Theorem opnvonmbllem1
StepHypRef Expression
1 opnvonmbllem1.i . . . . . 6 𝑖𝜑
2 opnvonmbllem1.c . . . . . . . 8 (𝜑𝐶:𝑋⟶ℚ)
32ffvelrnda 6842 . . . . . . 7 ((𝜑𝑖𝑋) → (𝐶𝑖) ∈ ℚ)
4 opnvonmbllem1.d . . . . . . . 8 (𝜑𝐷:𝑋⟶ℚ)
54ffvelrnda 6842 . . . . . . 7 ((𝜑𝑖𝑋) → (𝐷𝑖) ∈ ℚ)
6 opelxpi 5579 . . . . . . 7 (((𝐶𝑖) ∈ ℚ ∧ (𝐷𝑖) ∈ ℚ) → ⟨(𝐶𝑖), (𝐷𝑖)⟩ ∈ (ℚ × ℚ))
73, 5, 6syl2anc 587 . . . . . 6 ((𝜑𝑖𝑋) → ⟨(𝐶𝑖), (𝐷𝑖)⟩ ∈ (ℚ × ℚ))
8 opnvonmbllem1.h . . . . . 6 𝐻 = (𝑖𝑋 ↦ ⟨(𝐶𝑖), (𝐷𝑖)⟩)
91, 7, 8fmptdf 6872 . . . . 5 (𝜑𝐻:𝑋⟶(ℚ × ℚ))
10 qex 12357 . . . . . . . . 9 ℚ ∈ V
1110, 10xpex 7470 . . . . . . . 8 (ℚ × ℚ) ∈ V
1211a1i 11 . . . . . . 7 (𝜑 → (ℚ × ℚ) ∈ V)
13 opnvonmbllem1.x . . . . . . 7 (𝜑𝑋𝑉)
1412, 13jca 515 . . . . . 6 (𝜑 → ((ℚ × ℚ) ∈ V ∧ 𝑋𝑉))
15 elmapg 8415 . . . . . 6 (((ℚ × ℚ) ∈ V ∧ 𝑋𝑉) → (𝐻 ∈ ((ℚ × ℚ) ↑m 𝑋) ↔ 𝐻:𝑋⟶(ℚ × ℚ)))
1614, 15syl 17 . . . . 5 (𝜑 → (𝐻 ∈ ((ℚ × ℚ) ↑m 𝑋) ↔ 𝐻:𝑋⟶(ℚ × ℚ)))
179, 16mpbird 260 . . . 4 (𝜑𝐻 ∈ ((ℚ × ℚ) ↑m 𝑋))
181, 8hoi2toco 43172 . . . . 5 (𝜑X𝑖𝑋 (([,) ∘ 𝐻)‘𝑖) = X𝑖𝑋 ((𝐶𝑖)[,)(𝐷𝑖)))
19 opnvonmbllem1.s . . . . . 6 (𝜑X𝑖𝑋 ((𝐶𝑖)[,)(𝐷𝑖)) ⊆ 𝐵)
20 opnvonmbllem1.g . . . . . 6 (𝜑𝐵𝐺)
2119, 20sstrd 3963 . . . . 5 (𝜑X𝑖𝑋 ((𝐶𝑖)[,)(𝐷𝑖)) ⊆ 𝐺)
2218, 21eqsstrd 3991 . . . 4 (𝜑X𝑖𝑋 (([,) ∘ 𝐻)‘𝑖) ⊆ 𝐺)
2317, 22jca 515 . . 3 (𝜑 → (𝐻 ∈ ((ℚ × ℚ) ↑m 𝑋) ∧ X𝑖𝑋 (([,) ∘ 𝐻)‘𝑖) ⊆ 𝐺))
24 nfcv 2982 . . . . . . 7 𝑖
25 nfmpt1 5150 . . . . . . . 8 𝑖(𝑖𝑋 ↦ ⟨(𝐶𝑖), (𝐷𝑖)⟩)
268, 25nfcxfr 2980 . . . . . . 7 𝑖𝐻
2724, 26nfeq 2995 . . . . . 6 𝑖 = 𝐻
28 coeq2 5716 . . . . . . . 8 ( = 𝐻 → ([,) ∘ ) = ([,) ∘ 𝐻))
2928fveq1d 6663 . . . . . . 7 ( = 𝐻 → (([,) ∘ )‘𝑖) = (([,) ∘ 𝐻)‘𝑖))
3029adantr 484 . . . . . 6 (( = 𝐻𝑖𝑋) → (([,) ∘ )‘𝑖) = (([,) ∘ 𝐻)‘𝑖))
3127, 30ixpeq2d 41622 . . . . 5 ( = 𝐻X𝑖𝑋 (([,) ∘ )‘𝑖) = X𝑖𝑋 (([,) ∘ 𝐻)‘𝑖))
3231sseq1d 3984 . . . 4 ( = 𝐻 → (X𝑖𝑋 (([,) ∘ )‘𝑖) ⊆ 𝐺X𝑖𝑋 (([,) ∘ 𝐻)‘𝑖) ⊆ 𝐺))
33 opnvonmbllem1.k . . . 4 𝐾 = { ∈ ((ℚ × ℚ) ↑m 𝑋) ∣ X𝑖𝑋 (([,) ∘ )‘𝑖) ⊆ 𝐺}
3432, 33elrab2 3669 . . 3 (𝐻𝐾 ↔ (𝐻 ∈ ((ℚ × ℚ) ↑m 𝑋) ∧ X𝑖𝑋 (([,) ∘ 𝐻)‘𝑖) ⊆ 𝐺))
3523, 34sylibr 237 . 2 (𝜑𝐻𝐾)
36 opnvonmbllem1.y . . 3 (𝜑𝑌X𝑖𝑋 ((𝐶𝑖)[,)(𝐷𝑖)))
3736, 18eleqtrrd 2919 . 2 (𝜑𝑌X𝑖𝑋 (([,) ∘ 𝐻)‘𝑖))
38 nfv 1916 . . 3 𝑌X𝑖𝑋 (([,) ∘ 𝐻)‘𝑖)
39 nfcv 2982 . . 3 𝐻
40 nfrab1 3375 . . . 4 { ∈ ((ℚ × ℚ) ↑m 𝑋) ∣ X𝑖𝑋 (([,) ∘ )‘𝑖) ⊆ 𝐺}
4133, 40nfcxfr 2980 . . 3 𝐾
4231eleq2d 2901 . . 3 ( = 𝐻 → (𝑌X𝑖𝑋 (([,) ∘ )‘𝑖) ↔ 𝑌X𝑖𝑋 (([,) ∘ 𝐻)‘𝑖)))
4338, 39, 41, 42rspcef 41626 . 2 ((𝐻𝐾𝑌X𝑖𝑋 (([,) ∘ 𝐻)‘𝑖)) → ∃𝐾 𝑌X𝑖𝑋 (([,) ∘ )‘𝑖))
4435, 37, 43syl2anc 587 1 (𝜑 → ∃𝐾 𝑌X𝑖𝑋 (([,) ∘ )‘𝑖))
 Colors of variables: wff setvar class Syntax hints:   → wi 4   ↔ wb 209   ∧ wa 399   = wceq 1538  Ⅎwnf 1785   ∈ wcel 2115  ∃wrex 3134  {crab 3137  Vcvv 3480   ⊆ wss 3919  ⟨cop 4556   ↦ cmpt 5132   × cxp 5540   ∘ ccom 5546  ⟶wf 6339  ‘cfv 6343  (class class class)co 7149   ↑m cmap 8402  Xcixp 8457  ℚcq 12345  [,)cico 12737 This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1797  ax-4 1811  ax-5 1912  ax-6 1971  ax-7 2016  ax-8 2117  ax-9 2125  ax-10 2146  ax-11 2162  ax-12 2179  ax-ext 2796  ax-sep 5189  ax-nul 5196  ax-pow 5253  ax-pr 5317  ax-un 7455  ax-cnex 10591  ax-resscn 10592  ax-1cn 10593  ax-icn 10594  ax-addcl 10595  ax-addrcl 10596  ax-mulcl 10597  ax-mulrcl 10598  ax-mulcom 10599  ax-addass 10600  ax-mulass 10601  ax-distr 10602  ax-i2m1 10603  ax-1ne0 10604  ax-1rid 10605  ax-rnegex 10606  ax-rrecex 10607  ax-cnre 10608  ax-pre-lttri 10609  ax-pre-lttrn 10610  ax-pre-ltadd 10611  ax-pre-mulgt0 10612 This theorem depends on definitions:  df-bi 210  df-an 400  df-or 845  df-3or 1085  df-3an 1086  df-tru 1541  df-ex 1782  df-nf 1786  df-sb 2071  df-mo 2624  df-eu 2655  df-clab 2803  df-cleq 2817  df-clel 2896  df-nfc 2964  df-ne 3015  df-nel 3119  df-ral 3138  df-rex 3139  df-reu 3140  df-rmo 3141  df-rab 3142  df-v 3482  df-sbc 3759  df-csb 3867  df-dif 3922  df-un 3924  df-in 3926  df-ss 3936  df-pss 3938  df-nul 4277  df-if 4451  df-pw 4524  df-sn 4551  df-pr 4553  df-tp 4555  df-op 4557  df-uni 4825  df-iun 4907  df-br 5053  df-opab 5115  df-mpt 5133  df-tr 5159  df-id 5447  df-eprel 5452  df-po 5461  df-so 5462  df-fr 5501  df-we 5503  df-xp 5548  df-rel 5549  df-cnv 5550  df-co 5551  df-dm 5552  df-rn 5553  df-res 5554  df-ima 5555  df-pred 6135  df-ord 6181  df-on 6182  df-lim 6183  df-suc 6184  df-iota 6302  df-fun 6345  df-fn 6346  df-f 6347  df-f1 6348  df-fo 6349  df-f1o 6350  df-fv 6351  df-riota 7107  df-ov 7152  df-oprab 7153  df-mpo 7154  df-om 7575  df-1st 7684  df-2nd 7685  df-wrecs 7943  df-recs 8004  df-rdg 8042  df-er 8285  df-map 8404  df-ixp 8458  df-en 8506  df-dom 8507  df-sdom 8508  df-pnf 10675  df-mnf 10676  df-xr 10677  df-ltxr 10678  df-le 10679  df-sub 10870  df-neg 10871  df-div 11296  df-nn 11635  df-z 11979  df-q 12346 This theorem is referenced by:  opnvonmbllem2  43198
 Copyright terms: Public domain W3C validator