Theorem opprqusbas 33516

Description: The base of the quotient of the opposite ring is the same as the base of the opposite of the quotient ring. (Contributed by Thierry Arnoux, 9-Mar-2025.)

Hypotheses

Ref	Expression
opprqus.b	⊢ 𝐵 = (Base‘𝑅)
opprqus.o	⊢ 𝑂 = (oppr‘𝑅)
opprqus.q	⊢ 𝑄 = (𝑅 /s (𝑅 ~QG 𝐼))
opprqusbas.r	⊢ (𝜑 → 𝑅 ∈ 𝑉)
opprqusbas.i	⊢ (𝜑 → 𝐼 ⊆ 𝐵)

Assertion

Ref	Expression
opprqusbas	⊢ (𝜑 → (Base‘(oppr‘𝑄)) = (Base‘(𝑂 /s (𝑂 ~QG 𝐼))))

Proof of Theorem opprqusbas

Step	Hyp	Ref	Expression
1		eqid 2737	. . 3 ⊢ (oppr‘𝑄) = (oppr‘𝑄)
2		eqid 2737	. . 3 ⊢ (Base‘𝑄) = (Base‘𝑄)
3	1, 2	opprbas 20341	. 2 ⊢ (Base‘𝑄) = (Base‘(oppr‘𝑄))
4		opprqusbas.r	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → 𝑅 ∈ 𝑉)
5		opprqusbas.i	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → 𝐼 ⊆ 𝐵)
6		opprqus.o	. . . . . 6 ⊢ 𝑂 = (oppr‘𝑅)
7		opprqus.b	. . . . . 6 ⊢ 𝐵 = (Base‘𝑅)
8	6, 7	oppreqg 33511	. . . . 5 ⊢ ((𝑅 ∈ 𝑉 ∧ 𝐼 ⊆ 𝐵) → (𝑅 ~QG 𝐼) = (𝑂 ~QG 𝐼))
9	4, 5, 8	syl2anc 584	. . . 4 ⊢ (𝜑 → (𝑅 ~QG 𝐼) = (𝑂 ~QG 𝐼))
10	9	qseq2d 8805	. . 3 ⊢ (𝜑 → (𝐵 / (𝑅 ~QG 𝐼)) = (𝐵 / (𝑂 ~QG 𝐼)))
11		opprqus.q	. . . . 5 ⊢ 𝑄 = (𝑅 /s (𝑅 ~QG 𝐼))
12	11	a1i 11	. . . 4 ⊢ (𝜑 → 𝑄 = (𝑅 /s (𝑅 ~QG 𝐼)))
13	7	a1i 11	. . . 4 ⊢ (𝜑 → 𝐵 = (Base‘𝑅))
14		ovexd 7466	. . . 4 ⊢ (𝜑 → (𝑅 ~QG 𝐼) ∈ V)
15	12, 13, 14, 4	qusbas 17590	. . 3 ⊢ (𝜑 → (𝐵 / (𝑅 ~QG 𝐼)) = (Base‘𝑄))
16		eqidd 2738	. . . 4 ⊢ (𝜑 → (𝑂 /s (𝑂 ~QG 𝐼)) = (𝑂 /s (𝑂 ~QG 𝐼)))
17	6, 7	opprbas 20341	. . . . 5 ⊢ 𝐵 = (Base‘𝑂)
18	17	a1i 11	. . . 4 ⊢ (𝜑 → 𝐵 = (Base‘𝑂))
19		ovexd 7466	. . . 4 ⊢ (𝜑 → (𝑂 ~QG 𝐼) ∈ V)
20	6	fvexi 6920	. . . . 5 ⊢ 𝑂 ∈ V
21	20	a1i 11	. . . 4 ⊢ (𝜑 → 𝑂 ∈ V)
22	16, 18, 19, 21	qusbas 17590	. . 3 ⊢ (𝜑 → (𝐵 / (𝑂 ~QG 𝐼)) = (Base‘(𝑂 /s (𝑂 ~QG 𝐼))))
23	10, 15, 22	3eqtr3d 2785	. 2 ⊢ (𝜑 → (Base‘𝑄) = (Base‘(𝑂 /s (𝑂 ~QG 𝐼))))
24	3, 23	eqtr3id 2791	1 ⊢ (𝜑 → (Base‘(oppr‘𝑄)) = (Base‘(𝑂 /s (𝑂 ~QG 𝐼))))

Syntax hints:   → wi 4   = wceq 1540   ∈ wcel 2108  Vcvv 3480   ⊆ wss 3951  ‘cfv 6561  (class class class)co 7431   / cqs 8744  Basecbs 17247   /_s cqus 17550   ~_QG cqg 19140  opp_rcoppr 20333

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1795  ax-4 1809  ax-5 1910  ax-6 1967  ax-7 2007  ax-8 2110  ax-9 2118  ax-10 2141  ax-11 2157  ax-12 2177  ax-ext 2708  ax-rep 5279  ax-sep 5296  ax-nul 5306  ax-pow 5365  ax-pr 5432  ax-un 7755  ax-cnex 11211  ax-resscn 11212  ax-1cn 11213  ax-icn 11214  ax-addcl 11215  ax-addrcl 11216  ax-mulcl 11217  ax-mulrcl 11218  ax-mulcom 11219  ax-addass 11220  ax-mulass 11221  ax-distr 11222  ax-i2m1 11223  ax-1ne0 11224  ax-1rid 11225  ax-rnegex 11226  ax-rrecex 11227  ax-cnre 11228  ax-pre-lttri 11229  ax-pre-lttrn 11230  ax-pre-ltadd 11231  ax-pre-mulgt0 11232

This theorem depends on definitions:  df-bi 207  df-an 396  df-or 849  df-3or 1088  df-3an 1089  df-tru 1543  df-fal 1553  df-ex 1780  df-nf 1784  df-sb 2065  df-mo 2540  df-eu 2569  df-clab 2715  df-cleq 2729  df-clel 2816  df-nfc 2892  df-ne 2941  df-nel 3047  df-ral 3062  df-rex 3071  df-reu 3381  df-rab 3437  df-v 3482  df-sbc 3789  df-csb 3900  df-dif 3954  df-un 3956  df-in 3958  df-ss 3968  df-pss 3971  df-nul 4334  df-if 4526  df-pw 4602  df-sn 4627  df-pr 4629  df-tp 4631  df-op 4633  df-uni 4908  df-iun 4993  df-br 5144  df-opab 5206  df-mpt 5226  df-tr 5260  df-id 5578  df-eprel 5584  df-po 5592  df-so 5593  df-fr 5637  df-we 5639  df-xp 5691  df-rel 5692  df-cnv 5693  df-co 5694  df-dm 5695  df-rn 5696  df-res 5697  df-ima 5698  df-pred 6321  df-ord 6387  df-on 6388  df-lim 6389  df-suc 6390  df-iota 6514  df-fun 6563  df-fn 6564  df-f 6565  df-f1 6566  df-fo 6567  df-f1o 6568  df-fv 6569  df-riota 7388  df-ov 7434  df-oprab 7435  df-mpo 7436  df-om 7888  df-1st 8014  df-2nd 8015  df-tpos 8251  df-frecs 8306  df-wrecs 8337  df-recs 8411  df-rdg 8450  df-1o 8506  df-er 8745  df-ec 8747  df-qs 8751  df-en 8986  df-dom 8987  df-sdom 8988  df-fin 8989  df-sup 9482  df-inf 9483  df-pnf 11297  df-mnf 11298  df-xr 11299  df-ltxr 11300  df-le 11301  df-sub 11494  df-neg 11495  df-nn 12267  df-2 12329  df-3 12330  df-4 12331  df-5 12332  df-6 12333  df-7 12334  df-8 12335  df-9 12336  df-n0 12527  df-z 12614  df-dec 12734  df-uz 12879  df-fz 13548  df-struct 17184  df-sets 17201  df-slot 17219  df-ndx 17231  df-base 17248  df-plusg 17310  df-mulr 17311  df-sca 17313  df-vsca 17314  df-ip 17315  df-tset 17316  df-ple 17317  df-ds 17319  df-0g 17486  df-imas 17553  df-qus 17554  df-minusg 18955  df-eqg 19143  df-oppr 20334

This theorem is referenced by:  opprqus0g  33518  opprqus1r  33520  opprqusdrng  33521