Theorem opprqusbas 33838

Description: The base of the quotient of the opposite ring is the same as the base of the opposite of the quotient ring. (Contributed by Thierry Arnoux, 9-Mar-2025.)

Hypotheses

Ref	Expression
opprqus.b	⊢ 𝐵 = (Base‘𝑅)
opprqus.o	⊢ 𝑂 = (oppr‘𝑅)
opprqus.q	⊢ 𝑄 = (𝑅 /s (𝑅 ~QG 𝐼))
opprqusbas.r	⊢ (𝜑 → 𝑅 ∈ 𝑉)
opprqusbas.i	⊢ (𝜑 → 𝐼 ⊆ 𝐵)

Assertion

Ref	Expression
opprqusbas	⊢ (𝜑 → (Base‘(oppr‘𝑄)) = (Base‘(𝑂 /s (𝑂 ~QG 𝐼))))

Proof of Theorem opprqusbas

Step	Hyp	Ref	Expression
1		eqid 2765	. . 3 ⊢ (oppr‘𝑄) = (oppr‘𝑄)
2		eqid 2765	. . 3 ⊢ (Base‘𝑄) = (Base‘𝑄)
3	1, 2	opprbas 20475	. 2 ⊢ (Base‘𝑄) = (Base‘(oppr‘𝑄))
4		opprqusbas.r	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → 𝑅 ∈ 𝑉)
5		opprqusbas.i	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → 𝐼 ⊆ 𝐵)
6		opprqus.o	. . . . . 6 ⊢ 𝑂 = (oppr‘𝑅)
7		opprqus.b	. . . . . 6 ⊢ 𝐵 = (Base‘𝑅)
8	6, 7	oppreqg 33833	. . . . 5 ⊢ ((𝑅 ∈ 𝑉 ∧ 𝐼 ⊆ 𝐵) → (𝑅 ~QG 𝐼) = (𝑂 ~QG 𝐼))
9	4, 5, 8	syl2anc 596	. . . 4 ⊢ (𝜑 → (𝑅 ~QG 𝐼) = (𝑂 ~QG 𝐼))
10	9	qseq2d 8764	. . 3 ⊢ (𝜑 → (𝐵 / (𝑅 ~QG 𝐼)) = (𝐵 / (𝑂 ~QG 𝐼)))
11		opprqus.q	. . . . 5 ⊢ 𝑄 = (𝑅 /s (𝑅 ~QG 𝐼))
12	11	a1i 11	. . . 4 ⊢ (𝜑 → 𝑄 = (𝑅 /s (𝑅 ~QG 𝐼)))
13	7	a1i 11	. . . 4 ⊢ (𝜑 → 𝐵 = (Base‘𝑅))
14		ovexd 7454	. . . 4 ⊢ (𝜑 → (𝑅 ~QG 𝐼) ∈ V)
15	12, 13, 14, 4	qusbas 17625	. . 3 ⊢ (𝜑 → (𝐵 / (𝑅 ~QG 𝐼)) = (Base‘𝑄))
16		eqidd 2766	. . . 4 ⊢ (𝜑 → (𝑂 /s (𝑂 ~QG 𝐼)) = (𝑂 /s (𝑂 ~QG 𝐼)))
17	6, 7	opprbas 20475	. . . . 5 ⊢ 𝐵 = (Base‘𝑂)
18	17	a1i 11	. . . 4 ⊢ (𝜑 → 𝐵 = (Base‘𝑂))
19		ovexd 7454	. . . 4 ⊢ (𝜑 → (𝑂 ~QG 𝐼) ∈ V)
20	6	fvexi 6899	. . . . 5 ⊢ 𝑂 ∈ V
21	20	a1i 11	. . . 4 ⊢ (𝜑 → 𝑂 ∈ V)
22	16, 18, 19, 21	qusbas 17625	. . 3 ⊢ (𝜑 → (𝐵 / (𝑂 ~QG 𝐼)) = (Base‘(𝑂 /s (𝑂 ~QG 𝐼))))
23	10, 15, 22	3eqtr3d 2808	. 2 ⊢ (𝜑 → (Base‘𝑄) = (Base‘(𝑂 /s (𝑂 ~QG 𝐼))))
24	3, 23	eqtr3id 2814	1 ⊢ (𝜑 → (Base‘(oppr‘𝑄)) = (Base‘(𝑂 /s (𝑂 ~QG 𝐼))))

This proof depends on syntax axioms:   → wi 4   = wceq 1570   ∈ wcel 2146  Vcvv 3457   ⊆ wss 3906  ‘cfv 6540  (class class class)co 7419   / cqs 8699  Basecbs 17295   /_s cqus 17585   ~_QG cqg 19236  opp_rcoppr 20468

This proof depends on axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1828  ax-4 1842  ax-5 1943  ax-6 2000  ax-7 2041  ax-8 2148  ax-9 2156  ax-10 2179  ax-11 2195  ax-12 2216  ax-ext 2737  ax-rep 5240  ax-sep 5259  ax-nul 5271  ax-pow 5338  ax-pr 5406  ax-un 7742  ax-cnex 11175  ax-resscn 11176  ax-1cn 11177  ax-icn 11178  ax-addcl 11179  ax-addrcl 11180  ax-mulcl 11181  ax-mulrcl 11182  ax-mulcom 11183  ax-addass 11184  ax-mulass 11185  ax-distr 11186  ax-i2m1 11187  ax-1ne0 11188  ax-1rid 11189  ax-rnegex 11190  ax-rrecex 11191  ax-cnre 11192  ax-pre-lttri 11193  ax-pre-lttrn 11194  ax-pre-ltadd 11195  ax-pre-mulgt0 11196

This proof depends on definitions:  df-bi 210  df-an 402  df-or 862  df-3or 1104  df-3an 1105  df-tru 1573  df-fal 1583  df-ex 1813  df-nf 1817  df-sb 2100  df-mo 2569  df-eu 2599  df-clab 2744  df-cleq 2757  df-clel 2840  df-nfc 2914  df-ne 2961  df-nel 3067  df-ral 3082  df-rex 3092  df-reu 3372  df-rab 3419  df-v 3459  df-sbc 3747  df-csb 3855  df-dif 3909  df-un 3911  df-in 3913  df-ss 3923  df-pss 3926  df-nul 4287  df-if 4490  df-pw 4566  df-sn 4592  df-pr 4594  df-tp 4596  df-op 4598  df-uni 4875  df-iun 4960  df-br 5112  df-opab 5176  df-mpt 5195  df-tr 5221  df-id 5558  df-eprel 5563  df-po 5571  df-so 5572  df-fr 5616  df-we 5618  df-xp 5669  df-rel 5670  df-cnv 5671  df-co 5672  df-dm 5673  df-rn 5674  df-res 5675  df-ima 5676  df-pred 6306  df-ord 6367  df-on 6368  df-lim 6369  df-suc 6370  df-iota 6496  df-fun 6542  df-fn 6543  df-f 6544  df-f1 6545  df-fo 6546  df-f1o 6547  df-fv 6548  df-riota 7376  df-ov 7422  df-oprab 7423  df-mpo 7424  df-om 7869  df-1st 7992  df-2nd 7993  df-tpos 8228  df-frecs 8284  df-wrecs 8315  df-recs 8364  df-rdg 8403  df-1o 8459  df-er 8700  df-ec 8702  df-qs 8706  df-en 8950  df-dom 8951  df-sdom 8952  df-fin 8953  df-sup 9409  df-inf 9410  df-pnf 11264  df-mnf 11265  df-xr 11266  df-ltxr 11267  df-le 11268  df-sub 11462  df-neg 11463  df-nn 12253  df-2 12322  df-3 12323  df-4 12324  df-5 12325  df-6 12326  df-7 12327  df-8 12328  df-9 12329  df-n0 12524  df-z 12611  df-dec 12732  df-uz 12883  df-fz 13556  df-struct 17233  df-sets 17250  df-slot 17268  df-ndx 17280  df-base 17296  df-plusg 17349  df-mulr 17350  df-sca 17352  df-vsca 17353  df-ip 17354  df-tset 17355  df-ple 17356  df-ds 17358  df-0g 17520  df-imas 17588  df-qus 17589  df-minusg 19052  df-eqg 19239  df-oppr 20469

This theorem is used by:  opprqus0g  33840  opprqus1r  33842  opprqusdrng  33843