Theorem opprqusbas 33426

Description: The base of the quotient of the opposite ring is the same as the base of the opposite of the quotient ring. (Contributed by Thierry Arnoux, 9-Mar-2025.)

Hypotheses

Ref	Expression
opprqus.b	⊢ 𝐵 = (Base‘𝑅)
opprqus.o	⊢ 𝑂 = (oppr‘𝑅)
opprqus.q	⊢ 𝑄 = (𝑅 /s (𝑅 ~QG 𝐼))
opprqusbas.r	⊢ (𝜑 → 𝑅 ∈ 𝑉)
opprqusbas.i	⊢ (𝜑 → 𝐼 ⊆ 𝐵)

Assertion

Ref	Expression
opprqusbas	⊢ (𝜑 → (Base‘(oppr‘𝑄)) = (Base‘(𝑂 /s (𝑂 ~QG 𝐼))))

Proof of Theorem opprqusbas

Step	Hyp	Ref	Expression
1		eqid 2729	. . 3 ⊢ (oppr‘𝑄) = (oppr‘𝑄)
2		eqid 2729	. . 3 ⊢ (Base‘𝑄) = (Base‘𝑄)
3	1, 2	opprbas 20228	. 2 ⊢ (Base‘𝑄) = (Base‘(oppr‘𝑄))
4		opprqusbas.r	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → 𝑅 ∈ 𝑉)
5		opprqusbas.i	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → 𝐼 ⊆ 𝐵)
6		opprqus.o	. . . . . 6 ⊢ 𝑂 = (oppr‘𝑅)
7		opprqus.b	. . . . . 6 ⊢ 𝐵 = (Base‘𝑅)
8	6, 7	oppreqg 33421	. . . . 5 ⊢ ((𝑅 ∈ 𝑉 ∧ 𝐼 ⊆ 𝐵) → (𝑅 ~QG 𝐼) = (𝑂 ~QG 𝐼))
9	4, 5, 8	syl2anc 584	. . . 4 ⊢ (𝜑 → (𝑅 ~QG 𝐼) = (𝑂 ~QG 𝐼))
10	9	qseq2d 8688	. . 3 ⊢ (𝜑 → (𝐵 / (𝑅 ~QG 𝐼)) = (𝐵 / (𝑂 ~QG 𝐼)))
11		opprqus.q	. . . . 5 ⊢ 𝑄 = (𝑅 /s (𝑅 ~QG 𝐼))
12	11	a1i 11	. . . 4 ⊢ (𝜑 → 𝑄 = (𝑅 /s (𝑅 ~QG 𝐼)))
13	7	a1i 11	. . . 4 ⊢ (𝜑 → 𝐵 = (Base‘𝑅))
14		ovexd 7384	. . . 4 ⊢ (𝜑 → (𝑅 ~QG 𝐼) ∈ V)
15	12, 13, 14, 4	qusbas 17449	. . 3 ⊢ (𝜑 → (𝐵 / (𝑅 ~QG 𝐼)) = (Base‘𝑄))
16		eqidd 2730	. . . 4 ⊢ (𝜑 → (𝑂 /s (𝑂 ~QG 𝐼)) = (𝑂 /s (𝑂 ~QG 𝐼)))
17	6, 7	opprbas 20228	. . . . 5 ⊢ 𝐵 = (Base‘𝑂)
18	17	a1i 11	. . . 4 ⊢ (𝜑 → 𝐵 = (Base‘𝑂))
19		ovexd 7384	. . . 4 ⊢ (𝜑 → (𝑂 ~QG 𝐼) ∈ V)
20	6	fvexi 6836	. . . . 5 ⊢ 𝑂 ∈ V
21	20	a1i 11	. . . 4 ⊢ (𝜑 → 𝑂 ∈ V)
22	16, 18, 19, 21	qusbas 17449	. . 3 ⊢ (𝜑 → (𝐵 / (𝑂 ~QG 𝐼)) = (Base‘(𝑂 /s (𝑂 ~QG 𝐼))))
23	10, 15, 22	3eqtr3d 2772	. 2 ⊢ (𝜑 → (Base‘𝑄) = (Base‘(𝑂 /s (𝑂 ~QG 𝐼))))
24	3, 23	eqtr3id 2778	1 ⊢ (𝜑 → (Base‘(oppr‘𝑄)) = (Base‘(𝑂 /s (𝑂 ~QG 𝐼))))

Syntax hints:   → wi 4   = wceq 1540   ∈ wcel 2109  Vcvv 3436   ⊆ wss 3903  ‘cfv 6482  (class class class)co 7349   / cqs 8624  Basecbs 17120   /_s cqus 17409   ~_QG cqg 19001  opp_rcoppr 20221

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1795  ax-4 1809  ax-5 1910  ax-6 1967  ax-7 2008  ax-8 2111  ax-9 2119  ax-10 2142  ax-11 2158  ax-12 2178  ax-ext 2701  ax-rep 5218  ax-sep 5235  ax-nul 5245  ax-pow 5304  ax-pr 5371  ax-un 7671  ax-cnex 11065  ax-resscn 11066  ax-1cn 11067  ax-icn 11068  ax-addcl 11069  ax-addrcl 11070  ax-mulcl 11071  ax-mulrcl 11072  ax-mulcom 11073  ax-addass 11074  ax-mulass 11075  ax-distr 11076  ax-i2m1 11077  ax-1ne0 11078  ax-1rid 11079  ax-rnegex 11080  ax-rrecex 11081  ax-cnre 11082  ax-pre-lttri 11083  ax-pre-lttrn 11084  ax-pre-ltadd 11085  ax-pre-mulgt0 11086

This theorem depends on definitions:  df-bi 207  df-an 396  df-or 848  df-3or 1087  df-3an 1088  df-tru 1543  df-fal 1553  df-ex 1780  df-nf 1784  df-sb 2066  df-mo 2533  df-eu 2562  df-clab 2708  df-cleq 2721  df-clel 2803  df-nfc 2878  df-ne 2926  df-nel 3030  df-ral 3045  df-rex 3054  df-reu 3344  df-rab 3395  df-v 3438  df-sbc 3743  df-csb 3852  df-dif 3906  df-un 3908  df-in 3910  df-ss 3920  df-pss 3923  df-nul 4285  df-if 4477  df-pw 4553  df-sn 4578  df-pr 4580  df-tp 4582  df-op 4584  df-uni 4859  df-iun 4943  df-br 5093  df-opab 5155  df-mpt 5174  df-tr 5200  df-id 5514  df-eprel 5519  df-po 5527  df-so 5528  df-fr 5572  df-we 5574  df-xp 5625  df-rel 5626  df-cnv 5627  df-co 5628  df-dm 5629  df-rn 5630  df-res 5631  df-ima 5632  df-pred 6249  df-ord 6310  df-on 6311  df-lim 6312  df-suc 6313  df-iota 6438  df-fun 6484  df-fn 6485  df-f 6486  df-f1 6487  df-fo 6488  df-f1o 6489  df-fv 6490  df-riota 7306  df-ov 7352  df-oprab 7353  df-mpo 7354  df-om 7800  df-1st 7924  df-2nd 7925  df-tpos 8159  df-frecs 8214  df-wrecs 8245  df-recs 8294  df-rdg 8332  df-1o 8388  df-er 8625  df-ec 8627  df-qs 8631  df-en 8873  df-dom 8874  df-sdom 8875  df-fin 8876  df-sup 9332  df-inf 9333  df-pnf 11151  df-mnf 11152  df-xr 11153  df-ltxr 11154  df-le 11155  df-sub 11349  df-neg 11350  df-nn 12129  df-2 12191  df-3 12192  df-4 12193  df-5 12194  df-6 12195  df-7 12196  df-8 12197  df-9 12198  df-n0 12385  df-z 12472  df-dec 12592  df-uz 12736  df-fz 13411  df-struct 17058  df-sets 17075  df-slot 17093  df-ndx 17105  df-base 17121  df-plusg 17174  df-mulr 17175  df-sca 17177  df-vsca 17178  df-ip 17179  df-tset 17180  df-ple 17181  df-ds 17183  df-0g 17345  df-imas 17412  df-qus 17413  df-minusg 18816  df-eqg 19004  df-oppr 20222

This theorem is referenced by:  opprqus0g  33428  opprqus1r  33430  opprqusdrng  33431