Theorem opprqusbas 32512

Description: The base of the quotient of the opposite ring is the same as the base of the opposite of the quotient ring. (Contributed by Thierry Arnoux, 9-Mar-2025.)

Hypotheses

Ref	Expression
opprqus.b	⊢ 𝐵 = (Base‘𝑅)
opprqus.o	⊢ 𝑂 = (oppr‘𝑅)
opprqus.q	⊢ 𝑄 = (𝑅 /s (𝑅 ~QG 𝐼))
opprqusbas.r	⊢ (𝜑 → 𝑅 ∈ 𝑉)
opprqusbas.i	⊢ (𝜑 → 𝐼 ⊆ 𝐵)

Assertion

Ref	Expression
opprqusbas	⊢ (𝜑 → (Base‘(oppr‘𝑄)) = (Base‘(𝑂 /s (𝑂 ~QG 𝐼))))

Proof of Theorem opprqusbas

Step	Hyp	Ref	Expression
1		eqid 2732	. . 3 ⊢ (oppr‘𝑄) = (oppr‘𝑄)
2		eqid 2732	. . 3 ⊢ (Base‘𝑄) = (Base‘𝑄)
3	1, 2	opprbas 20111	. 2 ⊢ (Base‘𝑄) = (Base‘(oppr‘𝑄))
4		opprqusbas.r	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → 𝑅 ∈ 𝑉)
5		opprqusbas.i	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → 𝐼 ⊆ 𝐵)
6		opprqus.o	. . . . . 6 ⊢ 𝑂 = (oppr‘𝑅)
7		opprqus.b	. . . . . 6 ⊢ 𝐵 = (Base‘𝑅)
8	6, 7	oppreqg 32507	. . . . 5 ⊢ ((𝑅 ∈ 𝑉 ∧ 𝐼 ⊆ 𝐵) → (𝑅 ~QG 𝐼) = (𝑂 ~QG 𝐼))
9	4, 5, 8	syl2anc 584	. . . 4 ⊢ (𝜑 → (𝑅 ~QG 𝐼) = (𝑂 ~QG 𝐼))
10	9	qseq2d 8745	. . 3 ⊢ (𝜑 → (𝐵 / (𝑅 ~QG 𝐼)) = (𝐵 / (𝑂 ~QG 𝐼)))
11		opprqus.q	. . . . 5 ⊢ 𝑄 = (𝑅 /s (𝑅 ~QG 𝐼))
12	11	a1i 11	. . . 4 ⊢ (𝜑 → 𝑄 = (𝑅 /s (𝑅 ~QG 𝐼)))
13	7	a1i 11	. . . 4 ⊢ (𝜑 → 𝐵 = (Base‘𝑅))
14		ovexd 7429	. . . 4 ⊢ (𝜑 → (𝑅 ~QG 𝐼) ∈ V)
15	12, 13, 14, 4	qusbas 17475	. . 3 ⊢ (𝜑 → (𝐵 / (𝑅 ~QG 𝐼)) = (Base‘𝑄))
16		eqidd 2733	. . . 4 ⊢ (𝜑 → (𝑂 /s (𝑂 ~QG 𝐼)) = (𝑂 /s (𝑂 ~QG 𝐼)))
17	6, 7	opprbas 20111	. . . . 5 ⊢ 𝐵 = (Base‘𝑂)
18	17	a1i 11	. . . 4 ⊢ (𝜑 → 𝐵 = (Base‘𝑂))
19		ovexd 7429	. . . 4 ⊢ (𝜑 → (𝑂 ~QG 𝐼) ∈ V)
20	6	fvexi 6893	. . . . 5 ⊢ 𝑂 ∈ V
21	20	a1i 11	. . . 4 ⊢ (𝜑 → 𝑂 ∈ V)
22	16, 18, 19, 21	qusbas 17475	. . 3 ⊢ (𝜑 → (𝐵 / (𝑂 ~QG 𝐼)) = (Base‘(𝑂 /s (𝑂 ~QG 𝐼))))
23	10, 15, 22	3eqtr3d 2780	. 2 ⊢ (𝜑 → (Base‘𝑄) = (Base‘(𝑂 /s (𝑂 ~QG 𝐼))))
24	3, 23	eqtr3id 2786	1 ⊢ (𝜑 → (Base‘(oppr‘𝑄)) = (Base‘(𝑂 /s (𝑂 ~QG 𝐼))))

Syntax hints:   → wi 4   = wceq 1541   ∈ wcel 2106  Vcvv 3474   ⊆ wss 3945  ‘cfv 6533  (class class class)co 7394   / cqs 8687  Basecbs 17128   /_s cqus 17435   ~_QG cqg 18976  opp_rcoppr 20103

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1797  ax-4 1811  ax-5 1913  ax-6 1971  ax-7 2011  ax-8 2108  ax-9 2116  ax-10 2137  ax-11 2154  ax-12 2171  ax-ext 2703  ax-rep 5279  ax-sep 5293  ax-nul 5300  ax-pow 5357  ax-pr 5421  ax-un 7709  ax-cnex 11150  ax-resscn 11151  ax-1cn 11152  ax-icn 11153  ax-addcl 11154  ax-addrcl 11155  ax-mulcl 11156  ax-mulrcl 11157  ax-mulcom 11158  ax-addass 11159  ax-mulass 11160  ax-distr 11161  ax-i2m1 11162  ax-1ne0 11163  ax-1rid 11164  ax-rnegex 11165  ax-rrecex 11166  ax-cnre 11167  ax-pre-lttri 11168  ax-pre-lttrn 11169  ax-pre-ltadd 11170  ax-pre-mulgt0 11171

This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 397  df-or 846  df-3or 1088  df-3an 1089  df-tru 1544  df-fal 1554  df-ex 1782  df-nf 1786  df-sb 2068  df-mo 2534  df-eu 2563  df-clab 2710  df-cleq 2724  df-clel 2810  df-nfc 2885  df-ne 2941  df-nel 3047  df-ral 3062  df-rex 3071  df-reu 3377  df-rab 3433  df-v 3476  df-sbc 3775  df-csb 3891  df-dif 3948  df-un 3950  df-in 3952  df-ss 3962  df-pss 3964  df-nul 4320  df-if 4524  df-pw 4599  df-sn 4624  df-pr 4626  df-tp 4628  df-op 4630  df-uni 4903  df-iun 4993  df-br 5143  df-opab 5205  df-mpt 5226  df-tr 5260  df-id 5568  df-eprel 5574  df-po 5582  df-so 5583  df-fr 5625  df-we 5627  df-xp 5676  df-rel 5677  df-cnv 5678  df-co 5679  df-dm 5680  df-rn 5681  df-res 5682  df-ima 5683  df-pred 6290  df-ord 6357  df-on 6358  df-lim 6359  df-suc 6360  df-iota 6485  df-fun 6535  df-fn 6536  df-f 6537  df-f1 6538  df-fo 6539  df-f1o 6540  df-fv 6541  df-riota 7350  df-ov 7397  df-oprab 7398  df-mpo 7399  df-om 7840  df-1st 7959  df-2nd 7960  df-tpos 8195  df-frecs 8250  df-wrecs 8281  df-recs 8355  df-rdg 8394  df-1o 8450  df-er 8688  df-ec 8690  df-qs 8694  df-en 8925  df-dom 8926  df-sdom 8927  df-fin 8928  df-sup 9421  df-inf 9422  df-pnf 11234  df-mnf 11235  df-xr 11236  df-ltxr 11237  df-le 11238  df-sub 11430  df-neg 11431  df-nn 12197  df-2 12259  df-3 12260  df-4 12261  df-5 12262  df-6 12263  df-7 12264  df-8 12265  df-9 12266  df-n0 12457  df-z 12543  df-dec 12662  df-uz 12807  df-fz 13469  df-struct 17064  df-sets 17081  df-slot 17099  df-ndx 17111  df-base 17129  df-plusg 17194  df-mulr 17195  df-sca 17197  df-vsca 17198  df-ip 17199  df-tset 17200  df-ple 17201  df-ds 17203  df-0g 17371  df-imas 17438  df-qus 17439  df-minusg 18800  df-eqg 18979  df-oppr 20104

This theorem is referenced by:  opprqus0g  32514  opprqus1r  32516  opprqusdrng  32517