Theorem opprnsg 34092

Description: Normal subgroups of the opposite ring are the same as the original normal subgroups. (Contributed by Thierry Arnoux, 13-Mar-2025.)

Hypothesis

Ref	Expression
oppreqg.o	⊢ 𝑂 = (oppr‘𝑅)

Assertion

Ref	Expression
opprnsg	⊢ (NrmSGrp‘𝑅) = (NrmSGrp‘𝑂)

Proof of Theorem opprnsg

Dummy variables 𝑥 𝑦 𝑔 are mutually distinct and distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		oppreqg.o	. . . . . 6 ⊢ 𝑂 = (oppr‘𝑅)
2	1	opprsubg 20615	. . . . 5 ⊢ (SubGrp‘𝑅) = (SubGrp‘𝑂)
3	2	eleq2i 2856	. . . 4 ⊢ (𝑔 ∈ (SubGrp‘𝑅) ↔ 𝑔 ∈ (SubGrp‘𝑂))
4	3	anbi1i 636	. . 3 ⊢ ((𝑔 ∈ (SubGrp‘𝑅) ∧ ∀𝑥 ∈ (Base‘𝑅)∀𝑦 ∈ (Base‘𝑅)((𝑥(+g‘𝑅)𝑦) ∈ 𝑔 → (𝑦(+g‘𝑅)𝑥) ∈ 𝑔)) ↔ (𝑔 ∈ (SubGrp‘𝑂) ∧ ∀𝑥 ∈ (Base‘𝑅)∀𝑦 ∈ (Base‘𝑅)((𝑥(+g‘𝑅)𝑦) ∈ 𝑔 → (𝑦(+g‘𝑅)𝑥) ∈ 𝑔)))
5		eqid 2763	. . . 4 ⊢ (Base‘𝑅) = (Base‘𝑅)
6		eqid 2763	. . . 4 ⊢ (+g‘𝑅) = (+g‘𝑅)
7	5, 6	isnsg2 19398	. . 3 ⊢ (𝑔 ∈ (NrmSGrp‘𝑅) ↔ (𝑔 ∈ (SubGrp‘𝑅) ∧ ∀𝑥 ∈ (Base‘𝑅)∀𝑦 ∈ (Base‘𝑅)((𝑥(+g‘𝑅)𝑦) ∈ 𝑔 → (𝑦(+g‘𝑅)𝑥) ∈ 𝑔)))
8	1, 5	opprbas 20606	. . . 4 ⊢ (Base‘𝑅) = (Base‘𝑂)
9	1, 6	oppradd 20607	. . . 4 ⊢ (+g‘𝑅) = (+g‘𝑂)
10	8, 9	isnsg2 19398	. . 3 ⊢ (𝑔 ∈ (NrmSGrp‘𝑂) ↔ (𝑔 ∈ (SubGrp‘𝑂) ∧ ∀𝑥 ∈ (Base‘𝑅)∀𝑦 ∈ (Base‘𝑅)((𝑥(+g‘𝑅)𝑦) ∈ 𝑔 → (𝑦(+g‘𝑅)𝑥) ∈ 𝑔)))
11	4, 7, 10	3bitr4i 306	. 2 ⊢ (𝑔 ∈ (NrmSGrp‘𝑅) ↔ 𝑔 ∈ (NrmSGrp‘𝑂))
12	11	eqriv 2760	1 ⊢ (NrmSGrp‘𝑅) = (NrmSGrp‘𝑂)

This proof depends on syntax axioms:   → wi 4   ∧ wa 401   = wceq 1570   ∈ wcel 2147  ∀wral 3080  ‘cfv 6561  (class class class)co 7446  Basecbs 17419  +_gcplusg 17460  SubGrpcsubg 19362  NrmSGrpcnsg 19363  opp_rcoppr 20599

This proof depends on axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1828  ax-4 1842  ax-5 1945  ax-6 2002  ax-7 2043  ax-8 2149  ax-9 2157  ax-10 2180  ax-11 2197  ax-12 2216  ax-ext 2735  ax-sep 5253  ax-nul 5264  ax-pow 5332  ax-pr 5396  ax-un 7778  ax-cnex 11286  ax-resscn 11287  ax-1cn 11288  ax-icn 11289  ax-addcl 11290  ax-addrcl 11291  ax-mulcl 11292  ax-mulrcl 11293  ax-mulcom 11294  ax-addass 11295  ax-mulass 11296  ax-distr 11297  ax-i2m1 11298  ax-1ne0 11299  ax-1rid 11300  ax-rnegex 11301  ax-rrecex 11302  ax-cnre 11303  ax-pre-lttri 11304  ax-pre-lttrn 11305  ax-pre-ltadd 11306  ax-pre-mulgt0 11307

This proof depends on definitions:  df-bi 210  df-an 402  df-or 862  df-3or 1104  df-3an 1105  df-tru 1573  df-fal 1583  df-ex 1813  df-nf 1817  df-sb 2102  df-mo 2567  df-eu 2597  df-clab 2742  df-cleq 2755  df-clel 2839  df-nfc 2913  df-ne 2960  df-nel 3066  df-ral 3081  df-rex 3091  df-reu 3370  df-rab 3417  df-v 3456  df-sbc 3743  df-csb 3852  df-ss 3901  df-pss 4017  df-dif 4050  df-in 4094  df-un 4154  df-nul 4282  df-if 4486  df-pw 4562  df-sn 4589  df-pr 4591  df-op 4839  df-uni 4871  df-iun 4956  df-br 5107  df-opab 5172  df-mpt 5191  df-tr 5217  df-id 5551  df-eprel 5556  df-po 5564  df-so 5565  df-fr 5609  df-we 5611  df-xp 5662  df-rel 5663  df-cnv 5664  df-co 5665  df-dm 5666  df-rn 5667  df-res 5668  df-ima 5669  df-pred 6325  df-ord 6386  df-on 6387  df-lim 6388  df-suc 6389  df-iota 6515  df-fun 6563  df-fn 6564  df-f 6565  df-f1 6566  df-fo 6567  df-f1o 6568  df-fv 6569  df-riota 7403  df-ov 7449  df-oprab 7450  df-mpo 7451  df-om 7905  df-2nd 8029  df-tpos 8274  df-frecs 8330  df-wrecs 8361  df-recs 8410  df-rdg 8449  df-er 8748  df-en 9005  df-dom 9006  df-sdom 9007  df-pnf 11375  df-mnf 11376  df-xr 11377  df-ltxr 11378  df-le 11379  df-sub 11573  df-neg 11574  df-nn 12366  df-2 12435  df-3 12436  df-sets 17374  df-slot 17392  df-ndx 17404  df-base 17420  df-ress 17441  df-plusg 17473  df-mulr 17474  df-0g 17644  df-mgm 18848  df-sgrp 18940  df-mnd 18956  df-grp 19179  df-subg 19365  df-nsg 19366  df-oppr 20600

This theorem is used by:  opprqusplusg  34097