Theorem opprnsg 32444

Description: Normal subgroups of the opposite ring are the same as the original normal subgroups. (Contributed by Thierry Arnoux, 13-Mar-2025.)

Hypothesis

Ref	Expression
oppreqg.o	⊢ 𝑂 = (oppr‘𝑅)

Assertion

Ref	Expression
opprnsg	⊢ (NrmSGrp‘𝑅) = (NrmSGrp‘𝑂)

Proof of Theorem opprnsg

Dummy variables 𝑥 𝑦 𝑔 are mutually distinct and distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		oppreqg.o	. . . . . 6 ⊢ 𝑂 = (oppr‘𝑅)
2	1	opprsubg 20118	. . . . 5 ⊢ (SubGrp‘𝑅) = (SubGrp‘𝑂)
3	2	eleq2i 2824	. . . 4 ⊢ (𝑔 ∈ (SubGrp‘𝑅) ↔ 𝑔 ∈ (SubGrp‘𝑂))
4	3	anbi1i 624	. . 3 ⊢ ((𝑔 ∈ (SubGrp‘𝑅) ∧ ∀𝑥 ∈ (Base‘𝑅)∀𝑦 ∈ (Base‘𝑅)((𝑥(+g‘𝑅)𝑦) ∈ 𝑔 → (𝑦(+g‘𝑅)𝑥) ∈ 𝑔)) ↔ (𝑔 ∈ (SubGrp‘𝑂) ∧ ∀𝑥 ∈ (Base‘𝑅)∀𝑦 ∈ (Base‘𝑅)((𝑥(+g‘𝑅)𝑦) ∈ 𝑔 → (𝑦(+g‘𝑅)𝑥) ∈ 𝑔)))
5		eqid 2731	. . . 4 ⊢ (Base‘𝑅) = (Base‘𝑅)
6		eqid 2731	. . . 4 ⊢ (+g‘𝑅) = (+g‘𝑅)
7	5, 6	isnsg2 19008	. . 3 ⊢ (𝑔 ∈ (NrmSGrp‘𝑅) ↔ (𝑔 ∈ (SubGrp‘𝑅) ∧ ∀𝑥 ∈ (Base‘𝑅)∀𝑦 ∈ (Base‘𝑅)((𝑥(+g‘𝑅)𝑦) ∈ 𝑔 → (𝑦(+g‘𝑅)𝑥) ∈ 𝑔)))
8	1, 5	opprbas 20109	. . . 4 ⊢ (Base‘𝑅) = (Base‘𝑂)
9	1, 6	oppradd 20111	. . . 4 ⊢ (+g‘𝑅) = (+g‘𝑂)
10	8, 9	isnsg2 19008	. . 3 ⊢ (𝑔 ∈ (NrmSGrp‘𝑂) ↔ (𝑔 ∈ (SubGrp‘𝑂) ∧ ∀𝑥 ∈ (Base‘𝑅)∀𝑦 ∈ (Base‘𝑅)((𝑥(+g‘𝑅)𝑦) ∈ 𝑔 → (𝑦(+g‘𝑅)𝑥) ∈ 𝑔)))
11	4, 7, 10	3bitr4i 302	. 2 ⊢ (𝑔 ∈ (NrmSGrp‘𝑅) ↔ 𝑔 ∈ (NrmSGrp‘𝑂))
12	11	eqriv 2728	1 ⊢ (NrmSGrp‘𝑅) = (NrmSGrp‘𝑂)

Syntax hints:   → wi 4   ∧ wa 396   = wceq 1541   ∈ wcel 2106  ∀wral 3060  ‘cfv 6532  (class class class)co 7393  Basecbs 17126  +_gcplusg 17179  SubGrpcsubg 18972  NrmSGrpcnsg 18973  opp_rcoppr 20101

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1797  ax-4 1811  ax-5 1913  ax-6 1971  ax-7 2011  ax-8 2108  ax-9 2116  ax-10 2137  ax-11 2154  ax-12 2171  ax-ext 2702  ax-sep 5292  ax-nul 5299  ax-pow 5356  ax-pr 5420  ax-un 7708  ax-cnex 11148  ax-resscn 11149  ax-1cn 11150  ax-icn 11151  ax-addcl 11152  ax-addrcl 11153  ax-mulcl 11154  ax-mulrcl 11155  ax-mulcom 11156  ax-addass 11157  ax-mulass 11158  ax-distr 11159  ax-i2m1 11160  ax-1ne0 11161  ax-1rid 11162  ax-rnegex 11163  ax-rrecex 11164  ax-cnre 11165  ax-pre-lttri 11166  ax-pre-lttrn 11167  ax-pre-ltadd 11168  ax-pre-mulgt0 11169

This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 397  df-or 846  df-3or 1088  df-3an 1089  df-tru 1544  df-fal 1554  df-ex 1782  df-nf 1786  df-sb 2068  df-mo 2533  df-eu 2562  df-clab 2709  df-cleq 2723  df-clel 2809  df-nfc 2884  df-ne 2940  df-nel 3046  df-ral 3061  df-rex 3070  df-reu 3376  df-rab 3432  df-v 3475  df-sbc 3774  df-csb 3890  df-dif 3947  df-un 3949  df-in 3951  df-ss 3961  df-pss 3963  df-nul 4319  df-if 4523  df-pw 4598  df-sn 4623  df-pr 4625  df-op 4629  df-uni 4902  df-iun 4992  df-br 5142  df-opab 5204  df-mpt 5225  df-tr 5259  df-id 5567  df-eprel 5573  df-po 5581  df-so 5582  df-fr 5624  df-we 5626  df-xp 5675  df-rel 5676  df-cnv 5677  df-co 5678  df-dm 5679  df-rn 5680  df-res 5681  df-ima 5682  df-pred 6289  df-ord 6356  df-on 6357  df-lim 6358  df-suc 6359  df-iota 6484  df-fun 6534  df-fn 6535  df-f 6536  df-f1 6537  df-fo 6538  df-f1o 6539  df-fv 6540  df-riota 7349  df-ov 7396  df-oprab 7397  df-mpo 7398  df-om 7839  df-2nd 7958  df-tpos 8193  df-frecs 8248  df-wrecs 8279  df-recs 8353  df-rdg 8392  df-er 8686  df-en 8923  df-dom 8924  df-sdom 8925  df-pnf 11232  df-mnf 11233  df-xr 11234  df-ltxr 11235  df-le 11236  df-sub 11428  df-neg 11429  df-nn 12195  df-2 12257  df-3 12258  df-sets 17079  df-slot 17097  df-ndx 17109  df-base 17127  df-ress 17156  df-plusg 17192  df-mulr 17193  df-0g 17369  df-mgm 18543  df-sgrp 18592  df-mnd 18603  df-grp 18797  df-subg 18975  df-nsg 18976  df-oppr 20102

This theorem is referenced by:  opprqusplusg  32449