Theorem opprnsg 33029

Description: Normal subgroups of the opposite ring are the same as the original normal subgroups. (Contributed by Thierry Arnoux, 13-Mar-2025.)

Hypothesis

Ref	Expression
oppreqg.o	⊢ 𝑂 = (oppr‘𝑅)

Assertion

Ref	Expression
opprnsg	⊢ (NrmSGrp‘𝑅) = (NrmSGrp‘𝑂)

Proof of Theorem opprnsg

Dummy variables 𝑥 𝑦 𝑔 are mutually distinct and distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		oppreqg.o	. . . . . 6 ⊢ 𝑂 = (oppr‘𝑅)
2	1	opprsubg 20239	. . . . 5 ⊢ (SubGrp‘𝑅) = (SubGrp‘𝑂)
3	2	eleq2i 2817	. . . 4 ⊢ (𝑔 ∈ (SubGrp‘𝑅) ↔ 𝑔 ∈ (SubGrp‘𝑂))
4	3	anbi1i 623	. . 3 ⊢ ((𝑔 ∈ (SubGrp‘𝑅) ∧ ∀𝑥 ∈ (Base‘𝑅)∀𝑦 ∈ (Base‘𝑅)((𝑥(+g‘𝑅)𝑦) ∈ 𝑔 → (𝑦(+g‘𝑅)𝑥) ∈ 𝑔)) ↔ (𝑔 ∈ (SubGrp‘𝑂) ∧ ∀𝑥 ∈ (Base‘𝑅)∀𝑦 ∈ (Base‘𝑅)((𝑥(+g‘𝑅)𝑦) ∈ 𝑔 → (𝑦(+g‘𝑅)𝑥) ∈ 𝑔)))
5		eqid 2724	. . . 4 ⊢ (Base‘𝑅) = (Base‘𝑅)
6		eqid 2724	. . . 4 ⊢ (+g‘𝑅) = (+g‘𝑅)
7	5, 6	isnsg2 19068	. . 3 ⊢ (𝑔 ∈ (NrmSGrp‘𝑅) ↔ (𝑔 ∈ (SubGrp‘𝑅) ∧ ∀𝑥 ∈ (Base‘𝑅)∀𝑦 ∈ (Base‘𝑅)((𝑥(+g‘𝑅)𝑦) ∈ 𝑔 → (𝑦(+g‘𝑅)𝑥) ∈ 𝑔)))
8	1, 5	opprbas 20228	. . . 4 ⊢ (Base‘𝑅) = (Base‘𝑂)
9	1, 6	oppradd 20230	. . . 4 ⊢ (+g‘𝑅) = (+g‘𝑂)
10	8, 9	isnsg2 19068	. . 3 ⊢ (𝑔 ∈ (NrmSGrp‘𝑂) ↔ (𝑔 ∈ (SubGrp‘𝑂) ∧ ∀𝑥 ∈ (Base‘𝑅)∀𝑦 ∈ (Base‘𝑅)((𝑥(+g‘𝑅)𝑦) ∈ 𝑔 → (𝑦(+g‘𝑅)𝑥) ∈ 𝑔)))
11	4, 7, 10	3bitr4i 303	. 2 ⊢ (𝑔 ∈ (NrmSGrp‘𝑅) ↔ 𝑔 ∈ (NrmSGrp‘𝑂))
12	11	eqriv 2721	1 ⊢ (NrmSGrp‘𝑅) = (NrmSGrp‘𝑂)

Syntax hints:   → wi 4   ∧ wa 395   = wceq 1533   ∈ wcel 2098  ∀wral 3053  ‘cfv 6533  (class class class)co 7401  Basecbs 17140  +_gcplusg 17193  SubGrpcsubg 19032  NrmSGrpcnsg 19033  opp_rcoppr 20220

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1789  ax-4 1803  ax-5 1905  ax-6 1963  ax-7 2003  ax-8 2100  ax-9 2108  ax-10 2129  ax-11 2146  ax-12 2163  ax-ext 2695  ax-sep 5289  ax-nul 5296  ax-pow 5353  ax-pr 5417  ax-un 7718  ax-cnex 11161  ax-resscn 11162  ax-1cn 11163  ax-icn 11164  ax-addcl 11165  ax-addrcl 11166  ax-mulcl 11167  ax-mulrcl 11168  ax-mulcom 11169  ax-addass 11170  ax-mulass 11171  ax-distr 11172  ax-i2m1 11173  ax-1ne0 11174  ax-1rid 11175  ax-rnegex 11176  ax-rrecex 11177  ax-cnre 11178  ax-pre-lttri 11179  ax-pre-lttrn 11180  ax-pre-ltadd 11181  ax-pre-mulgt0 11182

This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 396  df-or 845  df-3or 1085  df-3an 1086  df-tru 1536  df-fal 1546  df-ex 1774  df-nf 1778  df-sb 2060  df-mo 2526  df-eu 2555  df-clab 2702  df-cleq 2716  df-clel 2802  df-nfc 2877  df-ne 2933  df-nel 3039  df-ral 3054  df-rex 3063  df-reu 3369  df-rab 3425  df-v 3468  df-sbc 3770  df-csb 3886  df-dif 3943  df-un 3945  df-in 3947  df-ss 3957  df-pss 3959  df-nul 4315  df-if 4521  df-pw 4596  df-sn 4621  df-pr 4623  df-op 4627  df-uni 4900  df-iun 4989  df-br 5139  df-opab 5201  df-mpt 5222  df-tr 5256  df-id 5564  df-eprel 5570  df-po 5578  df-so 5579  df-fr 5621  df-we 5623  df-xp 5672  df-rel 5673  df-cnv 5674  df-co 5675  df-dm 5676  df-rn 5677  df-res 5678  df-ima 5679  df-pred 6290  df-ord 6357  df-on 6358  df-lim 6359  df-suc 6360  df-iota 6485  df-fun 6535  df-fn 6536  df-f 6537  df-f1 6538  df-fo 6539  df-f1o 6540  df-fv 6541  df-riota 7357  df-ov 7404  df-oprab 7405  df-mpo 7406  df-om 7849  df-2nd 7969  df-tpos 8206  df-frecs 8261  df-wrecs 8292  df-recs 8366  df-rdg 8405  df-er 8698  df-en 8935  df-dom 8936  df-sdom 8937  df-pnf 11246  df-mnf 11247  df-xr 11248  df-ltxr 11249  df-le 11250  df-sub 11442  df-neg 11443  df-nn 12209  df-2 12271  df-3 12272  df-sets 17093  df-slot 17111  df-ndx 17123  df-base 17141  df-ress 17170  df-plusg 17206  df-mulr 17207  df-0g 17383  df-mgm 18560  df-sgrp 18639  df-mnd 18655  df-grp 18853  df-subg 19035  df-nsg 19036  df-oppr 20221

This theorem is referenced by:  opprqusplusg  33034