MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  opprringb Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem opprringb 20365
Description: Bidirectional form of opprring 20364. (Contributed by Mario Carneiro, 6-Dec-2014.)
Hypothesis
Ref Expression
opprbas.1 𝑂 = (oppr𝑅)
Assertion
Ref Expression
opprringb (𝑅 ∈ Ring ↔ 𝑂 ∈ Ring)

Proof of Theorem opprringb
Dummy variables 𝑥 𝑦 are mutually distinct and distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 opprbas.1 . . 3 𝑂 = (oppr𝑅)
21opprring 20364 . 2 (𝑅 ∈ Ring → 𝑂 ∈ Ring)
3 eqid 2735 . . . 4 (oppr𝑂) = (oppr𝑂)
43opprring 20364 . . 3 (𝑂 ∈ Ring → (oppr𝑂) ∈ Ring)
5 eqidd 2736 . . . . 5 (⊤ → (Base‘𝑅) = (Base‘𝑅))
6 eqid 2735 . . . . . . . 8 (Base‘𝑅) = (Base‘𝑅)
71, 6opprbas 20358 . . . . . . 7 (Base‘𝑅) = (Base‘𝑂)
83, 7opprbas 20358 . . . . . 6 (Base‘𝑅) = (Base‘(oppr𝑂))
98a1i 11 . . . . 5 (⊤ → (Base‘𝑅) = (Base‘(oppr𝑂)))
10 eqid 2735 . . . . . . . . 9 (+g𝑅) = (+g𝑅)
111, 10oppradd 20360 . . . . . . . 8 (+g𝑅) = (+g𝑂)
123, 11oppradd 20360 . . . . . . 7 (+g𝑅) = (+g‘(oppr𝑂))
1312oveqi 7444 . . . . . 6 (𝑥(+g𝑅)𝑦) = (𝑥(+g‘(oppr𝑂))𝑦)
1413a1i 11 . . . . 5 ((⊤ ∧ (𝑥 ∈ (Base‘𝑅) ∧ 𝑦 ∈ (Base‘𝑅))) → (𝑥(+g𝑅)𝑦) = (𝑥(+g‘(oppr𝑂))𝑦))
15 eqid 2735 . . . . . . . 8 (.r𝑂) = (.r𝑂)
16 eqid 2735 . . . . . . . 8 (.r‘(oppr𝑂)) = (.r‘(oppr𝑂))
177, 15, 3, 16opprmul 20354 . . . . . . 7 (𝑥(.r‘(oppr𝑂))𝑦) = (𝑦(.r𝑂)𝑥)
18 eqid 2735 . . . . . . . 8 (.r𝑅) = (.r𝑅)
196, 18, 1, 15opprmul 20354 . . . . . . 7 (𝑦(.r𝑂)𝑥) = (𝑥(.r𝑅)𝑦)
2017, 19eqtr2i 2764 . . . . . 6 (𝑥(.r𝑅)𝑦) = (𝑥(.r‘(oppr𝑂))𝑦)
2120a1i 11 . . . . 5 ((⊤ ∧ (𝑥 ∈ (Base‘𝑅) ∧ 𝑦 ∈ (Base‘𝑅))) → (𝑥(.r𝑅)𝑦) = (𝑥(.r‘(oppr𝑂))𝑦))
225, 9, 14, 21ringpropd 20302 . . . 4 (⊤ → (𝑅 ∈ Ring ↔ (oppr𝑂) ∈ Ring))
2322mptru 1544 . . 3 (𝑅 ∈ Ring ↔ (oppr𝑂) ∈ Ring)
244, 23sylibr 234 . 2 (𝑂 ∈ Ring → 𝑅 ∈ Ring)
252, 24impbii 209 1 (𝑅 ∈ Ring ↔ 𝑂 ∈ Ring)
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  wb 206  wa 395   = wceq 1537  wtru 1538  wcel 2106  cfv 6563  (class class class)co 7431  Basecbs 17245  +gcplusg 17298  .rcmulr 17299  Ringcrg 20251  opprcoppr 20350
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1792  ax-4 1806  ax-5 1908  ax-6 1965  ax-7 2005  ax-8 2108  ax-9 2116  ax-10 2139  ax-11 2155  ax-12 2175  ax-ext 2706  ax-sep 5302  ax-nul 5312  ax-pow 5371  ax-pr 5438  ax-un 7754  ax-cnex 11209  ax-resscn 11210  ax-1cn 11211  ax-icn 11212  ax-addcl 11213  ax-addrcl 11214  ax-mulcl 11215  ax-mulrcl 11216  ax-mulcom 11217  ax-addass 11218  ax-mulass 11219  ax-distr 11220  ax-i2m1 11221  ax-1ne0 11222  ax-1rid 11223  ax-rnegex 11224  ax-rrecex 11225  ax-cnre 11226  ax-pre-lttri 11227  ax-pre-lttrn 11228  ax-pre-ltadd 11229  ax-pre-mulgt0 11230
This theorem depends on definitions:  df-bi 207  df-an 396  df-or 848  df-3or 1087  df-3an 1088  df-tru 1540  df-fal 1550  df-ex 1777  df-nf 1781  df-sb 2063  df-mo 2538  df-eu 2567  df-clab 2713  df-cleq 2727  df-clel 2814  df-nfc 2890  df-ne 2939  df-nel 3045  df-ral 3060  df-rex 3069  df-rmo 3378  df-reu 3379  df-rab 3434  df-v 3480  df-sbc 3792  df-csb 3909  df-dif 3966  df-un 3968  df-in 3970  df-ss 3980  df-pss 3983  df-nul 4340  df-if 4532  df-pw 4607  df-sn 4632  df-pr 4634  df-op 4638  df-uni 4913  df-iun 4998  df-br 5149  df-opab 5211  df-mpt 5232  df-tr 5266  df-id 5583  df-eprel 5589  df-po 5597  df-so 5598  df-fr 5641  df-we 5643  df-xp 5695  df-rel 5696  df-cnv 5697  df-co 5698  df-dm 5699  df-rn 5700  df-res 5701  df-ima 5702  df-pred 6323  df-ord 6389  df-on 6390  df-lim 6391  df-suc 6392  df-iota 6516  df-fun 6565  df-fn 6566  df-f 6567  df-f1 6568  df-fo 6569  df-f1o 6570  df-fv 6571  df-riota 7388  df-ov 7434  df-oprab 7435  df-mpo 7436  df-om 7888  df-2nd 8014  df-tpos 8250  df-frecs 8305  df-wrecs 8336  df-recs 8410  df-rdg 8449  df-er 8744  df-en 8985  df-dom 8986  df-sdom 8987  df-pnf 11295  df-mnf 11296  df-xr 11297  df-ltxr 11298  df-le 11299  df-sub 11492  df-neg 11493  df-nn 12265  df-2 12327  df-3 12328  df-sets 17198  df-slot 17216  df-ndx 17228  df-base 17246  df-plusg 17311  df-mulr 17312  df-0g 17488  df-mgm 18666  df-sgrp 18745  df-mnd 18761  df-grp 18967  df-minusg 18968  df-cmn 19815  df-abl 19816  df-mgp 20153  df-rng 20171  df-ur 20200  df-ring 20253  df-oppr 20351
This theorem is referenced by:  rhmopp  20526  opprnzrb  20538  opprsubrg  20610  opprdrng  20781
  Copyright terms: Public domain W3C validator