Theorem opprringb 20233

Description: Bidirectional form of opprring 20232. (Contributed by Mario Carneiro, 6-Dec-2014.)

Hypothesis

Ref	Expression
opprbas.1	⊢ 𝑂 = (oppr‘𝑅)

Assertion

Ref	Expression
opprringb	⊢ (𝑅 ∈ Ring ↔ 𝑂 ∈ Ring)

Proof of Theorem opprringb

Dummy variables 𝑥 𝑦 are mutually distinct and distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		opprbas.1	. . 3 ⊢ 𝑂 = (oppr‘𝑅)
2	1	opprring 20232	. 2 ⊢ (𝑅 ∈ Ring → 𝑂 ∈ Ring)
3		eqid 2729	. . . 4 ⊢ (oppr‘𝑂) = (oppr‘𝑂)
4	3	opprring 20232	. . 3 ⊢ (𝑂 ∈ Ring → (oppr‘𝑂) ∈ Ring)
5		eqidd 2730	. . . . 5 ⊢ (⊤ → (Base‘𝑅) = (Base‘𝑅))
6		eqid 2729	. . . . . . . 8 ⊢ (Base‘𝑅) = (Base‘𝑅)
7	1, 6	opprbas 20228	. . . . . . 7 ⊢ (Base‘𝑅) = (Base‘𝑂)
8	3, 7	opprbas 20228	. . . . . 6 ⊢ (Base‘𝑅) = (Base‘(oppr‘𝑂))
9	8	a1i 11	. . . . 5 ⊢ (⊤ → (Base‘𝑅) = (Base‘(oppr‘𝑂)))
10		eqid 2729	. . . . . . . . 9 ⊢ (+g‘𝑅) = (+g‘𝑅)
11	1, 10	oppradd 20229	. . . . . . . 8 ⊢ (+g‘𝑅) = (+g‘𝑂)
12	3, 11	oppradd 20229	. . . . . . 7 ⊢ (+g‘𝑅) = (+g‘(oppr‘𝑂))
13	12	oveqi 7362	. . . . . 6 ⊢ (𝑥(+g‘𝑅)𝑦) = (𝑥(+g‘(oppr‘𝑂))𝑦)
14	13	a1i 11	. . . . 5 ⊢ ((⊤ ∧ (𝑥 ∈ (Base‘𝑅) ∧ 𝑦 ∈ (Base‘𝑅))) → (𝑥(+g‘𝑅)𝑦) = (𝑥(+g‘(oppr‘𝑂))𝑦))
15		eqid 2729	. . . . . . . 8 ⊢ (.r‘𝑂) = (.r‘𝑂)
16		eqid 2729	. . . . . . . 8 ⊢ (.r‘(oppr‘𝑂)) = (.r‘(oppr‘𝑂))
17	7, 15, 3, 16	opprmul 20225	. . . . . . 7 ⊢ (𝑥(.r‘(oppr‘𝑂))𝑦) = (𝑦(.r‘𝑂)𝑥)
18		eqid 2729	. . . . . . . 8 ⊢ (.r‘𝑅) = (.r‘𝑅)
19	6, 18, 1, 15	opprmul 20225	. . . . . . 7 ⊢ (𝑦(.r‘𝑂)𝑥) = (𝑥(.r‘𝑅)𝑦)
20	17, 19	eqtr2i 2753	. . . . . 6 ⊢ (𝑥(.r‘𝑅)𝑦) = (𝑥(.r‘(oppr‘𝑂))𝑦)
21	20	a1i 11	. . . . 5 ⊢ ((⊤ ∧ (𝑥 ∈ (Base‘𝑅) ∧ 𝑦 ∈ (Base‘𝑅))) → (𝑥(.r‘𝑅)𝑦) = (𝑥(.r‘(oppr‘𝑂))𝑦))
22	5, 9, 14, 21	ringpropd 20173	. . . 4 ⊢ (⊤ → (𝑅 ∈ Ring ↔ (oppr‘𝑂) ∈ Ring))
23	22	mptru 1547	. . 3 ⊢ (𝑅 ∈ Ring ↔ (oppr‘𝑂) ∈ Ring)
24	4, 23	sylibr 234	. 2 ⊢ (𝑂 ∈ Ring → 𝑅 ∈ Ring)
25	2, 24	impbii 209	1 ⊢ (𝑅 ∈ Ring ↔ 𝑂 ∈ Ring)

Syntax hints:   ↔ wb 206   ∧ wa 395   = wceq 1540  ⊤wtru 1541   ∈ wcel 2109  ‘cfv 6482  (class class class)co 7349  Basecbs 17120  +_gcplusg 17161  ._rcmulr 17162  Ringcrg 20118  opp_rcoppr 20221

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1795  ax-4 1809  ax-5 1910  ax-6 1967  ax-7 2008  ax-8 2111  ax-9 2119  ax-10 2142  ax-11 2158  ax-12 2178  ax-ext 2701  ax-sep 5235  ax-nul 5245  ax-pow 5304  ax-pr 5371  ax-un 7671  ax-cnex 11065  ax-resscn 11066  ax-1cn 11067  ax-icn 11068  ax-addcl 11069  ax-addrcl 11070  ax-mulcl 11071  ax-mulrcl 11072  ax-mulcom 11073  ax-addass 11074  ax-mulass 11075  ax-distr 11076  ax-i2m1 11077  ax-1ne0 11078  ax-1rid 11079  ax-rnegex 11080  ax-rrecex 11081  ax-cnre 11082  ax-pre-lttri 11083  ax-pre-lttrn 11084  ax-pre-ltadd 11085  ax-pre-mulgt0 11086

This theorem depends on definitions:  df-bi 207  df-an 396  df-or 848  df-3or 1087  df-3an 1088  df-tru 1543  df-fal 1553  df-ex 1780  df-nf 1784  df-sb 2066  df-mo 2533  df-eu 2562  df-clab 2708  df-cleq 2721  df-clel 2803  df-nfc 2878  df-ne 2926  df-nel 3030  df-ral 3045  df-rex 3054  df-rmo 3343  df-reu 3344  df-rab 3395  df-v 3438  df-sbc 3743  df-csb 3852  df-dif 3906  df-un 3908  df-in 3910  df-ss 3920  df-pss 3923  df-nul 4285  df-if 4477  df-pw 4553  df-sn 4578  df-pr 4580  df-op 4584  df-uni 4859  df-iun 4943  df-br 5093  df-opab 5155  df-mpt 5174  df-tr 5200  df-id 5514  df-eprel 5519  df-po 5527  df-so 5528  df-fr 5572  df-we 5574  df-xp 5625  df-rel 5626  df-cnv 5627  df-co 5628  df-dm 5629  df-rn 5630  df-res 5631  df-ima 5632  df-pred 6249  df-ord 6310  df-on 6311  df-lim 6312  df-suc 6313  df-iota 6438  df-fun 6484  df-fn 6485  df-f 6486  df-f1 6487  df-fo 6488  df-f1o 6489  df-fv 6490  df-riota 7306  df-ov 7352  df-oprab 7353  df-mpo 7354  df-om 7800  df-2nd 7925  df-tpos 8159  df-frecs 8214  df-wrecs 8245  df-recs 8294  df-rdg 8332  df-er 8625  df-en 8873  df-dom 8874  df-sdom 8875  df-pnf 11151  df-mnf 11152  df-xr 11153  df-ltxr 11154  df-le 11155  df-sub 11349  df-neg 11350  df-nn 12129  df-2 12191  df-3 12192  df-sets 17075  df-slot 17093  df-ndx 17105  df-base 17121  df-plusg 17174  df-mulr 17175  df-0g 17345  df-mgm 18514  df-sgrp 18593  df-mnd 18609  df-grp 18815  df-minusg 18816  df-cmn 19661  df-abl 19662  df-mgp 20026  df-rng 20038  df-ur 20067  df-ring 20120  df-oppr 20222

This theorem is referenced by:  rhmopp  20394  opprnzrb  20406  opprsubrg  20478  opprdrng  20649