Theorem opprdrng 19519

Description: The opposite of a division ring is also a division ring. (Contributed by NM, 18-Oct-2014.)

Hypothesis

Ref	Expression
opprdrng.1	⊢ 𝑂 = (oppr‘𝑅)

Assertion

Ref	Expression
opprdrng	⊢ (𝑅 ∈ DivRing ↔ 𝑂 ∈ DivRing)

Proof of Theorem opprdrng

Step	Hyp	Ref	Expression
1		opprdrng.1	. . . 4 ⊢ 𝑂 = (oppr‘𝑅)
2	1	opprringb 19378	. . 3 ⊢ (𝑅 ∈ Ring ↔ 𝑂 ∈ Ring)
3	2	anbi1i 626	. 2 ⊢ ((𝑅 ∈ Ring ∧ (Unit‘𝑅) = ((Base‘𝑅) ∖ {(0g‘𝑅)})) ↔ (𝑂 ∈ Ring ∧ (Unit‘𝑅) = ((Base‘𝑅) ∖ {(0g‘𝑅)})))
4		eqid 2798	. . 3 ⊢ (Base‘𝑅) = (Base‘𝑅)
5		eqid 2798	. . 3 ⊢ (Unit‘𝑅) = (Unit‘𝑅)
6		eqid 2798	. . 3 ⊢ (0g‘𝑅) = (0g‘𝑅)
7	4, 5, 6	isdrng 19499	. 2 ⊢ (𝑅 ∈ DivRing ↔ (𝑅 ∈ Ring ∧ (Unit‘𝑅) = ((Base‘𝑅) ∖ {(0g‘𝑅)})))
8	1, 4	opprbas 19375	. . 3 ⊢ (Base‘𝑅) = (Base‘𝑂)
9	5, 1	opprunit 19407	. . 3 ⊢ (Unit‘𝑅) = (Unit‘𝑂)
10	1, 6	oppr0 19379	. . 3 ⊢ (0g‘𝑅) = (0g‘𝑂)
11	8, 9, 10	isdrng 19499	. 2 ⊢ (𝑂 ∈ DivRing ↔ (𝑂 ∈ Ring ∧ (Unit‘𝑅) = ((Base‘𝑅) ∖ {(0g‘𝑅)})))
12	3, 7, 11	3bitr4i 306	1 ⊢ (𝑅 ∈ DivRing ↔ 𝑂 ∈ DivRing)

Syntax hints:   ↔ wb 209   ∧ wa 399   = wceq 1538   ∈ wcel 2111   ∖ cdif 3878  {csn 4525  ‘cfv 6324  Basecbs 16475  0_gc0g 16705  Ringcrg 19290  opp_rcoppr 19368  Unitcui 19385  DivRingcdr 19495

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1797  ax-4 1811  ax-5 1911  ax-6 1970  ax-7 2015  ax-8 2113  ax-9 2121  ax-10 2142  ax-11 2158  ax-12 2175  ax-ext 2770  ax-rep 5154  ax-sep 5167  ax-nul 5174  ax-pow 5231  ax-pr 5295  ax-un 7441  ax-cnex 10582  ax-resscn 10583  ax-1cn 10584  ax-icn 10585  ax-addcl 10586  ax-addrcl 10587  ax-mulcl 10588  ax-mulrcl 10589  ax-mulcom 10590  ax-addass 10591  ax-mulass 10592  ax-distr 10593  ax-i2m1 10594  ax-1ne0 10595  ax-1rid 10596  ax-rnegex 10597  ax-rrecex 10598  ax-cnre 10599  ax-pre-lttri 10600  ax-pre-lttrn 10601  ax-pre-ltadd 10602  ax-pre-mulgt0 10603

This theorem depends on definitions:  df-bi 210  df-an 400  df-or 845  df-3or 1085  df-3an 1086  df-tru 1541  df-ex 1782  df-nf 1786  df-sb 2070  df-mo 2598  df-eu 2629  df-clab 2777  df-cleq 2791  df-clel 2870  df-nfc 2938  df-ne 2988  df-nel 3092  df-ral 3111  df-rex 3112  df-reu 3113  df-rmo 3114  df-rab 3115  df-v 3443  df-sbc 3721  df-csb 3829  df-dif 3884  df-un 3886  df-in 3888  df-ss 3898  df-pss 3900  df-nul 4244  df-if 4426  df-pw 4499  df-sn 4526  df-pr 4528  df-tp 4530  df-op 4532  df-uni 4801  df-iun 4883  df-br 5031  df-opab 5093  df-mpt 5111  df-tr 5137  df-id 5425  df-eprel 5430  df-po 5438  df-so 5439  df-fr 5478  df-we 5480  df-xp 5525  df-rel 5526  df-cnv 5527  df-co 5528  df-dm 5529  df-rn 5530  df-res 5531  df-ima 5532  df-pred 6116  df-ord 6162  df-on 6163  df-lim 6164  df-suc 6165  df-iota 6283  df-fun 6326  df-fn 6327  df-f 6328  df-f1 6329  df-fo 6330  df-f1o 6331  df-fv 6332  df-riota 7093  df-ov 7138  df-oprab 7139  df-mpo 7140  df-om 7561  df-tpos 7875  df-wrecs 7930  df-recs 7991  df-rdg 8029  df-er 8272  df-en 8493  df-dom 8494  df-sdom 8495  df-pnf 10666  df-mnf 10667  df-xr 10668  df-ltxr 10669  df-le 10670  df-sub 10861  df-neg 10862  df-nn 11626  df-2 11688  df-3 11689  df-ndx 16478  df-slot 16479  df-base 16481  df-sets 16482  df-plusg 16570  df-mulr 16571  df-0g 16707  df-mgm 17844  df-sgrp 17893  df-mnd 17904  df-grp 18098  df-mgp 19233  df-ur 19245  df-ring 19292  df-oppr 19369  df-dvdsr 19387  df-unit 19388  df-drng 19497

This theorem is referenced by:  isdrngrd  19521  lduallvec  36450