Theorem opprrngb 20248

Description: A class is a non-unital ring if and only if its opposite is a non-unital ring. Bidirectional form of opprrng 20247. (Contributed by AV, 15-Feb-2025.)

Hypothesis

Ref	Expression
opprbas.1	⊢ 𝑂 = (oppr‘𝑅)

Assertion

Ref	Expression
opprrngb	⊢ (𝑅 ∈ Rng ↔ 𝑂 ∈ Rng)

Proof of Theorem opprrngb

Dummy variables 𝑥 𝑦 are mutually distinct and distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		opprbas.1	. . 3 ⊢ 𝑂 = (oppr‘𝑅)
2	1	opprrng 20247	. 2 ⊢ (𝑅 ∈ Rng → 𝑂 ∈ Rng)
3		eqid 2726	. . . 4 ⊢ (oppr‘𝑂) = (oppr‘𝑂)
4	3	opprrng 20247	. . 3 ⊢ (𝑂 ∈ Rng → (oppr‘𝑂) ∈ Rng)
5		eqidd 2727	. . . . 5 ⊢ (⊤ → (Base‘𝑅) = (Base‘𝑅))
6		eqid 2726	. . . . . . . 8 ⊢ (Base‘𝑅) = (Base‘𝑅)
7	1, 6	opprbas 20243	. . . . . . 7 ⊢ (Base‘𝑅) = (Base‘𝑂)
8	3, 7	opprbas 20243	. . . . . 6 ⊢ (Base‘𝑅) = (Base‘(oppr‘𝑂))
9	8	a1i 11	. . . . 5 ⊢ (⊤ → (Base‘𝑅) = (Base‘(oppr‘𝑂)))
10		eqid 2726	. . . . . . . . 9 ⊢ (+g‘𝑅) = (+g‘𝑅)
11	1, 10	oppradd 20245	. . . . . . . 8 ⊢ (+g‘𝑅) = (+g‘𝑂)
12	3, 11	oppradd 20245	. . . . . . 7 ⊢ (+g‘𝑅) = (+g‘(oppr‘𝑂))
13	12	oveqi 7418	. . . . . 6 ⊢ (𝑥(+g‘𝑅)𝑦) = (𝑥(+g‘(oppr‘𝑂))𝑦)
14	13	a1i 11	. . . . 5 ⊢ ((⊤ ∧ (𝑥 ∈ (Base‘𝑅) ∧ 𝑦 ∈ (Base‘𝑅))) → (𝑥(+g‘𝑅)𝑦) = (𝑥(+g‘(oppr‘𝑂))𝑦))
15		eqid 2726	. . . . . . . 8 ⊢ (.r‘𝑂) = (.r‘𝑂)
16		eqid 2726	. . . . . . . 8 ⊢ (.r‘(oppr‘𝑂)) = (.r‘(oppr‘𝑂))
17	7, 15, 3, 16	opprmul 20239	. . . . . . 7 ⊢ (𝑥(.r‘(oppr‘𝑂))𝑦) = (𝑦(.r‘𝑂)𝑥)
18		eqid 2726	. . . . . . . 8 ⊢ (.r‘𝑅) = (.r‘𝑅)
19	6, 18, 1, 15	opprmul 20239	. . . . . . 7 ⊢ (𝑦(.r‘𝑂)𝑥) = (𝑥(.r‘𝑅)𝑦)
20	17, 19	eqtr2i 2755	. . . . . 6 ⊢ (𝑥(.r‘𝑅)𝑦) = (𝑥(.r‘(oppr‘𝑂))𝑦)
21	20	a1i 11	. . . . 5 ⊢ ((⊤ ∧ (𝑥 ∈ (Base‘𝑅) ∧ 𝑦 ∈ (Base‘𝑅))) → (𝑥(.r‘𝑅)𝑦) = (𝑥(.r‘(oppr‘𝑂))𝑦))
22	5, 9, 14, 21	rngpropd 20079	. . . 4 ⊢ (⊤ → (𝑅 ∈ Rng ↔ (oppr‘𝑂) ∈ Rng))
23	22	mptru 1540	. . 3 ⊢ (𝑅 ∈ Rng ↔ (oppr‘𝑂) ∈ Rng)
24	4, 23	sylibr 233	. 2 ⊢ (𝑂 ∈ Rng → 𝑅 ∈ Rng)
25	2, 24	impbii 208	1 ⊢ (𝑅 ∈ Rng ↔ 𝑂 ∈ Rng)

Syntax hints:   ↔ wb 205   ∧ wa 395   = wceq 1533  ⊤wtru 1534   ∈ wcel 2098  ‘cfv 6537  (class class class)co 7405  Basecbs 17153  +_gcplusg 17206  ._rcmulr 17207  Rngcrng 20057  opp_rcoppr 20235

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1789  ax-4 1803  ax-5 1905  ax-6 1963  ax-7 2003  ax-8 2100  ax-9 2108  ax-10 2129  ax-11 2146  ax-12 2163  ax-ext 2697  ax-sep 5292  ax-nul 5299  ax-pow 5356  ax-pr 5420  ax-un 7722  ax-cnex 11168  ax-resscn 11169  ax-1cn 11170  ax-icn 11171  ax-addcl 11172  ax-addrcl 11173  ax-mulcl 11174  ax-mulrcl 11175  ax-mulcom 11176  ax-addass 11177  ax-mulass 11178  ax-distr 11179  ax-i2m1 11180  ax-1ne0 11181  ax-1rid 11182  ax-rnegex 11183  ax-rrecex 11184  ax-cnre 11185  ax-pre-lttri 11186  ax-pre-lttrn 11187  ax-pre-ltadd 11188  ax-pre-mulgt0 11189

This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 396  df-or 845  df-3or 1085  df-3an 1086  df-tru 1536  df-fal 1546  df-ex 1774  df-nf 1778  df-sb 2060  df-mo 2528  df-eu 2557  df-clab 2704  df-cleq 2718  df-clel 2804  df-nfc 2879  df-ne 2935  df-nel 3041  df-ral 3056  df-rex 3065  df-reu 3371  df-rab 3427  df-v 3470  df-sbc 3773  df-csb 3889  df-dif 3946  df-un 3948  df-in 3950  df-ss 3960  df-pss 3962  df-nul 4318  df-if 4524  df-pw 4599  df-sn 4624  df-pr 4626  df-op 4630  df-uni 4903  df-iun 4992  df-br 5142  df-opab 5204  df-mpt 5225  df-tr 5259  df-id 5567  df-eprel 5573  df-po 5581  df-so 5582  df-fr 5624  df-we 5626  df-xp 5675  df-rel 5676  df-cnv 5677  df-co 5678  df-dm 5679  df-rn 5680  df-res 5681  df-ima 5682  df-pred 6294  df-ord 6361  df-on 6362  df-lim 6363  df-suc 6364  df-iota 6489  df-fun 6539  df-fn 6540  df-f 6541  df-f1 6542  df-fo 6543  df-f1o 6544  df-fv 6545  df-riota 7361  df-ov 7408  df-oprab 7409  df-mpo 7410  df-om 7853  df-2nd 7975  df-tpos 8212  df-frecs 8267  df-wrecs 8298  df-recs 8372  df-rdg 8411  df-er 8705  df-en 8942  df-dom 8943  df-sdom 8944  df-pnf 11254  df-mnf 11255  df-xr 11256  df-ltxr 11257  df-le 11258  df-sub 11450  df-neg 11451  df-nn 12217  df-2 12279  df-3 12280  df-sets 17106  df-slot 17124  df-ndx 17136  df-base 17154  df-plusg 17219  df-mulr 17220  df-0g 17396  df-mgm 18573  df-sgrp 18652  df-mnd 18668  df-grp 18866  df-cmn 19702  df-abl 19703  df-mgp 20040  df-rng 20058  df-oppr 20236

This theorem is referenced by:  opprsubrng  20459