MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  opprrngb Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem opprrngb 20299
Description: A class is a non-unital ring if and only if its opposite is a non-unital ring. Bidirectional form of opprrng 20298. (Contributed by AV, 15-Feb-2025.)
Hypothesis
Ref Expression
opprbas.1 𝑂 = (oppr𝑅)
Assertion
Ref Expression
opprrngb (𝑅 ∈ Rng ↔ 𝑂 ∈ Rng)

Proof of Theorem opprrngb
Dummy variables 𝑥 𝑦 are mutually distinct and distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 opprbas.1 . . 3 𝑂 = (oppr𝑅)
21opprrng 20298 . 2 (𝑅 ∈ Rng → 𝑂 ∈ Rng)
3 eqid 2728 . . . 4 (oppr𝑂) = (oppr𝑂)
43opprrng 20298 . . 3 (𝑂 ∈ Rng → (oppr𝑂) ∈ Rng)
5 eqidd 2729 . . . . 5 (⊤ → (Base‘𝑅) = (Base‘𝑅))
6 eqid 2728 . . . . . . . 8 (Base‘𝑅) = (Base‘𝑅)
71, 6opprbas 20294 . . . . . . 7 (Base‘𝑅) = (Base‘𝑂)
83, 7opprbas 20294 . . . . . 6 (Base‘𝑅) = (Base‘(oppr𝑂))
98a1i 11 . . . . 5 (⊤ → (Base‘𝑅) = (Base‘(oppr𝑂)))
10 eqid 2728 . . . . . . . . 9 (+g𝑅) = (+g𝑅)
111, 10oppradd 20296 . . . . . . . 8 (+g𝑅) = (+g𝑂)
123, 11oppradd 20296 . . . . . . 7 (+g𝑅) = (+g‘(oppr𝑂))
1312oveqi 7439 . . . . . 6 (𝑥(+g𝑅)𝑦) = (𝑥(+g‘(oppr𝑂))𝑦)
1413a1i 11 . . . . 5 ((⊤ ∧ (𝑥 ∈ (Base‘𝑅) ∧ 𝑦 ∈ (Base‘𝑅))) → (𝑥(+g𝑅)𝑦) = (𝑥(+g‘(oppr𝑂))𝑦))
15 eqid 2728 . . . . . . . 8 (.r𝑂) = (.r𝑂)
16 eqid 2728 . . . . . . . 8 (.r‘(oppr𝑂)) = (.r‘(oppr𝑂))
177, 15, 3, 16opprmul 20290 . . . . . . 7 (𝑥(.r‘(oppr𝑂))𝑦) = (𝑦(.r𝑂)𝑥)
18 eqid 2728 . . . . . . . 8 (.r𝑅) = (.r𝑅)
196, 18, 1, 15opprmul 20290 . . . . . . 7 (𝑦(.r𝑂)𝑥) = (𝑥(.r𝑅)𝑦)
2017, 19eqtr2i 2757 . . . . . 6 (𝑥(.r𝑅)𝑦) = (𝑥(.r‘(oppr𝑂))𝑦)
2120a1i 11 . . . . 5 ((⊤ ∧ (𝑥 ∈ (Base‘𝑅) ∧ 𝑦 ∈ (Base‘𝑅))) → (𝑥(.r𝑅)𝑦) = (𝑥(.r‘(oppr𝑂))𝑦))
225, 9, 14, 21rngpropd 20128 . . . 4 (⊤ → (𝑅 ∈ Rng ↔ (oppr𝑂) ∈ Rng))
2322mptru 1540 . . 3 (𝑅 ∈ Rng ↔ (oppr𝑂) ∈ Rng)
244, 23sylibr 233 . 2 (𝑂 ∈ Rng → 𝑅 ∈ Rng)
252, 24impbii 208 1 (𝑅 ∈ Rng ↔ 𝑂 ∈ Rng)
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  wb 205  wa 394   = wceq 1533  wtru 1534  wcel 2098  cfv 6553  (class class class)co 7426  Basecbs 17189  +gcplusg 17242  .rcmulr 17243  Rngcrng 20106  opprcoppr 20286
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1789  ax-4 1803  ax-5 1905  ax-6 1963  ax-7 2003  ax-8 2100  ax-9 2108  ax-10 2129  ax-11 2146  ax-12 2166  ax-ext 2699  ax-sep 5303  ax-nul 5310  ax-pow 5369  ax-pr 5433  ax-un 7748  ax-cnex 11204  ax-resscn 11205  ax-1cn 11206  ax-icn 11207  ax-addcl 11208  ax-addrcl 11209  ax-mulcl 11210  ax-mulrcl 11211  ax-mulcom 11212  ax-addass 11213  ax-mulass 11214  ax-distr 11215  ax-i2m1 11216  ax-1ne0 11217  ax-1rid 11218  ax-rnegex 11219  ax-rrecex 11220  ax-cnre 11221  ax-pre-lttri 11222  ax-pre-lttrn 11223  ax-pre-ltadd 11224  ax-pre-mulgt0 11225
This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 395  df-or 846  df-3or 1085  df-3an 1086  df-tru 1536  df-fal 1546  df-ex 1774  df-nf 1778  df-sb 2060  df-mo 2529  df-eu 2558  df-clab 2706  df-cleq 2720  df-clel 2806  df-nfc 2881  df-ne 2938  df-nel 3044  df-ral 3059  df-rex 3068  df-reu 3375  df-rab 3431  df-v 3475  df-sbc 3779  df-csb 3895  df-dif 3952  df-un 3954  df-in 3956  df-ss 3966  df-pss 3968  df-nul 4327  df-if 4533  df-pw 4608  df-sn 4633  df-pr 4635  df-op 4639  df-uni 4913  df-iun 5002  df-br 5153  df-opab 5215  df-mpt 5236  df-tr 5270  df-id 5580  df-eprel 5586  df-po 5594  df-so 5595  df-fr 5637  df-we 5639  df-xp 5688  df-rel 5689  df-cnv 5690  df-co 5691  df-dm 5692  df-rn 5693  df-res 5694  df-ima 5695  df-pred 6310  df-ord 6377  df-on 6378  df-lim 6379  df-suc 6380  df-iota 6505  df-fun 6555  df-fn 6556  df-f 6557  df-f1 6558  df-fo 6559  df-f1o 6560  df-fv 6561  df-riota 7382  df-ov 7429  df-oprab 7430  df-mpo 7431  df-om 7879  df-2nd 8002  df-tpos 8240  df-frecs 8295  df-wrecs 8326  df-recs 8400  df-rdg 8439  df-er 8733  df-en 8973  df-dom 8974  df-sdom 8975  df-pnf 11290  df-mnf 11291  df-xr 11292  df-ltxr 11293  df-le 11294  df-sub 11486  df-neg 11487  df-nn 12253  df-2 12315  df-3 12316  df-sets 17142  df-slot 17160  df-ndx 17172  df-base 17190  df-plusg 17255  df-mulr 17256  df-0g 17432  df-mgm 18609  df-sgrp 18688  df-mnd 18704  df-grp 18907  df-cmn 19751  df-abl 19752  df-mgp 20089  df-rng 20107  df-oppr 20287
This theorem is referenced by:  opprsubrng  20510
  Copyright terms: Public domain W3C validator