Theorem opprrngb 20537

Description: A class is a non-unital ring if and only if its opposite is a non-unital ring. Bidirectional form of opprrng 20536. (Contributed by AV, 15-Feb-2025.)

Hypothesis

Ref	Expression
opprbas.1	⊢ 𝑂 = (oppr‘𝑅)

Assertion

Ref	Expression
opprrngb	⊢ (𝑅 ∈ Rng ↔ 𝑂 ∈ Rng)

Proof of Theorem opprrngb

Dummy variables 𝑥 𝑦 are mutually distinct and distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		opprbas.1	. . 3 ⊢ 𝑂 = (oppr‘𝑅)
2	1	opprrng 20536	. 2 ⊢ (𝑅 ∈ Rng → 𝑂 ∈ Rng)
3		eqid 2760	. . . 4 ⊢ (oppr‘𝑂) = (oppr‘𝑂)
4	3	opprrng 20536	. . 3 ⊢ (𝑂 ∈ Rng → (oppr‘𝑂) ∈ Rng)
5		eqidd 2761	. . . . 5 ⊢ (⊤ → (Base‘𝑅) = (Base‘𝑅))
6		eqid 2760	. . . . . . . 8 ⊢ (Base‘𝑅) = (Base‘𝑅)
7	1, 6	opprbas 20534	. . . . . . 7 ⊢ (Base‘𝑅) = (Base‘𝑂)
8	3, 7	opprbas 20534	. . . . . 6 ⊢ (Base‘𝑅) = (Base‘(oppr‘𝑂))
9	8	a1i 11	. . . . 5 ⊢ (⊤ → (Base‘𝑅) = (Base‘(oppr‘𝑂)))
10		eqid 2760	. . . . . . . . 9 ⊢ (+g‘𝑅) = (+g‘𝑅)
11	1, 10	oppradd 20535	. . . . . . . 8 ⊢ (+g‘𝑅) = (+g‘𝑂)
12	3, 11	oppradd 20535	. . . . . . 7 ⊢ (+g‘𝑅) = (+g‘(oppr‘𝑂))
13	12	oveqi 7421	. . . . . 6 ⊢ (𝑥(+g‘𝑅)𝑦) = (𝑥(+g‘(oppr‘𝑂))𝑦)
14	13	a1i 11	. . . . 5 ⊢ ((⊤ ∧ (𝑥 ∈ (Base‘𝑅) ∧ 𝑦 ∈ (Base‘𝑅))) → (𝑥(+g‘𝑅)𝑦) = (𝑥(+g‘(oppr‘𝑂))𝑦))
15		eqid 2760	. . . . . . . 8 ⊢ (.r‘𝑂) = (.r‘𝑂)
16		eqid 2760	. . . . . . . 8 ⊢ (.r‘(oppr‘𝑂)) = (.r‘(oppr‘𝑂))
17	7, 15, 3, 16	opprmul 20531	. . . . . . 7 ⊢ (𝑥(.r‘(oppr‘𝑂))𝑦) = (𝑦(.r‘𝑂)𝑥)
18		eqid 2760	. . . . . . . 8 ⊢ (.r‘𝑅) = (.r‘𝑅)
19	6, 18, 1, 15	opprmul 20531	. . . . . . 7 ⊢ (𝑦(.r‘𝑂)𝑥) = (𝑥(.r‘𝑅)𝑦)
20	17, 19	eqtr2i 2784	. . . . . 6 ⊢ (𝑥(.r‘𝑅)𝑦) = (𝑥(.r‘(oppr‘𝑂))𝑦)
21	20	a1i 11	. . . . 5 ⊢ ((⊤ ∧ (𝑥 ∈ (Base‘𝑅) ∧ 𝑦 ∈ (Base‘𝑅))) → (𝑥(.r‘𝑅)𝑦) = (𝑥(.r‘(oppr‘𝑂))𝑦))
22	5, 9, 14, 21	rngpropd 20357	. . . 4 ⊢ (⊤ → (𝑅 ∈ Rng ↔ (oppr‘𝑂) ∈ Rng))
23	22	mptru 1577	. . 3 ⊢ (𝑅 ∈ Rng ↔ (oppr‘𝑂) ∈ Rng)
24	4, 23	sylibr 237	. 2 ⊢ (𝑂 ∈ Rng → 𝑅 ∈ Rng)
25	2, 24	impbii 212	1 ⊢ (𝑅 ∈ Rng ↔ 𝑂 ∈ Rng)

This proof depends on syntax axioms:   ↔ wb 209   ∧ wa 401   = wceq 1570  ⊤wtru 1571   ∈ wcel 2145  ‘cfv 6527  (class class class)co 7408  Basecbs 17348  +_gcplusg 17389  ._rcmulr 17390  Rngcrng 20335  opp_rcoppr 20527

This proof depends on axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1828  ax-4 1842  ax-5 1943  ax-6 2000  ax-7 2041  ax-8 2147  ax-9 2155  ax-10 2178  ax-11 2194  ax-12 2213  ax-ext 2732  ax-sep 5248  ax-nul 5259  ax-pow 5326  ax-pr 5390  ax-un 7734  ax-cnex 11227  ax-resscn 11228  ax-1cn 11229  ax-icn 11230  ax-addcl 11231  ax-addrcl 11232  ax-mulcl 11233  ax-mulrcl 11234  ax-mulcom 11235  ax-addass 11236  ax-mulass 11237  ax-distr 11238  ax-i2m1 11239  ax-1ne0 11240  ax-1rid 11241  ax-rnegex 11242  ax-rrecex 11243  ax-cnre 11244  ax-pre-lttri 11245  ax-pre-lttrn 11246  ax-pre-ltadd 11247  ax-pre-mulgt0 11248

This proof depends on definitions:  df-bi 210  df-an 402  df-or 862  df-3or 1104  df-3an 1105  df-tru 1573  df-fal 1583  df-ex 1813  df-nf 1817  df-sb 2100  df-mo 2564  df-eu 2594  df-clab 2739  df-cleq 2752  df-clel 2835  df-nfc 2909  df-ne 2956  df-nel 3062  df-ral 3077  df-rex 3087  df-reu 3366  df-rab 3413  df-v 3452  df-sbc 3739  df-csb 3847  df-dif 3901  df-un 3903  df-in 3905  df-ss 3915  df-pss 3918  df-nul 4279  df-if 4482  df-pw 4558  df-sn 4584  df-pr 4586  df-op 4590  df-uni 4867  df-iun 4952  df-br 5103  df-opab 5167  df-mpt 5186  df-tr 5212  df-id 5542  df-eprel 5547  df-po 5555  df-so 5556  df-fr 5600  df-we 5602  df-xp 5653  df-rel 5654  df-cnv 5655  df-co 5656  df-dm 5657  df-rn 5658  df-res 5659  df-ima 5660  df-pred 6293  df-ord 6354  df-on 6355  df-lim 6356  df-suc 6357  df-iota 6483  df-fun 6529  df-fn 6530  df-f 6531  df-f1 6532  df-fo 6533  df-f1o 6534  df-fv 6535  df-riota 7365  df-ov 7411  df-oprab 7412  df-mpo 7413  df-om 7861  df-2nd 7985  df-tpos 8221  df-frecs 8277  df-wrecs 8308  df-recs 8357  df-rdg 8396  df-er 8695  df-en 8952  df-dom 8953  df-sdom 8954  df-pnf 11316  df-mnf 11317  df-xr 11318  df-ltxr 11319  df-le 11320  df-sub 11514  df-neg 11515  df-nn 12305  df-2 12374  df-3 12375  df-sets 17303  df-slot 17321  df-ndx 17333  df-base 17349  df-plusg 17402  df-mulr 17403  df-0g 17573  df-mgm 18777  df-sgrp 18869  df-mnd 18885  df-grp 19108  df-cmn 19957  df-abl 19958  df-mgp 20322  df-rng 20336  df-oppr 20528

This theorem is used by:  opprsubrng  20772