Theorem opprrngb 20397

Description: A class is a non-unital ring if and only if its opposite is a non-unital ring. Bidirectional form of opprrng 20396. (Contributed by AV, 15-Feb-2025.)

Hypothesis

Ref	Expression
opprbas.1	⊢ 𝑂 = (oppr‘𝑅)

Assertion

Ref	Expression
opprrngb	⊢ (𝑅 ∈ Rng ↔ 𝑂 ∈ Rng)

Proof of Theorem opprrngb

Dummy variables 𝑥 𝑦 are mutually distinct and distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		opprbas.1	. . 3 ⊢ 𝑂 = (oppr‘𝑅)
2	1	opprrng 20396	. 2 ⊢ (𝑅 ∈ Rng → 𝑂 ∈ Rng)
3		eqid 2764	. . . 4 ⊢ (oppr‘𝑂) = (oppr‘𝑂)
4	3	opprrng 20396	. . 3 ⊢ (𝑂 ∈ Rng → (oppr‘𝑂) ∈ Rng)
5		eqidd 2765	. . . . 5 ⊢ (⊤ → (Base‘𝑅) = (Base‘𝑅))
6		eqid 2764	. . . . . . . 8 ⊢ (Base‘𝑅) = (Base‘𝑅)
7	1, 6	opprbas 20394	. . . . . . 7 ⊢ (Base‘𝑅) = (Base‘𝑂)
8	3, 7	opprbas 20394	. . . . . 6 ⊢ (Base‘𝑅) = (Base‘(oppr‘𝑂))
9	8	a1i 11	. . . . 5 ⊢ (⊤ → (Base‘𝑅) = (Base‘(oppr‘𝑂)))
10		eqid 2764	. . . . . . . . 9 ⊢ (+g‘𝑅) = (+g‘𝑅)
11	1, 10	oppradd 20395	. . . . . . . 8 ⊢ (+g‘𝑅) = (+g‘𝑂)
12	3, 11	oppradd 20395	. . . . . . 7 ⊢ (+g‘𝑅) = (+g‘(oppr‘𝑂))
13	12	oveqi 7411	. . . . . 6 ⊢ (𝑥(+g‘𝑅)𝑦) = (𝑥(+g‘(oppr‘𝑂))𝑦)
14	13	a1i 11	. . . . 5 ⊢ ((⊤ ∧ (𝑥 ∈ (Base‘𝑅) ∧ 𝑦 ∈ (Base‘𝑅))) → (𝑥(+g‘𝑅)𝑦) = (𝑥(+g‘(oppr‘𝑂))𝑦))
15		eqid 2764	. . . . . . . 8 ⊢ (.r‘𝑂) = (.r‘𝑂)
16		eqid 2764	. . . . . . . 8 ⊢ (.r‘(oppr‘𝑂)) = (.r‘(oppr‘𝑂))
17	7, 15, 3, 16	opprmul 20391	. . . . . . 7 ⊢ (𝑥(.r‘(oppr‘𝑂))𝑦) = (𝑦(.r‘𝑂)𝑥)
18		eqid 2764	. . . . . . . 8 ⊢ (.r‘𝑅) = (.r‘𝑅)
19	6, 18, 1, 15	opprmul 20391	. . . . . . 7 ⊢ (𝑦(.r‘𝑂)𝑥) = (𝑥(.r‘𝑅)𝑦)
20	17, 19	eqtr2i 2788	. . . . . 6 ⊢ (𝑥(.r‘𝑅)𝑦) = (𝑥(.r‘(oppr‘𝑂))𝑦)
21	20	a1i 11	. . . . 5 ⊢ ((⊤ ∧ (𝑥 ∈ (Base‘𝑅) ∧ 𝑦 ∈ (Base‘𝑅))) → (𝑥(.r‘𝑅)𝑦) = (𝑥(.r‘(oppr‘𝑂))𝑦))
22	5, 9, 14, 21	rngpropd 20222	. . . 4 ⊢ (⊤ → (𝑅 ∈ Rng ↔ (oppr‘𝑂) ∈ Rng))
23	22	mptru 1569	. . 3 ⊢ (𝑅 ∈ Rng ↔ (oppr‘𝑂) ∈ Rng)
24	4, 23	sylibr 236	. 2 ⊢ (𝑂 ∈ Rng → 𝑅 ∈ Rng)
25	2, 24	impbii 211	1 ⊢ (𝑅 ∈ Rng ↔ 𝑂 ∈ Rng)

Syntax hints:   ↔ wb 208   ∧ wa 399   = wceq 1562  ⊤wtru 1563   ∈ wcel 2144  ‘cfv 6523  (class class class)co 7398  Basecbs 17247  +_gcplusg 17288  ._rcmulr 17289  Rngcrng 20200  opp_rcoppr 20387

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1817  ax-4 1831  ax-5 1932  ax-6 1989  ax-7 2030  ax-8 2146  ax-9 2154  ax-10 2177  ax-11 2193  ax-12 2214  ax-ext 2736  ax-sep 5248  ax-nul 5258  ax-pow 5324  ax-pr 5392  ax-un 7720  ax-cnex 11131  ax-resscn 11132  ax-1cn 11133  ax-icn 11134  ax-addcl 11135  ax-addrcl 11136  ax-mulcl 11137  ax-mulrcl 11138  ax-mulcom 11139  ax-addass 11140  ax-mulass 11141  ax-distr 11142  ax-i2m1 11143  ax-1ne0 11144  ax-1rid 11145  ax-rnegex 11146  ax-rrecex 11147  ax-cnre 11148  ax-pre-lttri 11149  ax-pre-lttrn 11150  ax-pre-ltadd 11151  ax-pre-mulgt0 11152

This theorem depends on definitions:  df-bi 209  df-an 400  df-or 859  df-3or 1100  df-3an 1101  df-tru 1565  df-fal 1575  df-ex 1802  df-nf 1806  df-sb 2093  df-mo 2568  df-eu 2598  df-clab 2743  df-cleq 2756  df-clel 2839  df-nfc 2913  df-ne 2960  df-nel 3064  df-ral 3079  df-rex 3089  df-reu 3370  df-rab 3417  df-v 3458  df-sbc 3747  df-csb 3855  df-dif 3909  df-un 3911  df-in 3913  df-ss 3923  df-pss 3926  df-nul 4288  df-if 4483  df-pw 4559  df-sn 4585  df-pr 4587  df-op 4591  df-uni 4868  df-iun 4953  df-br 5103  df-opab 5165  df-mpt 5184  df-tr 5210  df-id 5544  df-eprel 5549  df-po 5557  df-so 5558  df-fr 5602  df-we 5604  df-xp 5655  df-rel 5656  df-cnv 5657  df-co 5658  df-dm 5659  df-rn 5660  df-res 5661  df-ima 5662  df-pred 6290  df-ord 6351  df-on 6352  df-lim 6353  df-suc 6354  df-iota 6479  df-fun 6525  df-fn 6526  df-f 6527  df-f1 6528  df-fo 6529  df-f1o 6530  df-fv 6531  df-riota 7355  df-ov 7401  df-oprab 7402  df-mpo 7403  df-om 7849  df-2nd 7973  df-tpos 8208  df-frecs 8264  df-wrecs 8295  df-recs 8344  df-rdg 8383  df-er 8680  df-en 8930  df-dom 8931  df-sdom 8932  df-pnf 11220  df-mnf 11221  df-xr 11222  df-ltxr 11223  df-le 11224  df-sub 11418  df-neg 11419  df-nn 12213  df-2 12282  df-3 12283  df-sets 17202  df-slot 17220  df-ndx 17232  df-base 17248  df-plusg 17301  df-mulr 17302  df-0g 17472  df-mgm 18676  df-sgrp 18755  df-mnd 18771  df-grp 18980  df-cmn 19824  df-abl 19825  df-mgp 20189  df-rng 20201  df-oppr 20388

This theorem is referenced by:  opprsubrng  20611