Users' Mathboxes Mathbox for Stefan O'Rear < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >   Mathboxes  >  pell1qrgap Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem pell1qrgap 41602
Description: First-quadrant Pell solutions are bounded away from 1. (This particular bound allows to prove exact values for the fundamental solution later.) (Contributed by Stefan O'Rear, 18-Sep-2014.)
Assertion
Ref Expression
pell1qrgap ((๐ท โˆˆ (โ„• โˆ– โ—ปNN) โˆง ๐ด โˆˆ (Pell1QRโ€˜๐ท) โˆง 1 < ๐ด) โ†’ ((โˆšโ€˜(๐ท + 1)) + (โˆšโ€˜๐ท)) โ‰ค ๐ด)

Proof of Theorem pell1qrgap
Dummy variables ๐‘Ž ๐‘ are mutually distinct and distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 elpell1qr 41575 . . . . . 6 (๐ท โˆˆ (โ„• โˆ– โ—ปNN) โ†’ (๐ด โˆˆ (Pell1QRโ€˜๐ท) โ†” (๐ด โˆˆ โ„ โˆง โˆƒ๐‘Ž โˆˆ โ„•0 โˆƒ๐‘ โˆˆ โ„•0 (๐ด = (๐‘Ž + ((โˆšโ€˜๐ท) ยท ๐‘)) โˆง ((๐‘Žโ†‘2) โˆ’ (๐ท ยท (๐‘โ†‘2))) = 1))))
21adantr 481 . . . . 5 ((๐ท โˆˆ (โ„• โˆ– โ—ปNN) โˆง 1 < ๐ด) โ†’ (๐ด โˆˆ (Pell1QRโ€˜๐ท) โ†” (๐ด โˆˆ โ„ โˆง โˆƒ๐‘Ž โˆˆ โ„•0 โˆƒ๐‘ โˆˆ โ„•0 (๐ด = (๐‘Ž + ((โˆšโ€˜๐ท) ยท ๐‘)) โˆง ((๐‘Žโ†‘2) โˆ’ (๐ท ยท (๐‘โ†‘2))) = 1))))
3 eldifi 4126 . . . . . . . . . . 11 (๐ท โˆˆ (โ„• โˆ– โ—ปNN) โ†’ ๐ท โˆˆ โ„•)
43ad4antr 730 . . . . . . . . . 10 (((((๐ท โˆˆ (โ„• โˆ– โ—ปNN) โˆง 1 < ๐ด) โˆง ๐ด โˆˆ โ„) โˆง (๐‘Ž โˆˆ โ„•0 โˆง ๐‘ โˆˆ โ„•0)) โˆง (๐ด = (๐‘Ž + ((โˆšโ€˜๐ท) ยท ๐‘)) โˆง ((๐‘Žโ†‘2) โˆ’ (๐ท ยท (๐‘โ†‘2))) = 1)) โ†’ ๐ท โˆˆ โ„•)
5 simplr 767 . . . . . . . . . 10 (((((๐ท โˆˆ (โ„• โˆ– โ—ปNN) โˆง 1 < ๐ด) โˆง ๐ด โˆˆ โ„) โˆง (๐‘Ž โˆˆ โ„•0 โˆง ๐‘ โˆˆ โ„•0)) โˆง (๐ด = (๐‘Ž + ((โˆšโ€˜๐ท) ยท ๐‘)) โˆง ((๐‘Žโ†‘2) โˆ’ (๐ท ยท (๐‘โ†‘2))) = 1)) โ†’ (๐‘Ž โˆˆ โ„•0 โˆง ๐‘ โˆˆ โ„•0))
6 simp-4r 782 . . . . . . . . . . 11 (((((๐ท โˆˆ (โ„• โˆ– โ—ปNN) โˆง 1 < ๐ด) โˆง ๐ด โˆˆ โ„) โˆง (๐‘Ž โˆˆ โ„•0 โˆง ๐‘ โˆˆ โ„•0)) โˆง (๐ด = (๐‘Ž + ((โˆšโ€˜๐ท) ยท ๐‘)) โˆง ((๐‘Žโ†‘2) โˆ’ (๐ท ยท (๐‘โ†‘2))) = 1)) โ†’ 1 < ๐ด)
7 simprl 769 . . . . . . . . . . 11 (((((๐ท โˆˆ (โ„• โˆ– โ—ปNN) โˆง 1 < ๐ด) โˆง ๐ด โˆˆ โ„) โˆง (๐‘Ž โˆˆ โ„•0 โˆง ๐‘ โˆˆ โ„•0)) โˆง (๐ด = (๐‘Ž + ((โˆšโ€˜๐ท) ยท ๐‘)) โˆง ((๐‘Žโ†‘2) โˆ’ (๐ท ยท (๐‘โ†‘2))) = 1)) โ†’ ๐ด = (๐‘Ž + ((โˆšโ€˜๐ท) ยท ๐‘)))
86, 7breqtrd 5174 . . . . . . . . . 10 (((((๐ท โˆˆ (โ„• โˆ– โ—ปNN) โˆง 1 < ๐ด) โˆง ๐ด โˆˆ โ„) โˆง (๐‘Ž โˆˆ โ„•0 โˆง ๐‘ โˆˆ โ„•0)) โˆง (๐ด = (๐‘Ž + ((โˆšโ€˜๐ท) ยท ๐‘)) โˆง ((๐‘Žโ†‘2) โˆ’ (๐ท ยท (๐‘โ†‘2))) = 1)) โ†’ 1 < (๐‘Ž + ((โˆšโ€˜๐ท) ยท ๐‘)))
9 simprr 771 . . . . . . . . . 10 (((((๐ท โˆˆ (โ„• โˆ– โ—ปNN) โˆง 1 < ๐ด) โˆง ๐ด โˆˆ โ„) โˆง (๐‘Ž โˆˆ โ„•0 โˆง ๐‘ โˆˆ โ„•0)) โˆง (๐ด = (๐‘Ž + ((โˆšโ€˜๐ท) ยท ๐‘)) โˆง ((๐‘Žโ†‘2) โˆ’ (๐ท ยท (๐‘โ†‘2))) = 1)) โ†’ ((๐‘Žโ†‘2) โˆ’ (๐ท ยท (๐‘โ†‘2))) = 1)
10 pell1qrgaplem 41601 . . . . . . . . . 10 (((๐ท โˆˆ โ„• โˆง (๐‘Ž โˆˆ โ„•0 โˆง ๐‘ โˆˆ โ„•0)) โˆง (1 < (๐‘Ž + ((โˆšโ€˜๐ท) ยท ๐‘)) โˆง ((๐‘Žโ†‘2) โˆ’ (๐ท ยท (๐‘โ†‘2))) = 1)) โ†’ ((โˆšโ€˜(๐ท + 1)) + (โˆšโ€˜๐ท)) โ‰ค (๐‘Ž + ((โˆšโ€˜๐ท) ยท ๐‘)))
114, 5, 8, 9, 10syl22anc 837 . . . . . . . . 9 (((((๐ท โˆˆ (โ„• โˆ– โ—ปNN) โˆง 1 < ๐ด) โˆง ๐ด โˆˆ โ„) โˆง (๐‘Ž โˆˆ โ„•0 โˆง ๐‘ โˆˆ โ„•0)) โˆง (๐ด = (๐‘Ž + ((โˆšโ€˜๐ท) ยท ๐‘)) โˆง ((๐‘Žโ†‘2) โˆ’ (๐ท ยท (๐‘โ†‘2))) = 1)) โ†’ ((โˆšโ€˜(๐ท + 1)) + (โˆšโ€˜๐ท)) โ‰ค (๐‘Ž + ((โˆšโ€˜๐ท) ยท ๐‘)))
1211, 7breqtrrd 5176 . . . . . . . 8 (((((๐ท โˆˆ (โ„• โˆ– โ—ปNN) โˆง 1 < ๐ด) โˆง ๐ด โˆˆ โ„) โˆง (๐‘Ž โˆˆ โ„•0 โˆง ๐‘ โˆˆ โ„•0)) โˆง (๐ด = (๐‘Ž + ((โˆšโ€˜๐ท) ยท ๐‘)) โˆง ((๐‘Žโ†‘2) โˆ’ (๐ท ยท (๐‘โ†‘2))) = 1)) โ†’ ((โˆšโ€˜(๐ท + 1)) + (โˆšโ€˜๐ท)) โ‰ค ๐ด)
1312ex 413 . . . . . . 7 ((((๐ท โˆˆ (โ„• โˆ– โ—ปNN) โˆง 1 < ๐ด) โˆง ๐ด โˆˆ โ„) โˆง (๐‘Ž โˆˆ โ„•0 โˆง ๐‘ โˆˆ โ„•0)) โ†’ ((๐ด = (๐‘Ž + ((โˆšโ€˜๐ท) ยท ๐‘)) โˆง ((๐‘Žโ†‘2) โˆ’ (๐ท ยท (๐‘โ†‘2))) = 1) โ†’ ((โˆšโ€˜(๐ท + 1)) + (โˆšโ€˜๐ท)) โ‰ค ๐ด))
1413rexlimdvva 3211 . . . . . 6 (((๐ท โˆˆ (โ„• โˆ– โ—ปNN) โˆง 1 < ๐ด) โˆง ๐ด โˆˆ โ„) โ†’ (โˆƒ๐‘Ž โˆˆ โ„•0 โˆƒ๐‘ โˆˆ โ„•0 (๐ด = (๐‘Ž + ((โˆšโ€˜๐ท) ยท ๐‘)) โˆง ((๐‘Žโ†‘2) โˆ’ (๐ท ยท (๐‘โ†‘2))) = 1) โ†’ ((โˆšโ€˜(๐ท + 1)) + (โˆšโ€˜๐ท)) โ‰ค ๐ด))
1514expimpd 454 . . . . 5 ((๐ท โˆˆ (โ„• โˆ– โ—ปNN) โˆง 1 < ๐ด) โ†’ ((๐ด โˆˆ โ„ โˆง โˆƒ๐‘Ž โˆˆ โ„•0 โˆƒ๐‘ โˆˆ โ„•0 (๐ด = (๐‘Ž + ((โˆšโ€˜๐ท) ยท ๐‘)) โˆง ((๐‘Žโ†‘2) โˆ’ (๐ท ยท (๐‘โ†‘2))) = 1)) โ†’ ((โˆšโ€˜(๐ท + 1)) + (โˆšโ€˜๐ท)) โ‰ค ๐ด))
162, 15sylbid 239 . . . 4 ((๐ท โˆˆ (โ„• โˆ– โ—ปNN) โˆง 1 < ๐ด) โ†’ (๐ด โˆˆ (Pell1QRโ€˜๐ท) โ†’ ((โˆšโ€˜(๐ท + 1)) + (โˆšโ€˜๐ท)) โ‰ค ๐ด))
1716ex 413 . . 3 (๐ท โˆˆ (โ„• โˆ– โ—ปNN) โ†’ (1 < ๐ด โ†’ (๐ด โˆˆ (Pell1QRโ€˜๐ท) โ†’ ((โˆšโ€˜(๐ท + 1)) + (โˆšโ€˜๐ท)) โ‰ค ๐ด)))
1817com23 86 . 2 (๐ท โˆˆ (โ„• โˆ– โ—ปNN) โ†’ (๐ด โˆˆ (Pell1QRโ€˜๐ท) โ†’ (1 < ๐ด โ†’ ((โˆšโ€˜(๐ท + 1)) + (โˆšโ€˜๐ท)) โ‰ค ๐ด)))
19183imp 1111 1 ((๐ท โˆˆ (โ„• โˆ– โ—ปNN) โˆง ๐ด โˆˆ (Pell1QRโ€˜๐ท) โˆง 1 < ๐ด) โ†’ ((โˆšโ€˜(๐ท + 1)) + (โˆšโ€˜๐ท)) โ‰ค ๐ด)
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:   โ†’ wi 4   โ†” wb 205   โˆง wa 396   โˆง w3a 1087   = wceq 1541   โˆˆ wcel 2106  โˆƒwrex 3070   โˆ– cdif 3945   class class class wbr 5148  โ€˜cfv 6543  (class class class)co 7408  โ„cr 11108  1c1 11110   + caddc 11112   ยท cmul 11114   < clt 11247   โ‰ค cle 11248   โˆ’ cmin 11443  โ„•cn 12211  2c2 12266  โ„•0cn0 12471  โ†‘cexp 14026  โˆšcsqrt 15179  โ—ปNNcsquarenn 41564  Pell1QRcpell1qr 41565
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1797  ax-4 1811  ax-5 1913  ax-6 1971  ax-7 2011  ax-8 2108  ax-9 2116  ax-10 2137  ax-11 2154  ax-12 2171  ax-ext 2703  ax-sep 5299  ax-nul 5306  ax-pow 5363  ax-pr 5427  ax-un 7724  ax-cnex 11165  ax-resscn 11166  ax-1cn 11167  ax-icn 11168  ax-addcl 11169  ax-addrcl 11170  ax-mulcl 11171  ax-mulrcl 11172  ax-mulcom 11173  ax-addass 11174  ax-mulass 11175  ax-distr 11176  ax-i2m1 11177  ax-1ne0 11178  ax-1rid 11179  ax-rnegex 11180  ax-rrecex 11181  ax-cnre 11182  ax-pre-lttri 11183  ax-pre-lttrn 11184  ax-pre-ltadd 11185  ax-pre-mulgt0 11186  ax-pre-sup 11187
This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 397  df-or 846  df-3or 1088  df-3an 1089  df-tru 1544  df-fal 1554  df-ex 1782  df-nf 1786  df-sb 2068  df-mo 2534  df-eu 2563  df-clab 2710  df-cleq 2724  df-clel 2810  df-nfc 2885  df-ne 2941  df-nel 3047  df-ral 3062  df-rex 3071  df-rmo 3376  df-reu 3377  df-rab 3433  df-v 3476  df-sbc 3778  df-csb 3894  df-dif 3951  df-un 3953  df-in 3955  df-ss 3965  df-pss 3967  df-nul 4323  df-if 4529  df-pw 4604  df-sn 4629  df-pr 4631  df-op 4635  df-uni 4909  df-iun 4999  df-br 5149  df-opab 5211  df-mpt 5232  df-tr 5266  df-id 5574  df-eprel 5580  df-po 5588  df-so 5589  df-fr 5631  df-we 5633  df-xp 5682  df-rel 5683  df-cnv 5684  df-co 5685  df-dm 5686  df-rn 5687  df-res 5688  df-ima 5689  df-pred 6300  df-ord 6367  df-on 6368  df-lim 6369  df-suc 6370  df-iota 6495  df-fun 6545  df-fn 6546  df-f 6547  df-f1 6548  df-fo 6549  df-f1o 6550  df-fv 6551  df-riota 7364  df-ov 7411  df-oprab 7412  df-mpo 7413  df-om 7855  df-2nd 7975  df-frecs 8265  df-wrecs 8296  df-recs 8370  df-rdg 8409  df-er 8702  df-en 8939  df-dom 8940  df-sdom 8941  df-sup 9436  df-pnf 11249  df-mnf 11250  df-xr 11251  df-ltxr 11252  df-le 11253  df-sub 11445  df-neg 11446  df-div 11871  df-nn 12212  df-2 12274  df-3 12275  df-n0 12472  df-z 12558  df-uz 12822  df-rp 12974  df-seq 13966  df-exp 14027  df-cj 15045  df-re 15046  df-im 15047  df-sqrt 15181  df-abs 15182  df-pell1qr 41570
This theorem is referenced by:  pell14qrgap  41603
  Copyright terms: Public domain W3C validator