Theorem pell1qrgap 42977

Description: First-quadrant Pell solutions are bounded away from 1. (This particular bound allows to prove exact values for the fundamental solution later.) (Contributed by Stefan O'Rear, 18-Sep-2014.)

Assertion

Ref	Expression
pell1qrgap	⊢ ((𝐷 ∈ (ℕ ∖ ◻NN) ∧ 𝐴 ∈ (Pell1QR‘𝐷) ∧ 1 < 𝐴) → ((√‘(𝐷 + 1)) + (√‘𝐷)) ≤ 𝐴)

Proof of Theorem pell1qrgap

Dummy variables 𝑎 𝑏 are mutually distinct and distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		elpell1qr 42950	. . . . . 6 ⊢ (𝐷 ∈ (ℕ ∖ ◻NN) → (𝐴 ∈ (Pell1QR‘𝐷) ↔ (𝐴 ∈ ℝ ∧ ∃𝑎 ∈ ℕ0 ∃𝑏 ∈ ℕ0 (𝐴 = (𝑎 + ((√‘𝐷) · 𝑏)) ∧ ((𝑎↑2) − (𝐷 · (𝑏↑2))) = 1))))
2	1	adantr 480	. . . . 5 ⊢ ((𝐷 ∈ (ℕ ∖ ◻NN) ∧ 1 < 𝐴) → (𝐴 ∈ (Pell1QR‘𝐷) ↔ (𝐴 ∈ ℝ ∧ ∃𝑎 ∈ ℕ0 ∃𝑏 ∈ ℕ0 (𝐴 = (𝑎 + ((√‘𝐷) · 𝑏)) ∧ ((𝑎↑2) − (𝐷 · (𝑏↑2))) = 1))))
3		eldifi 4078	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (𝐷 ∈ (ℕ ∖ ◻NN) → 𝐷 ∈ ℕ)
4	3	ad4antr 732	. . . . . . . . . 10 ⊢ (((((𝐷 ∈ (ℕ ∖ ◻NN) ∧ 1 < 𝐴) ∧ 𝐴 ∈ ℝ) ∧ (𝑎 ∈ ℕ0 ∧ 𝑏 ∈ ℕ0)) ∧ (𝐴 = (𝑎 + ((√‘𝐷) · 𝑏)) ∧ ((𝑎↑2) − (𝐷 · (𝑏↑2))) = 1)) → 𝐷 ∈ ℕ)
5		simplr 768	. . . . . . . . . 10 ⊢ (((((𝐷 ∈ (ℕ ∖ ◻NN) ∧ 1 < 𝐴) ∧ 𝐴 ∈ ℝ) ∧ (𝑎 ∈ ℕ0 ∧ 𝑏 ∈ ℕ0)) ∧ (𝐴 = (𝑎 + ((√‘𝐷) · 𝑏)) ∧ ((𝑎↑2) − (𝐷 · (𝑏↑2))) = 1)) → (𝑎 ∈ ℕ0 ∧ 𝑏 ∈ ℕ0))
6		simp-4r 783	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (((((𝐷 ∈ (ℕ ∖ ◻NN) ∧ 1 < 𝐴) ∧ 𝐴 ∈ ℝ) ∧ (𝑎 ∈ ℕ0 ∧ 𝑏 ∈ ℕ0)) ∧ (𝐴 = (𝑎 + ((√‘𝐷) · 𝑏)) ∧ ((𝑎↑2) − (𝐷 · (𝑏↑2))) = 1)) → 1 < 𝐴)
7		simprl 770	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (((((𝐷 ∈ (ℕ ∖ ◻NN) ∧ 1 < 𝐴) ∧ 𝐴 ∈ ℝ) ∧ (𝑎 ∈ ℕ0 ∧ 𝑏 ∈ ℕ0)) ∧ (𝐴 = (𝑎 + ((√‘𝐷) · 𝑏)) ∧ ((𝑎↑2) − (𝐷 · (𝑏↑2))) = 1)) → 𝐴 = (𝑎 + ((√‘𝐷) · 𝑏)))
8	6, 7	breqtrd 5115	. . . . . . . . . 10 ⊢ (((((𝐷 ∈ (ℕ ∖ ◻NN) ∧ 1 < 𝐴) ∧ 𝐴 ∈ ℝ) ∧ (𝑎 ∈ ℕ0 ∧ 𝑏 ∈ ℕ0)) ∧ (𝐴 = (𝑎 + ((√‘𝐷) · 𝑏)) ∧ ((𝑎↑2) − (𝐷 · (𝑏↑2))) = 1)) → 1 < (𝑎 + ((√‘𝐷) · 𝑏)))
9		simprr 772	. . . . . . . . . 10 ⊢ (((((𝐷 ∈ (ℕ ∖ ◻NN) ∧ 1 < 𝐴) ∧ 𝐴 ∈ ℝ) ∧ (𝑎 ∈ ℕ0 ∧ 𝑏 ∈ ℕ0)) ∧ (𝐴 = (𝑎 + ((√‘𝐷) · 𝑏)) ∧ ((𝑎↑2) − (𝐷 · (𝑏↑2))) = 1)) → ((𝑎↑2) − (𝐷 · (𝑏↑2))) = 1)
10		pell1qrgaplem 42976	. . . . . . . . . 10 ⊢ (((𝐷 ∈ ℕ ∧ (𝑎 ∈ ℕ0 ∧ 𝑏 ∈ ℕ0)) ∧ (1 < (𝑎 + ((√‘𝐷) · 𝑏)) ∧ ((𝑎↑2) − (𝐷 · (𝑏↑2))) = 1)) → ((√‘(𝐷 + 1)) + (√‘𝐷)) ≤ (𝑎 + ((√‘𝐷) · 𝑏)))
11	4, 5, 8, 9, 10	syl22anc 838	. . . . . . . . 9 ⊢ (((((𝐷 ∈ (ℕ ∖ ◻NN) ∧ 1 < 𝐴) ∧ 𝐴 ∈ ℝ) ∧ (𝑎 ∈ ℕ0 ∧ 𝑏 ∈ ℕ0)) ∧ (𝐴 = (𝑎 + ((√‘𝐷) · 𝑏)) ∧ ((𝑎↑2) − (𝐷 · (𝑏↑2))) = 1)) → ((√‘(𝐷 + 1)) + (√‘𝐷)) ≤ (𝑎 + ((√‘𝐷) · 𝑏)))
12	11, 7	breqtrrd 5117	. . . . . . . 8 ⊢ (((((𝐷 ∈ (ℕ ∖ ◻NN) ∧ 1 < 𝐴) ∧ 𝐴 ∈ ℝ) ∧ (𝑎 ∈ ℕ0 ∧ 𝑏 ∈ ℕ0)) ∧ (𝐴 = (𝑎 + ((√‘𝐷) · 𝑏)) ∧ ((𝑎↑2) − (𝐷 · (𝑏↑2))) = 1)) → ((√‘(𝐷 + 1)) + (√‘𝐷)) ≤ 𝐴)
13	12	ex 412	. . . . . . 7 ⊢ ((((𝐷 ∈ (ℕ ∖ ◻NN) ∧ 1 < 𝐴) ∧ 𝐴 ∈ ℝ) ∧ (𝑎 ∈ ℕ0 ∧ 𝑏 ∈ ℕ0)) → ((𝐴 = (𝑎 + ((√‘𝐷) · 𝑏)) ∧ ((𝑎↑2) − (𝐷 · (𝑏↑2))) = 1) → ((√‘(𝐷 + 1)) + (√‘𝐷)) ≤ 𝐴))
14	13	rexlimdvva 3189	. . . . . 6 ⊢ (((𝐷 ∈ (ℕ ∖ ◻NN) ∧ 1 < 𝐴) ∧ 𝐴 ∈ ℝ) → (∃𝑎 ∈ ℕ0 ∃𝑏 ∈ ℕ0 (𝐴 = (𝑎 + ((√‘𝐷) · 𝑏)) ∧ ((𝑎↑2) − (𝐷 · (𝑏↑2))) = 1) → ((√‘(𝐷 + 1)) + (√‘𝐷)) ≤ 𝐴))
15	14	expimpd 453	. . . . 5 ⊢ ((𝐷 ∈ (ℕ ∖ ◻NN) ∧ 1 < 𝐴) → ((𝐴 ∈ ℝ ∧ ∃𝑎 ∈ ℕ0 ∃𝑏 ∈ ℕ0 (𝐴 = (𝑎 + ((√‘𝐷) · 𝑏)) ∧ ((𝑎↑2) − (𝐷 · (𝑏↑2))) = 1)) → ((√‘(𝐷 + 1)) + (√‘𝐷)) ≤ 𝐴))
16	2, 15	sylbid 240	. . . 4 ⊢ ((𝐷 ∈ (ℕ ∖ ◻NN) ∧ 1 < 𝐴) → (𝐴 ∈ (Pell1QR‘𝐷) → ((√‘(𝐷 + 1)) + (√‘𝐷)) ≤ 𝐴))
17	16	ex 412	. . 3 ⊢ (𝐷 ∈ (ℕ ∖ ◻NN) → (1 < 𝐴 → (𝐴 ∈ (Pell1QR‘𝐷) → ((√‘(𝐷 + 1)) + (√‘𝐷)) ≤ 𝐴)))
18	17	com23 86	. 2 ⊢ (𝐷 ∈ (ℕ ∖ ◻NN) → (𝐴 ∈ (Pell1QR‘𝐷) → (1 < 𝐴 → ((√‘(𝐷 + 1)) + (√‘𝐷)) ≤ 𝐴)))
19	18	3imp 1110	1 ⊢ ((𝐷 ∈ (ℕ ∖ ◻NN) ∧ 𝐴 ∈ (Pell1QR‘𝐷) ∧ 1 < 𝐴) → ((√‘(𝐷 + 1)) + (√‘𝐷)) ≤ 𝐴)

Syntax hints:   → wi 4   ↔ wb 206   ∧ wa 395   ∧ w3a 1086   = wceq 1541   ∈ wcel 2111  ∃wrex 3056   ∖ cdif 3894   class class class wbr 5089  ‘cfv 6481  (class class class)co 7346  ℝcr 11005  1c1 11007   + caddc 11009   · cmul 11011   < clt 11146   ≤ cle 11147   − cmin 11344  ℕcn 12125  2c2 12180  ℕ₀cn0 12381  ↑cexp 13968  √csqrt 15140  ◻_NNcsquarenn 42939  Pell1QRcpell1qr 42940

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1796  ax-4 1810  ax-5 1911  ax-6 1968  ax-7 2009  ax-8 2113  ax-9 2121  ax-10 2144  ax-11 2160  ax-12 2180  ax-ext 2703  ax-sep 5232  ax-nul 5242  ax-pow 5301  ax-pr 5368  ax-un 7668  ax-cnex 11062  ax-resscn 11063  ax-1cn 11064  ax-icn 11065  ax-addcl 11066  ax-addrcl 11067  ax-mulcl 11068  ax-mulrcl 11069  ax-mulcom 11070  ax-addass 11071  ax-mulass 11072  ax-distr 11073  ax-i2m1 11074  ax-1ne0 11075  ax-1rid 11076  ax-rnegex 11077  ax-rrecex 11078  ax-cnre 11079  ax-pre-lttri 11080  ax-pre-lttrn 11081  ax-pre-ltadd 11082  ax-pre-mulgt0 11083  ax-pre-sup 11084

This theorem depends on definitions:  df-bi 207  df-an 396  df-or 848  df-3or 1087  df-3an 1088  df-tru 1544  df-fal 1554  df-ex 1781  df-nf 1785  df-sb 2068  df-mo 2535  df-eu 2564  df-clab 2710  df-cleq 2723  df-clel 2806  df-nfc 2881  df-ne 2929  df-nel 3033  df-ral 3048  df-rex 3057  df-rmo 3346  df-reu 3347  df-rab 3396  df-v 3438  df-sbc 3737  df-csb 3846  df-dif 3900  df-un 3902  df-in 3904  df-ss 3914  df-pss 3917  df-nul 4281  df-if 4473  df-pw 4549  df-sn 4574  df-pr 4576  df-op 4580  df-uni 4857  df-iun 4941  df-br 5090  df-opab 5152  df-mpt 5171  df-tr 5197  df-id 5509  df-eprel 5514  df-po 5522  df-so 5523  df-fr 5567  df-we 5569  df-xp 5620  df-rel 5621  df-cnv 5622  df-co 5623  df-dm 5624  df-rn 5625  df-res 5626  df-ima 5627  df-pred 6248  df-ord 6309  df-on 6310  df-lim 6311  df-suc 6312  df-iota 6437  df-fun 6483  df-fn 6484  df-f 6485  df-f1 6486  df-fo 6487  df-f1o 6488  df-fv 6489  df-riota 7303  df-ov 7349  df-oprab 7350  df-mpo 7351  df-om 7797  df-2nd 7922  df-frecs 8211  df-wrecs 8242  df-recs 8291  df-rdg 8329  df-er 8622  df-en 8870  df-dom 8871  df-sdom 8872  df-sup 9326  df-pnf 11148  df-mnf 11149  df-xr 11150  df-ltxr 11151  df-le 11152  df-sub 11346  df-neg 11347  df-div 11775  df-nn 12126  df-2 12188  df-3 12189  df-n0 12382  df-z 12469  df-uz 12733  df-rp 12891  df-seq 13909  df-exp 13969  df-cj 15006  df-re 15007  df-im 15008  df-sqrt 15142  df-abs 15143  df-pell1qr 42945

This theorem is referenced by:  pell14qrgap  42978