Users' Mathboxes Mathbox for Stefan O'Rear < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >   Mathboxes  >  pell1qrgap Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem pell1qrgap 41244
Description: First-quadrant Pell solutions are bounded away from 1. (This particular bound allows to prove exact values for the fundamental solution later.) (Contributed by Stefan O'Rear, 18-Sep-2014.)
Assertion
Ref Expression
pell1qrgap ((๐ท โˆˆ (โ„• โˆ– โ—ปNN) โˆง ๐ด โˆˆ (Pell1QRโ€˜๐ท) โˆง 1 < ๐ด) โ†’ ((โˆšโ€˜(๐ท + 1)) + (โˆšโ€˜๐ท)) โ‰ค ๐ด)

Proof of Theorem pell1qrgap
Dummy variables ๐‘Ž ๐‘ are mutually distinct and distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 elpell1qr 41217 . . . . . 6 (๐ท โˆˆ (โ„• โˆ– โ—ปNN) โ†’ (๐ด โˆˆ (Pell1QRโ€˜๐ท) โ†” (๐ด โˆˆ โ„ โˆง โˆƒ๐‘Ž โˆˆ โ„•0 โˆƒ๐‘ โˆˆ โ„•0 (๐ด = (๐‘Ž + ((โˆšโ€˜๐ท) ยท ๐‘)) โˆง ((๐‘Žโ†‘2) โˆ’ (๐ท ยท (๐‘โ†‘2))) = 1))))
21adantr 482 . . . . 5 ((๐ท โˆˆ (โ„• โˆ– โ—ปNN) โˆง 1 < ๐ด) โ†’ (๐ด โˆˆ (Pell1QRโ€˜๐ท) โ†” (๐ด โˆˆ โ„ โˆง โˆƒ๐‘Ž โˆˆ โ„•0 โˆƒ๐‘ โˆˆ โ„•0 (๐ด = (๐‘Ž + ((โˆšโ€˜๐ท) ยท ๐‘)) โˆง ((๐‘Žโ†‘2) โˆ’ (๐ท ยท (๐‘โ†‘2))) = 1))))
3 eldifi 4090 . . . . . . . . . . 11 (๐ท โˆˆ (โ„• โˆ– โ—ปNN) โ†’ ๐ท โˆˆ โ„•)
43ad4antr 731 . . . . . . . . . 10 (((((๐ท โˆˆ (โ„• โˆ– โ—ปNN) โˆง 1 < ๐ด) โˆง ๐ด โˆˆ โ„) โˆง (๐‘Ž โˆˆ โ„•0 โˆง ๐‘ โˆˆ โ„•0)) โˆง (๐ด = (๐‘Ž + ((โˆšโ€˜๐ท) ยท ๐‘)) โˆง ((๐‘Žโ†‘2) โˆ’ (๐ท ยท (๐‘โ†‘2))) = 1)) โ†’ ๐ท โˆˆ โ„•)
5 simplr 768 . . . . . . . . . 10 (((((๐ท โˆˆ (โ„• โˆ– โ—ปNN) โˆง 1 < ๐ด) โˆง ๐ด โˆˆ โ„) โˆง (๐‘Ž โˆˆ โ„•0 โˆง ๐‘ โˆˆ โ„•0)) โˆง (๐ด = (๐‘Ž + ((โˆšโ€˜๐ท) ยท ๐‘)) โˆง ((๐‘Žโ†‘2) โˆ’ (๐ท ยท (๐‘โ†‘2))) = 1)) โ†’ (๐‘Ž โˆˆ โ„•0 โˆง ๐‘ โˆˆ โ„•0))
6 simp-4r 783 . . . . . . . . . . 11 (((((๐ท โˆˆ (โ„• โˆ– โ—ปNN) โˆง 1 < ๐ด) โˆง ๐ด โˆˆ โ„) โˆง (๐‘Ž โˆˆ โ„•0 โˆง ๐‘ โˆˆ โ„•0)) โˆง (๐ด = (๐‘Ž + ((โˆšโ€˜๐ท) ยท ๐‘)) โˆง ((๐‘Žโ†‘2) โˆ’ (๐ท ยท (๐‘โ†‘2))) = 1)) โ†’ 1 < ๐ด)
7 simprl 770 . . . . . . . . . . 11 (((((๐ท โˆˆ (โ„• โˆ– โ—ปNN) โˆง 1 < ๐ด) โˆง ๐ด โˆˆ โ„) โˆง (๐‘Ž โˆˆ โ„•0 โˆง ๐‘ โˆˆ โ„•0)) โˆง (๐ด = (๐‘Ž + ((โˆšโ€˜๐ท) ยท ๐‘)) โˆง ((๐‘Žโ†‘2) โˆ’ (๐ท ยท (๐‘โ†‘2))) = 1)) โ†’ ๐ด = (๐‘Ž + ((โˆšโ€˜๐ท) ยท ๐‘)))
86, 7breqtrd 5135 . . . . . . . . . 10 (((((๐ท โˆˆ (โ„• โˆ– โ—ปNN) โˆง 1 < ๐ด) โˆง ๐ด โˆˆ โ„) โˆง (๐‘Ž โˆˆ โ„•0 โˆง ๐‘ โˆˆ โ„•0)) โˆง (๐ด = (๐‘Ž + ((โˆšโ€˜๐ท) ยท ๐‘)) โˆง ((๐‘Žโ†‘2) โˆ’ (๐ท ยท (๐‘โ†‘2))) = 1)) โ†’ 1 < (๐‘Ž + ((โˆšโ€˜๐ท) ยท ๐‘)))
9 simprr 772 . . . . . . . . . 10 (((((๐ท โˆˆ (โ„• โˆ– โ—ปNN) โˆง 1 < ๐ด) โˆง ๐ด โˆˆ โ„) โˆง (๐‘Ž โˆˆ โ„•0 โˆง ๐‘ โˆˆ โ„•0)) โˆง (๐ด = (๐‘Ž + ((โˆšโ€˜๐ท) ยท ๐‘)) โˆง ((๐‘Žโ†‘2) โˆ’ (๐ท ยท (๐‘โ†‘2))) = 1)) โ†’ ((๐‘Žโ†‘2) โˆ’ (๐ท ยท (๐‘โ†‘2))) = 1)
10 pell1qrgaplem 41243 . . . . . . . . . 10 (((๐ท โˆˆ โ„• โˆง (๐‘Ž โˆˆ โ„•0 โˆง ๐‘ โˆˆ โ„•0)) โˆง (1 < (๐‘Ž + ((โˆšโ€˜๐ท) ยท ๐‘)) โˆง ((๐‘Žโ†‘2) โˆ’ (๐ท ยท (๐‘โ†‘2))) = 1)) โ†’ ((โˆšโ€˜(๐ท + 1)) + (โˆšโ€˜๐ท)) โ‰ค (๐‘Ž + ((โˆšโ€˜๐ท) ยท ๐‘)))
114, 5, 8, 9, 10syl22anc 838 . . . . . . . . 9 (((((๐ท โˆˆ (โ„• โˆ– โ—ปNN) โˆง 1 < ๐ด) โˆง ๐ด โˆˆ โ„) โˆง (๐‘Ž โˆˆ โ„•0 โˆง ๐‘ โˆˆ โ„•0)) โˆง (๐ด = (๐‘Ž + ((โˆšโ€˜๐ท) ยท ๐‘)) โˆง ((๐‘Žโ†‘2) โˆ’ (๐ท ยท (๐‘โ†‘2))) = 1)) โ†’ ((โˆšโ€˜(๐ท + 1)) + (โˆšโ€˜๐ท)) โ‰ค (๐‘Ž + ((โˆšโ€˜๐ท) ยท ๐‘)))
1211, 7breqtrrd 5137 . . . . . . . 8 (((((๐ท โˆˆ (โ„• โˆ– โ—ปNN) โˆง 1 < ๐ด) โˆง ๐ด โˆˆ โ„) โˆง (๐‘Ž โˆˆ โ„•0 โˆง ๐‘ โˆˆ โ„•0)) โˆง (๐ด = (๐‘Ž + ((โˆšโ€˜๐ท) ยท ๐‘)) โˆง ((๐‘Žโ†‘2) โˆ’ (๐ท ยท (๐‘โ†‘2))) = 1)) โ†’ ((โˆšโ€˜(๐ท + 1)) + (โˆšโ€˜๐ท)) โ‰ค ๐ด)
1312ex 414 . . . . . . 7 ((((๐ท โˆˆ (โ„• โˆ– โ—ปNN) โˆง 1 < ๐ด) โˆง ๐ด โˆˆ โ„) โˆง (๐‘Ž โˆˆ โ„•0 โˆง ๐‘ โˆˆ โ„•0)) โ†’ ((๐ด = (๐‘Ž + ((โˆšโ€˜๐ท) ยท ๐‘)) โˆง ((๐‘Žโ†‘2) โˆ’ (๐ท ยท (๐‘โ†‘2))) = 1) โ†’ ((โˆšโ€˜(๐ท + 1)) + (โˆšโ€˜๐ท)) โ‰ค ๐ด))
1413rexlimdvva 3202 . . . . . 6 (((๐ท โˆˆ (โ„• โˆ– โ—ปNN) โˆง 1 < ๐ด) โˆง ๐ด โˆˆ โ„) โ†’ (โˆƒ๐‘Ž โˆˆ โ„•0 โˆƒ๐‘ โˆˆ โ„•0 (๐ด = (๐‘Ž + ((โˆšโ€˜๐ท) ยท ๐‘)) โˆง ((๐‘Žโ†‘2) โˆ’ (๐ท ยท (๐‘โ†‘2))) = 1) โ†’ ((โˆšโ€˜(๐ท + 1)) + (โˆšโ€˜๐ท)) โ‰ค ๐ด))
1514expimpd 455 . . . . 5 ((๐ท โˆˆ (โ„• โˆ– โ—ปNN) โˆง 1 < ๐ด) โ†’ ((๐ด โˆˆ โ„ โˆง โˆƒ๐‘Ž โˆˆ โ„•0 โˆƒ๐‘ โˆˆ โ„•0 (๐ด = (๐‘Ž + ((โˆšโ€˜๐ท) ยท ๐‘)) โˆง ((๐‘Žโ†‘2) โˆ’ (๐ท ยท (๐‘โ†‘2))) = 1)) โ†’ ((โˆšโ€˜(๐ท + 1)) + (โˆšโ€˜๐ท)) โ‰ค ๐ด))
162, 15sylbid 239 . . . 4 ((๐ท โˆˆ (โ„• โˆ– โ—ปNN) โˆง 1 < ๐ด) โ†’ (๐ด โˆˆ (Pell1QRโ€˜๐ท) โ†’ ((โˆšโ€˜(๐ท + 1)) + (โˆšโ€˜๐ท)) โ‰ค ๐ด))
1716ex 414 . . 3 (๐ท โˆˆ (โ„• โˆ– โ—ปNN) โ†’ (1 < ๐ด โ†’ (๐ด โˆˆ (Pell1QRโ€˜๐ท) โ†’ ((โˆšโ€˜(๐ท + 1)) + (โˆšโ€˜๐ท)) โ‰ค ๐ด)))
1817com23 86 . 2 (๐ท โˆˆ (โ„• โˆ– โ—ปNN) โ†’ (๐ด โˆˆ (Pell1QRโ€˜๐ท) โ†’ (1 < ๐ด โ†’ ((โˆšโ€˜(๐ท + 1)) + (โˆšโ€˜๐ท)) โ‰ค ๐ด)))
19183imp 1112 1 ((๐ท โˆˆ (โ„• โˆ– โ—ปNN) โˆง ๐ด โˆˆ (Pell1QRโ€˜๐ท) โˆง 1 < ๐ด) โ†’ ((โˆšโ€˜(๐ท + 1)) + (โˆšโ€˜๐ท)) โ‰ค ๐ด)
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:   โ†’ wi 4   โ†” wb 205   โˆง wa 397   โˆง w3a 1088   = wceq 1542   โˆˆ wcel 2107  โˆƒwrex 3070   โˆ– cdif 3911   class class class wbr 5109  โ€˜cfv 6500  (class class class)co 7361  โ„cr 11058  1c1 11060   + caddc 11062   ยท cmul 11064   < clt 11197   โ‰ค cle 11198   โˆ’ cmin 11393  โ„•cn 12161  2c2 12216  โ„•0cn0 12421  โ†‘cexp 13976  โˆšcsqrt 15127  โ—ปNNcsquarenn 41206  Pell1QRcpell1qr 41207
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1798  ax-4 1812  ax-5 1914  ax-6 1972  ax-7 2012  ax-8 2109  ax-9 2117  ax-10 2138  ax-11 2155  ax-12 2172  ax-ext 2704  ax-sep 5260  ax-nul 5267  ax-pow 5324  ax-pr 5388  ax-un 7676  ax-cnex 11115  ax-resscn 11116  ax-1cn 11117  ax-icn 11118  ax-addcl 11119  ax-addrcl 11120  ax-mulcl 11121  ax-mulrcl 11122  ax-mulcom 11123  ax-addass 11124  ax-mulass 11125  ax-distr 11126  ax-i2m1 11127  ax-1ne0 11128  ax-1rid 11129  ax-rnegex 11130  ax-rrecex 11131  ax-cnre 11132  ax-pre-lttri 11133  ax-pre-lttrn 11134  ax-pre-ltadd 11135  ax-pre-mulgt0 11136  ax-pre-sup 11137
This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 398  df-or 847  df-3or 1089  df-3an 1090  df-tru 1545  df-fal 1555  df-ex 1783  df-nf 1787  df-sb 2069  df-mo 2535  df-eu 2564  df-clab 2711  df-cleq 2725  df-clel 2811  df-nfc 2886  df-ne 2941  df-nel 3047  df-ral 3062  df-rex 3071  df-rmo 3352  df-reu 3353  df-rab 3407  df-v 3449  df-sbc 3744  df-csb 3860  df-dif 3917  df-un 3919  df-in 3921  df-ss 3931  df-pss 3933  df-nul 4287  df-if 4491  df-pw 4566  df-sn 4591  df-pr 4593  df-op 4597  df-uni 4870  df-iun 4960  df-br 5110  df-opab 5172  df-mpt 5193  df-tr 5227  df-id 5535  df-eprel 5541  df-po 5549  df-so 5550  df-fr 5592  df-we 5594  df-xp 5643  df-rel 5644  df-cnv 5645  df-co 5646  df-dm 5647  df-rn 5648  df-res 5649  df-ima 5650  df-pred 6257  df-ord 6324  df-on 6325  df-lim 6326  df-suc 6327  df-iota 6452  df-fun 6502  df-fn 6503  df-f 6504  df-f1 6505  df-fo 6506  df-f1o 6507  df-fv 6508  df-riota 7317  df-ov 7364  df-oprab 7365  df-mpo 7366  df-om 7807  df-2nd 7926  df-frecs 8216  df-wrecs 8247  df-recs 8321  df-rdg 8360  df-er 8654  df-en 8890  df-dom 8891  df-sdom 8892  df-sup 9386  df-pnf 11199  df-mnf 11200  df-xr 11201  df-ltxr 11202  df-le 11203  df-sub 11395  df-neg 11396  df-div 11821  df-nn 12162  df-2 12224  df-3 12225  df-n0 12422  df-z 12508  df-uz 12772  df-rp 12924  df-seq 13916  df-exp 13977  df-cj 14993  df-re 14994  df-im 14995  df-sqrt 15129  df-abs 15130  df-pell1qr 41212
This theorem is referenced by:  pell14qrgap  41245
  Copyright terms: Public domain W3C validator