Users' Mathboxes Mathbox for Stefan O'Rear < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >   Mathboxes  >  pell1qrgap Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem pell1qrgap 42325
Description: First-quadrant Pell solutions are bounded away from 1. (This particular bound allows to prove exact values for the fundamental solution later.) (Contributed by Stefan O'Rear, 18-Sep-2014.)
Assertion
Ref Expression
pell1qrgap ((๐ท โˆˆ (โ„• โˆ– โ—ปNN) โˆง ๐ด โˆˆ (Pell1QRโ€˜๐ท) โˆง 1 < ๐ด) โ†’ ((โˆšโ€˜(๐ท + 1)) + (โˆšโ€˜๐ท)) โ‰ค ๐ด)

Proof of Theorem pell1qrgap
Dummy variables ๐‘Ž ๐‘ are mutually distinct and distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 elpell1qr 42298 . . . . . 6 (๐ท โˆˆ (โ„• โˆ– โ—ปNN) โ†’ (๐ด โˆˆ (Pell1QRโ€˜๐ท) โ†” (๐ด โˆˆ โ„ โˆง โˆƒ๐‘Ž โˆˆ โ„•0 โˆƒ๐‘ โˆˆ โ„•0 (๐ด = (๐‘Ž + ((โˆšโ€˜๐ท) ยท ๐‘)) โˆง ((๐‘Žโ†‘2) โˆ’ (๐ท ยท (๐‘โ†‘2))) = 1))))
21adantr 479 . . . . 5 ((๐ท โˆˆ (โ„• โˆ– โ—ปNN) โˆง 1 < ๐ด) โ†’ (๐ด โˆˆ (Pell1QRโ€˜๐ท) โ†” (๐ด โˆˆ โ„ โˆง โˆƒ๐‘Ž โˆˆ โ„•0 โˆƒ๐‘ โˆˆ โ„•0 (๐ด = (๐‘Ž + ((โˆšโ€˜๐ท) ยท ๐‘)) โˆง ((๐‘Žโ†‘2) โˆ’ (๐ท ยท (๐‘โ†‘2))) = 1))))
3 eldifi 4127 . . . . . . . . . . 11 (๐ท โˆˆ (โ„• โˆ– โ—ปNN) โ†’ ๐ท โˆˆ โ„•)
43ad4antr 730 . . . . . . . . . 10 (((((๐ท โˆˆ (โ„• โˆ– โ—ปNN) โˆง 1 < ๐ด) โˆง ๐ด โˆˆ โ„) โˆง (๐‘Ž โˆˆ โ„•0 โˆง ๐‘ โˆˆ โ„•0)) โˆง (๐ด = (๐‘Ž + ((โˆšโ€˜๐ท) ยท ๐‘)) โˆง ((๐‘Žโ†‘2) โˆ’ (๐ท ยท (๐‘โ†‘2))) = 1)) โ†’ ๐ท โˆˆ โ„•)
5 simplr 767 . . . . . . . . . 10 (((((๐ท โˆˆ (โ„• โˆ– โ—ปNN) โˆง 1 < ๐ด) โˆง ๐ด โˆˆ โ„) โˆง (๐‘Ž โˆˆ โ„•0 โˆง ๐‘ โˆˆ โ„•0)) โˆง (๐ด = (๐‘Ž + ((โˆšโ€˜๐ท) ยท ๐‘)) โˆง ((๐‘Žโ†‘2) โˆ’ (๐ท ยท (๐‘โ†‘2))) = 1)) โ†’ (๐‘Ž โˆˆ โ„•0 โˆง ๐‘ โˆˆ โ„•0))
6 simp-4r 782 . . . . . . . . . . 11 (((((๐ท โˆˆ (โ„• โˆ– โ—ปNN) โˆง 1 < ๐ด) โˆง ๐ด โˆˆ โ„) โˆง (๐‘Ž โˆˆ โ„•0 โˆง ๐‘ โˆˆ โ„•0)) โˆง (๐ด = (๐‘Ž + ((โˆšโ€˜๐ท) ยท ๐‘)) โˆง ((๐‘Žโ†‘2) โˆ’ (๐ท ยท (๐‘โ†‘2))) = 1)) โ†’ 1 < ๐ด)
7 simprl 769 . . . . . . . . . . 11 (((((๐ท โˆˆ (โ„• โˆ– โ—ปNN) โˆง 1 < ๐ด) โˆง ๐ด โˆˆ โ„) โˆง (๐‘Ž โˆˆ โ„•0 โˆง ๐‘ โˆˆ โ„•0)) โˆง (๐ด = (๐‘Ž + ((โˆšโ€˜๐ท) ยท ๐‘)) โˆง ((๐‘Žโ†‘2) โˆ’ (๐ท ยท (๐‘โ†‘2))) = 1)) โ†’ ๐ด = (๐‘Ž + ((โˆšโ€˜๐ท) ยท ๐‘)))
86, 7breqtrd 5178 . . . . . . . . . 10 (((((๐ท โˆˆ (โ„• โˆ– โ—ปNN) โˆง 1 < ๐ด) โˆง ๐ด โˆˆ โ„) โˆง (๐‘Ž โˆˆ โ„•0 โˆง ๐‘ โˆˆ โ„•0)) โˆง (๐ด = (๐‘Ž + ((โˆšโ€˜๐ท) ยท ๐‘)) โˆง ((๐‘Žโ†‘2) โˆ’ (๐ท ยท (๐‘โ†‘2))) = 1)) โ†’ 1 < (๐‘Ž + ((โˆšโ€˜๐ท) ยท ๐‘)))
9 simprr 771 . . . . . . . . . 10 (((((๐ท โˆˆ (โ„• โˆ– โ—ปNN) โˆง 1 < ๐ด) โˆง ๐ด โˆˆ โ„) โˆง (๐‘Ž โˆˆ โ„•0 โˆง ๐‘ โˆˆ โ„•0)) โˆง (๐ด = (๐‘Ž + ((โˆšโ€˜๐ท) ยท ๐‘)) โˆง ((๐‘Žโ†‘2) โˆ’ (๐ท ยท (๐‘โ†‘2))) = 1)) โ†’ ((๐‘Žโ†‘2) โˆ’ (๐ท ยท (๐‘โ†‘2))) = 1)
10 pell1qrgaplem 42324 . . . . . . . . . 10 (((๐ท โˆˆ โ„• โˆง (๐‘Ž โˆˆ โ„•0 โˆง ๐‘ โˆˆ โ„•0)) โˆง (1 < (๐‘Ž + ((โˆšโ€˜๐ท) ยท ๐‘)) โˆง ((๐‘Žโ†‘2) โˆ’ (๐ท ยท (๐‘โ†‘2))) = 1)) โ†’ ((โˆšโ€˜(๐ท + 1)) + (โˆšโ€˜๐ท)) โ‰ค (๐‘Ž + ((โˆšโ€˜๐ท) ยท ๐‘)))
114, 5, 8, 9, 10syl22anc 837 . . . . . . . . 9 (((((๐ท โˆˆ (โ„• โˆ– โ—ปNN) โˆง 1 < ๐ด) โˆง ๐ด โˆˆ โ„) โˆง (๐‘Ž โˆˆ โ„•0 โˆง ๐‘ โˆˆ โ„•0)) โˆง (๐ด = (๐‘Ž + ((โˆšโ€˜๐ท) ยท ๐‘)) โˆง ((๐‘Žโ†‘2) โˆ’ (๐ท ยท (๐‘โ†‘2))) = 1)) โ†’ ((โˆšโ€˜(๐ท + 1)) + (โˆšโ€˜๐ท)) โ‰ค (๐‘Ž + ((โˆšโ€˜๐ท) ยท ๐‘)))
1211, 7breqtrrd 5180 . . . . . . . 8 (((((๐ท โˆˆ (โ„• โˆ– โ—ปNN) โˆง 1 < ๐ด) โˆง ๐ด โˆˆ โ„) โˆง (๐‘Ž โˆˆ โ„•0 โˆง ๐‘ โˆˆ โ„•0)) โˆง (๐ด = (๐‘Ž + ((โˆšโ€˜๐ท) ยท ๐‘)) โˆง ((๐‘Žโ†‘2) โˆ’ (๐ท ยท (๐‘โ†‘2))) = 1)) โ†’ ((โˆšโ€˜(๐ท + 1)) + (โˆšโ€˜๐ท)) โ‰ค ๐ด)
1312ex 411 . . . . . . 7 ((((๐ท โˆˆ (โ„• โˆ– โ—ปNN) โˆง 1 < ๐ด) โˆง ๐ด โˆˆ โ„) โˆง (๐‘Ž โˆˆ โ„•0 โˆง ๐‘ โˆˆ โ„•0)) โ†’ ((๐ด = (๐‘Ž + ((โˆšโ€˜๐ท) ยท ๐‘)) โˆง ((๐‘Žโ†‘2) โˆ’ (๐ท ยท (๐‘โ†‘2))) = 1) โ†’ ((โˆšโ€˜(๐ท + 1)) + (โˆšโ€˜๐ท)) โ‰ค ๐ด))
1413rexlimdvva 3209 . . . . . 6 (((๐ท โˆˆ (โ„• โˆ– โ—ปNN) โˆง 1 < ๐ด) โˆง ๐ด โˆˆ โ„) โ†’ (โˆƒ๐‘Ž โˆˆ โ„•0 โˆƒ๐‘ โˆˆ โ„•0 (๐ด = (๐‘Ž + ((โˆšโ€˜๐ท) ยท ๐‘)) โˆง ((๐‘Žโ†‘2) โˆ’ (๐ท ยท (๐‘โ†‘2))) = 1) โ†’ ((โˆšโ€˜(๐ท + 1)) + (โˆšโ€˜๐ท)) โ‰ค ๐ด))
1514expimpd 452 . . . . 5 ((๐ท โˆˆ (โ„• โˆ– โ—ปNN) โˆง 1 < ๐ด) โ†’ ((๐ด โˆˆ โ„ โˆง โˆƒ๐‘Ž โˆˆ โ„•0 โˆƒ๐‘ โˆˆ โ„•0 (๐ด = (๐‘Ž + ((โˆšโ€˜๐ท) ยท ๐‘)) โˆง ((๐‘Žโ†‘2) โˆ’ (๐ท ยท (๐‘โ†‘2))) = 1)) โ†’ ((โˆšโ€˜(๐ท + 1)) + (โˆšโ€˜๐ท)) โ‰ค ๐ด))
162, 15sylbid 239 . . . 4 ((๐ท โˆˆ (โ„• โˆ– โ—ปNN) โˆง 1 < ๐ด) โ†’ (๐ด โˆˆ (Pell1QRโ€˜๐ท) โ†’ ((โˆšโ€˜(๐ท + 1)) + (โˆšโ€˜๐ท)) โ‰ค ๐ด))
1716ex 411 . . 3 (๐ท โˆˆ (โ„• โˆ– โ—ปNN) โ†’ (1 < ๐ด โ†’ (๐ด โˆˆ (Pell1QRโ€˜๐ท) โ†’ ((โˆšโ€˜(๐ท + 1)) + (โˆšโ€˜๐ท)) โ‰ค ๐ด)))
1817com23 86 . 2 (๐ท โˆˆ (โ„• โˆ– โ—ปNN) โ†’ (๐ด โˆˆ (Pell1QRโ€˜๐ท) โ†’ (1 < ๐ด โ†’ ((โˆšโ€˜(๐ท + 1)) + (โˆšโ€˜๐ท)) โ‰ค ๐ด)))
19183imp 1108 1 ((๐ท โˆˆ (โ„• โˆ– โ—ปNN) โˆง ๐ด โˆˆ (Pell1QRโ€˜๐ท) โˆง 1 < ๐ด) โ†’ ((โˆšโ€˜(๐ท + 1)) + (โˆšโ€˜๐ท)) โ‰ค ๐ด)
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:   โ†’ wi 4   โ†” wb 205   โˆง wa 394   โˆง w3a 1084   = wceq 1533   โˆˆ wcel 2098  โˆƒwrex 3067   โˆ– cdif 3946   class class class wbr 5152  โ€˜cfv 6553  (class class class)co 7426  โ„cr 11145  1c1 11147   + caddc 11149   ยท cmul 11151   < clt 11286   โ‰ค cle 11287   โˆ’ cmin 11482  โ„•cn 12250  2c2 12305  โ„•0cn0 12510  โ†‘cexp 14066  โˆšcsqrt 15220  โ—ปNNcsquarenn 42287  Pell1QRcpell1qr 42288
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1789  ax-4 1803  ax-5 1905  ax-6 1963  ax-7 2003  ax-8 2100  ax-9 2108  ax-10 2129  ax-11 2146  ax-12 2166  ax-ext 2699  ax-sep 5303  ax-nul 5310  ax-pow 5369  ax-pr 5433  ax-un 7746  ax-cnex 11202  ax-resscn 11203  ax-1cn 11204  ax-icn 11205  ax-addcl 11206  ax-addrcl 11207  ax-mulcl 11208  ax-mulrcl 11209  ax-mulcom 11210  ax-addass 11211  ax-mulass 11212  ax-distr 11213  ax-i2m1 11214  ax-1ne0 11215  ax-1rid 11216  ax-rnegex 11217  ax-rrecex 11218  ax-cnre 11219  ax-pre-lttri 11220  ax-pre-lttrn 11221  ax-pre-ltadd 11222  ax-pre-mulgt0 11223  ax-pre-sup 11224
This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 395  df-or 846  df-3or 1085  df-3an 1086  df-tru 1536  df-fal 1546  df-ex 1774  df-nf 1778  df-sb 2060  df-mo 2529  df-eu 2558  df-clab 2706  df-cleq 2720  df-clel 2806  df-nfc 2881  df-ne 2938  df-nel 3044  df-ral 3059  df-rex 3068  df-rmo 3374  df-reu 3375  df-rab 3431  df-v 3475  df-sbc 3779  df-csb 3895  df-dif 3952  df-un 3954  df-in 3956  df-ss 3966  df-pss 3968  df-nul 4327  df-if 4533  df-pw 4608  df-sn 4633  df-pr 4635  df-op 4639  df-uni 4913  df-iun 5002  df-br 5153  df-opab 5215  df-mpt 5236  df-tr 5270  df-id 5580  df-eprel 5586  df-po 5594  df-so 5595  df-fr 5637  df-we 5639  df-xp 5688  df-rel 5689  df-cnv 5690  df-co 5691  df-dm 5692  df-rn 5693  df-res 5694  df-ima 5695  df-pred 6310  df-ord 6377  df-on 6378  df-lim 6379  df-suc 6380  df-iota 6505  df-fun 6555  df-fn 6556  df-f 6557  df-f1 6558  df-fo 6559  df-f1o 6560  df-fv 6561  df-riota 7382  df-ov 7429  df-oprab 7430  df-mpo 7431  df-om 7877  df-2nd 8000  df-frecs 8293  df-wrecs 8324  df-recs 8398  df-rdg 8437  df-er 8731  df-en 8971  df-dom 8972  df-sdom 8973  df-sup 9473  df-pnf 11288  df-mnf 11289  df-xr 11290  df-ltxr 11291  df-le 11292  df-sub 11484  df-neg 11485  df-div 11910  df-nn 12251  df-2 12313  df-3 12314  df-n0 12511  df-z 12597  df-uz 12861  df-rp 13015  df-seq 14007  df-exp 14067  df-cj 15086  df-re 15087  df-im 15088  df-sqrt 15222  df-abs 15223  df-pell1qr 42293
This theorem is referenced by:  pell14qrgap  42326
  Copyright terms: Public domain W3C validator