MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  elplyr Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem elplyr 25100
Description: Sufficient condition for elementhood in the set of polynomials. (Contributed by Mario Carneiro, 17-Jul-2014.) (Revised by Mario Carneiro, 23-Aug-2014.)
Assertion
Ref Expression
elplyr ((𝑆 ⊆ ℂ ∧ 𝑁 ∈ ℕ0𝐴:ℕ0𝑆) → (𝑧 ∈ ℂ ↦ Σ𝑘 ∈ (0...𝑁)((𝐴𝑘) · (𝑧𝑘))) ∈ (Poly‘𝑆))
Distinct variable groups:   𝑧,𝑘,𝐴   𝑘,𝑁,𝑧   𝑆,𝑘,𝑧

Proof of Theorem elplyr
Dummy variables 𝑎 𝑛 are mutually distinct and distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 simp1 1138 . 2 ((𝑆 ⊆ ℂ ∧ 𝑁 ∈ ℕ0𝐴:ℕ0𝑆) → 𝑆 ⊆ ℂ)
2 simp2 1139 . . 3 ((𝑆 ⊆ ℂ ∧ 𝑁 ∈ ℕ0𝐴:ℕ0𝑆) → 𝑁 ∈ ℕ0)
3 simp3 1140 . . . . 5 ((𝑆 ⊆ ℂ ∧ 𝑁 ∈ ℕ0𝐴:ℕ0𝑆) → 𝐴:ℕ0𝑆)
4 ssun1 4091 . . . . 5 𝑆 ⊆ (𝑆 ∪ {0})
5 fss 6567 . . . . 5 ((𝐴:ℕ0𝑆𝑆 ⊆ (𝑆 ∪ {0})) → 𝐴:ℕ0⟶(𝑆 ∪ {0}))
63, 4, 5sylancl 589 . . . 4 ((𝑆 ⊆ ℂ ∧ 𝑁 ∈ ℕ0𝐴:ℕ0𝑆) → 𝐴:ℕ0⟶(𝑆 ∪ {0}))
7 0cnd 10831 . . . . . . . 8 ((𝑆 ⊆ ℂ ∧ 𝑁 ∈ ℕ0𝐴:ℕ0𝑆) → 0 ∈ ℂ)
87snssd 4727 . . . . . . 7 ((𝑆 ⊆ ℂ ∧ 𝑁 ∈ ℕ0𝐴:ℕ0𝑆) → {0} ⊆ ℂ)
91, 8unssd 4105 . . . . . 6 ((𝑆 ⊆ ℂ ∧ 𝑁 ∈ ℕ0𝐴:ℕ0𝑆) → (𝑆 ∪ {0}) ⊆ ℂ)
10 cnex 10815 . . . . . 6 ℂ ∈ V
11 ssexg 5221 . . . . . 6 (((𝑆 ∪ {0}) ⊆ ℂ ∧ ℂ ∈ V) → (𝑆 ∪ {0}) ∈ V)
129, 10, 11sylancl 589 . . . . 5 ((𝑆 ⊆ ℂ ∧ 𝑁 ∈ ℕ0𝐴:ℕ0𝑆) → (𝑆 ∪ {0}) ∈ V)
13 nn0ex 12101 . . . . 5 0 ∈ V
14 elmapg 8526 . . . . 5 (((𝑆 ∪ {0}) ∈ V ∧ ℕ0 ∈ V) → (𝐴 ∈ ((𝑆 ∪ {0}) ↑m0) ↔ 𝐴:ℕ0⟶(𝑆 ∪ {0})))
1512, 13, 14sylancl 589 . . . 4 ((𝑆 ⊆ ℂ ∧ 𝑁 ∈ ℕ0𝐴:ℕ0𝑆) → (𝐴 ∈ ((𝑆 ∪ {0}) ↑m0) ↔ 𝐴:ℕ0⟶(𝑆 ∪ {0})))
166, 15mpbird 260 . . 3 ((𝑆 ⊆ ℂ ∧ 𝑁 ∈ ℕ0𝐴:ℕ0𝑆) → 𝐴 ∈ ((𝑆 ∪ {0}) ↑m0))
17 eqidd 2738 . . 3 ((𝑆 ⊆ ℂ ∧ 𝑁 ∈ ℕ0𝐴:ℕ0𝑆) → (𝑧 ∈ ℂ ↦ Σ𝑘 ∈ (0...𝑁)((𝐴𝑘) · (𝑧𝑘))) = (𝑧 ∈ ℂ ↦ Σ𝑘 ∈ (0...𝑁)((𝐴𝑘) · (𝑧𝑘))))
18 oveq2 7226 . . . . . . 7 (𝑛 = 𝑁 → (0...𝑛) = (0...𝑁))
1918sumeq1d 15270 . . . . . 6 (𝑛 = 𝑁 → Σ𝑘 ∈ (0...𝑛)((𝑎𝑘) · (𝑧𝑘)) = Σ𝑘 ∈ (0...𝑁)((𝑎𝑘) · (𝑧𝑘)))
2019mpteq2dv 5156 . . . . 5 (𝑛 = 𝑁 → (𝑧 ∈ ℂ ↦ Σ𝑘 ∈ (0...𝑛)((𝑎𝑘) · (𝑧𝑘))) = (𝑧 ∈ ℂ ↦ Σ𝑘 ∈ (0...𝑁)((𝑎𝑘) · (𝑧𝑘))))
2120eqeq2d 2748 . . . 4 (𝑛 = 𝑁 → ((𝑧 ∈ ℂ ↦ Σ𝑘 ∈ (0...𝑁)((𝐴𝑘) · (𝑧𝑘))) = (𝑧 ∈ ℂ ↦ Σ𝑘 ∈ (0...𝑛)((𝑎𝑘) · (𝑧𝑘))) ↔ (𝑧 ∈ ℂ ↦ Σ𝑘 ∈ (0...𝑁)((𝐴𝑘) · (𝑧𝑘))) = (𝑧 ∈ ℂ ↦ Σ𝑘 ∈ (0...𝑁)((𝑎𝑘) · (𝑧𝑘)))))
22 fveq1 6721 . . . . . . . 8 (𝑎 = 𝐴 → (𝑎𝑘) = (𝐴𝑘))
2322oveq1d 7233 . . . . . . 7 (𝑎 = 𝐴 → ((𝑎𝑘) · (𝑧𝑘)) = ((𝐴𝑘) · (𝑧𝑘)))
2423sumeq2sdv 15273 . . . . . 6 (𝑎 = 𝐴 → Σ𝑘 ∈ (0...𝑁)((𝑎𝑘) · (𝑧𝑘)) = Σ𝑘 ∈ (0...𝑁)((𝐴𝑘) · (𝑧𝑘)))
2524mpteq2dv 5156 . . . . 5 (𝑎 = 𝐴 → (𝑧 ∈ ℂ ↦ Σ𝑘 ∈ (0...𝑁)((𝑎𝑘) · (𝑧𝑘))) = (𝑧 ∈ ℂ ↦ Σ𝑘 ∈ (0...𝑁)((𝐴𝑘) · (𝑧𝑘))))
2625eqeq2d 2748 . . . 4 (𝑎 = 𝐴 → ((𝑧 ∈ ℂ ↦ Σ𝑘 ∈ (0...𝑁)((𝐴𝑘) · (𝑧𝑘))) = (𝑧 ∈ ℂ ↦ Σ𝑘 ∈ (0...𝑁)((𝑎𝑘) · (𝑧𝑘))) ↔ (𝑧 ∈ ℂ ↦ Σ𝑘 ∈ (0...𝑁)((𝐴𝑘) · (𝑧𝑘))) = (𝑧 ∈ ℂ ↦ Σ𝑘 ∈ (0...𝑁)((𝐴𝑘) · (𝑧𝑘)))))
2721, 26rspc2ev 3554 . . 3 ((𝑁 ∈ ℕ0𝐴 ∈ ((𝑆 ∪ {0}) ↑m0) ∧ (𝑧 ∈ ℂ ↦ Σ𝑘 ∈ (0...𝑁)((𝐴𝑘) · (𝑧𝑘))) = (𝑧 ∈ ℂ ↦ Σ𝑘 ∈ (0...𝑁)((𝐴𝑘) · (𝑧𝑘)))) → ∃𝑛 ∈ ℕ0𝑎 ∈ ((𝑆 ∪ {0}) ↑m0)(𝑧 ∈ ℂ ↦ Σ𝑘 ∈ (0...𝑁)((𝐴𝑘) · (𝑧𝑘))) = (𝑧 ∈ ℂ ↦ Σ𝑘 ∈ (0...𝑛)((𝑎𝑘) · (𝑧𝑘))))
282, 16, 17, 27syl3anc 1373 . 2 ((𝑆 ⊆ ℂ ∧ 𝑁 ∈ ℕ0𝐴:ℕ0𝑆) → ∃𝑛 ∈ ℕ0𝑎 ∈ ((𝑆 ∪ {0}) ↑m0)(𝑧 ∈ ℂ ↦ Σ𝑘 ∈ (0...𝑁)((𝐴𝑘) · (𝑧𝑘))) = (𝑧 ∈ ℂ ↦ Σ𝑘 ∈ (0...𝑛)((𝑎𝑘) · (𝑧𝑘))))
29 elply 25094 . 2 ((𝑧 ∈ ℂ ↦ Σ𝑘 ∈ (0...𝑁)((𝐴𝑘) · (𝑧𝑘))) ∈ (Poly‘𝑆) ↔ (𝑆 ⊆ ℂ ∧ ∃𝑛 ∈ ℕ0𝑎 ∈ ((𝑆 ∪ {0}) ↑m0)(𝑧 ∈ ℂ ↦ Σ𝑘 ∈ (0...𝑁)((𝐴𝑘) · (𝑧𝑘))) = (𝑧 ∈ ℂ ↦ Σ𝑘 ∈ (0...𝑛)((𝑎𝑘) · (𝑧𝑘)))))
301, 28, 29sylanbrc 586 1 ((𝑆 ⊆ ℂ ∧ 𝑁 ∈ ℕ0𝐴:ℕ0𝑆) → (𝑧 ∈ ℂ ↦ Σ𝑘 ∈ (0...𝑁)((𝐴𝑘) · (𝑧𝑘))) ∈ (Poly‘𝑆))
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  wi 4  wb 209  w3a 1089   = wceq 1543  wcel 2110  wrex 3062  Vcvv 3413  cun 3869  wss 3871  {csn 4546  cmpt 5140  wf 6381  cfv 6385  (class class class)co 7218  m cmap 8513  cc 10732  0cc0 10734   · cmul 10739  0cn0 12095  ...cfz 13100  cexp 13640  Σcsu 15254  Polycply 25083
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1803  ax-4 1817  ax-5 1918  ax-6 1976  ax-7 2016  ax-8 2112  ax-9 2120  ax-10 2141  ax-11 2158  ax-12 2175  ax-ext 2708  ax-rep 5184  ax-sep 5197  ax-nul 5204  ax-pow 5263  ax-pr 5327  ax-un 7528  ax-cnex 10790  ax-resscn 10791  ax-1cn 10792  ax-icn 10793  ax-addcl 10794  ax-addrcl 10795  ax-mulcl 10796  ax-mulrcl 10797  ax-mulcom 10798  ax-addass 10799  ax-mulass 10800  ax-distr 10801  ax-i2m1 10802  ax-1ne0 10803  ax-1rid 10804  ax-rnegex 10805  ax-rrecex 10806  ax-cnre 10807  ax-pre-lttri 10808  ax-pre-lttrn 10809  ax-pre-ltadd 10810  ax-pre-mulgt0 10811
This theorem depends on definitions:  df-bi 210  df-an 400  df-or 848  df-3or 1090  df-3an 1091  df-tru 1546  df-fal 1556  df-ex 1788  df-nf 1792  df-sb 2071  df-mo 2539  df-eu 2568  df-clab 2715  df-cleq 2729  df-clel 2816  df-nfc 2886  df-ne 2941  df-nel 3047  df-ral 3066  df-rex 3067  df-reu 3068  df-rab 3070  df-v 3415  df-sbc 3700  df-csb 3817  df-dif 3874  df-un 3876  df-in 3878  df-ss 3888  df-pss 3890  df-nul 4243  df-if 4445  df-pw 4520  df-sn 4547  df-pr 4549  df-tp 4551  df-op 4553  df-uni 4825  df-iun 4911  df-br 5059  df-opab 5121  df-mpt 5141  df-tr 5167  df-id 5460  df-eprel 5465  df-po 5473  df-so 5474  df-fr 5514  df-we 5516  df-xp 5562  df-rel 5563  df-cnv 5564  df-co 5565  df-dm 5566  df-rn 5567  df-res 5568  df-ima 5569  df-pred 6165  df-ord 6221  df-on 6222  df-lim 6223  df-suc 6224  df-iota 6343  df-fun 6387  df-fn 6388  df-f 6389  df-f1 6390  df-fo 6391  df-f1o 6392  df-fv 6393  df-riota 7175  df-ov 7221  df-oprab 7222  df-mpo 7223  df-om 7650  df-1st 7766  df-2nd 7767  df-wrecs 8052  df-recs 8113  df-rdg 8151  df-er 8396  df-map 8515  df-en 8632  df-dom 8633  df-sdom 8634  df-pnf 10874  df-mnf 10875  df-xr 10876  df-ltxr 10877  df-le 10878  df-sub 11069  df-neg 11070  df-nn 11836  df-n0 12096  df-z 12182  df-uz 12444  df-fz 13101  df-seq 13580  df-sum 15255  df-ply 25087
This theorem is referenced by:  elplyd  25101  plypf1  25111  elaa2lem  43457
  Copyright terms: Public domain W3C validator