MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  elplyr Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem elplyr 24247
Description: Sufficient condition for elementhood in the set of polynomials. (Contributed by Mario Carneiro, 17-Jul-2014.) (Revised by Mario Carneiro, 23-Aug-2014.)
Assertion
Ref Expression
elplyr ((𝑆 ⊆ ℂ ∧ 𝑁 ∈ ℕ0𝐴:ℕ0𝑆) → (𝑧 ∈ ℂ ↦ Σ𝑘 ∈ (0...𝑁)((𝐴𝑘) · (𝑧𝑘))) ∈ (Poly‘𝑆))
Distinct variable groups:   𝑧,𝑘,𝐴   𝑘,𝑁,𝑧   𝑆,𝑘,𝑧

Proof of Theorem elplyr
Dummy variables 𝑎 𝑛 are mutually distinct and distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 simp1 1166 . 2 ((𝑆 ⊆ ℂ ∧ 𝑁 ∈ ℕ0𝐴:ℕ0𝑆) → 𝑆 ⊆ ℂ)
2 simp2 1167 . . 3 ((𝑆 ⊆ ℂ ∧ 𝑁 ∈ ℕ0𝐴:ℕ0𝑆) → 𝑁 ∈ ℕ0)
3 simp3 1168 . . . . 5 ((𝑆 ⊆ ℂ ∧ 𝑁 ∈ ℕ0𝐴:ℕ0𝑆) → 𝐴:ℕ0𝑆)
4 ssun1 3937 . . . . 5 𝑆 ⊆ (𝑆 ∪ {0})
5 fss 6235 . . . . 5 ((𝐴:ℕ0𝑆𝑆 ⊆ (𝑆 ∪ {0})) → 𝐴:ℕ0⟶(𝑆 ∪ {0}))
63, 4, 5sylancl 580 . . . 4 ((𝑆 ⊆ ℂ ∧ 𝑁 ∈ ℕ0𝐴:ℕ0𝑆) → 𝐴:ℕ0⟶(𝑆 ∪ {0}))
7 0cnd 10285 . . . . . . . 8 ((𝑆 ⊆ ℂ ∧ 𝑁 ∈ ℕ0𝐴:ℕ0𝑆) → 0 ∈ ℂ)
87snssd 4493 . . . . . . 7 ((𝑆 ⊆ ℂ ∧ 𝑁 ∈ ℕ0𝐴:ℕ0𝑆) → {0} ⊆ ℂ)
91, 8unssd 3950 . . . . . 6 ((𝑆 ⊆ ℂ ∧ 𝑁 ∈ ℕ0𝐴:ℕ0𝑆) → (𝑆 ∪ {0}) ⊆ ℂ)
10 cnex 10269 . . . . . 6 ℂ ∈ V
11 ssexg 4964 . . . . . 6 (((𝑆 ∪ {0}) ⊆ ℂ ∧ ℂ ∈ V) → (𝑆 ∪ {0}) ∈ V)
129, 10, 11sylancl 580 . . . . 5 ((𝑆 ⊆ ℂ ∧ 𝑁 ∈ ℕ0𝐴:ℕ0𝑆) → (𝑆 ∪ {0}) ∈ V)
13 nn0ex 11544 . . . . 5 0 ∈ V
14 elmapg 8072 . . . . 5 (((𝑆 ∪ {0}) ∈ V ∧ ℕ0 ∈ V) → (𝐴 ∈ ((𝑆 ∪ {0}) ↑𝑚0) ↔ 𝐴:ℕ0⟶(𝑆 ∪ {0})))
1512, 13, 14sylancl 580 . . . 4 ((𝑆 ⊆ ℂ ∧ 𝑁 ∈ ℕ0𝐴:ℕ0𝑆) → (𝐴 ∈ ((𝑆 ∪ {0}) ↑𝑚0) ↔ 𝐴:ℕ0⟶(𝑆 ∪ {0})))
166, 15mpbird 248 . . 3 ((𝑆 ⊆ ℂ ∧ 𝑁 ∈ ℕ0𝐴:ℕ0𝑆) → 𝐴 ∈ ((𝑆 ∪ {0}) ↑𝑚0))
17 eqidd 2765 . . 3 ((𝑆 ⊆ ℂ ∧ 𝑁 ∈ ℕ0𝐴:ℕ0𝑆) → (𝑧 ∈ ℂ ↦ Σ𝑘 ∈ (0...𝑁)((𝐴𝑘) · (𝑧𝑘))) = (𝑧 ∈ ℂ ↦ Σ𝑘 ∈ (0...𝑁)((𝐴𝑘) · (𝑧𝑘))))
18 oveq2 6849 . . . . . . 7 (𝑛 = 𝑁 → (0...𝑛) = (0...𝑁))
1918sumeq1d 14717 . . . . . 6 (𝑛 = 𝑁 → Σ𝑘 ∈ (0...𝑛)((𝑎𝑘) · (𝑧𝑘)) = Σ𝑘 ∈ (0...𝑁)((𝑎𝑘) · (𝑧𝑘)))
2019mpteq2dv 4903 . . . . 5 (𝑛 = 𝑁 → (𝑧 ∈ ℂ ↦ Σ𝑘 ∈ (0...𝑛)((𝑎𝑘) · (𝑧𝑘))) = (𝑧 ∈ ℂ ↦ Σ𝑘 ∈ (0...𝑁)((𝑎𝑘) · (𝑧𝑘))))
2120eqeq2d 2774 . . . 4 (𝑛 = 𝑁 → ((𝑧 ∈ ℂ ↦ Σ𝑘 ∈ (0...𝑁)((𝐴𝑘) · (𝑧𝑘))) = (𝑧 ∈ ℂ ↦ Σ𝑘 ∈ (0...𝑛)((𝑎𝑘) · (𝑧𝑘))) ↔ (𝑧 ∈ ℂ ↦ Σ𝑘 ∈ (0...𝑁)((𝐴𝑘) · (𝑧𝑘))) = (𝑧 ∈ ℂ ↦ Σ𝑘 ∈ (0...𝑁)((𝑎𝑘) · (𝑧𝑘)))))
22 fveq1 6373 . . . . . . . 8 (𝑎 = 𝐴 → (𝑎𝑘) = (𝐴𝑘))
2322oveq1d 6856 . . . . . . 7 (𝑎 = 𝐴 → ((𝑎𝑘) · (𝑧𝑘)) = ((𝐴𝑘) · (𝑧𝑘)))
2423sumeq2sdv 14721 . . . . . 6 (𝑎 = 𝐴 → Σ𝑘 ∈ (0...𝑁)((𝑎𝑘) · (𝑧𝑘)) = Σ𝑘 ∈ (0...𝑁)((𝐴𝑘) · (𝑧𝑘)))
2524mpteq2dv 4903 . . . . 5 (𝑎 = 𝐴 → (𝑧 ∈ ℂ ↦ Σ𝑘 ∈ (0...𝑁)((𝑎𝑘) · (𝑧𝑘))) = (𝑧 ∈ ℂ ↦ Σ𝑘 ∈ (0...𝑁)((𝐴𝑘) · (𝑧𝑘))))
2625eqeq2d 2774 . . . 4 (𝑎 = 𝐴 → ((𝑧 ∈ ℂ ↦ Σ𝑘 ∈ (0...𝑁)((𝐴𝑘) · (𝑧𝑘))) = (𝑧 ∈ ℂ ↦ Σ𝑘 ∈ (0...𝑁)((𝑎𝑘) · (𝑧𝑘))) ↔ (𝑧 ∈ ℂ ↦ Σ𝑘 ∈ (0...𝑁)((𝐴𝑘) · (𝑧𝑘))) = (𝑧 ∈ ℂ ↦ Σ𝑘 ∈ (0...𝑁)((𝐴𝑘) · (𝑧𝑘)))))
2721, 26rspc2ev 3475 . . 3 ((𝑁 ∈ ℕ0𝐴 ∈ ((𝑆 ∪ {0}) ↑𝑚0) ∧ (𝑧 ∈ ℂ ↦ Σ𝑘 ∈ (0...𝑁)((𝐴𝑘) · (𝑧𝑘))) = (𝑧 ∈ ℂ ↦ Σ𝑘 ∈ (0...𝑁)((𝐴𝑘) · (𝑧𝑘)))) → ∃𝑛 ∈ ℕ0𝑎 ∈ ((𝑆 ∪ {0}) ↑𝑚0)(𝑧 ∈ ℂ ↦ Σ𝑘 ∈ (0...𝑁)((𝐴𝑘) · (𝑧𝑘))) = (𝑧 ∈ ℂ ↦ Σ𝑘 ∈ (0...𝑛)((𝑎𝑘) · (𝑧𝑘))))
282, 16, 17, 27syl3anc 1490 . 2 ((𝑆 ⊆ ℂ ∧ 𝑁 ∈ ℕ0𝐴:ℕ0𝑆) → ∃𝑛 ∈ ℕ0𝑎 ∈ ((𝑆 ∪ {0}) ↑𝑚0)(𝑧 ∈ ℂ ↦ Σ𝑘 ∈ (0...𝑁)((𝐴𝑘) · (𝑧𝑘))) = (𝑧 ∈ ℂ ↦ Σ𝑘 ∈ (0...𝑛)((𝑎𝑘) · (𝑧𝑘))))
29 elply 24241 . 2 ((𝑧 ∈ ℂ ↦ Σ𝑘 ∈ (0...𝑁)((𝐴𝑘) · (𝑧𝑘))) ∈ (Poly‘𝑆) ↔ (𝑆 ⊆ ℂ ∧ ∃𝑛 ∈ ℕ0𝑎 ∈ ((𝑆 ∪ {0}) ↑𝑚0)(𝑧 ∈ ℂ ↦ Σ𝑘 ∈ (0...𝑁)((𝐴𝑘) · (𝑧𝑘))) = (𝑧 ∈ ℂ ↦ Σ𝑘 ∈ (0...𝑛)((𝑎𝑘) · (𝑧𝑘)))))
301, 28, 29sylanbrc 578 1 ((𝑆 ⊆ ℂ ∧ 𝑁 ∈ ℕ0𝐴:ℕ0𝑆) → (𝑧 ∈ ℂ ↦ Σ𝑘 ∈ (0...𝑁)((𝐴𝑘) · (𝑧𝑘))) ∈ (Poly‘𝑆))
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  wi 4  wb 197  w3a 1107   = wceq 1652  wcel 2155  wrex 3055  Vcvv 3349  cun 3729  wss 3731  {csn 4333  cmpt 4887  wf 6063  cfv 6067  (class class class)co 6841  𝑚 cmap 8059  cc 10186  0cc0 10188   · cmul 10193  0cn0 11537  ...cfz 12532  cexp 13066  Σcsu 14702  Polycply 24230
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1890  ax-4 1904  ax-5 2005  ax-6 2069  ax-7 2105  ax-8 2157  ax-9 2164  ax-10 2183  ax-11 2198  ax-12 2211  ax-13 2349  ax-ext 2742  ax-rep 4929  ax-sep 4940  ax-nul 4948  ax-pow 5000  ax-pr 5061  ax-un 7146  ax-cnex 10244  ax-resscn 10245  ax-1cn 10246  ax-icn 10247  ax-addcl 10248  ax-addrcl 10249  ax-mulcl 10250  ax-mulrcl 10251  ax-mulcom 10252  ax-addass 10253  ax-mulass 10254  ax-distr 10255  ax-i2m1 10256  ax-1ne0 10257  ax-1rid 10258  ax-rnegex 10259  ax-rrecex 10260  ax-cnre 10261  ax-pre-lttri 10262  ax-pre-lttrn 10263  ax-pre-ltadd 10264  ax-pre-mulgt0 10265
This theorem depends on definitions:  df-bi 198  df-an 385  df-or 874  df-3or 1108  df-3an 1109  df-tru 1656  df-fal 1666  df-ex 1875  df-nf 1879  df-sb 2062  df-mo 2564  df-eu 2581  df-clab 2751  df-cleq 2757  df-clel 2760  df-nfc 2895  df-ne 2937  df-nel 3040  df-ral 3059  df-rex 3060  df-reu 3061  df-rab 3063  df-v 3351  df-sbc 3596  df-csb 3691  df-dif 3734  df-un 3736  df-in 3738  df-ss 3745  df-pss 3747  df-nul 4079  df-if 4243  df-pw 4316  df-sn 4334  df-pr 4336  df-tp 4338  df-op 4340  df-uni 4594  df-iun 4677  df-br 4809  df-opab 4871  df-mpt 4888  df-tr 4911  df-id 5184  df-eprel 5189  df-po 5197  df-so 5198  df-fr 5235  df-we 5237  df-xp 5282  df-rel 5283  df-cnv 5284  df-co 5285  df-dm 5286  df-rn 5287  df-res 5288  df-ima 5289  df-pred 5864  df-ord 5910  df-on 5911  df-lim 5912  df-suc 5913  df-iota 6030  df-fun 6069  df-fn 6070  df-f 6071  df-f1 6072  df-fo 6073  df-f1o 6074  df-fv 6075  df-riota 6802  df-ov 6844  df-oprab 6845  df-mpt2 6846  df-om 7263  df-1st 7365  df-2nd 7366  df-wrecs 7609  df-recs 7671  df-rdg 7709  df-er 7946  df-map 8061  df-en 8160  df-dom 8161  df-sdom 8162  df-pnf 10329  df-mnf 10330  df-xr 10331  df-ltxr 10332  df-le 10333  df-sub 10521  df-neg 10522  df-nn 11274  df-n0 11538  df-z 11624  df-uz 11886  df-fz 12533  df-seq 13008  df-sum 14703  df-ply 24234
This theorem is referenced by:  elplyd  24248  plypf1  24258  elaa2lem  41019
  Copyright terms: Public domain W3C validator