MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  elplyr Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem elplyr 25949
Description: Sufficient condition for elementhood in the set of polynomials. (Contributed by Mario Carneiro, 17-Jul-2014.) (Revised by Mario Carneiro, 23-Aug-2014.)
Assertion
Ref Expression
elplyr ((๐‘† โŠ† โ„‚ โˆง ๐‘ โˆˆ โ„•0 โˆง ๐ด:โ„•0โŸถ๐‘†) โ†’ (๐‘ง โˆˆ โ„‚ โ†ฆ ฮฃ๐‘˜ โˆˆ (0...๐‘)((๐ดโ€˜๐‘˜) ยท (๐‘งโ†‘๐‘˜))) โˆˆ (Polyโ€˜๐‘†))
Distinct variable groups:   ๐‘ง,๐‘˜,๐ด   ๐‘˜,๐‘,๐‘ง   ๐‘†,๐‘˜,๐‘ง

Proof of Theorem elplyr
Dummy variables ๐‘Ž ๐‘› are mutually distinct and distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 simp1 1134 . 2 ((๐‘† โŠ† โ„‚ โˆง ๐‘ โˆˆ โ„•0 โˆง ๐ด:โ„•0โŸถ๐‘†) โ†’ ๐‘† โŠ† โ„‚)
2 simp2 1135 . . 3 ((๐‘† โŠ† โ„‚ โˆง ๐‘ โˆˆ โ„•0 โˆง ๐ด:โ„•0โŸถ๐‘†) โ†’ ๐‘ โˆˆ โ„•0)
3 simp3 1136 . . . . 5 ((๐‘† โŠ† โ„‚ โˆง ๐‘ โˆˆ โ„•0 โˆง ๐ด:โ„•0โŸถ๐‘†) โ†’ ๐ด:โ„•0โŸถ๐‘†)
4 ssun1 4173 . . . . 5 ๐‘† โŠ† (๐‘† โˆช {0})
5 fss 6735 . . . . 5 ((๐ด:โ„•0โŸถ๐‘† โˆง ๐‘† โŠ† (๐‘† โˆช {0})) โ†’ ๐ด:โ„•0โŸถ(๐‘† โˆช {0}))
63, 4, 5sylancl 584 . . . 4 ((๐‘† โŠ† โ„‚ โˆง ๐‘ โˆˆ โ„•0 โˆง ๐ด:โ„•0โŸถ๐‘†) โ†’ ๐ด:โ„•0โŸถ(๐‘† โˆช {0}))
7 0cnd 11213 . . . . . . . 8 ((๐‘† โŠ† โ„‚ โˆง ๐‘ โˆˆ โ„•0 โˆง ๐ด:โ„•0โŸถ๐‘†) โ†’ 0 โˆˆ โ„‚)
87snssd 4813 . . . . . . 7 ((๐‘† โŠ† โ„‚ โˆง ๐‘ โˆˆ โ„•0 โˆง ๐ด:โ„•0โŸถ๐‘†) โ†’ {0} โŠ† โ„‚)
91, 8unssd 4187 . . . . . 6 ((๐‘† โŠ† โ„‚ โˆง ๐‘ โˆˆ โ„•0 โˆง ๐ด:โ„•0โŸถ๐‘†) โ†’ (๐‘† โˆช {0}) โŠ† โ„‚)
10 cnex 11195 . . . . . 6 โ„‚ โˆˆ V
11 ssexg 5324 . . . . . 6 (((๐‘† โˆช {0}) โŠ† โ„‚ โˆง โ„‚ โˆˆ V) โ†’ (๐‘† โˆช {0}) โˆˆ V)
129, 10, 11sylancl 584 . . . . 5 ((๐‘† โŠ† โ„‚ โˆง ๐‘ โˆˆ โ„•0 โˆง ๐ด:โ„•0โŸถ๐‘†) โ†’ (๐‘† โˆช {0}) โˆˆ V)
13 nn0ex 12484 . . . . 5 โ„•0 โˆˆ V
14 elmapg 8837 . . . . 5 (((๐‘† โˆช {0}) โˆˆ V โˆง โ„•0 โˆˆ V) โ†’ (๐ด โˆˆ ((๐‘† โˆช {0}) โ†‘m โ„•0) โ†” ๐ด:โ„•0โŸถ(๐‘† โˆช {0})))
1512, 13, 14sylancl 584 . . . 4 ((๐‘† โŠ† โ„‚ โˆง ๐‘ โˆˆ โ„•0 โˆง ๐ด:โ„•0โŸถ๐‘†) โ†’ (๐ด โˆˆ ((๐‘† โˆช {0}) โ†‘m โ„•0) โ†” ๐ด:โ„•0โŸถ(๐‘† โˆช {0})))
166, 15mpbird 256 . . 3 ((๐‘† โŠ† โ„‚ โˆง ๐‘ โˆˆ โ„•0 โˆง ๐ด:โ„•0โŸถ๐‘†) โ†’ ๐ด โˆˆ ((๐‘† โˆช {0}) โ†‘m โ„•0))
17 eqidd 2731 . . 3 ((๐‘† โŠ† โ„‚ โˆง ๐‘ โˆˆ โ„•0 โˆง ๐ด:โ„•0โŸถ๐‘†) โ†’ (๐‘ง โˆˆ โ„‚ โ†ฆ ฮฃ๐‘˜ โˆˆ (0...๐‘)((๐ดโ€˜๐‘˜) ยท (๐‘งโ†‘๐‘˜))) = (๐‘ง โˆˆ โ„‚ โ†ฆ ฮฃ๐‘˜ โˆˆ (0...๐‘)((๐ดโ€˜๐‘˜) ยท (๐‘งโ†‘๐‘˜))))
18 oveq2 7421 . . . . . . 7 (๐‘› = ๐‘ โ†’ (0...๐‘›) = (0...๐‘))
1918sumeq1d 15653 . . . . . 6 (๐‘› = ๐‘ โ†’ ฮฃ๐‘˜ โˆˆ (0...๐‘›)((๐‘Žโ€˜๐‘˜) ยท (๐‘งโ†‘๐‘˜)) = ฮฃ๐‘˜ โˆˆ (0...๐‘)((๐‘Žโ€˜๐‘˜) ยท (๐‘งโ†‘๐‘˜)))
2019mpteq2dv 5251 . . . . 5 (๐‘› = ๐‘ โ†’ (๐‘ง โˆˆ โ„‚ โ†ฆ ฮฃ๐‘˜ โˆˆ (0...๐‘›)((๐‘Žโ€˜๐‘˜) ยท (๐‘งโ†‘๐‘˜))) = (๐‘ง โˆˆ โ„‚ โ†ฆ ฮฃ๐‘˜ โˆˆ (0...๐‘)((๐‘Žโ€˜๐‘˜) ยท (๐‘งโ†‘๐‘˜))))
2120eqeq2d 2741 . . . 4 (๐‘› = ๐‘ โ†’ ((๐‘ง โˆˆ โ„‚ โ†ฆ ฮฃ๐‘˜ โˆˆ (0...๐‘)((๐ดโ€˜๐‘˜) ยท (๐‘งโ†‘๐‘˜))) = (๐‘ง โˆˆ โ„‚ โ†ฆ ฮฃ๐‘˜ โˆˆ (0...๐‘›)((๐‘Žโ€˜๐‘˜) ยท (๐‘งโ†‘๐‘˜))) โ†” (๐‘ง โˆˆ โ„‚ โ†ฆ ฮฃ๐‘˜ โˆˆ (0...๐‘)((๐ดโ€˜๐‘˜) ยท (๐‘งโ†‘๐‘˜))) = (๐‘ง โˆˆ โ„‚ โ†ฆ ฮฃ๐‘˜ โˆˆ (0...๐‘)((๐‘Žโ€˜๐‘˜) ยท (๐‘งโ†‘๐‘˜)))))
22 fveq1 6891 . . . . . . . 8 (๐‘Ž = ๐ด โ†’ (๐‘Žโ€˜๐‘˜) = (๐ดโ€˜๐‘˜))
2322oveq1d 7428 . . . . . . 7 (๐‘Ž = ๐ด โ†’ ((๐‘Žโ€˜๐‘˜) ยท (๐‘งโ†‘๐‘˜)) = ((๐ดโ€˜๐‘˜) ยท (๐‘งโ†‘๐‘˜)))
2423sumeq2sdv 15656 . . . . . 6 (๐‘Ž = ๐ด โ†’ ฮฃ๐‘˜ โˆˆ (0...๐‘)((๐‘Žโ€˜๐‘˜) ยท (๐‘งโ†‘๐‘˜)) = ฮฃ๐‘˜ โˆˆ (0...๐‘)((๐ดโ€˜๐‘˜) ยท (๐‘งโ†‘๐‘˜)))
2524mpteq2dv 5251 . . . . 5 (๐‘Ž = ๐ด โ†’ (๐‘ง โˆˆ โ„‚ โ†ฆ ฮฃ๐‘˜ โˆˆ (0...๐‘)((๐‘Žโ€˜๐‘˜) ยท (๐‘งโ†‘๐‘˜))) = (๐‘ง โˆˆ โ„‚ โ†ฆ ฮฃ๐‘˜ โˆˆ (0...๐‘)((๐ดโ€˜๐‘˜) ยท (๐‘งโ†‘๐‘˜))))
2625eqeq2d 2741 . . . 4 (๐‘Ž = ๐ด โ†’ ((๐‘ง โˆˆ โ„‚ โ†ฆ ฮฃ๐‘˜ โˆˆ (0...๐‘)((๐ดโ€˜๐‘˜) ยท (๐‘งโ†‘๐‘˜))) = (๐‘ง โˆˆ โ„‚ โ†ฆ ฮฃ๐‘˜ โˆˆ (0...๐‘)((๐‘Žโ€˜๐‘˜) ยท (๐‘งโ†‘๐‘˜))) โ†” (๐‘ง โˆˆ โ„‚ โ†ฆ ฮฃ๐‘˜ โˆˆ (0...๐‘)((๐ดโ€˜๐‘˜) ยท (๐‘งโ†‘๐‘˜))) = (๐‘ง โˆˆ โ„‚ โ†ฆ ฮฃ๐‘˜ โˆˆ (0...๐‘)((๐ดโ€˜๐‘˜) ยท (๐‘งโ†‘๐‘˜)))))
2721, 26rspc2ev 3625 . . 3 ((๐‘ โˆˆ โ„•0 โˆง ๐ด โˆˆ ((๐‘† โˆช {0}) โ†‘m โ„•0) โˆง (๐‘ง โˆˆ โ„‚ โ†ฆ ฮฃ๐‘˜ โˆˆ (0...๐‘)((๐ดโ€˜๐‘˜) ยท (๐‘งโ†‘๐‘˜))) = (๐‘ง โˆˆ โ„‚ โ†ฆ ฮฃ๐‘˜ โˆˆ (0...๐‘)((๐ดโ€˜๐‘˜) ยท (๐‘งโ†‘๐‘˜)))) โ†’ โˆƒ๐‘› โˆˆ โ„•0 โˆƒ๐‘Ž โˆˆ ((๐‘† โˆช {0}) โ†‘m โ„•0)(๐‘ง โˆˆ โ„‚ โ†ฆ ฮฃ๐‘˜ โˆˆ (0...๐‘)((๐ดโ€˜๐‘˜) ยท (๐‘งโ†‘๐‘˜))) = (๐‘ง โˆˆ โ„‚ โ†ฆ ฮฃ๐‘˜ โˆˆ (0...๐‘›)((๐‘Žโ€˜๐‘˜) ยท (๐‘งโ†‘๐‘˜))))
282, 16, 17, 27syl3anc 1369 . 2 ((๐‘† โŠ† โ„‚ โˆง ๐‘ โˆˆ โ„•0 โˆง ๐ด:โ„•0โŸถ๐‘†) โ†’ โˆƒ๐‘› โˆˆ โ„•0 โˆƒ๐‘Ž โˆˆ ((๐‘† โˆช {0}) โ†‘m โ„•0)(๐‘ง โˆˆ โ„‚ โ†ฆ ฮฃ๐‘˜ โˆˆ (0...๐‘)((๐ดโ€˜๐‘˜) ยท (๐‘งโ†‘๐‘˜))) = (๐‘ง โˆˆ โ„‚ โ†ฆ ฮฃ๐‘˜ โˆˆ (0...๐‘›)((๐‘Žโ€˜๐‘˜) ยท (๐‘งโ†‘๐‘˜))))
29 elply 25943 . 2 ((๐‘ง โˆˆ โ„‚ โ†ฆ ฮฃ๐‘˜ โˆˆ (0...๐‘)((๐ดโ€˜๐‘˜) ยท (๐‘งโ†‘๐‘˜))) โˆˆ (Polyโ€˜๐‘†) โ†” (๐‘† โŠ† โ„‚ โˆง โˆƒ๐‘› โˆˆ โ„•0 โˆƒ๐‘Ž โˆˆ ((๐‘† โˆช {0}) โ†‘m โ„•0)(๐‘ง โˆˆ โ„‚ โ†ฆ ฮฃ๐‘˜ โˆˆ (0...๐‘)((๐ดโ€˜๐‘˜) ยท (๐‘งโ†‘๐‘˜))) = (๐‘ง โˆˆ โ„‚ โ†ฆ ฮฃ๐‘˜ โˆˆ (0...๐‘›)((๐‘Žโ€˜๐‘˜) ยท (๐‘งโ†‘๐‘˜)))))
301, 28, 29sylanbrc 581 1 ((๐‘† โŠ† โ„‚ โˆง ๐‘ โˆˆ โ„•0 โˆง ๐ด:โ„•0โŸถ๐‘†) โ†’ (๐‘ง โˆˆ โ„‚ โ†ฆ ฮฃ๐‘˜ โˆˆ (0...๐‘)((๐ดโ€˜๐‘˜) ยท (๐‘งโ†‘๐‘˜))) โˆˆ (Polyโ€˜๐‘†))
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:   โ†’ wi 4   โ†” wb 205   โˆง w3a 1085   = wceq 1539   โˆˆ wcel 2104  โˆƒwrex 3068  Vcvv 3472   โˆช cun 3947   โŠ† wss 3949  {csn 4629   โ†ฆ cmpt 5232  โŸถwf 6540  โ€˜cfv 6544  (class class class)co 7413   โ†‘m cmap 8824  โ„‚cc 11112  0cc0 11114   ยท cmul 11119  โ„•0cn0 12478  ...cfz 13490  โ†‘cexp 14033  ฮฃcsu 15638  Polycply 25932
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1795  ax-4 1809  ax-5 1911  ax-6 1969  ax-7 2009  ax-8 2106  ax-9 2114  ax-10 2135  ax-11 2152  ax-12 2169  ax-ext 2701  ax-rep 5286  ax-sep 5300  ax-nul 5307  ax-pow 5364  ax-pr 5428  ax-un 7729  ax-cnex 11170  ax-resscn 11171  ax-1cn 11172  ax-icn 11173  ax-addcl 11174  ax-addrcl 11175  ax-mulcl 11176  ax-mulrcl 11177  ax-mulcom 11178  ax-addass 11179  ax-mulass 11180  ax-distr 11181  ax-i2m1 11182  ax-1ne0 11183  ax-1rid 11184  ax-rnegex 11185  ax-rrecex 11186  ax-cnre 11187  ax-pre-lttri 11188  ax-pre-lttrn 11189  ax-pre-ltadd 11190  ax-pre-mulgt0 11191
This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 395  df-or 844  df-3or 1086  df-3an 1087  df-tru 1542  df-fal 1552  df-ex 1780  df-nf 1784  df-sb 2066  df-mo 2532  df-eu 2561  df-clab 2708  df-cleq 2722  df-clel 2808  df-nfc 2883  df-ne 2939  df-nel 3045  df-ral 3060  df-rex 3069  df-reu 3375  df-rab 3431  df-v 3474  df-sbc 3779  df-csb 3895  df-dif 3952  df-un 3954  df-in 3956  df-ss 3966  df-pss 3968  df-nul 4324  df-if 4530  df-pw 4605  df-sn 4630  df-pr 4632  df-op 4636  df-uni 4910  df-iun 5000  df-br 5150  df-opab 5212  df-mpt 5233  df-tr 5267  df-id 5575  df-eprel 5581  df-po 5589  df-so 5590  df-fr 5632  df-we 5634  df-xp 5683  df-rel 5684  df-cnv 5685  df-co 5686  df-dm 5687  df-rn 5688  df-res 5689  df-ima 5690  df-pred 6301  df-ord 6368  df-on 6369  df-lim 6370  df-suc 6371  df-iota 6496  df-fun 6546  df-fn 6547  df-f 6548  df-f1 6549  df-fo 6550  df-f1o 6551  df-fv 6552  df-riota 7369  df-ov 7416  df-oprab 7417  df-mpo 7418  df-om 7860  df-1st 7979  df-2nd 7980  df-frecs 8270  df-wrecs 8301  df-recs 8375  df-rdg 8414  df-er 8707  df-map 8826  df-en 8944  df-dom 8945  df-sdom 8946  df-pnf 11256  df-mnf 11257  df-xr 11258  df-ltxr 11259  df-le 11260  df-sub 11452  df-neg 11453  df-nn 12219  df-n0 12479  df-z 12565  df-uz 12829  df-fz 13491  df-seq 13973  df-sum 15639  df-ply 25936
This theorem is referenced by:  elplyd  25950  plypf1  25960  elaa2lem  45249
  Copyright terms: Public domain W3C validator