Theorem elplyr 25706

Description: Sufficient condition for elementhood in the set of polynomials. (Contributed by Mario Carneiro, 17-Jul-2014.) (Revised by Mario Carneiro, 23-Aug-2014.)

Assertion

Ref	Expression
elplyr	⊢ ((𝑆 ⊆ ℂ ∧ 𝑁 ∈ ℕ0 ∧ 𝐴:ℕ0⟶𝑆) → (𝑧 ∈ ℂ ↦ Σ𝑘 ∈ (0...𝑁)((𝐴‘𝑘) · (𝑧↑𝑘))) ∈ (Poly‘𝑆))

Distinct variable groups:   𝑧,𝑘,𝐴   𝑘,𝑁,𝑧   𝑆,𝑘,𝑧

Proof of Theorem elplyr

Dummy variables 𝑎 𝑛 are mutually distinct and distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		simp1 1136	. 2 ⊢ ((𝑆 ⊆ ℂ ∧ 𝑁 ∈ ℕ0 ∧ 𝐴:ℕ0⟶𝑆) → 𝑆 ⊆ ℂ)
2		simp2 1137	. . 3 ⊢ ((𝑆 ⊆ ℂ ∧ 𝑁 ∈ ℕ0 ∧ 𝐴:ℕ0⟶𝑆) → 𝑁 ∈ ℕ0)
3		simp3 1138	. . . . 5 ⊢ ((𝑆 ⊆ ℂ ∧ 𝑁 ∈ ℕ0 ∧ 𝐴:ℕ0⟶𝑆) → 𝐴:ℕ0⟶𝑆)
4		ssun1 4171	. . . . 5 ⊢ 𝑆 ⊆ (𝑆 ∪ {0})
5		fss 6731	. . . . 5 ⊢ ((𝐴:ℕ0⟶𝑆 ∧ 𝑆 ⊆ (𝑆 ∪ {0})) → 𝐴:ℕ0⟶(𝑆 ∪ {0}))
6	3, 4, 5	sylancl 586	. . . 4 ⊢ ((𝑆 ⊆ ℂ ∧ 𝑁 ∈ ℕ0 ∧ 𝐴:ℕ0⟶𝑆) → 𝐴:ℕ0⟶(𝑆 ∪ {0}))
7		0cnd 11203	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝑆 ⊆ ℂ ∧ 𝑁 ∈ ℕ0 ∧ 𝐴:ℕ0⟶𝑆) → 0 ∈ ℂ)
8	7	snssd 4811	. . . . . . 7 ⊢ ((𝑆 ⊆ ℂ ∧ 𝑁 ∈ ℕ0 ∧ 𝐴:ℕ0⟶𝑆) → {0} ⊆ ℂ)
9	1, 8	unssd 4185	. . . . . 6 ⊢ ((𝑆 ⊆ ℂ ∧ 𝑁 ∈ ℕ0 ∧ 𝐴:ℕ0⟶𝑆) → (𝑆 ∪ {0}) ⊆ ℂ)
10		cnex 11187	. . . . . 6 ⊢ ℂ ∈ V
11		ssexg 5322	. . . . . 6 ⊢ (((𝑆 ∪ {0}) ⊆ ℂ ∧ ℂ ∈ V) → (𝑆 ∪ {0}) ∈ V)
12	9, 10, 11	sylancl 586	. . . . 5 ⊢ ((𝑆 ⊆ ℂ ∧ 𝑁 ∈ ℕ0 ∧ 𝐴:ℕ0⟶𝑆) → (𝑆 ∪ {0}) ∈ V)
13		nn0ex 12474	. . . . 5 ⊢ ℕ0 ∈ V
14		elmapg 8829	. . . . 5 ⊢ (((𝑆 ∪ {0}) ∈ V ∧ ℕ0 ∈ V) → (𝐴 ∈ ((𝑆 ∪ {0}) ↑m ℕ0) ↔ 𝐴:ℕ0⟶(𝑆 ∪ {0})))
15	12, 13, 14	sylancl 586	. . . 4 ⊢ ((𝑆 ⊆ ℂ ∧ 𝑁 ∈ ℕ0 ∧ 𝐴:ℕ0⟶𝑆) → (𝐴 ∈ ((𝑆 ∪ {0}) ↑m ℕ0) ↔ 𝐴:ℕ0⟶(𝑆 ∪ {0})))
16	6, 15	mpbird 256	. . 3 ⊢ ((𝑆 ⊆ ℂ ∧ 𝑁 ∈ ℕ0 ∧ 𝐴:ℕ0⟶𝑆) → 𝐴 ∈ ((𝑆 ∪ {0}) ↑m ℕ0))
17		eqidd 2733	. . 3 ⊢ ((𝑆 ⊆ ℂ ∧ 𝑁 ∈ ℕ0 ∧ 𝐴:ℕ0⟶𝑆) → (𝑧 ∈ ℂ ↦ Σ𝑘 ∈ (0...𝑁)((𝐴‘𝑘) · (𝑧↑𝑘))) = (𝑧 ∈ ℂ ↦ Σ𝑘 ∈ (0...𝑁)((𝐴‘𝑘) · (𝑧↑𝑘))))
18		oveq2 7413	. . . . . . 7 ⊢ (𝑛 = 𝑁 → (0...𝑛) = (0...𝑁))
19	18	sumeq1d 15643	. . . . . 6 ⊢ (𝑛 = 𝑁 → Σ𝑘 ∈ (0...𝑛)((𝑎‘𝑘) · (𝑧↑𝑘)) = Σ𝑘 ∈ (0...𝑁)((𝑎‘𝑘) · (𝑧↑𝑘)))
20	19	mpteq2dv 5249	. . . . 5 ⊢ (𝑛 = 𝑁 → (𝑧 ∈ ℂ ↦ Σ𝑘 ∈ (0...𝑛)((𝑎‘𝑘) · (𝑧↑𝑘))) = (𝑧 ∈ ℂ ↦ Σ𝑘 ∈ (0...𝑁)((𝑎‘𝑘) · (𝑧↑𝑘))))
21	20	eqeq2d 2743	. . . 4 ⊢ (𝑛 = 𝑁 → ((𝑧 ∈ ℂ ↦ Σ𝑘 ∈ (0...𝑁)((𝐴‘𝑘) · (𝑧↑𝑘))) = (𝑧 ∈ ℂ ↦ Σ𝑘 ∈ (0...𝑛)((𝑎‘𝑘) · (𝑧↑𝑘))) ↔ (𝑧 ∈ ℂ ↦ Σ𝑘 ∈ (0...𝑁)((𝐴‘𝑘) · (𝑧↑𝑘))) = (𝑧 ∈ ℂ ↦ Σ𝑘 ∈ (0...𝑁)((𝑎‘𝑘) · (𝑧↑𝑘)))))
22		fveq1 6887	. . . . . . . 8 ⊢ (𝑎 = 𝐴 → (𝑎‘𝑘) = (𝐴‘𝑘))
23	22	oveq1d 7420	. . . . . . 7 ⊢ (𝑎 = 𝐴 → ((𝑎‘𝑘) · (𝑧↑𝑘)) = ((𝐴‘𝑘) · (𝑧↑𝑘)))
24	23	sumeq2sdv 15646	. . . . . 6 ⊢ (𝑎 = 𝐴 → Σ𝑘 ∈ (0...𝑁)((𝑎‘𝑘) · (𝑧↑𝑘)) = Σ𝑘 ∈ (0...𝑁)((𝐴‘𝑘) · (𝑧↑𝑘)))
25	24	mpteq2dv 5249	. . . . 5 ⊢ (𝑎 = 𝐴 → (𝑧 ∈ ℂ ↦ Σ𝑘 ∈ (0...𝑁)((𝑎‘𝑘) · (𝑧↑𝑘))) = (𝑧 ∈ ℂ ↦ Σ𝑘 ∈ (0...𝑁)((𝐴‘𝑘) · (𝑧↑𝑘))))
26	25	eqeq2d 2743	. . . 4 ⊢ (𝑎 = 𝐴 → ((𝑧 ∈ ℂ ↦ Σ𝑘 ∈ (0...𝑁)((𝐴‘𝑘) · (𝑧↑𝑘))) = (𝑧 ∈ ℂ ↦ Σ𝑘 ∈ (0...𝑁)((𝑎‘𝑘) · (𝑧↑𝑘))) ↔ (𝑧 ∈ ℂ ↦ Σ𝑘 ∈ (0...𝑁)((𝐴‘𝑘) · (𝑧↑𝑘))) = (𝑧 ∈ ℂ ↦ Σ𝑘 ∈ (0...𝑁)((𝐴‘𝑘) · (𝑧↑𝑘)))))
27	21, 26	rspc2ev 3623	. . 3 ⊢ ((𝑁 ∈ ℕ0 ∧ 𝐴 ∈ ((𝑆 ∪ {0}) ↑m ℕ0) ∧ (𝑧 ∈ ℂ ↦ Σ𝑘 ∈ (0...𝑁)((𝐴‘𝑘) · (𝑧↑𝑘))) = (𝑧 ∈ ℂ ↦ Σ𝑘 ∈ (0...𝑁)((𝐴‘𝑘) · (𝑧↑𝑘)))) → ∃𝑛 ∈ ℕ0 ∃𝑎 ∈ ((𝑆 ∪ {0}) ↑m ℕ0)(𝑧 ∈ ℂ ↦ Σ𝑘 ∈ (0...𝑁)((𝐴‘𝑘) · (𝑧↑𝑘))) = (𝑧 ∈ ℂ ↦ Σ𝑘 ∈ (0...𝑛)((𝑎‘𝑘) · (𝑧↑𝑘))))
28	2, 16, 17, 27	syl3anc 1371	. 2 ⊢ ((𝑆 ⊆ ℂ ∧ 𝑁 ∈ ℕ0 ∧ 𝐴:ℕ0⟶𝑆) → ∃𝑛 ∈ ℕ0 ∃𝑎 ∈ ((𝑆 ∪ {0}) ↑m ℕ0)(𝑧 ∈ ℂ ↦ Σ𝑘 ∈ (0...𝑁)((𝐴‘𝑘) · (𝑧↑𝑘))) = (𝑧 ∈ ℂ ↦ Σ𝑘 ∈ (0...𝑛)((𝑎‘𝑘) · (𝑧↑𝑘))))
29		elply 25700	. 2 ⊢ ((𝑧 ∈ ℂ ↦ Σ𝑘 ∈ (0...𝑁)((𝐴‘𝑘) · (𝑧↑𝑘))) ∈ (Poly‘𝑆) ↔ (𝑆 ⊆ ℂ ∧ ∃𝑛 ∈ ℕ0 ∃𝑎 ∈ ((𝑆 ∪ {0}) ↑m ℕ0)(𝑧 ∈ ℂ ↦ Σ𝑘 ∈ (0...𝑁)((𝐴‘𝑘) · (𝑧↑𝑘))) = (𝑧 ∈ ℂ ↦ Σ𝑘 ∈ (0...𝑛)((𝑎‘𝑘) · (𝑧↑𝑘)))))
30	1, 28, 29	sylanbrc 583	1 ⊢ ((𝑆 ⊆ ℂ ∧ 𝑁 ∈ ℕ0 ∧ 𝐴:ℕ0⟶𝑆) → (𝑧 ∈ ℂ ↦ Σ𝑘 ∈ (0...𝑁)((𝐴‘𝑘) · (𝑧↑𝑘))) ∈ (Poly‘𝑆))

Syntax hints:   → wi 4   ↔ wb 205   ∧ w3a 1087   = wceq 1541   ∈ wcel 2106  ∃wrex 3070  Vcvv 3474   ∪ cun 3945   ⊆ wss 3947  {csn 4627   ↦ cmpt 5230  ⟶wf 6536  ‘cfv 6540  (class class class)co 7405   ↑_m cmap 8816  ℂcc 11104  0cc0 11106   · cmul 11111  ℕ₀cn0 12468  ...cfz 13480  ↑cexp 14023  Σcsu 15628  Polycply 25689

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1797  ax-4 1811  ax-5 1913  ax-6 1971  ax-7 2011  ax-8 2108  ax-9 2116  ax-10 2137  ax-11 2154  ax-12 2171  ax-ext 2703  ax-rep 5284  ax-sep 5298  ax-nul 5305  ax-pow 5362  ax-pr 5426  ax-un 7721  ax-cnex 11162  ax-resscn 11163  ax-1cn 11164  ax-icn 11165  ax-addcl 11166  ax-addrcl 11167  ax-mulcl 11168  ax-mulrcl 11169  ax-mulcom 11170  ax-addass 11171  ax-mulass 11172  ax-distr 11173  ax-i2m1 11174  ax-1ne0 11175  ax-1rid 11176  ax-rnegex 11177  ax-rrecex 11178  ax-cnre 11179  ax-pre-lttri 11180  ax-pre-lttrn 11181  ax-pre-ltadd 11182  ax-pre-mulgt0 11183

This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 397  df-or 846  df-3or 1088  df-3an 1089  df-tru 1544  df-fal 1554  df-ex 1782  df-nf 1786  df-sb 2068  df-mo 2534  df-eu 2563  df-clab 2710  df-cleq 2724  df-clel 2810  df-nfc 2885  df-ne 2941  df-nel 3047  df-ral 3062  df-rex 3071  df-reu 3377  df-rab 3433  df-v 3476  df-sbc 3777  df-csb 3893  df-dif 3950  df-un 3952  df-in 3954  df-ss 3964  df-pss 3966  df-nul 4322  df-if 4528  df-pw 4603  df-sn 4628  df-pr 4630  df-op 4634  df-uni 4908  df-iun 4998  df-br 5148  df-opab 5210  df-mpt 5231  df-tr 5265  df-id 5573  df-eprel 5579  df-po 5587  df-so 5588  df-fr 5630  df-we 5632  df-xp 5681  df-rel 5682  df-cnv 5683  df-co 5684  df-dm 5685  df-rn 5686  df-res 5687  df-ima 5688  df-pred 6297  df-ord 6364  df-on 6365  df-lim 6366  df-suc 6367  df-iota 6492  df-fun 6542  df-fn 6543  df-f 6544  df-f1 6545  df-fo 6546  df-f1o 6547  df-fv 6548  df-riota 7361  df-ov 7408  df-oprab 7409  df-mpo 7410  df-om 7852  df-1st 7971  df-2nd 7972  df-frecs 8262  df-wrecs 8293  df-recs 8367  df-rdg 8406  df-er 8699  df-map 8818  df-en 8936  df-dom 8937  df-sdom 8938  df-pnf 11246  df-mnf 11247  df-xr 11248  df-ltxr 11249  df-le 11250  df-sub 11442  df-neg 11443  df-nn 12209  df-n0 12469  df-z 12555  df-uz 12819  df-fz 13481  df-seq 13963  df-sum 15629  df-ply 25693

This theorem is referenced by:  elplyd  25707  plypf1  25717  elaa2lem  44935