Theorem coef3 26109

Description: The domain and codomain of the coefficient function. (Contributed by Mario Carneiro, 22-Jul-2014.)

Hypothesis

Ref	Expression
dgrval.1	⊢ 𝐴 = (coeff‘𝐹)

Assertion

Ref	Expression
coef3	⊢ (𝐹 ∈ (Poly‘𝑆) → 𝐴:ℕ0⟶ℂ)

Proof of Theorem coef3

Step	Hyp	Ref	Expression
1		plyssc 26077	. . 3 ⊢ (Poly‘𝑆) ⊆ (Poly‘ℂ)
2	1	sseli 3971	. 2 ⊢ (𝐹 ∈ (Poly‘𝑆) → 𝐹 ∈ (Poly‘ℂ))
3		0cn 11205	. 2 ⊢ 0 ∈ ℂ
4		dgrval.1	. . 3 ⊢ 𝐴 = (coeff‘𝐹)
5	4	coef2 26108	. 2 ⊢ ((𝐹 ∈ (Poly‘ℂ) ∧ 0 ∈ ℂ) → 𝐴:ℕ0⟶ℂ)
6	2, 3, 5	sylancl 585	1 ⊢ (𝐹 ∈ (Poly‘𝑆) → 𝐴:ℕ0⟶ℂ)

Syntax hints:   → wi 4   = wceq 1533   ∈ wcel 2098  ⟶wf 6530  ‘cfv 6534  ℂcc 11105  0cc0 11107  ℕ₀cn0 12471  Polycply 26061  coeffccoe 26063

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1789  ax-4 1803  ax-5 1905  ax-6 1963  ax-7 2003  ax-8 2100  ax-9 2108  ax-10 2129  ax-11 2146  ax-12 2163  ax-ext 2695  ax-rep 5276  ax-sep 5290  ax-nul 5297  ax-pow 5354  ax-pr 5418  ax-un 7719  ax-inf2 9633  ax-cnex 11163  ax-resscn 11164  ax-1cn 11165  ax-icn 11166  ax-addcl 11167  ax-addrcl 11168  ax-mulcl 11169  ax-mulrcl 11170  ax-mulcom 11171  ax-addass 11172  ax-mulass 11173  ax-distr 11174  ax-i2m1 11175  ax-1ne0 11176  ax-1rid 11177  ax-rnegex 11178  ax-rrecex 11179  ax-cnre 11180  ax-pre-lttri 11181  ax-pre-lttrn 11182  ax-pre-ltadd 11183  ax-pre-mulgt0 11184  ax-pre-sup 11185

This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 396  df-or 845  df-3or 1085  df-3an 1086  df-tru 1536  df-fal 1546  df-ex 1774  df-nf 1778  df-sb 2060  df-mo 2526  df-eu 2555  df-clab 2702  df-cleq 2716  df-clel 2802  df-nfc 2877  df-ne 2933  df-nel 3039  df-ral 3054  df-rex 3063  df-rmo 3368  df-reu 3369  df-rab 3425  df-v 3468  df-sbc 3771  df-csb 3887  df-dif 3944  df-un 3946  df-in 3948  df-ss 3958  df-pss 3960  df-nul 4316  df-if 4522  df-pw 4597  df-sn 4622  df-pr 4624  df-op 4628  df-uni 4901  df-int 4942  df-iun 4990  df-br 5140  df-opab 5202  df-mpt 5223  df-tr 5257  df-id 5565  df-eprel 5571  df-po 5579  df-so 5580  df-fr 5622  df-se 5623  df-we 5624  df-xp 5673  df-rel 5674  df-cnv 5675  df-co 5676  df-dm 5677  df-rn 5678  df-res 5679  df-ima 5680  df-pred 6291  df-ord 6358  df-on 6359  df-lim 6360  df-suc 6361  df-iota 6486  df-fun 6536  df-fn 6537  df-f 6538  df-f1 6539  df-fo 6540  df-f1o 6541  df-fv 6542  df-isom 6543  df-riota 7358  df-ov 7405  df-oprab 7406  df-mpo 7407  df-of 7664  df-om 7850  df-1st 7969  df-2nd 7970  df-frecs 8262  df-wrecs 8293  df-recs 8367  df-rdg 8406  df-1o 8462  df-er 8700  df-map 8819  df-pm 8820  df-en 8937  df-dom 8938  df-sdom 8939  df-fin 8940  df-sup 9434  df-inf 9435  df-oi 9502  df-card 9931  df-pnf 11249  df-mnf 11250  df-xr 11251  df-ltxr 11252  df-le 11253  df-sub 11445  df-neg 11446  df-div 11871  df-nn 12212  df-2 12274  df-3 12275  df-n0 12472  df-z 12558  df-uz 12822  df-rp 12976  df-fz 13486  df-fzo 13629  df-fl 13758  df-seq 13968  df-exp 14029  df-hash 14292  df-cj 15048  df-re 15049  df-im 15050  df-sqrt 15184  df-abs 15185  df-clim 15434  df-rlim 15435  df-sum 15635  df-0p 25543  df-ply 26065  df-coe 26067

This theorem is referenced by:  dgrub  26111  dgrub2  26112  dgrlb  26113  coeidlem  26114  coeid3  26117  plyco  26118  dgrle  26120  0dgrb  26123  coefv0  26125  coeaddlem  26126  coemullem  26127  coemulhi  26131  coemulc  26132  coe0  26133  coesub  26134  plycn  26138  plycnOLD  26139  dgreq0  26143  dgradd2  26146  dgrmul  26148  dgrcolem2  26152  plycjlem  26154  coecj  26156  plymul0or  26158  dvply2g  26162  plydivlem4  26173  plydiveu  26175  vieta1lem2  26188  vieta1  26189  elqaalem3  26198  aareccl  26203  ftalem1  26945  ftalem2  26946  ftalem4  26948  ftalem5  26949  signsplypnf  34080  dgrsub2  42427  mpaaeu  42442