Theorem quotdgr 26654

Description: Remainder property of the quotient function. (Contributed by Mario Carneiro, 26-Jul-2014.)

Hypothesis

Ref	Expression
quotdgr.1	⊢ 𝑅 = (𝐹 ∘f − (𝐺 ∘f · (𝐹 quot 𝐺)))

Assertion

Ref	Expression
quotdgr	⊢ ((𝐹 ∈ (Poly‘𝑆) ∧ 𝐺 ∈ (Poly‘𝑆) ∧ 𝐺 ≠ 0𝑝) → (𝑅 = 0𝑝 ∨ (deg‘𝑅) < (deg‘𝐺)))

Proof of Theorem quotdgr

Dummy variables 𝑥 𝑦 are mutually distinct and distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		addcl 11309	. . . 4 ⊢ ((𝑥 ∈ ℂ ∧ 𝑦 ∈ ℂ) → (𝑥 + 𝑦) ∈ ℂ)
2	1	adantl 487	. . 3 ⊢ (((𝐹 ∈ (Poly‘𝑆) ∧ 𝐺 ∈ (Poly‘𝑆) ∧ 𝐺 ≠ 0𝑝) ∧ (𝑥 ∈ ℂ ∧ 𝑦 ∈ ℂ)) → (𝑥 + 𝑦) ∈ ℂ)
3		mulcl 11311	. . . 4 ⊢ ((𝑥 ∈ ℂ ∧ 𝑦 ∈ ℂ) → (𝑥 · 𝑦) ∈ ℂ)
4	3	adantl 487	. . 3 ⊢ (((𝐹 ∈ (Poly‘𝑆) ∧ 𝐺 ∈ (Poly‘𝑆) ∧ 𝐺 ≠ 0𝑝) ∧ (𝑥 ∈ ℂ ∧ 𝑦 ∈ ℂ)) → (𝑥 · 𝑦) ∈ ℂ)
5		reccl 12008	. . . 4 ⊢ ((𝑥 ∈ ℂ ∧ 𝑥 ≠ 0) → (1 / 𝑥) ∈ ℂ)
6	5	adantl 487	. . 3 ⊢ (((𝐹 ∈ (Poly‘𝑆) ∧ 𝐺 ∈ (Poly‘𝑆) ∧ 𝐺 ≠ 0𝑝) ∧ (𝑥 ∈ ℂ ∧ 𝑥 ≠ 0)) → (1 / 𝑥) ∈ ℂ)
7		neg1cn 12332	. . . 4 ⊢ -1 ∈ ℂ
8	7	a1i 11	. . 3 ⊢ ((𝐹 ∈ (Poly‘𝑆) ∧ 𝐺 ∈ (Poly‘𝑆) ∧ 𝐺 ≠ 0𝑝) → -1 ∈ ℂ)
9		plyssc 26548	. . . 4 ⊢ (Poly‘𝑆) ⊆ (Poly‘ℂ)
10		simp1 1154	. . . 4 ⊢ ((𝐹 ∈ (Poly‘𝑆) ∧ 𝐺 ∈ (Poly‘𝑆) ∧ 𝐺 ≠ 0𝑝) → 𝐹 ∈ (Poly‘𝑆))
11	9, 10	sselid 3911	. . 3 ⊢ ((𝐹 ∈ (Poly‘𝑆) ∧ 𝐺 ∈ (Poly‘𝑆) ∧ 𝐺 ≠ 0𝑝) → 𝐹 ∈ (Poly‘ℂ))
12		simp2 1155	. . . 4 ⊢ ((𝐹 ∈ (Poly‘𝑆) ∧ 𝐺 ∈ (Poly‘𝑆) ∧ 𝐺 ≠ 0𝑝) → 𝐺 ∈ (Poly‘𝑆))
13	9, 12	sselid 3911	. . 3 ⊢ ((𝐹 ∈ (Poly‘𝑆) ∧ 𝐺 ∈ (Poly‘𝑆) ∧ 𝐺 ≠ 0𝑝) → 𝐺 ∈ (Poly‘ℂ))
14		simp3 1156	. . 3 ⊢ ((𝐹 ∈ (Poly‘𝑆) ∧ 𝐺 ∈ (Poly‘𝑆) ∧ 𝐺 ≠ 0𝑝) → 𝐺 ≠ 0𝑝)
15		quotdgr.1	. . 3 ⊢ 𝑅 = (𝐹 ∘f − (𝐺 ∘f · (𝐹 quot 𝐺)))
16	2, 4, 6, 8, 11, 13, 14, 15	quotlem 26651	. 2 ⊢ ((𝐹 ∈ (Poly‘𝑆) ∧ 𝐺 ∈ (Poly‘𝑆) ∧ 𝐺 ≠ 0𝑝) → ((𝐹 quot 𝐺) ∈ (Poly‘ℂ) ∧ (𝑅 = 0𝑝 ∨ (deg‘𝑅) < (deg‘𝐺))))
17	16	simprd 501	1 ⊢ ((𝐹 ∈ (Poly‘𝑆) ∧ 𝐺 ∈ (Poly‘𝑆) ∧ 𝐺 ≠ 0𝑝) → (𝑅 = 0𝑝 ∨ (deg‘𝑅) < (deg‘𝐺)))

This proof depends on syntax axioms:   → wi 4   ∧ wa 401   ∨ wo 861   ∧ w3a 1103   = wceq 1570   ∈ wcel 2147   ≠ wne 2959   class class class wbr 5106  ‘cfv 6558  (class class class)co 7443   ∘_f cof 7715  ℂcc 11225  0cc0 11227  1c1 11228   + caddc 11230   · cmul 11232   < clt 11370   − cmin 11568   -cneg 11569   / cdiv 12000  0_𝑝c0p 26020  Polycply 26532  degcdgr 26535   quot cquot 26641

This proof depends on axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1828  ax-4 1842  ax-5 1945  ax-6 2002  ax-7 2043  ax-8 2149  ax-9 2157  ax-10 2180  ax-11 2197  ax-12 2216  ax-ext 2735  ax-rep 5235  ax-sep 5252  ax-nul 5263  ax-pow 5331  ax-pr 5395  ax-un 7775  ax-inf2 9669  ax-cnex 11283  ax-resscn 11284  ax-1cn 11285  ax-icn 11286  ax-addcl 11287  ax-addrcl 11288  ax-mulcl 11289  ax-mulrcl 11290  ax-mulcom 11291  ax-addass 11292  ax-mulass 11293  ax-distr 11294  ax-i2m1 11295  ax-1ne0 11296  ax-1rid 11297  ax-rnegex 11298  ax-rrecex 11299  ax-cnre 11300  ax-pre-lttri 11301  ax-pre-lttrn 11302  ax-pre-ltadd 11303  ax-pre-mulgt0 11304  ax-pre-sup 11305

This proof depends on definitions:  df-bi 210  df-an 402  df-or 862  df-3or 1104  df-3an 1105  df-tru 1573  df-fal 1583  df-ex 1813  df-nf 1817  df-sb 2102  df-mo 2567  df-eu 2597  df-clab 2742  df-cleq 2755  df-clel 2839  df-nfc 2913  df-ne 2960  df-nel 3066  df-ral 3081  df-rex 3091  df-rmo 3369  df-reu 3370  df-rab 3417  df-v 3456  df-sbc 3743  df-csb 3852  df-ss 3901  df-pss 4017  df-dif 4050  df-in 4094  df-un 4154  df-nul 4282  df-if 4486  df-pw 4562  df-sn 4589  df-pr 4591  df-op 4839  df-uni 4871  df-int 4911  df-iun 4956  df-br 5107  df-opab 5171  df-mpt 5190  df-tr 5216  df-id 5550  df-eprel 5555  df-po 5563  df-so 5564  df-fr 5608  df-se 5609  df-we 5610  df-xp 5661  df-rel 5662  df-cnv 5663  df-co 5664  df-dm 5665  df-rn 5666  df-res 5667  df-ima 5668  df-pred 6322  df-ord 6383  df-on 6384  df-lim 6385  df-suc 6386  df-iota 6512  df-fun 6560  df-fn 6561  df-f 6562  df-f1 6563  df-fo 6564  df-f1o 6565  df-fv 6566  df-isom 6567  df-riota 7400  df-ov 7446  df-oprab 7447  df-mpo 7448  df-of 7717  df-om 7902  df-1st 8025  df-2nd 8026  df-frecs 8327  df-wrecs 8358  df-recs 8407  df-rdg 8446  df-1o 8504  df-er 8745  df-map 8877  df-pm 8878  df-en 9002  df-dom 9003  df-sdom 9004  df-fin 9005  df-sup 9461  df-inf 9462  df-oi 9531  df-card 10047  df-pnf 11372  df-mnf 11373  df-xr 11374  df-ltxr 11375  df-le 11376  df-sub 11570  df-neg 11571  df-div 12001  df-nn 12363  df-2 12432  df-3 12433  df-n0 12634  df-z 12721  df-uz 12993  df-rp 13148  df-fz 13667  df-fzo 13816  df-fl 13959  df-seq 14172  df-exp 14232  df-hash 14502  df-cj 15295  df-re 15296  df-im 15297  df-sqrt 15431  df-abs 15432  df-clim 15684  df-rlim 15685  df-sum 15883  df-0p 26021  df-ply 26536  df-coe 26538  df-dgr 26539  df-quot 26642

This theorem is used by:  plyrem  26656  quotcan  26662