MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  ftalem7 Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem ftalem7 26807
Description: Lemma for fta 26808. Shift the minimum away from zero by a change of variables. (Contributed by Mario Carneiro, 14-Sep-2014.)
Hypotheses
Ref Expression
ftalem.1 𝐴 = (coeffβ€˜πΉ)
ftalem.2 𝑁 = (degβ€˜πΉ)
ftalem.3 (πœ‘ β†’ 𝐹 ∈ (Polyβ€˜π‘†))
ftalem.4 (πœ‘ β†’ 𝑁 ∈ β„•)
ftalem7.5 (πœ‘ β†’ 𝑋 ∈ β„‚)
ftalem7.6 (πœ‘ β†’ (πΉβ€˜π‘‹) β‰  0)
Assertion
Ref Expression
ftalem7 (πœ‘ β†’ Β¬ βˆ€π‘₯ ∈ β„‚ (absβ€˜(πΉβ€˜π‘‹)) ≀ (absβ€˜(πΉβ€˜π‘₯)))
Distinct variable groups:   π‘₯,𝐴   π‘₯,𝑁   π‘₯,𝐹   πœ‘,π‘₯   π‘₯,𝑋
Allowed substitution hint:   𝑆(π‘₯)

Proof of Theorem ftalem7
Dummy variables 𝑧 𝑀 𝑦 are mutually distinct and distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 eqid 2732 . . . 4 (coeffβ€˜(𝑧 ∈ β„‚ ↦ (πΉβ€˜(𝑧 + 𝑋)))) = (coeffβ€˜(𝑧 ∈ β„‚ ↦ (πΉβ€˜(𝑧 + 𝑋))))
2 eqid 2732 . . . 4 (degβ€˜(𝑧 ∈ β„‚ ↦ (πΉβ€˜(𝑧 + 𝑋)))) = (degβ€˜(𝑧 ∈ β„‚ ↦ (πΉβ€˜(𝑧 + 𝑋))))
3 simpr 485 . . . . . . 7 ((πœ‘ ∧ 𝑧 ∈ β„‚) β†’ 𝑧 ∈ β„‚)
4 ftalem7.5 . . . . . . . 8 (πœ‘ β†’ 𝑋 ∈ β„‚)
54adantr 481 . . . . . . 7 ((πœ‘ ∧ 𝑧 ∈ β„‚) β†’ 𝑋 ∈ β„‚)
63, 5addcld 11237 . . . . . 6 ((πœ‘ ∧ 𝑧 ∈ β„‚) β†’ (𝑧 + 𝑋) ∈ β„‚)
7 cnex 11193 . . . . . . . . 9 β„‚ ∈ V
87a1i 11 . . . . . . . 8 (πœ‘ β†’ β„‚ ∈ V)
94negcld 11562 . . . . . . . . 9 (πœ‘ β†’ -𝑋 ∈ β„‚)
109adantr 481 . . . . . . . 8 ((πœ‘ ∧ 𝑧 ∈ β„‚) β†’ -𝑋 ∈ β„‚)
11 df-idp 25927 . . . . . . . . . 10 Xp = ( I β†Ύ β„‚)
12 mptresid 6050 . . . . . . . . . 10 ( I β†Ύ β„‚) = (𝑧 ∈ β„‚ ↦ 𝑧)
1311, 12eqtri 2760 . . . . . . . . 9 Xp = (𝑧 ∈ β„‚ ↦ 𝑧)
1413a1i 11 . . . . . . . 8 (πœ‘ β†’ Xp = (𝑧 ∈ β„‚ ↦ 𝑧))
15 fconstmpt 5738 . . . . . . . . 9 (β„‚ Γ— {-𝑋}) = (𝑧 ∈ β„‚ ↦ -𝑋)
1615a1i 11 . . . . . . . 8 (πœ‘ β†’ (β„‚ Γ— {-𝑋}) = (𝑧 ∈ β„‚ ↦ -𝑋))
178, 3, 10, 14, 16offval2 7692 . . . . . . 7 (πœ‘ β†’ (Xp ∘f βˆ’ (β„‚ Γ— {-𝑋})) = (𝑧 ∈ β„‚ ↦ (𝑧 βˆ’ -𝑋)))
18 id 22 . . . . . . . . 9 (𝑧 ∈ β„‚ β†’ 𝑧 ∈ β„‚)
19 subneg 11513 . . . . . . . . 9 ((𝑧 ∈ β„‚ ∧ 𝑋 ∈ β„‚) β†’ (𝑧 βˆ’ -𝑋) = (𝑧 + 𝑋))
2018, 4, 19syl2anr 597 . . . . . . . 8 ((πœ‘ ∧ 𝑧 ∈ β„‚) β†’ (𝑧 βˆ’ -𝑋) = (𝑧 + 𝑋))
2120mpteq2dva 5248 . . . . . . 7 (πœ‘ β†’ (𝑧 ∈ β„‚ ↦ (𝑧 βˆ’ -𝑋)) = (𝑧 ∈ β„‚ ↦ (𝑧 + 𝑋)))
2217, 21eqtrd 2772 . . . . . 6 (πœ‘ β†’ (Xp ∘f βˆ’ (β„‚ Γ— {-𝑋})) = (𝑧 ∈ β„‚ ↦ (𝑧 + 𝑋)))
23 ftalem.3 . . . . . . . 8 (πœ‘ β†’ 𝐹 ∈ (Polyβ€˜π‘†))
24 plyf 25936 . . . . . . . 8 (𝐹 ∈ (Polyβ€˜π‘†) β†’ 𝐹:β„‚βŸΆβ„‚)
2523, 24syl 17 . . . . . . 7 (πœ‘ β†’ 𝐹:β„‚βŸΆβ„‚)
2625feqmptd 6960 . . . . . 6 (πœ‘ β†’ 𝐹 = (𝑦 ∈ β„‚ ↦ (πΉβ€˜π‘¦)))
27 fveq2 6891 . . . . . 6 (𝑦 = (𝑧 + 𝑋) β†’ (πΉβ€˜π‘¦) = (πΉβ€˜(𝑧 + 𝑋)))
286, 22, 26, 27fmptco 7129 . . . . 5 (πœ‘ β†’ (𝐹 ∘ (Xp ∘f βˆ’ (β„‚ Γ— {-𝑋}))) = (𝑧 ∈ β„‚ ↦ (πΉβ€˜(𝑧 + 𝑋))))
29 plyssc 25938 . . . . . . 7 (Polyβ€˜π‘†) βŠ† (Polyβ€˜β„‚)
3029, 23sselid 3980 . . . . . 6 (πœ‘ β†’ 𝐹 ∈ (Polyβ€˜β„‚))
31 eqid 2732 . . . . . . . . 9 (Xp ∘f βˆ’ (β„‚ Γ— {-𝑋})) = (Xp ∘f βˆ’ (β„‚ Γ— {-𝑋}))
3231plyremlem 26041 . . . . . . . 8 (-𝑋 ∈ β„‚ β†’ ((Xp ∘f βˆ’ (β„‚ Γ— {-𝑋})) ∈ (Polyβ€˜β„‚) ∧ (degβ€˜(Xp ∘f βˆ’ (β„‚ Γ— {-𝑋}))) = 1 ∧ (β—‘(Xp ∘f βˆ’ (β„‚ Γ— {-𝑋})) β€œ {0}) = {-𝑋}))
339, 32syl 17 . . . . . . 7 (πœ‘ β†’ ((Xp ∘f βˆ’ (β„‚ Γ— {-𝑋})) ∈ (Polyβ€˜β„‚) ∧ (degβ€˜(Xp ∘f βˆ’ (β„‚ Γ— {-𝑋}))) = 1 ∧ (β—‘(Xp ∘f βˆ’ (β„‚ Γ— {-𝑋})) β€œ {0}) = {-𝑋}))
3433simp1d 1142 . . . . . 6 (πœ‘ β†’ (Xp ∘f βˆ’ (β„‚ Γ— {-𝑋})) ∈ (Polyβ€˜β„‚))
35 addcl 11194 . . . . . . 7 ((𝑧 ∈ β„‚ ∧ 𝑀 ∈ β„‚) β†’ (𝑧 + 𝑀) ∈ β„‚)
3635adantl 482 . . . . . 6 ((πœ‘ ∧ (𝑧 ∈ β„‚ ∧ 𝑀 ∈ β„‚)) β†’ (𝑧 + 𝑀) ∈ β„‚)
37 mulcl 11196 . . . . . . 7 ((𝑧 ∈ β„‚ ∧ 𝑀 ∈ β„‚) β†’ (𝑧 Β· 𝑀) ∈ β„‚)
3837adantl 482 . . . . . 6 ((πœ‘ ∧ (𝑧 ∈ β„‚ ∧ 𝑀 ∈ β„‚)) β†’ (𝑧 Β· 𝑀) ∈ β„‚)
3930, 34, 36, 38plyco 25979 . . . . 5 (πœ‘ β†’ (𝐹 ∘ (Xp ∘f βˆ’ (β„‚ Γ— {-𝑋}))) ∈ (Polyβ€˜β„‚))
4028, 39eqeltrrd 2834 . . . 4 (πœ‘ β†’ (𝑧 ∈ β„‚ ↦ (πΉβ€˜(𝑧 + 𝑋))) ∈ (Polyβ€˜β„‚))
4128fveq2d 6895 . . . . 5 (πœ‘ β†’ (degβ€˜(𝐹 ∘ (Xp ∘f βˆ’ (β„‚ Γ— {-𝑋})))) = (degβ€˜(𝑧 ∈ β„‚ ↦ (πΉβ€˜(𝑧 + 𝑋)))))
42 ftalem.2 . . . . . . 7 𝑁 = (degβ€˜πΉ)
43 eqid 2732 . . . . . . 7 (degβ€˜(Xp ∘f βˆ’ (β„‚ Γ— {-𝑋}))) = (degβ€˜(Xp ∘f βˆ’ (β„‚ Γ— {-𝑋})))
4442, 43, 30, 34dgrco 26013 . . . . . 6 (πœ‘ β†’ (degβ€˜(𝐹 ∘ (Xp ∘f βˆ’ (β„‚ Γ— {-𝑋})))) = (𝑁 Β· (degβ€˜(Xp ∘f βˆ’ (β„‚ Γ— {-𝑋})))))
45 ftalem.4 . . . . . . 7 (πœ‘ β†’ 𝑁 ∈ β„•)
4633simp2d 1143 . . . . . . . 8 (πœ‘ β†’ (degβ€˜(Xp ∘f βˆ’ (β„‚ Γ— {-𝑋}))) = 1)
47 1nn 12227 . . . . . . . 8 1 ∈ β„•
4846, 47eqeltrdi 2841 . . . . . . 7 (πœ‘ β†’ (degβ€˜(Xp ∘f βˆ’ (β„‚ Γ— {-𝑋}))) ∈ β„•)
4945, 48nnmulcld 12269 . . . . . 6 (πœ‘ β†’ (𝑁 Β· (degβ€˜(Xp ∘f βˆ’ (β„‚ Γ— {-𝑋})))) ∈ β„•)
5044, 49eqeltrd 2833 . . . . 5 (πœ‘ β†’ (degβ€˜(𝐹 ∘ (Xp ∘f βˆ’ (β„‚ Γ— {-𝑋})))) ∈ β„•)
5141, 50eqeltrrd 2834 . . . 4 (πœ‘ β†’ (degβ€˜(𝑧 ∈ β„‚ ↦ (πΉβ€˜(𝑧 + 𝑋)))) ∈ β„•)
52 0cn 11210 . . . . . . 7 0 ∈ β„‚
53 fvoveq1 7434 . . . . . . . 8 (𝑧 = 0 β†’ (πΉβ€˜(𝑧 + 𝑋)) = (πΉβ€˜(0 + 𝑋)))
54 eqid 2732 . . . . . . . 8 (𝑧 ∈ β„‚ ↦ (πΉβ€˜(𝑧 + 𝑋))) = (𝑧 ∈ β„‚ ↦ (πΉβ€˜(𝑧 + 𝑋)))
55 fvex 6904 . . . . . . . 8 (πΉβ€˜(0 + 𝑋)) ∈ V
5653, 54, 55fvmpt 6998 . . . . . . 7 (0 ∈ β„‚ β†’ ((𝑧 ∈ β„‚ ↦ (πΉβ€˜(𝑧 + 𝑋)))β€˜0) = (πΉβ€˜(0 + 𝑋)))
5752, 56ax-mp 5 . . . . . 6 ((𝑧 ∈ β„‚ ↦ (πΉβ€˜(𝑧 + 𝑋)))β€˜0) = (πΉβ€˜(0 + 𝑋))
584addlidd 11419 . . . . . . 7 (πœ‘ β†’ (0 + 𝑋) = 𝑋)
5958fveq2d 6895 . . . . . 6 (πœ‘ β†’ (πΉβ€˜(0 + 𝑋)) = (πΉβ€˜π‘‹))
6057, 59eqtrid 2784 . . . . 5 (πœ‘ β†’ ((𝑧 ∈ β„‚ ↦ (πΉβ€˜(𝑧 + 𝑋)))β€˜0) = (πΉβ€˜π‘‹))
61 ftalem7.6 . . . . 5 (πœ‘ β†’ (πΉβ€˜π‘‹) β‰  0)
6260, 61eqnetrd 3008 . . . 4 (πœ‘ β†’ ((𝑧 ∈ β„‚ ↦ (πΉβ€˜(𝑧 + 𝑋)))β€˜0) β‰  0)
631, 2, 40, 51, 62ftalem6 26806 . . 3 (πœ‘ β†’ βˆƒπ‘¦ ∈ β„‚ (absβ€˜((𝑧 ∈ β„‚ ↦ (πΉβ€˜(𝑧 + 𝑋)))β€˜π‘¦)) < (absβ€˜((𝑧 ∈ β„‚ ↦ (πΉβ€˜(𝑧 + 𝑋)))β€˜0)))
64 id 22 . . . . . 6 (𝑦 ∈ β„‚ β†’ 𝑦 ∈ β„‚)
65 addcl 11194 . . . . . 6 ((𝑦 ∈ β„‚ ∧ 𝑋 ∈ β„‚) β†’ (𝑦 + 𝑋) ∈ β„‚)
6664, 4, 65syl2anr 597 . . . . 5 ((πœ‘ ∧ 𝑦 ∈ β„‚) β†’ (𝑦 + 𝑋) ∈ β„‚)
67 fvoveq1 7434 . . . . . . . . . . 11 (𝑧 = 𝑦 β†’ (πΉβ€˜(𝑧 + 𝑋)) = (πΉβ€˜(𝑦 + 𝑋)))
68 fvex 6904 . . . . . . . . . . 11 (πΉβ€˜(𝑦 + 𝑋)) ∈ V
6967, 54, 68fvmpt 6998 . . . . . . . . . 10 (𝑦 ∈ β„‚ β†’ ((𝑧 ∈ β„‚ ↦ (πΉβ€˜(𝑧 + 𝑋)))β€˜π‘¦) = (πΉβ€˜(𝑦 + 𝑋)))
7069adantl 482 . . . . . . . . 9 ((πœ‘ ∧ 𝑦 ∈ β„‚) β†’ ((𝑧 ∈ β„‚ ↦ (πΉβ€˜(𝑧 + 𝑋)))β€˜π‘¦) = (πΉβ€˜(𝑦 + 𝑋)))
7170fveq2d 6895 . . . . . . . 8 ((πœ‘ ∧ 𝑦 ∈ β„‚) β†’ (absβ€˜((𝑧 ∈ β„‚ ↦ (πΉβ€˜(𝑧 + 𝑋)))β€˜π‘¦)) = (absβ€˜(πΉβ€˜(𝑦 + 𝑋))))
7260adantr 481 . . . . . . . . 9 ((πœ‘ ∧ 𝑦 ∈ β„‚) β†’ ((𝑧 ∈ β„‚ ↦ (πΉβ€˜(𝑧 + 𝑋)))β€˜0) = (πΉβ€˜π‘‹))
7372fveq2d 6895 . . . . . . . 8 ((πœ‘ ∧ 𝑦 ∈ β„‚) β†’ (absβ€˜((𝑧 ∈ β„‚ ↦ (πΉβ€˜(𝑧 + 𝑋)))β€˜0)) = (absβ€˜(πΉβ€˜π‘‹)))
7471, 73breq12d 5161 . . . . . . 7 ((πœ‘ ∧ 𝑦 ∈ β„‚) β†’ ((absβ€˜((𝑧 ∈ β„‚ ↦ (πΉβ€˜(𝑧 + 𝑋)))β€˜π‘¦)) < (absβ€˜((𝑧 ∈ β„‚ ↦ (πΉβ€˜(𝑧 + 𝑋)))β€˜0)) ↔ (absβ€˜(πΉβ€˜(𝑦 + 𝑋))) < (absβ€˜(πΉβ€˜π‘‹))))
7525adantr 481 . . . . . . . . . 10 ((πœ‘ ∧ 𝑦 ∈ β„‚) β†’ 𝐹:β„‚βŸΆβ„‚)
7675, 66ffvelcdmd 7087 . . . . . . . . 9 ((πœ‘ ∧ 𝑦 ∈ β„‚) β†’ (πΉβ€˜(𝑦 + 𝑋)) ∈ β„‚)
7776abscld 15387 . . . . . . . 8 ((πœ‘ ∧ 𝑦 ∈ β„‚) β†’ (absβ€˜(πΉβ€˜(𝑦 + 𝑋))) ∈ ℝ)
7825, 4ffvelcdmd 7087 . . . . . . . . . 10 (πœ‘ β†’ (πΉβ€˜π‘‹) ∈ β„‚)
7978abscld 15387 . . . . . . . . 9 (πœ‘ β†’ (absβ€˜(πΉβ€˜π‘‹)) ∈ ℝ)
8079adantr 481 . . . . . . . 8 ((πœ‘ ∧ 𝑦 ∈ β„‚) β†’ (absβ€˜(πΉβ€˜π‘‹)) ∈ ℝ)
8177, 80ltnled 11365 . . . . . . 7 ((πœ‘ ∧ 𝑦 ∈ β„‚) β†’ ((absβ€˜(πΉβ€˜(𝑦 + 𝑋))) < (absβ€˜(πΉβ€˜π‘‹)) ↔ Β¬ (absβ€˜(πΉβ€˜π‘‹)) ≀ (absβ€˜(πΉβ€˜(𝑦 + 𝑋)))))
8274, 81bitrd 278 . . . . . 6 ((πœ‘ ∧ 𝑦 ∈ β„‚) β†’ ((absβ€˜((𝑧 ∈ β„‚ ↦ (πΉβ€˜(𝑧 + 𝑋)))β€˜π‘¦)) < (absβ€˜((𝑧 ∈ β„‚ ↦ (πΉβ€˜(𝑧 + 𝑋)))β€˜0)) ↔ Β¬ (absβ€˜(πΉβ€˜π‘‹)) ≀ (absβ€˜(πΉβ€˜(𝑦 + 𝑋)))))
8382biimpd 228 . . . . 5 ((πœ‘ ∧ 𝑦 ∈ β„‚) β†’ ((absβ€˜((𝑧 ∈ β„‚ ↦ (πΉβ€˜(𝑧 + 𝑋)))β€˜π‘¦)) < (absβ€˜((𝑧 ∈ β„‚ ↦ (πΉβ€˜(𝑧 + 𝑋)))β€˜0)) β†’ Β¬ (absβ€˜(πΉβ€˜π‘‹)) ≀ (absβ€˜(πΉβ€˜(𝑦 + 𝑋)))))
84 2fveq3 6896 . . . . . . . 8 (π‘₯ = (𝑦 + 𝑋) β†’ (absβ€˜(πΉβ€˜π‘₯)) = (absβ€˜(πΉβ€˜(𝑦 + 𝑋))))
8584breq2d 5160 . . . . . . 7 (π‘₯ = (𝑦 + 𝑋) β†’ ((absβ€˜(πΉβ€˜π‘‹)) ≀ (absβ€˜(πΉβ€˜π‘₯)) ↔ (absβ€˜(πΉβ€˜π‘‹)) ≀ (absβ€˜(πΉβ€˜(𝑦 + 𝑋)))))
8685notbid 317 . . . . . 6 (π‘₯ = (𝑦 + 𝑋) β†’ (Β¬ (absβ€˜(πΉβ€˜π‘‹)) ≀ (absβ€˜(πΉβ€˜π‘₯)) ↔ Β¬ (absβ€˜(πΉβ€˜π‘‹)) ≀ (absβ€˜(πΉβ€˜(𝑦 + 𝑋)))))
8786rspcev 3612 . . . . 5 (((𝑦 + 𝑋) ∈ β„‚ ∧ Β¬ (absβ€˜(πΉβ€˜π‘‹)) ≀ (absβ€˜(πΉβ€˜(𝑦 + 𝑋)))) β†’ βˆƒπ‘₯ ∈ β„‚ Β¬ (absβ€˜(πΉβ€˜π‘‹)) ≀ (absβ€˜(πΉβ€˜π‘₯)))
8866, 83, 87syl6an 682 . . . 4 ((πœ‘ ∧ 𝑦 ∈ β„‚) β†’ ((absβ€˜((𝑧 ∈ β„‚ ↦ (πΉβ€˜(𝑧 + 𝑋)))β€˜π‘¦)) < (absβ€˜((𝑧 ∈ β„‚ ↦ (πΉβ€˜(𝑧 + 𝑋)))β€˜0)) β†’ βˆƒπ‘₯ ∈ β„‚ Β¬ (absβ€˜(πΉβ€˜π‘‹)) ≀ (absβ€˜(πΉβ€˜π‘₯))))
8988rexlimdva 3155 . . 3 (πœ‘ β†’ (βˆƒπ‘¦ ∈ β„‚ (absβ€˜((𝑧 ∈ β„‚ ↦ (πΉβ€˜(𝑧 + 𝑋)))β€˜π‘¦)) < (absβ€˜((𝑧 ∈ β„‚ ↦ (πΉβ€˜(𝑧 + 𝑋)))β€˜0)) β†’ βˆƒπ‘₯ ∈ β„‚ Β¬ (absβ€˜(πΉβ€˜π‘‹)) ≀ (absβ€˜(πΉβ€˜π‘₯))))
9063, 89mpd 15 . 2 (πœ‘ β†’ βˆƒπ‘₯ ∈ β„‚ Β¬ (absβ€˜(πΉβ€˜π‘‹)) ≀ (absβ€˜(πΉβ€˜π‘₯)))
91 rexnal 3100 . 2 (βˆƒπ‘₯ ∈ β„‚ Β¬ (absβ€˜(πΉβ€˜π‘‹)) ≀ (absβ€˜(πΉβ€˜π‘₯)) ↔ Β¬ βˆ€π‘₯ ∈ β„‚ (absβ€˜(πΉβ€˜π‘‹)) ≀ (absβ€˜(πΉβ€˜π‘₯)))
9290, 91sylib 217 1 (πœ‘ β†’ Β¬ βˆ€π‘₯ ∈ β„‚ (absβ€˜(πΉβ€˜π‘‹)) ≀ (absβ€˜(πΉβ€˜π‘₯)))
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  Β¬ wn 3   β†’ wi 4   ∧ wa 396   ∧ w3a 1087   = wceq 1541   ∈ wcel 2106   β‰  wne 2940  βˆ€wral 3061  βˆƒwrex 3070  Vcvv 3474  {csn 4628   class class class wbr 5148   ↦ cmpt 5231   I cid 5573   Γ— cxp 5674  β—‘ccnv 5675   β†Ύ cres 5678   β€œ cima 5679   ∘ ccom 5680  βŸΆwf 6539  β€˜cfv 6543  (class class class)co 7411   ∘f cof 7670  β„‚cc 11110  β„cr 11111  0cc0 11112  1c1 11113   + caddc 11115   Β· cmul 11117   < clt 11252   ≀ cle 11253   βˆ’ cmin 11448  -cneg 11449  β„•cn 12216  abscabs 15185  Polycply 25922  Xpcidp 25923  coeffccoe 25924  degcdgr 25925
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1797  ax-4 1811  ax-5 1913  ax-6 1971  ax-7 2011  ax-8 2108  ax-9 2116  ax-10 2137  ax-11 2154  ax-12 2171  ax-ext 2703  ax-rep 5285  ax-sep 5299  ax-nul 5306  ax-pow 5363  ax-pr 5427  ax-un 7727  ax-inf2 9638  ax-cnex 11168  ax-resscn 11169  ax-1cn 11170  ax-icn 11171  ax-addcl 11172  ax-addrcl 11173  ax-mulcl 11174  ax-mulrcl 11175  ax-mulcom 11176  ax-addass 11177  ax-mulass 11178  ax-distr 11179  ax-i2m1 11180  ax-1ne0 11181  ax-1rid 11182  ax-rnegex 11183  ax-rrecex 11184  ax-cnre 11185  ax-pre-lttri 11186  ax-pre-lttrn 11187  ax-pre-ltadd 11188  ax-pre-mulgt0 11189  ax-pre-sup 11190  ax-addf 11191  ax-mulf 11192
This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 397  df-or 846  df-3or 1088  df-3an 1089  df-tru 1544  df-fal 1554  df-ex 1782  df-nf 1786  df-sb 2068  df-mo 2534  df-eu 2563  df-clab 2710  df-cleq 2724  df-clel 2810  df-nfc 2885  df-ne 2941  df-nel 3047  df-ral 3062  df-rex 3071  df-rmo 3376  df-reu 3377  df-rab 3433  df-v 3476  df-sbc 3778  df-csb 3894  df-dif 3951  df-un 3953  df-in 3955  df-ss 3965  df-pss 3967  df-nul 4323  df-if 4529  df-pw 4604  df-sn 4629  df-pr 4631  df-tp 4633  df-op 4635  df-uni 4909  df-int 4951  df-iun 4999  df-iin 5000  df-br 5149  df-opab 5211  df-mpt 5232  df-tr 5266  df-id 5574  df-eprel 5580  df-po 5588  df-so 5589  df-fr 5631  df-se 5632  df-we 5633  df-xp 5682  df-rel 5683  df-cnv 5684  df-co 5685  df-dm 5686  df-rn 5687  df-res 5688  df-ima 5689  df-pred 6300  df-ord 6367  df-on 6368  df-lim 6369  df-suc 6370  df-iota 6495  df-fun 6545  df-fn 6546  df-f 6547  df-f1 6548  df-fo 6549  df-f1o 6550  df-fv 6551  df-isom 6552  df-riota 7367  df-ov 7414  df-oprab 7415  df-mpo 7416  df-of 7672  df-om 7858  df-1st 7977  df-2nd 7978  df-supp 8149  df-frecs 8268  df-wrecs 8299  df-recs 8373  df-rdg 8412  df-1o 8468  df-2o 8469  df-er 8705  df-map 8824  df-pm 8825  df-ixp 8894  df-en 8942  df-dom 8943  df-sdom 8944  df-fin 8945  df-fsupp 9364  df-fi 9408  df-sup 9439  df-inf 9440  df-oi 9507  df-card 9936  df-pnf 11254  df-mnf 11255  df-xr 11256  df-ltxr 11257  df-le 11258  df-sub 11450  df-neg 11451  df-div 11876  df-nn 12217  df-2 12279  df-3 12280  df-4 12281  df-5 12282  df-6 12283  df-7 12284  df-8 12285  df-9 12286  df-n0 12477  df-z 12563  df-dec 12682  df-uz 12827  df-q 12937  df-rp 12979  df-xneg 13096  df-xadd 13097  df-xmul 13098  df-ioo 13332  df-ioc 13333  df-ico 13334  df-icc 13335  df-fz 13489  df-fzo 13632  df-fl 13761  df-mod 13839  df-seq 13971  df-exp 14032  df-fac 14238  df-bc 14267  df-hash 14295  df-shft 15018  df-cj 15050  df-re 15051  df-im 15052  df-sqrt 15186  df-abs 15187  df-limsup 15419  df-clim 15436  df-rlim 15437  df-sum 15637  df-ef 16015  df-sin 16017  df-cos 16018  df-pi 16020  df-struct 17084  df-sets 17101  df-slot 17119  df-ndx 17131  df-base 17149  df-ress 17178  df-plusg 17214  df-mulr 17215  df-starv 17216  df-sca 17217  df-vsca 17218  df-ip 17219  df-tset 17220  df-ple 17221  df-ds 17223  df-unif 17224  df-hom 17225  df-cco 17226  df-rest 17372  df-topn 17373  df-0g 17391  df-gsum 17392  df-topgen 17393  df-pt 17394  df-prds 17397  df-xrs 17452  df-qtop 17457  df-imas 17458  df-xps 17460  df-mre 17534  df-mrc 17535  df-acs 17537  df-mgm 18565  df-sgrp 18644  df-mnd 18660  df-submnd 18706  df-mulg 18987  df-cntz 19222  df-cmn 19691  df-psmet 21136  df-xmet 21137  df-met 21138  df-bl 21139  df-mopn 21140  df-fbas 21141  df-fg 21142  df-cnfld 21145  df-top 22616  df-topon 22633  df-topsp 22655  df-bases 22669  df-cld 22743  df-ntr 22744  df-cls 22745  df-nei 22822  df-lp 22860  df-perf 22861  df-cn 22951  df-cnp 22952  df-haus 23039  df-tx 23286  df-hmeo 23479  df-fil 23570  df-fm 23662  df-flim 23663  df-flf 23664  df-xms 24046  df-ms 24047  df-tms 24048  df-cncf 24618  df-0p 25411  df-limc 25607  df-dv 25608  df-ply 25926  df-idp 25927  df-coe 25928  df-dgr 25929  df-log 26289  df-cxp 26290
This theorem is referenced by:  fta  26808
  Copyright terms: Public domain W3C validator