Theorem ftalem7 26465

Description: Lemma for fta 26466. Shift the minimum away from zero by a change of variables. (Contributed by Mario Carneiro, 14-Sep-2014.)

Hypotheses

Ref	Expression
ftalem.1	⊢ 𝐴 = (coeff‘𝐹)
ftalem.2	⊢ 𝑁 = (deg‘𝐹)
ftalem.3	⊢ (𝜑 → 𝐹 ∈ (Poly‘𝑆))
ftalem.4	⊢ (𝜑 → 𝑁 ∈ ℕ)
ftalem7.5	⊢ (𝜑 → 𝑋 ∈ ℂ)
ftalem7.6	⊢ (𝜑 → (𝐹‘𝑋) ≠ 0)

Assertion

Ref	Expression
ftalem7	⊢ (𝜑 → ¬ ∀𝑥 ∈ ℂ (abs‘(𝐹‘𝑋)) ≤ (abs‘(𝐹‘𝑥)))

Distinct variable groups:   𝑥,𝐴   𝑥,𝑁   𝑥,𝐹   𝜑,𝑥   𝑥,𝑋

Allowed substitution hint:   𝑆(𝑥)

Proof of Theorem ftalem7

Dummy variables 𝑧 𝑤 𝑦 are mutually distinct and distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		eqid 2731	. . . 4 ⊢ (coeff‘(𝑧 ∈ ℂ ↦ (𝐹‘(𝑧 + 𝑋)))) = (coeff‘(𝑧 ∈ ℂ ↦ (𝐹‘(𝑧 + 𝑋))))
2		eqid 2731	. . . 4 ⊢ (deg‘(𝑧 ∈ ℂ ↦ (𝐹‘(𝑧 + 𝑋)))) = (deg‘(𝑧 ∈ ℂ ↦ (𝐹‘(𝑧 + 𝑋))))
3		simpr 485	. . . . . . 7 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑧 ∈ ℂ) → 𝑧 ∈ ℂ)
4		ftalem7.5	. . . . . . . 8 ⊢ (𝜑 → 𝑋 ∈ ℂ)
5	4	adantr 481	. . . . . . 7 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑧 ∈ ℂ) → 𝑋 ∈ ℂ)
6	3, 5	addcld 11183	. . . . . 6 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑧 ∈ ℂ) → (𝑧 + 𝑋) ∈ ℂ)
7		cnex 11141	. . . . . . . . 9 ⊢ ℂ ∈ V
8	7	a1i 11	. . . . . . . 8 ⊢ (𝜑 → ℂ ∈ V)
9	4	negcld 11508	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝜑 → -𝑋 ∈ ℂ)
10	9	adantr 481	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑧 ∈ ℂ) → -𝑋 ∈ ℂ)
11		df-idp 25587	. . . . . . . . . 10 ⊢ Xp = ( I ↾ ℂ)
12		mptresid 6009	. . . . . . . . . 10 ⊢ ( I ↾ ℂ) = (𝑧 ∈ ℂ ↦ 𝑧)
13	11, 12	eqtri 2759	. . . . . . . . 9 ⊢ Xp = (𝑧 ∈ ℂ ↦ 𝑧)
14	13	a1i 11	. . . . . . . 8 ⊢ (𝜑 → Xp = (𝑧 ∈ ℂ ↦ 𝑧))
15		fconstmpt 5699	. . . . . . . . 9 ⊢ (ℂ × {-𝑋}) = (𝑧 ∈ ℂ ↦ -𝑋)
16	15	a1i 11	. . . . . . . 8 ⊢ (𝜑 → (ℂ × {-𝑋}) = (𝑧 ∈ ℂ ↦ -𝑋))
17	8, 3, 10, 14, 16	offval2 7642	. . . . . . 7 ⊢ (𝜑 → (Xp ∘f − (ℂ × {-𝑋})) = (𝑧 ∈ ℂ ↦ (𝑧 − -𝑋)))
18		id 22	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝑧 ∈ ℂ → 𝑧 ∈ ℂ)
19		subneg 11459	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝑧 ∈ ℂ ∧ 𝑋 ∈ ℂ) → (𝑧 − -𝑋) = (𝑧 + 𝑋))
20	18, 4, 19	syl2anr 597	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑧 ∈ ℂ) → (𝑧 − -𝑋) = (𝑧 + 𝑋))
21	20	mpteq2dva 5210	. . . . . . 7 ⊢ (𝜑 → (𝑧 ∈ ℂ ↦ (𝑧 − -𝑋)) = (𝑧 ∈ ℂ ↦ (𝑧 + 𝑋)))
22	17, 21	eqtrd 2771	. . . . . 6 ⊢ (𝜑 → (Xp ∘f − (ℂ × {-𝑋})) = (𝑧 ∈ ℂ ↦ (𝑧 + 𝑋)))
23		ftalem.3	. . . . . . . 8 ⊢ (𝜑 → 𝐹 ∈ (Poly‘𝑆))
24		plyf 25596	. . . . . . . 8 ⊢ (𝐹 ∈ (Poly‘𝑆) → 𝐹:ℂ⟶ℂ)
25	23, 24	syl 17	. . . . . . 7 ⊢ (𝜑 → 𝐹:ℂ⟶ℂ)
26	25	feqmptd 6915	. . . . . 6 ⊢ (𝜑 → 𝐹 = (𝑦 ∈ ℂ ↦ (𝐹‘𝑦)))
27		fveq2 6847	. . . . . 6 ⊢ (𝑦 = (𝑧 + 𝑋) → (𝐹‘𝑦) = (𝐹‘(𝑧 + 𝑋)))
28	6, 22, 26, 27	fmptco 7080	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → (𝐹 ∘ (Xp ∘f − (ℂ × {-𝑋}))) = (𝑧 ∈ ℂ ↦ (𝐹‘(𝑧 + 𝑋))))
29		plyssc 25598	. . . . . . 7 ⊢ (Poly‘𝑆) ⊆ (Poly‘ℂ)
30	29, 23	sselid 3945	. . . . . 6 ⊢ (𝜑 → 𝐹 ∈ (Poly‘ℂ))
31		eqid 2731	. . . . . . . . 9 ⊢ (Xp ∘f − (ℂ × {-𝑋})) = (Xp ∘f − (ℂ × {-𝑋}))
32	31	plyremlem 25701	. . . . . . . 8 ⊢ (-𝑋 ∈ ℂ → ((Xp ∘f − (ℂ × {-𝑋})) ∈ (Poly‘ℂ) ∧ (deg‘(Xp ∘f − (ℂ × {-𝑋}))) = 1 ∧ (◡(Xp ∘f − (ℂ × {-𝑋})) “ {0}) = {-𝑋}))
33	9, 32	syl 17	. . . . . . 7 ⊢ (𝜑 → ((Xp ∘f − (ℂ × {-𝑋})) ∈ (Poly‘ℂ) ∧ (deg‘(Xp ∘f − (ℂ × {-𝑋}))) = 1 ∧ (◡(Xp ∘f − (ℂ × {-𝑋})) “ {0}) = {-𝑋}))
34	33	simp1d 1142	. . . . . 6 ⊢ (𝜑 → (Xp ∘f − (ℂ × {-𝑋})) ∈ (Poly‘ℂ))
35		addcl 11142	. . . . . . 7 ⊢ ((𝑧 ∈ ℂ ∧ 𝑤 ∈ ℂ) → (𝑧 + 𝑤) ∈ ℂ)
36	35	adantl 482	. . . . . 6 ⊢ ((𝜑 ∧ (𝑧 ∈ ℂ ∧ 𝑤 ∈ ℂ)) → (𝑧 + 𝑤) ∈ ℂ)
37		mulcl 11144	. . . . . . 7 ⊢ ((𝑧 ∈ ℂ ∧ 𝑤 ∈ ℂ) → (𝑧 · 𝑤) ∈ ℂ)
38	37	adantl 482	. . . . . 6 ⊢ ((𝜑 ∧ (𝑧 ∈ ℂ ∧ 𝑤 ∈ ℂ)) → (𝑧 · 𝑤) ∈ ℂ)
39	30, 34, 36, 38	plyco 25639	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → (𝐹 ∘ (Xp ∘f − (ℂ × {-𝑋}))) ∈ (Poly‘ℂ))
40	28, 39	eqeltrrd 2833	. . . 4 ⊢ (𝜑 → (𝑧 ∈ ℂ ↦ (𝐹‘(𝑧 + 𝑋))) ∈ (Poly‘ℂ))
41	28	fveq2d 6851	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → (deg‘(𝐹 ∘ (Xp ∘f − (ℂ × {-𝑋})))) = (deg‘(𝑧 ∈ ℂ ↦ (𝐹‘(𝑧 + 𝑋)))))
42		ftalem.2	. . . . . . 7 ⊢ 𝑁 = (deg‘𝐹)
43		eqid 2731	. . . . . . 7 ⊢ (deg‘(Xp ∘f − (ℂ × {-𝑋}))) = (deg‘(Xp ∘f − (ℂ × {-𝑋})))
44	42, 43, 30, 34	dgrco 25673	. . . . . 6 ⊢ (𝜑 → (deg‘(𝐹 ∘ (Xp ∘f − (ℂ × {-𝑋})))) = (𝑁 · (deg‘(Xp ∘f − (ℂ × {-𝑋})))))
45		ftalem.4	. . . . . . 7 ⊢ (𝜑 → 𝑁 ∈ ℕ)
46	33	simp2d 1143	. . . . . . . 8 ⊢ (𝜑 → (deg‘(Xp ∘f − (ℂ × {-𝑋}))) = 1)
47		1nn 12173	. . . . . . . 8 ⊢ 1 ∈ ℕ
48	46, 47	eqeltrdi 2840	. . . . . . 7 ⊢ (𝜑 → (deg‘(Xp ∘f − (ℂ × {-𝑋}))) ∈ ℕ)
49	45, 48	nnmulcld 12215	. . . . . 6 ⊢ (𝜑 → (𝑁 · (deg‘(Xp ∘f − (ℂ × {-𝑋})))) ∈ ℕ)
50	44, 49	eqeltrd 2832	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → (deg‘(𝐹 ∘ (Xp ∘f − (ℂ × {-𝑋})))) ∈ ℕ)
51	41, 50	eqeltrrd 2833	. . . 4 ⊢ (𝜑 → (deg‘(𝑧 ∈ ℂ ↦ (𝐹‘(𝑧 + 𝑋)))) ∈ ℕ)
52		0cn 11156	. . . . . . 7 ⊢ 0 ∈ ℂ
53		fvoveq1 7385	. . . . . . . 8 ⊢ (𝑧 = 0 → (𝐹‘(𝑧 + 𝑋)) = (𝐹‘(0 + 𝑋)))
54		eqid 2731	. . . . . . . 8 ⊢ (𝑧 ∈ ℂ ↦ (𝐹‘(𝑧 + 𝑋))) = (𝑧 ∈ ℂ ↦ (𝐹‘(𝑧 + 𝑋)))
55		fvex 6860	. . . . . . . 8 ⊢ (𝐹‘(0 + 𝑋)) ∈ V
56	53, 54, 55	fvmpt 6953	. . . . . . 7 ⊢ (0 ∈ ℂ → ((𝑧 ∈ ℂ ↦ (𝐹‘(𝑧 + 𝑋)))‘0) = (𝐹‘(0 + 𝑋)))
57	52, 56	ax-mp 5	. . . . . 6 ⊢ ((𝑧 ∈ ℂ ↦ (𝐹‘(𝑧 + 𝑋)))‘0) = (𝐹‘(0 + 𝑋))
58	4	addlidd 11365	. . . . . . 7 ⊢ (𝜑 → (0 + 𝑋) = 𝑋)
59	58	fveq2d 6851	. . . . . 6 ⊢ (𝜑 → (𝐹‘(0 + 𝑋)) = (𝐹‘𝑋))
60	57, 59	eqtrid 2783	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → ((𝑧 ∈ ℂ ↦ (𝐹‘(𝑧 + 𝑋)))‘0) = (𝐹‘𝑋))
61		ftalem7.6	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → (𝐹‘𝑋) ≠ 0)
62	60, 61	eqnetrd 3007	. . . 4 ⊢ (𝜑 → ((𝑧 ∈ ℂ ↦ (𝐹‘(𝑧 + 𝑋)))‘0) ≠ 0)
63	1, 2, 40, 51, 62	ftalem6 26464	. . 3 ⊢ (𝜑 → ∃𝑦 ∈ ℂ (abs‘((𝑧 ∈ ℂ ↦ (𝐹‘(𝑧 + 𝑋)))‘𝑦)) < (abs‘((𝑧 ∈ ℂ ↦ (𝐹‘(𝑧 + 𝑋)))‘0)))
64		id 22	. . . . . 6 ⊢ (𝑦 ∈ ℂ → 𝑦 ∈ ℂ)
65		addcl 11142	. . . . . 6 ⊢ ((𝑦 ∈ ℂ ∧ 𝑋 ∈ ℂ) → (𝑦 + 𝑋) ∈ ℂ)
66	64, 4, 65	syl2anr 597	. . . . 5 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑦 ∈ ℂ) → (𝑦 + 𝑋) ∈ ℂ)
67		fvoveq1 7385	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (𝑧 = 𝑦 → (𝐹‘(𝑧 + 𝑋)) = (𝐹‘(𝑦 + 𝑋)))
68		fvex 6860	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (𝐹‘(𝑦 + 𝑋)) ∈ V
69	67, 54, 68	fvmpt 6953	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝑦 ∈ ℂ → ((𝑧 ∈ ℂ ↦ (𝐹‘(𝑧 + 𝑋)))‘𝑦) = (𝐹‘(𝑦 + 𝑋)))
70	69	adantl 482	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑦 ∈ ℂ) → ((𝑧 ∈ ℂ ↦ (𝐹‘(𝑧 + 𝑋)))‘𝑦) = (𝐹‘(𝑦 + 𝑋)))
71	70	fveq2d 6851	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑦 ∈ ℂ) → (abs‘((𝑧 ∈ ℂ ↦ (𝐹‘(𝑧 + 𝑋)))‘𝑦)) = (abs‘(𝐹‘(𝑦 + 𝑋))))
72	60	adantr 481	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑦 ∈ ℂ) → ((𝑧 ∈ ℂ ↦ (𝐹‘(𝑧 + 𝑋)))‘0) = (𝐹‘𝑋))
73	72	fveq2d 6851	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑦 ∈ ℂ) → (abs‘((𝑧 ∈ ℂ ↦ (𝐹‘(𝑧 + 𝑋)))‘0)) = (abs‘(𝐹‘𝑋)))
74	71, 73	breq12d 5123	. . . . . . 7 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑦 ∈ ℂ) → ((abs‘((𝑧 ∈ ℂ ↦ (𝐹‘(𝑧 + 𝑋)))‘𝑦)) < (abs‘((𝑧 ∈ ℂ ↦ (𝐹‘(𝑧 + 𝑋)))‘0)) ↔ (abs‘(𝐹‘(𝑦 + 𝑋))) < (abs‘(𝐹‘𝑋))))
75	25	adantr 481	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑦 ∈ ℂ) → 𝐹:ℂ⟶ℂ)
76	75, 66	ffvelcdmd 7041	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑦 ∈ ℂ) → (𝐹‘(𝑦 + 𝑋)) ∈ ℂ)
77	76	abscld 15333	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑦 ∈ ℂ) → (abs‘(𝐹‘(𝑦 + 𝑋))) ∈ ℝ)
78	25, 4	ffvelcdmd 7041	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝜑 → (𝐹‘𝑋) ∈ ℂ)
79	78	abscld 15333	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝜑 → (abs‘(𝐹‘𝑋)) ∈ ℝ)
80	79	adantr 481	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑦 ∈ ℂ) → (abs‘(𝐹‘𝑋)) ∈ ℝ)
81	77, 80	ltnled 11311	. . . . . . 7 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑦 ∈ ℂ) → ((abs‘(𝐹‘(𝑦 + 𝑋))) < (abs‘(𝐹‘𝑋)) ↔ ¬ (abs‘(𝐹‘𝑋)) ≤ (abs‘(𝐹‘(𝑦 + 𝑋)))))
82	74, 81	bitrd 278	. . . . . 6 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑦 ∈ ℂ) → ((abs‘((𝑧 ∈ ℂ ↦ (𝐹‘(𝑧 + 𝑋)))‘𝑦)) < (abs‘((𝑧 ∈ ℂ ↦ (𝐹‘(𝑧 + 𝑋)))‘0)) ↔ ¬ (abs‘(𝐹‘𝑋)) ≤ (abs‘(𝐹‘(𝑦 + 𝑋)))))
83	82	biimpd 228	. . . . 5 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑦 ∈ ℂ) → ((abs‘((𝑧 ∈ ℂ ↦ (𝐹‘(𝑧 + 𝑋)))‘𝑦)) < (abs‘((𝑧 ∈ ℂ ↦ (𝐹‘(𝑧 + 𝑋)))‘0)) → ¬ (abs‘(𝐹‘𝑋)) ≤ (abs‘(𝐹‘(𝑦 + 𝑋)))))
84		2fveq3 6852	. . . . . . . 8 ⊢ (𝑥 = (𝑦 + 𝑋) → (abs‘(𝐹‘𝑥)) = (abs‘(𝐹‘(𝑦 + 𝑋))))
85	84	breq2d 5122	. . . . . . 7 ⊢ (𝑥 = (𝑦 + 𝑋) → ((abs‘(𝐹‘𝑋)) ≤ (abs‘(𝐹‘𝑥)) ↔ (abs‘(𝐹‘𝑋)) ≤ (abs‘(𝐹‘(𝑦 + 𝑋)))))
86	85	notbid 317	. . . . . 6 ⊢ (𝑥 = (𝑦 + 𝑋) → (¬ (abs‘(𝐹‘𝑋)) ≤ (abs‘(𝐹‘𝑥)) ↔ ¬ (abs‘(𝐹‘𝑋)) ≤ (abs‘(𝐹‘(𝑦 + 𝑋)))))
87	86	rspcev 3582	. . . . 5 ⊢ (((𝑦 + 𝑋) ∈ ℂ ∧ ¬ (abs‘(𝐹‘𝑋)) ≤ (abs‘(𝐹‘(𝑦 + 𝑋)))) → ∃𝑥 ∈ ℂ ¬ (abs‘(𝐹‘𝑋)) ≤ (abs‘(𝐹‘𝑥)))
88	66, 83, 87	syl6an 682	. . . 4 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑦 ∈ ℂ) → ((abs‘((𝑧 ∈ ℂ ↦ (𝐹‘(𝑧 + 𝑋)))‘𝑦)) < (abs‘((𝑧 ∈ ℂ ↦ (𝐹‘(𝑧 + 𝑋)))‘0)) → ∃𝑥 ∈ ℂ ¬ (abs‘(𝐹‘𝑋)) ≤ (abs‘(𝐹‘𝑥))))
89	88	rexlimdva 3148	. . 3 ⊢ (𝜑 → (∃𝑦 ∈ ℂ (abs‘((𝑧 ∈ ℂ ↦ (𝐹‘(𝑧 + 𝑋)))‘𝑦)) < (abs‘((𝑧 ∈ ℂ ↦ (𝐹‘(𝑧 + 𝑋)))‘0)) → ∃𝑥 ∈ ℂ ¬ (abs‘(𝐹‘𝑋)) ≤ (abs‘(𝐹‘𝑥))))
90	63, 89	mpd 15	. 2 ⊢ (𝜑 → ∃𝑥 ∈ ℂ ¬ (abs‘(𝐹‘𝑋)) ≤ (abs‘(𝐹‘𝑥)))
91		rexnal 3099	. 2 ⊢ (∃𝑥 ∈ ℂ ¬ (abs‘(𝐹‘𝑋)) ≤ (abs‘(𝐹‘𝑥)) ↔ ¬ ∀𝑥 ∈ ℂ (abs‘(𝐹‘𝑋)) ≤ (abs‘(𝐹‘𝑥)))
92	90, 91	sylib 217	1 ⊢ (𝜑 → ¬ ∀𝑥 ∈ ℂ (abs‘(𝐹‘𝑋)) ≤ (abs‘(𝐹‘𝑥)))

Syntax hints:  ¬ wn 3   → wi 4   ∧ wa 396   ∧ w3a 1087   = wceq 1541   ∈ wcel 2106   ≠ wne 2939  ∀wral 3060  ∃wrex 3069  Vcvv 3446  {csn 4591   class class class wbr 5110   ↦ cmpt 5193   I cid 5535   × cxp 5636  ^◡ccnv 5637   ↾ cres 5640   “ cima 5641   ∘ ccom 5642  ⟶wf 6497  ‘cfv 6501  (class class class)co 7362   ∘_f cof 7620  ℂcc 11058  ℝcr 11059  0cc0 11060  1c1 11061   + caddc 11063   · cmul 11065   < clt 11198   ≤ cle 11199   − cmin 11394  -cneg 11395  ℕcn 12162  abscabs 15131  Polycply 25582  X_pcidp 25583  coeffccoe 25584  degcdgr 25585

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1797  ax-4 1811  ax-5 1913  ax-6 1971  ax-7 2011  ax-8 2108  ax-9 2116  ax-10 2137  ax-11 2154  ax-12 2171  ax-ext 2702  ax-rep 5247  ax-sep 5261  ax-nul 5268  ax-pow 5325  ax-pr 5389  ax-un 7677  ax-inf2 9586  ax-cnex 11116  ax-resscn 11117  ax-1cn 11118  ax-icn 11119  ax-addcl 11120  ax-addrcl 11121  ax-mulcl 11122  ax-mulrcl 11123  ax-mulcom 11124  ax-addass 11125  ax-mulass 11126  ax-distr 11127  ax-i2m1 11128  ax-1ne0 11129  ax-1rid 11130  ax-rnegex 11131  ax-rrecex 11132  ax-cnre 11133  ax-pre-lttri 11134  ax-pre-lttrn 11135  ax-pre-ltadd 11136  ax-pre-mulgt0 11137  ax-pre-sup 11138  ax-addf 11139  ax-mulf 11140

This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 397  df-or 846  df-3or 1088  df-3an 1089  df-tru 1544  df-fal 1554  df-ex 1782  df-nf 1786  df-sb 2068  df-mo 2533  df-eu 2562  df-clab 2709  df-cleq 2723  df-clel 2809  df-nfc 2884  df-ne 2940  df-nel 3046  df-ral 3061  df-rex 3070  df-rmo 3351  df-reu 3352  df-rab 3406  df-v 3448  df-sbc 3743  df-csb 3859  df-dif 3916  df-un 3918  df-in 3920  df-ss 3930  df-pss 3932  df-nul 4288  df-if 4492  df-pw 4567  df-sn 4592  df-pr 4594  df-tp 4596  df-op 4598  df-uni 4871  df-int 4913  df-iun 4961  df-iin 4962  df-br 5111  df-opab 5173  df-mpt 5194  df-tr 5228  df-id 5536  df-eprel 5542  df-po 5550  df-so 5551  df-fr 5593  df-se 5594  df-we 5595  df-xp 5644  df-rel 5645  df-cnv 5646  df-co 5647  df-dm 5648  df-rn 5649  df-res 5650  df-ima 5651  df-pred 6258  df-ord 6325  df-on 6326  df-lim 6327  df-suc 6328  df-iota 6453  df-fun 6503  df-fn 6504  df-f 6505  df-f1 6506  df-fo 6507  df-f1o 6508  df-fv 6509  df-isom 6510  df-riota 7318  df-ov 7365  df-oprab 7366  df-mpo 7367  df-of 7622  df-om 7808  df-1st 7926  df-2nd 7927  df-supp 8098  df-frecs 8217  df-wrecs 8248  df-recs 8322  df-rdg 8361  df-1o 8417  df-2o 8418  df-er 8655  df-map 8774  df-pm 8775  df-ixp 8843  df-en 8891  df-dom 8892  df-sdom 8893  df-fin 8894  df-fsupp 9313  df-fi 9356  df-sup 9387  df-inf 9388  df-oi 9455  df-card 9884  df-pnf 11200  df-mnf 11201  df-xr 11202  df-ltxr 11203  df-le 11204  df-sub 11396  df-neg 11397  df-div 11822  df-nn 12163  df-2 12225  df-3 12226  df-4 12227  df-5 12228  df-6 12229  df-7 12230  df-8 12231  df-9 12232  df-n0 12423  df-z 12509  df-dec 12628  df-uz 12773  df-q 12883  df-rp 12925  df-xneg 13042  df-xadd 13043  df-xmul 13044  df-ioo 13278  df-ioc 13279  df-ico 13280  df-icc 13281  df-fz 13435  df-fzo 13578  df-fl 13707  df-mod 13785  df-seq 13917  df-exp 13978  df-fac 14184  df-bc 14213  df-hash 14241  df-shft 14964  df-cj 14996  df-re 14997  df-im 14998  df-sqrt 15132  df-abs 15133  df-limsup 15365  df-clim 15382  df-rlim 15383  df-sum 15583  df-ef 15961  df-sin 15963  df-cos 15964  df-pi 15966  df-struct 17030  df-sets 17047  df-slot 17065  df-ndx 17077  df-base 17095  df-ress 17124  df-plusg 17160  df-mulr 17161  df-starv 17162  df-sca 17163  df-vsca 17164  df-ip 17165  df-tset 17166  df-ple 17167  df-ds 17169  df-unif 17170  df-hom 17171  df-cco 17172  df-rest 17318  df-topn 17319  df-0g 17337  df-gsum 17338  df-topgen 17339  df-pt 17340  df-prds 17343  df-xrs 17398  df-qtop 17403  df-imas 17404  df-xps 17406  df-mre 17480  df-mrc 17481  df-acs 17483  df-mgm 18511  df-sgrp 18560  df-mnd 18571  df-submnd 18616  df-mulg 18887  df-cntz 19111  df-cmn 19578  df-psmet 20825  df-xmet 20826  df-met 20827  df-bl 20828  df-mopn 20829  df-fbas 20830  df-fg 20831  df-cnfld 20834  df-top 22280  df-topon 22297  df-topsp 22319  df-bases 22333  df-cld 22407  df-ntr 22408  df-cls 22409  df-nei 22486  df-lp 22524  df-perf 22525  df-cn 22615  df-cnp 22616  df-haus 22703  df-tx 22950  df-hmeo 23143  df-fil 23234  df-fm 23326  df-flim 23327  df-flf 23328  df-xms 23710  df-ms 23711  df-tms 23712  df-cncf 24278  df-0p 25071  df-limc 25267  df-dv 25268  df-ply 25586  df-idp 25587  df-coe 25588  df-dgr 25589  df-log 25949  df-cxp 25950

This theorem is referenced by:  fta  26466