Theorem ftalem7 26989

Description: Lemma for fta 26990. Shift the minimum away from zero by a change of variables. (Contributed by Mario Carneiro, 14-Sep-2014.)

Hypotheses

Ref	Expression
ftalem.1	⊢ 𝐴 = (coeff‘𝐹)
ftalem.2	⊢ 𝑁 = (deg‘𝐹)
ftalem.3	⊢ (𝜑 → 𝐹 ∈ (Poly‘𝑆))
ftalem.4	⊢ (𝜑 → 𝑁 ∈ ℕ)
ftalem7.5	⊢ (𝜑 → 𝑋 ∈ ℂ)
ftalem7.6	⊢ (𝜑 → (𝐹‘𝑋) ≠ 0)

Assertion

Ref	Expression
ftalem7	⊢ (𝜑 → ¬ ∀𝑥 ∈ ℂ (abs‘(𝐹‘𝑋)) ≤ (abs‘(𝐹‘𝑥)))

Distinct variable groups:   𝑥,𝐴   𝑥,𝑁   𝑥,𝐹   𝜑,𝑥   𝑥,𝑋

Allowed substitution hint:   𝑆(𝑥)

Proof of Theorem ftalem7

Dummy variables 𝑧 𝑤 𝑦 are mutually distinct and distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		eqid 2729	. . . 4 ⊢ (coeff‘(𝑧 ∈ ℂ ↦ (𝐹‘(𝑧 + 𝑋)))) = (coeff‘(𝑧 ∈ ℂ ↦ (𝐹‘(𝑧 + 𝑋))))
2		eqid 2729	. . . 4 ⊢ (deg‘(𝑧 ∈ ℂ ↦ (𝐹‘(𝑧 + 𝑋)))) = (deg‘(𝑧 ∈ ℂ ↦ (𝐹‘(𝑧 + 𝑋))))
3		simpr 484	. . . . . . 7 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑧 ∈ ℂ) → 𝑧 ∈ ℂ)
4		ftalem7.5	. . . . . . . 8 ⊢ (𝜑 → 𝑋 ∈ ℂ)
5	4	adantr 480	. . . . . . 7 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑧 ∈ ℂ) → 𝑋 ∈ ℂ)
6	3, 5	addcld 11193	. . . . . 6 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑧 ∈ ℂ) → (𝑧 + 𝑋) ∈ ℂ)
7		cnex 11149	. . . . . . . . 9 ⊢ ℂ ∈ V
8	7	a1i 11	. . . . . . . 8 ⊢ (𝜑 → ℂ ∈ V)
9	4	negcld 11520	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝜑 → -𝑋 ∈ ℂ)
10	9	adantr 480	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑧 ∈ ℂ) → -𝑋 ∈ ℂ)
11		df-idp 26094	. . . . . . . . . 10 ⊢ Xp = ( I ↾ ℂ)
12		mptresid 6022	. . . . . . . . . 10 ⊢ ( I ↾ ℂ) = (𝑧 ∈ ℂ ↦ 𝑧)
13	11, 12	eqtri 2752	. . . . . . . . 9 ⊢ Xp = (𝑧 ∈ ℂ ↦ 𝑧)
14	13	a1i 11	. . . . . . . 8 ⊢ (𝜑 → Xp = (𝑧 ∈ ℂ ↦ 𝑧))
15		fconstmpt 5700	. . . . . . . . 9 ⊢ (ℂ × {-𝑋}) = (𝑧 ∈ ℂ ↦ -𝑋)
16	15	a1i 11	. . . . . . . 8 ⊢ (𝜑 → (ℂ × {-𝑋}) = (𝑧 ∈ ℂ ↦ -𝑋))
17	8, 3, 10, 14, 16	offval2 7673	. . . . . . 7 ⊢ (𝜑 → (Xp ∘f − (ℂ × {-𝑋})) = (𝑧 ∈ ℂ ↦ (𝑧 − -𝑋)))
18		id 22	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝑧 ∈ ℂ → 𝑧 ∈ ℂ)
19		subneg 11471	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝑧 ∈ ℂ ∧ 𝑋 ∈ ℂ) → (𝑧 − -𝑋) = (𝑧 + 𝑋))
20	18, 4, 19	syl2anr 597	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑧 ∈ ℂ) → (𝑧 − -𝑋) = (𝑧 + 𝑋))
21	20	mpteq2dva 5200	. . . . . . 7 ⊢ (𝜑 → (𝑧 ∈ ℂ ↦ (𝑧 − -𝑋)) = (𝑧 ∈ ℂ ↦ (𝑧 + 𝑋)))
22	17, 21	eqtrd 2764	. . . . . 6 ⊢ (𝜑 → (Xp ∘f − (ℂ × {-𝑋})) = (𝑧 ∈ ℂ ↦ (𝑧 + 𝑋)))
23		ftalem.3	. . . . . . . 8 ⊢ (𝜑 → 𝐹 ∈ (Poly‘𝑆))
24		plyf 26103	. . . . . . . 8 ⊢ (𝐹 ∈ (Poly‘𝑆) → 𝐹:ℂ⟶ℂ)
25	23, 24	syl 17	. . . . . . 7 ⊢ (𝜑 → 𝐹:ℂ⟶ℂ)
26	25	feqmptd 6929	. . . . . 6 ⊢ (𝜑 → 𝐹 = (𝑦 ∈ ℂ ↦ (𝐹‘𝑦)))
27		fveq2 6858	. . . . . 6 ⊢ (𝑦 = (𝑧 + 𝑋) → (𝐹‘𝑦) = (𝐹‘(𝑧 + 𝑋)))
28	6, 22, 26, 27	fmptco 7101	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → (𝐹 ∘ (Xp ∘f − (ℂ × {-𝑋}))) = (𝑧 ∈ ℂ ↦ (𝐹‘(𝑧 + 𝑋))))
29		plyssc 26105	. . . . . . 7 ⊢ (Poly‘𝑆) ⊆ (Poly‘ℂ)
30	29, 23	sselid 3944	. . . . . 6 ⊢ (𝜑 → 𝐹 ∈ (Poly‘ℂ))
31		eqid 2729	. . . . . . . . 9 ⊢ (Xp ∘f − (ℂ × {-𝑋})) = (Xp ∘f − (ℂ × {-𝑋}))
32	31	plyremlem 26212	. . . . . . . 8 ⊢ (-𝑋 ∈ ℂ → ((Xp ∘f − (ℂ × {-𝑋})) ∈ (Poly‘ℂ) ∧ (deg‘(Xp ∘f − (ℂ × {-𝑋}))) = 1 ∧ (◡(Xp ∘f − (ℂ × {-𝑋})) “ {0}) = {-𝑋}))
33	9, 32	syl 17	. . . . . . 7 ⊢ (𝜑 → ((Xp ∘f − (ℂ × {-𝑋})) ∈ (Poly‘ℂ) ∧ (deg‘(Xp ∘f − (ℂ × {-𝑋}))) = 1 ∧ (◡(Xp ∘f − (ℂ × {-𝑋})) “ {0}) = {-𝑋}))
34	33	simp1d 1142	. . . . . 6 ⊢ (𝜑 → (Xp ∘f − (ℂ × {-𝑋})) ∈ (Poly‘ℂ))
35		addcl 11150	. . . . . . 7 ⊢ ((𝑧 ∈ ℂ ∧ 𝑤 ∈ ℂ) → (𝑧 + 𝑤) ∈ ℂ)
36	35	adantl 481	. . . . . 6 ⊢ ((𝜑 ∧ (𝑧 ∈ ℂ ∧ 𝑤 ∈ ℂ)) → (𝑧 + 𝑤) ∈ ℂ)
37		mulcl 11152	. . . . . . 7 ⊢ ((𝑧 ∈ ℂ ∧ 𝑤 ∈ ℂ) → (𝑧 · 𝑤) ∈ ℂ)
38	37	adantl 481	. . . . . 6 ⊢ ((𝜑 ∧ (𝑧 ∈ ℂ ∧ 𝑤 ∈ ℂ)) → (𝑧 · 𝑤) ∈ ℂ)
39	30, 34, 36, 38	plyco 26146	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → (𝐹 ∘ (Xp ∘f − (ℂ × {-𝑋}))) ∈ (Poly‘ℂ))
40	28, 39	eqeltrrd 2829	. . . 4 ⊢ (𝜑 → (𝑧 ∈ ℂ ↦ (𝐹‘(𝑧 + 𝑋))) ∈ (Poly‘ℂ))
41	28	fveq2d 6862	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → (deg‘(𝐹 ∘ (Xp ∘f − (ℂ × {-𝑋})))) = (deg‘(𝑧 ∈ ℂ ↦ (𝐹‘(𝑧 + 𝑋)))))
42		ftalem.2	. . . . . . 7 ⊢ 𝑁 = (deg‘𝐹)
43		eqid 2729	. . . . . . 7 ⊢ (deg‘(Xp ∘f − (ℂ × {-𝑋}))) = (deg‘(Xp ∘f − (ℂ × {-𝑋})))
44	42, 43, 30, 34	dgrco 26181	. . . . . 6 ⊢ (𝜑 → (deg‘(𝐹 ∘ (Xp ∘f − (ℂ × {-𝑋})))) = (𝑁 · (deg‘(Xp ∘f − (ℂ × {-𝑋})))))
45		ftalem.4	. . . . . . 7 ⊢ (𝜑 → 𝑁 ∈ ℕ)
46	33	simp2d 1143	. . . . . . . 8 ⊢ (𝜑 → (deg‘(Xp ∘f − (ℂ × {-𝑋}))) = 1)
47		1nn 12197	. . . . . . . 8 ⊢ 1 ∈ ℕ
48	46, 47	eqeltrdi 2836	. . . . . . 7 ⊢ (𝜑 → (deg‘(Xp ∘f − (ℂ × {-𝑋}))) ∈ ℕ)
49	45, 48	nnmulcld 12239	. . . . . 6 ⊢ (𝜑 → (𝑁 · (deg‘(Xp ∘f − (ℂ × {-𝑋})))) ∈ ℕ)
50	44, 49	eqeltrd 2828	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → (deg‘(𝐹 ∘ (Xp ∘f − (ℂ × {-𝑋})))) ∈ ℕ)
51	41, 50	eqeltrrd 2829	. . . 4 ⊢ (𝜑 → (deg‘(𝑧 ∈ ℂ ↦ (𝐹‘(𝑧 + 𝑋)))) ∈ ℕ)
52		0cn 11166	. . . . . . 7 ⊢ 0 ∈ ℂ
53		fvoveq1 7410	. . . . . . . 8 ⊢ (𝑧 = 0 → (𝐹‘(𝑧 + 𝑋)) = (𝐹‘(0 + 𝑋)))
54		eqid 2729	. . . . . . . 8 ⊢ (𝑧 ∈ ℂ ↦ (𝐹‘(𝑧 + 𝑋))) = (𝑧 ∈ ℂ ↦ (𝐹‘(𝑧 + 𝑋)))
55		fvex 6871	. . . . . . . 8 ⊢ (𝐹‘(0 + 𝑋)) ∈ V
56	53, 54, 55	fvmpt 6968	. . . . . . 7 ⊢ (0 ∈ ℂ → ((𝑧 ∈ ℂ ↦ (𝐹‘(𝑧 + 𝑋)))‘0) = (𝐹‘(0 + 𝑋)))
57	52, 56	ax-mp 5	. . . . . 6 ⊢ ((𝑧 ∈ ℂ ↦ (𝐹‘(𝑧 + 𝑋)))‘0) = (𝐹‘(0 + 𝑋))
58	4	addlidd 11375	. . . . . . 7 ⊢ (𝜑 → (0 + 𝑋) = 𝑋)
59	58	fveq2d 6862	. . . . . 6 ⊢ (𝜑 → (𝐹‘(0 + 𝑋)) = (𝐹‘𝑋))
60	57, 59	eqtrid 2776	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → ((𝑧 ∈ ℂ ↦ (𝐹‘(𝑧 + 𝑋)))‘0) = (𝐹‘𝑋))
61		ftalem7.6	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → (𝐹‘𝑋) ≠ 0)
62	60, 61	eqnetrd 2992	. . . 4 ⊢ (𝜑 → ((𝑧 ∈ ℂ ↦ (𝐹‘(𝑧 + 𝑋)))‘0) ≠ 0)
63	1, 2, 40, 51, 62	ftalem6 26988	. . 3 ⊢ (𝜑 → ∃𝑦 ∈ ℂ (abs‘((𝑧 ∈ ℂ ↦ (𝐹‘(𝑧 + 𝑋)))‘𝑦)) < (abs‘((𝑧 ∈ ℂ ↦ (𝐹‘(𝑧 + 𝑋)))‘0)))
64		id 22	. . . . . 6 ⊢ (𝑦 ∈ ℂ → 𝑦 ∈ ℂ)
65		addcl 11150	. . . . . 6 ⊢ ((𝑦 ∈ ℂ ∧ 𝑋 ∈ ℂ) → (𝑦 + 𝑋) ∈ ℂ)
66	64, 4, 65	syl2anr 597	. . . . 5 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑦 ∈ ℂ) → (𝑦 + 𝑋) ∈ ℂ)
67		fvoveq1 7410	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (𝑧 = 𝑦 → (𝐹‘(𝑧 + 𝑋)) = (𝐹‘(𝑦 + 𝑋)))
68		fvex 6871	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (𝐹‘(𝑦 + 𝑋)) ∈ V
69	67, 54, 68	fvmpt 6968	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝑦 ∈ ℂ → ((𝑧 ∈ ℂ ↦ (𝐹‘(𝑧 + 𝑋)))‘𝑦) = (𝐹‘(𝑦 + 𝑋)))
70	69	adantl 481	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑦 ∈ ℂ) → ((𝑧 ∈ ℂ ↦ (𝐹‘(𝑧 + 𝑋)))‘𝑦) = (𝐹‘(𝑦 + 𝑋)))
71	70	fveq2d 6862	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑦 ∈ ℂ) → (abs‘((𝑧 ∈ ℂ ↦ (𝐹‘(𝑧 + 𝑋)))‘𝑦)) = (abs‘(𝐹‘(𝑦 + 𝑋))))
72	60	adantr 480	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑦 ∈ ℂ) → ((𝑧 ∈ ℂ ↦ (𝐹‘(𝑧 + 𝑋)))‘0) = (𝐹‘𝑋))
73	72	fveq2d 6862	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑦 ∈ ℂ) → (abs‘((𝑧 ∈ ℂ ↦ (𝐹‘(𝑧 + 𝑋)))‘0)) = (abs‘(𝐹‘𝑋)))
74	71, 73	breq12d 5120	. . . . . . 7 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑦 ∈ ℂ) → ((abs‘((𝑧 ∈ ℂ ↦ (𝐹‘(𝑧 + 𝑋)))‘𝑦)) < (abs‘((𝑧 ∈ ℂ ↦ (𝐹‘(𝑧 + 𝑋)))‘0)) ↔ (abs‘(𝐹‘(𝑦 + 𝑋))) < (abs‘(𝐹‘𝑋))))
75	25	adantr 480	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑦 ∈ ℂ) → 𝐹:ℂ⟶ℂ)
76	75, 66	ffvelcdmd 7057	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑦 ∈ ℂ) → (𝐹‘(𝑦 + 𝑋)) ∈ ℂ)
77	76	abscld 15405	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑦 ∈ ℂ) → (abs‘(𝐹‘(𝑦 + 𝑋))) ∈ ℝ)
78	25, 4	ffvelcdmd 7057	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝜑 → (𝐹‘𝑋) ∈ ℂ)
79	78	abscld 15405	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝜑 → (abs‘(𝐹‘𝑋)) ∈ ℝ)
80	79	adantr 480	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑦 ∈ ℂ) → (abs‘(𝐹‘𝑋)) ∈ ℝ)
81	77, 80	ltnled 11321	. . . . . . 7 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑦 ∈ ℂ) → ((abs‘(𝐹‘(𝑦 + 𝑋))) < (abs‘(𝐹‘𝑋)) ↔ ¬ (abs‘(𝐹‘𝑋)) ≤ (abs‘(𝐹‘(𝑦 + 𝑋)))))
82	74, 81	bitrd 279	. . . . . 6 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑦 ∈ ℂ) → ((abs‘((𝑧 ∈ ℂ ↦ (𝐹‘(𝑧 + 𝑋)))‘𝑦)) < (abs‘((𝑧 ∈ ℂ ↦ (𝐹‘(𝑧 + 𝑋)))‘0)) ↔ ¬ (abs‘(𝐹‘𝑋)) ≤ (abs‘(𝐹‘(𝑦 + 𝑋)))))
83	82	biimpd 229	. . . . 5 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑦 ∈ ℂ) → ((abs‘((𝑧 ∈ ℂ ↦ (𝐹‘(𝑧 + 𝑋)))‘𝑦)) < (abs‘((𝑧 ∈ ℂ ↦ (𝐹‘(𝑧 + 𝑋)))‘0)) → ¬ (abs‘(𝐹‘𝑋)) ≤ (abs‘(𝐹‘(𝑦 + 𝑋)))))
84		2fveq3 6863	. . . . . . . 8 ⊢ (𝑥 = (𝑦 + 𝑋) → (abs‘(𝐹‘𝑥)) = (abs‘(𝐹‘(𝑦 + 𝑋))))
85	84	breq2d 5119	. . . . . . 7 ⊢ (𝑥 = (𝑦 + 𝑋) → ((abs‘(𝐹‘𝑋)) ≤ (abs‘(𝐹‘𝑥)) ↔ (abs‘(𝐹‘𝑋)) ≤ (abs‘(𝐹‘(𝑦 + 𝑋)))))
86	85	notbid 318	. . . . . 6 ⊢ (𝑥 = (𝑦 + 𝑋) → (¬ (abs‘(𝐹‘𝑋)) ≤ (abs‘(𝐹‘𝑥)) ↔ ¬ (abs‘(𝐹‘𝑋)) ≤ (abs‘(𝐹‘(𝑦 + 𝑋)))))
87	86	rspcev 3588	. . . . 5 ⊢ (((𝑦 + 𝑋) ∈ ℂ ∧ ¬ (abs‘(𝐹‘𝑋)) ≤ (abs‘(𝐹‘(𝑦 + 𝑋)))) → ∃𝑥 ∈ ℂ ¬ (abs‘(𝐹‘𝑋)) ≤ (abs‘(𝐹‘𝑥)))
88	66, 83, 87	syl6an 684	. . . 4 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑦 ∈ ℂ) → ((abs‘((𝑧 ∈ ℂ ↦ (𝐹‘(𝑧 + 𝑋)))‘𝑦)) < (abs‘((𝑧 ∈ ℂ ↦ (𝐹‘(𝑧 + 𝑋)))‘0)) → ∃𝑥 ∈ ℂ ¬ (abs‘(𝐹‘𝑋)) ≤ (abs‘(𝐹‘𝑥))))
89	88	rexlimdva 3134	. . 3 ⊢ (𝜑 → (∃𝑦 ∈ ℂ (abs‘((𝑧 ∈ ℂ ↦ (𝐹‘(𝑧 + 𝑋)))‘𝑦)) < (abs‘((𝑧 ∈ ℂ ↦ (𝐹‘(𝑧 + 𝑋)))‘0)) → ∃𝑥 ∈ ℂ ¬ (abs‘(𝐹‘𝑋)) ≤ (abs‘(𝐹‘𝑥))))
90	63, 89	mpd 15	. 2 ⊢ (𝜑 → ∃𝑥 ∈ ℂ ¬ (abs‘(𝐹‘𝑋)) ≤ (abs‘(𝐹‘𝑥)))
91		rexnal 3082	. 2 ⊢ (∃𝑥 ∈ ℂ ¬ (abs‘(𝐹‘𝑋)) ≤ (abs‘(𝐹‘𝑥)) ↔ ¬ ∀𝑥 ∈ ℂ (abs‘(𝐹‘𝑋)) ≤ (abs‘(𝐹‘𝑥)))
92	90, 91	sylib 218	1 ⊢ (𝜑 → ¬ ∀𝑥 ∈ ℂ (abs‘(𝐹‘𝑋)) ≤ (abs‘(𝐹‘𝑥)))

Syntax hints:  ¬ wn 3   → wi 4   ∧ wa 395   ∧ w3a 1086   = wceq 1540   ∈ wcel 2109   ≠ wne 2925  ∀wral 3044  ∃wrex 3053  Vcvv 3447  {csn 4589   class class class wbr 5107   ↦ cmpt 5188   I cid 5532   × cxp 5636  ^◡ccnv 5637   ↾ cres 5640   “ cima 5641   ∘ ccom 5642  ⟶wf 6507  ‘cfv 6511  (class class class)co 7387   ∘_f cof 7651  ℂcc 11066  ℝcr 11067  0cc0 11068  1c1 11069   + caddc 11071   · cmul 11073   < clt 11208   ≤ cle 11209   − cmin 11405  -cneg 11406  ℕcn 12186  abscabs 15200  Polycply 26089  X_pcidp 26090  coeffccoe 26091  degcdgr 26092

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1795  ax-4 1809  ax-5 1910  ax-6 1967  ax-7 2008  ax-8 2111  ax-9 2119  ax-10 2142  ax-11 2158  ax-12 2178  ax-ext 2701  ax-rep 5234  ax-sep 5251  ax-nul 5261  ax-pow 5320  ax-pr 5387  ax-un 7711  ax-inf2 9594  ax-cnex 11124  ax-resscn 11125  ax-1cn 11126  ax-icn 11127  ax-addcl 11128  ax-addrcl 11129  ax-mulcl 11130  ax-mulrcl 11131  ax-mulcom 11132  ax-addass 11133  ax-mulass 11134  ax-distr 11135  ax-i2m1 11136  ax-1ne0 11137  ax-1rid 11138  ax-rnegex 11139  ax-rrecex 11140  ax-cnre 11141  ax-pre-lttri 11142  ax-pre-lttrn 11143  ax-pre-ltadd 11144  ax-pre-mulgt0 11145  ax-pre-sup 11146  ax-addf 11147

This theorem depends on definitions:  df-bi 207  df-an 396  df-or 848  df-3or 1087  df-3an 1088  df-tru 1543  df-fal 1553  df-ex 1780  df-nf 1784  df-sb 2066  df-mo 2533  df-eu 2562  df-clab 2708  df-cleq 2721  df-clel 2803  df-nfc 2878  df-ne 2926  df-nel 3030  df-ral 3045  df-rex 3054  df-rmo 3354  df-reu 3355  df-rab 3406  df-v 3449  df-sbc 3754  df-csb 3863  df-dif 3917  df-un 3919  df-in 3921  df-ss 3931  df-pss 3934  df-nul 4297  df-if 4489  df-pw 4565  df-sn 4590  df-pr 4592  df-tp 4594  df-op 4596  df-uni 4872  df-int 4911  df-iun 4957  df-iin 4958  df-br 5108  df-opab 5170  df-mpt 5189  df-tr 5215  df-id 5533  df-eprel 5538  df-po 5546  df-so 5547  df-fr 5591  df-se 5592  df-we 5593  df-xp 5644  df-rel 5645  df-cnv 5646  df-co 5647  df-dm 5648  df-rn 5649  df-res 5650  df-ima 5651  df-pred 6274  df-ord 6335  df-on 6336  df-lim 6337  df-suc 6338  df-iota 6464  df-fun 6513  df-fn 6514  df-f 6515  df-f1 6516  df-fo 6517  df-f1o 6518  df-fv 6519  df-isom 6520  df-riota 7344  df-ov 7390  df-oprab 7391  df-mpo 7392  df-of 7653  df-om 7843  df-1st 7968  df-2nd 7969  df-supp 8140  df-frecs 8260  df-wrecs 8291  df-recs 8340  df-rdg 8378  df-1o 8434  df-2o 8435  df-er 8671  df-map 8801  df-pm 8802  df-ixp 8871  df-en 8919  df-dom 8920  df-sdom 8921  df-fin 8922  df-fsupp 9313  df-fi 9362  df-sup 9393  df-inf 9394  df-oi 9463  df-card 9892  df-pnf 11210  df-mnf 11211  df-xr 11212  df-ltxr 11213  df-le 11214  df-sub 11407  df-neg 11408  df-div 11836  df-nn 12187  df-2 12249  df-3 12250  df-4 12251  df-5 12252  df-6 12253  df-7 12254  df-8 12255  df-9 12256  df-n0 12443  df-z 12530  df-dec 12650  df-uz 12794  df-q 12908  df-rp 12952  df-xneg 13072  df-xadd 13073  df-xmul 13074  df-ioo 13310  df-ioc 13311  df-ico 13312  df-icc 13313  df-fz 13469  df-fzo 13616  df-fl 13754  df-mod 13832  df-seq 13967  df-exp 14027  df-fac 14239  df-bc 14268  df-hash 14296  df-shft 15033  df-cj 15065  df-re 15066  df-im 15067  df-sqrt 15201  df-abs 15202  df-limsup 15437  df-clim 15454  df-rlim 15455  df-sum 15653  df-ef 16033  df-sin 16035  df-cos 16036  df-pi 16038  df-struct 17117  df-sets 17134  df-slot 17152  df-ndx 17164  df-base 17180  df-ress 17201  df-plusg 17233  df-mulr 17234  df-starv 17235  df-sca 17236  df-vsca 17237  df-ip 17238  df-tset 17239  df-ple 17240  df-ds 17242  df-unif 17243  df-hom 17244  df-cco 17245  df-rest 17385  df-topn 17386  df-0g 17404  df-gsum 17405  df-topgen 17406  df-pt 17407  df-prds 17410  df-xrs 17465  df-qtop 17470  df-imas 17471  df-xps 17473  df-mre 17547  df-mrc 17548  df-acs 17550  df-mgm 18567  df-sgrp 18646  df-mnd 18662  df-submnd 18711  df-mulg 19000  df-cntz 19249  df-cmn 19712  df-psmet 21256  df-xmet 21257  df-met 21258  df-bl 21259  df-mopn 21260  df-fbas 21261  df-fg 21262  df-cnfld 21265  df-top 22781  df-topon 22798  df-topsp 22820  df-bases 22833  df-cld 22906  df-ntr 22907  df-cls 22908  df-nei 22985  df-lp 23023  df-perf 23024  df-cn 23114  df-cnp 23115  df-haus 23202  df-tx 23449  df-hmeo 23642  df-fil 23733  df-fm 23825  df-flim 23826  df-flf 23827  df-xms 24208  df-ms 24209  df-tms 24210  df-cncf 24771  df-0p 25571  df-limc 25767  df-dv 25768  df-ply 26093  df-idp 26094  df-coe 26095  df-dgr 26096  df-log 26465  df-cxp 26466

This theorem is referenced by:  fta  26990