Theorem ftalem7 27136

Description: Lemma for fta 27137. Shift the minimum away from zero by a change of variables. (Contributed by Mario Carneiro, 14-Sep-2014.)

Hypotheses

Ref	Expression
ftalem.1	⊢ 𝐴 = (coeff‘𝐹)
ftalem.2	⊢ 𝑁 = (deg‘𝐹)
ftalem.3	⊢ (𝜑 → 𝐹 ∈ (Poly‘𝑆))
ftalem.4	⊢ (𝜑 → 𝑁 ∈ ℕ)
ftalem7.5	⊢ (𝜑 → 𝑋 ∈ ℂ)
ftalem7.6	⊢ (𝜑 → (𝐹‘𝑋) ≠ 0)

Assertion

Ref	Expression
ftalem7	⊢ (𝜑 → ¬ ∀𝑥 ∈ ℂ (abs‘(𝐹‘𝑋)) ≤ (abs‘(𝐹‘𝑥)))

Distinct variable groups:   𝑥,𝐴   𝑥,𝑁   𝑥,𝐹   𝜑,𝑥   𝑥,𝑋

Allowed substitution hint:   𝑆(𝑥)

Proof of Theorem ftalem7

Dummy variables 𝑧 𝑤 𝑦 are mutually distinct and distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		eqid 2734	. . . 4 ⊢ (coeff‘(𝑧 ∈ ℂ ↦ (𝐹‘(𝑧 + 𝑋)))) = (coeff‘(𝑧 ∈ ℂ ↦ (𝐹‘(𝑧 + 𝑋))))
2		eqid 2734	. . . 4 ⊢ (deg‘(𝑧 ∈ ℂ ↦ (𝐹‘(𝑧 + 𝑋)))) = (deg‘(𝑧 ∈ ℂ ↦ (𝐹‘(𝑧 + 𝑋))))
3		simpr 484	. . . . . . 7 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑧 ∈ ℂ) → 𝑧 ∈ ℂ)
4		ftalem7.5	. . . . . . . 8 ⊢ (𝜑 → 𝑋 ∈ ℂ)
5	4	adantr 480	. . . . . . 7 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑧 ∈ ℂ) → 𝑋 ∈ ℂ)
6	3, 5	addcld 11277	. . . . . 6 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑧 ∈ ℂ) → (𝑧 + 𝑋) ∈ ℂ)
7		cnex 11233	. . . . . . . . 9 ⊢ ℂ ∈ V
8	7	a1i 11	. . . . . . . 8 ⊢ (𝜑 → ℂ ∈ V)
9	4	negcld 11604	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝜑 → -𝑋 ∈ ℂ)
10	9	adantr 480	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑧 ∈ ℂ) → -𝑋 ∈ ℂ)
11		df-idp 26242	. . . . . . . . . 10 ⊢ Xp = ( I ↾ ℂ)
12		mptresid 6070	. . . . . . . . . 10 ⊢ ( I ↾ ℂ) = (𝑧 ∈ ℂ ↦ 𝑧)
13	11, 12	eqtri 2762	. . . . . . . . 9 ⊢ Xp = (𝑧 ∈ ℂ ↦ 𝑧)
14	13	a1i 11	. . . . . . . 8 ⊢ (𝜑 → Xp = (𝑧 ∈ ℂ ↦ 𝑧))
15		fconstmpt 5750	. . . . . . . . 9 ⊢ (ℂ × {-𝑋}) = (𝑧 ∈ ℂ ↦ -𝑋)
16	15	a1i 11	. . . . . . . 8 ⊢ (𝜑 → (ℂ × {-𝑋}) = (𝑧 ∈ ℂ ↦ -𝑋))
17	8, 3, 10, 14, 16	offval2 7716	. . . . . . 7 ⊢ (𝜑 → (Xp ∘f − (ℂ × {-𝑋})) = (𝑧 ∈ ℂ ↦ (𝑧 − -𝑋)))
18		id 22	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝑧 ∈ ℂ → 𝑧 ∈ ℂ)
19		subneg 11555	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝑧 ∈ ℂ ∧ 𝑋 ∈ ℂ) → (𝑧 − -𝑋) = (𝑧 + 𝑋))
20	18, 4, 19	syl2anr 597	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑧 ∈ ℂ) → (𝑧 − -𝑋) = (𝑧 + 𝑋))
21	20	mpteq2dva 5247	. . . . . . 7 ⊢ (𝜑 → (𝑧 ∈ ℂ ↦ (𝑧 − -𝑋)) = (𝑧 ∈ ℂ ↦ (𝑧 + 𝑋)))
22	17, 21	eqtrd 2774	. . . . . 6 ⊢ (𝜑 → (Xp ∘f − (ℂ × {-𝑋})) = (𝑧 ∈ ℂ ↦ (𝑧 + 𝑋)))
23		ftalem.3	. . . . . . . 8 ⊢ (𝜑 → 𝐹 ∈ (Poly‘𝑆))
24		plyf 26251	. . . . . . . 8 ⊢ (𝐹 ∈ (Poly‘𝑆) → 𝐹:ℂ⟶ℂ)
25	23, 24	syl 17	. . . . . . 7 ⊢ (𝜑 → 𝐹:ℂ⟶ℂ)
26	25	feqmptd 6976	. . . . . 6 ⊢ (𝜑 → 𝐹 = (𝑦 ∈ ℂ ↦ (𝐹‘𝑦)))
27		fveq2 6906	. . . . . 6 ⊢ (𝑦 = (𝑧 + 𝑋) → (𝐹‘𝑦) = (𝐹‘(𝑧 + 𝑋)))
28	6, 22, 26, 27	fmptco 7148	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → (𝐹 ∘ (Xp ∘f − (ℂ × {-𝑋}))) = (𝑧 ∈ ℂ ↦ (𝐹‘(𝑧 + 𝑋))))
29		plyssc 26253	. . . . . . 7 ⊢ (Poly‘𝑆) ⊆ (Poly‘ℂ)
30	29, 23	sselid 3992	. . . . . 6 ⊢ (𝜑 → 𝐹 ∈ (Poly‘ℂ))
31		eqid 2734	. . . . . . . . 9 ⊢ (Xp ∘f − (ℂ × {-𝑋})) = (Xp ∘f − (ℂ × {-𝑋}))
32	31	plyremlem 26360	. . . . . . . 8 ⊢ (-𝑋 ∈ ℂ → ((Xp ∘f − (ℂ × {-𝑋})) ∈ (Poly‘ℂ) ∧ (deg‘(Xp ∘f − (ℂ × {-𝑋}))) = 1 ∧ (◡(Xp ∘f − (ℂ × {-𝑋})) “ {0}) = {-𝑋}))
33	9, 32	syl 17	. . . . . . 7 ⊢ (𝜑 → ((Xp ∘f − (ℂ × {-𝑋})) ∈ (Poly‘ℂ) ∧ (deg‘(Xp ∘f − (ℂ × {-𝑋}))) = 1 ∧ (◡(Xp ∘f − (ℂ × {-𝑋})) “ {0}) = {-𝑋}))
34	33	simp1d 1141	. . . . . 6 ⊢ (𝜑 → (Xp ∘f − (ℂ × {-𝑋})) ∈ (Poly‘ℂ))
35		addcl 11234	. . . . . . 7 ⊢ ((𝑧 ∈ ℂ ∧ 𝑤 ∈ ℂ) → (𝑧 + 𝑤) ∈ ℂ)
36	35	adantl 481	. . . . . 6 ⊢ ((𝜑 ∧ (𝑧 ∈ ℂ ∧ 𝑤 ∈ ℂ)) → (𝑧 + 𝑤) ∈ ℂ)
37		mulcl 11236	. . . . . . 7 ⊢ ((𝑧 ∈ ℂ ∧ 𝑤 ∈ ℂ) → (𝑧 · 𝑤) ∈ ℂ)
38	37	adantl 481	. . . . . 6 ⊢ ((𝜑 ∧ (𝑧 ∈ ℂ ∧ 𝑤 ∈ ℂ)) → (𝑧 · 𝑤) ∈ ℂ)
39	30, 34, 36, 38	plyco 26294	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → (𝐹 ∘ (Xp ∘f − (ℂ × {-𝑋}))) ∈ (Poly‘ℂ))
40	28, 39	eqeltrrd 2839	. . . 4 ⊢ (𝜑 → (𝑧 ∈ ℂ ↦ (𝐹‘(𝑧 + 𝑋))) ∈ (Poly‘ℂ))
41	28	fveq2d 6910	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → (deg‘(𝐹 ∘ (Xp ∘f − (ℂ × {-𝑋})))) = (deg‘(𝑧 ∈ ℂ ↦ (𝐹‘(𝑧 + 𝑋)))))
42		ftalem.2	. . . . . . 7 ⊢ 𝑁 = (deg‘𝐹)
43		eqid 2734	. . . . . . 7 ⊢ (deg‘(Xp ∘f − (ℂ × {-𝑋}))) = (deg‘(Xp ∘f − (ℂ × {-𝑋})))
44	42, 43, 30, 34	dgrco 26329	. . . . . 6 ⊢ (𝜑 → (deg‘(𝐹 ∘ (Xp ∘f − (ℂ × {-𝑋})))) = (𝑁 · (deg‘(Xp ∘f − (ℂ × {-𝑋})))))
45		ftalem.4	. . . . . . 7 ⊢ (𝜑 → 𝑁 ∈ ℕ)
46	33	simp2d 1142	. . . . . . . 8 ⊢ (𝜑 → (deg‘(Xp ∘f − (ℂ × {-𝑋}))) = 1)
47		1nn 12274	. . . . . . . 8 ⊢ 1 ∈ ℕ
48	46, 47	eqeltrdi 2846	. . . . . . 7 ⊢ (𝜑 → (deg‘(Xp ∘f − (ℂ × {-𝑋}))) ∈ ℕ)
49	45, 48	nnmulcld 12316	. . . . . 6 ⊢ (𝜑 → (𝑁 · (deg‘(Xp ∘f − (ℂ × {-𝑋})))) ∈ ℕ)
50	44, 49	eqeltrd 2838	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → (deg‘(𝐹 ∘ (Xp ∘f − (ℂ × {-𝑋})))) ∈ ℕ)
51	41, 50	eqeltrrd 2839	. . . 4 ⊢ (𝜑 → (deg‘(𝑧 ∈ ℂ ↦ (𝐹‘(𝑧 + 𝑋)))) ∈ ℕ)
52		0cn 11250	. . . . . . 7 ⊢ 0 ∈ ℂ
53		fvoveq1 7453	. . . . . . . 8 ⊢ (𝑧 = 0 → (𝐹‘(𝑧 + 𝑋)) = (𝐹‘(0 + 𝑋)))
54		eqid 2734	. . . . . . . 8 ⊢ (𝑧 ∈ ℂ ↦ (𝐹‘(𝑧 + 𝑋))) = (𝑧 ∈ ℂ ↦ (𝐹‘(𝑧 + 𝑋)))
55		fvex 6919	. . . . . . . 8 ⊢ (𝐹‘(0 + 𝑋)) ∈ V
56	53, 54, 55	fvmpt 7015	. . . . . . 7 ⊢ (0 ∈ ℂ → ((𝑧 ∈ ℂ ↦ (𝐹‘(𝑧 + 𝑋)))‘0) = (𝐹‘(0 + 𝑋)))
57	52, 56	ax-mp 5	. . . . . 6 ⊢ ((𝑧 ∈ ℂ ↦ (𝐹‘(𝑧 + 𝑋)))‘0) = (𝐹‘(0 + 𝑋))
58	4	addlidd 11459	. . . . . . 7 ⊢ (𝜑 → (0 + 𝑋) = 𝑋)
59	58	fveq2d 6910	. . . . . 6 ⊢ (𝜑 → (𝐹‘(0 + 𝑋)) = (𝐹‘𝑋))
60	57, 59	eqtrid 2786	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → ((𝑧 ∈ ℂ ↦ (𝐹‘(𝑧 + 𝑋)))‘0) = (𝐹‘𝑋))
61		ftalem7.6	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → (𝐹‘𝑋) ≠ 0)
62	60, 61	eqnetrd 3005	. . . 4 ⊢ (𝜑 → ((𝑧 ∈ ℂ ↦ (𝐹‘(𝑧 + 𝑋)))‘0) ≠ 0)
63	1, 2, 40, 51, 62	ftalem6 27135	. . 3 ⊢ (𝜑 → ∃𝑦 ∈ ℂ (abs‘((𝑧 ∈ ℂ ↦ (𝐹‘(𝑧 + 𝑋)))‘𝑦)) < (abs‘((𝑧 ∈ ℂ ↦ (𝐹‘(𝑧 + 𝑋)))‘0)))
64		id 22	. . . . . 6 ⊢ (𝑦 ∈ ℂ → 𝑦 ∈ ℂ)
65		addcl 11234	. . . . . 6 ⊢ ((𝑦 ∈ ℂ ∧ 𝑋 ∈ ℂ) → (𝑦 + 𝑋) ∈ ℂ)
66	64, 4, 65	syl2anr 597	. . . . 5 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑦 ∈ ℂ) → (𝑦 + 𝑋) ∈ ℂ)
67		fvoveq1 7453	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (𝑧 = 𝑦 → (𝐹‘(𝑧 + 𝑋)) = (𝐹‘(𝑦 + 𝑋)))
68		fvex 6919	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (𝐹‘(𝑦 + 𝑋)) ∈ V
69	67, 54, 68	fvmpt 7015	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝑦 ∈ ℂ → ((𝑧 ∈ ℂ ↦ (𝐹‘(𝑧 + 𝑋)))‘𝑦) = (𝐹‘(𝑦 + 𝑋)))
70	69	adantl 481	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑦 ∈ ℂ) → ((𝑧 ∈ ℂ ↦ (𝐹‘(𝑧 + 𝑋)))‘𝑦) = (𝐹‘(𝑦 + 𝑋)))
71	70	fveq2d 6910	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑦 ∈ ℂ) → (abs‘((𝑧 ∈ ℂ ↦ (𝐹‘(𝑧 + 𝑋)))‘𝑦)) = (abs‘(𝐹‘(𝑦 + 𝑋))))
72	60	adantr 480	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑦 ∈ ℂ) → ((𝑧 ∈ ℂ ↦ (𝐹‘(𝑧 + 𝑋)))‘0) = (𝐹‘𝑋))
73	72	fveq2d 6910	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑦 ∈ ℂ) → (abs‘((𝑧 ∈ ℂ ↦ (𝐹‘(𝑧 + 𝑋)))‘0)) = (abs‘(𝐹‘𝑋)))
74	71, 73	breq12d 5160	. . . . . . 7 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑦 ∈ ℂ) → ((abs‘((𝑧 ∈ ℂ ↦ (𝐹‘(𝑧 + 𝑋)))‘𝑦)) < (abs‘((𝑧 ∈ ℂ ↦ (𝐹‘(𝑧 + 𝑋)))‘0)) ↔ (abs‘(𝐹‘(𝑦 + 𝑋))) < (abs‘(𝐹‘𝑋))))
75	25	adantr 480	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑦 ∈ ℂ) → 𝐹:ℂ⟶ℂ)
76	75, 66	ffvelcdmd 7104	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑦 ∈ ℂ) → (𝐹‘(𝑦 + 𝑋)) ∈ ℂ)
77	76	abscld 15471	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑦 ∈ ℂ) → (abs‘(𝐹‘(𝑦 + 𝑋))) ∈ ℝ)
78	25, 4	ffvelcdmd 7104	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝜑 → (𝐹‘𝑋) ∈ ℂ)
79	78	abscld 15471	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝜑 → (abs‘(𝐹‘𝑋)) ∈ ℝ)
80	79	adantr 480	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑦 ∈ ℂ) → (abs‘(𝐹‘𝑋)) ∈ ℝ)
81	77, 80	ltnled 11405	. . . . . . 7 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑦 ∈ ℂ) → ((abs‘(𝐹‘(𝑦 + 𝑋))) < (abs‘(𝐹‘𝑋)) ↔ ¬ (abs‘(𝐹‘𝑋)) ≤ (abs‘(𝐹‘(𝑦 + 𝑋)))))
82	74, 81	bitrd 279	. . . . . 6 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑦 ∈ ℂ) → ((abs‘((𝑧 ∈ ℂ ↦ (𝐹‘(𝑧 + 𝑋)))‘𝑦)) < (abs‘((𝑧 ∈ ℂ ↦ (𝐹‘(𝑧 + 𝑋)))‘0)) ↔ ¬ (abs‘(𝐹‘𝑋)) ≤ (abs‘(𝐹‘(𝑦 + 𝑋)))))
83	82	biimpd 229	. . . . 5 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑦 ∈ ℂ) → ((abs‘((𝑧 ∈ ℂ ↦ (𝐹‘(𝑧 + 𝑋)))‘𝑦)) < (abs‘((𝑧 ∈ ℂ ↦ (𝐹‘(𝑧 + 𝑋)))‘0)) → ¬ (abs‘(𝐹‘𝑋)) ≤ (abs‘(𝐹‘(𝑦 + 𝑋)))))
84		2fveq3 6911	. . . . . . . 8 ⊢ (𝑥 = (𝑦 + 𝑋) → (abs‘(𝐹‘𝑥)) = (abs‘(𝐹‘(𝑦 + 𝑋))))
85	84	breq2d 5159	. . . . . . 7 ⊢ (𝑥 = (𝑦 + 𝑋) → ((abs‘(𝐹‘𝑋)) ≤ (abs‘(𝐹‘𝑥)) ↔ (abs‘(𝐹‘𝑋)) ≤ (abs‘(𝐹‘(𝑦 + 𝑋)))))
86	85	notbid 318	. . . . . 6 ⊢ (𝑥 = (𝑦 + 𝑋) → (¬ (abs‘(𝐹‘𝑋)) ≤ (abs‘(𝐹‘𝑥)) ↔ ¬ (abs‘(𝐹‘𝑋)) ≤ (abs‘(𝐹‘(𝑦 + 𝑋)))))
87	86	rspcev 3621	. . . . 5 ⊢ (((𝑦 + 𝑋) ∈ ℂ ∧ ¬ (abs‘(𝐹‘𝑋)) ≤ (abs‘(𝐹‘(𝑦 + 𝑋)))) → ∃𝑥 ∈ ℂ ¬ (abs‘(𝐹‘𝑋)) ≤ (abs‘(𝐹‘𝑥)))
88	66, 83, 87	syl6an 684	. . . 4 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑦 ∈ ℂ) → ((abs‘((𝑧 ∈ ℂ ↦ (𝐹‘(𝑧 + 𝑋)))‘𝑦)) < (abs‘((𝑧 ∈ ℂ ↦ (𝐹‘(𝑧 + 𝑋)))‘0)) → ∃𝑥 ∈ ℂ ¬ (abs‘(𝐹‘𝑋)) ≤ (abs‘(𝐹‘𝑥))))
89	88	rexlimdva 3152	. . 3 ⊢ (𝜑 → (∃𝑦 ∈ ℂ (abs‘((𝑧 ∈ ℂ ↦ (𝐹‘(𝑧 + 𝑋)))‘𝑦)) < (abs‘((𝑧 ∈ ℂ ↦ (𝐹‘(𝑧 + 𝑋)))‘0)) → ∃𝑥 ∈ ℂ ¬ (abs‘(𝐹‘𝑋)) ≤ (abs‘(𝐹‘𝑥))))
90	63, 89	mpd 15	. 2 ⊢ (𝜑 → ∃𝑥 ∈ ℂ ¬ (abs‘(𝐹‘𝑋)) ≤ (abs‘(𝐹‘𝑥)))
91		rexnal 3097	. 2 ⊢ (∃𝑥 ∈ ℂ ¬ (abs‘(𝐹‘𝑋)) ≤ (abs‘(𝐹‘𝑥)) ↔ ¬ ∀𝑥 ∈ ℂ (abs‘(𝐹‘𝑋)) ≤ (abs‘(𝐹‘𝑥)))
92	90, 91	sylib 218	1 ⊢ (𝜑 → ¬ ∀𝑥 ∈ ℂ (abs‘(𝐹‘𝑋)) ≤ (abs‘(𝐹‘𝑥)))

Syntax hints:  ¬ wn 3   → wi 4   ∧ wa 395   ∧ w3a 1086   = wceq 1536   ∈ wcel 2105   ≠ wne 2937  ∀wral 3058  ∃wrex 3067  Vcvv 3477  {csn 4630   class class class wbr 5147   ↦ cmpt 5230   I cid 5581   × cxp 5686  ^◡ccnv 5687   ↾ cres 5690   “ cima 5691   ∘ ccom 5692  ⟶wf 6558  ‘cfv 6562  (class class class)co 7430   ∘_f cof 7694  ℂcc 11150  ℝcr 11151  0cc0 11152  1c1 11153   + caddc 11155   · cmul 11157   < clt 11292   ≤ cle 11293   − cmin 11489  -cneg 11490  ℕcn 12263  abscabs 15269  Polycply 26237  X_pcidp 26238  coeffccoe 26239  degcdgr 26240

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1791  ax-4 1805  ax-5 1907  ax-6 1964  ax-7 2004  ax-8 2107  ax-9 2115  ax-10 2138  ax-11 2154  ax-12 2174  ax-ext 2705  ax-rep 5284  ax-sep 5301  ax-nul 5311  ax-pow 5370  ax-pr 5437  ax-un 7753  ax-inf2 9678  ax-cnex 11208  ax-resscn 11209  ax-1cn 11210  ax-icn 11211  ax-addcl 11212  ax-addrcl 11213  ax-mulcl 11214  ax-mulrcl 11215  ax-mulcom 11216  ax-addass 11217  ax-mulass 11218  ax-distr 11219  ax-i2m1 11220  ax-1ne0 11221  ax-1rid 11222  ax-rnegex 11223  ax-rrecex 11224  ax-cnre 11225  ax-pre-lttri 11226  ax-pre-lttrn 11227  ax-pre-ltadd 11228  ax-pre-mulgt0 11229  ax-pre-sup 11230  ax-addf 11231

This theorem depends on definitions:  df-bi 207  df-an 396  df-or 848  df-3or 1087  df-3an 1088  df-tru 1539  df-fal 1549  df-ex 1776  df-nf 1780  df-sb 2062  df-mo 2537  df-eu 2566  df-clab 2712  df-cleq 2726  df-clel 2813  df-nfc 2889  df-ne 2938  df-nel 3044  df-ral 3059  df-rex 3068  df-rmo 3377  df-reu 3378  df-rab 3433  df-v 3479  df-sbc 3791  df-csb 3908  df-dif 3965  df-un 3967  df-in 3969  df-ss 3979  df-pss 3982  df-nul 4339  df-if 4531  df-pw 4606  df-sn 4631  df-pr 4633  df-tp 4635  df-op 4637  df-uni 4912  df-int 4951  df-iun 4997  df-iin 4998  df-br 5148  df-opab 5210  df-mpt 5231  df-tr 5265  df-id 5582  df-eprel 5588  df-po 5596  df-so 5597  df-fr 5640  df-se 5641  df-we 5642  df-xp 5694  df-rel 5695  df-cnv 5696  df-co 5697  df-dm 5698  df-rn 5699  df-res 5700  df-ima 5701  df-pred 6322  df-ord 6388  df-on 6389  df-lim 6390  df-suc 6391  df-iota 6515  df-fun 6564  df-fn 6565  df-f 6566  df-f1 6567  df-fo 6568  df-f1o 6569  df-fv 6570  df-isom 6571  df-riota 7387  df-ov 7433  df-oprab 7434  df-mpo 7435  df-of 7696  df-om 7887  df-1st 8012  df-2nd 8013  df-supp 8184  df-frecs 8304  df-wrecs 8335  df-recs 8409  df-rdg 8448  df-1o 8504  df-2o 8505  df-er 8743  df-map 8866  df-pm 8867  df-ixp 8936  df-en 8984  df-dom 8985  df-sdom 8986  df-fin 8987  df-fsupp 9399  df-fi 9448  df-sup 9479  df-inf 9480  df-oi 9547  df-card 9976  df-pnf 11294  df-mnf 11295  df-xr 11296  df-ltxr 11297  df-le 11298  df-sub 11491  df-neg 11492  df-div 11918  df-nn 12264  df-2 12326  df-3 12327  df-4 12328  df-5 12329  df-6 12330  df-7 12331  df-8 12332  df-9 12333  df-n0 12524  df-z 12611  df-dec 12731  df-uz 12876  df-q 12988  df-rp 13032  df-xneg 13151  df-xadd 13152  df-xmul 13153  df-ioo 13387  df-ioc 13388  df-ico 13389  df-icc 13390  df-fz 13544  df-fzo 13691  df-fl 13828  df-mod 13906  df-seq 14039  df-exp 14099  df-fac 14309  df-bc 14338  df-hash 14366  df-shft 15102  df-cj 15134  df-re 15135  df-im 15136  df-sqrt 15270  df-abs 15271  df-limsup 15503  df-clim 15520  df-rlim 15521  df-sum 15719  df-ef 16099  df-sin 16101  df-cos 16102  df-pi 16104  df-struct 17180  df-sets 17197  df-slot 17215  df-ndx 17227  df-base 17245  df-ress 17274  df-plusg 17310  df-mulr 17311  df-starv 17312  df-sca 17313  df-vsca 17314  df-ip 17315  df-tset 17316  df-ple 17317  df-ds 17319  df-unif 17320  df-hom 17321  df-cco 17322  df-rest 17468  df-topn 17469  df-0g 17487  df-gsum 17488  df-topgen 17489  df-pt 17490  df-prds 17493  df-xrs 17548  df-qtop 17553  df-imas 17554  df-xps 17556  df-mre 17630  df-mrc 17631  df-acs 17633  df-mgm 18665  df-sgrp 18744  df-mnd 18760  df-submnd 18809  df-mulg 19098  df-cntz 19347  df-cmn 19814  df-psmet 21373  df-xmet 21374  df-met 21375  df-bl 21376  df-mopn 21377  df-fbas 21378  df-fg 21379  df-cnfld 21382  df-top 22915  df-topon 22932  df-topsp 22954  df-bases 22968  df-cld 23042  df-ntr 23043  df-cls 23044  df-nei 23121  df-lp 23159  df-perf 23160  df-cn 23250  df-cnp 23251  df-haus 23338  df-tx 23585  df-hmeo 23778  df-fil 23869  df-fm 23961  df-flim 23962  df-flf 23963  df-xms 24345  df-ms 24346  df-tms 24347  df-cncf 24917  df-0p 25718  df-limc 25915  df-dv 25916  df-ply 26241  df-idp 26242  df-coe 26243  df-dgr 26244  df-log 26612  df-cxp 26613

This theorem is referenced by:  fta  27137