MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  ftalem7 Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem ftalem7 27122
Description: Lemma for fta 27123. Shift the minimum away from zero by a change of variables. (Contributed by Mario Carneiro, 14-Sep-2014.)
Hypotheses
Ref Expression
ftalem.1 𝐴 = (coeff‘𝐹)
ftalem.2 𝑁 = (deg‘𝐹)
ftalem.3 (𝜑𝐹 ∈ (Poly‘𝑆))
ftalem.4 (𝜑𝑁 ∈ ℕ)
ftalem7.5 (𝜑𝑋 ∈ ℂ)
ftalem7.6 (𝜑 → (𝐹𝑋) ≠ 0)
Assertion
Ref Expression
ftalem7 (𝜑 → ¬ ∀𝑥 ∈ ℂ (abs‘(𝐹𝑋)) ≤ (abs‘(𝐹𝑥)))
Distinct variable groups:   𝑥,𝐴   𝑥,𝑁   𝑥,𝐹   𝜑,𝑥   𝑥,𝑋
Allowed substitution hint:   𝑆(𝑥)

Proof of Theorem ftalem7
Dummy variables 𝑧 𝑤 𝑦 are mutually distinct and distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 eqid 2737 . . . 4 (coeff‘(𝑧 ∈ ℂ ↦ (𝐹‘(𝑧 + 𝑋)))) = (coeff‘(𝑧 ∈ ℂ ↦ (𝐹‘(𝑧 + 𝑋))))
2 eqid 2737 . . . 4 (deg‘(𝑧 ∈ ℂ ↦ (𝐹‘(𝑧 + 𝑋)))) = (deg‘(𝑧 ∈ ℂ ↦ (𝐹‘(𝑧 + 𝑋))))
3 simpr 484 . . . . . . 7 ((𝜑𝑧 ∈ ℂ) → 𝑧 ∈ ℂ)
4 ftalem7.5 . . . . . . . 8 (𝜑𝑋 ∈ ℂ)
54adantr 480 . . . . . . 7 ((𝜑𝑧 ∈ ℂ) → 𝑋 ∈ ℂ)
63, 5addcld 11280 . . . . . 6 ((𝜑𝑧 ∈ ℂ) → (𝑧 + 𝑋) ∈ ℂ)
7 cnex 11236 . . . . . . . . 9 ℂ ∈ V
87a1i 11 . . . . . . . 8 (𝜑 → ℂ ∈ V)
94negcld 11607 . . . . . . . . 9 (𝜑 → -𝑋 ∈ ℂ)
109adantr 480 . . . . . . . 8 ((𝜑𝑧 ∈ ℂ) → -𝑋 ∈ ℂ)
11 df-idp 26228 . . . . . . . . . 10 Xp = ( I ↾ ℂ)
12 mptresid 6069 . . . . . . . . . 10 ( I ↾ ℂ) = (𝑧 ∈ ℂ ↦ 𝑧)
1311, 12eqtri 2765 . . . . . . . . 9 Xp = (𝑧 ∈ ℂ ↦ 𝑧)
1413a1i 11 . . . . . . . 8 (𝜑Xp = (𝑧 ∈ ℂ ↦ 𝑧))
15 fconstmpt 5747 . . . . . . . . 9 (ℂ × {-𝑋}) = (𝑧 ∈ ℂ ↦ -𝑋)
1615a1i 11 . . . . . . . 8 (𝜑 → (ℂ × {-𝑋}) = (𝑧 ∈ ℂ ↦ -𝑋))
178, 3, 10, 14, 16offval2 7717 . . . . . . 7 (𝜑 → (Xpf − (ℂ × {-𝑋})) = (𝑧 ∈ ℂ ↦ (𝑧 − -𝑋)))
18 id 22 . . . . . . . . 9 (𝑧 ∈ ℂ → 𝑧 ∈ ℂ)
19 subneg 11558 . . . . . . . . 9 ((𝑧 ∈ ℂ ∧ 𝑋 ∈ ℂ) → (𝑧 − -𝑋) = (𝑧 + 𝑋))
2018, 4, 19syl2anr 597 . . . . . . . 8 ((𝜑𝑧 ∈ ℂ) → (𝑧 − -𝑋) = (𝑧 + 𝑋))
2120mpteq2dva 5242 . . . . . . 7 (𝜑 → (𝑧 ∈ ℂ ↦ (𝑧 − -𝑋)) = (𝑧 ∈ ℂ ↦ (𝑧 + 𝑋)))
2217, 21eqtrd 2777 . . . . . 6 (𝜑 → (Xpf − (ℂ × {-𝑋})) = (𝑧 ∈ ℂ ↦ (𝑧 + 𝑋)))
23 ftalem.3 . . . . . . . 8 (𝜑𝐹 ∈ (Poly‘𝑆))
24 plyf 26237 . . . . . . . 8 (𝐹 ∈ (Poly‘𝑆) → 𝐹:ℂ⟶ℂ)
2523, 24syl 17 . . . . . . 7 (𝜑𝐹:ℂ⟶ℂ)
2625feqmptd 6977 . . . . . 6 (𝜑𝐹 = (𝑦 ∈ ℂ ↦ (𝐹𝑦)))
27 fveq2 6906 . . . . . 6 (𝑦 = (𝑧 + 𝑋) → (𝐹𝑦) = (𝐹‘(𝑧 + 𝑋)))
286, 22, 26, 27fmptco 7149 . . . . 5 (𝜑 → (𝐹 ∘ (Xpf − (ℂ × {-𝑋}))) = (𝑧 ∈ ℂ ↦ (𝐹‘(𝑧 + 𝑋))))
29 plyssc 26239 . . . . . . 7 (Poly‘𝑆) ⊆ (Poly‘ℂ)
3029, 23sselid 3981 . . . . . 6 (𝜑𝐹 ∈ (Poly‘ℂ))
31 eqid 2737 . . . . . . . . 9 (Xpf − (ℂ × {-𝑋})) = (Xpf − (ℂ × {-𝑋}))
3231plyremlem 26346 . . . . . . . 8 (-𝑋 ∈ ℂ → ((Xpf − (ℂ × {-𝑋})) ∈ (Poly‘ℂ) ∧ (deg‘(Xpf − (ℂ × {-𝑋}))) = 1 ∧ ((Xpf − (ℂ × {-𝑋})) “ {0}) = {-𝑋}))
339, 32syl 17 . . . . . . 7 (𝜑 → ((Xpf − (ℂ × {-𝑋})) ∈ (Poly‘ℂ) ∧ (deg‘(Xpf − (ℂ × {-𝑋}))) = 1 ∧ ((Xpf − (ℂ × {-𝑋})) “ {0}) = {-𝑋}))
3433simp1d 1143 . . . . . 6 (𝜑 → (Xpf − (ℂ × {-𝑋})) ∈ (Poly‘ℂ))
35 addcl 11237 . . . . . . 7 ((𝑧 ∈ ℂ ∧ 𝑤 ∈ ℂ) → (𝑧 + 𝑤) ∈ ℂ)
3635adantl 481 . . . . . 6 ((𝜑 ∧ (𝑧 ∈ ℂ ∧ 𝑤 ∈ ℂ)) → (𝑧 + 𝑤) ∈ ℂ)
37 mulcl 11239 . . . . . . 7 ((𝑧 ∈ ℂ ∧ 𝑤 ∈ ℂ) → (𝑧 · 𝑤) ∈ ℂ)
3837adantl 481 . . . . . 6 ((𝜑 ∧ (𝑧 ∈ ℂ ∧ 𝑤 ∈ ℂ)) → (𝑧 · 𝑤) ∈ ℂ)
3930, 34, 36, 38plyco 26280 . . . . 5 (𝜑 → (𝐹 ∘ (Xpf − (ℂ × {-𝑋}))) ∈ (Poly‘ℂ))
4028, 39eqeltrrd 2842 . . . 4 (𝜑 → (𝑧 ∈ ℂ ↦ (𝐹‘(𝑧 + 𝑋))) ∈ (Poly‘ℂ))
4128fveq2d 6910 . . . . 5 (𝜑 → (deg‘(𝐹 ∘ (Xpf − (ℂ × {-𝑋})))) = (deg‘(𝑧 ∈ ℂ ↦ (𝐹‘(𝑧 + 𝑋)))))
42 ftalem.2 . . . . . . 7 𝑁 = (deg‘𝐹)
43 eqid 2737 . . . . . . 7 (deg‘(Xpf − (ℂ × {-𝑋}))) = (deg‘(Xpf − (ℂ × {-𝑋})))
4442, 43, 30, 34dgrco 26315 . . . . . 6 (𝜑 → (deg‘(𝐹 ∘ (Xpf − (ℂ × {-𝑋})))) = (𝑁 · (deg‘(Xpf − (ℂ × {-𝑋})))))
45 ftalem.4 . . . . . . 7 (𝜑𝑁 ∈ ℕ)
4633simp2d 1144 . . . . . . . 8 (𝜑 → (deg‘(Xpf − (ℂ × {-𝑋}))) = 1)
47 1nn 12277 . . . . . . . 8 1 ∈ ℕ
4846, 47eqeltrdi 2849 . . . . . . 7 (𝜑 → (deg‘(Xpf − (ℂ × {-𝑋}))) ∈ ℕ)
4945, 48nnmulcld 12319 . . . . . 6 (𝜑 → (𝑁 · (deg‘(Xpf − (ℂ × {-𝑋})))) ∈ ℕ)
5044, 49eqeltrd 2841 . . . . 5 (𝜑 → (deg‘(𝐹 ∘ (Xpf − (ℂ × {-𝑋})))) ∈ ℕ)
5141, 50eqeltrrd 2842 . . . 4 (𝜑 → (deg‘(𝑧 ∈ ℂ ↦ (𝐹‘(𝑧 + 𝑋)))) ∈ ℕ)
52 0cn 11253 . . . . . . 7 0 ∈ ℂ
53 fvoveq1 7454 . . . . . . . 8 (𝑧 = 0 → (𝐹‘(𝑧 + 𝑋)) = (𝐹‘(0 + 𝑋)))
54 eqid 2737 . . . . . . . 8 (𝑧 ∈ ℂ ↦ (𝐹‘(𝑧 + 𝑋))) = (𝑧 ∈ ℂ ↦ (𝐹‘(𝑧 + 𝑋)))
55 fvex 6919 . . . . . . . 8 (𝐹‘(0 + 𝑋)) ∈ V
5653, 54, 55fvmpt 7016 . . . . . . 7 (0 ∈ ℂ → ((𝑧 ∈ ℂ ↦ (𝐹‘(𝑧 + 𝑋)))‘0) = (𝐹‘(0 + 𝑋)))
5752, 56ax-mp 5 . . . . . 6 ((𝑧 ∈ ℂ ↦ (𝐹‘(𝑧 + 𝑋)))‘0) = (𝐹‘(0 + 𝑋))
584addlidd 11462 . . . . . . 7 (𝜑 → (0 + 𝑋) = 𝑋)
5958fveq2d 6910 . . . . . 6 (𝜑 → (𝐹‘(0 + 𝑋)) = (𝐹𝑋))
6057, 59eqtrid 2789 . . . . 5 (𝜑 → ((𝑧 ∈ ℂ ↦ (𝐹‘(𝑧 + 𝑋)))‘0) = (𝐹𝑋))
61 ftalem7.6 . . . . 5 (𝜑 → (𝐹𝑋) ≠ 0)
6260, 61eqnetrd 3008 . . . 4 (𝜑 → ((𝑧 ∈ ℂ ↦ (𝐹‘(𝑧 + 𝑋)))‘0) ≠ 0)
631, 2, 40, 51, 62ftalem6 27121 . . 3 (𝜑 → ∃𝑦 ∈ ℂ (abs‘((𝑧 ∈ ℂ ↦ (𝐹‘(𝑧 + 𝑋)))‘𝑦)) < (abs‘((𝑧 ∈ ℂ ↦ (𝐹‘(𝑧 + 𝑋)))‘0)))
64 id 22 . . . . . 6 (𝑦 ∈ ℂ → 𝑦 ∈ ℂ)
65 addcl 11237 . . . . . 6 ((𝑦 ∈ ℂ ∧ 𝑋 ∈ ℂ) → (𝑦 + 𝑋) ∈ ℂ)
6664, 4, 65syl2anr 597 . . . . 5 ((𝜑𝑦 ∈ ℂ) → (𝑦 + 𝑋) ∈ ℂ)
67 fvoveq1 7454 . . . . . . . . . . 11 (𝑧 = 𝑦 → (𝐹‘(𝑧 + 𝑋)) = (𝐹‘(𝑦 + 𝑋)))
68 fvex 6919 . . . . . . . . . . 11 (𝐹‘(𝑦 + 𝑋)) ∈ V
6967, 54, 68fvmpt 7016 . . . . . . . . . 10 (𝑦 ∈ ℂ → ((𝑧 ∈ ℂ ↦ (𝐹‘(𝑧 + 𝑋)))‘𝑦) = (𝐹‘(𝑦 + 𝑋)))
7069adantl 481 . . . . . . . . 9 ((𝜑𝑦 ∈ ℂ) → ((𝑧 ∈ ℂ ↦ (𝐹‘(𝑧 + 𝑋)))‘𝑦) = (𝐹‘(𝑦 + 𝑋)))
7170fveq2d 6910 . . . . . . . 8 ((𝜑𝑦 ∈ ℂ) → (abs‘((𝑧 ∈ ℂ ↦ (𝐹‘(𝑧 + 𝑋)))‘𝑦)) = (abs‘(𝐹‘(𝑦 + 𝑋))))
7260adantr 480 . . . . . . . . 9 ((𝜑𝑦 ∈ ℂ) → ((𝑧 ∈ ℂ ↦ (𝐹‘(𝑧 + 𝑋)))‘0) = (𝐹𝑋))
7372fveq2d 6910 . . . . . . . 8 ((𝜑𝑦 ∈ ℂ) → (abs‘((𝑧 ∈ ℂ ↦ (𝐹‘(𝑧 + 𝑋)))‘0)) = (abs‘(𝐹𝑋)))
7471, 73breq12d 5156 . . . . . . 7 ((𝜑𝑦 ∈ ℂ) → ((abs‘((𝑧 ∈ ℂ ↦ (𝐹‘(𝑧 + 𝑋)))‘𝑦)) < (abs‘((𝑧 ∈ ℂ ↦ (𝐹‘(𝑧 + 𝑋)))‘0)) ↔ (abs‘(𝐹‘(𝑦 + 𝑋))) < (abs‘(𝐹𝑋))))
7525adantr 480 . . . . . . . . . 10 ((𝜑𝑦 ∈ ℂ) → 𝐹:ℂ⟶ℂ)
7675, 66ffvelcdmd 7105 . . . . . . . . 9 ((𝜑𝑦 ∈ ℂ) → (𝐹‘(𝑦 + 𝑋)) ∈ ℂ)
7776abscld 15475 . . . . . . . 8 ((𝜑𝑦 ∈ ℂ) → (abs‘(𝐹‘(𝑦 + 𝑋))) ∈ ℝ)
7825, 4ffvelcdmd 7105 . . . . . . . . . 10 (𝜑 → (𝐹𝑋) ∈ ℂ)
7978abscld 15475 . . . . . . . . 9 (𝜑 → (abs‘(𝐹𝑋)) ∈ ℝ)
8079adantr 480 . . . . . . . 8 ((𝜑𝑦 ∈ ℂ) → (abs‘(𝐹𝑋)) ∈ ℝ)
8177, 80ltnled 11408 . . . . . . 7 ((𝜑𝑦 ∈ ℂ) → ((abs‘(𝐹‘(𝑦 + 𝑋))) < (abs‘(𝐹𝑋)) ↔ ¬ (abs‘(𝐹𝑋)) ≤ (abs‘(𝐹‘(𝑦 + 𝑋)))))
8274, 81bitrd 279 . . . . . 6 ((𝜑𝑦 ∈ ℂ) → ((abs‘((𝑧 ∈ ℂ ↦ (𝐹‘(𝑧 + 𝑋)))‘𝑦)) < (abs‘((𝑧 ∈ ℂ ↦ (𝐹‘(𝑧 + 𝑋)))‘0)) ↔ ¬ (abs‘(𝐹𝑋)) ≤ (abs‘(𝐹‘(𝑦 + 𝑋)))))
8382biimpd 229 . . . . 5 ((𝜑𝑦 ∈ ℂ) → ((abs‘((𝑧 ∈ ℂ ↦ (𝐹‘(𝑧 + 𝑋)))‘𝑦)) < (abs‘((𝑧 ∈ ℂ ↦ (𝐹‘(𝑧 + 𝑋)))‘0)) → ¬ (abs‘(𝐹𝑋)) ≤ (abs‘(𝐹‘(𝑦 + 𝑋)))))
84 2fveq3 6911 . . . . . . . 8 (𝑥 = (𝑦 + 𝑋) → (abs‘(𝐹𝑥)) = (abs‘(𝐹‘(𝑦 + 𝑋))))
8584breq2d 5155 . . . . . . 7 (𝑥 = (𝑦 + 𝑋) → ((abs‘(𝐹𝑋)) ≤ (abs‘(𝐹𝑥)) ↔ (abs‘(𝐹𝑋)) ≤ (abs‘(𝐹‘(𝑦 + 𝑋)))))
8685notbid 318 . . . . . 6 (𝑥 = (𝑦 + 𝑋) → (¬ (abs‘(𝐹𝑋)) ≤ (abs‘(𝐹𝑥)) ↔ ¬ (abs‘(𝐹𝑋)) ≤ (abs‘(𝐹‘(𝑦 + 𝑋)))))
8786rspcev 3622 . . . . 5 (((𝑦 + 𝑋) ∈ ℂ ∧ ¬ (abs‘(𝐹𝑋)) ≤ (abs‘(𝐹‘(𝑦 + 𝑋)))) → ∃𝑥 ∈ ℂ ¬ (abs‘(𝐹𝑋)) ≤ (abs‘(𝐹𝑥)))
8866, 83, 87syl6an 684 . . . 4 ((𝜑𝑦 ∈ ℂ) → ((abs‘((𝑧 ∈ ℂ ↦ (𝐹‘(𝑧 + 𝑋)))‘𝑦)) < (abs‘((𝑧 ∈ ℂ ↦ (𝐹‘(𝑧 + 𝑋)))‘0)) → ∃𝑥 ∈ ℂ ¬ (abs‘(𝐹𝑋)) ≤ (abs‘(𝐹𝑥))))
8988rexlimdva 3155 . . 3 (𝜑 → (∃𝑦 ∈ ℂ (abs‘((𝑧 ∈ ℂ ↦ (𝐹‘(𝑧 + 𝑋)))‘𝑦)) < (abs‘((𝑧 ∈ ℂ ↦ (𝐹‘(𝑧 + 𝑋)))‘0)) → ∃𝑥 ∈ ℂ ¬ (abs‘(𝐹𝑋)) ≤ (abs‘(𝐹𝑥))))
9063, 89mpd 15 . 2 (𝜑 → ∃𝑥 ∈ ℂ ¬ (abs‘(𝐹𝑋)) ≤ (abs‘(𝐹𝑥)))
91 rexnal 3100 . 2 (∃𝑥 ∈ ℂ ¬ (abs‘(𝐹𝑋)) ≤ (abs‘(𝐹𝑥)) ↔ ¬ ∀𝑥 ∈ ℂ (abs‘(𝐹𝑋)) ≤ (abs‘(𝐹𝑥)))
9290, 91sylib 218 1 (𝜑 → ¬ ∀𝑥 ∈ ℂ (abs‘(𝐹𝑋)) ≤ (abs‘(𝐹𝑥)))
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  ¬ wn 3  wi 4  wa 395  w3a 1087   = wceq 1540  wcel 2108  wne 2940  wral 3061  wrex 3070  Vcvv 3480  {csn 4626   class class class wbr 5143  cmpt 5225   I cid 5577   × cxp 5683  ccnv 5684  cres 5687  cima 5688  ccom 5689  wf 6557  cfv 6561  (class class class)co 7431  f cof 7695  cc 11153  cr 11154  0cc0 11155  1c1 11156   + caddc 11158   · cmul 11160   < clt 11295  cle 11296  cmin 11492  -cneg 11493  cn 12266  abscabs 15273  Polycply 26223  Xpcidp 26224  coeffccoe 26225  degcdgr 26226
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1795  ax-4 1809  ax-5 1910  ax-6 1967  ax-7 2007  ax-8 2110  ax-9 2118  ax-10 2141  ax-11 2157  ax-12 2177  ax-ext 2708  ax-rep 5279  ax-sep 5296  ax-nul 5306  ax-pow 5365  ax-pr 5432  ax-un 7755  ax-inf2 9681  ax-cnex 11211  ax-resscn 11212  ax-1cn 11213  ax-icn 11214  ax-addcl 11215  ax-addrcl 11216  ax-mulcl 11217  ax-mulrcl 11218  ax-mulcom 11219  ax-addass 11220  ax-mulass 11221  ax-distr 11222  ax-i2m1 11223  ax-1ne0 11224  ax-1rid 11225  ax-rnegex 11226  ax-rrecex 11227  ax-cnre 11228  ax-pre-lttri 11229  ax-pre-lttrn 11230  ax-pre-ltadd 11231  ax-pre-mulgt0 11232  ax-pre-sup 11233  ax-addf 11234
This theorem depends on definitions:  df-bi 207  df-an 396  df-or 849  df-3or 1088  df-3an 1089  df-tru 1543  df-fal 1553  df-ex 1780  df-nf 1784  df-sb 2065  df-mo 2540  df-eu 2569  df-clab 2715  df-cleq 2729  df-clel 2816  df-nfc 2892  df-ne 2941  df-nel 3047  df-ral 3062  df-rex 3071  df-rmo 3380  df-reu 3381  df-rab 3437  df-v 3482  df-sbc 3789  df-csb 3900  df-dif 3954  df-un 3956  df-in 3958  df-ss 3968  df-pss 3971  df-nul 4334  df-if 4526  df-pw 4602  df-sn 4627  df-pr 4629  df-tp 4631  df-op 4633  df-uni 4908  df-int 4947  df-iun 4993  df-iin 4994  df-br 5144  df-opab 5206  df-mpt 5226  df-tr 5260  df-id 5578  df-eprel 5584  df-po 5592  df-so 5593  df-fr 5637  df-se 5638  df-we 5639  df-xp 5691  df-rel 5692  df-cnv 5693  df-co 5694  df-dm 5695  df-rn 5696  df-res 5697  df-ima 5698  df-pred 6321  df-ord 6387  df-on 6388  df-lim 6389  df-suc 6390  df-iota 6514  df-fun 6563  df-fn 6564  df-f 6565  df-f1 6566  df-fo 6567  df-f1o 6568  df-fv 6569  df-isom 6570  df-riota 7388  df-ov 7434  df-oprab 7435  df-mpo 7436  df-of 7697  df-om 7888  df-1st 8014  df-2nd 8015  df-supp 8186  df-frecs 8306  df-wrecs 8337  df-recs 8411  df-rdg 8450  df-1o 8506  df-2o 8507  df-er 8745  df-map 8868  df-pm 8869  df-ixp 8938  df-en 8986  df-dom 8987  df-sdom 8988  df-fin 8989  df-fsupp 9402  df-fi 9451  df-sup 9482  df-inf 9483  df-oi 9550  df-card 9979  df-pnf 11297  df-mnf 11298  df-xr 11299  df-ltxr 11300  df-le 11301  df-sub 11494  df-neg 11495  df-div 11921  df-nn 12267  df-2 12329  df-3 12330  df-4 12331  df-5 12332  df-6 12333  df-7 12334  df-8 12335  df-9 12336  df-n0 12527  df-z 12614  df-dec 12734  df-uz 12879  df-q 12991  df-rp 13035  df-xneg 13154  df-xadd 13155  df-xmul 13156  df-ioo 13391  df-ioc 13392  df-ico 13393  df-icc 13394  df-fz 13548  df-fzo 13695  df-fl 13832  df-mod 13910  df-seq 14043  df-exp 14103  df-fac 14313  df-bc 14342  df-hash 14370  df-shft 15106  df-cj 15138  df-re 15139  df-im 15140  df-sqrt 15274  df-abs 15275  df-limsup 15507  df-clim 15524  df-rlim 15525  df-sum 15723  df-ef 16103  df-sin 16105  df-cos 16106  df-pi 16108  df-struct 17184  df-sets 17201  df-slot 17219  df-ndx 17231  df-base 17248  df-ress 17275  df-plusg 17310  df-mulr 17311  df-starv 17312  df-sca 17313  df-vsca 17314  df-ip 17315  df-tset 17316  df-ple 17317  df-ds 17319  df-unif 17320  df-hom 17321  df-cco 17322  df-rest 17467  df-topn 17468  df-0g 17486  df-gsum 17487  df-topgen 17488  df-pt 17489  df-prds 17492  df-xrs 17547  df-qtop 17552  df-imas 17553  df-xps 17555  df-mre 17629  df-mrc 17630  df-acs 17632  df-mgm 18653  df-sgrp 18732  df-mnd 18748  df-submnd 18797  df-mulg 19086  df-cntz 19335  df-cmn 19800  df-psmet 21356  df-xmet 21357  df-met 21358  df-bl 21359  df-mopn 21360  df-fbas 21361  df-fg 21362  df-cnfld 21365  df-top 22900  df-topon 22917  df-topsp 22939  df-bases 22953  df-cld 23027  df-ntr 23028  df-cls 23029  df-nei 23106  df-lp 23144  df-perf 23145  df-cn 23235  df-cnp 23236  df-haus 23323  df-tx 23570  df-hmeo 23763  df-fil 23854  df-fm 23946  df-flim 23947  df-flf 23948  df-xms 24330  df-ms 24331  df-tms 24332  df-cncf 24904  df-0p 25705  df-limc 25901  df-dv 25902  df-ply 26227  df-idp 26228  df-coe 26229  df-dgr 26230  df-log 26598  df-cxp 26599
This theorem is referenced by:  fta  27123
  Copyright terms: Public domain W3C validator