MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  ftalem7 Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem ftalem7 26583
Description: Lemma for fta 26584. Shift the minimum away from zero by a change of variables. (Contributed by Mario Carneiro, 14-Sep-2014.)
Hypotheses
Ref Expression
ftalem.1 𝐴 = (coeffβ€˜πΉ)
ftalem.2 𝑁 = (degβ€˜πΉ)
ftalem.3 (πœ‘ β†’ 𝐹 ∈ (Polyβ€˜π‘†))
ftalem.4 (πœ‘ β†’ 𝑁 ∈ β„•)
ftalem7.5 (πœ‘ β†’ 𝑋 ∈ β„‚)
ftalem7.6 (πœ‘ β†’ (πΉβ€˜π‘‹) β‰  0)
Assertion
Ref Expression
ftalem7 (πœ‘ β†’ Β¬ βˆ€π‘₯ ∈ β„‚ (absβ€˜(πΉβ€˜π‘‹)) ≀ (absβ€˜(πΉβ€˜π‘₯)))
Distinct variable groups:   π‘₯,𝐴   π‘₯,𝑁   π‘₯,𝐹   πœ‘,π‘₯   π‘₯,𝑋
Allowed substitution hint:   𝑆(π‘₯)

Proof of Theorem ftalem7
Dummy variables 𝑧 𝑀 𝑦 are mutually distinct and distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 eqid 2733 . . . 4 (coeffβ€˜(𝑧 ∈ β„‚ ↦ (πΉβ€˜(𝑧 + 𝑋)))) = (coeffβ€˜(𝑧 ∈ β„‚ ↦ (πΉβ€˜(𝑧 + 𝑋))))
2 eqid 2733 . . . 4 (degβ€˜(𝑧 ∈ β„‚ ↦ (πΉβ€˜(𝑧 + 𝑋)))) = (degβ€˜(𝑧 ∈ β„‚ ↦ (πΉβ€˜(𝑧 + 𝑋))))
3 simpr 486 . . . . . . 7 ((πœ‘ ∧ 𝑧 ∈ β„‚) β†’ 𝑧 ∈ β„‚)
4 ftalem7.5 . . . . . . . 8 (πœ‘ β†’ 𝑋 ∈ β„‚)
54adantr 482 . . . . . . 7 ((πœ‘ ∧ 𝑧 ∈ β„‚) β†’ 𝑋 ∈ β„‚)
63, 5addcld 11233 . . . . . 6 ((πœ‘ ∧ 𝑧 ∈ β„‚) β†’ (𝑧 + 𝑋) ∈ β„‚)
7 cnex 11191 . . . . . . . . 9 β„‚ ∈ V
87a1i 11 . . . . . . . 8 (πœ‘ β†’ β„‚ ∈ V)
94negcld 11558 . . . . . . . . 9 (πœ‘ β†’ -𝑋 ∈ β„‚)
109adantr 482 . . . . . . . 8 ((πœ‘ ∧ 𝑧 ∈ β„‚) β†’ -𝑋 ∈ β„‚)
11 df-idp 25703 . . . . . . . . . 10 Xp = ( I β†Ύ β„‚)
12 mptresid 6051 . . . . . . . . . 10 ( I β†Ύ β„‚) = (𝑧 ∈ β„‚ ↦ 𝑧)
1311, 12eqtri 2761 . . . . . . . . 9 Xp = (𝑧 ∈ β„‚ ↦ 𝑧)
1413a1i 11 . . . . . . . 8 (πœ‘ β†’ Xp = (𝑧 ∈ β„‚ ↦ 𝑧))
15 fconstmpt 5739 . . . . . . . . 9 (β„‚ Γ— {-𝑋}) = (𝑧 ∈ β„‚ ↦ -𝑋)
1615a1i 11 . . . . . . . 8 (πœ‘ β†’ (β„‚ Γ— {-𝑋}) = (𝑧 ∈ β„‚ ↦ -𝑋))
178, 3, 10, 14, 16offval2 7690 . . . . . . 7 (πœ‘ β†’ (Xp ∘f βˆ’ (β„‚ Γ— {-𝑋})) = (𝑧 ∈ β„‚ ↦ (𝑧 βˆ’ -𝑋)))
18 id 22 . . . . . . . . 9 (𝑧 ∈ β„‚ β†’ 𝑧 ∈ β„‚)
19 subneg 11509 . . . . . . . . 9 ((𝑧 ∈ β„‚ ∧ 𝑋 ∈ β„‚) β†’ (𝑧 βˆ’ -𝑋) = (𝑧 + 𝑋))
2018, 4, 19syl2anr 598 . . . . . . . 8 ((πœ‘ ∧ 𝑧 ∈ β„‚) β†’ (𝑧 βˆ’ -𝑋) = (𝑧 + 𝑋))
2120mpteq2dva 5249 . . . . . . 7 (πœ‘ β†’ (𝑧 ∈ β„‚ ↦ (𝑧 βˆ’ -𝑋)) = (𝑧 ∈ β„‚ ↦ (𝑧 + 𝑋)))
2217, 21eqtrd 2773 . . . . . 6 (πœ‘ β†’ (Xp ∘f βˆ’ (β„‚ Γ— {-𝑋})) = (𝑧 ∈ β„‚ ↦ (𝑧 + 𝑋)))
23 ftalem.3 . . . . . . . 8 (πœ‘ β†’ 𝐹 ∈ (Polyβ€˜π‘†))
24 plyf 25712 . . . . . . . 8 (𝐹 ∈ (Polyβ€˜π‘†) β†’ 𝐹:β„‚βŸΆβ„‚)
2523, 24syl 17 . . . . . . 7 (πœ‘ β†’ 𝐹:β„‚βŸΆβ„‚)
2625feqmptd 6961 . . . . . 6 (πœ‘ β†’ 𝐹 = (𝑦 ∈ β„‚ ↦ (πΉβ€˜π‘¦)))
27 fveq2 6892 . . . . . 6 (𝑦 = (𝑧 + 𝑋) β†’ (πΉβ€˜π‘¦) = (πΉβ€˜(𝑧 + 𝑋)))
286, 22, 26, 27fmptco 7127 . . . . 5 (πœ‘ β†’ (𝐹 ∘ (Xp ∘f βˆ’ (β„‚ Γ— {-𝑋}))) = (𝑧 ∈ β„‚ ↦ (πΉβ€˜(𝑧 + 𝑋))))
29 plyssc 25714 . . . . . . 7 (Polyβ€˜π‘†) βŠ† (Polyβ€˜β„‚)
3029, 23sselid 3981 . . . . . 6 (πœ‘ β†’ 𝐹 ∈ (Polyβ€˜β„‚))
31 eqid 2733 . . . . . . . . 9 (Xp ∘f βˆ’ (β„‚ Γ— {-𝑋})) = (Xp ∘f βˆ’ (β„‚ Γ— {-𝑋}))
3231plyremlem 25817 . . . . . . . 8 (-𝑋 ∈ β„‚ β†’ ((Xp ∘f βˆ’ (β„‚ Γ— {-𝑋})) ∈ (Polyβ€˜β„‚) ∧ (degβ€˜(Xp ∘f βˆ’ (β„‚ Γ— {-𝑋}))) = 1 ∧ (β—‘(Xp ∘f βˆ’ (β„‚ Γ— {-𝑋})) β€œ {0}) = {-𝑋}))
339, 32syl 17 . . . . . . 7 (πœ‘ β†’ ((Xp ∘f βˆ’ (β„‚ Γ— {-𝑋})) ∈ (Polyβ€˜β„‚) ∧ (degβ€˜(Xp ∘f βˆ’ (β„‚ Γ— {-𝑋}))) = 1 ∧ (β—‘(Xp ∘f βˆ’ (β„‚ Γ— {-𝑋})) β€œ {0}) = {-𝑋}))
3433simp1d 1143 . . . . . 6 (πœ‘ β†’ (Xp ∘f βˆ’ (β„‚ Γ— {-𝑋})) ∈ (Polyβ€˜β„‚))
35 addcl 11192 . . . . . . 7 ((𝑧 ∈ β„‚ ∧ 𝑀 ∈ β„‚) β†’ (𝑧 + 𝑀) ∈ β„‚)
3635adantl 483 . . . . . 6 ((πœ‘ ∧ (𝑧 ∈ β„‚ ∧ 𝑀 ∈ β„‚)) β†’ (𝑧 + 𝑀) ∈ β„‚)
37 mulcl 11194 . . . . . . 7 ((𝑧 ∈ β„‚ ∧ 𝑀 ∈ β„‚) β†’ (𝑧 Β· 𝑀) ∈ β„‚)
3837adantl 483 . . . . . 6 ((πœ‘ ∧ (𝑧 ∈ β„‚ ∧ 𝑀 ∈ β„‚)) β†’ (𝑧 Β· 𝑀) ∈ β„‚)
3930, 34, 36, 38plyco 25755 . . . . 5 (πœ‘ β†’ (𝐹 ∘ (Xp ∘f βˆ’ (β„‚ Γ— {-𝑋}))) ∈ (Polyβ€˜β„‚))
4028, 39eqeltrrd 2835 . . . 4 (πœ‘ β†’ (𝑧 ∈ β„‚ ↦ (πΉβ€˜(𝑧 + 𝑋))) ∈ (Polyβ€˜β„‚))
4128fveq2d 6896 . . . . 5 (πœ‘ β†’ (degβ€˜(𝐹 ∘ (Xp ∘f βˆ’ (β„‚ Γ— {-𝑋})))) = (degβ€˜(𝑧 ∈ β„‚ ↦ (πΉβ€˜(𝑧 + 𝑋)))))
42 ftalem.2 . . . . . . 7 𝑁 = (degβ€˜πΉ)
43 eqid 2733 . . . . . . 7 (degβ€˜(Xp ∘f βˆ’ (β„‚ Γ— {-𝑋}))) = (degβ€˜(Xp ∘f βˆ’ (β„‚ Γ— {-𝑋})))
4442, 43, 30, 34dgrco 25789 . . . . . 6 (πœ‘ β†’ (degβ€˜(𝐹 ∘ (Xp ∘f βˆ’ (β„‚ Γ— {-𝑋})))) = (𝑁 Β· (degβ€˜(Xp ∘f βˆ’ (β„‚ Γ— {-𝑋})))))
45 ftalem.4 . . . . . . 7 (πœ‘ β†’ 𝑁 ∈ β„•)
4633simp2d 1144 . . . . . . . 8 (πœ‘ β†’ (degβ€˜(Xp ∘f βˆ’ (β„‚ Γ— {-𝑋}))) = 1)
47 1nn 12223 . . . . . . . 8 1 ∈ β„•
4846, 47eqeltrdi 2842 . . . . . . 7 (πœ‘ β†’ (degβ€˜(Xp ∘f βˆ’ (β„‚ Γ— {-𝑋}))) ∈ β„•)
4945, 48nnmulcld 12265 . . . . . 6 (πœ‘ β†’ (𝑁 Β· (degβ€˜(Xp ∘f βˆ’ (β„‚ Γ— {-𝑋})))) ∈ β„•)
5044, 49eqeltrd 2834 . . . . 5 (πœ‘ β†’ (degβ€˜(𝐹 ∘ (Xp ∘f βˆ’ (β„‚ Γ— {-𝑋})))) ∈ β„•)
5141, 50eqeltrrd 2835 . . . 4 (πœ‘ β†’ (degβ€˜(𝑧 ∈ β„‚ ↦ (πΉβ€˜(𝑧 + 𝑋)))) ∈ β„•)
52 0cn 11206 . . . . . . 7 0 ∈ β„‚
53 fvoveq1 7432 . . . . . . . 8 (𝑧 = 0 β†’ (πΉβ€˜(𝑧 + 𝑋)) = (πΉβ€˜(0 + 𝑋)))
54 eqid 2733 . . . . . . . 8 (𝑧 ∈ β„‚ ↦ (πΉβ€˜(𝑧 + 𝑋))) = (𝑧 ∈ β„‚ ↦ (πΉβ€˜(𝑧 + 𝑋)))
55 fvex 6905 . . . . . . . 8 (πΉβ€˜(0 + 𝑋)) ∈ V
5653, 54, 55fvmpt 6999 . . . . . . 7 (0 ∈ β„‚ β†’ ((𝑧 ∈ β„‚ ↦ (πΉβ€˜(𝑧 + 𝑋)))β€˜0) = (πΉβ€˜(0 + 𝑋)))
5752, 56ax-mp 5 . . . . . 6 ((𝑧 ∈ β„‚ ↦ (πΉβ€˜(𝑧 + 𝑋)))β€˜0) = (πΉβ€˜(0 + 𝑋))
584addlidd 11415 . . . . . . 7 (πœ‘ β†’ (0 + 𝑋) = 𝑋)
5958fveq2d 6896 . . . . . 6 (πœ‘ β†’ (πΉβ€˜(0 + 𝑋)) = (πΉβ€˜π‘‹))
6057, 59eqtrid 2785 . . . . 5 (πœ‘ β†’ ((𝑧 ∈ β„‚ ↦ (πΉβ€˜(𝑧 + 𝑋)))β€˜0) = (πΉβ€˜π‘‹))
61 ftalem7.6 . . . . 5 (πœ‘ β†’ (πΉβ€˜π‘‹) β‰  0)
6260, 61eqnetrd 3009 . . . 4 (πœ‘ β†’ ((𝑧 ∈ β„‚ ↦ (πΉβ€˜(𝑧 + 𝑋)))β€˜0) β‰  0)
631, 2, 40, 51, 62ftalem6 26582 . . 3 (πœ‘ β†’ βˆƒπ‘¦ ∈ β„‚ (absβ€˜((𝑧 ∈ β„‚ ↦ (πΉβ€˜(𝑧 + 𝑋)))β€˜π‘¦)) < (absβ€˜((𝑧 ∈ β„‚ ↦ (πΉβ€˜(𝑧 + 𝑋)))β€˜0)))
64 id 22 . . . . . 6 (𝑦 ∈ β„‚ β†’ 𝑦 ∈ β„‚)
65 addcl 11192 . . . . . 6 ((𝑦 ∈ β„‚ ∧ 𝑋 ∈ β„‚) β†’ (𝑦 + 𝑋) ∈ β„‚)
6664, 4, 65syl2anr 598 . . . . 5 ((πœ‘ ∧ 𝑦 ∈ β„‚) β†’ (𝑦 + 𝑋) ∈ β„‚)
67 fvoveq1 7432 . . . . . . . . . . 11 (𝑧 = 𝑦 β†’ (πΉβ€˜(𝑧 + 𝑋)) = (πΉβ€˜(𝑦 + 𝑋)))
68 fvex 6905 . . . . . . . . . . 11 (πΉβ€˜(𝑦 + 𝑋)) ∈ V
6967, 54, 68fvmpt 6999 . . . . . . . . . 10 (𝑦 ∈ β„‚ β†’ ((𝑧 ∈ β„‚ ↦ (πΉβ€˜(𝑧 + 𝑋)))β€˜π‘¦) = (πΉβ€˜(𝑦 + 𝑋)))
7069adantl 483 . . . . . . . . 9 ((πœ‘ ∧ 𝑦 ∈ β„‚) β†’ ((𝑧 ∈ β„‚ ↦ (πΉβ€˜(𝑧 + 𝑋)))β€˜π‘¦) = (πΉβ€˜(𝑦 + 𝑋)))
7170fveq2d 6896 . . . . . . . 8 ((πœ‘ ∧ 𝑦 ∈ β„‚) β†’ (absβ€˜((𝑧 ∈ β„‚ ↦ (πΉβ€˜(𝑧 + 𝑋)))β€˜π‘¦)) = (absβ€˜(πΉβ€˜(𝑦 + 𝑋))))
7260adantr 482 . . . . . . . . 9 ((πœ‘ ∧ 𝑦 ∈ β„‚) β†’ ((𝑧 ∈ β„‚ ↦ (πΉβ€˜(𝑧 + 𝑋)))β€˜0) = (πΉβ€˜π‘‹))
7372fveq2d 6896 . . . . . . . 8 ((πœ‘ ∧ 𝑦 ∈ β„‚) β†’ (absβ€˜((𝑧 ∈ β„‚ ↦ (πΉβ€˜(𝑧 + 𝑋)))β€˜0)) = (absβ€˜(πΉβ€˜π‘‹)))
7471, 73breq12d 5162 . . . . . . 7 ((πœ‘ ∧ 𝑦 ∈ β„‚) β†’ ((absβ€˜((𝑧 ∈ β„‚ ↦ (πΉβ€˜(𝑧 + 𝑋)))β€˜π‘¦)) < (absβ€˜((𝑧 ∈ β„‚ ↦ (πΉβ€˜(𝑧 + 𝑋)))β€˜0)) ↔ (absβ€˜(πΉβ€˜(𝑦 + 𝑋))) < (absβ€˜(πΉβ€˜π‘‹))))
7525adantr 482 . . . . . . . . . 10 ((πœ‘ ∧ 𝑦 ∈ β„‚) β†’ 𝐹:β„‚βŸΆβ„‚)
7675, 66ffvelcdmd 7088 . . . . . . . . 9 ((πœ‘ ∧ 𝑦 ∈ β„‚) β†’ (πΉβ€˜(𝑦 + 𝑋)) ∈ β„‚)
7776abscld 15383 . . . . . . . 8 ((πœ‘ ∧ 𝑦 ∈ β„‚) β†’ (absβ€˜(πΉβ€˜(𝑦 + 𝑋))) ∈ ℝ)
7825, 4ffvelcdmd 7088 . . . . . . . . . 10 (πœ‘ β†’ (πΉβ€˜π‘‹) ∈ β„‚)
7978abscld 15383 . . . . . . . . 9 (πœ‘ β†’ (absβ€˜(πΉβ€˜π‘‹)) ∈ ℝ)
8079adantr 482 . . . . . . . 8 ((πœ‘ ∧ 𝑦 ∈ β„‚) β†’ (absβ€˜(πΉβ€˜π‘‹)) ∈ ℝ)
8177, 80ltnled 11361 . . . . . . 7 ((πœ‘ ∧ 𝑦 ∈ β„‚) β†’ ((absβ€˜(πΉβ€˜(𝑦 + 𝑋))) < (absβ€˜(πΉβ€˜π‘‹)) ↔ Β¬ (absβ€˜(πΉβ€˜π‘‹)) ≀ (absβ€˜(πΉβ€˜(𝑦 + 𝑋)))))
8274, 81bitrd 279 . . . . . 6 ((πœ‘ ∧ 𝑦 ∈ β„‚) β†’ ((absβ€˜((𝑧 ∈ β„‚ ↦ (πΉβ€˜(𝑧 + 𝑋)))β€˜π‘¦)) < (absβ€˜((𝑧 ∈ β„‚ ↦ (πΉβ€˜(𝑧 + 𝑋)))β€˜0)) ↔ Β¬ (absβ€˜(πΉβ€˜π‘‹)) ≀ (absβ€˜(πΉβ€˜(𝑦 + 𝑋)))))
8382biimpd 228 . . . . 5 ((πœ‘ ∧ 𝑦 ∈ β„‚) β†’ ((absβ€˜((𝑧 ∈ β„‚ ↦ (πΉβ€˜(𝑧 + 𝑋)))β€˜π‘¦)) < (absβ€˜((𝑧 ∈ β„‚ ↦ (πΉβ€˜(𝑧 + 𝑋)))β€˜0)) β†’ Β¬ (absβ€˜(πΉβ€˜π‘‹)) ≀ (absβ€˜(πΉβ€˜(𝑦 + 𝑋)))))
84 2fveq3 6897 . . . . . . . 8 (π‘₯ = (𝑦 + 𝑋) β†’ (absβ€˜(πΉβ€˜π‘₯)) = (absβ€˜(πΉβ€˜(𝑦 + 𝑋))))
8584breq2d 5161 . . . . . . 7 (π‘₯ = (𝑦 + 𝑋) β†’ ((absβ€˜(πΉβ€˜π‘‹)) ≀ (absβ€˜(πΉβ€˜π‘₯)) ↔ (absβ€˜(πΉβ€˜π‘‹)) ≀ (absβ€˜(πΉβ€˜(𝑦 + 𝑋)))))
8685notbid 318 . . . . . 6 (π‘₯ = (𝑦 + 𝑋) β†’ (Β¬ (absβ€˜(πΉβ€˜π‘‹)) ≀ (absβ€˜(πΉβ€˜π‘₯)) ↔ Β¬ (absβ€˜(πΉβ€˜π‘‹)) ≀ (absβ€˜(πΉβ€˜(𝑦 + 𝑋)))))
8786rspcev 3613 . . . . 5 (((𝑦 + 𝑋) ∈ β„‚ ∧ Β¬ (absβ€˜(πΉβ€˜π‘‹)) ≀ (absβ€˜(πΉβ€˜(𝑦 + 𝑋)))) β†’ βˆƒπ‘₯ ∈ β„‚ Β¬ (absβ€˜(πΉβ€˜π‘‹)) ≀ (absβ€˜(πΉβ€˜π‘₯)))
8866, 83, 87syl6an 683 . . . 4 ((πœ‘ ∧ 𝑦 ∈ β„‚) β†’ ((absβ€˜((𝑧 ∈ β„‚ ↦ (πΉβ€˜(𝑧 + 𝑋)))β€˜π‘¦)) < (absβ€˜((𝑧 ∈ β„‚ ↦ (πΉβ€˜(𝑧 + 𝑋)))β€˜0)) β†’ βˆƒπ‘₯ ∈ β„‚ Β¬ (absβ€˜(πΉβ€˜π‘‹)) ≀ (absβ€˜(πΉβ€˜π‘₯))))
8988rexlimdva 3156 . . 3 (πœ‘ β†’ (βˆƒπ‘¦ ∈ β„‚ (absβ€˜((𝑧 ∈ β„‚ ↦ (πΉβ€˜(𝑧 + 𝑋)))β€˜π‘¦)) < (absβ€˜((𝑧 ∈ β„‚ ↦ (πΉβ€˜(𝑧 + 𝑋)))β€˜0)) β†’ βˆƒπ‘₯ ∈ β„‚ Β¬ (absβ€˜(πΉβ€˜π‘‹)) ≀ (absβ€˜(πΉβ€˜π‘₯))))
9063, 89mpd 15 . 2 (πœ‘ β†’ βˆƒπ‘₯ ∈ β„‚ Β¬ (absβ€˜(πΉβ€˜π‘‹)) ≀ (absβ€˜(πΉβ€˜π‘₯)))
91 rexnal 3101 . 2 (βˆƒπ‘₯ ∈ β„‚ Β¬ (absβ€˜(πΉβ€˜π‘‹)) ≀ (absβ€˜(πΉβ€˜π‘₯)) ↔ Β¬ βˆ€π‘₯ ∈ β„‚ (absβ€˜(πΉβ€˜π‘‹)) ≀ (absβ€˜(πΉβ€˜π‘₯)))
9290, 91sylib 217 1 (πœ‘ β†’ Β¬ βˆ€π‘₯ ∈ β„‚ (absβ€˜(πΉβ€˜π‘‹)) ≀ (absβ€˜(πΉβ€˜π‘₯)))
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  Β¬ wn 3   β†’ wi 4   ∧ wa 397   ∧ w3a 1088   = wceq 1542   ∈ wcel 2107   β‰  wne 2941  βˆ€wral 3062  βˆƒwrex 3071  Vcvv 3475  {csn 4629   class class class wbr 5149   ↦ cmpt 5232   I cid 5574   Γ— cxp 5675  β—‘ccnv 5676   β†Ύ cres 5679   β€œ cima 5680   ∘ ccom 5681  βŸΆwf 6540  β€˜cfv 6544  (class class class)co 7409   ∘f cof 7668  β„‚cc 11108  β„cr 11109  0cc0 11110  1c1 11111   + caddc 11113   Β· cmul 11115   < clt 11248   ≀ cle 11249   βˆ’ cmin 11444  -cneg 11445  β„•cn 12212  abscabs 15181  Polycply 25698  Xpcidp 25699  coeffccoe 25700  degcdgr 25701
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1798  ax-4 1812  ax-5 1914  ax-6 1972  ax-7 2012  ax-8 2109  ax-9 2117  ax-10 2138  ax-11 2155  ax-12 2172  ax-ext 2704  ax-rep 5286  ax-sep 5300  ax-nul 5307  ax-pow 5364  ax-pr 5428  ax-un 7725  ax-inf2 9636  ax-cnex 11166  ax-resscn 11167  ax-1cn 11168  ax-icn 11169  ax-addcl 11170  ax-addrcl 11171  ax-mulcl 11172  ax-mulrcl 11173  ax-mulcom 11174  ax-addass 11175  ax-mulass 11176  ax-distr 11177  ax-i2m1 11178  ax-1ne0 11179  ax-1rid 11180  ax-rnegex 11181  ax-rrecex 11182  ax-cnre 11183  ax-pre-lttri 11184  ax-pre-lttrn 11185  ax-pre-ltadd 11186  ax-pre-mulgt0 11187  ax-pre-sup 11188  ax-addf 11189  ax-mulf 11190
This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 398  df-or 847  df-3or 1089  df-3an 1090  df-tru 1545  df-fal 1555  df-ex 1783  df-nf 1787  df-sb 2069  df-mo 2535  df-eu 2564  df-clab 2711  df-cleq 2725  df-clel 2811  df-nfc 2886  df-ne 2942  df-nel 3048  df-ral 3063  df-rex 3072  df-rmo 3377  df-reu 3378  df-rab 3434  df-v 3477  df-sbc 3779  df-csb 3895  df-dif 3952  df-un 3954  df-in 3956  df-ss 3966  df-pss 3968  df-nul 4324  df-if 4530  df-pw 4605  df-sn 4630  df-pr 4632  df-tp 4634  df-op 4636  df-uni 4910  df-int 4952  df-iun 5000  df-iin 5001  df-br 5150  df-opab 5212  df-mpt 5233  df-tr 5267  df-id 5575  df-eprel 5581  df-po 5589  df-so 5590  df-fr 5632  df-se 5633  df-we 5634  df-xp 5683  df-rel 5684  df-cnv 5685  df-co 5686  df-dm 5687  df-rn 5688  df-res 5689  df-ima 5690  df-pred 6301  df-ord 6368  df-on 6369  df-lim 6370  df-suc 6371  df-iota 6496  df-fun 6546  df-fn 6547  df-f 6548  df-f1 6549  df-fo 6550  df-f1o 6551  df-fv 6552  df-isom 6553  df-riota 7365  df-ov 7412  df-oprab 7413  df-mpo 7414  df-of 7670  df-om 7856  df-1st 7975  df-2nd 7976  df-supp 8147  df-frecs 8266  df-wrecs 8297  df-recs 8371  df-rdg 8410  df-1o 8466  df-2o 8467  df-er 8703  df-map 8822  df-pm 8823  df-ixp 8892  df-en 8940  df-dom 8941  df-sdom 8942  df-fin 8943  df-fsupp 9362  df-fi 9406  df-sup 9437  df-inf 9438  df-oi 9505  df-card 9934  df-pnf 11250  df-mnf 11251  df-xr 11252  df-ltxr 11253  df-le 11254  df-sub 11446  df-neg 11447  df-div 11872  df-nn 12213  df-2 12275  df-3 12276  df-4 12277  df-5 12278  df-6 12279  df-7 12280  df-8 12281  df-9 12282  df-n0 12473  df-z 12559  df-dec 12678  df-uz 12823  df-q 12933  df-rp 12975  df-xneg 13092  df-xadd 13093  df-xmul 13094  df-ioo 13328  df-ioc 13329  df-ico 13330  df-icc 13331  df-fz 13485  df-fzo 13628  df-fl 13757  df-mod 13835  df-seq 13967  df-exp 14028  df-fac 14234  df-bc 14263  df-hash 14291  df-shft 15014  df-cj 15046  df-re 15047  df-im 15048  df-sqrt 15182  df-abs 15183  df-limsup 15415  df-clim 15432  df-rlim 15433  df-sum 15633  df-ef 16011  df-sin 16013  df-cos 16014  df-pi 16016  df-struct 17080  df-sets 17097  df-slot 17115  df-ndx 17127  df-base 17145  df-ress 17174  df-plusg 17210  df-mulr 17211  df-starv 17212  df-sca 17213  df-vsca 17214  df-ip 17215  df-tset 17216  df-ple 17217  df-ds 17219  df-unif 17220  df-hom 17221  df-cco 17222  df-rest 17368  df-topn 17369  df-0g 17387  df-gsum 17388  df-topgen 17389  df-pt 17390  df-prds 17393  df-xrs 17448  df-qtop 17453  df-imas 17454  df-xps 17456  df-mre 17530  df-mrc 17531  df-acs 17533  df-mgm 18561  df-sgrp 18610  df-mnd 18626  df-submnd 18672  df-mulg 18951  df-cntz 19181  df-cmn 19650  df-psmet 20936  df-xmet 20937  df-met 20938  df-bl 20939  df-mopn 20940  df-fbas 20941  df-fg 20942  df-cnfld 20945  df-top 22396  df-topon 22413  df-topsp 22435  df-bases 22449  df-cld 22523  df-ntr 22524  df-cls 22525  df-nei 22602  df-lp 22640  df-perf 22641  df-cn 22731  df-cnp 22732  df-haus 22819  df-tx 23066  df-hmeo 23259  df-fil 23350  df-fm 23442  df-flim 23443  df-flf 23444  df-xms 23826  df-ms 23827  df-tms 23828  df-cncf 24394  df-0p 25187  df-limc 25383  df-dv 25384  df-ply 25702  df-idp 25703  df-coe 25704  df-dgr 25705  df-log 26065  df-cxp 26066
This theorem is referenced by:  fta  26584
  Copyright terms: Public domain W3C validator