MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  ftalem7 Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem ftalem7 26424
Description: Lemma for fta 26425. Shift the minimum away from zero by a change of variables. (Contributed by Mario Carneiro, 14-Sep-2014.)
Hypotheses
Ref Expression
ftalem.1 𝐴 = (coeff‘𝐹)
ftalem.2 𝑁 = (deg‘𝐹)
ftalem.3 (𝜑𝐹 ∈ (Poly‘𝑆))
ftalem.4 (𝜑𝑁 ∈ ℕ)
ftalem7.5 (𝜑𝑋 ∈ ℂ)
ftalem7.6 (𝜑 → (𝐹𝑋) ≠ 0)
Assertion
Ref Expression
ftalem7 (𝜑 → ¬ ∀𝑥 ∈ ℂ (abs‘(𝐹𝑋)) ≤ (abs‘(𝐹𝑥)))
Distinct variable groups:   𝑥,𝐴   𝑥,𝑁   𝑥,𝐹   𝜑,𝑥   𝑥,𝑋
Allowed substitution hint:   𝑆(𝑥)

Proof of Theorem ftalem7
Dummy variables 𝑧 𝑤 𝑦 are mutually distinct and distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 eqid 2736 . . . 4 (coeff‘(𝑧 ∈ ℂ ↦ (𝐹‘(𝑧 + 𝑋)))) = (coeff‘(𝑧 ∈ ℂ ↦ (𝐹‘(𝑧 + 𝑋))))
2 eqid 2736 . . . 4 (deg‘(𝑧 ∈ ℂ ↦ (𝐹‘(𝑧 + 𝑋)))) = (deg‘(𝑧 ∈ ℂ ↦ (𝐹‘(𝑧 + 𝑋))))
3 simpr 485 . . . . . . 7 ((𝜑𝑧 ∈ ℂ) → 𝑧 ∈ ℂ)
4 ftalem7.5 . . . . . . . 8 (𝜑𝑋 ∈ ℂ)
54adantr 481 . . . . . . 7 ((𝜑𝑧 ∈ ℂ) → 𝑋 ∈ ℂ)
63, 5addcld 11171 . . . . . 6 ((𝜑𝑧 ∈ ℂ) → (𝑧 + 𝑋) ∈ ℂ)
7 cnex 11129 . . . . . . . . 9 ℂ ∈ V
87a1i 11 . . . . . . . 8 (𝜑 → ℂ ∈ V)
94negcld 11496 . . . . . . . . 9 (𝜑 → -𝑋 ∈ ℂ)
109adantr 481 . . . . . . . 8 ((𝜑𝑧 ∈ ℂ) → -𝑋 ∈ ℂ)
11 df-idp 25546 . . . . . . . . . 10 Xp = ( I ↾ ℂ)
12 mptresid 6003 . . . . . . . . . 10 ( I ↾ ℂ) = (𝑧 ∈ ℂ ↦ 𝑧)
1311, 12eqtri 2764 . . . . . . . . 9 Xp = (𝑧 ∈ ℂ ↦ 𝑧)
1413a1i 11 . . . . . . . 8 (𝜑Xp = (𝑧 ∈ ℂ ↦ 𝑧))
15 fconstmpt 5693 . . . . . . . . 9 (ℂ × {-𝑋}) = (𝑧 ∈ ℂ ↦ -𝑋)
1615a1i 11 . . . . . . . 8 (𝜑 → (ℂ × {-𝑋}) = (𝑧 ∈ ℂ ↦ -𝑋))
178, 3, 10, 14, 16offval2 7634 . . . . . . 7 (𝜑 → (Xpf − (ℂ × {-𝑋})) = (𝑧 ∈ ℂ ↦ (𝑧 − -𝑋)))
18 id 22 . . . . . . . . 9 (𝑧 ∈ ℂ → 𝑧 ∈ ℂ)
19 subneg 11447 . . . . . . . . 9 ((𝑧 ∈ ℂ ∧ 𝑋 ∈ ℂ) → (𝑧 − -𝑋) = (𝑧 + 𝑋))
2018, 4, 19syl2anr 597 . . . . . . . 8 ((𝜑𝑧 ∈ ℂ) → (𝑧 − -𝑋) = (𝑧 + 𝑋))
2120mpteq2dva 5204 . . . . . . 7 (𝜑 → (𝑧 ∈ ℂ ↦ (𝑧 − -𝑋)) = (𝑧 ∈ ℂ ↦ (𝑧 + 𝑋)))
2217, 21eqtrd 2776 . . . . . 6 (𝜑 → (Xpf − (ℂ × {-𝑋})) = (𝑧 ∈ ℂ ↦ (𝑧 + 𝑋)))
23 ftalem.3 . . . . . . . 8 (𝜑𝐹 ∈ (Poly‘𝑆))
24 plyf 25555 . . . . . . . 8 (𝐹 ∈ (Poly‘𝑆) → 𝐹:ℂ⟶ℂ)
2523, 24syl 17 . . . . . . 7 (𝜑𝐹:ℂ⟶ℂ)
2625feqmptd 6908 . . . . . 6 (𝜑𝐹 = (𝑦 ∈ ℂ ↦ (𝐹𝑦)))
27 fveq2 6840 . . . . . 6 (𝑦 = (𝑧 + 𝑋) → (𝐹𝑦) = (𝐹‘(𝑧 + 𝑋)))
286, 22, 26, 27fmptco 7072 . . . . 5 (𝜑 → (𝐹 ∘ (Xpf − (ℂ × {-𝑋}))) = (𝑧 ∈ ℂ ↦ (𝐹‘(𝑧 + 𝑋))))
29 plyssc 25557 . . . . . . 7 (Poly‘𝑆) ⊆ (Poly‘ℂ)
3029, 23sselid 3941 . . . . . 6 (𝜑𝐹 ∈ (Poly‘ℂ))
31 eqid 2736 . . . . . . . . 9 (Xpf − (ℂ × {-𝑋})) = (Xpf − (ℂ × {-𝑋}))
3231plyremlem 25660 . . . . . . . 8 (-𝑋 ∈ ℂ → ((Xpf − (ℂ × {-𝑋})) ∈ (Poly‘ℂ) ∧ (deg‘(Xpf − (ℂ × {-𝑋}))) = 1 ∧ ((Xpf − (ℂ × {-𝑋})) “ {0}) = {-𝑋}))
339, 32syl 17 . . . . . . 7 (𝜑 → ((Xpf − (ℂ × {-𝑋})) ∈ (Poly‘ℂ) ∧ (deg‘(Xpf − (ℂ × {-𝑋}))) = 1 ∧ ((Xpf − (ℂ × {-𝑋})) “ {0}) = {-𝑋}))
3433simp1d 1142 . . . . . 6 (𝜑 → (Xpf − (ℂ × {-𝑋})) ∈ (Poly‘ℂ))
35 addcl 11130 . . . . . . 7 ((𝑧 ∈ ℂ ∧ 𝑤 ∈ ℂ) → (𝑧 + 𝑤) ∈ ℂ)
3635adantl 482 . . . . . 6 ((𝜑 ∧ (𝑧 ∈ ℂ ∧ 𝑤 ∈ ℂ)) → (𝑧 + 𝑤) ∈ ℂ)
37 mulcl 11132 . . . . . . 7 ((𝑧 ∈ ℂ ∧ 𝑤 ∈ ℂ) → (𝑧 · 𝑤) ∈ ℂ)
3837adantl 482 . . . . . 6 ((𝜑 ∧ (𝑧 ∈ ℂ ∧ 𝑤 ∈ ℂ)) → (𝑧 · 𝑤) ∈ ℂ)
3930, 34, 36, 38plyco 25598 . . . . 5 (𝜑 → (𝐹 ∘ (Xpf − (ℂ × {-𝑋}))) ∈ (Poly‘ℂ))
4028, 39eqeltrrd 2839 . . . 4 (𝜑 → (𝑧 ∈ ℂ ↦ (𝐹‘(𝑧 + 𝑋))) ∈ (Poly‘ℂ))
4128fveq2d 6844 . . . . 5 (𝜑 → (deg‘(𝐹 ∘ (Xpf − (ℂ × {-𝑋})))) = (deg‘(𝑧 ∈ ℂ ↦ (𝐹‘(𝑧 + 𝑋)))))
42 ftalem.2 . . . . . . 7 𝑁 = (deg‘𝐹)
43 eqid 2736 . . . . . . 7 (deg‘(Xpf − (ℂ × {-𝑋}))) = (deg‘(Xpf − (ℂ × {-𝑋})))
4442, 43, 30, 34dgrco 25632 . . . . . 6 (𝜑 → (deg‘(𝐹 ∘ (Xpf − (ℂ × {-𝑋})))) = (𝑁 · (deg‘(Xpf − (ℂ × {-𝑋})))))
45 ftalem.4 . . . . . . 7 (𝜑𝑁 ∈ ℕ)
4633simp2d 1143 . . . . . . . 8 (𝜑 → (deg‘(Xpf − (ℂ × {-𝑋}))) = 1)
47 1nn 12161 . . . . . . . 8 1 ∈ ℕ
4846, 47eqeltrdi 2846 . . . . . . 7 (𝜑 → (deg‘(Xpf − (ℂ × {-𝑋}))) ∈ ℕ)
4945, 48nnmulcld 12203 . . . . . 6 (𝜑 → (𝑁 · (deg‘(Xpf − (ℂ × {-𝑋})))) ∈ ℕ)
5044, 49eqeltrd 2838 . . . . 5 (𝜑 → (deg‘(𝐹 ∘ (Xpf − (ℂ × {-𝑋})))) ∈ ℕ)
5141, 50eqeltrrd 2839 . . . 4 (𝜑 → (deg‘(𝑧 ∈ ℂ ↦ (𝐹‘(𝑧 + 𝑋)))) ∈ ℕ)
52 0cn 11144 . . . . . . 7 0 ∈ ℂ
53 fvoveq1 7377 . . . . . . . 8 (𝑧 = 0 → (𝐹‘(𝑧 + 𝑋)) = (𝐹‘(0 + 𝑋)))
54 eqid 2736 . . . . . . . 8 (𝑧 ∈ ℂ ↦ (𝐹‘(𝑧 + 𝑋))) = (𝑧 ∈ ℂ ↦ (𝐹‘(𝑧 + 𝑋)))
55 fvex 6853 . . . . . . . 8 (𝐹‘(0 + 𝑋)) ∈ V
5653, 54, 55fvmpt 6946 . . . . . . 7 (0 ∈ ℂ → ((𝑧 ∈ ℂ ↦ (𝐹‘(𝑧 + 𝑋)))‘0) = (𝐹‘(0 + 𝑋)))
5752, 56ax-mp 5 . . . . . 6 ((𝑧 ∈ ℂ ↦ (𝐹‘(𝑧 + 𝑋)))‘0) = (𝐹‘(0 + 𝑋))
584addid2d 11353 . . . . . . 7 (𝜑 → (0 + 𝑋) = 𝑋)
5958fveq2d 6844 . . . . . 6 (𝜑 → (𝐹‘(0 + 𝑋)) = (𝐹𝑋))
6057, 59eqtrid 2788 . . . . 5 (𝜑 → ((𝑧 ∈ ℂ ↦ (𝐹‘(𝑧 + 𝑋)))‘0) = (𝐹𝑋))
61 ftalem7.6 . . . . 5 (𝜑 → (𝐹𝑋) ≠ 0)
6260, 61eqnetrd 3010 . . . 4 (𝜑 → ((𝑧 ∈ ℂ ↦ (𝐹‘(𝑧 + 𝑋)))‘0) ≠ 0)
631, 2, 40, 51, 62ftalem6 26423 . . 3 (𝜑 → ∃𝑦 ∈ ℂ (abs‘((𝑧 ∈ ℂ ↦ (𝐹‘(𝑧 + 𝑋)))‘𝑦)) < (abs‘((𝑧 ∈ ℂ ↦ (𝐹‘(𝑧 + 𝑋)))‘0)))
64 id 22 . . . . . 6 (𝑦 ∈ ℂ → 𝑦 ∈ ℂ)
65 addcl 11130 . . . . . 6 ((𝑦 ∈ ℂ ∧ 𝑋 ∈ ℂ) → (𝑦 + 𝑋) ∈ ℂ)
6664, 4, 65syl2anr 597 . . . . 5 ((𝜑𝑦 ∈ ℂ) → (𝑦 + 𝑋) ∈ ℂ)
67 fvoveq1 7377 . . . . . . . . . . 11 (𝑧 = 𝑦 → (𝐹‘(𝑧 + 𝑋)) = (𝐹‘(𝑦 + 𝑋)))
68 fvex 6853 . . . . . . . . . . 11 (𝐹‘(𝑦 + 𝑋)) ∈ V
6967, 54, 68fvmpt 6946 . . . . . . . . . 10 (𝑦 ∈ ℂ → ((𝑧 ∈ ℂ ↦ (𝐹‘(𝑧 + 𝑋)))‘𝑦) = (𝐹‘(𝑦 + 𝑋)))
7069adantl 482 . . . . . . . . 9 ((𝜑𝑦 ∈ ℂ) → ((𝑧 ∈ ℂ ↦ (𝐹‘(𝑧 + 𝑋)))‘𝑦) = (𝐹‘(𝑦 + 𝑋)))
7170fveq2d 6844 . . . . . . . 8 ((𝜑𝑦 ∈ ℂ) → (abs‘((𝑧 ∈ ℂ ↦ (𝐹‘(𝑧 + 𝑋)))‘𝑦)) = (abs‘(𝐹‘(𝑦 + 𝑋))))
7260adantr 481 . . . . . . . . 9 ((𝜑𝑦 ∈ ℂ) → ((𝑧 ∈ ℂ ↦ (𝐹‘(𝑧 + 𝑋)))‘0) = (𝐹𝑋))
7372fveq2d 6844 . . . . . . . 8 ((𝜑𝑦 ∈ ℂ) → (abs‘((𝑧 ∈ ℂ ↦ (𝐹‘(𝑧 + 𝑋)))‘0)) = (abs‘(𝐹𝑋)))
7471, 73breq12d 5117 . . . . . . 7 ((𝜑𝑦 ∈ ℂ) → ((abs‘((𝑧 ∈ ℂ ↦ (𝐹‘(𝑧 + 𝑋)))‘𝑦)) < (abs‘((𝑧 ∈ ℂ ↦ (𝐹‘(𝑧 + 𝑋)))‘0)) ↔ (abs‘(𝐹‘(𝑦 + 𝑋))) < (abs‘(𝐹𝑋))))
7525adantr 481 . . . . . . . . . 10 ((𝜑𝑦 ∈ ℂ) → 𝐹:ℂ⟶ℂ)
7675, 66ffvelcdmd 7033 . . . . . . . . 9 ((𝜑𝑦 ∈ ℂ) → (𝐹‘(𝑦 + 𝑋)) ∈ ℂ)
7776abscld 15318 . . . . . . . 8 ((𝜑𝑦 ∈ ℂ) → (abs‘(𝐹‘(𝑦 + 𝑋))) ∈ ℝ)
7825, 4ffvelcdmd 7033 . . . . . . . . . 10 (𝜑 → (𝐹𝑋) ∈ ℂ)
7978abscld 15318 . . . . . . . . 9 (𝜑 → (abs‘(𝐹𝑋)) ∈ ℝ)
8079adantr 481 . . . . . . . 8 ((𝜑𝑦 ∈ ℂ) → (abs‘(𝐹𝑋)) ∈ ℝ)
8177, 80ltnled 11299 . . . . . . 7 ((𝜑𝑦 ∈ ℂ) → ((abs‘(𝐹‘(𝑦 + 𝑋))) < (abs‘(𝐹𝑋)) ↔ ¬ (abs‘(𝐹𝑋)) ≤ (abs‘(𝐹‘(𝑦 + 𝑋)))))
8274, 81bitrd 278 . . . . . 6 ((𝜑𝑦 ∈ ℂ) → ((abs‘((𝑧 ∈ ℂ ↦ (𝐹‘(𝑧 + 𝑋)))‘𝑦)) < (abs‘((𝑧 ∈ ℂ ↦ (𝐹‘(𝑧 + 𝑋)))‘0)) ↔ ¬ (abs‘(𝐹𝑋)) ≤ (abs‘(𝐹‘(𝑦 + 𝑋)))))
8382biimpd 228 . . . . 5 ((𝜑𝑦 ∈ ℂ) → ((abs‘((𝑧 ∈ ℂ ↦ (𝐹‘(𝑧 + 𝑋)))‘𝑦)) < (abs‘((𝑧 ∈ ℂ ↦ (𝐹‘(𝑧 + 𝑋)))‘0)) → ¬ (abs‘(𝐹𝑋)) ≤ (abs‘(𝐹‘(𝑦 + 𝑋)))))
84 2fveq3 6845 . . . . . . . 8 (𝑥 = (𝑦 + 𝑋) → (abs‘(𝐹𝑥)) = (abs‘(𝐹‘(𝑦 + 𝑋))))
8584breq2d 5116 . . . . . . 7 (𝑥 = (𝑦 + 𝑋) → ((abs‘(𝐹𝑋)) ≤ (abs‘(𝐹𝑥)) ↔ (abs‘(𝐹𝑋)) ≤ (abs‘(𝐹‘(𝑦 + 𝑋)))))
8685notbid 317 . . . . . 6 (𝑥 = (𝑦 + 𝑋) → (¬ (abs‘(𝐹𝑋)) ≤ (abs‘(𝐹𝑥)) ↔ ¬ (abs‘(𝐹𝑋)) ≤ (abs‘(𝐹‘(𝑦 + 𝑋)))))
8786rspcev 3580 . . . . 5 (((𝑦 + 𝑋) ∈ ℂ ∧ ¬ (abs‘(𝐹𝑋)) ≤ (abs‘(𝐹‘(𝑦 + 𝑋)))) → ∃𝑥 ∈ ℂ ¬ (abs‘(𝐹𝑋)) ≤ (abs‘(𝐹𝑥)))
8866, 83, 87syl6an 682 . . . 4 ((𝜑𝑦 ∈ ℂ) → ((abs‘((𝑧 ∈ ℂ ↦ (𝐹‘(𝑧 + 𝑋)))‘𝑦)) < (abs‘((𝑧 ∈ ℂ ↦ (𝐹‘(𝑧 + 𝑋)))‘0)) → ∃𝑥 ∈ ℂ ¬ (abs‘(𝐹𝑋)) ≤ (abs‘(𝐹𝑥))))
8988rexlimdva 3151 . . 3 (𝜑 → (∃𝑦 ∈ ℂ (abs‘((𝑧 ∈ ℂ ↦ (𝐹‘(𝑧 + 𝑋)))‘𝑦)) < (abs‘((𝑧 ∈ ℂ ↦ (𝐹‘(𝑧 + 𝑋)))‘0)) → ∃𝑥 ∈ ℂ ¬ (abs‘(𝐹𝑋)) ≤ (abs‘(𝐹𝑥))))
9063, 89mpd 15 . 2 (𝜑 → ∃𝑥 ∈ ℂ ¬ (abs‘(𝐹𝑋)) ≤ (abs‘(𝐹𝑥)))
91 rexnal 3102 . 2 (∃𝑥 ∈ ℂ ¬ (abs‘(𝐹𝑋)) ≤ (abs‘(𝐹𝑥)) ↔ ¬ ∀𝑥 ∈ ℂ (abs‘(𝐹𝑋)) ≤ (abs‘(𝐹𝑥)))
9290, 91sylib 217 1 (𝜑 → ¬ ∀𝑥 ∈ ℂ (abs‘(𝐹𝑋)) ≤ (abs‘(𝐹𝑥)))
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  ¬ wn 3  wi 4  wa 396  w3a 1087   = wceq 1541  wcel 2106  wne 2942  wral 3063  wrex 3072  Vcvv 3444  {csn 4585   class class class wbr 5104  cmpt 5187   I cid 5529   × cxp 5630  ccnv 5631  cres 5634  cima 5635  ccom 5636  wf 6490  cfv 6494  (class class class)co 7354  f cof 7612  cc 11046  cr 11047  0cc0 11048  1c1 11049   + caddc 11051   · cmul 11053   < clt 11186  cle 11187  cmin 11382  -cneg 11383  cn 12150  abscabs 15116  Polycply 25541  Xpcidp 25542  coeffccoe 25543  degcdgr 25544
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1797  ax-4 1811  ax-5 1913  ax-6 1971  ax-7 2011  ax-8 2108  ax-9 2116  ax-10 2137  ax-11 2154  ax-12 2171  ax-ext 2707  ax-rep 5241  ax-sep 5255  ax-nul 5262  ax-pow 5319  ax-pr 5383  ax-un 7669  ax-inf2 9574  ax-cnex 11104  ax-resscn 11105  ax-1cn 11106  ax-icn 11107  ax-addcl 11108  ax-addrcl 11109  ax-mulcl 11110  ax-mulrcl 11111  ax-mulcom 11112  ax-addass 11113  ax-mulass 11114  ax-distr 11115  ax-i2m1 11116  ax-1ne0 11117  ax-1rid 11118  ax-rnegex 11119  ax-rrecex 11120  ax-cnre 11121  ax-pre-lttri 11122  ax-pre-lttrn 11123  ax-pre-ltadd 11124  ax-pre-mulgt0 11125  ax-pre-sup 11126  ax-addf 11127  ax-mulf 11128
This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 397  df-or 846  df-3or 1088  df-3an 1089  df-tru 1544  df-fal 1554  df-ex 1782  df-nf 1786  df-sb 2068  df-mo 2538  df-eu 2567  df-clab 2714  df-cleq 2728  df-clel 2814  df-nfc 2888  df-ne 2943  df-nel 3049  df-ral 3064  df-rex 3073  df-rmo 3352  df-reu 3353  df-rab 3407  df-v 3446  df-sbc 3739  df-csb 3855  df-dif 3912  df-un 3914  df-in 3916  df-ss 3926  df-pss 3928  df-nul 4282  df-if 4486  df-pw 4561  df-sn 4586  df-pr 4588  df-tp 4590  df-op 4592  df-uni 4865  df-int 4907  df-iun 4955  df-iin 4956  df-br 5105  df-opab 5167  df-mpt 5188  df-tr 5222  df-id 5530  df-eprel 5536  df-po 5544  df-so 5545  df-fr 5587  df-se 5588  df-we 5589  df-xp 5638  df-rel 5639  df-cnv 5640  df-co 5641  df-dm 5642  df-rn 5643  df-res 5644  df-ima 5645  df-pred 6252  df-ord 6319  df-on 6320  df-lim 6321  df-suc 6322  df-iota 6446  df-fun 6496  df-fn 6497  df-f 6498  df-f1 6499  df-fo 6500  df-f1o 6501  df-fv 6502  df-isom 6503  df-riota 7310  df-ov 7357  df-oprab 7358  df-mpo 7359  df-of 7614  df-om 7800  df-1st 7918  df-2nd 7919  df-supp 8090  df-frecs 8209  df-wrecs 8240  df-recs 8314  df-rdg 8353  df-1o 8409  df-2o 8410  df-er 8645  df-map 8764  df-pm 8765  df-ixp 8833  df-en 8881  df-dom 8882  df-sdom 8883  df-fin 8884  df-fsupp 9303  df-fi 9344  df-sup 9375  df-inf 9376  df-oi 9443  df-card 9872  df-pnf 11188  df-mnf 11189  df-xr 11190  df-ltxr 11191  df-le 11192  df-sub 11384  df-neg 11385  df-div 11810  df-nn 12151  df-2 12213  df-3 12214  df-4 12215  df-5 12216  df-6 12217  df-7 12218  df-8 12219  df-9 12220  df-n0 12411  df-z 12497  df-dec 12616  df-uz 12761  df-q 12871  df-rp 12913  df-xneg 13030  df-xadd 13031  df-xmul 13032  df-ioo 13265  df-ioc 13266  df-ico 13267  df-icc 13268  df-fz 13422  df-fzo 13565  df-fl 13694  df-mod 13772  df-seq 13904  df-exp 13965  df-fac 14171  df-bc 14200  df-hash 14228  df-shft 14949  df-cj 14981  df-re 14982  df-im 14983  df-sqrt 15117  df-abs 15118  df-limsup 15350  df-clim 15367  df-rlim 15368  df-sum 15568  df-ef 15947  df-sin 15949  df-cos 15950  df-pi 15952  df-struct 17016  df-sets 17033  df-slot 17051  df-ndx 17063  df-base 17081  df-ress 17110  df-plusg 17143  df-mulr 17144  df-starv 17145  df-sca 17146  df-vsca 17147  df-ip 17148  df-tset 17149  df-ple 17150  df-ds 17152  df-unif 17153  df-hom 17154  df-cco 17155  df-rest 17301  df-topn 17302  df-0g 17320  df-gsum 17321  df-topgen 17322  df-pt 17323  df-prds 17326  df-xrs 17381  df-qtop 17386  df-imas 17387  df-xps 17389  df-mre 17463  df-mrc 17464  df-acs 17466  df-mgm 18494  df-sgrp 18543  df-mnd 18554  df-submnd 18599  df-mulg 18869  df-cntz 19093  df-cmn 19560  df-psmet 20784  df-xmet 20785  df-met 20786  df-bl 20787  df-mopn 20788  df-fbas 20789  df-fg 20790  df-cnfld 20793  df-top 22239  df-topon 22256  df-topsp 22278  df-bases 22292  df-cld 22366  df-ntr 22367  df-cls 22368  df-nei 22445  df-lp 22483  df-perf 22484  df-cn 22574  df-cnp 22575  df-haus 22662  df-tx 22909  df-hmeo 23102  df-fil 23193  df-fm 23285  df-flim 23286  df-flf 23287  df-xms 23669  df-ms 23670  df-tms 23671  df-cncf 24237  df-0p 25030  df-limc 25226  df-dv 25227  df-ply 25545  df-idp 25546  df-coe 25547  df-dgr 25548  df-log 25908  df-cxp 25909
This theorem is referenced by:  fta  26425
  Copyright terms: Public domain W3C validator