Metamath Proof Explorer < Previous   Next > Nearby theorems Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  ftalem7 Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem ftalem7 25708
 Description: Lemma for fta 25709. Shift the minimum away from zero by a change of variables. (Contributed by Mario Carneiro, 14-Sep-2014.)
Hypotheses
Ref Expression
ftalem.1 𝐴 = (coeff‘𝐹)
ftalem.2 𝑁 = (deg‘𝐹)
ftalem.3 (𝜑𝐹 ∈ (Poly‘𝑆))
ftalem.4 (𝜑𝑁 ∈ ℕ)
ftalem7.5 (𝜑𝑋 ∈ ℂ)
ftalem7.6 (𝜑 → (𝐹𝑋) ≠ 0)
Assertion
Ref Expression
ftalem7 (𝜑 → ¬ ∀𝑥 ∈ ℂ (abs‘(𝐹𝑋)) ≤ (abs‘(𝐹𝑥)))
Distinct variable groups:   𝑥,𝐴   𝑥,𝑁   𝑥,𝐹   𝜑,𝑥   𝑥,𝑋
Allowed substitution hint:   𝑆(𝑥)

Proof of Theorem ftalem7
Dummy variables 𝑧 𝑤 𝑦 are mutually distinct and distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 eqid 2798 . . . 4 (coeff‘(𝑧 ∈ ℂ ↦ (𝐹‘(𝑧 + 𝑋)))) = (coeff‘(𝑧 ∈ ℂ ↦ (𝐹‘(𝑧 + 𝑋))))
2 eqid 2798 . . . 4 (deg‘(𝑧 ∈ ℂ ↦ (𝐹‘(𝑧 + 𝑋)))) = (deg‘(𝑧 ∈ ℂ ↦ (𝐹‘(𝑧 + 𝑋))))
3 simpr 488 . . . . . . 7 ((𝜑𝑧 ∈ ℂ) → 𝑧 ∈ ℂ)
4 ftalem7.5 . . . . . . . 8 (𝜑𝑋 ∈ ℂ)
54adantr 484 . . . . . . 7 ((𝜑𝑧 ∈ ℂ) → 𝑋 ∈ ℂ)
63, 5addcld 10667 . . . . . 6 ((𝜑𝑧 ∈ ℂ) → (𝑧 + 𝑋) ∈ ℂ)
7 cnex 10625 . . . . . . . . 9 ℂ ∈ V
87a1i 11 . . . . . . . 8 (𝜑 → ℂ ∈ V)
94negcld 10991 . . . . . . . . 9 (𝜑 → -𝑋 ∈ ℂ)
109adantr 484 . . . . . . . 8 ((𝜑𝑧 ∈ ℂ) → -𝑋 ∈ ℂ)
11 df-idp 24830 . . . . . . . . . 10 Xp = ( I ↾ ℂ)
12 mptresid 5889 . . . . . . . . . 10 ( I ↾ ℂ) = (𝑧 ∈ ℂ ↦ 𝑧)
1311, 12eqtri 2821 . . . . . . . . 9 Xp = (𝑧 ∈ ℂ ↦ 𝑧)
1413a1i 11 . . . . . . . 8 (𝜑Xp = (𝑧 ∈ ℂ ↦ 𝑧))
15 fconstmpt 5582 . . . . . . . . 9 (ℂ × {-𝑋}) = (𝑧 ∈ ℂ ↦ -𝑋)
1615a1i 11 . . . . . . . 8 (𝜑 → (ℂ × {-𝑋}) = (𝑧 ∈ ℂ ↦ -𝑋))
178, 3, 10, 14, 16offval2 7419 . . . . . . 7 (𝜑 → (Xpf − (ℂ × {-𝑋})) = (𝑧 ∈ ℂ ↦ (𝑧 − -𝑋)))
18 id 22 . . . . . . . . 9 (𝑧 ∈ ℂ → 𝑧 ∈ ℂ)
19 subneg 10942 . . . . . . . . 9 ((𝑧 ∈ ℂ ∧ 𝑋 ∈ ℂ) → (𝑧 − -𝑋) = (𝑧 + 𝑋))
2018, 4, 19syl2anr 599 . . . . . . . 8 ((𝜑𝑧 ∈ ℂ) → (𝑧 − -𝑋) = (𝑧 + 𝑋))
2120mpteq2dva 5129 . . . . . . 7 (𝜑 → (𝑧 ∈ ℂ ↦ (𝑧 − -𝑋)) = (𝑧 ∈ ℂ ↦ (𝑧 + 𝑋)))
2217, 21eqtrd 2833 . . . . . 6 (𝜑 → (Xpf − (ℂ × {-𝑋})) = (𝑧 ∈ ℂ ↦ (𝑧 + 𝑋)))
23 ftalem.3 . . . . . . . 8 (𝜑𝐹 ∈ (Poly‘𝑆))
24 plyf 24839 . . . . . . . 8 (𝐹 ∈ (Poly‘𝑆) → 𝐹:ℂ⟶ℂ)
2523, 24syl 17 . . . . . . 7 (𝜑𝐹:ℂ⟶ℂ)
2625feqmptd 6718 . . . . . 6 (𝜑𝐹 = (𝑦 ∈ ℂ ↦ (𝐹𝑦)))
27 fveq2 6655 . . . . . 6 (𝑦 = (𝑧 + 𝑋) → (𝐹𝑦) = (𝐹‘(𝑧 + 𝑋)))
286, 22, 26, 27fmptco 6878 . . . . 5 (𝜑 → (𝐹 ∘ (Xpf − (ℂ × {-𝑋}))) = (𝑧 ∈ ℂ ↦ (𝐹‘(𝑧 + 𝑋))))
29 plyssc 24841 . . . . . . 7 (Poly‘𝑆) ⊆ (Poly‘ℂ)
3029, 23sseldi 3915 . . . . . 6 (𝜑𝐹 ∈ (Poly‘ℂ))
31 eqid 2798 . . . . . . . . 9 (Xpf − (ℂ × {-𝑋})) = (Xpf − (ℂ × {-𝑋}))
3231plyremlem 24944 . . . . . . . 8 (-𝑋 ∈ ℂ → ((Xpf − (ℂ × {-𝑋})) ∈ (Poly‘ℂ) ∧ (deg‘(Xpf − (ℂ × {-𝑋}))) = 1 ∧ ((Xpf − (ℂ × {-𝑋})) “ {0}) = {-𝑋}))
339, 32syl 17 . . . . . . 7 (𝜑 → ((Xpf − (ℂ × {-𝑋})) ∈ (Poly‘ℂ) ∧ (deg‘(Xpf − (ℂ × {-𝑋}))) = 1 ∧ ((Xpf − (ℂ × {-𝑋})) “ {0}) = {-𝑋}))
3433simp1d 1139 . . . . . 6 (𝜑 → (Xpf − (ℂ × {-𝑋})) ∈ (Poly‘ℂ))
35 addcl 10626 . . . . . . 7 ((𝑧 ∈ ℂ ∧ 𝑤 ∈ ℂ) → (𝑧 + 𝑤) ∈ ℂ)
3635adantl 485 . . . . . 6 ((𝜑 ∧ (𝑧 ∈ ℂ ∧ 𝑤 ∈ ℂ)) → (𝑧 + 𝑤) ∈ ℂ)
37 mulcl 10628 . . . . . . 7 ((𝑧 ∈ ℂ ∧ 𝑤 ∈ ℂ) → (𝑧 · 𝑤) ∈ ℂ)
3837adantl 485 . . . . . 6 ((𝜑 ∧ (𝑧 ∈ ℂ ∧ 𝑤 ∈ ℂ)) → (𝑧 · 𝑤) ∈ ℂ)
3930, 34, 36, 38plyco 24882 . . . . 5 (𝜑 → (𝐹 ∘ (Xpf − (ℂ × {-𝑋}))) ∈ (Poly‘ℂ))
4028, 39eqeltrrd 2891 . . . 4 (𝜑 → (𝑧 ∈ ℂ ↦ (𝐹‘(𝑧 + 𝑋))) ∈ (Poly‘ℂ))
4128fveq2d 6659 . . . . 5 (𝜑 → (deg‘(𝐹 ∘ (Xpf − (ℂ × {-𝑋})))) = (deg‘(𝑧 ∈ ℂ ↦ (𝐹‘(𝑧 + 𝑋)))))
42 ftalem.2 . . . . . . 7 𝑁 = (deg‘𝐹)
43 eqid 2798 . . . . . . 7 (deg‘(Xpf − (ℂ × {-𝑋}))) = (deg‘(Xpf − (ℂ × {-𝑋})))
4442, 43, 30, 34dgrco 24916 . . . . . 6 (𝜑 → (deg‘(𝐹 ∘ (Xpf − (ℂ × {-𝑋})))) = (𝑁 · (deg‘(Xpf − (ℂ × {-𝑋})))))
45 ftalem.4 . . . . . . 7 (𝜑𝑁 ∈ ℕ)
4633simp2d 1140 . . . . . . . 8 (𝜑 → (deg‘(Xpf − (ℂ × {-𝑋}))) = 1)
47 1nn 11654 . . . . . . . 8 1 ∈ ℕ
4846, 47eqeltrdi 2898 . . . . . . 7 (𝜑 → (deg‘(Xpf − (ℂ × {-𝑋}))) ∈ ℕ)
4945, 48nnmulcld 11696 . . . . . 6 (𝜑 → (𝑁 · (deg‘(Xpf − (ℂ × {-𝑋})))) ∈ ℕ)
5044, 49eqeltrd 2890 . . . . 5 (𝜑 → (deg‘(𝐹 ∘ (Xpf − (ℂ × {-𝑋})))) ∈ ℕ)
5141, 50eqeltrrd 2891 . . . 4 (𝜑 → (deg‘(𝑧 ∈ ℂ ↦ (𝐹‘(𝑧 + 𝑋)))) ∈ ℕ)
52 0cn 10640 . . . . . . 7 0 ∈ ℂ
53 fvoveq1 7168 . . . . . . . 8 (𝑧 = 0 → (𝐹‘(𝑧 + 𝑋)) = (𝐹‘(0 + 𝑋)))
54 eqid 2798 . . . . . . . 8 (𝑧 ∈ ℂ ↦ (𝐹‘(𝑧 + 𝑋))) = (𝑧 ∈ ℂ ↦ (𝐹‘(𝑧 + 𝑋)))
55 fvex 6668 . . . . . . . 8 (𝐹‘(0 + 𝑋)) ∈ V
5653, 54, 55fvmpt 6755 . . . . . . 7 (0 ∈ ℂ → ((𝑧 ∈ ℂ ↦ (𝐹‘(𝑧 + 𝑋)))‘0) = (𝐹‘(0 + 𝑋)))
5752, 56ax-mp 5 . . . . . 6 ((𝑧 ∈ ℂ ↦ (𝐹‘(𝑧 + 𝑋)))‘0) = (𝐹‘(0 + 𝑋))
584addid2d 10848 . . . . . . 7 (𝜑 → (0 + 𝑋) = 𝑋)
5958fveq2d 6659 . . . . . 6 (𝜑 → (𝐹‘(0 + 𝑋)) = (𝐹𝑋))
6057, 59syl5eq 2845 . . . . 5 (𝜑 → ((𝑧 ∈ ℂ ↦ (𝐹‘(𝑧 + 𝑋)))‘0) = (𝐹𝑋))
61 ftalem7.6 . . . . 5 (𝜑 → (𝐹𝑋) ≠ 0)
6260, 61eqnetrd 3054 . . . 4 (𝜑 → ((𝑧 ∈ ℂ ↦ (𝐹‘(𝑧 + 𝑋)))‘0) ≠ 0)
631, 2, 40, 51, 62ftalem6 25707 . . 3 (𝜑 → ∃𝑦 ∈ ℂ (abs‘((𝑧 ∈ ℂ ↦ (𝐹‘(𝑧 + 𝑋)))‘𝑦)) < (abs‘((𝑧 ∈ ℂ ↦ (𝐹‘(𝑧 + 𝑋)))‘0)))
64 id 22 . . . . . 6 (𝑦 ∈ ℂ → 𝑦 ∈ ℂ)
65 addcl 10626 . . . . . 6 ((𝑦 ∈ ℂ ∧ 𝑋 ∈ ℂ) → (𝑦 + 𝑋) ∈ ℂ)
6664, 4, 65syl2anr 599 . . . . 5 ((𝜑𝑦 ∈ ℂ) → (𝑦 + 𝑋) ∈ ℂ)
67 fvoveq1 7168 . . . . . . . . . . 11 (𝑧 = 𝑦 → (𝐹‘(𝑧 + 𝑋)) = (𝐹‘(𝑦 + 𝑋)))
68 fvex 6668 . . . . . . . . . . 11 (𝐹‘(𝑦 + 𝑋)) ∈ V
6967, 54, 68fvmpt 6755 . . . . . . . . . 10 (𝑦 ∈ ℂ → ((𝑧 ∈ ℂ ↦ (𝐹‘(𝑧 + 𝑋)))‘𝑦) = (𝐹‘(𝑦 + 𝑋)))
7069adantl 485 . . . . . . . . 9 ((𝜑𝑦 ∈ ℂ) → ((𝑧 ∈ ℂ ↦ (𝐹‘(𝑧 + 𝑋)))‘𝑦) = (𝐹‘(𝑦 + 𝑋)))
7170fveq2d 6659 . . . . . . . 8 ((𝜑𝑦 ∈ ℂ) → (abs‘((𝑧 ∈ ℂ ↦ (𝐹‘(𝑧 + 𝑋)))‘𝑦)) = (abs‘(𝐹‘(𝑦 + 𝑋))))
7260adantr 484 . . . . . . . . 9 ((𝜑𝑦 ∈ ℂ) → ((𝑧 ∈ ℂ ↦ (𝐹‘(𝑧 + 𝑋)))‘0) = (𝐹𝑋))
7372fveq2d 6659 . . . . . . . 8 ((𝜑𝑦 ∈ ℂ) → (abs‘((𝑧 ∈ ℂ ↦ (𝐹‘(𝑧 + 𝑋)))‘0)) = (abs‘(𝐹𝑋)))
7471, 73breq12d 5047 . . . . . . 7 ((𝜑𝑦 ∈ ℂ) → ((abs‘((𝑧 ∈ ℂ ↦ (𝐹‘(𝑧 + 𝑋)))‘𝑦)) < (abs‘((𝑧 ∈ ℂ ↦ (𝐹‘(𝑧 + 𝑋)))‘0)) ↔ (abs‘(𝐹‘(𝑦 + 𝑋))) < (abs‘(𝐹𝑋))))
7525adantr 484 . . . . . . . . . 10 ((𝜑𝑦 ∈ ℂ) → 𝐹:ℂ⟶ℂ)
7675, 66ffvelrnd 6839 . . . . . . . . 9 ((𝜑𝑦 ∈ ℂ) → (𝐹‘(𝑦 + 𝑋)) ∈ ℂ)
7776abscld 14808 . . . . . . . 8 ((𝜑𝑦 ∈ ℂ) → (abs‘(𝐹‘(𝑦 + 𝑋))) ∈ ℝ)
7825, 4ffvelrnd 6839 . . . . . . . . . 10 (𝜑 → (𝐹𝑋) ∈ ℂ)
7978abscld 14808 . . . . . . . . 9 (𝜑 → (abs‘(𝐹𝑋)) ∈ ℝ)
8079adantr 484 . . . . . . . 8 ((𝜑𝑦 ∈ ℂ) → (abs‘(𝐹𝑋)) ∈ ℝ)
8177, 80ltnled 10794 . . . . . . 7 ((𝜑𝑦 ∈ ℂ) → ((abs‘(𝐹‘(𝑦 + 𝑋))) < (abs‘(𝐹𝑋)) ↔ ¬ (abs‘(𝐹𝑋)) ≤ (abs‘(𝐹‘(𝑦 + 𝑋)))))
8274, 81bitrd 282 . . . . . 6 ((𝜑𝑦 ∈ ℂ) → ((abs‘((𝑧 ∈ ℂ ↦ (𝐹‘(𝑧 + 𝑋)))‘𝑦)) < (abs‘((𝑧 ∈ ℂ ↦ (𝐹‘(𝑧 + 𝑋)))‘0)) ↔ ¬ (abs‘(𝐹𝑋)) ≤ (abs‘(𝐹‘(𝑦 + 𝑋)))))
8382biimpd 232 . . . . 5 ((𝜑𝑦 ∈ ℂ) → ((abs‘((𝑧 ∈ ℂ ↦ (𝐹‘(𝑧 + 𝑋)))‘𝑦)) < (abs‘((𝑧 ∈ ℂ ↦ (𝐹‘(𝑧 + 𝑋)))‘0)) → ¬ (abs‘(𝐹𝑋)) ≤ (abs‘(𝐹‘(𝑦 + 𝑋)))))
84 2fveq3 6660 . . . . . . . 8 (𝑥 = (𝑦 + 𝑋) → (abs‘(𝐹𝑥)) = (abs‘(𝐹‘(𝑦 + 𝑋))))
8584breq2d 5046 . . . . . . 7 (𝑥 = (𝑦 + 𝑋) → ((abs‘(𝐹𝑋)) ≤ (abs‘(𝐹𝑥)) ↔ (abs‘(𝐹𝑋)) ≤ (abs‘(𝐹‘(𝑦 + 𝑋)))))
8685notbid 321 . . . . . 6 (𝑥 = (𝑦 + 𝑋) → (¬ (abs‘(𝐹𝑋)) ≤ (abs‘(𝐹𝑥)) ↔ ¬ (abs‘(𝐹𝑋)) ≤ (abs‘(𝐹‘(𝑦 + 𝑋)))))
8786rspcev 3572 . . . . 5 (((𝑦 + 𝑋) ∈ ℂ ∧ ¬ (abs‘(𝐹𝑋)) ≤ (abs‘(𝐹‘(𝑦 + 𝑋)))) → ∃𝑥 ∈ ℂ ¬ (abs‘(𝐹𝑋)) ≤ (abs‘(𝐹𝑥)))
8866, 83, 87syl6an 683 . . . 4 ((𝜑𝑦 ∈ ℂ) → ((abs‘((𝑧 ∈ ℂ ↦ (𝐹‘(𝑧 + 𝑋)))‘𝑦)) < (abs‘((𝑧 ∈ ℂ ↦ (𝐹‘(𝑧 + 𝑋)))‘0)) → ∃𝑥 ∈ ℂ ¬ (abs‘(𝐹𝑋)) ≤ (abs‘(𝐹𝑥))))
8988rexlimdva 3244 . . 3 (𝜑 → (∃𝑦 ∈ ℂ (abs‘((𝑧 ∈ ℂ ↦ (𝐹‘(𝑧 + 𝑋)))‘𝑦)) < (abs‘((𝑧 ∈ ℂ ↦ (𝐹‘(𝑧 + 𝑋)))‘0)) → ∃𝑥 ∈ ℂ ¬ (abs‘(𝐹𝑋)) ≤ (abs‘(𝐹𝑥))))
9063, 89mpd 15 . 2 (𝜑 → ∃𝑥 ∈ ℂ ¬ (abs‘(𝐹𝑋)) ≤ (abs‘(𝐹𝑥)))
91 rexnal 3201 . 2 (∃𝑥 ∈ ℂ ¬ (abs‘(𝐹𝑋)) ≤ (abs‘(𝐹𝑥)) ↔ ¬ ∀𝑥 ∈ ℂ (abs‘(𝐹𝑋)) ≤ (abs‘(𝐹𝑥)))
9290, 91sylib 221 1 (𝜑 → ¬ ∀𝑥 ∈ ℂ (abs‘(𝐹𝑋)) ≤ (abs‘(𝐹𝑥)))
 Colors of variables: wff setvar class Syntax hints:  ¬ wn 3   → wi 4   ∧ wa 399   ∧ w3a 1084   = wceq 1538   ∈ wcel 2111   ≠ wne 2987  ∀wral 3106  ∃wrex 3107  Vcvv 3442  {csn 4528   class class class wbr 5034   ↦ cmpt 5114   I cid 5428   × cxp 5521  ◡ccnv 5522   ↾ cres 5525   “ cima 5526   ∘ ccom 5527  ⟶wf 6328  ‘cfv 6332  (class class class)co 7145   ∘f cof 7398  ℂcc 10542  ℝcr 10543  0cc0 10544  1c1 10545   + caddc 10547   · cmul 10549   < clt 10682   ≤ cle 10683   − cmin 10877  -cneg 10878  ℕcn 11643  abscabs 14605  Polycply 24825  Xpcidp 24826  coeffccoe 24827  degcdgr 24828 This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1797  ax-4 1811  ax-5 1911  ax-6 1970  ax-7 2015  ax-8 2113  ax-9 2121  ax-10 2142  ax-11 2158  ax-12 2175  ax-ext 2770  ax-rep 5158  ax-sep 5171  ax-nul 5178  ax-pow 5235  ax-pr 5299  ax-un 7454  ax-inf2 9106  ax-cnex 10600  ax-resscn 10601  ax-1cn 10602  ax-icn 10603  ax-addcl 10604  ax-addrcl 10605  ax-mulcl 10606  ax-mulrcl 10607  ax-mulcom 10608  ax-addass 10609  ax-mulass 10610  ax-distr 10611  ax-i2m1 10612  ax-1ne0 10613  ax-1rid 10614  ax-rnegex 10615  ax-rrecex 10616  ax-cnre 10617  ax-pre-lttri 10618  ax-pre-lttrn 10619  ax-pre-ltadd 10620  ax-pre-mulgt0 10621  ax-pre-sup 10622  ax-addf 10623  ax-mulf 10624 This theorem depends on definitions:  df-bi 210  df-an 400  df-or 845  df-3or 1085  df-3an 1086  df-tru 1541  df-fal 1551  df-ex 1782  df-nf 1786  df-sb 2070  df-mo 2598  df-eu 2629  df-clab 2777  df-cleq 2791  df-clel 2870  df-nfc 2938  df-ne 2988  df-nel 3092  df-ral 3111  df-rex 3112  df-reu 3113  df-rmo 3114  df-rab 3115  df-v 3444  df-sbc 3723  df-csb 3831  df-dif 3886  df-un 3888  df-in 3890  df-ss 3900  df-pss 3902  df-nul 4247  df-if 4429  df-pw 4502  df-sn 4529  df-pr 4531  df-tp 4533  df-op 4535  df-uni 4805  df-int 4843  df-iun 4887  df-iin 4888  df-br 5035  df-opab 5097  df-mpt 5115  df-tr 5141  df-id 5429  df-eprel 5434  df-po 5442  df-so 5443  df-fr 5482  df-se 5483  df-we 5484  df-xp 5529  df-rel 5530  df-cnv 5531  df-co 5532  df-dm 5533  df-rn 5534  df-res 5535  df-ima 5536  df-pred 6123  df-ord 6169  df-on 6170  df-lim 6171  df-suc 6172  df-iota 6291  df-fun 6334  df-fn 6335  df-f 6336  df-f1 6337  df-fo 6338  df-f1o 6339  df-fv 6340  df-isom 6341  df-riota 7103  df-ov 7148  df-oprab 7149  df-mpo 7150  df-of 7400  df-om 7574  df-1st 7684  df-2nd 7685  df-supp 7827  df-wrecs 7948  df-recs 8009  df-rdg 8047  df-1o 8103  df-2o 8104  df-oadd 8107  df-er 8290  df-map 8409  df-pm 8410  df-ixp 8463  df-en 8511  df-dom 8512  df-sdom 8513  df-fin 8514  df-fsupp 8836  df-fi 8877  df-sup 8908  df-inf 8909  df-oi 8976  df-card 9370  df-pnf 10684  df-mnf 10685  df-xr 10686  df-ltxr 10687  df-le 10688  df-sub 10879  df-neg 10880  df-div 11305  df-nn 11644  df-2 11706  df-3 11707  df-4 11708  df-5 11709  df-6 11710  df-7 11711  df-8 11712  df-9 11713  df-n0 11904  df-z 11990  df-dec 12107  df-uz 12252  df-q 12357  df-rp 12398  df-xneg 12515  df-xadd 12516  df-xmul 12517  df-ioo 12750  df-ioc 12751  df-ico 12752  df-icc 12753  df-fz 12906  df-fzo 13049  df-fl 13177  df-mod 13253  df-seq 13385  df-exp 13446  df-fac 13650  df-bc 13679  df-hash 13707  df-shft 14438  df-cj 14470  df-re 14471  df-im 14472  df-sqrt 14606  df-abs 14607  df-limsup 14840  df-clim 14857  df-rlim 14858  df-sum 15055  df-ef 15433  df-sin 15435  df-cos 15436  df-pi 15438  df-struct 16497  df-ndx 16498  df-slot 16499  df-base 16501  df-sets 16502  df-ress 16503  df-plusg 16590  df-mulr 16591  df-starv 16592  df-sca 16593  df-vsca 16594  df-ip 16595  df-tset 16596  df-ple 16597  df-ds 16599  df-unif 16600  df-hom 16601  df-cco 16602  df-rest 16708  df-topn 16709  df-0g 16727  df-gsum 16728  df-topgen 16729  df-pt 16730  df-prds 16733  df-xrs 16787  df-qtop 16792  df-imas 16793  df-xps 16795  df-mre 16869  df-mrc 16870  df-acs 16872  df-mgm 17864  df-sgrp 17913  df-mnd 17924  df-submnd 17969  df-mulg 18238  df-cntz 18460  df-cmn 18921  df-psmet 20104  df-xmet 20105  df-met 20106  df-bl 20107  df-mopn 20108  df-fbas 20109  df-fg 20110  df-cnfld 20113  df-top 21540  df-topon 21557  df-topsp 21579  df-bases 21592  df-cld 21665  df-ntr 21666  df-cls 21667  df-nei 21744  df-lp 21782  df-perf 21783  df-cn 21873  df-cnp 21874  df-haus 21961  df-tx 22208  df-hmeo 22401  df-fil 22492  df-fm 22584  df-flim 22585  df-flf 22586  df-xms 22968  df-ms 22969  df-tms 22970  df-cncf 23524  df-0p 24315  df-limc 24510  df-dv 24511  df-ply 24829  df-idp 24830  df-coe 24831  df-dgr 24832  df-log 25192  df-cxp 25193 This theorem is referenced by:  fta  25709
 Copyright terms: Public domain W3C validator