Theorem ftalem7 27296

Description: Lemma for fta 27297. Shift the minimum away from zero by a change of variables. (Contributed by Mario Carneiro, 14-Sep-2014.)

Hypotheses

Ref	Expression
ftalem.1	⊢ 𝐴 = (coeff‘𝐹)
ftalem.2	⊢ 𝑁 = (deg‘𝐹)
ftalem.3	⊢ (𝜑 → 𝐹 ∈ (Poly‘𝑆))
ftalem.4	⊢ (𝜑 → 𝑁 ∈ ℕ)
ftalem7.5	⊢ (𝜑 → 𝑋 ∈ ℂ)
ftalem7.6	⊢ (𝜑 → (𝐹‘𝑋) ≠ 0)

Assertion

Ref	Expression
ftalem7	⊢ (𝜑 → ¬ ∀𝑥 ∈ ℂ (abs‘(𝐹‘𝑋)) ≤ (abs‘(𝐹‘𝑥)))

Distinct variable groups:   𝑥,𝐴   𝑥,𝑁   𝑥,𝐹   𝜑,𝑥   𝑥,𝑋

Allowed substitution hint:   𝑆(𝑥)

Proof of Theorem ftalem7

Dummy variables 𝑧 𝑤 𝑦 are mutually distinct and distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		eqid 2765	. . . 4 ⊢ (coeff‘(𝑧 ∈ ℂ ↦ (𝐹‘(𝑧 + 𝑋)))) = (coeff‘(𝑧 ∈ ℂ ↦ (𝐹‘(𝑧 + 𝑋))))
2		eqid 2765	. . . 4 ⊢ (deg‘(𝑧 ∈ ℂ ↦ (𝐹‘(𝑧 + 𝑋)))) = (deg‘(𝑧 ∈ ℂ ↦ (𝐹‘(𝑧 + 𝑋))))
3		simpr 490	. . . . . . 7 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑧 ∈ ℂ) → 𝑧 ∈ ℂ)
4		ftalem7.5	. . . . . . . 8 ⊢ (𝜑 → 𝑋 ∈ ℂ)
5	4	adantr 486	. . . . . . 7 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑧 ∈ ℂ) → 𝑋 ∈ ℂ)
6	3, 5	addcld 11245	. . . . . 6 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑧 ∈ ℂ) → (𝑧 + 𝑋) ∈ ℂ)
7		cnex 11198	. . . . . . . . 9 ⊢ ℂ ∈ V
8	7	a1i 11	. . . . . . . 8 ⊢ (𝜑 → ℂ ∈ V)
9	4	negcld 11573	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝜑 → -𝑋 ∈ ℂ)
10	9	adantr 486	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑧 ∈ ℂ) → -𝑋 ∈ ℂ)
11		df-idp 26399	. . . . . . . . . 10 ⊢ Xp = ( I ↾ ℂ)
12		mptresid 6055	. . . . . . . . . 10 ⊢ ( I ↾ ℂ) = (𝑧 ∈ ℂ ↦ 𝑧)
13	11, 12	eqtri 2788	. . . . . . . . 9 ⊢ Xp = (𝑧 ∈ ℂ ↦ 𝑧)
14	13	a1i 11	. . . . . . . 8 ⊢ (𝜑 → Xp = (𝑧 ∈ ℂ ↦ 𝑧))
15		fconstmpt 5725	. . . . . . . . 9 ⊢ (ℂ × {-𝑋}) = (𝑧 ∈ ℂ ↦ -𝑋)
16	15	a1i 11	. . . . . . . 8 ⊢ (𝜑 → (ℂ × {-𝑋}) = (𝑧 ∈ ℂ ↦ -𝑋))
17	8, 3, 10, 14, 16	offval2 7704	. . . . . . 7 ⊢ (𝜑 → (Xp ∘f − (ℂ × {-𝑋})) = (𝑧 ∈ ℂ ↦ (𝑧 − -𝑋)))
18		id 23	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝑧 ∈ ℂ → 𝑧 ∈ ℂ)
19		subneg 11524	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝑧 ∈ ℂ ∧ 𝑋 ∈ ℂ) → (𝑧 − -𝑋) = (𝑧 + 𝑋))
20	18, 4, 19	syl2anr 609	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑧 ∈ ℂ) → (𝑧 − -𝑋) = (𝑧 + 𝑋))
21	20	mpteq2dva 5206	. . . . . . 7 ⊢ (𝜑 → (𝑧 ∈ ℂ ↦ (𝑧 − -𝑋)) = (𝑧 ∈ ℂ ↦ (𝑧 + 𝑋)))
22	17, 21	eqtrd 2800	. . . . . 6 ⊢ (𝜑 → (Xp ∘f − (ℂ × {-𝑋})) = (𝑧 ∈ ℂ ↦ (𝑧 + 𝑋)))
23		ftalem.3	. . . . . . . 8 ⊢ (𝜑 → 𝐹 ∈ (Poly‘𝑆))
24		plyf 26408	. . . . . . . 8 ⊢ (𝐹 ∈ (Poly‘𝑆) → 𝐹:ℂ⟶ℂ)
25	23, 24	syl 18	. . . . . . 7 ⊢ (𝜑 → 𝐹:ℂ⟶ℂ)
26	25	feqmptd 6953	. . . . . 6 ⊢ (𝜑 → 𝐹 = (𝑦 ∈ ℂ ↦ (𝐹‘𝑦)))
27		fveq2 6885	. . . . . 6 ⊢ (𝑦 = (𝑧 + 𝑋) → (𝐹‘𝑦) = (𝐹‘(𝑧 + 𝑋)))
28	6, 22, 26, 27	fmptco 7129	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → (𝐹 ∘ (Xp ∘f − (ℂ × {-𝑋}))) = (𝑧 ∈ ℂ ↦ (𝐹‘(𝑧 + 𝑋))))
29		plyssc 26410	. . . . . . 7 ⊢ (Poly‘𝑆) ⊆ (Poly‘ℂ)
30	29, 23	sselid 3936	. . . . . 6 ⊢ (𝜑 → 𝐹 ∈ (Poly‘ℂ))
31		eqid 2765	. . . . . . . . 9 ⊢ (Xp ∘f − (ℂ × {-𝑋})) = (Xp ∘f − (ℂ × {-𝑋}))
32	31	plyremlem 26518	. . . . . . . 8 ⊢ (-𝑋 ∈ ℂ → ((Xp ∘f − (ℂ × {-𝑋})) ∈ (Poly‘ℂ) ∧ (deg‘(Xp ∘f − (ℂ × {-𝑋}))) = 1 ∧ (◡(Xp ∘f − (ℂ × {-𝑋})) “ {0}) = {-𝑋}))
33	9, 32	syl 18	. . . . . . 7 ⊢ (𝜑 → ((Xp ∘f − (ℂ × {-𝑋})) ∈ (Poly‘ℂ) ∧ (deg‘(Xp ∘f − (ℂ × {-𝑋}))) = 1 ∧ (◡(Xp ∘f − (ℂ × {-𝑋})) “ {0}) = {-𝑋}))
34	33	simp1d 1160	. . . . . 6 ⊢ (𝜑 → (Xp ∘f − (ℂ × {-𝑋})) ∈ (Poly‘ℂ))
35		addcl 11199	. . . . . . 7 ⊢ ((𝑧 ∈ ℂ ∧ 𝑤 ∈ ℂ) → (𝑧 + 𝑤) ∈ ℂ)
36	35	adantl 487	. . . . . 6 ⊢ ((𝜑 ∧ (𝑧 ∈ ℂ ∧ 𝑤 ∈ ℂ)) → (𝑧 + 𝑤) ∈ ℂ)
37		mulcl 11201	. . . . . . 7 ⊢ ((𝑧 ∈ ℂ ∧ 𝑤 ∈ ℂ) → (𝑧 · 𝑤) ∈ ℂ)
38	37	adantl 487	. . . . . 6 ⊢ ((𝜑 ∧ (𝑧 ∈ ℂ ∧ 𝑤 ∈ ℂ)) → (𝑧 · 𝑤) ∈ ℂ)
39	30, 34, 36, 38	plyco 26451	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → (𝐹 ∘ (Xp ∘f − (ℂ × {-𝑋}))) ∈ (Poly‘ℂ))
40	28, 39	eqeltrrd 2866	. . . 4 ⊢ (𝜑 → (𝑧 ∈ ℂ ↦ (𝐹‘(𝑧 + 𝑋))) ∈ (Poly‘ℂ))
41	28	fveq2d 6889	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → (deg‘(𝐹 ∘ (Xp ∘f − (ℂ × {-𝑋})))) = (deg‘(𝑧 ∈ ℂ ↦ (𝐹‘(𝑧 + 𝑋)))))
42		ftalem.2	. . . . . . 7 ⊢ 𝑁 = (deg‘𝐹)
43		eqid 2765	. . . . . . 7 ⊢ (deg‘(Xp ∘f − (ℂ × {-𝑋}))) = (deg‘(Xp ∘f − (ℂ × {-𝑋})))
44	42, 43, 30, 34	dgrco 26485	. . . . . 6 ⊢ (𝜑 → (deg‘(𝐹 ∘ (Xp ∘f − (ℂ × {-𝑋})))) = (𝑁 · (deg‘(Xp ∘f − (ℂ × {-𝑋})))))
45		ftalem.4	. . . . . . 7 ⊢ (𝜑 → 𝑁 ∈ ℕ)
46	33	simp2d 1161	. . . . . . . 8 ⊢ (𝜑 → (deg‘(Xp ∘f − (ℂ × {-𝑋}))) = 1)
47		1nn 12261	. . . . . . . 8 ⊢ 1 ∈ ℕ
48	46, 47	eqeltrdi 2873	. . . . . . 7 ⊢ (𝜑 → (deg‘(Xp ∘f − (ℂ × {-𝑋}))) ∈ ℕ)
49	45, 48	nnmulcld 12306	. . . . . 6 ⊢ (𝜑 → (𝑁 · (deg‘(Xp ∘f − (ℂ × {-𝑋})))) ∈ ℕ)
50	44, 49	eqeltrd 2865	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → (deg‘(𝐹 ∘ (Xp ∘f − (ℂ × {-𝑋})))) ∈ ℕ)
51	41, 50	eqeltrrd 2866	. . . 4 ⊢ (𝜑 → (deg‘(𝑧 ∈ ℂ ↦ (𝐹‘(𝑧 + 𝑋)))) ∈ ℕ)
52		0cn 11215	. . . . . . 7 ⊢ 0 ∈ ℂ
53		fvoveq1 7442	. . . . . . . 8 ⊢ (𝑧 = 0 → (𝐹‘(𝑧 + 𝑋)) = (𝐹‘(0 + 𝑋)))
54		eqid 2765	. . . . . . . 8 ⊢ (𝑧 ∈ ℂ ↦ (𝐹‘(𝑧 + 𝑋))) = (𝑧 ∈ ℂ ↦ (𝐹‘(𝑧 + 𝑋)))
55		fvex 6898	. . . . . . . 8 ⊢ (𝐹‘(0 + 𝑋)) ∈ V
56	53, 54, 55	fvmpt 6993	. . . . . . 7 ⊢ (0 ∈ ℂ → ((𝑧 ∈ ℂ ↦ (𝐹‘(𝑧 + 𝑋)))‘0) = (𝐹‘(0 + 𝑋)))
57	52, 56	ax-mp 5	. . . . . 6 ⊢ ((𝑧 ∈ ℂ ↦ (𝐹‘(𝑧 + 𝑋)))‘0) = (𝐹‘(0 + 𝑋))
58	4	addlidd 11428	. . . . . . 7 ⊢ (𝜑 → (0 + 𝑋) = 𝑋)
59	58	fveq2d 6889	. . . . . 6 ⊢ (𝜑 → (𝐹‘(0 + 𝑋)) = (𝐹‘𝑋))
60	57, 59	eqtrid 2812	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → ((𝑧 ∈ ℂ ↦ (𝐹‘(𝑧 + 𝑋)))‘0) = (𝐹‘𝑋))
61		ftalem7.6	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → (𝐹‘𝑋) ≠ 0)
62	60, 61	eqnetrd 3027	. . . 4 ⊢ (𝜑 → ((𝑧 ∈ ℂ ↦ (𝐹‘(𝑧 + 𝑋)))‘0) ≠ 0)
63	1, 2, 40, 51, 62	ftalem6 27295	. . 3 ⊢ (𝜑 → ∃𝑦 ∈ ℂ (abs‘((𝑧 ∈ ℂ ↦ (𝐹‘(𝑧 + 𝑋)))‘𝑦)) < (abs‘((𝑧 ∈ ℂ ↦ (𝐹‘(𝑧 + 𝑋)))‘0)))
64		id 23	. . . . . 6 ⊢ (𝑦 ∈ ℂ → 𝑦 ∈ ℂ)
65		addcl 11199	. . . . . 6 ⊢ ((𝑦 ∈ ℂ ∧ 𝑋 ∈ ℂ) → (𝑦 + 𝑋) ∈ ℂ)
66	64, 4, 65	syl2anr 609	. . . . 5 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑦 ∈ ℂ) → (𝑦 + 𝑋) ∈ ℂ)
67		fvoveq1 7442	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (𝑧 = 𝑦 → (𝐹‘(𝑧 + 𝑋)) = (𝐹‘(𝑦 + 𝑋)))
68		fvex 6898	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (𝐹‘(𝑦 + 𝑋)) ∈ V
69	67, 54, 68	fvmpt 6993	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝑦 ∈ ℂ → ((𝑧 ∈ ℂ ↦ (𝐹‘(𝑧 + 𝑋)))‘𝑦) = (𝐹‘(𝑦 + 𝑋)))
70	69	adantl 487	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑦 ∈ ℂ) → ((𝑧 ∈ ℂ ↦ (𝐹‘(𝑧 + 𝑋)))‘𝑦) = (𝐹‘(𝑦 + 𝑋)))
71	70	fveq2d 6889	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑦 ∈ ℂ) → (abs‘((𝑧 ∈ ℂ ↦ (𝐹‘(𝑧 + 𝑋)))‘𝑦)) = (abs‘(𝐹‘(𝑦 + 𝑋))))
72	60	adantr 486	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑦 ∈ ℂ) → ((𝑧 ∈ ℂ ↦ (𝐹‘(𝑧 + 𝑋)))‘0) = (𝐹‘𝑋))
73	72	fveq2d 6889	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑦 ∈ ℂ) → (abs‘((𝑧 ∈ ℂ ↦ (𝐹‘(𝑧 + 𝑋)))‘0)) = (abs‘(𝐹‘𝑋)))
74	71, 73	breq12d 5124	. . . . . . 7 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑦 ∈ ℂ) → ((abs‘((𝑧 ∈ ℂ ↦ (𝐹‘(𝑧 + 𝑋)))‘𝑦)) < (abs‘((𝑧 ∈ ℂ ↦ (𝐹‘(𝑧 + 𝑋)))‘0)) ↔ (abs‘(𝐹‘(𝑦 + 𝑋))) < (abs‘(𝐹‘𝑋))))
75	25	adantr 486	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑦 ∈ ℂ) → 𝐹:ℂ⟶ℂ)
76	75, 66	ffvelcdmd 7084	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑦 ∈ ℂ) → (𝐹‘(𝑦 + 𝑋)) ∈ ℂ)
77	76	abscld 15516	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑦 ∈ ℂ) → (abs‘(𝐹‘(𝑦 + 𝑋))) ∈ ℝ)
78	25, 4	ffvelcdmd 7084	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝜑 → (𝐹‘𝑋) ∈ ℂ)
79	78	abscld 15516	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝜑 → (abs‘(𝐹‘𝑋)) ∈ ℝ)
80	79	adantr 486	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑦 ∈ ℂ) → (abs‘(𝐹‘𝑋)) ∈ ℝ)
81	77, 80	ltnled 11374	. . . . . . 7 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑦 ∈ ℂ) → ((abs‘(𝐹‘(𝑦 + 𝑋))) < (abs‘(𝐹‘𝑋)) ↔ ¬ (abs‘(𝐹‘𝑋)) ≤ (abs‘(𝐹‘(𝑦 + 𝑋)))))
82	74, 81	bitrd 282	. . . . . 6 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑦 ∈ ℂ) → ((abs‘((𝑧 ∈ ℂ ↦ (𝐹‘(𝑧 + 𝑋)))‘𝑦)) < (abs‘((𝑧 ∈ ℂ ↦ (𝐹‘(𝑧 + 𝑋)))‘0)) ↔ ¬ (abs‘(𝐹‘𝑋)) ≤ (abs‘(𝐹‘(𝑦 + 𝑋)))))
83	82	biimpd 232	. . . . 5 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑦 ∈ ℂ) → ((abs‘((𝑧 ∈ ℂ ↦ (𝐹‘(𝑧 + 𝑋)))‘𝑦)) < (abs‘((𝑧 ∈ ℂ ↦ (𝐹‘(𝑧 + 𝑋)))‘0)) → ¬ (abs‘(𝐹‘𝑋)) ≤ (abs‘(𝐹‘(𝑦 + 𝑋)))))
84		2fveq3 6890	. . . . . . . 8 ⊢ (𝑥 = (𝑦 + 𝑋) → (abs‘(𝐹‘𝑥)) = (abs‘(𝐹‘(𝑦 + 𝑋))))
85	84	breq2d 5123	. . . . . . 7 ⊢ (𝑥 = (𝑦 + 𝑋) → ((abs‘(𝐹‘𝑋)) ≤ (abs‘(𝐹‘𝑥)) ↔ (abs‘(𝐹‘𝑋)) ≤ (abs‘(𝐹‘(𝑦 + 𝑋)))))
86	85	notbid 321	. . . . . 6 ⊢ (𝑥 = (𝑦 + 𝑋) → (¬ (abs‘(𝐹‘𝑋)) ≤ (abs‘(𝐹‘𝑥)) ↔ ¬ (abs‘(𝐹‘𝑋)) ≤ (abs‘(𝐹‘(𝑦 + 𝑋)))))
87	86	rspcev 3583	. . . . 5 ⊢ (((𝑦 + 𝑋) ∈ ℂ ∧ ¬ (abs‘(𝐹‘𝑋)) ≤ (abs‘(𝐹‘(𝑦 + 𝑋)))) → ∃𝑥 ∈ ℂ ¬ (abs‘(𝐹‘𝑋)) ≤ (abs‘(𝐹‘𝑥)))
88	66, 83, 87	syl6an 697	. . . 4 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑦 ∈ ℂ) → ((abs‘((𝑧 ∈ ℂ ↦ (𝐹‘(𝑧 + 𝑋)))‘𝑦)) < (abs‘((𝑧 ∈ ℂ ↦ (𝐹‘(𝑧 + 𝑋)))‘0)) → ∃𝑥 ∈ ℂ ¬ (abs‘(𝐹‘𝑋)) ≤ (abs‘(𝐹‘𝑥))))
89	88	rexlimdva 3168	. . 3 ⊢ (𝜑 → (∃𝑦 ∈ ℂ (abs‘((𝑧 ∈ ℂ ↦ (𝐹‘(𝑧 + 𝑋)))‘𝑦)) < (abs‘((𝑧 ∈ ℂ ↦ (𝐹‘(𝑧 + 𝑋)))‘0)) → ∃𝑥 ∈ ℂ ¬ (abs‘(𝐹‘𝑋)) ≤ (abs‘(𝐹‘𝑥))))
90	63, 89	mpd 16	. 2 ⊢ (𝜑 → ∃𝑥 ∈ ℂ ¬ (abs‘(𝐹‘𝑋)) ≤ (abs‘(𝐹‘𝑥)))
91		rexnal 3119	. 2 ⊢ (∃𝑥 ∈ ℂ ¬ (abs‘(𝐹‘𝑋)) ≤ (abs‘(𝐹‘𝑥)) ↔ ¬ ∀𝑥 ∈ ℂ (abs‘(𝐹‘𝑋)) ≤ (abs‘(𝐹‘𝑥)))
92	90, 91	sylib 221	1 ⊢ (𝜑 → ¬ ∀𝑥 ∈ ℂ (abs‘(𝐹‘𝑋)) ≤ (abs‘(𝐹‘𝑥)))

This proof depends on syntax axioms:  ¬ wn 3   → wi 4   ∧ wa 401   ∧ w3a 1103   = wceq 1570   ∈ wcel 2146   ≠ wne 2960  ∀wral 3081  ∃wrex 3091  Vcvv 3457  {csn 4591   class class class wbr 5111   ↦ cmpt 5194   I cid 5557   × cxp 5661  ^◡ccnv 5662   ↾ cres 5665   “ cima 5666   ∘ ccom 5667  ⟶wf 6536  ‘cfv 6540  (class class class)co 7419   ∘_f cof 7682  ℂcc 11115  ℝcr 11116  0cc0 11117  1c1 11118   + caddc 11120   · cmul 11122   < clt 11260   ≤ cle 11261   − cmin 11458  -cneg 11459  ℕcn 12250  abscabs 15311  Polycply 26394  X_pcidp 26395  coeffccoe 26396  degcdgr 26397

This proof depends on axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1828  ax-4 1842  ax-5 1943  ax-6 2000  ax-7 2041  ax-8 2148  ax-9 2156  ax-10 2179  ax-11 2195  ax-12 2216  ax-ext 2737  ax-rep 5240  ax-sep 5259  ax-nul 5271  ax-pow 5338  ax-pr 5406  ax-un 7742  ax-inf2 9617  ax-cnex 11173  ax-resscn 11174  ax-1cn 11175  ax-icn 11176  ax-addcl 11177  ax-addrcl 11178  ax-mulcl 11179  ax-mulrcl 11180  ax-mulcom 11181  ax-addass 11182  ax-mulass 11183  ax-distr 11184  ax-i2m1 11185  ax-1ne0 11186  ax-1rid 11187  ax-rnegex 11188  ax-rrecex 11189  ax-cnre 11190  ax-pre-lttri 11191  ax-pre-lttrn 11192  ax-pre-ltadd 11193  ax-pre-mulgt0 11194  ax-pre-sup 11195  ax-addf 11196

This proof depends on definitions:  df-bi 210  df-an 402  df-or 862  df-3or 1104  df-3an 1105  df-tru 1573  df-fal 1583  df-ex 1813  df-nf 1817  df-sb 2100  df-mo 2569  df-eu 2599  df-clab 2744  df-cleq 2757  df-clel 2840  df-nfc 2914  df-ne 2961  df-nel 3067  df-ral 3082  df-rex 3092  df-rmo 3371  df-reu 3372  df-rab 3419  df-v 3459  df-sbc 3747  df-csb 3855  df-dif 3909  df-un 3911  df-in 3913  df-ss 3923  df-pss 3926  df-nul 4287  df-if 4490  df-pw 4566  df-sn 4592  df-pr 4594  df-tp 4596  df-op 4598  df-uni 4875  df-int 4915  df-iun 4960  df-iin 4961  df-br 5112  df-opab 5176  df-mpt 5195  df-tr 5221  df-id 5558  df-eprel 5563  df-po 5571  df-so 5572  df-fr 5616  df-se 5617  df-we 5618  df-xp 5669  df-rel 5670  df-cnv 5671  df-co 5672  df-dm 5673  df-rn 5674  df-res 5675  df-ima 5676  df-pred 6306  df-ord 6367  df-on 6368  df-lim 6369  df-suc 6370  df-iota 6496  df-fun 6542  df-fn 6543  df-f 6544  df-f1 6545  df-fo 6546  df-f1o 6547  df-fv 6548  df-isom 6549  df-riota 7376  df-ov 7422  df-oprab 7423  df-mpo 7424  df-of 7684  df-om 7869  df-1st 7992  df-2nd 7993  df-supp 8163  df-frecs 8284  df-wrecs 8315  df-recs 8364  df-rdg 8403  df-1o 8459  df-2o 8460  df-er 8700  df-map 8832  df-pm 8833  df-ixp 8902  df-en 8950  df-dom 8951  df-sdom 8952  df-fin 8953  df-fsupp 9329  df-fi 9378  df-sup 9409  df-inf 9410  df-oi 9479  df-card 9941  df-pnf 11262  df-mnf 11263  df-xr 11264  df-ltxr 11265  df-le 11266  df-sub 11460  df-neg 11461  df-div 11889  df-nn 12251  df-2 12320  df-3 12321  df-4 12322  df-5 12323  df-6 12324  df-7 12325  df-8 12326  df-9 12327  df-n0 12522  df-z 12609  df-dec 12730  df-uz 12881  df-q 12991  df-rp 13035  df-xneg 13155  df-xadd 13156  df-xmul 13157  df-ioo 13394  df-ioc 13395  df-ico 13396  df-icc 13397  df-fz 13554  df-fzo 13702  df-fl 13845  df-mod 13923  df-seq 14058  df-exp 14118  df-fac 14330  df-bc 14359  df-hash 14387  df-shft 15130  df-cj 15176  df-re 15177  df-im 15178  df-sqrt 15312  df-abs 15313  df-limsup 15548  df-clim 15565  df-rlim 15566  df-sum 15764  df-ef 16145  df-sin 16147  df-cos 16148  df-pi 16150  df-struct 17231  df-sets 17248  df-slot 17266  df-ndx 17278  df-base 17294  df-ress 17315  df-plusg 17347  df-mulr 17348  df-starv 17349  df-sca 17350  df-vsca 17351  df-ip 17352  df-tset 17353  df-ple 17354  df-ds 17356  df-unif 17357  df-hom 17358  df-cco 17359  df-rest 17499  df-topn 17500  df-0g 17518  df-gsum 17519  df-topgen 17520  df-pt 17521  df-prds 17524  df-xrs 17580  df-qtop 17585  df-imas 17586  df-xps 17588  df-mre 17662  df-mrc 17663  df-acs 17665  df-mgm 18722  df-sgrp 18811  df-mnd 18827  df-submnd 18881  df-mulg 19180  df-cntz 19433  df-cmn 19898  df-psmet 21566  df-xmet 21567  df-met 21568  df-bl 21569  df-mopn 21570  df-fbas 21571  df-fg 21572  df-cnfld 21575  df-top 23103  df-topon 23120  df-topsp 23142  df-bases 23155  df-cld 23228  df-ntr 23229  df-cls 23230  df-nei 23307  df-lp 23345  df-perf 23346  df-cn 23436  df-cnp 23437  df-haus 23524  df-tx 23772  df-hmeo 23965  df-fil 24056  df-fm 24148  df-flim 24149  df-flf 24150  df-xms 24530  df-ms 24531  df-tms 24532  df-cncf 25090  df-0p 25882  df-limc 26078  df-dv 26079  df-ply 26398  df-idp 26399  df-coe 26400  df-dgr 26401  df-log 26774  df-cxp 26775

This theorem is used by:  fta  27297