Theorem vieta1lem1 25670

Description: Lemma for vieta1 25672. (Contributed by Mario Carneiro, 28-Jul-2014.)

Hypotheses

Ref	Expression
vieta1.1	⊢ 𝐴 = (coeff‘𝐹)
vieta1.2	⊢ 𝑁 = (deg‘𝐹)
vieta1.3	⊢ 𝑅 = (◡𝐹 “ {0})
vieta1.4	⊢ (𝜑 → 𝐹 ∈ (Poly‘𝑆))
vieta1.5	⊢ (𝜑 → (♯‘𝑅) = 𝑁)
vieta1lem.6	⊢ (𝜑 → 𝐷 ∈ ℕ)
vieta1lem.7	⊢ (𝜑 → (𝐷 + 1) = 𝑁)
vieta1lem.8	⊢ (𝜑 → ∀𝑓 ∈ (Poly‘ℂ)((𝐷 = (deg‘𝑓) ∧ (♯‘(◡𝑓 “ {0})) = (deg‘𝑓)) → Σ𝑥 ∈ (◡𝑓 “ {0})𝑥 = -(((coeff‘𝑓)‘((deg‘𝑓) − 1)) / ((coeff‘𝑓)‘(deg‘𝑓)))))
vieta1lem.9	⊢ 𝑄 = (𝐹 quot (Xp ∘f − (ℂ × {𝑧})))

Assertion

Ref	Expression
vieta1lem1	⊢ ((𝜑 ∧ 𝑧 ∈ 𝑅) → (𝑄 ∈ (Poly‘ℂ) ∧ 𝐷 = (deg‘𝑄)))

Distinct variable groups:   𝐷,𝑓   𝑓,𝐹   𝑧,𝑓,𝑁   𝑥,𝑓,𝑄   𝑅,𝑓   𝑥,𝑧,𝑅   𝐴,𝑓,𝑧   𝜑,𝑥,𝑧

Allowed substitution hints:   𝜑(𝑓)   𝐴(𝑥)   𝐷(𝑥,𝑧)   𝑄(𝑧)   𝑆(𝑥,𝑧,𝑓)   𝐹(𝑥,𝑧)   𝑁(𝑥)

Proof of Theorem vieta1lem1

Step	Hyp	Ref	Expression
1		vieta1lem.9	. . 3 ⊢ 𝑄 = (𝐹 quot (Xp ∘f − (ℂ × {𝑧})))
2		plyssc 25561	. . . . 5 ⊢ (Poly‘𝑆) ⊆ (Poly‘ℂ)
3		vieta1.4	. . . . . 6 ⊢ (𝜑 → 𝐹 ∈ (Poly‘𝑆))
4	3	adantr 481	. . . . 5 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑧 ∈ 𝑅) → 𝐹 ∈ (Poly‘𝑆))
5	2, 4	sselid 3942	. . . 4 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑧 ∈ 𝑅) → 𝐹 ∈ (Poly‘ℂ))
6		vieta1.3	. . . . . . . . 9 ⊢ 𝑅 = (◡𝐹 “ {0})
7		cnvimass 6033	. . . . . . . . 9 ⊢ (◡𝐹 “ {0}) ⊆ dom 𝐹
8	6, 7	eqsstri 3978	. . . . . . . 8 ⊢ 𝑅 ⊆ dom 𝐹
9		plyf 25559	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝐹 ∈ (Poly‘𝑆) → 𝐹:ℂ⟶ℂ)
10	3, 9	syl 17	. . . . . . . 8 ⊢ (𝜑 → 𝐹:ℂ⟶ℂ)
11	8, 10	fssdm 6688	. . . . . . 7 ⊢ (𝜑 → 𝑅 ⊆ ℂ)
12	11	sselda 3944	. . . . . 6 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑧 ∈ 𝑅) → 𝑧 ∈ ℂ)
13		eqid 2736	. . . . . . 7 ⊢ (Xp ∘f − (ℂ × {𝑧})) = (Xp ∘f − (ℂ × {𝑧}))
14	13	plyremlem 25664	. . . . . 6 ⊢ (𝑧 ∈ ℂ → ((Xp ∘f − (ℂ × {𝑧})) ∈ (Poly‘ℂ) ∧ (deg‘(Xp ∘f − (ℂ × {𝑧}))) = 1 ∧ (◡(Xp ∘f − (ℂ × {𝑧})) “ {0}) = {𝑧}))
15	12, 14	syl 17	. . . . 5 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑧 ∈ 𝑅) → ((Xp ∘f − (ℂ × {𝑧})) ∈ (Poly‘ℂ) ∧ (deg‘(Xp ∘f − (ℂ × {𝑧}))) = 1 ∧ (◡(Xp ∘f − (ℂ × {𝑧})) “ {0}) = {𝑧}))
16	15	simp1d 1142	. . . 4 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑧 ∈ 𝑅) → (Xp ∘f − (ℂ × {𝑧})) ∈ (Poly‘ℂ))
17	15	simp2d 1143	. . . . . 6 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑧 ∈ 𝑅) → (deg‘(Xp ∘f − (ℂ × {𝑧}))) = 1)
18		ax-1ne0 11120	. . . . . . 7 ⊢ 1 ≠ 0
19	18	a1i 11	. . . . . 6 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑧 ∈ 𝑅) → 1 ≠ 0)
20	17, 19	eqnetrd 3011	. . . . 5 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑧 ∈ 𝑅) → (deg‘(Xp ∘f − (ℂ × {𝑧}))) ≠ 0)
21		fveq2 6842	. . . . . . 7 ⊢ ((Xp ∘f − (ℂ × {𝑧})) = 0𝑝 → (deg‘(Xp ∘f − (ℂ × {𝑧}))) = (deg‘0𝑝))
22		dgr0 25623	. . . . . . 7 ⊢ (deg‘0𝑝) = 0
23	21, 22	eqtrdi 2792	. . . . . 6 ⊢ ((Xp ∘f − (ℂ × {𝑧})) = 0𝑝 → (deg‘(Xp ∘f − (ℂ × {𝑧}))) = 0)
24	23	necon3i 2976	. . . . 5 ⊢ ((deg‘(Xp ∘f − (ℂ × {𝑧}))) ≠ 0 → (Xp ∘f − (ℂ × {𝑧})) ≠ 0𝑝)
25	20, 24	syl 17	. . . 4 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑧 ∈ 𝑅) → (Xp ∘f − (ℂ × {𝑧})) ≠ 0𝑝)
26		quotcl2 25662	. . . 4 ⊢ ((𝐹 ∈ (Poly‘ℂ) ∧ (Xp ∘f − (ℂ × {𝑧})) ∈ (Poly‘ℂ) ∧ (Xp ∘f − (ℂ × {𝑧})) ≠ 0𝑝) → (𝐹 quot (Xp ∘f − (ℂ × {𝑧}))) ∈ (Poly‘ℂ))
27	5, 16, 25, 26	syl3anc 1371	. . 3 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑧 ∈ 𝑅) → (𝐹 quot (Xp ∘f − (ℂ × {𝑧}))) ∈ (Poly‘ℂ))
28	1, 27	eqeltrid 2842	. 2 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑧 ∈ 𝑅) → 𝑄 ∈ (Poly‘ℂ))
29		1cnd 11150	. . 3 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑧 ∈ 𝑅) → 1 ∈ ℂ)
30		vieta1lem.6	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → 𝐷 ∈ ℕ)
31	30	nncnd 12169	. . . 4 ⊢ (𝜑 → 𝐷 ∈ ℂ)
32	31	adantr 481	. . 3 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑧 ∈ 𝑅) → 𝐷 ∈ ℂ)
33		dgrcl 25594	. . . . 5 ⊢ (𝑄 ∈ (Poly‘ℂ) → (deg‘𝑄) ∈ ℕ0)
34	28, 33	syl 17	. . . 4 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑧 ∈ 𝑅) → (deg‘𝑄) ∈ ℕ0)
35	34	nn0cnd 12475	. . 3 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑧 ∈ 𝑅) → (deg‘𝑄) ∈ ℂ)
36		ax-1cn 11109	. . . . 5 ⊢ 1 ∈ ℂ
37		addcom 11341	. . . . 5 ⊢ ((1 ∈ ℂ ∧ 𝐷 ∈ ℂ) → (1 + 𝐷) = (𝐷 + 1))
38	36, 32, 37	sylancr 587	. . . 4 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑧 ∈ 𝑅) → (1 + 𝐷) = (𝐷 + 1))
39		vieta1lem.7	. . . . . . 7 ⊢ (𝜑 → (𝐷 + 1) = 𝑁)
40		vieta1.2	. . . . . . 7 ⊢ 𝑁 = (deg‘𝐹)
41	39, 40	eqtrdi 2792	. . . . . 6 ⊢ (𝜑 → (𝐷 + 1) = (deg‘𝐹))
42	41	adantr 481	. . . . 5 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑧 ∈ 𝑅) → (𝐷 + 1) = (deg‘𝐹))
43	6	eleq2i 2829	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝑧 ∈ 𝑅 ↔ 𝑧 ∈ (◡𝐹 “ {0}))
44	10	ffnd 6669	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (𝜑 → 𝐹 Fn ℂ)
45		fniniseg 7010	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (𝐹 Fn ℂ → (𝑧 ∈ (◡𝐹 “ {0}) ↔ (𝑧 ∈ ℂ ∧ (𝐹‘𝑧) = 0)))
46	44, 45	syl 17	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝜑 → (𝑧 ∈ (◡𝐹 “ {0}) ↔ (𝑧 ∈ ℂ ∧ (𝐹‘𝑧) = 0)))
47	43, 46	bitrid 282	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝜑 → (𝑧 ∈ 𝑅 ↔ (𝑧 ∈ ℂ ∧ (𝐹‘𝑧) = 0)))
48	47	simplbda 500	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑧 ∈ 𝑅) → (𝐹‘𝑧) = 0)
49	13	facth 25666	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝐹 ∈ (Poly‘𝑆) ∧ 𝑧 ∈ ℂ ∧ (𝐹‘𝑧) = 0) → 𝐹 = ((Xp ∘f − (ℂ × {𝑧})) ∘f · (𝐹 quot (Xp ∘f − (ℂ × {𝑧})))))
50	4, 12, 48, 49	syl3anc 1371	. . . . . . 7 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑧 ∈ 𝑅) → 𝐹 = ((Xp ∘f − (ℂ × {𝑧})) ∘f · (𝐹 quot (Xp ∘f − (ℂ × {𝑧})))))
51	1	oveq2i 7368	. . . . . . 7 ⊢ ((Xp ∘f − (ℂ × {𝑧})) ∘f · 𝑄) = ((Xp ∘f − (ℂ × {𝑧})) ∘f · (𝐹 quot (Xp ∘f − (ℂ × {𝑧}))))
52	50, 51	eqtr4di 2794	. . . . . 6 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑧 ∈ 𝑅) → 𝐹 = ((Xp ∘f − (ℂ × {𝑧})) ∘f · 𝑄))
53	52	fveq2d 6846	. . . . 5 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑧 ∈ 𝑅) → (deg‘𝐹) = (deg‘((Xp ∘f − (ℂ × {𝑧})) ∘f · 𝑄)))
54	30	peano2nnd 12170	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ (𝜑 → (𝐷 + 1) ∈ ℕ)
55	39, 54	eqeltrrd 2839	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ (𝜑 → 𝑁 ∈ ℕ)
56	55	nnne0d 12203	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (𝜑 → 𝑁 ≠ 0)
57	40, 56	eqnetrrid 3019	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (𝜑 → (deg‘𝐹) ≠ 0)
58		fveq2 6842	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ (𝐹 = 0𝑝 → (deg‘𝐹) = (deg‘0𝑝))
59	58, 22	eqtrdi 2792	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (𝐹 = 0𝑝 → (deg‘𝐹) = 0)
60	59	necon3i 2976	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ ((deg‘𝐹) ≠ 0 → 𝐹 ≠ 0𝑝)
61	57, 60	syl 17	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (𝜑 → 𝐹 ≠ 0𝑝)
62	61	adantr 481	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑧 ∈ 𝑅) → 𝐹 ≠ 0𝑝)
63	52, 62	eqnetrrd 3012	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑧 ∈ 𝑅) → ((Xp ∘f − (ℂ × {𝑧})) ∘f · 𝑄) ≠ 0𝑝)
64		plymul0or 25641	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (((Xp ∘f − (ℂ × {𝑧})) ∈ (Poly‘ℂ) ∧ 𝑄 ∈ (Poly‘ℂ)) → (((Xp ∘f − (ℂ × {𝑧})) ∘f · 𝑄) = 0𝑝 ↔ ((Xp ∘f − (ℂ × {𝑧})) = 0𝑝 ∨ 𝑄 = 0𝑝)))
65	16, 28, 64	syl2anc 584	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑧 ∈ 𝑅) → (((Xp ∘f − (ℂ × {𝑧})) ∘f · 𝑄) = 0𝑝 ↔ ((Xp ∘f − (ℂ × {𝑧})) = 0𝑝 ∨ 𝑄 = 0𝑝)))
66	65	necon3abid 2980	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑧 ∈ 𝑅) → (((Xp ∘f − (ℂ × {𝑧})) ∘f · 𝑄) ≠ 0𝑝 ↔ ¬ ((Xp ∘f − (ℂ × {𝑧})) = 0𝑝 ∨ 𝑄 = 0𝑝)))
67	63, 66	mpbid 231	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑧 ∈ 𝑅) → ¬ ((Xp ∘f − (ℂ × {𝑧})) = 0𝑝 ∨ 𝑄 = 0𝑝))
68		neanior 3037	. . . . . . . 8 ⊢ (((Xp ∘f − (ℂ × {𝑧})) ≠ 0𝑝 ∧ 𝑄 ≠ 0𝑝) ↔ ¬ ((Xp ∘f − (ℂ × {𝑧})) = 0𝑝 ∨ 𝑄 = 0𝑝))
69	67, 68	sylibr 233	. . . . . . 7 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑧 ∈ 𝑅) → ((Xp ∘f − (ℂ × {𝑧})) ≠ 0𝑝 ∧ 𝑄 ≠ 0𝑝))
70	69	simprd 496	. . . . . 6 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑧 ∈ 𝑅) → 𝑄 ≠ 0𝑝)
71		eqid 2736	. . . . . . 7 ⊢ (deg‘(Xp ∘f − (ℂ × {𝑧}))) = (deg‘(Xp ∘f − (ℂ × {𝑧})))
72		eqid 2736	. . . . . . 7 ⊢ (deg‘𝑄) = (deg‘𝑄)
73	71, 72	dgrmul 25631	. . . . . 6 ⊢ ((((Xp ∘f − (ℂ × {𝑧})) ∈ (Poly‘ℂ) ∧ (Xp ∘f − (ℂ × {𝑧})) ≠ 0𝑝) ∧ (𝑄 ∈ (Poly‘ℂ) ∧ 𝑄 ≠ 0𝑝)) → (deg‘((Xp ∘f − (ℂ × {𝑧})) ∘f · 𝑄)) = ((deg‘(Xp ∘f − (ℂ × {𝑧}))) + (deg‘𝑄)))
74	16, 25, 28, 70, 73	syl22anc 837	. . . . 5 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑧 ∈ 𝑅) → (deg‘((Xp ∘f − (ℂ × {𝑧})) ∘f · 𝑄)) = ((deg‘(Xp ∘f − (ℂ × {𝑧}))) + (deg‘𝑄)))
75	42, 53, 74	3eqtrd 2780	. . . 4 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑧 ∈ 𝑅) → (𝐷 + 1) = ((deg‘(Xp ∘f − (ℂ × {𝑧}))) + (deg‘𝑄)))
76	17	oveq1d 7372	. . . 4 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑧 ∈ 𝑅) → ((deg‘(Xp ∘f − (ℂ × {𝑧}))) + (deg‘𝑄)) = (1 + (deg‘𝑄)))
77	38, 75, 76	3eqtrd 2780	. . 3 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑧 ∈ 𝑅) → (1 + 𝐷) = (1 + (deg‘𝑄)))
78	29, 32, 35, 77	addcanad 11360	. 2 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑧 ∈ 𝑅) → 𝐷 = (deg‘𝑄))
79	28, 78	jca 512	1 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑧 ∈ 𝑅) → (𝑄 ∈ (Poly‘ℂ) ∧ 𝐷 = (deg‘𝑄)))

Syntax hints:  ¬ wn 3   → wi 4   ↔ wb 205   ∧ wa 396   ∨ wo 845   ∧ w3a 1087   = wceq 1541   ∈ wcel 2106   ≠ wne 2943  ∀wral 3064  {csn 4586   × cxp 5631  ^◡ccnv 5632  dom cdm 5633   “ cima 5636   Fn wfn 6491  ⟶wf 6492  ‘cfv 6496  (class class class)co 7357   ∘_f cof 7615  ℂcc 11049  0cc0 11051  1c1 11052   + caddc 11054   · cmul 11056   − cmin 11385  -cneg 11386   / cdiv 11812  ℕcn 12153  ℕ₀cn0 12413  ♯chash 14230  Σcsu 15570  0_𝑝c0p 25033  Polycply 25545  X_pcidp 25546  coeffccoe 25547  degcdgr 25548   quot cquot 25650

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1797  ax-4 1811  ax-5 1913  ax-6 1971  ax-7 2011  ax-8 2108  ax-9 2116  ax-10 2137  ax-11 2154  ax-12 2171  ax-ext 2707  ax-rep 5242  ax-sep 5256  ax-nul 5263  ax-pow 5320  ax-pr 5384  ax-un 7672  ax-inf2 9577  ax-cnex 11107  ax-resscn 11108  ax-1cn 11109  ax-icn 11110  ax-addcl 11111  ax-addrcl 11112  ax-mulcl 11113  ax-mulrcl 11114  ax-mulcom 11115  ax-addass 11116  ax-mulass 11117  ax-distr 11118  ax-i2m1 11119  ax-1ne0 11120  ax-1rid 11121  ax-rnegex 11122  ax-rrecex 11123  ax-cnre 11124  ax-pre-lttri 11125  ax-pre-lttrn 11126  ax-pre-ltadd 11127  ax-pre-mulgt0 11128  ax-pre-sup 11129

This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 397  df-or 846  df-3or 1088  df-3an 1089  df-tru 1544  df-fal 1554  df-ex 1782  df-nf 1786  df-sb 2068  df-mo 2538  df-eu 2567  df-clab 2714  df-cleq 2728  df-clel 2814  df-nfc 2889  df-ne 2944  df-nel 3050  df-ral 3065  df-rex 3074  df-rmo 3353  df-reu 3354  df-rab 3408  df-v 3447  df-sbc 3740  df-csb 3856  df-dif 3913  df-un 3915  df-in 3917  df-ss 3927  df-pss 3929  df-nul 4283  df-if 4487  df-pw 4562  df-sn 4587  df-pr 4589  df-op 4593  df-uni 4866  df-int 4908  df-iun 4956  df-br 5106  df-opab 5168  df-mpt 5189  df-tr 5223  df-id 5531  df-eprel 5537  df-po 5545  df-so 5546  df-fr 5588  df-se 5589  df-we 5590  df-xp 5639  df-rel 5640  df-cnv 5641  df-co 5642  df-dm 5643  df-rn 5644  df-res 5645  df-ima 5646  df-pred 6253  df-ord 6320  df-on 6321  df-lim 6322  df-suc 6323  df-iota 6448  df-fun 6498  df-fn 6499  df-f 6500  df-f1 6501  df-fo 6502  df-f1o 6503  df-fv 6504  df-isom 6505  df-riota 7313  df-ov 7360  df-oprab 7361  df-mpo 7362  df-of 7617  df-om 7803  df-1st 7921  df-2nd 7922  df-frecs 8212  df-wrecs 8243  df-recs 8317  df-rdg 8356  df-1o 8412  df-er 8648  df-map 8767  df-pm 8768  df-en 8884  df-dom 8885  df-sdom 8886  df-fin 8887  df-sup 9378  df-inf 9379  df-oi 9446  df-card 9875  df-pnf 11191  df-mnf 11192  df-xr 11193  df-ltxr 11194  df-le 11195  df-sub 11387  df-neg 11388  df-div 11813  df-nn 12154  df-2 12216  df-3 12217  df-n0 12414  df-z 12500  df-uz 12764  df-rp 12916  df-fz 13425  df-fzo 13568  df-fl 13697  df-seq 13907  df-exp 13968  df-hash 14231  df-cj 14984  df-re 14985  df-im 14986  df-sqrt 15120  df-abs 15121  df-clim 15370  df-rlim 15371  df-sum 15571  df-0p 25034  df-ply 25549  df-idp 25550  df-coe 25551  df-dgr 25552  df-quot 25651

This theorem is referenced by:  vieta1lem2  25671