Theorem vieta1lem1 26225

Description: Lemma for vieta1 26227. (Contributed by Mario Carneiro, 28-Jul-2014.)

Hypotheses

Ref	Expression
vieta1.1	⊢ 𝐴 = (coeff‘𝐹)
vieta1.2	⊢ 𝑁 = (deg‘𝐹)
vieta1.3	⊢ 𝑅 = (◡𝐹 “ {0})
vieta1.4	⊢ (𝜑 → 𝐹 ∈ (Poly‘𝑆))
vieta1.5	⊢ (𝜑 → (♯‘𝑅) = 𝑁)
vieta1lem.6	⊢ (𝜑 → 𝐷 ∈ ℕ)
vieta1lem.7	⊢ (𝜑 → (𝐷 + 1) = 𝑁)
vieta1lem.8	⊢ (𝜑 → ∀𝑓 ∈ (Poly‘ℂ)((𝐷 = (deg‘𝑓) ∧ (♯‘(◡𝑓 “ {0})) = (deg‘𝑓)) → Σ𝑥 ∈ (◡𝑓 “ {0})𝑥 = -(((coeff‘𝑓)‘((deg‘𝑓) − 1)) / ((coeff‘𝑓)‘(deg‘𝑓)))))
vieta1lem.9	⊢ 𝑄 = (𝐹 quot (Xp ∘f − (ℂ × {𝑧})))

Assertion

Ref	Expression
vieta1lem1	⊢ ((𝜑 ∧ 𝑧 ∈ 𝑅) → (𝑄 ∈ (Poly‘ℂ) ∧ 𝐷 = (deg‘𝑄)))

Distinct variable groups:   𝐷,𝑓   𝑓,𝐹   𝑧,𝑓,𝑁   𝑥,𝑓,𝑄   𝑅,𝑓   𝑥,𝑧,𝑅   𝐴,𝑓,𝑧   𝜑,𝑥,𝑧

Allowed substitution hints:   𝜑(𝑓)   𝐴(𝑥)   𝐷(𝑥,𝑧)   𝑄(𝑧)   𝑆(𝑥,𝑧,𝑓)   𝐹(𝑥,𝑧)   𝑁(𝑥)

Proof of Theorem vieta1lem1

Step	Hyp	Ref	Expression
1		vieta1lem.9	. . 3 ⊢ 𝑄 = (𝐹 quot (Xp ∘f − (ℂ × {𝑧})))
2		plyssc 26112	. . . . 5 ⊢ (Poly‘𝑆) ⊆ (Poly‘ℂ)
3		vieta1.4	. . . . . 6 ⊢ (𝜑 → 𝐹 ∈ (Poly‘𝑆))
4	3	adantr 480	. . . . 5 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑧 ∈ 𝑅) → 𝐹 ∈ (Poly‘𝑆))
5	2, 4	sselid 3947	. . . 4 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑧 ∈ 𝑅) → 𝐹 ∈ (Poly‘ℂ))
6		vieta1.3	. . . . . . . . 9 ⊢ 𝑅 = (◡𝐹 “ {0})
7		cnvimass 6056	. . . . . . . . 9 ⊢ (◡𝐹 “ {0}) ⊆ dom 𝐹
8	6, 7	eqsstri 3996	. . . . . . . 8 ⊢ 𝑅 ⊆ dom 𝐹
9		plyf 26110	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝐹 ∈ (Poly‘𝑆) → 𝐹:ℂ⟶ℂ)
10	3, 9	syl 17	. . . . . . . 8 ⊢ (𝜑 → 𝐹:ℂ⟶ℂ)
11	8, 10	fssdm 6710	. . . . . . 7 ⊢ (𝜑 → 𝑅 ⊆ ℂ)
12	11	sselda 3949	. . . . . 6 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑧 ∈ 𝑅) → 𝑧 ∈ ℂ)
13		eqid 2730	. . . . . . 7 ⊢ (Xp ∘f − (ℂ × {𝑧})) = (Xp ∘f − (ℂ × {𝑧}))
14	13	plyremlem 26219	. . . . . 6 ⊢ (𝑧 ∈ ℂ → ((Xp ∘f − (ℂ × {𝑧})) ∈ (Poly‘ℂ) ∧ (deg‘(Xp ∘f − (ℂ × {𝑧}))) = 1 ∧ (◡(Xp ∘f − (ℂ × {𝑧})) “ {0}) = {𝑧}))
15	12, 14	syl 17	. . . . 5 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑧 ∈ 𝑅) → ((Xp ∘f − (ℂ × {𝑧})) ∈ (Poly‘ℂ) ∧ (deg‘(Xp ∘f − (ℂ × {𝑧}))) = 1 ∧ (◡(Xp ∘f − (ℂ × {𝑧})) “ {0}) = {𝑧}))
16	15	simp1d 1142	. . . 4 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑧 ∈ 𝑅) → (Xp ∘f − (ℂ × {𝑧})) ∈ (Poly‘ℂ))
17	15	simp2d 1143	. . . . . 6 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑧 ∈ 𝑅) → (deg‘(Xp ∘f − (ℂ × {𝑧}))) = 1)
18		ax-1ne0 11144	. . . . . . 7 ⊢ 1 ≠ 0
19	18	a1i 11	. . . . . 6 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑧 ∈ 𝑅) → 1 ≠ 0)
20	17, 19	eqnetrd 2993	. . . . 5 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑧 ∈ 𝑅) → (deg‘(Xp ∘f − (ℂ × {𝑧}))) ≠ 0)
21		fveq2 6861	. . . . . . 7 ⊢ ((Xp ∘f − (ℂ × {𝑧})) = 0𝑝 → (deg‘(Xp ∘f − (ℂ × {𝑧}))) = (deg‘0𝑝))
22		dgr0 26175	. . . . . . 7 ⊢ (deg‘0𝑝) = 0
23	21, 22	eqtrdi 2781	. . . . . 6 ⊢ ((Xp ∘f − (ℂ × {𝑧})) = 0𝑝 → (deg‘(Xp ∘f − (ℂ × {𝑧}))) = 0)
24	23	necon3i 2958	. . . . 5 ⊢ ((deg‘(Xp ∘f − (ℂ × {𝑧}))) ≠ 0 → (Xp ∘f − (ℂ × {𝑧})) ≠ 0𝑝)
25	20, 24	syl 17	. . . 4 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑧 ∈ 𝑅) → (Xp ∘f − (ℂ × {𝑧})) ≠ 0𝑝)
26		quotcl2 26217	. . . 4 ⊢ ((𝐹 ∈ (Poly‘ℂ) ∧ (Xp ∘f − (ℂ × {𝑧})) ∈ (Poly‘ℂ) ∧ (Xp ∘f − (ℂ × {𝑧})) ≠ 0𝑝) → (𝐹 quot (Xp ∘f − (ℂ × {𝑧}))) ∈ (Poly‘ℂ))
27	5, 16, 25, 26	syl3anc 1373	. . 3 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑧 ∈ 𝑅) → (𝐹 quot (Xp ∘f − (ℂ × {𝑧}))) ∈ (Poly‘ℂ))
28	1, 27	eqeltrid 2833	. 2 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑧 ∈ 𝑅) → 𝑄 ∈ (Poly‘ℂ))
29		1cnd 11176	. . 3 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑧 ∈ 𝑅) → 1 ∈ ℂ)
30		vieta1lem.6	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → 𝐷 ∈ ℕ)
31	30	nncnd 12209	. . . 4 ⊢ (𝜑 → 𝐷 ∈ ℂ)
32	31	adantr 480	. . 3 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑧 ∈ 𝑅) → 𝐷 ∈ ℂ)
33		dgrcl 26145	. . . . 5 ⊢ (𝑄 ∈ (Poly‘ℂ) → (deg‘𝑄) ∈ ℕ0)
34	28, 33	syl 17	. . . 4 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑧 ∈ 𝑅) → (deg‘𝑄) ∈ ℕ0)
35	34	nn0cnd 12512	. . 3 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑧 ∈ 𝑅) → (deg‘𝑄) ∈ ℂ)
36		ax-1cn 11133	. . . . 5 ⊢ 1 ∈ ℂ
37		addcom 11367	. . . . 5 ⊢ ((1 ∈ ℂ ∧ 𝐷 ∈ ℂ) → (1 + 𝐷) = (𝐷 + 1))
38	36, 32, 37	sylancr 587	. . . 4 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑧 ∈ 𝑅) → (1 + 𝐷) = (𝐷 + 1))
39		vieta1lem.7	. . . . . . 7 ⊢ (𝜑 → (𝐷 + 1) = 𝑁)
40		vieta1.2	. . . . . . 7 ⊢ 𝑁 = (deg‘𝐹)
41	39, 40	eqtrdi 2781	. . . . . 6 ⊢ (𝜑 → (𝐷 + 1) = (deg‘𝐹))
42	41	adantr 480	. . . . 5 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑧 ∈ 𝑅) → (𝐷 + 1) = (deg‘𝐹))
43	6	eleq2i 2821	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝑧 ∈ 𝑅 ↔ 𝑧 ∈ (◡𝐹 “ {0}))
44	10	ffnd 6692	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (𝜑 → 𝐹 Fn ℂ)
45		fniniseg 7035	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (𝐹 Fn ℂ → (𝑧 ∈ (◡𝐹 “ {0}) ↔ (𝑧 ∈ ℂ ∧ (𝐹‘𝑧) = 0)))
46	44, 45	syl 17	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝜑 → (𝑧 ∈ (◡𝐹 “ {0}) ↔ (𝑧 ∈ ℂ ∧ (𝐹‘𝑧) = 0)))
47	43, 46	bitrid 283	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝜑 → (𝑧 ∈ 𝑅 ↔ (𝑧 ∈ ℂ ∧ (𝐹‘𝑧) = 0)))
48	47	simplbda 499	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑧 ∈ 𝑅) → (𝐹‘𝑧) = 0)
49	13	facth 26221	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝐹 ∈ (Poly‘𝑆) ∧ 𝑧 ∈ ℂ ∧ (𝐹‘𝑧) = 0) → 𝐹 = ((Xp ∘f − (ℂ × {𝑧})) ∘f · (𝐹 quot (Xp ∘f − (ℂ × {𝑧})))))
50	4, 12, 48, 49	syl3anc 1373	. . . . . . 7 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑧 ∈ 𝑅) → 𝐹 = ((Xp ∘f − (ℂ × {𝑧})) ∘f · (𝐹 quot (Xp ∘f − (ℂ × {𝑧})))))
51	1	oveq2i 7401	. . . . . . 7 ⊢ ((Xp ∘f − (ℂ × {𝑧})) ∘f · 𝑄) = ((Xp ∘f − (ℂ × {𝑧})) ∘f · (𝐹 quot (Xp ∘f − (ℂ × {𝑧}))))
52	50, 51	eqtr4di 2783	. . . . . 6 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑧 ∈ 𝑅) → 𝐹 = ((Xp ∘f − (ℂ × {𝑧})) ∘f · 𝑄))
53	52	fveq2d 6865	. . . . 5 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑧 ∈ 𝑅) → (deg‘𝐹) = (deg‘((Xp ∘f − (ℂ × {𝑧})) ∘f · 𝑄)))
54	30	peano2nnd 12210	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ (𝜑 → (𝐷 + 1) ∈ ℕ)
55	39, 54	eqeltrrd 2830	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ (𝜑 → 𝑁 ∈ ℕ)
56	55	nnne0d 12243	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (𝜑 → 𝑁 ≠ 0)
57	40, 56	eqnetrrid 3001	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (𝜑 → (deg‘𝐹) ≠ 0)
58		fveq2 6861	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ (𝐹 = 0𝑝 → (deg‘𝐹) = (deg‘0𝑝))
59	58, 22	eqtrdi 2781	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (𝐹 = 0𝑝 → (deg‘𝐹) = 0)
60	59	necon3i 2958	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ ((deg‘𝐹) ≠ 0 → 𝐹 ≠ 0𝑝)
61	57, 60	syl 17	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (𝜑 → 𝐹 ≠ 0𝑝)
62	61	adantr 480	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑧 ∈ 𝑅) → 𝐹 ≠ 0𝑝)
63	52, 62	eqnetrrd 2994	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑧 ∈ 𝑅) → ((Xp ∘f − (ℂ × {𝑧})) ∘f · 𝑄) ≠ 0𝑝)
64		plymul0or 26195	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (((Xp ∘f − (ℂ × {𝑧})) ∈ (Poly‘ℂ) ∧ 𝑄 ∈ (Poly‘ℂ)) → (((Xp ∘f − (ℂ × {𝑧})) ∘f · 𝑄) = 0𝑝 ↔ ((Xp ∘f − (ℂ × {𝑧})) = 0𝑝 ∨ 𝑄 = 0𝑝)))
65	16, 28, 64	syl2anc 584	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑧 ∈ 𝑅) → (((Xp ∘f − (ℂ × {𝑧})) ∘f · 𝑄) = 0𝑝 ↔ ((Xp ∘f − (ℂ × {𝑧})) = 0𝑝 ∨ 𝑄 = 0𝑝)))
66	65	necon3abid 2962	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑧 ∈ 𝑅) → (((Xp ∘f − (ℂ × {𝑧})) ∘f · 𝑄) ≠ 0𝑝 ↔ ¬ ((Xp ∘f − (ℂ × {𝑧})) = 0𝑝 ∨ 𝑄 = 0𝑝)))
67	63, 66	mpbid 232	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑧 ∈ 𝑅) → ¬ ((Xp ∘f − (ℂ × {𝑧})) = 0𝑝 ∨ 𝑄 = 0𝑝))
68		neanior 3019	. . . . . . . 8 ⊢ (((Xp ∘f − (ℂ × {𝑧})) ≠ 0𝑝 ∧ 𝑄 ≠ 0𝑝) ↔ ¬ ((Xp ∘f − (ℂ × {𝑧})) = 0𝑝 ∨ 𝑄 = 0𝑝))
69	67, 68	sylibr 234	. . . . . . 7 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑧 ∈ 𝑅) → ((Xp ∘f − (ℂ × {𝑧})) ≠ 0𝑝 ∧ 𝑄 ≠ 0𝑝))
70	69	simprd 495	. . . . . 6 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑧 ∈ 𝑅) → 𝑄 ≠ 0𝑝)
71		eqid 2730	. . . . . . 7 ⊢ (deg‘(Xp ∘f − (ℂ × {𝑧}))) = (deg‘(Xp ∘f − (ℂ × {𝑧})))
72		eqid 2730	. . . . . . 7 ⊢ (deg‘𝑄) = (deg‘𝑄)
73	71, 72	dgrmul 26183	. . . . . 6 ⊢ ((((Xp ∘f − (ℂ × {𝑧})) ∈ (Poly‘ℂ) ∧ (Xp ∘f − (ℂ × {𝑧})) ≠ 0𝑝) ∧ (𝑄 ∈ (Poly‘ℂ) ∧ 𝑄 ≠ 0𝑝)) → (deg‘((Xp ∘f − (ℂ × {𝑧})) ∘f · 𝑄)) = ((deg‘(Xp ∘f − (ℂ × {𝑧}))) + (deg‘𝑄)))
74	16, 25, 28, 70, 73	syl22anc 838	. . . . 5 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑧 ∈ 𝑅) → (deg‘((Xp ∘f − (ℂ × {𝑧})) ∘f · 𝑄)) = ((deg‘(Xp ∘f − (ℂ × {𝑧}))) + (deg‘𝑄)))
75	42, 53, 74	3eqtrd 2769	. . . 4 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑧 ∈ 𝑅) → (𝐷 + 1) = ((deg‘(Xp ∘f − (ℂ × {𝑧}))) + (deg‘𝑄)))
76	17	oveq1d 7405	. . . 4 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑧 ∈ 𝑅) → ((deg‘(Xp ∘f − (ℂ × {𝑧}))) + (deg‘𝑄)) = (1 + (deg‘𝑄)))
77	38, 75, 76	3eqtrd 2769	. . 3 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑧 ∈ 𝑅) → (1 + 𝐷) = (1 + (deg‘𝑄)))
78	29, 32, 35, 77	addcanad 11386	. 2 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑧 ∈ 𝑅) → 𝐷 = (deg‘𝑄))
79	28, 78	jca 511	1 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑧 ∈ 𝑅) → (𝑄 ∈ (Poly‘ℂ) ∧ 𝐷 = (deg‘𝑄)))

Syntax hints:  ¬ wn 3   → wi 4   ↔ wb 206   ∧ wa 395   ∨ wo 847   ∧ w3a 1086   = wceq 1540   ∈ wcel 2109   ≠ wne 2926  ∀wral 3045  {csn 4592   × cxp 5639  ^◡ccnv 5640  dom cdm 5641   “ cima 5644   Fn wfn 6509  ⟶wf 6510  ‘cfv 6514  (class class class)co 7390   ∘_f cof 7654  ℂcc 11073  0cc0 11075  1c1 11076   + caddc 11078   · cmul 11080   − cmin 11412  -cneg 11413   / cdiv 11842  ℕcn 12193  ℕ₀cn0 12449  ♯chash 14302  Σcsu 15659  0_𝑝c0p 25577  Polycply 26096  X_pcidp 26097  coeffccoe 26098  degcdgr 26099   quot cquot 26205

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1795  ax-4 1809  ax-5 1910  ax-6 1967  ax-7 2008  ax-8 2111  ax-9 2119  ax-10 2142  ax-11 2158  ax-12 2178  ax-ext 2702  ax-rep 5237  ax-sep 5254  ax-nul 5264  ax-pow 5323  ax-pr 5390  ax-un 7714  ax-inf2 9601  ax-cnex 11131  ax-resscn 11132  ax-1cn 11133  ax-icn 11134  ax-addcl 11135  ax-addrcl 11136  ax-mulcl 11137  ax-mulrcl 11138  ax-mulcom 11139  ax-addass 11140  ax-mulass 11141  ax-distr 11142  ax-i2m1 11143  ax-1ne0 11144  ax-1rid 11145  ax-rnegex 11146  ax-rrecex 11147  ax-cnre 11148  ax-pre-lttri 11149  ax-pre-lttrn 11150  ax-pre-ltadd 11151  ax-pre-mulgt0 11152  ax-pre-sup 11153

This theorem depends on definitions:  df-bi 207  df-an 396  df-or 848  df-3or 1087  df-3an 1088  df-tru 1543  df-fal 1553  df-ex 1780  df-nf 1784  df-sb 2066  df-mo 2534  df-eu 2563  df-clab 2709  df-cleq 2722  df-clel 2804  df-nfc 2879  df-ne 2927  df-nel 3031  df-ral 3046  df-rex 3055  df-rmo 3356  df-reu 3357  df-rab 3409  df-v 3452  df-sbc 3757  df-csb 3866  df-dif 3920  df-un 3922  df-in 3924  df-ss 3934  df-pss 3937  df-nul 4300  df-if 4492  df-pw 4568  df-sn 4593  df-pr 4595  df-op 4599  df-uni 4875  df-int 4914  df-iun 4960  df-br 5111  df-opab 5173  df-mpt 5192  df-tr 5218  df-id 5536  df-eprel 5541  df-po 5549  df-so 5550  df-fr 5594  df-se 5595  df-we 5596  df-xp 5647  df-rel 5648  df-cnv 5649  df-co 5650  df-dm 5651  df-rn 5652  df-res 5653  df-ima 5654  df-pred 6277  df-ord 6338  df-on 6339  df-lim 6340  df-suc 6341  df-iota 6467  df-fun 6516  df-fn 6517  df-f 6518  df-f1 6519  df-fo 6520  df-f1o 6521  df-fv 6522  df-isom 6523  df-riota 7347  df-ov 7393  df-oprab 7394  df-mpo 7395  df-of 7656  df-om 7846  df-1st 7971  df-2nd 7972  df-frecs 8263  df-wrecs 8294  df-recs 8343  df-rdg 8381  df-1o 8437  df-er 8674  df-map 8804  df-pm 8805  df-en 8922  df-dom 8923  df-sdom 8924  df-fin 8925  df-sup 9400  df-inf 9401  df-oi 9470  df-card 9899  df-pnf 11217  df-mnf 11218  df-xr 11219  df-ltxr 11220  df-le 11221  df-sub 11414  df-neg 11415  df-div 11843  df-nn 12194  df-2 12256  df-3 12257  df-n0 12450  df-z 12537  df-uz 12801  df-rp 12959  df-fz 13476  df-fzo 13623  df-fl 13761  df-seq 13974  df-exp 14034  df-hash 14303  df-cj 15072  df-re 15073  df-im 15074  df-sqrt 15208  df-abs 15209  df-clim 15461  df-rlim 15462  df-sum 15660  df-0p 25578  df-ply 26100  df-idp 26101  df-coe 26102  df-dgr 26103  df-quot 26206

This theorem is referenced by:  vieta1lem2  26226