MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  vieta1lem1 Structured version   Visualization version   GIF version
Theorem vieta1lem1 25814
Description: Lemma for vieta1 25816. (Contributed by Mario Carneiro, 28-Jul-2014.)
Hypotheses
Ref Expression
vieta1.1 𝐴 = (coeffβ€˜πΉ)
vieta1.2 𝑁 = (degβ€˜πΉ)
vieta1.3 𝑅 = (◑𝐹 β€œ {0})
vieta1.4 (πœ‘ β†’ 𝐹 ∈ (Polyβ€˜π‘†))
vieta1.5 (πœ‘ β†’ (β™―β€˜π‘…) = 𝑁)
vieta1lem.6 (πœ‘ β†’ 𝐷 ∈ β„•)
vieta1lem.7 (πœ‘ β†’ (𝐷 + 1) = 𝑁)
vieta1lem.8 (πœ‘ β†’ βˆ€π‘“ ∈ (Polyβ€˜β„‚)((𝐷 = (degβ€˜π‘“) ∧ (β™―β€˜(◑𝑓 β€œ {0})) = (degβ€˜π‘“)) β†’ Ξ£π‘₯ ∈ (◑𝑓 β€œ {0})π‘₯ = -(((coeffβ€˜π‘“)β€˜((degβ€˜π‘“) βˆ’ 1)) / ((coeffβ€˜π‘“)β€˜(degβ€˜π‘“)))))
vieta1lem.9 𝑄 = (𝐹 quot (Xp ∘f βˆ’ (β„‚ Γ— {𝑧})))
Assertion
Ref Expression
vieta1lem1 ((πœ‘ ∧ 𝑧 ∈ 𝑅) β†’ (𝑄 ∈ (Polyβ€˜β„‚) ∧ 𝐷 = (degβ€˜π‘„)))
Distinct variable groups:   𝐷,𝑓   𝑓,𝐹   𝑧,𝑓,𝑁   π‘₯,𝑓,𝑄   𝑅,𝑓   π‘₯,𝑧,𝑅   𝐴,𝑓,𝑧   πœ‘,π‘₯,𝑧
Allowed substitution hints:   πœ‘(𝑓)   𝐴(π‘₯)   𝐷(π‘₯,𝑧)   𝑄(𝑧)   𝑆(π‘₯,𝑧,𝑓)   𝐹(π‘₯,𝑧)   𝑁(π‘₯)
Proof of Theorem vieta1lem1
StepHypRef Expression
1 vieta1lem.9 . . 3 𝑄 = (𝐹 quot (Xp ∘f βˆ’ (β„‚ Γ— {𝑧})))
2 plyssc 25705 . . . . 5 (Polyβ€˜π‘†) βŠ† (Polyβ€˜β„‚)
3 vieta1.4 . . . . . 6 (πœ‘ β†’ 𝐹 ∈ (Polyβ€˜π‘†))
43adantr 481 . . . . 5 ((πœ‘ ∧ 𝑧 ∈ 𝑅) β†’ 𝐹 ∈ (Polyβ€˜π‘†))
52, 4sselid 3979 . . . 4 ((πœ‘ ∧ 𝑧 ∈ 𝑅) β†’ 𝐹 ∈ (Polyβ€˜β„‚))
6 vieta1.3 . . . . . . . . 9 𝑅 = (◑𝐹 β€œ {0})
7 cnvimass 6077 . . . . . . . . 9 (◑𝐹 β€œ {0}) βŠ† dom 𝐹
86, 7eqsstri 4015 . . . . . . . 8 𝑅 βŠ† dom 𝐹
9 plyf 25703 . . . . . . . . 9 (𝐹 ∈ (Polyβ€˜π‘†) β†’ 𝐹:β„‚βŸΆβ„‚)
103, 9syl 17 . . . . . . . 8 (πœ‘ β†’ 𝐹:β„‚βŸΆβ„‚)
118, 10fssdm 6734 . . . . . . 7 (πœ‘ β†’ 𝑅 βŠ† β„‚)
1211sselda 3981 . . . . . 6 ((πœ‘ ∧ 𝑧 ∈ 𝑅) β†’ 𝑧 ∈ β„‚)
13 eqid 2732 . . . . . . 7 (Xp ∘f βˆ’ (β„‚ Γ— {𝑧})) = (Xp ∘f βˆ’ (β„‚ Γ— {𝑧}))
1413plyremlem 25808 . . . . . 6 (𝑧 ∈ β„‚ β†’ ((Xp ∘f βˆ’ (β„‚ Γ— {𝑧})) ∈ (Polyβ€˜β„‚) ∧ (degβ€˜(Xp ∘f βˆ’ (β„‚ Γ— {𝑧}))) = 1 ∧ (β—‘(Xp ∘f βˆ’ (β„‚ Γ— {𝑧})) β€œ {0}) = {𝑧}))
1512, 14syl 17 . . . . 5 ((πœ‘ ∧ 𝑧 ∈ 𝑅) β†’ ((Xp ∘f βˆ’ (β„‚ Γ— {𝑧})) ∈ (Polyβ€˜β„‚) ∧ (degβ€˜(Xp ∘f βˆ’ (β„‚ Γ— {𝑧}))) = 1 ∧ (β—‘(Xp ∘f βˆ’ (β„‚ Γ— {𝑧})) β€œ {0}) = {𝑧}))
1615simp1d 1142 . . . 4 ((πœ‘ ∧ 𝑧 ∈ 𝑅) β†’ (Xp ∘f βˆ’ (β„‚ Γ— {𝑧})) ∈ (Polyβ€˜β„‚))
1715simp2d 1143 . . . . . 6 ((πœ‘ ∧ 𝑧 ∈ 𝑅) β†’ (degβ€˜(Xp ∘f βˆ’ (β„‚ Γ— {𝑧}))) = 1)
18 ax-1ne0 11175 . . . . . . 7 1 β‰  0
1918a1i 11 . . . . . 6 ((πœ‘ ∧ 𝑧 ∈ 𝑅) β†’ 1 β‰  0)
2017, 19eqnetrd 3008 . . . . 5 ((πœ‘ ∧ 𝑧 ∈ 𝑅) β†’ (degβ€˜(Xp ∘f βˆ’ (β„‚ Γ— {𝑧}))) β‰  0)
21 fveq2 6888 . . . . . . 7 ((Xp ∘f βˆ’ (β„‚ Γ— {𝑧})) = 0𝑝 β†’ (degβ€˜(Xp ∘f βˆ’ (β„‚ Γ— {𝑧}))) = (degβ€˜0𝑝))
22 dgr0 25767 . . . . . . 7 (degβ€˜0𝑝) = 0
2321, 22eqtrdi 2788 . . . . . 6 ((Xp ∘f βˆ’ (β„‚ Γ— {𝑧})) = 0𝑝 β†’ (degβ€˜(Xp ∘f βˆ’ (β„‚ Γ— {𝑧}))) = 0)
2423necon3i 2973 . . . . 5 ((degβ€˜(Xp ∘f βˆ’ (β„‚ Γ— {𝑧}))) β‰  0 β†’ (Xp ∘f βˆ’ (β„‚ Γ— {𝑧})) β‰  0𝑝)
2520, 24syl 17 . . . 4 ((πœ‘ ∧ 𝑧 ∈ 𝑅) β†’ (Xp ∘f βˆ’ (β„‚ Γ— {𝑧})) β‰  0𝑝)
26 quotcl2 25806 . . . 4 ((𝐹 ∈ (Polyβ€˜β„‚) ∧ (Xp ∘f βˆ’ (β„‚ Γ— {𝑧})) ∈ (Polyβ€˜β„‚) ∧ (Xp ∘f βˆ’ (β„‚ Γ— {𝑧})) β‰  0𝑝) β†’ (𝐹 quot (Xp ∘f βˆ’ (β„‚ Γ— {𝑧}))) ∈ (Polyβ€˜β„‚))
275, 16, 25, 26syl3anc 1371 . . 3 ((πœ‘ ∧ 𝑧 ∈ 𝑅) β†’ (𝐹 quot (Xp ∘f βˆ’ (β„‚ Γ— {𝑧}))) ∈ (Polyβ€˜β„‚))
281, 27eqeltrid 2837 . 2 ((πœ‘ ∧ 𝑧 ∈ 𝑅) β†’ 𝑄 ∈ (Polyβ€˜β„‚))
29 1cnd 11205 . . 3 ((πœ‘ ∧ 𝑧 ∈ 𝑅) β†’ 1 ∈ β„‚)
30 vieta1lem.6 . . . . 5 (πœ‘ β†’ 𝐷 ∈ β„•)
3130nncnd 12224 . . . 4 (πœ‘ β†’ 𝐷 ∈ β„‚)
3231adantr 481 . . 3 ((πœ‘ ∧ 𝑧 ∈ 𝑅) β†’ 𝐷 ∈ β„‚)
33 dgrcl 25738 . . . . 5 (𝑄 ∈ (Polyβ€˜β„‚) β†’ (degβ€˜π‘„) ∈ β„•0)
3428, 33syl 17 . . . 4 ((πœ‘ ∧ 𝑧 ∈ 𝑅) β†’ (degβ€˜π‘„) ∈ β„•0)
3534nn0cnd 12530 . . 3 ((πœ‘ ∧ 𝑧 ∈ 𝑅) β†’ (degβ€˜π‘„) ∈ β„‚)
36 ax-1cn 11164 . . . . 5 1 ∈ β„‚
37 addcom 11396 . . . . 5 ((1 ∈ β„‚ ∧ 𝐷 ∈ β„‚) β†’ (1 + 𝐷) = (𝐷 + 1))
3836, 32, 37sylancr 587 . . . 4 ((πœ‘ ∧ 𝑧 ∈ 𝑅) β†’ (1 + 𝐷) = (𝐷 + 1))
39 vieta1lem.7 . . . . . . 7 (πœ‘ β†’ (𝐷 + 1) = 𝑁)
40 vieta1.2 . . . . . . 7 𝑁 = (degβ€˜πΉ)
4139, 40eqtrdi 2788 . . . . . 6 (πœ‘ β†’ (𝐷 + 1) = (degβ€˜πΉ))
4241adantr 481 . . . . 5 ((πœ‘ ∧ 𝑧 ∈ 𝑅) β†’ (𝐷 + 1) = (degβ€˜πΉ))
436eleq2i 2825 . . . . . . . . . 10 (𝑧 ∈ 𝑅 ↔ 𝑧 ∈ (◑𝐹 β€œ {0}))
4410ffnd 6715 . . . . . . . . . . 11 (πœ‘ β†’ 𝐹 Fn β„‚)
45 fniniseg 7058 . . . . . . . . . . 11 (𝐹 Fn β„‚ β†’ (𝑧 ∈ (◑𝐹 β€œ {0}) ↔ (𝑧 ∈ β„‚ ∧ (πΉβ€˜π‘§) = 0)))
4644, 45syl 17 . . . . . . . . . 10 (πœ‘ β†’ (𝑧 ∈ (◑𝐹 β€œ {0}) ↔ (𝑧 ∈ β„‚ ∧ (πΉβ€˜π‘§) = 0)))
4743, 46bitrid 282 . . . . . . . . 9 (πœ‘ β†’ (𝑧 ∈ 𝑅 ↔ (𝑧 ∈ β„‚ ∧ (πΉβ€˜π‘§) = 0)))
4847simplbda 500 . . . . . . . 8 ((πœ‘ ∧ 𝑧 ∈ 𝑅) β†’ (πΉβ€˜π‘§) = 0)
4913facth 25810 . . . . . . . 8 ((𝐹 ∈ (Polyβ€˜π‘†) ∧ 𝑧 ∈ β„‚ ∧ (πΉβ€˜π‘§) = 0) β†’ 𝐹 = ((Xp ∘f βˆ’ (β„‚ Γ— {𝑧})) ∘f Β· (𝐹 quot (Xp ∘f βˆ’ (β„‚ Γ— {𝑧})))))
504, 12, 48, 49syl3anc 1371 . . . . . . 7 ((πœ‘ ∧ 𝑧 ∈ 𝑅) β†’ 𝐹 = ((Xp ∘f βˆ’ (β„‚ Γ— {𝑧})) ∘f Β· (𝐹 quot (Xp ∘f βˆ’ (β„‚ Γ— {𝑧})))))
511oveq2i 7416 . . . . . . 7 ((Xp ∘f βˆ’ (β„‚ Γ— {𝑧})) ∘f Β· 𝑄) = ((Xp ∘f βˆ’ (β„‚ Γ— {𝑧})) ∘f Β· (𝐹 quot (Xp ∘f βˆ’ (β„‚ Γ— {𝑧}))))
5250, 51eqtr4di 2790 . . . . . 6 ((πœ‘ ∧ 𝑧 ∈ 𝑅) β†’ 𝐹 = ((Xp ∘f βˆ’ (β„‚ Γ— {𝑧})) ∘f Β· 𝑄))
5352fveq2d 6892 . . . . 5 ((πœ‘ ∧ 𝑧 ∈ 𝑅) β†’ (degβ€˜πΉ) = (degβ€˜((Xp ∘f βˆ’ (β„‚ Γ— {𝑧})) ∘f Β· 𝑄)))
5430peano2nnd 12225 . . . . . . . . . . . . . . 15 (πœ‘ β†’ (𝐷 + 1) ∈ β„•)
5539, 54eqeltrrd 2834 . . . . . . . . . . . . . 14 (πœ‘ β†’ 𝑁 ∈ β„•)
5655nnne0d 12258 . . . . . . . . . . . . 13 (πœ‘ β†’ 𝑁 β‰  0)
5740, 56eqnetrrid 3016 . . . . . . . . . . . 12 (πœ‘ β†’ (degβ€˜πΉ) β‰  0)
58 fveq2 6888 . . . . . . . . . . . . . 14 (𝐹 = 0𝑝 β†’ (degβ€˜πΉ) = (degβ€˜0𝑝))
5958, 22eqtrdi 2788 . . . . . . . . . . . . 13 (𝐹 = 0𝑝 β†’ (degβ€˜πΉ) = 0)
6059necon3i 2973 . . . . . . . . . . . 12 ((degβ€˜πΉ) β‰  0 β†’ 𝐹 β‰  0𝑝)
6157, 60syl 17 . . . . . . . . . . 11 (πœ‘ β†’ 𝐹 β‰  0𝑝)
6261adantr 481 . . . . . . . . . 10 ((πœ‘ ∧ 𝑧 ∈ 𝑅) β†’ 𝐹 β‰  0𝑝)
6352, 62eqnetrrd 3009 . . . . . . . . 9 ((πœ‘ ∧ 𝑧 ∈ 𝑅) β†’ ((Xp ∘f βˆ’ (β„‚ Γ— {𝑧})) ∘f Β· 𝑄) β‰  0𝑝)
64 plymul0or 25785 . . . . . . . . . . 11 (((Xp ∘f βˆ’ (β„‚ Γ— {𝑧})) ∈ (Polyβ€˜β„‚) ∧ 𝑄 ∈ (Polyβ€˜β„‚)) β†’ (((Xp ∘f βˆ’ (β„‚ Γ— {𝑧})) ∘f Β· 𝑄) = 0𝑝 ↔ ((Xp ∘f βˆ’ (β„‚ Γ— {𝑧})) = 0𝑝 ∨ 𝑄 = 0𝑝)))
6516, 28, 64syl2anc 584 . . . . . . . . . 10 ((πœ‘ ∧ 𝑧 ∈ 𝑅) β†’ (((Xp ∘f βˆ’ (β„‚ Γ— {𝑧})) ∘f Β· 𝑄) = 0𝑝 ↔ ((Xp ∘f βˆ’ (β„‚ Γ— {𝑧})) = 0𝑝 ∨ 𝑄 = 0𝑝)))
6665necon3abid 2977 . . . . . . . . 9 ((πœ‘ ∧ 𝑧 ∈ 𝑅) β†’ (((Xp ∘f βˆ’ (β„‚ Γ— {𝑧})) ∘f Β· 𝑄) β‰  0𝑝 ↔ Β¬ ((Xp ∘f βˆ’ (β„‚ Γ— {𝑧})) = 0𝑝 ∨ 𝑄 = 0𝑝)))
6763, 66mpbid 231 . . . . . . . 8 ((πœ‘ ∧ 𝑧 ∈ 𝑅) β†’ Β¬ ((Xp ∘f βˆ’ (β„‚ Γ— {𝑧})) = 0𝑝 ∨ 𝑄 = 0𝑝))
68 neanior 3035 . . . . . . . 8 (((Xp ∘f βˆ’ (β„‚ Γ— {𝑧})) β‰  0𝑝 ∧ 𝑄 β‰  0𝑝) ↔ Β¬ ((Xp ∘f βˆ’ (β„‚ Γ— {𝑧})) = 0𝑝 ∨ 𝑄 = 0𝑝))
6967, 68sylibr 233 . . . . . . 7 ((πœ‘ ∧ 𝑧 ∈ 𝑅) β†’ ((Xp ∘f βˆ’ (β„‚ Γ— {𝑧})) β‰  0𝑝 ∧ 𝑄 β‰  0𝑝))
7069simprd 496 . . . . . 6 ((πœ‘ ∧ 𝑧 ∈ 𝑅) β†’ 𝑄 β‰  0𝑝)
71 eqid 2732 . . . . . . 7 (degβ€˜(Xp ∘f βˆ’ (β„‚ Γ— {𝑧}))) = (degβ€˜(Xp ∘f βˆ’ (β„‚ Γ— {𝑧})))
72 eqid 2732 . . . . . . 7 (degβ€˜π‘„) = (degβ€˜π‘„)
7371, 72dgrmul 25775 . . . . . 6 ((((Xp ∘f βˆ’ (β„‚ Γ— {𝑧})) ∈ (Polyβ€˜β„‚) ∧ (Xp ∘f βˆ’ (β„‚ Γ— {𝑧})) β‰  0𝑝) ∧ (𝑄 ∈ (Polyβ€˜β„‚) ∧ 𝑄 β‰  0𝑝)) β†’ (degβ€˜((Xp ∘f βˆ’ (β„‚ Γ— {𝑧})) ∘f Β· 𝑄)) = ((degβ€˜(Xp ∘f βˆ’ (β„‚ Γ— {𝑧}))) + (degβ€˜π‘„)))
7416, 25, 28, 70, 73syl22anc 837 . . . . 5 ((πœ‘ ∧ 𝑧 ∈ 𝑅) β†’ (degβ€˜((Xp ∘f βˆ’ (β„‚ Γ— {𝑧})) ∘f Β· 𝑄)) = ((degβ€˜(Xp ∘f βˆ’ (β„‚ Γ— {𝑧}))) + (degβ€˜π‘„)))
7542, 53, 743eqtrd 2776 . . . 4 ((πœ‘ ∧ 𝑧 ∈ 𝑅) β†’ (𝐷 + 1) = ((degβ€˜(Xp ∘f βˆ’ (β„‚ Γ— {𝑧}))) + (degβ€˜π‘„)))
7617oveq1d 7420 . . . 4 ((πœ‘ ∧ 𝑧 ∈ 𝑅) β†’ ((degβ€˜(Xp ∘f βˆ’ (β„‚ Γ— {𝑧}))) + (degβ€˜π‘„)) = (1 + (degβ€˜π‘„)))
7738, 75, 763eqtrd 2776 . . 3 ((πœ‘ ∧ 𝑧 ∈ 𝑅) β†’ (1 + 𝐷) = (1 + (degβ€˜π‘„)))
7829, 32, 35, 77addcanad 11415 . 2 ((πœ‘ ∧ 𝑧 ∈ 𝑅) β†’ 𝐷 = (degβ€˜π‘„))
7928, 78jca 512 1 ((πœ‘ ∧ 𝑧 ∈ 𝑅) β†’ (𝑄 ∈ (Polyβ€˜β„‚) ∧ 𝐷 = (degβ€˜π‘„)))
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  Β¬ wn 3   β†’ wi 4   ↔ wb 205   ∧ wa 396   ∨ wo 845   ∧ w3a 1087   = wceq 1541   ∈ wcel 2106   β‰  wne 2940  βˆ€wral 3061  {csn 4627   Γ— cxp 5673  β—‘ccnv 5674  dom cdm 5675   β€œ cima 5678   Fn wfn 6535  βŸΆwf 6536  β€˜cfv 6540  (class class class)co 7405   ∘f cof 7664  β„‚cc 11104  0cc0 11106  1c1 11107   + caddc 11109   Β· cmul 11111   βˆ’ cmin 11440  -cneg 11441   / cdiv 11867  β„•cn 12208  β„•0cn0 12468  β™―chash 14286  Ξ£csu 15628  0𝑝c0p 25177  Polycply 25689  Xpcidp 25690  coeffccoe 25691  degcdgr 25692   quot cquot 25794
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1797  ax-4 1811  ax-5 1913  ax-6 1971  ax-7 2011  ax-8 2108  ax-9 2116  ax-10 2137  ax-11 2154  ax-12 2171  ax-ext 2703  ax-rep 5284  ax-sep 5298  ax-nul 5305  ax-pow 5362  ax-pr 5426  ax-un 7721  ax-inf2 9632  ax-cnex 11162  ax-resscn 11163  ax-1cn 11164  ax-icn 11165  ax-addcl 11166  ax-addrcl 11167  ax-mulcl 11168  ax-mulrcl 11169  ax-mulcom 11170  ax-addass 11171  ax-mulass 11172  ax-distr 11173  ax-i2m1 11174  ax-1ne0 11175  ax-1rid 11176  ax-rnegex 11177  ax-rrecex 11178  ax-cnre 11179  ax-pre-lttri 11180  ax-pre-lttrn 11181  ax-pre-ltadd 11182  ax-pre-mulgt0 11183  ax-pre-sup 11184
This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 397  df-or 846  df-3or 1088  df-3an 1089  df-tru 1544  df-fal 1554  df-ex 1782  df-nf 1786  df-sb 2068  df-mo 2534  df-eu 2563  df-clab 2710  df-cleq 2724  df-clel 2810  df-nfc 2885  df-ne 2941  df-nel 3047  df-ral 3062  df-rex 3071  df-rmo 3376  df-reu 3377  df-rab 3433  df-v 3476  df-sbc 3777  df-csb 3893  df-dif 3950  df-un 3952  df-in 3954  df-ss 3964  df-pss 3966  df-nul 4322  df-if 4528  df-pw 4603  df-sn 4628  df-pr 4630  df-op 4634  df-uni 4908  df-int 4950  df-iun 4998  df-br 5148  df-opab 5210  df-mpt 5231  df-tr 5265  df-id 5573  df-eprel 5579  df-po 5587  df-so 5588  df-fr 5630  df-se 5631  df-we 5632  df-xp 5681  df-rel 5682  df-cnv 5683  df-co 5684  df-dm 5685  df-rn 5686  df-res 5687  df-ima 5688  df-pred 6297  df-ord 6364  df-on 6365  df-lim 6366  df-suc 6367  df-iota 6492  df-fun 6542  df-fn 6543  df-f 6544  df-f1 6545  df-fo 6546  df-f1o 6547  df-fv 6548  df-isom 6549  df-riota 7361  df-ov 7408  df-oprab 7409  df-mpo 7410  df-of 7666  df-om 7852  df-1st 7971  df-2nd 7972  df-frecs 8262  df-wrecs 8293  df-recs 8367  df-rdg 8406  df-1o 8462  df-er 8699  df-map 8818  df-pm 8819  df-en 8936  df-dom 8937  df-sdom 8938  df-fin 8939  df-sup 9433  df-inf 9434  df-oi 9501  df-card 9930  df-pnf 11246  df-mnf 11247  df-xr 11248  df-ltxr 11249  df-le 11250  df-sub 11442  df-neg 11443  df-div 11868  df-nn 12209  df-2 12271  df-3 12272  df-n0 12469  df-z 12555  df-uz 12819  df-rp 12971  df-fz 13481  df-fzo 13624  df-fl 13753  df-seq 13963  df-exp 14024  df-hash 14287  df-cj 15042  df-re 15043  df-im 15044  df-sqrt 15178  df-abs 15179  df-clim 15428  df-rlim 15429  df-sum 15629  df-0p 25178  df-ply 25693  df-idp 25694  df-coe 25695  df-dgr 25696  df-quot 25795
This theorem is referenced by:  vieta1lem2  25815
  Copyright terms: Public domain W3C validator