MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  vieta1lem1 Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem vieta1lem1 26367
Description: Lemma for vieta1 26369. (Contributed by Mario Carneiro, 28-Jul-2014.)
Hypotheses
Ref Expression
vieta1.1 𝐴 = (coeff‘𝐹)
vieta1.2 𝑁 = (deg‘𝐹)
vieta1.3 𝑅 = (𝐹 “ {0})
vieta1.4 (𝜑𝐹 ∈ (Poly‘𝑆))
vieta1.5 (𝜑 → (♯‘𝑅) = 𝑁)
vieta1lem.6 (𝜑𝐷 ∈ ℕ)
vieta1lem.7 (𝜑 → (𝐷 + 1) = 𝑁)
vieta1lem.8 (𝜑 → ∀𝑓 ∈ (Poly‘ℂ)((𝐷 = (deg‘𝑓) ∧ (♯‘(𝑓 “ {0})) = (deg‘𝑓)) → Σ𝑥 ∈ (𝑓 “ {0})𝑥 = -(((coeff‘𝑓)‘((deg‘𝑓) − 1)) / ((coeff‘𝑓)‘(deg‘𝑓)))))
vieta1lem.9 𝑄 = (𝐹 quot (Xpf − (ℂ × {𝑧})))
Assertion
Ref Expression
vieta1lem1 ((𝜑𝑧𝑅) → (𝑄 ∈ (Poly‘ℂ) ∧ 𝐷 = (deg‘𝑄)))
Distinct variable groups:   𝐷,𝑓   𝑓,𝐹   𝑧,𝑓,𝑁   𝑥,𝑓,𝑄   𝑅,𝑓   𝑥,𝑧,𝑅   𝐴,𝑓,𝑧   𝜑,𝑥,𝑧
Allowed substitution hints:   𝜑(𝑓)   𝐴(𝑥)   𝐷(𝑥,𝑧)   𝑄(𝑧)   𝑆(𝑥,𝑧,𝑓)   𝐹(𝑥,𝑧)   𝑁(𝑥)

Proof of Theorem vieta1lem1
StepHypRef Expression
1 vieta1lem.9 . . 3 𝑄 = (𝐹 quot (Xpf − (ℂ × {𝑧})))
2 plyssc 26254 . . . . 5 (Poly‘𝑆) ⊆ (Poly‘ℂ)
3 vieta1.4 . . . . . 6 (𝜑𝐹 ∈ (Poly‘𝑆))
43adantr 480 . . . . 5 ((𝜑𝑧𝑅) → 𝐹 ∈ (Poly‘𝑆))
52, 4sselid 3993 . . . 4 ((𝜑𝑧𝑅) → 𝐹 ∈ (Poly‘ℂ))
6 vieta1.3 . . . . . . . . 9 𝑅 = (𝐹 “ {0})
7 cnvimass 6102 . . . . . . . . 9 (𝐹 “ {0}) ⊆ dom 𝐹
86, 7eqsstri 4030 . . . . . . . 8 𝑅 ⊆ dom 𝐹
9 plyf 26252 . . . . . . . . 9 (𝐹 ∈ (Poly‘𝑆) → 𝐹:ℂ⟶ℂ)
103, 9syl 17 . . . . . . . 8 (𝜑𝐹:ℂ⟶ℂ)
118, 10fssdm 6756 . . . . . . 7 (𝜑𝑅 ⊆ ℂ)
1211sselda 3995 . . . . . 6 ((𝜑𝑧𝑅) → 𝑧 ∈ ℂ)
13 eqid 2735 . . . . . . 7 (Xpf − (ℂ × {𝑧})) = (Xpf − (ℂ × {𝑧}))
1413plyremlem 26361 . . . . . 6 (𝑧 ∈ ℂ → ((Xpf − (ℂ × {𝑧})) ∈ (Poly‘ℂ) ∧ (deg‘(Xpf − (ℂ × {𝑧}))) = 1 ∧ ((Xpf − (ℂ × {𝑧})) “ {0}) = {𝑧}))
1512, 14syl 17 . . . . 5 ((𝜑𝑧𝑅) → ((Xpf − (ℂ × {𝑧})) ∈ (Poly‘ℂ) ∧ (deg‘(Xpf − (ℂ × {𝑧}))) = 1 ∧ ((Xpf − (ℂ × {𝑧})) “ {0}) = {𝑧}))
1615simp1d 1141 . . . 4 ((𝜑𝑧𝑅) → (Xpf − (ℂ × {𝑧})) ∈ (Poly‘ℂ))
1715simp2d 1142 . . . . . 6 ((𝜑𝑧𝑅) → (deg‘(Xpf − (ℂ × {𝑧}))) = 1)
18 ax-1ne0 11222 . . . . . . 7 1 ≠ 0
1918a1i 11 . . . . . 6 ((𝜑𝑧𝑅) → 1 ≠ 0)
2017, 19eqnetrd 3006 . . . . 5 ((𝜑𝑧𝑅) → (deg‘(Xpf − (ℂ × {𝑧}))) ≠ 0)
21 fveq2 6907 . . . . . . 7 ((Xpf − (ℂ × {𝑧})) = 0𝑝 → (deg‘(Xpf − (ℂ × {𝑧}))) = (deg‘0𝑝))
22 dgr0 26317 . . . . . . 7 (deg‘0𝑝) = 0
2321, 22eqtrdi 2791 . . . . . 6 ((Xpf − (ℂ × {𝑧})) = 0𝑝 → (deg‘(Xpf − (ℂ × {𝑧}))) = 0)
2423necon3i 2971 . . . . 5 ((deg‘(Xpf − (ℂ × {𝑧}))) ≠ 0 → (Xpf − (ℂ × {𝑧})) ≠ 0𝑝)
2520, 24syl 17 . . . 4 ((𝜑𝑧𝑅) → (Xpf − (ℂ × {𝑧})) ≠ 0𝑝)
26 quotcl2 26359 . . . 4 ((𝐹 ∈ (Poly‘ℂ) ∧ (Xpf − (ℂ × {𝑧})) ∈ (Poly‘ℂ) ∧ (Xpf − (ℂ × {𝑧})) ≠ 0𝑝) → (𝐹 quot (Xpf − (ℂ × {𝑧}))) ∈ (Poly‘ℂ))
275, 16, 25, 26syl3anc 1370 . . 3 ((𝜑𝑧𝑅) → (𝐹 quot (Xpf − (ℂ × {𝑧}))) ∈ (Poly‘ℂ))
281, 27eqeltrid 2843 . 2 ((𝜑𝑧𝑅) → 𝑄 ∈ (Poly‘ℂ))
29 1cnd 11254 . . 3 ((𝜑𝑧𝑅) → 1 ∈ ℂ)
30 vieta1lem.6 . . . . 5 (𝜑𝐷 ∈ ℕ)
3130nncnd 12280 . . . 4 (𝜑𝐷 ∈ ℂ)
3231adantr 480 . . 3 ((𝜑𝑧𝑅) → 𝐷 ∈ ℂ)
33 dgrcl 26287 . . . . 5 (𝑄 ∈ (Poly‘ℂ) → (deg‘𝑄) ∈ ℕ0)
3428, 33syl 17 . . . 4 ((𝜑𝑧𝑅) → (deg‘𝑄) ∈ ℕ0)
3534nn0cnd 12587 . . 3 ((𝜑𝑧𝑅) → (deg‘𝑄) ∈ ℂ)
36 ax-1cn 11211 . . . . 5 1 ∈ ℂ
37 addcom 11445 . . . . 5 ((1 ∈ ℂ ∧ 𝐷 ∈ ℂ) → (1 + 𝐷) = (𝐷 + 1))
3836, 32, 37sylancr 587 . . . 4 ((𝜑𝑧𝑅) → (1 + 𝐷) = (𝐷 + 1))
39 vieta1lem.7 . . . . . . 7 (𝜑 → (𝐷 + 1) = 𝑁)
40 vieta1.2 . . . . . . 7 𝑁 = (deg‘𝐹)
4139, 40eqtrdi 2791 . . . . . 6 (𝜑 → (𝐷 + 1) = (deg‘𝐹))
4241adantr 480 . . . . 5 ((𝜑𝑧𝑅) → (𝐷 + 1) = (deg‘𝐹))
436eleq2i 2831 . . . . . . . . . 10 (𝑧𝑅𝑧 ∈ (𝐹 “ {0}))
4410ffnd 6738 . . . . . . . . . . 11 (𝜑𝐹 Fn ℂ)
45 fniniseg 7080 . . . . . . . . . . 11 (𝐹 Fn ℂ → (𝑧 ∈ (𝐹 “ {0}) ↔ (𝑧 ∈ ℂ ∧ (𝐹𝑧) = 0)))
4644, 45syl 17 . . . . . . . . . 10 (𝜑 → (𝑧 ∈ (𝐹 “ {0}) ↔ (𝑧 ∈ ℂ ∧ (𝐹𝑧) = 0)))
4743, 46bitrid 283 . . . . . . . . 9 (𝜑 → (𝑧𝑅 ↔ (𝑧 ∈ ℂ ∧ (𝐹𝑧) = 0)))
4847simplbda 499 . . . . . . . 8 ((𝜑𝑧𝑅) → (𝐹𝑧) = 0)
4913facth 26363 . . . . . . . 8 ((𝐹 ∈ (Poly‘𝑆) ∧ 𝑧 ∈ ℂ ∧ (𝐹𝑧) = 0) → 𝐹 = ((Xpf − (ℂ × {𝑧})) ∘f · (𝐹 quot (Xpf − (ℂ × {𝑧})))))
504, 12, 48, 49syl3anc 1370 . . . . . . 7 ((𝜑𝑧𝑅) → 𝐹 = ((Xpf − (ℂ × {𝑧})) ∘f · (𝐹 quot (Xpf − (ℂ × {𝑧})))))
511oveq2i 7442 . . . . . . 7 ((Xpf − (ℂ × {𝑧})) ∘f · 𝑄) = ((Xpf − (ℂ × {𝑧})) ∘f · (𝐹 quot (Xpf − (ℂ × {𝑧}))))
5250, 51eqtr4di 2793 . . . . . 6 ((𝜑𝑧𝑅) → 𝐹 = ((Xpf − (ℂ × {𝑧})) ∘f · 𝑄))
5352fveq2d 6911 . . . . 5 ((𝜑𝑧𝑅) → (deg‘𝐹) = (deg‘((Xpf − (ℂ × {𝑧})) ∘f · 𝑄)))
5430peano2nnd 12281 . . . . . . . . . . . . . . 15 (𝜑 → (𝐷 + 1) ∈ ℕ)
5539, 54eqeltrrd 2840 . . . . . . . . . . . . . 14 (𝜑𝑁 ∈ ℕ)
5655nnne0d 12314 . . . . . . . . . . . . 13 (𝜑𝑁 ≠ 0)
5740, 56eqnetrrid 3014 . . . . . . . . . . . 12 (𝜑 → (deg‘𝐹) ≠ 0)
58 fveq2 6907 . . . . . . . . . . . . . 14 (𝐹 = 0𝑝 → (deg‘𝐹) = (deg‘0𝑝))
5958, 22eqtrdi 2791 . . . . . . . . . . . . 13 (𝐹 = 0𝑝 → (deg‘𝐹) = 0)
6059necon3i 2971 . . . . . . . . . . . 12 ((deg‘𝐹) ≠ 0 → 𝐹 ≠ 0𝑝)
6157, 60syl 17 . . . . . . . . . . 11 (𝜑𝐹 ≠ 0𝑝)
6261adantr 480 . . . . . . . . . 10 ((𝜑𝑧𝑅) → 𝐹 ≠ 0𝑝)
6352, 62eqnetrrd 3007 . . . . . . . . 9 ((𝜑𝑧𝑅) → ((Xpf − (ℂ × {𝑧})) ∘f · 𝑄) ≠ 0𝑝)
64 plymul0or 26337 . . . . . . . . . . 11 (((Xpf − (ℂ × {𝑧})) ∈ (Poly‘ℂ) ∧ 𝑄 ∈ (Poly‘ℂ)) → (((Xpf − (ℂ × {𝑧})) ∘f · 𝑄) = 0𝑝 ↔ ((Xpf − (ℂ × {𝑧})) = 0𝑝𝑄 = 0𝑝)))
6516, 28, 64syl2anc 584 . . . . . . . . . 10 ((𝜑𝑧𝑅) → (((Xpf − (ℂ × {𝑧})) ∘f · 𝑄) = 0𝑝 ↔ ((Xpf − (ℂ × {𝑧})) = 0𝑝𝑄 = 0𝑝)))
6665necon3abid 2975 . . . . . . . . 9 ((𝜑𝑧𝑅) → (((Xpf − (ℂ × {𝑧})) ∘f · 𝑄) ≠ 0𝑝 ↔ ¬ ((Xpf − (ℂ × {𝑧})) = 0𝑝𝑄 = 0𝑝)))
6763, 66mpbid 232 . . . . . . . 8 ((𝜑𝑧𝑅) → ¬ ((Xpf − (ℂ × {𝑧})) = 0𝑝𝑄 = 0𝑝))
68 neanior 3033 . . . . . . . 8 (((Xpf − (ℂ × {𝑧})) ≠ 0𝑝𝑄 ≠ 0𝑝) ↔ ¬ ((Xpf − (ℂ × {𝑧})) = 0𝑝𝑄 = 0𝑝))
6967, 68sylibr 234 . . . . . . 7 ((𝜑𝑧𝑅) → ((Xpf − (ℂ × {𝑧})) ≠ 0𝑝𝑄 ≠ 0𝑝))
7069simprd 495 . . . . . 6 ((𝜑𝑧𝑅) → 𝑄 ≠ 0𝑝)
71 eqid 2735 . . . . . . 7 (deg‘(Xpf − (ℂ × {𝑧}))) = (deg‘(Xpf − (ℂ × {𝑧})))
72 eqid 2735 . . . . . . 7 (deg‘𝑄) = (deg‘𝑄)
7371, 72dgrmul 26325 . . . . . 6 ((((Xpf − (ℂ × {𝑧})) ∈ (Poly‘ℂ) ∧ (Xpf − (ℂ × {𝑧})) ≠ 0𝑝) ∧ (𝑄 ∈ (Poly‘ℂ) ∧ 𝑄 ≠ 0𝑝)) → (deg‘((Xpf − (ℂ × {𝑧})) ∘f · 𝑄)) = ((deg‘(Xpf − (ℂ × {𝑧}))) + (deg‘𝑄)))
7416, 25, 28, 70, 73syl22anc 839 . . . . 5 ((𝜑𝑧𝑅) → (deg‘((Xpf − (ℂ × {𝑧})) ∘f · 𝑄)) = ((deg‘(Xpf − (ℂ × {𝑧}))) + (deg‘𝑄)))
7542, 53, 743eqtrd 2779 . . . 4 ((𝜑𝑧𝑅) → (𝐷 + 1) = ((deg‘(Xpf − (ℂ × {𝑧}))) + (deg‘𝑄)))
7617oveq1d 7446 . . . 4 ((𝜑𝑧𝑅) → ((deg‘(Xpf − (ℂ × {𝑧}))) + (deg‘𝑄)) = (1 + (deg‘𝑄)))
7738, 75, 763eqtrd 2779 . . 3 ((𝜑𝑧𝑅) → (1 + 𝐷) = (1 + (deg‘𝑄)))
7829, 32, 35, 77addcanad 11464 . 2 ((𝜑𝑧𝑅) → 𝐷 = (deg‘𝑄))
7928, 78jca 511 1 ((𝜑𝑧𝑅) → (𝑄 ∈ (Poly‘ℂ) ∧ 𝐷 = (deg‘𝑄)))
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  ¬ wn 3  wi 4  wb 206  wa 395  wo 847  w3a 1086   = wceq 1537  wcel 2106  wne 2938  wral 3059  {csn 4631   × cxp 5687  ccnv 5688  dom cdm 5689  cima 5692   Fn wfn 6558  wf 6559  cfv 6563  (class class class)co 7431  f cof 7695  cc 11151  0cc0 11153  1c1 11154   + caddc 11156   · cmul 11158  cmin 11490  -cneg 11491   / cdiv 11918  cn 12264  0cn0 12524  chash 14366  Σcsu 15719  0𝑝c0p 25718  Polycply 26238  Xpcidp 26239  coeffccoe 26240  degcdgr 26241   quot cquot 26347
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1792  ax-4 1806  ax-5 1908  ax-6 1965  ax-7 2005  ax-8 2108  ax-9 2116  ax-10 2139  ax-11 2155  ax-12 2175  ax-ext 2706  ax-rep 5285  ax-sep 5302  ax-nul 5312  ax-pow 5371  ax-pr 5438  ax-un 7754  ax-inf2 9679  ax-cnex 11209  ax-resscn 11210  ax-1cn 11211  ax-icn 11212  ax-addcl 11213  ax-addrcl 11214  ax-mulcl 11215  ax-mulrcl 11216  ax-mulcom 11217  ax-addass 11218  ax-mulass 11219  ax-distr 11220  ax-i2m1 11221  ax-1ne0 11222  ax-1rid 11223  ax-rnegex 11224  ax-rrecex 11225  ax-cnre 11226  ax-pre-lttri 11227  ax-pre-lttrn 11228  ax-pre-ltadd 11229  ax-pre-mulgt0 11230  ax-pre-sup 11231
This theorem depends on definitions:  df-bi 207  df-an 396  df-or 848  df-3or 1087  df-3an 1088  df-tru 1540  df-fal 1550  df-ex 1777  df-nf 1781  df-sb 2063  df-mo 2538  df-eu 2567  df-clab 2713  df-cleq 2727  df-clel 2814  df-nfc 2890  df-ne 2939  df-nel 3045  df-ral 3060  df-rex 3069  df-rmo 3378  df-reu 3379  df-rab 3434  df-v 3480  df-sbc 3792  df-csb 3909  df-dif 3966  df-un 3968  df-in 3970  df-ss 3980  df-pss 3983  df-nul 4340  df-if 4532  df-pw 4607  df-sn 4632  df-pr 4634  df-op 4638  df-uni 4913  df-int 4952  df-iun 4998  df-br 5149  df-opab 5211  df-mpt 5232  df-tr 5266  df-id 5583  df-eprel 5589  df-po 5597  df-so 5598  df-fr 5641  df-se 5642  df-we 5643  df-xp 5695  df-rel 5696  df-cnv 5697  df-co 5698  df-dm 5699  df-rn 5700  df-res 5701  df-ima 5702  df-pred 6323  df-ord 6389  df-on 6390  df-lim 6391  df-suc 6392  df-iota 6516  df-fun 6565  df-fn 6566  df-f 6567  df-f1 6568  df-fo 6569  df-f1o 6570  df-fv 6571  df-isom 6572  df-riota 7388  df-ov 7434  df-oprab 7435  df-mpo 7436  df-of 7697  df-om 7888  df-1st 8013  df-2nd 8014  df-frecs 8305  df-wrecs 8336  df-recs 8410  df-rdg 8449  df-1o 8505  df-er 8744  df-map 8867  df-pm 8868  df-en 8985  df-dom 8986  df-sdom 8987  df-fin 8988  df-sup 9480  df-inf 9481  df-oi 9548  df-card 9977  df-pnf 11295  df-mnf 11296  df-xr 11297  df-ltxr 11298  df-le 11299  df-sub 11492  df-neg 11493  df-div 11919  df-nn 12265  df-2 12327  df-3 12328  df-n0 12525  df-z 12612  df-uz 12877  df-rp 13033  df-fz 13545  df-fzo 13692  df-fl 13829  df-seq 14040  df-exp 14100  df-hash 14367  df-cj 15135  df-re 15136  df-im 15137  df-sqrt 15271  df-abs 15272  df-clim 15521  df-rlim 15522  df-sum 15720  df-0p 25719  df-ply 26242  df-idp 26243  df-coe 26244  df-dgr 26245  df-quot 26348
This theorem is referenced by:  vieta1lem2  26368
  Copyright terms: Public domain W3C validator