Theorem vieta1lem1 24602

Description: Lemma for vieta1 24604. (Contributed by Mario Carneiro, 28-Jul-2014.)

Hypotheses

Ref	Expression
vieta1.1	⊢ 𝐴 = (coeff‘𝐹)
vieta1.2	⊢ 𝑁 = (deg‘𝐹)
vieta1.3	⊢ 𝑅 = (◡𝐹 “ {0})
vieta1.4	⊢ (𝜑 → 𝐹 ∈ (Poly‘𝑆))
vieta1.5	⊢ (𝜑 → (♯‘𝑅) = 𝑁)
vieta1lem.6	⊢ (𝜑 → 𝐷 ∈ ℕ)
vieta1lem.7	⊢ (𝜑 → (𝐷 + 1) = 𝑁)
vieta1lem.8	⊢ (𝜑 → ∀𝑓 ∈ (Poly‘ℂ)((𝐷 = (deg‘𝑓) ∧ (♯‘(◡𝑓 “ {0})) = (deg‘𝑓)) → Σ𝑥 ∈ (◡𝑓 “ {0})𝑥 = -(((coeff‘𝑓)‘((deg‘𝑓) − 1)) / ((coeff‘𝑓)‘(deg‘𝑓)))))
vieta1lem.9	⊢ 𝑄 = (𝐹 quot (Xp ∘𝑓 − (ℂ × {𝑧})))

Assertion

Ref	Expression
vieta1lem1	⊢ ((𝜑 ∧ 𝑧 ∈ 𝑅) → (𝑄 ∈ (Poly‘ℂ) ∧ 𝐷 = (deg‘𝑄)))

Distinct variable groups:   𝐷,𝑓   𝑓,𝐹   𝑧,𝑓,𝑁   𝑥,𝑓,𝑄   𝑅,𝑓   𝑥,𝑧,𝑅   𝐴,𝑓,𝑧   𝜑,𝑥,𝑧

Allowed substitution hints:   𝜑(𝑓)   𝐴(𝑥)   𝐷(𝑥,𝑧)   𝑄(𝑧)   𝑆(𝑥,𝑧,𝑓)   𝐹(𝑥,𝑧)   𝑁(𝑥)

Proof of Theorem vieta1lem1

Step	Hyp	Ref	Expression
1		vieta1lem.9	. . 3 ⊢ 𝑄 = (𝐹 quot (Xp ∘𝑓 − (ℂ × {𝑧})))
2		plyssc 24493	. . . . 5 ⊢ (Poly‘𝑆) ⊆ (Poly‘ℂ)
3		vieta1.4	. . . . . 6 ⊢ (𝜑 → 𝐹 ∈ (Poly‘𝑆))
4	3	adantr 473	. . . . 5 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑧 ∈ 𝑅) → 𝐹 ∈ (Poly‘𝑆))
5	2, 4	sseldi 3856	. . . 4 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑧 ∈ 𝑅) → 𝐹 ∈ (Poly‘ℂ))
6		vieta1.3	. . . . . . . . 9 ⊢ 𝑅 = (◡𝐹 “ {0})
7		cnvimass 5789	. . . . . . . . 9 ⊢ (◡𝐹 “ {0}) ⊆ dom 𝐹
8	6, 7	eqsstri 3891	. . . . . . . 8 ⊢ 𝑅 ⊆ dom 𝐹
9		plyf 24491	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝐹 ∈ (Poly‘𝑆) → 𝐹:ℂ⟶ℂ)
10	3, 9	syl 17	. . . . . . . 8 ⊢ (𝜑 → 𝐹:ℂ⟶ℂ)
11	8, 10	fssdm 6360	. . . . . . 7 ⊢ (𝜑 → 𝑅 ⊆ ℂ)
12	11	sselda 3858	. . . . . 6 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑧 ∈ 𝑅) → 𝑧 ∈ ℂ)
13		eqid 2778	. . . . . . 7 ⊢ (Xp ∘𝑓 − (ℂ × {𝑧})) = (Xp ∘𝑓 − (ℂ × {𝑧}))
14	13	plyremlem 24596	. . . . . 6 ⊢ (𝑧 ∈ ℂ → ((Xp ∘𝑓 − (ℂ × {𝑧})) ∈ (Poly‘ℂ) ∧ (deg‘(Xp ∘𝑓 − (ℂ × {𝑧}))) = 1 ∧ (◡(Xp ∘𝑓 − (ℂ × {𝑧})) “ {0}) = {𝑧}))
15	12, 14	syl 17	. . . . 5 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑧 ∈ 𝑅) → ((Xp ∘𝑓 − (ℂ × {𝑧})) ∈ (Poly‘ℂ) ∧ (deg‘(Xp ∘𝑓 − (ℂ × {𝑧}))) = 1 ∧ (◡(Xp ∘𝑓 − (ℂ × {𝑧})) “ {0}) = {𝑧}))
16	15	simp1d 1122	. . . 4 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑧 ∈ 𝑅) → (Xp ∘𝑓 − (ℂ × {𝑧})) ∈ (Poly‘ℂ))
17	15	simp2d 1123	. . . . . 6 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑧 ∈ 𝑅) → (deg‘(Xp ∘𝑓 − (ℂ × {𝑧}))) = 1)
18		ax-1ne0 10404	. . . . . . 7 ⊢ 1 ≠ 0
19	18	a1i 11	. . . . . 6 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑧 ∈ 𝑅) → 1 ≠ 0)
20	17, 19	eqnetrd 3034	. . . . 5 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑧 ∈ 𝑅) → (deg‘(Xp ∘𝑓 − (ℂ × {𝑧}))) ≠ 0)
21		fveq2 6499	. . . . . . 7 ⊢ ((Xp ∘𝑓 − (ℂ × {𝑧})) = 0𝑝 → (deg‘(Xp ∘𝑓 − (ℂ × {𝑧}))) = (deg‘0𝑝))
22		dgr0 24555	. . . . . . 7 ⊢ (deg‘0𝑝) = 0
23	21, 22	syl6eq 2830	. . . . . 6 ⊢ ((Xp ∘𝑓 − (ℂ × {𝑧})) = 0𝑝 → (deg‘(Xp ∘𝑓 − (ℂ × {𝑧}))) = 0)
24	23	necon3i 2999	. . . . 5 ⊢ ((deg‘(Xp ∘𝑓 − (ℂ × {𝑧}))) ≠ 0 → (Xp ∘𝑓 − (ℂ × {𝑧})) ≠ 0𝑝)
25	20, 24	syl 17	. . . 4 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑧 ∈ 𝑅) → (Xp ∘𝑓 − (ℂ × {𝑧})) ≠ 0𝑝)
26		quotcl2 24594	. . . 4 ⊢ ((𝐹 ∈ (Poly‘ℂ) ∧ (Xp ∘𝑓 − (ℂ × {𝑧})) ∈ (Poly‘ℂ) ∧ (Xp ∘𝑓 − (ℂ × {𝑧})) ≠ 0𝑝) → (𝐹 quot (Xp ∘𝑓 − (ℂ × {𝑧}))) ∈ (Poly‘ℂ))
27	5, 16, 25, 26	syl3anc 1351	. . 3 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑧 ∈ 𝑅) → (𝐹 quot (Xp ∘𝑓 − (ℂ × {𝑧}))) ∈ (Poly‘ℂ))
28	1, 27	syl5eqel 2870	. 2 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑧 ∈ 𝑅) → 𝑄 ∈ (Poly‘ℂ))
29		1cnd 10434	. . 3 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑧 ∈ 𝑅) → 1 ∈ ℂ)
30		vieta1lem.6	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → 𝐷 ∈ ℕ)
31	30	nncnd 11457	. . . 4 ⊢ (𝜑 → 𝐷 ∈ ℂ)
32	31	adantr 473	. . 3 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑧 ∈ 𝑅) → 𝐷 ∈ ℂ)
33		dgrcl 24526	. . . . 5 ⊢ (𝑄 ∈ (Poly‘ℂ) → (deg‘𝑄) ∈ ℕ0)
34	28, 33	syl 17	. . . 4 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑧 ∈ 𝑅) → (deg‘𝑄) ∈ ℕ0)
35	34	nn0cnd 11769	. . 3 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑧 ∈ 𝑅) → (deg‘𝑄) ∈ ℂ)
36		ax-1cn 10393	. . . . 5 ⊢ 1 ∈ ℂ
37		addcom 10626	. . . . 5 ⊢ ((1 ∈ ℂ ∧ 𝐷 ∈ ℂ) → (1 + 𝐷) = (𝐷 + 1))
38	36, 32, 37	sylancr 578	. . . 4 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑧 ∈ 𝑅) → (1 + 𝐷) = (𝐷 + 1))
39		vieta1lem.7	. . . . . . 7 ⊢ (𝜑 → (𝐷 + 1) = 𝑁)
40		vieta1.2	. . . . . . 7 ⊢ 𝑁 = (deg‘𝐹)
41	39, 40	syl6eq 2830	. . . . . 6 ⊢ (𝜑 → (𝐷 + 1) = (deg‘𝐹))
42	41	adantr 473	. . . . 5 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑧 ∈ 𝑅) → (𝐷 + 1) = (deg‘𝐹))
43	6	eleq2i 2857	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝑧 ∈ 𝑅 ↔ 𝑧 ∈ (◡𝐹 “ {0}))
44	10	ffnd 6345	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (𝜑 → 𝐹 Fn ℂ)
45		fniniseg 6655	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (𝐹 Fn ℂ → (𝑧 ∈ (◡𝐹 “ {0}) ↔ (𝑧 ∈ ℂ ∧ (𝐹‘𝑧) = 0)))
46	44, 45	syl 17	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝜑 → (𝑧 ∈ (◡𝐹 “ {0}) ↔ (𝑧 ∈ ℂ ∧ (𝐹‘𝑧) = 0)))
47	43, 46	syl5bb 275	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝜑 → (𝑧 ∈ 𝑅 ↔ (𝑧 ∈ ℂ ∧ (𝐹‘𝑧) = 0)))
48	47	simplbda 492	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑧 ∈ 𝑅) → (𝐹‘𝑧) = 0)
49	13	facth 24598	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝐹 ∈ (Poly‘𝑆) ∧ 𝑧 ∈ ℂ ∧ (𝐹‘𝑧) = 0) → 𝐹 = ((Xp ∘𝑓 − (ℂ × {𝑧})) ∘𝑓 · (𝐹 quot (Xp ∘𝑓 − (ℂ × {𝑧})))))
50	4, 12, 48, 49	syl3anc 1351	. . . . . . 7 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑧 ∈ 𝑅) → 𝐹 = ((Xp ∘𝑓 − (ℂ × {𝑧})) ∘𝑓 · (𝐹 quot (Xp ∘𝑓 − (ℂ × {𝑧})))))
51	1	oveq2i 6987	. . . . . . 7 ⊢ ((Xp ∘𝑓 − (ℂ × {𝑧})) ∘𝑓 · 𝑄) = ((Xp ∘𝑓 − (ℂ × {𝑧})) ∘𝑓 · (𝐹 quot (Xp ∘𝑓 − (ℂ × {𝑧}))))
52	50, 51	syl6eqr 2832	. . . . . 6 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑧 ∈ 𝑅) → 𝐹 = ((Xp ∘𝑓 − (ℂ × {𝑧})) ∘𝑓 · 𝑄))
53	52	fveq2d 6503	. . . . 5 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑧 ∈ 𝑅) → (deg‘𝐹) = (deg‘((Xp ∘𝑓 − (ℂ × {𝑧})) ∘𝑓 · 𝑄)))
54	30	peano2nnd 11458	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ (𝜑 → (𝐷 + 1) ∈ ℕ)
55	39, 54	eqeltrrd 2867	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ (𝜑 → 𝑁 ∈ ℕ)
56	55	nnne0d 11490	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (𝜑 → 𝑁 ≠ 0)
57	40, 56	syl5eqner 3042	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (𝜑 → (deg‘𝐹) ≠ 0)
58		fveq2 6499	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ (𝐹 = 0𝑝 → (deg‘𝐹) = (deg‘0𝑝))
59	58, 22	syl6eq 2830	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (𝐹 = 0𝑝 → (deg‘𝐹) = 0)
60	59	necon3i 2999	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ ((deg‘𝐹) ≠ 0 → 𝐹 ≠ 0𝑝)
61	57, 60	syl 17	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (𝜑 → 𝐹 ≠ 0𝑝)
62	61	adantr 473	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑧 ∈ 𝑅) → 𝐹 ≠ 0𝑝)
63	52, 62	eqnetrrd 3035	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑧 ∈ 𝑅) → ((Xp ∘𝑓 − (ℂ × {𝑧})) ∘𝑓 · 𝑄) ≠ 0𝑝)
64		plymul0or 24573	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (((Xp ∘𝑓 − (ℂ × {𝑧})) ∈ (Poly‘ℂ) ∧ 𝑄 ∈ (Poly‘ℂ)) → (((Xp ∘𝑓 − (ℂ × {𝑧})) ∘𝑓 · 𝑄) = 0𝑝 ↔ ((Xp ∘𝑓 − (ℂ × {𝑧})) = 0𝑝 ∨ 𝑄 = 0𝑝)))
65	16, 28, 64	syl2anc 576	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑧 ∈ 𝑅) → (((Xp ∘𝑓 − (ℂ × {𝑧})) ∘𝑓 · 𝑄) = 0𝑝 ↔ ((Xp ∘𝑓 − (ℂ × {𝑧})) = 0𝑝 ∨ 𝑄 = 0𝑝)))
66	65	necon3abid 3003	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑧 ∈ 𝑅) → (((Xp ∘𝑓 − (ℂ × {𝑧})) ∘𝑓 · 𝑄) ≠ 0𝑝 ↔ ¬ ((Xp ∘𝑓 − (ℂ × {𝑧})) = 0𝑝 ∨ 𝑄 = 0𝑝)))
67	63, 66	mpbid 224	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑧 ∈ 𝑅) → ¬ ((Xp ∘𝑓 − (ℂ × {𝑧})) = 0𝑝 ∨ 𝑄 = 0𝑝))
68		neanior 3060	. . . . . . . 8 ⊢ (((Xp ∘𝑓 − (ℂ × {𝑧})) ≠ 0𝑝 ∧ 𝑄 ≠ 0𝑝) ↔ ¬ ((Xp ∘𝑓 − (ℂ × {𝑧})) = 0𝑝 ∨ 𝑄 = 0𝑝))
69	67, 68	sylibr 226	. . . . . . 7 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑧 ∈ 𝑅) → ((Xp ∘𝑓 − (ℂ × {𝑧})) ≠ 0𝑝 ∧ 𝑄 ≠ 0𝑝))
70	69	simprd 488	. . . . . 6 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑧 ∈ 𝑅) → 𝑄 ≠ 0𝑝)
71		eqid 2778	. . . . . . 7 ⊢ (deg‘(Xp ∘𝑓 − (ℂ × {𝑧}))) = (deg‘(Xp ∘𝑓 − (ℂ × {𝑧})))
72		eqid 2778	. . . . . . 7 ⊢ (deg‘𝑄) = (deg‘𝑄)
73	71, 72	dgrmul 24563	. . . . . 6 ⊢ ((((Xp ∘𝑓 − (ℂ × {𝑧})) ∈ (Poly‘ℂ) ∧ (Xp ∘𝑓 − (ℂ × {𝑧})) ≠ 0𝑝) ∧ (𝑄 ∈ (Poly‘ℂ) ∧ 𝑄 ≠ 0𝑝)) → (deg‘((Xp ∘𝑓 − (ℂ × {𝑧})) ∘𝑓 · 𝑄)) = ((deg‘(Xp ∘𝑓 − (ℂ × {𝑧}))) + (deg‘𝑄)))
74	16, 25, 28, 70, 73	syl22anc 826	. . . . 5 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑧 ∈ 𝑅) → (deg‘((Xp ∘𝑓 − (ℂ × {𝑧})) ∘𝑓 · 𝑄)) = ((deg‘(Xp ∘𝑓 − (ℂ × {𝑧}))) + (deg‘𝑄)))
75	42, 53, 74	3eqtrd 2818	. . . 4 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑧 ∈ 𝑅) → (𝐷 + 1) = ((deg‘(Xp ∘𝑓 − (ℂ × {𝑧}))) + (deg‘𝑄)))
76	17	oveq1d 6991	. . . 4 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑧 ∈ 𝑅) → ((deg‘(Xp ∘𝑓 − (ℂ × {𝑧}))) + (deg‘𝑄)) = (1 + (deg‘𝑄)))
77	38, 75, 76	3eqtrd 2818	. . 3 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑧 ∈ 𝑅) → (1 + 𝐷) = (1 + (deg‘𝑄)))
78	29, 32, 35, 77	addcanad 10645	. 2 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑧 ∈ 𝑅) → 𝐷 = (deg‘𝑄))
79	28, 78	jca 504	1 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑧 ∈ 𝑅) → (𝑄 ∈ (Poly‘ℂ) ∧ 𝐷 = (deg‘𝑄)))

Syntax hints:  ¬ wn 3   → wi 4   ↔ wb 198   ∧ wa 387   ∨ wo 833   ∧ w3a 1068   = wceq 1507   ∈ wcel 2050   ≠ wne 2967  ∀wral 3088  {csn 4441   × cxp 5405  ^◡ccnv 5406  dom cdm 5407   “ cima 5410   Fn wfn 6183  ⟶wf 6184  ‘cfv 6188  (class class class)co 6976   ∘_𝑓 cof 7225  ℂcc 10333  0cc0 10335  1c1 10336   + caddc 10338   · cmul 10340   − cmin 10670  -cneg 10671   / cdiv 11098  ℕcn 11439  ℕ₀cn0 11707  ♯chash 13505  Σcsu 14903  0_𝑝c0p 23973  Polycply 24477  X_pcidp 24478  coeffccoe 24479  degcdgr 24480   quot cquot 24582

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1758  ax-4 1772  ax-5 1869  ax-6 1928  ax-7 1965  ax-8 2052  ax-9 2059  ax-10 2079  ax-11 2093  ax-12 2106  ax-13 2301  ax-ext 2750  ax-rep 5049  ax-sep 5060  ax-nul 5067  ax-pow 5119  ax-pr 5186  ax-un 7279  ax-inf2 8898  ax-cnex 10391  ax-resscn 10392  ax-1cn 10393  ax-icn 10394  ax-addcl 10395  ax-addrcl 10396  ax-mulcl 10397  ax-mulrcl 10398  ax-mulcom 10399  ax-addass 10400  ax-mulass 10401  ax-distr 10402  ax-i2m1 10403  ax-1ne0 10404  ax-1rid 10405  ax-rnegex 10406  ax-rrecex 10407  ax-cnre 10408  ax-pre-lttri 10409  ax-pre-lttrn 10410  ax-pre-ltadd 10411  ax-pre-mulgt0 10412  ax-pre-sup 10413  ax-addf 10414

This theorem depends on definitions:  df-bi 199  df-an 388  df-or 834  df-3or 1069  df-3an 1070  df-tru 1510  df-fal 1520  df-ex 1743  df-nf 1747  df-sb 2016  df-mo 2547  df-eu 2584  df-clab 2759  df-cleq 2771  df-clel 2846  df-nfc 2918  df-ne 2968  df-nel 3074  df-ral 3093  df-rex 3094  df-reu 3095  df-rmo 3096  df-rab 3097  df-v 3417  df-sbc 3682  df-csb 3787  df-dif 3832  df-un 3834  df-in 3836  df-ss 3843  df-pss 3845  df-nul 4179  df-if 4351  df-pw 4424  df-sn 4442  df-pr 4444  df-tp 4446  df-op 4448  df-uni 4713  df-int 4750  df-iun 4794  df-br 4930  df-opab 4992  df-mpt 5009  df-tr 5031  df-id 5312  df-eprel 5317  df-po 5326  df-so 5327  df-fr 5366  df-se 5367  df-we 5368  df-xp 5413  df-rel 5414  df-cnv 5415  df-co 5416  df-dm 5417  df-rn 5418  df-res 5419  df-ima 5420  df-pred 5986  df-ord 6032  df-on 6033  df-lim 6034  df-suc 6035  df-iota 6152  df-fun 6190  df-fn 6191  df-f 6192  df-f1 6193  df-fo 6194  df-f1o 6195  df-fv 6196  df-isom 6197  df-riota 6937  df-ov 6979  df-oprab 6980  df-mpo 6981  df-of 7227  df-om 7397  df-1st 7501  df-2nd 7502  df-wrecs 7750  df-recs 7812  df-rdg 7850  df-1o 7905  df-oadd 7909  df-er 8089  df-map 8208  df-pm 8209  df-en 8307  df-dom 8308  df-sdom 8309  df-fin 8310  df-sup 8701  df-inf 8702  df-oi 8769  df-card 9162  df-pnf 10476  df-mnf 10477  df-xr 10478  df-ltxr 10479  df-le 10480  df-sub 10672  df-neg 10673  df-div 11099  df-nn 11440  df-2 11503  df-3 11504  df-n0 11708  df-z 11794  df-uz 12059  df-rp 12205  df-fz 12709  df-fzo 12850  df-fl 12977  df-seq 13185  df-exp 13245  df-hash 13506  df-cj 14319  df-re 14320  df-im 14321  df-sqrt 14455  df-abs 14456  df-clim 14706  df-rlim 14707  df-sum 14904  df-0p 23974  df-ply 24481  df-idp 24482  df-coe 24483  df-dgr 24484  df-quot 24583

This theorem is referenced by:  vieta1lem2  24603