MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  vieta1lem1 Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem vieta1lem1 24602
Description: Lemma for vieta1 24604. (Contributed by Mario Carneiro, 28-Jul-2014.)
Hypotheses
Ref Expression
vieta1.1 𝐴 = (coeff‘𝐹)
vieta1.2 𝑁 = (deg‘𝐹)
vieta1.3 𝑅 = (𝐹 “ {0})
vieta1.4 (𝜑𝐹 ∈ (Poly‘𝑆))
vieta1.5 (𝜑 → (♯‘𝑅) = 𝑁)
vieta1lem.6 (𝜑𝐷 ∈ ℕ)
vieta1lem.7 (𝜑 → (𝐷 + 1) = 𝑁)
vieta1lem.8 (𝜑 → ∀𝑓 ∈ (Poly‘ℂ)((𝐷 = (deg‘𝑓) ∧ (♯‘(𝑓 “ {0})) = (deg‘𝑓)) → Σ𝑥 ∈ (𝑓 “ {0})𝑥 = -(((coeff‘𝑓)‘((deg‘𝑓) − 1)) / ((coeff‘𝑓)‘(deg‘𝑓)))))
vieta1lem.9 𝑄 = (𝐹 quot (Xp𝑓 − (ℂ × {𝑧})))
Assertion
Ref Expression
vieta1lem1 ((𝜑𝑧𝑅) → (𝑄 ∈ (Poly‘ℂ) ∧ 𝐷 = (deg‘𝑄)))
Distinct variable groups:   𝐷,𝑓   𝑓,𝐹   𝑧,𝑓,𝑁   𝑥,𝑓,𝑄   𝑅,𝑓   𝑥,𝑧,𝑅   𝐴,𝑓,𝑧   𝜑,𝑥,𝑧
Allowed substitution hints:   𝜑(𝑓)   𝐴(𝑥)   𝐷(𝑥,𝑧)   𝑄(𝑧)   𝑆(𝑥,𝑧,𝑓)   𝐹(𝑥,𝑧)   𝑁(𝑥)

Proof of Theorem vieta1lem1
StepHypRef Expression
1 vieta1lem.9 . . 3 𝑄 = (𝐹 quot (Xp𝑓 − (ℂ × {𝑧})))
2 plyssc 24493 . . . . 5 (Poly‘𝑆) ⊆ (Poly‘ℂ)
3 vieta1.4 . . . . . 6 (𝜑𝐹 ∈ (Poly‘𝑆))
43adantr 473 . . . . 5 ((𝜑𝑧𝑅) → 𝐹 ∈ (Poly‘𝑆))
52, 4sseldi 3856 . . . 4 ((𝜑𝑧𝑅) → 𝐹 ∈ (Poly‘ℂ))
6 vieta1.3 . . . . . . . . 9 𝑅 = (𝐹 “ {0})
7 cnvimass 5789 . . . . . . . . 9 (𝐹 “ {0}) ⊆ dom 𝐹
86, 7eqsstri 3891 . . . . . . . 8 𝑅 ⊆ dom 𝐹
9 plyf 24491 . . . . . . . . 9 (𝐹 ∈ (Poly‘𝑆) → 𝐹:ℂ⟶ℂ)
103, 9syl 17 . . . . . . . 8 (𝜑𝐹:ℂ⟶ℂ)
118, 10fssdm 6360 . . . . . . 7 (𝜑𝑅 ⊆ ℂ)
1211sselda 3858 . . . . . 6 ((𝜑𝑧𝑅) → 𝑧 ∈ ℂ)
13 eqid 2778 . . . . . . 7 (Xp𝑓 − (ℂ × {𝑧})) = (Xp𝑓 − (ℂ × {𝑧}))
1413plyremlem 24596 . . . . . 6 (𝑧 ∈ ℂ → ((Xp𝑓 − (ℂ × {𝑧})) ∈ (Poly‘ℂ) ∧ (deg‘(Xp𝑓 − (ℂ × {𝑧}))) = 1 ∧ ((Xp𝑓 − (ℂ × {𝑧})) “ {0}) = {𝑧}))
1512, 14syl 17 . . . . 5 ((𝜑𝑧𝑅) → ((Xp𝑓 − (ℂ × {𝑧})) ∈ (Poly‘ℂ) ∧ (deg‘(Xp𝑓 − (ℂ × {𝑧}))) = 1 ∧ ((Xp𝑓 − (ℂ × {𝑧})) “ {0}) = {𝑧}))
1615simp1d 1122 . . . 4 ((𝜑𝑧𝑅) → (Xp𝑓 − (ℂ × {𝑧})) ∈ (Poly‘ℂ))
1715simp2d 1123 . . . . . 6 ((𝜑𝑧𝑅) → (deg‘(Xp𝑓 − (ℂ × {𝑧}))) = 1)
18 ax-1ne0 10404 . . . . . . 7 1 ≠ 0
1918a1i 11 . . . . . 6 ((𝜑𝑧𝑅) → 1 ≠ 0)
2017, 19eqnetrd 3034 . . . . 5 ((𝜑𝑧𝑅) → (deg‘(Xp𝑓 − (ℂ × {𝑧}))) ≠ 0)
21 fveq2 6499 . . . . . . 7 ((Xp𝑓 − (ℂ × {𝑧})) = 0𝑝 → (deg‘(Xp𝑓 − (ℂ × {𝑧}))) = (deg‘0𝑝))
22 dgr0 24555 . . . . . . 7 (deg‘0𝑝) = 0
2321, 22syl6eq 2830 . . . . . 6 ((Xp𝑓 − (ℂ × {𝑧})) = 0𝑝 → (deg‘(Xp𝑓 − (ℂ × {𝑧}))) = 0)
2423necon3i 2999 . . . . 5 ((deg‘(Xp𝑓 − (ℂ × {𝑧}))) ≠ 0 → (Xp𝑓 − (ℂ × {𝑧})) ≠ 0𝑝)
2520, 24syl 17 . . . 4 ((𝜑𝑧𝑅) → (Xp𝑓 − (ℂ × {𝑧})) ≠ 0𝑝)
26 quotcl2 24594 . . . 4 ((𝐹 ∈ (Poly‘ℂ) ∧ (Xp𝑓 − (ℂ × {𝑧})) ∈ (Poly‘ℂ) ∧ (Xp𝑓 − (ℂ × {𝑧})) ≠ 0𝑝) → (𝐹 quot (Xp𝑓 − (ℂ × {𝑧}))) ∈ (Poly‘ℂ))
275, 16, 25, 26syl3anc 1351 . . 3 ((𝜑𝑧𝑅) → (𝐹 quot (Xp𝑓 − (ℂ × {𝑧}))) ∈ (Poly‘ℂ))
281, 27syl5eqel 2870 . 2 ((𝜑𝑧𝑅) → 𝑄 ∈ (Poly‘ℂ))
29 1cnd 10434 . . 3 ((𝜑𝑧𝑅) → 1 ∈ ℂ)
30 vieta1lem.6 . . . . 5 (𝜑𝐷 ∈ ℕ)
3130nncnd 11457 . . . 4 (𝜑𝐷 ∈ ℂ)
3231adantr 473 . . 3 ((𝜑𝑧𝑅) → 𝐷 ∈ ℂ)
33 dgrcl 24526 . . . . 5 (𝑄 ∈ (Poly‘ℂ) → (deg‘𝑄) ∈ ℕ0)
3428, 33syl 17 . . . 4 ((𝜑𝑧𝑅) → (deg‘𝑄) ∈ ℕ0)
3534nn0cnd 11769 . . 3 ((𝜑𝑧𝑅) → (deg‘𝑄) ∈ ℂ)
36 ax-1cn 10393 . . . . 5 1 ∈ ℂ
37 addcom 10626 . . . . 5 ((1 ∈ ℂ ∧ 𝐷 ∈ ℂ) → (1 + 𝐷) = (𝐷 + 1))
3836, 32, 37sylancr 578 . . . 4 ((𝜑𝑧𝑅) → (1 + 𝐷) = (𝐷 + 1))
39 vieta1lem.7 . . . . . . 7 (𝜑 → (𝐷 + 1) = 𝑁)
40 vieta1.2 . . . . . . 7 𝑁 = (deg‘𝐹)
4139, 40syl6eq 2830 . . . . . 6 (𝜑 → (𝐷 + 1) = (deg‘𝐹))
4241adantr 473 . . . . 5 ((𝜑𝑧𝑅) → (𝐷 + 1) = (deg‘𝐹))
436eleq2i 2857 . . . . . . . . . 10 (𝑧𝑅𝑧 ∈ (𝐹 “ {0}))
4410ffnd 6345 . . . . . . . . . . 11 (𝜑𝐹 Fn ℂ)
45 fniniseg 6655 . . . . . . . . . . 11 (𝐹 Fn ℂ → (𝑧 ∈ (𝐹 “ {0}) ↔ (𝑧 ∈ ℂ ∧ (𝐹𝑧) = 0)))
4644, 45syl 17 . . . . . . . . . 10 (𝜑 → (𝑧 ∈ (𝐹 “ {0}) ↔ (𝑧 ∈ ℂ ∧ (𝐹𝑧) = 0)))
4743, 46syl5bb 275 . . . . . . . . 9 (𝜑 → (𝑧𝑅 ↔ (𝑧 ∈ ℂ ∧ (𝐹𝑧) = 0)))
4847simplbda 492 . . . . . . . 8 ((𝜑𝑧𝑅) → (𝐹𝑧) = 0)
4913facth 24598 . . . . . . . 8 ((𝐹 ∈ (Poly‘𝑆) ∧ 𝑧 ∈ ℂ ∧ (𝐹𝑧) = 0) → 𝐹 = ((Xp𝑓 − (ℂ × {𝑧})) ∘𝑓 · (𝐹 quot (Xp𝑓 − (ℂ × {𝑧})))))
504, 12, 48, 49syl3anc 1351 . . . . . . 7 ((𝜑𝑧𝑅) → 𝐹 = ((Xp𝑓 − (ℂ × {𝑧})) ∘𝑓 · (𝐹 quot (Xp𝑓 − (ℂ × {𝑧})))))
511oveq2i 6987 . . . . . . 7 ((Xp𝑓 − (ℂ × {𝑧})) ∘𝑓 · 𝑄) = ((Xp𝑓 − (ℂ × {𝑧})) ∘𝑓 · (𝐹 quot (Xp𝑓 − (ℂ × {𝑧}))))
5250, 51syl6eqr 2832 . . . . . 6 ((𝜑𝑧𝑅) → 𝐹 = ((Xp𝑓 − (ℂ × {𝑧})) ∘𝑓 · 𝑄))
5352fveq2d 6503 . . . . 5 ((𝜑𝑧𝑅) → (deg‘𝐹) = (deg‘((Xp𝑓 − (ℂ × {𝑧})) ∘𝑓 · 𝑄)))
5430peano2nnd 11458 . . . . . . . . . . . . . . 15 (𝜑 → (𝐷 + 1) ∈ ℕ)
5539, 54eqeltrrd 2867 . . . . . . . . . . . . . 14 (𝜑𝑁 ∈ ℕ)
5655nnne0d 11490 . . . . . . . . . . . . 13 (𝜑𝑁 ≠ 0)
5740, 56syl5eqner 3042 . . . . . . . . . . . 12 (𝜑 → (deg‘𝐹) ≠ 0)
58 fveq2 6499 . . . . . . . . . . . . . 14 (𝐹 = 0𝑝 → (deg‘𝐹) = (deg‘0𝑝))
5958, 22syl6eq 2830 . . . . . . . . . . . . 13 (𝐹 = 0𝑝 → (deg‘𝐹) = 0)
6059necon3i 2999 . . . . . . . . . . . 12 ((deg‘𝐹) ≠ 0 → 𝐹 ≠ 0𝑝)
6157, 60syl 17 . . . . . . . . . . 11 (𝜑𝐹 ≠ 0𝑝)
6261adantr 473 . . . . . . . . . 10 ((𝜑𝑧𝑅) → 𝐹 ≠ 0𝑝)
6352, 62eqnetrrd 3035 . . . . . . . . 9 ((𝜑𝑧𝑅) → ((Xp𝑓 − (ℂ × {𝑧})) ∘𝑓 · 𝑄) ≠ 0𝑝)
64 plymul0or 24573 . . . . . . . . . . 11 (((Xp𝑓 − (ℂ × {𝑧})) ∈ (Poly‘ℂ) ∧ 𝑄 ∈ (Poly‘ℂ)) → (((Xp𝑓 − (ℂ × {𝑧})) ∘𝑓 · 𝑄) = 0𝑝 ↔ ((Xp𝑓 − (ℂ × {𝑧})) = 0𝑝𝑄 = 0𝑝)))
6516, 28, 64syl2anc 576 . . . . . . . . . 10 ((𝜑𝑧𝑅) → (((Xp𝑓 − (ℂ × {𝑧})) ∘𝑓 · 𝑄) = 0𝑝 ↔ ((Xp𝑓 − (ℂ × {𝑧})) = 0𝑝𝑄 = 0𝑝)))
6665necon3abid 3003 . . . . . . . . 9 ((𝜑𝑧𝑅) → (((Xp𝑓 − (ℂ × {𝑧})) ∘𝑓 · 𝑄) ≠ 0𝑝 ↔ ¬ ((Xp𝑓 − (ℂ × {𝑧})) = 0𝑝𝑄 = 0𝑝)))
6763, 66mpbid 224 . . . . . . . 8 ((𝜑𝑧𝑅) → ¬ ((Xp𝑓 − (ℂ × {𝑧})) = 0𝑝𝑄 = 0𝑝))
68 neanior 3060 . . . . . . . 8 (((Xp𝑓 − (ℂ × {𝑧})) ≠ 0𝑝𝑄 ≠ 0𝑝) ↔ ¬ ((Xp𝑓 − (ℂ × {𝑧})) = 0𝑝𝑄 = 0𝑝))
6967, 68sylibr 226 . . . . . . 7 ((𝜑𝑧𝑅) → ((Xp𝑓 − (ℂ × {𝑧})) ≠ 0𝑝𝑄 ≠ 0𝑝))
7069simprd 488 . . . . . 6 ((𝜑𝑧𝑅) → 𝑄 ≠ 0𝑝)
71 eqid 2778 . . . . . . 7 (deg‘(Xp𝑓 − (ℂ × {𝑧}))) = (deg‘(Xp𝑓 − (ℂ × {𝑧})))
72 eqid 2778 . . . . . . 7 (deg‘𝑄) = (deg‘𝑄)
7371, 72dgrmul 24563 . . . . . 6 ((((Xp𝑓 − (ℂ × {𝑧})) ∈ (Poly‘ℂ) ∧ (Xp𝑓 − (ℂ × {𝑧})) ≠ 0𝑝) ∧ (𝑄 ∈ (Poly‘ℂ) ∧ 𝑄 ≠ 0𝑝)) → (deg‘((Xp𝑓 − (ℂ × {𝑧})) ∘𝑓 · 𝑄)) = ((deg‘(Xp𝑓 − (ℂ × {𝑧}))) + (deg‘𝑄)))
7416, 25, 28, 70, 73syl22anc 826 . . . . 5 ((𝜑𝑧𝑅) → (deg‘((Xp𝑓 − (ℂ × {𝑧})) ∘𝑓 · 𝑄)) = ((deg‘(Xp𝑓 − (ℂ × {𝑧}))) + (deg‘𝑄)))
7542, 53, 743eqtrd 2818 . . . 4 ((𝜑𝑧𝑅) → (𝐷 + 1) = ((deg‘(Xp𝑓 − (ℂ × {𝑧}))) + (deg‘𝑄)))
7617oveq1d 6991 . . . 4 ((𝜑𝑧𝑅) → ((deg‘(Xp𝑓 − (ℂ × {𝑧}))) + (deg‘𝑄)) = (1 + (deg‘𝑄)))
7738, 75, 763eqtrd 2818 . . 3 ((𝜑𝑧𝑅) → (1 + 𝐷) = (1 + (deg‘𝑄)))
7829, 32, 35, 77addcanad 10645 . 2 ((𝜑𝑧𝑅) → 𝐷 = (deg‘𝑄))
7928, 78jca 504 1 ((𝜑𝑧𝑅) → (𝑄 ∈ (Poly‘ℂ) ∧ 𝐷 = (deg‘𝑄)))
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  ¬ wn 3  wi 4  wb 198  wa 387  wo 833  w3a 1068   = wceq 1507  wcel 2050  wne 2967  wral 3088  {csn 4441   × cxp 5405  ccnv 5406  dom cdm 5407  cima 5410   Fn wfn 6183  wf 6184  cfv 6188  (class class class)co 6976  𝑓 cof 7225  cc 10333  0cc0 10335  1c1 10336   + caddc 10338   · cmul 10340  cmin 10670  -cneg 10671   / cdiv 11098  cn 11439  0cn0 11707  chash 13505  Σcsu 14903  0𝑝c0p 23973  Polycply 24477  Xpcidp 24478  coeffccoe 24479  degcdgr 24480   quot cquot 24582
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1758  ax-4 1772  ax-5 1869  ax-6 1928  ax-7 1965  ax-8 2052  ax-9 2059  ax-10 2079  ax-11 2093  ax-12 2106  ax-13 2301  ax-ext 2750  ax-rep 5049  ax-sep 5060  ax-nul 5067  ax-pow 5119  ax-pr 5186  ax-un 7279  ax-inf2 8898  ax-cnex 10391  ax-resscn 10392  ax-1cn 10393  ax-icn 10394  ax-addcl 10395  ax-addrcl 10396  ax-mulcl 10397  ax-mulrcl 10398  ax-mulcom 10399  ax-addass 10400  ax-mulass 10401  ax-distr 10402  ax-i2m1 10403  ax-1ne0 10404  ax-1rid 10405  ax-rnegex 10406  ax-rrecex 10407  ax-cnre 10408  ax-pre-lttri 10409  ax-pre-lttrn 10410  ax-pre-ltadd 10411  ax-pre-mulgt0 10412  ax-pre-sup 10413  ax-addf 10414
This theorem depends on definitions:  df-bi 199  df-an 388  df-or 834  df-3or 1069  df-3an 1070  df-tru 1510  df-fal 1520  df-ex 1743  df-nf 1747  df-sb 2016  df-mo 2547  df-eu 2584  df-clab 2759  df-cleq 2771  df-clel 2846  df-nfc 2918  df-ne 2968  df-nel 3074  df-ral 3093  df-rex 3094  df-reu 3095  df-rmo 3096  df-rab 3097  df-v 3417  df-sbc 3682  df-csb 3787  df-dif 3832  df-un 3834  df-in 3836  df-ss 3843  df-pss 3845  df-nul 4179  df-if 4351  df-pw 4424  df-sn 4442  df-pr 4444  df-tp 4446  df-op 4448  df-uni 4713  df-int 4750  df-iun 4794  df-br 4930  df-opab 4992  df-mpt 5009  df-tr 5031  df-id 5312  df-eprel 5317  df-po 5326  df-so 5327  df-fr 5366  df-se 5367  df-we 5368  df-xp 5413  df-rel 5414  df-cnv 5415  df-co 5416  df-dm 5417  df-rn 5418  df-res 5419  df-ima 5420  df-pred 5986  df-ord 6032  df-on 6033  df-lim 6034  df-suc 6035  df-iota 6152  df-fun 6190  df-fn 6191  df-f 6192  df-f1 6193  df-fo 6194  df-f1o 6195  df-fv 6196  df-isom 6197  df-riota 6937  df-ov 6979  df-oprab 6980  df-mpo 6981  df-of 7227  df-om 7397  df-1st 7501  df-2nd 7502  df-wrecs 7750  df-recs 7812  df-rdg 7850  df-1o 7905  df-oadd 7909  df-er 8089  df-map 8208  df-pm 8209  df-en 8307  df-dom 8308  df-sdom 8309  df-fin 8310  df-sup 8701  df-inf 8702  df-oi 8769  df-card 9162  df-pnf 10476  df-mnf 10477  df-xr 10478  df-ltxr 10479  df-le 10480  df-sub 10672  df-neg 10673  df-div 11099  df-nn 11440  df-2 11503  df-3 11504  df-n0 11708  df-z 11794  df-uz 12059  df-rp 12205  df-fz 12709  df-fzo 12850  df-fl 12977  df-seq 13185  df-exp 13245  df-hash 13506  df-cj 14319  df-re 14320  df-im 14321  df-sqrt 14455  df-abs 14456  df-clim 14706  df-rlim 14707  df-sum 14904  df-0p 23974  df-ply 24481  df-idp 24482  df-coe 24483  df-dgr 24484  df-quot 24583
This theorem is referenced by:  vieta1lem2  24603
  Copyright terms: Public domain W3C validator