Theorem vieta1lem1 26251

Description: Lemma for vieta1 26253. (Contributed by Mario Carneiro, 28-Jul-2014.)

Hypotheses

Ref	Expression
vieta1.1	⊢ 𝐴 = (coeff‘𝐹)
vieta1.2	⊢ 𝑁 = (deg‘𝐹)
vieta1.3	⊢ 𝑅 = (◡𝐹 “ {0})
vieta1.4	⊢ (𝜑 → 𝐹 ∈ (Poly‘𝑆))
vieta1.5	⊢ (𝜑 → (♯‘𝑅) = 𝑁)
vieta1lem.6	⊢ (𝜑 → 𝐷 ∈ ℕ)
vieta1lem.7	⊢ (𝜑 → (𝐷 + 1) = 𝑁)
vieta1lem.8	⊢ (𝜑 → ∀𝑓 ∈ (Poly‘ℂ)((𝐷 = (deg‘𝑓) ∧ (♯‘(◡𝑓 “ {0})) = (deg‘𝑓)) → Σ𝑥 ∈ (◡𝑓 “ {0})𝑥 = -(((coeff‘𝑓)‘((deg‘𝑓) − 1)) / ((coeff‘𝑓)‘(deg‘𝑓)))))
vieta1lem.9	⊢ 𝑄 = (𝐹 quot (Xp ∘f − (ℂ × {𝑧})))

Assertion

Ref	Expression
vieta1lem1	⊢ ((𝜑 ∧ 𝑧 ∈ 𝑅) → (𝑄 ∈ (Poly‘ℂ) ∧ 𝐷 = (deg‘𝑄)))

Distinct variable groups:   𝐷,𝑓   𝑓,𝐹   𝑧,𝑓,𝑁   𝑥,𝑓,𝑄   𝑅,𝑓   𝑥,𝑧,𝑅   𝐴,𝑓,𝑧   𝜑,𝑥,𝑧

Allowed substitution hints:   𝜑(𝑓)   𝐴(𝑥)   𝐷(𝑥,𝑧)   𝑄(𝑧)   𝑆(𝑥,𝑧,𝑓)   𝐹(𝑥,𝑧)   𝑁(𝑥)

Proof of Theorem vieta1lem1

Step	Hyp	Ref	Expression
1		vieta1lem.9	. . 3 ⊢ 𝑄 = (𝐹 quot (Xp ∘f − (ℂ × {𝑧})))
2		plyssc 26138	. . . . 5 ⊢ (Poly‘𝑆) ⊆ (Poly‘ℂ)
3		vieta1.4	. . . . . 6 ⊢ (𝜑 → 𝐹 ∈ (Poly‘𝑆))
4	3	adantr 480	. . . . 5 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑧 ∈ 𝑅) → 𝐹 ∈ (Poly‘𝑆))
5	2, 4	sselid 3941	. . . 4 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑧 ∈ 𝑅) → 𝐹 ∈ (Poly‘ℂ))
6		vieta1.3	. . . . . . . . 9 ⊢ 𝑅 = (◡𝐹 “ {0})
7		cnvimass 6042	. . . . . . . . 9 ⊢ (◡𝐹 “ {0}) ⊆ dom 𝐹
8	6, 7	eqsstri 3990	. . . . . . . 8 ⊢ 𝑅 ⊆ dom 𝐹
9		plyf 26136	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝐹 ∈ (Poly‘𝑆) → 𝐹:ℂ⟶ℂ)
10	3, 9	syl 17	. . . . . . . 8 ⊢ (𝜑 → 𝐹:ℂ⟶ℂ)
11	8, 10	fssdm 6689	. . . . . . 7 ⊢ (𝜑 → 𝑅 ⊆ ℂ)
12	11	sselda 3943	. . . . . 6 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑧 ∈ 𝑅) → 𝑧 ∈ ℂ)
13		eqid 2729	. . . . . . 7 ⊢ (Xp ∘f − (ℂ × {𝑧})) = (Xp ∘f − (ℂ × {𝑧}))
14	13	plyremlem 26245	. . . . . 6 ⊢ (𝑧 ∈ ℂ → ((Xp ∘f − (ℂ × {𝑧})) ∈ (Poly‘ℂ) ∧ (deg‘(Xp ∘f − (ℂ × {𝑧}))) = 1 ∧ (◡(Xp ∘f − (ℂ × {𝑧})) “ {0}) = {𝑧}))
15	12, 14	syl 17	. . . . 5 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑧 ∈ 𝑅) → ((Xp ∘f − (ℂ × {𝑧})) ∈ (Poly‘ℂ) ∧ (deg‘(Xp ∘f − (ℂ × {𝑧}))) = 1 ∧ (◡(Xp ∘f − (ℂ × {𝑧})) “ {0}) = {𝑧}))
16	15	simp1d 1142	. . . 4 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑧 ∈ 𝑅) → (Xp ∘f − (ℂ × {𝑧})) ∈ (Poly‘ℂ))
17	15	simp2d 1143	. . . . . 6 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑧 ∈ 𝑅) → (deg‘(Xp ∘f − (ℂ × {𝑧}))) = 1)
18		ax-1ne0 11113	. . . . . . 7 ⊢ 1 ≠ 0
19	18	a1i 11	. . . . . 6 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑧 ∈ 𝑅) → 1 ≠ 0)
20	17, 19	eqnetrd 2992	. . . . 5 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑧 ∈ 𝑅) → (deg‘(Xp ∘f − (ℂ × {𝑧}))) ≠ 0)
21		fveq2 6840	. . . . . . 7 ⊢ ((Xp ∘f − (ℂ × {𝑧})) = 0𝑝 → (deg‘(Xp ∘f − (ℂ × {𝑧}))) = (deg‘0𝑝))
22		dgr0 26201	. . . . . . 7 ⊢ (deg‘0𝑝) = 0
23	21, 22	eqtrdi 2780	. . . . . 6 ⊢ ((Xp ∘f − (ℂ × {𝑧})) = 0𝑝 → (deg‘(Xp ∘f − (ℂ × {𝑧}))) = 0)
24	23	necon3i 2957	. . . . 5 ⊢ ((deg‘(Xp ∘f − (ℂ × {𝑧}))) ≠ 0 → (Xp ∘f − (ℂ × {𝑧})) ≠ 0𝑝)
25	20, 24	syl 17	. . . 4 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑧 ∈ 𝑅) → (Xp ∘f − (ℂ × {𝑧})) ≠ 0𝑝)
26		quotcl2 26243	. . . 4 ⊢ ((𝐹 ∈ (Poly‘ℂ) ∧ (Xp ∘f − (ℂ × {𝑧})) ∈ (Poly‘ℂ) ∧ (Xp ∘f − (ℂ × {𝑧})) ≠ 0𝑝) → (𝐹 quot (Xp ∘f − (ℂ × {𝑧}))) ∈ (Poly‘ℂ))
27	5, 16, 25, 26	syl3anc 1373	. . 3 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑧 ∈ 𝑅) → (𝐹 quot (Xp ∘f − (ℂ × {𝑧}))) ∈ (Poly‘ℂ))
28	1, 27	eqeltrid 2832	. 2 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑧 ∈ 𝑅) → 𝑄 ∈ (Poly‘ℂ))
29		1cnd 11145	. . 3 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑧 ∈ 𝑅) → 1 ∈ ℂ)
30		vieta1lem.6	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → 𝐷 ∈ ℕ)
31	30	nncnd 12178	. . . 4 ⊢ (𝜑 → 𝐷 ∈ ℂ)
32	31	adantr 480	. . 3 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑧 ∈ 𝑅) → 𝐷 ∈ ℂ)
33		dgrcl 26171	. . . . 5 ⊢ (𝑄 ∈ (Poly‘ℂ) → (deg‘𝑄) ∈ ℕ0)
34	28, 33	syl 17	. . . 4 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑧 ∈ 𝑅) → (deg‘𝑄) ∈ ℕ0)
35	34	nn0cnd 12481	. . 3 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑧 ∈ 𝑅) → (deg‘𝑄) ∈ ℂ)
36		ax-1cn 11102	. . . . 5 ⊢ 1 ∈ ℂ
37		addcom 11336	. . . . 5 ⊢ ((1 ∈ ℂ ∧ 𝐷 ∈ ℂ) → (1 + 𝐷) = (𝐷 + 1))
38	36, 32, 37	sylancr 587	. . . 4 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑧 ∈ 𝑅) → (1 + 𝐷) = (𝐷 + 1))
39		vieta1lem.7	. . . . . . 7 ⊢ (𝜑 → (𝐷 + 1) = 𝑁)
40		vieta1.2	. . . . . . 7 ⊢ 𝑁 = (deg‘𝐹)
41	39, 40	eqtrdi 2780	. . . . . 6 ⊢ (𝜑 → (𝐷 + 1) = (deg‘𝐹))
42	41	adantr 480	. . . . 5 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑧 ∈ 𝑅) → (𝐷 + 1) = (deg‘𝐹))
43	6	eleq2i 2820	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝑧 ∈ 𝑅 ↔ 𝑧 ∈ (◡𝐹 “ {0}))
44	10	ffnd 6671	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (𝜑 → 𝐹 Fn ℂ)
45		fniniseg 7014	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (𝐹 Fn ℂ → (𝑧 ∈ (◡𝐹 “ {0}) ↔ (𝑧 ∈ ℂ ∧ (𝐹‘𝑧) = 0)))
46	44, 45	syl 17	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝜑 → (𝑧 ∈ (◡𝐹 “ {0}) ↔ (𝑧 ∈ ℂ ∧ (𝐹‘𝑧) = 0)))
47	43, 46	bitrid 283	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝜑 → (𝑧 ∈ 𝑅 ↔ (𝑧 ∈ ℂ ∧ (𝐹‘𝑧) = 0)))
48	47	simplbda 499	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑧 ∈ 𝑅) → (𝐹‘𝑧) = 0)
49	13	facth 26247	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝐹 ∈ (Poly‘𝑆) ∧ 𝑧 ∈ ℂ ∧ (𝐹‘𝑧) = 0) → 𝐹 = ((Xp ∘f − (ℂ × {𝑧})) ∘f · (𝐹 quot (Xp ∘f − (ℂ × {𝑧})))))
50	4, 12, 48, 49	syl3anc 1373	. . . . . . 7 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑧 ∈ 𝑅) → 𝐹 = ((Xp ∘f − (ℂ × {𝑧})) ∘f · (𝐹 quot (Xp ∘f − (ℂ × {𝑧})))))
51	1	oveq2i 7380	. . . . . . 7 ⊢ ((Xp ∘f − (ℂ × {𝑧})) ∘f · 𝑄) = ((Xp ∘f − (ℂ × {𝑧})) ∘f · (𝐹 quot (Xp ∘f − (ℂ × {𝑧}))))
52	50, 51	eqtr4di 2782	. . . . . 6 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑧 ∈ 𝑅) → 𝐹 = ((Xp ∘f − (ℂ × {𝑧})) ∘f · 𝑄))
53	52	fveq2d 6844	. . . . 5 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑧 ∈ 𝑅) → (deg‘𝐹) = (deg‘((Xp ∘f − (ℂ × {𝑧})) ∘f · 𝑄)))
54	30	peano2nnd 12179	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ (𝜑 → (𝐷 + 1) ∈ ℕ)
55	39, 54	eqeltrrd 2829	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ (𝜑 → 𝑁 ∈ ℕ)
56	55	nnne0d 12212	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (𝜑 → 𝑁 ≠ 0)
57	40, 56	eqnetrrid 3000	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (𝜑 → (deg‘𝐹) ≠ 0)
58		fveq2 6840	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ (𝐹 = 0𝑝 → (deg‘𝐹) = (deg‘0𝑝))
59	58, 22	eqtrdi 2780	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (𝐹 = 0𝑝 → (deg‘𝐹) = 0)
60	59	necon3i 2957	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ ((deg‘𝐹) ≠ 0 → 𝐹 ≠ 0𝑝)
61	57, 60	syl 17	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (𝜑 → 𝐹 ≠ 0𝑝)
62	61	adantr 480	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑧 ∈ 𝑅) → 𝐹 ≠ 0𝑝)
63	52, 62	eqnetrrd 2993	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑧 ∈ 𝑅) → ((Xp ∘f − (ℂ × {𝑧})) ∘f · 𝑄) ≠ 0𝑝)
64		plymul0or 26221	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (((Xp ∘f − (ℂ × {𝑧})) ∈ (Poly‘ℂ) ∧ 𝑄 ∈ (Poly‘ℂ)) → (((Xp ∘f − (ℂ × {𝑧})) ∘f · 𝑄) = 0𝑝 ↔ ((Xp ∘f − (ℂ × {𝑧})) = 0𝑝 ∨ 𝑄 = 0𝑝)))
65	16, 28, 64	syl2anc 584	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑧 ∈ 𝑅) → (((Xp ∘f − (ℂ × {𝑧})) ∘f · 𝑄) = 0𝑝 ↔ ((Xp ∘f − (ℂ × {𝑧})) = 0𝑝 ∨ 𝑄 = 0𝑝)))
66	65	necon3abid 2961	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑧 ∈ 𝑅) → (((Xp ∘f − (ℂ × {𝑧})) ∘f · 𝑄) ≠ 0𝑝 ↔ ¬ ((Xp ∘f − (ℂ × {𝑧})) = 0𝑝 ∨ 𝑄 = 0𝑝)))
67	63, 66	mpbid 232	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑧 ∈ 𝑅) → ¬ ((Xp ∘f − (ℂ × {𝑧})) = 0𝑝 ∨ 𝑄 = 0𝑝))
68		neanior 3018	. . . . . . . 8 ⊢ (((Xp ∘f − (ℂ × {𝑧})) ≠ 0𝑝 ∧ 𝑄 ≠ 0𝑝) ↔ ¬ ((Xp ∘f − (ℂ × {𝑧})) = 0𝑝 ∨ 𝑄 = 0𝑝))
69	67, 68	sylibr 234	. . . . . . 7 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑧 ∈ 𝑅) → ((Xp ∘f − (ℂ × {𝑧})) ≠ 0𝑝 ∧ 𝑄 ≠ 0𝑝))
70	69	simprd 495	. . . . . 6 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑧 ∈ 𝑅) → 𝑄 ≠ 0𝑝)
71		eqid 2729	. . . . . . 7 ⊢ (deg‘(Xp ∘f − (ℂ × {𝑧}))) = (deg‘(Xp ∘f − (ℂ × {𝑧})))
72		eqid 2729	. . . . . . 7 ⊢ (deg‘𝑄) = (deg‘𝑄)
73	71, 72	dgrmul 26209	. . . . . 6 ⊢ ((((Xp ∘f − (ℂ × {𝑧})) ∈ (Poly‘ℂ) ∧ (Xp ∘f − (ℂ × {𝑧})) ≠ 0𝑝) ∧ (𝑄 ∈ (Poly‘ℂ) ∧ 𝑄 ≠ 0𝑝)) → (deg‘((Xp ∘f − (ℂ × {𝑧})) ∘f · 𝑄)) = ((deg‘(Xp ∘f − (ℂ × {𝑧}))) + (deg‘𝑄)))
74	16, 25, 28, 70, 73	syl22anc 838	. . . . 5 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑧 ∈ 𝑅) → (deg‘((Xp ∘f − (ℂ × {𝑧})) ∘f · 𝑄)) = ((deg‘(Xp ∘f − (ℂ × {𝑧}))) + (deg‘𝑄)))
75	42, 53, 74	3eqtrd 2768	. . . 4 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑧 ∈ 𝑅) → (𝐷 + 1) = ((deg‘(Xp ∘f − (ℂ × {𝑧}))) + (deg‘𝑄)))
76	17	oveq1d 7384	. . . 4 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑧 ∈ 𝑅) → ((deg‘(Xp ∘f − (ℂ × {𝑧}))) + (deg‘𝑄)) = (1 + (deg‘𝑄)))
77	38, 75, 76	3eqtrd 2768	. . 3 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑧 ∈ 𝑅) → (1 + 𝐷) = (1 + (deg‘𝑄)))
78	29, 32, 35, 77	addcanad 11355	. 2 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑧 ∈ 𝑅) → 𝐷 = (deg‘𝑄))
79	28, 78	jca 511	1 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑧 ∈ 𝑅) → (𝑄 ∈ (Poly‘ℂ) ∧ 𝐷 = (deg‘𝑄)))

Syntax hints:  ¬ wn 3   → wi 4   ↔ wb 206   ∧ wa 395   ∨ wo 847   ∧ w3a 1086   = wceq 1540   ∈ wcel 2109   ≠ wne 2925  ∀wral 3044  {csn 4585   × cxp 5629  ^◡ccnv 5630  dom cdm 5631   “ cima 5634   Fn wfn 6494  ⟶wf 6495  ‘cfv 6499  (class class class)co 7369   ∘_f cof 7631  ℂcc 11042  0cc0 11044  1c1 11045   + caddc 11047   · cmul 11049   − cmin 11381  -cneg 11382   / cdiv 11811  ℕcn 12162  ℕ₀cn0 12418  ♯chash 14271  Σcsu 15628  0_𝑝c0p 25603  Polycply 26122  X_pcidp 26123  coeffccoe 26124  degcdgr 26125   quot cquot 26231

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1795  ax-4 1809  ax-5 1910  ax-6 1967  ax-7 2008  ax-8 2111  ax-9 2119  ax-10 2142  ax-11 2158  ax-12 2178  ax-ext 2701  ax-rep 5229  ax-sep 5246  ax-nul 5256  ax-pow 5315  ax-pr 5382  ax-un 7691  ax-inf2 9570  ax-cnex 11100  ax-resscn 11101  ax-1cn 11102  ax-icn 11103  ax-addcl 11104  ax-addrcl 11105  ax-mulcl 11106  ax-mulrcl 11107  ax-mulcom 11108  ax-addass 11109  ax-mulass 11110  ax-distr 11111  ax-i2m1 11112  ax-1ne0 11113  ax-1rid 11114  ax-rnegex 11115  ax-rrecex 11116  ax-cnre 11117  ax-pre-lttri 11118  ax-pre-lttrn 11119  ax-pre-ltadd 11120  ax-pre-mulgt0 11121  ax-pre-sup 11122

This theorem depends on definitions:  df-bi 207  df-an 396  df-or 848  df-3or 1087  df-3an 1088  df-tru 1543  df-fal 1553  df-ex 1780  df-nf 1784  df-sb 2066  df-mo 2533  df-eu 2562  df-clab 2708  df-cleq 2721  df-clel 2803  df-nfc 2878  df-ne 2926  df-nel 3030  df-ral 3045  df-rex 3054  df-rmo 3351  df-reu 3352  df-rab 3403  df-v 3446  df-sbc 3751  df-csb 3860  df-dif 3914  df-un 3916  df-in 3918  df-ss 3928  df-pss 3931  df-nul 4293  df-if 4485  df-pw 4561  df-sn 4586  df-pr 4588  df-op 4592  df-uni 4868  df-int 4907  df-iun 4953  df-br 5103  df-opab 5165  df-mpt 5184  df-tr 5210  df-id 5526  df-eprel 5531  df-po 5539  df-so 5540  df-fr 5584  df-se 5585  df-we 5586  df-xp 5637  df-rel 5638  df-cnv 5639  df-co 5640  df-dm 5641  df-rn 5642  df-res 5643  df-ima 5644  df-pred 6262  df-ord 6323  df-on 6324  df-lim 6325  df-suc 6326  df-iota 6452  df-fun 6501  df-fn 6502  df-f 6503  df-f1 6504  df-fo 6505  df-f1o 6506  df-fv 6507  df-isom 6508  df-riota 7326  df-ov 7372  df-oprab 7373  df-mpo 7374  df-of 7633  df-om 7823  df-1st 7947  df-2nd 7948  df-frecs 8237  df-wrecs 8268  df-recs 8317  df-rdg 8355  df-1o 8411  df-er 8648  df-map 8778  df-pm 8779  df-en 8896  df-dom 8897  df-sdom 8898  df-fin 8899  df-sup 9369  df-inf 9370  df-oi 9439  df-card 9868  df-pnf 11186  df-mnf 11187  df-xr 11188  df-ltxr 11189  df-le 11190  df-sub 11383  df-neg 11384  df-div 11812  df-nn 12163  df-2 12225  df-3 12226  df-n0 12419  df-z 12506  df-uz 12770  df-rp 12928  df-fz 13445  df-fzo 13592  df-fl 13730  df-seq 13943  df-exp 14003  df-hash 14272  df-cj 15041  df-re 15042  df-im 15043  df-sqrt 15177  df-abs 15178  df-clim 15430  df-rlim 15431  df-sum 15629  df-0p 25604  df-ply 26126  df-idp 26127  df-coe 26128  df-dgr 26129  df-quot 26232

This theorem is referenced by:  vieta1lem2  26252