Metamath Proof Explorer < Previous   Next > Nearby theorems Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  vieta1lem1 Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem vieta1lem1 24906
 Description: Lemma for vieta1 24908. (Contributed by Mario Carneiro, 28-Jul-2014.)
Hypotheses
Ref Expression
vieta1.1 𝐴 = (coeff‘𝐹)
vieta1.2 𝑁 = (deg‘𝐹)
vieta1.3 𝑅 = (𝐹 “ {0})
vieta1.4 (𝜑𝐹 ∈ (Poly‘𝑆))
vieta1.5 (𝜑 → (♯‘𝑅) = 𝑁)
vieta1lem.6 (𝜑𝐷 ∈ ℕ)
vieta1lem.7 (𝜑 → (𝐷 + 1) = 𝑁)
vieta1lem.8 (𝜑 → ∀𝑓 ∈ (Poly‘ℂ)((𝐷 = (deg‘𝑓) ∧ (♯‘(𝑓 “ {0})) = (deg‘𝑓)) → Σ𝑥 ∈ (𝑓 “ {0})𝑥 = -(((coeff‘𝑓)‘((deg‘𝑓) − 1)) / ((coeff‘𝑓)‘(deg‘𝑓)))))
vieta1lem.9 𝑄 = (𝐹 quot (Xpf − (ℂ × {𝑧})))
Assertion
Ref Expression
vieta1lem1 ((𝜑𝑧𝑅) → (𝑄 ∈ (Poly‘ℂ) ∧ 𝐷 = (deg‘𝑄)))
Distinct variable groups:   𝐷,𝑓   𝑓,𝐹   𝑧,𝑓,𝑁   𝑥,𝑓,𝑄   𝑅,𝑓   𝑥,𝑧,𝑅   𝐴,𝑓,𝑧   𝜑,𝑥,𝑧
Allowed substitution hints:   𝜑(𝑓)   𝐴(𝑥)   𝐷(𝑥,𝑧)   𝑄(𝑧)   𝑆(𝑥,𝑧,𝑓)   𝐹(𝑥,𝑧)   𝑁(𝑥)

Proof of Theorem vieta1lem1
StepHypRef Expression
1 vieta1lem.9 . . 3 𝑄 = (𝐹 quot (Xpf − (ℂ × {𝑧})))
2 plyssc 24797 . . . . 5 (Poly‘𝑆) ⊆ (Poly‘ℂ)
3 vieta1.4 . . . . . 6 (𝜑𝐹 ∈ (Poly‘𝑆))
43adantr 484 . . . . 5 ((𝜑𝑧𝑅) → 𝐹 ∈ (Poly‘𝑆))
52, 4sseldi 3913 . . . 4 ((𝜑𝑧𝑅) → 𝐹 ∈ (Poly‘ℂ))
6 vieta1.3 . . . . . . . . 9 𝑅 = (𝐹 “ {0})
7 cnvimass 5916 . . . . . . . . 9 (𝐹 “ {0}) ⊆ dom 𝐹
86, 7eqsstri 3949 . . . . . . . 8 𝑅 ⊆ dom 𝐹
9 plyf 24795 . . . . . . . . 9 (𝐹 ∈ (Poly‘𝑆) → 𝐹:ℂ⟶ℂ)
103, 9syl 17 . . . . . . . 8 (𝜑𝐹:ℂ⟶ℂ)
118, 10fssdm 6504 . . . . . . 7 (𝜑𝑅 ⊆ ℂ)
1211sselda 3915 . . . . . 6 ((𝜑𝑧𝑅) → 𝑧 ∈ ℂ)
13 eqid 2798 . . . . . . 7 (Xpf − (ℂ × {𝑧})) = (Xpf − (ℂ × {𝑧}))
1413plyremlem 24900 . . . . . 6 (𝑧 ∈ ℂ → ((Xpf − (ℂ × {𝑧})) ∈ (Poly‘ℂ) ∧ (deg‘(Xpf − (ℂ × {𝑧}))) = 1 ∧ ((Xpf − (ℂ × {𝑧})) “ {0}) = {𝑧}))
1512, 14syl 17 . . . . 5 ((𝜑𝑧𝑅) → ((Xpf − (ℂ × {𝑧})) ∈ (Poly‘ℂ) ∧ (deg‘(Xpf − (ℂ × {𝑧}))) = 1 ∧ ((Xpf − (ℂ × {𝑧})) “ {0}) = {𝑧}))
1615simp1d 1139 . . . 4 ((𝜑𝑧𝑅) → (Xpf − (ℂ × {𝑧})) ∈ (Poly‘ℂ))
1715simp2d 1140 . . . . . 6 ((𝜑𝑧𝑅) → (deg‘(Xpf − (ℂ × {𝑧}))) = 1)
18 ax-1ne0 10595 . . . . . . 7 1 ≠ 0
1918a1i 11 . . . . . 6 ((𝜑𝑧𝑅) → 1 ≠ 0)
2017, 19eqnetrd 3054 . . . . 5 ((𝜑𝑧𝑅) → (deg‘(Xpf − (ℂ × {𝑧}))) ≠ 0)
21 fveq2 6645 . . . . . . 7 ((Xpf − (ℂ × {𝑧})) = 0𝑝 → (deg‘(Xpf − (ℂ × {𝑧}))) = (deg‘0𝑝))
22 dgr0 24859 . . . . . . 7 (deg‘0𝑝) = 0
2321, 22eqtrdi 2849 . . . . . 6 ((Xpf − (ℂ × {𝑧})) = 0𝑝 → (deg‘(Xpf − (ℂ × {𝑧}))) = 0)
2423necon3i 3019 . . . . 5 ((deg‘(Xpf − (ℂ × {𝑧}))) ≠ 0 → (Xpf − (ℂ × {𝑧})) ≠ 0𝑝)
2520, 24syl 17 . . . 4 ((𝜑𝑧𝑅) → (Xpf − (ℂ × {𝑧})) ≠ 0𝑝)
26 quotcl2 24898 . . . 4 ((𝐹 ∈ (Poly‘ℂ) ∧ (Xpf − (ℂ × {𝑧})) ∈ (Poly‘ℂ) ∧ (Xpf − (ℂ × {𝑧})) ≠ 0𝑝) → (𝐹 quot (Xpf − (ℂ × {𝑧}))) ∈ (Poly‘ℂ))
275, 16, 25, 26syl3anc 1368 . . 3 ((𝜑𝑧𝑅) → (𝐹 quot (Xpf − (ℂ × {𝑧}))) ∈ (Poly‘ℂ))
281, 27eqeltrid 2894 . 2 ((𝜑𝑧𝑅) → 𝑄 ∈ (Poly‘ℂ))
29 1cnd 10625 . . 3 ((𝜑𝑧𝑅) → 1 ∈ ℂ)
30 vieta1lem.6 . . . . 5 (𝜑𝐷 ∈ ℕ)
3130nncnd 11641 . . . 4 (𝜑𝐷 ∈ ℂ)
3231adantr 484 . . 3 ((𝜑𝑧𝑅) → 𝐷 ∈ ℂ)
33 dgrcl 24830 . . . . 5 (𝑄 ∈ (Poly‘ℂ) → (deg‘𝑄) ∈ ℕ0)
3428, 33syl 17 . . . 4 ((𝜑𝑧𝑅) → (deg‘𝑄) ∈ ℕ0)
3534nn0cnd 11945 . . 3 ((𝜑𝑧𝑅) → (deg‘𝑄) ∈ ℂ)
36 ax-1cn 10584 . . . . 5 1 ∈ ℂ
37 addcom 10815 . . . . 5 ((1 ∈ ℂ ∧ 𝐷 ∈ ℂ) → (1 + 𝐷) = (𝐷 + 1))
3836, 32, 37sylancr 590 . . . 4 ((𝜑𝑧𝑅) → (1 + 𝐷) = (𝐷 + 1))
39 vieta1lem.7 . . . . . . 7 (𝜑 → (𝐷 + 1) = 𝑁)
40 vieta1.2 . . . . . . 7 𝑁 = (deg‘𝐹)
4139, 40eqtrdi 2849 . . . . . 6 (𝜑 → (𝐷 + 1) = (deg‘𝐹))
4241adantr 484 . . . . 5 ((𝜑𝑧𝑅) → (𝐷 + 1) = (deg‘𝐹))
436eleq2i 2881 . . . . . . . . . 10 (𝑧𝑅𝑧 ∈ (𝐹 “ {0}))
4410ffnd 6488 . . . . . . . . . . 11 (𝜑𝐹 Fn ℂ)
45 fniniseg 6807 . . . . . . . . . . 11 (𝐹 Fn ℂ → (𝑧 ∈ (𝐹 “ {0}) ↔ (𝑧 ∈ ℂ ∧ (𝐹𝑧) = 0)))
4644, 45syl 17 . . . . . . . . . 10 (𝜑 → (𝑧 ∈ (𝐹 “ {0}) ↔ (𝑧 ∈ ℂ ∧ (𝐹𝑧) = 0)))
4743, 46syl5bb 286 . . . . . . . . 9 (𝜑 → (𝑧𝑅 ↔ (𝑧 ∈ ℂ ∧ (𝐹𝑧) = 0)))
4847simplbda 503 . . . . . . . 8 ((𝜑𝑧𝑅) → (𝐹𝑧) = 0)
4913facth 24902 . . . . . . . 8 ((𝐹 ∈ (Poly‘𝑆) ∧ 𝑧 ∈ ℂ ∧ (𝐹𝑧) = 0) → 𝐹 = ((Xpf − (ℂ × {𝑧})) ∘f · (𝐹 quot (Xpf − (ℂ × {𝑧})))))
504, 12, 48, 49syl3anc 1368 . . . . . . 7 ((𝜑𝑧𝑅) → 𝐹 = ((Xpf − (ℂ × {𝑧})) ∘f · (𝐹 quot (Xpf − (ℂ × {𝑧})))))
511oveq2i 7146 . . . . . . 7 ((Xpf − (ℂ × {𝑧})) ∘f · 𝑄) = ((Xpf − (ℂ × {𝑧})) ∘f · (𝐹 quot (Xpf − (ℂ × {𝑧}))))
5250, 51eqtr4di 2851 . . . . . 6 ((𝜑𝑧𝑅) → 𝐹 = ((Xpf − (ℂ × {𝑧})) ∘f · 𝑄))
5352fveq2d 6649 . . . . 5 ((𝜑𝑧𝑅) → (deg‘𝐹) = (deg‘((Xpf − (ℂ × {𝑧})) ∘f · 𝑄)))
5430peano2nnd 11642 . . . . . . . . . . . . . . 15 (𝜑 → (𝐷 + 1) ∈ ℕ)
5539, 54eqeltrrd 2891 . . . . . . . . . . . . . 14 (𝜑𝑁 ∈ ℕ)
5655nnne0d 11675 . . . . . . . . . . . . 13 (𝜑𝑁 ≠ 0)
5740, 56eqnetrrid 3062 . . . . . . . . . . . 12 (𝜑 → (deg‘𝐹) ≠ 0)
58 fveq2 6645 . . . . . . . . . . . . . 14 (𝐹 = 0𝑝 → (deg‘𝐹) = (deg‘0𝑝))
5958, 22eqtrdi 2849 . . . . . . . . . . . . 13 (𝐹 = 0𝑝 → (deg‘𝐹) = 0)
6059necon3i 3019 . . . . . . . . . . . 12 ((deg‘𝐹) ≠ 0 → 𝐹 ≠ 0𝑝)
6157, 60syl 17 . . . . . . . . . . 11 (𝜑𝐹 ≠ 0𝑝)
6261adantr 484 . . . . . . . . . 10 ((𝜑𝑧𝑅) → 𝐹 ≠ 0𝑝)
6352, 62eqnetrrd 3055 . . . . . . . . 9 ((𝜑𝑧𝑅) → ((Xpf − (ℂ × {𝑧})) ∘f · 𝑄) ≠ 0𝑝)
64 plymul0or 24877 . . . . . . . . . . 11 (((Xpf − (ℂ × {𝑧})) ∈ (Poly‘ℂ) ∧ 𝑄 ∈ (Poly‘ℂ)) → (((Xpf − (ℂ × {𝑧})) ∘f · 𝑄) = 0𝑝 ↔ ((Xpf − (ℂ × {𝑧})) = 0𝑝𝑄 = 0𝑝)))
6516, 28, 64syl2anc 587 . . . . . . . . . 10 ((𝜑𝑧𝑅) → (((Xpf − (ℂ × {𝑧})) ∘f · 𝑄) = 0𝑝 ↔ ((Xpf − (ℂ × {𝑧})) = 0𝑝𝑄 = 0𝑝)))
6665necon3abid 3023 . . . . . . . . 9 ((𝜑𝑧𝑅) → (((Xpf − (ℂ × {𝑧})) ∘f · 𝑄) ≠ 0𝑝 ↔ ¬ ((Xpf − (ℂ × {𝑧})) = 0𝑝𝑄 = 0𝑝)))
6763, 66mpbid 235 . . . . . . . 8 ((𝜑𝑧𝑅) → ¬ ((Xpf − (ℂ × {𝑧})) = 0𝑝𝑄 = 0𝑝))
68 neanior 3079 . . . . . . . 8 (((Xpf − (ℂ × {𝑧})) ≠ 0𝑝𝑄 ≠ 0𝑝) ↔ ¬ ((Xpf − (ℂ × {𝑧})) = 0𝑝𝑄 = 0𝑝))
6967, 68sylibr 237 . . . . . . 7 ((𝜑𝑧𝑅) → ((Xpf − (ℂ × {𝑧})) ≠ 0𝑝𝑄 ≠ 0𝑝))
7069simprd 499 . . . . . 6 ((𝜑𝑧𝑅) → 𝑄 ≠ 0𝑝)
71 eqid 2798 . . . . . . 7 (deg‘(Xpf − (ℂ × {𝑧}))) = (deg‘(Xpf − (ℂ × {𝑧})))
72 eqid 2798 . . . . . . 7 (deg‘𝑄) = (deg‘𝑄)
7371, 72dgrmul 24867 . . . . . 6 ((((Xpf − (ℂ × {𝑧})) ∈ (Poly‘ℂ) ∧ (Xpf − (ℂ × {𝑧})) ≠ 0𝑝) ∧ (𝑄 ∈ (Poly‘ℂ) ∧ 𝑄 ≠ 0𝑝)) → (deg‘((Xpf − (ℂ × {𝑧})) ∘f · 𝑄)) = ((deg‘(Xpf − (ℂ × {𝑧}))) + (deg‘𝑄)))
7416, 25, 28, 70, 73syl22anc 837 . . . . 5 ((𝜑𝑧𝑅) → (deg‘((Xpf − (ℂ × {𝑧})) ∘f · 𝑄)) = ((deg‘(Xpf − (ℂ × {𝑧}))) + (deg‘𝑄)))
7542, 53, 743eqtrd 2837 . . . 4 ((𝜑𝑧𝑅) → (𝐷 + 1) = ((deg‘(Xpf − (ℂ × {𝑧}))) + (deg‘𝑄)))
7617oveq1d 7150 . . . 4 ((𝜑𝑧𝑅) → ((deg‘(Xpf − (ℂ × {𝑧}))) + (deg‘𝑄)) = (1 + (deg‘𝑄)))
7738, 75, 763eqtrd 2837 . . 3 ((𝜑𝑧𝑅) → (1 + 𝐷) = (1 + (deg‘𝑄)))
7829, 32, 35, 77addcanad 10834 . 2 ((𝜑𝑧𝑅) → 𝐷 = (deg‘𝑄))
7928, 78jca 515 1 ((𝜑𝑧𝑅) → (𝑄 ∈ (Poly‘ℂ) ∧ 𝐷 = (deg‘𝑄)))
 Colors of variables: wff setvar class Syntax hints:  ¬ wn 3   → wi 4   ↔ wb 209   ∧ wa 399   ∨ wo 844   ∧ w3a 1084   = wceq 1538   ∈ wcel 2111   ≠ wne 2987  ∀wral 3106  {csn 4525   × cxp 5517  ◡ccnv 5518  dom cdm 5519   “ cima 5522   Fn wfn 6319  ⟶wf 6320  ‘cfv 6324  (class class class)co 7135   ∘f cof 7387  ℂcc 10524  0cc0 10526  1c1 10527   + caddc 10529   · cmul 10531   − cmin 10859  -cneg 10860   / cdiv 11286  ℕcn 11625  ℕ0cn0 11885  ♯chash 13686  Σcsu 15034  0𝑝c0p 24273  Polycply 24781  Xpcidp 24782  coeffccoe 24783  degcdgr 24784   quot cquot 24886 This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1797  ax-4 1811  ax-5 1911  ax-6 1970  ax-7 2015  ax-8 2113  ax-9 2121  ax-10 2142  ax-11 2158  ax-12 2175  ax-ext 2770  ax-rep 5154  ax-sep 5167  ax-nul 5174  ax-pow 5231  ax-pr 5295  ax-un 7441  ax-inf2 9088  ax-cnex 10582  ax-resscn 10583  ax-1cn 10584  ax-icn 10585  ax-addcl 10586  ax-addrcl 10587  ax-mulcl 10588  ax-mulrcl 10589  ax-mulcom 10590  ax-addass 10591  ax-mulass 10592  ax-distr 10593  ax-i2m1 10594  ax-1ne0 10595  ax-1rid 10596  ax-rnegex 10597  ax-rrecex 10598  ax-cnre 10599  ax-pre-lttri 10600  ax-pre-lttrn 10601  ax-pre-ltadd 10602  ax-pre-mulgt0 10603  ax-pre-sup 10604  ax-addf 10605 This theorem depends on definitions:  df-bi 210  df-an 400  df-or 845  df-3or 1085  df-3an 1086  df-tru 1541  df-fal 1551  df-ex 1782  df-nf 1786  df-sb 2070  df-mo 2598  df-eu 2629  df-clab 2777  df-cleq 2791  df-clel 2870  df-nfc 2938  df-ne 2988  df-nel 3092  df-ral 3111  df-rex 3112  df-reu 3113  df-rmo 3114  df-rab 3115  df-v 3443  df-sbc 3721  df-csb 3829  df-dif 3884  df-un 3886  df-in 3888  df-ss 3898  df-pss 3900  df-nul 4244  df-if 4426  df-pw 4499  df-sn 4526  df-pr 4528  df-tp 4530  df-op 4532  df-uni 4801  df-int 4839  df-iun 4883  df-br 5031  df-opab 5093  df-mpt 5111  df-tr 5137  df-id 5425  df-eprel 5430  df-po 5438  df-so 5439  df-fr 5478  df-se 5479  df-we 5480  df-xp 5525  df-rel 5526  df-cnv 5527  df-co 5528  df-dm 5529  df-rn 5530  df-res 5531  df-ima 5532  df-pred 6116  df-ord 6162  df-on 6163  df-lim 6164  df-suc 6165  df-iota 6283  df-fun 6326  df-fn 6327  df-f 6328  df-f1 6329  df-fo 6330  df-f1o 6331  df-fv 6332  df-isom 6333  df-riota 7093  df-ov 7138  df-oprab 7139  df-mpo 7140  df-of 7389  df-om 7561  df-1st 7671  df-2nd 7672  df-wrecs 7930  df-recs 7991  df-rdg 8029  df-1o 8085  df-oadd 8089  df-er 8272  df-map 8391  df-pm 8392  df-en 8493  df-dom 8494  df-sdom 8495  df-fin 8496  df-sup 8890  df-inf 8891  df-oi 8958  df-card 9352  df-pnf 10666  df-mnf 10667  df-xr 10668  df-ltxr 10669  df-le 10670  df-sub 10861  df-neg 10862  df-div 11287  df-nn 11626  df-2 11688  df-3 11689  df-n0 11886  df-z 11970  df-uz 12232  df-rp 12378  df-fz 12886  df-fzo 13029  df-fl 13157  df-seq 13365  df-exp 13426  df-hash 13687  df-cj 14450  df-re 14451  df-im 14452  df-sqrt 14586  df-abs 14587  df-clim 14837  df-rlim 14838  df-sum 15035  df-0p 24274  df-ply 24785  df-idp 24786  df-coe 24787  df-dgr 24788  df-quot 24887 This theorem is referenced by:  vieta1lem2  24907
 Copyright terms: Public domain W3C validator