Theorem vieta1lem1 26298

Description: Lemma for vieta1 26300. (Contributed by Mario Carneiro, 28-Jul-2014.)

Hypotheses

Ref	Expression
vieta1.1	⊢ 𝐴 = (coeff‘𝐹)
vieta1.2	⊢ 𝑁 = (deg‘𝐹)
vieta1.3	⊢ 𝑅 = (◡𝐹 “ {0})
vieta1.4	⊢ (𝜑 → 𝐹 ∈ (Poly‘𝑆))
vieta1.5	⊢ (𝜑 → (♯‘𝑅) = 𝑁)
vieta1lem.6	⊢ (𝜑 → 𝐷 ∈ ℕ)
vieta1lem.7	⊢ (𝜑 → (𝐷 + 1) = 𝑁)
vieta1lem.8	⊢ (𝜑 → ∀𝑓 ∈ (Poly‘ℂ)((𝐷 = (deg‘𝑓) ∧ (♯‘(◡𝑓 “ {0})) = (deg‘𝑓)) → Σ𝑥 ∈ (◡𝑓 “ {0})𝑥 = -(((coeff‘𝑓)‘((deg‘𝑓) − 1)) / ((coeff‘𝑓)‘(deg‘𝑓)))))
vieta1lem.9	⊢ 𝑄 = (𝐹 quot (Xp ∘f − (ℂ × {𝑧})))

Assertion

Ref	Expression
vieta1lem1	⊢ ((𝜑 ∧ 𝑧 ∈ 𝑅) → (𝑄 ∈ (Poly‘ℂ) ∧ 𝐷 = (deg‘𝑄)))

Distinct variable groups:   𝐷,𝑓   𝑓,𝐹   𝑧,𝑓,𝑁   𝑥,𝑓,𝑄   𝑅,𝑓   𝑥,𝑧,𝑅   𝐴,𝑓,𝑧   𝜑,𝑥,𝑧

Allowed substitution hints:   𝜑(𝑓)   𝐴(𝑥)   𝐷(𝑥,𝑧)   𝑄(𝑧)   𝑆(𝑥,𝑧,𝑓)   𝐹(𝑥,𝑧)   𝑁(𝑥)

Proof of Theorem vieta1lem1

Step	Hyp	Ref	Expression
1		vieta1lem.9	. . 3 ⊢ 𝑄 = (𝐹 quot (Xp ∘f − (ℂ × {𝑧})))
2		plyssc 26187	. . . . 5 ⊢ (Poly‘𝑆) ⊆ (Poly‘ℂ)
3		vieta1.4	. . . . . 6 ⊢ (𝜑 → 𝐹 ∈ (Poly‘𝑆))
4	3	adantr 482	. . . . 5 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑧 ∈ 𝑅) → 𝐹 ∈ (Poly‘𝑆))
5	2, 4	sselid 3915	. . . 4 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑧 ∈ 𝑅) → 𝐹 ∈ (Poly‘ℂ))
6		vieta1.3	. . . . . . . . 9 ⊢ 𝑅 = (◡𝐹 “ {0})
7		cnvimass 6041	. . . . . . . . 9 ⊢ (◡𝐹 “ {0}) ⊆ dom 𝐹
8	6, 7	eqsstri 3963	. . . . . . . 8 ⊢ 𝑅 ⊆ dom 𝐹
9		plyf 26185	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝐹 ∈ (Poly‘𝑆) → 𝐹:ℂ⟶ℂ)
10	3, 9	syl 17	. . . . . . . 8 ⊢ (𝜑 → 𝐹:ℂ⟶ℂ)
11	8, 10	fssdm 6678	. . . . . . 7 ⊢ (𝜑 → 𝑅 ⊆ ℂ)
12	11	sselda 3917	. . . . . 6 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑧 ∈ 𝑅) → 𝑧 ∈ ℂ)
13		eqid 2741	. . . . . . 7 ⊢ (Xp ∘f − (ℂ × {𝑧})) = (Xp ∘f − (ℂ × {𝑧}))
14	13	plyremlem 26292	. . . . . 6 ⊢ (𝑧 ∈ ℂ → ((Xp ∘f − (ℂ × {𝑧})) ∈ (Poly‘ℂ) ∧ (deg‘(Xp ∘f − (ℂ × {𝑧}))) = 1 ∧ (◡(Xp ∘f − (ℂ × {𝑧})) “ {0}) = {𝑧}))
15	12, 14	syl 17	. . . . 5 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑧 ∈ 𝑅) → ((Xp ∘f − (ℂ × {𝑧})) ∈ (Poly‘ℂ) ∧ (deg‘(Xp ∘f − (ℂ × {𝑧}))) = 1 ∧ (◡(Xp ∘f − (ℂ × {𝑧})) “ {0}) = {𝑧}))
16	15	simp1d 1149	. . . 4 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑧 ∈ 𝑅) → (Xp ∘f − (ℂ × {𝑧})) ∈ (Poly‘ℂ))
17	15	simp2d 1150	. . . . . 6 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑧 ∈ 𝑅) → (deg‘(Xp ∘f − (ℂ × {𝑧}))) = 1)
18		ax-1ne0 11102	. . . . . . 7 ⊢ 1 ≠ 0
19	18	a1i 11	. . . . . 6 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑧 ∈ 𝑅) → 1 ≠ 0)
20	17, 19	eqnetrd 3003	. . . . 5 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑧 ∈ 𝑅) → (deg‘(Xp ∘f − (ℂ × {𝑧}))) ≠ 0)
21		fveq2 6831	. . . . . . 7 ⊢ ((Xp ∘f − (ℂ × {𝑧})) = 0𝑝 → (deg‘(Xp ∘f − (ℂ × {𝑧}))) = (deg‘0𝑝))
22		dgr0 26249	. . . . . . 7 ⊢ (deg‘0𝑝) = 0
23	21, 22	eqtrdi 2792	. . . . . 6 ⊢ ((Xp ∘f − (ℂ × {𝑧})) = 0𝑝 → (deg‘(Xp ∘f − (ℂ × {𝑧}))) = 0)
24	23	necon3i 2968	. . . . 5 ⊢ ((deg‘(Xp ∘f − (ℂ × {𝑧}))) ≠ 0 → (Xp ∘f − (ℂ × {𝑧})) ≠ 0𝑝)
25	20, 24	syl 17	. . . 4 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑧 ∈ 𝑅) → (Xp ∘f − (ℂ × {𝑧})) ≠ 0𝑝)
26		quotcl2 26290	. . . 4 ⊢ ((𝐹 ∈ (Poly‘ℂ) ∧ (Xp ∘f − (ℂ × {𝑧})) ∈ (Poly‘ℂ) ∧ (Xp ∘f − (ℂ × {𝑧})) ≠ 0𝑝) → (𝐹 quot (Xp ∘f − (ℂ × {𝑧}))) ∈ (Poly‘ℂ))
27	5, 16, 25, 26	syl3anc 1380	. . 3 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑧 ∈ 𝑅) → (𝐹 quot (Xp ∘f − (ℂ × {𝑧}))) ∈ (Poly‘ℂ))
28	1, 27	eqeltrid 2845	. 2 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑧 ∈ 𝑅) → 𝑄 ∈ (Poly‘ℂ))
29		1cnd 11134	. . 3 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑧 ∈ 𝑅) → 1 ∈ ℂ)
30		vieta1lem.6	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → 𝐷 ∈ ℕ)
31	30	nncnd 12185	. . . 4 ⊢ (𝜑 → 𝐷 ∈ ℂ)
32	31	adantr 482	. . 3 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑧 ∈ 𝑅) → 𝐷 ∈ ℂ)
33		dgrcl 26220	. . . . 5 ⊢ (𝑄 ∈ (Poly‘ℂ) → (deg‘𝑄) ∈ ℕ0)
34	28, 33	syl 17	. . . 4 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑧 ∈ 𝑅) → (deg‘𝑄) ∈ ℕ0)
35	34	nn0cnd 12495	. . 3 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑧 ∈ 𝑅) → (deg‘𝑄) ∈ ℂ)
36		ax-1cn 11091	. . . . 5 ⊢ 1 ∈ ℂ
37		addcom 11327	. . . . 5 ⊢ ((1 ∈ ℂ ∧ 𝐷 ∈ ℂ) → (1 + 𝐷) = (𝐷 + 1))
38	36, 32, 37	sylancr 594	. . . 4 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑧 ∈ 𝑅) → (1 + 𝐷) = (𝐷 + 1))
39		vieta1lem.7	. . . . . . 7 ⊢ (𝜑 → (𝐷 + 1) = 𝑁)
40		vieta1.2	. . . . . . 7 ⊢ 𝑁 = (deg‘𝐹)
41	39, 40	eqtrdi 2792	. . . . . 6 ⊢ (𝜑 → (𝐷 + 1) = (deg‘𝐹))
42	41	adantr 482	. . . . 5 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑧 ∈ 𝑅) → (𝐷 + 1) = (deg‘𝐹))
43	6	eleq2i 2833	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝑧 ∈ 𝑅 ↔ 𝑧 ∈ (◡𝐹 “ {0}))
44	10	ffnd 6660	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (𝜑 → 𝐹 Fn ℂ)
45		fniniseg 7005	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (𝐹 Fn ℂ → (𝑧 ∈ (◡𝐹 “ {0}) ↔ (𝑧 ∈ ℂ ∧ (𝐹‘𝑧) = 0)))
46	44, 45	syl 17	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝜑 → (𝑧 ∈ (◡𝐹 “ {0}) ↔ (𝑧 ∈ ℂ ∧ (𝐹‘𝑧) = 0)))
47	43, 46	bitrid 285	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝜑 → (𝑧 ∈ 𝑅 ↔ (𝑧 ∈ ℂ ∧ (𝐹‘𝑧) = 0)))
48	47	simplbda 501	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑧 ∈ 𝑅) → (𝐹‘𝑧) = 0)
49	13	facth 26294	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝐹 ∈ (Poly‘𝑆) ∧ 𝑧 ∈ ℂ ∧ (𝐹‘𝑧) = 0) → 𝐹 = ((Xp ∘f − (ℂ × {𝑧})) ∘f · (𝐹 quot (Xp ∘f − (ℂ × {𝑧})))))
50	4, 12, 48, 49	syl3anc 1380	. . . . . . 7 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑧 ∈ 𝑅) → 𝐹 = ((Xp ∘f − (ℂ × {𝑧})) ∘f · (𝐹 quot (Xp ∘f − (ℂ × {𝑧})))))
51	1	oveq2i 7371	. . . . . . 7 ⊢ ((Xp ∘f − (ℂ × {𝑧})) ∘f · 𝑄) = ((Xp ∘f − (ℂ × {𝑧})) ∘f · (𝐹 quot (Xp ∘f − (ℂ × {𝑧}))))
52	50, 51	eqtr4di 2794	. . . . . 6 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑧 ∈ 𝑅) → 𝐹 = ((Xp ∘f − (ℂ × {𝑧})) ∘f · 𝑄))
53	52	fveq2d 6835	. . . . 5 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑧 ∈ 𝑅) → (deg‘𝐹) = (deg‘((Xp ∘f − (ℂ × {𝑧})) ∘f · 𝑄)))
54	30	peano2nnd 12186	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ (𝜑 → (𝐷 + 1) ∈ ℕ)
55	39, 54	eqeltrrd 2842	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ (𝜑 → 𝑁 ∈ ℕ)
56	55	nnne0d 12222	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (𝜑 → 𝑁 ≠ 0)
57	40, 56	eqnetrrid 3011	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (𝜑 → (deg‘𝐹) ≠ 0)
58		fveq2 6831	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ (𝐹 = 0𝑝 → (deg‘𝐹) = (deg‘0𝑝))
59	58, 22	eqtrdi 2792	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (𝐹 = 0𝑝 → (deg‘𝐹) = 0)
60	59	necon3i 2968	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ ((deg‘𝐹) ≠ 0 → 𝐹 ≠ 0𝑝)
61	57, 60	syl 17	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (𝜑 → 𝐹 ≠ 0𝑝)
62	61	adantr 482	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑧 ∈ 𝑅) → 𝐹 ≠ 0𝑝)
63	52, 62	eqnetrrd 3004	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑧 ∈ 𝑅) → ((Xp ∘f − (ℂ × {𝑧})) ∘f · 𝑄) ≠ 0𝑝)
64		plymul0or 26269	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (((Xp ∘f − (ℂ × {𝑧})) ∈ (Poly‘ℂ) ∧ 𝑄 ∈ (Poly‘ℂ)) → (((Xp ∘f − (ℂ × {𝑧})) ∘f · 𝑄) = 0𝑝 ↔ ((Xp ∘f − (ℂ × {𝑧})) = 0𝑝 ∨ 𝑄 = 0𝑝)))
65	16, 28, 64	syl2anc 591	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑧 ∈ 𝑅) → (((Xp ∘f − (ℂ × {𝑧})) ∘f · 𝑄) = 0𝑝 ↔ ((Xp ∘f − (ℂ × {𝑧})) = 0𝑝 ∨ 𝑄 = 0𝑝)))
66	65	necon3abid 2972	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑧 ∈ 𝑅) → (((Xp ∘f − (ℂ × {𝑧})) ∘f · 𝑄) ≠ 0𝑝 ↔ ¬ ((Xp ∘f − (ℂ × {𝑧})) = 0𝑝 ∨ 𝑄 = 0𝑝)))
67	63, 66	mpbid 234	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑧 ∈ 𝑅) → ¬ ((Xp ∘f − (ℂ × {𝑧})) = 0𝑝 ∨ 𝑄 = 0𝑝))
68		neanior 3029	. . . . . . . 8 ⊢ (((Xp ∘f − (ℂ × {𝑧})) ≠ 0𝑝 ∧ 𝑄 ≠ 0𝑝) ↔ ¬ ((Xp ∘f − (ℂ × {𝑧})) = 0𝑝 ∨ 𝑄 = 0𝑝))
69	67, 68	sylibr 236	. . . . . . 7 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑧 ∈ 𝑅) → ((Xp ∘f − (ℂ × {𝑧})) ≠ 0𝑝 ∧ 𝑄 ≠ 0𝑝))
70	69	simprd 497	. . . . . 6 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑧 ∈ 𝑅) → 𝑄 ≠ 0𝑝)
71		eqid 2741	. . . . . . 7 ⊢ (deg‘(Xp ∘f − (ℂ × {𝑧}))) = (deg‘(Xp ∘f − (ℂ × {𝑧})))
72		eqid 2741	. . . . . . 7 ⊢ (deg‘𝑄) = (deg‘𝑄)
73	71, 72	dgrmul 26257	. . . . . 6 ⊢ ((((Xp ∘f − (ℂ × {𝑧})) ∈ (Poly‘ℂ) ∧ (Xp ∘f − (ℂ × {𝑧})) ≠ 0𝑝) ∧ (𝑄 ∈ (Poly‘ℂ) ∧ 𝑄 ≠ 0𝑝)) → (deg‘((Xp ∘f − (ℂ × {𝑧})) ∘f · 𝑄)) = ((deg‘(Xp ∘f − (ℂ × {𝑧}))) + (deg‘𝑄)))
74	16, 25, 28, 70, 73	syl22anc 845	. . . . 5 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑧 ∈ 𝑅) → (deg‘((Xp ∘f − (ℂ × {𝑧})) ∘f · 𝑄)) = ((deg‘(Xp ∘f − (ℂ × {𝑧}))) + (deg‘𝑄)))
75	42, 53, 74	3eqtrd 2780	. . . 4 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑧 ∈ 𝑅) → (𝐷 + 1) = ((deg‘(Xp ∘f − (ℂ × {𝑧}))) + (deg‘𝑄)))
76	17	oveq1d 7375	. . . 4 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑧 ∈ 𝑅) → ((deg‘(Xp ∘f − (ℂ × {𝑧}))) + (deg‘𝑄)) = (1 + (deg‘𝑄)))
77	38, 75, 76	3eqtrd 2780	. . 3 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑧 ∈ 𝑅) → (1 + 𝐷) = (1 + (deg‘𝑄)))
78	29, 32, 35, 77	addcanad 11346	. 2 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑧 ∈ 𝑅) → 𝐷 = (deg‘𝑄))
79	28, 78	jca 517	1 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑧 ∈ 𝑅) → (𝑄 ∈ (Poly‘ℂ) ∧ 𝐷 = (deg‘𝑄)))

Syntax hints:  ¬ wn 3   → wi 4   ↔ wb 208   ∧ wa 397   ∨ wo 854   ∧ w3a 1093   = wceq 1548   ∈ wcel 2121   ≠ wne 2936  ∀wral 3055  {csn 4558   × cxp 5619  ^◡ccnv 5620  dom cdm 5621   “ cima 5624   Fn wfn 6484  ⟶wf 6485  ‘cfv 6489  (class class class)co 7360   ∘_f cof 7622  ℂcc 11031  0cc0 11033  1c1 11034   + caddc 11036   · cmul 11038   − cmin 11372  -cneg 11373   / cdiv 11802  ℕcn 12169  ℕ₀cn0 12432  ♯chash 14287  Σcsu 15643  0_𝑝c0p 25658  Polycply 26171  X_pcidp 26172  coeffccoe 26173  degcdgr 26174   quot cquot 26278

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1803  ax-4 1817  ax-5 1918  ax-6 1975  ax-7 2016  ax-8 2123  ax-9 2131  ax-10 2154  ax-11 2170  ax-12 2191  ax-ext 2713  ax-rep 5202  ax-sep 5221  ax-nul 5231  ax-pow 5297  ax-pr 5365  ax-un 7682  ax-inf2 9557  ax-cnex 11089  ax-resscn 11090  ax-1cn 11091  ax-icn 11092  ax-addcl 11093  ax-addrcl 11094  ax-mulcl 11095  ax-mulrcl 11096  ax-mulcom 11097  ax-addass 11098  ax-mulass 11099  ax-distr 11100  ax-i2m1 11101  ax-1ne0 11102  ax-1rid 11103  ax-rnegex 11104  ax-rrecex 11105  ax-cnre 11106  ax-pre-lttri 11107  ax-pre-lttrn 11108  ax-pre-ltadd 11109  ax-pre-mulgt0 11110  ax-pre-sup 11111

This theorem depends on definitions:  df-bi 209  df-an 398  df-or 855  df-3or 1094  df-3an 1095  df-tru 1551  df-fal 1561  df-ex 1788  df-nf 1792  df-sb 2075  df-mo 2545  df-eu 2575  df-clab 2720  df-cleq 2733  df-clel 2816  df-nfc 2890  df-ne 2937  df-nel 3041  df-ral 3056  df-rex 3066  df-rmo 3346  df-reu 3347  df-rab 3394  df-v 3435  df-sbc 3726  df-csb 3834  df-dif 3888  df-un 3890  df-in 3892  df-ss 3902  df-pss 3905  df-nul 4265  df-if 4458  df-pw 4534  df-sn 4559  df-pr 4561  df-op 4565  df-uni 4842  df-int 4881  df-iun 4926  df-br 5076  df-opab 5138  df-mpt 5157  df-tr 5183  df-id 5516  df-eprel 5521  df-po 5529  df-so 5530  df-fr 5574  df-se 5575  df-we 5576  df-xp 5627  df-rel 5628  df-cnv 5629  df-co 5630  df-dm 5631  df-rn 5632  df-res 5633  df-ima 5634  df-pred 6256  df-ord 6317  df-on 6318  df-lim 6319  df-suc 6320  df-iota 6445  df-fun 6491  df-fn 6492  df-f 6493  df-f1 6494  df-fo 6495  df-f1o 6496  df-fv 6497  df-isom 6498  df-riota 7317  df-ov 7363  df-oprab 7364  df-mpo 7365  df-of 7624  df-om 7811  df-1st 7935  df-2nd 7936  df-frecs 8225  df-wrecs 8256  df-recs 8305  df-rdg 8343  df-1o 8399  df-er 8637  df-map 8769  df-pm 8770  df-en 8888  df-dom 8889  df-sdom 8890  df-fin 8891  df-sup 9349  df-inf 9350  df-oi 9419  df-card 9858  df-pnf 11176  df-mnf 11177  df-xr 11178  df-ltxr 11179  df-le 11180  df-sub 11374  df-neg 11375  df-div 11803  df-nn 12170  df-2 12239  df-3 12240  df-n0 12433  df-z 12520  df-uz 12784  df-rp 12938  df-fz 13457  df-fzo 13604  df-fl 13746  df-seq 13959  df-exp 14019  df-hash 14288  df-cj 15056  df-re 15057  df-im 15058  df-sqrt 15192  df-abs 15193  df-clim 15445  df-rlim 15446  df-sum 15644  df-0p 25659  df-ply 26175  df-idp 26176  df-coe 26177  df-dgr 26178  df-quot 26279

This theorem is referenced by:  vieta1lem2  26299