MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  vieta1lem1 Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem vieta1lem1 26352
Description: Lemma for vieta1 26354. (Contributed by Mario Carneiro, 28-Jul-2014.)
Hypotheses
Ref Expression
vieta1.1 𝐴 = (coeff‘𝐹)
vieta1.2 𝑁 = (deg‘𝐹)
vieta1.3 𝑅 = (𝐹 “ {0})
vieta1.4 (𝜑𝐹 ∈ (Poly‘𝑆))
vieta1.5 (𝜑 → (♯‘𝑅) = 𝑁)
vieta1lem.6 (𝜑𝐷 ∈ ℕ)
vieta1lem.7 (𝜑 → (𝐷 + 1) = 𝑁)
vieta1lem.8 (𝜑 → ∀𝑓 ∈ (Poly‘ℂ)((𝐷 = (deg‘𝑓) ∧ (♯‘(𝑓 “ {0})) = (deg‘𝑓)) → Σ𝑥 ∈ (𝑓 “ {0})𝑥 = -(((coeff‘𝑓)‘((deg‘𝑓) − 1)) / ((coeff‘𝑓)‘(deg‘𝑓)))))
vieta1lem.9 𝑄 = (𝐹 quot (Xpf − (ℂ × {𝑧})))
Assertion
Ref Expression
vieta1lem1 ((𝜑𝑧𝑅) → (𝑄 ∈ (Poly‘ℂ) ∧ 𝐷 = (deg‘𝑄)))
Distinct variable groups:   𝐷,𝑓   𝑓,𝐹   𝑧,𝑓,𝑁   𝑥,𝑓,𝑄   𝑅,𝑓   𝑥,𝑧,𝑅   𝐴,𝑓,𝑧   𝜑,𝑥,𝑧
Allowed substitution hints:   𝜑(𝑓)   𝐴(𝑥)   𝐷(𝑥,𝑧)   𝑄(𝑧)   𝑆(𝑥,𝑧,𝑓)   𝐹(𝑥,𝑧)   𝑁(𝑥)

Proof of Theorem vieta1lem1
StepHypRef Expression
1 vieta1lem.9 . . 3 𝑄 = (𝐹 quot (Xpf − (ℂ × {𝑧})))
2 plyssc 26239 . . . . 5 (Poly‘𝑆) ⊆ (Poly‘ℂ)
3 vieta1.4 . . . . . 6 (𝜑𝐹 ∈ (Poly‘𝑆))
43adantr 480 . . . . 5 ((𝜑𝑧𝑅) → 𝐹 ∈ (Poly‘𝑆))
52, 4sselid 3981 . . . 4 ((𝜑𝑧𝑅) → 𝐹 ∈ (Poly‘ℂ))
6 vieta1.3 . . . . . . . . 9 𝑅 = (𝐹 “ {0})
7 cnvimass 6100 . . . . . . . . 9 (𝐹 “ {0}) ⊆ dom 𝐹
86, 7eqsstri 4030 . . . . . . . 8 𝑅 ⊆ dom 𝐹
9 plyf 26237 . . . . . . . . 9 (𝐹 ∈ (Poly‘𝑆) → 𝐹:ℂ⟶ℂ)
103, 9syl 17 . . . . . . . 8 (𝜑𝐹:ℂ⟶ℂ)
118, 10fssdm 6755 . . . . . . 7 (𝜑𝑅 ⊆ ℂ)
1211sselda 3983 . . . . . 6 ((𝜑𝑧𝑅) → 𝑧 ∈ ℂ)
13 eqid 2737 . . . . . . 7 (Xpf − (ℂ × {𝑧})) = (Xpf − (ℂ × {𝑧}))
1413plyremlem 26346 . . . . . 6 (𝑧 ∈ ℂ → ((Xpf − (ℂ × {𝑧})) ∈ (Poly‘ℂ) ∧ (deg‘(Xpf − (ℂ × {𝑧}))) = 1 ∧ ((Xpf − (ℂ × {𝑧})) “ {0}) = {𝑧}))
1512, 14syl 17 . . . . 5 ((𝜑𝑧𝑅) → ((Xpf − (ℂ × {𝑧})) ∈ (Poly‘ℂ) ∧ (deg‘(Xpf − (ℂ × {𝑧}))) = 1 ∧ ((Xpf − (ℂ × {𝑧})) “ {0}) = {𝑧}))
1615simp1d 1143 . . . 4 ((𝜑𝑧𝑅) → (Xpf − (ℂ × {𝑧})) ∈ (Poly‘ℂ))
1715simp2d 1144 . . . . . 6 ((𝜑𝑧𝑅) → (deg‘(Xpf − (ℂ × {𝑧}))) = 1)
18 ax-1ne0 11224 . . . . . . 7 1 ≠ 0
1918a1i 11 . . . . . 6 ((𝜑𝑧𝑅) → 1 ≠ 0)
2017, 19eqnetrd 3008 . . . . 5 ((𝜑𝑧𝑅) → (deg‘(Xpf − (ℂ × {𝑧}))) ≠ 0)
21 fveq2 6906 . . . . . . 7 ((Xpf − (ℂ × {𝑧})) = 0𝑝 → (deg‘(Xpf − (ℂ × {𝑧}))) = (deg‘0𝑝))
22 dgr0 26302 . . . . . . 7 (deg‘0𝑝) = 0
2321, 22eqtrdi 2793 . . . . . 6 ((Xpf − (ℂ × {𝑧})) = 0𝑝 → (deg‘(Xpf − (ℂ × {𝑧}))) = 0)
2423necon3i 2973 . . . . 5 ((deg‘(Xpf − (ℂ × {𝑧}))) ≠ 0 → (Xpf − (ℂ × {𝑧})) ≠ 0𝑝)
2520, 24syl 17 . . . 4 ((𝜑𝑧𝑅) → (Xpf − (ℂ × {𝑧})) ≠ 0𝑝)
26 quotcl2 26344 . . . 4 ((𝐹 ∈ (Poly‘ℂ) ∧ (Xpf − (ℂ × {𝑧})) ∈ (Poly‘ℂ) ∧ (Xpf − (ℂ × {𝑧})) ≠ 0𝑝) → (𝐹 quot (Xpf − (ℂ × {𝑧}))) ∈ (Poly‘ℂ))
275, 16, 25, 26syl3anc 1373 . . 3 ((𝜑𝑧𝑅) → (𝐹 quot (Xpf − (ℂ × {𝑧}))) ∈ (Poly‘ℂ))
281, 27eqeltrid 2845 . 2 ((𝜑𝑧𝑅) → 𝑄 ∈ (Poly‘ℂ))
29 1cnd 11256 . . 3 ((𝜑𝑧𝑅) → 1 ∈ ℂ)
30 vieta1lem.6 . . . . 5 (𝜑𝐷 ∈ ℕ)
3130nncnd 12282 . . . 4 (𝜑𝐷 ∈ ℂ)
3231adantr 480 . . 3 ((𝜑𝑧𝑅) → 𝐷 ∈ ℂ)
33 dgrcl 26272 . . . . 5 (𝑄 ∈ (Poly‘ℂ) → (deg‘𝑄) ∈ ℕ0)
3428, 33syl 17 . . . 4 ((𝜑𝑧𝑅) → (deg‘𝑄) ∈ ℕ0)
3534nn0cnd 12589 . . 3 ((𝜑𝑧𝑅) → (deg‘𝑄) ∈ ℂ)
36 ax-1cn 11213 . . . . 5 1 ∈ ℂ
37 addcom 11447 . . . . 5 ((1 ∈ ℂ ∧ 𝐷 ∈ ℂ) → (1 + 𝐷) = (𝐷 + 1))
3836, 32, 37sylancr 587 . . . 4 ((𝜑𝑧𝑅) → (1 + 𝐷) = (𝐷 + 1))
39 vieta1lem.7 . . . . . . 7 (𝜑 → (𝐷 + 1) = 𝑁)
40 vieta1.2 . . . . . . 7 𝑁 = (deg‘𝐹)
4139, 40eqtrdi 2793 . . . . . 6 (𝜑 → (𝐷 + 1) = (deg‘𝐹))
4241adantr 480 . . . . 5 ((𝜑𝑧𝑅) → (𝐷 + 1) = (deg‘𝐹))
436eleq2i 2833 . . . . . . . . . 10 (𝑧𝑅𝑧 ∈ (𝐹 “ {0}))
4410ffnd 6737 . . . . . . . . . . 11 (𝜑𝐹 Fn ℂ)
45 fniniseg 7080 . . . . . . . . . . 11 (𝐹 Fn ℂ → (𝑧 ∈ (𝐹 “ {0}) ↔ (𝑧 ∈ ℂ ∧ (𝐹𝑧) = 0)))
4644, 45syl 17 . . . . . . . . . 10 (𝜑 → (𝑧 ∈ (𝐹 “ {0}) ↔ (𝑧 ∈ ℂ ∧ (𝐹𝑧) = 0)))
4743, 46bitrid 283 . . . . . . . . 9 (𝜑 → (𝑧𝑅 ↔ (𝑧 ∈ ℂ ∧ (𝐹𝑧) = 0)))
4847simplbda 499 . . . . . . . 8 ((𝜑𝑧𝑅) → (𝐹𝑧) = 0)
4913facth 26348 . . . . . . . 8 ((𝐹 ∈ (Poly‘𝑆) ∧ 𝑧 ∈ ℂ ∧ (𝐹𝑧) = 0) → 𝐹 = ((Xpf − (ℂ × {𝑧})) ∘f · (𝐹 quot (Xpf − (ℂ × {𝑧})))))
504, 12, 48, 49syl3anc 1373 . . . . . . 7 ((𝜑𝑧𝑅) → 𝐹 = ((Xpf − (ℂ × {𝑧})) ∘f · (𝐹 quot (Xpf − (ℂ × {𝑧})))))
511oveq2i 7442 . . . . . . 7 ((Xpf − (ℂ × {𝑧})) ∘f · 𝑄) = ((Xpf − (ℂ × {𝑧})) ∘f · (𝐹 quot (Xpf − (ℂ × {𝑧}))))
5250, 51eqtr4di 2795 . . . . . 6 ((𝜑𝑧𝑅) → 𝐹 = ((Xpf − (ℂ × {𝑧})) ∘f · 𝑄))
5352fveq2d 6910 . . . . 5 ((𝜑𝑧𝑅) → (deg‘𝐹) = (deg‘((Xpf − (ℂ × {𝑧})) ∘f · 𝑄)))
5430peano2nnd 12283 . . . . . . . . . . . . . . 15 (𝜑 → (𝐷 + 1) ∈ ℕ)
5539, 54eqeltrrd 2842 . . . . . . . . . . . . . 14 (𝜑𝑁 ∈ ℕ)
5655nnne0d 12316 . . . . . . . . . . . . 13 (𝜑𝑁 ≠ 0)
5740, 56eqnetrrid 3016 . . . . . . . . . . . 12 (𝜑 → (deg‘𝐹) ≠ 0)
58 fveq2 6906 . . . . . . . . . . . . . 14 (𝐹 = 0𝑝 → (deg‘𝐹) = (deg‘0𝑝))
5958, 22eqtrdi 2793 . . . . . . . . . . . . 13 (𝐹 = 0𝑝 → (deg‘𝐹) = 0)
6059necon3i 2973 . . . . . . . . . . . 12 ((deg‘𝐹) ≠ 0 → 𝐹 ≠ 0𝑝)
6157, 60syl 17 . . . . . . . . . . 11 (𝜑𝐹 ≠ 0𝑝)
6261adantr 480 . . . . . . . . . 10 ((𝜑𝑧𝑅) → 𝐹 ≠ 0𝑝)
6352, 62eqnetrrd 3009 . . . . . . . . 9 ((𝜑𝑧𝑅) → ((Xpf − (ℂ × {𝑧})) ∘f · 𝑄) ≠ 0𝑝)
64 plymul0or 26322 . . . . . . . . . . 11 (((Xpf − (ℂ × {𝑧})) ∈ (Poly‘ℂ) ∧ 𝑄 ∈ (Poly‘ℂ)) → (((Xpf − (ℂ × {𝑧})) ∘f · 𝑄) = 0𝑝 ↔ ((Xpf − (ℂ × {𝑧})) = 0𝑝𝑄 = 0𝑝)))
6516, 28, 64syl2anc 584 . . . . . . . . . 10 ((𝜑𝑧𝑅) → (((Xpf − (ℂ × {𝑧})) ∘f · 𝑄) = 0𝑝 ↔ ((Xpf − (ℂ × {𝑧})) = 0𝑝𝑄 = 0𝑝)))
6665necon3abid 2977 . . . . . . . . 9 ((𝜑𝑧𝑅) → (((Xpf − (ℂ × {𝑧})) ∘f · 𝑄) ≠ 0𝑝 ↔ ¬ ((Xpf − (ℂ × {𝑧})) = 0𝑝𝑄 = 0𝑝)))
6763, 66mpbid 232 . . . . . . . 8 ((𝜑𝑧𝑅) → ¬ ((Xpf − (ℂ × {𝑧})) = 0𝑝𝑄 = 0𝑝))
68 neanior 3035 . . . . . . . 8 (((Xpf − (ℂ × {𝑧})) ≠ 0𝑝𝑄 ≠ 0𝑝) ↔ ¬ ((Xpf − (ℂ × {𝑧})) = 0𝑝𝑄 = 0𝑝))
6967, 68sylibr 234 . . . . . . 7 ((𝜑𝑧𝑅) → ((Xpf − (ℂ × {𝑧})) ≠ 0𝑝𝑄 ≠ 0𝑝))
7069simprd 495 . . . . . 6 ((𝜑𝑧𝑅) → 𝑄 ≠ 0𝑝)
71 eqid 2737 . . . . . . 7 (deg‘(Xpf − (ℂ × {𝑧}))) = (deg‘(Xpf − (ℂ × {𝑧})))
72 eqid 2737 . . . . . . 7 (deg‘𝑄) = (deg‘𝑄)
7371, 72dgrmul 26310 . . . . . 6 ((((Xpf − (ℂ × {𝑧})) ∈ (Poly‘ℂ) ∧ (Xpf − (ℂ × {𝑧})) ≠ 0𝑝) ∧ (𝑄 ∈ (Poly‘ℂ) ∧ 𝑄 ≠ 0𝑝)) → (deg‘((Xpf − (ℂ × {𝑧})) ∘f · 𝑄)) = ((deg‘(Xpf − (ℂ × {𝑧}))) + (deg‘𝑄)))
7416, 25, 28, 70, 73syl22anc 839 . . . . 5 ((𝜑𝑧𝑅) → (deg‘((Xpf − (ℂ × {𝑧})) ∘f · 𝑄)) = ((deg‘(Xpf − (ℂ × {𝑧}))) + (deg‘𝑄)))
7542, 53, 743eqtrd 2781 . . . 4 ((𝜑𝑧𝑅) → (𝐷 + 1) = ((deg‘(Xpf − (ℂ × {𝑧}))) + (deg‘𝑄)))
7617oveq1d 7446 . . . 4 ((𝜑𝑧𝑅) → ((deg‘(Xpf − (ℂ × {𝑧}))) + (deg‘𝑄)) = (1 + (deg‘𝑄)))
7738, 75, 763eqtrd 2781 . . 3 ((𝜑𝑧𝑅) → (1 + 𝐷) = (1 + (deg‘𝑄)))
7829, 32, 35, 77addcanad 11466 . 2 ((𝜑𝑧𝑅) → 𝐷 = (deg‘𝑄))
7928, 78jca 511 1 ((𝜑𝑧𝑅) → (𝑄 ∈ (Poly‘ℂ) ∧ 𝐷 = (deg‘𝑄)))
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  ¬ wn 3  wi 4  wb 206  wa 395  wo 848  w3a 1087   = wceq 1540  wcel 2108  wne 2940  wral 3061  {csn 4626   × cxp 5683  ccnv 5684  dom cdm 5685  cima 5688   Fn wfn 6556  wf 6557  cfv 6561  (class class class)co 7431  f cof 7695  cc 11153  0cc0 11155  1c1 11156   + caddc 11158   · cmul 11160  cmin 11492  -cneg 11493   / cdiv 11920  cn 12266  0cn0 12526  chash 14369  Σcsu 15722  0𝑝c0p 25704  Polycply 26223  Xpcidp 26224  coeffccoe 26225  degcdgr 26226   quot cquot 26332
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1795  ax-4 1809  ax-5 1910  ax-6 1967  ax-7 2007  ax-8 2110  ax-9 2118  ax-10 2141  ax-11 2157  ax-12 2177  ax-ext 2708  ax-rep 5279  ax-sep 5296  ax-nul 5306  ax-pow 5365  ax-pr 5432  ax-un 7755  ax-inf2 9681  ax-cnex 11211  ax-resscn 11212  ax-1cn 11213  ax-icn 11214  ax-addcl 11215  ax-addrcl 11216  ax-mulcl 11217  ax-mulrcl 11218  ax-mulcom 11219  ax-addass 11220  ax-mulass 11221  ax-distr 11222  ax-i2m1 11223  ax-1ne0 11224  ax-1rid 11225  ax-rnegex 11226  ax-rrecex 11227  ax-cnre 11228  ax-pre-lttri 11229  ax-pre-lttrn 11230  ax-pre-ltadd 11231  ax-pre-mulgt0 11232  ax-pre-sup 11233
This theorem depends on definitions:  df-bi 207  df-an 396  df-or 849  df-3or 1088  df-3an 1089  df-tru 1543  df-fal 1553  df-ex 1780  df-nf 1784  df-sb 2065  df-mo 2540  df-eu 2569  df-clab 2715  df-cleq 2729  df-clel 2816  df-nfc 2892  df-ne 2941  df-nel 3047  df-ral 3062  df-rex 3071  df-rmo 3380  df-reu 3381  df-rab 3437  df-v 3482  df-sbc 3789  df-csb 3900  df-dif 3954  df-un 3956  df-in 3958  df-ss 3968  df-pss 3971  df-nul 4334  df-if 4526  df-pw 4602  df-sn 4627  df-pr 4629  df-op 4633  df-uni 4908  df-int 4947  df-iun 4993  df-br 5144  df-opab 5206  df-mpt 5226  df-tr 5260  df-id 5578  df-eprel 5584  df-po 5592  df-so 5593  df-fr 5637  df-se 5638  df-we 5639  df-xp 5691  df-rel 5692  df-cnv 5693  df-co 5694  df-dm 5695  df-rn 5696  df-res 5697  df-ima 5698  df-pred 6321  df-ord 6387  df-on 6388  df-lim 6389  df-suc 6390  df-iota 6514  df-fun 6563  df-fn 6564  df-f 6565  df-f1 6566  df-fo 6567  df-f1o 6568  df-fv 6569  df-isom 6570  df-riota 7388  df-ov 7434  df-oprab 7435  df-mpo 7436  df-of 7697  df-om 7888  df-1st 8014  df-2nd 8015  df-frecs 8306  df-wrecs 8337  df-recs 8411  df-rdg 8450  df-1o 8506  df-er 8745  df-map 8868  df-pm 8869  df-en 8986  df-dom 8987  df-sdom 8988  df-fin 8989  df-sup 9482  df-inf 9483  df-oi 9550  df-card 9979  df-pnf 11297  df-mnf 11298  df-xr 11299  df-ltxr 11300  df-le 11301  df-sub 11494  df-neg 11495  df-div 11921  df-nn 12267  df-2 12329  df-3 12330  df-n0 12527  df-z 12614  df-uz 12879  df-rp 13035  df-fz 13548  df-fzo 13695  df-fl 13832  df-seq 14043  df-exp 14103  df-hash 14370  df-cj 15138  df-re 15139  df-im 15140  df-sqrt 15274  df-abs 15275  df-clim 15524  df-rlim 15525  df-sum 15723  df-0p 25705  df-ply 26227  df-idp 26228  df-coe 26229  df-dgr 26230  df-quot 26333
This theorem is referenced by:  vieta1lem2  26353
  Copyright terms: Public domain W3C validator