MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  vieta1lem1 Structured version   Visualization version   GIF version
Theorem vieta1lem1 25823
Description: Lemma for vieta1 25825. (Contributed by Mario Carneiro, 28-Jul-2014.)
Hypotheses
Ref Expression
vieta1.1 𝐴 = (coeffβ€˜πΉ)
vieta1.2 𝑁 = (degβ€˜πΉ)
vieta1.3 𝑅 = (◑𝐹 β€œ {0})
vieta1.4 (πœ‘ β†’ 𝐹 ∈ (Polyβ€˜π‘†))
vieta1.5 (πœ‘ β†’ (β™―β€˜π‘…) = 𝑁)
vieta1lem.6 (πœ‘ β†’ 𝐷 ∈ β„•)
vieta1lem.7 (πœ‘ β†’ (𝐷 + 1) = 𝑁)
vieta1lem.8 (πœ‘ β†’ βˆ€π‘“ ∈ (Polyβ€˜β„‚)((𝐷 = (degβ€˜π‘“) ∧ (β™―β€˜(◑𝑓 β€œ {0})) = (degβ€˜π‘“)) β†’ Ξ£π‘₯ ∈ (◑𝑓 β€œ {0})π‘₯ = -(((coeffβ€˜π‘“)β€˜((degβ€˜π‘“) βˆ’ 1)) / ((coeffβ€˜π‘“)β€˜(degβ€˜π‘“)))))
vieta1lem.9 𝑄 = (𝐹 quot (Xp ∘f βˆ’ (β„‚ Γ— {𝑧})))
Assertion
Ref Expression
vieta1lem1 ((πœ‘ ∧ 𝑧 ∈ 𝑅) β†’ (𝑄 ∈ (Polyβ€˜β„‚) ∧ 𝐷 = (degβ€˜π‘„)))
Distinct variable groups:   𝐷,𝑓   𝑓,𝐹   𝑧,𝑓,𝑁   π‘₯,𝑓,𝑄   𝑅,𝑓   π‘₯,𝑧,𝑅   𝐴,𝑓,𝑧   πœ‘,π‘₯,𝑧
Allowed substitution hints:   πœ‘(𝑓)   𝐴(π‘₯)   𝐷(π‘₯,𝑧)   𝑄(𝑧)   𝑆(π‘₯,𝑧,𝑓)   𝐹(π‘₯,𝑧)   𝑁(π‘₯)
Proof of Theorem vieta1lem1
StepHypRef Expression
1 vieta1lem.9 . . 3 𝑄 = (𝐹 quot (Xp ∘f βˆ’ (β„‚ Γ— {𝑧})))
2 plyssc 25714 . . . . 5 (Polyβ€˜π‘†) βŠ† (Polyβ€˜β„‚)
3 vieta1.4 . . . . . 6 (πœ‘ β†’ 𝐹 ∈ (Polyβ€˜π‘†))
43adantr 482 . . . . 5 ((πœ‘ ∧ 𝑧 ∈ 𝑅) β†’ 𝐹 ∈ (Polyβ€˜π‘†))
52, 4sselid 3981 . . . 4 ((πœ‘ ∧ 𝑧 ∈ 𝑅) β†’ 𝐹 ∈ (Polyβ€˜β„‚))
6 vieta1.3 . . . . . . . . 9 𝑅 = (◑𝐹 β€œ {0})
7 cnvimass 6081 . . . . . . . . 9 (◑𝐹 β€œ {0}) βŠ† dom 𝐹
86, 7eqsstri 4017 . . . . . . . 8 𝑅 βŠ† dom 𝐹
9 plyf 25712 . . . . . . . . 9 (𝐹 ∈ (Polyβ€˜π‘†) β†’ 𝐹:β„‚βŸΆβ„‚)
103, 9syl 17 . . . . . . . 8 (πœ‘ β†’ 𝐹:β„‚βŸΆβ„‚)
118, 10fssdm 6738 . . . . . . 7 (πœ‘ β†’ 𝑅 βŠ† β„‚)
1211sselda 3983 . . . . . 6 ((πœ‘ ∧ 𝑧 ∈ 𝑅) β†’ 𝑧 ∈ β„‚)
13 eqid 2733 . . . . . . 7 (Xp ∘f βˆ’ (β„‚ Γ— {𝑧})) = (Xp ∘f βˆ’ (β„‚ Γ— {𝑧}))
1413plyremlem 25817 . . . . . 6 (𝑧 ∈ β„‚ β†’ ((Xp ∘f βˆ’ (β„‚ Γ— {𝑧})) ∈ (Polyβ€˜β„‚) ∧ (degβ€˜(Xp ∘f βˆ’ (β„‚ Γ— {𝑧}))) = 1 ∧ (β—‘(Xp ∘f βˆ’ (β„‚ Γ— {𝑧})) β€œ {0}) = {𝑧}))
1512, 14syl 17 . . . . 5 ((πœ‘ ∧ 𝑧 ∈ 𝑅) β†’ ((Xp ∘f βˆ’ (β„‚ Γ— {𝑧})) ∈ (Polyβ€˜β„‚) ∧ (degβ€˜(Xp ∘f βˆ’ (β„‚ Γ— {𝑧}))) = 1 ∧ (β—‘(Xp ∘f βˆ’ (β„‚ Γ— {𝑧})) β€œ {0}) = {𝑧}))
1615simp1d 1143 . . . 4 ((πœ‘ ∧ 𝑧 ∈ 𝑅) β†’ (Xp ∘f βˆ’ (β„‚ Γ— {𝑧})) ∈ (Polyβ€˜β„‚))
1715simp2d 1144 . . . . . 6 ((πœ‘ ∧ 𝑧 ∈ 𝑅) β†’ (degβ€˜(Xp ∘f βˆ’ (β„‚ Γ— {𝑧}))) = 1)
18 ax-1ne0 11179 . . . . . . 7 1 β‰  0
1918a1i 11 . . . . . 6 ((πœ‘ ∧ 𝑧 ∈ 𝑅) β†’ 1 β‰  0)
2017, 19eqnetrd 3009 . . . . 5 ((πœ‘ ∧ 𝑧 ∈ 𝑅) β†’ (degβ€˜(Xp ∘f βˆ’ (β„‚ Γ— {𝑧}))) β‰  0)
21 fveq2 6892 . . . . . . 7 ((Xp ∘f βˆ’ (β„‚ Γ— {𝑧})) = 0𝑝 β†’ (degβ€˜(Xp ∘f βˆ’ (β„‚ Γ— {𝑧}))) = (degβ€˜0𝑝))
22 dgr0 25776 . . . . . . 7 (degβ€˜0𝑝) = 0
2321, 22eqtrdi 2789 . . . . . 6 ((Xp ∘f βˆ’ (β„‚ Γ— {𝑧})) = 0𝑝 β†’ (degβ€˜(Xp ∘f βˆ’ (β„‚ Γ— {𝑧}))) = 0)
2423necon3i 2974 . . . . 5 ((degβ€˜(Xp ∘f βˆ’ (β„‚ Γ— {𝑧}))) β‰  0 β†’ (Xp ∘f βˆ’ (β„‚ Γ— {𝑧})) β‰  0𝑝)
2520, 24syl 17 . . . 4 ((πœ‘ ∧ 𝑧 ∈ 𝑅) β†’ (Xp ∘f βˆ’ (β„‚ Γ— {𝑧})) β‰  0𝑝)
26 quotcl2 25815 . . . 4 ((𝐹 ∈ (Polyβ€˜β„‚) ∧ (Xp ∘f βˆ’ (β„‚ Γ— {𝑧})) ∈ (Polyβ€˜β„‚) ∧ (Xp ∘f βˆ’ (β„‚ Γ— {𝑧})) β‰  0𝑝) β†’ (𝐹 quot (Xp ∘f βˆ’ (β„‚ Γ— {𝑧}))) ∈ (Polyβ€˜β„‚))
275, 16, 25, 26syl3anc 1372 . . 3 ((πœ‘ ∧ 𝑧 ∈ 𝑅) β†’ (𝐹 quot (Xp ∘f βˆ’ (β„‚ Γ— {𝑧}))) ∈ (Polyβ€˜β„‚))
281, 27eqeltrid 2838 . 2 ((πœ‘ ∧ 𝑧 ∈ 𝑅) β†’ 𝑄 ∈ (Polyβ€˜β„‚))
29 1cnd 11209 . . 3 ((πœ‘ ∧ 𝑧 ∈ 𝑅) β†’ 1 ∈ β„‚)
30 vieta1lem.6 . . . . 5 (πœ‘ β†’ 𝐷 ∈ β„•)
3130nncnd 12228 . . . 4 (πœ‘ β†’ 𝐷 ∈ β„‚)
3231adantr 482 . . 3 ((πœ‘ ∧ 𝑧 ∈ 𝑅) β†’ 𝐷 ∈ β„‚)
33 dgrcl 25747 . . . . 5 (𝑄 ∈ (Polyβ€˜β„‚) β†’ (degβ€˜π‘„) ∈ β„•0)
3428, 33syl 17 . . . 4 ((πœ‘ ∧ 𝑧 ∈ 𝑅) β†’ (degβ€˜π‘„) ∈ β„•0)
3534nn0cnd 12534 . . 3 ((πœ‘ ∧ 𝑧 ∈ 𝑅) β†’ (degβ€˜π‘„) ∈ β„‚)
36 ax-1cn 11168 . . . . 5 1 ∈ β„‚
37 addcom 11400 . . . . 5 ((1 ∈ β„‚ ∧ 𝐷 ∈ β„‚) β†’ (1 + 𝐷) = (𝐷 + 1))
3836, 32, 37sylancr 588 . . . 4 ((πœ‘ ∧ 𝑧 ∈ 𝑅) β†’ (1 + 𝐷) = (𝐷 + 1))
39 vieta1lem.7 . . . . . . 7 (πœ‘ β†’ (𝐷 + 1) = 𝑁)
40 vieta1.2 . . . . . . 7 𝑁 = (degβ€˜πΉ)
4139, 40eqtrdi 2789 . . . . . 6 (πœ‘ β†’ (𝐷 + 1) = (degβ€˜πΉ))
4241adantr 482 . . . . 5 ((πœ‘ ∧ 𝑧 ∈ 𝑅) β†’ (𝐷 + 1) = (degβ€˜πΉ))
436eleq2i 2826 . . . . . . . . . 10 (𝑧 ∈ 𝑅 ↔ 𝑧 ∈ (◑𝐹 β€œ {0}))
4410ffnd 6719 . . . . . . . . . . 11 (πœ‘ β†’ 𝐹 Fn β„‚)
45 fniniseg 7062 . . . . . . . . . . 11 (𝐹 Fn β„‚ β†’ (𝑧 ∈ (◑𝐹 β€œ {0}) ↔ (𝑧 ∈ β„‚ ∧ (πΉβ€˜π‘§) = 0)))
4644, 45syl 17 . . . . . . . . . 10 (πœ‘ β†’ (𝑧 ∈ (◑𝐹 β€œ {0}) ↔ (𝑧 ∈ β„‚ ∧ (πΉβ€˜π‘§) = 0)))
4743, 46bitrid 283 . . . . . . . . 9 (πœ‘ β†’ (𝑧 ∈ 𝑅 ↔ (𝑧 ∈ β„‚ ∧ (πΉβ€˜π‘§) = 0)))
4847simplbda 501 . . . . . . . 8 ((πœ‘ ∧ 𝑧 ∈ 𝑅) β†’ (πΉβ€˜π‘§) = 0)
4913facth 25819 . . . . . . . 8 ((𝐹 ∈ (Polyβ€˜π‘†) ∧ 𝑧 ∈ β„‚ ∧ (πΉβ€˜π‘§) = 0) β†’ 𝐹 = ((Xp ∘f βˆ’ (β„‚ Γ— {𝑧})) ∘f Β· (𝐹 quot (Xp ∘f βˆ’ (β„‚ Γ— {𝑧})))))
504, 12, 48, 49syl3anc 1372 . . . . . . 7 ((πœ‘ ∧ 𝑧 ∈ 𝑅) β†’ 𝐹 = ((Xp ∘f βˆ’ (β„‚ Γ— {𝑧})) ∘f Β· (𝐹 quot (Xp ∘f βˆ’ (β„‚ Γ— {𝑧})))))
511oveq2i 7420 . . . . . . 7 ((Xp ∘f βˆ’ (β„‚ Γ— {𝑧})) ∘f Β· 𝑄) = ((Xp ∘f βˆ’ (β„‚ Γ— {𝑧})) ∘f Β· (𝐹 quot (Xp ∘f βˆ’ (β„‚ Γ— {𝑧}))))
5250, 51eqtr4di 2791 . . . . . 6 ((πœ‘ ∧ 𝑧 ∈ 𝑅) β†’ 𝐹 = ((Xp ∘f βˆ’ (β„‚ Γ— {𝑧})) ∘f Β· 𝑄))
5352fveq2d 6896 . . . . 5 ((πœ‘ ∧ 𝑧 ∈ 𝑅) β†’ (degβ€˜πΉ) = (degβ€˜((Xp ∘f βˆ’ (β„‚ Γ— {𝑧})) ∘f Β· 𝑄)))
5430peano2nnd 12229 . . . . . . . . . . . . . . 15 (πœ‘ β†’ (𝐷 + 1) ∈ β„•)
5539, 54eqeltrrd 2835 . . . . . . . . . . . . . 14 (πœ‘ β†’ 𝑁 ∈ β„•)
5655nnne0d 12262 . . . . . . . . . . . . 13 (πœ‘ β†’ 𝑁 β‰  0)
5740, 56eqnetrrid 3017 . . . . . . . . . . . 12 (πœ‘ β†’ (degβ€˜πΉ) β‰  0)
58 fveq2 6892 . . . . . . . . . . . . . 14 (𝐹 = 0𝑝 β†’ (degβ€˜πΉ) = (degβ€˜0𝑝))
5958, 22eqtrdi 2789 . . . . . . . . . . . . 13 (𝐹 = 0𝑝 β†’ (degβ€˜πΉ) = 0)
6059necon3i 2974 . . . . . . . . . . . 12 ((degβ€˜πΉ) β‰  0 β†’ 𝐹 β‰  0𝑝)
6157, 60syl 17 . . . . . . . . . . 11 (πœ‘ β†’ 𝐹 β‰  0𝑝)
6261adantr 482 . . . . . . . . . 10 ((πœ‘ ∧ 𝑧 ∈ 𝑅) β†’ 𝐹 β‰  0𝑝)
6352, 62eqnetrrd 3010 . . . . . . . . 9 ((πœ‘ ∧ 𝑧 ∈ 𝑅) β†’ ((Xp ∘f βˆ’ (β„‚ Γ— {𝑧})) ∘f Β· 𝑄) β‰  0𝑝)
64 plymul0or 25794 . . . . . . . . . . 11 (((Xp ∘f βˆ’ (β„‚ Γ— {𝑧})) ∈ (Polyβ€˜β„‚) ∧ 𝑄 ∈ (Polyβ€˜β„‚)) β†’ (((Xp ∘f βˆ’ (β„‚ Γ— {𝑧})) ∘f Β· 𝑄) = 0𝑝 ↔ ((Xp ∘f βˆ’ (β„‚ Γ— {𝑧})) = 0𝑝 ∨ 𝑄 = 0𝑝)))
6516, 28, 64syl2anc 585 . . . . . . . . . 10 ((πœ‘ ∧ 𝑧 ∈ 𝑅) β†’ (((Xp ∘f βˆ’ (β„‚ Γ— {𝑧})) ∘f Β· 𝑄) = 0𝑝 ↔ ((Xp ∘f βˆ’ (β„‚ Γ— {𝑧})) = 0𝑝 ∨ 𝑄 = 0𝑝)))
6665necon3abid 2978 . . . . . . . . 9 ((πœ‘ ∧ 𝑧 ∈ 𝑅) β†’ (((Xp ∘f βˆ’ (β„‚ Γ— {𝑧})) ∘f Β· 𝑄) β‰  0𝑝 ↔ Β¬ ((Xp ∘f βˆ’ (β„‚ Γ— {𝑧})) = 0𝑝 ∨ 𝑄 = 0𝑝)))
6763, 66mpbid 231 . . . . . . . 8 ((πœ‘ ∧ 𝑧 ∈ 𝑅) β†’ Β¬ ((Xp ∘f βˆ’ (β„‚ Γ— {𝑧})) = 0𝑝 ∨ 𝑄 = 0𝑝))
68 neanior 3036 . . . . . . . 8 (((Xp ∘f βˆ’ (β„‚ Γ— {𝑧})) β‰  0𝑝 ∧ 𝑄 β‰  0𝑝) ↔ Β¬ ((Xp ∘f βˆ’ (β„‚ Γ— {𝑧})) = 0𝑝 ∨ 𝑄 = 0𝑝))
6967, 68sylibr 233 . . . . . . 7 ((πœ‘ ∧ 𝑧 ∈ 𝑅) β†’ ((Xp ∘f βˆ’ (β„‚ Γ— {𝑧})) β‰  0𝑝 ∧ 𝑄 β‰  0𝑝))
7069simprd 497 . . . . . 6 ((πœ‘ ∧ 𝑧 ∈ 𝑅) β†’ 𝑄 β‰  0𝑝)
71 eqid 2733 . . . . . . 7 (degβ€˜(Xp ∘f βˆ’ (β„‚ Γ— {𝑧}))) = (degβ€˜(Xp ∘f βˆ’ (β„‚ Γ— {𝑧})))
72 eqid 2733 . . . . . . 7 (degβ€˜π‘„) = (degβ€˜π‘„)
7371, 72dgrmul 25784 . . . . . 6 ((((Xp ∘f βˆ’ (β„‚ Γ— {𝑧})) ∈ (Polyβ€˜β„‚) ∧ (Xp ∘f βˆ’ (β„‚ Γ— {𝑧})) β‰  0𝑝) ∧ (𝑄 ∈ (Polyβ€˜β„‚) ∧ 𝑄 β‰  0𝑝)) β†’ (degβ€˜((Xp ∘f βˆ’ (β„‚ Γ— {𝑧})) ∘f Β· 𝑄)) = ((degβ€˜(Xp ∘f βˆ’ (β„‚ Γ— {𝑧}))) + (degβ€˜π‘„)))
7416, 25, 28, 70, 73syl22anc 838 . . . . 5 ((πœ‘ ∧ 𝑧 ∈ 𝑅) β†’ (degβ€˜((Xp ∘f βˆ’ (β„‚ Γ— {𝑧})) ∘f Β· 𝑄)) = ((degβ€˜(Xp ∘f βˆ’ (β„‚ Γ— {𝑧}))) + (degβ€˜π‘„)))
7542, 53, 743eqtrd 2777 . . . 4 ((πœ‘ ∧ 𝑧 ∈ 𝑅) β†’ (𝐷 + 1) = ((degβ€˜(Xp ∘f βˆ’ (β„‚ Γ— {𝑧}))) + (degβ€˜π‘„)))
7617oveq1d 7424 . . . 4 ((πœ‘ ∧ 𝑧 ∈ 𝑅) β†’ ((degβ€˜(Xp ∘f βˆ’ (β„‚ Γ— {𝑧}))) + (degβ€˜π‘„)) = (1 + (degβ€˜π‘„)))
7738, 75, 763eqtrd 2777 . . 3 ((πœ‘ ∧ 𝑧 ∈ 𝑅) β†’ (1 + 𝐷) = (1 + (degβ€˜π‘„)))
7829, 32, 35, 77addcanad 11419 . 2 ((πœ‘ ∧ 𝑧 ∈ 𝑅) β†’ 𝐷 = (degβ€˜π‘„))
7928, 78jca 513 1 ((πœ‘ ∧ 𝑧 ∈ 𝑅) β†’ (𝑄 ∈ (Polyβ€˜β„‚) ∧ 𝐷 = (degβ€˜π‘„)))
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  Β¬ wn 3   β†’ wi 4   ↔ wb 205   ∧ wa 397   ∨ wo 846   ∧ w3a 1088   = wceq 1542   ∈ wcel 2107   β‰  wne 2941  βˆ€wral 3062  {csn 4629   Γ— cxp 5675  β—‘ccnv 5676  dom cdm 5677   β€œ cima 5680   Fn wfn 6539  βŸΆwf 6540  β€˜cfv 6544  (class class class)co 7409   ∘f cof 7668  β„‚cc 11108  0cc0 11110  1c1 11111   + caddc 11113   Β· cmul 11115   βˆ’ cmin 11444  -cneg 11445   / cdiv 11871  β„•cn 12212  β„•0cn0 12472  β™―chash 14290  Ξ£csu 15632  0𝑝c0p 25186  Polycply 25698  Xpcidp 25699  coeffccoe 25700  degcdgr 25701   quot cquot 25803
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1798  ax-4 1812  ax-5 1914  ax-6 1972  ax-7 2012  ax-8 2109  ax-9 2117  ax-10 2138  ax-11 2155  ax-12 2172  ax-ext 2704  ax-rep 5286  ax-sep 5300  ax-nul 5307  ax-pow 5364  ax-pr 5428  ax-un 7725  ax-inf2 9636  ax-cnex 11166  ax-resscn 11167  ax-1cn 11168  ax-icn 11169  ax-addcl 11170  ax-addrcl 11171  ax-mulcl 11172  ax-mulrcl 11173  ax-mulcom 11174  ax-addass 11175  ax-mulass 11176  ax-distr 11177  ax-i2m1 11178  ax-1ne0 11179  ax-1rid 11180  ax-rnegex 11181  ax-rrecex 11182  ax-cnre 11183  ax-pre-lttri 11184  ax-pre-lttrn 11185  ax-pre-ltadd 11186  ax-pre-mulgt0 11187  ax-pre-sup 11188
This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 398  df-or 847  df-3or 1089  df-3an 1090  df-tru 1545  df-fal 1555  df-ex 1783  df-nf 1787  df-sb 2069  df-mo 2535  df-eu 2564  df-clab 2711  df-cleq 2725  df-clel 2811  df-nfc 2886  df-ne 2942  df-nel 3048  df-ral 3063  df-rex 3072  df-rmo 3377  df-reu 3378  df-rab 3434  df-v 3477  df-sbc 3779  df-csb 3895  df-dif 3952  df-un 3954  df-in 3956  df-ss 3966  df-pss 3968  df-nul 4324  df-if 4530  df-pw 4605  df-sn 4630  df-pr 4632  df-op 4636  df-uni 4910  df-int 4952  df-iun 5000  df-br 5150  df-opab 5212  df-mpt 5233  df-tr 5267  df-id 5575  df-eprel 5581  df-po 5589  df-so 5590  df-fr 5632  df-se 5633  df-we 5634  df-xp 5683  df-rel 5684  df-cnv 5685  df-co 5686  df-dm 5687  df-rn 5688  df-res 5689  df-ima 5690  df-pred 6301  df-ord 6368  df-on 6369  df-lim 6370  df-suc 6371  df-iota 6496  df-fun 6546  df-fn 6547  df-f 6548  df-f1 6549  df-fo 6550  df-f1o 6551  df-fv 6552  df-isom 6553  df-riota 7365  df-ov 7412  df-oprab 7413  df-mpo 7414  df-of 7670  df-om 7856  df-1st 7975  df-2nd 7976  df-frecs 8266  df-wrecs 8297  df-recs 8371  df-rdg 8410  df-1o 8466  df-er 8703  df-map 8822  df-pm 8823  df-en 8940  df-dom 8941  df-sdom 8942  df-fin 8943  df-sup 9437  df-inf 9438  df-oi 9505  df-card 9934  df-pnf 11250  df-mnf 11251  df-xr 11252  df-ltxr 11253  df-le 11254  df-sub 11446  df-neg 11447  df-div 11872  df-nn 12213  df-2 12275  df-3 12276  df-n0 12473  df-z 12559  df-uz 12823  df-rp 12975  df-fz 13485  df-fzo 13628  df-fl 13757  df-seq 13967  df-exp 14028  df-hash 14291  df-cj 15046  df-re 15047  df-im 15048  df-sqrt 15182  df-abs 15183  df-clim 15432  df-rlim 15433  df-sum 15633  df-0p 25187  df-ply 25702  df-idp 25703  df-coe 25704  df-dgr 25705  df-quot 25804
This theorem is referenced by:  vieta1lem2  25824
  Copyright terms: Public domain W3C validator