MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  vieta1lem1 Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem vieta1lem1 26338
Description: Lemma for vieta1 26340. (Contributed by Mario Carneiro, 28-Jul-2014.)
Hypotheses
Ref Expression
vieta1.1 𝐴 = (coeff‘𝐹)
vieta1.2 𝑁 = (deg‘𝐹)
vieta1.3 𝑅 = (𝐹 “ {0})
vieta1.4 (𝜑𝐹 ∈ (Poly‘𝑆))
vieta1.5 (𝜑 → (♯‘𝑅) = 𝑁)
vieta1lem.6 (𝜑𝐷 ∈ ℕ)
vieta1lem.7 (𝜑 → (𝐷 + 1) = 𝑁)
vieta1lem.8 (𝜑 → ∀𝑓 ∈ (Poly‘ℂ)((𝐷 = (deg‘𝑓) ∧ (♯‘(𝑓 “ {0})) = (deg‘𝑓)) → Σ𝑥 ∈ (𝑓 “ {0})𝑥 = -(((coeff‘𝑓)‘((deg‘𝑓) − 1)) / ((coeff‘𝑓)‘(deg‘𝑓)))))
vieta1lem.9 𝑄 = (𝐹 quot (Xpf − (ℂ × {𝑧})))
Assertion
Ref Expression
vieta1lem1 ((𝜑𝑧𝑅) → (𝑄 ∈ (Poly‘ℂ) ∧ 𝐷 = (deg‘𝑄)))
Distinct variable groups:   𝐷,𝑓   𝑓,𝐹   𝑧,𝑓,𝑁   𝑥,𝑓,𝑄   𝑅,𝑓   𝑥,𝑧,𝑅   𝐴,𝑓,𝑧   𝜑,𝑥,𝑧
Allowed substitution hints:   𝜑(𝑓)   𝐴(𝑥)   𝐷(𝑥,𝑧)   𝑄(𝑧)   𝑆(𝑥,𝑧,𝑓)   𝐹(𝑥,𝑧)   𝑁(𝑥)

Proof of Theorem vieta1lem1
StepHypRef Expression
1 vieta1lem.9 . . 3 𝑄 = (𝐹 quot (Xpf − (ℂ × {𝑧})))
2 plyssc 26227 . . . . 5 (Poly‘𝑆) ⊆ (Poly‘ℂ)
3 vieta1.4 . . . . . 6 (𝜑𝐹 ∈ (Poly‘𝑆))
43adantr 479 . . . . 5 ((𝜑𝑧𝑅) → 𝐹 ∈ (Poly‘𝑆))
52, 4sselid 3977 . . . 4 ((𝜑𝑧𝑅) → 𝐹 ∈ (Poly‘ℂ))
6 vieta1.3 . . . . . . . . 9 𝑅 = (𝐹 “ {0})
7 cnvimass 6091 . . . . . . . . 9 (𝐹 “ {0}) ⊆ dom 𝐹
86, 7eqsstri 4014 . . . . . . . 8 𝑅 ⊆ dom 𝐹
9 plyf 26225 . . . . . . . . 9 (𝐹 ∈ (Poly‘𝑆) → 𝐹:ℂ⟶ℂ)
103, 9syl 17 . . . . . . . 8 (𝜑𝐹:ℂ⟶ℂ)
118, 10fssdm 6747 . . . . . . 7 (𝜑𝑅 ⊆ ℂ)
1211sselda 3979 . . . . . 6 ((𝜑𝑧𝑅) → 𝑧 ∈ ℂ)
13 eqid 2726 . . . . . . 7 (Xpf − (ℂ × {𝑧})) = (Xpf − (ℂ × {𝑧}))
1413plyremlem 26332 . . . . . 6 (𝑧 ∈ ℂ → ((Xpf − (ℂ × {𝑧})) ∈ (Poly‘ℂ) ∧ (deg‘(Xpf − (ℂ × {𝑧}))) = 1 ∧ ((Xpf − (ℂ × {𝑧})) “ {0}) = {𝑧}))
1512, 14syl 17 . . . . 5 ((𝜑𝑧𝑅) → ((Xpf − (ℂ × {𝑧})) ∈ (Poly‘ℂ) ∧ (deg‘(Xpf − (ℂ × {𝑧}))) = 1 ∧ ((Xpf − (ℂ × {𝑧})) “ {0}) = {𝑧}))
1615simp1d 1139 . . . 4 ((𝜑𝑧𝑅) → (Xpf − (ℂ × {𝑧})) ∈ (Poly‘ℂ))
1715simp2d 1140 . . . . . 6 ((𝜑𝑧𝑅) → (deg‘(Xpf − (ℂ × {𝑧}))) = 1)
18 ax-1ne0 11227 . . . . . . 7 1 ≠ 0
1918a1i 11 . . . . . 6 ((𝜑𝑧𝑅) → 1 ≠ 0)
2017, 19eqnetrd 2998 . . . . 5 ((𝜑𝑧𝑅) → (deg‘(Xpf − (ℂ × {𝑧}))) ≠ 0)
21 fveq2 6901 . . . . . . 7 ((Xpf − (ℂ × {𝑧})) = 0𝑝 → (deg‘(Xpf − (ℂ × {𝑧}))) = (deg‘0𝑝))
22 dgr0 26290 . . . . . . 7 (deg‘0𝑝) = 0
2321, 22eqtrdi 2782 . . . . . 6 ((Xpf − (ℂ × {𝑧})) = 0𝑝 → (deg‘(Xpf − (ℂ × {𝑧}))) = 0)
2423necon3i 2963 . . . . 5 ((deg‘(Xpf − (ℂ × {𝑧}))) ≠ 0 → (Xpf − (ℂ × {𝑧})) ≠ 0𝑝)
2520, 24syl 17 . . . 4 ((𝜑𝑧𝑅) → (Xpf − (ℂ × {𝑧})) ≠ 0𝑝)
26 quotcl2 26330 . . . 4 ((𝐹 ∈ (Poly‘ℂ) ∧ (Xpf − (ℂ × {𝑧})) ∈ (Poly‘ℂ) ∧ (Xpf − (ℂ × {𝑧})) ≠ 0𝑝) → (𝐹 quot (Xpf − (ℂ × {𝑧}))) ∈ (Poly‘ℂ))
275, 16, 25, 26syl3anc 1368 . . 3 ((𝜑𝑧𝑅) → (𝐹 quot (Xpf − (ℂ × {𝑧}))) ∈ (Poly‘ℂ))
281, 27eqeltrid 2830 . 2 ((𝜑𝑧𝑅) → 𝑄 ∈ (Poly‘ℂ))
29 1cnd 11259 . . 3 ((𝜑𝑧𝑅) → 1 ∈ ℂ)
30 vieta1lem.6 . . . . 5 (𝜑𝐷 ∈ ℕ)
3130nncnd 12280 . . . 4 (𝜑𝐷 ∈ ℂ)
3231adantr 479 . . 3 ((𝜑𝑧𝑅) → 𝐷 ∈ ℂ)
33 dgrcl 26260 . . . . 5 (𝑄 ∈ (Poly‘ℂ) → (deg‘𝑄) ∈ ℕ0)
3428, 33syl 17 . . . 4 ((𝜑𝑧𝑅) → (deg‘𝑄) ∈ ℕ0)
3534nn0cnd 12586 . . 3 ((𝜑𝑧𝑅) → (deg‘𝑄) ∈ ℂ)
36 ax-1cn 11216 . . . . 5 1 ∈ ℂ
37 addcom 11450 . . . . 5 ((1 ∈ ℂ ∧ 𝐷 ∈ ℂ) → (1 + 𝐷) = (𝐷 + 1))
3836, 32, 37sylancr 585 . . . 4 ((𝜑𝑧𝑅) → (1 + 𝐷) = (𝐷 + 1))
39 vieta1lem.7 . . . . . . 7 (𝜑 → (𝐷 + 1) = 𝑁)
40 vieta1.2 . . . . . . 7 𝑁 = (deg‘𝐹)
4139, 40eqtrdi 2782 . . . . . 6 (𝜑 → (𝐷 + 1) = (deg‘𝐹))
4241adantr 479 . . . . 5 ((𝜑𝑧𝑅) → (𝐷 + 1) = (deg‘𝐹))
436eleq2i 2818 . . . . . . . . . 10 (𝑧𝑅𝑧 ∈ (𝐹 “ {0}))
4410ffnd 6729 . . . . . . . . . . 11 (𝜑𝐹 Fn ℂ)
45 fniniseg 7073 . . . . . . . . . . 11 (𝐹 Fn ℂ → (𝑧 ∈ (𝐹 “ {0}) ↔ (𝑧 ∈ ℂ ∧ (𝐹𝑧) = 0)))
4644, 45syl 17 . . . . . . . . . 10 (𝜑 → (𝑧 ∈ (𝐹 “ {0}) ↔ (𝑧 ∈ ℂ ∧ (𝐹𝑧) = 0)))
4743, 46bitrid 282 . . . . . . . . 9 (𝜑 → (𝑧𝑅 ↔ (𝑧 ∈ ℂ ∧ (𝐹𝑧) = 0)))
4847simplbda 498 . . . . . . . 8 ((𝜑𝑧𝑅) → (𝐹𝑧) = 0)
4913facth 26334 . . . . . . . 8 ((𝐹 ∈ (Poly‘𝑆) ∧ 𝑧 ∈ ℂ ∧ (𝐹𝑧) = 0) → 𝐹 = ((Xpf − (ℂ × {𝑧})) ∘f · (𝐹 quot (Xpf − (ℂ × {𝑧})))))
504, 12, 48, 49syl3anc 1368 . . . . . . 7 ((𝜑𝑧𝑅) → 𝐹 = ((Xpf − (ℂ × {𝑧})) ∘f · (𝐹 quot (Xpf − (ℂ × {𝑧})))))
511oveq2i 7435 . . . . . . 7 ((Xpf − (ℂ × {𝑧})) ∘f · 𝑄) = ((Xpf − (ℂ × {𝑧})) ∘f · (𝐹 quot (Xpf − (ℂ × {𝑧}))))
5250, 51eqtr4di 2784 . . . . . 6 ((𝜑𝑧𝑅) → 𝐹 = ((Xpf − (ℂ × {𝑧})) ∘f · 𝑄))
5352fveq2d 6905 . . . . 5 ((𝜑𝑧𝑅) → (deg‘𝐹) = (deg‘((Xpf − (ℂ × {𝑧})) ∘f · 𝑄)))
5430peano2nnd 12281 . . . . . . . . . . . . . . 15 (𝜑 → (𝐷 + 1) ∈ ℕ)
5539, 54eqeltrrd 2827 . . . . . . . . . . . . . 14 (𝜑𝑁 ∈ ℕ)
5655nnne0d 12314 . . . . . . . . . . . . 13 (𝜑𝑁 ≠ 0)
5740, 56eqnetrrid 3006 . . . . . . . . . . . 12 (𝜑 → (deg‘𝐹) ≠ 0)
58 fveq2 6901 . . . . . . . . . . . . . 14 (𝐹 = 0𝑝 → (deg‘𝐹) = (deg‘0𝑝))
5958, 22eqtrdi 2782 . . . . . . . . . . . . 13 (𝐹 = 0𝑝 → (deg‘𝐹) = 0)
6059necon3i 2963 . . . . . . . . . . . 12 ((deg‘𝐹) ≠ 0 → 𝐹 ≠ 0𝑝)
6157, 60syl 17 . . . . . . . . . . 11 (𝜑𝐹 ≠ 0𝑝)
6261adantr 479 . . . . . . . . . 10 ((𝜑𝑧𝑅) → 𝐹 ≠ 0𝑝)
6352, 62eqnetrrd 2999 . . . . . . . . 9 ((𝜑𝑧𝑅) → ((Xpf − (ℂ × {𝑧})) ∘f · 𝑄) ≠ 0𝑝)
64 plymul0or 26308 . . . . . . . . . . 11 (((Xpf − (ℂ × {𝑧})) ∈ (Poly‘ℂ) ∧ 𝑄 ∈ (Poly‘ℂ)) → (((Xpf − (ℂ × {𝑧})) ∘f · 𝑄) = 0𝑝 ↔ ((Xpf − (ℂ × {𝑧})) = 0𝑝𝑄 = 0𝑝)))
6516, 28, 64syl2anc 582 . . . . . . . . . 10 ((𝜑𝑧𝑅) → (((Xpf − (ℂ × {𝑧})) ∘f · 𝑄) = 0𝑝 ↔ ((Xpf − (ℂ × {𝑧})) = 0𝑝𝑄 = 0𝑝)))
6665necon3abid 2967 . . . . . . . . 9 ((𝜑𝑧𝑅) → (((Xpf − (ℂ × {𝑧})) ∘f · 𝑄) ≠ 0𝑝 ↔ ¬ ((Xpf − (ℂ × {𝑧})) = 0𝑝𝑄 = 0𝑝)))
6763, 66mpbid 231 . . . . . . . 8 ((𝜑𝑧𝑅) → ¬ ((Xpf − (ℂ × {𝑧})) = 0𝑝𝑄 = 0𝑝))
68 neanior 3025 . . . . . . . 8 (((Xpf − (ℂ × {𝑧})) ≠ 0𝑝𝑄 ≠ 0𝑝) ↔ ¬ ((Xpf − (ℂ × {𝑧})) = 0𝑝𝑄 = 0𝑝))
6967, 68sylibr 233 . . . . . . 7 ((𝜑𝑧𝑅) → ((Xpf − (ℂ × {𝑧})) ≠ 0𝑝𝑄 ≠ 0𝑝))
7069simprd 494 . . . . . 6 ((𝜑𝑧𝑅) → 𝑄 ≠ 0𝑝)
71 eqid 2726 . . . . . . 7 (deg‘(Xpf − (ℂ × {𝑧}))) = (deg‘(Xpf − (ℂ × {𝑧})))
72 eqid 2726 . . . . . . 7 (deg‘𝑄) = (deg‘𝑄)
7371, 72dgrmul 26298 . . . . . 6 ((((Xpf − (ℂ × {𝑧})) ∈ (Poly‘ℂ) ∧ (Xpf − (ℂ × {𝑧})) ≠ 0𝑝) ∧ (𝑄 ∈ (Poly‘ℂ) ∧ 𝑄 ≠ 0𝑝)) → (deg‘((Xpf − (ℂ × {𝑧})) ∘f · 𝑄)) = ((deg‘(Xpf − (ℂ × {𝑧}))) + (deg‘𝑄)))
7416, 25, 28, 70, 73syl22anc 837 . . . . 5 ((𝜑𝑧𝑅) → (deg‘((Xpf − (ℂ × {𝑧})) ∘f · 𝑄)) = ((deg‘(Xpf − (ℂ × {𝑧}))) + (deg‘𝑄)))
7542, 53, 743eqtrd 2770 . . . 4 ((𝜑𝑧𝑅) → (𝐷 + 1) = ((deg‘(Xpf − (ℂ × {𝑧}))) + (deg‘𝑄)))
7617oveq1d 7439 . . . 4 ((𝜑𝑧𝑅) → ((deg‘(Xpf − (ℂ × {𝑧}))) + (deg‘𝑄)) = (1 + (deg‘𝑄)))
7738, 75, 763eqtrd 2770 . . 3 ((𝜑𝑧𝑅) → (1 + 𝐷) = (1 + (deg‘𝑄)))
7829, 32, 35, 77addcanad 11469 . 2 ((𝜑𝑧𝑅) → 𝐷 = (deg‘𝑄))
7928, 78jca 510 1 ((𝜑𝑧𝑅) → (𝑄 ∈ (Poly‘ℂ) ∧ 𝐷 = (deg‘𝑄)))
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  ¬ wn 3  wi 4  wb 205  wa 394  wo 845  w3a 1084   = wceq 1534  wcel 2099  wne 2930  wral 3051  {csn 4633   × cxp 5680  ccnv 5681  dom cdm 5682  cima 5685   Fn wfn 6549  wf 6550  cfv 6554  (class class class)co 7424  f cof 7688  cc 11156  0cc0 11158  1c1 11159   + caddc 11161   · cmul 11163  cmin 11494  -cneg 11495   / cdiv 11921  cn 12264  0cn0 12524  chash 14347  Σcsu 15690  0𝑝c0p 25689  Polycply 26211  Xpcidp 26212  coeffccoe 26213  degcdgr 26214   quot cquot 26318
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1790  ax-4 1804  ax-5 1906  ax-6 1964  ax-7 2004  ax-8 2101  ax-9 2109  ax-10 2130  ax-11 2147  ax-12 2167  ax-ext 2697  ax-rep 5290  ax-sep 5304  ax-nul 5311  ax-pow 5369  ax-pr 5433  ax-un 7746  ax-inf2 9684  ax-cnex 11214  ax-resscn 11215  ax-1cn 11216  ax-icn 11217  ax-addcl 11218  ax-addrcl 11219  ax-mulcl 11220  ax-mulrcl 11221  ax-mulcom 11222  ax-addass 11223  ax-mulass 11224  ax-distr 11225  ax-i2m1 11226  ax-1ne0 11227  ax-1rid 11228  ax-rnegex 11229  ax-rrecex 11230  ax-cnre 11231  ax-pre-lttri 11232  ax-pre-lttrn 11233  ax-pre-ltadd 11234  ax-pre-mulgt0 11235  ax-pre-sup 11236
This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 395  df-or 846  df-3or 1085  df-3an 1086  df-tru 1537  df-fal 1547  df-ex 1775  df-nf 1779  df-sb 2061  df-mo 2529  df-eu 2558  df-clab 2704  df-cleq 2718  df-clel 2803  df-nfc 2878  df-ne 2931  df-nel 3037  df-ral 3052  df-rex 3061  df-rmo 3364  df-reu 3365  df-rab 3420  df-v 3464  df-sbc 3777  df-csb 3893  df-dif 3950  df-un 3952  df-in 3954  df-ss 3964  df-pss 3967  df-nul 4326  df-if 4534  df-pw 4609  df-sn 4634  df-pr 4636  df-op 4640  df-uni 4914  df-int 4955  df-iun 5003  df-br 5154  df-opab 5216  df-mpt 5237  df-tr 5271  df-id 5580  df-eprel 5586  df-po 5594  df-so 5595  df-fr 5637  df-se 5638  df-we 5639  df-xp 5688  df-rel 5689  df-cnv 5690  df-co 5691  df-dm 5692  df-rn 5693  df-res 5694  df-ima 5695  df-pred 6312  df-ord 6379  df-on 6380  df-lim 6381  df-suc 6382  df-iota 6506  df-fun 6556  df-fn 6557  df-f 6558  df-f1 6559  df-fo 6560  df-f1o 6561  df-fv 6562  df-isom 6563  df-riota 7380  df-ov 7427  df-oprab 7428  df-mpo 7429  df-of 7690  df-om 7877  df-1st 8003  df-2nd 8004  df-frecs 8296  df-wrecs 8327  df-recs 8401  df-rdg 8440  df-1o 8496  df-er 8734  df-map 8857  df-pm 8858  df-en 8975  df-dom 8976  df-sdom 8977  df-fin 8978  df-sup 9485  df-inf 9486  df-oi 9553  df-card 9982  df-pnf 11300  df-mnf 11301  df-xr 11302  df-ltxr 11303  df-le 11304  df-sub 11496  df-neg 11497  df-div 11922  df-nn 12265  df-2 12327  df-3 12328  df-n0 12525  df-z 12611  df-uz 12875  df-rp 13029  df-fz 13539  df-fzo 13682  df-fl 13812  df-seq 14022  df-exp 14082  df-hash 14348  df-cj 15104  df-re 15105  df-im 15106  df-sqrt 15240  df-abs 15241  df-clim 15490  df-rlim 15491  df-sum 15691  df-0p 25690  df-ply 26215  df-idp 26216  df-coe 26217  df-dgr 26218  df-quot 26319
This theorem is referenced by:  vieta1lem2  26339
  Copyright terms: Public domain W3C validator