Theorem quotlem 25460

Description: Lemma for properties of the polynomial quotient function. (Contributed by Mario Carneiro, 26-Jul-2014.)

Hypotheses

Ref	Expression
plydiv.pl	⊢ ((𝜑 ∧ (𝑥 ∈ 𝑆 ∧ 𝑦 ∈ 𝑆)) → (𝑥 + 𝑦) ∈ 𝑆)
plydiv.tm	⊢ ((𝜑 ∧ (𝑥 ∈ 𝑆 ∧ 𝑦 ∈ 𝑆)) → (𝑥 · 𝑦) ∈ 𝑆)
plydiv.rc	⊢ ((𝜑 ∧ (𝑥 ∈ 𝑆 ∧ 𝑥 ≠ 0)) → (1 / 𝑥) ∈ 𝑆)
plydiv.m1	⊢ (𝜑 → -1 ∈ 𝑆)
plydiv.f	⊢ (𝜑 → 𝐹 ∈ (Poly‘𝑆))
plydiv.g	⊢ (𝜑 → 𝐺 ∈ (Poly‘𝑆))
plydiv.z	⊢ (𝜑 → 𝐺 ≠ 0𝑝)
quotlem.8	⊢ 𝑅 = (𝐹 ∘f − (𝐺 ∘f · (𝐹 quot 𝐺)))

Assertion

Ref	Expression
quotlem	⊢ (𝜑 → ((𝐹 quot 𝐺) ∈ (Poly‘𝑆) ∧ (𝑅 = 0𝑝 ∨ (deg‘𝑅) < (deg‘𝐺))))

Distinct variable groups:   𝑥,𝑦,𝐹   𝜑,𝑥,𝑦   𝑥,𝐺,𝑦   𝑥,𝑅,𝑦   𝑥,𝑆,𝑦

Proof of Theorem quotlem

Dummy variable 𝑞 is distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		plydiv.f	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → 𝐹 ∈ (Poly‘𝑆))
2		plydiv.g	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → 𝐺 ∈ (Poly‘𝑆))
3		plydiv.z	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → 𝐺 ≠ 0𝑝)
4		eqid 2738	. . . . . 6 ⊢ (𝐹 ∘f − (𝐺 ∘f · 𝑞)) = (𝐹 ∘f − (𝐺 ∘f · 𝑞))
5	4	quotval 25452	. . . . 5 ⊢ ((𝐹 ∈ (Poly‘𝑆) ∧ 𝐺 ∈ (Poly‘𝑆) ∧ 𝐺 ≠ 0𝑝) → (𝐹 quot 𝐺) = (℩𝑞 ∈ (Poly‘ℂ)((𝐹 ∘f − (𝐺 ∘f · 𝑞)) = 0𝑝 ∨ (deg‘(𝐹 ∘f − (𝐺 ∘f · 𝑞))) < (deg‘𝐺))))
6	1, 2, 3, 5	syl3anc 1370	. . . 4 ⊢ (𝜑 → (𝐹 quot 𝐺) = (℩𝑞 ∈ (Poly‘ℂ)((𝐹 ∘f − (𝐺 ∘f · 𝑞)) = 0𝑝 ∨ (deg‘(𝐹 ∘f − (𝐺 ∘f · 𝑞))) < (deg‘𝐺))))
7		plydiv.pl	. . . . . . 7 ⊢ ((𝜑 ∧ (𝑥 ∈ 𝑆 ∧ 𝑦 ∈ 𝑆)) → (𝑥 + 𝑦) ∈ 𝑆)
8		plydiv.tm	. . . . . . 7 ⊢ ((𝜑 ∧ (𝑥 ∈ 𝑆 ∧ 𝑦 ∈ 𝑆)) → (𝑥 · 𝑦) ∈ 𝑆)
9		plydiv.rc	. . . . . . 7 ⊢ ((𝜑 ∧ (𝑥 ∈ 𝑆 ∧ 𝑥 ≠ 0)) → (1 / 𝑥) ∈ 𝑆)
10		plydiv.m1	. . . . . . 7 ⊢ (𝜑 → -1 ∈ 𝑆)
11	7, 8, 9, 10, 1, 2, 3, 4	plydivalg 25459	. . . . . 6 ⊢ (𝜑 → ∃!𝑞 ∈ (Poly‘𝑆)((𝐹 ∘f − (𝐺 ∘f · 𝑞)) = 0𝑝 ∨ (deg‘(𝐹 ∘f − (𝐺 ∘f · 𝑞))) < (deg‘𝐺)))
12		reurex 3362	. . . . . 6 ⊢ (∃!𝑞 ∈ (Poly‘𝑆)((𝐹 ∘f − (𝐺 ∘f · 𝑞)) = 0𝑝 ∨ (deg‘(𝐹 ∘f − (𝐺 ∘f · 𝑞))) < (deg‘𝐺)) → ∃𝑞 ∈ (Poly‘𝑆)((𝐹 ∘f − (𝐺 ∘f · 𝑞)) = 0𝑝 ∨ (deg‘(𝐹 ∘f − (𝐺 ∘f · 𝑞))) < (deg‘𝐺)))
13	11, 12	syl 17	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → ∃𝑞 ∈ (Poly‘𝑆)((𝐹 ∘f − (𝐺 ∘f · 𝑞)) = 0𝑝 ∨ (deg‘(𝐹 ∘f − (𝐺 ∘f · 𝑞))) < (deg‘𝐺)))
14		addcl 10953	. . . . . . 7 ⊢ ((𝑥 ∈ ℂ ∧ 𝑦 ∈ ℂ) → (𝑥 + 𝑦) ∈ ℂ)
15	14	adantl 482	. . . . . 6 ⊢ ((𝜑 ∧ (𝑥 ∈ ℂ ∧ 𝑦 ∈ ℂ)) → (𝑥 + 𝑦) ∈ ℂ)
16		mulcl 10955	. . . . . . 7 ⊢ ((𝑥 ∈ ℂ ∧ 𝑦 ∈ ℂ) → (𝑥 · 𝑦) ∈ ℂ)
17	16	adantl 482	. . . . . 6 ⊢ ((𝜑 ∧ (𝑥 ∈ ℂ ∧ 𝑦 ∈ ℂ)) → (𝑥 · 𝑦) ∈ ℂ)
18		reccl 11640	. . . . . . 7 ⊢ ((𝑥 ∈ ℂ ∧ 𝑥 ≠ 0) → (1 / 𝑥) ∈ ℂ)
19	18	adantl 482	. . . . . 6 ⊢ ((𝜑 ∧ (𝑥 ∈ ℂ ∧ 𝑥 ≠ 0)) → (1 / 𝑥) ∈ ℂ)
20		neg1cn 12087	. . . . . . 7 ⊢ -1 ∈ ℂ
21	20	a1i 11	. . . . . 6 ⊢ (𝜑 → -1 ∈ ℂ)
22		plyssc 25361	. . . . . . 7 ⊢ (Poly‘𝑆) ⊆ (Poly‘ℂ)
23	22, 1	sselid 3919	. . . . . 6 ⊢ (𝜑 → 𝐹 ∈ (Poly‘ℂ))
24	22, 2	sselid 3919	. . . . . 6 ⊢ (𝜑 → 𝐺 ∈ (Poly‘ℂ))
25	15, 17, 19, 21, 23, 24, 3, 4	plydivalg 25459	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → ∃!𝑞 ∈ (Poly‘ℂ)((𝐹 ∘f − (𝐺 ∘f · 𝑞)) = 0𝑝 ∨ (deg‘(𝐹 ∘f − (𝐺 ∘f · 𝑞))) < (deg‘𝐺)))
26		id 22	. . . . . . 7 ⊢ (((𝐹 ∘f − (𝐺 ∘f · 𝑞)) = 0𝑝 ∨ (deg‘(𝐹 ∘f − (𝐺 ∘f · 𝑞))) < (deg‘𝐺)) → ((𝐹 ∘f − (𝐺 ∘f · 𝑞)) = 0𝑝 ∨ (deg‘(𝐹 ∘f − (𝐺 ∘f · 𝑞))) < (deg‘𝐺)))
27	26	rgenw 3076	. . . . . 6 ⊢ ∀𝑞 ∈ (Poly‘𝑆)(((𝐹 ∘f − (𝐺 ∘f · 𝑞)) = 0𝑝 ∨ (deg‘(𝐹 ∘f − (𝐺 ∘f · 𝑞))) < (deg‘𝐺)) → ((𝐹 ∘f − (𝐺 ∘f · 𝑞)) = 0𝑝 ∨ (deg‘(𝐹 ∘f − (𝐺 ∘f · 𝑞))) < (deg‘𝐺)))
28		riotass2 7263	. . . . . 6 ⊢ ((((Poly‘𝑆) ⊆ (Poly‘ℂ) ∧ ∀𝑞 ∈ (Poly‘𝑆)(((𝐹 ∘f − (𝐺 ∘f · 𝑞)) = 0𝑝 ∨ (deg‘(𝐹 ∘f − (𝐺 ∘f · 𝑞))) < (deg‘𝐺)) → ((𝐹 ∘f − (𝐺 ∘f · 𝑞)) = 0𝑝 ∨ (deg‘(𝐹 ∘f − (𝐺 ∘f · 𝑞))) < (deg‘𝐺)))) ∧ (∃𝑞 ∈ (Poly‘𝑆)((𝐹 ∘f − (𝐺 ∘f · 𝑞)) = 0𝑝 ∨ (deg‘(𝐹 ∘f − (𝐺 ∘f · 𝑞))) < (deg‘𝐺)) ∧ ∃!𝑞 ∈ (Poly‘ℂ)((𝐹 ∘f − (𝐺 ∘f · 𝑞)) = 0𝑝 ∨ (deg‘(𝐹 ∘f − (𝐺 ∘f · 𝑞))) < (deg‘𝐺)))) → (℩𝑞 ∈ (Poly‘𝑆)((𝐹 ∘f − (𝐺 ∘f · 𝑞)) = 0𝑝 ∨ (deg‘(𝐹 ∘f − (𝐺 ∘f · 𝑞))) < (deg‘𝐺))) = (℩𝑞 ∈ (Poly‘ℂ)((𝐹 ∘f − (𝐺 ∘f · 𝑞)) = 0𝑝 ∨ (deg‘(𝐹 ∘f − (𝐺 ∘f · 𝑞))) < (deg‘𝐺))))
29	22, 27, 28	mpanl12 699	. . . . 5 ⊢ ((∃𝑞 ∈ (Poly‘𝑆)((𝐹 ∘f − (𝐺 ∘f · 𝑞)) = 0𝑝 ∨ (deg‘(𝐹 ∘f − (𝐺 ∘f · 𝑞))) < (deg‘𝐺)) ∧ ∃!𝑞 ∈ (Poly‘ℂ)((𝐹 ∘f − (𝐺 ∘f · 𝑞)) = 0𝑝 ∨ (deg‘(𝐹 ∘f − (𝐺 ∘f · 𝑞))) < (deg‘𝐺))) → (℩𝑞 ∈ (Poly‘𝑆)((𝐹 ∘f − (𝐺 ∘f · 𝑞)) = 0𝑝 ∨ (deg‘(𝐹 ∘f − (𝐺 ∘f · 𝑞))) < (deg‘𝐺))) = (℩𝑞 ∈ (Poly‘ℂ)((𝐹 ∘f − (𝐺 ∘f · 𝑞)) = 0𝑝 ∨ (deg‘(𝐹 ∘f − (𝐺 ∘f · 𝑞))) < (deg‘𝐺))))
30	13, 25, 29	syl2anc 584	. . . 4 ⊢ (𝜑 → (℩𝑞 ∈ (Poly‘𝑆)((𝐹 ∘f − (𝐺 ∘f · 𝑞)) = 0𝑝 ∨ (deg‘(𝐹 ∘f − (𝐺 ∘f · 𝑞))) < (deg‘𝐺))) = (℩𝑞 ∈ (Poly‘ℂ)((𝐹 ∘f − (𝐺 ∘f · 𝑞)) = 0𝑝 ∨ (deg‘(𝐹 ∘f − (𝐺 ∘f · 𝑞))) < (deg‘𝐺))))
31	6, 30	eqtr4d 2781	. . 3 ⊢ (𝜑 → (𝐹 quot 𝐺) = (℩𝑞 ∈ (Poly‘𝑆)((𝐹 ∘f − (𝐺 ∘f · 𝑞)) = 0𝑝 ∨ (deg‘(𝐹 ∘f − (𝐺 ∘f · 𝑞))) < (deg‘𝐺))))
32		riotacl2 7249	. . . 4 ⊢ (∃!𝑞 ∈ (Poly‘𝑆)((𝐹 ∘f − (𝐺 ∘f · 𝑞)) = 0𝑝 ∨ (deg‘(𝐹 ∘f − (𝐺 ∘f · 𝑞))) < (deg‘𝐺)) → (℩𝑞 ∈ (Poly‘𝑆)((𝐹 ∘f − (𝐺 ∘f · 𝑞)) = 0𝑝 ∨ (deg‘(𝐹 ∘f − (𝐺 ∘f · 𝑞))) < (deg‘𝐺))) ∈ {𝑞 ∈ (Poly‘𝑆) ∣ ((𝐹 ∘f − (𝐺 ∘f · 𝑞)) = 0𝑝 ∨ (deg‘(𝐹 ∘f − (𝐺 ∘f · 𝑞))) < (deg‘𝐺))})
33	11, 32	syl 17	. . 3 ⊢ (𝜑 → (℩𝑞 ∈ (Poly‘𝑆)((𝐹 ∘f − (𝐺 ∘f · 𝑞)) = 0𝑝 ∨ (deg‘(𝐹 ∘f − (𝐺 ∘f · 𝑞))) < (deg‘𝐺))) ∈ {𝑞 ∈ (Poly‘𝑆) ∣ ((𝐹 ∘f − (𝐺 ∘f · 𝑞)) = 0𝑝 ∨ (deg‘(𝐹 ∘f − (𝐺 ∘f · 𝑞))) < (deg‘𝐺))})
34	31, 33	eqeltrd 2839	. 2 ⊢ (𝜑 → (𝐹 quot 𝐺) ∈ {𝑞 ∈ (Poly‘𝑆) ∣ ((𝐹 ∘f − (𝐺 ∘f · 𝑞)) = 0𝑝 ∨ (deg‘(𝐹 ∘f − (𝐺 ∘f · 𝑞))) < (deg‘𝐺))})
35		oveq2 7283	. . . . . . 7 ⊢ (𝑞 = (𝐹 quot 𝐺) → (𝐺 ∘f · 𝑞) = (𝐺 ∘f · (𝐹 quot 𝐺)))
36	35	oveq2d 7291	. . . . . 6 ⊢ (𝑞 = (𝐹 quot 𝐺) → (𝐹 ∘f − (𝐺 ∘f · 𝑞)) = (𝐹 ∘f − (𝐺 ∘f · (𝐹 quot 𝐺))))
37		quotlem.8	. . . . . 6 ⊢ 𝑅 = (𝐹 ∘f − (𝐺 ∘f · (𝐹 quot 𝐺)))
38	36, 37	eqtr4di 2796	. . . . 5 ⊢ (𝑞 = (𝐹 quot 𝐺) → (𝐹 ∘f − (𝐺 ∘f · 𝑞)) = 𝑅)
39	38	eqeq1d 2740	. . . 4 ⊢ (𝑞 = (𝐹 quot 𝐺) → ((𝐹 ∘f − (𝐺 ∘f · 𝑞)) = 0𝑝 ↔ 𝑅 = 0𝑝))
40	38	fveq2d 6778	. . . . 5 ⊢ (𝑞 = (𝐹 quot 𝐺) → (deg‘(𝐹 ∘f − (𝐺 ∘f · 𝑞))) = (deg‘𝑅))
41	40	breq1d 5084	. . . 4 ⊢ (𝑞 = (𝐹 quot 𝐺) → ((deg‘(𝐹 ∘f − (𝐺 ∘f · 𝑞))) < (deg‘𝐺) ↔ (deg‘𝑅) < (deg‘𝐺)))
42	39, 41	orbi12d 916	. . 3 ⊢ (𝑞 = (𝐹 quot 𝐺) → (((𝐹 ∘f − (𝐺 ∘f · 𝑞)) = 0𝑝 ∨ (deg‘(𝐹 ∘f − (𝐺 ∘f · 𝑞))) < (deg‘𝐺)) ↔ (𝑅 = 0𝑝 ∨ (deg‘𝑅) < (deg‘𝐺))))
43	42	elrab 3624	. 2 ⊢ ((𝐹 quot 𝐺) ∈ {𝑞 ∈ (Poly‘𝑆) ∣ ((𝐹 ∘f − (𝐺 ∘f · 𝑞)) = 0𝑝 ∨ (deg‘(𝐹 ∘f − (𝐺 ∘f · 𝑞))) < (deg‘𝐺))} ↔ ((𝐹 quot 𝐺) ∈ (Poly‘𝑆) ∧ (𝑅 = 0𝑝 ∨ (deg‘𝑅) < (deg‘𝐺))))
44	34, 43	sylib 217	1 ⊢ (𝜑 → ((𝐹 quot 𝐺) ∈ (Poly‘𝑆) ∧ (𝑅 = 0𝑝 ∨ (deg‘𝑅) < (deg‘𝐺))))

Syntax hints:   → wi 4   ∧ wa 396   ∨ wo 844   = wceq 1539   ∈ wcel 2106   ≠ wne 2943  ∀wral 3064  ∃wrex 3065  ∃!wreu 3066  {crab 3068   ⊆ wss 3887   class class class wbr 5074  ‘cfv 6433  ℩crio 7231  (class class class)co 7275   ∘_f cof 7531  ℂcc 10869  0cc0 10871  1c1 10872   + caddc 10874   · cmul 10876   < clt 11009   − cmin 11205  -cneg 11206   / cdiv 11632  0_𝑝c0p 24833  Polycply 25345  degcdgr 25348   quot cquot 25450

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1798  ax-4 1812  ax-5 1913  ax-6 1971  ax-7 2011  ax-8 2108  ax-9 2116  ax-10 2137  ax-11 2154  ax-12 2171  ax-ext 2709  ax-rep 5209  ax-sep 5223  ax-nul 5230  ax-pow 5288  ax-pr 5352  ax-un 7588  ax-inf2 9399  ax-cnex 10927  ax-resscn 10928  ax-1cn 10929  ax-icn 10930  ax-addcl 10931  ax-addrcl 10932  ax-mulcl 10933  ax-mulrcl 10934  ax-mulcom 10935  ax-addass 10936  ax-mulass 10937  ax-distr 10938  ax-i2m1 10939  ax-1ne0 10940  ax-1rid 10941  ax-rnegex 10942  ax-rrecex 10943  ax-cnre 10944  ax-pre-lttri 10945  ax-pre-lttrn 10946  ax-pre-ltadd 10947  ax-pre-mulgt0 10948  ax-pre-sup 10949

This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 397  df-or 845  df-3or 1087  df-3an 1088  df-tru 1542  df-fal 1552  df-ex 1783  df-nf 1787  df-sb 2068  df-mo 2540  df-eu 2569  df-clab 2716  df-cleq 2730  df-clel 2816  df-nfc 2889  df-ne 2944  df-nel 3050  df-ral 3069  df-rex 3070  df-rmo 3071  df-reu 3072  df-rab 3073  df-v 3434  df-sbc 3717  df-csb 3833  df-dif 3890  df-un 3892  df-in 3894  df-ss 3904  df-pss 3906  df-nul 4257  df-if 4460  df-pw 4535  df-sn 4562  df-pr 4564  df-op 4568  df-uni 4840  df-int 4880  df-iun 4926  df-br 5075  df-opab 5137  df-mpt 5158  df-tr 5192  df-id 5489  df-eprel 5495  df-po 5503  df-so 5504  df-fr 5544  df-se 5545  df-we 5546  df-xp 5595  df-rel 5596  df-cnv 5597  df-co 5598  df-dm 5599  df-rn 5600  df-res 5601  df-ima 5602  df-pred 6202  df-ord 6269  df-on 6270  df-lim 6271  df-suc 6272  df-iota 6391  df-fun 6435  df-fn 6436  df-f 6437  df-f1 6438  df-fo 6439  df-f1o 6440  df-fv 6441  df-isom 6442  df-riota 7232  df-ov 7278  df-oprab 7279  df-mpo 7280  df-of 7533  df-om 7713  df-1st 7831  df-2nd 7832  df-frecs 8097  df-wrecs 8128  df-recs 8202  df-rdg 8241  df-1o 8297  df-er 8498  df-map 8617  df-pm 8618  df-en 8734  df-dom 8735  df-sdom 8736  df-fin 8737  df-sup 9201  df-inf 9202  df-oi 9269  df-card 9697  df-pnf 11011  df-mnf 11012  df-xr 11013  df-ltxr 11014  df-le 11015  df-sub 11207  df-neg 11208  df-div 11633  df-nn 11974  df-2 12036  df-3 12037  df-n0 12234  df-z 12320  df-uz 12583  df-rp 12731  df-fz 13240  df-fzo 13383  df-fl 13512  df-seq 13722  df-exp 13783  df-hash 14045  df-cj 14810  df-re 14811  df-im 14812  df-sqrt 14946  df-abs 14947  df-clim 15197  df-rlim 15198  df-sum 15398  df-0p 24834  df-ply 25349  df-coe 25351  df-dgr 25352  df-quot 25451

This theorem is referenced by:  quotcl  25461  quotdgr  25463