MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  quotlem Structured version   Visualization version   GIF version
Theorem quotlem 25812
Description: Lemma for properties of the polynomial quotient function. (Contributed by Mario Carneiro, 26-Jul-2014.)
Hypotheses
Ref Expression
plydiv.pl ((πœ‘ ∧ (π‘₯ ∈ 𝑆 ∧ 𝑦 ∈ 𝑆)) β†’ (π‘₯ + 𝑦) ∈ 𝑆)
plydiv.tm ((πœ‘ ∧ (π‘₯ ∈ 𝑆 ∧ 𝑦 ∈ 𝑆)) β†’ (π‘₯ Β· 𝑦) ∈ 𝑆)
plydiv.rc ((πœ‘ ∧ (π‘₯ ∈ 𝑆 ∧ π‘₯ β‰  0)) β†’ (1 / π‘₯) ∈ 𝑆)
plydiv.m1 (πœ‘ β†’ -1 ∈ 𝑆)
plydiv.f (πœ‘ β†’ 𝐹 ∈ (Polyβ€˜π‘†))
plydiv.g (πœ‘ β†’ 𝐺 ∈ (Polyβ€˜π‘†))
plydiv.z (πœ‘ β†’ 𝐺 β‰  0𝑝)
quotlem.8 𝑅 = (𝐹 ∘f βˆ’ (𝐺 ∘f Β· (𝐹 quot 𝐺)))
Assertion
Ref Expression
quotlem (πœ‘ β†’ ((𝐹 quot 𝐺) ∈ (Polyβ€˜π‘†) ∧ (𝑅 = 0𝑝 ∨ (degβ€˜π‘…) < (degβ€˜πΊ))))
Distinct variable groups:   π‘₯,𝑦,𝐹   πœ‘,π‘₯,𝑦   π‘₯,𝐺,𝑦   π‘₯,𝑅,𝑦   π‘₯,𝑆,𝑦
Proof of Theorem quotlem
Dummy variable π‘ž is distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 plydiv.f . . . . 5 (πœ‘ β†’ 𝐹 ∈ (Polyβ€˜π‘†))
2 plydiv.g . . . . 5 (πœ‘ β†’ 𝐺 ∈ (Polyβ€˜π‘†))
3 plydiv.z . . . . 5 (πœ‘ β†’ 𝐺 β‰  0𝑝)
4 eqid 2732 . . . . . 6 (𝐹 ∘f βˆ’ (𝐺 ∘f Β· π‘ž)) = (𝐹 ∘f βˆ’ (𝐺 ∘f Β· π‘ž))
54quotval 25804 . . . . 5 ((𝐹 ∈ (Polyβ€˜π‘†) ∧ 𝐺 ∈ (Polyβ€˜π‘†) ∧ 𝐺 β‰  0𝑝) β†’ (𝐹 quot 𝐺) = (β„©π‘ž ∈ (Polyβ€˜β„‚)((𝐹 ∘f βˆ’ (𝐺 ∘f Β· π‘ž)) = 0𝑝 ∨ (degβ€˜(𝐹 ∘f βˆ’ (𝐺 ∘f Β· π‘ž))) < (degβ€˜πΊ))))
61, 2, 3, 5syl3anc 1371 . . . 4 (πœ‘ β†’ (𝐹 quot 𝐺) = (β„©π‘ž ∈ (Polyβ€˜β„‚)((𝐹 ∘f βˆ’ (𝐺 ∘f Β· π‘ž)) = 0𝑝 ∨ (degβ€˜(𝐹 ∘f βˆ’ (𝐺 ∘f Β· π‘ž))) < (degβ€˜πΊ))))
7 plydiv.pl . . . . . . 7 ((πœ‘ ∧ (π‘₯ ∈ 𝑆 ∧ 𝑦 ∈ 𝑆)) β†’ (π‘₯ + 𝑦) ∈ 𝑆)
8 plydiv.tm . . . . . . 7 ((πœ‘ ∧ (π‘₯ ∈ 𝑆 ∧ 𝑦 ∈ 𝑆)) β†’ (π‘₯ Β· 𝑦) ∈ 𝑆)
9 plydiv.rc . . . . . . 7 ((πœ‘ ∧ (π‘₯ ∈ 𝑆 ∧ π‘₯ β‰  0)) β†’ (1 / π‘₯) ∈ 𝑆)
10 plydiv.m1 . . . . . . 7 (πœ‘ β†’ -1 ∈ 𝑆)
117, 8, 9, 10, 1, 2, 3, 4plydivalg 25811 . . . . . 6 (πœ‘ β†’ βˆƒ!π‘ž ∈ (Polyβ€˜π‘†)((𝐹 ∘f βˆ’ (𝐺 ∘f Β· π‘ž)) = 0𝑝 ∨ (degβ€˜(𝐹 ∘f βˆ’ (𝐺 ∘f Β· π‘ž))) < (degβ€˜πΊ)))
12 reurex 3380 . . . . . 6 (βˆƒ!π‘ž ∈ (Polyβ€˜π‘†)((𝐹 ∘f βˆ’ (𝐺 ∘f Β· π‘ž)) = 0𝑝 ∨ (degβ€˜(𝐹 ∘f βˆ’ (𝐺 ∘f Β· π‘ž))) < (degβ€˜πΊ)) β†’ βˆƒπ‘ž ∈ (Polyβ€˜π‘†)((𝐹 ∘f βˆ’ (𝐺 ∘f Β· π‘ž)) = 0𝑝 ∨ (degβ€˜(𝐹 ∘f βˆ’ (𝐺 ∘f Β· π‘ž))) < (degβ€˜πΊ)))
1311, 12syl 17 . . . . 5 (πœ‘ β†’ βˆƒπ‘ž ∈ (Polyβ€˜π‘†)((𝐹 ∘f βˆ’ (𝐺 ∘f Β· π‘ž)) = 0𝑝 ∨ (degβ€˜(𝐹 ∘f βˆ’ (𝐺 ∘f Β· π‘ž))) < (degβ€˜πΊ)))
14 addcl 11191 . . . . . . 7 ((π‘₯ ∈ β„‚ ∧ 𝑦 ∈ β„‚) β†’ (π‘₯ + 𝑦) ∈ β„‚)
1514adantl 482 . . . . . 6 ((πœ‘ ∧ (π‘₯ ∈ β„‚ ∧ 𝑦 ∈ β„‚)) β†’ (π‘₯ + 𝑦) ∈ β„‚)
16 mulcl 11193 . . . . . . 7 ((π‘₯ ∈ β„‚ ∧ 𝑦 ∈ β„‚) β†’ (π‘₯ Β· 𝑦) ∈ β„‚)
1716adantl 482 . . . . . 6 ((πœ‘ ∧ (π‘₯ ∈ β„‚ ∧ 𝑦 ∈ β„‚)) β†’ (π‘₯ Β· 𝑦) ∈ β„‚)
18 reccl 11878 . . . . . . 7 ((π‘₯ ∈ β„‚ ∧ π‘₯ β‰  0) β†’ (1 / π‘₯) ∈ β„‚)
1918adantl 482 . . . . . 6 ((πœ‘ ∧ (π‘₯ ∈ β„‚ ∧ π‘₯ β‰  0)) β†’ (1 / π‘₯) ∈ β„‚)
20 neg1cn 12325 . . . . . . 7 -1 ∈ β„‚
2120a1i 11 . . . . . 6 (πœ‘ β†’ -1 ∈ β„‚)
22 plyssc 25713 . . . . . . 7 (Polyβ€˜π‘†) βŠ† (Polyβ€˜β„‚)
2322, 1sselid 3980 . . . . . 6 (πœ‘ β†’ 𝐹 ∈ (Polyβ€˜β„‚))
2422, 2sselid 3980 . . . . . 6 (πœ‘ β†’ 𝐺 ∈ (Polyβ€˜β„‚))
2515, 17, 19, 21, 23, 24, 3, 4plydivalg 25811 . . . . 5 (πœ‘ β†’ βˆƒ!π‘ž ∈ (Polyβ€˜β„‚)((𝐹 ∘f βˆ’ (𝐺 ∘f Β· π‘ž)) = 0𝑝 ∨ (degβ€˜(𝐹 ∘f βˆ’ (𝐺 ∘f Β· π‘ž))) < (degβ€˜πΊ)))
26 id 22 . . . . . . 7 (((𝐹 ∘f βˆ’ (𝐺 ∘f Β· π‘ž)) = 0𝑝 ∨ (degβ€˜(𝐹 ∘f βˆ’ (𝐺 ∘f Β· π‘ž))) < (degβ€˜πΊ)) β†’ ((𝐹 ∘f βˆ’ (𝐺 ∘f Β· π‘ž)) = 0𝑝 ∨ (degβ€˜(𝐹 ∘f βˆ’ (𝐺 ∘f Β· π‘ž))) < (degβ€˜πΊ)))
2726rgenw 3065 . . . . . 6 βˆ€π‘ž ∈ (Polyβ€˜π‘†)(((𝐹 ∘f βˆ’ (𝐺 ∘f Β· π‘ž)) = 0𝑝 ∨ (degβ€˜(𝐹 ∘f βˆ’ (𝐺 ∘f Β· π‘ž))) < (degβ€˜πΊ)) β†’ ((𝐹 ∘f βˆ’ (𝐺 ∘f Β· π‘ž)) = 0𝑝 ∨ (degβ€˜(𝐹 ∘f βˆ’ (𝐺 ∘f Β· π‘ž))) < (degβ€˜πΊ)))
28 riotass2 7395 . . . . . 6 ((((Polyβ€˜π‘†) βŠ† (Polyβ€˜β„‚) ∧ βˆ€π‘ž ∈ (Polyβ€˜π‘†)(((𝐹 ∘f βˆ’ (𝐺 ∘f Β· π‘ž)) = 0𝑝 ∨ (degβ€˜(𝐹 ∘f βˆ’ (𝐺 ∘f Β· π‘ž))) < (degβ€˜πΊ)) β†’ ((𝐹 ∘f βˆ’ (𝐺 ∘f Β· π‘ž)) = 0𝑝 ∨ (degβ€˜(𝐹 ∘f βˆ’ (𝐺 ∘f Β· π‘ž))) < (degβ€˜πΊ)))) ∧ (βˆƒπ‘ž ∈ (Polyβ€˜π‘†)((𝐹 ∘f βˆ’ (𝐺 ∘f Β· π‘ž)) = 0𝑝 ∨ (degβ€˜(𝐹 ∘f βˆ’ (𝐺 ∘f Β· π‘ž))) < (degβ€˜πΊ)) ∧ βˆƒ!π‘ž ∈ (Polyβ€˜β„‚)((𝐹 ∘f βˆ’ (𝐺 ∘f Β· π‘ž)) = 0𝑝 ∨ (degβ€˜(𝐹 ∘f βˆ’ (𝐺 ∘f Β· π‘ž))) < (degβ€˜πΊ)))) β†’ (β„©π‘ž ∈ (Polyβ€˜π‘†)((𝐹 ∘f βˆ’ (𝐺 ∘f Β· π‘ž)) = 0𝑝 ∨ (degβ€˜(𝐹 ∘f βˆ’ (𝐺 ∘f Β· π‘ž))) < (degβ€˜πΊ))) = (β„©π‘ž ∈ (Polyβ€˜β„‚)((𝐹 ∘f βˆ’ (𝐺 ∘f Β· π‘ž)) = 0𝑝 ∨ (degβ€˜(𝐹 ∘f βˆ’ (𝐺 ∘f Β· π‘ž))) < (degβ€˜πΊ))))
2922, 27, 28mpanl12 700 . . . . 5 ((βˆƒπ‘ž ∈ (Polyβ€˜π‘†)((𝐹 ∘f βˆ’ (𝐺 ∘f Β· π‘ž)) = 0𝑝 ∨ (degβ€˜(𝐹 ∘f βˆ’ (𝐺 ∘f Β· π‘ž))) < (degβ€˜πΊ)) ∧ βˆƒ!π‘ž ∈ (Polyβ€˜β„‚)((𝐹 ∘f βˆ’ (𝐺 ∘f Β· π‘ž)) = 0𝑝 ∨ (degβ€˜(𝐹 ∘f βˆ’ (𝐺 ∘f Β· π‘ž))) < (degβ€˜πΊ))) β†’ (β„©π‘ž ∈ (Polyβ€˜π‘†)((𝐹 ∘f βˆ’ (𝐺 ∘f Β· π‘ž)) = 0𝑝 ∨ (degβ€˜(𝐹 ∘f βˆ’ (𝐺 ∘f Β· π‘ž))) < (degβ€˜πΊ))) = (β„©π‘ž ∈ (Polyβ€˜β„‚)((𝐹 ∘f βˆ’ (𝐺 ∘f Β· π‘ž)) = 0𝑝 ∨ (degβ€˜(𝐹 ∘f βˆ’ (𝐺 ∘f Β· π‘ž))) < (degβ€˜πΊ))))
3013, 25, 29syl2anc 584 . . . 4 (πœ‘ β†’ (β„©π‘ž ∈ (Polyβ€˜π‘†)((𝐹 ∘f βˆ’ (𝐺 ∘f Β· π‘ž)) = 0𝑝 ∨ (degβ€˜(𝐹 ∘f βˆ’ (𝐺 ∘f Β· π‘ž))) < (degβ€˜πΊ))) = (β„©π‘ž ∈ (Polyβ€˜β„‚)((𝐹 ∘f βˆ’ (𝐺 ∘f Β· π‘ž)) = 0𝑝 ∨ (degβ€˜(𝐹 ∘f βˆ’ (𝐺 ∘f Β· π‘ž))) < (degβ€˜πΊ))))
316, 30eqtr4d 2775 . . 3 (πœ‘ β†’ (𝐹 quot 𝐺) = (β„©π‘ž ∈ (Polyβ€˜π‘†)((𝐹 ∘f βˆ’ (𝐺 ∘f Β· π‘ž)) = 0𝑝 ∨ (degβ€˜(𝐹 ∘f βˆ’ (𝐺 ∘f Β· π‘ž))) < (degβ€˜πΊ))))
32 riotacl2 7381 . . . 4 (βˆƒ!π‘ž ∈ (Polyβ€˜π‘†)((𝐹 ∘f βˆ’ (𝐺 ∘f Β· π‘ž)) = 0𝑝 ∨ (degβ€˜(𝐹 ∘f βˆ’ (𝐺 ∘f Β· π‘ž))) < (degβ€˜πΊ)) β†’ (β„©π‘ž ∈ (Polyβ€˜π‘†)((𝐹 ∘f βˆ’ (𝐺 ∘f Β· π‘ž)) = 0𝑝 ∨ (degβ€˜(𝐹 ∘f βˆ’ (𝐺 ∘f Β· π‘ž))) < (degβ€˜πΊ))) ∈ {π‘ž ∈ (Polyβ€˜π‘†) ∣ ((𝐹 ∘f βˆ’ (𝐺 ∘f Β· π‘ž)) = 0𝑝 ∨ (degβ€˜(𝐹 ∘f βˆ’ (𝐺 ∘f Β· π‘ž))) < (degβ€˜πΊ))})
3311, 32syl 17 . . 3 (πœ‘ β†’ (β„©π‘ž ∈ (Polyβ€˜π‘†)((𝐹 ∘f βˆ’ (𝐺 ∘f Β· π‘ž)) = 0𝑝 ∨ (degβ€˜(𝐹 ∘f βˆ’ (𝐺 ∘f Β· π‘ž))) < (degβ€˜πΊ))) ∈ {π‘ž ∈ (Polyβ€˜π‘†) ∣ ((𝐹 ∘f βˆ’ (𝐺 ∘f Β· π‘ž)) = 0𝑝 ∨ (degβ€˜(𝐹 ∘f βˆ’ (𝐺 ∘f Β· π‘ž))) < (degβ€˜πΊ))})
3431, 33eqeltrd 2833 . 2 (πœ‘ β†’ (𝐹 quot 𝐺) ∈ {π‘ž ∈ (Polyβ€˜π‘†) ∣ ((𝐹 ∘f βˆ’ (𝐺 ∘f Β· π‘ž)) = 0𝑝 ∨ (degβ€˜(𝐹 ∘f βˆ’ (𝐺 ∘f Β· π‘ž))) < (degβ€˜πΊ))})
35 oveq2 7416 . . . . . . 7 (π‘ž = (𝐹 quot 𝐺) β†’ (𝐺 ∘f Β· π‘ž) = (𝐺 ∘f Β· (𝐹 quot 𝐺)))
3635oveq2d 7424 . . . . . 6 (π‘ž = (𝐹 quot 𝐺) β†’ (𝐹 ∘f βˆ’ (𝐺 ∘f Β· π‘ž)) = (𝐹 ∘f βˆ’ (𝐺 ∘f Β· (𝐹 quot 𝐺))))
37 quotlem.8 . . . . . 6 𝑅 = (𝐹 ∘f βˆ’ (𝐺 ∘f Β· (𝐹 quot 𝐺)))
3836, 37eqtr4di 2790 . . . . 5 (π‘ž = (𝐹 quot 𝐺) β†’ (𝐹 ∘f βˆ’ (𝐺 ∘f Β· π‘ž)) = 𝑅)
3938eqeq1d 2734 . . . 4 (π‘ž = (𝐹 quot 𝐺) β†’ ((𝐹 ∘f βˆ’ (𝐺 ∘f Β· π‘ž)) = 0𝑝 ↔ 𝑅 = 0𝑝))
4038fveq2d 6895 . . . . 5 (π‘ž = (𝐹 quot 𝐺) β†’ (degβ€˜(𝐹 ∘f βˆ’ (𝐺 ∘f Β· π‘ž))) = (degβ€˜π‘…))
4140breq1d 5158 . . . 4 (π‘ž = (𝐹 quot 𝐺) β†’ ((degβ€˜(𝐹 ∘f βˆ’ (𝐺 ∘f Β· π‘ž))) < (degβ€˜πΊ) ↔ (degβ€˜π‘…) < (degβ€˜πΊ)))
4239, 41orbi12d 917 . . 3 (π‘ž = (𝐹 quot 𝐺) β†’ (((𝐹 ∘f βˆ’ (𝐺 ∘f Β· π‘ž)) = 0𝑝 ∨ (degβ€˜(𝐹 ∘f βˆ’ (𝐺 ∘f Β· π‘ž))) < (degβ€˜πΊ)) ↔ (𝑅 = 0𝑝 ∨ (degβ€˜π‘…) < (degβ€˜πΊ))))
4342elrab 3683 . 2 ((𝐹 quot 𝐺) ∈ {π‘ž ∈ (Polyβ€˜π‘†) ∣ ((𝐹 ∘f βˆ’ (𝐺 ∘f Β· π‘ž)) = 0𝑝 ∨ (degβ€˜(𝐹 ∘f βˆ’ (𝐺 ∘f Β· π‘ž))) < (degβ€˜πΊ))} ↔ ((𝐹 quot 𝐺) ∈ (Polyβ€˜π‘†) ∧ (𝑅 = 0𝑝 ∨ (degβ€˜π‘…) < (degβ€˜πΊ))))
4434, 43sylib 217 1 (πœ‘ β†’ ((𝐹 quot 𝐺) ∈ (Polyβ€˜π‘†) ∧ (𝑅 = 0𝑝 ∨ (degβ€˜π‘…) < (degβ€˜πΊ))))
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:   β†’ wi 4   ∧ wa 396   ∨ wo 845   = wceq 1541   ∈ wcel 2106   β‰  wne 2940  βˆ€wral 3061  βˆƒwrex 3070  βˆƒ!wreu 3374  {crab 3432   βŠ† wss 3948   class class class wbr 5148  β€˜cfv 6543  β„©crio 7363  (class class class)co 7408   ∘f cof 7667  β„‚cc 11107  0cc0 11109  1c1 11110   + caddc 11112   Β· cmul 11114   < clt 11247   βˆ’ cmin 11443  -cneg 11444   / cdiv 11870  0𝑝c0p 25185  Polycply 25697  degcdgr 25700   quot cquot 25802
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1797  ax-4 1811  ax-5 1913  ax-6 1971  ax-7 2011  ax-8 2108  ax-9 2116  ax-10 2137  ax-11 2154  ax-12 2171  ax-ext 2703  ax-rep 5285  ax-sep 5299  ax-nul 5306  ax-pow 5363  ax-pr 5427  ax-un 7724  ax-inf2 9635  ax-cnex 11165  ax-resscn 11166  ax-1cn 11167  ax-icn 11168  ax-addcl 11169  ax-addrcl 11170  ax-mulcl 11171  ax-mulrcl 11172  ax-mulcom 11173  ax-addass 11174  ax-mulass 11175  ax-distr 11176  ax-i2m1 11177  ax-1ne0 11178  ax-1rid 11179  ax-rnegex 11180  ax-rrecex 11181  ax-cnre 11182  ax-pre-lttri 11183  ax-pre-lttrn 11184  ax-pre-ltadd 11185  ax-pre-mulgt0 11186  ax-pre-sup 11187
This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 397  df-or 846  df-3or 1088  df-3an 1089  df-tru 1544  df-fal 1554  df-ex 1782  df-nf 1786  df-sb 2068  df-mo 2534  df-eu 2563  df-clab 2710  df-cleq 2724  df-clel 2810  df-nfc 2885  df-ne 2941  df-nel 3047  df-ral 3062  df-rex 3071  df-rmo 3376  df-reu 3377  df-rab 3433  df-v 3476  df-sbc 3778  df-csb 3894  df-dif 3951  df-un 3953  df-in 3955  df-ss 3965  df-pss 3967  df-nul 4323  df-if 4529  df-pw 4604  df-sn 4629  df-pr 4631  df-op 4635  df-uni 4909  df-int 4951  df-iun 4999  df-br 5149  df-opab 5211  df-mpt 5232  df-tr 5266  df-id 5574  df-eprel 5580  df-po 5588  df-so 5589  df-fr 5631  df-se 5632  df-we 5633  df-xp 5682  df-rel 5683  df-cnv 5684  df-co 5685  df-dm 5686  df-rn 5687  df-res 5688  df-ima 5689  df-pred 6300  df-ord 6367  df-on 6368  df-lim 6369  df-suc 6370  df-iota 6495  df-fun 6545  df-fn 6546  df-f 6547  df-f1 6548  df-fo 6549  df-f1o 6550  df-fv 6551  df-isom 6552  df-riota 7364  df-ov 7411  df-oprab 7412  df-mpo 7413  df-of 7669  df-om 7855  df-1st 7974  df-2nd 7975  df-frecs 8265  df-wrecs 8296  df-recs 8370  df-rdg 8409  df-1o 8465  df-er 8702  df-map 8821  df-pm 8822  df-en 8939  df-dom 8940  df-sdom 8941  df-fin 8942  df-sup 9436  df-inf 9437  df-oi 9504  df-card 9933  df-pnf 11249  df-mnf 11250  df-xr 11251  df-ltxr 11252  df-le 11253  df-sub 11445  df-neg 11446  df-div 11871  df-nn 12212  df-2 12274  df-3 12275  df-n0 12472  df-z 12558  df-uz 12822  df-rp 12974  df-fz 13484  df-fzo 13627  df-fl 13756  df-seq 13966  df-exp 14027  df-hash 14290  df-cj 15045  df-re 15046  df-im 15047  df-sqrt 15181  df-abs 15182  df-clim 15431  df-rlim 15432  df-sum 15632  df-0p 25186  df-ply 25701  df-coe 25703  df-dgr 25704  df-quot 25803
This theorem is referenced by:  quotcl  25813  quotdgr  25815
  Copyright terms: Public domain W3C validator