Theorem quotlem 25470

Description: Lemma for properties of the polynomial quotient function. (Contributed by Mario Carneiro, 26-Jul-2014.)

Hypotheses

Ref	Expression
plydiv.pl	⊢ ((𝜑 ∧ (𝑥 ∈ 𝑆 ∧ 𝑦 ∈ 𝑆)) → (𝑥 + 𝑦) ∈ 𝑆)
plydiv.tm	⊢ ((𝜑 ∧ (𝑥 ∈ 𝑆 ∧ 𝑦 ∈ 𝑆)) → (𝑥 · 𝑦) ∈ 𝑆)
plydiv.rc	⊢ ((𝜑 ∧ (𝑥 ∈ 𝑆 ∧ 𝑥 ≠ 0)) → (1 / 𝑥) ∈ 𝑆)
plydiv.m1	⊢ (𝜑 → -1 ∈ 𝑆)
plydiv.f	⊢ (𝜑 → 𝐹 ∈ (Poly‘𝑆))
plydiv.g	⊢ (𝜑 → 𝐺 ∈ (Poly‘𝑆))
plydiv.z	⊢ (𝜑 → 𝐺 ≠ 0𝑝)
quotlem.8	⊢ 𝑅 = (𝐹 ∘f − (𝐺 ∘f · (𝐹 quot 𝐺)))

Assertion

Ref	Expression
quotlem	⊢ (𝜑 → ((𝐹 quot 𝐺) ∈ (Poly‘𝑆) ∧ (𝑅 = 0𝑝 ∨ (deg‘𝑅) < (deg‘𝐺))))

Distinct variable groups:   𝑥,𝑦,𝐹   𝜑,𝑥,𝑦   𝑥,𝐺,𝑦   𝑥,𝑅,𝑦   𝑥,𝑆,𝑦

Proof of Theorem quotlem

Dummy variable 𝑞 is distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		plydiv.f	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → 𝐹 ∈ (Poly‘𝑆))
2		plydiv.g	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → 𝐺 ∈ (Poly‘𝑆))
3		plydiv.z	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → 𝐺 ≠ 0𝑝)
4		eqid 2738	. . . . . 6 ⊢ (𝐹 ∘f − (𝐺 ∘f · 𝑞)) = (𝐹 ∘f − (𝐺 ∘f · 𝑞))
5	4	quotval 25462	. . . . 5 ⊢ ((𝐹 ∈ (Poly‘𝑆) ∧ 𝐺 ∈ (Poly‘𝑆) ∧ 𝐺 ≠ 0𝑝) → (𝐹 quot 𝐺) = (℩𝑞 ∈ (Poly‘ℂ)((𝐹 ∘f − (𝐺 ∘f · 𝑞)) = 0𝑝 ∨ (deg‘(𝐹 ∘f − (𝐺 ∘f · 𝑞))) < (deg‘𝐺))))
6	1, 2, 3, 5	syl3anc 1370	. . . 4 ⊢ (𝜑 → (𝐹 quot 𝐺) = (℩𝑞 ∈ (Poly‘ℂ)((𝐹 ∘f − (𝐺 ∘f · 𝑞)) = 0𝑝 ∨ (deg‘(𝐹 ∘f − (𝐺 ∘f · 𝑞))) < (deg‘𝐺))))
7		plydiv.pl	. . . . . . 7 ⊢ ((𝜑 ∧ (𝑥 ∈ 𝑆 ∧ 𝑦 ∈ 𝑆)) → (𝑥 + 𝑦) ∈ 𝑆)
8		plydiv.tm	. . . . . . 7 ⊢ ((𝜑 ∧ (𝑥 ∈ 𝑆 ∧ 𝑦 ∈ 𝑆)) → (𝑥 · 𝑦) ∈ 𝑆)
9		plydiv.rc	. . . . . . 7 ⊢ ((𝜑 ∧ (𝑥 ∈ 𝑆 ∧ 𝑥 ≠ 0)) → (1 / 𝑥) ∈ 𝑆)
10		plydiv.m1	. . . . . . 7 ⊢ (𝜑 → -1 ∈ 𝑆)
11	7, 8, 9, 10, 1, 2, 3, 4	plydivalg 25469	. . . . . 6 ⊢ (𝜑 → ∃!𝑞 ∈ (Poly‘𝑆)((𝐹 ∘f − (𝐺 ∘f · 𝑞)) = 0𝑝 ∨ (deg‘(𝐹 ∘f − (𝐺 ∘f · 𝑞))) < (deg‘𝐺)))
12		reurex 3360	. . . . . 6 ⊢ (∃!𝑞 ∈ (Poly‘𝑆)((𝐹 ∘f − (𝐺 ∘f · 𝑞)) = 0𝑝 ∨ (deg‘(𝐹 ∘f − (𝐺 ∘f · 𝑞))) < (deg‘𝐺)) → ∃𝑞 ∈ (Poly‘𝑆)((𝐹 ∘f − (𝐺 ∘f · 𝑞)) = 0𝑝 ∨ (deg‘(𝐹 ∘f − (𝐺 ∘f · 𝑞))) < (deg‘𝐺)))
13	11, 12	syl 17	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → ∃𝑞 ∈ (Poly‘𝑆)((𝐹 ∘f − (𝐺 ∘f · 𝑞)) = 0𝑝 ∨ (deg‘(𝐹 ∘f − (𝐺 ∘f · 𝑞))) < (deg‘𝐺)))
14		addcl 10963	. . . . . . 7 ⊢ ((𝑥 ∈ ℂ ∧ 𝑦 ∈ ℂ) → (𝑥 + 𝑦) ∈ ℂ)
15	14	adantl 482	. . . . . 6 ⊢ ((𝜑 ∧ (𝑥 ∈ ℂ ∧ 𝑦 ∈ ℂ)) → (𝑥 + 𝑦) ∈ ℂ)
16		mulcl 10965	. . . . . . 7 ⊢ ((𝑥 ∈ ℂ ∧ 𝑦 ∈ ℂ) → (𝑥 · 𝑦) ∈ ℂ)
17	16	adantl 482	. . . . . 6 ⊢ ((𝜑 ∧ (𝑥 ∈ ℂ ∧ 𝑦 ∈ ℂ)) → (𝑥 · 𝑦) ∈ ℂ)
18		reccl 11650	. . . . . . 7 ⊢ ((𝑥 ∈ ℂ ∧ 𝑥 ≠ 0) → (1 / 𝑥) ∈ ℂ)
19	18	adantl 482	. . . . . 6 ⊢ ((𝜑 ∧ (𝑥 ∈ ℂ ∧ 𝑥 ≠ 0)) → (1 / 𝑥) ∈ ℂ)
20		neg1cn 12097	. . . . . . 7 ⊢ -1 ∈ ℂ
21	20	a1i 11	. . . . . 6 ⊢ (𝜑 → -1 ∈ ℂ)
22		plyssc 25371	. . . . . . 7 ⊢ (Poly‘𝑆) ⊆ (Poly‘ℂ)
23	22, 1	sselid 3918	. . . . . 6 ⊢ (𝜑 → 𝐹 ∈ (Poly‘ℂ))
24	22, 2	sselid 3918	. . . . . 6 ⊢ (𝜑 → 𝐺 ∈ (Poly‘ℂ))
25	15, 17, 19, 21, 23, 24, 3, 4	plydivalg 25469	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → ∃!𝑞 ∈ (Poly‘ℂ)((𝐹 ∘f − (𝐺 ∘f · 𝑞)) = 0𝑝 ∨ (deg‘(𝐹 ∘f − (𝐺 ∘f · 𝑞))) < (deg‘𝐺)))
26		id 22	. . . . . . 7 ⊢ (((𝐹 ∘f − (𝐺 ∘f · 𝑞)) = 0𝑝 ∨ (deg‘(𝐹 ∘f − (𝐺 ∘f · 𝑞))) < (deg‘𝐺)) → ((𝐹 ∘f − (𝐺 ∘f · 𝑞)) = 0𝑝 ∨ (deg‘(𝐹 ∘f − (𝐺 ∘f · 𝑞))) < (deg‘𝐺)))
27	26	rgenw 3076	. . . . . 6 ⊢ ∀𝑞 ∈ (Poly‘𝑆)(((𝐹 ∘f − (𝐺 ∘f · 𝑞)) = 0𝑝 ∨ (deg‘(𝐹 ∘f − (𝐺 ∘f · 𝑞))) < (deg‘𝐺)) → ((𝐹 ∘f − (𝐺 ∘f · 𝑞)) = 0𝑝 ∨ (deg‘(𝐹 ∘f − (𝐺 ∘f · 𝑞))) < (deg‘𝐺)))
28		riotass2 7255	. . . . . 6 ⊢ ((((Poly‘𝑆) ⊆ (Poly‘ℂ) ∧ ∀𝑞 ∈ (Poly‘𝑆)(((𝐹 ∘f − (𝐺 ∘f · 𝑞)) = 0𝑝 ∨ (deg‘(𝐹 ∘f − (𝐺 ∘f · 𝑞))) < (deg‘𝐺)) → ((𝐹 ∘f − (𝐺 ∘f · 𝑞)) = 0𝑝 ∨ (deg‘(𝐹 ∘f − (𝐺 ∘f · 𝑞))) < (deg‘𝐺)))) ∧ (∃𝑞 ∈ (Poly‘𝑆)((𝐹 ∘f − (𝐺 ∘f · 𝑞)) = 0𝑝 ∨ (deg‘(𝐹 ∘f − (𝐺 ∘f · 𝑞))) < (deg‘𝐺)) ∧ ∃!𝑞 ∈ (Poly‘ℂ)((𝐹 ∘f − (𝐺 ∘f · 𝑞)) = 0𝑝 ∨ (deg‘(𝐹 ∘f − (𝐺 ∘f · 𝑞))) < (deg‘𝐺)))) → (℩𝑞 ∈ (Poly‘𝑆)((𝐹 ∘f − (𝐺 ∘f · 𝑞)) = 0𝑝 ∨ (deg‘(𝐹 ∘f − (𝐺 ∘f · 𝑞))) < (deg‘𝐺))) = (℩𝑞 ∈ (Poly‘ℂ)((𝐹 ∘f − (𝐺 ∘f · 𝑞)) = 0𝑝 ∨ (deg‘(𝐹 ∘f − (𝐺 ∘f · 𝑞))) < (deg‘𝐺))))
29	22, 27, 28	mpanl12 699	. . . . 5 ⊢ ((∃𝑞 ∈ (Poly‘𝑆)((𝐹 ∘f − (𝐺 ∘f · 𝑞)) = 0𝑝 ∨ (deg‘(𝐹 ∘f − (𝐺 ∘f · 𝑞))) < (deg‘𝐺)) ∧ ∃!𝑞 ∈ (Poly‘ℂ)((𝐹 ∘f − (𝐺 ∘f · 𝑞)) = 0𝑝 ∨ (deg‘(𝐹 ∘f − (𝐺 ∘f · 𝑞))) < (deg‘𝐺))) → (℩𝑞 ∈ (Poly‘𝑆)((𝐹 ∘f − (𝐺 ∘f · 𝑞)) = 0𝑝 ∨ (deg‘(𝐹 ∘f − (𝐺 ∘f · 𝑞))) < (deg‘𝐺))) = (℩𝑞 ∈ (Poly‘ℂ)((𝐹 ∘f − (𝐺 ∘f · 𝑞)) = 0𝑝 ∨ (deg‘(𝐹 ∘f − (𝐺 ∘f · 𝑞))) < (deg‘𝐺))))
30	13, 25, 29	syl2anc 584	. . . 4 ⊢ (𝜑 → (℩𝑞 ∈ (Poly‘𝑆)((𝐹 ∘f − (𝐺 ∘f · 𝑞)) = 0𝑝 ∨ (deg‘(𝐹 ∘f − (𝐺 ∘f · 𝑞))) < (deg‘𝐺))) = (℩𝑞 ∈ (Poly‘ℂ)((𝐹 ∘f − (𝐺 ∘f · 𝑞)) = 0𝑝 ∨ (deg‘(𝐹 ∘f − (𝐺 ∘f · 𝑞))) < (deg‘𝐺))))
31	6, 30	eqtr4d 2781	. . 3 ⊢ (𝜑 → (𝐹 quot 𝐺) = (℩𝑞 ∈ (Poly‘𝑆)((𝐹 ∘f − (𝐺 ∘f · 𝑞)) = 0𝑝 ∨ (deg‘(𝐹 ∘f − (𝐺 ∘f · 𝑞))) < (deg‘𝐺))))
32		riotacl2 7241	. . . 4 ⊢ (∃!𝑞 ∈ (Poly‘𝑆)((𝐹 ∘f − (𝐺 ∘f · 𝑞)) = 0𝑝 ∨ (deg‘(𝐹 ∘f − (𝐺 ∘f · 𝑞))) < (deg‘𝐺)) → (℩𝑞 ∈ (Poly‘𝑆)((𝐹 ∘f − (𝐺 ∘f · 𝑞)) = 0𝑝 ∨ (deg‘(𝐹 ∘f − (𝐺 ∘f · 𝑞))) < (deg‘𝐺))) ∈ {𝑞 ∈ (Poly‘𝑆) ∣ ((𝐹 ∘f − (𝐺 ∘f · 𝑞)) = 0𝑝 ∨ (deg‘(𝐹 ∘f − (𝐺 ∘f · 𝑞))) < (deg‘𝐺))})
33	11, 32	syl 17	. . 3 ⊢ (𝜑 → (℩𝑞 ∈ (Poly‘𝑆)((𝐹 ∘f − (𝐺 ∘f · 𝑞)) = 0𝑝 ∨ (deg‘(𝐹 ∘f − (𝐺 ∘f · 𝑞))) < (deg‘𝐺))) ∈ {𝑞 ∈ (Poly‘𝑆) ∣ ((𝐹 ∘f − (𝐺 ∘f · 𝑞)) = 0𝑝 ∨ (deg‘(𝐹 ∘f − (𝐺 ∘f · 𝑞))) < (deg‘𝐺))})
34	31, 33	eqeltrd 2839	. 2 ⊢ (𝜑 → (𝐹 quot 𝐺) ∈ {𝑞 ∈ (Poly‘𝑆) ∣ ((𝐹 ∘f − (𝐺 ∘f · 𝑞)) = 0𝑝 ∨ (deg‘(𝐹 ∘f − (𝐺 ∘f · 𝑞))) < (deg‘𝐺))})
35		oveq2 7275	. . . . . . 7 ⊢ (𝑞 = (𝐹 quot 𝐺) → (𝐺 ∘f · 𝑞) = (𝐺 ∘f · (𝐹 quot 𝐺)))
36	35	oveq2d 7283	. . . . . 6 ⊢ (𝑞 = (𝐹 quot 𝐺) → (𝐹 ∘f − (𝐺 ∘f · 𝑞)) = (𝐹 ∘f − (𝐺 ∘f · (𝐹 quot 𝐺))))
37		quotlem.8	. . . . . 6 ⊢ 𝑅 = (𝐹 ∘f − (𝐺 ∘f · (𝐹 quot 𝐺)))
38	36, 37	eqtr4di 2796	. . . . 5 ⊢ (𝑞 = (𝐹 quot 𝐺) → (𝐹 ∘f − (𝐺 ∘f · 𝑞)) = 𝑅)
39	38	eqeq1d 2740	. . . 4 ⊢ (𝑞 = (𝐹 quot 𝐺) → ((𝐹 ∘f − (𝐺 ∘f · 𝑞)) = 0𝑝 ↔ 𝑅 = 0𝑝))
40	38	fveq2d 6770	. . . . 5 ⊢ (𝑞 = (𝐹 quot 𝐺) → (deg‘(𝐹 ∘f − (𝐺 ∘f · 𝑞))) = (deg‘𝑅))
41	40	breq1d 5083	. . . 4 ⊢ (𝑞 = (𝐹 quot 𝐺) → ((deg‘(𝐹 ∘f − (𝐺 ∘f · 𝑞))) < (deg‘𝐺) ↔ (deg‘𝑅) < (deg‘𝐺)))
42	39, 41	orbi12d 916	. . 3 ⊢ (𝑞 = (𝐹 quot 𝐺) → (((𝐹 ∘f − (𝐺 ∘f · 𝑞)) = 0𝑝 ∨ (deg‘(𝐹 ∘f − (𝐺 ∘f · 𝑞))) < (deg‘𝐺)) ↔ (𝑅 = 0𝑝 ∨ (deg‘𝑅) < (deg‘𝐺))))
43	42	elrab 3623	. 2 ⊢ ((𝐹 quot 𝐺) ∈ {𝑞 ∈ (Poly‘𝑆) ∣ ((𝐹 ∘f − (𝐺 ∘f · 𝑞)) = 0𝑝 ∨ (deg‘(𝐹 ∘f − (𝐺 ∘f · 𝑞))) < (deg‘𝐺))} ↔ ((𝐹 quot 𝐺) ∈ (Poly‘𝑆) ∧ (𝑅 = 0𝑝 ∨ (deg‘𝑅) < (deg‘𝐺))))
44	34, 43	sylib 217	1 ⊢ (𝜑 → ((𝐹 quot 𝐺) ∈ (Poly‘𝑆) ∧ (𝑅 = 0𝑝 ∨ (deg‘𝑅) < (deg‘𝐺))))

Syntax hints:   → wi 4   ∧ wa 396   ∨ wo 844   = wceq 1539   ∈ wcel 2106   ≠ wne 2943  ∀wral 3064  ∃wrex 3065  ∃!wreu 3066  {crab 3068   ⊆ wss 3886   class class class wbr 5073  ‘cfv 6426  ℩crio 7223  (class class class)co 7267   ∘_f cof 7521  ℂcc 10879  0cc0 10881  1c1 10882   + caddc 10884   · cmul 10886   < clt 11019   − cmin 11215  -cneg 11216   / cdiv 11642  0_𝑝c0p 24843  Polycply 25355  degcdgr 25358   quot cquot 25460

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1798  ax-4 1812  ax-5 1913  ax-6 1971  ax-7 2011  ax-8 2108  ax-9 2116  ax-10 2137  ax-11 2154  ax-12 2171  ax-ext 2709  ax-rep 5208  ax-sep 5221  ax-nul 5228  ax-pow 5286  ax-pr 5350  ax-un 7578  ax-inf2 9386  ax-cnex 10937  ax-resscn 10938  ax-1cn 10939  ax-icn 10940  ax-addcl 10941  ax-addrcl 10942  ax-mulcl 10943  ax-mulrcl 10944  ax-mulcom 10945  ax-addass 10946  ax-mulass 10947  ax-distr 10948  ax-i2m1 10949  ax-1ne0 10950  ax-1rid 10951  ax-rnegex 10952  ax-rrecex 10953  ax-cnre 10954  ax-pre-lttri 10955  ax-pre-lttrn 10956  ax-pre-ltadd 10957  ax-pre-mulgt0 10958  ax-pre-sup 10959

This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 397  df-or 845  df-3or 1087  df-3an 1088  df-tru 1542  df-fal 1552  df-ex 1783  df-nf 1787  df-sb 2068  df-mo 2540  df-eu 2569  df-clab 2716  df-cleq 2730  df-clel 2816  df-nfc 2889  df-ne 2944  df-nel 3050  df-ral 3069  df-rex 3070  df-reu 3071  df-rmo 3072  df-rab 3073  df-v 3431  df-sbc 3716  df-csb 3832  df-dif 3889  df-un 3891  df-in 3893  df-ss 3903  df-pss 3905  df-nul 4257  df-if 4460  df-pw 4535  df-sn 4562  df-pr 4564  df-op 4568  df-uni 4840  df-int 4880  df-iun 4926  df-br 5074  df-opab 5136  df-mpt 5157  df-tr 5191  df-id 5484  df-eprel 5490  df-po 5498  df-so 5499  df-fr 5539  df-se 5540  df-we 5541  df-xp 5590  df-rel 5591  df-cnv 5592  df-co 5593  df-dm 5594  df-rn 5595  df-res 5596  df-ima 5597  df-pred 6195  df-ord 6262  df-on 6263  df-lim 6264  df-suc 6265  df-iota 6384  df-fun 6428  df-fn 6429  df-f 6430  df-f1 6431  df-fo 6432  df-f1o 6433  df-fv 6434  df-isom 6435  df-riota 7224  df-ov 7270  df-oprab 7271  df-mpo 7272  df-of 7523  df-om 7703  df-1st 7820  df-2nd 7821  df-frecs 8084  df-wrecs 8115  df-recs 8189  df-rdg 8228  df-1o 8284  df-er 8485  df-map 8604  df-pm 8605  df-en 8721  df-dom 8722  df-sdom 8723  df-fin 8724  df-sup 9188  df-inf 9189  df-oi 9256  df-card 9707  df-pnf 11021  df-mnf 11022  df-xr 11023  df-ltxr 11024  df-le 11025  df-sub 11217  df-neg 11218  df-div 11643  df-nn 11984  df-2 12046  df-3 12047  df-n0 12244  df-z 12330  df-uz 12593  df-rp 12741  df-fz 13250  df-fzo 13393  df-fl 13522  df-seq 13732  df-exp 13793  df-hash 14055  df-cj 14820  df-re 14821  df-im 14822  df-sqrt 14956  df-abs 14957  df-clim 15207  df-rlim 15208  df-sum 15408  df-0p 24844  df-ply 25359  df-coe 25361  df-dgr 25362  df-quot 25461

This theorem is referenced by:  quotcl  25471  quotdgr  25473