MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  quotlem Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem quotlem 25660
Description: Lemma for properties of the polynomial quotient function. (Contributed by Mario Carneiro, 26-Jul-2014.)
Hypotheses
Ref Expression
plydiv.pl ((𝜑 ∧ (𝑥𝑆𝑦𝑆)) → (𝑥 + 𝑦) ∈ 𝑆)
plydiv.tm ((𝜑 ∧ (𝑥𝑆𝑦𝑆)) → (𝑥 · 𝑦) ∈ 𝑆)
plydiv.rc ((𝜑 ∧ (𝑥𝑆𝑥 ≠ 0)) → (1 / 𝑥) ∈ 𝑆)
plydiv.m1 (𝜑 → -1 ∈ 𝑆)
plydiv.f (𝜑𝐹 ∈ (Poly‘𝑆))
plydiv.g (𝜑𝐺 ∈ (Poly‘𝑆))
plydiv.z (𝜑𝐺 ≠ 0𝑝)
quotlem.8 𝑅 = (𝐹f − (𝐺f · (𝐹 quot 𝐺)))
Assertion
Ref Expression
quotlem (𝜑 → ((𝐹 quot 𝐺) ∈ (Poly‘𝑆) ∧ (𝑅 = 0𝑝 ∨ (deg‘𝑅) < (deg‘𝐺))))
Distinct variable groups:   𝑥,𝑦,𝐹   𝜑,𝑥,𝑦   𝑥,𝐺,𝑦   𝑥,𝑅,𝑦   𝑥,𝑆,𝑦

Proof of Theorem quotlem
Dummy variable 𝑞 is distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 plydiv.f . . . . 5 (𝜑𝐹 ∈ (Poly‘𝑆))
2 plydiv.g . . . . 5 (𝜑𝐺 ∈ (Poly‘𝑆))
3 plydiv.z . . . . 5 (𝜑𝐺 ≠ 0𝑝)
4 eqid 2736 . . . . . 6 (𝐹f − (𝐺f · 𝑞)) = (𝐹f − (𝐺f · 𝑞))
54quotval 25652 . . . . 5 ((𝐹 ∈ (Poly‘𝑆) ∧ 𝐺 ∈ (Poly‘𝑆) ∧ 𝐺 ≠ 0𝑝) → (𝐹 quot 𝐺) = (𝑞 ∈ (Poly‘ℂ)((𝐹f − (𝐺f · 𝑞)) = 0𝑝 ∨ (deg‘(𝐹f − (𝐺f · 𝑞))) < (deg‘𝐺))))
61, 2, 3, 5syl3anc 1371 . . . 4 (𝜑 → (𝐹 quot 𝐺) = (𝑞 ∈ (Poly‘ℂ)((𝐹f − (𝐺f · 𝑞)) = 0𝑝 ∨ (deg‘(𝐹f − (𝐺f · 𝑞))) < (deg‘𝐺))))
7 plydiv.pl . . . . . . 7 ((𝜑 ∧ (𝑥𝑆𝑦𝑆)) → (𝑥 + 𝑦) ∈ 𝑆)
8 plydiv.tm . . . . . . 7 ((𝜑 ∧ (𝑥𝑆𝑦𝑆)) → (𝑥 · 𝑦) ∈ 𝑆)
9 plydiv.rc . . . . . . 7 ((𝜑 ∧ (𝑥𝑆𝑥 ≠ 0)) → (1 / 𝑥) ∈ 𝑆)
10 plydiv.m1 . . . . . . 7 (𝜑 → -1 ∈ 𝑆)
117, 8, 9, 10, 1, 2, 3, 4plydivalg 25659 . . . . . 6 (𝜑 → ∃!𝑞 ∈ (Poly‘𝑆)((𝐹f − (𝐺f · 𝑞)) = 0𝑝 ∨ (deg‘(𝐹f − (𝐺f · 𝑞))) < (deg‘𝐺)))
12 reurex 3357 . . . . . 6 (∃!𝑞 ∈ (Poly‘𝑆)((𝐹f − (𝐺f · 𝑞)) = 0𝑝 ∨ (deg‘(𝐹f − (𝐺f · 𝑞))) < (deg‘𝐺)) → ∃𝑞 ∈ (Poly‘𝑆)((𝐹f − (𝐺f · 𝑞)) = 0𝑝 ∨ (deg‘(𝐹f − (𝐺f · 𝑞))) < (deg‘𝐺)))
1311, 12syl 17 . . . . 5 (𝜑 → ∃𝑞 ∈ (Poly‘𝑆)((𝐹f − (𝐺f · 𝑞)) = 0𝑝 ∨ (deg‘(𝐹f − (𝐺f · 𝑞))) < (deg‘𝐺)))
14 addcl 11133 . . . . . . 7 ((𝑥 ∈ ℂ ∧ 𝑦 ∈ ℂ) → (𝑥 + 𝑦) ∈ ℂ)
1514adantl 482 . . . . . 6 ((𝜑 ∧ (𝑥 ∈ ℂ ∧ 𝑦 ∈ ℂ)) → (𝑥 + 𝑦) ∈ ℂ)
16 mulcl 11135 . . . . . . 7 ((𝑥 ∈ ℂ ∧ 𝑦 ∈ ℂ) → (𝑥 · 𝑦) ∈ ℂ)
1716adantl 482 . . . . . 6 ((𝜑 ∧ (𝑥 ∈ ℂ ∧ 𝑦 ∈ ℂ)) → (𝑥 · 𝑦) ∈ ℂ)
18 reccl 11820 . . . . . . 7 ((𝑥 ∈ ℂ ∧ 𝑥 ≠ 0) → (1 / 𝑥) ∈ ℂ)
1918adantl 482 . . . . . 6 ((𝜑 ∧ (𝑥 ∈ ℂ ∧ 𝑥 ≠ 0)) → (1 / 𝑥) ∈ ℂ)
20 neg1cn 12267 . . . . . . 7 -1 ∈ ℂ
2120a1i 11 . . . . . 6 (𝜑 → -1 ∈ ℂ)
22 plyssc 25561 . . . . . . 7 (Poly‘𝑆) ⊆ (Poly‘ℂ)
2322, 1sselid 3942 . . . . . 6 (𝜑𝐹 ∈ (Poly‘ℂ))
2422, 2sselid 3942 . . . . . 6 (𝜑𝐺 ∈ (Poly‘ℂ))
2515, 17, 19, 21, 23, 24, 3, 4plydivalg 25659 . . . . 5 (𝜑 → ∃!𝑞 ∈ (Poly‘ℂ)((𝐹f − (𝐺f · 𝑞)) = 0𝑝 ∨ (deg‘(𝐹f − (𝐺f · 𝑞))) < (deg‘𝐺)))
26 id 22 . . . . . . 7 (((𝐹f − (𝐺f · 𝑞)) = 0𝑝 ∨ (deg‘(𝐹f − (𝐺f · 𝑞))) < (deg‘𝐺)) → ((𝐹f − (𝐺f · 𝑞)) = 0𝑝 ∨ (deg‘(𝐹f − (𝐺f · 𝑞))) < (deg‘𝐺)))
2726rgenw 3068 . . . . . 6 𝑞 ∈ (Poly‘𝑆)(((𝐹f − (𝐺f · 𝑞)) = 0𝑝 ∨ (deg‘(𝐹f − (𝐺f · 𝑞))) < (deg‘𝐺)) → ((𝐹f − (𝐺f · 𝑞)) = 0𝑝 ∨ (deg‘(𝐹f − (𝐺f · 𝑞))) < (deg‘𝐺)))
28 riotass2 7344 . . . . . 6 ((((Poly‘𝑆) ⊆ (Poly‘ℂ) ∧ ∀𝑞 ∈ (Poly‘𝑆)(((𝐹f − (𝐺f · 𝑞)) = 0𝑝 ∨ (deg‘(𝐹f − (𝐺f · 𝑞))) < (deg‘𝐺)) → ((𝐹f − (𝐺f · 𝑞)) = 0𝑝 ∨ (deg‘(𝐹f − (𝐺f · 𝑞))) < (deg‘𝐺)))) ∧ (∃𝑞 ∈ (Poly‘𝑆)((𝐹f − (𝐺f · 𝑞)) = 0𝑝 ∨ (deg‘(𝐹f − (𝐺f · 𝑞))) < (deg‘𝐺)) ∧ ∃!𝑞 ∈ (Poly‘ℂ)((𝐹f − (𝐺f · 𝑞)) = 0𝑝 ∨ (deg‘(𝐹f − (𝐺f · 𝑞))) < (deg‘𝐺)))) → (𝑞 ∈ (Poly‘𝑆)((𝐹f − (𝐺f · 𝑞)) = 0𝑝 ∨ (deg‘(𝐹f − (𝐺f · 𝑞))) < (deg‘𝐺))) = (𝑞 ∈ (Poly‘ℂ)((𝐹f − (𝐺f · 𝑞)) = 0𝑝 ∨ (deg‘(𝐹f − (𝐺f · 𝑞))) < (deg‘𝐺))))
2922, 27, 28mpanl12 700 . . . . 5 ((∃𝑞 ∈ (Poly‘𝑆)((𝐹f − (𝐺f · 𝑞)) = 0𝑝 ∨ (deg‘(𝐹f − (𝐺f · 𝑞))) < (deg‘𝐺)) ∧ ∃!𝑞 ∈ (Poly‘ℂ)((𝐹f − (𝐺f · 𝑞)) = 0𝑝 ∨ (deg‘(𝐹f − (𝐺f · 𝑞))) < (deg‘𝐺))) → (𝑞 ∈ (Poly‘𝑆)((𝐹f − (𝐺f · 𝑞)) = 0𝑝 ∨ (deg‘(𝐹f − (𝐺f · 𝑞))) < (deg‘𝐺))) = (𝑞 ∈ (Poly‘ℂ)((𝐹f − (𝐺f · 𝑞)) = 0𝑝 ∨ (deg‘(𝐹f − (𝐺f · 𝑞))) < (deg‘𝐺))))
3013, 25, 29syl2anc 584 . . . 4 (𝜑 → (𝑞 ∈ (Poly‘𝑆)((𝐹f − (𝐺f · 𝑞)) = 0𝑝 ∨ (deg‘(𝐹f − (𝐺f · 𝑞))) < (deg‘𝐺))) = (𝑞 ∈ (Poly‘ℂ)((𝐹f − (𝐺f · 𝑞)) = 0𝑝 ∨ (deg‘(𝐹f − (𝐺f · 𝑞))) < (deg‘𝐺))))
316, 30eqtr4d 2779 . . 3 (𝜑 → (𝐹 quot 𝐺) = (𝑞 ∈ (Poly‘𝑆)((𝐹f − (𝐺f · 𝑞)) = 0𝑝 ∨ (deg‘(𝐹f − (𝐺f · 𝑞))) < (deg‘𝐺))))
32 riotacl2 7330 . . . 4 (∃!𝑞 ∈ (Poly‘𝑆)((𝐹f − (𝐺f · 𝑞)) = 0𝑝 ∨ (deg‘(𝐹f − (𝐺f · 𝑞))) < (deg‘𝐺)) → (𝑞 ∈ (Poly‘𝑆)((𝐹f − (𝐺f · 𝑞)) = 0𝑝 ∨ (deg‘(𝐹f − (𝐺f · 𝑞))) < (deg‘𝐺))) ∈ {𝑞 ∈ (Poly‘𝑆) ∣ ((𝐹f − (𝐺f · 𝑞)) = 0𝑝 ∨ (deg‘(𝐹f − (𝐺f · 𝑞))) < (deg‘𝐺))})
3311, 32syl 17 . . 3 (𝜑 → (𝑞 ∈ (Poly‘𝑆)((𝐹f − (𝐺f · 𝑞)) = 0𝑝 ∨ (deg‘(𝐹f − (𝐺f · 𝑞))) < (deg‘𝐺))) ∈ {𝑞 ∈ (Poly‘𝑆) ∣ ((𝐹f − (𝐺f · 𝑞)) = 0𝑝 ∨ (deg‘(𝐹f − (𝐺f · 𝑞))) < (deg‘𝐺))})
3431, 33eqeltrd 2838 . 2 (𝜑 → (𝐹 quot 𝐺) ∈ {𝑞 ∈ (Poly‘𝑆) ∣ ((𝐹f − (𝐺f · 𝑞)) = 0𝑝 ∨ (deg‘(𝐹f − (𝐺f · 𝑞))) < (deg‘𝐺))})
35 oveq2 7365 . . . . . . 7 (𝑞 = (𝐹 quot 𝐺) → (𝐺f · 𝑞) = (𝐺f · (𝐹 quot 𝐺)))
3635oveq2d 7373 . . . . . 6 (𝑞 = (𝐹 quot 𝐺) → (𝐹f − (𝐺f · 𝑞)) = (𝐹f − (𝐺f · (𝐹 quot 𝐺))))
37 quotlem.8 . . . . . 6 𝑅 = (𝐹f − (𝐺f · (𝐹 quot 𝐺)))
3836, 37eqtr4di 2794 . . . . 5 (𝑞 = (𝐹 quot 𝐺) → (𝐹f − (𝐺f · 𝑞)) = 𝑅)
3938eqeq1d 2738 . . . 4 (𝑞 = (𝐹 quot 𝐺) → ((𝐹f − (𝐺f · 𝑞)) = 0𝑝𝑅 = 0𝑝))
4038fveq2d 6846 . . . . 5 (𝑞 = (𝐹 quot 𝐺) → (deg‘(𝐹f − (𝐺f · 𝑞))) = (deg‘𝑅))
4140breq1d 5115 . . . 4 (𝑞 = (𝐹 quot 𝐺) → ((deg‘(𝐹f − (𝐺f · 𝑞))) < (deg‘𝐺) ↔ (deg‘𝑅) < (deg‘𝐺)))
4239, 41orbi12d 917 . . 3 (𝑞 = (𝐹 quot 𝐺) → (((𝐹f − (𝐺f · 𝑞)) = 0𝑝 ∨ (deg‘(𝐹f − (𝐺f · 𝑞))) < (deg‘𝐺)) ↔ (𝑅 = 0𝑝 ∨ (deg‘𝑅) < (deg‘𝐺))))
4342elrab 3645 . 2 ((𝐹 quot 𝐺) ∈ {𝑞 ∈ (Poly‘𝑆) ∣ ((𝐹f − (𝐺f · 𝑞)) = 0𝑝 ∨ (deg‘(𝐹f − (𝐺f · 𝑞))) < (deg‘𝐺))} ↔ ((𝐹 quot 𝐺) ∈ (Poly‘𝑆) ∧ (𝑅 = 0𝑝 ∨ (deg‘𝑅) < (deg‘𝐺))))
4434, 43sylib 217 1 (𝜑 → ((𝐹 quot 𝐺) ∈ (Poly‘𝑆) ∧ (𝑅 = 0𝑝 ∨ (deg‘𝑅) < (deg‘𝐺))))
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  wi 4  wa 396  wo 845   = wceq 1541  wcel 2106  wne 2943  wral 3064  wrex 3073  ∃!wreu 3351  {crab 3407  wss 3910   class class class wbr 5105  cfv 6496  crio 7312  (class class class)co 7357  f cof 7615  cc 11049  0cc0 11051  1c1 11052   + caddc 11054   · cmul 11056   < clt 11189  cmin 11385  -cneg 11386   / cdiv 11812  0𝑝c0p 25033  Polycply 25545  degcdgr 25548   quot cquot 25650
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1797  ax-4 1811  ax-5 1913  ax-6 1971  ax-7 2011  ax-8 2108  ax-9 2116  ax-10 2137  ax-11 2154  ax-12 2171  ax-ext 2707  ax-rep 5242  ax-sep 5256  ax-nul 5263  ax-pow 5320  ax-pr 5384  ax-un 7672  ax-inf2 9577  ax-cnex 11107  ax-resscn 11108  ax-1cn 11109  ax-icn 11110  ax-addcl 11111  ax-addrcl 11112  ax-mulcl 11113  ax-mulrcl 11114  ax-mulcom 11115  ax-addass 11116  ax-mulass 11117  ax-distr 11118  ax-i2m1 11119  ax-1ne0 11120  ax-1rid 11121  ax-rnegex 11122  ax-rrecex 11123  ax-cnre 11124  ax-pre-lttri 11125  ax-pre-lttrn 11126  ax-pre-ltadd 11127  ax-pre-mulgt0 11128  ax-pre-sup 11129
This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 397  df-or 846  df-3or 1088  df-3an 1089  df-tru 1544  df-fal 1554  df-ex 1782  df-nf 1786  df-sb 2068  df-mo 2538  df-eu 2567  df-clab 2714  df-cleq 2728  df-clel 2814  df-nfc 2889  df-ne 2944  df-nel 3050  df-ral 3065  df-rex 3074  df-rmo 3353  df-reu 3354  df-rab 3408  df-v 3447  df-sbc 3740  df-csb 3856  df-dif 3913  df-un 3915  df-in 3917  df-ss 3927  df-pss 3929  df-nul 4283  df-if 4487  df-pw 4562  df-sn 4587  df-pr 4589  df-op 4593  df-uni 4866  df-int 4908  df-iun 4956  df-br 5106  df-opab 5168  df-mpt 5189  df-tr 5223  df-id 5531  df-eprel 5537  df-po 5545  df-so 5546  df-fr 5588  df-se 5589  df-we 5590  df-xp 5639  df-rel 5640  df-cnv 5641  df-co 5642  df-dm 5643  df-rn 5644  df-res 5645  df-ima 5646  df-pred 6253  df-ord 6320  df-on 6321  df-lim 6322  df-suc 6323  df-iota 6448  df-fun 6498  df-fn 6499  df-f 6500  df-f1 6501  df-fo 6502  df-f1o 6503  df-fv 6504  df-isom 6505  df-riota 7313  df-ov 7360  df-oprab 7361  df-mpo 7362  df-of 7617  df-om 7803  df-1st 7921  df-2nd 7922  df-frecs 8212  df-wrecs 8243  df-recs 8317  df-rdg 8356  df-1o 8412  df-er 8648  df-map 8767  df-pm 8768  df-en 8884  df-dom 8885  df-sdom 8886  df-fin 8887  df-sup 9378  df-inf 9379  df-oi 9446  df-card 9875  df-pnf 11191  df-mnf 11192  df-xr 11193  df-ltxr 11194  df-le 11195  df-sub 11387  df-neg 11388  df-div 11813  df-nn 12154  df-2 12216  df-3 12217  df-n0 12414  df-z 12500  df-uz 12764  df-rp 12916  df-fz 13425  df-fzo 13568  df-fl 13697  df-seq 13907  df-exp 13968  df-hash 14231  df-cj 14984  df-re 14985  df-im 14986  df-sqrt 15120  df-abs 15121  df-clim 15370  df-rlim 15371  df-sum 15571  df-0p 25034  df-ply 25549  df-coe 25551  df-dgr 25552  df-quot 25651
This theorem is referenced by:  quotcl  25661  quotdgr  25663
  Copyright terms: Public domain W3C validator