MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  quotlem Structured version   Visualization version   GIF version
Theorem quotlem 26049
Description: Lemma for properties of the polynomial quotient function. (Contributed by Mario Carneiro, 26-Jul-2014.)
Hypotheses
Ref Expression
plydiv.pl ((πœ‘ ∧ (π‘₯ ∈ 𝑆 ∧ 𝑦 ∈ 𝑆)) β†’ (π‘₯ + 𝑦) ∈ 𝑆)
plydiv.tm ((πœ‘ ∧ (π‘₯ ∈ 𝑆 ∧ 𝑦 ∈ 𝑆)) β†’ (π‘₯ Β· 𝑦) ∈ 𝑆)
plydiv.rc ((πœ‘ ∧ (π‘₯ ∈ 𝑆 ∧ π‘₯ β‰  0)) β†’ (1 / π‘₯) ∈ 𝑆)
plydiv.m1 (πœ‘ β†’ -1 ∈ 𝑆)
plydiv.f (πœ‘ β†’ 𝐹 ∈ (Polyβ€˜π‘†))
plydiv.g (πœ‘ β†’ 𝐺 ∈ (Polyβ€˜π‘†))
plydiv.z (πœ‘ β†’ 𝐺 β‰  0𝑝)
quotlem.8 𝑅 = (𝐹 ∘f βˆ’ (𝐺 ∘f Β· (𝐹 quot 𝐺)))
Assertion
Ref Expression
quotlem (πœ‘ β†’ ((𝐹 quot 𝐺) ∈ (Polyβ€˜π‘†) ∧ (𝑅 = 0𝑝 ∨ (degβ€˜π‘…) < (degβ€˜πΊ))))
Distinct variable groups:   π‘₯,𝑦,𝐹   πœ‘,π‘₯,𝑦   π‘₯,𝐺,𝑦   π‘₯,𝑅,𝑦   π‘₯,𝑆,𝑦
Proof of Theorem quotlem
Dummy variable π‘ž is distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 plydiv.f . . . . 5 (πœ‘ β†’ 𝐹 ∈ (Polyβ€˜π‘†))
2 plydiv.g . . . . 5 (πœ‘ β†’ 𝐺 ∈ (Polyβ€˜π‘†))
3 plydiv.z . . . . 5 (πœ‘ β†’ 𝐺 β‰  0𝑝)
4 eqid 2730 . . . . . 6 (𝐹 ∘f βˆ’ (𝐺 ∘f Β· π‘ž)) = (𝐹 ∘f βˆ’ (𝐺 ∘f Β· π‘ž))
54quotval 26041 . . . . 5 ((𝐹 ∈ (Polyβ€˜π‘†) ∧ 𝐺 ∈ (Polyβ€˜π‘†) ∧ 𝐺 β‰  0𝑝) β†’ (𝐹 quot 𝐺) = (β„©π‘ž ∈ (Polyβ€˜β„‚)((𝐹 ∘f βˆ’ (𝐺 ∘f Β· π‘ž)) = 0𝑝 ∨ (degβ€˜(𝐹 ∘f βˆ’ (𝐺 ∘f Β· π‘ž))) < (degβ€˜πΊ))))
61, 2, 3, 5syl3anc 1369 . . . 4 (πœ‘ β†’ (𝐹 quot 𝐺) = (β„©π‘ž ∈ (Polyβ€˜β„‚)((𝐹 ∘f βˆ’ (𝐺 ∘f Β· π‘ž)) = 0𝑝 ∨ (degβ€˜(𝐹 ∘f βˆ’ (𝐺 ∘f Β· π‘ž))) < (degβ€˜πΊ))))
7 plydiv.pl . . . . . . 7 ((πœ‘ ∧ (π‘₯ ∈ 𝑆 ∧ 𝑦 ∈ 𝑆)) β†’ (π‘₯ + 𝑦) ∈ 𝑆)
8 plydiv.tm . . . . . . 7 ((πœ‘ ∧ (π‘₯ ∈ 𝑆 ∧ 𝑦 ∈ 𝑆)) β†’ (π‘₯ Β· 𝑦) ∈ 𝑆)
9 plydiv.rc . . . . . . 7 ((πœ‘ ∧ (π‘₯ ∈ 𝑆 ∧ π‘₯ β‰  0)) β†’ (1 / π‘₯) ∈ 𝑆)
10 plydiv.m1 . . . . . . 7 (πœ‘ β†’ -1 ∈ 𝑆)
117, 8, 9, 10, 1, 2, 3, 4plydivalg 26048 . . . . . 6 (πœ‘ β†’ βˆƒ!π‘ž ∈ (Polyβ€˜π‘†)((𝐹 ∘f βˆ’ (𝐺 ∘f Β· π‘ž)) = 0𝑝 ∨ (degβ€˜(𝐹 ∘f βˆ’ (𝐺 ∘f Β· π‘ž))) < (degβ€˜πΊ)))
12 reurex 3378 . . . . . 6 (βˆƒ!π‘ž ∈ (Polyβ€˜π‘†)((𝐹 ∘f βˆ’ (𝐺 ∘f Β· π‘ž)) = 0𝑝 ∨ (degβ€˜(𝐹 ∘f βˆ’ (𝐺 ∘f Β· π‘ž))) < (degβ€˜πΊ)) β†’ βˆƒπ‘ž ∈ (Polyβ€˜π‘†)((𝐹 ∘f βˆ’ (𝐺 ∘f Β· π‘ž)) = 0𝑝 ∨ (degβ€˜(𝐹 ∘f βˆ’ (𝐺 ∘f Β· π‘ž))) < (degβ€˜πΊ)))
1311, 12syl 17 . . . . 5 (πœ‘ β†’ βˆƒπ‘ž ∈ (Polyβ€˜π‘†)((𝐹 ∘f βˆ’ (𝐺 ∘f Β· π‘ž)) = 0𝑝 ∨ (degβ€˜(𝐹 ∘f βˆ’ (𝐺 ∘f Β· π‘ž))) < (degβ€˜πΊ)))
14 addcl 11194 . . . . . . 7 ((π‘₯ ∈ β„‚ ∧ 𝑦 ∈ β„‚) β†’ (π‘₯ + 𝑦) ∈ β„‚)
1514adantl 480 . . . . . 6 ((πœ‘ ∧ (π‘₯ ∈ β„‚ ∧ 𝑦 ∈ β„‚)) β†’ (π‘₯ + 𝑦) ∈ β„‚)
16 mulcl 11196 . . . . . . 7 ((π‘₯ ∈ β„‚ ∧ 𝑦 ∈ β„‚) β†’ (π‘₯ Β· 𝑦) ∈ β„‚)
1716adantl 480 . . . . . 6 ((πœ‘ ∧ (π‘₯ ∈ β„‚ ∧ 𝑦 ∈ β„‚)) β†’ (π‘₯ Β· 𝑦) ∈ β„‚)
18 reccl 11883 . . . . . . 7 ((π‘₯ ∈ β„‚ ∧ π‘₯ β‰  0) β†’ (1 / π‘₯) ∈ β„‚)
1918adantl 480 . . . . . 6 ((πœ‘ ∧ (π‘₯ ∈ β„‚ ∧ π‘₯ β‰  0)) β†’ (1 / π‘₯) ∈ β„‚)
20 neg1cn 12330 . . . . . . 7 -1 ∈ β„‚
2120a1i 11 . . . . . 6 (πœ‘ β†’ -1 ∈ β„‚)
22 plyssc 25949 . . . . . . 7 (Polyβ€˜π‘†) βŠ† (Polyβ€˜β„‚)
2322, 1sselid 3979 . . . . . 6 (πœ‘ β†’ 𝐹 ∈ (Polyβ€˜β„‚))
2422, 2sselid 3979 . . . . . 6 (πœ‘ β†’ 𝐺 ∈ (Polyβ€˜β„‚))
2515, 17, 19, 21, 23, 24, 3, 4plydivalg 26048 . . . . 5 (πœ‘ β†’ βˆƒ!π‘ž ∈ (Polyβ€˜β„‚)((𝐹 ∘f βˆ’ (𝐺 ∘f Β· π‘ž)) = 0𝑝 ∨ (degβ€˜(𝐹 ∘f βˆ’ (𝐺 ∘f Β· π‘ž))) < (degβ€˜πΊ)))
26 id 22 . . . . . . 7 (((𝐹 ∘f βˆ’ (𝐺 ∘f Β· π‘ž)) = 0𝑝 ∨ (degβ€˜(𝐹 ∘f βˆ’ (𝐺 ∘f Β· π‘ž))) < (degβ€˜πΊ)) β†’ ((𝐹 ∘f βˆ’ (𝐺 ∘f Β· π‘ž)) = 0𝑝 ∨ (degβ€˜(𝐹 ∘f βˆ’ (𝐺 ∘f Β· π‘ž))) < (degβ€˜πΊ)))
2726rgenw 3063 . . . . . 6 βˆ€π‘ž ∈ (Polyβ€˜π‘†)(((𝐹 ∘f βˆ’ (𝐺 ∘f Β· π‘ž)) = 0𝑝 ∨ (degβ€˜(𝐹 ∘f βˆ’ (𝐺 ∘f Β· π‘ž))) < (degβ€˜πΊ)) β†’ ((𝐹 ∘f βˆ’ (𝐺 ∘f Β· π‘ž)) = 0𝑝 ∨ (degβ€˜(𝐹 ∘f βˆ’ (𝐺 ∘f Β· π‘ž))) < (degβ€˜πΊ)))
28 riotass2 7398 . . . . . 6 ((((Polyβ€˜π‘†) βŠ† (Polyβ€˜β„‚) ∧ βˆ€π‘ž ∈ (Polyβ€˜π‘†)(((𝐹 ∘f βˆ’ (𝐺 ∘f Β· π‘ž)) = 0𝑝 ∨ (degβ€˜(𝐹 ∘f βˆ’ (𝐺 ∘f Β· π‘ž))) < (degβ€˜πΊ)) β†’ ((𝐹 ∘f βˆ’ (𝐺 ∘f Β· π‘ž)) = 0𝑝 ∨ (degβ€˜(𝐹 ∘f βˆ’ (𝐺 ∘f Β· π‘ž))) < (degβ€˜πΊ)))) ∧ (βˆƒπ‘ž ∈ (Polyβ€˜π‘†)((𝐹 ∘f βˆ’ (𝐺 ∘f Β· π‘ž)) = 0𝑝 ∨ (degβ€˜(𝐹 ∘f βˆ’ (𝐺 ∘f Β· π‘ž))) < (degβ€˜πΊ)) ∧ βˆƒ!π‘ž ∈ (Polyβ€˜β„‚)((𝐹 ∘f βˆ’ (𝐺 ∘f Β· π‘ž)) = 0𝑝 ∨ (degβ€˜(𝐹 ∘f βˆ’ (𝐺 ∘f Β· π‘ž))) < (degβ€˜πΊ)))) β†’ (β„©π‘ž ∈ (Polyβ€˜π‘†)((𝐹 ∘f βˆ’ (𝐺 ∘f Β· π‘ž)) = 0𝑝 ∨ (degβ€˜(𝐹 ∘f βˆ’ (𝐺 ∘f Β· π‘ž))) < (degβ€˜πΊ))) = (β„©π‘ž ∈ (Polyβ€˜β„‚)((𝐹 ∘f βˆ’ (𝐺 ∘f Β· π‘ž)) = 0𝑝 ∨ (degβ€˜(𝐹 ∘f βˆ’ (𝐺 ∘f Β· π‘ž))) < (degβ€˜πΊ))))
2922, 27, 28mpanl12 698 . . . . 5 ((βˆƒπ‘ž ∈ (Polyβ€˜π‘†)((𝐹 ∘f βˆ’ (𝐺 ∘f Β· π‘ž)) = 0𝑝 ∨ (degβ€˜(𝐹 ∘f βˆ’ (𝐺 ∘f Β· π‘ž))) < (degβ€˜πΊ)) ∧ βˆƒ!π‘ž ∈ (Polyβ€˜β„‚)((𝐹 ∘f βˆ’ (𝐺 ∘f Β· π‘ž)) = 0𝑝 ∨ (degβ€˜(𝐹 ∘f βˆ’ (𝐺 ∘f Β· π‘ž))) < (degβ€˜πΊ))) β†’ (β„©π‘ž ∈ (Polyβ€˜π‘†)((𝐹 ∘f βˆ’ (𝐺 ∘f Β· π‘ž)) = 0𝑝 ∨ (degβ€˜(𝐹 ∘f βˆ’ (𝐺 ∘f Β· π‘ž))) < (degβ€˜πΊ))) = (β„©π‘ž ∈ (Polyβ€˜β„‚)((𝐹 ∘f βˆ’ (𝐺 ∘f Β· π‘ž)) = 0𝑝 ∨ (degβ€˜(𝐹 ∘f βˆ’ (𝐺 ∘f Β· π‘ž))) < (degβ€˜πΊ))))
3013, 25, 29syl2anc 582 . . . 4 (πœ‘ β†’ (β„©π‘ž ∈ (Polyβ€˜π‘†)((𝐹 ∘f βˆ’ (𝐺 ∘f Β· π‘ž)) = 0𝑝 ∨ (degβ€˜(𝐹 ∘f βˆ’ (𝐺 ∘f Β· π‘ž))) < (degβ€˜πΊ))) = (β„©π‘ž ∈ (Polyβ€˜β„‚)((𝐹 ∘f βˆ’ (𝐺 ∘f Β· π‘ž)) = 0𝑝 ∨ (degβ€˜(𝐹 ∘f βˆ’ (𝐺 ∘f Β· π‘ž))) < (degβ€˜πΊ))))
316, 30eqtr4d 2773 . . 3 (πœ‘ β†’ (𝐹 quot 𝐺) = (β„©π‘ž ∈ (Polyβ€˜π‘†)((𝐹 ∘f βˆ’ (𝐺 ∘f Β· π‘ž)) = 0𝑝 ∨ (degβ€˜(𝐹 ∘f βˆ’ (𝐺 ∘f Β· π‘ž))) < (degβ€˜πΊ))))
32 riotacl2 7384 . . . 4 (βˆƒ!π‘ž ∈ (Polyβ€˜π‘†)((𝐹 ∘f βˆ’ (𝐺 ∘f Β· π‘ž)) = 0𝑝 ∨ (degβ€˜(𝐹 ∘f βˆ’ (𝐺 ∘f Β· π‘ž))) < (degβ€˜πΊ)) β†’ (β„©π‘ž ∈ (Polyβ€˜π‘†)((𝐹 ∘f βˆ’ (𝐺 ∘f Β· π‘ž)) = 0𝑝 ∨ (degβ€˜(𝐹 ∘f βˆ’ (𝐺 ∘f Β· π‘ž))) < (degβ€˜πΊ))) ∈ {π‘ž ∈ (Polyβ€˜π‘†) ∣ ((𝐹 ∘f βˆ’ (𝐺 ∘f Β· π‘ž)) = 0𝑝 ∨ (degβ€˜(𝐹 ∘f βˆ’ (𝐺 ∘f Β· π‘ž))) < (degβ€˜πΊ))})
3311, 32syl 17 . . 3 (πœ‘ β†’ (β„©π‘ž ∈ (Polyβ€˜π‘†)((𝐹 ∘f βˆ’ (𝐺 ∘f Β· π‘ž)) = 0𝑝 ∨ (degβ€˜(𝐹 ∘f βˆ’ (𝐺 ∘f Β· π‘ž))) < (degβ€˜πΊ))) ∈ {π‘ž ∈ (Polyβ€˜π‘†) ∣ ((𝐹 ∘f βˆ’ (𝐺 ∘f Β· π‘ž)) = 0𝑝 ∨ (degβ€˜(𝐹 ∘f βˆ’ (𝐺 ∘f Β· π‘ž))) < (degβ€˜πΊ))})
3431, 33eqeltrd 2831 . 2 (πœ‘ β†’ (𝐹 quot 𝐺) ∈ {π‘ž ∈ (Polyβ€˜π‘†) ∣ ((𝐹 ∘f βˆ’ (𝐺 ∘f Β· π‘ž)) = 0𝑝 ∨ (degβ€˜(𝐹 ∘f βˆ’ (𝐺 ∘f Β· π‘ž))) < (degβ€˜πΊ))})
35 oveq2 7419 . . . . . . 7 (π‘ž = (𝐹 quot 𝐺) β†’ (𝐺 ∘f Β· π‘ž) = (𝐺 ∘f Β· (𝐹 quot 𝐺)))
3635oveq2d 7427 . . . . . 6 (π‘ž = (𝐹 quot 𝐺) β†’ (𝐹 ∘f βˆ’ (𝐺 ∘f Β· π‘ž)) = (𝐹 ∘f βˆ’ (𝐺 ∘f Β· (𝐹 quot 𝐺))))
37 quotlem.8 . . . . . 6 𝑅 = (𝐹 ∘f βˆ’ (𝐺 ∘f Β· (𝐹 quot 𝐺)))
3836, 37eqtr4di 2788 . . . . 5 (π‘ž = (𝐹 quot 𝐺) β†’ (𝐹 ∘f βˆ’ (𝐺 ∘f Β· π‘ž)) = 𝑅)
3938eqeq1d 2732 . . . 4 (π‘ž = (𝐹 quot 𝐺) β†’ ((𝐹 ∘f βˆ’ (𝐺 ∘f Β· π‘ž)) = 0𝑝 ↔ 𝑅 = 0𝑝))
4038fveq2d 6894 . . . . 5 (π‘ž = (𝐹 quot 𝐺) β†’ (degβ€˜(𝐹 ∘f βˆ’ (𝐺 ∘f Β· π‘ž))) = (degβ€˜π‘…))
4140breq1d 5157 . . . 4 (π‘ž = (𝐹 quot 𝐺) β†’ ((degβ€˜(𝐹 ∘f βˆ’ (𝐺 ∘f Β· π‘ž))) < (degβ€˜πΊ) ↔ (degβ€˜π‘…) < (degβ€˜πΊ)))
4239, 41orbi12d 915 . . 3 (π‘ž = (𝐹 quot 𝐺) β†’ (((𝐹 ∘f βˆ’ (𝐺 ∘f Β· π‘ž)) = 0𝑝 ∨ (degβ€˜(𝐹 ∘f βˆ’ (𝐺 ∘f Β· π‘ž))) < (degβ€˜πΊ)) ↔ (𝑅 = 0𝑝 ∨ (degβ€˜π‘…) < (degβ€˜πΊ))))
4342elrab 3682 . 2 ((𝐹 quot 𝐺) ∈ {π‘ž ∈ (Polyβ€˜π‘†) ∣ ((𝐹 ∘f βˆ’ (𝐺 ∘f Β· π‘ž)) = 0𝑝 ∨ (degβ€˜(𝐹 ∘f βˆ’ (𝐺 ∘f Β· π‘ž))) < (degβ€˜πΊ))} ↔ ((𝐹 quot 𝐺) ∈ (Polyβ€˜π‘†) ∧ (𝑅 = 0𝑝 ∨ (degβ€˜π‘…) < (degβ€˜πΊ))))
4434, 43sylib 217 1 (πœ‘ β†’ ((𝐹 quot 𝐺) ∈ (Polyβ€˜π‘†) ∧ (𝑅 = 0𝑝 ∨ (degβ€˜π‘…) < (degβ€˜πΊ))))
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:   β†’ wi 4   ∧ wa 394   ∨ wo 843   = wceq 1539   ∈ wcel 2104   β‰  wne 2938  βˆ€wral 3059  βˆƒwrex 3068  βˆƒ!wreu 3372  {crab 3430   βŠ† wss 3947   class class class wbr 5147  β€˜cfv 6542  β„©crio 7366  (class class class)co 7411   ∘f cof 7670  β„‚cc 11110  0cc0 11112  1c1 11113   + caddc 11115   Β· cmul 11117   < clt 11252   βˆ’ cmin 11448  -cneg 11449   / cdiv 11875  0𝑝c0p 25418  Polycply 25933  degcdgr 25936   quot cquot 26039
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1795  ax-4 1809  ax-5 1911  ax-6 1969  ax-7 2009  ax-8 2106  ax-9 2114  ax-10 2135  ax-11 2152  ax-12 2169  ax-ext 2701  ax-rep 5284  ax-sep 5298  ax-nul 5305  ax-pow 5362  ax-pr 5426  ax-un 7727  ax-inf2 9638  ax-cnex 11168  ax-resscn 11169  ax-1cn 11170  ax-icn 11171  ax-addcl 11172  ax-addrcl 11173  ax-mulcl 11174  ax-mulrcl 11175  ax-mulcom 11176  ax-addass 11177  ax-mulass 11178  ax-distr 11179  ax-i2m1 11180  ax-1ne0 11181  ax-1rid 11182  ax-rnegex 11183  ax-rrecex 11184  ax-cnre 11185  ax-pre-lttri 11186  ax-pre-lttrn 11187  ax-pre-ltadd 11188  ax-pre-mulgt0 11189  ax-pre-sup 11190
This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 395  df-or 844  df-3or 1086  df-3an 1087  df-tru 1542  df-fal 1552  df-ex 1780  df-nf 1784  df-sb 2066  df-mo 2532  df-eu 2561  df-clab 2708  df-cleq 2722  df-clel 2808  df-nfc 2883  df-ne 2939  df-nel 3045  df-ral 3060  df-rex 3069  df-rmo 3374  df-reu 3375  df-rab 3431  df-v 3474  df-sbc 3777  df-csb 3893  df-dif 3950  df-un 3952  df-in 3954  df-ss 3964  df-pss 3966  df-nul 4322  df-if 4528  df-pw 4603  df-sn 4628  df-pr 4630  df-op 4634  df-uni 4908  df-int 4950  df-iun 4998  df-br 5148  df-opab 5210  df-mpt 5231  df-tr 5265  df-id 5573  df-eprel 5579  df-po 5587  df-so 5588  df-fr 5630  df-se 5631  df-we 5632  df-xp 5681  df-rel 5682  df-cnv 5683  df-co 5684  df-dm 5685  df-rn 5686  df-res 5687  df-ima 5688  df-pred 6299  df-ord 6366  df-on 6367  df-lim 6368  df-suc 6369  df-iota 6494  df-fun 6544  df-fn 6545  df-f 6546  df-f1 6547  df-fo 6548  df-f1o 6549  df-fv 6550  df-isom 6551  df-riota 7367  df-ov 7414  df-oprab 7415  df-mpo 7416  df-of 7672  df-om 7858  df-1st 7977  df-2nd 7978  df-frecs 8268  df-wrecs 8299  df-recs 8373  df-rdg 8412  df-1o 8468  df-er 8705  df-map 8824  df-pm 8825  df-en 8942  df-dom 8943  df-sdom 8944  df-fin 8945  df-sup 9439  df-inf 9440  df-oi 9507  df-card 9936  df-pnf 11254  df-mnf 11255  df-xr 11256  df-ltxr 11257  df-le 11258  df-sub 11450  df-neg 11451  df-div 11876  df-nn 12217  df-2 12279  df-3 12280  df-n0 12477  df-z 12563  df-uz 12827  df-rp 12979  df-fz 13489  df-fzo 13632  df-fl 13761  df-seq 13971  df-exp 14032  df-hash 14295  df-cj 15050  df-re 15051  df-im 15052  df-sqrt 15186  df-abs 15187  df-clim 15436  df-rlim 15437  df-sum 15637  df-0p 25419  df-ply 25937  df-coe 25939  df-dgr 25940  df-quot 26040
This theorem is referenced by:  quotcl  26050  quotdgr  26052
  Copyright terms: Public domain W3C validator