Theorem quotlem 26291

Description: Lemma for properties of the polynomial quotient function. (Contributed by Mario Carneiro, 26-Jul-2014.)

Hypotheses

Ref	Expression
plydiv.pl	⊢ ((𝜑 ∧ (𝑥 ∈ 𝑆 ∧ 𝑦 ∈ 𝑆)) → (𝑥 + 𝑦) ∈ 𝑆)
plydiv.tm	⊢ ((𝜑 ∧ (𝑥 ∈ 𝑆 ∧ 𝑦 ∈ 𝑆)) → (𝑥 · 𝑦) ∈ 𝑆)
plydiv.rc	⊢ ((𝜑 ∧ (𝑥 ∈ 𝑆 ∧ 𝑥 ≠ 0)) → (1 / 𝑥) ∈ 𝑆)
plydiv.m1	⊢ (𝜑 → -1 ∈ 𝑆)
plydiv.f	⊢ (𝜑 → 𝐹 ∈ (Poly‘𝑆))
plydiv.g	⊢ (𝜑 → 𝐺 ∈ (Poly‘𝑆))
plydiv.z	⊢ (𝜑 → 𝐺 ≠ 0𝑝)
quotlem.8	⊢ 𝑅 = (𝐹 ∘f − (𝐺 ∘f · (𝐹 quot 𝐺)))

Assertion

Ref	Expression
quotlem	⊢ (𝜑 → ((𝐹 quot 𝐺) ∈ (Poly‘𝑆) ∧ (𝑅 = 0𝑝 ∨ (deg‘𝑅) < (deg‘𝐺))))

Distinct variable groups:   𝑥,𝑦,𝐹   𝜑,𝑥,𝑦   𝑥,𝐺,𝑦   𝑥,𝑅,𝑦   𝑥,𝑆,𝑦

Proof of Theorem quotlem

Dummy variable 𝑞 is distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		plydiv.f	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → 𝐹 ∈ (Poly‘𝑆))
2		plydiv.g	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → 𝐺 ∈ (Poly‘𝑆))
3		plydiv.z	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → 𝐺 ≠ 0𝑝)
4		eqid 2740	. . . . . 6 ⊢ (𝐹 ∘f − (𝐺 ∘f · 𝑞)) = (𝐹 ∘f − (𝐺 ∘f · 𝑞))
5	4	quotval 26283	. . . . 5 ⊢ ((𝐹 ∈ (Poly‘𝑆) ∧ 𝐺 ∈ (Poly‘𝑆) ∧ 𝐺 ≠ 0𝑝) → (𝐹 quot 𝐺) = (℩𝑞 ∈ (Poly‘ℂ)((𝐹 ∘f − (𝐺 ∘f · 𝑞)) = 0𝑝 ∨ (deg‘(𝐹 ∘f − (𝐺 ∘f · 𝑞))) < (deg‘𝐺))))
6	1, 2, 3, 5	syl3anc 1379	. . . 4 ⊢ (𝜑 → (𝐹 quot 𝐺) = (℩𝑞 ∈ (Poly‘ℂ)((𝐹 ∘f − (𝐺 ∘f · 𝑞)) = 0𝑝 ∨ (deg‘(𝐹 ∘f − (𝐺 ∘f · 𝑞))) < (deg‘𝐺))))
7		plydiv.pl	. . . . . . 7 ⊢ ((𝜑 ∧ (𝑥 ∈ 𝑆 ∧ 𝑦 ∈ 𝑆)) → (𝑥 + 𝑦) ∈ 𝑆)
8		plydiv.tm	. . . . . . 7 ⊢ ((𝜑 ∧ (𝑥 ∈ 𝑆 ∧ 𝑦 ∈ 𝑆)) → (𝑥 · 𝑦) ∈ 𝑆)
9		plydiv.rc	. . . . . . 7 ⊢ ((𝜑 ∧ (𝑥 ∈ 𝑆 ∧ 𝑥 ≠ 0)) → (1 / 𝑥) ∈ 𝑆)
10		plydiv.m1	. . . . . . 7 ⊢ (𝜑 → -1 ∈ 𝑆)
11	7, 8, 9, 10, 1, 2, 3, 4	plydivalg 26290	. . . . . 6 ⊢ (𝜑 → ∃!𝑞 ∈ (Poly‘𝑆)((𝐹 ∘f − (𝐺 ∘f · 𝑞)) = 0𝑝 ∨ (deg‘(𝐹 ∘f − (𝐺 ∘f · 𝑞))) < (deg‘𝐺)))
12		reurex 3349	. . . . . 6 ⊢ (∃!𝑞 ∈ (Poly‘𝑆)((𝐹 ∘f − (𝐺 ∘f · 𝑞)) = 0𝑝 ∨ (deg‘(𝐹 ∘f − (𝐺 ∘f · 𝑞))) < (deg‘𝐺)) → ∃𝑞 ∈ (Poly‘𝑆)((𝐹 ∘f − (𝐺 ∘f · 𝑞)) = 0𝑝 ∨ (deg‘(𝐹 ∘f − (𝐺 ∘f · 𝑞))) < (deg‘𝐺)))
13	11, 12	syl 17	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → ∃𝑞 ∈ (Poly‘𝑆)((𝐹 ∘f − (𝐺 ∘f · 𝑞)) = 0𝑝 ∨ (deg‘(𝐹 ∘f − (𝐺 ∘f · 𝑞))) < (deg‘𝐺)))
14		addcl 11118	. . . . . . 7 ⊢ ((𝑥 ∈ ℂ ∧ 𝑦 ∈ ℂ) → (𝑥 + 𝑦) ∈ ℂ)
15	14	adantl 482	. . . . . 6 ⊢ ((𝜑 ∧ (𝑥 ∈ ℂ ∧ 𝑦 ∈ ℂ)) → (𝑥 + 𝑦) ∈ ℂ)
16		mulcl 11120	. . . . . . 7 ⊢ ((𝑥 ∈ ℂ ∧ 𝑦 ∈ ℂ) → (𝑥 · 𝑦) ∈ ℂ)
17	16	adantl 482	. . . . . 6 ⊢ ((𝜑 ∧ (𝑥 ∈ ℂ ∧ 𝑦 ∈ ℂ)) → (𝑥 · 𝑦) ∈ ℂ)
18		reccl 11814	. . . . . . 7 ⊢ ((𝑥 ∈ ℂ ∧ 𝑥 ≠ 0) → (1 / 𝑥) ∈ ℂ)
19	18	adantl 482	. . . . . 6 ⊢ ((𝜑 ∧ (𝑥 ∈ ℂ ∧ 𝑥 ≠ 0)) → (1 / 𝑥) ∈ ℂ)
20		neg1cn 12142	. . . . . . 7 ⊢ -1 ∈ ℂ
21	20	a1i 11	. . . . . 6 ⊢ (𝜑 → -1 ∈ ℂ)
22		plyssc 26190	. . . . . . 7 ⊢ (Poly‘𝑆) ⊆ (Poly‘ℂ)
23	22, 1	sselid 3920	. . . . . 6 ⊢ (𝜑 → 𝐹 ∈ (Poly‘ℂ))
24	22, 2	sselid 3920	. . . . . 6 ⊢ (𝜑 → 𝐺 ∈ (Poly‘ℂ))
25	15, 17, 19, 21, 23, 24, 3, 4	plydivalg 26290	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → ∃!𝑞 ∈ (Poly‘ℂ)((𝐹 ∘f − (𝐺 ∘f · 𝑞)) = 0𝑝 ∨ (deg‘(𝐹 ∘f − (𝐺 ∘f · 𝑞))) < (deg‘𝐺)))
26		id 22	. . . . . . 7 ⊢ (((𝐹 ∘f − (𝐺 ∘f · 𝑞)) = 0𝑝 ∨ (deg‘(𝐹 ∘f − (𝐺 ∘f · 𝑞))) < (deg‘𝐺)) → ((𝐹 ∘f − (𝐺 ∘f · 𝑞)) = 0𝑝 ∨ (deg‘(𝐹 ∘f − (𝐺 ∘f · 𝑞))) < (deg‘𝐺)))
27	26	rgenw 3058	. . . . . 6 ⊢ ∀𝑞 ∈ (Poly‘𝑆)(((𝐹 ∘f − (𝐺 ∘f · 𝑞)) = 0𝑝 ∨ (deg‘(𝐹 ∘f − (𝐺 ∘f · 𝑞))) < (deg‘𝐺)) → ((𝐹 ∘f − (𝐺 ∘f · 𝑞)) = 0𝑝 ∨ (deg‘(𝐹 ∘f − (𝐺 ∘f · 𝑞))) < (deg‘𝐺)))
28		riotass2 7350	. . . . . 6 ⊢ ((((Poly‘𝑆) ⊆ (Poly‘ℂ) ∧ ∀𝑞 ∈ (Poly‘𝑆)(((𝐹 ∘f − (𝐺 ∘f · 𝑞)) = 0𝑝 ∨ (deg‘(𝐹 ∘f − (𝐺 ∘f · 𝑞))) < (deg‘𝐺)) → ((𝐹 ∘f − (𝐺 ∘f · 𝑞)) = 0𝑝 ∨ (deg‘(𝐹 ∘f − (𝐺 ∘f · 𝑞))) < (deg‘𝐺)))) ∧ (∃𝑞 ∈ (Poly‘𝑆)((𝐹 ∘f − (𝐺 ∘f · 𝑞)) = 0𝑝 ∨ (deg‘(𝐹 ∘f − (𝐺 ∘f · 𝑞))) < (deg‘𝐺)) ∧ ∃!𝑞 ∈ (Poly‘ℂ)((𝐹 ∘f − (𝐺 ∘f · 𝑞)) = 0𝑝 ∨ (deg‘(𝐹 ∘f − (𝐺 ∘f · 𝑞))) < (deg‘𝐺)))) → (℩𝑞 ∈ (Poly‘𝑆)((𝐹 ∘f − (𝐺 ∘f · 𝑞)) = 0𝑝 ∨ (deg‘(𝐹 ∘f − (𝐺 ∘f · 𝑞))) < (deg‘𝐺))) = (℩𝑞 ∈ (Poly‘ℂ)((𝐹 ∘f − (𝐺 ∘f · 𝑞)) = 0𝑝 ∨ (deg‘(𝐹 ∘f − (𝐺 ∘f · 𝑞))) < (deg‘𝐺))))
29	22, 27, 28	mpanl12 708	. . . . 5 ⊢ ((∃𝑞 ∈ (Poly‘𝑆)((𝐹 ∘f − (𝐺 ∘f · 𝑞)) = 0𝑝 ∨ (deg‘(𝐹 ∘f − (𝐺 ∘f · 𝑞))) < (deg‘𝐺)) ∧ ∃!𝑞 ∈ (Poly‘ℂ)((𝐹 ∘f − (𝐺 ∘f · 𝑞)) = 0𝑝 ∨ (deg‘(𝐹 ∘f − (𝐺 ∘f · 𝑞))) < (deg‘𝐺))) → (℩𝑞 ∈ (Poly‘𝑆)((𝐹 ∘f − (𝐺 ∘f · 𝑞)) = 0𝑝 ∨ (deg‘(𝐹 ∘f − (𝐺 ∘f · 𝑞))) < (deg‘𝐺))) = (℩𝑞 ∈ (Poly‘ℂ)((𝐹 ∘f − (𝐺 ∘f · 𝑞)) = 0𝑝 ∨ (deg‘(𝐹 ∘f − (𝐺 ∘f · 𝑞))) < (deg‘𝐺))))
30	13, 25, 29	syl2anc 590	. . . 4 ⊢ (𝜑 → (℩𝑞 ∈ (Poly‘𝑆)((𝐹 ∘f − (𝐺 ∘f · 𝑞)) = 0𝑝 ∨ (deg‘(𝐹 ∘f − (𝐺 ∘f · 𝑞))) < (deg‘𝐺))) = (℩𝑞 ∈ (Poly‘ℂ)((𝐹 ∘f − (𝐺 ∘f · 𝑞)) = 0𝑝 ∨ (deg‘(𝐹 ∘f − (𝐺 ∘f · 𝑞))) < (deg‘𝐺))))
31	6, 30	eqtr4d 2778	. . 3 ⊢ (𝜑 → (𝐹 quot 𝐺) = (℩𝑞 ∈ (Poly‘𝑆)((𝐹 ∘f − (𝐺 ∘f · 𝑞)) = 0𝑝 ∨ (deg‘(𝐹 ∘f − (𝐺 ∘f · 𝑞))) < (deg‘𝐺))))
32		riotacl2 7336	. . . 4 ⊢ (∃!𝑞 ∈ (Poly‘𝑆)((𝐹 ∘f − (𝐺 ∘f · 𝑞)) = 0𝑝 ∨ (deg‘(𝐹 ∘f − (𝐺 ∘f · 𝑞))) < (deg‘𝐺)) → (℩𝑞 ∈ (Poly‘𝑆)((𝐹 ∘f − (𝐺 ∘f · 𝑞)) = 0𝑝 ∨ (deg‘(𝐹 ∘f − (𝐺 ∘f · 𝑞))) < (deg‘𝐺))) ∈ {𝑞 ∈ (Poly‘𝑆) ∣ ((𝐹 ∘f − (𝐺 ∘f · 𝑞)) = 0𝑝 ∨ (deg‘(𝐹 ∘f − (𝐺 ∘f · 𝑞))) < (deg‘𝐺))})
33	11, 32	syl 17	. . 3 ⊢ (𝜑 → (℩𝑞 ∈ (Poly‘𝑆)((𝐹 ∘f − (𝐺 ∘f · 𝑞)) = 0𝑝 ∨ (deg‘(𝐹 ∘f − (𝐺 ∘f · 𝑞))) < (deg‘𝐺))) ∈ {𝑞 ∈ (Poly‘𝑆) ∣ ((𝐹 ∘f − (𝐺 ∘f · 𝑞)) = 0𝑝 ∨ (deg‘(𝐹 ∘f − (𝐺 ∘f · 𝑞))) < (deg‘𝐺))})
34	31, 33	eqeltrd 2840	. 2 ⊢ (𝜑 → (𝐹 quot 𝐺) ∈ {𝑞 ∈ (Poly‘𝑆) ∣ ((𝐹 ∘f − (𝐺 ∘f · 𝑞)) = 0𝑝 ∨ (deg‘(𝐹 ∘f − (𝐺 ∘f · 𝑞))) < (deg‘𝐺))})
35		oveq2 7371	. . . . . . 7 ⊢ (𝑞 = (𝐹 quot 𝐺) → (𝐺 ∘f · 𝑞) = (𝐺 ∘f · (𝐹 quot 𝐺)))
36	35	oveq2d 7379	. . . . . 6 ⊢ (𝑞 = (𝐹 quot 𝐺) → (𝐹 ∘f − (𝐺 ∘f · 𝑞)) = (𝐹 ∘f − (𝐺 ∘f · (𝐹 quot 𝐺))))
37		quotlem.8	. . . . . 6 ⊢ 𝑅 = (𝐹 ∘f − (𝐺 ∘f · (𝐹 quot 𝐺)))
38	36, 37	eqtr4di 2793	. . . . 5 ⊢ (𝑞 = (𝐹 quot 𝐺) → (𝐹 ∘f − (𝐺 ∘f · 𝑞)) = 𝑅)
39	38	eqeq1d 2742	. . . 4 ⊢ (𝑞 = (𝐹 quot 𝐺) → ((𝐹 ∘f − (𝐺 ∘f · 𝑞)) = 0𝑝 ↔ 𝑅 = 0𝑝))
40	38	fveq2d 6838	. . . . 5 ⊢ (𝑞 = (𝐹 quot 𝐺) → (deg‘(𝐹 ∘f − (𝐺 ∘f · 𝑞))) = (deg‘𝑅))
41	40	breq1d 5089	. . . 4 ⊢ (𝑞 = (𝐹 quot 𝐺) → ((deg‘(𝐹 ∘f − (𝐺 ∘f · 𝑞))) < (deg‘𝐺) ↔ (deg‘𝑅) < (deg‘𝐺)))
42	39, 41	orbi12d 924	. . 3 ⊢ (𝑞 = (𝐹 quot 𝐺) → (((𝐹 ∘f − (𝐺 ∘f · 𝑞)) = 0𝑝 ∨ (deg‘(𝐹 ∘f − (𝐺 ∘f · 𝑞))) < (deg‘𝐺)) ↔ (𝑅 = 0𝑝 ∨ (deg‘𝑅) < (deg‘𝐺))))
43	42	elrab 3636	. 2 ⊢ ((𝐹 quot 𝐺) ∈ {𝑞 ∈ (Poly‘𝑆) ∣ ((𝐹 ∘f − (𝐺 ∘f · 𝑞)) = 0𝑝 ∨ (deg‘(𝐹 ∘f − (𝐺 ∘f · 𝑞))) < (deg‘𝐺))} ↔ ((𝐹 quot 𝐺) ∈ (Poly‘𝑆) ∧ (𝑅 = 0𝑝 ∨ (deg‘𝑅) < (deg‘𝐺))))
44	34, 43	sylib 219	1 ⊢ (𝜑 → ((𝐹 quot 𝐺) ∈ (Poly‘𝑆) ∧ (𝑅 = 0𝑝 ∨ (deg‘𝑅) < (deg‘𝐺))))

Syntax hints:   → wi 4   ∧ wa 396   ∨ wo 853   = wceq 1547   ∈ wcel 2119   ≠ wne 2935  ∀wral 3054  ∃wrex 3064  ∃!wreu 3343  {crab 3392   ⊆ wss 3890   class class class wbr 5079  ‘cfv 6492  ℩crio 7319  (class class class)co 7363   ∘_f cof 7625  ℂcc 11034  0cc0 11036  1c1 11037   + caddc 11039   · cmul 11041   < clt 11177   − cmin 11375  -cneg 11376   / cdiv 11805  0_𝑝c0p 25661  Polycply 26174  degcdgr 26177   quot cquot 26281

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1802  ax-4 1816  ax-5 1917  ax-6 1974  ax-7 2015  ax-8 2121  ax-9 2129  ax-10 2152  ax-11 2168  ax-12 2189  ax-ext 2712  ax-rep 5206  ax-sep 5225  ax-nul 5235  ax-pow 5301  ax-pr 5369  ax-un 7685  ax-inf2 9560  ax-cnex 11092  ax-resscn 11093  ax-1cn 11094  ax-icn 11095  ax-addcl 11096  ax-addrcl 11097  ax-mulcl 11098  ax-mulrcl 11099  ax-mulcom 11100  ax-addass 11101  ax-mulass 11102  ax-distr 11103  ax-i2m1 11104  ax-1ne0 11105  ax-1rid 11106  ax-rnegex 11107  ax-rrecex 11108  ax-cnre 11109  ax-pre-lttri 11110  ax-pre-lttrn 11111  ax-pre-ltadd 11112  ax-pre-mulgt0 11113  ax-pre-sup 11114

This theorem depends on definitions:  df-bi 208  df-an 397  df-or 854  df-3or 1093  df-3an 1094  df-tru 1550  df-fal 1560  df-ex 1787  df-nf 1791  df-sb 2074  df-mo 2543  df-eu 2573  df-clab 2719  df-cleq 2732  df-clel 2815  df-nfc 2889  df-ne 2936  df-nel 3040  df-ral 3055  df-rex 3065  df-rmo 3345  df-reu 3346  df-rab 3393  df-v 3434  df-sbc 3731  df-csb 3839  df-dif 3893  df-un 3895  df-in 3897  df-ss 3907  df-pss 3910  df-nul 4269  df-if 4462  df-pw 4538  df-sn 4563  df-pr 4565  df-op 4569  df-uni 4846  df-int 4885  df-iun 4930  df-br 5080  df-opab 5142  df-mpt 5161  df-tr 5187  df-id 5520  df-eprel 5525  df-po 5533  df-so 5534  df-fr 5578  df-se 5579  df-we 5580  df-xp 5631  df-rel 5632  df-cnv 5633  df-co 5634  df-dm 5635  df-rn 5636  df-res 5637  df-ima 5638  df-pred 6259  df-ord 6320  df-on 6321  df-lim 6322  df-suc 6323  df-iota 6448  df-fun 6494  df-fn 6495  df-f 6496  df-f1 6497  df-fo 6498  df-f1o 6499  df-fv 6500  df-isom 6501  df-riota 7320  df-ov 7366  df-oprab 7367  df-mpo 7368  df-of 7627  df-om 7814  df-1st 7938  df-2nd 7939  df-frecs 8228  df-wrecs 8259  df-recs 8308  df-rdg 8346  df-1o 8402  df-er 8640  df-map 8772  df-pm 8773  df-en 8891  df-dom 8892  df-sdom 8893  df-fin 8894  df-sup 9352  df-inf 9353  df-oi 9422  df-card 9861  df-pnf 11179  df-mnf 11180  df-xr 11181  df-ltxr 11182  df-le 11183  df-sub 11377  df-neg 11378  df-div 11806  df-nn 12173  df-2 12242  df-3 12243  df-n0 12436  df-z 12523  df-uz 12787  df-rp 12941  df-fz 13460  df-fzo 13607  df-fl 13749  df-seq 13962  df-exp 14022  df-hash 14291  df-cj 15059  df-re 15060  df-im 15061  df-sqrt 15195  df-abs 15196  df-clim 15448  df-rlim 15449  df-sum 15647  df-0p 25662  df-ply 26178  df-coe 26180  df-dgr 26181  df-quot 26282

This theorem is referenced by:  quotcl  26292  quotdgr  26294