Theorem quotlem 26276

Description: Lemma for properties of the polynomial quotient function. (Contributed by Mario Carneiro, 26-Jul-2014.)

Hypotheses

Ref	Expression
plydiv.pl	⊢ ((𝜑 ∧ (𝑥 ∈ 𝑆 ∧ 𝑦 ∈ 𝑆)) → (𝑥 + 𝑦) ∈ 𝑆)
plydiv.tm	⊢ ((𝜑 ∧ (𝑥 ∈ 𝑆 ∧ 𝑦 ∈ 𝑆)) → (𝑥 · 𝑦) ∈ 𝑆)
plydiv.rc	⊢ ((𝜑 ∧ (𝑥 ∈ 𝑆 ∧ 𝑥 ≠ 0)) → (1 / 𝑥) ∈ 𝑆)
plydiv.m1	⊢ (𝜑 → -1 ∈ 𝑆)
plydiv.f	⊢ (𝜑 → 𝐹 ∈ (Poly‘𝑆))
plydiv.g	⊢ (𝜑 → 𝐺 ∈ (Poly‘𝑆))
plydiv.z	⊢ (𝜑 → 𝐺 ≠ 0𝑝)
quotlem.8	⊢ 𝑅 = (𝐹 ∘f − (𝐺 ∘f · (𝐹 quot 𝐺)))

Assertion

Ref	Expression
quotlem	⊢ (𝜑 → ((𝐹 quot 𝐺) ∈ (Poly‘𝑆) ∧ (𝑅 = 0𝑝 ∨ (deg‘𝑅) < (deg‘𝐺))))

Distinct variable groups:   𝑥,𝑦,𝐹   𝜑,𝑥,𝑦   𝑥,𝐺,𝑦   𝑥,𝑅,𝑦   𝑥,𝑆,𝑦

Proof of Theorem quotlem

Dummy variable 𝑞 is distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		plydiv.f	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → 𝐹 ∈ (Poly‘𝑆))
2		plydiv.g	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → 𝐺 ∈ (Poly‘𝑆))
3		plydiv.z	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → 𝐺 ≠ 0𝑝)
4		eqid 2737	. . . . . 6 ⊢ (𝐹 ∘f − (𝐺 ∘f · 𝑞)) = (𝐹 ∘f − (𝐺 ∘f · 𝑞))
5	4	quotval 26268	. . . . 5 ⊢ ((𝐹 ∈ (Poly‘𝑆) ∧ 𝐺 ∈ (Poly‘𝑆) ∧ 𝐺 ≠ 0𝑝) → (𝐹 quot 𝐺) = (℩𝑞 ∈ (Poly‘ℂ)((𝐹 ∘f − (𝐺 ∘f · 𝑞)) = 0𝑝 ∨ (deg‘(𝐹 ∘f − (𝐺 ∘f · 𝑞))) < (deg‘𝐺))))
6	1, 2, 3, 5	syl3anc 1374	. . . 4 ⊢ (𝜑 → (𝐹 quot 𝐺) = (℩𝑞 ∈ (Poly‘ℂ)((𝐹 ∘f − (𝐺 ∘f · 𝑞)) = 0𝑝 ∨ (deg‘(𝐹 ∘f − (𝐺 ∘f · 𝑞))) < (deg‘𝐺))))
7		plydiv.pl	. . . . . . 7 ⊢ ((𝜑 ∧ (𝑥 ∈ 𝑆 ∧ 𝑦 ∈ 𝑆)) → (𝑥 + 𝑦) ∈ 𝑆)
8		plydiv.tm	. . . . . . 7 ⊢ ((𝜑 ∧ (𝑥 ∈ 𝑆 ∧ 𝑦 ∈ 𝑆)) → (𝑥 · 𝑦) ∈ 𝑆)
9		plydiv.rc	. . . . . . 7 ⊢ ((𝜑 ∧ (𝑥 ∈ 𝑆 ∧ 𝑥 ≠ 0)) → (1 / 𝑥) ∈ 𝑆)
10		plydiv.m1	. . . . . . 7 ⊢ (𝜑 → -1 ∈ 𝑆)
11	7, 8, 9, 10, 1, 2, 3, 4	plydivalg 26275	. . . . . 6 ⊢ (𝜑 → ∃!𝑞 ∈ (Poly‘𝑆)((𝐹 ∘f − (𝐺 ∘f · 𝑞)) = 0𝑝 ∨ (deg‘(𝐹 ∘f − (𝐺 ∘f · 𝑞))) < (deg‘𝐺)))
12		reurex 3356	. . . . . 6 ⊢ (∃!𝑞 ∈ (Poly‘𝑆)((𝐹 ∘f − (𝐺 ∘f · 𝑞)) = 0𝑝 ∨ (deg‘(𝐹 ∘f − (𝐺 ∘f · 𝑞))) < (deg‘𝐺)) → ∃𝑞 ∈ (Poly‘𝑆)((𝐹 ∘f − (𝐺 ∘f · 𝑞)) = 0𝑝 ∨ (deg‘(𝐹 ∘f − (𝐺 ∘f · 𝑞))) < (deg‘𝐺)))
13	11, 12	syl 17	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → ∃𝑞 ∈ (Poly‘𝑆)((𝐹 ∘f − (𝐺 ∘f · 𝑞)) = 0𝑝 ∨ (deg‘(𝐹 ∘f − (𝐺 ∘f · 𝑞))) < (deg‘𝐺)))
14		addcl 11120	. . . . . . 7 ⊢ ((𝑥 ∈ ℂ ∧ 𝑦 ∈ ℂ) → (𝑥 + 𝑦) ∈ ℂ)
15	14	adantl 481	. . . . . 6 ⊢ ((𝜑 ∧ (𝑥 ∈ ℂ ∧ 𝑦 ∈ ℂ)) → (𝑥 + 𝑦) ∈ ℂ)
16		mulcl 11122	. . . . . . 7 ⊢ ((𝑥 ∈ ℂ ∧ 𝑦 ∈ ℂ) → (𝑥 · 𝑦) ∈ ℂ)
17	16	adantl 481	. . . . . 6 ⊢ ((𝜑 ∧ (𝑥 ∈ ℂ ∧ 𝑦 ∈ ℂ)) → (𝑥 · 𝑦) ∈ ℂ)
18		reccl 11815	. . . . . . 7 ⊢ ((𝑥 ∈ ℂ ∧ 𝑥 ≠ 0) → (1 / 𝑥) ∈ ℂ)
19	18	adantl 481	. . . . . 6 ⊢ ((𝜑 ∧ (𝑥 ∈ ℂ ∧ 𝑥 ≠ 0)) → (1 / 𝑥) ∈ ℂ)
20		neg1cn 12142	. . . . . . 7 ⊢ -1 ∈ ℂ
21	20	a1i 11	. . . . . 6 ⊢ (𝜑 → -1 ∈ ℂ)
22		plyssc 26173	. . . . . . 7 ⊢ (Poly‘𝑆) ⊆ (Poly‘ℂ)
23	22, 1	sselid 3933	. . . . . 6 ⊢ (𝜑 → 𝐹 ∈ (Poly‘ℂ))
24	22, 2	sselid 3933	. . . . . 6 ⊢ (𝜑 → 𝐺 ∈ (Poly‘ℂ))
25	15, 17, 19, 21, 23, 24, 3, 4	plydivalg 26275	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → ∃!𝑞 ∈ (Poly‘ℂ)((𝐹 ∘f − (𝐺 ∘f · 𝑞)) = 0𝑝 ∨ (deg‘(𝐹 ∘f − (𝐺 ∘f · 𝑞))) < (deg‘𝐺)))
26		id 22	. . . . . . 7 ⊢ (((𝐹 ∘f − (𝐺 ∘f · 𝑞)) = 0𝑝 ∨ (deg‘(𝐹 ∘f − (𝐺 ∘f · 𝑞))) < (deg‘𝐺)) → ((𝐹 ∘f − (𝐺 ∘f · 𝑞)) = 0𝑝 ∨ (deg‘(𝐹 ∘f − (𝐺 ∘f · 𝑞))) < (deg‘𝐺)))
27	26	rgenw 3056	. . . . . 6 ⊢ ∀𝑞 ∈ (Poly‘𝑆)(((𝐹 ∘f − (𝐺 ∘f · 𝑞)) = 0𝑝 ∨ (deg‘(𝐹 ∘f − (𝐺 ∘f · 𝑞))) < (deg‘𝐺)) → ((𝐹 ∘f − (𝐺 ∘f · 𝑞)) = 0𝑝 ∨ (deg‘(𝐹 ∘f − (𝐺 ∘f · 𝑞))) < (deg‘𝐺)))
28		riotass2 7355	. . . . . 6 ⊢ ((((Poly‘𝑆) ⊆ (Poly‘ℂ) ∧ ∀𝑞 ∈ (Poly‘𝑆)(((𝐹 ∘f − (𝐺 ∘f · 𝑞)) = 0𝑝 ∨ (deg‘(𝐹 ∘f − (𝐺 ∘f · 𝑞))) < (deg‘𝐺)) → ((𝐹 ∘f − (𝐺 ∘f · 𝑞)) = 0𝑝 ∨ (deg‘(𝐹 ∘f − (𝐺 ∘f · 𝑞))) < (deg‘𝐺)))) ∧ (∃𝑞 ∈ (Poly‘𝑆)((𝐹 ∘f − (𝐺 ∘f · 𝑞)) = 0𝑝 ∨ (deg‘(𝐹 ∘f − (𝐺 ∘f · 𝑞))) < (deg‘𝐺)) ∧ ∃!𝑞 ∈ (Poly‘ℂ)((𝐹 ∘f − (𝐺 ∘f · 𝑞)) = 0𝑝 ∨ (deg‘(𝐹 ∘f − (𝐺 ∘f · 𝑞))) < (deg‘𝐺)))) → (℩𝑞 ∈ (Poly‘𝑆)((𝐹 ∘f − (𝐺 ∘f · 𝑞)) = 0𝑝 ∨ (deg‘(𝐹 ∘f − (𝐺 ∘f · 𝑞))) < (deg‘𝐺))) = (℩𝑞 ∈ (Poly‘ℂ)((𝐹 ∘f − (𝐺 ∘f · 𝑞)) = 0𝑝 ∨ (deg‘(𝐹 ∘f − (𝐺 ∘f · 𝑞))) < (deg‘𝐺))))
29	22, 27, 28	mpanl12 703	. . . . 5 ⊢ ((∃𝑞 ∈ (Poly‘𝑆)((𝐹 ∘f − (𝐺 ∘f · 𝑞)) = 0𝑝 ∨ (deg‘(𝐹 ∘f − (𝐺 ∘f · 𝑞))) < (deg‘𝐺)) ∧ ∃!𝑞 ∈ (Poly‘ℂ)((𝐹 ∘f − (𝐺 ∘f · 𝑞)) = 0𝑝 ∨ (deg‘(𝐹 ∘f − (𝐺 ∘f · 𝑞))) < (deg‘𝐺))) → (℩𝑞 ∈ (Poly‘𝑆)((𝐹 ∘f − (𝐺 ∘f · 𝑞)) = 0𝑝 ∨ (deg‘(𝐹 ∘f − (𝐺 ∘f · 𝑞))) < (deg‘𝐺))) = (℩𝑞 ∈ (Poly‘ℂ)((𝐹 ∘f − (𝐺 ∘f · 𝑞)) = 0𝑝 ∨ (deg‘(𝐹 ∘f − (𝐺 ∘f · 𝑞))) < (deg‘𝐺))))
30	13, 25, 29	syl2anc 585	. . . 4 ⊢ (𝜑 → (℩𝑞 ∈ (Poly‘𝑆)((𝐹 ∘f − (𝐺 ∘f · 𝑞)) = 0𝑝 ∨ (deg‘(𝐹 ∘f − (𝐺 ∘f · 𝑞))) < (deg‘𝐺))) = (℩𝑞 ∈ (Poly‘ℂ)((𝐹 ∘f − (𝐺 ∘f · 𝑞)) = 0𝑝 ∨ (deg‘(𝐹 ∘f − (𝐺 ∘f · 𝑞))) < (deg‘𝐺))))
31	6, 30	eqtr4d 2775	. . 3 ⊢ (𝜑 → (𝐹 quot 𝐺) = (℩𝑞 ∈ (Poly‘𝑆)((𝐹 ∘f − (𝐺 ∘f · 𝑞)) = 0𝑝 ∨ (deg‘(𝐹 ∘f − (𝐺 ∘f · 𝑞))) < (deg‘𝐺))))
32		riotacl2 7341	. . . 4 ⊢ (∃!𝑞 ∈ (Poly‘𝑆)((𝐹 ∘f − (𝐺 ∘f · 𝑞)) = 0𝑝 ∨ (deg‘(𝐹 ∘f − (𝐺 ∘f · 𝑞))) < (deg‘𝐺)) → (℩𝑞 ∈ (Poly‘𝑆)((𝐹 ∘f − (𝐺 ∘f · 𝑞)) = 0𝑝 ∨ (deg‘(𝐹 ∘f − (𝐺 ∘f · 𝑞))) < (deg‘𝐺))) ∈ {𝑞 ∈ (Poly‘𝑆) ∣ ((𝐹 ∘f − (𝐺 ∘f · 𝑞)) = 0𝑝 ∨ (deg‘(𝐹 ∘f − (𝐺 ∘f · 𝑞))) < (deg‘𝐺))})
33	11, 32	syl 17	. . 3 ⊢ (𝜑 → (℩𝑞 ∈ (Poly‘𝑆)((𝐹 ∘f − (𝐺 ∘f · 𝑞)) = 0𝑝 ∨ (deg‘(𝐹 ∘f − (𝐺 ∘f · 𝑞))) < (deg‘𝐺))) ∈ {𝑞 ∈ (Poly‘𝑆) ∣ ((𝐹 ∘f − (𝐺 ∘f · 𝑞)) = 0𝑝 ∨ (deg‘(𝐹 ∘f − (𝐺 ∘f · 𝑞))) < (deg‘𝐺))})
34	31, 33	eqeltrd 2837	. 2 ⊢ (𝜑 → (𝐹 quot 𝐺) ∈ {𝑞 ∈ (Poly‘𝑆) ∣ ((𝐹 ∘f − (𝐺 ∘f · 𝑞)) = 0𝑝 ∨ (deg‘(𝐹 ∘f − (𝐺 ∘f · 𝑞))) < (deg‘𝐺))})
35		oveq2 7376	. . . . . . 7 ⊢ (𝑞 = (𝐹 quot 𝐺) → (𝐺 ∘f · 𝑞) = (𝐺 ∘f · (𝐹 quot 𝐺)))
36	35	oveq2d 7384	. . . . . 6 ⊢ (𝑞 = (𝐹 quot 𝐺) → (𝐹 ∘f − (𝐺 ∘f · 𝑞)) = (𝐹 ∘f − (𝐺 ∘f · (𝐹 quot 𝐺))))
37		quotlem.8	. . . . . 6 ⊢ 𝑅 = (𝐹 ∘f − (𝐺 ∘f · (𝐹 quot 𝐺)))
38	36, 37	eqtr4di 2790	. . . . 5 ⊢ (𝑞 = (𝐹 quot 𝐺) → (𝐹 ∘f − (𝐺 ∘f · 𝑞)) = 𝑅)
39	38	eqeq1d 2739	. . . 4 ⊢ (𝑞 = (𝐹 quot 𝐺) → ((𝐹 ∘f − (𝐺 ∘f · 𝑞)) = 0𝑝 ↔ 𝑅 = 0𝑝))
40	38	fveq2d 6846	. . . . 5 ⊢ (𝑞 = (𝐹 quot 𝐺) → (deg‘(𝐹 ∘f − (𝐺 ∘f · 𝑞))) = (deg‘𝑅))
41	40	breq1d 5110	. . . 4 ⊢ (𝑞 = (𝐹 quot 𝐺) → ((deg‘(𝐹 ∘f − (𝐺 ∘f · 𝑞))) < (deg‘𝐺) ↔ (deg‘𝑅) < (deg‘𝐺)))
42	39, 41	orbi12d 919	. . 3 ⊢ (𝑞 = (𝐹 quot 𝐺) → (((𝐹 ∘f − (𝐺 ∘f · 𝑞)) = 0𝑝 ∨ (deg‘(𝐹 ∘f − (𝐺 ∘f · 𝑞))) < (deg‘𝐺)) ↔ (𝑅 = 0𝑝 ∨ (deg‘𝑅) < (deg‘𝐺))))
43	42	elrab 3648	. 2 ⊢ ((𝐹 quot 𝐺) ∈ {𝑞 ∈ (Poly‘𝑆) ∣ ((𝐹 ∘f − (𝐺 ∘f · 𝑞)) = 0𝑝 ∨ (deg‘(𝐹 ∘f − (𝐺 ∘f · 𝑞))) < (deg‘𝐺))} ↔ ((𝐹 quot 𝐺) ∈ (Poly‘𝑆) ∧ (𝑅 = 0𝑝 ∨ (deg‘𝑅) < (deg‘𝐺))))
44	34, 43	sylib 218	1 ⊢ (𝜑 → ((𝐹 quot 𝐺) ∈ (Poly‘𝑆) ∧ (𝑅 = 0𝑝 ∨ (deg‘𝑅) < (deg‘𝐺))))

Syntax hints:   → wi 4   ∧ wa 395   ∨ wo 848   = wceq 1542   ∈ wcel 2114   ≠ wne 2933  ∀wral 3052  ∃wrex 3062  ∃!wreu 3350  {crab 3401   ⊆ wss 3903   class class class wbr 5100  ‘cfv 6500  ℩crio 7324  (class class class)co 7368   ∘_f cof 7630  ℂcc 11036  0cc0 11038  1c1 11039   + caddc 11041   · cmul 11043   < clt 11178   − cmin 11376  -cneg 11377   / cdiv 11806  0_𝑝c0p 25638  Polycply 26157  degcdgr 26160   quot cquot 26266

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1797  ax-4 1811  ax-5 1912  ax-6 1969  ax-7 2010  ax-8 2116  ax-9 2124  ax-10 2147  ax-11 2163  ax-12 2185  ax-ext 2709  ax-rep 5226  ax-sep 5243  ax-nul 5253  ax-pow 5312  ax-pr 5379  ax-un 7690  ax-inf2 9562  ax-cnex 11094  ax-resscn 11095  ax-1cn 11096  ax-icn 11097  ax-addcl 11098  ax-addrcl 11099  ax-mulcl 11100  ax-mulrcl 11101  ax-mulcom 11102  ax-addass 11103  ax-mulass 11104  ax-distr 11105  ax-i2m1 11106  ax-1ne0 11107  ax-1rid 11108  ax-rnegex 11109  ax-rrecex 11110  ax-cnre 11111  ax-pre-lttri 11112  ax-pre-lttrn 11113  ax-pre-ltadd 11114  ax-pre-mulgt0 11115  ax-pre-sup 11116

This theorem depends on definitions:  df-bi 207  df-an 396  df-or 849  df-3or 1088  df-3an 1089  df-tru 1545  df-fal 1555  df-ex 1782  df-nf 1786  df-sb 2069  df-mo 2540  df-eu 2570  df-clab 2716  df-cleq 2729  df-clel 2812  df-nfc 2886  df-ne 2934  df-nel 3038  df-ral 3053  df-rex 3063  df-rmo 3352  df-reu 3353  df-rab 3402  df-v 3444  df-sbc 3743  df-csb 3852  df-dif 3906  df-un 3908  df-in 3910  df-ss 3920  df-pss 3923  df-nul 4288  df-if 4482  df-pw 4558  df-sn 4583  df-pr 4585  df-op 4589  df-uni 4866  df-int 4905  df-iun 4950  df-br 5101  df-opab 5163  df-mpt 5182  df-tr 5208  df-id 5527  df-eprel 5532  df-po 5540  df-so 5541  df-fr 5585  df-se 5586  df-we 5587  df-xp 5638  df-rel 5639  df-cnv 5640  df-co 5641  df-dm 5642  df-rn 5643  df-res 5644  df-ima 5645  df-pred 6267  df-ord 6328  df-on 6329  df-lim 6330  df-suc 6331  df-iota 6456  df-fun 6502  df-fn 6503  df-f 6504  df-f1 6505  df-fo 6506  df-f1o 6507  df-fv 6508  df-isom 6509  df-riota 7325  df-ov 7371  df-oprab 7372  df-mpo 7373  df-of 7632  df-om 7819  df-1st 7943  df-2nd 7944  df-frecs 8233  df-wrecs 8264  df-recs 8313  df-rdg 8351  df-1o 8407  df-er 8645  df-map 8777  df-pm 8778  df-en 8896  df-dom 8897  df-sdom 8898  df-fin 8899  df-sup 9357  df-inf 9358  df-oi 9427  df-card 9863  df-pnf 11180  df-mnf 11181  df-xr 11182  df-ltxr 11183  df-le 11184  df-sub 11378  df-neg 11379  df-div 11807  df-nn 12158  df-2 12220  df-3 12221  df-n0 12414  df-z 12501  df-uz 12764  df-rp 12918  df-fz 13436  df-fzo 13583  df-fl 13724  df-seq 13937  df-exp 13997  df-hash 14266  df-cj 15034  df-re 15035  df-im 15036  df-sqrt 15170  df-abs 15171  df-clim 15423  df-rlim 15424  df-sum 15622  df-0p 25639  df-ply 26161  df-coe 26163  df-dgr 26164  df-quot 26267

This theorem is referenced by:  quotcl  26277  quotdgr  26279