Theorem pmtrdifwrdel 19599

Description: A sequence of transpositions of elements of a set without a special element corresponds to a sequence of transpositions of elements of the set. (Contributed by AV, 15-Jan-2019.)

Hypotheses

Ref	Expression
pmtrdifel.t	⊢ 𝑇 = ran (pmTrsp‘(𝑁 ∖ {𝐾}))
pmtrdifel.r	⊢ 𝑅 = ran (pmTrsp‘𝑁)

Assertion

Ref	Expression
pmtrdifwrdel	⊢ ∀𝑤 ∈ Word 𝑇∃𝑢 ∈ Word 𝑅((♯‘𝑤) = (♯‘𝑢) ∧ ∀𝑖 ∈ (0..^(♯‘𝑤))∀𝑥 ∈ (𝑁 ∖ {𝐾})((𝑤‘𝑖)‘𝑥) = ((𝑢‘𝑖)‘𝑥))

Distinct variable groups:   𝑥,𝑁   𝑥,𝑇   𝑢,𝐾   𝑖,𝑁,𝑢   𝑇,𝑖   𝑅,𝑖,𝑢   𝑤,𝑖,𝑥,𝑢

Allowed substitution hints:   𝑅(𝑥, 𝑤)   𝑇(𝑤, 𝑢)   𝐾(𝑥, 𝑤, 𝑖)   𝑁(𝑤)

Proof of Theorem pmtrdifwrdel

Dummy variables 𝑗 𝑛 are mutually distinct and distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		pmtrdifel.t	. . . 4 ⊢ 𝑇 = ran (pmTrsp‘(𝑁 ∖ {𝐾}))
2		pmtrdifel.r	. . . 4 ⊢ 𝑅 = ran (pmTrsp‘𝑁)
3		fveq2 6885	. . . . . . . 8 ⊢ (𝑗 = 𝑛 → (𝑤‘𝑗) = (𝑤‘𝑛))
4	3	difeq1d 4080	. . . . . . 7 ⊢ (𝑗 = 𝑛 → ((𝑤‘𝑗) ∖ I ) = ((𝑤‘𝑛) ∖ I ))
5	4	dmeqd 5897	. . . . . 6 ⊢ (𝑗 = 𝑛 → dom ((𝑤‘𝑗) ∖ I ) = dom ((𝑤‘𝑛) ∖ I ))
6	5	fveq2d 6889	. . . . 5 ⊢ (𝑗 = 𝑛 → ((pmTrsp‘𝑁)‘dom ((𝑤‘𝑗) ∖ I )) = ((pmTrsp‘𝑁)‘dom ((𝑤‘𝑛) ∖ I )))
7	6	cbvmptv 5217	. . . 4 ⊢ (𝑗 ∈ (0..^(♯‘𝑤)) ↦ ((pmTrsp‘𝑁)‘dom ((𝑤‘𝑗) ∖ I ))) = (𝑛 ∈ (0..^(♯‘𝑤)) ↦ ((pmTrsp‘𝑁)‘dom ((𝑤‘𝑛) ∖ I )))
8	1, 2, 7	pmtrdifwrdellem1 19595	. . 3 ⊢ (𝑤 ∈ Word 𝑇 → (𝑗 ∈ (0..^(♯‘𝑤)) ↦ ((pmTrsp‘𝑁)‘dom ((𝑤‘𝑗) ∖ I ))) ∈ Word 𝑅)
9	1, 2, 7	pmtrdifwrdellem2 19596	. . 3 ⊢ (𝑤 ∈ Word 𝑇 → (♯‘𝑤) = (♯‘(𝑗 ∈ (0..^(♯‘𝑤)) ↦ ((pmTrsp‘𝑁)‘dom ((𝑤‘𝑗) ∖ I )))))
10	1, 2, 7	pmtrdifwrdellem3 19597	. . 3 ⊢ (𝑤 ∈ Word 𝑇 → ∀𝑖 ∈ (0..^(♯‘𝑤))∀𝑥 ∈ (𝑁 ∖ {𝐾})((𝑤‘𝑖)‘𝑥) = (((𝑗 ∈ (0..^(♯‘𝑤)) ↦ ((pmTrsp‘𝑁)‘dom ((𝑤‘𝑗) ∖ I )))‘𝑖)‘𝑥))
11		fveq2 6885	. . . . . 6 ⊢ (𝑢 = (𝑗 ∈ (0..^(♯‘𝑤)) ↦ ((pmTrsp‘𝑁)‘dom ((𝑤‘𝑗) ∖ I ))) → (♯‘𝑢) = (♯‘(𝑗 ∈ (0..^(♯‘𝑤)) ↦ ((pmTrsp‘𝑁)‘dom ((𝑤‘𝑗) ∖ I )))))
12	11	eqeq2d 2776	. . . . 5 ⊢ (𝑢 = (𝑗 ∈ (0..^(♯‘𝑤)) ↦ ((pmTrsp‘𝑁)‘dom ((𝑤‘𝑗) ∖ I ))) → ((♯‘𝑤) = (♯‘𝑢) ↔ (♯‘𝑤) = (♯‘(𝑗 ∈ (0..^(♯‘𝑤)) ↦ ((pmTrsp‘𝑁)‘dom ((𝑤‘𝑗) ∖ I ))))))
13		fveq1 6884	. . . . . . . 8 ⊢ (𝑢 = (𝑗 ∈ (0..^(♯‘𝑤)) ↦ ((pmTrsp‘𝑁)‘dom ((𝑤‘𝑗) ∖ I ))) → (𝑢‘𝑖) = ((𝑗 ∈ (0..^(♯‘𝑤)) ↦ ((pmTrsp‘𝑁)‘dom ((𝑤‘𝑗) ∖ I )))‘𝑖))
14	13	fveq1d 6887	. . . . . . 7 ⊢ (𝑢 = (𝑗 ∈ (0..^(♯‘𝑤)) ↦ ((pmTrsp‘𝑁)‘dom ((𝑤‘𝑗) ∖ I ))) → ((𝑢‘𝑖)‘𝑥) = (((𝑗 ∈ (0..^(♯‘𝑤)) ↦ ((pmTrsp‘𝑁)‘dom ((𝑤‘𝑗) ∖ I )))‘𝑖)‘𝑥))
15	14	eqeq2d 2776	. . . . . 6 ⊢ (𝑢 = (𝑗 ∈ (0..^(♯‘𝑤)) ↦ ((pmTrsp‘𝑁)‘dom ((𝑤‘𝑗) ∖ I ))) → (((𝑤‘𝑖)‘𝑥) = ((𝑢‘𝑖)‘𝑥) ↔ ((𝑤‘𝑖)‘𝑥) = (((𝑗 ∈ (0..^(♯‘𝑤)) ↦ ((pmTrsp‘𝑁)‘dom ((𝑤‘𝑗) ∖ I )))‘𝑖)‘𝑥)))
16	15	2ralbidv 3231	. . . . 5 ⊢ (𝑢 = (𝑗 ∈ (0..^(♯‘𝑤)) ↦ ((pmTrsp‘𝑁)‘dom ((𝑤‘𝑗) ∖ I ))) → (∀𝑖 ∈ (0..^(♯‘𝑤))∀𝑥 ∈ (𝑁 ∖ {𝐾})((𝑤‘𝑖)‘𝑥) = ((𝑢‘𝑖)‘𝑥) ↔ ∀𝑖 ∈ (0..^(♯‘𝑤))∀𝑥 ∈ (𝑁 ∖ {𝐾})((𝑤‘𝑖)‘𝑥) = (((𝑗 ∈ (0..^(♯‘𝑤)) ↦ ((pmTrsp‘𝑁)‘dom ((𝑤‘𝑗) ∖ I )))‘𝑖)‘𝑥)))
17	12, 16	anbi12d 644	. . . 4 ⊢ (𝑢 = (𝑗 ∈ (0..^(♯‘𝑤)) ↦ ((pmTrsp‘𝑁)‘dom ((𝑤‘𝑗) ∖ I ))) → (((♯‘𝑤) = (♯‘𝑢) ∧ ∀𝑖 ∈ (0..^(♯‘𝑤))∀𝑥 ∈ (𝑁 ∖ {𝐾})((𝑤‘𝑖)‘𝑥) = ((𝑢‘𝑖)‘𝑥)) ↔ ((♯‘𝑤) = (♯‘(𝑗 ∈ (0..^(♯‘𝑤)) ↦ ((pmTrsp‘𝑁)‘dom ((𝑤‘𝑗) ∖ I )))) ∧ ∀𝑖 ∈ (0..^(♯‘𝑤))∀𝑥 ∈ (𝑁 ∖ {𝐾})((𝑤‘𝑖)‘𝑥) = (((𝑗 ∈ (0..^(♯‘𝑤)) ↦ ((pmTrsp‘𝑁)‘dom ((𝑤‘𝑗) ∖ I )))‘𝑖)‘𝑥))))
18	17	rspcev 3583	. . 3 ⊢ (((𝑗 ∈ (0..^(♯‘𝑤)) ↦ ((pmTrsp‘𝑁)‘dom ((𝑤‘𝑗) ∖ I ))) ∈ Word 𝑅 ∧ ((♯‘𝑤) = (♯‘(𝑗 ∈ (0..^(♯‘𝑤)) ↦ ((pmTrsp‘𝑁)‘dom ((𝑤‘𝑗) ∖ I )))) ∧ ∀𝑖 ∈ (0..^(♯‘𝑤))∀𝑥 ∈ (𝑁 ∖ {𝐾})((𝑤‘𝑖)‘𝑥) = (((𝑗 ∈ (0..^(♯‘𝑤)) ↦ ((pmTrsp‘𝑁)‘dom ((𝑤‘𝑗) ∖ I )))‘𝑖)‘𝑥))) → ∃𝑢 ∈ Word 𝑅((♯‘𝑤) = (♯‘𝑢) ∧ ∀𝑖 ∈ (0..^(♯‘𝑤))∀𝑥 ∈ (𝑁 ∖ {𝐾})((𝑤‘𝑖)‘𝑥) = ((𝑢‘𝑖)‘𝑥)))
19	8, 9, 10, 18	syl12anc 850	. 2 ⊢ (𝑤 ∈ Word 𝑇 → ∃𝑢 ∈ Word 𝑅((♯‘𝑤) = (♯‘𝑢) ∧ ∀𝑖 ∈ (0..^(♯‘𝑤))∀𝑥 ∈ (𝑁 ∖ {𝐾})((𝑤‘𝑖)‘𝑥) = ((𝑢‘𝑖)‘𝑥)))
20	19	rgen 3083	1 ⊢ ∀𝑤 ∈ Word 𝑇∃𝑢 ∈ Word 𝑅((♯‘𝑤) = (♯‘𝑢) ∧ ∀𝑖 ∈ (0..^(♯‘𝑤))∀𝑥 ∈ (𝑁 ∖ {𝐾})((𝑤‘𝑖)‘𝑥) = ((𝑢‘𝑖)‘𝑥))

This proof depends on syntax axioms:   ∧ wa 401   = wceq 1570   ∈ wcel 2146  ∀wral 3081  ∃wrex 3091   ∖ cdif 3903  {csn 4591   ↦ cmpt 5194   I cid 5557  dom cdm 5663  ran crn 5664  ‘cfv 6540  (class class class)co 7419  0cc0 11115  ..^cfzo 13699  ♯chash 14384  Word cword 14568  pmTrspcpmtr 19555

This proof depends on axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1828  ax-4 1842  ax-5 1943  ax-6 2000  ax-7 2041  ax-8 2148  ax-9 2156  ax-10 2179  ax-11 2195  ax-12 2216  ax-ext 2737  ax-rep 5240  ax-sep 5259  ax-nul 5271  ax-pow 5338  ax-pr 5406  ax-un 7742  ax-cnex 11171  ax-resscn 11172  ax-1cn 11173  ax-icn 11174  ax-addcl 11175  ax-addrcl 11176  ax-mulcl 11177  ax-mulrcl 11178  ax-mulcom 11179  ax-addass 11180  ax-mulass 11181  ax-distr 11182  ax-i2m1 11183  ax-1ne0 11184  ax-1rid 11185  ax-rnegex 11186  ax-rrecex 11187  ax-cnre 11188  ax-pre-lttri 11189  ax-pre-lttrn 11190  ax-pre-ltadd 11191  ax-pre-mulgt0 11192

This proof depends on definitions:  df-bi 210  df-an 402  df-or 862  df-3or 1104  df-3an 1105  df-tru 1573  df-fal 1583  df-ex 1813  df-nf 1817  df-sb 2100  df-mo 2569  df-eu 2599  df-clab 2744  df-cleq 2757  df-clel 2840  df-nfc 2914  df-ne 2961  df-nel 3067  df-ral 3082  df-rex 3092  df-reu 3372  df-rab 3419  df-v 3459  df-sbc 3747  df-csb 3855  df-dif 3909  df-un 3911  df-in 3913  df-ss 3923  df-pss 3926  df-nul 4287  df-if 4490  df-pw 4566  df-sn 4592  df-pr 4594  df-op 4598  df-uni 4875  df-int 4915  df-iun 4960  df-br 5112  df-opab 5176  df-mpt 5195  df-tr 5221  df-id 5558  df-eprel 5563  df-po 5571  df-so 5572  df-fr 5616  df-we 5618  df-xp 5669  df-rel 5670  df-cnv 5671  df-co 5672  df-dm 5673  df-rn 5674  df-res 5675  df-ima 5676  df-pred 6306  df-ord 6367  df-on 6368  df-lim 6369  df-suc 6370  df-iota 6496  df-fun 6542  df-fn 6543  df-f 6544  df-f1 6545  df-fo 6546  df-f1o 6547  df-fv 6548  df-riota 7376  df-ov 7422  df-oprab 7423  df-mpo 7424  df-om 7869  df-1st 7992  df-2nd 7993  df-frecs 8284  df-wrecs 8315  df-recs 8364  df-rdg 8403  df-1o 8459  df-2o 8460  df-er 8700  df-en 8950  df-dom 8951  df-sdom 8952  df-fin 8953  df-card 9941  df-pnf 11260  df-mnf 11261  df-xr 11262  df-ltxr 11263  df-le 11264  df-sub 11458  df-neg 11459  df-nn 12249  df-n0 12520  df-z 12607  df-uz 12879  df-fz 13552  df-fzo 13700  df-hash 14385  df-word 14569  df-pmtr 19556

This theorem is used by: (None)