Theorem pmtrdifwrdel 19397

Description: A sequence of transpositions of elements of a set without a special element corresponds to a sequence of transpositions of elements of the set. (Contributed by AV, 15-Jan-2019.)

Hypotheses

Ref	Expression
pmtrdifel.t	⊢ 𝑇 = ran (pmTrsp‘(𝑁 ∖ {𝐾}))
pmtrdifel.r	⊢ 𝑅 = ran (pmTrsp‘𝑁)

Assertion

Ref	Expression
pmtrdifwrdel	⊢ ∀𝑤 ∈ Word 𝑇∃𝑢 ∈ Word 𝑅((♯‘𝑤) = (♯‘𝑢) ∧ ∀𝑖 ∈ (0..^(♯‘𝑤))∀𝑥 ∈ (𝑁 ∖ {𝐾})((𝑤‘𝑖)‘𝑥) = ((𝑢‘𝑖)‘𝑥))

Distinct variable groups:   𝑥,𝑁   𝑥,𝑇   𝑢,𝐾   𝑖,𝑁,𝑢   𝑇,𝑖   𝑅,𝑖,𝑢   𝑤,𝑖,𝑥,𝑢

Allowed substitution hints:   𝑅(𝑥,𝑤)   𝑇(𝑤,𝑢)   𝐾(𝑥,𝑤,𝑖)   𝑁(𝑤)

Proof of Theorem pmtrdifwrdel

Dummy variables 𝑗 𝑛 are mutually distinct and distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		pmtrdifel.t	. . . 4 ⊢ 𝑇 = ran (pmTrsp‘(𝑁 ∖ {𝐾}))
2		pmtrdifel.r	. . . 4 ⊢ 𝑅 = ran (pmTrsp‘𝑁)
3		fveq2 6822	. . . . . . . 8 ⊢ (𝑗 = 𝑛 → (𝑤‘𝑗) = (𝑤‘𝑛))
4	3	difeq1d 4072	. . . . . . 7 ⊢ (𝑗 = 𝑛 → ((𝑤‘𝑗) ∖ I ) = ((𝑤‘𝑛) ∖ I ))
5	4	dmeqd 5844	. . . . . 6 ⊢ (𝑗 = 𝑛 → dom ((𝑤‘𝑗) ∖ I ) = dom ((𝑤‘𝑛) ∖ I ))
6	5	fveq2d 6826	. . . . 5 ⊢ (𝑗 = 𝑛 → ((pmTrsp‘𝑁)‘dom ((𝑤‘𝑗) ∖ I )) = ((pmTrsp‘𝑁)‘dom ((𝑤‘𝑛) ∖ I )))
7	6	cbvmptv 5193	. . . 4 ⊢ (𝑗 ∈ (0..^(♯‘𝑤)) ↦ ((pmTrsp‘𝑁)‘dom ((𝑤‘𝑗) ∖ I ))) = (𝑛 ∈ (0..^(♯‘𝑤)) ↦ ((pmTrsp‘𝑁)‘dom ((𝑤‘𝑛) ∖ I )))
8	1, 2, 7	pmtrdifwrdellem1 19393	. . 3 ⊢ (𝑤 ∈ Word 𝑇 → (𝑗 ∈ (0..^(♯‘𝑤)) ↦ ((pmTrsp‘𝑁)‘dom ((𝑤‘𝑗) ∖ I ))) ∈ Word 𝑅)
9	1, 2, 7	pmtrdifwrdellem2 19394	. . 3 ⊢ (𝑤 ∈ Word 𝑇 → (♯‘𝑤) = (♯‘(𝑗 ∈ (0..^(♯‘𝑤)) ↦ ((pmTrsp‘𝑁)‘dom ((𝑤‘𝑗) ∖ I )))))
10	1, 2, 7	pmtrdifwrdellem3 19395	. . 3 ⊢ (𝑤 ∈ Word 𝑇 → ∀𝑖 ∈ (0..^(♯‘𝑤))∀𝑥 ∈ (𝑁 ∖ {𝐾})((𝑤‘𝑖)‘𝑥) = (((𝑗 ∈ (0..^(♯‘𝑤)) ↦ ((pmTrsp‘𝑁)‘dom ((𝑤‘𝑗) ∖ I )))‘𝑖)‘𝑥))
11		fveq2 6822	. . . . . 6 ⊢ (𝑢 = (𝑗 ∈ (0..^(♯‘𝑤)) ↦ ((pmTrsp‘𝑁)‘dom ((𝑤‘𝑗) ∖ I ))) → (♯‘𝑢) = (♯‘(𝑗 ∈ (0..^(♯‘𝑤)) ↦ ((pmTrsp‘𝑁)‘dom ((𝑤‘𝑗) ∖ I )))))
12	11	eqeq2d 2742	. . . . 5 ⊢ (𝑢 = (𝑗 ∈ (0..^(♯‘𝑤)) ↦ ((pmTrsp‘𝑁)‘dom ((𝑤‘𝑗) ∖ I ))) → ((♯‘𝑤) = (♯‘𝑢) ↔ (♯‘𝑤) = (♯‘(𝑗 ∈ (0..^(♯‘𝑤)) ↦ ((pmTrsp‘𝑁)‘dom ((𝑤‘𝑗) ∖ I ))))))
13		fveq1 6821	. . . . . . . 8 ⊢ (𝑢 = (𝑗 ∈ (0..^(♯‘𝑤)) ↦ ((pmTrsp‘𝑁)‘dom ((𝑤‘𝑗) ∖ I ))) → (𝑢‘𝑖) = ((𝑗 ∈ (0..^(♯‘𝑤)) ↦ ((pmTrsp‘𝑁)‘dom ((𝑤‘𝑗) ∖ I )))‘𝑖))
14	13	fveq1d 6824	. . . . . . 7 ⊢ (𝑢 = (𝑗 ∈ (0..^(♯‘𝑤)) ↦ ((pmTrsp‘𝑁)‘dom ((𝑤‘𝑗) ∖ I ))) → ((𝑢‘𝑖)‘𝑥) = (((𝑗 ∈ (0..^(♯‘𝑤)) ↦ ((pmTrsp‘𝑁)‘dom ((𝑤‘𝑗) ∖ I )))‘𝑖)‘𝑥))
15	14	eqeq2d 2742	. . . . . 6 ⊢ (𝑢 = (𝑗 ∈ (0..^(♯‘𝑤)) ↦ ((pmTrsp‘𝑁)‘dom ((𝑤‘𝑗) ∖ I ))) → (((𝑤‘𝑖)‘𝑥) = ((𝑢‘𝑖)‘𝑥) ↔ ((𝑤‘𝑖)‘𝑥) = (((𝑗 ∈ (0..^(♯‘𝑤)) ↦ ((pmTrsp‘𝑁)‘dom ((𝑤‘𝑗) ∖ I )))‘𝑖)‘𝑥)))
16	15	2ralbidv 3196	. . . . 5 ⊢ (𝑢 = (𝑗 ∈ (0..^(♯‘𝑤)) ↦ ((pmTrsp‘𝑁)‘dom ((𝑤‘𝑗) ∖ I ))) → (∀𝑖 ∈ (0..^(♯‘𝑤))∀𝑥 ∈ (𝑁 ∖ {𝐾})((𝑤‘𝑖)‘𝑥) = ((𝑢‘𝑖)‘𝑥) ↔ ∀𝑖 ∈ (0..^(♯‘𝑤))∀𝑥 ∈ (𝑁 ∖ {𝐾})((𝑤‘𝑖)‘𝑥) = (((𝑗 ∈ (0..^(♯‘𝑤)) ↦ ((pmTrsp‘𝑁)‘dom ((𝑤‘𝑗) ∖ I )))‘𝑖)‘𝑥)))
17	12, 16	anbi12d 632	. . . 4 ⊢ (𝑢 = (𝑗 ∈ (0..^(♯‘𝑤)) ↦ ((pmTrsp‘𝑁)‘dom ((𝑤‘𝑗) ∖ I ))) → (((♯‘𝑤) = (♯‘𝑢) ∧ ∀𝑖 ∈ (0..^(♯‘𝑤))∀𝑥 ∈ (𝑁 ∖ {𝐾})((𝑤‘𝑖)‘𝑥) = ((𝑢‘𝑖)‘𝑥)) ↔ ((♯‘𝑤) = (♯‘(𝑗 ∈ (0..^(♯‘𝑤)) ↦ ((pmTrsp‘𝑁)‘dom ((𝑤‘𝑗) ∖ I )))) ∧ ∀𝑖 ∈ (0..^(♯‘𝑤))∀𝑥 ∈ (𝑁 ∖ {𝐾})((𝑤‘𝑖)‘𝑥) = (((𝑗 ∈ (0..^(♯‘𝑤)) ↦ ((pmTrsp‘𝑁)‘dom ((𝑤‘𝑗) ∖ I )))‘𝑖)‘𝑥))))
18	17	rspcev 3572	. . 3 ⊢ (((𝑗 ∈ (0..^(♯‘𝑤)) ↦ ((pmTrsp‘𝑁)‘dom ((𝑤‘𝑗) ∖ I ))) ∈ Word 𝑅 ∧ ((♯‘𝑤) = (♯‘(𝑗 ∈ (0..^(♯‘𝑤)) ↦ ((pmTrsp‘𝑁)‘dom ((𝑤‘𝑗) ∖ I )))) ∧ ∀𝑖 ∈ (0..^(♯‘𝑤))∀𝑥 ∈ (𝑁 ∖ {𝐾})((𝑤‘𝑖)‘𝑥) = (((𝑗 ∈ (0..^(♯‘𝑤)) ↦ ((pmTrsp‘𝑁)‘dom ((𝑤‘𝑗) ∖ I )))‘𝑖)‘𝑥))) → ∃𝑢 ∈ Word 𝑅((♯‘𝑤) = (♯‘𝑢) ∧ ∀𝑖 ∈ (0..^(♯‘𝑤))∀𝑥 ∈ (𝑁 ∖ {𝐾})((𝑤‘𝑖)‘𝑥) = ((𝑢‘𝑖)‘𝑥)))
19	8, 9, 10, 18	syl12anc 836	. 2 ⊢ (𝑤 ∈ Word 𝑇 → ∃𝑢 ∈ Word 𝑅((♯‘𝑤) = (♯‘𝑢) ∧ ∀𝑖 ∈ (0..^(♯‘𝑤))∀𝑥 ∈ (𝑁 ∖ {𝐾})((𝑤‘𝑖)‘𝑥) = ((𝑢‘𝑖)‘𝑥)))
20	19	rgen 3049	1 ⊢ ∀𝑤 ∈ Word 𝑇∃𝑢 ∈ Word 𝑅((♯‘𝑤) = (♯‘𝑢) ∧ ∀𝑖 ∈ (0..^(♯‘𝑤))∀𝑥 ∈ (𝑁 ∖ {𝐾})((𝑤‘𝑖)‘𝑥) = ((𝑢‘𝑖)‘𝑥))

Syntax hints:   ∧ wa 395   = wceq 1541   ∈ wcel 2111  ∀wral 3047  ∃wrex 3056   ∖ cdif 3894  {csn 4573   ↦ cmpt 5170   I cid 5508  dom cdm 5614  ran crn 5615  ‘cfv 6481  (class class class)co 7346  0cc0 11006  ..^cfzo 13554  ♯chash 14237  Word cword 14420  pmTrspcpmtr 19353

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1796  ax-4 1810  ax-5 1911  ax-6 1968  ax-7 2009  ax-8 2113  ax-9 2121  ax-10 2144  ax-11 2160  ax-12 2180  ax-ext 2703  ax-rep 5215  ax-sep 5232  ax-nul 5242  ax-pow 5301  ax-pr 5368  ax-un 7668  ax-cnex 11062  ax-resscn 11063  ax-1cn 11064  ax-icn 11065  ax-addcl 11066  ax-addrcl 11067  ax-mulcl 11068  ax-mulrcl 11069  ax-mulcom 11070  ax-addass 11071  ax-mulass 11072  ax-distr 11073  ax-i2m1 11074  ax-1ne0 11075  ax-1rid 11076  ax-rnegex 11077  ax-rrecex 11078  ax-cnre 11079  ax-pre-lttri 11080  ax-pre-lttrn 11081  ax-pre-ltadd 11082  ax-pre-mulgt0 11083

This theorem depends on definitions:  df-bi 207  df-an 396  df-or 848  df-3or 1087  df-3an 1088  df-tru 1544  df-fal 1554  df-ex 1781  df-nf 1785  df-sb 2068  df-mo 2535  df-eu 2564  df-clab 2710  df-cleq 2723  df-clel 2806  df-nfc 2881  df-ne 2929  df-nel 3033  df-ral 3048  df-rex 3057  df-reu 3347  df-rab 3396  df-v 3438  df-sbc 3737  df-csb 3846  df-dif 3900  df-un 3902  df-in 3904  df-ss 3914  df-pss 3917  df-nul 4281  df-if 4473  df-pw 4549  df-sn 4574  df-pr 4576  df-op 4580  df-uni 4857  df-int 4896  df-iun 4941  df-br 5090  df-opab 5152  df-mpt 5171  df-tr 5197  df-id 5509  df-eprel 5514  df-po 5522  df-so 5523  df-fr 5567  df-we 5569  df-xp 5620  df-rel 5621  df-cnv 5622  df-co 5623  df-dm 5624  df-rn 5625  df-res 5626  df-ima 5627  df-pred 6248  df-ord 6309  df-on 6310  df-lim 6311  df-suc 6312  df-iota 6437  df-fun 6483  df-fn 6484  df-f 6485  df-f1 6486  df-fo 6487  df-f1o 6488  df-fv 6489  df-riota 7303  df-ov 7349  df-oprab 7350  df-mpo 7351  df-om 7797  df-1st 7921  df-2nd 7922  df-frecs 8211  df-wrecs 8242  df-recs 8291  df-rdg 8329  df-1o 8385  df-2o 8386  df-er 8622  df-en 8870  df-dom 8871  df-sdom 8872  df-fin 8873  df-card 9832  df-pnf 11148  df-mnf 11149  df-xr 11150  df-ltxr 11151  df-le 11152  df-sub 11346  df-neg 11347  df-nn 12126  df-n0 12382  df-z 12469  df-uz 12733  df-fz 13408  df-fzo 13555  df-hash 14238  df-word 14421  df-pmtr 19354

This theorem is referenced by: (None)