Theorem pmtrdifwrdel 19471

Description: A sequence of transpositions of elements of a set without a special element corresponds to a sequence of transpositions of elements of the set. (Contributed by AV, 15-Jan-2019.)

Hypotheses

Ref	Expression
pmtrdifel.t	⊢ 𝑇 = ran (pmTrsp‘(𝑁 ∖ {𝐾}))
pmtrdifel.r	⊢ 𝑅 = ran (pmTrsp‘𝑁)

Assertion

Ref	Expression
pmtrdifwrdel	⊢ ∀𝑤 ∈ Word 𝑇∃𝑢 ∈ Word 𝑅((♯‘𝑤) = (♯‘𝑢) ∧ ∀𝑖 ∈ (0..^(♯‘𝑤))∀𝑥 ∈ (𝑁 ∖ {𝐾})((𝑤‘𝑖)‘𝑥) = ((𝑢‘𝑖)‘𝑥))

Distinct variable groups:   𝑥,𝑁   𝑥,𝑇   𝑢,𝐾   𝑖,𝑁,𝑢   𝑇,𝑖   𝑅,𝑖,𝑢   𝑤,𝑖,𝑥,𝑢

Allowed substitution hints:   𝑅(𝑥,𝑤)   𝑇(𝑤,𝑢)   𝐾(𝑥,𝑤,𝑖)   𝑁(𝑤)

Proof of Theorem pmtrdifwrdel

Dummy variables 𝑗 𝑛 are mutually distinct and distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		pmtrdifel.t	. . . 4 ⊢ 𝑇 = ran (pmTrsp‘(𝑁 ∖ {𝐾}))
2		pmtrdifel.r	. . . 4 ⊢ 𝑅 = ran (pmTrsp‘𝑁)
3		fveq2 6881	. . . . . . . 8 ⊢ (𝑗 = 𝑛 → (𝑤‘𝑗) = (𝑤‘𝑛))
4	3	difeq1d 4105	. . . . . . 7 ⊢ (𝑗 = 𝑛 → ((𝑤‘𝑗) ∖ I ) = ((𝑤‘𝑛) ∖ I ))
5	4	dmeqd 5890	. . . . . 6 ⊢ (𝑗 = 𝑛 → dom ((𝑤‘𝑗) ∖ I ) = dom ((𝑤‘𝑛) ∖ I ))
6	5	fveq2d 6885	. . . . 5 ⊢ (𝑗 = 𝑛 → ((pmTrsp‘𝑁)‘dom ((𝑤‘𝑗) ∖ I )) = ((pmTrsp‘𝑁)‘dom ((𝑤‘𝑛) ∖ I )))
7	6	cbvmptv 5230	. . . 4 ⊢ (𝑗 ∈ (0..^(♯‘𝑤)) ↦ ((pmTrsp‘𝑁)‘dom ((𝑤‘𝑗) ∖ I ))) = (𝑛 ∈ (0..^(♯‘𝑤)) ↦ ((pmTrsp‘𝑁)‘dom ((𝑤‘𝑛) ∖ I )))
8	1, 2, 7	pmtrdifwrdellem1 19467	. . 3 ⊢ (𝑤 ∈ Word 𝑇 → (𝑗 ∈ (0..^(♯‘𝑤)) ↦ ((pmTrsp‘𝑁)‘dom ((𝑤‘𝑗) ∖ I ))) ∈ Word 𝑅)
9	1, 2, 7	pmtrdifwrdellem2 19468	. . 3 ⊢ (𝑤 ∈ Word 𝑇 → (♯‘𝑤) = (♯‘(𝑗 ∈ (0..^(♯‘𝑤)) ↦ ((pmTrsp‘𝑁)‘dom ((𝑤‘𝑗) ∖ I )))))
10	1, 2, 7	pmtrdifwrdellem3 19469	. . 3 ⊢ (𝑤 ∈ Word 𝑇 → ∀𝑖 ∈ (0..^(♯‘𝑤))∀𝑥 ∈ (𝑁 ∖ {𝐾})((𝑤‘𝑖)‘𝑥) = (((𝑗 ∈ (0..^(♯‘𝑤)) ↦ ((pmTrsp‘𝑁)‘dom ((𝑤‘𝑗) ∖ I )))‘𝑖)‘𝑥))
11		fveq2 6881	. . . . . 6 ⊢ (𝑢 = (𝑗 ∈ (0..^(♯‘𝑤)) ↦ ((pmTrsp‘𝑁)‘dom ((𝑤‘𝑗) ∖ I ))) → (♯‘𝑢) = (♯‘(𝑗 ∈ (0..^(♯‘𝑤)) ↦ ((pmTrsp‘𝑁)‘dom ((𝑤‘𝑗) ∖ I )))))
12	11	eqeq2d 2747	. . . . 5 ⊢ (𝑢 = (𝑗 ∈ (0..^(♯‘𝑤)) ↦ ((pmTrsp‘𝑁)‘dom ((𝑤‘𝑗) ∖ I ))) → ((♯‘𝑤) = (♯‘𝑢) ↔ (♯‘𝑤) = (♯‘(𝑗 ∈ (0..^(♯‘𝑤)) ↦ ((pmTrsp‘𝑁)‘dom ((𝑤‘𝑗) ∖ I ))))))
13		fveq1 6880	. . . . . . . 8 ⊢ (𝑢 = (𝑗 ∈ (0..^(♯‘𝑤)) ↦ ((pmTrsp‘𝑁)‘dom ((𝑤‘𝑗) ∖ I ))) → (𝑢‘𝑖) = ((𝑗 ∈ (0..^(♯‘𝑤)) ↦ ((pmTrsp‘𝑁)‘dom ((𝑤‘𝑗) ∖ I )))‘𝑖))
14	13	fveq1d 6883	. . . . . . 7 ⊢ (𝑢 = (𝑗 ∈ (0..^(♯‘𝑤)) ↦ ((pmTrsp‘𝑁)‘dom ((𝑤‘𝑗) ∖ I ))) → ((𝑢‘𝑖)‘𝑥) = (((𝑗 ∈ (0..^(♯‘𝑤)) ↦ ((pmTrsp‘𝑁)‘dom ((𝑤‘𝑗) ∖ I )))‘𝑖)‘𝑥))
15	14	eqeq2d 2747	. . . . . 6 ⊢ (𝑢 = (𝑗 ∈ (0..^(♯‘𝑤)) ↦ ((pmTrsp‘𝑁)‘dom ((𝑤‘𝑗) ∖ I ))) → (((𝑤‘𝑖)‘𝑥) = ((𝑢‘𝑖)‘𝑥) ↔ ((𝑤‘𝑖)‘𝑥) = (((𝑗 ∈ (0..^(♯‘𝑤)) ↦ ((pmTrsp‘𝑁)‘dom ((𝑤‘𝑗) ∖ I )))‘𝑖)‘𝑥)))
16	15	2ralbidv 3209	. . . . 5 ⊢ (𝑢 = (𝑗 ∈ (0..^(♯‘𝑤)) ↦ ((pmTrsp‘𝑁)‘dom ((𝑤‘𝑗) ∖ I ))) → (∀𝑖 ∈ (0..^(♯‘𝑤))∀𝑥 ∈ (𝑁 ∖ {𝐾})((𝑤‘𝑖)‘𝑥) = ((𝑢‘𝑖)‘𝑥) ↔ ∀𝑖 ∈ (0..^(♯‘𝑤))∀𝑥 ∈ (𝑁 ∖ {𝐾})((𝑤‘𝑖)‘𝑥) = (((𝑗 ∈ (0..^(♯‘𝑤)) ↦ ((pmTrsp‘𝑁)‘dom ((𝑤‘𝑗) ∖ I )))‘𝑖)‘𝑥)))
17	12, 16	anbi12d 632	. . . 4 ⊢ (𝑢 = (𝑗 ∈ (0..^(♯‘𝑤)) ↦ ((pmTrsp‘𝑁)‘dom ((𝑤‘𝑗) ∖ I ))) → (((♯‘𝑤) = (♯‘𝑢) ∧ ∀𝑖 ∈ (0..^(♯‘𝑤))∀𝑥 ∈ (𝑁 ∖ {𝐾})((𝑤‘𝑖)‘𝑥) = ((𝑢‘𝑖)‘𝑥)) ↔ ((♯‘𝑤) = (♯‘(𝑗 ∈ (0..^(♯‘𝑤)) ↦ ((pmTrsp‘𝑁)‘dom ((𝑤‘𝑗) ∖ I )))) ∧ ∀𝑖 ∈ (0..^(♯‘𝑤))∀𝑥 ∈ (𝑁 ∖ {𝐾})((𝑤‘𝑖)‘𝑥) = (((𝑗 ∈ (0..^(♯‘𝑤)) ↦ ((pmTrsp‘𝑁)‘dom ((𝑤‘𝑗) ∖ I )))‘𝑖)‘𝑥))))
18	17	rspcev 3606	. . 3 ⊢ (((𝑗 ∈ (0..^(♯‘𝑤)) ↦ ((pmTrsp‘𝑁)‘dom ((𝑤‘𝑗) ∖ I ))) ∈ Word 𝑅 ∧ ((♯‘𝑤) = (♯‘(𝑗 ∈ (0..^(♯‘𝑤)) ↦ ((pmTrsp‘𝑁)‘dom ((𝑤‘𝑗) ∖ I )))) ∧ ∀𝑖 ∈ (0..^(♯‘𝑤))∀𝑥 ∈ (𝑁 ∖ {𝐾})((𝑤‘𝑖)‘𝑥) = (((𝑗 ∈ (0..^(♯‘𝑤)) ↦ ((pmTrsp‘𝑁)‘dom ((𝑤‘𝑗) ∖ I )))‘𝑖)‘𝑥))) → ∃𝑢 ∈ Word 𝑅((♯‘𝑤) = (♯‘𝑢) ∧ ∀𝑖 ∈ (0..^(♯‘𝑤))∀𝑥 ∈ (𝑁 ∖ {𝐾})((𝑤‘𝑖)‘𝑥) = ((𝑢‘𝑖)‘𝑥)))
19	8, 9, 10, 18	syl12anc 836	. 2 ⊢ (𝑤 ∈ Word 𝑇 → ∃𝑢 ∈ Word 𝑅((♯‘𝑤) = (♯‘𝑢) ∧ ∀𝑖 ∈ (0..^(♯‘𝑤))∀𝑥 ∈ (𝑁 ∖ {𝐾})((𝑤‘𝑖)‘𝑥) = ((𝑢‘𝑖)‘𝑥)))
20	19	rgen 3054	1 ⊢ ∀𝑤 ∈ Word 𝑇∃𝑢 ∈ Word 𝑅((♯‘𝑤) = (♯‘𝑢) ∧ ∀𝑖 ∈ (0..^(♯‘𝑤))∀𝑥 ∈ (𝑁 ∖ {𝐾})((𝑤‘𝑖)‘𝑥) = ((𝑢‘𝑖)‘𝑥))

Syntax hints:   ∧ wa 395   = wceq 1540   ∈ wcel 2109  ∀wral 3052  ∃wrex 3061   ∖ cdif 3928  {csn 4606   ↦ cmpt 5206   I cid 5552  dom cdm 5659  ran crn 5660  ‘cfv 6536  (class class class)co 7410  0cc0 11134  ..^cfzo 13676  ♯chash 14353  Word cword 14536  pmTrspcpmtr 19427

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1795  ax-4 1809  ax-5 1910  ax-6 1967  ax-7 2008  ax-8 2111  ax-9 2119  ax-10 2142  ax-11 2158  ax-12 2178  ax-ext 2708  ax-rep 5254  ax-sep 5271  ax-nul 5281  ax-pow 5340  ax-pr 5407  ax-un 7734  ax-cnex 11190  ax-resscn 11191  ax-1cn 11192  ax-icn 11193  ax-addcl 11194  ax-addrcl 11195  ax-mulcl 11196  ax-mulrcl 11197  ax-mulcom 11198  ax-addass 11199  ax-mulass 11200  ax-distr 11201  ax-i2m1 11202  ax-1ne0 11203  ax-1rid 11204  ax-rnegex 11205  ax-rrecex 11206  ax-cnre 11207  ax-pre-lttri 11208  ax-pre-lttrn 11209  ax-pre-ltadd 11210  ax-pre-mulgt0 11211

This theorem depends on definitions:  df-bi 207  df-an 396  df-or 848  df-3or 1087  df-3an 1088  df-tru 1543  df-fal 1553  df-ex 1780  df-nf 1784  df-sb 2066  df-mo 2540  df-eu 2569  df-clab 2715  df-cleq 2728  df-clel 2810  df-nfc 2886  df-ne 2934  df-nel 3038  df-ral 3053  df-rex 3062  df-reu 3365  df-rab 3421  df-v 3466  df-sbc 3771  df-csb 3880  df-dif 3934  df-un 3936  df-in 3938  df-ss 3948  df-pss 3951  df-nul 4314  df-if 4506  df-pw 4582  df-sn 4607  df-pr 4609  df-op 4613  df-uni 4889  df-int 4928  df-iun 4974  df-br 5125  df-opab 5187  df-mpt 5207  df-tr 5235  df-id 5553  df-eprel 5558  df-po 5566  df-so 5567  df-fr 5611  df-we 5613  df-xp 5665  df-rel 5666  df-cnv 5667  df-co 5668  df-dm 5669  df-rn 5670  df-res 5671  df-ima 5672  df-pred 6295  df-ord 6360  df-on 6361  df-lim 6362  df-suc 6363  df-iota 6489  df-fun 6538  df-fn 6539  df-f 6540  df-f1 6541  df-fo 6542  df-f1o 6543  df-fv 6544  df-riota 7367  df-ov 7413  df-oprab 7414  df-mpo 7415  df-om 7867  df-1st 7993  df-2nd 7994  df-frecs 8285  df-wrecs 8316  df-recs 8390  df-rdg 8429  df-1o 8485  df-2o 8486  df-er 8724  df-en 8965  df-dom 8966  df-sdom 8967  df-fin 8968  df-card 9958  df-pnf 11276  df-mnf 11277  df-xr 11278  df-ltxr 11279  df-le 11280  df-sub 11473  df-neg 11474  df-nn 12246  df-n0 12507  df-z 12594  df-uz 12858  df-fz 13530  df-fzo 13677  df-hash 14354  df-word 14537  df-pmtr 19428

This theorem is referenced by: (None)