Theorem telfsumo 15819

Description: Sum of a telescoping series, using half-open intervals. (Contributed by Mario Carneiro, 2-May-2016.)

Hypotheses

Ref	Expression
telfsumo.1	⊢ (𝑘 = 𝑗 → 𝐴 = 𝐵)
telfsumo.2	⊢ (𝑘 = (𝑗 + 1) → 𝐴 = 𝐶)
telfsumo.3	⊢ (𝑘 = 𝑀 → 𝐴 = 𝐷)
telfsumo.4	⊢ (𝑘 = 𝑁 → 𝐴 = 𝐸)
telfsumo.5	⊢ (𝜑 → 𝑁 ∈ (ℤ≥‘𝑀))
telfsumo.6	⊢ ((𝜑 ∧ 𝑘 ∈ (𝑀...𝑁)) → 𝐴 ∈ ℂ)

Assertion

Ref	Expression
telfsumo	⊢ (𝜑 → Σ𝑗 ∈ (𝑀..^𝑁)(𝐵 − 𝐶) = (𝐷 − 𝐸))

Distinct variable groups:   𝐴,𝑗   𝐵,𝑘   𝐶,𝑘   𝑗,𝑘,𝑀   𝑗,𝑁,𝑘   𝜑,𝑗,𝑘   𝐷,𝑘   𝑘,𝐸

Allowed substitution hints:   𝐴(𝑘)   𝐵(𝑗)   𝐶(𝑗)   𝐷(𝑗)   𝐸(𝑗)

Proof of Theorem telfsumo

Step	Hyp	Ref	Expression
1		sum0 15738	. . . 4 ⊢ Σ𝑗 ∈ ∅ (𝐵 − 𝐶) = 0
2		telfsumo.3	. . . . . . . 8 ⊢ (𝑘 = 𝑀 → 𝐴 = 𝐷)
3	2	eleq1d 2814	. . . . . . 7 ⊢ (𝑘 = 𝑀 → (𝐴 ∈ ℂ ↔ 𝐷 ∈ ℂ))
4		telfsumo.6	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑘 ∈ (𝑀...𝑁)) → 𝐴 ∈ ℂ)
5	4	ralrimiva 3139	. . . . . . 7 ⊢ (𝜑 → ∀𝑘 ∈ (𝑀...𝑁)𝐴 ∈ ℂ)
6		telfsumo.5	. . . . . . . 8 ⊢ (𝜑 → 𝑁 ∈ (ℤ≥‘𝑀))
7		eluzfz1 13566	. . . . . . . 8 ⊢ (𝑁 ∈ (ℤ≥‘𝑀) → 𝑀 ∈ (𝑀...𝑁))
8	6, 7	syl 17	. . . . . . 7 ⊢ (𝜑 → 𝑀 ∈ (𝑀...𝑁))
9	3, 5, 8	rspcdva 3621	. . . . . 6 ⊢ (𝜑 → 𝐷 ∈ ℂ)
10	9	adantr 479	. . . . 5 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑁 = 𝑀) → 𝐷 ∈ ℂ)
11	10	subidd 11610	. . . 4 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑁 = 𝑀) → (𝐷 − 𝐷) = 0)
12	1, 11	eqtr4id 2788	. . 3 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑁 = 𝑀) → Σ𝑗 ∈ ∅ (𝐵 − 𝐶) = (𝐷 − 𝐷))
13		oveq2 7435	. . . . . 6 ⊢ (𝑁 = 𝑀 → (𝑀..^𝑁) = (𝑀..^𝑀))
14	13	adantl 480	. . . . 5 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑁 = 𝑀) → (𝑀..^𝑁) = (𝑀..^𝑀))
15		fzo0 13714	. . . . 5 ⊢ (𝑀..^𝑀) = ∅
16	14, 15	eqtrdi 2785	. . . 4 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑁 = 𝑀) → (𝑀..^𝑁) = ∅)
17	16	sumeq1d 15718	. . 3 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑁 = 𝑀) → Σ𝑗 ∈ (𝑀..^𝑁)(𝐵 − 𝐶) = Σ𝑗 ∈ ∅ (𝐵 − 𝐶))
18		eqeq1 2733	. . . . . . . 8 ⊢ (𝑘 = 𝑁 → (𝑘 = 𝑀 ↔ 𝑁 = 𝑀))
19		telfsumo.4	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝑘 = 𝑁 → 𝐴 = 𝐸)
20	19	eqeq1d 2731	. . . . . . . 8 ⊢ (𝑘 = 𝑁 → (𝐴 = 𝐷 ↔ 𝐸 = 𝐷))
21	18, 20	imbi12d 343	. . . . . . 7 ⊢ (𝑘 = 𝑁 → ((𝑘 = 𝑀 → 𝐴 = 𝐷) ↔ (𝑁 = 𝑀 → 𝐸 = 𝐷)))
22	21, 2	vtoclg 3550	. . . . . 6 ⊢ (𝑁 ∈ (ℤ≥‘𝑀) → (𝑁 = 𝑀 → 𝐸 = 𝐷))
23	22	imp 405	. . . . 5 ⊢ ((𝑁 ∈ (ℤ≥‘𝑀) ∧ 𝑁 = 𝑀) → 𝐸 = 𝐷)
24	6, 23	sylan 578	. . . 4 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑁 = 𝑀) → 𝐸 = 𝐷)
25	24	oveq2d 7443	. . 3 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑁 = 𝑀) → (𝐷 − 𝐸) = (𝐷 − 𝐷))
26	12, 17, 25	3eqtr4d 2779	. 2 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑁 = 𝑀) → Σ𝑗 ∈ (𝑀..^𝑁)(𝐵 − 𝐶) = (𝐷 − 𝐸))
27		fzofi 13999	. . . . . 6 ⊢ (𝑀..^𝑁) ∈ Fin
28	27	a1i 11	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → (𝑀..^𝑁) ∈ Fin)
29		telfsumo.1	. . . . . . 7 ⊢ (𝑘 = 𝑗 → 𝐴 = 𝐵)
30	29	eleq1d 2814	. . . . . 6 ⊢ (𝑘 = 𝑗 → (𝐴 ∈ ℂ ↔ 𝐵 ∈ ℂ))
31	5	adantr 479	. . . . . 6 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑗 ∈ (𝑀..^𝑁)) → ∀𝑘 ∈ (𝑀...𝑁)𝐴 ∈ ℂ)
32		elfzofz 13706	. . . . . . 7 ⊢ (𝑗 ∈ (𝑀..^𝑁) → 𝑗 ∈ (𝑀...𝑁))
33	32	adantl 480	. . . . . 6 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑗 ∈ (𝑀..^𝑁)) → 𝑗 ∈ (𝑀...𝑁))
34	30, 31, 33	rspcdva 3621	. . . . 5 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑗 ∈ (𝑀..^𝑁)) → 𝐵 ∈ ℂ)
35		telfsumo.2	. . . . . . 7 ⊢ (𝑘 = (𝑗 + 1) → 𝐴 = 𝐶)
36	35	eleq1d 2814	. . . . . 6 ⊢ (𝑘 = (𝑗 + 1) → (𝐴 ∈ ℂ ↔ 𝐶 ∈ ℂ))
37		fzofzp1 13788	. . . . . . 7 ⊢ (𝑗 ∈ (𝑀..^𝑁) → (𝑗 + 1) ∈ (𝑀...𝑁))
38	37	adantl 480	. . . . . 6 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑗 ∈ (𝑀..^𝑁)) → (𝑗 + 1) ∈ (𝑀...𝑁))
39	36, 31, 38	rspcdva 3621	. . . . 5 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑗 ∈ (𝑀..^𝑁)) → 𝐶 ∈ ℂ)
40	28, 34, 39	fsumsub 15805	. . . 4 ⊢ (𝜑 → Σ𝑗 ∈ (𝑀..^𝑁)(𝐵 − 𝐶) = (Σ𝑗 ∈ (𝑀..^𝑁)𝐵 − Σ𝑗 ∈ (𝑀..^𝑁)𝐶))
41	40	adantr 479	. . 3 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑁 ∈ (ℤ≥‘(𝑀 + 1))) → Σ𝑗 ∈ (𝑀..^𝑁)(𝐵 − 𝐶) = (Σ𝑗 ∈ (𝑀..^𝑁)𝐵 − Σ𝑗 ∈ (𝑀..^𝑁)𝐶))
42	29	cbvsumv 15713	. . . . 5 ⊢ Σ𝑘 ∈ (𝑀..^𝑁)𝐴 = Σ𝑗 ∈ (𝑀..^𝑁)𝐵
43		eluzel2 12883	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝑁 ∈ (ℤ≥‘𝑀) → 𝑀 ∈ ℤ)
44	6, 43	syl 17	. . . . . . . 8 ⊢ (𝜑 → 𝑀 ∈ ℤ)
45		eluzp1m1 12904	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝑀 ∈ ℤ ∧ 𝑁 ∈ (ℤ≥‘(𝑀 + 1))) → (𝑁 − 1) ∈ (ℤ≥‘𝑀))
46	44, 45	sylan 578	. . . . . . 7 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑁 ∈ (ℤ≥‘(𝑀 + 1))) → (𝑁 − 1) ∈ (ℤ≥‘𝑀))
47		eluzelz 12888	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (𝑁 ∈ (ℤ≥‘𝑀) → 𝑁 ∈ ℤ)
48	6, 47	syl 17	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (𝜑 → 𝑁 ∈ ℤ)
49	48	adantr 479	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑁 ∈ (ℤ≥‘(𝑀 + 1))) → 𝑁 ∈ ℤ)
50		fzoval 13691	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (𝑁 ∈ ℤ → (𝑀..^𝑁) = (𝑀...(𝑁 − 1)))
51	49, 50	syl 17	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑁 ∈ (ℤ≥‘(𝑀 + 1))) → (𝑀..^𝑁) = (𝑀...(𝑁 − 1)))
52		fzossfz 13709	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝑀..^𝑁) ⊆ (𝑀...𝑁)
53	51, 52	eqsstrrdi 4046	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑁 ∈ (ℤ≥‘(𝑀 + 1))) → (𝑀...(𝑁 − 1)) ⊆ (𝑀...𝑁))
54	53	sselda 3990	. . . . . . . 8 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑁 ∈ (ℤ≥‘(𝑀 + 1))) ∧ 𝑘 ∈ (𝑀...(𝑁 − 1))) → 𝑘 ∈ (𝑀...𝑁))
55	4	adantlr 713	. . . . . . . 8 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑁 ∈ (ℤ≥‘(𝑀 + 1))) ∧ 𝑘 ∈ (𝑀...𝑁)) → 𝐴 ∈ ℂ)
56	54, 55	syldan 589	. . . . . . 7 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑁 ∈ (ℤ≥‘(𝑀 + 1))) ∧ 𝑘 ∈ (𝑀...(𝑁 − 1))) → 𝐴 ∈ ℂ)
57	46, 56, 2	fsum1p 15770	. . . . . 6 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑁 ∈ (ℤ≥‘(𝑀 + 1))) → Σ𝑘 ∈ (𝑀...(𝑁 − 1))𝐴 = (𝐷 + Σ𝑘 ∈ ((𝑀 + 1)...(𝑁 − 1))𝐴))
58	51	sumeq1d 15718	. . . . . 6 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑁 ∈ (ℤ≥‘(𝑀 + 1))) → Σ𝑘 ∈ (𝑀..^𝑁)𝐴 = Σ𝑘 ∈ (𝑀...(𝑁 − 1))𝐴)
59		fzoval 13691	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝑁 ∈ ℤ → ((𝑀 + 1)..^𝑁) = ((𝑀 + 1)...(𝑁 − 1)))
60	49, 59	syl 17	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑁 ∈ (ℤ≥‘(𝑀 + 1))) → ((𝑀 + 1)..^𝑁) = ((𝑀 + 1)...(𝑁 − 1)))
61	60	sumeq1d 15718	. . . . . . 7 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑁 ∈ (ℤ≥‘(𝑀 + 1))) → Σ𝑘 ∈ ((𝑀 + 1)..^𝑁)𝐴 = Σ𝑘 ∈ ((𝑀 + 1)...(𝑁 − 1))𝐴)
62	61	oveq2d 7443	. . . . . 6 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑁 ∈ (ℤ≥‘(𝑀 + 1))) → (𝐷 + Σ𝑘 ∈ ((𝑀 + 1)..^𝑁)𝐴) = (𝐷 + Σ𝑘 ∈ ((𝑀 + 1)...(𝑁 − 1))𝐴))
63	57, 58, 62	3eqtr4d 2779	. . . . 5 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑁 ∈ (ℤ≥‘(𝑀 + 1))) → Σ𝑘 ∈ (𝑀..^𝑁)𝐴 = (𝐷 + Σ𝑘 ∈ ((𝑀 + 1)..^𝑁)𝐴))
64	42, 63	eqtr3id 2783	. . . 4 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑁 ∈ (ℤ≥‘(𝑀 + 1))) → Σ𝑗 ∈ (𝑀..^𝑁)𝐵 = (𝐷 + Σ𝑘 ∈ ((𝑀 + 1)..^𝑁)𝐴))
65		simpr 483	. . . . . 6 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑁 ∈ (ℤ≥‘(𝑀 + 1))) → 𝑁 ∈ (ℤ≥‘(𝑀 + 1)))
66		fzp1ss 13610	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝑀 ∈ ℤ → ((𝑀 + 1)...𝑁) ⊆ (𝑀...𝑁))
67	44, 66	syl 17	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝜑 → ((𝑀 + 1)...𝑁) ⊆ (𝑀...𝑁))
68	67	sselda 3990	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑘 ∈ ((𝑀 + 1)...𝑁)) → 𝑘 ∈ (𝑀...𝑁))
69	68, 4	syldan 589	. . . . . . 7 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑘 ∈ ((𝑀 + 1)...𝑁)) → 𝐴 ∈ ℂ)
70	69	adantlr 713	. . . . . 6 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑁 ∈ (ℤ≥‘(𝑀 + 1))) ∧ 𝑘 ∈ ((𝑀 + 1)...𝑁)) → 𝐴 ∈ ℂ)
71	65, 70, 19	fsumm1 15768	. . . . 5 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑁 ∈ (ℤ≥‘(𝑀 + 1))) → Σ𝑘 ∈ ((𝑀 + 1)...𝑁)𝐴 = (Σ𝑘 ∈ ((𝑀 + 1)...(𝑁 − 1))𝐴 + 𝐸))
72		1zzd 12649	. . . . . . . 8 ⊢ (𝜑 → 1 ∈ ℤ)
73	44	peano2zd 12725	. . . . . . . 8 ⊢ (𝜑 → (𝑀 + 1) ∈ ℤ)
74	72, 73, 48, 69, 35	fsumshftm 15798	. . . . . . 7 ⊢ (𝜑 → Σ𝑘 ∈ ((𝑀 + 1)...𝑁)𝐴 = Σ𝑗 ∈ (((𝑀 + 1) − 1)...(𝑁 − 1))𝐶)
75	44	zcnd 12723	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (𝜑 → 𝑀 ∈ ℂ)
76		ax-1cn 11217	. . . . . . . . . . 11 ⊢ 1 ∈ ℂ
77		pncan 11517	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ((𝑀 ∈ ℂ ∧ 1 ∈ ℂ) → ((𝑀 + 1) − 1) = 𝑀)
78	75, 76, 77	sylancl 584	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝜑 → ((𝑀 + 1) − 1) = 𝑀)
79	78	oveq1d 7442	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝜑 → (((𝑀 + 1) − 1)...(𝑁 − 1)) = (𝑀...(𝑁 − 1)))
80	48, 50	syl 17	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝜑 → (𝑀..^𝑁) = (𝑀...(𝑁 − 1)))
81	79, 80	eqtr4d 2772	. . . . . . . 8 ⊢ (𝜑 → (((𝑀 + 1) − 1)...(𝑁 − 1)) = (𝑀..^𝑁))
82	81	sumeq1d 15718	. . . . . . 7 ⊢ (𝜑 → Σ𝑗 ∈ (((𝑀 + 1) − 1)...(𝑁 − 1))𝐶 = Σ𝑗 ∈ (𝑀..^𝑁)𝐶)
83	74, 82	eqtrd 2769	. . . . . 6 ⊢ (𝜑 → Σ𝑘 ∈ ((𝑀 + 1)...𝑁)𝐴 = Σ𝑗 ∈ (𝑀..^𝑁)𝐶)
84	83	adantr 479	. . . . 5 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑁 ∈ (ℤ≥‘(𝑀 + 1))) → Σ𝑘 ∈ ((𝑀 + 1)...𝑁)𝐴 = Σ𝑗 ∈ (𝑀..^𝑁)𝐶)
85	48, 59	syl 17	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝜑 → ((𝑀 + 1)..^𝑁) = ((𝑀 + 1)...(𝑁 − 1)))
86	85	sumeq1d 15718	. . . . . . . 8 ⊢ (𝜑 → Σ𝑘 ∈ ((𝑀 + 1)..^𝑁)𝐴 = Σ𝑘 ∈ ((𝑀 + 1)...(𝑁 − 1))𝐴)
87	86	oveq1d 7442	. . . . . . 7 ⊢ (𝜑 → (Σ𝑘 ∈ ((𝑀 + 1)..^𝑁)𝐴 + 𝐸) = (Σ𝑘 ∈ ((𝑀 + 1)...(𝑁 − 1))𝐴 + 𝐸))
88		fzofi 13999	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((𝑀 + 1)..^𝑁) ∈ Fin
89	88	a1i 11	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝜑 → ((𝑀 + 1)..^𝑁) ∈ Fin)
90		elfzofz 13706	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝑘 ∈ ((𝑀 + 1)..^𝑁) → 𝑘 ∈ ((𝑀 + 1)...𝑁))
91	90, 69	sylan2 591	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑘 ∈ ((𝑀 + 1)..^𝑁)) → 𝐴 ∈ ℂ)
92	89, 91	fsumcl 15750	. . . . . . . 8 ⊢ (𝜑 → Σ𝑘 ∈ ((𝑀 + 1)..^𝑁)𝐴 ∈ ℂ)
93	19	eleq1d 2814	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝑘 = 𝑁 → (𝐴 ∈ ℂ ↔ 𝐸 ∈ ℂ))
94		eluzfz2 13567	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝑁 ∈ (ℤ≥‘𝑀) → 𝑁 ∈ (𝑀...𝑁))
95	6, 94	syl 17	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝜑 → 𝑁 ∈ (𝑀...𝑁))
96	93, 5, 95	rspcdva 3621	. . . . . . . 8 ⊢ (𝜑 → 𝐸 ∈ ℂ)
97	92, 96	addcomd 11467	. . . . . . 7 ⊢ (𝜑 → (Σ𝑘 ∈ ((𝑀 + 1)..^𝑁)𝐴 + 𝐸) = (𝐸 + Σ𝑘 ∈ ((𝑀 + 1)..^𝑁)𝐴))
98	87, 97	eqtr3d 2771	. . . . . 6 ⊢ (𝜑 → (Σ𝑘 ∈ ((𝑀 + 1)...(𝑁 − 1))𝐴 + 𝐸) = (𝐸 + Σ𝑘 ∈ ((𝑀 + 1)..^𝑁)𝐴))
99	98	adantr 479	. . . . 5 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑁 ∈ (ℤ≥‘(𝑀 + 1))) → (Σ𝑘 ∈ ((𝑀 + 1)...(𝑁 − 1))𝐴 + 𝐸) = (𝐸 + Σ𝑘 ∈ ((𝑀 + 1)..^𝑁)𝐴))
100	71, 84, 99	3eqtr3d 2777	. . . 4 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑁 ∈ (ℤ≥‘(𝑀 + 1))) → Σ𝑗 ∈ (𝑀..^𝑁)𝐶 = (𝐸 + Σ𝑘 ∈ ((𝑀 + 1)..^𝑁)𝐴))
101	64, 100	oveq12d 7445	. . 3 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑁 ∈ (ℤ≥‘(𝑀 + 1))) → (Σ𝑗 ∈ (𝑀..^𝑁)𝐵 − Σ𝑗 ∈ (𝑀..^𝑁)𝐶) = ((𝐷 + Σ𝑘 ∈ ((𝑀 + 1)..^𝑁)𝐴) − (𝐸 + Σ𝑘 ∈ ((𝑀 + 1)..^𝑁)𝐴)))
102	9, 96, 92	pnpcan2d 11660	. . . 4 ⊢ (𝜑 → ((𝐷 + Σ𝑘 ∈ ((𝑀 + 1)..^𝑁)𝐴) − (𝐸 + Σ𝑘 ∈ ((𝑀 + 1)..^𝑁)𝐴)) = (𝐷 − 𝐸))
103	102	adantr 479	. . 3 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑁 ∈ (ℤ≥‘(𝑀 + 1))) → ((𝐷 + Σ𝑘 ∈ ((𝑀 + 1)..^𝑁)𝐴) − (𝐸 + Σ𝑘 ∈ ((𝑀 + 1)..^𝑁)𝐴)) = (𝐷 − 𝐸))
104	41, 101, 103	3eqtrd 2773	. 2 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑁 ∈ (ℤ≥‘(𝑀 + 1))) → Σ𝑗 ∈ (𝑀..^𝑁)(𝐵 − 𝐶) = (𝐷 − 𝐸))
105		uzp1 12919	. . 3 ⊢ (𝑁 ∈ (ℤ≥‘𝑀) → (𝑁 = 𝑀 ∨ 𝑁 ∈ (ℤ≥‘(𝑀 + 1))))
106	6, 105	syl 17	. 2 ⊢ (𝜑 → (𝑁 = 𝑀 ∨ 𝑁 ∈ (ℤ≥‘(𝑀 + 1))))
107	26, 104, 106	mpjaodan 956	1 ⊢ (𝜑 → Σ𝑗 ∈ (𝑀..^𝑁)(𝐵 − 𝐶) = (𝐷 − 𝐸))

Syntax hints:   → wi 4   ∧ wa 394   ∨ wo 845   = wceq 1534   ∈ wcel 2100  ∀wral 3054   ⊆ wss 3958  ∅c0 4333  ‘cfv 6556  (class class class)co 7427  Fincfn 8978  ℂcc 11157  0cc0 11159  1c1 11160   + caddc 11162   − cmin 11495  ℤcz 12614  ℤ_≥cuz 12878  ...cfz 13542  ..^cfzo 13685  Σcsu 15703

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1790  ax-4 1804  ax-5 1906  ax-6 1964  ax-7 2004  ax-8 2102  ax-9 2110  ax-10 2133  ax-11 2150  ax-12 2170  ax-ext 2700  ax-rep 5291  ax-sep 5305  ax-nul 5312  ax-pow 5371  ax-pr 5435  ax-un 7748  ax-inf2 9685  ax-cnex 11215  ax-resscn 11216  ax-1cn 11217  ax-icn 11218  ax-addcl 11219  ax-addrcl 11220  ax-mulcl 11221  ax-mulrcl 11222  ax-mulcom 11223  ax-addass 11224  ax-mulass 11225  ax-distr 11226  ax-i2m1 11227  ax-1ne0 11228  ax-1rid 11229  ax-rnegex 11230  ax-rrecex 11231  ax-cnre 11232  ax-pre-lttri 11233  ax-pre-lttrn 11234  ax-pre-ltadd 11235  ax-pre-mulgt0 11236  ax-pre-sup 11237

This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 395  df-or 846  df-3or 1085  df-3an 1086  df-tru 1537  df-fal 1547  df-ex 1775  df-nf 1779  df-sb 2062  df-mo 2532  df-eu 2561  df-clab 2707  df-cleq 2721  df-clel 2806  df-nfc 2881  df-ne 2934  df-nel 3040  df-ral 3055  df-rex 3064  df-rmo 3373  df-reu 3374  df-rab 3429  df-v 3474  df-sbc 3788  df-csb 3904  df-dif 3961  df-un 3963  df-in 3965  df-ss 3975  df-pss 3978  df-nul 4334  df-if 4535  df-pw 4610  df-sn 4635  df-pr 4637  df-op 4641  df-uni 4917  df-int 4958  df-iun 5006  df-br 5155  df-opab 5217  df-mpt 5238  df-tr 5272  df-id 5582  df-eprel 5588  df-po 5596  df-so 5597  df-fr 5639  df-se 5640  df-we 5641  df-xp 5690  df-rel 5691  df-cnv 5692  df-co 5693  df-dm 5694  df-rn 5695  df-res 5696  df-ima 5697  df-pred 6315  df-ord 6381  df-on 6382  df-lim 6383  df-suc 6384  df-iota 6508  df-fun 6558  df-fn 6559  df-f 6560  df-f1 6561  df-fo 6562  df-f1o 6563  df-fv 6564  df-isom 6565  df-riota 7383  df-ov 7430  df-oprab 7431  df-mpo 7432  df-om 7882  df-1st 8008  df-2nd 8009  df-frecs 8300  df-wrecs 8331  df-recs 8405  df-rdg 8444  df-1o 8500  df-er 8738  df-en 8979  df-dom 8980  df-sdom 8981  df-fin 8982  df-sup 9486  df-oi 9554  df-card 9983  df-pnf 11301  df-mnf 11302  df-xr 11303  df-ltxr 11304  df-le 11305  df-sub 11497  df-neg 11498  df-div 11923  df-nn 12269  df-2 12331  df-3 12332  df-n0 12529  df-z 12615  df-uz 12879  df-rp 13033  df-fz 13543  df-fzo 13686  df-seq 14027  df-exp 14087  df-hash 14354  df-cj 15117  df-re 15118  df-im 15119  df-sqrt 15253  df-abs 15254  df-clim 15503  df-sum 15704

This theorem is referenced by:  telfsumo2  15820  telfsum  15821  geoserg  15883  dchrisumlem2  27516  stirlinglem12  45772