Theorem telfsumo 15514

Description: Sum of a telescoping series, using half-open intervals. (Contributed by Mario Carneiro, 2-May-2016.)

Hypotheses

Ref	Expression
telfsumo.1	⊢ (𝑘 = 𝑗 → 𝐴 = 𝐵)
telfsumo.2	⊢ (𝑘 = (𝑗 + 1) → 𝐴 = 𝐶)
telfsumo.3	⊢ (𝑘 = 𝑀 → 𝐴 = 𝐷)
telfsumo.4	⊢ (𝑘 = 𝑁 → 𝐴 = 𝐸)
telfsumo.5	⊢ (𝜑 → 𝑁 ∈ (ℤ≥‘𝑀))
telfsumo.6	⊢ ((𝜑 ∧ 𝑘 ∈ (𝑀...𝑁)) → 𝐴 ∈ ℂ)

Assertion

Ref	Expression
telfsumo	⊢ (𝜑 → Σ𝑗 ∈ (𝑀..^𝑁)(𝐵 − 𝐶) = (𝐷 − 𝐸))

Distinct variable groups:   𝐴,𝑗   𝐵,𝑘   𝐶,𝑘   𝑗,𝑘,𝑀   𝑗,𝑁,𝑘   𝜑,𝑗,𝑘   𝐷,𝑘   𝑘,𝐸

Allowed substitution hints:   𝐴(𝑘)   𝐵(𝑗)   𝐶(𝑗)   𝐷(𝑗)   𝐸(𝑗)

Proof of Theorem telfsumo

Step	Hyp	Ref	Expression
1		sum0 15433	. . . 4 ⊢ Σ𝑗 ∈ ∅ (𝐵 − 𝐶) = 0
2		telfsumo.3	. . . . . . . 8 ⊢ (𝑘 = 𝑀 → 𝐴 = 𝐷)
3	2	eleq1d 2823	. . . . . . 7 ⊢ (𝑘 = 𝑀 → (𝐴 ∈ ℂ ↔ 𝐷 ∈ ℂ))
4		telfsumo.6	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑘 ∈ (𝑀...𝑁)) → 𝐴 ∈ ℂ)
5	4	ralrimiva 3103	. . . . . . 7 ⊢ (𝜑 → ∀𝑘 ∈ (𝑀...𝑁)𝐴 ∈ ℂ)
6		telfsumo.5	. . . . . . . 8 ⊢ (𝜑 → 𝑁 ∈ (ℤ≥‘𝑀))
7		eluzfz1 13263	. . . . . . . 8 ⊢ (𝑁 ∈ (ℤ≥‘𝑀) → 𝑀 ∈ (𝑀...𝑁))
8	6, 7	syl 17	. . . . . . 7 ⊢ (𝜑 → 𝑀 ∈ (𝑀...𝑁))
9	3, 5, 8	rspcdva 3562	. . . . . 6 ⊢ (𝜑 → 𝐷 ∈ ℂ)
10	9	adantr 481	. . . . 5 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑁 = 𝑀) → 𝐷 ∈ ℂ)
11	10	subidd 11320	. . . 4 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑁 = 𝑀) → (𝐷 − 𝐷) = 0)
12	1, 11	eqtr4id 2797	. . 3 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑁 = 𝑀) → Σ𝑗 ∈ ∅ (𝐵 − 𝐶) = (𝐷 − 𝐷))
13		oveq2 7283	. . . . . 6 ⊢ (𝑁 = 𝑀 → (𝑀..^𝑁) = (𝑀..^𝑀))
14	13	adantl 482	. . . . 5 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑁 = 𝑀) → (𝑀..^𝑁) = (𝑀..^𝑀))
15		fzo0 13411	. . . . 5 ⊢ (𝑀..^𝑀) = ∅
16	14, 15	eqtrdi 2794	. . . 4 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑁 = 𝑀) → (𝑀..^𝑁) = ∅)
17	16	sumeq1d 15413	. . 3 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑁 = 𝑀) → Σ𝑗 ∈ (𝑀..^𝑁)(𝐵 − 𝐶) = Σ𝑗 ∈ ∅ (𝐵 − 𝐶))
18		eqeq1 2742	. . . . . . . 8 ⊢ (𝑘 = 𝑁 → (𝑘 = 𝑀 ↔ 𝑁 = 𝑀))
19		telfsumo.4	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝑘 = 𝑁 → 𝐴 = 𝐸)
20	19	eqeq1d 2740	. . . . . . . 8 ⊢ (𝑘 = 𝑁 → (𝐴 = 𝐷 ↔ 𝐸 = 𝐷))
21	18, 20	imbi12d 345	. . . . . . 7 ⊢ (𝑘 = 𝑁 → ((𝑘 = 𝑀 → 𝐴 = 𝐷) ↔ (𝑁 = 𝑀 → 𝐸 = 𝐷)))
22	21, 2	vtoclg 3505	. . . . . 6 ⊢ (𝑁 ∈ (ℤ≥‘𝑀) → (𝑁 = 𝑀 → 𝐸 = 𝐷))
23	22	imp 407	. . . . 5 ⊢ ((𝑁 ∈ (ℤ≥‘𝑀) ∧ 𝑁 = 𝑀) → 𝐸 = 𝐷)
24	6, 23	sylan 580	. . . 4 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑁 = 𝑀) → 𝐸 = 𝐷)
25	24	oveq2d 7291	. . 3 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑁 = 𝑀) → (𝐷 − 𝐸) = (𝐷 − 𝐷))
26	12, 17, 25	3eqtr4d 2788	. 2 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑁 = 𝑀) → Σ𝑗 ∈ (𝑀..^𝑁)(𝐵 − 𝐶) = (𝐷 − 𝐸))
27		fzofi 13694	. . . . . 6 ⊢ (𝑀..^𝑁) ∈ Fin
28	27	a1i 11	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → (𝑀..^𝑁) ∈ Fin)
29		telfsumo.1	. . . . . . 7 ⊢ (𝑘 = 𝑗 → 𝐴 = 𝐵)
30	29	eleq1d 2823	. . . . . 6 ⊢ (𝑘 = 𝑗 → (𝐴 ∈ ℂ ↔ 𝐵 ∈ ℂ))
31	5	adantr 481	. . . . . 6 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑗 ∈ (𝑀..^𝑁)) → ∀𝑘 ∈ (𝑀...𝑁)𝐴 ∈ ℂ)
32		elfzofz 13403	. . . . . . 7 ⊢ (𝑗 ∈ (𝑀..^𝑁) → 𝑗 ∈ (𝑀...𝑁))
33	32	adantl 482	. . . . . 6 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑗 ∈ (𝑀..^𝑁)) → 𝑗 ∈ (𝑀...𝑁))
34	30, 31, 33	rspcdva 3562	. . . . 5 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑗 ∈ (𝑀..^𝑁)) → 𝐵 ∈ ℂ)
35		telfsumo.2	. . . . . . 7 ⊢ (𝑘 = (𝑗 + 1) → 𝐴 = 𝐶)
36	35	eleq1d 2823	. . . . . 6 ⊢ (𝑘 = (𝑗 + 1) → (𝐴 ∈ ℂ ↔ 𝐶 ∈ ℂ))
37		fzofzp1 13484	. . . . . . 7 ⊢ (𝑗 ∈ (𝑀..^𝑁) → (𝑗 + 1) ∈ (𝑀...𝑁))
38	37	adantl 482	. . . . . 6 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑗 ∈ (𝑀..^𝑁)) → (𝑗 + 1) ∈ (𝑀...𝑁))
39	36, 31, 38	rspcdva 3562	. . . . 5 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑗 ∈ (𝑀..^𝑁)) → 𝐶 ∈ ℂ)
40	28, 34, 39	fsumsub 15500	. . . 4 ⊢ (𝜑 → Σ𝑗 ∈ (𝑀..^𝑁)(𝐵 − 𝐶) = (Σ𝑗 ∈ (𝑀..^𝑁)𝐵 − Σ𝑗 ∈ (𝑀..^𝑁)𝐶))
41	40	adantr 481	. . 3 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑁 ∈ (ℤ≥‘(𝑀 + 1))) → Σ𝑗 ∈ (𝑀..^𝑁)(𝐵 − 𝐶) = (Σ𝑗 ∈ (𝑀..^𝑁)𝐵 − Σ𝑗 ∈ (𝑀..^𝑁)𝐶))
42	29	cbvsumv 15408	. . . . 5 ⊢ Σ𝑘 ∈ (𝑀..^𝑁)𝐴 = Σ𝑗 ∈ (𝑀..^𝑁)𝐵
43		eluzel2 12587	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝑁 ∈ (ℤ≥‘𝑀) → 𝑀 ∈ ℤ)
44	6, 43	syl 17	. . . . . . . 8 ⊢ (𝜑 → 𝑀 ∈ ℤ)
45		eluzp1m1 12608	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝑀 ∈ ℤ ∧ 𝑁 ∈ (ℤ≥‘(𝑀 + 1))) → (𝑁 − 1) ∈ (ℤ≥‘𝑀))
46	44, 45	sylan 580	. . . . . . 7 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑁 ∈ (ℤ≥‘(𝑀 + 1))) → (𝑁 − 1) ∈ (ℤ≥‘𝑀))
47		eluzelz 12592	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (𝑁 ∈ (ℤ≥‘𝑀) → 𝑁 ∈ ℤ)
48	6, 47	syl 17	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (𝜑 → 𝑁 ∈ ℤ)
49	48	adantr 481	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑁 ∈ (ℤ≥‘(𝑀 + 1))) → 𝑁 ∈ ℤ)
50		fzoval 13388	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (𝑁 ∈ ℤ → (𝑀..^𝑁) = (𝑀...(𝑁 − 1)))
51	49, 50	syl 17	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑁 ∈ (ℤ≥‘(𝑀 + 1))) → (𝑀..^𝑁) = (𝑀...(𝑁 − 1)))
52		fzossfz 13406	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝑀..^𝑁) ⊆ (𝑀...𝑁)
53	51, 52	eqsstrrdi 3976	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑁 ∈ (ℤ≥‘(𝑀 + 1))) → (𝑀...(𝑁 − 1)) ⊆ (𝑀...𝑁))
54	53	sselda 3921	. . . . . . . 8 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑁 ∈ (ℤ≥‘(𝑀 + 1))) ∧ 𝑘 ∈ (𝑀...(𝑁 − 1))) → 𝑘 ∈ (𝑀...𝑁))
55	4	adantlr 712	. . . . . . . 8 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑁 ∈ (ℤ≥‘(𝑀 + 1))) ∧ 𝑘 ∈ (𝑀...𝑁)) → 𝐴 ∈ ℂ)
56	54, 55	syldan 591	. . . . . . 7 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑁 ∈ (ℤ≥‘(𝑀 + 1))) ∧ 𝑘 ∈ (𝑀...(𝑁 − 1))) → 𝐴 ∈ ℂ)
57	46, 56, 2	fsum1p 15465	. . . . . 6 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑁 ∈ (ℤ≥‘(𝑀 + 1))) → Σ𝑘 ∈ (𝑀...(𝑁 − 1))𝐴 = (𝐷 + Σ𝑘 ∈ ((𝑀 + 1)...(𝑁 − 1))𝐴))
58	51	sumeq1d 15413	. . . . . 6 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑁 ∈ (ℤ≥‘(𝑀 + 1))) → Σ𝑘 ∈ (𝑀..^𝑁)𝐴 = Σ𝑘 ∈ (𝑀...(𝑁 − 1))𝐴)
59		fzoval 13388	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝑁 ∈ ℤ → ((𝑀 + 1)..^𝑁) = ((𝑀 + 1)...(𝑁 − 1)))
60	49, 59	syl 17	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑁 ∈ (ℤ≥‘(𝑀 + 1))) → ((𝑀 + 1)..^𝑁) = ((𝑀 + 1)...(𝑁 − 1)))
61	60	sumeq1d 15413	. . . . . . 7 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑁 ∈ (ℤ≥‘(𝑀 + 1))) → Σ𝑘 ∈ ((𝑀 + 1)..^𝑁)𝐴 = Σ𝑘 ∈ ((𝑀 + 1)...(𝑁 − 1))𝐴)
62	61	oveq2d 7291	. . . . . 6 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑁 ∈ (ℤ≥‘(𝑀 + 1))) → (𝐷 + Σ𝑘 ∈ ((𝑀 + 1)..^𝑁)𝐴) = (𝐷 + Σ𝑘 ∈ ((𝑀 + 1)...(𝑁 − 1))𝐴))
63	57, 58, 62	3eqtr4d 2788	. . . . 5 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑁 ∈ (ℤ≥‘(𝑀 + 1))) → Σ𝑘 ∈ (𝑀..^𝑁)𝐴 = (𝐷 + Σ𝑘 ∈ ((𝑀 + 1)..^𝑁)𝐴))
64	42, 63	eqtr3id 2792	. . . 4 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑁 ∈ (ℤ≥‘(𝑀 + 1))) → Σ𝑗 ∈ (𝑀..^𝑁)𝐵 = (𝐷 + Σ𝑘 ∈ ((𝑀 + 1)..^𝑁)𝐴))
65		simpr 485	. . . . . 6 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑁 ∈ (ℤ≥‘(𝑀 + 1))) → 𝑁 ∈ (ℤ≥‘(𝑀 + 1)))
66		fzp1ss 13307	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝑀 ∈ ℤ → ((𝑀 + 1)...𝑁) ⊆ (𝑀...𝑁))
67	44, 66	syl 17	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝜑 → ((𝑀 + 1)...𝑁) ⊆ (𝑀...𝑁))
68	67	sselda 3921	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑘 ∈ ((𝑀 + 1)...𝑁)) → 𝑘 ∈ (𝑀...𝑁))
69	68, 4	syldan 591	. . . . . . 7 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑘 ∈ ((𝑀 + 1)...𝑁)) → 𝐴 ∈ ℂ)
70	69	adantlr 712	. . . . . 6 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑁 ∈ (ℤ≥‘(𝑀 + 1))) ∧ 𝑘 ∈ ((𝑀 + 1)...𝑁)) → 𝐴 ∈ ℂ)
71	65, 70, 19	fsumm1 15463	. . . . 5 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑁 ∈ (ℤ≥‘(𝑀 + 1))) → Σ𝑘 ∈ ((𝑀 + 1)...𝑁)𝐴 = (Σ𝑘 ∈ ((𝑀 + 1)...(𝑁 − 1))𝐴 + 𝐸))
72		1zzd 12351	. . . . . . . 8 ⊢ (𝜑 → 1 ∈ ℤ)
73	44	peano2zd 12429	. . . . . . . 8 ⊢ (𝜑 → (𝑀 + 1) ∈ ℤ)
74	72, 73, 48, 69, 35	fsumshftm 15493	. . . . . . 7 ⊢ (𝜑 → Σ𝑘 ∈ ((𝑀 + 1)...𝑁)𝐴 = Σ𝑗 ∈ (((𝑀 + 1) − 1)...(𝑁 − 1))𝐶)
75	44	zcnd 12427	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (𝜑 → 𝑀 ∈ ℂ)
76		ax-1cn 10929	. . . . . . . . . . 11 ⊢ 1 ∈ ℂ
77		pncan 11227	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ((𝑀 ∈ ℂ ∧ 1 ∈ ℂ) → ((𝑀 + 1) − 1) = 𝑀)
78	75, 76, 77	sylancl 586	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝜑 → ((𝑀 + 1) − 1) = 𝑀)
79	78	oveq1d 7290	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝜑 → (((𝑀 + 1) − 1)...(𝑁 − 1)) = (𝑀...(𝑁 − 1)))
80	48, 50	syl 17	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝜑 → (𝑀..^𝑁) = (𝑀...(𝑁 − 1)))
81	79, 80	eqtr4d 2781	. . . . . . . 8 ⊢ (𝜑 → (((𝑀 + 1) − 1)...(𝑁 − 1)) = (𝑀..^𝑁))
82	81	sumeq1d 15413	. . . . . . 7 ⊢ (𝜑 → Σ𝑗 ∈ (((𝑀 + 1) − 1)...(𝑁 − 1))𝐶 = Σ𝑗 ∈ (𝑀..^𝑁)𝐶)
83	74, 82	eqtrd 2778	. . . . . 6 ⊢ (𝜑 → Σ𝑘 ∈ ((𝑀 + 1)...𝑁)𝐴 = Σ𝑗 ∈ (𝑀..^𝑁)𝐶)
84	83	adantr 481	. . . . 5 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑁 ∈ (ℤ≥‘(𝑀 + 1))) → Σ𝑘 ∈ ((𝑀 + 1)...𝑁)𝐴 = Σ𝑗 ∈ (𝑀..^𝑁)𝐶)
85	48, 59	syl 17	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝜑 → ((𝑀 + 1)..^𝑁) = ((𝑀 + 1)...(𝑁 − 1)))
86	85	sumeq1d 15413	. . . . . . . 8 ⊢ (𝜑 → Σ𝑘 ∈ ((𝑀 + 1)..^𝑁)𝐴 = Σ𝑘 ∈ ((𝑀 + 1)...(𝑁 − 1))𝐴)
87	86	oveq1d 7290	. . . . . . 7 ⊢ (𝜑 → (Σ𝑘 ∈ ((𝑀 + 1)..^𝑁)𝐴 + 𝐸) = (Σ𝑘 ∈ ((𝑀 + 1)...(𝑁 − 1))𝐴 + 𝐸))
88		fzofi 13694	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((𝑀 + 1)..^𝑁) ∈ Fin
89	88	a1i 11	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝜑 → ((𝑀 + 1)..^𝑁) ∈ Fin)
90		elfzofz 13403	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝑘 ∈ ((𝑀 + 1)..^𝑁) → 𝑘 ∈ ((𝑀 + 1)...𝑁))
91	90, 69	sylan2 593	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑘 ∈ ((𝑀 + 1)..^𝑁)) → 𝐴 ∈ ℂ)
92	89, 91	fsumcl 15445	. . . . . . . 8 ⊢ (𝜑 → Σ𝑘 ∈ ((𝑀 + 1)..^𝑁)𝐴 ∈ ℂ)
93	19	eleq1d 2823	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝑘 = 𝑁 → (𝐴 ∈ ℂ ↔ 𝐸 ∈ ℂ))
94		eluzfz2 13264	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝑁 ∈ (ℤ≥‘𝑀) → 𝑁 ∈ (𝑀...𝑁))
95	6, 94	syl 17	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝜑 → 𝑁 ∈ (𝑀...𝑁))
96	93, 5, 95	rspcdva 3562	. . . . . . . 8 ⊢ (𝜑 → 𝐸 ∈ ℂ)
97	92, 96	addcomd 11177	. . . . . . 7 ⊢ (𝜑 → (Σ𝑘 ∈ ((𝑀 + 1)..^𝑁)𝐴 + 𝐸) = (𝐸 + Σ𝑘 ∈ ((𝑀 + 1)..^𝑁)𝐴))
98	87, 97	eqtr3d 2780	. . . . . 6 ⊢ (𝜑 → (Σ𝑘 ∈ ((𝑀 + 1)...(𝑁 − 1))𝐴 + 𝐸) = (𝐸 + Σ𝑘 ∈ ((𝑀 + 1)..^𝑁)𝐴))
99	98	adantr 481	. . . . 5 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑁 ∈ (ℤ≥‘(𝑀 + 1))) → (Σ𝑘 ∈ ((𝑀 + 1)...(𝑁 − 1))𝐴 + 𝐸) = (𝐸 + Σ𝑘 ∈ ((𝑀 + 1)..^𝑁)𝐴))
100	71, 84, 99	3eqtr3d 2786	. . . 4 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑁 ∈ (ℤ≥‘(𝑀 + 1))) → Σ𝑗 ∈ (𝑀..^𝑁)𝐶 = (𝐸 + Σ𝑘 ∈ ((𝑀 + 1)..^𝑁)𝐴))
101	64, 100	oveq12d 7293	. . 3 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑁 ∈ (ℤ≥‘(𝑀 + 1))) → (Σ𝑗 ∈ (𝑀..^𝑁)𝐵 − Σ𝑗 ∈ (𝑀..^𝑁)𝐶) = ((𝐷 + Σ𝑘 ∈ ((𝑀 + 1)..^𝑁)𝐴) − (𝐸 + Σ𝑘 ∈ ((𝑀 + 1)..^𝑁)𝐴)))
102	9, 96, 92	pnpcan2d 11370	. . . 4 ⊢ (𝜑 → ((𝐷 + Σ𝑘 ∈ ((𝑀 + 1)..^𝑁)𝐴) − (𝐸 + Σ𝑘 ∈ ((𝑀 + 1)..^𝑁)𝐴)) = (𝐷 − 𝐸))
103	102	adantr 481	. . 3 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑁 ∈ (ℤ≥‘(𝑀 + 1))) → ((𝐷 + Σ𝑘 ∈ ((𝑀 + 1)..^𝑁)𝐴) − (𝐸 + Σ𝑘 ∈ ((𝑀 + 1)..^𝑁)𝐴)) = (𝐷 − 𝐸))
104	41, 101, 103	3eqtrd 2782	. 2 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑁 ∈ (ℤ≥‘(𝑀 + 1))) → Σ𝑗 ∈ (𝑀..^𝑁)(𝐵 − 𝐶) = (𝐷 − 𝐸))
105		uzp1 12619	. . 3 ⊢ (𝑁 ∈ (ℤ≥‘𝑀) → (𝑁 = 𝑀 ∨ 𝑁 ∈ (ℤ≥‘(𝑀 + 1))))
106	6, 105	syl 17	. 2 ⊢ (𝜑 → (𝑁 = 𝑀 ∨ 𝑁 ∈ (ℤ≥‘(𝑀 + 1))))
107	26, 104, 106	mpjaodan 956	1 ⊢ (𝜑 → Σ𝑗 ∈ (𝑀..^𝑁)(𝐵 − 𝐶) = (𝐷 − 𝐸))

Syntax hints:   → wi 4   ∧ wa 396   ∨ wo 844   = wceq 1539   ∈ wcel 2106  ∀wral 3064   ⊆ wss 3887  ∅c0 4256  ‘cfv 6433  (class class class)co 7275  Fincfn 8733  ℂcc 10869  0cc0 10871  1c1 10872   + caddc 10874   − cmin 11205  ℤcz 12319  ℤ_≥cuz 12582  ...cfz 13239  ..^cfzo 13382  Σcsu 15397

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1798  ax-4 1812  ax-5 1913  ax-6 1971  ax-7 2011  ax-8 2108  ax-9 2116  ax-10 2137  ax-11 2154  ax-12 2171  ax-ext 2709  ax-rep 5209  ax-sep 5223  ax-nul 5230  ax-pow 5288  ax-pr 5352  ax-un 7588  ax-inf2 9399  ax-cnex 10927  ax-resscn 10928  ax-1cn 10929  ax-icn 10930  ax-addcl 10931  ax-addrcl 10932  ax-mulcl 10933  ax-mulrcl 10934  ax-mulcom 10935  ax-addass 10936  ax-mulass 10937  ax-distr 10938  ax-i2m1 10939  ax-1ne0 10940  ax-1rid 10941  ax-rnegex 10942  ax-rrecex 10943  ax-cnre 10944  ax-pre-lttri 10945  ax-pre-lttrn 10946  ax-pre-ltadd 10947  ax-pre-mulgt0 10948  ax-pre-sup 10949

This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 397  df-or 845  df-3or 1087  df-3an 1088  df-tru 1542  df-fal 1552  df-ex 1783  df-nf 1787  df-sb 2068  df-mo 2540  df-eu 2569  df-clab 2716  df-cleq 2730  df-clel 2816  df-nfc 2889  df-ne 2944  df-nel 3050  df-ral 3069  df-rex 3070  df-rmo 3071  df-reu 3072  df-rab 3073  df-v 3434  df-sbc 3717  df-csb 3833  df-dif 3890  df-un 3892  df-in 3894  df-ss 3904  df-pss 3906  df-nul 4257  df-if 4460  df-pw 4535  df-sn 4562  df-pr 4564  df-op 4568  df-uni 4840  df-int 4880  df-iun 4926  df-br 5075  df-opab 5137  df-mpt 5158  df-tr 5192  df-id 5489  df-eprel 5495  df-po 5503  df-so 5504  df-fr 5544  df-se 5545  df-we 5546  df-xp 5595  df-rel 5596  df-cnv 5597  df-co 5598  df-dm 5599  df-rn 5600  df-res 5601  df-ima 5602  df-pred 6202  df-ord 6269  df-on 6270  df-lim 6271  df-suc 6272  df-iota 6391  df-fun 6435  df-fn 6436  df-f 6437  df-f1 6438  df-fo 6439  df-f1o 6440  df-fv 6441  df-isom 6442  df-riota 7232  df-ov 7278  df-oprab 7279  df-mpo 7280  df-om 7713  df-1st 7831  df-2nd 7832  df-frecs 8097  df-wrecs 8128  df-recs 8202  df-rdg 8241  df-1o 8297  df-er 8498  df-en 8734  df-dom 8735  df-sdom 8736  df-fin 8737  df-sup 9201  df-oi 9269  df-card 9697  df-pnf 11011  df-mnf 11012  df-xr 11013  df-ltxr 11014  df-le 11015  df-sub 11207  df-neg 11208  df-div 11633  df-nn 11974  df-2 12036  df-3 12037  df-n0 12234  df-z 12320  df-uz 12583  df-rp 12731  df-fz 13240  df-fzo 13383  df-seq 13722  df-exp 13783  df-hash 14045  df-cj 14810  df-re 14811  df-im 14812  df-sqrt 14946  df-abs 14947  df-clim 15197  df-sum 15398

This theorem is referenced by:  telfsumo2  15515  telfsum  15516  geoserg  15578  dchrisumlem2  26638  stirlinglem12  43626