MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  telfsumo Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem telfsumo 15747
Description: Sum of a telescoping series, using half-open intervals. (Contributed by Mario Carneiro, 2-May-2016.)
Hypotheses
Ref Expression
telfsumo.1 (𝑘 = 𝑗𝐴 = 𝐵)
telfsumo.2 (𝑘 = (𝑗 + 1) → 𝐴 = 𝐶)
telfsumo.3 (𝑘 = 𝑀𝐴 = 𝐷)
telfsumo.4 (𝑘 = 𝑁𝐴 = 𝐸)
telfsumo.5 (𝜑𝑁 ∈ (ℤ𝑀))
telfsumo.6 ((𝜑𝑘 ∈ (𝑀...𝑁)) → 𝐴 ∈ ℂ)
Assertion
Ref Expression
telfsumo (𝜑 → Σ𝑗 ∈ (𝑀..^𝑁)(𝐵𝐶) = (𝐷𝐸))
Distinct variable groups:   𝐴,𝑗   𝐵,𝑘   𝐶,𝑘   𝑗,𝑘,𝑀   𝑗,𝑁,𝑘   𝜑,𝑗,𝑘   𝐷,𝑘   𝑘,𝐸
Allowed substitution hints:   𝐴(𝑘)   𝐵(𝑗)   𝐶(𝑗)   𝐷(𝑗)   𝐸(𝑗)

Proof of Theorem telfsumo
StepHypRef Expression
1 sum0 15666 . . . 4 Σ𝑗 ∈ ∅ (𝐵𝐶) = 0
2 telfsumo.3 . . . . . . . 8 (𝑘 = 𝑀𝐴 = 𝐷)
32eleq1d 2818 . . . . . . 7 (𝑘 = 𝑀 → (𝐴 ∈ ℂ ↔ 𝐷 ∈ ℂ))
4 telfsumo.6 . . . . . . . 8 ((𝜑𝑘 ∈ (𝑀...𝑁)) → 𝐴 ∈ ℂ)
54ralrimiva 3146 . . . . . . 7 (𝜑 → ∀𝑘 ∈ (𝑀...𝑁)𝐴 ∈ ℂ)
6 telfsumo.5 . . . . . . . 8 (𝜑𝑁 ∈ (ℤ𝑀))
7 eluzfz1 13507 . . . . . . . 8 (𝑁 ∈ (ℤ𝑀) → 𝑀 ∈ (𝑀...𝑁))
86, 7syl 17 . . . . . . 7 (𝜑𝑀 ∈ (𝑀...𝑁))
93, 5, 8rspcdva 3613 . . . . . 6 (𝜑𝐷 ∈ ℂ)
109adantr 481 . . . . 5 ((𝜑𝑁 = 𝑀) → 𝐷 ∈ ℂ)
1110subidd 11558 . . . 4 ((𝜑𝑁 = 𝑀) → (𝐷𝐷) = 0)
121, 11eqtr4id 2791 . . 3 ((𝜑𝑁 = 𝑀) → Σ𝑗 ∈ ∅ (𝐵𝐶) = (𝐷𝐷))
13 oveq2 7416 . . . . . 6 (𝑁 = 𝑀 → (𝑀..^𝑁) = (𝑀..^𝑀))
1413adantl 482 . . . . 5 ((𝜑𝑁 = 𝑀) → (𝑀..^𝑁) = (𝑀..^𝑀))
15 fzo0 13655 . . . . 5 (𝑀..^𝑀) = ∅
1614, 15eqtrdi 2788 . . . 4 ((𝜑𝑁 = 𝑀) → (𝑀..^𝑁) = ∅)
1716sumeq1d 15646 . . 3 ((𝜑𝑁 = 𝑀) → Σ𝑗 ∈ (𝑀..^𝑁)(𝐵𝐶) = Σ𝑗 ∈ ∅ (𝐵𝐶))
18 eqeq1 2736 . . . . . . . 8 (𝑘 = 𝑁 → (𝑘 = 𝑀𝑁 = 𝑀))
19 telfsumo.4 . . . . . . . . 9 (𝑘 = 𝑁𝐴 = 𝐸)
2019eqeq1d 2734 . . . . . . . 8 (𝑘 = 𝑁 → (𝐴 = 𝐷𝐸 = 𝐷))
2118, 20imbi12d 344 . . . . . . 7 (𝑘 = 𝑁 → ((𝑘 = 𝑀𝐴 = 𝐷) ↔ (𝑁 = 𝑀𝐸 = 𝐷)))
2221, 2vtoclg 3556 . . . . . 6 (𝑁 ∈ (ℤ𝑀) → (𝑁 = 𝑀𝐸 = 𝐷))
2322imp 407 . . . . 5 ((𝑁 ∈ (ℤ𝑀) ∧ 𝑁 = 𝑀) → 𝐸 = 𝐷)
246, 23sylan 580 . . . 4 ((𝜑𝑁 = 𝑀) → 𝐸 = 𝐷)
2524oveq2d 7424 . . 3 ((𝜑𝑁 = 𝑀) → (𝐷𝐸) = (𝐷𝐷))
2612, 17, 253eqtr4d 2782 . 2 ((𝜑𝑁 = 𝑀) → Σ𝑗 ∈ (𝑀..^𝑁)(𝐵𝐶) = (𝐷𝐸))
27 fzofi 13938 . . . . . 6 (𝑀..^𝑁) ∈ Fin
2827a1i 11 . . . . 5 (𝜑 → (𝑀..^𝑁) ∈ Fin)
29 telfsumo.1 . . . . . . 7 (𝑘 = 𝑗𝐴 = 𝐵)
3029eleq1d 2818 . . . . . 6 (𝑘 = 𝑗 → (𝐴 ∈ ℂ ↔ 𝐵 ∈ ℂ))
315adantr 481 . . . . . 6 ((𝜑𝑗 ∈ (𝑀..^𝑁)) → ∀𝑘 ∈ (𝑀...𝑁)𝐴 ∈ ℂ)
32 elfzofz 13647 . . . . . . 7 (𝑗 ∈ (𝑀..^𝑁) → 𝑗 ∈ (𝑀...𝑁))
3332adantl 482 . . . . . 6 ((𝜑𝑗 ∈ (𝑀..^𝑁)) → 𝑗 ∈ (𝑀...𝑁))
3430, 31, 33rspcdva 3613 . . . . 5 ((𝜑𝑗 ∈ (𝑀..^𝑁)) → 𝐵 ∈ ℂ)
35 telfsumo.2 . . . . . . 7 (𝑘 = (𝑗 + 1) → 𝐴 = 𝐶)
3635eleq1d 2818 . . . . . 6 (𝑘 = (𝑗 + 1) → (𝐴 ∈ ℂ ↔ 𝐶 ∈ ℂ))
37 fzofzp1 13728 . . . . . . 7 (𝑗 ∈ (𝑀..^𝑁) → (𝑗 + 1) ∈ (𝑀...𝑁))
3837adantl 482 . . . . . 6 ((𝜑𝑗 ∈ (𝑀..^𝑁)) → (𝑗 + 1) ∈ (𝑀...𝑁))
3936, 31, 38rspcdva 3613 . . . . 5 ((𝜑𝑗 ∈ (𝑀..^𝑁)) → 𝐶 ∈ ℂ)
4028, 34, 39fsumsub 15733 . . . 4 (𝜑 → Σ𝑗 ∈ (𝑀..^𝑁)(𝐵𝐶) = (Σ𝑗 ∈ (𝑀..^𝑁)𝐵 − Σ𝑗 ∈ (𝑀..^𝑁)𝐶))
4140adantr 481 . . 3 ((𝜑𝑁 ∈ (ℤ‘(𝑀 + 1))) → Σ𝑗 ∈ (𝑀..^𝑁)(𝐵𝐶) = (Σ𝑗 ∈ (𝑀..^𝑁)𝐵 − Σ𝑗 ∈ (𝑀..^𝑁)𝐶))
4229cbvsumv 15641 . . . . 5 Σ𝑘 ∈ (𝑀..^𝑁)𝐴 = Σ𝑗 ∈ (𝑀..^𝑁)𝐵
43 eluzel2 12826 . . . . . . . . 9 (𝑁 ∈ (ℤ𝑀) → 𝑀 ∈ ℤ)
446, 43syl 17 . . . . . . . 8 (𝜑𝑀 ∈ ℤ)
45 eluzp1m1 12847 . . . . . . . 8 ((𝑀 ∈ ℤ ∧ 𝑁 ∈ (ℤ‘(𝑀 + 1))) → (𝑁 − 1) ∈ (ℤ𝑀))
4644, 45sylan 580 . . . . . . 7 ((𝜑𝑁 ∈ (ℤ‘(𝑀 + 1))) → (𝑁 − 1) ∈ (ℤ𝑀))
47 eluzelz 12831 . . . . . . . . . . . . 13 (𝑁 ∈ (ℤ𝑀) → 𝑁 ∈ ℤ)
486, 47syl 17 . . . . . . . . . . . 12 (𝜑𝑁 ∈ ℤ)
4948adantr 481 . . . . . . . . . . 11 ((𝜑𝑁 ∈ (ℤ‘(𝑀 + 1))) → 𝑁 ∈ ℤ)
50 fzoval 13632 . . . . . . . . . . 11 (𝑁 ∈ ℤ → (𝑀..^𝑁) = (𝑀...(𝑁 − 1)))
5149, 50syl 17 . . . . . . . . . 10 ((𝜑𝑁 ∈ (ℤ‘(𝑀 + 1))) → (𝑀..^𝑁) = (𝑀...(𝑁 − 1)))
52 fzossfz 13650 . . . . . . . . . 10 (𝑀..^𝑁) ⊆ (𝑀...𝑁)
5351, 52eqsstrrdi 4037 . . . . . . . . 9 ((𝜑𝑁 ∈ (ℤ‘(𝑀 + 1))) → (𝑀...(𝑁 − 1)) ⊆ (𝑀...𝑁))
5453sselda 3982 . . . . . . . 8 (((𝜑𝑁 ∈ (ℤ‘(𝑀 + 1))) ∧ 𝑘 ∈ (𝑀...(𝑁 − 1))) → 𝑘 ∈ (𝑀...𝑁))
554adantlr 713 . . . . . . . 8 (((𝜑𝑁 ∈ (ℤ‘(𝑀 + 1))) ∧ 𝑘 ∈ (𝑀...𝑁)) → 𝐴 ∈ ℂ)
5654, 55syldan 591 . . . . . . 7 (((𝜑𝑁 ∈ (ℤ‘(𝑀 + 1))) ∧ 𝑘 ∈ (𝑀...(𝑁 − 1))) → 𝐴 ∈ ℂ)
5746, 56, 2fsum1p 15698 . . . . . 6 ((𝜑𝑁 ∈ (ℤ‘(𝑀 + 1))) → Σ𝑘 ∈ (𝑀...(𝑁 − 1))𝐴 = (𝐷 + Σ𝑘 ∈ ((𝑀 + 1)...(𝑁 − 1))𝐴))
5851sumeq1d 15646 . . . . . 6 ((𝜑𝑁 ∈ (ℤ‘(𝑀 + 1))) → Σ𝑘 ∈ (𝑀..^𝑁)𝐴 = Σ𝑘 ∈ (𝑀...(𝑁 − 1))𝐴)
59 fzoval 13632 . . . . . . . . 9 (𝑁 ∈ ℤ → ((𝑀 + 1)..^𝑁) = ((𝑀 + 1)...(𝑁 − 1)))
6049, 59syl 17 . . . . . . . 8 ((𝜑𝑁 ∈ (ℤ‘(𝑀 + 1))) → ((𝑀 + 1)..^𝑁) = ((𝑀 + 1)...(𝑁 − 1)))
6160sumeq1d 15646 . . . . . . 7 ((𝜑𝑁 ∈ (ℤ‘(𝑀 + 1))) → Σ𝑘 ∈ ((𝑀 + 1)..^𝑁)𝐴 = Σ𝑘 ∈ ((𝑀 + 1)...(𝑁 − 1))𝐴)
6261oveq2d 7424 . . . . . 6 ((𝜑𝑁 ∈ (ℤ‘(𝑀 + 1))) → (𝐷 + Σ𝑘 ∈ ((𝑀 + 1)..^𝑁)𝐴) = (𝐷 + Σ𝑘 ∈ ((𝑀 + 1)...(𝑁 − 1))𝐴))
6357, 58, 623eqtr4d 2782 . . . . 5 ((𝜑𝑁 ∈ (ℤ‘(𝑀 + 1))) → Σ𝑘 ∈ (𝑀..^𝑁)𝐴 = (𝐷 + Σ𝑘 ∈ ((𝑀 + 1)..^𝑁)𝐴))
6442, 63eqtr3id 2786 . . . 4 ((𝜑𝑁 ∈ (ℤ‘(𝑀 + 1))) → Σ𝑗 ∈ (𝑀..^𝑁)𝐵 = (𝐷 + Σ𝑘 ∈ ((𝑀 + 1)..^𝑁)𝐴))
65 simpr 485 . . . . . 6 ((𝜑𝑁 ∈ (ℤ‘(𝑀 + 1))) → 𝑁 ∈ (ℤ‘(𝑀 + 1)))
66 fzp1ss 13551 . . . . . . . . . 10 (𝑀 ∈ ℤ → ((𝑀 + 1)...𝑁) ⊆ (𝑀...𝑁))
6744, 66syl 17 . . . . . . . . 9 (𝜑 → ((𝑀 + 1)...𝑁) ⊆ (𝑀...𝑁))
6867sselda 3982 . . . . . . . 8 ((𝜑𝑘 ∈ ((𝑀 + 1)...𝑁)) → 𝑘 ∈ (𝑀...𝑁))
6968, 4syldan 591 . . . . . . 7 ((𝜑𝑘 ∈ ((𝑀 + 1)...𝑁)) → 𝐴 ∈ ℂ)
7069adantlr 713 . . . . . 6 (((𝜑𝑁 ∈ (ℤ‘(𝑀 + 1))) ∧ 𝑘 ∈ ((𝑀 + 1)...𝑁)) → 𝐴 ∈ ℂ)
7165, 70, 19fsumm1 15696 . . . . 5 ((𝜑𝑁 ∈ (ℤ‘(𝑀 + 1))) → Σ𝑘 ∈ ((𝑀 + 1)...𝑁)𝐴 = (Σ𝑘 ∈ ((𝑀 + 1)...(𝑁 − 1))𝐴 + 𝐸))
72 1zzd 12592 . . . . . . . 8 (𝜑 → 1 ∈ ℤ)
7344peano2zd 12668 . . . . . . . 8 (𝜑 → (𝑀 + 1) ∈ ℤ)
7472, 73, 48, 69, 35fsumshftm 15726 . . . . . . 7 (𝜑 → Σ𝑘 ∈ ((𝑀 + 1)...𝑁)𝐴 = Σ𝑗 ∈ (((𝑀 + 1) − 1)...(𝑁 − 1))𝐶)
7544zcnd 12666 . . . . . . . . . . 11 (𝜑𝑀 ∈ ℂ)
76 ax-1cn 11167 . . . . . . . . . . 11 1 ∈ ℂ
77 pncan 11465 . . . . . . . . . . 11 ((𝑀 ∈ ℂ ∧ 1 ∈ ℂ) → ((𝑀 + 1) − 1) = 𝑀)
7875, 76, 77sylancl 586 . . . . . . . . . 10 (𝜑 → ((𝑀 + 1) − 1) = 𝑀)
7978oveq1d 7423 . . . . . . . . 9 (𝜑 → (((𝑀 + 1) − 1)...(𝑁 − 1)) = (𝑀...(𝑁 − 1)))
8048, 50syl 17 . . . . . . . . 9 (𝜑 → (𝑀..^𝑁) = (𝑀...(𝑁 − 1)))
8179, 80eqtr4d 2775 . . . . . . . 8 (𝜑 → (((𝑀 + 1) − 1)...(𝑁 − 1)) = (𝑀..^𝑁))
8281sumeq1d 15646 . . . . . . 7 (𝜑 → Σ𝑗 ∈ (((𝑀 + 1) − 1)...(𝑁 − 1))𝐶 = Σ𝑗 ∈ (𝑀..^𝑁)𝐶)
8374, 82eqtrd 2772 . . . . . 6 (𝜑 → Σ𝑘 ∈ ((𝑀 + 1)...𝑁)𝐴 = Σ𝑗 ∈ (𝑀..^𝑁)𝐶)
8483adantr 481 . . . . 5 ((𝜑𝑁 ∈ (ℤ‘(𝑀 + 1))) → Σ𝑘 ∈ ((𝑀 + 1)...𝑁)𝐴 = Σ𝑗 ∈ (𝑀..^𝑁)𝐶)
8548, 59syl 17 . . . . . . . . 9 (𝜑 → ((𝑀 + 1)..^𝑁) = ((𝑀 + 1)...(𝑁 − 1)))
8685sumeq1d 15646 . . . . . . . 8 (𝜑 → Σ𝑘 ∈ ((𝑀 + 1)..^𝑁)𝐴 = Σ𝑘 ∈ ((𝑀 + 1)...(𝑁 − 1))𝐴)
8786oveq1d 7423 . . . . . . 7 (𝜑 → (Σ𝑘 ∈ ((𝑀 + 1)..^𝑁)𝐴 + 𝐸) = (Σ𝑘 ∈ ((𝑀 + 1)...(𝑁 − 1))𝐴 + 𝐸))
88 fzofi 13938 . . . . . . . . . 10 ((𝑀 + 1)..^𝑁) ∈ Fin
8988a1i 11 . . . . . . . . 9 (𝜑 → ((𝑀 + 1)..^𝑁) ∈ Fin)
90 elfzofz 13647 . . . . . . . . . 10 (𝑘 ∈ ((𝑀 + 1)..^𝑁) → 𝑘 ∈ ((𝑀 + 1)...𝑁))
9190, 69sylan2 593 . . . . . . . . 9 ((𝜑𝑘 ∈ ((𝑀 + 1)..^𝑁)) → 𝐴 ∈ ℂ)
9289, 91fsumcl 15678 . . . . . . . 8 (𝜑 → Σ𝑘 ∈ ((𝑀 + 1)..^𝑁)𝐴 ∈ ℂ)
9319eleq1d 2818 . . . . . . . . 9 (𝑘 = 𝑁 → (𝐴 ∈ ℂ ↔ 𝐸 ∈ ℂ))
94 eluzfz2 13508 . . . . . . . . . 10 (𝑁 ∈ (ℤ𝑀) → 𝑁 ∈ (𝑀...𝑁))
956, 94syl 17 . . . . . . . . 9 (𝜑𝑁 ∈ (𝑀...𝑁))
9693, 5, 95rspcdva 3613 . . . . . . . 8 (𝜑𝐸 ∈ ℂ)
9792, 96addcomd 11415 . . . . . . 7 (𝜑 → (Σ𝑘 ∈ ((𝑀 + 1)..^𝑁)𝐴 + 𝐸) = (𝐸 + Σ𝑘 ∈ ((𝑀 + 1)..^𝑁)𝐴))
9887, 97eqtr3d 2774 . . . . . 6 (𝜑 → (Σ𝑘 ∈ ((𝑀 + 1)...(𝑁 − 1))𝐴 + 𝐸) = (𝐸 + Σ𝑘 ∈ ((𝑀 + 1)..^𝑁)𝐴))
9998adantr 481 . . . . 5 ((𝜑𝑁 ∈ (ℤ‘(𝑀 + 1))) → (Σ𝑘 ∈ ((𝑀 + 1)...(𝑁 − 1))𝐴 + 𝐸) = (𝐸 + Σ𝑘 ∈ ((𝑀 + 1)..^𝑁)𝐴))
10071, 84, 993eqtr3d 2780 . . . 4 ((𝜑𝑁 ∈ (ℤ‘(𝑀 + 1))) → Σ𝑗 ∈ (𝑀..^𝑁)𝐶 = (𝐸 + Σ𝑘 ∈ ((𝑀 + 1)..^𝑁)𝐴))
10164, 100oveq12d 7426 . . 3 ((𝜑𝑁 ∈ (ℤ‘(𝑀 + 1))) → (Σ𝑗 ∈ (𝑀..^𝑁)𝐵 − Σ𝑗 ∈ (𝑀..^𝑁)𝐶) = ((𝐷 + Σ𝑘 ∈ ((𝑀 + 1)..^𝑁)𝐴) − (𝐸 + Σ𝑘 ∈ ((𝑀 + 1)..^𝑁)𝐴)))
1029, 96, 92pnpcan2d 11608 . . . 4 (𝜑 → ((𝐷 + Σ𝑘 ∈ ((𝑀 + 1)..^𝑁)𝐴) − (𝐸 + Σ𝑘 ∈ ((𝑀 + 1)..^𝑁)𝐴)) = (𝐷𝐸))
103102adantr 481 . . 3 ((𝜑𝑁 ∈ (ℤ‘(𝑀 + 1))) → ((𝐷 + Σ𝑘 ∈ ((𝑀 + 1)..^𝑁)𝐴) − (𝐸 + Σ𝑘 ∈ ((𝑀 + 1)..^𝑁)𝐴)) = (𝐷𝐸))
10441, 101, 1033eqtrd 2776 . 2 ((𝜑𝑁 ∈ (ℤ‘(𝑀 + 1))) → Σ𝑗 ∈ (𝑀..^𝑁)(𝐵𝐶) = (𝐷𝐸))
105 uzp1 12862 . . 3 (𝑁 ∈ (ℤ𝑀) → (𝑁 = 𝑀𝑁 ∈ (ℤ‘(𝑀 + 1))))
1066, 105syl 17 . 2 (𝜑 → (𝑁 = 𝑀𝑁 ∈ (ℤ‘(𝑀 + 1))))
10726, 104, 106mpjaodan 957 1 (𝜑 → Σ𝑗 ∈ (𝑀..^𝑁)(𝐵𝐶) = (𝐷𝐸))
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  wi 4  wa 396  wo 845   = wceq 1541  wcel 2106  wral 3061  wss 3948  c0 4322  cfv 6543  (class class class)co 7408  Fincfn 8938  cc 11107  0cc0 11109  1c1 11110   + caddc 11112  cmin 11443  cz 12557  cuz 12821  ...cfz 13483  ..^cfzo 13626  Σcsu 15631
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1797  ax-4 1811  ax-5 1913  ax-6 1971  ax-7 2011  ax-8 2108  ax-9 2116  ax-10 2137  ax-11 2154  ax-12 2171  ax-ext 2703  ax-rep 5285  ax-sep 5299  ax-nul 5306  ax-pow 5363  ax-pr 5427  ax-un 7724  ax-inf2 9635  ax-cnex 11165  ax-resscn 11166  ax-1cn 11167  ax-icn 11168  ax-addcl 11169  ax-addrcl 11170  ax-mulcl 11171  ax-mulrcl 11172  ax-mulcom 11173  ax-addass 11174  ax-mulass 11175  ax-distr 11176  ax-i2m1 11177  ax-1ne0 11178  ax-1rid 11179  ax-rnegex 11180  ax-rrecex 11181  ax-cnre 11182  ax-pre-lttri 11183  ax-pre-lttrn 11184  ax-pre-ltadd 11185  ax-pre-mulgt0 11186  ax-pre-sup 11187
This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 397  df-or 846  df-3or 1088  df-3an 1089  df-tru 1544  df-fal 1554  df-ex 1782  df-nf 1786  df-sb 2068  df-mo 2534  df-eu 2563  df-clab 2710  df-cleq 2724  df-clel 2810  df-nfc 2885  df-ne 2941  df-nel 3047  df-ral 3062  df-rex 3071  df-rmo 3376  df-reu 3377  df-rab 3433  df-v 3476  df-sbc 3778  df-csb 3894  df-dif 3951  df-un 3953  df-in 3955  df-ss 3965  df-pss 3967  df-nul 4323  df-if 4529  df-pw 4604  df-sn 4629  df-pr 4631  df-op 4635  df-uni 4909  df-int 4951  df-iun 4999  df-br 5149  df-opab 5211  df-mpt 5232  df-tr 5266  df-id 5574  df-eprel 5580  df-po 5588  df-so 5589  df-fr 5631  df-se 5632  df-we 5633  df-xp 5682  df-rel 5683  df-cnv 5684  df-co 5685  df-dm 5686  df-rn 5687  df-res 5688  df-ima 5689  df-pred 6300  df-ord 6367  df-on 6368  df-lim 6369  df-suc 6370  df-iota 6495  df-fun 6545  df-fn 6546  df-f 6547  df-f1 6548  df-fo 6549  df-f1o 6550  df-fv 6551  df-isom 6552  df-riota 7364  df-ov 7411  df-oprab 7412  df-mpo 7413  df-om 7855  df-1st 7974  df-2nd 7975  df-frecs 8265  df-wrecs 8296  df-recs 8370  df-rdg 8409  df-1o 8465  df-er 8702  df-en 8939  df-dom 8940  df-sdom 8941  df-fin 8942  df-sup 9436  df-oi 9504  df-card 9933  df-pnf 11249  df-mnf 11250  df-xr 11251  df-ltxr 11252  df-le 11253  df-sub 11445  df-neg 11446  df-div 11871  df-nn 12212  df-2 12274  df-3 12275  df-n0 12472  df-z 12558  df-uz 12822  df-rp 12974  df-fz 13484  df-fzo 13627  df-seq 13966  df-exp 14027  df-hash 14290  df-cj 15045  df-re 15046  df-im 15047  df-sqrt 15181  df-abs 15182  df-clim 15431  df-sum 15632
This theorem is referenced by:  telfsumo2  15748  telfsum  15749  geoserg  15811  dchrisumlem2  26990  stirlinglem12  44791
  Copyright terms: Public domain W3C validator