Theorem telfsumo 15713

Description: Sum of a telescoping series, using half-open intervals. (Contributed by Mario Carneiro, 2-May-2016.)

Hypotheses

Ref	Expression
telfsumo.1	⊢ (𝑘 = 𝑗 → 𝐴 = 𝐵)
telfsumo.2	⊢ (𝑘 = (𝑗 + 1) → 𝐴 = 𝐶)
telfsumo.3	⊢ (𝑘 = 𝑀 → 𝐴 = 𝐷)
telfsumo.4	⊢ (𝑘 = 𝑁 → 𝐴 = 𝐸)
telfsumo.5	⊢ (𝜑 → 𝑁 ∈ (ℤ≥‘𝑀))
telfsumo.6	⊢ ((𝜑 ∧ 𝑘 ∈ (𝑀...𝑁)) → 𝐴 ∈ ℂ)

Assertion

Ref	Expression
telfsumo	⊢ (𝜑 → Σ𝑗 ∈ (𝑀..^𝑁)(𝐵 − 𝐶) = (𝐷 − 𝐸))

Distinct variable groups:   𝐴,𝑗   𝐵,𝑘   𝐶,𝑘   𝑗,𝑘,𝑀   𝑗,𝑁,𝑘   𝜑,𝑗,𝑘   𝐷,𝑘   𝑘,𝐸

Allowed substitution hints:   𝐴(𝑘)   𝐵(𝑗)   𝐶(𝑗)   𝐷(𝑗)   𝐸(𝑗)

Proof of Theorem telfsumo

Step	Hyp	Ref	Expression
1		sum0 15632	. . . 4 ⊢ Σ𝑗 ∈ ∅ (𝐵 − 𝐶) = 0
2		telfsumo.3	. . . . . . . 8 ⊢ (𝑘 = 𝑀 → 𝐴 = 𝐷)
3	2	eleq1d 2818	. . . . . . 7 ⊢ (𝑘 = 𝑀 → (𝐴 ∈ ℂ ↔ 𝐷 ∈ ℂ))
4		telfsumo.6	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑘 ∈ (𝑀...𝑁)) → 𝐴 ∈ ℂ)
5	4	ralrimiva 3125	. . . . . . 7 ⊢ (𝜑 → ∀𝑘 ∈ (𝑀...𝑁)𝐴 ∈ ℂ)
6		telfsumo.5	. . . . . . . 8 ⊢ (𝜑 → 𝑁 ∈ (ℤ≥‘𝑀))
7		eluzfz1 13435	. . . . . . . 8 ⊢ (𝑁 ∈ (ℤ≥‘𝑀) → 𝑀 ∈ (𝑀...𝑁))
8	6, 7	syl 17	. . . . . . 7 ⊢ (𝜑 → 𝑀 ∈ (𝑀...𝑁))
9	3, 5, 8	rspcdva 3574	. . . . . 6 ⊢ (𝜑 → 𝐷 ∈ ℂ)
10	9	adantr 480	. . . . 5 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑁 = 𝑀) → 𝐷 ∈ ℂ)
11	10	subidd 11469	. . . 4 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑁 = 𝑀) → (𝐷 − 𝐷) = 0)
12	1, 11	eqtr4id 2787	. . 3 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑁 = 𝑀) → Σ𝑗 ∈ ∅ (𝐵 − 𝐶) = (𝐷 − 𝐷))
13		oveq2 7362	. . . . . 6 ⊢ (𝑁 = 𝑀 → (𝑀..^𝑁) = (𝑀..^𝑀))
14	13	adantl 481	. . . . 5 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑁 = 𝑀) → (𝑀..^𝑁) = (𝑀..^𝑀))
15		fzo0 13587	. . . . 5 ⊢ (𝑀..^𝑀) = ∅
16	14, 15	eqtrdi 2784	. . . 4 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑁 = 𝑀) → (𝑀..^𝑁) = ∅)
17	16	sumeq1d 15611	. . 3 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑁 = 𝑀) → Σ𝑗 ∈ (𝑀..^𝑁)(𝐵 − 𝐶) = Σ𝑗 ∈ ∅ (𝐵 − 𝐶))
18		eqeq1 2737	. . . . . . . 8 ⊢ (𝑘 = 𝑁 → (𝑘 = 𝑀 ↔ 𝑁 = 𝑀))
19		telfsumo.4	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝑘 = 𝑁 → 𝐴 = 𝐸)
20	19	eqeq1d 2735	. . . . . . . 8 ⊢ (𝑘 = 𝑁 → (𝐴 = 𝐷 ↔ 𝐸 = 𝐷))
21	18, 20	imbi12d 344	. . . . . . 7 ⊢ (𝑘 = 𝑁 → ((𝑘 = 𝑀 → 𝐴 = 𝐷) ↔ (𝑁 = 𝑀 → 𝐸 = 𝐷)))
22	21, 2	vtoclg 3508	. . . . . 6 ⊢ (𝑁 ∈ (ℤ≥‘𝑀) → (𝑁 = 𝑀 → 𝐸 = 𝐷))
23	22	imp 406	. . . . 5 ⊢ ((𝑁 ∈ (ℤ≥‘𝑀) ∧ 𝑁 = 𝑀) → 𝐸 = 𝐷)
24	6, 23	sylan 580	. . . 4 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑁 = 𝑀) → 𝐸 = 𝐷)
25	24	oveq2d 7370	. . 3 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑁 = 𝑀) → (𝐷 − 𝐸) = (𝐷 − 𝐷))
26	12, 17, 25	3eqtr4d 2778	. 2 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑁 = 𝑀) → Σ𝑗 ∈ (𝑀..^𝑁)(𝐵 − 𝐶) = (𝐷 − 𝐸))
27		fzofi 13885	. . . . . 6 ⊢ (𝑀..^𝑁) ∈ Fin
28	27	a1i 11	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → (𝑀..^𝑁) ∈ Fin)
29		telfsumo.1	. . . . . . 7 ⊢ (𝑘 = 𝑗 → 𝐴 = 𝐵)
30	29	eleq1d 2818	. . . . . 6 ⊢ (𝑘 = 𝑗 → (𝐴 ∈ ℂ ↔ 𝐵 ∈ ℂ))
31	5	adantr 480	. . . . . 6 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑗 ∈ (𝑀..^𝑁)) → ∀𝑘 ∈ (𝑀...𝑁)𝐴 ∈ ℂ)
32		elfzofz 13579	. . . . . . 7 ⊢ (𝑗 ∈ (𝑀..^𝑁) → 𝑗 ∈ (𝑀...𝑁))
33	32	adantl 481	. . . . . 6 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑗 ∈ (𝑀..^𝑁)) → 𝑗 ∈ (𝑀...𝑁))
34	30, 31, 33	rspcdva 3574	. . . . 5 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑗 ∈ (𝑀..^𝑁)) → 𝐵 ∈ ℂ)
35		telfsumo.2	. . . . . . 7 ⊢ (𝑘 = (𝑗 + 1) → 𝐴 = 𝐶)
36	35	eleq1d 2818	. . . . . 6 ⊢ (𝑘 = (𝑗 + 1) → (𝐴 ∈ ℂ ↔ 𝐶 ∈ ℂ))
37		fzofzp1 13668	. . . . . . 7 ⊢ (𝑗 ∈ (𝑀..^𝑁) → (𝑗 + 1) ∈ (𝑀...𝑁))
38	37	adantl 481	. . . . . 6 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑗 ∈ (𝑀..^𝑁)) → (𝑗 + 1) ∈ (𝑀...𝑁))
39	36, 31, 38	rspcdva 3574	. . . . 5 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑗 ∈ (𝑀..^𝑁)) → 𝐶 ∈ ℂ)
40	28, 34, 39	fsumsub 15699	. . . 4 ⊢ (𝜑 → Σ𝑗 ∈ (𝑀..^𝑁)(𝐵 − 𝐶) = (Σ𝑗 ∈ (𝑀..^𝑁)𝐵 − Σ𝑗 ∈ (𝑀..^𝑁)𝐶))
41	40	adantr 480	. . 3 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑁 ∈ (ℤ≥‘(𝑀 + 1))) → Σ𝑗 ∈ (𝑀..^𝑁)(𝐵 − 𝐶) = (Σ𝑗 ∈ (𝑀..^𝑁)𝐵 − Σ𝑗 ∈ (𝑀..^𝑁)𝐶))
42	29	cbvsumv 15607	. . . . 5 ⊢ Σ𝑘 ∈ (𝑀..^𝑁)𝐴 = Σ𝑗 ∈ (𝑀..^𝑁)𝐵
43		eluzel2 12745	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝑁 ∈ (ℤ≥‘𝑀) → 𝑀 ∈ ℤ)
44	6, 43	syl 17	. . . . . . . 8 ⊢ (𝜑 → 𝑀 ∈ ℤ)
45		eluzp1m1 12766	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝑀 ∈ ℤ ∧ 𝑁 ∈ (ℤ≥‘(𝑀 + 1))) → (𝑁 − 1) ∈ (ℤ≥‘𝑀))
46	44, 45	sylan 580	. . . . . . 7 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑁 ∈ (ℤ≥‘(𝑀 + 1))) → (𝑁 − 1) ∈ (ℤ≥‘𝑀))
47		eluzelz 12750	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (𝑁 ∈ (ℤ≥‘𝑀) → 𝑁 ∈ ℤ)
48	6, 47	syl 17	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (𝜑 → 𝑁 ∈ ℤ)
49	48	adantr 480	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑁 ∈ (ℤ≥‘(𝑀 + 1))) → 𝑁 ∈ ℤ)
50		fzoval 13564	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (𝑁 ∈ ℤ → (𝑀..^𝑁) = (𝑀...(𝑁 − 1)))
51	49, 50	syl 17	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑁 ∈ (ℤ≥‘(𝑀 + 1))) → (𝑀..^𝑁) = (𝑀...(𝑁 − 1)))
52		fzossfz 13582	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝑀..^𝑁) ⊆ (𝑀...𝑁)
53	51, 52	eqsstrrdi 3976	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑁 ∈ (ℤ≥‘(𝑀 + 1))) → (𝑀...(𝑁 − 1)) ⊆ (𝑀...𝑁))
54	53	sselda 3930	. . . . . . . 8 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑁 ∈ (ℤ≥‘(𝑀 + 1))) ∧ 𝑘 ∈ (𝑀...(𝑁 − 1))) → 𝑘 ∈ (𝑀...𝑁))
55	4	adantlr 715	. . . . . . . 8 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑁 ∈ (ℤ≥‘(𝑀 + 1))) ∧ 𝑘 ∈ (𝑀...𝑁)) → 𝐴 ∈ ℂ)
56	54, 55	syldan 591	. . . . . . 7 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑁 ∈ (ℤ≥‘(𝑀 + 1))) ∧ 𝑘 ∈ (𝑀...(𝑁 − 1))) → 𝐴 ∈ ℂ)
57	46, 56, 2	fsum1p 15664	. . . . . 6 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑁 ∈ (ℤ≥‘(𝑀 + 1))) → Σ𝑘 ∈ (𝑀...(𝑁 − 1))𝐴 = (𝐷 + Σ𝑘 ∈ ((𝑀 + 1)...(𝑁 − 1))𝐴))
58	51	sumeq1d 15611	. . . . . 6 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑁 ∈ (ℤ≥‘(𝑀 + 1))) → Σ𝑘 ∈ (𝑀..^𝑁)𝐴 = Σ𝑘 ∈ (𝑀...(𝑁 − 1))𝐴)
59		fzoval 13564	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝑁 ∈ ℤ → ((𝑀 + 1)..^𝑁) = ((𝑀 + 1)...(𝑁 − 1)))
60	49, 59	syl 17	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑁 ∈ (ℤ≥‘(𝑀 + 1))) → ((𝑀 + 1)..^𝑁) = ((𝑀 + 1)...(𝑁 − 1)))
61	60	sumeq1d 15611	. . . . . . 7 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑁 ∈ (ℤ≥‘(𝑀 + 1))) → Σ𝑘 ∈ ((𝑀 + 1)..^𝑁)𝐴 = Σ𝑘 ∈ ((𝑀 + 1)...(𝑁 − 1))𝐴)
62	61	oveq2d 7370	. . . . . 6 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑁 ∈ (ℤ≥‘(𝑀 + 1))) → (𝐷 + Σ𝑘 ∈ ((𝑀 + 1)..^𝑁)𝐴) = (𝐷 + Σ𝑘 ∈ ((𝑀 + 1)...(𝑁 − 1))𝐴))
63	57, 58, 62	3eqtr4d 2778	. . . . 5 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑁 ∈ (ℤ≥‘(𝑀 + 1))) → Σ𝑘 ∈ (𝑀..^𝑁)𝐴 = (𝐷 + Σ𝑘 ∈ ((𝑀 + 1)..^𝑁)𝐴))
64	42, 63	eqtr3id 2782	. . . 4 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑁 ∈ (ℤ≥‘(𝑀 + 1))) → Σ𝑗 ∈ (𝑀..^𝑁)𝐵 = (𝐷 + Σ𝑘 ∈ ((𝑀 + 1)..^𝑁)𝐴))
65		simpr 484	. . . . . 6 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑁 ∈ (ℤ≥‘(𝑀 + 1))) → 𝑁 ∈ (ℤ≥‘(𝑀 + 1)))
66		fzp1ss 13479	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝑀 ∈ ℤ → ((𝑀 + 1)...𝑁) ⊆ (𝑀...𝑁))
67	44, 66	syl 17	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝜑 → ((𝑀 + 1)...𝑁) ⊆ (𝑀...𝑁))
68	67	sselda 3930	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑘 ∈ ((𝑀 + 1)...𝑁)) → 𝑘 ∈ (𝑀...𝑁))
69	68, 4	syldan 591	. . . . . . 7 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑘 ∈ ((𝑀 + 1)...𝑁)) → 𝐴 ∈ ℂ)
70	69	adantlr 715	. . . . . 6 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑁 ∈ (ℤ≥‘(𝑀 + 1))) ∧ 𝑘 ∈ ((𝑀 + 1)...𝑁)) → 𝐴 ∈ ℂ)
71	65, 70, 19	fsumm1 15662	. . . . 5 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑁 ∈ (ℤ≥‘(𝑀 + 1))) → Σ𝑘 ∈ ((𝑀 + 1)...𝑁)𝐴 = (Σ𝑘 ∈ ((𝑀 + 1)...(𝑁 − 1))𝐴 + 𝐸))
72		1zzd 12511	. . . . . . . 8 ⊢ (𝜑 → 1 ∈ ℤ)
73	44	peano2zd 12588	. . . . . . . 8 ⊢ (𝜑 → (𝑀 + 1) ∈ ℤ)
74	72, 73, 48, 69, 35	fsumshftm 15692	. . . . . . 7 ⊢ (𝜑 → Σ𝑘 ∈ ((𝑀 + 1)...𝑁)𝐴 = Σ𝑗 ∈ (((𝑀 + 1) − 1)...(𝑁 − 1))𝐶)
75	44	zcnd 12586	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (𝜑 → 𝑀 ∈ ℂ)
76		ax-1cn 11073	. . . . . . . . . . 11 ⊢ 1 ∈ ℂ
77		pncan 11375	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ((𝑀 ∈ ℂ ∧ 1 ∈ ℂ) → ((𝑀 + 1) − 1) = 𝑀)
78	75, 76, 77	sylancl 586	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝜑 → ((𝑀 + 1) − 1) = 𝑀)
79	78	oveq1d 7369	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝜑 → (((𝑀 + 1) − 1)...(𝑁 − 1)) = (𝑀...(𝑁 − 1)))
80	48, 50	syl 17	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝜑 → (𝑀..^𝑁) = (𝑀...(𝑁 − 1)))
81	79, 80	eqtr4d 2771	. . . . . . . 8 ⊢ (𝜑 → (((𝑀 + 1) − 1)...(𝑁 − 1)) = (𝑀..^𝑁))
82	81	sumeq1d 15611	. . . . . . 7 ⊢ (𝜑 → Σ𝑗 ∈ (((𝑀 + 1) − 1)...(𝑁 − 1))𝐶 = Σ𝑗 ∈ (𝑀..^𝑁)𝐶)
83	74, 82	eqtrd 2768	. . . . . 6 ⊢ (𝜑 → Σ𝑘 ∈ ((𝑀 + 1)...𝑁)𝐴 = Σ𝑗 ∈ (𝑀..^𝑁)𝐶)
84	83	adantr 480	. . . . 5 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑁 ∈ (ℤ≥‘(𝑀 + 1))) → Σ𝑘 ∈ ((𝑀 + 1)...𝑁)𝐴 = Σ𝑗 ∈ (𝑀..^𝑁)𝐶)
85	48, 59	syl 17	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝜑 → ((𝑀 + 1)..^𝑁) = ((𝑀 + 1)...(𝑁 − 1)))
86	85	sumeq1d 15611	. . . . . . . 8 ⊢ (𝜑 → Σ𝑘 ∈ ((𝑀 + 1)..^𝑁)𝐴 = Σ𝑘 ∈ ((𝑀 + 1)...(𝑁 − 1))𝐴)
87	86	oveq1d 7369	. . . . . . 7 ⊢ (𝜑 → (Σ𝑘 ∈ ((𝑀 + 1)..^𝑁)𝐴 + 𝐸) = (Σ𝑘 ∈ ((𝑀 + 1)...(𝑁 − 1))𝐴 + 𝐸))
88		fzofi 13885	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((𝑀 + 1)..^𝑁) ∈ Fin
89	88	a1i 11	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝜑 → ((𝑀 + 1)..^𝑁) ∈ Fin)
90		elfzofz 13579	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝑘 ∈ ((𝑀 + 1)..^𝑁) → 𝑘 ∈ ((𝑀 + 1)...𝑁))
91	90, 69	sylan2 593	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑘 ∈ ((𝑀 + 1)..^𝑁)) → 𝐴 ∈ ℂ)
92	89, 91	fsumcl 15644	. . . . . . . 8 ⊢ (𝜑 → Σ𝑘 ∈ ((𝑀 + 1)..^𝑁)𝐴 ∈ ℂ)
93	19	eleq1d 2818	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝑘 = 𝑁 → (𝐴 ∈ ℂ ↔ 𝐸 ∈ ℂ))
94		eluzfz2 13436	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝑁 ∈ (ℤ≥‘𝑀) → 𝑁 ∈ (𝑀...𝑁))
95	6, 94	syl 17	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝜑 → 𝑁 ∈ (𝑀...𝑁))
96	93, 5, 95	rspcdva 3574	. . . . . . . 8 ⊢ (𝜑 → 𝐸 ∈ ℂ)
97	92, 96	addcomd 11324	. . . . . . 7 ⊢ (𝜑 → (Σ𝑘 ∈ ((𝑀 + 1)..^𝑁)𝐴 + 𝐸) = (𝐸 + Σ𝑘 ∈ ((𝑀 + 1)..^𝑁)𝐴))
98	87, 97	eqtr3d 2770	. . . . . 6 ⊢ (𝜑 → (Σ𝑘 ∈ ((𝑀 + 1)...(𝑁 − 1))𝐴 + 𝐸) = (𝐸 + Σ𝑘 ∈ ((𝑀 + 1)..^𝑁)𝐴))
99	98	adantr 480	. . . . 5 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑁 ∈ (ℤ≥‘(𝑀 + 1))) → (Σ𝑘 ∈ ((𝑀 + 1)...(𝑁 − 1))𝐴 + 𝐸) = (𝐸 + Σ𝑘 ∈ ((𝑀 + 1)..^𝑁)𝐴))
100	71, 84, 99	3eqtr3d 2776	. . . 4 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑁 ∈ (ℤ≥‘(𝑀 + 1))) → Σ𝑗 ∈ (𝑀..^𝑁)𝐶 = (𝐸 + Σ𝑘 ∈ ((𝑀 + 1)..^𝑁)𝐴))
101	64, 100	oveq12d 7372	. . 3 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑁 ∈ (ℤ≥‘(𝑀 + 1))) → (Σ𝑗 ∈ (𝑀..^𝑁)𝐵 − Σ𝑗 ∈ (𝑀..^𝑁)𝐶) = ((𝐷 + Σ𝑘 ∈ ((𝑀 + 1)..^𝑁)𝐴) − (𝐸 + Σ𝑘 ∈ ((𝑀 + 1)..^𝑁)𝐴)))
102	9, 96, 92	pnpcan2d 11519	. . . 4 ⊢ (𝜑 → ((𝐷 + Σ𝑘 ∈ ((𝑀 + 1)..^𝑁)𝐴) − (𝐸 + Σ𝑘 ∈ ((𝑀 + 1)..^𝑁)𝐴)) = (𝐷 − 𝐸))
103	102	adantr 480	. . 3 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑁 ∈ (ℤ≥‘(𝑀 + 1))) → ((𝐷 + Σ𝑘 ∈ ((𝑀 + 1)..^𝑁)𝐴) − (𝐸 + Σ𝑘 ∈ ((𝑀 + 1)..^𝑁)𝐴)) = (𝐷 − 𝐸))
104	41, 101, 103	3eqtrd 2772	. 2 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑁 ∈ (ℤ≥‘(𝑀 + 1))) → Σ𝑗 ∈ (𝑀..^𝑁)(𝐵 − 𝐶) = (𝐷 − 𝐸))
105		uzp1 12777	. . 3 ⊢ (𝑁 ∈ (ℤ≥‘𝑀) → (𝑁 = 𝑀 ∨ 𝑁 ∈ (ℤ≥‘(𝑀 + 1))))
106	6, 105	syl 17	. 2 ⊢ (𝜑 → (𝑁 = 𝑀 ∨ 𝑁 ∈ (ℤ≥‘(𝑀 + 1))))
107	26, 104, 106	mpjaodan 960	1 ⊢ (𝜑 → Σ𝑗 ∈ (𝑀..^𝑁)(𝐵 − 𝐶) = (𝐷 − 𝐸))

Syntax hints:   → wi 4   ∧ wa 395   ∨ wo 847   = wceq 1541   ∈ wcel 2113  ∀wral 3048   ⊆ wss 3898  ∅c0 4282  ‘cfv 6488  (class class class)co 7354  Fincfn 8877  ℂcc 11013  0cc0 11015  1c1 11016   + caddc 11018   − cmin 11353  ℤcz 12477  ℤ_≥cuz 12740  ...cfz 13411  ..^cfzo 13558  Σcsu 15597

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1796  ax-4 1810  ax-5 1911  ax-6 1968  ax-7 2009  ax-8 2115  ax-9 2123  ax-10 2146  ax-11 2162  ax-12 2182  ax-ext 2705  ax-rep 5221  ax-sep 5238  ax-nul 5248  ax-pow 5307  ax-pr 5374  ax-un 7676  ax-inf2 9540  ax-cnex 11071  ax-resscn 11072  ax-1cn 11073  ax-icn 11074  ax-addcl 11075  ax-addrcl 11076  ax-mulcl 11077  ax-mulrcl 11078  ax-mulcom 11079  ax-addass 11080  ax-mulass 11081  ax-distr 11082  ax-i2m1 11083  ax-1ne0 11084  ax-1rid 11085  ax-rnegex 11086  ax-rrecex 11087  ax-cnre 11088  ax-pre-lttri 11089  ax-pre-lttrn 11090  ax-pre-ltadd 11091  ax-pre-mulgt0 11092  ax-pre-sup 11093

This theorem depends on definitions:  df-bi 207  df-an 396  df-or 848  df-3or 1087  df-3an 1088  df-tru 1544  df-fal 1554  df-ex 1781  df-nf 1785  df-sb 2068  df-mo 2537  df-eu 2566  df-clab 2712  df-cleq 2725  df-clel 2808  df-nfc 2882  df-ne 2930  df-nel 3034  df-ral 3049  df-rex 3058  df-rmo 3347  df-reu 3348  df-rab 3397  df-v 3439  df-sbc 3738  df-csb 3847  df-dif 3901  df-un 3903  df-in 3905  df-ss 3915  df-pss 3918  df-nul 4283  df-if 4477  df-pw 4553  df-sn 4578  df-pr 4580  df-op 4584  df-uni 4861  df-int 4900  df-iun 4945  df-br 5096  df-opab 5158  df-mpt 5177  df-tr 5203  df-id 5516  df-eprel 5521  df-po 5529  df-so 5530  df-fr 5574  df-se 5575  df-we 5576  df-xp 5627  df-rel 5628  df-cnv 5629  df-co 5630  df-dm 5631  df-rn 5632  df-res 5633  df-ima 5634  df-pred 6255  df-ord 6316  df-on 6317  df-lim 6318  df-suc 6319  df-iota 6444  df-fun 6490  df-fn 6491  df-f 6492  df-f1 6493  df-fo 6494  df-f1o 6495  df-fv 6496  df-isom 6497  df-riota 7311  df-ov 7357  df-oprab 7358  df-mpo 7359  df-om 7805  df-1st 7929  df-2nd 7930  df-frecs 8219  df-wrecs 8250  df-recs 8299  df-rdg 8337  df-1o 8393  df-er 8630  df-en 8878  df-dom 8879  df-sdom 8880  df-fin 8881  df-sup 9335  df-oi 9405  df-card 9841  df-pnf 11157  df-mnf 11158  df-xr 11159  df-ltxr 11160  df-le 11161  df-sub 11355  df-neg 11356  df-div 11784  df-nn 12135  df-2 12197  df-3 12198  df-n0 12391  df-z 12478  df-uz 12741  df-rp 12895  df-fz 13412  df-fzo 13559  df-seq 13913  df-exp 13973  df-hash 14242  df-cj 15010  df-re 15011  df-im 15012  df-sqrt 15146  df-abs 15147  df-clim 15399  df-sum 15598

This theorem is referenced by:  telfsumo2  15714  telfsum  15715  geoserg  15777  dchrisumlem2  27431  stirlinglem12  46210