MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  telfsumo Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem telfsumo 15754
Description: Sum of a telescoping series, using half-open intervals. (Contributed by Mario Carneiro, 2-May-2016.)
Hypotheses
Ref Expression
telfsumo.1 (𝑘 = 𝑗𝐴 = 𝐵)
telfsumo.2 (𝑘 = (𝑗 + 1) → 𝐴 = 𝐶)
telfsumo.3 (𝑘 = 𝑀𝐴 = 𝐷)
telfsumo.4 (𝑘 = 𝑁𝐴 = 𝐸)
telfsumo.5 (𝜑𝑁 ∈ (ℤ𝑀))
telfsumo.6 ((𝜑𝑘 ∈ (𝑀...𝑁)) → 𝐴 ∈ ℂ)
Assertion
Ref Expression
telfsumo (𝜑 → Σ𝑗 ∈ (𝑀..^𝑁)(𝐵𝐶) = (𝐷𝐸))
Distinct variable groups:   𝐴,𝑗   𝐵,𝑘   𝐶,𝑘   𝑗,𝑘,𝑀   𝑗,𝑁,𝑘   𝜑,𝑗,𝑘   𝐷,𝑘   𝑘,𝐸
Allowed substitution hints:   𝐴(𝑘)   𝐵(𝑗)   𝐶(𝑗)   𝐷(𝑗)   𝐸(𝑗)

Proof of Theorem telfsumo
StepHypRef Expression
1 sum0 15673 . . . 4 Σ𝑗 ∈ ∅ (𝐵𝐶) = 0
2 telfsumo.3 . . . . . . . 8 (𝑘 = 𝑀𝐴 = 𝐷)
32eleq1d 2812 . . . . . . 7 (𝑘 = 𝑀 → (𝐴 ∈ ℂ ↔ 𝐷 ∈ ℂ))
4 telfsumo.6 . . . . . . . 8 ((𝜑𝑘 ∈ (𝑀...𝑁)) → 𝐴 ∈ ℂ)
54ralrimiva 3140 . . . . . . 7 (𝜑 → ∀𝑘 ∈ (𝑀...𝑁)𝐴 ∈ ℂ)
6 telfsumo.5 . . . . . . . 8 (𝜑𝑁 ∈ (ℤ𝑀))
7 eluzfz1 13514 . . . . . . . 8 (𝑁 ∈ (ℤ𝑀) → 𝑀 ∈ (𝑀...𝑁))
86, 7syl 17 . . . . . . 7 (𝜑𝑀 ∈ (𝑀...𝑁))
93, 5, 8rspcdva 3607 . . . . . 6 (𝜑𝐷 ∈ ℂ)
109adantr 480 . . . . 5 ((𝜑𝑁 = 𝑀) → 𝐷 ∈ ℂ)
1110subidd 11563 . . . 4 ((𝜑𝑁 = 𝑀) → (𝐷𝐷) = 0)
121, 11eqtr4id 2785 . . 3 ((𝜑𝑁 = 𝑀) → Σ𝑗 ∈ ∅ (𝐵𝐶) = (𝐷𝐷))
13 oveq2 7413 . . . . . 6 (𝑁 = 𝑀 → (𝑀..^𝑁) = (𝑀..^𝑀))
1413adantl 481 . . . . 5 ((𝜑𝑁 = 𝑀) → (𝑀..^𝑁) = (𝑀..^𝑀))
15 fzo0 13662 . . . . 5 (𝑀..^𝑀) = ∅
1614, 15eqtrdi 2782 . . . 4 ((𝜑𝑁 = 𝑀) → (𝑀..^𝑁) = ∅)
1716sumeq1d 15653 . . 3 ((𝜑𝑁 = 𝑀) → Σ𝑗 ∈ (𝑀..^𝑁)(𝐵𝐶) = Σ𝑗 ∈ ∅ (𝐵𝐶))
18 eqeq1 2730 . . . . . . . 8 (𝑘 = 𝑁 → (𝑘 = 𝑀𝑁 = 𝑀))
19 telfsumo.4 . . . . . . . . 9 (𝑘 = 𝑁𝐴 = 𝐸)
2019eqeq1d 2728 . . . . . . . 8 (𝑘 = 𝑁 → (𝐴 = 𝐷𝐸 = 𝐷))
2118, 20imbi12d 344 . . . . . . 7 (𝑘 = 𝑁 → ((𝑘 = 𝑀𝐴 = 𝐷) ↔ (𝑁 = 𝑀𝐸 = 𝐷)))
2221, 2vtoclg 3537 . . . . . 6 (𝑁 ∈ (ℤ𝑀) → (𝑁 = 𝑀𝐸 = 𝐷))
2322imp 406 . . . . 5 ((𝑁 ∈ (ℤ𝑀) ∧ 𝑁 = 𝑀) → 𝐸 = 𝐷)
246, 23sylan 579 . . . 4 ((𝜑𝑁 = 𝑀) → 𝐸 = 𝐷)
2524oveq2d 7421 . . 3 ((𝜑𝑁 = 𝑀) → (𝐷𝐸) = (𝐷𝐷))
2612, 17, 253eqtr4d 2776 . 2 ((𝜑𝑁 = 𝑀) → Σ𝑗 ∈ (𝑀..^𝑁)(𝐵𝐶) = (𝐷𝐸))
27 fzofi 13945 . . . . . 6 (𝑀..^𝑁) ∈ Fin
2827a1i 11 . . . . 5 (𝜑 → (𝑀..^𝑁) ∈ Fin)
29 telfsumo.1 . . . . . . 7 (𝑘 = 𝑗𝐴 = 𝐵)
3029eleq1d 2812 . . . . . 6 (𝑘 = 𝑗 → (𝐴 ∈ ℂ ↔ 𝐵 ∈ ℂ))
315adantr 480 . . . . . 6 ((𝜑𝑗 ∈ (𝑀..^𝑁)) → ∀𝑘 ∈ (𝑀...𝑁)𝐴 ∈ ℂ)
32 elfzofz 13654 . . . . . . 7 (𝑗 ∈ (𝑀..^𝑁) → 𝑗 ∈ (𝑀...𝑁))
3332adantl 481 . . . . . 6 ((𝜑𝑗 ∈ (𝑀..^𝑁)) → 𝑗 ∈ (𝑀...𝑁))
3430, 31, 33rspcdva 3607 . . . . 5 ((𝜑𝑗 ∈ (𝑀..^𝑁)) → 𝐵 ∈ ℂ)
35 telfsumo.2 . . . . . . 7 (𝑘 = (𝑗 + 1) → 𝐴 = 𝐶)
3635eleq1d 2812 . . . . . 6 (𝑘 = (𝑗 + 1) → (𝐴 ∈ ℂ ↔ 𝐶 ∈ ℂ))
37 fzofzp1 13735 . . . . . . 7 (𝑗 ∈ (𝑀..^𝑁) → (𝑗 + 1) ∈ (𝑀...𝑁))
3837adantl 481 . . . . . 6 ((𝜑𝑗 ∈ (𝑀..^𝑁)) → (𝑗 + 1) ∈ (𝑀...𝑁))
3936, 31, 38rspcdva 3607 . . . . 5 ((𝜑𝑗 ∈ (𝑀..^𝑁)) → 𝐶 ∈ ℂ)
4028, 34, 39fsumsub 15740 . . . 4 (𝜑 → Σ𝑗 ∈ (𝑀..^𝑁)(𝐵𝐶) = (Σ𝑗 ∈ (𝑀..^𝑁)𝐵 − Σ𝑗 ∈ (𝑀..^𝑁)𝐶))
4140adantr 480 . . 3 ((𝜑𝑁 ∈ (ℤ‘(𝑀 + 1))) → Σ𝑗 ∈ (𝑀..^𝑁)(𝐵𝐶) = (Σ𝑗 ∈ (𝑀..^𝑁)𝐵 − Σ𝑗 ∈ (𝑀..^𝑁)𝐶))
4229cbvsumv 15648 . . . . 5 Σ𝑘 ∈ (𝑀..^𝑁)𝐴 = Σ𝑗 ∈ (𝑀..^𝑁)𝐵
43 eluzel2 12831 . . . . . . . . 9 (𝑁 ∈ (ℤ𝑀) → 𝑀 ∈ ℤ)
446, 43syl 17 . . . . . . . 8 (𝜑𝑀 ∈ ℤ)
45 eluzp1m1 12852 . . . . . . . 8 ((𝑀 ∈ ℤ ∧ 𝑁 ∈ (ℤ‘(𝑀 + 1))) → (𝑁 − 1) ∈ (ℤ𝑀))
4644, 45sylan 579 . . . . . . 7 ((𝜑𝑁 ∈ (ℤ‘(𝑀 + 1))) → (𝑁 − 1) ∈ (ℤ𝑀))
47 eluzelz 12836 . . . . . . . . . . . . 13 (𝑁 ∈ (ℤ𝑀) → 𝑁 ∈ ℤ)
486, 47syl 17 . . . . . . . . . . . 12 (𝜑𝑁 ∈ ℤ)
4948adantr 480 . . . . . . . . . . 11 ((𝜑𝑁 ∈ (ℤ‘(𝑀 + 1))) → 𝑁 ∈ ℤ)
50 fzoval 13639 . . . . . . . . . . 11 (𝑁 ∈ ℤ → (𝑀..^𝑁) = (𝑀...(𝑁 − 1)))
5149, 50syl 17 . . . . . . . . . 10 ((𝜑𝑁 ∈ (ℤ‘(𝑀 + 1))) → (𝑀..^𝑁) = (𝑀...(𝑁 − 1)))
52 fzossfz 13657 . . . . . . . . . 10 (𝑀..^𝑁) ⊆ (𝑀...𝑁)
5351, 52eqsstrrdi 4032 . . . . . . . . 9 ((𝜑𝑁 ∈ (ℤ‘(𝑀 + 1))) → (𝑀...(𝑁 − 1)) ⊆ (𝑀...𝑁))
5453sselda 3977 . . . . . . . 8 (((𝜑𝑁 ∈ (ℤ‘(𝑀 + 1))) ∧ 𝑘 ∈ (𝑀...(𝑁 − 1))) → 𝑘 ∈ (𝑀...𝑁))
554adantlr 712 . . . . . . . 8 (((𝜑𝑁 ∈ (ℤ‘(𝑀 + 1))) ∧ 𝑘 ∈ (𝑀...𝑁)) → 𝐴 ∈ ℂ)
5654, 55syldan 590 . . . . . . 7 (((𝜑𝑁 ∈ (ℤ‘(𝑀 + 1))) ∧ 𝑘 ∈ (𝑀...(𝑁 − 1))) → 𝐴 ∈ ℂ)
5746, 56, 2fsum1p 15705 . . . . . 6 ((𝜑𝑁 ∈ (ℤ‘(𝑀 + 1))) → Σ𝑘 ∈ (𝑀...(𝑁 − 1))𝐴 = (𝐷 + Σ𝑘 ∈ ((𝑀 + 1)...(𝑁 − 1))𝐴))
5851sumeq1d 15653 . . . . . 6 ((𝜑𝑁 ∈ (ℤ‘(𝑀 + 1))) → Σ𝑘 ∈ (𝑀..^𝑁)𝐴 = Σ𝑘 ∈ (𝑀...(𝑁 − 1))𝐴)
59 fzoval 13639 . . . . . . . . 9 (𝑁 ∈ ℤ → ((𝑀 + 1)..^𝑁) = ((𝑀 + 1)...(𝑁 − 1)))
6049, 59syl 17 . . . . . . . 8 ((𝜑𝑁 ∈ (ℤ‘(𝑀 + 1))) → ((𝑀 + 1)..^𝑁) = ((𝑀 + 1)...(𝑁 − 1)))
6160sumeq1d 15653 . . . . . . 7 ((𝜑𝑁 ∈ (ℤ‘(𝑀 + 1))) → Σ𝑘 ∈ ((𝑀 + 1)..^𝑁)𝐴 = Σ𝑘 ∈ ((𝑀 + 1)...(𝑁 − 1))𝐴)
6261oveq2d 7421 . . . . . 6 ((𝜑𝑁 ∈ (ℤ‘(𝑀 + 1))) → (𝐷 + Σ𝑘 ∈ ((𝑀 + 1)..^𝑁)𝐴) = (𝐷 + Σ𝑘 ∈ ((𝑀 + 1)...(𝑁 − 1))𝐴))
6357, 58, 623eqtr4d 2776 . . . . 5 ((𝜑𝑁 ∈ (ℤ‘(𝑀 + 1))) → Σ𝑘 ∈ (𝑀..^𝑁)𝐴 = (𝐷 + Σ𝑘 ∈ ((𝑀 + 1)..^𝑁)𝐴))
6442, 63eqtr3id 2780 . . . 4 ((𝜑𝑁 ∈ (ℤ‘(𝑀 + 1))) → Σ𝑗 ∈ (𝑀..^𝑁)𝐵 = (𝐷 + Σ𝑘 ∈ ((𝑀 + 1)..^𝑁)𝐴))
65 simpr 484 . . . . . 6 ((𝜑𝑁 ∈ (ℤ‘(𝑀 + 1))) → 𝑁 ∈ (ℤ‘(𝑀 + 1)))
66 fzp1ss 13558 . . . . . . . . . 10 (𝑀 ∈ ℤ → ((𝑀 + 1)...𝑁) ⊆ (𝑀...𝑁))
6744, 66syl 17 . . . . . . . . 9 (𝜑 → ((𝑀 + 1)...𝑁) ⊆ (𝑀...𝑁))
6867sselda 3977 . . . . . . . 8 ((𝜑𝑘 ∈ ((𝑀 + 1)...𝑁)) → 𝑘 ∈ (𝑀...𝑁))
6968, 4syldan 590 . . . . . . 7 ((𝜑𝑘 ∈ ((𝑀 + 1)...𝑁)) → 𝐴 ∈ ℂ)
7069adantlr 712 . . . . . 6 (((𝜑𝑁 ∈ (ℤ‘(𝑀 + 1))) ∧ 𝑘 ∈ ((𝑀 + 1)...𝑁)) → 𝐴 ∈ ℂ)
7165, 70, 19fsumm1 15703 . . . . 5 ((𝜑𝑁 ∈ (ℤ‘(𝑀 + 1))) → Σ𝑘 ∈ ((𝑀 + 1)...𝑁)𝐴 = (Σ𝑘 ∈ ((𝑀 + 1)...(𝑁 − 1))𝐴 + 𝐸))
72 1zzd 12597 . . . . . . . 8 (𝜑 → 1 ∈ ℤ)
7344peano2zd 12673 . . . . . . . 8 (𝜑 → (𝑀 + 1) ∈ ℤ)
7472, 73, 48, 69, 35fsumshftm 15733 . . . . . . 7 (𝜑 → Σ𝑘 ∈ ((𝑀 + 1)...𝑁)𝐴 = Σ𝑗 ∈ (((𝑀 + 1) − 1)...(𝑁 − 1))𝐶)
7544zcnd 12671 . . . . . . . . . . 11 (𝜑𝑀 ∈ ℂ)
76 ax-1cn 11170 . . . . . . . . . . 11 1 ∈ ℂ
77 pncan 11470 . . . . . . . . . . 11 ((𝑀 ∈ ℂ ∧ 1 ∈ ℂ) → ((𝑀 + 1) − 1) = 𝑀)
7875, 76, 77sylancl 585 . . . . . . . . . 10 (𝜑 → ((𝑀 + 1) − 1) = 𝑀)
7978oveq1d 7420 . . . . . . . . 9 (𝜑 → (((𝑀 + 1) − 1)...(𝑁 − 1)) = (𝑀...(𝑁 − 1)))
8048, 50syl 17 . . . . . . . . 9 (𝜑 → (𝑀..^𝑁) = (𝑀...(𝑁 − 1)))
8179, 80eqtr4d 2769 . . . . . . . 8 (𝜑 → (((𝑀 + 1) − 1)...(𝑁 − 1)) = (𝑀..^𝑁))
8281sumeq1d 15653 . . . . . . 7 (𝜑 → Σ𝑗 ∈ (((𝑀 + 1) − 1)...(𝑁 − 1))𝐶 = Σ𝑗 ∈ (𝑀..^𝑁)𝐶)
8374, 82eqtrd 2766 . . . . . 6 (𝜑 → Σ𝑘 ∈ ((𝑀 + 1)...𝑁)𝐴 = Σ𝑗 ∈ (𝑀..^𝑁)𝐶)
8483adantr 480 . . . . 5 ((𝜑𝑁 ∈ (ℤ‘(𝑀 + 1))) → Σ𝑘 ∈ ((𝑀 + 1)...𝑁)𝐴 = Σ𝑗 ∈ (𝑀..^𝑁)𝐶)
8548, 59syl 17 . . . . . . . . 9 (𝜑 → ((𝑀 + 1)..^𝑁) = ((𝑀 + 1)...(𝑁 − 1)))
8685sumeq1d 15653 . . . . . . . 8 (𝜑 → Σ𝑘 ∈ ((𝑀 + 1)..^𝑁)𝐴 = Σ𝑘 ∈ ((𝑀 + 1)...(𝑁 − 1))𝐴)
8786oveq1d 7420 . . . . . . 7 (𝜑 → (Σ𝑘 ∈ ((𝑀 + 1)..^𝑁)𝐴 + 𝐸) = (Σ𝑘 ∈ ((𝑀 + 1)...(𝑁 − 1))𝐴 + 𝐸))
88 fzofi 13945 . . . . . . . . . 10 ((𝑀 + 1)..^𝑁) ∈ Fin
8988a1i 11 . . . . . . . . 9 (𝜑 → ((𝑀 + 1)..^𝑁) ∈ Fin)
90 elfzofz 13654 . . . . . . . . . 10 (𝑘 ∈ ((𝑀 + 1)..^𝑁) → 𝑘 ∈ ((𝑀 + 1)...𝑁))
9190, 69sylan2 592 . . . . . . . . 9 ((𝜑𝑘 ∈ ((𝑀 + 1)..^𝑁)) → 𝐴 ∈ ℂ)
9289, 91fsumcl 15685 . . . . . . . 8 (𝜑 → Σ𝑘 ∈ ((𝑀 + 1)..^𝑁)𝐴 ∈ ℂ)
9319eleq1d 2812 . . . . . . . . 9 (𝑘 = 𝑁 → (𝐴 ∈ ℂ ↔ 𝐸 ∈ ℂ))
94 eluzfz2 13515 . . . . . . . . . 10 (𝑁 ∈ (ℤ𝑀) → 𝑁 ∈ (𝑀...𝑁))
956, 94syl 17 . . . . . . . . 9 (𝜑𝑁 ∈ (𝑀...𝑁))
9693, 5, 95rspcdva 3607 . . . . . . . 8 (𝜑𝐸 ∈ ℂ)
9792, 96addcomd 11420 . . . . . . 7 (𝜑 → (Σ𝑘 ∈ ((𝑀 + 1)..^𝑁)𝐴 + 𝐸) = (𝐸 + Σ𝑘 ∈ ((𝑀 + 1)..^𝑁)𝐴))
9887, 97eqtr3d 2768 . . . . . 6 (𝜑 → (Σ𝑘 ∈ ((𝑀 + 1)...(𝑁 − 1))𝐴 + 𝐸) = (𝐸 + Σ𝑘 ∈ ((𝑀 + 1)..^𝑁)𝐴))
9998adantr 480 . . . . 5 ((𝜑𝑁 ∈ (ℤ‘(𝑀 + 1))) → (Σ𝑘 ∈ ((𝑀 + 1)...(𝑁 − 1))𝐴 + 𝐸) = (𝐸 + Σ𝑘 ∈ ((𝑀 + 1)..^𝑁)𝐴))
10071, 84, 993eqtr3d 2774 . . . 4 ((𝜑𝑁 ∈ (ℤ‘(𝑀 + 1))) → Σ𝑗 ∈ (𝑀..^𝑁)𝐶 = (𝐸 + Σ𝑘 ∈ ((𝑀 + 1)..^𝑁)𝐴))
10164, 100oveq12d 7423 . . 3 ((𝜑𝑁 ∈ (ℤ‘(𝑀 + 1))) → (Σ𝑗 ∈ (𝑀..^𝑁)𝐵 − Σ𝑗 ∈ (𝑀..^𝑁)𝐶) = ((𝐷 + Σ𝑘 ∈ ((𝑀 + 1)..^𝑁)𝐴) − (𝐸 + Σ𝑘 ∈ ((𝑀 + 1)..^𝑁)𝐴)))
1029, 96, 92pnpcan2d 11613 . . . 4 (𝜑 → ((𝐷 + Σ𝑘 ∈ ((𝑀 + 1)..^𝑁)𝐴) − (𝐸 + Σ𝑘 ∈ ((𝑀 + 1)..^𝑁)𝐴)) = (𝐷𝐸))
103102adantr 480 . . 3 ((𝜑𝑁 ∈ (ℤ‘(𝑀 + 1))) → ((𝐷 + Σ𝑘 ∈ ((𝑀 + 1)..^𝑁)𝐴) − (𝐸 + Σ𝑘 ∈ ((𝑀 + 1)..^𝑁)𝐴)) = (𝐷𝐸))
10441, 101, 1033eqtrd 2770 . 2 ((𝜑𝑁 ∈ (ℤ‘(𝑀 + 1))) → Σ𝑗 ∈ (𝑀..^𝑁)(𝐵𝐶) = (𝐷𝐸))
105 uzp1 12867 . . 3 (𝑁 ∈ (ℤ𝑀) → (𝑁 = 𝑀𝑁 ∈ (ℤ‘(𝑀 + 1))))
1066, 105syl 17 . 2 (𝜑 → (𝑁 = 𝑀𝑁 ∈ (ℤ‘(𝑀 + 1))))
10726, 104, 106mpjaodan 955 1 (𝜑 → Σ𝑗 ∈ (𝑀..^𝑁)(𝐵𝐶) = (𝐷𝐸))
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  wi 4  wa 395  wo 844   = wceq 1533  wcel 2098  wral 3055  wss 3943  c0 4317  cfv 6537  (class class class)co 7405  Fincfn 8941  cc 11110  0cc0 11112  1c1 11113   + caddc 11115  cmin 11448  cz 12562  cuz 12826  ...cfz 13490  ..^cfzo 13633  Σcsu 15638
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1789  ax-4 1803  ax-5 1905  ax-6 1963  ax-7 2003  ax-8 2100  ax-9 2108  ax-10 2129  ax-11 2146  ax-12 2163  ax-ext 2697  ax-rep 5278  ax-sep 5292  ax-nul 5299  ax-pow 5356  ax-pr 5420  ax-un 7722  ax-inf2 9638  ax-cnex 11168  ax-resscn 11169  ax-1cn 11170  ax-icn 11171  ax-addcl 11172  ax-addrcl 11173  ax-mulcl 11174  ax-mulrcl 11175  ax-mulcom 11176  ax-addass 11177  ax-mulass 11178  ax-distr 11179  ax-i2m1 11180  ax-1ne0 11181  ax-1rid 11182  ax-rnegex 11183  ax-rrecex 11184  ax-cnre 11185  ax-pre-lttri 11186  ax-pre-lttrn 11187  ax-pre-ltadd 11188  ax-pre-mulgt0 11189  ax-pre-sup 11190
This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 396  df-or 845  df-3or 1085  df-3an 1086  df-tru 1536  df-fal 1546  df-ex 1774  df-nf 1778  df-sb 2060  df-mo 2528  df-eu 2557  df-clab 2704  df-cleq 2718  df-clel 2804  df-nfc 2879  df-ne 2935  df-nel 3041  df-ral 3056  df-rex 3065  df-rmo 3370  df-reu 3371  df-rab 3427  df-v 3470  df-sbc 3773  df-csb 3889  df-dif 3946  df-un 3948  df-in 3950  df-ss 3960  df-pss 3962  df-nul 4318  df-if 4524  df-pw 4599  df-sn 4624  df-pr 4626  df-op 4630  df-uni 4903  df-int 4944  df-iun 4992  df-br 5142  df-opab 5204  df-mpt 5225  df-tr 5259  df-id 5567  df-eprel 5573  df-po 5581  df-so 5582  df-fr 5624  df-se 5625  df-we 5626  df-xp 5675  df-rel 5676  df-cnv 5677  df-co 5678  df-dm 5679  df-rn 5680  df-res 5681  df-ima 5682  df-pred 6294  df-ord 6361  df-on 6362  df-lim 6363  df-suc 6364  df-iota 6489  df-fun 6539  df-fn 6540  df-f 6541  df-f1 6542  df-fo 6543  df-f1o 6544  df-fv 6545  df-isom 6546  df-riota 7361  df-ov 7408  df-oprab 7409  df-mpo 7410  df-om 7853  df-1st 7974  df-2nd 7975  df-frecs 8267  df-wrecs 8298  df-recs 8372  df-rdg 8411  df-1o 8467  df-er 8705  df-en 8942  df-dom 8943  df-sdom 8944  df-fin 8945  df-sup 9439  df-oi 9507  df-card 9936  df-pnf 11254  df-mnf 11255  df-xr 11256  df-ltxr 11257  df-le 11258  df-sub 11450  df-neg 11451  df-div 11876  df-nn 12217  df-2 12279  df-3 12280  df-n0 12477  df-z 12563  df-uz 12827  df-rp 12981  df-fz 13491  df-fzo 13634  df-seq 13973  df-exp 14033  df-hash 14296  df-cj 15052  df-re 15053  df-im 15054  df-sqrt 15188  df-abs 15189  df-clim 15438  df-sum 15639
This theorem is referenced by:  telfsumo2  15755  telfsum  15756  geoserg  15818  dchrisumlem2  27378  stirlinglem12  45373
  Copyright terms: Public domain W3C validator