Theorem telfsumo 15889

Description: Sum of a telescoping series, using half-open intervals. (Contributed by Mario Carneiro, 2-May-2016.)

Hypotheses

Ref	Expression
telfsumo.1	⊢ (𝑘 = 𝑗 → 𝐴 = 𝐵)
telfsumo.2	⊢ (𝑘 = (𝑗 + 1) → 𝐴 = 𝐶)
telfsumo.3	⊢ (𝑘 = 𝑀 → 𝐴 = 𝐷)
telfsumo.4	⊢ (𝑘 = 𝑁 → 𝐴 = 𝐸)
telfsumo.5	⊢ (𝜑 → 𝑁 ∈ (ℤ≥‘𝑀))
telfsumo.6	⊢ ((𝜑 ∧ 𝑘 ∈ (𝑀...𝑁)) → 𝐴 ∈ ℂ)

Assertion

Ref	Expression
telfsumo	⊢ (𝜑 → Σ𝑗 ∈ (𝑀..^𝑁)(𝐵 − 𝐶) = (𝐷 − 𝐸))

Distinct variable groups:   𝐴,𝑗   𝐵,𝑘   𝐶,𝑘   𝑗,𝑘,𝑀   𝑗,𝑁,𝑘   𝜑,𝑗,𝑘   𝐷,𝑘   𝑘,𝐸

Allowed substitution hints:   𝐴(𝑘)   𝐵(𝑗)   𝐶(𝑗)   𝐷(𝑗)   𝐸(𝑗)

Proof of Theorem telfsumo

Step	Hyp	Ref	Expression
1		sum0 15807	. . . 4 ⊢ Σ𝑗 ∈ ∅ (𝐵 − 𝐶) = 0
2		telfsumo.3	. . . . . . . 8 ⊢ (𝑘 = 𝑀 → 𝐴 = 𝐷)
3	2	eleq1d 2845	. . . . . . 7 ⊢ (𝑘 = 𝑀 → (𝐴 ∈ ℂ ↔ 𝐷 ∈ ℂ))
4		telfsumo.6	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑘 ∈ (𝑀...𝑁)) → 𝐴 ∈ ℂ)
5	4	ralrimiva 3154	. . . . . . 7 ⊢ (𝜑 → ∀𝑘 ∈ (𝑀...𝑁)𝐴 ∈ ℂ)
6		telfsumo.5	. . . . . . . 8 ⊢ (𝜑 → 𝑁 ∈ (ℤ≥‘𝑀))
7		eluzfz1 13585	. . . . . . . 8 ⊢ (𝑁 ∈ (ℤ≥‘𝑀) → 𝑀 ∈ (𝑀...𝑁))
8	6, 7	syl 18	. . . . . . 7 ⊢ (𝜑 → 𝑀 ∈ (𝑀...𝑁))
9	3, 5, 8	rspcdva 3577	. . . . . 6 ⊢ (𝜑 → 𝐷 ∈ ℂ)
10	9	adantr 486	. . . . 5 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑁 = 𝑀) → 𝐷 ∈ ℂ)
11	10	subidd 11581	. . . 4 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑁 = 𝑀) → (𝐷 − 𝐷) = 0)
12	1, 11	eqtr4id 2814	. . 3 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑁 = 𝑀) → Σ𝑗 ∈ ∅ (𝐵 − 𝐶) = (𝐷 − 𝐷))
13		oveq2 7421	. . . . . 6 ⊢ (𝑁 = 𝑀 → (𝑀..^𝑁) = (𝑀..^𝑀))
14	13	adantl 487	. . . . 5 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑁 = 𝑀) → (𝑀..^𝑁) = (𝑀..^𝑀))
15		fzo0 13739	. . . . 5 ⊢ (𝑀..^𝑀) = ∅
16	14, 15	eqtrdi 2811	. . . 4 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑁 = 𝑀) → (𝑀..^𝑁) = ∅)
17	16	sumeq1d 15787	. . 3 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑁 = 𝑀) → Σ𝑗 ∈ (𝑀..^𝑁)(𝐵 − 𝐶) = Σ𝑗 ∈ ∅ (𝐵 − 𝐶))
18		eqeq1 2764	. . . . . . . 8 ⊢ (𝑘 = 𝑁 → (𝑘 = 𝑀 ↔ 𝑁 = 𝑀))
19		telfsumo.4	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝑘 = 𝑁 → 𝐴 = 𝐸)
20	19	eqeq1d 2762	. . . . . . . 8 ⊢ (𝑘 = 𝑁 → (𝐴 = 𝐷 ↔ 𝐸 = 𝐷))
21	18, 20	imbi12d 347	. . . . . . 7 ⊢ (𝑘 = 𝑁 → ((𝑘 = 𝑀 → 𝐴 = 𝐷) ↔ (𝑁 = 𝑀 → 𝐸 = 𝐷)))
22	21, 2	vtoclg 3517	. . . . . 6 ⊢ (𝑁 ∈ (ℤ≥‘𝑀) → (𝑁 = 𝑀 → 𝐸 = 𝐷))
23	22	imp 412	. . . . 5 ⊢ ((𝑁 ∈ (ℤ≥‘𝑀) ∧ 𝑁 = 𝑀) → 𝐸 = 𝐷)
24	6, 23	sylan 592	. . . 4 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑁 = 𝑀) → 𝐸 = 𝐷)
25	24	oveq2d 7429	. . 3 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑁 = 𝑀) → (𝐷 − 𝐸) = (𝐷 − 𝐷))
26	12, 17, 25	3eqtr4d 2805	. 2 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑁 = 𝑀) → Σ𝑗 ∈ (𝑀..^𝑁)(𝐵 − 𝐶) = (𝐷 − 𝐸))
27		fzofi 14038	. . . . . 6 ⊢ (𝑀..^𝑁) ∈ Fin
28	27	a1i 11	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → (𝑀..^𝑁) ∈ Fin)
29		telfsumo.1	. . . . . . 7 ⊢ (𝑘 = 𝑗 → 𝐴 = 𝐵)
30	29	eleq1d 2845	. . . . . 6 ⊢ (𝑘 = 𝑗 → (𝐴 ∈ ℂ ↔ 𝐵 ∈ ℂ))
31	5	adantr 486	. . . . . 6 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑗 ∈ (𝑀..^𝑁)) → ∀𝑘 ∈ (𝑀...𝑁)𝐴 ∈ ℂ)
32		elfzofz 13731	. . . . . . 7 ⊢ (𝑗 ∈ (𝑀..^𝑁) → 𝑗 ∈ (𝑀...𝑁))
33	32	adantl 487	. . . . . 6 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑗 ∈ (𝑀..^𝑁)) → 𝑗 ∈ (𝑀...𝑁))
34	30, 31, 33	rspcdva 3577	. . . . 5 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑗 ∈ (𝑀..^𝑁)) → 𝐵 ∈ ℂ)
35		telfsumo.2	. . . . . . 7 ⊢ (𝑘 = (𝑗 + 1) → 𝐴 = 𝐶)
36	35	eleq1d 2845	. . . . . 6 ⊢ (𝑘 = (𝑗 + 1) → (𝐴 ∈ ℂ ↔ 𝐶 ∈ ℂ))
37		fzofzp1 13820	. . . . . . 7 ⊢ (𝑗 ∈ (𝑀..^𝑁) → (𝑗 + 1) ∈ (𝑀...𝑁))
38	37	adantl 487	. . . . . 6 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑗 ∈ (𝑀..^𝑁)) → (𝑗 + 1) ∈ (𝑀...𝑁))
39	36, 31, 38	rspcdva 3577	. . . . 5 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑗 ∈ (𝑀..^𝑁)) → 𝐶 ∈ ℂ)
40	28, 34, 39	fsumsub 15874	. . . 4 ⊢ (𝜑 → Σ𝑗 ∈ (𝑀..^𝑁)(𝐵 − 𝐶) = (Σ𝑗 ∈ (𝑀..^𝑁)𝐵 − Σ𝑗 ∈ (𝑀..^𝑁)𝐶))
41	40	adantr 486	. . 3 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑁 ∈ (ℤ≥‘(𝑀 + 1))) → Σ𝑗 ∈ (𝑀..^𝑁)(𝐵 − 𝐶) = (Σ𝑗 ∈ (𝑀..^𝑁)𝐵 − Σ𝑗 ∈ (𝑀..^𝑁)𝐶))
42	29	cbvsumv 15783	. . . . 5 ⊢ Σ𝑘 ∈ (𝑀..^𝑁)𝐴 = Σ𝑗 ∈ (𝑀..^𝑁)𝐵
43		eluzel2 12892	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝑁 ∈ (ℤ≥‘𝑀) → 𝑀 ∈ ℤ)
44	6, 43	syl 18	. . . . . . . 8 ⊢ (𝜑 → 𝑀 ∈ ℤ)
45		eluzp1m1 12913	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝑀 ∈ ℤ ∧ 𝑁 ∈ (ℤ≥‘(𝑀 + 1))) → (𝑁 − 1) ∈ (ℤ≥‘𝑀))
46	44, 45	sylan 592	. . . . . . 7 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑁 ∈ (ℤ≥‘(𝑀 + 1))) → (𝑁 − 1) ∈ (ℤ≥‘𝑀))
47		eluzelz 12897	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (𝑁 ∈ (ℤ≥‘𝑀) → 𝑁 ∈ ℤ)
48	6, 47	syl 18	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (𝜑 → 𝑁 ∈ ℤ)
49	48	adantr 486	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑁 ∈ (ℤ≥‘(𝑀 + 1))) → 𝑁 ∈ ℤ)
50		fzoval 13715	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (𝑁 ∈ ℤ → (𝑀..^𝑁) = (𝑀...(𝑁 − 1)))
51	49, 50	syl 18	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑁 ∈ (ℤ≥‘(𝑀 + 1))) → (𝑀..^𝑁) = (𝑀...(𝑁 − 1)))
52		fzossfz 13734	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝑀..^𝑁) ⊆ (𝑀...𝑁)
53	51, 52	eqsstrrdi 3976	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑁 ∈ (ℤ≥‘(𝑀 + 1))) → (𝑀...(𝑁 − 1)) ⊆ (𝑀...𝑁))
54	53	sselda 3931	. . . . . . . 8 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑁 ∈ (ℤ≥‘(𝑀 + 1))) ∧ 𝑘 ∈ (𝑀...(𝑁 − 1))) → 𝑘 ∈ (𝑀...𝑁))
55	4	adantlr 728	. . . . . . . 8 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑁 ∈ (ℤ≥‘(𝑀 + 1))) ∧ 𝑘 ∈ (𝑀...𝑁)) → 𝐴 ∈ ℂ)
56	54, 55	syldan 603	. . . . . . 7 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑁 ∈ (ℤ≥‘(𝑀 + 1))) ∧ 𝑘 ∈ (𝑀...(𝑁 − 1))) → 𝐴 ∈ ℂ)
57	46, 56, 2	fsum1p 15839	. . . . . 6 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑁 ∈ (ℤ≥‘(𝑀 + 1))) → Σ𝑘 ∈ (𝑀...(𝑁 − 1))𝐴 = (𝐷 + Σ𝑘 ∈ ((𝑀 + 1)...(𝑁 − 1))𝐴))
58	51	sumeq1d 15787	. . . . . 6 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑁 ∈ (ℤ≥‘(𝑀 + 1))) → Σ𝑘 ∈ (𝑀..^𝑁)𝐴 = Σ𝑘 ∈ (𝑀...(𝑁 − 1))𝐴)
59		fzoval 13715	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝑁 ∈ ℤ → ((𝑀 + 1)..^𝑁) = ((𝑀 + 1)...(𝑁 − 1)))
60	49, 59	syl 18	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑁 ∈ (ℤ≥‘(𝑀 + 1))) → ((𝑀 + 1)..^𝑁) = ((𝑀 + 1)...(𝑁 − 1)))
61	60	sumeq1d 15787	. . . . . . 7 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑁 ∈ (ℤ≥‘(𝑀 + 1))) → Σ𝑘 ∈ ((𝑀 + 1)..^𝑁)𝐴 = Σ𝑘 ∈ ((𝑀 + 1)...(𝑁 − 1))𝐴)
62	61	oveq2d 7429	. . . . . 6 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑁 ∈ (ℤ≥‘(𝑀 + 1))) → (𝐷 + Σ𝑘 ∈ ((𝑀 + 1)..^𝑁)𝐴) = (𝐷 + Σ𝑘 ∈ ((𝑀 + 1)...(𝑁 − 1))𝐴))
63	57, 58, 62	3eqtr4d 2805	. . . . 5 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑁 ∈ (ℤ≥‘(𝑀 + 1))) → Σ𝑘 ∈ (𝑀..^𝑁)𝐴 = (𝐷 + Σ𝑘 ∈ ((𝑀 + 1)..^𝑁)𝐴))
64	42, 63	eqtr3id 2809	. . . 4 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑁 ∈ (ℤ≥‘(𝑀 + 1))) → Σ𝑗 ∈ (𝑀..^𝑁)𝐵 = (𝐷 + Σ𝑘 ∈ ((𝑀 + 1)..^𝑁)𝐴))
65		simpr 490	. . . . . 6 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑁 ∈ (ℤ≥‘(𝑀 + 1))) → 𝑁 ∈ (ℤ≥‘(𝑀 + 1)))
66		fzp1ss 13630	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝑀 ∈ ℤ → ((𝑀 + 1)...𝑁) ⊆ (𝑀...𝑁))
67	44, 66	syl 18	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝜑 → ((𝑀 + 1)...𝑁) ⊆ (𝑀...𝑁))
68	67	sselda 3931	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑘 ∈ ((𝑀 + 1)...𝑁)) → 𝑘 ∈ (𝑀...𝑁))
69	68, 4	syldan 603	. . . . . . 7 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑘 ∈ ((𝑀 + 1)...𝑁)) → 𝐴 ∈ ℂ)
70	69	adantlr 728	. . . . . 6 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑁 ∈ (ℤ≥‘(𝑀 + 1))) ∧ 𝑘 ∈ ((𝑀 + 1)...𝑁)) → 𝐴 ∈ ℂ)
71	65, 70, 19	fsumm1 15837	. . . . 5 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑁 ∈ (ℤ≥‘(𝑀 + 1))) → Σ𝑘 ∈ ((𝑀 + 1)...𝑁)𝐴 = (Σ𝑘 ∈ ((𝑀 + 1)...(𝑁 − 1))𝐴 + 𝐸))
72		1zzd 12649	. . . . . . . 8 ⊢ (𝜑 → 1 ∈ ℤ)
73	44	peano2zd 12728	. . . . . . . 8 ⊢ (𝜑 → (𝑀 + 1) ∈ ℤ)
74	72, 73, 48, 69, 35	fsumshftm 15867	. . . . . . 7 ⊢ (𝜑 → Σ𝑘 ∈ ((𝑀 + 1)...𝑁)𝐴 = Σ𝑗 ∈ (((𝑀 + 1) − 1)...(𝑁 − 1))𝐶)
75	44	zcnd 12726	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (𝜑 → 𝑀 ∈ ℂ)
76		ax-1cn 11182	. . . . . . . . . . 11 ⊢ 1 ∈ ℂ
77		pncan 11487	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ((𝑀 ∈ ℂ ∧ 1 ∈ ℂ) → ((𝑀 + 1) − 1) = 𝑀)
78	75, 76, 77	sylancl 598	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝜑 → ((𝑀 + 1) − 1) = 𝑀)
79	78	oveq1d 7428	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝜑 → (((𝑀 + 1) − 1)...(𝑁 − 1)) = (𝑀...(𝑁 − 1)))
80	48, 50	syl 18	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝜑 → (𝑀..^𝑁) = (𝑀...(𝑁 − 1)))
81	79, 80	eqtr4d 2798	. . . . . . . 8 ⊢ (𝜑 → (((𝑀 + 1) − 1)...(𝑁 − 1)) = (𝑀..^𝑁))
82	81	sumeq1d 15787	. . . . . . 7 ⊢ (𝜑 → Σ𝑗 ∈ (((𝑀 + 1) − 1)...(𝑁 − 1))𝐶 = Σ𝑗 ∈ (𝑀..^𝑁)𝐶)
83	74, 82	eqtrd 2795	. . . . . 6 ⊢ (𝜑 → Σ𝑘 ∈ ((𝑀 + 1)...𝑁)𝐴 = Σ𝑗 ∈ (𝑀..^𝑁)𝐶)
84	83	adantr 486	. . . . 5 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑁 ∈ (ℤ≥‘(𝑀 + 1))) → Σ𝑘 ∈ ((𝑀 + 1)...𝑁)𝐴 = Σ𝑗 ∈ (𝑀..^𝑁)𝐶)
85	48, 59	syl 18	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝜑 → ((𝑀 + 1)..^𝑁) = ((𝑀 + 1)...(𝑁 − 1)))
86	85	sumeq1d 15787	. . . . . . . 8 ⊢ (𝜑 → Σ𝑘 ∈ ((𝑀 + 1)..^𝑁)𝐴 = Σ𝑘 ∈ ((𝑀 + 1)...(𝑁 − 1))𝐴)
87	86	oveq1d 7428	. . . . . . 7 ⊢ (𝜑 → (Σ𝑘 ∈ ((𝑀 + 1)..^𝑁)𝐴 + 𝐸) = (Σ𝑘 ∈ ((𝑀 + 1)...(𝑁 − 1))𝐴 + 𝐸))
88		fzofi 14038	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((𝑀 + 1)..^𝑁) ∈ Fin
89	88	a1i 11	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝜑 → ((𝑀 + 1)..^𝑁) ∈ Fin)
90		elfzofz 13731	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝑘 ∈ ((𝑀 + 1)..^𝑁) → 𝑘 ∈ ((𝑀 + 1)...𝑁))
91	90, 69	sylan2 605	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑘 ∈ ((𝑀 + 1)..^𝑁)) → 𝐴 ∈ ℂ)
92	89, 91	fsumcl 15819	. . . . . . . 8 ⊢ (𝜑 → Σ𝑘 ∈ ((𝑀 + 1)..^𝑁)𝐴 ∈ ℂ)
93	19	eleq1d 2845	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝑘 = 𝑁 → (𝐴 ∈ ℂ ↔ 𝐸 ∈ ℂ))
94		eluzfz2 13586	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝑁 ∈ (ℤ≥‘𝑀) → 𝑁 ∈ (𝑀...𝑁))
95	6, 94	syl 18	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝜑 → 𝑁 ∈ (𝑀...𝑁))
96	93, 5, 95	rspcdva 3577	. . . . . . . 8 ⊢ (𝜑 → 𝐸 ∈ ℂ)
97	92, 96	addcomd 11436	. . . . . . 7 ⊢ (𝜑 → (Σ𝑘 ∈ ((𝑀 + 1)..^𝑁)𝐴 + 𝐸) = (𝐸 + Σ𝑘 ∈ ((𝑀 + 1)..^𝑁)𝐴))
98	87, 97	eqtr3d 2797	. . . . . 6 ⊢ (𝜑 → (Σ𝑘 ∈ ((𝑀 + 1)...(𝑁 − 1))𝐴 + 𝐸) = (𝐸 + Σ𝑘 ∈ ((𝑀 + 1)..^𝑁)𝐴))
99	98	adantr 486	. . . . 5 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑁 ∈ (ℤ≥‘(𝑀 + 1))) → (Σ𝑘 ∈ ((𝑀 + 1)...(𝑁 − 1))𝐴 + 𝐸) = (𝐸 + Σ𝑘 ∈ ((𝑀 + 1)..^𝑁)𝐴))
100	71, 84, 99	3eqtr3d 2803	. . . 4 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑁 ∈ (ℤ≥‘(𝑀 + 1))) → Σ𝑗 ∈ (𝑀..^𝑁)𝐶 = (𝐸 + Σ𝑘 ∈ ((𝑀 + 1)..^𝑁)𝐴))
101	64, 100	oveq12d 7431	. . 3 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑁 ∈ (ℤ≥‘(𝑀 + 1))) → (Σ𝑗 ∈ (𝑀..^𝑁)𝐵 − Σ𝑗 ∈ (𝑀..^𝑁)𝐶) = ((𝐷 + Σ𝑘 ∈ ((𝑀 + 1)..^𝑁)𝐴) − (𝐸 + Σ𝑘 ∈ ((𝑀 + 1)..^𝑁)𝐴)))
102	9, 96, 92	pnpcan2d 11631	. . . 4 ⊢ (𝜑 → ((𝐷 + Σ𝑘 ∈ ((𝑀 + 1)..^𝑁)𝐴) − (𝐸 + Σ𝑘 ∈ ((𝑀 + 1)..^𝑁)𝐴)) = (𝐷 − 𝐸))
103	102	adantr 486	. . 3 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑁 ∈ (ℤ≥‘(𝑀 + 1))) → ((𝐷 + Σ𝑘 ∈ ((𝑀 + 1)..^𝑁)𝐴) − (𝐸 + Σ𝑘 ∈ ((𝑀 + 1)..^𝑁)𝐴)) = (𝐷 − 𝐸))
104	41, 101, 103	3eqtrd 2799	. 2 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑁 ∈ (ℤ≥‘(𝑀 + 1))) → Σ𝑗 ∈ (𝑀..^𝑁)(𝐵 − 𝐶) = (𝐷 − 𝐸))
105		uzp1 12924	. . 3 ⊢ (𝑁 ∈ (ℤ≥‘𝑀) → (𝑁 = 𝑀 ∨ 𝑁 ∈ (ℤ≥‘(𝑀 + 1))))
106	6, 105	syl 18	. 2 ⊢ (𝜑 → (𝑁 = 𝑀 ∨ 𝑁 ∈ (ℤ≥‘(𝑀 + 1))))
107	26, 104, 106	mpjaodan 973	1 ⊢ (𝜑 → Σ𝑗 ∈ (𝑀..^𝑁)(𝐵 − 𝐶) = (𝐷 − 𝐸))

This proof depends on syntax axioms:   → wi 4   ∧ wa 401   ∨ wo 861   = wceq 1570   ∈ wcel 2145  ∀wral 3076   ⊆ wss 3899  ∅c0 4279  ‘cfv 6533  (class class class)co 7413  Fincfn 8952  ℂcc 11122  0cc0 11124  1c1 11125   + caddc 11127   − cmin 11465  ℤcz 12615  ℤ_≥cuz 12887  ...cfz 13561  ..^cfzo 13709  Σcsu 15773

This proof depends on axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1828  ax-4 1842  ax-5 1943  ax-6 2000  ax-7 2041  ax-8 2147  ax-9 2155  ax-10 2178  ax-11 2194  ax-12 2213  ax-ext 2732  ax-rep 5232  ax-sep 5251  ax-nul 5263  ax-pow 5330  ax-pr 5398  ax-un 7736  ax-inf2 9620  ax-cnex 11180  ax-resscn 11181  ax-1cn 11182  ax-icn 11183  ax-addcl 11184  ax-addrcl 11185  ax-mulcl 11186  ax-mulrcl 11187  ax-mulcom 11188  ax-addass 11189  ax-mulass 11190  ax-distr 11191  ax-i2m1 11192  ax-1ne0 11193  ax-1rid 11194  ax-rnegex 11195  ax-rrecex 11196  ax-cnre 11197  ax-pre-lttri 11198  ax-pre-lttrn 11199  ax-pre-ltadd 11200  ax-pre-mulgt0 11201  ax-pre-sup 11202

This proof depends on definitions:  df-bi 210  df-an 402  df-or 862  df-3or 1104  df-3an 1105  df-tru 1573  df-fal 1583  df-ex 1813  df-nf 1817  df-sb 2100  df-mo 2564  df-eu 2594  df-clab 2739  df-cleq 2752  df-clel 2835  df-nfc 2909  df-ne 2956  df-nel 3062  df-ral 3077  df-rex 3087  df-rmo 3365  df-reu 3366  df-rab 3413  df-v 3452  df-sbc 3740  df-csb 3848  df-dif 3902  df-un 3904  df-in 3906  df-ss 3916  df-pss 3919  df-nul 4280  df-if 4483  df-pw 4559  df-sn 4585  df-pr 4587  df-op 4591  df-uni 4868  df-int 4908  df-iun 4953  df-br 5104  df-opab 5168  df-mpt 5187  df-tr 5213  df-id 5550  df-eprel 5555  df-po 5563  df-so 5564  df-fr 5608  df-se 5609  df-we 5610  df-xp 5661  df-rel 5662  df-cnv 5663  df-co 5664  df-dm 5665  df-rn 5666  df-res 5667  df-ima 5668  df-pred 6299  df-ord 6360  df-on 6361  df-lim 6362  df-suc 6363  df-iota 6489  df-fun 6535  df-fn 6536  df-f 6537  df-f1 6538  df-fo 6539  df-f1o 6540  df-fv 6541  df-isom 6542  df-riota 7370  df-ov 7416  df-oprab 7417  df-mpo 7418  df-om 7863  df-1st 7986  df-2nd 7987  df-frecs 8280  df-wrecs 8311  df-recs 8360  df-rdg 8399  df-1o 8455  df-er 8696  df-en 8953  df-dom 8954  df-sdom 8955  df-fin 8956  df-sup 9412  df-oi 9482  df-card 9944  df-pnf 11269  df-mnf 11270  df-xr 11271  df-ltxr 11272  df-le 11273  df-sub 11467  df-neg 11468  df-div 11896  df-nn 12258  df-2 12327  df-3 12328  df-n0 12529  df-z 12616  df-uz 12888  df-rp 13043  df-fz 13562  df-fzo 13710  df-seq 14066  df-exp 14126  df-hash 14395  df-cj 15186  df-re 15187  df-im 15188  df-sqrt 15322  df-abs 15323  df-clim 15575  df-sum 15774

This theorem is used by:  telfsumo2  15890  telfsum  15891  geoserg  15955  dchrisumlem2  27726  stirlinglem12  46913