Theorem binomcxplemrat 43852

Description: Lemma for binomcxp 43859. As 𝑘 increases, this ratio's absolute value converges to one. Part of equation "Since continuity of the absolute value..." in the Wikibooks proof (proven for the inverse ratio, which we later show is no problem). (Contributed by Steve Rodriguez, 22-Apr-2020.)

Hypotheses

Ref	Expression
binomcxp.a	⊢ (𝜑 → 𝐴 ∈ ℝ+)
binomcxp.b	⊢ (𝜑 → 𝐵 ∈ ℝ)
binomcxp.lt	⊢ (𝜑 → (abs‘𝐵) < (abs‘𝐴))
binomcxp.c	⊢ (𝜑 → 𝐶 ∈ ℂ)

Assertion

Ref	Expression
binomcxplemrat	⊢ (𝜑 → (𝑘 ∈ ℕ0 ↦ (abs‘((𝐶 − 𝑘) / (𝑘 + 1)))) ⇝ 1)

Distinct variable groups:   𝜑,𝑘   𝐶,𝑘

Allowed substitution hints:   𝐴(𝑘)   𝐵(𝑘)

Proof of Theorem binomcxplemrat

Dummy variable 𝑥 is distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		nn0uz 12894	. . 3 ⊢ ℕ0 = (ℤ≥‘0)
2		0zd 12600	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → 0 ∈ ℤ)
3		binomcxp.c	. . . . . . 7 ⊢ (𝜑 → 𝐶 ∈ ℂ)
4		peano2cn 11416	. . . . . . 7 ⊢ (𝐶 ∈ ℂ → (𝐶 + 1) ∈ ℂ)
5	3, 4	syl 17	. . . . . 6 ⊢ (𝜑 → (𝐶 + 1) ∈ ℂ)
6		1zzd 12623	. . . . . 6 ⊢ (𝜑 → 1 ∈ ℤ)
7		nn0ex 12508	. . . . . . . 8 ⊢ ℕ0 ∈ V
8	7	mptex 7233	. . . . . . 7 ⊢ (𝑘 ∈ ℕ0 ↦ ((𝐶 + 1) / (𝑘 + 1))) ∈ V
9	8	a1i 11	. . . . . 6 ⊢ (𝜑 → (𝑘 ∈ ℕ0 ↦ ((𝐶 + 1) / (𝑘 + 1))) ∈ V)
10		eqidd 2726	. . . . . . 7 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ ℕ0) → (𝑘 ∈ ℕ0 ↦ ((𝐶 + 1) / (𝑘 + 1))) = (𝑘 ∈ ℕ0 ↦ ((𝐶 + 1) / (𝑘 + 1))))
11		simpr 483	. . . . . . . . 9 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ ℕ0) ∧ 𝑘 = 𝑥) → 𝑘 = 𝑥)
12	11	oveq1d 7432	. . . . . . . 8 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ ℕ0) ∧ 𝑘 = 𝑥) → (𝑘 + 1) = (𝑥 + 1))
13	12	oveq2d 7433	. . . . . . 7 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ ℕ0) ∧ 𝑘 = 𝑥) → ((𝐶 + 1) / (𝑘 + 1)) = ((𝐶 + 1) / (𝑥 + 1)))
14		simpr 483	. . . . . . 7 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ ℕ0) → 𝑥 ∈ ℕ0)
15		ovexd 7452	. . . . . . 7 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ ℕ0) → ((𝐶 + 1) / (𝑥 + 1)) ∈ V)
16	10, 13, 14, 15	fvmptd 7009	. . . . . 6 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ ℕ0) → ((𝑘 ∈ ℕ0 ↦ ((𝐶 + 1) / (𝑘 + 1)))‘𝑥) = ((𝐶 + 1) / (𝑥 + 1)))
17	1, 2, 5, 6, 9, 16	divcnvshft 15833	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → (𝑘 ∈ ℕ0 ↦ ((𝐶 + 1) / (𝑘 + 1))) ⇝ 0)
18		ovexd 7452	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → ((𝑘 ∈ ℕ0 ↦ ((𝐶 + 1) / (𝑘 + 1))) ∘f − (𝑘 ∈ ℕ0 ↦ ((𝑘 + 1) / (𝑘 + 1)))) ∈ V)
19		nn0cn 12512	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (𝑘 ∈ ℕ0 → 𝑘 ∈ ℂ)
20		1cnd 11239	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (𝑘 ∈ ℕ0 → 1 ∈ ℂ)
21	19, 20	addcld 11263	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝑘 ∈ ℕ0 → (𝑘 + 1) ∈ ℂ)
22		nn0p1nn 12541	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (𝑘 ∈ ℕ0 → (𝑘 + 1) ∈ ℕ)
23	22	nnne0d 12292	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝑘 ∈ ℕ0 → (𝑘 + 1) ≠ 0)
24	21, 23	dividd 12018	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝑘 ∈ ℕ0 → ((𝑘 + 1) / (𝑘 + 1)) = 1)
25	24	mpteq2ia 5251	. . . . . . . 8 ⊢ (𝑘 ∈ ℕ0 ↦ ((𝑘 + 1) / (𝑘 + 1))) = (𝑘 ∈ ℕ0 ↦ 1)
26		fconstmpt 5739	. . . . . . . 8 ⊢ (ℕ0 × {1}) = (𝑘 ∈ ℕ0 ↦ 1)
27	25, 26	eqtr4i 2756	. . . . . . 7 ⊢ (𝑘 ∈ ℕ0 ↦ ((𝑘 + 1) / (𝑘 + 1))) = (ℕ0 × {1})
28		ax-1cn 11196	. . . . . . . 8 ⊢ 1 ∈ ℂ
29		0z 12599	. . . . . . . 8 ⊢ 0 ∈ ℤ
30	1	eqimss2i 4039	. . . . . . . . 9 ⊢ (ℤ≥‘0) ⊆ ℕ0
31	30, 7	climconst2 15524	. . . . . . . 8 ⊢ ((1 ∈ ℂ ∧ 0 ∈ ℤ) → (ℕ0 × {1}) ⇝ 1)
32	28, 29, 31	mp2an 690	. . . . . . 7 ⊢ (ℕ0 × {1}) ⇝ 1
33	27, 32	eqbrtri 5169	. . . . . 6 ⊢ (𝑘 ∈ ℕ0 ↦ ((𝑘 + 1) / (𝑘 + 1))) ⇝ 1
34	33	a1i 11	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → (𝑘 ∈ ℕ0 ↦ ((𝑘 + 1) / (𝑘 + 1))) ⇝ 1)
35	3	adantr 479	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ ℕ0) → 𝐶 ∈ ℂ)
36		1cnd 11239	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ ℕ0) → 1 ∈ ℂ)
37	35, 36	addcld 11263	. . . . . . 7 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ ℕ0) → (𝐶 + 1) ∈ ℂ)
38	14	nn0cnd 12564	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ ℕ0) → 𝑥 ∈ ℂ)
39	38, 36	addcld 11263	. . . . . . 7 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ ℕ0) → (𝑥 + 1) ∈ ℂ)
40		nn0p1nn 12541	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝑥 ∈ ℕ0 → (𝑥 + 1) ∈ ℕ)
41	40	nnne0d 12292	. . . . . . . 8 ⊢ (𝑥 ∈ ℕ0 → (𝑥 + 1) ≠ 0)
42	41	adantl 480	. . . . . . 7 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ ℕ0) → (𝑥 + 1) ≠ 0)
43	37, 39, 42	divcld 12020	. . . . . 6 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ ℕ0) → ((𝐶 + 1) / (𝑥 + 1)) ∈ ℂ)
44	16, 43	eqeltrd 2825	. . . . 5 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ ℕ0) → ((𝑘 ∈ ℕ0 ↦ ((𝐶 + 1) / (𝑘 + 1)))‘𝑥) ∈ ℂ)
45		eqidd 2726	. . . . . . 7 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ ℕ0) → (𝑘 ∈ ℕ0 ↦ ((𝑘 + 1) / (𝑘 + 1))) = (𝑘 ∈ ℕ0 ↦ ((𝑘 + 1) / (𝑘 + 1))))
46	12, 12	oveq12d 7435	. . . . . . 7 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ ℕ0) ∧ 𝑘 = 𝑥) → ((𝑘 + 1) / (𝑘 + 1)) = ((𝑥 + 1) / (𝑥 + 1)))
47		ovexd 7452	. . . . . . 7 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ ℕ0) → ((𝑥 + 1) / (𝑥 + 1)) ∈ V)
48	45, 46, 14, 47	fvmptd 7009	. . . . . 6 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ ℕ0) → ((𝑘 ∈ ℕ0 ↦ ((𝑘 + 1) / (𝑘 + 1)))‘𝑥) = ((𝑥 + 1) / (𝑥 + 1)))
49	39, 39, 42	divcld 12020	. . . . . 6 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ ℕ0) → ((𝑥 + 1) / (𝑥 + 1)) ∈ ℂ)
50	48, 49	eqeltrd 2825	. . . . 5 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ ℕ0) → ((𝑘 ∈ ℕ0 ↦ ((𝑘 + 1) / (𝑘 + 1)))‘𝑥) ∈ ℂ)
51		ovex 7450	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝐶 + 1) / (𝑘 + 1)) ∈ V
52		eqid 2725	. . . . . . . 8 ⊢ (𝑘 ∈ ℕ0 ↦ ((𝐶 + 1) / (𝑘 + 1))) = (𝑘 ∈ ℕ0 ↦ ((𝐶 + 1) / (𝑘 + 1)))
53	51, 52	fnmpti 6697	. . . . . . 7 ⊢ (𝑘 ∈ ℕ0 ↦ ((𝐶 + 1) / (𝑘 + 1))) Fn ℕ0
54	53	a1i 11	. . . . . 6 ⊢ (𝜑 → (𝑘 ∈ ℕ0 ↦ ((𝐶 + 1) / (𝑘 + 1))) Fn ℕ0)
55		ovex 7450	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝑘 + 1) / (𝑘 + 1)) ∈ V
56		eqid 2725	. . . . . . . 8 ⊢ (𝑘 ∈ ℕ0 ↦ ((𝑘 + 1) / (𝑘 + 1))) = (𝑘 ∈ ℕ0 ↦ ((𝑘 + 1) / (𝑘 + 1)))
57	55, 56	fnmpti 6697	. . . . . . 7 ⊢ (𝑘 ∈ ℕ0 ↦ ((𝑘 + 1) / (𝑘 + 1))) Fn ℕ0
58	57	a1i 11	. . . . . 6 ⊢ (𝜑 → (𝑘 ∈ ℕ0 ↦ ((𝑘 + 1) / (𝑘 + 1))) Fn ℕ0)
59	7	a1i 11	. . . . . 6 ⊢ (𝜑 → ℕ0 ∈ V)
60		inidm 4218	. . . . . 6 ⊢ (ℕ0 ∩ ℕ0) = ℕ0
61		eqidd 2726	. . . . . 6 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ ℕ0) → ((𝑘 ∈ ℕ0 ↦ ((𝐶 + 1) / (𝑘 + 1)))‘𝑥) = ((𝑘 ∈ ℕ0 ↦ ((𝐶 + 1) / (𝑘 + 1)))‘𝑥))
62		eqidd 2726	. . . . . 6 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ ℕ0) → ((𝑘 ∈ ℕ0 ↦ ((𝑘 + 1) / (𝑘 + 1)))‘𝑥) = ((𝑘 ∈ ℕ0 ↦ ((𝑘 + 1) / (𝑘 + 1)))‘𝑥))
63	54, 58, 59, 59, 60, 61, 62	ofval 7694	. . . . 5 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ ℕ0) → (((𝑘 ∈ ℕ0 ↦ ((𝐶 + 1) / (𝑘 + 1))) ∘f − (𝑘 ∈ ℕ0 ↦ ((𝑘 + 1) / (𝑘 + 1))))‘𝑥) = (((𝑘 ∈ ℕ0 ↦ ((𝐶 + 1) / (𝑘 + 1)))‘𝑥) − ((𝑘 ∈ ℕ0 ↦ ((𝑘 + 1) / (𝑘 + 1)))‘𝑥)))
64	1, 2, 17, 18, 34, 44, 50, 63	climsub 15610	. . . 4 ⊢ (𝜑 → ((𝑘 ∈ ℕ0 ↦ ((𝐶 + 1) / (𝑘 + 1))) ∘f − (𝑘 ∈ ℕ0 ↦ ((𝑘 + 1) / (𝑘 + 1)))) ⇝ (0 − 1))
65		ovexd 7452	. . . . . 6 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑘 ∈ ℕ0) → ((𝐶 + 1) / (𝑘 + 1)) ∈ V)
66		ovexd 7452	. . . . . 6 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑘 ∈ ℕ0) → ((𝑘 + 1) / (𝑘 + 1)) ∈ V)
67		eqidd 2726	. . . . . 6 ⊢ (𝜑 → (𝑘 ∈ ℕ0 ↦ ((𝐶 + 1) / (𝑘 + 1))) = (𝑘 ∈ ℕ0 ↦ ((𝐶 + 1) / (𝑘 + 1))))
68		eqidd 2726	. . . . . 6 ⊢ (𝜑 → (𝑘 ∈ ℕ0 ↦ ((𝑘 + 1) / (𝑘 + 1))) = (𝑘 ∈ ℕ0 ↦ ((𝑘 + 1) / (𝑘 + 1))))
69	59, 65, 66, 67, 68	offval2 7703	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → ((𝑘 ∈ ℕ0 ↦ ((𝐶 + 1) / (𝑘 + 1))) ∘f − (𝑘 ∈ ℕ0 ↦ ((𝑘 + 1) / (𝑘 + 1)))) = (𝑘 ∈ ℕ0 ↦ (((𝐶 + 1) / (𝑘 + 1)) − ((𝑘 + 1) / (𝑘 + 1)))))
70	5	adantr 479	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑘 ∈ ℕ0) → (𝐶 + 1) ∈ ℂ)
71	21	adantl 480	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑘 ∈ ℕ0) → (𝑘 + 1) ∈ ℂ)
72	23	adantl 480	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑘 ∈ ℕ0) → (𝑘 + 1) ≠ 0)
73	70, 71, 71, 72	divsubdird 12059	. . . . . . 7 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑘 ∈ ℕ0) → (((𝐶 + 1) − (𝑘 + 1)) / (𝑘 + 1)) = (((𝐶 + 1) / (𝑘 + 1)) − ((𝑘 + 1) / (𝑘 + 1))))
74	3	adantr 479	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑘 ∈ ℕ0) → 𝐶 ∈ ℂ)
75	19	adantl 480	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑘 ∈ ℕ0) → 𝑘 ∈ ℂ)
76		1cnd 11239	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑘 ∈ ℕ0) → 1 ∈ ℂ)
77	74, 75, 76	pnpcan2d 11639	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑘 ∈ ℕ0) → ((𝐶 + 1) − (𝑘 + 1)) = (𝐶 − 𝑘))
78	77	oveq1d 7432	. . . . . . 7 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑘 ∈ ℕ0) → (((𝐶 + 1) − (𝑘 + 1)) / (𝑘 + 1)) = ((𝐶 − 𝑘) / (𝑘 + 1)))
79	73, 78	eqtr3d 2767	. . . . . 6 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑘 ∈ ℕ0) → (((𝐶 + 1) / (𝑘 + 1)) − ((𝑘 + 1) / (𝑘 + 1))) = ((𝐶 − 𝑘) / (𝑘 + 1)))
80	79	mpteq2dva 5248	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → (𝑘 ∈ ℕ0 ↦ (((𝐶 + 1) / (𝑘 + 1)) − ((𝑘 + 1) / (𝑘 + 1)))) = (𝑘 ∈ ℕ0 ↦ ((𝐶 − 𝑘) / (𝑘 + 1))))
81	69, 80	eqtrd 2765	. . . 4 ⊢ (𝜑 → ((𝑘 ∈ ℕ0 ↦ ((𝐶 + 1) / (𝑘 + 1))) ∘f − (𝑘 ∈ ℕ0 ↦ ((𝑘 + 1) / (𝑘 + 1)))) = (𝑘 ∈ ℕ0 ↦ ((𝐶 − 𝑘) / (𝑘 + 1))))
82		df-neg 11477	. . . . . 6 ⊢ -1 = (0 − 1)
83	82	eqcomi 2734	. . . . 5 ⊢ (0 − 1) = -1
84	83	a1i 11	. . . 4 ⊢ (𝜑 → (0 − 1) = -1)
85	64, 81, 84	3brtr3d 5179	. . 3 ⊢ (𝜑 → (𝑘 ∈ ℕ0 ↦ ((𝐶 − 𝑘) / (𝑘 + 1))) ⇝ -1)
86	7	mptex 7233	. . . 4 ⊢ (𝑘 ∈ ℕ0 ↦ (abs‘((𝐶 − 𝑘) / (𝑘 + 1)))) ∈ V
87	86	a1i 11	. . 3 ⊢ (𝜑 → (𝑘 ∈ ℕ0 ↦ (abs‘((𝐶 − 𝑘) / (𝑘 + 1)))) ∈ V)
88		eqidd 2726	. . . . 5 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ ℕ0) → (𝑘 ∈ ℕ0 ↦ ((𝐶 − 𝑘) / (𝑘 + 1))) = (𝑘 ∈ ℕ0 ↦ ((𝐶 − 𝑘) / (𝑘 + 1))))
89		oveq2 7425	. . . . . . 7 ⊢ (𝑘 = 𝑥 → (𝐶 − 𝑘) = (𝐶 − 𝑥))
90		oveq1 7424	. . . . . . 7 ⊢ (𝑘 = 𝑥 → (𝑘 + 1) = (𝑥 + 1))
91	89, 90	oveq12d 7435	. . . . . 6 ⊢ (𝑘 = 𝑥 → ((𝐶 − 𝑘) / (𝑘 + 1)) = ((𝐶 − 𝑥) / (𝑥 + 1)))
92	91	adantl 480	. . . . 5 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ ℕ0) ∧ 𝑘 = 𝑥) → ((𝐶 − 𝑘) / (𝑘 + 1)) = ((𝐶 − 𝑥) / (𝑥 + 1)))
93		ovexd 7452	. . . . 5 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ ℕ0) → ((𝐶 − 𝑥) / (𝑥 + 1)) ∈ V)
94	88, 92, 14, 93	fvmptd 7009	. . . 4 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ ℕ0) → ((𝑘 ∈ ℕ0 ↦ ((𝐶 − 𝑘) / (𝑘 + 1)))‘𝑥) = ((𝐶 − 𝑥) / (𝑥 + 1)))
95	35, 38	subcld 11601	. . . . 5 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ ℕ0) → (𝐶 − 𝑥) ∈ ℂ)
96	95, 39, 42	divcld 12020	. . . 4 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ ℕ0) → ((𝐶 − 𝑥) / (𝑥 + 1)) ∈ ℂ)
97	94, 96	eqeltrd 2825	. . 3 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ ℕ0) → ((𝑘 ∈ ℕ0 ↦ ((𝐶 − 𝑘) / (𝑘 + 1)))‘𝑥) ∈ ℂ)
98		eqidd 2726	. . . . 5 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ ℕ0) → (𝑘 ∈ ℕ0 ↦ (abs‘((𝐶 − 𝑘) / (𝑘 + 1)))) = (𝑘 ∈ ℕ0 ↦ (abs‘((𝐶 − 𝑘) / (𝑘 + 1)))))
99	91	fveq2d 6898	. . . . . 6 ⊢ (𝑘 = 𝑥 → (abs‘((𝐶 − 𝑘) / (𝑘 + 1))) = (abs‘((𝐶 − 𝑥) / (𝑥 + 1))))
100	99	adantl 480	. . . . 5 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ ℕ0) ∧ 𝑘 = 𝑥) → (abs‘((𝐶 − 𝑘) / (𝑘 + 1))) = (abs‘((𝐶 − 𝑥) / (𝑥 + 1))))
101		fvexd 6909	. . . . 5 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ ℕ0) → (abs‘((𝐶 − 𝑥) / (𝑥 + 1))) ∈ V)
102	98, 100, 14, 101	fvmptd 7009	. . . 4 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ ℕ0) → ((𝑘 ∈ ℕ0 ↦ (abs‘((𝐶 − 𝑘) / (𝑘 + 1))))‘𝑥) = (abs‘((𝐶 − 𝑥) / (𝑥 + 1))))
103	94	fveq2d 6898	. . . 4 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ ℕ0) → (abs‘((𝑘 ∈ ℕ0 ↦ ((𝐶 − 𝑘) / (𝑘 + 1)))‘𝑥)) = (abs‘((𝐶 − 𝑥) / (𝑥 + 1))))
104	102, 103	eqtr4d 2768	. . 3 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ ℕ0) → ((𝑘 ∈ ℕ0 ↦ (abs‘((𝐶 − 𝑘) / (𝑘 + 1))))‘𝑥) = (abs‘((𝑘 ∈ ℕ0 ↦ ((𝐶 − 𝑘) / (𝑘 + 1)))‘𝑥)))
105	1, 85, 87, 2, 97, 104	climabs 15580	. 2 ⊢ (𝜑 → (𝑘 ∈ ℕ0 ↦ (abs‘((𝐶 − 𝑘) / (𝑘 + 1)))) ⇝ (abs‘-1))
106	28	absnegi 15379	. . 3 ⊢ (abs‘-1) = (abs‘1)
107		abs1 15276	. . 3 ⊢ (abs‘1) = 1
108	106, 107	eqtri 2753	. 2 ⊢ (abs‘-1) = 1
109	105, 108	breqtrdi 5189	1 ⊢ (𝜑 → (𝑘 ∈ ℕ0 ↦ (abs‘((𝐶 − 𝑘) / (𝑘 + 1)))) ⇝ 1)

Syntax hints:   → wi 4   ∧ wa 394   = wceq 1533   ∈ wcel 2098   ≠ wne 2930  Vcvv 3463  {csn 4629   class class class wbr 5148   ↦ cmpt 5231   × cxp 5675   Fn wfn 6542  ‘cfv 6547  (class class class)co 7417   ∘_f cof 7681  ℂcc 11136  ℝcr 11137  0cc0 11138  1c1 11139   + caddc 11141   < clt 11278   − cmin 11474  -cneg 11475   / cdiv 11901  ℕ₀cn0 12502  ℤcz 12588  ℤ_≥cuz 12852  ℝ⁺crp 13006  abscabs 15213   ⇝ cli 15460

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1789  ax-4 1803  ax-5 1905  ax-6 1963  ax-7 2003  ax-8 2100  ax-9 2108  ax-10 2129  ax-11 2146  ax-12 2166  ax-ext 2696  ax-rep 5285  ax-sep 5299  ax-nul 5306  ax-pow 5364  ax-pr 5428  ax-un 7739  ax-cnex 11194  ax-resscn 11195  ax-1cn 11196  ax-icn 11197  ax-addcl 11198  ax-addrcl 11199  ax-mulcl 11200  ax-mulrcl 11201  ax-mulcom 11202  ax-addass 11203  ax-mulass 11204  ax-distr 11205  ax-i2m1 11206  ax-1ne0 11207  ax-1rid 11208  ax-rnegex 11209  ax-rrecex 11210  ax-cnre 11211  ax-pre-lttri 11212  ax-pre-lttrn 11213  ax-pre-ltadd 11214  ax-pre-mulgt0 11215  ax-pre-sup 11216

This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 395  df-or 846  df-3or 1085  df-3an 1086  df-tru 1536  df-fal 1546  df-ex 1774  df-nf 1778  df-sb 2060  df-mo 2528  df-eu 2557  df-clab 2703  df-cleq 2717  df-clel 2802  df-nfc 2877  df-ne 2931  df-nel 3037  df-ral 3052  df-rex 3061  df-rmo 3364  df-reu 3365  df-rab 3420  df-v 3465  df-sbc 3775  df-csb 3891  df-dif 3948  df-un 3950  df-in 3952  df-ss 3962  df-pss 3965  df-nul 4324  df-if 4530  df-pw 4605  df-sn 4630  df-pr 4632  df-op 4636  df-uni 4909  df-iun 4998  df-br 5149  df-opab 5211  df-mpt 5232  df-tr 5266  df-id 5575  df-eprel 5581  df-po 5589  df-so 5590  df-fr 5632  df-we 5634  df-xp 5683  df-rel 5684  df-cnv 5685  df-co 5686  df-dm 5687  df-rn 5688  df-res 5689  df-ima 5690  df-pred 6305  df-ord 6372  df-on 6373  df-lim 6374  df-suc 6375  df-iota 6499  df-fun 6549  df-fn 6550  df-f 6551  df-f1 6552  df-fo 6553  df-f1o 6554  df-fv 6555  df-riota 7373  df-ov 7420  df-oprab 7421  df-mpo 7422  df-of 7683  df-om 7870  df-2nd 7993  df-frecs 8285  df-wrecs 8316  df-recs 8390  df-rdg 8429  df-er 8723  df-pm 8846  df-en 8963  df-dom 8964  df-sdom 8965  df-sup 9465  df-inf 9466  df-pnf 11280  df-mnf 11281  df-xr 11282  df-ltxr 11283  df-le 11284  df-sub 11476  df-neg 11477  df-div 11902  df-nn 12243  df-2 12305  df-3 12306  df-n0 12503  df-z 12589  df-uz 12853  df-rp 13007  df-fl 13789  df-seq 13999  df-exp 14059  df-shft 15046  df-cj 15078  df-re 15079  df-im 15080  df-sqrt 15214  df-abs 15215  df-clim 15464  df-rlim 15465

This theorem is referenced by:  binomcxplemfrat  43853