Users' Mathboxes Mathbox for Steve Rodriguez < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >   Mathboxes  >  binomcxplemrat Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem binomcxplemrat 43929
Description: Lemma for binomcxp 43936. As 𝑘 increases, this ratio's absolute value converges to one. Part of equation "Since continuity of the absolute value..." in the Wikibooks proof (proven for the inverse ratio, which we later show is no problem). (Contributed by Steve Rodriguez, 22-Apr-2020.)
Hypotheses
Ref Expression
binomcxp.a (𝜑𝐴 ∈ ℝ+)
binomcxp.b (𝜑𝐵 ∈ ℝ)
binomcxp.lt (𝜑 → (abs‘𝐵) < (abs‘𝐴))
binomcxp.c (𝜑𝐶 ∈ ℂ)
Assertion
Ref Expression
binomcxplemrat (𝜑 → (𝑘 ∈ ℕ0 ↦ (abs‘((𝐶𝑘) / (𝑘 + 1)))) ⇝ 1)
Distinct variable groups:   𝜑,𝑘   𝐶,𝑘
Allowed substitution hints:   𝐴(𝑘)   𝐵(𝑘)

Proof of Theorem binomcxplemrat
Dummy variable 𝑥 is distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 nn0uz 12897 . . 3 0 = (ℤ‘0)
2 0zd 12603 . . . . 5 (𝜑 → 0 ∈ ℤ)
3 binomcxp.c . . . . . . 7 (𝜑𝐶 ∈ ℂ)
4 peano2cn 11418 . . . . . . 7 (𝐶 ∈ ℂ → (𝐶 + 1) ∈ ℂ)
53, 4syl 17 . . . . . 6 (𝜑 → (𝐶 + 1) ∈ ℂ)
6 1zzd 12626 . . . . . 6 (𝜑 → 1 ∈ ℤ)
7 nn0ex 12511 . . . . . . . 8 0 ∈ V
87mptex 7235 . . . . . . 7 (𝑘 ∈ ℕ0 ↦ ((𝐶 + 1) / (𝑘 + 1))) ∈ V
98a1i 11 . . . . . 6 (𝜑 → (𝑘 ∈ ℕ0 ↦ ((𝐶 + 1) / (𝑘 + 1))) ∈ V)
10 eqidd 2726 . . . . . . 7 ((𝜑𝑥 ∈ ℕ0) → (𝑘 ∈ ℕ0 ↦ ((𝐶 + 1) / (𝑘 + 1))) = (𝑘 ∈ ℕ0 ↦ ((𝐶 + 1) / (𝑘 + 1))))
11 simpr 483 . . . . . . . . 9 (((𝜑𝑥 ∈ ℕ0) ∧ 𝑘 = 𝑥) → 𝑘 = 𝑥)
1211oveq1d 7434 . . . . . . . 8 (((𝜑𝑥 ∈ ℕ0) ∧ 𝑘 = 𝑥) → (𝑘 + 1) = (𝑥 + 1))
1312oveq2d 7435 . . . . . . 7 (((𝜑𝑥 ∈ ℕ0) ∧ 𝑘 = 𝑥) → ((𝐶 + 1) / (𝑘 + 1)) = ((𝐶 + 1) / (𝑥 + 1)))
14 simpr 483 . . . . . . 7 ((𝜑𝑥 ∈ ℕ0) → 𝑥 ∈ ℕ0)
15 ovexd 7454 . . . . . . 7 ((𝜑𝑥 ∈ ℕ0) → ((𝐶 + 1) / (𝑥 + 1)) ∈ V)
1610, 13, 14, 15fvmptd 7011 . . . . . 6 ((𝜑𝑥 ∈ ℕ0) → ((𝑘 ∈ ℕ0 ↦ ((𝐶 + 1) / (𝑘 + 1)))‘𝑥) = ((𝐶 + 1) / (𝑥 + 1)))
171, 2, 5, 6, 9, 16divcnvshft 15837 . . . . 5 (𝜑 → (𝑘 ∈ ℕ0 ↦ ((𝐶 + 1) / (𝑘 + 1))) ⇝ 0)
18 ovexd 7454 . . . . 5 (𝜑 → ((𝑘 ∈ ℕ0 ↦ ((𝐶 + 1) / (𝑘 + 1))) ∘f − (𝑘 ∈ ℕ0 ↦ ((𝑘 + 1) / (𝑘 + 1)))) ∈ V)
19 nn0cn 12515 . . . . . . . . . . 11 (𝑘 ∈ ℕ0𝑘 ∈ ℂ)
20 1cnd 11241 . . . . . . . . . . 11 (𝑘 ∈ ℕ0 → 1 ∈ ℂ)
2119, 20addcld 11265 . . . . . . . . . 10 (𝑘 ∈ ℕ0 → (𝑘 + 1) ∈ ℂ)
22 nn0p1nn 12544 . . . . . . . . . . 11 (𝑘 ∈ ℕ0 → (𝑘 + 1) ∈ ℕ)
2322nnne0d 12295 . . . . . . . . . 10 (𝑘 ∈ ℕ0 → (𝑘 + 1) ≠ 0)
2421, 23dividd 12021 . . . . . . . . 9 (𝑘 ∈ ℕ0 → ((𝑘 + 1) / (𝑘 + 1)) = 1)
2524mpteq2ia 5252 . . . . . . . 8 (𝑘 ∈ ℕ0 ↦ ((𝑘 + 1) / (𝑘 + 1))) = (𝑘 ∈ ℕ0 ↦ 1)
26 fconstmpt 5740 . . . . . . . 8 (ℕ0 × {1}) = (𝑘 ∈ ℕ0 ↦ 1)
2725, 26eqtr4i 2756 . . . . . . 7 (𝑘 ∈ ℕ0 ↦ ((𝑘 + 1) / (𝑘 + 1))) = (ℕ0 × {1})
28 ax-1cn 11198 . . . . . . . 8 1 ∈ ℂ
29 0z 12602 . . . . . . . 8 0 ∈ ℤ
301eqimss2i 4038 . . . . . . . . 9 (ℤ‘0) ⊆ ℕ0
3130, 7climconst2 15528 . . . . . . . 8 ((1 ∈ ℂ ∧ 0 ∈ ℤ) → (ℕ0 × {1}) ⇝ 1)
3228, 29, 31mp2an 690 . . . . . . 7 (ℕ0 × {1}) ⇝ 1
3327, 32eqbrtri 5170 . . . . . 6 (𝑘 ∈ ℕ0 ↦ ((𝑘 + 1) / (𝑘 + 1))) ⇝ 1
3433a1i 11 . . . . 5 (𝜑 → (𝑘 ∈ ℕ0 ↦ ((𝑘 + 1) / (𝑘 + 1))) ⇝ 1)
353adantr 479 . . . . . . . 8 ((𝜑𝑥 ∈ ℕ0) → 𝐶 ∈ ℂ)
36 1cnd 11241 . . . . . . . 8 ((𝜑𝑥 ∈ ℕ0) → 1 ∈ ℂ)
3735, 36addcld 11265 . . . . . . 7 ((𝜑𝑥 ∈ ℕ0) → (𝐶 + 1) ∈ ℂ)
3814nn0cnd 12567 . . . . . . . 8 ((𝜑𝑥 ∈ ℕ0) → 𝑥 ∈ ℂ)
3938, 36addcld 11265 . . . . . . 7 ((𝜑𝑥 ∈ ℕ0) → (𝑥 + 1) ∈ ℂ)
40 nn0p1nn 12544 . . . . . . . . 9 (𝑥 ∈ ℕ0 → (𝑥 + 1) ∈ ℕ)
4140nnne0d 12295 . . . . . . . 8 (𝑥 ∈ ℕ0 → (𝑥 + 1) ≠ 0)
4241adantl 480 . . . . . . 7 ((𝜑𝑥 ∈ ℕ0) → (𝑥 + 1) ≠ 0)
4337, 39, 42divcld 12023 . . . . . 6 ((𝜑𝑥 ∈ ℕ0) → ((𝐶 + 1) / (𝑥 + 1)) ∈ ℂ)
4416, 43eqeltrd 2825 . . . . 5 ((𝜑𝑥 ∈ ℕ0) → ((𝑘 ∈ ℕ0 ↦ ((𝐶 + 1) / (𝑘 + 1)))‘𝑥) ∈ ℂ)
45 eqidd 2726 . . . . . . 7 ((𝜑𝑥 ∈ ℕ0) → (𝑘 ∈ ℕ0 ↦ ((𝑘 + 1) / (𝑘 + 1))) = (𝑘 ∈ ℕ0 ↦ ((𝑘 + 1) / (𝑘 + 1))))
4612, 12oveq12d 7437 . . . . . . 7 (((𝜑𝑥 ∈ ℕ0) ∧ 𝑘 = 𝑥) → ((𝑘 + 1) / (𝑘 + 1)) = ((𝑥 + 1) / (𝑥 + 1)))
47 ovexd 7454 . . . . . . 7 ((𝜑𝑥 ∈ ℕ0) → ((𝑥 + 1) / (𝑥 + 1)) ∈ V)
4845, 46, 14, 47fvmptd 7011 . . . . . 6 ((𝜑𝑥 ∈ ℕ0) → ((𝑘 ∈ ℕ0 ↦ ((𝑘 + 1) / (𝑘 + 1)))‘𝑥) = ((𝑥 + 1) / (𝑥 + 1)))
4939, 39, 42divcld 12023 . . . . . 6 ((𝜑𝑥 ∈ ℕ0) → ((𝑥 + 1) / (𝑥 + 1)) ∈ ℂ)
5048, 49eqeltrd 2825 . . . . 5 ((𝜑𝑥 ∈ ℕ0) → ((𝑘 ∈ ℕ0 ↦ ((𝑘 + 1) / (𝑘 + 1)))‘𝑥) ∈ ℂ)
51 ovex 7452 . . . . . . . 8 ((𝐶 + 1) / (𝑘 + 1)) ∈ V
52 eqid 2725 . . . . . . . 8 (𝑘 ∈ ℕ0 ↦ ((𝐶 + 1) / (𝑘 + 1))) = (𝑘 ∈ ℕ0 ↦ ((𝐶 + 1) / (𝑘 + 1)))
5351, 52fnmpti 6699 . . . . . . 7 (𝑘 ∈ ℕ0 ↦ ((𝐶 + 1) / (𝑘 + 1))) Fn ℕ0
5453a1i 11 . . . . . 6 (𝜑 → (𝑘 ∈ ℕ0 ↦ ((𝐶 + 1) / (𝑘 + 1))) Fn ℕ0)
55 ovex 7452 . . . . . . . 8 ((𝑘 + 1) / (𝑘 + 1)) ∈ V
56 eqid 2725 . . . . . . . 8 (𝑘 ∈ ℕ0 ↦ ((𝑘 + 1) / (𝑘 + 1))) = (𝑘 ∈ ℕ0 ↦ ((𝑘 + 1) / (𝑘 + 1)))
5755, 56fnmpti 6699 . . . . . . 7 (𝑘 ∈ ℕ0 ↦ ((𝑘 + 1) / (𝑘 + 1))) Fn ℕ0
5857a1i 11 . . . . . 6 (𝜑 → (𝑘 ∈ ℕ0 ↦ ((𝑘 + 1) / (𝑘 + 1))) Fn ℕ0)
597a1i 11 . . . . . 6 (𝜑 → ℕ0 ∈ V)
60 inidm 4217 . . . . . 6 (ℕ0 ∩ ℕ0) = ℕ0
61 eqidd 2726 . . . . . 6 ((𝜑𝑥 ∈ ℕ0) → ((𝑘 ∈ ℕ0 ↦ ((𝐶 + 1) / (𝑘 + 1)))‘𝑥) = ((𝑘 ∈ ℕ0 ↦ ((𝐶 + 1) / (𝑘 + 1)))‘𝑥))
62 eqidd 2726 . . . . . 6 ((𝜑𝑥 ∈ ℕ0) → ((𝑘 ∈ ℕ0 ↦ ((𝑘 + 1) / (𝑘 + 1)))‘𝑥) = ((𝑘 ∈ ℕ0 ↦ ((𝑘 + 1) / (𝑘 + 1)))‘𝑥))
6354, 58, 59, 59, 60, 61, 62ofval 7696 . . . . 5 ((𝜑𝑥 ∈ ℕ0) → (((𝑘 ∈ ℕ0 ↦ ((𝐶 + 1) / (𝑘 + 1))) ∘f − (𝑘 ∈ ℕ0 ↦ ((𝑘 + 1) / (𝑘 + 1))))‘𝑥) = (((𝑘 ∈ ℕ0 ↦ ((𝐶 + 1) / (𝑘 + 1)))‘𝑥) − ((𝑘 ∈ ℕ0 ↦ ((𝑘 + 1) / (𝑘 + 1)))‘𝑥)))
641, 2, 17, 18, 34, 44, 50, 63climsub 15614 . . . 4 (𝜑 → ((𝑘 ∈ ℕ0 ↦ ((𝐶 + 1) / (𝑘 + 1))) ∘f − (𝑘 ∈ ℕ0 ↦ ((𝑘 + 1) / (𝑘 + 1)))) ⇝ (0 − 1))
65 ovexd 7454 . . . . . 6 ((𝜑𝑘 ∈ ℕ0) → ((𝐶 + 1) / (𝑘 + 1)) ∈ V)
66 ovexd 7454 . . . . . 6 ((𝜑𝑘 ∈ ℕ0) → ((𝑘 + 1) / (𝑘 + 1)) ∈ V)
67 eqidd 2726 . . . . . 6 (𝜑 → (𝑘 ∈ ℕ0 ↦ ((𝐶 + 1) / (𝑘 + 1))) = (𝑘 ∈ ℕ0 ↦ ((𝐶 + 1) / (𝑘 + 1))))
68 eqidd 2726 . . . . . 6 (𝜑 → (𝑘 ∈ ℕ0 ↦ ((𝑘 + 1) / (𝑘 + 1))) = (𝑘 ∈ ℕ0 ↦ ((𝑘 + 1) / (𝑘 + 1))))
6959, 65, 66, 67, 68offval2 7705 . . . . 5 (𝜑 → ((𝑘 ∈ ℕ0 ↦ ((𝐶 + 1) / (𝑘 + 1))) ∘f − (𝑘 ∈ ℕ0 ↦ ((𝑘 + 1) / (𝑘 + 1)))) = (𝑘 ∈ ℕ0 ↦ (((𝐶 + 1) / (𝑘 + 1)) − ((𝑘 + 1) / (𝑘 + 1)))))
705adantr 479 . . . . . . . 8 ((𝜑𝑘 ∈ ℕ0) → (𝐶 + 1) ∈ ℂ)
7121adantl 480 . . . . . . . 8 ((𝜑𝑘 ∈ ℕ0) → (𝑘 + 1) ∈ ℂ)
7223adantl 480 . . . . . . . 8 ((𝜑𝑘 ∈ ℕ0) → (𝑘 + 1) ≠ 0)
7370, 71, 71, 72divsubdird 12062 . . . . . . 7 ((𝜑𝑘 ∈ ℕ0) → (((𝐶 + 1) − (𝑘 + 1)) / (𝑘 + 1)) = (((𝐶 + 1) / (𝑘 + 1)) − ((𝑘 + 1) / (𝑘 + 1))))
743adantr 479 . . . . . . . . 9 ((𝜑𝑘 ∈ ℕ0) → 𝐶 ∈ ℂ)
7519adantl 480 . . . . . . . . 9 ((𝜑𝑘 ∈ ℕ0) → 𝑘 ∈ ℂ)
76 1cnd 11241 . . . . . . . . 9 ((𝜑𝑘 ∈ ℕ0) → 1 ∈ ℂ)
7774, 75, 76pnpcan2d 11641 . . . . . . . 8 ((𝜑𝑘 ∈ ℕ0) → ((𝐶 + 1) − (𝑘 + 1)) = (𝐶𝑘))
7877oveq1d 7434 . . . . . . 7 ((𝜑𝑘 ∈ ℕ0) → (((𝐶 + 1) − (𝑘 + 1)) / (𝑘 + 1)) = ((𝐶𝑘) / (𝑘 + 1)))
7973, 78eqtr3d 2767 . . . . . 6 ((𝜑𝑘 ∈ ℕ0) → (((𝐶 + 1) / (𝑘 + 1)) − ((𝑘 + 1) / (𝑘 + 1))) = ((𝐶𝑘) / (𝑘 + 1)))
8079mpteq2dva 5249 . . . . 5 (𝜑 → (𝑘 ∈ ℕ0 ↦ (((𝐶 + 1) / (𝑘 + 1)) − ((𝑘 + 1) / (𝑘 + 1)))) = (𝑘 ∈ ℕ0 ↦ ((𝐶𝑘) / (𝑘 + 1))))
8169, 80eqtrd 2765 . . . 4 (𝜑 → ((𝑘 ∈ ℕ0 ↦ ((𝐶 + 1) / (𝑘 + 1))) ∘f − (𝑘 ∈ ℕ0 ↦ ((𝑘 + 1) / (𝑘 + 1)))) = (𝑘 ∈ ℕ0 ↦ ((𝐶𝑘) / (𝑘 + 1))))
82 df-neg 11479 . . . . . 6 -1 = (0 − 1)
8382eqcomi 2734 . . . . 5 (0 − 1) = -1
8483a1i 11 . . . 4 (𝜑 → (0 − 1) = -1)
8564, 81, 843brtr3d 5180 . . 3 (𝜑 → (𝑘 ∈ ℕ0 ↦ ((𝐶𝑘) / (𝑘 + 1))) ⇝ -1)
867mptex 7235 . . . 4 (𝑘 ∈ ℕ0 ↦ (abs‘((𝐶𝑘) / (𝑘 + 1)))) ∈ V
8786a1i 11 . . 3 (𝜑 → (𝑘 ∈ ℕ0 ↦ (abs‘((𝐶𝑘) / (𝑘 + 1)))) ∈ V)
88 eqidd 2726 . . . . 5 ((𝜑𝑥 ∈ ℕ0) → (𝑘 ∈ ℕ0 ↦ ((𝐶𝑘) / (𝑘 + 1))) = (𝑘 ∈ ℕ0 ↦ ((𝐶𝑘) / (𝑘 + 1))))
89 oveq2 7427 . . . . . . 7 (𝑘 = 𝑥 → (𝐶𝑘) = (𝐶𝑥))
90 oveq1 7426 . . . . . . 7 (𝑘 = 𝑥 → (𝑘 + 1) = (𝑥 + 1))
9189, 90oveq12d 7437 . . . . . 6 (𝑘 = 𝑥 → ((𝐶𝑘) / (𝑘 + 1)) = ((𝐶𝑥) / (𝑥 + 1)))
9291adantl 480 . . . . 5 (((𝜑𝑥 ∈ ℕ0) ∧ 𝑘 = 𝑥) → ((𝐶𝑘) / (𝑘 + 1)) = ((𝐶𝑥) / (𝑥 + 1)))
93 ovexd 7454 . . . . 5 ((𝜑𝑥 ∈ ℕ0) → ((𝐶𝑥) / (𝑥 + 1)) ∈ V)
9488, 92, 14, 93fvmptd 7011 . . . 4 ((𝜑𝑥 ∈ ℕ0) → ((𝑘 ∈ ℕ0 ↦ ((𝐶𝑘) / (𝑘 + 1)))‘𝑥) = ((𝐶𝑥) / (𝑥 + 1)))
9535, 38subcld 11603 . . . . 5 ((𝜑𝑥 ∈ ℕ0) → (𝐶𝑥) ∈ ℂ)
9695, 39, 42divcld 12023 . . . 4 ((𝜑𝑥 ∈ ℕ0) → ((𝐶𝑥) / (𝑥 + 1)) ∈ ℂ)
9794, 96eqeltrd 2825 . . 3 ((𝜑𝑥 ∈ ℕ0) → ((𝑘 ∈ ℕ0 ↦ ((𝐶𝑘) / (𝑘 + 1)))‘𝑥) ∈ ℂ)
98 eqidd 2726 . . . . 5 ((𝜑𝑥 ∈ ℕ0) → (𝑘 ∈ ℕ0 ↦ (abs‘((𝐶𝑘) / (𝑘 + 1)))) = (𝑘 ∈ ℕ0 ↦ (abs‘((𝐶𝑘) / (𝑘 + 1)))))
9991fveq2d 6900 . . . . . 6 (𝑘 = 𝑥 → (abs‘((𝐶𝑘) / (𝑘 + 1))) = (abs‘((𝐶𝑥) / (𝑥 + 1))))
10099adantl 480 . . . . 5 (((𝜑𝑥 ∈ ℕ0) ∧ 𝑘 = 𝑥) → (abs‘((𝐶𝑘) / (𝑘 + 1))) = (abs‘((𝐶𝑥) / (𝑥 + 1))))
101 fvexd 6911 . . . . 5 ((𝜑𝑥 ∈ ℕ0) → (abs‘((𝐶𝑥) / (𝑥 + 1))) ∈ V)
10298, 100, 14, 101fvmptd 7011 . . . 4 ((𝜑𝑥 ∈ ℕ0) → ((𝑘 ∈ ℕ0 ↦ (abs‘((𝐶𝑘) / (𝑘 + 1))))‘𝑥) = (abs‘((𝐶𝑥) / (𝑥 + 1))))
10394fveq2d 6900 . . . 4 ((𝜑𝑥 ∈ ℕ0) → (abs‘((𝑘 ∈ ℕ0 ↦ ((𝐶𝑘) / (𝑘 + 1)))‘𝑥)) = (abs‘((𝐶𝑥) / (𝑥 + 1))))
104102, 103eqtr4d 2768 . . 3 ((𝜑𝑥 ∈ ℕ0) → ((𝑘 ∈ ℕ0 ↦ (abs‘((𝐶𝑘) / (𝑘 + 1))))‘𝑥) = (abs‘((𝑘 ∈ ℕ0 ↦ ((𝐶𝑘) / (𝑘 + 1)))‘𝑥)))
1051, 85, 87, 2, 97, 104climabs 15584 . 2 (𝜑 → (𝑘 ∈ ℕ0 ↦ (abs‘((𝐶𝑘) / (𝑘 + 1)))) ⇝ (abs‘-1))
10628absnegi 15383 . . 3 (abs‘-1) = (abs‘1)
107 abs1 15280 . . 3 (abs‘1) = 1
108106, 107eqtri 2753 . 2 (abs‘-1) = 1
109105, 108breqtrdi 5190 1 (𝜑 → (𝑘 ∈ ℕ0 ↦ (abs‘((𝐶𝑘) / (𝑘 + 1)))) ⇝ 1)
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  wi 4  wa 394   = wceq 1533  wcel 2098  wne 2929  Vcvv 3461  {csn 4630   class class class wbr 5149  cmpt 5232   × cxp 5676   Fn wfn 6544  cfv 6549  (class class class)co 7419  f cof 7683  cc 11138  cr 11139  0cc0 11140  1c1 11141   + caddc 11143   < clt 11280  cmin 11476  -cneg 11477   / cdiv 11903  0cn0 12505  cz 12591  cuz 12855  +crp 13009  abscabs 15217  cli 15464
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1789  ax-4 1803  ax-5 1905  ax-6 1963  ax-7 2003  ax-8 2100  ax-9 2108  ax-10 2129  ax-11 2146  ax-12 2166  ax-ext 2696  ax-rep 5286  ax-sep 5300  ax-nul 5307  ax-pow 5365  ax-pr 5429  ax-un 7741  ax-cnex 11196  ax-resscn 11197  ax-1cn 11198  ax-icn 11199  ax-addcl 11200  ax-addrcl 11201  ax-mulcl 11202  ax-mulrcl 11203  ax-mulcom 11204  ax-addass 11205  ax-mulass 11206  ax-distr 11207  ax-i2m1 11208  ax-1ne0 11209  ax-1rid 11210  ax-rnegex 11211  ax-rrecex 11212  ax-cnre 11213  ax-pre-lttri 11214  ax-pre-lttrn 11215  ax-pre-ltadd 11216  ax-pre-mulgt0 11217  ax-pre-sup 11218
This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 395  df-or 846  df-3or 1085  df-3an 1086  df-tru 1536  df-fal 1546  df-ex 1774  df-nf 1778  df-sb 2060  df-mo 2528  df-eu 2557  df-clab 2703  df-cleq 2717  df-clel 2802  df-nfc 2877  df-ne 2930  df-nel 3036  df-ral 3051  df-rex 3060  df-rmo 3363  df-reu 3364  df-rab 3419  df-v 3463  df-sbc 3774  df-csb 3890  df-dif 3947  df-un 3949  df-in 3951  df-ss 3961  df-pss 3964  df-nul 4323  df-if 4531  df-pw 4606  df-sn 4631  df-pr 4633  df-op 4637  df-uni 4910  df-iun 4999  df-br 5150  df-opab 5212  df-mpt 5233  df-tr 5267  df-id 5576  df-eprel 5582  df-po 5590  df-so 5591  df-fr 5633  df-we 5635  df-xp 5684  df-rel 5685  df-cnv 5686  df-co 5687  df-dm 5688  df-rn 5689  df-res 5690  df-ima 5691  df-pred 6307  df-ord 6374  df-on 6375  df-lim 6376  df-suc 6377  df-iota 6501  df-fun 6551  df-fn 6552  df-f 6553  df-f1 6554  df-fo 6555  df-f1o 6556  df-fv 6557  df-riota 7375  df-ov 7422  df-oprab 7423  df-mpo 7424  df-of 7685  df-om 7872  df-2nd 7995  df-frecs 8287  df-wrecs 8318  df-recs 8392  df-rdg 8431  df-er 8725  df-pm 8848  df-en 8965  df-dom 8966  df-sdom 8967  df-sup 9467  df-inf 9468  df-pnf 11282  df-mnf 11283  df-xr 11284  df-ltxr 11285  df-le 11286  df-sub 11478  df-neg 11479  df-div 11904  df-nn 12246  df-2 12308  df-3 12309  df-n0 12506  df-z 12592  df-uz 12856  df-rp 13010  df-fl 13793  df-seq 14003  df-exp 14063  df-shft 15050  df-cj 15082  df-re 15083  df-im 15084  df-sqrt 15218  df-abs 15219  df-clim 15468  df-rlim 15469
This theorem is referenced by:  binomcxplemfrat  43930
  Copyright terms: Public domain W3C validator