Theorem binomcxplemrat 41857

Description: Lemma for binomcxp 41864. As 𝑘 increases, this ratio's absolute value converges to one. Part of equation "Since continuity of the absolute value..." in the Wikibooks proof (proven for the inverse ratio, which we later show is no problem). (Contributed by Steve Rodriguez, 22-Apr-2020.)

Hypotheses

Ref	Expression
binomcxp.a	⊢ (𝜑 → 𝐴 ∈ ℝ+)
binomcxp.b	⊢ (𝜑 → 𝐵 ∈ ℝ)
binomcxp.lt	⊢ (𝜑 → (abs‘𝐵) < (abs‘𝐴))
binomcxp.c	⊢ (𝜑 → 𝐶 ∈ ℂ)

Assertion

Ref	Expression
binomcxplemrat	⊢ (𝜑 → (𝑘 ∈ ℕ0 ↦ (abs‘((𝐶 − 𝑘) / (𝑘 + 1)))) ⇝ 1)

Distinct variable groups:   𝜑,𝑘   𝐶,𝑘

Allowed substitution hints:   𝐴(𝑘)   𝐵(𝑘)

Proof of Theorem binomcxplemrat

Dummy variable 𝑥 is distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		nn0uz 12549	. . 3 ⊢ ℕ0 = (ℤ≥‘0)
2		0zd 12261	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → 0 ∈ ℤ)
3		binomcxp.c	. . . . . . 7 ⊢ (𝜑 → 𝐶 ∈ ℂ)
4		peano2cn 11077	. . . . . . 7 ⊢ (𝐶 ∈ ℂ → (𝐶 + 1) ∈ ℂ)
5	3, 4	syl 17	. . . . . 6 ⊢ (𝜑 → (𝐶 + 1) ∈ ℂ)
6		1zzd 12281	. . . . . 6 ⊢ (𝜑 → 1 ∈ ℤ)
7		nn0ex 12169	. . . . . . . 8 ⊢ ℕ0 ∈ V
8	7	mptex 7081	. . . . . . 7 ⊢ (𝑘 ∈ ℕ0 ↦ ((𝐶 + 1) / (𝑘 + 1))) ∈ V
9	8	a1i 11	. . . . . 6 ⊢ (𝜑 → (𝑘 ∈ ℕ0 ↦ ((𝐶 + 1) / (𝑘 + 1))) ∈ V)
10		eqidd 2739	. . . . . . 7 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ ℕ0) → (𝑘 ∈ ℕ0 ↦ ((𝐶 + 1) / (𝑘 + 1))) = (𝑘 ∈ ℕ0 ↦ ((𝐶 + 1) / (𝑘 + 1))))
11		simpr 484	. . . . . . . . 9 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ ℕ0) ∧ 𝑘 = 𝑥) → 𝑘 = 𝑥)
12	11	oveq1d 7270	. . . . . . . 8 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ ℕ0) ∧ 𝑘 = 𝑥) → (𝑘 + 1) = (𝑥 + 1))
13	12	oveq2d 7271	. . . . . . 7 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ ℕ0) ∧ 𝑘 = 𝑥) → ((𝐶 + 1) / (𝑘 + 1)) = ((𝐶 + 1) / (𝑥 + 1)))
14		simpr 484	. . . . . . 7 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ ℕ0) → 𝑥 ∈ ℕ0)
15		ovexd 7290	. . . . . . 7 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ ℕ0) → ((𝐶 + 1) / (𝑥 + 1)) ∈ V)
16	10, 13, 14, 15	fvmptd 6864	. . . . . 6 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ ℕ0) → ((𝑘 ∈ ℕ0 ↦ ((𝐶 + 1) / (𝑘 + 1)))‘𝑥) = ((𝐶 + 1) / (𝑥 + 1)))
17	1, 2, 5, 6, 9, 16	divcnvshft 15495	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → (𝑘 ∈ ℕ0 ↦ ((𝐶 + 1) / (𝑘 + 1))) ⇝ 0)
18		ovexd 7290	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → ((𝑘 ∈ ℕ0 ↦ ((𝐶 + 1) / (𝑘 + 1))) ∘f − (𝑘 ∈ ℕ0 ↦ ((𝑘 + 1) / (𝑘 + 1)))) ∈ V)
19		nn0cn 12173	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (𝑘 ∈ ℕ0 → 𝑘 ∈ ℂ)
20		1cnd 10901	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (𝑘 ∈ ℕ0 → 1 ∈ ℂ)
21	19, 20	addcld 10925	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝑘 ∈ ℕ0 → (𝑘 + 1) ∈ ℂ)
22		nn0p1nn 12202	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (𝑘 ∈ ℕ0 → (𝑘 + 1) ∈ ℕ)
23	22	nnne0d 11953	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝑘 ∈ ℕ0 → (𝑘 + 1) ≠ 0)
24	21, 23	dividd 11679	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝑘 ∈ ℕ0 → ((𝑘 + 1) / (𝑘 + 1)) = 1)
25	24	mpteq2ia 5173	. . . . . . . 8 ⊢ (𝑘 ∈ ℕ0 ↦ ((𝑘 + 1) / (𝑘 + 1))) = (𝑘 ∈ ℕ0 ↦ 1)
26		fconstmpt 5640	. . . . . . . 8 ⊢ (ℕ0 × {1}) = (𝑘 ∈ ℕ0 ↦ 1)
27	25, 26	eqtr4i 2769	. . . . . . 7 ⊢ (𝑘 ∈ ℕ0 ↦ ((𝑘 + 1) / (𝑘 + 1))) = (ℕ0 × {1})
28		ax-1cn 10860	. . . . . . . 8 ⊢ 1 ∈ ℂ
29		0z 12260	. . . . . . . 8 ⊢ 0 ∈ ℤ
30	1	eqimss2i 3976	. . . . . . . . 9 ⊢ (ℤ≥‘0) ⊆ ℕ0
31	30, 7	climconst2 15185	. . . . . . . 8 ⊢ ((1 ∈ ℂ ∧ 0 ∈ ℤ) → (ℕ0 × {1}) ⇝ 1)
32	28, 29, 31	mp2an 688	. . . . . . 7 ⊢ (ℕ0 × {1}) ⇝ 1
33	27, 32	eqbrtri 5091	. . . . . 6 ⊢ (𝑘 ∈ ℕ0 ↦ ((𝑘 + 1) / (𝑘 + 1))) ⇝ 1
34	33	a1i 11	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → (𝑘 ∈ ℕ0 ↦ ((𝑘 + 1) / (𝑘 + 1))) ⇝ 1)
35	3	adantr 480	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ ℕ0) → 𝐶 ∈ ℂ)
36		1cnd 10901	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ ℕ0) → 1 ∈ ℂ)
37	35, 36	addcld 10925	. . . . . . 7 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ ℕ0) → (𝐶 + 1) ∈ ℂ)
38	14	nn0cnd 12225	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ ℕ0) → 𝑥 ∈ ℂ)
39	38, 36	addcld 10925	. . . . . . 7 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ ℕ0) → (𝑥 + 1) ∈ ℂ)
40		nn0p1nn 12202	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝑥 ∈ ℕ0 → (𝑥 + 1) ∈ ℕ)
41	40	nnne0d 11953	. . . . . . . 8 ⊢ (𝑥 ∈ ℕ0 → (𝑥 + 1) ≠ 0)
42	41	adantl 481	. . . . . . 7 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ ℕ0) → (𝑥 + 1) ≠ 0)
43	37, 39, 42	divcld 11681	. . . . . 6 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ ℕ0) → ((𝐶 + 1) / (𝑥 + 1)) ∈ ℂ)
44	16, 43	eqeltrd 2839	. . . . 5 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ ℕ0) → ((𝑘 ∈ ℕ0 ↦ ((𝐶 + 1) / (𝑘 + 1)))‘𝑥) ∈ ℂ)
45		eqidd 2739	. . . . . . 7 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ ℕ0) → (𝑘 ∈ ℕ0 ↦ ((𝑘 + 1) / (𝑘 + 1))) = (𝑘 ∈ ℕ0 ↦ ((𝑘 + 1) / (𝑘 + 1))))
46	12, 12	oveq12d 7273	. . . . . . 7 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ ℕ0) ∧ 𝑘 = 𝑥) → ((𝑘 + 1) / (𝑘 + 1)) = ((𝑥 + 1) / (𝑥 + 1)))
47		ovexd 7290	. . . . . . 7 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ ℕ0) → ((𝑥 + 1) / (𝑥 + 1)) ∈ V)
48	45, 46, 14, 47	fvmptd 6864	. . . . . 6 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ ℕ0) → ((𝑘 ∈ ℕ0 ↦ ((𝑘 + 1) / (𝑘 + 1)))‘𝑥) = ((𝑥 + 1) / (𝑥 + 1)))
49	39, 39, 42	divcld 11681	. . . . . 6 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ ℕ0) → ((𝑥 + 1) / (𝑥 + 1)) ∈ ℂ)
50	48, 49	eqeltrd 2839	. . . . 5 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ ℕ0) → ((𝑘 ∈ ℕ0 ↦ ((𝑘 + 1) / (𝑘 + 1)))‘𝑥) ∈ ℂ)
51		ovex 7288	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝐶 + 1) / (𝑘 + 1)) ∈ V
52		eqid 2738	. . . . . . . 8 ⊢ (𝑘 ∈ ℕ0 ↦ ((𝐶 + 1) / (𝑘 + 1))) = (𝑘 ∈ ℕ0 ↦ ((𝐶 + 1) / (𝑘 + 1)))
53	51, 52	fnmpti 6560	. . . . . . 7 ⊢ (𝑘 ∈ ℕ0 ↦ ((𝐶 + 1) / (𝑘 + 1))) Fn ℕ0
54	53	a1i 11	. . . . . 6 ⊢ (𝜑 → (𝑘 ∈ ℕ0 ↦ ((𝐶 + 1) / (𝑘 + 1))) Fn ℕ0)
55		ovex 7288	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝑘 + 1) / (𝑘 + 1)) ∈ V
56		eqid 2738	. . . . . . . 8 ⊢ (𝑘 ∈ ℕ0 ↦ ((𝑘 + 1) / (𝑘 + 1))) = (𝑘 ∈ ℕ0 ↦ ((𝑘 + 1) / (𝑘 + 1)))
57	55, 56	fnmpti 6560	. . . . . . 7 ⊢ (𝑘 ∈ ℕ0 ↦ ((𝑘 + 1) / (𝑘 + 1))) Fn ℕ0
58	57	a1i 11	. . . . . 6 ⊢ (𝜑 → (𝑘 ∈ ℕ0 ↦ ((𝑘 + 1) / (𝑘 + 1))) Fn ℕ0)
59	7	a1i 11	. . . . . 6 ⊢ (𝜑 → ℕ0 ∈ V)
60		inidm 4149	. . . . . 6 ⊢ (ℕ0 ∩ ℕ0) = ℕ0
61		eqidd 2739	. . . . . 6 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ ℕ0) → ((𝑘 ∈ ℕ0 ↦ ((𝐶 + 1) / (𝑘 + 1)))‘𝑥) = ((𝑘 ∈ ℕ0 ↦ ((𝐶 + 1) / (𝑘 + 1)))‘𝑥))
62		eqidd 2739	. . . . . 6 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ ℕ0) → ((𝑘 ∈ ℕ0 ↦ ((𝑘 + 1) / (𝑘 + 1)))‘𝑥) = ((𝑘 ∈ ℕ0 ↦ ((𝑘 + 1) / (𝑘 + 1)))‘𝑥))
63	54, 58, 59, 59, 60, 61, 62	ofval 7522	. . . . 5 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ ℕ0) → (((𝑘 ∈ ℕ0 ↦ ((𝐶 + 1) / (𝑘 + 1))) ∘f − (𝑘 ∈ ℕ0 ↦ ((𝑘 + 1) / (𝑘 + 1))))‘𝑥) = (((𝑘 ∈ ℕ0 ↦ ((𝐶 + 1) / (𝑘 + 1)))‘𝑥) − ((𝑘 ∈ ℕ0 ↦ ((𝑘 + 1) / (𝑘 + 1)))‘𝑥)))
64	1, 2, 17, 18, 34, 44, 50, 63	climsub 15271	. . . 4 ⊢ (𝜑 → ((𝑘 ∈ ℕ0 ↦ ((𝐶 + 1) / (𝑘 + 1))) ∘f − (𝑘 ∈ ℕ0 ↦ ((𝑘 + 1) / (𝑘 + 1)))) ⇝ (0 − 1))
65		ovexd 7290	. . . . . 6 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑘 ∈ ℕ0) → ((𝐶 + 1) / (𝑘 + 1)) ∈ V)
66		ovexd 7290	. . . . . 6 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑘 ∈ ℕ0) → ((𝑘 + 1) / (𝑘 + 1)) ∈ V)
67		eqidd 2739	. . . . . 6 ⊢ (𝜑 → (𝑘 ∈ ℕ0 ↦ ((𝐶 + 1) / (𝑘 + 1))) = (𝑘 ∈ ℕ0 ↦ ((𝐶 + 1) / (𝑘 + 1))))
68		eqidd 2739	. . . . . 6 ⊢ (𝜑 → (𝑘 ∈ ℕ0 ↦ ((𝑘 + 1) / (𝑘 + 1))) = (𝑘 ∈ ℕ0 ↦ ((𝑘 + 1) / (𝑘 + 1))))
69	59, 65, 66, 67, 68	offval2 7531	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → ((𝑘 ∈ ℕ0 ↦ ((𝐶 + 1) / (𝑘 + 1))) ∘f − (𝑘 ∈ ℕ0 ↦ ((𝑘 + 1) / (𝑘 + 1)))) = (𝑘 ∈ ℕ0 ↦ (((𝐶 + 1) / (𝑘 + 1)) − ((𝑘 + 1) / (𝑘 + 1)))))
70	5	adantr 480	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑘 ∈ ℕ0) → (𝐶 + 1) ∈ ℂ)
71	21	adantl 481	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑘 ∈ ℕ0) → (𝑘 + 1) ∈ ℂ)
72	23	adantl 481	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑘 ∈ ℕ0) → (𝑘 + 1) ≠ 0)
73	70, 71, 71, 72	divsubdird 11720	. . . . . . 7 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑘 ∈ ℕ0) → (((𝐶 + 1) − (𝑘 + 1)) / (𝑘 + 1)) = (((𝐶 + 1) / (𝑘 + 1)) − ((𝑘 + 1) / (𝑘 + 1))))
74	3	adantr 480	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑘 ∈ ℕ0) → 𝐶 ∈ ℂ)
75	19	adantl 481	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑘 ∈ ℕ0) → 𝑘 ∈ ℂ)
76		1cnd 10901	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑘 ∈ ℕ0) → 1 ∈ ℂ)
77	74, 75, 76	pnpcan2d 11300	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑘 ∈ ℕ0) → ((𝐶 + 1) − (𝑘 + 1)) = (𝐶 − 𝑘))
78	77	oveq1d 7270	. . . . . . 7 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑘 ∈ ℕ0) → (((𝐶 + 1) − (𝑘 + 1)) / (𝑘 + 1)) = ((𝐶 − 𝑘) / (𝑘 + 1)))
79	73, 78	eqtr3d 2780	. . . . . 6 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑘 ∈ ℕ0) → (((𝐶 + 1) / (𝑘 + 1)) − ((𝑘 + 1) / (𝑘 + 1))) = ((𝐶 − 𝑘) / (𝑘 + 1)))
80	79	mpteq2dva 5170	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → (𝑘 ∈ ℕ0 ↦ (((𝐶 + 1) / (𝑘 + 1)) − ((𝑘 + 1) / (𝑘 + 1)))) = (𝑘 ∈ ℕ0 ↦ ((𝐶 − 𝑘) / (𝑘 + 1))))
81	69, 80	eqtrd 2778	. . . 4 ⊢ (𝜑 → ((𝑘 ∈ ℕ0 ↦ ((𝐶 + 1) / (𝑘 + 1))) ∘f − (𝑘 ∈ ℕ0 ↦ ((𝑘 + 1) / (𝑘 + 1)))) = (𝑘 ∈ ℕ0 ↦ ((𝐶 − 𝑘) / (𝑘 + 1))))
82		df-neg 11138	. . . . . 6 ⊢ -1 = (0 − 1)
83	82	eqcomi 2747	. . . . 5 ⊢ (0 − 1) = -1
84	83	a1i 11	. . . 4 ⊢ (𝜑 → (0 − 1) = -1)
85	64, 81, 84	3brtr3d 5101	. . 3 ⊢ (𝜑 → (𝑘 ∈ ℕ0 ↦ ((𝐶 − 𝑘) / (𝑘 + 1))) ⇝ -1)
86	7	mptex 7081	. . . 4 ⊢ (𝑘 ∈ ℕ0 ↦ (abs‘((𝐶 − 𝑘) / (𝑘 + 1)))) ∈ V
87	86	a1i 11	. . 3 ⊢ (𝜑 → (𝑘 ∈ ℕ0 ↦ (abs‘((𝐶 − 𝑘) / (𝑘 + 1)))) ∈ V)
88		eqidd 2739	. . . . 5 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ ℕ0) → (𝑘 ∈ ℕ0 ↦ ((𝐶 − 𝑘) / (𝑘 + 1))) = (𝑘 ∈ ℕ0 ↦ ((𝐶 − 𝑘) / (𝑘 + 1))))
89		oveq2 7263	. . . . . . 7 ⊢ (𝑘 = 𝑥 → (𝐶 − 𝑘) = (𝐶 − 𝑥))
90		oveq1 7262	. . . . . . 7 ⊢ (𝑘 = 𝑥 → (𝑘 + 1) = (𝑥 + 1))
91	89, 90	oveq12d 7273	. . . . . 6 ⊢ (𝑘 = 𝑥 → ((𝐶 − 𝑘) / (𝑘 + 1)) = ((𝐶 − 𝑥) / (𝑥 + 1)))
92	91	adantl 481	. . . . 5 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ ℕ0) ∧ 𝑘 = 𝑥) → ((𝐶 − 𝑘) / (𝑘 + 1)) = ((𝐶 − 𝑥) / (𝑥 + 1)))
93		ovexd 7290	. . . . 5 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ ℕ0) → ((𝐶 − 𝑥) / (𝑥 + 1)) ∈ V)
94	88, 92, 14, 93	fvmptd 6864	. . . 4 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ ℕ0) → ((𝑘 ∈ ℕ0 ↦ ((𝐶 − 𝑘) / (𝑘 + 1)))‘𝑥) = ((𝐶 − 𝑥) / (𝑥 + 1)))
95	35, 38	subcld 11262	. . . . 5 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ ℕ0) → (𝐶 − 𝑥) ∈ ℂ)
96	95, 39, 42	divcld 11681	. . . 4 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ ℕ0) → ((𝐶 − 𝑥) / (𝑥 + 1)) ∈ ℂ)
97	94, 96	eqeltrd 2839	. . 3 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ ℕ0) → ((𝑘 ∈ ℕ0 ↦ ((𝐶 − 𝑘) / (𝑘 + 1)))‘𝑥) ∈ ℂ)
98		eqidd 2739	. . . . 5 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ ℕ0) → (𝑘 ∈ ℕ0 ↦ (abs‘((𝐶 − 𝑘) / (𝑘 + 1)))) = (𝑘 ∈ ℕ0 ↦ (abs‘((𝐶 − 𝑘) / (𝑘 + 1)))))
99	91	fveq2d 6760	. . . . . 6 ⊢ (𝑘 = 𝑥 → (abs‘((𝐶 − 𝑘) / (𝑘 + 1))) = (abs‘((𝐶 − 𝑥) / (𝑥 + 1))))
100	99	adantl 481	. . . . 5 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ ℕ0) ∧ 𝑘 = 𝑥) → (abs‘((𝐶 − 𝑘) / (𝑘 + 1))) = (abs‘((𝐶 − 𝑥) / (𝑥 + 1))))
101		fvexd 6771	. . . . 5 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ ℕ0) → (abs‘((𝐶 − 𝑥) / (𝑥 + 1))) ∈ V)
102	98, 100, 14, 101	fvmptd 6864	. . . 4 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ ℕ0) → ((𝑘 ∈ ℕ0 ↦ (abs‘((𝐶 − 𝑘) / (𝑘 + 1))))‘𝑥) = (abs‘((𝐶 − 𝑥) / (𝑥 + 1))))
103	94	fveq2d 6760	. . . 4 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ ℕ0) → (abs‘((𝑘 ∈ ℕ0 ↦ ((𝐶 − 𝑘) / (𝑘 + 1)))‘𝑥)) = (abs‘((𝐶 − 𝑥) / (𝑥 + 1))))
104	102, 103	eqtr4d 2781	. . 3 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ ℕ0) → ((𝑘 ∈ ℕ0 ↦ (abs‘((𝐶 − 𝑘) / (𝑘 + 1))))‘𝑥) = (abs‘((𝑘 ∈ ℕ0 ↦ ((𝐶 − 𝑘) / (𝑘 + 1)))‘𝑥)))
105	1, 85, 87, 2, 97, 104	climabs 15241	. 2 ⊢ (𝜑 → (𝑘 ∈ ℕ0 ↦ (abs‘((𝐶 − 𝑘) / (𝑘 + 1)))) ⇝ (abs‘-1))
106	28	absnegi 15040	. . 3 ⊢ (abs‘-1) = (abs‘1)
107		abs1 14937	. . 3 ⊢ (abs‘1) = 1
108	106, 107	eqtri 2766	. 2 ⊢ (abs‘-1) = 1
109	105, 108	breqtrdi 5111	1 ⊢ (𝜑 → (𝑘 ∈ ℕ0 ↦ (abs‘((𝐶 − 𝑘) / (𝑘 + 1)))) ⇝ 1)

Syntax hints:   → wi 4   ∧ wa 395   = wceq 1539   ∈ wcel 2108   ≠ wne 2942  Vcvv 3422  {csn 4558   class class class wbr 5070   ↦ cmpt 5153   × cxp 5578   Fn wfn 6413  ‘cfv 6418  (class class class)co 7255   ∘_f cof 7509  ℂcc 10800  ℝcr 10801  0cc0 10802  1c1 10803   + caddc 10805   < clt 10940   − cmin 11135  -cneg 11136   / cdiv 11562  ℕ₀cn0 12163  ℤcz 12249  ℤ_≥cuz 12511  ℝ⁺crp 12659  abscabs 14873   ⇝ cli 15121

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1799  ax-4 1813  ax-5 1914  ax-6 1972  ax-7 2012  ax-8 2110  ax-9 2118  ax-10 2139  ax-11 2156  ax-12 2173  ax-ext 2709  ax-rep 5205  ax-sep 5218  ax-nul 5225  ax-pow 5283  ax-pr 5347  ax-un 7566  ax-cnex 10858  ax-resscn 10859  ax-1cn 10860  ax-icn 10861  ax-addcl 10862  ax-addrcl 10863  ax-mulcl 10864  ax-mulrcl 10865  ax-mulcom 10866  ax-addass 10867  ax-mulass 10868  ax-distr 10869  ax-i2m1 10870  ax-1ne0 10871  ax-1rid 10872  ax-rnegex 10873  ax-rrecex 10874  ax-cnre 10875  ax-pre-lttri 10876  ax-pre-lttrn 10877  ax-pre-ltadd 10878  ax-pre-mulgt0 10879  ax-pre-sup 10880

This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 396  df-or 844  df-3or 1086  df-3an 1087  df-tru 1542  df-fal 1552  df-ex 1784  df-nf 1788  df-sb 2069  df-mo 2540  df-eu 2569  df-clab 2716  df-cleq 2730  df-clel 2817  df-nfc 2888  df-ne 2943  df-nel 3049  df-ral 3068  df-rex 3069  df-reu 3070  df-rmo 3071  df-rab 3072  df-v 3424  df-sbc 3712  df-csb 3829  df-dif 3886  df-un 3888  df-in 3890  df-ss 3900  df-pss 3902  df-nul 4254  df-if 4457  df-pw 4532  df-sn 4559  df-pr 4561  df-tp 4563  df-op 4565  df-uni 4837  df-iun 4923  df-br 5071  df-opab 5133  df-mpt 5154  df-tr 5188  df-id 5480  df-eprel 5486  df-po 5494  df-so 5495  df-fr 5535  df-we 5537  df-xp 5586  df-rel 5587  df-cnv 5588  df-co 5589  df-dm 5590  df-rn 5591  df-res 5592  df-ima 5593  df-pred 6191  df-ord 6254  df-on 6255  df-lim 6256  df-suc 6257  df-iota 6376  df-fun 6420  df-fn 6421  df-f 6422  df-f1 6423  df-fo 6424  df-f1o 6425  df-fv 6426  df-riota 7212  df-ov 7258  df-oprab 7259  df-mpo 7260  df-of 7511  df-om 7688  df-2nd 7805  df-frecs 8068  df-wrecs 8099  df-recs 8173  df-rdg 8212  df-er 8456  df-pm 8576  df-en 8692  df-dom 8693  df-sdom 8694  df-sup 9131  df-inf 9132  df-pnf 10942  df-mnf 10943  df-xr 10944  df-ltxr 10945  df-le 10946  df-sub 11137  df-neg 11138  df-div 11563  df-nn 11904  df-2 11966  df-3 11967  df-n0 12164  df-z 12250  df-uz 12512  df-rp 12660  df-fl 13440  df-seq 13650  df-exp 13711  df-shft 14706  df-cj 14738  df-re 14739  df-im 14740  df-sqrt 14874  df-abs 14875  df-clim 15125  df-rlim 15126

This theorem is referenced by:  binomcxplemfrat  41858