Theorem binomcxplemrat 45333

Description: Lemma for binomcxp 45340. As 𝑘 increases, this ratio's absolute value converges to one. Part of equation "Since continuity of the absolute value..." in the Wikibooks proof (proven for the inverse ratio, which we later show is no problem). (Contributed by Steve Rodriguez, 22-Apr-2020.)

Hypotheses

Ref	Expression
binomcxp.a	⊢ (𝜑 → 𝐴 ∈ ℝ+)
binomcxp.b	⊢ (𝜑 → 𝐵 ∈ ℝ)
binomcxp.lt	⊢ (𝜑 → (abs‘𝐵) < (abs‘𝐴))
binomcxp.c	⊢ (𝜑 → 𝐶 ∈ ℂ)

Assertion

Ref	Expression
binomcxplemrat	⊢ (𝜑 → (𝑘 ∈ ℕ0 ↦ (abs‘((𝐶 − 𝑘) / (𝑘 + 1)))) ⇝ 1)

Distinct variable groups:   𝜑,𝑘   𝐶,𝑘

Allowed substitution hints:   𝐴(𝑘)   𝐵(𝑘)

Proof of Theorem binomcxplemrat

Dummy variable 𝑥 is distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		nn0uz 13003	. . 3 ⊢ ℕ0 = (ℤ≥‘0)
2		0zd 12705	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → 0 ∈ ℤ)
3		binomcxp.c	. . . . . . 7 ⊢ (𝜑 → 𝐶 ∈ ℂ)
4		peano2cn 11482	. . . . . . 7 ⊢ (𝐶 ∈ ℂ → (𝐶 + 1) ∈ ℂ)
5	3, 4	syl 18	. . . . . 6 ⊢ (𝜑 → (𝐶 + 1) ∈ ℂ)
6		1zzd 12727	. . . . . 6 ⊢ (𝜑 → 1 ∈ ℤ)
7		nn0ex 12612	. . . . . . . 8 ⊢ ℕ0 ∈ V
8	7	mptex 7229	. . . . . . 7 ⊢ (𝑘 ∈ ℕ0 ↦ ((𝐶 + 1) / (𝑘 + 1))) ∈ V
9	8	a1i 11	. . . . . 6 ⊢ (𝜑 → (𝑘 ∈ ℕ0 ↦ ((𝐶 + 1) / (𝑘 + 1))) ∈ V)
10		eqidd 2762	. . . . . . 7 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ ℕ0) → (𝑘 ∈ ℕ0 ↦ ((𝐶 + 1) / (𝑘 + 1))) = (𝑘 ∈ ℕ0 ↦ ((𝐶 + 1) / (𝑘 + 1))))
11		simpr 490	. . . . . . . . 9 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ ℕ0) ∧ 𝑘 = 𝑥) → 𝑘 = 𝑥)
12	11	oveq1d 7435	. . . . . . . 8 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ ℕ0) ∧ 𝑘 = 𝑥) → (𝑘 + 1) = (𝑥 + 1))
13	12	oveq2d 7436	. . . . . . 7 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ ℕ0) ∧ 𝑘 = 𝑥) → ((𝐶 + 1) / (𝑘 + 1)) = ((𝐶 + 1) / (𝑥 + 1)))
14		simpr 490	. . . . . . 7 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ ℕ0) → 𝑥 ∈ ℕ0)
15		ovexd 7455	. . . . . . 7 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ ℕ0) → ((𝐶 + 1) / (𝑥 + 1)) ∈ V)
16	10, 13, 14, 15	fvmptd 7001	. . . . . 6 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ ℕ0) → ((𝑘 ∈ ℕ0 ↦ ((𝐶 + 1) / (𝑘 + 1)))‘𝑥) = ((𝐶 + 1) / (𝑥 + 1)))
17	1, 2, 5, 6, 9, 16	divcnvshft 16024	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → (𝑘 ∈ ℕ0 ↦ ((𝐶 + 1) / (𝑘 + 1))) ⇝ 0)
18		ovexd 7455	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → ((𝑘 ∈ ℕ0 ↦ ((𝐶 + 1) / (𝑘 + 1))) ∘f − (𝑘 ∈ ℕ0 ↦ ((𝑘 + 1) / (𝑘 + 1)))) ∈ V)
19		nn0cn 12616	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (𝑘 ∈ ℕ0 → 𝑘 ∈ ℂ)
20		1cnd 11302	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (𝑘 ∈ ℕ0 → 1 ∈ ℂ)
21	19, 20	addcld 11328	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝑘 ∈ ℕ0 → (𝑘 + 1) ∈ ℂ)
22		nn0p1nn 12645	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (𝑘 ∈ ℕ0 → (𝑘 + 1) ∈ ℕ)
23	22	nnne0d 12388	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝑘 ∈ ℕ0 → (𝑘 + 1) ≠ 0)
24	21, 23	dividd 12091	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝑘 ∈ ℕ0 → ((𝑘 + 1) / (𝑘 + 1)) = 1)
25	24	mpteq2ia 5200	. . . . . . . 8 ⊢ (𝑘 ∈ ℕ0 ↦ ((𝑘 + 1) / (𝑘 + 1))) = (𝑘 ∈ ℕ0 ↦ 1)
26		fconstmpt 5713	. . . . . . . 8 ⊢ (ℕ0 × {1}) = (𝑘 ∈ ℕ0 ↦ 1)
27	25, 26	eqtr4i 2787	. . . . . . 7 ⊢ (𝑘 ∈ ℕ0 ↦ ((𝑘 + 1) / (𝑘 + 1))) = (ℕ0 × {1})
28		ax-1cn 11258	. . . . . . . 8 ⊢ 1 ∈ ℂ
29		0z 12704	. . . . . . . 8 ⊢ 0 ∈ ℤ
30	1	eqimss2i 3992	. . . . . . . . 9 ⊢ (ℤ≥‘0) ⊆ ℕ0
31	30, 7	climconst2 15715	. . . . . . . 8 ⊢ ((1 ∈ ℂ ∧ 0 ∈ ℤ) → (ℕ0 × {1}) ⇝ 1)
32	28, 29, 31	mp2an 705	. . . . . . 7 ⊢ (ℕ0 × {1}) ⇝ 1
33	27, 32	eqbrtri 5126	. . . . . 6 ⊢ (𝑘 ∈ ℕ0 ↦ ((𝑘 + 1) / (𝑘 + 1))) ⇝ 1
34	33	a1i 11	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → (𝑘 ∈ ℕ0 ↦ ((𝑘 + 1) / (𝑘 + 1))) ⇝ 1)
35	3	adantr 486	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ ℕ0) → 𝐶 ∈ ℂ)
36		1cnd 11302	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ ℕ0) → 1 ∈ ℂ)
37	35, 36	addcld 11328	. . . . . . 7 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ ℕ0) → (𝐶 + 1) ∈ ℂ)
38	14	nn0cnd 12669	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ ℕ0) → 𝑥 ∈ ℂ)
39	38, 36	addcld 11328	. . . . . . 7 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ ℕ0) → (𝑥 + 1) ∈ ℂ)
40		nn0p1nn 12645	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝑥 ∈ ℕ0 → (𝑥 + 1) ∈ ℕ)
41	40	nnne0d 12388	. . . . . . . 8 ⊢ (𝑥 ∈ ℕ0 → (𝑥 + 1) ≠ 0)
42	41	adantl 487	. . . . . . 7 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ ℕ0) → (𝑥 + 1) ≠ 0)
43	37, 39, 42	divcld 12093	. . . . . 6 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ ℕ0) → ((𝐶 + 1) / (𝑥 + 1)) ∈ ℂ)
44	16, 43	eqeltrd 2861	. . . . 5 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ ℕ0) → ((𝑘 ∈ ℕ0 ↦ ((𝐶 + 1) / (𝑘 + 1)))‘𝑥) ∈ ℂ)
45		eqidd 2762	. . . . . . 7 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ ℕ0) → (𝑘 ∈ ℕ0 ↦ ((𝑘 + 1) / (𝑘 + 1))) = (𝑘 ∈ ℕ0 ↦ ((𝑘 + 1) / (𝑘 + 1))))
46	12, 12	oveq12d 7438	. . . . . . 7 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ ℕ0) ∧ 𝑘 = 𝑥) → ((𝑘 + 1) / (𝑘 + 1)) = ((𝑥 + 1) / (𝑥 + 1)))
47		ovexd 7455	. . . . . . 7 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ ℕ0) → ((𝑥 + 1) / (𝑥 + 1)) ∈ V)
48	45, 46, 14, 47	fvmptd 7001	. . . . . 6 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ ℕ0) → ((𝑘 ∈ ℕ0 ↦ ((𝑘 + 1) / (𝑘 + 1)))‘𝑥) = ((𝑥 + 1) / (𝑥 + 1)))
49	39, 39, 42	divcld 12093	. . . . . 6 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ ℕ0) → ((𝑥 + 1) / (𝑥 + 1)) ∈ ℂ)
50	48, 49	eqeltrd 2861	. . . . 5 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ ℕ0) → ((𝑘 ∈ ℕ0 ↦ ((𝑘 + 1) / (𝑘 + 1)))‘𝑥) ∈ ℂ)
51		ovex 7453	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝐶 + 1) / (𝑘 + 1)) ∈ V
52		eqid 2761	. . . . . . . 8 ⊢ (𝑘 ∈ ℕ0 ↦ ((𝐶 + 1) / (𝑘 + 1))) = (𝑘 ∈ ℕ0 ↦ ((𝐶 + 1) / (𝑘 + 1)))
53	51, 52	fnmpti 6682	. . . . . . 7 ⊢ (𝑘 ∈ ℕ0 ↦ ((𝐶 + 1) / (𝑘 + 1))) Fn ℕ0
54	53	a1i 11	. . . . . 6 ⊢ (𝜑 → (𝑘 ∈ ℕ0 ↦ ((𝐶 + 1) / (𝑘 + 1))) Fn ℕ0)
55		ovex 7453	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝑘 + 1) / (𝑘 + 1)) ∈ V
56		eqid 2761	. . . . . . . 8 ⊢ (𝑘 ∈ ℕ0 ↦ ((𝑘 + 1) / (𝑘 + 1))) = (𝑘 ∈ ℕ0 ↦ ((𝑘 + 1) / (𝑘 + 1)))
57	55, 56	fnmpti 6682	. . . . . . 7 ⊢ (𝑘 ∈ ℕ0 ↦ ((𝑘 + 1) / (𝑘 + 1))) Fn ℕ0
58	57	a1i 11	. . . . . 6 ⊢ (𝜑 → (𝑘 ∈ ℕ0 ↦ ((𝑘 + 1) / (𝑘 + 1))) Fn ℕ0)
59	7	a1i 11	. . . . . 6 ⊢ (𝜑 → ℕ0 ∈ V)
60		inidm 4172	. . . . . 6 ⊢ (ℕ0 ∩ ℕ0) = ℕ0
61		eqidd 2762	. . . . . 6 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ ℕ0) → ((𝑘 ∈ ℕ0 ↦ ((𝐶 + 1) / (𝑘 + 1)))‘𝑥) = ((𝑘 ∈ ℕ0 ↦ ((𝐶 + 1) / (𝑘 + 1)))‘𝑥))
62		eqidd 2762	. . . . . 6 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ ℕ0) → ((𝑘 ∈ ℕ0 ↦ ((𝑘 + 1) / (𝑘 + 1)))‘𝑥) = ((𝑘 ∈ ℕ0 ↦ ((𝑘 + 1) / (𝑘 + 1)))‘𝑥))
63	54, 58, 59, 59, 60, 61, 62	ofval 7704	. . . . 5 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ ℕ0) → (((𝑘 ∈ ℕ0 ↦ ((𝐶 + 1) / (𝑘 + 1))) ∘f − (𝑘 ∈ ℕ0 ↦ ((𝑘 + 1) / (𝑘 + 1))))‘𝑥) = (((𝑘 ∈ ℕ0 ↦ ((𝐶 + 1) / (𝑘 + 1)))‘𝑥) − ((𝑘 ∈ ℕ0 ↦ ((𝑘 + 1) / (𝑘 + 1)))‘𝑥)))
64	1, 2, 17, 18, 34, 44, 50, 63	climsub 15801	. . . 4 ⊢ (𝜑 → ((𝑘 ∈ ℕ0 ↦ ((𝐶 + 1) / (𝑘 + 1))) ∘f − (𝑘 ∈ ℕ0 ↦ ((𝑘 + 1) / (𝑘 + 1)))) ⇝ (0 − 1))
65		ovexd 7455	. . . . . 6 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑘 ∈ ℕ0) → ((𝐶 + 1) / (𝑘 + 1)) ∈ V)
66		ovexd 7455	. . . . . 6 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑘 ∈ ℕ0) → ((𝑘 + 1) / (𝑘 + 1)) ∈ V)
67		eqidd 2762	. . . . . 6 ⊢ (𝜑 → (𝑘 ∈ ℕ0 ↦ ((𝐶 + 1) / (𝑘 + 1))) = (𝑘 ∈ ℕ0 ↦ ((𝐶 + 1) / (𝑘 + 1))))
68		eqidd 2762	. . . . . 6 ⊢ (𝜑 → (𝑘 ∈ ℕ0 ↦ ((𝑘 + 1) / (𝑘 + 1))) = (𝑘 ∈ ℕ0 ↦ ((𝑘 + 1) / (𝑘 + 1))))
69	59, 65, 66, 67, 68	offval2 7713	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → ((𝑘 ∈ ℕ0 ↦ ((𝐶 + 1) / (𝑘 + 1))) ∘f − (𝑘 ∈ ℕ0 ↦ ((𝑘 + 1) / (𝑘 + 1)))) = (𝑘 ∈ ℕ0 ↦ (((𝐶 + 1) / (𝑘 + 1)) − ((𝑘 + 1) / (𝑘 + 1)))))
70	5	adantr 486	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑘 ∈ ℕ0) → (𝐶 + 1) ∈ ℂ)
71	21	adantl 487	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑘 ∈ ℕ0) → (𝑘 + 1) ∈ ℂ)
72	23	adantl 487	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑘 ∈ ℕ0) → (𝑘 + 1) ≠ 0)
73	70, 71, 71, 72	divsubdird 12132	. . . . . . 7 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑘 ∈ ℕ0) → (((𝐶 + 1) − (𝑘 + 1)) / (𝑘 + 1)) = (((𝐶 + 1) / (𝑘 + 1)) − ((𝑘 + 1) / (𝑘 + 1))))
74	3	adantr 486	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑘 ∈ ℕ0) → 𝐶 ∈ ℂ)
75	19	adantl 487	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑘 ∈ ℕ0) → 𝑘 ∈ ℂ)
76		1cnd 11302	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑘 ∈ ℕ0) → 1 ∈ ℂ)
77	74, 75, 76	pnpcan2d 11707	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑘 ∈ ℕ0) → ((𝐶 + 1) − (𝑘 + 1)) = (𝐶 − 𝑘))
78	77	oveq1d 7435	. . . . . . 7 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑘 ∈ ℕ0) → (((𝐶 + 1) − (𝑘 + 1)) / (𝑘 + 1)) = ((𝐶 − 𝑘) / (𝑘 + 1)))
79	73, 78	eqtr3d 2798	. . . . . 6 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑘 ∈ ℕ0) → (((𝐶 + 1) / (𝑘 + 1)) − ((𝑘 + 1) / (𝑘 + 1))) = ((𝐶 − 𝑘) / (𝑘 + 1)))
80	79	mpteq2dva 5198	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → (𝑘 ∈ ℕ0 ↦ (((𝐶 + 1) / (𝑘 + 1)) − ((𝑘 + 1) / (𝑘 + 1)))) = (𝑘 ∈ ℕ0 ↦ ((𝐶 − 𝑘) / (𝑘 + 1))))
81	69, 80	eqtrd 2796	. . . 4 ⊢ (𝜑 → ((𝑘 ∈ ℕ0 ↦ ((𝐶 + 1) / (𝑘 + 1))) ∘f − (𝑘 ∈ ℕ0 ↦ ((𝑘 + 1) / (𝑘 + 1)))) = (𝑘 ∈ ℕ0 ↦ ((𝐶 − 𝑘) / (𝑘 + 1))))
82		df-neg 11544	. . . . . 6 ⊢ -1 = (0 − 1)
83	82	eqcomi 2770	. . . . 5 ⊢ (0 − 1) = -1
84	83	a1i 11	. . . 4 ⊢ (𝜑 → (0 − 1) = -1)
85	64, 81, 84	3brtr3d 5136	. . 3 ⊢ (𝜑 → (𝑘 ∈ ℕ0 ↦ ((𝐶 − 𝑘) / (𝑘 + 1))) ⇝ -1)
86	7	mptex 7229	. . . 4 ⊢ (𝑘 ∈ ℕ0 ↦ (abs‘((𝐶 − 𝑘) / (𝑘 + 1)))) ∈ V
87	86	a1i 11	. . 3 ⊢ (𝜑 → (𝑘 ∈ ℕ0 ↦ (abs‘((𝐶 − 𝑘) / (𝑘 + 1)))) ∈ V)
88		eqidd 2762	. . . . 5 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ ℕ0) → (𝑘 ∈ ℕ0 ↦ ((𝐶 − 𝑘) / (𝑘 + 1))) = (𝑘 ∈ ℕ0 ↦ ((𝐶 − 𝑘) / (𝑘 + 1))))
89		oveq2 7428	. . . . . . 7 ⊢ (𝑘 = 𝑥 → (𝐶 − 𝑘) = (𝐶 − 𝑥))
90		oveq1 7427	. . . . . . 7 ⊢ (𝑘 = 𝑥 → (𝑘 + 1) = (𝑥 + 1))
91	89, 90	oveq12d 7438	. . . . . 6 ⊢ (𝑘 = 𝑥 → ((𝐶 − 𝑘) / (𝑘 + 1)) = ((𝐶 − 𝑥) / (𝑥 + 1)))
92	91	adantl 487	. . . . 5 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ ℕ0) ∧ 𝑘 = 𝑥) → ((𝐶 − 𝑘) / (𝑘 + 1)) = ((𝐶 − 𝑥) / (𝑥 + 1)))
93		ovexd 7455	. . . . 5 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ ℕ0) → ((𝐶 − 𝑥) / (𝑥 + 1)) ∈ V)
94	88, 92, 14, 93	fvmptd 7001	. . . 4 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ ℕ0) → ((𝑘 ∈ ℕ0 ↦ ((𝐶 − 𝑘) / (𝑘 + 1)))‘𝑥) = ((𝐶 − 𝑥) / (𝑥 + 1)))
95	35, 38	subcld 11669	. . . . 5 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ ℕ0) → (𝐶 − 𝑥) ∈ ℂ)
96	95, 39, 42	divcld 12093	. . . 4 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ ℕ0) → ((𝐶 − 𝑥) / (𝑥 + 1)) ∈ ℂ)
97	94, 96	eqeltrd 2861	. . 3 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ ℕ0) → ((𝑘 ∈ ℕ0 ↦ ((𝐶 − 𝑘) / (𝑘 + 1)))‘𝑥) ∈ ℂ)
98		eqidd 2762	. . . . 5 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ ℕ0) → (𝑘 ∈ ℕ0 ↦ (abs‘((𝐶 − 𝑘) / (𝑘 + 1)))) = (𝑘 ∈ ℕ0 ↦ (abs‘((𝐶 − 𝑘) / (𝑘 + 1)))))
99	91	fveq2d 6889	. . . . . 6 ⊢ (𝑘 = 𝑥 → (abs‘((𝐶 − 𝑘) / (𝑘 + 1))) = (abs‘((𝐶 − 𝑥) / (𝑥 + 1))))
100	99	adantl 487	. . . . 5 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ ℕ0) ∧ 𝑘 = 𝑥) → (abs‘((𝐶 − 𝑘) / (𝑘 + 1))) = (abs‘((𝐶 − 𝑥) / (𝑥 + 1))))
101		fvexd 6900	. . . . 5 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ ℕ0) → (abs‘((𝐶 − 𝑥) / (𝑥 + 1))) ∈ V)
102	98, 100, 14, 101	fvmptd 7001	. . . 4 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ ℕ0) → ((𝑘 ∈ ℕ0 ↦ (abs‘((𝐶 − 𝑘) / (𝑘 + 1))))‘𝑥) = (abs‘((𝐶 − 𝑥) / (𝑥 + 1))))
103	94	fveq2d 6889	. . . 4 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ ℕ0) → (abs‘((𝑘 ∈ ℕ0 ↦ ((𝐶 − 𝑘) / (𝑘 + 1)))‘𝑥)) = (abs‘((𝐶 − 𝑥) / (𝑥 + 1))))
104	102, 103	eqtr4d 2799	. . 3 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ ℕ0) → ((𝑘 ∈ ℕ0 ↦ (abs‘((𝐶 − 𝑘) / (𝑘 + 1))))‘𝑥) = (abs‘((𝑘 ∈ ℕ0 ↦ ((𝐶 − 𝑘) / (𝑘 + 1)))‘𝑥)))
105	1, 85, 87, 2, 97, 104	climabs 15771	. 2 ⊢ (𝜑 → (𝑘 ∈ ℕ0 ↦ (abs‘((𝐶 − 𝑘) / (𝑘 + 1)))) ⇝ (abs‘ -1))
106	28	absnegi 15568	. . 3 ⊢ (abs‘ -1) = (abs‘1)
107		abs1 15464	. . 3 ⊢ (abs‘1) = 1
108	106, 107	eqtri 2784	. 2 ⊢ (abs‘ -1) = 1
109	105, 108	breqtrdi 5146	1 ⊢ (𝜑 → (𝑘 ∈ ℕ0 ↦ (abs‘((𝐶 − 𝑘) / (𝑘 + 1)))) ⇝ 1)

This proof depends on syntax axioms:   → wi 4   ∧ wa 401   = wceq 1570   ∈ wcel 2145   ≠ wne 2956  Vcvv 3451  {csn 4584   class class class wbr 5103   ↦ cmpt 5186   × cxp 5649   Fn wfn 6533  ‘cfv 6538  (class class class)co 7420   ∘_f cof 7691  ℂcc 11198  ℝcr 11199  0cc0 11200  1c1 11201   + caddc 11203   < clt 11343   − cmin 11541   -cneg 11542   / cdiv 11973  ℕ₀cn0 12606  ℤcz 12693  ℤ_≥cuz 12965  ℝ⁺crp 13120  abscabs 15401   ⇝ cli 15651

This proof depends on axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1828  ax-4 1842  ax-5 1943  ax-6 2000  ax-7 2041  ax-8 2147  ax-9 2155  ax-10 2178  ax-11 2194  ax-12 2213  ax-ext 2733  ax-rep 5232  ax-sep 5249  ax-nul 5260  ax-pow 5327  ax-pr 5391  ax-un 7751  ax-cnex 11256  ax-resscn 11257  ax-1cn 11258  ax-icn 11259  ax-addcl 11260  ax-addrcl 11261  ax-mulcl 11262  ax-mulrcl 11263  ax-mulcom 11264  ax-addass 11265  ax-mulass 11266  ax-distr 11267  ax-i2m1 11268  ax-1ne0 11269  ax-1rid 11270  ax-rnegex 11271  ax-rrecex 11272  ax-cnre 11273  ax-pre-lttri 11274  ax-pre-lttrn 11275  ax-pre-ltadd 11276  ax-pre-mulgt0 11277  ax-pre-sup 11278

This proof depends on definitions:  df-bi 210  df-an 402  df-or 862  df-3or 1104  df-3an 1105  df-tru 1573  df-fal 1583  df-ex 1813  df-nf 1817  df-sb 2100  df-mo 2565  df-eu 2595  df-clab 2740  df-cleq 2753  df-clel 2836  df-nfc 2910  df-ne 2957  df-nel 3063  df-ral 3078  df-rex 3088  df-rmo 3366  df-reu 3367  df-rab 3414  df-v 3453  df-sbc 3740  df-csb 3848  df-dif 3902  df-un 3904  df-in 3906  df-ss 3916  df-pss 3919  df-nul 4280  df-if 4483  df-pw 4559  df-sn 4585  df-pr 4587  df-op 4591  df-uni 4868  df-iun 4953  df-br 5104  df-opab 5168  df-mpt 5187  df-tr 5213  df-id 5546  df-eprel 5551  df-po 5559  df-so 5560  df-fr 5604  df-we 5606  df-xp 5657  df-rel 5658  df-cnv 5659  df-co 5660  df-dm 5661  df-rn 5662  df-res 5663  df-ima 5664  df-pred 6304  df-ord 6365  df-on 6366  df-lim 6367  df-suc 6368  df-iota 6494  df-fun 6540  df-fn 6541  df-f 6542  df-f1 6543  df-fo 6544  df-f1o 6545  df-fv 6546  df-riota 7377  df-ov 7423  df-oprab 7424  df-mpo 7425  df-of 7693  df-om 7878  df-2nd 8002  df-frecs 8299  df-wrecs 8330  df-recs 8379  df-rdg 8418  df-er 8717  df-pm 8850  df-en 8974  df-dom 8975  df-sdom 8976  df-sup 9434  df-inf 9435  df-pnf 11345  df-mnf 11346  df-xr 11347  df-ltxr 11348  df-le 11349  df-sub 11543  df-neg 11544  df-div 11974  df-nn 12336  df-2 12405  df-3 12406  df-n0 12607  df-z 12694  df-uz 12966  df-rp 13121  df-fl 13932  df-seq 14145  df-exp 14205  df-shft 15220  df-cj 15266  df-re 15267  df-im 15268  df-sqrt 15402  df-abs 15403  df-clim 15655  df-rlim 15656

This theorem is used by:  binomcxplemfrat  45334