Mathbox for Steve Rodriguez < Previous   Next > Nearby theorems Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >   Mathboxes  >  binomcxplemrat Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem binomcxplemrat 41069
 Description: Lemma for binomcxp 41076. As 𝑘 increases, this ratio's absolute value converges to one. Part of equation "Since continuity of the absolute value..." in the Wikibooks proof (proven for the inverse ratio, which we later show is no problem). (Contributed by Steve Rodriguez, 22-Apr-2020.)
Hypotheses
Ref Expression
binomcxp.a (𝜑𝐴 ∈ ℝ+)
binomcxp.b (𝜑𝐵 ∈ ℝ)
binomcxp.lt (𝜑 → (abs‘𝐵) < (abs‘𝐴))
binomcxp.c (𝜑𝐶 ∈ ℂ)
Assertion
Ref Expression
binomcxplemrat (𝜑 → (𝑘 ∈ ℕ0 ↦ (abs‘((𝐶𝑘) / (𝑘 + 1)))) ⇝ 1)
Distinct variable groups:   𝜑,𝑘   𝐶,𝑘
Allowed substitution hints:   𝐴(𝑘)   𝐵(𝑘)

Proof of Theorem binomcxplemrat
Dummy variable 𝑥 is distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 nn0uz 12270 . . 3 0 = (ℤ‘0)
2 0zd 11983 . . . . 5 (𝜑 → 0 ∈ ℤ)
3 binomcxp.c . . . . . . 7 (𝜑𝐶 ∈ ℂ)
4 peano2cn 10803 . . . . . . 7 (𝐶 ∈ ℂ → (𝐶 + 1) ∈ ℂ)
53, 4syl 17 . . . . . 6 (𝜑 → (𝐶 + 1) ∈ ℂ)
6 1zzd 12003 . . . . . 6 (𝜑 → 1 ∈ ℤ)
7 nn0ex 11893 . . . . . . . 8 0 ∈ V
87mptex 6963 . . . . . . 7 (𝑘 ∈ ℕ0 ↦ ((𝐶 + 1) / (𝑘 + 1))) ∈ V
98a1i 11 . . . . . 6 (𝜑 → (𝑘 ∈ ℕ0 ↦ ((𝐶 + 1) / (𝑘 + 1))) ∈ V)
10 eqidd 2799 . . . . . . 7 ((𝜑𝑥 ∈ ℕ0) → (𝑘 ∈ ℕ0 ↦ ((𝐶 + 1) / (𝑘 + 1))) = (𝑘 ∈ ℕ0 ↦ ((𝐶 + 1) / (𝑘 + 1))))
11 simpr 488 . . . . . . . . 9 (((𝜑𝑥 ∈ ℕ0) ∧ 𝑘 = 𝑥) → 𝑘 = 𝑥)
1211oveq1d 7150 . . . . . . . 8 (((𝜑𝑥 ∈ ℕ0) ∧ 𝑘 = 𝑥) → (𝑘 + 1) = (𝑥 + 1))
1312oveq2d 7151 . . . . . . 7 (((𝜑𝑥 ∈ ℕ0) ∧ 𝑘 = 𝑥) → ((𝐶 + 1) / (𝑘 + 1)) = ((𝐶 + 1) / (𝑥 + 1)))
14 simpr 488 . . . . . . 7 ((𝜑𝑥 ∈ ℕ0) → 𝑥 ∈ ℕ0)
15 ovexd 7170 . . . . . . 7 ((𝜑𝑥 ∈ ℕ0) → ((𝐶 + 1) / (𝑥 + 1)) ∈ V)
1610, 13, 14, 15fvmptd 6752 . . . . . 6 ((𝜑𝑥 ∈ ℕ0) → ((𝑘 ∈ ℕ0 ↦ ((𝐶 + 1) / (𝑘 + 1)))‘𝑥) = ((𝐶 + 1) / (𝑥 + 1)))
171, 2, 5, 6, 9, 16divcnvshft 15204 . . . . 5 (𝜑 → (𝑘 ∈ ℕ0 ↦ ((𝐶 + 1) / (𝑘 + 1))) ⇝ 0)
18 ovexd 7170 . . . . 5 (𝜑 → ((𝑘 ∈ ℕ0 ↦ ((𝐶 + 1) / (𝑘 + 1))) ∘f − (𝑘 ∈ ℕ0 ↦ ((𝑘 + 1) / (𝑘 + 1)))) ∈ V)
19 nn0cn 11897 . . . . . . . . . . 11 (𝑘 ∈ ℕ0𝑘 ∈ ℂ)
20 1cnd 10627 . . . . . . . . . . 11 (𝑘 ∈ ℕ0 → 1 ∈ ℂ)
2119, 20addcld 10651 . . . . . . . . . 10 (𝑘 ∈ ℕ0 → (𝑘 + 1) ∈ ℂ)
22 nn0p1nn 11926 . . . . . . . . . . 11 (𝑘 ∈ ℕ0 → (𝑘 + 1) ∈ ℕ)
2322nnne0d 11677 . . . . . . . . . 10 (𝑘 ∈ ℕ0 → (𝑘 + 1) ≠ 0)
2421, 23dividd 11405 . . . . . . . . 9 (𝑘 ∈ ℕ0 → ((𝑘 + 1) / (𝑘 + 1)) = 1)
2524mpteq2ia 5121 . . . . . . . 8 (𝑘 ∈ ℕ0 ↦ ((𝑘 + 1) / (𝑘 + 1))) = (𝑘 ∈ ℕ0 ↦ 1)
26 fconstmpt 5578 . . . . . . . 8 (ℕ0 × {1}) = (𝑘 ∈ ℕ0 ↦ 1)
2725, 26eqtr4i 2824 . . . . . . 7 (𝑘 ∈ ℕ0 ↦ ((𝑘 + 1) / (𝑘 + 1))) = (ℕ0 × {1})
28 ax-1cn 10586 . . . . . . . 8 1 ∈ ℂ
29 0z 11982 . . . . . . . 8 0 ∈ ℤ
301eqimss2i 3974 . . . . . . . . 9 (ℤ‘0) ⊆ ℕ0
3130, 7climconst2 14899 . . . . . . . 8 ((1 ∈ ℂ ∧ 0 ∈ ℤ) → (ℕ0 × {1}) ⇝ 1)
3228, 29, 31mp2an 691 . . . . . . 7 (ℕ0 × {1}) ⇝ 1
3327, 32eqbrtri 5051 . . . . . 6 (𝑘 ∈ ℕ0 ↦ ((𝑘 + 1) / (𝑘 + 1))) ⇝ 1
3433a1i 11 . . . . 5 (𝜑 → (𝑘 ∈ ℕ0 ↦ ((𝑘 + 1) / (𝑘 + 1))) ⇝ 1)
353adantr 484 . . . . . . . 8 ((𝜑𝑥 ∈ ℕ0) → 𝐶 ∈ ℂ)
36 1cnd 10627 . . . . . . . 8 ((𝜑𝑥 ∈ ℕ0) → 1 ∈ ℂ)
3735, 36addcld 10651 . . . . . . 7 ((𝜑𝑥 ∈ ℕ0) → (𝐶 + 1) ∈ ℂ)
3814nn0cnd 11947 . . . . . . . 8 ((𝜑𝑥 ∈ ℕ0) → 𝑥 ∈ ℂ)
3938, 36addcld 10651 . . . . . . 7 ((𝜑𝑥 ∈ ℕ0) → (𝑥 + 1) ∈ ℂ)
40 nn0p1nn 11926 . . . . . . . . 9 (𝑥 ∈ ℕ0 → (𝑥 + 1) ∈ ℕ)
4140nnne0d 11677 . . . . . . . 8 (𝑥 ∈ ℕ0 → (𝑥 + 1) ≠ 0)
4241adantl 485 . . . . . . 7 ((𝜑𝑥 ∈ ℕ0) → (𝑥 + 1) ≠ 0)
4337, 39, 42divcld 11407 . . . . . 6 ((𝜑𝑥 ∈ ℕ0) → ((𝐶 + 1) / (𝑥 + 1)) ∈ ℂ)
4416, 43eqeltrd 2890 . . . . 5 ((𝜑𝑥 ∈ ℕ0) → ((𝑘 ∈ ℕ0 ↦ ((𝐶 + 1) / (𝑘 + 1)))‘𝑥) ∈ ℂ)
45 eqidd 2799 . . . . . . 7 ((𝜑𝑥 ∈ ℕ0) → (𝑘 ∈ ℕ0 ↦ ((𝑘 + 1) / (𝑘 + 1))) = (𝑘 ∈ ℕ0 ↦ ((𝑘 + 1) / (𝑘 + 1))))
4612, 12oveq12d 7153 . . . . . . 7 (((𝜑𝑥 ∈ ℕ0) ∧ 𝑘 = 𝑥) → ((𝑘 + 1) / (𝑘 + 1)) = ((𝑥 + 1) / (𝑥 + 1)))
47 ovexd 7170 . . . . . . 7 ((𝜑𝑥 ∈ ℕ0) → ((𝑥 + 1) / (𝑥 + 1)) ∈ V)
4845, 46, 14, 47fvmptd 6752 . . . . . 6 ((𝜑𝑥 ∈ ℕ0) → ((𝑘 ∈ ℕ0 ↦ ((𝑘 + 1) / (𝑘 + 1)))‘𝑥) = ((𝑥 + 1) / (𝑥 + 1)))
4939, 39, 42divcld 11407 . . . . . 6 ((𝜑𝑥 ∈ ℕ0) → ((𝑥 + 1) / (𝑥 + 1)) ∈ ℂ)
5048, 49eqeltrd 2890 . . . . 5 ((𝜑𝑥 ∈ ℕ0) → ((𝑘 ∈ ℕ0 ↦ ((𝑘 + 1) / (𝑘 + 1)))‘𝑥) ∈ ℂ)
51 ovex 7168 . . . . . . . 8 ((𝐶 + 1) / (𝑘 + 1)) ∈ V
52 eqid 2798 . . . . . . . 8 (𝑘 ∈ ℕ0 ↦ ((𝐶 + 1) / (𝑘 + 1))) = (𝑘 ∈ ℕ0 ↦ ((𝐶 + 1) / (𝑘 + 1)))
5351, 52fnmpti 6463 . . . . . . 7 (𝑘 ∈ ℕ0 ↦ ((𝐶 + 1) / (𝑘 + 1))) Fn ℕ0
5453a1i 11 . . . . . 6 (𝜑 → (𝑘 ∈ ℕ0 ↦ ((𝐶 + 1) / (𝑘 + 1))) Fn ℕ0)
55 ovex 7168 . . . . . . . 8 ((𝑘 + 1) / (𝑘 + 1)) ∈ V
56 eqid 2798 . . . . . . . 8 (𝑘 ∈ ℕ0 ↦ ((𝑘 + 1) / (𝑘 + 1))) = (𝑘 ∈ ℕ0 ↦ ((𝑘 + 1) / (𝑘 + 1)))
5755, 56fnmpti 6463 . . . . . . 7 (𝑘 ∈ ℕ0 ↦ ((𝑘 + 1) / (𝑘 + 1))) Fn ℕ0
5857a1i 11 . . . . . 6 (𝜑 → (𝑘 ∈ ℕ0 ↦ ((𝑘 + 1) / (𝑘 + 1))) Fn ℕ0)
597a1i 11 . . . . . 6 (𝜑 → ℕ0 ∈ V)
60 inidm 4145 . . . . . 6 (ℕ0 ∩ ℕ0) = ℕ0
61 eqidd 2799 . . . . . 6 ((𝜑𝑥 ∈ ℕ0) → ((𝑘 ∈ ℕ0 ↦ ((𝐶 + 1) / (𝑘 + 1)))‘𝑥) = ((𝑘 ∈ ℕ0 ↦ ((𝐶 + 1) / (𝑘 + 1)))‘𝑥))
62 eqidd 2799 . . . . . 6 ((𝜑𝑥 ∈ ℕ0) → ((𝑘 ∈ ℕ0 ↦ ((𝑘 + 1) / (𝑘 + 1)))‘𝑥) = ((𝑘 ∈ ℕ0 ↦ ((𝑘 + 1) / (𝑘 + 1)))‘𝑥))
6354, 58, 59, 59, 60, 61, 62ofval 7399 . . . . 5 ((𝜑𝑥 ∈ ℕ0) → (((𝑘 ∈ ℕ0 ↦ ((𝐶 + 1) / (𝑘 + 1))) ∘f − (𝑘 ∈ ℕ0 ↦ ((𝑘 + 1) / (𝑘 + 1))))‘𝑥) = (((𝑘 ∈ ℕ0 ↦ ((𝐶 + 1) / (𝑘 + 1)))‘𝑥) − ((𝑘 ∈ ℕ0 ↦ ((𝑘 + 1) / (𝑘 + 1)))‘𝑥)))
641, 2, 17, 18, 34, 44, 50, 63climsub 14984 . . . 4 (𝜑 → ((𝑘 ∈ ℕ0 ↦ ((𝐶 + 1) / (𝑘 + 1))) ∘f − (𝑘 ∈ ℕ0 ↦ ((𝑘 + 1) / (𝑘 + 1)))) ⇝ (0 − 1))
65 ovexd 7170 . . . . . 6 ((𝜑𝑘 ∈ ℕ0) → ((𝐶 + 1) / (𝑘 + 1)) ∈ V)
66 ovexd 7170 . . . . . 6 ((𝜑𝑘 ∈ ℕ0) → ((𝑘 + 1) / (𝑘 + 1)) ∈ V)
67 eqidd 2799 . . . . . 6 (𝜑 → (𝑘 ∈ ℕ0 ↦ ((𝐶 + 1) / (𝑘 + 1))) = (𝑘 ∈ ℕ0 ↦ ((𝐶 + 1) / (𝑘 + 1))))
68 eqidd 2799 . . . . . 6 (𝜑 → (𝑘 ∈ ℕ0 ↦ ((𝑘 + 1) / (𝑘 + 1))) = (𝑘 ∈ ℕ0 ↦ ((𝑘 + 1) / (𝑘 + 1))))
6959, 65, 66, 67, 68offval2 7408 . . . . 5 (𝜑 → ((𝑘 ∈ ℕ0 ↦ ((𝐶 + 1) / (𝑘 + 1))) ∘f − (𝑘 ∈ ℕ0 ↦ ((𝑘 + 1) / (𝑘 + 1)))) = (𝑘 ∈ ℕ0 ↦ (((𝐶 + 1) / (𝑘 + 1)) − ((𝑘 + 1) / (𝑘 + 1)))))
705adantr 484 . . . . . . . 8 ((𝜑𝑘 ∈ ℕ0) → (𝐶 + 1) ∈ ℂ)
7121adantl 485 . . . . . . . 8 ((𝜑𝑘 ∈ ℕ0) → (𝑘 + 1) ∈ ℂ)
7223adantl 485 . . . . . . . 8 ((𝜑𝑘 ∈ ℕ0) → (𝑘 + 1) ≠ 0)
7370, 71, 71, 72divsubdird 11446 . . . . . . 7 ((𝜑𝑘 ∈ ℕ0) → (((𝐶 + 1) − (𝑘 + 1)) / (𝑘 + 1)) = (((𝐶 + 1) / (𝑘 + 1)) − ((𝑘 + 1) / (𝑘 + 1))))
743adantr 484 . . . . . . . . 9 ((𝜑𝑘 ∈ ℕ0) → 𝐶 ∈ ℂ)
7519adantl 485 . . . . . . . . 9 ((𝜑𝑘 ∈ ℕ0) → 𝑘 ∈ ℂ)
76 1cnd 10627 . . . . . . . . 9 ((𝜑𝑘 ∈ ℕ0) → 1 ∈ ℂ)
7774, 75, 76pnpcan2d 11026 . . . . . . . 8 ((𝜑𝑘 ∈ ℕ0) → ((𝐶 + 1) − (𝑘 + 1)) = (𝐶𝑘))
7877oveq1d 7150 . . . . . . 7 ((𝜑𝑘 ∈ ℕ0) → (((𝐶 + 1) − (𝑘 + 1)) / (𝑘 + 1)) = ((𝐶𝑘) / (𝑘 + 1)))
7973, 78eqtr3d 2835 . . . . . 6 ((𝜑𝑘 ∈ ℕ0) → (((𝐶 + 1) / (𝑘 + 1)) − ((𝑘 + 1) / (𝑘 + 1))) = ((𝐶𝑘) / (𝑘 + 1)))
8079mpteq2dva 5125 . . . . 5 (𝜑 → (𝑘 ∈ ℕ0 ↦ (((𝐶 + 1) / (𝑘 + 1)) − ((𝑘 + 1) / (𝑘 + 1)))) = (𝑘 ∈ ℕ0 ↦ ((𝐶𝑘) / (𝑘 + 1))))
8169, 80eqtrd 2833 . . . 4 (𝜑 → ((𝑘 ∈ ℕ0 ↦ ((𝐶 + 1) / (𝑘 + 1))) ∘f − (𝑘 ∈ ℕ0 ↦ ((𝑘 + 1) / (𝑘 + 1)))) = (𝑘 ∈ ℕ0 ↦ ((𝐶𝑘) / (𝑘 + 1))))
82 df-neg 10864 . . . . . 6 -1 = (0 − 1)
8382eqcomi 2807 . . . . 5 (0 − 1) = -1
8483a1i 11 . . . 4 (𝜑 → (0 − 1) = -1)
8564, 81, 843brtr3d 5061 . . 3 (𝜑 → (𝑘 ∈ ℕ0 ↦ ((𝐶𝑘) / (𝑘 + 1))) ⇝ -1)
867mptex 6963 . . . 4 (𝑘 ∈ ℕ0 ↦ (abs‘((𝐶𝑘) / (𝑘 + 1)))) ∈ V
8786a1i 11 . . 3 (𝜑 → (𝑘 ∈ ℕ0 ↦ (abs‘((𝐶𝑘) / (𝑘 + 1)))) ∈ V)
88 eqidd 2799 . . . . 5 ((𝜑𝑥 ∈ ℕ0) → (𝑘 ∈ ℕ0 ↦ ((𝐶𝑘) / (𝑘 + 1))) = (𝑘 ∈ ℕ0 ↦ ((𝐶𝑘) / (𝑘 + 1))))
89 oveq2 7143 . . . . . . 7 (𝑘 = 𝑥 → (𝐶𝑘) = (𝐶𝑥))
90 oveq1 7142 . . . . . . 7 (𝑘 = 𝑥 → (𝑘 + 1) = (𝑥 + 1))
9189, 90oveq12d 7153 . . . . . 6 (𝑘 = 𝑥 → ((𝐶𝑘) / (𝑘 + 1)) = ((𝐶𝑥) / (𝑥 + 1)))
9291adantl 485 . . . . 5 (((𝜑𝑥 ∈ ℕ0) ∧ 𝑘 = 𝑥) → ((𝐶𝑘) / (𝑘 + 1)) = ((𝐶𝑥) / (𝑥 + 1)))
93 ovexd 7170 . . . . 5 ((𝜑𝑥 ∈ ℕ0) → ((𝐶𝑥) / (𝑥 + 1)) ∈ V)
9488, 92, 14, 93fvmptd 6752 . . . 4 ((𝜑𝑥 ∈ ℕ0) → ((𝑘 ∈ ℕ0 ↦ ((𝐶𝑘) / (𝑘 + 1)))‘𝑥) = ((𝐶𝑥) / (𝑥 + 1)))
9535, 38subcld 10988 . . . . 5 ((𝜑𝑥 ∈ ℕ0) → (𝐶𝑥) ∈ ℂ)
9695, 39, 42divcld 11407 . . . 4 ((𝜑𝑥 ∈ ℕ0) → ((𝐶𝑥) / (𝑥 + 1)) ∈ ℂ)
9794, 96eqeltrd 2890 . . 3 ((𝜑𝑥 ∈ ℕ0) → ((𝑘 ∈ ℕ0 ↦ ((𝐶𝑘) / (𝑘 + 1)))‘𝑥) ∈ ℂ)
98 eqidd 2799 . . . . 5 ((𝜑𝑥 ∈ ℕ0) → (𝑘 ∈ ℕ0 ↦ (abs‘((𝐶𝑘) / (𝑘 + 1)))) = (𝑘 ∈ ℕ0 ↦ (abs‘((𝐶𝑘) / (𝑘 + 1)))))
9991fveq2d 6649 . . . . . 6 (𝑘 = 𝑥 → (abs‘((𝐶𝑘) / (𝑘 + 1))) = (abs‘((𝐶𝑥) / (𝑥 + 1))))
10099adantl 485 . . . . 5 (((𝜑𝑥 ∈ ℕ0) ∧ 𝑘 = 𝑥) → (abs‘((𝐶𝑘) / (𝑘 + 1))) = (abs‘((𝐶𝑥) / (𝑥 + 1))))
101 fvexd 6660 . . . . 5 ((𝜑𝑥 ∈ ℕ0) → (abs‘((𝐶𝑥) / (𝑥 + 1))) ∈ V)
10298, 100, 14, 101fvmptd 6752 . . . 4 ((𝜑𝑥 ∈ ℕ0) → ((𝑘 ∈ ℕ0 ↦ (abs‘((𝐶𝑘) / (𝑘 + 1))))‘𝑥) = (abs‘((𝐶𝑥) / (𝑥 + 1))))
10394fveq2d 6649 . . . 4 ((𝜑𝑥 ∈ ℕ0) → (abs‘((𝑘 ∈ ℕ0 ↦ ((𝐶𝑘) / (𝑘 + 1)))‘𝑥)) = (abs‘((𝐶𝑥) / (𝑥 + 1))))
104102, 103eqtr4d 2836 . . 3 ((𝜑𝑥 ∈ ℕ0) → ((𝑘 ∈ ℕ0 ↦ (abs‘((𝐶𝑘) / (𝑘 + 1))))‘𝑥) = (abs‘((𝑘 ∈ ℕ0 ↦ ((𝐶𝑘) / (𝑘 + 1)))‘𝑥)))
1051, 85, 87, 2, 97, 104climabs 14954 . 2 (𝜑 → (𝑘 ∈ ℕ0 ↦ (abs‘((𝐶𝑘) / (𝑘 + 1)))) ⇝ (abs‘-1))
10628absnegi 14754 . . 3 (abs‘-1) = (abs‘1)
107 abs1 14651 . . 3 (abs‘1) = 1
108106, 107eqtri 2821 . 2 (abs‘-1) = 1
109105, 108breqtrdi 5071 1 (𝜑 → (𝑘 ∈ ℕ0 ↦ (abs‘((𝐶𝑘) / (𝑘 + 1)))) ⇝ 1)
 Colors of variables: wff setvar class Syntax hints:   → wi 4   ∧ wa 399   = wceq 1538   ∈ wcel 2111   ≠ wne 2987  Vcvv 3441  {csn 4525   class class class wbr 5030   ↦ cmpt 5110   × cxp 5517   Fn wfn 6319  ‘cfv 6324  (class class class)co 7135   ∘f cof 7388  ℂcc 10526  ℝcr 10527  0cc0 10528  1c1 10529   + caddc 10531   < clt 10666   − cmin 10861  -cneg 10862   / cdiv 11288  ℕ0cn0 11887  ℤcz 11971  ℤ≥cuz 12233  ℝ+crp 12379  abscabs 14587   ⇝ cli 14835 This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1797  ax-4 1811  ax-5 1911  ax-6 1970  ax-7 2015  ax-8 2113  ax-9 2121  ax-10 2142  ax-11 2158  ax-12 2175  ax-ext 2770  ax-rep 5154  ax-sep 5167  ax-nul 5174  ax-pow 5231  ax-pr 5295  ax-un 7443  ax-cnex 10584  ax-resscn 10585  ax-1cn 10586  ax-icn 10587  ax-addcl 10588  ax-addrcl 10589  ax-mulcl 10590  ax-mulrcl 10591  ax-mulcom 10592  ax-addass 10593  ax-mulass 10594  ax-distr 10595  ax-i2m1 10596  ax-1ne0 10597  ax-1rid 10598  ax-rnegex 10599  ax-rrecex 10600  ax-cnre 10601  ax-pre-lttri 10602  ax-pre-lttrn 10603  ax-pre-ltadd 10604  ax-pre-mulgt0 10605  ax-pre-sup 10606 This theorem depends on definitions:  df-bi 210  df-an 400  df-or 845  df-3or 1085  df-3an 1086  df-tru 1541  df-ex 1782  df-nf 1786  df-sb 2070  df-mo 2598  df-eu 2629  df-clab 2777  df-cleq 2791  df-clel 2870  df-nfc 2938  df-ne 2988  df-nel 3092  df-ral 3111  df-rex 3112  df-reu 3113  df-rmo 3114  df-rab 3115  df-v 3443  df-sbc 3721  df-csb 3829  df-dif 3884  df-un 3886  df-in 3888  df-ss 3898  df-pss 3900  df-nul 4244  df-if 4426  df-pw 4499  df-sn 4526  df-pr 4528  df-tp 4530  df-op 4532  df-uni 4801  df-iun 4883  df-br 5031  df-opab 5093  df-mpt 5111  df-tr 5137  df-id 5425  df-eprel 5430  df-po 5438  df-so 5439  df-fr 5478  df-we 5480  df-xp 5525  df-rel 5526  df-cnv 5527  df-co 5528  df-dm 5529  df-rn 5530  df-res 5531  df-ima 5532  df-pred 6116  df-ord 6162  df-on 6163  df-lim 6164  df-suc 6165  df-iota 6283  df-fun 6326  df-fn 6327  df-f 6328  df-f1 6329  df-fo 6330  df-f1o 6331  df-fv 6332  df-riota 7093  df-ov 7138  df-oprab 7139  df-mpo 7140  df-of 7390  df-om 7563  df-2nd 7674  df-wrecs 7932  df-recs 7993  df-rdg 8031  df-er 8274  df-pm 8394  df-en 8495  df-dom 8496  df-sdom 8497  df-sup 8892  df-inf 8893  df-pnf 10668  df-mnf 10669  df-xr 10670  df-ltxr 10671  df-le 10672  df-sub 10863  df-neg 10864  df-div 11289  df-nn 11628  df-2 11690  df-3 11691  df-n0 11888  df-z 11972  df-uz 12234  df-rp 12380  df-fl 13159  df-seq 13367  df-exp 13428  df-shft 14420  df-cj 14452  df-re 14453  df-im 14454  df-sqrt 14588  df-abs 14589  df-clim 14839  df-rlim 14840 This theorem is referenced by:  binomcxplemfrat  41070
 Copyright terms: Public domain W3C validator