Theorem binomcxplemrat 45595

Description: Lemma for binomcxp 45602. As 𝑘 increases, this ratio's absolute value converges to one. Part of equation "Since continuity of the absolute value..." in the Wikibooks proof (proven for the inverse ratio, which we later show is no problem). (Contributed by Steve Rodriguez, 22-Apr-2020.)

Hypotheses

Ref	Expression
binomcxp.a	⊢ (𝜑 → 𝐴 ∈ ℝ+)
binomcxp.b	⊢ (𝜑 → 𝐵 ∈ ℝ)
binomcxp.lt	⊢ (𝜑 → (abs‘𝐵) < (abs‘𝐴))
binomcxp.c	⊢ (𝜑 → 𝐶 ∈ ℂ)

Assertion

Ref	Expression
binomcxplemrat	⊢ (𝜑 → (𝑘 ∈ ℕ0 ↦ (abs‘((𝐶 − 𝑘) / (𝑘 + 1)))) ⇝ 1)

Distinct variable groups:   𝜑,𝑘   𝐶,𝑘

Allowed substitution hints:   𝐴(𝑘)   𝐵(𝑘)

Proof of Theorem binomcxplemrat

Dummy variable 𝑥 is distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		nn0uz 13043	. . 3 ⊢ ℕ0 = (ℤ≥‘0)
2		0zd 12745	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → 0 ∈ ℤ)
3		binomcxp.c	. . . . . . 7 ⊢ (𝜑 → 𝐶 ∈ ℂ)
4		peano2cn 11521	. . . . . . 7 ⊢ (𝐶 ∈ ℂ → (𝐶 + 1) ∈ ℂ)
5	3, 4	syl 18	. . . . . 6 ⊢ (𝜑 → (𝐶 + 1) ∈ ℂ)
6		1zzd 12767	. . . . . 6 ⊢ (𝜑 → 1 ∈ ℤ)
7		nn0ex 12652	. . . . . . . 8 ⊢ ℕ0 ∈ V
8	7	mptex 7260	. . . . . . 7 ⊢ (𝑘 ∈ ℕ0 ↦ ((𝐶 + 1) / (𝑘 + 1))) ∈ V
9	8	a1i 11	. . . . . 6 ⊢ (𝜑 → (𝑘 ∈ ℕ0 ↦ ((𝐶 + 1) / (𝑘 + 1))) ∈ V)
10		eqidd 2764	. . . . . . 7 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ ℕ0) → (𝑘 ∈ ℕ0 ↦ ((𝐶 + 1) / (𝑘 + 1))) = (𝑘 ∈ ℕ0 ↦ ((𝐶 + 1) / (𝑘 + 1))))
11		simpr 490	. . . . . . . . 9 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ ℕ0) ∧ 𝑘 = 𝑥) → 𝑘 = 𝑥)
12	11	oveq1d 7466	. . . . . . . 8 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ ℕ0) ∧ 𝑘 = 𝑥) → (𝑘 + 1) = (𝑥 + 1))
13	12	oveq2d 7467	. . . . . . 7 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ ℕ0) ∧ 𝑘 = 𝑥) → ((𝐶 + 1) / (𝑘 + 1)) = ((𝐶 + 1) / (𝑥 + 1)))
14		simpr 490	. . . . . . 7 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ ℕ0) → 𝑥 ∈ ℕ0)
15		ovexd 7486	. . . . . . 7 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ ℕ0) → ((𝐶 + 1) / (𝑥 + 1)) ∈ V)
16	10, 13, 14, 15	fvmptd 7032	. . . . . 6 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ ℕ0) → ((𝑘 ∈ ℕ0 ↦ ((𝐶 + 1) / (𝑘 + 1)))‘𝑥) = ((𝐶 + 1) / (𝑥 + 1)))
17	1, 2, 5, 6, 9, 16	divcnvshft 16068	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → (𝑘 ∈ ℕ0 ↦ ((𝐶 + 1) / (𝑘 + 1))) ⇝ 0)
18		ovexd 7486	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → ((𝑘 ∈ ℕ0 ↦ ((𝐶 + 1) / (𝑘 + 1))) ∘f − (𝑘 ∈ ℕ0 ↦ ((𝑘 + 1) / (𝑘 + 1)))) ∈ V)
19		nn0cn 12656	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (𝑘 ∈ ℕ0 → 𝑘 ∈ ℂ)
20		1cnd 11341	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (𝑘 ∈ ℕ0 → 1 ∈ ℂ)
21	19, 20	addcld 11367	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝑘 ∈ ℕ0 → (𝑘 + 1) ∈ ℂ)
22		nn0p1nn 12685	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (𝑘 ∈ ℕ0 → (𝑘 + 1) ∈ ℕ)
23	22	nnne0d 12428	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝑘 ∈ ℕ0 → (𝑘 + 1) ≠ 0)
24	21, 23	dividd 12131	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝑘 ∈ ℕ0 → ((𝑘 + 1) / (𝑘 + 1)) = 1)
25	24	mpteq2ia 5206	. . . . . . . 8 ⊢ (𝑘 ∈ ℕ0 ↦ ((𝑘 + 1) / (𝑘 + 1))) = (𝑘 ∈ ℕ0 ↦ 1)
26		fconstmpt 5720	. . . . . . . 8 ⊢ (ℕ0 × {1}) = (𝑘 ∈ ℕ0 ↦ 1)
27	25, 26	eqtr4i 2789	. . . . . . 7 ⊢ (𝑘 ∈ ℕ0 ↦ ((𝑘 + 1) / (𝑘 + 1))) = (ℕ0 × {1})
28		ax-1cn 11297	. . . . . . . 8 ⊢ 1 ∈ ℂ
29		0z 12744	. . . . . . . 8 ⊢ 0 ∈ ℤ
30	1	eqimss2i 3974	. . . . . . . . 9 ⊢ (ℤ≥‘0) ⊆ ℕ0
31	30, 7	climconst2 15759	. . . . . . . 8 ⊢ ((1 ∈ ℂ ∧ 0 ∈ ℤ) → (ℕ0 × {1}) ⇝ 1)
32	28, 29, 31	mp2an 705	. . . . . . 7 ⊢ (ℕ0 × {1}) ⇝ 1
33	27, 32	eqbrtri 5132	. . . . . 6 ⊢ (𝑘 ∈ ℕ0 ↦ ((𝑘 + 1) / (𝑘 + 1))) ⇝ 1
34	33	a1i 11	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → (𝑘 ∈ ℕ0 ↦ ((𝑘 + 1) / (𝑘 + 1))) ⇝ 1)
35	3	adantr 486	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ ℕ0) → 𝐶 ∈ ℂ)
36		1cnd 11341	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ ℕ0) → 1 ∈ ℂ)
37	35, 36	addcld 11367	. . . . . . 7 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ ℕ0) → (𝐶 + 1) ∈ ℂ)
38	14	nn0cnd 12709	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ ℕ0) → 𝑥 ∈ ℂ)
39	38, 36	addcld 11367	. . . . . . 7 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ ℕ0) → (𝑥 + 1) ∈ ℂ)
40		nn0p1nn 12685	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝑥 ∈ ℕ0 → (𝑥 + 1) ∈ ℕ)
41	40	nnne0d 12428	. . . . . . . 8 ⊢ (𝑥 ∈ ℕ0 → (𝑥 + 1) ≠ 0)
42	41	adantl 487	. . . . . . 7 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ ℕ0) → (𝑥 + 1) ≠ 0)
43	37, 39, 42	divcld 12133	. . . . . 6 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ ℕ0) → ((𝐶 + 1) / (𝑥 + 1)) ∈ ℂ)
44	16, 43	eqeltrd 2864	. . . . 5 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ ℕ0) → ((𝑘 ∈ ℕ0 ↦ ((𝐶 + 1) / (𝑘 + 1)))‘𝑥) ∈ ℂ)
45		eqidd 2764	. . . . . . 7 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ ℕ0) → (𝑘 ∈ ℕ0 ↦ ((𝑘 + 1) / (𝑘 + 1))) = (𝑘 ∈ ℕ0 ↦ ((𝑘 + 1) / (𝑘 + 1))))
46	12, 12	oveq12d 7469	. . . . . . 7 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ ℕ0) ∧ 𝑘 = 𝑥) → ((𝑘 + 1) / (𝑘 + 1)) = ((𝑥 + 1) / (𝑥 + 1)))
47		ovexd 7486	. . . . . . 7 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ ℕ0) → ((𝑥 + 1) / (𝑥 + 1)) ∈ V)
48	45, 46, 14, 47	fvmptd 7032	. . . . . 6 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ ℕ0) → ((𝑘 ∈ ℕ0 ↦ ((𝑘 + 1) / (𝑘 + 1)))‘𝑥) = ((𝑥 + 1) / (𝑥 + 1)))
49	39, 39, 42	divcld 12133	. . . . . 6 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ ℕ0) → ((𝑥 + 1) / (𝑥 + 1)) ∈ ℂ)
50	48, 49	eqeltrd 2864	. . . . 5 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ ℕ0) → ((𝑘 ∈ ℕ0 ↦ ((𝑘 + 1) / (𝑘 + 1)))‘𝑥) ∈ ℂ)
51		ovex 7484	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝐶 + 1) / (𝑘 + 1)) ∈ V
52		eqid 2763	. . . . . . . 8 ⊢ (𝑘 ∈ ℕ0 ↦ ((𝐶 + 1) / (𝑘 + 1))) = (𝑘 ∈ ℕ0 ↦ ((𝐶 + 1) / (𝑘 + 1)))
53	51, 52	fnmpti 6712	. . . . . . 7 ⊢ (𝑘 ∈ ℕ0 ↦ ((𝐶 + 1) / (𝑘 + 1))) Fn ℕ0
54	53	a1i 11	. . . . . 6 ⊢ (𝜑 → (𝑘 ∈ ℕ0 ↦ ((𝐶 + 1) / (𝑘 + 1))) Fn ℕ0)
55		ovex 7484	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝑘 + 1) / (𝑘 + 1)) ∈ V
56		eqid 2763	. . . . . . . 8 ⊢ (𝑘 ∈ ℕ0 ↦ ((𝑘 + 1) / (𝑘 + 1))) = (𝑘 ∈ ℕ0 ↦ ((𝑘 + 1) / (𝑘 + 1)))
57	55, 56	fnmpti 6712	. . . . . . 7 ⊢ (𝑘 ∈ ℕ0 ↦ ((𝑘 + 1) / (𝑘 + 1))) Fn ℕ0
58	57	a1i 11	. . . . . 6 ⊢ (𝜑 → (𝑘 ∈ ℕ0 ↦ ((𝑘 + 1) / (𝑘 + 1))) Fn ℕ0)
59	7	a1i 11	. . . . . 6 ⊢ (𝜑 → ℕ0 ∈ V)
60		inidm 4126	. . . . . 6 ⊢ (ℕ0 ∩ ℕ0) = ℕ0
61		eqidd 2764	. . . . . 6 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ ℕ0) → ((𝑘 ∈ ℕ0 ↦ ((𝐶 + 1) / (𝑘 + 1)))‘𝑥) = ((𝑘 ∈ ℕ0 ↦ ((𝐶 + 1) / (𝑘 + 1)))‘𝑥))
62		eqidd 2764	. . . . . 6 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ ℕ0) → ((𝑘 ∈ ℕ0 ↦ ((𝑘 + 1) / (𝑘 + 1)))‘𝑥) = ((𝑘 ∈ ℕ0 ↦ ((𝑘 + 1) / (𝑘 + 1)))‘𝑥))
63	54, 58, 59, 59, 60, 61, 62	ofval 7736	. . . . 5 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ ℕ0) → (((𝑘 ∈ ℕ0 ↦ ((𝐶 + 1) / (𝑘 + 1))) ∘f − (𝑘 ∈ ℕ0 ↦ ((𝑘 + 1) / (𝑘 + 1))))‘𝑥) = (((𝑘 ∈ ℕ0 ↦ ((𝐶 + 1) / (𝑘 + 1)))‘𝑥) − ((𝑘 ∈ ℕ0 ↦ ((𝑘 + 1) / (𝑘 + 1)))‘𝑥)))
64	1, 2, 17, 18, 34, 44, 50, 63	climsub 15845	. . . 4 ⊢ (𝜑 → ((𝑘 ∈ ℕ0 ↦ ((𝐶 + 1) / (𝑘 + 1))) ∘f − (𝑘 ∈ ℕ0 ↦ ((𝑘 + 1) / (𝑘 + 1)))) ⇝ (0 − 1))
65		ovexd 7486	. . . . . 6 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑘 ∈ ℕ0) → ((𝐶 + 1) / (𝑘 + 1)) ∈ V)
66		ovexd 7486	. . . . . 6 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑘 ∈ ℕ0) → ((𝑘 + 1) / (𝑘 + 1)) ∈ V)
67		eqidd 2764	. . . . . 6 ⊢ (𝜑 → (𝑘 ∈ ℕ0 ↦ ((𝐶 + 1) / (𝑘 + 1))) = (𝑘 ∈ ℕ0 ↦ ((𝐶 + 1) / (𝑘 + 1))))
68		eqidd 2764	. . . . . 6 ⊢ (𝜑 → (𝑘 ∈ ℕ0 ↦ ((𝑘 + 1) / (𝑘 + 1))) = (𝑘 ∈ ℕ0 ↦ ((𝑘 + 1) / (𝑘 + 1))))
69	59, 65, 66, 67, 68	offval2 7745	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → ((𝑘 ∈ ℕ0 ↦ ((𝐶 + 1) / (𝑘 + 1))) ∘f − (𝑘 ∈ ℕ0 ↦ ((𝑘 + 1) / (𝑘 + 1)))) = (𝑘 ∈ ℕ0 ↦ (((𝐶 + 1) / (𝑘 + 1)) − ((𝑘 + 1) / (𝑘 + 1)))))
70	5	adantr 486	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑘 ∈ ℕ0) → (𝐶 + 1) ∈ ℂ)
71	21	adantl 487	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑘 ∈ ℕ0) → (𝑘 + 1) ∈ ℂ)
72	23	adantl 487	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑘 ∈ ℕ0) → (𝑘 + 1) ≠ 0)
73	70, 71, 71, 72	divsubdird 12172	. . . . . . 7 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑘 ∈ ℕ0) → (((𝐶 + 1) − (𝑘 + 1)) / (𝑘 + 1)) = (((𝐶 + 1) / (𝑘 + 1)) − ((𝑘 + 1) / (𝑘 + 1))))
74	3	adantr 486	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑘 ∈ ℕ0) → 𝐶 ∈ ℂ)
75	19	adantl 487	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑘 ∈ ℕ0) → 𝑘 ∈ ℂ)
76		1cnd 11341	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑘 ∈ ℕ0) → 1 ∈ ℂ)
77	74, 75, 76	pnpcan2d 11746	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑘 ∈ ℕ0) → ((𝐶 + 1) − (𝑘 + 1)) = (𝐶 − 𝑘))
78	77	oveq1d 7466	. . . . . . 7 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑘 ∈ ℕ0) → (((𝐶 + 1) − (𝑘 + 1)) / (𝑘 + 1)) = ((𝐶 − 𝑘) / (𝑘 + 1)))
79	73, 78	eqtr3d 2800	. . . . . 6 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑘 ∈ ℕ0) → (((𝐶 + 1) / (𝑘 + 1)) − ((𝑘 + 1) / (𝑘 + 1))) = ((𝐶 − 𝑘) / (𝑘 + 1)))
80	79	mpteq2dva 5204	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → (𝑘 ∈ ℕ0 ↦ (((𝐶 + 1) / (𝑘 + 1)) − ((𝑘 + 1) / (𝑘 + 1)))) = (𝑘 ∈ ℕ0 ↦ ((𝐶 − 𝑘) / (𝑘 + 1))))
81	69, 80	eqtrd 2798	. . . 4 ⊢ (𝜑 → ((𝑘 ∈ ℕ0 ↦ ((𝐶 + 1) / (𝑘 + 1))) ∘f − (𝑘 ∈ ℕ0 ↦ ((𝑘 + 1) / (𝑘 + 1)))) = (𝑘 ∈ ℕ0 ↦ ((𝐶 − 𝑘) / (𝑘 + 1))))
82		df-neg 11583	. . . . . 6 ⊢ -1 = (0 − 1)
83	82	eqcomi 2772	. . . . 5 ⊢ (0 − 1) = -1
84	83	a1i 11	. . . 4 ⊢ (𝜑 → (0 − 1) = -1)
85	64, 81, 84	3brtr3d 5142	. . 3 ⊢ (𝜑 → (𝑘 ∈ ℕ0 ↦ ((𝐶 − 𝑘) / (𝑘 + 1))) ⇝ -1)
86	7	mptex 7260	. . . 4 ⊢ (𝑘 ∈ ℕ0 ↦ (abs‘((𝐶 − 𝑘) / (𝑘 + 1)))) ∈ V
87	86	a1i 11	. . 3 ⊢ (𝜑 → (𝑘 ∈ ℕ0 ↦ (abs‘((𝐶 − 𝑘) / (𝑘 + 1)))) ∈ V)
88		eqidd 2764	. . . . 5 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ ℕ0) → (𝑘 ∈ ℕ0 ↦ ((𝐶 − 𝑘) / (𝑘 + 1))) = (𝑘 ∈ ℕ0 ↦ ((𝐶 − 𝑘) / (𝑘 + 1))))
89		oveq2 7459	. . . . . . 7 ⊢ (𝑘 = 𝑥 → (𝐶 − 𝑘) = (𝐶 − 𝑥))
90		oveq1 7458	. . . . . . 7 ⊢ (𝑘 = 𝑥 → (𝑘 + 1) = (𝑥 + 1))
91	89, 90	oveq12d 7469	. . . . . 6 ⊢ (𝑘 = 𝑥 → ((𝐶 − 𝑘) / (𝑘 + 1)) = ((𝐶 − 𝑥) / (𝑥 + 1)))
92	91	adantl 487	. . . . 5 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ ℕ0) ∧ 𝑘 = 𝑥) → ((𝐶 − 𝑘) / (𝑘 + 1)) = ((𝐶 − 𝑥) / (𝑥 + 1)))
93		ovexd 7486	. . . . 5 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ ℕ0) → ((𝐶 − 𝑥) / (𝑥 + 1)) ∈ V)
94	88, 92, 14, 93	fvmptd 7032	. . . 4 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ ℕ0) → ((𝑘 ∈ ℕ0 ↦ ((𝐶 − 𝑘) / (𝑘 + 1)))‘𝑥) = ((𝐶 − 𝑥) / (𝑥 + 1)))
95	35, 38	subcld 11708	. . . . 5 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ ℕ0) → (𝐶 − 𝑥) ∈ ℂ)
96	95, 39, 42	divcld 12133	. . . 4 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ ℕ0) → ((𝐶 − 𝑥) / (𝑥 + 1)) ∈ ℂ)
97	94, 96	eqeltrd 2864	. . 3 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ ℕ0) → ((𝑘 ∈ ℕ0 ↦ ((𝐶 − 𝑘) / (𝑘 + 1)))‘𝑥) ∈ ℂ)
98		eqidd 2764	. . . . 5 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ ℕ0) → (𝑘 ∈ ℕ0 ↦ (abs‘((𝐶 − 𝑘) / (𝑘 + 1)))) = (𝑘 ∈ ℕ0 ↦ (abs‘((𝐶 − 𝑘) / (𝑘 + 1)))))
99	91	fveq2d 6920	. . . . . 6 ⊢ (𝑘 = 𝑥 → (abs‘((𝐶 − 𝑘) / (𝑘 + 1))) = (abs‘((𝐶 − 𝑥) / (𝑥 + 1))))
100	99	adantl 487	. . . . 5 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ ℕ0) ∧ 𝑘 = 𝑥) → (abs‘((𝐶 − 𝑘) / (𝑘 + 1))) = (abs‘((𝐶 − 𝑥) / (𝑥 + 1))))
101		fvexd 6931	. . . . 5 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ ℕ0) → (abs‘((𝐶 − 𝑥) / (𝑥 + 1))) ∈ V)
102	98, 100, 14, 101	fvmptd 7032	. . . 4 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ ℕ0) → ((𝑘 ∈ ℕ0 ↦ (abs‘((𝐶 − 𝑘) / (𝑘 + 1))))‘𝑥) = (abs‘((𝐶 − 𝑥) / (𝑥 + 1))))
103	94	fveq2d 6920	. . . 4 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ ℕ0) → (abs‘((𝑘 ∈ ℕ0 ↦ ((𝐶 − 𝑘) / (𝑘 + 1)))‘𝑥)) = (abs‘((𝐶 − 𝑥) / (𝑥 + 1))))
104	102, 103	eqtr4d 2801	. . 3 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ ℕ0) → ((𝑘 ∈ ℕ0 ↦ (abs‘((𝐶 − 𝑘) / (𝑘 + 1))))‘𝑥) = (abs‘((𝑘 ∈ ℕ0 ↦ ((𝐶 − 𝑘) / (𝑘 + 1)))‘𝑥)))
105	1, 85, 87, 2, 97, 104	climabs 15815	. 2 ⊢ (𝜑 → (𝑘 ∈ ℕ0 ↦ (abs‘((𝐶 − 𝑘) / (𝑘 + 1)))) ⇝ (abs‘ -1))
106	28	absnegi 15612	. . 3 ⊢ (abs‘ -1) = (abs‘1)
107		abs1 15507	. . 3 ⊢ (abs‘1) = 1
108	106, 107	eqtri 2786	. 2 ⊢ (abs‘ -1) = 1
109	105, 108	breqtrdi 5152	1 ⊢ (𝜑 → (𝑘 ∈ ℕ0 ↦ (abs‘((𝐶 − 𝑘) / (𝑘 + 1)))) ⇝ 1)

This proof depends on syntax axioms:   → wi 4   ∧ wa 401   = wceq 1570   ∈ wcel 2147   ≠ wne 2959  Vcvv 3454  {csn 4588   class class class wbr 5108   ↦ cmpt 5192   × cxp 5656   Fn wfn 6561  ‘cfv 6566  (class class class)co 7451   ∘_f cof 7723  ℂcc 11237  ℝcr 11238  0cc0 11239  1c1 11240   + caddc 11242   < clt 11382   − cmin 11580   -cneg 11581   / cdiv 12013  ℕ₀cn0 12646  ℤcz 12733  ℤ_≥cuz 13005  ℝ⁺crp 13160  abscabs 15444   ⇝ cli 15695

This proof depends on axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1828  ax-4 1842  ax-5 1945  ax-6 2002  ax-7 2043  ax-8 2149  ax-9 2157  ax-10 2180  ax-11 2197  ax-12 2216  ax-ext 2735  ax-rep 5238  ax-sep 5255  ax-nul 5266  ax-pow 5334  ax-pr 5398  ax-un 7783  ax-cnex 11295  ax-resscn 11296  ax-1cn 11297  ax-icn 11298  ax-addcl 11299  ax-addrcl 11300  ax-mulcl 11301  ax-mulrcl 11302  ax-mulcom 11303  ax-addass 11304  ax-mulass 11305  ax-distr 11306  ax-i2m1 11307  ax-1ne0 11308  ax-1rid 11309  ax-rnegex 11310  ax-rrecex 11311  ax-cnre 11312  ax-pre-lttri 11313  ax-pre-lttrn 11314  ax-pre-ltadd 11315  ax-pre-mulgt0 11316  ax-pre-sup 11317

This proof depends on definitions:  df-bi 210  df-an 402  df-or 862  df-3or 1104  df-3an 1105  df-tru 1573  df-fal 1583  df-ex 1813  df-nf 1817  df-sb 2102  df-mo 2567  df-eu 2597  df-clab 2742  df-cleq 2755  df-clel 2839  df-nfc 2913  df-ne 2960  df-nel 3066  df-ral 3081  df-rex 3091  df-rmo 3369  df-reu 3370  df-rab 3417  df-v 3456  df-sbc 3743  df-csb 3852  df-ss 3901  df-pss 4017  df-dif 4050  df-in 4094  df-un 4154  df-nul 4282  df-if 4486  df-pw 4562  df-sn 4589  df-pr 4591  df-op 4841  df-uni 4873  df-iun 4958  df-br 5109  df-opab 5174  df-mpt 5193  df-tr 5219  df-id 5553  df-eprel 5558  df-po 5566  df-so 5567  df-fr 5611  df-we 5613  df-xp 5664  df-rel 5665  df-cnv 5666  df-co 5667  df-dm 5668  df-rn 5669  df-res 5670  df-ima 5671  df-pred 6330  df-ord 6391  df-on 6392  df-lim 6393  df-suc 6394  df-iota 6520  df-fun 6568  df-fn 6569  df-f 6570  df-f1 6571  df-fo 6572  df-f1o 6573  df-fv 6574  df-riota 7408  df-ov 7454  df-oprab 7455  df-mpo 7456  df-of 7725  df-om 7912  df-2nd 8036  df-frecs 8337  df-wrecs 8368  df-recs 8417  df-rdg 8456  df-er 8755  df-pm 8888  df-en 9012  df-dom 9013  df-sdom 9014  df-sup 9471  df-inf 9472  df-pnf 11384  df-mnf 11385  df-xr 11386  df-ltxr 11387  df-le 11388  df-sub 11582  df-neg 11583  df-div 12014  df-nn 12376  df-2 12445  df-3 12446  df-n0 12647  df-z 12734  df-uz 13006  df-rp 13161  df-fl 13972  df-seq 14185  df-exp 14245  df-shft 15263  df-cj 15309  df-re 15310  df-im 15311  df-sqrt 15445  df-abs 15446  df-clim 15699  df-rlim 15700

This theorem is used by:  binomcxplemfrat  45596