Users' Mathboxes Mathbox for Steve Rodriguez < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >   Mathboxes  >  binomcxplemrat Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem binomcxplemrat 42620
Description: Lemma for binomcxp 42627. As 𝑘 increases, this ratio's absolute value converges to one. Part of equation "Since continuity of the absolute value..." in the Wikibooks proof (proven for the inverse ratio, which we later show is no problem). (Contributed by Steve Rodriguez, 22-Apr-2020.)
Hypotheses
Ref Expression
binomcxp.a (𝜑𝐴 ∈ ℝ+)
binomcxp.b (𝜑𝐵 ∈ ℝ)
binomcxp.lt (𝜑 → (abs‘𝐵) < (abs‘𝐴))
binomcxp.c (𝜑𝐶 ∈ ℂ)
Assertion
Ref Expression
binomcxplemrat (𝜑 → (𝑘 ∈ ℕ0 ↦ (abs‘((𝐶𝑘) / (𝑘 + 1)))) ⇝ 1)
Distinct variable groups:   𝜑,𝑘   𝐶,𝑘
Allowed substitution hints:   𝐴(𝑘)   𝐵(𝑘)

Proof of Theorem binomcxplemrat
Dummy variable 𝑥 is distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 nn0uz 12805 . . 3 0 = (ℤ‘0)
2 0zd 12511 . . . . 5 (𝜑 → 0 ∈ ℤ)
3 binomcxp.c . . . . . . 7 (𝜑𝐶 ∈ ℂ)
4 peano2cn 11327 . . . . . . 7 (𝐶 ∈ ℂ → (𝐶 + 1) ∈ ℂ)
53, 4syl 17 . . . . . 6 (𝜑 → (𝐶 + 1) ∈ ℂ)
6 1zzd 12534 . . . . . 6 (𝜑 → 1 ∈ ℤ)
7 nn0ex 12419 . . . . . . . 8 0 ∈ V
87mptex 7173 . . . . . . 7 (𝑘 ∈ ℕ0 ↦ ((𝐶 + 1) / (𝑘 + 1))) ∈ V
98a1i 11 . . . . . 6 (𝜑 → (𝑘 ∈ ℕ0 ↦ ((𝐶 + 1) / (𝑘 + 1))) ∈ V)
10 eqidd 2737 . . . . . . 7 ((𝜑𝑥 ∈ ℕ0) → (𝑘 ∈ ℕ0 ↦ ((𝐶 + 1) / (𝑘 + 1))) = (𝑘 ∈ ℕ0 ↦ ((𝐶 + 1) / (𝑘 + 1))))
11 simpr 485 . . . . . . . . 9 (((𝜑𝑥 ∈ ℕ0) ∧ 𝑘 = 𝑥) → 𝑘 = 𝑥)
1211oveq1d 7372 . . . . . . . 8 (((𝜑𝑥 ∈ ℕ0) ∧ 𝑘 = 𝑥) → (𝑘 + 1) = (𝑥 + 1))
1312oveq2d 7373 . . . . . . 7 (((𝜑𝑥 ∈ ℕ0) ∧ 𝑘 = 𝑥) → ((𝐶 + 1) / (𝑘 + 1)) = ((𝐶 + 1) / (𝑥 + 1)))
14 simpr 485 . . . . . . 7 ((𝜑𝑥 ∈ ℕ0) → 𝑥 ∈ ℕ0)
15 ovexd 7392 . . . . . . 7 ((𝜑𝑥 ∈ ℕ0) → ((𝐶 + 1) / (𝑥 + 1)) ∈ V)
1610, 13, 14, 15fvmptd 6955 . . . . . 6 ((𝜑𝑥 ∈ ℕ0) → ((𝑘 ∈ ℕ0 ↦ ((𝐶 + 1) / (𝑘 + 1)))‘𝑥) = ((𝐶 + 1) / (𝑥 + 1)))
171, 2, 5, 6, 9, 16divcnvshft 15740 . . . . 5 (𝜑 → (𝑘 ∈ ℕ0 ↦ ((𝐶 + 1) / (𝑘 + 1))) ⇝ 0)
18 ovexd 7392 . . . . 5 (𝜑 → ((𝑘 ∈ ℕ0 ↦ ((𝐶 + 1) / (𝑘 + 1))) ∘f − (𝑘 ∈ ℕ0 ↦ ((𝑘 + 1) / (𝑘 + 1)))) ∈ V)
19 nn0cn 12423 . . . . . . . . . . 11 (𝑘 ∈ ℕ0𝑘 ∈ ℂ)
20 1cnd 11150 . . . . . . . . . . 11 (𝑘 ∈ ℕ0 → 1 ∈ ℂ)
2119, 20addcld 11174 . . . . . . . . . 10 (𝑘 ∈ ℕ0 → (𝑘 + 1) ∈ ℂ)
22 nn0p1nn 12452 . . . . . . . . . . 11 (𝑘 ∈ ℕ0 → (𝑘 + 1) ∈ ℕ)
2322nnne0d 12203 . . . . . . . . . 10 (𝑘 ∈ ℕ0 → (𝑘 + 1) ≠ 0)
2421, 23dividd 11929 . . . . . . . . 9 (𝑘 ∈ ℕ0 → ((𝑘 + 1) / (𝑘 + 1)) = 1)
2524mpteq2ia 5208 . . . . . . . 8 (𝑘 ∈ ℕ0 ↦ ((𝑘 + 1) / (𝑘 + 1))) = (𝑘 ∈ ℕ0 ↦ 1)
26 fconstmpt 5694 . . . . . . . 8 (ℕ0 × {1}) = (𝑘 ∈ ℕ0 ↦ 1)
2725, 26eqtr4i 2767 . . . . . . 7 (𝑘 ∈ ℕ0 ↦ ((𝑘 + 1) / (𝑘 + 1))) = (ℕ0 × {1})
28 ax-1cn 11109 . . . . . . . 8 1 ∈ ℂ
29 0z 12510 . . . . . . . 8 0 ∈ ℤ
301eqimss2i 4003 . . . . . . . . 9 (ℤ‘0) ⊆ ℕ0
3130, 7climconst2 15430 . . . . . . . 8 ((1 ∈ ℂ ∧ 0 ∈ ℤ) → (ℕ0 × {1}) ⇝ 1)
3228, 29, 31mp2an 690 . . . . . . 7 (ℕ0 × {1}) ⇝ 1
3327, 32eqbrtri 5126 . . . . . 6 (𝑘 ∈ ℕ0 ↦ ((𝑘 + 1) / (𝑘 + 1))) ⇝ 1
3433a1i 11 . . . . 5 (𝜑 → (𝑘 ∈ ℕ0 ↦ ((𝑘 + 1) / (𝑘 + 1))) ⇝ 1)
353adantr 481 . . . . . . . 8 ((𝜑𝑥 ∈ ℕ0) → 𝐶 ∈ ℂ)
36 1cnd 11150 . . . . . . . 8 ((𝜑𝑥 ∈ ℕ0) → 1 ∈ ℂ)
3735, 36addcld 11174 . . . . . . 7 ((𝜑𝑥 ∈ ℕ0) → (𝐶 + 1) ∈ ℂ)
3814nn0cnd 12475 . . . . . . . 8 ((𝜑𝑥 ∈ ℕ0) → 𝑥 ∈ ℂ)
3938, 36addcld 11174 . . . . . . 7 ((𝜑𝑥 ∈ ℕ0) → (𝑥 + 1) ∈ ℂ)
40 nn0p1nn 12452 . . . . . . . . 9 (𝑥 ∈ ℕ0 → (𝑥 + 1) ∈ ℕ)
4140nnne0d 12203 . . . . . . . 8 (𝑥 ∈ ℕ0 → (𝑥 + 1) ≠ 0)
4241adantl 482 . . . . . . 7 ((𝜑𝑥 ∈ ℕ0) → (𝑥 + 1) ≠ 0)
4337, 39, 42divcld 11931 . . . . . 6 ((𝜑𝑥 ∈ ℕ0) → ((𝐶 + 1) / (𝑥 + 1)) ∈ ℂ)
4416, 43eqeltrd 2838 . . . . 5 ((𝜑𝑥 ∈ ℕ0) → ((𝑘 ∈ ℕ0 ↦ ((𝐶 + 1) / (𝑘 + 1)))‘𝑥) ∈ ℂ)
45 eqidd 2737 . . . . . . 7 ((𝜑𝑥 ∈ ℕ0) → (𝑘 ∈ ℕ0 ↦ ((𝑘 + 1) / (𝑘 + 1))) = (𝑘 ∈ ℕ0 ↦ ((𝑘 + 1) / (𝑘 + 1))))
4612, 12oveq12d 7375 . . . . . . 7 (((𝜑𝑥 ∈ ℕ0) ∧ 𝑘 = 𝑥) → ((𝑘 + 1) / (𝑘 + 1)) = ((𝑥 + 1) / (𝑥 + 1)))
47 ovexd 7392 . . . . . . 7 ((𝜑𝑥 ∈ ℕ0) → ((𝑥 + 1) / (𝑥 + 1)) ∈ V)
4845, 46, 14, 47fvmptd 6955 . . . . . 6 ((𝜑𝑥 ∈ ℕ0) → ((𝑘 ∈ ℕ0 ↦ ((𝑘 + 1) / (𝑘 + 1)))‘𝑥) = ((𝑥 + 1) / (𝑥 + 1)))
4939, 39, 42divcld 11931 . . . . . 6 ((𝜑𝑥 ∈ ℕ0) → ((𝑥 + 1) / (𝑥 + 1)) ∈ ℂ)
5048, 49eqeltrd 2838 . . . . 5 ((𝜑𝑥 ∈ ℕ0) → ((𝑘 ∈ ℕ0 ↦ ((𝑘 + 1) / (𝑘 + 1)))‘𝑥) ∈ ℂ)
51 ovex 7390 . . . . . . . 8 ((𝐶 + 1) / (𝑘 + 1)) ∈ V
52 eqid 2736 . . . . . . . 8 (𝑘 ∈ ℕ0 ↦ ((𝐶 + 1) / (𝑘 + 1))) = (𝑘 ∈ ℕ0 ↦ ((𝐶 + 1) / (𝑘 + 1)))
5351, 52fnmpti 6644 . . . . . . 7 (𝑘 ∈ ℕ0 ↦ ((𝐶 + 1) / (𝑘 + 1))) Fn ℕ0
5453a1i 11 . . . . . 6 (𝜑 → (𝑘 ∈ ℕ0 ↦ ((𝐶 + 1) / (𝑘 + 1))) Fn ℕ0)
55 ovex 7390 . . . . . . . 8 ((𝑘 + 1) / (𝑘 + 1)) ∈ V
56 eqid 2736 . . . . . . . 8 (𝑘 ∈ ℕ0 ↦ ((𝑘 + 1) / (𝑘 + 1))) = (𝑘 ∈ ℕ0 ↦ ((𝑘 + 1) / (𝑘 + 1)))
5755, 56fnmpti 6644 . . . . . . 7 (𝑘 ∈ ℕ0 ↦ ((𝑘 + 1) / (𝑘 + 1))) Fn ℕ0
5857a1i 11 . . . . . 6 (𝜑 → (𝑘 ∈ ℕ0 ↦ ((𝑘 + 1) / (𝑘 + 1))) Fn ℕ0)
597a1i 11 . . . . . 6 (𝜑 → ℕ0 ∈ V)
60 inidm 4178 . . . . . 6 (ℕ0 ∩ ℕ0) = ℕ0
61 eqidd 2737 . . . . . 6 ((𝜑𝑥 ∈ ℕ0) → ((𝑘 ∈ ℕ0 ↦ ((𝐶 + 1) / (𝑘 + 1)))‘𝑥) = ((𝑘 ∈ ℕ0 ↦ ((𝐶 + 1) / (𝑘 + 1)))‘𝑥))
62 eqidd 2737 . . . . . 6 ((𝜑𝑥 ∈ ℕ0) → ((𝑘 ∈ ℕ0 ↦ ((𝑘 + 1) / (𝑘 + 1)))‘𝑥) = ((𝑘 ∈ ℕ0 ↦ ((𝑘 + 1) / (𝑘 + 1)))‘𝑥))
6354, 58, 59, 59, 60, 61, 62ofval 7628 . . . . 5 ((𝜑𝑥 ∈ ℕ0) → (((𝑘 ∈ ℕ0 ↦ ((𝐶 + 1) / (𝑘 + 1))) ∘f − (𝑘 ∈ ℕ0 ↦ ((𝑘 + 1) / (𝑘 + 1))))‘𝑥) = (((𝑘 ∈ ℕ0 ↦ ((𝐶 + 1) / (𝑘 + 1)))‘𝑥) − ((𝑘 ∈ ℕ0 ↦ ((𝑘 + 1) / (𝑘 + 1)))‘𝑥)))
641, 2, 17, 18, 34, 44, 50, 63climsub 15516 . . . 4 (𝜑 → ((𝑘 ∈ ℕ0 ↦ ((𝐶 + 1) / (𝑘 + 1))) ∘f − (𝑘 ∈ ℕ0 ↦ ((𝑘 + 1) / (𝑘 + 1)))) ⇝ (0 − 1))
65 ovexd 7392 . . . . . 6 ((𝜑𝑘 ∈ ℕ0) → ((𝐶 + 1) / (𝑘 + 1)) ∈ V)
66 ovexd 7392 . . . . . 6 ((𝜑𝑘 ∈ ℕ0) → ((𝑘 + 1) / (𝑘 + 1)) ∈ V)
67 eqidd 2737 . . . . . 6 (𝜑 → (𝑘 ∈ ℕ0 ↦ ((𝐶 + 1) / (𝑘 + 1))) = (𝑘 ∈ ℕ0 ↦ ((𝐶 + 1) / (𝑘 + 1))))
68 eqidd 2737 . . . . . 6 (𝜑 → (𝑘 ∈ ℕ0 ↦ ((𝑘 + 1) / (𝑘 + 1))) = (𝑘 ∈ ℕ0 ↦ ((𝑘 + 1) / (𝑘 + 1))))
6959, 65, 66, 67, 68offval2 7637 . . . . 5 (𝜑 → ((𝑘 ∈ ℕ0 ↦ ((𝐶 + 1) / (𝑘 + 1))) ∘f − (𝑘 ∈ ℕ0 ↦ ((𝑘 + 1) / (𝑘 + 1)))) = (𝑘 ∈ ℕ0 ↦ (((𝐶 + 1) / (𝑘 + 1)) − ((𝑘 + 1) / (𝑘 + 1)))))
705adantr 481 . . . . . . . 8 ((𝜑𝑘 ∈ ℕ0) → (𝐶 + 1) ∈ ℂ)
7121adantl 482 . . . . . . . 8 ((𝜑𝑘 ∈ ℕ0) → (𝑘 + 1) ∈ ℂ)
7223adantl 482 . . . . . . . 8 ((𝜑𝑘 ∈ ℕ0) → (𝑘 + 1) ≠ 0)
7370, 71, 71, 72divsubdird 11970 . . . . . . 7 ((𝜑𝑘 ∈ ℕ0) → (((𝐶 + 1) − (𝑘 + 1)) / (𝑘 + 1)) = (((𝐶 + 1) / (𝑘 + 1)) − ((𝑘 + 1) / (𝑘 + 1))))
743adantr 481 . . . . . . . . 9 ((𝜑𝑘 ∈ ℕ0) → 𝐶 ∈ ℂ)
7519adantl 482 . . . . . . . . 9 ((𝜑𝑘 ∈ ℕ0) → 𝑘 ∈ ℂ)
76 1cnd 11150 . . . . . . . . 9 ((𝜑𝑘 ∈ ℕ0) → 1 ∈ ℂ)
7774, 75, 76pnpcan2d 11550 . . . . . . . 8 ((𝜑𝑘 ∈ ℕ0) → ((𝐶 + 1) − (𝑘 + 1)) = (𝐶𝑘))
7877oveq1d 7372 . . . . . . 7 ((𝜑𝑘 ∈ ℕ0) → (((𝐶 + 1) − (𝑘 + 1)) / (𝑘 + 1)) = ((𝐶𝑘) / (𝑘 + 1)))
7973, 78eqtr3d 2778 . . . . . 6 ((𝜑𝑘 ∈ ℕ0) → (((𝐶 + 1) / (𝑘 + 1)) − ((𝑘 + 1) / (𝑘 + 1))) = ((𝐶𝑘) / (𝑘 + 1)))
8079mpteq2dva 5205 . . . . 5 (𝜑 → (𝑘 ∈ ℕ0 ↦ (((𝐶 + 1) / (𝑘 + 1)) − ((𝑘 + 1) / (𝑘 + 1)))) = (𝑘 ∈ ℕ0 ↦ ((𝐶𝑘) / (𝑘 + 1))))
8169, 80eqtrd 2776 . . . 4 (𝜑 → ((𝑘 ∈ ℕ0 ↦ ((𝐶 + 1) / (𝑘 + 1))) ∘f − (𝑘 ∈ ℕ0 ↦ ((𝑘 + 1) / (𝑘 + 1)))) = (𝑘 ∈ ℕ0 ↦ ((𝐶𝑘) / (𝑘 + 1))))
82 df-neg 11388 . . . . . 6 -1 = (0 − 1)
8382eqcomi 2745 . . . . 5 (0 − 1) = -1
8483a1i 11 . . . 4 (𝜑 → (0 − 1) = -1)
8564, 81, 843brtr3d 5136 . . 3 (𝜑 → (𝑘 ∈ ℕ0 ↦ ((𝐶𝑘) / (𝑘 + 1))) ⇝ -1)
867mptex 7173 . . . 4 (𝑘 ∈ ℕ0 ↦ (abs‘((𝐶𝑘) / (𝑘 + 1)))) ∈ V
8786a1i 11 . . 3 (𝜑 → (𝑘 ∈ ℕ0 ↦ (abs‘((𝐶𝑘) / (𝑘 + 1)))) ∈ V)
88 eqidd 2737 . . . . 5 ((𝜑𝑥 ∈ ℕ0) → (𝑘 ∈ ℕ0 ↦ ((𝐶𝑘) / (𝑘 + 1))) = (𝑘 ∈ ℕ0 ↦ ((𝐶𝑘) / (𝑘 + 1))))
89 oveq2 7365 . . . . . . 7 (𝑘 = 𝑥 → (𝐶𝑘) = (𝐶𝑥))
90 oveq1 7364 . . . . . . 7 (𝑘 = 𝑥 → (𝑘 + 1) = (𝑥 + 1))
9189, 90oveq12d 7375 . . . . . 6 (𝑘 = 𝑥 → ((𝐶𝑘) / (𝑘 + 1)) = ((𝐶𝑥) / (𝑥 + 1)))
9291adantl 482 . . . . 5 (((𝜑𝑥 ∈ ℕ0) ∧ 𝑘 = 𝑥) → ((𝐶𝑘) / (𝑘 + 1)) = ((𝐶𝑥) / (𝑥 + 1)))
93 ovexd 7392 . . . . 5 ((𝜑𝑥 ∈ ℕ0) → ((𝐶𝑥) / (𝑥 + 1)) ∈ V)
9488, 92, 14, 93fvmptd 6955 . . . 4 ((𝜑𝑥 ∈ ℕ0) → ((𝑘 ∈ ℕ0 ↦ ((𝐶𝑘) / (𝑘 + 1)))‘𝑥) = ((𝐶𝑥) / (𝑥 + 1)))
9535, 38subcld 11512 . . . . 5 ((𝜑𝑥 ∈ ℕ0) → (𝐶𝑥) ∈ ℂ)
9695, 39, 42divcld 11931 . . . 4 ((𝜑𝑥 ∈ ℕ0) → ((𝐶𝑥) / (𝑥 + 1)) ∈ ℂ)
9794, 96eqeltrd 2838 . . 3 ((𝜑𝑥 ∈ ℕ0) → ((𝑘 ∈ ℕ0 ↦ ((𝐶𝑘) / (𝑘 + 1)))‘𝑥) ∈ ℂ)
98 eqidd 2737 . . . . 5 ((𝜑𝑥 ∈ ℕ0) → (𝑘 ∈ ℕ0 ↦ (abs‘((𝐶𝑘) / (𝑘 + 1)))) = (𝑘 ∈ ℕ0 ↦ (abs‘((𝐶𝑘) / (𝑘 + 1)))))
9991fveq2d 6846 . . . . . 6 (𝑘 = 𝑥 → (abs‘((𝐶𝑘) / (𝑘 + 1))) = (abs‘((𝐶𝑥) / (𝑥 + 1))))
10099adantl 482 . . . . 5 (((𝜑𝑥 ∈ ℕ0) ∧ 𝑘 = 𝑥) → (abs‘((𝐶𝑘) / (𝑘 + 1))) = (abs‘((𝐶𝑥) / (𝑥 + 1))))
101 fvexd 6857 . . . . 5 ((𝜑𝑥 ∈ ℕ0) → (abs‘((𝐶𝑥) / (𝑥 + 1))) ∈ V)
10298, 100, 14, 101fvmptd 6955 . . . 4 ((𝜑𝑥 ∈ ℕ0) → ((𝑘 ∈ ℕ0 ↦ (abs‘((𝐶𝑘) / (𝑘 + 1))))‘𝑥) = (abs‘((𝐶𝑥) / (𝑥 + 1))))
10394fveq2d 6846 . . . 4 ((𝜑𝑥 ∈ ℕ0) → (abs‘((𝑘 ∈ ℕ0 ↦ ((𝐶𝑘) / (𝑘 + 1)))‘𝑥)) = (abs‘((𝐶𝑥) / (𝑥 + 1))))
104102, 103eqtr4d 2779 . . 3 ((𝜑𝑥 ∈ ℕ0) → ((𝑘 ∈ ℕ0 ↦ (abs‘((𝐶𝑘) / (𝑘 + 1))))‘𝑥) = (abs‘((𝑘 ∈ ℕ0 ↦ ((𝐶𝑘) / (𝑘 + 1)))‘𝑥)))
1051, 85, 87, 2, 97, 104climabs 15486 . 2 (𝜑 → (𝑘 ∈ ℕ0 ↦ (abs‘((𝐶𝑘) / (𝑘 + 1)))) ⇝ (abs‘-1))
10628absnegi 15285 . . 3 (abs‘-1) = (abs‘1)
107 abs1 15182 . . 3 (abs‘1) = 1
108106, 107eqtri 2764 . 2 (abs‘-1) = 1
109105, 108breqtrdi 5146 1 (𝜑 → (𝑘 ∈ ℕ0 ↦ (abs‘((𝐶𝑘) / (𝑘 + 1)))) ⇝ 1)
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  wi 4  wa 396   = wceq 1541  wcel 2106  wne 2943  Vcvv 3445  {csn 4586   class class class wbr 5105  cmpt 5188   × cxp 5631   Fn wfn 6491  cfv 6496  (class class class)co 7357  f cof 7615  cc 11049  cr 11050  0cc0 11051  1c1 11052   + caddc 11054   < clt 11189  cmin 11385  -cneg 11386   / cdiv 11812  0cn0 12413  cz 12499  cuz 12763  +crp 12915  abscabs 15119  cli 15366
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1797  ax-4 1811  ax-5 1913  ax-6 1971  ax-7 2011  ax-8 2108  ax-9 2116  ax-10 2137  ax-11 2154  ax-12 2171  ax-ext 2707  ax-rep 5242  ax-sep 5256  ax-nul 5263  ax-pow 5320  ax-pr 5384  ax-un 7672  ax-cnex 11107  ax-resscn 11108  ax-1cn 11109  ax-icn 11110  ax-addcl 11111  ax-addrcl 11112  ax-mulcl 11113  ax-mulrcl 11114  ax-mulcom 11115  ax-addass 11116  ax-mulass 11117  ax-distr 11118  ax-i2m1 11119  ax-1ne0 11120  ax-1rid 11121  ax-rnegex 11122  ax-rrecex 11123  ax-cnre 11124  ax-pre-lttri 11125  ax-pre-lttrn 11126  ax-pre-ltadd 11127  ax-pre-mulgt0 11128  ax-pre-sup 11129
This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 397  df-or 846  df-3or 1088  df-3an 1089  df-tru 1544  df-fal 1554  df-ex 1782  df-nf 1786  df-sb 2068  df-mo 2538  df-eu 2567  df-clab 2714  df-cleq 2728  df-clel 2814  df-nfc 2889  df-ne 2944  df-nel 3050  df-ral 3065  df-rex 3074  df-rmo 3353  df-reu 3354  df-rab 3408  df-v 3447  df-sbc 3740  df-csb 3856  df-dif 3913  df-un 3915  df-in 3917  df-ss 3927  df-pss 3929  df-nul 4283  df-if 4487  df-pw 4562  df-sn 4587  df-pr 4589  df-op 4593  df-uni 4866  df-iun 4956  df-br 5106  df-opab 5168  df-mpt 5189  df-tr 5223  df-id 5531  df-eprel 5537  df-po 5545  df-so 5546  df-fr 5588  df-we 5590  df-xp 5639  df-rel 5640  df-cnv 5641  df-co 5642  df-dm 5643  df-rn 5644  df-res 5645  df-ima 5646  df-pred 6253  df-ord 6320  df-on 6321  df-lim 6322  df-suc 6323  df-iota 6448  df-fun 6498  df-fn 6499  df-f 6500  df-f1 6501  df-fo 6502  df-f1o 6503  df-fv 6504  df-riota 7313  df-ov 7360  df-oprab 7361  df-mpo 7362  df-of 7617  df-om 7803  df-2nd 7922  df-frecs 8212  df-wrecs 8243  df-recs 8317  df-rdg 8356  df-er 8648  df-pm 8768  df-en 8884  df-dom 8885  df-sdom 8886  df-sup 9378  df-inf 9379  df-pnf 11191  df-mnf 11192  df-xr 11193  df-ltxr 11194  df-le 11195  df-sub 11387  df-neg 11388  df-div 11813  df-nn 12154  df-2 12216  df-3 12217  df-n0 12414  df-z 12500  df-uz 12764  df-rp 12916  df-fl 13697  df-seq 13907  df-exp 13968  df-shft 14952  df-cj 14984  df-re 14985  df-im 14986  df-sqrt 15120  df-abs 15121  df-clim 15370  df-rlim 15371
This theorem is referenced by:  binomcxplemfrat  42621
  Copyright terms: Public domain W3C validator