Theorem binomcxplemrat 45474

Description: Lemma for binomcxp 45481. As 𝑘 increases, this ratio's absolute value converges to one. Part of equation "Since continuity of the absolute value..." in the Wikibooks proof (proven for the inverse ratio, which we later show is no problem). (Contributed by Steve Rodriguez, 22-Apr-2020.)

Hypotheses

Ref	Expression
binomcxp.a	⊢ (𝜑 → 𝐴 ∈ ℝ+)
binomcxp.b	⊢ (𝜑 → 𝐵 ∈ ℝ)
binomcxp.lt	⊢ (𝜑 → (abs‘𝐵) < (abs‘𝐴))
binomcxp.c	⊢ (𝜑 → 𝐶 ∈ ℂ)

Assertion

Ref	Expression
binomcxplemrat	⊢ (𝜑 → (𝑘 ∈ ℕ0 ↦ (abs‘((𝐶 − 𝑘) / (𝑘 + 1)))) ⇝ 1)

Distinct variable groups:   𝜑,𝑘   𝐶,𝑘

Allowed substitution hints:   𝐴(𝑘)   𝐵(𝑘)

Proof of Theorem binomcxplemrat

Dummy variable 𝑥 is distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		nn0uz 13013	. . 3 ⊢ ℕ0 = (ℤ≥‘0)
2		0zd 12715	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → 0 ∈ ℤ)
3		binomcxp.c	. . . . . . 7 ⊢ (𝜑 → 𝐶 ∈ ℂ)
4		peano2cn 11492	. . . . . . 7 ⊢ (𝐶 ∈ ℂ → (𝐶 + 1) ∈ ℂ)
5	3, 4	syl 18	. . . . . 6 ⊢ (𝜑 → (𝐶 + 1) ∈ ℂ)
6		1zzd 12737	. . . . . 6 ⊢ (𝜑 → 1 ∈ ℤ)
7		nn0ex 12622	. . . . . . . 8 ⊢ ℕ0 ∈ V
8	7	mptex 7236	. . . . . . 7 ⊢ (𝑘 ∈ ℕ0 ↦ ((𝐶 + 1) / (𝑘 + 1))) ∈ V
9	8	a1i 11	. . . . . 6 ⊢ (𝜑 → (𝑘 ∈ ℕ0 ↦ ((𝐶 + 1) / (𝑘 + 1))) ∈ V)
10		eqidd 2764	. . . . . . 7 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ ℕ0) → (𝑘 ∈ ℕ0 ↦ ((𝐶 + 1) / (𝑘 + 1))) = (𝑘 ∈ ℕ0 ↦ ((𝐶 + 1) / (𝑘 + 1))))
11		simpr 490	. . . . . . . . 9 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ ℕ0) ∧ 𝑘 = 𝑥) → 𝑘 = 𝑥)
12	11	oveq1d 7442	. . . . . . . 8 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ ℕ0) ∧ 𝑘 = 𝑥) → (𝑘 + 1) = (𝑥 + 1))
13	12	oveq2d 7443	. . . . . . 7 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ ℕ0) ∧ 𝑘 = 𝑥) → ((𝐶 + 1) / (𝑘 + 1)) = ((𝐶 + 1) / (𝑥 + 1)))
14		simpr 490	. . . . . . 7 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ ℕ0) → 𝑥 ∈ ℕ0)
15		ovexd 7462	. . . . . . 7 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ ℕ0) → ((𝐶 + 1) / (𝑥 + 1)) ∈ V)
16	10, 13, 14, 15	fvmptd 7009	. . . . . 6 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ ℕ0) → ((𝑘 ∈ ℕ0 ↦ ((𝐶 + 1) / (𝑘 + 1)))‘𝑥) = ((𝐶 + 1) / (𝑥 + 1)))
17	1, 2, 5, 6, 9, 16	divcnvshft 16036	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → (𝑘 ∈ ℕ0 ↦ ((𝐶 + 1) / (𝑘 + 1))) ⇝ 0)
18		ovexd 7462	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → ((𝑘 ∈ ℕ0 ↦ ((𝐶 + 1) / (𝑘 + 1))) ∘f − (𝑘 ∈ ℕ0 ↦ ((𝑘 + 1) / (𝑘 + 1)))) ∈ V)
19		nn0cn 12626	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (𝑘 ∈ ℕ0 → 𝑘 ∈ ℂ)
20		1cnd 11312	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (𝑘 ∈ ℕ0 → 1 ∈ ℂ)
21	19, 20	addcld 11338	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝑘 ∈ ℕ0 → (𝑘 + 1) ∈ ℂ)
22		nn0p1nn 12655	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (𝑘 ∈ ℕ0 → (𝑘 + 1) ∈ ℕ)
23	22	nnne0d 12398	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝑘 ∈ ℕ0 → (𝑘 + 1) ≠ 0)
24	21, 23	dividd 12101	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝑘 ∈ ℕ0 → ((𝑘 + 1) / (𝑘 + 1)) = 1)
25	24	mpteq2ia 5202	. . . . . . . 8 ⊢ (𝑘 ∈ ℕ0 ↦ ((𝑘 + 1) / (𝑘 + 1))) = (𝑘 ∈ ℕ0 ↦ 1)
26		fconstmpt 5716	. . . . . . . 8 ⊢ (ℕ0 × {1}) = (𝑘 ∈ ℕ0 ↦ 1)
27	25, 26	eqtr4i 2789	. . . . . . 7 ⊢ (𝑘 ∈ ℕ0 ↦ ((𝑘 + 1) / (𝑘 + 1))) = (ℕ0 × {1})
28		ax-1cn 11268	. . . . . . . 8 ⊢ 1 ∈ ℂ
29		0z 12714	. . . . . . . 8 ⊢ 0 ∈ ℤ
30	1	eqimss2i 3973	. . . . . . . . 9 ⊢ (ℤ≥‘0) ⊆ ℕ0
31	30, 7	climconst2 15727	. . . . . . . 8 ⊢ ((1 ∈ ℂ ∧ 0 ∈ ℤ) → (ℕ0 × {1}) ⇝ 1)
32	28, 29, 31	mp2an 705	. . . . . . 7 ⊢ (ℕ0 × {1}) ⇝ 1
33	27, 32	eqbrtri 5128	. . . . . 6 ⊢ (𝑘 ∈ ℕ0 ↦ ((𝑘 + 1) / (𝑘 + 1))) ⇝ 1
34	33	a1i 11	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → (𝑘 ∈ ℕ0 ↦ ((𝑘 + 1) / (𝑘 + 1))) ⇝ 1)
35	3	adantr 486	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ ℕ0) → 𝐶 ∈ ℂ)
36		1cnd 11312	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ ℕ0) → 1 ∈ ℂ)
37	35, 36	addcld 11338	. . . . . . 7 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ ℕ0) → (𝐶 + 1) ∈ ℂ)
38	14	nn0cnd 12679	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ ℕ0) → 𝑥 ∈ ℂ)
39	38, 36	addcld 11338	. . . . . . 7 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ ℕ0) → (𝑥 + 1) ∈ ℂ)
40		nn0p1nn 12655	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝑥 ∈ ℕ0 → (𝑥 + 1) ∈ ℕ)
41	40	nnne0d 12398	. . . . . . . 8 ⊢ (𝑥 ∈ ℕ0 → (𝑥 + 1) ≠ 0)
42	41	adantl 487	. . . . . . 7 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ ℕ0) → (𝑥 + 1) ≠ 0)
43	37, 39, 42	divcld 12103	. . . . . 6 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ ℕ0) → ((𝐶 + 1) / (𝑥 + 1)) ∈ ℂ)
44	16, 43	eqeltrd 2863	. . . . 5 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ ℕ0) → ((𝑘 ∈ ℕ0 ↦ ((𝐶 + 1) / (𝑘 + 1)))‘𝑥) ∈ ℂ)
45		eqidd 2764	. . . . . . 7 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ ℕ0) → (𝑘 ∈ ℕ0 ↦ ((𝑘 + 1) / (𝑘 + 1))) = (𝑘 ∈ ℕ0 ↦ ((𝑘 + 1) / (𝑘 + 1))))
46	12, 12	oveq12d 7445	. . . . . . 7 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ ℕ0) ∧ 𝑘 = 𝑥) → ((𝑘 + 1) / (𝑘 + 1)) = ((𝑥 + 1) / (𝑥 + 1)))
47		ovexd 7462	. . . . . . 7 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ ℕ0) → ((𝑥 + 1) / (𝑥 + 1)) ∈ V)
48	45, 46, 14, 47	fvmptd 7009	. . . . . 6 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ ℕ0) → ((𝑘 ∈ ℕ0 ↦ ((𝑘 + 1) / (𝑘 + 1)))‘𝑥) = ((𝑥 + 1) / (𝑥 + 1)))
49	39, 39, 42	divcld 12103	. . . . . 6 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ ℕ0) → ((𝑥 + 1) / (𝑥 + 1)) ∈ ℂ)
50	48, 49	eqeltrd 2863	. . . . 5 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ ℕ0) → ((𝑘 ∈ ℕ0 ↦ ((𝑘 + 1) / (𝑘 + 1)))‘𝑥) ∈ ℂ)
51		ovex 7460	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝐶 + 1) / (𝑘 + 1)) ∈ V
52		eqid 2763	. . . . . . . 8 ⊢ (𝑘 ∈ ℕ0 ↦ ((𝐶 + 1) / (𝑘 + 1))) = (𝑘 ∈ ℕ0 ↦ ((𝐶 + 1) / (𝑘 + 1)))
53	51, 52	fnmpti 6690	. . . . . . 7 ⊢ (𝑘 ∈ ℕ0 ↦ ((𝐶 + 1) / (𝑘 + 1))) Fn ℕ0
54	53	a1i 11	. . . . . 6 ⊢ (𝜑 → (𝑘 ∈ ℕ0 ↦ ((𝐶 + 1) / (𝑘 + 1))) Fn ℕ0)
55		ovex 7460	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝑘 + 1) / (𝑘 + 1)) ∈ V
56		eqid 2763	. . . . . . . 8 ⊢ (𝑘 ∈ ℕ0 ↦ ((𝑘 + 1) / (𝑘 + 1))) = (𝑘 ∈ ℕ0 ↦ ((𝑘 + 1) / (𝑘 + 1)))
57	55, 56	fnmpti 6690	. . . . . . 7 ⊢ (𝑘 ∈ ℕ0 ↦ ((𝑘 + 1) / (𝑘 + 1))) Fn ℕ0
58	57	a1i 11	. . . . . 6 ⊢ (𝜑 → (𝑘 ∈ ℕ0 ↦ ((𝑘 + 1) / (𝑘 + 1))) Fn ℕ0)
59	7	a1i 11	. . . . . 6 ⊢ (𝜑 → ℕ0 ∈ V)
60		inidm 4125	. . . . . 6 ⊢ (ℕ0 ∩ ℕ0) = ℕ0
61		eqidd 2764	. . . . . 6 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ ℕ0) → ((𝑘 ∈ ℕ0 ↦ ((𝐶 + 1) / (𝑘 + 1)))‘𝑥) = ((𝑘 ∈ ℕ0 ↦ ((𝐶 + 1) / (𝑘 + 1)))‘𝑥))
62		eqidd 2764	. . . . . 6 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ ℕ0) → ((𝑘 ∈ ℕ0 ↦ ((𝑘 + 1) / (𝑘 + 1)))‘𝑥) = ((𝑘 ∈ ℕ0 ↦ ((𝑘 + 1) / (𝑘 + 1)))‘𝑥))
63	54, 58, 59, 59, 60, 61, 62	ofval 7711	. . . . 5 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ ℕ0) → (((𝑘 ∈ ℕ0 ↦ ((𝐶 + 1) / (𝑘 + 1))) ∘f − (𝑘 ∈ ℕ0 ↦ ((𝑘 + 1) / (𝑘 + 1))))‘𝑥) = (((𝑘 ∈ ℕ0 ↦ ((𝐶 + 1) / (𝑘 + 1)))‘𝑥) − ((𝑘 ∈ ℕ0 ↦ ((𝑘 + 1) / (𝑘 + 1)))‘𝑥)))
64	1, 2, 17, 18, 34, 44, 50, 63	climsub 15813	. . . 4 ⊢ (𝜑 → ((𝑘 ∈ ℕ0 ↦ ((𝐶 + 1) / (𝑘 + 1))) ∘f − (𝑘 ∈ ℕ0 ↦ ((𝑘 + 1) / (𝑘 + 1)))) ⇝ (0 − 1))
65		ovexd 7462	. . . . . 6 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑘 ∈ ℕ0) → ((𝐶 + 1) / (𝑘 + 1)) ∈ V)
66		ovexd 7462	. . . . . 6 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑘 ∈ ℕ0) → ((𝑘 + 1) / (𝑘 + 1)) ∈ V)
67		eqidd 2764	. . . . . 6 ⊢ (𝜑 → (𝑘 ∈ ℕ0 ↦ ((𝐶 + 1) / (𝑘 + 1))) = (𝑘 ∈ ℕ0 ↦ ((𝐶 + 1) / (𝑘 + 1))))
68		eqidd 2764	. . . . . 6 ⊢ (𝜑 → (𝑘 ∈ ℕ0 ↦ ((𝑘 + 1) / (𝑘 + 1))) = (𝑘 ∈ ℕ0 ↦ ((𝑘 + 1) / (𝑘 + 1))))
69	59, 65, 66, 67, 68	offval2 7720	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → ((𝑘 ∈ ℕ0 ↦ ((𝐶 + 1) / (𝑘 + 1))) ∘f − (𝑘 ∈ ℕ0 ↦ ((𝑘 + 1) / (𝑘 + 1)))) = (𝑘 ∈ ℕ0 ↦ (((𝐶 + 1) / (𝑘 + 1)) − ((𝑘 + 1) / (𝑘 + 1)))))
70	5	adantr 486	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑘 ∈ ℕ0) → (𝐶 + 1) ∈ ℂ)
71	21	adantl 487	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑘 ∈ ℕ0) → (𝑘 + 1) ∈ ℂ)
72	23	adantl 487	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑘 ∈ ℕ0) → (𝑘 + 1) ≠ 0)
73	70, 71, 71, 72	divsubdird 12142	. . . . . . 7 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑘 ∈ ℕ0) → (((𝐶 + 1) − (𝑘 + 1)) / (𝑘 + 1)) = (((𝐶 + 1) / (𝑘 + 1)) − ((𝑘 + 1) / (𝑘 + 1))))
74	3	adantr 486	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑘 ∈ ℕ0) → 𝐶 ∈ ℂ)
75	19	adantl 487	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑘 ∈ ℕ0) → 𝑘 ∈ ℂ)
76		1cnd 11312	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑘 ∈ ℕ0) → 1 ∈ ℂ)
77	74, 75, 76	pnpcan2d 11717	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑘 ∈ ℕ0) → ((𝐶 + 1) − (𝑘 + 1)) = (𝐶 − 𝑘))
78	77	oveq1d 7442	. . . . . . 7 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑘 ∈ ℕ0) → (((𝐶 + 1) − (𝑘 + 1)) / (𝑘 + 1)) = ((𝐶 − 𝑘) / (𝑘 + 1)))
79	73, 78	eqtr3d 2800	. . . . . 6 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑘 ∈ ℕ0) → (((𝐶 + 1) / (𝑘 + 1)) − ((𝑘 + 1) / (𝑘 + 1))) = ((𝐶 − 𝑘) / (𝑘 + 1)))
80	79	mpteq2dva 5200	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → (𝑘 ∈ ℕ0 ↦ (((𝐶 + 1) / (𝑘 + 1)) − ((𝑘 + 1) / (𝑘 + 1)))) = (𝑘 ∈ ℕ0 ↦ ((𝐶 − 𝑘) / (𝑘 + 1))))
81	69, 80	eqtrd 2798	. . . 4 ⊢ (𝜑 → ((𝑘 ∈ ℕ0 ↦ ((𝐶 + 1) / (𝑘 + 1))) ∘f − (𝑘 ∈ ℕ0 ↦ ((𝑘 + 1) / (𝑘 + 1)))) = (𝑘 ∈ ℕ0 ↦ ((𝐶 − 𝑘) / (𝑘 + 1))))
82		df-neg 11554	. . . . . 6 ⊢ -1 = (0 − 1)
83	82	eqcomi 2772	. . . . 5 ⊢ (0 − 1) = -1
84	83	a1i 11	. . . 4 ⊢ (𝜑 → (0 − 1) = -1)
85	64, 81, 84	3brtr3d 5138	. . 3 ⊢ (𝜑 → (𝑘 ∈ ℕ0 ↦ ((𝐶 − 𝑘) / (𝑘 + 1))) ⇝ -1)
86	7	mptex 7236	. . . 4 ⊢ (𝑘 ∈ ℕ0 ↦ (abs‘((𝐶 − 𝑘) / (𝑘 + 1)))) ∈ V
87	86	a1i 11	. . 3 ⊢ (𝜑 → (𝑘 ∈ ℕ0 ↦ (abs‘((𝐶 − 𝑘) / (𝑘 + 1)))) ∈ V)
88		eqidd 2764	. . . . 5 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ ℕ0) → (𝑘 ∈ ℕ0 ↦ ((𝐶 − 𝑘) / (𝑘 + 1))) = (𝑘 ∈ ℕ0 ↦ ((𝐶 − 𝑘) / (𝑘 + 1))))
89		oveq2 7435	. . . . . . 7 ⊢ (𝑘 = 𝑥 → (𝐶 − 𝑘) = (𝐶 − 𝑥))
90		oveq1 7434	. . . . . . 7 ⊢ (𝑘 = 𝑥 → (𝑘 + 1) = (𝑥 + 1))
91	89, 90	oveq12d 7445	. . . . . 6 ⊢ (𝑘 = 𝑥 → ((𝐶 − 𝑘) / (𝑘 + 1)) = ((𝐶 − 𝑥) / (𝑥 + 1)))
92	91	adantl 487	. . . . 5 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ ℕ0) ∧ 𝑘 = 𝑥) → ((𝐶 − 𝑘) / (𝑘 + 1)) = ((𝐶 − 𝑥) / (𝑥 + 1)))
93		ovexd 7462	. . . . 5 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ ℕ0) → ((𝐶 − 𝑥) / (𝑥 + 1)) ∈ V)
94	88, 92, 14, 93	fvmptd 7009	. . . 4 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ ℕ0) → ((𝑘 ∈ ℕ0 ↦ ((𝐶 − 𝑘) / (𝑘 + 1)))‘𝑥) = ((𝐶 − 𝑥) / (𝑥 + 1)))
95	35, 38	subcld 11679	. . . . 5 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ ℕ0) → (𝐶 − 𝑥) ∈ ℂ)
96	95, 39, 42	divcld 12103	. . . 4 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ ℕ0) → ((𝐶 − 𝑥) / (𝑥 + 1)) ∈ ℂ)
97	94, 96	eqeltrd 2863	. . 3 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ ℕ0) → ((𝑘 ∈ ℕ0 ↦ ((𝐶 − 𝑘) / (𝑘 + 1)))‘𝑥) ∈ ℂ)
98		eqidd 2764	. . . . 5 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ ℕ0) → (𝑘 ∈ ℕ0 ↦ (abs‘((𝐶 − 𝑘) / (𝑘 + 1)))) = (𝑘 ∈ ℕ0 ↦ (abs‘((𝐶 − 𝑘) / (𝑘 + 1)))))
99	91	fveq2d 6897	. . . . . 6 ⊢ (𝑘 = 𝑥 → (abs‘((𝐶 − 𝑘) / (𝑘 + 1))) = (abs‘((𝐶 − 𝑥) / (𝑥 + 1))))
100	99	adantl 487	. . . . 5 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ ℕ0) ∧ 𝑘 = 𝑥) → (abs‘((𝐶 − 𝑘) / (𝑘 + 1))) = (abs‘((𝐶 − 𝑥) / (𝑥 + 1))))
101		fvexd 6908	. . . . 5 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ ℕ0) → (abs‘((𝐶 − 𝑥) / (𝑥 + 1))) ∈ V)
102	98, 100, 14, 101	fvmptd 7009	. . . 4 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ ℕ0) → ((𝑘 ∈ ℕ0 ↦ (abs‘((𝐶 − 𝑘) / (𝑘 + 1))))‘𝑥) = (abs‘((𝐶 − 𝑥) / (𝑥 + 1))))
103	94	fveq2d 6897	. . . 4 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ ℕ0) → (abs‘((𝑘 ∈ ℕ0 ↦ ((𝐶 − 𝑘) / (𝑘 + 1)))‘𝑥)) = (abs‘((𝐶 − 𝑥) / (𝑥 + 1))))
104	102, 103	eqtr4d 2801	. . 3 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ ℕ0) → ((𝑘 ∈ ℕ0 ↦ (abs‘((𝐶 − 𝑘) / (𝑘 + 1))))‘𝑥) = (abs‘((𝑘 ∈ ℕ0 ↦ ((𝐶 − 𝑘) / (𝑘 + 1)))‘𝑥)))
105	1, 85, 87, 2, 97, 104	climabs 15783	. 2 ⊢ (𝜑 → (𝑘 ∈ ℕ0 ↦ (abs‘((𝐶 − 𝑘) / (𝑘 + 1)))) ⇝ (abs‘ -1))
106	28	absnegi 15580	. . 3 ⊢ (abs‘ -1) = (abs‘1)
107		abs1 15476	. . 3 ⊢ (abs‘1) = 1
108	106, 107	eqtri 2786	. 2 ⊢ (abs‘ -1) = 1
109	105, 108	breqtrdi 5148	1 ⊢ (𝜑 → (𝑘 ∈ ℕ0 ↦ (abs‘((𝐶 − 𝑘) / (𝑘 + 1)))) ⇝ 1)

This proof depends on syntax axioms:   → wi 4   ∧ wa 401   = wceq 1569   ∈ wcel 2146   ≠ wne 2958  Vcvv 3453  {csn 4587   class class class wbr 5105   ↦ cmpt 5188   × cxp 5652   Fn wfn 6541  ‘cfv 6546  (class class class)co 7427   ∘_f cof 7698  ℂcc 11208  ℝcr 11209  0cc0 11210  1c1 11211   + caddc 11213   < clt 11353   − cmin 11551   -cneg 11552   / cdiv 11983  ℕ₀cn0 12616  ℤcz 12703  ℤ_≥cuz 12975  ℝ⁺crp 13130  abscabs 15413   ⇝ cli 15663

This proof depends on axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1827  ax-4 1841  ax-5 1944  ax-6 2001  ax-7 2042  ax-8 2148  ax-9 2156  ax-10 2179  ax-11 2196  ax-12 2215  ax-ext 2735  ax-rep 5234  ax-sep 5251  ax-nul 5262  ax-pow 5330  ax-pr 5394  ax-un 7758  ax-cnex 11266  ax-resscn 11267  ax-1cn 11268  ax-icn 11269  ax-addcl 11270  ax-addrcl 11271  ax-mulcl 11272  ax-mulrcl 11273  ax-mulcom 11274  ax-addass 11275  ax-mulass 11276  ax-distr 11277  ax-i2m1 11278  ax-1ne0 11279  ax-1rid 11280  ax-rnegex 11281  ax-rrecex 11282  ax-cnre 11283  ax-pre-lttri 11284  ax-pre-lttrn 11285  ax-pre-ltadd 11286  ax-pre-mulgt0 11287  ax-pre-sup 11288

This proof depends on definitions:  df-bi 210  df-an 402  df-or 862  df-3or 1104  df-3an 1105  df-tru 1572  df-fal 1582  df-ex 1812  df-nf 1816  df-sb 2101  df-mo 2567  df-eu 2597  df-clab 2742  df-cleq 2755  df-clel 2838  df-nfc 2912  df-ne 2959  df-nel 3065  df-ral 3080  df-rex 3090  df-rmo 3368  df-reu 3369  df-rab 3416  df-v 3455  df-sbc 3742  df-csb 3851  df-ss 3900  df-pss 4016  df-dif 4049  df-in 4093  df-un 4153  df-nul 4281  df-if 4485  df-pw 4561  df-sn 4588  df-pr 4590  df-op 4838  df-uni 4870  df-iun 4955  df-br 5106  df-opab 5170  df-mpt 5189  df-tr 5215  df-id 5549  df-eprel 5554  df-po 5562  df-so 5563  df-fr 5607  df-we 5609  df-xp 5660  df-rel 5661  df-cnv 5662  df-co 5663  df-dm 5664  df-rn 5665  df-res 5666  df-ima 5667  df-pred 6310  df-ord 6371  df-on 6372  df-lim 6373  df-suc 6374  df-iota 6500  df-fun 6548  df-fn 6549  df-f 6550  df-f1 6551  df-fo 6552  df-f1o 6553  df-fv 6554  df-riota 7384  df-ov 7430  df-oprab 7431  df-mpo 7432  df-of 7700  df-om 7885  df-2nd 8009  df-frecs 8310  df-wrecs 8341  df-recs 8390  df-rdg 8429  df-er 8728  df-pm 8861  df-en 8985  df-dom 8986  df-sdom 8987  df-sup 9444  df-inf 9445  df-pnf 11355  df-mnf 11356  df-xr 11357  df-ltxr 11358  df-le 11359  df-sub 11553  df-neg 11554  df-div 11984  df-nn 12346  df-2 12415  df-3 12416  df-n0 12617  df-z 12704  df-uz 12976  df-rp 13131  df-fl 13942  df-seq 14155  df-exp 14215  df-shft 15232  df-cj 15278  df-re 15279  df-im 15280  df-sqrt 15414  df-abs 15415  df-clim 15667  df-rlim 15668

This theorem is used by:  binomcxplemfrat  45475