MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  predfz Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem predfz 13486
Description: Calculate the predecessor of an integer under a finite set of integers. (Contributed by Scott Fenton, 8-Aug-2013.) (Proof shortened by Mario Carneiro, 3-May-2015.)
Assertion
Ref Expression
predfz (𝐾 ∈ (𝑀...𝑁) → Pred( < , (𝑀...𝑁), 𝐾) = (𝑀...(𝐾 − 1)))

Proof of Theorem predfz
Dummy variable 𝑥 is distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 elfzelz 13361 . . . . . 6 (𝑥 ∈ (𝑀...𝑁) → 𝑥 ∈ ℤ)
2 elfzelz 13361 . . . . . 6 (𝐾 ∈ (𝑀...𝑁) → 𝐾 ∈ ℤ)
3 zltlem1 12478 . . . . . 6 ((𝑥 ∈ ℤ ∧ 𝐾 ∈ ℤ) → (𝑥 < 𝐾𝑥 ≤ (𝐾 − 1)))
41, 2, 3syl2anr 598 . . . . 5 ((𝐾 ∈ (𝑀...𝑁) ∧ 𝑥 ∈ (𝑀...𝑁)) → (𝑥 < 𝐾𝑥 ≤ (𝐾 − 1)))
5 elfzuz 13357 . . . . . 6 (𝑥 ∈ (𝑀...𝑁) → 𝑥 ∈ (ℤ𝑀))
6 peano2zm 12468 . . . . . . 7 (𝐾 ∈ ℤ → (𝐾 − 1) ∈ ℤ)
72, 6syl 17 . . . . . 6 (𝐾 ∈ (𝑀...𝑁) → (𝐾 − 1) ∈ ℤ)
8 elfz5 13353 . . . . . 6 ((𝑥 ∈ (ℤ𝑀) ∧ (𝐾 − 1) ∈ ℤ) → (𝑥 ∈ (𝑀...(𝐾 − 1)) ↔ 𝑥 ≤ (𝐾 − 1)))
95, 7, 8syl2anr 598 . . . . 5 ((𝐾 ∈ (𝑀...𝑁) ∧ 𝑥 ∈ (𝑀...𝑁)) → (𝑥 ∈ (𝑀...(𝐾 − 1)) ↔ 𝑥 ≤ (𝐾 − 1)))
104, 9bitr4d 282 . . . 4 ((𝐾 ∈ (𝑀...𝑁) ∧ 𝑥 ∈ (𝑀...𝑁)) → (𝑥 < 𝐾𝑥 ∈ (𝑀...(𝐾 − 1))))
1110pm5.32da 580 . . 3 (𝐾 ∈ (𝑀...𝑁) → ((𝑥 ∈ (𝑀...𝑁) ∧ 𝑥 < 𝐾) ↔ (𝑥 ∈ (𝑀...𝑁) ∧ 𝑥 ∈ (𝑀...(𝐾 − 1)))))
12 vex 3446 . . . 4 𝑥 ∈ V
1312elpred 6259 . . 3 (𝐾 ∈ (𝑀...𝑁) → (𝑥 ∈ Pred( < , (𝑀...𝑁), 𝐾) ↔ (𝑥 ∈ (𝑀...𝑁) ∧ 𝑥 < 𝐾)))
14 elfzuz3 13358 . . . . . . . 8 (𝐾 ∈ (𝑀...𝑁) → 𝑁 ∈ (ℤ𝐾))
152zcnd 12532 . . . . . . . . . 10 (𝐾 ∈ (𝑀...𝑁) → 𝐾 ∈ ℂ)
16 ax-1cn 11034 . . . . . . . . . 10 1 ∈ ℂ
17 npcan 11335 . . . . . . . . . 10 ((𝐾 ∈ ℂ ∧ 1 ∈ ℂ) → ((𝐾 − 1) + 1) = 𝐾)
1815, 16, 17sylancl 587 . . . . . . . . 9 (𝐾 ∈ (𝑀...𝑁) → ((𝐾 − 1) + 1) = 𝐾)
1918fveq2d 6833 . . . . . . . 8 (𝐾 ∈ (𝑀...𝑁) → (ℤ‘((𝐾 − 1) + 1)) = (ℤ𝐾))
2014, 19eleqtrrd 2841 . . . . . . 7 (𝐾 ∈ (𝑀...𝑁) → 𝑁 ∈ (ℤ‘((𝐾 − 1) + 1)))
21 peano2uzr 12748 . . . . . . 7 (((𝐾 − 1) ∈ ℤ ∧ 𝑁 ∈ (ℤ‘((𝐾 − 1) + 1))) → 𝑁 ∈ (ℤ‘(𝐾 − 1)))
227, 20, 21syl2anc 585 . . . . . 6 (𝐾 ∈ (𝑀...𝑁) → 𝑁 ∈ (ℤ‘(𝐾 − 1)))
23 fzss2 13401 . . . . . 6 (𝑁 ∈ (ℤ‘(𝐾 − 1)) → (𝑀...(𝐾 − 1)) ⊆ (𝑀...𝑁))
2422, 23syl 17 . . . . 5 (𝐾 ∈ (𝑀...𝑁) → (𝑀...(𝐾 − 1)) ⊆ (𝑀...𝑁))
2524sseld 3934 . . . 4 (𝐾 ∈ (𝑀...𝑁) → (𝑥 ∈ (𝑀...(𝐾 − 1)) → 𝑥 ∈ (𝑀...𝑁)))
2625pm4.71rd 564 . . 3 (𝐾 ∈ (𝑀...𝑁) → (𝑥 ∈ (𝑀...(𝐾 − 1)) ↔ (𝑥 ∈ (𝑀...𝑁) ∧ 𝑥 ∈ (𝑀...(𝐾 − 1)))))
2711, 13, 263bitr4d 311 . 2 (𝐾 ∈ (𝑀...𝑁) → (𝑥 ∈ Pred( < , (𝑀...𝑁), 𝐾) ↔ 𝑥 ∈ (𝑀...(𝐾 − 1))))
2827eqrdv 2735 1 (𝐾 ∈ (𝑀...𝑁) → Pred( < , (𝑀...𝑁), 𝐾) = (𝑀...(𝐾 − 1)))
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  wi 4  wb 205  wa 397   = wceq 1541  wcel 2106  wss 3901   class class class wbr 5096  Predcpred 6241  cfv 6483  (class class class)co 7341  cc 10974  1c1 10977   + caddc 10979   < clt 11114  cle 11115  cmin 11310  cz 12424  cuz 12687  ...cfz 13344
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1797  ax-4 1811  ax-5 1913  ax-6 1971  ax-7 2011  ax-8 2108  ax-9 2116  ax-10 2137  ax-11 2154  ax-12 2171  ax-ext 2708  ax-sep 5247  ax-nul 5254  ax-pow 5312  ax-pr 5376  ax-un 7654  ax-cnex 11032  ax-resscn 11033  ax-1cn 11034  ax-icn 11035  ax-addcl 11036  ax-addrcl 11037  ax-mulcl 11038  ax-mulrcl 11039  ax-mulcom 11040  ax-addass 11041  ax-mulass 11042  ax-distr 11043  ax-i2m1 11044  ax-1ne0 11045  ax-1rid 11046  ax-rnegex 11047  ax-rrecex 11048  ax-cnre 11049  ax-pre-lttri 11050  ax-pre-lttrn 11051  ax-pre-ltadd 11052  ax-pre-mulgt0 11053
This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 398  df-or 846  df-3or 1088  df-3an 1089  df-tru 1544  df-fal 1554  df-ex 1782  df-nf 1786  df-sb 2068  df-mo 2539  df-eu 2568  df-clab 2715  df-cleq 2729  df-clel 2815  df-nfc 2887  df-ne 2942  df-nel 3048  df-ral 3063  df-rex 3072  df-reu 3351  df-rab 3405  df-v 3444  df-sbc 3731  df-csb 3847  df-dif 3904  df-un 3906  df-in 3908  df-ss 3918  df-pss 3920  df-nul 4274  df-if 4478  df-pw 4553  df-sn 4578  df-pr 4580  df-op 4584  df-uni 4857  df-iun 4947  df-br 5097  df-opab 5159  df-mpt 5180  df-tr 5214  df-id 5522  df-eprel 5528  df-po 5536  df-so 5537  df-fr 5579  df-we 5581  df-xp 5630  df-rel 5631  df-cnv 5632  df-co 5633  df-dm 5634  df-rn 5635  df-res 5636  df-ima 5637  df-pred 6242  df-ord 6309  df-on 6310  df-lim 6311  df-suc 6312  df-iota 6435  df-fun 6485  df-fn 6486  df-f 6487  df-f1 6488  df-fo 6489  df-f1o 6490  df-fv 6491  df-riota 7297  df-ov 7344  df-oprab 7345  df-mpo 7346  df-om 7785  df-1st 7903  df-2nd 7904  df-frecs 8171  df-wrecs 8202  df-recs 8276  df-rdg 8315  df-er 8573  df-en 8809  df-dom 8810  df-sdom 8811  df-pnf 11116  df-mnf 11117  df-xr 11118  df-ltxr 11119  df-le 11120  df-sub 11312  df-neg 11313  df-nn 12079  df-n0 12339  df-z 12425  df-uz 12688  df-fz 13345
This theorem is referenced by: (None)
  Copyright terms: Public domain W3C validator