Theorem predfz 13237

Description: Calculate the predecessor of an integer under a finite set of integers. (Contributed by Scott Fenton, 8-Aug-2013.) (Proof shortened by Mario Carneiro, 3-May-2015.)

Assertion

Ref	Expression
predfz	⊢ (𝐾 ∈ (𝑀...𝑁) → Pred( < , (𝑀...𝑁), 𝐾) = (𝑀...(𝐾 − 1)))

Proof of Theorem predfz

Dummy variable 𝑥 is distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		elfzelz 13112	. . . . . 6 ⊢ (𝑥 ∈ (𝑀...𝑁) → 𝑥 ∈ ℤ)
2		elfzelz 13112	. . . . . 6 ⊢ (𝐾 ∈ (𝑀...𝑁) → 𝐾 ∈ ℤ)
3		zltlem1 12230	. . . . . 6 ⊢ ((𝑥 ∈ ℤ ∧ 𝐾 ∈ ℤ) → (𝑥 < 𝐾 ↔ 𝑥 ≤ (𝐾 − 1)))
4	1, 2, 3	syl2anr 600	. . . . 5 ⊢ ((𝐾 ∈ (𝑀...𝑁) ∧ 𝑥 ∈ (𝑀...𝑁)) → (𝑥 < 𝐾 ↔ 𝑥 ≤ (𝐾 − 1)))
5		elfzuz 13108	. . . . . 6 ⊢ (𝑥 ∈ (𝑀...𝑁) → 𝑥 ∈ (ℤ≥‘𝑀))
6		peano2zm 12220	. . . . . . 7 ⊢ (𝐾 ∈ ℤ → (𝐾 − 1) ∈ ℤ)
7	2, 6	syl 17	. . . . . 6 ⊢ (𝐾 ∈ (𝑀...𝑁) → (𝐾 − 1) ∈ ℤ)
8		elfz5 13104	. . . . . 6 ⊢ ((𝑥 ∈ (ℤ≥‘𝑀) ∧ (𝐾 − 1) ∈ ℤ) → (𝑥 ∈ (𝑀...(𝐾 − 1)) ↔ 𝑥 ≤ (𝐾 − 1)))
9	5, 7, 8	syl2anr 600	. . . . 5 ⊢ ((𝐾 ∈ (𝑀...𝑁) ∧ 𝑥 ∈ (𝑀...𝑁)) → (𝑥 ∈ (𝑀...(𝐾 − 1)) ↔ 𝑥 ≤ (𝐾 − 1)))
10	4, 9	bitr4d 285	. . . 4 ⊢ ((𝐾 ∈ (𝑀...𝑁) ∧ 𝑥 ∈ (𝑀...𝑁)) → (𝑥 < 𝐾 ↔ 𝑥 ∈ (𝑀...(𝐾 − 1))))
11	10	pm5.32da 582	. . 3 ⊢ (𝐾 ∈ (𝑀...𝑁) → ((𝑥 ∈ (𝑀...𝑁) ∧ 𝑥 < 𝐾) ↔ (𝑥 ∈ (𝑀...𝑁) ∧ 𝑥 ∈ (𝑀...(𝐾 − 1)))))
12		vex 3412	. . . 4 ⊢ 𝑥 ∈ V
13	12	elpred 6176	. . 3 ⊢ (𝐾 ∈ (𝑀...𝑁) → (𝑥 ∈ Pred( < , (𝑀...𝑁), 𝐾) ↔ (𝑥 ∈ (𝑀...𝑁) ∧ 𝑥 < 𝐾)))
14		elfzuz3 13109	. . . . . . . 8 ⊢ (𝐾 ∈ (𝑀...𝑁) → 𝑁 ∈ (ℤ≥‘𝐾))
15	2	zcnd 12283	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝐾 ∈ (𝑀...𝑁) → 𝐾 ∈ ℂ)
16		ax-1cn 10787	. . . . . . . . . 10 ⊢ 1 ∈ ℂ
17		npcan 11087	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((𝐾 ∈ ℂ ∧ 1 ∈ ℂ) → ((𝐾 − 1) + 1) = 𝐾)
18	15, 16, 17	sylancl 589	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝐾 ∈ (𝑀...𝑁) → ((𝐾 − 1) + 1) = 𝐾)
19	18	fveq2d 6721	. . . . . . . 8 ⊢ (𝐾 ∈ (𝑀...𝑁) → (ℤ≥‘((𝐾 − 1) + 1)) = (ℤ≥‘𝐾))
20	14, 19	eleqtrrd 2841	. . . . . . 7 ⊢ (𝐾 ∈ (𝑀...𝑁) → 𝑁 ∈ (ℤ≥‘((𝐾 − 1) + 1)))
21		peano2uzr 12499	. . . . . . 7 ⊢ (((𝐾 − 1) ∈ ℤ ∧ 𝑁 ∈ (ℤ≥‘((𝐾 − 1) + 1))) → 𝑁 ∈ (ℤ≥‘(𝐾 − 1)))
22	7, 20, 21	syl2anc 587	. . . . . 6 ⊢ (𝐾 ∈ (𝑀...𝑁) → 𝑁 ∈ (ℤ≥‘(𝐾 − 1)))
23		fzss2 13152	. . . . . 6 ⊢ (𝑁 ∈ (ℤ≥‘(𝐾 − 1)) → (𝑀...(𝐾 − 1)) ⊆ (𝑀...𝑁))
24	22, 23	syl 17	. . . . 5 ⊢ (𝐾 ∈ (𝑀...𝑁) → (𝑀...(𝐾 − 1)) ⊆ (𝑀...𝑁))
25	24	sseld 3900	. . . 4 ⊢ (𝐾 ∈ (𝑀...𝑁) → (𝑥 ∈ (𝑀...(𝐾 − 1)) → 𝑥 ∈ (𝑀...𝑁)))
26	25	pm4.71rd 566	. . 3 ⊢ (𝐾 ∈ (𝑀...𝑁) → (𝑥 ∈ (𝑀...(𝐾 − 1)) ↔ (𝑥 ∈ (𝑀...𝑁) ∧ 𝑥 ∈ (𝑀...(𝐾 − 1)))))
27	11, 13, 26	3bitr4d 314	. 2 ⊢ (𝐾 ∈ (𝑀...𝑁) → (𝑥 ∈ Pred( < , (𝑀...𝑁), 𝐾) ↔ 𝑥 ∈ (𝑀...(𝐾 − 1))))
28	27	eqrdv 2735	1 ⊢ (𝐾 ∈ (𝑀...𝑁) → Pred( < , (𝑀...𝑁), 𝐾) = (𝑀...(𝐾 − 1)))

Syntax hints:   → wi 4   ↔ wb 209   ∧ wa 399   = wceq 1543   ∈ wcel 2110   ⊆ wss 3866   class class class wbr 5053  Predcpred 6159  ‘cfv 6380  (class class class)co 7213  ℂcc 10727  1c1 10730   + caddc 10732   < clt 10867   ≤ cle 10868   − cmin 11062  ℤcz 12176  ℤ_≥cuz 12438  ...cfz 13095

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1803  ax-4 1817  ax-5 1918  ax-6 1976  ax-7 2016  ax-8 2112  ax-9 2120  ax-10 2141  ax-11 2158  ax-12 2175  ax-ext 2708  ax-sep 5192  ax-nul 5199  ax-pow 5258  ax-pr 5322  ax-un 7523  ax-cnex 10785  ax-resscn 10786  ax-1cn 10787  ax-icn 10788  ax-addcl 10789  ax-addrcl 10790  ax-mulcl 10791  ax-mulrcl 10792  ax-mulcom 10793  ax-addass 10794  ax-mulass 10795  ax-distr 10796  ax-i2m1 10797  ax-1ne0 10798  ax-1rid 10799  ax-rnegex 10800  ax-rrecex 10801  ax-cnre 10802  ax-pre-lttri 10803  ax-pre-lttrn 10804  ax-pre-ltadd 10805  ax-pre-mulgt0 10806

This theorem depends on definitions:  df-bi 210  df-an 400  df-or 848  df-3or 1090  df-3an 1091  df-tru 1546  df-fal 1556  df-ex 1788  df-nf 1792  df-sb 2071  df-mo 2539  df-eu 2568  df-clab 2715  df-cleq 2729  df-clel 2816  df-nfc 2886  df-ne 2941  df-nel 3047  df-ral 3066  df-rex 3067  df-reu 3068  df-rab 3070  df-v 3410  df-sbc 3695  df-csb 3812  df-dif 3869  df-un 3871  df-in 3873  df-ss 3883  df-pss 3885  df-nul 4238  df-if 4440  df-pw 4515  df-sn 4542  df-pr 4544  df-tp 4546  df-op 4548  df-uni 4820  df-iun 4906  df-br 5054  df-opab 5116  df-mpt 5136  df-tr 5162  df-id 5455  df-eprel 5460  df-po 5468  df-so 5469  df-fr 5509  df-we 5511  df-xp 5557  df-rel 5558  df-cnv 5559  df-co 5560  df-dm 5561  df-rn 5562  df-res 5563  df-ima 5564  df-pred 6160  df-ord 6216  df-on 6217  df-lim 6218  df-suc 6219  df-iota 6338  df-fun 6382  df-fn 6383  df-f 6384  df-f1 6385  df-fo 6386  df-f1o 6387  df-fv 6388  df-riota 7170  df-ov 7216  df-oprab 7217  df-mpo 7218  df-om 7645  df-1st 7761  df-2nd 7762  df-wrecs 8047  df-recs 8108  df-rdg 8146  df-er 8391  df-en 8627  df-dom 8628  df-sdom 8629  df-pnf 10869  df-mnf 10870  df-xr 10871  df-ltxr 10872  df-le 10873  df-sub 11064  df-neg 11065  df-nn 11831  df-n0 12091  df-z 12177  df-uz 12439  df-fz 13096

This theorem is referenced by: (None)