MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  predfz Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem predfz 13659
Description: Calculate the predecessor of an integer under a finite set of integers. (Contributed by Scott Fenton, 8-Aug-2013.) (Proof shortened by Mario Carneiro, 3-May-2015.)
Assertion
Ref Expression
predfz (𝐾 ∈ (𝑀...𝑁) → Pred( < , (𝑀...𝑁), 𝐾) = (𝑀...(𝐾 − 1)))

Proof of Theorem predfz
Dummy variable 𝑥 is distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 elfzelz 13534 . . . . . 6 (𝑥 ∈ (𝑀...𝑁) → 𝑥 ∈ ℤ)
2 elfzelz 13534 . . . . . 6 (𝐾 ∈ (𝑀...𝑁) → 𝐾 ∈ ℤ)
3 zltlem1 12646 . . . . . 6 ((𝑥 ∈ ℤ ∧ 𝐾 ∈ ℤ) → (𝑥 < 𝐾𝑥 ≤ (𝐾 − 1)))
41, 2, 3syl2anr 596 . . . . 5 ((𝐾 ∈ (𝑀...𝑁) ∧ 𝑥 ∈ (𝑀...𝑁)) → (𝑥 < 𝐾𝑥 ≤ (𝐾 − 1)))
5 elfzuz 13530 . . . . . 6 (𝑥 ∈ (𝑀...𝑁) → 𝑥 ∈ (ℤ𝑀))
6 peano2zm 12636 . . . . . . 7 (𝐾 ∈ ℤ → (𝐾 − 1) ∈ ℤ)
72, 6syl 17 . . . . . 6 (𝐾 ∈ (𝑀...𝑁) → (𝐾 − 1) ∈ ℤ)
8 elfz5 13526 . . . . . 6 ((𝑥 ∈ (ℤ𝑀) ∧ (𝐾 − 1) ∈ ℤ) → (𝑥 ∈ (𝑀...(𝐾 − 1)) ↔ 𝑥 ≤ (𝐾 − 1)))
95, 7, 8syl2anr 596 . . . . 5 ((𝐾 ∈ (𝑀...𝑁) ∧ 𝑥 ∈ (𝑀...𝑁)) → (𝑥 ∈ (𝑀...(𝐾 − 1)) ↔ 𝑥 ≤ (𝐾 − 1)))
104, 9bitr4d 282 . . . 4 ((𝐾 ∈ (𝑀...𝑁) ∧ 𝑥 ∈ (𝑀...𝑁)) → (𝑥 < 𝐾𝑥 ∈ (𝑀...(𝐾 − 1))))
1110pm5.32da 578 . . 3 (𝐾 ∈ (𝑀...𝑁) → ((𝑥 ∈ (𝑀...𝑁) ∧ 𝑥 < 𝐾) ↔ (𝑥 ∈ (𝑀...𝑁) ∧ 𝑥 ∈ (𝑀...(𝐾 − 1)))))
12 vex 3475 . . . 4 𝑥 ∈ V
1312elpred 6322 . . 3 (𝐾 ∈ (𝑀...𝑁) → (𝑥 ∈ Pred( < , (𝑀...𝑁), 𝐾) ↔ (𝑥 ∈ (𝑀...𝑁) ∧ 𝑥 < 𝐾)))
14 elfzuz3 13531 . . . . . . . 8 (𝐾 ∈ (𝑀...𝑁) → 𝑁 ∈ (ℤ𝐾))
152zcnd 12698 . . . . . . . . . 10 (𝐾 ∈ (𝑀...𝑁) → 𝐾 ∈ ℂ)
16 ax-1cn 11197 . . . . . . . . . 10 1 ∈ ℂ
17 npcan 11500 . . . . . . . . . 10 ((𝐾 ∈ ℂ ∧ 1 ∈ ℂ) → ((𝐾 − 1) + 1) = 𝐾)
1815, 16, 17sylancl 585 . . . . . . . . 9 (𝐾 ∈ (𝑀...𝑁) → ((𝐾 − 1) + 1) = 𝐾)
1918fveq2d 6901 . . . . . . . 8 (𝐾 ∈ (𝑀...𝑁) → (ℤ‘((𝐾 − 1) + 1)) = (ℤ𝐾))
2014, 19eleqtrrd 2832 . . . . . . 7 (𝐾 ∈ (𝑀...𝑁) → 𝑁 ∈ (ℤ‘((𝐾 − 1) + 1)))
21 peano2uzr 12918 . . . . . . 7 (((𝐾 − 1) ∈ ℤ ∧ 𝑁 ∈ (ℤ‘((𝐾 − 1) + 1))) → 𝑁 ∈ (ℤ‘(𝐾 − 1)))
227, 20, 21syl2anc 583 . . . . . 6 (𝐾 ∈ (𝑀...𝑁) → 𝑁 ∈ (ℤ‘(𝐾 − 1)))
23 fzss2 13574 . . . . . 6 (𝑁 ∈ (ℤ‘(𝐾 − 1)) → (𝑀...(𝐾 − 1)) ⊆ (𝑀...𝑁))
2422, 23syl 17 . . . . 5 (𝐾 ∈ (𝑀...𝑁) → (𝑀...(𝐾 − 1)) ⊆ (𝑀...𝑁))
2524sseld 3979 . . . 4 (𝐾 ∈ (𝑀...𝑁) → (𝑥 ∈ (𝑀...(𝐾 − 1)) → 𝑥 ∈ (𝑀...𝑁)))
2625pm4.71rd 562 . . 3 (𝐾 ∈ (𝑀...𝑁) → (𝑥 ∈ (𝑀...(𝐾 − 1)) ↔ (𝑥 ∈ (𝑀...𝑁) ∧ 𝑥 ∈ (𝑀...(𝐾 − 1)))))
2711, 13, 263bitr4d 311 . 2 (𝐾 ∈ (𝑀...𝑁) → (𝑥 ∈ Pred( < , (𝑀...𝑁), 𝐾) ↔ 𝑥 ∈ (𝑀...(𝐾 − 1))))
2827eqrdv 2726 1 (𝐾 ∈ (𝑀...𝑁) → Pred( < , (𝑀...𝑁), 𝐾) = (𝑀...(𝐾 − 1)))
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  wi 4  wb 205  wa 395   = wceq 1534  wcel 2099  wss 3947   class class class wbr 5148  Predcpred 6304  cfv 6548  (class class class)co 7420  cc 11137  1c1 11140   + caddc 11142   < clt 11279  cle 11280  cmin 11475  cz 12589  cuz 12853  ...cfz 13517
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1790  ax-4 1804  ax-5 1906  ax-6 1964  ax-7 2004  ax-8 2101  ax-9 2109  ax-10 2130  ax-11 2147  ax-12 2167  ax-ext 2699  ax-sep 5299  ax-nul 5306  ax-pow 5365  ax-pr 5429  ax-un 7740  ax-cnex 11195  ax-resscn 11196  ax-1cn 11197  ax-icn 11198  ax-addcl 11199  ax-addrcl 11200  ax-mulcl 11201  ax-mulrcl 11202  ax-mulcom 11203  ax-addass 11204  ax-mulass 11205  ax-distr 11206  ax-i2m1 11207  ax-1ne0 11208  ax-1rid 11209  ax-rnegex 11210  ax-rrecex 11211  ax-cnre 11212  ax-pre-lttri 11213  ax-pre-lttrn 11214  ax-pre-ltadd 11215  ax-pre-mulgt0 11216
This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 396  df-or 847  df-3or 1086  df-3an 1087  df-tru 1537  df-fal 1547  df-ex 1775  df-nf 1779  df-sb 2061  df-mo 2530  df-eu 2559  df-clab 2706  df-cleq 2720  df-clel 2806  df-nfc 2881  df-ne 2938  df-nel 3044  df-ral 3059  df-rex 3068  df-reu 3374  df-rab 3430  df-v 3473  df-sbc 3777  df-csb 3893  df-dif 3950  df-un 3952  df-in 3954  df-ss 3964  df-pss 3966  df-nul 4324  df-if 4530  df-pw 4605  df-sn 4630  df-pr 4632  df-op 4636  df-uni 4909  df-iun 4998  df-br 5149  df-opab 5211  df-mpt 5232  df-tr 5266  df-id 5576  df-eprel 5582  df-po 5590  df-so 5591  df-fr 5633  df-we 5635  df-xp 5684  df-rel 5685  df-cnv 5686  df-co 5687  df-dm 5688  df-rn 5689  df-res 5690  df-ima 5691  df-pred 6305  df-ord 6372  df-on 6373  df-lim 6374  df-suc 6375  df-iota 6500  df-fun 6550  df-fn 6551  df-f 6552  df-f1 6553  df-fo 6554  df-f1o 6555  df-fv 6556  df-riota 7376  df-ov 7423  df-oprab 7424  df-mpo 7425  df-om 7871  df-1st 7993  df-2nd 7994  df-frecs 8287  df-wrecs 8318  df-recs 8392  df-rdg 8431  df-er 8725  df-en 8965  df-dom 8966  df-sdom 8967  df-pnf 11281  df-mnf 11282  df-xr 11283  df-ltxr 11284  df-le 11285  df-sub 11477  df-neg 11478  df-nn 12244  df-n0 12504  df-z 12590  df-uz 12854  df-fz 13518
This theorem is referenced by: (None)
  Copyright terms: Public domain W3C validator