Theorem predfz 13607

Description: Calculate the predecessor of an integer under a finite set of integers. (Contributed by Scott Fenton, 8-Aug-2013.) (Proof shortened by Mario Carneiro, 3-May-2015.)

Assertion

Ref	Expression
predfz	⊢ (𝐾 ∈ (𝑀...𝑁) → Pred( < , (𝑀...𝑁), 𝐾) = (𝑀...(𝐾 − 1)))

Proof of Theorem predfz

Dummy variable 𝑥 is distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		elfzelz 13478	. . . . . 6 ⊢ (𝑥 ∈ (𝑀...𝑁) → 𝑥 ∈ ℤ)
2		elfzelz 13478	. . . . . 6 ⊢ (𝐾 ∈ (𝑀...𝑁) → 𝐾 ∈ ℤ)
3		zltlem1 12580	. . . . . 6 ⊢ ((𝑥 ∈ ℤ ∧ 𝐾 ∈ ℤ) → (𝑥 < 𝐾 ↔ 𝑥 ≤ (𝐾 − 1)))
4	1, 2, 3	syl2anr 598	. . . . 5 ⊢ ((𝐾 ∈ (𝑀...𝑁) ∧ 𝑥 ∈ (𝑀...𝑁)) → (𝑥 < 𝐾 ↔ 𝑥 ≤ (𝐾 − 1)))
5		elfzuz 13474	. . . . . 6 ⊢ (𝑥 ∈ (𝑀...𝑁) → 𝑥 ∈ (ℤ≥‘𝑀))
6		peano2zm 12570	. . . . . . 7 ⊢ (𝐾 ∈ ℤ → (𝐾 − 1) ∈ ℤ)
7	2, 6	syl 17	. . . . . 6 ⊢ (𝐾 ∈ (𝑀...𝑁) → (𝐾 − 1) ∈ ℤ)
8		elfz5 13470	. . . . . 6 ⊢ ((𝑥 ∈ (ℤ≥‘𝑀) ∧ (𝐾 − 1) ∈ ℤ) → (𝑥 ∈ (𝑀...(𝐾 − 1)) ↔ 𝑥 ≤ (𝐾 − 1)))
9	5, 7, 8	syl2anr 598	. . . . 5 ⊢ ((𝐾 ∈ (𝑀...𝑁) ∧ 𝑥 ∈ (𝑀...𝑁)) → (𝑥 ∈ (𝑀...(𝐾 − 1)) ↔ 𝑥 ≤ (𝐾 − 1)))
10	4, 9	bitr4d 282	. . . 4 ⊢ ((𝐾 ∈ (𝑀...𝑁) ∧ 𝑥 ∈ (𝑀...𝑁)) → (𝑥 < 𝐾 ↔ 𝑥 ∈ (𝑀...(𝐾 − 1))))
11	10	pm5.32da 579	. . 3 ⊢ (𝐾 ∈ (𝑀...𝑁) → ((𝑥 ∈ (𝑀...𝑁) ∧ 𝑥 < 𝐾) ↔ (𝑥 ∈ (𝑀...𝑁) ∧ 𝑥 ∈ (𝑀...(𝐾 − 1)))))
12		vex 3433	. . . 4 ⊢ 𝑥 ∈ V
13	12	elpred 6282	. . 3 ⊢ (𝐾 ∈ (𝑀...𝑁) → (𝑥 ∈ Pred( < , (𝑀...𝑁), 𝐾) ↔ (𝑥 ∈ (𝑀...𝑁) ∧ 𝑥 < 𝐾)))
14		elfzuz3 13475	. . . . . . . 8 ⊢ (𝐾 ∈ (𝑀...𝑁) → 𝑁 ∈ (ℤ≥‘𝐾))
15	2	zcnd 12634	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝐾 ∈ (𝑀...𝑁) → 𝐾 ∈ ℂ)
16		ax-1cn 11096	. . . . . . . . . 10 ⊢ 1 ∈ ℂ
17		npcan 11402	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((𝐾 ∈ ℂ ∧ 1 ∈ ℂ) → ((𝐾 − 1) + 1) = 𝐾)
18	15, 16, 17	sylancl 587	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝐾 ∈ (𝑀...𝑁) → ((𝐾 − 1) + 1) = 𝐾)
19	18	fveq2d 6844	. . . . . . . 8 ⊢ (𝐾 ∈ (𝑀...𝑁) → (ℤ≥‘((𝐾 − 1) + 1)) = (ℤ≥‘𝐾))
20	14, 19	eleqtrrd 2839	. . . . . . 7 ⊢ (𝐾 ∈ (𝑀...𝑁) → 𝑁 ∈ (ℤ≥‘((𝐾 − 1) + 1)))
21		peano2uzr 12853	. . . . . . 7 ⊢ (((𝐾 − 1) ∈ ℤ ∧ 𝑁 ∈ (ℤ≥‘((𝐾 − 1) + 1))) → 𝑁 ∈ (ℤ≥‘(𝐾 − 1)))
22	7, 20, 21	syl2anc 585	. . . . . 6 ⊢ (𝐾 ∈ (𝑀...𝑁) → 𝑁 ∈ (ℤ≥‘(𝐾 − 1)))
23		fzss2 13518	. . . . . 6 ⊢ (𝑁 ∈ (ℤ≥‘(𝐾 − 1)) → (𝑀...(𝐾 − 1)) ⊆ (𝑀...𝑁))
24	22, 23	syl 17	. . . . 5 ⊢ (𝐾 ∈ (𝑀...𝑁) → (𝑀...(𝐾 − 1)) ⊆ (𝑀...𝑁))
25	24	sseld 3920	. . . 4 ⊢ (𝐾 ∈ (𝑀...𝑁) → (𝑥 ∈ (𝑀...(𝐾 − 1)) → 𝑥 ∈ (𝑀...𝑁)))
26	25	pm4.71rd 562	. . 3 ⊢ (𝐾 ∈ (𝑀...𝑁) → (𝑥 ∈ (𝑀...(𝐾 − 1)) ↔ (𝑥 ∈ (𝑀...𝑁) ∧ 𝑥 ∈ (𝑀...(𝐾 − 1)))))
27	11, 13, 26	3bitr4d 311	. 2 ⊢ (𝐾 ∈ (𝑀...𝑁) → (𝑥 ∈ Pred( < , (𝑀...𝑁), 𝐾) ↔ 𝑥 ∈ (𝑀...(𝐾 − 1))))
28	27	eqrdv 2734	1 ⊢ (𝐾 ∈ (𝑀...𝑁) → Pred( < , (𝑀...𝑁), 𝐾) = (𝑀...(𝐾 − 1)))

Syntax hints:   → wi 4   ↔ wb 206   ∧ wa 395   = wceq 1542   ∈ wcel 2114   ⊆ wss 3889   class class class wbr 5085  Predcpred 6264  ‘cfv 6498  (class class class)co 7367  ℂcc 11036  1c1 11039   + caddc 11041   < clt 11179   ≤ cle 11180   − cmin 11377  ℤcz 12524  ℤ_≥cuz 12788  ...cfz 13461

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1797  ax-4 1811  ax-5 1912  ax-6 1969  ax-7 2010  ax-8 2116  ax-9 2124  ax-10 2147  ax-11 2163  ax-12 2185  ax-ext 2708  ax-sep 5231  ax-nul 5241  ax-pow 5307  ax-pr 5375  ax-un 7689  ax-cnex 11094  ax-resscn 11095  ax-1cn 11096  ax-icn 11097  ax-addcl 11098  ax-addrcl 11099  ax-mulcl 11100  ax-mulrcl 11101  ax-mulcom 11102  ax-addass 11103  ax-mulass 11104  ax-distr 11105  ax-i2m1 11106  ax-1ne0 11107  ax-1rid 11108  ax-rnegex 11109  ax-rrecex 11110  ax-cnre 11111  ax-pre-lttri 11112  ax-pre-lttrn 11113  ax-pre-ltadd 11114  ax-pre-mulgt0 11115

This theorem depends on definitions:  df-bi 207  df-an 396  df-or 849  df-3or 1088  df-3an 1089  df-tru 1545  df-fal 1555  df-ex 1782  df-nf 1786  df-sb 2069  df-mo 2539  df-eu 2569  df-clab 2715  df-cleq 2728  df-clel 2811  df-nfc 2885  df-ne 2933  df-nel 3037  df-ral 3052  df-rex 3062  df-reu 3343  df-rab 3390  df-v 3431  df-sbc 3729  df-csb 3838  df-dif 3892  df-un 3894  df-in 3896  df-ss 3906  df-pss 3909  df-nul 4274  df-if 4467  df-pw 4543  df-sn 4568  df-pr 4570  df-op 4574  df-uni 4851  df-iun 4935  df-br 5086  df-opab 5148  df-mpt 5167  df-tr 5193  df-id 5526  df-eprel 5531  df-po 5539  df-so 5540  df-fr 5584  df-we 5586  df-xp 5637  df-rel 5638  df-cnv 5639  df-co 5640  df-dm 5641  df-rn 5642  df-res 5643  df-ima 5644  df-pred 6265  df-ord 6326  df-on 6327  df-lim 6328  df-suc 6329  df-iota 6454  df-fun 6500  df-fn 6501  df-f 6502  df-f1 6503  df-fo 6504  df-f1o 6505  df-fv 6506  df-riota 7324  df-ov 7370  df-oprab 7371  df-mpo 7372  df-om 7818  df-1st 7942  df-2nd 7943  df-frecs 8231  df-wrecs 8262  df-recs 8311  df-rdg 8349  df-er 8643  df-en 8894  df-dom 8895  df-sdom 8896  df-pnf 11181  df-mnf 11182  df-xr 11183  df-ltxr 11184  df-le 11185  df-sub 11379  df-neg 11380  df-nn 12175  df-n0 12438  df-z 12525  df-uz 12789  df-fz 13462

This theorem is referenced by: (None)