Theorem predfz 12882

Description: Calculate the predecessor of an integer under a finite set of integers. (Contributed by Scott Fenton, 8-Aug-2013.) (Proof shortened by Mario Carneiro, 3-May-2015.)

Assertion

Ref	Expression
predfz	⊢ (𝐾 ∈ (𝑀...𝑁) → Pred( < , (𝑀...𝑁), 𝐾) = (𝑀...(𝐾 − 1)))

Proof of Theorem predfz

Dummy variable 𝑥 is distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		elfzelz 12758	. . . . . 6 ⊢ (𝑥 ∈ (𝑀...𝑁) → 𝑥 ∈ ℤ)
2		elfzelz 12758	. . . . . 6 ⊢ (𝐾 ∈ (𝑀...𝑁) → 𝐾 ∈ ℤ)
3		zltlem1 11884	. . . . . 6 ⊢ ((𝑥 ∈ ℤ ∧ 𝐾 ∈ ℤ) → (𝑥 < 𝐾 ↔ 𝑥 ≤ (𝐾 − 1)))
4	1, 2, 3	syl2anr 596	. . . . 5 ⊢ ((𝐾 ∈ (𝑀...𝑁) ∧ 𝑥 ∈ (𝑀...𝑁)) → (𝑥 < 𝐾 ↔ 𝑥 ≤ (𝐾 − 1)))
5		elfzuz 12754	. . . . . 6 ⊢ (𝑥 ∈ (𝑀...𝑁) → 𝑥 ∈ (ℤ≥‘𝑀))
6		peano2zm 11874	. . . . . . 7 ⊢ (𝐾 ∈ ℤ → (𝐾 − 1) ∈ ℤ)
7	2, 6	syl 17	. . . . . 6 ⊢ (𝐾 ∈ (𝑀...𝑁) → (𝐾 − 1) ∈ ℤ)
8		elfz5 12750	. . . . . 6 ⊢ ((𝑥 ∈ (ℤ≥‘𝑀) ∧ (𝐾 − 1) ∈ ℤ) → (𝑥 ∈ (𝑀...(𝐾 − 1)) ↔ 𝑥 ≤ (𝐾 − 1)))
9	5, 7, 8	syl2anr 596	. . . . 5 ⊢ ((𝐾 ∈ (𝑀...𝑁) ∧ 𝑥 ∈ (𝑀...𝑁)) → (𝑥 ∈ (𝑀...(𝐾 − 1)) ↔ 𝑥 ≤ (𝐾 − 1)))
10	4, 9	bitr4d 283	. . . 4 ⊢ ((𝐾 ∈ (𝑀...𝑁) ∧ 𝑥 ∈ (𝑀...𝑁)) → (𝑥 < 𝐾 ↔ 𝑥 ∈ (𝑀...(𝐾 − 1))))
11	10	pm5.32da 579	. . 3 ⊢ (𝐾 ∈ (𝑀...𝑁) → ((𝑥 ∈ (𝑀...𝑁) ∧ 𝑥 < 𝐾) ↔ (𝑥 ∈ (𝑀...𝑁) ∧ 𝑥 ∈ (𝑀...(𝐾 − 1)))))
12		vex 3440	. . . 4 ⊢ 𝑥 ∈ V
13	12	elpred 6036	. . 3 ⊢ (𝐾 ∈ (𝑀...𝑁) → (𝑥 ∈ Pred( < , (𝑀...𝑁), 𝐾) ↔ (𝑥 ∈ (𝑀...𝑁) ∧ 𝑥 < 𝐾)))
14		elfzuz3 12755	. . . . . . . 8 ⊢ (𝐾 ∈ (𝑀...𝑁) → 𝑁 ∈ (ℤ≥‘𝐾))
15	2	zcnd 11937	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝐾 ∈ (𝑀...𝑁) → 𝐾 ∈ ℂ)
16		ax-1cn 10441	. . . . . . . . . 10 ⊢ 1 ∈ ℂ
17		npcan 10743	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((𝐾 ∈ ℂ ∧ 1 ∈ ℂ) → ((𝐾 − 1) + 1) = 𝐾)
18	15, 16, 17	sylancl 586	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝐾 ∈ (𝑀...𝑁) → ((𝐾 − 1) + 1) = 𝐾)
19	18	fveq2d 6542	. . . . . . . 8 ⊢ (𝐾 ∈ (𝑀...𝑁) → (ℤ≥‘((𝐾 − 1) + 1)) = (ℤ≥‘𝐾))
20	14, 19	eleqtrrd 2886	. . . . . . 7 ⊢ (𝐾 ∈ (𝑀...𝑁) → 𝑁 ∈ (ℤ≥‘((𝐾 − 1) + 1)))
21		peano2uzr 12152	. . . . . . 7 ⊢ (((𝐾 − 1) ∈ ℤ ∧ 𝑁 ∈ (ℤ≥‘((𝐾 − 1) + 1))) → 𝑁 ∈ (ℤ≥‘(𝐾 − 1)))
22	7, 20, 21	syl2anc 584	. . . . . 6 ⊢ (𝐾 ∈ (𝑀...𝑁) → 𝑁 ∈ (ℤ≥‘(𝐾 − 1)))
23		fzss2 12797	. . . . . 6 ⊢ (𝑁 ∈ (ℤ≥‘(𝐾 − 1)) → (𝑀...(𝐾 − 1)) ⊆ (𝑀...𝑁))
24	22, 23	syl 17	. . . . 5 ⊢ (𝐾 ∈ (𝑀...𝑁) → (𝑀...(𝐾 − 1)) ⊆ (𝑀...𝑁))
25	24	sseld 3888	. . . 4 ⊢ (𝐾 ∈ (𝑀...𝑁) → (𝑥 ∈ (𝑀...(𝐾 − 1)) → 𝑥 ∈ (𝑀...𝑁)))
26	25	pm4.71rd 563	. . 3 ⊢ (𝐾 ∈ (𝑀...𝑁) → (𝑥 ∈ (𝑀...(𝐾 − 1)) ↔ (𝑥 ∈ (𝑀...𝑁) ∧ 𝑥 ∈ (𝑀...(𝐾 − 1)))))
27	11, 13, 26	3bitr4d 312	. 2 ⊢ (𝐾 ∈ (𝑀...𝑁) → (𝑥 ∈ Pred( < , (𝑀...𝑁), 𝐾) ↔ 𝑥 ∈ (𝑀...(𝐾 − 1))))
28	27	eqrdv 2793	1 ⊢ (𝐾 ∈ (𝑀...𝑁) → Pred( < , (𝑀...𝑁), 𝐾) = (𝑀...(𝐾 − 1)))

Syntax hints:   → wi 4   ↔ wb 207   ∧ wa 396   = wceq 1522   ∈ wcel 2081   ⊆ wss 3859   class class class wbr 4962  Predcpred 6022  ‘cfv 6225  (class class class)co 7016  ℂcc 10381  1c1 10384   + caddc 10386   < clt 10521   ≤ cle 10522   − cmin 10717  ℤcz 11829  ℤ_≥cuz 12093  ...cfz 12742

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1777  ax-4 1791  ax-5 1888  ax-6 1947  ax-7 1992  ax-8 2083  ax-9 2091  ax-10 2112  ax-11 2126  ax-12 2141  ax-13 2344  ax-ext 2769  ax-sep 5094  ax-nul 5101  ax-pow 5157  ax-pr 5221  ax-un 7319  ax-cnex 10439  ax-resscn 10440  ax-1cn 10441  ax-icn 10442  ax-addcl 10443  ax-addrcl 10444  ax-mulcl 10445  ax-mulrcl 10446  ax-mulcom 10447  ax-addass 10448  ax-mulass 10449  ax-distr 10450  ax-i2m1 10451  ax-1ne0 10452  ax-1rid 10453  ax-rnegex 10454  ax-rrecex 10455  ax-cnre 10456  ax-pre-lttri 10457  ax-pre-lttrn 10458  ax-pre-ltadd 10459  ax-pre-mulgt0 10460

This theorem depends on definitions:  df-bi 208  df-an 397  df-or 843  df-3or 1081  df-3an 1082  df-tru 1525  df-ex 1762  df-nf 1766  df-sb 2043  df-mo 2576  df-eu 2612  df-clab 2776  df-cleq 2788  df-clel 2863  df-nfc 2935  df-ne 2985  df-nel 3091  df-ral 3110  df-rex 3111  df-reu 3112  df-rab 3114  df-v 3439  df-sbc 3707  df-csb 3812  df-dif 3862  df-un 3864  df-in 3866  df-ss 3874  df-pss 3876  df-nul 4212  df-if 4382  df-pw 4455  df-sn 4473  df-pr 4475  df-tp 4477  df-op 4479  df-uni 4746  df-iun 4827  df-br 4963  df-opab 5025  df-mpt 5042  df-tr 5064  df-id 5348  df-eprel 5353  df-po 5362  df-so 5363  df-fr 5402  df-we 5404  df-xp 5449  df-rel 5450  df-cnv 5451  df-co 5452  df-dm 5453  df-rn 5454  df-res 5455  df-ima 5456  df-pred 6023  df-ord 6069  df-on 6070  df-lim 6071  df-suc 6072  df-iota 6189  df-fun 6227  df-fn 6228  df-f 6229  df-f1 6230  df-fo 6231  df-f1o 6232  df-fv 6233  df-riota 6977  df-ov 7019  df-oprab 7020  df-mpo 7021  df-om 7437  df-1st 7545  df-2nd 7546  df-wrecs 7798  df-recs 7860  df-rdg 7898  df-er 8139  df-en 8358  df-dom 8359  df-sdom 8360  df-pnf 10523  df-mnf 10524  df-xr 10525  df-ltxr 10526  df-le 10527  df-sub 10719  df-neg 10720  df-nn 11487  df-n0 11746  df-z 11830  df-uz 12094  df-fz 12743

This theorem is referenced by: (None)