Theorem prjsperref 42709

Description: The relation in ℙ𝕣𝕠𝕛 is reflexive. (Contributed by Steven Nguyen, 30-Apr-2023.)

Hypotheses

Ref	Expression
prjsprel.1	⊢ ∼ = {⟨𝑥, 𝑦⟩ ∣ ((𝑥 ∈ 𝐵 ∧ 𝑦 ∈ 𝐵) ∧ ∃𝑙 ∈ 𝐾 𝑥 = (𝑙 · 𝑦))}
prjspertr.b	⊢ 𝐵 = ((Base‘𝑉) ∖ {(0g‘𝑉)})
prjspertr.s	⊢ 𝑆 = (Scalar‘𝑉)
prjspertr.x	⊢ · = ( ·𝑠 ‘𝑉)
prjspertr.k	⊢ 𝐾 = (Base‘𝑆)

Assertion

Ref	Expression
prjsperref	⊢ (𝑉 ∈ LMod → (𝑋 ∈ 𝐵 ↔ 𝑋 ∼ 𝑋))

Distinct variable groups:   𝑥,𝐵,𝑦   𝑥,𝑋,𝑦,𝑙   𝑥,𝐾,𝑦,𝑙   𝑥, · ,𝑦,𝑙

Allowed substitution hints:   𝐵(𝑙)   ∼ (𝑥,𝑦,𝑙)   𝑆(𝑥,𝑦,𝑙)   𝑉(𝑥,𝑦,𝑙)

Proof of Theorem prjsperref

Dummy variable 𝑚 is distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		oveq1 7353	. . . . . 6 ⊢ (𝑚 = (1r‘𝑆) → (𝑚 · 𝑋) = ((1r‘𝑆) · 𝑋))
2	1	eqeq2d 2742	. . . . 5 ⊢ (𝑚 = (1r‘𝑆) → (𝑋 = (𝑚 · 𝑋) ↔ 𝑋 = ((1r‘𝑆) · 𝑋)))
3		prjspertr.s	. . . . . . 7 ⊢ 𝑆 = (Scalar‘𝑉)
4		prjspertr.k	. . . . . . 7 ⊢ 𝐾 = (Base‘𝑆)
5		eqid 2731	. . . . . . 7 ⊢ (1r‘𝑆) = (1r‘𝑆)
6	3, 4, 5	lmod1cl 20822	. . . . . 6 ⊢ (𝑉 ∈ LMod → (1r‘𝑆) ∈ 𝐾)
7	6	adantr 480	. . . . 5 ⊢ ((𝑉 ∈ LMod ∧ 𝑋 ∈ 𝐵) → (1r‘𝑆) ∈ 𝐾)
8		eldifi 4078	. . . . . . . 8 ⊢ (𝑋 ∈ ((Base‘𝑉) ∖ {(0g‘𝑉)}) → 𝑋 ∈ (Base‘𝑉))
9		prjspertr.b	. . . . . . . 8 ⊢ 𝐵 = ((Base‘𝑉) ∖ {(0g‘𝑉)})
10	8, 9	eleq2s 2849	. . . . . . 7 ⊢ (𝑋 ∈ 𝐵 → 𝑋 ∈ (Base‘𝑉))
11		eqid 2731	. . . . . . . 8 ⊢ (Base‘𝑉) = (Base‘𝑉)
12		prjspertr.x	. . . . . . . 8 ⊢ · = ( ·𝑠 ‘𝑉)
13	11, 3, 12, 5	lmodvs1 20823	. . . . . . 7 ⊢ ((𝑉 ∈ LMod ∧ 𝑋 ∈ (Base‘𝑉)) → ((1r‘𝑆) · 𝑋) = 𝑋)
14	10, 13	sylan2 593	. . . . . 6 ⊢ ((𝑉 ∈ LMod ∧ 𝑋 ∈ 𝐵) → ((1r‘𝑆) · 𝑋) = 𝑋)
15	14	eqcomd 2737	. . . . 5 ⊢ ((𝑉 ∈ LMod ∧ 𝑋 ∈ 𝐵) → 𝑋 = ((1r‘𝑆) · 𝑋))
16	2, 7, 15	rspcedvdw 3575	. . . 4 ⊢ ((𝑉 ∈ LMod ∧ 𝑋 ∈ 𝐵) → ∃𝑚 ∈ 𝐾 𝑋 = (𝑚 · 𝑋))
17	16	ex 412	. . 3 ⊢ (𝑉 ∈ LMod → (𝑋 ∈ 𝐵 → ∃𝑚 ∈ 𝐾 𝑋 = (𝑚 · 𝑋)))
18	17	pm4.71d 561	. 2 ⊢ (𝑉 ∈ LMod → (𝑋 ∈ 𝐵 ↔ (𝑋 ∈ 𝐵 ∧ ∃𝑚 ∈ 𝐾 𝑋 = (𝑚 · 𝑋))))
19		pm4.24 563	. . . 4 ⊢ (𝑋 ∈ 𝐵 ↔ (𝑋 ∈ 𝐵 ∧ 𝑋 ∈ 𝐵))
20	19	anbi1i 624	. . 3 ⊢ ((𝑋 ∈ 𝐵 ∧ ∃𝑚 ∈ 𝐾 𝑋 = (𝑚 · 𝑋)) ↔ ((𝑋 ∈ 𝐵 ∧ 𝑋 ∈ 𝐵) ∧ ∃𝑚 ∈ 𝐾 𝑋 = (𝑚 · 𝑋)))
21		prjsprel.1	. . . 4 ⊢ ∼ = {⟨𝑥, 𝑦⟩ ∣ ((𝑥 ∈ 𝐵 ∧ 𝑦 ∈ 𝐵) ∧ ∃𝑙 ∈ 𝐾 𝑥 = (𝑙 · 𝑦))}
22	21	prjsprel 42707	. . 3 ⊢ (𝑋 ∼ 𝑋 ↔ ((𝑋 ∈ 𝐵 ∧ 𝑋 ∈ 𝐵) ∧ ∃𝑚 ∈ 𝐾 𝑋 = (𝑚 · 𝑋)))
23	20, 22	bitr4i 278	. 2 ⊢ ((𝑋 ∈ 𝐵 ∧ ∃𝑚 ∈ 𝐾 𝑋 = (𝑚 · 𝑋)) ↔ 𝑋 ∼ 𝑋)
24	18, 23	bitrdi 287	1 ⊢ (𝑉 ∈ LMod → (𝑋 ∈ 𝐵 ↔ 𝑋 ∼ 𝑋))

Syntax hints:   → wi 4   ↔ wb 206   ∧ wa 395   = wceq 1541   ∈ wcel 2111  ∃wrex 3056   ∖ cdif 3894  {csn 4573   class class class wbr 5089  {copab 5151  ‘cfv 6481  (class class class)co 7346  Basecbs 17120  Scalarcsca 17164   ·_𝑠 cvsca 17165  0_gc0g 17343  1_rcur 20099  LModclmod 20793

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1796  ax-4 1810  ax-5 1911  ax-6 1968  ax-7 2009  ax-8 2113  ax-9 2121  ax-10 2144  ax-11 2160  ax-12 2180  ax-ext 2703  ax-sep 5232  ax-nul 5242  ax-pow 5301  ax-pr 5368  ax-un 7668  ax-cnex 11062  ax-resscn 11063  ax-1cn 11064  ax-icn 11065  ax-addcl 11066  ax-addrcl 11067  ax-mulcl 11068  ax-mulrcl 11069  ax-mulcom 11070  ax-addass 11071  ax-mulass 11072  ax-distr 11073  ax-i2m1 11074  ax-1ne0 11075  ax-1rid 11076  ax-rnegex 11077  ax-rrecex 11078  ax-cnre 11079  ax-pre-lttri 11080  ax-pre-lttrn 11081  ax-pre-ltadd 11082  ax-pre-mulgt0 11083

This theorem depends on definitions:  df-bi 207  df-an 396  df-or 848  df-3or 1087  df-3an 1088  df-tru 1544  df-fal 1554  df-ex 1781  df-nf 1785  df-sb 2068  df-mo 2535  df-eu 2564  df-clab 2710  df-cleq 2723  df-clel 2806  df-nfc 2881  df-ne 2929  df-nel 3033  df-ral 3048  df-rex 3057  df-rmo 3346  df-reu 3347  df-rab 3396  df-v 3438  df-sbc 3737  df-csb 3846  df-dif 3900  df-un 3902  df-in 3904  df-ss 3914  df-pss 3917  df-nul 4281  df-if 4473  df-pw 4549  df-sn 4574  df-pr 4576  df-op 4580  df-uni 4857  df-iun 4941  df-br 5090  df-opab 5152  df-mpt 5171  df-tr 5197  df-id 5509  df-eprel 5514  df-po 5522  df-so 5523  df-fr 5567  df-we 5569  df-xp 5620  df-rel 5621  df-cnv 5622  df-co 5623  df-dm 5624  df-rn 5625  df-res 5626  df-ima 5627  df-pred 6248  df-ord 6309  df-on 6310  df-lim 6311  df-suc 6312  df-iota 6437  df-fun 6483  df-fn 6484  df-f 6485  df-f1 6486  df-fo 6487  df-f1o 6488  df-fv 6489  df-riota 7303  df-ov 7349  df-oprab 7350  df-mpo 7351  df-om 7797  df-2nd 7922  df-frecs 8211  df-wrecs 8242  df-recs 8291  df-rdg 8329  df-er 8622  df-en 8870  df-dom 8871  df-sdom 8872  df-pnf 11148  df-mnf 11149  df-xr 11150  df-ltxr 11151  df-le 11152  df-sub 11346  df-neg 11347  df-nn 12126  df-2 12188  df-sets 17075  df-slot 17093  df-ndx 17105  df-base 17121  df-plusg 17174  df-0g 17345  df-mgm 18548  df-sgrp 18627  df-mnd 18643  df-mgp 20059  df-ur 20100  df-ring 20153  df-lmod 20795

This theorem is referenced by:  prjsper  42711