Users' Mathboxes Mathbox for Steven Nguyen < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >   Mathboxes  >  prjsperref Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem prjsperref 39134
Description: The relation in ℙ𝕣𝕠𝕛 is reflexive. (Contributed by Steven Nguyen, 30-Apr-2023.)
Hypotheses
Ref Expression
prjsprel.1 = {⟨𝑥, 𝑦⟩ ∣ ((𝑥𝐵𝑦𝐵) ∧ ∃𝑙𝐾 𝑥 = (𝑙 · 𝑦))}
prjspertr.b 𝐵 = ((Base‘𝑉) ∖ {(0g𝑉)})
prjspertr.s 𝑆 = (Scalar‘𝑉)
prjspertr.x · = ( ·𝑠𝑉)
prjspertr.k 𝐾 = (Base‘𝑆)
Assertion
Ref Expression
prjsperref (𝑉 ∈ LMod → (𝑋𝐵𝑋 𝑋))
Distinct variable groups:   𝑥,𝐵,𝑦   𝑥,𝑋,𝑦,𝑙   𝑥,𝐾,𝑦,𝑙   𝑥, · ,𝑦,𝑙
Allowed substitution hints:   𝐵(𝑙)   (𝑥,𝑦,𝑙)   𝑆(𝑥,𝑦,𝑙)   𝑉(𝑥,𝑦,𝑙)

Proof of Theorem prjsperref
Dummy variable 𝑚 is distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 prjspertr.s . . . . . . 7 𝑆 = (Scalar‘𝑉)
2 prjspertr.k . . . . . . 7 𝐾 = (Base‘𝑆)
3 eqid 2818 . . . . . . 7 (1r𝑆) = (1r𝑆)
41, 2, 3lmod1cl 19590 . . . . . 6 (𝑉 ∈ LMod → (1r𝑆) ∈ 𝐾)
54adantr 481 . . . . 5 ((𝑉 ∈ LMod ∧ 𝑋𝐵) → (1r𝑆) ∈ 𝐾)
6 oveq1 7152 . . . . . . 7 (𝑚 = (1r𝑆) → (𝑚 · 𝑋) = ((1r𝑆) · 𝑋))
76eqeq2d 2829 . . . . . 6 (𝑚 = (1r𝑆) → (𝑋 = (𝑚 · 𝑋) ↔ 𝑋 = ((1r𝑆) · 𝑋)))
87adantl 482 . . . . 5 (((𝑉 ∈ LMod ∧ 𝑋𝐵) ∧ 𝑚 = (1r𝑆)) → (𝑋 = (𝑚 · 𝑋) ↔ 𝑋 = ((1r𝑆) · 𝑋)))
9 eldifi 4100 . . . . . . . 8 (𝑋 ∈ ((Base‘𝑉) ∖ {(0g𝑉)}) → 𝑋 ∈ (Base‘𝑉))
10 prjspertr.b . . . . . . . 8 𝐵 = ((Base‘𝑉) ∖ {(0g𝑉)})
119, 10eleq2s 2928 . . . . . . 7 (𝑋𝐵𝑋 ∈ (Base‘𝑉))
12 eqid 2818 . . . . . . . 8 (Base‘𝑉) = (Base‘𝑉)
13 prjspertr.x . . . . . . . 8 · = ( ·𝑠𝑉)
1412, 1, 13, 3lmodvs1 19591 . . . . . . 7 ((𝑉 ∈ LMod ∧ 𝑋 ∈ (Base‘𝑉)) → ((1r𝑆) · 𝑋) = 𝑋)
1511, 14sylan2 592 . . . . . 6 ((𝑉 ∈ LMod ∧ 𝑋𝐵) → ((1r𝑆) · 𝑋) = 𝑋)
1615eqcomd 2824 . . . . 5 ((𝑉 ∈ LMod ∧ 𝑋𝐵) → 𝑋 = ((1r𝑆) · 𝑋))
175, 8, 16rspcedvd 3623 . . . 4 ((𝑉 ∈ LMod ∧ 𝑋𝐵) → ∃𝑚𝐾 𝑋 = (𝑚 · 𝑋))
1817ex 413 . . 3 (𝑉 ∈ LMod → (𝑋𝐵 → ∃𝑚𝐾 𝑋 = (𝑚 · 𝑋)))
1918pm4.71d 562 . 2 (𝑉 ∈ LMod → (𝑋𝐵 ↔ (𝑋𝐵 ∧ ∃𝑚𝐾 𝑋 = (𝑚 · 𝑋))))
20 pm4.24 564 . . . 4 (𝑋𝐵 ↔ (𝑋𝐵𝑋𝐵))
2120anbi1i 623 . . 3 ((𝑋𝐵 ∧ ∃𝑚𝐾 𝑋 = (𝑚 · 𝑋)) ↔ ((𝑋𝐵𝑋𝐵) ∧ ∃𝑚𝐾 𝑋 = (𝑚 · 𝑋)))
22 prjsprel.1 . . . 4 = {⟨𝑥, 𝑦⟩ ∣ ((𝑥𝐵𝑦𝐵) ∧ ∃𝑙𝐾 𝑥 = (𝑙 · 𝑦))}
2322prjsprel 39132 . . 3 (𝑋 𝑋 ↔ ((𝑋𝐵𝑋𝐵) ∧ ∃𝑚𝐾 𝑋 = (𝑚 · 𝑋)))
2421, 23bitr4i 279 . 2 ((𝑋𝐵 ∧ ∃𝑚𝐾 𝑋 = (𝑚 · 𝑋)) ↔ 𝑋 𝑋)
2519, 24syl6bb 288 1 (𝑉 ∈ LMod → (𝑋𝐵𝑋 𝑋))
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  wi 4  wb 207  wa 396   = wceq 1528  wcel 2105  wrex 3136  cdif 3930  {csn 4557   class class class wbr 5057  {copab 5119  cfv 6348  (class class class)co 7145  Basecbs 16471  Scalarcsca 16556   ·𝑠 cvsca 16557  0gc0g 16701  1rcur 19180  LModclmod 19563
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1787  ax-4 1801  ax-5 1902  ax-6 1961  ax-7 2006  ax-8 2107  ax-9 2115  ax-10 2136  ax-11 2151  ax-12 2167  ax-ext 2790  ax-sep 5194  ax-nul 5201  ax-pow 5257  ax-pr 5320  ax-un 7450  ax-cnex 10581  ax-resscn 10582  ax-1cn 10583  ax-icn 10584  ax-addcl 10585  ax-addrcl 10586  ax-mulcl 10587  ax-mulrcl 10588  ax-mulcom 10589  ax-addass 10590  ax-mulass 10591  ax-distr 10592  ax-i2m1 10593  ax-1ne0 10594  ax-1rid 10595  ax-rnegex 10596  ax-rrecex 10597  ax-cnre 10598  ax-pre-lttri 10599  ax-pre-lttrn 10600  ax-pre-ltadd 10601  ax-pre-mulgt0 10602
This theorem depends on definitions:  df-bi 208  df-an 397  df-or 842  df-3or 1080  df-3an 1081  df-tru 1531  df-ex 1772  df-nf 1776  df-sb 2061  df-mo 2615  df-eu 2647  df-clab 2797  df-cleq 2811  df-clel 2890  df-nfc 2960  df-ne 3014  df-nel 3121  df-ral 3140  df-rex 3141  df-reu 3142  df-rmo 3143  df-rab 3144  df-v 3494  df-sbc 3770  df-csb 3881  df-dif 3936  df-un 3938  df-in 3940  df-ss 3949  df-pss 3951  df-nul 4289  df-if 4464  df-pw 4537  df-sn 4558  df-pr 4560  df-tp 4562  df-op 4564  df-uni 4831  df-iun 4912  df-br 5058  df-opab 5120  df-mpt 5138  df-tr 5164  df-id 5453  df-eprel 5458  df-po 5467  df-so 5468  df-fr 5507  df-we 5509  df-xp 5554  df-rel 5555  df-cnv 5556  df-co 5557  df-dm 5558  df-rn 5559  df-res 5560  df-ima 5561  df-pred 6141  df-ord 6187  df-on 6188  df-lim 6189  df-suc 6190  df-iota 6307  df-fun 6350  df-fn 6351  df-f 6352  df-f1 6353  df-fo 6354  df-f1o 6355  df-fv 6356  df-riota 7103  df-ov 7148  df-oprab 7149  df-mpo 7150  df-om 7570  df-wrecs 7936  df-recs 7997  df-rdg 8035  df-er 8278  df-en 8498  df-dom 8499  df-sdom 8500  df-pnf 10665  df-mnf 10666  df-xr 10667  df-ltxr 10668  df-le 10669  df-sub 10860  df-neg 10861  df-nn 11627  df-2 11688  df-ndx 16474  df-slot 16475  df-base 16477  df-sets 16478  df-plusg 16566  df-0g 16703  df-mgm 17840  df-sgrp 17889  df-mnd 17900  df-mgp 19169  df-ur 19181  df-ring 19228  df-lmod 19565
This theorem is referenced by:  prjsper  39136
  Copyright terms: Public domain W3C validator