Users' Mathboxes Mathbox for Steven Nguyen < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >   Mathboxes  >  prjsperref Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem prjsperref 42563
Description: The relation in ℙ𝕣𝕠𝕛 is reflexive. (Contributed by Steven Nguyen, 30-Apr-2023.)
Hypotheses
Ref Expression
prjsprel.1 = {⟨𝑥, 𝑦⟩ ∣ ((𝑥𝐵𝑦𝐵) ∧ ∃𝑙𝐾 𝑥 = (𝑙 · 𝑦))}
prjspertr.b 𝐵 = ((Base‘𝑉) ∖ {(0g𝑉)})
prjspertr.s 𝑆 = (Scalar‘𝑉)
prjspertr.x · = ( ·𝑠𝑉)
prjspertr.k 𝐾 = (Base‘𝑆)
Assertion
Ref Expression
prjsperref (𝑉 ∈ LMod → (𝑋𝐵𝑋 𝑋))
Distinct variable groups:   𝑥,𝐵,𝑦   𝑥,𝑋,𝑦,𝑙   𝑥,𝐾,𝑦,𝑙   𝑥, · ,𝑦,𝑙
Allowed substitution hints:   𝐵(𝑙)   (𝑥,𝑦,𝑙)   𝑆(𝑥,𝑦,𝑙)   𝑉(𝑥,𝑦,𝑙)

Proof of Theorem prjsperref
Dummy variable 𝑚 is distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 oveq1 7457 . . . . . 6 (𝑚 = (1r𝑆) → (𝑚 · 𝑋) = ((1r𝑆) · 𝑋))
21eqeq2d 2751 . . . . 5 (𝑚 = (1r𝑆) → (𝑋 = (𝑚 · 𝑋) ↔ 𝑋 = ((1r𝑆) · 𝑋)))
3 prjspertr.s . . . . . . 7 𝑆 = (Scalar‘𝑉)
4 prjspertr.k . . . . . . 7 𝐾 = (Base‘𝑆)
5 eqid 2740 . . . . . . 7 (1r𝑆) = (1r𝑆)
63, 4, 5lmod1cl 20911 . . . . . 6 (𝑉 ∈ LMod → (1r𝑆) ∈ 𝐾)
76adantr 480 . . . . 5 ((𝑉 ∈ LMod ∧ 𝑋𝐵) → (1r𝑆) ∈ 𝐾)
8 eldifi 4154 . . . . . . . 8 (𝑋 ∈ ((Base‘𝑉) ∖ {(0g𝑉)}) → 𝑋 ∈ (Base‘𝑉))
9 prjspertr.b . . . . . . . 8 𝐵 = ((Base‘𝑉) ∖ {(0g𝑉)})
108, 9eleq2s 2862 . . . . . . 7 (𝑋𝐵𝑋 ∈ (Base‘𝑉))
11 eqid 2740 . . . . . . . 8 (Base‘𝑉) = (Base‘𝑉)
12 prjspertr.x . . . . . . . 8 · = ( ·𝑠𝑉)
1311, 3, 12, 5lmodvs1 20912 . . . . . . 7 ((𝑉 ∈ LMod ∧ 𝑋 ∈ (Base‘𝑉)) → ((1r𝑆) · 𝑋) = 𝑋)
1410, 13sylan2 592 . . . . . 6 ((𝑉 ∈ LMod ∧ 𝑋𝐵) → ((1r𝑆) · 𝑋) = 𝑋)
1514eqcomd 2746 . . . . 5 ((𝑉 ∈ LMod ∧ 𝑋𝐵) → 𝑋 = ((1r𝑆) · 𝑋))
162, 7, 15rspcedvdw 3638 . . . 4 ((𝑉 ∈ LMod ∧ 𝑋𝐵) → ∃𝑚𝐾 𝑋 = (𝑚 · 𝑋))
1716ex 412 . . 3 (𝑉 ∈ LMod → (𝑋𝐵 → ∃𝑚𝐾 𝑋 = (𝑚 · 𝑋)))
1817pm4.71d 561 . 2 (𝑉 ∈ LMod → (𝑋𝐵 ↔ (𝑋𝐵 ∧ ∃𝑚𝐾 𝑋 = (𝑚 · 𝑋))))
19 pm4.24 563 . . . 4 (𝑋𝐵 ↔ (𝑋𝐵𝑋𝐵))
2019anbi1i 623 . . 3 ((𝑋𝐵 ∧ ∃𝑚𝐾 𝑋 = (𝑚 · 𝑋)) ↔ ((𝑋𝐵𝑋𝐵) ∧ ∃𝑚𝐾 𝑋 = (𝑚 · 𝑋)))
21 prjsprel.1 . . . 4 = {⟨𝑥, 𝑦⟩ ∣ ((𝑥𝐵𝑦𝐵) ∧ ∃𝑙𝐾 𝑥 = (𝑙 · 𝑦))}
2221prjsprel 42561 . . 3 (𝑋 𝑋 ↔ ((𝑋𝐵𝑋𝐵) ∧ ∃𝑚𝐾 𝑋 = (𝑚 · 𝑋)))
2320, 22bitr4i 278 . 2 ((𝑋𝐵 ∧ ∃𝑚𝐾 𝑋 = (𝑚 · 𝑋)) ↔ 𝑋 𝑋)
2418, 23bitrdi 287 1 (𝑉 ∈ LMod → (𝑋𝐵𝑋 𝑋))
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  wi 4  wb 206  wa 395   = wceq 1537  wcel 2108  wrex 3076  cdif 3973  {csn 4648   class class class wbr 5166  {copab 5228  cfv 6575  (class class class)co 7450  Basecbs 17260  Scalarcsca 17316   ·𝑠 cvsca 17317  0gc0g 17501  1rcur 20210  LModclmod 20882
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1793  ax-4 1807  ax-5 1909  ax-6 1967  ax-7 2007  ax-8 2110  ax-9 2118  ax-10 2141  ax-11 2158  ax-12 2178  ax-ext 2711  ax-sep 5317  ax-nul 5324  ax-pow 5383  ax-pr 5447  ax-un 7772  ax-cnex 11242  ax-resscn 11243  ax-1cn 11244  ax-icn 11245  ax-addcl 11246  ax-addrcl 11247  ax-mulcl 11248  ax-mulrcl 11249  ax-mulcom 11250  ax-addass 11251  ax-mulass 11252  ax-distr 11253  ax-i2m1 11254  ax-1ne0 11255  ax-1rid 11256  ax-rnegex 11257  ax-rrecex 11258  ax-cnre 11259  ax-pre-lttri 11260  ax-pre-lttrn 11261  ax-pre-ltadd 11262  ax-pre-mulgt0 11263
This theorem depends on definitions:  df-bi 207  df-an 396  df-or 847  df-3or 1088  df-3an 1089  df-tru 1540  df-fal 1550  df-ex 1778  df-nf 1782  df-sb 2065  df-mo 2543  df-eu 2572  df-clab 2718  df-cleq 2732  df-clel 2819  df-nfc 2895  df-ne 2947  df-nel 3053  df-ral 3068  df-rex 3077  df-rmo 3388  df-reu 3389  df-rab 3444  df-v 3490  df-sbc 3805  df-csb 3922  df-dif 3979  df-un 3981  df-in 3983  df-ss 3993  df-pss 3996  df-nul 4353  df-if 4549  df-pw 4624  df-sn 4649  df-pr 4651  df-op 4655  df-uni 4932  df-iun 5017  df-br 5167  df-opab 5229  df-mpt 5250  df-tr 5284  df-id 5593  df-eprel 5599  df-po 5607  df-so 5608  df-fr 5652  df-we 5654  df-xp 5706  df-rel 5707  df-cnv 5708  df-co 5709  df-dm 5710  df-rn 5711  df-res 5712  df-ima 5713  df-pred 6334  df-ord 6400  df-on 6401  df-lim 6402  df-suc 6403  df-iota 6527  df-fun 6577  df-fn 6578  df-f 6579  df-f1 6580  df-fo 6581  df-f1o 6582  df-fv 6583  df-riota 7406  df-ov 7453  df-oprab 7454  df-mpo 7455  df-om 7906  df-2nd 8033  df-frecs 8324  df-wrecs 8355  df-recs 8429  df-rdg 8468  df-er 8765  df-en 9006  df-dom 9007  df-sdom 9008  df-pnf 11328  df-mnf 11329  df-xr 11330  df-ltxr 11331  df-le 11332  df-sub 11524  df-neg 11525  df-nn 12296  df-2 12358  df-sets 17213  df-slot 17231  df-ndx 17243  df-base 17261  df-plusg 17326  df-0g 17503  df-mgm 18680  df-sgrp 18759  df-mnd 18775  df-mgp 20164  df-ur 20211  df-ring 20264  df-lmod 20884
This theorem is referenced by:  prjsper  42565
  Copyright terms: Public domain W3C validator