Theorem prjsperref 43071

Description: The relation in ℙ𝕣𝕠𝕛 is reflexive. (Contributed by Steven Nguyen, 30-Apr-2023.)

Hypotheses

Ref	Expression
prjsprel.1	⊢ ∼ = {⟨𝑥, 𝑦⟩ ∣ ((𝑥 ∈ 𝐵 ∧ 𝑦 ∈ 𝐵) ∧ ∃𝑙 ∈ 𝐾 𝑥 = (𝑙 · 𝑦))}
prjspertr.b	⊢ 𝐵 = ((Base‘𝑉) ∖ {(0g‘𝑉)})
prjspertr.s	⊢ 𝑆 = (Scalar‘𝑉)
prjspertr.x	⊢ · = ( ·𝑠 ‘𝑉)
prjspertr.k	⊢ 𝐾 = (Base‘𝑆)

Assertion

Ref	Expression
prjsperref	⊢ (𝑉 ∈ LMod → (𝑋 ∈ 𝐵 ↔ 𝑋 ∼ 𝑋))

Distinct variable groups:   𝑥,𝐵,𝑦   𝑥,𝑋,𝑦,𝑙   𝑥,𝐾,𝑦,𝑙   𝑥, · ,𝑦,𝑙

Allowed substitution hints:   𝐵(𝑙)   ∼ (𝑥,𝑦,𝑙)   𝑆(𝑥,𝑦,𝑙)   𝑉(𝑥,𝑦,𝑙)

Proof of Theorem prjsperref

Dummy variable 𝑚 is distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		oveq1 7367	. . . . . 6 ⊢ (𝑚 = (1r‘𝑆) → (𝑚 · 𝑋) = ((1r‘𝑆) · 𝑋))
2	1	eqeq2d 2752	. . . . 5 ⊢ (𝑚 = (1r‘𝑆) → (𝑋 = (𝑚 · 𝑋) ↔ 𝑋 = ((1r‘𝑆) · 𝑋)))
3		prjspertr.s	. . . . . . 7 ⊢ 𝑆 = (Scalar‘𝑉)
4		prjspertr.k	. . . . . . 7 ⊢ 𝐾 = (Base‘𝑆)
5		eqid 2741	. . . . . . 7 ⊢ (1r‘𝑆) = (1r‘𝑆)
6	3, 4, 5	lmod1cl 20883	. . . . . 6 ⊢ (𝑉 ∈ LMod → (1r‘𝑆) ∈ 𝐾)
7	6	adantr 482	. . . . 5 ⊢ ((𝑉 ∈ LMod ∧ 𝑋 ∈ 𝐵) → (1r‘𝑆) ∈ 𝐾)
8		eldifi 4064	. . . . . . . 8 ⊢ (𝑋 ∈ ((Base‘𝑉) ∖ {(0g‘𝑉)}) → 𝑋 ∈ (Base‘𝑉))
9		prjspertr.b	. . . . . . . 8 ⊢ 𝐵 = ((Base‘𝑉) ∖ {(0g‘𝑉)})
10	8, 9	eleq2s 2859	. . . . . . 7 ⊢ (𝑋 ∈ 𝐵 → 𝑋 ∈ (Base‘𝑉))
11		eqid 2741	. . . . . . . 8 ⊢ (Base‘𝑉) = (Base‘𝑉)
12		prjspertr.x	. . . . . . . 8 ⊢ · = ( ·𝑠 ‘𝑉)
13	11, 3, 12, 5	lmodvs1 20884	. . . . . . 7 ⊢ ((𝑉 ∈ LMod ∧ 𝑋 ∈ (Base‘𝑉)) → ((1r‘𝑆) · 𝑋) = 𝑋)
14	10, 13	sylan2 600	. . . . . 6 ⊢ ((𝑉 ∈ LMod ∧ 𝑋 ∈ 𝐵) → ((1r‘𝑆) · 𝑋) = 𝑋)
15	14	eqcomd 2747	. . . . 5 ⊢ ((𝑉 ∈ LMod ∧ 𝑋 ∈ 𝐵) → 𝑋 = ((1r‘𝑆) · 𝑋))
16	2, 7, 15	rspcedvdw 3565	. . . 4 ⊢ ((𝑉 ∈ LMod ∧ 𝑋 ∈ 𝐵) → ∃𝑚 ∈ 𝐾 𝑋 = (𝑚 · 𝑋))
17	16	ex 414	. . 3 ⊢ (𝑉 ∈ LMod → (𝑋 ∈ 𝐵 → ∃𝑚 ∈ 𝐾 𝑋 = (𝑚 · 𝑋)))
18	17	pm4.71d 567	. 2 ⊢ (𝑉 ∈ LMod → (𝑋 ∈ 𝐵 ↔ (𝑋 ∈ 𝐵 ∧ ∃𝑚 ∈ 𝐾 𝑋 = (𝑚 · 𝑋))))
19		pm4.24 569	. . . 4 ⊢ (𝑋 ∈ 𝐵 ↔ (𝑋 ∈ 𝐵 ∧ 𝑋 ∈ 𝐵))
20	19	anbi1i 631	. . 3 ⊢ ((𝑋 ∈ 𝐵 ∧ ∃𝑚 ∈ 𝐾 𝑋 = (𝑚 · 𝑋)) ↔ ((𝑋 ∈ 𝐵 ∧ 𝑋 ∈ 𝐵) ∧ ∃𝑚 ∈ 𝐾 𝑋 = (𝑚 · 𝑋)))
21		prjsprel.1	. . . 4 ⊢ ∼ = {⟨𝑥, 𝑦⟩ ∣ ((𝑥 ∈ 𝐵 ∧ 𝑦 ∈ 𝐵) ∧ ∃𝑙 ∈ 𝐾 𝑥 = (𝑙 · 𝑦))}
22	21	prjsprel 43069	. . 3 ⊢ (𝑋 ∼ 𝑋 ↔ ((𝑋 ∈ 𝐵 ∧ 𝑋 ∈ 𝐵) ∧ ∃𝑚 ∈ 𝐾 𝑋 = (𝑚 · 𝑋)))
23	20, 22	bitr4i 280	. 2 ⊢ ((𝑋 ∈ 𝐵 ∧ ∃𝑚 ∈ 𝐾 𝑋 = (𝑚 · 𝑋)) ↔ 𝑋 ∼ 𝑋)
24	18, 23	bitrdi 289	1 ⊢ (𝑉 ∈ LMod → (𝑋 ∈ 𝐵 ↔ 𝑋 ∼ 𝑋))

Syntax hints:   → wi 4   ↔ wb 208   ∧ wa 397   = wceq 1548   ∈ wcel 2121  ∃wrex 3065   ∖ cdif 3882  {csn 4558   class class class wbr 5075  {copab 5137  ‘cfv 6489  (class class class)co 7360  Basecbs 17174  Scalarcsca 17218   ·_𝑠 cvsca 17219  0_gc0g 17397  1_rcur 20157  LModclmod 20854

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1803  ax-4 1817  ax-5 1918  ax-6 1975  ax-7 2016  ax-8 2123  ax-9 2131  ax-10 2154  ax-11 2170  ax-12 2191  ax-ext 2713  ax-sep 5221  ax-nul 5231  ax-pow 5297  ax-pr 5365  ax-un 7682  ax-cnex 11089  ax-resscn 11090  ax-1cn 11091  ax-icn 11092  ax-addcl 11093  ax-addrcl 11094  ax-mulcl 11095  ax-mulrcl 11096  ax-mulcom 11097  ax-addass 11098  ax-mulass 11099  ax-distr 11100  ax-i2m1 11101  ax-1ne0 11102  ax-1rid 11103  ax-rnegex 11104  ax-rrecex 11105  ax-cnre 11106  ax-pre-lttri 11107  ax-pre-lttrn 11108  ax-pre-ltadd 11109  ax-pre-mulgt0 11110

This theorem depends on definitions:  df-bi 209  df-an 398  df-or 855  df-3or 1094  df-3an 1095  df-tru 1551  df-fal 1561  df-ex 1788  df-nf 1792  df-sb 2075  df-mo 2545  df-eu 2575  df-clab 2720  df-cleq 2733  df-clel 2816  df-nfc 2890  df-ne 2937  df-nel 3041  df-ral 3056  df-rex 3066  df-rmo 3346  df-reu 3347  df-rab 3394  df-v 3435  df-sbc 3726  df-csb 3834  df-dif 3888  df-un 3890  df-in 3892  df-ss 3902  df-pss 3905  df-nul 4265  df-if 4458  df-pw 4534  df-sn 4559  df-pr 4561  df-op 4565  df-uni 4842  df-iun 4926  df-br 5076  df-opab 5138  df-mpt 5157  df-tr 5183  df-id 5516  df-eprel 5521  df-po 5529  df-so 5530  df-fr 5574  df-we 5576  df-xp 5627  df-rel 5628  df-cnv 5629  df-co 5630  df-dm 5631  df-rn 5632  df-res 5633  df-ima 5634  df-pred 6256  df-ord 6317  df-on 6318  df-lim 6319  df-suc 6320  df-iota 6445  df-fun 6491  df-fn 6492  df-f 6493  df-f1 6494  df-fo 6495  df-f1o 6496  df-fv 6497  df-riota 7317  df-ov 7363  df-oprab 7364  df-mpo 7365  df-om 7811  df-2nd 7936  df-frecs 8225  df-wrecs 8256  df-recs 8305  df-rdg 8343  df-er 8637  df-en 8888  df-dom 8889  df-sdom 8890  df-pnf 11176  df-mnf 11177  df-xr 11178  df-ltxr 11179  df-le 11180  df-sub 11374  df-neg 11375  df-nn 12170  df-2 12239  df-sets 17129  df-slot 17147  df-ndx 17159  df-base 17175  df-plusg 17228  df-0g 17399  df-mgm 18603  df-sgrp 18682  df-mnd 18698  df-mgp 20117  df-ur 20158  df-ring 20211  df-lmod 20856

This theorem is referenced by:  prjsper  43073