Users' Mathboxes Mathbox for Steven Nguyen < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >   Mathboxes  >  prjsperref Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem prjsperref 42494
Description: The relation in ℙ𝕣𝕠𝕛 is reflexive. (Contributed by Steven Nguyen, 30-Apr-2023.)
Hypotheses
Ref Expression
prjsprel.1 = {⟨𝑥, 𝑦⟩ ∣ ((𝑥𝐵𝑦𝐵) ∧ ∃𝑙𝐾 𝑥 = (𝑙 · 𝑦))}
prjspertr.b 𝐵 = ((Base‘𝑉) ∖ {(0g𝑉)})
prjspertr.s 𝑆 = (Scalar‘𝑉)
prjspertr.x · = ( ·𝑠𝑉)
prjspertr.k 𝐾 = (Base‘𝑆)
Assertion
Ref Expression
prjsperref (𝑉 ∈ LMod → (𝑋𝐵𝑋 𝑋))
Distinct variable groups:   𝑥,𝐵,𝑦   𝑥,𝑋,𝑦,𝑙   𝑥,𝐾,𝑦,𝑙   𝑥, · ,𝑦,𝑙
Allowed substitution hints:   𝐵(𝑙)   (𝑥,𝑦,𝑙)   𝑆(𝑥,𝑦,𝑙)   𝑉(𝑥,𝑦,𝑙)

Proof of Theorem prjsperref
Dummy variable 𝑚 is distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 oveq1 7452 . . . . . 6 (𝑚 = (1r𝑆) → (𝑚 · 𝑋) = ((1r𝑆) · 𝑋))
21eqeq2d 2745 . . . . 5 (𝑚 = (1r𝑆) → (𝑋 = (𝑚 · 𝑋) ↔ 𝑋 = ((1r𝑆) · 𝑋)))
3 prjspertr.s . . . . . . 7 𝑆 = (Scalar‘𝑉)
4 prjspertr.k . . . . . . 7 𝐾 = (Base‘𝑆)
5 eqid 2734 . . . . . . 7 (1r𝑆) = (1r𝑆)
63, 4, 5lmod1cl 20904 . . . . . 6 (𝑉 ∈ LMod → (1r𝑆) ∈ 𝐾)
76adantr 480 . . . . 5 ((𝑉 ∈ LMod ∧ 𝑋𝐵) → (1r𝑆) ∈ 𝐾)
8 eldifi 4148 . . . . . . . 8 (𝑋 ∈ ((Base‘𝑉) ∖ {(0g𝑉)}) → 𝑋 ∈ (Base‘𝑉))
9 prjspertr.b . . . . . . . 8 𝐵 = ((Base‘𝑉) ∖ {(0g𝑉)})
108, 9eleq2s 2856 . . . . . . 7 (𝑋𝐵𝑋 ∈ (Base‘𝑉))
11 eqid 2734 . . . . . . . 8 (Base‘𝑉) = (Base‘𝑉)
12 prjspertr.x . . . . . . . 8 · = ( ·𝑠𝑉)
1311, 3, 12, 5lmodvs1 20905 . . . . . . 7 ((𝑉 ∈ LMod ∧ 𝑋 ∈ (Base‘𝑉)) → ((1r𝑆) · 𝑋) = 𝑋)
1410, 13sylan2 592 . . . . . 6 ((𝑉 ∈ LMod ∧ 𝑋𝐵) → ((1r𝑆) · 𝑋) = 𝑋)
1514eqcomd 2740 . . . . 5 ((𝑉 ∈ LMod ∧ 𝑋𝐵) → 𝑋 = ((1r𝑆) · 𝑋))
162, 7, 15rspcedvdw 3634 . . . 4 ((𝑉 ∈ LMod ∧ 𝑋𝐵) → ∃𝑚𝐾 𝑋 = (𝑚 · 𝑋))
1716ex 412 . . 3 (𝑉 ∈ LMod → (𝑋𝐵 → ∃𝑚𝐾 𝑋 = (𝑚 · 𝑋)))
1817pm4.71d 561 . 2 (𝑉 ∈ LMod → (𝑋𝐵 ↔ (𝑋𝐵 ∧ ∃𝑚𝐾 𝑋 = (𝑚 · 𝑋))))
19 pm4.24 563 . . . 4 (𝑋𝐵 ↔ (𝑋𝐵𝑋𝐵))
2019anbi1i 623 . . 3 ((𝑋𝐵 ∧ ∃𝑚𝐾 𝑋 = (𝑚 · 𝑋)) ↔ ((𝑋𝐵𝑋𝐵) ∧ ∃𝑚𝐾 𝑋 = (𝑚 · 𝑋)))
21 prjsprel.1 . . . 4 = {⟨𝑥, 𝑦⟩ ∣ ((𝑥𝐵𝑦𝐵) ∧ ∃𝑙𝐾 𝑥 = (𝑙 · 𝑦))}
2221prjsprel 42492 . . 3 (𝑋 𝑋 ↔ ((𝑋𝐵𝑋𝐵) ∧ ∃𝑚𝐾 𝑋 = (𝑚 · 𝑋)))
2320, 22bitr4i 278 . 2 ((𝑋𝐵 ∧ ∃𝑚𝐾 𝑋 = (𝑚 · 𝑋)) ↔ 𝑋 𝑋)
2418, 23bitrdi 287 1 (𝑉 ∈ LMod → (𝑋𝐵𝑋 𝑋))
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  wi 4  wb 206  wa 395   = wceq 1537  wcel 2103  wrex 3072  cdif 3967  {csn 4648   class class class wbr 5169  {copab 5231  cfv 6572  (class class class)co 7445  Basecbs 17253  Scalarcsca 17309   ·𝑠 cvsca 17310  0gc0g 17494  1rcur 20203  LModclmod 20875
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1793  ax-4 1807  ax-5 1909  ax-6 1967  ax-7 2007  ax-8 2105  ax-9 2113  ax-10 2136  ax-11 2153  ax-12 2173  ax-ext 2705  ax-sep 5320  ax-nul 5327  ax-pow 5386  ax-pr 5450  ax-un 7766  ax-cnex 11236  ax-resscn 11237  ax-1cn 11238  ax-icn 11239  ax-addcl 11240  ax-addrcl 11241  ax-mulcl 11242  ax-mulrcl 11243  ax-mulcom 11244  ax-addass 11245  ax-mulass 11246  ax-distr 11247  ax-i2m1 11248  ax-1ne0 11249  ax-1rid 11250  ax-rnegex 11251  ax-rrecex 11252  ax-cnre 11253  ax-pre-lttri 11254  ax-pre-lttrn 11255  ax-pre-ltadd 11256  ax-pre-mulgt0 11257
This theorem depends on definitions:  df-bi 207  df-an 396  df-or 847  df-3or 1088  df-3an 1089  df-tru 1540  df-fal 1550  df-ex 1778  df-nf 1782  df-sb 2065  df-mo 2537  df-eu 2566  df-clab 2712  df-cleq 2726  df-clel 2813  df-nfc 2890  df-ne 2943  df-nel 3049  df-ral 3064  df-rex 3073  df-rmo 3383  df-reu 3384  df-rab 3439  df-v 3484  df-sbc 3799  df-csb 3916  df-dif 3973  df-un 3975  df-in 3977  df-ss 3987  df-pss 3990  df-nul 4348  df-if 4549  df-pw 4624  df-sn 4649  df-pr 4651  df-op 4655  df-uni 4932  df-iun 5021  df-br 5170  df-opab 5232  df-mpt 5253  df-tr 5287  df-id 5597  df-eprel 5603  df-po 5611  df-so 5612  df-fr 5654  df-we 5656  df-xp 5705  df-rel 5706  df-cnv 5707  df-co 5708  df-dm 5709  df-rn 5710  df-res 5711  df-ima 5712  df-pred 6331  df-ord 6397  df-on 6398  df-lim 6399  df-suc 6400  df-iota 6524  df-fun 6574  df-fn 6575  df-f 6576  df-f1 6577  df-fo 6578  df-f1o 6579  df-fv 6580  df-riota 7401  df-ov 7448  df-oprab 7449  df-mpo 7450  df-om 7900  df-2nd 8027  df-frecs 8318  df-wrecs 8349  df-recs 8423  df-rdg 8462  df-er 8759  df-en 9000  df-dom 9001  df-sdom 9002  df-pnf 11322  df-mnf 11323  df-xr 11324  df-ltxr 11325  df-le 11326  df-sub 11518  df-neg 11519  df-nn 12290  df-2 12352  df-sets 17206  df-slot 17224  df-ndx 17236  df-base 17254  df-plusg 17319  df-0g 17496  df-mgm 18673  df-sgrp 18752  df-mnd 18768  df-mgp 20157  df-ur 20204  df-ring 20257  df-lmod 20877
This theorem is referenced by:  prjsper  42496
  Copyright terms: Public domain W3C validator