MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  radcnvlt2 Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem radcnvlt2 26463
Description: If 𝑋 is within the open disk of radius 𝑅 centered at zero, then the infinite series converges at 𝑋. (Contributed by Mario Carneiro, 26-Feb-2015.)
Hypotheses
Ref Expression
pser.g 𝐺 = (𝑥 ∈ ℂ ↦ (𝑛 ∈ ℕ0 ↦ ((𝐴𝑛) · (𝑥𝑛))))
radcnv.a (𝜑𝐴:ℕ0⟶ℂ)
radcnv.r 𝑅 = sup({𝑟 ∈ ℝ ∣ seq0( + , (𝐺𝑟)) ∈ dom ⇝ }, ℝ*, < )
radcnvlt.x (𝜑𝑋 ∈ ℂ)
radcnvlt.a (𝜑 → (abs‘𝑋) < 𝑅)
Assertion
Ref Expression
radcnvlt2 (𝜑 → seq0( + , (𝐺𝑋)) ∈ dom ⇝ )
Distinct variable groups:   𝑥,𝑛,𝐴   𝐺,𝑟
Allowed substitution hints:   𝜑(𝑥,𝑛,𝑟)   𝐴(𝑟)   𝑅(𝑥,𝑛,𝑟)   𝐺(𝑥,𝑛)   𝑋(𝑥,𝑛,𝑟)

Proof of Theorem radcnvlt2
Dummy variables 𝑘 𝑚 are mutually distinct and distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 nn0uz 12921 . 2 0 = (ℤ‘0)
2 0zd 12627 . 2 (𝜑 → 0 ∈ ℤ)
3 pser.g . . . 4 𝐺 = (𝑥 ∈ ℂ ↦ (𝑛 ∈ ℕ0 ↦ ((𝐴𝑛) · (𝑥𝑛))))
4 radcnv.a . . . 4 (𝜑𝐴:ℕ0⟶ℂ)
5 radcnvlt.x . . . 4 (𝜑𝑋 ∈ ℂ)
63, 4, 5psergf 26456 . . 3 (𝜑 → (𝐺𝑋):ℕ0⟶ℂ)
7 fvco3 7007 . . 3 (((𝐺𝑋):ℕ0⟶ℂ ∧ 𝑘 ∈ ℕ0) → ((abs ∘ (𝐺𝑋))‘𝑘) = (abs‘((𝐺𝑋)‘𝑘)))
86, 7sylan 580 . 2 ((𝜑𝑘 ∈ ℕ0) → ((abs ∘ (𝐺𝑋))‘𝑘) = (abs‘((𝐺𝑋)‘𝑘)))
96ffvelcdmda 7103 . 2 ((𝜑𝑘 ∈ ℕ0) → ((𝐺𝑋)‘𝑘) ∈ ℂ)
10 radcnv.r . . . 4 𝑅 = sup({𝑟 ∈ ℝ ∣ seq0( + , (𝐺𝑟)) ∈ dom ⇝ }, ℝ*, < )
11 radcnvlt.a . . . 4 (𝜑 → (abs‘𝑋) < 𝑅)
12 id 22 . . . . . 6 (𝑚 = 𝑘𝑚 = 𝑘)
13 2fveq3 6910 . . . . . 6 (𝑚 = 𝑘 → (abs‘((𝐺𝑋)‘𝑚)) = (abs‘((𝐺𝑋)‘𝑘)))
1412, 13oveq12d 7450 . . . . 5 (𝑚 = 𝑘 → (𝑚 · (abs‘((𝐺𝑋)‘𝑚))) = (𝑘 · (abs‘((𝐺𝑋)‘𝑘))))
1514cbvmptv 5254 . . . 4 (𝑚 ∈ ℕ0 ↦ (𝑚 · (abs‘((𝐺𝑋)‘𝑚)))) = (𝑘 ∈ ℕ0 ↦ (𝑘 · (abs‘((𝐺𝑋)‘𝑘))))
163, 4, 10, 5, 11, 15radcnvlt1 26462 . . 3 (𝜑 → (seq0( + , (𝑚 ∈ ℕ0 ↦ (𝑚 · (abs‘((𝐺𝑋)‘𝑚))))) ∈ dom ⇝ ∧ seq0( + , (abs ∘ (𝐺𝑋))) ∈ dom ⇝ ))
1716simprd 495 . 2 (𝜑 → seq0( + , (abs ∘ (𝐺𝑋))) ∈ dom ⇝ )
181, 2, 8, 9, 17abscvgcvg 15856 1 (𝜑 → seq0( + , (𝐺𝑋)) ∈ dom ⇝ )
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  wi 4   = wceq 1539  wcel 2107  {crab 3435   class class class wbr 5142  cmpt 5224  dom cdm 5684  ccom 5688  wf 6556  cfv 6560  (class class class)co 7432  supcsup 9481  cc 11154  cr 11155  0cc0 11156   + caddc 11159   · cmul 11161  *cxr 11295   < clt 11296  0cn0 12528  seqcseq 14043  cexp 14103  abscabs 15274  cli 15521
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1794  ax-4 1808  ax-5 1909  ax-6 1966  ax-7 2006  ax-8 2109  ax-9 2117  ax-10 2140  ax-11 2156  ax-12 2176  ax-ext 2707  ax-rep 5278  ax-sep 5295  ax-nul 5305  ax-pow 5364  ax-pr 5431  ax-un 7756  ax-inf2 9682  ax-cnex 11212  ax-resscn 11213  ax-1cn 11214  ax-icn 11215  ax-addcl 11216  ax-addrcl 11217  ax-mulcl 11218  ax-mulrcl 11219  ax-mulcom 11220  ax-addass 11221  ax-mulass 11222  ax-distr 11223  ax-i2m1 11224  ax-1ne0 11225  ax-1rid 11226  ax-rnegex 11227  ax-rrecex 11228  ax-cnre 11229  ax-pre-lttri 11230  ax-pre-lttrn 11231  ax-pre-ltadd 11232  ax-pre-mulgt0 11233  ax-pre-sup 11234
This theorem depends on definitions:  df-bi 207  df-an 396  df-or 848  df-3or 1087  df-3an 1088  df-tru 1542  df-fal 1552  df-ex 1779  df-nf 1783  df-sb 2064  df-mo 2539  df-eu 2568  df-clab 2714  df-cleq 2728  df-clel 2815  df-nfc 2891  df-ne 2940  df-nel 3046  df-ral 3061  df-rex 3070  df-rmo 3379  df-reu 3380  df-rab 3436  df-v 3481  df-sbc 3788  df-csb 3899  df-dif 3953  df-un 3955  df-in 3957  df-ss 3967  df-pss 3970  df-nul 4333  df-if 4525  df-pw 4601  df-sn 4626  df-pr 4628  df-op 4632  df-uni 4907  df-int 4946  df-iun 4992  df-br 5143  df-opab 5205  df-mpt 5225  df-tr 5259  df-id 5577  df-eprel 5583  df-po 5591  df-so 5592  df-fr 5636  df-se 5637  df-we 5638  df-xp 5690  df-rel 5691  df-cnv 5692  df-co 5693  df-dm 5694  df-rn 5695  df-res 5696  df-ima 5697  df-pred 6320  df-ord 6386  df-on 6387  df-lim 6388  df-suc 6389  df-iota 6513  df-fun 6562  df-fn 6563  df-f 6564  df-f1 6565  df-fo 6566  df-f1o 6567  df-fv 6568  df-isom 6569  df-riota 7389  df-ov 7435  df-oprab 7436  df-mpo 7437  df-om 7889  df-1st 8015  df-2nd 8016  df-frecs 8307  df-wrecs 8338  df-recs 8412  df-rdg 8451  df-1o 8507  df-er 8746  df-pm 8870  df-en 8987  df-dom 8988  df-sdom 8989  df-fin 8990  df-sup 9483  df-inf 9484  df-oi 9551  df-card 9980  df-pnf 11298  df-mnf 11299  df-xr 11300  df-ltxr 11301  df-le 11302  df-sub 11495  df-neg 11496  df-div 11922  df-nn 12268  df-2 12330  df-3 12331  df-n0 12529  df-z 12616  df-uz 12880  df-rp 13036  df-ico 13394  df-icc 13395  df-fz 13549  df-fzo 13696  df-fl 13833  df-seq 14044  df-exp 14104  df-hash 14371  df-cj 15139  df-re 15140  df-im 15141  df-sqrt 15275  df-abs 15276  df-limsup 15508  df-clim 15525  df-rlim 15526  df-sum 15724
This theorem is referenced by:  pserulm  26466  pserdvlem2  26473  abelthlem3  26478  binomcxplemcvg  44378
  Copyright terms: Public domain W3C validator