Theorem radcnvlt2 25559

Description: If 𝑋 is within the open disk of radius 𝑅 centered at zero, then the infinite series converges at 𝑋. (Contributed by Mario Carneiro, 26-Feb-2015.)

Hypotheses

Ref	Expression
pser.g	⊢ 𝐺 = (𝑥 ∈ ℂ ↦ (𝑛 ∈ ℕ0 ↦ ((𝐴‘𝑛) · (𝑥↑𝑛))))
radcnv.a	⊢ (𝜑 → 𝐴:ℕ0⟶ℂ)
radcnv.r	⊢ 𝑅 = sup({𝑟 ∈ ℝ ∣ seq0( + , (𝐺‘𝑟)) ∈ dom ⇝ }, ℝ*, < )
radcnvlt.x	⊢ (𝜑 → 𝑋 ∈ ℂ)
radcnvlt.a	⊢ (𝜑 → (abs‘𝑋) < 𝑅)

Assertion

Ref	Expression
radcnvlt2	⊢ (𝜑 → seq0( + , (𝐺‘𝑋)) ∈ dom ⇝ )

Distinct variable groups:   𝑥,𝑛,𝐴   𝐺,𝑟

Allowed substitution hints:   𝜑(𝑥,𝑛,𝑟)   𝐴(𝑟)   𝑅(𝑥,𝑛,𝑟)   𝐺(𝑥,𝑛)   𝑋(𝑥,𝑛,𝑟)

Proof of Theorem radcnvlt2

Dummy variables 𝑘 𝑚 are mutually distinct and distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		nn0uz 12602	. 2 ⊢ ℕ0 = (ℤ≥‘0)
2		0zd 12314	. 2 ⊢ (𝜑 → 0 ∈ ℤ)
3		pser.g	. . . 4 ⊢ 𝐺 = (𝑥 ∈ ℂ ↦ (𝑛 ∈ ℕ0 ↦ ((𝐴‘𝑛) · (𝑥↑𝑛))))
4		radcnv.a	. . . 4 ⊢ (𝜑 → 𝐴:ℕ0⟶ℂ)
5		radcnvlt.x	. . . 4 ⊢ (𝜑 → 𝑋 ∈ ℂ)
6	3, 4, 5	psergf 25552	. . 3 ⊢ (𝜑 → (𝐺‘𝑋):ℕ0⟶ℂ)
7		fvco3 6861	. . 3 ⊢ (((𝐺‘𝑋):ℕ0⟶ℂ ∧ 𝑘 ∈ ℕ0) → ((abs ∘ (𝐺‘𝑋))‘𝑘) = (abs‘((𝐺‘𝑋)‘𝑘)))
8	6, 7	sylan 579	. 2 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑘 ∈ ℕ0) → ((abs ∘ (𝐺‘𝑋))‘𝑘) = (abs‘((𝐺‘𝑋)‘𝑘)))
9	6	ffvelrnda 6955	. 2 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑘 ∈ ℕ0) → ((𝐺‘𝑋)‘𝑘) ∈ ℂ)
10		radcnv.r	. . . 4 ⊢ 𝑅 = sup({𝑟 ∈ ℝ ∣ seq0( + , (𝐺‘𝑟)) ∈ dom ⇝ }, ℝ*, < )
11		radcnvlt.a	. . . 4 ⊢ (𝜑 → (abs‘𝑋) < 𝑅)
12		id 22	. . . . . 6 ⊢ (𝑚 = 𝑘 → 𝑚 = 𝑘)
13		2fveq3 6773	. . . . . 6 ⊢ (𝑚 = 𝑘 → (abs‘((𝐺‘𝑋)‘𝑚)) = (abs‘((𝐺‘𝑋)‘𝑘)))
14	12, 13	oveq12d 7286	. . . . 5 ⊢ (𝑚 = 𝑘 → (𝑚 · (abs‘((𝐺‘𝑋)‘𝑚))) = (𝑘 · (abs‘((𝐺‘𝑋)‘𝑘))))
15	14	cbvmptv 5191	. . . 4 ⊢ (𝑚 ∈ ℕ0 ↦ (𝑚 · (abs‘((𝐺‘𝑋)‘𝑚)))) = (𝑘 ∈ ℕ0 ↦ (𝑘 · (abs‘((𝐺‘𝑋)‘𝑘))))
16	3, 4, 10, 5, 11, 15	radcnvlt1 25558	. . 3 ⊢ (𝜑 → (seq0( + , (𝑚 ∈ ℕ0 ↦ (𝑚 · (abs‘((𝐺‘𝑋)‘𝑚))))) ∈ dom ⇝ ∧ seq0( + , (abs ∘ (𝐺‘𝑋))) ∈ dom ⇝ ))
17	16	simprd 495	. 2 ⊢ (𝜑 → seq0( + , (abs ∘ (𝐺‘𝑋))) ∈ dom ⇝ )
18	1, 2, 8, 9, 17	abscvgcvg 15512	1 ⊢ (𝜑 → seq0( + , (𝐺‘𝑋)) ∈ dom ⇝ )

Syntax hints:   → wi 4   = wceq 1541   ∈ wcel 2109  {crab 3069   class class class wbr 5078   ↦ cmpt 5161  dom cdm 5588   ∘ ccom 5592  ⟶wf 6426  ‘cfv 6430  (class class class)co 7268  supcsup 9160  ℂcc 10853  ℝcr 10854  0cc0 10855   + caddc 10858   · cmul 10860  ℝ^*cxr 10992   < clt 10993  ℕ₀cn0 12216  seqcseq 13702  ↑cexp 13763  abscabs 14926   ⇝ cli 15174

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1801  ax-4 1815  ax-5 1916  ax-6 1974  ax-7 2014  ax-8 2111  ax-9 2119  ax-10 2140  ax-11 2157  ax-12 2174  ax-ext 2710  ax-rep 5213  ax-sep 5226  ax-nul 5233  ax-pow 5291  ax-pr 5355  ax-un 7579  ax-inf2 9360  ax-cnex 10911  ax-resscn 10912  ax-1cn 10913  ax-icn 10914  ax-addcl 10915  ax-addrcl 10916  ax-mulcl 10917  ax-mulrcl 10918  ax-mulcom 10919  ax-addass 10920  ax-mulass 10921  ax-distr 10922  ax-i2m1 10923  ax-1ne0 10924  ax-1rid 10925  ax-rnegex 10926  ax-rrecex 10927  ax-cnre 10928  ax-pre-lttri 10929  ax-pre-lttrn 10930  ax-pre-ltadd 10931  ax-pre-mulgt0 10932  ax-pre-sup 10933

This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 396  df-or 844  df-3or 1086  df-3an 1087  df-tru 1544  df-fal 1554  df-ex 1786  df-nf 1790  df-sb 2071  df-mo 2541  df-eu 2570  df-clab 2717  df-cleq 2731  df-clel 2817  df-nfc 2890  df-ne 2945  df-nel 3051  df-ral 3070  df-rex 3071  df-reu 3072  df-rmo 3073  df-rab 3074  df-v 3432  df-sbc 3720  df-csb 3837  df-dif 3894  df-un 3896  df-in 3898  df-ss 3908  df-pss 3910  df-nul 4262  df-if 4465  df-pw 4540  df-sn 4567  df-pr 4569  df-tp 4571  df-op 4573  df-uni 4845  df-int 4885  df-iun 4931  df-br 5079  df-opab 5141  df-mpt 5162  df-tr 5196  df-id 5488  df-eprel 5494  df-po 5502  df-so 5503  df-fr 5543  df-se 5544  df-we 5545  df-xp 5594  df-rel 5595  df-cnv 5596  df-co 5597  df-dm 5598  df-rn 5599  df-res 5600  df-ima 5601  df-pred 6199  df-ord 6266  df-on 6267  df-lim 6268  df-suc 6269  df-iota 6388  df-fun 6432  df-fn 6433  df-f 6434  df-f1 6435  df-fo 6436  df-f1o 6437  df-fv 6438  df-isom 6439  df-riota 7225  df-ov 7271  df-oprab 7272  df-mpo 7273  df-om 7701  df-1st 7817  df-2nd 7818  df-frecs 8081  df-wrecs 8112  df-recs 8186  df-rdg 8225  df-1o 8281  df-er 8472  df-pm 8592  df-en 8708  df-dom 8709  df-sdom 8710  df-fin 8711  df-sup 9162  df-inf 9163  df-oi 9230  df-card 9681  df-pnf 10995  df-mnf 10996  df-xr 10997  df-ltxr 10998  df-le 10999  df-sub 11190  df-neg 11191  df-div 11616  df-nn 11957  df-2 12019  df-3 12020  df-n0 12217  df-z 12303  df-uz 12565  df-rp 12713  df-ico 13067  df-icc 13068  df-fz 13222  df-fzo 13365  df-fl 13493  df-seq 13703  df-exp 13764  df-hash 14026  df-cj 14791  df-re 14792  df-im 14793  df-sqrt 14927  df-abs 14928  df-limsup 15161  df-clim 15178  df-rlim 15179  df-sum 15379

This theorem is referenced by:  pserulm  25562  pserdvlem2  25568  abelthlem3  25573  binomcxplemcvg  41925