MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  radcnvlt2 Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem radcnvlt2 25684
Description: If 𝑋 is within the open disk of radius 𝑅 centered at zero, then the infinite series converges at 𝑋. (Contributed by Mario Carneiro, 26-Feb-2015.)
Hypotheses
Ref Expression
pser.g 𝐺 = (π‘₯ ∈ β„‚ ↦ (𝑛 ∈ β„•0 ↦ ((π΄β€˜π‘›) Β· (π‘₯↑𝑛))))
radcnv.a (πœ‘ β†’ 𝐴:β„•0βŸΆβ„‚)
radcnv.r 𝑅 = sup({π‘Ÿ ∈ ℝ ∣ seq0( + , (πΊβ€˜π‘Ÿ)) ∈ dom ⇝ }, ℝ*, < )
radcnvlt.x (πœ‘ β†’ 𝑋 ∈ β„‚)
radcnvlt.a (πœ‘ β†’ (absβ€˜π‘‹) < 𝑅)
Assertion
Ref Expression
radcnvlt2 (πœ‘ β†’ seq0( + , (πΊβ€˜π‘‹)) ∈ dom ⇝ )
Distinct variable groups:   π‘₯,𝑛,𝐴   𝐺,π‘Ÿ
Allowed substitution hints:   πœ‘(π‘₯,𝑛,π‘Ÿ)   𝐴(π‘Ÿ)   𝑅(π‘₯,𝑛,π‘Ÿ)   𝐺(π‘₯,𝑛)   𝑋(π‘₯,𝑛,π‘Ÿ)

Proof of Theorem radcnvlt2
Dummy variables π‘˜ π‘š are mutually distinct and distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 nn0uz 12721 . 2 β„•0 = (β„€β‰₯β€˜0)
2 0zd 12432 . 2 (πœ‘ β†’ 0 ∈ β„€)
3 pser.g . . . 4 𝐺 = (π‘₯ ∈ β„‚ ↦ (𝑛 ∈ β„•0 ↦ ((π΄β€˜π‘›) Β· (π‘₯↑𝑛))))
4 radcnv.a . . . 4 (πœ‘ β†’ 𝐴:β„•0βŸΆβ„‚)
5 radcnvlt.x . . . 4 (πœ‘ β†’ 𝑋 ∈ β„‚)
63, 4, 5psergf 25677 . . 3 (πœ‘ β†’ (πΊβ€˜π‘‹):β„•0βŸΆβ„‚)
7 fvco3 6923 . . 3 (((πΊβ€˜π‘‹):β„•0βŸΆβ„‚ ∧ π‘˜ ∈ β„•0) β†’ ((abs ∘ (πΊβ€˜π‘‹))β€˜π‘˜) = (absβ€˜((πΊβ€˜π‘‹)β€˜π‘˜)))
86, 7sylan 580 . 2 ((πœ‘ ∧ π‘˜ ∈ β„•0) β†’ ((abs ∘ (πΊβ€˜π‘‹))β€˜π‘˜) = (absβ€˜((πΊβ€˜π‘‹)β€˜π‘˜)))
96ffvelcdmda 7017 . 2 ((πœ‘ ∧ π‘˜ ∈ β„•0) β†’ ((πΊβ€˜π‘‹)β€˜π‘˜) ∈ β„‚)
10 radcnv.r . . . 4 𝑅 = sup({π‘Ÿ ∈ ℝ ∣ seq0( + , (πΊβ€˜π‘Ÿ)) ∈ dom ⇝ }, ℝ*, < )
11 radcnvlt.a . . . 4 (πœ‘ β†’ (absβ€˜π‘‹) < 𝑅)
12 id 22 . . . . . 6 (π‘š = π‘˜ β†’ π‘š = π‘˜)
13 2fveq3 6830 . . . . . 6 (π‘š = π‘˜ β†’ (absβ€˜((πΊβ€˜π‘‹)β€˜π‘š)) = (absβ€˜((πΊβ€˜π‘‹)β€˜π‘˜)))
1412, 13oveq12d 7355 . . . . 5 (π‘š = π‘˜ β†’ (π‘š Β· (absβ€˜((πΊβ€˜π‘‹)β€˜π‘š))) = (π‘˜ Β· (absβ€˜((πΊβ€˜π‘‹)β€˜π‘˜))))
1514cbvmptv 5205 . . . 4 (π‘š ∈ β„•0 ↦ (π‘š Β· (absβ€˜((πΊβ€˜π‘‹)β€˜π‘š)))) = (π‘˜ ∈ β„•0 ↦ (π‘˜ Β· (absβ€˜((πΊβ€˜π‘‹)β€˜π‘˜))))
163, 4, 10, 5, 11, 15radcnvlt1 25683 . . 3 (πœ‘ β†’ (seq0( + , (π‘š ∈ β„•0 ↦ (π‘š Β· (absβ€˜((πΊβ€˜π‘‹)β€˜π‘š))))) ∈ dom ⇝ ∧ seq0( + , (abs ∘ (πΊβ€˜π‘‹))) ∈ dom ⇝ ))
1716simprd 496 . 2 (πœ‘ β†’ seq0( + , (abs ∘ (πΊβ€˜π‘‹))) ∈ dom ⇝ )
181, 2, 8, 9, 17abscvgcvg 15630 1 (πœ‘ β†’ seq0( + , (πΊβ€˜π‘‹)) ∈ dom ⇝ )
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:   β†’ wi 4   = wceq 1540   ∈ wcel 2105  {crab 3403   class class class wbr 5092   ↦ cmpt 5175  dom cdm 5620   ∘ ccom 5624  βŸΆwf 6475  β€˜cfv 6479  (class class class)co 7337  supcsup 9297  β„‚cc 10970  β„cr 10971  0cc0 10972   + caddc 10975   Β· cmul 10977  β„*cxr 11109   < clt 11110  β„•0cn0 12334  seqcseq 13822  β†‘cexp 13883  abscabs 15044   ⇝ cli 15292
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1796  ax-4 1810  ax-5 1912  ax-6 1970  ax-7 2010  ax-8 2107  ax-9 2115  ax-10 2136  ax-11 2153  ax-12 2170  ax-ext 2707  ax-rep 5229  ax-sep 5243  ax-nul 5250  ax-pow 5308  ax-pr 5372  ax-un 7650  ax-inf2 9498  ax-cnex 11028  ax-resscn 11029  ax-1cn 11030  ax-icn 11031  ax-addcl 11032  ax-addrcl 11033  ax-mulcl 11034  ax-mulrcl 11035  ax-mulcom 11036  ax-addass 11037  ax-mulass 11038  ax-distr 11039  ax-i2m1 11040  ax-1ne0 11041  ax-1rid 11042  ax-rnegex 11043  ax-rrecex 11044  ax-cnre 11045  ax-pre-lttri 11046  ax-pre-lttrn 11047  ax-pre-ltadd 11048  ax-pre-mulgt0 11049  ax-pre-sup 11050
This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 397  df-or 845  df-3or 1087  df-3an 1088  df-tru 1543  df-fal 1553  df-ex 1781  df-nf 1785  df-sb 2067  df-mo 2538  df-eu 2567  df-clab 2714  df-cleq 2728  df-clel 2814  df-nfc 2886  df-ne 2941  df-nel 3047  df-ral 3062  df-rex 3071  df-rmo 3349  df-reu 3350  df-rab 3404  df-v 3443  df-sbc 3728  df-csb 3844  df-dif 3901  df-un 3903  df-in 3905  df-ss 3915  df-pss 3917  df-nul 4270  df-if 4474  df-pw 4549  df-sn 4574  df-pr 4576  df-op 4580  df-uni 4853  df-int 4895  df-iun 4943  df-br 5093  df-opab 5155  df-mpt 5176  df-tr 5210  df-id 5518  df-eprel 5524  df-po 5532  df-so 5533  df-fr 5575  df-se 5576  df-we 5577  df-xp 5626  df-rel 5627  df-cnv 5628  df-co 5629  df-dm 5630  df-rn 5631  df-res 5632  df-ima 5633  df-pred 6238  df-ord 6305  df-on 6306  df-lim 6307  df-suc 6308  df-iota 6431  df-fun 6481  df-fn 6482  df-f 6483  df-f1 6484  df-fo 6485  df-f1o 6486  df-fv 6487  df-isom 6488  df-riota 7293  df-ov 7340  df-oprab 7341  df-mpo 7342  df-om 7781  df-1st 7899  df-2nd 7900  df-frecs 8167  df-wrecs 8198  df-recs 8272  df-rdg 8311  df-1o 8367  df-er 8569  df-pm 8689  df-en 8805  df-dom 8806  df-sdom 8807  df-fin 8808  df-sup 9299  df-inf 9300  df-oi 9367  df-card 9796  df-pnf 11112  df-mnf 11113  df-xr 11114  df-ltxr 11115  df-le 11116  df-sub 11308  df-neg 11309  df-div 11734  df-nn 12075  df-2 12137  df-3 12138  df-n0 12335  df-z 12421  df-uz 12684  df-rp 12832  df-ico 13186  df-icc 13187  df-fz 13341  df-fzo 13484  df-fl 13613  df-seq 13823  df-exp 13884  df-hash 14146  df-cj 14909  df-re 14910  df-im 14911  df-sqrt 15045  df-abs 15046  df-limsup 15279  df-clim 15296  df-rlim 15297  df-sum 15497
This theorem is referenced by:  pserulm  25687  pserdvlem2  25693  abelthlem3  25698  binomcxplemcvg  42293
  Copyright terms: Public domain W3C validator