MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  radcnvlem2 Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem radcnvlem2 25554
Description: Lemma for radcnvlt1 25558, radcnvle 25560. If 𝑋 is a point closer to zero than 𝑌 and the power series converges at 𝑌, then it converges absolutely at 𝑋. (Contributed by Mario Carneiro, 26-Feb-2015.)
Hypotheses
Ref Expression
pser.g 𝐺 = (𝑥 ∈ ℂ ↦ (𝑛 ∈ ℕ0 ↦ ((𝐴𝑛) · (𝑥𝑛))))
radcnv.a (𝜑𝐴:ℕ0⟶ℂ)
psergf.x (𝜑𝑋 ∈ ℂ)
radcnvlem2.y (𝜑𝑌 ∈ ℂ)
radcnvlem2.a (𝜑 → (abs‘𝑋) < (abs‘𝑌))
radcnvlem2.c (𝜑 → seq0( + , (𝐺𝑌)) ∈ dom ⇝ )
Assertion
Ref Expression
radcnvlem2 (𝜑 → seq0( + , (abs ∘ (𝐺𝑋))) ∈ dom ⇝ )
Distinct variable group:   𝑥,𝑛,𝐴
Allowed substitution hints:   𝜑(𝑥,𝑛)   𝐺(𝑥,𝑛)   𝑋(𝑥,𝑛)   𝑌(𝑥,𝑛)

Proof of Theorem radcnvlem2
Dummy variables 𝑘 𝑚 are mutually distinct and distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 nn0uz 12602 . 2 0 = (ℤ‘0)
2 1nn0 12232 . . 3 1 ∈ ℕ0
32a1i 11 . 2 (𝜑 → 1 ∈ ℕ0)
4 id 22 . . . . . 6 (𝑚 = 𝑘𝑚 = 𝑘)
5 2fveq3 6773 . . . . . 6 (𝑚 = 𝑘 → (abs‘((𝐺𝑋)‘𝑚)) = (abs‘((𝐺𝑋)‘𝑘)))
64, 5oveq12d 7286 . . . . 5 (𝑚 = 𝑘 → (𝑚 · (abs‘((𝐺𝑋)‘𝑚))) = (𝑘 · (abs‘((𝐺𝑋)‘𝑘))))
7 eqid 2739 . . . . 5 (𝑚 ∈ ℕ0 ↦ (𝑚 · (abs‘((𝐺𝑋)‘𝑚)))) = (𝑚 ∈ ℕ0 ↦ (𝑚 · (abs‘((𝐺𝑋)‘𝑚))))
8 ovex 7301 . . . . 5 (𝑘 · (abs‘((𝐺𝑋)‘𝑘))) ∈ V
96, 7, 8fvmpt 6869 . . . 4 (𝑘 ∈ ℕ0 → ((𝑚 ∈ ℕ0 ↦ (𝑚 · (abs‘((𝐺𝑋)‘𝑚))))‘𝑘) = (𝑘 · (abs‘((𝐺𝑋)‘𝑘))))
109adantl 481 . . 3 ((𝜑𝑘 ∈ ℕ0) → ((𝑚 ∈ ℕ0 ↦ (𝑚 · (abs‘((𝐺𝑋)‘𝑚))))‘𝑘) = (𝑘 · (abs‘((𝐺𝑋)‘𝑘))))
11 nn0re 12225 . . . . 5 (𝑘 ∈ ℕ0𝑘 ∈ ℝ)
1211adantl 481 . . . 4 ((𝜑𝑘 ∈ ℕ0) → 𝑘 ∈ ℝ)
13 pser.g . . . . . . 7 𝐺 = (𝑥 ∈ ℂ ↦ (𝑛 ∈ ℕ0 ↦ ((𝐴𝑛) · (𝑥𝑛))))
14 radcnv.a . . . . . . 7 (𝜑𝐴:ℕ0⟶ℂ)
15 psergf.x . . . . . . 7 (𝜑𝑋 ∈ ℂ)
1613, 14, 15psergf 25552 . . . . . 6 (𝜑 → (𝐺𝑋):ℕ0⟶ℂ)
1716ffvelrnda 6955 . . . . 5 ((𝜑𝑘 ∈ ℕ0) → ((𝐺𝑋)‘𝑘) ∈ ℂ)
1817abscld 15129 . . . 4 ((𝜑𝑘 ∈ ℕ0) → (abs‘((𝐺𝑋)‘𝑘)) ∈ ℝ)
1912, 18remulcld 10989 . . 3 ((𝜑𝑘 ∈ ℕ0) → (𝑘 · (abs‘((𝐺𝑋)‘𝑘))) ∈ ℝ)
2010, 19eqeltrd 2840 . 2 ((𝜑𝑘 ∈ ℕ0) → ((𝑚 ∈ ℕ0 ↦ (𝑚 · (abs‘((𝐺𝑋)‘𝑚))))‘𝑘) ∈ ℝ)
21 fvco3 6861 . . . 4 (((𝐺𝑋):ℕ0⟶ℂ ∧ 𝑘 ∈ ℕ0) → ((abs ∘ (𝐺𝑋))‘𝑘) = (abs‘((𝐺𝑋)‘𝑘)))
2216, 21sylan 579 . . 3 ((𝜑𝑘 ∈ ℕ0) → ((abs ∘ (𝐺𝑋))‘𝑘) = (abs‘((𝐺𝑋)‘𝑘)))
2318recnd 10987 . . 3 ((𝜑𝑘 ∈ ℕ0) → (abs‘((𝐺𝑋)‘𝑘)) ∈ ℂ)
2422, 23eqeltrd 2840 . 2 ((𝜑𝑘 ∈ ℕ0) → ((abs ∘ (𝐺𝑋))‘𝑘) ∈ ℂ)
25 radcnvlem2.y . . 3 (𝜑𝑌 ∈ ℂ)
26 radcnvlem2.a . . 3 (𝜑 → (abs‘𝑋) < (abs‘𝑌))
27 radcnvlem2.c . . 3 (𝜑 → seq0( + , (𝐺𝑌)) ∈ dom ⇝ )
286cbvmptv 5191 . . 3 (𝑚 ∈ ℕ0 ↦ (𝑚 · (abs‘((𝐺𝑋)‘𝑚)))) = (𝑘 ∈ ℕ0 ↦ (𝑘 · (abs‘((𝐺𝑋)‘𝑘))))
2913, 14, 15, 25, 26, 27, 28radcnvlem1 25553 . 2 (𝜑 → seq0( + , (𝑚 ∈ ℕ0 ↦ (𝑚 · (abs‘((𝐺𝑋)‘𝑚))))) ∈ dom ⇝ )
30 1red 10960 . 2 (𝜑 → 1 ∈ ℝ)
31 1red 10960 . . . 4 ((𝜑𝑘 ∈ (ℤ‘1)) → 1 ∈ ℝ)
32 elnnuz 12604 . . . . . 6 (𝑘 ∈ ℕ ↔ 𝑘 ∈ (ℤ‘1))
33 nnnn0 12223 . . . . . 6 (𝑘 ∈ ℕ → 𝑘 ∈ ℕ0)
3432, 33sylbir 234 . . . . 5 (𝑘 ∈ (ℤ‘1) → 𝑘 ∈ ℕ0)
3534, 12sylan2 592 . . . 4 ((𝜑𝑘 ∈ (ℤ‘1)) → 𝑘 ∈ ℝ)
3634, 18sylan2 592 . . . 4 ((𝜑𝑘 ∈ (ℤ‘1)) → (abs‘((𝐺𝑋)‘𝑘)) ∈ ℝ)
3717absge0d 15137 . . . . 5 ((𝜑𝑘 ∈ ℕ0) → 0 ≤ (abs‘((𝐺𝑋)‘𝑘)))
3834, 37sylan2 592 . . . 4 ((𝜑𝑘 ∈ (ℤ‘1)) → 0 ≤ (abs‘((𝐺𝑋)‘𝑘)))
39 eluzle 12577 . . . . 5 (𝑘 ∈ (ℤ‘1) → 1 ≤ 𝑘)
4039adantl 481 . . . 4 ((𝜑𝑘 ∈ (ℤ‘1)) → 1 ≤ 𝑘)
4131, 35, 36, 38, 40lemul1ad 11897 . . 3 ((𝜑𝑘 ∈ (ℤ‘1)) → (1 · (abs‘((𝐺𝑋)‘𝑘))) ≤ (𝑘 · (abs‘((𝐺𝑋)‘𝑘))))
42 absidm 15016 . . . . . 6 (((𝐺𝑋)‘𝑘) ∈ ℂ → (abs‘(abs‘((𝐺𝑋)‘𝑘))) = (abs‘((𝐺𝑋)‘𝑘)))
4317, 42syl 17 . . . . 5 ((𝜑𝑘 ∈ ℕ0) → (abs‘(abs‘((𝐺𝑋)‘𝑘))) = (abs‘((𝐺𝑋)‘𝑘)))
4422fveq2d 6772 . . . . 5 ((𝜑𝑘 ∈ ℕ0) → (abs‘((abs ∘ (𝐺𝑋))‘𝑘)) = (abs‘(abs‘((𝐺𝑋)‘𝑘))))
4523mulid2d 10977 . . . . 5 ((𝜑𝑘 ∈ ℕ0) → (1 · (abs‘((𝐺𝑋)‘𝑘))) = (abs‘((𝐺𝑋)‘𝑘)))
4643, 44, 453eqtr4d 2789 . . . 4 ((𝜑𝑘 ∈ ℕ0) → (abs‘((abs ∘ (𝐺𝑋))‘𝑘)) = (1 · (abs‘((𝐺𝑋)‘𝑘))))
4734, 46sylan2 592 . . 3 ((𝜑𝑘 ∈ (ℤ‘1)) → (abs‘((abs ∘ (𝐺𝑋))‘𝑘)) = (1 · (abs‘((𝐺𝑋)‘𝑘))))
4810oveq2d 7284 . . . . 5 ((𝜑𝑘 ∈ ℕ0) → (1 · ((𝑚 ∈ ℕ0 ↦ (𝑚 · (abs‘((𝐺𝑋)‘𝑚))))‘𝑘)) = (1 · (𝑘 · (abs‘((𝐺𝑋)‘𝑘)))))
4919recnd 10987 . . . . . 6 ((𝜑𝑘 ∈ ℕ0) → (𝑘 · (abs‘((𝐺𝑋)‘𝑘))) ∈ ℂ)
5049mulid2d 10977 . . . . 5 ((𝜑𝑘 ∈ ℕ0) → (1 · (𝑘 · (abs‘((𝐺𝑋)‘𝑘)))) = (𝑘 · (abs‘((𝐺𝑋)‘𝑘))))
5148, 50eqtrd 2779 . . . 4 ((𝜑𝑘 ∈ ℕ0) → (1 · ((𝑚 ∈ ℕ0 ↦ (𝑚 · (abs‘((𝐺𝑋)‘𝑚))))‘𝑘)) = (𝑘 · (abs‘((𝐺𝑋)‘𝑘))))
5234, 51sylan2 592 . . 3 ((𝜑𝑘 ∈ (ℤ‘1)) → (1 · ((𝑚 ∈ ℕ0 ↦ (𝑚 · (abs‘((𝐺𝑋)‘𝑚))))‘𝑘)) = (𝑘 · (abs‘((𝐺𝑋)‘𝑘))))
5341, 47, 523brtr4d 5110 . 2 ((𝜑𝑘 ∈ (ℤ‘1)) → (abs‘((abs ∘ (𝐺𝑋))‘𝑘)) ≤ (1 · ((𝑚 ∈ ℕ0 ↦ (𝑚 · (abs‘((𝐺𝑋)‘𝑚))))‘𝑘)))
541, 3, 20, 24, 29, 30, 53cvgcmpce 15511 1 (𝜑 → seq0( + , (abs ∘ (𝐺𝑋))) ∈ dom ⇝ )
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  wi 4  wa 395   = wceq 1541  wcel 2109   class class class wbr 5078  cmpt 5161  dom cdm 5588  ccom 5592  wf 6426  cfv 6430  (class class class)co 7268  cc 10853  cr 10854  0cc0 10855  1c1 10856   + caddc 10858   · cmul 10860   < clt 10993  cle 10994  cn 11956  0cn0 12216  cuz 12564  seqcseq 13702  cexp 13763  abscabs 14926  cli 15174
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1801  ax-4 1815  ax-5 1916  ax-6 1974  ax-7 2014  ax-8 2111  ax-9 2119  ax-10 2140  ax-11 2157  ax-12 2174  ax-ext 2710  ax-rep 5213  ax-sep 5226  ax-nul 5233  ax-pow 5291  ax-pr 5355  ax-un 7579  ax-inf2 9360  ax-cnex 10911  ax-resscn 10912  ax-1cn 10913  ax-icn 10914  ax-addcl 10915  ax-addrcl 10916  ax-mulcl 10917  ax-mulrcl 10918  ax-mulcom 10919  ax-addass 10920  ax-mulass 10921  ax-distr 10922  ax-i2m1 10923  ax-1ne0 10924  ax-1rid 10925  ax-rnegex 10926  ax-rrecex 10927  ax-cnre 10928  ax-pre-lttri 10929  ax-pre-lttrn 10930  ax-pre-ltadd 10931  ax-pre-mulgt0 10932  ax-pre-sup 10933
This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 396  df-or 844  df-3or 1086  df-3an 1087  df-tru 1544  df-fal 1554  df-ex 1786  df-nf 1790  df-sb 2071  df-mo 2541  df-eu 2570  df-clab 2717  df-cleq 2731  df-clel 2817  df-nfc 2890  df-ne 2945  df-nel 3051  df-ral 3070  df-rex 3071  df-reu 3072  df-rmo 3073  df-rab 3074  df-v 3432  df-sbc 3720  df-csb 3837  df-dif 3894  df-un 3896  df-in 3898  df-ss 3908  df-pss 3910  df-nul 4262  df-if 4465  df-pw 4540  df-sn 4567  df-pr 4569  df-tp 4571  df-op 4573  df-uni 4845  df-int 4885  df-iun 4931  df-br 5079  df-opab 5141  df-mpt 5162  df-tr 5196  df-id 5488  df-eprel 5494  df-po 5502  df-so 5503  df-fr 5543  df-se 5544  df-we 5545  df-xp 5594  df-rel 5595  df-cnv 5596  df-co 5597  df-dm 5598  df-rn 5599  df-res 5600  df-ima 5601  df-pred 6199  df-ord 6266  df-on 6267  df-lim 6268  df-suc 6269  df-iota 6388  df-fun 6432  df-fn 6433  df-f 6434  df-f1 6435  df-fo 6436  df-f1o 6437  df-fv 6438  df-isom 6439  df-riota 7225  df-ov 7271  df-oprab 7272  df-mpo 7273  df-om 7701  df-1st 7817  df-2nd 7818  df-frecs 8081  df-wrecs 8112  df-recs 8186  df-rdg 8225  df-1o 8281  df-er 8472  df-pm 8592  df-en 8708  df-dom 8709  df-sdom 8710  df-fin 8711  df-sup 9162  df-inf 9163  df-oi 9230  df-card 9681  df-pnf 10995  df-mnf 10996  df-xr 10997  df-ltxr 10998  df-le 10999  df-sub 11190  df-neg 11191  df-div 11616  df-nn 11957  df-2 12019  df-3 12020  df-n0 12217  df-z 12303  df-uz 12565  df-rp 12713  df-ico 13067  df-fz 13222  df-fzo 13365  df-fl 13493  df-seq 13703  df-exp 13764  df-hash 14026  df-cj 14791  df-re 14792  df-im 14793  df-sqrt 14927  df-abs 14928  df-limsup 15161  df-clim 15178  df-rlim 15179  df-sum 15379
This theorem is referenced by:  radcnvlem3  25555  radcnvlt1  25558
  Copyright terms: Public domain W3C validator