MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  radcnvlem2 Structured version   Visualization version   GIF version
Theorem radcnvlem2 25933
Description: Lemma for radcnvlt1 25937, radcnvle 25939. If 𝑋 is a point closer to zero than π‘Œ and the power series converges at π‘Œ, then it converges absolutely at 𝑋. (Contributed by Mario Carneiro, 26-Feb-2015.)
Hypotheses
Ref Expression
pser.g 𝐺 = (π‘₯ ∈ β„‚ ↦ (𝑛 ∈ β„•0 ↦ ((π΄β€˜π‘›) Β· (π‘₯↑𝑛))))
radcnv.a (πœ‘ β†’ 𝐴:β„•0βŸΆβ„‚)
psergf.x (πœ‘ β†’ 𝑋 ∈ β„‚)
radcnvlem2.y (πœ‘ β†’ π‘Œ ∈ β„‚)
radcnvlem2.a (πœ‘ β†’ (absβ€˜π‘‹) < (absβ€˜π‘Œ))
radcnvlem2.c (πœ‘ β†’ seq0( + , (πΊβ€˜π‘Œ)) ∈ dom ⇝ )
Assertion
Ref Expression
radcnvlem2 (πœ‘ β†’ seq0( + , (abs ∘ (πΊβ€˜π‘‹))) ∈ dom ⇝ )
Distinct variable group:   π‘₯,𝑛,𝐴
Allowed substitution hints:   πœ‘(π‘₯,𝑛)   𝐺(π‘₯,𝑛)   𝑋(π‘₯,𝑛)   π‘Œ(π‘₯,𝑛)
Proof of Theorem radcnvlem2
Dummy variables π‘˜ π‘š are mutually distinct and distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 nn0uz 12866 . 2 β„•0 = (β„€β‰₯β€˜0)
2 1nn0 12490 . . 3 1 ∈ β„•0
32a1i 11 . 2 (πœ‘ β†’ 1 ∈ β„•0)
4 id 22 . . . . . 6 (π‘š = π‘˜ β†’ π‘š = π‘˜)
5 2fveq3 6896 . . . . . 6 (π‘š = π‘˜ β†’ (absβ€˜((πΊβ€˜π‘‹)β€˜π‘š)) = (absβ€˜((πΊβ€˜π‘‹)β€˜π‘˜)))
64, 5oveq12d 7429 . . . . 5 (π‘š = π‘˜ β†’ (π‘š Β· (absβ€˜((πΊβ€˜π‘‹)β€˜π‘š))) = (π‘˜ Β· (absβ€˜((πΊβ€˜π‘‹)β€˜π‘˜))))
7 eqid 2732 . . . . 5 (π‘š ∈ β„•0 ↦ (π‘š Β· (absβ€˜((πΊβ€˜π‘‹)β€˜π‘š)))) = (π‘š ∈ β„•0 ↦ (π‘š Β· (absβ€˜((πΊβ€˜π‘‹)β€˜π‘š))))
8 ovex 7444 . . . . 5 (π‘˜ Β· (absβ€˜((πΊβ€˜π‘‹)β€˜π‘˜))) ∈ V
96, 7, 8fvmpt 6998 . . . 4 (π‘˜ ∈ β„•0 β†’ ((π‘š ∈ β„•0 ↦ (π‘š Β· (absβ€˜((πΊβ€˜π‘‹)β€˜π‘š))))β€˜π‘˜) = (π‘˜ Β· (absβ€˜((πΊβ€˜π‘‹)β€˜π‘˜))))
109adantl 482 . . 3 ((πœ‘ ∧ π‘˜ ∈ β„•0) β†’ ((π‘š ∈ β„•0 ↦ (π‘š Β· (absβ€˜((πΊβ€˜π‘‹)β€˜π‘š))))β€˜π‘˜) = (π‘˜ Β· (absβ€˜((πΊβ€˜π‘‹)β€˜π‘˜))))
11 nn0re 12483 . . . . 5 (π‘˜ ∈ β„•0 β†’ π‘˜ ∈ ℝ)
1211adantl 482 . . . 4 ((πœ‘ ∧ π‘˜ ∈ β„•0) β†’ π‘˜ ∈ ℝ)
13 pser.g . . . . . . 7 𝐺 = (π‘₯ ∈ β„‚ ↦ (𝑛 ∈ β„•0 ↦ ((π΄β€˜π‘›) Β· (π‘₯↑𝑛))))
14 radcnv.a . . . . . . 7 (πœ‘ β†’ 𝐴:β„•0βŸΆβ„‚)
15 psergf.x . . . . . . 7 (πœ‘ β†’ 𝑋 ∈ β„‚)
1613, 14, 15psergf 25931 . . . . . 6 (πœ‘ β†’ (πΊβ€˜π‘‹):β„•0βŸΆβ„‚)
1716ffvelcdmda 7086 . . . . 5 ((πœ‘ ∧ π‘˜ ∈ β„•0) β†’ ((πΊβ€˜π‘‹)β€˜π‘˜) ∈ β„‚)
1817abscld 15385 . . . 4 ((πœ‘ ∧ π‘˜ ∈ β„•0) β†’ (absβ€˜((πΊβ€˜π‘‹)β€˜π‘˜)) ∈ ℝ)
1912, 18remulcld 11246 . . 3 ((πœ‘ ∧ π‘˜ ∈ β„•0) β†’ (π‘˜ Β· (absβ€˜((πΊβ€˜π‘‹)β€˜π‘˜))) ∈ ℝ)
2010, 19eqeltrd 2833 . 2 ((πœ‘ ∧ π‘˜ ∈ β„•0) β†’ ((π‘š ∈ β„•0 ↦ (π‘š Β· (absβ€˜((πΊβ€˜π‘‹)β€˜π‘š))))β€˜π‘˜) ∈ ℝ)
21 fvco3 6990 . . . 4 (((πΊβ€˜π‘‹):β„•0βŸΆβ„‚ ∧ π‘˜ ∈ β„•0) β†’ ((abs ∘ (πΊβ€˜π‘‹))β€˜π‘˜) = (absβ€˜((πΊβ€˜π‘‹)β€˜π‘˜)))
2216, 21sylan 580 . . 3 ((πœ‘ ∧ π‘˜ ∈ β„•0) β†’ ((abs ∘ (πΊβ€˜π‘‹))β€˜π‘˜) = (absβ€˜((πΊβ€˜π‘‹)β€˜π‘˜)))
2318recnd 11244 . . 3 ((πœ‘ ∧ π‘˜ ∈ β„•0) β†’ (absβ€˜((πΊβ€˜π‘‹)β€˜π‘˜)) ∈ β„‚)
2422, 23eqeltrd 2833 . 2 ((πœ‘ ∧ π‘˜ ∈ β„•0) β†’ ((abs ∘ (πΊβ€˜π‘‹))β€˜π‘˜) ∈ β„‚)
25 radcnvlem2.y . . 3 (πœ‘ β†’ π‘Œ ∈ β„‚)
26 radcnvlem2.a . . 3 (πœ‘ β†’ (absβ€˜π‘‹) < (absβ€˜π‘Œ))
27 radcnvlem2.c . . 3 (πœ‘ β†’ seq0( + , (πΊβ€˜π‘Œ)) ∈ dom ⇝ )
286cbvmptv 5261 . . 3 (π‘š ∈ β„•0 ↦ (π‘š Β· (absβ€˜((πΊβ€˜π‘‹)β€˜π‘š)))) = (π‘˜ ∈ β„•0 ↦ (π‘˜ Β· (absβ€˜((πΊβ€˜π‘‹)β€˜π‘˜))))
2913, 14, 15, 25, 26, 27, 28radcnvlem1 25932 . 2 (πœ‘ β†’ seq0( + , (π‘š ∈ β„•0 ↦ (π‘š Β· (absβ€˜((πΊβ€˜π‘‹)β€˜π‘š))))) ∈ dom ⇝ )
30 1red 11217 . 2 (πœ‘ β†’ 1 ∈ ℝ)
31 1red 11217 . . . 4 ((πœ‘ ∧ π‘˜ ∈ (β„€β‰₯β€˜1)) β†’ 1 ∈ ℝ)
32 elnnuz 12868 . . . . . 6 (π‘˜ ∈ β„• ↔ π‘˜ ∈ (β„€β‰₯β€˜1))
33 nnnn0 12481 . . . . . 6 (π‘˜ ∈ β„• β†’ π‘˜ ∈ β„•0)
3432, 33sylbir 234 . . . . 5 (π‘˜ ∈ (β„€β‰₯β€˜1) β†’ π‘˜ ∈ β„•0)
3534, 12sylan2 593 . . . 4 ((πœ‘ ∧ π‘˜ ∈ (β„€β‰₯β€˜1)) β†’ π‘˜ ∈ ℝ)
3634, 18sylan2 593 . . . 4 ((πœ‘ ∧ π‘˜ ∈ (β„€β‰₯β€˜1)) β†’ (absβ€˜((πΊβ€˜π‘‹)β€˜π‘˜)) ∈ ℝ)
3717absge0d 15393 . . . . 5 ((πœ‘ ∧ π‘˜ ∈ β„•0) β†’ 0 ≀ (absβ€˜((πΊβ€˜π‘‹)β€˜π‘˜)))
3834, 37sylan2 593 . . . 4 ((πœ‘ ∧ π‘˜ ∈ (β„€β‰₯β€˜1)) β†’ 0 ≀ (absβ€˜((πΊβ€˜π‘‹)β€˜π‘˜)))
39 eluzle 12837 . . . . 5 (π‘˜ ∈ (β„€β‰₯β€˜1) β†’ 1 ≀ π‘˜)
4039adantl 482 . . . 4 ((πœ‘ ∧ π‘˜ ∈ (β„€β‰₯β€˜1)) β†’ 1 ≀ π‘˜)
4131, 35, 36, 38, 40lemul1ad 12155 . . 3 ((πœ‘ ∧ π‘˜ ∈ (β„€β‰₯β€˜1)) β†’ (1 Β· (absβ€˜((πΊβ€˜π‘‹)β€˜π‘˜))) ≀ (π‘˜ Β· (absβ€˜((πΊβ€˜π‘‹)β€˜π‘˜))))
42 absidm 15272 . . . . . 6 (((πΊβ€˜π‘‹)β€˜π‘˜) ∈ β„‚ β†’ (absβ€˜(absβ€˜((πΊβ€˜π‘‹)β€˜π‘˜))) = (absβ€˜((πΊβ€˜π‘‹)β€˜π‘˜)))
4317, 42syl 17 . . . . 5 ((πœ‘ ∧ π‘˜ ∈ β„•0) β†’ (absβ€˜(absβ€˜((πΊβ€˜π‘‹)β€˜π‘˜))) = (absβ€˜((πΊβ€˜π‘‹)β€˜π‘˜)))
4422fveq2d 6895 . . . . 5 ((πœ‘ ∧ π‘˜ ∈ β„•0) β†’ (absβ€˜((abs ∘ (πΊβ€˜π‘‹))β€˜π‘˜)) = (absβ€˜(absβ€˜((πΊβ€˜π‘‹)β€˜π‘˜))))
4523mullidd 11234 . . . . 5 ((πœ‘ ∧ π‘˜ ∈ β„•0) β†’ (1 Β· (absβ€˜((πΊβ€˜π‘‹)β€˜π‘˜))) = (absβ€˜((πΊβ€˜π‘‹)β€˜π‘˜)))
4643, 44, 453eqtr4d 2782 . . . 4 ((πœ‘ ∧ π‘˜ ∈ β„•0) β†’ (absβ€˜((abs ∘ (πΊβ€˜π‘‹))β€˜π‘˜)) = (1 Β· (absβ€˜((πΊβ€˜π‘‹)β€˜π‘˜))))
4734, 46sylan2 593 . . 3 ((πœ‘ ∧ π‘˜ ∈ (β„€β‰₯β€˜1)) β†’ (absβ€˜((abs ∘ (πΊβ€˜π‘‹))β€˜π‘˜)) = (1 Β· (absβ€˜((πΊβ€˜π‘‹)β€˜π‘˜))))
4810oveq2d 7427 . . . . 5 ((πœ‘ ∧ π‘˜ ∈ β„•0) β†’ (1 Β· ((π‘š ∈ β„•0 ↦ (π‘š Β· (absβ€˜((πΊβ€˜π‘‹)β€˜π‘š))))β€˜π‘˜)) = (1 Β· (π‘˜ Β· (absβ€˜((πΊβ€˜π‘‹)β€˜π‘˜)))))
4919recnd 11244 . . . . . 6 ((πœ‘ ∧ π‘˜ ∈ β„•0) β†’ (π‘˜ Β· (absβ€˜((πΊβ€˜π‘‹)β€˜π‘˜))) ∈ β„‚)
5049mullidd 11234 . . . . 5 ((πœ‘ ∧ π‘˜ ∈ β„•0) β†’ (1 Β· (π‘˜ Β· (absβ€˜((πΊβ€˜π‘‹)β€˜π‘˜)))) = (π‘˜ Β· (absβ€˜((πΊβ€˜π‘‹)β€˜π‘˜))))
5148, 50eqtrd 2772 . . . 4 ((πœ‘ ∧ π‘˜ ∈ β„•0) β†’ (1 Β· ((π‘š ∈ β„•0 ↦ (π‘š Β· (absβ€˜((πΊβ€˜π‘‹)β€˜π‘š))))β€˜π‘˜)) = (π‘˜ Β· (absβ€˜((πΊβ€˜π‘‹)β€˜π‘˜))))
5234, 51sylan2 593 . . 3 ((πœ‘ ∧ π‘˜ ∈ (β„€β‰₯β€˜1)) β†’ (1 Β· ((π‘š ∈ β„•0 ↦ (π‘š Β· (absβ€˜((πΊβ€˜π‘‹)β€˜π‘š))))β€˜π‘˜)) = (π‘˜ Β· (absβ€˜((πΊβ€˜π‘‹)β€˜π‘˜))))
5341, 47, 523brtr4d 5180 . 2 ((πœ‘ ∧ π‘˜ ∈ (β„€β‰₯β€˜1)) β†’ (absβ€˜((abs ∘ (πΊβ€˜π‘‹))β€˜π‘˜)) ≀ (1 Β· ((π‘š ∈ β„•0 ↦ (π‘š Β· (absβ€˜((πΊβ€˜π‘‹)β€˜π‘š))))β€˜π‘˜)))
541, 3, 20, 24, 29, 30, 53cvgcmpce 15766 1 (πœ‘ β†’ seq0( + , (abs ∘ (πΊβ€˜π‘‹))) ∈ dom ⇝ )
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:   β†’ wi 4   ∧ wa 396   = wceq 1541   ∈ wcel 2106   class class class wbr 5148   ↦ cmpt 5231  dom cdm 5676   ∘ ccom 5680  βŸΆwf 6539  β€˜cfv 6543  (class class class)co 7411  β„‚cc 11110  β„cr 11111  0cc0 11112  1c1 11113   + caddc 11115   Β· cmul 11117   < clt 11250   ≀ cle 11251  β„•cn 12214  β„•0cn0 12474  β„€β‰₯cuz 12824  seqcseq 13968  β†‘cexp 14029  abscabs 15183   ⇝ cli 15430
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1797  ax-4 1811  ax-5 1913  ax-6 1971  ax-7 2011  ax-8 2108  ax-9 2116  ax-10 2137  ax-11 2154  ax-12 2171  ax-ext 2703  ax-rep 5285  ax-sep 5299  ax-nul 5306  ax-pow 5363  ax-pr 5427  ax-un 7727  ax-inf2 9638  ax-cnex 11168  ax-resscn 11169  ax-1cn 11170  ax-icn 11171  ax-addcl 11172  ax-addrcl 11173  ax-mulcl 11174  ax-mulrcl 11175  ax-mulcom 11176  ax-addass 11177  ax-mulass 11178  ax-distr 11179  ax-i2m1 11180  ax-1ne0 11181  ax-1rid 11182  ax-rnegex 11183  ax-rrecex 11184  ax-cnre 11185  ax-pre-lttri 11186  ax-pre-lttrn 11187  ax-pre-ltadd 11188  ax-pre-mulgt0 11189  ax-pre-sup 11190
This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 397  df-or 846  df-3or 1088  df-3an 1089  df-tru 1544  df-fal 1554  df-ex 1782  df-nf 1786  df-sb 2068  df-mo 2534  df-eu 2563  df-clab 2710  df-cleq 2724  df-clel 2810  df-nfc 2885  df-ne 2941  df-nel 3047  df-ral 3062  df-rex 3071  df-rmo 3376  df-reu 3377  df-rab 3433  df-v 3476  df-sbc 3778  df-csb 3894  df-dif 3951  df-un 3953  df-in 3955  df-ss 3965  df-pss 3967  df-nul 4323  df-if 4529  df-pw 4604  df-sn 4629  df-pr 4631  df-op 4635  df-uni 4909  df-int 4951  df-iun 4999  df-br 5149  df-opab 5211  df-mpt 5232  df-tr 5266  df-id 5574  df-eprel 5580  df-po 5588  df-so 5589  df-fr 5631  df-se 5632  df-we 5633  df-xp 5682  df-rel 5683  df-cnv 5684  df-co 5685  df-dm 5686  df-rn 5687  df-res 5688  df-ima 5689  df-pred 6300  df-ord 6367  df-on 6368  df-lim 6369  df-suc 6370  df-iota 6495  df-fun 6545  df-fn 6546  df-f 6547  df-f1 6548  df-fo 6549  df-f1o 6550  df-fv 6551  df-isom 6552  df-riota 7367  df-ov 7414  df-oprab 7415  df-mpo 7416  df-om 7858  df-1st 7977  df-2nd 7978  df-frecs 8268  df-wrecs 8299  df-recs 8373  df-rdg 8412  df-1o 8468  df-er 8705  df-pm 8825  df-en 8942  df-dom 8943  df-sdom 8944  df-fin 8945  df-sup 9439  df-inf 9440  df-oi 9507  df-card 9936  df-pnf 11252  df-mnf 11253  df-xr 11254  df-ltxr 11255  df-le 11256  df-sub 11448  df-neg 11449  df-div 11874  df-nn 12215  df-2 12277  df-3 12278  df-n0 12475  df-z 12561  df-uz 12825  df-rp 12977  df-ico 13332  df-fz 13487  df-fzo 13630  df-fl 13759  df-seq 13969  df-exp 14030  df-hash 14293  df-cj 15048  df-re 15049  df-im 15050  df-sqrt 15184  df-abs 15185  df-limsup 15417  df-clim 15434  df-rlim 15435  df-sum 15635
This theorem is referenced by:  radcnvlem3  25934  radcnvlt1  25937
  Copyright terms: Public domain W3C validator