Theorem radcnvlem2 26381

Description: Lemma for radcnvlt1 26385, radcnvle 26387. If 𝑋 is a point closer to zero than 𝑌 and the power series converges at 𝑌, then it converges absolutely at 𝑋. (Contributed by Mario Carneiro, 26-Feb-2015.)

Hypotheses

Ref	Expression
pser.g	⊢ 𝐺 = (𝑥 ∈ ℂ ↦ (𝑛 ∈ ℕ0 ↦ ((𝐴‘𝑛) · (𝑥↑𝑛))))
radcnv.a	⊢ (𝜑 → 𝐴:ℕ0⟶ℂ)
psergf.x	⊢ (𝜑 → 𝑋 ∈ ℂ)
radcnvlem2.y	⊢ (𝜑 → 𝑌 ∈ ℂ)
radcnvlem2.a	⊢ (𝜑 → (abs‘𝑋) < (abs‘𝑌))
radcnvlem2.c	⊢ (𝜑 → seq0( + , (𝐺‘𝑌)) ∈ dom ⇝ )

Assertion

Ref	Expression
radcnvlem2	⊢ (𝜑 → seq0( + , (abs ∘ (𝐺‘𝑋))) ∈ dom ⇝ )

Distinct variable group:   𝑥,𝑛,𝐴

Allowed substitution hints:   𝜑(𝑥,𝑛)   𝐺(𝑥,𝑛)   𝑋(𝑥,𝑛)   𝑌(𝑥,𝑛)

Proof of Theorem radcnvlem2

Dummy variables 𝑘 𝑚 are mutually distinct and distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		nn0uz 12791	. 2 ⊢ ℕ0 = (ℤ≥‘0)
2		1nn0 12419	. . 3 ⊢ 1 ∈ ℕ0
3	2	a1i 11	. 2 ⊢ (𝜑 → 1 ∈ ℕ0)
4		id 22	. . . . . 6 ⊢ (𝑚 = 𝑘 → 𝑚 = 𝑘)
5		2fveq3 6838	. . . . . 6 ⊢ (𝑚 = 𝑘 → (abs‘((𝐺‘𝑋)‘𝑚)) = (abs‘((𝐺‘𝑋)‘𝑘)))
6	4, 5	oveq12d 7376	. . . . 5 ⊢ (𝑚 = 𝑘 → (𝑚 · (abs‘((𝐺‘𝑋)‘𝑚))) = (𝑘 · (abs‘((𝐺‘𝑋)‘𝑘))))
7		eqid 2735	. . . . 5 ⊢ (𝑚 ∈ ℕ0 ↦ (𝑚 · (abs‘((𝐺‘𝑋)‘𝑚)))) = (𝑚 ∈ ℕ0 ↦ (𝑚 · (abs‘((𝐺‘𝑋)‘𝑚))))
8		ovex 7391	. . . . 5 ⊢ (𝑘 · (abs‘((𝐺‘𝑋)‘𝑘))) ∈ V
9	6, 7, 8	fvmpt 6940	. . . 4 ⊢ (𝑘 ∈ ℕ0 → ((𝑚 ∈ ℕ0 ↦ (𝑚 · (abs‘((𝐺‘𝑋)‘𝑚))))‘𝑘) = (𝑘 · (abs‘((𝐺‘𝑋)‘𝑘))))
10	9	adantl 481	. . 3 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑘 ∈ ℕ0) → ((𝑚 ∈ ℕ0 ↦ (𝑚 · (abs‘((𝐺‘𝑋)‘𝑚))))‘𝑘) = (𝑘 · (abs‘((𝐺‘𝑋)‘𝑘))))
11		nn0re 12412	. . . . 5 ⊢ (𝑘 ∈ ℕ0 → 𝑘 ∈ ℝ)
12	11	adantl 481	. . . 4 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑘 ∈ ℕ0) → 𝑘 ∈ ℝ)
13		pser.g	. . . . . . 7 ⊢ 𝐺 = (𝑥 ∈ ℂ ↦ (𝑛 ∈ ℕ0 ↦ ((𝐴‘𝑛) · (𝑥↑𝑛))))
14		radcnv.a	. . . . . . 7 ⊢ (𝜑 → 𝐴:ℕ0⟶ℂ)
15		psergf.x	. . . . . . 7 ⊢ (𝜑 → 𝑋 ∈ ℂ)
16	13, 14, 15	psergf 26379	. . . . . 6 ⊢ (𝜑 → (𝐺‘𝑋):ℕ0⟶ℂ)
17	16	ffvelcdmda 7029	. . . . 5 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑘 ∈ ℕ0) → ((𝐺‘𝑋)‘𝑘) ∈ ℂ)
18	17	abscld 15364	. . . 4 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑘 ∈ ℕ0) → (abs‘((𝐺‘𝑋)‘𝑘)) ∈ ℝ)
19	12, 18	remulcld 11164	. . 3 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑘 ∈ ℕ0) → (𝑘 · (abs‘((𝐺‘𝑋)‘𝑘))) ∈ ℝ)
20	10, 19	eqeltrd 2835	. 2 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑘 ∈ ℕ0) → ((𝑚 ∈ ℕ0 ↦ (𝑚 · (abs‘((𝐺‘𝑋)‘𝑚))))‘𝑘) ∈ ℝ)
21		fvco3 6932	. . . 4 ⊢ (((𝐺‘𝑋):ℕ0⟶ℂ ∧ 𝑘 ∈ ℕ0) → ((abs ∘ (𝐺‘𝑋))‘𝑘) = (abs‘((𝐺‘𝑋)‘𝑘)))
22	16, 21	sylan 581	. . 3 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑘 ∈ ℕ0) → ((abs ∘ (𝐺‘𝑋))‘𝑘) = (abs‘((𝐺‘𝑋)‘𝑘)))
23	18	recnd 11162	. . 3 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑘 ∈ ℕ0) → (abs‘((𝐺‘𝑋)‘𝑘)) ∈ ℂ)
24	22, 23	eqeltrd 2835	. 2 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑘 ∈ ℕ0) → ((abs ∘ (𝐺‘𝑋))‘𝑘) ∈ ℂ)
25		radcnvlem2.y	. . 3 ⊢ (𝜑 → 𝑌 ∈ ℂ)
26		radcnvlem2.a	. . 3 ⊢ (𝜑 → (abs‘𝑋) < (abs‘𝑌))
27		radcnvlem2.c	. . 3 ⊢ (𝜑 → seq0( + , (𝐺‘𝑌)) ∈ dom ⇝ )
28	6	cbvmptv 5201	. . 3 ⊢ (𝑚 ∈ ℕ0 ↦ (𝑚 · (abs‘((𝐺‘𝑋)‘𝑚)))) = (𝑘 ∈ ℕ0 ↦ (𝑘 · (abs‘((𝐺‘𝑋)‘𝑘))))
29	13, 14, 15, 25, 26, 27, 28	radcnvlem1 26380	. 2 ⊢ (𝜑 → seq0( + , (𝑚 ∈ ℕ0 ↦ (𝑚 · (abs‘((𝐺‘𝑋)‘𝑚))))) ∈ dom ⇝ )
30		1red 11135	. 2 ⊢ (𝜑 → 1 ∈ ℝ)
31		1red 11135	. . . 4 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑘 ∈ (ℤ≥‘1)) → 1 ∈ ℝ)
32		elnnuz 12793	. . . . . 6 ⊢ (𝑘 ∈ ℕ ↔ 𝑘 ∈ (ℤ≥‘1))
33		nnnn0 12410	. . . . . 6 ⊢ (𝑘 ∈ ℕ → 𝑘 ∈ ℕ0)
34	32, 33	sylbir 235	. . . . 5 ⊢ (𝑘 ∈ (ℤ≥‘1) → 𝑘 ∈ ℕ0)
35	34, 12	sylan2 594	. . . 4 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑘 ∈ (ℤ≥‘1)) → 𝑘 ∈ ℝ)
36	34, 18	sylan2 594	. . . 4 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑘 ∈ (ℤ≥‘1)) → (abs‘((𝐺‘𝑋)‘𝑘)) ∈ ℝ)
37	17	absge0d 15372	. . . . 5 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑘 ∈ ℕ0) → 0 ≤ (abs‘((𝐺‘𝑋)‘𝑘)))
38	34, 37	sylan2 594	. . . 4 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑘 ∈ (ℤ≥‘1)) → 0 ≤ (abs‘((𝐺‘𝑋)‘𝑘)))
39		eluzle 12766	. . . . 5 ⊢ (𝑘 ∈ (ℤ≥‘1) → 1 ≤ 𝑘)
40	39	adantl 481	. . . 4 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑘 ∈ (ℤ≥‘1)) → 1 ≤ 𝑘)
41	31, 35, 36, 38, 40	lemul1ad 12083	. . 3 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑘 ∈ (ℤ≥‘1)) → (1 · (abs‘((𝐺‘𝑋)‘𝑘))) ≤ (𝑘 · (abs‘((𝐺‘𝑋)‘𝑘))))
42		absidm 15249	. . . . . 6 ⊢ (((𝐺‘𝑋)‘𝑘) ∈ ℂ → (abs‘(abs‘((𝐺‘𝑋)‘𝑘))) = (abs‘((𝐺‘𝑋)‘𝑘)))
43	17, 42	syl 17	. . . . 5 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑘 ∈ ℕ0) → (abs‘(abs‘((𝐺‘𝑋)‘𝑘))) = (abs‘((𝐺‘𝑋)‘𝑘)))
44	22	fveq2d 6837	. . . . 5 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑘 ∈ ℕ0) → (abs‘((abs ∘ (𝐺‘𝑋))‘𝑘)) = (abs‘(abs‘((𝐺‘𝑋)‘𝑘))))
45	23	mullidd 11152	. . . . 5 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑘 ∈ ℕ0) → (1 · (abs‘((𝐺‘𝑋)‘𝑘))) = (abs‘((𝐺‘𝑋)‘𝑘)))
46	43, 44, 45	3eqtr4d 2780	. . . 4 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑘 ∈ ℕ0) → (abs‘((abs ∘ (𝐺‘𝑋))‘𝑘)) = (1 · (abs‘((𝐺‘𝑋)‘𝑘))))
47	34, 46	sylan2 594	. . 3 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑘 ∈ (ℤ≥‘1)) → (abs‘((abs ∘ (𝐺‘𝑋))‘𝑘)) = (1 · (abs‘((𝐺‘𝑋)‘𝑘))))
48	10	oveq2d 7374	. . . . 5 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑘 ∈ ℕ0) → (1 · ((𝑚 ∈ ℕ0 ↦ (𝑚 · (abs‘((𝐺‘𝑋)‘𝑚))))‘𝑘)) = (1 · (𝑘 · (abs‘((𝐺‘𝑋)‘𝑘)))))
49	19	recnd 11162	. . . . . 6 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑘 ∈ ℕ0) → (𝑘 · (abs‘((𝐺‘𝑋)‘𝑘))) ∈ ℂ)
50	49	mullidd 11152	. . . . 5 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑘 ∈ ℕ0) → (1 · (𝑘 · (abs‘((𝐺‘𝑋)‘𝑘)))) = (𝑘 · (abs‘((𝐺‘𝑋)‘𝑘))))
51	48, 50	eqtrd 2770	. . . 4 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑘 ∈ ℕ0) → (1 · ((𝑚 ∈ ℕ0 ↦ (𝑚 · (abs‘((𝐺‘𝑋)‘𝑚))))‘𝑘)) = (𝑘 · (abs‘((𝐺‘𝑋)‘𝑘))))
52	34, 51	sylan2 594	. . 3 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑘 ∈ (ℤ≥‘1)) → (1 · ((𝑚 ∈ ℕ0 ↦ (𝑚 · (abs‘((𝐺‘𝑋)‘𝑚))))‘𝑘)) = (𝑘 · (abs‘((𝐺‘𝑋)‘𝑘))))
53	41, 47, 52	3brtr4d 5129	. 2 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑘 ∈ (ℤ≥‘1)) → (abs‘((abs ∘ (𝐺‘𝑋))‘𝑘)) ≤ (1 · ((𝑚 ∈ ℕ0 ↦ (𝑚 · (abs‘((𝐺‘𝑋)‘𝑚))))‘𝑘)))
54	1, 3, 20, 24, 29, 30, 53	cvgcmpce 15743	1 ⊢ (𝜑 → seq0( + , (abs ∘ (𝐺‘𝑋))) ∈ dom ⇝ )

Syntax hints:   → wi 4   ∧ wa 395   = wceq 1542   ∈ wcel 2114   class class class wbr 5097   ↦ cmpt 5178  dom cdm 5623   ∘ ccom 5627  ⟶wf 6487  ‘cfv 6491  (class class class)co 7358  ℂcc 11026  ℝcr 11027  0cc0 11028  1c1 11029   + caddc 11031   · cmul 11033   < clt 11168   ≤ cle 11169  ℕcn 12147  ℕ₀cn0 12403  ℤ_≥cuz 12753  seqcseq 13926  ↑cexp 13986  abscabs 15159   ⇝ cli 15409

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1797  ax-4 1811  ax-5 1912  ax-6 1969  ax-7 2010  ax-8 2116  ax-9 2124  ax-10 2147  ax-11 2163  ax-12 2183  ax-ext 2707  ax-rep 5223  ax-sep 5240  ax-nul 5250  ax-pow 5309  ax-pr 5376  ax-un 7680  ax-inf2 9552  ax-cnex 11084  ax-resscn 11085  ax-1cn 11086  ax-icn 11087  ax-addcl 11088  ax-addrcl 11089  ax-mulcl 11090  ax-mulrcl 11091  ax-mulcom 11092  ax-addass 11093  ax-mulass 11094  ax-distr 11095  ax-i2m1 11096  ax-1ne0 11097  ax-1rid 11098  ax-rnegex 11099  ax-rrecex 11100  ax-cnre 11101  ax-pre-lttri 11102  ax-pre-lttrn 11103  ax-pre-ltadd 11104  ax-pre-mulgt0 11105  ax-pre-sup 11106

This theorem depends on definitions:  df-bi 207  df-an 396  df-or 849  df-3or 1088  df-3an 1089  df-tru 1545  df-fal 1555  df-ex 1782  df-nf 1786  df-sb 2069  df-mo 2538  df-eu 2568  df-clab 2714  df-cleq 2727  df-clel 2810  df-nfc 2884  df-ne 2932  df-nel 3036  df-ral 3051  df-rex 3060  df-rmo 3349  df-reu 3350  df-rab 3399  df-v 3441  df-sbc 3740  df-csb 3849  df-dif 3903  df-un 3905  df-in 3907  df-ss 3917  df-pss 3920  df-nul 4285  df-if 4479  df-pw 4555  df-sn 4580  df-pr 4582  df-op 4586  df-uni 4863  df-int 4902  df-iun 4947  df-br 5098  df-opab 5160  df-mpt 5179  df-tr 5205  df-id 5518  df-eprel 5523  df-po 5531  df-so 5532  df-fr 5576  df-se 5577  df-we 5578  df-xp 5629  df-rel 5630  df-cnv 5631  df-co 5632  df-dm 5633  df-rn 5634  df-res 5635  df-ima 5636  df-pred 6258  df-ord 6319  df-on 6320  df-lim 6321  df-suc 6322  df-iota 6447  df-fun 6493  df-fn 6494  df-f 6495  df-f1 6496  df-fo 6497  df-f1o 6498  df-fv 6499  df-isom 6500  df-riota 7315  df-ov 7361  df-oprab 7362  df-mpo 7363  df-om 7809  df-1st 7933  df-2nd 7934  df-frecs 8223  df-wrecs 8254  df-recs 8303  df-rdg 8341  df-1o 8397  df-er 8635  df-pm 8768  df-en 8886  df-dom 8887  df-sdom 8888  df-fin 8889  df-sup 9347  df-inf 9348  df-oi 9417  df-card 9853  df-pnf 11170  df-mnf 11171  df-xr 11172  df-ltxr 11173  df-le 11174  df-sub 11368  df-neg 11369  df-div 11797  df-nn 12148  df-2 12210  df-3 12211  df-n0 12404  df-z 12491  df-uz 12754  df-rp 12908  df-ico 13269  df-fz 13426  df-fzo 13573  df-fl 13714  df-seq 13927  df-exp 13987  df-hash 14256  df-cj 15024  df-re 15025  df-im 15026  df-sqrt 15160  df-abs 15161  df-limsup 15396  df-clim 15413  df-rlim 15414  df-sum 15612

This theorem is referenced by:  radcnvlem3  26382  radcnvlt1  26385