Theorem radcnvlem2 26396

Description: Lemma for radcnvlt1 26400, radcnvle 26402. If 𝑋 is a point closer to zero than 𝑌 and the power series converges at 𝑌, then it converges absolutely at 𝑋. (Contributed by Mario Carneiro, 26-Feb-2015.)

Hypotheses

Ref	Expression
pser.g	⊢ 𝐺 = (𝑥 ∈ ℂ ↦ (𝑛 ∈ ℕ0 ↦ ((𝐴‘𝑛) · (𝑥↑𝑛))))
radcnv.a	⊢ (𝜑 → 𝐴:ℕ0⟶ℂ)
psergf.x	⊢ (𝜑 → 𝑋 ∈ ℂ)
radcnvlem2.y	⊢ (𝜑 → 𝑌 ∈ ℂ)
radcnvlem2.a	⊢ (𝜑 → (abs‘𝑋) < (abs‘𝑌))
radcnvlem2.c	⊢ (𝜑 → seq0( + , (𝐺‘𝑌)) ∈ dom ⇝ )

Assertion

Ref	Expression
radcnvlem2	⊢ (𝜑 → seq0( + , (abs ∘ (𝐺‘𝑋))) ∈ dom ⇝ )

Distinct variable group:   𝑥,𝑛,𝐴

Allowed substitution hints:   𝜑(𝑥,𝑛)   𝐺(𝑥,𝑛)   𝑋(𝑥,𝑛)   𝑌(𝑥,𝑛)

Proof of Theorem radcnvlem2

Dummy variables 𝑘 𝑚 are mutually distinct and distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		nn0uz 12803	. 2 ⊢ ℕ0 = (ℤ≥‘0)
2		1nn0 12431	. . 3 ⊢ 1 ∈ ℕ0
3	2	a1i 11	. 2 ⊢ (𝜑 → 1 ∈ ℕ0)
4		id 22	. . . . . 6 ⊢ (𝑚 = 𝑘 → 𝑚 = 𝑘)
5		2fveq3 6849	. . . . . 6 ⊢ (𝑚 = 𝑘 → (abs‘((𝐺‘𝑋)‘𝑚)) = (abs‘((𝐺‘𝑋)‘𝑘)))
6	4, 5	oveq12d 7388	. . . . 5 ⊢ (𝑚 = 𝑘 → (𝑚 · (abs‘((𝐺‘𝑋)‘𝑚))) = (𝑘 · (abs‘((𝐺‘𝑋)‘𝑘))))
7		eqid 2737	. . . . 5 ⊢ (𝑚 ∈ ℕ0 ↦ (𝑚 · (abs‘((𝐺‘𝑋)‘𝑚)))) = (𝑚 ∈ ℕ0 ↦ (𝑚 · (abs‘((𝐺‘𝑋)‘𝑚))))
8		ovex 7403	. . . . 5 ⊢ (𝑘 · (abs‘((𝐺‘𝑋)‘𝑘))) ∈ V
9	6, 7, 8	fvmpt 6951	. . . 4 ⊢ (𝑘 ∈ ℕ0 → ((𝑚 ∈ ℕ0 ↦ (𝑚 · (abs‘((𝐺‘𝑋)‘𝑚))))‘𝑘) = (𝑘 · (abs‘((𝐺‘𝑋)‘𝑘))))
10	9	adantl 481	. . 3 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑘 ∈ ℕ0) → ((𝑚 ∈ ℕ0 ↦ (𝑚 · (abs‘((𝐺‘𝑋)‘𝑚))))‘𝑘) = (𝑘 · (abs‘((𝐺‘𝑋)‘𝑘))))
11		nn0re 12424	. . . . 5 ⊢ (𝑘 ∈ ℕ0 → 𝑘 ∈ ℝ)
12	11	adantl 481	. . . 4 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑘 ∈ ℕ0) → 𝑘 ∈ ℝ)
13		pser.g	. . . . . . 7 ⊢ 𝐺 = (𝑥 ∈ ℂ ↦ (𝑛 ∈ ℕ0 ↦ ((𝐴‘𝑛) · (𝑥↑𝑛))))
14		radcnv.a	. . . . . . 7 ⊢ (𝜑 → 𝐴:ℕ0⟶ℂ)
15		psergf.x	. . . . . . 7 ⊢ (𝜑 → 𝑋 ∈ ℂ)
16	13, 14, 15	psergf 26394	. . . . . 6 ⊢ (𝜑 → (𝐺‘𝑋):ℕ0⟶ℂ)
17	16	ffvelcdmda 7040	. . . . 5 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑘 ∈ ℕ0) → ((𝐺‘𝑋)‘𝑘) ∈ ℂ)
18	17	abscld 15376	. . . 4 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑘 ∈ ℕ0) → (abs‘((𝐺‘𝑋)‘𝑘)) ∈ ℝ)
19	12, 18	remulcld 11176	. . 3 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑘 ∈ ℕ0) → (𝑘 · (abs‘((𝐺‘𝑋)‘𝑘))) ∈ ℝ)
20	10, 19	eqeltrd 2837	. 2 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑘 ∈ ℕ0) → ((𝑚 ∈ ℕ0 ↦ (𝑚 · (abs‘((𝐺‘𝑋)‘𝑚))))‘𝑘) ∈ ℝ)
21		fvco3 6943	. . . 4 ⊢ (((𝐺‘𝑋):ℕ0⟶ℂ ∧ 𝑘 ∈ ℕ0) → ((abs ∘ (𝐺‘𝑋))‘𝑘) = (abs‘((𝐺‘𝑋)‘𝑘)))
22	16, 21	sylan 581	. . 3 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑘 ∈ ℕ0) → ((abs ∘ (𝐺‘𝑋))‘𝑘) = (abs‘((𝐺‘𝑋)‘𝑘)))
23	18	recnd 11174	. . 3 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑘 ∈ ℕ0) → (abs‘((𝐺‘𝑋)‘𝑘)) ∈ ℂ)
24	22, 23	eqeltrd 2837	. 2 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑘 ∈ ℕ0) → ((abs ∘ (𝐺‘𝑋))‘𝑘) ∈ ℂ)
25		radcnvlem2.y	. . 3 ⊢ (𝜑 → 𝑌 ∈ ℂ)
26		radcnvlem2.a	. . 3 ⊢ (𝜑 → (abs‘𝑋) < (abs‘𝑌))
27		radcnvlem2.c	. . 3 ⊢ (𝜑 → seq0( + , (𝐺‘𝑌)) ∈ dom ⇝ )
28	6	cbvmptv 5204	. . 3 ⊢ (𝑚 ∈ ℕ0 ↦ (𝑚 · (abs‘((𝐺‘𝑋)‘𝑚)))) = (𝑘 ∈ ℕ0 ↦ (𝑘 · (abs‘((𝐺‘𝑋)‘𝑘))))
29	13, 14, 15, 25, 26, 27, 28	radcnvlem1 26395	. 2 ⊢ (𝜑 → seq0( + , (𝑚 ∈ ℕ0 ↦ (𝑚 · (abs‘((𝐺‘𝑋)‘𝑚))))) ∈ dom ⇝ )
30		1red 11147	. 2 ⊢ (𝜑 → 1 ∈ ℝ)
31		1red 11147	. . . 4 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑘 ∈ (ℤ≥‘1)) → 1 ∈ ℝ)
32		elnnuz 12805	. . . . . 6 ⊢ (𝑘 ∈ ℕ ↔ 𝑘 ∈ (ℤ≥‘1))
33		nnnn0 12422	. . . . . 6 ⊢ (𝑘 ∈ ℕ → 𝑘 ∈ ℕ0)
34	32, 33	sylbir 235	. . . . 5 ⊢ (𝑘 ∈ (ℤ≥‘1) → 𝑘 ∈ ℕ0)
35	34, 12	sylan2 594	. . . 4 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑘 ∈ (ℤ≥‘1)) → 𝑘 ∈ ℝ)
36	34, 18	sylan2 594	. . . 4 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑘 ∈ (ℤ≥‘1)) → (abs‘((𝐺‘𝑋)‘𝑘)) ∈ ℝ)
37	17	absge0d 15384	. . . . 5 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑘 ∈ ℕ0) → 0 ≤ (abs‘((𝐺‘𝑋)‘𝑘)))
38	34, 37	sylan2 594	. . . 4 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑘 ∈ (ℤ≥‘1)) → 0 ≤ (abs‘((𝐺‘𝑋)‘𝑘)))
39		eluzle 12778	. . . . 5 ⊢ (𝑘 ∈ (ℤ≥‘1) → 1 ≤ 𝑘)
40	39	adantl 481	. . . 4 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑘 ∈ (ℤ≥‘1)) → 1 ≤ 𝑘)
41	31, 35, 36, 38, 40	lemul1ad 12095	. . 3 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑘 ∈ (ℤ≥‘1)) → (1 · (abs‘((𝐺‘𝑋)‘𝑘))) ≤ (𝑘 · (abs‘((𝐺‘𝑋)‘𝑘))))
42		absidm 15261	. . . . . 6 ⊢ (((𝐺‘𝑋)‘𝑘) ∈ ℂ → (abs‘(abs‘((𝐺‘𝑋)‘𝑘))) = (abs‘((𝐺‘𝑋)‘𝑘)))
43	17, 42	syl 17	. . . . 5 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑘 ∈ ℕ0) → (abs‘(abs‘((𝐺‘𝑋)‘𝑘))) = (abs‘((𝐺‘𝑋)‘𝑘)))
44	22	fveq2d 6848	. . . . 5 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑘 ∈ ℕ0) → (abs‘((abs ∘ (𝐺‘𝑋))‘𝑘)) = (abs‘(abs‘((𝐺‘𝑋)‘𝑘))))
45	23	mullidd 11164	. . . . 5 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑘 ∈ ℕ0) → (1 · (abs‘((𝐺‘𝑋)‘𝑘))) = (abs‘((𝐺‘𝑋)‘𝑘)))
46	43, 44, 45	3eqtr4d 2782	. . . 4 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑘 ∈ ℕ0) → (abs‘((abs ∘ (𝐺‘𝑋))‘𝑘)) = (1 · (abs‘((𝐺‘𝑋)‘𝑘))))
47	34, 46	sylan2 594	. . 3 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑘 ∈ (ℤ≥‘1)) → (abs‘((abs ∘ (𝐺‘𝑋))‘𝑘)) = (1 · (abs‘((𝐺‘𝑋)‘𝑘))))
48	10	oveq2d 7386	. . . . 5 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑘 ∈ ℕ0) → (1 · ((𝑚 ∈ ℕ0 ↦ (𝑚 · (abs‘((𝐺‘𝑋)‘𝑚))))‘𝑘)) = (1 · (𝑘 · (abs‘((𝐺‘𝑋)‘𝑘)))))
49	19	recnd 11174	. . . . . 6 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑘 ∈ ℕ0) → (𝑘 · (abs‘((𝐺‘𝑋)‘𝑘))) ∈ ℂ)
50	49	mullidd 11164	. . . . 5 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑘 ∈ ℕ0) → (1 · (𝑘 · (abs‘((𝐺‘𝑋)‘𝑘)))) = (𝑘 · (abs‘((𝐺‘𝑋)‘𝑘))))
51	48, 50	eqtrd 2772	. . . 4 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑘 ∈ ℕ0) → (1 · ((𝑚 ∈ ℕ0 ↦ (𝑚 · (abs‘((𝐺‘𝑋)‘𝑚))))‘𝑘)) = (𝑘 · (abs‘((𝐺‘𝑋)‘𝑘))))
52	34, 51	sylan2 594	. . 3 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑘 ∈ (ℤ≥‘1)) → (1 · ((𝑚 ∈ ℕ0 ↦ (𝑚 · (abs‘((𝐺‘𝑋)‘𝑚))))‘𝑘)) = (𝑘 · (abs‘((𝐺‘𝑋)‘𝑘))))
53	41, 47, 52	3brtr4d 5132	. 2 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑘 ∈ (ℤ≥‘1)) → (abs‘((abs ∘ (𝐺‘𝑋))‘𝑘)) ≤ (1 · ((𝑚 ∈ ℕ0 ↦ (𝑚 · (abs‘((𝐺‘𝑋)‘𝑚))))‘𝑘)))
54	1, 3, 20, 24, 29, 30, 53	cvgcmpce 15755	1 ⊢ (𝜑 → seq0( + , (abs ∘ (𝐺‘𝑋))) ∈ dom ⇝ )

Syntax hints:   → wi 4   ∧ wa 395   = wceq 1542   ∈ wcel 2114   class class class wbr 5100   ↦ cmpt 5181  dom cdm 5634   ∘ ccom 5638  ⟶wf 6498  ‘cfv 6502  (class class class)co 7370  ℂcc 11038  ℝcr 11039  0cc0 11040  1c1 11041   + caddc 11043   · cmul 11045   < clt 11180   ≤ cle 11181  ℕcn 12159  ℕ₀cn0 12415  ℤ_≥cuz 12765  seqcseq 13938  ↑cexp 13998  abscabs 15171   ⇝ cli 15421

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1797  ax-4 1811  ax-5 1912  ax-6 1969  ax-7 2010  ax-8 2116  ax-9 2124  ax-10 2147  ax-11 2163  ax-12 2185  ax-ext 2709  ax-rep 5226  ax-sep 5245  ax-nul 5255  ax-pow 5314  ax-pr 5381  ax-un 7692  ax-inf2 9564  ax-cnex 11096  ax-resscn 11097  ax-1cn 11098  ax-icn 11099  ax-addcl 11100  ax-addrcl 11101  ax-mulcl 11102  ax-mulrcl 11103  ax-mulcom 11104  ax-addass 11105  ax-mulass 11106  ax-distr 11107  ax-i2m1 11108  ax-1ne0 11109  ax-1rid 11110  ax-rnegex 11111  ax-rrecex 11112  ax-cnre 11113  ax-pre-lttri 11114  ax-pre-lttrn 11115  ax-pre-ltadd 11116  ax-pre-mulgt0 11117  ax-pre-sup 11118

This theorem depends on definitions:  df-bi 207  df-an 396  df-or 849  df-3or 1088  df-3an 1089  df-tru 1545  df-fal 1555  df-ex 1782  df-nf 1786  df-sb 2069  df-mo 2540  df-eu 2570  df-clab 2716  df-cleq 2729  df-clel 2812  df-nfc 2886  df-ne 2934  df-nel 3038  df-ral 3053  df-rex 3063  df-rmo 3352  df-reu 3353  df-rab 3402  df-v 3444  df-sbc 3743  df-csb 3852  df-dif 3906  df-un 3908  df-in 3910  df-ss 3920  df-pss 3923  df-nul 4288  df-if 4482  df-pw 4558  df-sn 4583  df-pr 4585  df-op 4589  df-uni 4866  df-int 4905  df-iun 4950  df-br 5101  df-opab 5163  df-mpt 5182  df-tr 5208  df-id 5529  df-eprel 5534  df-po 5542  df-so 5543  df-fr 5587  df-se 5588  df-we 5589  df-xp 5640  df-rel 5641  df-cnv 5642  df-co 5643  df-dm 5644  df-rn 5645  df-res 5646  df-ima 5647  df-pred 6269  df-ord 6330  df-on 6331  df-lim 6332  df-suc 6333  df-iota 6458  df-fun 6504  df-fn 6505  df-f 6506  df-f1 6507  df-fo 6508  df-f1o 6509  df-fv 6510  df-isom 6511  df-riota 7327  df-ov 7373  df-oprab 7374  df-mpo 7375  df-om 7821  df-1st 7945  df-2nd 7946  df-frecs 8235  df-wrecs 8266  df-recs 8315  df-rdg 8353  df-1o 8409  df-er 8647  df-pm 8780  df-en 8898  df-dom 8899  df-sdom 8900  df-fin 8901  df-sup 9359  df-inf 9360  df-oi 9429  df-card 9865  df-pnf 11182  df-mnf 11183  df-xr 11184  df-ltxr 11185  df-le 11186  df-sub 11380  df-neg 11381  df-div 11809  df-nn 12160  df-2 12222  df-3 12223  df-n0 12416  df-z 12503  df-uz 12766  df-rp 12920  df-ico 13281  df-fz 13438  df-fzo 13585  df-fl 13726  df-seq 13939  df-exp 13999  df-hash 14268  df-cj 15036  df-re 15037  df-im 15038  df-sqrt 15172  df-abs 15173  df-limsup 15408  df-clim 15425  df-rlim 15426  df-sum 15624

This theorem is referenced by:  radcnvlem3  26397  radcnvlt1  26400