Theorem radcnvlem2 24509

Description: Lemma for radcnvlt1 24513, radcnvle 24515. If 𝑋 is a point closer to zero than 𝑌 and the power series converges at 𝑌, then it converges absolutely at 𝑋. (Contributed by Mario Carneiro, 26-Feb-2015.)

Hypotheses

Ref	Expression
pser.g	⊢ 𝐺 = (𝑥 ∈ ℂ ↦ (𝑛 ∈ ℕ0 ↦ ((𝐴‘𝑛) · (𝑥↑𝑛))))
radcnv.a	⊢ (𝜑 → 𝐴:ℕ0⟶ℂ)
psergf.x	⊢ (𝜑 → 𝑋 ∈ ℂ)
radcnvlem2.y	⊢ (𝜑 → 𝑌 ∈ ℂ)
radcnvlem2.a	⊢ (𝜑 → (abs‘𝑋) < (abs‘𝑌))
radcnvlem2.c	⊢ (𝜑 → seq0( + , (𝐺‘𝑌)) ∈ dom ⇝ )

Assertion

Ref	Expression
radcnvlem2	⊢ (𝜑 → seq0( + , (abs ∘ (𝐺‘𝑋))) ∈ dom ⇝ )

Distinct variable group:   𝑥,𝑛,𝐴

Allowed substitution hints:   𝜑(𝑥,𝑛)   𝐺(𝑥,𝑛)   𝑋(𝑥,𝑛)   𝑌(𝑥,𝑛)

Proof of Theorem radcnvlem2

Dummy variables 𝑘 𝑚 are mutually distinct and distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		nn0uz 11966	. 2 ⊢ ℕ0 = (ℤ≥‘0)
2		1nn0 11598	. . 3 ⊢ 1 ∈ ℕ0
3	2	a1i 11	. 2 ⊢ (𝜑 → 1 ∈ ℕ0)
4		id 22	. . . . . 6 ⊢ (𝑚 = 𝑘 → 𝑚 = 𝑘)
5		2fveq3 6416	. . . . . 6 ⊢ (𝑚 = 𝑘 → (abs‘((𝐺‘𝑋)‘𝑚)) = (abs‘((𝐺‘𝑋)‘𝑘)))
6	4, 5	oveq12d 6896	. . . . 5 ⊢ (𝑚 = 𝑘 → (𝑚 · (abs‘((𝐺‘𝑋)‘𝑚))) = (𝑘 · (abs‘((𝐺‘𝑋)‘𝑘))))
7		eqid 2799	. . . . 5 ⊢ (𝑚 ∈ ℕ0 ↦ (𝑚 · (abs‘((𝐺‘𝑋)‘𝑚)))) = (𝑚 ∈ ℕ0 ↦ (𝑚 · (abs‘((𝐺‘𝑋)‘𝑚))))
8		ovex 6910	. . . . 5 ⊢ (𝑘 · (abs‘((𝐺‘𝑋)‘𝑘))) ∈ V
9	6, 7, 8	fvmpt 6507	. . . 4 ⊢ (𝑘 ∈ ℕ0 → ((𝑚 ∈ ℕ0 ↦ (𝑚 · (abs‘((𝐺‘𝑋)‘𝑚))))‘𝑘) = (𝑘 · (abs‘((𝐺‘𝑋)‘𝑘))))
10	9	adantl 474	. . 3 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑘 ∈ ℕ0) → ((𝑚 ∈ ℕ0 ↦ (𝑚 · (abs‘((𝐺‘𝑋)‘𝑚))))‘𝑘) = (𝑘 · (abs‘((𝐺‘𝑋)‘𝑘))))
11		nn0re 11590	. . . . 5 ⊢ (𝑘 ∈ ℕ0 → 𝑘 ∈ ℝ)
12	11	adantl 474	. . . 4 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑘 ∈ ℕ0) → 𝑘 ∈ ℝ)
13		pser.g	. . . . . . 7 ⊢ 𝐺 = (𝑥 ∈ ℂ ↦ (𝑛 ∈ ℕ0 ↦ ((𝐴‘𝑛) · (𝑥↑𝑛))))
14		radcnv.a	. . . . . . 7 ⊢ (𝜑 → 𝐴:ℕ0⟶ℂ)
15		psergf.x	. . . . . . 7 ⊢ (𝜑 → 𝑋 ∈ ℂ)
16	13, 14, 15	psergf 24507	. . . . . 6 ⊢ (𝜑 → (𝐺‘𝑋):ℕ0⟶ℂ)
17	16	ffvelrnda 6585	. . . . 5 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑘 ∈ ℕ0) → ((𝐺‘𝑋)‘𝑘) ∈ ℂ)
18	17	abscld 14516	. . . 4 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑘 ∈ ℕ0) → (abs‘((𝐺‘𝑋)‘𝑘)) ∈ ℝ)
19	12, 18	remulcld 10359	. . 3 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑘 ∈ ℕ0) → (𝑘 · (abs‘((𝐺‘𝑋)‘𝑘))) ∈ ℝ)
20	10, 19	eqeltrd 2878	. 2 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑘 ∈ ℕ0) → ((𝑚 ∈ ℕ0 ↦ (𝑚 · (abs‘((𝐺‘𝑋)‘𝑚))))‘𝑘) ∈ ℝ)
21		fvco3 6500	. . . 4 ⊢ (((𝐺‘𝑋):ℕ0⟶ℂ ∧ 𝑘 ∈ ℕ0) → ((abs ∘ (𝐺‘𝑋))‘𝑘) = (abs‘((𝐺‘𝑋)‘𝑘)))
22	16, 21	sylan 576	. . 3 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑘 ∈ ℕ0) → ((abs ∘ (𝐺‘𝑋))‘𝑘) = (abs‘((𝐺‘𝑋)‘𝑘)))
23	18	recnd 10357	. . 3 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑘 ∈ ℕ0) → (abs‘((𝐺‘𝑋)‘𝑘)) ∈ ℂ)
24	22, 23	eqeltrd 2878	. 2 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑘 ∈ ℕ0) → ((abs ∘ (𝐺‘𝑋))‘𝑘) ∈ ℂ)
25		radcnvlem2.y	. . 3 ⊢ (𝜑 → 𝑌 ∈ ℂ)
26		radcnvlem2.a	. . 3 ⊢ (𝜑 → (abs‘𝑋) < (abs‘𝑌))
27		radcnvlem2.c	. . 3 ⊢ (𝜑 → seq0( + , (𝐺‘𝑌)) ∈ dom ⇝ )
28	6	cbvmptv 4943	. . 3 ⊢ (𝑚 ∈ ℕ0 ↦ (𝑚 · (abs‘((𝐺‘𝑋)‘𝑚)))) = (𝑘 ∈ ℕ0 ↦ (𝑘 · (abs‘((𝐺‘𝑋)‘𝑘))))
29	13, 14, 15, 25, 26, 27, 28	radcnvlem1 24508	. 2 ⊢ (𝜑 → seq0( + , (𝑚 ∈ ℕ0 ↦ (𝑚 · (abs‘((𝐺‘𝑋)‘𝑚))))) ∈ dom ⇝ )
30		1red 10329	. 2 ⊢ (𝜑 → 1 ∈ ℝ)
31		1red 10329	. . . 4 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑘 ∈ (ℤ≥‘1)) → 1 ∈ ℝ)
32		elnnuz 11968	. . . . . 6 ⊢ (𝑘 ∈ ℕ ↔ 𝑘 ∈ (ℤ≥‘1))
33		nnnn0 11588	. . . . . 6 ⊢ (𝑘 ∈ ℕ → 𝑘 ∈ ℕ0)
34	32, 33	sylbir 227	. . . . 5 ⊢ (𝑘 ∈ (ℤ≥‘1) → 𝑘 ∈ ℕ0)
35	34, 12	sylan2 587	. . . 4 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑘 ∈ (ℤ≥‘1)) → 𝑘 ∈ ℝ)
36	34, 18	sylan2 587	. . . 4 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑘 ∈ (ℤ≥‘1)) → (abs‘((𝐺‘𝑋)‘𝑘)) ∈ ℝ)
37	17	absge0d 14524	. . . . 5 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑘 ∈ ℕ0) → 0 ≤ (abs‘((𝐺‘𝑋)‘𝑘)))
38	34, 37	sylan2 587	. . . 4 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑘 ∈ (ℤ≥‘1)) → 0 ≤ (abs‘((𝐺‘𝑋)‘𝑘)))
39		eluzle 11943	. . . . 5 ⊢ (𝑘 ∈ (ℤ≥‘1) → 1 ≤ 𝑘)
40	39	adantl 474	. . . 4 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑘 ∈ (ℤ≥‘1)) → 1 ≤ 𝑘)
41	31, 35, 36, 38, 40	lemul1ad 11255	. . 3 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑘 ∈ (ℤ≥‘1)) → (1 · (abs‘((𝐺‘𝑋)‘𝑘))) ≤ (𝑘 · (abs‘((𝐺‘𝑋)‘𝑘))))
42		absidm 14404	. . . . . 6 ⊢ (((𝐺‘𝑋)‘𝑘) ∈ ℂ → (abs‘(abs‘((𝐺‘𝑋)‘𝑘))) = (abs‘((𝐺‘𝑋)‘𝑘)))
43	17, 42	syl 17	. . . . 5 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑘 ∈ ℕ0) → (abs‘(abs‘((𝐺‘𝑋)‘𝑘))) = (abs‘((𝐺‘𝑋)‘𝑘)))
44	22	fveq2d 6415	. . . . 5 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑘 ∈ ℕ0) → (abs‘((abs ∘ (𝐺‘𝑋))‘𝑘)) = (abs‘(abs‘((𝐺‘𝑋)‘𝑘))))
45	23	mulid2d 10347	. . . . 5 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑘 ∈ ℕ0) → (1 · (abs‘((𝐺‘𝑋)‘𝑘))) = (abs‘((𝐺‘𝑋)‘𝑘)))
46	43, 44, 45	3eqtr4d 2843	. . . 4 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑘 ∈ ℕ0) → (abs‘((abs ∘ (𝐺‘𝑋))‘𝑘)) = (1 · (abs‘((𝐺‘𝑋)‘𝑘))))
47	34, 46	sylan2 587	. . 3 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑘 ∈ (ℤ≥‘1)) → (abs‘((abs ∘ (𝐺‘𝑋))‘𝑘)) = (1 · (abs‘((𝐺‘𝑋)‘𝑘))))
48	10	oveq2d 6894	. . . . 5 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑘 ∈ ℕ0) → (1 · ((𝑚 ∈ ℕ0 ↦ (𝑚 · (abs‘((𝐺‘𝑋)‘𝑚))))‘𝑘)) = (1 · (𝑘 · (abs‘((𝐺‘𝑋)‘𝑘)))))
49	19	recnd 10357	. . . . . 6 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑘 ∈ ℕ0) → (𝑘 · (abs‘((𝐺‘𝑋)‘𝑘))) ∈ ℂ)
50	49	mulid2d 10347	. . . . 5 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑘 ∈ ℕ0) → (1 · (𝑘 · (abs‘((𝐺‘𝑋)‘𝑘)))) = (𝑘 · (abs‘((𝐺‘𝑋)‘𝑘))))
51	48, 50	eqtrd 2833	. . . 4 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑘 ∈ ℕ0) → (1 · ((𝑚 ∈ ℕ0 ↦ (𝑚 · (abs‘((𝐺‘𝑋)‘𝑚))))‘𝑘)) = (𝑘 · (abs‘((𝐺‘𝑋)‘𝑘))))
52	34, 51	sylan2 587	. . 3 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑘 ∈ (ℤ≥‘1)) → (1 · ((𝑚 ∈ ℕ0 ↦ (𝑚 · (abs‘((𝐺‘𝑋)‘𝑚))))‘𝑘)) = (𝑘 · (abs‘((𝐺‘𝑋)‘𝑘))))
53	41, 47, 52	3brtr4d 4875	. 2 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑘 ∈ (ℤ≥‘1)) → (abs‘((abs ∘ (𝐺‘𝑋))‘𝑘)) ≤ (1 · ((𝑚 ∈ ℕ0 ↦ (𝑚 · (abs‘((𝐺‘𝑋)‘𝑚))))‘𝑘)))
54	1, 3, 20, 24, 29, 30, 53	cvgcmpce 14888	1 ⊢ (𝜑 → seq0( + , (abs ∘ (𝐺‘𝑋))) ∈ dom ⇝ )

Syntax hints:   → wi 4   ∧ wa 385   = wceq 1653   ∈ wcel 2157   class class class wbr 4843   ↦ cmpt 4922  dom cdm 5312   ∘ ccom 5316  ⟶wf 6097  ‘cfv 6101  (class class class)co 6878  ℂcc 10222  ℝcr 10223  0cc0 10224  1c1 10225   + caddc 10227   · cmul 10229   < clt 10363   ≤ cle 10364  ℕcn 11312  ℕ₀cn0 11580  ℤ_≥cuz 11930  seqcseq 13055  ↑cexp 13114  abscabs 14315   ⇝ cli 14556

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1891  ax-4 1905  ax-5 2006  ax-6 2072  ax-7 2107  ax-8 2159  ax-9 2166  ax-10 2185  ax-11 2200  ax-12 2213  ax-13 2377  ax-ext 2777  ax-rep 4964  ax-sep 4975  ax-nul 4983  ax-pow 5035  ax-pr 5097  ax-un 7183  ax-inf2 8788  ax-cnex 10280  ax-resscn 10281  ax-1cn 10282  ax-icn 10283  ax-addcl 10284  ax-addrcl 10285  ax-mulcl 10286  ax-mulrcl 10287  ax-mulcom 10288  ax-addass 10289  ax-mulass 10290  ax-distr 10291  ax-i2m1 10292  ax-1ne0 10293  ax-1rid 10294  ax-rnegex 10295  ax-rrecex 10296  ax-cnre 10297  ax-pre-lttri 10298  ax-pre-lttrn 10299  ax-pre-ltadd 10300  ax-pre-mulgt0 10301  ax-pre-sup 10302  ax-addf 10303  ax-mulf 10304

This theorem depends on definitions:  df-bi 199  df-an 386  df-or 875  df-3or 1109  df-3an 1110  df-tru 1657  df-fal 1667  df-ex 1876  df-nf 1880  df-sb 2065  df-mo 2591  df-eu 2609  df-clab 2786  df-cleq 2792  df-clel 2795  df-nfc 2930  df-ne 2972  df-nel 3075  df-ral 3094  df-rex 3095  df-reu 3096  df-rmo 3097  df-rab 3098  df-v 3387  df-sbc 3634  df-csb 3729  df-dif 3772  df-un 3774  df-in 3776  df-ss 3783  df-pss 3785  df-nul 4116  df-if 4278  df-pw 4351  df-sn 4369  df-pr 4371  df-tp 4373  df-op 4375  df-uni 4629  df-int 4668  df-iun 4712  df-br 4844  df-opab 4906  df-mpt 4923  df-tr 4946  df-id 5220  df-eprel 5225  df-po 5233  df-so 5234  df-fr 5271  df-se 5272  df-we 5273  df-xp 5318  df-rel 5319  df-cnv 5320  df-co 5321  df-dm 5322  df-rn 5323  df-res 5324  df-ima 5325  df-pred 5898  df-ord 5944  df-on 5945  df-lim 5946  df-suc 5947  df-iota 6064  df-fun 6103  df-fn 6104  df-f 6105  df-f1 6106  df-fo 6107  df-f1o 6108  df-fv 6109  df-isom 6110  df-riota 6839  df-ov 6881  df-oprab 6882  df-mpt2 6883  df-om 7300  df-1st 7401  df-2nd 7402  df-wrecs 7645  df-recs 7707  df-rdg 7745  df-1o 7799  df-oadd 7803  df-er 7982  df-pm 8098  df-en 8196  df-dom 8197  df-sdom 8198  df-fin 8199  df-sup 8590  df-inf 8591  df-oi 8657  df-card 9051  df-pnf 10365  df-mnf 10366  df-xr 10367  df-ltxr 10368  df-le 10369  df-sub 10558  df-neg 10559  df-div 10977  df-nn 11313  df-2 11376  df-3 11377  df-n0 11581  df-z 11667  df-uz 11931  df-rp 12075  df-ico 12430  df-fz 12581  df-fzo 12721  df-fl 12848  df-seq 13056  df-exp 13115  df-hash 13371  df-cj 14180  df-re 14181  df-im 14182  df-sqrt 14316  df-abs 14317  df-limsup 14543  df-clim 14560  df-rlim 14561  df-sum 14758

This theorem is referenced by:  radcnvlem3  24510  radcnvlt1  24513