MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  radcnvlem2 Structured version   Visualization version   GIF version
Theorem radcnvlem2 26159
Description: Lemma for radcnvlt1 26163, radcnvle 26165. If 𝑋 is a point closer to zero than π‘Œ and the power series converges at π‘Œ, then it converges absolutely at 𝑋. (Contributed by Mario Carneiro, 26-Feb-2015.)
Hypotheses
Ref Expression
pser.g 𝐺 = (π‘₯ ∈ β„‚ ↦ (𝑛 ∈ β„•0 ↦ ((π΄β€˜π‘›) Β· (π‘₯↑𝑛))))
radcnv.a (πœ‘ β†’ 𝐴:β„•0βŸΆβ„‚)
psergf.x (πœ‘ β†’ 𝑋 ∈ β„‚)
radcnvlem2.y (πœ‘ β†’ π‘Œ ∈ β„‚)
radcnvlem2.a (πœ‘ β†’ (absβ€˜π‘‹) < (absβ€˜π‘Œ))
radcnvlem2.c (πœ‘ β†’ seq0( + , (πΊβ€˜π‘Œ)) ∈ dom ⇝ )
Assertion
Ref Expression
radcnvlem2 (πœ‘ β†’ seq0( + , (abs ∘ (πΊβ€˜π‘‹))) ∈ dom ⇝ )
Distinct variable group:   π‘₯,𝑛,𝐴
Allowed substitution hints:   πœ‘(π‘₯,𝑛)   𝐺(π‘₯,𝑛)   𝑋(π‘₯,𝑛)   π‘Œ(π‘₯,𝑛)
Proof of Theorem radcnvlem2
Dummy variables π‘˜ π‘š are mutually distinct and distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 nn0uz 12869 . 2 β„•0 = (β„€β‰₯β€˜0)
2 1nn0 12493 . . 3 1 ∈ β„•0
32a1i 11 . 2 (πœ‘ β†’ 1 ∈ β„•0)
4 id 22 . . . . . 6 (π‘š = π‘˜ β†’ π‘š = π‘˜)
5 2fveq3 6897 . . . . . 6 (π‘š = π‘˜ β†’ (absβ€˜((πΊβ€˜π‘‹)β€˜π‘š)) = (absβ€˜((πΊβ€˜π‘‹)β€˜π‘˜)))
64, 5oveq12d 7430 . . . . 5 (π‘š = π‘˜ β†’ (π‘š Β· (absβ€˜((πΊβ€˜π‘‹)β€˜π‘š))) = (π‘˜ Β· (absβ€˜((πΊβ€˜π‘‹)β€˜π‘˜))))
7 eqid 2731 . . . . 5 (π‘š ∈ β„•0 ↦ (π‘š Β· (absβ€˜((πΊβ€˜π‘‹)β€˜π‘š)))) = (π‘š ∈ β„•0 ↦ (π‘š Β· (absβ€˜((πΊβ€˜π‘‹)β€˜π‘š))))
8 ovex 7445 . . . . 5 (π‘˜ Β· (absβ€˜((πΊβ€˜π‘‹)β€˜π‘˜))) ∈ V
96, 7, 8fvmpt 6999 . . . 4 (π‘˜ ∈ β„•0 β†’ ((π‘š ∈ β„•0 ↦ (π‘š Β· (absβ€˜((πΊβ€˜π‘‹)β€˜π‘š))))β€˜π‘˜) = (π‘˜ Β· (absβ€˜((πΊβ€˜π‘‹)β€˜π‘˜))))
109adantl 481 . . 3 ((πœ‘ ∧ π‘˜ ∈ β„•0) β†’ ((π‘š ∈ β„•0 ↦ (π‘š Β· (absβ€˜((πΊβ€˜π‘‹)β€˜π‘š))))β€˜π‘˜) = (π‘˜ Β· (absβ€˜((πΊβ€˜π‘‹)β€˜π‘˜))))
11 nn0re 12486 . . . . 5 (π‘˜ ∈ β„•0 β†’ π‘˜ ∈ ℝ)
1211adantl 481 . . . 4 ((πœ‘ ∧ π‘˜ ∈ β„•0) β†’ π‘˜ ∈ ℝ)
13 pser.g . . . . . . 7 𝐺 = (π‘₯ ∈ β„‚ ↦ (𝑛 ∈ β„•0 ↦ ((π΄β€˜π‘›) Β· (π‘₯↑𝑛))))
14 radcnv.a . . . . . . 7 (πœ‘ β†’ 𝐴:β„•0βŸΆβ„‚)
15 psergf.x . . . . . . 7 (πœ‘ β†’ 𝑋 ∈ β„‚)
1613, 14, 15psergf 26157 . . . . . 6 (πœ‘ β†’ (πΊβ€˜π‘‹):β„•0βŸΆβ„‚)
1716ffvelcdmda 7087 . . . . 5 ((πœ‘ ∧ π‘˜ ∈ β„•0) β†’ ((πΊβ€˜π‘‹)β€˜π‘˜) ∈ β„‚)
1817abscld 15388 . . . 4 ((πœ‘ ∧ π‘˜ ∈ β„•0) β†’ (absβ€˜((πΊβ€˜π‘‹)β€˜π‘˜)) ∈ ℝ)
1912, 18remulcld 11249 . . 3 ((πœ‘ ∧ π‘˜ ∈ β„•0) β†’ (π‘˜ Β· (absβ€˜((πΊβ€˜π‘‹)β€˜π‘˜))) ∈ ℝ)
2010, 19eqeltrd 2832 . 2 ((πœ‘ ∧ π‘˜ ∈ β„•0) β†’ ((π‘š ∈ β„•0 ↦ (π‘š Β· (absβ€˜((πΊβ€˜π‘‹)β€˜π‘š))))β€˜π‘˜) ∈ ℝ)
21 fvco3 6991 . . . 4 (((πΊβ€˜π‘‹):β„•0βŸΆβ„‚ ∧ π‘˜ ∈ β„•0) β†’ ((abs ∘ (πΊβ€˜π‘‹))β€˜π‘˜) = (absβ€˜((πΊβ€˜π‘‹)β€˜π‘˜)))
2216, 21sylan 579 . . 3 ((πœ‘ ∧ π‘˜ ∈ β„•0) β†’ ((abs ∘ (πΊβ€˜π‘‹))β€˜π‘˜) = (absβ€˜((πΊβ€˜π‘‹)β€˜π‘˜)))
2318recnd 11247 . . 3 ((πœ‘ ∧ π‘˜ ∈ β„•0) β†’ (absβ€˜((πΊβ€˜π‘‹)β€˜π‘˜)) ∈ β„‚)
2422, 23eqeltrd 2832 . 2 ((πœ‘ ∧ π‘˜ ∈ β„•0) β†’ ((abs ∘ (πΊβ€˜π‘‹))β€˜π‘˜) ∈ β„‚)
25 radcnvlem2.y . . 3 (πœ‘ β†’ π‘Œ ∈ β„‚)
26 radcnvlem2.a . . 3 (πœ‘ β†’ (absβ€˜π‘‹) < (absβ€˜π‘Œ))
27 radcnvlem2.c . . 3 (πœ‘ β†’ seq0( + , (πΊβ€˜π‘Œ)) ∈ dom ⇝ )
286cbvmptv 5262 . . 3 (π‘š ∈ β„•0 ↦ (π‘š Β· (absβ€˜((πΊβ€˜π‘‹)β€˜π‘š)))) = (π‘˜ ∈ β„•0 ↦ (π‘˜ Β· (absβ€˜((πΊβ€˜π‘‹)β€˜π‘˜))))
2913, 14, 15, 25, 26, 27, 28radcnvlem1 26158 . 2 (πœ‘ β†’ seq0( + , (π‘š ∈ β„•0 ↦ (π‘š Β· (absβ€˜((πΊβ€˜π‘‹)β€˜π‘š))))) ∈ dom ⇝ )
30 1red 11220 . 2 (πœ‘ β†’ 1 ∈ ℝ)
31 1red 11220 . . . 4 ((πœ‘ ∧ π‘˜ ∈ (β„€β‰₯β€˜1)) β†’ 1 ∈ ℝ)
32 elnnuz 12871 . . . . . 6 (π‘˜ ∈ β„• ↔ π‘˜ ∈ (β„€β‰₯β€˜1))
33 nnnn0 12484 . . . . . 6 (π‘˜ ∈ β„• β†’ π‘˜ ∈ β„•0)
3432, 33sylbir 234 . . . . 5 (π‘˜ ∈ (β„€β‰₯β€˜1) β†’ π‘˜ ∈ β„•0)
3534, 12sylan2 592 . . . 4 ((πœ‘ ∧ π‘˜ ∈ (β„€β‰₯β€˜1)) β†’ π‘˜ ∈ ℝ)
3634, 18sylan2 592 . . . 4 ((πœ‘ ∧ π‘˜ ∈ (β„€β‰₯β€˜1)) β†’ (absβ€˜((πΊβ€˜π‘‹)β€˜π‘˜)) ∈ ℝ)
3717absge0d 15396 . . . . 5 ((πœ‘ ∧ π‘˜ ∈ β„•0) β†’ 0 ≀ (absβ€˜((πΊβ€˜π‘‹)β€˜π‘˜)))
3834, 37sylan2 592 . . . 4 ((πœ‘ ∧ π‘˜ ∈ (β„€β‰₯β€˜1)) β†’ 0 ≀ (absβ€˜((πΊβ€˜π‘‹)β€˜π‘˜)))
39 eluzle 12840 . . . . 5 (π‘˜ ∈ (β„€β‰₯β€˜1) β†’ 1 ≀ π‘˜)
4039adantl 481 . . . 4 ((πœ‘ ∧ π‘˜ ∈ (β„€β‰₯β€˜1)) β†’ 1 ≀ π‘˜)
4131, 35, 36, 38, 40lemul1ad 12158 . . 3 ((πœ‘ ∧ π‘˜ ∈ (β„€β‰₯β€˜1)) β†’ (1 Β· (absβ€˜((πΊβ€˜π‘‹)β€˜π‘˜))) ≀ (π‘˜ Β· (absβ€˜((πΊβ€˜π‘‹)β€˜π‘˜))))
42 absidm 15275 . . . . . 6 (((πΊβ€˜π‘‹)β€˜π‘˜) ∈ β„‚ β†’ (absβ€˜(absβ€˜((πΊβ€˜π‘‹)β€˜π‘˜))) = (absβ€˜((πΊβ€˜π‘‹)β€˜π‘˜)))
4317, 42syl 17 . . . . 5 ((πœ‘ ∧ π‘˜ ∈ β„•0) β†’ (absβ€˜(absβ€˜((πΊβ€˜π‘‹)β€˜π‘˜))) = (absβ€˜((πΊβ€˜π‘‹)β€˜π‘˜)))
4422fveq2d 6896 . . . . 5 ((πœ‘ ∧ π‘˜ ∈ β„•0) β†’ (absβ€˜((abs ∘ (πΊβ€˜π‘‹))β€˜π‘˜)) = (absβ€˜(absβ€˜((πΊβ€˜π‘‹)β€˜π‘˜))))
4523mullidd 11237 . . . . 5 ((πœ‘ ∧ π‘˜ ∈ β„•0) β†’ (1 Β· (absβ€˜((πΊβ€˜π‘‹)β€˜π‘˜))) = (absβ€˜((πΊβ€˜π‘‹)β€˜π‘˜)))
4643, 44, 453eqtr4d 2781 . . . 4 ((πœ‘ ∧ π‘˜ ∈ β„•0) β†’ (absβ€˜((abs ∘ (πΊβ€˜π‘‹))β€˜π‘˜)) = (1 Β· (absβ€˜((πΊβ€˜π‘‹)β€˜π‘˜))))
4734, 46sylan2 592 . . 3 ((πœ‘ ∧ π‘˜ ∈ (β„€β‰₯β€˜1)) β†’ (absβ€˜((abs ∘ (πΊβ€˜π‘‹))β€˜π‘˜)) = (1 Β· (absβ€˜((πΊβ€˜π‘‹)β€˜π‘˜))))
4810oveq2d 7428 . . . . 5 ((πœ‘ ∧ π‘˜ ∈ β„•0) β†’ (1 Β· ((π‘š ∈ β„•0 ↦ (π‘š Β· (absβ€˜((πΊβ€˜π‘‹)β€˜π‘š))))β€˜π‘˜)) = (1 Β· (π‘˜ Β· (absβ€˜((πΊβ€˜π‘‹)β€˜π‘˜)))))
4919recnd 11247 . . . . . 6 ((πœ‘ ∧ π‘˜ ∈ β„•0) β†’ (π‘˜ Β· (absβ€˜((πΊβ€˜π‘‹)β€˜π‘˜))) ∈ β„‚)
5049mullidd 11237 . . . . 5 ((πœ‘ ∧ π‘˜ ∈ β„•0) β†’ (1 Β· (π‘˜ Β· (absβ€˜((πΊβ€˜π‘‹)β€˜π‘˜)))) = (π‘˜ Β· (absβ€˜((πΊβ€˜π‘‹)β€˜π‘˜))))
5148, 50eqtrd 2771 . . . 4 ((πœ‘ ∧ π‘˜ ∈ β„•0) β†’ (1 Β· ((π‘š ∈ β„•0 ↦ (π‘š Β· (absβ€˜((πΊβ€˜π‘‹)β€˜π‘š))))β€˜π‘˜)) = (π‘˜ Β· (absβ€˜((πΊβ€˜π‘‹)β€˜π‘˜))))
5234, 51sylan2 592 . . 3 ((πœ‘ ∧ π‘˜ ∈ (β„€β‰₯β€˜1)) β†’ (1 Β· ((π‘š ∈ β„•0 ↦ (π‘š Β· (absβ€˜((πΊβ€˜π‘‹)β€˜π‘š))))β€˜π‘˜)) = (π‘˜ Β· (absβ€˜((πΊβ€˜π‘‹)β€˜π‘˜))))
5341, 47, 523brtr4d 5181 . 2 ((πœ‘ ∧ π‘˜ ∈ (β„€β‰₯β€˜1)) β†’ (absβ€˜((abs ∘ (πΊβ€˜π‘‹))β€˜π‘˜)) ≀ (1 Β· ((π‘š ∈ β„•0 ↦ (π‘š Β· (absβ€˜((πΊβ€˜π‘‹)β€˜π‘š))))β€˜π‘˜)))
541, 3, 20, 24, 29, 30, 53cvgcmpce 15769 1 (πœ‘ β†’ seq0( + , (abs ∘ (πΊβ€˜π‘‹))) ∈ dom ⇝ )
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:   β†’ wi 4   ∧ wa 395   = wceq 1540   ∈ wcel 2105   class class class wbr 5149   ↦ cmpt 5232  dom cdm 5677   ∘ ccom 5681  βŸΆwf 6540  β€˜cfv 6544  (class class class)co 7412  β„‚cc 11111  β„cr 11112  0cc0 11113  1c1 11114   + caddc 11116   Β· cmul 11118   < clt 11253   ≀ cle 11254  β„•cn 12217  β„•0cn0 12477  β„€β‰₯cuz 12827  seqcseq 13971  β†‘cexp 14032  abscabs 15186   ⇝ cli 15433
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1796  ax-4 1810  ax-5 1912  ax-6 1970  ax-7 2010  ax-8 2107  ax-9 2115  ax-10 2136  ax-11 2153  ax-12 2170  ax-ext 2702  ax-rep 5286  ax-sep 5300  ax-nul 5307  ax-pow 5364  ax-pr 5428  ax-un 7728  ax-inf2 9639  ax-cnex 11169  ax-resscn 11170  ax-1cn 11171  ax-icn 11172  ax-addcl 11173  ax-addrcl 11174  ax-mulcl 11175  ax-mulrcl 11176  ax-mulcom 11177  ax-addass 11178  ax-mulass 11179  ax-distr 11180  ax-i2m1 11181  ax-1ne0 11182  ax-1rid 11183  ax-rnegex 11184  ax-rrecex 11185  ax-cnre 11186  ax-pre-lttri 11187  ax-pre-lttrn 11188  ax-pre-ltadd 11189  ax-pre-mulgt0 11190  ax-pre-sup 11191
This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 396  df-or 845  df-3or 1087  df-3an 1088  df-tru 1543  df-fal 1553  df-ex 1781  df-nf 1785  df-sb 2067  df-mo 2533  df-eu 2562  df-clab 2709  df-cleq 2723  df-clel 2809  df-nfc 2884  df-ne 2940  df-nel 3046  df-ral 3061  df-rex 3070  df-rmo 3375  df-reu 3376  df-rab 3432  df-v 3475  df-sbc 3779  df-csb 3895  df-dif 3952  df-un 3954  df-in 3956  df-ss 3966  df-pss 3968  df-nul 4324  df-if 4530  df-pw 4605  df-sn 4630  df-pr 4632  df-op 4636  df-uni 4910  df-int 4952  df-iun 5000  df-br 5150  df-opab 5212  df-mpt 5233  df-tr 5267  df-id 5575  df-eprel 5581  df-po 5589  df-so 5590  df-fr 5632  df-se 5633  df-we 5634  df-xp 5683  df-rel 5684  df-cnv 5685  df-co 5686  df-dm 5687  df-rn 5688  df-res 5689  df-ima 5690  df-pred 6301  df-ord 6368  df-on 6369  df-lim 6370  df-suc 6371  df-iota 6496  df-fun 6546  df-fn 6547  df-f 6548  df-f1 6549  df-fo 6550  df-f1o 6551  df-fv 6552  df-isom 6553  df-riota 7368  df-ov 7415  df-oprab 7416  df-mpo 7417  df-om 7859  df-1st 7978  df-2nd 7979  df-frecs 8269  df-wrecs 8300  df-recs 8374  df-rdg 8413  df-1o 8469  df-er 8706  df-pm 8826  df-en 8943  df-dom 8944  df-sdom 8945  df-fin 8946  df-sup 9440  df-inf 9441  df-oi 9508  df-card 9937  df-pnf 11255  df-mnf 11256  df-xr 11257  df-ltxr 11258  df-le 11259  df-sub 11451  df-neg 11452  df-div 11877  df-nn 12218  df-2 12280  df-3 12281  df-n0 12478  df-z 12564  df-uz 12828  df-rp 12980  df-ico 13335  df-fz 13490  df-fzo 13633  df-fl 13762  df-seq 13972  df-exp 14033  df-hash 14296  df-cj 15051  df-re 15052  df-im 15053  df-sqrt 15187  df-abs 15188  df-limsup 15420  df-clim 15437  df-rlim 15438  df-sum 15638
This theorem is referenced by:  radcnvlem3  26160  radcnvlt1  26163
  Copyright terms: Public domain W3C validator