Theorem radcnvlem2 26647

Description: Lemma for radcnvlt1 26651, radcnvle 26653. If 𝑋 is a point closer to zero than 𝑌 and the power series converges at 𝑌, then it converges absolutely at 𝑋. (Contributed by Mario Carneiro, 26-Feb-2015.)

Hypotheses

Ref	Expression
pser.g	⊢ 𝐺 = (𝑥 ∈ ℂ ↦ (𝑛 ∈ ℕ0 ↦ ((𝐴‘𝑛) · (𝑥↑𝑛))))
radcnv.a	⊢ (𝜑 → 𝐴:ℕ0⟶ℂ)
psergf.x	⊢ (𝜑 → 𝑋 ∈ ℂ)
radcnvlem2.y	⊢ (𝜑 → 𝑌 ∈ ℂ)
radcnvlem2.a	⊢ (𝜑 → (abs‘𝑋) < (abs‘𝑌))
radcnvlem2.c	⊢ (𝜑 → seq0( + , (𝐺‘𝑌)) ∈ dom ⇝ )

Assertion

Ref	Expression
radcnvlem2	⊢ (𝜑 → seq0( + , (abs ∘ (𝐺‘𝑋))) ∈ dom ⇝ )

Distinct variable group:   𝑥,𝑛,𝐴

Allowed substitution hints:   𝜑(𝑥, 𝑛)   𝐺(𝑥, 𝑛)   𝑋(𝑥, 𝑛)   𝑌(𝑥, 𝑛)

Proof of Theorem radcnvlem2

Dummy variables 𝑘 𝑚 are mutually distinct and distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		nn0uz 12928	. 2 ⊢ ℕ0 = (ℤ≥‘0)
2		1nn0 12547	. . 3 ⊢ 1 ∈ ℕ0
3	2	a1i 11	. 2 ⊢ (𝜑 → 1 ∈ ℕ0)
4		id 23	. . . . . 6 ⊢ (𝑚 = 𝑘 → 𝑚 = 𝑘)
5		2fveq3 6887	. . . . . 6 ⊢ (𝑚 = 𝑘 → (abs‘((𝐺‘𝑋)‘𝑚)) = (abs‘((𝐺‘𝑋)‘𝑘)))
6	4, 5	oveq12d 7434	. . . . 5 ⊢ (𝑚 = 𝑘 → (𝑚 · (abs‘((𝐺‘𝑋)‘𝑚))) = (𝑘 · (abs‘((𝐺‘𝑋)‘𝑘))))
7		eqid 2762	. . . . 5 ⊢ (𝑚 ∈ ℕ0 ↦ (𝑚 · (abs‘((𝐺‘𝑋)‘𝑚)))) = (𝑚 ∈ ℕ0 ↦ (𝑚 · (abs‘((𝐺‘𝑋)‘𝑚))))
8		ovex 7449	. . . . 5 ⊢ (𝑘 · (abs‘((𝐺‘𝑋)‘𝑘))) ∈ V
9	6, 7, 8	fvmpt 6990	. . . 4 ⊢ (𝑘 ∈ ℕ0 → ((𝑚 ∈ ℕ0 ↦ (𝑚 · (abs‘((𝐺‘𝑋)‘𝑚))))‘𝑘) = (𝑘 · (abs‘((𝐺‘𝑋)‘𝑘))))
10	9	adantl 487	. . 3 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑘 ∈ ℕ0) → ((𝑚 ∈ ℕ0 ↦ (𝑚 · (abs‘((𝐺‘𝑋)‘𝑚))))‘𝑘) = (𝑘 · (abs‘((𝐺‘𝑋)‘𝑘))))
11		nn0re 12540	. . . . 5 ⊢ (𝑘 ∈ ℕ0 → 𝑘 ∈ ℝ)
12	11	adantl 487	. . . 4 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑘 ∈ ℕ0) → 𝑘 ∈ ℝ)
13		pser.g	. . . . . . 7 ⊢ 𝐺 = (𝑥 ∈ ℂ ↦ (𝑛 ∈ ℕ0 ↦ ((𝐴‘𝑛) · (𝑥↑𝑛))))
14		radcnv.a	. . . . . . 7 ⊢ (𝜑 → 𝐴:ℕ0⟶ℂ)
15		psergf.x	. . . . . . 7 ⊢ (𝜑 → 𝑋 ∈ ℂ)
16	13, 14, 15	psergf 26645	. . . . . 6 ⊢ (𝜑 → (𝐺‘𝑋):ℕ0⟶ℂ)
17	16	ffvelcdmda 7080	. . . . 5 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑘 ∈ ℕ0) → ((𝐺‘𝑋)‘𝑘) ∈ ℂ)
18	17	abscld 15528	. . . 4 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑘 ∈ ℕ0) → (abs‘((𝐺‘𝑋)‘𝑘)) ∈ ℝ)
19	12, 18	remulcld 11266	. . 3 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑘 ∈ ℕ0) → (𝑘 · (abs‘((𝐺‘𝑋)‘𝑘))) ∈ ℝ)
20	10, 19	eqeltrd 2862	. 2 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑘 ∈ ℕ0) → ((𝑚 ∈ ℕ0 ↦ (𝑚 · (abs‘((𝐺‘𝑋)‘𝑚))))‘𝑘) ∈ ℝ)
21		fvco3 6982	. . . 4 ⊢ (((𝐺‘𝑋):ℕ0⟶ℂ ∧ 𝑘 ∈ ℕ0) → ((abs ∘ (𝐺‘𝑋))‘𝑘) = (abs‘((𝐺‘𝑋)‘𝑘)))
22	16, 21	sylan 592	. . 3 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑘 ∈ ℕ0) → ((abs ∘ (𝐺‘𝑋))‘𝑘) = (abs‘((𝐺‘𝑋)‘𝑘)))
23	18	recnd 11264	. . 3 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑘 ∈ ℕ0) → (abs‘((𝐺‘𝑋)‘𝑘)) ∈ ℂ)
24	22, 23	eqeltrd 2862	. 2 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑘 ∈ ℕ0) → ((abs ∘ (𝐺‘𝑋))‘𝑘) ∈ ℂ)
25		radcnvlem2.y	. . 3 ⊢ (𝜑 → 𝑌 ∈ ℂ)
26		radcnvlem2.a	. . 3 ⊢ (𝜑 → (abs‘𝑋) < (abs‘𝑌))
27		radcnvlem2.c	. . 3 ⊢ (𝜑 → seq0( + , (𝐺‘𝑌)) ∈ dom ⇝ )
28	6	cbvmptv 5213	. . 3 ⊢ (𝑚 ∈ ℕ0 ↦ (𝑚 · (abs‘((𝐺‘𝑋)‘𝑚)))) = (𝑘 ∈ ℕ0 ↦ (𝑘 · (abs‘((𝐺‘𝑋)‘𝑘))))
29	13, 14, 15, 25, 26, 27, 28	radcnvlem1 26646	. 2 ⊢ (𝜑 → seq0( + , (𝑚 ∈ ℕ0 ↦ (𝑚 · (abs‘((𝐺‘𝑋)‘𝑚))))) ∈ dom ⇝ )
30		1red 11236	. 2 ⊢ (𝜑 → 1 ∈ ℝ)
31		1red 11236	. . . 4 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑘 ∈ (ℤ≥‘1)) → 1 ∈ ℝ)
32		elnnuz 12930	. . . . . 6 ⊢ (𝑘 ∈ ℕ ↔ 𝑘 ∈ (ℤ≥‘1))
33		nnnn0 12538	. . . . . 6 ⊢ (𝑘 ∈ ℕ → 𝑘 ∈ ℕ0)
34	32, 33	sylbir 238	. . . . 5 ⊢ (𝑘 ∈ (ℤ≥‘1) → 𝑘 ∈ ℕ0)
35	34, 12	sylan2 605	. . . 4 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑘 ∈ (ℤ≥‘1)) → 𝑘 ∈ ℝ)
36	34, 18	sylan2 605	. . . 4 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑘 ∈ (ℤ≥‘1)) → (abs‘((𝐺‘𝑋)‘𝑘)) ∈ ℝ)
37	17	absge0d 15536	. . . . 5 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑘 ∈ ℕ0) → 0 ≤ (abs‘((𝐺‘𝑋)‘𝑘)))
38	34, 37	sylan2 605	. . . 4 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑘 ∈ (ℤ≥‘1)) → 0 ≤ (abs‘((𝐺‘𝑋)‘𝑘)))
39		eluzle 12903	. . . . 5 ⊢ (𝑘 ∈ (ℤ≥‘1) → 1 ≤ 𝑘)
40	39	adantl 487	. . . 4 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑘 ∈ (ℤ≥‘1)) → 1 ≤ 𝑘)
41	31, 35, 36, 38, 40	lemul1ad 12181	. . 3 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑘 ∈ (ℤ≥‘1)) → (1 · (abs‘((𝐺‘𝑋)‘𝑘))) ≤ (𝑘 · (abs‘((𝐺‘𝑋)‘𝑘))))
42		absidm 15413	. . . . . 6 ⊢ (((𝐺‘𝑋)‘𝑘) ∈ ℂ → (abs‘(abs‘((𝐺‘𝑋)‘𝑘))) = (abs‘((𝐺‘𝑋)‘𝑘)))
43	17, 42	syl 18	. . . . 5 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑘 ∈ ℕ0) → (abs‘(abs‘((𝐺‘𝑋)‘𝑘))) = (abs‘((𝐺‘𝑋)‘𝑘)))
44	22	fveq2d 6886	. . . . 5 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑘 ∈ ℕ0) → (abs‘((abs ∘ (𝐺‘𝑋))‘𝑘)) = (abs‘(abs‘((𝐺‘𝑋)‘𝑘))))
45	23	mullidd 11254	. . . . 5 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑘 ∈ ℕ0) → (1 · (abs‘((𝐺‘𝑋)‘𝑘))) = (abs‘((𝐺‘𝑋)‘𝑘)))
46	43, 44, 45	3eqtr4d 2807	. . . 4 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑘 ∈ ℕ0) → (abs‘((abs ∘ (𝐺‘𝑋))‘𝑘)) = (1 · (abs‘((𝐺‘𝑋)‘𝑘))))
47	34, 46	sylan2 605	. . 3 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑘 ∈ (ℤ≥‘1)) → (abs‘((abs ∘ (𝐺‘𝑋))‘𝑘)) = (1 · (abs‘((𝐺‘𝑋)‘𝑘))))
48	10	oveq2d 7432	. . . . 5 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑘 ∈ ℕ0) → (1 · ((𝑚 ∈ ℕ0 ↦ (𝑚 · (abs‘((𝐺‘𝑋)‘𝑚))))‘𝑘)) = (1 · (𝑘 · (abs‘((𝐺‘𝑋)‘𝑘)))))
49	19	recnd 11264	. . . . . 6 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑘 ∈ ℕ0) → (𝑘 · (abs‘((𝐺‘𝑋)‘𝑘))) ∈ ℂ)
50	49	mullidd 11254	. . . . 5 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑘 ∈ ℕ0) → (1 · (𝑘 · (abs‘((𝐺‘𝑋)‘𝑘)))) = (𝑘 · (abs‘((𝐺‘𝑋)‘𝑘))))
51	48, 50	eqtrd 2797	. . . 4 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑘 ∈ ℕ0) → (1 · ((𝑚 ∈ ℕ0 ↦ (𝑚 · (abs‘((𝐺‘𝑋)‘𝑚))))‘𝑘)) = (𝑘 · (abs‘((𝐺‘𝑋)‘𝑘))))
52	34, 51	sylan2 605	. . 3 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑘 ∈ (ℤ≥‘1)) → (1 · ((𝑚 ∈ ℕ0 ↦ (𝑚 · (abs‘((𝐺‘𝑋)‘𝑚))))‘𝑘)) = (𝑘 · (abs‘((𝐺‘𝑋)‘𝑘))))
53	41, 47, 52	3brtr4d 5141	. 2 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑘 ∈ (ℤ≥‘1)) → (abs‘((abs ∘ (𝐺‘𝑋))‘𝑘)) ≤ (1 · ((𝑚 ∈ ℕ0 ↦ (𝑚 · (abs‘((𝐺‘𝑋)‘𝑚))))‘𝑘)))
54	1, 3, 20, 24, 29, 30, 53	cvgcmpce 15907	1 ⊢ (𝜑 → seq0( + , (abs ∘ (𝐺‘𝑋))) ∈ dom ⇝ )

This proof depends on syntax axioms:   → wi 4   ∧ wa 401   = wceq 1570   ∈ wcel 2145   class class class wbr 5107   ↦ cmpt 5190  dom cdm 5659   ∘ ccom 5663  ⟶wf 6533  ‘cfv 6537  (class class class)co 7416  ℂcc 11125  ℝcr 11126  0cc0 11127  1c1 11128   + caddc 11130   · cmul 11132   < clt 11270   ≤ cle 11271  ℕcn 12260  ℕ₀cn0 12531  ℤ_≥cuz 12890  seqcseq 14067  ↑cexp 14127  abscabs 15323   ⇝ cli 15573

This proof depends on axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1828  ax-4 1842  ax-5 1943  ax-6 2000  ax-7 2041  ax-8 2147  ax-9 2155  ax-10 2178  ax-11 2194  ax-12 2215  ax-ext 2734  ax-rep 5236  ax-sep 5255  ax-nul 5267  ax-pow 5334  ax-pr 5402  ax-un 7739  ax-inf2 9623  ax-cnex 11183  ax-resscn 11184  ax-1cn 11185  ax-icn 11186  ax-addcl 11187  ax-addrcl 11188  ax-mulcl 11189  ax-mulrcl 11190  ax-mulcom 11191  ax-addass 11192  ax-mulass 11193  ax-distr 11194  ax-i2m1 11195  ax-1ne0 11196  ax-1rid 11197  ax-rnegex 11198  ax-rrecex 11199  ax-cnre 11200  ax-pre-lttri 11201  ax-pre-lttrn 11202  ax-pre-ltadd 11203  ax-pre-mulgt0 11204  ax-pre-sup 11205

This proof depends on definitions:  df-bi 210  df-an 402  df-or 862  df-3or 1104  df-3an 1105  df-tru 1573  df-fal 1583  df-ex 1813  df-nf 1817  df-sb 2100  df-mo 2566  df-eu 2596  df-clab 2741  df-cleq 2754  df-clel 2837  df-nfc 2911  df-ne 2958  df-nel 3064  df-ral 3079  df-rex 3089  df-rmo 3367  df-reu 3368  df-rab 3415  df-v 3455  df-sbc 3743  df-csb 3851  df-dif 3905  df-un 3907  df-in 3909  df-ss 3919  df-pss 3922  df-nul 4283  df-if 4486  df-pw 4562  df-sn 4588  df-pr 4590  df-op 4594  df-uni 4871  df-int 4911  df-iun 4956  df-br 5108  df-opab 5172  df-mpt 5191  df-tr 5217  df-id 5554  df-eprel 5559  df-po 5567  df-so 5568  df-fr 5612  df-se 5613  df-we 5614  df-xp 5665  df-rel 5666  df-cnv 5667  df-co 5668  df-dm 5669  df-rn 5670  df-res 5671  df-ima 5672  df-pred 6303  df-ord 6364  df-on 6365  df-lim 6366  df-suc 6367  df-iota 6493  df-fun 6539  df-fn 6540  df-f 6541  df-f1 6542  df-fo 6543  df-f1o 6544  df-fv 6545  df-isom 6546  df-riota 7373  df-ov 7419  df-oprab 7420  df-mpo 7421  df-om 7866  df-1st 7989  df-2nd 7990  df-frecs 8283  df-wrecs 8314  df-recs 8363  df-rdg 8402  df-1o 8458  df-er 8699  df-pm 8832  df-en 8956  df-dom 8957  df-sdom 8958  df-fin 8959  df-sup 9415  df-inf 9416  df-oi 9485  df-card 9947  df-pnf 11272  df-mnf 11273  df-xr 11274  df-ltxr 11275  df-le 11276  df-sub 11470  df-neg 11471  df-div 11899  df-nn 12261  df-2 12330  df-3 12331  df-n0 12532  df-z 12619  df-uz 12891  df-rp 13045  df-ico 13406  df-fz 13564  df-fzo 13712  df-fl 13855  df-seq 14068  df-exp 14128  df-hash 14397  df-cj 15188  df-re 15189  df-im 15190  df-sqrt 15324  df-abs 15325  df-limsup 15560  df-clim 15577  df-rlim 15578  df-sum 15776

This theorem is used by:  radcnvlem3  26648  radcnvlt1  26651