MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  radcnvlem2 Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem radcnvlem2 25789
Description: Lemma for radcnvlt1 25793, radcnvle 25795. If 𝑋 is a point closer to zero than π‘Œ and the power series converges at π‘Œ, then it converges absolutely at 𝑋. (Contributed by Mario Carneiro, 26-Feb-2015.)
Hypotheses
Ref Expression
pser.g 𝐺 = (π‘₯ ∈ β„‚ ↦ (𝑛 ∈ β„•0 ↦ ((π΄β€˜π‘›) Β· (π‘₯↑𝑛))))
radcnv.a (πœ‘ β†’ 𝐴:β„•0βŸΆβ„‚)
psergf.x (πœ‘ β†’ 𝑋 ∈ β„‚)
radcnvlem2.y (πœ‘ β†’ π‘Œ ∈ β„‚)
radcnvlem2.a (πœ‘ β†’ (absβ€˜π‘‹) < (absβ€˜π‘Œ))
radcnvlem2.c (πœ‘ β†’ seq0( + , (πΊβ€˜π‘Œ)) ∈ dom ⇝ )
Assertion
Ref Expression
radcnvlem2 (πœ‘ β†’ seq0( + , (abs ∘ (πΊβ€˜π‘‹))) ∈ dom ⇝ )
Distinct variable group:   π‘₯,𝑛,𝐴
Allowed substitution hints:   πœ‘(π‘₯,𝑛)   𝐺(π‘₯,𝑛)   𝑋(π‘₯,𝑛)   π‘Œ(π‘₯,𝑛)

Proof of Theorem radcnvlem2
Dummy variables π‘˜ π‘š are mutually distinct and distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 nn0uz 12812 . 2 β„•0 = (β„€β‰₯β€˜0)
2 1nn0 12436 . . 3 1 ∈ β„•0
32a1i 11 . 2 (πœ‘ β†’ 1 ∈ β„•0)
4 id 22 . . . . . 6 (π‘š = π‘˜ β†’ π‘š = π‘˜)
5 2fveq3 6852 . . . . . 6 (π‘š = π‘˜ β†’ (absβ€˜((πΊβ€˜π‘‹)β€˜π‘š)) = (absβ€˜((πΊβ€˜π‘‹)β€˜π‘˜)))
64, 5oveq12d 7380 . . . . 5 (π‘š = π‘˜ β†’ (π‘š Β· (absβ€˜((πΊβ€˜π‘‹)β€˜π‘š))) = (π‘˜ Β· (absβ€˜((πΊβ€˜π‘‹)β€˜π‘˜))))
7 eqid 2737 . . . . 5 (π‘š ∈ β„•0 ↦ (π‘š Β· (absβ€˜((πΊβ€˜π‘‹)β€˜π‘š)))) = (π‘š ∈ β„•0 ↦ (π‘š Β· (absβ€˜((πΊβ€˜π‘‹)β€˜π‘š))))
8 ovex 7395 . . . . 5 (π‘˜ Β· (absβ€˜((πΊβ€˜π‘‹)β€˜π‘˜))) ∈ V
96, 7, 8fvmpt 6953 . . . 4 (π‘˜ ∈ β„•0 β†’ ((π‘š ∈ β„•0 ↦ (π‘š Β· (absβ€˜((πΊβ€˜π‘‹)β€˜π‘š))))β€˜π‘˜) = (π‘˜ Β· (absβ€˜((πΊβ€˜π‘‹)β€˜π‘˜))))
109adantl 483 . . 3 ((πœ‘ ∧ π‘˜ ∈ β„•0) β†’ ((π‘š ∈ β„•0 ↦ (π‘š Β· (absβ€˜((πΊβ€˜π‘‹)β€˜π‘š))))β€˜π‘˜) = (π‘˜ Β· (absβ€˜((πΊβ€˜π‘‹)β€˜π‘˜))))
11 nn0re 12429 . . . . 5 (π‘˜ ∈ β„•0 β†’ π‘˜ ∈ ℝ)
1211adantl 483 . . . 4 ((πœ‘ ∧ π‘˜ ∈ β„•0) β†’ π‘˜ ∈ ℝ)
13 pser.g . . . . . . 7 𝐺 = (π‘₯ ∈ β„‚ ↦ (𝑛 ∈ β„•0 ↦ ((π΄β€˜π‘›) Β· (π‘₯↑𝑛))))
14 radcnv.a . . . . . . 7 (πœ‘ β†’ 𝐴:β„•0βŸΆβ„‚)
15 psergf.x . . . . . . 7 (πœ‘ β†’ 𝑋 ∈ β„‚)
1613, 14, 15psergf 25787 . . . . . 6 (πœ‘ β†’ (πΊβ€˜π‘‹):β„•0βŸΆβ„‚)
1716ffvelcdmda 7040 . . . . 5 ((πœ‘ ∧ π‘˜ ∈ β„•0) β†’ ((πΊβ€˜π‘‹)β€˜π‘˜) ∈ β„‚)
1817abscld 15328 . . . 4 ((πœ‘ ∧ π‘˜ ∈ β„•0) β†’ (absβ€˜((πΊβ€˜π‘‹)β€˜π‘˜)) ∈ ℝ)
1912, 18remulcld 11192 . . 3 ((πœ‘ ∧ π‘˜ ∈ β„•0) β†’ (π‘˜ Β· (absβ€˜((πΊβ€˜π‘‹)β€˜π‘˜))) ∈ ℝ)
2010, 19eqeltrd 2838 . 2 ((πœ‘ ∧ π‘˜ ∈ β„•0) β†’ ((π‘š ∈ β„•0 ↦ (π‘š Β· (absβ€˜((πΊβ€˜π‘‹)β€˜π‘š))))β€˜π‘˜) ∈ ℝ)
21 fvco3 6945 . . . 4 (((πΊβ€˜π‘‹):β„•0βŸΆβ„‚ ∧ π‘˜ ∈ β„•0) β†’ ((abs ∘ (πΊβ€˜π‘‹))β€˜π‘˜) = (absβ€˜((πΊβ€˜π‘‹)β€˜π‘˜)))
2216, 21sylan 581 . . 3 ((πœ‘ ∧ π‘˜ ∈ β„•0) β†’ ((abs ∘ (πΊβ€˜π‘‹))β€˜π‘˜) = (absβ€˜((πΊβ€˜π‘‹)β€˜π‘˜)))
2318recnd 11190 . . 3 ((πœ‘ ∧ π‘˜ ∈ β„•0) β†’ (absβ€˜((πΊβ€˜π‘‹)β€˜π‘˜)) ∈ β„‚)
2422, 23eqeltrd 2838 . 2 ((πœ‘ ∧ π‘˜ ∈ β„•0) β†’ ((abs ∘ (πΊβ€˜π‘‹))β€˜π‘˜) ∈ β„‚)
25 radcnvlem2.y . . 3 (πœ‘ β†’ π‘Œ ∈ β„‚)
26 radcnvlem2.a . . 3 (πœ‘ β†’ (absβ€˜π‘‹) < (absβ€˜π‘Œ))
27 radcnvlem2.c . . 3 (πœ‘ β†’ seq0( + , (πΊβ€˜π‘Œ)) ∈ dom ⇝ )
286cbvmptv 5223 . . 3 (π‘š ∈ β„•0 ↦ (π‘š Β· (absβ€˜((πΊβ€˜π‘‹)β€˜π‘š)))) = (π‘˜ ∈ β„•0 ↦ (π‘˜ Β· (absβ€˜((πΊβ€˜π‘‹)β€˜π‘˜))))
2913, 14, 15, 25, 26, 27, 28radcnvlem1 25788 . 2 (πœ‘ β†’ seq0( + , (π‘š ∈ β„•0 ↦ (π‘š Β· (absβ€˜((πΊβ€˜π‘‹)β€˜π‘š))))) ∈ dom ⇝ )
30 1red 11163 . 2 (πœ‘ β†’ 1 ∈ ℝ)
31 1red 11163 . . . 4 ((πœ‘ ∧ π‘˜ ∈ (β„€β‰₯β€˜1)) β†’ 1 ∈ ℝ)
32 elnnuz 12814 . . . . . 6 (π‘˜ ∈ β„• ↔ π‘˜ ∈ (β„€β‰₯β€˜1))
33 nnnn0 12427 . . . . . 6 (π‘˜ ∈ β„• β†’ π‘˜ ∈ β„•0)
3432, 33sylbir 234 . . . . 5 (π‘˜ ∈ (β„€β‰₯β€˜1) β†’ π‘˜ ∈ β„•0)
3534, 12sylan2 594 . . . 4 ((πœ‘ ∧ π‘˜ ∈ (β„€β‰₯β€˜1)) β†’ π‘˜ ∈ ℝ)
3634, 18sylan2 594 . . . 4 ((πœ‘ ∧ π‘˜ ∈ (β„€β‰₯β€˜1)) β†’ (absβ€˜((πΊβ€˜π‘‹)β€˜π‘˜)) ∈ ℝ)
3717absge0d 15336 . . . . 5 ((πœ‘ ∧ π‘˜ ∈ β„•0) β†’ 0 ≀ (absβ€˜((πΊβ€˜π‘‹)β€˜π‘˜)))
3834, 37sylan2 594 . . . 4 ((πœ‘ ∧ π‘˜ ∈ (β„€β‰₯β€˜1)) β†’ 0 ≀ (absβ€˜((πΊβ€˜π‘‹)β€˜π‘˜)))
39 eluzle 12783 . . . . 5 (π‘˜ ∈ (β„€β‰₯β€˜1) β†’ 1 ≀ π‘˜)
4039adantl 483 . . . 4 ((πœ‘ ∧ π‘˜ ∈ (β„€β‰₯β€˜1)) β†’ 1 ≀ π‘˜)
4131, 35, 36, 38, 40lemul1ad 12101 . . 3 ((πœ‘ ∧ π‘˜ ∈ (β„€β‰₯β€˜1)) β†’ (1 Β· (absβ€˜((πΊβ€˜π‘‹)β€˜π‘˜))) ≀ (π‘˜ Β· (absβ€˜((πΊβ€˜π‘‹)β€˜π‘˜))))
42 absidm 15215 . . . . . 6 (((πΊβ€˜π‘‹)β€˜π‘˜) ∈ β„‚ β†’ (absβ€˜(absβ€˜((πΊβ€˜π‘‹)β€˜π‘˜))) = (absβ€˜((πΊβ€˜π‘‹)β€˜π‘˜)))
4317, 42syl 17 . . . . 5 ((πœ‘ ∧ π‘˜ ∈ β„•0) β†’ (absβ€˜(absβ€˜((πΊβ€˜π‘‹)β€˜π‘˜))) = (absβ€˜((πΊβ€˜π‘‹)β€˜π‘˜)))
4422fveq2d 6851 . . . . 5 ((πœ‘ ∧ π‘˜ ∈ β„•0) β†’ (absβ€˜((abs ∘ (πΊβ€˜π‘‹))β€˜π‘˜)) = (absβ€˜(absβ€˜((πΊβ€˜π‘‹)β€˜π‘˜))))
4523mulid2d 11180 . . . . 5 ((πœ‘ ∧ π‘˜ ∈ β„•0) β†’ (1 Β· (absβ€˜((πΊβ€˜π‘‹)β€˜π‘˜))) = (absβ€˜((πΊβ€˜π‘‹)β€˜π‘˜)))
4643, 44, 453eqtr4d 2787 . . . 4 ((πœ‘ ∧ π‘˜ ∈ β„•0) β†’ (absβ€˜((abs ∘ (πΊβ€˜π‘‹))β€˜π‘˜)) = (1 Β· (absβ€˜((πΊβ€˜π‘‹)β€˜π‘˜))))
4734, 46sylan2 594 . . 3 ((πœ‘ ∧ π‘˜ ∈ (β„€β‰₯β€˜1)) β†’ (absβ€˜((abs ∘ (πΊβ€˜π‘‹))β€˜π‘˜)) = (1 Β· (absβ€˜((πΊβ€˜π‘‹)β€˜π‘˜))))
4810oveq2d 7378 . . . . 5 ((πœ‘ ∧ π‘˜ ∈ β„•0) β†’ (1 Β· ((π‘š ∈ β„•0 ↦ (π‘š Β· (absβ€˜((πΊβ€˜π‘‹)β€˜π‘š))))β€˜π‘˜)) = (1 Β· (π‘˜ Β· (absβ€˜((πΊβ€˜π‘‹)β€˜π‘˜)))))
4919recnd 11190 . . . . . 6 ((πœ‘ ∧ π‘˜ ∈ β„•0) β†’ (π‘˜ Β· (absβ€˜((πΊβ€˜π‘‹)β€˜π‘˜))) ∈ β„‚)
5049mulid2d 11180 . . . . 5 ((πœ‘ ∧ π‘˜ ∈ β„•0) β†’ (1 Β· (π‘˜ Β· (absβ€˜((πΊβ€˜π‘‹)β€˜π‘˜)))) = (π‘˜ Β· (absβ€˜((πΊβ€˜π‘‹)β€˜π‘˜))))
5148, 50eqtrd 2777 . . . 4 ((πœ‘ ∧ π‘˜ ∈ β„•0) β†’ (1 Β· ((π‘š ∈ β„•0 ↦ (π‘š Β· (absβ€˜((πΊβ€˜π‘‹)β€˜π‘š))))β€˜π‘˜)) = (π‘˜ Β· (absβ€˜((πΊβ€˜π‘‹)β€˜π‘˜))))
5234, 51sylan2 594 . . 3 ((πœ‘ ∧ π‘˜ ∈ (β„€β‰₯β€˜1)) β†’ (1 Β· ((π‘š ∈ β„•0 ↦ (π‘š Β· (absβ€˜((πΊβ€˜π‘‹)β€˜π‘š))))β€˜π‘˜)) = (π‘˜ Β· (absβ€˜((πΊβ€˜π‘‹)β€˜π‘˜))))
5341, 47, 523brtr4d 5142 . 2 ((πœ‘ ∧ π‘˜ ∈ (β„€β‰₯β€˜1)) β†’ (absβ€˜((abs ∘ (πΊβ€˜π‘‹))β€˜π‘˜)) ≀ (1 Β· ((π‘š ∈ β„•0 ↦ (π‘š Β· (absβ€˜((πΊβ€˜π‘‹)β€˜π‘š))))β€˜π‘˜)))
541, 3, 20, 24, 29, 30, 53cvgcmpce 15710 1 (πœ‘ β†’ seq0( + , (abs ∘ (πΊβ€˜π‘‹))) ∈ dom ⇝ )
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:   β†’ wi 4   ∧ wa 397   = wceq 1542   ∈ wcel 2107   class class class wbr 5110   ↦ cmpt 5193  dom cdm 5638   ∘ ccom 5642  βŸΆwf 6497  β€˜cfv 6501  (class class class)co 7362  β„‚cc 11056  β„cr 11057  0cc0 11058  1c1 11059   + caddc 11061   Β· cmul 11063   < clt 11196   ≀ cle 11197  β„•cn 12160  β„•0cn0 12420  β„€β‰₯cuz 12770  seqcseq 13913  β†‘cexp 13974  abscabs 15126   ⇝ cli 15373
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1798  ax-4 1812  ax-5 1914  ax-6 1972  ax-7 2012  ax-8 2109  ax-9 2117  ax-10 2138  ax-11 2155  ax-12 2172  ax-ext 2708  ax-rep 5247  ax-sep 5261  ax-nul 5268  ax-pow 5325  ax-pr 5389  ax-un 7677  ax-inf2 9584  ax-cnex 11114  ax-resscn 11115  ax-1cn 11116  ax-icn 11117  ax-addcl 11118  ax-addrcl 11119  ax-mulcl 11120  ax-mulrcl 11121  ax-mulcom 11122  ax-addass 11123  ax-mulass 11124  ax-distr 11125  ax-i2m1 11126  ax-1ne0 11127  ax-1rid 11128  ax-rnegex 11129  ax-rrecex 11130  ax-cnre 11131  ax-pre-lttri 11132  ax-pre-lttrn 11133  ax-pre-ltadd 11134  ax-pre-mulgt0 11135  ax-pre-sup 11136
This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 398  df-or 847  df-3or 1089  df-3an 1090  df-tru 1545  df-fal 1555  df-ex 1783  df-nf 1787  df-sb 2069  df-mo 2539  df-eu 2568  df-clab 2715  df-cleq 2729  df-clel 2815  df-nfc 2890  df-ne 2945  df-nel 3051  df-ral 3066  df-rex 3075  df-rmo 3356  df-reu 3357  df-rab 3411  df-v 3450  df-sbc 3745  df-csb 3861  df-dif 3918  df-un 3920  df-in 3922  df-ss 3932  df-pss 3934  df-nul 4288  df-if 4492  df-pw 4567  df-sn 4592  df-pr 4594  df-op 4598  df-uni 4871  df-int 4913  df-iun 4961  df-br 5111  df-opab 5173  df-mpt 5194  df-tr 5228  df-id 5536  df-eprel 5542  df-po 5550  df-so 5551  df-fr 5593  df-se 5594  df-we 5595  df-xp 5644  df-rel 5645  df-cnv 5646  df-co 5647  df-dm 5648  df-rn 5649  df-res 5650  df-ima 5651  df-pred 6258  df-ord 6325  df-on 6326  df-lim 6327  df-suc 6328  df-iota 6453  df-fun 6503  df-fn 6504  df-f 6505  df-f1 6506  df-fo 6507  df-f1o 6508  df-fv 6509  df-isom 6510  df-riota 7318  df-ov 7365  df-oprab 7366  df-mpo 7367  df-om 7808  df-1st 7926  df-2nd 7927  df-frecs 8217  df-wrecs 8248  df-recs 8322  df-rdg 8361  df-1o 8417  df-er 8655  df-pm 8775  df-en 8891  df-dom 8892  df-sdom 8893  df-fin 8894  df-sup 9385  df-inf 9386  df-oi 9453  df-card 9882  df-pnf 11198  df-mnf 11199  df-xr 11200  df-ltxr 11201  df-le 11202  df-sub 11394  df-neg 11395  df-div 11820  df-nn 12161  df-2 12223  df-3 12224  df-n0 12421  df-z 12507  df-uz 12771  df-rp 12923  df-ico 13277  df-fz 13432  df-fzo 13575  df-fl 13704  df-seq 13914  df-exp 13975  df-hash 14238  df-cj 14991  df-re 14992  df-im 14993  df-sqrt 15127  df-abs 15128  df-limsup 15360  df-clim 15377  df-rlim 15378  df-sum 15578
This theorem is referenced by:  radcnvlem3  25790  radcnvlt1  25793
  Copyright terms: Public domain W3C validator