MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  radcnvlem3 Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem radcnvlem3 26367
Description: Lemma for radcnvlt1 26370, radcnvle 26372. If 𝑋 is a point closer to zero than π‘Œ and the power series converges at π‘Œ, then it converges at 𝑋. (Contributed by Mario Carneiro, 31-Mar-2015.)
Hypotheses
Ref Expression
pser.g 𝐺 = (π‘₯ ∈ β„‚ ↦ (𝑛 ∈ β„•0 ↦ ((π΄β€˜π‘›) Β· (π‘₯↑𝑛))))
radcnv.a (πœ‘ β†’ 𝐴:β„•0βŸΆβ„‚)
psergf.x (πœ‘ β†’ 𝑋 ∈ β„‚)
radcnvlem2.y (πœ‘ β†’ π‘Œ ∈ β„‚)
radcnvlem2.a (πœ‘ β†’ (absβ€˜π‘‹) < (absβ€˜π‘Œ))
radcnvlem2.c (πœ‘ β†’ seq0( + , (πΊβ€˜π‘Œ)) ∈ dom ⇝ )
Assertion
Ref Expression
radcnvlem3 (πœ‘ β†’ seq0( + , (πΊβ€˜π‘‹)) ∈ dom ⇝ )
Distinct variable group:   π‘₯,𝑛,𝐴
Allowed substitution hints:   πœ‘(π‘₯,𝑛)   𝐺(π‘₯,𝑛)   𝑋(π‘₯,𝑛)   π‘Œ(π‘₯,𝑛)

Proof of Theorem radcnvlem3
Dummy variable π‘˜ is distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 nn0uz 12892 . 2 β„•0 = (β„€β‰₯β€˜0)
2 0zd 12598 . 2 (πœ‘ β†’ 0 ∈ β„€)
3 pser.g . . . 4 𝐺 = (π‘₯ ∈ β„‚ ↦ (𝑛 ∈ β„•0 ↦ ((π΄β€˜π‘›) Β· (π‘₯↑𝑛))))
4 radcnv.a . . . 4 (πœ‘ β†’ 𝐴:β„•0βŸΆβ„‚)
5 psergf.x . . . 4 (πœ‘ β†’ 𝑋 ∈ β„‚)
63, 4, 5psergf 26364 . . 3 (πœ‘ β†’ (πΊβ€˜π‘‹):β„•0βŸΆβ„‚)
7 fvco3 6991 . . 3 (((πΊβ€˜π‘‹):β„•0βŸΆβ„‚ ∧ π‘˜ ∈ β„•0) β†’ ((abs ∘ (πΊβ€˜π‘‹))β€˜π‘˜) = (absβ€˜((πΊβ€˜π‘‹)β€˜π‘˜)))
86, 7sylan 578 . 2 ((πœ‘ ∧ π‘˜ ∈ β„•0) β†’ ((abs ∘ (πΊβ€˜π‘‹))β€˜π‘˜) = (absβ€˜((πΊβ€˜π‘‹)β€˜π‘˜)))
96ffvelcdmda 7088 . 2 ((πœ‘ ∧ π‘˜ ∈ β„•0) β†’ ((πΊβ€˜π‘‹)β€˜π‘˜) ∈ β„‚)
10 radcnvlem2.y . . 3 (πœ‘ β†’ π‘Œ ∈ β„‚)
11 radcnvlem2.a . . 3 (πœ‘ β†’ (absβ€˜π‘‹) < (absβ€˜π‘Œ))
12 radcnvlem2.c . . 3 (πœ‘ β†’ seq0( + , (πΊβ€˜π‘Œ)) ∈ dom ⇝ )
133, 4, 5, 10, 11, 12radcnvlem2 26366 . 2 (πœ‘ β†’ seq0( + , (abs ∘ (πΊβ€˜π‘‹))) ∈ dom ⇝ )
141, 2, 8, 9, 13abscvgcvg 15795 1 (πœ‘ β†’ seq0( + , (πΊβ€˜π‘‹)) ∈ dom ⇝ )
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:   β†’ wi 4   = wceq 1533   ∈ wcel 2098   class class class wbr 5143   ↦ cmpt 5226  dom cdm 5672   ∘ ccom 5676  βŸΆwf 6538  β€˜cfv 6542  (class class class)co 7415  β„‚cc 11134  0cc0 11136   + caddc 11139   Β· cmul 11141   < clt 11276  β„•0cn0 12500  seqcseq 13996  β†‘cexp 14056  abscabs 15211   ⇝ cli 15458
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1789  ax-4 1803  ax-5 1905  ax-6 1963  ax-7 2003  ax-8 2100  ax-9 2108  ax-10 2129  ax-11 2146  ax-12 2166  ax-ext 2696  ax-rep 5280  ax-sep 5294  ax-nul 5301  ax-pow 5359  ax-pr 5423  ax-un 7737  ax-inf2 9662  ax-cnex 11192  ax-resscn 11193  ax-1cn 11194  ax-icn 11195  ax-addcl 11196  ax-addrcl 11197  ax-mulcl 11198  ax-mulrcl 11199  ax-mulcom 11200  ax-addass 11201  ax-mulass 11202  ax-distr 11203  ax-i2m1 11204  ax-1ne0 11205  ax-1rid 11206  ax-rnegex 11207  ax-rrecex 11208  ax-cnre 11209  ax-pre-lttri 11210  ax-pre-lttrn 11211  ax-pre-ltadd 11212  ax-pre-mulgt0 11213  ax-pre-sup 11214
This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 395  df-or 846  df-3or 1085  df-3an 1086  df-tru 1536  df-fal 1546  df-ex 1774  df-nf 1778  df-sb 2060  df-mo 2528  df-eu 2557  df-clab 2703  df-cleq 2717  df-clel 2802  df-nfc 2877  df-ne 2931  df-nel 3037  df-ral 3052  df-rex 3061  df-rmo 3364  df-reu 3365  df-rab 3420  df-v 3465  df-sbc 3770  df-csb 3886  df-dif 3943  df-un 3945  df-in 3947  df-ss 3957  df-pss 3960  df-nul 4319  df-if 4525  df-pw 4600  df-sn 4625  df-pr 4627  df-op 4631  df-uni 4904  df-int 4945  df-iun 4993  df-br 5144  df-opab 5206  df-mpt 5227  df-tr 5261  df-id 5570  df-eprel 5576  df-po 5584  df-so 5585  df-fr 5627  df-se 5628  df-we 5629  df-xp 5678  df-rel 5679  df-cnv 5680  df-co 5681  df-dm 5682  df-rn 5683  df-res 5684  df-ima 5685  df-pred 6300  df-ord 6367  df-on 6368  df-lim 6369  df-suc 6370  df-iota 6494  df-fun 6544  df-fn 6545  df-f 6546  df-f1 6547  df-fo 6548  df-f1o 6549  df-fv 6550  df-isom 6551  df-riota 7371  df-ov 7418  df-oprab 7419  df-mpo 7420  df-om 7868  df-1st 7989  df-2nd 7990  df-frecs 8283  df-wrecs 8314  df-recs 8388  df-rdg 8427  df-1o 8483  df-er 8721  df-pm 8844  df-en 8961  df-dom 8962  df-sdom 8963  df-fin 8964  df-sup 9463  df-inf 9464  df-oi 9531  df-card 9960  df-pnf 11278  df-mnf 11279  df-xr 11280  df-ltxr 11281  df-le 11282  df-sub 11474  df-neg 11475  df-div 11900  df-nn 12241  df-2 12303  df-3 12304  df-n0 12501  df-z 12587  df-uz 12851  df-rp 13005  df-ico 13360  df-fz 13515  df-fzo 13658  df-fl 13787  df-seq 13997  df-exp 14057  df-hash 14320  df-cj 15076  df-re 15077  df-im 15078  df-sqrt 15212  df-abs 15213  df-limsup 15445  df-clim 15462  df-rlim 15463  df-sum 15663
This theorem is referenced by:  radcnvle  26372
  Copyright terms: Public domain W3C validator