Theorem radcnvlem3 26769

Description: Lemma for radcnvlt1 26772, radcnvle 26774. If 𝑋 is a point closer to zero than 𝑌 and the power series converges at 𝑌, then it converges at 𝑋. (Contributed by Mario Carneiro, 31-Mar-2015.)

Hypotheses

Ref	Expression
pser.g	⊢ 𝐺 = (𝑥 ∈ ℂ ↦ (𝑛 ∈ ℕ0 ↦ ((𝐴‘𝑛) · (𝑥↑𝑛))))
radcnv.a	⊢ (𝜑 → 𝐴:ℕ0⟶ℂ)
psergf.x	⊢ (𝜑 → 𝑋 ∈ ℂ)
radcnvlem2.y	⊢ (𝜑 → 𝑌 ∈ ℂ)
radcnvlem2.a	⊢ (𝜑 → (abs‘𝑋) < (abs‘𝑌))
radcnvlem2.c	⊢ (𝜑 → seq0( + , (𝐺‘𝑌)) ∈ dom ⇝ )

Assertion

Ref	Expression
radcnvlem3	⊢ (𝜑 → seq0( + , (𝐺‘𝑋)) ∈ dom ⇝ )

Distinct variable group:   𝑥,𝑛,𝐴

Allowed substitution hints:   𝜑(𝑥, 𝑛)   𝐺(𝑥, 𝑛)   𝑋(𝑥, 𝑛)   𝑌(𝑥, 𝑛)

Proof of Theorem radcnvlem3

Dummy variable 𝑘 is distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		nn0uz 13027	. 2 ⊢ ℕ0 = (ℤ≥‘0)
2		0zd 12729	. 2 ⊢ (𝜑 → 0 ∈ ℤ)
3		pser.g	. . . 4 ⊢ 𝐺 = (𝑥 ∈ ℂ ↦ (𝑛 ∈ ℕ0 ↦ ((𝐴‘𝑛) · (𝑥↑𝑛))))
4		radcnv.a	. . . 4 ⊢ (𝜑 → 𝐴:ℕ0⟶ℂ)
5		psergf.x	. . . 4 ⊢ (𝜑 → 𝑋 ∈ ℂ)
6	3, 4, 5	psergf 26766	. . 3 ⊢ (𝜑 → (𝐺‘𝑋):ℕ0⟶ℂ)
7		fvco3 7005	. . 3 ⊢ (((𝐺‘𝑋):ℕ0⟶ℂ ∧ 𝑘 ∈ ℕ0) → ((abs ∘ (𝐺‘𝑋))‘𝑘) = (abs‘((𝐺‘𝑋)‘𝑘)))
8	6, 7	sylan 592	. 2 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑘 ∈ ℕ0) → ((abs ∘ (𝐺‘𝑋))‘𝑘) = (abs‘((𝐺‘𝑋)‘𝑘)))
9	6	ffvelcdmda 7105	. 2 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑘 ∈ ℕ0) → ((𝐺‘𝑋)‘𝑘) ∈ ℂ)
10		radcnvlem2.y	. . 3 ⊢ (𝜑 → 𝑌 ∈ ℂ)
11		radcnvlem2.a	. . 3 ⊢ (𝜑 → (abs‘𝑋) < (abs‘𝑌))
12		radcnvlem2.c	. . 3 ⊢ (𝜑 → seq0( + , (𝐺‘𝑌)) ∈ dom ⇝ )
13	3, 4, 5, 10, 11, 12	radcnvlem2 26768	. 2 ⊢ (𝜑 → seq0( + , (abs ∘ (𝐺‘𝑋))) ∈ dom ⇝ )
14	1, 2, 8, 9, 13	abscvgcvg 16012	1 ⊢ (𝜑 → seq0( + , (𝐺‘𝑋)) ∈ dom ⇝ )

This proof depends on syntax axioms:   → wi 4   = wceq 1570   ∈ wcel 2147   class class class wbr 5106   ↦ cmpt 5189  dom cdm 5655   ∘ ccom 5659  ⟶wf 6551  ‘cfv 6555  (class class class)co 7440  ℂcc 11222  0cc0 11224   + caddc 11227   · cmul 11229   < clt 11367  ℕ₀cn0 12630  seqcseq 14168  ↑cexp 14228  abscabs 15427   ⇝ cli 15677

This proof depends on axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1828  ax-4 1842  ax-5 1945  ax-6 2002  ax-7 2043  ax-8 2149  ax-9 2157  ax-10 2180  ax-11 2197  ax-12 2216  ax-ext 2735  ax-rep 5235  ax-sep 5252  ax-nul 5263  ax-pow 5331  ax-pr 5395  ax-un 7772  ax-inf2 9666  ax-cnex 11280  ax-resscn 11281  ax-1cn 11282  ax-icn 11283  ax-addcl 11284  ax-addrcl 11285  ax-mulcl 11286  ax-mulrcl 11287  ax-mulcom 11288  ax-addass 11289  ax-mulass 11290  ax-distr 11291  ax-i2m1 11292  ax-1ne0 11293  ax-1rid 11294  ax-rnegex 11295  ax-rrecex 11296  ax-cnre 11297  ax-pre-lttri 11298  ax-pre-lttrn 11299  ax-pre-ltadd 11300  ax-pre-mulgt0 11301  ax-pre-sup 11302

This proof depends on definitions:  df-bi 210  df-an 402  df-or 862  df-3or 1104  df-3an 1105  df-tru 1573  df-fal 1583  df-ex 1813  df-nf 1817  df-sb 2102  df-mo 2567  df-eu 2597  df-clab 2742  df-cleq 2755  df-clel 2839  df-nfc 2913  df-ne 2960  df-nel 3066  df-ral 3081  df-rex 3091  df-rmo 3369  df-reu 3370  df-rab 3417  df-v 3456  df-sbc 3743  df-csb 3852  df-ss 3901  df-pss 4017  df-dif 4050  df-in 4094  df-un 4154  df-nul 4282  df-if 4486  df-pw 4562  df-sn 4589  df-pr 4591  df-op 4839  df-uni 4871  df-int 4911  df-iun 4956  df-br 5107  df-opab 5171  df-mpt 5190  df-tr 5216  df-id 5550  df-eprel 5555  df-po 5563  df-so 5564  df-fr 5608  df-se 5609  df-we 5610  df-xp 5661  df-rel 5662  df-cnv 5663  df-co 5664  df-dm 5665  df-rn 5666  df-res 5667  df-ima 5668  df-pred 6319  df-ord 6380  df-on 6381  df-lim 6382  df-suc 6383  df-iota 6509  df-fun 6557  df-fn 6558  df-f 6559  df-f1 6560  df-fo 6561  df-f1o 6562  df-fv 6563  df-isom 6564  df-riota 7397  df-ov 7443  df-oprab 7444  df-mpo 7445  df-om 7899  df-1st 8022  df-2nd 8023  df-frecs 8324  df-wrecs 8355  df-recs 8404  df-rdg 8443  df-1o 8501  df-er 8742  df-pm 8875  df-en 8999  df-dom 9000  df-sdom 9001  df-fin 9002  df-sup 9458  df-inf 9459  df-oi 9528  df-card 10044  df-pnf 11369  df-mnf 11370  df-xr 11371  df-ltxr 11372  df-le 11373  df-sub 11567  df-neg 11568  df-div 11998  df-nn 12360  df-2 12429  df-3 12430  df-n0 12631  df-z 12718  df-uz 12990  df-rp 13145  df-ico 13506  df-fz 13664  df-fzo 13813  df-fl 13956  df-seq 14169  df-exp 14229  df-hash 14499  df-cj 15292  df-re 15293  df-im 15294  df-sqrt 15428  df-abs 15429  df-limsup 15664  df-clim 15681  df-rlim 15682  df-sum 15880

This theorem is used by:  radcnvle  26774