Theorem radcnvlem3 26306

Description: Lemma for radcnvlt1 26309, radcnvle 26311. If 𝑋 is a point closer to zero than 𝑌 and the power series converges at 𝑌, then it converges at 𝑋. (Contributed by Mario Carneiro, 31-Mar-2015.)

Hypotheses

Ref	Expression
pser.g	⊢ 𝐺 = (𝑥 ∈ ℂ ↦ (𝑛 ∈ ℕ0 ↦ ((𝐴‘𝑛) · (𝑥↑𝑛))))
radcnv.a	⊢ (𝜑 → 𝐴:ℕ0⟶ℂ)
psergf.x	⊢ (𝜑 → 𝑋 ∈ ℂ)
radcnvlem2.y	⊢ (𝜑 → 𝑌 ∈ ℂ)
radcnvlem2.a	⊢ (𝜑 → (abs‘𝑋) < (abs‘𝑌))
radcnvlem2.c	⊢ (𝜑 → seq0( + , (𝐺‘𝑌)) ∈ dom ⇝ )

Assertion

Ref	Expression
radcnvlem3	⊢ (𝜑 → seq0( + , (𝐺‘𝑋)) ∈ dom ⇝ )

Distinct variable group:   𝑥,𝑛,𝐴

Allowed substitution hints:   𝜑(𝑥,𝑛)   𝐺(𝑥,𝑛)   𝑋(𝑥,𝑛)   𝑌(𝑥,𝑛)

Proof of Theorem radcnvlem3

Dummy variable 𝑘 is distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		nn0uz 12868	. 2 ⊢ ℕ0 = (ℤ≥‘0)
2		0zd 12574	. 2 ⊢ (𝜑 → 0 ∈ ℤ)
3		pser.g	. . . 4 ⊢ 𝐺 = (𝑥 ∈ ℂ ↦ (𝑛 ∈ ℕ0 ↦ ((𝐴‘𝑛) · (𝑥↑𝑛))))
4		radcnv.a	. . . 4 ⊢ (𝜑 → 𝐴:ℕ0⟶ℂ)
5		psergf.x	. . . 4 ⊢ (𝜑 → 𝑋 ∈ ℂ)
6	3, 4, 5	psergf 26303	. . 3 ⊢ (𝜑 → (𝐺‘𝑋):ℕ0⟶ℂ)
7		fvco3 6984	. . 3 ⊢ (((𝐺‘𝑋):ℕ0⟶ℂ ∧ 𝑘 ∈ ℕ0) → ((abs ∘ (𝐺‘𝑋))‘𝑘) = (abs‘((𝐺‘𝑋)‘𝑘)))
8	6, 7	sylan 579	. 2 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑘 ∈ ℕ0) → ((abs ∘ (𝐺‘𝑋))‘𝑘) = (abs‘((𝐺‘𝑋)‘𝑘)))
9	6	ffvelcdmda 7080	. 2 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑘 ∈ ℕ0) → ((𝐺‘𝑋)‘𝑘) ∈ ℂ)
10		radcnvlem2.y	. . 3 ⊢ (𝜑 → 𝑌 ∈ ℂ)
11		radcnvlem2.a	. . 3 ⊢ (𝜑 → (abs‘𝑋) < (abs‘𝑌))
12		radcnvlem2.c	. . 3 ⊢ (𝜑 → seq0( + , (𝐺‘𝑌)) ∈ dom ⇝ )
13	3, 4, 5, 10, 11, 12	radcnvlem2 26305	. 2 ⊢ (𝜑 → seq0( + , (abs ∘ (𝐺‘𝑋))) ∈ dom ⇝ )
14	1, 2, 8, 9, 13	abscvgcvg 15771	1 ⊢ (𝜑 → seq0( + , (𝐺‘𝑋)) ∈ dom ⇝ )

Syntax hints:   → wi 4   = wceq 1533   ∈ wcel 2098   class class class wbr 5141   ↦ cmpt 5224  dom cdm 5669   ∘ ccom 5673  ⟶wf 6533  ‘cfv 6537  (class class class)co 7405  ℂcc 11110  0cc0 11112   + caddc 11115   · cmul 11117   < clt 11252  ℕ₀cn0 12476  seqcseq 13972  ↑cexp 14032  abscabs 15187   ⇝ cli 15434

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1789  ax-4 1803  ax-5 1905  ax-6 1963  ax-7 2003  ax-8 2100  ax-9 2108  ax-10 2129  ax-11 2146  ax-12 2163  ax-ext 2697  ax-rep 5278  ax-sep 5292  ax-nul 5299  ax-pow 5356  ax-pr 5420  ax-un 7722  ax-inf2 9638  ax-cnex 11168  ax-resscn 11169  ax-1cn 11170  ax-icn 11171  ax-addcl 11172  ax-addrcl 11173  ax-mulcl 11174  ax-mulrcl 11175  ax-mulcom 11176  ax-addass 11177  ax-mulass 11178  ax-distr 11179  ax-i2m1 11180  ax-1ne0 11181  ax-1rid 11182  ax-rnegex 11183  ax-rrecex 11184  ax-cnre 11185  ax-pre-lttri 11186  ax-pre-lttrn 11187  ax-pre-ltadd 11188  ax-pre-mulgt0 11189  ax-pre-sup 11190

This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 396  df-or 845  df-3or 1085  df-3an 1086  df-tru 1536  df-fal 1546  df-ex 1774  df-nf 1778  df-sb 2060  df-mo 2528  df-eu 2557  df-clab 2704  df-cleq 2718  df-clel 2804  df-nfc 2879  df-ne 2935  df-nel 3041  df-ral 3056  df-rex 3065  df-rmo 3370  df-reu 3371  df-rab 3427  df-v 3470  df-sbc 3773  df-csb 3889  df-dif 3946  df-un 3948  df-in 3950  df-ss 3960  df-pss 3962  df-nul 4318  df-if 4524  df-pw 4599  df-sn 4624  df-pr 4626  df-op 4630  df-uni 4903  df-int 4944  df-iun 4992  df-br 5142  df-opab 5204  df-mpt 5225  df-tr 5259  df-id 5567  df-eprel 5573  df-po 5581  df-so 5582  df-fr 5624  df-se 5625  df-we 5626  df-xp 5675  df-rel 5676  df-cnv 5677  df-co 5678  df-dm 5679  df-rn 5680  df-res 5681  df-ima 5682  df-pred 6294  df-ord 6361  df-on 6362  df-lim 6363  df-suc 6364  df-iota 6489  df-fun 6539  df-fn 6540  df-f 6541  df-f1 6542  df-fo 6543  df-f1o 6544  df-fv 6545  df-isom 6546  df-riota 7361  df-ov 7408  df-oprab 7409  df-mpo 7410  df-om 7853  df-1st 7974  df-2nd 7975  df-frecs 8267  df-wrecs 8298  df-recs 8372  df-rdg 8411  df-1o 8467  df-er 8705  df-pm 8825  df-en 8942  df-dom 8943  df-sdom 8944  df-fin 8945  df-sup 9439  df-inf 9440  df-oi 9507  df-card 9936  df-pnf 11254  df-mnf 11255  df-xr 11256  df-ltxr 11257  df-le 11258  df-sub 11450  df-neg 11451  df-div 11876  df-nn 12217  df-2 12279  df-3 12280  df-n0 12477  df-z 12563  df-uz 12827  df-rp 12981  df-ico 13336  df-fz 13491  df-fzo 13634  df-fl 13763  df-seq 13973  df-exp 14033  df-hash 14296  df-cj 15052  df-re 15053  df-im 15054  df-sqrt 15188  df-abs 15189  df-limsup 15421  df-clim 15438  df-rlim 15439  df-sum 15639

This theorem is referenced by:  radcnvle  26311