Theorem qusbas2 33134

Description: Alternate definition of the group quotient set, as the set of all cosets of the form ({𝑥} ⊕ 𝑁). (Contributed by Thierry Arnoux, 22-Mar-2025.)

Hypotheses

Ref	Expression
qusbas2.1	⊢ 𝐵 = (Base‘𝐺)
qusbas2.2	⊢ ⊕ = (LSSum‘𝐺)
qusbas2.3	⊢ ((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ 𝐵) → 𝑁 ∈ (SubGrp‘𝐺))

Assertion

Ref	Expression
qusbas2	⊢ (𝜑 → (𝐵 / (𝐺 ~QG 𝑁)) = ran (𝑥 ∈ 𝐵 ↦ ({𝑥} ⊕ 𝑁)))

Distinct variable groups:   𝑥,𝐵   𝑥,𝐺   𝑥,𝑁   𝜑,𝑥

Allowed substitution hint:   ⊕ (𝑥)

Proof of Theorem qusbas2

Dummy variable 𝑦 is distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		df-qs 8735	. . 3 ⊢ (𝐵 / (𝐺 ~QG 𝑁)) = {𝑦 ∣ ∃𝑥 ∈ 𝐵 𝑦 = [𝑥](𝐺 ~QG 𝑁)}
2		eqid 2727	. . . 4 ⊢ (𝑥 ∈ 𝐵 ↦ [𝑥](𝐺 ~QG 𝑁)) = (𝑥 ∈ 𝐵 ↦ [𝑥](𝐺 ~QG 𝑁))
3	2	rnmpt 5959	. . 3 ⊢ ran (𝑥 ∈ 𝐵 ↦ [𝑥](𝐺 ~QG 𝑁)) = {𝑦 ∣ ∃𝑥 ∈ 𝐵 𝑦 = [𝑥](𝐺 ~QG 𝑁)}
4	1, 3	eqtr4i 2758	. 2 ⊢ (𝐵 / (𝐺 ~QG 𝑁)) = ran (𝑥 ∈ 𝐵 ↦ [𝑥](𝐺 ~QG 𝑁))
5		qusbas2.1	. . . . 5 ⊢ 𝐵 = (Base‘𝐺)
6		qusbas2.2	. . . . 5 ⊢ ⊕ = (LSSum‘𝐺)
7		qusbas2.3	. . . . 5 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ 𝐵) → 𝑁 ∈ (SubGrp‘𝐺))
8		simpr 483	. . . . 5 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ 𝐵) → 𝑥 ∈ 𝐵)
9	5, 6, 7, 8	quslsm 33133	. . . 4 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ 𝐵) → [𝑥](𝐺 ~QG 𝑁) = ({𝑥} ⊕ 𝑁))
10	9	mpteq2dva 5250	. . 3 ⊢ (𝜑 → (𝑥 ∈ 𝐵 ↦ [𝑥](𝐺 ~QG 𝑁)) = (𝑥 ∈ 𝐵 ↦ ({𝑥} ⊕ 𝑁)))
11	10	rneqd 5942	. 2 ⊢ (𝜑 → ran (𝑥 ∈ 𝐵 ↦ [𝑥](𝐺 ~QG 𝑁)) = ran (𝑥 ∈ 𝐵 ↦ ({𝑥} ⊕ 𝑁)))
12	4, 11	eqtrid 2779	1 ⊢ (𝜑 → (𝐵 / (𝐺 ~QG 𝑁)) = ran (𝑥 ∈ 𝐵 ↦ ({𝑥} ⊕ 𝑁)))

Syntax hints:   → wi 4   ∧ wa 394   = wceq 1533   ∈ wcel 2098  {cab 2704  ∃wrex 3066  {csn 4630   ↦ cmpt 5233  ran crn 5681  ‘cfv 6551  (class class class)co 7424  [cec 8727   / cqs 8728  Basecbs 17185  SubGrpcsubg 19080   ~_QG cqg 19082  LSSumclsm 19594

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1789  ax-4 1803  ax-5 1905  ax-6 1963  ax-7 2003  ax-8 2100  ax-9 2108  ax-10 2129  ax-11 2146  ax-12 2166  ax-ext 2698  ax-rep 5287  ax-sep 5301  ax-nul 5308  ax-pow 5367  ax-pr 5431  ax-un 7744  ax-cnex 11200  ax-resscn 11201  ax-1cn 11202  ax-icn 11203  ax-addcl 11204  ax-addrcl 11205  ax-mulcl 11206  ax-mulrcl 11207  ax-mulcom 11208  ax-addass 11209  ax-mulass 11210  ax-distr 11211  ax-i2m1 11212  ax-1ne0 11213  ax-1rid 11214  ax-rnegex 11215  ax-rrecex 11216  ax-cnre 11217  ax-pre-lttri 11218  ax-pre-lttrn 11219  ax-pre-ltadd 11220  ax-pre-mulgt0 11221

This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 395  df-or 846  df-3or 1085  df-3an 1086  df-tru 1536  df-fal 1546  df-ex 1774  df-nf 1778  df-sb 2060  df-mo 2529  df-eu 2558  df-clab 2705  df-cleq 2719  df-clel 2805  df-nfc 2880  df-ne 2937  df-nel 3043  df-ral 3058  df-rex 3067  df-rmo 3372  df-reu 3373  df-rab 3429  df-v 3473  df-sbc 3777  df-csb 3893  df-dif 3950  df-un 3952  df-in 3954  df-ss 3964  df-pss 3966  df-nul 4325  df-if 4531  df-pw 4606  df-sn 4631  df-pr 4633  df-op 4637  df-uni 4911  df-iun 5000  df-br 5151  df-opab 5213  df-mpt 5234  df-tr 5268  df-id 5578  df-eprel 5584  df-po 5592  df-so 5593  df-fr 5635  df-we 5637  df-xp 5686  df-rel 5687  df-cnv 5688  df-co 5689  df-dm 5690  df-rn 5691  df-res 5692  df-ima 5693  df-pred 6308  df-ord 6375  df-on 6376  df-lim 6377  df-suc 6378  df-iota 6503  df-fun 6553  df-fn 6554  df-f 6555  df-f1 6556  df-fo 6557  df-f1o 6558  df-fv 6559  df-riota 7380  df-ov 7427  df-oprab 7428  df-mpo 7429  df-om 7875  df-1st 7997  df-2nd 7998  df-tpos 8236  df-frecs 8291  df-wrecs 8322  df-recs 8396  df-rdg 8435  df-er 8729  df-ec 8731  df-qs 8735  df-en 8969  df-dom 8970  df-sdom 8971  df-pnf 11286  df-mnf 11287  df-xr 11288  df-ltxr 11289  df-le 11290  df-sub 11482  df-neg 11483  df-nn 12249  df-2 12311  df-sets 17138  df-slot 17156  df-ndx 17168  df-base 17186  df-plusg 17251  df-0g 17428  df-mgm 18605  df-sgrp 18684  df-mnd 18700  df-grp 18898  df-minusg 18899  df-subg 19083  df-eqg 19085  df-oppg 19302  df-lsm 19596

This theorem is referenced by:  qusrn  33137