Theorem qusbas2 33434

Description: Alternate definition of the group quotient set, as the set of all cosets of the form ({𝑥} ⊕ 𝑁). (Contributed by Thierry Arnoux, 22-Mar-2025.)

Hypotheses

Ref	Expression
qusbas2.1	⊢ 𝐵 = (Base‘𝐺)
qusbas2.2	⊢ ⊕ = (LSSum‘𝐺)
qusbas2.3	⊢ ((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ 𝐵) → 𝑁 ∈ (SubGrp‘𝐺))

Assertion

Ref	Expression
qusbas2	⊢ (𝜑 → (𝐵 / (𝐺 ~QG 𝑁)) = ran (𝑥 ∈ 𝐵 ↦ ({𝑥} ⊕ 𝑁)))

Distinct variable groups:   𝑥,𝐵   𝑥,𝐺   𝑥,𝑁   𝜑,𝑥

Allowed substitution hint:   ⊕ (𝑥)

Proof of Theorem qusbas2

Dummy variable 𝑦 is distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		df-qs 8751	. . 3 ⊢ (𝐵 / (𝐺 ~QG 𝑁)) = {𝑦 ∣ ∃𝑥 ∈ 𝐵 𝑦 = [𝑥](𝐺 ~QG 𝑁)}
2		eqid 2737	. . . 4 ⊢ (𝑥 ∈ 𝐵 ↦ [𝑥](𝐺 ~QG 𝑁)) = (𝑥 ∈ 𝐵 ↦ [𝑥](𝐺 ~QG 𝑁))
3	2	rnmpt 5968	. . 3 ⊢ ran (𝑥 ∈ 𝐵 ↦ [𝑥](𝐺 ~QG 𝑁)) = {𝑦 ∣ ∃𝑥 ∈ 𝐵 𝑦 = [𝑥](𝐺 ~QG 𝑁)}
4	1, 3	eqtr4i 2768	. 2 ⊢ (𝐵 / (𝐺 ~QG 𝑁)) = ran (𝑥 ∈ 𝐵 ↦ [𝑥](𝐺 ~QG 𝑁))
5		qusbas2.1	. . . . 5 ⊢ 𝐵 = (Base‘𝐺)
6		qusbas2.2	. . . . 5 ⊢ ⊕ = (LSSum‘𝐺)
7		qusbas2.3	. . . . 5 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ 𝐵) → 𝑁 ∈ (SubGrp‘𝐺))
8		simpr 484	. . . . 5 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ 𝐵) → 𝑥 ∈ 𝐵)
9	5, 6, 7, 8	quslsm 33433	. . . 4 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ 𝐵) → [𝑥](𝐺 ~QG 𝑁) = ({𝑥} ⊕ 𝑁))
10	9	mpteq2dva 5242	. . 3 ⊢ (𝜑 → (𝑥 ∈ 𝐵 ↦ [𝑥](𝐺 ~QG 𝑁)) = (𝑥 ∈ 𝐵 ↦ ({𝑥} ⊕ 𝑁)))
11	10	rneqd 5949	. 2 ⊢ (𝜑 → ran (𝑥 ∈ 𝐵 ↦ [𝑥](𝐺 ~QG 𝑁)) = ran (𝑥 ∈ 𝐵 ↦ ({𝑥} ⊕ 𝑁)))
12	4, 11	eqtrid 2789	1 ⊢ (𝜑 → (𝐵 / (𝐺 ~QG 𝑁)) = ran (𝑥 ∈ 𝐵 ↦ ({𝑥} ⊕ 𝑁)))

Syntax hints:   → wi 4   ∧ wa 395   = wceq 1540   ∈ wcel 2108  {cab 2714  ∃wrex 3070  {csn 4626   ↦ cmpt 5225  ran crn 5686  ‘cfv 6561  (class class class)co 7431  [cec 8743   / cqs 8744  Basecbs 17247  SubGrpcsubg 19138   ~_QG cqg 19140  LSSumclsm 19652

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1795  ax-4 1809  ax-5 1910  ax-6 1967  ax-7 2007  ax-8 2110  ax-9 2118  ax-10 2141  ax-11 2157  ax-12 2177  ax-ext 2708  ax-rep 5279  ax-sep 5296  ax-nul 5306  ax-pow 5365  ax-pr 5432  ax-un 7755  ax-cnex 11211  ax-resscn 11212  ax-1cn 11213  ax-icn 11214  ax-addcl 11215  ax-addrcl 11216  ax-mulcl 11217  ax-mulrcl 11218  ax-mulcom 11219  ax-addass 11220  ax-mulass 11221  ax-distr 11222  ax-i2m1 11223  ax-1ne0 11224  ax-1rid 11225  ax-rnegex 11226  ax-rrecex 11227  ax-cnre 11228  ax-pre-lttri 11229  ax-pre-lttrn 11230  ax-pre-ltadd 11231  ax-pre-mulgt0 11232

This theorem depends on definitions:  df-bi 207  df-an 396  df-or 849  df-3or 1088  df-3an 1089  df-tru 1543  df-fal 1553  df-ex 1780  df-nf 1784  df-sb 2065  df-mo 2540  df-eu 2569  df-clab 2715  df-cleq 2729  df-clel 2816  df-nfc 2892  df-ne 2941  df-nel 3047  df-ral 3062  df-rex 3071  df-rmo 3380  df-reu 3381  df-rab 3437  df-v 3482  df-sbc 3789  df-csb 3900  df-dif 3954  df-un 3956  df-in 3958  df-ss 3968  df-pss 3971  df-nul 4334  df-if 4526  df-pw 4602  df-sn 4627  df-pr 4629  df-op 4633  df-uni 4908  df-iun 4993  df-br 5144  df-opab 5206  df-mpt 5226  df-tr 5260  df-id 5578  df-eprel 5584  df-po 5592  df-so 5593  df-fr 5637  df-we 5639  df-xp 5691  df-rel 5692  df-cnv 5693  df-co 5694  df-dm 5695  df-rn 5696  df-res 5697  df-ima 5698  df-pred 6321  df-ord 6387  df-on 6388  df-lim 6389  df-suc 6390  df-iota 6514  df-fun 6563  df-fn 6564  df-f 6565  df-f1 6566  df-fo 6567  df-f1o 6568  df-fv 6569  df-riota 7388  df-ov 7434  df-oprab 7435  df-mpo 7436  df-om 7888  df-1st 8014  df-2nd 8015  df-tpos 8251  df-frecs 8306  df-wrecs 8337  df-recs 8411  df-rdg 8450  df-er 8745  df-ec 8747  df-qs 8751  df-en 8986  df-dom 8987  df-sdom 8988  df-pnf 11297  df-mnf 11298  df-xr 11299  df-ltxr 11300  df-le 11301  df-sub 11494  df-neg 11495  df-nn 12267  df-2 12329  df-sets 17201  df-slot 17219  df-ndx 17231  df-base 17248  df-plusg 17310  df-0g 17486  df-mgm 18653  df-sgrp 18732  df-mnd 18748  df-grp 18954  df-minusg 18955  df-subg 19141  df-eqg 19143  df-oppg 19364  df-lsm 19654

This theorem is referenced by:  qusrn  33437