Theorem qusbas2 33655

Description: Alternate definition of the group quotient set, as the set of all cosets of the form ({𝑥} ⊕ 𝑁). (Contributed by Thierry Arnoux, 22-Mar-2025.)

Hypotheses

Ref	Expression
qusbas2.1	⊢ 𝐵 = (Base‘𝐺)
qusbas2.2	⊢ ⊕ = (LSSum‘𝐺)
qusbas2.3	⊢ ((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ 𝐵) → 𝑁 ∈ (SubGrp‘𝐺))

Assertion

Ref	Expression
qusbas2	⊢ (𝜑 → (𝐵 / (𝐺 ~QG 𝑁)) = ran (𝑥 ∈ 𝐵 ↦ ({𝑥} ⊕ 𝑁)))

Distinct variable groups:   𝑥,𝐵   𝑥,𝐺   𝑥,𝑁   𝜑,𝑥

Allowed substitution hint:   ⊕ (𝑥)

Proof of Theorem qusbas2

Dummy variable 𝑦 is distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		df-qs 8696	. . 3 ⊢ (𝐵 / (𝐺 ~QG 𝑁)) = {𝑦 ∣ ∃𝑥 ∈ 𝐵 𝑦 = [𝑥](𝐺 ~QG 𝑁)}
2		eqid 2769	. . . 4 ⊢ (𝑥 ∈ 𝐵 ↦ [𝑥](𝐺 ~QG 𝑁)) = (𝑥 ∈ 𝐵 ↦ [𝑥](𝐺 ~QG 𝑁))
3	2	rnmpt 5945	. . 3 ⊢ ran (𝑥 ∈ 𝐵 ↦ [𝑥](𝐺 ~QG 𝑁)) = {𝑦 ∣ ∃𝑥 ∈ 𝐵 𝑦 = [𝑥](𝐺 ~QG 𝑁)}
4	1, 3	eqtr4i 2795	. 2 ⊢ (𝐵 / (𝐺 ~QG 𝑁)) = ran (𝑥 ∈ 𝐵 ↦ [𝑥](𝐺 ~QG 𝑁))
5		qusbas2.1	. . . . 5 ⊢ 𝐵 = (Base‘𝐺)
6		qusbas2.2	. . . . 5 ⊢ ⊕ = (LSSum‘𝐺)
7		qusbas2.3	. . . . 5 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ 𝐵) → 𝑁 ∈ (SubGrp‘𝐺))
8		simpr 489	. . . . 5 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ 𝐵) → 𝑥 ∈ 𝐵)
9	5, 6, 7, 8	quslsm 33654	. . . 4 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ 𝐵) → [𝑥](𝐺 ~QG 𝑁) = ({𝑥} ⊕ 𝑁))
10	9	mpteq2dva 5205	. . 3 ⊢ (𝜑 → (𝑥 ∈ 𝐵 ↦ [𝑥](𝐺 ~QG 𝑁)) = (𝑥 ∈ 𝐵 ↦ ({𝑥} ⊕ 𝑁)))
11	10	rneqd 5926	. 2 ⊢ (𝜑 → ran (𝑥 ∈ 𝐵 ↦ [𝑥](𝐺 ~QG 𝑁)) = ran (𝑥 ∈ 𝐵 ↦ ({𝑥} ⊕ 𝑁)))
12	4, 11	eqtrid 2816	1 ⊢ (𝜑 → (𝐵 / (𝐺 ~QG 𝑁)) = ran (𝑥 ∈ 𝐵 ↦ ({𝑥} ⊕ 𝑁)))

Syntax hints:   → wi 4   ∧ wa 400   = wceq 1567   ∈ wcel 2149  {cab 2747  ∃wrex 3095  {csn 4591   ↦ cmpt 5193  ran crn 5660  ‘cfv 6534  (class class class)co 7408  [cec 8688   / cqs 8689  Basecbs 17265  SubGrpcsubg 19182   ~_QG cqg 19184  LSSumclsm 19700

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1822  ax-4 1836  ax-5 1937  ax-6 1994  ax-7 2035  ax-8 2151  ax-9 2159  ax-10 2182  ax-11 2198  ax-12 2219  ax-ext 2741  ax-rep 5239  ax-sep 5258  ax-nul 5268  ax-pow 5334  ax-pr 5402  ax-un 7730  ax-cnex 11152  ax-resscn 11153  ax-1cn 11154  ax-icn 11155  ax-addcl 11156  ax-addrcl 11157  ax-mulcl 11158  ax-mulrcl 11159  ax-mulcom 11160  ax-addass 11161  ax-mulass 11162  ax-distr 11163  ax-i2m1 11164  ax-1ne0 11165  ax-1rid 11166  ax-rnegex 11167  ax-rrecex 11168  ax-cnre 11169  ax-pre-lttri 11170  ax-pre-lttrn 11171  ax-pre-ltadd 11172  ax-pre-mulgt0 11173

This theorem depends on definitions:  df-bi 210  df-an 401  df-or 861  df-3or 1102  df-3an 1103  df-tru 1570  df-fal 1580  df-ex 1807  df-nf 1811  df-sb 2098  df-mo 2573  df-eu 2603  df-clab 2748  df-cleq 2761  df-clel 2844  df-nfc 2918  df-ne 2965  df-nel 3071  df-ral 3086  df-rex 3096  df-rmo 3376  df-reu 3377  df-rab 3424  df-v 3465  df-sbc 3754  df-csb 3862  df-dif 3916  df-un 3918  df-in 3920  df-ss 3930  df-pss 3933  df-nul 4295  df-if 4490  df-pw 4566  df-sn 4592  df-pr 4594  df-op 4598  df-uni 4874  df-iun 4959  df-br 5111  df-opab 5175  df-mpt 5194  df-tr 5220  df-id 5554  df-eprel 5559  df-po 5567  df-so 5568  df-fr 5612  df-we 5614  df-xp 5665  df-rel 5666  df-cnv 5667  df-co 5668  df-dm 5669  df-rn 5670  df-res 5671  df-ima 5672  df-pred 6300  df-ord 6361  df-on 6362  df-lim 6363  df-suc 6364  df-iota 6490  df-fun 6536  df-fn 6537  df-f 6538  df-f1 6539  df-fo 6540  df-f1o 6541  df-fv 6542  df-riota 7365  df-ov 7411  df-oprab 7412  df-mpo 7413  df-om 7859  df-1st 7982  df-2nd 7983  df-tpos 8218  df-frecs 8274  df-wrecs 8305  df-recs 8354  df-rdg 8393  df-er 8690  df-ec 8692  df-qs 8696  df-en 8940  df-dom 8941  df-sdom 8942  df-pnf 11241  df-mnf 11242  df-xr 11243  df-ltxr 11244  df-le 11245  df-sub 11439  df-neg 11440  df-nn 12230  df-2 12299  df-sets 17220  df-slot 17238  df-ndx 17250  df-base 17266  df-plusg 17319  df-0g 17490  df-mgm 18694  df-sgrp 18773  df-mnd 18789  df-grp 18999  df-minusg 19000  df-subg 19185  df-eqg 19187  df-oppg 19412  df-lsm 19702

This theorem is referenced by:  qusrn  33658