Theorem qusbas2 33489

Description: Alternate definition of the group quotient set, as the set of all cosets of the form ({𝑥} ⊕ 𝑁). (Contributed by Thierry Arnoux, 22-Mar-2025.)

Hypotheses

Ref	Expression
qusbas2.1	⊢ 𝐵 = (Base‘𝐺)
qusbas2.2	⊢ ⊕ = (LSSum‘𝐺)
qusbas2.3	⊢ ((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ 𝐵) → 𝑁 ∈ (SubGrp‘𝐺))

Assertion

Ref	Expression
qusbas2	⊢ (𝜑 → (𝐵 / (𝐺 ~QG 𝑁)) = ran (𝑥 ∈ 𝐵 ↦ ({𝑥} ⊕ 𝑁)))

Distinct variable groups:   𝑥,𝐵   𝑥,𝐺   𝑥,𝑁   𝜑,𝑥

Allowed substitution hint:   ⊕ (𝑥)

Proof of Theorem qusbas2

Dummy variable 𝑦 is distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		df-qs 8639	. . 3 ⊢ (𝐵 / (𝐺 ~QG 𝑁)) = {𝑦 ∣ ∃𝑥 ∈ 𝐵 𝑦 = [𝑥](𝐺 ~QG 𝑁)}
2		eqid 2739	. . . 4 ⊢ (𝑥 ∈ 𝐵 ↦ [𝑥](𝐺 ~QG 𝑁)) = (𝑥 ∈ 𝐵 ↦ [𝑥](𝐺 ~QG 𝑁))
3	2	rnmpt 5899	. . 3 ⊢ ran (𝑥 ∈ 𝐵 ↦ [𝑥](𝐺 ~QG 𝑁)) = {𝑦 ∣ ∃𝑥 ∈ 𝐵 𝑦 = [𝑥](𝐺 ~QG 𝑁)}
4	1, 3	eqtr4i 2765	. 2 ⊢ (𝐵 / (𝐺 ~QG 𝑁)) = ran (𝑥 ∈ 𝐵 ↦ [𝑥](𝐺 ~QG 𝑁))
5		qusbas2.1	. . . . 5 ⊢ 𝐵 = (Base‘𝐺)
6		qusbas2.2	. . . . 5 ⊢ ⊕ = (LSSum‘𝐺)
7		qusbas2.3	. . . . 5 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ 𝐵) → 𝑁 ∈ (SubGrp‘𝐺))
8		simpr 485	. . . . 5 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ 𝐵) → 𝑥 ∈ 𝐵)
9	5, 6, 7, 8	quslsm 33488	. . . 4 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ 𝐵) → [𝑥](𝐺 ~QG 𝑁) = ({𝑥} ⊕ 𝑁))
10	9	mpteq2dva 5165	. . 3 ⊢ (𝜑 → (𝑥 ∈ 𝐵 ↦ [𝑥](𝐺 ~QG 𝑁)) = (𝑥 ∈ 𝐵 ↦ ({𝑥} ⊕ 𝑁)))
11	10	rneqd 5880	. 2 ⊢ (𝜑 → ran (𝑥 ∈ 𝐵 ↦ [𝑥](𝐺 ~QG 𝑁)) = ran (𝑥 ∈ 𝐵 ↦ ({𝑥} ⊕ 𝑁)))
12	4, 11	eqtrid 2786	1 ⊢ (𝜑 → (𝐵 / (𝐺 ~QG 𝑁)) = ran (𝑥 ∈ 𝐵 ↦ ({𝑥} ⊕ 𝑁)))

Syntax hints:   → wi 4   ∧ wa 396   = wceq 1547   ∈ wcel 2119  {cab 2717  ∃wrex 3063  {csn 4555   ↦ cmpt 5153  ran crn 5619  ‘cfv 6485  (class class class)co 7356  [cec 8631   / cqs 8632  Basecbs 17170  SubGrpcsubg 19087   ~_QG cqg 19089  LSSumclsm 19600

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1802  ax-4 1816  ax-5 1917  ax-6 1974  ax-7 2015  ax-8 2121  ax-9 2129  ax-10 2152  ax-11 2168  ax-12 2189  ax-ext 2711  ax-rep 5199  ax-sep 5218  ax-nul 5228  ax-pow 5294  ax-pr 5362  ax-un 7678  ax-cnex 11085  ax-resscn 11086  ax-1cn 11087  ax-icn 11088  ax-addcl 11089  ax-addrcl 11090  ax-mulcl 11091  ax-mulrcl 11092  ax-mulcom 11093  ax-addass 11094  ax-mulass 11095  ax-distr 11096  ax-i2m1 11097  ax-1ne0 11098  ax-1rid 11099  ax-rnegex 11100  ax-rrecex 11101  ax-cnre 11102  ax-pre-lttri 11103  ax-pre-lttrn 11104  ax-pre-ltadd 11105  ax-pre-mulgt0 11106

This theorem depends on definitions:  df-bi 208  df-an 397  df-or 854  df-3or 1093  df-3an 1094  df-tru 1550  df-fal 1560  df-ex 1787  df-nf 1791  df-sb 2074  df-mo 2543  df-eu 2573  df-clab 2718  df-cleq 2731  df-clel 2814  df-nfc 2888  df-ne 2935  df-nel 3039  df-ral 3054  df-rex 3064  df-rmo 3344  df-reu 3345  df-rab 3392  df-v 3433  df-sbc 3724  df-csb 3832  df-dif 3886  df-un 3888  df-in 3890  df-ss 3900  df-pss 3903  df-nul 4262  df-if 4455  df-pw 4531  df-sn 4556  df-pr 4558  df-op 4562  df-uni 4839  df-iun 4923  df-br 5073  df-opab 5135  df-mpt 5154  df-tr 5180  df-id 5513  df-eprel 5518  df-po 5526  df-so 5527  df-fr 5571  df-we 5573  df-xp 5624  df-rel 5625  df-cnv 5626  df-co 5627  df-dm 5628  df-rn 5629  df-res 5630  df-ima 5631  df-pred 6252  df-ord 6313  df-on 6314  df-lim 6315  df-suc 6316  df-iota 6441  df-fun 6487  df-fn 6488  df-f 6489  df-f1 6490  df-fo 6491  df-f1o 6492  df-fv 6493  df-riota 7313  df-ov 7359  df-oprab 7360  df-mpo 7361  df-om 7807  df-1st 7931  df-2nd 7932  df-tpos 8166  df-frecs 8221  df-wrecs 8252  df-recs 8301  df-rdg 8339  df-er 8633  df-ec 8635  df-qs 8639  df-en 8884  df-dom 8885  df-sdom 8886  df-pnf 11172  df-mnf 11173  df-xr 11174  df-ltxr 11175  df-le 11176  df-sub 11370  df-neg 11371  df-nn 12166  df-2 12235  df-sets 17125  df-slot 17143  df-ndx 17155  df-base 17171  df-plusg 17224  df-0g 17395  df-mgm 18599  df-sgrp 18678  df-mnd 18694  df-grp 18903  df-minusg 18904  df-subg 19090  df-eqg 19092  df-oppg 19312  df-lsm 19602

This theorem is referenced by:  qusrn  33492