Theorem qusbas2 33779

Description: Alternate definition of the group quotient set, as the set of all cosets of the form ({𝑥} ⊕ 𝑁). (Contributed by Thierry Arnoux, 22-Mar-2025.)

Hypotheses

Ref	Expression
qusbas2.1	⊢ 𝐵 = (Base‘𝐺)
qusbas2.2	⊢ ⊕ = (LSSum‘𝐺)
qusbas2.3	⊢ ((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ 𝐵) → 𝑁 ∈ (SubGrp‘𝐺))

Assertion

Ref	Expression
qusbas2	⊢ (𝜑 → (𝐵 / (𝐺 ~QG 𝑁)) = ran (𝑥 ∈ 𝐵 ↦ ({𝑥} ⊕ 𝑁)))

Distinct variable groups:   𝑥,𝐵   𝑥,𝐺   𝑥,𝑁   𝜑,𝑥

Allowed substitution hint:   ⊕ (𝑥)

Proof of Theorem qusbas2

Dummy variable 𝑦 is distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		df-qs 8706	. . 3 ⊢ (𝐵 / (𝐺 ~QG 𝑁)) = {𝑦 ∣ ∃𝑥 ∈ 𝐵 𝑦 = [𝑥](𝐺 ~QG 𝑁)}
2		eqid 2765	. . . 4 ⊢ (𝑥 ∈ 𝐵 ↦ [𝑥](𝐺 ~QG 𝑁)) = (𝑥 ∈ 𝐵 ↦ [𝑥](𝐺 ~QG 𝑁))
3	2	rnmpt 5949	. . 3 ⊢ ran (𝑥 ∈ 𝐵 ↦ [𝑥](𝐺 ~QG 𝑁)) = {𝑦 ∣ ∃𝑥 ∈ 𝐵 𝑦 = [𝑥](𝐺 ~QG 𝑁)}
4	1, 3	eqtr4i 2791	. 2 ⊢ (𝐵 / (𝐺 ~QG 𝑁)) = ran (𝑥 ∈ 𝐵 ↦ [𝑥](𝐺 ~QG 𝑁))
5		qusbas2.1	. . . . 5 ⊢ 𝐵 = (Base‘𝐺)
6		qusbas2.2	. . . . 5 ⊢ ⊕ = (LSSum‘𝐺)
7		qusbas2.3	. . . . 5 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ 𝐵) → 𝑁 ∈ (SubGrp‘𝐺))
8		simpr 490	. . . . 5 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ 𝐵) → 𝑥 ∈ 𝐵)
9	5, 6, 7, 8	quslsm 33778	. . . 4 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ 𝐵) → [𝑥](𝐺 ~QG 𝑁) = ({𝑥} ⊕ 𝑁))
10	9	mpteq2dva 5206	. . 3 ⊢ (𝜑 → (𝑥 ∈ 𝐵 ↦ [𝑥](𝐺 ~QG 𝑁)) = (𝑥 ∈ 𝐵 ↦ ({𝑥} ⊕ 𝑁)))
11	10	rneqd 5930	. 2 ⊢ (𝜑 → ran (𝑥 ∈ 𝐵 ↦ [𝑥](𝐺 ~QG 𝑁)) = ran (𝑥 ∈ 𝐵 ↦ ({𝑥} ⊕ 𝑁)))
12	4, 11	eqtrid 2812	1 ⊢ (𝜑 → (𝐵 / (𝐺 ~QG 𝑁)) = ran (𝑥 ∈ 𝐵 ↦ ({𝑥} ⊕ 𝑁)))

This proof depends on syntax axioms:   → wi 4   ∧ wa 401   = wceq 1570   ∈ wcel 2146  {cab 2743  ∃wrex 3091  {csn 4591   ↦ cmpt 5194  ran crn 5664  ‘cfv 6540  (class class class)co 7419  [cec 8698   / cqs 8699  Basecbs 17291  SubGrpcsubg 19230   ~_QG cqg 19232  LSSumclsm 19748

This proof depends on axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1828  ax-4 1842  ax-5 1943  ax-6 2000  ax-7 2041  ax-8 2148  ax-9 2156  ax-10 2179  ax-11 2195  ax-12 2216  ax-ext 2737  ax-rep 5240  ax-sep 5259  ax-nul 5271  ax-pow 5338  ax-pr 5406  ax-un 7742  ax-cnex 11171  ax-resscn 11172  ax-1cn 11173  ax-icn 11174  ax-addcl 11175  ax-addrcl 11176  ax-mulcl 11177  ax-mulrcl 11178  ax-mulcom 11179  ax-addass 11180  ax-mulass 11181  ax-distr 11182  ax-i2m1 11183  ax-1ne0 11184  ax-1rid 11185  ax-rnegex 11186  ax-rrecex 11187  ax-cnre 11188  ax-pre-lttri 11189  ax-pre-lttrn 11190  ax-pre-ltadd 11191  ax-pre-mulgt0 11192

This proof depends on definitions:  df-bi 210  df-an 402  df-or 862  df-3or 1104  df-3an 1105  df-tru 1573  df-fal 1583  df-ex 1813  df-nf 1817  df-sb 2100  df-mo 2569  df-eu 2599  df-clab 2744  df-cleq 2757  df-clel 2840  df-nfc 2914  df-ne 2961  df-nel 3067  df-ral 3082  df-rex 3092  df-rmo 3371  df-reu 3372  df-rab 3419  df-v 3459  df-sbc 3747  df-csb 3855  df-dif 3909  df-un 3911  df-in 3913  df-ss 3923  df-pss 3926  df-nul 4287  df-if 4490  df-pw 4566  df-sn 4592  df-pr 4594  df-op 4598  df-uni 4875  df-iun 4960  df-br 5112  df-opab 5176  df-mpt 5195  df-tr 5221  df-id 5558  df-eprel 5563  df-po 5571  df-so 5572  df-fr 5616  df-we 5618  df-xp 5669  df-rel 5670  df-cnv 5671  df-co 5672  df-dm 5673  df-rn 5674  df-res 5675  df-ima 5676  df-pred 6306  df-ord 6367  df-on 6368  df-lim 6369  df-suc 6370  df-iota 6496  df-fun 6542  df-fn 6543  df-f 6544  df-f1 6545  df-fo 6546  df-f1o 6547  df-fv 6548  df-riota 7376  df-ov 7422  df-oprab 7423  df-mpo 7424  df-om 7869  df-1st 7992  df-2nd 7993  df-tpos 8228  df-frecs 8284  df-wrecs 8315  df-recs 8364  df-rdg 8403  df-er 8700  df-ec 8702  df-qs 8706  df-en 8950  df-dom 8951  df-sdom 8952  df-pnf 11260  df-mnf 11261  df-xr 11262  df-ltxr 11263  df-le 11264  df-sub 11458  df-neg 11459  df-nn 12249  df-2 12318  df-sets 17246  df-slot 17264  df-ndx 17276  df-base 17292  df-plusg 17345  df-0g 17516  df-mgm 18720  df-sgrp 18809  df-mnd 18825  df-grp 19047  df-minusg 19048  df-subg 19233  df-eqg 19235  df-oppg 19460  df-lsm 19750

This theorem is used by:  qusrn  33782