Theorem vtxdginducedm1lem4 27890

Description: Lemma 4 for vtxdginducedm1 27891. (Contributed by AV, 17-Dec-2021.)

Hypotheses

Ref	Expression
vtxdginducedm1.v	⊢ 𝑉 = (Vtx‘𝐺)
vtxdginducedm1.e	⊢ 𝐸 = (iEdg‘𝐺)
vtxdginducedm1.k	⊢ 𝐾 = (𝑉 ∖ {𝑁})
vtxdginducedm1.i	⊢ 𝐼 = {𝑖 ∈ dom 𝐸 ∣ 𝑁 ∉ (𝐸‘𝑖)}
vtxdginducedm1.p	⊢ 𝑃 = (𝐸 ↾ 𝐼)
vtxdginducedm1.s	⊢ 𝑆 = ⟨𝐾, 𝑃⟩
vtxdginducedm1.j	⊢ 𝐽 = {𝑖 ∈ dom 𝐸 ∣ 𝑁 ∈ (𝐸‘𝑖)}

Assertion

Ref	Expression
vtxdginducedm1lem4	⊢ (𝑊 ∈ (𝑉 ∖ {𝑁}) → (♯‘{𝑘 ∈ 𝐽 ∣ (𝐸‘𝑘) = {𝑊}}) = 0)

Distinct variable groups:   𝑖,𝐸   𝑘,𝐽   𝑖,𝑁,𝑘   𝑘,𝑉   𝑘,𝑊

Allowed substitution hints:   𝑃(𝑖,𝑘)   𝑆(𝑖,𝑘)   𝐸(𝑘)   𝐺(𝑖,𝑘)   𝐼(𝑖,𝑘)   𝐽(𝑖)   𝐾(𝑖,𝑘)   𝑉(𝑖)   𝑊(𝑖)

Proof of Theorem vtxdginducedm1lem4

Step	Hyp	Ref	Expression
1		fveq2 6768	. . . . . . . 8 ⊢ (𝑖 = 𝑘 → (𝐸‘𝑖) = (𝐸‘𝑘))
2	1	eleq2d 2825	. . . . . . 7 ⊢ (𝑖 = 𝑘 → (𝑁 ∈ (𝐸‘𝑖) ↔ 𝑁 ∈ (𝐸‘𝑘)))
3		vtxdginducedm1.j	. . . . . . 7 ⊢ 𝐽 = {𝑖 ∈ dom 𝐸 ∣ 𝑁 ∈ (𝐸‘𝑖)}
4	2, 3	elrab2 3628	. . . . . 6 ⊢ (𝑘 ∈ 𝐽 ↔ (𝑘 ∈ dom 𝐸 ∧ 𝑁 ∈ (𝐸‘𝑘)))
5		eldifsn 4725	. . . . . . . 8 ⊢ (𝑊 ∈ (𝑉 ∖ {𝑁}) ↔ (𝑊 ∈ 𝑉 ∧ 𝑊 ≠ 𝑁))
6		df-ne 2945	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝑊 ≠ 𝑁 ↔ ¬ 𝑊 = 𝑁)
7		eleq2 2828	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ ((𝐸‘𝑘) = {𝑊} → (𝑁 ∈ (𝐸‘𝑘) ↔ 𝑁 ∈ {𝑊}))
8		elsni 4583	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (𝑁 ∈ {𝑊} → 𝑁 = 𝑊)
9	8	eqcomd 2745	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (𝑁 ∈ {𝑊} → 𝑊 = 𝑁)
10	7, 9	syl6bi 252	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ((𝐸‘𝑘) = {𝑊} → (𝑁 ∈ (𝐸‘𝑘) → 𝑊 = 𝑁))
11	10	com12 32	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝑁 ∈ (𝐸‘𝑘) → ((𝐸‘𝑘) = {𝑊} → 𝑊 = 𝑁))
12	11	con3rr3 155	. . . . . . . . 9 ⊢ (¬ 𝑊 = 𝑁 → (𝑁 ∈ (𝐸‘𝑘) → ¬ (𝐸‘𝑘) = {𝑊}))
13	6, 12	sylbi 216	. . . . . . . 8 ⊢ (𝑊 ≠ 𝑁 → (𝑁 ∈ (𝐸‘𝑘) → ¬ (𝐸‘𝑘) = {𝑊}))
14	5, 13	simplbiim 504	. . . . . . 7 ⊢ (𝑊 ∈ (𝑉 ∖ {𝑁}) → (𝑁 ∈ (𝐸‘𝑘) → ¬ (𝐸‘𝑘) = {𝑊}))
15	14	com12 32	. . . . . 6 ⊢ (𝑁 ∈ (𝐸‘𝑘) → (𝑊 ∈ (𝑉 ∖ {𝑁}) → ¬ (𝐸‘𝑘) = {𝑊}))
16	4, 15	simplbiim 504	. . . . 5 ⊢ (𝑘 ∈ 𝐽 → (𝑊 ∈ (𝑉 ∖ {𝑁}) → ¬ (𝐸‘𝑘) = {𝑊}))
17	16	impcom 407	. . . 4 ⊢ ((𝑊 ∈ (𝑉 ∖ {𝑁}) ∧ 𝑘 ∈ 𝐽) → ¬ (𝐸‘𝑘) = {𝑊})
18	17	ralrimiva 3109	. . 3 ⊢ (𝑊 ∈ (𝑉 ∖ {𝑁}) → ∀𝑘 ∈ 𝐽 ¬ (𝐸‘𝑘) = {𝑊})
19		rabeq0 4323	. . 3 ⊢ ({𝑘 ∈ 𝐽 ∣ (𝐸‘𝑘) = {𝑊}} = ∅ ↔ ∀𝑘 ∈ 𝐽 ¬ (𝐸‘𝑘) = {𝑊})
20	18, 19	sylibr 233	. 2 ⊢ (𝑊 ∈ (𝑉 ∖ {𝑁}) → {𝑘 ∈ 𝐽 ∣ (𝐸‘𝑘) = {𝑊}} = ∅)
21		vtxdginducedm1.e	. . . . . 6 ⊢ 𝐸 = (iEdg‘𝐺)
22	21	fvexi 6782	. . . . 5 ⊢ 𝐸 ∈ V
23	22	dmex 7745	. . . 4 ⊢ dom 𝐸 ∈ V
24	3, 23	rab2ex 5262	. . 3 ⊢ {𝑘 ∈ 𝐽 ∣ (𝐸‘𝑘) = {𝑊}} ∈ V
25		hasheq0 14059	. . 3 ⊢ ({𝑘 ∈ 𝐽 ∣ (𝐸‘𝑘) = {𝑊}} ∈ V → ((♯‘{𝑘 ∈ 𝐽 ∣ (𝐸‘𝑘) = {𝑊}}) = 0 ↔ {𝑘 ∈ 𝐽 ∣ (𝐸‘𝑘) = {𝑊}} = ∅))
26	24, 25	ax-mp 5	. 2 ⊢ ((♯‘{𝑘 ∈ 𝐽 ∣ (𝐸‘𝑘) = {𝑊}}) = 0 ↔ {𝑘 ∈ 𝐽 ∣ (𝐸‘𝑘) = {𝑊}} = ∅)
27	20, 26	sylibr 233	1 ⊢ (𝑊 ∈ (𝑉 ∖ {𝑁}) → (♯‘{𝑘 ∈ 𝐽 ∣ (𝐸‘𝑘) = {𝑊}}) = 0)

Syntax hints:  ¬ wn 3   → wi 4   ↔ wb 205   = wceq 1541   ∈ wcel 2109   ≠ wne 2944   ∉ wnel 3050  ∀wral 3065  {crab 3069  Vcvv 3430   ∖ cdif 3888  ∅c0 4261  {csn 4566  ⟨cop 4572  dom cdm 5588   ↾ cres 5590  ‘cfv 6430  0cc0 10855  ♯chash 14025  Vtxcvtx 27347  iEdgciedg 27348

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1801  ax-4 1815  ax-5 1916  ax-6 1974  ax-7 2014  ax-8 2111  ax-9 2119  ax-10 2140  ax-11 2157  ax-12 2174  ax-ext 2710  ax-sep 5226  ax-nul 5233  ax-pow 5291  ax-pr 5355  ax-un 7579  ax-cnex 10911  ax-resscn 10912  ax-1cn 10913  ax-icn 10914  ax-addcl 10915  ax-addrcl 10916  ax-mulcl 10917  ax-mulrcl 10918  ax-mulcom 10919  ax-addass 10920  ax-mulass 10921  ax-distr 10922  ax-i2m1 10923  ax-1ne0 10924  ax-1rid 10925  ax-rnegex 10926  ax-rrecex 10927  ax-cnre 10928  ax-pre-lttri 10929  ax-pre-lttrn 10930  ax-pre-ltadd 10931  ax-pre-mulgt0 10932

This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 396  df-or 844  df-3or 1086  df-3an 1087  df-tru 1544  df-fal 1554  df-ex 1786  df-nf 1790  df-sb 2071  df-mo 2541  df-eu 2570  df-clab 2717  df-cleq 2731  df-clel 2817  df-nfc 2890  df-ne 2945  df-nel 3051  df-ral 3070  df-rex 3071  df-reu 3072  df-rab 3074  df-v 3432  df-sbc 3720  df-csb 3837  df-dif 3894  df-un 3896  df-in 3898  df-ss 3908  df-pss 3910  df-nul 4262  df-if 4465  df-pw 4540  df-sn 4567  df-pr 4569  df-tp 4571  df-op 4573  df-uni 4845  df-int 4885  df-iun 4931  df-br 5079  df-opab 5141  df-mpt 5162  df-tr 5196  df-id 5488  df-eprel 5494  df-po 5502  df-so 5503  df-fr 5543  df-we 5545  df-xp 5594  df-rel 5595  df-cnv 5596  df-co 5597  df-dm 5598  df-rn 5599  df-res 5600  df-ima 5601  df-pred 6199  df-ord 6266  df-on 6267  df-lim 6268  df-suc 6269  df-iota 6388  df-fun 6432  df-fn 6433  df-f 6434  df-f1 6435  df-fo 6436  df-f1o 6437  df-fv 6438  df-riota 7225  df-ov 7271  df-oprab 7272  df-mpo 7273  df-om 7701  df-1st 7817  df-2nd 7818  df-frecs 8081  df-wrecs 8112  df-recs 8186  df-rdg 8225  df-1o 8281  df-er 8472  df-en 8708  df-dom 8709  df-sdom 8710  df-fin 8711  df-card 9681  df-pnf 10995  df-mnf 10996  df-xr 10997  df-ltxr 10998  df-le 10999  df-sub 11190  df-neg 11191  df-nn 11957  df-n0 12217  df-z 12303  df-uz 12565  df-fz 13222  df-hash 14026

This theorem is referenced by:  vtxdginducedm1  27891