Theorem vtxdginducedm1lem4 26890

Description: Lemma 4 for vtxdginducedm1 26891. (Contributed by AV, 17-Dec-2021.)

Hypotheses

Ref	Expression
vtxdginducedm1.v	⊢ 𝑉 = (Vtx‘𝐺)
vtxdginducedm1.e	⊢ 𝐸 = (iEdg‘𝐺)
vtxdginducedm1.k	⊢ 𝐾 = (𝑉 ∖ {𝑁})
vtxdginducedm1.i	⊢ 𝐼 = {𝑖 ∈ dom 𝐸 ∣ 𝑁 ∉ (𝐸‘𝑖)}
vtxdginducedm1.p	⊢ 𝑃 = (𝐸 ↾ 𝐼)
vtxdginducedm1.s	⊢ 𝑆 = ⟨𝐾, 𝑃⟩
vtxdginducedm1.j	⊢ 𝐽 = {𝑖 ∈ dom 𝐸 ∣ 𝑁 ∈ (𝐸‘𝑖)}

Assertion

Ref	Expression
vtxdginducedm1lem4	⊢ (𝑊 ∈ (𝑉 ∖ {𝑁}) → (♯‘{𝑘 ∈ 𝐽 ∣ (𝐸‘𝑘) = {𝑊}}) = 0)

Distinct variable groups:   𝑖,𝐸   𝑘,𝐽   𝑖,𝑁,𝑘   𝑘,𝑉   𝑘,𝑊

Allowed substitution hints:   𝑃(𝑖,𝑘)   𝑆(𝑖,𝑘)   𝐸(𝑘)   𝐺(𝑖,𝑘)   𝐼(𝑖,𝑘)   𝐽(𝑖)   𝐾(𝑖,𝑘)   𝑉(𝑖)   𝑊(𝑖)

Proof of Theorem vtxdginducedm1lem4

Step	Hyp	Ref	Expression
1		fveq2 6446	. . . . . . . 8 ⊢ (𝑖 = 𝑘 → (𝐸‘𝑖) = (𝐸‘𝑘))
2	1	eleq2d 2844	. . . . . . 7 ⊢ (𝑖 = 𝑘 → (𝑁 ∈ (𝐸‘𝑖) ↔ 𝑁 ∈ (𝐸‘𝑘)))
3		vtxdginducedm1.j	. . . . . . 7 ⊢ 𝐽 = {𝑖 ∈ dom 𝐸 ∣ 𝑁 ∈ (𝐸‘𝑖)}
4	2, 3	elrab2 3575	. . . . . 6 ⊢ (𝑘 ∈ 𝐽 ↔ (𝑘 ∈ dom 𝐸 ∧ 𝑁 ∈ (𝐸‘𝑘)))
5		eldifsn 4549	. . . . . . . 8 ⊢ (𝑊 ∈ (𝑉 ∖ {𝑁}) ↔ (𝑊 ∈ 𝑉 ∧ 𝑊 ≠ 𝑁))
6		df-ne 2969	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝑊 ≠ 𝑁 ↔ ¬ 𝑊 = 𝑁)
7		eleq2 2847	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ ((𝐸‘𝑘) = {𝑊} → (𝑁 ∈ (𝐸‘𝑘) ↔ 𝑁 ∈ {𝑊}))
8		elsni 4414	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (𝑁 ∈ {𝑊} → 𝑁 = 𝑊)
9	8	eqcomd 2783	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (𝑁 ∈ {𝑊} → 𝑊 = 𝑁)
10	7, 9	syl6bi 245	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ((𝐸‘𝑘) = {𝑊} → (𝑁 ∈ (𝐸‘𝑘) → 𝑊 = 𝑁))
11	10	com12 32	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝑁 ∈ (𝐸‘𝑘) → ((𝐸‘𝑘) = {𝑊} → 𝑊 = 𝑁))
12	11	con3rr3 153	. . . . . . . . 9 ⊢ (¬ 𝑊 = 𝑁 → (𝑁 ∈ (𝐸‘𝑘) → ¬ (𝐸‘𝑘) = {𝑊}))
13	6, 12	sylbi 209	. . . . . . . 8 ⊢ (𝑊 ≠ 𝑁 → (𝑁 ∈ (𝐸‘𝑘) → ¬ (𝐸‘𝑘) = {𝑊}))
14	5, 13	simplbiim 500	. . . . . . 7 ⊢ (𝑊 ∈ (𝑉 ∖ {𝑁}) → (𝑁 ∈ (𝐸‘𝑘) → ¬ (𝐸‘𝑘) = {𝑊}))
15	14	com12 32	. . . . . 6 ⊢ (𝑁 ∈ (𝐸‘𝑘) → (𝑊 ∈ (𝑉 ∖ {𝑁}) → ¬ (𝐸‘𝑘) = {𝑊}))
16	4, 15	simplbiim 500	. . . . 5 ⊢ (𝑘 ∈ 𝐽 → (𝑊 ∈ (𝑉 ∖ {𝑁}) → ¬ (𝐸‘𝑘) = {𝑊}))
17	16	impcom 398	. . . 4 ⊢ ((𝑊 ∈ (𝑉 ∖ {𝑁}) ∧ 𝑘 ∈ 𝐽) → ¬ (𝐸‘𝑘) = {𝑊})
18	17	ralrimiva 3147	. . 3 ⊢ (𝑊 ∈ (𝑉 ∖ {𝑁}) → ∀𝑘 ∈ 𝐽 ¬ (𝐸‘𝑘) = {𝑊})
19		rabeq0 4186	. . 3 ⊢ ({𝑘 ∈ 𝐽 ∣ (𝐸‘𝑘) = {𝑊}} = ∅ ↔ ∀𝑘 ∈ 𝐽 ¬ (𝐸‘𝑘) = {𝑊})
20	18, 19	sylibr 226	. 2 ⊢ (𝑊 ∈ (𝑉 ∖ {𝑁}) → {𝑘 ∈ 𝐽 ∣ (𝐸‘𝑘) = {𝑊}} = ∅)
21		vtxdginducedm1.e	. . . . . . . 8 ⊢ 𝐸 = (iEdg‘𝐺)
22	21	fvexi 6460	. . . . . . 7 ⊢ 𝐸 ∈ V
23	22	dmex 7378	. . . . . 6 ⊢ dom 𝐸 ∈ V
24	23	rabex 5049	. . . . 5 ⊢ {𝑖 ∈ dom 𝐸 ∣ 𝑁 ∈ (𝐸‘𝑖)} ∈ V
25	3, 24	eqeltri 2854	. . . 4 ⊢ 𝐽 ∈ V
26	25	rabex 5049	. . 3 ⊢ {𝑘 ∈ 𝐽 ∣ (𝐸‘𝑘) = {𝑊}} ∈ V
27		hasheq0 13469	. . 3 ⊢ ({𝑘 ∈ 𝐽 ∣ (𝐸‘𝑘) = {𝑊}} ∈ V → ((♯‘{𝑘 ∈ 𝐽 ∣ (𝐸‘𝑘) = {𝑊}}) = 0 ↔ {𝑘 ∈ 𝐽 ∣ (𝐸‘𝑘) = {𝑊}} = ∅))
28	26, 27	ax-mp 5	. 2 ⊢ ((♯‘{𝑘 ∈ 𝐽 ∣ (𝐸‘𝑘) = {𝑊}}) = 0 ↔ {𝑘 ∈ 𝐽 ∣ (𝐸‘𝑘) = {𝑊}} = ∅)
29	20, 28	sylibr 226	1 ⊢ (𝑊 ∈ (𝑉 ∖ {𝑁}) → (♯‘{𝑘 ∈ 𝐽 ∣ (𝐸‘𝑘) = {𝑊}}) = 0)

Syntax hints:  ¬ wn 3   → wi 4   ↔ wb 198   = wceq 1601   ∈ wcel 2106   ≠ wne 2968   ∉ wnel 3074  ∀wral 3089  {crab 3093  Vcvv 3397   ∖ cdif 3788  ∅c0 4140  {csn 4397  ⟨cop 4403  dom cdm 5355   ↾ cres 5357  ‘cfv 6135  0cc0 10272  ♯chash 13435  Vtxcvtx 26344  iEdgciedg 26345

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1839  ax-4 1853  ax-5 1953  ax-6 2021  ax-7 2054  ax-8 2108  ax-9 2115  ax-10 2134  ax-11 2149  ax-12 2162  ax-13 2333  ax-ext 2753  ax-sep 5017  ax-nul 5025  ax-pow 5077  ax-pr 5138  ax-un 7226  ax-cnex 10328  ax-resscn 10329  ax-1cn 10330  ax-icn 10331  ax-addcl 10332  ax-addrcl 10333  ax-mulcl 10334  ax-mulrcl 10335  ax-mulcom 10336  ax-addass 10337  ax-mulass 10338  ax-distr 10339  ax-i2m1 10340  ax-1ne0 10341  ax-1rid 10342  ax-rnegex 10343  ax-rrecex 10344  ax-cnre 10345  ax-pre-lttri 10346  ax-pre-lttrn 10347  ax-pre-ltadd 10348  ax-pre-mulgt0 10349

This theorem depends on definitions:  df-bi 199  df-an 387  df-or 837  df-3or 1072  df-3an 1073  df-tru 1605  df-ex 1824  df-nf 1828  df-sb 2012  df-mo 2550  df-eu 2586  df-clab 2763  df-cleq 2769  df-clel 2773  df-nfc 2920  df-ne 2969  df-nel 3075  df-ral 3094  df-rex 3095  df-reu 3096  df-rab 3098  df-v 3399  df-sbc 3652  df-csb 3751  df-dif 3794  df-un 3796  df-in 3798  df-ss 3805  df-pss 3807  df-nul 4141  df-if 4307  df-pw 4380  df-sn 4398  df-pr 4400  df-tp 4402  df-op 4404  df-uni 4672  df-int 4711  df-iun 4755  df-br 4887  df-opab 4949  df-mpt 4966  df-tr 4988  df-id 5261  df-eprel 5266  df-po 5274  df-so 5275  df-fr 5314  df-we 5316  df-xp 5361  df-rel 5362  df-cnv 5363  df-co 5364  df-dm 5365  df-rn 5366  df-res 5367  df-ima 5368  df-pred 5933  df-ord 5979  df-on 5980  df-lim 5981  df-suc 5982  df-iota 6099  df-fun 6137  df-fn 6138  df-f 6139  df-f1 6140  df-fo 6141  df-f1o 6142  df-fv 6143  df-riota 6883  df-ov 6925  df-oprab 6926  df-mpt2 6927  df-om 7344  df-1st 7445  df-2nd 7446  df-wrecs 7689  df-recs 7751  df-rdg 7789  df-1o 7843  df-er 8026  df-en 8242  df-dom 8243  df-sdom 8244  df-fin 8245  df-card 9098  df-pnf 10413  df-mnf 10414  df-xr 10415  df-ltxr 10416  df-le 10417  df-sub 10608  df-neg 10609  df-nn 11375  df-n0 11643  df-z 11729  df-uz 11993  df-fz 12644  df-hash 13436

This theorem is referenced by:  vtxdginducedm1  26891