Theorem vtxdginducedm1lem4 29488

Description: Lemma 4 for vtxdginducedm1 29489. (Contributed by AV, 17-Dec-2021.)

Hypotheses

Ref	Expression
vtxdginducedm1.v	⊢ 𝑉 = (Vtx‘𝐺)
vtxdginducedm1.e	⊢ 𝐸 = (iEdg‘𝐺)
vtxdginducedm1.k	⊢ 𝐾 = (𝑉 ∖ {𝑁})
vtxdginducedm1.i	⊢ 𝐼 = {𝑖 ∈ dom 𝐸 ∣ 𝑁 ∉ (𝐸‘𝑖)}
vtxdginducedm1.p	⊢ 𝑃 = (𝐸 ↾ 𝐼)
vtxdginducedm1.s	⊢ 𝑆 = ⟨𝐾, 𝑃⟩
vtxdginducedm1.j	⊢ 𝐽 = {𝑖 ∈ dom 𝐸 ∣ 𝑁 ∈ (𝐸‘𝑖)}

Assertion

Ref	Expression
vtxdginducedm1lem4	⊢ (𝑊 ∈ (𝑉 ∖ {𝑁}) → (♯‘{𝑘 ∈ 𝐽 ∣ (𝐸‘𝑘) = {𝑊}}) = 0)

Distinct variable groups:   𝑖,𝐸   𝑘,𝐽   𝑖,𝑁,𝑘   𝑘,𝑉   𝑘,𝑊

Allowed substitution hints:   𝑃(𝑖,𝑘)   𝑆(𝑖,𝑘)   𝐸(𝑘)   𝐺(𝑖,𝑘)   𝐼(𝑖,𝑘)   𝐽(𝑖)   𝐾(𝑖,𝑘)   𝑉(𝑖)   𝑊(𝑖)

Proof of Theorem vtxdginducedm1lem4

Step	Hyp	Ref	Expression
1		fveq2 6822	. . . . . . . 8 ⊢ (𝑖 = 𝑘 → (𝐸‘𝑖) = (𝐸‘𝑘))
2	1	eleq2d 2814	. . . . . . 7 ⊢ (𝑖 = 𝑘 → (𝑁 ∈ (𝐸‘𝑖) ↔ 𝑁 ∈ (𝐸‘𝑘)))
3		vtxdginducedm1.j	. . . . . . 7 ⊢ 𝐽 = {𝑖 ∈ dom 𝐸 ∣ 𝑁 ∈ (𝐸‘𝑖)}
4	2, 3	elrab2 3651	. . . . . 6 ⊢ (𝑘 ∈ 𝐽 ↔ (𝑘 ∈ dom 𝐸 ∧ 𝑁 ∈ (𝐸‘𝑘)))
5		eldifsn 4737	. . . . . . . 8 ⊢ (𝑊 ∈ (𝑉 ∖ {𝑁}) ↔ (𝑊 ∈ 𝑉 ∧ 𝑊 ≠ 𝑁))
6		df-ne 2926	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝑊 ≠ 𝑁 ↔ ¬ 𝑊 = 𝑁)
7		eleq2 2817	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ ((𝐸‘𝑘) = {𝑊} → (𝑁 ∈ (𝐸‘𝑘) ↔ 𝑁 ∈ {𝑊}))
8		elsni 4594	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (𝑁 ∈ {𝑊} → 𝑁 = 𝑊)
9	8	eqcomd 2735	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (𝑁 ∈ {𝑊} → 𝑊 = 𝑁)
10	7, 9	biimtrdi 253	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ((𝐸‘𝑘) = {𝑊} → (𝑁 ∈ (𝐸‘𝑘) → 𝑊 = 𝑁))
11	10	com12 32	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝑁 ∈ (𝐸‘𝑘) → ((𝐸‘𝑘) = {𝑊} → 𝑊 = 𝑁))
12	11	con3rr3 155	. . . . . . . . 9 ⊢ (¬ 𝑊 = 𝑁 → (𝑁 ∈ (𝐸‘𝑘) → ¬ (𝐸‘𝑘) = {𝑊}))
13	6, 12	sylbi 217	. . . . . . . 8 ⊢ (𝑊 ≠ 𝑁 → (𝑁 ∈ (𝐸‘𝑘) → ¬ (𝐸‘𝑘) = {𝑊}))
14	5, 13	simplbiim 504	. . . . . . 7 ⊢ (𝑊 ∈ (𝑉 ∖ {𝑁}) → (𝑁 ∈ (𝐸‘𝑘) → ¬ (𝐸‘𝑘) = {𝑊}))
15	14	com12 32	. . . . . 6 ⊢ (𝑁 ∈ (𝐸‘𝑘) → (𝑊 ∈ (𝑉 ∖ {𝑁}) → ¬ (𝐸‘𝑘) = {𝑊}))
16	4, 15	simplbiim 504	. . . . 5 ⊢ (𝑘 ∈ 𝐽 → (𝑊 ∈ (𝑉 ∖ {𝑁}) → ¬ (𝐸‘𝑘) = {𝑊}))
17	16	impcom 407	. . . 4 ⊢ ((𝑊 ∈ (𝑉 ∖ {𝑁}) ∧ 𝑘 ∈ 𝐽) → ¬ (𝐸‘𝑘) = {𝑊})
18	17	ralrimiva 3121	. . 3 ⊢ (𝑊 ∈ (𝑉 ∖ {𝑁}) → ∀𝑘 ∈ 𝐽 ¬ (𝐸‘𝑘) = {𝑊})
19		rabeq0 4339	. . 3 ⊢ ({𝑘 ∈ 𝐽 ∣ (𝐸‘𝑘) = {𝑊}} = ∅ ↔ ∀𝑘 ∈ 𝐽 ¬ (𝐸‘𝑘) = {𝑊})
20	18, 19	sylibr 234	. 2 ⊢ (𝑊 ∈ (𝑉 ∖ {𝑁}) → {𝑘 ∈ 𝐽 ∣ (𝐸‘𝑘) = {𝑊}} = ∅)
21		vtxdginducedm1.e	. . . . . 6 ⊢ 𝐸 = (iEdg‘𝐺)
22	21	fvexi 6836	. . . . 5 ⊢ 𝐸 ∈ V
23	22	dmex 7842	. . . 4 ⊢ dom 𝐸 ∈ V
24	3, 23	rab2ex 5281	. . 3 ⊢ {𝑘 ∈ 𝐽 ∣ (𝐸‘𝑘) = {𝑊}} ∈ V
25		hasheq0 14270	. . 3 ⊢ ({𝑘 ∈ 𝐽 ∣ (𝐸‘𝑘) = {𝑊}} ∈ V → ((♯‘{𝑘 ∈ 𝐽 ∣ (𝐸‘𝑘) = {𝑊}}) = 0 ↔ {𝑘 ∈ 𝐽 ∣ (𝐸‘𝑘) = {𝑊}} = ∅))
26	24, 25	ax-mp 5	. 2 ⊢ ((♯‘{𝑘 ∈ 𝐽 ∣ (𝐸‘𝑘) = {𝑊}}) = 0 ↔ {𝑘 ∈ 𝐽 ∣ (𝐸‘𝑘) = {𝑊}} = ∅)
27	20, 26	sylibr 234	1 ⊢ (𝑊 ∈ (𝑉 ∖ {𝑁}) → (♯‘{𝑘 ∈ 𝐽 ∣ (𝐸‘𝑘) = {𝑊}}) = 0)

Syntax hints:  ¬ wn 3   → wi 4   ↔ wb 206   = wceq 1540   ∈ wcel 2109   ≠ wne 2925   ∉ wnel 3029  ∀wral 3044  {crab 3394  Vcvv 3436   ∖ cdif 3900  ∅c0 4284  {csn 4577  ⟨cop 4583  dom cdm 5619   ↾ cres 5621  ‘cfv 6482  0cc0 11009  ♯chash 14237  Vtxcvtx 28941  iEdgciedg 28942

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1795  ax-4 1809  ax-5 1910  ax-6 1967  ax-7 2008  ax-8 2111  ax-9 2119  ax-10 2142  ax-11 2158  ax-12 2178  ax-ext 2701  ax-sep 5235  ax-nul 5245  ax-pow 5304  ax-pr 5371  ax-un 7671  ax-cnex 11065  ax-resscn 11066  ax-1cn 11067  ax-icn 11068  ax-addcl 11069  ax-addrcl 11070  ax-mulcl 11071  ax-mulrcl 11072  ax-mulcom 11073  ax-addass 11074  ax-mulass 11075  ax-distr 11076  ax-i2m1 11077  ax-1ne0 11078  ax-1rid 11079  ax-rnegex 11080  ax-rrecex 11081  ax-cnre 11082  ax-pre-lttri 11083  ax-pre-lttrn 11084  ax-pre-ltadd 11085  ax-pre-mulgt0 11086

This theorem depends on definitions:  df-bi 207  df-an 396  df-or 848  df-3or 1087  df-3an 1088  df-tru 1543  df-fal 1553  df-ex 1780  df-nf 1784  df-sb 2066  df-mo 2533  df-eu 2562  df-clab 2708  df-cleq 2721  df-clel 2803  df-nfc 2878  df-ne 2926  df-nel 3030  df-ral 3045  df-rex 3054  df-reu 3344  df-rab 3395  df-v 3438  df-sbc 3743  df-csb 3852  df-dif 3906  df-un 3908  df-in 3910  df-ss 3920  df-pss 3923  df-nul 4285  df-if 4477  df-pw 4553  df-sn 4578  df-pr 4580  df-op 4584  df-uni 4859  df-int 4897  df-iun 4943  df-br 5093  df-opab 5155  df-mpt 5174  df-tr 5200  df-id 5514  df-eprel 5519  df-po 5527  df-so 5528  df-fr 5572  df-we 5574  df-xp 5625  df-rel 5626  df-cnv 5627  df-co 5628  df-dm 5629  df-rn 5630  df-res 5631  df-ima 5632  df-pred 6249  df-ord 6310  df-on 6311  df-lim 6312  df-suc 6313  df-iota 6438  df-fun 6484  df-fn 6485  df-f 6486  df-f1 6487  df-fo 6488  df-f1o 6489  df-fv 6490  df-riota 7306  df-ov 7352  df-oprab 7353  df-mpo 7354  df-om 7800  df-1st 7924  df-2nd 7925  df-frecs 8214  df-wrecs 8245  df-recs 8294  df-rdg 8332  df-1o 8388  df-er 8625  df-en 8873  df-dom 8874  df-sdom 8875  df-fin 8876  df-card 9835  df-pnf 11151  df-mnf 11152  df-xr 11153  df-ltxr 11154  df-le 11155  df-sub 11349  df-neg 11350  df-nn 12129  df-n0 12385  df-z 12472  df-uz 12736  df-fz 13411  df-hash 14238

This theorem is referenced by:  vtxdginducedm1  29489