MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  vtxdginducedm1lem4 Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem vtxdginducedm1lem4 28490
Description: Lemma 4 for vtxdginducedm1 28491. (Contributed by AV, 17-Dec-2021.)
Hypotheses
Ref Expression
vtxdginducedm1.v 𝑉 = (Vtx‘𝐺)
vtxdginducedm1.e 𝐸 = (iEdg‘𝐺)
vtxdginducedm1.k 𝐾 = (𝑉 ∖ {𝑁})
vtxdginducedm1.i 𝐼 = {𝑖 ∈ dom 𝐸𝑁 ∉ (𝐸𝑖)}
vtxdginducedm1.p 𝑃 = (𝐸𝐼)
vtxdginducedm1.s 𝑆 = ⟨𝐾, 𝑃
vtxdginducedm1.j 𝐽 = {𝑖 ∈ dom 𝐸𝑁 ∈ (𝐸𝑖)}
Assertion
Ref Expression
vtxdginducedm1lem4 (𝑊 ∈ (𝑉 ∖ {𝑁}) → (♯‘{𝑘𝐽 ∣ (𝐸𝑘) = {𝑊}}) = 0)
Distinct variable groups:   𝑖,𝐸   𝑘,𝐽   𝑖,𝑁,𝑘   𝑘,𝑉   𝑘,𝑊
Allowed substitution hints:   𝑃(𝑖,𝑘)   𝑆(𝑖,𝑘)   𝐸(𝑘)   𝐺(𝑖,𝑘)   𝐼(𝑖,𝑘)   𝐽(𝑖)   𝐾(𝑖,𝑘)   𝑉(𝑖)   𝑊(𝑖)

Proof of Theorem vtxdginducedm1lem4
StepHypRef Expression
1 fveq2 6842 . . . . . . . 8 (𝑖 = 𝑘 → (𝐸𝑖) = (𝐸𝑘))
21eleq2d 2823 . . . . . . 7 (𝑖 = 𝑘 → (𝑁 ∈ (𝐸𝑖) ↔ 𝑁 ∈ (𝐸𝑘)))
3 vtxdginducedm1.j . . . . . . 7 𝐽 = {𝑖 ∈ dom 𝐸𝑁 ∈ (𝐸𝑖)}
42, 3elrab2 3648 . . . . . 6 (𝑘𝐽 ↔ (𝑘 ∈ dom 𝐸𝑁 ∈ (𝐸𝑘)))
5 eldifsn 4747 . . . . . . . 8 (𝑊 ∈ (𝑉 ∖ {𝑁}) ↔ (𝑊𝑉𝑊𝑁))
6 df-ne 2944 . . . . . . . . 9 (𝑊𝑁 ↔ ¬ 𝑊 = 𝑁)
7 eleq2 2826 . . . . . . . . . . . 12 ((𝐸𝑘) = {𝑊} → (𝑁 ∈ (𝐸𝑘) ↔ 𝑁 ∈ {𝑊}))
8 elsni 4603 . . . . . . . . . . . . 13 (𝑁 ∈ {𝑊} → 𝑁 = 𝑊)
98eqcomd 2742 . . . . . . . . . . . 12 (𝑁 ∈ {𝑊} → 𝑊 = 𝑁)
107, 9syl6bi 252 . . . . . . . . . . 11 ((𝐸𝑘) = {𝑊} → (𝑁 ∈ (𝐸𝑘) → 𝑊 = 𝑁))
1110com12 32 . . . . . . . . . 10 (𝑁 ∈ (𝐸𝑘) → ((𝐸𝑘) = {𝑊} → 𝑊 = 𝑁))
1211con3rr3 155 . . . . . . . . 9 𝑊 = 𝑁 → (𝑁 ∈ (𝐸𝑘) → ¬ (𝐸𝑘) = {𝑊}))
136, 12sylbi 216 . . . . . . . 8 (𝑊𝑁 → (𝑁 ∈ (𝐸𝑘) → ¬ (𝐸𝑘) = {𝑊}))
145, 13simplbiim 505 . . . . . . 7 (𝑊 ∈ (𝑉 ∖ {𝑁}) → (𝑁 ∈ (𝐸𝑘) → ¬ (𝐸𝑘) = {𝑊}))
1514com12 32 . . . . . 6 (𝑁 ∈ (𝐸𝑘) → (𝑊 ∈ (𝑉 ∖ {𝑁}) → ¬ (𝐸𝑘) = {𝑊}))
164, 15simplbiim 505 . . . . 5 (𝑘𝐽 → (𝑊 ∈ (𝑉 ∖ {𝑁}) → ¬ (𝐸𝑘) = {𝑊}))
1716impcom 408 . . . 4 ((𝑊 ∈ (𝑉 ∖ {𝑁}) ∧ 𝑘𝐽) → ¬ (𝐸𝑘) = {𝑊})
1817ralrimiva 3143 . . 3 (𝑊 ∈ (𝑉 ∖ {𝑁}) → ∀𝑘𝐽 ¬ (𝐸𝑘) = {𝑊})
19 rabeq0 4344 . . 3 ({𝑘𝐽 ∣ (𝐸𝑘) = {𝑊}} = ∅ ↔ ∀𝑘𝐽 ¬ (𝐸𝑘) = {𝑊})
2018, 19sylibr 233 . 2 (𝑊 ∈ (𝑉 ∖ {𝑁}) → {𝑘𝐽 ∣ (𝐸𝑘) = {𝑊}} = ∅)
21 vtxdginducedm1.e . . . . . 6 𝐸 = (iEdg‘𝐺)
2221fvexi 6856 . . . . 5 𝐸 ∈ V
2322dmex 7848 . . . 4 dom 𝐸 ∈ V
243, 23rab2ex 5292 . . 3 {𝑘𝐽 ∣ (𝐸𝑘) = {𝑊}} ∈ V
25 hasheq0 14263 . . 3 ({𝑘𝐽 ∣ (𝐸𝑘) = {𝑊}} ∈ V → ((♯‘{𝑘𝐽 ∣ (𝐸𝑘) = {𝑊}}) = 0 ↔ {𝑘𝐽 ∣ (𝐸𝑘) = {𝑊}} = ∅))
2624, 25ax-mp 5 . 2 ((♯‘{𝑘𝐽 ∣ (𝐸𝑘) = {𝑊}}) = 0 ↔ {𝑘𝐽 ∣ (𝐸𝑘) = {𝑊}} = ∅)
2720, 26sylibr 233 1 (𝑊 ∈ (𝑉 ∖ {𝑁}) → (♯‘{𝑘𝐽 ∣ (𝐸𝑘) = {𝑊}}) = 0)
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  ¬ wn 3  wi 4  wb 205   = wceq 1541  wcel 2106  wne 2943  wnel 3049  wral 3064  {crab 3407  Vcvv 3445  cdif 3907  c0 4282  {csn 4586  cop 4592  dom cdm 5633  cres 5635  cfv 6496  0cc0 11051  chash 14230  Vtxcvtx 27947  iEdgciedg 27948
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1797  ax-4 1811  ax-5 1913  ax-6 1971  ax-7 2011  ax-8 2108  ax-9 2116  ax-10 2137  ax-11 2154  ax-12 2171  ax-ext 2707  ax-sep 5256  ax-nul 5263  ax-pow 5320  ax-pr 5384  ax-un 7672  ax-cnex 11107  ax-resscn 11108  ax-1cn 11109  ax-icn 11110  ax-addcl 11111  ax-addrcl 11112  ax-mulcl 11113  ax-mulrcl 11114  ax-mulcom 11115  ax-addass 11116  ax-mulass 11117  ax-distr 11118  ax-i2m1 11119  ax-1ne0 11120  ax-1rid 11121  ax-rnegex 11122  ax-rrecex 11123  ax-cnre 11124  ax-pre-lttri 11125  ax-pre-lttrn 11126  ax-pre-ltadd 11127  ax-pre-mulgt0 11128
This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 397  df-or 846  df-3or 1088  df-3an 1089  df-tru 1544  df-fal 1554  df-ex 1782  df-nf 1786  df-sb 2068  df-mo 2538  df-eu 2567  df-clab 2714  df-cleq 2728  df-clel 2814  df-nfc 2889  df-ne 2944  df-nel 3050  df-ral 3065  df-rex 3074  df-reu 3354  df-rab 3408  df-v 3447  df-sbc 3740  df-csb 3856  df-dif 3913  df-un 3915  df-in 3917  df-ss 3927  df-pss 3929  df-nul 4283  df-if 4487  df-pw 4562  df-sn 4587  df-pr 4589  df-op 4593  df-uni 4866  df-int 4908  df-iun 4956  df-br 5106  df-opab 5168  df-mpt 5189  df-tr 5223  df-id 5531  df-eprel 5537  df-po 5545  df-so 5546  df-fr 5588  df-we 5590  df-xp 5639  df-rel 5640  df-cnv 5641  df-co 5642  df-dm 5643  df-rn 5644  df-res 5645  df-ima 5646  df-pred 6253  df-ord 6320  df-on 6321  df-lim 6322  df-suc 6323  df-iota 6448  df-fun 6498  df-fn 6499  df-f 6500  df-f1 6501  df-fo 6502  df-f1o 6503  df-fv 6504  df-riota 7313  df-ov 7360  df-oprab 7361  df-mpo 7362  df-om 7803  df-1st 7921  df-2nd 7922  df-frecs 8212  df-wrecs 8243  df-recs 8317  df-rdg 8356  df-1o 8412  df-er 8648  df-en 8884  df-dom 8885  df-sdom 8886  df-fin 8887  df-card 9875  df-pnf 11191  df-mnf 11192  df-xr 11193  df-ltxr 11194  df-le 11195  df-sub 11387  df-neg 11388  df-nn 12154  df-n0 12414  df-z 12500  df-uz 12764  df-fz 13425  df-hash 14231
This theorem is referenced by:  vtxdginducedm1  28491
  Copyright terms: Public domain W3C validator