Theorem vtxdginducedm1lem4 29618

Description: Lemma 4 for vtxdginducedm1 29619. (Contributed by AV, 17-Dec-2021.)

Hypotheses

Ref	Expression
vtxdginducedm1.v	⊢ 𝑉 = (Vtx‘𝐺)
vtxdginducedm1.e	⊢ 𝐸 = (iEdg‘𝐺)
vtxdginducedm1.k	⊢ 𝐾 = (𝑉 ∖ {𝑁})
vtxdginducedm1.i	⊢ 𝐼 = {𝑖 ∈ dom 𝐸 ∣ 𝑁 ∉ (𝐸‘𝑖)}
vtxdginducedm1.p	⊢ 𝑃 = (𝐸 ↾ 𝐼)
vtxdginducedm1.s	⊢ 𝑆 = ⟨𝐾, 𝑃⟩
vtxdginducedm1.j	⊢ 𝐽 = {𝑖 ∈ dom 𝐸 ∣ 𝑁 ∈ (𝐸‘𝑖)}

Assertion

Ref	Expression
vtxdginducedm1lem4	⊢ (𝑊 ∈ (𝑉 ∖ {𝑁}) → (♯‘{𝑘 ∈ 𝐽 ∣ (𝐸‘𝑘) = {𝑊}}) = 0)

Distinct variable groups:   𝑖,𝐸   𝑘,𝐽   𝑖,𝑁,𝑘   𝑘,𝑉   𝑘,𝑊

Allowed substitution hints:   𝑃(𝑖,𝑘)   𝑆(𝑖,𝑘)   𝐸(𝑘)   𝐺(𝑖,𝑘)   𝐼(𝑖,𝑘)   𝐽(𝑖)   𝐾(𝑖,𝑘)   𝑉(𝑖)   𝑊(𝑖)

Proof of Theorem vtxdginducedm1lem4

Step	Hyp	Ref	Expression
1		fveq2 6834	. . . . . . . 8 ⊢ (𝑖 = 𝑘 → (𝐸‘𝑖) = (𝐸‘𝑘))
2	1	eleq2d 2822	. . . . . . 7 ⊢ (𝑖 = 𝑘 → (𝑁 ∈ (𝐸‘𝑖) ↔ 𝑁 ∈ (𝐸‘𝑘)))
3		vtxdginducedm1.j	. . . . . . 7 ⊢ 𝐽 = {𝑖 ∈ dom 𝐸 ∣ 𝑁 ∈ (𝐸‘𝑖)}
4	2, 3	elrab2 3649	. . . . . 6 ⊢ (𝑘 ∈ 𝐽 ↔ (𝑘 ∈ dom 𝐸 ∧ 𝑁 ∈ (𝐸‘𝑘)))
5		eldifsn 4742	. . . . . . . 8 ⊢ (𝑊 ∈ (𝑉 ∖ {𝑁}) ↔ (𝑊 ∈ 𝑉 ∧ 𝑊 ≠ 𝑁))
6		df-ne 2933	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝑊 ≠ 𝑁 ↔ ¬ 𝑊 = 𝑁)
7		eleq2 2825	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ ((𝐸‘𝑘) = {𝑊} → (𝑁 ∈ (𝐸‘𝑘) ↔ 𝑁 ∈ {𝑊}))
8		elsni 4597	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (𝑁 ∈ {𝑊} → 𝑁 = 𝑊)
9	8	eqcomd 2742	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (𝑁 ∈ {𝑊} → 𝑊 = 𝑁)
10	7, 9	biimtrdi 253	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ((𝐸‘𝑘) = {𝑊} → (𝑁 ∈ (𝐸‘𝑘) → 𝑊 = 𝑁))
11	10	com12 32	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝑁 ∈ (𝐸‘𝑘) → ((𝐸‘𝑘) = {𝑊} → 𝑊 = 𝑁))
12	11	con3rr3 155	. . . . . . . . 9 ⊢ (¬ 𝑊 = 𝑁 → (𝑁 ∈ (𝐸‘𝑘) → ¬ (𝐸‘𝑘) = {𝑊}))
13	6, 12	sylbi 217	. . . . . . . 8 ⊢ (𝑊 ≠ 𝑁 → (𝑁 ∈ (𝐸‘𝑘) → ¬ (𝐸‘𝑘) = {𝑊}))
14	5, 13	simplbiim 504	. . . . . . 7 ⊢ (𝑊 ∈ (𝑉 ∖ {𝑁}) → (𝑁 ∈ (𝐸‘𝑘) → ¬ (𝐸‘𝑘) = {𝑊}))
15	14	com12 32	. . . . . 6 ⊢ (𝑁 ∈ (𝐸‘𝑘) → (𝑊 ∈ (𝑉 ∖ {𝑁}) → ¬ (𝐸‘𝑘) = {𝑊}))
16	4, 15	simplbiim 504	. . . . 5 ⊢ (𝑘 ∈ 𝐽 → (𝑊 ∈ (𝑉 ∖ {𝑁}) → ¬ (𝐸‘𝑘) = {𝑊}))
17	16	impcom 407	. . . 4 ⊢ ((𝑊 ∈ (𝑉 ∖ {𝑁}) ∧ 𝑘 ∈ 𝐽) → ¬ (𝐸‘𝑘) = {𝑊})
18	17	ralrimiva 3128	. . 3 ⊢ (𝑊 ∈ (𝑉 ∖ {𝑁}) → ∀𝑘 ∈ 𝐽 ¬ (𝐸‘𝑘) = {𝑊})
19		rabeq0 4340	. . 3 ⊢ ({𝑘 ∈ 𝐽 ∣ (𝐸‘𝑘) = {𝑊}} = ∅ ↔ ∀𝑘 ∈ 𝐽 ¬ (𝐸‘𝑘) = {𝑊})
20	18, 19	sylibr 234	. 2 ⊢ (𝑊 ∈ (𝑉 ∖ {𝑁}) → {𝑘 ∈ 𝐽 ∣ (𝐸‘𝑘) = {𝑊}} = ∅)
21		vtxdginducedm1.e	. . . . . 6 ⊢ 𝐸 = (iEdg‘𝐺)
22	21	fvexi 6848	. . . . 5 ⊢ 𝐸 ∈ V
23	22	dmex 7851	. . . 4 ⊢ dom 𝐸 ∈ V
24	3, 23	rab2ex 5287	. . 3 ⊢ {𝑘 ∈ 𝐽 ∣ (𝐸‘𝑘) = {𝑊}} ∈ V
25		hasheq0 14288	. . 3 ⊢ ({𝑘 ∈ 𝐽 ∣ (𝐸‘𝑘) = {𝑊}} ∈ V → ((♯‘{𝑘 ∈ 𝐽 ∣ (𝐸‘𝑘) = {𝑊}}) = 0 ↔ {𝑘 ∈ 𝐽 ∣ (𝐸‘𝑘) = {𝑊}} = ∅))
26	24, 25	ax-mp 5	. 2 ⊢ ((♯‘{𝑘 ∈ 𝐽 ∣ (𝐸‘𝑘) = {𝑊}}) = 0 ↔ {𝑘 ∈ 𝐽 ∣ (𝐸‘𝑘) = {𝑊}} = ∅)
27	20, 26	sylibr 234	1 ⊢ (𝑊 ∈ (𝑉 ∖ {𝑁}) → (♯‘{𝑘 ∈ 𝐽 ∣ (𝐸‘𝑘) = {𝑊}}) = 0)

Syntax hints:  ¬ wn 3   → wi 4   ↔ wb 206   = wceq 1541   ∈ wcel 2113   ≠ wne 2932   ∉ wnel 3036  ∀wral 3051  {crab 3399  Vcvv 3440   ∖ cdif 3898  ∅c0 4285  {csn 4580  ⟨cop 4586  dom cdm 5624   ↾ cres 5626  ‘cfv 6492  0cc0 11028  ♯chash 14255  Vtxcvtx 29071  iEdgciedg 29072

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1796  ax-4 1810  ax-5 1911  ax-6 1968  ax-7 2009  ax-8 2115  ax-9 2123  ax-10 2146  ax-11 2162  ax-12 2184  ax-ext 2708  ax-sep 5241  ax-nul 5251  ax-pow 5310  ax-pr 5377  ax-un 7680  ax-cnex 11084  ax-resscn 11085  ax-1cn 11086  ax-icn 11087  ax-addcl 11088  ax-addrcl 11089  ax-mulcl 11090  ax-mulrcl 11091  ax-mulcom 11092  ax-addass 11093  ax-mulass 11094  ax-distr 11095  ax-i2m1 11096  ax-1ne0 11097  ax-1rid 11098  ax-rnegex 11099  ax-rrecex 11100  ax-cnre 11101  ax-pre-lttri 11102  ax-pre-lttrn 11103  ax-pre-ltadd 11104  ax-pre-mulgt0 11105

This theorem depends on definitions:  df-bi 207  df-an 396  df-or 848  df-3or 1087  df-3an 1088  df-tru 1544  df-fal 1554  df-ex 1781  df-nf 1785  df-sb 2068  df-mo 2539  df-eu 2569  df-clab 2715  df-cleq 2728  df-clel 2811  df-nfc 2885  df-ne 2933  df-nel 3037  df-ral 3052  df-rex 3061  df-reu 3351  df-rab 3400  df-v 3442  df-sbc 3741  df-csb 3850  df-dif 3904  df-un 3906  df-in 3908  df-ss 3918  df-pss 3921  df-nul 4286  df-if 4480  df-pw 4556  df-sn 4581  df-pr 4583  df-op 4587  df-uni 4864  df-int 4903  df-iun 4948  df-br 5099  df-opab 5161  df-mpt 5180  df-tr 5206  df-id 5519  df-eprel 5524  df-po 5532  df-so 5533  df-fr 5577  df-we 5579  df-xp 5630  df-rel 5631  df-cnv 5632  df-co 5633  df-dm 5634  df-rn 5635  df-res 5636  df-ima 5637  df-pred 6259  df-ord 6320  df-on 6321  df-lim 6322  df-suc 6323  df-iota 6448  df-fun 6494  df-fn 6495  df-f 6496  df-f1 6497  df-fo 6498  df-f1o 6499  df-fv 6500  df-riota 7315  df-ov 7361  df-oprab 7362  df-mpo 7363  df-om 7809  df-1st 7933  df-2nd 7934  df-frecs 8223  df-wrecs 8254  df-recs 8303  df-rdg 8341  df-1o 8397  df-er 8635  df-en 8886  df-dom 8887  df-sdom 8888  df-fin 8889  df-card 9853  df-pnf 11170  df-mnf 11171  df-xr 11172  df-ltxr 11173  df-le 11174  df-sub 11368  df-neg 11369  df-nn 12148  df-n0 12404  df-z 12491  df-uz 12754  df-fz 13426  df-hash 14256

This theorem is referenced by:  vtxdginducedm1  29619