MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  vtxdginducedm1lem4 Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem vtxdginducedm1lem4 28198
Description: Lemma 4 for vtxdginducedm1 28199. (Contributed by AV, 17-Dec-2021.)
Hypotheses
Ref Expression
vtxdginducedm1.v 𝑉 = (Vtx‘𝐺)
vtxdginducedm1.e 𝐸 = (iEdg‘𝐺)
vtxdginducedm1.k 𝐾 = (𝑉 ∖ {𝑁})
vtxdginducedm1.i 𝐼 = {𝑖 ∈ dom 𝐸𝑁 ∉ (𝐸𝑖)}
vtxdginducedm1.p 𝑃 = (𝐸𝐼)
vtxdginducedm1.s 𝑆 = ⟨𝐾, 𝑃
vtxdginducedm1.j 𝐽 = {𝑖 ∈ dom 𝐸𝑁 ∈ (𝐸𝑖)}
Assertion
Ref Expression
vtxdginducedm1lem4 (𝑊 ∈ (𝑉 ∖ {𝑁}) → (♯‘{𝑘𝐽 ∣ (𝐸𝑘) = {𝑊}}) = 0)
Distinct variable groups:   𝑖,𝐸   𝑘,𝐽   𝑖,𝑁,𝑘   𝑘,𝑉   𝑘,𝑊
Allowed substitution hints:   𝑃(𝑖,𝑘)   𝑆(𝑖,𝑘)   𝐸(𝑘)   𝐺(𝑖,𝑘)   𝐼(𝑖,𝑘)   𝐽(𝑖)   𝐾(𝑖,𝑘)   𝑉(𝑖)   𝑊(𝑖)

Proof of Theorem vtxdginducedm1lem4
StepHypRef Expression
1 fveq2 6825 . . . . . . . 8 (𝑖 = 𝑘 → (𝐸𝑖) = (𝐸𝑘))
21eleq2d 2822 . . . . . . 7 (𝑖 = 𝑘 → (𝑁 ∈ (𝐸𝑖) ↔ 𝑁 ∈ (𝐸𝑘)))
3 vtxdginducedm1.j . . . . . . 7 𝐽 = {𝑖 ∈ dom 𝐸𝑁 ∈ (𝐸𝑖)}
42, 3elrab2 3637 . . . . . 6 (𝑘𝐽 ↔ (𝑘 ∈ dom 𝐸𝑁 ∈ (𝐸𝑘)))
5 eldifsn 4734 . . . . . . . 8 (𝑊 ∈ (𝑉 ∖ {𝑁}) ↔ (𝑊𝑉𝑊𝑁))
6 df-ne 2941 . . . . . . . . 9 (𝑊𝑁 ↔ ¬ 𝑊 = 𝑁)
7 eleq2 2825 . . . . . . . . . . . 12 ((𝐸𝑘) = {𝑊} → (𝑁 ∈ (𝐸𝑘) ↔ 𝑁 ∈ {𝑊}))
8 elsni 4590 . . . . . . . . . . . . 13 (𝑁 ∈ {𝑊} → 𝑁 = 𝑊)
98eqcomd 2742 . . . . . . . . . . . 12 (𝑁 ∈ {𝑊} → 𝑊 = 𝑁)
107, 9syl6bi 252 . . . . . . . . . . 11 ((𝐸𝑘) = {𝑊} → (𝑁 ∈ (𝐸𝑘) → 𝑊 = 𝑁))
1110com12 32 . . . . . . . . . 10 (𝑁 ∈ (𝐸𝑘) → ((𝐸𝑘) = {𝑊} → 𝑊 = 𝑁))
1211con3rr3 155 . . . . . . . . 9 𝑊 = 𝑁 → (𝑁 ∈ (𝐸𝑘) → ¬ (𝐸𝑘) = {𝑊}))
136, 12sylbi 216 . . . . . . . 8 (𝑊𝑁 → (𝑁 ∈ (𝐸𝑘) → ¬ (𝐸𝑘) = {𝑊}))
145, 13simplbiim 505 . . . . . . 7 (𝑊 ∈ (𝑉 ∖ {𝑁}) → (𝑁 ∈ (𝐸𝑘) → ¬ (𝐸𝑘) = {𝑊}))
1514com12 32 . . . . . 6 (𝑁 ∈ (𝐸𝑘) → (𝑊 ∈ (𝑉 ∖ {𝑁}) → ¬ (𝐸𝑘) = {𝑊}))
164, 15simplbiim 505 . . . . 5 (𝑘𝐽 → (𝑊 ∈ (𝑉 ∖ {𝑁}) → ¬ (𝐸𝑘) = {𝑊}))
1716impcom 408 . . . 4 ((𝑊 ∈ (𝑉 ∖ {𝑁}) ∧ 𝑘𝐽) → ¬ (𝐸𝑘) = {𝑊})
1817ralrimiva 3139 . . 3 (𝑊 ∈ (𝑉 ∖ {𝑁}) → ∀𝑘𝐽 ¬ (𝐸𝑘) = {𝑊})
19 rabeq0 4331 . . 3 ({𝑘𝐽 ∣ (𝐸𝑘) = {𝑊}} = ∅ ↔ ∀𝑘𝐽 ¬ (𝐸𝑘) = {𝑊})
2018, 19sylibr 233 . 2 (𝑊 ∈ (𝑉 ∖ {𝑁}) → {𝑘𝐽 ∣ (𝐸𝑘) = {𝑊}} = ∅)
21 vtxdginducedm1.e . . . . . 6 𝐸 = (iEdg‘𝐺)
2221fvexi 6839 . . . . 5 𝐸 ∈ V
2322dmex 7826 . . . 4 dom 𝐸 ∈ V
243, 23rab2ex 5279 . . 3 {𝑘𝐽 ∣ (𝐸𝑘) = {𝑊}} ∈ V
25 hasheq0 14178 . . 3 ({𝑘𝐽 ∣ (𝐸𝑘) = {𝑊}} ∈ V → ((♯‘{𝑘𝐽 ∣ (𝐸𝑘) = {𝑊}}) = 0 ↔ {𝑘𝐽 ∣ (𝐸𝑘) = {𝑊}} = ∅))
2624, 25ax-mp 5 . 2 ((♯‘{𝑘𝐽 ∣ (𝐸𝑘) = {𝑊}}) = 0 ↔ {𝑘𝐽 ∣ (𝐸𝑘) = {𝑊}} = ∅)
2720, 26sylibr 233 1 (𝑊 ∈ (𝑉 ∖ {𝑁}) → (♯‘{𝑘𝐽 ∣ (𝐸𝑘) = {𝑊}}) = 0)
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  ¬ wn 3  wi 4  wb 205   = wceq 1540  wcel 2105  wne 2940  wnel 3046  wral 3061  {crab 3403  Vcvv 3441  cdif 3895  c0 4269  {csn 4573  cop 4579  dom cdm 5620  cres 5622  cfv 6479  0cc0 10972  chash 14145  Vtxcvtx 27655  iEdgciedg 27656
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1796  ax-4 1810  ax-5 1912  ax-6 1970  ax-7 2010  ax-8 2107  ax-9 2115  ax-10 2136  ax-11 2153  ax-12 2170  ax-ext 2707  ax-sep 5243  ax-nul 5250  ax-pow 5308  ax-pr 5372  ax-un 7650  ax-cnex 11028  ax-resscn 11029  ax-1cn 11030  ax-icn 11031  ax-addcl 11032  ax-addrcl 11033  ax-mulcl 11034  ax-mulrcl 11035  ax-mulcom 11036  ax-addass 11037  ax-mulass 11038  ax-distr 11039  ax-i2m1 11040  ax-1ne0 11041  ax-1rid 11042  ax-rnegex 11043  ax-rrecex 11044  ax-cnre 11045  ax-pre-lttri 11046  ax-pre-lttrn 11047  ax-pre-ltadd 11048  ax-pre-mulgt0 11049
This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 397  df-or 845  df-3or 1087  df-3an 1088  df-tru 1543  df-fal 1553  df-ex 1781  df-nf 1785  df-sb 2067  df-mo 2538  df-eu 2567  df-clab 2714  df-cleq 2728  df-clel 2814  df-nfc 2886  df-ne 2941  df-nel 3047  df-ral 3062  df-rex 3071  df-reu 3350  df-rab 3404  df-v 3443  df-sbc 3728  df-csb 3844  df-dif 3901  df-un 3903  df-in 3905  df-ss 3915  df-pss 3917  df-nul 4270  df-if 4474  df-pw 4549  df-sn 4574  df-pr 4576  df-op 4580  df-uni 4853  df-int 4895  df-iun 4943  df-br 5093  df-opab 5155  df-mpt 5176  df-tr 5210  df-id 5518  df-eprel 5524  df-po 5532  df-so 5533  df-fr 5575  df-we 5577  df-xp 5626  df-rel 5627  df-cnv 5628  df-co 5629  df-dm 5630  df-rn 5631  df-res 5632  df-ima 5633  df-pred 6238  df-ord 6305  df-on 6306  df-lim 6307  df-suc 6308  df-iota 6431  df-fun 6481  df-fn 6482  df-f 6483  df-f1 6484  df-fo 6485  df-f1o 6486  df-fv 6487  df-riota 7293  df-ov 7340  df-oprab 7341  df-mpo 7342  df-om 7781  df-1st 7899  df-2nd 7900  df-frecs 8167  df-wrecs 8198  df-recs 8272  df-rdg 8311  df-1o 8367  df-er 8569  df-en 8805  df-dom 8806  df-sdom 8807  df-fin 8808  df-card 9796  df-pnf 11112  df-mnf 11113  df-xr 11114  df-ltxr 11115  df-le 11116  df-sub 11308  df-neg 11309  df-nn 12075  df-n0 12335  df-z 12421  df-uz 12684  df-fz 13341  df-hash 14146
This theorem is referenced by:  vtxdginducedm1  28199
  Copyright terms: Public domain W3C validator