Theorem vtxdusgr0edgnelALT 28152

Description: Alternate proof of vtxdusgr0edgnel 28151, not based on vtxduhgr0edgnel 28150. A vertex in a simple graph has degree 0 if there is no edge incident with this vertex. (Contributed by AV, 17-Dec-2020.) (Proof modification is discouraged.) (New usage is discouraged.)

Hypotheses

Ref	Expression
vtxdushgrfvedg.v	⊢ 𝑉 = (Vtx‘𝐺)
vtxdushgrfvedg.e	⊢ 𝐸 = (Edg‘𝐺)
vtxdushgrfvedg.d	⊢ 𝐷 = (VtxDeg‘𝐺)

Assertion

Ref	Expression
vtxdusgr0edgnelALT	⊢ ((𝐺 ∈ USGraph ∧ 𝑈 ∈ 𝑉) → ((𝐷‘𝑈) = 0 ↔ ¬ ∃𝑒 ∈ 𝐸 𝑈 ∈ 𝑒))

Distinct variable groups:   𝑒,𝐸   𝑒,𝐺   𝑈,𝑒   𝑒,𝑉

Allowed substitution hint:   𝐷(𝑒)

Proof of Theorem vtxdusgr0edgnelALT

Step	Hyp	Ref	Expression
1		vtxdushgrfvedg.v	. . . 4 ⊢ 𝑉 = (Vtx‘𝐺)
2		vtxdushgrfvedg.e	. . . 4 ⊢ 𝐸 = (Edg‘𝐺)
3		vtxdushgrfvedg.d	. . . 4 ⊢ 𝐷 = (VtxDeg‘𝐺)
4	1, 2, 3	vtxdusgrfvedg 28147	. . 3 ⊢ ((𝐺 ∈ USGraph ∧ 𝑈 ∈ 𝑉) → (𝐷‘𝑈) = (♯‘{𝑒 ∈ 𝐸 ∣ 𝑈 ∈ 𝑒}))
5	4	eqeq1d 2738	. 2 ⊢ ((𝐺 ∈ USGraph ∧ 𝑈 ∈ 𝑉) → ((𝐷‘𝑈) = 0 ↔ (♯‘{𝑒 ∈ 𝐸 ∣ 𝑈 ∈ 𝑒}) = 0))
6		fvex 6838	. . . . 5 ⊢ (Edg‘𝐺) ∈ V
7	2, 6	eqeltri 2833	. . . 4 ⊢ 𝐸 ∈ V
8	7	rabex 5276	. . 3 ⊢ {𝑒 ∈ 𝐸 ∣ 𝑈 ∈ 𝑒} ∈ V
9		hasheq0 14178	. . 3 ⊢ ({𝑒 ∈ 𝐸 ∣ 𝑈 ∈ 𝑒} ∈ V → ((♯‘{𝑒 ∈ 𝐸 ∣ 𝑈 ∈ 𝑒}) = 0 ↔ {𝑒 ∈ 𝐸 ∣ 𝑈 ∈ 𝑒} = ∅))
10	8, 9	mp1i 13	. 2 ⊢ ((𝐺 ∈ USGraph ∧ 𝑈 ∈ 𝑉) → ((♯‘{𝑒 ∈ 𝐸 ∣ 𝑈 ∈ 𝑒}) = 0 ↔ {𝑒 ∈ 𝐸 ∣ 𝑈 ∈ 𝑒} = ∅))
11		rabeq0 4331	. . 3 ⊢ ({𝑒 ∈ 𝐸 ∣ 𝑈 ∈ 𝑒} = ∅ ↔ ∀𝑒 ∈ 𝐸 ¬ 𝑈 ∈ 𝑒)
12		ralnex 3072	. . . 4 ⊢ (∀𝑒 ∈ 𝐸 ¬ 𝑈 ∈ 𝑒 ↔ ¬ ∃𝑒 ∈ 𝐸 𝑈 ∈ 𝑒)
13	12	a1i 11	. . 3 ⊢ ((𝐺 ∈ USGraph ∧ 𝑈 ∈ 𝑉) → (∀𝑒 ∈ 𝐸 ¬ 𝑈 ∈ 𝑒 ↔ ¬ ∃𝑒 ∈ 𝐸 𝑈 ∈ 𝑒))
14	11, 13	bitrid 282	. 2 ⊢ ((𝐺 ∈ USGraph ∧ 𝑈 ∈ 𝑉) → ({𝑒 ∈ 𝐸 ∣ 𝑈 ∈ 𝑒} = ∅ ↔ ¬ ∃𝑒 ∈ 𝐸 𝑈 ∈ 𝑒))
15	5, 10, 14	3bitrd 304	1 ⊢ ((𝐺 ∈ USGraph ∧ 𝑈 ∈ 𝑉) → ((𝐷‘𝑈) = 0 ↔ ¬ ∃𝑒 ∈ 𝐸 𝑈 ∈ 𝑒))

Syntax hints:  ¬ wn 3   → wi 4   ↔ wb 205   ∧ wa 396   = wceq 1540   ∈ wcel 2105  ∀wral 3061  ∃wrex 3070  {crab 3403  Vcvv 3441  ∅c0 4269  ‘cfv 6479  0cc0 10972  ♯chash 14145  Vtxcvtx 27655  Edgcedg 27706  USGraphcusgr 27808  VtxDegcvtxdg 28121

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1796  ax-4 1810  ax-5 1912  ax-6 1970  ax-7 2010  ax-8 2107  ax-9 2115  ax-10 2136  ax-11 2153  ax-12 2170  ax-ext 2707  ax-rep 5229  ax-sep 5243  ax-nul 5250  ax-pow 5308  ax-pr 5372  ax-un 7650  ax-cnex 11028  ax-resscn 11029  ax-1cn 11030  ax-icn 11031  ax-addcl 11032  ax-addrcl 11033  ax-mulcl 11034  ax-mulrcl 11035  ax-mulcom 11036  ax-addass 11037  ax-mulass 11038  ax-distr 11039  ax-i2m1 11040  ax-1ne0 11041  ax-1rid 11042  ax-rnegex 11043  ax-rrecex 11044  ax-cnre 11045  ax-pre-lttri 11046  ax-pre-lttrn 11047  ax-pre-ltadd 11048  ax-pre-mulgt0 11049

This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 397  df-or 845  df-3or 1087  df-3an 1088  df-tru 1543  df-fal 1553  df-ex 1781  df-nf 1785  df-sb 2067  df-mo 2538  df-eu 2567  df-clab 2714  df-cleq 2728  df-clel 2814  df-nfc 2886  df-ne 2941  df-nel 3047  df-ral 3062  df-rex 3071  df-reu 3350  df-rab 3404  df-v 3443  df-sbc 3728  df-csb 3844  df-dif 3901  df-un 3903  df-in 3905  df-ss 3915  df-pss 3917  df-nul 4270  df-if 4474  df-pw 4549  df-sn 4574  df-pr 4576  df-op 4580  df-uni 4853  df-int 4895  df-iun 4943  df-br 5093  df-opab 5155  df-mpt 5176  df-tr 5210  df-id 5518  df-eprel 5524  df-po 5532  df-so 5533  df-fr 5575  df-we 5577  df-xp 5626  df-rel 5627  df-cnv 5628  df-co 5629  df-dm 5630  df-rn 5631  df-res 5632  df-ima 5633  df-pred 6238  df-ord 6305  df-on 6306  df-lim 6307  df-suc 6308  df-iota 6431  df-fun 6481  df-fn 6482  df-f 6483  df-f1 6484  df-fo 6485  df-f1o 6486  df-fv 6487  df-riota 7293  df-ov 7340  df-oprab 7341  df-mpo 7342  df-om 7781  df-1st 7899  df-2nd 7900  df-frecs 8167  df-wrecs 8198  df-recs 8272  df-rdg 8311  df-1o 8367  df-er 8569  df-en 8805  df-dom 8806  df-sdom 8807  df-fin 8808  df-card 9796  df-pnf 11112  df-mnf 11113  df-xr 11114  df-ltxr 11115  df-le 11116  df-sub 11308  df-neg 11309  df-nn 12075  df-2 12137  df-n0 12335  df-xnn0 12407  df-z 12421  df-uz 12684  df-xadd 12950  df-fz 13341  df-hash 14146  df-edg 27707  df-uhgr 27717  df-ushgr 27718  df-upgr 27741  df-umgr 27742  df-uspgr 27809  df-usgr 27810  df-vtxdg 28122

This theorem is referenced by: (None)