MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  vtxdusgr0edgnelALT Structured version   Visualization version   GIF version
Theorem vtxdusgr0edgnelALT 29018
Description: Alternate proof of vtxdusgr0edgnel 29017, not based on vtxduhgr0edgnel 29016. A vertex in a simple graph has degree 0 if there is no edge incident with this vertex. (Contributed by AV, 17-Dec-2020.) (Proof modification is discouraged.) (New usage is discouraged.)
Hypotheses
Ref Expression
vtxdushgrfvedg.v 𝑉 = (Vtxβ€˜πΊ)
vtxdushgrfvedg.e 𝐸 = (Edgβ€˜πΊ)
vtxdushgrfvedg.d 𝐷 = (VtxDegβ€˜πΊ)
Assertion
Ref Expression
vtxdusgr0edgnelALT ((𝐺 ∈ USGraph ∧ π‘ˆ ∈ 𝑉) β†’ ((π·β€˜π‘ˆ) = 0 ↔ Β¬ βˆƒπ‘’ ∈ 𝐸 π‘ˆ ∈ 𝑒))
Distinct variable groups:   𝑒,𝐸   𝑒,𝐺   π‘ˆ,𝑒   𝑒,𝑉
Allowed substitution hint:   𝐷(𝑒)
Proof of Theorem vtxdusgr0edgnelALT
StepHypRef Expression
1 vtxdushgrfvedg.v . . . 4 𝑉 = (Vtxβ€˜πΊ)
2 vtxdushgrfvedg.e . . . 4 𝐸 = (Edgβ€˜πΊ)
3 vtxdushgrfvedg.d . . . 4 𝐷 = (VtxDegβ€˜πΊ)
41, 2, 3vtxdusgrfvedg 29013 . . 3 ((𝐺 ∈ USGraph ∧ π‘ˆ ∈ 𝑉) β†’ (π·β€˜π‘ˆ) = (β™―β€˜{𝑒 ∈ 𝐸 ∣ π‘ˆ ∈ 𝑒}))
54eqeq1d 2732 . 2 ((𝐺 ∈ USGraph ∧ π‘ˆ ∈ 𝑉) β†’ ((π·β€˜π‘ˆ) = 0 ↔ (β™―β€˜{𝑒 ∈ 𝐸 ∣ π‘ˆ ∈ 𝑒}) = 0))
6 fvex 6905 . . . . 5 (Edgβ€˜πΊ) ∈ V
72, 6eqeltri 2827 . . . 4 𝐸 ∈ V
87rabex 5333 . . 3 {𝑒 ∈ 𝐸 ∣ π‘ˆ ∈ 𝑒} ∈ V
9 hasheq0 14329 . . 3 ({𝑒 ∈ 𝐸 ∣ π‘ˆ ∈ 𝑒} ∈ V β†’ ((β™―β€˜{𝑒 ∈ 𝐸 ∣ π‘ˆ ∈ 𝑒}) = 0 ↔ {𝑒 ∈ 𝐸 ∣ π‘ˆ ∈ 𝑒} = βˆ…))
108, 9mp1i 13 . 2 ((𝐺 ∈ USGraph ∧ π‘ˆ ∈ 𝑉) β†’ ((β™―β€˜{𝑒 ∈ 𝐸 ∣ π‘ˆ ∈ 𝑒}) = 0 ↔ {𝑒 ∈ 𝐸 ∣ π‘ˆ ∈ 𝑒} = βˆ…))
11 rabeq0 4385 . . 3 ({𝑒 ∈ 𝐸 ∣ π‘ˆ ∈ 𝑒} = βˆ… ↔ βˆ€π‘’ ∈ 𝐸 Β¬ π‘ˆ ∈ 𝑒)
12 ralnex 3070 . . . 4 (βˆ€π‘’ ∈ 𝐸 Β¬ π‘ˆ ∈ 𝑒 ↔ Β¬ βˆƒπ‘’ ∈ 𝐸 π‘ˆ ∈ 𝑒)
1312a1i 11 . . 3 ((𝐺 ∈ USGraph ∧ π‘ˆ ∈ 𝑉) β†’ (βˆ€π‘’ ∈ 𝐸 Β¬ π‘ˆ ∈ 𝑒 ↔ Β¬ βˆƒπ‘’ ∈ 𝐸 π‘ˆ ∈ 𝑒))
1411, 13bitrid 282 . 2 ((𝐺 ∈ USGraph ∧ π‘ˆ ∈ 𝑉) β†’ ({𝑒 ∈ 𝐸 ∣ π‘ˆ ∈ 𝑒} = βˆ… ↔ Β¬ βˆƒπ‘’ ∈ 𝐸 π‘ˆ ∈ 𝑒))
155, 10, 143bitrd 304 1 ((𝐺 ∈ USGraph ∧ π‘ˆ ∈ 𝑉) β†’ ((π·β€˜π‘ˆ) = 0 ↔ Β¬ βˆƒπ‘’ ∈ 𝐸 π‘ˆ ∈ 𝑒))
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  Β¬ wn 3   β†’ wi 4   ↔ wb 205   ∧ wa 394   = wceq 1539   ∈ wcel 2104  βˆ€wral 3059  βˆƒwrex 3068  {crab 3430  Vcvv 3472  βˆ…c0 4323  β€˜cfv 6544  0cc0 11114  β™―chash 14296  Vtxcvtx 28521  Edgcedg 28572  USGraphcusgr 28674  VtxDegcvtxdg 28987
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1795  ax-4 1809  ax-5 1911  ax-6 1969  ax-7 2009  ax-8 2106  ax-9 2114  ax-10 2135  ax-11 2152  ax-12 2169  ax-ext 2701  ax-rep 5286  ax-sep 5300  ax-nul 5307  ax-pow 5364  ax-pr 5428  ax-un 7729  ax-cnex 11170  ax-resscn 11171  ax-1cn 11172  ax-icn 11173  ax-addcl 11174  ax-addrcl 11175  ax-mulcl 11176  ax-mulrcl 11177  ax-mulcom 11178  ax-addass 11179  ax-mulass 11180  ax-distr 11181  ax-i2m1 11182  ax-1ne0 11183  ax-1rid 11184  ax-rnegex 11185  ax-rrecex 11186  ax-cnre 11187  ax-pre-lttri 11188  ax-pre-lttrn 11189  ax-pre-ltadd 11190  ax-pre-mulgt0 11191
This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 395  df-or 844  df-3or 1086  df-3an 1087  df-tru 1542  df-fal 1552  df-ex 1780  df-nf 1784  df-sb 2066  df-mo 2532  df-eu 2561  df-clab 2708  df-cleq 2722  df-clel 2808  df-nfc 2883  df-ne 2939  df-nel 3045  df-ral 3060  df-rex 3069  df-reu 3375  df-rab 3431  df-v 3474  df-sbc 3779  df-csb 3895  df-dif 3952  df-un 3954  df-in 3956  df-ss 3966  df-pss 3968  df-nul 4324  df-if 4530  df-pw 4605  df-sn 4630  df-pr 4632  df-op 4636  df-uni 4910  df-int 4952  df-iun 5000  df-br 5150  df-opab 5212  df-mpt 5233  df-tr 5267  df-id 5575  df-eprel 5581  df-po 5589  df-so 5590  df-fr 5632  df-we 5634  df-xp 5683  df-rel 5684  df-cnv 5685  df-co 5686  df-dm 5687  df-rn 5688  df-res 5689  df-ima 5690  df-pred 6301  df-ord 6368  df-on 6369  df-lim 6370  df-suc 6371  df-iota 6496  df-fun 6546  df-fn 6547  df-f 6548  df-f1 6549  df-fo 6550  df-f1o 6551  df-fv 6552  df-riota 7369  df-ov 7416  df-oprab 7417  df-mpo 7418  df-om 7860  df-1st 7979  df-2nd 7980  df-frecs 8270  df-wrecs 8301  df-recs 8375  df-rdg 8414  df-1o 8470  df-er 8707  df-en 8944  df-dom 8945  df-sdom 8946  df-fin 8947  df-card 9938  df-pnf 11256  df-mnf 11257  df-xr 11258  df-ltxr 11259  df-le 11260  df-sub 11452  df-neg 11453  df-nn 12219  df-2 12281  df-n0 12479  df-xnn0 12551  df-z 12565  df-uz 12829  df-xadd 13099  df-fz 13491  df-hash 14297  df-edg 28573  df-uhgr 28583  df-ushgr 28584  df-upgr 28607  df-umgr 28608  df-uspgr 28675  df-usgr 28676  df-vtxdg 28988
This theorem is referenced by: (None)
  Copyright terms: Public domain W3C validator