Theorem vtxdusgr0edgnelALT 27556

Description: Alternate proof of vtxdusgr0edgnel 27555, not based on vtxduhgr0edgnel 27554. A vertex in a simple graph has degree 0 if there is no edge incident with this vertex. (Contributed by AV, 17-Dec-2020.) (Proof modification is discouraged.) (New usage is discouraged.)

Hypotheses

Ref	Expression
vtxdushgrfvedg.v	⊢ 𝑉 = (Vtx‘𝐺)
vtxdushgrfvedg.e	⊢ 𝐸 = (Edg‘𝐺)
vtxdushgrfvedg.d	⊢ 𝐷 = (VtxDeg‘𝐺)

Assertion

Ref	Expression
vtxdusgr0edgnelALT	⊢ ((𝐺 ∈ USGraph ∧ 𝑈 ∈ 𝑉) → ((𝐷‘𝑈) = 0 ↔ ¬ ∃𝑒 ∈ 𝐸 𝑈 ∈ 𝑒))

Distinct variable groups:   𝑒,𝐸   𝑒,𝐺   𝑈,𝑒   𝑒,𝑉

Allowed substitution hint:   𝐷(𝑒)

Proof of Theorem vtxdusgr0edgnelALT

Step	Hyp	Ref	Expression
1		vtxdushgrfvedg.v	. . . 4 ⊢ 𝑉 = (Vtx‘𝐺)
2		vtxdushgrfvedg.e	. . . 4 ⊢ 𝐸 = (Edg‘𝐺)
3		vtxdushgrfvedg.d	. . . 4 ⊢ 𝐷 = (VtxDeg‘𝐺)
4	1, 2, 3	vtxdusgrfvedg 27551	. . 3 ⊢ ((𝐺 ∈ USGraph ∧ 𝑈 ∈ 𝑉) → (𝐷‘𝑈) = (♯‘{𝑒 ∈ 𝐸 ∣ 𝑈 ∈ 𝑒}))
5	4	eqeq1d 2736	. 2 ⊢ ((𝐺 ∈ USGraph ∧ 𝑈 ∈ 𝑉) → ((𝐷‘𝑈) = 0 ↔ (♯‘{𝑒 ∈ 𝐸 ∣ 𝑈 ∈ 𝑒}) = 0))
6		fvex 6719	. . . . 5 ⊢ (Edg‘𝐺) ∈ V
7	2, 6	eqeltri 2830	. . . 4 ⊢ 𝐸 ∈ V
8	7	rabex 5214	. . 3 ⊢ {𝑒 ∈ 𝐸 ∣ 𝑈 ∈ 𝑒} ∈ V
9		hasheq0 13913	. . 3 ⊢ ({𝑒 ∈ 𝐸 ∣ 𝑈 ∈ 𝑒} ∈ V → ((♯‘{𝑒 ∈ 𝐸 ∣ 𝑈 ∈ 𝑒}) = 0 ↔ {𝑒 ∈ 𝐸 ∣ 𝑈 ∈ 𝑒} = ∅))
10	8, 9	mp1i 13	. 2 ⊢ ((𝐺 ∈ USGraph ∧ 𝑈 ∈ 𝑉) → ((♯‘{𝑒 ∈ 𝐸 ∣ 𝑈 ∈ 𝑒}) = 0 ↔ {𝑒 ∈ 𝐸 ∣ 𝑈 ∈ 𝑒} = ∅))
11		rabeq0 4289	. . 3 ⊢ ({𝑒 ∈ 𝐸 ∣ 𝑈 ∈ 𝑒} = ∅ ↔ ∀𝑒 ∈ 𝐸 ¬ 𝑈 ∈ 𝑒)
12		ralnex 3151	. . . 4 ⊢ (∀𝑒 ∈ 𝐸 ¬ 𝑈 ∈ 𝑒 ↔ ¬ ∃𝑒 ∈ 𝐸 𝑈 ∈ 𝑒)
13	12	a1i 11	. . 3 ⊢ ((𝐺 ∈ USGraph ∧ 𝑈 ∈ 𝑉) → (∀𝑒 ∈ 𝐸 ¬ 𝑈 ∈ 𝑒 ↔ ¬ ∃𝑒 ∈ 𝐸 𝑈 ∈ 𝑒))
14	11, 13	syl5bb 286	. 2 ⊢ ((𝐺 ∈ USGraph ∧ 𝑈 ∈ 𝑉) → ({𝑒 ∈ 𝐸 ∣ 𝑈 ∈ 𝑒} = ∅ ↔ ¬ ∃𝑒 ∈ 𝐸 𝑈 ∈ 𝑒))
15	5, 10, 14	3bitrd 308	1 ⊢ ((𝐺 ∈ USGraph ∧ 𝑈 ∈ 𝑉) → ((𝐷‘𝑈) = 0 ↔ ¬ ∃𝑒 ∈ 𝐸 𝑈 ∈ 𝑒))

Syntax hints:  ¬ wn 3   → wi 4   ↔ wb 209   ∧ wa 399   = wceq 1543   ∈ wcel 2110  ∀wral 3054  ∃wrex 3055  {crab 3058  Vcvv 3401  ∅c0 4227  ‘cfv 6369  0cc0 10712  ♯chash 13879  Vtxcvtx 27059  Edgcedg 27110  USGraphcusgr 27212  VtxDegcvtxdg 27525

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1803  ax-4 1817  ax-5 1918  ax-6 1976  ax-7 2016  ax-8 2112  ax-9 2120  ax-10 2141  ax-11 2158  ax-12 2175  ax-ext 2706  ax-rep 5168  ax-sep 5181  ax-nul 5188  ax-pow 5247  ax-pr 5311  ax-un 7512  ax-cnex 10768  ax-resscn 10769  ax-1cn 10770  ax-icn 10771  ax-addcl 10772  ax-addrcl 10773  ax-mulcl 10774  ax-mulrcl 10775  ax-mulcom 10776  ax-addass 10777  ax-mulass 10778  ax-distr 10779  ax-i2m1 10780  ax-1ne0 10781  ax-1rid 10782  ax-rnegex 10783  ax-rrecex 10784  ax-cnre 10785  ax-pre-lttri 10786  ax-pre-lttrn 10787  ax-pre-ltadd 10788  ax-pre-mulgt0 10789

This theorem depends on definitions:  df-bi 210  df-an 400  df-or 848  df-3or 1090  df-3an 1091  df-tru 1546  df-fal 1556  df-ex 1788  df-nf 1792  df-sb 2071  df-mo 2537  df-eu 2566  df-clab 2713  df-cleq 2726  df-clel 2812  df-nfc 2882  df-ne 2936  df-nel 3040  df-ral 3059  df-rex 3060  df-reu 3061  df-rab 3063  df-v 3403  df-sbc 3688  df-csb 3803  df-dif 3860  df-un 3862  df-in 3864  df-ss 3874  df-pss 3876  df-nul 4228  df-if 4430  df-pw 4505  df-sn 4532  df-pr 4534  df-tp 4536  df-op 4538  df-uni 4810  df-int 4850  df-iun 4896  df-br 5044  df-opab 5106  df-mpt 5125  df-tr 5151  df-id 5444  df-eprel 5449  df-po 5457  df-so 5458  df-fr 5498  df-we 5500  df-xp 5546  df-rel 5547  df-cnv 5548  df-co 5549  df-dm 5550  df-rn 5551  df-res 5552  df-ima 5553  df-pred 6149  df-ord 6205  df-on 6206  df-lim 6207  df-suc 6208  df-iota 6327  df-fun 6371  df-fn 6372  df-f 6373  df-f1 6374  df-fo 6375  df-f1o 6376  df-fv 6377  df-riota 7159  df-ov 7205  df-oprab 7206  df-mpo 7207  df-om 7634  df-1st 7750  df-2nd 7751  df-wrecs 8036  df-recs 8097  df-rdg 8135  df-1o 8191  df-er 8380  df-en 8616  df-dom 8617  df-sdom 8618  df-fin 8619  df-card 9538  df-pnf 10852  df-mnf 10853  df-xr 10854  df-ltxr 10855  df-le 10856  df-sub 11047  df-neg 11048  df-nn 11814  df-2 11876  df-n0 12074  df-xnn0 12146  df-z 12160  df-uz 12422  df-xadd 12688  df-fz 13079  df-hash 13880  df-edg 27111  df-uhgr 27121  df-ushgr 27122  df-upgr 27145  df-umgr 27146  df-uspgr 27213  df-usgr 27214  df-vtxdg 27526

This theorem is referenced by: (None)