MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  1loopgrnb0 Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem 1loopgrnb0 29535
Description: In a graph (simple pseudograph) with one edge which is a loop, the vertex connected with itself by the loop has no neighbors. (Contributed by AV, 17-Dec-2020.) (Revised by AV, 21-Feb-2021.)
Hypotheses
Ref Expression
1loopgruspgr.v (𝜑 → (Vtx‘𝐺) = 𝑉)
1loopgruspgr.a (𝜑𝐴𝑋)
1loopgruspgr.n (𝜑𝑁𝑉)
1loopgruspgr.i (𝜑 → (iEdg‘𝐺) = {⟨𝐴, {𝑁}⟩})
Assertion
Ref Expression
1loopgrnb0 (𝜑 → (𝐺 NeighbVtx 𝑁) = ∅)

Proof of Theorem 1loopgrnb0
Dummy variable 𝑣 is distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 1loopgruspgr.v . . . . 5 (𝜑 → (Vtx‘𝐺) = 𝑉)
2 1loopgruspgr.a . . . . 5 (𝜑𝐴𝑋)
3 1loopgruspgr.n . . . . 5 (𝜑𝑁𝑉)
4 1loopgruspgr.i . . . . 5 (𝜑 → (iEdg‘𝐺) = {⟨𝐴, {𝑁}⟩})
51, 2, 3, 41loopgruspgr 29533 . . . 4 (𝜑𝐺 ∈ USPGraph)
6 uspgrupgr 29210 . . . 4 (𝐺 ∈ USPGraph → 𝐺 ∈ UPGraph)
75, 6syl 17 . . 3 (𝜑𝐺 ∈ UPGraph)
81eleq2d 2825 . . . 4 (𝜑 → (𝑁 ∈ (Vtx‘𝐺) ↔ 𝑁𝑉))
93, 8mpbird 257 . . 3 (𝜑𝑁 ∈ (Vtx‘𝐺))
10 eqid 2735 . . . 4 (Vtx‘𝐺) = (Vtx‘𝐺)
11 eqid 2735 . . . 4 (Edg‘𝐺) = (Edg‘𝐺)
1210, 11nbupgr 29376 . . 3 ((𝐺 ∈ UPGraph ∧ 𝑁 ∈ (Vtx‘𝐺)) → (𝐺 NeighbVtx 𝑁) = {𝑣 ∈ ((Vtx‘𝐺) ∖ {𝑁}) ∣ {𝑁, 𝑣} ∈ (Edg‘𝐺)})
137, 9, 12syl2anc 584 . 2 (𝜑 → (𝐺 NeighbVtx 𝑁) = {𝑣 ∈ ((Vtx‘𝐺) ∖ {𝑁}) ∣ {𝑁, 𝑣} ∈ (Edg‘𝐺)})
141difeq1d 4135 . . . . . . . 8 (𝜑 → ((Vtx‘𝐺) ∖ {𝑁}) = (𝑉 ∖ {𝑁}))
1514eleq2d 2825 . . . . . . 7 (𝜑 → (𝑣 ∈ ((Vtx‘𝐺) ∖ {𝑁}) ↔ 𝑣 ∈ (𝑉 ∖ {𝑁})))
16 eldifsn 4791 . . . . . . . 8 (𝑣 ∈ (𝑉 ∖ {𝑁}) ↔ (𝑣𝑉𝑣𝑁))
173adantr 480 . . . . . . . . . . . 12 ((𝜑𝑣𝑉) → 𝑁𝑉)
18 simpr 484 . . . . . . . . . . . 12 ((𝜑𝑣𝑉) → 𝑣𝑉)
1917, 18preqsnd 4864 . . . . . . . . . . 11 ((𝜑𝑣𝑉) → ({𝑁, 𝑣} = {𝑁} ↔ (𝑁 = 𝑁𝑣 = 𝑁)))
20 simpr 484 . . . . . . . . . . 11 ((𝑁 = 𝑁𝑣 = 𝑁) → 𝑣 = 𝑁)
2119, 20biimtrdi 253 . . . . . . . . . 10 ((𝜑𝑣𝑉) → ({𝑁, 𝑣} = {𝑁} → 𝑣 = 𝑁))
2221necon3ad 2951 . . . . . . . . 9 ((𝜑𝑣𝑉) → (𝑣𝑁 → ¬ {𝑁, 𝑣} = {𝑁}))
2322expimpd 453 . . . . . . . 8 (𝜑 → ((𝑣𝑉𝑣𝑁) → ¬ {𝑁, 𝑣} = {𝑁}))
2416, 23biimtrid 242 . . . . . . 7 (𝜑 → (𝑣 ∈ (𝑉 ∖ {𝑁}) → ¬ {𝑁, 𝑣} = {𝑁}))
2515, 24sylbid 240 . . . . . 6 (𝜑 → (𝑣 ∈ ((Vtx‘𝐺) ∖ {𝑁}) → ¬ {𝑁, 𝑣} = {𝑁}))
2625imp 406 . . . . 5 ((𝜑𝑣 ∈ ((Vtx‘𝐺) ∖ {𝑁})) → ¬ {𝑁, 𝑣} = {𝑁})
271, 2, 3, 41loopgredg 29534 . . . . . . . . 9 (𝜑 → (Edg‘𝐺) = {{𝑁}})
2827eleq2d 2825 . . . . . . . 8 (𝜑 → ({𝑁, 𝑣} ∈ (Edg‘𝐺) ↔ {𝑁, 𝑣} ∈ {{𝑁}}))
29 prex 5443 . . . . . . . . 9 {𝑁, 𝑣} ∈ V
3029elsn 4646 . . . . . . . 8 ({𝑁, 𝑣} ∈ {{𝑁}} ↔ {𝑁, 𝑣} = {𝑁})
3128, 30bitrdi 287 . . . . . . 7 (𝜑 → ({𝑁, 𝑣} ∈ (Edg‘𝐺) ↔ {𝑁, 𝑣} = {𝑁}))
3231notbid 318 . . . . . 6 (𝜑 → (¬ {𝑁, 𝑣} ∈ (Edg‘𝐺) ↔ ¬ {𝑁, 𝑣} = {𝑁}))
3332adantr 480 . . . . 5 ((𝜑𝑣 ∈ ((Vtx‘𝐺) ∖ {𝑁})) → (¬ {𝑁, 𝑣} ∈ (Edg‘𝐺) ↔ ¬ {𝑁, 𝑣} = {𝑁}))
3426, 33mpbird 257 . . . 4 ((𝜑𝑣 ∈ ((Vtx‘𝐺) ∖ {𝑁})) → ¬ {𝑁, 𝑣} ∈ (Edg‘𝐺))
3534ralrimiva 3144 . . 3 (𝜑 → ∀𝑣 ∈ ((Vtx‘𝐺) ∖ {𝑁}) ¬ {𝑁, 𝑣} ∈ (Edg‘𝐺))
36 rabeq0 4394 . . 3 ({𝑣 ∈ ((Vtx‘𝐺) ∖ {𝑁}) ∣ {𝑁, 𝑣} ∈ (Edg‘𝐺)} = ∅ ↔ ∀𝑣 ∈ ((Vtx‘𝐺) ∖ {𝑁}) ¬ {𝑁, 𝑣} ∈ (Edg‘𝐺))
3735, 36sylibr 234 . 2 (𝜑 → {𝑣 ∈ ((Vtx‘𝐺) ∖ {𝑁}) ∣ {𝑁, 𝑣} ∈ (Edg‘𝐺)} = ∅)
3813, 37eqtrd 2775 1 (𝜑 → (𝐺 NeighbVtx 𝑁) = ∅)
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  ¬ wn 3  wi 4  wb 206  wa 395   = wceq 1537  wcel 2106  wne 2938  wral 3059  {crab 3433  cdif 3960  c0 4339  {csn 4631  {cpr 4633  cop 4637  cfv 6563  (class class class)co 7431  Vtxcvtx 29028  iEdgciedg 29029  Edgcedg 29079  UPGraphcupgr 29112  USPGraphcuspgr 29180   NeighbVtx cnbgr 29364
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1792  ax-4 1806  ax-5 1908  ax-6 1965  ax-7 2005  ax-8 2108  ax-9 2116  ax-10 2139  ax-11 2155  ax-12 2175  ax-ext 2706  ax-sep 5302  ax-nul 5312  ax-pow 5371  ax-pr 5438  ax-un 7754  ax-cnex 11209  ax-resscn 11210  ax-1cn 11211  ax-icn 11212  ax-addcl 11213  ax-addrcl 11214  ax-mulcl 11215  ax-mulrcl 11216  ax-mulcom 11217  ax-addass 11218  ax-mulass 11219  ax-distr 11220  ax-i2m1 11221  ax-1ne0 11222  ax-1rid 11223  ax-rnegex 11224  ax-rrecex 11225  ax-cnre 11226  ax-pre-lttri 11227  ax-pre-lttrn 11228  ax-pre-ltadd 11229  ax-pre-mulgt0 11230
This theorem depends on definitions:  df-bi 207  df-an 396  df-or 848  df-3or 1087  df-3an 1088  df-tru 1540  df-fal 1550  df-ex 1777  df-nf 1781  df-sb 2063  df-mo 2538  df-eu 2567  df-clab 2713  df-cleq 2727  df-clel 2814  df-nfc 2890  df-ne 2939  df-nel 3045  df-ral 3060  df-rex 3069  df-reu 3379  df-rab 3434  df-v 3480  df-sbc 3792  df-csb 3909  df-dif 3966  df-un 3968  df-in 3970  df-ss 3980  df-pss 3983  df-nul 4340  df-if 4532  df-pw 4607  df-sn 4632  df-pr 4634  df-op 4638  df-uni 4913  df-int 4952  df-iun 4998  df-br 5149  df-opab 5211  df-mpt 5232  df-tr 5266  df-id 5583  df-eprel 5589  df-po 5597  df-so 5598  df-fr 5641  df-we 5643  df-xp 5695  df-rel 5696  df-cnv 5697  df-co 5698  df-dm 5699  df-rn 5700  df-res 5701  df-ima 5702  df-pred 6323  df-ord 6389  df-on 6390  df-lim 6391  df-suc 6392  df-iota 6516  df-fun 6565  df-fn 6566  df-f 6567  df-f1 6568  df-fo 6569  df-f1o 6570  df-fv 6571  df-riota 7388  df-ov 7434  df-oprab 7435  df-mpo 7436  df-om 7888  df-1st 8013  df-2nd 8014  df-frecs 8305  df-wrecs 8336  df-recs 8410  df-rdg 8449  df-1o 8505  df-2o 8506  df-oadd 8509  df-er 8744  df-en 8985  df-dom 8986  df-sdom 8987  df-fin 8988  df-dju 9939  df-card 9977  df-pnf 11295  df-mnf 11296  df-xr 11297  df-ltxr 11298  df-le 11299  df-sub 11492  df-neg 11493  df-nn 12265  df-2 12327  df-n0 12525  df-xnn0 12598  df-z 12612  df-uz 12877  df-fz 13545  df-hash 14367  df-edg 29080  df-upgr 29114  df-uspgr 29182  df-nbgr 29365
This theorem is referenced by:  uspgrloopnb0  29552
  Copyright terms: Public domain W3C validator