Theorem 1loopgrnb0 29833

Description: In a graph (simple pseudograph) with one edge which is a loop, the vertex connected with itself by the loop has no neighbors. (Contributed by AV, 17-Dec-2020.) (Revised by AV, 21-Feb-2021.)

Hypotheses

Ref	Expression
1loopgruspgr.v	⊢ (𝜑 → (Vtx‘𝐺) = 𝑉)
1loopgruspgr.a	⊢ (𝜑 → 𝐴 ∈ 𝑋)
1loopgruspgr.n	⊢ (𝜑 → 𝑁 ∈ 𝑉)
1loopgruspgr.i	⊢ (𝜑 → (iEdg‘𝐺) = {⟨𝐴, {𝑁}⟩})

Assertion

Ref	Expression
1loopgrnb0	⊢ (𝜑 → (𝐺 NeighbVtx 𝑁) = ∅)

Proof of Theorem 1loopgrnb0

Dummy variable 𝑣 is distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		1loopgruspgr.v	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → (Vtx‘𝐺) = 𝑉)
2		1loopgruspgr.a	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → 𝐴 ∈ 𝑋)
3		1loopgruspgr.n	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → 𝑁 ∈ 𝑉)
4		1loopgruspgr.i	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → (iEdg‘𝐺) = {⟨𝐴, {𝑁}⟩})
5	1, 2, 3, 4	1loopgruspgr 29831	. . . 4 ⊢ (𝜑 → 𝐺 ∈ USPGraph)
6		uspgrupgr 29509	. . . 4 ⊢ (𝐺 ∈ USPGraph → 𝐺 ∈ UPGraph)
7	5, 6	syl 18	. . 3 ⊢ (𝜑 → 𝐺 ∈ UPGraph)
8	1	eleq2d 2849	. . . 4 ⊢ (𝜑 → (𝑁 ∈ (Vtx‘𝐺) ↔ 𝑁 ∈ 𝑉))
9	3, 8	mpbird 260	. . 3 ⊢ (𝜑 → 𝑁 ∈ (Vtx‘𝐺))
10		eqid 2763	. . . 4 ⊢ (Vtx‘𝐺) = (Vtx‘𝐺)
11		eqid 2763	. . . 4 ⊢ (Edg‘𝐺) = (Edg‘𝐺)
12	10, 11	nbupgr 29675	. . 3 ⊢ ((𝐺 ∈ UPGraph ∧ 𝑁 ∈ (Vtx‘𝐺)) → (𝐺 NeighbVtx 𝑁) = {𝑣 ∈ ((Vtx‘𝐺) ∖ {𝑁}) ∣ {𝑁, 𝑣} ∈ (Edg‘𝐺)})
13	7, 9, 12	syl2anc 595	. 2 ⊢ (𝜑 → (𝐺 NeighbVtx 𝑁) = {𝑣 ∈ ((Vtx‘𝐺) ∖ {𝑁}) ∣ {𝑁, 𝑣} ∈ (Edg‘𝐺)})
14	1	difeq1d 4081	. . . . . . . 8 ⊢ (𝜑 → ((Vtx‘𝐺) ∖ {𝑁}) = (𝑉 ∖ {𝑁}))
15	14	eleq2d 2849	. . . . . . 7 ⊢ (𝜑 → (𝑣 ∈ ((Vtx‘𝐺) ∖ {𝑁}) ↔ 𝑣 ∈ (𝑉 ∖ {𝑁})))
16		eldifsn 4754	. . . . . . . 8 ⊢ (𝑣 ∈ (𝑉 ∖ {𝑁}) ↔ (𝑣 ∈ 𝑉 ∧ 𝑣 ≠ 𝑁))
17	3	adantr 485	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑣 ∈ 𝑉) → 𝑁 ∈ 𝑉)
18		simpr 489	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑣 ∈ 𝑉) → 𝑣 ∈ 𝑉)
19	17, 18	preqsnd 4825	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑣 ∈ 𝑉) → ({𝑁, 𝑣} = {𝑁} ↔ (𝑁 = 𝑁 ∧ 𝑣 = 𝑁)))
20		simpr 489	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ((𝑁 = 𝑁 ∧ 𝑣 = 𝑁) → 𝑣 = 𝑁)
21	19, 20	biimtrdi 256	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑣 ∈ 𝑉) → ({𝑁, 𝑣} = {𝑁} → 𝑣 = 𝑁))
22	21	necon3ad 2971	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑣 ∈ 𝑉) → (𝑣 ≠ 𝑁 → ¬ {𝑁, 𝑣} = {𝑁}))
23	22	expimpd 458	. . . . . . . 8 ⊢ (𝜑 → ((𝑣 ∈ 𝑉 ∧ 𝑣 ≠ 𝑁) → ¬ {𝑁, 𝑣} = {𝑁}))
24	16, 23	biimtrid 245	. . . . . . 7 ⊢ (𝜑 → (𝑣 ∈ (𝑉 ∖ {𝑁}) → ¬ {𝑁, 𝑣} = {𝑁}))
25	15, 24	sylbid 243	. . . . . 6 ⊢ (𝜑 → (𝑣 ∈ ((Vtx‘𝐺) ∖ {𝑁}) → ¬ {𝑁, 𝑣} = {𝑁}))
26	25	imp 411	. . . . 5 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑣 ∈ ((Vtx‘𝐺) ∖ {𝑁})) → ¬ {𝑁, 𝑣} = {𝑁})
27	1, 2, 3, 4	1loopgredg 29832	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝜑 → (Edg‘𝐺) = {{𝑁}})
28	27	eleq2d 2849	. . . . . . . 8 ⊢ (𝜑 → ({𝑁, 𝑣} ∈ (Edg‘𝐺) ↔ {𝑁, 𝑣} ∈ {{𝑁}}))
29		prex 5411	. . . . . . . . 9 ⊢ {𝑁, 𝑣} ∈ V
30	29	elsn 4605	. . . . . . . 8 ⊢ ({𝑁, 𝑣} ∈ {{𝑁}} ↔ {𝑁, 𝑣} = {𝑁})
31	28, 30	bitrdi 290	. . . . . . 7 ⊢ (𝜑 → ({𝑁, 𝑣} ∈ (Edg‘𝐺) ↔ {𝑁, 𝑣} = {𝑁}))
32	31	notbid 321	. . . . . 6 ⊢ (𝜑 → (¬ {𝑁, 𝑣} ∈ (Edg‘𝐺) ↔ ¬ {𝑁, 𝑣} = {𝑁}))
33	32	adantr 485	. . . . 5 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑣 ∈ ((Vtx‘𝐺) ∖ {𝑁})) → (¬ {𝑁, 𝑣} ∈ (Edg‘𝐺) ↔ ¬ {𝑁, 𝑣} = {𝑁}))
34	26, 33	mpbird 260	. . . 4 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑣 ∈ ((Vtx‘𝐺) ∖ {𝑁})) → ¬ {𝑁, 𝑣} ∈ (Edg‘𝐺))
35	34	ralrimiva 3157	. . 3 ⊢ (𝜑 → ∀𝑣 ∈ ((Vtx‘𝐺) ∖ {𝑁}) ¬ {𝑁, 𝑣} ∈ (Edg‘𝐺))
36		rabeq0 4346	. . 3 ⊢ ({𝑣 ∈ ((Vtx‘𝐺) ∖ {𝑁}) ∣ {𝑁, 𝑣} ∈ (Edg‘𝐺)} = ∅ ↔ ∀𝑣 ∈ ((Vtx‘𝐺) ∖ {𝑁}) ¬ {𝑁, 𝑣} ∈ (Edg‘𝐺))
37	35, 36	sylibr 237	. 2 ⊢ (𝜑 → {𝑣 ∈ ((Vtx‘𝐺) ∖ {𝑁}) ∣ {𝑁, 𝑣} ∈ (Edg‘𝐺)} = ∅)
38	13, 37	eqtrd 2798	1 ⊢ (𝜑 → (𝐺 NeighbVtx 𝑁) = ∅)

Syntax hints:  ¬ wn 3   → wi 4   ↔ wb 209   ∧ wa 400   = wceq 1570   ∈ wcel 2143   ≠ wne 2958  ∀wral 3079  {crab 3416   ∖ cdif 3903  ∅c0 4287  {csn 4590  {cpr 4592  ⟨cop 4596  ‘cfv 6538  (class class class)co 7412  Vtxcvtx 29327  iEdgciedg 29328  Edgcedg 29378  UPGraphcupgr 29411  USPGraphcuspgr 29479   NeighbVtx cnbgr 29663

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1825  ax-4 1839  ax-5 1940  ax-6 1997  ax-7 2038  ax-8 2145  ax-9 2153  ax-10 2176  ax-11 2192  ax-12 2213  ax-ext 2735  ax-sep 5258  ax-nul 5270  ax-pow 5338  ax-pr 5406  ax-un 7734  ax-cnex 11157  ax-resscn 11158  ax-1cn 11159  ax-icn 11160  ax-addcl 11161  ax-addrcl 11162  ax-mulcl 11163  ax-mulrcl 11164  ax-mulcom 11165  ax-addass 11166  ax-mulass 11167  ax-distr 11168  ax-i2m1 11169  ax-1ne0 11170  ax-1rid 11171  ax-rnegex 11172  ax-rrecex 11173  ax-cnre 11174  ax-pre-lttri 11175  ax-pre-lttrn 11176  ax-pre-ltadd 11177  ax-pre-mulgt0 11178

This theorem depends on definitions:  df-bi 210  df-an 401  df-or 861  df-3or 1104  df-3an 1105  df-tru 1573  df-fal 1583  df-ex 1810  df-nf 1814  df-sb 2097  df-mo 2567  df-eu 2597  df-clab 2742  df-cleq 2755  df-clel 2838  df-nfc 2912  df-ne 2959  df-nel 3065  df-ral 3080  df-rex 3090  df-reu 3370  df-rab 3417  df-v 3457  df-sbc 3746  df-csb 3855  df-dif 3909  df-un 3911  df-in 3913  df-ss 3923  df-pss 3926  df-nul 4288  df-if 4489  df-pw 4565  df-sn 4591  df-pr 4593  df-op 4597  df-uni 4874  df-int 4914  df-iun 4959  df-br 5111  df-opab 5175  df-mpt 5194  df-tr 5220  df-id 5558  df-eprel 5563  df-po 5571  df-so 5572  df-fr 5616  df-we 5618  df-xp 5669  df-rel 5670  df-cnv 5671  df-co 5672  df-dm 5673  df-rn 5674  df-res 5675  df-ima 5676  df-pred 6304  df-ord 6365  df-on 6366  df-lim 6367  df-suc 6368  df-iota 6494  df-fun 6540  df-fn 6541  df-f 6542  df-f1 6543  df-fo 6544  df-f1o 6545  df-fv 6546  df-riota 7369  df-ov 7415  df-oprab 7416  df-mpo 7417  df-om 7864  df-1st 7987  df-2nd 7988  df-frecs 8279  df-wrecs 8310  df-recs 8359  df-rdg 8398  df-1o 8454  df-2o 8455  df-oadd 8458  df-er 8695  df-en 8945  df-dom 8946  df-sdom 8947  df-fin 8948  df-dju 9888  df-card 9926  df-pnf 11246  df-mnf 11247  df-xr 11248  df-ltxr 11249  df-le 11250  df-sub 11444  df-neg 11445  df-nn 12235  df-2 12304  df-n0 12506  df-xnn0 12579  df-z 12593  df-uz 12864  df-fz 13537  df-hash 14369  df-edg 29379  df-upgr 29413  df-uspgr 29481  df-nbgr 29664

This theorem is referenced by:  uspgrloopnb0  29850