MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  1loopgrnb0 Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem 1loopgrnb0 29521
Description: In a graph (simple pseudograph) with one edge which is a loop, the vertex connected with itself by the loop has no neighbors. (Contributed by AV, 17-Dec-2020.) (Revised by AV, 21-Feb-2021.)
Hypotheses
Ref Expression
1loopgruspgr.v (𝜑 → (Vtx‘𝐺) = 𝑉)
1loopgruspgr.a (𝜑𝐴𝑋)
1loopgruspgr.n (𝜑𝑁𝑉)
1loopgruspgr.i (𝜑 → (iEdg‘𝐺) = {⟨𝐴, {𝑁}⟩})
Assertion
Ref Expression
1loopgrnb0 (𝜑 → (𝐺 NeighbVtx 𝑁) = ∅)

Proof of Theorem 1loopgrnb0
Dummy variable 𝑣 is distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 1loopgruspgr.v . . . . 5 (𝜑 → (Vtx‘𝐺) = 𝑉)
2 1loopgruspgr.a . . . . 5 (𝜑𝐴𝑋)
3 1loopgruspgr.n . . . . 5 (𝜑𝑁𝑉)
4 1loopgruspgr.i . . . . 5 (𝜑 → (iEdg‘𝐺) = {⟨𝐴, {𝑁}⟩})
51, 2, 3, 41loopgruspgr 29519 . . . 4 (𝜑𝐺 ∈ USPGraph)
6 uspgrupgr 29196 . . . 4 (𝐺 ∈ USPGraph → 𝐺 ∈ UPGraph)
75, 6syl 17 . . 3 (𝜑𝐺 ∈ UPGraph)
81eleq2d 2826 . . . 4 (𝜑 → (𝑁 ∈ (Vtx‘𝐺) ↔ 𝑁𝑉))
93, 8mpbird 257 . . 3 (𝜑𝑁 ∈ (Vtx‘𝐺))
10 eqid 2736 . . . 4 (Vtx‘𝐺) = (Vtx‘𝐺)
11 eqid 2736 . . . 4 (Edg‘𝐺) = (Edg‘𝐺)
1210, 11nbupgr 29362 . . 3 ((𝐺 ∈ UPGraph ∧ 𝑁 ∈ (Vtx‘𝐺)) → (𝐺 NeighbVtx 𝑁) = {𝑣 ∈ ((Vtx‘𝐺) ∖ {𝑁}) ∣ {𝑁, 𝑣} ∈ (Edg‘𝐺)})
137, 9, 12syl2anc 584 . 2 (𝜑 → (𝐺 NeighbVtx 𝑁) = {𝑣 ∈ ((Vtx‘𝐺) ∖ {𝑁}) ∣ {𝑁, 𝑣} ∈ (Edg‘𝐺)})
141difeq1d 4124 . . . . . . . 8 (𝜑 → ((Vtx‘𝐺) ∖ {𝑁}) = (𝑉 ∖ {𝑁}))
1514eleq2d 2826 . . . . . . 7 (𝜑 → (𝑣 ∈ ((Vtx‘𝐺) ∖ {𝑁}) ↔ 𝑣 ∈ (𝑉 ∖ {𝑁})))
16 eldifsn 4785 . . . . . . . 8 (𝑣 ∈ (𝑉 ∖ {𝑁}) ↔ (𝑣𝑉𝑣𝑁))
173adantr 480 . . . . . . . . . . . 12 ((𝜑𝑣𝑉) → 𝑁𝑉)
18 simpr 484 . . . . . . . . . . . 12 ((𝜑𝑣𝑉) → 𝑣𝑉)
1917, 18preqsnd 4858 . . . . . . . . . . 11 ((𝜑𝑣𝑉) → ({𝑁, 𝑣} = {𝑁} ↔ (𝑁 = 𝑁𝑣 = 𝑁)))
20 simpr 484 . . . . . . . . . . 11 ((𝑁 = 𝑁𝑣 = 𝑁) → 𝑣 = 𝑁)
2119, 20biimtrdi 253 . . . . . . . . . 10 ((𝜑𝑣𝑉) → ({𝑁, 𝑣} = {𝑁} → 𝑣 = 𝑁))
2221necon3ad 2952 . . . . . . . . 9 ((𝜑𝑣𝑉) → (𝑣𝑁 → ¬ {𝑁, 𝑣} = {𝑁}))
2322expimpd 453 . . . . . . . 8 (𝜑 → ((𝑣𝑉𝑣𝑁) → ¬ {𝑁, 𝑣} = {𝑁}))
2416, 23biimtrid 242 . . . . . . 7 (𝜑 → (𝑣 ∈ (𝑉 ∖ {𝑁}) → ¬ {𝑁, 𝑣} = {𝑁}))
2515, 24sylbid 240 . . . . . 6 (𝜑 → (𝑣 ∈ ((Vtx‘𝐺) ∖ {𝑁}) → ¬ {𝑁, 𝑣} = {𝑁}))
2625imp 406 . . . . 5 ((𝜑𝑣 ∈ ((Vtx‘𝐺) ∖ {𝑁})) → ¬ {𝑁, 𝑣} = {𝑁})
271, 2, 3, 41loopgredg 29520 . . . . . . . . 9 (𝜑 → (Edg‘𝐺) = {{𝑁}})
2827eleq2d 2826 . . . . . . . 8 (𝜑 → ({𝑁, 𝑣} ∈ (Edg‘𝐺) ↔ {𝑁, 𝑣} ∈ {{𝑁}}))
29 prex 5436 . . . . . . . . 9 {𝑁, 𝑣} ∈ V
3029elsn 4640 . . . . . . . 8 ({𝑁, 𝑣} ∈ {{𝑁}} ↔ {𝑁, 𝑣} = {𝑁})
3128, 30bitrdi 287 . . . . . . 7 (𝜑 → ({𝑁, 𝑣} ∈ (Edg‘𝐺) ↔ {𝑁, 𝑣} = {𝑁}))
3231notbid 318 . . . . . 6 (𝜑 → (¬ {𝑁, 𝑣} ∈ (Edg‘𝐺) ↔ ¬ {𝑁, 𝑣} = {𝑁}))
3332adantr 480 . . . . 5 ((𝜑𝑣 ∈ ((Vtx‘𝐺) ∖ {𝑁})) → (¬ {𝑁, 𝑣} ∈ (Edg‘𝐺) ↔ ¬ {𝑁, 𝑣} = {𝑁}))
3426, 33mpbird 257 . . . 4 ((𝜑𝑣 ∈ ((Vtx‘𝐺) ∖ {𝑁})) → ¬ {𝑁, 𝑣} ∈ (Edg‘𝐺))
3534ralrimiva 3145 . . 3 (𝜑 → ∀𝑣 ∈ ((Vtx‘𝐺) ∖ {𝑁}) ¬ {𝑁, 𝑣} ∈ (Edg‘𝐺))
36 rabeq0 4387 . . 3 ({𝑣 ∈ ((Vtx‘𝐺) ∖ {𝑁}) ∣ {𝑁, 𝑣} ∈ (Edg‘𝐺)} = ∅ ↔ ∀𝑣 ∈ ((Vtx‘𝐺) ∖ {𝑁}) ¬ {𝑁, 𝑣} ∈ (Edg‘𝐺))
3735, 36sylibr 234 . 2 (𝜑 → {𝑣 ∈ ((Vtx‘𝐺) ∖ {𝑁}) ∣ {𝑁, 𝑣} ∈ (Edg‘𝐺)} = ∅)
3813, 37eqtrd 2776 1 (𝜑 → (𝐺 NeighbVtx 𝑁) = ∅)
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  ¬ wn 3  wi 4  wb 206  wa 395   = wceq 1539  wcel 2107  wne 2939  wral 3060  {crab 3435  cdif 3947  c0 4332  {csn 4625  {cpr 4627  cop 4631  cfv 6560  (class class class)co 7432  Vtxcvtx 29014  iEdgciedg 29015  Edgcedg 29065  UPGraphcupgr 29098  USPGraphcuspgr 29166   NeighbVtx cnbgr 29350
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1794  ax-4 1808  ax-5 1909  ax-6 1966  ax-7 2006  ax-8 2109  ax-9 2117  ax-10 2140  ax-11 2156  ax-12 2176  ax-ext 2707  ax-sep 5295  ax-nul 5305  ax-pow 5364  ax-pr 5431  ax-un 7756  ax-cnex 11212  ax-resscn 11213  ax-1cn 11214  ax-icn 11215  ax-addcl 11216  ax-addrcl 11217  ax-mulcl 11218  ax-mulrcl 11219  ax-mulcom 11220  ax-addass 11221  ax-mulass 11222  ax-distr 11223  ax-i2m1 11224  ax-1ne0 11225  ax-1rid 11226  ax-rnegex 11227  ax-rrecex 11228  ax-cnre 11229  ax-pre-lttri 11230  ax-pre-lttrn 11231  ax-pre-ltadd 11232  ax-pre-mulgt0 11233
This theorem depends on definitions:  df-bi 207  df-an 396  df-or 848  df-3or 1087  df-3an 1088  df-tru 1542  df-fal 1552  df-ex 1779  df-nf 1783  df-sb 2064  df-mo 2539  df-eu 2568  df-clab 2714  df-cleq 2728  df-clel 2815  df-nfc 2891  df-ne 2940  df-nel 3046  df-ral 3061  df-rex 3070  df-reu 3380  df-rab 3436  df-v 3481  df-sbc 3788  df-csb 3899  df-dif 3953  df-un 3955  df-in 3957  df-ss 3967  df-pss 3970  df-nul 4333  df-if 4525  df-pw 4601  df-sn 4626  df-pr 4628  df-op 4632  df-uni 4907  df-int 4946  df-iun 4992  df-br 5143  df-opab 5205  df-mpt 5225  df-tr 5259  df-id 5577  df-eprel 5583  df-po 5591  df-so 5592  df-fr 5636  df-we 5638  df-xp 5690  df-rel 5691  df-cnv 5692  df-co 5693  df-dm 5694  df-rn 5695  df-res 5696  df-ima 5697  df-pred 6320  df-ord 6386  df-on 6387  df-lim 6388  df-suc 6389  df-iota 6513  df-fun 6562  df-fn 6563  df-f 6564  df-f1 6565  df-fo 6566  df-f1o 6567  df-fv 6568  df-riota 7389  df-ov 7435  df-oprab 7436  df-mpo 7437  df-om 7889  df-1st 8015  df-2nd 8016  df-frecs 8307  df-wrecs 8338  df-recs 8412  df-rdg 8451  df-1o 8507  df-2o 8508  df-oadd 8511  df-er 8746  df-en 8987  df-dom 8988  df-sdom 8989  df-fin 8990  df-dju 9942  df-card 9980  df-pnf 11298  df-mnf 11299  df-xr 11300  df-ltxr 11301  df-le 11302  df-sub 11495  df-neg 11496  df-nn 12268  df-2 12330  df-n0 12529  df-xnn0 12602  df-z 12616  df-uz 12880  df-fz 13549  df-hash 14371  df-edg 29066  df-upgr 29100  df-uspgr 29168  df-nbgr 29351
This theorem is referenced by:  uspgrloopnb0  29538
  Copyright terms: Public domain W3C validator