Theorem 1loopgrnb0 30116

Description: In a graph (simple pseudograph) with one edge which is a loop, the vertex connected with itself by the loop has no neighbors. (Contributed by AV, 17-Dec-2020.) (Revised by AV, 21-Feb-2021.)

Hypotheses

Ref	Expression
1loopgruspgr.v	⊢ (𝜑 → (Vtx‘𝐺) = 𝑉)
1loopgruspgr.a	⊢ (𝜑 → 𝐴 ∈ 𝑋)
1loopgruspgr.n	⊢ (𝜑 → 𝑁 ∈ 𝑉)
1loopgruspgr.i	⊢ (𝜑 → (iEdg‘𝐺) = {⟨𝐴, {𝑁}⟩})

Assertion

Ref	Expression
1loopgrnb0	⊢ (𝜑 → (𝐺 NeighbVtx 𝑁) = ∅)

Proof of Theorem 1loopgrnb0

Dummy variable 𝑣 is distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		1loopgruspgr.v	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → (Vtx‘𝐺) = 𝑉)
2		1loopgruspgr.a	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → 𝐴 ∈ 𝑋)
3		1loopgruspgr.n	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → 𝑁 ∈ 𝑉)
4		1loopgruspgr.i	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → (iEdg‘𝐺) = {⟨𝐴, {𝑁}⟩})
5	1, 2, 3, 4	1loopgruspgr 30114	. . . 4 ⊢ (𝜑 → 𝐺 ∈ USPGraph)
6		uspgrupgr 29792	. . . 4 ⊢ (𝐺 ∈ USPGraph → 𝐺 ∈ UPGraph)
7	5, 6	syl 18	. . 3 ⊢ (𝜑 → 𝐺 ∈ UPGraph)
8	1	eleq2d 2850	. . . 4 ⊢ (𝜑 → (𝑁 ∈ (Vtx‘𝐺) ↔ 𝑁 ∈ 𝑉))
9	3, 8	mpbird 260	. . 3 ⊢ (𝜑 → 𝑁 ∈ (Vtx‘𝐺))
10		eqid 2763	. . . 4 ⊢ (Vtx‘𝐺) = (Vtx‘𝐺)
11		eqid 2763	. . . 4 ⊢ (Edg‘𝐺) = (Edg‘𝐺)
12	10, 11	nbupgr 29958	. . 3 ⊢ ((𝐺 ∈ UPGraph ∧ 𝑁 ∈ (Vtx‘𝐺)) → (𝐺 NeighbVtx 𝑁) = {𝑣 ∈ ((Vtx‘𝐺) ∖ {𝑁}) ∣ {𝑁, 𝑣} ∈ (Edg‘𝐺)})
13	7, 9, 12	syl2anc 596	. 2 ⊢ (𝜑 → (𝐺 NeighbVtx 𝑁) = {𝑣 ∈ ((Vtx‘𝐺) ∖ {𝑁}) ∣ {𝑁, 𝑣} ∈ (Edg‘𝐺)})
14	1	difeq1d 4065	. . . . . . . 8 ⊢ (𝜑 → ((Vtx‘𝐺) ∖ {𝑁}) = (𝑉 ∖ {𝑁}))
15	14	eleq2d 2850	. . . . . . 7 ⊢ (𝜑 → (𝑣 ∈ ((Vtx‘𝐺) ∖ {𝑁}) ↔ 𝑣 ∈ (𝑉 ∖ {𝑁})))
16		eldifsn 4748	. . . . . . . 8 ⊢ (𝑣 ∈ (𝑉 ∖ {𝑁}) ↔ (𝑣 ∈ 𝑉 ∧ 𝑣 ≠ 𝑁))
17	3	adantr 486	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑣 ∈ 𝑉) → 𝑁 ∈ 𝑉)
18		simpr 490	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑣 ∈ 𝑉) → 𝑣 ∈ 𝑉)
19	17, 18	preqsnd 4817	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑣 ∈ 𝑉) → ({𝑁, 𝑣} = {𝑁} ↔ (𝑁 = 𝑁 ∧ 𝑣 = 𝑁)))
20		simpr 490	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ((𝑁 = 𝑁 ∧ 𝑣 = 𝑁) → 𝑣 = 𝑁)
21	19, 20	biimtrdi 256	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑣 ∈ 𝑉) → ({𝑁, 𝑣} = {𝑁} → 𝑣 = 𝑁))
22	21	necon3ad 2972	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑣 ∈ 𝑉) → (𝑣 ≠ 𝑁 → ¬ {𝑁, 𝑣} = {𝑁}))
23	22	expimpd 459	. . . . . . . 8 ⊢ (𝜑 → ((𝑣 ∈ 𝑉 ∧ 𝑣 ≠ 𝑁) → ¬ {𝑁, 𝑣} = {𝑁}))
24	16, 23	biimtrid 245	. . . . . . 7 ⊢ (𝜑 → (𝑣 ∈ (𝑉 ∖ {𝑁}) → ¬ {𝑁, 𝑣} = {𝑁}))
25	15, 24	sylbid 243	. . . . . 6 ⊢ (𝜑 → (𝑣 ∈ ((Vtx‘𝐺) ∖ {𝑁}) → ¬ {𝑁, 𝑣} = {𝑁}))
26	25	imp 412	. . . . 5 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑣 ∈ ((Vtx‘𝐺) ∖ {𝑁})) → ¬ {𝑁, 𝑣} = {𝑁})
27	1, 2, 3, 4	1loopgredg 30115	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝜑 → (Edg‘𝐺) = {{𝑁}})
28	27	eleq2d 2850	. . . . . . . 8 ⊢ (𝜑 → ({𝑁, 𝑣} ∈ (Edg‘𝐺) ↔ {𝑁, 𝑣} ∈ {{𝑁}}))
29		prex 5401	. . . . . . . . 9 ⊢ {𝑁, 𝑣} ∈ V
30	29	elsn 4599	. . . . . . . 8 ⊢ ({𝑁, 𝑣} ∈ {{𝑁}} ↔ {𝑁, 𝑣} = {𝑁})
31	28, 30	bitrdi 290	. . . . . . 7 ⊢ (𝜑 → ({𝑁, 𝑣} ∈ (Edg‘𝐺) ↔ {𝑁, 𝑣} = {𝑁}))
32	31	notbid 321	. . . . . 6 ⊢ (𝜑 → (¬ {𝑁, 𝑣} ∈ (Edg‘𝐺) ↔ ¬ {𝑁, 𝑣} = {𝑁}))
33	32	adantr 486	. . . . 5 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑣 ∈ ((Vtx‘𝐺) ∖ {𝑁})) → (¬ {𝑁, 𝑣} ∈ (Edg‘𝐺) ↔ ¬ {𝑁, 𝑣} = {𝑁}))
34	26, 33	mpbird 260	. . . 4 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑣 ∈ ((Vtx‘𝐺) ∖ {𝑁})) → ¬ {𝑁, 𝑣} ∈ (Edg‘𝐺))
35	34	ralrimiva 3158	. . 3 ⊢ (𝜑 → ∀𝑣 ∈ ((Vtx‘𝐺) ∖ {𝑁}) ¬ {𝑁, 𝑣} ∈ (Edg‘𝐺))
36		rabeq0 4341	. . 3 ⊢ ({𝑣 ∈ ((Vtx‘𝐺) ∖ {𝑁}) ∣ {𝑁, 𝑣} ∈ (Edg‘𝐺)} = ∅ ↔ ∀𝑣 ∈ ((Vtx‘𝐺) ∖ {𝑁}) ¬ {𝑁, 𝑣} ∈ (Edg‘𝐺))
37	35, 36	sylibr 237	. 2 ⊢ (𝜑 → {𝑣 ∈ ((Vtx‘𝐺) ∖ {𝑁}) ∣ {𝑁, 𝑣} ∈ (Edg‘𝐺)} = ∅)
38	13, 37	eqtrd 2798	1 ⊢ (𝜑 → (𝐺 NeighbVtx 𝑁) = ∅)

This proof depends on syntax axioms:  ¬ wn 3   → wi 4   ↔ wb 209   ∧ wa 401   = wceq 1570   ∈ wcel 2147   ≠ wne 2959  ∀wral 3080  {crab 3416   ∖ cdif 4048  ∅c0 4281  {csn 4588  {cpr 4590  ⟨cop 4838  ‘cfv 6561  (class class class)co 7446  Vtxcvtx 29607  iEdgciedg 29608  Edgcedg 29658  UPGraphcupgr 29691  USPGraphcuspgr 29762   NeighbVtx cnbgr 29946

This proof depends on axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1828  ax-4 1842  ax-5 1945  ax-6 2002  ax-7 2043  ax-8 2149  ax-9 2157  ax-10 2180  ax-11 2197  ax-12 2216  ax-ext 2735  ax-sep 5253  ax-nul 5264  ax-pow 5332  ax-pr 5396  ax-un 7778  ax-cnex 11286  ax-resscn 11287  ax-1cn 11288  ax-icn 11289  ax-addcl 11290  ax-addrcl 11291  ax-mulcl 11292  ax-mulrcl 11293  ax-mulcom 11294  ax-addass 11295  ax-mulass 11296  ax-distr 11297  ax-i2m1 11298  ax-1ne0 11299  ax-1rid 11300  ax-rnegex 11301  ax-rrecex 11302  ax-cnre 11303  ax-pre-lttri 11304  ax-pre-lttrn 11305  ax-pre-ltadd 11306  ax-pre-mulgt0 11307

This proof depends on definitions:  df-bi 210  df-an 402  df-or 862  df-3or 1104  df-3an 1105  df-tru 1573  df-fal 1583  df-ex 1813  df-nf 1817  df-sb 2102  df-mo 2567  df-eu 2597  df-clab 2742  df-cleq 2755  df-clel 2839  df-nfc 2913  df-ne 2960  df-nel 3066  df-ral 3081  df-rex 3091  df-reu 3370  df-rab 3417  df-v 3456  df-sbc 3743  df-csb 3852  df-ss 3901  df-pss 4017  df-dif 4050  df-in 4094  df-un 4154  df-nul 4282  df-if 4486  df-pw 4562  df-sn 4589  df-pr 4591  df-op 4839  df-uni 4871  df-int 4911  df-iun 4956  df-br 5107  df-opab 5172  df-mpt 5191  df-tr 5217  df-id 5551  df-eprel 5556  df-po 5564  df-so 5565  df-fr 5609  df-we 5611  df-xp 5662  df-rel 5663  df-cnv 5664  df-co 5665  df-dm 5666  df-rn 5667  df-res 5668  df-ima 5669  df-pred 6325  df-ord 6386  df-on 6387  df-lim 6388  df-suc 6389  df-iota 6515  df-fun 6563  df-fn 6564  df-f 6565  df-f1 6566  df-fo 6567  df-f1o 6568  df-fv 6569  df-riota 7403  df-ov 7449  df-oprab 7450  df-mpo 7451  df-om 7905  df-1st 8028  df-2nd 8029  df-frecs 8330  df-wrecs 8361  df-recs 8410  df-rdg 8449  df-1o 8507  df-2o 8508  df-oadd 8511  df-er 8748  df-en 9005  df-dom 9006  df-sdom 9007  df-fin 9008  df-dju 10012  df-card 10050  df-pnf 11375  df-mnf 11376  df-xr 11377  df-ltxr 11378  df-le 11379  df-sub 11573  df-neg 11574  df-nn 12366  df-2 12435  df-n0 12637  df-xnn0 12710  df-z 12724  df-uz 12996  df-fz 13670  df-hash 14505  df-edg 29659  df-upgr 29693  df-uspgr 29764  df-nbgr 29947

This theorem is used by:  uspgrloopnb0  30133