Metamath Proof Explorer < Previous   Next > Nearby theorems Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  wspn0 Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem wspn0 27802
 Description: If there are no vertices, then there are no simple paths (of any length), too. (Contributed by Alexander van der Vekens, 11-Mar-2018.) (Revised by AV, 16-May-2021.) (Proof shortened by AV, 13-Mar-2022.)
Hypothesis
Ref Expression
wspn0.v 𝑉 = (Vtx‘𝐺)
Assertion
Ref Expression
wspn0 (𝑉 = ∅ → (𝑁 WSPathsN 𝐺) = ∅)

Proof of Theorem wspn0
Dummy variables 𝑓 𝑤 are mutually distinct and distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 wspthsn 27726 . 2 (𝑁 WSPathsN 𝐺) = {𝑤 ∈ (𝑁 WWalksN 𝐺) ∣ ∃𝑓 𝑓(SPaths‘𝐺)𝑤}
2 wwlknbp1 27722 . . . . . 6 (𝑤 ∈ (𝑁 WWalksN 𝐺) → (𝑁 ∈ ℕ0𝑤 ∈ Word (Vtx‘𝐺) ∧ (♯‘𝑤) = (𝑁 + 1)))
3 wspn0.v . . . . . . . . . . . . 13 𝑉 = (Vtx‘𝐺)
43eqeq1i 2764 . . . . . . . . . . . 12 (𝑉 = ∅ ↔ (Vtx‘𝐺) = ∅)
5 wrdeq 13928 . . . . . . . . . . . 12 ((Vtx‘𝐺) = ∅ → Word (Vtx‘𝐺) = Word ∅)
64, 5sylbi 220 . . . . . . . . . . 11 (𝑉 = ∅ → Word (Vtx‘𝐺) = Word ∅)
76eleq2d 2838 . . . . . . . . . 10 (𝑉 = ∅ → (𝑤 ∈ Word (Vtx‘𝐺) ↔ 𝑤 ∈ Word ∅))
8 0wrd0 13932 . . . . . . . . . 10 (𝑤 ∈ Word ∅ ↔ 𝑤 = ∅)
97, 8bitrdi 290 . . . . . . . . 9 (𝑉 = ∅ → (𝑤 ∈ Word (Vtx‘𝐺) ↔ 𝑤 = ∅))
10 fveq2 6659 . . . . . . . . . . . . . . 15 (𝑤 = ∅ → (♯‘𝑤) = (♯‘∅))
11 hash0 13771 . . . . . . . . . . . . . . 15 (♯‘∅) = 0
1210, 11eqtrdi 2810 . . . . . . . . . . . . . 14 (𝑤 = ∅ → (♯‘𝑤) = 0)
1312eqeq1d 2761 . . . . . . . . . . . . 13 (𝑤 = ∅ → ((♯‘𝑤) = (𝑁 + 1) ↔ 0 = (𝑁 + 1)))
1413adantl 486 . . . . . . . . . . . 12 ((𝑁 ∈ ℕ0𝑤 = ∅) → ((♯‘𝑤) = (𝑁 + 1) ↔ 0 = (𝑁 + 1)))
15 nn0p1gt0 11956 . . . . . . . . . . . . . . 15 (𝑁 ∈ ℕ0 → 0 < (𝑁 + 1))
1615gt0ne0d 11235 . . . . . . . . . . . . . 14 (𝑁 ∈ ℕ0 → (𝑁 + 1) ≠ 0)
17 eqneqall 2963 . . . . . . . . . . . . . . 15 ((𝑁 + 1) = 0 → ((𝑁 + 1) ≠ 0 → ¬ ∃𝑓 𝑓(SPaths‘𝐺)𝑤))
1817eqcoms 2767 . . . . . . . . . . . . . 14 (0 = (𝑁 + 1) → ((𝑁 + 1) ≠ 0 → ¬ ∃𝑓 𝑓(SPaths‘𝐺)𝑤))
1916, 18syl5com 31 . . . . . . . . . . . . 13 (𝑁 ∈ ℕ0 → (0 = (𝑁 + 1) → ¬ ∃𝑓 𝑓(SPaths‘𝐺)𝑤))
2019adantr 485 . . . . . . . . . . . 12 ((𝑁 ∈ ℕ0𝑤 = ∅) → (0 = (𝑁 + 1) → ¬ ∃𝑓 𝑓(SPaths‘𝐺)𝑤))
2114, 20sylbid 243 . . . . . . . . . . 11 ((𝑁 ∈ ℕ0𝑤 = ∅) → ((♯‘𝑤) = (𝑁 + 1) → ¬ ∃𝑓 𝑓(SPaths‘𝐺)𝑤))
2221expcom 418 . . . . . . . . . 10 (𝑤 = ∅ → (𝑁 ∈ ℕ0 → ((♯‘𝑤) = (𝑁 + 1) → ¬ ∃𝑓 𝑓(SPaths‘𝐺)𝑤)))
2322com23 86 . . . . . . . . 9 (𝑤 = ∅ → ((♯‘𝑤) = (𝑁 + 1) → (𝑁 ∈ ℕ0 → ¬ ∃𝑓 𝑓(SPaths‘𝐺)𝑤)))
249, 23syl6bi 256 . . . . . . . 8 (𝑉 = ∅ → (𝑤 ∈ Word (Vtx‘𝐺) → ((♯‘𝑤) = (𝑁 + 1) → (𝑁 ∈ ℕ0 → ¬ ∃𝑓 𝑓(SPaths‘𝐺)𝑤))))
2524com14 96 . . . . . . 7 (𝑁 ∈ ℕ0 → (𝑤 ∈ Word (Vtx‘𝐺) → ((♯‘𝑤) = (𝑁 + 1) → (𝑉 = ∅ → ¬ ∃𝑓 𝑓(SPaths‘𝐺)𝑤))))
26253imp 1109 . . . . . 6 ((𝑁 ∈ ℕ0𝑤 ∈ Word (Vtx‘𝐺) ∧ (♯‘𝑤) = (𝑁 + 1)) → (𝑉 = ∅ → ¬ ∃𝑓 𝑓(SPaths‘𝐺)𝑤))
272, 26syl 17 . . . . 5 (𝑤 ∈ (𝑁 WWalksN 𝐺) → (𝑉 = ∅ → ¬ ∃𝑓 𝑓(SPaths‘𝐺)𝑤))
2827impcom 412 . . . 4 ((𝑉 = ∅ ∧ 𝑤 ∈ (𝑁 WWalksN 𝐺)) → ¬ ∃𝑓 𝑓(SPaths‘𝐺)𝑤)
2928ralrimiva 3114 . . 3 (𝑉 = ∅ → ∀𝑤 ∈ (𝑁 WWalksN 𝐺) ¬ ∃𝑓 𝑓(SPaths‘𝐺)𝑤)
30 rabeq0 4281 . . 3 ({𝑤 ∈ (𝑁 WWalksN 𝐺) ∣ ∃𝑓 𝑓(SPaths‘𝐺)𝑤} = ∅ ↔ ∀𝑤 ∈ (𝑁 WWalksN 𝐺) ¬ ∃𝑓 𝑓(SPaths‘𝐺)𝑤)
3129, 30sylibr 237 . 2 (𝑉 = ∅ → {𝑤 ∈ (𝑁 WWalksN 𝐺) ∣ ∃𝑓 𝑓(SPaths‘𝐺)𝑤} = ∅)
321, 31syl5eq 2806 1 (𝑉 = ∅ → (𝑁 WSPathsN 𝐺) = ∅)
 Colors of variables: wff setvar class Syntax hints:  ¬ wn 3   → wi 4   ↔ wb 209   ∧ wa 400   ∧ w3a 1085   = wceq 1539  ∃wex 1782   ∈ wcel 2112   ≠ wne 2952  ∀wral 3071  {crab 3075  ∅c0 4226   class class class wbr 5033  ‘cfv 6336  (class class class)co 7151  0cc0 10568  1c1 10569   + caddc 10571  ℕ0cn0 11927  ♯chash 13733  Word cword 13906  Vtxcvtx 26881  SPathscspths 27594   WWalksN cwwlksn 27704   WSPathsN cwwspthsn 27706 This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1798  ax-4 1812  ax-5 1912  ax-6 1971  ax-7 2016  ax-8 2114  ax-9 2122  ax-10 2143  ax-11 2159  ax-12 2176  ax-ext 2730  ax-rep 5157  ax-sep 5170  ax-nul 5177  ax-pow 5235  ax-pr 5299  ax-un 7460  ax-cnex 10624  ax-resscn 10625  ax-1cn 10626  ax-icn 10627  ax-addcl 10628  ax-addrcl 10629  ax-mulcl 10630  ax-mulrcl 10631  ax-mulcom 10632  ax-addass 10633  ax-mulass 10634  ax-distr 10635  ax-i2m1 10636  ax-1ne0 10637  ax-1rid 10638  ax-rnegex 10639  ax-rrecex 10640  ax-cnre 10641  ax-pre-lttri 10642  ax-pre-lttrn 10643  ax-pre-ltadd 10644  ax-pre-mulgt0 10645 This theorem depends on definitions:  df-bi 210  df-an 401  df-or 846  df-3or 1086  df-3an 1087  df-tru 1542  df-fal 1552  df-ex 1783  df-nf 1787  df-sb 2071  df-mo 2558  df-eu 2589  df-clab 2737  df-cleq 2751  df-clel 2831  df-nfc 2902  df-ne 2953  df-nel 3057  df-ral 3076  df-rex 3077  df-reu 3078  df-rab 3080  df-v 3412  df-sbc 3698  df-csb 3807  df-dif 3862  df-un 3864  df-in 3866  df-ss 3876  df-pss 3878  df-nul 4227  df-if 4422  df-pw 4497  df-sn 4524  df-pr 4526  df-tp 4528  df-op 4530  df-uni 4800  df-int 4840  df-iun 4886  df-br 5034  df-opab 5096  df-mpt 5114  df-tr 5140  df-id 5431  df-eprel 5436  df-po 5444  df-so 5445  df-fr 5484  df-we 5486  df-xp 5531  df-rel 5532  df-cnv 5533  df-co 5534  df-dm 5535  df-rn 5536  df-res 5537  df-ima 5538  df-pred 6127  df-ord 6173  df-on 6174  df-lim 6175  df-suc 6176  df-iota 6295  df-fun 6338  df-fn 6339  df-f 6340  df-f1 6341  df-fo 6342  df-f1o 6343  df-fv 6344  df-riota 7109  df-ov 7154  df-oprab 7155  df-mpo 7156  df-om 7581  df-1st 7694  df-2nd 7695  df-wrecs 7958  df-recs 8019  df-rdg 8057  df-er 8300  df-map 8419  df-en 8529  df-dom 8530  df-sdom 8531  df-fin 8532  df-card 9394  df-pnf 10708  df-mnf 10709  df-xr 10710  df-ltxr 10711  df-le 10712  df-sub 10903  df-neg 10904  df-nn 11668  df-n0 11928  df-z 12014  df-uz 12276  df-fz 12933  df-fzo 13076  df-hash 13734  df-word 13907  df-wwlks 27708  df-wwlksn 27709  df-wspthsn 27711 This theorem is referenced by: (None)
 Copyright terms: Public domain W3C validator