Theorem wspn0 29906

Description: If there are no vertices, then there are no simple paths (of any length), too. (Contributed by Alexander van der Vekens, 11-Mar-2018.) (Revised by AV, 16-May-2021.) (Proof shortened by AV, 13-Mar-2022.)

Hypothesis

Ref	Expression
wspn0.v	⊢ 𝑉 = (Vtx‘𝐺)

Assertion

Ref	Expression
wspn0	⊢ (𝑉 = ∅ → (𝑁 WSPathsN 𝐺) = ∅)

Proof of Theorem wspn0

Dummy variables 𝑓 𝑤 are mutually distinct and distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		wspthsn 29830	. 2 ⊢ (𝑁 WSPathsN 𝐺) = {𝑤 ∈ (𝑁 WWalksN 𝐺) ∣ ∃𝑓 𝑓(SPaths‘𝐺)𝑤}
2		wwlknbp1 29826	. . . . . 6 ⊢ (𝑤 ∈ (𝑁 WWalksN 𝐺) → (𝑁 ∈ ℕ0 ∧ 𝑤 ∈ Word (Vtx‘𝐺) ∧ (♯‘𝑤) = (𝑁 + 1)))
3		wspn0.v	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ 𝑉 = (Vtx‘𝐺)
4	3	eqeq1i 2740	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (𝑉 = ∅ ↔ (Vtx‘𝐺) = ∅)
5		wrdeq 14554	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ ((Vtx‘𝐺) = ∅ → Word (Vtx‘𝐺) = Word ∅)
6	4, 5	sylbi 217	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (𝑉 = ∅ → Word (Vtx‘𝐺) = Word ∅)
7	6	eleq2d 2820	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝑉 = ∅ → (𝑤 ∈ Word (Vtx‘𝐺) ↔ 𝑤 ∈ Word ∅))
8		0wrd0 14558	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝑤 ∈ Word ∅ ↔ 𝑤 = ∅)
9	7, 8	bitrdi 287	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝑉 = ∅ → (𝑤 ∈ Word (Vtx‘𝐺) ↔ 𝑤 = ∅))
10		fveq2 6876	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ (𝑤 = ∅ → (♯‘𝑤) = (♯‘∅))
11		hash0 14385	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ (♯‘∅) = 0
12	10, 11	eqtrdi 2786	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ (𝑤 = ∅ → (♯‘𝑤) = 0)
13	12	eqeq1d 2737	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (𝑤 = ∅ → ((♯‘𝑤) = (𝑁 + 1) ↔ 0 = (𝑁 + 1)))
14	13	adantl 481	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ ((𝑁 ∈ ℕ0 ∧ 𝑤 = ∅) → ((♯‘𝑤) = (𝑁 + 1) ↔ 0 = (𝑁 + 1)))
15		nn0p1gt0 12530	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ (𝑁 ∈ ℕ0 → 0 < (𝑁 + 1))
16	15	gt0ne0d 11801	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ (𝑁 ∈ ℕ0 → (𝑁 + 1) ≠ 0)
17		eqneqall 2943	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ ((𝑁 + 1) = 0 → ((𝑁 + 1) ≠ 0 → ¬ ∃𝑓 𝑓(SPaths‘𝐺)𝑤))
18	17	eqcoms 2743	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ (0 = (𝑁 + 1) → ((𝑁 + 1) ≠ 0 → ¬ ∃𝑓 𝑓(SPaths‘𝐺)𝑤))
19	16, 18	syl5com 31	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (𝑁 ∈ ℕ0 → (0 = (𝑁 + 1) → ¬ ∃𝑓 𝑓(SPaths‘𝐺)𝑤))
20	19	adantr 480	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ ((𝑁 ∈ ℕ0 ∧ 𝑤 = ∅) → (0 = (𝑁 + 1) → ¬ ∃𝑓 𝑓(SPaths‘𝐺)𝑤))
21	14, 20	sylbid 240	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ((𝑁 ∈ ℕ0 ∧ 𝑤 = ∅) → ((♯‘𝑤) = (𝑁 + 1) → ¬ ∃𝑓 𝑓(SPaths‘𝐺)𝑤))
22	21	expcom 413	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝑤 = ∅ → (𝑁 ∈ ℕ0 → ((♯‘𝑤) = (𝑁 + 1) → ¬ ∃𝑓 𝑓(SPaths‘𝐺)𝑤)))
23	22	com23 86	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝑤 = ∅ → ((♯‘𝑤) = (𝑁 + 1) → (𝑁 ∈ ℕ0 → ¬ ∃𝑓 𝑓(SPaths‘𝐺)𝑤)))
24	9, 23	biimtrdi 253	. . . . . . . 8 ⊢ (𝑉 = ∅ → (𝑤 ∈ Word (Vtx‘𝐺) → ((♯‘𝑤) = (𝑁 + 1) → (𝑁 ∈ ℕ0 → ¬ ∃𝑓 𝑓(SPaths‘𝐺)𝑤))))
25	24	com14 96	. . . . . . 7 ⊢ (𝑁 ∈ ℕ0 → (𝑤 ∈ Word (Vtx‘𝐺) → ((♯‘𝑤) = (𝑁 + 1) → (𝑉 = ∅ → ¬ ∃𝑓 𝑓(SPaths‘𝐺)𝑤))))
26	25	3imp 1110	. . . . . 6 ⊢ ((𝑁 ∈ ℕ0 ∧ 𝑤 ∈ Word (Vtx‘𝐺) ∧ (♯‘𝑤) = (𝑁 + 1)) → (𝑉 = ∅ → ¬ ∃𝑓 𝑓(SPaths‘𝐺)𝑤))
27	2, 26	syl 17	. . . . 5 ⊢ (𝑤 ∈ (𝑁 WWalksN 𝐺) → (𝑉 = ∅ → ¬ ∃𝑓 𝑓(SPaths‘𝐺)𝑤))
28	27	impcom 407	. . . 4 ⊢ ((𝑉 = ∅ ∧ 𝑤 ∈ (𝑁 WWalksN 𝐺)) → ¬ ∃𝑓 𝑓(SPaths‘𝐺)𝑤)
29	28	ralrimiva 3132	. . 3 ⊢ (𝑉 = ∅ → ∀𝑤 ∈ (𝑁 WWalksN 𝐺) ¬ ∃𝑓 𝑓(SPaths‘𝐺)𝑤)
30		rabeq0 4363	. . 3 ⊢ ({𝑤 ∈ (𝑁 WWalksN 𝐺) ∣ ∃𝑓 𝑓(SPaths‘𝐺)𝑤} = ∅ ↔ ∀𝑤 ∈ (𝑁 WWalksN 𝐺) ¬ ∃𝑓 𝑓(SPaths‘𝐺)𝑤)
31	29, 30	sylibr 234	. 2 ⊢ (𝑉 = ∅ → {𝑤 ∈ (𝑁 WWalksN 𝐺) ∣ ∃𝑓 𝑓(SPaths‘𝐺)𝑤} = ∅)
32	1, 31	eqtrid 2782	1 ⊢ (𝑉 = ∅ → (𝑁 WSPathsN 𝐺) = ∅)

Syntax hints:  ¬ wn 3   → wi 4   ↔ wb 206   ∧ wa 395   ∧ w3a 1086   = wceq 1540  ∃wex 1779   ∈ wcel 2108   ≠ wne 2932  ∀wral 3051  {crab 3415  ∅c0 4308   class class class wbr 5119  ‘cfv 6531  (class class class)co 7405  0cc0 11129  1c1 11130   + caddc 11132  ℕ₀cn0 12501  ♯chash 14348  Word cword 14531  Vtxcvtx 28975  SPathscspths 29693   WWalksN cwwlksn 29808   WSPathsN cwwspthsn 29810

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1795  ax-4 1809  ax-5 1910  ax-6 1967  ax-7 2007  ax-8 2110  ax-9 2118  ax-10 2141  ax-11 2157  ax-12 2177  ax-ext 2707  ax-rep 5249  ax-sep 5266  ax-nul 5276  ax-pow 5335  ax-pr 5402  ax-un 7729  ax-cnex 11185  ax-resscn 11186  ax-1cn 11187  ax-icn 11188  ax-addcl 11189  ax-addrcl 11190  ax-mulcl 11191  ax-mulrcl 11192  ax-mulcom 11193  ax-addass 11194  ax-mulass 11195  ax-distr 11196  ax-i2m1 11197  ax-1ne0 11198  ax-1rid 11199  ax-rnegex 11200  ax-rrecex 11201  ax-cnre 11202  ax-pre-lttri 11203  ax-pre-lttrn 11204  ax-pre-ltadd 11205  ax-pre-mulgt0 11206

This theorem depends on definitions:  df-bi 207  df-an 396  df-or 848  df-3or 1087  df-3an 1088  df-tru 1543  df-fal 1553  df-ex 1780  df-nf 1784  df-sb 2065  df-mo 2539  df-eu 2568  df-clab 2714  df-cleq 2727  df-clel 2809  df-nfc 2885  df-ne 2933  df-nel 3037  df-ral 3052  df-rex 3061  df-reu 3360  df-rab 3416  df-v 3461  df-sbc 3766  df-csb 3875  df-dif 3929  df-un 3931  df-in 3933  df-ss 3943  df-pss 3946  df-nul 4309  df-if 4501  df-pw 4577  df-sn 4602  df-pr 4604  df-op 4608  df-uni 4884  df-int 4923  df-iun 4969  df-br 5120  df-opab 5182  df-mpt 5202  df-tr 5230  df-id 5548  df-eprel 5553  df-po 5561  df-so 5562  df-fr 5606  df-we 5608  df-xp 5660  df-rel 5661  df-cnv 5662  df-co 5663  df-dm 5664  df-rn 5665  df-res 5666  df-ima 5667  df-pred 6290  df-ord 6355  df-on 6356  df-lim 6357  df-suc 6358  df-iota 6484  df-fun 6533  df-fn 6534  df-f 6535  df-f1 6536  df-fo 6537  df-f1o 6538  df-fv 6539  df-riota 7362  df-ov 7408  df-oprab 7409  df-mpo 7410  df-om 7862  df-1st 7988  df-2nd 7989  df-frecs 8280  df-wrecs 8311  df-recs 8385  df-rdg 8424  df-1o 8480  df-er 8719  df-map 8842  df-en 8960  df-dom 8961  df-sdom 8962  df-fin 8963  df-card 9953  df-pnf 11271  df-mnf 11272  df-xr 11273  df-ltxr 11274  df-le 11275  df-sub 11468  df-neg 11469  df-nn 12241  df-n0 12502  df-z 12589  df-uz 12853  df-fz 13525  df-fzo 13672  df-hash 14349  df-word 14532  df-wwlks 29812  df-wwlksn 29813  df-wspthsn 29815

This theorem is referenced by: (None)