MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  wspn0 Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem wspn0 29433
Description: If there are no vertices, then there are no simple paths (of any length), too. (Contributed by Alexander van der Vekens, 11-Mar-2018.) (Revised by AV, 16-May-2021.) (Proof shortened by AV, 13-Mar-2022.)
Hypothesis
Ref Expression
wspn0.v 𝑉 = (Vtxβ€˜πΊ)
Assertion
Ref Expression
wspn0 (𝑉 = βˆ… β†’ (𝑁 WSPathsN 𝐺) = βˆ…)

Proof of Theorem wspn0
Dummy variables 𝑓 𝑀 are mutually distinct and distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 wspthsn 29357 . 2 (𝑁 WSPathsN 𝐺) = {𝑀 ∈ (𝑁 WWalksN 𝐺) ∣ βˆƒπ‘“ 𝑓(SPathsβ€˜πΊ)𝑀}
2 wwlknbp1 29353 . . . . . 6 (𝑀 ∈ (𝑁 WWalksN 𝐺) β†’ (𝑁 ∈ β„•0 ∧ 𝑀 ∈ Word (Vtxβ€˜πΊ) ∧ (β™―β€˜π‘€) = (𝑁 + 1)))
3 wspn0.v . . . . . . . . . . . . 13 𝑉 = (Vtxβ€˜πΊ)
43eqeq1i 2737 . . . . . . . . . . . 12 (𝑉 = βˆ… ↔ (Vtxβ€˜πΊ) = βˆ…)
5 wrdeq 14490 . . . . . . . . . . . 12 ((Vtxβ€˜πΊ) = βˆ… β†’ Word (Vtxβ€˜πΊ) = Word βˆ…)
64, 5sylbi 216 . . . . . . . . . . 11 (𝑉 = βˆ… β†’ Word (Vtxβ€˜πΊ) = Word βˆ…)
76eleq2d 2819 . . . . . . . . . 10 (𝑉 = βˆ… β†’ (𝑀 ∈ Word (Vtxβ€˜πΊ) ↔ 𝑀 ∈ Word βˆ…))
8 0wrd0 14494 . . . . . . . . . 10 (𝑀 ∈ Word βˆ… ↔ 𝑀 = βˆ…)
97, 8bitrdi 286 . . . . . . . . 9 (𝑉 = βˆ… β†’ (𝑀 ∈ Word (Vtxβ€˜πΊ) ↔ 𝑀 = βˆ…))
10 fveq2 6891 . . . . . . . . . . . . . . 15 (𝑀 = βˆ… β†’ (β™―β€˜π‘€) = (β™―β€˜βˆ…))
11 hash0 14331 . . . . . . . . . . . . . . 15 (β™―β€˜βˆ…) = 0
1210, 11eqtrdi 2788 . . . . . . . . . . . . . 14 (𝑀 = βˆ… β†’ (β™―β€˜π‘€) = 0)
1312eqeq1d 2734 . . . . . . . . . . . . 13 (𝑀 = βˆ… β†’ ((β™―β€˜π‘€) = (𝑁 + 1) ↔ 0 = (𝑁 + 1)))
1413adantl 482 . . . . . . . . . . . 12 ((𝑁 ∈ β„•0 ∧ 𝑀 = βˆ…) β†’ ((β™―β€˜π‘€) = (𝑁 + 1) ↔ 0 = (𝑁 + 1)))
15 nn0p1gt0 12505 . . . . . . . . . . . . . . 15 (𝑁 ∈ β„•0 β†’ 0 < (𝑁 + 1))
1615gt0ne0d 11782 . . . . . . . . . . . . . 14 (𝑁 ∈ β„•0 β†’ (𝑁 + 1) β‰  0)
17 eqneqall 2951 . . . . . . . . . . . . . . 15 ((𝑁 + 1) = 0 β†’ ((𝑁 + 1) β‰  0 β†’ Β¬ βˆƒπ‘“ 𝑓(SPathsβ€˜πΊ)𝑀))
1817eqcoms 2740 . . . . . . . . . . . . . 14 (0 = (𝑁 + 1) β†’ ((𝑁 + 1) β‰  0 β†’ Β¬ βˆƒπ‘“ 𝑓(SPathsβ€˜πΊ)𝑀))
1916, 18syl5com 31 . . . . . . . . . . . . 13 (𝑁 ∈ β„•0 β†’ (0 = (𝑁 + 1) β†’ Β¬ βˆƒπ‘“ 𝑓(SPathsβ€˜πΊ)𝑀))
2019adantr 481 . . . . . . . . . . . 12 ((𝑁 ∈ β„•0 ∧ 𝑀 = βˆ…) β†’ (0 = (𝑁 + 1) β†’ Β¬ βˆƒπ‘“ 𝑓(SPathsβ€˜πΊ)𝑀))
2114, 20sylbid 239 . . . . . . . . . . 11 ((𝑁 ∈ β„•0 ∧ 𝑀 = βˆ…) β†’ ((β™―β€˜π‘€) = (𝑁 + 1) β†’ Β¬ βˆƒπ‘“ 𝑓(SPathsβ€˜πΊ)𝑀))
2221expcom 414 . . . . . . . . . 10 (𝑀 = βˆ… β†’ (𝑁 ∈ β„•0 β†’ ((β™―β€˜π‘€) = (𝑁 + 1) β†’ Β¬ βˆƒπ‘“ 𝑓(SPathsβ€˜πΊ)𝑀)))
2322com23 86 . . . . . . . . 9 (𝑀 = βˆ… β†’ ((β™―β€˜π‘€) = (𝑁 + 1) β†’ (𝑁 ∈ β„•0 β†’ Β¬ βˆƒπ‘“ 𝑓(SPathsβ€˜πΊ)𝑀)))
249, 23syl6bi 252 . . . . . . . 8 (𝑉 = βˆ… β†’ (𝑀 ∈ Word (Vtxβ€˜πΊ) β†’ ((β™―β€˜π‘€) = (𝑁 + 1) β†’ (𝑁 ∈ β„•0 β†’ Β¬ βˆƒπ‘“ 𝑓(SPathsβ€˜πΊ)𝑀))))
2524com14 96 . . . . . . 7 (𝑁 ∈ β„•0 β†’ (𝑀 ∈ Word (Vtxβ€˜πΊ) β†’ ((β™―β€˜π‘€) = (𝑁 + 1) β†’ (𝑉 = βˆ… β†’ Β¬ βˆƒπ‘“ 𝑓(SPathsβ€˜πΊ)𝑀))))
26253imp 1111 . . . . . 6 ((𝑁 ∈ β„•0 ∧ 𝑀 ∈ Word (Vtxβ€˜πΊ) ∧ (β™―β€˜π‘€) = (𝑁 + 1)) β†’ (𝑉 = βˆ… β†’ Β¬ βˆƒπ‘“ 𝑓(SPathsβ€˜πΊ)𝑀))
272, 26syl 17 . . . . 5 (𝑀 ∈ (𝑁 WWalksN 𝐺) β†’ (𝑉 = βˆ… β†’ Β¬ βˆƒπ‘“ 𝑓(SPathsβ€˜πΊ)𝑀))
2827impcom 408 . . . 4 ((𝑉 = βˆ… ∧ 𝑀 ∈ (𝑁 WWalksN 𝐺)) β†’ Β¬ βˆƒπ‘“ 𝑓(SPathsβ€˜πΊ)𝑀)
2928ralrimiva 3146 . . 3 (𝑉 = βˆ… β†’ βˆ€π‘€ ∈ (𝑁 WWalksN 𝐺) Β¬ βˆƒπ‘“ 𝑓(SPathsβ€˜πΊ)𝑀)
30 rabeq0 4384 . . 3 ({𝑀 ∈ (𝑁 WWalksN 𝐺) ∣ βˆƒπ‘“ 𝑓(SPathsβ€˜πΊ)𝑀} = βˆ… ↔ βˆ€π‘€ ∈ (𝑁 WWalksN 𝐺) Β¬ βˆƒπ‘“ 𝑓(SPathsβ€˜πΊ)𝑀)
3129, 30sylibr 233 . 2 (𝑉 = βˆ… β†’ {𝑀 ∈ (𝑁 WWalksN 𝐺) ∣ βˆƒπ‘“ 𝑓(SPathsβ€˜πΊ)𝑀} = βˆ…)
321, 31eqtrid 2784 1 (𝑉 = βˆ… β†’ (𝑁 WSPathsN 𝐺) = βˆ…)
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  Β¬ wn 3   β†’ wi 4   ↔ wb 205   ∧ wa 396   ∧ w3a 1087   = wceq 1541  βˆƒwex 1781   ∈ wcel 2106   β‰  wne 2940  βˆ€wral 3061  {crab 3432  βˆ…c0 4322   class class class wbr 5148  β€˜cfv 6543  (class class class)co 7411  0cc0 11112  1c1 11113   + caddc 11115  β„•0cn0 12476  β™―chash 14294  Word cword 14468  Vtxcvtx 28511  SPathscspths 29225   WWalksN cwwlksn 29335   WSPathsN cwwspthsn 29337
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1797  ax-4 1811  ax-5 1913  ax-6 1971  ax-7 2011  ax-8 2108  ax-9 2116  ax-10 2137  ax-11 2154  ax-12 2171  ax-ext 2703  ax-rep 5285  ax-sep 5299  ax-nul 5306  ax-pow 5363  ax-pr 5427  ax-un 7727  ax-cnex 11168  ax-resscn 11169  ax-1cn 11170  ax-icn 11171  ax-addcl 11172  ax-addrcl 11173  ax-mulcl 11174  ax-mulrcl 11175  ax-mulcom 11176  ax-addass 11177  ax-mulass 11178  ax-distr 11179  ax-i2m1 11180  ax-1ne0 11181  ax-1rid 11182  ax-rnegex 11183  ax-rrecex 11184  ax-cnre 11185  ax-pre-lttri 11186  ax-pre-lttrn 11187  ax-pre-ltadd 11188  ax-pre-mulgt0 11189
This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 397  df-or 846  df-3or 1088  df-3an 1089  df-tru 1544  df-fal 1554  df-ex 1782  df-nf 1786  df-sb 2068  df-mo 2534  df-eu 2563  df-clab 2710  df-cleq 2724  df-clel 2810  df-nfc 2885  df-ne 2941  df-nel 3047  df-ral 3062  df-rex 3071  df-reu 3377  df-rab 3433  df-v 3476  df-sbc 3778  df-csb 3894  df-dif 3951  df-un 3953  df-in 3955  df-ss 3965  df-pss 3967  df-nul 4323  df-if 4529  df-pw 4604  df-sn 4629  df-pr 4631  df-op 4635  df-uni 4909  df-int 4951  df-iun 4999  df-br 5149  df-opab 5211  df-mpt 5232  df-tr 5266  df-id 5574  df-eprel 5580  df-po 5588  df-so 5589  df-fr 5631  df-we 5633  df-xp 5682  df-rel 5683  df-cnv 5684  df-co 5685  df-dm 5686  df-rn 5687  df-res 5688  df-ima 5689  df-pred 6300  df-ord 6367  df-on 6368  df-lim 6369  df-suc 6370  df-iota 6495  df-fun 6545  df-fn 6546  df-f 6547  df-f1 6548  df-fo 6549  df-f1o 6550  df-fv 6551  df-riota 7367  df-ov 7414  df-oprab 7415  df-mpo 7416  df-om 7858  df-1st 7977  df-2nd 7978  df-frecs 8268  df-wrecs 8299  df-recs 8373  df-rdg 8412  df-1o 8468  df-er 8705  df-map 8824  df-en 8942  df-dom 8943  df-sdom 8944  df-fin 8945  df-card 9936  df-pnf 11254  df-mnf 11255  df-xr 11256  df-ltxr 11257  df-le 11258  df-sub 11450  df-neg 11451  df-nn 12217  df-n0 12477  df-z 12563  df-uz 12827  df-fz 13489  df-fzo 13632  df-hash 14295  df-word 14469  df-wwlks 29339  df-wwlksn 29340  df-wspthsn 29342
This theorem is referenced by: (None)
  Copyright terms: Public domain W3C validator