Theorem wspn0 29854

Description: If there are no vertices, then there are no simple paths (of any length), too. (Contributed by Alexander van der Vekens, 11-Mar-2018.) (Revised by AV, 16-May-2021.) (Proof shortened by AV, 13-Mar-2022.)

Hypothesis

Ref	Expression
wspn0.v	⊢ 𝑉 = (Vtx‘𝐺)

Assertion

Ref	Expression
wspn0	⊢ (𝑉 = ∅ → (𝑁 WSPathsN 𝐺) = ∅)

Proof of Theorem wspn0

Dummy variables 𝑓 𝑤 are mutually distinct and distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		wspthsn 29778	. 2 ⊢ (𝑁 WSPathsN 𝐺) = {𝑤 ∈ (𝑁 WWalksN 𝐺) ∣ ∃𝑓 𝑓(SPaths‘𝐺)𝑤}
2		wwlknbp1 29774	. . . . . 6 ⊢ (𝑤 ∈ (𝑁 WWalksN 𝐺) → (𝑁 ∈ ℕ0 ∧ 𝑤 ∈ Word (Vtx‘𝐺) ∧ (♯‘𝑤) = (𝑁 + 1)))
3		wspn0.v	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ 𝑉 = (Vtx‘𝐺)
4	3	eqeq1i 2734	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (𝑉 = ∅ ↔ (Vtx‘𝐺) = ∅)
5		wrdeq 14501	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ ((Vtx‘𝐺) = ∅ → Word (Vtx‘𝐺) = Word ∅)
6	4, 5	sylbi 217	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (𝑉 = ∅ → Word (Vtx‘𝐺) = Word ∅)
7	6	eleq2d 2814	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝑉 = ∅ → (𝑤 ∈ Word (Vtx‘𝐺) ↔ 𝑤 ∈ Word ∅))
8		0wrd0 14505	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝑤 ∈ Word ∅ ↔ 𝑤 = ∅)
9	7, 8	bitrdi 287	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝑉 = ∅ → (𝑤 ∈ Word (Vtx‘𝐺) ↔ 𝑤 = ∅))
10		fveq2 6858	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ (𝑤 = ∅ → (♯‘𝑤) = (♯‘∅))
11		hash0 14332	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ (♯‘∅) = 0
12	10, 11	eqtrdi 2780	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ (𝑤 = ∅ → (♯‘𝑤) = 0)
13	12	eqeq1d 2731	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (𝑤 = ∅ → ((♯‘𝑤) = (𝑁 + 1) ↔ 0 = (𝑁 + 1)))
14	13	adantl 481	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ ((𝑁 ∈ ℕ0 ∧ 𝑤 = ∅) → ((♯‘𝑤) = (𝑁 + 1) ↔ 0 = (𝑁 + 1)))
15		nn0p1gt0 12471	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ (𝑁 ∈ ℕ0 → 0 < (𝑁 + 1))
16	15	gt0ne0d 11742	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ (𝑁 ∈ ℕ0 → (𝑁 + 1) ≠ 0)
17		eqneqall 2936	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ ((𝑁 + 1) = 0 → ((𝑁 + 1) ≠ 0 → ¬ ∃𝑓 𝑓(SPaths‘𝐺)𝑤))
18	17	eqcoms 2737	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ (0 = (𝑁 + 1) → ((𝑁 + 1) ≠ 0 → ¬ ∃𝑓 𝑓(SPaths‘𝐺)𝑤))
19	16, 18	syl5com 31	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (𝑁 ∈ ℕ0 → (0 = (𝑁 + 1) → ¬ ∃𝑓 𝑓(SPaths‘𝐺)𝑤))
20	19	adantr 480	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ ((𝑁 ∈ ℕ0 ∧ 𝑤 = ∅) → (0 = (𝑁 + 1) → ¬ ∃𝑓 𝑓(SPaths‘𝐺)𝑤))
21	14, 20	sylbid 240	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ((𝑁 ∈ ℕ0 ∧ 𝑤 = ∅) → ((♯‘𝑤) = (𝑁 + 1) → ¬ ∃𝑓 𝑓(SPaths‘𝐺)𝑤))
22	21	expcom 413	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝑤 = ∅ → (𝑁 ∈ ℕ0 → ((♯‘𝑤) = (𝑁 + 1) → ¬ ∃𝑓 𝑓(SPaths‘𝐺)𝑤)))
23	22	com23 86	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝑤 = ∅ → ((♯‘𝑤) = (𝑁 + 1) → (𝑁 ∈ ℕ0 → ¬ ∃𝑓 𝑓(SPaths‘𝐺)𝑤)))
24	9, 23	biimtrdi 253	. . . . . . . 8 ⊢ (𝑉 = ∅ → (𝑤 ∈ Word (Vtx‘𝐺) → ((♯‘𝑤) = (𝑁 + 1) → (𝑁 ∈ ℕ0 → ¬ ∃𝑓 𝑓(SPaths‘𝐺)𝑤))))
25	24	com14 96	. . . . . . 7 ⊢ (𝑁 ∈ ℕ0 → (𝑤 ∈ Word (Vtx‘𝐺) → ((♯‘𝑤) = (𝑁 + 1) → (𝑉 = ∅ → ¬ ∃𝑓 𝑓(SPaths‘𝐺)𝑤))))
26	25	3imp 1110	. . . . . 6 ⊢ ((𝑁 ∈ ℕ0 ∧ 𝑤 ∈ Word (Vtx‘𝐺) ∧ (♯‘𝑤) = (𝑁 + 1)) → (𝑉 = ∅ → ¬ ∃𝑓 𝑓(SPaths‘𝐺)𝑤))
27	2, 26	syl 17	. . . . 5 ⊢ (𝑤 ∈ (𝑁 WWalksN 𝐺) → (𝑉 = ∅ → ¬ ∃𝑓 𝑓(SPaths‘𝐺)𝑤))
28	27	impcom 407	. . . 4 ⊢ ((𝑉 = ∅ ∧ 𝑤 ∈ (𝑁 WWalksN 𝐺)) → ¬ ∃𝑓 𝑓(SPaths‘𝐺)𝑤)
29	28	ralrimiva 3125	. . 3 ⊢ (𝑉 = ∅ → ∀𝑤 ∈ (𝑁 WWalksN 𝐺) ¬ ∃𝑓 𝑓(SPaths‘𝐺)𝑤)
30		rabeq0 4351	. . 3 ⊢ ({𝑤 ∈ (𝑁 WWalksN 𝐺) ∣ ∃𝑓 𝑓(SPaths‘𝐺)𝑤} = ∅ ↔ ∀𝑤 ∈ (𝑁 WWalksN 𝐺) ¬ ∃𝑓 𝑓(SPaths‘𝐺)𝑤)
31	29, 30	sylibr 234	. 2 ⊢ (𝑉 = ∅ → {𝑤 ∈ (𝑁 WWalksN 𝐺) ∣ ∃𝑓 𝑓(SPaths‘𝐺)𝑤} = ∅)
32	1, 31	eqtrid 2776	1 ⊢ (𝑉 = ∅ → (𝑁 WSPathsN 𝐺) = ∅)

Syntax hints:  ¬ wn 3   → wi 4   ↔ wb 206   ∧ wa 395   ∧ w3a 1086   = wceq 1540  ∃wex 1779   ∈ wcel 2109   ≠ wne 2925  ∀wral 3044  {crab 3405  ∅c0 4296   class class class wbr 5107  ‘cfv 6511  (class class class)co 7387  0cc0 11068  1c1 11069   + caddc 11071  ℕ₀cn0 12442  ♯chash 14295  Word cword 14478  Vtxcvtx 28923  SPathscspths 29641   WWalksN cwwlksn 29756   WSPathsN cwwspthsn 29758

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1795  ax-4 1809  ax-5 1910  ax-6 1967  ax-7 2008  ax-8 2111  ax-9 2119  ax-10 2142  ax-11 2158  ax-12 2178  ax-ext 2701  ax-rep 5234  ax-sep 5251  ax-nul 5261  ax-pow 5320  ax-pr 5387  ax-un 7711  ax-cnex 11124  ax-resscn 11125  ax-1cn 11126  ax-icn 11127  ax-addcl 11128  ax-addrcl 11129  ax-mulcl 11130  ax-mulrcl 11131  ax-mulcom 11132  ax-addass 11133  ax-mulass 11134  ax-distr 11135  ax-i2m1 11136  ax-1ne0 11137  ax-1rid 11138  ax-rnegex 11139  ax-rrecex 11140  ax-cnre 11141  ax-pre-lttri 11142  ax-pre-lttrn 11143  ax-pre-ltadd 11144  ax-pre-mulgt0 11145

This theorem depends on definitions:  df-bi 207  df-an 396  df-or 848  df-3or 1087  df-3an 1088  df-tru 1543  df-fal 1553  df-ex 1780  df-nf 1784  df-sb 2066  df-mo 2533  df-eu 2562  df-clab 2708  df-cleq 2721  df-clel 2803  df-nfc 2878  df-ne 2926  df-nel 3030  df-ral 3045  df-rex 3054  df-reu 3355  df-rab 3406  df-v 3449  df-sbc 3754  df-csb 3863  df-dif 3917  df-un 3919  df-in 3921  df-ss 3931  df-pss 3934  df-nul 4297  df-if 4489  df-pw 4565  df-sn 4590  df-pr 4592  df-op 4596  df-uni 4872  df-int 4911  df-iun 4957  df-br 5108  df-opab 5170  df-mpt 5189  df-tr 5215  df-id 5533  df-eprel 5538  df-po 5546  df-so 5547  df-fr 5591  df-we 5593  df-xp 5644  df-rel 5645  df-cnv 5646  df-co 5647  df-dm 5648  df-rn 5649  df-res 5650  df-ima 5651  df-pred 6274  df-ord 6335  df-on 6336  df-lim 6337  df-suc 6338  df-iota 6464  df-fun 6513  df-fn 6514  df-f 6515  df-f1 6516  df-fo 6517  df-f1o 6518  df-fv 6519  df-riota 7344  df-ov 7390  df-oprab 7391  df-mpo 7392  df-om 7843  df-1st 7968  df-2nd 7969  df-frecs 8260  df-wrecs 8291  df-recs 8340  df-rdg 8378  df-1o 8434  df-er 8671  df-map 8801  df-en 8919  df-dom 8920  df-sdom 8921  df-fin 8922  df-card 9892  df-pnf 11210  df-mnf 11211  df-xr 11212  df-ltxr 11213  df-le 11214  df-sub 11407  df-neg 11408  df-nn 12187  df-n0 12443  df-z 12530  df-uz 12794  df-fz 13469  df-fzo 13616  df-hash 14296  df-word 14479  df-wwlks 29760  df-wwlksn 29761  df-wspthsn 29763

This theorem is referenced by: (None)