Metamath Proof Explorer < Previous   Next > Nearby theorems Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  rusgr0edg Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem rusgr0edg 27763
 Description: Special case for graphs without edges: There are no walks of length greater than 0. (Contributed by Alexander van der Vekens, 26-Jul-2018.) (Revised by AV, 7-May-2021.)
Hypotheses
Ref Expression
rusgrnumwwlk.v 𝑉 = (Vtx‘𝐺)
rusgrnumwwlk.l 𝐿 = (𝑣𝑉, 𝑛 ∈ ℕ0 ↦ (♯‘{𝑤 ∈ (𝑛 WWalksN 𝐺) ∣ (𝑤‘0) = 𝑣}))
Assertion
Ref Expression
rusgr0edg ((𝐺 RegUSGraph 0 ∧ 𝑃𝑉𝑁 ∈ ℕ) → (𝑃𝐿𝑁) = 0)
Distinct variable groups:   𝑛,𝐺,𝑣,𝑤   𝑛,𝑁,𝑣,𝑤   𝑃,𝑛,𝑣,𝑤   𝑛,𝑉,𝑣,𝑤
Allowed substitution hints:   𝐿(𝑤,𝑣,𝑛)

Proof of Theorem rusgr0edg
StepHypRef Expression
1 simp2 1134 . . 3 ((𝐺 RegUSGraph 0 ∧ 𝑃𝑉𝑁 ∈ ℕ) → 𝑃𝑉)
2 nnnn0 11896 . . . 4 (𝑁 ∈ ℕ → 𝑁 ∈ ℕ0)
323ad2ant3 1132 . . 3 ((𝐺 RegUSGraph 0 ∧ 𝑃𝑉𝑁 ∈ ℕ) → 𝑁 ∈ ℕ0)
4 rusgrnumwwlk.v . . . 4 𝑉 = (Vtx‘𝐺)
5 rusgrnumwwlk.l . . . 4 𝐿 = (𝑣𝑉, 𝑛 ∈ ℕ0 ↦ (♯‘{𝑤 ∈ (𝑛 WWalksN 𝐺) ∣ (𝑤‘0) = 𝑣}))
64, 5rusgrnumwwlklem 27760 . . 3 ((𝑃𝑉𝑁 ∈ ℕ0) → (𝑃𝐿𝑁) = (♯‘{𝑤 ∈ (𝑁 WWalksN 𝐺) ∣ (𝑤‘0) = 𝑃}))
71, 3, 6syl2anc 587 . 2 ((𝐺 RegUSGraph 0 ∧ 𝑃𝑉𝑁 ∈ ℕ) → (𝑃𝐿𝑁) = (♯‘{𝑤 ∈ (𝑁 WWalksN 𝐺) ∣ (𝑤‘0) = 𝑃}))
8 rusgrusgr 27358 . . . . . . . . . 10 (𝐺 RegUSGraph 0 → 𝐺 ∈ USGraph)
9 usgr0edg0rusgr 27369 . . . . . . . . . . 11 (𝐺 ∈ USGraph → (𝐺 RegUSGraph 0 ↔ (Edg‘𝐺) = ∅))
109biimpcd 252 . . . . . . . . . 10 (𝐺 RegUSGraph 0 → (𝐺 ∈ USGraph → (Edg‘𝐺) = ∅))
118, 10mpd 15 . . . . . . . . 9 (𝐺 RegUSGraph 0 → (Edg‘𝐺) = ∅)
12 0enwwlksnge1 27654 . . . . . . . . 9 (((Edg‘𝐺) = ∅ ∧ 𝑁 ∈ ℕ) → (𝑁 WWalksN 𝐺) = ∅)
1311, 12sylan 583 . . . . . . . 8 ((𝐺 RegUSGraph 0 ∧ 𝑁 ∈ ℕ) → (𝑁 WWalksN 𝐺) = ∅)
14 eleq2 2881 . . . . . . . . 9 ((𝑁 WWalksN 𝐺) = ∅ → (𝑤 ∈ (𝑁 WWalksN 𝐺) ↔ 𝑤 ∈ ∅))
15 noel 4250 . . . . . . . . . 10 ¬ 𝑤 ∈ ∅
1615pm2.21i 119 . . . . . . . . 9 (𝑤 ∈ ∅ → ¬ (𝑤‘0) = 𝑃)
1714, 16syl6bi 256 . . . . . . . 8 ((𝑁 WWalksN 𝐺) = ∅ → (𝑤 ∈ (𝑁 WWalksN 𝐺) → ¬ (𝑤‘0) = 𝑃))
1813, 17syl 17 . . . . . . 7 ((𝐺 RegUSGraph 0 ∧ 𝑁 ∈ ℕ) → (𝑤 ∈ (𝑁 WWalksN 𝐺) → ¬ (𝑤‘0) = 𝑃))
19183adant2 1128 . . . . . 6 ((𝐺 RegUSGraph 0 ∧ 𝑃𝑉𝑁 ∈ ℕ) → (𝑤 ∈ (𝑁 WWalksN 𝐺) → ¬ (𝑤‘0) = 𝑃))
2019ralrimiv 3151 . . . . 5 ((𝐺 RegUSGraph 0 ∧ 𝑃𝑉𝑁 ∈ ℕ) → ∀𝑤 ∈ (𝑁 WWalksN 𝐺) ¬ (𝑤‘0) = 𝑃)
21 rabeq0 4295 . . . . 5 ({𝑤 ∈ (𝑁 WWalksN 𝐺) ∣ (𝑤‘0) = 𝑃} = ∅ ↔ ∀𝑤 ∈ (𝑁 WWalksN 𝐺) ¬ (𝑤‘0) = 𝑃)
2220, 21sylibr 237 . . . 4 ((𝐺 RegUSGraph 0 ∧ 𝑃𝑉𝑁 ∈ ℕ) → {𝑤 ∈ (𝑁 WWalksN 𝐺) ∣ (𝑤‘0) = 𝑃} = ∅)
2322fveq2d 6653 . . 3 ((𝐺 RegUSGraph 0 ∧ 𝑃𝑉𝑁 ∈ ℕ) → (♯‘{𝑤 ∈ (𝑁 WWalksN 𝐺) ∣ (𝑤‘0) = 𝑃}) = (♯‘∅))
24 hash0 13728 . . 3 (♯‘∅) = 0
2523, 24eqtrdi 2852 . 2 ((𝐺 RegUSGraph 0 ∧ 𝑃𝑉𝑁 ∈ ℕ) → (♯‘{𝑤 ∈ (𝑁 WWalksN 𝐺) ∣ (𝑤‘0) = 𝑃}) = 0)
267, 25eqtrd 2836 1 ((𝐺 RegUSGraph 0 ∧ 𝑃𝑉𝑁 ∈ ℕ) → (𝑃𝐿𝑁) = 0)
 Colors of variables: wff setvar class Syntax hints:  ¬ wn 3   → wi 4   ∧ wa 399   ∧ w3a 1084   = wceq 1538   ∈ wcel 2112  ∀wral 3109  {crab 3113  ∅c0 4246   class class class wbr 5033  ‘cfv 6328  (class class class)co 7139   ∈ cmpo 7141  0cc0 10530  ℕcn 11629  ℕ0cn0 11889  ♯chash 13690  Vtxcvtx 26793  Edgcedg 26844  USGraphcusgr 26946   RegUSGraph crusgr 27350   WWalksN cwwlksn 27616 This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1797  ax-4 1811  ax-5 1911  ax-6 1970  ax-7 2015  ax-8 2114  ax-9 2122  ax-10 2143  ax-11 2159  ax-12 2176  ax-ext 2773  ax-rep 5157  ax-sep 5170  ax-nul 5177  ax-pow 5234  ax-pr 5298  ax-un 7445  ax-cnex 10586  ax-resscn 10587  ax-1cn 10588  ax-icn 10589  ax-addcl 10590  ax-addrcl 10591  ax-mulcl 10592  ax-mulrcl 10593  ax-mulcom 10594  ax-addass 10595  ax-mulass 10596  ax-distr 10597  ax-i2m1 10598  ax-1ne0 10599  ax-1rid 10600  ax-rnegex 10601  ax-rrecex 10602  ax-cnre 10603  ax-pre-lttri 10604  ax-pre-lttrn 10605  ax-pre-ltadd 10606  ax-pre-mulgt0 10607 This theorem depends on definitions:  df-bi 210  df-an 400  df-or 845  df-3or 1085  df-3an 1086  df-tru 1541  df-ex 1782  df-nf 1786  df-sb 2070  df-mo 2601  df-eu 2632  df-clab 2780  df-cleq 2794  df-clel 2873  df-nfc 2941  df-ne 2991  df-nel 3095  df-ral 3114  df-rex 3115  df-reu 3116  df-rab 3118  df-v 3446  df-sbc 3724  df-csb 3832  df-dif 3887  df-un 3889  df-in 3891  df-ss 3901  df-pss 3903  df-nul 4247  df-if 4429  df-pw 4502  df-sn 4529  df-pr 4531  df-tp 4533  df-op 4535  df-uni 4804  df-int 4842  df-iun 4886  df-br 5034  df-opab 5096  df-mpt 5114  df-tr 5140  df-id 5428  df-eprel 5433  df-po 5442  df-so 5443  df-fr 5482  df-we 5484  df-xp 5529  df-rel 5530  df-cnv 5531  df-co 5532  df-dm 5533  df-rn 5534  df-res 5535  df-ima 5536  df-pred 6120  df-ord 6166  df-on 6167  df-lim 6168  df-suc 6169  df-iota 6287  df-fun 6330  df-fn 6331  df-f 6332  df-f1 6333  df-fo 6334  df-f1o 6335  df-fv 6336  df-riota 7097  df-ov 7142  df-oprab 7143  df-mpo 7144  df-om 7565  df-1st 7675  df-2nd 7676  df-wrecs 7934  df-recs 7995  df-rdg 8033  df-1o 8089  df-er 8276  df-map 8395  df-en 8497  df-dom 8498  df-sdom 8499  df-fin 8500  df-card 9356  df-pnf 10670  df-mnf 10671  df-xr 10672  df-ltxr 10673  df-le 10674  df-sub 10865  df-neg 10866  df-nn 11630  df-2 11692  df-n0 11890  df-xnn0 11960  df-z 11974  df-uz 12236  df-xadd 12500  df-fz 12890  df-fzo 13033  df-hash 13691  df-word 13862  df-edg 26845  df-uhgr 26855  df-upgr 26879  df-uspgr 26947  df-usgr 26948  df-vtxdg 27260  df-rgr 27351  df-rusgr 27352  df-wwlks 27620  df-wwlksn 27621 This theorem is referenced by: (None)
 Copyright terms: Public domain W3C validator