Theorem rusgr0edg 30445

Description: Special case for graphs without edges: There are no walks of length greater than 0. (Contributed by Alexander van der Vekens, 26-Jul-2018.) (Revised by AV, 7-May-2021.)

Hypotheses

Ref	Expression
rusgrnumwwlk.v	⊢ 𝑉 = (Vtx‘𝐺)
rusgrnumwwlk.l	⊢ 𝐿 = (𝑣 ∈ 𝑉, 𝑛 ∈ ℕ0 ↦ (♯‘{𝑤 ∈ (𝑛 WWalksN 𝐺) ∣ (𝑤‘0) = 𝑣}))

Assertion

Ref	Expression
rusgr0edg	⊢ ((𝐺 RegUSGraph 0 ∧ 𝑃 ∈ 𝑉 ∧ 𝑁 ∈ ℕ) → (𝑃𝐿𝑁) = 0)

Distinct variable groups:   𝑛,𝐺,𝑣,𝑤   𝑛,𝑁,𝑣,𝑤   𝑃,𝑛,𝑣,𝑤   𝑛,𝑉,𝑣,𝑤

Allowed substitution hints:   𝐿(𝑤, 𝑣, 𝑛)

Proof of Theorem rusgr0edg

Step	Hyp	Ref	Expression
1		simp2 1155	. . 3 ⊢ ((𝐺 RegUSGraph 0 ∧ 𝑃 ∈ 𝑉 ∧ 𝑁 ∈ ℕ) → 𝑃 ∈ 𝑉)
2		nnnn0 12536	. . . 4 ⊢ (𝑁 ∈ ℕ → 𝑁 ∈ ℕ0)
3	2	3ad2ant3 1153	. . 3 ⊢ ((𝐺 RegUSGraph 0 ∧ 𝑃 ∈ 𝑉 ∧ 𝑁 ∈ ℕ) → 𝑁 ∈ ℕ0)
4		rusgrnumwwlk.v	. . . 4 ⊢ 𝑉 = (Vtx‘𝐺)
5		rusgrnumwwlk.l	. . . 4 ⊢ 𝐿 = (𝑣 ∈ 𝑉, 𝑛 ∈ ℕ0 ↦ (♯‘{𝑤 ∈ (𝑛 WWalksN 𝐺) ∣ (𝑤‘0) = 𝑣}))
6	4, 5	rusgrnumwwlklem 30442	. . 3 ⊢ ((𝑃 ∈ 𝑉 ∧ 𝑁 ∈ ℕ0) → (𝑃𝐿𝑁) = (♯‘{𝑤 ∈ (𝑁 WWalksN 𝐺) ∣ (𝑤‘0) = 𝑃}))
7	1, 3, 6	syl2anc 596	. 2 ⊢ ((𝐺 RegUSGraph 0 ∧ 𝑃 ∈ 𝑉 ∧ 𝑁 ∈ ℕ) → (𝑃𝐿𝑁) = (♯‘{𝑤 ∈ (𝑁 WWalksN 𝐺) ∣ (𝑤‘0) = 𝑃}))
8		rusgrusgr 30025	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝐺 RegUSGraph 0 → 𝐺 ∈ USGraph)
9		usgr0edg0rusgr 30036	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (𝐺 ∈ USGraph → (𝐺 RegUSGraph 0 ↔ (Edg‘𝐺) = ∅))
10	9	biimpcd 252	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝐺 RegUSGraph 0 → (𝐺 ∈ USGraph → (Edg‘𝐺) = ∅))
11	8, 10	mpd 16	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝐺 RegUSGraph 0 → (Edg‘𝐺) = ∅)
12		0enwwlksnge1 30333	. . . . . . . . 9 ⊢ (((Edg‘𝐺) = ∅ ∧ 𝑁 ∈ ℕ) → (𝑁 WWalksN 𝐺) = ∅)
13	11, 12	sylan 592	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝐺 RegUSGraph 0 ∧ 𝑁 ∈ ℕ) → (𝑁 WWalksN 𝐺) = ∅)
14		eleq2 2849	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝑁 WWalksN 𝐺) = ∅ → (𝑤 ∈ (𝑁 WWalksN 𝐺) ↔ 𝑤 ∈ ∅))
15		noel 4284	. . . . . . . . . 10 ⊢ ¬ 𝑤 ∈ ∅
16	15	pm2.21i 120	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝑤 ∈ ∅ → ¬ (𝑤‘0) = 𝑃)
17	14, 16	biimtrdi 256	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝑁 WWalksN 𝐺) = ∅ → (𝑤 ∈ (𝑁 WWalksN 𝐺) → ¬ (𝑤‘0) = 𝑃))
18	13, 17	syl 18	. . . . . . 7 ⊢ ((𝐺 RegUSGraph 0 ∧ 𝑁 ∈ ℕ) → (𝑤 ∈ (𝑁 WWalksN 𝐺) → ¬ (𝑤‘0) = 𝑃))
19	18	3adant2 1149	. . . . . 6 ⊢ ((𝐺 RegUSGraph 0 ∧ 𝑃 ∈ 𝑉 ∧ 𝑁 ∈ ℕ) → (𝑤 ∈ (𝑁 WWalksN 𝐺) → ¬ (𝑤‘0) = 𝑃))
20	19	ralrimiv 3153	. . . . 5 ⊢ ((𝐺 RegUSGraph 0 ∧ 𝑃 ∈ 𝑉 ∧ 𝑁 ∈ ℕ) → ∀𝑤 ∈ (𝑁 WWalksN 𝐺) ¬ (𝑤‘0) = 𝑃)
21		rabeq0 4338	. . . . 5 ⊢ ({𝑤 ∈ (𝑁 WWalksN 𝐺) ∣ (𝑤‘0) = 𝑃} = ∅ ↔ ∀𝑤 ∈ (𝑁 WWalksN 𝐺) ¬ (𝑤‘0) = 𝑃)
22	20, 21	sylibr 237	. . . 4 ⊢ ((𝐺 RegUSGraph 0 ∧ 𝑃 ∈ 𝑉 ∧ 𝑁 ∈ ℕ) → {𝑤 ∈ (𝑁 WWalksN 𝐺) ∣ (𝑤‘0) = 𝑃} = ∅)
23	22	fveq2d 6883	. . 3 ⊢ ((𝐺 RegUSGraph 0 ∧ 𝑃 ∈ 𝑉 ∧ 𝑁 ∈ ℕ) → (♯‘{𝑤 ∈ (𝑁 WWalksN 𝐺) ∣ (𝑤‘0) = 𝑃}) = (♯‘∅))
24		hash0 14432	. . 3 ⊢ (♯‘∅) = 0
25	23, 24	eqtrdi 2811	. 2 ⊢ ((𝐺 RegUSGraph 0 ∧ 𝑃 ∈ 𝑉 ∧ 𝑁 ∈ ℕ) → (♯‘{𝑤 ∈ (𝑁 WWalksN 𝐺) ∣ (𝑤‘0) = 𝑃}) = 0)
26	7, 25	eqtrd 2795	1 ⊢ ((𝐺 RegUSGraph 0 ∧ 𝑃 ∈ 𝑉 ∧ 𝑁 ∈ ℕ) → (𝑃𝐿𝑁) = 0)

This proof depends on syntax axioms:  ¬ wn 3   → wi 4   ∧ wa 401   ∧ w3a 1103   = wceq 1570   ∈ wcel 2145  ∀wral 3076  {crab 3412  ∅c0 4279   class class class wbr 5103  ‘cfv 6533  (class class class)co 7414   ∈ cmpo 7416  0cc0 11125  ℕcn 12258  ℕ₀cn0 12529  ♯chash 14395  Vtxcvtx 29454  Edgcedg 29505  USGraphcusgr 29610   RegUSGraph crusgr 30017   WWalksN cwwlksn 30295

This proof depends on axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1828  ax-4 1842  ax-5 1943  ax-6 2000  ax-7 2041  ax-8 2147  ax-9 2155  ax-10 2178  ax-11 2194  ax-12 2213  ax-ext 2732  ax-rep 5232  ax-sep 5251  ax-nul 5263  ax-pow 5330  ax-pr 5398  ax-un 7737  ax-cnex 11181  ax-resscn 11182  ax-1cn 11183  ax-icn 11184  ax-addcl 11185  ax-addrcl 11186  ax-mulcl 11187  ax-mulrcl 11188  ax-mulcom 11189  ax-addass 11190  ax-mulass 11191  ax-distr 11192  ax-i2m1 11193  ax-1ne0 11194  ax-1rid 11195  ax-rnegex 11196  ax-rrecex 11197  ax-cnre 11198  ax-pre-lttri 11199  ax-pre-lttrn 11200  ax-pre-ltadd 11201  ax-pre-mulgt0 11202

This proof depends on definitions:  df-bi 210  df-an 402  df-or 862  df-3or 1104  df-3an 1105  df-tru 1573  df-fal 1583  df-ex 1813  df-nf 1817  df-sb 2100  df-mo 2564  df-eu 2594  df-clab 2739  df-cleq 2752  df-clel 2835  df-nfc 2909  df-ne 2956  df-nel 3062  df-ral 3077  df-rex 3087  df-reu 3366  df-rab 3413  df-v 3452  df-sbc 3740  df-csb 3848  df-dif 3902  df-un 3904  df-in 3906  df-ss 3916  df-pss 3919  df-nul 4280  df-if 4483  df-pw 4559  df-sn 4585  df-pr 4587  df-op 4591  df-uni 4868  df-int 4908  df-iun 4953  df-br 5104  df-opab 5168  df-mpt 5187  df-tr 5213  df-id 5550  df-eprel 5555  df-po 5563  df-so 5564  df-fr 5608  df-we 5610  df-xp 5661  df-rel 5662  df-cnv 5663  df-co 5664  df-dm 5665  df-rn 5666  df-res 5667  df-ima 5668  df-pred 6299  df-ord 6360  df-on 6361  df-lim 6362  df-suc 6363  df-iota 6489  df-fun 6535  df-fn 6536  df-f 6537  df-f1 6538  df-fo 6539  df-f1o 6540  df-fv 6541  df-riota 7371  df-ov 7417  df-oprab 7418  df-mpo 7419  df-om 7864  df-1st 7987  df-2nd 7988  df-frecs 8281  df-wrecs 8312  df-recs 8361  df-rdg 8400  df-1o 8456  df-er 8697  df-map 8829  df-en 8954  df-dom 8955  df-sdom 8956  df-fin 8957  df-card 9945  df-pnf 11270  df-mnf 11271  df-xr 11272  df-ltxr 11273  df-le 11274  df-sub 11468  df-neg 11469  df-nn 12259  df-2 12328  df-n0 12530  df-xnn0 12603  df-z 12617  df-uz 12889  df-xadd 13165  df-fz 13563  df-fzo 13711  df-hash 14396  df-word 14580  df-edg 29506  df-uhgr 29516  df-upgr 29540  df-uspgr 29611  df-usgr 29612  df-vtxdg 29927  df-rgr 30018  df-rusgr 30019  df-wwlks 30299  df-wwlksn 30300

This theorem is used by: (None)