Theorem rusgr0edg 30574

Description: Special case for graphs without edges: There are no walks of length greater than 0. (Contributed by Alexander van der Vekens, 26-Jul-2018.) (Revised by AV, 7-May-2021.)

Hypotheses

Ref	Expression
rusgrnumwwlk.v	⊢ 𝑉 = (Vtx‘𝐺)
rusgrnumwwlk.l	⊢ 𝐿 = (𝑣 ∈ 𝑉, 𝑛 ∈ ℕ0 ↦ (♯‘{𝑤 ∈ (𝑛 WWalksN 𝐺) ∣ (𝑤‘0) = 𝑣}))

Assertion

Ref	Expression
rusgr0edg	⊢ ((𝐺 RegUSGraph 0 ∧ 𝑃 ∈ 𝑉 ∧ 𝑁 ∈ ℕ) → (𝑃𝐿𝑁) = 0)

Distinct variable groups:   𝑛,𝐺,𝑣,𝑤   𝑛,𝑁,𝑣,𝑤   𝑃,𝑛,𝑣,𝑤   𝑛,𝑉,𝑣,𝑤

Allowed substitution hints:   𝐿(𝑤, 𝑣, 𝑛)

Proof of Theorem rusgr0edg

Step	Hyp	Ref	Expression
1		simp2 1155	. . 3 ⊢ ((𝐺 RegUSGraph 0 ∧ 𝑃 ∈ 𝑉 ∧ 𝑁 ∈ ℕ) → 𝑃 ∈ 𝑉)
2		nnnn0 12620	. . . 4 ⊢ (𝑁 ∈ ℕ → 𝑁 ∈ ℕ0)
3	2	3ad2ant3 1153	. . 3 ⊢ ((𝐺 RegUSGraph 0 ∧ 𝑃 ∈ 𝑉 ∧ 𝑁 ∈ ℕ) → 𝑁 ∈ ℕ0)
4		rusgrnumwwlk.v	. . . 4 ⊢ 𝑉 = (Vtx‘𝐺)
5		rusgrnumwwlk.l	. . . 4 ⊢ 𝐿 = (𝑣 ∈ 𝑉, 𝑛 ∈ ℕ0 ↦ (♯‘{𝑤 ∈ (𝑛 WWalksN 𝐺) ∣ (𝑤‘0) = 𝑣}))
6	4, 5	rusgrnumwwlklem 30571	. . 3 ⊢ ((𝑃 ∈ 𝑉 ∧ 𝑁 ∈ ℕ0) → (𝑃𝐿𝑁) = (♯‘{𝑤 ∈ (𝑁 WWalksN 𝐺) ∣ (𝑤‘0) = 𝑃}))
7	1, 3, 6	syl2anc 596	. 2 ⊢ ((𝐺 RegUSGraph 0 ∧ 𝑃 ∈ 𝑉 ∧ 𝑁 ∈ ℕ) → (𝑃𝐿𝑁) = (♯‘{𝑤 ∈ (𝑁 WWalksN 𝐺) ∣ (𝑤‘0) = 𝑃}))
8		rusgrusgr 30154	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝐺 RegUSGraph 0 → 𝐺 ∈ USGraph)
9		usgr0edg0rusgr 30165	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (𝐺 ∈ USGraph → (𝐺 RegUSGraph 0 ↔ (Edg‘𝐺) = ∅))
10	9	biimpcd 252	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝐺 RegUSGraph 0 → (𝐺 ∈ USGraph → (Edg‘𝐺) = ∅))
11	8, 10	mpd 16	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝐺 RegUSGraph 0 → (Edg‘𝐺) = ∅)
12		0enwwlksnge1 30462	. . . . . . . . 9 ⊢ (((Edg‘𝐺) = ∅ ∧ 𝑁 ∈ ℕ) → (𝑁 WWalksN 𝐺) = ∅)
13	11, 12	sylan 592	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝐺 RegUSGraph 0 ∧ 𝑁 ∈ ℕ) → (𝑁 WWalksN 𝐺) = ∅)
14		eleq2 2849	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝑁 WWalksN 𝐺) = ∅ → (𝑤 ∈ (𝑁 WWalksN 𝐺) ↔ 𝑤 ∈ ∅))
15		noel 4282	. . . . . . . . . 10 ⊢ ¬ 𝑤 ∈ ∅
16	15	pm2.21i 120	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝑤 ∈ ∅ → ¬ (𝑤‘0) = 𝑃)
17	14, 16	biimtrdi 256	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝑁 WWalksN 𝐺) = ∅ → (𝑤 ∈ (𝑁 WWalksN 𝐺) → ¬ (𝑤‘0) = 𝑃))
18	13, 17	syl 18	. . . . . . 7 ⊢ ((𝐺 RegUSGraph 0 ∧ 𝑁 ∈ ℕ) → (𝑤 ∈ (𝑁 WWalksN 𝐺) → ¬ (𝑤‘0) = 𝑃))
19	18	3adant2 1149	. . . . . 6 ⊢ ((𝐺 RegUSGraph 0 ∧ 𝑃 ∈ 𝑉 ∧ 𝑁 ∈ ℕ) → (𝑤 ∈ (𝑁 WWalksN 𝐺) → ¬ (𝑤‘0) = 𝑃))
20	19	ralrimiv 3153	. . . . 5 ⊢ ((𝐺 RegUSGraph 0 ∧ 𝑃 ∈ 𝑉 ∧ 𝑁 ∈ ℕ) → ∀𝑤 ∈ (𝑁 WWalksN 𝐺) ¬ (𝑤‘0) = 𝑃)
21		rabeq0 4337	. . . . 5 ⊢ ({𝑤 ∈ (𝑁 WWalksN 𝐺) ∣ (𝑤‘0) = 𝑃} = ∅ ↔ ∀𝑤 ∈ (𝑁 WWalksN 𝐺) ¬ (𝑤‘0) = 𝑃)
22	20, 21	sylibr 237	. . . 4 ⊢ ((𝐺 RegUSGraph 0 ∧ 𝑃 ∈ 𝑉 ∧ 𝑁 ∈ ℕ) → {𝑤 ∈ (𝑁 WWalksN 𝐺) ∣ (𝑤‘0) = 𝑃} = ∅)
23	22	fveq2d 6894	. . 3 ⊢ ((𝐺 RegUSGraph 0 ∧ 𝑃 ∈ 𝑉 ∧ 𝑁 ∈ ℕ) → (♯‘{𝑤 ∈ (𝑁 WWalksN 𝐺) ∣ (𝑤‘0) = 𝑃}) = (♯‘∅))
24		hash0 14518	. . 3 ⊢ (♯‘∅) = 0
25	23, 24	eqtrdi 2811	. 2 ⊢ ((𝐺 RegUSGraph 0 ∧ 𝑃 ∈ 𝑉 ∧ 𝑁 ∈ ℕ) → (♯‘{𝑤 ∈ (𝑁 WWalksN 𝐺) ∣ (𝑤‘0) = 𝑃}) = 0)
26	7, 25	eqtrd 2795	1 ⊢ ((𝐺 RegUSGraph 0 ∧ 𝑃 ∈ 𝑉 ∧ 𝑁 ∈ ℕ) → (𝑃𝐿𝑁) = 0)

This proof depends on syntax axioms:  ¬ wn 3   → wi 4   ∧ wa 401   ∧ w3a 1103   = wceq 1569   ∈ wcel 2144  ∀wral 3076  {crab 3412  ∅c0 4277   class class class wbr 5102  ‘cfv 6543  (class class class)co 7424   ∈ cmpo 7426  0cc0 11207  ℕcn 12342  ℕ₀cn0 12613  ♯chash 14481  Vtxcvtx 29583  Edgcedg 29634  USGraphcusgr 29739   RegUSGraph crusgr 30146   WWalksN cwwlksn 30424

This proof depends on axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1827  ax-4 1841  ax-5 1942  ax-6 1999  ax-7 2040  ax-8 2146  ax-9 2154  ax-10 2177  ax-11 2193  ax-12 2212  ax-ext 2732  ax-rep 5231  ax-sep 5248  ax-nul 5259  ax-pow 5327  ax-pr 5391  ax-un 7755  ax-cnex 11263  ax-resscn 11264  ax-1cn 11265  ax-icn 11266  ax-addcl 11267  ax-addrcl 11268  ax-mulcl 11269  ax-mulrcl 11270  ax-mulcom 11271  ax-addass 11272  ax-mulass 11273  ax-distr 11274  ax-i2m1 11275  ax-1ne0 11276  ax-1rid 11277  ax-rnegex 11278  ax-rrecex 11279  ax-cnre 11280  ax-pre-lttri 11281  ax-pre-lttrn 11282  ax-pre-ltadd 11283  ax-pre-mulgt0 11284

This proof depends on definitions:  df-bi 210  df-an 402  df-or 862  df-3or 1104  df-3an 1105  df-tru 1572  df-fal 1582  df-ex 1812  df-nf 1816  df-sb 2099  df-mo 2564  df-eu 2594  df-clab 2739  df-cleq 2752  df-clel 2835  df-nfc 2909  df-ne 2956  df-nel 3062  df-ral 3077  df-rex 3087  df-reu 3366  df-rab 3413  df-v 3452  df-sbc 3739  df-csb 3848  df-ss 3897  df-pss 4013  df-dif 4046  df-in 4090  df-un 4150  df-nul 4278  df-if 4482  df-pw 4558  df-sn 4585  df-pr 4587  df-op 4835  df-uni 4867  df-int 4907  df-iun 4952  df-br 5103  df-opab 5167  df-mpt 5186  df-tr 5212  df-id 5546  df-eprel 5551  df-po 5559  df-so 5560  df-fr 5604  df-we 5606  df-xp 5657  df-rel 5658  df-cnv 5659  df-co 5660  df-dm 5661  df-rn 5662  df-res 5663  df-ima 5664  df-pred 6307  df-ord 6368  df-on 6369  df-lim 6370  df-suc 6371  df-iota 6497  df-fun 6545  df-fn 6546  df-f 6547  df-f1 6548  df-fo 6549  df-f1o 6550  df-fv 6551  df-riota 7381  df-ov 7427  df-oprab 7428  df-mpo 7429  df-om 7882  df-1st 8005  df-2nd 8006  df-frecs 8307  df-wrecs 8338  df-recs 8387  df-rdg 8426  df-1o 8484  df-er 8725  df-map 8857  df-en 8982  df-dom 8983  df-sdom 8984  df-fin 8985  df-card 10027  df-pnf 11352  df-mnf 11353  df-xr 11354  df-ltxr 11355  df-le 11356  df-sub 11550  df-neg 11551  df-nn 12343  df-2 12412  df-n0 12614  df-xnn0 12687  df-z 12701  df-uz 12973  df-xadd 13249  df-fz 13647  df-fzo 13796  df-hash 14482  df-word 14666  df-edg 29635  df-uhgr 29645  df-upgr 29669  df-uspgr 29740  df-usgr 29741  df-vtxdg 30056  df-rgr 30147  df-rusgr 30148  df-wwlks 30428  df-wwlksn 30429

This theorem is used by: (None)