Theorem rusgr0edg 29954

Description: Special case for graphs without edges: There are no walks of length greater than 0. (Contributed by Alexander van der Vekens, 26-Jul-2018.) (Revised by AV, 7-May-2021.)

Hypotheses

Ref	Expression
rusgrnumwwlk.v	⊢ 𝑉 = (Vtx‘𝐺)
rusgrnumwwlk.l	⊢ 𝐿 = (𝑣 ∈ 𝑉, 𝑛 ∈ ℕ0 ↦ (♯‘{𝑤 ∈ (𝑛 WWalksN 𝐺) ∣ (𝑤‘0) = 𝑣}))

Assertion

Ref	Expression
rusgr0edg	⊢ ((𝐺 RegUSGraph 0 ∧ 𝑃 ∈ 𝑉 ∧ 𝑁 ∈ ℕ) → (𝑃𝐿𝑁) = 0)

Distinct variable groups:   𝑛,𝐺,𝑣,𝑤   𝑛,𝑁,𝑣,𝑤   𝑃,𝑛,𝑣,𝑤   𝑛,𝑉,𝑣,𝑤

Allowed substitution hints:   𝐿(𝑤,𝑣,𝑛)

Proof of Theorem rusgr0edg

Step	Hyp	Ref	Expression
1		simp2 1137	. . 3 ⊢ ((𝐺 RegUSGraph 0 ∧ 𝑃 ∈ 𝑉 ∧ 𝑁 ∈ ℕ) → 𝑃 ∈ 𝑉)
2		nnnn0 12388	. . . 4 ⊢ (𝑁 ∈ ℕ → 𝑁 ∈ ℕ0)
3	2	3ad2ant3 1135	. . 3 ⊢ ((𝐺 RegUSGraph 0 ∧ 𝑃 ∈ 𝑉 ∧ 𝑁 ∈ ℕ) → 𝑁 ∈ ℕ0)
4		rusgrnumwwlk.v	. . . 4 ⊢ 𝑉 = (Vtx‘𝐺)
5		rusgrnumwwlk.l	. . . 4 ⊢ 𝐿 = (𝑣 ∈ 𝑉, 𝑛 ∈ ℕ0 ↦ (♯‘{𝑤 ∈ (𝑛 WWalksN 𝐺) ∣ (𝑤‘0) = 𝑣}))
6	4, 5	rusgrnumwwlklem 29951	. . 3 ⊢ ((𝑃 ∈ 𝑉 ∧ 𝑁 ∈ ℕ0) → (𝑃𝐿𝑁) = (♯‘{𝑤 ∈ (𝑁 WWalksN 𝐺) ∣ (𝑤‘0) = 𝑃}))
7	1, 3, 6	syl2anc 584	. 2 ⊢ ((𝐺 RegUSGraph 0 ∧ 𝑃 ∈ 𝑉 ∧ 𝑁 ∈ ℕ) → (𝑃𝐿𝑁) = (♯‘{𝑤 ∈ (𝑁 WWalksN 𝐺) ∣ (𝑤‘0) = 𝑃}))
8		rusgrusgr 29543	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝐺 RegUSGraph 0 → 𝐺 ∈ USGraph)
9		usgr0edg0rusgr 29554	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (𝐺 ∈ USGraph → (𝐺 RegUSGraph 0 ↔ (Edg‘𝐺) = ∅))
10	9	biimpcd 249	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝐺 RegUSGraph 0 → (𝐺 ∈ USGraph → (Edg‘𝐺) = ∅))
11	8, 10	mpd 15	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝐺 RegUSGraph 0 → (Edg‘𝐺) = ∅)
12		0enwwlksnge1 29842	. . . . . . . . 9 ⊢ (((Edg‘𝐺) = ∅ ∧ 𝑁 ∈ ℕ) → (𝑁 WWalksN 𝐺) = ∅)
13	11, 12	sylan 580	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝐺 RegUSGraph 0 ∧ 𝑁 ∈ ℕ) → (𝑁 WWalksN 𝐺) = ∅)
14		eleq2 2820	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝑁 WWalksN 𝐺) = ∅ → (𝑤 ∈ (𝑁 WWalksN 𝐺) ↔ 𝑤 ∈ ∅))
15		noel 4285	. . . . . . . . . 10 ⊢ ¬ 𝑤 ∈ ∅
16	15	pm2.21i 119	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝑤 ∈ ∅ → ¬ (𝑤‘0) = 𝑃)
17	14, 16	biimtrdi 253	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝑁 WWalksN 𝐺) = ∅ → (𝑤 ∈ (𝑁 WWalksN 𝐺) → ¬ (𝑤‘0) = 𝑃))
18	13, 17	syl 17	. . . . . . 7 ⊢ ((𝐺 RegUSGraph 0 ∧ 𝑁 ∈ ℕ) → (𝑤 ∈ (𝑁 WWalksN 𝐺) → ¬ (𝑤‘0) = 𝑃))
19	18	3adant2 1131	. . . . . 6 ⊢ ((𝐺 RegUSGraph 0 ∧ 𝑃 ∈ 𝑉 ∧ 𝑁 ∈ ℕ) → (𝑤 ∈ (𝑁 WWalksN 𝐺) → ¬ (𝑤‘0) = 𝑃))
20	19	ralrimiv 3123	. . . . 5 ⊢ ((𝐺 RegUSGraph 0 ∧ 𝑃 ∈ 𝑉 ∧ 𝑁 ∈ ℕ) → ∀𝑤 ∈ (𝑁 WWalksN 𝐺) ¬ (𝑤‘0) = 𝑃)
21		rabeq0 4335	. . . . 5 ⊢ ({𝑤 ∈ (𝑁 WWalksN 𝐺) ∣ (𝑤‘0) = 𝑃} = ∅ ↔ ∀𝑤 ∈ (𝑁 WWalksN 𝐺) ¬ (𝑤‘0) = 𝑃)
22	20, 21	sylibr 234	. . . 4 ⊢ ((𝐺 RegUSGraph 0 ∧ 𝑃 ∈ 𝑉 ∧ 𝑁 ∈ ℕ) → {𝑤 ∈ (𝑁 WWalksN 𝐺) ∣ (𝑤‘0) = 𝑃} = ∅)
23	22	fveq2d 6826	. . 3 ⊢ ((𝐺 RegUSGraph 0 ∧ 𝑃 ∈ 𝑉 ∧ 𝑁 ∈ ℕ) → (♯‘{𝑤 ∈ (𝑁 WWalksN 𝐺) ∣ (𝑤‘0) = 𝑃}) = (♯‘∅))
24		hash0 14274	. . 3 ⊢ (♯‘∅) = 0
25	23, 24	eqtrdi 2782	. 2 ⊢ ((𝐺 RegUSGraph 0 ∧ 𝑃 ∈ 𝑉 ∧ 𝑁 ∈ ℕ) → (♯‘{𝑤 ∈ (𝑁 WWalksN 𝐺) ∣ (𝑤‘0) = 𝑃}) = 0)
26	7, 25	eqtrd 2766	1 ⊢ ((𝐺 RegUSGraph 0 ∧ 𝑃 ∈ 𝑉 ∧ 𝑁 ∈ ℕ) → (𝑃𝐿𝑁) = 0)

Syntax hints:  ¬ wn 3   → wi 4   ∧ wa 395   ∧ w3a 1086   = wceq 1541   ∈ wcel 2111  ∀wral 3047  {crab 3395  ∅c0 4280   class class class wbr 5089  ‘cfv 6481  (class class class)co 7346   ∈ cmpo 7348  0cc0 11006  ℕcn 12125  ℕ₀cn0 12381  ♯chash 14237  Vtxcvtx 28974  Edgcedg 29025  USGraphcusgr 29127   RegUSGraph crusgr 29535   WWalksN cwwlksn 29804

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1796  ax-4 1810  ax-5 1911  ax-6 1968  ax-7 2009  ax-8 2113  ax-9 2121  ax-10 2144  ax-11 2160  ax-12 2180  ax-ext 2703  ax-rep 5215  ax-sep 5232  ax-nul 5242  ax-pow 5301  ax-pr 5368  ax-un 7668  ax-cnex 11062  ax-resscn 11063  ax-1cn 11064  ax-icn 11065  ax-addcl 11066  ax-addrcl 11067  ax-mulcl 11068  ax-mulrcl 11069  ax-mulcom 11070  ax-addass 11071  ax-mulass 11072  ax-distr 11073  ax-i2m1 11074  ax-1ne0 11075  ax-1rid 11076  ax-rnegex 11077  ax-rrecex 11078  ax-cnre 11079  ax-pre-lttri 11080  ax-pre-lttrn 11081  ax-pre-ltadd 11082  ax-pre-mulgt0 11083

This theorem depends on definitions:  df-bi 207  df-an 396  df-or 848  df-3or 1087  df-3an 1088  df-tru 1544  df-fal 1554  df-ex 1781  df-nf 1785  df-sb 2068  df-mo 2535  df-eu 2564  df-clab 2710  df-cleq 2723  df-clel 2806  df-nfc 2881  df-ne 2929  df-nel 3033  df-ral 3048  df-rex 3057  df-reu 3347  df-rab 3396  df-v 3438  df-sbc 3737  df-csb 3846  df-dif 3900  df-un 3902  df-in 3904  df-ss 3914  df-pss 3917  df-nul 4281  df-if 4473  df-pw 4549  df-sn 4574  df-pr 4576  df-op 4580  df-uni 4857  df-int 4896  df-iun 4941  df-br 5090  df-opab 5152  df-mpt 5171  df-tr 5197  df-id 5509  df-eprel 5514  df-po 5522  df-so 5523  df-fr 5567  df-we 5569  df-xp 5620  df-rel 5621  df-cnv 5622  df-co 5623  df-dm 5624  df-rn 5625  df-res 5626  df-ima 5627  df-pred 6248  df-ord 6309  df-on 6310  df-lim 6311  df-suc 6312  df-iota 6437  df-fun 6483  df-fn 6484  df-f 6485  df-f1 6486  df-fo 6487  df-f1o 6488  df-fv 6489  df-riota 7303  df-ov 7349  df-oprab 7350  df-mpo 7351  df-om 7797  df-1st 7921  df-2nd 7922  df-frecs 8211  df-wrecs 8242  df-recs 8291  df-rdg 8329  df-1o 8385  df-er 8622  df-map 8752  df-en 8870  df-dom 8871  df-sdom 8872  df-fin 8873  df-card 9832  df-pnf 11148  df-mnf 11149  df-xr 11150  df-ltxr 11151  df-le 11152  df-sub 11346  df-neg 11347  df-nn 12126  df-2 12188  df-n0 12382  df-xnn0 12455  df-z 12469  df-uz 12733  df-xadd 13012  df-fz 13408  df-fzo 13555  df-hash 14238  df-word 14421  df-edg 29026  df-uhgr 29036  df-upgr 29060  df-uspgr 29128  df-usgr 29129  df-vtxdg 29445  df-rgr 29536  df-rusgr 29537  df-wwlks 29808  df-wwlksn 29809

This theorem is referenced by: (None)