Theorem vdn0conngrumgrv2 30806

Description: A vertex in a connected multigraph with more than one vertex cannot have degree 0. (Contributed by Alexander van der Vekens, 9-Dec-2017.) (Revised by AV, 4-Apr-2021.)

Hypothesis

Ref	Expression
vdn0conngrv2.v	⊢ 𝑉 = (Vtx‘𝐺)

Assertion

Ref	Expression
vdn0conngrumgrv2	⊢ (((𝐺 ∈ ConnGraph ∧ 𝐺 ∈ UMGraph) ∧ (𝑁 ∈ 𝑉 ∧ 1 < (♯‘𝑉))) → ((VtxDeg‘𝐺)‘𝑁) ≠ 0)

Proof of Theorem vdn0conngrumgrv2

Dummy variables 𝑒 𝑥 are mutually distinct and distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		vdn0conngrv2.v	. . . 4 ⊢ 𝑉 = (Vtx‘𝐺)
2		eqid 2760	. . . 4 ⊢ (iEdg‘𝐺) = (iEdg‘𝐺)
3		eqid 2760	. . . 4 ⊢ dom (iEdg‘𝐺) = dom (iEdg‘𝐺)
4		eqid 2760	. . . 4 ⊢ (VtxDeg‘𝐺) = (VtxDeg‘𝐺)
5	1, 2, 3, 4	vtxdumgrval 30076	. . 3 ⊢ ((𝐺 ∈ UMGraph ∧ 𝑁 ∈ 𝑉) → ((VtxDeg‘𝐺)‘𝑁) = (♯‘{𝑥 ∈ dom (iEdg‘𝐺) ∣ 𝑁 ∈ ((iEdg‘𝐺)‘𝑥)}))
6	5	ad2ant2lr 761	. 2 ⊢ (((𝐺 ∈ ConnGraph ∧ 𝐺 ∈ UMGraph) ∧ (𝑁 ∈ 𝑉 ∧ 1 < (♯‘𝑉))) → ((VtxDeg‘𝐺)‘𝑁) = (♯‘{𝑥 ∈ dom (iEdg‘𝐺) ∣ 𝑁 ∈ ((iEdg‘𝐺)‘𝑥)}))
7		umgruhgr 29691	. . . . . . . 8 ⊢ (𝐺 ∈ UMGraph → 𝐺 ∈ UHGraph)
8	2	uhgrfun 29653	. . . . . . . 8 ⊢ (𝐺 ∈ UHGraph → Fun (iEdg‘𝐺))
9		funfn 6575	. . . . . . . . 9 ⊢ (Fun (iEdg‘𝐺) ↔ (iEdg‘𝐺) Fn dom (iEdg‘𝐺))
10	9	biimpi 219	. . . . . . . 8 ⊢ (Fun (iEdg‘𝐺) → (iEdg‘𝐺) Fn dom (iEdg‘𝐺))
11	7, 8, 10	3syl 19	. . . . . . 7 ⊢ (𝐺 ∈ UMGraph → (iEdg‘𝐺) Fn dom (iEdg‘𝐺))
12	11	adantl 487	. . . . . 6 ⊢ ((𝐺 ∈ ConnGraph ∧ 𝐺 ∈ UMGraph) → (iEdg‘𝐺) Fn dom (iEdg‘𝐺))
13	12	adantr 486	. . . . 5 ⊢ (((𝐺 ∈ ConnGraph ∧ 𝐺 ∈ UMGraph) ∧ (𝑁 ∈ 𝑉 ∧ 1 < (♯‘𝑉))) → (iEdg‘𝐺) Fn dom (iEdg‘𝐺))
14		simpl 488	. . . . . . 7 ⊢ ((𝐺 ∈ ConnGraph ∧ 𝐺 ∈ UMGraph) → 𝐺 ∈ ConnGraph)
15	14	adantr 486	. . . . . 6 ⊢ (((𝐺 ∈ ConnGraph ∧ 𝐺 ∈ UMGraph) ∧ (𝑁 ∈ 𝑉 ∧ 1 < (♯‘𝑉))) → 𝐺 ∈ ConnGraph)
16		simpl 488	. . . . . . 7 ⊢ ((𝑁 ∈ 𝑉 ∧ 1 < (♯‘𝑉)) → 𝑁 ∈ 𝑉)
17	16	adantl 487	. . . . . 6 ⊢ (((𝐺 ∈ ConnGraph ∧ 𝐺 ∈ UMGraph) ∧ (𝑁 ∈ 𝑉 ∧ 1 < (♯‘𝑉))) → 𝑁 ∈ 𝑉)
18		simprr 785	. . . . . 6 ⊢ (((𝐺 ∈ ConnGraph ∧ 𝐺 ∈ UMGraph) ∧ (𝑁 ∈ 𝑉 ∧ 1 < (♯‘𝑉))) → 1 < (♯‘𝑉))
19	1, 2	conngrv2edg 30805	. . . . . 6 ⊢ ((𝐺 ∈ ConnGraph ∧ 𝑁 ∈ 𝑉 ∧ 1 < (♯‘𝑉)) → ∃𝑒 ∈ ran (iEdg‘𝐺)𝑁 ∈ 𝑒)
20	15, 17, 18, 19	syl3anc 1398	. . . . 5 ⊢ (((𝐺 ∈ ConnGraph ∧ 𝐺 ∈ UMGraph) ∧ (𝑁 ∈ 𝑉 ∧ 1 < (♯‘𝑉))) → ∃𝑒 ∈ ran (iEdg‘𝐺)𝑁 ∈ 𝑒)
21		eleq2 2849	. . . . . . 7 ⊢ (𝑒 = ((iEdg‘𝐺)‘𝑥) → (𝑁 ∈ 𝑒 ↔ 𝑁 ∈ ((iEdg‘𝐺)‘𝑥)))
22	21	rexrn 7092	. . . . . 6 ⊢ ((iEdg‘𝐺) Fn dom (iEdg‘𝐺) → (∃𝑒 ∈ ran (iEdg‘𝐺)𝑁 ∈ 𝑒 ↔ ∃𝑥 ∈ dom (iEdg‘𝐺)𝑁 ∈ ((iEdg‘𝐺)‘𝑥)))
23	22	biimpd 232	. . . . 5 ⊢ ((iEdg‘𝐺) Fn dom (iEdg‘𝐺) → (∃𝑒 ∈ ran (iEdg‘𝐺)𝑁 ∈ 𝑒 → ∃𝑥 ∈ dom (iEdg‘𝐺)𝑁 ∈ ((iEdg‘𝐺)‘𝑥)))
24	13, 20, 23	sylc 66	. . . 4 ⊢ (((𝐺 ∈ ConnGraph ∧ 𝐺 ∈ UMGraph) ∧ (𝑁 ∈ 𝑉 ∧ 1 < (♯‘𝑉))) → ∃𝑥 ∈ dom (iEdg‘𝐺)𝑁 ∈ ((iEdg‘𝐺)‘𝑥))
25		dfrex2 3089	. . . 4 ⊢ (∃𝑥 ∈ dom (iEdg‘𝐺)𝑁 ∈ ((iEdg‘𝐺)‘𝑥) ↔ ¬ ∀𝑥 ∈ dom (iEdg‘𝐺) ¬ 𝑁 ∈ ((iEdg‘𝐺)‘𝑥))
26	24, 25	sylib 221	. . 3 ⊢ (((𝐺 ∈ ConnGraph ∧ 𝐺 ∈ UMGraph) ∧ (𝑁 ∈ 𝑉 ∧ 1 < (♯‘𝑉))) → ¬ ∀𝑥 ∈ dom (iEdg‘𝐺) ¬ 𝑁 ∈ ((iEdg‘𝐺)‘𝑥))
27		fvex 6903	. . . . . . . 8 ⊢ (iEdg‘𝐺) ∈ V
28	27	dmex 7925	. . . . . . 7 ⊢ dom (iEdg‘𝐺) ∈ V
29	28	a1i 11	. . . . . 6 ⊢ (((𝐺 ∈ ConnGraph ∧ 𝐺 ∈ UMGraph) ∧ (𝑁 ∈ 𝑉 ∧ 1 < (♯‘𝑉))) → dom (iEdg‘𝐺) ∈ V)
30		rabexg 5299	. . . . . 6 ⊢ (dom (iEdg‘𝐺) ∈ V → {𝑥 ∈ dom (iEdg‘𝐺) ∣ 𝑁 ∈ ((iEdg‘𝐺)‘𝑥)} ∈ V)
31		hasheq0 14514	. . . . . 6 ⊢ ({𝑥 ∈ dom (iEdg‘𝐺) ∣ 𝑁 ∈ ((iEdg‘𝐺)‘𝑥)} ∈ V → ((♯‘{𝑥 ∈ dom (iEdg‘𝐺) ∣ 𝑁 ∈ ((iEdg‘𝐺)‘𝑥)}) = 0 ↔ {𝑥 ∈ dom (iEdg‘𝐺) ∣ 𝑁 ∈ ((iEdg‘𝐺)‘𝑥)} = ∅))
32	29, 30, 31	3syl 19	. . . . 5 ⊢ (((𝐺 ∈ ConnGraph ∧ 𝐺 ∈ UMGraph) ∧ (𝑁 ∈ 𝑉 ∧ 1 < (♯‘𝑉))) → ((♯‘{𝑥 ∈ dom (iEdg‘𝐺) ∣ 𝑁 ∈ ((iEdg‘𝐺)‘𝑥)}) = 0 ↔ {𝑥 ∈ dom (iEdg‘𝐺) ∣ 𝑁 ∈ ((iEdg‘𝐺)‘𝑥)} = ∅))
33		rabeq0 4337	. . . . 5 ⊢ ({𝑥 ∈ dom (iEdg‘𝐺) ∣ 𝑁 ∈ ((iEdg‘𝐺)‘𝑥)} = ∅ ↔ ∀𝑥 ∈ dom (iEdg‘𝐺) ¬ 𝑁 ∈ ((iEdg‘𝐺)‘𝑥))
34	32, 33	bitrdi 290	. . . 4 ⊢ (((𝐺 ∈ ConnGraph ∧ 𝐺 ∈ UMGraph) ∧ (𝑁 ∈ 𝑉 ∧ 1 < (♯‘𝑉))) → ((♯‘{𝑥 ∈ dom (iEdg‘𝐺) ∣ 𝑁 ∈ ((iEdg‘𝐺)‘𝑥)}) = 0 ↔ ∀𝑥 ∈ dom (iEdg‘𝐺) ¬ 𝑁 ∈ ((iEdg‘𝐺)‘𝑥)))
35	34	necon3abid 2991	. . 3 ⊢ (((𝐺 ∈ ConnGraph ∧ 𝐺 ∈ UMGraph) ∧ (𝑁 ∈ 𝑉 ∧ 1 < (♯‘𝑉))) → ((♯‘{𝑥 ∈ dom (iEdg‘𝐺) ∣ 𝑁 ∈ ((iEdg‘𝐺)‘𝑥)}) ≠ 0 ↔ ¬ ∀𝑥 ∈ dom (iEdg‘𝐺) ¬ 𝑁 ∈ ((iEdg‘𝐺)‘𝑥)))
36	26, 35	mpbird 260	. 2 ⊢ (((𝐺 ∈ ConnGraph ∧ 𝐺 ∈ UMGraph) ∧ (𝑁 ∈ 𝑉 ∧ 1 < (♯‘𝑉))) → (♯‘{𝑥 ∈ dom (iEdg‘𝐺) ∣ 𝑁 ∈ ((iEdg‘𝐺)‘𝑥)}) ≠ 0)
37	6, 36	eqnetrd 3022	1 ⊢ (((𝐺 ∈ ConnGraph ∧ 𝐺 ∈ UMGraph) ∧ (𝑁 ∈ 𝑉 ∧ 1 < (♯‘𝑉))) → ((VtxDeg‘𝐺)‘𝑁) ≠ 0)

This proof depends on syntax axioms:  ¬ wn 3   → wi 4   ↔ wb 209   ∧ wa 401   = wceq 1569   ∈ wcel 2144   ≠ wne 2955  ∀wral 3076  ∃wrex 3086  {crab 3412  Vcvv 3450  ∅c0 4277   class class class wbr 5102  dom cdm 5651  ran crn 5652  Fun wfun 6537   Fn wfn 6538  ‘cfv 6543  0cc0 11207  1c1 11208   < clt 11350  ♯chash 14481  Vtxcvtx 29583  iEdgciedg 29584  UHGraphcuhgr 29643  UMGraphcumgr 29668  VtxDegcvtxdg 30055  ConnGraphcconngr 30796

This proof depends on axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1827  ax-4 1841  ax-5 1942  ax-6 1999  ax-7 2040  ax-8 2146  ax-9 2154  ax-10 2177  ax-11 2193  ax-12 2212  ax-ext 2732  ax-rep 5231  ax-sep 5248  ax-nul 5259  ax-pow 5327  ax-pr 5391  ax-un 7755  ax-cnex 11263  ax-resscn 11264  ax-1cn 11265  ax-icn 11266  ax-addcl 11267  ax-addrcl 11268  ax-mulcl 11269  ax-mulrcl 11270  ax-mulcom 11271  ax-addass 11272  ax-mulass 11273  ax-distr 11274  ax-i2m1 11275  ax-1ne0 11276  ax-1rid 11277  ax-rnegex 11278  ax-rrecex 11279  ax-cnre 11280  ax-pre-lttri 11281  ax-pre-lttrn 11282  ax-pre-ltadd 11283  ax-pre-mulgt0 11284

This proof depends on definitions:  df-bi 210  df-an 402  df-or 862  df-ifp 1079  df-3or 1104  df-3an 1105  df-tru 1572  df-fal 1582  df-ex 1812  df-nf 1816  df-sb 2099  df-mo 2564  df-eu 2594  df-clab 2739  df-cleq 2752  df-clel 2835  df-nfc 2909  df-ne 2956  df-nel 3062  df-ral 3077  df-rex 3087  df-reu 3366  df-rab 3413  df-v 3452  df-sbc 3739  df-csb 3848  df-ss 3897  df-pss 4013  df-dif 4046  df-in 4090  df-un 4150  df-nul 4278  df-if 4482  df-pw 4558  df-sn 4585  df-pr 4587  df-op 4835  df-uni 4867  df-int 4907  df-iun 4952  df-br 5103  df-opab 5167  df-mpt 5186  df-tr 5212  df-id 5546  df-eprel 5551  df-po 5559  df-so 5560  df-fr 5604  df-we 5606  df-xp 5657  df-rel 5658  df-cnv 5659  df-co 5660  df-dm 5661  df-rn 5662  df-res 5663  df-ima 5664  df-pred 6307  df-ord 6368  df-on 6369  df-lim 6370  df-suc 6371  df-iota 6497  df-fun 6545  df-fn 6546  df-f 6547  df-f1 6548  df-fo 6549  df-f1o 6550  df-fv 6551  df-riota 7381  df-ov 7427  df-oprab 7428  df-mpo 7429  df-om 7882  df-1st 8005  df-2nd 8006  df-frecs 8306  df-wrecs 8337  df-recs 8386  df-rdg 8425  df-1o 8483  df-er 8724  df-map 8856  df-en 8981  df-dom 8982  df-sdom 8983  df-fin 8984  df-card 10027  df-pnf 11352  df-mnf 11353  df-xr 11354  df-ltxr 11355  df-le 11356  df-sub 11550  df-neg 11551  df-nn 12343  df-2 12412  df-n0 12614  df-xnn0 12687  df-z 12701  df-uz 12973  df-xadd 13249  df-fz 13647  df-fzo 13796  df-hash 14482  df-word 14666  df-uhgr 29645  df-upgr 29669  df-umgr 29670  df-vtxdg 30056  df-wlks 30189  df-wlkson 30190  df-trlson 30285  df-pthson 30310  df-conngr 30797

This theorem is used by:  vdgn0frgrv2  30905