MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  vdn0conngrumgrv2 Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem vdn0conngrumgrv2 29993
Description: A vertex in a connected multigraph with more than one vertex cannot have degree 0. (Contributed by Alexander van der Vekens, 9-Dec-2017.) (Revised by AV, 4-Apr-2021.)
Hypothesis
Ref Expression
vdn0conngrv2.v 𝑉 = (Vtxβ€˜πΊ)
Assertion
Ref Expression
vdn0conngrumgrv2 (((𝐺 ∈ ConnGraph ∧ 𝐺 ∈ UMGraph) ∧ (𝑁 ∈ 𝑉 ∧ 1 < (β™―β€˜π‘‰))) β†’ ((VtxDegβ€˜πΊ)β€˜π‘) β‰  0)

Proof of Theorem vdn0conngrumgrv2
Dummy variables 𝑒 π‘₯ are mutually distinct and distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 vdn0conngrv2.v . . . 4 𝑉 = (Vtxβ€˜πΊ)
2 eqid 2727 . . . 4 (iEdgβ€˜πΊ) = (iEdgβ€˜πΊ)
3 eqid 2727 . . . 4 dom (iEdgβ€˜πΊ) = dom (iEdgβ€˜πΊ)
4 eqid 2727 . . . 4 (VtxDegβ€˜πΊ) = (VtxDegβ€˜πΊ)
51, 2, 3, 4vtxdumgrval 29287 . . 3 ((𝐺 ∈ UMGraph ∧ 𝑁 ∈ 𝑉) β†’ ((VtxDegβ€˜πΊ)β€˜π‘) = (β™―β€˜{π‘₯ ∈ dom (iEdgβ€˜πΊ) ∣ 𝑁 ∈ ((iEdgβ€˜πΊ)β€˜π‘₯)}))
65ad2ant2lr 747 . 2 (((𝐺 ∈ ConnGraph ∧ 𝐺 ∈ UMGraph) ∧ (𝑁 ∈ 𝑉 ∧ 1 < (β™―β€˜π‘‰))) β†’ ((VtxDegβ€˜πΊ)β€˜π‘) = (β™―β€˜{π‘₯ ∈ dom (iEdgβ€˜πΊ) ∣ 𝑁 ∈ ((iEdgβ€˜πΊ)β€˜π‘₯)}))
7 umgruhgr 28904 . . . . . . . 8 (𝐺 ∈ UMGraph β†’ 𝐺 ∈ UHGraph)
82uhgrfun 28866 . . . . . . . 8 (𝐺 ∈ UHGraph β†’ Fun (iEdgβ€˜πΊ))
9 funfn 6577 . . . . . . . . 9 (Fun (iEdgβ€˜πΊ) ↔ (iEdgβ€˜πΊ) Fn dom (iEdgβ€˜πΊ))
109biimpi 215 . . . . . . . 8 (Fun (iEdgβ€˜πΊ) β†’ (iEdgβ€˜πΊ) Fn dom (iEdgβ€˜πΊ))
117, 8, 103syl 18 . . . . . . 7 (𝐺 ∈ UMGraph β†’ (iEdgβ€˜πΊ) Fn dom (iEdgβ€˜πΊ))
1211adantl 481 . . . . . 6 ((𝐺 ∈ ConnGraph ∧ 𝐺 ∈ UMGraph) β†’ (iEdgβ€˜πΊ) Fn dom (iEdgβ€˜πΊ))
1312adantr 480 . . . . 5 (((𝐺 ∈ ConnGraph ∧ 𝐺 ∈ UMGraph) ∧ (𝑁 ∈ 𝑉 ∧ 1 < (β™―β€˜π‘‰))) β†’ (iEdgβ€˜πΊ) Fn dom (iEdgβ€˜πΊ))
14 simpl 482 . . . . . . 7 ((𝐺 ∈ ConnGraph ∧ 𝐺 ∈ UMGraph) β†’ 𝐺 ∈ ConnGraph)
1514adantr 480 . . . . . 6 (((𝐺 ∈ ConnGraph ∧ 𝐺 ∈ UMGraph) ∧ (𝑁 ∈ 𝑉 ∧ 1 < (β™―β€˜π‘‰))) β†’ 𝐺 ∈ ConnGraph)
16 simpl 482 . . . . . . 7 ((𝑁 ∈ 𝑉 ∧ 1 < (β™―β€˜π‘‰)) β†’ 𝑁 ∈ 𝑉)
1716adantl 481 . . . . . 6 (((𝐺 ∈ ConnGraph ∧ 𝐺 ∈ UMGraph) ∧ (𝑁 ∈ 𝑉 ∧ 1 < (β™―β€˜π‘‰))) β†’ 𝑁 ∈ 𝑉)
18 simprr 772 . . . . . 6 (((𝐺 ∈ ConnGraph ∧ 𝐺 ∈ UMGraph) ∧ (𝑁 ∈ 𝑉 ∧ 1 < (β™―β€˜π‘‰))) β†’ 1 < (β™―β€˜π‘‰))
191, 2conngrv2edg 29992 . . . . . 6 ((𝐺 ∈ ConnGraph ∧ 𝑁 ∈ 𝑉 ∧ 1 < (β™―β€˜π‘‰)) β†’ βˆƒπ‘’ ∈ ran (iEdgβ€˜πΊ)𝑁 ∈ 𝑒)
2015, 17, 18, 19syl3anc 1369 . . . . 5 (((𝐺 ∈ ConnGraph ∧ 𝐺 ∈ UMGraph) ∧ (𝑁 ∈ 𝑉 ∧ 1 < (β™―β€˜π‘‰))) β†’ βˆƒπ‘’ ∈ ran (iEdgβ€˜πΊ)𝑁 ∈ 𝑒)
21 eleq2 2817 . . . . . . 7 (𝑒 = ((iEdgβ€˜πΊ)β€˜π‘₯) β†’ (𝑁 ∈ 𝑒 ↔ 𝑁 ∈ ((iEdgβ€˜πΊ)β€˜π‘₯)))
2221rexrn 7091 . . . . . 6 ((iEdgβ€˜πΊ) Fn dom (iEdgβ€˜πΊ) β†’ (βˆƒπ‘’ ∈ ran (iEdgβ€˜πΊ)𝑁 ∈ 𝑒 ↔ βˆƒπ‘₯ ∈ dom (iEdgβ€˜πΊ)𝑁 ∈ ((iEdgβ€˜πΊ)β€˜π‘₯)))
2322biimpd 228 . . . . 5 ((iEdgβ€˜πΊ) Fn dom (iEdgβ€˜πΊ) β†’ (βˆƒπ‘’ ∈ ran (iEdgβ€˜πΊ)𝑁 ∈ 𝑒 β†’ βˆƒπ‘₯ ∈ dom (iEdgβ€˜πΊ)𝑁 ∈ ((iEdgβ€˜πΊ)β€˜π‘₯)))
2413, 20, 23sylc 65 . . . 4 (((𝐺 ∈ ConnGraph ∧ 𝐺 ∈ UMGraph) ∧ (𝑁 ∈ 𝑉 ∧ 1 < (β™―β€˜π‘‰))) β†’ βˆƒπ‘₯ ∈ dom (iEdgβ€˜πΊ)𝑁 ∈ ((iEdgβ€˜πΊ)β€˜π‘₯))
25 dfrex2 3068 . . . 4 (βˆƒπ‘₯ ∈ dom (iEdgβ€˜πΊ)𝑁 ∈ ((iEdgβ€˜πΊ)β€˜π‘₯) ↔ Β¬ βˆ€π‘₯ ∈ dom (iEdgβ€˜πΊ) Β¬ 𝑁 ∈ ((iEdgβ€˜πΊ)β€˜π‘₯))
2624, 25sylib 217 . . 3 (((𝐺 ∈ ConnGraph ∧ 𝐺 ∈ UMGraph) ∧ (𝑁 ∈ 𝑉 ∧ 1 < (β™―β€˜π‘‰))) β†’ Β¬ βˆ€π‘₯ ∈ dom (iEdgβ€˜πΊ) Β¬ 𝑁 ∈ ((iEdgβ€˜πΊ)β€˜π‘₯))
27 fvex 6904 . . . . . . . 8 (iEdgβ€˜πΊ) ∈ V
2827dmex 7911 . . . . . . 7 dom (iEdgβ€˜πΊ) ∈ V
2928a1i 11 . . . . . 6 (((𝐺 ∈ ConnGraph ∧ 𝐺 ∈ UMGraph) ∧ (𝑁 ∈ 𝑉 ∧ 1 < (β™―β€˜π‘‰))) β†’ dom (iEdgβ€˜πΊ) ∈ V)
30 rabexg 5327 . . . . . 6 (dom (iEdgβ€˜πΊ) ∈ V β†’ {π‘₯ ∈ dom (iEdgβ€˜πΊ) ∣ 𝑁 ∈ ((iEdgβ€˜πΊ)β€˜π‘₯)} ∈ V)
31 hasheq0 14346 . . . . . 6 ({π‘₯ ∈ dom (iEdgβ€˜πΊ) ∣ 𝑁 ∈ ((iEdgβ€˜πΊ)β€˜π‘₯)} ∈ V β†’ ((β™―β€˜{π‘₯ ∈ dom (iEdgβ€˜πΊ) ∣ 𝑁 ∈ ((iEdgβ€˜πΊ)β€˜π‘₯)}) = 0 ↔ {π‘₯ ∈ dom (iEdgβ€˜πΊ) ∣ 𝑁 ∈ ((iEdgβ€˜πΊ)β€˜π‘₯)} = βˆ…))
3229, 30, 313syl 18 . . . . 5 (((𝐺 ∈ ConnGraph ∧ 𝐺 ∈ UMGraph) ∧ (𝑁 ∈ 𝑉 ∧ 1 < (β™―β€˜π‘‰))) β†’ ((β™―β€˜{π‘₯ ∈ dom (iEdgβ€˜πΊ) ∣ 𝑁 ∈ ((iEdgβ€˜πΊ)β€˜π‘₯)}) = 0 ↔ {π‘₯ ∈ dom (iEdgβ€˜πΊ) ∣ 𝑁 ∈ ((iEdgβ€˜πΊ)β€˜π‘₯)} = βˆ…))
33 rabeq0 4380 . . . . 5 ({π‘₯ ∈ dom (iEdgβ€˜πΊ) ∣ 𝑁 ∈ ((iEdgβ€˜πΊ)β€˜π‘₯)} = βˆ… ↔ βˆ€π‘₯ ∈ dom (iEdgβ€˜πΊ) Β¬ 𝑁 ∈ ((iEdgβ€˜πΊ)β€˜π‘₯))
3432, 33bitrdi 287 . . . 4 (((𝐺 ∈ ConnGraph ∧ 𝐺 ∈ UMGraph) ∧ (𝑁 ∈ 𝑉 ∧ 1 < (β™―β€˜π‘‰))) β†’ ((β™―β€˜{π‘₯ ∈ dom (iEdgβ€˜πΊ) ∣ 𝑁 ∈ ((iEdgβ€˜πΊ)β€˜π‘₯)}) = 0 ↔ βˆ€π‘₯ ∈ dom (iEdgβ€˜πΊ) Β¬ 𝑁 ∈ ((iEdgβ€˜πΊ)β€˜π‘₯)))
3534necon3abid 2972 . . 3 (((𝐺 ∈ ConnGraph ∧ 𝐺 ∈ UMGraph) ∧ (𝑁 ∈ 𝑉 ∧ 1 < (β™―β€˜π‘‰))) β†’ ((β™―β€˜{π‘₯ ∈ dom (iEdgβ€˜πΊ) ∣ 𝑁 ∈ ((iEdgβ€˜πΊ)β€˜π‘₯)}) β‰  0 ↔ Β¬ βˆ€π‘₯ ∈ dom (iEdgβ€˜πΊ) Β¬ 𝑁 ∈ ((iEdgβ€˜πΊ)β€˜π‘₯)))
3626, 35mpbird 257 . 2 (((𝐺 ∈ ConnGraph ∧ 𝐺 ∈ UMGraph) ∧ (𝑁 ∈ 𝑉 ∧ 1 < (β™―β€˜π‘‰))) β†’ (β™―β€˜{π‘₯ ∈ dom (iEdgβ€˜πΊ) ∣ 𝑁 ∈ ((iEdgβ€˜πΊ)β€˜π‘₯)}) β‰  0)
376, 36eqnetrd 3003 1 (((𝐺 ∈ ConnGraph ∧ 𝐺 ∈ UMGraph) ∧ (𝑁 ∈ 𝑉 ∧ 1 < (β™―β€˜π‘‰))) β†’ ((VtxDegβ€˜πΊ)β€˜π‘) β‰  0)
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  Β¬ wn 3   β†’ wi 4   ↔ wb 205   ∧ wa 395   = wceq 1534   ∈ wcel 2099   β‰  wne 2935  βˆ€wral 3056  βˆƒwrex 3065  {crab 3427  Vcvv 3469  βˆ…c0 4318   class class class wbr 5142  dom cdm 5672  ran crn 5673  Fun wfun 6536   Fn wfn 6537  β€˜cfv 6542  0cc0 11130  1c1 11131   < clt 11270  β™―chash 14313  Vtxcvtx 28796  iEdgciedg 28797  UHGraphcuhgr 28856  UMGraphcumgr 28881  VtxDegcvtxdg 29266  ConnGraphcconngr 29983
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1790  ax-4 1804  ax-5 1906  ax-6 1964  ax-7 2004  ax-8 2101  ax-9 2109  ax-10 2130  ax-11 2147  ax-12 2164  ax-ext 2698  ax-rep 5279  ax-sep 5293  ax-nul 5300  ax-pow 5359  ax-pr 5423  ax-un 7734  ax-cnex 11186  ax-resscn 11187  ax-1cn 11188  ax-icn 11189  ax-addcl 11190  ax-addrcl 11191  ax-mulcl 11192  ax-mulrcl 11193  ax-mulcom 11194  ax-addass 11195  ax-mulass 11196  ax-distr 11197  ax-i2m1 11198  ax-1ne0 11199  ax-1rid 11200  ax-rnegex 11201  ax-rrecex 11202  ax-cnre 11203  ax-pre-lttri 11204  ax-pre-lttrn 11205  ax-pre-ltadd 11206  ax-pre-mulgt0 11207
This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 396  df-or 847  df-ifp 1062  df-3or 1086  df-3an 1087  df-tru 1537  df-fal 1547  df-ex 1775  df-nf 1779  df-sb 2061  df-mo 2529  df-eu 2558  df-clab 2705  df-cleq 2719  df-clel 2805  df-nfc 2880  df-ne 2936  df-nel 3042  df-ral 3057  df-rex 3066  df-reu 3372  df-rab 3428  df-v 3471  df-sbc 3775  df-csb 3890  df-dif 3947  df-un 3949  df-in 3951  df-ss 3961  df-pss 3963  df-nul 4319  df-if 4525  df-pw 4600  df-sn 4625  df-pr 4627  df-op 4631  df-uni 4904  df-int 4945  df-iun 4993  df-br 5143  df-opab 5205  df-mpt 5226  df-tr 5260  df-id 5570  df-eprel 5576  df-po 5584  df-so 5585  df-fr 5627  df-we 5629  df-xp 5678  df-rel 5679  df-cnv 5680  df-co 5681  df-dm 5682  df-rn 5683  df-res 5684  df-ima 5685  df-pred 6299  df-ord 6366  df-on 6367  df-lim 6368  df-suc 6369  df-iota 6494  df-fun 6544  df-fn 6545  df-f 6546  df-f1 6547  df-fo 6548  df-f1o 6549  df-fv 6550  df-riota 7370  df-ov 7417  df-oprab 7418  df-mpo 7419  df-om 7865  df-1st 7987  df-2nd 7988  df-frecs 8280  df-wrecs 8311  df-recs 8385  df-rdg 8424  df-1o 8480  df-er 8718  df-map 8838  df-en 8956  df-dom 8957  df-sdom 8958  df-fin 8959  df-card 9954  df-pnf 11272  df-mnf 11273  df-xr 11274  df-ltxr 11275  df-le 11276  df-sub 11468  df-neg 11469  df-nn 12235  df-2 12297  df-n0 12495  df-xnn0 12567  df-z 12581  df-uz 12845  df-xadd 13117  df-fz 13509  df-fzo 13652  df-hash 14314  df-word 14489  df-uhgr 28858  df-upgr 28882  df-umgr 28883  df-vtxdg 29267  df-wlks 29400  df-wlkson 29401  df-trlson 29494  df-pthson 29519  df-conngr 29984
This theorem is referenced by:  vdgn0frgrv2  30092
  Copyright terms: Public domain W3C validator