Theorem vdn0conngrumgrv2 30854

Description: A vertex in a connected multigraph with more than one vertex cannot have degree 0. (Contributed by Alexander van der Vekens, 9-Dec-2017.) (Revised by AV, 4-Apr-2021.)

Hypothesis

Ref	Expression
vdn0conngrv2.v	⊢ 𝑉 = (Vtx‘𝐺)

Assertion

Ref	Expression
vdn0conngrumgrv2	⊢ (((𝐺 ∈ ConnGraph ∧ 𝐺 ∈ UMGraph) ∧ (𝑁 ∈ 𝑉 ∧ 1 < (♯‘𝑉))) → ((VtxDeg‘𝐺)‘𝑁) ≠ 0)

Proof of Theorem vdn0conngrumgrv2

Dummy variables 𝑒 𝑥 are mutually distinct and distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		vdn0conngrv2.v	. . . 4 ⊢ 𝑉 = (Vtx‘𝐺)
2		eqid 2763	. . . 4 ⊢ (iEdg‘𝐺) = (iEdg‘𝐺)
3		eqid 2763	. . . 4 ⊢ dom (iEdg‘𝐺) = dom (iEdg‘𝐺)
4		eqid 2763	. . . 4 ⊢ (VtxDeg‘𝐺) = (VtxDeg‘𝐺)
5	1, 2, 3, 4	vtxdumgrval 30124	. . 3 ⊢ ((𝐺 ∈ UMGraph ∧ 𝑁 ∈ 𝑉) → ((VtxDeg‘𝐺)‘𝑁) = (♯‘{𝑥 ∈ dom (iEdg‘𝐺) ∣ 𝑁 ∈ ((iEdg‘𝐺)‘𝑥)}))
6	5	ad2ant2lr 761	. 2 ⊢ (((𝐺 ∈ ConnGraph ∧ 𝐺 ∈ UMGraph) ∧ (𝑁 ∈ 𝑉 ∧ 1 < (♯‘𝑉))) → ((VtxDeg‘𝐺)‘𝑁) = (♯‘{𝑥 ∈ dom (iEdg‘𝐺) ∣ 𝑁 ∈ ((iEdg‘𝐺)‘𝑥)}))
7		umgruhgr 29739	. . . . . . . 8 ⊢ (𝐺 ∈ UMGraph → 𝐺 ∈ UHGraph)
8	2	uhgrfun 29701	. . . . . . . 8 ⊢ (𝐺 ∈ UHGraph → Fun (iEdg‘𝐺))
9		funfn 6598	. . . . . . . . 9 ⊢ (Fun (iEdg‘𝐺) ↔ (iEdg‘𝐺) Fn dom (iEdg‘𝐺))
10	9	biimpi 219	. . . . . . . 8 ⊢ (Fun (iEdg‘𝐺) → (iEdg‘𝐺) Fn dom (iEdg‘𝐺))
11	7, 8, 10	3syl 19	. . . . . . 7 ⊢ (𝐺 ∈ UMGraph → (iEdg‘𝐺) Fn dom (iEdg‘𝐺))
12	11	adantl 487	. . . . . 6 ⊢ ((𝐺 ∈ ConnGraph ∧ 𝐺 ∈ UMGraph) → (iEdg‘𝐺) Fn dom (iEdg‘𝐺))
13	12	adantr 486	. . . . 5 ⊢ (((𝐺 ∈ ConnGraph ∧ 𝐺 ∈ UMGraph) ∧ (𝑁 ∈ 𝑉 ∧ 1 < (♯‘𝑉))) → (iEdg‘𝐺) Fn dom (iEdg‘𝐺))
14		simpl 488	. . . . . . 7 ⊢ ((𝐺 ∈ ConnGraph ∧ 𝐺 ∈ UMGraph) → 𝐺 ∈ ConnGraph)
15	14	adantr 486	. . . . . 6 ⊢ (((𝐺 ∈ ConnGraph ∧ 𝐺 ∈ UMGraph) ∧ (𝑁 ∈ 𝑉 ∧ 1 < (♯‘𝑉))) → 𝐺 ∈ ConnGraph)
16		simpl 488	. . . . . . 7 ⊢ ((𝑁 ∈ 𝑉 ∧ 1 < (♯‘𝑉)) → 𝑁 ∈ 𝑉)
17	16	adantl 487	. . . . . 6 ⊢ (((𝐺 ∈ ConnGraph ∧ 𝐺 ∈ UMGraph) ∧ (𝑁 ∈ 𝑉 ∧ 1 < (♯‘𝑉))) → 𝑁 ∈ 𝑉)
18		simprr 785	. . . . . 6 ⊢ (((𝐺 ∈ ConnGraph ∧ 𝐺 ∈ UMGraph) ∧ (𝑁 ∈ 𝑉 ∧ 1 < (♯‘𝑉))) → 1 < (♯‘𝑉))
19	1, 2	conngrv2edg 30853	. . . . . 6 ⊢ ((𝐺 ∈ ConnGraph ∧ 𝑁 ∈ 𝑉 ∧ 1 < (♯‘𝑉)) → ∃𝑒 ∈ ran (iEdg‘𝐺)𝑁 ∈ 𝑒)
20	15, 17, 18, 19	syl3anc 1399	. . . . 5 ⊢ (((𝐺 ∈ ConnGraph ∧ 𝐺 ∈ UMGraph) ∧ (𝑁 ∈ 𝑉 ∧ 1 < (♯‘𝑉))) → ∃𝑒 ∈ ran (iEdg‘𝐺)𝑁 ∈ 𝑒)
21		eleq2 2853	. . . . . . 7 ⊢ (𝑒 = ((iEdg‘𝐺)‘𝑥) → (𝑁 ∈ 𝑒 ↔ 𝑁 ∈ ((iEdg‘𝐺)‘𝑥)))
22	21	rexrn 7119	. . . . . 6 ⊢ ((iEdg‘𝐺) Fn dom (iEdg‘𝐺) → (∃𝑒 ∈ ran (iEdg‘𝐺)𝑁 ∈ 𝑒 ↔ ∃𝑥 ∈ dom (iEdg‘𝐺)𝑁 ∈ ((iEdg‘𝐺)‘𝑥)))
23	22	biimpd 232	. . . . 5 ⊢ ((iEdg‘𝐺) Fn dom (iEdg‘𝐺) → (∃𝑒 ∈ ran (iEdg‘𝐺)𝑁 ∈ 𝑒 → ∃𝑥 ∈ dom (iEdg‘𝐺)𝑁 ∈ ((iEdg‘𝐺)‘𝑥)))
24	13, 20, 23	sylc 66	. . . 4 ⊢ (((𝐺 ∈ ConnGraph ∧ 𝐺 ∈ UMGraph) ∧ (𝑁 ∈ 𝑉 ∧ 1 < (♯‘𝑉))) → ∃𝑥 ∈ dom (iEdg‘𝐺)𝑁 ∈ ((iEdg‘𝐺)‘𝑥))
25		dfrex2 3093	. . . 4 ⊢ (∃𝑥 ∈ dom (iEdg‘𝐺)𝑁 ∈ ((iEdg‘𝐺)‘𝑥) ↔ ¬ ∀𝑥 ∈ dom (iEdg‘𝐺) ¬ 𝑁 ∈ ((iEdg‘𝐺)‘𝑥))
26	24, 25	sylib 221	. . 3 ⊢ (((𝐺 ∈ ConnGraph ∧ 𝐺 ∈ UMGraph) ∧ (𝑁 ∈ 𝑉 ∧ 1 < (♯‘𝑉))) → ¬ ∀𝑥 ∈ dom (iEdg‘𝐺) ¬ 𝑁 ∈ ((iEdg‘𝐺)‘𝑥))
27		fvex 6929	. . . . . . . 8 ⊢ (iEdg‘𝐺) ∈ V
28	27	dmex 7955	. . . . . . 7 ⊢ dom (iEdg‘𝐺) ∈ V
29	28	a1i 11	. . . . . 6 ⊢ (((𝐺 ∈ ConnGraph ∧ 𝐺 ∈ UMGraph) ∧ (𝑁 ∈ 𝑉 ∧ 1 < (♯‘𝑉))) → dom (iEdg‘𝐺) ∈ V)
30		rabexg 5306	. . . . . 6 ⊢ (dom (iEdg‘𝐺) ∈ V → {𝑥 ∈ dom (iEdg‘𝐺) ∣ 𝑁 ∈ ((iEdg‘𝐺)‘𝑥)} ∈ V)
31		hasheq0 14548	. . . . . 6 ⊢ ({𝑥 ∈ dom (iEdg‘𝐺) ∣ 𝑁 ∈ ((iEdg‘𝐺)‘𝑥)} ∈ V → ((♯‘{𝑥 ∈ dom (iEdg‘𝐺) ∣ 𝑁 ∈ ((iEdg‘𝐺)‘𝑥)}) = 0 ↔ {𝑥 ∈ dom (iEdg‘𝐺) ∣ 𝑁 ∈ ((iEdg‘𝐺)‘𝑥)} = ∅))
32	29, 30, 31	3syl 19	. . . . 5 ⊢ (((𝐺 ∈ ConnGraph ∧ 𝐺 ∈ UMGraph) ∧ (𝑁 ∈ 𝑉 ∧ 1 < (♯‘𝑉))) → ((♯‘{𝑥 ∈ dom (iEdg‘𝐺) ∣ 𝑁 ∈ ((iEdg‘𝐺)‘𝑥)}) = 0 ↔ {𝑥 ∈ dom (iEdg‘𝐺) ∣ 𝑁 ∈ ((iEdg‘𝐺)‘𝑥)} = ∅))
33		rabeq0 4341	. . . . 5 ⊢ ({𝑥 ∈ dom (iEdg‘𝐺) ∣ 𝑁 ∈ ((iEdg‘𝐺)‘𝑥)} = ∅ ↔ ∀𝑥 ∈ dom (iEdg‘𝐺) ¬ 𝑁 ∈ ((iEdg‘𝐺)‘𝑥))
34	32, 33	bitrdi 290	. . . 4 ⊢ (((𝐺 ∈ ConnGraph ∧ 𝐺 ∈ UMGraph) ∧ (𝑁 ∈ 𝑉 ∧ 1 < (♯‘𝑉))) → ((♯‘{𝑥 ∈ dom (iEdg‘𝐺) ∣ 𝑁 ∈ ((iEdg‘𝐺)‘𝑥)}) = 0 ↔ ∀𝑥 ∈ dom (iEdg‘𝐺) ¬ 𝑁 ∈ ((iEdg‘𝐺)‘𝑥)))
35	34	necon3abid 2995	. . 3 ⊢ (((𝐺 ∈ ConnGraph ∧ 𝐺 ∈ UMGraph) ∧ (𝑁 ∈ 𝑉 ∧ 1 < (♯‘𝑉))) → ((♯‘{𝑥 ∈ dom (iEdg‘𝐺) ∣ 𝑁 ∈ ((iEdg‘𝐺)‘𝑥)}) ≠ 0 ↔ ¬ ∀𝑥 ∈ dom (iEdg‘𝐺) ¬ 𝑁 ∈ ((iEdg‘𝐺)‘𝑥)))
36	26, 35	mpbird 260	. 2 ⊢ (((𝐺 ∈ ConnGraph ∧ 𝐺 ∈ UMGraph) ∧ (𝑁 ∈ 𝑉 ∧ 1 < (♯‘𝑉))) → (♯‘{𝑥 ∈ dom (iEdg‘𝐺) ∣ 𝑁 ∈ ((iEdg‘𝐺)‘𝑥)}) ≠ 0)
37	6, 36	eqnetrd 3026	1 ⊢ (((𝐺 ∈ ConnGraph ∧ 𝐺 ∈ UMGraph) ∧ (𝑁 ∈ 𝑉 ∧ 1 < (♯‘𝑉))) → ((VtxDeg‘𝐺)‘𝑁) ≠ 0)

This proof depends on syntax axioms:  ¬ wn 3   → wi 4   ↔ wb 209   ∧ wa 401   = wceq 1570   ∈ wcel 2147   ≠ wne 2959  ∀wral 3080  ∃wrex 3090  {crab 3416  Vcvv 3454  ∅c0 4281   class class class wbr 5108  dom cdm 5658  ran crn 5659  Fun wfun 6560   Fn wfn 6561  ‘cfv 6566  0cc0 11239  1c1 11240   < clt 11382  ♯chash 14515  Vtxcvtx 29631  iEdgciedg 29632  UHGraphcuhgr 29691  UMGraphcumgr 29716  VtxDegcvtxdg 30103  ConnGraphcconngr 30844

This proof depends on axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1828  ax-4 1842  ax-5 1945  ax-6 2002  ax-7 2043  ax-8 2149  ax-9 2157  ax-10 2180  ax-11 2197  ax-12 2216  ax-ext 2735  ax-rep 5238  ax-sep 5255  ax-nul 5266  ax-pow 5334  ax-pr 5398  ax-un 7783  ax-cnex 11295  ax-resscn 11296  ax-1cn 11297  ax-icn 11298  ax-addcl 11299  ax-addrcl 11300  ax-mulcl 11301  ax-mulrcl 11302  ax-mulcom 11303  ax-addass 11304  ax-mulass 11305  ax-distr 11306  ax-i2m1 11307  ax-1ne0 11308  ax-1rid 11309  ax-rnegex 11310  ax-rrecex 11311  ax-cnre 11312  ax-pre-lttri 11313  ax-pre-lttrn 11314  ax-pre-ltadd 11315  ax-pre-mulgt0 11316

This proof depends on definitions:  df-bi 210  df-an 402  df-or 862  df-ifp 1079  df-3or 1104  df-3an 1105  df-tru 1573  df-fal 1583  df-ex 1813  df-nf 1817  df-sb 2102  df-mo 2567  df-eu 2597  df-clab 2742  df-cleq 2755  df-clel 2839  df-nfc 2913  df-ne 2960  df-nel 3066  df-ral 3081  df-rex 3091  df-reu 3370  df-rab 3417  df-v 3456  df-sbc 3743  df-csb 3852  df-ss 3901  df-pss 4017  df-dif 4050  df-in 4094  df-un 4154  df-nul 4282  df-if 4486  df-pw 4562  df-sn 4589  df-pr 4591  df-op 4841  df-uni 4873  df-int 4913  df-iun 4958  df-br 5109  df-opab 5174  df-mpt 5193  df-tr 5219  df-id 5553  df-eprel 5558  df-po 5566  df-so 5567  df-fr 5611  df-we 5613  df-xp 5664  df-rel 5665  df-cnv 5666  df-co 5667  df-dm 5668  df-rn 5669  df-res 5670  df-ima 5671  df-pred 6330  df-ord 6391  df-on 6392  df-lim 6393  df-suc 6394  df-iota 6520  df-fun 6568  df-fn 6569  df-f 6570  df-f1 6571  df-fo 6572  df-f1o 6573  df-fv 6574  df-riota 7408  df-ov 7454  df-oprab 7455  df-mpo 7456  df-om 7912  df-1st 8035  df-2nd 8036  df-frecs 8337  df-wrecs 8368  df-recs 8417  df-rdg 8456  df-1o 8514  df-er 8755  df-map 8887  df-en 9012  df-dom 9013  df-sdom 9014  df-fin 9015  df-card 10057  df-pnf 11384  df-mnf 11385  df-xr 11386  df-ltxr 11387  df-le 11388  df-sub 11582  df-neg 11583  df-nn 12376  df-2 12445  df-n0 12647  df-xnn0 12720  df-z 12734  df-uz 13006  df-xadd 13282  df-fz 13680  df-fzo 13829  df-hash 14516  df-word 14700  df-uhgr 29693  df-upgr 29717  df-umgr 29718  df-vtxdg 30104  df-wlks 30237  df-wlkson 30238  df-trlson 30333  df-pthson 30358  df-conngr 30845

This theorem is used by:  vdgn0frgrv2  30953