Theorem vdn0conngrumgrv2 30618

Description: A vertex in a connected multigraph with more than one vertex cannot have degree 0. (Contributed by Alexander van der Vekens, 9-Dec-2017.) (Revised by AV, 4-Apr-2021.)

Hypothesis

Ref	Expression
vdn0conngrv2.v	⊢ 𝑉 = (Vtx‘𝐺)

Assertion

Ref	Expression
vdn0conngrumgrv2	⊢ (((𝐺 ∈ ConnGraph ∧ 𝐺 ∈ UMGraph) ∧ (𝑁 ∈ 𝑉 ∧ 1 < (♯‘𝑉))) → ((VtxDeg‘𝐺)‘𝑁) ≠ 0)

Proof of Theorem vdn0conngrumgrv2

Dummy variables 𝑒 𝑥 are mutually distinct and distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		vdn0conngrv2.v	. . . 4 ⊢ 𝑉 = (Vtx‘𝐺)
2		eqid 2765	. . . 4 ⊢ (iEdg‘𝐺) = (iEdg‘𝐺)
3		eqid 2765	. . . 4 ⊢ dom (iEdg‘𝐺) = dom (iEdg‘𝐺)
4		eqid 2765	. . . 4 ⊢ (VtxDeg‘𝐺) = (VtxDeg‘𝐺)
5	1, 2, 3, 4	vtxdumgrval 29894	. . 3 ⊢ ((𝐺 ∈ UMGraph ∧ 𝑁 ∈ 𝑉) → ((VtxDeg‘𝐺)‘𝑁) = (♯‘{𝑥 ∈ dom (iEdg‘𝐺) ∣ 𝑁 ∈ ((iEdg‘𝐺)‘𝑥)}))
6	5	ad2ant2lr 761	. 2 ⊢ (((𝐺 ∈ ConnGraph ∧ 𝐺 ∈ UMGraph) ∧ (𝑁 ∈ 𝑉 ∧ 1 < (♯‘𝑉))) → ((VtxDeg‘𝐺)‘𝑁) = (♯‘{𝑥 ∈ dom (iEdg‘𝐺) ∣ 𝑁 ∈ ((iEdg‘𝐺)‘𝑥)}))
7		umgruhgr 29509	. . . . . . . 8 ⊢ (𝐺 ∈ UMGraph → 𝐺 ∈ UHGraph)
8	2	uhgrfun 29471	. . . . . . . 8 ⊢ (𝐺 ∈ UHGraph → Fun (iEdg‘𝐺))
9		funfn 6570	. . . . . . . . 9 ⊢ (Fun (iEdg‘𝐺) ↔ (iEdg‘𝐺) Fn dom (iEdg‘𝐺))
10	9	biimpi 219	. . . . . . . 8 ⊢ (Fun (iEdg‘𝐺) → (iEdg‘𝐺) Fn dom (iEdg‘𝐺))
11	7, 8, 10	3syl 19	. . . . . . 7 ⊢ (𝐺 ∈ UMGraph → (iEdg‘𝐺) Fn dom (iEdg‘𝐺))
12	11	adantl 487	. . . . . 6 ⊢ ((𝐺 ∈ ConnGraph ∧ 𝐺 ∈ UMGraph) → (iEdg‘𝐺) Fn dom (iEdg‘𝐺))
13	12	adantr 486	. . . . 5 ⊢ (((𝐺 ∈ ConnGraph ∧ 𝐺 ∈ UMGraph) ∧ (𝑁 ∈ 𝑉 ∧ 1 < (♯‘𝑉))) → (iEdg‘𝐺) Fn dom (iEdg‘𝐺))
14		simpl 488	. . . . . . 7 ⊢ ((𝐺 ∈ ConnGraph ∧ 𝐺 ∈ UMGraph) → 𝐺 ∈ ConnGraph)
15	14	adantr 486	. . . . . 6 ⊢ (((𝐺 ∈ ConnGraph ∧ 𝐺 ∈ UMGraph) ∧ (𝑁 ∈ 𝑉 ∧ 1 < (♯‘𝑉))) → 𝐺 ∈ ConnGraph)
16		simpl 488	. . . . . . 7 ⊢ ((𝑁 ∈ 𝑉 ∧ 1 < (♯‘𝑉)) → 𝑁 ∈ 𝑉)
17	16	adantl 487	. . . . . 6 ⊢ (((𝐺 ∈ ConnGraph ∧ 𝐺 ∈ UMGraph) ∧ (𝑁 ∈ 𝑉 ∧ 1 < (♯‘𝑉))) → 𝑁 ∈ 𝑉)
18		simprr 785	. . . . . 6 ⊢ (((𝐺 ∈ ConnGraph ∧ 𝐺 ∈ UMGraph) ∧ (𝑁 ∈ 𝑉 ∧ 1 < (♯‘𝑉))) → 1 < (♯‘𝑉))
19	1, 2	conngrv2edg 30617	. . . . . 6 ⊢ ((𝐺 ∈ ConnGraph ∧ 𝑁 ∈ 𝑉 ∧ 1 < (♯‘𝑉)) → ∃𝑒 ∈ ran (iEdg‘𝐺)𝑁 ∈ 𝑒)
20	15, 17, 18, 19	syl3anc 1398	. . . . 5 ⊢ (((𝐺 ∈ ConnGraph ∧ 𝐺 ∈ UMGraph) ∧ (𝑁 ∈ 𝑉 ∧ 1 < (♯‘𝑉))) → ∃𝑒 ∈ ran (iEdg‘𝐺)𝑁 ∈ 𝑒)
21		eleq2 2854	. . . . . . 7 ⊢ (𝑒 = ((iEdg‘𝐺)‘𝑥) → (𝑁 ∈ 𝑒 ↔ 𝑁 ∈ ((iEdg‘𝐺)‘𝑥)))
22	21	rexrn 7086	. . . . . 6 ⊢ ((iEdg‘𝐺) Fn dom (iEdg‘𝐺) → (∃𝑒 ∈ ran (iEdg‘𝐺)𝑁 ∈ 𝑒 ↔ ∃𝑥 ∈ dom (iEdg‘𝐺)𝑁 ∈ ((iEdg‘𝐺)‘𝑥)))
23	22	biimpd 232	. . . . 5 ⊢ ((iEdg‘𝐺) Fn dom (iEdg‘𝐺) → (∃𝑒 ∈ ran (iEdg‘𝐺)𝑁 ∈ 𝑒 → ∃𝑥 ∈ dom (iEdg‘𝐺)𝑁 ∈ ((iEdg‘𝐺)‘𝑥)))
24	13, 20, 23	sylc 66	. . . 4 ⊢ (((𝐺 ∈ ConnGraph ∧ 𝐺 ∈ UMGraph) ∧ (𝑁 ∈ 𝑉 ∧ 1 < (♯‘𝑉))) → ∃𝑥 ∈ dom (iEdg‘𝐺)𝑁 ∈ ((iEdg‘𝐺)‘𝑥))
25		dfrex2 3094	. . . 4 ⊢ (∃𝑥 ∈ dom (iEdg‘𝐺)𝑁 ∈ ((iEdg‘𝐺)‘𝑥) ↔ ¬ ∀𝑥 ∈ dom (iEdg‘𝐺) ¬ 𝑁 ∈ ((iEdg‘𝐺)‘𝑥))
26	24, 25	sylib 221	. . 3 ⊢ (((𝐺 ∈ ConnGraph ∧ 𝐺 ∈ UMGraph) ∧ (𝑁 ∈ 𝑉 ∧ 1 < (♯‘𝑉))) → ¬ ∀𝑥 ∈ dom (iEdg‘𝐺) ¬ 𝑁 ∈ ((iEdg‘𝐺)‘𝑥))
27		fvex 6898	. . . . . . . 8 ⊢ (iEdg‘𝐺) ∈ V
28	27	dmex 7912	. . . . . . 7 ⊢ dom (iEdg‘𝐺) ∈ V
29	28	a1i 11	. . . . . 6 ⊢ (((𝐺 ∈ ConnGraph ∧ 𝐺 ∈ UMGraph) ∧ (𝑁 ∈ 𝑉 ∧ 1 < (♯‘𝑉))) → dom (iEdg‘𝐺) ∈ V)
30		rabexg 5310	. . . . . 6 ⊢ (dom (iEdg‘𝐺) ∈ V → {𝑥 ∈ dom (iEdg‘𝐺) ∣ 𝑁 ∈ ((iEdg‘𝐺)‘𝑥)} ∈ V)
31		hasheq0 14417	. . . . . 6 ⊢ ({𝑥 ∈ dom (iEdg‘𝐺) ∣ 𝑁 ∈ ((iEdg‘𝐺)‘𝑥)} ∈ V → ((♯‘{𝑥 ∈ dom (iEdg‘𝐺) ∣ 𝑁 ∈ ((iEdg‘𝐺)‘𝑥)}) = 0 ↔ {𝑥 ∈ dom (iEdg‘𝐺) ∣ 𝑁 ∈ ((iEdg‘𝐺)‘𝑥)} = ∅))
32	29, 30, 31	3syl 19	. . . . 5 ⊢ (((𝐺 ∈ ConnGraph ∧ 𝐺 ∈ UMGraph) ∧ (𝑁 ∈ 𝑉 ∧ 1 < (♯‘𝑉))) → ((♯‘{𝑥 ∈ dom (iEdg‘𝐺) ∣ 𝑁 ∈ ((iEdg‘𝐺)‘𝑥)}) = 0 ↔ {𝑥 ∈ dom (iEdg‘𝐺) ∣ 𝑁 ∈ ((iEdg‘𝐺)‘𝑥)} = ∅))
33		rabeq0 4345	. . . . 5 ⊢ ({𝑥 ∈ dom (iEdg‘𝐺) ∣ 𝑁 ∈ ((iEdg‘𝐺)‘𝑥)} = ∅ ↔ ∀𝑥 ∈ dom (iEdg‘𝐺) ¬ 𝑁 ∈ ((iEdg‘𝐺)‘𝑥))
34	32, 33	bitrdi 290	. . . 4 ⊢ (((𝐺 ∈ ConnGraph ∧ 𝐺 ∈ UMGraph) ∧ (𝑁 ∈ 𝑉 ∧ 1 < (♯‘𝑉))) → ((♯‘{𝑥 ∈ dom (iEdg‘𝐺) ∣ 𝑁 ∈ ((iEdg‘𝐺)‘𝑥)}) = 0 ↔ ∀𝑥 ∈ dom (iEdg‘𝐺) ¬ 𝑁 ∈ ((iEdg‘𝐺)‘𝑥)))
35	34	necon3abid 2996	. . 3 ⊢ (((𝐺 ∈ ConnGraph ∧ 𝐺 ∈ UMGraph) ∧ (𝑁 ∈ 𝑉 ∧ 1 < (♯‘𝑉))) → ((♯‘{𝑥 ∈ dom (iEdg‘𝐺) ∣ 𝑁 ∈ ((iEdg‘𝐺)‘𝑥)}) ≠ 0 ↔ ¬ ∀𝑥 ∈ dom (iEdg‘𝐺) ¬ 𝑁 ∈ ((iEdg‘𝐺)‘𝑥)))
36	26, 35	mpbird 260	. 2 ⊢ (((𝐺 ∈ ConnGraph ∧ 𝐺 ∈ UMGraph) ∧ (𝑁 ∈ 𝑉 ∧ 1 < (♯‘𝑉))) → (♯‘{𝑥 ∈ dom (iEdg‘𝐺) ∣ 𝑁 ∈ ((iEdg‘𝐺)‘𝑥)}) ≠ 0)
37	6, 36	eqnetrd 3027	1 ⊢ (((𝐺 ∈ ConnGraph ∧ 𝐺 ∈ UMGraph) ∧ (𝑁 ∈ 𝑉 ∧ 1 < (♯‘𝑉))) → ((VtxDeg‘𝐺)‘𝑁) ≠ 0)

This proof depends on syntax axioms:  ¬ wn 3   → wi 4   ↔ wb 209   ∧ wa 401   = wceq 1570   ∈ wcel 2146   ≠ wne 2960  ∀wral 3081  ∃wrex 3091  {crab 3418  Vcvv 3457  ∅c0 4286   class class class wbr 5111  dom cdm 5663  ran crn 5664  Fun wfun 6534   Fn wfn 6535  ‘cfv 6540  0cc0 11115  1c1 11116   < clt 11258  ♯chash 14384  Vtxcvtx 29401  iEdgciedg 29402  UHGraphcuhgr 29461  UMGraphcumgr 29486  VtxDegcvtxdg 29873  ConnGraphcconngr 30608

This proof depends on axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1828  ax-4 1842  ax-5 1943  ax-6 2000  ax-7 2041  ax-8 2148  ax-9 2156  ax-10 2179  ax-11 2195  ax-12 2216  ax-ext 2737  ax-rep 5240  ax-sep 5259  ax-nul 5271  ax-pow 5338  ax-pr 5406  ax-un 7742  ax-cnex 11171  ax-resscn 11172  ax-1cn 11173  ax-icn 11174  ax-addcl 11175  ax-addrcl 11176  ax-mulcl 11177  ax-mulrcl 11178  ax-mulcom 11179  ax-addass 11180  ax-mulass 11181  ax-distr 11182  ax-i2m1 11183  ax-1ne0 11184  ax-1rid 11185  ax-rnegex 11186  ax-rrecex 11187  ax-cnre 11188  ax-pre-lttri 11189  ax-pre-lttrn 11190  ax-pre-ltadd 11191  ax-pre-mulgt0 11192

This proof depends on definitions:  df-bi 210  df-an 402  df-or 862  df-ifp 1079  df-3or 1104  df-3an 1105  df-tru 1573  df-fal 1583  df-ex 1813  df-nf 1817  df-sb 2100  df-mo 2569  df-eu 2599  df-clab 2744  df-cleq 2757  df-clel 2840  df-nfc 2914  df-ne 2961  df-nel 3067  df-ral 3082  df-rex 3092  df-reu 3372  df-rab 3419  df-v 3459  df-sbc 3747  df-csb 3855  df-dif 3909  df-un 3911  df-in 3913  df-ss 3923  df-pss 3926  df-nul 4287  df-if 4490  df-pw 4566  df-sn 4592  df-pr 4594  df-op 4598  df-uni 4875  df-int 4915  df-iun 4960  df-br 5112  df-opab 5176  df-mpt 5195  df-tr 5221  df-id 5558  df-eprel 5563  df-po 5571  df-so 5572  df-fr 5616  df-we 5618  df-xp 5669  df-rel 5670  df-cnv 5671  df-co 5672  df-dm 5673  df-rn 5674  df-res 5675  df-ima 5676  df-pred 6306  df-ord 6367  df-on 6368  df-lim 6369  df-suc 6370  df-iota 6496  df-fun 6542  df-fn 6543  df-f 6544  df-f1 6545  df-fo 6546  df-f1o 6547  df-fv 6548  df-riota 7376  df-ov 7422  df-oprab 7423  df-mpo 7424  df-om 7869  df-1st 7992  df-2nd 7993  df-frecs 8284  df-wrecs 8315  df-recs 8364  df-rdg 8403  df-1o 8459  df-er 8700  df-map 8832  df-en 8950  df-dom 8951  df-sdom 8952  df-fin 8953  df-card 9941  df-pnf 11260  df-mnf 11261  df-xr 11262  df-ltxr 11263  df-le 11264  df-sub 11458  df-neg 11459  df-nn 12249  df-2 12318  df-n0 12520  df-xnn0 12593  df-z 12607  df-uz 12879  df-xadd 13154  df-fz 13552  df-fzo 13700  df-hash 14385  df-word 14569  df-uhgr 29463  df-upgr 29487  df-umgr 29488  df-vtxdg 29874  df-wlks 30007  df-wlkson 30008  df-trlson 30103  df-pthson 30128  df-conngr 30609

This theorem is used by:  vdgn0frgrv2  30717