Theorem vdn0conngrumgrv2 30676

Description: A vertex in a connected multigraph with more than one vertex cannot have degree 0. (Contributed by Alexander van der Vekens, 9-Dec-2017.) (Revised by AV, 4-Apr-2021.)

Hypothesis

Ref	Expression
vdn0conngrv2.v	⊢ 𝑉 = (Vtx‘𝐺)

Assertion

Ref	Expression
vdn0conngrumgrv2	⊢ (((𝐺 ∈ ConnGraph ∧ 𝐺 ∈ UMGraph) ∧ (𝑁 ∈ 𝑉 ∧ 1 < (♯‘𝑉))) → ((VtxDeg‘𝐺)‘𝑁) ≠ 0)

Proof of Theorem vdn0conngrumgrv2

Dummy variables 𝑒 𝑥 are mutually distinct and distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		vdn0conngrv2.v	. . . 4 ⊢ 𝑉 = (Vtx‘𝐺)
2		eqid 2760	. . . 4 ⊢ (iEdg‘𝐺) = (iEdg‘𝐺)
3		eqid 2760	. . . 4 ⊢ dom (iEdg‘𝐺) = dom (iEdg‘𝐺)
4		eqid 2760	. . . 4 ⊢ (VtxDeg‘𝐺) = (VtxDeg‘𝐺)
5	1, 2, 3, 4	vtxdumgrval 29946	. . 3 ⊢ ((𝐺 ∈ UMGraph ∧ 𝑁 ∈ 𝑉) → ((VtxDeg‘𝐺)‘𝑁) = (♯‘{𝑥 ∈ dom (iEdg‘𝐺) ∣ 𝑁 ∈ ((iEdg‘𝐺)‘𝑥)}))
6	5	ad2ant2lr 761	. 2 ⊢ (((𝐺 ∈ ConnGraph ∧ 𝐺 ∈ UMGraph) ∧ (𝑁 ∈ 𝑉 ∧ 1 < (♯‘𝑉))) → ((VtxDeg‘𝐺)‘𝑁) = (♯‘{𝑥 ∈ dom (iEdg‘𝐺) ∣ 𝑁 ∈ ((iEdg‘𝐺)‘𝑥)}))
7		umgruhgr 29561	. . . . . . . 8 ⊢ (𝐺 ∈ UMGraph → 𝐺 ∈ UHGraph)
8	2	uhgrfun 29523	. . . . . . . 8 ⊢ (𝐺 ∈ UHGraph → Fun (iEdg‘𝐺))
9		funfn 6563	. . . . . . . . 9 ⊢ (Fun (iEdg‘𝐺) ↔ (iEdg‘𝐺) Fn dom (iEdg‘𝐺))
10	9	biimpi 219	. . . . . . . 8 ⊢ (Fun (iEdg‘𝐺) → (iEdg‘𝐺) Fn dom (iEdg‘𝐺))
11	7, 8, 10	3syl 19	. . . . . . 7 ⊢ (𝐺 ∈ UMGraph → (iEdg‘𝐺) Fn dom (iEdg‘𝐺))
12	11	adantl 487	. . . . . 6 ⊢ ((𝐺 ∈ ConnGraph ∧ 𝐺 ∈ UMGraph) → (iEdg‘𝐺) Fn dom (iEdg‘𝐺))
13	12	adantr 486	. . . . 5 ⊢ (((𝐺 ∈ ConnGraph ∧ 𝐺 ∈ UMGraph) ∧ (𝑁 ∈ 𝑉 ∧ 1 < (♯‘𝑉))) → (iEdg‘𝐺) Fn dom (iEdg‘𝐺))
14		simpl 488	. . . . . . 7 ⊢ ((𝐺 ∈ ConnGraph ∧ 𝐺 ∈ UMGraph) → 𝐺 ∈ ConnGraph)
15	14	adantr 486	. . . . . 6 ⊢ (((𝐺 ∈ ConnGraph ∧ 𝐺 ∈ UMGraph) ∧ (𝑁 ∈ 𝑉 ∧ 1 < (♯‘𝑉))) → 𝐺 ∈ ConnGraph)
16		simpl 488	. . . . . . 7 ⊢ ((𝑁 ∈ 𝑉 ∧ 1 < (♯‘𝑉)) → 𝑁 ∈ 𝑉)
17	16	adantl 487	. . . . . 6 ⊢ (((𝐺 ∈ ConnGraph ∧ 𝐺 ∈ UMGraph) ∧ (𝑁 ∈ 𝑉 ∧ 1 < (♯‘𝑉))) → 𝑁 ∈ 𝑉)
18		simprr 785	. . . . . 6 ⊢ (((𝐺 ∈ ConnGraph ∧ 𝐺 ∈ UMGraph) ∧ (𝑁 ∈ 𝑉 ∧ 1 < (♯‘𝑉))) → 1 < (♯‘𝑉))
19	1, 2	conngrv2edg 30675	. . . . . 6 ⊢ ((𝐺 ∈ ConnGraph ∧ 𝑁 ∈ 𝑉 ∧ 1 < (♯‘𝑉)) → ∃𝑒 ∈ ran (iEdg‘𝐺)𝑁 ∈ 𝑒)
20	15, 17, 18, 19	syl3anc 1398	. . . . 5 ⊢ (((𝐺 ∈ ConnGraph ∧ 𝐺 ∈ UMGraph) ∧ (𝑁 ∈ 𝑉 ∧ 1 < (♯‘𝑉))) → ∃𝑒 ∈ ran (iEdg‘𝐺)𝑁 ∈ 𝑒)
21		eleq2 2849	. . . . . . 7 ⊢ (𝑒 = ((iEdg‘𝐺)‘𝑥) → (𝑁 ∈ 𝑒 ↔ 𝑁 ∈ ((iEdg‘𝐺)‘𝑥)))
22	21	rexrn 7080	. . . . . 6 ⊢ ((iEdg‘𝐺) Fn dom (iEdg‘𝐺) → (∃𝑒 ∈ ran (iEdg‘𝐺)𝑁 ∈ 𝑒 ↔ ∃𝑥 ∈ dom (iEdg‘𝐺)𝑁 ∈ ((iEdg‘𝐺)‘𝑥)))
23	22	biimpd 232	. . . . 5 ⊢ ((iEdg‘𝐺) Fn dom (iEdg‘𝐺) → (∃𝑒 ∈ ran (iEdg‘𝐺)𝑁 ∈ 𝑒 → ∃𝑥 ∈ dom (iEdg‘𝐺)𝑁 ∈ ((iEdg‘𝐺)‘𝑥)))
24	13, 20, 23	sylc 66	. . . 4 ⊢ (((𝐺 ∈ ConnGraph ∧ 𝐺 ∈ UMGraph) ∧ (𝑁 ∈ 𝑉 ∧ 1 < (♯‘𝑉))) → ∃𝑥 ∈ dom (iEdg‘𝐺)𝑁 ∈ ((iEdg‘𝐺)‘𝑥))
25		dfrex2 3089	. . . 4 ⊢ (∃𝑥 ∈ dom (iEdg‘𝐺)𝑁 ∈ ((iEdg‘𝐺)‘𝑥) ↔ ¬ ∀𝑥 ∈ dom (iEdg‘𝐺) ¬ 𝑁 ∈ ((iEdg‘𝐺)‘𝑥))
26	24, 25	sylib 221	. . 3 ⊢ (((𝐺 ∈ ConnGraph ∧ 𝐺 ∈ UMGraph) ∧ (𝑁 ∈ 𝑉 ∧ 1 < (♯‘𝑉))) → ¬ ∀𝑥 ∈ dom (iEdg‘𝐺) ¬ 𝑁 ∈ ((iEdg‘𝐺)‘𝑥))
27		fvex 6891	. . . . . . . 8 ⊢ (iEdg‘𝐺) ∈ V
28	27	dmex 7906	. . . . . . 7 ⊢ dom (iEdg‘𝐺) ∈ V
29	28	a1i 11	. . . . . 6 ⊢ (((𝐺 ∈ ConnGraph ∧ 𝐺 ∈ UMGraph) ∧ (𝑁 ∈ 𝑉 ∧ 1 < (♯‘𝑉))) → dom (iEdg‘𝐺) ∈ V)
30		rabexg 5302	. . . . . 6 ⊢ (dom (iEdg‘𝐺) ∈ V → {𝑥 ∈ dom (iEdg‘𝐺) ∣ 𝑁 ∈ ((iEdg‘𝐺)‘𝑥)} ∈ V)
31		hasheq0 14427	. . . . . 6 ⊢ ({𝑥 ∈ dom (iEdg‘𝐺) ∣ 𝑁 ∈ ((iEdg‘𝐺)‘𝑥)} ∈ V → ((♯‘{𝑥 ∈ dom (iEdg‘𝐺) ∣ 𝑁 ∈ ((iEdg‘𝐺)‘𝑥)}) = 0 ↔ {𝑥 ∈ dom (iEdg‘𝐺) ∣ 𝑁 ∈ ((iEdg‘𝐺)‘𝑥)} = ∅))
32	29, 30, 31	3syl 19	. . . . 5 ⊢ (((𝐺 ∈ ConnGraph ∧ 𝐺 ∈ UMGraph) ∧ (𝑁 ∈ 𝑉 ∧ 1 < (♯‘𝑉))) → ((♯‘{𝑥 ∈ dom (iEdg‘𝐺) ∣ 𝑁 ∈ ((iEdg‘𝐺)‘𝑥)}) = 0 ↔ {𝑥 ∈ dom (iEdg‘𝐺) ∣ 𝑁 ∈ ((iEdg‘𝐺)‘𝑥)} = ∅))
33		rabeq0 4338	. . . . 5 ⊢ ({𝑥 ∈ dom (iEdg‘𝐺) ∣ 𝑁 ∈ ((iEdg‘𝐺)‘𝑥)} = ∅ ↔ ∀𝑥 ∈ dom (iEdg‘𝐺) ¬ 𝑁 ∈ ((iEdg‘𝐺)‘𝑥))
34	32, 33	bitrdi 290	. . . 4 ⊢ (((𝐺 ∈ ConnGraph ∧ 𝐺 ∈ UMGraph) ∧ (𝑁 ∈ 𝑉 ∧ 1 < (♯‘𝑉))) → ((♯‘{𝑥 ∈ dom (iEdg‘𝐺) ∣ 𝑁 ∈ ((iEdg‘𝐺)‘𝑥)}) = 0 ↔ ∀𝑥 ∈ dom (iEdg‘𝐺) ¬ 𝑁 ∈ ((iEdg‘𝐺)‘𝑥)))
35	34	necon3abid 2991	. . 3 ⊢ (((𝐺 ∈ ConnGraph ∧ 𝐺 ∈ UMGraph) ∧ (𝑁 ∈ 𝑉 ∧ 1 < (♯‘𝑉))) → ((♯‘{𝑥 ∈ dom (iEdg‘𝐺) ∣ 𝑁 ∈ ((iEdg‘𝐺)‘𝑥)}) ≠ 0 ↔ ¬ ∀𝑥 ∈ dom (iEdg‘𝐺) ¬ 𝑁 ∈ ((iEdg‘𝐺)‘𝑥)))
36	26, 35	mpbird 260	. 2 ⊢ (((𝐺 ∈ ConnGraph ∧ 𝐺 ∈ UMGraph) ∧ (𝑁 ∈ 𝑉 ∧ 1 < (♯‘𝑉))) → (♯‘{𝑥 ∈ dom (iEdg‘𝐺) ∣ 𝑁 ∈ ((iEdg‘𝐺)‘𝑥)}) ≠ 0)
37	6, 36	eqnetrd 3022	1 ⊢ (((𝐺 ∈ ConnGraph ∧ 𝐺 ∈ UMGraph) ∧ (𝑁 ∈ 𝑉 ∧ 1 < (♯‘𝑉))) → ((VtxDeg‘𝐺)‘𝑁) ≠ 0)

This proof depends on syntax axioms:  ¬ wn 3   → wi 4   ↔ wb 209   ∧ wa 401   = wceq 1570   ∈ wcel 2145   ≠ wne 2955  ∀wral 3076  ∃wrex 3086  {crab 3412  Vcvv 3450  ∅c0 4279   class class class wbr 5103  dom cdm 5655  ran crn 5656  Fun wfun 6527   Fn wfn 6528  ‘cfv 6533  0cc0 11124  1c1 11125   < clt 11267  ♯chash 14394  Vtxcvtx 29453  iEdgciedg 29454  UHGraphcuhgr 29513  UMGraphcumgr 29538  VtxDegcvtxdg 29925  ConnGraphcconngr 30666

This proof depends on axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1828  ax-4 1842  ax-5 1943  ax-6 2000  ax-7 2041  ax-8 2147  ax-9 2155  ax-10 2178  ax-11 2194  ax-12 2213  ax-ext 2732  ax-rep 5232  ax-sep 5251  ax-nul 5263  ax-pow 5330  ax-pr 5398  ax-un 7736  ax-cnex 11180  ax-resscn 11181  ax-1cn 11182  ax-icn 11183  ax-addcl 11184  ax-addrcl 11185  ax-mulcl 11186  ax-mulrcl 11187  ax-mulcom 11188  ax-addass 11189  ax-mulass 11190  ax-distr 11191  ax-i2m1 11192  ax-1ne0 11193  ax-1rid 11194  ax-rnegex 11195  ax-rrecex 11196  ax-cnre 11197  ax-pre-lttri 11198  ax-pre-lttrn 11199  ax-pre-ltadd 11200  ax-pre-mulgt0 11201

This proof depends on definitions:  df-bi 210  df-an 402  df-or 862  df-ifp 1079  df-3or 1104  df-3an 1105  df-tru 1573  df-fal 1583  df-ex 1813  df-nf 1817  df-sb 2100  df-mo 2564  df-eu 2594  df-clab 2739  df-cleq 2752  df-clel 2835  df-nfc 2909  df-ne 2956  df-nel 3062  df-ral 3077  df-rex 3087  df-reu 3366  df-rab 3413  df-v 3452  df-sbc 3740  df-csb 3848  df-dif 3902  df-un 3904  df-in 3906  df-ss 3916  df-pss 3919  df-nul 4280  df-if 4483  df-pw 4559  df-sn 4585  df-pr 4587  df-op 4591  df-uni 4868  df-int 4908  df-iun 4953  df-br 5104  df-opab 5168  df-mpt 5187  df-tr 5213  df-id 5550  df-eprel 5555  df-po 5563  df-so 5564  df-fr 5608  df-we 5610  df-xp 5661  df-rel 5662  df-cnv 5663  df-co 5664  df-dm 5665  df-rn 5666  df-res 5667  df-ima 5668  df-pred 6299  df-ord 6360  df-on 6361  df-lim 6362  df-suc 6363  df-iota 6489  df-fun 6535  df-fn 6536  df-f 6537  df-f1 6538  df-fo 6539  df-f1o 6540  df-fv 6541  df-riota 7370  df-ov 7416  df-oprab 7417  df-mpo 7418  df-om 7863  df-1st 7986  df-2nd 7987  df-frecs 8280  df-wrecs 8311  df-recs 8360  df-rdg 8399  df-1o 8455  df-er 8696  df-map 8828  df-en 8953  df-dom 8954  df-sdom 8955  df-fin 8956  df-card 9944  df-pnf 11269  df-mnf 11270  df-xr 11271  df-ltxr 11272  df-le 11273  df-sub 11467  df-neg 11468  df-nn 12258  df-2 12327  df-n0 12529  df-xnn0 12602  df-z 12616  df-uz 12888  df-xadd 13164  df-fz 13562  df-fzo 13710  df-hash 14395  df-word 14579  df-uhgr 29515  df-upgr 29539  df-umgr 29540  df-vtxdg 29926  df-wlks 30059  df-wlkson 30060  df-trlson 30155  df-pthson 30180  df-conngr 30667

This theorem is used by:  vdgn0frgrv2  30775