Theorem clwwlkn 30174

Description: The set of closed walks of a fixed length 𝑁 as words over the set of vertices in a graph 𝐺. (Contributed by Alexander van der Vekens, 20-Mar-2018.) (Revised by AV, 24-Apr-2021.) (Revised by AV, 22-Mar-2022.)

Assertion

Ref	Expression
clwwlkn	⊢ (𝑁 ClWWalksN 𝐺) = {𝑤 ∈ (ClWWalks‘𝐺) ∣ (♯‘𝑤) = 𝑁}

Distinct variable groups:   𝑤,𝐺   𝑤,𝑁

Proof of Theorem clwwlkn

Dummy variables 𝑔 𝑛 are mutually distinct and distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		fveq2 6863	. . . . 5 ⊢ (𝑔 = 𝐺 → (ClWWalks‘𝑔) = (ClWWalks‘𝐺))
2	1	adantl 485	. . . 4 ⊢ ((𝑛 = 𝑁 ∧ 𝑔 = 𝐺) → (ClWWalks‘𝑔) = (ClWWalks‘𝐺))
3		eqeq2 2773	. . . . 5 ⊢ (𝑛 = 𝑁 → ((♯‘𝑤) = 𝑛 ↔ (♯‘𝑤) = 𝑁))
4	3	adantr 484	. . . 4 ⊢ ((𝑛 = 𝑁 ∧ 𝑔 = 𝐺) → ((♯‘𝑤) = 𝑛 ↔ (♯‘𝑤) = 𝑁))
5	2, 4	rabeqbidv 3431	. . 3 ⊢ ((𝑛 = 𝑁 ∧ 𝑔 = 𝐺) → {𝑤 ∈ (ClWWalks‘𝑔) ∣ (♯‘𝑤) = 𝑛} = {𝑤 ∈ (ClWWalks‘𝐺) ∣ (♯‘𝑤) = 𝑁})
6		df-clwwlkn 30173	. . 3 ⊢ ClWWalksN = (𝑛 ∈ ℕ0, 𝑔 ∈ V ↦ {𝑤 ∈ (ClWWalks‘𝑔) ∣ (♯‘𝑤) = 𝑛})
7		fvex 6876	. . . 4 ⊢ (ClWWalks‘𝐺) ∈ V
8	7	rabex 5294	. . 3 ⊢ {𝑤 ∈ (ClWWalks‘𝐺) ∣ (♯‘𝑤) = 𝑁} ∈ V
9	5, 6, 8	ovmpoa 7547	. 2 ⊢ ((𝑁 ∈ ℕ0 ∧ 𝐺 ∈ V) → (𝑁 ClWWalksN 𝐺) = {𝑤 ∈ (ClWWalks‘𝐺) ∣ (♯‘𝑤) = 𝑁})
10	6	mpondm0 7632	. . 3 ⊢ (¬ (𝑁 ∈ ℕ0 ∧ 𝐺 ∈ V) → (𝑁 ClWWalksN 𝐺) = ∅)
11		eqid 2761	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (Vtx‘𝐺) = (Vtx‘𝐺)
12	11	clwwlkbp 30133	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝑤 ∈ (ClWWalks‘𝐺) → (𝐺 ∈ V ∧ 𝑤 ∈ Word (Vtx‘𝐺) ∧ 𝑤 ≠ ∅))
13	12	simp2d 1155	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝑤 ∈ (ClWWalks‘𝐺) → 𝑤 ∈ Word (Vtx‘𝐺))
14		lencl 14543	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝑤 ∈ Word (Vtx‘𝐺) → (♯‘𝑤) ∈ ℕ0)
15	13, 14	syl 17	. . . . . . . 8 ⊢ (𝑤 ∈ (ClWWalks‘𝐺) → (♯‘𝑤) ∈ ℕ0)
16		eleq1 2849	. . . . . . . 8 ⊢ ((♯‘𝑤) = 𝑁 → ((♯‘𝑤) ∈ ℕ0 ↔ 𝑁 ∈ ℕ0))
17	15, 16	syl5ibcom 247	. . . . . . 7 ⊢ (𝑤 ∈ (ClWWalks‘𝐺) → ((♯‘𝑤) = 𝑁 → 𝑁 ∈ ℕ0))
18	17	con3rr3 155	. . . . . 6 ⊢ (¬ 𝑁 ∈ ℕ0 → (𝑤 ∈ (ClWWalks‘𝐺) → ¬ (♯‘𝑤) = 𝑁))
19	18	ralrimiv 3152	. . . . 5 ⊢ (¬ 𝑁 ∈ ℕ0 → ∀𝑤 ∈ (ClWWalks‘𝐺) ¬ (♯‘𝑤) = 𝑁)
20		ral0 4451	. . . . . 6 ⊢ ∀𝑤 ∈ ∅ ¬ (♯‘𝑤) = 𝑁
21		fvprc 6855	. . . . . . 7 ⊢ (¬ 𝐺 ∈ V → (ClWWalks‘𝐺) = ∅)
22	21	raleqdv 3319	. . . . . 6 ⊢ (¬ 𝐺 ∈ V → (∀𝑤 ∈ (ClWWalks‘𝐺) ¬ (♯‘𝑤) = 𝑁 ↔ ∀𝑤 ∈ ∅ ¬ (♯‘𝑤) = 𝑁))
23	20, 22	mpbiri 260	. . . . 5 ⊢ (¬ 𝐺 ∈ V → ∀𝑤 ∈ (ClWWalks‘𝐺) ¬ (♯‘𝑤) = 𝑁)
24	19, 23	jaoi 868	. . . 4 ⊢ ((¬ 𝑁 ∈ ℕ0 ∨ ¬ 𝐺 ∈ V) → ∀𝑤 ∈ (ClWWalks‘𝐺) ¬ (♯‘𝑤) = 𝑁)
25		ianor 994	. . . 4 ⊢ (¬ (𝑁 ∈ ℕ0 ∧ 𝐺 ∈ V) ↔ (¬ 𝑁 ∈ ℕ0 ∨ ¬ 𝐺 ∈ V))
26		rabeq0 4341	. . . 4 ⊢ ({𝑤 ∈ (ClWWalks‘𝐺) ∣ (♯‘𝑤) = 𝑁} = ∅ ↔ ∀𝑤 ∈ (ClWWalks‘𝐺) ¬ (♯‘𝑤) = 𝑁)
27	24, 25, 26	3imtr4i 294	. . 3 ⊢ (¬ (𝑁 ∈ ℕ0 ∧ 𝐺 ∈ V) → {𝑤 ∈ (ClWWalks‘𝐺) ∣ (♯‘𝑤) = 𝑁} = ∅)
28	10, 27	eqtr4d 2799	. 2 ⊢ (¬ (𝑁 ∈ ℕ0 ∧ 𝐺 ∈ V) → (𝑁 ClWWalksN 𝐺) = {𝑤 ∈ (ClWWalks‘𝐺) ∣ (♯‘𝑤) = 𝑁})
29	9, 28	pm2.61i 183	1 ⊢ (𝑁 ClWWalksN 𝐺) = {𝑤 ∈ (ClWWalks‘𝐺) ∣ (♯‘𝑤) = 𝑁}

Syntax hints:  ¬ wn 3   ↔ wb 208   ∧ wa 399   ∨ wo 858   = wceq 1559   ∈ wcel 2141   ≠ wne 2956  ∀wral 3075  {crab 3413  Vcvv 3453  ∅c0 4285  ‘cfv 6517  (class class class)co 7392  ℕ₀cn0 12478  ♯chash 14340  Word cword 14523  Vtxcvtx 29143  ClWWalkscclwwlk 30129   ClWWalksN cclwwlkn 30172

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1814  ax-4 1828  ax-5 1929  ax-6 1986  ax-7 2027  ax-8 2143  ax-9 2151  ax-10 2174  ax-11 2190  ax-12 2211  ax-ext 2733  ax-rep 5226  ax-sep 5245  ax-nul 5255  ax-pow 5321  ax-pr 5389  ax-un 7714  ax-cnex 11126  ax-resscn 11127  ax-1cn 11128  ax-icn 11129  ax-addcl 11130  ax-addrcl 11131  ax-mulcl 11132  ax-mulrcl 11133  ax-mulcom 11134  ax-addass 11135  ax-mulass 11136  ax-distr 11137  ax-i2m1 11138  ax-1ne0 11139  ax-1rid 11140  ax-rnegex 11141  ax-rrecex 11142  ax-cnre 11143  ax-pre-lttri 11144  ax-pre-lttrn 11145  ax-pre-ltadd 11146  ax-pre-mulgt0 11147

This theorem depends on definitions:  df-bi 209  df-an 400  df-or 859  df-3or 1098  df-3an 1099  df-tru 1562  df-fal 1572  df-ex 1799  df-nf 1803  df-sb 2090  df-mo 2565  df-eu 2595  df-clab 2740  df-cleq 2753  df-clel 2836  df-nfc 2910  df-ne 2957  df-nel 3061  df-ral 3076  df-rex 3086  df-reu 3367  df-rab 3414  df-v 3455  df-sbc 3745  df-csb 3853  df-dif 3907  df-un 3909  df-in 3911  df-ss 3921  df-pss 3924  df-nul 4286  df-if 4480  df-pw 4556  df-sn 4582  df-pr 4584  df-op 4588  df-uni 4865  df-int 4905  df-iun 4950  df-br 5100  df-opab 5162  df-mpt 5181  df-tr 5207  df-id 5540  df-eprel 5545  df-po 5553  df-so 5554  df-fr 5598  df-we 5600  df-xp 5651  df-rel 5652  df-cnv 5653  df-co 5654  df-dm 5655  df-rn 5656  df-res 5657  df-ima 5658  df-pred 6284  df-ord 6345  df-on 6346  df-lim 6347  df-suc 6348  df-iota 6473  df-fun 6519  df-fn 6520  df-f 6521  df-f1 6522  df-fo 6523  df-f1o 6524  df-fv 6525  df-riota 7349  df-ov 7395  df-oprab 7396  df-mpo 7397  df-om 7843  df-1st 7966  df-2nd 7967  df-frecs 8257  df-wrecs 8288  df-recs 8337  df-rdg 8376  df-1o 8432  df-er 8673  df-map 8805  df-en 8924  df-dom 8925  df-sdom 8926  df-fin 8927  df-card 9894  df-pnf 11215  df-mnf 11216  df-xr 11217  df-ltxr 11218  df-le 11219  df-sub 11413  df-neg 11414  df-nn 12208  df-n0 12479  df-z 12566  df-uz 12837  df-fz 13510  df-fzo 13657  df-hash 14341  df-word 14524  df-clwwlk 30130  df-clwwlkn 30173

This theorem is referenced by:  isclwwlkn  30175  clwwlkn0  30176  clwwlknfi  30193  clwlknf1oclwwlkn  30232