Theorem clwwlkn 29856

Description: The set of closed walks of a fixed length 𝑁 as words over the set of vertices in a graph 𝐺. (Contributed by Alexander van der Vekens, 20-Mar-2018.) (Revised by AV, 24-Apr-2021.) (Revised by AV, 22-Mar-2022.)

Assertion

Ref	Expression
clwwlkn	⊢ (𝑁 ClWWalksN 𝐺) = {𝑤 ∈ (ClWWalks‘𝐺) ∣ (♯‘𝑤) = 𝑁}

Distinct variable groups:   𝑤,𝐺   𝑤,𝑁

Proof of Theorem clwwlkn

Dummy variables 𝑔 𝑛 are mutually distinct and distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		fveq2 6902	. . . . 5 ⊢ (𝑔 = 𝐺 → (ClWWalks‘𝑔) = (ClWWalks‘𝐺))
2	1	adantl 480	. . . 4 ⊢ ((𝑛 = 𝑁 ∧ 𝑔 = 𝐺) → (ClWWalks‘𝑔) = (ClWWalks‘𝐺))
3		eqeq2 2740	. . . . 5 ⊢ (𝑛 = 𝑁 → ((♯‘𝑤) = 𝑛 ↔ (♯‘𝑤) = 𝑁))
4	3	adantr 479	. . . 4 ⊢ ((𝑛 = 𝑁 ∧ 𝑔 = 𝐺) → ((♯‘𝑤) = 𝑛 ↔ (♯‘𝑤) = 𝑁))
5	2, 4	rabeqbidv 3448	. . 3 ⊢ ((𝑛 = 𝑁 ∧ 𝑔 = 𝐺) → {𝑤 ∈ (ClWWalks‘𝑔) ∣ (♯‘𝑤) = 𝑛} = {𝑤 ∈ (ClWWalks‘𝐺) ∣ (♯‘𝑤) = 𝑁})
6		df-clwwlkn 29855	. . 3 ⊢ ClWWalksN = (𝑛 ∈ ℕ0, 𝑔 ∈ V ↦ {𝑤 ∈ (ClWWalks‘𝑔) ∣ (♯‘𝑤) = 𝑛})
7		fvex 6915	. . . 4 ⊢ (ClWWalks‘𝐺) ∈ V
8	7	rabex 5338	. . 3 ⊢ {𝑤 ∈ (ClWWalks‘𝐺) ∣ (♯‘𝑤) = 𝑁} ∈ V
9	5, 6, 8	ovmpoa 7582	. 2 ⊢ ((𝑁 ∈ ℕ0 ∧ 𝐺 ∈ V) → (𝑁 ClWWalksN 𝐺) = {𝑤 ∈ (ClWWalks‘𝐺) ∣ (♯‘𝑤) = 𝑁})
10	6	mpondm0 7667	. . 3 ⊢ (¬ (𝑁 ∈ ℕ0 ∧ 𝐺 ∈ V) → (𝑁 ClWWalksN 𝐺) = ∅)
11		eqid 2728	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (Vtx‘𝐺) = (Vtx‘𝐺)
12	11	clwwlkbp 29815	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝑤 ∈ (ClWWalks‘𝐺) → (𝐺 ∈ V ∧ 𝑤 ∈ Word (Vtx‘𝐺) ∧ 𝑤 ≠ ∅))
13	12	simp2d 1140	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝑤 ∈ (ClWWalks‘𝐺) → 𝑤 ∈ Word (Vtx‘𝐺))
14		lencl 14523	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝑤 ∈ Word (Vtx‘𝐺) → (♯‘𝑤) ∈ ℕ0)
15	13, 14	syl 17	. . . . . . . 8 ⊢ (𝑤 ∈ (ClWWalks‘𝐺) → (♯‘𝑤) ∈ ℕ0)
16		eleq1 2817	. . . . . . . 8 ⊢ ((♯‘𝑤) = 𝑁 → ((♯‘𝑤) ∈ ℕ0 ↔ 𝑁 ∈ ℕ0))
17	15, 16	syl5ibcom 244	. . . . . . 7 ⊢ (𝑤 ∈ (ClWWalks‘𝐺) → ((♯‘𝑤) = 𝑁 → 𝑁 ∈ ℕ0))
18	17	con3rr3 155	. . . . . 6 ⊢ (¬ 𝑁 ∈ ℕ0 → (𝑤 ∈ (ClWWalks‘𝐺) → ¬ (♯‘𝑤) = 𝑁))
19	18	ralrimiv 3142	. . . . 5 ⊢ (¬ 𝑁 ∈ ℕ0 → ∀𝑤 ∈ (ClWWalks‘𝐺) ¬ (♯‘𝑤) = 𝑁)
20		ral0 4516	. . . . . 6 ⊢ ∀𝑤 ∈ ∅ ¬ (♯‘𝑤) = 𝑁
21		fvprc 6894	. . . . . . 7 ⊢ (¬ 𝐺 ∈ V → (ClWWalks‘𝐺) = ∅)
22	21	raleqdv 3323	. . . . . 6 ⊢ (¬ 𝐺 ∈ V → (∀𝑤 ∈ (ClWWalks‘𝐺) ¬ (♯‘𝑤) = 𝑁 ↔ ∀𝑤 ∈ ∅ ¬ (♯‘𝑤) = 𝑁))
23	20, 22	mpbiri 257	. . . . 5 ⊢ (¬ 𝐺 ∈ V → ∀𝑤 ∈ (ClWWalks‘𝐺) ¬ (♯‘𝑤) = 𝑁)
24	19, 23	jaoi 855	. . . 4 ⊢ ((¬ 𝑁 ∈ ℕ0 ∨ ¬ 𝐺 ∈ V) → ∀𝑤 ∈ (ClWWalks‘𝐺) ¬ (♯‘𝑤) = 𝑁)
25		ianor 979	. . . 4 ⊢ (¬ (𝑁 ∈ ℕ0 ∧ 𝐺 ∈ V) ↔ (¬ 𝑁 ∈ ℕ0 ∨ ¬ 𝐺 ∈ V))
26		rabeq0 4388	. . . 4 ⊢ ({𝑤 ∈ (ClWWalks‘𝐺) ∣ (♯‘𝑤) = 𝑁} = ∅ ↔ ∀𝑤 ∈ (ClWWalks‘𝐺) ¬ (♯‘𝑤) = 𝑁)
27	24, 25, 26	3imtr4i 291	. . 3 ⊢ (¬ (𝑁 ∈ ℕ0 ∧ 𝐺 ∈ V) → {𝑤 ∈ (ClWWalks‘𝐺) ∣ (♯‘𝑤) = 𝑁} = ∅)
28	10, 27	eqtr4d 2771	. 2 ⊢ (¬ (𝑁 ∈ ℕ0 ∧ 𝐺 ∈ V) → (𝑁 ClWWalksN 𝐺) = {𝑤 ∈ (ClWWalks‘𝐺) ∣ (♯‘𝑤) = 𝑁})
29	9, 28	pm2.61i 182	1 ⊢ (𝑁 ClWWalksN 𝐺) = {𝑤 ∈ (ClWWalks‘𝐺) ∣ (♯‘𝑤) = 𝑁}

Syntax hints:  ¬ wn 3   ↔ wb 205   ∧ wa 394   ∨ wo 845   = wceq 1533   ∈ wcel 2098   ≠ wne 2937  ∀wral 3058  {crab 3430  Vcvv 3473  ∅c0 4326  ‘cfv 6553  (class class class)co 7426  ℕ₀cn0 12510  ♯chash 14329  Word cword 14504  Vtxcvtx 28829  ClWWalkscclwwlk 29811   ClWWalksN cclwwlkn 29854

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1789  ax-4 1803  ax-5 1905  ax-6 1963  ax-7 2003  ax-8 2100  ax-9 2108  ax-10 2129  ax-11 2146  ax-12 2166  ax-ext 2699  ax-rep 5289  ax-sep 5303  ax-nul 5310  ax-pow 5369  ax-pr 5433  ax-un 7746  ax-cnex 11202  ax-resscn 11203  ax-1cn 11204  ax-icn 11205  ax-addcl 11206  ax-addrcl 11207  ax-mulcl 11208  ax-mulrcl 11209  ax-mulcom 11210  ax-addass 11211  ax-mulass 11212  ax-distr 11213  ax-i2m1 11214  ax-1ne0 11215  ax-1rid 11216  ax-rnegex 11217  ax-rrecex 11218  ax-cnre 11219  ax-pre-lttri 11220  ax-pre-lttrn 11221  ax-pre-ltadd 11222  ax-pre-mulgt0 11223

This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 395  df-or 846  df-3or 1085  df-3an 1086  df-tru 1536  df-fal 1546  df-ex 1774  df-nf 1778  df-sb 2060  df-mo 2529  df-eu 2558  df-clab 2706  df-cleq 2720  df-clel 2806  df-nfc 2881  df-ne 2938  df-nel 3044  df-ral 3059  df-rex 3068  df-reu 3375  df-rab 3431  df-v 3475  df-sbc 3779  df-csb 3895  df-dif 3952  df-un 3954  df-in 3956  df-ss 3966  df-pss 3968  df-nul 4327  df-if 4533  df-pw 4608  df-sn 4633  df-pr 4635  df-op 4639  df-uni 4913  df-int 4954  df-iun 5002  df-br 5153  df-opab 5215  df-mpt 5236  df-tr 5270  df-id 5580  df-eprel 5586  df-po 5594  df-so 5595  df-fr 5637  df-we 5639  df-xp 5688  df-rel 5689  df-cnv 5690  df-co 5691  df-dm 5692  df-rn 5693  df-res 5694  df-ima 5695  df-pred 6310  df-ord 6377  df-on 6378  df-lim 6379  df-suc 6380  df-iota 6505  df-fun 6555  df-fn 6556  df-f 6557  df-f1 6558  df-fo 6559  df-f1o 6560  df-fv 6561  df-riota 7382  df-ov 7429  df-oprab 7430  df-mpo 7431  df-om 7877  df-1st 7999  df-2nd 8000  df-frecs 8293  df-wrecs 8324  df-recs 8398  df-rdg 8437  df-1o 8493  df-er 8731  df-map 8853  df-en 8971  df-dom 8972  df-sdom 8973  df-fin 8974  df-card 9970  df-pnf 11288  df-mnf 11289  df-xr 11290  df-ltxr 11291  df-le 11292  df-sub 11484  df-neg 11485  df-nn 12251  df-n0 12511  df-z 12597  df-uz 12861  df-fz 13525  df-fzo 13668  df-hash 14330  df-word 14505  df-clwwlk 29812  df-clwwlkn 29855

This theorem is referenced by:  isclwwlkn  29857  clwwlkn0  29858  clwwlknfi  29875  clwlknf1oclwwlkn  29914