Theorem clwwlkn 30055

Description: The set of closed walks of a fixed length 𝑁 as words over the set of vertices in a graph 𝐺. (Contributed by Alexander van der Vekens, 20-Mar-2018.) (Revised by AV, 24-Apr-2021.) (Revised by AV, 22-Mar-2022.)

Assertion

Ref	Expression
clwwlkn	⊢ (𝑁 ClWWalksN 𝐺) = {𝑤 ∈ (ClWWalks‘𝐺) ∣ (♯‘𝑤) = 𝑁}

Distinct variable groups:   𝑤,𝐺   𝑤,𝑁

Proof of Theorem clwwlkn

Dummy variables 𝑔 𝑛 are mutually distinct and distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		fveq2 6907	. . . . 5 ⊢ (𝑔 = 𝐺 → (ClWWalks‘𝑔) = (ClWWalks‘𝐺))
2	1	adantl 481	. . . 4 ⊢ ((𝑛 = 𝑁 ∧ 𝑔 = 𝐺) → (ClWWalks‘𝑔) = (ClWWalks‘𝐺))
3		eqeq2 2747	. . . . 5 ⊢ (𝑛 = 𝑁 → ((♯‘𝑤) = 𝑛 ↔ (♯‘𝑤) = 𝑁))
4	3	adantr 480	. . . 4 ⊢ ((𝑛 = 𝑁 ∧ 𝑔 = 𝐺) → ((♯‘𝑤) = 𝑛 ↔ (♯‘𝑤) = 𝑁))
5	2, 4	rabeqbidv 3452	. . 3 ⊢ ((𝑛 = 𝑁 ∧ 𝑔 = 𝐺) → {𝑤 ∈ (ClWWalks‘𝑔) ∣ (♯‘𝑤) = 𝑛} = {𝑤 ∈ (ClWWalks‘𝐺) ∣ (♯‘𝑤) = 𝑁})
6		df-clwwlkn 30054	. . 3 ⊢ ClWWalksN = (𝑛 ∈ ℕ0, 𝑔 ∈ V ↦ {𝑤 ∈ (ClWWalks‘𝑔) ∣ (♯‘𝑤) = 𝑛})
7		fvex 6920	. . . 4 ⊢ (ClWWalks‘𝐺) ∈ V
8	7	rabex 5345	. . 3 ⊢ {𝑤 ∈ (ClWWalks‘𝐺) ∣ (♯‘𝑤) = 𝑁} ∈ V
9	5, 6, 8	ovmpoa 7588	. 2 ⊢ ((𝑁 ∈ ℕ0 ∧ 𝐺 ∈ V) → (𝑁 ClWWalksN 𝐺) = {𝑤 ∈ (ClWWalks‘𝐺) ∣ (♯‘𝑤) = 𝑁})
10	6	mpondm0 7673	. . 3 ⊢ (¬ (𝑁 ∈ ℕ0 ∧ 𝐺 ∈ V) → (𝑁 ClWWalksN 𝐺) = ∅)
11		eqid 2735	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (Vtx‘𝐺) = (Vtx‘𝐺)
12	11	clwwlkbp 30014	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝑤 ∈ (ClWWalks‘𝐺) → (𝐺 ∈ V ∧ 𝑤 ∈ Word (Vtx‘𝐺) ∧ 𝑤 ≠ ∅))
13	12	simp2d 1142	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝑤 ∈ (ClWWalks‘𝐺) → 𝑤 ∈ Word (Vtx‘𝐺))
14		lencl 14568	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝑤 ∈ Word (Vtx‘𝐺) → (♯‘𝑤) ∈ ℕ0)
15	13, 14	syl 17	. . . . . . . 8 ⊢ (𝑤 ∈ (ClWWalks‘𝐺) → (♯‘𝑤) ∈ ℕ0)
16		eleq1 2827	. . . . . . . 8 ⊢ ((♯‘𝑤) = 𝑁 → ((♯‘𝑤) ∈ ℕ0 ↔ 𝑁 ∈ ℕ0))
17	15, 16	syl5ibcom 245	. . . . . . 7 ⊢ (𝑤 ∈ (ClWWalks‘𝐺) → ((♯‘𝑤) = 𝑁 → 𝑁 ∈ ℕ0))
18	17	con3rr3 155	. . . . . 6 ⊢ (¬ 𝑁 ∈ ℕ0 → (𝑤 ∈ (ClWWalks‘𝐺) → ¬ (♯‘𝑤) = 𝑁))
19	18	ralrimiv 3143	. . . . 5 ⊢ (¬ 𝑁 ∈ ℕ0 → ∀𝑤 ∈ (ClWWalks‘𝐺) ¬ (♯‘𝑤) = 𝑁)
20		ral0 4519	. . . . . 6 ⊢ ∀𝑤 ∈ ∅ ¬ (♯‘𝑤) = 𝑁
21		fvprc 6899	. . . . . . 7 ⊢ (¬ 𝐺 ∈ V → (ClWWalks‘𝐺) = ∅)
22	21	raleqdv 3324	. . . . . 6 ⊢ (¬ 𝐺 ∈ V → (∀𝑤 ∈ (ClWWalks‘𝐺) ¬ (♯‘𝑤) = 𝑁 ↔ ∀𝑤 ∈ ∅ ¬ (♯‘𝑤) = 𝑁))
23	20, 22	mpbiri 258	. . . . 5 ⊢ (¬ 𝐺 ∈ V → ∀𝑤 ∈ (ClWWalks‘𝐺) ¬ (♯‘𝑤) = 𝑁)
24	19, 23	jaoi 857	. . . 4 ⊢ ((¬ 𝑁 ∈ ℕ0 ∨ ¬ 𝐺 ∈ V) → ∀𝑤 ∈ (ClWWalks‘𝐺) ¬ (♯‘𝑤) = 𝑁)
25		ianor 983	. . . 4 ⊢ (¬ (𝑁 ∈ ℕ0 ∧ 𝐺 ∈ V) ↔ (¬ 𝑁 ∈ ℕ0 ∨ ¬ 𝐺 ∈ V))
26		rabeq0 4394	. . . 4 ⊢ ({𝑤 ∈ (ClWWalks‘𝐺) ∣ (♯‘𝑤) = 𝑁} = ∅ ↔ ∀𝑤 ∈ (ClWWalks‘𝐺) ¬ (♯‘𝑤) = 𝑁)
27	24, 25, 26	3imtr4i 292	. . 3 ⊢ (¬ (𝑁 ∈ ℕ0 ∧ 𝐺 ∈ V) → {𝑤 ∈ (ClWWalks‘𝐺) ∣ (♯‘𝑤) = 𝑁} = ∅)
28	10, 27	eqtr4d 2778	. 2 ⊢ (¬ (𝑁 ∈ ℕ0 ∧ 𝐺 ∈ V) → (𝑁 ClWWalksN 𝐺) = {𝑤 ∈ (ClWWalks‘𝐺) ∣ (♯‘𝑤) = 𝑁})
29	9, 28	pm2.61i 182	1 ⊢ (𝑁 ClWWalksN 𝐺) = {𝑤 ∈ (ClWWalks‘𝐺) ∣ (♯‘𝑤) = 𝑁}

Syntax hints:  ¬ wn 3   ↔ wb 206   ∧ wa 395   ∨ wo 847   = wceq 1537   ∈ wcel 2106   ≠ wne 2938  ∀wral 3059  {crab 3433  Vcvv 3478  ∅c0 4339  ‘cfv 6563  (class class class)co 7431  ℕ₀cn0 12524  ♯chash 14366  Word cword 14549  Vtxcvtx 29028  ClWWalkscclwwlk 30010   ClWWalksN cclwwlkn 30053

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1792  ax-4 1806  ax-5 1908  ax-6 1965  ax-7 2005  ax-8 2108  ax-9 2116  ax-10 2139  ax-11 2155  ax-12 2175  ax-ext 2706  ax-rep 5285  ax-sep 5302  ax-nul 5312  ax-pow 5371  ax-pr 5438  ax-un 7754  ax-cnex 11209  ax-resscn 11210  ax-1cn 11211  ax-icn 11212  ax-addcl 11213  ax-addrcl 11214  ax-mulcl 11215  ax-mulrcl 11216  ax-mulcom 11217  ax-addass 11218  ax-mulass 11219  ax-distr 11220  ax-i2m1 11221  ax-1ne0 11222  ax-1rid 11223  ax-rnegex 11224  ax-rrecex 11225  ax-cnre 11226  ax-pre-lttri 11227  ax-pre-lttrn 11228  ax-pre-ltadd 11229  ax-pre-mulgt0 11230

This theorem depends on definitions:  df-bi 207  df-an 396  df-or 848  df-3or 1087  df-3an 1088  df-tru 1540  df-fal 1550  df-ex 1777  df-nf 1781  df-sb 2063  df-mo 2538  df-eu 2567  df-clab 2713  df-cleq 2727  df-clel 2814  df-nfc 2890  df-ne 2939  df-nel 3045  df-ral 3060  df-rex 3069  df-reu 3379  df-rab 3434  df-v 3480  df-sbc 3792  df-csb 3909  df-dif 3966  df-un 3968  df-in 3970  df-ss 3980  df-pss 3983  df-nul 4340  df-if 4532  df-pw 4607  df-sn 4632  df-pr 4634  df-op 4638  df-uni 4913  df-int 4952  df-iun 4998  df-br 5149  df-opab 5211  df-mpt 5232  df-tr 5266  df-id 5583  df-eprel 5589  df-po 5597  df-so 5598  df-fr 5641  df-we 5643  df-xp 5695  df-rel 5696  df-cnv 5697  df-co 5698  df-dm 5699  df-rn 5700  df-res 5701  df-ima 5702  df-pred 6323  df-ord 6389  df-on 6390  df-lim 6391  df-suc 6392  df-iota 6516  df-fun 6565  df-fn 6566  df-f 6567  df-f1 6568  df-fo 6569  df-f1o 6570  df-fv 6571  df-riota 7388  df-ov 7434  df-oprab 7435  df-mpo 7436  df-om 7888  df-1st 8013  df-2nd 8014  df-frecs 8305  df-wrecs 8336  df-recs 8410  df-rdg 8449  df-1o 8505  df-er 8744  df-map 8867  df-en 8985  df-dom 8986  df-sdom 8987  df-fin 8988  df-card 9977  df-pnf 11295  df-mnf 11296  df-xr 11297  df-ltxr 11298  df-le 11299  df-sub 11492  df-neg 11493  df-nn 12265  df-n0 12525  df-z 12612  df-uz 12877  df-fz 13545  df-fzo 13692  df-hash 14367  df-word 14550  df-clwwlk 30011  df-clwwlkn 30054

This theorem is referenced by:  isclwwlkn  30056  clwwlkn0  30057  clwwlknfi  30074  clwlknf1oclwwlkn  30113