Theorem clwwlknon1nloop 30174

Description: If there is no loop at vertex 𝑋, the set of (closed) walks on 𝑋 of length 1 as words over the set of vertices is empty. (Contributed by AV, 11-Feb-2022.) (Revised by AV, 25-Mar-2022.)

Hypotheses

Ref	Expression
clwwlknon1.v	⊢ 𝑉 = (Vtx‘𝐺)
clwwlknon1.c	⊢ 𝐶 = (ClWWalksNOn‘𝐺)
clwwlknon1.e	⊢ 𝐸 = (Edg‘𝐺)

Assertion

Ref	Expression
clwwlknon1nloop	⊢ ({𝑋} ∉ 𝐸 → (𝑋𝐶1) = ∅)

Proof of Theorem clwwlknon1nloop

Dummy variable 𝑤 is distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		clwwlknon1.v	. . . . 5 ⊢ 𝑉 = (Vtx‘𝐺)
2		clwwlknon1.c	. . . . 5 ⊢ 𝐶 = (ClWWalksNOn‘𝐺)
3		clwwlknon1.e	. . . . 5 ⊢ 𝐸 = (Edg‘𝐺)
4	1, 2, 3	clwwlknon1 30172	. . . 4 ⊢ (𝑋 ∈ 𝑉 → (𝑋𝐶1) = {𝑤 ∈ Word 𝑉 ∣ (𝑤 = ⟨“𝑋”⟩ ∧ {𝑋} ∈ 𝐸)})
5	4	adantr 480	. . 3 ⊢ ((𝑋 ∈ 𝑉 ∧ {𝑋} ∉ 𝐸) → (𝑋𝐶1) = {𝑤 ∈ Word 𝑉 ∣ (𝑤 = ⟨“𝑋”⟩ ∧ {𝑋} ∈ 𝐸)})
6		df-nel 3037	. . . . . . . . 9 ⊢ ({𝑋} ∉ 𝐸 ↔ ¬ {𝑋} ∈ 𝐸)
7	6	biimpi 216	. . . . . . . 8 ⊢ ({𝑋} ∉ 𝐸 → ¬ {𝑋} ∈ 𝐸)
8	7	olcd 874	. . . . . . 7 ⊢ ({𝑋} ∉ 𝐸 → (¬ 𝑤 = ⟨“𝑋”⟩ ∨ ¬ {𝑋} ∈ 𝐸))
9	8	ad2antlr 727	. . . . . 6 ⊢ (((𝑋 ∈ 𝑉 ∧ {𝑋} ∉ 𝐸) ∧ 𝑤 ∈ Word 𝑉) → (¬ 𝑤 = ⟨“𝑋”⟩ ∨ ¬ {𝑋} ∈ 𝐸))
10		ianor 983	. . . . . 6 ⊢ (¬ (𝑤 = ⟨“𝑋”⟩ ∧ {𝑋} ∈ 𝐸) ↔ (¬ 𝑤 = ⟨“𝑋”⟩ ∨ ¬ {𝑋} ∈ 𝐸))
11	9, 10	sylibr 234	. . . . 5 ⊢ (((𝑋 ∈ 𝑉 ∧ {𝑋} ∉ 𝐸) ∧ 𝑤 ∈ Word 𝑉) → ¬ (𝑤 = ⟨“𝑋”⟩ ∧ {𝑋} ∈ 𝐸))
12	11	ralrimiva 3128	. . . 4 ⊢ ((𝑋 ∈ 𝑉 ∧ {𝑋} ∉ 𝐸) → ∀𝑤 ∈ Word 𝑉 ¬ (𝑤 = ⟨“𝑋”⟩ ∧ {𝑋} ∈ 𝐸))
13		rabeq0 4340	. . . 4 ⊢ ({𝑤 ∈ Word 𝑉 ∣ (𝑤 = ⟨“𝑋”⟩ ∧ {𝑋} ∈ 𝐸)} = ∅ ↔ ∀𝑤 ∈ Word 𝑉 ¬ (𝑤 = ⟨“𝑋”⟩ ∧ {𝑋} ∈ 𝐸))
14	12, 13	sylibr 234	. . 3 ⊢ ((𝑋 ∈ 𝑉 ∧ {𝑋} ∉ 𝐸) → {𝑤 ∈ Word 𝑉 ∣ (𝑤 = ⟨“𝑋”⟩ ∧ {𝑋} ∈ 𝐸)} = ∅)
15	5, 14	eqtrd 2771	. 2 ⊢ ((𝑋 ∈ 𝑉 ∧ {𝑋} ∉ 𝐸) → (𝑋𝐶1) = ∅)
16	2	oveqi 7371	. . . 4 ⊢ (𝑋𝐶1) = (𝑋(ClWWalksNOn‘𝐺)1)
17	1	eleq2i 2828	. . . . . . . 8 ⊢ (𝑋 ∈ 𝑉 ↔ 𝑋 ∈ (Vtx‘𝐺))
18	17	notbii 320	. . . . . . 7 ⊢ (¬ 𝑋 ∈ 𝑉 ↔ ¬ 𝑋 ∈ (Vtx‘𝐺))
19	18	biimpi 216	. . . . . 6 ⊢ (¬ 𝑋 ∈ 𝑉 → ¬ 𝑋 ∈ (Vtx‘𝐺))
20	19	intnanrd 489	. . . . 5 ⊢ (¬ 𝑋 ∈ 𝑉 → ¬ (𝑋 ∈ (Vtx‘𝐺) ∧ 1 ∈ ℕ))
21		clwwlknon0 30168	. . . . 5 ⊢ (¬ (𝑋 ∈ (Vtx‘𝐺) ∧ 1 ∈ ℕ) → (𝑋(ClWWalksNOn‘𝐺)1) = ∅)
22	20, 21	syl 17	. . . 4 ⊢ (¬ 𝑋 ∈ 𝑉 → (𝑋(ClWWalksNOn‘𝐺)1) = ∅)
23	16, 22	eqtrid 2783	. . 3 ⊢ (¬ 𝑋 ∈ 𝑉 → (𝑋𝐶1) = ∅)
24	23	adantr 480	. 2 ⊢ ((¬ 𝑋 ∈ 𝑉 ∧ {𝑋} ∉ 𝐸) → (𝑋𝐶1) = ∅)
25	15, 24	pm2.61ian 811	1 ⊢ ({𝑋} ∉ 𝐸 → (𝑋𝐶1) = ∅)

Syntax hints:  ¬ wn 3   → wi 4   ∧ wa 395   ∨ wo 847   = wceq 1541   ∈ wcel 2113   ∉ wnel 3036  ∀wral 3051  {crab 3399  ∅c0 4285  {csn 4580  ‘cfv 6492  (class class class)co 7358  1c1 11027  ℕcn 12145  Word cword 14436  ⟨“cs1 14519  Vtxcvtx 29069  Edgcedg 29120  ClWWalksNOncclwwlknon 30162

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1796  ax-4 1810  ax-5 1911  ax-6 1968  ax-7 2009  ax-8 2115  ax-9 2123  ax-10 2146  ax-11 2162  ax-12 2184  ax-ext 2708  ax-rep 5224  ax-sep 5241  ax-nul 5251  ax-pow 5310  ax-pr 5377  ax-un 7680  ax-cnex 11082  ax-resscn 11083  ax-1cn 11084  ax-icn 11085  ax-addcl 11086  ax-addrcl 11087  ax-mulcl 11088  ax-mulrcl 11089  ax-mulcom 11090  ax-addass 11091  ax-mulass 11092  ax-distr 11093  ax-i2m1 11094  ax-1ne0 11095  ax-1rid 11096  ax-rnegex 11097  ax-rrecex 11098  ax-cnre 11099  ax-pre-lttri 11100  ax-pre-lttrn 11101  ax-pre-ltadd 11102  ax-pre-mulgt0 11103

This theorem depends on definitions:  df-bi 207  df-an 396  df-or 848  df-3or 1087  df-3an 1088  df-tru 1544  df-fal 1554  df-ex 1781  df-nf 1785  df-sb 2068  df-mo 2539  df-eu 2569  df-clab 2715  df-cleq 2728  df-clel 2811  df-nfc 2885  df-ne 2933  df-nel 3037  df-ral 3052  df-rex 3061  df-reu 3351  df-rab 3400  df-v 3442  df-sbc 3741  df-csb 3850  df-dif 3904  df-un 3906  df-in 3908  df-ss 3918  df-pss 3921  df-nul 4286  df-if 4480  df-pw 4556  df-sn 4581  df-pr 4583  df-op 4587  df-uni 4864  df-int 4903  df-iun 4948  df-br 5099  df-opab 5161  df-mpt 5180  df-tr 5206  df-id 5519  df-eprel 5524  df-po 5532  df-so 5533  df-fr 5577  df-we 5579  df-xp 5630  df-rel 5631  df-cnv 5632  df-co 5633  df-dm 5634  df-rn 5635  df-res 5636  df-ima 5637  df-pred 6259  df-ord 6320  df-on 6321  df-lim 6322  df-suc 6323  df-iota 6448  df-fun 6494  df-fn 6495  df-f 6496  df-f1 6497  df-fo 6498  df-f1o 6499  df-fv 6500  df-riota 7315  df-ov 7361  df-oprab 7362  df-mpo 7363  df-om 7809  df-1st 7933  df-2nd 7934  df-frecs 8223  df-wrecs 8254  df-recs 8303  df-rdg 8341  df-1o 8397  df-oadd 8401  df-er 8635  df-map 8765  df-en 8884  df-dom 8885  df-sdom 8886  df-fin 8887  df-card 9851  df-pnf 11168  df-mnf 11169  df-xr 11170  df-ltxr 11171  df-le 11172  df-sub 11366  df-neg 11367  df-nn 12146  df-n0 12402  df-xnn0 12475  df-z 12489  df-uz 12752  df-fz 13424  df-fzo 13571  df-hash 14254  df-word 14437  df-lsw 14486  df-s1 14520  df-clwwlk 30057  df-clwwlkn 30100  df-clwwlknon 30163

This theorem is referenced by:  clwwlknon1sn  30175  clwwlknon1le1  30176