Theorem clwwlknon1nloop 27884

Description: If there is no loop at vertex 𝑋, the set of (closed) walks on 𝑋 of length 1 as words over the set of vertices is empty. (Contributed by AV, 11-Feb-2022.) (Revised by AV, 25-Mar-2022.)

Hypotheses

Ref	Expression
clwwlknon1.v	⊢ 𝑉 = (Vtx‘𝐺)
clwwlknon1.c	⊢ 𝐶 = (ClWWalksNOn‘𝐺)
clwwlknon1.e	⊢ 𝐸 = (Edg‘𝐺)

Assertion

Ref	Expression
clwwlknon1nloop	⊢ ({𝑋} ∉ 𝐸 → (𝑋𝐶1) = ∅)

Proof of Theorem clwwlknon1nloop

Dummy variable 𝑤 is distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		clwwlknon1.v	. . . . 5 ⊢ 𝑉 = (Vtx‘𝐺)
2		clwwlknon1.c	. . . . 5 ⊢ 𝐶 = (ClWWalksNOn‘𝐺)
3		clwwlknon1.e	. . . . 5 ⊢ 𝐸 = (Edg‘𝐺)
4	1, 2, 3	clwwlknon1 27882	. . . 4 ⊢ (𝑋 ∈ 𝑉 → (𝑋𝐶1) = {𝑤 ∈ Word 𝑉 ∣ (𝑤 = ⟨“𝑋”⟩ ∧ {𝑋} ∈ 𝐸)})
5	4	adantr 484	. . 3 ⊢ ((𝑋 ∈ 𝑉 ∧ {𝑋} ∉ 𝐸) → (𝑋𝐶1) = {𝑤 ∈ Word 𝑉 ∣ (𝑤 = ⟨“𝑋”⟩ ∧ {𝑋} ∈ 𝐸)})
6		df-nel 3092	. . . . . . . . 9 ⊢ ({𝑋} ∉ 𝐸 ↔ ¬ {𝑋} ∈ 𝐸)
7	6	biimpi 219	. . . . . . . 8 ⊢ ({𝑋} ∉ 𝐸 → ¬ {𝑋} ∈ 𝐸)
8	7	olcd 871	. . . . . . 7 ⊢ ({𝑋} ∉ 𝐸 → (¬ 𝑤 = ⟨“𝑋”⟩ ∨ ¬ {𝑋} ∈ 𝐸))
9	8	ad2antlr 726	. . . . . 6 ⊢ (((𝑋 ∈ 𝑉 ∧ {𝑋} ∉ 𝐸) ∧ 𝑤 ∈ Word 𝑉) → (¬ 𝑤 = ⟨“𝑋”⟩ ∨ ¬ {𝑋} ∈ 𝐸))
10		ianor 979	. . . . . 6 ⊢ (¬ (𝑤 = ⟨“𝑋”⟩ ∧ {𝑋} ∈ 𝐸) ↔ (¬ 𝑤 = ⟨“𝑋”⟩ ∨ ¬ {𝑋} ∈ 𝐸))
11	9, 10	sylibr 237	. . . . 5 ⊢ (((𝑋 ∈ 𝑉 ∧ {𝑋} ∉ 𝐸) ∧ 𝑤 ∈ Word 𝑉) → ¬ (𝑤 = ⟨“𝑋”⟩ ∧ {𝑋} ∈ 𝐸))
12	11	ralrimiva 3149	. . . 4 ⊢ ((𝑋 ∈ 𝑉 ∧ {𝑋} ∉ 𝐸) → ∀𝑤 ∈ Word 𝑉 ¬ (𝑤 = ⟨“𝑋”⟩ ∧ {𝑋} ∈ 𝐸))
13		rabeq0 4292	. . . 4 ⊢ ({𝑤 ∈ Word 𝑉 ∣ (𝑤 = ⟨“𝑋”⟩ ∧ {𝑋} ∈ 𝐸)} = ∅ ↔ ∀𝑤 ∈ Word 𝑉 ¬ (𝑤 = ⟨“𝑋”⟩ ∧ {𝑋} ∈ 𝐸))
14	12, 13	sylibr 237	. . 3 ⊢ ((𝑋 ∈ 𝑉 ∧ {𝑋} ∉ 𝐸) → {𝑤 ∈ Word 𝑉 ∣ (𝑤 = ⟨“𝑋”⟩ ∧ {𝑋} ∈ 𝐸)} = ∅)
15	5, 14	eqtrd 2833	. 2 ⊢ ((𝑋 ∈ 𝑉 ∧ {𝑋} ∉ 𝐸) → (𝑋𝐶1) = ∅)
16	2	oveqi 7148	. . . 4 ⊢ (𝑋𝐶1) = (𝑋(ClWWalksNOn‘𝐺)1)
17	1	eleq2i 2881	. . . . . . . 8 ⊢ (𝑋 ∈ 𝑉 ↔ 𝑋 ∈ (Vtx‘𝐺))
18	17	notbii 323	. . . . . . 7 ⊢ (¬ 𝑋 ∈ 𝑉 ↔ ¬ 𝑋 ∈ (Vtx‘𝐺))
19	18	biimpi 219	. . . . . 6 ⊢ (¬ 𝑋 ∈ 𝑉 → ¬ 𝑋 ∈ (Vtx‘𝐺))
20	19	intnanrd 493	. . . . 5 ⊢ (¬ 𝑋 ∈ 𝑉 → ¬ (𝑋 ∈ (Vtx‘𝐺) ∧ 1 ∈ ℕ))
21		clwwlknon0 27878	. . . . 5 ⊢ (¬ (𝑋 ∈ (Vtx‘𝐺) ∧ 1 ∈ ℕ) → (𝑋(ClWWalksNOn‘𝐺)1) = ∅)
22	20, 21	syl 17	. . . 4 ⊢ (¬ 𝑋 ∈ 𝑉 → (𝑋(ClWWalksNOn‘𝐺)1) = ∅)
23	16, 22	syl5eq 2845	. . 3 ⊢ (¬ 𝑋 ∈ 𝑉 → (𝑋𝐶1) = ∅)
24	23	adantr 484	. 2 ⊢ ((¬ 𝑋 ∈ 𝑉 ∧ {𝑋} ∉ 𝐸) → (𝑋𝐶1) = ∅)
25	15, 24	pm2.61ian 811	1 ⊢ ({𝑋} ∉ 𝐸 → (𝑋𝐶1) = ∅)

Syntax hints:  ¬ wn 3   → wi 4   ∧ wa 399   ∨ wo 844   = wceq 1538   ∈ wcel 2111   ∉ wnel 3091  ∀wral 3106  {crab 3110  ∅c0 4243  {csn 4525  ‘cfv 6324  (class class class)co 7135  1c1 10527  ℕcn 11625  Word cword 13857  ⟨“cs1 13940  Vtxcvtx 26789  Edgcedg 26840  ClWWalksNOncclwwlknon 27872

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1797  ax-4 1811  ax-5 1911  ax-6 1970  ax-7 2015  ax-8 2113  ax-9 2121  ax-10 2142  ax-11 2158  ax-12 2175  ax-ext 2770  ax-rep 5154  ax-sep 5167  ax-nul 5174  ax-pow 5231  ax-pr 5295  ax-un 7441  ax-cnex 10582  ax-resscn 10583  ax-1cn 10584  ax-icn 10585  ax-addcl 10586  ax-addrcl 10587  ax-mulcl 10588  ax-mulrcl 10589  ax-mulcom 10590  ax-addass 10591  ax-mulass 10592  ax-distr 10593  ax-i2m1 10594  ax-1ne0 10595  ax-1rid 10596  ax-rnegex 10597  ax-rrecex 10598  ax-cnre 10599  ax-pre-lttri 10600  ax-pre-lttrn 10601  ax-pre-ltadd 10602  ax-pre-mulgt0 10603

This theorem depends on definitions:  df-bi 210  df-an 400  df-or 845  df-3or 1085  df-3an 1086  df-tru 1541  df-ex 1782  df-nf 1786  df-sb 2070  df-mo 2598  df-eu 2629  df-clab 2777  df-cleq 2791  df-clel 2870  df-nfc 2938  df-ne 2988  df-nel 3092  df-ral 3111  df-rex 3112  df-reu 3113  df-rab 3115  df-v 3443  df-sbc 3721  df-csb 3829  df-dif 3884  df-un 3886  df-in 3888  df-ss 3898  df-pss 3900  df-nul 4244  df-if 4426  df-pw 4499  df-sn 4526  df-pr 4528  df-tp 4530  df-op 4532  df-uni 4801  df-int 4839  df-iun 4883  df-br 5031  df-opab 5093  df-mpt 5111  df-tr 5137  df-id 5425  df-eprel 5430  df-po 5438  df-so 5439  df-fr 5478  df-we 5480  df-xp 5525  df-rel 5526  df-cnv 5527  df-co 5528  df-dm 5529  df-rn 5530  df-res 5531  df-ima 5532  df-pred 6116  df-ord 6162  df-on 6163  df-lim 6164  df-suc 6165  df-iota 6283  df-fun 6326  df-fn 6327  df-f 6328  df-f1 6329  df-fo 6330  df-f1o 6331  df-fv 6332  df-riota 7093  df-ov 7138  df-oprab 7139  df-mpo 7140  df-om 7561  df-1st 7671  df-2nd 7672  df-wrecs 7930  df-recs 7991  df-rdg 8029  df-1o 8085  df-oadd 8089  df-er 8272  df-map 8391  df-en 8493  df-dom 8494  df-sdom 8495  df-fin 8496  df-card 9352  df-pnf 10666  df-mnf 10667  df-xr 10668  df-ltxr 10669  df-le 10670  df-sub 10861  df-neg 10862  df-nn 11626  df-n0 11886  df-xnn0 11956  df-z 11970  df-uz 12232  df-fz 12886  df-fzo 13029  df-hash 13687  df-word 13858  df-lsw 13906  df-s1 13941  df-clwwlk 27767  df-clwwlkn 27810  df-clwwlknon 27873

This theorem is referenced by:  clwwlknon1sn  27885  clwwlknon1le1  27886