MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  clwwlknon1nloop Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem clwwlknon1nloop 27870
Description: If there is no loop at vertex 𝑋, the set of (closed) walks on 𝑋 of length 1 as words over the set of vertices is empty. (Contributed by AV, 11-Feb-2022.) (Revised by AV, 25-Mar-2022.)
Hypotheses
Ref Expression
clwwlknon1.v 𝑉 = (Vtx‘𝐺)
clwwlknon1.c 𝐶 = (ClWWalksNOn‘𝐺)
clwwlknon1.e 𝐸 = (Edg‘𝐺)
Assertion
Ref Expression
clwwlknon1nloop ({𝑋} ∉ 𝐸 → (𝑋𝐶1) = ∅)

Proof of Theorem clwwlknon1nloop
Dummy variable 𝑤 is distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 clwwlknon1.v . . . . 5 𝑉 = (Vtx‘𝐺)
2 clwwlknon1.c . . . . 5 𝐶 = (ClWWalksNOn‘𝐺)
3 clwwlknon1.e . . . . 5 𝐸 = (Edg‘𝐺)
41, 2, 3clwwlknon1 27868 . . . 4 (𝑋𝑉 → (𝑋𝐶1) = {𝑤 ∈ Word 𝑉 ∣ (𝑤 = ⟨“𝑋”⟩ ∧ {𝑋} ∈ 𝐸)})
54adantr 483 . . 3 ((𝑋𝑉 ∧ {𝑋} ∉ 𝐸) → (𝑋𝐶1) = {𝑤 ∈ Word 𝑉 ∣ (𝑤 = ⟨“𝑋”⟩ ∧ {𝑋} ∈ 𝐸)})
6 df-nel 3122 . . . . . . . . 9 ({𝑋} ∉ 𝐸 ↔ ¬ {𝑋} ∈ 𝐸)
76biimpi 218 . . . . . . . 8 ({𝑋} ∉ 𝐸 → ¬ {𝑋} ∈ 𝐸)
87olcd 872 . . . . . . 7 ({𝑋} ∉ 𝐸 → (¬ 𝑤 = ⟨“𝑋”⟩ ∨ ¬ {𝑋} ∈ 𝐸))
98ad2antlr 725 . . . . . 6 (((𝑋𝑉 ∧ {𝑋} ∉ 𝐸) ∧ 𝑤 ∈ Word 𝑉) → (¬ 𝑤 = ⟨“𝑋”⟩ ∨ ¬ {𝑋} ∈ 𝐸))
10 ianor 977 . . . . . 6 (¬ (𝑤 = ⟨“𝑋”⟩ ∧ {𝑋} ∈ 𝐸) ↔ (¬ 𝑤 = ⟨“𝑋”⟩ ∨ ¬ {𝑋} ∈ 𝐸))
119, 10sylibr 236 . . . . 5 (((𝑋𝑉 ∧ {𝑋} ∉ 𝐸) ∧ 𝑤 ∈ Word 𝑉) → ¬ (𝑤 = ⟨“𝑋”⟩ ∧ {𝑋} ∈ 𝐸))
1211ralrimiva 3180 . . . 4 ((𝑋𝑉 ∧ {𝑋} ∉ 𝐸) → ∀𝑤 ∈ Word 𝑉 ¬ (𝑤 = ⟨“𝑋”⟩ ∧ {𝑋} ∈ 𝐸))
13 rabeq0 4336 . . . 4 ({𝑤 ∈ Word 𝑉 ∣ (𝑤 = ⟨“𝑋”⟩ ∧ {𝑋} ∈ 𝐸)} = ∅ ↔ ∀𝑤 ∈ Word 𝑉 ¬ (𝑤 = ⟨“𝑋”⟩ ∧ {𝑋} ∈ 𝐸))
1412, 13sylibr 236 . . 3 ((𝑋𝑉 ∧ {𝑋} ∉ 𝐸) → {𝑤 ∈ Word 𝑉 ∣ (𝑤 = ⟨“𝑋”⟩ ∧ {𝑋} ∈ 𝐸)} = ∅)
155, 14eqtrd 2854 . 2 ((𝑋𝑉 ∧ {𝑋} ∉ 𝐸) → (𝑋𝐶1) = ∅)
162oveqi 7161 . . . 4 (𝑋𝐶1) = (𝑋(ClWWalksNOn‘𝐺)1)
171eleq2i 2902 . . . . . . . 8 (𝑋𝑉𝑋 ∈ (Vtx‘𝐺))
1817notbii 322 . . . . . . 7 𝑋𝑉 ↔ ¬ 𝑋 ∈ (Vtx‘𝐺))
1918biimpi 218 . . . . . 6 𝑋𝑉 → ¬ 𝑋 ∈ (Vtx‘𝐺))
2019intnanrd 492 . . . . 5 𝑋𝑉 → ¬ (𝑋 ∈ (Vtx‘𝐺) ∧ 1 ∈ ℕ))
21 clwwlknon0 27864 . . . . 5 (¬ (𝑋 ∈ (Vtx‘𝐺) ∧ 1 ∈ ℕ) → (𝑋(ClWWalksNOn‘𝐺)1) = ∅)
2220, 21syl 17 . . . 4 𝑋𝑉 → (𝑋(ClWWalksNOn‘𝐺)1) = ∅)
2316, 22syl5eq 2866 . . 3 𝑋𝑉 → (𝑋𝐶1) = ∅)
2423adantr 483 . 2 ((¬ 𝑋𝑉 ∧ {𝑋} ∉ 𝐸) → (𝑋𝐶1) = ∅)
2515, 24pm2.61ian 810 1 ({𝑋} ∉ 𝐸 → (𝑋𝐶1) = ∅)
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  ¬ wn 3  wi 4  wa 398  wo 843   = wceq 1530  wcel 2107  wnel 3121  wral 3136  {crab 3140  c0 4289  {csn 4559  cfv 6348  (class class class)co 7148  1c1 10530  cn 11630  Word cword 13853  ⟨“cs1 13941  Vtxcvtx 26773  Edgcedg 26824  ClWWalksNOncclwwlknon 27858
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1789  ax-4 1803  ax-5 1904  ax-6 1963  ax-7 2008  ax-8 2109  ax-9 2117  ax-10 2138  ax-11 2153  ax-12 2169  ax-ext 2791  ax-rep 5181  ax-sep 5194  ax-nul 5201  ax-pow 5257  ax-pr 5320  ax-un 7453  ax-cnex 10585  ax-resscn 10586  ax-1cn 10587  ax-icn 10588  ax-addcl 10589  ax-addrcl 10590  ax-mulcl 10591  ax-mulrcl 10592  ax-mulcom 10593  ax-addass 10594  ax-mulass 10595  ax-distr 10596  ax-i2m1 10597  ax-1ne0 10598  ax-1rid 10599  ax-rnegex 10600  ax-rrecex 10601  ax-cnre 10602  ax-pre-lttri 10603  ax-pre-lttrn 10604  ax-pre-ltadd 10605  ax-pre-mulgt0 10606
This theorem depends on definitions:  df-bi 209  df-an 399  df-or 844  df-3or 1082  df-3an 1083  df-tru 1533  df-ex 1774  df-nf 1778  df-sb 2063  df-mo 2616  df-eu 2648  df-clab 2798  df-cleq 2812  df-clel 2891  df-nfc 2961  df-ne 3015  df-nel 3122  df-ral 3141  df-rex 3142  df-reu 3143  df-rab 3145  df-v 3495  df-sbc 3771  df-csb 3882  df-dif 3937  df-un 3939  df-in 3941  df-ss 3950  df-pss 3952  df-nul 4290  df-if 4466  df-pw 4539  df-sn 4560  df-pr 4562  df-tp 4564  df-op 4566  df-uni 4831  df-int 4868  df-iun 4912  df-br 5058  df-opab 5120  df-mpt 5138  df-tr 5164  df-id 5453  df-eprel 5458  df-po 5467  df-so 5468  df-fr 5507  df-we 5509  df-xp 5554  df-rel 5555  df-cnv 5556  df-co 5557  df-dm 5558  df-rn 5559  df-res 5560  df-ima 5561  df-pred 6141  df-ord 6187  df-on 6188  df-lim 6189  df-suc 6190  df-iota 6307  df-fun 6350  df-fn 6351  df-f 6352  df-f1 6353  df-fo 6354  df-f1o 6355  df-fv 6356  df-riota 7106  df-ov 7151  df-oprab 7152  df-mpo 7153  df-om 7573  df-1st 7681  df-2nd 7682  df-wrecs 7939  df-recs 8000  df-rdg 8038  df-1o 8094  df-oadd 8098  df-er 8281  df-map 8400  df-en 8502  df-dom 8503  df-sdom 8504  df-fin 8505  df-card 9360  df-pnf 10669  df-mnf 10670  df-xr 10671  df-ltxr 10672  df-le 10673  df-sub 10864  df-neg 10865  df-nn 11631  df-n0 11890  df-xnn0 11960  df-z 11974  df-uz 12236  df-fz 12885  df-fzo 13026  df-hash 13683  df-word 13854  df-lsw 13907  df-s1 13942  df-clwwlk 27752  df-clwwlkn 27795  df-clwwlknon 27859
This theorem is referenced by:  clwwlknon1sn  27871  clwwlknon1le1  27872
  Copyright terms: Public domain W3C validator