MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  clwwlknon1nloop Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem clwwlknon1nloop 29902
Description: If there is no loop at vertex 𝑋, the set of (closed) walks on 𝑋 of length 1 as words over the set of vertices is empty. (Contributed by AV, 11-Feb-2022.) (Revised by AV, 25-Mar-2022.)
Hypotheses
Ref Expression
clwwlknon1.v 𝑉 = (Vtx‘𝐺)
clwwlknon1.c 𝐶 = (ClWWalksNOn‘𝐺)
clwwlknon1.e 𝐸 = (Edg‘𝐺)
Assertion
Ref Expression
clwwlknon1nloop ({𝑋} ∉ 𝐸 → (𝑋𝐶1) = ∅)

Proof of Theorem clwwlknon1nloop
Dummy variable 𝑤 is distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 clwwlknon1.v . . . . 5 𝑉 = (Vtx‘𝐺)
2 clwwlknon1.c . . . . 5 𝐶 = (ClWWalksNOn‘𝐺)
3 clwwlknon1.e . . . . 5 𝐸 = (Edg‘𝐺)
41, 2, 3clwwlknon1 29900 . . . 4 (𝑋𝑉 → (𝑋𝐶1) = {𝑤 ∈ Word 𝑉 ∣ (𝑤 = ⟨“𝑋”⟩ ∧ {𝑋} ∈ 𝐸)})
54adantr 480 . . 3 ((𝑋𝑉 ∧ {𝑋} ∉ 𝐸) → (𝑋𝐶1) = {𝑤 ∈ Word 𝑉 ∣ (𝑤 = ⟨“𝑋”⟩ ∧ {𝑋} ∈ 𝐸)})
6 df-nel 3042 . . . . . . . . 9 ({𝑋} ∉ 𝐸 ↔ ¬ {𝑋} ∈ 𝐸)
76biimpi 215 . . . . . . . 8 ({𝑋} ∉ 𝐸 → ¬ {𝑋} ∈ 𝐸)
87olcd 873 . . . . . . 7 ({𝑋} ∉ 𝐸 → (¬ 𝑤 = ⟨“𝑋”⟩ ∨ ¬ {𝑋} ∈ 𝐸))
98ad2antlr 726 . . . . . 6 (((𝑋𝑉 ∧ {𝑋} ∉ 𝐸) ∧ 𝑤 ∈ Word 𝑉) → (¬ 𝑤 = ⟨“𝑋”⟩ ∨ ¬ {𝑋} ∈ 𝐸))
10 ianor 980 . . . . . 6 (¬ (𝑤 = ⟨“𝑋”⟩ ∧ {𝑋} ∈ 𝐸) ↔ (¬ 𝑤 = ⟨“𝑋”⟩ ∨ ¬ {𝑋} ∈ 𝐸))
119, 10sylibr 233 . . . . 5 (((𝑋𝑉 ∧ {𝑋} ∉ 𝐸) ∧ 𝑤 ∈ Word 𝑉) → ¬ (𝑤 = ⟨“𝑋”⟩ ∧ {𝑋} ∈ 𝐸))
1211ralrimiva 3141 . . . 4 ((𝑋𝑉 ∧ {𝑋} ∉ 𝐸) → ∀𝑤 ∈ Word 𝑉 ¬ (𝑤 = ⟨“𝑋”⟩ ∧ {𝑋} ∈ 𝐸))
13 rabeq0 4380 . . . 4 ({𝑤 ∈ Word 𝑉 ∣ (𝑤 = ⟨“𝑋”⟩ ∧ {𝑋} ∈ 𝐸)} = ∅ ↔ ∀𝑤 ∈ Word 𝑉 ¬ (𝑤 = ⟨“𝑋”⟩ ∧ {𝑋} ∈ 𝐸))
1412, 13sylibr 233 . . 3 ((𝑋𝑉 ∧ {𝑋} ∉ 𝐸) → {𝑤 ∈ Word 𝑉 ∣ (𝑤 = ⟨“𝑋”⟩ ∧ {𝑋} ∈ 𝐸)} = ∅)
155, 14eqtrd 2767 . 2 ((𝑋𝑉 ∧ {𝑋} ∉ 𝐸) → (𝑋𝐶1) = ∅)
162oveqi 7427 . . . 4 (𝑋𝐶1) = (𝑋(ClWWalksNOn‘𝐺)1)
171eleq2i 2820 . . . . . . . 8 (𝑋𝑉𝑋 ∈ (Vtx‘𝐺))
1817notbii 320 . . . . . . 7 𝑋𝑉 ↔ ¬ 𝑋 ∈ (Vtx‘𝐺))
1918biimpi 215 . . . . . 6 𝑋𝑉 → ¬ 𝑋 ∈ (Vtx‘𝐺))
2019intnanrd 489 . . . . 5 𝑋𝑉 → ¬ (𝑋 ∈ (Vtx‘𝐺) ∧ 1 ∈ ℕ))
21 clwwlknon0 29896 . . . . 5 (¬ (𝑋 ∈ (Vtx‘𝐺) ∧ 1 ∈ ℕ) → (𝑋(ClWWalksNOn‘𝐺)1) = ∅)
2220, 21syl 17 . . . 4 𝑋𝑉 → (𝑋(ClWWalksNOn‘𝐺)1) = ∅)
2316, 22eqtrid 2779 . . 3 𝑋𝑉 → (𝑋𝐶1) = ∅)
2423adantr 480 . 2 ((¬ 𝑋𝑉 ∧ {𝑋} ∉ 𝐸) → (𝑋𝐶1) = ∅)
2515, 24pm2.61ian 811 1 ({𝑋} ∉ 𝐸 → (𝑋𝐶1) = ∅)
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  ¬ wn 3  wi 4  wa 395  wo 846   = wceq 1534  wcel 2099  wnel 3041  wral 3056  {crab 3427  c0 4318  {csn 4624  cfv 6542  (class class class)co 7414  1c1 11133  cn 12236  Word cword 14490  ⟨“cs1 14571  Vtxcvtx 28802  Edgcedg 28853  ClWWalksNOncclwwlknon 29890
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1790  ax-4 1804  ax-5 1906  ax-6 1964  ax-7 2004  ax-8 2101  ax-9 2109  ax-10 2130  ax-11 2147  ax-12 2164  ax-ext 2698  ax-rep 5279  ax-sep 5293  ax-nul 5300  ax-pow 5359  ax-pr 5423  ax-un 7734  ax-cnex 11188  ax-resscn 11189  ax-1cn 11190  ax-icn 11191  ax-addcl 11192  ax-addrcl 11193  ax-mulcl 11194  ax-mulrcl 11195  ax-mulcom 11196  ax-addass 11197  ax-mulass 11198  ax-distr 11199  ax-i2m1 11200  ax-1ne0 11201  ax-1rid 11202  ax-rnegex 11203  ax-rrecex 11204  ax-cnre 11205  ax-pre-lttri 11206  ax-pre-lttrn 11207  ax-pre-ltadd 11208  ax-pre-mulgt0 11209
This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 396  df-or 847  df-3or 1086  df-3an 1087  df-tru 1537  df-fal 1547  df-ex 1775  df-nf 1779  df-sb 2061  df-mo 2529  df-eu 2558  df-clab 2705  df-cleq 2719  df-clel 2805  df-nfc 2880  df-ne 2936  df-nel 3042  df-ral 3057  df-rex 3066  df-reu 3372  df-rab 3428  df-v 3471  df-sbc 3775  df-csb 3890  df-dif 3947  df-un 3949  df-in 3951  df-ss 3961  df-pss 3963  df-nul 4319  df-if 4525  df-pw 4600  df-sn 4625  df-pr 4627  df-op 4631  df-uni 4904  df-int 4945  df-iun 4993  df-br 5143  df-opab 5205  df-mpt 5226  df-tr 5260  df-id 5570  df-eprel 5576  df-po 5584  df-so 5585  df-fr 5627  df-we 5629  df-xp 5678  df-rel 5679  df-cnv 5680  df-co 5681  df-dm 5682  df-rn 5683  df-res 5684  df-ima 5685  df-pred 6299  df-ord 6366  df-on 6367  df-lim 6368  df-suc 6369  df-iota 6494  df-fun 6544  df-fn 6545  df-f 6546  df-f1 6547  df-fo 6548  df-f1o 6549  df-fv 6550  df-riota 7370  df-ov 7417  df-oprab 7418  df-mpo 7419  df-om 7865  df-1st 7987  df-2nd 7988  df-frecs 8280  df-wrecs 8311  df-recs 8385  df-rdg 8424  df-1o 8480  df-oadd 8484  df-er 8718  df-map 8840  df-en 8958  df-dom 8959  df-sdom 8960  df-fin 8961  df-card 9956  df-pnf 11274  df-mnf 11275  df-xr 11276  df-ltxr 11277  df-le 11278  df-sub 11470  df-neg 11471  df-nn 12237  df-n0 12497  df-xnn0 12569  df-z 12583  df-uz 12847  df-fz 13511  df-fzo 13654  df-hash 14316  df-word 14491  df-lsw 14539  df-s1 14572  df-clwwlk 29785  df-clwwlkn 29828  df-clwwlknon 29891
This theorem is referenced by:  clwwlknon1sn  29903  clwwlknon1le1  29904
  Copyright terms: Public domain W3C validator