Theorem clwwlknon1nloop 29212

Description: If there is no loop at vertex 𝑋, the set of (closed) walks on 𝑋 of length 1 as words over the set of vertices is empty. (Contributed by AV, 11-Feb-2022.) (Revised by AV, 25-Mar-2022.)

Hypotheses

Ref	Expression
clwwlknon1.v	⊢ 𝑉 = (Vtx‘𝐺)
clwwlknon1.c	⊢ 𝐶 = (ClWWalksNOn‘𝐺)
clwwlknon1.e	⊢ 𝐸 = (Edg‘𝐺)

Assertion

Ref	Expression
clwwlknon1nloop	⊢ ({𝑋} ∉ 𝐸 → (𝑋𝐶1) = ∅)

Proof of Theorem clwwlknon1nloop

Dummy variable 𝑤 is distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		clwwlknon1.v	. . . . 5 ⊢ 𝑉 = (Vtx‘𝐺)
2		clwwlknon1.c	. . . . 5 ⊢ 𝐶 = (ClWWalksNOn‘𝐺)
3		clwwlknon1.e	. . . . 5 ⊢ 𝐸 = (Edg‘𝐺)
4	1, 2, 3	clwwlknon1 29210	. . . 4 ⊢ (𝑋 ∈ 𝑉 → (𝑋𝐶1) = {𝑤 ∈ Word 𝑉 ∣ (𝑤 = ⟨“𝑋”⟩ ∧ {𝑋} ∈ 𝐸)})
5	4	adantr 481	. . 3 ⊢ ((𝑋 ∈ 𝑉 ∧ {𝑋} ∉ 𝐸) → (𝑋𝐶1) = {𝑤 ∈ Word 𝑉 ∣ (𝑤 = ⟨“𝑋”⟩ ∧ {𝑋} ∈ 𝐸)})
6		df-nel 3046	. . . . . . . . 9 ⊢ ({𝑋} ∉ 𝐸 ↔ ¬ {𝑋} ∈ 𝐸)
7	6	biimpi 215	. . . . . . . 8 ⊢ ({𝑋} ∉ 𝐸 → ¬ {𝑋} ∈ 𝐸)
8	7	olcd 872	. . . . . . 7 ⊢ ({𝑋} ∉ 𝐸 → (¬ 𝑤 = ⟨“𝑋”⟩ ∨ ¬ {𝑋} ∈ 𝐸))
9	8	ad2antlr 725	. . . . . 6 ⊢ (((𝑋 ∈ 𝑉 ∧ {𝑋} ∉ 𝐸) ∧ 𝑤 ∈ Word 𝑉) → (¬ 𝑤 = ⟨“𝑋”⟩ ∨ ¬ {𝑋} ∈ 𝐸))
10		ianor 980	. . . . . 6 ⊢ (¬ (𝑤 = ⟨“𝑋”⟩ ∧ {𝑋} ∈ 𝐸) ↔ (¬ 𝑤 = ⟨“𝑋”⟩ ∨ ¬ {𝑋} ∈ 𝐸))
11	9, 10	sylibr 233	. . . . 5 ⊢ (((𝑋 ∈ 𝑉 ∧ {𝑋} ∉ 𝐸) ∧ 𝑤 ∈ Word 𝑉) → ¬ (𝑤 = ⟨“𝑋”⟩ ∧ {𝑋} ∈ 𝐸))
12	11	ralrimiva 3145	. . . 4 ⊢ ((𝑋 ∈ 𝑉 ∧ {𝑋} ∉ 𝐸) → ∀𝑤 ∈ Word 𝑉 ¬ (𝑤 = ⟨“𝑋”⟩ ∧ {𝑋} ∈ 𝐸))
13		rabeq0 4377	. . . 4 ⊢ ({𝑤 ∈ Word 𝑉 ∣ (𝑤 = ⟨“𝑋”⟩ ∧ {𝑋} ∈ 𝐸)} = ∅ ↔ ∀𝑤 ∈ Word 𝑉 ¬ (𝑤 = ⟨“𝑋”⟩ ∧ {𝑋} ∈ 𝐸))
14	12, 13	sylibr 233	. . 3 ⊢ ((𝑋 ∈ 𝑉 ∧ {𝑋} ∉ 𝐸) → {𝑤 ∈ Word 𝑉 ∣ (𝑤 = ⟨“𝑋”⟩ ∧ {𝑋} ∈ 𝐸)} = ∅)
15	5, 14	eqtrd 2771	. 2 ⊢ ((𝑋 ∈ 𝑉 ∧ {𝑋} ∉ 𝐸) → (𝑋𝐶1) = ∅)
16	2	oveqi 7403	. . . 4 ⊢ (𝑋𝐶1) = (𝑋(ClWWalksNOn‘𝐺)1)
17	1	eleq2i 2824	. . . . . . . 8 ⊢ (𝑋 ∈ 𝑉 ↔ 𝑋 ∈ (Vtx‘𝐺))
18	17	notbii 319	. . . . . . 7 ⊢ (¬ 𝑋 ∈ 𝑉 ↔ ¬ 𝑋 ∈ (Vtx‘𝐺))
19	18	biimpi 215	. . . . . 6 ⊢ (¬ 𝑋 ∈ 𝑉 → ¬ 𝑋 ∈ (Vtx‘𝐺))
20	19	intnanrd 490	. . . . 5 ⊢ (¬ 𝑋 ∈ 𝑉 → ¬ (𝑋 ∈ (Vtx‘𝐺) ∧ 1 ∈ ℕ))
21		clwwlknon0 29206	. . . . 5 ⊢ (¬ (𝑋 ∈ (Vtx‘𝐺) ∧ 1 ∈ ℕ) → (𝑋(ClWWalksNOn‘𝐺)1) = ∅)
22	20, 21	syl 17	. . . 4 ⊢ (¬ 𝑋 ∈ 𝑉 → (𝑋(ClWWalksNOn‘𝐺)1) = ∅)
23	16, 22	eqtrid 2783	. . 3 ⊢ (¬ 𝑋 ∈ 𝑉 → (𝑋𝐶1) = ∅)
24	23	adantr 481	. 2 ⊢ ((¬ 𝑋 ∈ 𝑉 ∧ {𝑋} ∉ 𝐸) → (𝑋𝐶1) = ∅)
25	15, 24	pm2.61ian 810	1 ⊢ ({𝑋} ∉ 𝐸 → (𝑋𝐶1) = ∅)

Syntax hints:  ¬ wn 3   → wi 4   ∧ wa 396   ∨ wo 845   = wceq 1541   ∈ wcel 2106   ∉ wnel 3045  ∀wral 3060  {crab 3429  ∅c0 4315  {csn 4619  ‘cfv 6529  (class class class)co 7390  1c1 11090  ℕcn 12191  Word cword 14443  ⟨“cs1 14524  Vtxcvtx 28116  Edgcedg 28167  ClWWalksNOncclwwlknon 29200

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1797  ax-4 1811  ax-5 1913  ax-6 1971  ax-7 2011  ax-8 2108  ax-9 2116  ax-10 2137  ax-11 2154  ax-12 2171  ax-ext 2702  ax-rep 5275  ax-sep 5289  ax-nul 5296  ax-pow 5353  ax-pr 5417  ax-un 7705  ax-cnex 11145  ax-resscn 11146  ax-1cn 11147  ax-icn 11148  ax-addcl 11149  ax-addrcl 11150  ax-mulcl 11151  ax-mulrcl 11152  ax-mulcom 11153  ax-addass 11154  ax-mulass 11155  ax-distr 11156  ax-i2m1 11157  ax-1ne0 11158  ax-1rid 11159  ax-rnegex 11160  ax-rrecex 11161  ax-cnre 11162  ax-pre-lttri 11163  ax-pre-lttrn 11164  ax-pre-ltadd 11165  ax-pre-mulgt0 11166

This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 397  df-or 846  df-3or 1088  df-3an 1089  df-tru 1544  df-fal 1554  df-ex 1782  df-nf 1786  df-sb 2068  df-mo 2533  df-eu 2562  df-clab 2709  df-cleq 2723  df-clel 2809  df-nfc 2884  df-ne 2940  df-nel 3046  df-ral 3061  df-rex 3070  df-reu 3376  df-rab 3430  df-v 3472  df-sbc 3771  df-csb 3887  df-dif 3944  df-un 3946  df-in 3948  df-ss 3958  df-pss 3960  df-nul 4316  df-if 4520  df-pw 4595  df-sn 4620  df-pr 4622  df-op 4626  df-uni 4899  df-int 4941  df-iun 4989  df-br 5139  df-opab 5201  df-mpt 5222  df-tr 5256  df-id 5564  df-eprel 5570  df-po 5578  df-so 5579  df-fr 5621  df-we 5623  df-xp 5672  df-rel 5673  df-cnv 5674  df-co 5675  df-dm 5676  df-rn 5677  df-res 5678  df-ima 5679  df-pred 6286  df-ord 6353  df-on 6354  df-lim 6355  df-suc 6356  df-iota 6481  df-fun 6531  df-fn 6532  df-f 6533  df-f1 6534  df-fo 6535  df-f1o 6536  df-fv 6537  df-riota 7346  df-ov 7393  df-oprab 7394  df-mpo 7395  df-om 7836  df-1st 7954  df-2nd 7955  df-frecs 8245  df-wrecs 8276  df-recs 8350  df-rdg 8389  df-1o 8445  df-oadd 8449  df-er 8683  df-map 8802  df-en 8920  df-dom 8921  df-sdom 8922  df-fin 8923  df-card 9913  df-pnf 11229  df-mnf 11230  df-xr 11231  df-ltxr 11232  df-le 11233  df-sub 11425  df-neg 11426  df-nn 12192  df-n0 12452  df-xnn0 12524  df-z 12538  df-uz 12802  df-fz 13464  df-fzo 13607  df-hash 14270  df-word 14444  df-lsw 14492  df-s1 14525  df-clwwlk 29095  df-clwwlkn 29138  df-clwwlknon 29201

This theorem is referenced by:  clwwlknon1sn  29213  clwwlknon1le1  29214