Theorem clwwlknon1nloop 30696

Description: If there is no loop at vertex 𝑋, the set of (closed) walks on 𝑋 of length 1 as words over the set of vertices is empty. (Contributed by AV, 11-Feb-2022.) (Revised by AV, 25-Mar-2022.)

Hypotheses

Ref	Expression
clwwlknon1.v	⊢ 𝑉 = (Vtx‘𝐺)
clwwlknon1.c	⊢ 𝐶 = (ClWWalksNOn‘𝐺)
clwwlknon1.e	⊢ 𝐸 = (Edg‘𝐺)

Assertion

Ref	Expression
clwwlknon1nloop	⊢ ({𝑋} ∉ 𝐸 → (𝑋𝐶1) = ∅)

Proof of Theorem clwwlknon1nloop

Dummy variable 𝑤 is distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		clwwlknon1.v	. . . . 5 ⊢ 𝑉 = (Vtx‘𝐺)
2		clwwlknon1.c	. . . . 5 ⊢ 𝐶 = (ClWWalksNOn‘𝐺)
3		clwwlknon1.e	. . . . 5 ⊢ 𝐸 = (Edg‘𝐺)
4	1, 2, 3	clwwlknon1 30694	. . . 4 ⊢ (𝑋 ∈ 𝑉 → (𝑋𝐶1) = {𝑤 ∈ Word 𝑉 ∣ (𝑤 = ⟨“𝑋”⟩ ∧ {𝑋} ∈ 𝐸)})
5	4	adantr 486	. . 3 ⊢ ((𝑋 ∈ 𝑉 ∧ {𝑋} ∉ 𝐸) → (𝑋𝐶1) = {𝑤 ∈ Word 𝑉 ∣ (𝑤 = ⟨“𝑋”⟩ ∧ {𝑋} ∈ 𝐸)})
6		df-nel 3062	. . . . . . . . 9 ⊢ ({𝑋} ∉ 𝐸 ↔ ¬ {𝑋} ∈ 𝐸)
7	6	biimpi 219	. . . . . . . 8 ⊢ ({𝑋} ∉ 𝐸 → ¬ {𝑋} ∈ 𝐸)
8	7	olcd 888	. . . . . . 7 ⊢ ({𝑋} ∉ 𝐸 → (¬ 𝑤 = ⟨“𝑋”⟩ ∨ ¬ {𝑋} ∈ 𝐸))
9	8	ad2antlr 740	. . . . . 6 ⊢ (((𝑋 ∈ 𝑉 ∧ {𝑋} ∉ 𝐸) ∧ 𝑤 ∈ Word 𝑉) → (¬ 𝑤 = ⟨“𝑋”⟩ ∨ ¬ {𝑋} ∈ 𝐸))
10		ianor 997	. . . . . 6 ⊢ (¬ (𝑤 = ⟨“𝑋”⟩ ∧ {𝑋} ∈ 𝐸) ↔ (¬ 𝑤 = ⟨“𝑋”⟩ ∨ ¬ {𝑋} ∈ 𝐸))
11	9, 10	sylibr 237	. . . . 5 ⊢ (((𝑋 ∈ 𝑉 ∧ {𝑋} ∉ 𝐸) ∧ 𝑤 ∈ Word 𝑉) → ¬ (𝑤 = ⟨“𝑋”⟩ ∧ {𝑋} ∈ 𝐸))
12	11	ralrimiva 3154	. . . 4 ⊢ ((𝑋 ∈ 𝑉 ∧ {𝑋} ∉ 𝐸) → ∀𝑤 ∈ Word 𝑉 ¬ (𝑤 = ⟨“𝑋”⟩ ∧ {𝑋} ∈ 𝐸))
13		rabeq0 4337	. . . 4 ⊢ ({𝑤 ∈ Word 𝑉 ∣ (𝑤 = ⟨“𝑋”⟩ ∧ {𝑋} ∈ 𝐸)} = ∅ ↔ ∀𝑤 ∈ Word 𝑉 ¬ (𝑤 = ⟨“𝑋”⟩ ∧ {𝑋} ∈ 𝐸))
14	12, 13	sylibr 237	. . 3 ⊢ ((𝑋 ∈ 𝑉 ∧ {𝑋} ∉ 𝐸) → {𝑤 ∈ Word 𝑉 ∣ (𝑤 = ⟨“𝑋”⟩ ∧ {𝑋} ∈ 𝐸)} = ∅)
15	5, 14	eqtrd 2795	. 2 ⊢ ((𝑋 ∈ 𝑉 ∧ {𝑋} ∉ 𝐸) → (𝑋𝐶1) = ∅)
16	2	oveqi 7434	. . . 4 ⊢ (𝑋𝐶1) = (𝑋(ClWWalksNOn‘𝐺)1)
17	1	eleq2i 2852	. . . . . . . 8 ⊢ (𝑋 ∈ 𝑉 ↔ 𝑋 ∈ (Vtx‘𝐺))
18	17	notbii 323	. . . . . . 7 ⊢ (¬ 𝑋 ∈ 𝑉 ↔ ¬ 𝑋 ∈ (Vtx‘𝐺))
19	18	biimpi 219	. . . . . 6 ⊢ (¬ 𝑋 ∈ 𝑉 → ¬ 𝑋 ∈ (Vtx‘𝐺))
20	19	intnanrd 495	. . . . 5 ⊢ (¬ 𝑋 ∈ 𝑉 → ¬ (𝑋 ∈ (Vtx‘𝐺) ∧ 1 ∈ ℕ))
21		clwwlknon0 30690	. . . . 5 ⊢ (¬ (𝑋 ∈ (Vtx‘𝐺) ∧ 1 ∈ ℕ) → (𝑋(ClWWalksNOn‘𝐺)1) = ∅)
22	20, 21	syl 18	. . . 4 ⊢ (¬ 𝑋 ∈ 𝑉 → (𝑋(ClWWalksNOn‘𝐺)1) = ∅)
23	16, 22	eqtrid 2807	. . 3 ⊢ (¬ 𝑋 ∈ 𝑉 → (𝑋𝐶1) = ∅)
24	23	adantr 486	. 2 ⊢ ((¬ 𝑋 ∈ 𝑉 ∧ {𝑋} ∉ 𝐸) → (𝑋𝐶1) = ∅)
25	15, 24	pm2.61ian 824	1 ⊢ ({𝑋} ∉ 𝐸 → (𝑋𝐶1) = ∅)

This proof depends on syntax axioms:  ¬ wn 3   → wi 4   ∧ wa 401   ∨ wo 861   = wceq 1569   ∈ wcel 2144   ∉ wnel 3061  ∀wral 3076  {crab 3412  ∅c0 4278  {csn 4584  ‘cfv 6539  (class class class)co 7421  1c1 11205  ℕcn 12339  Word cword 14662  ⟨“cs1 14746  Vtxcvtx 29580  Edgcedg 29631  ClWWalksNOncclwwlknon 30684

This proof depends on axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1827  ax-4 1841  ax-5 1942  ax-6 1999  ax-7 2040  ax-8 2146  ax-9 2154  ax-10 2177  ax-11 2193  ax-12 2212  ax-ext 2732  ax-rep 5231  ax-sep 5248  ax-nul 5259  ax-pow 5326  ax-pr 5390  ax-un 7752  ax-cnex 11260  ax-resscn 11261  ax-1cn 11262  ax-icn 11263  ax-addcl 11264  ax-addrcl 11265  ax-mulcl 11266  ax-mulrcl 11267  ax-mulcom 11268  ax-addass 11269  ax-mulass 11270  ax-distr 11271  ax-i2m1 11272  ax-1ne0 11273  ax-1rid 11274  ax-rnegex 11275  ax-rrecex 11276  ax-cnre 11277  ax-pre-lttri 11278  ax-pre-lttrn 11279  ax-pre-ltadd 11280  ax-pre-mulgt0 11281

This proof depends on definitions:  df-bi 210  df-an 402  df-or 862  df-3or 1104  df-3an 1105  df-tru 1572  df-fal 1582  df-ex 1812  df-nf 1816  df-sb 2099  df-mo 2564  df-eu 2594  df-clab 2739  df-cleq 2752  df-clel 2835  df-nfc 2909  df-ne 2956  df-nel 3062  df-ral 3077  df-rex 3087  df-reu 3366  df-rab 3413  df-v 3452  df-sbc 3739  df-csb 3847  df-ss 3896  df-pss 4014  df-dif 4047  df-in 4091  df-un 4151  df-nul 4279  df-if 4482  df-pw 4558  df-sn 4585  df-pr 4587  df-op 4835  df-uni 4867  df-int 4907  df-iun 4952  df-br 5103  df-opab 5167  df-mpt 5186  df-tr 5212  df-id 5545  df-eprel 5550  df-po 5558  df-so 5559  df-fr 5603  df-we 5605  df-xp 5656  df-rel 5657  df-cnv 5658  df-co 5659  df-dm 5660  df-rn 5661  df-res 5662  df-ima 5663  df-pred 6304  df-ord 6365  df-on 6366  df-lim 6367  df-suc 6368  df-iota 6494  df-fun 6541  df-fn 6542  df-f 6543  df-f1 6544  df-fo 6545  df-f1o 6546  df-fv 6547  df-riota 7378  df-ov 7424  df-oprab 7425  df-mpo 7426  df-om 7879  df-1st 8002  df-2nd 8003  df-frecs 8303  df-wrecs 8334  df-recs 8383  df-rdg 8422  df-1o 8480  df-oadd 8484  df-er 8721  df-map 8853  df-en 8978  df-dom 8979  df-sdom 8980  df-fin 8981  df-card 10024  df-pnf 11349  df-mnf 11350  df-xr 11351  df-ltxr 11352  df-le 11353  df-sub 11547  df-neg 11548  df-nn 12340  df-n0 12611  df-xnn0 12684  df-z 12698  df-uz 12970  df-fz 13644  df-fzo 13793  df-hash 14479  df-word 14663  df-lsw 14712  df-s1 14747  df-clwwlk 30579  df-clwwlkn 30622  df-clwwlknon 30685

This theorem is used by:  clwwlknon1sn  30697  clwwlknon1le1  30698