Theorem clwwlknon1nloop 28463

Description: If there is no loop at vertex 𝑋, the set of (closed) walks on 𝑋 of length 1 as words over the set of vertices is empty. (Contributed by AV, 11-Feb-2022.) (Revised by AV, 25-Mar-2022.)

Hypotheses

Ref	Expression
clwwlknon1.v	⊢ 𝑉 = (Vtx‘𝐺)
clwwlknon1.c	⊢ 𝐶 = (ClWWalksNOn‘𝐺)
clwwlknon1.e	⊢ 𝐸 = (Edg‘𝐺)

Assertion

Ref	Expression
clwwlknon1nloop	⊢ ({𝑋} ∉ 𝐸 → (𝑋𝐶1) = ∅)

Proof of Theorem clwwlknon1nloop

Dummy variable 𝑤 is distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		clwwlknon1.v	. . . . 5 ⊢ 𝑉 = (Vtx‘𝐺)
2		clwwlknon1.c	. . . . 5 ⊢ 𝐶 = (ClWWalksNOn‘𝐺)
3		clwwlknon1.e	. . . . 5 ⊢ 𝐸 = (Edg‘𝐺)
4	1, 2, 3	clwwlknon1 28461	. . . 4 ⊢ (𝑋 ∈ 𝑉 → (𝑋𝐶1) = {𝑤 ∈ Word 𝑉 ∣ (𝑤 = ⟨“𝑋”⟩ ∧ {𝑋} ∈ 𝐸)})
5	4	adantr 481	. . 3 ⊢ ((𝑋 ∈ 𝑉 ∧ {𝑋} ∉ 𝐸) → (𝑋𝐶1) = {𝑤 ∈ Word 𝑉 ∣ (𝑤 = ⟨“𝑋”⟩ ∧ {𝑋} ∈ 𝐸)})
6		df-nel 3050	. . . . . . . . 9 ⊢ ({𝑋} ∉ 𝐸 ↔ ¬ {𝑋} ∈ 𝐸)
7	6	biimpi 215	. . . . . . . 8 ⊢ ({𝑋} ∉ 𝐸 → ¬ {𝑋} ∈ 𝐸)
8	7	olcd 871	. . . . . . 7 ⊢ ({𝑋} ∉ 𝐸 → (¬ 𝑤 = ⟨“𝑋”⟩ ∨ ¬ {𝑋} ∈ 𝐸))
9	8	ad2antlr 724	. . . . . 6 ⊢ (((𝑋 ∈ 𝑉 ∧ {𝑋} ∉ 𝐸) ∧ 𝑤 ∈ Word 𝑉) → (¬ 𝑤 = ⟨“𝑋”⟩ ∨ ¬ {𝑋} ∈ 𝐸))
10		ianor 979	. . . . . 6 ⊢ (¬ (𝑤 = ⟨“𝑋”⟩ ∧ {𝑋} ∈ 𝐸) ↔ (¬ 𝑤 = ⟨“𝑋”⟩ ∨ ¬ {𝑋} ∈ 𝐸))
11	9, 10	sylibr 233	. . . . 5 ⊢ (((𝑋 ∈ 𝑉 ∧ {𝑋} ∉ 𝐸) ∧ 𝑤 ∈ Word 𝑉) → ¬ (𝑤 = ⟨“𝑋”⟩ ∧ {𝑋} ∈ 𝐸))
12	11	ralrimiva 3103	. . . 4 ⊢ ((𝑋 ∈ 𝑉 ∧ {𝑋} ∉ 𝐸) → ∀𝑤 ∈ Word 𝑉 ¬ (𝑤 = ⟨“𝑋”⟩ ∧ {𝑋} ∈ 𝐸))
13		rabeq0 4318	. . . 4 ⊢ ({𝑤 ∈ Word 𝑉 ∣ (𝑤 = ⟨“𝑋”⟩ ∧ {𝑋} ∈ 𝐸)} = ∅ ↔ ∀𝑤 ∈ Word 𝑉 ¬ (𝑤 = ⟨“𝑋”⟩ ∧ {𝑋} ∈ 𝐸))
14	12, 13	sylibr 233	. . 3 ⊢ ((𝑋 ∈ 𝑉 ∧ {𝑋} ∉ 𝐸) → {𝑤 ∈ Word 𝑉 ∣ (𝑤 = ⟨“𝑋”⟩ ∧ {𝑋} ∈ 𝐸)} = ∅)
15	5, 14	eqtrd 2778	. 2 ⊢ ((𝑋 ∈ 𝑉 ∧ {𝑋} ∉ 𝐸) → (𝑋𝐶1) = ∅)
16	2	oveqi 7288	. . . 4 ⊢ (𝑋𝐶1) = (𝑋(ClWWalksNOn‘𝐺)1)
17	1	eleq2i 2830	. . . . . . . 8 ⊢ (𝑋 ∈ 𝑉 ↔ 𝑋 ∈ (Vtx‘𝐺))
18	17	notbii 320	. . . . . . 7 ⊢ (¬ 𝑋 ∈ 𝑉 ↔ ¬ 𝑋 ∈ (Vtx‘𝐺))
19	18	biimpi 215	. . . . . 6 ⊢ (¬ 𝑋 ∈ 𝑉 → ¬ 𝑋 ∈ (Vtx‘𝐺))
20	19	intnanrd 490	. . . . 5 ⊢ (¬ 𝑋 ∈ 𝑉 → ¬ (𝑋 ∈ (Vtx‘𝐺) ∧ 1 ∈ ℕ))
21		clwwlknon0 28457	. . . . 5 ⊢ (¬ (𝑋 ∈ (Vtx‘𝐺) ∧ 1 ∈ ℕ) → (𝑋(ClWWalksNOn‘𝐺)1) = ∅)
22	20, 21	syl 17	. . . 4 ⊢ (¬ 𝑋 ∈ 𝑉 → (𝑋(ClWWalksNOn‘𝐺)1) = ∅)
23	16, 22	eqtrid 2790	. . 3 ⊢ (¬ 𝑋 ∈ 𝑉 → (𝑋𝐶1) = ∅)
24	23	adantr 481	. 2 ⊢ ((¬ 𝑋 ∈ 𝑉 ∧ {𝑋} ∉ 𝐸) → (𝑋𝐶1) = ∅)
25	15, 24	pm2.61ian 809	1 ⊢ ({𝑋} ∉ 𝐸 → (𝑋𝐶1) = ∅)

Syntax hints:  ¬ wn 3   → wi 4   ∧ wa 396   ∨ wo 844   = wceq 1539   ∈ wcel 2106   ∉ wnel 3049  ∀wral 3064  {crab 3068  ∅c0 4256  {csn 4561  ‘cfv 6433  (class class class)co 7275  1c1 10872  ℕcn 11973  Word cword 14217  ⟨“cs1 14300  Vtxcvtx 27366  Edgcedg 27417  ClWWalksNOncclwwlknon 28451

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1798  ax-4 1812  ax-5 1913  ax-6 1971  ax-7 2011  ax-8 2108  ax-9 2116  ax-10 2137  ax-11 2154  ax-12 2171  ax-ext 2709  ax-rep 5209  ax-sep 5223  ax-nul 5230  ax-pow 5288  ax-pr 5352  ax-un 7588  ax-cnex 10927  ax-resscn 10928  ax-1cn 10929  ax-icn 10930  ax-addcl 10931  ax-addrcl 10932  ax-mulcl 10933  ax-mulrcl 10934  ax-mulcom 10935  ax-addass 10936  ax-mulass 10937  ax-distr 10938  ax-i2m1 10939  ax-1ne0 10940  ax-1rid 10941  ax-rnegex 10942  ax-rrecex 10943  ax-cnre 10944  ax-pre-lttri 10945  ax-pre-lttrn 10946  ax-pre-ltadd 10947  ax-pre-mulgt0 10948

This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 397  df-or 845  df-3or 1087  df-3an 1088  df-tru 1542  df-fal 1552  df-ex 1783  df-nf 1787  df-sb 2068  df-mo 2540  df-eu 2569  df-clab 2716  df-cleq 2730  df-clel 2816  df-nfc 2889  df-ne 2944  df-nel 3050  df-ral 3069  df-rex 3070  df-reu 3072  df-rab 3073  df-v 3434  df-sbc 3717  df-csb 3833  df-dif 3890  df-un 3892  df-in 3894  df-ss 3904  df-pss 3906  df-nul 4257  df-if 4460  df-pw 4535  df-sn 4562  df-pr 4564  df-op 4568  df-uni 4840  df-int 4880  df-iun 4926  df-br 5075  df-opab 5137  df-mpt 5158  df-tr 5192  df-id 5489  df-eprel 5495  df-po 5503  df-so 5504  df-fr 5544  df-we 5546  df-xp 5595  df-rel 5596  df-cnv 5597  df-co 5598  df-dm 5599  df-rn 5600  df-res 5601  df-ima 5602  df-pred 6202  df-ord 6269  df-on 6270  df-lim 6271  df-suc 6272  df-iota 6391  df-fun 6435  df-fn 6436  df-f 6437  df-f1 6438  df-fo 6439  df-f1o 6440  df-fv 6441  df-riota 7232  df-ov 7278  df-oprab 7279  df-mpo 7280  df-om 7713  df-1st 7831  df-2nd 7832  df-frecs 8097  df-wrecs 8128  df-recs 8202  df-rdg 8241  df-1o 8297  df-oadd 8301  df-er 8498  df-map 8617  df-en 8734  df-dom 8735  df-sdom 8736  df-fin 8737  df-card 9697  df-pnf 11011  df-mnf 11012  df-xr 11013  df-ltxr 11014  df-le 11015  df-sub 11207  df-neg 11208  df-nn 11974  df-n0 12234  df-xnn0 12306  df-z 12320  df-uz 12583  df-fz 13240  df-fzo 13383  df-hash 14045  df-word 14218  df-lsw 14266  df-s1 14301  df-clwwlk 28346  df-clwwlkn 28389  df-clwwlknon 28452

This theorem is referenced by:  clwwlknon1sn  28464  clwwlknon1le1  28465